Valor absoluto
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16/05/2020 · Actualizado: 02/01/2024
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¿Qué es el VALOR ABSOLUTO?
El valor absoluto o modulo de un número \( | a | \) es el valor que REPRESENTA LA DISTANCIA ENTRE EL NÚMERO Y EL CERO, por lo que el resultado siempre es positivo o cero.
Es decir, en sencillas palabras si el número dentro del valor absoluto es cero el resultado siempre será cero o, si el número dentro del valor absoluto es positivo o negativo mantiene su valor y siempre es positivo ya que estamos calculando una distancia. Por ejemplo:
- Valor absoluto de cero '0': \( | 0 | = 0 \)
- Valor absoluto de un número positivo: \( | 2 | = 2 \)
- Valor absoluto de un número negativo: \( | -2 | = 2 \)
Matemáticamente, la definición de valor absoluto es la siguiente:
\(\left| x \right| = \begin{Bmatrix}
x \quad si \quad x \geq 0 & \\
-x \quad si \quad x < 0 & \\
\end{Bmatrix}\)
PROPIEDADES del Valor absoluto
- No negatividad: El resultado de los valores absolutos siempre es positivo.
\( | a | \geq 0 \)
- Simetría: Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
\( | a | = | -a | \)
- Módulo de cero: El valor absoluto de cero es igual a cero
\( | 0 | = 0 \)
- Propiedad multiplicativa: El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
\( | ab | = | a | \cdot | b | \)
\( | \frac{a}{b} | =\frac{| a |}{| b |} \space con \space b \neq 0 \)
- Desigualdad triangular: El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.
\( | a+b | \leq | a | + | b | \)
¿Cómo se calcula el valor absoluto de un número?
Para calcular el valor absoluto de un número entero, ó un número real, el resultado es el mismo número, pero siempre positivo, ya que corresponde a una distancia, por ejemplo \( |-5| = +5\).
¿Pero que sucede si este tiene operaciones como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, raíces, potencias u otras? la respuesta es sencilla, se resuelven las operaciones y al final los valores absolutos, pero esto tiene varias aristas, todo depende del planteamiento, vamos a ver unos ejemplos.
Ejemplos de valor absoluto
Comunes
- Ejemplo 1: Calcular \( | 8 | \)
\( | 8 | = 8 \)
- Ejemplo 2: Calcular \( \left| -\frac{3}{8} \right| \)
\( | -\frac{3}{8} | = \frac{3}{8} \)
- Ejemplo 3: Calcular \( | 5 | \)
\( | 5 | = 5 \)
- Ejemplo 4: Calcular \( | \sqrt{5} | \)
\( | \sqrt{5} | = \sqrt{5} \)
- Ejemplo 5: Calcular \( | -4 | \)
\( | -4 | = 4 \)
Con operaciones combinadas
Con ayuda de las propiedades o utilizando otra estrategia se pueden resolver operaciones básicas y combinadas aplicando valores absolutos.
- Ejemplo 1: \( | 5+-6 | \)
\( | 5+-6 |= | -1 | = 1 \)
- Ejemplo 2: Calcular \( | 5 | + | -6 | \)
\( | 5 | + | -6 |= 5 + 6 =11 \)
- Ejemplo 3: Calcular \( | -10 \cdot 9 | \)
\( | -10 \cdot 9 | = | -10 | \cdot | 9 | = 10 \cdot 9 = 90 \)
- Ejemplo 4: Calcular \( | -10+ 9 \cdot 14-9 | \)
\( | -10+ 9 \cdot 14-9 | \)
\( | -10 + 126 -9 | \)
\( | 116 -9 | \)
\( | 107 | \)
\( 107 \)
Ejercicios online sobre valor absoluto
Resolución de problemas
La mayoría de problemas que se aplican para este concepto suelen estar estrechamente ligados con las operaciones básicas en los conjuntos númericos y ese tipo de problemas son los que expondremos aquí:
Problema 1
Una gaviota y un pez sumergido en el mar se encuentran a la misma distancia del nivel del mar y alineados verticalmente. ¿Si la gaviota esta se encuentra a 12 metros sobre el nivel del mar, a qué profundidad se encuentra el pez?
Estrategia de resolución: Como ambos están alineados y los separa el nivel del mar, podemos trazar la situación con una recta numérica donde la gaviota representa al número 12, por lo que al pez lo representa el número -12, pero como las distancias no pueden ser negativas aplicamos el valor absoluto:
\( | -12 | = 12 \)
Respuesta: El pez se encuentra a 12 metros bajo el nivel del mar.
Problema 2
Si la temperatura en la Antártida es de -10°C ¿Cuanto debe subir la temperatura para llegar a 0°C?
Estrategia de resolución: En este problema lo más importante es identificar que no estan pidiendo calcular la distancia en la recta numérica de -10 hasta 0.
\( | -10 | = 10 \)
Respuesta: La temperatura debe subir 10°C para llegar a los 0°C
El valor absoluto en la vida
La matemática esta presente a diario en nuestra vida solo que en muchas de estas ocasiones cuando aplicamos conceptos matemáticos, estos no estan expuestos de forma explícita, por ejemplo en las distancias cuando avanzamos de un punto a otro y luego retrocedemos al mismo punto, podriamos concluir que el recorrido es nulo, pero en realidad las distancias son absolutas, si avanzamos 7 metros y retrocedemos 7 metros, en total el recorrido fue de 14 metros. Matemáticamente | 7 | + | -7 | = 14.
Esto también lo podemos observar en los ascensores o respecto a las altitudes donde el nivel del mar es nuestro punto de referencia, pero si una persona vive en el piso -2 y otra en el piso 2 ambas estan a la misma distancia del 0.
En conclusión el valor absoluto siempre esta ahí presente, solo que se muestra mente lo aplica por simple lógica, nunca oíras a alguien decir que una pared mide -40 metros, ó tengo menos $1.000.000 porque pidio dinero, sino siempre dirá debo $1.000.000, ya que asume el número como positivo.
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Preguntas frecuentes
El valor absoluto de cero '0' es igual a 0.
Matemáticamente | 0 | = 0.
La distancia de un número hasta el cero en la recta numérica.
Debes buscar si un botón tiene la descripción 'Abs', suele estar en la tecla ')' o 'hyp', presionar SHIFT + una de esas teclas o donde se encuentra la función 'abs' y listo.
El valor absoluto de x es igual al valor de +x. Por ejemplo si x = 3, entonces | 3 | = 3 ó si x = -3, | -3 | = 3.
Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica la definición, igualando la ecuación a un número o una expresión sin valor absoluto, luego la ecuación se separa en dos una con el valor positivo y el otro negativo, se resuelven y se comprueba que los resultados obtenidos no indeterminen la ecuación. Si quieres saber más a detalle como resolver estas ecuaciones visita este enlace.
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