El cubo es un poliedro con seis caras, cada una con forma de cuadrado y con las mismas dimensiones, unidas entre sí mediante ángulos rectos, motivo por el que también se conoce como hexaedro regular. La forma más fácil de calcular su volumen es elevar al cubo o tercera potencia la longitud de una de sus aristas.
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Calcular el volumen conociendo la longitud de una arista
El volumen de un poliedro regular se calcula multiplican la altura, por la anchura y por la profundidad. Como todas las caras del cubo son cuadradas, la altura, la anchura y la profundidad son iguales. Así, elevando al cubo, o tercera potencia, la longitud de una de sus aristas se obtendría el volumen del cubo:
Dónde:
- V es volumen
- a es la longitud de una de las aristas.
Por ejemplo, si una arista mide 8 m, su volumen sería 512 m3:
Es importante anotar las unidades correctamente. El volumen mide un espacio tridimensional y por ello el volumen se expresa en unidades cúbicas. Por ejemplo, si la longitud de la arista la tenemos en cm, el resultado se expresará en cm3 (centímetros cúbicos), o si la longitud la tuviésemos en m, el resultado se expresaría en m3 (metros cúbicos).
Existen unidades específicas de volumen, como el Litro, todas ellas intercambiables con las unidades cúbicas. Por ejemplo, 1 L (litro) es igual a 1 dm3 (decímetro cúbico) y 1 ml (mililitro) es igual a 1 cm3.
Obtener el volumen conociendo la superficie del cubo
El cubo tiene seis caras cuadradas. Por tanto, si conocemos la superficie total del cubo y la dividimos entre 6, obtendremos la superficie de una de sus caras. A partir de esta superficie podemos calcular la longitud de una arista y calcular el volumen igual que con el método anterior.
Imaginemos que la superficie total del cubo es de 150 cm2, la superficie s de cada una de las caras sería:
s = 150/6 = 25 cm2
Entonces, tenemos que una cara del cubo tiene una superficie de 25 cm2. Como la cara es cuadrada y la superficie de un cuadrado se calcula multiplicando la longitud de un lado por sí mismo, es decir, elevando la longitud de un lado a la segunda potencia (a2), entonces podemos calcular cuánto mide un lado haciendo la raíz cuadrada de su superficie:
a = √25 = 5 cm
Como ya tenemos la longitud de una arista del cubo, ya podemos calcular su volumen elevando este valor a la tercera potencia:
V = 53 = 125 cm3
Resumiendo, si conocemos la superficie total del cubo:
- Dividimos la superficie del cubo entre 6 para obtener la superficie de una cara
- Calculamos la raíz cuadrada de la superficie de una cara para obtener la longitud de un lado
- Elevamos la longitud de un lado al cubo y ya tenemos el volumen
Obtener el volumen conociendo una diagonal
Si se dibuja una diagonal en una de las caras del cubo, se obtiene un triángulo rectángulo al que se le puede aplicar el Teorema de Pitágoras.
La diagonal d sería la hipotenusa del triángulo, así que la diagonal al cuadrado sería igual a una arista del cubo al cuadrado más otra arista del cubo al cuadrado:
d2 = a2 + a2
Como las aristas en el cubo miden los mismo:
d2 = 2a2
Despejando, obtenemos que esta diagonal es igual a la √2 por la longitud de un lado, es decir:
d = a√2
Así que podemos dividir la longitud de la diagonal entre √2 para encontrar la longitud de la arista. La elevamos al cubo y obtendremos el volumen del cubo:
a = d/√2 V = a3
Si en lugar de la diagonal de una cara, conocemos la diagonal tridimensional desde un vértice a su opuesto, D, y aplicamos el Teorema de Pitágoras:
D2 = d2 + a2
Antes habíamos calculado que d2 = 2a2, por tanto:
D2 = 3a2
Despejando, la longitud de la arista sería igual a la diagonal D entre √3:
a = D/√3 V = a3
Es decir:
- si conocemos la diagonal de una cara, dividimos la diagonal entre √2
- si conocemos la diagonal tridimensional de un vértice al opuesto, dividimos la diagonal entre √3;
El resultado es la longitud de un lado, lo elevamos al cubo y ya podemos calcular el volumen del cubo.