FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ECONÓMICA SEGUNDA EDICIÓN Chan S. Park Fundamentos de ingeniería económica Fundamentos de ingeniería económica SEGUNDA EDICIÓN Chan S. Park Depa rtamento d e Si s t em a s e I n g e n i e rí a In du s t ri a l Aub urn Univers it y TRADUCCIÓN Verónica del Carmen Alba Ramírez REVISIÓN TÉCNICA Filiberto González Hernández Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México Marco Antonio Montúfar Benítez Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Henrique José Azpúrua Arreaza Universidad Católica Andrés Bello-Venezuela Prentice Hall México • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela V P, C S. Fundamentos de ingeniería económica Segunda edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009 ISBN: 978-607-442-220-7 Área: Ingeniería Formato: 20 ⫻ 25.5 cm Páginas: 656 Authorized translation from the English language edition entitled Fundamentals of Engineering Economics, 2nd edition, by Chan S. Park, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright ©2008. All rights reserved. ISBN 9780132209601 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Fundamentals of Engineering Economics, 2a edición, por Chan S. Park, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL INC., Copyright ©2008. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: luis.cruz@pearsoned.com Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: Juan José García Guzmán SEGUNDA EDICIÓN, 2009 D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5º piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. número 1031. PRENTICE HALL es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 13: 978-607-442-220-7 Prentice Hall es una marca de PRIMERA IMPRESIÓN Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09 A mi esposa: Inkyung (Kim) PREFACIO ¿Por qué Fundamentos de Ingeniería Económica? La ingeniería económica es una de las materias de estudio más prácticas en el currículum de ingeniería, pero es una disciplina desaiante y en continuo cambio. Contemporary Engineering Economics (cee) se publicó por primera vez en 1993 y, desde entonces, hemos tratado de relejar los cambios en el mundo de los negocios en cada nueva edición (ahora en su cuarta edición, junto con las más recientes innovaciones en la educación y la industria editorial. Estos cambios han dado como resultado un libro de texto mejor y más completo, pero también más largo de lo que se pensó originalmente. Esto puede constituir un problema: actualmente, cubrir la totalidad del libro de texto en un solo curso es cada vez más difícil. Por ello, hemos decidido crear Fundamentos de Ingeniería Económica para quienes gustan del libro Ingeniería Económica Contemporánea, pero creen que un libro de texto más pequeño y conciso cubriría mejor sus necesidades. Objetivos del texto Este texto tiene como objetivo ofrecer una cobertura sólida y completa de los conceptos de ingeniería económica pero, al mismo tiempo, tratar los asuntos prácticos de la ingeniería económica. Más especíicamente, este texto tiene los siguientes objetivos: 1. Facilitar una amplia comprensión de las bases teóricas y conceptuales sobre las cuales se fundamenta el análisis de los proyectos inancieros. 2. Satisfacer las necesidades más prácticas del ingeniero para así tomar decisiones inancieras informadas a la hora de actuar como miembro de un equipo o como el administrador de un proyecto de ingeniería. 3. Incorporar todas las herramientas críticas para la toma de decisiones, incluyendo las más contemporáneas, así como las herramientas computacionales que los ingenieros necesitan para tomar decisiones inancieras informadas. 4. Interesar a las otras disciplinas de ingeniería para las que se requiere este curso: industrial, civil, mecánica, eléctrica, computacional, aeroespacial, química e ingeniería de manufactura, así como la tecnología de ingeniería. Mercado y uso del texto Este texto está planeado para usarse en el curso de introducción a la ingeniería económica. A diferencia del texto más extenso (cee), es posible cubrir Fundamentos de Ingeniería Económica en un solo curso, y quizá complementarlo con algunas lecturas o casos adicionales. Aun cuando los capítulos en este libro se encuentran ordenados de manera lógica, están escritos en un formato lexible y modular, lo que permite que los profesores cubran el material con una secuencia distinta. vii viii PREFACIO Cambios en la segunda edición Gran parte del contenido se diseñó para profundizar en los materiales y relejar los desafíos en la ingeniería económica contemporánea. Algunos de los cambios más sobresalientes son: • Todas las viñetas de entrada de los capítulos (un sello característico de Fundamentos de Ingeniería Económica) se reemplazaron por ejemplos más actuales y que invitan a la relexión. • Se rediseñaron todos los ejemplos en cada capítulo con la inalidad de promover las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes. Para ello se crearon cuatro encabezados distintivos: Análisis del problema, Metodología, Solución y Comentarios. La mayoría de los ejemplos en cada capítulo son nuevos o revisados. • El capítulo 10 se revisó concienzudamente con la inalidad de ofrecer más materiales de probabilidad para el manejo analítico del riesgo y la incertidumbre. • La mayoría de los problemas al inal de los capítulos fueron revisados para relejar los cambios en los materiales del texto principal. • Se presentan diversas técnicas para utilizar hojas de cálculo de Excel® a lo largo de los capítulos; los archivos originales de Excel se pueden consultar en línea en el sitio Web de este texto. • Se creó el apéndice A para ayudar a los estudiantes a preparar un examen para los cursos de introducción a la ingeniería económica, así como el examen de Fundamentos de Ingeniería de la materia. Todas las preguntas en este apéndice están estructuradas en un formato de opción múltiple. • Un revisor especializado examinó minuciosamente todos los ejemplos y problemas. Fundamentos de Ingeniería Económica es muy diferente de Ingeniería Económica Contemporánea, pero la mayoría de los capítulos parecerán familiares a los usuarios de este último libro. Aunque redujimos algo del material y clariicamos, actualizamos y mejoramos todos los capítulos, Fundamentos de Ingeniería Económica debe considerarse como una versión alternativa de Ingeniería Económica Contemporánea. Características del libro Aunque Fundamentos de Ingeniería Económica es la versión reducida de Ingeniería Económica Contemporánea, conservamos todos los elementos pedagógicos y los materiales de apoyo que ayudaron al gran éxito de este último libro. Algunas de esas características son: • Cada capítulo inicia con una decisión económica real que describe cómo el responsable de tomar decisiones o una compañía real han lidiado con los asuntos discutidos en el capítulo. Estos casos aumentan el interés de los alumnos, ya que señalan la relevancia del tema en el mundo real y la aplicabilidad de lo que, de otra forma, parecería simple material técnico. • Se presenta un gran número de problemas al inal de los capítulos, así como preguntas tipo examen con diferentes grados de diicultad; estos problemas cubren por completo los diversos temas del libro. • La mayoría de los capítulos contienen una sección llamada “Breves estudios de caso con Excel”, lo que permite que los estudiantes utilicen Excel para responder un conjunto de preguntas. Estos problemas refuerzan los conceptos tratados en el capítulo y dan a los estudiantes una oportunidad para ser más eicientes al utilizar hojas de cálculo electrónicas. • Todas las hojas de cálculo de Excel ahora contienen fórmulas fáciles de seguir. Prefacio ix La integración del uso de la computadora es otra característica importante de Fundamentos de Ingeniería Económica. Los alumnos pueden tener un mayor acceso y sentirse familiarizados con las diversas herramientas de hojas de cálculo; por otra parte, los profesores se inclinan más por tratar estos temas de manera explícita en el curso o por alentar a los estudiantes a experimentar por su cuenta. Otra preocupación es que el uso de las computadoras podría socavar la verdadera comprensión de los conceptos del curso. Este texto no promueve el uso indiscriminado o trivial de las computadoras como un reemplazo de la comprensión genuina y de la habilidad para aplicar los métodos de solución tradicionales. Por el contrario, se enfoca en los beneicios que ofrece el uso de las computadoras en cuanto al aumento de la productividad para el desarrollo y análisis de los lujos de efectivo de proyectos complejos. Sitio Web del libro La compañía editorial ha creado el sitio Web de este libro (www.pearsoneducacion. net/park). Este texto aprovecha Internet como una herramienta que constituye un recurso cada vez más importante para tener acceso a una variedad de información en la Web. Este sitio contiene diversos recursos para profesores y alumnos, incluyendo preguntas tipo examen, problemas complementarios y varios calculadores inancieros en línea. Cuando escriba la dirección y presione el botón de abrir, verá la página principal de Fundamentos de Ingeniería Económica. Encontrará tres vínculos principales en este sitio Web: • Recursos para el profesor: Éste es un vínculo protegido por una contraseña para los profesores registrados donde se localizan el manual de profesor y diapositivas de PowerPoint con anotaciones para las clases. El manual del profesor en Word® incluye las respuestas a los problemas que aparecen al inal de los capítulos y las soluciones Excel® para todos los problemas difíciles. En esta parte se lista un conjunto de casos de estudio de ingeniería económica. Inicialmente, sólo se presentan unos cuantos casos, pero a medida que se desarrollen o encuentren nuevos ejemplos, la biblioteca de casos crecerá en volumen y variedad. • Recursos para el alumno: Aquí es donde los alumnos pueden tener acceso a: 1. preguntas de auto-examen, 2. preguntas de repaso para el examen de Fundamentos de Ingeniería (fe) y 3. plantillas de Excel que pueden utilizarse para resolver algunos problemas complejos. Esta sección incluye también herramientas inancieras en línea como: 1. tablas de factores de interés, 2. analizador de lujos de efectivo, 3. análisis de depreciación y 4. análisis de préstamos. El analizador de lujos de efectivo es un paquete de software de computadora integrado escrito en Java®. El software incluye los métodos de análisis económico que se emplean con más frecuencia. Ofrece un menú para su conveniencia y lexibilidad e incluye: 1. un editor de lujos de efectivo lexible y fácil de utilizar para los datos de entrada y las modiicaciones y 2. una amplia selección de módulos computacionales, así como gráicas resultantes seleccionadas por los usuarios. • Sitio Web de recursos del autor: El autor creó esta parte de los contenidos. Esta sección contiene diversas piezas de información útil para efectuar análisis de ingeniería económica. • Información iscal: Esta sección será un centro de referencia en términos de diseminación de la siempre cambiante información iscal, incluyendo el impuesto sobre la renta personal y corporativo. Se incluyen vínculos para los diferentes sitios iscales en Internet, por lo que usted encontrará la información más actualizada sobre los programas de depreciación y de los impuestos sobre las ganancias sobre el capital. • Dinero e inversiones: Esta sección constituye una puerta de entrada a una variedad de información útil para realizar análisis de ingeniería económica. Por ejem- x PREFACIO plo, se incluye un vínculo directo a la información más actualizada sobre precios y acciones, así como sobre el desempeño de los fondos de inversión. • Historiales económicos: Esta sección incluye información sobre costos y precios, así como las tendencias más recientes de las tasas de interés. En particular, se presentan algunos datos económicos representativos, como índices de precios al consumidor, cifras de productividad e índices del costo del empleo. • Noticias inancieras: Esta sección brinda acceso a sitios de noticias inancieras en Internet. El sitio las divide en noticias en línea y publicaciones diarias, semanales y mensuales. Agradecimientos Este libro releja el trabajo de un gran número de personas a lo largo de muchos años. En especial, desearía hacer un reconocimiento a las siguientes personas, cuyas observaciones y comentarios han contribuido a esta edición. Una vez más, quiero agradecer a cada uno de ellos: • • • • • • • • • • • • • • Roland K. Arter, Summit College, Universidad de Akron John L. Evans, Universidad Auburn Dolores Gooding, Universidad del Sur de Florida Bruce Hartsough, Universidad de California en Davis Matthew Marshall, Rochester Institute of Technology Bruce McCann, Universidad de Texas en Austin Michael Park, Mckinsey & Company Richard V. Petitt, Academia Militar de Estados Unidos Linda Ann Riley, Universidad Roger Williams Iris V. Rivero, Universidad Texas Tech Bhaba R. Sarker, Universidad Estatal de Louisiana James R. Smith, Universidad Tecnológica de Tennessee Donald R. Smith, Universidad A&M de Texas Stan Uryasev, Universidad de Florida Personalmente, deseo agradecer a las siguientes personas por su colaboración adicional a la nueva edición: Capitán Kyongsun Kim, quien leyó el manuscrito entero y revisó la precisión de las fórmulas y la solución de todos los ejemplos; Mayor Hwansik Lee, quien me ayudó a preparar el manual del profesor y también leyó el manuscrito entero y ofreció numerosos comentarios para mejorar la presentación de los materiales; Orhan Dengiz, quien me ayudó a desarrollar el sitio Web del libro; Profesor Beum Jun Ahn, quien desarrolló muchas de las versiones macro de las hojas de cálculo de Excel; Holly Stark, mi editora en Prentice Hall, quien asumió la responsabilidad de todo el proyecto; y Rose Kernan, editora de producción, quien supervisó toda la producción del libro. Chan S. Park Auburn, Alabama CONTENIDO Prefacio vii PARTE 1 ESTUDIO DEL DINERO Y SU ADMINISTRACIÓN 1 Capítulo 1 1.1 1.2 Decisiones de ingeniería económica 2 El proceso racional de la toma de decisiones 1.1.1 ¿Cómo tomamos las decisiones personales cotidianas? 1.1.2 ¿Cómo enfrentamos un problema de diseño técnico? 1.1.3 ¿Qué hace que las decisiones económicas sean diferentes de las otras decisiones de diseño? 4 4 7 10 El papel del ingeniero en los negocios 1.2.1 Toma de decisiones sobre gastos de capital 1.2.2 Decisiones de ingeniería económica a gran escala 1.2.3 Repercusión de los proyectos de ingeniería sobre los estados financieros 13 1.3 Tipos de decisiones de ingeniería económica 14 1.4 Principios fundamentales de ingeniería económica 18 Resumen 19 Capítulo 2 El valor del dinero en el tiempo 10 10 11 20 2.1 Interés: el costo del dinero 2.1.1 El valor del dinero en el tiempo 2.1.2 Elementos de transacciones que implican intereses 2.1.3 Métodos para calcular intereses 22 22 24 26 2.2 Equivalencia económica 2.2.1 Definición y cálculos simples 2.2.2 Los cálculos de equivalencia requieren una base de tiempo común para su comparación 28 28 31 2.3 Fórmulas de interés para flujos de efectivo únicos 2.3.1 Factor de cantidad compuesta 2.3.2 Factor del valor presente 2.3.3 Soluciones para tiempo y tasas de interés 33 33 35 38 2.4 Series de pagos desiguales 40 2.5 Series de pagos iguales 2.5.1 Factor de la cantidad compuesta: determine F, dados A, i y N 42 43 xi xii CONTENIDO 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5 Factor del fondo de amortización: determine A, dados F, i y N Factor de recuperación de capital (factor de anualidad): encontrar A, dados P, i y N Factor del valor presente: determine P, dados A, i y N Valor presente de perpetuidades 47 49 52 57 2.6 Manejo de series con gradiente 2.6.1 Manejo de series con gradiente lineal 2.6.2 Manejo de series con gradiente geométrico 57 58 64 2.7 Flujos de efectivo compuestos 68 Resumen 72 Problemas 73 Capítulo 3 Estudio de la administración del dinero 86 3.1 Tasas de interés del mercado 3.1.1 Tasa de interés nominal 3.1.2 Rendimiento anual efectivo 87 88 88 3.2 Cálculo de las tasas de interés efectivas con base en los periodos de pago 3.2.1 Interés compuesto discreto 3.2.2 Interés compuesto continuo 91 91 92 3.3 3.4 Cálculos de equivalencia con tasa de interés efectiva 3.3.1 Periodo de capitalización igual al periodo de pago 3.3.2 La capitalización se realiza a una tasa diferente a la de los pagos efectuados 100 100 102 106 Resumen 111 Problemas 111 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación 126 Medición de la inflación 4.1.1 Índice de precios al consumidor 4.1.2 Índice de precios al productor 4.1.3 Tasa de inflación promedio ( f ) 4.1.4 Tasa de inflación general ( f ) contra tasa de inflación específica ( f ) 132 Dólares circulantes y dólares constantes 4.2.1 Conversión de dólares constantes a dólares circulantes 4.2.2 Conversión de dólares circulantes a dólares constantes 134 135 136 j 4.2 97 Administración de deudas 3.4.1 Préstamos con tarjetas de crédito 3.4.2 Préstamos comerciales: cálculo de pagos de capital e intereses 3.4.3 Comparación de diferentes opciones financieras Capítulo 4 4.1 94 94 127 128 129 130 Contenido xiii 4.3 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación 4.3.1 Tasas de interés del mercado y libres de inflación 4.3.2 Análisis en dólares constantes 4.3.3 Aálisis en dólares circulantes 4.3.4 Análisis en dólares mixtos 140 141 141 141 146 Resumen 149 Problemas 150 PARTE 2 EVALUACIÓN DEL NEGOCIO Y DE LOS ACTIVOS DE INGENIERÍA 159 Capítulo 5 Análisis del valor presente 160 5.1 Flujos de efectivo de préstamos y flujos de efectivo de proyectos 162 5.2 Métodos iniciales para la exploración de proyectos 5.2.1 Beneficios y fallas del análisis de recuperación 5.2.2 Periodo de recuperación descontada 163 166 167 5.3 Análisis del valor presente 5.3.1 Criterio del valor presente neto 5.3.2 Directrices para la elección de la TREMA 5.3.3 Significado del valor presente neto 5.3.4 Valor futuro neto y diagrama del saldo del proyecto 5.3.5 Método del costo capitalizado 168 168 172 175 177 180 5.4 Métodos para comparar alternativas mutuamente excluyentes 5.4.1 No hacer nada es una opción de decisión 5.4.2 Proyectos de servicio y proyectos de ganancias 5.4.3 El periodo de análisis iguala las vidas de los proyectos 5.4.4 El periodo de análisis difiere de las vidas de los proyectos 182 182 183 184 186 Resumen 192 Problemas 192 Capítulo 6 Análisis del valor anual equivalente 208 6.1 Criterio del valor anual equivalente 6.1.1 Beneficios del análisis AE 6.1.2 Costos de capital (propiedad) contra costos de operación 210 214 214 6.2 Aplicación del análisis de valor anual 6.2.1 Cálculo de ganancias unitarias y costos unitarios 6.2.2 Decisión de fabricar o comprar 218 218 221 6.3 Comparación de proyectos mutuamente excluyentes 6.3.1 El periodo de análisis es igual a las vidas de los proyectos 6.3.2 El periodo de análisis difiere de la vida de los proyectos 224 224 228 xiv CONTENIDO Resumen 232 Problemas 232 Capítulo 7 Análisis de la tasa de retorno 248 7.1 Tasa de retorno 7.1.1 Rendimiento sobre la inversión 7.1.2 Rendimiento sobre el capital invertido 250 250 251 7.2 Métodos para obtener la tasa de retorno 7.2.1 Inversiones simples contra inversiones no simples 7.2.2 Métodos numéricos 252 252 254 7.3 Criterio de la tasa interna de retorno 7.3.1 Relación con el análisis del VP 7.3.2 Regla de decisión para inversiones simples 7.3.3 Reglas de decisión para inversiones no simples 260 260 261 265 7.4 Análisis incremental para comparar alternativas mutuamente excluyentes 7.4.1 Errores en la clasificación de proyectos usando TIR 7.4.2 Análisis de inversión incremental 7.4.3 Manejo de vidas de servicio diferentes 267 267 268 274 Resumen 276 Problemas 277 Capítulo 7A Resolución de múltiples tasas de retorno 292 7A-1 Prueba de la inversión neta 292 7A-2 Necesidad de una tasa de interés externa 294 7A-3 Cálculo del rendimiento sobre el capital invertido en inversiones mixtas 295 PARTE 3 DESARROLLO DE FLUJOS DE EFECTIVO DE PROYECTOS 301 Capítulo 8 8.1 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta 302 Depreciación contable 8.1.1 Propiedad depreciable 8.1.2 Base de costo 8.1.3 Vida útil y valor de rescate 8.1.4 Métodos de depreciación: depreciación contable y fiscal 304 304 304 305 307 Contenido xv 8.2 Métodos de depreciación contable 8.2.1 Método de línea recta 8.2.2 Método del saldo decreciente (SD) 8.2.3 Método de unidades de producción 307 308 309 314 8.3 Métodos de depreciación fiscal 8.3.1 Periodos de recuperación del SMRAC 8.3.2 Depreciación SMRAC: propiedad personal 8.3.3 Depreciación SMRAC: propiedad inmobiliaria 315 316 317 321 8.4 Cómo determinar el “beneficio contable” 8.4.1 Manejo de los gastos de depreciación 8.4.2 Cálculo de los ingresos netos 8.4.3 Flujo de efectivo de operación contra ingreso neto 323 323 323 326 8.5 Impuestos corporativos 8.5.1 Impuestos sobre la renta sobre el ingreso de operación 8.5.2 Impuestos por ganancias sobre la baja de activos 329 329 331 Resumen 334 Problemas 336 Capítulo 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 346 9.1 Comprensión de los elementos de costo de un proyecto 9.1.1 Clasificación de costos en ambientes de manufactura 9.1.2 Clasificación de costos para estados financieros 9.1.3 Clasificación de costos para predecir el comportamiento del costo 348 348 349 351 9.2 ¿Por qué necesitamos usar flujos de efectivo en el análisis económico? 355 Tasa de impuesto sobre la renta que debe usarse en la evaluación del proyecto 356 9.4 Flujos de efectivo incremental derivados de un proyecto 9.4.1 Actividades de operación 9.4.2 Actividades de inversión 9.4.3 Actividades financieras 358 358 358 359 9.5 Elaboración de estados de flujos de efectivo de proyectos 9.5.1 Cuando los proyectos requieren sólo actividades operativas y de inversión 9.5.2 Proyectos financiados con fondos crediticios 359 360 364 9.6 Efectos de la inflación sobre los flujos de efectivo del proyecto 9.6.1 Asignación de depreciación en un contexto inflacionario 9.6.2 Manejo de tasas de inflación múltiples 366 366 370 9.7 Tasa de descuento a ser usada en el análisis económico después de impuestos: costo de capital 9.7.1 Costo del capital accionario 9.7.2 Costo de la deuda 9.7.3 Cálculo del costo de capital 371 372 374 375 9.3 xvi CONTENIDO 9.7.4 Selección de una TREMA en el análisis de flujo de efectivo después de impuestos 377 Resumen 378 Problemas 379 Capítulo 10 Cómo manejar la incertidumbre de los proyectos 398 10.1 Orígenes del riesgo del proyecto 400 10.2 Métodos para describir el riesgo de un proyecto 10.2.1 Análisis de sensibilidad 10.2.2 Análisis de sensibilidad para alternativas mutuamente excluyentes 10.2.3 Análisis de equilibrio 10.2.4 Análisis de escenarios 401 401 405 408 410 10.3 Integración del riesgo en la evaluación de inversiones 10.3.1 Enfoque probabilístico 10.3.2 Enfoque de la tasa de descuento ajustada al riesgo 412 413 422 10.4 Estrategias de inversión en contextos de incertidumbre 10.4.1 Relación entre riesgo y recompensa 10.4.2 Una diversificación más amplia reduce el riesgo 10.4.3 Una diversificación más amplia aumenta el rendimiento esperado 423 423 424 424 Resumen 427 Problemas 428 PARTE 4 TEMAS ESPECIALES DE INGENIERÍA ECONÓMICA 443 Capítulo 11 Decisiones de sustitución 444 11.1 Fundamentos del análisis de sustitución 11.1.1 Terminología y conceptos básicos 11.1.2 Enfoques para comparar el defensor y el retador 446 446 449 11.2 Vida de servicio económica 453 11.3 Análisis de sustitución cuando el periodo de servicio requerido es largo 458 11.3.1 Suposiciones necesarias y marcos de decisión 458 11.3.2 Manejo de problemas de vidas de servicio diferentes en el análisis de sustitución 459 11.3.3 Estrategias de sustitución con horizonte de planeación infinito 460 11.4 Análisis de sustitución considerando impuestos 466 Resumen 473 Problemas 474 Contenido xvii Capítulo 12 Análisis de costo-beneficio 488 12.1 Evaluación de proyectos públicos 12.1.1 Valoración de beneficios y costos 12.1.2 Beneficios de los usuarios 12.1.3 Costos para el promotor 12.1.4 Tasa de descuento social 490 491 491 492 492 12.2 Análisis de costo-beneficio 12.2.1 Definición de la razón entre costo y beneficio 12.2.2 Análisis incremental de la razón B/C 494 494 496 12.3 Estudio de caso: Análisis de costo-beneficio para una carretera en el estado de Minnesota 12.3.1 Definición del caso base y las alternativas propuestas 12.3.2 Beneficios para el usuario 12.3.3 Costos para el promotor 12.3.4 Ilustración del caso 500 501 501 502 502 Resumen 508 Problemas 509 Capítulo 13 Cómo entender los estados financieros 516 13.1 Contabilidad: la base de la toma de decisiones 518 13.2 Estatus financiero de un negocio 13.2.1 El balance general 13.2.2 Estado de ingresos 13.2.3 El cuadro de flujos de efectivo 519 521 525 528 13.3 Uso de los indicadores para tomar decisiones de negocios 13.3.1 Análisis de la administración de deudas 13.3.2 Análisis de liquidez 13.3.3 Análisis de la administración de activos 13.3.4 Análisis de rentabilidad 13.3.5 Análisis del valor de mercado 13.3.6 Limitaciones de los indicadores financieros en las decisiones de negocios 13.3.7 Dónde obtenemos la información financiera más actualizada 532 533 534 535 537 539 540 540 Resumen 541 Problemas 542 xviii CONTENIDO Apéndice A Preguntas de autodiagnóstico con respuestas Apéndice B Factores de interés para la capitalización discreta 581 Apéndice C La función de distribución normal estándar acumulativa Índice 615 611 551 Estudio del dinero y su administración P A R T E I UNO CAPÍTULO Decisiones de ingeniería económica Vender sonido: Bose sabe1 A finales de la década de 1980, el personal de ventas de Bose® Corporation iba de puerta en puerta para demostrar los altavoces de la compañía, presentándolos como equipos que reproducían un sonido fiel sin ser tan voluminosos como otros sistemas. “Tenía usted que oírlo para creerlo”, asegura el presidente de Bose, Bob Maresca. Muchas personas oyeron y creyeron. Y muchos lo siguen haciendo. Bose® calificó, con una gran ventaja, como la más confiable entre 22 marcas de tecnología ampliamente conocidas, adelante de pesos completos como Apple Inc., Microsoft® Corporation Inc., DellMR, Intel® Corporation y Sony Corporation of America. ¿Quién está detrás de esta historia de éxito? El doctor Amar G. Bose, profesor del MIT y presidente de la compañía fabricante de altavoces Bose Corporation, desafió la sabiduría convencional de la electrónica de consumo. Bose creció en la pobreza en Filadelfia, ciudad adonde su padre emigró desde India y en la que trabajó como importador hasta que perdió el negocio durante la Segunda Guerra Mundial. Mientras su madre trabajaba como profesora, Amar Bose estableció, a la edad de 14 años, un negocio de reparación de aparatos de radio en el sótano de su casa; este negocio pronto se convertiría en el sostén principal de la familia. Bose entró al MIT para nunca irse y obtuvo su doctorado en 1956. La historia de Bose En 1964 el doctor Amar G. Bose se dio a la tarea de proveer una mejor calidad de sonido apoyado en la investigación. Kharif, Olga, “Technology”, BusinessWeek Oneline, 15 de mayo de 2006, derechos reservados por Vault, Inc., 2007. 1 2 Como recompensa por haber terminado su investigación, decidió comprar un sistema de sonido estéreo. Aunque había leído las especificaciones de ingeniería, estaba profundamente decepcionado con su adquisición. Después de reflexionar sobre por qué algo que se veía tan bien en el papel sonaba tan mal al hacerlo funcionar, el doctor Bose concluyó que la respuesta tenía que ver con la direccionalidad. En una sala de conciertos, las ondas sonoras irradian hacia fuera de los instrumentos y rebotan en las paredes hacia el público. Por el contrario, los altavoces domésticos dirigían el sonido sólo hacia delante. Así, el doctor Bose comenzó a trabajar en el desarrollo de un altavoz casero que pudiera reproducir la experiencia de un concierto.2 En 1964 fundó Bose® Corporation,2 y cuatro años más tarde lanzó al mercado su primer altavoz de éxito, el 901®. Con base en el principio del sonido reflejado, el altavoz hace rebotar el sonido en paredes y techos para rodear al oyente. En 1968, Bose fue el primero en utilizar el sonido reflejado en un esfuerzo por llevar la calidad de las salas de concierto a los sistemas de altavoces caseros. Una década más tarde convenció a la compañía General Motors para que le permitiera diseñar un sistema de altavoces de alta calidad para el Cadillac Seville, ayudando así a que los estéreos para automóviles salieran de la mediocridad.3 Catorce años de investigación concluyeron en el desarrollo de la tecnología de altavoces que funcionaran como guías de onda acústicas, lo que desembocó en los sistemas de música Wave® y Acoustic Wave®. El lanzamiento de los equipos Acoustimass® combinó el sonido de alta fidelidad con los altavoces en miniatura (lo suficientemente pequeños para caber en la palma de la mano). En la actualidad, Bose® también ofrece equipos de música domésticos y para teatro a través de su línea de productos Lifestyle®, la cual incluye reproductores de discos compactos, reproductores de DVD, audífonos, altoparlantes para exteriores y para navegación, así como el SoundDock®, un sistema diseñado especialmente para el iPod® de Apple®. La oficina central de la compañía se localiza fuera de Boston y tiene plantas manufactureras en Estados Unidos, México e Irlanda, además de contar con subsidiarias en China e India, redes de ventas y distribución alrededor de todo el mundo, y más de 150 puntos de venta al detalle. Bulkeley, William M., “Bose Packs Concert Acoustics into Home-Speaker Systems”, The Wall Street Journal, 31 de diciembre de 1996. 3 Cortesía de Bose® Corporation, historia de la compañía en http://www.bose.com 2 3 4 CAPÍTULO 1 Decisiones de ingeniería económica Como resultado de su proceso de expansión, Bose se ha convertido en el fabricante número uno de altavoces, con ventas anuales por más de $1800 millones,* y en una de las pocas firmas estadounidenses en vencer a los japoneses en la venta de productos electrónicos de consumo. En 2006 su éxito llevó al doctor Bose a figurar en el listado de los 400 estadounidenses más ricos de la revista Forbes (ocupó el lugar 242), con un patrimonio neto estimado en $1500 millones.4 L a historia de cómo Amar Bose tuvo la motivación para inventar un altavoz direccional casero y transformar su invento en un negocio multimillonario no es poco común en el mercado actual. Firmas como GoogleMR Inc., Dell®, Microsoft® y Yahoo!® Inc. generan productos informáticos con valores de mercado de varios miles de millones de dólares. Todas estas compañías fueron fundadas por jóvenes estudiantes universitarios altamente motivados, al igual que Amar Bose. Otra cosa que tienen en común todos estos negocios de éxito es que cuentan con ingenieros capaces e imaginativos que constantemente generan buenas ideas para la inversión de capital, las llevan a la práctica de forma adecuada y obtienen buenos resultados. Quizás usted se pregunte qué papel desempeñan estos ingenieros en el momento de tomar tales decisiones de negocios. En otras palabras, ¿qué tareas específicas se asignan a esos ingenieros, y qué herramientas y técnicas tienen a su disposición para tomar las decisiones sobre la inversión de capital? En este libro consideraremos muchas situaciones de inversión, tanto personales como de negocios. No obstante, el enfoque se centrará en evaluar los proyectos de ingeniería de acuerdo con su factibilidad económica y a la luz de las situaciones de inversión a las que se enfrenta comúnmente una compañía. 1.1 El proceso racional de la toma de decisiones Todos nosotros, ya sea como individuos o gente de negocios, constantemente tomamos decisiones en nuestra vida diaria, casi siempre de manera automática, es decir, sin reconocer en forma consciente que en realidad seguimos algún tipo de diagrama de flujo de decisión lógico. La toma de decisiones racional puede ser un proceso complejo que contiene ciertos elementos esenciales. En vez de presentar procesos racionales y rígidos de toma de decisiones, daremos ejemplos de cómo dos estudiantes de ingeniería enfrentaron sus problemas financieros y de diseño técnico. Revisar tales ejemplos nos permitirá identificar algunos elementos esenciales comunes a cualquier proceso racional de toma de decisiones. El primer ejemplo ilustra cómo una estudiante, Alice, analizó dos opciones al momento de rentar un automóvil. El segundo ejemplo ilustra cómo una idea para un proyecto de clase puede evolucionar y cómo una estudiante llamada Sonya enfocó el problema de diseño siguiendo un método lógico de análisis. 1.1.1 ¿Cómo tomamos las decisiones personales cotidianas? Para Alice Block, estudiante del último año de la Universidad de Arizona, el futuro incluye un automóvil nuevo. Su Saturn 1998 ha recorrido casi 120,000 millas, por lo que desea reemplazarlo pronto. Pero, ¿cómo hacerlo? ¿Le conviene comprar un auto o rentarlo? En cualquier caso, “los pagos del automóvil serían onerosos”, pensó la estudiante de ingeniería, quien trabaja como cajera de medio tiempo en un supermercado local. “Nunca he rentado un automóvil, pero esta vez me inclino por esta opción para ahorrar en el enganche (pago inicial). Tampoco deseo preocuparme por las reparaciones mayores”, *En esta obra el signo $ representa dólares estadounidenses, a menos que se especifique otra unidad monetaria. 4 “The 400 Richest Americans”, Forbes.com, 21 de septiembre de 2006, en www.Forbes.com 1.1 El proceso racional de la toma de decisiones 5 dijo. Para Alice, rentar un auto le daría la garantía de protección que deseaba, además de la posibilidad de contar con un vehículo nuevo cada tres años. Por otra parte, estaría limitada a conducir sólo un número específico de millas, normalmente 12,000 por año, después de las cuales tendría que pagar 20 centavos o más por milla. Alice está consciente de que elegir el vehículo correcto es una decisión importante, al igual que optar por el mejor financiamiento disponible. Sin embargo, hasta el momento, Alice no está segura de las implicaciones de comprar o rentar. Determinación de la meta o el objetivo Alice decidió examinar los periódicos locales e Internet en busca de los planes de alquiler más recientes, incluyendo los convenios de subsidio y los paquetes especiales de incentivos que ofrecen los fabricantes. De los autos que estaban dentro de su presupuesto, el Saturn ion 3 Sedan 2007 y el Honda Civic Coupe dx 2007 parecían ser igualmente atractivos en términos de estilo, precio y opciones. Alice finalmente se decidió a visitar las agencias automotrices para ver de cerca ambos modelos y hacer una prueba de manejo. La experiencia de manejar ambos fue muy satisfactoria. Alice pensó que sería importante examinar con cuidado muchas características técnicas y de seguridad de los automóviles. Tras su inspección, parecía que los dos modelos eran casi idénticos en cuanto a confiabilidad, seguridad, características y calidad. Evaluación de las alternativas factibles Alice pensó que su Saturn 1998 podría venderse por alrededor de $2000. Tal cantidad sería apenas suficiente para pagar el depósito requerido para rentar el automóvil nuevo. A través de su investigación, Alice descubrió que existen dos tipos de arrendamiento: puro y financiero. El de mayor aceptación, por mucho, es el financiero, porque el arrendamiento puro expone al consumidor a pagos posiblemente más elevados al final del periodo de arrendamiento si el vehículo se deprecia más rápido de lo esperado. En cambio, si Alice se decidiera por un arrendamiento financiero, sólo tendría que devolver el auto al finalizar el periodo convenido para luego rentar o comprar otro vehículo; sin embargo, de todas formas tendría que pagar el millaje extra, el desgaste o los daños del vehículo. Pensó que, ya que era una conductora precavida, los cargos al final del arrendamiento no serían un problema para ella. Para conseguir el mejor trato posible, Alice obtuvo algunos datos financieros de las mejores ofertas de ambos concesionarios. Con cada oferta, sumó todos los costos de alquiler, desde el pago inicial solicitado hasta la cuota por disposición a pagar al final del periodo de arrendamiento. El resultado determinaría el costo total de la renta de ese vehículo, sin contar los gastos de rutina como los cambios de aceite y los servicios de mantenimiento. (Véase la tabla 1.1 para una comparación de los costos de ambas ofertas.) Parecía que con el Saturn ion 3 Sedan, Alice podría ahorrar alrededor de $386 en el total de los pagos de arrendamiento [47 ⫻ $22 de ahorro en el pago de renta mensual, menos $648 al momento de firmar (incluyendo los ahorros del primer mes de renta)] sobre el Honda Civic. Además, ahorraría $250 sobre la cuota por disposición (que el Saturn no tenía), para obtener un ahorro total de $636.5 Sin embargo, si tuviera que conducir millas adicionales, su ahorro se reduciría en cinco centavos (la diferencia entre los recargos por millaje de ambos autos) por cada milla adicional. Alice necesitaría conducir alrededor de 12,720 millas adicionales más allá del límite para perder todo lo ahorrado. Puesto que no era posible anticipar sus necesidades exactas de manejo después de graduarse, su conclusión fue rentar el Honda Civic DX. 5 Si Alice considerara el valor temporal del dinero en su comparación, la suma del ahorro real sería menor que $636, lo que se demostrará en el capítulo 2. 6 CAPÍTULO 1 Decisiones de ingeniería económica TABLA 1.1 Datos financieros para el arrendamiento de automóviles: Saturn contra Honda Arrendamiento de automóviles Saturn 1. Precio al menudeo sugerido por el fabricante (PMSF) $18,994 2. Duración del arrendamiento 3. Millaje permitido 4. Pago de renta mensual 5. Recargo por sobrepasar las 36,000 millas 6. Cuota por disposición al finalizar el arrendamiento Diferencia Saturn – Honda Honda $18,335 ⫹$659 48 meses 48 meses 48,000 millas 48,000 millas $233 $255 ⫺$22 $0.20 por milla $0.15 por milla ⫹$0.05 por milla $0 $250 ⫺$250 $243 $255 7. Total a pagar al momento de firmar: • Primer pago de renta mensual • Pago inicial $1200 $1000 • Cuota administrativa $495 $0 • Depósito de garantía reembolsable $200 $235 $2138 $1490 Total ⫹$648 • Modelos comparados: Saturn ion 3 Sedan 2007, con transmisión automática y aire acondicionado, y Honda Civic Coupe dx 2007, con transmisión automática y aire acondicionado. • Cuota por disposición: cargo por papeleo por tener listo el vehículo para su reventa después de finalizar el arrendamiento. Desde luego, cualquier ahorro monetario sería importante, aunque prefirió tener algo de flexibilidad en sus futuras necesidades de conducción. Consideración de las demás oportunidades Si Alice se hubiera interesado por comprar el automóvil, habría sido un mayor reto determinar con precisión si le convenía más comprar que rentar. Para realizar una comparación entre rentar y comprar, Alice hubiera podido considerar lo que probablemente pagaría por el mismo vehículo en ambos escenarios. Si fuera la dueña del automóvil durante un periodo determinado, en vez de rentarlo, podría venderlo y utilizar ese ingreso para pagar cualquier préstamo pendiente. Si las finanzas fueran su única consideración, su decisión dependería de los detalles del trato. Pero más allá de las finanzas, necesitaría considerar las ventajas y desventajas de sus preferencias personales. Al rentar, nunca experimentaría la felicidad del último pago, pero tendría un automóvil nuevo cada tres años. Revisión del proceso de toma de decisión de Alice Ahora podemos analizar el proceso de toma de decisiones de una manera más estructurada. Podemos pensar que el análisis incluye los seis pasos resumidos en la figura 1.1. Estos seis pasos se conocen como “el proceso racional de toma de decisiones”. Desde luego, no siempre seguimos los seis pasos en cada problema de decisión. Algunos problemas de decisión no requerirán tanto de nuestro tiempo y esfuerzo. A menudo, tomamos decisiones sólo por razones emocionales. Sin embargo, para cualquier problema complejo de decisión económica, un marco de decisión estructurado como el que presentamos aquí resulta de gran utilidad. 1.1 El proceso racional de la toma de decisiones 7 1. Reconocer un problema de decisión Necesidad de un automóvil 2. Definir metas u objetivos Deseo de seguridad mecánica y un costo bajo 3. Recabar toda la información importante Recopilación de datos técnicos y financieros 4. Identificar un conjunto de alternativas de decisión factibles Selección entre Saturn y Honda 5. Seleccionar el criterio de decisión a seguir Deseo de un desembolso de efectivo total mínimo para satisfacer las necesidades de conducción 6. Elegir la mejor alternativa Elección del Honda Figura 1.1 Pasos lógicos a seguir en la decisión de arrendar un automóvil 1.1.2 ¿Cómo enfrentamos un problema de diseño técnico? Los conceptos de diseño y desarrollo son lo que distingue primordialmente a la ingeniería de la ciencia; esta última se aboca sobre todo a comprender el mundo tal y como es. Las decisiones que se toman durante la fase de diseño técnico del desarrollo de un producto determinan la mayoría de los costos de manufactura de ese producto. Conforme los procesos de diseño y manufactura se vuelven más complejos, se necesitará que el ingeniero tome cada vez más decisiones que implican dinero. En esta sección presentamos un ejemplo de cómo los ingenieros pasan de las ideas a la acción. La historia que relatamos de cómo una estudiante de ingeniería eléctrica enfrentó su problema de diseño y ejerció su juicio tiene mucho que enseñarnos sobre algunas de las características fundamentales de la actividad humana conocida como toma de decisiones de ingeniería.6 Concepción de una idea: La necesidad es la madre de la invención La mayoría de los consumidores aborrecen las bebidas tibias, en especial durante los calurosos días de verano. A lo largo de la historia, la necesidad ha sido la madre de la invención. Como ejemplo de ello, hace varios años, Sonya Talton, una estudiante de ingeniería eléctrica en la Universidad Johns Hopkins, tuvo una idea revolucionaria: ¡inventar una lata de bebida refrescante autoenfriable! Imagine esto: es una de esas tardes sofocantes y brumosas de agosto. Sus amigos y usted han organizado un día de campo a las orillas del lago. Juntos, sacan los artículos que llevaron: mantas, un radio, filtro solar, emparedados, papas fritas y bebidas refrescantes. Usted limpia el sudor de su cuello, toma una botella de bebida refrescante y se da cuenta de que está casi a la misma temperatura que la tarde, 32°C. ¡Gran comienzo! Todos se mueren por ir a la tienda por hielo. ¿Por qué a nadie se le ocurre inventar un envase de bebidas refrescantes que pueda enfriarse a sí mismo? Planteamiento de las metas y los objetivos del diseño Sonya decidió adoptar el tema del envase para bebidas refrescantes que se puede enfriar a sí mismo como un proyecto escolar para su curso de diseño técnico. El profesor hizo 6 1991 Annual Report, Escuela de Ingeniería GWC Whiting, Universidad Johns Hopkins; materiales utilizados con permiso. 8 CAPÍTULO 1 Decisiones de ingeniería económica hincapié en el pensamiento innovador y alentó a los estudiantes a considerar conceptos prácticos, pero novedosos. Lo primero que Sonya necesitaba hacer era establecer algunas metas para el proyecto: • Enfriar la bebida refrescante tanto como fuera posible, en el menor tiempo posible. • Mantener simple el diseño del envase. • Mantener el tamaño y el peso del envase recién diseñado similares a los de la lata tradicional de bebidas refrescantes. (Este factor permitiría que las compañías de bebidas refrescantes utilicen las máquinas expendedoras y el equipo de almacenamiento existentes). • Mantener bajos los costos de producción. • Hacer el producto ambientalmente seguro. Evaluación de las alternativas de diseño Con estos objetivos en mente, Sonya debía pensar en alguna forma práctica y a la vez innovadora de enfriar la lata. El hielo era la opción obvia, práctica pero no innovadora. Sonya tuvo una gran idea: ¿Qué tal una bolsa de hielo químico? Sonya se preguntó qué tendría que haber dentro de esa bolsa de hielo. La respuesta a la que llegó fue nitrato de amonio (NH4NO3) y un saquito de agua. Cuando se aplica presión a la bolsa de hielo químico, el saco de agua se rompe y se mezcla con el NH4NO3, creando una reacción endotérmica (la absorción de calor). El NH4NO3 extrae el calor de la bebida, lo que hace que ésta se enfríe. (Véase la figura 1.2.) ¿Cuánta agua debe haber en el saco? La primera cantidad que Sonya intentó fue 135 ml. Después de varias pruebas con diferentes cantidades de agua, Sonya encontró que podría enfriar la lata de bebida refrescante de 26°C a 8°C en un lapso de tres minutos. La cantidad de agua requerida era aproximadamente de 115 ml. Ahora necesitaba determinar qué tanto se enfría una bebida refrescante refrigerada como una base para la comparación. Colocó una lata en el refrigerador por dos días y encontró que se enfrió a 5°C. La idea de Sonya era definitivamente factible. Pero, ¿era viable desde el punto de vista económico? Estimación de costo y precio del producto En la clase de diseño que cursa Sonya, discutieron la importancia de la factibilidad económica en el proceso de diseño técnico. El profesor subrayó la importancia de las encuestas de marketing y los análisis de costo-beneficio como formas de evaluar el potencial de un producto. Para determinar la comerciabilidad de su lata autoenfriable, Sonya encuestó a cerca de 80 personas. Les hizo sólo dos preguntas: qué edad tenían y cuánto estarían dispuestos a pagar por una lata autoenfriable de bebida refrescante. El grupo de menores de 21 años estaba dispuesto a pagar más, 84 centavos en promedio. El grupo de 40 años o más quería pagar sólo 68 centavos en promedio. En general, un miembro promedio del grupo encuestado estaría dispuesto a gastar 75 centavos en una lata autoenfriable de bebida refrescante. (Este estudio no fue precisamente una encuesta científica de marketing, pero sí le dio a Sonya una idea de cuál sería un precio razonable para su producto.) El siguiente obstáculo era determinar el costo de producción actual de una lata tradicional de bebida refrescante. También tenía que determinar cuánto más costaría producir la lata autoenfriable. ¿Sería rentable? Fue a la biblioteca y encontró el costo por volumen de las sustancias químicas y los materiales que necesitaría. Después calculó cuánto dinero requeriría para la producción de una lata autoenfriable. ¡No lo podía creer! Fabricar una lata de bebida refrescante cuesta únicamente 12 centavos, incluyendo la transportación. Su lata autoenfriable costaría 2 o 3 centavos más. No estaba mal, considerando que el consumidor promedio estaba dispuesto a pagar hasta 25 centavos más por la lata autoenfriable que por la tradicional. 1.1 El proceso racional de la toma de decisiones 9 l l i h C Can Figura 1.2 Diseño conceptual para la lata autoenfriable de bebida refrescante Consideración de la ingeniería verde Las únicas dos restricciones que quedaban por considerar eran la posible contaminación química de la bebida refrescante y el carácter reciclable. Teóricamente, debería ser posible construir una máquina que drenara la solución de la lata y la recristalizara. Así, el nitrato de amonio podría reutilizarse en latas de bebidas refrescantes en el futuro; además, el recubrimiento plástico exterior podría reciclarse. La contaminación química de la bebida refrescante, la única restricción que faltaba por considerar, era un verdadero problema. Por desgracia, no había manera de asegurar que la sustancia química y la bebida nunca estarían en contacto dentro de las latas. Para calmar los miedos de los consumidores, Sonya decidió que era posible agregar a la lata un indicador de color u olor para alertar al consumidor sobre la contaminación en el caso de que ésta ocurriera. ¿Cuál es la conclusión de Sonya? El envase de bebidas (lata) autoenfriable sería un avance tecnológico maravilloso. El producto sería adecuado para llevar a la playa, días de 10 CAPÍTULO 1 Decisiones de ingeniería económica campo, actividades deportivas y parrilladas. Su diseño incorporaría la comodidad para el consumidor, a la vez que consideraría los asuntos ambientales. Sería innovador, pero no caro, además de que tendría un efecto tanto económico como social en la sociedad. 1.1.3 ¿Qué hace que las decisiones económicas sean diferentes de las otras decisiones de diseño? Las decisiones económicas difieren de manera fundamental de los tipos de decisiones que por lo común se requieren en el diseño técnico. En una situación de diseño, el ingeniero utiliza propiedades físicas conocidas, los principios de química y física, las correlaciones de diseños técnicos, así como el criterio de ingeniería para llegar a un diseño factible y óptimo. Si el criterio es contundente, los cálculos se hacen correctamente e ignoramos avances tecnológicos potenciales, el diseño es invariable con el tiempo. En otras palabras, si el diseño técnico para cubrir una necesidad en particular se hace hoy, el próximo año o dentro de cinco años, el diseño final no necesitará cambiar sustancialmente. Al considerar decisiones económicas, la medición del atractivo de la inversión, que es el tema de este libro, es relativamente sencilla. Sin embargo, la información requerida en estas evaluaciones siempre implica predicciones o pronósticos, ventas de productos, precio de venta de productos y diversos costos en un marco de tiempo a futuro, cinco años, 10 años, 25 años o algún otro. Todos estos pronósticos tienen dos cosas en común. Primero, nunca son completamente precisos cuando se comparan con los valores reales que se presentan en el futuro. Segundo, una predicción o un pronóstico que se hace hoy quizá sea diferente del que se hará en algún momento en el futuro. Es esta visión siempre cambiante del futuro lo que puede hacer necesario revisar y hasta modificar decisiones económicas previas. Así, a diferencia de los resultados de diseño técnico, las conclusiones obtenidas a través de la evaluación económica no son necesariamente invariables con el tiempo. Las decisiones económicas deben basarse en la mejor información disponible en el momento de la decisión y una plena comprensión de la incertidumbre en los datos pronosticados. 1.2 El papel del ingeniero en los negocios ¿Cuál es el papel que desempeñan los ingenieros dentro de una compañía? ¿Qué tareas específicas se asignan al personal de ingeniería, cuáles herramientas y técnicas tienen a su disposición para aumentar las ganancias de una compañía? Se solicita que los ingenieros participen en una serie de procesos de toma de decisiones, que van desde manufactura y marketing hasta decisiones financieras. No obstante, restringiremos nuestro enfoque a diversas decisiones económicas relacionadas con los proyectos de ingeniería. Nos referiremos a estas decisiones como decisiones de ingeniería económica. 1.2.1 Toma de decisiones sobre gastos de capital En la manufactura, la ingeniería está implicada en cada detalle de la producción de bienes, desde el diseño conceptual hasta el embarque. De hecho, las decisiones de ingeniería representan la mayor parte (digamos un 85%) de los costos del producto. Los ingenieros deben considerar la efectiva utilización de los activos de capital como edificios y maquinaria. Una de las tareas principales del ingeniero es planear la adquisición de equipo (gasto o inversión de capital) que permitirá que la empresa diseñe y fabrique los productos de manera económica. (Véase la figura 1.3.) 1.2 El papel del ingeniero en los negocios 11 Decisiones de ingeniería económica Manufactura Diseño Ganancias Planeación Inversión Marketing Figura 1.3 Una de las funciones principales de los ingenieros: tomar decisiones con respecto a la elaboración de presupuestos Con la compra de cualquier activo fijo —equipo, por ejemplo—, necesitamos calcular las ganancias (los flujos de efectivo, para ser precisos) que el activo generará durante su periodo de servicio. En otras palabras, habrá que tomar decisiones de gastos de capital con base en predicciones sobre el futuro. Suponga, por ejemplo, que usted está considerando comprar una máquina cortadora y así cubrir por anticipado la demanda de bujes y casquillos usados en la producción de embragues. Usted espera que la máquina dure 10 años. Tal decisión de compra implica, por lo tanto, un pronóstico implícito de ventas de 10 años de los embragues, lo que significa que necesitará esperar un largo periodo para saber si la compra fue justificada. Una estimación imprecisa de las necesidades de activos puede tener consecuencias serias. Si usted invierte demasiado en activos, incurre en gastos innecesariamente grandes. Gastar muy poco en activos fijos también es peligroso, ya que entonces el equipo de su compañía podría ser demasiado obsoleto para fabricar productos de manera competitiva; además, sin una adecuada capacidad, usted perdería una porción de su participación de mercado y la cedería a compañías rivales. Recuperar clientes perdidos implica grandes gastos de marketing y quizás amerite hacer reducciones de precios o mejoras en el producto, dos prácticas costosas. 1.2.2 Decisiones de ingeniería económica a gran escala Las decisiones económicas que toman los ingenieros en los negocios difieren muy poco de las que tomó Sonya cuando diseñó la lata de bebida refrescante autoenfriable, excepto por la escala del asunto. Consideremos un problema mucho mayor de decisión de ingeniería del mundo real. La necesidad de comercializar etanol celulósico se hace más evidente conforme Estados Unidos se aleja de su dependencia de petróleo extranjero. 12 CAPÍTULO 1 Decisiones de ingeniería económica Voyager Ethanol, LLC en Emmetsburg, Iowa, anunció que planea construir una planta biorrefinadora de escala comercial de $200 millones con capacidad para producir 125 millones de galones por año.7 El diseño requiere utilizar tecnologías avanzadas de fraccionamiento de maíz y conversión de materia leñosa para producir etanol a partir de la fibra y los tallos del maíz a principios de 2007, con un tiempo de producción comercial establecido en 30 meses. Una vez construida, la planta producirá 11% más de etanol a partir de una fanega de maíz y 27% más de etanol de un acre de maíz, utilizando 83% menos de energía que una planta tradicional que convierte el maíz en etanol. Voyager Ethanol comenzó operaciones en marzo de 2005. Además de producir aproximadamente 125 millones de galones de etanol por año después de la expansión, la planta de Voyager producirá 100,000 toneladas de germen de maíz dorado deshidratado de Dakota (Dakota Gold Corn Germ DehydratedMR) y 120,000 toneladas de maíz dorado de alta proteína de Dakota (Dakota Gold HPMR), producidas anualmente como coproductos de alimento para el ganado.7 En la figura 1.4 se ilustra el proceso conceptual para producir etanol celulósico similar al de Voyager Ethanol. Trituradora de martillo Destiladora Tanque de cieno Caldera Captura de etanol Enzimas Producción de maíz Fermentadora Tamiz molecular Enzimas Vaporera Grano residual Biorreactor Producción de celulosa Centrifugador Lignina Vapor Secadora de tambor Planta de cogeneración Alimento para ganado Electricidad a la parrilla Figura 1.4 Etanol producido a partir de granos o tallos de maíz. Los pasos iniciales para convertir maíz o celulosa en etanol difieren de manera significativa. El maíz se tritura, se cuece y se machaca antes de introducirlo en una máquina agitadora. La celulosa se pasa por vapor para exponer las fibras que después las enzimas convierten en azúcares en un biorreactor. Las compañías todavía están en busca de biorreacciones que sean eficientes a gran escala, pero una recompensa es la lignina que queda, la cual puede quemarse para cogenerar vapor y electricidad. La destilación de cualquiera de estas materias primas genera granos residuales, un subproducto valioso que puede convertirse en alimento para ganado. (Fuente: Matthew L. Wald, Is Ethanol for the Long Haul?, Scientific American, enero de 2007, volumen 296, núm. 1, pp. 42-49. Impreso con permiso de Scientific American, www.sciam.com) 7 “$200 M Cellulose-to-Ethanol Production Facility Planned in Iowa”, 22 de noviembre de 2006. En 2009, las empresas Broin convertirán una planta de molino en seco para producir etanol en una biorrefinería, en www. RenewableEnergyAccess.com 1.2 El papel del ingeniero en los negocios 13 La obtención de etanol a partir de celulosa —tallos de maíz y la paja de granos y pastos— consume mucho menos combustible fósil que la obtención de etanol a partir de granos de maíz. Pero técnicamente, implica un reto obtener las enzimas naturales que se necesitan en el proceso de conversión para alimentar los enormes biorreactores que se requieren para la producción de un gran volumen. Aunque la administración de Voyager ha decidido construir la planta de etanol, los ingenieros implicados en la toma de la decisión de ingeniería económica todavía debaten si el costo de producir etanol sería lo suficientemente competitivo con respecto a la gasolina para justificar su producción. Como es evidente, una decisión de ingeniería económica a este nivel es más compleja y más importante para la compañía que una decisión sobre cuándo comprar un torno nuevo. Los proyectos de tal naturaleza implican gastar grandes sumas de dinero por largos periodos, además de que es difícil predecir la demanda del mercado con precisión. Un pronóstico equivocado de la demanda del producto puede tener consecuencias graves: si la demanda se sobreestima, se generarán gastos innecesarios por las materias primas y los productos terminados que no se utilicen. En el caso de Voyager Ethanol, si la tecnología de etanol de celulosa no funciona en una operación a escala comercial o si el etanol es demasiado costoso de producir para ser competitivo en el mercado, el riesgo financiero sería demasiado grande para ignorarse. 1.2.3 Repercusión de los proyectos de ingeniería sobre los estados financieros Los ingenieros deben comprender, además, el ambiente de negocios en el cual se toman las decisiones de negocios más importantes de una compañía. Es importante que un proyecto de ingeniería genere ganancias, pero el proyecto también debe fortalecer la posición financiera general de la compañía. ¿Cómo medimos el éxito de Voyager en el proyecto de etanol? ¿Se producirá suficiente etanol, por ejemplo, para generar suficientes ganancias? Si bien el proyecto de etanol permitiría sustituir importaciones de petróleo, la preocupación fundamental es su desempeño financiero a largo plazo. Sin importar el tipo de negocio, cada compañía debe producir estados financieros básicos al final de cada ciclo de operaciones (normalmente, un año). Estos estados financieros sientan las bases para el análisis de inversiones en el futuro. En la práctica, rara vez tomamos decisiones de inversión basadas sólo en un cálculo de la rentabilidad de un proyecto, ya que también habrá que considerar el efecto total del proyecto sobre la fortaleza y la posición financieras de la compañía. Por ejemplo, algunas empresas con un flujo de efectivo escaso podrían no ser capaces de soportar el riesgo de un proyecto de grandes dimensiones como del etanol, aun si es rentable. (Véase la figura 1.5.) Crear y diseñar • Proyectos de ingeniería Analizar • Métodos de producción • Seguridad de ingeniería • Efectos ambientales • Estimación del mercado Evaluar • Rentabilidad esperada • Tiempos de los flujos de efectivo • Grado de riesgo financiero Monitorear • Efecto sobre los estados financieros • Efecto sobre los estados financieros • Precio de las acciones Figura 1.5 Cómo afecta un proyecto de ingeniería exitoso el valor de mercado de una compañía 14 CAPÍTULO 1 Decisiones de ingeniería económica Suponga que usted es el presidente de Voyager Ethanol, LLC. Además, suponga que posee algunas acciones de la empresa, lo que lo convierte en uno de los muchos propietarios de la compañía. ¿Qué objetivos establecería usted para la empresa? Uno de sus objetivos debería ser incrementar el valor de la compañía para sus inversionistas (incluido usted mismo) tanto como fuera posible. Si bien todas las compañías hacen negocios esperando obtener ganancias, lo que determina el valor de mercado de una empresa no son las ganancias en sí, sino los flujos de efectivo. Después de todo, es el efectivo disponible lo que determina las inversiones futuras y el crecimiento de la compañía. El precio de mercado de las acciones de su compañía hasta cierto punto representa el valor de su compañía. Muchos factores afectan el valor de mercado de la empresa: las ganancias actuales y las que se espera obtener en el futuro, el tiempo en que se generan y la duración de estas ganancias, así como los riesgos asociados con las ganancias. Sin duda, cualquier decisión de inversión exitosa incrementará el valor de mercado de una compañía. El precio de las acciones puede ser un buen indicador de la salud financiera de su compañía y también podría reflejar la actitud del mercado sobre qué tan bien administrada está la empresa para el beneficio de sus dueños. Si a los inversionistas les agrada el proyecto de etanol, el resultado será un aumento en la demanda de las acciones de la compañía. Este aumento en la demanda, a la vez, hará que los precios de las acciones y, por ende, la fortuna de los accionistas se incrementen. Cualquier decisión de inversión exitosa en la escala del etanol tenderá a elevar los precios de las acciones de una empresa en el mercado y a promover éxitos a largo plazo. Así, cuando tomemos una decisión de un proyecto de ingeniería a gran escala, deberemos considerar el efecto posible del proyecto sobre el valor de mercado de la compañía. (Consideraremos este importante asunto en el capítulo 13.) 1.3 Tipos de decisiones de ingeniería económica La idea de un proyecto como la construcción de una planta de etanol puede originarse desde muchos niveles diferentes de una organización. Puesto que algunas ideas son buenas, y otras no, necesitamos establecer procedimientos para examinar proyectos. Muchas compañías grandes cuentan con una división especializada de análisis de proyectos en la que continuamente se buscan ideas, proyectos y empresas novedosos. Una vez que se identifican las ideas de proyecto, normalmente se clasifican como: 1. mejoras en el servicio o en la calidad, 2. nuevos productos o expansión de productos, 3. equipo y selección de procesos, 4. reducción de costos o 5. reemplazo de equipo. Tal esquema de clasificación permite a la administración enfocarse en preguntas importantes como las siguientes: ¿La planta existente puede utilizarse para alcanzar los nuevos niveles de producción? ¿La compañía posee el capital para emprender la nueva inversión? ¿La propuesta justifica el reclutamiento de nuevo personal técnico? Las respuestas a estas preguntas ayudan a las compañías a desechar propuestas que no son factibles, considerando sus recursos. El proyecto de etanol de Voyager Ethanol, LLC, representa una decisión de ingeniería algo compleja que requirió la aprobación de los altos ejecutivos y de la junta de directores. Casi todos los grandes negocios en algún momento enfrentan decisiones de inversión de esta magnitud. En general, cuanto mayor sea la inversión, más detallado será el análisis que se requiere para sustentar el gasto. Por ejemplo, los gastos para incrementar la producción de los productos existentes o para fabricar un nuevo producto invariablemente requerirían una justificación económica muy detallada. Las decisiones finales sobre productos nuevos y las decisiones de marketing por lo general se toman en los niveles altos de una compañía. Por otra parte, una decisión para reparar equipo dañado se toma en un nivel más bajo de la compañía. En esta sección daremos varios ejemplos reales para ilustrar cada clase de decisión de ingeniería económica. Nuestra intención no es dar solución a cada ejemplo, sino describir la naturaleza de los problemas de decisión con los que se enfrentaría un ingeniero en el mundo real. 1.3 Tipos de decisiones de ingeniería económica 15 • Mejoras en el servicio o en la calidad: Las inversiones en esta categoría incluyen cualquier actividad que contribuya a mejorar la productividad, la calidad del producto y la satisfacción del cliente en el sector de servicio, como en el área financiera, en los servicios de salud y en las ventas al por menor. Véase la figura 1.6 para un ejemplo de una mejora en el servicio en las ventas al por menor, en donde un fabricante de jeans considera la instalación de sastres robóticos. El principal problema del fabricante es determinar cuánta demanda generaría la línea para damas. ¿Cuántos jeans necesitaría vender el fabricante para justificar el costo de más sastres? Este análisis debería incluir una comparación entre el costo por operar los sastres robóticos adicionales y las ganancias adicionales generadas por vender más jeans. El sector de servicio de la economía de Estados Unidos domina tanto el producto interno bruto (pib) como el empleo total. También es el sector de la economía con el crecimiento más rápido y el que ofrece las mayores oportunidades para mejorar la productividad. Por ejemplo, las actividades de servicio ahora representan el 80% de los empleos en Estados Unidos, lo que deja muy atrás a sectores como el manufacturero (14%) y el agrícola (2%). Nuevas actividades de servicio surgen continuamente en la economía a medida que fuerzas como la globalización, el comercio electrónico y la preocupación ambiental por la reutilización crean la necesidad de más descentralización y subcontratación de operaciones y procesos. Un vendedor toma medidas del cliente siguiendo las instrucciones de una computadora. El vendedor registra las medidas y ajusta los datos de acuerdo con la reacción del cliente ante las muestras. La información de las medidas finales se transmite a una cortadora de telas computarizada. Se colocan los códigos de barras a la prenda para rastrearla durante el resto del proceso, que incluye ensamblado y lavado. Figura 1.6 Confeccionar jeans a la medida para dama, con un nuevo sistema computarizado instalado en algunas tiendas al menudeo, permite que las mujeres ordenen sus prendas a la medida 16 CAPÍTULO 1 Decisiones de ingeniería económica • Nuevos productos o expansión de productos: Las inversiones en esta categoría son aquellas que aumentan las ganancias de una compañía si se incrementa la producción. Existen dos tipos comunes de problemas de decisión de expansión. El primer tipo incluye decisiones sobre los gastos realizados con el afán de elevar la producción de plantas fabriles o instalaciones de distribución existentes. En estas situaciones, la pregunta esencial es: “¿Debemos construir o, en todo caso, adquirir nuevas instalaciones?” Las entradas de dinero esperadas en el futuro en esta categoría de inversión son las ganancias de los bienes y servicios producidos en las nuevas instalaciones. El segundo tipo de problema de decisión incluye considerar los gastos necesarios para fabricar un nuevo producto (véase la figura 1.7) o para expandirse a una nueva zona geográfica. Estos proyectos por lo general requieren invertir grandes sumas de dinero durante largos periodos. Por ejemplo, a finales de 2005, tras siete años de investigación y desarrollo (id), que costaron cerca de $680 millones, Gillette® lanzó al mercado el primer rastrillo de cinco hojas del mundo, FusionMR,8 el lanzamiento más importante jamás visto en una compañía de bienes de consumo. Con hojas montadas sobre resortes que permitían que el rastrillo se ajustara al rostro de un hombre a la hora de afeitarse, FusionMR llevó al rastrillo a nuevas alturas. Los consumidores tendrían que desembolsar $10 por un juego de introducción de FusionMR y dos hojas, y $12 o más por un juego de cuatro hojas de repuesto. Al final, FusionMR costaría alrededor de 20 centavos por afeitada. Gillette® había lanzado en 1998 un nuevo sistema de afeitar, cuando sacó al mercado Mach3®, el primer rastrillo de tres hojas del mundo. En ese tiempo, muchos analistas se burlaban diciendo que los hombres jamás optarían por la maravilla de tres hojas, en especial porque su precio era un 25% más alto que el de Sensor Excel®, el producto más importante de Gillette® para entonces. En la actualidad, los rastrillos Mach3® dominan el mercado de Estados Unidos, con un 34% de participación de mercado, a pesar de que son los más caros. La pregunta esencial es: ¿Podrá FusionMR repetir la historia de Mach3® para convertirse en el rastrillo de mayor éxito en la historia de Gillette®? • Inversión en id: $680 millones • Promoción del producto a través de publicidad: $440 millones • Precio de venta en $12 o más por un juego de cuatro hojas de repuesto, un 25% más alto que el de Mach3® • Pregunta 1: ¿Los consumidores estarán dispuestos a pagar 20 centavos más por una afeitada mucho más suave y con menos irritación? • Pregunta 2: ¿Qué pasaría si el consumo de hojas cayera más del 10% debido a la mayor duración de la hoja del nuevo rastrillo? Figura 1.7 Lanzamiento de un nuevo producto:proyecto FusionMR de Gillette® 8 Symonds, William C., “Gillette’s Five-Blade Wonder”, News Analysis, 15 de septiembre de 2005. 1.3 Tipos de decisiones de ingeniería económica 17 • Equipo y selección de procesos: Esta clase de problema de decisión de ingeniería implica la selección del mejor curso de acción cuando existen diversas maneras de cumplir con los requerimientos de un proyecto. ¿Cuáles de los diversos artículos del equipo debemos comprar para un propósito específico? La decisión a menudo gira alrededor de qué artículo se espera que genere las mayores ganancias (o el mayor rendimiento sobre la inversión). La elección del material dictará el proceso de manufactura implicado. [Véase la figura 1.8 sobre cómo hacer una botella de cerveza de 0.5 litros de tereftalato de polietileno (pet).] Muchos factores afectan la elección final del material, y los ingenieros deben considerar todos los elementos importantes del costo, tales como maquinaria y equipo, herramientas, mano de obra y material. Otros factores podrían incluir prensado y ensamblaje, material de desecho de producción, el número de moldes y herramientas, así como los tiempos de los ciclos de diversos procesos. • Reducción de costos: La intención de un proyecto de reducción de costos es disminuir los costos de operación de una compañía. Por lo regular, necesitamos considerar si una empresa debe comprar equipo para desarrollar una operación que ahora se hace manualmente o, en otros casos, gastar ahora para ahorrar más dinero después. Las entradas de efectivo esperadas en el futuro a partir de esta inversión son los ahorros resultantes de la reducción de los costos de operación. Otra decisión común es si se habrá de producir una parte del producto internamente o comprarla a un proveedor para reducir el costo total de producción. Esto se conoce comúnmente como análisis de hacer o comprar (o de subcontratación). • Reemplazo de equipo: Esta categoría de decisión de inversión requiere considerar el gasto necesario para reemplazar equipo gastado u obsoleto. Por ejemplo, una com- Cubrir Evaporar Curar Rociado del recubrimiento de las botellas de PET Botella de cinco capas Tres capas con recubrimiento externo • Capacidad 20,000 botellas/hora 20,000 botellas/hora • Inversión de capital $10.8 millones $7.5 millones • Costo directo de fabricación $59.35/1,000 botellas $66.57/1,000 botellas Figura 1.8 Fabricación de botellas de cerveza de plástico por medio de dos diferentes procesos de manufactura 18 CAPÍTULO 1 Decisiones de ingeniería económica pañía podría comprar 10 prensas grandes con la esperanza de que produzcan partes de metal estampado durante 10 años. Sin embargo, después de cinco años, tal vez sea necesario producir las partes en plástico, lo que implicaría retirar las prensas antes de tiempo y comprar máquinas moldeadoras para plástico. Asimismo, una compañía podría descubrir, por cuestiones de competitividad, que se requieren partes más grandes y más exactas, lo que haría que las máquinas que se compraron se volvieran obsoletas antes de lo esperado. 1.4 Principios fundamentales de ingeniería económica Este libro se enfoca en los principios y procedimientos para tomar decisiones de ingeniería económica sensatas. Para el estudiante novato de ingeniería económica, cualquier cosa relacionada con cuestiones monetarias quizá parezca bastante extraña, en comparación con otros temas de ingeniería. Sin embargo, la lógica de decisión implicada en la resolución del problema es muy similar a cualquier otro tema de las materias de ingeniería; existen principios fundamentales básicos que deben tomarse en cuenta en cualquier decisión de ingeniería económica. Estos principios se unen para conformar los conceptos y las técnicas que se presentan en el texto, lo que permite enfocarnos en la lógica inherente a la práctica de la ingeniería económica. Los cuatro principios de ingeniería económica son los siguientes: • Principio 1: Un dólar que está cerca vale más que un dólar que está lejos. Un concepto fundamental en ingeniería económica es que el dinero tiene un valor en el tiempo. Como podemos ganar intereses sobre el dinero que recibamos hoy, es mejor recibir el dinero antes que después. Este concepto será el cimiento básico para la evaluación de todo proyecto de ingeniería. • Principio 2: Lo único que cuenta son las diferencias entre las alternativas. Una decisión económica debe basarse en las diferencias entre las alternativas consideradas. Todo lo que sea común es irrelevante para la decisión. Sin duda, cualquier decisión económica no es mejor que cualquiera de las alternativas que se están considerando. Por lo tanto, una decisión económica debe basarse en el objetivo de hacer el mejor uso de los recursos limitados. Siempre que se hace una elección, se sacrifica algo. El costo de oportunidad de una elección es el valor de la mejor alternativa sacrificada. • Principio 3: Los ingresos marginales deben exceder el costo marginal. Cualquier actividad económica mayor tiene que justificarse con base en el siguiente principio económico fundamental: los ingresos marginales deben exceder el costo marginal. Aquí, el ingreso marginal es el ingreso adicional que se generó al incrementar la actividad en una unidad (o una pequeña unidad). De igual forma, el costo marginal es el costo adicional en el que se incurre por el mismo aumento en la actividad. Los recursos productivos, tales como los recursos naturales, los recursos humanos y los bienes de capital disponibles para hacer bienes y servicios, son limitados. Por lo tanto, las personas no pueden tener todos los bienes y servicios que desean; como resultado, deben elegir aquellas opciones que resulten más redituables. • Principio 4: No se toma un riesgo adicional si no existe una ganancia adicional esperada. Para el consumo a futuro, los inversionistas demandan una ganancia mínima que debe ser mayor que el índice anticipado de inflación o cualquier riesgo percibido. Si no creen que recibirán lo suficiente para compensar la inflación anticipada y el riesgo de inversión percibido, los inversionistas podrían comprar por adelantado cualquier bien que deseen o invertir en activos que pudieran ofrecer suficientes ganancias para compensar cualquier pérdida causada por la inflación o el riesgo potencial. Resumen 19 Estos cuatro principios son cuestiones de sentido común, así como principios teóricos. Plantean la lógica detrás de lo que se debe seguir en este texto. Nos basamos en ellos e intentamos exponer sus implicaciones en la toma de decisiones. Conforme avancemos, tenga en mente que si bien los temas que se están tratando pueden variar en cada capítulo, la lógica que guía nuestra forma de analizarlos es constante y sienta sus raíces en estos cuatro principios fundamentales. RESUMEN 쐽 Este capítulo nos ha dado una visión general de una variedad de problemas de ingeniería económica que se encuentran normalmente en el mundo de los negocios. Examinamos el lugar de los ingenieros en una compañía y vimos que el papel que desempeñan en las compañías cobra mayor importancia, como ilustra el caso del desarrollo de una planta de biorrefinería de escala comercial de Voyager Ethanol. Normalmente, se requiere que los ingenieros participen en una serie de decisiones estratégicas de negocios, las cuales van desde el diseño del producto hasta la comercialización. 쐽 El término “decisión de ingeniería económica” se refiere a todas las decisiones de inversión relacionadas con proyectos de ingeniería. La faceta más interesante de una decisión económica, desde el punto de vista de un ingeniero, es la evaluación de costos y beneficios asociados con una inversión de capital. 쐽 Los cinco tipos principales de decisiones de ingeniería económica son: 1. mejoras en el servicio o en la calidad, 2. nuevos productos o expansión de productos, 3. equipo y selección de procesos, 4. reducción de costos y 5. reemplazo de equipo. 쐽 Los factores de tiempo e incertidumbre son los aspectos determinantes de cualquier proyecto de inversión. DOS CAPÍTULO El valor del dinero en el tiempo Dos boletos de la lotería comparten el premio mayor de $390 millones en Estados Unidos1 Con el solo giro de seis pelotas de ping pong, por lo menos dos personas en Estados Unidos se volvieron considerablemente más ricas el 7 de marzo de 2007 al compartir el premio más grande en la historia de la lotería: $390 millones. La serie de números ganadores estuvo integrada por 16, 22, 29, 39, 42 y la “súper pelota” (aquella que completa la serie de números ganadores) 20. Las probabilidades de obtener la combinación ganadora son escasas: 1 en 176 millones. Un conductor de camiones del estado sureño de Georgia fue uno de los afortunados ganadores. Decidió llevarse sus ganancias en un pago único en vez de recibirlo en pagos anuales; así, obtuvo $116.5 millones antes de la deducción de impuestos, o más de $83 millones si se considera el descuento fiscal. ¡Premio mayor de $390 millones! • • • • • • • • • ¡2 boletos acertaron a los 6 números de la combinación ganadora! 43 boletos acertaron a 5 números para llevarse $250,000 319 boletos acertaron a 4 números + la súper pelota y ganaron $10,000 14,111 boletos acertaron a 4 números para llevarse $150 15,589 boletos acertaron a 3 números + la súper pelota y ganaron $50 251,648 boletos acertaron a 2 números + la súper pelota y ganaron $10 692,511 boletos acertaron a 3 números de $7 1,504,648 boletos acertaron a 1 número + la súper pelota y ganaron $3 2,852,862 boletos acertaron a la súper pelota y ganaron $2 (Fuente: TeamLotto.Org) 39 16 42 22 29 20 1 20 “After $116 million win, Georgia man’s days as truck driver near end”, Dorie Turner, Associated Press, 8 de marzo de 2007. M uchas personas se sorprenden al saber que los premios mayores de la lotería se pagan en un plazo de entre 20 y 25 años y que el isco, a través del Internal Revenue Service (irs), retiene el 28% como impuesto federal de cada cheque. Si, por ejemplo, usted gana $195 millones, la mayoría de las entidades estatales de Estados Unidos le pagarán $9.75 millones al año por los próximos 20 años, menos el 28% por la retención del impuesto federal, lo que le dejaría un total de $7.02 millones al año. Quizá también tenga que pagar otros impuestos al presentar su declaración anual, dependiendo de su situación inanciera general. Si usted fuera el ganador del premio antes mencionado, quizá se pregunte por qué el valor de un pago único, $116.5 millones pagados de inmediato, es mucho menor que el valor total de las anualidades, $195 millones a pagar en 20 remesas. ¿Acaso no es mucho mejor recibir $195 millones en total que solamente $116.5 millones en este momento? La respuesta a su pregunta tiene que ver con los principios que analizaremos en este capítulo, es decir, con la generación de intereses y el valor del dinero en el tiempo. La pregunta que acabamos de plantear nos da un excelente punto de partida para este capítulo. Todos saben que es mejor recibir un dólar hoy que recibirlo dentro de 10 años, pero, ¿cómo cuantiicamos la diferencia? Nuestro ejemplo de la lotería resulta útil nuevamente. Más que a una elección entre dos pagos por montos diferentes, los ganadores de la lotería se enfrentaron a una decisión entre un pago en este momento y una serie de pagos futuros. Primero, la mayoría de las personas que conocen de inversiones le dirían que recibir $116.5 millones ahora sería un mejor trato que llevarse $9.75 millones al año durante 20 años. De hecho, tomando como base los principios que estudiaremos en este capítulo, es posible demostrar que el valor presente real de la serie de pagos a lo largo 20 años —es decir, el valor que podría recibir hoy en el mercado inanciero por la promesa de $9.75 millones anuales durante los siguientes 20 años— sería considerablemente menor a $116.5 millones. ¡Y eso sin considerar los efectos de la inlación! La razón de este sorprendente resultado es el valor del dinero en el tiempo; es decir, cuanto más pronto se reciba una suma de dinero, más valor tendrá, ya que con el tiempo el dinero puede ganar intereses y acrecentarse. En análisis de ingeniería económica, los principios analizados en este capítulo se consideran la base de casi cualquier análisis de inversión de un proyecto. Estos principios son importantes, ya que siempre es necesario explicar el efecto del interés que opera sobre las sumas de efectivo con el paso del tiempo. Las fórmulas de interés nos permiten ubicar diferentes lujos de efectivo recibidos en distintos momentos de un mismo periodo y compararlos. Como veremos, casi todo nuestro estudio del análisis de ingeniería económica se basa en los principios presentados en este capítulo. 21 22 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo 2.1 Interés: El costo del dinero La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el concepto de interés. Sabemos que el dinero que se deposita en una cuenta de ahorros genera intereses y que, con el tiempo, el saldo será mayor que la suma de los depósitos. Sabemos que pedir un préstamo para comprar un automóvil signiica que tendremos que pagar esa cantidad después de un tiempo más otra por concepto de intereses, de manera que la cantidad pagada será mayor que la suma solicitada. Lo que quizá no nos resulte tan familiar es la idea de que, en el mundo inanciero, el dinero en sí es un producto y que, al igual que otros bienes que se compran y se venden, también cuesta dinero. El costo del dinero se establece y se mide mediante una tasa de interés, un porcentaje que se aplica y se suma periódicamente a una cantidad (o a una variedad de cantidades) de dinero por un periodo determinado. Cuando se pide dinero prestado, el interés que se paga es el cargo al prestatario por el uso de la propiedad del prestamista; cuando se presta o se invierte dinero, el interés obtenido es la ganancia del prestamista por proveer un bien a otra persona. Así, podemos deinir el interés como el costo de tener dinero disponible para su uso. En esta sección examinamos cómo funciona el interés en una economía de libre mercado y establecemos una base para la comprensión de las relaciones de interés más complejas que se presentarán más adelante en el capítulo. 2.1.1 El valor del dinero en el tiempo El valor del dinero en el tiempo parece un concepto complejo, pero es algo con lo que usted tiene que lidiar todos los días. ¿Le conviene comprar algo en este momento o ahorrar el dinero y comprarlo después? He aquí un ejemplo sencillo de cómo su comportamiento de compra puede tener distintos resultados. Imagine que tiene $100 y desea comprar un refrigerador de $100 para su dormitorio. • Si lo compra ahora, terminará sin dinero. Pero si invierte su dinero con un interés anual del 6%, en un año podrá comprar el refrigerador y le sobrarán $6. Desde luego, necesita preguntarse si la ganancia financiera de $6 compensa el inconveniente de no tener el refrigerador durante un año. • Si el precio del refrigerador aumenta a una tasa anual del 8% a causa de la inflación, no tendrá suficiente dinero (le harán falta $2) para comprar el refrigerador dentro de un año (caso 1 de la figura 2.1). En tal caso, probablemente le convenga comprar el refrigerador ahora. Si la tasa de inflación es sólo del 4%, entonces le sobrarán $2 si compra el refrigerador dentro de un año (caso 2 de la figura 2.1). A todas luces, la tasa a la cual usted gana intereses debe ser más alta que la tasa de inlación para que la compra a futuro tenga sentido. En otras palabras, en una economía inlacionaria, su poder adquisitivo continuará disminuyendo a medida que siga retrasando la compra del refrigerador. Para compensar esta pérdida futura en el poder adquisitivo, la tasa a la cual usted gana intereses debe ser suicientemente más grande que la tasa de inlación anticipada. Después de todo, el tiempo, como el dinero, es un recurso inito. Hay sólo 24 horas en un día, así que también el tiempo debe presupuestarse. Este ejemplo ilustra que debemos relacionar la capacidad de generar ganancias y el poder adquisitivo con el concepto de tiempo. La forma como opera el interés releja el hecho de que el dinero tiene un valor en el tiempo. Por eso, las cantidades de interés dependen de los periodos de tiempo; las tasas de interés, por ejemplo, normalmente se dan en términos de un porcentaje anual. Podemos deinir el principio del valor del dinero en el tiempo de la siguiente manera: el valor económico de una suma depende de cuándo se reciba. Ya que el dinero tiene 2.1 Interés: El costo del dinero 23 Periodo 0 Periodo 1 Caso 1: La inflación excede la capacidad de generar ganancias Cuenta de ahorros Tasa de interés ganada ⫽ 6% Costo del refrigerador Tasa de inflación ⫽ 8% Pérdida del poder adquisitivo $2 Caso 2: La capacidad de generar ganancias excede la inflación Cuenta de ahorros Tasa de interés ganada ⫽ 6% Costo del refrigerador Tasa de inflación ⫽ 4% $100 Figura 2.1 $2 $104 Ganancia del poder adquisitivo $106 $108 Ganancias alcanzadas o pérdidas registradas por retrasar un consumo tanto capacidad de generar ganancias como poder adquisitivo con el paso del tiempo (es decir, se puede poner a trabajar generando así más dinero para su dueño), un dólar que se recibe en este momento tiene un valor mayor que un dólar que se recibirá en el futuro. Cuando hablamos de grandes sumas de dinero, largos periodos de tiempo y tasas de interés elevadas, el cambio en el valor de una suma de dinero con el paso del tiempo se vuelve extremadamente importante. Por ejemplo, a una tasa de interés anual vigente del 10%, $1 millón ganará $100,000 de intereses en un año; así que, esperar un año para recibir $1 millón evidentemente implica un gran sacriicio. Cuando hay que decidir entre propuestas alternativas, debemos tomar en cuenta la función del interés y el valor del dinero con el paso del tiempo para hacer comparaciones válidas de cantidades diferentes en distintos momentos. Cuando las instituciones inancieras ijan tasas de interés sobre préstamos de dinero en el mercado, esas tasas de interés relejan la tasa de ganancia deseada, así como cualquier protección contra pérdidas futuras en el poder adquisitivo del dinero a causa de la inlación. Las tasas de interés, ajustadas a la inlación, suben y bajan para equilibrar la cantidad ahorrada y la cantidad solicitada en préstamo, lo que afecta la asignación de los recursos escasos entre usos presentes y futuros. A menos que se plantee de otra forma, supondremos que las tasas de interés que empleamos en este libro relejan la tasa de interés del mercado, la cual a la vez releja la capacidad de generar ganancias del dinero y el efecto de la inlación percibida en el mercado. También supondremos que todas las transacciones de lujo de efectivo se dan en términos de dólares corrientes, donde el efecto de la inlación, en dado caso, se releja en la cantidad. 24 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo 2.1.2 Elementos de transacciones que implican intereses Muchos tipos de transacciones tienen que ver con intereses (por ejemplo, pedir dinero prestado, invertir dinero o comprar maquinaria a crédito), pero ciertos elementos son comunes a todos estos tipos de transacciones. Esos elementos son los siguientes: 1. La cantidad inicial de dinero que se invierte o se solicita en préstamo en una transacción se llama capital (C o P, por la inicial del término principal en inglés). 2. La tasa de interés (i) mide el costo o precio del dinero y se expresa como un porcentaje durante un periodo. 3. Un periodo llamado periodo de capitalización (n) determina la frecuencia con la que se calcula el interés. (Observe que, aunque la duración de un periodo de capitalización puede variar, las tasas de interés se establecen en términos de una tasa porcentual anual. Hablaremos sobre este aspecto del interés, un tanto confuso, en el capítulo 3). 4. Un periodo especificado determina la duración de la transacción y, por ende, establece un cierto número de periodos de capitalización (N). 5. Un plan de ingresos o egresos (An) nos da un patrón específico de flujo de efectivo en un periodo determinado. (Por ejemplo, podríamos tener una serie de pagos mensuales iguales que liquiden el préstamo.) 6. Una cantidad futura de dinero (F) es el resultado de los efectos acumulativos de la tasa de interés a lo largo de varios periodos de capitalización. Ejemplo de una transacción de intereses Para dar un ejemplo de cómo se usan los elementos que acabamos de deinir en una situación en particular, supongamos que usted solicita al banco un préstamo para educación de $30,000, con una tasa de interés anual del 9%. Además, usted paga una comisión de $300 por la tramitación de la solicitud.2 El banco ofrece dos planes de pago, uno con pagos iguales realizados al inal de cada año por los próximos cinco años (plan de cuotas), y otro en el que se realiza un pago único después del periodo de cinco años del préstamo (plan diferido). Estos planes de pago se resumen en la tabla 2.1. TABLA 2.1 Fin del año Planes de pago ofrecidos por el prestamista Cantidad prestada Pagos Plan 1 Plan 2 $300.00 $300.00 Año 1 $7,712.77 0 Año 2 $7,712.77 0 Año 3 $7,712.77 0 Año 4 $7,712.77 0 Año 5 $7,712.77 46,158.72 Año 0 $30,000 La comisión por tramitación de una solicitud de préstamo cubre los costos administrativos de procesar el préstamo. A menudo se expresa en puntos. Un punto equivale al 1% de la cantidad del préstamo. En nuestro ejemplo, el préstamo de $30,000 con una comisión por tramitación de solicitud de un punto significaría que el solicitante paga una cuota de $300. Esto equivale a financiar $29,700, pero los pagos están basados en un préstamo de $30,000. Ambos planes de pagos se basan en una tasa de interés del 9%. 2 2.1 Interés: El costo del dinero 25 • En el plan 1, el capital, P (por la sigla en inglés de principal, que significa capital), es $30,000 y la tasa de interés, i, es del 9%. El periodo de capitalización, n, es un año y la duración de la transacción es de cinco años, lo que significa que hay cinco periodos de capitalización (N ⫽ 5). Si bien un año es un periodo común de capitalización, a menudo éste se calcula también con base en otros intervalos, por ejemplo, mensual, trimestral o semestralmente. Por esta razón, utilizamos el término periodo en vez de año cuando definimos la lista anterior de variables. Los ingresos y egresos planeados a lo largo de la duración de esta transacción producen un patrón de flujo de efectivo de cinco pagos iguales, A, de $7,712.77 cada uno, que deben pagarse a fin de año durante los años 1 al 5. (Usted tendrá que aceptar estas cantidades de buena fe por ahora; en la siguiente sección se presenta la fórmula usada para llegar a la cantidad de estos pagos iguales, dados los demás elementos del problema.) • El plan 2 tiene la mayoría de los elementos del plan 1, excepto que, en vez de cinco pagos iguales, tenemos un periodo de gracia seguido de un solo pago futuro, F, de $46,158.72. Diagramas de flujo de efectivo Los problemas relacionados con el valor del dinero en el tiempo tienen la ventaja de poder representarse de forma gráica con un diagrama de lujo de efectivo (igura 2.2). Los diagramas de lujo representan el tiempo mediante una línea horizontal marcada con el número de los periodos de capitalización especiicados. Las lechas representan los lujos de efectivo en puntos relevantes en el tiempo. Las lechas hacia arriba representan lujos positivos (ingresos) y las lechas hacia abajo representan lujos negativos (egresos). Note también que, en realidad, las lechas representan lujos netos de efectivo; se suman dos o más ingresos o egresos registrados al mismo tiempo y se muestran como una sola lecha. Por ejemplo, $30,000 recibidos durante el mismo periodo en que se realiza un pago de $300 sería registrado como una lecha hacia arriba de $29,700. El largo de las lechas también puede sugerir los valores relativos de ciertos lujos de efectivo. Los diagramas de lujo de efectivo trabajan de forma similar a los diagramas de cuerpo libre o a los diagramas de circuito, que normalmente utiliza la mayoría de los ingenieros. Los diagramas de lujo de efectivo nos presentan un resumen de todos los elementos importantes de un problema y sirven como un punto de referencia para determinar si los elementos del problema se han transformado en sus parámetros apropiados. En el presente texto a menudo se emplea esta herramienta gráica; le invitamos a que desarrolle el hábito de utilizar diagramas de lujo de efectivo con rótulos como un medio para identiicar y resumir $30,000 $29,700 El flujo de efectivo en n = 0 es un flujo neto de efectivo después de sumar $30,000 y retirar $300 0 i ⫽ 9% $300 Años 1 2 3 4 5 $7,712.77 $7,712.77 $7,712.77 $7,712.77 $7,712.77 0 Figura 2.2 Diagrama de flujo de efectivo para el plan 1 del ejemplo sobre el pago del préstamo 26 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo la información relevante en un problema de lujo de efectivo. De igual manera, una tabla como la 2.1 le ayudará a organizar la información en un formato diferente de resumen. Convenio del fin del periodo En la práctica, los lujos de efectivo pueden darse al principio o a la mitad de un periodo de capitalización o, prácticamente, en cualquier momento. Una de las suposiciones simpliicadoras que hacemos en el análisis de ingeniería económica es el convenio del in del periodo, que es la práctica de colocar todas las transacciones de lujo de efectivo al inal de un periodo de capitalización. Esta suposición nos libera de la responsabilidad de lidiar con los efectos del interés dentro de un periodo de capitalización, lo que complicaría enormemente nuestros cálculos. Al igual que muchas de las suposiciones simpliicadoras y estimaciones que hacemos para ejempliicar problemas de ingeniería económica, el convenio del in del periodo nos lleva inevitablemente a algunas discrepancias entre los resultados de nuestro modelo y los del mundo real. Suponga, por ejemplo, que se depositan $100,000 durante el primer mes del año en una cuenta con un periodo de capitalización de un año y una tasa de interés del 10% anual. En tal caso, si el depósito se retira un mes antes de inalizar el año, el inversionista sufriría una pérdida de rendimientos de $10,000, ¡todos los intereses! Esto, porque, de acuerdo con el convenio del in del periodo, el depósito de $100,000 hecho durante el periodo de capitalización se ve como si se hiciera al inalizar el año y no 11 meses antes. Este ejemplo le da a usted una idea de por qué las instituciones inancieras eligen periodos de capitalización que son menores de un año, aunque normalmente anuncian sus tasas de interés en términos de un porcentaje anual. Con base en lo que sabemos de los elementos básicos relacionados con los problemas de intereses, podemos comenzar a estudiar los detalles del cálculo de intereses. 2.1.3 Métodos para calcular intereses El dinero se puede prestar y liquidar de muchas formas, y también, puede generar intereses de muchas maneras distintas. Sin embargo, normalmente, al inal de cada periodo de capitalización, el interés generado sobre el capital se calcula de acuerdo con una tasa de interés determinada. Los dos esquemas para calcular este interés generado producen un interés simple o un interés compuesto. El análisis de ingeniería económica utiliza el esquema de interés compuesto solamente, ya que es el de mayor uso en el mundo real. Interés simple El primer esquema considera el interés generado sólo sobre el capital inicial durante cada periodo de capitalización. En otras palabras, en el marco del interés simple, el interés generado durante cada periodo de capitalización no genera intereses adicionales en los periodos restantes, aunque usted no lo retire. En general, para un depósito de P dólares con una tasa de interés simple de i por N periodos, el interés total obtenido I sería I ⫽ (iP)N. (2.1) La cantidad total disponible al inal de N periodos, F, sería F ⫽ P ⫹ I ⫽ P(1 ⫹ iN). (2.2) El interés simple comúnmente se usa en préstamos o bonos suplementarios. Interés compuesto En el esquema de interés compuesto, el interés generado en cada periodo se calcula con base en la cantidad total al inal del periodo anterior. Esta cantidad total incluye el capital original más el interés acumulado que se ha dejado en la cuenta. 2.1 Interés: El costo del dinero 27 En este caso, usted está incrementando la cantidad del depósito mediante la cantidad del interés ganado. En general, si usted depositara (invirtiera) P dólares a una tasa de interés i, tendría P ⫹ iP ⫽ P(1 ⫹ i) dólares al inal de un periodo de capitalización. Si la cantidad entera (capital e interés) se reinvirtiera a la misma tasa i por otro periodo, usted tendría, al inal del segundo periodo, P(1 ⫹ i) ⫹ i[P (1 ⫹ i)] ⫽ P(1 ⫹ i) (1 ⫹ i) ⫽ P(1 ⫹ i)2. A continuación, vemos que el saldo después del tercer periodo es P(1 ⫹ i)2 ⫹ i[P (1 ⫹ i) 2] ⫽ P(1 ⫹ i)3 Este proceso de generación de intereses se repite y, después de N periodos, el valor acumulado total (saldo) F se habrá incrementado a (2.3) F ⫽ P(1 ⫹ i)N EJEMPLO 2.1 Interés simple contra interés compuesto Suponga que usted deposita $1,000 en una cuenta de ahorros que paga intereses a una tasa del 8% anual. Suponga que no retira el interés generado al inal de cada periodo (año), sino que deja que se acumule. a) ¿Cuánto tendría al inal del tercer año con un interés simple? b) ¿Cuánto tendría al inal del tercer año con un interés compuesto? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: P ⫽ $1,000, N ⫽ 3 años e i ⫽ 8% anual. Determine: F. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Utilice las ecuaciones (2.2) y (2.3) para calcular el total de la cantidad acumulada en cada esquema. a) Interés simple: Utilizando la ecuación (2.) calculamos F como F ⫽ $1,000[1⫹(0.08)3] ⫽ $1,240. Año tras año, el interés se acumula de la siguiente manera: Final del año (n) Saldo inicial Interés generado Saldo final 1 $1,000 $80.00 $1,080 2 $1,080 $80.00 $1,160 3 $1,160 $80.00 $1,240 b) Interés compuesto: Si aplicamos la ecuación (2.3) a nuestro caso de tres años con una tasa de interés del 8%, obtenemos F ⫽ $1,000(1⫹0.08)3 ⫽ $1,259.71. El interés total generado es $259.71, que es $19.71 más que el acumulado con el método de interés simple. Podemos seguir el proceso de acumulación de intereses con más precisión de la siguiente manera: 28 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo Final del año (n) Saldo inicial Interés generado Saldo final 1 $1,000.00 $80.00 $1,080.00 2 $1,080.00 $86.40 $1,166.40 3 $1,166.40 $93.31 $1,259.71 COMENTARIOS: Al final del primer año, usted tendría $1,000 más $80 de intereses, lo que daría un total de $1,080. De hecho, al principio del segundo año, usted estaría depositando $1,080, en vez de $1,000. Así, al final del segundo año, el interés ganado sería 0.08($1,080) ⫽ $86.40 y el saldo sería $1,080 ⫹ $86.40 ⫽ $1,166.40. Ésta es la cantidad equivalente que usted estaría depositando al principio del tercer año, y el interés generado en ese periodo sería 0.08($1,166.40) ⫽ $93.31. Con un capital inicial de $1,166.40 más el interés de $93.31, el saldo total sería $1,259.71 al final del tercer año. 2.2 Equivalencia económica El comentario de que el dinero tiene un valor en el tiempo nos lleva a una pregunta importante: Si recibir $100 hoy no es lo mismo que recibir $100 en el futuro, ¿cómo medimos y comparamos lujos de efectivo diversos? ¿Cómo sabemos, por ejemplo, si es preferible tener $20,000 hoy y $50,000 dentro de 10 años, que tener $8,000 cada año durante los siguientes 10 años? (Véase la igura 2.3.) En esta sección describiremos las técnicas analíticas básicas para hacer estas comparaciones. Luego, en la sección 2.3, utilizaremos estas técnicas para desarrollar una serie de fórmulas que puedan simpliicar enormemente nuestros cálculos. 2.2.1 Definición y cálculos simples El factor central al decidir entre diferentes lujos de efectivo tiene que ver con comparar su valor económico. $50,000 $20,000 • Existe una equivalencia económica entre flujos de efectivo que tienen el mismo efecto 0 1 económico y que, por lo tanto, podrían cambiarse uno por otro. • Aunque las cantidades y el tiempo de los flujos de efectivo pueden diferir, la tasa de 0 interés apropiada los hace iguales. 2 3 4 5 Años a) 6 7 8 9 10 $8,000 $8,000 $8,000 $8,000 $8,000 $8,000 $8,000 $8,000 $8,000 $8,000 1 2 3 4 5 Años b) 6 7 8 9 10 Figura 2.3 ¿Qué opción preferiría usted? a) Dos pagos ($20,000 ahora y $50,000 dentro de 10 años) o b) 10 pagos anuales de $8,000 cada uno 2.2 Equivalencia económica 29 Esto sería muy fácil si, en la comparación, no necesitáramos considerar el valor del dinero en el tiempo. Podríamos simplemente sumar los pagos individuales en un lujo de efectivo, considerando los ingresos como lujos de efectivo positivos y los pagos (egresos) como lujos de efectivo negativos. El hecho de que el dinero tenga un valor en el tiempo hace nuestros cálculos más complicados. Los cálculos para determinar los efectos económicos de uno o más lujos de efectivo se basan en el concepto de equivalencia económica. Existe equivalencia económica entre lujos de efectivo que tienen el mismo efecto económico y podrían, por lo tanto, cambiarse uno por otro en el mercado inanciero (cuya existencia suponemos). La equivalencia económica se reiere al hecho de que cualquier lujo de efectivo, ya sea un solo pago o una serie de pagos, puede convertirse en un lujo de efectivo equivalente en cualquier momento. Lo que es importante recordar sobre el valor presente de los lujos de efectivo futuros es que la suma actual es equivalente en valor a los lujos de efectivo futuros. Es equivalente porque si usted tuviera el valor presente hoy, podría transformarlo en los futuros lujos de efectivo simplemente invirtiéndolo a la tasa de interés vigente, también conocida como tasa de descuento. Este proceso se muestra en la igura 2.4. El concepto estricto de equivalencia puede extenderse para incluir la comparación de las alternativas. Por ejemplo, podríamos comparar los valores de dos propuestas encontrando los valores equivalentes de cada una en cualquier punto común en el tiempo. Si las propuestas inancieras que aparentan ser diferentes resultan tener el mismo valor monetario, entonces podemos ser económicamente indiferentes al elegir entre ellas. Esto es, en términos de efecto económico, ambas propuestas son equivalentes, por lo que no existe ninguna razón para preferir una sobre la otra en términos de su valor económico. Una forma de ver los conceptos de equivalencia e indiferencia económica operando en el mundo real es analizar la variedad de planes de pago ofrecidos por las instituciones crediticias para los préstamos a consumidores. Recuerde la tabla 2.1, en la que se mostraron dos diferentes planes de pago para un préstamo de $30,000 por cinco años a una tasa de interés anual del 9%. Usted notará, quizá para su sorpresa, que los dos planes requieren patrones de pago que son considerablemente diferentes y sumas totales de pagos distintas. No obstante, como el dinero tiene un valor en el tiempo, estos planes son equivalentes. En otras palabras, económicamente, el banco es indiferente al plan que elija el consumidor. Ahora hablaremos de cómo se establecen estas relaciones de equivalencia. Cálculos de equivalencia: Un ejemplo sencillo Los cálculos de equivalencia pueden considerarse como una aplicación de las relaciones de interés compuesto que desarrollamos en la sección 2.1. Por ejemplo, suponga que invertimos $1,000 a una tasa anual del 12% durante cinco años. • Si usted deposita P dólares hoy por N periodos a una tasa i, tendrá F dólares al final del periodo N. • F dólares al término del periodo N es igual a la suma única de P dólares ahora si su capacidad de generar ganancias se mide en términos de la tasa de interés i. F F P(1 i)N 0 N P F(1 i) N P Figura 2.4 Uso del interés compuesto para establecer la equivalencia económica 30 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo La fórmula desarrollada para calcular el interés compuesto, F ⫽ P(1 ⫹ i)N [ecuación (2.3)], expresa la equivalencia entre alguna cantidad presente P y una cantidad futura F para una tasa de interés i dada y varios periodos de capitalización, N. Por consiguiente, al inalizar el periodo de inversión, nuestra suma crece a $1,000(1 ⫹ 0.12)5 ⫽ $1,762.34. Así, podemos decir que al 12% de interés, $1,000 que se reciben ahora equivalen a $1,762.34 recibidos en cinco años, y podríamos intercambiar $1,000 ahora por la promesa de recibir $1,762.34 en cinco años. El ejemplo 2.2 demuestra la aplicación de esta técnica básica. EJEMPLO 2.2 Equivalencia Suponga que le ofrecen la alternativa de recibir $2,007 al término de cinco años o $1,500 hoy. No hay duda de que la suma de $2,007 será pagada en su totalidad (es decir, no hay riesgo). Suponiendo que no necesitará el dinero en los próximos cinco años, usted depositaría los $1,500 en una cuenta que pague un interés i%. ¿Qué valor de i haría que usted fuera indiferente a su elección entre $1,500 hoy y la promesa de $2,007 después de cinco años? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Nuestro trabajo es determinar la cantidad actual que sea económicamente equivalente a $2,007 en cinco años, dado el potencial de inversión de i% anual. Observe que el planteamiento del problema supone que usted se decidiría por la opción de utilizar la capacidad de generar ganancias de su dinero depositándolo. La “indiferencia” que se atribuye a usted se reiere a la indiferencia económica; esto es, en un mercado donde i% es la tasa de interés aplicable, podría cambiar un lujo de efectivo por el otro. METODOLOGÍA Dados: F ⫽ $2,007, N ⫽ 5 años, P ⫽ $1,500. Véase la igura 2.5a Determine: i. $2,007 i⫽? 0 1 2 4 3 5 Años $1,500 Figura 2.5a Diagrama de flujo de efectivo SOLUCIÓN Utilice la ecuación (2.3), F ⫽ P(1 ⫹ i) y despeje i. N Al reordenar la ecuación (2.3) para despejar P, obtenemos $1,500 = $2,007 11 + i25 . Al despejar i obtenemos: Fb i = a— P 1/N - 1 = a 2,007 1/5 b - 1 1,500 ⫽ 0.06 (o 6%) Podemos resumir el problema gráicamente, como en la igura 2.5b. 2.2 Equivalencia económica 31 $2,007 $1,500 0 6% 5 • Paso 1: Determine el periodo i base, digamos, el año 0. i • Paso 2: Identifique la tasa de i interés que se utilizará. 0 ฀3%, P 6%, P 9%, P 5 $2,007(1 $2,007(1 $2,007(1 0.03) 0.06) 0.09) 5 5 5 $1,731 $1,500 $1,304 • Paso 3: Calcule el valor equivalente en el periodo base. Figura 2.5b Cálculos de equivalencia a diferentes tasas de interés COMENTARIOS: En este ejemplo, es claro que si i es menor que 6%, usted preferiría la promesa de $2,007 en cinco años y no $1,500 hoy; si i es mayor que 6%, usted preferiría $1,500 hoy. Como seguramente ya acertó, a una tasa de interés más baja, P debe ser más alto para ser equivalente a la cantidad futura. Por ejemplo, si i ⫽ 4%, P ⫽ $1,650. 2.2.2 Los cálculos de equivalencia requieren una base de tiempo común para su comparación Así como debemos convertir las fracciones a denominadores comunes para sumarlas, debemos convertir los lujos de efectivo a una base común para comparar sus valores. Un aspecto de esta base es la elección de un solo punto en el tiempo en el cual efectuar nuestros cálculos. En el ejemplo 2.2, si nos hubieran dado la magnitud de cada lujo de efectivo y nos hubieran pedido determinar si los dos eran equivalentes, podríamos haber elegido cualquier punto de referencia y, utilizando la fórmula de interés compuesto, encontraríamos el valor de cada lujo de efectivo en ese punto. Como puede verse, la elección de n ⫽ 0 o n ⫽ 5 haría que nuestro problema fuera más sencillo, ya que necesitaríamos realizar sólo un conjunto de cálculos: a un interés del 6%, habría que convertir $1,500 en un tiempo 0 a su valor equivalente en el tiempo 5, o convertir $2,007 en un tiempo 5 a su valor equivalente en el tiempo 0. Cuando se elige un punto en el tiempo en el que se comparan los valores de lujos de efectivo alternativos, normalmente utilizamos el tiempo presente, lo que nos da lo que llamamos el valor presente de los lujos de efectivo, o un punto en el futuro lo que resulta en su valor futuro. La elección del punto en el tiempo a menudo depende de las circunstancias que rodean una decisión en particular, aunque también puede hacerse a conveniencia. Por ejemplo, si se conoce el valor presente para las primeras dos de tres opciones, calcular el valor presente de la tercera nos permitirá comparar las tres. Para una mayor comprensión, considere el ejemplo 2.3. 32 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo EJEMPLO 2.3 Cálculo de la equivalencia Considere el conjunto de lujos de efectivo dado en la igura 2.6. Calcule la cantidad total a n ⫽ 3 a un interés anual del 10%. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Los lujos de efectivo en la igura 2.6, e i ⫽ 10%. Determine: V3 (o el valor equivalente en n ⫽ 3). METODOLOGÍA SOLUCIÓN Encontramos el valor equivalente en n ⫽ 3 en dos pasos. Primero, encontramos el valor futuro de cada lujo de efectivo en n ⫽ 3 para todos los lujos de efectivo que se registren antes de n ⫽ 3. Segundo, encontramos el valor presente de cada lujo de efectivo en n ⫽ 3 para todos los lujos de efectivo que se registren después de n ⫽ 3. • Paso 1: Determine el pago equivalente de la totalidad de los primeros cuatro pagos en n ⫽ 3 $10011 + 0.1023 + $8011 + 0.1022 + $12011 + 0.1021 + $150 = $511.90. • Paso 2: Determine el pago equivalente de la totalidad de los dos pagos restantes en n ⫽ 3: $20011 + 0.102-1 + $100 11 + 0.102-2 = $264.46. Paso 3: Determine V3, el valor equivalente total: • V3 = $511.90 + $264.46 = $776.36. V3 ⫽ $776.36 $200 $120 $150 $100 $100 $80 0 1 2 3 4 5 6 Años Periodo de base Figura 2.6 Cálculo del valor equivalente en n ⫽ 3 2.3 Fórmulas de interés para flujos de efectivo únicos 33 2.3 Fórmulas de interés para flujos de efectivo únicos Comenzamos nuestro estudio de las fórmulas de interés considerando el más simple de los lujos de efectivo: los lujos de efectivo únicos. 2.3.1 Factor de cantidad compuesta Dada una suma presente P invertida por N periodos de capitalización a una tasa de interés i, ¿qué suma se habrá acumulado al término de los N periodos? Probablemente notó de inmediato que esta descripción encaja en el caso que encontramos al principio cuando describíamos los intereses compuestos. Para despejar F (la cantidad futura), utilizamos la ecuación (2.3): F ⫽ P(1 ⫹ i)N. A causa de su origen en los cálculos de interés compuesto, el factor (1 ⫹ i)N se conoce como factor de cantidad compuesta. Al igual que el concepto de equivalencia, este factor es uno de los fundamentos del análisis de ingeniería económica. Dado este factor, se pueden obtener todas las demás fórmulas de interés importantes. El proceso para determinar F a menudo se conoce como proceso de capitalización. En la igura 2.7 se ilustra la transacción del lujo de efectivo. (Note la convención de la escala de tiempo: el primer periodo comienza en n ⫽ 0 y termina en n ⫽ 1.) Si tiene a la mano una calculadora, es muy sencillo calcular (1 ⫹ i)N directamente. Tablas de interés Las fórmulas de interés como la que se desarrolló en la ecuación (2.3), F ⫽ P(1 ⫹ i)N, nos permiten sustituir los valores conocidos de una situación especíica en la ecuación y despejar la incógnita. Antes de que se desarrollara la calculadora manual, resolver estas ecuaciones era muy tedioso. Por ejemplo, imagine que necesita resolver a mano una ecuación con un valor muy grande de N, como F ⫽ $20,000(1 ⫹ 0.12)15. Las fórmulas más complejas requerían aún más cálculos. Para simpliicar el proceso, se desarrollaron tablas de factores de interés compuesto. Estas tablas nos permiten encontrar el factor apropiado para una tasa de interés dada y el número de periodos de capitalización. Aun cuando contamos con calculadoras manuales, es conveniente utilizar estas tablas, las cuales se incluyen en el apéndice B. Tómese el tiempo necesario para familiarizarse con su estructura. • Factor de cantidad compuesta para pagos únicos (factor de crecimiento) • Dados: i ⫽ 10% N ⫽ 8 años P ⫽ $2,000 • Determine: F ⫽ $2,000(1 ⫹ 0.10)8 ⫽ $2,000(F/P, 10%, 8) ⫽ $4,287.18 F F F P(1 i)N P(F/P, i, N) 0 N P Figura 2.7 Proceso de capitalización: Determine F, dados P, i, y N 34 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo Si puede, localice el factor de interés compuesto para el ejemplo presentado, en el cual conocemos P, y para encontrar F, necesitamos conocer el factor por el cual multiplicar $20,000 cuando la tasa de interés i es 12% y el número de periodos es 15: F = $20,00011 + 0.12215 = $109,472. (')'* 5.4736 Notación con factores A medida que continuemos desarrollando fórmulas de interés en lo que resta de este capítulo, expresaremos los factores de interés compuesto resultantes en una notación convencional que pueda sustituirse en una fórmula que indique con precisión qué factor de la tabla usar para resolver una ecuación. Por ejemplo, en el caso anterior, la fórmula obtenida como ecuación (2.3) es F ⫽ P(1 ⫹ i)N. Para especiicar cómo usar las tablas de interés, también podemos expresar ese factor en una notación funcional como (F/P, i, N), que se lee como “Encontrar F, dados P, i y N ”. Este factor se conoce como el factor de cantidad compuesta para pagos únicos. Cuando incorporamos el factor de la tabla a la fórmula, ésta se expresa de la siguiente manera: F = P 11 + i2N = P 1F/P, i, N2. Así, en el ejemplo anterior, donde teníamos F ⫽ $20,000(1.12)15, ahora podemos escribir F ⫽ $20,000(F/P, 12%, 15). El factor de la tabla nos indica utilizar la tabla del 12% de interés y encontrar el factor en la columna F/P para N ⫽ 15. Como usar las tablas de interés es a menudo la forma más fácil de resolver una ecuación, se incluye esta notación con factores para cada una de las fórmulas obtenidas en las secciones que siguen. EJEMPLO 2.4 Cantidades únicas: Determine F, dados P, i y N Si tuviera $1,000 ahora y los invirtiera al 7% de interés compuesto anual, ¿cuánto valdrían en 8 años (igura 2.8)? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: P ⫽ $1,000, i ⫽ 7% anual y N ⫽ 8 años. Determine: F. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 1: Uso de una calculadora Simplemente se utiliza una calculadora para evaluar el término (1 ⫹ i)N (las calculadoras inancieras están programadas para resolver la mayoría de los problemas de valor futuro). F ⫽ $1,000(1 ⫹ 0.07)8 ⫽ $1,718.19 2.3 Fórmulas de interés para flujos de efectivo únicos 35 METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 2: Uso de las tablas de interés compuesto Las tablas de interés permiten localizar el factor de cantidad compuesta para i ⫽ 7% y N ⫽ 8. El número obtenido se sustituye en la ecuación. En el apéndice B de este libro encontrará las tablas de interés compuesto. Si usamos este método obtenemos Método 3: Uso de una computadora Existen muchos programas inancieros para la resolución de problemas de interés compuesto que pueden usarse en computadoras personales. Como se resume en la guarda inal y la tercera de forros, muchos programas de hojas de cálculo, como Excel, también proveen funciones inancieras para evaluar diversas fórmulas de interés. SOLUCIÓN F = $1,000 1F/P, 7%, 8 2 = $1,00011.71822 = $1,718.20. Esta cantidad es idéntica, en esencia, al valor obtenido mediante la evaluación directa del factor de cantidad compuesta del único lujo de efectivo. La ligera desviación se debe al redondeo de las diferencias. Con Excel, el cálculo del valor futuro se ve de la siguiente manera: = VF17%,8,0, -1000,02. F i ⫽ 7% 0 1 2 3 4 Años 5 6 7 8 $1,000 Figura 2.8 Diagrama de flujo de efectivo COMENTARIOS: Una mejor forma de aprovechar las poderosas características de Excel es desarrollar una hoja de cálculo de Excel, como se muestra en la tabla 2.2. Aquí, no sólo estamos calculando el valor futuro del pago único hoy. De hecho, podemos mostrar de forma tabular y gráica cómo cambian los saldos de los depósitos con el tiempo. Por ejemplo, el depósito de $1,000 de hoy crecerá a $1,500.73 en seis años. Si desea ver cómo cambian los saldos de efectivo con el paso del tiempo a una tasa de interés más elevada, digamos, del 10%, sólo debe cambiar la tasa de interés en la celda C5 y presionar el botón “Calcular”. 2.3.2 Factor del valor presente Encontrar el valor presente de una cantidad futura es simplemente lo contrario a calcular el interés compuesto, y se conoce como el proceso de descuento. (Véase la igura 2.9.) En la ecuación (2.3), podemos ver que si necesitamos encontrar una suma presente P, dada la cantidad futura F, simplemente despejamos P. P = FB 1 11 + i2N R = F1P/F, i, N2. (2.4) 36 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo TABLA 2.2 Hoja de cálculo de Excel que ilustra cómo cambia el saldo de efectivo con el tiempo Flujos de efectivo únicos (Valor futuro) Entradas Salidas (F ) Valor futuro ($ ) (P ) Valor presente ($) (i ) Interés (%) (N ) Per. de capitalización Calcular Periodo Flujo de efectivo Saldo de efectivo -$1,000 0 $1,000 1 0 $1,070 2 0 $1,145 3 0 $1,225 4 0 $1,311 5 0 $1,403 6 0 $1,501 7 0 $1,606 8 $1,718 $1,718 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Reiniciar Graficar (i) Diagrama de lujo de efectivo Diagrama de lujo de efectivo El factor 1/(1 ⫹ i)N se conoce como el factor del valor presente para pagos únicos y se designa (P/F, i, N). Se han construido tablas para los factores P/F y para diversos valores de i y N. La tasa de interés i y el factor P/F también se conocen como tasa de descuento y factor de descuento, respectivamente. • Factor del valor presente para pagos únicos (factor de descuento) • Dados: i ⫽ 12% N ⫽ 5 años F ⫽ $1,000 • Determine: F ⫽ $1,000(1 ⫹ 0.12)⫺5 ⫽ $1,000(P/F, 12%, 5) ⫽ $567.40 F P ⫽ F(1 ⫹ i)⫺N P ⫽ F(P/F, i, N) 0 N P Figura 2.9 Proceso de descuento: Determine P, dados F, i y N 2.3 Fórmulas de interés para flujos de efectivo únicos 37 EJEMPLO 2.5 Cantidades únicas: Determine P, dados F, i y N Un bono cupón cero3, o simplemente bono cero, es una conocida variante sobre el tema de los bonos para algunos inversionistas. ¿Cuál debe ser el precio para un bono cupón cero de ocho años con un valor nominal de $1,000 si los bonos cero similares están redituando un interés anual del 6%? