¿Qué es la lógica matemática?
La lógica matemática es la ciencia que estudia el razonamiento, a través de proposiciones que se evalúan únicamente de dos maneras: verdadero o falso. Se parte de una o varias afirmaciones, llamadas “premisas”, y de ellas se obtienen otras afirmaciones, que constituyen la “conclusión”.
Siguiendo determinadas reglas, es posible saber si un argumento tiene validez o no la tiene, y aunque estas reglas se establecen para demostrar teoremas matemáticos, su carácter es lo suficientemente general como para que se puedan aplicar en muchas situaciones de la vida diaria.
Por ejemplo, considérense las siguientes afirmaciones, que son las premisas:
- México es un país de Latinoamérica.
- Fernando es mexicano.
Entonces la conclusión o inferencia que se hace partiendo de estas premisas es:
Fernando es latinoamericano
Nótese que estas proposiciones se escriben de modo tal que no admiten ambigüedad alguna, es decir, son válidas o no lo son, por eso a esta disciplina también se la conoce como lógica binaria. El lenguaje empleado en una proposición es conciso y menos flexible que el lenguaje diario.
Por ejemplo, no es posible determinar si son verdaderas o falsas cuestiones como ¿Qué hora es?, quiero ir al cine o ¿Cuándo comeremos?, por lo tanto, estas no son proposiciones lógicas. Una proposición lógica puede ser verdadera o puede ser falsa, más no ambas a la vez.
Historia breve de la lógica matemática
La lógica como disciplina del pensamiento tuvo su origen en la antigua Grecia, la misma palabra “lógica” deriva del griego y puede interpretarse como pensamiento y razón.
Desde el 600 hasta el 300 a. C aproximadamente, los pensadores griegos sentaron las bases de esta rama de la ciencia, siendo los principales Platón (427–347 a. C), su discípulo Aristóteles (384–322 a. C) y Euclides (325–265 a. C), el padre de la geometría.
Aristóteles escribió los primeros tratados de lógica de los que se tiene noticia, los cuales contienen los primeros postulados de esta ciencia. Estos postulados fueron desarrollados posteriormente por los filósofos escolásticos de la Edad Media, quienes los formalizaron.
Más adelante, René Descartes (1596-1650) propuso que la razón es lo que permite acceder al conocimiento y Gottfried Leibnitz (1646-1716) realizó aportes significativos a las operaciones lógicas.
La lógica simbólica
Sin embargo, la lógica tuvo que esperar muchos años aún, para dar un avance realmente significativo y estrechar los lazos con la Matemática. Este avance llegó con George Boole (1815-1864), el matemático inglés que inventó la lógica simbólica en 1854 y la dio a conocer en el libro Las leyes del pensamiento. El álgebra booleana sigue siendo indispensable hoy día en la computación moderna.
Otro autor notable en este campo fue Augustus De Morgan (1806-1871), quien estableció las leyes de Morgan para la expresión de las proposiciones lógicas.
Ya en el siglo XX, Gottlob Frege (1848-1925), Bertrand Russell (1872-1970) y otros autores establecieron que las verdades matemáticas definitivamente son también verdades lógicas y crearon entonces un lenguaje formal para expresarlas.
¿Qué estudia la lógica matemática?
El objetivo de la Lógica es estudiar todas las formas de razonamiento, independientemente del área del saber, así que puede aplicarse a cualquier rama de la ciencia y también a la vida cotidiana. El objeto de estudio de la Lógica es la inferencia, es decir, la conclusión que se extrae a partir de las premisas.
La lógica en la Matemática
A través de la Matemática tiene una de sus expresiones más amplias, pues allí se encarga de establecer las demostraciones y obtener conclusiones partiendo de postulados previos.
El lenguaje de la lógica
En Matemática, la lógica se expresa a través de los símbolos matemáticos, pero en general, hay una serie de reglas para establecer las proposiciones, que hacen uso de conectores lógicos como la conjunción, la negación y más.
Aplicaciones de la lógica matemática
La lógica tiene numerosas aplicaciones en la ciencia, y aparte de estas, aun si no se maneja con toda la formalidad requerida, en la vida diaria ayuda a las personas a conectar y a comprender mejor su entorno, así como a organizar sus ideas y tomar decisiones más provechosas.