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Como inversionista de un bono cupón cero, usted no recibe ningún pago por intereses sino hasta que el bono alcance su vencimiento. Cuando el bono se venza, usted recibirá $1,000 (el valor nominal). En vez de obtener pagos por intereses, usted puede adquirir el bono con algún descuento. La pregunta es: “¿Cuál debe ser el precio del bono para obtener una ganancia del 6% sobre su inversión?” (Véase la igura 2.10.) Dados: F ⫽ $1,000, i ⫽ 6% anual y N ⫽ 8 años Determine: P. SOLUCIÓN Si usamos una calculadora, obtenemos P = $1,00011 + 0.062-8 = $1,00010.62742 = $627.40. También podemos utilizar las tablas de interés para encontrar que 10.62742 METODOLOGÍA La mejor manera de hacer este sencillo cálculo es usar una calculadora. Es equivalente a encontrar el valor presente del valor nominal de $1,000 a un interés del 6%. $''%''& P = $1,000 (P>F,6%,8) = $627.40. De igual forma, también podría utilizar una calculadora inanciera o una computadora para encontrar el valor presente. Con Excel, el cálculo del valor presente es el siguiente: = VP(6%,8,0,1000,0) = –$ 627.40. $1,000 00(P/F, P ⫽ $1,0 6%, 8) 0 1 2 3 4 Años 5 6 7 8 i ⫽ 6% P⫽? Figura 2.10 Diagrama de flujo de efectivo Los bonos son préstamos que hacen los inversionistas a las corporaciones y los gobiernos. En el ejemplo 2.5, los $1,000 de capital son el valor nominal del bono, el pago de intereses anual es su cupón y la duración del préstamo es el vencimiento del bono. 3 38 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo 2.3.3 Soluciones para tiempo y tasas de interés A estas alturas, debe quedar claro que los procesos de capitalización y descuento son recíprocos y que hemos estado tratando con una ecuación en dos formas: Forma del valor futuro: F ⫽ P(1 ⫹ i)N y Forma del valor presente: P ⫽ F(1 ⫹ i)⫺N Existen cuatro variables en estas ecuaciones: P, F, N e i. Si usted conoce los valores de tres de ellas, puede encontrar el valor de la cuarta. Es más, siempre le hemos dado la tasa de interés (i) y el número de años (N), además de P o F. No obstante, en muchas situaciones, necesitará despejar i o N, como se muestra a continuación. EJEMPLO 2.6 Solución para i Suponga que compra una acción en $10 y la vende en $20; su ganancia es, por lo tanto, $10. Si eso ocurre dentro de un año, su tasa de interés de retorno es un impresionante 100% ($10/$10 ⫽ 1). Si pasan cinco años, ¿cuál sería la tasa de interés de retorno de su inversión? (Véase la igura 2.11.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA Aquí, conocemos P, F y N, pero no i, la tasa de interés que usted ganará sobre su inversión. Este tipo de cálculo de tasa de retorno es directo, ya que usted sólo realiza una inversión del pago global. Dados: P ⫽ $10, F ⫽ $20 y N ⫽ 5. Determine: i. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Comenzamos con la siguiente relación: El valor de la solución es i ⫽ 14.87%. El procedimiento de prueba y error resulta extremadamente tedioso e ineiciente para la mayoría de los problemas, por lo que se utiliza poco en el mundo real. F ⫽ P(1 ⫹ i)N. Luego, sustituimos los valores dados: $20 $20 = $1011 + i25. i⫽? Después, despejamos i mediante uno de dos métodos. Método 1: Prueba y error Lleve a cabo un proceso de prueba y error en el cual inserte diferentes valores de i en la ecuación hasta que encuentre un valor que “funcione”, en el sentido de que el lado derecho de la ecuación sea igual a $20. 0 1 2 3 4 5 Años $10 Figura 2.11 Diagrama de flujo de efectivo 2.3 Fórmulas de interés para flujos de efectivo únicos 39 METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 2: Tablas de interés También puede resolver el problema utilizando las tablas de interés que se encuentran en el apéndice B. Comience con la ecuación $20 = $1011 + i25, que es equivalente a 2 = 11 + i25 = 1F/P, i, 52. Ahora busque la ila N ⫽ 5 debajo de la columna (F/P, i, 5) hasta que localice el valor de 2. Este valor es aproximado en la tabla de interés del 15% a (F/P, 15%, 5) ⫽ 2.0114, por lo que la tasa de interés a la cual $10 se convierten en $20 en cinco años es muy cercana al 15%. Este procedimiento será muy tedioso para tasas de interés fraccionarias o cuando N no sea un número entero, ya que quizá tendrá que aproximarse a la solución mediante interpolación lineal. Método 3: Enfoque práctico El enfoque más práctico es utilizar una calculadora inanciera o una hoja de cálculo electrónica, como Excel. Una función inanciera como TASA(N, 0, P, F) nos permite calcular una tasa de interés desconocida. El planteamiento preciso sería: = TASA(5,0, - 10,20) = 14.87%. Note que escribimos el valor presente (P) como un número negativo para así indicar un lujo de salida de efectivo en Excel. EJEMPLO 2.7 Cantidades únicas: Determine N, dados P, F e i Usted acaba de comprar 100 acciones de General Electric a $30 cada una. Venderá las acciones cuando su valor de mercado se duplique. Si espera que el precio de las acciones se incremente en un 12% anual, ¿cuánto tiempo piensa esperar antes de vender las acciones? (Véase la igura 2.12.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: P ⫽ $3,000, F ⫽ $6,000, i ⫽ 12% anual. Determine: N (años). $6,000 i ⫽ 12% 0 1 2 4 3 Años $3000 5 6 N Figura 2.12 Diagrama de flujo de efectivo 40 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 1: Uso de una calculadora Si usamos el factor de cantidad compuesta para pagos únicos, escribimos Comenzamos con F = P11 + i2N = P1F/P, i, N2, que en este caso es log 2 = N log 1.12. Al despejar N, obtenemos N= $6,000 = $3,00011 + 0.122N log 2 log 1.12 = 6.12 L 6 años. = $3,0001F/P, 12%, N2, o 2 = 1 1.122N = 1F/P, 12%, N2. Método 2: Uso de un programa de hojas de cálculo Nuevamente, podríamos utilizar un programa de cómputo de hojas de cálculo para encontrar N. En Excel, la función inanciera NPER(i, 0, P, F) calcula el número de periodos de interés compuesto que le tomará a una inversión P crecer a un valor futuro F, generando una tasa de interés ija i por periodo de interés compuesto. En nuestro ejemplo, el comando de Excel se vería de la siguiente manera: = NPER(12%,0,-3000,6000). El resultado calculado es 6.1163 años. COMENTARIOS: Una regla muy útil, llamada la regla del 72, permite determinar aproximadamente en cuánto tiempo se duplicará una suma de dinero. La regla establece que, para determinar el tiempo que le toma a la suma de dinero actual crecer en un factor de dos, dividimos 72 entre la tasa de interés. Para nuestro ejemplo, la tasa de interés es del 12%. Por lo tanto, la regla del 72 indica que una suma se duplicará en 72 12 = 6 años. Este resultado es, de hecho, relativamente cercano a nuestra solución exacta. 2.4 Series de pagos desiguales Una transacción común de lujos de efectivo implica una serie de egresos o ingresos. Algunos ejemplos comunes de series de pagos son los pagos a plazos sobre préstamos para automóviles y los pagos de hipotecas, los cuales implican sumas idénticas que deben pagarse a intervalos regulares. Cuando no hay un patrón claro sobre las series, esta transacción recibe el nombre de serie de lujo de efectivo desigual. Podemos encontrar el valor presente de cualquier grupo de pagos desiguales si calculamos el valor presente de cada pago y sumamos los resultados. Una vez encontrado el valor presente, podemos hacer otros cálculos de equivalencia. (Por ejemplo, el valor futuro se puede calcular mediante los factores de interés desarrollados en la sección anterior.) 2.4 Series de pagos desiguales 41 EJEMPLO 2.8 Opción de prepago (pagos anticipados) de colegiaturas La opción de prepago de colegiaturas (opc) que ofrecen muchas universidades representa ahorros al poder evitar futuros incrementos a las colegiaturas. Al inscribirse al plan, usted paga todas las colegiaturas que restan hasta el momento de graduarse y las cuotas requeridas de acuerdo con las tarifas vigentes en el momento de la inscripción al plan. Las colegiaturas y cuotas (a excepción del alojamiento y la alimentación) para el año académico 2006-2007 ascienden a $31,665 en la Universidad de Harvard. La colegiatura total para un estudiante de nuevo ingreso hasta el momento de su graduación, de acuerdo con las tarifas vigentes, es de $126,660. La colegiatura, las cuotas, el alojamiento y la alimentación normalmente se incrementan cada año, pero es difícil predecir en cuánto, ya que los costos dependen de las tendencias económicas futuras y las prioridades institucionales. La siguiente tabla indica la colegiatura y las cuotas requeridas desde 2002: Año académico Colegiatura y cuotas Prepago requerido 2002–03 $25,650 $102,600 2003–04 $27,208 $108,832 2004–05 $28,712 $114,848 2005–06 $30,122 $120,488 2006–07 $31,665 $126,660 Suponga que usted se inscribió en la opción de prepago de colegiaturas para el año académico 2003-2004. En 2007, al mirar hacia atrás cuatro años hasta el momento de la inscripción y conociendo ahora con exactitud el monto real de las colegiaturas, ¿piensa usted que su decisión de pagar por adelantado estuvo justiicada en un sentido económico, “cuando el dinero ahorrado o invertido se podía incrementar” a una tasa de interés del 6%? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Este problema equivale a preguntar qué valor de P lo volvería indiferente ante su elección entre P dólares hoy y el conjunto de gastos futuros de ($27,208, $28,712, $30,122, $31,665). Dados: El lujo desigual de efectivo de la igura 2.13; 6% anual. Determine: P. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Una manera de lidiar con una serie de lujos de efectivo desiguales es calcular el valor presente equivalente de cada uno de los lujos de efectivo por separado y después sumar los valores presentes para encontrar P. En otras palabras, el lujo de efectivo se divide en cuatro partes, como se muestra en la igura 2.13. Suponiendo que el pago de la colegiatura se realiza al inicio de cada año académico, sumamos los valores presentes individuales de la siguiente manera: P = $27,208 + $28,7121P/F, 6%, 12 + $30,1221P/F, 6%, 22 + $31,6651P/F, 6%, 32 = $107,690 6 $108,832 Como la cantidad del valor presente equivalente de los pagos futuros de colegiatura es menor que la cantidad de prepago requerida al principio del año académico 2003-2004, le convendría más pagar la colegiatura anualmente. 42 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo $31,665 $30,122 $28,712 $27,208 0 2 1 3 4 P $27,208 0 ⫹ 0 1 2 3 P1 P1 ⫽ $27,208 4 ⫹ 1 $31,665 $30,122 $28,712 2 3 0 4 ⫹ 0 1 2 3 4 1 2 3 P2 P3 P4 P2 ⫽ $28,712(P/F, 6%, 1) ⫽ 27,087 P3 ⫽ $30,122(P/F, 6%, 2) ⫽ $26,808 P4 ⫽ $31,665(P/F, 6%, 3) ⫽ $26,587 4 P ⫽ P1 ⫹ P2 ⫹ P3 ⫹ P4 ⫽ $107, 690 Figura 2.13 Descomposición de una serie de flujos de efectivo desiguales COMENTARIOS: Por supuesto, usted no sabe con antelación cuánto aumentará la colegiatura en un futuro; por eso, la diferencia entre $108,832 y $107,690 (o $1,142) puede verse como la prima de riesgo que usted estaría dispuesto a pagar por asegurar las futuras colegiaturas al precio vigente cuando ingresa a la universidad. 2.5 Series de pagos iguales Como aprendimos en el ejemplo 2.8, siempre podemos encontrar el valor presente de una serie de lujos de efectivo futuros si sumamos el valor presente de cada lujo de efectivo. Sin embargo, si existen regularidades de lujo de efectivo en este conjunto, sería posible utilizar atajos, como encontrar el valor presente de una serie uniforme. A menudo nos encontramos con transacciones en las que existe una serie uniforme de pagos. Los pagos de renta, los pagos de intereses sobre bonos y los pagos a plazos comerciales se basan en series de pagos uniformes. Nuestra preocupación es encontrar el valor presente equivalente (P) o el valor futuro (F) de una serie así, como se ilustra en la igura 2.14. 2.5 Series de pagos iguales 43 A 0 1 2 3 4 N⫹1 N 5 F P Figura 2.14 Serie de pagos iguales: Determine P o F equivalente 2.5.1 Factor de la cantidad compuesta: Determine F, dados A, i y N Suponga que nos interesa la cantidad futura F de un fondo al cual contribuimos con A dólares cada periodo y sobre el cual ganamos un interés a una tasa i por periodo. Las contribuciones se realizan al término de cada uno de los periodos N. Estas transacciones se ilustran gráicamente en la igura 2.15. Si estudiamos este diagrama, vemos que si se invierte una cantidad A al inal de cada periodo durante N periodos, la cantidad total F que se puede retirar al término de N periodos será la suma de las cantidades compuestas de los depósitos individuales. Como se muestra en la igura 2.15, los A dólares que pusimos en el fondo al inal del primer periodo valdrán A(1 ⫹ i)N–1 al inal de los N periodos. Los A dólares que pusimos en el fondo al inal del segundo periodo valdrán A(1 ⫹ i)N–2, y así sucesivamente. Al inal, los últimos A dólares con los que contribuimos al inal del enésimo periodo valdrán exactamente A dólares en ese momento. Esto signiica que tenemos una serie de la forma F = A11 + i2N - 1 + A11 + i2N - 2 + Á + A11 + i2 + A, F 0 1 2 3 N⫺1 4 N A (1 ⫹ i)N⫺ 1 F⫽A i ⫽ A(F/A, i, N) Figura 2.15 Diagrama de flujo de efectivo de la relación entre AyF 44 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo o, expresado de manera alternativa, F = A + A11 + i2 + A11 + i22 + Á + A11 + i2N - 1. (2.5) Multiplicar la ecuación (2.5) por (1 ⫹ i) da como resultado 11 + i2F = A11 + i2 + A11 + i22 + Á + A11 + i2N. (2.6) Si restamos la ecuación (2.5) de la ecuación (2.6) para eliminar términos comunes, obtenemos F11 + i2 - F = - A + A11 + i2N. Al despejar F se obtiene F = AB 11 + i2N - 1 i R = A1F/A, i, N2. (2.7) El término entre corchetes en la ecuación (2.7) se conoce como el factor de cantidad compuesta para series de pagos iguales, o el factor de cantidad compuesta para series uniformes; su notación factorial es (F/A, i, N). Este factor de interés también se ha calculado para diversas combinaciones de i y N en las tablas del apéndice B. EJEMPLO 2.9 Series de pagos iguales: Determine F, dados i, A y N Suponga que hace una contribución anual de $5,000 a su cuenta de ahorros al inal de cada año durante cinco años. Si su cuenta de ahorros genera el 6% de interés anual, ¿cuánto podrá retirar al cabo de cinco años? (Véase la igura 2.16.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: A ⫽ $5,000, N ⫽ 5 años, i ⫽ 6% anual. Determine: F. F⫽? i ⫽ 6% Años 0 1 2 3 4 5 $5,000 $5,000 $5,000 $5,000 $5,000 Figura 2.16 Diagrama de flujo de efectivo 2.5 Series de pagos iguales 45 METODOLOGÍA SOLUCIÓN Utilice el factor de cantidad compuesta para series de pagos iguales y Excel. Usando el factor de cantidad compuesta para series de pagos iguales, obtenemos F = $5,0001F/A, 6%, 52 = $5,00015.63712 = $28,185.46. Para obtener el valor futuro de la anualidad en Excel, podemos utilizar la siguiente función inanciera: = VF(6%,5,-5000,0). COMENTARIOS: Podríamos llevar un registro de cómo crecen los saldos periódicos en la cuenta de ahorros de la siguiente manera: Año 1 2 3 4 5 Saldo inicial 0 $5,000.00 $10,300.00 $15,918.00 $21,873.08 Interés generado (6%) 0 300.00 618.00 955.08 1,312.38 5,000.00 5,000.00 5,000.00 5,000.00 5,000.00 $5,000.00 $10,300.00 $15,918.00 $21,873.08 $28,185.46 Depósito realizado Saldo final Como se muestra en la tabla 2.3 de la siguiente página, es sencillo crear una hoja de cálculo de Excel para determinar el saldo periódico de efectivo a través del tiempo. EJEMPLO 2.10 Manejo de los desplazamientos de tiempo en una serie uniforme En el ejemplo 2.9, el primer depósito de la serie de cinco depósitos se hizo al inal del primer periodo y los cuatro depósitos restantes se hicieron al inal de cada periodo siguiente. Ahora suponga que todos los depósitos se hicieron al principio de cada periodo. ¿Cómo calcularía el saldo al inal del quinto periodo? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Compare la igura 2.17 con la igura 2.16. Cada pago en la igura 2.17 se recorrió un año antes; así, cada pago está capitalizado un año adicional. Note que con el depósito de in de año, el saldo inal F fue de $28,185.46. Con el depósito de principio de año, se acumula el mismo saldo hacia el inal del cuarto periodo. Este saldo puede generar intereses por otro año más. Dados: Diagrama de lujo de efectivo de la igura 2.17; i ⫽ 6% anual. F⫽? Determine: F. El primer depósito se realiza en n ⫽ 0 i ⫽ 6% Años 0 1 2 3 4 5 $5,000 $5,000 $5,000 $5,000 $5,000 Figura 2.17 Diagrama de flujo de efectivo 46 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo METODOLOGÍA SOLUCIÓN Utilice el comando de valor futuro (VF) en Excel. Podemos calcular fácilmente el saldo resultante como F = $28,185.4611.062 = $29,876.59. El saldo al inal del periodo puede calcularse fácilmente mediante la siguiente función inanciera disponible en Excel: = VF (6%,5,-5000,,1) COMENTARIOS: Otra forma de determinar el saldo inal es comparando los dos patrones de lujo de efectivo. Si sumamos el depósito por $5,000 en el periodo cero al lujo de efectivo original y restamos el depósito por $5,000 al inal del quinto periodo, obtenemos el segundo lujo de efectivo. Por lo tanto, podemos encontrar el saldo inal si hacemos un ajuste a los $28,185.46: F = $28,185.46 + $5,0001F/P, 6%, 52 - $5,000 = $29,876.59. TABLA 2.3 Hoja de cálculo de Excel que ilustra cómo cambia el saldo de efectivo con el paso del tiempo Flujos de efectivo de pagos iguales (Valor futuro) Salidas Entradas (A ) Anualidad ($) (F ) Valor futuro ($) (i ) Interés (%) (N ) Per. de capitalización Periodo Depósito realizado Saldo de efectivo 0 $0.00 $0.00 ($5,000.00) $5,000.00 1 ($5,000.00) $10,300.00 2 ($5,000.00) $15,918.00 3 ($5,000.00) $21,873.08 4 ($5,000.00) $28,185.46 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Calcular Reiniciar Graficar (i) Diagrama de flujo de efectivo Gráfica de saldo de efectivo 2.5 Series de pagos iguales 47 2.5.2 Factor del fondo de amortización: Determine A, dados F, iyN Si despejamos A en la ecuación (2.7), obtenemos A = FB i 11 + i2N - 1 (2.8) R = F1A/F, i, N2. El término dentro de los corchetes se llama factor del fondo de amortización para series de pagos iguales, o simplemente el factor del fondo de amortización, y se designa con la notación (A/F, i, N). Un fondo de amortización es una cuenta que genera intereses en la cual se deposita una suma ija cada periodo de capitalización; comúnmente se establece con el propósito de reemplazar activos ijos. EJEMPLO 2.11 Plan de ahorro para la universidad: Determine A, dados F, N e i Usted desea crear un plan de ahorro para los estudios universitarios de su hija. Ahora tiene 10 años de edad e ingresará a la universidad a los 18. Usted supone que cuando empiece la universidad, necesitará por lo menos $100,000 en el banco. ¿Cuánto necesita ahorrar cada año para así tener los fondos necesarios si la tasa de interés actual es del 7%? Suponga que se realizan depósitos cada in de año. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Diagrama de lujo de efectivo de la igura 2.18; i ⫽ 7% anual y N ⫽ 8 años. Determine: A. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 1: Factor del fondo de amortización Si usamos los factores del fondo de amortización, obtenemos A = $100,0001A/F, 7%, 82 = $9,746.78 $100,000 Edad actual: 10 años Años 0 1 A 2 3 4 5 6 ? i Figura 2.18 7% Diagrama de flujo de efectivo 7 8 48 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo TABLA 2.4 Hoja de cálculo de Excel que ilustra cómo cambian los saldos de efectivo con el paso del tiempo Series de pagos iguales Entradas (F ) Valor futuro ($) (Fondo de amortización) Entradas (A ) Anualidad ($) (i ) Interés (%) Calcular (N ) Anualidad Periodo Flujo de efectivo Saldo de efectivo 0 $0.00 $0.00 ($9,746.78) $9,746.78 1 ($9,746.78) $20,175.83 2 ($9,746.78) $31,334.91 3 ($9,746.78) $43,275.13 4 ($9,746.78) $56,051.17 5 ($9,746.78) $69,721.52 6 ($9,746.78) $84,348.81 7 ($9,746.78) $100,000.00 8 9 10 11 12 PAGO 13 14 15 16 17 18 19 20 Reiniciar Graficar (i) Diagrama de flujo de efectivo Gráfica de saldo de efectivo METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 2: Función PAGO de Excel O, si usamos la función inanciera predeinida de Excel, obtenemos el mismo resultado: = PAGO(7%,8,0,100000) = - $9,746.78 COMENTARIOS: Con Excel podemos conirmar fácilmente el proceso de acumular $100,000 al término de 8 años. Como se muestra en la tabla 2.4, el saldo de efectivo al inal del año 1 será de sólo $9,746.78, ya que el primer depósito no tiene tiempo para generar ningún interés. Al inal del año 2, el saldo de efectivo consiste en dos contribuciones: el depósito efectuado al inal del año 1 crecerá a $9,746.78(1 ⫹ 0.07) ⫽ $10,429.05, y el segundo depósito, realizado al inal del año 2, producirá $9,746.78, lo que da como resultado un total de $20,175.83. Si el proceso continúa durante los periodos de depósito restantes, el saldo inal será exactamente de $100,000. 2.5 Series de pagos iguales 49 A A 1 2 A A A 3 N⫺1 N 3 N⫺1 N A A A 0 Años Punto de vista del prestamista P Punto de vista del prestatario 1 2 A A Años 0 Figura 2.19 Diagrama de flujo de efectivo de la relación entre P y A 2.5.3 Factor de recuperación de capital (factor de anualidad): Determine A, dados P, i y N Podemos determinar la cantidad de un pago periódico, A, si conocemos P, i y N. La igura 2.19 ilustra tal situación. Para relacionar P con A, recuerde la relación entre P y F en la ecuación (2.3): F ⫽ P(1 ⫹ i)N. Al sustituir F en la ecuación (2.8) por P(1 ⫹ i)N, obtenemos A = P11 + i2N B i 11 + i2N - 1 R, o A = PB i11 + i2N 11 + i2N - 1 R = P1A/P, i, N2. (2.9) Ahora tenemos una ecuación para determinar el valor de la serie de pagos de in de año, A, cuando se conoce la suma presente P. La parte entre corchetes se llama factor de recuperación de capital para series de pagos iguales, o simplemente, factor de recuperación de capital, y se designa como (A/P, i, N). En inanzas este factor A/P se conoce como el factor de anualidad. El factor de anualidad indica una serie de pagos de una cantidad ija o constante durante un número especiicado de periodos. EJEMPLO 2.12 Pago de un préstamo para educación: Determine A, dados P, i y N Usted solicitó un préstamo de $21,061.82 para inanciar sus gastos de educación del último año en la universidad. El préstamo se pagará en cinco años, conlleva un interés del 6% anual y debe liquidarse en pagos anuales iguales durante los siguientes cinco años. 50 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo Suponga que usted pidió el dinero a principios de su último año y que el primer plazo de pago se cumplirá un año después. Calcule la cantidad de los pagos anuales (igura 2.20). ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: P ⫽ $21,061.82, i ⫽ 6% anual y N ⫽ 5 años. Determine: A. P ⫽ $21,061.82 i ⫽ 6% Años 0 1 2 3 4 5 A A A A A Figura 2.20 Diagrama de flujo de efectivo METODOLOGÍA SOLUCIÓN Utilice el factor de recuperación de capital. Si usamos el factor de recuperación de capital, obtenemos A = $21,061.821A/P, 6%, 52 = $21,061.8210.23742 = $5,000. La tabla al inal de la página ilustra cómo el plan anual de pagos de $5,000 liquidaría la deuda en cinco años. La solución de Excel, con comandos de funciones de anualidad, es la siguiente: = PAGO(i, N, P) = PAGO(6%,5,21061.82). El resultado de esta fórmula es ⫺$5,000. Año Saldo inicial Saldo inicial (6%) Pago realizado Saldo final 1 2 3 4 5 $21,061.82 $17,325.53 $13,365.06 $9,166.96 $4,716.98 1,263.71 1,039.53 801.90 550.02 283.02 ⫺5000.00 $17,325.53 ⫺5000.00 $13,365.06 ⫺5000.00 ⫺5000.00 ⫺5000.00 $9,166.96 $4,716.98 $0.00 2.5 Series de pagos iguales 51 EJEMPLO 2.13 Pagos diferidos de un préstamo Suponga, en el ejemplo 2.12, que usted desea negociar con el banco para que se le diiera el primer pago del préstamo hasta el inal del año 2. (Pero todavía desea realizar 5 pagos iguales al 6% de interés.) Si el banco quiere generar la misma ganancia que en el ejemplo 2.12, ¿cuál debe ser el nuevo pago anual? (Véase la igura 2.21.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA Al diferir un año, el banco sumará al capital el interés acumulado durante el primer año. En otras palabras, necesitamos encontrar el valor equivalente de $21,061.82 al inal del año 1, P⬘. Dados: P ⫽ $21,061.82, i ⫽ 6% anual y N ⫽ 5 años, pero el primer pago se realiza al inalizar el año 2. Determine: A. METODOLOGÍA SOLUCIÓN P¿ = $21,061.821F/P, 6%, 12 Calcule el valor equivalente de P⬘. = $22,325.53. Así, usted estará solicitando en préstamo $22,325.53 por cinco años. Para que se anule el préstamo con cinco pagos iguales, el pago anual igual diferido, A⬘, será A¿ = $22,325.531A/P, 6%, 52 = $5,300. Si diiere el primer pago un año, necesita pagar $300 más cada año. P ⫽ $21,061.82 i ⫽ 6% 0 1 Periodo de gracia 2 Años 3 4 5 6 A A A A A P⬘ ⫽ $21,061.82 (F/P, 6%, 1) 0 1 Figura 2.21 diferido i ⫽ 6% 2 Años 3 4 5 6 A⬘ A⬘ A⬘ A⬘ A⬘ Diagrama de flujo de efectivo de un préstamo 52 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo 2.5.4 Factor del valor presente: Determine P, dados A, i y N ¿Cuánto tendría que invertir ahora para retirar A dólares al término de cada uno de los siguientes N periodos? Ahora nos enfrentamos justo a la situación opuesta a la del factor de recuperación de capital para pagos iguales: conocemos A, pero debemos determinar P. Con el factor de recuperación de capital dado en la ecuación (2.9), despejamos P para obtener P = AB 11 + i2N - 1 N i11 + i2 R = A1P/A, i, N2. (2.10) El término entre corchetes se conoce como el factor del valor presente para series de pagos iguales y se designa como (P/A, i, N). EJEMPLO 2.14 Series uniformes: Determine P, dados A, i y N Recientemente, una pareja de los suburbios de Chicago ganó en la lotería multiestatal conocida como Powerball.4 El premio se había acumulado durante varias semanas, por lo que era muy cuantioso. Los compradores de boletos podían elegir entre una suma total de $104 millones o un total de $198 millones a pagar en 25 años (o $7.92 millones por año) si ganaban el premio mayor. La pareja ganadora eligió la suma total. Desde un punto de vista estrictamente económico, ¿la pareja eligió la opción más lucrativa? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Si la pareja pudiera invertir su dinero a una tasa de interés anual del 8%, ¿cuál es la suma total que volvería a la pareja indiferente ante cada uno de los planes de pago? (Véase la igura 2.22.) Dados: i ⫽ 8% anual, A ⫽ $7.92 millones y N ⫽ 25 años. Determine: P. A ⫽ $7.92 millones 0 1 2 24 25 Años i ⫽ 8% P⫽? Figura 2.22 Diagrama de flujo de efectivo “It’s official: Illinois couple wins $104 million Powerball prize”, CNN.com, 22 de mayo de 1998. El pago de $104.3 millones de la pareja se reducirá en un 28% por concepto del pago de impuestos federales y un 6.87% por impuestos estatales, lo que dejará a la pareja con un total de $67,940,000. 4 2.5 Series de pagos iguales 53 METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 1: Solución del factor de interés. Método 2: Solución de Excel. P = $7.921P/A, 8%, 252 = $7.92110.67482 = $84.54 millones. = VP18%, 25,7.92,, 02 = - $84.54 millones. COMENTARIOS: Sin duda, podemos decir a la pareja que renunciar a $7.92 millones anuales durante 25 años para recibir $104 millones hoy es una decisión ventajosa si pueden obtener una ganancia del 8% sobre su inversión. Ahora, quizá nos interese conocer la tasa de interés de retorno mínima para que tenga sentido aceptar un total de $104 millones. Como sabemos que P ⫽ $104 millones, N ⫽ 25 y A ⫽ $7.92 millones, despejamos i. Si usted conoce los lujos de efectivo y el valor presente (o el valor futuro) de una serie de lujos de efectivo, puede determinar la tasa de interés. En este caso, estamos buscando la tasa de interés que hace que el factor P/A sea igual a (P/A, i, 25) ⫽ $104/$7.92 ⫽ 13.1313. Ya que estamos hablando de anualidades, podríamos realizar lo siguiente: • Con una calculadora financiera, escriba N ⫽ 25, P ⫽ ⫺104 y A ⫽ 7.92, y después presione la tecla i para encontrar que i ⫽ 5.7195%. En una calculadora financiera normalmente aparecen los símbolos PV, PMT y FV, los cuales significan PV ⫽ P, PMT ⫽ A y FV ⫽ F. Note que, al igual que en Excel, P o A se deben registrar como números negativos para evaluar i correctamente. • Si desea utilizar tablas de interés, primero reconozca que $104 ⫽ $7.92(P/A, i, 25), o (P/A, i, 25) ⫽ 13.1313. Busque 13.1313 o un valor cercano en el apéndice B. En la columna P/A con N ⫽ 25 en la tabla B.23, encontrará que (P/A, 6%, 25) ⫽ 12.7834 y (P/A, 5%, 25) ⫽ 14.0939, lo que indica que la tasa de interés debe estar bastante cercana al 6%. Si un factor no aparece en la tabla, la tasa de interés no es un número entero. En tales casos, usted no podrá utilizar este procedimiento para encontrar una tasa exacta. En la práctica, esto no es problema, ya que en los negocios la gente utiliza las calculadoras financieras para encontrar las tasas de interés. • En Excel simplemente aplique el siguiente comando para resolver el problema de la tasa de interés desconocida para una anualidad: = TASA(N,A,P,F,tipo,estimado) = TASA(25,7.92,-104,0,0,5%) = 5.7195%. Es posible que la pareja de Chicago encuentre una inversión inanciera que ofrezca una tasa de ganancia mayor que 5.7195%. Así que, su decisión de recibir la totalidad de su premio parece ser un buen trato. La tabla 2.5 ilustra por qué la cantidad total (calculada en $104 millones), depositada a una tasa de interés del 5.7195%, equivale a recibir 25 pagos de $7.92 millones. 54 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo TABLA 2.5 Hoja de cálculo de Excel que ilustra el proceso de eliminación de un saldo inicial de $104 millones con el paso del tiempo ( Valor presente ) Series de pagos iguales Entradas (N ) Per. de capitalización Periodo Flujo de efectivo 0 $104.00 -$7.92 1 -$7.92 2 -$7.92 3 -$7.92 4 -$7.92 5 -$7.92 6 -$7.92 7 -$7.92 8 -$7.92 9 10 -$7.92 11 -$7.92 -$7.92 12 -$7.92 13 -$7.92 14 -$7.92 15 -$7.92 16 -$7.92 17 -$7.92 18 -$7.92 19 -$7.92 20 -$7.92 21 22 -$7.92 -$7.92 23 -$7.92 24 25 -$7.92 Salidas (P ) Valor presente ($) (A) Anualidad ($) (i ) Interés (%) Calcular Saldo de efectivo $104.00 $102.03 $99.94 $97.74 $95.41 $92.95 $90.34 $87.59 $84.68 $81.60 $78.35 $74.91 $71.28 $67.43 $63.37 $59.07 $54.53 $49.73 $44.66 $39.29 $33.62 $27.62 $21.28 $14.58 $7.49 $0.00 Reiniciar Graficar (i) Diagrama de flujo de efectivo o VP TASA Gráfica de saldo de efectivo En otras palabras, si usted deposita hoy la suma total en una cuenta de banco que paga el 5.7195% de interés anual, podrá retirar $7.92 millones anualmente durante 25 años. Al término de ese lapso, su cuenta de banco tendrá un saldo de cero. EJEMPLO 2.15 Comience a ahorrar dinero tan pronto como le sea posible: Serie compuesta que requiere los factores (F/P, i, N ) y (F/A, i, N ) Considere los dos siguientes planes de ahorro que usted podría comenzar a la edad de 21 años: • Opción 1: Ahorrar $2,000 al año por 10 años. Al término de 10 años, no ahorrar más, sino invertir la cantidad acumulada hasta alcanzar la edad de 65 años. (Suponga que el primer depósito se efectúa cuando usted tenga 22.) • Opción 2: No hacer nada los primeros 10 años. A partir de entonces, empezar a ahorrar $2,000 cada año hasta llegar a los 65 años. (Suponga que el primer depósito se realiza al cumplir 32 años.) 2.5 Series de pagos iguales 55 Si usted pudiera invertir su dinero al 8% en el horizonte de planeación, ¿cuál plan daría como resultado más dinero ahorrado para cuando usted tenga 65? (Véase la igura 2.23.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: i ⫽ 8% y los escenarios de depósito de la igura 2.23. Determine: F cuando tenga 65. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 1: Cálculo del saldo inal en dos pasos para el plan de ahorros temprano. Primero, calcule el saldo acumulado al término de 10 años (cuando tenga 31). Denomine esta cantidad F31. F31 = $2,0001F/A, 8%, 102 = $28,973. Después, use esta cantidad para calcular el resultado de reinvertir todo el saldo por otros 34 años. Denomine este resultado inal F65. F65 = $28,9731F/P, 8%, 342 = $396,646. Método 2: Plan de ahorro diferido. Como sólo cuenta con 34 años para invertir, el saldo resultante será F65 = $2,0001F/A, 8%, 342 = $317,253. Con el plan de ahorro temprano, podrá ahorrar $79,393 más. COMENTARIOS: En ese ejemplo, la tasa de interés supuesta es del 8%. Desde luego, estaríamos interesados en saber a qué tasa de interés serían equivalentes estas dos opciones. Podemos utilizar la función Buscar objetivo de Excel5 para contestar esta pregunta. F65 Opción 1: Plan de ahorros temprano 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 44 Años $2,000 F65 Opción 2: Plan de ahorros diferido 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Figura 2.23 Diagramas de flujo de efectivo para dos planes de ahorros distintos Buscar objetivo es parte de un conjunto de comandos a veces llamados herramientas de análisis de posibilidades en Microsoft Excel. Cuando usted conoce el resultado deseado de una sola fórmula, pero no el valor de entrada que la fórmula necesita para determinar el resultado, usted puede utilizar la función Buscar objetivo haciendo clic en Buscar objetivo del menú de Herramientas. Cuando se busca un objetivo, Excel varía el valor de una celda específica hasta que una fórmula que sea dependiente de esa celda arroje el resultado que usted desea. 5 44 $2,000 Años 56 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo TABLA 2.6 Año Uso de la función Buscar objetivo para encontrar la tasa de interés de equilibrio para hacer que dos opciones sean equivalentes Opción 1 Opción 2 Parámetros de la función Buscar objetivo Tasa de interés (%) VF de la opción 1 VF de la opción 2 Diferencia Establecer celda Buscar objetivo Establecer celda: Con el valor: Cambiando celda: Aceptar Cancelar Como se muestra en la tabla 2.6, anotamos la cantidad de depósitos a lo largo de 44 años en la segunda y tercera columnas. Las celdas F8 y F10, respectivamente, muestran el valor futuro de cada opción. La celda F12 contiene la diferencia entre los valores futuros de las dos opciones, o ⫽ F8 ⫺ F10. Para comenzar a utilizar la función Buscar Al cambiar la celda 2.6 Manejo de series con gradiente 57 objetivo, primero deina la celda F12 como establecer celda. Especiique con el valor como 0 y en la celda cambiando celda anote F6. Utilice la función Buscar objetivo para cambiar la tasa de interés en la celda F6 de manera creciente hasta que el valor de la celda F12 sea igual a 0. La tasa de interés de equilibrio es 6.538%. 2.5.5 Valor presente de perpetuidades Una perpetuidad es una serie de lujos de efectivo que continúa por siempre. Un buen ejemplo son las acciones preferenciales que pagan un dividendo ijo de efectivo cada periodo (normalmente un trimestre) y que nunca vencen. Una característica interesante de cualquier anualidad perpetua es que no se puede calcular el valor futuro de sus lujos de efectivo porque es ininita. No obstante, tiene un valor presente bien deinido. Parece un contrasentido el hecho de que una serie de lujos de efectivo que dura por siempre pueda tener un valor inito hoy. ¿Cuál es el valor de una perpetuidad? Sabemos cómo calcular el valor presente para una serie de pagos iguales con el lujo inito, como se muestra en la ecuación (2.10). Si tomamos un límite en esta ecuación dejando que N → ⬁, podemos encontrar la solución en forma cerrada de la siguiente manera: P = A . i (2.11) Para ilustrar, considere un lujo perpetuo de $1,000 por año, como se indica en la igura 2.24. Si la tasa de interés es del 10% anual, ¿cuánto vale esta perpetuidad hoy? La respuesta es $10,000. Para ver por qué, considere cuánto dinero tendría que depositar en una cuenta bancaria que ofrece un interés del 10% anual para poder retirar $1,000 cada año por siempre. Desde luego, si usted deposita $10,000, entonces al terminar el primer año tendría $11,000 en la cuenta. Usted retira $1,000, dejando $10,000 para el siguiente año. Como es evidente, si la tasa de interés se mantiene al 10% anual, no se acabará el capital, por lo que podría continuar retirando $1,000 cada año por siempre. 2.6 Manejo de series con gradiente Los ingenieros a menudo se enfrentan a situaciones que tienen que ver con pagos periódicos que aumentan o disminuyen en una cantidad constante G o un porcentaje constante (tasa de crecimiento) de un periodo a otro. Fácilmente podemos desarrollar una serie de fórmulas de interés para esta situación, pero Excel será una herramienta más práctica para calcular valores equivalentes para estos tipos de lujos de efectivo. A ⫽ $1,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P⫽ P ⫽ $10,000 N ⬁ Años A i donde A ⫽ un flujo de efectivo perpetuo e i ⫽ tasa de interés Figura 2.24 Valor presente de flujos de efectivo perpetuos 58 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo (N ⫺ 1)G (N ⫺ 2)G Note que el primer flujo de efectivo en una serie gradiente lineal estricta es 0 3G 2G G 0 1 2 3 4 ... N⫺1 N Figura 2.25 Diagrama de flujo de efectivo de una serie gradiente estricta 2.6.1 Manejo de series con gradiente lineal En ocasiones, los lujos de efectivo varían linealmente; es decir, aumentan o disminuyen en una cantidad establecida, G, la cantidad de gradiente. Este tipo de series se conoce como series gradientes estrictas, como se indica en la igura 2.25. Note que cada pago es An ⫽ (n ⫺ 1)G. Advierta también que la serie comienza con un lujo de efectivo cero al inal del periodo 1. Si G ⬎ 0, la serie se conoce como una serie gradiente creciente. Si G < 0, se le conoce como una serie gradiente decreciente. Series con gradiente lineal como series compuestas Por desgracia, la forma estricta de las series gradientes crecientes o decrecientes no corresponde a la forma que toman la mayoría de los problemas de ingeniería económica. Un problema común relacionado con las series con gradiente lineal incluye un pago inicial durante el periodo 1 que se incrementa en un factor G durante algunos periodos de capitalización, situación que se ilustra en la igura 2.26. Esta coniguración contrasta con la forma estricta mostrada en la igura 2.25, en la cual no se realiza pago alguno durante el periodo 1 y el gradiente se suma al pago anterior al inicio del periodo 2. 5G A1 A A1 1 0 1 G 2 3 4 5 6 0 2 0 1 2 3 4 5 6 A1 A1 G 2 3 4 5 2G 5G A1 1 1 3G 5G G 3 4 5 6 Años a) Series gradientes crecientes A1 0 2G A1 4G 6 3G 4G 5G G 0 1 2 3 4 5 6 Años b) Series gradientes decrecientes 0 1 2 3 4 5 6 Figura 2.26 Dos tipos de series con gradiente lineal como composición de una serie uniforme de N pagos de A1 y una serie gradiente de incrementos de una cantidad constante G 2.6 Manejo de series con gradiente 59 Para utilizar la serie gradiente estricta y resolver problemas comunes, debemos ver los lujos de efectivo como los que se muestran en la igura 2.26 como series compuestas, o un conjunto de dos lujos de efectivo, cada uno correspondiente a una forma que podemos reconocer y resolver fácilmente. La igura 2.26 ilustra que la forma en la que encontramos un lujo de efectivo típico se puede separar en dos componentes: una serie uniforme de N pagos de la cantidad A1 y una serie gradiente de incrementos de una cantidad constante G. La necesidad de ver los lujos de efectivo que implican series con gradiente lineal como compuestas de dos series es muy importante para la solución de problemas, como veremos ahora. Factor de valor presente: Gradiente lineal: Determine P, dados G, N e i ¿Cuánto tendría usted que depositar ahora para retirar las cantidades gradientes especiicadas en la igura 2.27? Para encontrar una expresión para la cantidad presente P, aplicamos el factor del valor presente para pagos únicos a cada uno de los términos de la serie, de donde obtenemos P = 0 + o G 11 + i2 2 + 2G 11 + i2 3 + Á + 1N - 12G 11 + i2N , N P = a 1n - 12G11 + i2-n. (2.12) n=1 Después de algunas operaciones algebraicas, obtenemos P = GB 11 + i2N - iN - 1 i211 + i2N R = G1P/G, i, N2. (2.13) El factor resultante (entre corchetes) se llama factor del valor presente de series gradientes6 y se designa mediante la notación (P/G, i, N). (N ⫺ 1)G Note que el primer flujo de efectivo en (N ⫺ 2)G una serie estricta de gradiente lineal es 0 3G 2G G 0 0 1 2 3 Años P⫽G (1 ⫹ i)N ⫺ iN ⫺ 1 i 2(1 ⫹ i)N ⫽ G(P/G, i, N) N⫺1 N P Figura 2.27 6 Diagrama de flujo de efectivo de una serie gradiente estricta Podemos obtener una serie de pagos iguales equivalente a la serie gradiente, si multiplicamos la ecuación (2.13) por la ecuación (2.9). El factor resultante se denomina factor de conversión del gradiente para pagos 11 + i2N - iN - 1 iguales y se designa (A/G, i, N) o A = G B R. i[11 + i2N - 1] 60 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo EJEMPLO 2.16 Creación de un esquema escalonado para la liquidación de un préstamo con series con gradiente lineal Usted solicitó un préstamo de $10,000 en un banco local, acordando que pagará el préstamo de acuerdo con un plan de pagos escalonados. Si su primer pago se ija en $1,500, ¿cómo sería el pago restante a una tasa de préstamo del 10% por cinco años? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Básicamente, estamos calculando la cantidad de gradiente (G) de tal forma que el valor presente equivalente de la serie gradiente de pagos sea exactamente $10,000 a una tasa de interés del 10%. Dados: P ⫽ $10,000, A1 ⫽ $1,500, N ⫽ 5 años e i ⫽ 10%. (Véase el lujo de efectivo de la igura 2.28) Determine: G. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 1: Cálculo del valor presente. La serie de pagos del préstamo consta de dos partes: 1. una serie de pagos iguales de $1,500 y 2. una serie gradiente estricta (desconocida, todavía por determinarse). De esta forma, podemos calcular el valor presente de cada serie e igualarlas a $10,000: $10,000 = $1,5001P/A, 10%, 52 + G1P/G, 10%, 52 = $5,686.18 + 6.8618G 6.8618G = $4,313.82 G = $628.67 Método 2: Uso de la función Buscar objetivo de Excel. Utilizando la función Buscar objetivo de Excel, podríamos reproducir el mismo resultado, como en la tabla 2.7. Primero, designamos las celdas B4 (tasa de interés) y B5 (monto del préstamo) como celdas de entrada, y las celdas E4 (cantidad gradiente) y E5 (valor presente de la serie de pagos) como celdas de salida. En términos de las series de pagos, se anota el pago constante en las celdas B12 a B16. La porción gradiente se lista en las celdas C12 a C16. Las celdas D12 a D16 son la cantidad a pagar en cada periodo durante la vigencia del préstamo. Finalmente, las celdas E12 a E16 indican el valor presente equivalente de la liquidación del préstamo. Segundo, para utilizar la función Buscar objetivo, designaremos la celda E4 como “Cambiando celda” y la celda E5 como “Establecer celda” con su valor en 10,000. Las cantidades gradientes mostradas en las celdas C12 a C16 se obtienen variando la cantidad gradiente inicial en la celda E4. La cantidad gradiente correcta (G) se determina en $628.67, lo que causará que el valor de “establecer celda” sea exactamente $10,000. 2.6 Manejo de series con gradiente 61 $10,000 1 2 3 4 5 0 $1,500 G 2G Figura 2.28 Diagrama de flujo de efectivo que representa un plan de pagos escalonados TABLA 2.7 3G Hoja de cálculo de Excel para determinar el tamaño de la cantidad gradiente (ejemplo 2.16) Ejemplo 2.16 Entradas: Tasa de interés (%) Préstamo (B) Periodo (n) Salidas: Gradiente (G) Valor presente (P) Serie de pagos Cambiando celda Establecer celda Valor presente EJEMPLO 2.17 Valor equivalente del efectivo Entonces, ¿qué sería mejor que ganar el premio mayor de la lotería? ¡Decidir cómo recibir las ganancias! Antes de participar en el juego de lotería SuperLotto Plus, usted tiene la posibilidad de elegir entre recibir el premio completo en 26 pagos escalonados anuales o recibir una suma total que será menor que el premio anunciado. (Véase la igura 2.29.) ¿Cuáles serían las opciones que se aplicarían para un premio anunciado de $7 millones? • Opción del pago global: El ganador recibe el valor presente del efectivo del premio anunciado en una sola exhibición. En este caso, el ganador recibiría alrededor del 49.43%, $3.46 millones, en un pago global (menos las retenciones de impuestos). Este valor del efectivo está basado en los costos de mercado prome- 4G 62 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo Opción del pago global $3.46 millones 0 1 2 3 4 5 6 7 25 26 Años Opción de pagos anuales $196,000 $189,000 $175,000 0 1 2 3 4 G 5 6 $357,000 $7,000 25 26 7 Años Figura 2.29 Diagrama de flujo de efectivo dio que se determinan a partir de los bonos cupón cero de la Tesorería de Estados Unidos, con un rendimiento anual del 5.3383%. • Opción de pagos anuales: El ganador recibiría el premio en 26 pagos escalonados anuales. En este caso, el ganador recibiría $175,000 como primer pago (2.5% de la cantidad total del premio). El segundo pago sería de $189,000. Durante los próximos 25 años, estos pagos aumentarían gradualmente cada año en $7,000 hasta llegar a un pago final de $357,000. Si la tasa del cupón cero de la Tesorería de Estados Unidos se reduce a 4.5% (en vez del 5.338%) en el momento de ganar, ¿cuál sería el valor equivalente del efectivo del premio de la lotería? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Este problema es lo mismo que preguntarnos cuál es el valor presente equivalente para esta serie de pagos anuales a un interés del 4.5%. Dados: A1 ⫽ $175,000, A2 ⫽ $189,000 y G ⫽ $7,000 (que corresponden a los pagos de los periodos 3 al 26), i ⫽ 4.5% anual y N ⫽ 26 años, como se muestra en la igura 2.29. Determine: P. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 1: Cálculo del valor equivalente del efectivo Como la serie gradiente lineal comienza en el periodo 2 para este ejemplo (esto es, se retrasa un periodo), podemos calcular el valor presente en dos pasos: Calcule el valor en n ⫽ 1 y luego regréselo a n ⫽ 0. Este método dará lo siguiente: P = [$175,000 + 189,0001P/A, 4.5%, 252 + $7,0001P/G, 4.5%, 252]1P/F, 4.5%, 12 = $3,818,363. El valor del efectivo ahora se ha incrementado de $3.46 millones a $3.818 millones. En otras palabras, si elige la casilla de “pago de contado” en su boleto de lotería y gana, usted recibirá el valor presente del efectivo del premio anunciado en una sola suma de $3.818 millones. 2.6 Manejo de series con gradiente 63 Método 2: Hoja de cálculo de Excel Si usamos Excel podríamos reproducir el mismo resultado de la tabla 2.8. TABLA 2.8 Si obtenemos la columna C de la hoja de cálculo de la tabla 2.8, podríamos llegar a la cantidad del lujo de efectivo en cada año sumando $7,000 a la cantidad del periodo anterior. Por ejemplo, la celda C14 se obtiene mediante ⫽ C13 ⫹ $C$7. Luego, la celda C15 se obtiene mediante ⫽ C14 ⫹ $C$7, y así sucesivamente. Presentación en hoja de cálculo de Excel de la serie gradiente lineal Ejemplo 2.16: Cálculo del valor del efectivo Premio mayor Tasa de interés (%) Cantidad base Cantidad gradiente Pago anual Número Programa de pagos en Factor de de pago % del premio mayor antes de impuestos descuento (4.5%) Valor presente del efectivo 64 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo 2.6.2 Manejo de series con gradiente geométrico Otro tipo de series gradientes se forma cuando la serie en un lujo de efectivo se determina, no por una cantidad ija como $500, sino por una tasa ija expresada como porcentaje. Muchos de los problemas de ingeniería económica, particularmente aquellos que tienen que ver con costos de construcción o de mantenimiento, implican lujos de efectivo que aumentan o disminuyen con el tiempo en un porcentaje constante (geométrico), un proceso llamado crecimiento compuesto. Los cambios de precio causados por la inlación son un buen ejemplo de estas series geométricas. Si utilizamos g para designar el cambio de porcentaje en un pago de un periodo a otro, la magnitud del enésimo pago An se relaciona con el primer pago A1 de la siguiente manera: A n = A 111 + g2n - 1, n = 1, 2, Á , N. (2.14) La g puede tomar ya sea un signo positivo o uno negativo, dependiendo del tipo de lujo de efectivo. Si g > 0, la serie aumentará; si g < 0, la serie disminuirá. La igura 2.30 ilustra el diagrama de lujo de efectivo para esta situación. Factor de valor presente: Determine P, dados A1, g, i y N Note que el valor presente Pn de cualquier lujo de efectivo An a una tasa de interés i es A n = A 111 + g2n - 1, n = 1, 2, Á , N. Si se desea encontrar una expresión para la cantidad presente para la serie entera, P, aplicamos el factor del valor presente para pagos únicos a cada término de la serie: N P = a A 111 + g2n - 111 + i2-n. n=1 g A1 A1(1 0 A1(1 g) 2 3 4 Años g)N 1 A1 A1(1 P A1 A1 Figura 2.30 decreciente 0 1 (1 1 N i) 2 3 4 Años N 1N P Serie geométrica decreciente g)N (1 i (1 g)N 1 0 o 1N N Serie geométrica creciente P g g) A1(1 0 1 (2.15) g i) N , si i ⫽ g; , si i ⫽ g Serie gradiente geométricamente creciente y 2.6 Manejo de series con gradiente 65 La expresión en la ecuación (2.15) tiene la siguiente expresión cerrada: P = d o podemos escribir A1 B 1 - 11 + g2N11 + i2-N i - g N A1 a b 1 + i R si i Z g, (2.16) si i = g. P = A 11P/A 1 , g, i, N2. El factor entre corchetes se llama factor del valor presente de series con gradiente geométrico y se designa (P/A1, g, i, N). En el caso especial donde i ⫽ g, la ecuación (2.16) se transforma en P ⫽ [A1/(1 ⫹ i)]N. Existe una forma alternativa de obtener el factor del valor presente de series con gradiente geométrico. Sacando de la suma el término constante A1(1 ⫹ g)–1 en la ecuación (2.15), tenemos P = N 1 + g n N A1 A1 c d = a a 11 + g2 n = 1 1 + i 11 + g2 n = 1 Si deinimos g¿ = 1 . i - g n c1 + d 1 + g (2.17) i - g , 1 + g entonces podemos reescribir P de la siguiente manera: P = N A1 A1 1P/A, g¿, N2. 11 + g¿2-n = a 11 + g2 n = 1 11 + g2 (2.18) No necesitamos ninguna otra tabla de factores de interés para este factor del valor presente de series con gradiente geométrico, ya que podemos evaluar el factor con (P/A, g⬘, N). En el caso especial donde i ⫽ g, la ecuación (2.18) se transforma en P ⫽ [A1/(1 ⫹ i)]N, ya que g⬘ ⫽ 0. EJEMPLO 2.18 Cálculo requerido de ajuste al costo de vida Suponga que su pensión de jubilación durante su primer año de retiro asciende a $50,000. Suponga que esta suma es justo lo suiciente para cubrir sus costos de vida durante el primer año. Sin embargo, se espera que su costo de vida se incremente a una tasa anual del 5%, a causa de la inlación. Suponga que usted no espera recibir ningún ajuste al costo de vida en su pensión de jubilación. Así, parte de su costo de vida futuro 66 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo tendrá que venir de sus ahorros y no de su pensión de jubilación. Si su cuenta de ahorros genera un 7% de interés anual, ¿cuánto debería usted destinar para cubrir este aumento futuro en el costo de vida por 25 años? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: A1 ⫽ $50,000, g ⫽ 5%, i ⫽ 7% y N ⫽ 25 años, como se muestra en la igura 2.31. Determine: P. METODOLOGÍA Método 1: Cálculo del valor presente. Pensión de jubilación esperada $50,000 $50,000 Años 0 1 2 3 4 5 6 21 22 23 24 25 $50,000 $50,000(1.05) Costo de vida esperado $161,255 Figura 2.31 Diagrama de flujo de efectivo SOLUCIÓN • Calcule la cantidad equivalente del total de beneficios pagados a lo largo de 25 años: P = $50,0001P/A, 7%, 252 = $582,679. • Calcule la cantidad equivalente del costo total de vida considerando la inflación. Si usamos la ecuación (2.16), el valor presente equivalente del costo de vida es P = $50,0001P/A 1 , 5%, 7%, 252 = $50,000 c 1 - 11 + 0.0522511 + 0.072-25 0.07 - 0.05 d = $50,000118.80332 = $940,167.22 De manera alternativa, para utilizar la ecuación (2.18), necesitamos encontrar el valor de g⬘: g¿ = 0.07 - 0.05 = 0.019048 1 + 0.05 Luego, si usamos la ecuación (2.18), encontramos que P es 50,000 1P/A, 1.9048%, 252 1 + 0.05 = $940,167. P= 2.6 Manejo de series con gradiente 67 Método 2: Hoja de cálculo de Excel. O puede conirmar el valor de P a través de una hoja de cálculo de Excel, como se muestra en la tabla 2.9. Los ahorros adicionales requeridos para cubrir el aumento futuro en el costo de vida serán ¢ P = $940,167 - $582,679 = $357,488 TABLA 2.9 Hoja de cálculo de Excel que ilustra el proceso de cálculo de los ahorros requeridos para la jubilación Serie?gradiente?geométrica ( Factor?del?valor?presente) Entradas (g ) Geométricas (%) Salidas (P ) Valor presente ($) (i ) Interés (%) (N ) Per. de capitalización Calcular Reiniciar Graficar (i) (A 1) Cantidad inicial ($) Periodo Flujo de efectivo Saldo de efectivo ($940,167) ($940,167) 0 $50,000 ($955,979) 1 $52,500 2 ($970,397) $55,125 3 ($983,200) 4 ($994,143) $57,881 $60,775 ($1,002,958) 5 ($1,009,351) 6 $63,814 $67,005 ($1,013,000) 7 $70,355 ($1,013,555) 8 $73,873 ($1,010,632) 9 $77,566 ($1,003,809) 10 $81,445 ($992,631) 11 ($976,599) 12 $85,517 $89,793 ($955,168) 13 ($927,747) 14 $94,282 ($893,693) 15 $98,997 $103,946 ($852,305) 16 ($802,822) 17 $109,144 $114,601 ($744,419) 18 $120,331 ($676,197) 19 ($597,184) 20 $126,348 ($506,322) Celda 21 $132,665 ($402,466) Celda 22 $139,298 $146,263 ($284,376) Celda 23 ($150,706) Celda 24 $153,576 ($0) 25 $161,255 Diagrama de flujo de efectivo Gráfica de saldo de efectivo 68 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo La tabla 2.10 resume las fórmulas de interés desarrolladas en esta sección y las situaciones de lujo de efectivo en las que deben usarse. Recuerde que todas las fórmulas de interés desarrolladas en esta sección son aplicables solamente a situaciones donde el periodo de capitalización (compuesto) es el mismo que el periodo de pago (es decir, interés compuesto anual con pago anual). En esta tabla también presentamos algunos de los útiles comandos inancieros de Excel. 2.7 Flujos de efectivo compuestos Aunque muchas de las decisiones inancieras tienen que ver con cambios constantes o sistemáticos en los lujos de efectivo, muchos proyectos de inversión contienen varios componentes de lujos de efectivo que no exhiben un patrón general. En consecuencia, es necesario expandir nuestro análisis para tratar estos tipos mixtos de lujos de efectivo. Para ilustrar, considere la serie de lujos de efectivo de la igura 2.32. Queremos calcular el valor presente equivalente para esta serie de pagos mixtos a una tasa de interés del 15%. Se presentan tres métodos diferentes. Método 1: Un enfoque de “fuerza bruta” es multiplicar cada pago por los factores (P/F, 10%, n) apropiados y después sumar estos productos para obtener el valor presente de los lujos de efectivo, $543.72 en este caso. Recuerde que éste es exactamente el mismo procedimiento que utilizamos para resolver la categoría de problemas llamados series de pagos desiguales, que describimos en la sección 2.4. La igura 2.32 ilustra este método de cálculo. Excel es la mejor herramienta para este tipo de cálculo. Método 2: Podemos agrupar los componentes del lujo de efectivo de acuerdo con el tipo de patrón de lujo de efectivo al que corresponden, como el pago único, las series de pagos iguales y así sucesivamente, como se muestra en la igura 2.33. $200 $100 $100 $100 2 3 4 $150 $150 $150 $150 5 6 7 8 $50 0 1 $50(P/F, 15%, 1) ⫽ $43.48 $100(P/F, 15%, 2) ⫽ $75.61 $100(P/F, 15%, 3) ⫽ $65.75 P Figura 2.32 9 Años $150(P/F, 15%, 8) ⫽ $49.04 $200(P/F, 15%, 9) ⫽ $56.85 $543.72 Método 1: Enfoque de “fuerza bruta” que utiliza los factores P/F 2.7 Flujos de efectivo compuestos 69 TABLA 2.10 Tipo de lujo S E N C I L L O S E R I E S D E P A G O S Tabla de resumen de fórmulas Notación factorial Cantidad compuesta (F/P, i, N) C O N G R A D I E N T E Comando de Excel Diagrama de flujo de efectivo F = P11 + i2N = VF1i%, N, 0, P2 F 0 Valor presente (P/F, i, N) Cantidad compuesta (F/A, i, N) I G U A L E S Fondo de amortización (A/F, i, N) Valor presente (P/A, i, N) Recuperación de capital (A/P, i, N) S E R I E S Fórmula Valor presente del gradiente lineal (P/G, i, N) Factor de conversión de pagos iguales (A/G, i, N) Valor presente del gradiente geométrico 1P/A 1 , g, i, N2 N P = F11 + i2-N F = AB A = FB P = AB A = PB 11 + i2N - 1 i i 11 + i2N - 1 11 + i2N - 1 i11 + i2N i11 + i2N 11 + i2 N P = GB - 1 A = GB A1 B A1 a F 01 2 3 N 1 AAA R AA = VP1i%, N, A2 R AAA = PAGO1i%, N, P2 R AA 1 2 3 N 1N P N 11 + i2 N = PAGO1i%, N, 0, F2 i 11 + i2 2 P = VF1i%, N, A2 R 11 + i2N - iN - 1 N P = D = VP1i%, N, 0, F2 - iN - 1 i311 + i2N - 14 R N b ,1if i = g2 1 + i 1 2 3 N 1N P R 1 - 11 + g2N11 + i2-N i - g G (N 1)G 2G R T A1(1 g)N 1 A3 A1 A2 1 2 3 P N 70 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo $200 $150 $100 $100 $100 2 3 4 $150 $150 $150 6 7 8 $50 0 1 5 Años 9 PGrupo1 ⫽ $50(P/F, 15%, 1) ฀$43.48 PGrupo2 ⫽ $100(P/A, 15%, 3)(P/F, 15%, 1) ฀$198.54 PGrupo3 ⫽ $150(P/A, 15%, 4)(P/F, 15%, 4) ฀$244.85 PGrupo4 ⫽ $200(P/F, 15%, 9) $56.85 P P ฀$43.48 ฀$198.54 $543.72 ฀$244.85 ฀$56.85 Figura 2.33 Método 2: Enfoque del agrupamiento que utiliza los factores P/F y P/A Entonces, el procedimiento para la solución implica los siguientes pasos: • Grupo 1: Calcule el valor presente de $50 pagaderos en el año 1: $501P/F, 15%, 12 = $43.48. • Grupo 2: Calcule el valor equivalente de una serie de pagos iguales de $100 en el año 1 (V1) y después incluya este valor equivalente en el año 0: $1001P/A, 15%, 321P/F, 15%, 12 = $198.54. (''')'''* V1 2.7 Flujos de efectivo compuestos 71 • Grupo 3: Calcule el valor equivalente de una serie de pagos iguales de $150 en el año cuatro (V4 ) y después incluya este valor equivalente en el año 0: $1501P/A, 15%, 421P/F, 15%, 42 = $244.85. (''')'''* V4 • Grupo 4: Calcule el valor presente equivalente de $200 pagaderos en el año 9: $2001P/F, 15%, 92 = $56.85 • Para el total de grupo, sume los componentes: P = $43.48 + $198.54 + $244.85 + $56.85 = $543.72 En la figura 2.33 se presenta una imagen de este proceso de cálculo. Para solucionar problemas de este tipo se pueden utilizar tanto el método de “fuerza bruta” de la figura 2.32 como el método que utiliza los factores (P/A, i, N) y (P/F, i, n) de la figura 2.33. No obstante, el método 2 es mucho más sencillo si el componente de anualidad corre por muchos años. Por ejemplo, esta solución sería claramente superior para encontrar el valor presente equivalente de un flujo de pagos que consiste en $50 en el año 1, $200 en los años 2 al 19, y $500 en el año 20. TABLA 2.11 Método 3: Uso de Excel para calcular el valor presente Flujos de efectivo compuestos Entradas Tasa de interés (%) Salidas Valor presente (P) Periodo (n) Flujo de efectivo Valor presente 72 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo Método 3: Con Excel podemos crear una hoja de cálculo como la mostrada en la tabla 2.11 de la página anterior. Al calcular el valor presente de la serie entera, podemos calcular el valor presente equivalente para cada lujo de efectivo y sumarlos. O podríamos utilizar la función VPN con los parámetros, ⫽ VPN($B$4,B12:B20), que calcularán el valor presente de la serie entera. RESUMEN 쐽 El dinero tiene un valor en el tiempo porque puede ganar más dinero con el paso del mismo. En este capítulo se presentaron varios términos que tienen que ver con el valor del dinero en el tiempo: Interés es el costo del dinero. Más específicamente, es un costo para el prestatario y una ganancia para el prestamista, superior a la suma inicial solicitada o prestada. Tasa de interés es un porcentaje aplicado periódicamente a una suma de dinero para determinar la cantidad de interés que se debe añadir a esa suma. Interés simple es la práctica de cobrar una tasa de interés sólo a la suma inicial. Interés compuesto es la práctica de cobrar una tasa de interés a una suma inicial y a cualquier interés acumulado previamente que no haya sido retirado de la suma inicial. El interés compuesto es, por mucho, el sistema más utilizado en el mundo real. La equivalencia económica existe entre flujos de efectivo individuales o entre patrones de flujos de efectivo que tienen el mismo valor. Aunque las cantidades y el tiempo de los flujos de efectivo puedan diferir, la tasa de interés apropiada los iguala. 쐽 La siguiente fórmula de interés compuesto es quizá la ecuación más importante en este texto: F = P11 + i2N. En esta fórmula, P es la suma presente, i es la tasa de interés, N es el número de periodos para los que está capitalizado el interés, y F es la cantidad futura resultante. Todas las demás fórmulas de interés importantes se obtienen a partir de ésta. 쐽 Los diagramas de flujo de efectivo son representaciones visuales de entradas y salidas de efectivo sobre una línea de tiempo. Son particularmente útiles para ayudarnos a detectar cuál de los cinco patrones de flujo de efectivo se representa mediante un problema en particular. 쐽 Los cinco patrones de flujo de efectivo son los siguientes: 1. Pago único: Un único flujo de efectivo presente o futuro. 2. Series uniformes: Una serie de flujos de cantidades iguales a intervalos regulares. 3. Series con gradiente lineal: Una serie de flujos que crecen o disminuyen en una cantidad fija a intervalos regulares. Excel es una de las herramientas más convenientes para solucionar este tipo de series de flujo de efectivo. 4. Series con gradiente geométrico: Una serie de flujos que crecen o disminuyen por un porcentaje fijo a intervalos regulares. Una vez más, Excel puede ayudarnos a solucionar este tipo de series de flujo de efectivo. 5. Series desiguales: Una serie de flujos que no manifiestan un patrón general. No obstante, se pueden detectar patrones para ciertas porciones de la serie. Problemas 73 쐽 Los patrones de flujo de efectivo son importantes porque nos permiten desarrollar fórmulas de interés, las cuales simplifican la solución de problemas de equivalencia. La tabla 2.10 resume las fórmulas de interés importantes que conforman las bases para otros análisis que usted realizará en el análisis de ingeniería económica. PROBLEMAS Métodos para calcular el interés 2.1 ¿Cuál es la cantidad de interés generado por año sobre $3,000 durante cinco años a un interés simple del 9%? 2.2 Usted deposita $2,000 en una cuenta de ahorros que genera un interés simple del 8% anual. ¿Cuántos años le tomará duplicar su saldo? Si, en vez de ello, deposita los $2,000 en otra cuenta de ahorros que dé un interés compuesto anual del 7%, ¿cuántos años le tomará duplicar su saldo? 2.3 Compare el interés generado sobre $10,000 durante 20 años a un interés simple del 7% contra la cantidad de intereses ganados si el interés fuera compuesto anualmente. 2.4 Usted está considerando invertir $1,000 a una tasa del 6% de interés compuesto anual durante cinco años o invertir $1,000 al 7% de interés simple anual durante cinco años. ¿Cuál es la mejor opción? 2.5 Usted está a punto de solicitar al banco un préstamo por $5,000 a una tasa de interés compuesto anual del 9%. Se le pide realizar cinco pagos anuales iguales por la cantidad de $1,285.46 por año, y que el primer pago se realice al término del año 1. Para cada año, calcule el pago de intereses y el pago del principal. El concepto de equivalencia 2.6 Suponga que tiene la alternativa de recibir $8,000 al término de cinco años o P dólares hoy. Actualmente, usted no necesita el dinero, por lo que podría depositar los P dólares en una cuenta bancaria que pague el 8% de interés compuesto anual. ¿Qué valor de P lo volvería indiferente ante su elección entre P dólares hoy y la promesa de $8,000 al finalizar los cinco años? 2.7 Suponga que, para cubrir algunos de sus gastos de la universidad, usted obtiene un préstamo personal de su tío por la cantidad de $20,000 (ahora) y debe pagarlos en dos años. Si su tío pudiera ganar el 10% de interés (compuesto anual) sobre su dinero invertido en varias fuentes, ¿el pago de qué cantidad total mínima a dos años a partir de ahora haría a su tío feliz económicamente? 2.8 ¿Cuál de las siguientes opciones elegiría usted, suponiendo una tasa de interés compuesto anual del 8%? Alternativa 1: Recibir $100 hoy; Alternativa 2: Recibir $120 dentro de dos años. Pagos únicos (uso de factores F/P o P/F) 2.9 Indique la cantidad acumulada por cada una de las siguientes inversiones: a) $7,000 en 8 años al 9% de interés compuesto anual. b) $1,250 en 12 años al 4% de interés compuesto anual. 74 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo c) $5,000 en 31 años al 7% de interés compuesto anual. d) $20,000 en 7 años al 6% de interés compuesto anual. 2.10 Determine el valor presente de los siguientes pagos futuros: a) $4,500 a 6 años a partir de ahora al 7% de interés compuesto anual. b) $6,000 a 15 años a partir de ahora al 8% de interés compuesto anual. c) $20,000 a 5 años a partir de ahora al 9% de interés compuesto anual. d) $12,000 a 8 años a partir de ahora al 10% de interés compuesto anual. 2.11 Suponiendo una tasa de interés compuesto anual del 8%, responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto dinero se puede prestar ahora si se deben pagar $6,000 al término de cinco años? b) ¿Cuánto dinero se necesitará en cuatro años para pagar un préstamo de $15,000 solicitado hoy? 2.12 ¿En cuántos años se triplicará una inversión si la tasa de interés es del 7% compuesto anual? 2.13 Usted adquirió 100 acciones de Cisco por $2,630 el 31 de diciembre de 2006. Su intención es conservar esas acciones hasta que dupliquen su valor. Si usted espera un crecimiento anual de Cisco del 12%, ¿por cuántos años piensa conservar las acciones? Compare su respuesta con la solución obtenida mediante la regla del 72 (presentada en el ejemplo 2.7). 2.14 Si usted desea retirar $10,000 al término de dos años y $35,000 al término de cuatro, ¿cuánto debería depositar ahora en una cuenta que paga el 9% de interés compuesto anual? Vea el siguiente diagrama de flujo de efectivo. $35,000 $10,000 0 1 2 Años 3 4 P⫽? 2.15 Juan y Susana acaban de abrir una cuenta de ahorros en dos bancos diferentes. Cada uno depositó $1,000. El banco de Juan paga un interés simple a una tasa anual del 10%, mientras que el banco de Susana paga intereses compuestos a una tasa anual del 9.5%. Durante un periodo de tres años no se retirarán de las cuentas ni el capital ni los intereses. Al término de los tres años, ¿quién tendrá el mayor el saldo y por cuánto será mayor (aproximando al dólar más cercano)? Problemas 75 Series de pagos desiguales 2.16 Si usted desea retirar las cantidades indicadas durante los próximos cinco años de una cuenta de ahorros que gana el 6% de interés compuesto anual, ¿cuánto necesita depositar ahora? Año Cantidad 2 $3,000 3 $3,500 4 $4,000 5 $6,000 2.17 Si se invierten $1,000 ahora, $1,500 en dos años y $2,000 en cuatro años a una tasa de interés compuesto anual del 8%, ¿cuál será la suma total en 10 años? 2.18 Los titulares de un diario local anunciaron: “Bo Smith firma por $30 millones”. El artículo revelaba que el 1 de abril de 2006, Bo Smith, el ex corredor ganador de todas las marcas de fútbol universitario, había firmado un contrato de $30 millones con el equipo de los Leones de Nebraska. Los términos del contrato eran $3 millones inmediatos, $2.4 millones por año los primeros cinco años (con el primer pago después de un año) y $3 millones por año durante los siguientes cinco años (con el primer pago al terminar el año 6). Si la tasa de interés es del 8% compuesto anual, ¿cuánto vale el contrato de Bo al momento de la firma del mismo? 2.19 ¿Cuánto dinero invertido ahora a una tasa de interés del 9% compuesto anual sería justo lo suficiente para dar tres pagos de la siguiente manera: el primer pago por la cantidad de $3,000 en dos años a partir de ahora, el segundo pago por $4,000 cinco años después y el tercer pago por $5,000 siete años después? 2.20 Usted deposita $2,000 hoy, $3,000 en un año y $5,000 en tres años a partir de hoy. ¿Cuánto dinero, de acuerdo con el siguiente diagrama, tendrá al final del año 3 si hay tasas de interés compuesto diferentes por periodo? F⫽? 5% 0 $2,000 10% 1 15% 2 3 $3,000 $5,000 Años 76 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo 2.21 Una compañía solicitó un préstamo de $150,000 a una tasa de interés compuesto anual del 9% durante seis años. El préstamo se liquidará en pagos realizados al final de cada año, de acuerdo con el programa de pagos que se muestra a continuación. ¿Cuál será el monto del último pago (X) que terminará de pagar el préstamo? $150,000 0 1 2 Años 3 4 5 6 $20,000 $20,000 $10,000 $20,000 $20,000 X 2.22 Usted se está preparando para comprar una casa de descanso dentro de cinco años. La casa costará $80,000 en ese momento. Usted planea hacer tres depósitos a una tasa de interés del 8%: Depósito 1: $10,000 hoy. Depósito 2: $12,000 dentro de dos años. Depósito 3: $X dentro de tres años. ¿Cuánto necesita invertir en el año 3 para asegurar que tendrá los fondos necesarios para comprar su casa de descanso al término del año 5? 2.23 El siguiente diagrama muestra los dividendos de efectivo anticipados para Delta Electronics durante los próximos cuatro años. José se interesa en comprar algunas acciones de esta empresa por un total de $100 y las conservará por cuatro años. Si la tasa de interés de José es del 8% compuesto anual, ¿cuál sería el precio total de venta mínimo deseado para el conjunto de acciones al término del cuarto año? X $8 2007 2008 $9 2009 Años $10 2010 $11 2011 P ⫽ $100 Series de pagos iguales 2.24 ¿Cuál es el valor futuro de una serie de depósitos anuales iguales de $3,000 por 8 años a una cuenta de ahorros que gana el 7% de interés compuesto anual si Problemas 77 a) todos los depósitos se realizan al final de cada año? b) todos los depósitos se realizan al principio de cada año? 2.25 ¿Cuál es el valor futuro de cada serie de pagos dada? a) $5,000 al final de cada año por seis años al 6% compuesto anual. b) $9,000 al final de cada año por nueve años al 7.25% compuesto anual. c) $12,000 al final de cada año por 25 años al 8% compuesto anual. d ) $6,000 al final de cada año por 10 años al 9.75% compuesto anual. 2.26 ¿Qué serie de pagos iguales anuales debe pagarse a un fondo de amortización para acumular las siguientes cantidades? a) $15,000 en 13 años al 5% compuesto anual. b) $20,000 en ocho años al 6% compuesto anual. c) $5,000 en 25 años al 8% compuesto anual. d ) $4,000 en ocho años al 6.85% compuesto anual. 2.27 Parte de las entradas que genera una máquina se deposita en un fondo de amortización para pagar el reemplazo de la máquina cuando ésta se desgaste. Si se depositan $3,000 cada año al 6% de interés compuesto anual, ¿cuántos años debe conservarse la máquina antes de poder comprar una nueva que cuesta $35,000? 2.28 Un fondo mutuo libre de comisión ha crecido a una tasa del 7% compuesto anual desde sus inicios. Si se anticipa que seguirá creciendo a este ritmo, ¿cuánto debe invertirse cada año para que se acumulen $10,000 al término de cinco años? 2.29 Usted abre una cuenta bancaria, haciendo un depósito de $500 ahora y depósitos de $1,000 cada tercer año. ¿Cuál es el saldo total después de 10 años a partir de ahora si sus depósitos ganan el 10% de interés compuesto anual? 2.30 ¿Qué serie de pagos iguales anuales se requiere para liquidar cada una de las siguientes cantidades? a) $15,000 en cinco años al 8% de interés compuesto anual. b) $3,500 en cuatro años al 9.5% de interés compuesto anual. c) $8,000 en tres años al 11% de interés compuesto anual. d ) $25,000 en 20 años al 6% de interés compuesto anual. 2.31 Usted solicitó un préstamo de $20,000 a una tasa de interés del 10% compuesto anual. Se realizarán pagos iguales por un periodo de tres años, y cada pago se realizará al finalizar el año correspondiente. ¿Cuál es el monto del pago anual? ¿Cuál es el pago de intereses para el segundo año? 2.32 ¿Cuál es el valor presente de cada una de las siguientes series de pagos? a) $5,000 al final de cada año por ocho años al 6% compuesto anual. b) $7,500 al final de cada año por 10 años al 9% compuesto anual. c) $1,500 al final de cada año por seis años al 7.25% compuesto anual. d ) $9,000 al final de cada año por 30 años al 8.75% compuesto anual. 2.33 De las tablas de interés en el apéndice A, determine el valor de los siguientes factores por interpolación y compare los resultados con los obtenidos de evaluar las fórmulas de interés A/P y P/A: a) El factor de recuperación de capital por 36 periodos al 6.25% de interés compuesto. b) El factor del valor presente de las series de pagos iguales por 125 periodos al 9.25% de interés compuesto. 78 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo 2.34 Si se depositan $400 en una cuenta de ahorros al inicio de cada año durante 15 años y la cuenta genera un 9% de interés compuesto anual, ¿cuál será el saldo de la cuenta (F) al término de los 15 años? Series con gradiente lineal 2.35 Samuel deposita su bono anual en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés compuesto anual. El monto de su bono aumenta $2,000 cada año y la cantidad inicial del mismo es de $5,000. Determine cuánto habrá en la cuenta inmediatamente después del quinto depósito. 2.36 Se realizan cinco depósitos anuales por las cantidades de $1,200, $1,000, $800, $600 y $400 a un fondo que paga intereses a una tasa del 9% compuesto anual. Determine la cantidad en el fondo inmediatamente después del quinto depósito. 2.37 Calcule el valor de P para el siguiente diagrama de flujo de efectivo. Considere que i ⫽ 8%. $350 $300 $250 $200 $150 $100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Años P 2.38 ¿Cuál es la serie de pagos iguales por 10 años que es equivalente a una serie de pagos que comienzan con $15,000 al final del primer año y que disminuyen $3,000 cada año durante 10 años? El interés es del 9% compuesto anual. 2.39 Se espera que el gasto por mantenimiento de una máquina sea de $1,000 durante el primer año y que se incremente en $250 cada año durante los siguientes ocho años. ¿Qué suma de dinero presente debe apartarse ahora para pagar los gastos por mantenimiento requeridos en un periodo de ocho años? (Suponga un 9% de interés compuesto anual.) 2.40 Considere la serie de flujos de efectivo de la siguiente tabla. ¿Cuál de los siguientes valores de C hace que la serie sea equivalente a la serie de retiros a una tasa de interés del 12% compuesto anual? a) C ⫽ $200.00 b) C ⫽ $282.70 c) C ⫽ $394.65 d ) C ⫽ $458.90 Problemas 79 Final del periodo 0 Depósito $1,000 1 800 2 3 400 4 200 Retiro 600 5 6 C 7 2C 8 3C 9 4C 10 5C Series con gradiente geométrico 2.41 Suponga que se espera que un pozo petrolero produzca 100,000 barriles de petróleo durante su primer año de producción. No obstante, se espera que su producción posterior disminuya en un 10% con respecto a la producción del año anterior. El pozo petrolero tiene una reserva comprobada de 1,000,000 de barriles. a) Suponga que se espera que el precio del crudo sea $30 por barril durante los próximos siete años. ¿Cuál sería el valor presente del flujo de ganancias anticipado a una tasa de interés del 12% compuesto anual por los próximos siete años? b) Suponga que se espera que el precio del crudo comience en $30 por barril durante el primer año y que aumente a una tasa del 5% con respecto al precio del año anterior. ¿Cuál sería el valor presente del flujo de ganancias anticipado a una tasa de interés del 12% compuesto anual por los próximos siete años? c) Suponga las condiciones del inciso b). Después de tres años de producción, usted decide vender el pozo petrolero. ¿Cuál sería el precio justo por el pozo con base en cuatro años más de producción? 2.42 Un ingeniero urbanista estima los siguientes ingresos anuales por tarifas de peaje en las carreteras, a 20 años, a partir de un proyecto para la construcción de una autopista: A n = 1$2,000,00021n211.062n - 1, n = 1, 2, Á , 20. Para determinar la cantidad de deuda que se inancia mediante bonos, se pidió al ingeniero que indicara el valor presente total estimado de los ingresos por cobro de peaje en las carreteras a una tasa de interés del 6%. Suponiendo que el interés es compuesto anual, determine el valor presente de los ingresos estimados por cobro de peaje. 2.43 ¿Cuál es la suma de 10 depósitos anuales iguales que pueden dar cinco retiros al año, el primero de $3,000 al final del año 11 y retiros posteriores que aumentan a una tasa del 6% anual respecto del año anterior, si a) la tasa de interés es del 8% compuesto anual? b) la tasa de interés es del 6% compuesto anual? 80 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo Cálculos de equivalencia 2.44 Determine el valor presente de los ingresos de efectivo en el siguiente diagrama si i ⫽ 10% compuesto anual, con sólo cuatro factores de interés. $100 $100 1 2 $150 $150 3 4 Años $200 $200 $200 $200 5 6 7 8 0 P 2.45 Al calcular el valor presente equivalente de cada una de las siguientes series de flujo de efectivo en el periodo 0, ¿cuál de las siguientes expresiones es incorrecta? a) b) c) d) P P P P = = = = $1001P/A, i, 421P/F, i, 42. $1001F/A, i, 421P/F, i, 72. $1001P/A, i, 72 - $1001P/A, i, 32. $100[P/F, i, 42 + 1P/F, i, 52 + 1P/F, i, 62 + 1P/F, i, 72]. 0 1 2 $100 $100 $100 $100 4 5 6 7 3 Años P 2.46 Determine el valor presente equivalente de los ingresos de efectivo en el siguiente diagrama, donde i ⫽ 10% compuesto anual. En otras palabras, ¿cuánto tiene usted que depositar ahora (haciendo un segundo depósito por $500 al final del primer año) para que pueda retirar $300 al final del tercer año, $300 al final del cuarto año y $800 al final del quinto año, si el banco le paga el 10% de interés anual sobre su saldo? $800 0 $300 3 4 1 2 Años $500 P $300 5 Problemas 81 2.47 ¿Qué valor de A hace equivalentes a los dos flujos de efectivo anuales que se muestran en el siguiente diagrama al 10% de interés compuesto anual? $120 $120 1 2 0 $120 $120 $120 3 4 5 A A 4 5 Años 0 A A 1 2 3 Años 2.48 Se dice que las dos transacciones de flujo de efectivo mostradas en el siguiente diagrama de flujo de efectivo son equivalentes al 10% de interés compuesto anual. Encuentre el valor desconocido X que satisfaga la equivalencia. $100 0 1 $200 $200 3 4 5 X X X 3 4 5 $100 2 Años 0 X X 1 2 Años 2.49 Determine el valor de C que hace las dos transacciones de flujo de efectivo económicamente equivalentes a una tasa de interés del 10%: $85 $50 $85 2C 2C $50 C C ⫽ 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 2.50 A partir del siguiente diagrama de flujo de efectivo, encuentre el valor de C que establezca la equivalencia económica entre la serie de depósitos y la serie de retiros a una tasa de interés del 9% compuesto anual. 82 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo $5,000 $5,000 0 1 2 3 4 Años 5 6 7 8 C C C C C C C C 9 10 2.51 La siguiente ecuación describe la conversión de un flujo de efectivo a una serie de pagos iguales equivalente con N ⫽ 10: A = [800 + 201A/G, 6%, 72] * 1P/A, 6%, 721A/P, 6%, 102 + [3001F/A, 6%, 32 - 500]1A/F, 6%, 102. Dada la ecuación, reconstruya el diagrama de lujo de efectivo original. 2.52 Considere el siguiente diagrama de flujo de efectivo. ¿Qué valor de C hace la serie de entradas equivalente a la serie de salidas a una tasa de interés del 12% compuesto anual? $1,200 $1,200 $1,200 $1,200 $800 0 $800 $800 $800 2 3 4 1 C C C Años 5 C 6 C 7 C 8 C 2C 2.53 Hace cuatro años, usted abrió una cuenta de fondo mutuo y realizó tres depósitos ($200 hace cuatro años, $X hace tres años y $300 hace un año), de donde ganó diferentes tasas de interés, de acuerdo con el siguiente diagrama. Actualmente su saldo es de $1,000. Determine el monto del depósito efectuado hace tres años ($X). F ⫽ $1,000 6% ⫺4 8% ⫺3 12% ⫺2 15% ⫺1 $200 X $300 0 Problemas 83 2.54 ¿Qué cantidad única después de cinco años es equivalente a una serie anual uniforme de $5,000 por año durante 10 años si la tasa de interés es del 10% compuesto anual? 2.55 Un padre de familia decide abrir una cuenta de ahorros para la educación universitaria de su hijo el día en que éste nace. Cualquier dinero que se deposite en la cuenta generará una tasa de interés del 8% compuesto anual. El padre hará una serie de depósitos anuales por montos iguales en cada cumpleaños de su hijo desde el primer cumpleaños hasta el cumpleaños 18 para que su hijo pueda hacer cuatro retiros anuales de la cuenta por $20,000 cada uno en sus cumpleaños 18, 19, 20 y 21. Suponiendo que el primer retiro se hará en el cumpleaños 18 del chico, calcule el depósito anual requerido A. 2.56 Encuentre el valor de X para que las dos transacciones de flujo de efectivo sean económicamente equivalentes al 10% compuesto anual. $500 $500 $500 $500 $500 $500 0 1 2 3 4 5 X 0 1 X 2 3 4 5 2.57 ¿Qué pago único al terminar el año 5 es equivalente a una serie de pagos anuales iguales de $800 que comienzan al final del año 3 y terminan al final del año 12? La tasa de interés es del 8% compuesto anual. 0 5 12 2.58 Usted pidió prestados $4,000 para financiar sus gastos de educación al principio de su penúltimo año en la universidad a una tasa de interés del 9% compuesto anual. Se le solicita que pague el préstamo con cinco pagos anuales iguales, pero el primero se diferirá hasta su graduación. Determine el valor de C, el monto de los pagos anuales. 84 CAPÍTULO 2 El valor del dinero en el tiempo $4,000 0 2 3 4 5 6 C C C C C 1 2.59 Considere la siguiente serie de flujos de efectivo a diferentes tasas de interés. ¿Cuál es el valor presente equivalente de la serie de flujos de efectivo? $1,500 $1,000 0 5% $1,000 8% 1 10% 2 $1,000 6% 4 3 P⫽? Determinación de una tasa de interés desconocida 2.60 ¿A qué tasa de interés compuesto anual se duplicará una inversión en cinco años? Encuentre las respuestas usando 1. la fórmula exacta y 2. la regla del 72. 2.61 Determine la tasa de interés i que hace que los pares de flujos de efectivo mostrados en los siguientes diagramas sean económicamente equivalentes. $150 $150 $150 $150 3 4 5 $100 0 1 $200 2 Años $200 $150 $50 0 1 2 3 Años $50 4 5 Problemas 85 2.62 Usted tiene $10,000 disponibles para invertir en acciones y busca aquellas que puedan hacer crecer su inversión a $35,000 en cinco años. ¿Qué tipo de tasa de crecimiento está usted buscando? Breves estudios de caso con Excel 2.63 El estado de Florida vendió un total de $36.1 millones en boletos de lotería a $1 cada uno durante la primera semana de enero de 2007. Como premio en dinero, se distribuirá un total de $41 millones en los siguientes 21 años ($1,952,381 al inicio de cada año). La distribución del premio del primer año se realiza ahora y las recaudaciones restantes de la lotería se invierten en fondos de reserva del estado para la educación, los cuales ganan intereses a la tasa del 6% compuesto anual. Después de la última distribución del premio (a principios del año 21), ¿cuánto quedará en la cuenta de reserva? 2.64 El titular de un diario dice: “Bebés millonarios: Cómo salvar nuestro sistema de seguridad social”. Suena un poco descabellado, pero el concepto expresado en el título de este diario es probablemente el aspecto central de un plan económico que propuso un miembro del Congreso. El senador Bob Kerrey, demócrata de Nebraska, propuso dar a cada bebé recién nacido una cuenta de ahorros del gobierno de $1,000 al momento de su nacimiento, seguidos por cinco contribuciones anuales de $500 cada una. Si los fondos se mantienen intactos en una cuenta de inversión, dice Kerrey, entonces para cuando el individuo cumpla 65 años, la contribución de $3,500 habrá crecido a $600,000 en ese lapso, aun si las ganancias fueran modestas para un plan de ahorro de aportación definida. A un interés del 9.4% compuesto anual, el saldo crecería a $1,005,132. (¿Cómo calcularía usted esta cifra?) Como nacen alrededor de 4 millones de bebés cada año, la propuesta costaría al gobierno federal $4 mil millones anualmente. Kerrey comunicó esta idea en una conferencia dedicada a atacar la reforma de seguridad social. Casi el 90% del total de las recaudaciones anuales de seguridad social, más de $300 mil millones, se destinan a pagar a los beneficiarios actuales, haciendo de la seguridad social uno de los programas federales más cuantiosos en gastos. El otro 10% se invierte en bonos gubernamentales que generan interés que financian los gastos diarios del gobierno federal. Analice los aspectos económicos del plan de ahorros de seguridad social del senador Bob Kerrey. 2.65 En 2003, Kevin Jones, el mariscal de campo del equipo de los Tigres de Texas, firmó un contrato de ocho años por $50 millones, lo que en ese tiempo lo convirtió en el jugador mejor pagado en la historia del fútbol americano profesional. El contrato incluía un bono de $11 millones por el hecho de firmar y salarios anuales de $2.5 millones en 2003, $1.75 millones en 2004, $4.15 millones en 2005, $4.90 millones en 2006, $5.25 en 2007, $6.2 millones en 2008, $6.75 millones en 2009 y $7.5 millones en 2010. El bono de $11 millones por firmar fue prorrateado en el curso de la vigencia del contrato para que se pagara una suma adicional de $1.375 millones cada año durante el periodo de ocho años del contrato. Dado el salario pagado al principio de cada temporada, ¿cuál es el valor de su contrato a una tasa de interés del 6%? CAPÍTULO TRES Estudio de la administración del dinero Pague lo mínimo, pague durante años Muchos de nosotros estamos familiarizados con las tarjetas de crédito. Las estadísticas en Estados Unidos indican que la familia promedio tiene un saldo sobre su tarjeta de crédito que sobrepasa los $4,000, y paga alrededor de $800 al año por concepto de intereses. De hecho, la deuda por tarjetas de crédito representa una buena parte del total de la deuda de los consumidores, que, en Estados Unidos, es de aproximadamente $1.5 billones.1 Esto se traduce en una deuda de $19,000 por hogar. Como es evidente, las tarjetas de crédito son una parte importante de nuestra vida cotidiana, y por eso es importante para los consumidores comprender el efecto que tienen los intereses sobre sus finanzas. La mayoría de los estudiantes universitarios manejan una o dos tarjetas de crédito para poder comprar artículos que son necesarios en su camino hacia la obtención de un título universitario. He aquí un ejemplo de las consecuencias de realizar sólo los pagos mínimos requeridos sobre los saldos de las tarjetas de crédito. Supongamos que John y Jane tienen, cada uno, una deuda de $2,000 en sus tarjetas de crédito y sus pagos mínimos requeridos son del 3% o $10, lo que sea más alto. Ambos cuentan con poco efectivo, pero Jane logra pagar $10 más por arriba de su pago mensual mínimo. John sólo paga el mínimo. Cada mes, John y Jane tienen un cargo del 20% de la tasa porcentual anual (TPA) sobre los saldos insolutos. Así que cuando John y Jane realizan sus pagos, parte de ellos se destina a pagar los intereses y otra parte al capital. • John paga un total de $4,240 en 15 años para solventar la deuda de $2,000 en la tarjeta de crédito. El interés que paga John durante los 15 años agrega un total de $2,240 a la deuda original de la tarjeta de crédito. 86 1 Fuente: “Understanding Credit Card Interest”, 6 de mayo de 2005, Investopedia.com. http://www. investopedia.com/articles/01/061301.asp. • Como Jane pagó $10 más cada mes, paga un total de $3,276 en siete años para liquidar su deuda de $2,000 en la tarjeta de crédito. Jane paga un total de $1,276 de intereses. Los $10 adicionales le ahorran a Jane casi $1,000 y reducen su periodo de liquidación de deuda ¡por más de siete años! Todo cuenta. Pagar el doble del mínimo, o más, puede reducir drásticamente el tiempo que toma liquidar el saldo, lo que da como resultado menores cargos por concepto de intereses. Sin embargo, como veremos pronto, pagar no sólo el mínimo o aun un poco más es una sabia decisión. Es mejor no tener ningún saldo en absoluto. ¿ Qué significa la tasa porcentual anual (tpa) del 20% establecida por la compañía de tarjetas de crédito? Y, ¿cómo calcula el pago de intereses la compañía de tarjetas de crédito? En este capítulo consideraremos varios conceptos cruciales en la administración del dinero. En el capítulo 2 examinamos el efecto del tiempo sobre el valor del dinero y desarrollamos diversas fórmulas de interés para ese propósito. Usando estas fórmulas básicas, ahora extenderemos el concepto de equivalencia para determinar tasas de interés implícitas en muchos contratos financieros. Para ello, presentaremos diferentes ejemplos en el área de transacciones de préstamos. Por ejemplo, muchos préstamos comerciales requieren que los intereses se acumulen más frecuentemente y no sólo una vez al año, por ejemplo, mensual o diariamente. Para considerar los efectos de una capitalización más frecuente, debemos empezar por comprender los conceptos de interés nominal e interés efectivo. 3.1 Tasas de interés del mercado Como se mencionó en el capítulo 2, la tasa de interés del mercado se define como la tasa de interés establecida por el mercado financiero, como los bancos y las instituciones financieras. Esta tasa de interés debe considerar cualquier cambio anticipado en la capacidad de generar ganancias y en el poder adquisitivo en la economía. En esta sección revisaremos la naturaleza de esta tasa de interés con más detalle. 87 88 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero 3.1.1 Tasa de interés nominal Revise con detenimiento un estado de cuenta de cualquier tarjeta de crédito. O, si usted recientemente obtuvo un financiamiento para un auto nuevo, examine el contrato del préstamo. Usted encontrará el interés que el banco le cobra sobre su saldo insoluto. Aun cuando una institución financiera utilice una unidad de tiempo diferente al año, por ejemplo, un mes o un trimestre, cuando se calculan los pagos de intereses y en otros casos, la institución normalmente cotiza la tasa de interés sobre una base anual. Muchos bancos, por ejemplo, anuncian sus políticas de intereses para tarjetas de crédito de la siguiente manera: “18% compuesto mensual” Esto significa simplemente que cada mes el banco cobrará el 1.5% de interés (12 meses por año ⫻ 1.5% por mes ⫽ 18% por año) sobre el saldo insoluto. Como se muestra en la figura 3.1, decimos que 18% es la tasa de interés nominal o tasa porcentual anual (tpa), y que la frecuencia de capitalización es mensual (12 veces por año). Aunque las instituciones financieras normalmente utilizan la tpa y los consumidores están familiarizados con ésta, la tpa no explica con precisión la cantidad de interés que se acumulará en un año. Para explicar el efecto verdadero de una capitalización más frecuente sobre las cantidades de interés anual, introduciremos el término tasa de interés efectiva, comúnmente conocida como rendimiento anual efectivo o rendimiento porcentual anual (rpa). 3.1.2 Rendimiento anual efectivo El rendimiento anual efectivo (o tasa de interés anual efectiva) es la tasa que verdaderamente representa el interés generado en un año. Cada año, se genera un interés acumulativo, 1.5% cada mes por 12 veces. Esta tasa acumulativa predice el pago de intereses real sobre su saldo de tarjeta de crédito. Podríamos calcular el pago de intereses total anual para una deuda de tarjeta de crédito de $1,000 utilizando la fórmula de la ecuación (2.3). 18% Compuesto mensual Figura 3.1 Relación entre tpa y el periodo de capitalización 3.1 Tasas de interés del mercado 89 Si el capital P=$1,000, i=1.5% y N=12, obtenemos F = P11 + i2N = $1,00011 + 0.015212 = $1,195.62. Es evidente que el banco está ganando más del 18% sobre su deuda original en la tarjeta de crédito. De hecho, usted está pagando $195.62. La implicación es que, por cada dólar que debe, usted está pagando un interés anual equivalente de 19.56 centavos. En términos de una tasa de interés anual efectiva (ia), el pago de intereses se puede expresar como un porcentaje del capital: ia=$195.62/$1,000=0.19562 o 19.562%. En otras palabras, pagar 1.5% de interés al mes durante 12 meses es equivalente a pagar el 19.56% de interés una sola vez al año. Esta relación se describe en la figura 3.2. La tabla 3.1 presenta las tasas de interés efectivas para varios periodos de interés compuesto para una tpa del 4 al 12%. Como se observa, dependiendo de la frecuencia de la capitalización, el interés efectivo ganado (o pagado por el prestatario) puede diferir considerablemente de la tpa. Por lo tanto, las leyes de declaración de veracidad requieren que las instituciones financieras indiquen tanto la tasa de interés nominal como la tasa de interés efectiva, ya sea al depositar o al pedir dinero. Desde luego, una capitalización más frecuente incrementa el monto del interés pagado en un año a la misma tasa de interés nominal. Suponiendo que la tasa de interés nominal es r y que hay M periodos de capitalización durante el año, se puede calcular el rendimiento anual efectivo ia de la siguiente manera: ia = a 1 + r M b - 1. M (3.1) Cuando M=1, tenemos el caso especial de capitalización anual. Al sustituir M=1 en la ecuación (3.1), ésta se reduce a ia=r. Esto es, cuando la capitalización se da una vez por año, el interés efectivo es igual 18% 1 ⴝ 1.5%/mes 18% compuesto mensual o 1.5% al mes durante 12 meses ⴝ 19.56% compuesto anual Figura 3.2 Relación entre la tasa de interés nominal y la tasa de interés efectiva 90 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero TABLA 3.1 Datos financieros para el arrendamiento de automóviles: Saturn contra Honda Rendimiento anual efectivo Frecuencia de capitalización Tasa nominal Anual Semestral Trimestral Mensual Diaria 4% 4.00% 4.04% 4.06% 4.07% 4.08% 5% 5.00% 5.06% 5.09% 5.12% 5.13% 6% 6.00% 6.09% 6.14% 6.17% 6.18% 7% 7.00% 7.12% 7.19% 7.23% 7.25% 8% 8.00% 8.16% 8.24% 8.30% 8.33% 9% 9.00% 9.20% 9.31% 9.38% 9.42% 10% 10.00% 10.25% 10.38% 10.47% 10.52% 11% 11.00% 11.30% 11.46% 11.57% 11.63% 12% 12.00% 12.36% 12.55% 12.68% 12.75% al interés nominal. Así, en la mayoría de nuestros ejemplos del capítulo 2, en los que sólo se consideró el interés anual, estábamos, por definición, utilizando el rendimiento anual efectivo. EJEMPLO 3.1 Determinación de un periodo de capitalización Considere el siguiente anuncio de un banco que apareció en un diario local: “Abra un certificado de depósito (CD) en el Banco Liberty y obtenga una tasa de rendimiento garantizada sobre un capital desde $500. Es una forma inteligente de administrar su dinero por meses.” En este anuncio, no se hace mención alguna de las frecuencias específicas de capitalización de intereses. Determine el periodo de capitalización de cada CD. Tipo de certificado Tasa de interés (tpa) Rendimiento porcentual anual (rpa) Mínimo requerido para la apertura 1-Certificado a 1 año 2.23% 2.25% $500 2-Certificado a 2 años 3.06% 3.10% $500 3-Certificado a 3 años 3.35% 3.40% $500 4-Certificado a 4 años 3.45% 3.50% $500 5- Certificados de 5 a 10 años 4.41% 4.50% $500 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: r=2.23% por año, ia=2.25%. Determine: M. 3.2 Cálculo de las tasas de interés efectivas con base en los periodos de pago 91 METODOLOGÍA SOLUCIÓN Determine el periodo de capitalización mediante prueba y error Primero, consideraremos el CD a un año. La tasa de interés nominal es del 2.23% por año y la tasa de interés anual efectiva (o rpa) es del 2.25%. Si utilizamos la ecuación (3.1), obtenemos la expresión o 0.0225 = 11 + 0.0223/M2M - 1, 1.0225 = 11 + 0.0223/M2M. Mediante prueba y error, encontramos que M=365. Así, el CD a un año genera el 2.23% de interés compuesto diario. De igual forma, podemos encontrar que los periodos de capitalización para los otros CD también son diarios. 3.2 Cálculo de las tasas de interés efectivas con base en los periodos de pago Podemos generalizar el resultado de la ecuación (3.1) con la finalidad de calcular la tasa de interés efectiva para cualquier periodo de tiempo. Como veremos más adelante, la tasa de interés efectiva normalmente se calcula de acuerdo con el periodo de pago (de transacción). Examinaremos dos tipos de interés compuesto: 1. interés compuesto discreto y 2. interés compuesto continuo. 3.2.1 Interés compuesto discreto Si las transacciones de flujo de efectivo se realizan trimestralmente pero el interés se compone mensualmente, quizá queramos calcular la tasa de interés efectiva sobre una base trimestral. Para considerar esta situación, podemos redefinir la ecuación (3.1) como i = 11 + r/M2C - 1 = 11 + r/CK2C - 1, (3.2) donde M=el número de periodos de capitalización por año, C=el número de periodos de capitalización por periodo de pago, y K=el número de periodos de pagos por año. Observe que M=CK en la ecuación (3.2). EJEMPLO 3.2 Tasa efectiva por periodo de pago Suponga que realiza depósitos trimestrales a una cuenta de ahorros que gana el 8% de interés compuesto mensual. Calcule la tasa de interés efectiva por trimestre. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: r=8%, C=3 periodos de capitalización por trimestre, K=4 pagos trimestrales por año y M=12 periodos de capitalización por año. Determine: i. 92 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule la tasa de interés efectiva con base en el periodo de pago. Usando la ecuación (3.2), calculamos la tasa de interés efectiva por trimestre de la siguiente manera: i = 11 + 0.08/1223 - 1 = 2.013%. COMENTARIOS: La tasa de interés anual efectiva ia es (1+0.02013)4 – 1=8.30%. En el caso particular de pagos anuales con composición anual, obtenemos i=ia, con C=M y K=1. La figura 3.3 ilustra la relación entre las tasas de interés nominal y efectiva por periodo de pago. Caso 1: 8% compuesto mensual Periodo de pago = trimestral Periodo de capitalización: mensual 1er. trim. 2o trim. 3er. trim. 4o trim. 3 periodos de capitalización Dados: r = 8% K ⫽ 4 pagos trimestrales por año; C ⫽ 3 periodos de capitalización por trimestre; M ⫽ 12 periodos de capitalización por año. i ⫽ [1 ⫹ r/CK]C ⫺ 1 ⫽ [1 ⫹ 0.08/(3)(4)]3 ⫺ 1 ⫽ 2.013% por trimestre. Figura 3.3 Cálculo de la tasa de interés efectiva por trimestre 3.2.2 Interés compuesto continuo Para ser competitivas en el mercado financiero o para atraer a depositantes potenciales, algunas instituciones financieras ofrecen una capitalización más frecuente. A medida que el número de periodos de capitalización (M) crece, la tasa de interés por periodo de capitalización (r/M) disminuye. A medida que M se aproxima al infinito y r/M tiende a cero, nos acercamos a la situación de interés compuesto continuo. Si tomamos los límites del lado derecho de la ecuación (3.2), obtenemos la tasa de interés efectiva por periodo de pago: i = lím CK → ⬁ = lím CK → ⬁ [(1 + r/CK ) C − 1] (1 + r/CK ) C − 1 = ( er) 1/K − 1. En suma, la tasa de interés efectiva por periodo de pago es i = er/K − 1. (3.3) 3.2 Cálculo de las tasas de interés efectivas con base en los periodos de pago 93 Para calcular la tasa de interés anual efectiva para el interés compuesto continuo, igualamos K a 1, lo que da por resultado ia = er - 1. (3.4) Como un ejemplo, la tasa de interés anual efectiva para una tasa de interés nominal del 12% compuesto de manera continua es ia=e0.12 – 1=12.7497%. EJEMPLO 3.3 Cálculo de una tasa de interés efectiva Calcule la tasa de interés efectiva por trimestre a una tasa nominal del 8% compuesto a) semanal, b) diario y c) continuo. ANÁLISIS DEL PROBLEMA METODOLOGÍA Calcule la tasa de interés efectiva, alterando el valor del periodo. Dados: r=8%, K=4 pagos por año. Determine: i por trimestre. SOLUCIÓN a) Capitalización semanal: Con r=8%, M=52 y C=13 periodos por trimestre, tenemos i = 11 + 0.08/52213 − 1 = 2.0186% por trimestre. . La figura 3.4 ilustra este resultado. Caso 2: 8% compuesto semanal Periodo de pago ⫽ trimestral Periodo de capitalización ⫽ semanal 1er. trim. 2o trim. 3er. trim. 4o trim. 13 periodos de capitalización Figura 3.4 Tasa de interés efectiva por periodo de pago: pagos trimestrales con capitalización semanal. b) Capitalización diaria: Con r=8%, M=365 y C=91.25 por trimestre, tenemos i = ( 1 + 0.08/365 ) 91.25 − 1 = 2.0199% por trimestre. . c) Capitalización continua: Con r=8%, M → ∞, C → ∞ y K=4, y empleando la ecuación (3.3), obtenemos i = e0.08/4 – 1 = 2.0201% por trimestre. 94 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero COMENTARIOS: Note que la diferencia entre capitalización diaria y capitalización continua a menudo es insignificante. Muchos bancos ofrecen capitalización continua para atraer clientes, pero los beneficios adicionales son mínimos. La tabla 3.2 resume las tasas variables de interés efectivas por periodo de pago (trimestral, en este caso) con diversas frecuencias de capitalización. TABLA 3.2 Tasas de interés efectivas por periodo de pago Caso 1 Base Caso 2 Caso 3 Caso 4 Tasa de interés 8% compuesto trimestral 8% compuesto mensual 8% compuesto semanal 8% compuesto diario 8% compuesto continuo Periodo de pago Los pagos son trimestrales Los pagos son trimestrales Los pagos son trimestrales Los pagos son trimestrales Los pagos son trimestrales Tasa de interés efectiva por periodo de pago 2.000% por trimestre 2.013% por trimestre 2.0186% por 2.0199% por trimestre trimestre 2.0201% por trimestre 3.3 Cálculos de equivalencia con tasa de interés efectiva Cuando se calculan valores equivalentes, necesitamos identificar tanto el periodo de vigencia de la tasa interés como el periodo de pago. Si el intervalo de tiempo para la capitalización difiere del intervalo de tiempo para la transacción de efectivo (o pago), necesitamos encontrar la tasa de interés efectiva que cubra el periodo de pago. Ilustramos este concepto con ejemplos específicos. 3.3.1 Periodo de capitalización igual al periodo de pago Todos los ejemplos del capítulo 2 suponían pagos anuales y capitalización anual. Cuando existe una situación en la que los periodos de capitalización y de pago son iguales (M=K), sin importar si el interés se compone anualmente o con base en otro intervalo, podemos usar el siguiente método de solución: 1. Identifique el número de periodos de capitalización (o pagos) (M=K) por año. 2. Calcule la tasa de interés efectiva por periodo de pago; esto es, i=r/M. 3.3 Cálculos de equivalencia con tasa de interés efectiva 95 3. Determine el número de periodos de pago: N=M*(número de años). 4. Utilice i y N en las fórmulas correspondientes de la tabla 2.10. EJEMPLO 3.4 Cálculo de los pagos de un préstamo para comprar un automóvil Suponga que usted desea comprar un auto. Ha examinado los anuncios de las concesionarias y el de la figura 3.5 le llamó la atención. Puede pagar un enganche de $2,678.95, por lo que la cantidad neta del financiamiento serían $20,000. a) ¿De cuánto sería el pago mensual? b) Después del 25º pago, usted desea liquidar el resto del préstamo en un solo pago. ¿A cuánto asciende esa cantidad total? Figura 3.5 Financiamiento de un auto 96 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero ANÁLISIS DEL PROBLEMA El anuncio no especifica un periodo de capitalización, pero en el financiamiento de automóviles, los periodos de intereses y de pago casi siempre son mensuales. En la segunda parte del ejemplo, necesitamos calcular el saldo restante después del 25º pago. METODOLOGÍA Paso 1: En esta situación, podemos calcular fácilmente el pago mensual si utilizamos la ecuación (2.9). Una tpa del 8.5% significa el 8.5% compuesto mensualmente. Dados: P=$20,000, r=8.5% por año, K=12 pagos por año, N=48 meses y M=12 periodos de capitalización por año. Determine: A Dados: A=$492.97, i=0.7083% y N=23 meses. Determine: Saldo restante después de 25 meses (B25). SOLUCIÓN: i=8.5% / 12=0.7083% por año y N=(12)(4)=48 meses, tenemos A=$20,000 (A / P, 0.7083%, 48)=$492.97. La figura 3.6 muestra el diagrama de flujo de efectivo para esta parte del ejemplo. $20,000 Meses 1 2 3 4 48 0 A Figura 3.6 Diagrama de flujo de efectivo para el inciso a) Paso 2: Podemos calcular la cantidad que se debe después de haber realizado el 25º pago si calculamos el valor equivalente de los 23 pagos restantes al término del 25º mes con la escala de tiempo recorrida 25 meses. El saldo se calcula como sigue: B25=$492.97(P/A, 0.7083%, 23)=$10,428.96. Entonces, si usted desea liquidar el resto del préstamo después del 25º pago, debe reunir $10,428.96, además del pago de ese mes, $492.97. (Véase la figura 3.7.) 3.3 Cálculos de equivalencia con tasa de interés efectiva 97 Suponga que desea liquidar el resto del préstamo con un pago único después de haber realizado el 25º pago. ¿A cuánto ascendería este pago? $20,000 1 Meses 24 25 26 2 48 0 $492.97 25 pagos ya realizados $492.97 23 pagos por realizar P=$492.97 (P/A, 0.7083%, 23) =$10,428.96. Figura 3.7 Proceso para calcular el saldo restante del financiamiento de un auto 3.3.2 La capitalización se realiza a una tasa diferente a la de los pagos efectuados El procedimiento de cálculo para manejar periodos de capitalización y periodos de pago que no pueden compararse es el siguiente: 1. Identifique el número de periodos de capitalización por año (M), el número de periodos de pago por año (K) y el número de periodos de capitalización por periodo de pago (C). 2. Calcule la tasa de interés efectiva por periodo de pago: • Para el interés compuesto discreto, calcule i=(1+r / M )C-1. • Para el interés compuesto continuo, calcule i=er/K-1. 3. Determine el número total de periodos de pago: N=K*(número de años). 4. Utilice i y N en las fórmulas correspondientes de la tabla 2.10. 98 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero EJEMPLO 3.5 Determinación de un periodo de capitalización Suponga que usted realiza depósitos trimestrales iguales de $1,000 en un fondo que paga un interés del 12% compuesto mensual. Calcule el saldo al final del año 3. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: A=$1,000 por trimestre, r=12% por año, M=12 periodos de capitalización por año, N=12 trimestres y el diagrama de flujo de efectivo de la figura 3.8. Determine: F. F=? Año 1 1 2 Año 2 3 4 5 6 7 Año 3 8 9 10 11 12 Trimestres A=$1,000 Figura 3.8 Diagrama de flujo de efectivo METODOLOGÍA Método 1: Periodos no comparables de capitalización y pagos Seguimos el procedimiento para los periodos no comparables de capitalización y pagos, como se describieron antes. SOLUCIÓN: 1. Identifique los valores que sirven de parámetro para M, K y C, donde M=12 periodos de capitalización por año, K=4 periodos de pago por año, y C=3 periodos de capitalización por periodo de pago. 2. Utilice la ecuación (3.2) para calcular el interés efectivo: i=(1+0.12/ 12)3-1 =3.030% por trimestre. 3. Determine el número total de periodos de pago, N, donde N=K (número de años)=4(3)=12 trimestres. 4. Utilice i y N en las fórmulas de equivalencia apropiadas: F=$1,000 (F/A, 3.030%, 12)=$14,216.24. Método 2: Hoja de cálculo de Excel. La tabla 3.3 ilustra el proceso para obtener el valor futuro de la serie de pagos trimestrales en un formato de Excel. 3.3 Cálculos de equivalencia con tasa de interés efectiva 99 TABLA 3.3 Hoja de cálculo de Excel que ilustra el proceso de acumulación del valor futuro Flujos de efectivo para pagos iguales (Valor futuro) Entradas Salidas (A ) Anualidad ($) (F ) Valor futuro 14,216.24 (i ) Interés (%) (N ) Periodos de la tasa de interés Periodo Depósito realizado 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $0.00 ($1,000.00) ($1,000.00) ($1,000.00) ($1,000.00) ($1,000.00) ($1,000.00) ($1,000.00) ($1,000.00) ($1,000.00) ($1,000.00) ($1,000.00) ($1,000.00) Saldo de efectivo $0.00 $1,000.00 $2,030.30 $3,091.82 $4,185.50 $5,312.32 $6,473.28 $7,669.42 $8,901.81 $10,171.53 $11,479.73 $12,827.57 $14,216.24 Valor futuro Reiniciar Graficar (i) Diagrama de lujo de efectivo Gráica de saldo de efectivo COMENTARIOS: El apéndice B no incluye factores de interés para i = 3.030%, pero aun así se puede calcular el factor de interés mediante F = $1,000 (A/F, 1%, 3)(F/A, 1%, 36), donde el primer factor de interés encuentra su pago mensual equivalente y el segundo factor de interés convierte la serie de pagos mensuales a un pago futuro de una cantidad global equivalente. Si se supone una capitalización continua, el saldo acumulado sería $14,228.37, que es aproximadamente $12 más que el saldo de la situación de capitalización mensual. (Véase la figura 3.9.) 100 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero F=? Año 1 Año 2 Año 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Trimestres A 5 $1,000 Figura 3.9 Cálculo de la equivalencia para la capitalización continua Paso 1: K=4 periodos de pago/año; C=∞ periodos de capitalización por trimestre. Paso 2: i =e0.12/4 – 1 =3.045% por trimestre. Paso 3: N=4(3)=12. Paso 4: F=$1,000 (F/A, 3.045%, 12) =$14,228.37. 3.4 Administración de deudas Las deudas relacionadas con tarjetas de crédito y préstamos comerciales se encuentran entre las transacciones financieras más importantes que implican intereses. Hay muchos tipos de préstamo disponibles, pero aquí nos enfocaremos en los más utilizados por individuos y negocios. 3.4.1 Préstamos con tarjetas de crédito Cuando aparecieron las tarjetas de crédito en 1959, dieron a los usuarios la oportunidad de manejar sus finanzas personales de una manera totalmente diferente. Desde la perspectiva del consumidor, utilizar una tarjeta de crédito significa que no tiene que esperar a que su cheque de pago llegue al banco antes de hacer una compra. La mayoría de las tarjetas de crédito operan con crédito renovable. Con el crédito renovable, usted cuenta con una línea de crédito a la que tiene acceso a voluntad y la cual puede liquidar tan rápida o tan lentamente como usted desee, siempre y cuando pague el mínimo requerido cada mes. Su estado de cuenta mensual es una excelente fuente de información sobre lo que su tarjeta cuesta realmente. Hay cuatro elementos que afectan los costos de la tarjeta de crédito: comisiones anuales, cargos por financiamiento, el periodo de gracia y el método para calcular los intereses. De hecho, hay tres formas diferentes para calcular los cargos por intereses, como se resume en la tabla 3.4. El método del saldo promedio diario es el más común. TABLA 3.4 Método Saldo ajustado Métodos para calcular intereses sobre sus tarjetas de crédito Descripción El banco resta el monto de su pago del saldo inicial y le cobra intereses sobre lo restante. Éste es el método menos costoso para el usuario. Ejemplo del interés que debe, dado un saldo inicial de $3,000 al 18% Con un pago de $1,000, su nuevo saldo será $2,000. Usted paga el 1.5% de interés por el mes sobre este nuevo saldo, lo que da por resultado (1.5%) ($2,000)=$30. Saldo diario promedio El banco le cobra intereses sobre el promedio de la cantidad que usted debe cada día durante el periodo. Así, cuanto más elevado sea el pago que usted realice, menor será el interés que usted pague. Con un pago de $1,000 el 15º día, su saldo se reduce a $2,000. Así, el interés sobre su saldo diario promedio para el mes será (1.5%) ($3,000+$2,000)/2=$37.50. Saldo anterior El banco no resta ningún pago que usted realice de su saldo anterior. Usted paga intereses sobre el monto total que debe al principio del periodo. Éste es el método más costoso para el usuario. La tasa de interés anual es del 18% compuesto mensual. Sin importar el monto de su pago, el banco le cobrará 1.5% sobre su saldo inicial de $3,000. De esta forma, su interés para el mes es (1.5%)($3,000)=$45. 3.4 Administración de deudas 101 EJEMPLO 3.6 Liquidar las tarjetas representa un ahorro considerable Suponga que usted debe $2,000 de una tarjeta de crédito que cobra el 18% de tpa y que realiza el pago mínimo del 10% o $20, lo que sea mayor, cada mes. ¿Cuánto tiempo tardará en liquidar la deuda? Suponga que el banco usa el método de saldo anterior para calcular su interés, lo que significa que el banco no resta la cantidad de su pago del saldo inicial, sino que le cobra intereses sobre el saldo anterior. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: tpa=18% (o 1.5% por mes), saldo inicial=$2,000 y pago mensual=10% del saldo insoluto o $20, lo que sea mayor. Determine: El número de meses para liquidar el préstamo, suponiendo que no se hayan realizado nuevas compras durante ese periodo de pago. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Utilice Excel para calcular el número de pagos. Con el saldo inicial de $2,000 (n=0), el interés del primer mes será $30 [=$2,000(0.015)], por lo que se le facturarán $2,030. Luego, usted realiza un pago de $203 (el 10% del saldo insoluto), por lo que su nuevo saldo será $1,827. Al final del segundo mes, el estado de cuenta indicará que usted debe al banco $1,854.41, de los cuales, $27.41 son por intereses. Con un pago de $185.44, el saldo se reduce a $1,668.96. Este proceso se repite hasta el pago número 26. Para el pago número 27 y los que le siguen, el 10% del saldo representa menos de $20, por lo que usted paga $20. Como se muestra en la tabla 3.5, le tomaría 37 meses liquidar la deuda de $2,000, y pagaría un total de $330.42 de intereses. TABLA 3.5 Programa de liquidación de un préstamo Periodo Saldo inicial 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $2,000.00 $1,827.00 $1,668.96 $1,524.60 $1,392.72 $1,272.25 $1,162.20 $1,061.67 $969.84 Interés $30.00 $27.41 $25.03 $22.87 $20.89 $19.08 $17.43 $15.93 $14.55 Pago $203.00 $185.44 $169.40 $154.75 $141.36 $129.13 $117.96 $107.76 $98.44 Saldo final $2,000.00 $1,827.00 $1,668.96 $1,524.60 $1,392.72 $1,272.25 $1,162.20 $1,061.67 $969.84 $885.95 (Continúa) 102 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero TABLA 3.5 Continuación Periodo Saldo inicial 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 $885.95 $809.31 $739.31 $675.36 $616.94 $563.57 $514.82 $470.29 $429.61 $392.45 $358.50 $327.49 $299.16 $273.29 $249.65 $228.05 $208.33 $190.31 $173.16 $155.76 $138.09 $120.17 $101.97 $83.50 $64.75 $45.72 $26.41 $6.80 Total: Interés Pago Saldo final $13.29 $12.14 $11.09 $10.13 $9.25 $8.45 $7.72 $7.05 $6.44 $5.89 $5.38 $4.91 $4.49 $4.10 $3.74 $3.42 $3.12 $2.85 $2.60 $2.34 $2.07 $1.80 $1.53 $1.25 $0.97 $0.69 $0.40 $89.92 $82.15 $75.04 $68.55 $62.62 $57.20 $52.25 $47.73 $43.61 $39.83 $36.39 $33.24 $30.37 $27.74 $25.34 $23.15 $21.15 $20.00 $20.00 $20.00 $20.00 $20.00 $20.00 $20.00 $20.00 $20.00 $20.00 $6.91 $2,330.42 $809.31 $739.31 $675.36 $616.94 $563.57 $514.82 $470.29 $429.61 $392.45 $358.50 $327.49 $299.16 $273.29 $249.65 $228.05 $208.33 $190.31 $173.16 $155.76 $138.09 $120.17 $101.97 $83.50 $64.75 $45.72 $26.41 $6.80 0 $0.10 $330.42 COMENTARIOS: Si el banco usa el método de saldo diario promedio —lo que implica que el banco le cobra intereses sobre el promedio de la cantidad que usted debe cada día durante el periodo—, usted tardaría un poco más en liquidar la deuda. Por ejemplo, si usted realiza un pago de $200 el día 15, su saldo se reduce a $1,800. Por consiguiente, el interés sobre su saldo diario promedio para el mes será (1.5%)($2,000+$1,800)/2=$28.50 y el saldo final será $1,828.50, y no $1,827.00. 3.4.2 Préstamos comerciales: Cálculo de pagos de capital e intereses Una de las aplicaciones más importantes del interés compuesto está relacionada con préstamos que se liquidan en plazos. Si un préstamo debe pagarse en cantidades periódicas iguales (por ejemplo, cada semana, cada mes, cada trimestre o anualmente), hablamos de un préstamo amortizado. 3.4 Administración de deudas 103 Algunos ejemplos son los préstamos para adquirir automóviles o aparatos electrodomésticos, los créditos hipotecarios y la mayoría de las deudas de negocios que no sean préstamos a corto plazo. La mayoría de los préstamos comerciales implican un interés que se capitaliza mensualmente. Por ejemplo, en el caso de un préstamo para comprar un auto, un banco local o una concesionaria le provee el dinero para pagar el auto y usted paga el capital más el interés en plazos mensuales, normalmente durante un periodo de tres a cinco años. El auto es su colateral. Si usted no sigue cumpliendo con sus pagos, el prestamista puede recuperar el auto y quedarse con todos los pagos que usted haya efectuado. Dos factores determinan lo que le costará un préstamo: el cargo por financiamiento y la duración del préstamo. El préstamo más económico no es necesariamente el préstamo con los pagos más bajos o con la menor tasa interés. De hecho, tiene que estudiar el costo total de solicitar el préstamo, lo que depende de la tasa de interés, las comisiones y el plazo (es decir, el tiempo que le tomará liquidar el préstamo). Si bien usted no puede cambiar la tasa y las comisiones, quizá pueda acordar un plazo más corto. Hasta ahora hemos considerado muchos ejemplos de préstamos amortizados en los que calculamos los valores presentes o futuros de los préstamos o el monto de los pagos a plazos. Otro aspecto de los préstamos amortizados, que será de gran interés para nosotros, es el cálculo de la cantidad de intereses contenidos, contra la porción del capital que se liquida en cada plazo. Como veremos con más detalle en el capítulo 9, el interés pagado sobre un préstamo es un elemento importante para calcular el ingreso gravable. Más adelante mostraremos cómo podemos calcular el interés y el capital pagados en cualquier momento de la vigencia de un préstamo, utilizando funciones financieras de Excel. Como se ilustra en el ejemplo 3.7, la cantidad de intereses que se debe en un periodo determinado se calcula sobre el saldo restante del préstamo al principio del periodo. EJEMPLO 3.7 Uso de Excel para determinar el saldo, el capital y el interés de un préstamo Suponga que obtiene un préstamo de $5,000 en un banco local para hacer reparaciones a su casa. El funcionario del banco le indica los siguientes términos: • • • • Monto del contrato=$5,000 Periodo del contrato=24 meses Rendimiento porcentual anual=12% Pago mensual=$235.37 La figura 3.10 muestra el diagrama de flujo de efectivo para este préstamo. Elabore el programa de pagos del préstamo mostrando el saldo restante, el pago de intereses y el pago de capital al final de cada periodo de la vigencia del préstamo. $5,000 i=1% por mes 1 2 3 4 5 6 7 0 Figura 3.10 Meses 22 23 24 • • • A=$235.37 Diagrama de flujo de efectivo 104 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: P=$5,000, A=$235.37 al mes, r=12% anual, M=12 periodos de capitalización por año y N=24 meses. Determine: Bn e In para n=1 a 24. METODOLOGÍA SOLUCIÓN: Se puede ver fácilmente cómo es que el banco calculó el pago mensual de $235.37. Como la tasa de interés efectiva por periodo de pago sobre la transacción de este préstamo es del 1% al mes, establecemos la siguiente relación de equivalencia: $5,000(A/P, 1%, 24)=$5,000(21.2431)=$235.37 El programa de pagos del préstamo se puede elaborar en Excel, como en la tabla 3.6. El interés por n=1 es $50.00, el 1% de los $5,000 insolutos durante el primer mes. Los $185.37 restantes se aplican al capital, lo que reduce el monto del insoluto en el segundo mes a $4,814.63. El interés que se debe pagar en el segundo mes es el 1% de $4,814.63, o $48.15, lo que nos deja $187.22 para liquidar el capital. A n=24, el último pago de $235.37 es justo lo suficiente para pagar el interés sobre el capital del préstamo que no se ha pagado y para liquidar el capital restante. TABLA 3.6 Programa de pagos de un préstamo (generado en Excel) Ejemplo 3.7 Programa de pagos de un préstamo Pago total Interés total Monto del contrato Periodo del contrato TPA (%) Pago mensual Pago núm. PAGO PAGOPRIN PAGOINT Monto Pago Pago de del pago de capital intereses Saldo del préstamo 3.4 Administración de deudas 105 COMENTARIOS: Desde luego, generar un programa de pagos de un préstamo como el de la tabla 3.6 puede ser un proceso tedioso y tardado, aun con Excel. En el sitio Web de este libro,2 usted puede descargar un archivo de Excel que crea el programa de pagos de un préstamo como el que se muestra en la tabla 3.7. Una vez que escribe la cantidad solicitada en préstamo (B) en la celda E4 y la tpa en la celda E5, usted puede elegir la frecuencia de pagos en la celda D6, que puede ser mensual, trimestral o anual. Después, tiene que anotar el número total de periodos de pago en la celda E6. Automáticamente, Excel calculará la tasa de interés por periodo de pago (i) y la mostrará en la celda I4. Finalmente, haga clic en el botón “Calcular” en la celda G9 para calcular el monto del pago, el pago de capital, el pago de intereses y el saldo del préstamo restante para cada periodo de la vigencia del préstamo. Como se muestra en la tabla 3.7, usted puede obtener gráficas, como un diagrama de flujo de efectivo, el programa de pagos de capital e intereses y el monto del pago periódico como una función de la tpa. TABLA 3.7 2 Hoja de Excel para generar un programa de pagos de un préstamo www.pearsoneducation.net/park. 106 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero 3.4.3 Comparación de diferentes opciones financieras Cuando usted elige un automóvil, también elige cómo pagarlo. Si, como la mayoría de la gente, no cuenta con el efectivo suficiente para adquirir el auto que desea de contado, pensará en solicitar un préstamo o en rentar el auto para así diferir los pagos en un mayor tiempo. Su decisión de pagar de contado, solicitar un préstamo o firmar un contrato de arrendamiento depende de diversos factores personales y económicos. Rentar es una opción que le permite pagar por la porción del vehículo que usted espera utilizar por un tiempo determinado, más el cargo por arrendamiento, los impuestos y las comisiones. Por ejemplo, tal vez desee un vehículo de $20,000. Suponga que el vehículo podría valer alrededor de $9,000 (su valor residual) al término de un contrato de arrendamiento de tres años. Sus opciones son las siguientes: • Si cuenta con suficiente efectivo para comprar el auto, podría comprarlo con efectivo. Sin embargo, si paga en efectivo, perderá la oportunidad de ganar intereses sobre la cantidad que gaste, que podrían ser sustanciales si tiene acceso a inversiones que den buenos rendimientos. • Si compra el vehículo mediante el financiamiento de deuda, sus pagos mensuales se basarán en el valor total del vehículo, $20,000. Será el dueño del vehículo cuando concluya el periodo de financiamiento, pero el interés que pagará sobre el préstamo elevará el costo real del auto. • Si renta el vehículo, sus pagos mensuales estarán basados en la cantidad del vehículo que usted espera “consumir” durante el tiempo de arrendamiento. Este valor ($11,000 para nuestro ejemplo) es la diferencia entre el costo original ($20,000) y el valor estimado al final del periodo de arrendamiento ($9,000). Si decide rentar, la duración de su contrato de arrendamiento, los pagos mensuales y el límite de kilometraje anual pueden ajustarse a sus necesidades de conducción. El mayor atractivo financiero para la renta radica en sus bajos costos iniciales: por lo regular, usted sólo paga una cuota administrativa por la renta, un mes de alquiler y un depósito de garantía reembolsable. Los términos de su contrato incluirán un límite de kilometraje; si se excede, tendrá que pagar una cuota por cada kilómetro adicional. ¿Qué tasa de interés utilizamos al comparar las diferentes opciones de financiamiento? Se supone que la tasa de interés del concesionario (o la del banco) refleja el valor en el tiempo del dinero del concesionario (o del banco) y está factorizada en los pagos requeridos. Sin embargo, la tasa de interés correcta para que nosotros comparemos las opciones de financiamiento es la tasa de interés que refleja su oportunidad de ganancia. Para la mayoría de las personas, esta tasa de interés podría equivaler a la tasa que generan sus depósitos en una cuenta de ahorros. Para ilustrar, veamos dos ejemplos. El ejemplo 3.8 compara dos diferentes opciones de financiamiento para un automóvil. El ejemplo 3.9 examina una decisión entre comprar o rentar un automóvil. EJEMPLO 3.8 Compra de un auto: Pagar de contado o solicitar un préstamo Considere las siguientes dos opciones que propone un concesionario de autos: • Opción A: Comprar el vehículo a precio normal, $26,200, y realizar 36 pagos mensuales iguales al 1.9% de tpa por financiamiento. • Opción B: Comprar el vehículo con descuento, $24,048, pagando de inmediato. Los fondos que se usarían para comprar el vehículo, en este momento, generan el 5% de interés anual compuesto mensual. ¿Cuál opción es mejor en términos económicos? 3.4 Administración de deudas 107 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Al calcular el costo neto del financiamiento del auto, necesitamos decidir qué tasa de interés usar al descontar la serie de pagos del préstamo. Note que el 1.9% de tpa representa la tasa de interés del vendedor para calcular los pagos del préstamo. Con un interés del 1.9%, sus pagos mensuales serán A=$26,200(A/P, 1.9%/12, 36)=$749.29. Por otra parte, el tpa del 5% representa su tasa de oportunidad de ganancia. En otras palabras, si no compra el auto, su dinero continuará ganando el 5% de tpa. Por lo tanto, esta tasa del 5% representa su costo de oportunidad de comprar el auto. ¿Cuál tasa de interés deberíamos utilizar en este análisis? Como deseamos calcular el valor presente de cada opción para usted, dados su dinero y situación financiera, debemos usar la tasa de interés del 5% para valorar estos flujos de efectivo. Dados: La serie de pagos del préstamo que aparece en la figura 3.11, r=5%, periodo de pago=mensual y periodo de capitalización=mensual. Véase la figura 3.11. Determine: La opción de financiamiento más económica. METODOLOGÍA SOLUCIÓN: Para cada opción, calcularemos el costo equivalente neto (valor presente) a n=0. Como los pagos del préstamo son mensuales, necesitamos determinar la tasa de interés efectiva por mes, que es 5%/12 Opción A 1 2 3 4 5 6 7 0 34 35 36 • • • A 5 $749.29 0 1 2 3 4 5 6 7 Opción B • • • 34 35 36 Meses P=$24,048 Figura 3.11 Diagrama de flujo de efectivo • Opción A (financiamiento convencional): El costo presente equivalente del total de los pagos del préstamo se calcula así: PA=$749.29 (P/A, 5%/12, 36) =$25,000. • Opción B (pago de contado): Como el pago de contado es una cantidad global que se desembolsa en el presente, su costo equivalente actual es igual a su valor: PB=$24,048. Por lo tanto, habría un ahorro de $952 en el valor presente, en el caso de la opción de pago de contado. EJEMPLO 3.9 Comprar o rentar un auto En una concesionaria local se ofrecen dos opciones de financiamiento para un automóvil, como se muestra en la tabla de la siguiente página. Los cálculos se basan en programas especiales de financiamiento disponibles en las concesionarias participantes durante un tiempo limitado. Para cada opción, la licencia, el título de propiedad, las comisiones por registro, los impuestos y el seguro son 108 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero Comprar o rentar Opción 1 Financiamiento de deuda Precio Pago inicial tpa (%) Pago mensual Duración Comisiones Al final del arrendamiento se paga Opción de compra al final del arrendamiento $14,695 $2,000 3.6% $372.55 36 meses Al firmar se paga $2,000 Opción 2 Financiamiento de arrendamiento $14,695 $0 $236.45 36 meses $495 $300 $8,673.10 $731.45 aparte. Para la opción de renta, el arrendatario debe contar con $731.45 al momento de firmar. Este efectivo pagado al momento de la firma incluye la primera mensualidad del alquiler de $236.45 y una cuota administrativa de $495. No se requiere ningún depósito de garantía. Sin embargo, hay una cuota de $300 por disposición al finalizar el contrato. El arrendatario tiene la oportunidad de comprar el vehículo por $8,673.10 al término de su contrato de arrendamiento. El arrendatario también es responsable por el uso y desgaste excesivos. Si su tasa de ganancia es del 6% compuesto anual, ¿cuál opción de financiamiento es la mejor elección? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Al optar por el arrendamiento, usted paga la porción del vehículo que espera utilizar. Al finalizar el contrato, simplemente devuelve el vehículo al concesionario y paga la cuota por disposición acordada. En el caso del financiamiento tradicional, su pago mensual se basa en el valor completo del vehículo, $14,695, y usted será el dueño de la unidad al terminar su financiamiento. Como usted está comparando estas opciones a tres años, debe considerar la porción del vehículo que no se utilice (valor de reventa) al final del periodo. En otras palabras, debe considerar el valor de reventa del vehículo para así determinar el costo neto de poseer el vehículo. Podría considerar los $8,673.10, cotizados por el concesionario en la opción de arrendamiento, como el valor de reventa. Entonces deberá preguntarse si podrá obtener ese valor de reventa después de tres años de poseer el vehículo. (Véase la figura 3.12.) Dados: r=La serie de pagos por arrendamiento indicados en la figura 3.12, r=6%, periodo de pago=mensual y periodo de capitalización=mensual. Determine: La opción de financiamiento más $8,673.10 económica, suponiendo que podrá vender el vehículo en $8,673.10 al término Valores de reventa de tres años. equivalentes Opción 1 Meses 0 1 2 3 4 35 36 $372.55 $2,000 Opción 2 Meses 0 1 2 3 4 $236.45 $731.45 Figura 3.12 Diagramas de flujo de efectivo para la compra y la renta del auto 35 36 $300 3.4 Administración de deudas 109 Para cada opción, calcularemos el costo total equivalente neto a n=0. Como los pagos son mensuales, necesitamos determinar la tasa de interés efectiva por mes, que es del 0.5%. METODOLOGÍA SOLUCIÓN: Método 1: Financiamiento convencional. El costo actual equivalente del total de los pagos del préstamo se calcula de la siguiente manera: P1=$2,000+ $372.55 (P/A, 0.5%, 36) =$14,246.10. El valor presente equivalente del valor de reventa se calcula así: P2=$8,673.10 (P/F, 0.5%, 36)=$7,247.63. Por lo tanto, el costo de financiamiento neto equivalente es P=P1-P2=$14,246.10-$7,247.63 =$6,998.47. Método 1: 2: Financiamiento de arrendamiento. El costo actual equivalente del total de los pagos del arrendamiento se calcula como P1=$731.45+$236.45(P/A, 0.5%, 35) =$731.45+$7,574.76 =$8,306.21. El costo actual equivalente de la cuota por disposición se calcula P2=$300 (P/F, 0.5%, 36)=$250.69 Por lo tanto, el costo por arrendamiento neto actual equivalente es P=P1+P2=$8,306.21+$250.69 =$8,556.90. Parece que el programa tradicional de financiamiento para adquirir el auto es más económico al 6% de interés compuesto mensual. COMENTARIOS: Si variamos el valor de reventa S, podemos encontrar el valor de reventa de equilibrio que hace que, en este caso, el financiamiento tradicional y el financiamiento de arrendamiento sean equivalentes: $8,556.90=$14,246.10-S(P/F, 0.5%, 36) Así, el valor de reventa de equilibrio es S=($14,246.10-$8,556.90)/0.8356 =$6,808.15. 110 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero De esta forma, a un valor de reventa mayor que $6,808.25, el plan de financiamiento convencional sería la opción más económica. La tabla 3.8 ilustra cómo podemos crear una hoja de cálculo en Excel para determinar el valor de reventa de equilibrio usando la función Buscar objetivo. Para llevar a cabo esta función, calculamos el costo equivalente de financiamiento de deuda en la celda B17 y el costo equivalente de financiamiento de alquiler en la celda D19. Después, registramos la cantidad diferencial en la celda $B$21. Estamos buscando un valor de reventa (al cambiar la celda $B$23) para hacer que este costo diferencial (defina la celda $B$21) sea cero (Valorar). Cuando presione Aceptar, Excel encontrará el valor de reventa equivalente en $6,808.15. TABLA 3.8 Hoja de cálculo de Excel para determinar el valor de reventa de equilibrio Financiamiento de deuda Financiamiento de alquiler Problemas 111 RESUMEN 쐽 Por lo regular, las instituciones financieras cotizan el interés como una tasa porcentual anual (tpa). Sin embargo, la capitalización a menudo ocurre con más frecuencia. Multiplicar la tpa por el monto de la deuda no representa el efecto de esta capitalización más frecuente. Esta situación lleva a la distinción entre interés nominal y efectivo. 쐽 El interés nominal es una tasa de interés para un periodo dado (por lo general, un año). 쐽 El interés efectivo es la tasa de interés real, que representa el monto de los intereses acumulados en un periodo dado. La tasa efectiva se relaciona con la tpa mediante i=(1+r/M)M-1, donde r=tpa, M=número de periodos de capitalización, e i=la tasa de interés efectiva 쐽 En cualquier problema de equivalencia, la tasa de interés que debe usarse es la tasa de interés efectiva por periodo de pago, que se expresa como i=[1+r/CK]C-1, donde C=número de periodos de capitalización por periodo de pago, K=número de periodos de pago por año y r/K=la tasa de interés nominal por periodo de pago. 쐽 La ecuación para determinar el interés efectivo de la capitalización continua es como sigue: i=er/K-1. 쐽 La diferencia en el interés acumulado entre capitalización continua y diaria es relativamente pequeña. 쐽 Cuando difieren entre sí los periodos de pago y de capitalización, se recomienda calcular la tasa de interés efectiva por periodo de pago. La razón es que, para proceder con el análisis de equivalencia, los periodos de capitalización y de pago deben ser iguales. 쐽 El costo de un préstamo dependerá de muchos factores, como el monto del préstamo, el término del préstamo, la frecuencia del pago, las comisiones y la tasa de interés. 쐽 Al comparar opciones de financiamiento diferentes, la tasa de interés que utilizamos es la que refleja el valor en el tiempo del dinero de quien toma la decisión, no la tasa de interés cotizada por la institución (o instituciones) que presta(n) el dinero. PROBLEMAS Tasas de interés del mercado (tasas de interés nominal contra tasa de interés efectiva) 3.1 Una compañía de préstamos ofrece dinero al 1.5% por mes, compuesto mensualmente. a) ¿Cuál es la tasa de interés nominal? b) ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva? 3.2 Cierta tienda departamental le ofrece una tarjeta de crédito que cobra un interés del 0.95% mensual, compuesto mensualmente. ¿Cuál es la tasa de interés nominal (porcentaje anual) para esta tarjeta de crédito? ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva? 112 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Un banco de California, el Berkeley Savings and Loan, anunció la siguiente información: interés del 7.55% y rendimiento anual efectivo del 7.842%. En el anuncio no se hace ninguna mención del periodo de capitalización. ¿Puede usted determinar el esquema de capitalización que utiliza el banco? La compañía American Eagle Financial Sources, que hace pequeños préstamos a estudiantes universitarios, ofrece prestar a un estudiante $400. El prestatario debe pagar $26.61 al final de cada semana durante 16 semanas. Determine la tasa de interés semanal. ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual? ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual? Una institución financiera está dispuesta a prestarle $1,000. Sin embargo, usted debe pagar $1,080 en una semana. a) ¿Cuál es la tasa de interés nominal? b) ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva? Se financia un préstamo de $15,000 para contribuir a la educación universitaria de una persona. Con base en una capitalización mensual por 36 meses, el pago regular al fin de cada mes se establece en $493.93. ¿Qué tasa de interés nominal se está cobrando? Usted adquiere un auto usado en $16,000, los cuales deben liquidarse en 36 abonos mensuales de $517.78. ¿Qué tasa de interés nominal está usted pagando sobre este acuerdo de financiamiento? Usted obtuvo un préstamo de $20,000 para financiar las reparaciones de su casa. Con base en una capitalización mensual durante 24 meses, el pago regular al final de cada mes se estableció en $922.90. ¿Cuál es la tpa fijada para este préstamo? Cálculo de las tasas de interés efectivas con base en los periodos de pago 3.9 Jaime García compra un automóvil de $24,000, que debe liquidar en 48 abonos mensuales de $583.66. ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva para este financiamiento? 3.10 Calcule la tasa de interés efectiva por periodo de pago para una tasa de interés del 9% compuesto mensual para cada uno de los siguientes programas de pago: a) mensual b) trimestral c) semestral d ) anual 3.11 ¿Cuál es la tasa de interés efectiva por trimestre si la tasa de interés es del 6% compuesto mensual? 3.12 ¿Cuál es la tasa de interés efectiva mensual si la tasa de interés es del 6% compuesto continuo? Cálculos de equivalencia con tasa de interés efectiva 3.13 ¿Cuál será la cantidad acumulada por cada una de las siguientes inversiones actuales? a) $4,500 en 10 años al 9% compuesto semestral. b) $8,500 en 15 años al 8% compuesto anual. c) $18,600 en siete años al 6% compuesto mensual. 3.14 ¿Cuál es el valor futuro de cada una de las siguientes series de pagos? Problemas 113 a) $5,000 al final de cada periodo de seis meses durante 10 años al 8% compuesto semestral. b) $9,000 al final de cada trimestre durante seis años al 8% compuesto trimestral. c) $3,000 al final de cada mes durante 14 años al 9% compuesto mensual. 3.15 ¿Cuáles series de pagos iguales deben pagarse a un fondo de amortización para acumular cada una de las siguientes cantidades? a) $15,000 en 10 años al 8% compuesto semestral cuando los pagos son semestrales. b) $2,000 en 15 años al 6% compuesto trimestral cuando los pagos son trimestrales. c) $48,000 en cinco años al 7.35% compuesto mensual cuando los pagos son mensuales. 3.16 ¿Cuál es el valor presente de cada una de las siguientes series de pagos? a) $1,000 al final de cada periodo de seis meses durante 10 años al 9% compuesto semestral. b) $7,000 al final de cada trimestre durante cinco años al 8% compuesto trimestral. c) $6,000 al final de cada mes durante ocho años al 9% compuesto mensual. 3.17 ¿Cuál es la cantidad C de depósitos trimestrales que le permitirá retirar las cantidades indicadas en el siguiente diagrama de flujo de efectivo, si la tasa de interés es del 8% compuesto trimestral? $2,500 8% compuesto trimestral $1,500 0 1 2 $1,500 3 4 $1,500 Trimestres 5 6 7 8 C (depósito) 3.18 Una serie de depósitos trimestrales iguales de $1,000 se extiende por un periodo de tres años. Se desea calcular el valor futuro de esta serie de depósitos trimestrales al 12% compuesto mensual. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es correcta para esta operación? a) F=4($1,000)(F/A, 12%, 3). b) F=$1,000(F/A, 3%, 12). c) F=$1,000(F/A, 1%, 12). d ) F=$1,000(F/A, 3.03%, 12). 3.19 Suponga que deposita $1,000 al término de cada trimestre durante cinco años a una tasa de interés del 9% compuesto mensual. ¿Cuál de las siguientes fórmulas determinará el monto del depósito igual anual de fin de año que acumularía el 114 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero mismo saldo al cabo de cinco años, de acuerdo con la misma capitalización de intereses, que $1,000 depositados trimestralmente? a) A=[$1,000(F/A, 2.25%, 20)] × (A/F, 9%, 5). b) A=$4,000(F/A, 9%, 5). 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 c) A=$1,000(F/A, 9%/12, 20) × (A/F, 9%, 5). d ) Ninguna de las anteriores. Suponga que una pareja de recién casados está planeando comprar una casa dentro de dos años. Para reunir el enganche requerido al momento de comprar una casa que vale $250,000 (supongamos que este enganche es del 20% del valor de venta o $50,000), la pareja ha decidido ahorrar una porción de sus salarios al final de cada mes. Si la pareja puede ganar el 6% de interés (compuesto mensual) sobre sus ahorros, determine la cantidad constante que la pareja debe depositar cada mes para poder hacer la operación de compra de la casa dentro de dos años. El señor Rodríguez deposita $3,000 en una cuenta de ahorros que paga el 6% de interés compuesto mensual. Después de tres años, deposita $4,000. Dos años después del depósito de $4,000, realiza otro depósito por $6,000. Cuatro años después del depósito de $6,000, transfiere la mitad del dinero a un fondo que paga el 8% de interés compuesto trimestral. ¿Cuánto dinero habrá en cada cuenta seis años después de la transferencia? Un hombre planea retirarse en 25 años. Desea depositar una cantidad regular cada tres meses hasta que se jubile para que, un año después de su jubilación, comience a recibir pagos anuales de $53,000 por los siguientes 10 años. ¿Cuánto debe depositar si la tasa de interés es del 8% compuesto trimestral? El precio de un edificio es de $155,000. Si un comprador realiza el pago de un enganche de $55,000 y un pago de $1,000 cada mes a partir de esa fecha, ¿cuántos meses tardará en liquidar por completo el edificio? El interés cobrado es del 9% compuesto mensual. Una pareja está planeando financiar la educación universitaria de su hijo de tres años de edad. La pareja puede depositar dinero al 6% compuesto trimestral. ¿Qué depósito trimestral deben hacer a partir del tercer cumpleaños del hijo hasta que cumpla 18 para proveerle $50,000 en cada cumpleaños del 18 al 21? (Note que el último depósito se hace en la fecha del primer retiro.) Santiago Núñez está planeando retirarse en 15 años. Puede depositar dinero al 8% compuesto trimestral. ¿Qué depósito debe realizar al final de cada trimestre hasta que se jubile para que pueda hacer un retiro semestral de $45,000 los cinco años siguientes después de su jubilación? Suponga que su primer retiro se efectúa seis meses después de su jubilación. Tamara recibió $500,000 de una compañía de seguros después de la muerte de su esposo. Quiere depositar esta cantidad en una cuenta de ahorros que gana un interés del 6% compuesto mensual. Después quisiera hacer 60 retiros mensuales iguales durante cinco años para que, cuando haga el último retiro, la cuenta tenga un saldo de cero. ¿Cuánto debería retirar cada mes? Anita Hayes, dueña de una agencia de viajes, compró una antigua casa para utilizarla como oficina para su negocio. Descubrió que el techo está mal aislado y que podría evitar considerablemente la pérdida calor si se instalan seis pulgadas de material aislante. Estima que, con la reparación, podría ahorrar $80 al mes por consumo de calefacción y $50 al mes en el sistema de aire acondicionado. Suponiendo que el verano dura tres meses del año (junio, julio y agosto), ¿cuál es la cantidad máxima que Anita puede gastar en material aislante para que la instalación valga la pena, considerando que espera quedarse con la propiedad durante Problemas 115 cinco años? Suponga que ni la calefacción ni el aire acondicionado se requerirían durante el otoño y la primavera. Si decide instalar el aislante, el trabajo se hará a principios de mayo. La tasa de interés de Anita es del 9% compuesto mensual. 3.28 Usted desea elaborar un plan de ahorros para su jubilación. Está considerando las siguientes dos opciones: 쐽 Usted deposita $1,000 al final de cada trimestre durante los primeros 10 años. Después de 10 años, no realiza ningún depósito, pero deja la cantidad acumulada al término de 10 años, durante los siguientes 15 años. 쐽 No hace nada los primeros 10 años. Después deposita $6,000 al final de cada año durante los siguientes 15 años. Si sus depósitos o inversiones ganan el 6% de interés compuesto trimestral y usted elige la opción 2 y no la 1, después de 25 años a partir de ahora, usted habrá acumulado a) $7,067 más. b) $8,523 más. c) $14,757 menos. d) $13,302 menos. 3.29 El salario actual de María Anguiano es de $65,000 al año y está planeando retirarse en 25 años. Prevé que su salario anual aumentará $3,000 cada año. (Esto es, en el primer año ganará $65,000, en el segundo año $68,000, en el tercero $71,000, y así sucesivamente.) Planea depositar el 5% de su salario anual en un fondo de jubilación que gana el 7% de interés compuesto diario. ¿Cuál será la cantidad acumulada cuando se jubile? Cálculos de equivalencia con interés compuesto continuo 3.30 ¿Cuántos años tardará una inversión en triplicarse si la tasa de interés es del 9% compuesto a) trimestral? b) mensual? c) continuo? 3.31 ¿A qué cantidad actual es equivalente una serie de pagos trimestrales iguales de $3,000 durante 15 años a una tasa de interés del 9% compuesto a) trimestral? b) mensual? c) continuo? 3.32 ¿Cuál es el valor futuro de una serie de pagos iguales de $2,000 por año durante ocho años, si la tasa de interés es del 7% compuesto continuo? 3.33 Suponga que se depositan $1,500 en una cuenta bancaria al final de cada trimestre durante los próximos 20 años. ¿Cuál es el valor futuro de la cuenta después de 20 años si la tasa de interés es del 8% compuesto a) semestral? b) mensual? c) continuo? 3.34 Si la tasa de interés es del 8.5% compuesto continuo, ¿cuál es el pago trimestral requerido para liquidar un préstamo de $15,000 en cuatro años? 3.35 ¿Cuál es el valor futuro de una serie de pagos mensuales iguales de $5,000, si la serie se extiende por un periodo de seis años al 9% de interés compuesto a) trimestral? 116 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero b) mensual? c) continuo? 3.36 ¿Cuál es el pago trimestral requerido para liquidar un préstamo de $20,000 en cinco años, si la tasa de interés es del 8% compuesto continuo? 3.37 Una serie de pagos trimestrales iguales de $1,500 se extiende por un periodo de cinco años. ¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos trimestrales al 9.75% de interés compuesto continuo? 3.38 ¿A qué cantidad total futura es equivalente una serie de pagos trimestrales iguales de $3,000 durante 10 años, al término de 15 años a una tasa de interés del 8% compuesto continuo? Préstamos con tarjetas de crédito 3.39 Usted acaba de recibir solicitudes de tarjetas de crédito de dos bancos, A y B. Los términos de interés sobre su saldo insoluto son los siguientes: 1. Banco A: 18% compuesto trimestral. 2. Banco B: 17.5% compuesto diario. ¿Cuál de los siguientes enunciados es incorrecto? a) La tasa de interés anual efectiva para el banco A es del 19.25%. b) La tasa de interés anual nominal para el banco B es del 17.5%. c) Las condiciones del banco B representan un mejor trato porque usted pagará menos intereses sobre su saldo insoluto. d) Las condiciones del banco A representan un mejor trato porque usted pagará menos intereses sobre su saldo insoluto. 3.40 Angélica, una estudiante de ingeniería de tercer año, ha recibido dos solicitudes de línea de crédito garantizada de dos bancos diferentes. Cada banco cobra una comisión anual y un cargo por financiamiento diferentes. Angélica espera que su saldo mensual promedio después del pago sea de $300 y planea conservar la tarjeta que elija sólo durante 24 meses. (Después de graduarse, solicitará una nueva tarjeta.) La tasa de interés de Angélica (en su cuenta de ahorros) es del 6% compuesto diario. a) Calcule la tasa de interés anual efectiva para cada tarjeta. b) ¿Cuál de las dos tarjetas debe elegir Angélica? Términos Banco A Banco B Comisión anual $20 Gratis Cargo por financiamiento Tasa de interés mensual del 1.55% Tasa porcentual anual del 19.5% Préstamos comerciales 3.41 Un préstamo para adquirir un automóvil de $20,000, a una tasa nominal del 9% compuesto mensual, por 48 meses, requiere pagos iguales de $497.90 cada fin de mes. Complete la siguiente tabla para los primeros seis pagos como usted esperaría que un banco calculara los valores: Problemas 117 Fin de mes (n) 1 2 3 4 5 6 Pago de intereses Liquidación del capital Saldo remanente del préstamo $19,652.10 $350.51 $353.14 $142.11 $139.44 $17,873.07 3.42 Usted solicita un préstamo de $150,000 con un término de liquidación de deuda de 30 años y una tpa variable que comienza en 9% y puede modificarse cada cinco años. a) ¿Cuál es el pago mensual inicial? b) Si, al cabo de cinco años, la tasa de interés del prestamista cambia al 9.75% (tpa), ¿cuál sería el nuevo pago mensual? 3.43 Sara Maddox desea comprar un auto que costará $18,000. Pagará un enganche de $4,000. Le gustaría pedir al banco el resto del dinero a una tasa de interés del 9% compuesto mensual. Ella accede a realizar pagos mensuales por un periodo de dos años para así liquidar el préstamo. Seleccione la respuesta correcta para cada una de las siguientes preguntas: a) ¿A cuánto asciende el pago mensual (A)? 1. A=$14,000(A/P, 0.75%, 24). 2. A=$14,000(A/P, 9%, 2)/12. 3. A=$14,000(A/F, 0.75%, 24). 4. A=$14,000(A/F, 9%, 2)/12. b) Sara ha realizado 12 pagos y quiere saber su saldo remanente inmediatamente después del decimosegundo pago. ¿Cuál es el saldo remanente? 1. B12=12A. 2. B12=A(P/A, 9%, 1)/12. 3. B12=A(P/A, 0.75%, 12). 4. B12=10,000-12A. 3.44 El señor Guzmán está pensando comprar un auto usado. El precio, incluyendo título de propiedad e impuestos, es de $9,530. Guzmán puede dar un enganche de $2,530. El saldo, $7,000, lo solicitará en préstamo a su cooperativa de crédito a una tasa de interés del 9.25% compuesto diario. El préstamo debe liquidarse en 48 pagos mensuales iguales. Calcule el pago mensual. ¿Cuál es la cantidad total de interés que el señor Guzmán tiene que pagar durante la vigencia del préstamo? 3.45 Julia pidió un préstamo bancario de $15,000 a una tasa de interés del 9% compuesto mensual. Este préstamo debe liquidarse en 36 plazos mensuales iguales durante tres años. Inmediatamente después de su vigésimo pago, Julia quiere liquidar el préstamo en un solo pago. Calcule las cantidades totales que debe pagar en ese momento. 3.46 Usted va a comprar una casa de $260,000. Si da un enganche de $50,000 e hipoteca el resto al 8.5% compuesto mensual, ¿cuál será su pago mensual si la hipoteca debe pagarse en 15 años? 3.47 Para la hipoteca de una casa de $350,000 a un plazo de 20 años al 9% de tpa compuesto mensual, calcule los pagos totales sobre capital e intereses durante los primeros cinco años que se tiene la propiedad. 118 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero 3.48 Un prestamista requiere que los pagos hipotecarios mensuales no excedan del 25% del ingreso bruto mensual, en un plazo máximo de 30 años. Si usted solamente puede dar un enganche del 15%, ¿cuál es el mínimo ingreso mensual que necesitaría para comprar una casa de $300,000 si la tasa de interés es del 9% compuesto mensual? 3.49 Para comprar un condominio de $180,000, usted paga $30,000 y firma una hipoteca por $150,000 a una tpa del 9% compuesto mensual. Cinco años después, usted vende el condominio en $205,000 (después de que se han descontado todos los gastos por concepto de la venta). ¿Qué capital (la cantidad que usted puede conservar antes de aplicar cualquier impuesto) podría usted amortizar en un plazo de liquidación de hipoteca de 30 años? (Asegúrese de que el préstamo haya sido liquidado cuando se venda el condominio por un pago único.) 3.50 Justo antes del vigésimo pago, 쐽 La familia A tenía un saldo de $100,000 sobre una hipoteca de 30 años al 9%; 쐽 La familia B tenía un saldo de $100,000 sobre una hipoteca de 15 años al 9%, y 쐽 La familia C tenía un saldo de $100,000 sobre una hipoteca de 20 años al 9%. Todas las tpa son tasas compuestas mensuales. ¿Cuánto interés pagó cada familia en su vigésimo pago? 3.51 Los prestamistas hipotecarios a menudo cobran puntos sobre un préstamo para así evitar exceder un límite legal sobre tasas de interés o para hacer que sus tasas parezcan competitivas ante las de los otros prestamistas. Como un ejemplo, con un préstamo de dos puntos, el prestamista prestaría sólo $98 por cada $100 solicitados. El prestatario sólo recibiría $98, pero tendría que realizar pagos como si hubiera recibido $100. De esta forma, el prestamista puede hacer más dinero en tanto que mantiene su tasa de interés baja. Suponga que usted recibe un préstamo de $130,000 pagaderos al final de cada mes durante 30 años con una tasa de interés del 9% compuesto mensual, pero le han cobrado tres puntos. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva sobre este préstamo hipotecario? 3.52 Un restaurante está considerando la adquisición del lote adyacente a su negocio para proveer un espacio de estacionamiento adecuado para sus clientes. El restaurante necesita solicitar $44,000 en préstamo para asegurar el lote. Se ha hecho un trato entre un banco local y el restaurante para que los dueños de este último paguen el préstamo en un periodo de cinco años, con los siguientes términos de pago: 15%, 20%, 25%, 30% y 35% del préstamo inicial al final del primero, segundo, tercero, cuarto y quinto años, respectivamente. a) ¿Qué tasa de interés está ganando el banco en esta transacción de préstamo? b) ¿Cuál será el interés total pagado por los dueños del restaurante en el periodo de cinco años? 3.53 Alicia González quería comprar un auto nuevo por $18,400. Un concesionario le ofreció un financiamiento a través de un banco local a una tasa de interés del 13.5% compuesto mensual. El financiamiento del concesionario requería un enganche del 10% y 48 pagos mensuales iguales. Como la tasa de interés era muy alta, Alicia consultó otras opciones de financiamiento con su cooperativa de crédito. El funcionario de la cooperativa de crédito le cotizó una tasa de interés del 10.5% para un préstamo para un auto nuevo y del 12.25% para un préstamo para un auto usado. Pero para ser sujeto de crédito, Alicia tiene que haber sido miembro de la cooperativa de crédito por seis meses, como mínimo. Como se unió a la Problemas 119 cooperativa de crédito hace dos meses, tiene que esperar cuatro meses más para solicitar el préstamo. Alicia decide aceptar el financiamiento del concesionario y, cuatro meses después, refinancia el saldo a través de la cooperativa de crédito a una tasa de interés del 12.25% por 48 meses (porque el auto ya no es nuevo). a) Calcule el pago mensual al concesionario. b) Calcule el pago mensual a la cooperativa de crédito. c) ¿Cuál es el pago total de intereses para cada transacción de préstamo? 3.54 David Castañón pidió dinero prestado a un banco para financiar un pequeño bote pesquero. Los términos del préstamo del banco le permitieron diferir los pagos (el interés se cobra aunque el pago sea diferido) por seis meses y después realizar 36 pagos iguales cada fin de mes a partir de ese momento. El préstamo del banco fue de $4,800, con una tasa de interés del 12% compuesto mensual. Después de 16 pagos mensuales, David pasó por un aprieto financiero y fue a la compañía de préstamos para que le ayudaran a reducir sus pagos mensuales. Por fortuna, la compañía de préstamos le ofreció pagar sus deudas con una cantidad global, siempre y cuando David pague a la compañía $104 al mes durante los siguientes 36 meses. ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando la compañía de préstamos sobre esta transacción? 3.55 Se debe liquidar un préstamo de $15,000 en un periodo de 24 meses. La agencia cotiza una tasa de interés nominal del 8% para los primeros 12 meses y una tasa de interés nominal del 9% para cualquier saldo insoluto remanente después de los 12 meses, ambas tasas compuestas mensualmente. Con estas tasas, ¿qué pago regular al final de cada mes, durante 24 meses, se requiere para liquidar el préstamo? 3.56 Roberto financió el mobiliario de su oficina a través de un comerciante de muebles. Los términos del comerciante le permitían diferir sus pagos (con intereses) por seis meses y después hacer 36 pagos iguales al final de cada mes a partir de esa fecha. El pagaré original era por $12,000, con un interés del 12% compuesto mensual. Después de 26 pagos mensuales, Roberto tuvo problemas económicos y pidió ayuda a una compañía de préstamos. La compañía de préstamos le ofreció pagar sus deudas con una cantidad global, siempre y cuando Roberto pague a la compañía $204 al mes durante los próximos 30 meses. a) Determine el pago mensual original hecho a la mueblería. b) Determine la cantidad global que desembolsará la compañía de préstamos. c) ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando la compañía sobre este préstamo? Comparación de las diferentes opciones financieras 3.57 Suponga que usted está en busca de un auto nuevo que valga $18,000. Le ofrecen un trato para que pague $1,800 como enganche ahora y el saldo en pagos iguales de $421.85 cada fin de mes durante un periodo de 48 meses. Considere las siguientes situaciones: a) En vez de aceptar el financiamiento del concesionario, prefiere dar un enganche de $1,800 y solicitar un préstamo bancario al 11.75% compuesto mensual. ¿Cuál sería su pago mensual para liquidar el préstamo en cuatro años? b) Si aceptara la oferta del concesionario, ¿cuál sería la tasa de interés efectiva mensual cobrada por el concesionario sobre su financiamiento? 3.58 Un comerciante local ofrece arrendar un vehículo utilitario deportivo durante 24 meses por $520 a pagar a principios de cada mes. El arrendamiento requiere un enganche de $2,500, más un depósito de garantía reembolsable de $500. Como una alternativa, la compañía ofrece un plan de arrendamiento de 24 meses con un solo pago por adelantado de $12,780, más un depósito de garantía reembolsable de $500. El depósito de garantía se reembolsará al finalizar el contrato de 24 120 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero meses. Suponiendo que usted tiene acceso a una cuenta de depósito que paga un interés del 6% compuesto mensual, ¿qué contrato es más favorable? 3.59 Usted desea comprar una casa de $85,000 y cuenta con $17,000 en efectivo disponibles para dar un enganche. Está considerando las siguientes dos opciones de financiamiento: 쐽 Opción 1: Conseguir una nueva hipoteca estándar con el 10% (tpa) de interés compuesto mensual a un plazo de 30 años. 쐽 Option 2: Aceptar la antigua hipoteca del vendedor que tiene una tasa de interés del 8.5% (tpa) compuesto mensual, y un plazo 25 años de un plazo original de 30, un saldo remanente de $35,394 y pagos de $285 al mes. Usted puede obtener una segunda hipoteca para el saldo insoluto, $32,606, por parte de su cooperativa de crédito al 12% (tpa) compuesto mensual, con un periodo de liquidación de deuda de 10 años. a) ¿Cuál es la tasa de interés efectiva para la opción 2? b) Calcule los pagos mensuales para cada opción durante la vigencia de la hipoteca. c) Calcule el pago total de intereses para cada opción. d) ¿Cuál de las tasas de interés de los propietarios (el valor en el tiempo del dinero de los propietarios) hace que las dos opciones sean equivalentes? Breves estudios de caso con Excel 3.60 Considere el caso de Gizmo, una pequeña compañía manufacturera cuya administración desea reducir los gastos generales mediante la instalación de un nuevo sistema de calefacción de bajo consumo de energía. El nuevo sistema cuesta $100,000. Ante las bajas reservas de efectivo de la compañía, la administración determinó que solicitar un préstamo es la única forma de financiar esta conveniente mejora. Surge un problema cuando el contador de Gizmo señala que un préstamo de reducción directa estándar limitará severamente el flujo de efectivo de la compañía durante la temporada que se necesita la calefacción. Para superar esta dificultad, el contador sugiere un esquema de pagos en una serie gradiente periódica lineal con el gradiente G=$75 en un préstamo de pagos alternados. El contador propuso el siguiente programa de liquidación: Duración del préstamo: 4 años Mes enero–agosto septiembre–abril mayo–Septiembre octubre–marzo abril–octubre noviembre–febrero marzo–diciembre Pago sí no sí no sí no sí El prestamista cotizó una TPA del 12%. Determine el programa de pagos a lo largo de cuatro años. (Fuente: Formato R.A., “Generalized Formula for the Periodic Payment in a Skip Payment Loan with Arbitrary Skips,” The Engineering Economist, vol. 37, núm. 4, verano de 1992.) Problemas 121 3.61 Usted está considerando la compra de un automóvil nuevo que vale $15,000. Puede financiar el auto retirando efectivo de su cuenta de ahorros, que genera el 8% de interés compuesto mensual, o solicitando un préstamo de $15,000 de su concesionario por cuatro años con un interés del 11% compuesto mensual. Podría ganar $5,635 de intereses de su cuenta de ahorros en cuatro años si deja el dinero en la cuenta. Si pide prestados $15,000 de su concesionario, sólo paga $3,609 de intereses en cuatro años, por lo que tiene sentido solicitar el préstamo para su auto nuevo y conservar su efectivo en su cuenta de ahorros. ¿Está usted de acuerdo o en desacuerdo con el enunciado anterior? Justifique su razonamiento con un cálculo numérico. 3.62 Suponga que va a comprar una casa de $110,000, dando un enganche de $50,000. El resto lo liquidará con un préstamo del Capital Savings and Loan Bank. El funcionario le ofrece los dos siguientes planes de financiamiento para la propiedad: 쐽 Option 1: Un préstamo fijo convencional con una tasa de interés del 13% compuesto mensual por 30 años con 360 pagos mensuales iguales. 쐽 Un programa de pagos escalonados (el plan fha 235) con una tasa de interés del 11.5% compuesto mensual con el siguiente programa de pagos mensuales: Para el plan fha 235, el seguro hipotecario es obligatorio. a) Calcule el pago mensual para la opción 1. Año (n) Pago mensual Seguro hipotecario mensual 1 2 3 4 5 $497.76 $522.65 $548.78 $576.22 $605.03 $25.19 $25.56 $25.84 $26.01 $26.06 6–30 $635.28 $25.96 b) c) d) e) ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva que pagaría en la opción 2? Calcule el saldo remanente para cada opción al término de cinco años. Calcule el pago total de intereses para cada opción. Suponiendo que su única alternativa de inversión es una cuenta de ahorros con una tasa de interés del 6% compuesto mensual, ¿cuál opción representa el mejor trato? 3.63 La señora Ortega solicitó un préstamo bancario de $4,909 para financiar la compra de un auto con una tasa de interés complementaria3 del 6.105%. El banco calculó el pago mensual de la siguiente manera: 쐽 Monto del contrato ⫽ $4,909 y periodo del contrato ⫽ 42 meses (o 3.5 años). Así, el interés complementario es ⫽ $4,909(0.06105)(3.5) ⫽ $1,048.90. 쐽 Comisión por adquisición ⫽ $25, así el cargo total del préstamo ⫽ $1,048.90+$25 ⫽ $1,073.90. 3 El préstamo complementario es totalmente diferente del conocido préstamo amortizado. En este tipo de préstamo, el interés total a pagar se precalcula y se añade al capital. Entonces, el capital más la cantidad de interés precalculado se paga en plazos iguales. En tal caso, la tasa de interés cotizada no es la tasa de interés efectiva, sino lo que se conoce como un interés complementario. 122 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero Total de pagos=$4,909+$1,073.90=$5,982.90 y el plazo mensual=$5,982.90/42=$142.45. Después de realizar el séptimo pago, la señora Ortega desea liquidar el saldo justo antes de hacer el octavo pago. La siguiente es la carta del banco explicando el saldo neto que debe la señora Ortega: Estimada Sra. Ortega, La siguiente es una explicación de cómo llegamos a la cantidad de liquidación de deuda sobre su cuenta de préstamo: Monto del pagaré original $5,982.90 Menos 7 pagos de $142.45 cada uno 997.15 4,985.75 Cargo por préstamo (interés) 1,073.90 Menos comisión por adquisición 25.00 $1,048.90 El factor de descuento de la tabla de la Regla de los 78 es 0.6589. (Transcurrieron 8 meses del préstamo, de un plazo de 42 meses.) $1,048.90 multiplicado por 0.6589 es $691.12. $691.12 representa el descuento de intereses no ganados. Por lo tanto, la cantidad de su liquidación se calcula de la siguiente manera: Saldo $4,985.75 Menos descuento de intereses no ganados 691.12 Cantidad de liquidación $4,294.63 쐽 Problemas 123 Si tiene más preguntas respecto a este asunto, por favor, comuníquese con nosotros. Atentamente, S. Govia Vicepresidente Nota: La Regla de los 78 se utiliza en algunas instituciones financieras para determinar el saldo remanente de un préstamo. De acuerdo con la Regla de los 78, el interés cobrado durante un mes determinado se calcula aplicando una fracción cambiante al interés total sobre el periodo del préstamo. Por ejemplo, en el caso de un préstamo a un año, la fracción utilizada para determinar el cargo por intereses para el primer mes sería 12/78; el 12 es el número de meses del préstamo que quedan y el 78 es la suma de 1 ⫹ 2 ⫹ ∙∙∙+11+12. Para el segundo mes, la fracción sería 11/78, y así sucesivamente. En el caso de un préstamo a dos años, la fracción durante el primer mes es 24/300, porque hay 24 periodos de pago restantes y la suma de los periodos del préstamo es 300=1 ⫹ 2 ⫹ ∙∙∙ ⫹ 24. a) Calcule la tasa de interés anual efectiva para este préstamo. b) Calcule la tasa porcentual anual (tpa) para este préstamo. c) Muestre cómo calcularía usted el factor de descuento (0.6589). d ) Verifique la cantidad de liquidación usando la fórmula de la Regla de los 78. e) Calcule el monto de liquidación usando el factor de interés (P/A, i, N). 3.64 Considere la siguiente tabla que compara los diferentes programas disponibles de préstamos para estudiantes universitarios de tiempo completo. Si necesita un préstamo de $20,000, ¿cuál programa de préstamo elegiría y por qué? 124 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero Tabla de comparación de préstamos a estudiantes Programa de préstamos Préstamos Federal Perkins Elegibilidad Estudiantes graduados y no graduados; no necesitan estar inscritos por lo menos medio tiempo. Montos otorgados No graduados: hasta $4,000 al año (máximo $20,000 como no graduado) Graduados: hasta $6,000 al año (máximo $40,000, incluyendo préstamos a no graduados). La cantidad real recibida depende de la necesidad financiera, la cantidad de otro tipo de ayuda y la disponibilidad de fondos de la escuela. Prestamista/Plazo de liquidación Tasa de interés 5% El prestamista es la escuela. Se debe pagar a la escuela o a su agente. Hasta 10 años para pagar dependiendo de la cantidad adeudada. Préstamos FFEL Stafford Estudiantes graduados y no graduados; deben estar inscritos, por lo menos medio tiempo. Depende del grado escolar y el estado de dependencia. Necesidad financiera no requerida. Cambia cada año; para el ciclo 2005-2006 fue del 5.3% para los préstamos que se estaban liquidando. Para quienes tengan una necesidad financiera, el gobierno paga los intereses durante los periodos escolares y algunos otros peridos. El prestamista es un banco, una cooperativa de crédito u otro prestamista privado participante. Se debe pagar al prestamista o a su agente. Entre 10 y 25 años para pagar, dependiendo de la cantidad adeudada y el tipo de plan de pago seleccionado. Préstamos Direct Stafford Igual que el caso anterior. Igual que el caso anterior. Igual que el caso anterior. El prestamista es el Departamento de Educación de Estados Unidos; se debe pagar al Departamento. Entre 10 y 30 años para pagar, dependiendo de la cantidad adeudada y el tipo de plan de pago seleccionado. Problemas 125 Préstamos FFEL PLUS Costo de asistencia de los estudiantes* Padres de estudiantes - Otras ayudas que recibe el estudiante no graduados =Cantidad máxima del préstamo dependientes inscritos, por lo menos, medio tiempo (véase estado de dependencia); los padres no deben tener un historial crediticio negativo. Cambia cada año; para el ciclo 20052006 fue del 6.1% para préstamos en proceso de pago; el gobierno no paga intereses Préstamos Direct PLUS Igual que en el caso Igual que en el caso anterior. anterior. Igual que en el caso Igual que para Préstamos Direct anterior. Stafford, excepto que el plan contingente de liquidación no es una opción. Fuente: Federal Student Aid, Departamento de Educación de Estados Unidos. Igual que para Préstamos FFEL Stafford. CUATRO CAPÍTULO Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación ¿Cuánto costará comprar boletos de béisbol en 2008? ¿Cuándo fue la última vez que compró un boleto para un juego de béisbol? En época de inflación casi todos los productos suben de precio, y los boletos de béisbol no son la excepción. En el año 2000 un boleto para un juego de los Medias Rojas de Boston costaba $23.33. En 2006 costaba $46.46, lo que significa un aumento de casi el 100% en el precio. El índice Fan Cost Index™1 (FCI), de Team Marketing Report, Inc. (TMR), examina el gasto de asistencia a los partidos que realiza una familia de cuatro miembros. Para elaborar el FCI se consideran dos boletos de adulto de precio regular, dos boletos de niño de precio regular, cuatro bebidas refrescantes chicas, dos cervezas chicas, cuatro salchichas, dos programas, estacionamiento y dos gorras para adulto. Para obtener el precio medio de los boletos, TMR utiliza una cifra promedio ponderada de precios de los boletos de temporada para las categorías de asientos generales, la cual determina factorizando los boletos en cada nivel de precios como un porcentaje del número total de asientos en cada estadio de béisbol. 126 1 Team Marketing Report, Ligas Mayores de Béisbol 2006, http://www.teammarketing.com/fci.cfm Los índices FCI de 2006 para los Medias Rojas de Boston y para el promedio de la liga fueron los siguientes: Boleto prom. Bebida Boleto Equipo promedio de niño Cerveza refrescante Salchicha Estacionamiento Programa Gorra Boston FCI Cambio porcentual con respecto a 2005 46.46 46.46 6.00 2.75 4.00 23.00 5.00 15.00 287.84 4.20 Promedio de la liga 22.21 22.00 5.42 3.07 3.31 11.41 3.89 13.62 171.19 4.13 Fuente: ©2006 Team Marketing Report, Inc. Chicago, Illinois. El aumento en el precio promedio de la liga en 2005 fue del 4.13%. En otras palabras, los aficionados comprarían un 4.13% menos con la misma cantidad de dólares en 2006. Si esta tendencia continúa, el poder adquisitivo de los futuros dólares también seguirá disminuyendo. Aquí, el poder adquisitivo refleja el valor de una moneda expresado en términos de la cantidad de bienes o servicios que puede comprar una unidad monetaria. El poder adquisitivo es importante porque, si todo lo demás se mantiene constante, la inflación disminuye la cantidad de bienes y servicios que se pueden comprar con la misma cantidad de dinero. Nuestro interés en este caso es cómo podemos incorporar esta pérdida de poder adquisitivo en nuestra comparación de dólares de los capítulos 2 y 3. H asta ahora, hemos aprendido cómo se calculan los valores de equivalencia en condiciones constantes en la economía general. En otras palabras, hemos supuesto que los precios se mantienen relativamente inalterados a lo largo de extensos periodos. Como usted sabe por su experiencia personal, ésta no es una suposición realista. En este capítulo definimos y cuantificamos la pérdida de poder adquisitivo, o inflación, para luego aplicarla en diversos análisis de equivalencia. 4.1 Medición de la inflación A lo largo de la historia, la economía general normalmente ha fluctuado de tal forma que se experimenta inflación, una pérdida del poder adquisitivo del dinero a través del tiempo. La inflación significa que el costo de un artículo tiende a incrementarse con el tiempo; o, para decirlo de otra manera, la misma cantidad de dólares compra menos de un cierto artículo con el paso del tiempo. La deflación es el fenómeno contrario a la inflación, esto es, una situación en la que los precios disminuyen con el tiempo y, por lo tanto, una cantidad determinada de dólares gana poder adquisitivo. En el mundo real, la inflación 127 128 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación es mucho más común que la deflación, por lo que nuestra consideración en este capítulo se restringirá a explicar la inflación en los análisis económicos. 4.1.1 Índice de precios al consumidor Antes de poder considerar la inflación en un cálculo de equivalencia, necesitamos un medio para aislar y medir su efecto. Los consumidores normalmente tienen un sentido relativo —cuando no preciso— de cómo disminuye su poder adquisitivo. Este sentido se basa en su experiencia al comprar alimentos, ropa, transporte y vivienda a través de los años. Los economistas han desarrollado una medida llamada el índice de precios al consumidor (IPC), cuyo cálculo se basa en una canasta básica de bienes y servicios requeridos por el consumidor promedio. Esta canasta básica consiste normalmente en ocho grupos principales: 1. alimentos y bebidas alcohólicas, 2. vivienda, 3. vestido, 4. transporte, 5. atención médica, 6. entretenimiento, 7. cuidado personal y 8. otros bienes y servicios. El IPC compara el costo de la típica canasta básica de bienes y servicios en un mes presente contra su costo en algún momento en el pasado, que puede ser, hace 1 mes, hace 1 año o hace 10 años. El punto en el pasado contra el que se comparan los precios actuales se denomina periodo base. El valor del índice para este periodo base se establece en $100. Existen dos tipos diferentes de IPC para la Oficina General de Estadísticas Sociales y Laborales (Bureau of Labor and Statistics, bls) del Departamento del Trabajo de Estados Unidos: • Medida original (periodo base=1967): El periodo base original utilizado por la bls para el índice IPC es 1967. Por ejemplo, digamos que en 1967 la canasta básica prescrita se hubiera podido adquirir por $100. Suponga que la misma combinación de bienes y servicios cuesta $600.90 en 2006. Podemos calcular, entonces, el IPC para 2006 al multiplicar la razón del precio actual con respecto al precio del periodo base por 100. En nuestro ejemplo, el índice de precios es ($600.90/$100)100=600.90, lo que significa que el precio en 2006 de los artículos contenidos en la canasta básica es el 600.9% de su precio en el periodo base. (Véase la figura 4.1.) • Medida revisada (periodo base=1982-1984): El IPC revisado presentado por la bls en 1987 incluye índices para dos poblaciones: 1. los asalariados y los oficinistas urbanos (CW) y 2. todos los consumidores urbanos (CU). Este cambio reflejó el hecho de que diferentes poblaciones tenían diferentes necesidades y, por ende, diferentes canastas básicas. Ambos índices, CW y CU, utilizan ponderaciones de gastos actualizadas que se basan en datos tabulados a partir de los tres años de la Encuesta de Gastos de los Consumidores (1982, 1983 y 1984, Consumer Expenditure Survey) e incorpora una serie de mejoras técnicas. Antiguo IPC Periodo base (1967) 2006 $600.90 $100 IPC para 2006 ⫽ 600.90 Nuevo IPC Periodo base (1982-84) $100 2006 $200.40 IPC para 2006 ⫽ 200.40 Figura 4.1 Medición de la inflación basada en el IPC 4.1 Medición de la inflación 129 Sin embargo, el método bls para evaluar la inflación no implica que los consumidores realmente compren los mismos bienes y servicios año tras año. Los consumidores tienden a ajustar sus prácticas de compra a los cambios en los precios relativos y a sustituir aquellos artículos cuyos precios hayan aumentado enormemente en términos relativos por otros. Debemos dejar claro que el IPC no considera este tipo de comportamiento del consumidor, ya que se calcula con base en la compra de una canasta básica fija de los mismos bienes y servicios, en las mismas proporciones, mes tras mes. Por esta razón, el IPC se denomina índice de precios y no índice de costo de vida, aunque el público en general a menudo lo denomine de esta última forma. 4.1.2 Índice de precios al productor El índice de precios al consumidor es una buena manera de medir el incremento del precio general de los productos de consumo. Sin embargo, no es una medición adecuada de los aumentos de los precios industriales. Para efectos de análisis de ingeniería económica, se deben elegir los índices de precios adecuados para calcular de manera exacta los incrementos en los precios de las materias primas, los productos terminados y los costos de operación. Por ejemplo, el costo de producir y proveer gasolina a los consumidores incluye el costo del crudo para los refinadores, los costos del proceso de refinería, los costos de comercialización y distribución, y finalmente, los costos e impuestos de la estación de venta al menudeo. Como se muestra en la figura 4.2, los precios pagados por los consumidores en la gasolinera reflejan estos costos, así como las ganancias (y, a veces, pérdidas) de los refinadores, comercializadores, distribuidores y propietarios de estaciones. En 2005 el precio del barril de crudo promediaba $50.23, y el crudo representaba el 53% del costo de un galón de gasolina regular. En comparación, el precio promedio del crudo en 2004 era de $36.98 por barril y representaba el 47% del costo de un galón de gasolina regular. El índice de precios al productor se calcula para entender este tipo de cambios en los precios de un determinado producto de consumo o industrial. La publicación mensual Survey of Current Business, de la bls, informa el índice de precios de productos industriales para diversos bienes industriales. La tabla 4.1 recopila el IPC, junto con diferentes índices de precios a lo largo de varios años.2 Precio de menudeo promedio 2005: $2.27/galón Precio de menudeo promedio 2004: $1.85/galón 12% Distribución y comercialización 9% 18% Costos de refinería y ganancias 19% 23% Impuestos federales y estatales 19% 47% Petróleo crudo 53% Fuente: Energy Information Administration Washington, DC Figura 4.2 Diversos componentes del costo que afectan el precio al menudeo de la gasolina en Estados Unidos 2 Los datos del IPC de Estados Unidos ahora están disponibles en http://stats.bls.gov 130 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación TABLA 4.1 Índices de precios seleccionados entre 1997 y 2006 Año (Periodo base) Nuevo IPC (1982–84) 1997 160.2 1998 Antiguo IPC (1967) Gasolina (1982) Acero (1982) Automóviles (1982) 479.7 72.7 126.5 138.7 162.5 487.1 54.0 122.5 136.8 1999 166.2 497.8 64.4 114.0 137.6 2000 171.2 512.9 92.6 116.0 138.7 2001 176.6 530.4 104.8 109.7 137.6 2002 178.9 535.8 89.0 114.1 134.9 2003 183.8 550.5 100.1 121.5 135.1 2004 188.0 563.2 126.1 162.4 136.5 2005 194.6 582.9 162.5 171.1 135.1 2006 200.4 600.9 217.7 186.6 130.6 A partir de la tabla 4.1, podemos calcular fácilmente el índice de precios (o tasa de inflación) de la gasolina, de 2005 a 2006, de la siguiente manera: 217.7 - 162.5 = 0.3397 = 33.97%. 162.5 Como el índice de precios calculado es positivo, el precio de la gasolina en realidad aumentó a una tasa anual del 33.97% en el año 2005, que fue uno de los peores años para los consumidores que conducen. Sin embargo, en 2006 el precio de los automóviles disminuyó a una tasa anual del 3.33% sobre el precio de 2005. 4.1.3 Tasa de inflación promedio ( f ) Para explicar el efecto de las variaciones en las tasas de inflación anuales en un periodo de varios años, podemos calcular una tasa única que represente una tasa de inflación promedio. Como la tasa de inflación de cada año está basada en la tasa del año anterior, estas tasas tienen un efecto capitalizador. Como ejemplo, suponga que deseamos calcular la tasa de inflación promedio para un periodo de dos años. La tasa de inflación del primer año es del 4% y la tasa de inflación del segundo año es del 8%, con un precio base de $100. Para calcular la tasa de inflación promedio para los dos años, empleamos el siguiente procedimiento: • Paso 1: Para encontrar el precio al término del segundo año, utilizamos el proceso de capitalización: Primer año (''''')'''''* $100 11+0.042 1 1+0.082 =$112.32. (''''')'''''* Segundo año • Paso 2: Para determinar la tasa de inflación promedio f, establecemos la siguiente ecuación de equivalencia: $100(1+f )2=$112.32, o $100(F/P, f, 2)=$112.32. 4.1 Medición de la inflación 131 Si despejamos f, obtenemos f=5.98%. Así, podemos decir que los aumentos en el precio en los dos últimos años equivalen a una tasa porcentual anual promedio del 5.98% por año. Note que el resultado es un promedio geométrico, no un promedio aritmético, en un periodo de varios años. ¿Por qué necesitamos calcular esta tasa de inflación promedio? Si queremos predecir los precios futuros basándonos en datos históricos, tener una tasa promedio única como ésta, y no una tasa diferente para los precios de cada año, simplifica nuestro análisis económico. EJEMPLO 4.1 Cálculo de una tasa de inflación promedio Considere los aumentos de precio, en los últimos siete años, para los 11 artículos que aparecen en la siguiente tabla: Categoría Tasa de inflación promedio Precio 2006 Precio 2000 $0.39 $0.33 2.82% Seguro para propietarios de vivienda (por año) $617.00 $500.00 3.57% Seguro de auto (por año) $892.00 $687.00 4.45% $22,218.00 $15,518.00 6.16% $2.56 $1.56 8.61% $15.00 $10.50 6.12% $22,900.00 $21,000.00 1.45% Gas natural (por millones de BTU) $7.08 $3.17 14.33% Boletos para el béisbol (familia de cuatro) $171.19 $132.44 4.37% $6.58 $5.39 3.38% $2,351.00 $1,656.00 6.01% 200.43 171.20 2.66% Correspondencia Colegiatura y cuotas de universidad privada Gasolina (por galón) Corte de cabello Auto (Toyota Camry) Cine (boleto promedio) Asistencia médica (por año) Índice de precios al consumidor (IPC) Periodo base: 1982-84=100 Explique cómo se calculan las tasas de inflación promedio en la tabla. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Tomemos como ejemplo para nuestro cálculo el cuarto artículo, el costo de la educación en una universidad privada. Como conocemos los precios durante 2000 y 2006, podemos usar la fórmula de equivalencia apropiada (factor de cantidad capitalizada para pagos únicos o fórmula de crecimiento). Dados: P=$15,518, F=$22,218 y N=2006-2000=6. Determine: f. 132 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule la tasa de inflación promedio. Utilizamos la ecuación F=P(1+f )N: $22,218=$15,518(1+f )6. Si despejamos f, obtenemos 6 f =21.4318 -1 =0.0616=6.16% Este 6.16% significa que la colegiatura en una universidad privada ha sobrepasado la inflación general (2.66%) por 232% en los últimos 6 años. Si la tendencia anterior continúa en el futuro, la colegiatura en una universidad privada en 2010 puede calcularse de la siguiente manera: Colegiatura en una universidad privada en el año 2010 =$22,218(1+0.0616)4=$28,219 De manera similar, podemos obtener las tasas de inflación promedio para los artículos restantes de la tabla. Como es evidente, el costo del gas natural aumentó más que el de los demás artículos incluidos en la tabla. 4.1.4 Tasa de inflación general (fˉ ) contra tasa de inflación específica (fj ) Cuando utilizamos el IPC como la base para determinar la tasa de inflación promedio, obtenemos la tasa de inflación general. Necesitamos distinguir cuidadosamente entre la tasa de inflación general y la tasa_de inflación promedio para bienes específicos: • Tasa de inflación general ( f ): Esta tasa de inflación promedio se calcula sobre la base del IPC para todos los productos de la canasta básica. Se espera que la tasa de interés del mercado responda ante esta tasa de inflación general. En términos del IPC, definimos la tasa de inflación general como IPCn=IPC01 1 + f2 n, (4.1) o f= B donde f =la tasa de inflación general, IPCn 1/n R -1, IPC0 (4.2) IPCn=el índice de precios al consumidor al final del periodo n, e IPC0=el índice de precios al consumidor para el periodo base. Si conocemos los valores del IPC para dos años consecutivos, podemos calcular la tasa de inflación general anual de la siguiente manera IPCn-IPCn-1 , IPCn-1 donde fn =la tasa de inflación general para el periodo n. fn = (4.3) 4.1 Medición de la inflación 133 Como un ejemplo, calculemos la tasa de inflación general para el año 2006, donde IPC2005=194.60 e IPC2006=200.43: 200.43-194.60 =0.02996=3.00%. 194.60 Este cálculo demuestra que 2006 fue un año inusualmente bueno para la economía de Estados Unidos, ya que su tasa de inflación general del 3% fue ligeramente más baja que la tasa de inflación general promedio del 3.09% en los últimos 24 años.3 • Tasa de inflación específica ( fj): Esta tasa se basa en un índice de precios específico (diferente del IPC) para el segmento j de la economía. Por ejemplo, a menudo debemos calcular el costo futuro de algún artículo como mano de obra, materiales, vivienda o gasolina. (Cuando nos refiramos a la tasa de inflación promedio para un solo artículo, eliminaremos el subíndice j para simplificar.) Todas las tasas de inflación promedio calculadas en el ejemplo 4.1 son tasas de inflación específicas para cada precio de artículo. EJEMPLO 4.2 Desarrollo de una tasa de inflación específica para boletos de béisbol La siguiente tabla indica el costo promedio desde el año 2000 para que una familia de cuatro miembros asista a un partido de los Medias Rojas de Boston. Determine la tasa de inflación específica para cada periodo y calcule la tasa de inflación promedio en los siete años. 3 Tasa de inflación anual Año Costo 2000 $168.82 2001 $209.44 24.52% 2002 $228.73 9.21% 2003 $238.75 4.38% 2004 $263.09 10.19% 2005 $276.24 5.00% 2006 $287.84 4.2% Para calcular la tasa de inflación general promedio del periodo base (1982) a 2006, necesitamos conocer el IPC para el año 1982, que es 96.5. 200.43 1/24 -1=3.09%. d f= c 96.5 134 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Historial de precios de los boletos de béisbol. Determine: La tasa de inflación anual ( fj) y la tasa de inflación promedio en el periodo ( f ) de seis años. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule la tasa de inflación para cada año y la tasa de inflación promedio en el periodo de seis años. La tasa de inflación entre el año 2000 y el año 2001 ( f1) es ($209.44-$168.82)/$168.82=24.52%. La tasa de inflación durante el año 2001 y el año 2002 ( f2) es ($228.73-$209.44)/$209.44=9.21%. La tasa de inflación durante el año 2002 y el año 2003 ( f3) es ($238.75-$228.73)/$228.73=4.38%. Continúe estos cálculos para los años 2005-2006. La tasa de inflación promedio en los siete años es f=a $287.84 1/6 b -1=0.093=9.30%. $168.82 COMENTARIOS: Note que, aun cuando la tasa de inflación promedio es del 9.30% para el periodo considerado en conjunto, ninguno de los años en el periodo registró esta tasa.4 4.2 Dólares circulantes y dólares constantes A causa de la inflación, el poder adquisitivo del dólar cambia con el tiempo. Para comparar valores de dólar de diferente poder adquisitivo de un periodo a otro, necesitamos convertirlos a valores de dólar de un poder adquisitivo común: de dólares circulantes a dólares constantes, o bien, de dólares constantes a dólares circulantes. Para considerar el efecto de la inflación en nuestro análisis económico, necesitamos definir estos dos términos relacionados con la inflación:5 • Dólares circulantes (corrientes) (An): Los dólares circulantes son estimaciones de futuros flujos de efectivo para el año n que consideran cualquier cambio anticipado en la cantidad, causado por los efectos inflacionarios o deflacionarios. Los dólares circulantes son la cantidad de dólares que se pagarán o recibirán, sin importar cuánto valgan éstos. Normalmente, estas cantidades se determinan aplicando una tasa de inflación a los cálculos del año base del dólar. 4 Como obtuvimos esta tasa promedio con base en los costos que son específicos a la industria de servicios públicos, esta tasa no es la tasa de inflación general; es una tasa de inflación específica para servicios públicos. 5 De acuerdo con The Engineering Economist, ANSI Z94 Standard Committee sobre terminología de ingeniería industrial, 1988:33(2), 145-171. 4.2 Dólares circulantes y dólares constantes 135 • Dólares constantes (reales) (A'n): Los dólares constantes reflejan un poder adquisitivo constante independiente del paso del tiempo. Los dólares constantes son una medida de valor, no un indicador del número de dólares pagados o recibidos. En situaciones en las cuales se consideraron los efectos inflacionarios al efectuar el cálculo de los flujos de efectivo, podemos convertir estos cálculos a dólares constantes (dólares del año base) por medio de ajustes, usando una tasa de inflación general disponible. Daremos por hecho que el año base es siempre el tiempo cero, a menos que especifiquemos algo diferente. 4.2.1 Conversión de dólares constantes a dólares circulantes Como los dólares constantes representan cantidades de dólares expresadas en términos del poder adquisitivo del año base (véase la figura 4.3), podemos calcular los dólares equivalentes en el año n si utilizamos la tasa de inflación general f en la ecuación A n =A n' 11+f 2 n =A'n 1 F/P, f, n2 , (4.4) donde A'n=la expresión de dólares constantes para el flujo de efectivo que se da al final del año n, y An=la expresión de dólares circulantes para el flujo de efectivo que ocurre al final del año n. Si no se espera que el precio futuro de un elemento de costo específico ( j) siga la tasa de inflación general, necesitaremos utilizar la tasa de inflación promedio adecuada aplicable a este elemento de costo, fj, en vez de f . ⫺ ⫺ An ⫽ A⬘n (1 ⫹ f )n ⫽ A⬘n (F/P, f, n) $1,000 3 Dólares constantes n⫽3 $1,260 f ⫽ 8% $1,000 (1 ⫹ 0.08)3 ⫽ $1,260 3 Dólares circulantes Figura 4.3 Conversión de dólares constantes a dólares circulantes EJEMPLO 4.3 Conversión de dólares constantes a dólares circulantes ¿A cuánto equivaldrán, en 2006, $30,000 ganados en 1995? Los IPC para esos años son 152.4 y 200.43, respectivamente. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: $30,000 en 1995, IPC1995=152.4 e IPC2006=200.43. Determine: La cantidad en dólares circulantes en 2006. 136 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el equivalente en dólares circulantes. Mediante la ecuación (4.2), calculamos la tasa de inflación general de la siguiente manera f= B IPC2006 1/11 200.43 1/11 d -1=2.5218%, R -1= c 152.40 IPC1995 y el equivalente en dólares circulantes en 2006 es $30,000(1+0.025218)11=$39,455. 4.2.2 Conversión de dólares circulantes a dólares constantes Como se muestra en la figura 4.4, este proceso es el contrario de convertir dólares constantes a dólares circulantes. En vez de utilizar la fórmula de capitalización, usamos una fórmula de descuento (factor del valor presente para pagos únicos): A n' = An =A n 1P/F, f, n2 . 1 1+f2 n (4.5) Una vez más, podemos sustituir fj por f , si no se espera que los precios futuros sigan la tasa de inflación general. A menudo, el dólar constante se usa en las compañías para comparar el desempeño de los últimos años con el desempeño en el pasado. Los gobiernos también usan el dólar constante para registrar cambios en indicadores económicos, como los salarios, a lo largo del tiempo. Cualquier tipo de datos financieros que se represente en términos de dólares se puede convertir en dólares constantes mediante los IPC de varios años. Como un ejemplo, considere la figura 4.5, la cual registra los precios de la gasolina entre 1950 y 2006. Como se cuenta con los precios reales y los índices de precios al consumidor para este periodo, podemos elaborar una gráfica en la cual se expresen los precios de la gasolina tanto en dólares circulantes como en dólares constantes de 1950 al 14 de agosto de 2006. Aunque los consumidores experimentaron un notable aumento del precio en 2006, el precio, de hecho, empata con el precio de 1981, que se elevó drásticamente debido a un embargo petrolero impuesto por algunos países de Medio Oriente. En los ejemplos 4.4 y 4.5, ilustraremos cómo podemos convertir dólares circulantes a dólares constantes del año base, o viceversa. ⫺ ⫺ A⬘n ⫽ An (1 ⫹ f )⫺n ⫽ A⬘n (P/F, f, n) $1,260 $1,000 0 3 Dólares constantes n⫽3 ⫺ f ⫽ 8% 0 $1,260 (1 ⫹ 0.08)⫺3 ⫽ $1,000 3 Dólares circulantes Figura 4.4 Conversión de dólares circulantes a dólares constantes: $1,260 en tres años a partir de ahora tendrán un poder adquisitivo de $1,000 en términos de dólares base (año 0). 4.2 Dólares circulantes y dólares constantes 137 350 298.9 300 300.0 250 200 200.0 129.6 150 100 50 2006 es la del 14 de agosto de 2006, datos de Energy Information Administration. 38.8 0 1950 1954 1958 1962 1966 1970 1974 Centavos circulantes 1978 1982 1986 1990 1994 1998 2002 2006 Centavos constantes (2005) Figura 4.5 Precios de la gasolina en Estados Unidos, de 1950 a 2006, en centavos circulantes y constantes (año 2005) por galón (Fuente: http://oregonstate.edu/Dept/pol_sci/fac/sahr/GASoline.xls) EJEMPLO 4.4 Comparación de los premios en dinero ganados en diferentes puntos en el tiempo La siguiente tabla lista a los ganadores, y sus premios en dinero en dólares circulantes, del Campeonato Abierto de Golf de Estados Unidos de 2002 a 2006. Convierta los premios en dinero a dólares equivalentes de 2006. Al hacerlo, Dinero del premio del Campeonato Abierto de Golf de Estados Unidos Año Ganador Dinero del premio (en dólares circulantes) 2002 Tiger Woods 2003 Jim Furyk 1,080,000 2004 Retief Goosen 1,125,000 2005 Michael Campbell 1,170,000 2006 Geoff Ogilvy 1,225,000 $1,000,000 a) Determine la tasa de crecimiento del dinero del premio en dólares circulantes en el periodo de cuatro años. b) Calcule el equivalente del dinero del premio de cada uno, expresado en términos de dólares del año 2006. c) Determine la tasa de crecimiento del dinero del premio en dólares constantes (reales). d) Si la tendencia actual continúa, ¿cuál sería el dinero del premio esperado en dólares circulantes para el ganador en 2007? 138 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación ANÁLISIS DEL PROBLEMA Usted necesita indagar la tasa de inflación específica para cada año anterior para así determinar la pérdida del poder adquisitivo. Esto requiere la información del IPC desde 2002 hasta 2006. Dados: El historial de precios. Determine: La tasa de crecimiento del dinero de los premios en dólares circulantes y constantes, y el pronóstico del dinero del premio para el año 2007. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule la tasa de crecimiento de los premios en dinero en dólares circulantes y constantes, y pronostique el valor del premio en 2007. a) Crecimiento del dinero del premio en dólares circulantes: $1,225,000=$1,000,000(1+f )4 f=5.2044% b) Dinero del premio, expresado en términos de dólares de 2006: • Michael Campbell: $1,170,000(1+0.03)=$1,205,100 • Retief Goosen: $1,125,000(1+0.0351)(1+0.03)=$1,199,422 Otros premios monetarios de los campeones del Abierto de Estados Unidos pueden convertirse a los dólares del año base de 2006, como se muestra en la tabla inferior. c) Crecimiento real del dinero del premio: $1,225,000=$1,114,779(1+g)4 g=2.385% d) Predicción del dinero del premio de 2007 en dólares circulantes: F2007=$1,225,000(1+0.052044) =$1,288,754 Índice de precios al consumidor Año Ganador Dinero del premio (en dólares Índice de precios circulantes) al consumidor Tasa de inflación Equivalente del dinero del premio en dólares de 2006 2002 Tiger Woods $1,000,000 179.8 $1,114,779 2003 2004 Jim Furyk Retief Goosen 1,080,000 1,125,000 183.8 188.0 2.22% 2.29% 1,177,813 1,199,422 2005 Michael Campbell 1,170,000 194.6 3.51% 1,205,100 2006 Geoff Ogilvy 1,225,000 200.43 3.00% 1,225,000 COMENTARIOS: El premio real para el ganador de 2007 fue de $1,260,000, que es alrededor de $28,754 menos que la cantidad proyectada. 4.2 Dólares circulantes y dólares constantes 139 EJEMPLO 4.5 Conversión de dólares circulantes a dólares constantes La siguiente tabla representa la producción de talio y su consumo aparente en Estados Unidos para los años 1998 a 2004. El valor unitario es el valor en dólares circulantes de una tonelada métrica (t) del consumo aparente de talio. Con 1998 como el año base, ajuste el valor unitario en dólares estadounidenses circulantes al valor unitario en dólares estadounidenses constantes de 1998 (1998$). Consumo aparente Valor unitario ($/tonelada) Consumo total en dólares circulantes Año Producción de talio 1998 685,000 150,000 42,000 793,000 31.90 $25,296,700 1999 2000 2001 2002 2003 2004 711,000 672,000 588,000 521,000 493,000 508,000 144,000 180,000 175,000 224,000 245,000 238,000 47,000 43,000 43,000 42,000 37,000 37,000 808,000 809,000 720,000 703,000 701,000 709,000 33.40 33.80 36.30 36.50 38.00 41.00 $26,987,200 $27,344,200 $26,136,000 $25,659,500 $26,638,000 $29,069,000 Importaciones Exportaciones ANÁLISIS DEL PROBLEMA La primera tarea es determinar la inflación general ( f ) entre cada periodo. Luego, convertimos los dólares circulantes en cada periodo en sus respectivos dólares constantes de 1998, usando esta tasa periódica de inflación general. Dados: Los consumos totales en dólares circulantes. Determine: Dólares constantes equivalentes en el año 1998. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el consumo de talio equivalente en dólares constantes de 1998 para cada año. Usando la ecuación (4.5), determinamos el consumo de talio equivalente en dólares constantes de la siguiente manera: Año Consumo total en dólares circulantes IPC 1982-84=100 Tasa de inflación general Factor de descuento equivalente Valor unitario equivalente (1998$/tonelada) Consumo total en dólares constantes 1998 25,296,700 162.5 0 1 31.90 $25,296,700 1999 26,987,200 166.2 2.277% 0.977738 32.66 $26,386,402 2000 27,344,200 171.2 3.008% 0.949185 32.08 $25,954,715 2001 26,136,000 176.9 3.329% 0.918601 33.35 $24,008,559 2002 25,659,500 179.8 1.639% 0.903785 32.99 $23,190,671 2003 26,638,000 183.8 2.225% 0.884116 33.60 $23,551,085 2004 29,069,000 188.0 2.285% 0.864365 35.44 $25,126,354 140 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación Por ejemplo, el consumo total en 2004 fue de $29,069,000 en dólares circulantes. Para determinar su equivalente en dólares constantes en el año 1998, necesitamos descontar los dólares circulantes, utilizando las múltiples tasas de inflación, como sigue: $29,069,000 A' 1998 = (1+0.02285)(1+0.02225)( 1+0.01639) » (1+0.02277) =$29,069,000(0.864365) =$25,126,354 La tasa de inflación general promedio a lo largo de un periodo de seis años es f= B IPC2004 1/6 188.0 1/6 R -1=c d -1=2.459%. 162.5 IPC1998 El índice de precios promedio para el talio en el mismo periodo es f=c 41.00 1/6 d -1=4.2715%. 31.90 Esto indica que el precio promedio del talio ha estado aumentando a una tasa mucho más rápida que la inflación general en la economía. COMENTARIOS: Al determinar los valores unitarios equivalentes en dólares constantes, utilizamos las tasas periódicas de inflación anual, y no la tasa de inflación general del 2.459%. Esto es posible sólo porque conocemos con exactitud los precios reales en cada año. Sin embargo, si nuestra tarea es calcular el precio futuro en, digamos, 2008, entonces necesitamos usar la tasa de inflación promedio del 4.2715%. Por ejemplo, el precio estimado del talio en el año 2008 es de $31.90(F/P, 4.2715%, 10)=$48.47 en dólares circulantes. Si deseamos utilizar el precio de 2004 como una base ($41.00), el precio calculado en el año 2008 es $41.00(F/P, 4.2715%, 4)=$48.47, que es el mismo valor que obtuvimos previamente. 4.3 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación En capítulos anteriores nuestros análisis de equivalencia consideraban los cambios en la capacidad de generar ganancias del dinero (es decir, efectos del interés). Para considerar también los cambios en el poder adquisitivo, es decir, la inflación, podemos usar: 1. el análisis en dólares constantes o 2. el análisis en dólares circulantes. Cualquiera de los dos métodos produce la misma solución; no obstante, cada método requiere el uso de una tasa de interés y un procedimiento diferentes. Antes de presentar los dos procedimientos para la integración de la capacidad de generar ganancias y el poder adquisitivo, daremos una definición precisa de las dos tasas de interés usadas en ellos. 4.3 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación 141 4.3.1 Tasas de interés del mercado y libres de inflación Se utilizan dos tipos de tasas de interés en los cálculos de equivalencia: 1. la tasa de interés del mercado y 2. la tasa de interés libre de inflación. La diferencia entre las dos es análoga a la relación entre dólares circulantes y constantes. • Tasa de interés del mercado (i): Esta tasa, comúnmente conocida como tasa de interés nominal, considera los efectos combinados del valor de ganancia del capital (rentabilidad) y cualquier inflación o deflación anticipada (poder adquisitivo). Casi todas las tasas de interés anunciadas por las instituciones financieras aplicables a préstamos y cuentas de ahorros son tasas de interés del mercado. Asimismo, la mayoría de las compañías utilizan una tasa de interés del mercado (también conocida como tasa de rendimiento requerida ajustada a la inflación) al evaluar sus proyectos de inversión. • Tasa de interés libre de inflación (i'): Esta tasa es una estimación de la verdadera capacidad del dinero de generar ganancias cuando se han descartado los efectos de la inflación. Comúnmente conocida como tasa de interés real, se puede calcular si se conocen la tasa de interés del mercado y la tasa de inflación. De hecho, todas las tasas de interés mencionadas en los capítulos anteriores son tasas de interés del mercado. Como veremos más adelante en este capítulo, en ausencia de inflación, la tasa de interés del mercado es la misma que la tasa de interés libre de inflación. Cuando calculamos cualquier equivalencia de flujo de efectivo, necesitamos identificar la naturaleza de los flujos de efectivo. Los tres casos comunes son: Caso 1: Todos los elementos del flujo de efectivo se calculan en dólares constantes. Caso 2: Todos los elementos del flujo de efectivo se calculan en dólares circulantes. Caso 3: Algunos de los elementos del flujo de efectivo se calculan en dólares constantes y otros se calculan en dólares circulantes. Para el caso 3, simplemente convertimos todos los elementos del flujo de efectivo a un tipo, ya sea a dólares constantes o a dólares circulantes. Después, procedemos con el análisis en dólares constantes, para el caso 1, o el análisis en dólares circulantes, para el caso 2. El análisis en dólares constantes es común en la evaluación de muchos proyectos públicos a largo plazo, ya que los gobiernos no pagan impuesto sobre la renta. Normalmente, el impuesto sobre la renta se aplica con base en los ingresos gravables en dólares circulantes, por lo que el análisis en dólares circulantes es más común en el sector privado. 4.3.2 Análisis en dólares constantes Suponga que todos los elementos del flujo de efectivo se dan en dólares constantes y que deseamos calcular el valor presente equivalente de los dólares constantes (A'n) en el año n. Al no haber ningún efecto inflacionario, debemos utilizar i' para representar solamente la capacidad del dinero de generar ganancias. Para encontrar el equivalente del valor presente de esta cantidad de dólares constantes en i', usamos A'n . Pn = (1+i' )n (4.6) 4.3.3 Análisis en dólares circulantes Ahora, supongamos que todos los elementos del flujo de efectivo se calculan en dólares circulantes. Para encontrar el valor presente equivalente de esta cantidad de dólares circulantes (An) en el año n, podemos seguir dos pasos para convertir los dólares circulantes a su valor presente equivalente de dólares actuales. Primero, convertimos los dólares 142 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación circulantes a dólares constantes equivalentes descontando con la tasa de inflación general, un paso que elimina el efecto inflacionario. Ahora podemos usar i' para encontrar el valor presente equivalente. Sin embargo, el proceso de dos pasos se puede simplificar considerablemente gracias a la eficiencia de la tasa de interés del mercado, que lleva a cabo la deflación y el descuento en un paso. Matemáticamente, los dos pasos se pueden expresar como Pn= An 1 1+f2 n 1 1+i'2 n = An 1 1+f2 n 1 1+i'2 n = An . [1 1+f 2 1 1+i'2 ]n (4.7) Ya que la tasa de interés del mercado i refleja tanto la capacidad de generar ganancias como el poder adquisitivo, tenemos la siguiente relación: Pn = An . 11 + i2n (4.8) Los valores del valor presente equivalente en las ecuaciones (4.7) y (4.8) deben ser iguales. Por lo tanto, An An . n= 1 1+i2 [1 1+f2 1 1+i'2 ]n Esta ecuación nos lleva a la siguiente relación entre f, i', i: 1 1+i2 =1 1+f2 1 1+i'2 . Si simplificamos los términos, obtenemos i=i' +f+i'f. (4.9) Esta ecuación también implica que la tasa de interés del mercado es una función de dos términos, i' y f . Véase la figura 4.6 para un resumen de las ecuaciones anteriores. Pn ⫽ An (1 ⫹ f )n Paso 1 ⫺ Pn ⫽ Paso 2 ⫽ ⫽ (1 ⫹ i⬘)n An (1 ⫹ i)n An An ⫽ (1 ⫹ i)n [(1 ⫹ ⫺ f ) (1 ⫹ i⬘)]n ⫺ (1 ⫹ i) ⫽ (1 ⫹ f )(1 ⫹ i⬘) ⫺ An (1 ⫹ ⫺ n f ) (1 ⫺ ⫽ 1 ⫹ i⬘ ⫹ f ⫹ i⬘ f ⫹ i⬘)n An ⫺ ⫺ i ⫽ i⬘ ⫹ f ⫹ i⬘ f ⫺ [(1 ⫹ f ) (1 ⫹ i⬘)]n Figura 4.6 Deducción del método del descuento ajustado, que muestra cómo la tasa de interés del mercado está relacionada con la tasa de inflación promedio y la tasa de interés libre de inflación 4.3 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación 143 Observe que, sin un efecto inflacionario, las dos tasas de interés son iguales. (Si f ⫽ 0, entonces i=i'.) A medida que i' o f aumentan, i también aumenta. Cuando los precios aumentan debido a la inflación, las tasas de los bonos suben, ya que las promesas de pagos futuros de los deudores valen relativamente menos para los prestamistas (bancos, titulares de bonos, inversionistas del mercado monetario, titulares de certificados de depósito, etcétera). Así, los prestamistas demandan e imponen tasas de interés más altas. De manera similar, si la inflación se mantuviera en un 3%, podríamos estar satisfechos con una tasa de interés del 7% sobre un bono, ya que nuestro rendimiento sería mayor que la inflación. Si la inflación fuera del 10%, no compraríamos un bono del 7%; quizá insistiríamos en un rendimiento de, por lo menos, un 14%. Por otra parte, cuando los precios bajan, o al menos se encuentran estables, los prestamistas no temen a la pérdida del poder adquisitivo con los préstamos que hacen, por lo que están dispuestos a prestar a tasas de interés más bajas. En la práctica, a menudo nos aproximamos a la tasa de interés del mercado i simplemente sumando la tasa de inflación f a la tasa de interés real i' e ignorando el término del producto (i' f ). Esta práctica está bien, siempre y cuando i' o f sean relativamente pequeñas. Sin embargo, con la capitalización continua, la relación entre i, i' y f se vuelve precisamente i'=i- f . (4.10) Entonces, si suponemos una TPA nominal (tasa de interés del mercado) del 6% anual capitalizada de manera continua y una tasa de inflación del 4% anual capitalizada continuamente, la tasa de interés libre de inflación es exactamente del 2% anual capitalizado de manera continua. EJEMPLO 4.6 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación: Análisis en dólares constantes y circulantes Chena Hot Springs Resort construyó el primer museo de hielo en Estados Unidos. Chena se localiza a 60 millas (100 km) al noreste de Fairbanks, Alaska, que es, por tradición, la capital mundial del arte en hielo. Para ahorrar en el costo de enfriamiento para el museo de hielo en 2005, Chena instaló una enfriadora de absorción, que requiere 148 HP para operar. Esto ahorra $144,000 en costos de combustible por año al precio de combustible diesel de 2005 de $2.42 por galón. La vida esperada de la planta es de 20 años y se espera que el pecio del diesel aumente a una tasa anual del 5% durante la vida de operación de la enfriadora de absorción. Si la tasa de interés del mercado de Chena es del 12%, lo que explicaría la tasa de inflación general esperada del 5% durante el periodo de este proyecto, ¿cuál es el valor de instalar la enfriadora de absorción en dólares de 2005? Cuando resuelva este problema, demuestre que obtendremos el mismo resultado si usamos el análisis en dólares constantes o el análisis en dólares circulantes. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Flujos de efectivo en dólares constantes, i=12%. Determine: El valor presente equivalente de la serie de flujos de efectivo. 144 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 1: Análisis en dólares constantes. Podemos intentar encontrar el equivalente de los ahorros en combustible en dólares de 2005 encontrando primero la tasa de interés libre de inflación y luego aplicando esta tasa de interés libre de inflación para obtener los valores presentes de los ahorros en el combustible en dólares constantes. Usando la ecuación (4.9), encontramos i' como sigue: 0.12=i'+0.05+0.05i' i'=6.667% Por lo tanto, el equivalente actual de los ahorros en combustible en 2005 es P=$144,000(P/A, 6.667%, 20)=$1,565,873. La tabla 4.2 ilustra el proceso del cálculo del valor presente equivalente cuando todos los flujos de efectivo se dan en dólares constantes. Una vez que se anoten las cifras de los ahorros de combustible en las celdas B12 a B32, podríamos calcular directamente el valor presente de la serie de flujos de efectivo usando la tasa de interés libre de inflación. Sin embargo, quizá nos interese conocer el equivalente en dólares circulantes si se especifican todas las tasas de inflación periódicas. Esto se muestra en la columna D, o en las celdas D12 a D32. También podemos graficar, de manera sencilla, los ahorros en combustible esperados en términos de dólares constantes y circulantes. TABLA 4.2 Hoja de Excel para llevar a cabo un análisis en dólares constantes Ejemplo 4.6 - Análisis en dólares constantes Entradas (i ) Tasa de interés del mercado (%) (f ) Tasa de inlación general (%) (N ) Periodos de pago Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $ constantes Tasa de inlación $0.00 0.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% $144,000.00 5.00% Salidas (P ) Valor presente ($) (i' ) Tasa de interés real (%) Calcular Enviar $ circulantes $0.00 $151,200.00 $158,760.00 $166,698.00 $175,032.90 $183,784.55 $192,973.77 $202,622.46 $212,753.58 $223,391.26 $234,560.83 $246,288.87 $258,603.31 $271,533.48 $285,110.15 $299,365.66 $314,333.94 $330,050.64 $346,553.17 $363,880.83 $382,074.87 Tasa de interés del mercado 0.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% Valor presente $0.00 $135,000.00 $126,562.50 $118,652.34 $111,236.57 $104,284.29 $97,766.52 $91,656.11 $85,927.60 $80,557.13 $75,522.31 $70,802.16 $66,377.03 $62,228.46 $58,339.19 $54,692.99 $51,274.67 $48,070.01 $45,065.63 $42,249.03 $39,608.47 Reiniciar Flujos de efectivo en dólares constantes y circulantes $ Valor presente equivalente 4.3 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación 145 METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método 2: Análisis en dólares circulantes. Como los ahorros de combustible están dados en dólares constantes de 2005, necesitamos convertirlos a su equivalente en dólares circulantes. Como los ahorros de combustible están creciendo a la tasa anual del 5%, la serie de ahorros de combustible en dólares circulantes forma una serie con gradiente geométrico. Para encontrar el equivalente del total de los ahorros en dólares de 2005, usamos la tasa de interés del mercado del 12% para descontar esta serie geométrica: P=$151,200(P/A1, 5%, 12%, 20) =$1,565,873 (en dólares del año 2005). Note que el resultado es básicamente el mismo que antes. (Podríamos observar una ligera discrepancia debido a errores de redondeo a la hora de aplicar los diferentes factores de interés.) La tabla 4.3 ilustra el enfoque tabular para obtener el valor presente equivalente, en Excel. Primero escribimos los ahorros en combustible en dólares circulantes en las celdas B12 a B32. Después registramos las tasas periódicas de inflación en las celdas C12 a C32. Podríamos calcular el valor presente TABLA 4.3 Hoja de Excel para llevar a cabo un análisis en dólares circulantes Ejemplo 4.6 Análisis en dólares Entradas Salidas (i' ) Tasa de interés real (%) (P ) Valor presente ($) (f ) Tasa de inlación general (%) (i ) Tasa de interés del mercado (%) Enviar Enviar (N ) Periodos de pago Periodo $ circulantes 0 0 1 $151,200 2 $158,760 3 $166,698 4 $175,033 5 $183,785 6 $192,974 7 $202,622 8 $212,754 9 $223,391 10 $234,561 11 $246,289 12 $258,603 13 $271,533 14 $285,110 15 $299,366 16 $314,334 17 $330,051 18 $346,553 19 $363,881 20 $382,075 Tasa de inlación 0.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% $ constantes 0.0 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 $144,000 Calcular Tasa de interés real 0.00% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% 6.67% Valor presente 0.0 $135,000 $126,562 $118,651 $111,235 $104,283 $97,765 $91,654 $85,925 $80,555 $75,520 $70,800 $66,375 $62,226 $58,337 $54,690 $51,272 $48,067 $45,063 $42,247 $39,606 Reiniciar Cash Flows in Acutal & Constant $ Valor presente equivalente 146 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación de la serie de flujos de efectivo en dólares circulantes si usáramos la tasa de interés del mercado, pero podemos convertir primero estos flujos de efectivo en dólares circulantes a sus equivalentes en dólares constantes. Una vez que la serie de flujos de efectivo se expresa en dólares constantes, utilizamos la tasa de interés libre de inflación (real) para encontrar el valor presente equivalente. 4.3.4 Análisis en dólares mixtos Ahora consideramos otra situación en la que algunos elementos del flujo de efectivo se expresan en dólares constantes (o de hoy) y otros elementos en dólares circulantes. En esta situación, convertimos todos los elementos del flujo de efectivo en las mismas unidades de dólar (ya sean constantes o circulantes). Si todos los elementos del flujo de efectivo se convierten a dólares circulantes, podemos utilizar la tasa de interés del mercado i para calcular el valor de equivalencia. Si todos los elementos del flujo de efectivo se convierten a dólares constantes, utilizamos la tasa de interés libre de inflación i'. El ejemplo 4.7 ilustra esta situación. EJEMPLO 4.7 Cálculo de equivalencia con elementos compuestos de flujo de efectivo Una pareja desea crear un fondo bancario para la universidad de su hijo, quien ahora tiene cinco años. El fondo universitario ganará el 8% de interés capitalizado trimestralmente. Suponiendo que el chico ingrese a la universidad cuando tenga 18 años, la pareja estima que se requerirá una cantidad de $30,000 por año, en términos de dólares de hoy, para sostener los gastos de la universidad de su hijo por cuatro años. Se calcula que los gastos escolares se incrementen a una tasa anual del 6%. Determine los depósitos trimestrales iguales que la pareja debe realizar hasta que su hijo ingrese a la universidad. Suponga que el primer depósito se hará al finalizar el primer trimestre y los depósitos continuarán hasta que el hijo tenga 17 años. El joven ingresará a la universidad a los 18 años y el gasto escolar anual se pagará al inicio de cada año de universidad. En otras palabras, el primer retiro se hará cuando el joven tenga 18. ANÁLISIS DEL PROBLEMA En este problema, los gastos de universidad futuros se expresan en términos de dólares de hoy, mientras que los depósitos trimestrales están en dólares circulantes. Como la tasa de interés cotizada para el fondo educacional es una tasa de interés del mercado, podemos convertir los gastos universitarios futuros a dólares circulantes. Dados: Un plan de ahorros para la universidad, i=2% por trimestre, f=6% y N=12 años. Determine: Cantidad del depósito trimestral en dólares circulantes. Cálculo de equivalencia con elementos compuestos de flujo de efectivo Gastos universitarios (en dólares de hoy) Gastos universitarios (en dólares circulantes) 18 (primer año) $30,000 $30,000(F/P, 6%, 13)=$63,988 19 (segundo año) $30,000 $30,000(F/P, 6%, 14)=$67,827 20 (tercer año) $30,000 $30,000(F/P, 6%, 15)=$71,897 21 (último año) $30,000 $30,000(F/P, 6%, 16)=$76,211 Edad 4.3 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación 147 METODOLOGÍA SOLUCIÓN Convierta todos los elementos del flujo de efectivo en dólares constantes a dólares circulantes. Después utilice la tasa de interés del mercado para encontrar el valor presente equivalente. En la figura 4.7 se indican los gastos universitarios así como la serie de depósitos trimestrales en dólares circulantes. Primero seleccionamos n=12, o 17 años de edad, como el periodo base para nuestro cálculo de equivalencia. (Nota: La inflación se compone anualmente; así, el n que utilizamos aquí difiere del n trimestral que usamos después.) Después calculamos la cantidad total acumulada en el periodo base al 2% de interés por trimestre (8% TPA/4=2% por trimestre). Como el periodo de depósitos es de 12 años y el primer depósito se realiza al final del primer trimestre, tenemos un periodo de depósitos de 48 trimestres. Por lo tanto, el saldo total de los depósitos cuando el hijo tenga 17 años sería V1=C(F/A, 2%, 48) =79.3535C. El valor equivalente de la cantidad global del total de los gastos universitarios en el periodo base sería V2=$63,988(P/F, 2%, 4)+$67,827(P/F, 2%, 8) +$71,897(P/F, 2%, 12)+$76,211((P/F, 2%, 16) =$229,211 Al establecer que C=$2,888.48. V1=V2 y despejando Figura 4.7 Creación de un fondo para la educación universitaria de un niño de cinco años en el marco de una economía inflacionaria haciendo 48 depósitos trimestrales COMENTARIOS: Éste es un buen ejemplo en el que Excel nos ayudaría a entender los efectos de las variaciones en las circunstancias de la situación. Por ejemplo, ¿cómo afecta un cambio en la tasa de inflación el plan de ahorros trimestrales? Primero, debemos crear una hoja de cálculo de Excel y utilizar la función Buscar objetivo. C, obtenemos 148 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación TABLA 4.4 Trimestre Solución de Excel para encontrar los depósitos trimestrales requeridos (ejemplo 4.7) Depósitos Retiros Salidas Gastos universitarios (año) Tasa de inflación Gastos universitarios en dólares circulantes 18 (primer año) 19 (segundo año) 20 (tercer año) 21 (último año) Celda objetivo Tasa de interés (%) Total de depósitos iguales Total de retiros iguales Nota: LAs filas 10 a 40 están ocultas. Celda Celda Celda Celda Celda Celda Celda La tabla 4.4 es un ejemplo de una hoja de cálculo que muestra el programa de depósitos y retiros para este escenario. Después de especificar la tasa de interés en E50 y de utilizar las funciones de Excel para calcular el total equivalente de los depósitos y retiros en términos de valor presente, designamos la celda E48 como la diferencia entre E52 y E53 (esto es, E52-E53). Para asegurar que el saldo acumulado de depósitos sea exactamente lo suficiente para cubrir los retiros proyectados, especificamos que esta celda objetivo sea cero (es decir, E52-E53=0) y ordenamos a Buscar objetivo que ajuste el depósito trimestral (E50) como corresponde. Note que el depósito trimestral está vinculado al programa de depósitos en la columna B. La función Buscar objetivo encuentra que la cantidad del depósito trimestral que se requiere es de $2,888.47, en la celda E51. Resumen 149 Análisis de sensibilidad: Utilizando la hoja de cálculo de la tabla 4.4, podemos ajustar la tasa de interés y ver el cambio en los depósitos trimestrales requeridos. Si ajustamos la inflación anual del 6% al 4%, encontraremos que el depósito trimestral requerido es de $2,192.96, que es $695.51 menos que en el caso del 6%. El resultado se muestra en la tabla 4.5. TABLA 4.5 Ahorros trimestrales requeridos a tasas de interés y tasas de inflación variables Variando la tasa de inflación anual cuando la tasa de ahorros se fija en 2% por trimestre Tasa de inflación anual Variando la tasa trimestral de ahorros cuando la tasa de inflación se fija en 6% anual Monto del depósito requerido Tasa trimestral de ahorros 2% $1,657 1% $4,131 4% $2,193 1.5% $3,459 6% $2,888 2.0% $2,888 8% $3,787 2.5% $2,404 10% $4,942 3.0% $1,995 RESUMEN 쐽 El índice de precios al consumidor (IPC) es una medida estadística de los cambios, a lo largo del tiempo, de los precios de los bienes y servicios en los grupos importantes de gastos —como alimentos, vivienda, vestido, transportación y asistencia médica—, que normalmente adquieren los consumidores urbanos. El IPC compara el costo de una “canasta básica”, considerada como muestra, de los bienes y servicios en un periodo específico con el costo de la misma canasta básica en un periodo anterior de referencia. Este periodo de referencia se llama periodo base. 쐽 Inflación es el término usado para describir una disminución en el poder adquisitivo, que se manifiesta en un entorno económico de precios en aumento. 쐽 Deflación es el fenómeno opuesto a la inflación: es un aumento en el poder adquisitivo como resultado de una reducción en los precios. 쐽 La tasa de inflación general f es una tasa de inflación promedio basada en el IPC. Se puede calcular una tasa de inflación general anual fn mediante la siguiente ecuación: fn= 쐽 Monto del depósito requerido IPCn -IPCn-1 . IPCn-1 Los cambios en los precios de ciertos productos individuales no siempre reflejan la tasa de inflación general. Podemos calcular una tasa de inflación promedio fj para un producto en particular ( j) si tenemos un índice (es decir, un historial de costos) para ese producto. 150 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación 쐽 Los flujos de efectivo de un proyecto se pueden expresar en una de dos maneras: 1. Dólares circulantes (An): Cantidades de dólares que reflejan la tasa de inflación o deflación. 2. Dólares constantes (A'n): Cantidades de dólares que reflejan el poder adquisitivo de los dólares del año cero. 쐽 Las tasas de interés para la evaluación de flujos de efectivo se pueden expresar de dos formas: 1. Tasa de interés del mercado (i): Una tasa que combina los efectos del interés y la inflación; esta tasa se utiliza con el análisis en dólares circulantes. A menos que se especifique lo contrario, las tasas de interés que emplearemos en el resto de este texto son las tasas de interés del mercado. 2. Tasa de interés libre de inflación (i'): Una tasa de la cual se han eliminado los efectos de la inflación; esta tasa se emplea con análisis en dólares constantes. 쐽 Para calcular el valor presente de los dólares circulantes, podemos utilizar un proceso de dos pasos o de un paso: 쐽 Método de deflación (dos pasos): 1. Convierta dólares circulantes a dólares constantes haciendo la reducción con la tasa de inflación general de f . 2. Calcule el valor presente de dólares constantes descontando en i'. 쐽 Método de descuento ajustado (un paso; se emplea la tasa de interés del mercado): An Pn = [(1+f)(1+i')]n An = , (1+i)n dondee i=i'+ f+i'f. Como alternativa, simplemente utilice la tasa de interés del mercado para encontrar el valor presente neto. PROBLEMAS Nota: En estos problemas, el término “tasa de interés del mercado” representa la tasa de interés ajustada a la inflación para los cálculos de equivalencia o la tasa porcentual anual (TPA), que cotiza una institución financiera para efectos de préstamos comerciales. A menos que se especifique lo contrario, todas las tasas de interés mencionadas son compuestas anualmente. Medición de la inflación 4.1 El precio promedio de la gasolina sin plomo para los residentes de California en 2007 era de $3.15 por galón. Suponiendo que el periodo base (índice de precios=100) es 1996 y que el precio de la gasolina sin plomo para ese año era de $1.10 por galón, calcule el índice de precios promedio para el precio de la gasolina sin plomo para el año 2007. Problemas 151 4.2 Los siguientes datos indican los índices de precios de la madera [índice de precios para el periodo base (1982-1984)=100] durante los últimos seis años: Periodo 4.3 4.4 4.5 4.6 Índice de precios 2001 144.5 2002 179.5 2003 188.2 2004 178.8 2005 171.6 2006 170.6 2008 ? a) Si el periodo base (índice de precios=100) se restablece al año 2001, calcule la tasa de inflación para la madera entre 2001 y 2006. b) Si se espera que continúe la tendencia del pasado, ¿cómo calcularía usted el precio de la madera en 2008? Los precios suben a una tasa anual del 5% el primer año y del 8% el segundo año. Determine la tasa de inflación promedio ( f ) en estos dos años. La siguiente tabla muestra el costo de una empresa de servicio público para proveer una cantidad fija de energía eléctrica a un nuevo desarrollo habitacional; los índices son específicos de la industria de servicios públicos. Suponga que el periodo base es el año 0. Determine la inflación específica para cada periodo y calcule la tasa de inflación promedio en el periodo de tres años. Año Costo 0 $504,000 1 $538,400 2 $577,000 3 $629,500 Debido a la inflación general de los precios en nuestra economía, el poder adquisitivo del dólar se reduce con el paso del tiempo. Si se espera que la tasa de inflación general promedio sea del 7% anual para el futuro inmediato, ¿cuántos años pasarán para que el poder adquisitivo del dólar llegue a la mitad de lo que es ahora? El salario de un ingeniero en 2002 era de $55,000. El sueldo del mismo ingeniero en 2007 es de $70,000. Si la política de salarios de la compañía dicta que un aumento anual en los salarios refleja el aumento en el costo de vida debido a la inflación, ¿cuál es la tasa de inflación promedio para el periodo 2002-2007? Dólares circulantes y dólares constantes 4.7 Una anualidad asegura 10 pagos consecutivos de $8,500 cada fin de año. Se estima que la tasa de inflación general sea del 5% anual, y la tasa de interés del 152 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación 4.8 4.9 mercado es del 12% anual. ¿Cuál es el valor de la anualidad en términos de una cantidad equivalente única de dólares de hoy? Cierta compañía está considerando la adquisición de terminales de computadora para dar apoyo a su personal de ingeniería. En dólares de hoy, se estima que los costos de mantenimiento para las computadoras (pagados al final de cada año) serán $25,000, $30,000, $32,000, $35,000 y $40,000 para los años 1 al 5, respectivamente. Se calcula que la tasa de inflación general ( f ) sea del 8% anual, y la compañía recibirá el 15% anual sobre sus fondos invertidos durante el periodo inflacionario. La compañía quiere pagar los gastos de mantenimiento en pagos iguales equivalentes (en dólares circulantes) al final de cada uno de los cinco años. Determine la cantidad del pago anual de la compañía. Dados los flujos de efectivo en dólares circulantes que aparecen en la siguiente tabla, convierta los flujos de efectivo a flujos de efectivo equivalentes en dólares constantes si el año base es 0. Suponga que la tasa de interés del mercado es del 16% y que la tasa de inflación general ( f ) está calculada en 4% anual. n Flujo de efectivo (en dólares circulantes) 0 $2,500 4 $4,500 5 $3,500 7 $5,500 4.10 La compra de un auto requiere un préstamo de $12,000 que debe liquidarse en abonos mensuales durante cuatro años al 12% de interés compuesto mensual. Si la tasa de inflación general es del 6% compuesto mensual, calcule el valor presente y constante de los dólares del vigésimo pago de este préstamo. 4.11 Una serie de cuatro pagos anuales de dólares constantes que comienza con $15,000 al final del primer año está creciendo a una tasa del 8% anual. Suponga que el año base es el año en curso (n=0). Si la tasa de interés del mercado es del 13% anual y la tasa de inflación general ( f ) es del 7% anual, calcule el valor presente de esta serie de pagos, con base en a) el análisis en dólares constantes. b) el análisis en dólares circulantes. 4.12 Considere una situación, en la que a) el flujo de efectivo de pagos iguales de $1,000 en dólares constantes durante tres años se convierte a partir de b) el flujo de efectivo de pagos iguales en dólares circulantes durante tres años, a una tasa de inflación general de f =3.8%. Además, i=9%. ¿Cuál es la cantidad A en dólares circulantes equivalente a A'=$1,000 en dólares constantes? 4.13 Un bono de $1,000 a 10 años paga una tasa nominal del 9% compuesto semestralmente. Si la tasa de interés del mercado es del 12% compuesto anual y la tasa de interés general es del 6% anual, determine la cantidad de dólares circulantes y constantes (tiempo=dólares del año cero) del decimosexto pago de intereses sobre el bono. Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación 4.14 Usted acaba de firmar un contrato de asesoría de negocios con uno de sus clientes. El cliente le pagará $30,000 al año durante cinco años por el servicio que le Problemas 153 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 brindará en ese periodo. Usted anticipa que la tasa de inflación general será del 5%. Si su ansiada tasa de interés libre de inflación es del 4%, ¿cuál es el valor del quinto pago en dólares presentes? El cliente pagará la cuota por asesoría al final de cada año. Suponga que solicita un préstamo por $20,000 al 12% compuesto mensual por cinco años. Sabiendo que el 12% representa la tasa de interés del mercado, usted calcula el pago mensual en dólares circulantes en $444.90. Si se espera que la tasa de inflación general mensual promedio sea del 0.5%, determine la serie equivalente de pagos mensuales iguales en dólares constantes. Los costos anuales de combustible para operar una pequeña planta de tratamiento de residuos sólidos están proyectados en $1.5 millones, sin considerar ninguna inflación futura. Los mejores cálculos indican que la tasa de interés anual libre de inflación (i') será del 6% y que la tasa de inflación general ( f )=5%. Si a la planta le quedan cinco años de vida útil, ¿cuál es el valor equivalente actual de sus costos de combustible, de acuerdo con el análisis en dólares circulantes? Suponga que acaba de comprar un auto usado que vale $6,000 en dólares de hoy. Suponga también que, para financiar la compra, usted solicitó un préstamo de $5,000 a un banco local al 9% compuesto mensual durante dos años. El banco calculó su pago mensual en $228. Considere que la inflación general promedio será del 0.5% por mes en los siguientes dos años. a) Determine la tasa de interés anual libre de inflación (i') para el banco. b) ¿Qué pagos mensuales iguales, en términos de dólares constantes durante los siguientes dos años, son equivalentes a la serie de pagos actuales que deben realizarse durante la vida del préstamo? Un hombre piensa jubilarse en 20 años. Puede depositar dinero para su jubilación al 6% compuesto mensual. Se estima que la tasa de inflación general futura ( f ) será del 5% compuesto anual. ¿Qué depósito debe hacerse cada mes hasta que el hombre se jubile para que pueda realizar retiros anuales de $40,000, en términos de dólares de hoy, durante los 15 años posteriores a su jubilación? (Suponga que su primer retiro se realiza al terminar los primeros seis meses después de su jubilación.) En su cumpleaños número 23, un ingeniero decide comenzar a ahorrar para así crear un fondo de jubilación que paga el 8% de interés compuesto trimestralmente (tasa de interés del mercado). Él cree que $600,000 en dólares de hoy tienen un poder adquisitivo que será suficiente para disfrutar de sus años de jubilación después de su cumpleaños número 63. Considere que la tasa de inflación general es del 6% anual. a) Si él planea ahorrar realizando 160 depósitos trimestrales iguales, ¿cuál debería ser el monto de cada depósito trimestral en dólares circulantes? b) Si él planea ahorrar realizando depósitos que se incrementen en $1,000 al final de cada año subsiguiente, ¿de cuánto sería su primer depósito, en dólares circulantes? Una pareja desea ahorrar para la universidad de su hija. La hija entrará a la universidad en ocho años a partir de ahora y necesitará $40,000, $41,000, $42,000 y $43,000 en dólares circulantes para los cuatro años de universidad. Supondremos que estos pagos se realizarán al inicio de cada año escolar. La tasa de inflación general futura está calculada en un 6% anual y la tasa de interés anual libre de inflación es del 5%. ¿Cuál es la cantidad igual, en dólares circulantes, que la pareja debe ahorrar cada año hasta que su hija vaya a la universidad? Un padre de familia desea ahorrar para los gastos universitarios de su hijo de ocho años. El hijo ingresará a la universidad en 10 años. Se requerirá una cantidad 154 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación anual de $40,000 en dólares constantes para poder sostener los gastos universitarios del hijo durante cuatro años. Supongamos que estos pagos se realizarán al inicio de cada año escolar. La tasa de inflación general futura está calculada en el 6% anual y la tasa de interés del mercado sobre la cuenta de ahorros promediará el 8% compuesto anual. a) ¿Cuál es el monto de los gastos del hijo en su primer año en términos de dólares circulantes? b) ¿Cuál es la cantidad global única equivalente en este momento para esos gastos universitarios? c) ¿Cuál es la cantidad igual, en dólares circulantes, que debe ahorrar el padre cada año hasta que su hijo ingrese a la universidad? 4.22 Considere el siguiente flujo de efectivo después de impuestos de un proyecto y la tasa de inflación general anual esperada durante el periodo del proyecto: Fin del año Flujo de efectivo esperado (en dólares circulantes) Tasa de inflación general 0 ⫺$45,000 1 $26,000 6.5% 2 $26,000 7.7% 3 $26,000 8.1% a) Determine la tasa de inflación general anual promedio durante el periodo del proyecto. b) Convierta los flujos de efectivo en dólares circulantes a su equivalente en dólares constantes, con el año cero como base. c) Si la tasa de interés anual libre de inflación es del 5%, ¿cuál es el valor presente del flujo de efectivo? Breves estudios de caso con Excel 4.23 Si quisiéramos invertir $10,000 en un fondo indexado S&P, pagando el 0.2% de cuotas anuales y depositáramos $100 cada mes durante 40 años, recibiendo rendimientos anuales del 10.4%, ¿qué pasaría, en teoría, con nuestra inversión con una inflación anual del 3.43%? ¿Cuánto valdría en términos de dólares de hoy? Esto es 10.4%-0.2%-3.43%=6.77% durante 40 años. 4.24 Ya que el Índice de Precios al Consumidor incluye un componente para “colegiaturas y comisiones”, es posible utilizar ese componente como un índice histórico de la inflación en las colegiaturas. Éste refleja los gastos del consumidor en colegiaturas durante el año calendario y está basado en la misma metodología que el Índice de Precios al Consumidor. La siguiente tabla presenta estas cifras. Note que estas cifras indican una tasa de inflación promedio en las colegiaturas del 8.0% de 1979 a 2001, y del 4.5% de 1997 a 2001. Suponga que la colegiatura promedio para el año 2005 era de $18,000 para una universidad pública. Analice las diferentes opciones de planeación financiera disponibles para cubrir los gastos universitarios de una persona que nace hoy. 4.25 Usted cuenta con $10,000 en efectivo que desea invertir. Normalmente, depositaría el dinero en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés anual del 6%. Sin embargo, ahora usted está considerando la posibilidad de invertir en un bono. Sus alternativas son un bono municipal libre de impuestos que paga el 9% o un Problemas 155 Cifras de la Oficina de Estadísticas Laborales (bls) Año Inflación en las colegiaturas (IPC) Inflación general (IPC) 2005 7.46% 3.39% 2004 9.46% 2.66% 2003 8.40% 2.28% 2002 6.82% 1.58% 2001 5.09% 2.85% 2000 4.14% 3.36% 1999 3.98% 2.21% 1998 4.22% 1.56% 1997 5.11% 2.29% 1996 5.66% 2.95% 1995 6.00% 2.76% 1994 6.98% 2.77% 1993 9.37% 2.78% 1992 10.74% 3.16% 1991 10.17% 4.45% 1990 8.09% 4.81% 1989 7.93% 4.99% 1988 7.60% 4.16% 1987 7.56% 3.90% 1986 8.09% 1.61% 1985 9.10% 3.55% 1984 10.23% 4.14% 1983 10.41% 2.44% 1982 13.44% 6.48% 1981 12.43% 10.73% 1980 9.43% 13.22% 1979 8.01% 11.27% bono corporativo gravable que paga el 12%. Su tasa marginal gravable es del 30% para los ingresos ordinarios y las ganancias de capital. (La tasa marginal gravable del 30% significa que sólo conservará el 70% de los ingresos por intereses de su bono.) Usted espera que la tasa de inflación general sea del 3% durante el periodo de la inversión. Puede adquirir un bono municipal de alto rendimiento que cuesta $10,000 y que paga intereses del 9% ($900) por año. Este interés no es gravable. También existe un bono corporativo de alto rendimiento por el mismo precio. Este bono es tan seguro como el bono municipal, pero paga un interés del 12% 156 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación ($1,200) al año. El interés para este bono se grava como un ingreso ordinario. Ambos bonos maduran al terminar el año 5. a) Determine la tasa de rendimiento real (libre de inflación) para cada bono. b) Sin conocer su tasa de ganancia, ¿qué opción elegiría entre estos dos bonos? 4.26 La publicación BusinessWeek actualmente ofrece las siguientes opciones de suscripción: un año por $39; dos años por $72; tres años por $103. Estas tasas aumentarán de acuerdo con la tasa de inflación general. Puede esperarse que la tasa de inflación general sea entre el 3% y 7%. ¿Cuál es su estrategia óptima para suscribirse al menor costo posible, suponiendo que planea ser un suscriptor de por vida? ¿Qué otras suposiciones se requieren para que su análisis sea completo? 4.27 La legislatura de Michigan puso en marcha el primer programa nacional manejado por el estado, el plan Pague ahora, aprenda después, para garantizar la colegiatura universitaria en las universidades públicas en Michigan para los estudiantes cuyas familias invierten en un fondo fiduciario especial libre de impuestos. El programa se conoce como Fideicomiso de Educación Michigan (met, por las siglas de Michigan Education Trust) y hay tres planes de beneficios a elegir: 쐽 El plan total otorga colegiaturas y comisiones hasta el número total de créditos en horas requeridos para un título de licenciatura estándar de cuatro años (normalmente hasta 120 créditos en horas en un semestre). Se pueden comprar 1, 2, 3 o 4 años de colegiatura de acuerdo con este contrato, y el met pagará por 30, 60, 90 o 120 créditos en horas, respectivamente. 쐽 El plan limitado otorga colegiaturas y comisiones en las universidades públicas de Michigan que no excedan el 105% de la colegiatura ponderada promedio de todas las universidades públicas de cuatro años de Michigan. Por ejemplo, si un estudiante en 2002 con el plan limitado de cuatro años asiste a la Universidad de Michigan, que es relativamente más cara, el met pagará por 84 créditos en horas. Si ese estudiante asiste a la Universidad Tecnológica de Michigan, el met pagará por 116 créditos en horas. 