Matemática
La lógica ayuda a que las demostraciones matemáticas tengan toda la rigurosidad necesaria.
Computación
La lógica es el fundamento de las computadoras, ya que las dos condiciones: verdadero y falso, se pueden representar a través de diferentes valores del voltaje que alimenta un transistor. Las puertas lógicas pueden tomar un valor de corriente a la entrada y transformarlo en otro a la salida para representar las distintas operaciones lógicas.
Asignando los números 1 y 0 a las condiciones de verdadero y falso, se desarrolla el sistema binario con el que se pueden realizar infinidad de operaciones.
Ejemplos de proposiciones
En los siguientes ejemplos hay algunas proposiciones sencillas, denotadas con una letra minúscula seguida de dos puntos, aunque otros autores las denotan con mayúsculas:
p: 2+3 = 5 (verdadera)
q: Los gatos son mamíferos (verdadera)
r: 4 es menor que 1 (falsa)
s: Todos los números son impares (falsa)
t: Madrid es la capital de España (verdadera)
w: Todos los números racionales son naturales (falsa)
z: Los números negativos carecen de raíz cuadrada real (verdadera)
Entre paréntesis está el valor de verdad de la proposición, que es la cualidad de ser cierta o no serlo. Este valor se puede denotar también a través de los números 1 y 0 y para que una oración sea una proposición lógica, es preciso que se la pueda etiquetar con uno de los dos valores.
En cambio, las siguientes expresiones no son proposiciones lógicas:
- ¡Sal de allí!
- Buenos días, ¿Cómo le va?
- Hace un hermoso día
- x+5 = 16
A las órdenes y a las preguntas no es posible asignarles un valor de verdad, por lo tanto no son proposiciones lógicas. En cuanto a la tercera proposición, no es posible asegurar con certeza que el día sea hermoso en todas partes o para todo el mundo.
Finalmente, en la ecuación x+5 = 16, no es posible asignar un valor de verdad porque no se conoce el valor de x, no obstante, si se añade algo más de información, se puede escribir una proposición lógica con ella.
Las proposiciones mostradas son muy sencillas, pero las hay de distintas clases. En líneas generales pueden ser:
Simples
También llamadas atómicas, contienen tres partes: sujeto, verbo y complemento, como las proposiciones mostradas anteriormente.
Compuestas
Consisten en dos o más proposiciones simples enlazadas mediante un conector lógico, por eso se las llama moleculares:
p: Luis come pasta y bebe refresco
q: Hoy es martes y hace frío
r: Si x + 5 = 16, entonces x = 11
Cerradas y abiertas
Las proposiciones cerradas son aquellas cuyo sujeto está determinado, mientras que en las proposiciones abiertas no lo está. Nótese que algunas proposiciones pertenecen a más de una categoría:
p: Luis come pasta y bebe refresco (cerrada y compuesta)
q: Él no corre muy rápido (abierta y simple)
r: 8+2 = 10 (cerrada y simple)
Afirmativas y negativas
Son afirmativas cuando aseguran la existencia de un hecho, y negativas cuando lo niegan:
p: Laura tiene 25 años (simple, afirmativa y cerrada)
q: Barcelona no es la capital de España (simple, negativa y cerrada)
Verdaderas y falsas
Las proposiciones son verdaderas cuando en efecto, corresponden a un hecho real y falsas cuando ocurre lo contrario. Al principio se vieron algunas proposiciones verdaderas y otras falsas, aquí hay algunas más:
p: Los delfines no son animales marinos (simple, falsa y negativa)
q: Los años bisiestos tienen 365 días (falsa, afirmativa y simple)
r: │-5+1│> 0 (simple, verdadera y afirmativa).
s: El 7 es un número primo (simple, verdadera y afirmativa)
Referencias
- Becerra, J.M. Apuntes de lógica de la UNAM.
- López, F. Introducción a la lógica matemática. Recuperado de: youtube.com
- Muñoz, C. Introducción a la lógica. Recuperado de: webs.ucm.es.
- Párraga, O. Lógica: proposiciones. Recuperado de: youtube.com
- Pomata, F. ¿Qué es la lógica y para qué nos sirve? Recuperado de: cienciasdelsur.com.