쐽 El plan para la universidad comunitaria provee las colegiaturas y comisiones distritales en las universidades comunitarias públicas. Cualquiera puede comprar uno o dos años de acuerdo con este contrato. Los diferentes contratos se pueden adquirir en planes de pagos globales o mensuales. (Véase la tabla de precios de la siguiente página.) Por ejemplo, un contrato total global de cuatro años cuesta $24,252 para los beneficiarios en los grados 8 y anteriores. El costo global del contrato es el mismo para los beneficiarios elegibles sin importar su edad o grado. Sin embargo, para contratos de compra mensuales del met, se puede participar en uno de los tres planes: plan de compra de cuatro años, de siete años y de 10 años. El gobierno estatal afirma que el fondo educacional es mejor que invertir dinero en un certificado de depósito (CD) o que tener un plan de prepago de colegiaturas en un banco, ya que el estado promete apoyar la inversión. Sin importar cuánto aumente la colegiatura, sus fondos cubrirán la totalidad. La desventaja de un CD o de una cuenta de ahorros es que el interesado tiene que esperar que la colegiatura no supere la cantidad que ahorra, pero no tiene ninguna garantía. La gráfica también revela cómo la colegiatura y las cuotas obligatorias en las universidades de cuatro años de Michigan han aumentado entre 1988 y 2002. a) Suponiendo que usted está interesado en el programa para un recién nacido, ¿se uniría a este programa para un plan total de beneficios de cuatro años? b) Para un recién nacido, ¿elegiría el plan de pagos globales o el plan de pagos mensuales a 10 años? Problemas 157 Tabla de precios: Contratos globales del met 1 año 2 años 3 años 4 años Beneficios totales $6,063 $12,126 $18,189 $24,252 Beneficios limitados $4,884 $9,768 $14,652 $19,536 Universidad comunitaria $1,730 $3,460 ND ND Se puede adquirir un contrato total global para los beneficiarios del 8º grado y anteriores. Se puede adquirir un contrato limitado global o uno para una universidad comunitaria para beneficiarios del 10º grado y anteriores. El costo global del contrato es el mismo para los beneficiarios elegibles, sin importar la edad o el grado. Contratos de compra mensuales del met Plan de compra de 4 años Plan de compra de 7 años 1 año 2 años 3 años 4 años 1 año 2 años 3 años 4 años Beneficios totales $148 $296 $444 $592 $95 $190 $285 $380 Beneficios limitados $119 $238 $357 $476 $77 $154 $231 $308 Universidad comunitaria $42 $84 ND ND $27 $54 ND ND Plan de compra de 10 años 1 año 2 años 3 años 4 años Beneficios totales $74 $148 $222 $296 Beneficios limitados Universidad comunitaria $60 $21 $120 $42 $180 ND $240 ND Los contratos de compra mensuales deben estar completamente pagados antes de que el alumno ingrese a la universidad. Los planes de compra mensuales de cuatro años se pueden adquirir para beneficiarios en el 8º grado y anteriores; los planes de compra mensuales de siete años se pueden adquirir para alumnos de 5º grado y anteriores, mientras que los planes de 10 años pueden comprarse para beneficiarios en 2º grado y anteriores. El costo de la compra mensual es el mismo para beneficiarios elegibles, sin importar la edad o el grado. 158 CAPÍTULO 4 Cálculos de equivalencia en situaciones de inflación 1988-1989 2001-2002 cmu Central Michigan University $1,827 $4,247 emu Eastern Michigan University $1,820 $4,753 fsu Ferris State University $1,947 $5,328 gvsu Grand Valley State University $1,794 $4,764 lssu Lake Superior State University $1,767 $4,334 msu Michigan State University $3,017 $6,118 mtu Michigan Technological University $2,193 $5,773 nmu Northern Michigan University $1,729 $4,172 ou Oakland University $2,065 $4,795 svsu Saginaw Valley State University $1,959 $4,451 um-aa University of Michigan-Ann Arbor $3,191 $7,560 um-d University of Michigan-Dearborn $2,190 $5,281 um-f University of Michigan-Flint $1,920 $4,391 wsu Wayne State University $2,289 $4,820 wmu Western Michigan University $2,104 $4,901 Fuente: 2003 Contract Enrollment Booklet, Sección 529 de Michigan, Programa de colegiaturas prepagadas, Departamento de Educación del Estado de Michigan. Evaluación del negocio y de los activos de ingeniería P A R T E 2 CAPÍTULO CINCO Análisis del valor presente Calculando los costos en las nubes1 (United Airlines) El nuevo software de aviación está rediseñando las rutas de los aviones para llegar del punto A al punto B ahorrando millones de dólares a las líneas aéreas. En el pasado, cuando un avión de United Airlines con destino a Frankfurt despegaba de San Francisco, los pilotos seguían una ruta estándar: sobre Montana y después hacia el noreste sobre Canadá e Islandia. Pero, gracias al nuevo software para trazar mapas que UAL Corp. United está instalando en su centro de operaciones, la aeronave —si los vientos y el clima lo permiten— se mantiene en el espacio aéreo de Estados Unidos hasta Cleveland o Detroit. Esto reduce la cuenta que cobra Canadá por “sobrevuelo” (la mayoría de los países cobran cuotas por usar su espacio aéreo) y reduce el uso de combustible, lo que da como resultado un ahorro promedio de $1,433 por avión por un viaje sencillo. Antes de que estos nuevos sistemas llegaran, los despachadores, es decir, los trabajadores de las aerolíneas que diseñan rutas para las aeronaves y rastrean los vuelos, diseñaban las rutas manualmente, llevando al avión de un punto en el camino de navegación al siguiente. Estudiaban minuciosamente manuales de los fabricantes de las aeronaves que indicaban las especificaciones sobre el consumo de combustible de determinado modelo, añadían información sobre la carga de cierto vuelo y combinaban esta información con datos sobre los vientos para calcular con cuánto combustible debía abastecerse al avión. El combustible cuesta más que nunca, dejando atrás a la mano de obra, que era el gasto número 1 para muchas aerolíneas. Desesperadas por reducir costos, las líneas aéreas de todo el mundo están recurriendo a un complejo software para ayudar a sus pilotos y despachadores a encontrar el mejor balance entre el uso de combustible, la rapidez del vuelo y la ruta del mismo. 160 1 Susan Carey, “Calculating Costs in the Clouds How Flight-Planning Software Helps Airlines Balance Fuel, Distance, Wind, ‘Overfly’ Fees”, The Wall Street Journal Online, 6 de marzo de 2007, página B1. $15.94 por 100 millas náuticas Espacio marítimo $33.72 por 100 millas náuticas En ruta (Fuente: Federal Aviation Administration) Debe existir un equilibrio entre minimizar las cuotas por sobrevuelo y los costos adicionales de combustible cuando la ruta alternativa sea menos directa. Los sistemas de software registran una gran cantidad de datos adicionales: clima, ubicación de los aeropuertos y las pistas, peso y desempeño de cada avión de la flotilla, espacio aéreo temporalmente bloqueado y la ubicación de las rutas aéreas fijas, que cambian a diario a causa de los vientos. Las computadoras combinan múltiples escenarios, incluyendo el tiempo, el combustible y el costo mínimos, y determinan cuál es la mejor solución para la máxima carga, dada la información actualizada al minuto del viento y el clima. United espera que una vez que el sistema esté completamente instalado a fines de 2008 y pueda manejar sus 1,600 vuelos más importantes al día, podrá ahorrar más de $20 millones al año. Quizá no parezca mucho para algunos, pero cualquier reducción en la cuenta anual de combustible de $4,800 millones y de $146 millones en cargos por navegación es bienvenida. United no ha declarado cuánto costará el nuevo sistema, pero “es un rendimiento rápido y positivo sobre la inversión”, dice Alexandria Marren, vicepresidente de servicios operacionales. “Definitivamente es un producto que dará un giro” y ayudará a que la línea aérea ahorre mucho combustible cuando se ponga en marcha en la concurrida red nacional. 161 162 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente E l desarrollo y la adopción del software de rutas aéreas es un proyecto de reducción de costos en el que la pregunta principal es: ¿Se ahorraría lo suficiente al año por concepto de la reducción de combustible y las comisiones por sobrevuelo para recuperar la inversión inicial de instalar el software? También se pueden plantear las siguientes preguntas: ¿Cuánto tiempo tomaría recuperar la inversión inicial? Si una nueva y mejor tecnología de la información vuelve obsoleto el software en un futuro cercano, ¿la decisión sobre la inversión se vería afectada? Éstos son los tipos esenciales de preguntas que debemos analizar al evaluar cualquier decisión de inversiones en negocios, en la que el riesgo financiero es, por mucho, el elemento más importante a considerar. Lo que hace a una compañía exitosa son las inversiones que elige hoy. Las ideas para un proyecto pueden originarse en diferentes niveles dentro de una organización. Ya que algunas ideas serán buenas y otras serán malas, necesitamos establecer procedimientos para estudiar los proyectos y asegurar que se hagan las inversiones correctas. Muchas de las grandes compañías cuentan con una división especializada de análisis de proyectos que activamente está en busca de nuevas ideas, proyectos y negocios. La generación y evaluación de las propuestas de inversiones creativas es una tarea demasiado importante para dejarla solamente en manos de este grupo de análisis de proyectos; en realidad, esta tarea es responsabilidad continua de todos los gerentes e ingenieros en toda la organización. Un aspecto clave del proceso es la evaluación financiera de las propuestas de inversión. Nuestro estudio sobre la evaluación del valor de una inversión está dividido en tres capítulos. El capítulo 5 comienza con una consideración del periodo de recuperación, una herramienta de exploración del proyecto que fue el primer método formal usado para evaluar los proyectos de inversión. Después presenta dos mediciones que se basan en la técnica de equivalencia básica del flujo de efectivo del análisis del valor presente. Como el enfoque del valor anual tiene numerosas y útiles aplicaciones de ingeniería relacionadas con la estimación del costo unitario, el capítulo 6 está dedicado al análisis del flujo de efectivo anual. El capítulo 7 presenta medidas del valor de las inversiones basadas en la producción; estas medidas se conocen como análisis de las tasas de retorno. 5.1 Flujos de efectivo de préstamos y flujos de efectivo de proyectos Una inversión que se realiza en un activo ijo es similar a una inversión que efectúa un banco cuando presta dinero. La característica esencial de ambas transacciones es que los fondos se comprometen hoy con la esperanza de obtener un rendimiento en el futuro. En el caso del préstamo bancario, el rendimiento futuro toma la forma de interés más la liquidación del capital. Este rendimiento se conoce como lujo de efectivo del préstamo. En el caso del activo ijo, el rendimiento futuro toma la forma del efectivo generado por el uso productivo del activo. La representación de estas ganancias futuras, junto con los desembolsos de capital y los gastos anuales (como salarios, materias primas, costos de operación, costos de mantenimiento y los impuestos sobre la renta), es el lujo de efectivo del proyecto. La semejanza entre el lujo de efectivo del préstamo y el lujo de efectivo del proyecto (véase la igura 5.1) nos lleva a una conclusión importante: podemos utilizar las mismas técnicas de equivalencia desarrolladas en capítulos anteriores para medir el valor económico. En los capítulos 2 al 4 presentamos el concepto del valor del dinero en el tiempo y desarrollamos técnicas para establecer la equivalencia de flujos de efectivo con factores de interés compuesto. Este antecedente nos da una base para aceptar o rechazar una inversión de capital, es decir, para evaluar económicamente la deseabilidad de un proyecto. El estudio que se hará en este capítulo del valor de las inversiones nos permitirá ir más allá de la aceptación o el rechazo de una inversión, al comparar inversiones alternativas. 5.2 Métodos iniciales para la exploración de proyectos 163 Figura 5.1 Flujos de efectivo del préstamo y del proyecto Determinaremos cómo comparar las alternativas sobre una misma base para seleccionar la más adecuada desde el punto de vista económico. También debemos reconocer que una de las partes más importantes de este proceso de planeación de capital es la estimación de los flujos de efectivo importantes. Para todos los ejemplos de este capítulo, y aquéllos en los capítulos 6 y 7, los flujos de efectivo neto pueden ser vistos como valores antes de impuestos o valores después de impuestos para los cuales se han recalculado los efectos de los impuestos. Como algunas organizaciones (por ejemplo, los gobiernos y las organizaciones no lucrativas) no están sujetas a impuestos, la situación de antes de impuestos provee una base válida para este tipo de evaluación económica. Tomar esto en cuenta nos permitirá enfocarnos en nuestra principal área de preocupación: la evaluación económica de proyectos de inversión. Los procedimientos para determinar los flujos de efectivo neto después de impuestos en situaciones gravables se desarrollan en la parte 3. También supondremos que todos los flujos de efectivo están calculados en dólares circulantes, a menos que se mencione lo contrario. Asimismo, consideraremos que todas las tasas de interés utilizadas en la evaluación de proyectos serán tasas de interés del mercado, en las cuales se refleja cualquier efecto inflacionario futuro. 5.2 Métodos iniciales para la exploración de proyectos Antes de estudiar las tres medidas de rentabilidad de una inversión, revisaremos un método simple que se usa comúnmente para evaluar inversiones de capital. Una de las preocupaciones fundamentales de la mayoría de la gente de negocios es si se podrá recuperar el dinero invertido en un proyecto y cuándo. El método de recuperación de capital examina proyectos con base en cuánto tiempo se requiere para que las entradas netas igualen los desembolsos de la inversión: • El periodo de recuperación se determina sumando los flujos de efectivo esperados para cada año hasta que la cantidad sea igual o mayor que cero. La importancia de este procedimiento se puede explicar fácilmente. El flujo de efectivo acumulativo es igual a cero en el punto donde las entradas de efectivo coinciden exactamente, o restituyen, las salidas de efectivo; así, el proyecto ha alcanzado el punto de recuperación. Una vez que los flujos de efectivo acumulativo exceden 164 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente cero, las entradas de efectivo exceden las salidas de efectivo, y el proyecto habrá empezado a generar ganancias, superando así su punto de recuperación. Una vez que los flujos de efectivo acumulativo exceden cero, las entradas de efectivo exceden las salidas de efectivo, y el proyecto habrá empezado a generar ganancias, superando así su punto de recuperación. • Este cálculo puede tomar una de dos formas, ya sea por ignorar las consideraciones del valor del dinero en el tiempo, o por incluirlas. El caso anterior generalmente se llama método de recuperación convencional, mientras que el último se conoce como método de recuperación descontada. • Un estándar común usado para determinar si se debe aceptar un proyecto es que éste no necesite consideración a menos que su periodo de recuperación sea más corto que algún periodo de tiempo determinado. (Este límite de tiempo está determinado normalmente por las políticas de la administración.) Por ejemplo, una compañía de alta tecnología, como un fabricante de chips para computadora, establecería un límite de tiempo corto para cualquier inversión nueva, ya que los productos de alta tecnología se vuelven obsoletos rápidamente. Si el periodo de recuperación se encuentra dentro del intervalo aceptable, se puede dar inicio a una evaluación formal del proyecto (como el análisis del valor presente, que es el tema de este capítulo). Es importante recordar que el análisis de recuperación no es un fin en sí mismo, sino un método para eliminar ciertas alternativas de inversión obviamente inaceptables antes de seguir con el análisis de las potencialmente aceptables. EJEMPLO 5.1 Periodo de recuperación convencional Cierto taller está considerando combinar la fresadora y el torno en un solo centro multifunciones Mazak Multi-Tasking®. El concepto de multifunciones en el mundo del maquinado es la combinación de diferentes procesos, que tradicionalmente se llevaban a cabo en diversas máquinas, en una sola maquinaria. El objetivo inal es tornear, laminar, taladrar, remachar, perforar y terminar la parte en un solo montaje. El costo total de la inversión es de $1.8 millones, con los siguientes ahorros anticipados en los costos: Costo actual (% ahorrado) Ahorro $335,000 (70%) $234,500 58,530 (85%) 49,750 220,000 (100%) 220,000 185,000 (85%) 157,250 Tiempo de programación 80,000 (60%) 48,000 Espacio en piso 35,000 (65%) 22,750 Mantenimiento 45,000 (60%) 27,000 Refrigerante 15,000 (50%) 7,500 120,000 (100%) 120,000 5,000 (50%) 2,500 25,000 (75%) 18,750 Ahorro anual total $908,000 Instalación Desechos/reutilización Operadores Fijación Inspección Documentación Agilización Determine cuánto tiempo tomará recuperar la inversión inicial. 5.2 Métodos iniciales para la exploración de proyectos 165 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Es necesario determinar cuánto tiempo se debe esperar para cosechar los beneficios de la inversión. La mayoría de los talleres normalmente tardan siete años y consideran un valor residual del 20% al final de la vida del proyecto. También es muy común que se dé una curva de aprendizaje cuando se opera una máquina nueva y compleja. Para la curva de aprendizaje, suponga que sólo el 50% del total de los ahorros potenciales de $908,000 se registra durante el primer año y el 75% tiene lugar durante el segundo año. Con base en estas suposiciones, se resumen los flujos de efectivo en la tabla de la derecha. Dados: Costo inicial ⫽ $1,800,000; serie de flujos de efectivo de acuerdo con la siguiente tabla. Determine: Periodo de recuperación convencional. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Cree una gráfica que refleje el periodo de recuperación convencional. Véase la figura 5.2. 0 Flujo de efectivo ⫺$1,800,000 1 $454,000 ⫺1,346,000 2 681,000 ⫺665,000 3 908,000 243,000 4 908,000 1,151,000 5 908,000 2,059,000 6 908,000 2,967,000 7 1,268,000 4,235,000 Periodo Flujo de efectivo acumulativo ⫺$1,800,000 $1,268,000 $908,000 $681,000 $454,000 0 1 2 3 4 Años (n) a) 5 6 7 5 6 7 Flujo de efectivo acumulativo $1,800,000 Figura 5.2 Ilustración del periodo de recuperación convencional: a) flujo de efectivo anual del proyecto durante la vida del proyecto, y b) flujo de efectivo acumulativo del proyecto en el tiempo $4M 2.73 años Periodo de recuperación $2M 0 $2M 0 1 2 3 4 Años (n) b) 166 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente Como vemos en la serie de flujos de efectivo acumulativo en la figura 5.2b), la inversión total se recupera al final del año 3. Si el periodo máximo de recuperación que establece la compañía es dos años, el proyecto no pasaría la etapa de examinación inicial. COMENTARIOS: En este ejemplo damos por hecho que los flujos de efectivo se presentan sólo en cantidades discretas al final de cada año. Si los flujos de efectivo se presentan continuamente a lo largo del año, nuestro cálculo del periodo de recuperación necesita ajustes. Al final del segundo año queda un saldo negativo de $665,000. Si se espera recibir $908,000 como un flujo más o menos continuo durante el año 3, entonces se recuperarán tres cuartas partes de la inversión total a lo largo del tercer año ($665,000/$908,000). En esta situación, el periodo de recuperación prorrateada es de 2.73 años. 5.2.1 Beneficios y fallas del análisis de recuperación La simplicidad del método de recuperación es una de sus cualidades más atractivas. El análisis inicial de un proyecto mediante el método de recuperación reduce la búsqueda de información al enfocarse en el momento en el que la compañía espera recuperar la inversión inicial. El método también permite eliminar algunas alternativas, y así reducir la necesidad de una compañía de hacer análisis ulteriores sobre esas alternativas. Pero el tan usado método de recuperación del análisis de inversiones también tiene una serie de fallas graves: • La objeción principal al método de recuperación es que falla en medir la rentabilidad; es decir, supone que no se tiene ninguna ganancia durante el periodo de recuperación. El solo hecho de medir cuánto tiempo tomará recuperar el desembolso inicial de la inversión contribuye muy poco a evaluar la rentabilidad de un proyecto. (Por ejemplo, si usted sabe que el dinero que solicitó en préstamo para el centro multifunciones le está costando un 15% al año, el método de recuperación no le dirá cuánto del dinero que invirtió contribuye a su pago de intereses.) • Como el análisis del periodo de recuperación ignora las diferencias en los tiempos de los flujos de efectivo, no puede reconocer la diferencia entre el valor presente y futuro del dinero. Como una forma de ilustrar, considere dos proyectos de inversión: n Proyecto 1 Proyecto 2 0 ⫺$10,000 ⫺$10,000 1 $1,000 $9,000 2 $9,000 $1,000 3 $1,000 $1,000 Periodo de recuperación 2 años 2 años Aunque los periodos de recuperación para ambas inversiones pueden ser iguales en términos de número de años, el proyecto 2 es mejor porque la mayor parte de la inversión recuperada al inal del año 1 vale más que lo que ganará más adelante. Como el análisis de recuperación también ignora todas las ganancias después del periodo de recuperación, no explica las posibles ventajas de un proyecto con una vida económica más larga. 5.2 Métodos iniciales para la exploración de proyectos 167 5.2.2 Periodo de recuperación descontada Para remediar una de las desventajas del periodo de recuperación descrito anteriormente, modiicamos el procedimiento para considerar el valor del dinero en el tiempo, es decir, el costo de los fondos (los intereses) usados para sostener el proyecto. Este periodo de recuperación modiicado a menudo se conoce como periodo de recuperación descontada. En otras palabras, podemos deinir el periodo de recuperación descontada como el número de años requeridos para recuperar la inversión de los lujos de efectivo descontados. EJEMPLO 5.2 Periodos de recuperación descontada Considere los datos del flujo de efectivo que se dan en el ejemplo 5.1. Suponiendo que el costo de fondos de la compañía es del 15%, calcule el periodo de recuperación descontada. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: i ⫽ 15%; datos del flujo de efectivo del ejemplo 5.1. Determine: El periodo de recuperación descontada. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Construya una tabla. Para determinar el periodo necesario para recuperar tanto la inversión de capital como el costo de los fondos requeridos para sostener la invesión, construimos la tabla 5.1, que nos muestra los flujos de efectivo y los costos de los fondos que han de recuperarse durante la vida del proyecto. El costo de fondos mostrado se puede considerar como los pagos de intereses si la inversión inicial se financia mediante un préstamo, o como el costo de oportunidad para comprometer el capital (normalmente conocido como costo de capital). Para ilustrar, consideremos el costo de los fondos durante el primer año. Con $1,800,000 comprometidos a principios de año, el interés en el año 1 sería $270,000 ($1,800,000 ⫻ 0.15). Por lo tanto, el compromiso total crece a $2,070,000, pero el flujo de efectivo de $454,000 en el año 1 deja un compromiso neto de $1,616,000. El costo de los fondos durante el segundo año sería $242,400 ($1,616,000 ⫻ 0.15). TABLA 5.1 Cálculo del periodo de recuperación considerando el costo de los fondos al 15% Periodo Flujo de efectivo Costo de los fondos (15%) Flujo de efectivo acumulativo 0 ⫺$1,800,000 0 ⫺$1,800,000 1 454,000 ⫺$1,800,000(0.15) ⫽ ⫺270,000 ⫺$1,616,000 2 681,000 ⫺$1,616,000(0.15) ⫽ ⫺242,400 ⫺$1,177,000 3 908,000 ⫺$1,177,400(0.15) ⫽ ⫺176,610 ⫺446,000 4 908,000 ⫺$446,010(0.15) ⫽ ⫺66,902 395,089 5 908,000 ⫺$395,089(0.15) ⫽ 59,263 1,362,352 6 908,000 ⫺$1,362,352(0.15) ⫽ 204,353 2,474,705 7 1,268,000 ⫺$2,474,705(0.15) ⫽ 371,206 4,113,911 168 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente Pero con el ingreso de $681,000 del proyecto, el compromiso neto se reduce a $1,177,400. Cuando este proceso se repite en los años restantes del proyecto, encontramos que el compromiso neto del proyecto termina durante el año 4. Dependiendo de la suposición del flujo de efectivo, el proyecto debe mantenerse activo por aproximadamente 3.53 años (flujos de efectivo continuos) o cuatro años (flujos de efectivo al final del año) para que la compañía cubra su costo de capital y recupere los fondos invertidos en el proyecto. COMENTARIOS: Incluir los efectos del valor del dinero en el tiempo ha incrementado en 9.96 meses (0.83 años) el periodo de recuperación calculado para este ejemplo, comparado con el periodo de recuperación convencional. Sin duda, esta medida modificada representa una mejora, pero no muestra el panorama completo de la rentabilidad del proyecto. 5.3 Análisis del valor presente Hasta la década de 1950, el método de recuperación era ampliamente utilizado para tomar decisiones de inversiones. Sin embargo, a medida que se conocieron las fallas de este método, los empresarios comenzaron a buscar métodos para mejorar las evaluaciones de proyectos. El resultado fue el desarrollo de técnicas de lujo de efectivo descontado (FED), que consideran el valor del dinero en el tiempo. Una de las técnicas FED es el método del valor actual neto o valor presente neto (VPN). Un problema de inversión de capital es esencialmente una cuestión de determinar si las entradas de efectivo anticipadas de un proyecto propuesto son lo suficientemente atractivas para invertir fondos en ese proyecto. Al desarrollar el criterio del VPN, utilizaremos el concepto de equivalencia de flujos de efectivo explicado en el capítulo 2. Como se observó entonces, el punto más conveniente para calcular los valores equivalentes a menudo es el tiempo cero. De acuerdo con el criterio del VP, el valor presente de todas las entradas de efectivo asociadas con un proyecto de inversión se compara con el valor presente de todas las salidas de efectivo asociadas con ese proyecto. La diferencia entre los valores presentes de estos flujos de efectivo, conocidos como valor presente neto (VPN), determina si el proyecto es una inversión aceptable o no. Cuando se están considerando uno o dos proyectos, el análisis del VPN nos permite seleccionar el mejor proyecto mediante la comparación directa de las cifras de VPN. 5.3.1 Criterio del valor presente neto Primero resumiremos el procedimiento básico para aplicar el criterio del valor presente neto a un proyecto típico de inversión, así como para comparar proyectos diferentes. • Evaluación de un solo proyecto Paso 1: Determine la tasa de interés que la compañía desea ganar sobre sus inversiones. La tasa de interés que usted determine representa la tasa a la cual la compañía siempre puede invertir el dinero en su fondo de inversión. Esta tasa de interés a menudo se conoce como tasa de retorno requerida o tasa de retorno mínima aceptable (TREMA). Normalmente, esta elección es una decisión política que toma la dirección. Es posible que la TREMA cambie durante la vida del proyecto, pero por ahora usaremos una sola tasa de interés cuando calculemos el VP. Paso 2: Calcule la vida de servicio del proyecto. 5.3 Análisis del valor presente 169 Paso 3: Calcule la entrada de efectivo para cada periodo durante la vida de servicio. Paso 4: Calcule la salida de efectivo para cada periodo durante la vida de servicio. Paso 5: Determine los flujos de efectivo neto para cada periodo (flujo de efectivo neto ⫽ entrada de efectivo ⫺ salida de efectivo). Paso 6: Determine el valor presente de cada flujo de efectivo neto a la TREMA. Sume estas cifras de valor presente; su suma se define como el VPN del proyecto. Es decir, VP1i2 = A0 11 + i2 0 + A1 11 + i2 1 A2 + 11 + i2 2 N An = a n n = 0 11 + i2 + Á + AN 11 + i2N N = a An1P/F, i, n2, n=0 (5.1) donde VP(i) ⫽ VPN calculado en i, An ⫽ flujo de efectivo neto al final del periodo n, i ⫽ TREMA (o costo de capital), y n ⫽ vida de servicio del proyecto. An será positivo si el periodo correspondiente tiene una entrada de efectivo neto, y negativo si el periodo tiene una salida de efectivo neto. Paso 7: En este contexto, un VPN positivo significa que el valor equivalente de las entradas es mayor que el valor equivalente de las salidas, por lo que el proyecto genera una ganancia. Por consiguiente, si el VP(i) es positivo para un solo proyecto, el proyecto debe aceptarse; si es negativo, el proyecto debe rechazarse. El proceso de aplicar la medida del VPN se muestra en la figura 5.3 y para ello se utiliza la siguiente regla de decisión: Si VP(i) ⬎ 0, se acepta la inversión. Si VP(i) ⫽ 0, permanecemos indiferentes. Si VP(i) ⬍ 0, se rechaza la inversión. Principio: Calcule el excedente neto equivalente a n ⫽ 0 para una tasa de interés dada de i. Regla de decisión: Acepte el proyecto si el excedente neto es positivo. 0 Entradas 1 2 3 Salidas 4 5 Excedente neto 0 VP(i)entradas VP(i)salidas VP(i) ⬎ 0 Figura 5.3 Ilustración de cómo funcionan las reglas de decisión del VPN 170 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente • Comparación de varias alternativas Note que la regla de decisión anterior es para la evaluación de un solo proyecto para el que usted puede calcular las ganancias y los costos.2 Se deben emplear los siguientes lineamientos para evaluar y comparar más de un proyecto: 1. Si necesita elegir la mejor alternativa con base en el criterio del valor presente neto, elija aquélla con el VPN más alto, siempre que todas las alternativas cuenten con las mismas vidas de servicio. Comparar alternativas con vidas de servicio desiguales requiere suposiciones especiales, como se detallará en la sección 5.4. 2. Como encontrará en la sección 5.4, se lleva a cabo una comparación de alternativas mutuamente excluyentes con ganancias iguales sobre una base de sólo el costo. En esta situación, usted debería aceptar el proyecto que dé como resultado el menor VP de los costos o el VP menos negativo (ya que usted está minimizando costos y no maximizando ganancias). Por ahora, nos enfocaremos en evaluar un solo proyecto. En la sección 5.4 también se estudiarán con más detalle las técnicas de cómo comparar alternativas múltiples. EJEMPLO 5.3 Valor presente neto: Flujos desiguales Considere el proyecto de inversión para el centro multifunciones en el ejemplo 5.1. Recuerde que la inversión inicial requerida de $1,800,000 y el ahorro de efectivo pronosticado durante la vida del proyecto (siete años) son como sigue:3 Fin del año Flujo de efectivo 0 ⫺$1,800,000 1 454,000 2 681,000 3 908,000 4 908,000 5 908,000 6 908,000 7 1,268,000 El presidente de la compañía le ha solicitado que evalúe el valor económico de la adquisición. Se sabe que la TREMA de la compañía es del 15%. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Flujos de efectivo tabulados; TREMA ⫽ 15% anual. Determine: VPN 2 Algunos proyectos no pueden evitarse, por ejemplo, la instalación del equipo para el control de la contaminación para cumplir con el reglamento gubernamental. En este caso, el proyecto sería aceptado, aunque su VP(i) ⬍ 0. 3 Como se mencionó al inicio de este capítulo, hablamos de flujos de efectivo neto en dólares circulantes como valores antes de impuestos o como si se hubieran precalculado los efectos de sus impuestos. Explicar el proceso de la obtención de los flujos de efectivo requiere comprender los impuestos sobre la renta y el papel de la depreciación, que se analizan en los capítulos 8 y 9. 5.3 Análisis del valor presente 171 $1,268,000 $908,000 $681,000 $454,000 0 1 2 3 4 Año (n) 5 6 7 VP(15%)ahorro ⫽ $454,000(P/F, 15%, 1) ⫹ $681,000(P/F, 15%, 2) ⫹ $908,000(P/A, 15%, 4)(P/F, 15%, 2) ⫹ $1,268,000(P/F, 15%, 7) ⫽ $3,346,571 $1,800,000 VP(15%)inversión ⫽ $1,800,000 VP(15%) ⫽ $3,346,571 ⫺ $1,800,000 ⫽ $1,546,571 ⬎ 0, Aceptar Figura 5.4 Cálculo del valor presente neto del proyecto del centro multifunciones METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el valor presente del centro multifunciones. Si llevamos cada flujo a su equivalente en el tiempo cero, como se muestra en la figura 5.4, encontramos que VP 115%2 = - $1,800,000 + $454,0001P/F, 15%, 12 + $681,0001P/F, 15%, 22 + $908,0001P/A, 15%, 421P/F, 15%, 22 + $1,268,0001P/F, 15%, 72 = $1,546,571 Como el proyecto da como resultado un excedente de $1,546,571, el proyecto es aceptable. Está generando una ganancia mayor que el 15%. COMENTARIOS: Podríamos fácilmente automatizar el proceso para calcular el valor presente neto de cualquier serie de flujos de efectivo de proyectos mediante el uso de Excel. Como se muestra en la tabla 5.2, creamos dos áreas: una para las entradas y otra para las salidas. Podemos comenzar a registrar los flujos periódicos de efectivo en la celda B12. El área de entradas también nos da una manera fácil para registrar algunas series de flujos de efectivo con un esquema específico, como pagos iguales, gradientes o geométricas. En la mayoría de los casos, suponemos una tasa de interés constante (TREMA) en nuestros cálculos del VPN. Si se puede aplicar más de una tasa de interés para explicar el valor del dinero en el tiempo de manera apropiada, simplemente registramos estas tasas de interés variables en las celdas C12 a C19. El saldo de efectivo indica un saldo de proyecto periódico al final de cada periodo. En el área de salidas, encontramos la cifra del valor presente neto junto con el valor futuro neto y el valor anual (que se explicará en el capítulo 6). También podemos observar dos gráficas, una para una serie de flujo de efectivo y la otra para el saldo de efectivo. 172 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente TABLA 5.2 Hoja de Excel que ilustra el proceso para el cálculo del VPN Ejemplo 5.3 - Análisis del valor presente neto Salidas Entradas TREMA (%) Del periodo Esquema Valor presente neto Gradiente lineal Al periodo Gradiente Valor futuro neto Valor anual TIR Cantidad inicial Reiniciar Añadir Cancelar Enviar Periodo Flujo de efectivo Interés (%) Saldo de efectivo 15.00% ($1,800,000.00) ($1,800,000.00) 0 1 $454,000.00 15.00% ($1,616,000.00) ($1,177,400.00) 2 $681,000.00 15.00% ($446,010.00) 3 $908,000.00 15.00% 4 $908,000.00 15.00% $395,088.50 5 $908,000.00 15.00% $1,362,351.78 6 $908,000.00 15.00% $2,474,704.54 7 $1,268,000.00 15.00% $4,113,910.22 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Calcular Reiniciar Gráfica TIR Diagrama de lujo de efectivo Gráica de saldo de efectivo En el ejemplo 5.3 calculamos el VPN del proyecto a una tasa de interés fija del 15%. Si calculamos el VPN a tasas de interés variables, obtenemos los datos mostrados en la tabla 5.3. Si trazamos una gráfica del VPN como una función de la tasa de interés, tendremos la gráfica de la figura 5.5, el perfil del valor presente. La figura 5.5 indica que el proyecto de inversión tiene un VPN positivo si la tasa de interés está por debajo del 36.32%, y un VP negativo si la tasa de interés está por encima del 36.32%. Como veremos en el capítulo 7, esta tasa de interés de equilibrio se conoce como tasa interna de retorno (TIR). Si la TREMA de la compañía es del 15%, el proyecto tiene un VPN de $1,546,571, por lo que el gasto de capital de $1.8 millones puede justificarse fácilmente. La cifra de $1,546,571 mide la ganancia inmediata equivalente en valor presente para la compañía, si es que se acepta el proyecto. Por otra parte, a i ⫽ 40%, VP(40%) ⫽ -$151,293, la compañía debe rechazar este proyecto en este caso (aunque es altamente improbable que la TREMA de una compañía sea tan elevada). Note que la decisión de aceptar o rechazar una inversión se ve influida por la elección de una TREMA, por lo que es crucial que se calcule la TREMA de manera correcta. Brevemente describiremos los elementos a considerar en el momento de establecer esta tasa de interés para la evaluación de los proyectos. 5.3.2 Directrices para la elección de la TREMA El rendimiento es lo que usted obtiene en relación con la cantidad que invirtió. El rendimiento es una manera de evaluar cómo se comportan entre sí sus inversiones en activos inancieros o proyectos y en relación con el desempeño de las inversiones en general. 5.3 Análisis del valor presente 173 TABLA 5.3 Cantidades del valor presente neto a tasas de interés variables VP(i) i(%) i(%) VP(i) 0 $4,235,000 26 $567,751 2 $3,726,686 28 $437,522 4 $3,277,023 30 $318,140 6 $2,877,892 32 $208,470 8 $2,522,454 34 $107,518 10 $2,204,931 36 $14,407 12 $1,920,417 38 ⫺$71,636 14 $1,664,735 40 ⫺$151,293 16 $1,434,319 42 ⫺$225,170 18 $1,226,106 44 ⫺$293,803 20 $1,037,466 46 ⫺$357,671 22 $866,128 48 ⫺$417,201 24 $710,125 50 ⫺$472,772 Tasa interna de retorno ⫽ 36.32% 5,000,000 Aceptar Rechazar 4,000,000 VP(i) ($) 3,000,000 2,000,000 $1,546,572 Tasa interna de retorno (o simplemente tasa de retorno) 36.32% 1,000,000 0 ⫺1,000,000 ⫺2,000,000 0 5 10 15 20 25 30 i ⴝ TREMA (%) 35 Figura 5.5 Perfil del valor presente neto descrito en el ejemplo 5.3 40 45 174 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente Veamos primero cómo podemos obtener las tasas de retorno. Como concepto, la tasa de retorno que, de manera realista, esperamos ganar sobre cualquier inversión es una función de tres componentes: • • • rendimiento real libre de interés factor de inflación prima(s) de riesgo Suponga que desea invertir en acciones. Primero, usted esperaría que se le compensara de alguna manera por no poder utilizar su dinero en tanto conserve las acciones. Segundo, esperaría ser compensado por las disminuciones en el poder adquisitivo entre el momento en el que invierte y el momento en el que su inversión produce rendimientos. Finalmente, usted exigiría algunas recompensas adicionales por haber aceptado el riesgo de perder su dinero si las acciones tuvieran un desempeño deficiente. Si usted no esperara que su inversión le compensara por estos factores, ¿por qué comprometería su dinero en esta inversión en primer lugar? Por ejemplo, si usted invirtiera $1,000 en bonos libres de riesgo del Tesoro de Estados Unidos por un año, esperaría una tasa de retorno real de aproximadamente el 2%. Su prima de riesgo sería cero. Probablemente piense que esto no es mucho. Sin embargo, a eso debe sumar una compensación por la inflación. Si espera que la inflación sea de aproximadamente un 4% durante el periodo de la inversión, debe esperar una ganancia del 6% durante ese intervalo (2% de rendimiento real ⫹ 4% de factor de inflación ⫹ 0% por la prima de riesgo). Este concepto se ilustra en la figura 5.6. ¿Cómo funcionaría en el caso de una inversión más riesgosa, digamos, acciones de Internet? Como usted consideraría que la inversión es muy volátil, incrementaría la prima de riesgo al 20%. Entonces, usted no invertirá su dinero en tales acciones a menos de que esté razonablemente confiado en que crecerá a una tasa anual del 2% de rendimiento real ⫹ 4% de factor de inflación ⫹ 20% por prima de riesgo ⫽ 26%. Una vez más, la prima de riesgo del 20% es un valor percibido que puede variar de un inversionista a otro. Utilizamos el mismo concepto al seleccionar la tasa de interés para la evaluación de un proyecto. Si considera un proyecto de rutina en el cual usted pueda predecir de manera razonable los flujos de efectivo futuros con un alto grado de confianza, prevalecerá una 6% Rendimiento libre Bonos del Tesoro 2% 4% de Estados Unidos Inflación Prima de riesgo 26% Una inversión 2% 4% riesgosa 0 5 20% 10 15 20 25 30 35 (%) Figura 5.6 Elementos del rendimiento requerido; establecimiento de una TREMA 5.3 Análisis del valor presente 175 tasa de interés baja (descuento). En el capítulo 9 consideraremos este tema en especial con más detalle. Por ahora, supondremos que la compañía ha establecido una sola tasa de interés para la evaluación de proyectos, considerando todo el riesgo aplicable inherente al proyecto, y usaremos esta tasa para medir el valor del proyecto. 5.3.3 Significado del valor presente neto En el análisis de valor presente, damos por hecho que todos los fondos de la tesorería de una compañía pueden colocarse en inversiones que producen un rendimiento igual a la TREMA. Podemos ver estos fondos como un fondo común de inversión. De otra forma, si no hay fondos disponibles para inversión, consideramos que la compañía puede solicitarlos en préstamo de los mercados de capital a la TREMA. En esta sección examinaremos estos dos puntos de vista cuando expliquemos el signiicado de la TREMA en cálculos del VP. Concepto del fondo común de inversión Un fondo común de inversión equivale a la tesorería de una compañía. Es donde el contralor de la compañía administra y maneja todas las transacciones de fondos. La compañía puede retirar dinero de este fondo común de inversión para otros ines de inversión; aunque, si permaneciera en el fondo, el dinero generaría intereses a la TREMA. Así, en el análisis de inversiones, los lujos de efectivo neto serán aquéllos relativos a este fondo común de inversión. Para ilustrar el concepto de fondo común de inversión, consideremos nuevamente el proyecto del ejemplo 5.3, que requirió una inversión de $1,800,000. Si la compañía no invirtiera en el proyecto, sino que dejara la suma de $1,800,000 en el fondo común de inversión durante siete años, estos fondos crecerían como sigue: $1,800,000(F/P, 15%, 7) ⫽ $4,788,036 Suponga que la compañía sí decidió invertir $1,800,000 en el proyecto descrito en el ejemplo 5.3. Entonces, la compañía recibiría un lujo de entradas de efectivo durante la vida del proyecto, siete años, por las siguientes sumas: Fin del año (n) Flujo de efectivo (An) 1 2 3 4 5 6 7 $454,000 681,000 908,000 908,000 908,000 908,000 1,268,000 Como los fondos que regresan al fondo común de inversión generan intereses a una tasa del 15%, sería útil ver cuánto se beneficiaría la compañía de esta inversión. Para esta alternativa, los rendimientos después de la reinversión son los siguientes: $454,0001F/P, 15%, 62 = $1,050,130 $681,0001F/P, 15%, 52 = $1,369,734 $908,0001F/A, 15%, 421F/P, 15%, 12 = $5,214,082 $1,268,0001F/P, 15%, 02 = $1,268,000 $8,901,946 176 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente Estos rendimientos suman $8,901,946. La acumulación adicional de efectivo después de siete años de invertir en el proyecto es $8,901,946 ⫺ $4,788,036 ⫽ $4,113,910. Esta cantidad de $4,113,910 se conoce también como valor futuro neto del proyecto a la terminación del proyecto. Si calculamos el valor presente equivalente de este excedente de efectivo neto en el tiempo cero, obtenemos $4,113,910(P/F, 15%, 7) ⫽ $1,546,571, que es exactamente igual al VPN del proyecto, como se calculó mediante la ecuación (5.1). Resulta claro que, con base en su VPN positivo, se debe preferir la alternativa de comprar el centro multifunciones en vez de simplemente dejar los fondos en el fondo común de inversión a la TREMA. Así, en el análisis del VPN, se supone que cualquier inversión será recuperada a la TREMA. Si existe un excedente al inal de la vida del proyecto, entonces sabemos que VP (TREMA) > 0. La igura 5.7 resume el concepto de reinversión en lo que respecta al fondo común de inversión de la compañía. Concepto de fondos solicitados en préstamo Suponga que la compañía no cuenta con $1,800,000 al principio. De hecho, la compañía no está obligada a mantener un fondo común de inversiones en absoluto. Supongamos ¿Cuánto dinero tendría usted si se llevara a cabo la inversión? $454,000(F/P, 15%, 6) $681,000(F/P, 15%, 5) $908,000(F/A, 15%, 4)(F/P, 15%, 1) $1,268,000(F/P, 15%, 0) ฀$1,050,130 ฀$1,369,734 ฀$5,214,082 ฀$1,268,000 $8,901,946 ¿Cuánto dinero tendría usted si no se llevara a cabo la inversión? $1,800,000(F/P, 15%, 7) Fondo común de inversiones $1,800,000 Se retiran $1,800,000 del fondo común de inversión y se invierte en el proyecto Proyecto del centro multifunciones ฀$4,788,036 ¿Cuál será la ganancia neta de la inversión al final de la vida del proyecto? $8,901,946 ⫺ $4,788,036 ⫽ $4,113,910 tivo fec en e de uelv nes v o das tra yecto versi n e n i o s r a e $1,268,000 as l el p n d Tod uras d comú t $908,000 fu ondo al f $681,000 $454,000 0 1 2 3 4 Años (n) 5 6 7 Figura 5.7 Concepto de fondo común de inversiones en el que la compañía es el prestamista y el proyecto es el prestatario 5.3 Análisis del valor presente 177 que la compañía le solicita al banco un préstamo por todo su capital a una tasa de interés del 15%, invierte en el proyecto, y usa sus ganancias de la inversión para liquidar el capital y el interés del préstamo bancario. ¿Cuánto queda para la compañía al final del periodo del proyecto? Al término del primer año, el interés sobre el préstamo bancario sería $1,800,000(0.15) ⫽ $270,000. Por lo tanto, el saldo total del préstamo crece a $1,800,000(1.15) ⫽ $2,070,000. Así, la compañía recibe $454,000 del proyecto y aplica la cantidad entera para liquidar la porción del préstamo. Esta liquidación deja un saldo que se debe a SP115%21 = - $1,800,00011 + 0.152 + $454,000 = - $1,616,000. Esta cantidad también se conoce como saldo del proyecto. Utilizaremos SP(i)n para denotar el saldo al inal del periodo n. Como se resume en la tabla 5.4, esta cantidad se convierte en la cantidad neta que el proyecto está solicitando en préstamo al inicio del año 2. Al terminar el año 2, la deuda con el banco crece a $1,616,000(1.15) ⫽ $1,858,400. Pero con la entrada de $681,000, el saldo se reduce a SP115%22 = - $1,616,00011 + 0.152 + $681,000 = - $1,177,400. El proceso continúa y, inalmente, al término del año 4, la deuda con el banco se convierte en $446,010(1.15) ⫽ $512,912. Sin embargo, con la entrada de $908,000 del proyecto, la compañía está en condiciones de liquidar la deuda restante y quedarse con un excedente de $395,089. - $446,01011 + 0.152 + $908,000 = $395,089 Una vez que la compañía liquide el préstamo del banco, supondremos que cualquier excedente generado a partir del proyecto pasará a su fondo común de inversión y ganará intereses a una tasa del 15%. Por lo tanto, el saldo del proyecto al inal del año 5 se calculará de la siguiente forma: n = 5, $395,08911 + 0.152 + $908,000 = $1,362,352 n = 6, $1,362,35211 + 0.152 + $908,000 = $2,474,705 n = 7, $2,474,70511 + 0.152 + $1,268,000 = $4,113,910. Note que la cantidad del saldo inal del proyecto es $4,113,910, que es positivo, lo que indica que la compañía liquida en su totalidad su préstamo bancario inicial y el interés al término del año 4, dando como resultado una ganancia de $4,113,910. Finalmente, si calculamos el valor presente equivalente de este excedente neto al tiempo cero, obtenemos VP115%2 = $4,113,9101P/F, 15%, 72 = $1,546,571. El resultado es idéntico al caso en el que calculamos directamente el VP del proyecto a i ⫽ 15%, mostrado en el ejemplo 5.3. 5.3.4 Valor futuro neto y diagrama del saldo del proyecto El saldo terminal del proyecto en la tabla 5.4 ($4,113,910) también se conoce como valor futuro neto del proyecto, y podemos utilizar este número como una cifra del valor de la inversión para así tomar una decisión sobre aceptar o rechazar el proyecto. En otras palabras, si el valor futuro neto es positivo, lo que indica un excedente, debemos aceptar la inversión. De otra manera, debemos rechazar el proyecto. Esta regla de decisión será 178 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente TABLA 5.4 Enfoque tabular para determinar los saldos de los proyectos Final del año (n) Saldo inicial del proyecto Interés cobrado (15%) Pago recibido Saldo del proyecto congruente con el criterio del valor presente neto, ya que obtenemos el VPN del proyecto a partir de su valor futuro neto simplemente aplicando el factor de descuento, que no es negativo. De manera alternativa, podemos demostrar por qué el saldo final del proyecto es equivalente al valor futuro neto del proyecto: n: 0 S SP1i20 = A 0 n: 1 S SP1i21 = SP1i2011 + i2 + A 1 = A 011 + i2 + A 1 n : 2 S SP1i22 = SP1i2111 + i2 + A 2 = A 011 + i22 + A 111 + i2 + A 2 n : N S SP1i2N = SP1i2N - 111 + i2 + A N = A 011 + i2N + A 111 + i2N - 1 + Á + A N = VF1i2 (5.2) Por lo tanto, en nuestro ejemplo podemos calcular el valor futuro neto del proyecto utilizando la ecuación (5.2): VF115%2 = - $1,800,00011 + 0.1527 + $454,00011 + 0.1526 + $681,00011 + 0.1525 + Á + $1,268,000 = $4,113,910 La igura 5.8 ilustra el saldo del proyecto como una función del tiempo. En este diagrama podemos observar cuatro características de inversión importantes del proyecto. 5.3 Análisis del valor presente 179 $4,113,910 $4,000,000 Saldo final del proyecto (valor futuro neto o excedente) $3,000,000 $2,474,705 Saldo del proyecto $2,000,000 $1,362,352 $1,000,000 $395,089 Área del saldo positivo del proyecto 0 $1,000,000 $2,000,000 1 2 3 $446,010 Área del saldo negativo del proyecto $1,177,400 $1,616,000 4 5 6 7 Periodo de recuperación descontada $1,800,000 Años (n) Figura 5.8 Diagrama del saldo del proyecto como una función del periodo de inversión; 1. área del saldo negativo del proyecto, 2. periodo de recuperación descontada, 3. área del saldo positivo del proyecto y 4. saldo final del proyecto (o valor futuro neto de la inversión) • La exposición al riesgo financiero: Un saldo negativo del proyecto indica la cantidad de la inversión que se recuperará o expondrá al riesgo de pérdida si el proyecto concluye en ese punto. El área de saldo negativo del proyecto aumentará si el efectivo recibido del proyecto es menor que el interés que se debe en el periodo. Si la otra situación prevalece, el área negativa disminuirá. Entonces, si todo lo demás permanece constante, preferimos una menor área del saldo negativo del proyecto. • El periodo de recuperación descontada: Esto indica cuánto tiempo pasará antes de que el proyecto se equilibre. Esta condición ocurre cuando el saldo del proyecto se vuelve no negativo. (En nuestro ejemplo, esto ocurre a n ⫽ 4.) Si el proyecto termina después de este periodo de recuperación, no se anticipa ninguna pérdida económica si no hay ninguna inversión adicional requerida para cerrar el proyecto. Sin duda, preferimos un periodo de recuperación más corto si todo lo demás permanece igual. • El potencial de ganancia: El área sombreada más clara representa el área del saldo positivo del proyecto. Puesto que la inversión inicial más los intereses se han recuperado totalmente en esta fase del proyecto, cualquier efectivo generado durante este periodo contribuye directamente a la rentabilidad final del proyecto. Por lo tanto, preferimos una mayor área del saldo positivo del proyecto (si lo demás permanece igual), ya que esta área indica la magnitud de las ganancias esperadas y la tasa a la cual se acumularán. Esta información será de utilidad 180 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente cuando debamos decidir sobre el momento apropiado de retirar la inversión. (Esta decisión se denomina decisión de abandono.) • El valor futuro neto (excedente): El saldo final del proyecto indica el excedente del proyecto al término de la vida de éste. Si solicitamos dinero prestado para financiar el proyecto, esta cifra representa cualquier efectivo adicional generado a partir del proyecto, así como la reinversión del efectivo que queda después de liquidar la cantidad solicitada en préstamo con todos los intereses. A todas luces, un diagrama del saldo del proyecto brinda datos importantes sobre la deseabilidad de la inversión y la ganancia final del proyecto (valor presente neto). Esta información adicional será aún más importante cuando necesitemos comparar proyectos diferentes con rentabilidad similar. 5.3.5 Método del costo capitalizado Un caso especial de criterio del VPN es útil cuando la vida de un proyecto propuesto es perpetua o el horizonte de planeación es extremadamente largo (digamos, 40 años o más). Se espera que muchos proyectos públicos —como la construcción de puentes y canales, sistemas de irrigación y presas hidroeléctricas— generen beneicios durante un largo periodo (o para siempre). En esta sección examinamos el método del costo capitalizado [CC(i)] para la evaluación de tales proyectos. Vida perpetua de servicio Considere la serie de lujos de efectivo mostrada en la igura 5.9. ¿Cómo determinamos el VP para una serie uniforme ininita (o casi ininita) de lujos de efectivo o un ciclo repetido de lujos de efectivo? El proceso de calcular el VP para esta serie ininita se conoce como capitalización del costo del proyecto, y el costo se llama costo capitalizado. El costo capitalizado representa la cantidad de dinero que debe invertirse hoy para así producir cierto rendimiento A al inal de todos los periodos, por siempre, considerando una tasa de interés i. Observe el límite del factor de valor presente de la serie uniforme a medida que N se aproxima a ininito: lím 1P/A, i, N2 = lím B N: q NS q 1 + i N - 1 N i11 + i2 R = 1 . i Así, se deduce que VP(i) = A1P/A, i, N S q 2 = A . i (5.3) Éste es el mismo resultado que se obtuvo en la sección 2.5.5. Otra forma de ver este concepto es preguntar qué flujo de ingresos constantes podría generarse por el VP(i) de dólares de hoy a perpetuidad. Como es evidente, la respuesta es A ⫽ iVP(i). Si los retiros fueren mayores que A, usted estaría utilizando parte del capital, que con el tiempo se reduciría a cero. 5.3 Análisis del valor presente 181 Principio: VP para un proyecto con una entrada anual de A durante una vida de servicio infinita Ecuación: CC(i) ⫽ A(P/A, i, ⬁) ⫽ A/i A 0 P ⫽ CC(i) Figura 5.9 Costo capitalizado, un proyecto con una vida de servicio perpetua Ejemplo 5.4 Costo capitalizado Cierta escuela de ingeniería acaba de completar un nuevo complejo de ingeniería con un valor de $50 millones. Está planeada una campaña dirigida a los alumnos para recabar fondos para los futuros costos de mantenimiento, que se estiman en $2 millones por año. Cualquier gasto imprevisto arriba de $2 millones por año se obtendría mediante el aumento en las colegiaturas. Suponiendo que la escuela puede crear un fideicomiso que gane el 8% de interés anual, ¿cuánto debe recabarse ahora para cubrir la serie perpetua de los costos de $2 millones anuales? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: A ⫽ $2 millones, i ⫽ 8% anual y N ⫽ ∞. Determine: CC(8%). METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el costo capitalizado. La ecuación del costo capitalizado es CC1i2 = A . i Sustituyendo los valores dados, obtenemos CC18%2 = $2,000,000/0.08 = $25,000,000. COMENTARIOS: Es fácil ver que esta cantidad global debería ser suficiente para pagar los gastos de mantenimiento de la escuela para siempre. Suponga que la escuela depositó $25 millones en un banco que paga el 8% de interés anual. Al final del primer año, los $25 millones generarían 8%(25 millones) ⫽ $2 millones en intereses. Si este interés se retirara, los $25 millones permanecerían en la cuenta. Al finalizar el segundo año, el saldo de los $25 millones ganaría, nuevamente, 8%(25 millones) ⫽ $2 millones. El retiro anual podría continuar por siempre, y las donaciones (fondos de regalo) siempre permanecerían en $25 millones. 182 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente 5.4 Métodos para comparar alternativas mutuamente excluyentes Hasta ahora, hemos considerado situaciones que implican un solo proyecto o proyectos independientes uno de otro. En ambos casos, tomamos la decisión de rechazar o aceptar cada proyecto individualmente, luego de evaluarlos usando el VP y determinando si cumplían con los requerimientos de la TREMA. No obstante, en el mundo real de la práctica de la ingeniería, es más común que tengamos dos o más opciones de proyectos para cumplir con un objetivo de negocios. (Como veremos, aun cuando parece que tenemos un solo proyecto a considerar, debe factorizarse la alternativa de “no hacer nada” en el proceso de toma de decisiones.) En esta sección ampliamos nuestras técnicas de evaluación para considerar proyectos múltiples que sean mutuamente excluyentes. A menudo, los diferentes proyectos o inversiones que se someten a consideración no tienen la misma duración o no encajan en el periodo de estudio deseado. Por ello, se deben hacer ajustes cuando se comparan varias opciones para explicar estas diferencias de manera apropiada. También explicamos los conceptos de periodo de análisis y el proceso de tener en cuenta tiempos de vida diferentes como consideraciones importantes al elegir entre varias opciones. En los primeros apartados de esta sección, se considera que todas las opciones disponibles en una decisión tienen tiempos de vida iguales. En la sección 5.4.4 no se observa esta restricción. Cuando las alternativas son mutuamente excluyentes, cualquiera de ellas cubrirá la misma necesidad, y la elección de una alternativa implica que se excluirán las demás. Considere, por ejemplo, la decisión de adquirir o alquilar un automóvil para negocios: cuando se acepta una alternativa, se excluye la otra. Utilizamos los términos alternativa y proyecto de manera indistinta para indicar una opción de decisión. Uno de los principios fundamentales al comparar alternativas mutuamente excluyentes es que deben compararse por un lapso (o periodo de análisis) igual. En esta sección presentaremos algunos de los principios fundamentales que deben aplicarse al comparar alternativas de inversión mutuamente excluyentes. Al hacerlo, consideraremos dos casos: 1. uno en el que el periodo de análisis iguale las vidas de los proyectos y 2. el otro en el que el periodo de análisis difiera de las vidas de los proyectos. En cada caso, puede modificarse la suposición requerida. Primero, definiremos algunos términos importantes, como “alternativa de no hacer nada”, “proyecto de utilidades” y “proyecto de servicio”. 5.4.1 No hacer nada es una opción de decisión Cuando se considera una inversión, el proyecto es de uno de dos tipos: el proyecto está dirigido a reemplazar un activo o sistema existente, o bien, se trata de una nueva iniciativa. En cualquier caso, puede existir una alternativa de no hacer nada. Si un proceso o sistema ya puesto en marcha para cumplir nuestros objetivos de negocios es adecuado todavía, entonces debemos determinar cuál nueva propuesta —si es que hubiera alguna— es un reemplazo económico. Si ninguna fuera factible, entonces no haremos nada. Por otra parte, si el sistema existente ha fallado irremediablemente, es imperativo hacer una elección entre las alternativas propuestas (es decir, no hacer nada no es una opción). Las nuevas iniciativas se dan como alternativas para la situación de no hacer nada, lo que no genera ni utilidades ni costo alguno. Para la mayoría de las nuevas empresas, 5.4 Métodos para comparar alternativas mutuamente excluyentes 183 no hacer nada es generalmente una alternativa, ya que no procederemos a no ser que por lo menos una de las alternativas propuestas sea económicamente sólida. De hecho, aun comprometerse en un solo proyecto implica tomar una decisión entre dos alternativas cuando el proyecto es optativo, porque la alternativa de “no hacer nada” está implícitamente incluida. Ocasionalmente, se debe emprender una nueva iniciativa, sin importar el costo; y en este caso, el objetivo es elegir la alternativa más económica, ya que no hacer nada no constituye una opción. Cuando la opción de retener un activo o sistema existente está disponible, hay dos formas de incorporarla en la evaluación de las nuevas propuestas. Una forma es tratar la opción de “no hacer nada” como una alternativa distinta, pero estudiaremos este enfoque principalmente en el capítulo 11, en el que se presentarán las metodologías específicas al análisis de los reemplazos. El segundo enfoque, utilizado en este capítulo, es generar los flujos de efectivo de las nuevas propuestas en relación con aquéllos de la alternativa de no hacer nada. Esto es, para cada alternativa nueva, los costos incrementales (y ahorros o ganancias incrementales, si fuera el caso) en relación con aquéllos de la alternativa de no hacer nada se usan para la evaluación económica. Para un problema de reemplazo, calculamos el flujo de efectivo incremental sustrayendo los flujos de efectivo correspondientes a “no hacer nada” de aquéllos de cada alternativa nueva. Para nuevas iniciativas, los flujos de efectivo incrementales son los mismos que las cantidades absolutas asociadas con cada alternativa, ya que los valores “no hacer nada” son todos cero. Como el objetivo principal de esta sección es ilustrar cómo hacer una elección entre alternativas mutuamente excluyentes, la mayoría de los problemas están estructurados para que se elija una de las opciones presentadas. Así, a menos que se especifique algo distinto, se supone que no hacer nada no es una opción, y que los costos y ganancias de las alternativas pueden ser vistos como incrementales respecto de aquéllos de no hacer nada. 5.4.2 Proyectos de servicio y proyectos de ganancias Cuando se comparan alternativas mutuamente excluyentes, necesitamos clasiicar los proyectos de inversión, ya sea en proyectos de servicio o de ganancias: • Los proyectos de servicio son proyectos que generan ingresos que no dependen de la elección del proyecto, pero deben producir la misma cantidad de utilidades. En esta situación, sin duda deseamos elegir una alternativa con la menor inversión (o costo). Por ejemplo, suponga que una compañía eléctrica está considerando la construcción de una nueva planta generadora para cubrir la demanda pico, ya sea durante los días calurosos de verano o los fríos días de invierno. Dos diferentes proyectos de servicio podrían cubrir la demanda: una planta de turbinas de combustión o una planta generadora de pilas de combustible. Sin importar qué tipo de planta se elija, la compañía generará la misma cantidad de ingresos por parte de sus clientes. La única diferencia es cuánto costará generar electricidad de cada planta. Si comparáramos estos proyectos de servicio, nos interesaría saber cuál planta podría suministrar energía más barata (costos de producción más bajos). Es más, si utilizáramos el criterio del VP para comparar estas alternativas con la finalidad de minimizar gastos, elegiríamos la alternativa con el costo de producción a valor presente más bajo durante la vida de servicio. 184 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente • Los proyectos de ganancias son proyectos que generan utilidades que dependen de la elección de la alternativa. Para los proyectos de ganancias, no limitamos la cantidad de inversión en el proyecto ni la cantidad de ingresos que el proyecto generaría. Por consiguiente, deseamos elegir la alternativa con la mayor ganancia neta (ingresos – costos). Por ejemplo, un fabricante de monitores para computadora está considerando la comercialización de dos tipos de monitores de alta resolución. Con su capacidad de producción actual, la compañía puede comercializar solamente uno de ellos. Los diferentes procesos de producción para los dos modelos podrían generar costos de fabricación muy diferentes y las utilidades de cada modelo serían distintas, debido a los precios divergentes del mercado y a los volúmenes de venta potencialmente diferentes. En esta situación, si usáramos el criterio del VP, elegiríamos el modelo que promete el mayor valor presente neto. 5.4.3 El periodo de análisis iguala las vidas de los proyectos Comencemos nuestro análisis con la situación más simple, en la que las vidas de los proyectos igualan el periodo de análisis. En este caso, calculamos el VP para cada proyecto y elegimos aquél con el valor presente más alto. El ejemplo 5.5 ilustra este punto. EJEMPLO 5.5 Comparación de dos alternativas mutuamente excluyentes Ansell, Inc., un fabricante de equipo médico, utiliza aire comprimido en los solenoides e interruptores de presión en sus máquinas para controlar los diversos movimientos mecánicos. A lo largo de los años, la fábrica ha cambiado la disposición de su espacio en numerosas ocasiones. Con cada nueva disposición, se añadió más tubería al sistema de aire comprimido para así dar cabida a las nuevas máquinas de fabricación. Ninguna de las tuberías viejas y en desuso fue tapada o eliminada, de tal suerte que el sistema de aire comprimido es ineficiente y está lleno de fugas. Debido a las fugas en el sistema actual, se espera que la compresora esté en funcionamiento el 70% del tiempo que la planta estará en operación durante el año próximo. La compresora requerirá 260 kW de electricidad a razón de $0.05/kWh. La planta trabaja 250 días al año, 24 horas al día. Ansell puede manejar este asunto de dos formas: • Opción 1: Continuar las operaciones actuales: Si Ansell continúa operando el sistema de aire con el que cuenta, el tiempo de funcionamiento de la compresora aumentará un 7% al año por los próximos cinco años, debido al empeoramiento continuo de las fugas. (Después de cinco años, el sistema actual no tendrá la capacidad de cubrir el requerimiento de aire comprimido de la planta, por lo que tendrá que reemplazarse.) • Opción 2: Reemplazar ahora la tubería antigua: Si Ansell decide reemplazar toda la tubería antigua ahora, la nueva tubería costará $28,570. La compresora funcionará el mismo número de días; sin embargo, funcionará un 23% menos [o tendrá un uso de 70%(1 ⫺ 0.23) ⫽ 53.9% por día] debido a la reducción en la pérdida de presión del aire. 5.4 Métodos para comparar alternativas mutuamente excluyentes 185 Si la tasa de interés de Ansell es del 12% compuesto anual, ¿vale la pena reparar el sistema ahora? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Consumo actual de energía, g ⫽ 7%, i ⫽ 12% y N ⫽ 5 años. Determine: A1 y P. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Construya una gráfica en la que se comparen las opciones. Para ello, primero determine el consumo anual de energía requerido con el sistema actual. Luego, calcule la pérdida de energía a causa de las fugas del antiguo sistema de tuberías. • Paso 1: Necesitamos calcular el costo del consumo de energía del sistema actual de tuberías durante el primer año. El consumo de energía se determina así: Costo anual de energía ⫽ % del día en operación ⫻ días de operación por año ⫻ horas por día ⫻ kW ⫻ $/kWh / = 170%2 * 1250 días >año 2 * 124 horas>día 2 * (260 kW) * 1$0.05/kWh2 = $54,600 • Paso 2: Cada año, si el sistema de tuberías permanece, el costo anual de energía aumentará a razón del 7% con respecto al costo del año anterior. En la figura 5.10 se resume el costo de energía estimado en el periodo de cinco años. El costo global equivalente al 12% de interés para esta serie con gradiente geométrico es POpción 1 = $54,6001P/A 1 , 7%, 12%, 52 = $54,600 1 - 11 + 0.072511 + 0.122 - 5 0.12 - 0.07 = $222,937 • Paso 3: Si Ansell reemplaza el sistema de aire comprimido actual por uno nuevo, el costo anual de energía será un 23% menor durante el primer año y permanecerá a ese nivel durante los próximos cinco años. El costo global presente equivalente al 12% de interés es POpción 2 = $54,60011 - 0.2321P/A, 12%, 52 = $42,04213.60482 = $151,553 186 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente Años 0 Opción 1: g 7% i 12% N ⫽ 5 años A1 ⫽ $54,600 POpción 1 ⫽ $54,600 1 2 3 $54,600 $58,422 g 1 $62,512 7% 4 $66,887 5 $71,569 (1 0.07)5 (1 0.12) 5 0.12 ฀0.07 $222,937 Opción 2: POpción 2 ⫽ $54,600(1 ⫺ 0.23)(P/A, 12%, 5) $42,042(P/A, 12%, 5) $151,553 Años 0 1 2 3 4 5 $42,042 Figura 5.10 • Comparación de dos opciones mutuamente excluyentes Paso 4: El costo neto de no reemplazar el antiguo sistema ahora es $71,384 (⫽ $222,937 ⫺ $151,553). Como el sistema nuevo cuesta solamente $28,570, el reemplazo debe hacerse ahora. 5.4.4 El periodo de análisis difiere de las vidas de los proyectos En el ejemplo 5.5 consideramos el escenario más simple posible al analizar proyectos mutuamente excluyentes. Los proyectos tenían vidas útiles iguales entre sí e iguales al periodo de servicio. En la práctica, éste es un caso poco común. A menudo, las vidas de los proyectos no encajan con el periodo de análisis requerido o no son iguales entre sí. Por ejemplo, dos máquinas pueden desempeñar exactamente la misma función, pero una dura más que la otra, y ambas duran más tiempo que el periodo de análisis para el que se están considerando. En secciones y ejemplos posteriores desarrollaremos algunas técnicas para manejar estas complicaciones. Caso I: La vida del proyecto es más larga que el periodo de análisis Considere el caso de una compañía que inicia un proyecto de producción de cinco años (o planea dar de baja la producción al término de cinco años), en el que todas las alternativas de equipo tienen vidas útiles de siete años. En este caso, analizamos cada proyecto solamente durante el periodo de servicio requerido (en nuestro caso, cinco años). Entonces, nos quedamos con una porción del equipo sin usar (en este caso, con un valor de dos años), que incluimos como valor de rescate en nuestro análisis. Valor de rescate es la cantidad de dinero por la cual se podría vender el equipo después de rendir su servicio al proyecto, o la medida en dólares de su utilidad restante. Un ejemplo común de vidas de proyectos que son más largas que el periodo de análisis ocurre en la industria de la construcción, donde un proyecto puede tener un tiempo de ejecución relativamente corto, pero el equipo comprado (herramientas eléctricas, trascabos, etcétera) cuenta con una vida útil mucho más larga. 5.4 Métodos para comparar alternativas mutuamente excluyentes 187 EJEMPLO 5.6 Comparación del valor presente: Vidas de proyectos más largas que el periodo de análisis La compañía Allan obtuvo el permiso para talar pinos del sur en una de sus extensiones boscosas. Están considerando la adquisición de una máquina leñadora que tiene la habilidad de sujetar, serruchar y colocar los árboles en atados que después habrán de ser deslizados hacia un espacio de almacenamiento. La operación en esta extensión boscosa debe completarse en tres años. Allan podría acelerar esta operación, pero no es recomendable, ya que la demanda del mercado de madera no justifica esta premura. Como la operación de tala debe realizarse en condiciones de humedad, esta tarea requiere una leñadora de manufactura especial con neumáticos de alta flotación y otros dispositivos diseñados para reducir el impacto sobre el lugar. Existen dos modelos posibles de leñadora que Allan podría adquirir para este trabajo: el modelo A es un equipo usado de dos años, mientras que el modelo B es una máquina nueva. • El modelo A cuesta $205,000 y tiene una vida de 10,000 horas antes de que requiera cualquier revisión importante. El costo de operación será de $50,000 al año, por 2,000 horas de operación. A este ritmo de funcionamiento, la unidad será operable por cinco años, y al término de este tiempo se estima que el valor de rescate será de $75,000. • El más eficiente modelo B cuesta $275,000, tiene una vida de 14,000 horas antes de que sea necesaria una revisión mayor, y operarla cuesta $32,500, por 2,000 horas al año, para así completar el trabajo en tres años. El valor de rescate estimado del modelo B al término de siete años es de $95,000. Ya que la vida de cualquiera de los modelos excede el periodo de servicio requerido de tres años, la compañía Allan tiene que considerar algunas cuestiones acerca del equipo usado al cabo de ese tiempo. De esta forma, los ingenieros de Allan estiman que, después de tres años, la unidad del modelo A podría venderse por $130,000 y la unidad del modelo B por $180,000. Después de considerar todos los impuestos, Allan resumió los flujos de efectivo resultantes (en miles de dólares) para los proyectos de la siguiente manera: Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 Modelo A Modelo B ⫺$205,000 ⫺50,000 ⫺50,000 130,000 ⫺50,000 ⫺50,000 75,000 ⫺ 50,000 ⫺$275,000 ⫺32,500 ⫺32,500 $180,000 ⫺32,500 ⫺32,500 ⫺32,500 ⫺32,500 95,000 ⫺ 32,500 Aquí, las cifras en las casillas representan los valores de rescate estimados al final del periodo de análisis (fines del año 3). Suponiendo que la TREMA de la compañía es del 15%, ¿cuál opción es más aceptable? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Primero, note que éstos son proyectos de servicio, ya que podemos suponer las mismas ganancias para ambas configuraciones. Como la compañía Dados: Flujos de efectivo para las dos alternativas, como se muestra en la tabla anterior; i ⫽ 15% anual. Determine: VP para cada alternativa; la alternativa más adecuada. 188 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente explícitamente estimó los valores de mercado de los activos al final del periodo de análisis (tres años), podemos comparar los dos modelos directamente. Ya que los beneficios (tala de madera) son iguales, podemos concentrarnos en los costos. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Construya una gráfica en la que se comparen las opciones y calcule el VPN para cada modelo durante el periodo de análisis (3 años). Concentre los costos: VP115%2A = - $205,000 - $50,0001P>A, 15%, 32 + $130,0001P/F, 15%, 32 = - $233,684; VP115%2B = - $275,000 - $32,5001P>A, 15%, 32 + $180,0001P>F, 15%, 32 = - $230,852. El modelo B es más económico de operar y, por lo tanto, sería preferible. (Véase la figura 5.11.) Modelo A 0 1 2 3 4 5 0 1 2 $50,000 a) $130,000 1 2 3 4 5 6 $75,000 4 $180,000 $275,000 0 5 1 $50,000 $205,000 3 7 $32,500 b) $205,000 0 $95,000 Modelo B $75,000 2 3 $95,000 4 5 6 7 $32,500 Periodo de servicio requerido $275,000 Periodo de servicio requerido c) Figura 5.11 a), b) Si los modelos no se venden después del periodo de servicio requerido; c) si los modelos se venden después del periodo de servicio requerido 5.4 Métodos para comparar alternativas mutuamente excluyentes 189 COMENTARIOS: La decisión depende enormemente de las estimaciones de los valores de rescate al término del periodo de análisis. Por lo regular, la información acerca del valor de rescate del equipo usado puede obtenerse de los vendedores del equipo, ya que están familiarizados con el mercado secundario para sus productos. Caso II: La vida del proyecto es más corta que el periodo de análisis Cuando las vidas de los proyectos son más cortas que el periodo de servicio requerido, debemos considerar cómo se satisfará el resto del periodo de servicio requerido al término de las vidas de los proyectos. En tal caso, se necesitan proyectos de reemplazo, que son proyectos adicionales que deben ejecutarse cuando el proyecto inicial ha alcanzado los límites de su vida útil. Se deben analizar suficientes proyectos de reemplazo para cubrir o exceder el periodo de servicio requerido. Para simplificar nuestro análisis, podríamos considerar que el proyecto de reemplazo será exactamente el mismo que el proyecto inicial, con los mismos costos y beneficios correspondientes. En el caso de un proyecto de servicio indefinidamente continuo, normalmente elegimos un periodo de análisis finito usando el mínimo común múltiplo de las vidas de los proyectos. Por ejemplo, si la alternativa A tiene una vida útil de tres años y la alternativa B tiene una vida útil de cuatro años, podemos elegir 12 años como el periodo de análisis. Como esta suposición es muy poco realista en la mayoría de los problemas, no recomendaremos el método en este libro. No obstante, si se justificara un análisis de este tipo, en el ejemplo 6.7 demostraremos cómo el enfoque equivalente anual simplificaría el aspecto matemático del análisis. Sin embargo, la suposición de un proyecto de reemplazo futuro idéntico no es necesaria. Por ejemplo, dependiendo de nuestras habilidades para pronosticar, podemos decidir que un tipo diferente de tecnología, en forma de equipo, materiales o procesos, será un reemplazo preferible y potencial. Ya sea que elijamos exactamente la misma alternativa o una nueva tecnología como el proyecto de reemplazo, seguramente tendremos una porción de equipo sin utilizar para considerarse como valor de rescate, justo como en el caso en el que las vidas de los proyectos son más largas que el periodo de análisis. Por otra parte, podemos decidir rentar el equipo necesario o subcontratar el trabajo restante durante el periodo de análisis. En este caso, podemos igualar exactamente nuestro periodo de análisis y no preocuparnos por los valores de rescate. En cualquier caso, debemos hacer ciertas conjeturas iniciales con respecto al método para completar el periodo de análisis. Más adelante, cuando la vida inicial del proyecto se acerque a su término, podemos modificar nuestro análisis con un proyecto de reemplazo diferente. Este enfoque es bastante razonable, ya que el análisis económico es una actividad continua en la vida de una compañía y de un proyecto de inversión, y siempre deberíamos utilizar los datos actualizados más confiables que podamos obtener. EJEMPLO 5.7 Comparación del valor presente: Vidas de los proyectos más cortas que el periodo de análisis La compañía Phoenix Manufacturing planea modernizar uno de sus centros de distribución localizado fuera de Denver, Colorado. Se han considerado dos opciones para movilizar los bienes en el centro de distribución: un sistema de banda transportadora y montacargas. La compañía espera que el centro de distribución opere durante los 190 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente siguientes 10 años para después convertirlo en una tienda al por menor. El sistema de banda transportadora duraría ocho años, en tanto que los montacargas solamente durarían seis años. Las dos opciones serán diseñadas de manera diferente, pero tendrán capacidades idénticas y harán exactamente el mismo trabajo. Los flujos de efectivo esperados para las dos opciones, incluyendo costos de mantenimiento, valores de rescate y pago de impuestos, son los siguientes: n Sistema de bandas transportadoras 0 ⫺$68,000 ⫺$40,000 1 ⫺$13,000 ⫺$15,000 2 ⫺$13,000 ⫺$15,000 3 ⫺$13,000 ⫺$15,000 4 ⫺$13,000 ⫺$15,000 5 ⫺$13,000 ⫺$15,000 6 ⫺$13,000 ⫺$15,000 ⫺ $4,000 7 ⫺$13,000 8 ⫺$13,000 ⫺ $5,000 Montacargas Con este escenario, ¿qué opción debería elegir la compañía con una TREMA ⫽ 12%? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Flujos de efectivo para ambas alternativas, periodo de análisis de 10 años y TREMA ⫽ 12%. Determine: VP para cada alternativa; la alternativa preferible. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule los flujos de efectivo para ambos modelos y realice el análisis del VP. Ya que cada opción cuenta con una vida más corta que el periodo de servicio requerido (10 años), necesitamos hacer una suposición explícita de cómo se cumplirá con el requerimiento de servicio. • Si la compañía elige el sistema de bandas transportadoras, gastará $18,000 para lograr que el sistema extienda su servicio más allá de ocho años. El valor de rescate esperado del sistema al término del periodo de servicio requerido (10 años) será de $6,000. Los costos de operación y mantenimiento serán de $13,000. • Si la compañía elige la opción de los montacargas, considerará la posibilidad de alquilar montacargas similares cuya renta anual es de $8,000, pagaderos al inicio de cada año, con un costo anual operativo de $15,000 por lo que queda del periodo de servicio de 10 años. Los flujos de efectivo anticipados para ambos modelos en este escenario son los que se indican en la siguiente tabla. La figura 5.12 representa los flujos de efectivo asociados con cada opción. Observe que ambas alternativas tienen ahora el mismo periodo de servicio requerido de 10 años. 5.4 Métodos para comparar alternativas mutuamente excluyentes 191 Sistema de bandas transportadoras n Montacargas 0 ⫺$68,000 ⫺$40,000 1 ⫺$13,000 ⫺$15,000 2 ⫺$13,000 ⫺$15,000 3 ⫺$13,000 ⫺$15,000 4 ⫺$13,000 ⫺$15,000 5 ⫺$13,000 ⫺$15,000 6 ⫺$13,000 ⫺$15,000 ⫹ $4,000 ⫺ $8,000 7 ⫺$13,000 ⫺$15,000 ⫺ $8,000 8 ⫺$13,000 ⫺ $18,000 ⫺$15,000 ⫺ $8,000 9 ⫺$13,000 ⫺$15,000 ⫺ $8,000 10 ⫺$13,000 ⫹ $6,000 ⫺$15,000 Por lo tanto, podemos emplear el análisis del VP: VP112%2Banda transportadora = - $68,000 - $13,0001P/A, 12%, 102 - $18,0001P/F, 12%, 82 + $6,0001P/F, 12%, 102 = - $146,791; Opción 1: Sistema de bandas transportadoras 0 1 2 3 4 5 6 7 8 $6,000 9 10 $13,000 $18,000 Revisión para extender la vida de servicio $68,000 Requerimiento de servicio restante cumplido $4,000 Opción 2: Montacargas 0 Figura 5.12 Comparación para proyectos de servicio mutuamente excluyentes con vidas diferentes; el periodo de servicio requerido es más largo que la vida del proyecto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $15,000 $8,000 Alquiler de montacargas $40,000 Periodo de servicio requerido 192 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente VP112%2Montacargas = - $40,000 - $15,0001P/A, 12%, 102 - $8,0001P/A, 12%, 421P/F, 12%, 52 + $4,0001P/F, 12%, 62 = - $136,514. Como éstos son proyectos de servicio, la opción de los montacargas es la mejor. RESUMEN En este capítulo presentamos el concepto de análisis del valor presente con base en la equivalencia de los lujos de efectivo junto con el periodo de recuperación. Observamos los siguientes resultados importantes: 쐽 El valor presente es un método de análisis de equivalencia en el que se reducen los flujos de efectivo de un proyecto a un valor presente único. Es posiblemente el método de análisis más eficiente que podemos utilizar para determinar la aceptabilidad de proyectos en términos económicos. Otros métodos de análisis, que estudiaremos en los capítulos 6 y 7, se basan en una sólida comprensión del valor presente. 쐽 La TREMA, o tasa de retorno mínima aceptable, es la tasa de interés a la cual una compañía siempre puede ganar o pedir prestado dinero. Generalmente la establece la gerencia y es la tasa a la que se debe realizar el análisis del VP. 쐽 Los proyectos de ganancias son proyectos para los cuales el ingreso generado depende de la elección del proyecto. Los proyectos de servicio son proyectos para los que el ingreso permanece igual, sin importar qué proyecto se elija. 쐽 El término mutuamente excluyente se aplica a un conjunto de alternativas que cubren la misma necesidad y significa que, cuando se elige una de las alternativas, las otras se rechazan. 쐽 Cuando la gerencia o las políticas de la compañía no lo especifican, puede ser un analista quien seleccione el periodo de análisis que se debe usar en una comparación de proyectos mutuamente excluyentes. Cuando se selecciona un periodo de análisis se consideran los niveles de eficiencia. En general, el periodo de análisis debería elegirse para cubrir el periodo de servicio requerido. PROBLEMAS Nota: A menos que se indique lo contrario, todos los lujos de efectivo representan lujos de efectivo en dólares circulantes, considerando los efectos de los impuestos. La tasa de interés (TREMA) también está dada después de impuestos, considerando los efectos de la inlación en la economía. Esta tasa de interés es equivalente a la tasa de interés del mercado. Además, estamos considerando que todas las tasas de interés se capitalizan anualmente. Identificación de las entradas y salidas de dinero 5.1 Delaware Chemicals está considerando la instalación de un sistema computarizado de control de procesos en una de sus plantas de procesamiento. Esta planta se usa alrededor del 40% del tiempo, o 3,500 horas operativas por año, para producir un químico de demulsificación patentado; durante el 60% restante del tiempo, se utiliza para producir otros químicos de especialidad. La producción anual del químico de demulsificación asciende a 30,000 kilogramos por año, y el kilogramo Problemas 193 se vende a $15. El sistema computarizado de control de procesos costará $65,000 y se espera que aporte los siguientes beneficios específicos en la producción del químico de demulsificación: 쐽 쐽 쐽 Primero, el precio de venta del producto podría aumentarse $2 por kilogramo porque el producto tendría una mayor pureza, lo que se traduce en un mejor desempeño de demulsificación. Segundo, los volúmenes de producción aumentarían en 4,000 kilogramos por año como resultado de rendimientos de reacción más elevados, sin aumento alguno en los requerimientos de las cantidades de materia prima o del tiempo de producción. Finalmente, el número de operadores de procesos podría reducirse en uno por turno, lo que representa un ahorro de $25 por hora. El nuevo sistema de control implicaría $53,000 adicionales por costos de mantenimiento al año y tendría una vida útil estimada de ocho años. Aunque el sistema probablemente dará beneficios similares en la producción de otros químicos de especialidad fabricados en la planta de procesamiento, éstos no han sido cuantificados todavía. a) Identifique las entradas de efectivo durante la vida del proyecto. b) Identifique las salidas de efectivo durante la vida del proyecto. c) Determine los flujos de efectivo neto durante la vida del proyecto. 5.2 Como jefe de ingeniería, usted necesita idear un cálculo de flujo de efectivo para una línea de producción recientemente propuesta. En principio, el sistema está diseñado para tener una capacidad máxima (Cmáx) de producción de seis millones de partes por año, pero se espera que la demanda crezca a una tasa compuesta anual del 10%. Cuando la demanda anual alcance el 80% de la capacidad máxima diseñada, ésta deberá duplicarse en el año siguiente. El costo de cubrir estas demandas futuras, así como otros datos financieros proyectados, son: 쐽 Costo por construir el sistema de producción como una función de capacidad máxima diseñada: 1.5 M + 0.51Cmáx20.7 쐽 Demanda inicial ⫽ 3 millones de partes por año. Tasa de crecimiento de la demanda ⫽ 10% anual. Vida del proyecto ⫽ 15 años. Ingresos por año ⫽ demanda durante el año n ⫻(5)1.05. Gastos por año ⫽ $120,000 ⫹ demanda durante el año n ⫻(2)1.08. 쐽 쐽 쐽 쐽 Calcule los flujos de efectivo del proyecto durante la vida del mismo. Periodo de recuperación 5.3 Consulte el problema 5.1 para contestar las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto tiempo tardaría recuperar la inversión? b) Si la tasa de interés de la compañía es del 15% después de impuestos, ¿cuál sería el periodo de recuperación descontada para este proyecto? 5.4 J&M Manufacturing planea adquirir una nueva máquina de ensamblaje por $30,000 para automatizar una de sus operaciones de manufactura actuales. Hacer que instalen una máquina nueva costará $2,500 más. Con la máquina nueva, J&M espera ahorrar $12,000 en costos operativos y de mantenimiento. La máquina durará cinco años, con un valor de rescate esperado de $5,000. 194 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente a) ¿Cuánto tiempo tomará recuperar la inversión (más el costo de instalación)? b) Si la tasa de interés de J&M es del 14%, determine el periodo de recuperación descontada. 5.5. Usted cuenta con los siguientes datos financieros acerca del nuevo sistema que se pondrá en marcha en una compañía: 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 costo de la inversión en n ⫽ 0: $10,000; costo de la inversión en n ⫽ 1: $15,000; vida útil ⫽ 10 años; valor de rescate (al término de 11 años): $5,000; ingresos anuales: $12,000 por año; gastos anuales: $4,000 por año; TREMA: 10%. Nota: Los primeros ingresos y gastos se presentarán al final del año 2. a) Determine el periodo de recuperación convencional. b) Determine el periodo de recuperación descontada. 5.6 Considere los siguientes flujos de efectivo, para cuatro proyectos diferentes: Flujos de efectivo de los proyectos n A B C D 0 ⫺$1,500 ⫺$6,000 ⫺$10,000 ⫺$4,500 1 $200 $2,000 $2,000 $5,000 2 $300 $1,500 $2,000 $3,000 3 $400 $1,500 $2,000 ⫺$4,000 4 $500 $500 $5,000 $1,000 5 $300 $500 $5,000 $1,000 6 $300 $1,500 7 $300 8 $300 $2,000 $3,000 a) Calcule el periodo de recuperación convencional para cada proyecto. b) Determine si es significativo calcular un periodo de recuperación para el proyecto D. c) Suponiendo que i ⫽ 10%, calcule el periodo de recuperación descontada para cada proyecto. Criterio del VPN 5.7 Ante la elevada demanda de maíz como fuente de producción de combustible de etanol, un granjero está considerando plantar más maíz, lo que requiere la compra de una sembradora nueva más grande. La sembradora costará $18,000 y tiene una vida esperada de servicio de seis años, con un valor de rescate del 10% del precio de compra inicial. La nueva sembradora permite que el granjero siembre las semillas en menos tiempo y que aumente el rendimiento de la cosecha promedio. El flujo de efectivo neto de esta sembradora más eficiente es: Problemas n An 0 ⫺$18,000 $4,800 $6,350 $7,735 $7,500 $4,300 1 2 3 4 5 6 $7,000 ⫹ $1,800 ¿Cuál es el valor presente neto para esta compra si la tasa de interés del granjero es del 9%? 5.8 Usted está considerando fabricar una nueva pelota de golf para vender en China y así cubrir la creciente demanda en la región. Esta pelota de golf es menos cara de fabricar, comparada con una marca más conocida, pero cumple con los requerimientos establecidos por la Asociación de Golf de Estados Unidos (usga) para participar en cualquier evento competitivo. La producción requerirá un desembolso inicial para la compra del equipo con un valor de $1,500,000. El equipo tiene una vida de seis años, con un valor de rescate estimado en $100,000. Usted ya posee el terreno sobre el que se ubicará el proyecto. El terreno tiene un valor presente en el mercado de $100,000, y se espera que su precio aumente un 5% por año. Si decide no producir las pelotas de golf, venderá el terreno. También ha recabado la siguiente información: Usted espera ingresos por $500,000 anuales por cada año de operación. Se espera que el costo directo de fabricar la pelota de golf represente el 30% de los ingresos. 쐽 El costo de operación, incluyendo la comercialización, representa otro 15% de los ingresos. 쐽 Necesitará pagar por derechos de licencia de $25,000, más el 3% de los ingresos, a la compañía que originalmente ideó el diseño especial de los hoyuelos de la pelota de golf. a) ¿Este proyecto vale la pena a una tasa de interés del 15%? b) ¿Cuál es el periodo de recuperación descontada de la inversión? 쐽 5.9 Considere el siguiente grupo de proyectos de inversión; todos tienen una vida de inversión de tres años: Flujos de efectivo de los proyectos n A B C D 0 1 2 ⫺$800 ⫺$1,800 ⫺$1,000 ⫺$6,000 $0 $600 $1,200 $1,900 $0 $900 $900 $1,900 3 $3,000 $1,700 $3,500 $2,800 a) Calcule el valor presente neto de cada proyecto en i ⫽ 10%. b) Grafique el valor presente como una función de la tasa de interés (del 0% al 30%) para el proyecto B. 5.10 Se le ha pedido que evalúe la rentabilidad de construir un centro de distribución en las siguientes condiciones: 쐽 La propuesta es para un centro de distribución que cuesta $1,500,000. Las instalaciones tienen una vida útil estimada de 35 años y un valor de rescate neto (ganancias netas de su venta, después de los ajustes por impuestos) de $225,000. 195 196 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente Se espera un ahorro anual (debido a una mejor ubicación estratégica) de $227,000; los costos anuales de mantenimiento y administración serán de $114,000, y los impuestos sobre la renta ascenderán a $43,000. Suponga que la TREMA de la compañía es del 12%. Determine el valor presente neto de la inversión. 쐽 5.11 Usted está considerando la compra de un estacionamiento cercano a su oficina. El estacionamiento es una estructura de 15 años con una vida de servicio restante calculada en 25 años. Los arrendatarios acaban de firmar contratos a largo plazo, lo que lo lleva a pensar que el ingreso anual por alquiler de $250,000 permanecerá constante en los primeros cinco años. Después, el ingreso por alquiler aumentará un 10% cada cinco años durante la vida restante del activo. De esta forma, el ingreso anual por alquiler sería de $275,000 para los años 6 al 10, de $302,500 para los años 11 al 15, de $332,750 para los años 16 al 20, y de $366,025 para los años 21 al 25. Usted estima que los gastos de operación, incluyendo los impuestos sobre la renta, serán de $65,000 para el primer año y que aumentarán $6,000 cada año de ahí en adelante. Usted piensa que demoler el edificio y vender el lote sobre el que se encuentra le dará una cantidad neta de $200,000 al término del periodo de 25 años. Si tuviera la oportunidad de invertir su dinero en otro proyecto y, por lo tanto, de ganar intereses a una tasa del 15% anual, ¿cuál sería la cantidad máxima que usted estaría dispuesto a pagar por el estacionamiento y el lote en este momento? 5.12 Considere el siguiente proyecto de inversión: n An 0 ⫺$4,000 i 9% 1 $3,400 12% 2 $3,400 10% 3 $1,500 13% 4 $3,500 12% 5 $4,300 10% Suponga que, como se muestra en las tablas anteriores, las oportunidades de reinversión de la compañía cambian a lo largo de la vida del proyecto. (Es decir, la TREMA de la compañía cambia durante la vida del proyecto.) Por ejemplo, la compañía puede invertir los fondos disponibles ahora al 9% el primer año, al 12% el segundo año, y así sucesivamente. Calcule el valor presente neto de esta inversión y determine la aceptabilidad de la misma. 5.13 Usted está en el negocio de ventas por correo, vendiendo dispositivos periféricos para computadoras, que incluyen cables de Internet de alta velocidad, diversos dispositivos de almacenamiento como memorias, y dispositivos inalámbricos para redes. Usted está considerando mejorar su sistema de órdenes por correo para hacer sus operaciones más eficientes y así aumentar las ventas. La instalación del sistema computarizado de órdenes por correo costará $250,000 y su costo de operación por año será de $50,000. Se espera que el sistema dure ocho años, sin valor de rescate alguno al terminar el periodo de servicio. El nuevo sistema de órdenes ahorrará $120,000 en costos de operación (principalmente, una reducción en el costo por manejo de inventarios) cada año y generará ingresos por ventas adicionales con un valor de $40,000 al año por los siguientes ocho años. Si su tasa de interés es del 12%, justifique su inversión, utilizando el método del VPN. Problemas 197 5.14 Una compañía procesadora de alimentos está considerando utilizar tecnología láser para acelerar el proceso de mondar papas y eliminar el desperdicio. Para implementar el sistema, la compañía cree necesitar $3 millones para comprar los láseres de intensidad industrial. El sistema ahorrará $1,200,000 por año en mano de obra y materiales. Sin embargo, generará un costo adicional de operación y mantenimiento de $250,000 al año. Los impuestos sobre la renta anuales también aumentarán en $150,000. Se espera que el sistema tenga una vida de servicio de 10 años y un valor de rescate de aproximadamente $200,000. Si la TREMA de la compañía es del 18%, justifique el proyecto en términos económicos utilizando el método del VP. Valor futuro y saldo del proyecto 5.15 Considere los siguientes grupos de proyectos de inversión, cada uno de los cuales tiene una vida de inversión de tres años: Periodo (n) 0 1 Flujos de efectivo de los proyectos A B C D ⫺$5,000 ⫺$2,000 $4,500 ⫺$3,500 $5,800 ⫺$4,400 ⫺$6,000 $1,000 2 $12,400 $7,000 $2,000 $5,000 3 $8,200 $3,000 $4,000 $6,000 Calcule el valor futuro neto de cada proyecto con i ⫽ 13%. 5.16 H-Robotic Incorporated (hri), líder mundial en la industria de robótica, produce una línea de robots industriales y equipo periférico que desempeñan muchas tareas de rutina de líneas de ensamblaje. Sin embargo, la creciente competencia, particularmente de compañías japonesas, ha provocado que la gerencia de hri se preocupe por el potencial de crecimiento de la compañía en el futuro. El departamento de investigación y desarrollo de hri había estado aplicando la tecnología de robots industriales para desarrollar una línea de robots domésticos. El robot doméstico está diseñado para funcionar como un sirviente, principalmente desempeñando tareas como aspirar pisos y alfombras. Esta iniciativa ha alcanzado el punto en el que se debe tomar una decisión de si debe continuar o no la producción. El departamento de ingeniería ha estimado que la compañía necesitaría una nueva planta de manufactura con el siguiente programa de construcción: La planta requeriría un terreno de 35 acres, y hri actualmente cuenta con una opción para adquirir un terreno adecuado por $2.5 millones. La construcción del edificio comenzaría a principios de 2009 y continuaría a lo largo de 2010. La edificación costaría $10.5 millones en total, pero se debe realizar un pago de $3.5 millones al contratista el 31 de diciembre de 2009, y otro de $7 millones el 31 de diciembre de 2010. 쐽 El equipo de manufactura necesario sería instalado en 2010 y se pagaría el 31 de diciembre de 2010. El equipo costaría $18.5 millones, incluyendo transportación, más otros $500,000 por instalación. 쐽 A partir del 31 de diciembre de 2008, la compañía ha gastado $12 millones en investigación y desarrollo relacionados con el robot doméstico. a) ¿Cuál es el costo total equivalente de la inversión (valor futuro) al momento de su terminación (31 de diciembre de 2010), suponiendo que la TREMA de hri es del 15%? b) Si la vida del producto es de 10 años, ¿cuál es el flujo de efectivo neto mínimo (después de todos los gastos) que debe generarse para terminar sin ganancias ni pérdidas? 쐽 198 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente 5.17 Considere la siguiente información para un proyecto de inversión típico con una vida de servicio de cinco años: Flujo de efectivo n 0 1 2 3 4 5 ⫺$1,000 $200 $490 $550 ⫺$100 $200 Saldo del proyecto ⫺$1,000 ⫺$900 ⫺$500 $0 ⫺$100 $90 ¿Qué tasa de interés se utiliza en el cálculo del saldo del proyecto? 5.18 Considere los siguientes saldos de proyecto para un típico proyecto de inversión con una vida de servicio de cuatro años: n An 0 ⫺$1,000 1 ( ) 2 ( ) 3 $460 4 ( ) Saldo del proyecto ⫺$1,000 ⫺$1,100 ⫺$800 ⫺$500 $0 a) Construya los flujos de efectivo originales del proyecto. b) Determine la tasa de interés usada en el cálculo del saldo del proyecto. c) ¿Este proyecto sería aceptable a una TREMA del 12%? 5.19 Considere los siguientes perfiles de saldo para los proyectos de inversión propuestos: N 0 1 2 VP Tasa utilizada Saldos de los proyectos Proyecto A Proyecto B ⫺$600 $200 $300 ? 15% ⫺$500 $300 $650 $416 ? Proyecto C ⫺$200 $0 $150 ? ? Ahora, considere los siguientes enunciados: Enunciado 1: Para el proyecto A, el flujo de efectivo al término del año 2 es $100. Enunciado 2: El valor futuro del proyecto C es $0. Enunciado 3: La tasa de interés utilizada en los cálculos del saldo del proyecto B es del 25%. ¿Cuál(es) de los enunciados anteriores es (son) correcto(s)? a) Sólo el enunciado 1. b) Sólo el enunciado 2. c) Sólo el enunciado 3. d ) Todos ellos. 5.20 Considere los flujos de efectivo y los perfiles de valor presente que aparecen a continuación: Problemas 199 Flujos de efectivo neto Años Proyecto 1 Proyecto 2 0 1 2 3 ⫺$100 $40 $80 $X ⫺$100 $30 $Y $80 a) Determine los valores para X y Y. b) Calcule el saldo de proyecto final del proyecto 1 a una TREMA ⫽ 24%. c) Encuentre los valores para a, b y c en la gráfica del VP. a VP(i) b 24% i (%) 0 Proyecto 1 10 c 23% Proyecto 2 5.21 Considere los siguientes saldos de proyecto para un proyecto de inversión típico con una vida de servicio de cinco años: n An 0 1 2 3 4 5 ⫺$1,000 ( ) $490 ( ) ( ) $200 Saldo del proyecto ⫺$1,000 ⫺$900 ⫺$500 $0 ⫺$100 ( ) a) Complete la tabla determinando los flujos de efectivo originales del proyecto y el saldo final. b) Determine la tasa de interés usada en el cálculo del saldo del proyecto y el valor presente de este proyecto a la tasa de interés calculada. 5.22 Considere los siguientes grupos de proyectos de inversión: Flujos de efectivo de los proyectos n A B C D E 0 ⫺$5,000 ⫺$5,000 ⫺$5,000 ⫺$5,000 ⫺$5,000 1 $500 $2,000 $0 $500 $1,000 2 $900 ⫺$3,000 $0 $2,000 $3,000 3 $1,000 $5,000 $3,000 $3,000 $2,000 4 $2,000 $5,000 $7,000 $4,000 5 ⫺$500 $3,500 $13,000 $1,250 200 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente a) Calcule el valor futuro al final de la vida para cada proyecto con i ⫽ 15%. b) Determine el área del saldo negativo del proyecto para cada proyecto. c) Determine el periodo de recuperación descontada para cada proyecto. d ) Determine el área del saldo positivo del proyecto para cada proyecto. 5.23 Considere el siguiente grupo de proyectos de inversión independientes: Flujos de efectivo de los proyectos n A B C 0 ⫺$100 $100 ⫺$100 1 $50 $40 ⫺$40 2 $50 $40 ⫺$40 3 $50 $40 ⫺$40 4 ⫺$100 $10 5 $400 $10 6 $400 a) Para una TREMA del 10%, calcule el valor presente neto para cada uno de los proyectos y determine la aceptabilidad de cada uno. b) Para una TREMA del 10%, calcule el valor futuro neto de cada proyecto al final de cada periodo y determine la aceptabilidad de cada uno. c) Calcule el valor futuro de cada uno de los proyectos al término de seis años con TREMA variables: 10% para n ⫽ 0 a n ⫽ 3, y 15% para n ⫽ 4 a n ⫽ 6. 5.24 Considere los siguientes perfiles de saldo de proyecto para los proyectos de inversión propuestos, en los que las cifras del saldo de los proyectos están redondeadas al dólar más cercano: Saldos de los proyectos n 0 1 2 3 4 5 Tasa de interés utilizada A B ⫺$1,000 ⫺$1,000 ⫺$800 ⫺$680 ⫺$600 ⫺$302 ⫺$400 ⫺$57 $233 ⫺$200 $0 $575 0% 18% C ⫺$1,000 ⫺$530 $X ⫺$211 ⫺$89 $0 12% a) Calcule el valor presente neto de cada inversión. b) Determine el saldo del proyecto al finalizar el periodo 2 para el proyecto C si A2 ⫽ $500. c) Determine los flujos de efectivo para cada proyecto. d ) Identifique el valor futuro neto de cada proyecto. Costo capitalizado 5.25 Se está pidiendo a los alumnos de una universidad que donen dinero para el mantenimiento de un nuevo edificio. Usted quisiera hacer una donación para cubrir todos los costos futuros de mantenimiento del edificio. Se piensa que estos costos de mantenimiento ascenderán a $40,000 cada año durante los primeros cinco años, a $50,000 para cada uno de los años del 6 al 10, y a $60,000 cada año posterior. (El edificio tiene una vida de servicio indefinida.) Problemas 201 a) Si el dinero se invierte en una cuenta que pagará el 13% de interés compuesto anual, ¿qué tan generosa debe ser la donación? b) ¿Cuál es el costo de mantenimiento anual equivalente durante la vida de servicio infinita? 5.26 Considere un proyecto de inversión para el cual el esquema de flujos de efectivo se repite cada cuatro años indefinidamente, como se muestra en la siguiente figura. A una tasa de interés del 12% compuesto anual, calcule el costo capitalizado para este proyecto. $500 $500 $400 $500 $400 $300 $400 0 1 2 3 $300 $300 $200 4 $200 5 6 7 Años 8 $200 9 10 11 12 5.27 Un grupo de ciudadanos preocupados fundaron un fideicomiso que paga el 6% de interés compuesto mensual para preservar un edificio histórico; el fideicomiso aportará los fondos anuales de mantenimiento que ascienden a $25,000 indefinidamente. Calcule el costo capitalizado para estos gastos de mantenimiento del edificio. 5.28 Un puente recién construido cuesta $10,000,000. El mismo puente necesitará una renovación cada 10 años a un costo de $1,000,000. Los costos de las reparaciones y el mantenimiento se calculan en $100,000 cada año. a) Si la tasa de interés es del 5%, determine el costo capitalizado del puente. b) Suponga que el puente debe ser renovado, no cada 10 años, sino cada 15 años. ¿Cuál es el costo capitalizado del puente si la tasa de interés es la misma que en el inciso a)? c) Resuelva de nuevo los incisos a) y b), pero ahora con una tasa de interés del 10%. ¿Qué puede usted decir sobre el efecto del interés sobre los resultados? 5.29 Para reducir los costos de operación de esclusas en un río caudaloso, se propone un nuevo sistema de operación. El diseño y construcción del sistema costará $650,000 y se cree que necesitará revisiones cada 10 años a un costo de $100,000. Además, se tendrá que hacer un gasto de $50,000 al terminar el quinto año para un nuevo tipo de engranaje que no estará disponible hasta entonces. Se espera que los costos anuales de operación asciendan a $30,000 en los primeros 15 años y a $35,000 al año a partir de entonces. Calcule el costo capitalizado del servicio perpetuo con i ⫽ 8%. 5.30 Considere a un hombre jubilado que comienza a cobrar los beneficios de su seguro social a los 66 años de edad. El cheque mensual sería de aproximadamente $2,160. Suponiendo que su tasa de interés es del 6% compuesto mensual, responda las siguientes preguntas: a) Si vive 20 años después de su retiro, ¿cuál sería el beneficio total equivalente recabado? b) Si vive 40 años después de su retiro, ¿cuál sería el beneficio total equivalente recabado? c) Suponga que vive por siempre. ¿Cuál sería la suma total acumulada? Ahora, comparando la respuesta con la del inciso b), ¿qué podría usted concluir? 202 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente Comparación de alternativas mutuamente excluyentes 5.31 Considere los siguientes dos proyectos mutuamente excluyentes: Fin del año 0 1 2 3 4 Flujo de efectivo neto Proyecto A Proyecto B ⫺$1,000 ⫺$1,000 $912 $284 $684 $568 $456 $852 $228 $1,136 a) A una tasa de interés del 25%, ¿cuál proyecto recomendaría usted elegir? b) Calcule el área del saldo negativo del proyecto, el periodo de recuperación descontada y el área del saldo positivo para cada proyecto. ¿Cuál proyecto está expuesto a un mayor riesgo de pérdida si ambos proyectos concluyen al final del año 2? 5.32 Considere los siguientes datos de flujo de efectivo para dos proyectos de inversión que están en competencia: n 0 1 2 Datos de flujo de efectivo (miles de $) Proyecto A Proyecto B ⫺$1,000,000 $700,000 $700,000 ⫺$1,000,000 $700,000 $1,000,000 a) Si i ⫽ 12%, ¿cuál de los dos proyectos sería una mejor opción? b) Si i ⫽ 22%, ¿cuál de los dos proyectos se elige mediante la regla del VPN? 5.33 Considere los siguientes dos proyectos mutuamente excluyentes: Flujos de efectivo de los proyectos n A B 0 ⫺$5,000 ⫺$3,200 1 $2,610 $1,210 2 $2,930 $1,720 3 $2,300 $1,500 Suponga que la TREMA ⫽ 12%. a) ¿Cuál alternativa elegiría usted de acuerdo con el criterio del VPN? b) ¿Cuál alternativa elegiría usted de acuerdo con el criterio del valor futuro neto? 5.34 Considere los siguientes dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes: Flujos de efectivo de los proyectos n 0 1 2 A B ⫺$4,000 $400 $7,000 ⫺$8,500 $11,500 $400 Suponga que la TREMA ⫽ 15%. a) Utilizando el criterio del VPN, ¿cuál proyecto elegiría usted? b) Represente la función VP(i) para cada alternativa, en la misma gráfica, para i ⫽ 0% y 50%. ¿Para cuál intervalo de i preferiría usted el proyecto B? Problemas 203 5.35 Considere las siguientes dos alternativas de inversión: Flujos de efectivo de los proyectos n A B 0 1 2 3 VP(15%) ⫺$15,000 $9,500 $12,500 $7,500 ? ⫺$25,000 $0 $X $X $9,300 Se sabe que la TREMA de la compañía es del 15%. a) Calcule el VP(15%) para el proyecto A. b) Calcule el flujo de efectivo desconocido X en los años 2 y 3 para el proyecto B. c) Calcule el saldo de proyecto (al 15%) para el proyecto A al cabo del año 3. d ) Si estos dos proyectos son alternativas mutuamente excluyentes, ¿cuál elegiría usted? 5.36 Considere los siguientes flujos de efectivo después de impuestos: Flujos de efectivo de los proyectos n A B C D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ⫺$2,500 $650 $650 $650 $600 $600 $600 $300 $300 ⫺$7,000 ⫺$2,500 ⫺$2,000 ⫺$1,500 ⫺$1,500 ⫺$1,500 ⫺$1,500 ⫺$5,000 ⫺$2,000 ⫺$2,000 ⫺$2,000 ⫺$2,000 ⫺$2,000 ⫺$2,000 ⫺$2,000 ⫺$5,000 ⫺$500 ⫺$500 $4,000 $3,000 $3,000 $2,000 $3,000 a) Calcule el saldo de proyecto para A y D, como una función del año del proyecto, con i ⫽ 10%. b) Calcule los valores futuros para los proyectos A y D, con i ⫽ 10%, al término de la vida de servicio. c) Suponga que los proyectos B y C son mutuamente excluyentes. Suponga también que el periodo de servicio requerido es de ocho años y que la compañía está considerando alquilar un equipo similar que implica un gasto anual por arrendamiento de $3,000 por los años que quedan del periodo de servicio requerido. ¿Cuál proyecto es la mejor opción? 5.37 Considere los siguientes dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes: Flujos de efectivo de los proyectos n A B 0 ⫺$11,000 ⫺$25,000 1 $7,500 $14,500 2 $8,000 $18,000 3 $5,000 204 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente ¿Cuál proyecto elegiría usted si utilizara el horizonte infinito de planeación, con la probabilidad de repetir el proyecto (mismos costos y beneficios), con base en el criterio del VP? Considere que i ⫽ 12%. 5.38 Considere los siguientes dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes que tienen vidas de servicio desiguales: Flujos de efectivo de los proyectos A n B 0 ⫺$900 ⫺$1,800 1 ⫺$400 ⫺$300 2 ⫺$400 ⫺$300 3 ⫺$400 ⫹$200 ⫺$300 4 ⫺$300 5 ⫺$300 6 ⫺$300 7 ⫺$300 8 ⫺$300 ⫹ $500 a) ¿Qué hipótesis necesita para comparar un conjunto de inversiones mutuamente excluyentes con vidas de servicio desiguales? b) Con base en la(s) suposiciones definidas en a) y usando i ⫽ 10%, determine cuál proyecto debería elegirse. c) Si su periodo de análisis (periodo de estudio) es de sólo tres años, ¿cuál debería ser el valor de rescate del proyecto B al término del año 3 para hacer que las dos alternativas sean económicamente indiferentes? 5.39 Considere los siguientes dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes: A B Valor de rescate Flujo de efectivo ⫺$10,000 Valor de rescate 0 Flujo de efectivo ⫺$12,000 1 ⫺$2,000 $6,000 ⫺$2,100 $6,000 2 ⫺$2,000 $4,000 ⫺$2,100 $3,000 3 ⫺$2,100 $1,000 n ⫺$2,000 $3,000 4 ⫺$2,000 $2,000 5 ⫺$2,000 $2,000 Los valores de rescate representan las ganancias netas (después de impuestos) de la venta de los activos si se venden al final del año indicado. Ambos proyectos estarán disponibles (y pueden repetirse) con los mismos costos y valores de rescate por un periodo indefinido. a) Con un horizonte de planeación infinito, ¿cuál proyecto es una mejor elección a una TREMA ⫽ 12%? b) Con un horizonte de planeación de 10 años, ¿cuál proyecto es una mejor elección a una TREMA ⫽ 12%? Problemas 205 5.40 Se están evaluando dos métodos de una nueva subdivisión para retirar el agua de lluvia de la superficie: 쐽 Método A: Cavar una zanja. El costo inicial sería $30,000, y se requerirían otros $10,000 cada cinco años indefinidamente para volver a cavar y dar forma a la zanja. 쐽 Método B: Instalar tuberías de concreto. El costo inicial sería de $75,000 y se requeriría reemplazar la tubería cada 50 años a un costo neto de $90,000 indefinidamente. A i ⫽ 12%, ¿cuál método es el mejor? (Sugerencia: Utilice el enfoque del costo capitalizado.) 5.41 Una concesionaria local está anunciando el alquiler estándar de su nuevo auto deportivo de la serie XT 3000, durante 24 meses a $1,150 por mes. El alquiler estándar requiere un enganche de $4,500, más un depósito inicial reembolsable de $1,000. El primer pago del alquiler debe efectuarse al finalizar el primer mes. Por otra parte, el concesionario ofrece un plan de arrendamiento de 24 meses que requiere un pago único por adelantado de $30,500, más un depósito inicial reembolsable de $1,000. En ambas opciones, el depósito inicial será reembolsado al término del mes 24. Considere una tasa de interés del 6% compuesto mensual. Con el criterio del valor presente, ¿cuál opción es preferible? 5.42 Se están considerando dos máquinas diferentes para un proceso de manufactura. La máquina A tiene un costo inicial de $75,200 y su valor de rescate estimado al cabo de los seis años de servicio es de $21,000. Los costos de operación de esta máquina están calculados en $6,800 por año. Los impuestos sobre la renta adicionales se calculan en $2,400 por año. La máquina B tiene un costo inicial de $44,000 y su valor de rescate después de su vida de servicio de seis años se considera insignificante. Sus costos de operación anuales ascenderán a $11,500. Compare estas dos alternativas mediante el método del valor presente a i ⫽ 13%. 5.43 Un motor eléctrico de 10 caballos de potencia (HP) cuesta $800. Su eficiencia en carga completa está especificada en un 85%. Un motor de alta eficiencia del mismo tamaño recientemente diseñado tiene una eficiencia del 90%, pero cuesta $1,200. Se estima que los motores operarán a una potencia de 10 HP durante 1,500 horas por año y que el costo de energía será de $0.07 por kilowatt-hora. Se espera que cada motor tenga una vida de 15 años. Además, se espera que, al término de los 15 años, el primer motor tenga un valor de rescate de $50 y el segundo motor un valor de rescate de $100. Considere una TREMA del 8%. (Nota: 1 HP ⫽ 0.7457 kW.) a) Determine cuál motor debe instalarse de acuerdo con el criterio del VP. b) ¿Qué pasaría si los motores operaran 2,500 horas al año en vez de 1,500 horas al año? ¿El motor seleccionado en a) seguiría siendo una opción adecuada? 5.44 Considere los siguientes flujos de efectivo para dos tipos de modelos: Flujos de efectivo de los proyectos n Modelo A Modelo B 0 ⫺$6,600 ⫺$16,500 1 $3,500 $11,000 2 $4,500 $12,000 3 $5,500 206 CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente Ninguno de los modelos tendrá un valor de rescate al momento de deshacerse de ellos (al final de sus respectivas vidas de servicio). Se sabe que la TREMA de la compañía es del 15%. a) Note que ambos modelos tienen vidas de servicio distintas. Sin embargo, el modelo A estará disponible en el futuro, con los mismos flujos de efectivo. El modelo B está disponible ahora solamente. Si usted elige el modelo B ahora, tendrá que reemplazarlo por el modelo A al final del año 2. Si su compañía utiliza el valor presente como un criterio de decisión, ¿cuál modelo debe elegirse, suponiendo que su compañía necesitará uno de los dos modelos por un periodo indefinido? b) Suponga que su compañía necesitará cualquiera de los dos modelos por dos años solamente. Determine el valor de rescate del modelo A al término del año 2 que hace que ambos modelos sean indistintos (es decir, igualmente probables). 5.45 Una compañía eléctrica está haciendo propuestas de licitación para la compra, instalación y operación de torres de microondas: Costo del equipo Costo de la instalación Cuota anual por mantenimiento e inspección Impuestos sobre la renta anuales adicionales Vida Valor de rescate Costo por torre Oferta A Oferta B $65,000 $58,000 $15,000 $20,000 $1,000 $1,250 $500 40 años 35 años $0 $0 ¿Cuál es la oferta más económica, si la tasa de interés es del 11%? Ninguna de las torres tendrá valor de rescate después de 20 años de uso. 5.46 Se está construyendo un centro comercial de dos niveles. Se planea instalar solamente nueve escaleras eléctricas en un principio, aunque el diseño final contempla 16. La pregunta que surge es si se deben proveer las condiciones necesarias que permitan la instalación de las escaleras eléctricas adicionales (es decir, soportes para las escaleras, conductos de cableado y cimientos para el motor) al costo que implican su compra e instalación ahora, o aplazar la inversión en estas instalaciones hasta que sea necesario colocar las escaleras. Las dos opciones están detalladas de la siguiente manera: Opción 1: Hacer ahora la instalación necesaria para las siete futuras escaleras por $200,000. 쐽 Opción 2: Aplazar la inversión tanto como sea posible. Se planea instalar otras dos escaleras en dos años, tres más en cinco años y las últimas dos en ocho años. La instalación al momento que se requieren está calculada en $100,000 en el año 2, $160,000 en el año 5, y $140,000 en el año 8. Los gastos anuales adicionales se calculan en $3,000 para cada escalera eléctrica instalada. A una tasa de interés del 12%, compare el valor presente neto de cada opción durante ocho años. 쐽 Breves estudios de caso con Excel 5.47 Una empresa de servicio eléctrico está experimentando una notable demanda de energía, que continúa creciendo a un ritmo elevado en cierta área local. Se están considerando dos alternativas para tratar esta situación. Cada alternativa está diseñada para proveer suficiente capacidad durante los próximos 25 años. Ambas alternativas consumirán las mismas cantidades de combustible, por lo que el costo Problemas 207 de este último no está considerado en el análisis. Las alternativas se detallan de la siguiente manera: 쐽 쐽 Alternativa A: Aumentar la capacidad generadora ahora para satisfacer la demanda final; los gastos adicionales serán posteriores. Se requeriría una inversión inicial de $30 millones y se estima que estas instalaciones estarán en servicio durante 25 años y que tendrán un valor de rescate de $0.85 millones. Los costos anuales por operación y mantenimiento (incluyendo los impuestos sobre la renta) serían de $0.4 millones. Alternativa B: Gastar $10 millones ahora y continuar este gasto con algunas sumas adicionales durante el décimo y el decimoquinto año. Estos gastos adicionales serían de $18 millones y $12 millones, respectivamente. El complejo se vendería en 25 años con un valor de rescate de $1.5 millones. Los costos anuales de operación y mantenimiento (incluyendo impuestos sobre la renta) inicialmente serán de $250,000, para llegar a $350,000 después del primer gasto adicional (del año 11 al 15) y a $450,000 durante los últimos 10 años. (Considere que estos costos comienzan un año después del gasto adicional.) Si la compañía utiliza el 15% como TREMA, ¿cuál alternativa debe elegirse con base en el criterio del valor presente? 5.48 Una refinería y complejo petroquímico planea fabricar sosa cáustica, que utilizará 10,000 galones de agua de alimentación por día. Se están considerando dos tipos de instalaciones para el almacenamiento del agua que tendrán 40 años de vida útil: 쐽 쐽 Opción 1: Construir un tanque de 20,000 galones sobre una torre. El costo de instalar el tanque y la torre está calculado en $164,000. Se estima que el valor de rescate será insignificante. Opción 2: Colocar un tanque de 20,000 galones de igual capacidad sobre una colina que se ubica a 150 yardas de la refinería. El costo por instalar el tanque en la colina, incluyendo la longitud adicional de las líneas de servicio, está calculado en $120,000, con un valor de rescate insignificante. Por su ubicación en una colina, se requiere una inversión adicional de $12,000 para equipo de bombeo, que se espera tenga una vida de servicio de 20 años, con un valor de rescate de $1,000 al término de ese tiempo. El costo anual de operación y mantenimiento (incluyendo cualquier efecto del impuesto sobre la renta) por la función de bombeo está calculado en $1,000. Si se sabe que la TREMA de la compañía es del 12%, ¿cuál opción es mejor de acuerdo con el criterio del valor presente? 5.49 La corporación Apex requiere un proceso de acabado químico para un producto bajo contrato durante un periodo de seis años. Hay tres opciones disponibles. Ni la opción 1 ni la opción 2 se pueden repetir después de su vida de proceso. Sin embargo, la opción 3 siempre estará disponible por parte de H&H Chemical Corporation al mismo costo durante el periodo del contrato. Los detalles de cada opción son los siguientes: Opción 1: El dispositivo de proceso A, que cuesta $100,000, tiene costos anuales de operación y mano de obra de $60,000 y tiene una vida de servicio útil de cuatro años, con un valor de rescate estimado de $10,000. 쐽 Opción 2: El dispositivo de proceso B, que cuesta $150,000, tiene costos anuales de operación y mano de obra de $50,000 y tiene una vida de servicio útil de seis años, con un valor de rescate estimado de $30,000. 쐽 Opción 3: Subcontratar el proceso por fuera a un costo de $100,000 por año. De acuerdo con el criterio del valor presente, ¿cuál opción recomendaría usted, si i ⫽ 12%? 쐽 CAPÍTULO SEIS Análisis del valor anual equivalente ¿Cuánto cuesta una hora de vuelo? La compañía K&M desea investigar la posibilidad de adquirir un jet de negocios para que sus ejecutivos realicen viajes nacionales. Actualmente la compañía utiliza una nave rentada para la mayoría de los viajes de sus ejecutivos, o bien, los envía por líneas comerciales en primera clase. K&M se propone considerar la compra de un avión Beechcraft® Baron Modelo G58. “El poderoso Baron G58 cuenta con un arreglo de asientos estilo club, puertas dobles en la parte posterior y un peso bruto de 5400 a 5500 libras (entre 2450 y 2500 kg); además, está equipado con un motor Continental IO-520 o IO-550 de 300 hp (224 kW). El Baron G58 puede volar a 200 nudos (370 km/h) a una altitud de 7,000 pies (2,100 m) y está equipado con tanques de combustible de 166 o 190 galones (628 o 719 litros)” con un alcance máximo de casi 1,600 millas terrestres.1 Fuente: Hawker Beechcraft, Baron G58, @ 2007 Hawker Beechcraft Corporation Fuente: “Beechcraft Baron”, de Wikipedia® la enciclopedia libre (http://en.wikipedia.org/wiki/ Beechcraft_Baron). Créditos de la fotografía: Baron G58, © 2007 Hawker Beechcraft Corporation (http://www.hawkerbeechcraft.com/beechcraft/aircraft/pistons/baronG58/). 1 208 Suponga que el archivo de la compañía revela que las horas de vuelo promedio registradas por los ejecutivos en el avión rentado sumaron 500 horas por año en los últimos tres años. El modelo 2006 del Baron G58 cuesta $1,222,035, y los costos de operación y mantenimiento se estiman en $336 por hora, con base en 500 horas de vuelo.2 Beechcraft® Baron Modelo G58 Precio real en octubre 2006 $1,222,035 Costos variables por hora de vuelo Combustible ($3.52 con el programa JetComplete /$3.92 sin contratar el programa) $137 Mantenimiento programado y no programado Refacción (incluido el embarque) $35 Mano de obra $41 Revisión de la hélice Costos variables totales por hora de vuelo $7 $220 Costos anuales fijos Seguro Datos electrónicos y gráficas de navegación Jeppesen Satélite XM WX Edición de clima para aviación Capacitación recurrente $29,530 $1,548 $600 $5,620 Servicio de llamadas AOG Servicio de apoyo durante el vuelo Sistemas automatizados en la nave: monitoreo Seguro de responsabilidad por la renta del motor (cobertura por $10 millones) $20,500 Boletines sobre el servicio de seguridad de vuelo Funcionalidad aumentada de la página Web del operador Costos fijos totales por año Costos fijos totales por hora (500 horas de vuelo) Costos totales de operación por hora Fuente: Gráfica de comparación económica, Eclipse Aviation (http://www.eclipseaviation. com/eclipse_500/comparisons) $57,798 $116 $336 2 209 210 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente El problema fundamental es ¿cuánto costará, por hora, poseer y operar el Beechcraft® Baron Modelo G58? Esta información será necesaria para que la compañía decida si vale la pena o no comprar un jet de negocios para cubrir las necesidades de viajes de sus ejecutivos, en vez de alquilar un jet de negocios siempre que los ejecutivos necesiten viajar. S uponga que usted está pensando en adquirir un automóvil nuevo. Si espera conducir 12,000 millas por año, ¿puede calcular el precio por milla del auto? Tendría una buena razón para querer conocer este costo si su empleador se lo reembolsara con base en el kilometraje del uso de su auto con fines de negocios. O considere una inmobiliaria que está planeando construir un centro comercial de 500,000 pies cuadrados. ¿Cuál sería la cuota anual mínima por alquiler por pie cuadrado requerida para recuperar la inversión inicial? El análisis del flujo de efectivo anual es el método mediante el cual éstas y otras unidades de costos pueden calcularse. El análisis del valor anual equivalente (VAE), junto con el análisis del valor presente (VP), es la segunda técnica de equivalencia más importante para la traducción de alternativas en un punto común de comparación. En este capítulo desarrollamos el criterio de equivalencia anual y demostramos una serie de situaciones en las que se prefiere el análisis de equivalencia anual a otros métodos de comparación. 6.1 Criterio del valor anual equivalente El criterio del valor anual equivalente (AE) nos da una base para medir el valor de la inversión al determinar pagos anuales iguales. Sabiendo que cualquier cantidad global de efectivo se puede convertir en una serie de pagos anuales iguales, podemos encontrar primero el valor presente neto de la serie original y después multiplicar esa cantidad por el factor de recuperación del capital. AE(i) ⫽ 1 ⫽ VP(i)(A/P, i, N). (6.1) Utilizamos esta fórmula para evaluar el valor de las inversiones de los proyectos de la siguiente forma: • Evaluación de un proyecto único: La regla de decisión de aceptar o rechazar un único proyecto de ganancias es la siguiente: Si AE(i)  0, aceptar la inversión. Si AE(i)
0, permanecer indiferente ante la inversión. Si AE(i)  0, rechazar la inversión. Note que el factor (A/P, i, N) en la ecuación (6.1) es positivo para-1<i<∞, lo que indica que el valor AE(i) será positivo si y sólo si VP(i) es positivo. En otras palabras, aceptar un proyecto con un valor AE(i) positivo equivale a aceptar un proyecto con un valor positivo de VP(i). Por lo tanto, el criterio AE sienta una base para la evaluación de un proyecto que es congruente con el criterio del VP. • Comparación de múltiples alternativas: Cuando usted compara proyectos de ganancias mutuamente excluyentes, usted selecciona el proyecto con el valor AE más grande. Si se están comparando proyectos de servicio mutuamente excluyentes con 6.1 Criterio del valor anual equivalente 211 rendimientos equivalentes, puede compararlos sobre una base de sólo el costo. En esta situación, se elige la alternativa con el menor costo anual equivalente (CAE) o el menor valor anual equivalente. EJEMPLO 6.1 Cómo encontrar el valor anual equivalente mediante conversión a partir del valor presente neto (VPN) Cierto hospital utiliza tres calentadores de carbón para proveer el vapor para la calefacción del lugar, así como para calentar el agua para los baños y la lavandería del hospital. Uno de los calentadores opera en momentos de cargas bajas y fines de semana, los otros dos operan durante la semana, y hay un cuarto calentador que normalmente está fuera de operación. La eficiencia de diseño con base en una carga constante es generalmente del 78%. Los calentadores en el hospital operan con una eficiencia comprendida entre el 70 y 73%, debido a la instrumentación y controles inadecuados. Los ingenieros han propuesto una mejora en los controles de los calentadores. La mejora consistiría en instalar un mecanismo de cambio de controles de rapidez para los ventiladores de los calentadores y utilizar los ventiladores junto con un equipo regulador de oxígeno para el control de la combustión. • El costo de llevar a cabo el proyecto es de $159,000. Los calentadores tienen una vida de servicio restante de 12 años. Ninguna mejora tendrá valor de rescate al término de 12 años. • Se espera que el consumo anual de electricidad en el cuarto de calderas se reduzca de 410,000 kWh a 180,000 kWh como resultado del control de la rapidez del ventilador del calentador (porque con el mecanismo de rapidez variable, los motores de los ventiladores utilizan sólo la energía realmente requerida para proveer de aire a los calentadores). Esto equivale a $14,000 por año. Se espera que este ahorro aumente a una tasa anual del 4%, ya que el costo de la electricidad aumenta con el tiempo. • El uso de carbón será un 2% menor en virtud de la mejora proyectada en la eficiencia de los calentadores. Esto corresponde a una reducción en el costo de $40,950 por año. Se proyecta que este ahorro aumente a medida que el precio del carbón se incremente a una tasa anual del 5%. Si el hospital utiliza una tasa anual del 10% para cualquier justificación del proyecto, ¿cuál sería el ahorro de energía anual equivalente como resultado de la mejora? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Cuando un flujo de efectivo no tiene un patrón en particular, es más sencillo encontrar el VAE en dos pasos: 1. Encontrar el VP del flujo y 2. encontrar el VAE del VP. Utilizamos este método en la solución del presente ejemplo. Tal vez quiera probar otro método con este tipo de flujo de efectivo para así descubrir qué tan tedioso resulta utilizar otro método. Dados: El diagrama de flujo de efectivo de la figura 6.1; i
10%. Determine: El VAE. 212 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente or op orr h A g
5% en horro $40,950 A g
4% $14,000 0 1 $70,038 n rbó e ca d so el u icidad electr $21,552 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A A A A A A A A A A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $159,000 0 Figura 6.1 Cálculo del valor anual equivalente; primero convierta cada una de las series con gradiente geométrico a su valor presente equivalente. Por último, determine el VPN del proyecto de mejora de los calentadores, y calcule el valor anual equivalente del ahorro de energía. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Encuentre el valor presente del flujo y después encuentre el VAE del valor presente. Como el ahorro de energía se encuentra en dos diferentes series con gradiente geométrico, calculamos el valor presente equivalente en los siguientes pasos: • Ahorro en electricidad: PAhorro en electricidad = $14,000(P/A 1 , 4%, 10%, 12) = $14,000 B 1-(1+0.04) 12(1+0.10)-12 0.10-0.04 = $114,301 R • Ahorro en el consumo de carbón: PAhorro en el consumo de carbón= $40,950(P/A 1 , 5%, 10%, 12) = $40,950 B = $350,356 1-(1+0.05) 12(1+0.10)-12 0.10-0.05 R 6.1 Criterio del valor anual equivalente 213 • Cálculo del valor presente neto: VP(10%)=$114,301+$350,356-$159,000 =$305,657 Como VP(10%)  0, el proyecto sería aceptable de acuerdo con el análisis del VP. Ahora, extendiendo el VPN a las vidas de los proyectos nos da AE(10%)=$305,657(A/P, 10%, 12) =$44,859. TABLA 6.1 Hoja de Excel para calcular el valor anual equivalente (ejemplo 6.1) Ejemplo 6.1 El proyecto del calentador Entradas TREMA (%) Del periodo Esquema Gradiente geométrico Al periodo Gradiente Cantidad inicial Reiniciar Periodo Salidas Valor presente neto Valor futuro neto Valor anual TIR Agregar Anular Flujo de efectivo Interés (%) Enviar Saldo de efectivo Calcular Reiniciar Gráfica TIR Diagrama de lujo de efectivo Gráfica de saldo de efectivo Celda Celda VPN PAGO Celda 214 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente Como VAE(10%)  0, el proyecto también merece ser considerado. El valor AE positivo indica que se espera que el proyecto traiga consigo un beneficio anual neto de $44,859 a lo largo de la vida del proyecto. COMENTARIOS: La tabla 6.1 de la página anterior ilustra cómo podríamos calcular el valor anual equivalente usando Excel. Para acelerar el proceso de entrada de flujos de efectivo, podemos registrar las dos series geométricas diferentes usando el comando de patrón que se creó. Para combinar dos series de flujos de efectivo, presione un botón selector (Agregar) para indicar que cualquier entrada secuencial de flujos de efectivo será aditiva. Luego, calculamos el valor presente neto primero al 10%, seguido del valor anual equivalente. Esto se muestra en la sección de salidas. 6.1.1 Beneficios del análisis AE El ejemplo 6.1 debe parecerle familiar. Es exactamente la situación que enfrentamos en el capítulo 2, cuando convertimos una serie de flujos de efectivo desiguales en un valor presente único y después en una serie de flujos de efectivo equivalentes. En el caso del ejemplo 6.1, se preguntará por qué nos molestamos siquiera en convertir el VPN a un VAE, si ya sabemos, por el análisis del VPN, que el proyecto es aceptable. De hecho, el ejemplo fue tan sólo un ejercicio para familiarizarlo con el cálculo del VAE. En el mundo real, pueden darse muchas situaciones en las que el análisis AE es preferible, o hasta obligado, en vez del análisis del VPN. Considere, por ejemplo, que las compañías emiten reportes y elaboran presupuestos cada año. En tales casos, una compañía puede encontrarse con que es más útil presentar el costo o beneficio anual de un proyecto en curso en vez de su costo o beneficio general. Algunas otras situaciones en las que se prefiere el análisis AE incluyen las siguientes: 1. Cuando se desea el análisis del costo del ciclo de vida útil. Un análisis del costo del ciclo de vida es útil cuando las alternativas del proyecto satisfacen los mismos requerimientos de desempeño, pero difieren con respecto a los costos iniciales y de operación. El análisis de costo del ciclo de vida permite que los analistas se aseguren que la elección de una alternativa de diseño no se basa solamente en los costos iniciales más bajos, sino que también toma en cuenta todos los costos futuros en la vida útil del proyecto. 2. Cuando es necesario determinar costos o ganancias unitarios. En muchas situaciones, los proyectos deben dividirse en costos (o ganancias) unitarios para que la comparación de alternativas sea más sencilla. Los análisis para decidir entre fabricar o comprar, así como los análisis de reembolso son ejemplos clave de tales situaciones y se discutirán en este capítulo. 3. Cuando las vidas de los proyectos son desiguales. Como vimos en el capítulo 5, comparar proyectos con vidas de servicio diferentes es complicado por la necesidad de determinar el periodo de vida común. Para la situación especial de un periodo de servicio indefinido y el reemplazo con proyectos idénticos, podemos evitar esta complicación si usamos el análisis AE. Esta situación también se analizará con mayor detalle en este capítulo. 6.1.2 Costos de capital (propiedad) contra costos de operación Cuando sólo los costos están implicados, el método del VAE suele llamarse método del costo anual equivalente. En este caso, los rendimientos deben cubrir dos tipos de costos: costos de operación y costos de capital. 6.1 Criterio del valor anual equivalente 215 • Los costos de operación se generan por la operación de plantas o equipo físico necesarios para proveer el servicio; los ejemplos incluyen los costos de artículos como mano de obra y materias primas. • Los costos de capital (o costos de propiedad) se generan por la compra de activos que se usarán en la producción y el servicio. Normalmente, los costos de capital no son recurrentes (es decir, se pagan una sola vez), mientras que los costos de operación se pagan durante todo el tiempo que se utiliza un activo. Como los costos de operación se extienden a lo largo de la vida de un proyecto, tienden a calcularse por año. Por esa razón, para fines de análisis del costo anual equivalente, no se requiere ningún cálculo especial, a menos que la cantidad anual continúe cambiando. En tal caso, necesitamos encontrar el valor presente equivalente de los costos de operación y extender el valor presente a la vida del activo cada año. Sin embargo, como los costos de capital tienden a ser costos que se pagan una sola vez, al efectuar un análisis de costo anual equivalente debemos traducir estos costos únicos en su anual equivalente a lo largo de la vida del proyecto. El valor anual equivalente de un costo de capital recibe un nombre especial: costo de recuperación de capital, denominado CR(i). (Véase la figura 6.2.) Dos transacciones monetarias generales están asociadas con la compra y el retiro definitivo de un activo de capital: el costo inicial del activo (I) y su valor de rescate (S, por la inicial de salvage value, que significa valor de rescate). Tomando en cuenta estas cantidades, calculamos el costo de recuperación de capital de la siguiente manera: CR(i)
I(A/P, i, N)-S(A/F, i, N). (6.2) Si recordamos las relaciones algebraicas entre factores que se muestran en la tabla 2.10 y notamos que el factor (A/F, i, N) se puede expresar como (A/F, i, N)
(A/P, i, N)-i, entonces podemos rescribir la expresión para CR(i) como CR(i)
I(A/P, i, N)-S[(A/P, i, N)-i] (6.3)
(I-S)(A/P, i, N)+iS. Podemos interpretar este resultado de la siguiente manera. Para obtener la máquina, uno pide prestado un total de I dólares, de los cuales S dólares se devuelven al final del año N. • Definición: El costo de poseer un equipo está asociado con dos cantidades: 1. el costo inicial del equipo (I) y 2. su valor de rescate (S). • Costos de capital: Tomando en cuenta estas dos cantidades, calculamos los costos de capital de la siguiente manera: CR(i)
I(A/P, i, N)  S(A/F, i, N) 0
(I  S)(A/P, i, N)  iS S 0 N I 0 1 2 3 N CR(i) Figura 6.2 Cálculo del costo de recuperación de capital (con rendimientos) 216 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente TABLA 6.2 ¿Su auto mantendrá su valor? Segmento Modelo Precio solicitado Precio después de tres años CR (6%) Auto compacto MINI Cooper $19,800 $12,078 $3,614 Auto mediano Volkswagen Passat $28,872 $15,013 $6,086 Auto deportivo Porsche 911 $87,500 $48,125 $17,618 Auto de semi-lujo BMW 3 Series $39,257 $20,806 $8,151 Auto de lujo Mercedes CLK $51,275 $30,765 $9,519 Minivan Honda Odyssey $26,876 $15,051 $5,327 Vehículo utilitario subcompacto Honda CR-V $20,540 $10,681 $4,329 Vehículo utilitario compacto Acura MDX $37,500 $21,375 $7,315 Vehículo utilitario grande Toyota Sequoia $37,842 $18,921 $8,214 Camión compacto Toyota Tacoma $21,200 $10,812 $4,535 Camión grande Toyota Tundra $25,653 $13,083 $5,488 Fuente: Karen Lundegaard, “Will Your Car Hold Its Value? A New Study Does the Math”, The Wall Street Journal, 6 de agosto de 2002, p. D1. El primer término (I-S)(A/P, i, N), implica que el saldo (I-S) será liquidado en pagos iguales a lo largo del periodo de N años a una tasa de i, y el segundo término implica que el interés simple en la cantidad iS se paga sobre S hasta que se liquide S. Muchos contratos de arrendamiento de vehículos están basados en este acuerdo, en tanto que la mayoría requiere el pago de una garantía de S dólares como rescate. La tabla 6.2 muestra el valor que se espera que algunos vehículos conocidos mantengan después de tres años de posesión. Por ejemplo, si usted adquiere un MINI Cooper por $19,800 y lo vende por $12,078 después de tres años, su costo anual por posesión (costo de capital) se calcularía de la siguiente manera, suponiendo una tasa de interés del 6% compuesto anual: CR(6%)
($19,800  $12,078)(A/P, 6%, 3)  (0.06) $12,078
$3,613.55. Los costos por la posesión del resto de los vehículos se resumen en la tabla 6.2. Como es evidente, el Porsche 911 es el vehículo más caro de poseer sobre una base anual. Desde el punto de vista de una industria, CR(i) es el costo anual de la compañía por poseer el activo. Con esta información, se puede determinar la cantidad de ahorro anual requerido para recuperar el capital, así como los costos de operación asociados con un proyecto. Considere el ejemplo 6.2. EJEMPLO 6.2 Valor anual equivalente: Costo de recuperación del capital La compañía Ferguson está considerando una inversión en equipo de diseño asistido por computadora. El equipo costará $110,000 y tendrá una vida económica útil de cinco años. Cuenta con un precio final de rescate o despojo de $10,000 (después de todos los ajustes de impuestos) y generará ahorros por concepto de operación después de impuestos de $33,000. ¿Debe comprarse a una tasa de interés del 15%? (Todos los beneficios y costos asociados con el equipo se explican con estas cifras.) 6.1 Criterio del valor anual equivalente 217 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: I
$110,000, S
$10,000, A
$33,000, N
5 años e i
15% anual. Determine: El VAE y determine si la compañía debe o no debe comprar el equipo. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcularemos los costos de capital de dos formas distintas: Método 1: Primero calcule el VPN de los flujos de efectivo: Método 1: Calcule primero el VPN y después el VAE. VP(15%)
-$110,000  $33,000(P/A, 15%, 5)  $10,000(P/F, 15%, 5)
-$110,000  $33,000(3.3522)  $10,000(0.4972)
$5,595 Ahora, calcule el VAE a partir del VPN calculado: AE(15%)
$5,595(A/P, 15%, 5)
$1,668. Este valor AE positivo indica que el equipo generará suficientes ingresos para recuperar la inversión original, por lo que podemos aceptar el proyecto. De hecho, habrá una ganancia equivalente de $1,668 por año durante la vida del equipo. Método 2: Separe los flujos de efectivo de los flujos de efectivo de operación. Método 2: El segundo método consiste en separar los flujos de efectivo asociados con la adquisición y la eliminación del activo de los flujos de efectivo normales de operación. Como los flujos de efectivo de operación —el ingreso anual de $33,000— ya están dados en flujos anuales equivalentes (AE(i)2), sólo necesitamos convertir los flujos de efectivo asociados con la adquisición y la eliminación del activo en flujos anuales equivalentes (AE(i)1). La ecuación (6.3) establece que CR(i)
(I-S)(A/P, i, N)+iS. En este caso, AE(i)1
-CR(i)
-[($110,000-$10,000)(A/P, 15%, 5)+(0.15)$10,000]
-31,332. Sabiendo que AE(i)2
$33,000, podemos calcular el VAE total de la siguiente manera: AE(15%)
AE(i)1  AE(i)2
-$31,332  $33,000
-$1,668. 218 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente $10,000 • Dados: I
$110,000, S
$10,000, N
5 años, i
15%. • Determine: Si los ingresos anuales de $33,000 son suficientes para cubrir los costos de capital. • Solución: CR(15%)
$31,332. • Conclusión: Obtenemos un ingreso anual adicional por $1,668. $10,000 0 1 2 3 $110,000 4 5  $33,000 0 1 2 3 4 5 Figura 6.3 Justificación de una inversión basada en el método AE COMENTARIOS: Obviamente, el método 2 ofrece información diferente acerca del proyecto. Podemos interpretar que el método 2 determina que los beneficios anuales de operación deben ser, por lo menos, de $31,332 para así recuperar la inversión en el activo. En nuestro ejemplo, los beneficios anuales de operación en realidad suman $33,000, excediendo $1,668 por año. Por lo tanto, vale la pena aceptar el proyecto. (Véase la figura 6.3.) 6.2 Aplicación del análisis de valor anual En general, la mayoría de los problemas de análisis de ingeniería económica se pueden resolver mediante los métodos de valor presente que se estudiaron en el capítulo 5. Sin embargo, algunos problemas de análisis económico pueden resolverse con mayor eficiencia mediante el análisis del valor anual. En esta sección presentamos varias de las aplicaciones que requieren técnicas de análisis del valor anual. 6.2.1 Cálculo de ganancias unitarias y costos unitarios En muchas situaciones, necesitamos conocer la ganancia unitaria (o el costo unitario) de operar un activo. Para obtener una ganancia unitaria (o costo unitario), podemos proceder como sigue: • Determine el número de unidades que se van a producir (o que requieren servicio) cada año a lo largo de la vida del activo. • Identifique la serie de flujos de efectivo asociados con la producción o el servicio durante la vida del activo. • Calcule el valor presente de la serie de flujos de efectivo del proyecto a una tasa de interés dada, y luego determine el valor anual equivalente. • Divida el valor anual equivalente entre el número de unidades que se van a producir o que requieren servicio cada año. Cuando el número de unidades varíe cada año, quizá necesite convertir las unidades a unidades anuales equivalentes. Para ilustrar el procedimiento, consideraremos el ejemplo 6.3, en el cual el concepto de equivalencia anual nos resulta útil para estimar el ahorro por hora-máquina para una propuesta de adquisición de maquinaria. 6.2 Aplicación del análisis de valor anual 219 EJEMPLO 6.3 Ganancia unitaria por hora-máquina cuando las horas de operación por año permanecen constantes La compañía Harrison experimenta accidentes industriales frecuentes que afectan a los trabajadores que desempeñan las actividades de soldadura por puntos. La compañía está estudiando la posibilidad de invertir en un robot específico. La inversión requerida costará a la empresa Harrison $1 millón, que debe pagarse por adelantado; el robot tiene una vida útil de cinco años y un valor de rescate de $100,000. El robot reducirá los costos de mano de obra, los costos del seguro para los trabajadores y el costo de uso de materiales; además, eliminará los accidentes que tengan que ver con los trabajadores en las operaciones de soldadura por puntos. La cifra del ahorro se traduce en un total de $800,000 al año. Los costos adicionales de operación y mantenimiento asociados con el robot suman $300,000 anuales. Suponga que este robot operará 2,000 horas al año. Calcule el ahorro equivalente por hora-máquina a i
15% compuesto anual. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: I
$1,000,000, S
$100,000, N
5 años, ahorro neto por año
$500,000, y habrá 2,000 horas-máquina por año. Determine: El ahorro equivalente por hora-máquina. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Primero calcule el ahorro anual equivalente, después calcule el ahorro equivalente por hora-máquina. Primero calculamos el ahorro anual equivalente derivado del uso del robot. VP(15%)
-$1,000,000+$500,000(P/A, 15%, 5)  $100,000(P/F, 15%, 5)
$725,795 AE(5%)
$725,795(A/P, 15%, 5)
$216,516 Si se utiliza el robot 2,000 horas al año, el ahorro equivalente por horamáquina se calcularía de la siguiente manera: Ahorro por hora-máquina
$216,516/2,000 horas
$108.26/hora. Véase la figura 6.4. COMENTARIOS: Advierta que no podemos simplemente dividir la cantidad VPN ($725,795) entre el número total de horas-máquina en el periodo de cinco años (10,000 horas), lo que daría un resultado de $72.58/hora. Esta cifra de $72.58/hora representa el ahorro inmediato en el valor presente para cada hora de uso del robot, pero no considera el tiempo en el que el ahorro ocurre. Una vez que tenemos el valor anual equivalente, podemos dividir entre la unidad de tiempo deseada si el periodo de capitalización es de un año. Si el periodo de capitalización es más corto, entonces el valor equivalente debe calcularse para el periodo de capitalización. 220 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente $100,000 $500,000 $500,000 $500,000 $500,000 $500,000 0 1 2 3 5 Años 4 VP(15%)
$725,795 AE(15%)
$216,516 Ahorro por hora
$108.26hr $1,000,000 2,000 hrs. 2,000 hrs. 2,000 hrs. 2,000 hrs. 2,000 hrs. Horas de operación por año Figura 6.4 Cálculo del ahorro equivalente por hora-máquina (ejemplo 6.3) EJEMPLO 6.4 Ganancia unitaria por hora-máquina cuando las horas de operación por año fluctúan Reconsidere el ejemplo 6.3, pero suponga que el robot operará de acuerdo con el siguiente esquema: 1,500 horas el primer año; 2,500 horas el segundo año; 2,500 horas el tercer año; 2,000 horas el cuarto año; y 1,500 horas el quinto año. El número total de horas de operación es, de cualquier forma, 10,000 en cinco años. Calcule el ahorro equivalente por hora-máquina a i
15% compuesto anual. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: AE(15%)
$216,516, N
5 años, i
15% compuesto anual, horas de operación distribuidas como se indica. Determine: Ahorro equivalente por hora-máquina. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el ahorro anual equivalente. Como se calculó en el ejemplo 6.3, el ahorro anual equivalente es de $216,516. Sea C el ahorro anual equivalente por hora-máquina que necesitamos determinar. Ahora, con usos variables de la máquina 6.2 Aplicación del análisis de valor anual 221 cada año, podemos establecer el ahorro anual equivalente como una función de C: Ahorro anual equivalente= = C[(1,500)(P/A, 15%, 5) +(1,000)(P/A, 15%, 2)(P/F, 15%, 1) +(500)(P/F, 15%, 4)](A/P, 15%, 5) = 2,070.17C Podemos igualar esta cantidad a $216,516 (del ejemplo 6.3) y despejar C. Esta operación nos da C
$216,516/ 2,070.17
$104.59/ hora, que es alrededor de $3.67 menos que en la situación del ejemplo 6.3. 6.2.2 Decisión de fabricar o comprar Los problemas de fabricar o comprar están entre las decisiones de negocios más comunes. En cualquier momento dado, una compañía puede tener la opción de comprar un artículo o producirlo. Si cualquiera de las alternativas, ya sea “fabricar” o “comprar”, requiere la adquisición de maquinaria o equipo además del artículo mismo, entonces el problema se convierte en una decisión de inversión. Como el costo de un servicio externo (la alternativa de “comprar”) normalmente se cotiza en términos de dólares por unidad, es más sencillo comparar las dos alternativas si los costos diferenciales de la alternativa “fabricar” también están dados en dólares por unidad. Esta comparación costo-unidad requiere utilizar el análisis de valor anual. El procedimiento específico es el siguiente: • Paso 1: Determine el periodo de tiempo (horizonte de planeación) para el cual se necesitará la parte (o producto). • Paso 2: Determine la cantidad anual de la parte (o producto). • Paso 3: Obtenga el costo unitario de la compra de la parte (o producto) a la compañía externa. • Paso 4: Determine el costo del equipo, el personal y todos los demás recursos requeridos para fabricar la parte (o producto). • Paso 5: Estime los flujos de efectivo neto asociados con la opción “fabricar” a lo largo del horizonte de planeación. • Paso 6: Calcule el costo anual equivalente de producir la parte (o producto). • Paso 7:Calcule el costo unitario de fabricar la parte (o producto) dividiendo el costo anual equivalente entre la cantidad anual requerida. • Paso 8: Elija la opción con el costo unitario más bajo. EJEMPLO 6.5 Costo unitario: Fabricar o comprar La compañía B&S fabrica varias líneas de lavadoras de presión. Una única parte, una leva axial, requiere herramientas especializadas que necesitan reemplazarse. La administración ha decidido que la única alternativa para reemplazar estas herramientas es adquirir la leva axial de una fuente externa. El uso promedio de B&S de la leva axial es de 120,000 unidades por año durante los próximos cinco años. 222 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente • Opción “comprar”: Un proveedor está dispuesto a proveer la leva axial a un precio unitario de venta de $35, si, por lo menos, se ordenan 100,000 unidades anualmente. • Opción “fabricar”: Si se compran las herramientas especializadas, costarán $2,200,000 y tendrán un valor de rescate de $120,000 después de su vida económica esperada de cinco años. Con estas nuevas herramientas, se reducirán los gastos directos de mano de obra y los gastos indirectos de fabricación, lo que daría como resultado el siguiente costo de producción unitario: Material directo $8.50 Mano de obra directa $5.50 Gastos variables indirectos de fabricación $4.80 Gastos fijos indirectos de fabricación $7.50 Costo unitario total $26.30 Suponiendo que la tasa de interés de la compañía es del 12%, calcule el costo unitario en cada opción y determine si la compañía debe reemplazar las antiguas herramientas o comprar la leva axial de una fuente externa. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Flujos de efectivo para ambas opciones, como se muestra en la figura 6.5; i
12%. Determine: El costo unitario para cada opción y la opción preferible. Opción “comprar” 0 1 2 3 4 5 $4,200,000 $4,200,000 $4,200,000 $4,200,000 $4,200,000 Opción “fabricar” 0 Años $120,000 1 2 3 4 $3,156,000 $3,156,000 $3,156,000 $3,156,000 5 Años $3,156,000 $2,200,000 Figura 6.5 Flujos de efectivo asociados con las opciones fabricar o comprar en relación con las levas axiales 6.2 Aplicación del análisis de valor anual 223 SOLUCIÓN El volumen de producción anual requerido es de 120,000 unidades. Ahora necesitamos calcular el costo anual equivalente con cada opción. • Opción “comprar”: Como ya sabemos cuánto costaría comprar la leva axial, podemos fácilmente encontrar el costo anual equivalente: CAE(12%)comprar
($35/unidad)  (120,000 unidades/año)
$4,200,000/año • Opción “fabricar”: Los dos componentes del costo son el costo de capital y el costo de operación. Calculamos el costo anual equivalente para cada uno de la siguiente manera: Costo de capital: El costo de recuperación de capital es CR(12%)
($2,200,000-$120,000)(A/P, 12%, 5)  (0.12)($120,000)
$591,412. Costo de producción: El costo de producción anual es CO(12%)Fabricación
($26.30/unidad)  (120,000 unidades/año)
$3,156,000/año. Costo anual equivalente total: Por lo tanto, el costo anual equivalente total es CAE(12%)Fabricar
$591,412  $3,156,000
$3,747,412. Obviamente, este cálculo de equivalencia anual indica que sería mejor para B&S fabricar la leva axial en vez de comprarla a un vendedor externo. Sin embargo, B&S desea conocer el costo unitario para así establecer un precio para el producto. Para ello, necesitamos calcular el costo unitario de producir la leva axial en cada opción. Hacemos este cálculo dividiendo la magnitud del costo anual equivalente para cada opción entre la cantidad anual requerida: • Opción “comprar”: Costo unitario
$35.00/unidad. • Opción “fabricar”: Costo unitario
$3,747,412/120,000
$31.23/unidad. Fabricar la leva axial internamente reemplazando las herramientas ahorrará a B&S $3.77 por unidad antes de cualquier consideración de impuestos. 224 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente COMENTARIOS: También deben considerarse dos importantes factores no económicos. El primero es la cuestión de si la calidad del componente del proveedor es mejor, peor o igual que la calidad del componente que la compañía está fabricando actualmente. El segundo es la confiabilidad de que el proveedor surta las cantidades necesarias de levas axiales de manera oportuna. Una reducción en la calidad o en la confiabilidad casi siempre debe determinar un cambio en la decisión entre fabricar y comprar. 6.3 Comparación de proyectos mutuamente excluyentes En esta sección consideraremos una situación en la que se necesita comparar dos o más alternativas mutuamente excluyentes con base en el valor anual equivalente. En la sección 5.4 discutimos el principio general que debe aplicarse cuando se comparan alternativas mutuamente excluyentes con vidas de servicio desiguales. El mismo principio general debe aplicarse cuando se comparan alternativas mutuamente excluyentes con base en el valor anual equivalente, es decir, se deben comparar las alternativas mutuamente excluyentes en periodos iguales. Por ello, debemos estudiar detenidamente el tiempo considerado en el proceso de análisis, llamado periodo de análisis. Consideraremos dos situaciones: 1. el periodo de análisis es igual a las vidas de los proyectos y 2. el periodo de análisis difiere de las vidas de los proyectos. 6.3.1 El periodo de análisis es igual a las vidas de los proyectos Comencemos nuestra comparación con una situación simple en la que la duración de las vidas de los proyectos iguala la duración del periodo de análisis. En esta situación calculamos el valor AE para cada proyecto y seleccionamos el proyecto con el valor AE menos negativo (para los proyectos de servicio) o el valor AE más grande (para los proyectos de ganancias). En muchas situaciones necesitamos comparar alternativas de diseño diferente, cada una de las cuales produciría el mismo número de unidades (ingresos constantes), pero requeriría cantidades diferentes de inversión y de costos de operación (en virtud de los diferentes grados de mecanización). Esto se conoce comúnmente como análisis de costo del ciclo de vida. El ejemplo 6.6 ilustra el uso del concepto de costo anual equivalente para comparar el costo de operar un motor eléctrico convencional contra el de operar un motor de eficiencia superior de un molino de procesamiento. EJEMPLO 6.6 Análisis de costo del ciclo de vida: Cómo los motores de eficiencia superior pueden reducir sus costos de electricidad La corporación Birmingham Steel está considerando reemplazar 20 motores convencionales de inducción de 25 HP, 230 V, 60 Hz y 1800 rpm en su planta con motores modernos de eficiencia superior (PE). Ambos tipos de motor cuentan con una potencia de salida de 18.650 kW por motor (25 HP*0.746 kW/HP). Los motores convencionales tienen una eficiencia del 89.5%, en tanto que los motores PE ofrecen una eficiencia del 93%. El costo inicial de los motores convencionales es de $13,000, mientras que el costo inicial de los motores PE propuestos es de 6.3 Comparación de proyectos mutuamente excluyentes 225 $15,600. Los motores operan 12 horas al día, 5 días a la semana, 52 semanas al año, con un costo de electricidad en la localidad de $0.07 por kilowatt-hora (kWh). El ciclo de vida de ambos motores, el convencional y el PE, es de 20 años, y no tienen un valor de rescate significativo. a) A una tasa de interés del 13% compuesto anual, ¿cuál es el monto del ahorro por kWh como resultado de cambiar los motores convencionales por motores PE? b) ¿A las cuántas horas de operación son igualmente económicos los dos tipos de motores? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Siempre que comparamos máquinas con diferentes tasas de eficiencia, necesitamos determinar las potencias de alimentación requeridas para operar las máquinas. Como el porcentaje de eficiencia es igual a la razón entre la potencia de salida y la potencia de alimentación, podemos determinar la potencia de alimentación dividiendo la potencia de salida entre el porcentaje de eficiencia del motor: Dados: Los tipos de motores
(estándar, PE), I
($13,000, $15,600), S
(0, 0), N
(20 años, 20 años), potencia de salida nominal
(18.65 kW, 18.65 kW), tasa de eficiencia
(89.5%, 93%), i
13%, tarifa de electricidad
$0.07 kWh, horas de operación
3,120 horas por año, y número de motores requeridos
20. Determine: a) La cantidad ahorrada por kWh operando el motor PE y b) el punto de equilibrio del número de horas de operación para el motor PE. Potencia de alimentación
potencia de salida porcentaje de eficiencia Por ejemplo, un motor de 30 HP con una eficiencia del 90% requerirá una potencia de alimentación calculada de la siguiente manera: Potencia de alimentación
(30 HP  0.746 kW/HP) 0.90
24.87 kW. Alternativas mutuamente excluyentes con vidas de proyectos iguales Motor estándar Tamaño Motor de eficiencia superior 18.65 kW 18.65 kW Costo $13,000 $15,600 Vida 20 años 20 años $0 $0 89.5% 93% $0.07/kWh $0.07/kWh 3,120 hrs/año 3,120 hrs/año Valor de rescate Eficiencia Costo de energía Horas de operación Una vez que determinamos el requerimiento de potencia de alimentación y el número de horas de operación, podemos convertir esta información en el costo de energía equivalente (costo de potencia). Aunque la compañía necesita 20 motores, podemos comparar los dos tipos de motores basándonos en una sola unidad. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Primero, calcule el costo de operación por kWh por unidad y luego determine el punto de equilibrio del número de horas de operación en el caso de los motores PE. a) Ejecute los siguientes pasos para determinar el costo de operación por kWh por unidad: • Determine la potencia total de alimentación para ambos tipos de motores. 226 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente Motor convencional: Potencia de alimentación
18.650 kW 0.895
20.838 kW. Motor PE: Potencia de alimentación
18.650 kW 0.93
20.054 kW. Advierta que cada motor PE requiere 0.784 kW menos de potencia de alimentación (o 15.68 kW para 20 motores), lo que da por resultado un ahorro de energía. • Determine el total de kWh por año para cada tipo de motor, suponiendo un total de 3,120 horas por año en la operación del motor. Motor convencional: 3,120 hrs/año  20.838 kW
65,015 kWh/año. Motor PE: 3,120 hrs/año  20.054 kW
62,568 kWh/año. • Determine los costos anuales de energía para ambos tipos de motor. Como la tarifa de energía eléctrica es $0.07/kWh, el costo anual de energía para cada tipo de motor se calcula de la siguiente manera: Motor convencional: $0.07/kWh*65,015 kW/año
$4,551/año. Motor PE: $0.07/kWh*62,568 kWh/año
$4,380/año. • Determine los costos de capital para ambos tipos de motores. Recuerde que dimos por hecho que la vida útil de ambos tipos de motor es de 20 años. Para determinar el costo de capital anualizado al 13% de interés, usamos el factor de recuperación de capital. Motor convencional: ($13,000)(A/P, 13%, 20)
$1,851. Motor PE: ($15,600)(A/P, 13%, 20)
$2,221. • Determine el costo anual equivalente, que es igual al costo de capital más el costo anual de energía. Después, calcule el costo unitario por kWh con base en la potencia de salida. Advierta que la potencia total de salida es de 58,188 kWh por año (25 HP*0.746 kW/HP*3,120 horas/año). Ejecutamos estos pasos de la siguiente manera: Motor convencional: Calculamos que CAE(13%)
$4,551+$1,851
$6,402. 6.3 Comparación de proyectos mutuamente excluyentes 227 Por lo tanto, Costo por kWh
$6,402/58,188 kWh
11.00 centavos/kWh. Motor PE: Calculamos que CAE(13%)
$4,380  $2,221
$6,601.1 Por consiguiente, Costo por kWh
$6,601/58,188 kWh
11.34 centavos/kWh. Como es evidente, los motores convencionales son más baratos de operar si se espera que los motores operen solamente 3,120 horas por año. • Determine el ahorro (o pérdida) por hora de operación obtenido al cambiar de un motor convencional a un motor PE. Costo de capital adicional requerido por el cambio de un motor convencional a un motor PE: Costo incremental de capital
$2,221-$1,851
$370. Ahorro adicional del costo de energía por el cambio de un motor convencional a un motor PE: Ahorro incremental de energía
$4,551-$4,380
$171. Considerando 3,120 horas de operación anuales, a la compañía le costará $370 más cambiar a los motores PE, pero el ahorro de energía es de sólo $171, lo que da como resultado una pérdida de $199 a partir de cada motor. En otras palabras, por cada hora de operación, la compañía pierde aproximadamente 6.38 centavos. b) Determine el punto de equilibrio del número de horas de operación para los motores PE: • ¿El resultado encontrado en el inciso a) cambiaría si el mismo motor operara 5,000 horas al año? Si un motor debe operar todo el tiempo, el ahorro en kWh daría por resultado un ahorro anual sustancial en las cuentas del servicio de energía eléctrica, las cuales constituyen un costo de operación. Al calcular el costo anual equivalente variando el número de horas de operación, obtenemos la situación mostrada en la tabla 6.3. Observe que si Birmingham Steel Corporation utilizara los motores PE más de 6,742 horas anualmente, estaría justificado el reemplazo de motores convencionales por motores PE. 228 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente TABLA 6.3 Punto de equilibrio del número de horas de operación, calculado usando Excel Ejemplo 6.6 Cómo los motores de eficiencia superior pueden reducir sus costos de electricidad Motor de eficiencia Motor superior convencional Motor Horas de eficiencia Motor de operación convencional superior Potencia de salida (hp) Horas de operación por año Eficiencia (%) Costo inicial ($) Valor de rescate ($) Vida de servicio (años) Tarifa de electricidad ($/kWh) Tasa de interés (%) Costo de capital ($/año) Costo de energía ($/año) Costo anual equiv. total Costo por kWh Motor convencional Motor PE Celda Celda Celda Celda Celda Celda PAGO PAGO Celda Celda Celda Celda PAGO PAGO 6.3.2 El periodo de análisis difiere de la vida de los proyectos En la sección 5.4 aprendimos que, en el análisis del valor presente, debemos tener un periodo de análisis común a la hora de comparar alternativas mutuamente excluyentes. Uno de los enfoques es el enfoque de la cadena de reemplazo (o el mínimo común múltiplo), el cual supone que cada proyecto puede repetirse tantas veces como sea necesario 6.3 Comparación de proyectos mutuamente excluyentes 229 para alcanzar un periodo de vida común; luego se comparan los VPN a lo largo de este periodo de vida, y se elige el proyecto con el VPN más grande sobre la vida común. El análisis de valor anual también requiere establecer periodos de análisis comunes, pero el análisis AE ofrece algunas ventajas sobre el análisis del valor presente en términos de cálculo, siempre que se cumplan los siguientes criterios: 1. Continuamente se requiere el servicio de la alternativa seleccionada. 2. Se reemplazará cada alternativa por un activo idéntico que tenga los mismos costos y desempeño. Cuando estos dos criterios se satisfacen, podemos determinar el VAE de cada proyecto con base en su periodo de vida inicial y no con base en las corrientes infinitas de flujos de efectivo de proyecto. EJEMPLO 6.7 Comparación del costo anual equivalente para vidas de proyectos desiguales Usted opera un pequeño taller donde necesita reemplazar una lijadora. Se proponen dos modelos diferentes: • El modelo A es semiautomatizado, requiere una inversión inicial de $150,000 y tiene un costo de operación anual de $55,000 durante tres años; al cabo de este tiempo tendrá que reemplazarse. El valor de rescate esperado de la máquina es de sólo $15,000. • El modelo B es una máquina automatizada con una vida de 5 años y requiere una inversión inicial de $230,000, con un valor de rescate estimado en $35,000. El costo anual esperado de operación y mantenimiento de la máquina B es de $30,000. Suponga que se espera que el modo de operación actual continúe por un tiempo indefinido. Además, usted piensa que estos dos modelos estarán disponibles en el futuro, sin cambios significativos en el precio o en los costos de operación. A una TREMA
15%, ¿qué modelo debería elegir? Aplique el enfoque de equivalencia anual para elegir la máquina más económica. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Se puede suponer un periodo infinito de servicio requerido, si anticipamos que un proyecto de inversión estará en curso casi al mismo nivel de producción por algún periodo indefinido. Desde luego, esta hipótesis es posible desde el punto de vista matemático, aunque el análisis probablemente sea complicado y tedioso. Por ello, en el caso de un proyecto de inversión que esté indefinidamente en curso, por lo regular elegimos un periodo de análisis finito usando el mínimo común múltiplo de las vidas de los proyectos (12 años). Con- Dados: Los flujos de efectivo para el modelo A y el modelo B, capitalizados anualmente. Determine: El costo AE, y qué modelo es la alternativa preferible. 230 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente sideraríamos la alternativa A a través de cinco ciclos de vida y la alternativa B a través de tres ciclos de vida; en cada caso, usaríamos las alternativas hasta el final. En esas condiciones, aceptamos los resultados del modelo finito como una buena predicción del curso de acción más adecuado económicamente para el futuro previsible. Este ejemplo es un caso en el que convenientemente usamos el mínimo común múltiplo de las vidas de proyectos como nuestro periodo de análisis. (Véase la figura 6.6.) Modelo A n Modelo B 0 $150,000 $230,000 1 $55,000 $30,000 2 $55,000 $30,000 3  $15,000$55,000 $30,000 4 $30,000 5 +35,000$30,000 $15,000 0 1 2 $55,000 3 $15,000 0 $150,000 1 2 3 $15,000 $55,000 0 $150,000 1 2 3 $15,000 $55,000 0 Modelo A 1 $150,000 2 3 $15,000 $55,000 0 1 2 $150,000 $55,000 $35,000 0 1 2 3 4 3 $150,000 5 $35,000 $30,000 0 1 2 3 4 5 $35,000 $30,000 $230,000 0 $230,000 1 2 3 4 $30,000 Modelo B $230,000 Figura 6.6 Comparación de proyectos con vidas desiguales, con base en el enfoque de la cadena de reemplazo; periodo de servicio mínimo común múltiplo de 15 años 5 6.3 Comparación de proyectos mutuamente excluyentes 231 METODOLOGÍA SOLUCIÓN Nuestro objetivo es determinar el costo AE de cada modelo durante un periodo de mínimo común múltiplo de 15 años. Al hacerlo, calcularemos el costo del VP del primer ciclo, y después lo convertiremos en su costo AE. Hacemos lo mismo para el ciclo entero. Modelo A: • Para un periodo de tres años (primer ciclo): VP (15%)primer ciclo =- $150,000-$55,000(P/A, 15%, 3) +$15,000(P/F, 15%, 3) =-$265,715 CAE(15%)primer ciclo= $265,715(A/P, 15%, 3) = $116,377. • Para un periodo de 15 años (cinco ciclos de reemplazo): VP (15%)periodo de 15 años=- $265,715[1+(P/F, 15%, 3) +(P/F, 15%, 6)+(P/F, 15%, 9)+(P/F, 15%, 12)] =-$680,499 CAE(15%)periodo de 15 años=$680,499(A/P, 15%, 15) =$116,377. Modelo B: • Para un periodo de cinco años (primer ciclo): VP (15%)primer ciclo =-$230,000-$30,000(P/A, 15%, 5) +$35,000 (P/F, 15%, 5) =-$313,163 CAE(15%)primer ciclo= $313,163(A/P, 15%, 5) = $93,422. • Para un periodo de 15 años (tres ciclos de reemplazo): VP (15%)periodo de 15 años =-$313,163[1 +(P/F, 15%, 5) +(P/F, 15%, 10)] =-$546,270 CAE(15%)periodo de 15 años = $546,270(A/P, 15%, 15) = $93,422. Podemos ver que el costo AE del modelo A es mucho mayor ($116,377>$93,422); por consiguiente, elegimos el modelo B, a pesar de que su costo inicial es más alto. COMENTARIOS: Note que los costos AE que se calcularon con base en el periodo mínimo común múltiplo son los mismos que aquellos que se obtuvieron en los periodos de vida iniciales. Así, para las alternativas con vidas desiguales, comparar el costo AE de cada proyecto durante su primer ciclo es suficiente para determinar la mejor alternativa. 232 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente RESUMEN 쐽 El análisis del valor anual equivalente (VAE) y el análisis del valor presente (VP) son las dos principales técnicas de análisis determinadas por el concepto de equivalencia. La ecuación para el análisis AE es AE(i)
VP(i)(A/P, i, N). El análisis AE produce el mismo resultado de decisión que el análisis del VP. 쐽 El factor de recuperación de capital, o CR(i), es una de las aplicaciones más importantes del análisis AE porque permite a los administradores calcular un costo de capital anual equivalente, para aligerar el proceso con los costos de operación anuales. La ecuación para CR(i) es CR(i)
(I-S)(A/P, i, N)  iS, donde I
costo inicial y S
valor de rescate. 쐽 El análisis AE se recomienda más que el análisis del VP en muchas situaciones clave del mundo real por las siguientes razones: 1. En muchos reportes financieros, se prefiere un valor de equivalencia anual en vez de un valor presente, por su facilidad de uso y su pertinencia para los resultados anuales. 2. A menudo se requiere el cálculo de los costos unitarios para hacer una determinación razonable de los precios de los artículos en venta. 3. En ocasiones se requiere el cálculo del costo por unidad para reembolsar a los empleados el uso de sus autos personales con fines de negocios. 4. Las decisiones de fabricar o comprar normalmente requieren el establecimiento de costos unitarios para que los costos de “fabricar” puedan compararse con los precios de “comprar”. 5. Las comparaciones de opciones con vidas de proyectos desiguales se facilitan mediante el método AE, suponiendo que los reemplazos futuros del proyecto tengan los mismos costos iniciales y de operación. Sin embargo, este método no es práctico en general, ya que los proyectos de reemplazos futuros normalmente tienen flujos de costos diferentes. Se recomienda considerar diversas opciones de reemplazos futuros calculando los flujos de efectivo asociados con cada uno de ellos. PROBLEMAS Nota 1: A menos que se indique lo contrario, todos los flujos de efectivo dados en los problemas representan flujos de efectivo después de impuestos en dólares circulantes. La TREMA también representa una tasa de interés del mercado que considera cualquier efecto inflacionario en los flujos de efectivo. Nota 2: A menos que se indique lo contrario, todas las tasas de interés presentadas en este conjunto de problemas suponen una capitalización anual. 6.1 Cierta compañía de diseño de ingeniería necesita pedir un préstamo por $200,000 a un banco local a una tasa de interés del 9% durante cinco años. ¿Cuál es el pago anual igual requerido para liquidar el préstamo en cinco años? 6.2 Usted está considerando una inversión con valor de $100,000. Si desea recuperar la inversión inicial y también ganar el 10% de interés mientras su dinero está ocupado en la inversión durante tres años, ¿cuál es el ingreso neto anual igual que debe generarse a partir de la inversión? Problemas 233 6.3 Considere los siguientes flujos de efectivo y calcule el valor anual equivalente a i
12%: An Inversión n 0 1 2 3 4 5 6 6.4 Ingreso $25,000 $10,000 $14,000 $13,000 $13,000 $13,000 $8,000 $5,500 La inversión mostrada en la figura tiene un valor anual equivalente de $200 a i
8%. Determine los flujos de efectivo en los periodos 2, 3, 5 y 6. X X $400 X X 5 6 $400 0 1 2 3 Años 4 $2,145 6.5 Considere los siguientes grupos de proyectos de inversión: Flujos de efectivo de los proyectos A n 6.6 C B D 0 $3,000 $5,000 $4,000 $32,000 1 $600 $3,000 $2,000 $12,000 2 $600 $2,000 $4,000 $14,000 3 $1,000 $1,000 $2,000 $18,000 4 $1,000 $500 $4,000 $18,000 5 $1,000 $500 $2,000 $14,000 Calcule el valor anual equivalente de cada proyecto a i
10% y determine la aceptabilidad de cada proyecto. ¿Cuál es el valor anual equivalente para la serie infinita que se representa a continuación, a i
15%? $2,000 $1,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Años 9 10 11 12 13 234 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente 6.7 Calcule el valor anual equivalente para la siguiente serie de flujos de efectivo a i
9%: $1,600 $1,600 $800 $800 $800 4 5 0 2 1 3 $500 $1,000 Considere los siguientes conjuntos de proyectos de inversión: Periodo Flujos de efectivo de los proyectos A (n) 6.9 B C D 0 $4,000 $3,500 $5,000 $4,500 1 $0 $1,500 $3,000 $1,800 2 $0 $1,800 $2,000 $1,800 3 $5,500 $2,100 $1,000 $1,800 Calcule el valor anual equivalente de cada proyecto a i
13% y determine la aceptabilidad de cada proyecto. Considere un proyecto de inversión con el siguiente esquema de repetición de flujos de efectivo cada cuatro años por siempre: $100 $100 0 1 2 $100 $100 $60 $60 3 4 5 6 Años $60 $60 7 8 8 6.8 ¿Cuál es el valor anual equivalente de este proyecto a una tasa de interés del 14%? 6.10 El propietario de un negocio está considerando invertir $55,000 en equipo nuevo. Él estima que los flujos de efectivo neto serán $5,000 durante el primer año y aumentarán en $2,500 cada año a partir de entonces. Se espera que el equipo tenga una vida de servicio de 10 años y un valor de rescate neto al final de este tiempo de $6,000. La tasa de interés de la compañía es del 12%. a) Determine el costo de capital anual (costo de propiedad) por el equipo. b) Determine el ahorro anual equivalente (ingresos). c) Determine si esta inversión es recomendable. Problemas 235 6.11 Una línea aérea está planeando equipar algunas de sus naves Boeing 747 con servicio de correo electrónico e Internet a bordo en vuelos transoceánicos. Los pasajeros en estos vuelos podrán enviar y recibir correo electrónico sin importar en qué parte del cielo se encuentren. Como el correo electrónico se ha convertido en un producto básico de las comunicaciones, las líneas aéreas han estado bajo una creciente presión de ofrecer este servicio. Pero la implementación ha sido lenta, porque las compañías aéreas están inseguras de invertir en sistemas que podrían volverse obsoletos rápidamente. Con la idea de brindar un valor agregado a sus pasajeros, la línea aérea decidió ofrecer el servicio mediante módem telefónicos en 10 naves Boeing 747 a partir de 2007. Cuando Boeing revele que cuenta con un sistema de banda ancha de correo electrónico e Internet durante 2007, Singapore Airlines mejorará los sistemas en sus aviones como corresponde. Si el proyecto resulta ser un éxito financiero, Singapore Airlines ofrecerá el servicio en las otras 56 naves Boeing 747 de su flotilla. El servicio será gratuito durante el primer año. Después del periodo promocional, se cobrará un cargo nominal de alrededor de $10 por cada mensaje de correo electrónico enviado o recibido. Singapore Airlines ha estimado los flujos de efectivo proyectados (en millones de dólares) para los sistemas en las primeras 10 aeronaves de la siguiente manera: Año An (unidad: millones de dólares) 2007 $12.0 2008 $3.5 2009 $5.0 2010 $9.0 2011 $12.0 2012 $10.0 2013 $8.0 Determine si este proyecto puede justificarse a una TREMA
15% y calcule el beneficio (o pérdida) anual que se generaría después de la instalación de los sistemas. Costo de recuperación de capital (propiedad) 6.12 Se compró una máquina para taladrar en $220,000. Se espera que dure 10 años, con un valor de rescate de $20,000. Si la tasa de interés de la compañía es del 20%, ¿cuál sería el costo de capital por cada uno de los 10 años que la empresa poseerá la máquina? 6.13 Usted adquirió una máquina CNC por $34,000. Se espera que ésta tenga una vida útil de 10 años y un valor de rescate de $3,000. A i
15%, ¿cuál es el costo de capital anual de esta máquina? 6.14 Susana quiere comprar un auto nuevo que conservará durante los siguientes cuatro años. Puede comprar un Saturn ION Sedan en $18,500 y luego venderlo por $9,000 después de cuatro años. Si ella compra este auto, ¿cuál sería su costo de recuperación? Suponga que la tasa de interés es del 6%. 6.15 Nelson Electronics, Inc., acaba de comprar una máquina soldadora para utilizarla en su estación de montaje de unidades de discos flexibles. Esta máquina soldadora cuesta $235,000. En virtud de la función especializada que desempeña, se espera que su vida útil sea de cinco años. Se estima que, al término de ese tiempo, su valor de rescate será de $47,000. ¿Cuál es el costo de capital para esta inversión si la tasa de interés de la compañía es del 18%? 236 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente 6.16 Un fabricante de autopartes está considerando establecer un centro de cómputo de ingeniería. Este centro estará equipado con tres estaciones de trabajo de ingeniería, cada una de las cuales costaría $25,000 y tendría una vida de servicio de cinco años. El valor de rescate esperado de cada estación de trabajo es de $2,000. El costo de operación y mantenimiento sería de $15,000 por cada estación de trabajo. Si la TREMA es del 15%, determine el costo anual equivalente de operación del centro de ingeniería. 6.17 Desde el próximo año, una fundación financiará la realización de un seminario anual usando los intereses de un obsequio de $100,000 que recibió este año. Se determina que se ganará el 8% de interés por los primeros 10 años, pero debe hacerse una planeación para anticipar una tasa de interés de sólo el 6% después de ese tiempo. ¿Qué cantidad debe añadirse a la fundación ahora para así financiar el seminario con un costo de $10,000 por año indefinidamente? 6.18 Una compañía de maquinaria y herramienta está considerando una nueva inversión en una prensa troqueladora que costará $100,000 y tendrá un costo anual de mantenimiento de $10,000. También hay un costo adicional por revisión del equipo que asciende a $20,000 una vez cada cuatro años. Suponiendo que este equipo dure indefinidamente en esas condiciones, ¿cuál es el costo equivalente capitalizado de esta inversión a una tasa de interés del 10%? Criterio del valor anual equivalente 6.19 La compañía X ha estado subcontratando su trabajo de revisión de equipo a la compañía Y por $40,000 anuales por máquina. La compañía X estima que construyendo una planta de mantenimiento de $500,000 con una vida de 15 años y un valor de rescate de $100,000 al cabo de ese tiempo, podría hacerse cargo de sus propias revisiones a un costo de solamente $30,000 anuales por máquina. ¿Cuál es el número anual mínimo de máquinas que la compañía X debe operar para que la construcción de sus propias instalaciones sea económicamente factible, suponiendo una tasa de interés del 10%? 6.20 Considere los flujos de efectivo para los siguientes proyectos de inversión: Flujos de efectivo de los proyectos n A B 0 $5,000 $6,000 1 $1,500 $1,200 2 $X $1,500 3 $1,500 $1,800 4 $1,500 $2,100 a) Para el proyecto A, calcule el valor de X que hace los ingresos anuales equivalentes iguales al desembolso anual equivalente a i
13%. b) ¿Aceptaría usted el proyecto B a i
15%, con base en el criterio AE? 6.21 Una compañía industrial puede adquirir cierta máquina por $40,000. Se requiere un enganche de $4,000 y el saldo se puede liquidar en cinco abonos iguales al final de cada año a un interés del 7% sobre el saldo insoluto. Como una alternativa, la máquina puede comprarse por $36,000 en efectivo. Si la TREMA de la compañía es del 10%, determine cuál alternativa debe aceptarse de acuerdo con el método de equivalencia anual. 6.22 Una compañía industrial está considerando comprar varios controladores programables y automatizar sus operaciones de manufactura. Se estima que el equipo inicialmente costará $150,000 y la mano de obra por instalarlo costará $45,000. Problemas 237 Un contrato de servicio para mantener el equipo costará $5,000 por año. Se tendrá que contratar personal de servicio capacitado con un salario anual de $40,000. También, se estima un ahorro anual (ingreso de efectivo) aproximado en el impuesto sobre la renta de $15,000. ¿Cuánto tendrán que aumentar los ingresos anuales después de impuestos mediante esta inversión en equipo y servicios para que la compañía no gane ni pierda? Se estima que el equipo tendrá una vida de operación de 10 años, sin ningún valor de rescate (a causa de la obsolescencia). La TREMA de la compañía es del 12%. 6.23 Cierto edificio de una fábrica tiene un antiguo sistema de iluminación. Iluminar este edificio cuesta, en promedio, $30,000 al año. Un consultor en iluminación asegura al supervisor de la fábrica que la cuenta de energía eléctrica podría reducirse a $8,000 al año si se invirtieran $55,000 en un nuevo sistema de iluminación para el edificio de la fábrica. Si se instala el sistema de iluminación nuevo, se debe considerar un costo incremental de mantenimiento de $4,000 por año. Si el antiguo sistema de iluminación no tiene valor de rescate alguno y se estima que el nuevo sistema tendrá una vida de 20 años, ¿cuál será el beneficio anual neto para esta inversión en nueva iluminación? Considere que la TREMA es del 12%. También considere que el nuevo sistema de iluminación no tendrá valor de rescate al término de su vida. Cálculo de ganancias unitarias o costos unitarios 6.24 Georgia Mills Company (GMC) compró una fresadora por $100,000, la cual pretende utilizar por los próximos cinco años. Se espera que esta máquina ahorre a GMC $35,000 durante el primer año de operaciones. Después, se espera que el ahorro anual disminuya en 3% cada año subsiguiente con respecto al año anterior como resultado de un aumento en los costos de mantenimiento. Suponiendo que GMC operaría la máquina por un promedio de 3,000 horas al año y que la máquina no tendría un valor de rescate importante al término del periodo de cinco años, determine el ahorro equivalente en dólares por hora de operación al 14% de interés compuesto anual. 6.25 Se están considerando dos motores de 150 caballos de potencia (HP) para instalarlos en una planta municipal de tratamiento de aguas residuales. El primero cuesta $4,500 y tiene una eficiencia operativa del 83%. El segundo cuesta $3,600 y tiene una eficiencia de operación del 80%. Ninguno de los dos motores tendrá un valor de rescate después de una vida de 10 años. Si todos los cargos anuales, como el seguro y el mantenimiento, suman un total del 15% del costo original de cada motor, y si los costos de energía son 5 centavos fijos por kilowatt-hora, ¿cuál es el número de horas mínimo de operación a carga completa por año que justificaría la compra del motor más costoso, a i
6%? (Un factor de conversión que quizás encuentre útil es 1 HP
746 watts
0.746 kilowatts.) 6.26 Se están considerando dos bombas de agua de 180 caballos de potencia para su instalación en una planta municipal abastecedora de agua. Los datos financieros de estas bombas son los siguientes: Artículo Costo inicial Bomba I Bomba II $6,000 $4,000 Eficiencia 86% 80% Vida útil 12 años 12 años $500 $440 $0 $0 Costo anual de operación Valor de rescate 238 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente Si el costo de energía es de 6 centavos fijos por kWh durante el periodo de estudio, ¿cuál de los siguientes intervalos incluye el número mínimo de horas de operación con carga completa por año que justificaría la compra de la bomba más cara, a una tasa de interés del 8% (1 HP
746 watts
0.746 kilowatts)? a) 340 horas/año  número mínimo de horas de operación/año  390 horas/año. b) 390 horas/año  número mínimo de horas de operación/año  440 horas/año. c) 440 horas/año  número mínimo de horas de operación/año  490 horas/año. d) 490 horas/año  número mínimo de horas de operación/año  540 horas/año. 6.27 Usted invierte en un equipo que cuesta $30,000. El equipo se usará durante dos años; se espera que, después de ese tiempo, tenga un valor de rescate de $10,000. La máquina se usará por 5,000 horas durante el primer año y 8,000 horas durante el segundo año. El ahorro neto anual esperado en costos de operación será de $25,000 durante el primer año y de $40,000 durante el segundo año. Si su tasa de interés es del 10%, ¿cuál sería el ahorro neto equivalente por hora-máquina? 6.28 Una compañía paga actualmente a sus empleados $0.40 por milla por manejar sus propios autos cuando los utilizan con fines laborales. Sin embargo, la compañía está considerando proveer automóviles a los empleados, lo que implicaría los siguientes componentes de costo: compra de un auto a $22,000, con una vida estimada de tres años; un valor de rescate neto de $5,000; impuestos y seguro a un costo de $1,000 por año; y gastos de operación y mantenimiento de $0.22 por milla. Si la tasa de interés es del 10% y la compañía prevé que los viajes anuales de los empleados sumarán 30,000 millas, ¿cuál es el costo equivalente por milla (sin considerar el impuesto sobre la renta)? ¿Cuál plan es mejor? 6.29 La compañía Santa Fe, un fabricante de equipo agrícola, actualmente produce 20,000 unidades de filtros de gas que se utilizan en su producción de podadoras anualmente. Se reportan los siguientes costos, de acuerdo con la producción del año anterior: Artículo Materiales directos Gasto $60,000 Mano de obra directa $180,000 Gastos variables indirectos (energía y agua) $135,000 Gastos fios indirectos (luz y calefacción) Costo total $70,000 $445,000 Se anticipa que la producción de filtros de gas dure cinco años. Si la compañía continúa produciendo internamente, los costos anuales de los materiales directos aumentarán a una tasa del 5%. (Por ejemplo, los costos anuales de materiales directos durante el primer año de producción serán de $63,000.) Además, los costos de mano de obra directa aumentarán a una tasa del 6% anual, y los costos variables indirectos aumentarán a una tasa del 3%, mientras que los gastos fijos indirectos permanecerán al nivel actual durante los próximos cinco años. La compañía Tompkins ha ofrecido vender a la compañía Santa Fe 20,000 unidades de filtros de gas a $25 por unidad. Si Santa Fe acepta la oferta, algunas de las instalaciones usadas actualmente para fabricar los filtros de gas podrían rentarse a una tercera parte a una tarifa anual de $35,000. Además, se eliminarían $3.50 por unidad de los costos fijos indirectos aplicados a la producción de filtros de gas. Se sabe que Problemas 239 la tasa de interés de la compañía es del 15%. ¿Cuál es el costo unitario de comprar los filtros de gas a una fuente externa? ¿Santa Fe debe aceptar la oferta de Tompkins? ¿Por qué? 6.30 Se puede adquirir un automóvil eléctrico por $25,000. Se estima que el automóvil tendrá una vida de 12 años, si realiza un trayecto anual de 20,000 millas. Cada tres años, se necesitará comprar un nuevo juego de baterías a un precio de $3,000. Los $3,000 del costo de las baterías son un valor neto, dejando las antiguas baterías a cuenta de las nuevas. Se estima que el mantenimiento anual del vehículo costará $700 al año. El costo por recargar las baterías es de $0.015 por milla. El valor de rescate de las baterías y el vehículo al término de 12 años se estima en $2,000. Considere que la TREMA es del 7%. ¿Cuál es el costo por milla por poseer y operar este vehículo, de acuerdo con los cálculos anteriores? 6.31 Una compañía de California está considerando construir una planta geotérmica de 50 megawatts que genere electricidad a partir de la energía calorífica subterránea presente naturalmente. La construcción del sistema geotérmico binario costará $85 millones, y su operación, $6 millones al año (incluyendo cualquier efecto por el impuesto sobre la renta). (A diferencia de una planta de combustible fósil convencional, este sistema no requerirá prácticamente ningún costo por combustible.) La planta geotérmica durará 25 años. Al término de este tiempo, el valor de rescate esperado será aproximadamente el mismo que el costo por desmantelar la planta. La planta estará en operación durante el 70% (el factor de utilización de la planta) del año (o 70% de 8,760 horas por año). Si la TREMA de la compañía es del 14% anual, determine el costo de generar electricidad por hora-kilowatt. Análisis de equilibrio 6.32 Una ciudad ha decidido construir un estadio de softball, y el consejo de la ciudad ya votó a favor de financiar el proyecto de $800,000 (inversión de capital inicial). El ingeniero urbanista recabó la siguiente información financiera para el proyecto del estadio: Costos anuales de mantenimiento: $120,000 Costos anuales de servicios públicos: $13,000 쐽 Costos de renovación: $50,000 cada cinco años 쐽 Derechos de uso anuales (ingresos) de los equipos: $32,000 쐽 Vida útil: infinita 쐽 Tasa de interés: 8% Si la ciudad puede esperar que 40,000 visitantes asistan al estadio cada año, ¿cuál debe ser el precio mínimo por boleto por persona para que la ciudad no gane pero tampoco pierda dinero? 6.33 J&M Company es una inmobiliaria que está considerando construir un complejo de apartamentos de 40 unidades en una ciudad en crecimiento donde hay una universidad. Como muchos fabricantes foráneos de automóviles están estableciendo sus plantas de ensamblaje en esa zona, la compañía espera que el complejo de apartamentos, una vez construido, goce de un 90% de ocupación por un largo periodo. La compañía ya compiló parte de la información financiera fundamental relacionada con el proyecto de desarrollo: 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 Precio del terreno (un acre)
$1,200,000 Construcción (40 unidades con una sola recámara)
$4,800,000 Vida del proyecto
25 años Mantenimiento del edificio por unidad por mes
$100 Impuestos anuales sobre la propiedad y seguro
$400,000 240 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente Se supone que el terreno aumentará su valor a una tasa anual del 5%, pero la edificación no tendrá ningún valor después de 25 años (será derrumbada y se construirá una nueva estructura). Con base en lo anterior, determine la renta mensual mínima que debe cobrarse, si se desea un rendimiento del 12% antes de impuestos (o 0.9489% mensual). 6.34 El costo estimado de un generador de 40 kilowatts completamente instalado y listo para operar es de $30,000. Sus costos anuales de mantenimiento son aproximadamente de $500. La energía que se puede generar anualmente, a carga completa, se estima en 100,000 kilowatt-horas. Si el valor de la energía generada está considerado en $0.08 por kilowatt-hora, ¿cuánto tiempo pasará antes de que esta máquina sea rentable? Considere que la TREMA es del 9% y que el valor de rescate de la máquina es de $2,000 al final de su vida estimada de 15 años. 6.35 Una universidad estatal de grandes dimensiones, que actualmente se enfrenta a una severa escasez de espacios de estacionamiento en su plantel, está considerando construir estacionamientos fuera del mismo. Un servicio de transportación compuesto por minibuses podría recoger a los estudiantes en el estacionamiento fuera del campus y llevarlos rápidamente a diferentes lugares dentro del plantel. La universidad cobraría una módica cuota por cada traslado y los estudiantes podrían transportarse a sus clases rápida y económicamente. Los fondos recabados por el transporte se usarían para pagar los minibuses, que cuestan alrededor de $150,000 cada uno. Cada minibús tiene una vida de servicio de 12 años, con un valor de rescate estimado en $3,000. Para operar cada minibús, se deben considerar los siguientes gastos adicionales: Artículo Conductor Gastos anuales $40,000 Mantenimiento $7,000 Seguro $2,000 Si los estudiantes pagan 10 centavos por cada traslado, determine las corridas anuales (es decir, el número de viajes del minibús por año) requeridas para justificar el proyecto del servicio de transporte, suponiendo una tasa de interés del 6%. 6.36 Eradicator Food Prep, Inc., invirtió $7 millones para construir una planta de irradiación de alimentos. Esta tecnología destruye los organismos que causan descomposición y enfermedades, extendiendo la vida de anaquel de los alimentos frescos y las distancias que pueden viajar. La planta puede manejar alrededor de 200,000 libras de productos en una hora, y operará 3,600 horas al año. Los costos netos de operación y mantenimiento (considerando cualquier efecto del impuesto sobre la renta) serían $4 millones al año. Se espera que la planta tenga una vida útil de 15 años, con un valor de rescate neto de $700,000. La tasa de interés de la compañía es del 15%. a) Si los inversionistas de la compañía desean recuperar la inversión de la planta a los seis años de operación (y no a los 15 años), ¿cuáles serían los ingresos anuales equivalentes después de impuestos que se deben generar? b) Para generar los ingresos anuales especificados en el inciso a), ¿qué cuota mínima de procesamiento debe cobrar la compañía a los clientes por libra? 6.37 Usted está considerando desarrollar un campo de golf de 18 hoyos para campeonato que requiere una inversión de $20,000,000. Este costo de inversión incluye el Problemas 241 desarrollo del campo, la casa club y los carritos de golf. Una vez construido, usted espera que el costo por mantenimiento del campo de golf sea de $650,000 en el primer año, $700,000 en el segundo año, y que continúe aumentando a razón de $50,000 cada año. El ingreso neto generado por la venta de comida y bebidas será aproximadamente el 15% de las cuotas del green pagadas por los jugadores. La cuota que pagaría cada jugador por usar el carrito es de $15 y se esperan 40,000 juegos de golf por año. Usted será el propietario y operará el campo durante 10 años y espera vender el complejo por $25,000,000. ¿Cuál es la cuota del green por juego que dará un rendimiento del 15%? Suponga que la cuota del green aumentará a una tasa anual del 5%. 6.38 Un jet ejecutivo empresarial con una capacidad para 20 personas sentadas tiene los siguientes factores de costo: Artículo Costo Costo inicial $12,000,000 Vida de servicio 15 años Valor de rescate $2,000,000 Costos de la tripulación por año $225,000 Costo del combustible por milla $1.10 Derechos de aterrizaje $250 Costos de mantenimiento por año $237,500 Costos de seguro por año Costo de comedor por pasajero en viaje redondo $166,000 $75 La compañía hace tres viajes redondos de Boston a Londres por semana, una distancia de 3,280 millas por cada viaje sencillo. ¿Cuántos pasajeros deben ser transportados en un viaje promedio para así justificar el uso del jet, si la tarifa por viaje redondo en primera clase de la línea comercial alternativa es de $3,400 por pasajero? La TREMA de la compañía es del 15%. (Ignore los efectos de los impuestos sobre la renta.) Comparación de alternativas mutuamente excluyentes mediante el método AE 6.39 Peabody Transport Service está considerando la adquisición de un helicóptero para conectar los servicios entre su aeropuerto base y el nuevo aeropuerto municipal que se está construyendo a 30 millas. Se cree que el helicóptero se necesitará sólo por seis años hasta que se introduzca el transporte expreso. A continuación se presentan los cálculos de dos tipos de helicópteros que se están considerando, el modelo A y el modelo B Modelo A Modelo B Costo inicial $95,000 $120,000 Mantenimiento anual $3,000 $9,000 Valor de rescate $12,000 $25,000 Vida útil en años 3 6 Suponiendo que el modelo A estará disponible en el futuro, con costos idénticos, ¿cuál es la ventaja de costo anual al elegir el modelo B? (Utilice una tasa de interés del 10%.) 242 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente 6.40 Usted está considerando dos tipos de motor eléctrico para su taller de pintura. A continuación se resume la información financiera y las características de operación: Información y características Marca X Marca Y $4,500 $3,600 Costos de operación y mantenimiento por año $300 $500 Valor de rescate $250 $100 Capacidad 150 HP 150 HP Eficiencia 83% 80% Precio Si usted planea operar el motor por 2,000 horas anualmente, ¿cuál sería el ahorro total en costo por hora de operación asociado con la marca más eficiente (marca X) a una tasa de interés del 12%? El motor se necesitará durante 10 años. Suponga que la energía eléctrica cuesta 5 centavos por kilowatt-hora (1 HP
0.746 kW). 6.41 Los siguientes flujos de efectivo representan el ahorro anual potencial asociado con los dos diferentes tipos de procesos de producción, cada uno de los cuales requiere una inversión de $22,000: n Proceso A Proceso B 0 $22,000 $22,000 1 $9,120 $7,350 2 $7,840 $7,350 3 $6,560 $7,350 4 $3,280 $7,350 Suponiendo que la tasa de interés es del 15%, realice las siguientes operaciones: a) Determine el ahorro anual equivalente para cada proceso. b) Determine el ahorro por hora para cada proceso, suponiendo 2,000 horas de operación por año. c) Determine cuál proceso debe elegirse. 6.42 Una compañía química está considerando elegir entre dos tipos de incineradores para quemar desechos sólidos generados por operaciones químicas. Ambos incineradores tienen una capacidad para quemar 20 toneladas al día. Se han recabado los siguientes datos para comparar los dos incineradores: Artículo Incinerador A Incinerador B $1,200,000 $750,000 Costos anuales de operación y mantenimiento $50,000 $80,000 Vida de servicio 20 años 10 años Valor de rescate Impuestos sobre la renta $60,000 $40,000 $30,000 $30,000 Costo de la instalación Problemas 243 Si se sabe que la TREMA de la compañía es del 13%, determine el costo de procesamiento por tonelada de desechos sólidos para cada incinerador. Suponga que el incinerador B estará disponible en el futuro al mismo costo. 6.43 Una línea aérea está considerando dos tipos de motor para sus aviones: El sistema A cuesta $100,000 y consume 40,000 galones de combustible por 1,000 horas de operación a una carga promedio en el servicio de pasajeros. 쐽 El sistema B cuesta $200,000 y consume 32,000 galones de combustible por 1,000 horas de operación a una carga promedio en el servicio de pasajeros. Ambos motores tienen la misma vida y el mismo registro de mantenimiento y reparaciones; además, ambos cuentan con una vida de tres años antes de requerir revisiones importantes. Cada sistema tiene un valor de rescate del 10% de la inversión inicial. Si el combustible cuesta $1.80 por galón actualmente, y se espera que el consumo de combustible aumente a una tasa del 6% por año a causa de la degradación de la eficiencia del motor, ¿cuál motor debe instalar la compañía? Considere 2,000 horas de operación por año y una TREMA del 10%. Utilice el criterio AE. ¿Cuál es el costo equivalente por hora para cada motor? 6.44 Norton Auto Parts, Inc., está estudiando dos diferentes tipos de montacargas para su planta ensambladora: 쐽 El montacargas A cuesta $15,000 y requiere $3,000 al año para gastos de operación. Tendrá un valor de rescate de $5,000 al término de su vida de servicio de tres años. 쐽 El montacargas B cuesta $20,000, pero requiere solamente $2,000 al año en gastos de operación; su vida de servicio es de cuatro años, después de la cual se espera un valor de rescate de $8,000. La TREMA de la compañía es del 12%. Suponiendo que los montacargas se necesitan por 12 años y que no se esperan cambios importantes en el precio futuro y la capacidad funcional de ambos equipos, elija el montacargas más económico, con base en el análisis AE. 6.45 Una pequeña compañía manufacturera está considerando la compra de una máquina nueva para modernizar una de sus líneas de producción actuales. Hay dos tipos de máquinas disponibles en el mercado. Las vidas de la máquina A y la máquina B son de cuatro años y seis años, respectivamente, pero la compañía no espera necesitar el servicio de ninguna de ellas por más de cinco años. Las máquinas tienen los siguientes ingresos y desembolsos esperados: 쐽 Artículo Máquina A Máquina B Costo inicial $6,500 $8,500 Vida de servicio 4 años 6 años Valor de rescate estimado $600 $1,000 Costos anuales de operación y mantenimiento $800 $520 Costo por cambiar el filtro de aceite cada tercer año Revisión del motor $100 0 $200 (cada 3 años) $280 (cada 4 años) Después de cuatro años de uso, el valor de rescate para la máquina B será de $1,000. La compañía cuenta con otra opción: rentar una máquina por $3,000 al año, de cuyo mantenimiento se encargará por completo la compañía arrendadora. El pago por alquiler se hará al principio de cada año. a) ¿Cuántas alternativas de decisión hay? b) ¿Cuál decisión parece ser la mejor a i
10%? 244 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente 6.46 Una compañía que fabrica plástico posee y opera una planta de producción de polipropileno que convierte el propileno de una de sus plantas de craqueo en plásticos de polipropileno para venta externa. La planta de producción de polipropileno actualmente se ve forzada a operar a menor capacidad ante la falta de suficiente capacidad de producción de propileno en su planta de craqueo de hidrocarburos. Los ingenieros químicos están considerando las alternativas para proveer más propileno a la planta de producción de polipropileno. He aquí algunas de las alternativas factibles: 쐽 Opción 1: Construir una tubería que conecte a la fuente de suministro más cercana. 쐽 Opción 2: Proveer más propileno de una fuente externa (por camión). Los ingenieros también recabaron los siguientes presupuestos de costos proyectados: 쐽 costos futuros por el propileno comprado, excluyendo la entrega: $0.215 por libra; 쐽 costo de la construcción de la tubería: $200,000 por milla de tubería; 쐽 longitud estimada de la tubería: 180 millas; 쐽 costos de transportación por camión cisterna: $0.05 por libra, usando los servicios de un transportista común; 쐽 costos de operación de la tubería: $0.005 por libra, excluyendo los costos de capital; 쐽 necesidades adicionales proyectadas de propileno: 180 millones de libras por año; 쐽 vida estimada del proyecto: 20 años; y 쐽 valor de rescate estimado de la tubería: 8% de los costos de instalación. Determine el costo del propileno por libra en cada una de las opciones, si la TREMA de la compañía es del 18%. ¿Cuál opción es más económica? 6.47 La ciudad de Peachtree está comparando los siguientes dos planes para proveer de agua a una subdivisión desarrollada recientemente. 쐽 El plan A considera los requerimientos de los próximos 15 años; al final de ese periodo, el costo inicial de $1,500,000 tendrá que duplicarse para cubrir los requerimientos de los años posteriores. Las plantas instaladas en los años cero y 15 pueden considerarse permanentes; sin embargo, cierto equipo de apoyo tendrá que ser reemplazado cada 30 años a partir de las fechas de su instalación, a un costo de $200,000. Los costos de operación son $91,000 al año por los primeros 15 años y $182,000 de ahí en adelante. A partir del año 21, aumentarán en $3,000 cada año. 쐽 El plan B cubrirá todos los requerimientos futuros de agua indefinidamente, aunque sólo operará a la mitad de su capacidad por los primeros 15 años. Los costos anuales en este periodo serán de $105,000 y aumentarán a $155,000 a partir del año 16. El costo inicial del plan B es de $1,950,000; las instalaciones pueden considerarse permanentes, aunque será necesario reemplazar $350,000 de equipo cada 30 años después de la instalación inicial. La ciudad cobrará a la subdivisión por el consumo del agua haciendo el cálculo sobre el costo anual equivalente. A una tasa de interés del 10%, determine el costo anual equivalente para cada plan y haga una recomendación a la ciudad sobre la cantidad que debe cobrarse a la subdivisión. Breves estudios de caso con Excel 6.48 Capstone Turbine Corporation es el proveedor líder mundial de sistemas MicroCHP (que combinan calor y energía) de microturbinas para la generación y distribución de electricidad limpia y continua. La unidad MicroCHP es un generador de turbinas compacto que lleva electricidad al lugar donde se necesita o cerca de ese punto. Problemas 245 Diseñada para operar con diversos combustibles gaseosos y líquidos, esta forma de tecnología de generación y distribución de energía inició en 1998. La microturbina está diseñada para operar a solicitud o continuamente por hasta un año después de cada servicio de mantenimiento recomendado (limpieza/reemplazo de filtros). El generador se enfría mediante corriente de aire en la turbina de gas, y así se elimina la necesidad del enfriamiento líquido. Puede producir electricidad a partir de diferentes combustibles: gas natural, keroseno, diesel e incluso gases de desecho provenientes de vertederos, plantas de tratamiento de aguas y campos petroleros. Las aplicaciones principales de Capstone incluyen el calor y la energía combinados, recuperación de recursos de combustible de desecho de las cabezas de pozos y plantas de biogás, y vehículos eléctricos híbridos. A diferencia de la energía de reserva tradicional, esta solución puede cubrir necesidades diarias de energía y generar una retribución favorable. Con el diseño actual, que tiene una potencia nominal de 60 kW, uno de los generadores de Capstone costaría alrededor de $84,000. Los gastos anuales esperados, incluyendo costos de capital y de operación, se acercarían a los $19,000. Estos gastos producen un ahorro anual de casi $25,000, en comparación con los gastos correspondientes de un generador convencional del mismo tamaño. La inversión se pagaría por sí sola en tres o cuatro años. Una de las preguntas principales entre los ejecutivos de Capstone es: ¿Qué tan bajo necesita ser el costo de producción de las microturbinas para ser una opción sensata en algunas operaciones de servicio? Para responder esta pregunta, Capstone debe determinar primero el costo por kilowatt de sus generadores. ¿Cómo llega Capstone al costo de capital de $1,400 por kilowatt? Suponga que usted planea comprar la microturbina de 60 kW y espera operarla continuamente durante 10 años. ¿Cómo calcularía usted el costo de operación por kilowatt-hora? 6.49 Empex Corporation actualmente produce estuches para videocintas (cuerpos) y cinta magnética de partículas de metal para uso comercial. Se proyecta una creciente demanda de videocintas de partículas metálicas y Empex está decidiendo entre incrementar la producción interna de estuches vacíos y de cinta magnética, y comprar estuches vacíos a un vendedor externo. Si Empex compra los estuches a un vendedor, la compañía también debe comprar equipo especializado para enrollar la cinta magnética dentro de los estuches vacíos, ya que su máquina cargadora actual no es compatible con los estuches producidos por el vendedor en cuestión. La tasa de producción de casetes proyectada es de 79,815 unidades por semana durante 48 semanas de operación por año. El horizonte de planeación es de siete años. Después de considerar los efectos del impuesto sobre la renta, el departamento contable ha precisado los costos asociados con cada opción: 쐽 Opción “fabricar”: Costos anuales: 쐽 Mano de obra Materiales $1,445,633 $2,048,511 Gastos indirectos incrementales $1,088,110 Costo anual total $4,582,254 Opción “comprar”: Gasto de capital: Adquisición de una nueva máquina cargadora Valor de rescate al término de siete años $405,000 $45,000 246 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual equivalente Costos anuales de operación Mano de obra Compra de estuches de casete vacíos ($0.85/unidad) Gastos indirectos incrementales Costos anuales totales de operación $ 251,956 $3,256,452 $822,719 $4,331,127 (Advierta la suposición convencional de que los flujos de efectivo se dan en sumas discretas al final de los años, como se muestra en la figura 6.5.) Suponiendo que la TREMA de Empex es del 14%, calcule el costo unitario en cada opción. 6.50 Un hospital de veteranos debe decidir qué tipo de sistema de combustible para calentador proveerá más eficientemente la salida de energía de vapor requerida para la calefacción, lavandería y esterilización. Los calentadores actuales se instalaron a principios de la década de 1970 y ahora son obsoletos. Buena parte del equipo auxiliar también es anticuado y necesita reparaciones. Ante estas condiciones generales, se hizo una recomendación de ingeniería para reemplazar la planta completa por una caldera nueva que aloje equipo moderno. El costo de demolición de la antigua caldera sería casi una pérdida completa, ya que el va-lor de rescate de la chatarra y los ladrillos usados se estima en solamente $1,000. El ingeniero del hospital finalmente eligió dos propuestas alternativas que le parecen dignas de un análisis más intensivo. El requerimiento anual de energía del hospital, medido en términos de salida de vapor, es aproximadamente de 145,000,000 de libras de vapor. Como una regla empírica para análisis, una libra de vapor equivale aproximadamente a 1,000 BTU, y un pie cúbico de gas natural equivale aproximadamente a 1,000 BTU. Las dos alternativas son las siguientes: 쐽 Propuesta 1: Construir una caldera de carbón nueva, que costaría $2,570,300. Para cubrir los requerimientos de emisión de partículas establecidos por la Agencia de Protección Ambiental (EPA), la nueva caldera de carbón, aun si quemara carbón de bajo contenido de azufre, necesitaría un precipitador electrostático, que costaría aproximadamente $145,000. La nueva planta duraría 20 años. Una libra de carbón seco produce alrededor de 14,300 BTU. Para convertir las 145,000,000 de libras de energía de vapor a la unidad común de BTU, es necesario multiplicar por 1,000. Para determinar los requerimientos de entrada en BTU, es necesario dividir entre la relativa eficiencia de la caldera para el tipo de combustible. La eficiencia de la caldera para el carbón es 0.75. El precio del carbón está calculado en $55.50 por tonelada métrica. Problemas 247 Propuesta 2: Construir una caldera de gas que puede consumir combustible líquido como opción número 2 de respaldo. Este sistema costaría $1,289,340, con una vida de servicio esperada de 20 años. Como tienen prioridad los pequeños usuarios de gas doméstico o comercial que dependen completamente del gas para obtener energía, las grandes plantas deben contar con capacidades para cambiar al uso de petróleo. Se ha estimado que el 6% de 145,000,000 de libras (u 8,700,000 libras) de energía de vapor resultarían del cambio entre petróleo y gas. La eficiencia de la caldera sería 0.78 para el gas y 0.81 para el petróleo. El valor calorífico del gas natural es aproximadamente de 1,000,000 BTU/MCF (millones de pies cúbicos), y para el combustible líquido número 2 es de 139,400 BTU/gal. El precio estimado del gas es de $9.50/MCF y el precio del combustible líquido número 2 es de $1.45 por galón. a) Calcule los costos anuales de combustible para cada propuesta. b) Determine el costo unitario por libra de vapor para cada propuesta. Considere i
10%. c) ¿Cuál propuesta es más económica? 쐽 SIETE CAPÍTULO Análisis de la tasa de retorno Cómo la tecnología facilita la labor de entrega de UPS1 Es una fría mañana de un martes de febrero y Marc Freeman, un repartidor veterano de United Parcel Service Inc. (UPS) en Atlanta, revisa su lista de entregas y se da cuenta de que será un día pesado: más de 400 paquetes por entregar, una tarea que hasta hace poco lo habría mantenido ocupado tocando a las puertas de los clientes hasta bien entrada la noche. Pero gracias a un programa de software especialmente diseñado que UPS empezó a utilizar hace dos años, Freeman fácilmente terminará sus entregas alrededor de las 6:00 p.m., garantizando que los clientes reciban sus paquetes de manera oportuna y que él esté en casa a tiempo para la cena. No hace mucho tiempo, los repartidores de UPS dejaron de lado los mapas, las tarjetas de notas de 3 ⫻ 5 y su propia memoria para definir la mejor ruta para su recorrido. Eso cambió en 2005 cuando UPS puso en marcha un sistema de optimización de rutas de $600 millones —como si al sistema de localización MapQuest le hubieran administrado esteroides— que cada tarde elabora mapas del recorrido del día siguiente para la mayoría de sus 56,000 repartidores. Tan complejo es el software, que es capaz de diseñar cada ruta para minimizar el número de vueltas a la izquierda, reduciendo así el tiempo y el combustible que los repartidores utilizan al detenerse ante los altos de los semáforos. La innovación de UPS es un ejemplo de cómo la tecnología puede ayudar a las compañías a obtener un conocimiento institucional acerca de sus clientes. Antes, cuando un estibador de paquetes o un repartidor se retiraban, las técnicas de estibar o las claves de las rutas que habían desarrollado durante años se iban con ellos. Ahora se tiene acceso a ese conocimiento en un sistema central. Eso facilita el trabajo al sustituir repartidores y acorta el tiempo de capacitación para los nuevos, disminuyendo las posibilidades de fallas en el servicio al cliente. No hay duda acerca del hecho de que el nuevo sistema ha facilitado a UPS la tarea de recorrer sus rutas con mayor eficiencia. 248 1 “How Technology Delivers for UPS”, BusinessWeek, 5 de marzo de 2007. Tan sólo en noviembre, los repartidores de la compañía registraron en sus bitácoras 3 millones de millas menos que las recorridas el año anterior. La última novedad es una nueva característica que, con la ayuda de la tecnología del sistema de posicionamiento global, advierte a los repartidores mediante una alarma si están manejando por un camino equivocado. También facilita a UPS el envío más rápido de un repartidor después de una llamada de recolección, puesto que el despachador sabe con exactitud cuál de los repartidores se encuentra más cerca del lugar. Y al concluir este año, UPS planea usar su tecnología de flujo de paquetes para iniciar un servicio que permita a los clientes modificar la ruta de un paquete en tránsito para enviarlo a una dirección diferente. “Estamos tratando de transformarnos en una paradoja: ser la mayor compañía [de paquetería], pero también la más flexible”, dice Kurt Kuehn, vicepresidente senior mundial de ventas y marketing de UPS. “Aún no hemos llegado al partido final.” ¿ Cuál es el resultado definitivo del asunto? Supongamos que la administración de UPSTM desea un rendimiento del 18% sobre sus $600 millones de inversión. ¿Es esto posible? ¿Qué representa realmente la tasa de retorno del 18% de la inversión del software para diseñar las rutas de los vehículos? ¿Cómo calculamos la cifra de la serie de flujos de efectivo proyectados? Y una vez que hemos calculado esa cifra, ¿cómo la usamos para evaluar una inversión alternativa? Nuestra consideración acerca del concepto de la tasa de retorno en este capítulo responderá ésta y otras preguntas. Junto con los criterios del VP y del VAE, la tercera medida primaria del valor de la inversión es la tasa de retorno. Como vimos en el capítulo 5, el VP es fácil de calcular y aplicar. Sin embargo, muchos ingenieros y gerentes financieros prefieren el análisis de la tasa de retorno al método del VP, porque les parece más apropiado analizar inversiones en términos de tasas porcentuales de rendimiento que considerar las cifras en dólares del VP. Considere los siguientes enunciados con respecto a la rentabilidad de una inversión: • Este proyecto supone un 15% de tasa de retorno de la inversión. • Este proyecto traerá consigo un superávit neto de $10,000 en términos de VP. Ninguno de los enunciados describe por completo la naturaleza de un proyecto de inversión. Sin embargo, la cifra de la tasa de retorno es más fácil de comprender porque muchos de nosotros, al manejar nuestros ahorros, estamos familiarizados con las tasas de interés, las cuales son, de hecho, tasas de retorno o de rendimiento. 249 250 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno En este capítulo examinaremos cuatro aspectos del análisis de la tasa de retorno: 1. el concepto de rendimiento de la inversión; 2. el cálculo de la tasa de retorno o de rendimiento; 3. el desarrollo de un criterio de la tasa interna de retorno; y 4. la comparación de alternativas mutuamente excluyentes con base en la tasa de retorno. 7.1 Tasa de retorno Se usan muchos términos para referirse a la tasa de retorno, como el de rendimiento o rédito (por ejemplo, rendimiento al vencimiento, término que se emplea comúnmente en la valuación de bonos), tasa interna de retorno y eiciencia marginal de capital. Revisaremos primero tres deiniciones comunes de tasa de retorno. Después, a lo largo del texto, usaremos la deinición de tasa interna de retorno como una medida de la rentabilidad de un proyecto de inversión particular. 7.1.1 Rendimiento sobre la inversión Existen varias formas de deinir el concepto de tasa de retorno sobre la inversión. Analizaremos dos de ellas: la primera se basa en una transacción típica de crédito y la segunda se basa en la expresión matemática de la función de valor presente. Deinición 1 La tasa de retorno es el interés ganado sobre el saldo pendiente de un crédito amortizado. Suponga que un banco presta $10,000, los cuales se pagan en abonos de $4,021 al inal de cada año durante tres años. ¿Cómo se determina la tasa de interés que el banco cobra por esta transacción? Como aprendimos en el capítulo 3, usted usaría la siguiente ecuación de equivalencia, donde despejaría i: $10,000 = $4,0211P/A, i, 32. Esto da un resultado de i ⫽ 10%. En esta situación, el banco obtendrá un rendimiento del 10% sobre su inversión de $10,000. El banco calcula los saldos del crédito durante la vida del mismo, de la siguiente manera: Año 0 1 2 3 Saldo pendiente al principio del año ⫺$10,000 ⫺$6,979 ⫺$3,656 Rendimiento sobre el saldo pendiente (10%) ⫺$1,000 ⫺$698 ⫺$366 Pago recibido $4,021 $4,021 $4,021 Saldo pendiente al final del año ⫺$10,000 ⫺$6,979 ⫺$3,656 $0 Un saldo negativo indica un saldo pendiente. Observe que, para el calendario de pagos mostrado, el interés del 10% se calcula sobre el saldo sin pagar de cada año. De este modo, sólo parte del pago anual de $4,021 corresponde al interés; el resto se destina a pagar el capital solicitado en préstamo. En otras palabras, los tres pagos anuales se destinan a pagar el préstamo mismo y proveen un rendimiento del 10% sobre la cantidad aún sin pagar cada año. 7.1 Tasa de retorno 251 Observe también que cuando se efectúa el último pago, el capital adeudado se reduce a cero.2 Si calculamos el VPN de la transacción crediticia a su tasa de retorno (10%), vemos que VP 110%2 = - $10,000 + $4,0211P/A, 10%, 32 = 0, lo cual indica que el banco termina sin pérdidas con el 10% de la tasa de interés. En otras palabras, la tasa de retorno se transforma en la tasa de interés que iguala el valor presente de los pagos futuros en efectivo que cubren el préstamo. Esta observación nos acerca a la segunda deinición de la tasa de retorno: Definición 2 La tasa de retorno es la tasa de interés de equilibrio i* a la cual el valor presente neto de un proyecto es cero, o VP(i*) ⫽ VPFlujos de entrada ⫺ VPFlujos de salida ⫽ 0. Advierta que la expresión anterior es equivalente a VP 1i*2 = A0 11 + i*2 0 + A1 11 + i*2 1 + Á + AN 11 + i*2N = 0. (7.1) Aquí conocemos el valor de An para cada periodo, pero no el valor de i*. Puesto que es la única incógnita, podemos encontrar el valor de i*. Como veremos dentro de poco, esta solución no siempre es directa dada la naturaleza de la función VP en la ecuación (7.1); desde luego, es posible tener más de una tasa de retorno para ciertos tipos de flujo de efectivo.3 Advierta que la fórmula de i* en la ecuación (7.1) es simplemente la fórmula del VP en la ecuación (5.1) donde despejamos la tasa de interés (i*) particular a la cual VP(i) es igual a cero. Al multiplicar ambos lados de la ecuación (7.1) por (1 ⫹ i*)N, obtenemos: VP 1i*211 + i*2N = VF 1i*2 = 0. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación (7.1) por el factor de recuperación del capital (A/P, i*, N), obtenemos la relación AE(i*) ⫽ 0. Por lo tanto, la i* de un proyecto también puede definirse como la tasa de interés que iguala el valor presente neto, el valor futuro y el valor anual equivalente de la serie completa de flujos de efectivo a cero. Es decir, VP 1i*2 = VF1i*2 = AE1i*2 = 0. 7.1.2 Rendimiento sobre el capital invertido Los proyectos de inversión pueden considerarse análogos a los préstamos bancarios. Presentaremos ahora el concepto de tasa de retorno con base en el rendimiento sobre el capital invertido en términos de un proyecto de inversión. El rendimiento de un proyecto se reiere a la tasa interna de retorno (TIR), o la ganancia que promete un proyecto de inversión a lo largo de su vida útil. 2 Como aprendimos en la sección 5.3.2, el saldo final es el equivalente del valor futuro neto de la inversión. Si el valor futuro neto de la inversión es cero, su VP también debe ser cero. 3 Usted siempre tendrá N tasas de retorno. El asunto es si las tasas son números reales o imaginarios. Si son reales, se debe averiguar si están en el intervalo (⫺100%, ∞). Una tasa de retorno negativa implica que usted nunca recuperará su inversión inicial. 252 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno Deinición 3 La tasa interna de retorno es la tasa de interés cobrada sobre el saldo pendiente del proyecto de inversión, de manera que, cuando el proyecto concluye, el saldo pendiente del proyecto es cero. Suponga que una compañía invierte $10,000 en la compra de una computadora con una vida útil de tres años, la cual supone un ahorro anual equivalente de mano de obra de $4,021. Aquí podemos ver a la compañía como el prestamista y al proyecto como el prestatario. La transacción de lujo de efectivo entre ellos sería idéntica a la transacción del préstamo amortizado descrita en la deinición 1: Año Saldo inicial del proyecto Rendimiento sobre el capital invertido (10%) Efectivo generado a partir Saldo del proyecto del proyecto al final del año 0 1 2 3 ⫺$10,000 ⫺$1,000 $4,021 ⫺$6,979 ⫺$6,979 ⫺$698 $4,021 ⫺$3,656 ⫺$3,656 ⫺$366 $4,021 $0 ⫺$10,000 En nuestro cálculo del saldo del proyecto, vemos que se gana (o se cobra) el 10% de los $10,000 durante el primer año, el segundo año se aplica el 10% a los $6,979, y el tercer año se aplica el 10% a los $3,656. Esta información indica que la firma obtiene una tasa de retorno del 10% sobre los fondos que permanecen invertidos internamente en el proyecto. Puesto que es un retorno interno del proyecto, nos referimos a él como tasa interna de retorno (TIR). Esto significa que el proyecto de la computadora sometido a consideración genera suficiente efectivo para autofinanciarse en tres años y proveer a la compañía un rendimiento del 10% sobre el capital invertido. En otras palabras, si la computadora es financiada con fondos que cuestan el 10% anual, el efectivo generado por la inversión será exactamente suficiente para liquidar el capital y el cargo por el interés anual sobre los fondos en tres años. Advierta también que sólo ocurre una salida de efectivo en el año 0, y que el valor presente de ese flujo de salida es simplemente $10,000. Existen tres entradas iguales, y el valor presente de esas entradas es de $4,021(P/A, 10%, 3) ⫽ $10,000. Puesto que VP ⫽ VPFlujo de entrada – VPFlujo de salida ⫽ $10,000 ⫺ $10,000 ⫽ 0, el 10% también satisface la definición 2 para la tasa de retorno. Aun cuando este sencillo ejemplo implica que i* coincide con TIR, sólo las definiciones 1 y 3 describen correctamente el verdadero significado de la tasa interna de retorno. Como veremos más adelante, si los gastos en efectivo de una inversión no se restringen al periodo inicial, pueden existir varias tasas de interés de equilibrio que satisfagan la ecuación (7.1). Sin embargo, puede no haber una tasa de retorno interna del proyecto. 7.2 Métodos para obtener la tasa de retorno Podemos obtener i* mediante varios procedimientos, cada uno de los cuales tiene sus ventajas y sus desventajas. Para facilitar el proceso de obtención de la tasa de retorno para un proyecto de inversión, clasiicaremos primero los tipos de lujos de efectivo de una inversión. 7.2.1 Inversiones simples contra inversiones no simples Podemos clasiicar un proyecto de inversión por el número de cambios de signo en su secuencia de lujos de efectivo neto. Un cambio de “⫺” a “⫹” o de “⫹” a “⫺” se 7.2 Métodos para obtener la tasa de retorno 253 considera como un cambio de signo. (Ignoramos un lujo de efectivo de cero.) Así, podemos establecer las siguientes categorías: • Una inversión simple (o convencional) es una inversión en la cual los flujos de efectivo iniciales son negativos y sólo se presenta un cambio de signo en la serie de flujos de efectivo neto. Si los flujos iniciales son positivos y sólo se presenta un cambio de signo en los flujos de efectivo neto posteriores, los flujos se denominan flujos de efectivo de préstamo simple. • Una inversión no simple (o no convencional) es una inversión en la cual ocurre más de un cambio de signo en la serie de flujos de efectivo. Como veremos más adelante, sólo en las inversiones no convencionales se presentan múltiples i*. Si no existe cambio de signo en toda la serie de lujos de efectivo, no existe tasa de retorno. Los diferentes tipos de inversión pueden ilustrarse como sigue: Signo del flujo de efectivo en el periodo Tipo de inversión Número de cambios de signo 0 1 2 3 4 5 Simple ⫺ ⫹ ⫹ ⫹ ⫹ ⫹ 1 Simple ⫺ ⫺ ⫹ ⫹ 0 ⫹ 1 No simple ⫺ ⫹ ⫺ ⫹ ⫹ ⫺ 4 No simple ⫺ ⫹ ⫹ ⫺ 0 ⫹ 3 EJEMPLO 7.1 Clasificación de la inversión Clasifique las siguientes tres series de flujos de efectivo como inversiones simples o no simples: Flujo de efectivo neto Periodo n Proyecto A Proyecto B Proyecto C 0 ⫺$1,000 ⫺$1,000 $1,000 1 ⫺$500 $3,900 ⫺$450 2 $800 ⫺$5,030 ⫺$450 3 $1,500 $2,145 ⫺$450 4 $2,000 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Las secuencias de flujo de efectivo de la tabla anterior. Determine: La clasificación de las secuencias como inversiones simples o no simples. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Genere una gráfica de clasificación de in versiones. • El proyecto A representa muchas inversiones simples. Este tipo de inversión revela el perfil del VP mostrado en la figura 7.1a). La curva cruza el eje i sólo una vez. • El proyecto B representa una inversión no simple. El perfil del VP para esta inversión tiene la forma mostrada en la figura 7.1b). Hay intersecciones en el eje i en 10%, 30% y 50%. 254 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno Proyecto A VP (i) i* i 44.23% a) Periodo Proyecto A Proyecto B Proyecto C (N) 0 ⫺$1,000 ⫺$1,000 $1,000 1 2 ⫺$500 $3,900 ⫺$450 $800 ⫺$5,030 ⫺$450 3 $1,500 $2,145 ⫺$450 4 $2,000 Proyecto B VP (i) A C B i* i*1 10% El proyecto A es una inversión simple. El proyecto B es una inversión no simple. El proyecto C es un flujo de efectivo de préstamo simple. 30% b) D i*2 i 50% Proyecto C VP (i) i* i 16.65% c) Figura 7.1 Clasificación de las inversiones • El proyecto C no es ni una inversión simple ni una no simple, aun cuando sólo tiene un cambio de signo en la secuencia de flujos de efectivo. Puesto que el primer flujo de efectivo es positivo, éste es un flujo de préstamo simple, no un flujo de inversión. El perfil del VP para este tipo de inversión es como el de la figura 7.1c). 7.2.2 Métodos numéricos Una vez que identiicamos el tipo del lujo de efectivo de una inversión, existen varios medios para determinar su tasa de retorno. Aquí analizaremos algunos de los métodos más prácticos, que son los siguientes: • • • Método de la solución directa Método de prueba y error Método Excel Método de la solución directa Para el caso muy especial de un proyecto con sólo dos operaciones de lujo (una inversión seguida por un único pago a futuro) o un proyecto con una vida de servicio de dos años de rendimiento, podemos buscar una solución analítica directa para determinar la tasa de retorno. Esos dos casos se examinan en el ejemplo 7.2. 7.2 Métodos para obtener la tasa de retorno 255 EJEMPLO 7.2 Obtención de i* por solución directa: Dos flujos y dos periodos Considere dos proyectos de inversión con las siguientes transacciones de flujo de efectivo: N Proyecto 1 Proyecto 2 0 ⫺$3,000 ⫺$2,000 1 $0 $1,300 2 $0 $1,500 3 $0 4 $4,500 Calcule la tasa de retorno para cada proyecto. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Los flujos de efectivo para los dos proyectos. Determine: i* para cada proyecto. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Anote detalladamente la fórmula del valor presente neto (o futuro) y despeje i. Proyecto 1: Despejar i* en VP(i*) ⫽ 0 es lo mismo que despejar i* en VF(i*) ⫽ 0, porque VF es igual al producto del VP por una constante. Podemos usar cualquier método aquí, pero elegimos VF(i*) ⫽ 0. Si usamos la relación de valor futuro de un pago único, obtenemos: VF1i2 ⫽ ⫺$3,0001F/P, i, 42 ⫹ $4,500 ⫽ 0. Al establecer que VF(i) ⫽ 0, obtenemos: $4,500 ⫽ $3,0001F/P, i, 42 ⫽ $3,00011 ⫹ i24, o 1.5 ⫽ 11 ⫹ i24. Al despejar i obtenemos 4 i* ⫽ 21.5 ⫺ 1 ⫽ 0.1067, o 10.67%. Proyecto 2: Podemos escribir la fórmula del VP para este proyecto como sigue: VP1i2 ⫽ ⫺$2,000 ⫹ Sea X ⫽ $1,500 $1,300 ⫹ ⫽ 0. 11 ⫹ i2 11 ⫹ i22 1 . 11 ⫹ i2 256 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno Podemos entonces rescribir la fórmula del VP(i) como una función de X e igualarla a cero de la siguiente manera: VP1i2 ⫽ ⫺$2,000 ⫹ $1,300X ⫹ $1,500X2 ⫽ 0. Esta fórmula es una ecuación cuadrática que tiene la siguiente solución:4 X⫽ ⫺1,300 ⫾ 21,3002 ⫺ 411,50021⫺2,0002 211,5002 ⫺1,300 ⫾ 3,700 3,000 ⫽ 0.8 o ⫺1.667. ⫽ Si sustituimos los valores de X y despejamos i obtenemos 0.8 ⫽ y ⫺1.667 ⫽ 1 : i ⫽ 25% 11 ⫹ i2 1 : i ⫽ ⫺160%. 11 ⫹ i2 Puesto que un interés menor del ⫺100% no tiene importancia económica, encontramos que la i* del proyecto es 25%. COMENTARIOS: En ambos proyectos se presenta un cambio de signo en la serie de flujos de efectivo neto, de manera que esperamos una i* única. Además, estos proyectos tienen flujos de efectivo muy simples. Generalmente, cuando los flujos de efectivo son más complejos, debemos usar el método de prueba y error o un programa de computadora para obtener i*. Método de prueba y error El primer paso en el método de prueba y error es realizar una estimación del valor de i*.5 Para una inversión simple usamos la tasa de interés estimada para calcular el valor presente de los lujos de efectivo neto y observamos si el resultado es positivo, negativo o cero: • • Caso 1: VP(i) ⬍ 0. Puesto que estamos apuntando a un valor de i que haga VP(i) ⫽ 0, debemos aumentar el valor presente del flujo de efectivo. Para hacer esto, reducimos la tasa de interés y repetimos el proceso. Caso 2: VP(i) ⬎ 0. Aumentamos la tasa de interés para disminuir VP(i). El proceso se repite hasta que VP(i) sea aproximadamente igual a cero. Siempre que alcanzamos el punto en el que VP(i) está limitado por un valor negativo y un valor positivo, usamos la interpolación lineal para aproximarnos a i*. Este proceso es algo tedioso e ineficiente. (El método de prueba y error no funciona para inversiones no simples en las cuales la función VP no es, en general, una función monótona decreciente de la tasa de interés.) 4 5 Dado aX 2 ⫹ bX ⫹ c ⫽ 0, la solución de la ecuación cuadrática es X ⫽ ⫺b ⫾ 2b2 ⫺ 4ac 2a . Como veremos más adelante en este capítulo, el objetivo final de encontrar i* es compararla con la TREMA. De esta forma, es una buena idea usar la TREMA como el valor estimado inicial. 7.2 Métodos para obtener la tasa de retorno 257 EJEMPLO 7.3 Obtención de i* mediante prueba y error La empresa ACME distribuye equipo agrícola. La junta directiva está evaluando una propuesta para construir instalaciones destinadas a manufacturar una fumigadora “inteligente”, controlada electrónicamente e inventada por un profesor de la universidad local. Este proyecto de la fumigadora requeriría una inversión de $10 millones en activos y produciría un beneficio anual después de impuestos de $1.8 millones, durante una vida de servicio de ocho años. Todos los costos y beneficios se incluyen en las cifras. Cuando el proyecto termine, la ganancia neta de la venta de los activos sería de $1 millón (figura 7.2). Calcule la tasa de retorno de este proyecto. $2.8 $1.8 $1.8 $1.8 1 2 3 $1.8 $1.8 $1.8 $1.8 5 6 7 0 4 Años 8 $10 Figura 7.2 Diagrama del flujo de efectivo de una inversión simple. Las cantidades se representan en millones de dólares ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: I ⫽ $10 millones, A ⫽ $1.8 millones, S ⫽ $ 1 millón y N ⫽ 8 años. Determine: i*. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule i* por prueba y error. Iniciamos con una tasa de interés estimada del 8%. El valor presente neto de los flujos de efectivo en dólares es: VP18%2 ⫽ ⫺$10 ⫹ $1.81P/A, 8%, 82 ⫹ $11P/F, 8%, 82 ⫽ $0.88. Puesto que el valor presente es positivo, debemos incrementar la tasa de interés para aproximar este valor hacia cero. Cuando usamos una tasa de interés del 12%, vemos que: VP112%2⫽ ⫺ $10 ⫹ $1.81P/A, 12%, 8) ⫹ $11P/F, 12%, 82⫽ ⫺$0.65. 258 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno La solución se muestra entre corchetes. VP(i) será cero cuando i se encuentre entre el 8 y 12%. Haciendo interpolación directa, hacemos una aproximación: i* ≈ 8% ⫹ 112% ⫺ 8%2c ⫽ 8% ⫹ 4%10.57522 ⫽ 10.30%. 0.88 ⫺ 0 d 0.88 ⫺ 1⫺0.652 Ahora verificaremos qué tan cerca se encuentra este valor con respecto al valor exacto de i*. Si calculamos el valor presente con este valor interpolado, obtenemos: VP110.30%2⫽ ⫺$10 ⫹ $1.81P/A, 10.30%, 82 ⫹ $11P/F, 10.30%, 82 ⫽ ⫺$0.045. Como el resultado no es cero, debemos recalcular i* a una tasa de interés más baja, digamos, 10%: VP110%2 ⫽ ⫺$10 ⫹ $1.81P/A, 10%, 82 ⫹ $11P/F, 10%, 82 ⫽ $0.069. Con otra interpolación lineal, hacemos una aproximación: i* ≈ 10% ⫹ 110.30% ⫺ 10%2c ⫽ 10% ⫹ 0.30%10.60532 ⫽ 10.18%. 0.069 ⫺ 0 d 0.069 ⫺ 1⫺0.0452 A esta tasa de interés: VP110.18%2 ⫽ ⫺$10 ⫹ $1.81P/A, 10.18%, 82 ⫹ $11P/F, 10.18%, 82 ⫽ $0.0007, lo cual es prácticamente cero, de manera que aquí debemos detenernos. De hecho, no es necesario ser más exactos con las interpolaciones porque el resultado final no puede ser más exacto que los datos básicos, los cuales por lo general son estimaciones aproximadas. Por cierto, si calculamos i* para este problema en una computadora nos da 10.1819%. Cálculo de la tasa de retorno con Excel Por fortuna, no necesitamos cálculos manuales laboriosos para determinar i*. Muchas calculadoras inancieras cuentan con funciones para calcular i*. Es importante saber que muchos paquetes de hojas de cálculo tienen funciones para calcular rápidamente i* a partir de la ecuación (7.1). Las hojas de cálculo normalmente trabajan a partir de los lujos de efectivo que se introducen en la computadora a través del teclado o leyendo un archivo de lujos de efectivo. Por ejemplo, Microsoft Excel tiene una función inanciera TIR que analiza inversiones de lujos de efectivo, es decir, ⫽TIR (rangos, aproximaciones). Mostraremos cómo se obtiene la función TIR con un ejemplo que implica una inversión en un bono corporativo. 7.2 Métodos para obtener la tasa de retorno 259 EJEMPLO 7.4 Rendimiento al vencimiento Considere la compra de un bono corporativo de $1,000, a un precio de mercado de $996.25. El interés se pagará semestralmente a una tasa por periodo de pago del 4.8125%. Se requieren 20 pagos de intereses durante 10 años. Se muestra el flujo de efectivo resultante para el inversionista en la figura 7.3. Determine el rendimiento de este bono de inversión (o rendimiento al vencimiento). $1,000 20 pagos de intereses del bono $48.13 Valor nominal 0 5 10 15 20 Periodos semestrales $996.25 Figura 7.3 Una transacción típica de flujo de efectivo asociada con una inversión en un bono corporativo ANÁLISIS DEL PROBLEMA En el mercado se pueden intercambiar bonos de la misma forma que sucede con las acciones. Una vez que usted compra un bono, puede conservarlo hasta el vencimiento o venderlo en cualquier momento antes del vencimiento. Usted puede comprar o vender bonos a precios diferentes del valor nominal, dependiendo del entorno económico, ya que los precios de un bono cambian con el tiempo de acuerdo con factores como el riesgo de no recuperar el interés o el valor nominal, la oferta y la demanda, y las perspectivas de las condiciones económicas. Estos factores afectan el rendimiento al vencimiento (o rendimiento sobre la inversión). El rendimiento al vencimiento representa el interés real ganado por el bono durante el tiempo que se le posee. En otras palabras, el rendimiento al vencimiento de un bono es la tasa de interés que establece la equivalencia entre todos los intereses futuros y el valor nominal, y el precio de mercado del bono. Algunos conceptos específicos relacionados con el bono en cuestión se resumen a continuación: • Valor nominal: El bono tiene un valor nominal de $1,000. • Fecha de vencimiento: Los bonos emitidos el 30 de enero de 2007 vencerán el 31 de enero de 2017, de manera que tienen un vencimiento a 10 años a partir de su emisión. • Tasa del cupón: La tasa del cupón del bono es del 9.625% y el interés se paga semestralmente. Por ejemplo, los bonos tienen un valor nominal de $1,000 y pagan $96.25 de interés simple A 9 58% B cada año (o $48.13 semestralmente). • Bono de descuento: Los bonos se ofrecen a un precio menor que el valor nominal: al 99.625%, o con un descuento del 0.375%. Por ejemplo, un bono con un valor nominal de $1,000 puede comprarse por sólo $996.25, lo que se conoce como precio de mercado (o valor) del bono. Dados: El precio inicial de compra ⫽ $996.25 tasa del cupón ⫽ 9.625% anual, que se paga semestralmente y tiene vencimiento a 10 años, con un valor nominal de $1,000. Determine: El rendimiento al vencimiento. 260 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno METODOLOGÍA SOLUCIÓN Determine la tasa de interés que hace que el VP de los ingresos sea igual al precio de mercado del bono. Obtenemos el rendimiento al vencimiento determinando la tasa de interés que hace que el valor presente de los ingresos sea igual al precio de mercado del bono: $996.25 ⫽ $48.131P/A, i, 202 ⫹ $1000 P/F, i, 202. El valor de i que hace el valor presente de los ingresos igual a $996.25 se encuentra entre el 4.5% y 5%. Al despejar i por interpolación, se obtiene i ⫽ 4.84% Usando la función TIR en Excel, podemos calcular fácilmente el rendimiento al vencimiento, como se muestra en la tabla 7.1 de la siguiente página. El valor estimado inicial usado en este cálculo es el 4%, con un intervalo de celdas de B10:B30. COMENTARIOS: Advierta que este resultado es un 4.84% de rendimiento al vencimiento semestral. El rendimiento nominal (anual) es 2(4.84) ⫽ 9.68% compuesto semestral. Cuando comparamos con la tasa del cupón de 9 58% (o 9.625%), la compra del bono con el precio descontado de un 0.375% genera un rendimiento adicional del 0.055%. Por lo tanto, la tasa anual efectiva del cupón es ia ⫽ 11 ⫹ 0.048422 ⫺ 1 ⫽ 9.91%. Este 9.91% representa el rendimiento anual efectivo al vencimiento del bono. Advierta que cuando usted compra un bono a valor nominal y lo vende a valor nominal, el rendimiento al vencimiento será el mismo que la tasa del cupón del bono. 7.3 Criterio de la tasa interna de retorno Ahora que hemos clasiicado los proyectos de inversión y aprendido métodos para determinar el valor de i* para lujos de efectivo de un proyecto determinado, nuestro siguiente objetivo es desarrollar una regla para tomar una decisión de aceptación o de rechazo que dé resultados congruentes con los obtenidos mediante el análisis del VP. 7.3.1 Relación con el análisis del VP Como vimos en el capítulo 5, el análisis del VP depende de la tasa de interés usada para el cálculo del VP. Una tasa de interés diferente puede determinar que un proyecto aceptable se convierta en inaceptable, o puede cambiar la clasiicación de varios proyectos. Considere nuevamente el perfil del VP para un proyecto simple, como el que se ilustra en la figura 7.1a). Para tasas de interés por debajo de i*, este proyecto debe aceptarse, en tanto que VP ⬎ 0; para tasas de interés por arriba de i*, debe rechazarse. Por otro lado, en el caso de ciertos proyectos no convencionales, el VP puede parecerse al mostrado en la figura 7.1b). El empleo del análisis del VP nos lleva a aceptar los proyectos en las regiones A y C, y a rechazar aquéllos de las regiones B y D. Por supuesto, este resultado va contra la intuición: una tasa de interés más elevada convertiría un 7.3 Criterio de la tasa interna de retorno 261 TABLA 7.1 Cálculo del rendimiento al vencimiento de un bono corporativo Ejemplo 7.4 Cálculo del rendimiento al vencimiento Precio de mercado Vencimiento (periodos semestrales) Valor nominal Tasa del cupón (por periodo semestral) Rendimiento al vencimiento Periodo Flujo de efectivo TIR proyecto inaceptable en un proyecto aceptable. La situación graficada en la figura 7.1b) es uno de los casos de múltiples i* que se mencionaron en torno a la definición 2. Por lo tanto, para la situación de inversión simple representada en la figura 7.1a), i* puede servir como un índice apropiado para aceptar o rechazar la inversión. Sin embargo, en el caso de las inversiones no convencionales de la figura 7.1b), no está claro cuál i* usar para tomar una decisión de aceptación o rechazo. Así, el valor de i* falla como una medición adecuada de la rentabilidad de un proyecto de inversión con múltiples tasas de retorno. 7.3.2 Regla de decisión para inversiones simples Suponga que tenemos una inversión simple. ¿Por qué estamos interesados en obtener la tasa de interés particular que iguala el costo de un proyecto con el valor presente de sus ingresos? Una vez más, podemos contestar fácilmente esta pregunta examinando la igura 7.1a). En 262 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno Inversión simple i* ⫽ TIR Proyecto único Inversión no simple Generalmente, i* ⫽ TIR Se acepta si i* ⬎ TREMA Enfoque analítico: consulte el capítulo 7A para determinar la verdadera i* (o RCI). Abandone el enfoque TIR: utilice el criterio del VPN Proyectos mutuamente excluyentes Análisis incremental Calcule TIR incremental, i*B ⫺A⭈ Si i*B ⫺A ⬎ TREMA, seleccione B. Si i*B ⫺A ⬍ TREMA, seleccione A. Figura 7.4 Reglas de selección de un proyecto de acuerdo con el criterio TIR esta igura notamos dos características importantes del peril del VP. Primero, al calcular el VP(i ) del proyecto a una tasa de interés i variable, vemos que el VP es positivo para valores i ⬍ i*, lo que indica que el proyecto sería aceptable de acuerdo con un análisis del VP para esos valores de i. Segundo, el VP es negativo para i ⬎ i*, lo que indica que el proyecto es inaceptable para esos valores de i. Por lo tanto, la i* sirve como una tasa de interés de referencia (benchmark). Conociendo esta tasa de referencia, podremos tomar una decisión de aceptación o rechazo congruente con el análisis del VP. • Evaluación de un único proyecto: Observe que para una inversión simple, i* es de hecho la TIR de la inversión. (Véase la sección 7.1.2.) Sin embargo, el solo hecho de conocer i* no es suficiente para aplicar este método. Como las empresas, por lo general, desean lograr algo más que sólo recuperar los gastos (recuerde que con un VP ⫽ 0, el proyecto nos deja indiferentes), una tasa de retorno mínima aceptable (TREMA) es recomendada por las políticas de la compañía, la dirección o el encargado de tomar decisiones en relación con el proyecto. Si la TIR excede a la TREMA, aseguramos que la compañía logrará más que simplemente recuperar los gastos. Así, la TIR se transforma en un útil indicador para juzgar la aceptabilidad del proyecto (véase la figura 7.4), y las reglas de decisión para un proyecto simple son las siguientes: Si la TIR ⬎ TREMA, se acepta el proyecto. Si la TIR ⫽ TREMA, permanecemos indiferentes ante el proyecto. Si la TIR ⬍ TREMA, se rechaza el proyecto. • Evaluación de proyectos mutuamente excluyentes: Observe que las anteriores reglas de decisión están diseñadas para aplicarse en la evaluación de un proyecto único. Cuando tenemos que comparar proyectos de inversión mutuamente excluyentes, necesitamos aplicar el enfoque de análisis incremental, como veremos en la sección 7.4.2. Por ahora, consideraremos la evaluación de un proyecto único. EJEMPLO 7.5 Decisión de inversión para una inversión simple: Economía del viento Una compañía energética está considerando la viabilidad a largo plazo de una planta de generación de energía eléctrica a partir del viento en Texas, y planea edificar una de las plantas eólicas más grandes en el mundo, con 200 turbinas de viento con un costo de $1.69 millones cada una. 7.3 Criterio de la tasa interna de retorno 263 Las compañías generadoras de energía que invierten en plantas eólicas también esperan que los gobiernos hagan más rígidas las reglamentaciones relacionadas con las fuentes de energía tradicionales, como parte de los esfuerzos a largo plazo por reducir las emisiones que contribuyen al calentamiento global. Pero la generación de energía eléctrica a partir del viento no es rentable para las compañías sin estímulos fiscales. Los siguientes datos técnicos y financieros se recopilaron para completar el estudio: • Número de turbinas que se construirán: 200 unidades • Capacidad de generación de energía eléctrica: 310,000 kW • Capital de inversión requerido: $338,000,000 • Vida del proyecto: 20 años • Valor de rescate de las turbinas después de 20 años: $0 • Flujos de efectivo neto anual (después de todas las deducciones): $41,391,160 De acuerdo con los datos, conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cual es la TIR proyectada en esta inversión? b) Si se sabe que la TREMA de la compañía es del 10%, ¿se justifica la inversión? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Supusimos lo siguiente al obtener el flujo de efectivo neto anual ($41,391,160) • Factor de carga promedio: 35% (para un caso especíico, pero podemos usar este valor para efectos de análisis) • Potencia generada por año: Potencia generada por año ⫽ 310,000 kW ⫻ 0.35 ⫻ 24 hrs/día ⫻ 365 días/año ⫽ 950,460,000 kWh/año • Precio de venta de la energía eléctrica generada por las turbinas: $0.034/kWh Ingresos operativos ⫽ $0.034/kWh ⫻ 950,460,000 kWh/año ⫽ $32,315,640/año • Crédito de impuestos federales: $0.018kWh vendidos a los consumidores del servicio público Crédito fiscal ⫽ $0.018/kWh ⫻ 950,460,000 kWh/año ⫽ $17,108,280/año • Pago de derechos anuales: $4,000 por turbina por año (u $800,000) • Costo de operación y mantenimiento anual: $16,300 por turbina por año (o $3,260,000) • Pago anual de impuestos: $3,972,760. (Explicaremos cómo calculamos esta cantidad en el capítulo 8.) Dados: Los datos técnicos y financieros indicados arriba; TREMA ⫽ 10% Determine: a) TIR y b) si se acepta o se rechaza la inversión. 264 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno METODOLOGÍA SOLUCIÓN Utilizaremos Excel para calcular la TIR. a) Puesto que sólo ocurre un cambio de signo en la serie de flujos de efectivo neto, el proyecto es una inversión simple. Este factor indica que habrá una sola tasa de retorno interna al proyecto: VP1i2 ⫽ ⫺$338,000,000 ⫹ $41,391,1601P/A, i, 202 ⫽ 0. i* ⫽ 10.62% Podríamos usar el enfoque de prueba y error descrito en la sección 7.2.2 para obtener la TIR, pero utilizar la función de TIR en Excel sería una manera más conveniente para calcular la tasa interna de retorno. La tabla 7.2 indica que la tasa de retorno del proyecto es del 10.62%, la cual apenas excede la TREMA del 10%. (Este proyecto no resulta económico sin el crédito de impuestos federales.) b) La cifra de la TIR excede a la TREMA requerida, lo que indica que el proyecto es económicamente atractivo y puede continuar. TABLA 7.2 Hoja de Excel que ilustra cómo determinar la TIR (ejemplo 7.5) Ejemplo 7.5 Proyecto de turbinas eólicas Salidas Entradas TREMA (%) Del periodo Esquema Valor presente neto Valor futuro neto Valor anual TIR Al periodo Gradiente Igual Cantidad inicial Reiniciar Periodo Flujo de efectivo Anular Agregar Enviar Calcular Reiniciar Gráfica TIR Diagrama de flujo de efectivo TREMAS (%) Saldo de efectivo Gráfica de saldo de efectivo Celda TIR 7.3 Criterio de la tasa interna de retorno 265 Sin embargo, no hay duda de que la instalación del sistema de turbinas de viento representa un gran riesgo financiero para la compañía si cualquier cambio climático en la región disminuye el factor de capacidad (o carga). 7.3.3 Reglas de decisión para inversiones no simples Cuando la i* se aplica a proyectos simples, ofrece un criterio inequívoco para medir la rentabilidad. Sin embargo, cuando se presentan múltiples tasas de retorno, ninguna de ellas es una representación precisa de la aceptabilidad o la rentabilidad del proyecto. Por consiguiente, nuestra prioridad debe ser aclarar esta situación lo más pronto posible en nuestro análisis de los lujos de efectivo del proyecto. La forma más rápida para predecir la existencia de múltiples i* es generar un peril del VP en la computadora y veriicar si cruza el eje horizontal más de una vez. Además del perfil del VP, existen buenos métodos analíticos —si bien algo más complejos— para predecir la existencia de múltiples i*. En el capítulo 7A se explicará el método que quizá sea el más importante, y que utiliza una tasa de interés externa para refinar el análisis cuando descubrimos la existencia de múltiples i*. Una tasa de retorno externa nos permite calcular una tasa de retorno única y real. Si usted decide evitar la aplicación de las técnicas más complejas para la obtención de la tasa de retorno, debe ser capaz de predecir la existencia de múltiples i* a través del perfil del VP y después seleccionar un método alternativo para determinar la aceptabilidad del proyecto, tal como el análisis del VP o el VAE. EJEMPLO 7.6 Decisión de inversión para un proyecto no convencional Al hacer una mejor oferta que sus competidores, Turbo Image Processing (tip), un contratista de la Defensa, recibió un contrato por $7,300,000 para construir simuladores de vuelo para el entrenamiento de pilotos de la marina de Estados Unidos; el contrato tiene una vigencia de dos años. En algunos contratos de la Defensa, el gobierno de Estados Unidos da un anticipo al firmar el contrato, pero en este caso el gobierno realizará dos pagos sucesivos: $4,300,000 al final del primer año y el saldo de $3,000,000 al final del segundo año. Los flujos de efectivo requeridos para producir esos simuladores se estiman en $1,000,000 ahora, $2,000,000 durante el primer año y $4,320,000 durante el segundo año. Los flujos de efectivo neto esperados para este proyecto se resumen de la siguiente manera: Entrada de efectivo Salida de efectivo Flujo de efectivo neto $1,000,000 ⫺$1,000,000 1 $4,300,000 $2,000,000 $2,300,000 2 $3,000,000 $4,320,000 ⫺$1,320,000 Año 0 En situaciones normales, la empresa tip no consideraría siquiera como de alta prioridad un proyecto marginal como éste. Sin embargo, esperando que tip pueda convertirse en líder tecnológico en este campo, la dirección consideró valioso colocarse por delante de sus competidores presentando la oferta más atractiva. Desde el punto de vista inanciero, ¿cuál es el valor económico de hacer una mejor oferta que los competidores en este proyecto? 266 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno a) Calcule los valores de las i* para este proyecto. b) Tome una decisión de aceptación o rechazo sobre la base de los resultados del inciso a). Suponga que la TREMA del contratista es del 15%. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: El flujo de efectivo mostrado en la tabla precedente; TREMA ⫽ 15%. Determine: a) i* y b) si es conveniente aceptar el proyecto. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Método cuadrático. a) Puesto que el proyecto tiene dos años de vida, podemos resolver la ecuación del VPN aplicando directamente el método de la fórmula cuadrática: ⫺$1,000,000 ⫹ $2,300,000 $1,320,000 ⫺ ⫽0 11 ⫹ i*2 11 ⫹ i*22 Si hacemos que X ⫽ 1/(1 ⫹ 1 i*), podemos escribir la expresión como ⫺1,000,000 ⫹ 2,300,000X ⫺ 1,320,000X2 ⫽ 0. Al despejar X nos da X ⫽ vamente. 10 11 y 10 , 12 o i* ⫽ 10% y 20% respecti- b) Como se muestra en la figura 7.5, el perfil del VP interseca el eje horizontal dos veces, una vez en 10% y otra en 20%. Obviamente, la inversión no es simple y, por lo tanto, ni el 10% ni el 20% representan la verdadera tasa interna de retorno de este proyecto gubernamental. 2,000 Valor presente ($) 1,000 VP(i) > 0 0 i*1 10% i*2 20% 1,000 2,000 5 10 15 Tasa de interés (%) 20 25 Figura 7.5 Gráfica del VPN para una inversión no simple con múltiples tasas de retorno 7.4 Análisis incremental para comparar alternativas mutuamente excluyentes 267 Puesto que el proyecto es no simple, podemos abandonar el criterio de la TIR con fines prácticos y usar el criterio del VP. Si usamos el método del valor presente para la TREMA ⫽ 15%, obtenemos VP115%2 ⫽ ⫺$1,000,000 ⫹ $2,300,0001P/F, 15%, 12 ⫺ $1,320,0001P/F, 15%, 22 ⫽ $1,890, con lo cual se comprueba que el proyecto es marginalmente aceptable y que no es tan malo como inicialmente se pensó. 7.4 Análisis incremental para comparar alternativas mutuamente excluyentes En esta sección exponemos los procedimientos de decisión que deben usarse al comparar dos o más proyectos mutuamente excluyentes sobre la base de la medición de la tasa interna de retorno. Consideraremos dos situaciones: 1. alternativas que tienen la misma vida económica de servicio y 2. alternativas que tienen vidas desiguales de servicio. 7.4.1 Errores en la clasificación de proyectos usando TIR De acuerdo con los análisis del VP o del VAE, es preferible el proyecto excluyente con el valor más alto. (Este enfoque se conoce como el “enfoque de inversión total”.) Por desgracia, no se puede aplicar una analogía al análisis de la TIR. El proyecto con la TIR más elevada tal vez no sea la mejor alternativa. Para ilustrar los inconvenientes de comparar las TIR con la inalidad de seleccionar entre proyectos mutuamente excluyentes, suponga que tiene dos alternativas mutuamente excluyentes, cada una con una vida de servicio de un año. Una de ellas requiere una inversión de $1,000 con un rendimiento de $2,000, y la otra requiere $5,000 con un rendimiento de $7,000. Usted ya obtuvo las TIR y los VP con una TREMA del 10%, como se ve a continuación: Comparación de alternativas mutuamente excluyentes, con base en la TIR • Pregunta: ¿Podemos clasificar proyectos mutuamente excluyentes con base en la magnitud de la TIR? n Proyecto A1 0 ⫺$1,000 $2,000 1 Proyecto A2 ⫺$5,000 $7,000 TIR 100% ⬎ 40% VP(10%) $818 ⬍ $1,364 Suponiendo que usted tiene exactamente $5,000 en fondos de inversión y debe seleccionar uno de los dos proyectos, ¿preferiría el primer proyecto simplemente porque espera una mayor tasa de retorno? Vemos que el proyecto A2 es preferible sobre el proyecto A1 por el monto del VP. Por otro lado, el monto de la TIR otorga una clasificación numéricamente mayor al proyecto A1. Esta incongruencia en la clasificación ocurre porque el VP, el VF y el VAE son medidas absolutas (dólares) del valor de la inversión, mientras que la TIR es una medida relativa (porcentaje) y no puede considerarse de la misma forma. Es decir, la TIR 268 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno ignora la escala de la inversión. Por lo tanto, la respuesta es no; usted debe elegir el segundo proyecto con la tasa de retorno más baja, pero mayor VP. El monto tanto del VP como del VAE nos llevaría a esa selección, pero la comparación de las TIR clasificaría más alto al proyecto A1. Es necesario tener otro enfoque en relación con el análisis incremental. 7.4.2 Análisis de inversión incremental En el ejemplo anterior, la opción más costosa requiere $4,000 más que la otra opción, mientras otorga un rendimiento incremental de $5,000. Para comparar esto directamente, debemos observar el impacto total en nuestro fondo común de inversión usando términos comunes. Aquí examinamos el impacto en cada proyecto sobre un fondo de inversión de $5,000. Se deben considerar los siguientes factores: • Si se decide invertir en el proyecto A1 será necesario retirar sólo $1,000 del fondo de inversión. Los restantes $4,000, que no son asignados, continuarán ganando el 10% de interés. Un año más tarde tendremos $2,000 de la inversión externa y $4,400 en el fondo de inversión. Así, con una inversión de $5,000, en un año tendremos $6,400 (o un 28% de rendimiento sobre los $5,000). El valor presente equivalente de este cambio en el fondo es VP(10%) ⫽ ⫺$5,000 ⫹ $6,400(P/F, 10%, 1) ⫽ $818. • Si se decide invertir en el proyecto A2, se necesitará retirar $5,000 del fondo de inversión, sin dejar nada de dinero en el fondo, pero obtendremos $7,000 de la inversión externa. El incremento total en el capital es de $5,000 a $7,000 en un año. El valor presente equivalente de este cambio es VP(10%)⫽ ⫺$5,000 ⫹ $7,000(P/F, 10%, 1) ⫽ $1,364. En otras palabras, si se decide aceptar la opción más costosa, seguramente sería interesante saber que esta inversión adicional puede justificarse con la TREMA. El valor de la TREMA del 10% implica que usted siempre puede ganar esa tasa en otras fuentes de inversión (por ejemplo, $4,400 al final de un año por una inversión de $4,000). Sin embargo, en la segunda opción, por la inversión de los $4,000 adicionales, usted obtendría $5,000 adicionales, lo cual es equivalente a obtener una tasa del 25%. Por lo tanto, la inversión más costosa se justifica. La figura 7.6 resume el proceso de ejecución del análisis de inversión incremental. Inversión incremental Proyecto A1 Proyecto A2 (A2 ⫺ A1) n $1,000 $2,000 0 1 TIR VP(10%) 100% $818 $5,000 $7,000 40% $1,364 $4,000 $5,000 25% $546 • Suponiendo una TREMA del 10%, usted siempre puede ganar esa tasa a partir de otras fuentes de inversión (por ejemplo, $4,400 al final del año para una inversión de $4,000). • Al invertir $4,000 adicionales en la opción A2, usted obtendría $5,000 adicionales, lo cual es equivalente a obtener una tasa del 25%. Por lo tanto, la inversión incremental en A2 está justificada. Figura 7.6 Ilustración del análisis incremental 7.4 Análisis incremental para comparar alternativas mutuamente excluyentes 269 Ahora podemos generalizar las reglas de decisión para comparar proyectos mutuamente excluyentes. Para un par de proyectos mutuamente excluyentes (A y B, de los cuales, B es la opción más costosa), podemos representar B como B ⫽ A ⫹ (B ⫺ A). En otras palabras, B tiene dos componentes de flujo de efectivo: 1. el mismo flujo de efectivo que A y 2. el componente incremental (B ⫺ A). De esta forma, la única situación en la cual B tiene preferencia sobre A es cuando la tasa de retorno sobre el componente (B ⫺ A) excede la TREMA. Por consiguiente, para dos proyectos mutuamente excluyentes, usamos el análisis de la tasa de retorno calculando la tasa interna de retorno en inversiones incrementales (TIRB⫺A) entre los proyectos. Puesto que queremos considerar incrementos en la inversión, calculamos el flujo de efectivo para la diferencia entre proyectos restando el flujo de efectivo del proyecto con menor costo de inversión (A) del flujo de efectivo del proyecto con mayor costo de inversión (B). Así, la regla de decisión es como sigue, donde (B ⫺ A) representa un incremento en la inversión. (El signo del primer flujo de efectivo debe ser negativo.) Si TIRB⫺A ⬎ TREMA, seleccione B (alternativa con el mayor costo). Si TIRB⫺A ⫽ TREMA, seleccione cualquiera. Si TIRB⫺A ⬍ TREMA, seleccione A (alternativa con el menor costo). Si se permite una alternativa de “no hacer nada”, la opción de menor costo es rentable (su TIR debe ser mayor que la TREMA). Esto significa que calculamos la tasa de retorno de cada alternativa del grupo de las mutuamente excluyentes y luego eliminamos las alternativas que tienen TIR menores que la TREMA antes de realizar el análisis de inversión incremental. Tal vez le parezca extraña la forma en que esta sencilla regla nos permite seleccionar el proyecto correcto. El ejemplo 7.7 le ilustrará las reglas de decisión de las inversiones incrementales. EJEMPLO 7.7 TIR en inversiones incrementales: Dos alternativas John Covington, un estudiante de preparatoria, quiere iniciar, a pequeña escala, un negocio de pintura durante sus horas libres. Para economizar en el inicio de actividades, decide comprar equipo de pintura usado. Tiene dos opciones mutuamente excluyentes: realizar la mayoría de los trabajos de pintura él mismo, pero limitando su negocio a sólo trabajos de pintura en residencias (B1) o comprar más equipo de pintura y contratar algunos ayudantes para hacer trabajos de pintura tanto en residencias como en comercios (B2). Él sabe que la opción B2 tendrá un mayor costo de equipamiento, pero también dará mayores ganancias. En cada caso espera suspender el negocio en tres años, cuando se gradúe de la preparatoria. Los flujos de efectivo para las dos alternativas mutuamente excluyentes son los siguientes: n 0 1 2 3 TIR B1 B2 B2 ⫺ B1 ⫺$3,000 $1,350 $1,800 $1,500 ⫺$12,000 $4,200 $6,225 $6,330 ⫺$9,000 $2,850 $4,425 $4,830 25% 17.43% 270 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno Sabiendo que ambas alternativas son proyectos rentables, ¿cuál proyecto debería seleccionar John con una TREMA ⫽ 10%? (Note que ambos proyectos son rentables al 10%.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: El lujo de efectivo incremental entre las dos alternativas; TREMA ⫽ 10%. Determine: a) La TIR sobre el incremento y b) cuál alternativa es preferible. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el lujo de efectivo incremental y luego la TIR. a) Para seleccionar el mejor proyecto, calculamos el lujo de efectivo incremental para B2 – B1. Luego calculamos la TIR sobre el incremento de la inversión, resolviendo ⫺$9,000 ⫹ $2,8501P/F, i, 12 ⫹ $4,4251P/F, i, 22 ⫹ $4,8301P/F, i, 32 ⫽ 0. b) Obtenemos i*B2⫺B1 ⫽ 15%, como se graicó en la igura 7.7. Examinando el lujo de efectivo incremental, sabemos que se trata de una inversión simple; de manera que TIRB2⫺B1 ⫽ i*B2⫺B1. Puesto que TIRB2⫺B1 ⬎ TREMA, seleccionamos B2, lo cual es congruente con el análisis del VP. Advierta que para TREMA ⬎ 25%, ningún proyecto sería aceptable. Seleccionar B2 6,000 Seleccionar B1 No hacer nada 5,000 0 $3,000 $12,000 $9,000 1 $1,350 $4,200 $2,850 2 $1,800 $6,225 $4,425 1,000 3 $1,500 $6,330 $4,830 2,000 17.43% B1 15% i *B2 B1 2,000 B1 25% B2 3,000 n TIR B2 Valor presente ($) 4,000 1,000 0 3,000 B1 VP(i)B2 ⬎ VP(i)B1 0 5 B2 10 15 20 25 30 35 40 45 Tasa de interés (%) Si TREMA ⫽ 10%, ¿cuál proyecto es la mejor opción? Puesto que TIRB2⫺B1 ⫽ 15% ⬎ 10% y TIRB2 ⬎ 10%, seleccione B2. Figura 7.7 15% Perfiles VPN para B1 y B2 COMENTARIOS: ¿Por qué elegimos examinar el incremento B2 – B1 en vez de B1 – B2? Queremos que el primer flujo de la serie de flujos de efectivo incrementales sea negativo (flujo de inversión) de manera que podamos calcular una TIR. Restando el proyecto de inversión inicial más baja del proyecto de inversión más grande, garantizamos que el primer incremento sea un flujo de inversión. Si ignoramos la clasificación de inversiones, podríamos terminar con un incremento que implica solicitar en préstamo un flujo de efectivo que no tiene tasa de retorno interna para la inversión. 7.4 Análisis incremental para comparar alternativas mutuamente excluyentes 271 El siguiente ejemplo indica que la incongruencia en la clasificación entre el VP y la TIR también puede ocurrir cuando existen diferencias en la calendarización de los flujos de efectivo de un proyecto futuro, aun cuando la inversión inicial sea la misma. EJEMPLO 7.8 TIR de una inversión incremental cuando los flujos iniciales son iguales Considere los siguientes dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes que requieren la misma cantidad de inversión. n C1 C2 0 ⫺$9,000 ⫺$9,000 1 $480 $5,800 2 $3,700 $3,250 3 $6,550 $2,000 4 $3,780 $1,561 18% 20% TIR ¿Cuál proyecto seleccionaría usted considerando la tasa de retorno sobre una inversión incremental, suponiendo que la TREMA ⫽ 12%? (Una vez más, ambos proyectos son rentables al 12%.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Los flujos de efectivo para dos alternativas mutuamente excluyentes como se indica; TREMA ⫽ 12%. Determine: a) La TIR sobre la inversión incremental y b) cuál alternativa es preferible. METODOLOGÍA SOLUCIÓN a) Cuando las inversiones iniciales son iguales, avanzamos a través de los flujos de efectivo hasta que encontramos la primera diferencia y luego establecemos el incremento de manera que este primer flujo diferente de cero sea negativo (esto es, una inversión). Así, determinamos la inversión incremental tomando (C1 ⫺ C2): n C1 ⫺ C2 0 $0 1 ⫺$5,320 2 $450 3 $4,550 4 $2,219 272 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno En seguida igualamos a cero la ecuación del VP de la siguiente forma: ⫺ $5,320 ⫹ $4501P/F, i, 12 ⫹ $4,5501P/F, i, 22 ⫹ $2,219 1P/F, i, 32 ⫽ 0. b) Al despejar i se obtiene i* ⫽ 14.71%, que también es una TIR puesto que el incremento es una inversión simple. Como TIRC1⫺C2 ⫽ 14.71% ⬎ TREMA, seleccionaríamos C1. Si usamos el análisis del VP, obtendríamos VP(12%)C1 ⫽ $1,443 y VP(12%)C2 ⫽ $1,185, lo que confirma la preferencia de C1 sobre C2. COMENTARIOS: Cuando usted tiene más de dos alternativas mutuamente excluyentes, puede compararlas por pares mediante una revisión sucesiva, como se muestra en la figura 7.8. n D1 D2 D3 0 $2,000 $1,000 $3,000 1 $1,500 $800 $1,500 2 $1,000 $500 $2,000 3 $800 $500 $1,000 TIR 34.37% 40.76% 24.81% Paso 1: Examine la TIR de cada proyecto para eliminar cualquier proyecto que no cumpla con la TREMA (⫽ 15%). Paso 2: Compare D1 y D2 por pares: TIRD1⫺D2 ⫽ 27.61% ⬎ 15%, entonces, seleccione D1. Paso 3: Compare D1 y D3: TIRD3⫺D1 ⫽ 8.8% ⬍ 15%, entonces, seleccione D1. Aquí concluimos que D1 es la mejor alternativa. Figura 7.8 Tres alternativas de TIR sobre una inversión incremental EJEMPLO 7.9 Análisis incremental de proyectos sólo por costo Falk Corporation está evaluando dos tipos de sistemas de manufactura para producir sus acoplamientos axiales durante seis años: 1. un sistema de manufactura por celdas (CMS) y 2. un sistema de manufactura flexible (FMS). El promedio de piezas a producir en uno u otro sistema es de 544,000 al año. Las estimaciones de costos de operación, inversión inicial y valor de rescate para cada alternativa son las siguientes: Rubro Opción CMS Opción FMS Inversión $4,500,000 $12,500,000 Costos de operación totales anuales $7,412,920 $5,504,100 $500,000 $1,000,000 Valor de rescate neto La TREMA de la compañía es del 15%. Con base en el criterio de la TIR, ¿cuál alternativa sería más recomendable? 7.4 Análisis incremental para comparar alternativas mutuamente excluyentes 273 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Los flujos de efectivo mostrados en la figura 7.9 e i ⫽ 15% anual. Como suponemos que ambos sistemas darían el mismo nivel de ganancias en el periodo de análisis, podemos comparar estas alternativas únicamente sobre la base de costos. (Estos sistemas son proyectos de servicio.) Si bien no podemos calcular la TIR para cada opción sin conocer las ganancias, podemos calcular sin problema la TIR de los flujos de efectivo incrementales. Puesto que la opción FMS requiere una inversión inicial mayor que la opción CMS, el flujo de efectivo incremental es la diferencia (FMS – CMS). Determine: Los flujos de efectivo incrementales y cuál es la mejor alternativa con base en el criterio de la TIR. n Opción CMS Opción FMS Incremento (FMS – CMS) 0 ⫺$4,500,000 ⫺$12,500,000 ⫺$8,000,000 1 ⫺$7,412,920 ⫺$5,504,100 $1,908,820 2 ⫺$7,412,920 ⫺$5,504,100 $1,908,820 3 ⫺$7,412,920 ⫺$5,504,100 $1,908,820 4 ⫺$7,412,920 ⫺$5,504,100 $1,908,820 5 ⫺$7,412,920 ⫺$5,504,100 $1,908,820 6 ⫺$7,412,920 r ⫹ $500,000 ⫺$5,504,100 r ⫹ $1,000,000 $2,408,820 VP(i) FMS⫺CMS ⫽ ⫺$8,000,000 ⫹ $1,908,820 (P/A, i, 5) ⫹ $2,408,820(P/F, i, 6) ⫽ 0. $500,000 0 1 2 Opción CMS Años 3 4 5 6 $4,500,000 $7,412,920 $1,000,000 0 1 2 Opción FMS Años 3 4 5 6 $5,504,100 $12,500,000 $2,408,820 $1,908,820 0 1 $8,000,000 2 3 4 Años Flujo de efectivo incremental (opción FMS – opción CMS) 5 6 Figura 7.9 Diagramas de flujo de efectivo para comparar proyectos sólo a partir de los costos 274 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno METODOLOGÍA SOLUCIÓN Despeje i utilizando Excel. Al despejar i con Excel se obtiene 12.43%. Puesto que TIRFMS⫺CMS ⫽ 12.43% ⬍ 15%, seleccionaríamos CMS. Aunque el FMS implicaría un ahorro incremental anual de $1,908,820 en costos de operación, los ahorros no justifican la inversión incremental de $8,000,000. COMENTARIOS: Observe que la opción CMS fue preferida marginalmente a la opción FMS. Sin embargo, es peligroso confiar sólo en los ahorros de los gastos de entrada cuantificados fácilmente —como mano de obra, energía y materiales— de la opción FMS y no considerar las ganancias derivadas de mejoras en el proceso de manufactura, que son más difíciles y subjetivas de cuantificar. Factores como una mejor calidad del producto, un incremento en la flexibilidad de la manufactura (respuesta rápida a la demanda del cliente), niveles reducidos de inventario y un aumento de la capacidad para innovar el producto a menudo se ignoran en el análisis financiero porque tenemos medios inadecuados para cuantificar sus beneficios. Si se consideraran estos beneficios intangibles, como debiera ser, la opción FMS podría resultar mejor que la opción CMS. 7.4.3 Manejo de vidas de servicio diferentes Nuestro propósito no es animarlo a usar el enfoque de la TIR para comparar proyectos con vidas diferentes. Más bien, queremos mostrar el modo correcto de compararlos si el enfoque de la TIR debe utilizarse. En los capítulos 5 y 6 explicamos el uso de los criterios del VP y del VAE como bases de comparación de proyectos con vidas diferentes. El método de la TIR también puede aplicarse para comparar proyectos con vidas diferentes, en tanto podamos establecer un periodo común de análisis. Así, el proceso de decisión es exactamente el mismo que el de los proyectos con vidas iguales. Sin embargo, es probable que tengamos un problema de raíces múltiples, el cual implica considerables problemas de cálculo. Por ejemplo, suponga que aplicamos el método de la TIR a un caso en el cual un proyecto tiene una vida de cinco años y el otro tiene una vida de ocho años, lo que supone un mínimo común múltiplo de 40 años. Además, cuando determinamos los lujos de efectivo incrementales para el periodo de análisis, estamos obligados a ver muchos cambios de signo.6 El ejemplo 7.10 compara proyectos mutuamente excluyentes donde la serie de flujo de efectivo incremental da por resultado varios cambios de signo. EJEMPLO 7.10 Problemas de comparación de vidas de servicio diferentes Reconsidere el problema de vidas de servicio diferentes del ejemplo 5.7. Elija la alternativa deseada sobre la base del criterio de la tasa de retorno. 6 Este factor conlleva la posibilidad de tener muchas i*. Una vez más, si usted desea obtener la verdadera tasa de retorno en esta serie de flujos de efectivo incremental, necesita consultar el capítulo 7A. 7.4 Análisis incremental para comparar alternativas mutuamente excluyentes 275 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Los flujos de efectivo de proyectos con vidas de servicio diferentes que se indican en la figura 5.12, TREMA ⫽ 12%. Determine: Cuál proyecto debe seleccionarse. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Utilice la hoja de cálculo de Excel para preparar los flujos de efectivo incrementales. Puesto que cada modelo tiene una vida más corta que el periodo de servicio requerido (cinco años), necesitamos explicar de manera explícita cómo se cumplirá este requerimiento de servicio. Con el supuesto de arrendamiento indicado en la figura 7.10, los flujos de efectivo incrementales serían los que se presentan en la tabla 7.3. Observe que existen tres cambios de signo en los flujos de efectivo incrementales, lo que indica una posibilidad de múltiples tasas de retorno. Sin embargo, existe una tasa de retorno única en estas series de flujos de efectivo incrementales, a saber, 3.90%.7 Puesto que esta tasa de retorno del flujo de efectivo incremental es menor que el 12% de la TREMA, la opción 2 es la mejor selección. Ésta fue la misma conclusión que se obtuvo en el ejemplo 5.7. $6,000 0 1 2 Opción 1: Sistema de banda transportadora 3 4 5 6 7 8 9 10 $13,000 $18,000 Revisión para prolongar la vida de servicio $68,000 $4,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Opción 2: Montacargas $15,000 $8,000 $40,000 $10,000 $8,000 6,000 $2,000 Flujo de efectivo incremental 0 opción 1 – opción 2 Alquiler de montacargas $10,000 1 2 3 4 5 6 7 8 $8,000 $28,000 9 10 Periodo de servicio requerido Figura 7.10 Análisis incremental (opción 1 – opción 2); aquí restamos la opción 2 de la opción 1 porque la opción 1 es la alternativa más costosa 7 En el capítulo 7A, un proyecto con este tipo de serie de flujos de efectivo se conoce como inversión pura. 276 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno TABLA 7.3 Hoja de cálculo de Excel para ilustrar cómo preparar los flujos de efectivo incrementales Ejemplo 7.10 Problemas de comparación de vidas de servicio diferentes Opción 1 Opción 2 Bandas transportadoras Montacargas Incremental Opción 1 – Opción 2 TIR incremental TIR RESUMEN 쐽 Tasa de retorno (TR) es la tasa de interés ganada sobre los saldos insolutos de un proyecto, de manera que los ingresos en efectivo de una inversión hacen que el saldo final del proyecto sea cero. La tasa de retorno es una medida común y comprensible de la rentabilidad de un proyecto que muchos administradores prefieren sobre el VP u otras mediciones de equivalencia. 쐽 Podemos determinar matemáticamente la tasa de retorno de una serie de flujos de efectivo de un proyecto determinado identificando la tasa de interés que iguale a cero el valor presente (equivalente anual o valor futuro) de sus flujos de efectivo. Esta tasa de interés de equilibrio se representa mediante el símbolo i*. 쐽 Tasa interna de retorno (TIR) es otro término para la TR que destaca el hecho de que estamos preocupados por el interés ganado por la parte del proyecto que se invierte internamente, no en aquellas porciones de la inversión liberadas por (o prestadas por) el proyecto. 쐽 Para aplicar correctamente el análisis de la tasa de retorno, necesitamos clasificar una inversión, ya sea como inversión simple o como inversión no simple (no convencional). Una inversión simple se define como una inversión en la cual los flujos de efectivo iniciales son negativos y sólo ocurre un cambio de signo en el flujo de efectivo neto, mientras que una inversión no simple es una inversión en la cual ocurre más de un cambio de signo en la serie de flujos de efectivo. Existen múltiples i* sólo en las inversiones no simples. Sin embargo, no todas las inversiones no simples tendrán múltiples i*, como se observa en el ejemplo 7.10. Problemas 277 쐽 Para una inversión simple, la tasa de retorno (i*) obtenida es la tasa de retorno interna del proyecto, por lo que la regla de decisión es la siguiente: Si TIR ⬎ TREMA, se acepta el proyecto. Si TIR ⫽ TREMA, permanecemos indiferentes. Si TIR ⬍ TREMA, se rechaza el proyecto. Los resultados del análisis de la TIR son congruentes con el método del VP y otros métodos de equivalencia. 쐽 Ante la posibilidad de tener múltiples tasas de retorno en una inversión no simple, se recomienda no aplicar el análisis de la TIR, y utilizar el análisis del VP o del VAE para tomar una decisión de aceptación o rechazo. En el capítulo 7A se explican los procedimientos para la tasa interna de retorno de las inversiones no simples. Una vez que usted obtiene la TIR (o rendimiento sobre el capital invertido), se puede usar la misma regla de decisión de las inversiones simples. 쐽 Para seleccionar correctamente entre proyectos alternativos mediante el análisis de la TIR, usted debe usar inversiones incrementales. PROBLEMAS Nota: El símbolo i* representa la tasa de interés que hace el valor presente del proyecto igual a cero. El símbolo TIR representa la tasa interna de retorno de una inversión. Para una inversión simple, TIR ⫽ i*. Para una inversión no simple, i* generalmente no es igual a la TIR. Concepto de tasa de retorno 7.1 Suponga que usted depositó $1,000 en su cuenta de ahorros hace cinco años, y luego otros $1,000 hace tres años. Si el saldo actual de su cuenta es de $2,529.24, ¿cuál es la tasa de retorno de su depósito? 7.2 Suponga que usted va a comprar un auto nuevo con un valor de $25,000. Usted puede pagar un enganche de $3,000. Los $22,000 restantes serán financiados por el distribuidor. El distribuidor calcula pagos mensuales de $547.47 durante 48 meses de financiamiento. ¿Cuál es la tasa de retorno anual en esta operación de préstamo? 7.3 El señor Martínez desea vender un bono cuyo valor nominal es de $1,000. El bono gana una tasa de interés (tasa del cupón) del 7.5%; el interés del bono se paga semestralmente. El bono se compró por $900 hace cuatro años. Se desea por lo menos un rendimiento anual (TPA) del 9% sobre la inversión. ¿Cuál debe ser actualmente el precio mínimo de venta del bono para que el señor Martínez obtenga el rendimiento deseado sobre la inversión después de realizar 8 pagos de interés? 7.4 John Whitney Payson compró una pintura de Vincent van Gogh en $80,000 en 1947 y la vendió en 1988 en $53.9 millones. Si el señor Payson hubiera invertido los $80,000 en otro instrumento de inversión (como acciones), ¿cuánto interés anual necesitaría haber ganado para acumular la misma suma que obtuvo con la inversión en la pintura? Para simplificar, suponga que el periodo de inversión es de 40 años y que el interés es compuesto anual. 278 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno Métodos para determinar la tasa de retorno 7.5 Considere cuatro proyectos con las siguientes secuencias de flujos de efectivo: Flujo de efectivo neto n Proyecto A Proyecto B Proyecto C Proyecto D 0 ⫺$22,020 ⫺$23,000 $43,233 ⫺$56,500 1 $10,000 $32,000 ⫺$18,000 ⫺$2,500 2 $20,000 $32,000 ⫺$18,000 ⫺$6,459 3 $30,000 ⫺$25,000 ⫺$18,000 $88,345 a) Identifique todas las inversiones simples. b) Identifique todas las inversiones no simples. c) Calcule la i* para cada proyecto. d ) ¿Cuál proyecto no tiene tasa de retorno? 7.6 Considere un proyecto de inversión con los siguientes flujos de efectivo neto: Año Flujo de efectivo neto 0 ⫺$1,500 1 X 2 $650 3 X ¿Cuál sería el valor de X si la TIR del proyecto es del 10%? 7.7 Considere el proyecto de inversión con los siguientes flujos de efectivo neto: Fin del año (n) 0 1 2 3 4 Flujo de efectivo neto ⫺$12,000 $2,500 $5,500 X X ¿Cuál sería el valor de X si la TIR del proyecto es del 23%? 7.8 Un inversionista compró 100 acciones de un paquete a un costo de $10 por acción. Conservó el paquete de acciones durante 15 años y luego lo vendió por un total de $4,000. Durante los primeros tres años no recibió dividendos. Durante los siguientes siete años recibió un total de dividendos de $50 por año. Por el periodo restante recibió dividendos totales de $100 al año. ¿Qué tasa de retorno obtuvo por la inversión? Problemas 279 7.9 Considere los siguientes proyectos de inversión: n A 0 ⫺$150 $60 1 2 $900 3 4 5 6 7 8 9 10 Flujo de efectivo neto B C D ⫺$180 ⫺$50 ⫺$280 $70 $20 $220 $70 $10 $40 $40 $5 $40 $40 ⫺$180 ⫺$20 $60 $40 $50 $30 $40 $30 $20 $10 E ⫺$80 ⫺$100 ⫺$50 $0 $150 $150 $100 $100 a) Clasifique cada proyecto como simple o no simple. b) Calcule la i* para el proyecto A usando la ecuación cuadrática. c) Obtenga la(s) tasa(s) de retorno de cada proyecto graficando el VP como función de la tasa de interés. 7.10 Considere los siguientes proyectos: Flujo de efectivo neto B C n A 0 ⫺$1,500 ⫺$1,200 ⫺$2,000 ⫺$2,700 1 $500 $800 $5,600 $360 2 $100 $600 $4,900 $4,675 3 $100 $500 ⫺$3,000 $2,288 4 $1,000 $700 ⫺$7,000 5 ⫺$1,400 6 $2,100 7 $900 D a) Clasifique cada proyecto como simple o no simple. b) Identifique todas las i* positivas para cada proyecto. c) Grafique el valor presente como una función de la tasa de interés (i) para cada proyecto. 7.11 Considere los siguientes datos financieros de un proyecto: Inversión inicial Vida del proyecto Valor de rescate Ganancia anual Impuesto sobre la renta $15,000 8 años $0 $9,229 $3,000 280 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno a) ¿Cual es la i* para este proyecto? b) Si los gastos anuales se incrementan a una tasa del 7% sobre los gastos del año anterior, pero la ganancia anual permanece inalterable, ¿cuál es la nueva i*? 7.12 Considere dos inversiones con las siguientes secuencias de flujos de efectivo: Flujo de efectivo neto n Proyecto A Proyecto B 0 ⫺$30,000 ⫺$15,000 1 2 3 4 5 $2,000 $6,000 $12,000 $24,000 $28,000 $10,000 $10,000 $10,000 $10,000 $5,000 a) Determine la i* para cada proyecto. b) Trace la curva del valor presente para cada proyecto sobre la misma gráfica y determine la tasa de interés que hace que los dos proyectos sean equivalentes. Criterio de la tasa interna de retorno 7.13 Una compañía está considerando la compra de una máquina que ahorrará $200,000 anuales antes de impuestos. El costo de operación de la máquina, incluyendo mantenimiento es de $80,000 anuales. La máquina, que cuesta $150,000, se utilizará durante 5 años, después de los cuales tendrá un valor de rescate de $25,000. Si la compañía desea una tasa de retorno del 15% antes de impuestos, ¿cuál es el valor presente neto de los flujos de efectivo generados a partir de esta máquina? 7.14 Considere un proyecto de inversión con los siguientes flujos de efectivo: n 0 1 2 3 Flujo de efectivo ⫺$5,000 $0 $4,840 $1,331 Calcule la TIR para esta inversión. ¿Es aceptable el proyecto para una TREMA ⫽ 10%? 7.15 Considere los siguientes flujos de efectivo de un proyecto: n Flujo de efectivo neto 0 ⫺$2,000 1 $800 2 $900 3 X Suponga que la TIR del proyecto es del 10%. a) Determine el valor de X. b) ¿Es aceptable el proyecto con TREMA ⫽ 8%? Problemas 281 7.16 Usted está examinando un proyecto de un edificio de apartamentos de lujo que requiere de una inversión de $12,500,000. El edificio tiene 50 apartamentos. Usted espera que el costo de mantenimiento del edificio sea de $250,000 en el primer año, el cual se elevará a $300,000 en el segundo año y continuará incrementándose en $50,000 en los años posteriores. El costo de contratar a un administrador para el edificio se estima en $80,000 al año. Después de cinco años de operación, el edificio puede venderse en $14,000,000. ¿Qué renta anual por apartamento dará una tasa de retorno del 15%? Suponga que el edificio permanecerá totalmente ocupado durante los cinco años. 7.17 Una máquina cuesta $25,000 y sus gastos de operación anuales ascienden a $3,000; la máquina permitirá ahorrar principalmente en gastos por mano de obra de empacamiento durante seis años. El valor de rescate previsto de la máquina al final de los seis años es de $5,000. Para que la máquina permita obtener un rendimiento del 10% (tasa de retorno) sobre la inversión, ¿qué ahorro mínimo anual en mano de obra debe implicar esta máquina? 7.18 La compañía InterCell quiere participar en la próxima Feria Mundial. Para participar, la empresa necesita gastar $1 millón en el año 0 para diseñar su local en la feria. El local producirá un flujo de efectivo de $2.5 millones al final del año 1. Luego, al final del año 2 deberá gastar $1.54 millones para restaurar, a su condición inicial, el terreno sobre el cual construyó su local de exhibición. Por lo tanto, los flujos de efectivo netos esperados son los siguientes (en miles de dólares): n Flujo de efectivo neto 0 ⫺$1,000 1 $2,500 2 ⫺$1,540 a) Grafique el valor presente de esta inversión como función de i. b) Calcule las i* para esta inversión. c) ¿Usted aceptaría esta inversión con TREMA ⫽ 14%? 7.19 La Champion Chemical Corporation está planeando expandir una de sus instalaciones de manufactura de propileno. En n ⫽ 0 debe comprarse una propiedad que cuesta $1.5 millones para la expansión de la planta. El edificio, que necesita expandirse al principio del primer año, cuesta $3 millones. Al final del primer año, la compañía necesita gastar alrededor de $4 millones en equipo y otros requerimientos para iniciar operaciones. Una vez que la planta esté operando, generará ingresos por $3.5 millones durante el primer año de operación. Esta cantidad se incrementará a una tasa anual del 5% con respecto a los ingresos del año anterior por los siguientes nueve años. Después de 10 años, los ingresos por ventas permanecerán constantes por otros tres años antes de que las operaciones concluyan. (La planta tendrá una vida de proyecto de 13 años después de la construcción.) El valor de rescate esperado del terreno sería de aproximadamente $2 millones: el de la construcción sería de alrededor de $1.4 millones y el del equipo, de $500,000 aproximadamente. Los costos anuales de operación y mantenimiento se estiman en un 40% de los ingresos por ventas cada año. ¿Cuál es la TIR de esta inversión? Si la TREMA de la compañía es del 15%, determine si la expansión es una buena inversión. (Suponga que todas las cifras incluyen el efecto de los impuestos sobre la renta.) 7.20 La tecnología reciente ha hecho posible una máquina expendedora computarizada que puede moler y preparar café fresco a solicitud del cliente. La computadora 282 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno también realiza otras funciones complicadas como cambiar billetes de $5 y $10 o rastrear la fecha de producción de los artículos para colocar aquéllos con mayor antigüedad al frente de la línea, evitando así su deterioro. Con un precio de $4,500 por cada unidad, Easy Snack estimó los flujos de efectivo en millones de dólares durante la vida útil de seis años del producto, incluyendo la inversión inicial; las estimaciones son las siguientes: n 0 1 2 3 4 5 6 Flujo de efectivo neto ⫺$20 $8 $17 $19 $18 $10 $3 a) Si la TREMA de la compañía es del 18%, ¿es valioso comercializar este producto de acuerdo con el criterio de la TIR? b) Si la inversión requerida no cambia y se espera que los flujos de efectivo futuros sean 10% mayores que las estimaciones originales, ¿cuál será el incremento de la TIR? c) Si la inversión requerida se incrementa de $20 millones a $22 millones, pero se piensa que los flujos de efectivo se reducirán en un 10% con respecto a las estimaciones originales, ¿cuál será el decremento en la TIR? 7.21 Usted está evaluando una máquina CNC. Esta máquina tiene una vida de servicio estimada de 10 años, con un valor de rescate del 10% del costo de la inversión. Se esperan ahorros anuales de $50,000 en gastos de operación y mantenimiento. Si se desea una tasa de retorno del 20% sobre la inversión, ¿cual es la cantidad máxima que usted estaría dispuesto a pagar por la máquina? (Ignore cualquier consideración de impuestos.) Análisis de inversiones incrementales para comparar alternativas mutuamente excluyentes 7.22 Considere las dos siguientes situaciones de inversión: 쐽 En 1970, cuando Wal-Mart Stores, Inc. empezó a cotizarse en bolsa, una inversión de 100 acciones costaba $1,650. Esa inversión fue valuada en $12,283,904 después de 32 años (2002), con una tasa de retorno de alrededor del 32%. 쐽 Si usted hubiera comprado 100 acciones de Fidelity Mutual Funds en 1980, habrían tenido un costo de $5,245. Esa inversión se valoró en $289,556 al cabo de 22 años. ¿Cuál de los siguientes enunciados es correcto? a) Si usted compró sólo 50 acciones de Wal-Mart en 1970 y las conservó durante 32 años, su tasa de retorno sería 32%(0.5). b) Si usted compró 100 acciones de Fidelity Mutual Funds en 1980, usted habría tenido una ganancia a una tasa anual del 30% sobre los fondos que mantuvo invertidos. c) Si usted compró 100 acciones de Wal-Mart en 1970, pero las vendió 10 años después (suponga que las acciones de Wal-Mart crecieron a una tasa anual del 32% durante los primeros 10 años) e inmediatamente invirtió ese dinero Problemas 283 en Fidelity Mutual Funds, entonces, después de 22 años el valor total de sus inversiones sería alrededor de $1,462,885. d ) Ninguno de los enunciados anteriores es correcto. 7.23 Considere dos inversiones con las siguientes secuencias de flujos de efectivo: n 0 1 2 3 Flujo de efectivo neto Proyecto A Proyecto B ⫺$150,000 ⫺$120,000 $30,000 $25,000 $25,000 $15,000 $120,000 $110,000 a) Calcule la TIR para cada inversión. b) Con TREMA ⫽ 15%, determine la aceptabilidad de cada proyecto. c) Si A y B son proyectos mutuamente excluyentes, ¿cuál proyecto seleccionaría con base en la tasa de retorno sobre una inversión incremental? 7.24 Considere dos inversiones con las siguientes secuencias de flujos de efectivo: n 0 1 2 3 Flujo de efectivo neto Proyecto A Proyecto B ⫺$100,000 ⫺$100,000 $10,500 $70,000 $60,000 $50,000 $80,000 $20,500 a) Calcule la TIR para cada inversión. b) Si la TREMA ⫽ 10%, determine la aceptabilidad de cada proyecto. c) Si A y B son proyectos mutuamente excluyentes, ¿cuál proyecto seleccionaría con base en la tasa de retorno sobre una inversión incremental? 7.25 Con $10,000 disponibles, usted tiene dos opciones de inversión. La primera opción es comprar un certificado de depósito de un banco a una tasa de interés del 10% anual durante cinco años. La segunda opción es comprar un bono de $10,000 e invertir en el banco los pagos de interés del bono a una tasa de interés del 9%. El bono paga el 10% de interés anual y vencerá con un valor nominal de $10,000 en cinco años. ¿Cuál opción es la mejor? Suponga que la TREMA es del 9% anual. 7.26 Considere los siguientes dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes: Flujo de efectivo neto Año (n) Proyecto 1 Proyecto 2 0 ⫺$2,200 ⫺$2,000 1 1,200 1,200 2 1,650 1,400 18.07% 18.88% TIR Determine el intervalo de TREMA en el que el proyecto 2 sería preferible sobre el proyecto 1 con la alternativa de “no hacer nada”. a) TREMA ⱕ 11.80% b) TREMA ⱖ 11.80% 284 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno c) 11.80% TREMA d ) TREMA 18.88% 18.88% 7.27 Una compañía manufacturera está evaluando las siguientes alternativas mutuamente excluyentes: Flujo de efectivo neto n Proyecto A Proyecto B 0 ⫺$2,000 ⫺$3,000 1 $1,400 $2,400 2 $1,640 $2,000 Determine cuál proyecto es una mejor selección para una TREMA ⫽ 15%, sobre la base del criterio de la TIR. 7.28 Considere las siguientes dos alternativas mutuamente excluyentes: Flujo de efectivo neto n Proyecto A1 Proyecto A2 0 ⫺$10,000 ⫺$12,000 1 $5,000 $6,100 2 $5,000 $6,100 3 $5,000 $6,100 a) Determine la TIR sobre la inversión incremental para una cantidad de $2,000. b) Si la TREMA de la compañía es del 10%, ¿cual alternativa es la mejor selección? 7.29 Considere las siguientes dos alternativas de inversión mutuamente excluyentes: Flujo de efectivo neto n Proyecto A1 Proyecto A2 0 ⫺$16,000 ⫺$20,000 1 $7,500 $5,000 2 $7,500 $15,000 3 $7,500 $8,000 TIR 19.19% 17.65% a) Determine la TIR sobre la inversión incremental para la cantidad de $4,000. (Suponga que la TREMA ⫽ 10%.) b) Si la TREMA de la compañía es del 10%, ¿cuál es la mejor alternativa? 7.30 Usted está evaluando dos tipos de automóviles. El modelo A cuesta $18,000 y el modelo B cuesta $15,624. Si bien los dos modelos son esencialmente iguales, el modelo A puede venderse en $9,000 después de cuatro años de uso, mientras que el modelo B puede venderse en $6,500 después del mismo periodo. El modelo A tiene un mejor valor de reventa porque goza de gran aceptación entre los jóvenes estudiantes universitarios. Determine la tasa de retorno sobre la inversión incremental de $2,376. ¿Para qué intervalo de valores de la TREMA es preferible el modelo A? Problemas 285 7.31 Un ingeniero de planta está evaluando dos tipos de sistemas solares de calentamiento de agua. Rubro Modelo A Modelo B $5,000 $7,000 Ahorros anuales $700 $1,000 Mantenimiento anual $100 $50 20 años 20 años $400 $500 Costo inicial Vida esperada Valor de rescate La TREMA de la compañía es del 10%. De acuerdo con el criterio de la TIR, decida cuál sistema es la mejor opción. 7.32 El Hospital Fulton está revisando maneras para reducir costos de su inventario de medicamentos. Se están evaluando dos nuevos sistemas de inventarios mínimos para reducir los costos de almacenamiento y manejo de medicamentos del hospital. El ingeniero industrial del hospital ha recopilado los siguientes datos financieros relevantes de cada sistema. Los valores en dólares están en millones: Práctica actual Rubro Sistema Suministro sin justo a tiempo inventario Costo inicial $0 $2.5 $5 Costo de almacenamiento anual $3 $1.4 $0.2 Costo operativo anual $2 $1.5 $1.2 8 años 8 años 8 años Vida del sistema La vida de ocho años del sistema representa el periodo contractual con los proveedores médicos. Si la TREMA del hospital es del 10%, ¿cuál sistema es más económico? 7.33 Considere los siguientes proyectos de inversión: Flujo de efectivo neto n Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 0 ⫺$1,000 ⫺$5,000 ⫺$2,000 1 $500 $7,500 $1,500 2 $2,500 $600 $2,000 Suponga que la TREMA ⫽ 15%. a) Calcule la TIR para cada proyecto. b) Si los tres proyectos son inversiones mutuamente excluyentes, ¿cuál proyecto debería seleccionarse de acuerdo con el criterio de la TIR? 286 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno 7.34 Considere las siguientes dos inversiones alternativas: Flujo de efectivo neto Proyecto A n Proyecto B 0 ⫺$10,000 ⫺$20,000 1 $5,500 $0 2 $5,500 $0 3 $5,500 $40,000 30% ? ? $6,300 TIR VP(15%) Se sabe que la TREMA de la compañía es del 15%. a) Calcule la TIR para el proyecto B. b) Calcule el VP para el proyecto A. c) Suponga que los proyectos A y B son mutuamente excluyentes. Con base en la TIR, ¿cuál proyecto elegiría usted? 7.35 La compañía GeoStars, un fabricante de equipos de comunicación inalámbrica, está evaluando tres propuestas de reducción de costos en sus operaciones de manufactura por lotes. La compañía ya calculó tasas de retorno de los tres proyectos junto con algunas tasas de retorno incremental. A0 indica la alternativa de “no hacer nada”. Las inversiones requeridas son de $420,000 para A1, $550,000 para A2 y $720,000 para A3. Si la TREMA de la compañía es del 15%, ¿cuál sistema debería seleccionarse? Inversión incremental Tasa de retorno incremental A1 ⫺ A0 18% A2 ⫺ A0 20% A3 ⫺ A0 25% A2 ⫺ A1 10% A3 ⫺ A1 22% A3 ⫺ A2 23% 7.36 Un fabricante de tableros de circuitos electrónicos está evaluando seis proyectos mutuamente excluyentes para reducir costos en su planta de manufactura. Todos tienen vidas de 10 años y 0 valor de rescate. La inversión requerida, la reducción estimada después de impuestos en desembolsos anuales y la tasa bruta de retorno para cada alternativa se indican en la siguiente tabla: Propuesta Aj Inversión requerida A1 $60,000 Ahorros después de impuestos Tasa de retorno $22,000 34.8% A2 $100,000 $28,200 25.2% A3 $110,000 $32,600 26.9% A4 $120,000 $33,600 25.0% A5 $140,000 $150,000 $38,400 $42,200 24.3% 25.1% A6 Problemas 287 La tasa de retorno sobre inversiones incrementales se presenta en la siguiente tabla: Inversión incremental Tasa de retorno incremental A2 ⫺ A1 A3 ⫺ A2 A4 ⫺ A3 A5 ⫺ A4 A6 ⫺ A5 8.9% 42.7% 0.0% 20.2% 36.3% ¿Cuál proyecto seleccionaría usted de acuerdo con la tasa de retorno sobre una inversión incremental, si se establece que la TREMA es del 15%? 7.37 Suponga que tenemos cuatro proyectos mutuamente excluyentes, D1, D2, D3 y D4, cuyas tasas internas de retorno sobre inversiones incrementales entre los proyectos son las siguientes: TIR (D1 – D2) ⫽ 27.62% TIR (D1 – D3) ⫽ 14.26% TIR (D1 – D4) ⫽ 25.24% TIR (D1 – D2) ⫽ 30.24% TIR (D1 – D4) ⫽ 17.34% TIR (D1 – D4) ⫽ 16.14% ¿Cuál proyecto debería seleccionarse con una TREMA del 15%? 7.38 La empresa Baby Doll Shop actualmente fabrica partes de madera para casas de muñecas. La empresa paga $8.10 la hora a su único trabajador, quien con una sierra manual puede producir la demanda de un año (1,600 partes) en sólo 8 semanas de 40 horas. Es decir, el trabajador elabora cinco partes por hora en promedio cuando trabaja manualmente. La empresa está evaluando la compra de una sierra eléctrica, con sus respectivos accesorios, para mejorar la productividad de esta operación. Se pueden comprar tres modelos de sierras eléctricas: el modelo A (versión económica), el modelo B (una versión de gran potencia) y el modelo C (la versión para acabados de lujo). La principal diferencia entre estos modelos es su rapidez de operación. Los costos de inversión, incluyendo los accesorios y otras características de operación, se resumen en la siguiente tabla: Categoría Tasa de producción (partes ⁄ hora) Manual Modelo A Modelo B Modelo C 5 10 15 20 320 160 107 80 $2,592 $1,296 $867 $648 $400 $420 $480 Inversión inicial $4,000 $6,000 $7,000 Valor de rescate $400 $600 $700 20 20 20 Horas de trabajo requeridas (horas/años) Costo anual de mano de obra (@ $8.10 / hora) Costo anual de energía eléctrica Vida de servicio (años) Suponga que la TREMA ⫽ 10%. ¿Habrá suficientes ahorros potenciales para hacer económica la compra de cualquiera de las sierras eléctricas? ¿Cuál modelo 288 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno es más económico de acuerdo con el principio de la tasa de retorno? (Suponga que cualquier efecto del impuesto sobre la renta se consideró ya en la estimación de las cantidades en dólares.) (Fuente: Este problema se adaptó con el permiso del profesor Peter Jackson de la Universidad de Cornell.) Vidas de servicio diferentes 7.39 Considere los siguientes dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes: Flujo de efectivo neto n Proyecto A Proyecto B 0 1 ⫺$100 $60 ⫺$200 $120 2 $50 $150 3 $50 TIR 28.89% 21.65% Suponga que la TREMA ⫽ 15%. ¿Cuál proyecto debería seleccionarse en el marco de un horizonte infinito de planeación con probabilidad de repetir el proyecto, de acuerdo con el criterio de la TIR? 7.40 Considere los siguientes dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes: Flujo de efectivo neto n Proyecto A1 Proyecto A2 0 ⫺$10,000 ⫺$15,000 1 $5,000 $20,000 2 $5,000 3 $5,000 a) Con base en el criterio de la TIR, ¿qué suposiciones se deben hacer para comparar un conjunto de inversiones mutuamente excluyentes con vidas de servicio diferentes? b) De acuerdo con la suposición definida en el inciso a), determine el intervalo de la TREMA que indicará la selección del proyecto A1. Breves estudios de caso con Excel 7.41 Merco Inc., un fabricante de maquinaria en Louisville, Kentucky, está evaluando realizar una inversión de $1,250,000 en un sistema completo de fabricación de vigas estructurales. El incremento de la productividad resultante de la instalación del sistema de taladrado es fundamental para la justificación del proyecto. Merco estima las siguientes cifras como base para el cálculo de productividad: 쐽 incremento en la producción de fabricación de acero: 2,000 ton/año 쐽 precio de venta promedio por tonelada de acero fabricado: $2,566.50 쐽 tarifa de mano de obra: $10.50/hora 쐽 toneladas de acero producidas en un año: 15,000 쐽 costo del acero por tonelada: (2,205 lb): $1,950 쐽 número de trabajadores en diseño, taladrado de hoyos, corte y manejo de materiales: 17 쐽 costo adicional de mantenimiento: $128,500/año Problemas 289 Con el costo del acero a $1,950 por tonelada y el costo directo de mano de obra de fabricación de una libra a 10 centavos, el costo de producción de una tonelada de acero es aproximadamente de $2,170.50. Con un precio de venta de $2,566.50 por tonelada, la contribución resultante a los gastos indirectos y las utilidades se transforma en $396 por tonelada. Suponiendo que Merco podrá sostener un incremento en la producción de 2000 toneladas por año mediante la compra del sistema, la contribución adicional proyectada se estima en 2000 ton × $396 ⫽ $792,000. Puesto que el sistema de taladrado tiene la capacidad para fabricar por completo el acero estructural, dos trabajadores pueden correr el sistema, uno en la sierra y otro en el taladro. Se requiere un tercer operador que maneje una grúa para cargar y descargar materiales. Merco estima que para realizar un trabajo equivalente de estos tres trabajadores con un sistema tradicional de manufactura se requerirían, en promedio, 14 trabajadores adicionales para el centro de perforación con un taladro radial o magnético y para el manejo de materiales. Este factor se traduce en ahorros de mano de obra por la cantidad de $294,000 al año (14 × $10.50 × 40 horas/semana × 50 semanas/año). El sistema puede durar 15 años, con un valor de rescate después de impuestos estimado en $80,000. Sin embargo, después de una deducción anual de $226,000 por concepto de impuestos sobre la renta de la corporación, los costos netos de la inversión, así como los ahorros, son los siguientes: 쐽 쐽 costo de inversión del proyecto: $1,250,000 ahorros anuales netos proyectados: ($792.000 ⫹ $294,000) ⫺ $128.500 ⫺ $226,000 ⫽ $731,500 쐽 valor de rescate proyectado después de impuestos al final del año 15: $80,000 a) ¿Cuál es la TIR proyectada sobre esta inversión? b) Si se sabe que la TREMA de Merco es del 18%, ¿es justificable la inversión? 7.42 Los críticos afirman que la industria de la energía nuclear comercial no considera los costos de desmantelamiento o abandono de una planta de energía nuclear cuando se hacen análisis económicos y que, por lo tanto, éstos son demasiado optimistas. Como un ejemplo, considere las plantas nucleares gemelas “Bellefont” en proceso de construcción en Scottsboro, en el norte de Alabama. El costo inicial es de $1,500 millones y la vida estimada es de 40 años. Se calcula que los costos de operación y mantenimiento durante el primer año ascenderán al 4.6% del costo del primer año y se espera que se incrementen a una tasa fija del 0.05% del primer costo cada año. Se estima que los ingresos anuales serán tres veces los costos anuales de operación y mantenimiento a lo largo de la vida de la planta. Con esta información, comente las siguientes afirmaciones: a) Las críticas de excesivo optimismo en el análisis económico causado por la omisión del costo de mantener la planta inactiva no se justifican, puesto que el costo adicional por conservar la planta inactiva, equivalente al 50% del costo inicial, disminuye la tasa de retorno del 10% a sólo el 9.9% aproximadamente. b) Si la estimación de la vida de la planta es más realista, digamos, 25 años en vez de 40, entonces las críticas son justificadas. Cuando la vida se reduce a 25 años, la tasa de retorno de aproximadamente el 9%, sin considerar los costos de mantener la planta inactiva, se reduce al 7.7% aproximadamente; el costo por conservar la planta inactiva es igual al 50% del costo inicial, lo que debe agregarse al análisis. 7.43 La compañía B&E Cooling Technology, un fabricante de equipos de aire acondicionado para automóviles, se enfrenta a una inminente fecha límite para abandonar la tradicional técnica de enfriamiento, la cual usa clorofluorocarbonos (cfc), una 290 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno familia de sustancias químicas refrigerantes que daña la capa de ozono protectora de la Tierra. B&E ha estado buscando otros modos de enfriamiento y refrigeración. Como una solución a corto plazo, sus ingenieros recomiendan una tecnología de enfriamiento conocida como “enfriamiento por absorción”, la cual usa agua natural como refrigerante, y semiconductores que se enfrían cuando se cargan eléctricamente. B&E está considerando dos opciones: 쐽 쐽 Opción 1: Modernizar la planta ahora para adoptar el enfriador por absorción y continuar siendo un líder del mercado en la tecnología de enfriamiento. Opción 2: Diferir la modernización hasta la fecha límite, la cual está a tres años de distancia. Con la mejora esperada en la tecnología de enfriamiento y el conocimiento técnico, el costo de la modernización será menor para entonces. Pero también habrá una fuerte competencia de mercado y las ganancias serían menores que las que daría la opción 1. Los datos financieros para las dos opciones son los siguientes: Rubro Momento de la inversión Inversión inicial Vida del sistema Valor de rescate Ingresos anuales Costos anuales de operación y mantenimiento Opción 1 Opción 2 Ahora $6 millones 8 años $1 millón $15 millones 3 años a partir de ahora $5 millones 8 años $2 millones $11 millones $6 millones $7 millones a) ¿Qué suposiciones se deben hacer para comparar estas dos opciones? b) Si la TREMA de B&E es del 15%, ¿cuál opción es la más recomendable de acuerdo con el criterio de la TIR? 7.44 Una compañía petrolera está evaluando cambiar el tamaño de una pequeña bomba que actualmente está en operación en un complejo petrolero. Si se conserva la bomba actual, en el primer año de operación extraerá el 50% de las reservas de crudo conocidas y en el segundo año, el 50% restante. Una bomba más grande que la bomba actual costará $1.6 millones, pero extraerá el 100% de las reservas conocidas en el primer año. Los ingresos petroleros totales durante los dos años son los mismos para las dos bombas: $20 millones. La ventaja de la bomba grande es que permite obtener el 50% de los ingresos un año antes que la bomba pequeña. Las dos opciones se resumen como sigue: Rubro Inversión del año 0 Bomba actual Bomba más grande $0 $1.6 millones Ingresos del año1 $10 millones $20 millones Ingresos del año 2 $10 millones $0 Si se sabe que la TREMA de la compañía es del 20%, ¿qué recomienda usted, de acuerdo con el criterio de la TIR? 7.45 Según un estudio reciente, asistir de tiempo completo a la universidad cuesta a un estudiante promedio más de $17,000 al año. Pero he aquí el número mágico que Problemas 291 hace que valga la pena: con el paso de los años, un graduado universitario gana un promedio de casi $10,000 más al año que un graduado de preparatoria (y es una cifra después de impuestos). Reuniendo esta información, encontramos que obtener un grado universitario tiene un costo inicial promedio de $52,000 aproximadamente, pero trae consigo ganancias crecientes, después de impuestos, a lo largo de la vida de trabajo del graduado de alrededor de $433,000; esto deja una ganancia neta total a lo largo de la vida de unos $380,000. Si usted ve la obtención de un grado académico como una inversión financiera, ésta da una tasa de retorno promedio del 14.5% anual. Ahora, si usted conoce muchas inversiones financieras que reditúan tanto como el 14.5%, por favor, díganos. Es un buen trato. Esta cifra del 14.5% es el rendimiento promedio estimado de los cuatro años de estudio. Pero usted esperaría que algunas carreras conduzcan a ocupaciones más lucrativas que otras. Es el momento oportuno del año para examinar de nuevo una añeja pregunta: ¿Por qué molestarse en asistir a la universidad? Con todas las cuotas escolares y los endeudamientos que lo acosan durante esa etapa estudiantil, ¿sigue valiendo la pena? 292 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno CAPÍTULO 7A Resolución de múltiples tasas de retorno P ara comprender la naturaleza de múltiples i*, necesitamos comprender la situación de inversión representada por cualquier lujo de efectivo. La prueba de inversión neta indicará si la i* calculada representa la verdadera tasa de retorno ganada sobre el dinero invertido en un proyecto mientras el dinero permanezca realmente en el proyecto. Como veremos, el fenómeno de múltiples i* ocurre sólo cuando la prueba de inversión neta falla. Cuando se obtienen múltiples tasas de retorno positivas de un lujo de efectivo, en general, ninguna es aceptable como una medida de la rentabilidad del proyecto y debemos proceder con el siguiente paso del análisis: introducir una tasa de retorno externa. 7A 1 Prueba de la inversión neta Se dice que un proyecto es una inversión neta cuando los saldos del proyecto, calculados con los valores i* del proyecto, (SP)i*n, son todos menores que o iguales a cero a lo largo de la vida de la inversión, con A0 ⬍ 0. La inversión es neta en el sentido de que la compañía no se excedió en su rendimiento en ningún momento y, por consiguiente, no está en deuda con el proyecto. Este tipo de proyecto se llama inversión pura. [Por otro lado, préstamo puro se deine como la situación donde los valores de SP(i*)n son todos positivos o cero a lo largo de la vida del préstamo, con A0 ⬎ 0.] Las inversiones simples siempre serán inversiones puras. Por lo tanto, si un proyecto no simple pasa la prueba de la inversión neta (es decir, si es una inversión pura), la regla de decisión para aceptar o rechazar el proyecto será la misma que en el caso de la inversión simple que se explicó en la sección 7.3.2. Si cualquiera de los saldos del proyecto calculados para las i* del proyecto es positivo, el proyecto no es una inversión pura. Un saldo positivo del proyecto indica que, en algún momento durante la vida del proyecto, la compañía actúa como prestatario, [SP(i*)n ⬎ 0], y no como inversionista, [SP(i*)n ⬍ 0], en el proyecto. Este tipo de inversión se llama inversión mixta. EJEMPLO 7A.1 Inversiones puras contra mixtas Considere los siguientes cuatro proyectos de inversión con valores de i* conocidos: n 0 1 2 3 i* A ⫺$1,000 ⫺$1,000 $2,000 $1,500 33.64% B ⫺$1,000 $1,600 ⫺$300 ⫺$200 21.95% C ⫺$1,000 $500 ⫺$500 $2,000 29.95% Determine cuáles proyectos son inversiones puras. D ⫺$1,000 $3,900 ⫺$5,030 $2,145 (10%, 30%, 50%) 7A -1 Prueba de la inversión neta 293 SOLUCIÓN Dados: Cuatro proyectos con flujos de efectivo e i* indicados en la tabla anterior. Determine: Cuáles proyectos son inversiones puras. Calcularemos primero los saldos del proyecto a sus respectivas i*. Si existen múltiples tasas de retorno, podemos usar el valor positivo más grande de i*. (De hecho, no importa cuál tasa usemos al aplicar la prueba de la inversión neta. Si un valor pasa la prueba de la inversión neta, todos los demás la pasarán. Si un valor falla, todos los demás fallarán.) Proyecto A: SP(33.64%)0 ⫽ ⫺$1,000; SP(33.64%)1 ⫽ ⫺$1,000(1 ⫹ 0.3364) ⫹ (⫺$1,000) ⫽ ⫺$2,336.40; SP(33.64%)2 ⫽ ⫺$2,336.40(1 ⫹ 0.3364) ⫹ $2,000 ⫽ ⫺$1,122.36; SP(33.64%)3 ⫽ ⫺$1,122.36(1 ⫹ 0.3364) ⫹ $1,500 ⫽ 0. (⫺,⫺,⫺,0): Pasa la prueba de inversión neta (inversión pura). Proyecto B: SP(21.95%)0 ⫽ ⫺$1,000; SP(21.95%)1 ⫽ ⫺$1,000(1 ⫹ 0.2195) ⫹ $1,600) ⫽ $380.50; SP(21.95%)2 ⫽ ⫹$380.50(1 ⫹ 0.2195) ⫺ $300 ⫽ $164.02; SP(21.95%)3 ⫽ ⫹$164.02(1 ⫹ 0.2195) ⫺$200 ⫽ 0. (⫺,⫹,⫹,0): No pasa la prueba de inversión neta (inversión mixta). Proyecto C: SP(29.95%)0 ⫽ ⫺$1,000; SP(29.95%)1 ⫽ ⫺$1,000(1 ⫹ 0.2995) ⫹ $500 ⫽ ⫺799.50; SP(29.95%)2 ⫽ ⫺$799.50(1 ⫹ 0.2995) ⫺ $500 ⫽ ⫺$1,538.95; SP(29.95%)3 ⫽ ⫺$1,538.95(1 ⫹ 0.2995) ⫹ $2,000 ⫽ 0. (⫺,⫺,⫺,0): Pasa la prueba de inversión neta (inversión pura). Proyecto D: Existen tres tasas de retorno. Podemos usar cualquiera de ellas para la prueba de inversión neta. Utilizamos la tercera tasa, 50%, como sigue: SP(50%)0 ⫽ ⫺$1000; SP(50%)1 ⫽ ⫺$1,000(1 ⫹ 0.50) ⫹ $3,900 ⫽ $2,400; SP(50%)2 ⫽ ⫹$2,400(1 ⫹ 0.50) ⫺ $5,030 ⫽ ⫺$1,430; SP(50%)3 ⫽ ⫺$1,430(1 ⫹ 0.50) ⫹ $2,145 ⫽ 0. (⫺,⫹,⫺,0): No pasa la prueba de inversión neta (inversión mixta). COMENTARIOS: Como se muestra en la figura 7A.1, los proyectos A y C son las únicas inversiones puras. El proyecto B demuestra que la existencia de una i* única es una condición necesaria, pero no suficiente, para una inversión pura. 294 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno Proyecto A Inversión pura 3,000 3,000 2,000 2,000 0 1,000 0 1 2 3 ⫺1,000 0 2,000 2,000 2 3 ⫺1,000 1,539 4 N 0 0 1 2 ⫺1,000 2,000 3 4 N 1,430 3,000 3,000 Figura 7A.1 2,400 1,000 0 SP($) SP($) 1,000 799 4 N 3 Proyecto D Inversión mixta 3,000 2,000 2 0 3,000 3,000 1 1 164 2,000 2,236 Proyecto C Inversión pura 0 380 ⫺1,000 1,122 2,000 3,000 4 N SP($) 1,000 SP($) Proyecto B Inversión mixta Prueba de inversión neta 7A-2 Necesidad de una tasa de interés externa Aun en una inversión no simple, en la cual existe sólo una tasa de retorno positiva, es posible que el proyecto no pase la prueba de inversión neta, como se demostró con el proyecto B del ejemplo 7A.1. En este caso, la i* única tal vez no sea un verdadero indicador de la rentabilidad del proyecto. Es decir, cuando nosotros calculamos los saldos del proyecto para una i* de inversiones mixtas, notamos algo importante. Se supone que el efectivo que se toma prestado (o que es liberado) de un proyecto gana la misma tasa de interés a través de una inversión externa que el dinero que permanece invertido internamente. En otras palabras, al calcular los lujos de efectivo para una tasa de interés desconocida, se supone que el dinero liberado de un proyecto puede reinvertirse para obtener rendimiento a una tasa de retorno igual a la tasa generada por el proyecto. De hecho, hemos hecho esta suposición ya sea que el lujo de efectivo produzca o no una sola i* positiva. Advierta que el dinero es prestado por el proyecto sólo cuando SP(i*) ⬎ 0, y la magnitud de la cantidad prestada es el saldo del proyecto. Cuando SP(i*) ⬍ 0, no se presta dinero, aun cuando el lujo de efectivo pueda ser positivo en ese momento. En realidad, no siempre es posible que el efectivo que se toma prestado (o que es liberado) de un proyecto sea reinvertido para ganar una tasa de retorno igual a la del proyecto. En vez de ello, es probable que la tasa de retorno disponible en una inversión de capital del negocio sea muy diferente —por lo general, mayor— a la tasa de retorno disponible en otras inversiones externas. 7A -3 Cálculo del rendimiento sobre el capital invertido en inversiones mixtas 295 Así, puede ser necesario calcular los saldos del proyecto para un flujo de efectivo a dos tasas de interés: una sobre la inversión externa y otra sobre las inversiones externas. Como veremos más adelante, mediante la separación de tasas de interés, podemos medir la tasa de retorno real de cualquier porción interna de un proyecto de inversión. Puesto que las pruebas de inversión neta son la única forma de predecir exactamente el préstamo del proyecto (es decir, la inversión externa), su importancia resulta clara ahora. Para calcular exactamente la TIR real de un proyecto, siempre debemos intentar una solución por el método de la prueba de inversión neta y, si esta prueba falla, hay que realizar el paso analítico posterior de introducir una tasa de interés externa. La presencia de una i* positiva única es una condición necesaria, pero no suficiente, para predecir una inversión neta; así que si encontramos un valor único, deberíamos someter el proyecto a la prueba de la inversión neta. 7A-3 Cálculo del rendimiento sobre el capital invertido en inversiones mixtas Una prueba fallida de inversión neta indica una combinación de inversión interna y externa. Cuando existe esta combinación, debemos calcular una tasa de retorno para la porción de capital que permanece invertida internamente. Esta tasa se deine como la TIR real de la inversión mixta y comúnmente se conoce como rendimiento sobre el capital invertido (RCI). ¿Cómo determinamos la TIR real de una inversión mixta? En la medida en que un proyecto no es una inversión neta, el dinero de uno o más periodos en que el proyecto tiene flujos netos de salida (saldo positivo) debe regresar más tarde al proyecto. Este dinero puede depositarse en el fondo común de inversión de la compañía hasta que llegue el momento en el que se necesite para el proyecto. La tasa de interés de este fondo común de inversión es la tasa de interés a la cual, de hecho, el dinero puede ser invertido fuera del proyecto. Recuerde que el método del VP supone que la tasa de interés cobrada a cualquier fondo sustraído del fondo común de inversión de una compañía es igual a la TREMA. En este libro usaremos la TREMA como una tasa de interés externa establecida (es decir, la tasa ganada por el dinero invertido fuera del proyecto). Podemos entonces calcular la TIR real, o RCI, como una función de la TREMA obteniendo el valor de la TIR que hará el saldo final del proyecto igual a cero. (Esta definición implica que la compañía quiere recuperar totalmente cualquier inversión hecha en el proyecto y saldar cualquier préstamo al final de la vida del proyecto.) Este modo de calcular la tasa de retorno es una medida exacta de la rentabilidad del proyecto representada por el flujo de efectivo. El siguiente procedimiento muestra los pasos para determinar la TIR de una inversión mixta: Paso 1: Identifique la TREMA (o tasa de interés externa). Paso 2: Calcule SP(i, TREMA)n, o simplemente SPn, de acuerdo con la siguiente regla: SP 1i, TREMA20 ⫽ A0 . SP 011 ⫹ i2 ⫹ A1 , si SP 0 ⬍ 0. SP 1i, TREMA21 ⫽ b SP 011 ⫹ TREMA2 ⫹ A1 , si SP 0 ⬎ 0. o SP 1i, TREMA2n ⫽ b SP n ⫺111 ⫹ i2 ⫽ An , si SP n ⫺1 ⬍ 0. SP n ⫺111 ⫹ TREMA2 ⫹ An , si SP n ⫽ 1 ⬎ 0. 296 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno La compañía está pidiendo prestado Saldo del proyecto Saldo final SP(i*)N ⫽ 0 TREMA 0 1 2 3 5 TIR 6 4 7 N TIR La compañía está invirtiendo Figura 7A.2 Lógica de cálculo para determinar la TIR real de una inversión mixta (Como se deinió en el texto, An representa el lujo de efectivo neto al inal del periodo n. Advierta también que el saldo inal del proyecto debe ser cero.) Paso 3: Determine el valor de i resolviendo la ecuación del saldo final del proyecto: SP(i, TREMA)N ⫽ 0 Esa tasa de interés es la TIR para la inversión mixta. Usando la TREMA como una tasa de interés externa, podemos aceptar un proyecto si la TIR excede la TREMA; de otro modo, el proyecto debe rechazarse. La figura 7A.2 resume el cálculo de la TIR para una inversión mixta. EJEMPLO 7A.2 TIR para un proyecto no simple: Inversión mixta Reconsidere el proyecto del simulador de vuelo del contratista de la Defensa en el ejemplo 7.6. El proyecto era una inversión mixta y no simple (no convencional). Para simpliicar el proceso de toma de decisión, abandonamos el criterio de la TIR y usamos el VP para tomar una decisión de aceptación o rechazo. Aplique los procedimientos descritos en este capítulo para encontrar la TIR real, o el rendimiento sobre el capital invertido, de esta inversión mixta: a) Calcule la TIR (RCI) para este proyecto, suponiendo un TREMA ⫽ 15%. b) Tome una decisión de aceptación o rechazo con base en los resultados del inciso a). SOLUCIÓN Dados: El flujo de efectivo mostrado en el ejemplo 7.6 y TREMA ⫽ 15%. Determine: a) TIR y b) si el proyecto debe aceptarse o no. 7A-3 Cálculo del rendimiento sobre el capital invertido en inversiones mixtas 297 a) Como se calculó en el ejemplo 7.6, el proyecto tiene múltiples tasas de retorno (10% y 20%). Obviamente, este proyecto no es una inversión pura, como se observa en la siguiente tabla: Prueba de la inversión neta usando i* ⫽ 20% 0 n 1 2 $0 ⫺$1,000 $1,100 Saldo inicial Rendimiento de la inversión Pago $0 ⫺$200 $220 ⫺$1,000 $2,300 ⫺$1,320 Saldo final ⫺$1,000 $1,100 $0 (Unidad: $1,000) Como la prueba de la inversión neta indica tanto inversión externa como interna, ni el 10% ni el 20% representan la tasa interna de retorno real de este proyecto. Puesto que el proyecto es una inversión mixta, necesitamos encontrar la TIR real aplicando los pasos descritos previamente. Para n ⫽ 0, existe una inversión neta para la compañía, de manera que la expresión del saldo del proyecto se convierte en SP(i, 15%)0 ⫽ ⫺$1,000,000 La inversión neta de $1,000,000 que permanece invertida internamente crece de acuerdo con i para el siguiente periodo. Con la recepción de $2,300,000 en el año 1, el saldo del proyecto se transforma en SP(i, 15%)1 ⫽ ⫺$1,000,000 (1 ⫹ i) ⫹ $2,300,000 ⫽ $1,300,000 ⫺ $1,000,000i ⫽ $1,000,000 (1.3 – i). En este punto, no sabemos si el SP(i, 15%)1 es positivo o negativo. Necesitamos conocer esta información para probar la inversión neta y la presencia de una i* única. La inversión neta depende del valor de i, el cual queremos determinar. Por lo tanto, necesitamos considerar dos situaciones: 1. i ⬍ 1.3 y 2. i ⬎ 1.3: • Caso 1: i ⬍ 1.3 → SP(i,15%)1 ⬎ 0. Puesto que la condición indica un saldo positivo, el efectivo liberado del proyecto regresaría al fondo común de inversión de la compañía para incrementarse a la TREMA hasta que sea requerido de regreso en el proyecto. Al final del año 2, el efectivo depositado en el fondo de inversión habría crecido a la tasa del 15% [a $1,000,000(1.3 – i)(1 ⫹ 0.15)] y debe igualar la inversión en el proyecto de $1,320,000 requeridos en ese momento. Luego, el saldo final debe ser SP(i, 15%)2 ⫽ $1,000,000(1.3 – i)(1 ⫹ 0.15) ⫺ $1,320,000 ⫽ $175,000 ⫺ $1,150,000i ⫽ 0 Al despejar i se obtiene 298 CAPÍTULO 7 Análisis de la tasa de retorno TIR ⫽ 0.1522 o 15.22% • Caso 2: i ⬎ 1.3 → SP(i,15%)1 ⬍ 0. La compañía se encuentra aún en una fase de inversión. Por lo tanto, el saldo al final del año 1 que permanece invertido crecerá a una tasa de i para el siguiente periodo. En virtud de que la inversión de $1,320,000 requerida para el año 2 y dado el hecho de que la inversión neta debe ser cero al final de la vida del proyecto, el saldo al final del año 2 debe ser SP(i, 15%)2 ⫽ $1,000,000(1.3 – i)(1 ⫹ i) ⫺ $1,320,000 ⫽ ⫺$20,000 ⫹ $300,000i ⫺ $1,000,000i2 ⫽ 0 Al despejar i obtenemos TIR ⫽ 0.1 o 0.2 ⬍ 1.3, lo cual contradice la suposición inicial (i ⬎ 1.3). Por lo tanto, el caso 1 es la situación correcta. b) El caso 1 indica que TIR ⬎ TREMA, de manera que el proyecto es aceptable, como se concluyó con la decisión obtenida en el ejemplo 7.6 al aplicar el criterio del VP. COMENTARIOS: En este ejemplo podíamos haber visto por inspección que el caso 1 era correcto. Puesto que el proyecto requirió una inversión como el flujo de efectivo final, el saldo del proyecto al final del periodo anterior (año 1) tenía que ser positivo para que el saldo final fuera cero. Sin embargo, la inspección por lo regular no funciona en el caso de flujos de efectivo más complejos. En general, es mucho más fácil encontrar la TIR real usando la función Buscar objetivo de Excel. La tabla 7A.1 ilustra cómo puede obtenerse la TIR real usando la función Buscar objetivo. Para ello, son necesarios los siguientes pasos: • • Paso 1: Especifique la TREMA en la celda B4, y el RCI estimado en la celda B5. Ingrese la información del flujo de efectivo de la celda B9 a la B11. Paso 2: Designe las celdas C9 a C11 como el saldo del proyecto para cada periodo. Para calcular la cifra del saldo de proyecto como una función tanto de la TREMA como del RCI, necesitamos un enunciado “SI” en Excel. En una fórmula, los argumentos son separados por comas, así que para este ejemplo, pongamos nuestra fórmula en la celda C10: ⫽SI(C9⬍0,C9*(1⫹$B$5)⫹B10,C9*(1⫹$B$4)⫹B10. Esto dice que, SI el valor en C9 es menor que 0, calcule C9*(1⫹$B$5)⫹B10 e ingrese este valor en C10, y si es mayor que cero calcule C9*(1⫹$B$4)⫹B10 e ingrese este valor en C10. Repita el proceso para la celda C11. • • Paso 3: Vaya al menú de “Herramientas” y haga clic en el comando “Buscar objetivo”. Entonces usted verá el cuadro de diálogo “Buscar objetivo” como se muestra en la tabla 7A.1. Elija $C$11 como la celda “Establecer celda”, ingrese “0” en “Al valor” y $B$5 como “Cambiando celda”. Luego, haga clic en “OK”. Paso 4: Verifique el RCI desplegado en la celda B5. En nuestro ejemplo, este valor es 15.22%. Si esta cifra es la misma que la tasa de retorno, usted tendrá una inversión pura. Para una inversión mixta, el RCI será diferente de cualquiera de las cifras de la tasa de retorno. 7A-3 Cálculo del rendimiento sobre el capital invertido en inversiones mixtas 299 TABLA 7A.1 Cálculo del rendimiento sobre el capital invertido (RCI) Ejemplo 7A.2 Cálculo del rendimiento sobre el capital invertido (RCI) TREMA ⫽ RCI estimado 15% 15.217% Flujo de efectivo 0 1 2 SP(I,TREMA) -1000 -1000 2300 1147.82609 0 -1320 : ⫽ SI(C9⬍0,C9*(1⫹$B$5)⫹B10,C9*(1⫹$B$4)⫹B10) : ⫽ SI(C10⬍0,C10*(1⫹$B$5)⫹B11,C10*(1⫹$B$4)⫹B11) Desarrollo de flujos de efectivo de proyectos P A R T E 3 CAPÍTULO OCHO Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta ¿Sabe usted cuánto cuesta ser el propietario de una pieza de equipo? Lisa Block es una ingeniera industrial empleada por Maxloma, una empresa que fabrica topes protectores de parachoques (defensas), así como los núcleos resistentes al impacto de estas partes automotrices; tales componentes están diseñados para proteger el automóvil y a sus ocupantes contra accidentes y lesiones. Para fortalecer la competitividad de la empresa en el mercado como proveedor de primera línea, la dirección ha decidido adquirir una máquina de inspección asistida por computadora que cuesta $220,000 y que permite una inspección del 100% de la producción de sus topes protectores de parachoques. Como parte del equipo de producción, Lisa está entusiasmada con la idea de que esta máquina, en esencia, elimina la inspección manual que normalmente realizan supervisores capacitados. La máquina identifica todos los tipos de defectos de fabricación e incluso localiza con precisión el lugar donde se originaron estos defectos durante los procesos de manufactura. De hecho, cuanto más piensa Lisa al respecto, más se pregunta por qué no se realizó esta compra antes. Ahora, hay que preguntarse: ¿Cómo afecta el costo de este sistema la posición financiera de la compañía? A largo plazo, el sistema promete generar mayor riqueza para la organización al incrementar la calidad del producto y reducir el tiempo de inspección. Sin embargo, en el corto plazo, el alto costo del sistema tendrá un efecto negativo sobre el balance de la organización, ya que implica costos iniciales altos que sólo se compensarán gradualmente con los beneficios del sistema. 302 Debemos tomar en cuenta otra situación. Este moderno equipo inevitablemente se desgastará con el paso del tiempo. Aun si su servicio productivo se prolonga durante muchos años, el costo de mantener su alto nivel de funcionamiento aumentará a medida que las piezas de hardware se desgasten y necesiten reemplazarse. Aún más importante es preguntarse por cuánto tiempo será moderno este sistema. ¿Cuándo esta ventaja competitiva que la compañía acaba de obtener se convertirá en una desventaja competitiva, como resultado de la obsolescencia? U no de los hechos de la vida con los que las organizaciones deben lidiar y para los que deben planear es que los activos fijos pierden su valor, aun cuando continúen funcionando y contribuyendo a los proyectos de ingeniería para los cuales están empleados. Esta pérdida de valor, llamada depreciación, puede implicar deterioro y obsolescencia. ¿Por qué los ingenieros deben comprender el concepto de depreciación? Todos los flujos de efectivo descritos en los capítulos 5 al 7 son flujos de efectivo después de impuestos. Para determinar los efectos del impuesto sobre la renta sobre los flujos de efectivo de los proyectos, necesitamos comprender cómo es que una compañía calcula la ganancia (o ingreso neto) que obtiene al poner en marcha un proyecto, donde los gastos de depreciación desempeñan un papel muy importante. La función principal de la contabilidad de depreciación es dar cuenta del costo de los activos fijos en un esquema que se ajuste al declive de su valor con el paso del tiempo. El costo de la máquina de inspección asistida por computadora que acabamos de describir, por ejemplo, estará presente durante varios años en los estados financieros de la compañía, por lo que su esquema de costos iguala, aproximadamente, su esquema de servicio. De esta forma, como veremos, la contabilidad de depreciación permite que la compañía estabilice los estados de su posición financiera que da a conocer a los accionistas y al mundo exterior. A nivel de un proyecto, los ingenieros deben tener la capacidad de evaluar cómo la realidad de los activos fijos que se deprecian influye en el valor de la inversión de un proyecto determinado. Para llevar a cabo esta evaluación, necesitan calcular la asignación de costos de capital a lo largo de la vida del proyecto, lo que requiere el manejo de los convencionalismos y las técnicas que usan los contadores para considerar la depreciación de los activos. En este capítulo revisaremos los convencionalismos y las técnicas de la depreciación de activos. Comenzaremos hablando sobre la naturaleza de la adquisición de activos fijos, la importancia de la depreciación y los impuestos sobre la renta. Después, enfocaremos nuestra atención casi exclusivamente en las reglas y leyes que gobiernan la depreciación de activos y los métodos que utilizan los contadores para asignar los gastos de depreciación. Conocer estas reglas le preparará para evaluar la depreciación de los activos adquiridos en los proyectos de ingeniería. 303 304 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta 8.1 Depreciación contable La adquisición de activos fijos es una actividad importante para una organización de negocios, ya sea porque esté iniciando sus actividades o porque adquiera nuevos activos para seguir siendo competitiva. En la ingeniería económica, el término costo se usa de muchas maneras. Al igual que otros desembolsos, los costos de los activos fijos deben registrarse como gastos en una hoja de balance de la compañía y en el estado de los ingresos. Sin embargo, a diferencia de costos tales como los del mantenimiento, el material y la mano de obra, los costos de los activos fijos no se consideran simplemente como gastos que se deben justificar en el año en que se adquieren. Por el contrario, estos activos son capitalizados; es decir, sus costos se distribuyen restándolos como gastos de los ingresos brutos, una parte cada vez durante un número de periodos. La asignación sistemática del costo inicial de un activo en varias partes durante cierto tiempo, conocida como vida depreciable, es a lo que nos referimos por depreciación contable. Puesto que la depreciación contable es la norma en el mundo de los negocios, a veces nos referimos a ella de manera más general como depreciación de los activos. El proceso de depreciar un activo requiere que determinemos varios asuntos preliminares: 1. ¿Cuál es el costo del activo? 2. ¿Cuál es el valor del activo al término de su vida útil? 3. ¿Cuál es la vida depreciable del activo? 4. ¿Qué método de depreciación elegimos? En esta sección discutiremos cada uno de estos factores. 8.1.1 Propiedad depreciable Como punto de partida, es importante reconocer lo que constituye un activo depreciable, es decir, una propiedad para la que una compañía pueda hacer deducciones por depreciación contra los ingresos. Por lo que se refiere a la legislación fiscal de Estados Unidos, cualquier propiedad depreciable tiene las siguientes características: 1. Debe usarse en el negocio o conservarse para la generación de ingresos. 2. Debe tener una vida de servicio determinada mayor de un año. 3. Debe ser algo que se desgaste, se deteriore, se termine, se vuelva obsoleto o pierda su valor por causas naturales. La propiedad depreciable incluye edificaciones, maquinaria, equipo, vehículos y algunas propiedades intangibles.1 Los inventarios no constituyen una propiedad depreciable porque se reservan para su venta a los clientes en el curso ordinario del negocio. Si un activo no tiene una vida de servicio determinada, el activo no puede depreciarse. Por ejemplo, usted nunca puede depreciar el terreno. Como una nota al margen, debemos añadir que, mientras que nos hemos enfocado en la depreciación dentro de las compañías, las personas también pueden depreciar activos en tanto que éstos cumplan con las condiciones listadas anteriormente. Por ejemplo, un individuo puede depreciar un automóvil si el vehículo se usa exclusivamente con fines de negocios. 8.1.2 Base de costo La base de costo de un activo representa el costo total que se mantiene como un gasto durante la vida del activo, es decir, la suma de los gastos anuales de depreciación. La base de costo generalmente incluye el costo real de un activo y todos los gastos incidentales, como flete, preparación del sitio e instalación. Este costo total, y no sólo el costo del activo, 1 La propiedad intangible es propiedad que tiene un valor, el cual no puede verse ni tocarse. Algunas propiedades intangibles son: 1. derechos reservados y patentes, 2. listas de clientes o suscriptores, 3. diseños y 4. franquicias. Generalmente, se puede amortizar o depreciar la propiedad intangible. 8.1 Depreciación contable 305 debe ser la base para la depreciación que se cobra como un gasto a lo largo de la vida del activo. Además de usarse en el cálculo de las deducciones por depreciación, la base de costo de un activo se usa en el cálculo de la ganancia o la pérdida para la compañía si el activo alguna vez se vende. EJEMPLO 8.1 Base de costo Raymond Stamping Services adquirió una máquina de estampado por $21,500. La compañía tuvo que pagar un impuesto al consumo de $1,200 sobre esta compra. Raymond también pagó los cargos por transportación dentro del país ($525) de la máquina nueva, así como un costo por mano de obra de $1,350 para instalar la máquina en la fábrica. Además, Raymond tuvo que preparar el lugar antes de la instalación, a un costo de $2,125. Determine la base de costo de la máquina nueva con fines de depreciación. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Precio de factura=$22,700, flete=$525, costo de instalación=$1,350 y preparación del lugar=$2,125. Determine: La base de costo. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule la base de costo. El costo de la máquina que es aplicable para depreciación se calcula de la siguiente manera: Costo de la nueva máquina de estampado Flete $22,700 $525 Trabajos de instalación $1,350 Preparación del lugar $2,125 Costo de la máquina (base de costo) COMENTARIOS: ¿Por qué incluimos en su costo todos los cargos incidentales que se relacionan con la adquisición de una máquina? ¿Por qué no tratar estos cargos incidentales como gastos del periodo en el que la máquina se adquiere? La concordancia de costos e ingresos es un principio básico de contabilidad. En consecuencia, los costos totales de la máquina deberían ser vistos como un activo y asignados contra los ingresos futuros que la máquina generará. Todos los costos en los que se incurre en relación con la adquisición de la máquina son costos de los servicios que se recibirán a partir del uso de la máquina. 8.1.3 Vida útil y valor de rescate ¿Cuánto tiempo será útil un activo para la compañía? ¿Qué establecen los estatutos y las reglas de contabilidad para determinar la vida depreciable de un activo? Estas preguntas deben responderse al determinar la vida depreciable de un activo o el número de años durante los cuales se depreciará un activo. $26,700 306 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta En el pasado, la contabilidad de depreciación incluía la elección de una vida depreciable que se basaba en la vida de servicio de un activo. Sin embargo, determinar la vida de servicio de un activo a menudo era muy difícil y la imprecisión de estos cálculos a menudo generaba disputas entre los contribuyentes y la administración fiscal. Para aliviar los problemas, el Internal Revenue Service (IRS), la institución de administración fiscal de Estados Unidos, ahora publica lineamientos sobre las vidas para las categorías de los activos, conocidos como rangos de depreciación de activos o RDA. Estos lineamientos especifican un rango de vidas para distintas clases de activos con base en datos históricos, lo que permite a los contribuyentes elegir una vida depreciable dentro del intervalo especificado de un activo determinado. En la tabla 8.1 mostramos un ejemplo de RDA para algunos activos. TABLA 8.1 Rangos de Depreciación de Activos (RDAS) Rango de depreciación de activos (años) Límite inferior Vida media Límite superior Muebles de oficina, enseres y equipo 8 10 12 Sistemas de información (computadoras) 5 6 7 Aviones 5 6 7 Automóviles y taxis 2.5 3 3.5 Autobuses 7 9 11 Camiones ligeros 3 4 5 Camiones pesados (revolvedoras) 5 6 7 12 15 18 5 6 7 14.5 18 21.5 17.5 22 26.5 8 10 12 5 6 7 9.5 12 14.5 35 42 Activos empleados Vagones de ferrocarril y locomotoras Tractores Buques, barcazas, remolcadores y sistemas de transportación acuática Sistemas de generación o distribución de vapor industrial y electricidad Equipo de fabricación de maquinaria eléctrica Equipo de fabricación de componentes, productos y sistemas electrónicos Equipo de fabricación de vehículos de motor Planta para distribución telefónica 28 El valor de rescate de un activo es un valor estimado de un activo al final de su vida; es la cantidad que se recupera finalmente a través de las ventas o el intercambio. El valor de rescate final de un activo debe calcularse cuando se establece el calendario de depreciación para el activo. Si posteriormente este cálculo resulta inexacto, se deberá hacer un ajuste. 8.2 Métodos de depreciación contable 307 Depreciación contable Depreciación fiscal • Se emplea para reportar los ingresos netos a los inversionistas y accionistas • Se emplea en las decisiones de precios • Se emplea para calcular los impuestos sobre la renta para la administración fiscal • Se emplea en decisiones de ingeniería económica Línea recta Saldo decreciente Unidades de producción Propiedad personal 3 años 5 años 7 años 10 años 15 años 20 años Bienes inmuebles 27.5 años 39 años Figura 8.1 Tipos de depreciación contable y sus fines principales 8.1.4 Métodos de depreciación: Depreciación contable y fiscal Debemos hacer una distinción importante en cuanto a la definición general de depreciación contable. La mayoría de las compañías calculan la depreciación de dos maneras diferentes, dependiendo de si el cálculo es 1. para reportes financieros (método de depreciación contable), como la hoja de balance o el estado de ingresos, o 2. para calcular los impuestos (método de depreciación fiscal). (Véase la figura 8.1.) En Estados Unidos, esta distinción es totalmente legítima bajo las normas de la administración fiscal del ISR, como lo es en muchos otros países. Calcular la depreciación de forma diferente para fines de reportes financieros y fines fiscales produce los siguientes beneficios: • La depreciación contable permite que las compañías reporten la depreciación ante los accionistas y otros grupos de interés de la organización con base en el concepto de combinación. De esta forma, la pérdida real en el valor de los activos se refleja de manera general. • El método de depreciación fiscal permite que las compañías se beneficien de las ventajas fiscales de los activos en depreciación más rápidamente de lo que sería posible bajo el concepto de combinación. En muchos casos, la depreciación fiscal permite que las compañías difieran el pago de sus impuestos sobre la renta. Este aplazamiento no significa que paguen menos impuestos en general, ya que el gasto total de depreciación a lo largo del tiempo es el mismo en cualquiera de los casos. Sin embargo, como los métodos de depreciación fiscal generalmente permiten una depreciación más alta que la depreciación contable en los primeros años, el beneficio de la depreciación fiscal se disfruta antes y las compañías normalmente pagan impuestos más bajos en los años iniciales de un proyecto de inversión. Normalmente, este factor lleva a una mejor posición de los flujos de efectivo en los primeros años y el efectivo añadido conduce a una mayor riqueza futura en virtud del valor de los fondos en el tiempo. 8.2 Métodos de depreciación contable Considere una máquina que cuesta $10,000, con una vida estimada de cinco años y un valor de rescate estimado de $2,000. El objetivo de la contabilidad de depreciación es cobrar este costo neto de $8,000 como un gasto en el periodo de cinco años. ¿Cuánto 308 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta debería cobrarse como gasto cada año? Se pueden utilizar tres métodos diferentes para calcular las asignaciones de depreciación periódica para el reporte financiero: 1. el método de línea recta, 2. el método del saldo decreciente y 3. el método de unidades de producción. En el análisis de ingeniería económica nos interesa principalmente la depreciación en el contexto del cálculo del impuesto sobre la renta. No obstante, existen varias razones que hacen útil el estudio de los métodos de depreciación contable: • Primero, muchas decisiones para la determinación de precios de los productos se basan en los métodos de depreciación contable. • Segundo, los métodos de depreciación fiscal se basan, en buena parte, en los mismos principios que se usan en los métodos de depreciación contable. • Tercero, las compañías continúan usando los métodos de depreciación contable para los reportes financieros que presentan ante sus accionistas y otros grupos de interés externos. • Finalmente, los métodos de depreciación contable todavía se utilizan para calcular los impuestos estatales sobre la renta en muchos estados y países. 8.2.1 Método de línea recta El método de depreciación en línea recta (LR) interpreta un activo fijo como un activo que provee sus servicios de manera uniforme. Esto es, el activo provee una cantidad igual de servicio en cada año de su vida útil. En otras palabras, la tasa de depreciación es 1/N, donde N es la vida depreciable. El ejemplo 8.2 ilustra el concepto de depreciación en línea recta. EJEMPLO 8.2 Depreciación en línea recta Considere los siguientes datos de un automóvil: Base de costo del activo (I)=$10,000; Vida útil (N)= 5 años; Valor de rescate estimado (S)=$2,000. Calcule las asignaciones de depreciación anual y los valores contables resultantes, usando el método de depreciación en línea recta ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: I=$10,000, S=$2,000 y N=5 años. Determine: Dn y Bn para n=1 a 5. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Genere una tabla de depreciación en línea recta. La tasa de depreciación en línea recta es 51 o 20%. Por lo tanto, el cargo anual por depreciación es Dn=(0.20)($10,000-$2,000)=$1,600. 8.2 Métodos de depreciación contable 309 De esta forma, el activo tendría los siguientes valores contables durante su vida útil, donde Bn representa el valor contable después del cargo de depreciación para el año n: Bn=I-(D1 ⫹ D2 ⫹ D3 ⫹ … ⫹ Dn). De acuerdo con lo anterior, el calendario de depreciación basado en el método de línea recta es el siguiente: n Dn 0 Bn $10,000 1 $1,600 $8,400 2 $1,600 $6,800 3 $1,600 $5,200 4 $1,600 $3,600 5 $1,600 $2,000 COMENTARIOS: Podemos fácilmente generar un calendario de depreciación justo como el que hemos mostrado si usamos un comando financiero predefinido, = SLN(costo, rescate, vida) en Excel. Una forma de automatizar el proceso de generar un calendario de depreciación consiste en desarrollar una hoja de cálculo de Excel, como la que se presenta en la tabla 8.2 de la siguiente página. Primero, determinamos el tipo de método de depreciación, como el método de línea recta en este ejemplo. Después, registramos la base de costo en la celda B5, la vida depreciable en la celda D5 y el valor de rescate en la celda B6. Después, al oprimir el botón de calcular, se generará el calendario de depreciación en las celdas C12 a C16, y también la gráfica de la depreciación anual, así como el valor contable como una función del tiempo. 8.2.2 Método del saldo decreciente (SD) El segundo concepto reconoce que el conjunto de servicios ofrecidos por un activo fijo puede disminuir con el paso del tiempo; en otras palabras, puede ser el más alto durante el primer año de vida de servicio de un activo y el más bajo en su último año. Este esquema se presenta porque la eficiencia mecánica de un activo tiende a disminuir con el tiempo, porque los costos de mantenimiento tienden a aumentar en relación directa con la antigüedad, o por la creciente probabilidad de que haya mejor equipo disponible en el mercado que convierta al activo original en obsoleto. Este razonamiento conduce a un método que cobra una fracción mayor del costo como un gasto de los primeros años y no de los últimos años. Este método, el método del saldo decreciente, es el que se utiliza con mayor frecuencia. Tasa de depresación El método del saldo decreciente para calcular la depreciación asigna una fracción fija del balance contable inicial cada año. La fracción se obtiene a partir de la tasa de depreciación de línea recta (1\N) como una base: Å=(1/N)(multiplicador). (8.1) 310 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta TABLA 8.2 Hoja de cálculo de Excel para calcular las cantidades de depreciación mediante el método de línea recta Método Depreciación total De línea recta Costo ($) Vida (años) Calcular Rescate ($) Periodo Valor contable inicial Depreciación Valor contable inal Reiniciar Cantidad anual de depreciación Valor contable Los multiplicadores más empleados en Estados Unidos son 1.5 (llamado SD del 150%) y 2.0 (llamado DSD del 200%, o doble saldo decreciente). De esta forma, un método SD del 200% especifica que la tasa de depreciación será el 200% de la tasa de línea recta. Conforme N aumenta, α disminuye, lo que da por resultado una situación en la que la depreciación es la más alta en el primer año y luego disminuye a lo largo de la vida depreciable del activo EJEMPLO 8.3 Depreciación del saldo decreciente Considere la siguiente información contable de un sistema de cómputo: Base de costo del activo (I)=$10,000; Vida útil (N)= 5 años; Valor de rescate estimado (S)=$2,000. Calcule las asignaciones de depreciación anual y los valores contables resultantes, usando el método de depreciación del doble saldo decreciente. 8.2 Métodos de depreciación contable 311 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: I=$10,000, S=$2,000 y N=5 años. Determine: Dn y Bn para n=1 a 5. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Cree en Excel un calendario de depreciación del doble saldo decreciente. El valor contable al principio del primer año es de $10,000 y la tasa de saldo decreciente Å es 51 (2)=40%. Entonces, la deducción por depreciación para el primer año será $4,000 (40% × $10,000=$4,000). Para calcular la deducción por depreciación en el segundo año, prime-ro debemos ajustar el valor contable para la cantidad de depreciación que dedujimos en el primer año. La depreciación del primer año se resta del valor contable inicial ($10,000-$4,000=$6,000). Después, se multiplica esta cantidad por la tasa de depreciación ($6,000 × 40%=$2,400). Si continuamos el proceso, obtenemos D3. Sin embargo, en el año 4, B4, sería menor que S=$2,000 si se tomara la deducción total ($864). La ley fiscal no nos permite depreciar activos por debajo de su valor de rescate. Por lo tanto, ajustamos D4 a $160, haciendo que B4=$2,000. D5 es cero y B5 permanece en $2,000. La siguiente tabla presenta un resumen de estos cálculos: Final del año Dn Bn 1 0.4($10,000)=$4,000 $10,000-$4,000=$6,000 2 3 0.4($6,000)=$2,400 0.4($3,600)=$1,440 $6,000-$2,400=$3,600 $3,600-$1,440=$2,160 4 0.4($2,160)=$864 → $160 5 0 $2 ,160-$160=$2,000 $2,000-$0=$2,000 Total=$8,000 La tabla 8.3 de la siguiente página también ilustra el proceso de generar un calendario de depreciación en Excel. En esencia, ésta es la misma hoja de cálculo, sólo que necesitamos cambiar del método de depreciación en línea recta al del saldo decreciente usando una tasa de depreciación del 200%. Cambio de política Cuando BN > S, nos enfrentamos a una situación en la que no hemos depreciado el costo total del activo y, por ende, no hemos aprovechado todos los beneficios de diferir el impuesto por depreciación. Si preferimos reducir el valor contable de un activo a su valor de rescate tan pronto como sea posible, podemos hacerlo cambiando de la depreciación del saldo decreciente (SD) a la depreciación en línea recta (LR) siempre que la depreciación LR dé como resultado cargos mayores por depreciación y, por lo tanto, una reducción más rápida en el valor contable del activo. El cambio de la depreciación SD a LR puede llevarse a cabo en cualquiera de los años n, y el objetivo es identificar el año óptimo para efectuar el cambio. La regla de cambio es la siguiente: si la depreciación SD en cualquier 312 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta TABLA 8.3 Hoja de cálculo de Excel para calcular las cantidades de depreciación mediante el método del saldo decreciente (ejemplo 8.3) Ejemplo 8.3 - Método del saldo decreciente Salidas Depreciación total Entradas Método Costo ($) Rescate($) Saldo decreciente Vida (años) Fracción (%) Periodo Valor contable inicial Depreciación Calcular Valor contable inal Reiniciar Cantidad anual de depreciación Valor contable SI año es menor que (o igual a) la cantidad de depreciación calculada por la depreciación LR sobre la base de los años que quedan, realice el cambio y siga el método LR durante toda la vida depreciable del activo. La depreciación en línea recta en cualquier año n se calcula como sigue: Dn = Valor contable al principio del año n-valor de rescate Vida útil restante al principio del año n EJEMPLO 8.4 Saldo decreciente con conversión a depreciación en línea recta (BN > S ) Suponga que el activo del ejemplo 8.3 tiene un valor de rescate cero en vez de $2,000: Base de costo del activo (I)=$10,000; Vida útil (N)= 5 años; Valor de rescate estimado (S)=$0; Å=(1/5)(2)=40%. (8.2) 8.2 Métodos de depreciación contable 313 Determine el momento óptimo para cambiar de la depreciación SD a la depreciación LR y el calendario de depreciación resultante. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: I=$10,000, S=0, N=5 años y Å=40%. Determine: El momento óptimo para la conversión; Dn y Bn para n=1 a 5. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Genere una tabla en Excel de las cantidades de depreciación. Primero procederemos a calcular la depreciación del doble saldo decreciente (DSD) para cada año, como antes. El resultado se presenta en la tabla 8.4a). Luego, calculamos la depreciación LR para cada año, usando la ecuación (8.2). Comparamos la depreciación LR con la depreciación DSD para cada año y utilizamos la regla de decisión para decidir cuándo cambiar. El resultado se muestra en la tabla 8.4b). El cambio debe llevarse a cabo en el cuarto año. TABLA 8.4 n Política de cambio de la depreciación DSD a la depreciación LR con S = 0 a) Sin cambiar método de depreciación Valor contable n b) Cambiando al método LR de depreciación Valor contable 1 $10,000(0.4)=$4,000 $6,000 1 $4,000 $6,000 2 $6,000(0.4)=$2,400 $3,600 2 $6,000/4=$1,500<$2,400 $3,600 3 $3,600(0.4)=$1,440 $2,160 3 $3,600/3=$1,200<$1,440 $2,160 4 $2,160(0.4)=$864 $1,296 4 $2,160/2= $1,080>$864 $1,080 5 $1,296(0.4)=$518 $778 5 $1,080/1= $1,080>$518 $0 Nota: Si no cambiamos métodos, no depreciamos el costo total del activo y, por ende, no aprovechamos en su totalidad los beneficios de diferir el pago de impuestos por depreciación. COMENTARIOS: Como vemos en la tabla 8.4, el proceso de encontrar el mejor momento para efectuar el cambio de método SD a LR puede ser tedioso si se hace manualmente. Aquí es donde podemos utilizar Excel para facilitar el proceso de cálculo. La tabla 8.5 de la siguiente página demuestra cómo podemos diseñar una hoja de cálculo de Excel para lograrlo. Otro beneficio de Excel es su capacidad para graficar la depreciación y el valor contable como función de la antigüedad del activo, justo como vimos en la tabla 8.3. 314 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta TABLA 8.5 Hoja de cálculo de Excel para calcular las cantidades de depreciación con cambio de SD a LR Ejemplo 8.4 - SD con conversión a LR Entradas Método Costo ($) Rescate($) Salidas Depreciación SD con cambio a línea recta Vida (años) Fracción (%) Periodo Valor contable inicial Depreciación Valor contable inal Calcular Reiniciar Cantidad anual de depreciación Valor contable 8.2.3 Método de unidades de producción La depreciación en línea recta se puede mantener sólo si el activo fijo, digamos una máquina, se utiliza exactamente la misma cantidad de tiempo cada año. ¿Qué sucede cuando una prensa troqueladora está en funcionamiento 1,670 horas un año y 780 el siguiente, o cuando parte de su producción se asigna a un nuevo centro de maquinado? Esta situación nos lleva a examinar otro concepto de depreciación que considera el activo como un paquete de unidades de servicio y no como una sola unidad, como en los métodos LR y SD. Sin embargo, este concepto no supone que las unidades de servicio se consuman en un esquema de fases de tiempo. El costo de cada unidad de servicio es el costo neto del activo dividido entre el número total de estas unidades. Así, el cargo por depreciación en un periodo se relaciona con el número de unidades de servicio consumidas en ese periodo. Esta definición conduce al método de unidades de producción. Mediante este método, la depreciación en cualquier año está dada por Unidades de servicio consumidas durante el año n (I-S). Dn = Total de unidades de servicio (8.3) 8.3 Métodos de depreciación fiscal 315 Con el método de unidades de producción, los cargos por depreciación se hacen proporcionales a la razón entre la producción real y la producción total esperada; normalmente, esta razón se calcula en horas-máquina. Las ventajas de utilizar este método incluyen el hecho de que la depreciación varía con el volumen de la producción y, por lo tanto, el método da una imagen más exacta del uso de la máquina. Una desventaja del método de unidades de producción es que tanto la recopilación de datos sobre el uso de la máquina como los métodos contables son un tanto tediosos. Este método puede resultar útil para depreciar equipo que se utiliza para explotar recursos naturales, si éstos se agotan antes de que el equipo se desgaste. Sin embargo, no se considera un método práctico para uso general en la depreciación de equipo industrial. EJEMPLO 8.5 Depreciación de unidades de producción Un camión que transporta carbón tiene un costo neto estimado de $55,000 y se espera que dé servicio por 250,000 millas y que tenga un valor de rescate de $5,000. Calcule la cantidad de depreciación asignada por el uso del camión para recorrer 30,000 millas. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: I ⫽ $55,000, S ⫽ $5,000, total de unidades de servicio ⫽ 250,000 millas y uso durante ese año ⫽ 30,000 millas. Determine: La cantidad de depreciación en ese año. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule la depreciación anual. El gasto por depreciación en un año en el que el camión viajó 30,000 millas sería ( ) 30,000 millas 3 ( $ 55,000 -$ 5,000 )= ( $ 50,000 ) =$ 6,000. 250,000 millas 25 8.3 Métodos de depreciación fiscal Antes del Decreto de Recuperación Económica de 1981 en Estados Unidos, los contribuyentes podían elegir entre varios métodos para depreciar activos con fines fiscales. Los métodos utilizados con mayor frecuencia eran el método de línea recta y el método del saldo decreciente. La imposición posterior del sistema acelerado de recuperación de costos (SARC) y el sistema modificado de recuperación acelerada de costos (SMRAC) sustituyeron estos métodos para su uso con fines fiscales. Actualmente, el SMRAC es el método usado para determinar la cantidad de depreciación asignada en el cálculo del impuesto sobre la renta. La historia anterior se resume en la tabla 8.6. 316 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta TABLA 8.6 Historia de los métodos de depreciación fiscal Depreciación fiscal • Propósito: Calcular los impuestos sobre la renta para el sistema fiscal IRS. • Activos puestos en servicio antes de 1981: Utilice los métodos contables de depreciación (LR, SD o SDA*). • Activos puestos en servicio de 1981 a 1986: Utilice la tabla SARC. • Activos puestos en servicio después de 1986: Utilice la tabla SMRAC. * SDA: Método de la suma de los dígitos de los años, no utilizado ya como un método de depreciación contable. 8.3.1 Periodos de recuperación del SMRAC En el pasado, para fines fiscales y de contabilidad, la vida depreciable de un activo se determinaba por su vida útil estimada; se pensaba que un activo estaría depreciado por completo aproximadamente al final de su vida útil. No obstante, con el esquema SMRAC, los contadores abandonaron totalmente esta práctica, y se establecieron lineamientos más simples que crearon diversas clases de activos, cada uno con un periodo de vida más o menos arbitrario llamado periodo de recuperación. (Nota: Estos periodos de recuperación no necesariamente corresponden a las vidas útiles esperadas.) Como se observa en la tabla 8.7, el esquema SMRAC incluye ocho categorías de activos: 3, 5, 7, 10, 15, 20, 27.5 y 39 años. En el SMRAC, el valor de rescate de la propiedad siempre se considera como cero. Los lineamientos del SMRAC se resumen de la siguiente manera: • Las inversiones en algunos activos efímeros se deprecian a los tres años por un SD del 200% y después por un cambio a la depreciación LR. • Las computadoras, los automóviles y los camiones se amortizan durante cinco años por un SD del 200% y después por un cambio a la depreciación LR. • La mayoría de los tipos de equipo de manufactura se deprecian a los siete años, pero algunos activos de larga duración se amortizan durante 10 años. La mayoría de las amortizaciones de los equipos se calculan mediante el método SD del 200% y después por un cambio a la depreciación LR, un enfoque que contempla amortizaciones más rápidas en los primeros años después de que se hace una inversión. • Las plantas de tratamiento de aguas residuales y de distribución telefónica se amortizan a los 15 años por un SD del 150% y después por un cambio a la depreciación LR. • Las tuberías de alcantarillado y cierto equipo de muy larga duración se amortizan a los 20 años por un SD del 150% y después por un cambio a la depreciación LR. • Las inversiones en bienes inmuebles residenciales para renta se amortizan de forma lineal en 27.5 años. Por otra parte, las propiedades no residenciales (edificios comerciales) se amortizan por el método LR a los 39 años. 8.3 Métodos de depreciación fiscal 317 TABLA 8.7 Clasificaciones de propiedad según el SMRAC (RDA = rango de depreciación de activos) Periodo de recuperación RDA Clase media Propiedad aplicable 3 años RDA ⱕ 4 Herramientas especiales para la manufactura de productos de plástico, productos de metal fabricado y vehículos de motor 5 años 4 ⬍ RDA ⱕ 10 Automóviles, camiones ligeros, equipo de alta tecnología, equipo utilizado para investigación y desarrollo, y sistemas de conmutación telefónica computarizada 7 años 10 ⬍ RDA ⱕ 16 Equipo de manufactura, mobiliario de oficina y enseres 10 años 16 ⬍ RDA ⱕ 20 Buques, barcazas, remolcadores y vagones de ferrocarril 15 años 20 ⬍ RDA ⱕ 25 Plantas de tratamiento de aguas residuales, distribución telefónica o propiedades de servicio público similares 20 años 25 ⱕ RDA Alcantarillado municipal y plantas generadoras de energía eléctrica 27.5 años Bienes inmuebles residenciales para renta 39 años Propiedades no residenciales, incluyendo elevadores y escaleras eléctricas 8.3.2 Depreciación SMRAC: Propiedad personal Al explicar los métodos de depreciación anteriores, se estimó la tasa a la cual disminuye realmente el valor de un activo, y esa tasa se utilizó para la depreciación fiscal. De esta forma, los diferentes activos se depreciaron en diferentes periodos en el tiempo. Sin embargo, el método SMRAC establece tasas de depreciación prescritas llamadas porcentajes de recuperación permitidos, para todos los activos en cada clase. Estas tasas, como se establecieron en 1986 y 1993, se presentan en la tabla 8.8. Determinamos la recuperación anual, o el gasto de depreciación, multiplicando la base de depreciación del activo por el porcentaje de recuperación de costos aplicable: • Convención de medio año: Los porcentajes de recuperación del SMRAC mostrados en la tabla 8.8 utilizan la convención de medio año; es decir, se supone que todos los activos se ponen en servicio a la mitad del año y que tendrán un valor de rescate de cero. Como resultado, se calcula una depreciación de sólo medio año para el primer año que la propiedad está en servicio. Con una depreciación de medio año en el primer año, se calcula una depreciación de un año entero en cada uno de los años restantes del periodo de recuperación del activo, y la depreciación de medio año restante tiene lugar en el año que sigue al fin del periodo de recuperación. También se calcula medio año de depreciación para el año en el que se da de baja la propiedad, o en el que de alguna otra manera se retira del servicio, en cualquier momento antes de que finalice el periodo de recuperación. • Cambio del método SD al método LR: El activo del SMRAC se deprecia inicialmente por el método SD y después por el método LR. En consecuencia, el esquema SMRAC adopta la convención de cambio ilustrada en la sección 8.2.2. 318 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta TABLA 8.8 Calendarios de depreciación SMRAC para la propiedad personal con convención de medio año Clase 3 Tasa de depreciación 5 7 10 15 20 200% 200% 200% 200% 150% 150% SD SD SD SD SD SD 1 33.33 20.00 14.29 10.00 5.00 3.750 2 44.45 32.00 24.49 18.00 9.50 7.219 3 14.81* 19.20 17.49 14.40 8.55 6.677 4 7.41 11.52* 12.49 11.52 7.70 6.177 Año 5 11.52 8.93* 9.22 6.93 5.713 6 5.76 8.92 7.37 6.23 5.285 7 8.93 6.55* 5.90* 4.888 8 4.46 6.55 5.90 4.522 9 6.56 5.91 4.462* 10 6.55 5.90 4.461 11 3.28 5.91 4.462 12 5.90 4.461 13 5.91 4.462 14 5.90 4.461 15 5.91 4.462 16 2.95 4.461 17 4.462 18 4.461 19 4.462 20 4.461 21 2.231 • *Año para cambiar del saldo decreciente a línea recta. Fuente: Publicación IRS 534, Depreciation, U.S. Government Printing Offices, Washington, DC, diciembre de 1995. • Para ilustrar, los porcentajes del SMRAC de propiedades de tres años, comenzando con el primer año fiscal y finalizando con el cuarto año, se calculan de la siguiente manera: tasa de línea recta=1/3, tasa del 200% SD=2 A 13 B ⫽ 0.6667, S ⫽ 0. Año 2 3 Cálculo 1 año dep. DSD=0.5(0.6667) 2 Porcentaje SMRAC dep. DSD=0.6667(1-0.3333) = 44.45% dep. LR=(1 2.5)(1-0.3333) =26.67% dep. DSD=0.6667(1-0.7778) =14.81% = 33.33% 8.3 Métodos de depreciación fiscal 319 4 dep. LR=(1 1.5)(1-0.7778) = 14.81 % 1 dep. LR=(0.5-14.81%) 2 =7.41% Note que la depreciación LR≧ DSD en el año 3, por lo que cambiamos a LR. Para demostrar cómo el sistema fiscal IRS calculó los porcentajes de depreciación del SMRAC usando la convención de medio año, consideremos el ejemplo 8.6. EJEMPLO 8.6 Depreciación SMRAC: Propiedad personal Un contribuyente desea poner en servicio un activo de $10,000 que está asignado a la clase de cinco años del SMRAC. Calcule los porcentajes del SMRAC y las cantidades de depreciación para el activo. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Activo de cinco años, convención de medio año, Å=40% y S=0. Determine: Los porcentajes de depreciación Dn del SMRAC para un activo de $10,000. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Genere una tabla de cantidades de depreciación del SMRAC. Podemos calcular las cantidades de depreciación a partir de los porcentajes mostrados en la tabla 8.8. En la práctica, los porcentajes se toman directamente de la tabla 8.8, suministrada por el IRS. SMRAC Año n Porcentaje (%) Base de depreciación Cantidad de depreciación (Dn) 1 20* $10,000= $2,000 2 32* $10,000= $3,200 3 19.20* $10,000= $1,920 4 11.52* $10,000= $1,152 5 11.52* $10,000= $1,152 6 5.76* $10,000= $576 La figura 8.2 también muestra los resultados. Note que cuando se da de baja un activo antes de finalizar el periodo de recuperación, sólo se calcula la mitad de la depreciación normal. Si, por ejemplo, se tuviera que dar de baja el activo de $10,000 en el año 2, la deducción del SMRAC para ese año sería de $1,600. 320 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta Costo del activo=$10,000 Clase de propiedad=cinco años Método SD=convención de medio año, valor de rescate cero, SD del 200% con cambio a LR 20% 32% $2,000 $3,200 1 Figura 8.2 Método de depreciación del SMRAC 19.20% 11.52% 11.52% 5.76% $1,920 $1,152 $1,152 $576 Completo Completo Completo Completo 2 3 4 5 Convención de medio año COMENTARIOS: Otra forma de calcular los costos de depreciación del SMRAC es utilizando Excel. La tabla 8.9 muestra cómo se puede generar una hoja de cálculo de Excel para llevar a cabo los cálculos de depreciación fiscal. Usted puede elegir el tipo de propiedad (ya sea personal o inmobiliaria) en la celda D4. Después registre la base de costo TABLA 8.9 Hoja de cálculo de Excel para calcular las cantidades de depreciación fiscal mediante el SMRAC Ejemplo 8.6 - Depreciación SMRAC Entradas Tipo de propiedad Costo ($) Periodo de recuperación Salidas Depreciación total Vida (años) Fracción (%) Calcular Reiniciar Tasa SD (%) Periodo Tasa de dep. (%) Cantidad de dep. Valor contable Cantidad anual de depreciación Gráica del valor contable 6 8.3 Métodos de depreciación fiscal 321 en la celda D5, el periodo de recuperación en la celda D6, y la tasa SD en la celda D7. Si presiona la tecla calcular, obtendrá las cantidades anuales de depreciación y los valores contables como una función de la antigüedad del activo. 8.3.3 Depreciación SMRAC: Propiedad inmobiliaria Las propiedades inmobiliarias se clasifican en dos categorías: 1. propiedades residenciales y 2. propiedades o edificios comerciales. Cuando se deprecia una propiedad inmobiliaria, se utilizan el método de línea recta y la convención de medio mes. Por ejemplo, para una propiedad que se puso en servicio en marzo se calcularían 9.5 meses de depreciación para el año 1. Si se da de baja antes del fin del periodo de recuperación, el porcentaje de depreciación debe tomar en cuenta el número de meses que la propiedad estuvo en servicio durante el año en el que se dejó de utilizar. Las propiedades residenciales se deprecian durante 27.5 años y las propiedades comerciales se deprecian durante 39 años. EJEMPLO 8.7 Depreciación SMRAC: Propiedad inmobiliaria El 1 de mayo, Jack Costanza pagó $100,000 por una propiedad residencial. Este precio de compra representa $80,000 por el costo del edificio y $20,000 por el costo del terreno. Tres años y cinco meses después, el 1 de octubre, vendió la propiedad por $130,000. Calcule la depreciación SMRAC para cada uno de los cuatro años calendario durante los cuales fue el dueño de la propiedad. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Propiedad inmobiliaria residencial con una base de costo ⫽ $80,000; el edificio se puso en servicio el 1 de mayo. Determine: La depreciación en cada uno de los cuatro años fiscales en los que la propiedad estuvo en servicio. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Usando Excel, calcule la depreciación durante el periodo de recuperación. En este ejemplo, la convención de medio mes supone que la propiedad entra en servicio el 15 de mayo, lo que da 7.5 meses de depreciación en el primer año. Si recordamos que sólo el edificio (no el terreno) puede depreciarse, calculamos la depreciación en un periodo de 27.5 años usando el método LR: Año 1 2 3 4 Calculo D 7.5 $80,000-0 = b 27.5 12 $80,000 -0 = 27.5 $80,000 -0 = 27.5 9.5 $80,000 -0 = a b 27.5 12 a Dn Porcentajes de recuperación $1,818 2.273% $2,909 3.636% $2,909 3.636% $2,303 2.879% Observe que la convención de medio mes también se aplica al año en que se deja de utilizar el activo. 322 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta COMENTARIOS: Al igual que con la propiedad personal, podemos utilizar Excel para obtener los cálculos de depreciación de la propiedad inmobiliaria, como se muestra en la tabla 8.10. A diferencia del cálculo en el caso de la propiedad personal, necesitamos especificar en la celda D7 el mes en el que la propiedad inmobiliaria se puso en servicio. TABLA 8.10 Hoja de cálculo de Excel para generar un calendario de depreciación para una propiedad inmobiliaria (ejemplo 8.7) Ejemplo 8.7 - Depreciación SMRAC Entradas Tipo de propiedad Inmobiliaria Costo ($) Periodo de recuperación 27.5 Salidas Depreciación total Calcular Reiniciar Mes en que se puso el servicio Mayo Periodo Tasa de dep. (%) Cantidad de dep. Valor contable 2.273% $1,818 $78,182 3.636% $2,909 $75,273 3.636% $2,909 $72,364 3.636% $2,909 $69,455 3.636% $2,909 $66,546 3.636% $2,909 $63,638 3.636% $2,909 $60,729 3.636% $2,909 $57,820 3.636% $2,909 $54,911 3.637% $2,910 $52,002 3.636% $2,909 $49,093 3.637% $2,910 $46,183 3.636% $2,909 $43,274 3.637% $2,910 $40,365 3.636% $2,909 $37,456 3.637% $2,910 $34,546 3.636% $2,909 $31,638 3.637% $2,910 $28,728 3.636% $2,909 $25,819 3.637% $2,910 $22,910 3.636% $2,909 $20,001 3.637% $2,910 $17,091 3.636% $2,909 $14,182 3.637% $2,910 $11,273 3.636% $2,909 $8,364 3.637% $2,910 $5,454 3.636% $2,909 $2,546 3.182% $2,546 ($0) Cantidad anual de depreciación Gráfica del valor contable 8.4 Cómo determinar el “beneficio contable” 323 8.4 Cómo determinar el “beneficio contable” Como hemos visto en los capítulos 4 al 7, tomamos nuestras decisiones de inversión con base en los flujos de efectivo neto de los proyectos. Los flujos de efectivo neto de proyectos son los flujos de efectivo después de impuestos. Para calcular la cantidad de impuestos implicados en la evaluación de los proyectos, necesitamos comprender cómo es que los negocios determinan los ingresos gravables y, a partir de ello, los ingresos netos (ganancias). Las compañías invierten en un proyecto porque esperan que éste haga crecer su riqueza. Si el proyecto logra esto, es decir, si los ingresos del proyecto exceden los costos de éste, decimos que ha generado ganancia o ingreso. Si el proyecto reduce la riqueza de una compañía, es decir, si los costos del proyecto exceden sus ingresos, decimos que el proyecto ha ocasionado una pérdida. Una de las tareas más importantes de los contadores de una organización es medir la cantidad de ganancias o pérdidas que genera un proyecto cada año o en cualquier otro periodo relevante de tiempo. Cualquier ganancia generada estará sujeta a impuestos. La medida contable de las ganancias de un proyecto después de impuestos durante un periodo específico se conoce como ingresos netos. 8.4.1 Manejo de los gastos de depreciación Ya sea que usted esté iniciando u operando un negocio, probablemente necesitará adquirir activos (como edificios y equipo). El costo de esta propiedad se vuelve parte de sus gastos del negocio. El manejo contable de los gastos de capital difiere del manejo de los gastos de fabricación y operación, como el costo de los bienes vendidos y los gastos de operación del negocio. Como se mencionó antes en el capítulo, los gastos de capital deben capitalizarse, o asignarse sistemáticamente como gastos durante sus vidas depreciables. Por consiguiente, cuando usted adquiere una propiedad que tiene una vida productiva de varios años, no puede deducir los costos totales de las ganancias en el año en el que adquirió el activo. En vez de ello, se establece una asignación de depreciación a lo largo de la vida del activo y se incluye una porción de esa asignación en las deducciones de las ganancias anuales de la compañía. Ya que desempeña un papel importante en la reducción de los ingresos gravables, la contabilidad de depreciación es de gran importancia para una compañía. En la siguiente sección investigaremos la relación entre depreciación e ingresos netos. 8.4.2 Cálculo de los ingresos netos Los contadores miden el ingreso neto de un periodo de operación específico restando los gastos de los ingresos de ese periodo. En el caso de los proyectos, estos términos pueden definirse de la siguiente manera: 1. Los ingresos de un proyecto son aquellos ingresos generados por un negocio como resultado de proveer bienes o servicios a los clientes. Los ingresos provienen de las ventas de mercancía a los clientes y de las comisiones ganadas por los servicios efectuados para los clientes u otros. 324 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta 2. Los gastos de un proyecto son costos en los que se incurre cuando se hacen negocios para generar los ingresos de un periodo específico de operación. Algunos gastos comunes son el costo de los bienes vendidos (mano de obra, material, inventario y suministros), la depreciación, el costo de los salarios de los empleados, los costos de operación (como el costo por rentar edificios y el costo de la cobertura del seguro), los gastos por intereses sobre cualquier préstamo y los impuestos sobre la renta. Los gastos de negocios antes mencionados se explican de manera muy sencilla en un estado de ingresos y una hoja de balance general de una compañía; la cantidad que paga la organización por cada artículo se traduce dólar por dólar en los gastos listados en los reportes financieros del periodo. Una categoría adicional de gastos, la compra de activos nuevos, se maneja depreciando el costo total gradualmente a lo largo del tiempo. Como los bienes de capital reciben este único manejo de contabilidad, la depreciación se explica como un gasto aparte en los reportes financieros. En la siguiente sección explicaremos cómo se refleja la contabilidad de depreciación en los cálculos de los ingresos netos. Una vez que definimos los ingresos y los gastos del proyecto, el siguiente paso es determinar el ingreso gravable de la compañía, que se define como sigue: Ingreso gravable=ingreso bruto (es decir, ingresos)-gastos. Una vez que se calcula el ingreso gravable, los impuestos sobre la renta se determinan de la siguiente manera: Impuestos sobre la renta=(tasa de impuesto) × (ingreso gravable). (Discutiremos cómo determinar la tasa de impuesto aplicable en la sección 8.5.) Luego, calculamos el ingreso neto así: Ingreso neto=ingreso gravable-impuestos sobre la renta Un formato más común es presentar el ingreso neto en el estado tabular de ingresos, como el que se presenta en la figura 8.3. Si el ingreso bruto y los demás gastos perma- Ingreso bruto (ingresos) Gastos: Costo de los bienes vendidos Depreciación Gastos por pago de intereses Gastos de operación Ingreso gravable Impuestos sobre la renta Ingreso neto (ganancia contable) Figura 8.3 Enfoque tabular para determinar el ingreso neto 8.4 Cómo determinar el “beneficio contable” 325 necen iguales, cualquier disminución en la deducción de la depreciación aumentará la cantidad de ingresos gravables y, por ende, los impuestos sobre la renta, pero dará como resultado un ingreso neto más elevado. Por otra parte, cualquier aumento en la deducción de la depreciación daría por resultado una menor cantidad de impuestos sobre la renta, pero un ingreso neto más bajo. Si una compañía solicita un préstamo para comprar activos o para financiar una operación de negocios, el pago de intereses se considera como un gasto de operación que puede deducirse del ingreso bruto. EJEMPLO 8.8 Ingreso neto en un año Una compañía compra una máquina controlada numéricamente (CN) por $28,000 (año 0) y la utiliza durante cinco años, después de los cuales la desecha. La deducción de depreciación durante el primer año es de $4,000, ya que el equipo cae en la categoría de propiedad de siete años del SMRAC. (La tasa de depreciación del primer año es del 14.29%.) El costo de los bienes producidos por esta máquina CN deberían incluir un cargo por la depreciación de la máquina. Suponga que la compañía estima los siguientes ingresos y gastos, incluyendo la depreciación por el primer año de operaciones: Ingreso bruto=$50,000 Costo de los bienes vendidos=$20,000 Depreciación sobre la máquina CN=$4,000 Gastos de operación=$6,000 Si la compañía paga impuestos a la tasa del 40% sobre sus ingresos gravables, ¿cuál es su ingreso neto del proyecto durante el primer año? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Ingreso bruto y gastos declarados; tasa del impuesto sobre la renta=40%. Determine: El ingreso neto. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el ingreso neto. Por el momento, dejaremos a un lado la explicación sobre cómo se determina la tasa de impuesto (40%) y manejaremos la tasa dada. Consideramos que la compra de la máquina se realizó al final del año 0, que también es el comienzo del año 1. (Advierta que nuestro ejemplo supone explícitamente que los únicos gastos por depreciación para el año 1 son aquéllos para la máquina CN, una situación que puede no ser representativa.) 326 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta Artículo Ingreso bruto (ingresos) Cantidad $50,000 Gastos: Costo de los bienes vendido $20,000 Depreciación $4,000 Gastos de operación $6,000 Ingreso gravable $20,000 Impuestos (40%) $8,000 Ingreso neto $12,000 COMENTARIOS: En este ejemplo, la inclusión de un gasto por depreciación refleja el verdadero costo de hacer negocios. Este gasto debe corresponder a la cantidad del costo total de la máquina que se ha puesto en funcionamiento, o se ha “acabado” durante el primer año. Este ejemplo también subraya algunas de las razones por las que las leyes de impuestos sobre la renta rigen la depreciación de activos. Si la compañía tuviera la autorización para declarar la totalidad de $28,000 como un gasto del año 1, existiría una discrepancia entre el único desembolso de efectivo por concepto del costo de la máquina y los beneficios graduales de su uso productivo. Esta discrepancia llevaría a considerables variaciones en los ingresos netos de la compañía, y el ingreso neto se convertiría en una medida menos exacta del desempeño de la organización. Por otra parte, no contemplar este costo llevaría a sobrevalorar la ganancia reportada durante el periodo de contabilidad. En esta situación, la ganancia sería una “ganancia ficticia” ya que no daría cuenta con exactitud del uso de la máquina. Depreciar el costo en el tiempo permite a la compañía una distribución lógica de los costos que se ajusta a la utilización del valor de la máquina. 8.4.3 Flujo de efectivo de operación contra ingreso neto Ciertos gastos no son en realidad flujos de efectivo. La depreciación y la amortización son los mejores ejemplos de este tipo de gasto. Aunque la depreciación (o gasto de amortización) se deduce anualmente del ingreso para fines fiscales o contables, no se paga una suma en efectivo a nadie, excepto cuando se compra el activo. Acabamos de ver en el ejemplo 8.8 que la asignación anual de depreciación tiene un efecto importante en el ingreso gravable y el ingreso neto. Sin embargo, aun cuando la depreciación tiene un efecto directo sobre el ingreso neto, no es un desembolso de efectivo; como tal, es importante distinguir entre el ingreso anual en presencia de la depreciación y el flujo de efectivo anual. La situación descrita en el ejemplo 8.8 sirve como un buen vehículo para demostrar la diferencia entre los costos de depreciación como gastos y el flujo de efectivo generado por la compra de un activo fijo. En este ejemplo se gastó una cantidad de $28,000 en el año 0, pero los $4,000 de depreciación considerados contra el ingreso en el año 1 no son un desembolso de efectivo. La figura 8.4 resume la diferencia. 8.4 Cómo determinar el “beneficio contable” 327 0 $28,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 Gasto de capital (flujo de efectivo real) 1 2 3 $1,250 $4,000 $6,850 $4,900 $3,500 $2,500 $2,500 $2,500 Gastos de depreciación asignados (no son un flujo de efectivo) Figura 8.4 Gasto de capital contra gastos de depreciación El ingreso neto (ganancia contable) es importante para fines contables, pero los flujos de efectivo son más importantes para fines de evaluación de proyectos. No obstante, como demostraremos ahora, el ingreso neto puede darnos un punto de partida para calcular el flujo de efectivo de un proyecto. El procedimiento para calcular el ingreso neto es idéntico al que se utiliza para obtener flujos netos de efectivo (después de impuestos) de las operaciones, con excepción de la depreciación, que se excluye del cálculo del flujo neto de efectivo. (La depreciación se necesita sólo para calcular los impuestos sobre la renta.) Suponiendo que los ingresos se reciben y los gastos se pagan en efectivo, podemos obtener el flujo neto de efectivo (operativo) añadiendo el gasto no erogable (es decir, la depreciación) al ingreso neto, lo que anula la operación de restarlo de los ingresos: Flujo de efectivo operativo=ingreso neto ⫹ gasto no erogable (es decir, la depreciación). EJEMPLO 8.9 Flujo de efectivo de la operación contra ingreso neto En el caso de la situación descrita en el ejemplo 8.8, suponga que: 1. todas las ventas son ventas en efectivo y 2. todos los gastos, excepto la depreciación, se pagaron durante el año 1. ¿Cuánto efectivo se generaría a partir de las operaciones? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Los componentes del ingreso neto del ejemplo 8.8. Determine: Flujo de efectivo a partir de la operación. 328 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta METODOLOGÍA SOLUCIÓN Genere una declaración de flujos de efectivo. Podemos generar una declaración de flujos de efectivo simplemente examinando cada elemento en la declaración de ingresos y determinando cuáles de ellos representan en realidad los ingresos y los desembolsos. Algunos de los supuestos listados en el planteamiento del problema hacen más sencillo este proceso. Resumimos nuestras conclusiones como sigue: Artículo Ingreso Flujo de efectivo Ingreso bruto (ingresos) $50,000 $50,000 $20,000 ⫺$20,000 Gastos: Costo de los bienes vendidos Depreciación $4,000 Gastos de operación $6,000 ⫺$6,000 Ingreso gravable Impuestos (40%) $20,000 $8,000 ⫺$8,000 Ingreso neto $12,000 Flujo de efectivo de la operación $16,000 La segunda columna muestra la declaración de ingresos, en tanto que la tercera columna indica la declaración de los flujos de efectivo. Las ventas por $50,000 son todas ventas en efectivo. Los costos, que no incluyen la depreciación, fueron de $26,000; estos costos se pagaron en efectivo, dejando $24,000. La depreciación no es un flujo de efectivo; es decir, la compañía no pagó $4,000 por gastos de depreciación. Sin embargo, los impuestos se pagan en efectivo, de manera que los $8,000 de impuestos deben deducirse de los $24,000, lo que deja un flujo neto de efectivo de la operación de $16,000. La figura 8.5 ilustra, en un formato gráfico, cómo se relaciona el flujo neto de efectivo con el ingreso neto. $50,000 Flujo neto de efectivo $40,000 de la operación $30,000 $20,000 Ingreso neto $12,000 Depreciación $4,000 Impuestos sobre la renta $8,000 Gastos de operación $6,000 Costo de los bienes vendidos $20,000 Ingreso bruto $10,000 $0 Figura 8.5 Relación entre el ingreso neto y el flujo neto de efectivo 8.5 Impuestos corporativos 329 8.5 Impuestos corporativos Ahora que hemos aprendido qué elementos constituyen el ingreso gravable, enfocaremos nuestra atención en el proceso de calcular impuestos sobre la renta. La tasa del impuesto corporativo se aplica al ingreso gravable de una corporación, el cual se define como su ingreso bruto menos las deducciones autorizadas. Como explicamos brevemente en la sección 8.1, las deducciones autorizadas incluyen el costo de los bienes vendidos, los salarios y sueldos, la renta, el interés, la publicidad, la depreciación, la amortización, el agotamiento y diversos pagos de impuestos diferentes del impuesto sobre la renta federal. 8.5.1 Impuestos sobre la renta sobre el ingreso de operación La estructura de la tasa de impuestos corporativos para 2007 es relativamente sencilla. Como se observa en la tabla 8.11, hay cuatro niveles básicos de tasa (15%, 25%, 34% y 35%) más dos sobretasas (5% y 3%) basados en los ingresos gravables. Las tasas fiscales en Estados Unidos son progresivas; es decir, los negocios con ingresos gravables más bajos se gravan a tasas más bajas que aquéllas con ingresos gravables más altos. TABLA 8.11 Esquema de impuestos corporativos de Estados Unidos (2007) Ingreso gravable Tasa de impuesto de la sobretasa marginal Cálculo del impuesto 0–$50,000 15% $0 ⫹ 0.15(⌬) $50,001–$75,000 25% $7,500 ⫹ 0.25(⌬) $75,000–$100,000 34% $13,750 ⫹ 0.34(⌬) $100,001–$335,000 34% ⫹ 5% $22,250 ⫹ 0.39(⌬) $335,001–$10,000,000 34% $113,900 ⫹ 0.34(⌬) $10,000,001–$15,000,000 35% $3,400.000 ⫹ 0.35(⌬) $15,000,001–$18,333,333 35% ⫹ 3% $5,150,000 ⫹ 0.38(⌬) $18,333,334 en adelante 35% $6,416,666 ⫹ 0.35(⌬) (⌬) denota el excedente de ingreso gravable del límite inferior de cada nivel de impuesto. La tasa marginal del impuesto se define como la tasa aplicada al último dólar de ingresos ganado. Los ingresos de hasta $50,000 se gravan a una tasa del 15% (lo que significa que si sus ingresos son menores a $50,000, su tasa marginal del impuesto es del 15%); ingresos entre $50,000 y $75,000 se gravan a una tasa del 25%; y los ingresos superiores a $75,000 se gravan a una tasa del 34%. Se impone una sobretasa del 5% (lo que da como resultado 39%) a los ingresos gravables de una corporación que excedan los $100,000, siendo el máximo impuesto adicional $11,750 ($235,000 × 5%). Esta disposición de sobretasa elimina el beneficio de tasas graduadas para las corporaciones con ingresos gravables de entre $100,000 y $335,000. Otra sobretasa del 3% se impone sobre los ingresos gravables de una corporación en el intervalo de $15,000,001 a $18,333,333. Las compañías con ingresos superiores a $18,333,333, en efecto, pagan un impuesto fijo del 35%. Como se aprecia en la tabla 8.11, el impuesto corporativo también es progresivo hasta $18,333,333 en el ingreso gravable pero, en esencia, es constante a partir de esa cifra. 330 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta Las tasas efectivas (promedio) de impuesto se pueden calcular a partir de los datos de la tabla 8.11. Por ejemplo, si su compañía obtuvo un ingreso gravable de $16,000,000 en 2001, entonces el impuesto sobre la renta que debe pagar la corporación ese año se calcularía de la siguiente manera: Tasas fiscales marginal y efectiva (promedio) para un ingreso gravable de $16,000,000 Tasa marginal del impuesto Ingreso gravable Cantidad de impuestos Impuestos acumulativos Primeros $50,000 15% $7,500 $7,500 Siguientes $25,000 25% $6,250 $13,750 Siguientes $25,000 34% $8,500 $22,250 Siguientes $235,000 39% $91,650 $113,900 Siguientes $9,665,000 34% $3,286,100 $3,400,000 Siguientes $5,000,000 35% $1,750,000 $5,150,000 Restantes $1,000,000 38% $380,000 $5,530,000 Tasa fiscal promedio= $5,530,000 =34.56% $16,000,000 O, usando las fórmulas de la tabla 8.11 para calcular el impuesto, obtenemos $5,150,000 ⫹ 0.38($16,000,000-$15,000,000)=$5,530,000 como la cantidad total de impuestos pagados. La tasa efectiva sería entonces $5,530,000/$16,000,000=0.3456, o 34.56%, en oposición a la tasa marginal del 38%. En otras palabras, en promedio, la compañía pagó 34.56 centavos por cada dólar gravable que generó durante el periodo contable. EJEMPLO 8.10 Impuestos corporativos Una compañía de ventas por teléfono vende computadoras personales y unidades periféricas. La compañía alquiló una sala de exhibición y un almacén por $20,000 al año y gastó $290,000 en equipo de revisión de inventarios y empaque. El gasto autorizado de depreciación para este gasto de capital ($290,000 en total) ascendió a $58,000. La tienda quedó lista y las operaciones comenzaron el 1 de enero. La compañía tuvo un ingreso neto de $1,250,000 para ese año calendario. Los suministros y todos los gastos de operación, menos la renta, se detallaron de la siguiente manera: Mercancía vendida en el año $600,000 Salarios y beneficios para los empleados $150,000 Otros suministros y gastos $90,000 $840,000 Calcule el ingreso gravable para esta compañía. ¿Cuánto pagará la compañía de impuesto federal sobre la renta en el año? ¿Cuál es su tasa corporativa promedio? 8.5 Impuestos corporativos 331 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Ingresos, información anterior sobre los costos y cantidad de depreciación. Determine: Ingresos gravables, cantidad pagada en impuestos federales sobre la renta y tasa corporativa promedio. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el ingreso gravable y la tasa del impuesto corporativo promedio. Primero calculamos el ingreso gravable como sigue: Ingreso bruto $1,250,000 Gastos Gasto de arrendamiento $840,000 $20,000 Depreciación –$58,000 Ingreso gravable $332,000 Advierta que los gastos de capital no son gastos deducibles. Como la compañía está en el nivel de impuesto marginal del 39%, el impuesto sobre la renta puede calcularse mediante la fórmula correspondiente que aparece en la tabla 8.11, 22,250 ⫹ 0.39(X-100,000): Impuesto sobre =$22,250 ⫹ 0.39($332,000-$100,000)=$112,730. la renta La tasa marginal del impuesto de la compañía es del 39%, pero su tasa corporativa promedio es $112,730/$332,000=33.95%. 8.5.2 Impuestos por ganancias sobre la baja de activos Cuando un activo sujeto de depreciación usado en el negocio se vende por una cantidad que difiere de su valor contable, las ganancias o pérdidas tienen un efecto importante sobre los impuestos sobre la renta. Para calcular una ganancia o una pérdida, primero necesitamos determinar el valor contable del activo depreciable en el momento en que deja de utilizarse. Cálculo del valor contable: para una propiedad SMRAC, una consideración importante al momento de la baja es si la propiedad fue enajenada durante o antes de su periodo de recuperación determinado. Es más, con la convención de medio año, que ahora es obligatoria de acuerdo con todos los métodos de depreciación SMRAC, al año de baja se le hace el cargo de una mitad de la cantidad anual de depreciación de ese año, si la baja ocurriera durante el periodo de recuperación. Por ejemplo, consideremos una propiedad SMRAC de cinco años con una base de costo de $100,000. El cálculo del valor contable al momento de la baja sería el siguiente: • Caso 1: Si usted da de baja el activo antes del periodo de recuperación, digamos, en el año 3, entonces VC3=$100,000-$100,000 c0.20 ⫹ 0.32 ⫹ 0.192 d=$38,400. 2 332 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta • Caso 2: Si usted da de baja el activo al final de su periodo de recuperación, digamos, en el año 5, entonces VC5=$100,000-$100,000 c0.20 ⫹ 0.32 ⫹ 0.192 ⫹ 0.1152 ⫹ 0.1152 d 2 =$11,520. • Caso 3: Si usted da de baja el activo después del periodo de recuperación, digamos, en el año 6, entonces VC6=$100,000-$100,000 [0.20 ⫹ 0.32 ⫹ 0.192 ⫹ 0.1152 ⫹ 0.1152 ⫹ 0.0576] =$0. Ganancias (o pérdidas) gravables: Las ganancias gravables se definen como la diferencia entre el valor de rescate y el valor contable. Si el valor de rescate es mayor que la base de costo, estas ganancias gravables pueden dividirse en ganancias de capital y ganancias ordinarias. Específicamente, consideramos dos casos: • Caso 1: Valor de rescate <Base de costo En este caso, ganancias(pérdidas)=valor de rescate-valor contable, donde el valor de rescate representa las ganancias de la venta (precio de venta) menos cualquier gasto de venta o costo por remoción. Las ganancias, comúnmente conocidas como recuperación de depreciación, se gravan como ingresos ordinarios bajo la legislación fiscal actual. • Caso 2: Valor de rescate > Base de costo En el improbable caso de que un activo se venda por una cantidad superior a su base de costo, las ganancias (valor de rescate-valor contable) se dividen en dos partes para fines fiscales: ganancias=valor de rescate-valor contable =(valor de rescate-base de costo) ⫹ (base de costo-valor contable) 8 8 Ganancias de capital Ganancias ordinarias Caso 2 Ganancias de capital Ganancias ordinarias o recuperación de depreciación Base de costo Valor contable Ganancias totales Valor de rescate Figura 8.6 Determinación de las ganancias ordinarias y las ganancias de capital 8.5 Impuestos corporativos 333 Como se aprecia en la figura 8.6, esta distinción es necesaria sólo cuando las ganancias de capital se gravan con la tasa de impuesto de ganancias de capital, y las ganancias ordinarias (o recuperación de la depreciación) se gravan con la tasa ordinaria de impuesto sobre la renta. La ley fiscal actual de Estados Unidos no establece una tasa inferior especial para gravar las ganancias de capital de las corporaciones. Actualmente, las ganancias de capital se consideran como ingresos ordinarios, pero la tasa máxima está establecida a la tasa reglamentaria de Estados Unidos del 35%. Aun así, la estructura reglamentaria para las ganancias de capital se conserva en el código fiscal. Esta disposición podría permitir al Congreso restaurar el tratamiento preferencial de las ganancias de capital en el futuro. EJEMPLO 8.11 Ganancias y pérdidas sobre los activos depreciables Una compañía compró una taladradora que costó $230,000 en el año 0. La taladradora, clasificada como propiedad de recuperación de siete años, se ha depreciado por el método SMRAC. Si se vende al cabo de tres años por 1. $150,000 o 2. $100,000, calcule las ganancias (o pérdidas) para cada situación. Suponga que tanto las ganancias de capital como los ingresos ordinarios se gravan al 34%. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Activo SMRAC de siete años, base de costo=$230,000, se vende tres años después de su compra. Determine: Ganancias o pérdidas, efectos fiscales y ganancias netas de la venta si se vende por $150,000 o $100,000. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule las ganancias y las pérdidas. En este ejemplo, primero calculamos el valor contable actual de la máquina. De acuerdo con el calendario de depreciación SMRAC en la tabla 8.8, los porcentajes permisibles de depreciación anual para los primeros tres años de una propiedad SMRAC de siete años son 14.29%, 24.49% y 17.49%, respectivamente. Como el activo se da de baja antes de finalizar su periodo de recuperación, la cantidad de depreciación en el año 3 se reducirá a la mitad. La depreciación total y el valor contable final se calculan de la siguiente manera: Depreciación total permisible=$230,000(0.1429 ⫹ 0.2449 ⫹ 0.1749/2) =$109,308; Valor contable=$230,000-$109,308 =$120,692. • Caso 1: S=$150,000. Como el valor de rescate es menor que la base de costo, no hay ganancias de capital que considerar. Todas las ganancias son ordinarias: Ganancias ordinarias=valor de rescate-valor contable =$150,000-$120,692 =$29,308. 334 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta Así, con un impuesto a las ganancias ordinarias del 34% para este nivel, encontramos que la cantidad de impuesto pagada sobre la ganancia es 0.34($29,308)=$9,965. Por lo tanto, Ganancias netas de la venta=valor de rescate-impuesto sobre las ganancias =$150,000-$9,965 =$140,035. El proceso de cálculo se resume en la figura 8.7. • Caso 2: S=$100,000 Como el valor contable es de $120,693, la cantidad de pérdida será $20,693. Puesto que la pérdida puede aplicarse para compensar otras ganancias o ingresos ordinarios del negocio hasta el punto de la pérdida, esto representa un efecto de ahorro fiscal. El ahorro fiscal anticipado será $20,693(0.34)=$7,036. Por consiguiente, las ganancias netas de la venta serán $107,036. Activo comprado por $230,000 (base de costo) Activo conservado por 3 años completos 0 1 14.29% 2 24.49% Activo desechado por $150,000 3 17.49% Depreciación permisible $109,308 Recuperación de depreciación $20,114 4 12.49% • 5 8.93% 6 8.92% 7 8.93% 8 4.46% Valor contable si se sigue conservando el activo VC3 ⫽ $230,000 ⫺ $129,422 ⫽ $100,578 • Valor contable si vendiera el activo antes del periodo de recuperación VC3 ⫽ $230,000 ⫺ $109,308 ⫽ $120,692 Ganancias ordinarias ⫽ $150,000 ⫺ $120,692 ⫽ $29,308 Figura 8.7 Ganancia o pérdida sobre un activo depreciable (ejemplo 8.11) RESUMEN 쐽 Un aspecto necesario de cualquier estudio económico completo de un proyecto de inversión es la explícita consideración de los impuestos. 쐽 Ya que principalmente nos interesan los aspectos financieros mensurables de la depreciación, consideramos los efectos de la depreciación en dos medidas importantes Resumen 335 de la posición financiera de una compañía: el ingreso neto y los flujos de efectivo de las operaciones. Una vez que comprendemos que la depreciación influye de manera importante en la posición del ingreso y el efectivo de una compañía, estamos en condiciones de apreciar totalmente la importancia de utilizar la depreciación como un medio para maximizar no sólo el valor de los proyectos de ingeniería, sino también de la compañía como un todo. 쐽 Las máquinas, herramientas y otro equipo de manufactura e incluso los edificios de las fábricas están sometidos al desgaste con el paso del tiempo. Sin embargo, no siempre es obvio cómo explicar el costo de su reemplazo. La forma en que determinamos la vida de servicio estimada de una máquina y el método utilizado para calcular el costo de operarla pueden tener efectos significativos sobre la administración de un activo. 쐽 El costo total de reemplazar una máquina no puede atribuirse como tal a la producción de un año; más bien, el costo debe distribuirse (o capitalizarse) a lo largo de los años en los que la máquina esté en servicio. El costo que se atribuye a las operaciones de un activo durante un año en particular se llama depreciación. En este capítulo se presentaron diversos significados y aplicaciones de la depreciación. Desde el punto de vista de la ingeniería económica, nuestra preocupación fundamental es la depreciación contable, es decir, la asignación sistemática del valor de un activo a lo largo de su vida depreciable. 쐽 La depreciación contable se puede dividir en dos categorías: 1. La depreciación contable es el método de depreciación usado para los reportes financieros y la determinación de precios de los productos. 2. La depreciación fiscal, regida por la legislación fiscal, es el método de depreciación usado para calcular el ingreso gravable y los impuestos sobre la renta. 쐽 Los cuatro componentes de información requeridos para calcular la depreciación son: 1. la base de costo del activo, 2. el valor de rescate del activo, 3. la vida depreciable del activo y 4. el método de depreciación del activo. 쐽 El Sistema Modificado de Recuperación Acelerada de Costos (SMRAC), al emplear métodos acelerados de depreciación y vidas de depreciación más cortas que las reales, ayuda a los contribuyentes permitiéndoles aprovechar antes y de manera rápida los beneficios de la depreciación consistentes en diferir el pago de impuestos. 쐽 Muchas compañías eligen la depreciación en línea recta como depreciación contable en virtud de que es relativamente fácil calcularla. 쐽 Dada la naturaleza continuamente cambiante de la depreciación y de la legislación fiscal, debemos utilizar el porcentaje, la vida depreciable y el valor de rescate establecidos en el momento en que se adquirió un activo. 쐽 Para las corporaciones, el sistema fiscal de Estados Unidos tiene las siguientes características: 1. Las tasas de impuestos son progresivas: cuanto más se gana, más se paga. 2. Las tasas de impuestos aumentan de forma escalonada: existen cuatro niveles y dos niveles adicionales de sobretasa, lo que da un total de seis niveles. 3. Las exenciones y deducciones autorizadas pueden reducir la evaluación fiscal general. 336 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta 쐽 Se utilizaron tres diferentes términos en este capítulo: tasa marginal del impuesto, que es la tasa aplicada al último dólar del ingreso obtenido; tasa efectiva (promedio) de impuesto, que es la razón entre el impuesto sobre la renta que se paga y el ingreso neto; y la tasa incremental de impuesto, que es la tasa promedio aplicada al ingreso incremental generado por un nuevo proyecto de inversión. 쐽 Las ganancias de capital en Estados Unidos actualmente se gravan como ingresos ordinarios, y la tasa máxima es del 35%. Las pérdidas de capital se deducen de las ganancias de capital; las pérdidas netas restantes pueden registrarse para su consideración en años diferentes del año fiscal en curso. PROBLEMAS Nota: A menos que se especifique lo contrario, utilice tasas de impuesto actuales para los impuestos corporativos. Consulte el sitio Web que aparece en el Prefacio para obtener las tasas de impuesto más actuales para las corporaciones. Concepto de depreciación 8.1 Identifique cuáles de los siguientes gastos se consideran como gastos de capital que deben capitalizarse (depreciarse): a) Compra de una copiadora por $12,000. b) Instalación de una banda transportadora por $55,000 para automatizar parte de los procesos de producción. c) Mandar pintar el edificio de oficinas, interior y exterior, a un costo de $22,000. d) Repavimentación del estacionamiento a un costo de $25,000. e) Instalación de una fuente de agua purificada en la sala de empleados a un costo de $3,000. f) Adquisición de una refacción para una máquina de estampado a un costo de $3,800. g) Pago de $12,000 por el alquiler de un camión de carga durante seis meses. h) Compra de la patente de cinco años de un dispositivo ahorrador de energía a un costo de $30,000. 8.2 Usted adquirió una máquina hace cuatro años a un costo de $5,000. Tiene un valor contable de $1,300. Ahora se puede vender por $2,300, o podría usarse durante tres años más, al término de los cuales no tendría ningún valor de rescate. Suponiendo que se conserve por otros tres años, ¿a cuánto asciende la pérdida económica durante este periodo de posesión? Base de costo 8.3 Un constructor pagó $120,000 por una casa y el lote. El valor del terreno se valuó en $65,000 y el valor de la casa en $55,000. La casa fue demolida a un costo adicional de $8,000 para construir sobre el lote un almacén con un costo de $50,000. ¿Cuál es el valor total de la propiedad con el almacén? Para fines de depreciación, ¿cuál es la base de costo del almacén? 8.4 Usted compró una nueva máquina moldeadora por $105,000, entregando a cuenta una máquina similar que tenía un valor contable de $15,000. Suponiendo que le consideraron a cuenta $20,000 por la máquina antigua y que se pagaron $85,000 en efectivo por el nuevo activo, ¿cuál es la base de costo de la nueva moldeadora, para fines de depreciación? 8.5 Usted adquiere una trituradora a un precio de $45,000; entrega a cuenta una trituradora similar y paga en efectivo el saldo restante. Suponiendo que le recibieron la trituradora antigua por $10,000, y el valor contable de este activo intercambiado es de $12,000, ¿cuál es la base de costo de la nueva trituradora, para el cálculo de la depreciación con fines fiscales? Problemas 337 8.6 Para automatizar uno de sus procesos de producción, Milwaukee Corporation compró tres celdas flexibles de fabricación a un precio de $400,000 cada una. Cuando fueron entregadas, Milwaukee pagó el flete de $30,000 y una cuota por manejo de $15,000. La preparación del sitio donde serán ubicadas estas celdas costó $50,000. Seis capataces, cada uno de los cuales gana $15 por hora, trabajaron cinco semanas de 40 horas para montar y probar las celdas de fabricación. El cableado especial y otros materiales aplicables a las nuevas celdas de fabricación costaron $2,000. Determine la base de costo (la cantidad que se debe capitalizar) para estas celdas. Métodos de depreciación contable 8.7 Considere los siguientes datos acerca de un activo: Costo del activo, I Vida útil, N Valor de rescate, S 8.8 $110,000 5 años $10,000 Calcule las asignaciones anuales de depreciación y los valores contables resultantes, usando los siguientes métodos: a) el método de depreciación en línea recta, b) el método del doble saldo decreciente. Determine el esquema de depreciación del doble saldo decreciente para un activo con los siguientes datos: Costo del activo, I $50,000 Vida útil, N 8 años Valor de rescate, S $5,000 8.9 Una compañía está tratando de decidir si le conviene conservar cierto elemento de un equipo de construcción por un año más. La compañía está utilizando el método DSD para fines contables y éste es el cuarto año que posee el equipo. El elemento del equipo en cuestión costaba $200,000 cuando era nuevo. ¿Cuál es la depreciación en el año 3? Suponga que la vida depreciable del equipo es de ocho años, con un valor de rescate de cero. 8.10 Considere los siguientes datos de un activo: Costo del activo, I Vida útil, N Valor de rescate, S $45,000 7 años $0 Calcule las asignaciones anuales de depreciación y los valores contables resultantes usando el método DSD y después cambiando al método LR. 8.11 Se debe utilizar el método del doble saldo decreciente para un activo con un costo de $90,000, con un valor de rescate estimado de $12,000 y una vida útil estimada de seis años. a) ¿Cuál es la depreciación para los tres primeros años fiscales, suponiendo que el activo se puso en servicio al inicio del año? b) Si se permite cambiar al método de línea recta, ¿cuál sería el mejor momento para cambiar? 338 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta 8.12 Calcule el calendario de depreciación SD del 150% para un activo con los siguientes datos: Costo del activo, I $15,000 Vida útil, N 5 años Valor de rescate, S $3,000 a) ¿Cuál es el valor de Å? b) ¿Cuál es la cantidad de depreciación para el primer año entero de uso? c) ¿Cuál es el valor contable del activo a fines del cuarto año? 8.13 Sanders llc compró un nuevo equipo de empaquetado con una vida útil estimada de cinco años. El costo del equipo fue de $30,000 y el valor de rescate se estimó en $3,000 al término de cinco años. Calcule los gastos anuales de depreciación a lo largo de la vida de cinco años del equipo con cada uno de los siguientes métodos de depreciación contable: a) método de línea recta b) método del doble saldo decreciente. (Limite el gasto de depreciación en el quinto año a una cantidad que haga que el valor contable del equipo a fines de año sea igual a los $3,000 del valor de rescate estimado.) 8.14 Usted adquirió una máquina moldeadora a un costo de $78,000. La máquina tiene una vida útil estimada de 12 años y un valor de rescate de $8,000. Determine lo siguiente: a) la cantidad de depreciación anual calculada por el método de línea recta b) la cantidad de depreciación para el tercer año, calculada por el método del doble saldo decreciente Método de unidades de producción 8.15 Un camión para transportar carbón tiene un costo neto estimado de $85,000 y se espera que dé servicio por 250,000 millas, lo que dará por resultado un valor de rescate de $5,000. Calcule la cantidad de depreciación permisible para el uso del camión a las 55,000 millas. 8.16 Se espera que un generador que funciona con diesel, con un costo de $60,000, tenga una vida útil de operación de 50,000 horas. El valor de rescate esperado de este generador es de $8,000. En su primer año de funcionamiento, el generador operó durante 5,000 horas. Determine la depreciación para ese año. 8.17 Ingot Land Company es propietaria de cuatro camiones que destina principalmente a su negocio de vertederos. El historial contable de la compañía indica lo siguiente: Camión Descripción Costo de compra Valor de rescate Vida útil (millas) Depreciación acumulada al inicio del año Millas recorridas durante el año A B C D $50,000 $25,000 $18,500 $35,600 $5,000 $2,500 $1,500 $3,500 200,000 120,000 100,000 200,000 $0 $1,500 $8,925 $24,075 25,000 12,000 15,000 Determine la cantidad de depreciación de cada camión durante el año. 20,000 Problemas 339 8.18 Una compañía manufacturera compró tres activos: Tipo de activo Rubro Torno Costo inicial $45,000 $25,000 $800,000 Vida contable 12 años 200,000 millas 50 años Clase SMRAC 7 años 5 años 39 años Valor de rescate $3,000 $2,000 $100,000 Depreciación contable DSD Camión Producción de unidades (PU) Edificio LR El camión se depreció por el método de unidades de producción. El uso del camión fue de 22,000 millas y 25,000 millas durante los primeros dos años, respectivamente. a) Calcule la depreciación contable para cada activo en los dos primeros años. b) Si el torno va a depreciarse al inicio de su vida por el método DSD y después por un cambio al método LR durante el resto de su vida, ¿cuándo debería ocurrir el cambio? 8.19 El 1 de marzo de 2007, Davis Machine Works compró una máquina de estampado por $135,000. Se espera que la máquina tenga una vida útil de 10 años, un valor de rescate de $12,000, una producción de 250,000 unidades y un número de horas de trabajo de 30,000. Durante 2007, Davis utilizó la máquina de estampado durante 2,450 horas para producir 23,450 unidades. A partir de la información dada, calcule el gasto de depreciación contable para 2007 de acuerdo con cada uno de los siguientes métodos: a) línea recta b) unidades de producción c) horas de trabajo d ) doble saldo decreciente (sin conversión a la depreciación en línea recta) Depreciación fiscal 8.20 La compañía Belmont Paving compró un remolque el 1 de enero de 2007 a un costo de $37,000. El camión tiene una vida útil de ocho años, con un valor de rescate estimado de $6,000. El método de línea recta se usa para fines contables. Para fines fiscales, el camión se depreciaría por SMRAC a lo largo de su vida considerándose dentro de la clase de cinco años. Determine la cantidad de depreciación anual que debe considerarse sobre la vida útil del remolque, para fines contables y fiscales. 8.21 La compañía AG&M Cutting Tools compró una nueva máquina de corte por abrasión en 2007 a un costo de $150,000. La compañía también pagó $5,000 para que el equipo fuera entregado e instalado. La máquina cortadora tiene una vida útil estimada de 12 años, pero se depreciará por SMRAC a lo largo de su vida considerándose dentro de la clase de siete años. 340 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta 8.22 8.23 8.24 8.25 a) ¿Cuál es la base de costo del equipo de corte? b) ¿Cuál será la asignación de depreciación en cada año de la vida de la máquina cortadora considerada dentro de la clase de siete años? Una máquina de estampado se clasifica como propiedad SMRAC de siete años. La base de costo para la máquina es de $100,000 y el valor de rescate esperado es de $10,000 al término de 12 años. Calcule el valor contable el cabo de tres años, para fines fiscales. Se compró una máquina formadora a base de frío y calor a un costo de $58,000. Tiene una vida útil estimada de seis años, con un valor de rescate de $8,000. Se puso en servicio el 1 de marzo del año fiscal en curso, el cual termina el 31 de diciembre. El activo cae en la categoría de propiedad de siete años según el SMRAC. Determine las cantidades de depreciación anual a lo largo de la vida útil de la maquinaria. En 2007 usted compró un torno (propiedad dentro de la clase de siete años según el SMRAC) por $22,000, que puso en servicio en enero. Calcule las asignaciones de depreciación para la máquina. En 2007 una compañía compró y puso en servicio tres activos: Tipo de activo Fecha en que se puso en servicio Base de costo Clase de propiedad SMRAC Máquinas-herramientas 17 de marzo $5,000 3 años Máquina CNC 25 de mayo $125,000 7 años Almacén 19 de junio $335,000 39 años 8.26 8.27 8.28 8.29 Calcule las asignaciones de depreciación para cada activo. El 3 de octubre, Kim Bailey pagó $220,000 por una propiedad residencial para renta. Este precio de compra representa $170,000 por el edificio y $50,000 por el terreno. Cinco años después, el 25 de junio, vendió la propiedad por $250,000. Calcule la depreciación SMRAC para cada uno de los cinco años calendario durante los cuales fue dueña de la propiedad. El 1 de julio, usted adquirió una residencia por $180,000 con la finalidad de establecer allí sus oficinas. Este valor está dividido en $30,000 por el terreno y $150,000 por la edificación. a) En su primer año de posesión, ¿cuánto puede deducir por concepto de depreciación para fines fiscales? b) Suponga que usted vendió la propiedad por $197,000 al término del cuarto año de posesión. ¿Cuál es el valor contable de la propiedad? El 1 de septiembre de 2007, Ray Electronic Company compró un espacio para oficinas de 10,000 ft2 por la cantidad de $1,000,000 con la finalidad de reubicar su departamento de ingeniería. Determine la depreciación permisible en los años 2007 y 2008. (Nota: No hay valor del terreno incluido en el precio de compra.) Considere los datos en las siguientes dos tablas: Problemas 341 Costo inicial $80,000 Vida depreciable contable 7 años Clase de propiedad SMRAC 7 años Valor de rescate $24,000 Calendario de depreciación n A B C D 1 $8,000 $22,857 $11,429 $22,857 2 $8,000 $16,327 $19,592 $16,327 3 $8,000 $11,661 $13,994 $11,661 4 $8,000 $5,154 $9,996 $8,330 5 $8,000 $0 $7,140 $6,942 6 $8,000 $0 $7,140 $6,942 7 $8,000 $0 $7,140 $6,942 8 $0 $0 $3,570 $0 Identifique el método de depreciación utilizado para cada calendario de depreciación: a) depreciación del doble saldo decreciente (DSD) b) depreciación en línea recta c) DSD con conversión a depreciación en línea recta, suponiendo un valor de rescate de cero d) depreciación SMRAC de siete años con la convención de medio año e) doble saldo decreciente (con conversión a depreciación en línea recta) 8.30 Al principio del año fiscal, G&J Company adquirió nuevo equipo a un costo de $80,000. El equipo tiene una vida estimada de cinco años y un valor de rescate estimado de $8,000. a) Determine la depreciación anual (para los reportes financieros) en cada uno de los cinco años de vida útil estimada del equipo, la depreciación acumulada al final de cada año, y el valor contable del equipo al final de cada año por 1. el método de línea recta y 2. el método del doble saldo decreciente. b) Determine la depreciación anual para fines fiscales, suponiendo que el equipo cae en la categoría de propiedad de siete años del SMRAC. c) Suponga que el equipo se depreció según la categoría de propiedad de siete años del SMRAC. En el primer mes del cuarto año, el equipo se entregó a cuenta de un equipo similar con un precio de $92,000. El antiguo equipo se recibió por $10,000 y el saldo se pagó en efectivo. ¿Cuál es la base de costo del nuevo equipo para efectuar el cálculo de la cantidad de depreciación para fines de impuestos sobre la renta? 8.31 Una compañía compró una nueva máquina forjadora para fabricar discos para turbomotores de avión. La nueva prensa cuesta $3,800,000 y cae en la categoría de propiedad de siete años del SMRAC. La compañía tiene que pagar impuestos de propiedad al ayuntamiento local por poseer esta máquina forjadora a una tasa del 1.2% sobre el valor contable inicial de cada año. a) Determine el valor contable del activo al inicio de cada año fiscal. b) Determine la cantidad de impuestos sobre la propiedad durante la vida depreciable de la máquina. 342 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta Ganancias contables (ingresos netos) 8.32 Lynn Construction Company tuvo un ingreso bruto de $34,000,000 en el año fiscal uno, $5,000,000 en salarios, $4,000,000 en sueldos, $1,000,000 en gastos de depreciación, un pago a capital de $200,000 y un pago a intereses de $210,000. Determine el ingreso neto de la compañía en el año fiscal 1. 8.33 Una compañía de productos electrónicos de consumo se fundó para vender un sistema telefónico portátil. La compañía compró un almacén de $2,000,000 (incluyendo el precio de compra del almacén) y lo convirtió en una fábrica. La instalación del equipo de ensamblaje, con un valor de $1,500,000, se completó el 31 de diciembre. La planta inició operaciones el 1 de enero. La compañía tuvo un ingreso bruto de $2,500,000 en el año calendario. Los costos de fabricación y todos los gastos de operación, excluyendo los gastos de capital, ascendieron a $1,280,000. Los gastos de depreciación para los gastos de capital sumaron $128,000. a) Calcule el ingreso gravable de esta compañía. b) ¿Cuánto pagará la compañía por concepto de impuestos federales sobre la renta ese año? 8.34 ABC Corporation iniciará operaciones el 1 de enero de 2008. La compañía proyecta el siguiente desempeño financiero durante su primer año de operaciones: 쐽 Los ingresos por ventas se calculan en $2,500,000. 쐽 Los costos de mano de obra, material y gastos indirectos se proyectan en $800,000. 쐽 La compañía comprará un almacén con un valor de $500,000 en febrero. Para financiar esta bodega, el 1 de enero la compañía emitirá $500,000 en bonos a largo plazo, los cuales tienen una tasa de interés del 10%. El primer pago de intereses se realizará el 31 de diciembre. 쐽 Para fines de depreciación, el costo de la compra del almacén se divide en $100,000 por el terreno y $400,000 por el edificio. El edificio se clasifica como propiedad SMRAC de 39 años y se depreciará como corresponde. 쐽 El 5 de enero, la compañía comprará $200,000 en equipo que tiene una vida SMRAC de cinco años. a) Determine los gastos totales de depreciación asignados en 2008. b) Determine la deuda fiscal de ABC en 2008. Ingreso neto contra flujo de efectivo 8.35 Jackson Heating & Air Company obtuvo ingresos por ventas de $2,250,000 a partir de sus operaciones durante el año fiscal 1. A continuación se presentan algunos datos de operaciones de la compañía para ese año: Gastos de mano de obra $550,000 Costos de materiales $385,000 Gastos de depreciación $132,500 Ingresos por intereses sobre un depósito a plazos $6,000 Ingresos por intereses sobre bonos $4,000 Gastos por pago de intereses $22,200 Gastos por arrendamiento $45,000 Ganancias de las ventas de antiguo equipo que tenía un valor contable de $20,000 $23,000 a) ¿Cuáles son las ganancias gravables de Jackson? b) ¿Cuál es el ingreso gravable de Jackson? Problemas 343 c) ¿Cuál es la tasa de impuesto marginal y efectiva (promedio) de Jackson? d) ¿Cuál es el flujo neto de efectivo de Jackson después de impuestos? 8.36 Cierto año, Elway Aerospace Company obtuvo ingresos netos por $1,200,000 por concepto de operaciones. Se contabilizaron las siguientes transacciones financieras durante el año: Gastos de fabricación (incluyendo depreciación de $45,000) $450,000 Gastos de operación (excluyendo gastos de impuestos) $120,000 Un nuevo préstamo bancario a corto plazo $50,000 Gastos de intereses sobre los fondos solicitados en préstamo (anterior y nuevo) $40,000 Antiguo equipo vendido $60,000 El antiguo equipo tenía un valor de rescate de $75,000 al momento de la venta. a) ¿Cuál es la deuda del impuesto sobre la renta de Elway? b) ¿Cuál es el ingreso operativo de Elway? c) ¿Cuál es el flujo neto de efectivo? Ganancias o pérdidas 8.37 Considere un activo SMRAC de cinco años que se compró por $76,000. Calcule las cantidades de ganancia o pérdida si se diera de baja el activo en a) el año 3 con un valor de rescate de $20,000; b) el año 5 con un valor de rescate de $10,000; c) el año 6 con un valor de rescate de $5,000. 8.38 Una compañía de enseres eléctricos compró un robot industrial que costó $300,000 en el año 0. El robot industrial, destinado a las operaciones de soldadura, está clasificado como una propiedad de recuperación SMRAC de siete años. Si el robot se vende después de cinco años, calcule las cantidades de ganancias (o pérdidas) para los siguientes tres valores de rescate, suponiendo que tanto las ganancias de capital como los ingresos ordinarios están gravados al 34%: a) $10,000 b) $125,460 c) $200,000 8.39 Auburn Crane, Inc., una compañía de servicio de grúas hidráulicas, tuvo ingresos por concepto de ventas, los cuales ascendieron a $4,250,000 durante el año fiscal 2008. La siguiente tabla incluye otra información financiera relacionada con el año fiscal: Gastos de mano de obra $1,550,000 Costos de material $785,000 Depreciación $332,500 Material de oficina $15,000 Gastos de intereses sobre una deuda $42,200 Gastos por arrendamiento Ganancias de la venta de las grúas antiguas $45,000 $43,000 Las grúas vendidas tenían un valor contable combinado de $30,000 al momento de la venta. a) Determine el ingreso gravable para 2008. b) Determine las ganancias gravables para 2008. 344 CAPÍTULO 8 Contabilidad de la depreciación y los impuestos sobre la renta c) Determine la cantidad de impuestos sobre la renta e impuestos por ganancias (o créditos por pérdidas) para 2008. Breves estudios de caso con Excel 8.40 Una máquina, actualmente en uso, que fue comprada hace tres años por $4,000 tiene un valor contable de $2,000. Se puede vender ahora por $2,500, o podría usarse por otros tres años, después de los cuales no tendría ningún valor de rescate. Los costos anuales de operación y mantenimiento suman $10,000. Si la máquina se vende, se puede comprar una nueva máquina con un precio de factura de $14,000 para reemplazar el equipo actual. El flete costará $800 y el costo de instalación será de $200. La máquina nueva tiene una vida de servicio esperada de cinco años y no tendrá ningún valor de rescate al finalizar ese tiempo. Con la nueva máquina, la cantidad de ahorro directo de efectivo esperado suma $8,000 el primer año y $7,000 en operaciones y mantenimiento para cada uno de los dos próximos años. Los impuestos corporativos sobre la renta están a una tasa anual del 40% y la ganancia de capital neta se grava a la tasa ordinaria del impuesto sobre la renta. La máquina actual se ha depreciado de acuerdo con el método de línea recta y la máquina propuesta se depreciaría en un esquema SMRAC de siete años. Considere cada una de las siguientes preguntas por separado: a) Si el antiguo activo debe venderse ahora, ¿cuál sería la cantidad de su valor contable equivalente? b) Para fines de depreciación, ¿cuál sería el primer costo de la nueva máquina (base de depreciación)? c) Si la antigua máquina se debe vender ahora, ¿cuál sería la cantidad de ganancias gravables y el impuesto sobre las ganancias? d) Si se vende la antigua máquina por $5,000 ahora y no por $2,500, ¿cuál sería la cantidad de impuestos sobre las ganancias? e) Si la antigua máquina se hubiera depreciado por SD del 175% y después se hace un cambio a la depreciación LR, ¿cuál sería el valor contable actual? f ) Si la antigua máquina no se reemplaza con la nueva y se ha depreciado por el método SD del 175%, ¿cuándo sería el momento de cambiar de la depreciación SD a la depreciación LR? 8.41 Phillip Zodrow posee y opera un pequeño negocio no incorporado de servicios de plomería, Zodrow Plumbing Service (zps). Phillip está casado y tiene dos hijos, por lo que solicita cuatro exenciones sobre su declaración de impuestos. Como el negocio está creciendo a paso firme, las consideraciones fiscales son importantes para él. Así que Phillip está considerando constituir el negocio como una corporación legal. Bajo cualquier forma de negocio (corporación o propiedad privada), la familia inicialmente poseerá el 100% de la compañía. Phillip planea financiar el crecimiento esperado de la compañía cobrando un salario que sea justo lo suficiente para los gastos de subsistencia de su familia y conservando todos los demás ingresos en el negocio. Él estima que los ingresos en los próximos tres años serán: Ingreso bruto Año 1 $180,000 Año 2 $195,000 Año 3 $210,000 Salario $80,000 $90,000 $100,000 Gastos de negocios $25,000 $30,000 $40,000 Exenciones personales $12,000 $12,000 $12,000 Deducciones detalladas $16,000 $18,000 $20,000 Problemas 345 ¿Cuál forma de negocio (corporación o propiedad privada) permitirá a Phillip pagar los impuestos más bajos (y retener la mayor parte de los ingresos) durante los tres años? Los niveles del impuesto sobre la renta personal y las cantidades de exención personal se actualizan anualmente, por lo que necesitará consultar el manual fiscal del IRS para conocer las tasas de impuesto, así como las exenciones, que son aplicables a los años fiscales. 8.42 Electronic Measurement and Control Company (emcc) desarrolló un detector láser de velocidad, que emite luz infrarroja invisible para los humanos, y detectores de radar parecidos. Para su comercialización a plena escala, emcc necesita invertir $5 millones en nuevas instalaciones. El sistema está valuado en $3,000 por unidad. La compañía espera vender 5,000 unidades anualmente durante los próximos cinco años. La nueva fábrica se depreciará como la clase de propiedad de siete años según el SMRAC. El valor de rescate esperado de las instalaciones de la fábrica al término de cinco años es de $1.6 millones. El costo de fabricación del detector es de $1,200 por unidad, excluyendo los gastos de depreciación. Se espera que los costos de operación y mantenimiento sean de $1.2 millones por año. emcc tiene una tasa combinada de impuesto sobre la renta federal y estatal del 35%, y poner en marcha este proyecto no cambiará la tasa marginal actual de interés. a) Determine el ingreso gravable incremental, los impuestos sobre la renta y el ingreso neto que resultarían de emprender este nuevo proyecto durante los próximos cinco años. b) Determine las ganancias o pérdidas asociadas con la baja de las instalaciones de manufactura al cabo de cinco años. 8.43 Julia tiene $50,000 en efectivo para invertir durante tres años. Hay dos tipos de bonos disponibles. Puede comprar un bono estatal exento de gravamen del estado de Arizona que paga un interés del 9.5% anual, o puede comprar un bono corporativo. La tasa marginal de interés de Julia es del 25% tanto para los ingresos ordinarios como para las ganancias de capital. Suponga que ninguna decisión de inversión cambiará su nivel de impuesto marginal. a) Si Julia estuviera buscando un bono corporativo que fuera igualmente seguro que el bono estatal, ¿qué tasa de interés sobre el bono corporativo se requiere para que Julia permanezca indiferente entre los dos bonos? No habría ganancias ni pérdidas de capital al momento de cambiar su bono. b) Suponga que, de acuerdo con las condiciones del inciso a), al momento de cambiar (año 3) se espera que el bono corporativo se venda a un precio 5% más alto que su valor nominal. ¿Qué tasa de interés sobre el bono corporativo se requiere para que Julia permanezca indiferente entre los dos bonos? c) Por otra parte, Julia puede invertir la cantidad en un terreno que puede venderse por $75,000 (después de que pague la comisión de bienes raíces) al término del año 3. ¿Esta inversión será mejor que el bono estatal? CAPÍTULO NUEVE Análisis del flujo de efectivo del proyecto Los robots llegaron a su casa1 A los fanáticos del zumbador robot-aspiradora Roomba les encanta especular acerca de cuál será el siguiente ayudante doméstico que saldrá de los laboratorios de la compañía iRobot de Boston. ¿Será una máquina que poda el césped, pasea al perro o cuida a los ancianos? “Eso aún está lejos de alcanzarse”, dice el director ejecutivo de iRobot, Colin Angle. La secuela del exitoso Roomba (1.2 millones vendidos, el mayor número jamás vendido para un robot doméstico) caerá muy cerca del territorio familiar: es un lavapisos llamado Scooba, el cual se ve y suena como el Roomba, pero humedece, lava y seca pisos. Los científicos de iRobot han estado tratando de resolver, durante años, los delicados desafíos técnicos que implica un robot lavapisos. Los primeros prototipos usaban un detergente comercial y se convirtieron en máquinas que lanzaban burbujas y hacían girar sus ruedas sobre la superficie húmeda. El año pasado, iRobot recurrió a una fuente inverosímil en busca de ayuda: Clorox de California, fundada hace 92 años. Fue el comienzo de una bella amistad. Los químicos de Clorox desarrollaron un jabón concentrado amigable con el robot, pero implacable con la mugre; mientras tanto, los ingenieros mecánicos de iRobot buscaban el material correcto para mantener la tracción de las ruedas. Los ingenieros consideraron el uso de cubiertas de piel para las ruedas, pero finalmente descubrieron un compuesto de hule más maleable. Las primeras pruebas del Scooba tuvieron lugar en los pisos que Clorox habilitó para ello: las exageradamente sucias superficies de prueba en su centro de investigación y desarrollo. El Scooba, que saldrá a la venta al final del año a un precio aún no establecido, funciona en cuatro etapas. Un chorro de agua a gran velocidad empuja partículas sueltas hacia un compartimiento de agua sucia. 346 1 Fuente: Brad Stone, “BOTS Roomba Repurposed”, Newsweek, 30 de mayo de 2006 © 2006 Newsweek, Inc. Luego, por dos boquillas sale a chorros un fluido limpiador proveniente de un tanque y un cepillo lo extiende alrededor. Entonces, un cepillo de fregar restriega el piso y, finalmente, un limpiador aspira el líquido sucio hacia un tanque especial. El argumento de ventas del iRobot: el hecho de tener por separado los compartimientos de agua limpia y agua sucia permite al Scooba hacer el trabajo mejor que los humanos, quienes tienden a esparcir el agua sucia alrededor. “No sólo estamos tratando de sustituir el trapeador, lo estamos volviendo obsoleto”, dice Angle. Pensamos que los humanos cederán con gusto esta tarea a nuestros amigos automatizados. IRobot Scooba® Robots limpiadores de pisos ¡Limpia hasta 4 habitaciones con sólo presionar un botón! Estos robots eficientes e inteligentes lavan, friegan y secan baldosa, linóleo y pisos de madera. ¡Usted no tendrá que hacer más ese trabajo! Cortesía de la empresa iRobot D e acuerdo con iRobot, cuesta decenas de millones de dólares desarrollar el producto, e iRobot necesita gastar más para construir las instalaciones para fabricar el Scooba. La pregunta es ¿cómo estimar los flujos de efectivo proyectados para el nuevo producto? Desde luego, estimar el costo de fabricación del producto es relativamente fácil, ya que la compañía tiene toda la información necesaria de costos. Sin embargo, no es fácil predecir el nivel de demanda del producto, aun si la compañía considera un precio al menudeo de alrededor de $400. Lo que necesitamos para la justificación de cualquier inversión son los flujos de efectivo detallados del proyecto durante la vida estimada del producto. Proyectar los flujos de efectivo es el paso más importante —y más difícil— en el análisis de un proyecto de capital. Por lo regular, un proyecto de capital requiere, al principio, un desembolso para invertir; sólo después de un tiempo producirá entradas de efectivo neto anuales. En la tarea de pronosticar los flujos de efectivo intervienen muchas variables, así como muchos individuos, desde ingenieros hasta contadores de costos y personal de marketing. Este capítulo expone los principios generales en que se basa la determinación de los flujos de efectivo de un proyecto. 347 348 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 9.1 Comprensión de los elementos de costo de un proyecto Primero, necesitamos conocer los tipos de costos que deben considerarse en la estimación de los flujos de efectivo del proyecto. Puesto que existen muchos tipos de costos, cada uno se clasifica de manera diferente, de acuerdo con las necesidades de la dirección. Por ejemplo, los ingenieros necesitarán datos de costos para preparar reportes externos, presupuestos de planeación o para tomar decisiones. Además, cada uso específico de los datos de costos demanda una definición y una clasificación diferentes de costos. Por ejemplo, la elaboración de reportes financieros externos requiere el uso de datos históricos de costos, mientras que la toma de decisiones tal vez requiera costos actuales o estimaciones futuras. 9.1.1 Clasificación de costos en ambientes de manufactura Nuestra atención inicial en este capítulo se centrará en las compañías manufactureras, ya que sus actividades básicas (como la compra de materias primas, producción de bienes terminados y marketing) se encuentran comúnmente en la mayoría de los negocios. Por lo tanto, una comprensión de los costos de una empresa manufacturera será de gran utilidad para entender los costos de otros tipos de organizaciones de negocios. Costos de manufactura Varios de los tipos de costos de manufactura en que incurre un fabricante representativo se ilustran en la figura 9.1. Al convertir materia prima en bienes terminados, un fabricante incurre en varios costos de operación de la fábrica. La mayoría de las compañías manufactureras dividen los costos de manufactura en tres grandes categorías: materiales directos, mano de obra directa y costos indirectos de fabricación. • Costos de materiales directos Las materias primas directas son cualquier material usado en el producto final y que puede identificarse fácilmente en él. Algunos ejemContiene el inventario de materias primas Compra de materias primas Almacén de materias primas Contiene el inventario del trabajo en proceso Costos de manufactura Fábrica Materias primas usadas Mano de obra Bienes directa Costos indirectos terminados de fabricación Costo de bienes vendidos Consumidores Bienes vendidos Costo de bienes manufacturados terminados Almacén de productos terminados Contiene el inventario de bienes terminados Figura 9.1 Diversos tipos de costos de manufactura 9.1 Comprensión de los elementos de costo de un proyecto 349 plos son la madera de los muebles, el acero en los puentes en construcción, el papel en productos impresos y la tela en la ropa. También es importante hacer notar que el producto terminado de una compañía puede constituir la materia prima de otra empresa. Por ejemplo, los chips de computadora que produce Intel® son la materia prima que utiliza DellTM en sus computadoras personales. • Costos de mano de obra directa Así como el término “materiales directos” se refiere a los costos de los materiales para elaborar el producto final, “mano de obra directa” se refiere a aquellos costos de mano de obra necesaria en la fabricación de un producto. Por ejemplo, los costos de mano de obra de los trabajadores de la línea de ensamble serían costos de mano de obra directos, como los costos de la mano de obra de los soldadores en las industrias fabricantes de productos metálicos, la mano de obra de los carpinteros y albañiles en el negocio de la construcción, y los operadores de máquinas en varias operaciones de manufactura. • Costos indirectos de manufactura El tercer tipo de costo de fabricación, los costos indirectos de manufactura, incluyen todos los costos de fabricación, excepto los costos de materiales directos y mano de obra directa. En particular, incluye factores como materiales indirectos,2 mano de obra indirecta,3 mantenimiento y reparación del equipo de producción, calefacción y luz, impuestos sobre la propiedad, depreciación, seguros para las instalaciones de manufactura y bonos por tiempo extra. A diferencia de los costos de materiales directos y de mano de obra directa, los costos indirectos de manufactura no son fáciles de identificar en algún artículo específico que sale a la venta. Además, muchos costos indirectos de manufactura no cambian, aun cuando los artículos de salida cambien, siempre que el volumen de producción se mantenga constante. Costos no manufactureros Existen dos tipos adicionales de costos asociados con el apoyo a las operaciones de manufactura: 1. costos de operación, como renta de almacén y de vehículos y 2. marketing (o ventas) y gastos administrativos. Los costos de marketing o ventas incluyen todos los costos necesarios para asegurar que se cumplan los pedidos y para poner el producto terminado o el servicio en las manos del cliente. El desglose de los costos de este tipo aporta datos para controlar las funciones de venta y administración, de la misma forma que los desgloses de costos de manufactura suministran datos para el control de las funciones de fabricación. Por ejemplo, una compañía genera costos por los siguientes conceptos ajenos a la manufactura: • Indirectos Calefacción y luz, impuestos de propiedad, depreciación y conceptos similares asociados con sus funciones administrativas y de ventas. • Marketing Publicidad, embarque, viajes de ventas, comisiones de ventas y salarios de ventas. • Funciones administrativas Compensaciones a ejecutivos, contabilidad general, relaciones públicas y apoyo secretarial. Los costos administrativos incluyen todos los costos de ejecutivos, los costos organizacionales y de oficina asociados con la administración general de una organización. 9.1.2 Clasificación de costos para estados financieros Con la finalidad de preparar estados financieros, a menudo clasificamos los costos, ya sea como costos por periodo o costos por producto. Para comprender la diferencia entre Algunas veces puede no ser tan importante asignar los costos de materiales relativamente insignificantes a los productos terminados. Tales conceptos incluirían la soldadura usada para realizar las conexiones eléctricas en una tarjeta de circuito de computadora o el pegamento usado para encuadernar este libro. Materiales como la soldadura y el pegamento son materiales indirectos y se incluyen como parte de los costos indirectos de manufactura. 3 En ocasiones, no podemos asignar algunos costos directos de mano de obra a la elaboración de un producto. Este tipo de costos de mano de obra se consideran como parte de los costos indirectos de mano de obra, junto con los costos de materiales indirectos. La mano de obra indirecta incluye sueldos de los conserjes, supervisores, manejadores de materiales y guardias de seguridad nocturnos. Si bien los trabajos de estas personas son esenciales para la producción, sería impráctico o imposible asignar sus costos a un artículo específico. Por lo tanto, tratamos tales costos de mano de obra como mano de obra indirecta. 2 350 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto costos por periodo y costos por producto, debemos introducir un concepto esencial para los estudios contables. En la contabilidad financiera, el principio de correspondencia establece que los costos realizados para generar ingresos deben reconocerse como gastos en el mismo periodo en que se reconocen los ingresos. Este principio de correspondencia es la clave para distinguir entre costos por periodo y costos por producto. Algunos costos se registran en los periodos correspondientes y se convierten en gastos inmediatamente. Otros costos, sin embargo, son registrados contra productos y no se convierten en gastos sino hasta que los productos son vendidos, lo cual puede suceder en el siguiente periodo contable. Costos por periodo Éstos son costos que se cargan a los gastos en el periodo en el cual se realizó el gasto. La suposición subyacente es que los beneficios asociados se reciben en el mismo periodo en que se realizaron los gastos. Algunos ejemplos específicos de costos por periodo son todos los gastos generales y administrativos, gastos de ventas, seguros y gastos del impuesto sobre la renta. De esta forma, los costos de publicidad, los salarios de ejecutivos, las comisiones de ventas, los costos de relaciones públicas y los demás costos ajenos a la manufactura mencionados con anterioridad serían todos costos por periodo. Tales costos no están relacionados con la producción y el flujo de bienes manufacturados, pero se deducen de los ingresos en los reportes ingresos. En otras palabras, los costos por periodo aparecerán en los reportes de ingresos como gastos en el periodo en el que se pagan. Costos por producto Es mejor registrar algunos costos contra productos que contra periodos. Los costos de este tipo, llamados costos por producto, son los costos implicados en la compra o manufactura de bienes. En el caso de bienes manufacturados, esos costos son los de materiales directos, de mano de obra directa y costos indirectos de manufactura. Los costos por producto no se consideran como gastos; más bien, son los costos relacionados con la creación de inventario. De este modo, los costos por producto se consideran como un activo hasta que se venden los bienes relacionados. En el momento de la venta, los costos son liberados del inventario como gastos (llamados comúnmente costo de bienes vendidos) y se registran contra los ingresos por ventas. Puesto que los costos por producto se asignan a los inventarios, se conocen también como costos de inventario. En teoría, los costos por producto incluyen todos los costos de manufactura, es decir, todos los costos relacionados con el proceso de fabricación. Los costos por producto aparecen en los estados financieros cuando se vende el inventario o producto final, y no cuando se manufactura el producto. Flujos de costo de una compañía manufacturera Para comprender más a fondo los costos por producto, examinemos brevemente el flujo de costos de una compañía manufacturera. De esta forma, podremos ver cómo los costos por producto se mueven a través de varias cuentas y afectan el balance general y el estado de ingresos en el curso de la manufactura y venta de bienes. Los flujos de costos por periodo y costos por producto a través de los estados financieros se ilustran en la figura 9.2. Todos los costos por producto aparecen en el balance general bajo el rubro “costos de inventario”. Si un producto se vende, sus costos de inventario en el balance general se transfieren al estado de ingresos bajo el rubro “costo de bienes vendidos”. Existen tres tipos de costos de inventario que se reflejan en el balance general: • Inventario de materias primas Este rubro del balance general representa la porción de materias primas que no se usan y que existen al final del año fiscal. • Inventario de trabajo en proceso Este rubro del balance general representa los bienes parcialmente fabricados existentes en la fábrica al final del año. Cuando se emplean materias primas en su producción, sus costos se transfieren a la cuenta de inventario de trabajo en proceso como materiales directos. Advierta que los costos 9.1 Comprensión de los elementos de costo de un proyecto 351 Costos por periodo Costos de productos Costos Materiales directos Mano de obra directa Indirectos de manufactura Administrativos y de ventas Balance general Inventario de materias primas Materiales directos usados en producción Inventario de trabajo en proceso Productos terminados (costo de bienes manufacturados) Inventario de productos terminados Los productos se venden Estado de ingresos Costo del ingreso Gastos de venta y administrativos Figura 9.2 Flujos de costo y su clasificación en una compañía de manufactura de mano de obra directa y los costos indirectos de manufactura también se agregan directamente al rubro de trabajo en proceso. El concepto de trabajo en proceso puede verse como la línea de ensamble en una planta de manufactura, donde los trabajadores están detenidos y los productos toman forma lentamente conforme se mueven de un extremo a otro de la línea de ensamble. • Inventario de productos terminados Este rubro del balance general indica el costo de productos terminados a fin de año, en espera de ser vendidos. Conforme se termina de elaborar los productos, los contadores transfieren el costo correspondiente de la cuenta de trabajo en proceso a la cuenta de productos terminados. Aquí, los productos esperan la venta a los clientes. Conforme se venden los productos, su costo se transfiere de productos terminados a costo de productos vendidos (o costo de ingreso). En este punto, tratamos finalmente los diferentes costos de materiales, mano de obra y costos indirectos implicados en la fabricación de las unidades vendidas como gastos en el estado de ingresos. 9.1.3 Clasificación de costos para predecir el comportamiento del costo En el análisis del flujo de efectivo, necesitamos predecir cómo se comportará cierto costo como respuesta a un cambio en la actividad. Por ejemplo, tal vez un gerente desea estimar el efecto que tendrá un 5% de aumento en la producción en los sueldos totales que paga la compañía, antes de que se tome la decisión de modificar la producción. El comportamiento del costo describe cómo reaccionará o responderá el costo ante cambios en la actividad de negocio. Índice de volumen En general, es probable que los costos operativos de cualquier compañía respondan de algún modo a los cambios en su volumen de operación. Al estudiar el comportamiento del costo, necesitamos determinar algún volumen o actividad específicos susceptibles de medición que tengan una fuerte influencia en el costo en que se incurre. La unidad de medida que utilizamos para definir el volumen se llama índice de volumen. Un índice de volumen puede basarse en las entradas o insumos de producción (como toneladas 352 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto Costo de renta total $24,000 16,000 8,000 0 0 500 1,000 1,500 2,000 Número de pruebas de laboratorio realizadas Figura 9.3 Comportamiento de costos fijos de carbón procesado, horas de mano de obra directa requeridas u horas máquina trabajadas), o bien, en las salidas de producción (como el número de kilowatts hora generados). Por ejemplo, en el caso de un vehículo, el número de kilómetros recorridos por año puede usarse como índice de volumen. Una vez que definimos un índice de volumen, tratamos de averiguar cómo cambian los costos en respuesta a los cambios en ese índice de volumen. Costos fijos y variables Los sistemas contables, por lo general, registran el costo de los recursos adquiridos y hacen un seguimiento de su utilización posterior. Los costos fijos y variables son los dos modelos más comunes de comportamiento de costos. Una categoría adicional de costos conocida como “costos mixtos (semivariables)” consta de dos partes: la primera parte de los costos es fija y la otra es variable, de acuerdo con la variación del volumen de salida. • Costos fijos Los costos de abastecimiento de la capacidad de operación de una compañía se conocen como costos fijos o costos de capacidad. Para que un costo se clasifique como fijo, debe haber un intervalo de salidas relativamente amplio para el cual se espera que el costo se mantenga constante. (Véase la figura 9.3.) Este intervalo se llama rango pertinente. En otras palabras, los costos fijos no cambian dentro de un periodo dado aun cuando el volumen pudiera cambiar. Para nuestro ejemplo anterior del automóvil, la prima de seguro anual, el pago de impuestos o tenencia y el pago de licencia son costos fijos, puesto que son independientes de los kilómetros recorridos por año. Algunos ejemplos comunes de costos fijos son las rentas de edificios; la depreciación de edificios, maquinaria y equipo; y los salarios del personal administrativo y de producción. • Costos variables En contraste con los costos fijos de operación, los costos variables de operación tienen una relación estrecha con el nivel de volumen. (Véase la figura 9.4.) Si, por ejemplo, el volumen aumenta en un 10%, el costo variable total también se incrementará aproximadamente en un 10%. La gasolina es un buen ejemplo de costo variable en un automóvil, puesto que el consumo de combustible está directamente relacionado con los kilómetros recorridos. De forma similar, el costo de sustitución de los neumáticos aumentará conforme un vehículo se utilice más. En un ambiente común de manufactura, la mano de obra directa y los costos de materiales son los principales costos variables. La diferencia entre el precio de venta unitario y el costo variable unitario se conoce como margen de contribución unitario. Podemos expresar el margen de contribución de dos modos: Margen de contribución unitario = precio de venta unitario – costo variable unitario. Margen de contribución = ingresos por ventas totales – costos variables totales. 9.1 Comprensión de los elementos de costo de un proyecto 353 Costo total de baterías $30,000 20,000 10,000 0 0 Figura 9.4 250 500 750 Número de autos producidos 1,000 Comportamiento del costo variable La primera ecuación expresa el margen de contribución sobre una base unitaria, mientras que la segunda fórmula lo expresa en términos de volumen total. Esto significa que cada unidad vendida contribuye a la absorción de los costos fijos de la compañía. Costos mixtos Algunos costos no caen exactamente en la categoría de costos fijos o en la de variables, sino que contienen elementos de ambas. Nos referimos a estos costos como costos mixtos (o costos semivariables). En nuestro ejemplo del automóvil, la depreciación (pérdida de valor) es un costo mixto. Algo de depreciación ocurre por el simple paso del tiempo, sin importar cuántos kilómetros haya recorrido el automóvil, y esta cantidad significa la porción fija de depreciación. Por otro lado, cuanto mayor sea el número de kilómetros que recorra un automóvil, más rápidamente perderá su valor de mercado, y esta cantidad representa la porción variable de depreciación. Un ejemplo conocido de costo mixto en la manufactura es el costo de la electricidad. Algunos componentes del consumo de energía, como la iluminación, son independientes del volumen de operación, mientras que otros componentes probablemente van a variar en relación directa con el volumen (por ejemplo, el número de horas máquina en las operaciones). Volumen del punto de equilibrio de ventas Como se mencionó antes, el margen de contribución es la cantidad remanente de los ingresos de ventas después de deducir los gastos variables. Así, se trata de la cantidad disponible para cubrir los gastos fijos en primer término; luego, la cantidad restante se convierte en utilidad. Si el margen de contribución no es suficiente para cubrir los gastos fijos, tiene lugar una pérdida para el periodo. Por lo tanto, el punto de equilibrio se define como el punto donde los ingresos totales por ventas igualan al total de gastos (fijos y variables), o bien, como el punto donde el margen de contribución total es igual a los gastos fijos totales: Punto de equilibrio = Gastos fijos Margen de contribución unitario Una vez que se alcanza el punto de equilibrio, los ingresos netos aumentarán de acuerdo con el margen de contribución unitario por cada unidad adicional vendida. 354 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto EJEMPLO 9.1 Volumen del punto de equilibrio de ventas La Ashland Company fabrica y vende un solo producto. Los gastos y las ventas de la compañía para un mes reciente son los siguientes: Total Por unidad Ventas $500,000 $20 Menos gastos variables $250,000 $10 Margen de contribución $250,000 $10 Menos gastos fijos $150,000 Ingresos (antes de impuestos) $100,000 a) ¿Cuál es el punto de equilibrio mensual en unidades vendidas y en ventas en dólares? b) ¿Cuántas unidades tendrían que venderse cada mes para obtener una ganancia neta de $50,000? ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Los datos inancieros provistos en la tabla anterior. Determine: a) el punto de equilibrio mensual y b) el número de unidades que se requiere vender para alcanzar una meta de ganancias de $50,000 antes de impuestos. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el punto de equilibrio mensual y luego las ventas unitarias. a) Punto de equilibrio mensual: Punto de equilibrio = $150,000 = 15,000 unidades $10 b) Número de unidades que deben venderse para generar utilidades por $50,000 antes de impuestos: Punto de ganancia deseado = $150,000 + $50,000 = 20,000 unidades $10 COMENTARIOS: Podemos expresar gráficamente las relaciones entre ingreso, costo, utilidad y volumen por medio de una gráfica de costo-volumen-utilidad, como la que se presenta en la figura 9.5. El punto de equilibrio (15,000 unidades) es el punto donde la línea de ingreso total y la del gasto total se intersecan. En la misma gráfica podemos ver también las unidades que deben venderse (20,000 unidades) para obtener las utilidades estipuladas. Además, se observa claramente que una vez que se cubren los costos fijos, el margen de contribución unitaria queda totalmente disponible para satisfacer los requerimientos de utilidades. 9.2 ¿Por qué necesitamos usar flujos de efectivo en el análisis económico? 355 Ingresos totales por ventas $500,000 Ut Gastos totales $300,000 $200,000 s da di r Pé $100,000 0 5,000 Volumen de equilibrio (15,000) Dólares s ade ilid $400,000 Costos fijos Volumen para obtener el nivel de utilidad de $50,000 20,000 25,000 10,000 15,000 Volumen (unidades vendidas) 30,000 Figura 9.5 Gráfica de costo-volumen-utilidad que muestra que el punto de equilibrio se localiza en las 15,000 unidades 9.2 ¿Por qué necesitamos usar flujos de efectivo en el análisis económico? La contabilidad tradicional hace hincapié en los ingresos netos como un modo para medir la rentabilidad de una empresa, pero es conveniente analizar por qué los flujos de efectivo son datos pertinentes para utilizarse en la evaluación de un proyecto. Como vimos en la sección 9.1.2, los ingresos netos son una medida contable basada, en parte, en el concepto de correspondencia. Los costos se transforman en gastos cuando se aparean con las ganancias. Se pasa por alto el verdadero momento de entrada y salida de flujos. Durante la vida de una empresa, los ingresos netos y la entrada de flujos de efectivo netos generalmente serán los mismos. Sin embargo, los momentos de generación de los ingresos y de los flujos de entrada de efectivo pueden diferir considerablemente. Dado el valor en el tiempo del dinero, es mejor recibir efectivo ahora que más tarde, porque el efectivo puede invertirse para ganar más efectivo. (Usted no puede invertir ingresos netos.) Por ejemplo, considere los siguientes calendarios de ingresos y flujo de efectivo de dos compañías en dos años. Año 1 Año 2 Compañía A Compañía B Ingreso neto $1,000,000 $1,000,000 Flujo de efectivo $1,000,000 $0 Ingreso neto $1,000,000 $1,000,000 Flujo de efectivo $1,000,000 $2,000,000 Ambas compañías tienen la misma cantidad de ingreso neto y la misma suma de efectivo durante dos años; sin embargo, la compañía A recupera $1 millón antes, mientras que la compañía B recupera $2 millones al final del segundo año. La compañía A podría invertir al 10% el millón de dólares que recibe al final del primer año, por ejemplo. En 356 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto ese caso, mientras la compañía B recibe sólo $2 millones en total al final del segundo año, la compañía A recibe al final $2.1 millones. Flujo de efectivo contra ingreso neto Ingreso neto: El ingreso neto es un concepto contable para medir la rentabilidad de las empresas a través del concepto de correspondencia. Los costos se convierten en gastos conforme se aparean con los ingresos. Se pasa por alto el momento real de generación de flujos de entrada y salida de efectivo. Flujo de efectivo: Dado el valor del dinero en el tiempo, es mejor recibir efectivo ahora que más tarde, ya que el efectivo puede invertirse para ganar más dinero. Este factor es la razón por la que los flujos de efectivo son datos relevantes para usar en la evaluación de un proyecto. 9.3 Tasa de impuesto sobre la renta que debe usarse en la evaluación del proyecto Como vimos en el capítulo 8, las tasas promedio (efectivas) de impuesto sobre la renta para las corporaciones varían de 0 al 35% con el nivel de la base gravable. Suponga que una compañía que ahora paga una tasa de impuesto del 25% sobre su ingreso de operación actual está evaluando una inversión atractiva. ¿Qué tasa de impuesto debe utilizar para calcular los impuestos sobre los ingresos proyectados de la inversión? Como explicaremos, la selección de la tasa depende del efecto incremental que tiene la inversión sobre la base gravable. En otras palabras, la tasa de impuesto que se usa es la tasa que se aplica al ingreso adicional gravable proyectado en el análisis económico. Para ilustrar esto, considere la corporación ABC, cuyos ingresos de operación gravables se espera que sean de $70,000 para el año fiscal en curso. La administración de ABC desea evaluar el efecto del impuesto incremental de emprender un proyecto particular durante el mismo año fiscal. Las estimaciones de los ingresos, los gastos y los ingresos gravables antes y después del proyecto son las siguientes: Antes Después Incremental Ingresos brutos $200,000 $240,000 $40,000 Salarios $100,000 $110,000 $10,000 Sueldos $30,000 $40,000 $10,000 Ingresos gravables $70,000 $90,000 $20,000 Como la tasa de impuesto sobre la renta es progresiva, el efecto del impuesto del proyecto no puede aislarse de las obligaciones fiscales totales de la compañía. Las operaciones base de ABC sin el proyecto están planeadas para arrojar un ingreso gravable de $70,000. Con el nuevo proyecto, los ingresos gravables aumentarían a $90,000. Con base en la fórmula de cálculo de impuesto de la tabla 8.11, encontramos que los impuestos sobre ingresos corporativos con y sin el proyecto son, respectivamente, los siguientes: Impuestos sobre ingresos con el proyecto = $13,750 + 0.341$90,000 - $75,0002 = $18,850; Impuestos sobre ingresos sin el proyecto = $7,500 + 0.251$70,000 - $50,0002 = $12,500. 9.3 Tasa de impuesto sobre la renta que debe usarse en la evaluación del proyecto 357 $20,000 ingresos gravables incrementales derivados de la ejecución del proyecto Ingresos regulares de la operación $5,000 al 25% Tasa marginal de impuesto 15% $0 $20,000 Figura 9.6 $40,000 25% $60,000 $15,000 al 34% 34% $80,000 $100,000 Ilustración de la tasa de impuesto incremental De esta forma, el impuesto sobre ingresos adicionales es de $18,850
$12,500 = $6,350. Los impuestos de $6,350 sobre los $20,000 de ingresos adicionales gravables, a una tasa del 31.75%, es una tasa incremental. Ésta es la tasa que debemos usar en la evaluación del proyecto, considerándolo de manera aislada de la operación de ABC. Como se muestra en la figura 9.6, el 31.75% no es una cifra arbitraria, sino un promedio ponderado de dos tasas marginales distintas. Puesto que el nuevo proyecto ubica a ABC en una categoría mayor de tasas en la tabla de impuestos, a los primeros $5,000 generados se aplica una tasa del 25%; y a los restantes $15,000 generados se aplica una tasa del 34%, que corresponde al intervalo superior. Así, podemos calcular la tasa de impuesto incremental de la siguiente forma: 0.251$5,000/$20,0002 + 0.341$15,000/$20,0002 = 31.75%. Las tasas de impuesto promedio, antes y después de considerar el proyecto, se indican en la siguiente tabla: Antes Después Incremental Ingresos gravables $70,000 $90,000 $20,000 Impuestos sobre la renta $12,500 $18,850 $6,350 Tasa promedio de impuestos 17.86% 20.94% Tasa incremental de impuestos 31.75% Sin embargo, al efectuar un análisis económico de un proyecto particular, ninguna de las tasas promedio de la compañía es apropiada; necesitamos la tasa incremental aplicable sólo al nuevo proyecto para generar sus flujos de efectivo. Una empresa con operación continua, que por lo general se ubica en el intervalo más alto de la tabla de impuestos, tendrá tasas de impuestos federales, tanto marginales como promedio, del 35%. Para tales empresas, la tasa sobre proyectos de inversión adicional es, naturalmente, del 35%. Si se consideran los impuestos estatales sobre la renta, la combinación de impuestos estatales y federales puede estar cerca del 40%. Pero para empresas en los intervalos más bajos de la tabla de impuestos y aquellas que fluctúan entre pérdidas y ganancias, las tasas de impuestos promedio y marginales probablemente variarán. Para tales empresas, la estimación de un impuesto incremental futuro para un nuevo proyecto de inversión resultará difícil. La única solución sería efectuar un análisis de escenarios, lo cual significa examinar, para cada situación potencial, cuánto fluctuaría el impuesto sobre la renta si se realiza el proyecto. (En otras palabras, habría que calcular los impuestos totales e incrementales para cada escenario.) 358 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 9.4 Flujos de efectivo incremental derivados de un proyecto Cuando una compañía compra un activo fijo, como equipo, hace una inversión. La compañía asigna fondos ahora, con la expectativa de ganar en el futuro un rendimiento sobre esos fondos. Para un activo fijo, el rendimiento futuro se presenta en la forma de flujos de efectivo generados por el uso redituable de ese activo. Al evaluar una inversión de capital nos interesan, ante todo, los flujos de efectivo que se derivan directamente de la inversión. Estos flujos de efectivo, llamados flujos de efectivo diferenciales o incrementales, representan el cambio en el flujo de efectivo total de la empresa que ocurre como resultado directo de la inversión. En esta sección veremos algunos de los elementos comunes del flujo de efectivo en la mayoría de las inversiones. Una vez que se determinan los elementos del flujo de efectivo (tanto flujos de entrada como de salida), podemos agruparlos en tres áreas de acuerdo con su uso u origen: 1. elementos de flujo de efectivo asociados con las operaciones, 2. elementos de flujo de efectivo asociados con actividades de inversión (como inversiones de capital) y 3. elementos de flujo de efectivo asociados con el financiamiento de proyectos (como préstamos). El objetivo principal de agrupar los flujos de efectivo de esta forma es proveer información acerca de las actividades relacionadas con la operación, la inversión y el financiamiento de un proyecto. 9.4.1 Actividades de operación En general, los flujos de efectivo relacionados con las operaciones incluyen ingresos actuales por ventas, costo de productos vendidos e impuestos sobre la renta. Los flujos de efectivo operativos deben reflejar, en general, los efectos de las transacciones que intervienen en la determinación del ingreso neto. La parte de interés del pago de un préstamo es un gasto deducible, permitido cuando se determina el ingreso neto, y se incluye en las actividades de operación. Puesto que nosotros sólo vemos por lo regular flujos anuales, es lógico expresar todos los flujos de efectivo sobre una base anual. Como se explicó en la sección 8.4.3, podemos determinar el flujo de efectivo neto a partir de las operaciones con base en: 1. el ingreso neto o 2. el flujo de efectivo calculando el impuesto sobre la renta en un paso por separado. Cuando consideramos el ingreso neto como punto de partida para la determinación del flujo de efectivo, debemos sumar cualquier gasto no erogable (principalmente, los gastos de amortización y depreciación) al ingreso neto, para estimar el flujo de efectivo neto derivado de la operación. Recuerde que la depreciación (o amortización) no es un flujo de efectivo, pero se deduce de los ingresos brutos —junto con los gastos operativos y los costos de arrendamiento— para determinar el ingreso gravable y, por lo tanto, los impuestos. Los contadores calculan el ingreso neto restando los impuestos del ingreso gravable. Pero como la depreciación —la cual, insistimos, no es un flujo de efectivo— fue restada para determinar el ingreso gravable, entonces debe sumarse al ingreso neto si deseamos usar la cifra del ingreso neto como un paso intermedio en la ruta para determinar el flujo de efectivo después de impuestos. Es fácil demostrar matemáticamente que los dos enfoques son idénticos: Flujo de efectivo de la operación  ingreso neto  (depreciación y amortización). 9.4.2 Actividades de inversión En general, tres tipos de flujos de inversión están asociados con la compra de equipo: la inversión original, el valor de rescate al final de la vida útil del equipo y la inversión en capital de trabajo (o recuperación). Aquí, la inversión en capital de trabajo se refiere, en general, a la inversión hecha en activos no depreciables, como los inventarios de materias primas. La distinción entre inversión en activos fijos e inversión en capital de trabajo se explica a continuación. 9.5 Elaboración de estados de flujos de efectivo de proyectos 359 Estado de ingresos Ingresos Gastos Costo de productos vendidos Depreciación Intereses por deudas Gastos de operación Ingresos gravables Impuestos sobre la renta Ingreso neto Estado de flujos de efectivo  Ingreso neto Depreciación Actividades de operación
Inversión de capital  Ganancias por ventas de activos depreciables
Impuestos sobre las ganancias
Inversiones en capital de trabajo  Recuperación de capital de trabajo Actividades de inversión  Fondos solicitados en préstamos
Pago del capital Actividades financieras   Flujo de efectivo neto Figura 9.7 Formato típico usado para la presentación de un estado de flujos de efectivo • La inversión en activos fijos debe capitalizarse (depreciarse) durante la vida depreciable o amortizable del activo. Cualquier valor de rescate del activo está sujeto a gravarse como una ganancia. • La inversión en capital de trabajo debe considerarse como inversión de capital, pero no se permiten deducciones por depreciación. Cualquier recuperación de capital de trabajo no se considera como ingreso, de manera que en este caso no hay consecuencias fiscales. Supondremos que nuestros flujos de salida tanto para la inversión de capital como para la inversión de capital de trabajo tienen lugar en el año 0. Sin embargo, es posible que estas inversiones no ocurran instantáneamente, sino a unos cuantos meses de poner en marcha el proyecto; podemos entonces considerar el año 1 como un año de inversión. (Pueden ocurrir inversiones de capital algunos años antes de que un gran proyecto de inversión sea completamente operacional. En ese caso, debemos registrar las inversiones cuando ocurren.) Para un proyecto pequeño, cualquier método de registrar en el tiempo esos flujos es satisfactorio, pues es probable que las diferencias numéricas sean insignificantes. 9.4.3 Actividades financieras Los flujos de efectivo clasificados como actividades financieras incluyen: 1. el monto del préstamo y 2. el pago del capital. Recuerde que los pagos de interés son gastos deducibles de impuestos, de manera que se clasifican como actividades operativas y no financieras. El flujo de efectivo neto para un año dado es simplemente la suma de los flujos de efectivo neto de las actividades de operación, inversión y financiamiento. La figura 9.7 puede usarse como un mapa para elaborar una declaración de ingresos, porque clasifica cada uno de los elementos del flujo de efectivo como una actividad operativa, de inversión o financiera. 9.5 Elaboración de estados de flujos de efectivo de proyectos En esta sección ilustraremos, mediante una serie de ejemplos numéricos, cómo elaborar un estado de flujos de efectivo de un proyecto; en la figura 9.7 se presenta una versión genérica, donde primero determinamos el ingreso neto de las operaciones y luego lo ajustamos agregando cualquier gasto no erogable, principalmente, la depreciación (o amortización). También consideraremos un caso en el cual un proyecto genera un ingreso gravable negativo para un año de operación. 360 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 9.5.1 Cuando los proyectos requieren sólo actividades operativas y de inversión Comenzaremos con el caso simple de la generación de los flujos de efectivo después de impuestos para un proyecto de inversión que sólo implica actividades de operación y de inversión. Esta situación se presenta cuando la compañía tiene suficientes fondos para financiar la inversión completa, ya sea usando el efectivo generado por la operación de su negocio regular o emitiendo acciones ordinarias para inversionistas (lo que se conoce simplemente como financiamiento mediante capital accionario). En la siguiente sección agregaremos complejidad a este problema al incluir las actividades de financiamiento a través del crédito. Ejemplo 9.2 Estado de flujo de efectivo sólo con actividades operativas y de inversión La G&W Machine Shop está evaluando la propuesta de adquisición de un molino nuevo. El molino cuesta $150,000 y costaría otros $12,000 modificarlo para el uso especial de la compañía. El molino tiene una vida de servicio estimada de cinco años, con un valor de rescate de $45,000. Con este molino, la compañía podrá generar ingresos adicionales anuales de $175,000. Sin embargo, requiere de un operador especialmente capacitado para operar la máquina. Esto supone $60,000 anuales en mano de obra, $20,000 anuales en gastos de materiales y otros $10,000 anuales en gastos indirectos (energía eléctrica y servicios públicos). También requiere una inversión en capital de trabajo por $25,000, los cuales se recuperarán por completo al final del quinto año. El molino es una propiedad que cae en la clase de siete años según el sistema SMRAC. Determine el flujo de efectivo neto del proyecto después de impuestos, año por año, para una tasa marginal de impuestos del 40% y determine el valor presente neto del proyecto para una TREMA de la compañía del 15% (después de impuestos). ANÁLISIS DEL PROBLEMA Emplearemos la convención de no usar signos (positivo o negativo) en la elaboración del estado de ingresos, excepto en la situación donde tenemos un ingreso gravable negativo o un ahorro de impuestos. En esta situación, usaremos () para denotar una entrada negativa. Sin embargo, en la preparación del estado de flujos de efectivo, observaremos explícitamente la convención del signo: un signo positivo indica un flujo de entrada de efectivo; un signo negativo, o (), indica un flujo de salida de efectivo. Dada: La información del flujo de efectivo anteriormente mencionada. Determine: El flujo de efectivo después de impuestos. 9.5 Elaboración de estados de flujos de efectivo de proyectos 361 METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el flujo de efectivo después de impuestos. Podemos enfocar el problema en dos pasos usando el formato mostrado en la figura 9.7 para generar un estado de ingreso y luego un estado de flujos de efectivo. La tabla 9.1 resume el estado de flujos de efectivo asociado con el proyecto del molino. Las siguientes notas explican los puntos esenciales de la tabla 9.1: • Ingresos: Los ingresos y los costos son flujos anuales uniformes de los años 1 al 5. Los ingresos anuales no tienen que ser uniformes. • Gastos (excluyendo depreciación): En nuestro ejemplo, suponemos que el costo anual de la mano de obra, el costo de materiales y los costos indirectos son todos constantes durante el tiempo que dura el proyecto. TABLA 9.1 Estado de flujos de efectivo para el proyecto del molino (ejemplo 9.2) Estado de ingresos Fin del año Ingresos Gastos: Mano de obra Materiales Indirectos Depreciación Ingresos gravables Impuestos sobre la renta (40%) Ingreso neto Estado de flujos de efectivo Actividades operativas: Ingreso neto Depreciación Actividades de inversión: Molino Valor de rescate Impuestos sobre las ganancias Capital de trabajo Flujo de efectivo neto VP(15%) TIR VPN VPN 362 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto • Cálculo de la depreciación: En el año 0 (es decir, en el presente), tenemos un costo de inversión de $162,000 para el equipo.4 Este costo será depreciado de los años 1 al 5. Puesto que el equipo se conserva sólo durante cinco años (un periodo más corto que el periodo de recuperación), las cantidades aplicables de depreciación serían las siguientes: Periodo Tasa de dep.(%) Importe de dep. Valor contable 1 14.286% $23,143 $138,857 2 24.490% 39,673 99,184 3 17.493% 28,338 70,845 4 12.495% 20,242 50,604 7,229 43,375 8.925% 5 2 Advierta que la depreciación del quinto año ordinariamente sería de $14,458, pero está dividida a la mitad por la convención del medio año. Ahora tenemos un valor para nuestra Dn desconocida, la cual nos permitirá completar el estado para los años 1 al 5. Los resultados de estos cálculos simples aparecen en la tabla 9.1. • Ingreso gravable: Una vez que encontramos las asignaciones de depreciación para cada año, podemos calcular fácilmente los resultados para los años 1 a 4, los cuales tienen entradas de ingresos y gastos fijos, junto con los cargos variables de depreciación. • Valor de rescate e impuestos sobre las ganancias: En el año 5 debemos tratar con dos aspectos de la enajenación o baja de activos: valor de rescate y ganancias gravables. Listamos el valor de rescate estimado como un flujo de efectivo positivo. Las ganancias gravables se calculan de la siguiente forma: 1. La depreciación total de los años 1 al 5 es de $118,625. 2. El valor contable al final del año 5 es el costo base menos la depreciación total, es decir, $162,000
$118,625  $43,375. 3. Las ganancias sobre la venta son el valor de rescate menos el valor contable, es decir, $45,000
$43,375  $1,625. (El valor de rescate es menor que el costo base, de manera que toda la ganancia es ordinaria.) 4. El impuesto sobre las ganancias ordinarias es $1,625  40%  $650. Éste es el monto registrado en la tabla en el rubro “Impuestos sobre las ganancias”. • Capital de trabajo: La inversión en capital de trabajo se muestra en la celda B25 y su recuperación aparece en la celda G25. Como se mencionó antes, no hay consecuencias fiscales sobre la cantidad recuperada, aun cuando es un flujo de efectivo positivo. Supondremos que el activo se compra y se pone en servicio al principio del año 1 (o al final del año 0) y que la primera depreciación se registrará al final del año 1. 4 9.5 Elaboración de estados de flujos de efectivo de proyectos 363 • Análisis de la inversión: Una vez que obtenemos los flujos de efectivo netos después de impuestos, podemos determinar su valor presente equivalente a la tasa de descuento de la empresa. Puesto que esta serie no sigue un patrón que nos permita simplificar nuestros cálculos, debemos determinar el valor presente neto de cada pago. Usando i  15%, tenemos: VP1?15 %2?= - $187,000 + $60,2571?P/F, 15%, 12? + $66,8691?P/F, 15%, 22?+ $62,3351?P/F, 15%, 32? + $59,0971?P/F, 15%, 42?+ $123,2421?P/F, 15%, 52? = $52,008. Este resultado significa que si se invierten $187,000 en el proyecto del molino, se generarían ingresos suficientes para recuperar la inversión inicial y el costo de los fondos, con un superávit de $52,008. En otras palabras, éste es un buen proyecto para emprender. COMENTARIOS: Éste es un camino alternativo para elaborar el estado de flujos de efectivo. Un formato tabular ampliamente usado en textos de ingeniería económica se presenta en la tabla 9.2. A diferencia de la propuesta de estado de ingresos mostrada en la tabla 9.1, usted puede saltarse el proceso completo de cálculo del ingreso neto y, de esa forma, calcular directamente los impuestos sobre la renta. Sin embargo, la mayoría de las compañías elaboran el estado de flujos de efectivo de acuerdo con un formato similar al de la tabla 9.1, en vista de que quieren conocer tanto el ingreso neto como las cifras de flujo de efectivo. Por ello, en este texto usaremos el formato de estado de flujos de efectivo de la tabla 9.1 siempre que sea posible. TABLA 9.2 Un modo alternativo de elaborar el estado de flujos de efectivo Inversión Fin del año Molino Capital de trabajo Ingresos Mano de obra Materiales Costos indirectos Depreciación Ingreso Flujo de Impuestos gravable sobre la renta efectivo neto 364 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 9.5.2 Proyectos financiados con fondos crediticios Muchas compañías usan una mezcla de deuda y acciones para financiar su planta y equipo. La razón entre la deuda total y la inversión total, generalmente llamada índice de endeudamiento, representa el porcentaje de la inversión inicial total suministrada por créditos. Por ejemplo, un índice de endeudamiento de 0.3 indica que el 30% de la inversión inicial proviene de créditos y el resto proviene de las ganancias de la compañía (o capital accionario). Puesto que el interés es un gasto deducible de impuestos, las compañías clasificadas en los intervalos más altos de la tabla de impuestos pueden incurrir en costos más bajos de interés después de impuestos financiándose con instrumentos de deuda. (El método de pago del préstamo puede tener también un efecto significativo sobre los impuestos.) EJEMPLO 9.3 Estado de flujos de efectivo con actividades financieras (de crédito) Volvamos al ejemplo 9.2, pero ahora suponiendo que $64,800 de los $162,000 pagados por la inversión se obtienen a través del financiamiento mediante deuda (índice de endeudamiento = 0.4). El préstamo será pagado en abonos iguales anuales al 12% de interés durante cinco años. Los restantes $97,200 provendrán del capital accionario (por ejemplo, utilidades, ganancias retenidas). ANÁLISIS DEL PROBLEMA SOLUCIÓN Dado: El mismo escenario del ejemplo 9.2, pero con un crédito de $64,800, pagaderos en abonos iguales durante cinco años al 12%. Determine: Los flujos de efectivo netos después de impuestos cada año. Primero necesitamos calcular el monto del pago anual del préstamo: $64,8001A/P, 12%, 52 = $17,976. A continuación, determinamos el calendario de pagos del préstamo, detallando tanto lo que corresponde al interés como al pago del capital, para cada pago anual. El flujo de efectivo resultante después de impuestos se detalla en la tabla 9.3. El valor presente equivalente de la serie de flujos de efectivo después de impuestos es VP 115%2 = - $122,200 + $45,3921P/F, 15%, 12 + Á + $106,0361P/F, 15%, 52 = $63,816. Cuando se compara esta cantidad con la cantidad obtenida en el caso en que no se incluye crédito, $52,008, vemos que el financiamiento mediante deuda en realidad incrementa el valor presente en $11,808. Este sorprendente resultado es por completo una consecuencia de que la empresa solicita en préstamo los fondos a una tasa más baja, del 12%, que su TREMA (tasa de costo de oportunidad) del 15%. Sin embargo, debemos ser cuidadosos al interpretar el resultado. Es verdad, hasta cierto punto, que las empresas pueden solicitar dinero en préstamo a tasas más bajas que su TREMA. Sin embargo, si la empresa puede solicitar dinero en préstamo a una tasa significativamente más baja, este factor también afecta la TREMA de la compañía, porque la tasa del préstamo es uno de los elementos empleados para determinar la TREMA, como veremos en la sección 9.7. Por lo tanto, no se espera en la práctica una diferencia significativa entre valores presentes con crédito y sin crédito. 9.5 Elaboración de estados de flujos de efectivo de proyectos 365 Cantidad financiada: $64,800, o el 40% de inversión total de capital Tasa de financiamiento: 12% al año Pago anual: $17,976 o A  $64,800(A/P,12%,5) Fin del año Saldo inicial Pago de interés Pago del capital Saldo final 1 $64,800 $7,776 $10,200 $54,600 2 $54,600 $6,552 $11,424 $43,176 3 $43,176 $5,181 $12,795 $30,381 4 $30,381 $3,646 $14,330 $16,051 5 $16,051 $1,926 $16,051 $0 $17,976 Nota: El monto del pago de cada periodo que se destina al pago de interés y capital se calcula fácilmente con Excel. • Pago de interés:  PAGOINT(tasa, periodo, periodo del préstamo, monto del préstamo). Por ejemplo, para determinar el pago de interés en el periodo 2, usamos el siguiente formato: “  PAGOINT(12%, 2, 5,
64800)” • Pago del capital:  PAGOPRIN(tasa, periodo, periodo del préstamo, monto del préstamo). Por ejemplo, para determinar la cantidad que se destina al pago del capital solicitado en préstamo en el periodo 2, usamos el siguiente formato: “  PAGOPRIN(12%, 2, 5,
64,800)”. TABLA 9.3 Estado de flujos de efectivo para el proyecto del molino financiado con crédito Estado de ingresos Fin del año Ingresos Gastos: Mano de obra Materiales Indirectos Intereses del crédito Depreciación PAGOINT Ingresos gravables Impuestos sobre la renta (40%) Ingreso neto Estado de flujos de efectivo Actividades operativas: Ingreso neto Depreciación Actividades de inversión: Molino Valor de rescate Impuestos sobre las ganancias Capital de trabajo Actividades financieras: Fondos crediticios Pago del capital PAGOPRIN Flujo de efectivo neto VP(15%) TIR VPN TIR 366 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 9.6 Efectos de la inflación sobre los flujos de efectivo del proyecto Ahora analizaremos los efectos de la inflación en algunos proyectos de inversión. Estamos especialmente interesados en tres elementos de los flujos de efectivo de un proyecto: gastos de depreciación, gastos de interés e inversión en capital de trabajo. Los primeros dos elementos, en esencia, son inmunes a los efectos de la inflación porque siempre están dados en dólares circulantes. También consideraremos la complicación de cómo proceder cuando se han usado múltiples índices de precios para generar varios flujos de efectivo del proyecto. Los proyectos de capital que requieren niveles incrementales de capital de trabajo sufren los efectos de la inflación, porque se debe invertir efectivo adicional para mantener los nuevos niveles de precios. Por ejemplo, si el costo de inventario aumenta, se requieren flujos de salida de efectivo adicionales para mantener los niveles adecuados de inventario a través del tiempo. Un fenómeno similar ocurre con los fondos registrados en cuentas por cobrar. Estos requerimientos de capital de trabajo adicional pueden reducir significativamente la rentabilidad o la tasa de retorno de un proyecto. 9.6.1 Asignación de depreciación en un contexto inflacionario Los gastos por depreciación se mantienen a la par con la inflación puesto que se calculan sobre una base anual. De este modo, pierden algo de su valor al diferir impuestos, porque la inflación gobierna el nivel general de precios y, por consiguiente, el ingreso gravable. De manera similar, los precios de venta de los activos depreciables pueden incrementarse con la tasa general de inflación y, como cualquier ganancia en el valor de rescate es gravable, el resultado puede ser un aumento de impuestos. El ejemplo 9.4 ilustra cómo cambia la rentabilidad de un proyecto en una economía inflacionaria. EJEMPLO 9.4 Efectos de la inflación en proyectos con activos depreciables Reconsideremos el proyecto de inversión del molino descrito en el ejemplo 9.3. En la siguiente página se presenta un resumen de los datos financieros en ausencia de inflación. Recuerde que el flujo de efectivo después de impuestos para el proyecto del molino se dio en la tabla 9.3 y que el valor presente del proyecto en ausencia de inflación se calculó en $63,816. ¿Qué pasará con este proyecto de inversión si se espera que la tasa de inflación general ( f ) sea del 5% anual? Se supone que los requerimientos de ventas, costos operativos y capital de trabajo aumentarán como corresponde. La depreciación y los gastos de interés permanecerán sin cambio, pero los impuestos, las utilidades y, por lo tanto, el flujo de efectivo serán mayores. La tasa de interés libre de inflación de la empresa (i ') es del 15%. a) Determine el VP del proyecto. b) Determine la tasa de retorno real del proyecto. 9.6 Efectos de la inflación sobre los flujos de efectivo del proyecto 367 Proyecto del molino en ausencia de inflación Descripción del proyecto Inversión requerida: $162,000 Inversión en capital de trabajo: $25,000 Índice de endeudamiento (0.40), lo que significa que el 40% del capital será solicitado en préstamo al 12% de interés: $64,800 Vida del proyecto: cinco años Valor de rescate: $45,000 Método de depreciación: siete años de acuerdo con el SMRAC Ingresos anuales: $175,000 por año Gastos anuales: Mano de obra $60,000 por año Material $20,000 por año Indirectos $10,000 por año Tasa marginal de impuestos: 40% Tasa de interés libre de inflación (i'): 15% ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Los datos financieros como se muestran en la tabla 9.3, pero con una tasa de inflación general del 5%. Determine: a) El VP de los flujos de efectivo del proyecto después de impuestos y b) la tasa de retorno real del proyecto. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el valor presente y la tasa de retorno real. a) La tabla 9.4 muestra los flujos de efectivo después de impuestos en dólares circulantes. Puesto que estamos tratando con flujos de efectivo en dólares circulantes, necesitamos encontrar la tasa de interés del mercado (véase la sección 4.3.3). La tasa de interés de mercado que se utilizará es i = 0.15 + 0.05 + 10.15210.052 = 20.75%. VP120.75%2 = - $122,200 + $46,6921P/F, 20.75%, 12 + . . . + $132,9741P/F, 20.75%, 52 = $60,957. Puesto que VP(20.75%) > 0, la inversión es económicamente atractiva. b) Si usted calcula la tasa de retorno del proyecto sobre la base de dólares circulantes, será del 38.77%, como se muestra en la tabla 9.4. Puesto que la tasa de interés del mercado es del 20.75%, el proyecto sigue siendo justificable. Si usted quiere conocer la tasa de retorno real (libre de inflación), puede usar la siguiente relación de la ecuación (4.9): i¿ = i - f 0.3877 - 0.05 = = 32.16%. 1 + 0.05 1 + f Puesto que la TREMA libre de inflación es del 15%, el proyecto también puede justificarse sobre la base de dólares reales. 368 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto TABLA 9.4 Estado de flujo de efectivo para el proyecto del molino bajo inflación (ejemplo 9.4) Estado de ingresos Fin del año Tasa de inflación Ingresos Gastos: Mano de obra Materiales Indirectos Intereses del crédito Depreciación Ingreso gravable Impuestos sobre la renta (40%) Ingreso neto Estado de flujos de efectivo Actividades operativas: Ingreso neto Depreciación Actividades de inversión: Molino Valor de rescate Impuestos sobre las ganancias Capital de trabajo Actividades financieras: Créditos Pago del capital Flujo de efectivo neto (dólares circulantes) VPN VP TIR TIR COMENTARIOS: Se supone que todos los elementos del flujo de efectivo, excepto la depreciación y los gastos por pago de intereses, están en dólares constantes. Puesto que los impuestos sobre la renta son recaudados sobre los ingresos gravables actuales, usaremos el análisis de dólares circulantes, que requiere que todos los elementos de flujos de efectivo se expresen en dólares circulantes. Haremos las siguientes observaciones: • Para efectos de este ejemplo, todos los cálculos inflacionarios se efectúan a partir de fin de año. • Los elementos del flujo de efectivo, como ventas, mano de obra, material, costos indirectos y precio de venta de los activos, se verán afectados por la tasa de inflación general. Por ejemplo, mientras que las ventas anuales se estimaron en $175,000 en condiciones de inflación, aumentan en un 5% en el año 1 (es decir, ascienden a $183,750), en un 10.25% en el año 2 ($192,938), y así sucesivamente. • Los flujos de efectivo futuros en dólares circulantes para otros elementos se obtienen de un modo similar. 9.6 Efectos de la inflación sobre los flujos de efectivo del proyecto 369 • En el año 0 no ocurren cambios en la inversión, ni tampoco en la depreciación ni en los gastos por pago de intereses, puesto que estos rubros no se ven afectados por la inflación futura esperada. • La inversión en capital de trabajo cambiará con la inflación. Los niveles de capital de trabajo pueden mantenerse sólo mediante una inyección de efectivo adicional. Por ejemplo, los $25,000 invertidos en capital de trabajo en el año 0, se recuperarán al final del primer año, considerando un ciclo de recuperación de un año. Sin embargo, como la inflación fue del 5%, el capital de trabajo requerido para el segundo año asciende a $26,250. Así, además de invertir los $25,000 recuperados al final del año 1, se deben agregar $1,250. Los $26,250 serán recuperados al final del segundo año. Sin embargo, el proyecto necesitará un 5% de aumento, es decir, $27,563 para el tercer año y así sucesivamente. El monto del déficit debe ser financiado al principio de cada año. Finalmente, en el año 5, cuando el proyecto concluye, no se requiere inversión en capital de trabajo. Por lo tanto, la empresa recupera todas las inversiones que hizo en capital de trabajo en una suma global ($30,338) al final del año 5 y puede usar este fondo para otros propósitos. Fin de año 0 Capital de trabajo recuperado 1 2 3 4 5 $25,000 $26,250 $27,563 $28,941 $30,388 Capital de trabajo requerido ($25,000) ($26,250) ($27,563) ($28,941) ($30,388) $0 Saldo ($25,000) ($1,250) ($1,313) ($1,378) ($1,447) $30,388 • El gasto por depreciación es un cargo contra el ingreso gravable, lo cual reduce la cantidad de impuestos pagados y, como consecuencia, incrementa el flujo de efectivo atribuible a una inversión en virtud de la cantidad de impuestos ahorrados. Pero el gasto por depreciación, bajo la legislación fiscal vigente, se basa en el costo histórico. Conforme transcurre el tiempo, el gasto por depreciación se carga al ingreso gravable en dólares con poder adquisitivo en declive; como consecuencia, el costo “real” del activo no se refleja totalmente en los gastos por depreciación. Los costos por depreciación, por lo tanto, son subestimados, en tanto que los ingresos gravables son sobreestimados, lo que da por resultado impuestos más altos. • Por otro lado, el programa de pagos de la deuda con una tasa de interés fija no va a cambiar, aun cuando el prestamista experimente los efectos de la inflación. Por lo tanto, usted está pagando con dólares más baratos, lo que redunda en una mayor rentabilidad. En nuestro ejemplo, el aumento en las utilidades que se debe al financiamiento mediante deuda es menor que el aumento en impuestos pagados más el efectivo adicional requerido para mantener el capital de trabajo adecuado, de manera que aún vemos una pérdida general en el VPN. • Se espera que el precio de reventa del activo aumente a la tasa de inflación general. Por lo tanto, el valor de rescate en dólares circulantes será: $45,00011 + 0.0525 = $57,433. Este incremento en el valor de rescate también incrementará las ganancias gravables, mientras que el valor contable permanece sin cambios. Los cálculos tanto para el valor contable como para los impuestos sobre las ganancias se muestran en la tabla 9.4. • Advierta que en el ejemplo 9.3 el VP en ausencia de inflación fue de $63,816. La disminución de $2,859 (conocida como pérdida por inflación) en el VP en condiciones de inflación, ilustrada en este ejemplo, se debe totalmente a las consideraciones del impuesto sobre la renta y a las pérdidas de capital de trabajo. 370 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 9.6.2 Manejo de tasas de inflación múltiples Como mencionamos en el capítulo 4, la tasa de inflación fj representa una razón aplicable a un segmento específico j de la economía. Por ejemplo, si estimamos el costo futuro de una pieza de maquinaria, debemos usar la tasa de inflación apropiada. Además, necesitamos usar varias tasas para acomodar los diferentes costos e ingresos en nuestro análisis. El siguiente ejemplo ilustra la complejidad de las tasas de inflación múltiples. EJEMPLO 9.5 Aplicación de tasas de inflación específicas Retomaremos el ejemplo 9.4, sólo que usando diferentes índices anuales (tasas de inflación diferenciales) en los precios de los componentes del flujo de efectivo. Suponga que esperamos que la tasa de inflación general, f , promedie el 6% durante los próximos cinco años. También esperamos que el precio de venta (valor de rescate) del equipo aumente un 3% por año, que los sueldos (mano de obra) y costos indirectos se incrementen en un 5% por año y que el costo de material aumente en un 4% anual. El capital de trabajo requerido aumentará en un 5% anual. Esperamos que los ingresos por concepto de ventas aumenten a la tasa de inflación general. La tabla 9.5 presenta los cálculos pertinentes de acuerdo con el formato del estado de ingresos. Para simplificar, se supone que todos los flujos de efectivo y los efectos de la inflación ocurren al final del año. Determine el valor presente neto de esta inversión. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Los datos inancieros como se presentan en la tabla 9.5 de la siguiente página, pero con múltiples tasas de inlación. Determine: El VP de los flujos de efectivo del proyecto después de impuestos. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Para usar dólares circulantes para evaluar el valor presente, debemos ajustar la tasa de descuento original del 15%, que es una tasa de interés libre de inlación, i '. La tasa de interés adecuada para usar en este caso es la tasa de interés del mercado: i = i' + f + i¿f = 0.15 + 0.06 + 10.15210.062 = 21.90%. El valor presente equivalente se obtiene de la siguiente manera: VP 121.90%2 = - $122,200 + $47,8621P/F, 21.90%, 12 + $57,8951P/F, 21.90%, 22 + Á + $137,0341P/F, 21.90%, 52 = $64,485. COMENTARIOS: Siempre que usted trate con índices de precios múltiples en análisis económicos, el índice de precios que afectará la tasa de interés del mercado, establecida por diversas instituciones financieras, es el índice de precios al consumidor. En otras palabras, la tasa de inflación general es la que se utilizará en el cálculo de la tasa de interés del mercado, la cual se empleará, a la vez, en el cálculo del valor presente neto equivalente. 9.7 Tasa de descuento que se emplea en el análisis económico después de impuestos: Costo de capital 371 TABLA 9.5 Estado de flujos de efectivo bajo inflación para el proyecto del molino (múltiples índices de precios) Estado de ingresos Fin del año Tasa de inflación Ingresos Gastos: Mano de obra Materiales Indirectos Intereses del crédito Depreciación Ingreso gravable Impuestos sobre la renta (40%) Ingreso neto Estado de flujos de efectivo Actividades operativas: Ingreso neto Depreciación Actividades de inversión: Molino Valor de rescate Impuestos sobre las ganancias Capital de trabajo Actividades financieras: Créditos Pago del capital Flujo de efectivo neto (dólares circulantes) VPN VP TIR TIR 9.7 Tasa de descuento que se emplea en el análisis económico después de impuestos: Costo de capital Cuando usted invierte dinero en una compañía, tiene la misma oportunidad para obtener rendimiento que la que tendría en una inversión alternativa con riesgo similar. Este costo de oportunidad es el costo de capital de la compañía; es la tasa de retorno mínima que la compañía puede ganar con los activos existentes para seguir satisfaciendo las expectativas de los proveedores de capital. En la mayoría de los ejemplos de presupuesto de capital en capítulos anteriores, hemos supuesto que los proyectos en consideración fueron financiados totalmente con fondos provenientes del capital accionario. En esos 372 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto casos, el costo de capital pudo haber representado solamente el rendimiento sobre las acciones. Sin embargo, la mayoría de las empresas financian una porción sustancial de su presupuesto de capital con deuda (bonos) a largo plazo, y muchas otras también usan acciones ordinarias como fuente de capital. En tales casos, el costo de capital de una empresa debe reflejar el costo promedio de las diferentes fuentes de fondos a largo plazo que utiliza, no sólo el costo del capital accionario. En esta sección analizaremos las diferentes formas para estimar el costo de cada tipo de financiamiento individual (ganancias retenidas, acciones ordinarias, acciones preferenciales y deuda), dada la estructura de capital propuesta de la empresa.5 9.7.1 Costo del capital accionario Mientras que los créditos y las acciones preferenciales son obligaciones contractuales que tienen costos fáciles de determinar, no es sencillo medir el costo del capital accionario. En principio, el costo del capital accionario implica un costo de oportunidad. De hecho, los flujos de capital después de impuestos de la compañía pertenecen a los accionistas. La administración puede pagar esas ganancias en forma de dividendos o retenerlas y reinvertirlas en el negocio. Si la administración decide retener las ganancias, esto implica un costo de oportunidad; los accionistas podrían haber recibido las ganancias como dividendos e invertir ese dinero en otros activos financieros. Por lo tanto, las ganancias retenidas por la compañía deben redituar, por lo menos, tanto como los accionistas podrían ganar en inversiones alternativas comparables. ¿Qué tasa de retorno pueden esperar recibir los accionistas sobre las ganancias retenidas? Esta pregunta es difícil de contestar, pero el valor buscado a menudo es la tasa de retorno que los accionistas demandan sobre las acciones ordinarias de la compañía. Si una empresa no puede invertir las ganancias retenidas de manera que gane por lo menos la tasa de retorno de las acciones, debe pagar esos fondos a los accionistas y dejarlos invertir directamente en otros activos que ofrezcan ese rendimiento. En general, el rendimiento esperado sobre cualquier activo de riesgo se compone de tres factores:6 Rendimiento esperado Tasa de interés Prima de Prima de b = a libre de riesgo b + a inflación b + a riesgo b. a sobre el activo de riesgo Esta ecuación dice que el propietario del activo de riesgo espera ganar un rendimiento a partir de tres fuentes: • La primera es la compensación por el costo de oportunidad generado por conservar el activo. Ésta es la tasa de interés libre de riesgo. • La segunda es la compensación por la disminución del poder de compra de la inversión a lo largo del tiempo, conocida como prima de inflación. • La tercera es la compensación por aceptar el riesgo, conocida como prima de riesgo. Por fortuna, no necesitamos tratar los primeros dos términos como factores separados, ya que juntos igualan el rendimiento esperado en un bono libre de incumplimiento, como un bono gubernamental. En otras palabras, los propietarios de bonos gubernamentales esperan un rendimiento de las primeras dos fuentes, pero no de la tercera. Así, podemos simplificar la ecuación anterior como Rendimiento esperado Tasa de interés a sobre el activo b = a sobre un bono de riesgo gubernamental 5 6 Prima de b + a riesgo b . La estimación o el cálculo del costo del capital, en cualquier modalidad, es una tarea muy difícil. Robert C. Higgins, Analysis for Financial Management, 5a. ed., Nueva York: Irwin/McGraw-Hill, 1998. 9.7 Tasa de descuento que se emplea en el análisis económico después de impuestos: Costo de capital 373 Cuando los inversionistas contemplan la posibilidad de comprar acciones de una empresa, tienen en mente dos factores primordiales: 1. dividendos en efectivo y 2. ganancias (alza en el valor de las acciones) en el momento de la venta. Desde un punto de vista conceptual, los inversionistas determinan el valor de mercado de las acciones descontando los dividendos esperados en el futuro a una tasa que toma en cuenta cualquier crecimiento futuro. Puesto que los inversionistas buscan compañías en expansión, en el cálculo se incluye a menudo un factor deseable de crecimiento para los dividendos futuros. El costo del capital accionario es la tasa de interés libre de riesgos (por ejemplo, bonos de la Tesorería de Estados Unidos a 20 años que tienen un rendimiento de alrededor del 6%) más una prima por asumir el riesgo de que el rendimiento quizá no se reciba. La prima de riesgo es el rendimiento promedio en el mercado —por lo general, el rendimiento de las acciones de las 500 empresas más grandes del mundo del índice bursátil Standard & Poor, conocido como S&P 500 (digamos, el 12.5%), menos el costo libre de riesgo de la deuda—. Esta tasa se multiplica por beta, una medida aproximada de la volatilidad del precio de las acciones. Beta () cuantifica el riesgo a través de la medición del precio de las acciones de una compañía en relación con los precios de las acciones de todo el mercado en conjunto. Un número mayor que 1 significa que, en promedio, las acciones de la compañía son más volátiles que el mercado; un número menor que 1 significa que, en promedio, las acciones de la empresa son menos volátiles que el mercado. Los valores de beta se encuentran en varias fuentes, como Value Line,7 para la mayoría de las acciones que se ofrecen públicamente. El costo del capital accionario (ie) se cuantifica mediante ie = rf + [rM - rf], (9.1) donde rƒ  tasa de interés libre de riesgo (comúnmente considerando como referencia la ganancia de los bonos de la Tesorería de Estados Unidos, con el ajuste correspondiente a la inflación), y rM tasa de retorno del mercado (comúnmente referida al rendimiento promedio del índice bursátil S&P 500, con inflación ajustada). Advierta que esta cantidad casi siempre es más alta que el costo de la deuda. Esto se debe a que el Código Fiscal de Estados Unidos permite la deducción de gastos por el pago de intereses, pero no permite la deducción del costo del capital accionario, lo cual puede considerarse más subjetivo y complejo. El ejemplo 9.6 ilustra cómo podemos determinar el costo del capital accionario. EJEMPLO 9.6 Determinación del costo del capital accionario Alpha Corporation necesita recaudar $10 millones para modernizar su planta. La estructura de capital que Alpha se propone como meta admite un índice de endeudamiento del 0.4, lo que significa que $6 millones tienen que ser financiados con capital accionario. La información disponible es la siguiente: • Alpha está planeando recaudar $6 millones en los mercados financieros. • La beta de Alpha es de 1.8, una cifra mayor que 1, lo que indica que existe la percepción de que la compañía implica mayor riesgo que el promedio del mercado. • La tasa de interés libre de riesgo es del 6% y el rendimiento promedio del mercado es del 13%. (Esas tasas de interés se ajustan para reflejar la inflación de la economía.) Determine el costo del capital accionario para financiar la modernización de la planta. 7 Los reportes de Value Line están actualmente disponibles para cerca de 5,000 compañías públicas y ese número está creciendo. Los reportes de Value Line contienen la siguiente información: 1. total de activos, 2. total de pasivos, 3. total de acciones, 4. deudas a largo plazo como porcentaje del capital, 5. acciones como un porcentaje del capital, 6. fortaleza financiera (la cual sirve para determinar las tasas de interés), 7. beta y 8. rendimiento sobre el capital invertido. 374 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: rM  13%, rƒ  6% y   1.8. Determine: ie METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule ie. Calculamos ie como sigue: ie  0.06  1.8(0.13
0.06)  18.60% COMENTARIOS: ¿Qué representa este 18.60%? Significa que, si Alpha financia completamente el proyecto con fondos provenientes de acciones, el proyecto debe ganar por lo menos el 18.60% de rendimiento sobre la inversión para que valga la pena. 9.7.2 Costo de la deuda Ahora consideremos el cálculo del costo específico que se asigna al financiamiento mediante deuda. El cálculo es relativamente sencillo y directo. Dos tipos de deuda financiera son los préstamos a plazo y los bonos. Como los pagos de interés en ambos son deducibles de impuestos, reducen el costo efectivo de la deuda. Para determinar el costo de la deuda después de impuestos, (id), podemos evaluar la expresión: id  ¢ cs cb ≤ k 11
tm2  ¢ ≤ kb11
tm2, cd s cd (9.2) donde cs  el monto del préstamo a plazo, ks  la tasa de interés del préstamo antes de impuestos del préstamo a plazo, tm  la tasa marginal de impuestos de la empresa, kb  la tasa de interés sobre el bono antes de impuestos, y cb  el monto del financiamiento del bono, y cs  cb  cd. El ejemplo 9.7 ilustra el proceso de cálculo del costo de la deuda para el escenario de la corporación Alpha que se presentó en el ejemplo 9.6. EJEMPLO 9.7 Determinación del costo de la deuda Para el caso del ejemplo 9.6, suponga que Alpha decide financiar los restantes $4 millones solicitando un préstamo a plazo y emitiendo bonos a la par de $1,000 a 20 años, en las siguientes condiciones: Interés Origen Monto Fracción Tasa Préstamo a plazos $1.33 millones 0.333 12% anual Bonos $2.67 millones 0.667 10.74% anual 9.7 Tasa de descuento que se emplea en el análisis económico después de impuestos: Costo de capital 375 La tasa de impuesto marginal de Alpha es del 38%, y se espera que ésta permanezca constante en el futuro. Determine el costo de la deuda después de impuestos. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: ks  12%, kb  10.74%, cs/cd  0.333, cb/cd  0.667, tm  38%. Determine: id. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Despeje id. El costo de la deuda después de impuestos es la tasa de interés sobre la deuda multiplicada por (1
tm). En efecto, el gobierno paga parte del costo de la deuda porque el interés es deducible de impuestos. Ahora estamos listos para calcular el costo de la deuda después de impuestos de la siguiente forma: id = 10.333210.12211 - 0.382 + 10.667210.1074211 - 0.382 = 6.92%. COMENTARIOS: ¿Qué significa realmente este 6.92% de interés? Aun cuando usted está solicitando el dinero en préstamo al 12% y al 10.74% a dos fuentes diferentes, el costo neto de la composición del crédito será justamente de 6.92%, porque los pagos de interés de la deuda son gastos deducibles de impuestos. 9.7.3 Cálculo del costo de capital Una vez determinado el costo específico de cada componente financiero, estamos listos para calcular el costo de capital promedio ponderado ajustado a los impuestos, sobre la base del capital total. Luego, definiremos el costo marginal del capital que debe emplearse en la evaluación del proyecto. Costo de capital promedio ponderado Suponiendo que una empresa recauda capital sobre la base de la estructura de capital propuesta y que la estructura de capital permanece sin cambio en el futuro, podemos determinar un costo de capital promedio ponderado ajustado a los impuestos (o simplemente conocido como costo de capital). Como se ilustró en la figura 9.8, este costo de capital representa un índice compuesto que refleja el costo de recaudar fondos de fuentes diferentes. El costo de capital se define como k = ie ce id cd + , V V (9.3) donde cd  capital total adeudado (como bonos) en dólares, ce  capital total en acciones en dólares, V  cd  ce, ie  tasa de interés promedio del capital accionario por periodo, considerando todas las fuentes de capital accionario, id  tasa de interés promedio del préstamo después de impuestos por periodo, considerando todas las fuentes de deuda y k  costo de capital promedio ponderado ajustado a impuestos. 376 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto Fuentes de financiamiento Estructura de capital Costo Préstamo a corto plazo Bono a largo plazo Cd Deuda id k V Ganancias retenidas Ce Acciones ie k Costo de capital idCd ieCe  V V Acciones preferenciales Acciones ordinarias Figura 9.8 Esquema del costo ponderado del capital Advierta que el costo de acciones ya está expresado en términos de costo después de impuestos, porque cualquier rendimiento a los tenedores de acciones ordinarias o preferenciales se entrega después de pagar los impuestos sobre la renta. Costo marginal de capital Ahora sabemos cómo calcular el costo de capital. ¿Una empresa representativa podría recaudar sin límite capital nuevo al mismo costo? La respuesta es no. En la práctica, cuando una empresa trata de atraer más dólares nuevos, el costo de recaudar cada dólar adicional se elevará en algún punto. Conforme ocurre este incremento, el costo promedio ponderado de recaudar cada dólar adicional también se eleva. Así, el costo marginal de capital se define como el costo de obtener otro dólar de capital nuevo, y este costo se eleva conforme se recauda más y más capital durante un periodo determinado. En la evaluación de un proyecto de inversión usamos el concepto de costo marginal de capital. La fórmula para obtener el costo marginal de capital es exactamente la misma que la ecuación (9.3). Sin embargo, los costos de la deuda y del capital accionario en la ecuación (9.3) son las tasas de interés sobre la nueva deuda y el nuevo capital accionario, no la deuda ni el capital accionario (o la combinación de ellos) pendientes de pago, respectivamente; en otras palabras, estamos interesados en el costo marginal del capital. Nuestro interés principal en el costo de capital es que nos servirá para evaluar un nuevo proyecto de inversión. La tasa a la cual la empresa ha solicitado préstamos en el pasado es menos importante para este propósito. El ejemplo 9.8 ilustra cómo efectuar los cálculos para obtener el costo de capital (k). EJEMPLO 9.8 Cálculo del costo marginal de capital Reconsideremos los ejemplos 9.6 y 9.7. Se espera que la tasa marginal de impuesto sobre la renta (tm) para Alpha permanezca en 38% en el futuro. Suponiendo que la estructura de capital de Alpha (el índice de endeudamiento) también permanece sin cambio en el futuro, determine el costo de capital (k) de recaudar $10 millones adicionales al capital existente de Alpha. 9.7 Tasa de descuento que se emplea en el análisis económico después de impuestos: Costo de capital 377 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dados: Con cd  $4 millones, ce  $6 millones, V  $10 millones, id  6.92%, ie  18.60% y la ecuación (9.3). Determine: El costo marginal de capital (k). METODOLOGÍA SOLUCIÓN Despeje el costo de capital (k). Calculamos el costo marginal del capital como sigue: k = 10.06922142 10 + 10.18602162 10 = 13.93%. Este 13.93% sería el costo marginal del capital que una compañía con esta estructura de capital esperaría pagar para recaudar $10 millones, y ésta es la tasa de descuento que se emplearía en la evaluación del nuevo proyecto de inversión de Alpha. En otras palabras, el proyecto debe ofrecer un rendimiento superior al 13.93% para justificarse. 9.7.4 Selección de una TREMA en el análisis de flujo de efectivo después de impuestos Hasta aquí hemos dicho poco acerca de cuál es la tasa de interés o la tasa de retorno mínima aceptable (TREMA) adecuada para una situación particular de inversión. La selección de la TREMA es un asunto difícil; no hay una tasa única que siempre sea apropiada. En esta sección explicaremos brevemente cómo podemos seleccionar una TREMA para la evaluación del proyecto. Después, examinaremos la relación entre presupuesto de capital y costo de capital. Selección de la TREMA cuando se conoce el financiamiento del proyecto Cuando los cálculos del flujo de efectivo reflejan el interés, los impuestos y el pago de deuda, lo que queda se llama flujo neto de capital para el accionista. Si la meta de una empresa es maximizar la riqueza de sus accionistas, ¿por qué no enfocarnos solamente en el flujo de efectivo después de impuestos dirigido al capital accionario, y no en el flujo de capital a todos los proveedores de capital? Enfocarnos sólo sobre los flujos de capital para el accionista nos permitirá usar el costo de capital de las acciones como la tasa de descuento apropiada. En un ambiente típico de análisis de ingeniería económica, a menudo suponemos que se conoce la fuente de financiamiento, de manera que los flujos de efectivo del proyecto representan el flujo neto para el accionista; así, la TREMA utilizada representa el costo del capital accionario (ie). Por ejemplo, los flujos de efectivo después de impuestos, calculados en la tabla 9.3, representan un flujo neto de capital para el accionista. En este caso, la tasa de descuento del 15% representa el costo del capital accionario (ie). Si los flujos de deuda no estuvieran considerados explícitamente en la tabla 9.3, la tasa de descuento apropiada para usar sería el costo de capital (k). En otras palabras, puesto que se ignoran el gasto por intereses así como los flujos de pagos de la deuda, los flujos de efectivo neto resultantes deben ser descontados de k, no de ie. Selección de la TREMA cuando se desconoce el financiamiento del proyecto Tal vez usted se pregunte, si usamos el costo del capital accionario (ie) exclusivamente, ¿para qué sirve el costo de capital (k)? La respuesta a esta pregunta es que, usando el valor de k, podemos evaluar inversiones sin el tratamiento explícito de flujos de deuda 378 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto (tanto intereses como capital). En la práctica, es común evaluar varios proyectos sin la consideración explícita de las fuentes de financiamiento. La suposición subyacente es que usted recaudará el capital de acuerdo con la estructura de capital fijada si usted decide financiar el proyecto. En este caso, hacemos un ajuste de impuestos a la tasa de descuento empleando el costo efectivo de la deuda después de impuestos. Este enfoque reconoce que el costo de interés neto efectivamente se transfiere del recaudador al acreedor del impuesto, en el sentido de que existe una reducción de impuestos de dólar por dólar hasta por la cantidad de los pagos de interés. Por lo tanto, el financiamiento mediante deuda se trata implícitamente. Este método sería apropiado cuando el financiamiento mediante deuda no está identificado con una inversión individual, pero facilita bastante a la compañía comprometerse en una serie de inversiones. RESUMEN 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 쐽 La mayoría de las compañías manufactureras dividen los costos de manufactura en tres grandes categorías: materiales directos, mano de obra directa y costos indirectos de manufactura. Los costos no manufactureros se clasifican en dos categorías: costos de marketing o de ventas y costos administrativos. Para el propósito de valuación de inventarios y la determinación de gastos para el balance general y el estado de ingresos, los costos se clasifican como costos por producto o costos por periodo. Cuando se trata de predecir el comportamiento del costo —cómo reaccionarán los costos ante los cambios en la actividad—, los gerentes comúnmente clasifican los costos en dos categorías: costos variables y costos fijos. Es necesario considerar el flujo de efectivo (no el ingreso neto) para evaluar la ventaja económica de cualquier proyecto de inversión. La tasa de impuesto que conviene usar en el análisis económico es la tasa incremental de impuesto que resulta de emprender el proyecto en cuestión, no la tasa de interés global ni la tasa de interés promedio. La identificación y estimación de los flujos de efectivo relevantes del proyecto es quizás el aspecto más desafiante del análisis de ingeniería económica. Todos los flujos de efectivo pueden organizarse en una de las siguientes tres categorías: 1. Actividades de operación 2. Actividades de inversión 3. Actividades financieras El enfoque del estado de ingresos, por lo general, se emplea en la organización de flujos de efectivo del proyecto. Este enfoque agrupa los flujos de efectivo de acuerdo con la asociación que tengan con las funciones de operación, inversión o financiamiento. Los flujos de efectivo del proyecto pueden determinarse de dos formas: dólares circulantes (An): dólares que reflejan la tasa de inflación o deflación; dólares constantes: (A'n): dólares del año 0. Las tasas de interés para evaluación de proyectos pueden determinarse en una de dos formas: tasa de interés del mercado (i) es una tasa que combina los efectos de interés e inflación y se usa con el análisis de dólares circulantes; tasa de interés libre de inflación (i' ) es una tasa de la cual se han eliminado los efectos de la inflación y se usa en el análisis de dólares constantes. La selección de una TREMA apropiada, en ausencia de límites de capital, depende generalmente del costo del capital, es decir, la tasa que la empresa debe pagar a varias fuentes por el uso de capital. Problemas 379 쐽 쐽 El costo de capital para el accionista se usa cuando los métodos de financiamiento mediante deuda y programas de pago se conocen explícitamente. El costo de capital (k) se usa cuando se desconocen los métodos exactos de financiamiento, pero la empresa mantiene su estructura de capital en su objetivo fijado. En esta situación, los flujos de efectivo después de impuestos del proyecto no incluyen flujo de efectivo de deuda, como un pago de interés. PROBLEMAS Comportamiento del costo 9.1 Identifique cuáles de los siguientes costos son fijos y cuáles son variables: 쐽 sueldos pagados a trabajadores temporales 쐽 impuestos sobre la propiedad del edificio de una fábrica 쐽 impuestos sobre la propiedad de un edificio administrativo 쐽 comisión de ventas 쐽 electricidad para maquinaria y equipo de la planta 쐽 calefacción y aire acondicionado de la planta 쐽 salarios pagados a los ingenieros de diseño 쐽 mantenimiento regular de la maquinaria y el equipo 쐽 materia prima básica usada en producción 쐽 seguro contra incendio de la fábrica 9.2 Las siguientes gráficas representan patrones de comportamiento de costo que podrían encontrarse en la estructura de costos de una compañía. El eje vertical de cada gráfica representa el costo total, y el eje horizontal representa el nivel de actividad (volumen). Para cada una de las situaciones dadas, identifique la gráfica que ilustra el patrón de costo correspondiente. Cualquier gráfica puede utilizarse más de una vez. (Adaptado originalmente del examen CPA; también se encuentra en R. H. Garrison, y E. W. Noreen, Managerial Accounting, octava edición, Irwin, 1997, derechos reservados por Richard D. Irwin, p. 271.) a) Factura de consumo de electricidad: una tarifa fija, más un costo variable después de cierto número de kilowatts-hora. b) Factura de consumo de agua, que se calcula como sigue: Primer 1,000,000 de galones $1,000 o menos Siguientes 10,000 galones $0.003 por galón usado Siguientes 10,000 galones $0.006 por galón usado Siguientes 10,000 galones $0.009 por galón usado .. .. . . c) Depreciación del equipo; el monto se calcula por el método de línea recta. Cuando se estableció la tasa de depreciación, se anticipó que el factor de obsolescencia sería mayor que el factor de desgaste natural. d) Renta de un edificio fabril donado por la ciudad; el acuerdo correspondiente establece un pago fijo, a menos que se trabajen 200,000 horas o más, en cuyo caso no es necesario pagar renta. e) Costo de la materia prima; el costo disminuye en 5 centavos por unidad para las primeras 100 unidades compradas, después de lo cual, el costo permanece constante a $2.50 por unidad. f) Salarios de los trabajadores de mantenimiento; se necesita un trabajador por cada 1,000 horas máquina o menos (es decir, si se trabaja de 0 a 1,000 horas, se requiere un trabajador de mantenimiento; si se trabaja de 1,001 a 2,000 horas, se requieren dos trabajadores, etcétera). 380 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto g) Costo de materias primas empleadas. h) Renta de un edificio de la fábrica donado por el condado; el contrato establece $100,000 de renta menos $1 por cada hora de mano de obra directa después de 200,000 horas, pero debe pagarse un mínimo de renta de $20,000. i) Uso de una máquina rentada; se paga un cargo mínimo de $1,000 por hasta 400 horas de tiempo máquina. Después de 400 horas de tiempo máquina, se paga un cargo adicional de $2 por hora, hasta un cargo máximo de $2,000 por periodo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Conceptos de costo relevantes para la toma de decisiones 9.3 Pearson Company manufactura una variedad de pcb (tarjetas de circuito impreso) que usan los teléfonos celulares. La compañía acaba de recibir una oferta de un proveedor externo para abastecer la soldadura eléctrica de la línea de productos Motorola (Z-7 pcb, línea delgada). El precio cotizado es de $4.80 por unidad. Pearson está interesada en esta oferta, puesto que sus propias operaciones de soldadura de pcb están a su máxima capacidad. Los detalles de la oferta del proveedor y las operaciones actuales de soldadura de Pearson son las siguientes: Opción de subcontratación (outsourcing): La compañía estima que si acepta la oferta del proveedor, la mano de obra directa y los costos indirectos variables del Z-7, línea delgada, se reducirían en un 15% y que el costo de materiales directos disminuiría en un 20%. 쐽 Opción de producción interna: En la operación actual, Pearson Company manufactura todas sus pcb de principio a fin. El Z-7, línea delgada, se vende a través de Motorola a $20 por unidad. Los cargos por costos fijos del Z-7, línea delgada, ascienden a $20,000 cada año. El desglose de los costos de producción por unidad es el siguiente: Materiales directos $7.50 Mano de obra directa $5.00 Indirectos de manufactura $4.00 Costo total $16.50 Los costos indirectos de manufactura de $4.00 por unidad incluyen costos indirectos tanto fijos como variables de manufactura sobre una producción de 100,000 unidades por año. a) ¿Debe Pearson Company aceptar la oferta del proveedor externo? b) ¿Cuál es el precio máximo por unidad que Pearson Company estaría dispuesta a pagar al proveedor externo? 쐽 Problemas 381 9.4 La J&J Company tiene tres líneas de productos de cinturones —A, B y C— que tienen un margen de contribución de $3, $2 y $1, respectivamente. El presidente prevé ventas de 200,000 unidades en el periodo que viene divididas de la siguiente forma: 20,000 unidades de A, 100,000 unidades de B y 80,000 unidades de C. Los costos fijos de la compañía para el periodo son de $255,000. a) ¿Cuál es el punto de equilibrio en unidades vendidas, suponiendo que la mezcla de ventas se mantiene constante? b) Si la mezcla de ventas se mantiene, ¿cuál es el margen de contribución total cuando se venden 200,000 unidades? ¿Cuál es el ingreso operativo? c) ¿Cuál sería el ingreso operativo si se vendieran 20,000 unidades de A, 80,000 unidades de B y 100,000 unidades de C? ¿Cuál sería el nuevo punto de equilibrio en unidades si estas relaciones persisten en el siguiente periodo? Tasa marginal de impuesto en la evaluación de proyectos 9.5 Buffalo Environment Service espera generar un ingreso gravable de 350,000 por sus actividades regulares de negocios en 2008. La compañía está considerando también una nueva operación: limpiar el aceite derramado por los barcos pesqueros en los lagos. Se espera que esta nueva tarea genere un ingreso gravable adicional de $180,000. a) Determine la tasa marginal de impuestos de la empresa antes y después de la nueva operación. b) Determine la tasa promedio de impuestos de la empresa antes y después de la nueva operación. 9.6 Scottsdale Print Shop espera tener un ingreso gravable anual de $300,000, como resultado de sus actividades durante los siguientes dos años. La compañía también está considerando la propuesta de adquisición de una nueva máquina de impresión para expandir su negocio actual y ofrecer el servicio en su catálogo de productos. El precio de la máquina instalada es de $105,000. La máquina cae en la clase de cinco años de acuerdo con el SMRAC y tendrá un valor de rescate estimado de $30,000 al final del sexto año. Se espera que la máquina genere ganancias adicionales antes de impuestos de $120,000 al año. a) Determine las tasas marginales de impuestos anuales de la compañía para los siguientes dos años si se hace la nueva inversión en la impresora. b) Determine las tasas promedio de impuesto anuales de la compañía para los siguientes dos años con la máquina. 9.7 Delta Electric Company espera tener un ingreso gravable anual de $500,000 proveniente de sus contratos residenciales por los próximos dos años. La compañía también está concursando en una licitación por un servicio de dos años para instalar el cableado de un gran complejo de apartamentos. Este servicio comercial requiere la compra de un nuevo camión equipado con herramientas para instalar el cableado a un costo de $50,000. El equipo cae en la clase de cinco años de acuerdo con el SMRAC y se conservará para uso futuro (en vez de ser vendido) después de los dos años; no habrá pérdidas ni ganancias sobre esta propiedad. El proyecto traerá un ingreso adicional anual de $200,000, pero se espera incurrir en costos operativos adicionales anuales de $100,000. Calcule las tasas marginales de impuestos aplicables a las utilidades operativas del proyecto por los próximos dos años. 9.8 Una pequeña compañía manufacturera tiene un ingreso gravable anual estimado de $195,000. Ante la expansión del negocio, la compañía está considerando la compra de una nueva máquina que generará ingresos anuales adicionales (antes de impuestos) de $80,000 por los siguientes cinco años. La nueva máquina requiere una inversión de $100,000, y se depreciará por el método del SMRAC a cinco años. 382 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 9.9 a) ¿Cuál es el aumento en el impuesto sobre la renta causado por la compra de la nueva máquina en el año fiscal 1? b) ¿Cuál es la tasa incremental de impuesto asociada con la compra del nuevo equipo en el año 1? Simon Machine Tools Company está evaluando la compra de un nuevo conjunto de herramientas para maquinaria para procesar pedidos especiales durante los próximos tres años. Se dispone de la siguiente información financiera: Sin el proyecto, la compañía espera tener un ingreso gravable de $400,000 cada año, derivado de su negocio regular, durante los próximos tres años. 쐽 Este proyecto de tres años requiere la compra de un nuevo conjunto de herramientas para maquinaria a un costo de $50,000. El equipo cae en la clase de tres años del SMRAC. Las herramientas serán vendidas al final de la vida del proyecto en $10,000. El proyecto traerá un ingreso adicional anual de $90,000, pero se espera incurrir en costos de operaciones adicionales anuales por $25,000. a) ¿Cuáles son los ingresos gravables adicionales (derivados de emprender el proyecto) durante los años 1 a 3, respectivamente? b) ¿Cuáles son los impuestos sobre la renta adicionales (por atender los nuevos pedidos) durante los años 1 a 3, respectivamente? 쐽 Generación de los flujos de efectivo neto: Flujos de efectivo incrementales 9.10 Un activo de la clase de cinco años en la clasificación del SMRAC cuesta $100,000 y tiene un valor de rescate estimado igual a cero después de seis años de uso. El activo generará ingresos anuales de $300,000 y requerirá $100,000 en costos anuales de mano de obra y $50,000 en gastos anuales de materiales. No existen otros ingresos ni gastos. Suponga una tasa de impuesto del 40%. a) Calcule los flujos de efectivo después de impuestos durante la vida del proyecto. b) Calcule el VPN a una TREMA = 12%. ¿Es aceptable la inversión? c) Calcule la TIR para este proyecto. 9.11 Una compañía manufacturera de partes para automóviles está evaluando la compra de un robot industrial para soldar por puntos, una tarea realizada actualmente por mano de obra calificada. El costo inicial del robot es de $250,000 y se proyecta que los ahorros anuales de mano de obra sean de $125,000. Si se compra, el robot se depreciará como una propiedad de la clase de siete años del SMRAC. Este robot se utilizará durante cinco años, después de los cuales la empresa espera venderlo en $50,000. La tasa marginal de impuesto de la compañía es del 35% durante el periodo del proyecto. a) Determine los flujos de efectivo netos después de impuestos de cada periodo durante la vida del proyecto. b) ¿Es una buena inversión a una TREMA del 15%? 9.12 Usted está considerando la compra de una nueva máquina moldeadora de inyección. Esta máquina tendrá una vida de servicio estimada de 10 años, con un valor insignificante de rescate después de impuestos. Sus flujos de efectivo de operación netos después de impuestos se estiman en $60,000. Si usted espera una tasa de retorno del 15% sobre la inversión, ¿cuál sería el monto máximo que usted podría gastar para comprar la máquina de moldeo de inyección? 9.13 Peachtree Construction Company, un contratista que construye carreteras, está considerando comprar una excavadora de zanjas que cuesta $300,00 y que puede cavar zanjas de tres pies de ancho con una rapidez de 16 pies por hora. El contratista cobra, de acuerdo con el uso del equipo, $100 por hora. El uso promedio anual esperado es de 500 horas y los costos de operación y mantenimiento serán de $10 por hora. Problemas 383 El contratista depreciará el equipo usando el método de depreciación SMRAC para cinco años. Al final de los cinco años, la excavadora será vendida en $100,000. a) Suponiendo que la tasa marginal de impuesto del contratista es del 35% anual, determine el flujo de efectivo anual después de impuestos. b) ¿Es una buena inversión si el contratista requiere un 15% de rendimiento sobre la inversión? 9.14 Tucson Solar Company construye casas residenciales alimentadas con energía solar. Debido a un incremento anticipado en el volumen del negocio, la compañía está evaluando la adquisición de un cargador a un costo de $54,000. Este costo de adquisición incluye cargos por entrega e impuestos aplicables. La compañía estima que si adquiere el cargador, se generarán los siguientes ingresos y gastos de operación (excluyendo depreciación): Fin del año Ingreso operativo adicional Gastos operativos adicionales, excluyendo depreciación Depreciación fiscal permitida 1 $66,000 $29,000 $10,800 2 $70,000 $28,400 $17,280 3 $74,000 $32,000 $10,368 4 $80,000 $38,800 $6,221 5 $64,000 $31,000 $6,221 6 $50,000 $25,000 $3,110 Se supone que el ingreso proyectado sea en efectivo en el año indicado, y se espera que todos los gastos operativos adicionales sean pagados en el año en el cual se generan. El valor de rescate estimado para el cargador al final del sexto año es de $8,000. La tasa incremental (marginal) de impuesto de la empresa es del 35%. a) ¿Cuál será el flujo de efectivo después de impuestos si se adquiere el cargador? b) ¿Cuál es el flujo de efectivo anual equivalente que la compañía puede esperar por poseer y operar el cargador a una tasa de interés del 12%? 9.15 Un ingeniero de instalaciones está considerando una inversión de $50,000 en un sistema de administración de energía (SAE). Se espera que el sistema ahorre $10,000 anuales en facturas de servicios públicos por N años. Después de N años, el SAE tendrá un valor de rescate de cero. En un análisis después de impuestos, ¿de cuántos años necesitaría ser N para que la compañía del ingeniero gane un 10% de rendimiento sobre la inversión? Suponga una depreciación de acuerdo con la clase de tres años del SMRAC y una tasa de interés del 35%. 9.16 Una corporación está considerando la compra de una máquina que ahorrará $130,000 al año antes de impuestos. El costo de operación de la máquina, incluyendo mantenimiento, es de $20,000 por año. La máquina será necesaria durante cinco años, después de los cuales tendrá un valor de rescate de cero. Se utilizará la depreciación SMRAC, suponiendo una clase de tres años. La tasa marginal de impuesto sobre la renta es del 40%. Si la compañía desea una TIR del 12% después de impuestos, ¿cuánto puede permitirse pagar por esta máquina? 9.17 La división de manufactura de la Ohio Vending Machine Company está considerando el requerimiento de su planta Toledo de una cortadora de tornillos automática de una capacidad de media pulgada, para incluirlo en el presupuesto de capital 2001 de la división: 쐽 쐽 Nombre del proyecto: Máquina de tornillos automática Mazda Costo del proyecto: $68,701 384 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 쐽 Objetivos del proyecto: Reducir el costo de algunas de las partes que ahora están siendo subcontratadas por esta planta, recortar el inventario, reducir el plazo de entrega del producto y mejorar el control de calidad de las partes. El equipo propuesto incluye la siguiente base de costos: Costo de la máquina $8,766 Herramientas $4,321 Flete $2,313 Instalación $2,110 Impuesto de ventas $2,556 Costo total 쐽 쐽 쐽 쐽 $48,635 Costo accesorio $68,701 El ahorro anticipado se especifica en la siguiente tabla. El método de la depreciación fiscal es de siete años conforme el SMRAC. Tasa marginal de impuesto: 40%. TREMA: 15% Rubro Montaje Operación Indirectos Mano de obra indirecta Beneficios adicionales Mantenimiento Herramientas Reparación Suministros Energía eléctrica Seguros e impuestos Otros costos relevantes Espacio del piso Subcontratación Material Otros Total Ventaja operativa Horas máquina actuales Horas máquina propuestas 2,410 horas 350 horas 800 horas Método actual Método propuesto $7,700 $17,600 $3,500 $8,855 $1,350 $6,320 $890 $4,840 $795 $763 $3,210 $122,468 $122,468 $27,655 $210 $83,688 $38,780 a) Determine los flujos de efectivo netos después de impuestos durante la vida de seis años del proyecto. Suponga un valor de rescate de $3,500. b) Con base en el criterio del VP, ¿es aceptable este proyecto? c) Determine la TIR para esta inversión. 9.18 Atlanta Capital Leasing Company (aclc) está en el negocio de renta de trascabos para compañías de construcción. La compañía quiere establecer un programa de pagos de arrendamiento de tres años para un trascabo que compró en $53,000 al fabricante de equipo. El activo se clasifica como propiedad de cinco años según el SMRAC. Se espera que el trascabo tenga un valor de rescate de $22,000 al final del tercer año del periodo de arrendamiento. aclc requerirá que el arrendatario Problemas 385 haga un depósito de garantía por $1,500 que es reembolsable al final del periodo de arrendamiento. La tasa marginal de impuesto de aclc es del 35%. Si aclc quiere un rendimiento después de impuestos del 10%, ¿qué programa de pagos por arrendamiento debe establecer? 9.19 Una compañía está considerando la compra de una máquina que ahorrará $200,000 al año antes de impuestos. El costo de operación de la máquina, incluyendo mantenimiento, es de $80,000 por año. La máquina, que cuesta $150,000, será necesaria por cinco años, después de los cuales tendrá un valor de rescate de $25,000. Se aplica una depreciación en línea recta sin convención del medio año (esto es, 20% anual). Si la compañía quiere una tasa de retorno después de impuestos del 15%, ¿cuál es el valor presente neto de los flujos de efectivo generados por esta máquina? La tasa de impuesto sobre la renta de la compañía es del 40%. 9.20 usa Aluminum Company está considerando hacer una inversión mayor de $150 millones ($5 millones en terrenos, $45 millones en edificios y $100 millones para equipo de manufactura e instalaciones) para producir un material más fuerte y ligero llamado aluminio litio, que hará más fuertes a las aeronaves y las volverá más eficientes en su consumo de combustible. El aluminio litio se ha vendido comercialmente durante unos cuantos años como una alternativa a los materiales compuestos. Probablemente será el material seleccionado para los aviones comerciales y militares de la siguiente generación, ya que es mucho más ligero que las aleaciones convencionales de aluminio, basadas en una combinación de cobre, níquel y magnesio para endurecer el aluminio. Otra ventaja del aluminio litio es que es más barato que los materiales compuestos. La compañía pronostica que el aluminio litio integrará el 5% del peso estructural de un avión comercial promedio antes de cinco años y el 10% antes de 10 años. La planta propuesta, la cual tiene una vida estimada de servicio de 12 años, tendría una capacidad de producción de cerca de 10 millones de libras de aluminio litio, aunque se espera que el consumo nacional de material sea de sólo tres millones de libras durante los primeros cuatro años, cinco millones para los siguientes tres años y ocho millones para la vida restante de la planta. Los costos para producir el aluminio litio son de $15 la libra y la compañía espera venderlo en $28 la libra. El edificio se depreciará de acuerdo con la clase SMRAC de 39 años de propiedad inmobiliaria; el edificio se pondrá en servicio el 1 de julio del primer año. Todo el equipo de manufactura y las instalaciones se clasifican como propiedad SMRAC de siete años. Al final de la vida del proyecto, el terreno valdrá $8 millones, el edificio $30 millones y el equipo $10 millones. La tasa marginal de impuesto de la compañía es del 40% y su tasa de impuesto sobre las ganancias de capital es del 35%. a) Determine los flujos de efectivo neto después de impuestos. b) Determine la TIR para esta inversión. c) Determine si el proyecto es aceptable considerando que la TREMA de la compañía es del 15%. 9.21 Un fabricante de vehículos automotores está considerando la instalación de un sistema de diseño computarizado tridimensional (3D) a un costo de $180,000 (incluyendo hardware y software). Con el sistema de modelado 3-D, los diseñadores tendrán la posibilidad de ver su diseño desde muchos ángulos respetando el espacio requerido para el motor y los pasajeros. La información digital usada para crear el modelo en la computadora puede ser consultada y corregida junto con los ingenieros, y las fresadoras pueden alimentarse con estos datos para hacer modelos físicos de manera rápida y exacta. El fabricante espera reducir el tiempo de diseño en un 35% para los nuevos modelos de automóviles (desde la configuración hasta el diseño final). Los ahorros esperados son de $350,000 al año. Se espera que para el nuevo sistema el costo de capacitación y mantenimiento operativo sea de $80,000 al año. El sistema tiene cinco años de vida útil y puede depreciarse 386 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto como clase SMRAC de cinco años. El sistema tendrá un valor de rescate estimado de $5,000. La tasa marginal de impuesto del fabricante es del 40%. a) Determine los flujos de efectivo anuales para esta inversión. b) ¿Cuál es el rendimiento de la inversión para este proyecto? La TREMA de la empresa es del 12%. Efectos del crédito sobre los flujos de efectivo del proyecto 9.22 Considere un proyecto con una inversión inicial de $300,000, la cual debe financiarse a una tasa de interés del 12% anual. Suponiendo que el periodo de pago sea de seis años, determine el programa de pagos identificando aquellos que se destinan a saldar el interés y el capital para cada uno de los siguientes métodos de pago: a) Pagos iguales del capital: $50,000 de pago de capital por año b) Pagos iguales del interés: $36,000 de pago de interés por año c) Abonos anuales iguales: $72,968 cada año 9.23 Una máquina especializada costaría $20,000. El capital total desembolsado ($20,000) se obtendría a partir de un préstamo con la condición de saldarlo en dos pagos iguales cada fin de año, al 10% de interés compuesto anual. Se espera que la maquinaria permita un ahorro (en material) de $35,000 anuales durante dos años y que se deprecie con el método SMRAC con tres años de recuperación. Esta máquina especializada requerirá costos anuales de operación y mantenimiento por la cantidad de $5,000. Se espera que el valor de rescate a los dos años sea de $6,000. Suponiendo una tasa marginal de impuesto del 40% y una TREMA del 15%, ¿cuál es el valor presente neto de este proyecto? 9.24 La Balas Manufacturing Company está considerando la compra de un sistema aéreo de poleas. El nuevo sistema tiene un precio de compra de $150,000, una vida útil estimada y una clase de vida SMRAC de cinco años, así como un valor de rescate de $10,000. Se espera que el sistema permita a la compañía ahorrar en el consumo de energía eléctrica, en mano de obra y costos de reparación, así como reducir el número de productos defectuosos. Se obtendrá un total de ahorros anuales de $95,000 si se instala el nuevo sistema de poleas. La compañía está en el intervalo de impuesto marginal del 35%. La inversión inicial será financiada en un 40% con capital accionario y en un 60% con crédito. La tasa de interés del crédito antes de impuestos, la cual combina el financiamiento tanto a corto como a largo plazo, es del 12%; el crédito tendrá que pagarse en anualidades iguales durante la vida del proyecto. a) Determine los flujos de efectivo después de impuestos. b) Evalúe este proyecto de inversión usando una TREMA del 20%. c) Evalúe este proyecto de inversión con base en el criterio de la TIR. 9.25 Un fabricante de juguetes está considerando la instalación de una máquina nueva para la manufactura de juguetes. La máquina cuesta $350,000 instalada, generará ingresos adicionales de $120,000 al año y ahorrará $50,000 anuales en mano de obra y costos de materiales. La máquina será financiada con un préstamo bancario de $250,000, los cuales se saldarán en tres pagos anuales iguales destinados al capital, más el 9% de interés sobre el saldo pendiente. La máquina se depreciará como una propiedad de clase de siete años conforme el SMRAC. La vida útil de esta máquina es de 10 años, al cabo de los cuales la máquina será vendida en $20,000. La tasa marginal de impuesto combinada es del 40%. a) Determine el flujo de efectivo del proyecto, año tras año, después de impuestos para este proyecto. b) Calcule la TIR para esta inversión. c) Con una TREMA = 18%, ¿es económicamente justificable este proyecto? Problemas 387 9.26 Considere la siguiente información financiera acerca de un proyecto de modernización de una compañía fabricante de computadoras: 쐽 El proyecto cuesta $2 millones y tiene una vida de servicio de cinco años. 쐽 El proyecto puede clasificarse como una propiedad de siete años bajo la regla del SMRAC. 쐽 Al final del quinto año, se venderán todos los activos del proyecto. El valor de rescate esperado será alrededor del 10% del costo inicial del proyecto. 쐽 La empresa financiará el 40% del dinero del proyecto solicitando un préstamo a una institución financiera externa con una tasa de interés del 10%. La firma deberá pagar el préstamo con cinco pagos anuales iguales. 쐽 La tasa incremental (marginal) de impuesto de la compañía sobre esta inversión es del 35%. 쐽 La TREMA de la empresa es del 18%. Con base en la información financiera anterior, a) determine los flujos de efectivo después de impuestos, y b) calcule el costo anual equivalente de este proyecto. 9.27 Una compañía manufacturera está considerando la adquisición de una nueva máquina moldeadora de inyección a un costo de $110,000. En virtud de un rápido cambio en la mezcla del producto, se espera que esta máquina sea necesaria sólo durante ocho años, después de los cuales la máquina tendrá un valor de rescate estimado en $10,000. Se estima que el costo operativo anual sea de $8,000. Se espera que la incorporación de esta máquina a la capacidad actual de producción genere un ingreso anual de $60,000. La compañía tiene sólo $70,000 disponibles en su fondo de capital accionario, de manera que tendrá que solicitar en préstamo los $40,000 restantes a una tasa de interés del 10% anual, con ocho pagos iguales anuales, destinados a saldar el capital y el interés. La tasa marginal de impuesto sobre la renta aplicable es del 40%. Suponga que el activo se clasifica como una propiedad de siete años del SMRAC. a) Determine los flujos de efectivo después de impuestos. b) Determine el VPN de este proyecto a una TREMA = 14%. 9.28 Suponga que un activo tiene un costo inicial de $15,000, una vida de cinco años, un valor de rescate de $3,000 al final de cinco años y que representa un ingreso neto anual antes de impuestos de $7,500. La tasa marginal de impuestos de la firma es del 35%. El activo se depreciará como una propiedad de cinco años conforme el SMRAC. a) Determine el flujo de efectivo después de impuestos, suponiendo que el costo inicial será completamente financiado por fondos de capital accionario. b) Repita el inciso a) suponiendo que la inversión total será financiada por un préstamo bancario a una tasa de interés del 9%. c) Si hay que elegir entre hacer el pago del costo inicial a través de capital accionario o usando el método de financiamiento del inciso b), muestre los cálculos que justifiquen cuál es la mejor opción a una tasa de interés del 9%. 9.29 Una compañía de construcción está considerando la propuesta de adquisición de un nuevo trascabo. El precio de compra es de $100,000 y se requieren $25,000 adicionales para modificar el equipo para el uso especial de la compañía. El equipo cae en la clasificación SMRAC de cinco años (vida fiscal) y será vendido después de cinco años (vida del proyecto) en $50,000. La compra del trascabo no tendrá efecto en los ingresos, pero se espera que ahorre a la compañía $60,000 anuales en costos operativos antes de impuestos (principalmente mano de obra). La tasa marginal de impuesto de la empresa es del 40%. Suponga que la inversión inicial será financiada mediante un préstamo bancario a una tasa de interés del 10% que será saldado en pagos anuales. Determine los flujos de efectivo después de impuestos y el valor de la inversión en este proyecto, si se sabe que la TREMA de la empresa es del 12%. 388 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 9.30 Una aerolínea líder en su región, que transporta actualmente el 54% de todos los pasajeros que viajan por el sureste del país, está considerando la posibilidad de sumar a su flota un nuevo avión de largo alcance. El avión considerado para la compra es un Boeing 717-200, el cual está cotizado en $35,000 millones por unidad. Boeing requiere un pago inicial del 10% al momento de la entrega y el saldo debe pagarse en un periodo de 10 años a una tasa de interés compuesto anual del 9%. El programa actual de pagos incluye el pago sólo de intereses durante el periodo de 10 años, y el monto del capital será pagado al final del décimo año. La aerolínea espera generar $40 millones anuales al agregar el avión a su flota, pero también estima costos de operación y mantenimiento de $30 millones por año. Se espera que el avión tenga una vida de servicio de 15 años, con un valor de rescate del 15% del precio de compra original. Si la aerolínea compra el avión, éste se depreciará como una propiedad de siete años según el SMRAC. La tasa marginal combinada de impuestos estatales y federales de la empresa es del 38%, y su TREMA es del 18%. a) Determine el flujo de efectivo asociado con el financiamiento mediante deuda. b) ¿Es aceptable el proyecto? Comparación de alternativas mutuamente excluyentes 9.31 Las oficinas generales, en el edificio A, pertenecientes a una compañía de rápido crecimiento no tienen las dimensiones suficientes para sus necesidades actuales. Una búsqueda de oficinas más grandes dio por resultado dos nuevas alternativas que ofrecerían espacio suficiente, estacionamiento adecuado, así como la ubicación y apariencia deseadas; la compañía también podría remodelar su edificio actual para tener más espacio. Las tres opciones de la compañía son las siguientes: 쐽 Opción 1: Renta del edificio B por $144,000 anuales. 쐽 Opción 2: Compra del edificio C por $800,000, incluyendo $150,000 de costo por el terreno. 쐽 Opción 3: Remodelar el edificio A. Se cree que el valor del terreno no disminuye durante el periodo de posesión, pero el valor de toda la construcción se reducirá a un 10% del precio de compra en 30 años. Se espera que el pago de impuestos anuales sobre la propiedad sea del 5% del precio de compra. Las oficinas generales actuales ya están pagadas por completo y están valuadas en $300,000. El terreno sobre el cual está fincado el edificio está valuado en $60,000. La construcción puede remodelarse a un costo de $300,000 para hacerla comparable con las otras dos alternativas. Sin embargo, el edificio A remodelado ocupará parte del estacionamiento actual. Puede rentarse un estacionamiento privado adyacente durante 30 años bajo un contrato que estipula que en el primer año deberán pagarse $9,000; y la renta se incrementará en $500 cada año. Los impuestos anuales sobre la propiedad remodelada serán, otra vez, del 5% sobre la valuación actual más el costo de la remodelación. El periodo de estudio para la comparación es de 30 años y la tasa de retorno deseada de la inversión es del 12%. Suponga que la tasa marginal de impuesto de la compañía es del 40% y que el edificio nuevo (C) y la construcción remodelada se depreciarán de acuerdo con el SMRAC a un periodo de recuperación de 39 años para una propiedad inmobiliaria. Si los costos de mantenimiento anual son los mismos para las tres alternativas, ¿cuál de ellas es preferible? 9.32 Un fabricante internacional de comida preparada necesita 50,000,000 kWh de energía eléctrica al año, con una demanda máxima de 10,000 kW. El proveedor local actualmente cobra $0.085 por kWh, una tarifa considerada alta dentro de la industria. Como el consumo de energía eléctrica de la empresa es muy alto, sus ingenieros están considerando la instalación de una planta con turbina de vapor de 10,000 kW. Se proponen tres tipos de planta, como se muestra en la siguiente tabla (en miles de dólares): Problemas 389 Tasa promedio de calor (BTU/kWh) Inversión total (caldera, turbina, instalación eléctrica y estructuras) Costo de operación anual: Combustible Mano de obra operativa Mantenimiento Suministros Seguros e impuestos sobre la propiedad Planta A 16,500 $8,530 $1,128 $616 $150 $60 $10 Planta B 14,500 $9,498 $930 $616 $126 $60 $12 Planta C 13,000 $10,546 $828 $616 $114 $60 $14 Se espera que la vida de servicio de cada planta sea de 20 años. La inversión de la planta estará sujeta a una clasificación SMRAC como una propiedad de 20 años. Se estima que el valor de rescate de la planta al final de su vida útil será de alrededor del 10% de la inversión original. Se sabe que la TREMA de la compañía es del 12%. La tasa marginal de impuesto sobre la renta de la empresa es del 39%. a) Determine el costo de la unidad de energía ($/kWh) para cada planta. b) ¿Qué planta suministraría la energía eléctrica más económica? 9.33 La H&H Machine Systems, Inc., necesita adquirir un nuevo montacargas para transportar productos terminados a sus almacenes. Una alternativa es comprar el montacargas en $40,000, los cuales serán financiados con un préstamo bancario a una tasa de interés del 12%. El préstamo debe ser reembolsado en cuatro pagos iguales, pagaderos al final de cada año. En el marco del compromiso del préstamo para hacer la compra, H&H tendría que encargarse del mantenimiento del montacargas con un costo anual de $1,200, pagaderos a fin de año. De manera alternativa, H&H podría rentar el montacargas con un contrato a cuatro años que implica un pago de renta anual de $11,000. Cada pago de renta anual debe hacerse al principio de cada año. El costo del mantenimiento del montacargas correría a cargo del arrendador. El camión cae en una clasificación SMRAC de cinco años y tiene un valor de rescate de $10,000, que es el valor de mercado esperado después de cuatro años, tiempo en el cual, H&H planea reemplazar el montacargas, independientemente de que la compañía rente o compre. H&H tiene una tasa marginal de impuesto del 40% y una TREMA del 15%. a) ¿Cuál es el costo de arrendamiento para H&H en valor presente? b) ¿Cuál es el costo de comprar para H&H en valor presente? c) ¿Conviene rentar o comprar el montacargas? 9.34 Se ha encargado a Janet Wigandt, una ingeniera eléctrica de Instrumental Control, Inc. (ici), efectuar un análisis para decidir si conviene rentar o comprar una máquina para insertar conectores en la operación de manufactura de tableros de pc de ici. Los detalles de las dos opciones son los siguientes: 쐽 Opción de compra: El equipo cuesta $120,000. Para comprarlo, ici puede obtener un préstamo por la cantidad total al 10% de interés y saldarlo con cuatro pagos anuales iguales (a fin de año). La máquina cae en la clasificación de propiedad SMRAC de cinco años. Se anticipan ingresos anuales de $200,000 y costos anuales de operación de $40,000. La máquina requiere mantenimiento anual a un costo de $10,000. Puesto que la tecnología de insertar conectores cambia rápidamente, se espera que el valor de recuperación de la máquina sea de sólo $20,000. 쐽 Opción de arrendamiento: bli está dispuesta a firmar un contrato de operación de arrendamiento por cuatro años con pagos de $44,000 al principio de cada año. Bajo este acuerdo, bli retendría el activo, de manera que habría un ahorro por el costo de mantenimiento anual de $10,000. La tasa marginal de impuesto de ici es del 40% y su TREMA es del 15% durante el periodo de análisis. 390 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto a) ¿Cuál es el costo (incremental) en valor presente para ici por la compra del equipo? b) ¿Cuál es el costo (incremental) en valor presente para ici por la renta del equipo? c) ¿Qué le conviene más a ici: comprar o rentar el equipo? 9.35 La Oregon Machinery Company (omc) ha decidido adquirir una máquina de tornillos. Una alternativa es rentar la máquina con un contrato de tres años, que implica un pago por arrendamiento de $22,000 al año, pagaderos al principio de cada año. Esta renta incluiría mantenimiento. La segunda alternativa es comprar la máquina de inmediato por $97,000, financiando la inversión con un préstamo bancario por el precio neto de compra y amortizando el crédito en un periodo de tres años a una tasa de interés del 12% anual (pago anual = $40,386). De acuerdo con el contrato de préstamo para realizar la compra, la compañía tendría que dar mantenimiento a la máquina con un costo anual de $6,000, pagaderos al final del año. La máquina cae en la clasificación SMRAC de siete años y tiene un precio de recuperación de $45,000, el cual es el valor de mercado esperado al final del año 3. Después de tres años, la compañía planea sustituir la máquina, independientemente de si compra o renta. La tasa de impuesto es del 40% y la TREMA del 15%. a) ¿Cuál es el costo en VP de la renta para omc? b) ¿Cuál es el costo en VP de la compra para omc? c) Del análisis del financiamiento en los incisos a) y b), ¿cuáles son las ventajas y desventajas de rentar y de comprar? Efectos de la inflación sobre los flujos de efectivo del proyecto 9.36 Gentry Machines, Inc., acaba de recibir un pedido especial de trabajo de uno de sus clientes. Los siguientes son los datos financieros del pedido: 쐽 Este proyecto de dos años requiere la compra de una pieza especializada de equipo que cuesta $55,000. El equipo cae en la clase SMRAC de cinco años. 쐽 La máquina será vendida al cabo de dos años en $27,000 (dólares constantes). 쐽 El proyecto implica un ingreso anual adicional de $114,000 (dólares corrientes o circulantes), pero se espera incurrir en costos operativos anuales de $53,800 (dólares constantes). 쐽 Para comprar el equipo, la empresa espera solicitar un préstamo por $50,000 al 10% durante un periodo de dos años (pagos iguales anuales de $28,810, en dólares corrientes). Los restantes $5,000 serán tomados de las ganancias retenidas de la compañía. 쐽 La empresa espera una inflación general del 5% anual durante la vida del proyecto. La tasa marginal de impuesto de la empresa es del 40% y su tasa de interés de mercado es del 18%. a) Calcule los flujos de efectivo después de impuestos en dólares corrientes. b) ¿Cuál es el valor presente equivalente de esta cifra en el tiempo 0? 9.37 La Hugh Health Product Corporation está considerando la compra de una computadora para controlar el empaque de una variedad de productos para la salud. Se dispone de los siguientes datos: 쐽 Costo inicial  $130,000, que serán prestados al 9% de interés; sólo se paga interés cada año y el capital se paga en una suma total al final del año 2. 쐽 Vida de servicio económica  seis años. 쐽 Precio estimado de venta en dólares del año cero  $20,000. 쐽 Método de depreciación  propiedad de cinco a ños de acuerdo con el SMRAC. 쐽 Tasa marginal de impuesto sobre la renta  40% (permanece constante). 쐽 Ingreso anual  $155,000 (dólares constantes). 쐽 Gastos anuales (no incluyen depreciación ni intereses)  $88,000 (dólares constantes). 쐽 Tasa de interés del mercado  18%. Problemas 391 a) Durante la vida del proyecto se espera una tasa de inflación general promedio del 5%, la cual afectará los ingresos, los gastos y el valor de rescate. Determine los flujos de efectivo en dólares corrientes (o circulantes). b) Calcule el valor presente neto del proyecto, bajo inflación. c) Calcule el valor presente neto de la pérdida (o ganancia) debida a la inflación. d ) Calcule el valor presente neto de la pérdida (o ganancia) debida al préstamo. 9.38 La J. F. Manning Company está considerando la compra de un nuevo molino en el año 0. El precio base de la máquina es de $135,000 y costará otros $15,000 modificar la máquina para el uso especial de la empresa, lo que dará por resultado un costo base de $150,000 para la depreciación. La máquina cae en la clase de propiedad SMRAC de siete años. La máquina será vendida después de tres años en $80,000 (dólares corrientes). El uso de la máquina requerirá un incremento en el capital de trabajo neto (inventario) de $10,000 al principio del año del proyecto. La máquina no tendrá efecto en los ingresos, pero se espera que la compañía ahorre $80,000 (dólares constantes) por año en costos operativos antes de impuestos (principalmente en mano de obra). La tasa marginal de impuesto de la compañía es del 40% y se espera que esta tasa permanezca sin cambio durante todo el proyecto. Sin embargo, la compañía espera que el costo de la mano de obra aumente a una tasa anual del 5% y que el requerimiento de capital de trabajo se incremente a una tasa anual del 8% como resultado de la inflación. El precio de venta del molino no se verá afectado por la inflación. La tasa estimada de la inflación general es del 6% anual durante la vida del proyecto. La tasa de interés de mercado de la empresa es del 20%. a) Determine los flujos de efectivo del proyecto en dólares circulantes. b) Determine los flujos de efectivo del proyecto en dólares constantes (tiempo cero). c) ¿Es aceptable este proyecto? Análisis de la tasa de retorno bajo inflación 9.39 Suponga que un negocio está considerando la compra de una máquina en $40,000, cuya operación incrementará las ventas en $30,000 por año y aumentará los costos de operación en $10,000; las ganancias adicionales serán gravadas a una tasa del 50%. Se supone que la depreciación se basará en el criterio de línea recta por un periodo de cuatro años y no se espera valor de rescate. ¿Qué sucederá con la tasa de retorno real de este proyecto, si se espera que la inflación durante los siguientes cuatro años sea del 10% compuesto anual? 9.40 La Fuller Ford Company está considerando la compra de un taladro vertical. La máquina costará $50,000 y tendrá una vida de servicio de ocho años. Se espera que el precio de venta de la máquina al final del octavo año sea de $5,000 dólares constantes. La máquina generará un ingreso anual de $20,000 (dólares constantes), pero se espera que tenga un gasto anual (excluyendo depreciación) de $8,000 (dólares constantes). El activo está clasificado como una propiedad de siete años de acuerdo con el SMRAC. El proyecto requiere una inversión en capital de trabajo de $10,000 en el año 0. La tasa marginal de impuesto sobre la renta es del 35%. La tasa de interés de mercado de la empresa es del 18%. a) Determine la tasa interna de retorno de esta inversión. b) Suponga que la empresa espera una tasa de inflación general del 5%, pero también espera un aumento en los ingresos y en el capital de trabajo del 8% anual, así como un incremento anual de 6% en los gastos, como resultado de la inflación. Calcule la tasa interna de retorno real (libre de inflación). ¿Es aceptable este proyecto? 9.41 Usted tiene $10,000 en efectivo y desea invertirlos. Normalmente, depositaría el dinero en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés anual del 6%. Sin embargo, usted está considerando ahora la posibilidad de invertir en un bono. Su tasa marginal de impuesto es del 30% tanto para ingresos ordinarios como para 392 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto ganancias de capital. Usted espera que la tasa de inflación general sea del 3% durante el periodo de inversión. Usted puede comprar un bono municipal de alto rendimiento, que cuesta $10,000 y paga un interés del 9% ($900) anual. Este interés no es gravable. También está disponible un bono corporativo de alto rendimiento, que es tan seguro como el bono municipal, pero paga una tasa de interés del 12% ($1,200) anual. Este interés es gravable como ingreso ordinario. Ambos bonos vencen al final del año 5. a) Determine la tasa de retorno real (libre de inflación) para cada bono. b) Desconociendo su TREMA, ¿puede usted hacer una elección entre estos dos bonos? 9.42 Air Florida está considerando dos tipos de motores para usar en sus aviones, cada uno de los cuales tiene la misma vida, los mismos costos de mantenimiento y el mismo historial de reparaciones. 쐽 El motor A cuesta $100,00 y consume 50,000 galones por 1,000 horas de operación con un servicio de carga promedio en transporte de pasajeros. 쐽 El motor B cuesta $200,000 y consume 32,000 galones por 1,000 horas de operación y con la misma carga de servicio. Se estima que ambos motores operen 10,000 horas antes de necesitar cualquier reparación mayor. Si el combustible actualmente cuesta $1.25 por galón y se espera que su precio aumente a una tasa del 8% como resultado de la inflación, ¿cuál motor debe instalar la compañía para una operación esperada de 2,000 horas por año? La tasa marginal del impuesto sobre la renta de la empresa es del 40% y el motor se depreciará por el método de unidades de producción. Suponga que la tasa de interés de mercado de la compañía es del 20%. Se estima que ambos motores tengan un valor de mercado del 40% de su costo inicial (en dólares corrientes), si se venden en el mercado después de 10,000 horas de operación. a) Con base en el criterio del valor presente, ¿cuál proyecto seleccionaría usted? b) Con base en el criterio de equivalencia anual, ¿cuál proyecto seleccionaría? c) Con base en el criterio del valor futuro, ¿cuál proyecto seleccionaría? 9.43 La K&G Chemical Company acaba de aceptar un trabajo especial por subcontratación que encargó uno de sus clientes. Este proyecto de dos años requiere la compra de un rociador de pintura especializado que cuesta $60,000. Este equipo cae en la clase de cinco años según el SMRAC. Después de que se termine el subcontrato, al final de dos años, el rociador de pintura se podrá vender en $40,000 (dólares corrientes). El sistema de pintura requerirá de un incremento en el capital de trabajo neto de la compañía (por piezas de refacción en inventario, tales como mangueras del rociador) de $5,000. La inversión en capital de trabajo será completamente recuperada al terminar el proyecto. El proyecto traerá un ingreso adicional anual de $120,000 (dólares constantes), pero se espera incurrir en un costo operativo anual de $60,000 (dólares constantes). Se proyectó que, debido a la inflación, habrá un incremento en el precio de ventas a una tasa anual del 5%, lo cual implica que los ingresos también tendrán un incremento anual del 5%. Se espera un incremento anual del 4% en gastos y capital de trabajo. La compañía tiene una tasa marginal de impuesto del 30%, y considera una tasa de interés de mercado del 15% para la evaluación del proyecto durante el periodo inflacionario. La compañía espera una inflación general del 8% durante el periodo del proyecto. a) Calcule los flujos de efectivo después de impuestos en dólares circulantes. b) ¿Cuál es la tasa de retorno de esta inversión (ganancias reales)? c) ¿Es rentable este pedido especial? 9.44 La Land Development Corporation está considerando la compra de una excavadora, que costará $100,000 y tendrá un valor de rescate estimado de $30,000 al final del sexto año. El activo generará ingresos anuales antes de impuestos de $80,000 por los siguientes seis años. El activo se clasifica como propiedad de cinco años según Problemas 393 el SMRAC. La tasa marginal de impuesto es del 40% y se sabe que la tasa de interés de mercado de la compañía es del 18%. Todas las cifras de dólares representan dólares constantes en el tiempo 0 y son sensibles a la tasa de inflación general f . a) Con f  6%, calcule los flujos de efectivo después de impuestos en dólares circulantes. b) Determine la tasa de retorno real de este proyecto después de impuestos. c) Suponga que el costo inicial del proyecto será financiado a través de un banco local a una tasa de interés del 12% y con pagos anuales de $24,323 durante seis años. Con esta condición adicional, repita el inciso a). d) A partir de su respuesta al inciso a), determine el VP de la pérdida debida a la inflación. e) A partir de su respuesta al inciso c), determine cuánto tiene que generar el proyecto en ingresos anuales adicionales antes de impuestos, en dólares circulantes (misma cifra), para compensar la pérdida por inflación. 9.45 La Wilson Machine Tools, Inc., fabricante de productos de metal, está considerando la compra de un molino de alta tecnología controlado por computadora a un costo de $95,000. Se espera que el costo de instalación de la máquina, que incluye preparación del sitio, cableado y el reacomodo de otro equipo, sea de $15,000. Este costo de instalación se agregará al costo de la máquina para determinar el costo base total para efectos de depreciación. También se requerirán bastidores especiales y troqueles a un costo de $10,000. Se espera que el molino dure 10 años, pero los bastidores y los troqueles durarán sólo 5 años. Por lo tanto, habrá que comprar otro juego de bastidores y troqueles al final del quinto año. El molino tendrá un costo de rescate de $10,000 al final de su vida, mientras que los bastidores y troqueles valdrán sólo $300 como chatarra en cualquier momento de sus vidas. La máquina está clasificada como una propiedad de siete años de acuerdo con el SMRAC, en tanto que los bastidores y troqueles están clasificados como una propiedad SMRAC de tres años. Con el nuevo molino, Wilson espera un ingreso anual adicional de $80,000 como resultado del aumento en la producción. Se estima que los costos anuales por la producción adicional sean los siguientes: materiales, $9,000; mano de obra, $15,000; energía eléctrica, $4,500; costos misceláneos de operación y mantenimiento (O&M), $3,000. Se espera que la tasa marginal de impuesto sobre la renta permanezca en el 35% durante los 10 años de la vida del proyecto. Todas las cifras están dadas en dólares constantes. La tasa de interés de mercado de la compañía es del 18% y la inflación general esperada durante el periodo del proyecto es del 6%. a) Determine los flujos de efectivo del proyecto en ausencia de inflación. b) Determine la tasa interna de retorno del proyecto, con base en su respuesta al inciso a). c) Suponga que Wilson espera los siguientes incrementos de precios durante el periodo del proyecto: materiales al 4% anual, mano de obra al 5% anual, y energía y otros costos de O&M al 3% anual. Para compensar estos aumentos en los precios, Wilson planea incrementar sus ingresos anuales al 7% anual, cobrando a sus clientes un mayor precio. Se espera que no haya cambios en los precios de rescate de la máquina, los bastidores y los troqueles. Determine los flujos de efectivo del proyecto en dólares circulantes. d) Con base en su respuesta al inciso c), determine la tasa de retorno real (libre de inflación) del proyecto. e) Determine la pérdida (o ganancia) económica en valor presente, causada por la inflación. Costo de capital 9.46 Calcule el costo de la deuda después de impuestos, bajo cada una de las siguientes condiciones: a) Tasa de interés, 12%; tasa de impuesto, 25%. 394 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto 9.47 9.48 9.49 9.50 b) Tasa de interés, 14%; tasa de impuesto, 34%. c) Tasa de interés, 15%; tasa de impuesto, 40%. El valor beta () estimado de una empresa es de 1.7. El rendimiento de mercado (rm) es del 14% y la tasa libre de riesgo (rƒ) es del 7%. Estime el costo del capital accionario (ie). El costo del capital accionario de una empresa (ie) es del 25%. Su costo de la deuda antes de impuestos es del 12% y su tasa marginal de impuesto es del 40%. La estructura de capital de la empresa requiere de una razón entre deuda y capital accionario del 40%. Calcule el costo de capital (k) de la empresa. Considere los valores beta estimados desde el 31 de diciembre del 2006, para las siguientes compañías: AT&T 1.2 Microsoft 1.0 Wal-Mart 0.75 Si la tasa libre de riesgo es del 4.35% y el rendimiento promedio del mercado es del 11.5%, estime el costo de capital de cada compañía. Una compañía de automóviles está considerando la posibilidad de emitir acciones con la finalidad de financiar una inversión para fabricar un nuevo vehículo utilitario. Se espera que el rendimiento anual al portafolio del mercado sea del 15%, mientras que la tasa actual de interés libre de riesgo es del 5%. Además, los analistas de la compañía creen que el rendimiento esperado del proyecto será del 20% anual. ¿Cuál es el valor máximo de beta que induciría al fabricante a emitir acciones? Breves estudios de caso con Excel 9.51 La división Pittsburgh de la Vermont Machinery, Inc., fabrica brocas para taladro. Uno de sus procesos de producción consiste en la colocación de puntas de carburo en las brocas para hacerlas más fuertes y durables. Este proceso de encasquillado normalmente requiere de cuatro o cinco operadores, dependiendo de la carga semanal de trabajo. Los cinco operadores también están asignados a la operación de estampado, en la que se imprime el calibre de la broca y el logotipo de la compañía en el producto. Vermont está considerando adquirir tres máquinas automáticas para sustituir las operaciones manuales de encasquillado y estampado. Si el proceso de encasquillado se automatiza, los ingenieros de la división tendrán que rediseñar las formas de las puntas de carburo que se utilizarán en la máquina. El nuevo diseño requiere menos carburo, lo que redunda en ahorros de material. Se dispone de los siguientes datos financieros: 쐽 Vida del proyecto: seis años. 쐽 Ahorros anuales esperados: reducción en mano de obra, $56,000; reducción en material, $75,000; otros beneficios (reducción del síndrome de túnel carpiano y otros problemas de salud relacionados), $28,000; reducción de gastos indirectos, $15,000. 쐽 Costos anuales de O&M esperados: $22,000. 쐽 Máquinas encasquilladoras y preparación del sitio: costos de equipo (para las tres máquinas), incluyendo entrega, $180,000; preparación del sitio, $20,000. 쐽 Valor de rescate: $30,000 (en total por las tres máquinas) al final del sexto año. 쐽 Método de depreciación: SMRAC, siete años. 쐽 Inversión en capital de trabajo: $25,000 al principio del año del proyecto, que se recuperarán por completo al final del año del proyecto. 쐽 Otros datos contables: tasa marginal de impuesto, 39%; TREMA, 18%. Problemas 395 Para recaudar $200,000, Vermont está considerando las siguientes opciones de financiamiento: 쐽 쐽 쐽 Opción 1: Financiar las máquinas encasquilladoras usando ganancias retenidas. Opción 2: Conseguir un préstamo al 12% durante seis años (que se liquidará con seis pagos anuales iguales). Opción 3: Rentar máquinas encasquilladoras. Vermont puede obtener un arrendamiento financiero a seis años (los costos de mantenimiento corren a cargo del arrendador) con pagos de $55,000 al principio de cada año. a) Determine los flujos de efectivo netos después de impuestos para cada opción de financiamiento. b) ¿Cuál es el costo en VP para Vermont de comprar el equipo mediante un préstamo? c) ¿Cuál es el costo en VP para Vermont de rentar el equipo? d) Recomiende el mejor curso de acción para Vermont. 9.52 H-Robot Incorporated (hri), un líder mundial en la industria robótica, produce una línea de robots industriales y equipo periférico, los cuales ejecutan muchas rutinas de tareas de ensamblaje. La compañía disfrutó de muchos éxitos en el pasado, cuando los fabricantes de automóviles y otros productores de bienes duraderos buscaron reducir los costos automatizando los procesos de producción. Sin embargo, la competencia aumentó, principalmente por parte de las firmas japonesas; esto despertó preocupación en la gerencia de hri por el crecimiento potencial de la empresa. Por eso, el departamento de investigación y desarrollo (I&D) de hri ha estado aplicando tecnología industrial robótica para desarrollar una línea de robots domésticos. El robot doméstico está diseñado para funcionar como servidor doméstico, ejecutando principalmente tareas como aspirado de pisos y alfombras. El trabajo de I&D ha alcanzado un punto en el que la empresa debe decidir si sigue adelante o no con la producción. El departamento de marketing de hri tiene planes para vender los robots domésticos entre las madres trabajadoras de Estados Unidos y, si tienen éxito en ese segmento, entonces los robots podrían venderse incluso a estudiantes universitarios y a hogares en otros países. El vicepresidente de marketing cree que las ventas anuales estarían entre 150,000 y 300,00 unidades (más probablemente, 200,000 unidades) si los robots tuvieran un precio de $400 por unidad. El departamento de ingeniería estima que la empresa necesitaría una nueva planta de manufactura, la cual podría empezar a construirse tan pronto como se tome la decisión de seguir adelante con el proyecto; la planta estaría lista para iniciar la producción en dos años. La planta requeriría un terreno de 35 acres, y hri tiene actualmente una opción para comprar una extensión de terreno adecuada por $2.5 millones. La construcción del edificio iniciaría a principios de 2007 y continuaría en 2008. El edificio, el cual cae en la clase SMRAC de 39 años, tendría un costo estimado de $10.5 millones. Tendría que hacerse un pago de $3.5 millones al contratista el 31 de diciembre de 2007 y otro de $7 millones pagadero el 31 de diciembre de 2008. El equipo de manufactura necesario sería instalado a fines de 2008 y se pagaría el 31 de diciembre de 2008. El equipo, el cual caería en la clase SMRAC de siete años, tendría un costo de $18.5 millones, incluyendo transportación, más otros $500,000 por la instalación. A la fecha, la compañía ha gastado $12 millones en investigación y desarrollo en relación con el robot doméstico. La compañía enfrenta gastos por $4 millones por concepto de costos de I&D; los restantes $8 millones han sido ya capitalizados y serán amortizados durante la vida del proyecto. Sin embargo, si hri decide no seguir adelante con el proyecto, los desembolsos capitalizados de I&D se registrarían como pérdida el 31 de diciembre de 2006. 396 CAPÍTULO 9 Análisis del flujo de efectivo del proyecto El proyecto también requeriría una inversión inicial de capital de trabajo neto igual al 12% de las ventas estimadas en el primer año. La inversión inicial de capital de trabajo se haría el 31 de diciembre de 2008. Los 31 de diciembre de los años siguientes, el capital de trabajo neto se incrementaría en una cifra igual al 12% de cualquier incremento de ventas esperado durante el año siguiente. La vida económica estimada del proyecto es de ocho años (sin contar el periodo de construcción). Al cabo de ese tiempo, se espera que el terreno tenga un valor de mercado de $4.5 millones, el edificio un valor de $3 millones y el equipo un valor de $3.5 millones. El departamento de producción estima que los costos variables de manufactura totalizarían el 65% de las ventas en dólares y que los costos fijos indirectos, excluyendo la depreciación, serían de 8.5 millones para el primer año de operaciones. Se proyecta que los precios de venta y los costos fijos indirectos, diferentes de la depreciación y la amortización, aumenten con la inflación, la cual se estima en un 5% anual en promedio durante los ocho años de vida del proyecto. (Advierta que en el primer año las ventas serían de $400 por 200,000 unidades = $80 millones. El segundo año las ventas aumentarían en un 5% con respecto a los $80 millones, y así sucesivamente.) La tasa marginal de impuestos combinados de hri es del 38%; su costo promedio de capital ponderado promedio es del 15% (lo que significa que su tasa de retorno mínima aceptable es del 15%); y la política de la compañía, para efectos de presupuesto de capital, es suponer que los flujos de efectivo ocurren al final de cada año. Puesto que la planta iniciaría operaciones el 1 de enero de 2009, el primer flujo de efectivo operativo ocurriría el 31 de diciembre de 2009. Suponga que el punto de decisión es el 31 de diciembre de 2006. a) Desarrolle los flujos de efectivo del proyecto después de impuestos durante la vida del proyecto. Use Excel para preparar la hoja de cálculo del flujo de efectivo del proyecto. b) Determine el valor neto equivalente del proyecto en el momento de la comercialización. c) Determine el valor equivalente anual del proyecto y también la utilidad por unidad de producción. d) Determine la tasa interna de retorno del proyecto. e) Determine el número de unidades de venta anual para obtener el punto de equilibrio y justificar el proyecto. f) Suponga que el precio de venta de la unidad pudiera reducirse en un 3% anual sobre el precio del año anterior ante la competencia en el mercado. (Pero todos los demás costos, diferentes de la depreciación y la amortización, se incrementarían a una tasa anual del 5%.) ¿Cuál sería el curso de acción recomendado? 9.53 A&H Chemical Corporation es una manufacturera multinacional de productos industriales químicos. A&H ha logrado un gran progreso en la reducción del costo de energía y ha implementado algunos proyectos de cogeneración en Estados Unidos y Puerto Rico, incluyendo la finalización de una unidad en Chicago de 35 megawatts (MW) y otra en Beaton Rouge de 29 MW. La división de A&H que está siendo considerada para uno de sus proyectos de cogeneración es una planta química localizada en Texas. La planta consume anualmente 80 millones de kilowattshora (kWh) de energía. Sin embargo, en promedio, usa el 85% de su capacidad de 10 MW, lo cual daría un uso promedio de energía de 68 millones de kWh anualmente. Actualmente, Texas Electric cobra $0.09 por kWh que consume la planta de A&H, una tarifa que se considera alta en la industria. Como el consumo de energía eléctrica de A&H es muy grande, se considera deseable la compra de una unidad de cogeneración. La instalación de la unidad de cogeneración permitiría a A&H generar su propia energía y eliminar el pago anual de $6,120,000 a Texas Electric. El costo total de la inversión inicial sería de $10,500,000. Esto cubriría $10,000,000 Problemas 397 de la compra de la unidad —una Allison 571 de gas de 10 MW— además de las labores de ingeniería, diseño y preparación del sitio. Los restantes $500,000 incluirían la compra de equipo de interconexión, como postes y líneas de distribución, que servirían para conectar el cogenerador con las instalaciones existentes. Como la gerencia de A&H ha decidido recaudar los $10.5 millones a través de la venta de bonos, los ingenieros de la compañía estimaron los costos de operación del proyecto de cogeneración. El flujo de efectivo anual está compuesto de diversos factores: costos de mantenimiento, costos de revisión, costos de energía de relevo, y otros gastos diversos. Se estima que los costos de mantenimiento sean de aproximadamente $500,000 anuales. La unidad debe revisarse cada tres años, a un costo de $1.5 millones por cada revisión. La energía de relevo es el servicio sustituto proporcionado a la planta en el caso de alguna falla en la unidad de cogeneración o de que se programe una interrupción en el suministro de energía para efectuar labores de mantenimiento. Se estima que los apagones no programados ocurran cuatro veces al año, con dos horas promedio de duración y un gasto anual de $6,400. Además, la revisión de la unidad tarda aproximadamente 100 horas y se realiza cada tres años, lo que implica otro gasto trienal por energía de relevo de $100,000. Se espera que gastos misceláneos, tales como personal adicional y seguros, tengan un costo de $1 millón. El combustible (gas inerte) se consumirá a razón de 8,000 BTU por kWh incluyendo el ciclo de recuperación de calor. Con el BTU a $2.00 por millón, el costo anual del combustible alcanzará $1,280,000. Debido a la obsolescencia, la vida esperada para el proyecto de cogeneración será de 12 años, después de los cuales, Allison pagará a A&H $1 millón por el valor de rescate del equipo. Se obtendrán ingresos por la venta del exceso de electricidad a una planta de servicio público a una tarifa negociada. Puesto que la planta química consumirá, en promedio, el 85% de la producción de la unidad de 10MW, el 15% de la producción se venderá a $0.04 por kWh, lo que implica ingresos anuales de $480,000. La tasa marginal de impuestos de A&H (que combina impuestos federales y estatales) es del 36% y su tasa de retorno mínima requerida para cualquier proyecto de cogeneración es del 27%. Se anticipa que los costos e ingresos serán los siguientes: Inversión inicial Unidad de cogeneración e ingeniería, diseño, y preparación del sitio (clase SMRAC de 15 años) Equipo de interconexión (clase SMRAC de 5 años) Valor de rescate después de 12 años de uso Gastos anuales Mantenimiento Misceláneos (personal adicional y seguros) Energía de relevo Combustible Otros gastos operativos Revisión cada tres años Energía de relevo durante la revisión Ingresos Venta de energía sobrante a Texas Electric $10,000,000 $500,000 $1,000,000 $500,000 $1,000,000 $6,400 $1,280,000 $1,500,000 $100,000 $480,000 a) Si la unidad de cogeneración y otros equipos de conexión pudieran financiarse mediante la emisión de bonos corporativos a una tasa de interés del 9% compuesto anual, determine el flujo de efectivo neto del proyecto de cogeneración. b) Si la unidad de cogeneración pudiera rentarse, ¿cuál sería el monto máximo por concepto de arrendamiento anual que A&H estaría dispuesta a pagar? CAPÍTULO DIEZ Cómo manejar la incertidumbre de los proyectos En busca del lado amable de la RFID1 El etiquetado de identificación por radiofrecuencia (RFID, por las siglas de radio-frequency identification) parece una gran idea que promete revolucionar la forma en que los productos se desplazan de las fábricas a las tiendas y de ahí a las manos de los consumidores. Pero, en medio de todo este entusiasmo, queda una pregunta sin respuesta: ¿Estas etiquetas realmente tienen sentido para el negocio? Algunos minoristas que están en busca de una manera más precisa de acoplar su inventario a la demanda del cliente están apoyando esta tecnología, en la que los chips con los datos se incrustan en las tarimas de carga, las cajas de mercancía e incluso en los mismos productos, y se usan como dispositivos de rastreo. Wal-Mart Inc., Target Corp. y Best Buy Co. están entre las cadenas que tienen alguna iniciativa de etiquetado en proceso. Pero, en virtud del gasto, algunos proveedores, y aun algunos minoristas, han adoptado un enfoque de esperar y ver, o han optado por una introducción parcial del sistema. Mientras que Wal-Mart apoya la RFID por la idea de que tarde o temprano le ahorrará dinero a todos (ya ha solicitado que sus 600 proveedores más importantes peguen las etiquetas inteligentes en las cajas de mercancía que envían a ciertas zonas de prueba clave), algunos proveedores dicen que no esperan ningún rendimiento sobre su inversión en RFID durante años, si es que hubiera alguno. Cómo funciona Un sistema básico de identificación por radiofrecuencia consiste en etiquetas electrónicas que contienen información de rastreo única sobre un artículo, así como en lectores de etiquetas. 398 1 Sunil Chopra y Manmohans Sodhi, “In Search of RFID’s Sweet Spot: Electronic tagging can be worth the investment. The key is finding where in the supply chain it makes the most sense”. The Wall Street Journal, 3 de marzo de 2007, p. R10. 1 A LECHERÍA 2 TIENDA DE COMESTIBLES 3 4 5 1 Etiqueta inteligente colocada sobre el envase. 2 La lechería embarca el envase a la tienda de comestibles. 3 El consumidor compra el envase etiquetado. 4 El consumidor recicla el envase de leche. 5 El envase llega al centro de reciclaje. El fabricante produce el reemplazo. A El fabricante rastrea el producto a través de radiocomunicación inalámbrica. Fuente: “How RFID Works”, Kevin Bonsor, ©1998-2007 HowStuffWorks, Inc. http://electronics.howstuffworks.com/smart-label2.htm. 399 400 CAPÍTULO 10 Cómo manejar la incertidumbre de los proyectos El lector emite señales de radio para activar la etiqueta, lee los datos y, en algunos casos, también anota datos. Como no hay nada que tenga que escanearse físicamente, las etiquetas se pueden leer más rápido que los códigos de barras y en condiciones difíciles, incluyendo el polvo, la nieve y el interior del material de empaque. La etiqueta continuamente reporta datos como ubicación, condición y estado de un artículo. En 2005, el costo promedio de una sola etiqueta oscilaba entre 10 y 20 centavos, y un lector común costaba alrededor de $1,000. El costo de un sistema depende del número de etiquetas y lectores requeridos, por lo que aumenta a medida que la implantación progresa de las tarimas de carga a las cajas, y de éstas a mercancía individual. El potencial: El etiquetado por radiofrecuencia (RFID) podría revolucionar la forma en que los productos de todos tipos se desplazan de las fábricas a las tiendas y de ahí a las manos de los consumidores. El reto: El costo ha sido un obstáculo. Los dispositivos electrónicos de rastreo se pueden utilizar de diversas formas a través de la cadena de suministro y en las tiendas. Pero no siempre es claro si un negocio verá la recompensa por una inversión en RFID, o qué tan pronto. El estado actual: Las cajas, en general, son resistentes, lo que las hace adecuadas para colocar en ellas las etiquetas para rastrear la mercancía que llega a las tiendas. Esto permite que las compañías reduzcan sus gastos de recepción, manejo y almacenamiento sin incurrir en grandes costos o riesgos. Entonces, ¿cuál será el enfoque más sabio que deben tomar quienes todavía dudan en seguir adelante con la implantación total? ¿Cuál parece ser el riesgo mayor para los minoristas al emprender este proyecto de RFID después de sopesar los riesgos y costos asociados con la tecnología? En capítulos anteriores se daba por sentado que los lujos de efectivo provenientes de los proyectos se conocían con total certeza; nuestro análisis se concentraba en la medición del valor económico de los proyectos de inversión y en seleccionar los mejores de ellos. Aunque estos tipos de análisis pueden ofrecer una base de decisión razonable en muchas situaciones de inversión, debemos reconocer que la mayoría de los proyectos implican cierto grado de incertidumbre. En este tipo de situación, la gerencia rara vez tiene expectativas precisas sobre los futuros lujos de efectivo derivados de un proyecto en particular. De hecho, lo mejor que una compañía puede hacer es estimar el intervalo de posibles costos y beneicios futuros y las relativas oportunidades de alcanzar un rendimiento razonable sobre la inversión. Utilizamos el término riesgo para describir un proyecto de inversión en el que los lujos de efectivo no se conocen por adelantado con certeza, pero para el cual se puede considerar una selección de resultados junto con sus probabilidades (posibilidades). También usaremos el término riesgo del proyecto para referirnos a la variabilidad en el valor presente (VP) de un proyecto. Un mayor riesgo de proyecto releja una mayor variabilidad anticipada en el VP del proyecto. En esencia, podemos ver el riesgo como el potencial para generar una pérdida. Este capítulo comienza por explorar los orígenes del riesgo de los proyectos. 10.1 Orígenes del riesgo del proyecto Cuando se está decidiendo si efectuar una inversión de capital importante o no, tal como lanzar un nuevo producto, se deben considerar y estimar varias cuestiones. Los factores que deben estimarse incluyen el mercado total para el producto, la participación de 10.2 Métodos para describir el riesgo de un proyecto 401 mercado que la compañía puede alcanzar, el crecimiento del mercado, el costo de fabricar el producto, el precio de venta y la vida del producto, el costo y la vida del equipo necesario, así como las tasas efectivas de impuestos. Muchos de estos factores implican una considerable incertidumbre. Un enfoque común es hacer la “estimación óptima” de un solo número para cada uno de los factores inciertos y después calcular las medidas de rentabilidad, como el valor presente neto (VPN) o la tasa de retorno para el proyecto. Este enfoque tiene dos inconvenientes: 1. No hay garantía que pueda asegurar que las estimaciones óptimas en algún momento coincidan con los valores reales. 2. No se toma ninguna precaución al medir el riesgo asociado con la inversión, o el riesgo del proyecto. En particular, los administradores no tienen manera de determinar la probabilidad de que un proyecto pierda dinero ni la probabilidad de que éste genere considerables ganancias. Estimar los flujos de efectivo con exactitud puede ser una tarea muy difícil, así que los administradores de proyectos a menudo consideran un intervalo de valores posibles para los elementos de los flujos de efectivo. Si es posible un intervalo de valores para cada uno de los flujos de efectivo, entonces se deduce que un intervalo de valores para el VPN de un proyecto dado también es posible. Como es evidente, el analista querrá intentar evaluar la probabilidad y la confiabilidad de cada uno de los flujos de efectivo y, por consiguiente, el nivel de certidumbre sobre el valor del proyecto en general. Los estados cuantitativos sobre el riesgo están dados como probabilidades numéricas o como valores de probabilidad (o posibilidad) de ocurrencia. Las probabilidades están dadas como fracciones decimales en el intervalo 0.0 a 1.0. Un evento o resultado que ocurrirá con certeza tiene una probabilidad de 1.0. A medida que la probabilidad de un evento se acerca a 0, la ocurrencia del evento se vuelve cada vez menos probable. La asignación de probabilidades a los diversos resultados de un proyecto de inversión se conoce generalmente como análisis de riesgo. 10.2 Métodos para describir el riesgo de un proyecto Podemos comenzar por analizar el riesgo de un proyecto determinando primero la incertidumbre inherente en los lujos de efectivo de un proyecto. Podemos llevar a cabo este análisis de distintas maneras, que van desde hacer juicios informales hasta efectuar complejos análisis económicos y estadísticos. En esta sección presentaremos tres métodos para describir el riesgo de un proyecto: 1. análisis de sensibilidad, 2. análisis de equilibrio y 3. análisis de escenarios. Cada método se explicará haciendo referencia a un solo ejemplo. También presentamos el método para realizar el análisis de sensibilidad para alternativas mutuamente excluyentes. 10.2.1 Análisis de sensibilidad Una forma de darse una idea de los posibles resultados de una inversión es efectuar un análisis de sensibilidad. El análisis de sensibilidad es una técnica de análisis de inversión en la que se prueban diferentes valores de ciertas variables clave para ver qué tan sensibles son los resultados de una inversión a un posible cambio en las consideraciones. Es un método para evaluar el riesgo de una inversión. Al calcular los lujos de efectivo, algunas cuestiones tienen una mayor inluencia sobre el resultado inal (VPN) que otras. En algunos problemas, el asunto más importante se identiica con facilidad. Por ejemplo, la estimación del volumen de ventas puede tener un efecto importante en el VPN de un proyecto, especialmente en el lanzamiento de nuevos productos. Quizá deseemos identiicar las cuestiones que tienen una inluencia considerable sobre los resultados inales para que podamos someterlas a un escrutinio especial. El análisis de sensibilidad a veces se conoce como “análisis de qué- 402 CAPÍTULO 10 Cómo manejar la incertidumbre de los proyectos sucedería-si” porque responde preguntas como la siguiente: Si las ventas incrementales son solamente de 1,000 unidades, y no de 2,000 unidades, ¿cuál será el VPN? • El análisis de sensibilidad comienza con una situación de un caso base, que desarrollamos utilizando el valor más probable para cada entrada. Después, cambiamos la variable de interés específica mediante varios porcentajes determinados que están por encima y por debajo del valor más probable, en tanto que mantenemos constantes otras variables. • Después, calculamos un nuevo VPN para cada uno de estos valores. Una manera conveniente y útil de presentar los resultados de un análisis de sensibilidad es trazar gráficas de sensibilidad. Las pendientes de las líneas indican qué tan sensible será el VPN a los cambios en cada una de las entradas: cuanto más pronunciada es la pendiente, más sensible será el VPN a un cambio en una variable en particular. Las gráficas de sensibilidad identifican las variables cruciales que más afectan el resultado final. El ejemplo 10.1 servirá para ilustrar el concepto de análisis de sensibilidad. EJEMPLO 10.1 Análisis de sensibilidad: Saber cuál variable es la más importante para el resultado final Capstone Turbine Corporation es el proveedor líder en el mundo de sistemas MicroCHP (calor y energía eléctrica combinados), basados en microturbinas para generar y distribuir energía eléctrica de manera limpia y continua. La unidad MicroCHP es una turbina generadora compacta que lleva electricidad al lugar mismo, o cerca del punto, donde se requiere. Diseñada para operar con una variedad de combustibles gaseosos y líquidos, esta forma de tecnología de generación y distribución estuvo disponible en 1998 para uso comercial. Capstone está considerando comercializar una versión modificada y más pequeña del sistema para uso residencial, en especial en propiedades para vacacionar en lugares remotos. El proyecto requiere una inversión inicial de $55 millones, pero los administradores de Capstone están inquietos acerca de este proyecto, ya que no se han considerado muchos elementos inciertos en el análisis. Dos factores principales que son difíciles de calcular son el tamaño inicial del mercado y la forma en que éste crecerá durante la vida del proyecto. La compañía ha preparado los siguientes datos financieros relacionados con el proyecto: Variables clave de los flujos de efectivo Bajo Más probable Alto Tamaño inicial del mercado (unidades), año 1 1,000 1,500 2,000 3% 5% 8% Precio unitario $72,000 $80,000 $86,000 Costo variable unitario $56,000 $60,000 $65,000 Costo fijo (anual), excluyendo la depreciación $6,500,000 $8,000,000 $9,000,000 Valor de rescate $4,000,000 $7,000,000 $8,000,000 Tasa de crecimiento del mercado (anual) La inversión inicial puede depreciarse como clase SMRAC de siete años, y se espera que el proyecto tenga una vida de servicio económico de cinco años. La vida del producto es relativamente corta, ya que los cambios de tecnología en el sector energético están evolucionando rápidamente. La tasa marginal de impuesto de la compañía es del 40% y se sabe que su TREMA es del 15%. 10.2 Métodos para describir el riesgo de un proyecto 403 a) Desarrolle la serie de flujos de efectivo durante la vida del proyecto, con base en la suposición de las estimaciones más probables. b) Realice un análisis de sensibilidad para cada variable y desarrolle una gráfica de sensibilidad. ANÁLISIS DEL PROBLEMA La tabla 10.1 muestra los flujos de efectivo esperados, pero inciertos, de Capstone con base en las estimaciones más probables. Los ingresos y gastos anuales se calculan con la siguiente relación: • Ingresos
tamaño del mercado ⫻ precio unitario ⫻ (1 ⫹ tasa de crecimiento)(n ⫺ 1). Costos ⫽ tamaño del mercado ⫻ costo unitario variable ⫻ (1 ⫹ tasa de crecimiento)(n ⫺ 1) ⫹ costo fijo (excluyendo depreciación). TABLA 10.1 Dados: Intervalo de estimaciones de variables clave de entrada y de los flujos de efectivo con base en los cálculos más probables de la tabla 10.1. Determine: a) ¿Cuál variable de entrada es la más importante? b) Trace una gráica de sensibilidad. Flujos de efectivo para el proyecto MicroCHP de Capstone, basado en las estimaciones más probables (unidad: $000, excepto demanda) Datos de entradas (base): Análisis de sensibilidad: Precio unitario ($) Demanda Tasa de crecimiento Costo variable ($/unidad) Costo fijo ($) Rescate ($) Tasa de impuestos (%) TREMA (%) Categoría Precio unitario Tasa de crecimiento Demanda Costo variable (unidad) Costo fijo Rescate Resultado (VP) Estado de ingresos Ingresos: Precio unitario Demanda (unidades) Ingresos por ventas Gastos: Costo unitario variable Costo variable Costo fijo Depreciación Ingreso gravable Impuestos sobre la renta (40%) Ingreso neto Estado de los flujos de efectivo Actividades operativas: Ingreso neto Depreciación Actividades de inversión: Inversión Rescate Impuesto sobre las ganancias Flujo de efectivo neto TIR= VP(15%) = TIR VPN Cambio porcentual 404 CAPÍTULO 10 Cómo manejar la incertidumbre de los proyectos Si todo va bien, como se espera, parece que vale la pena emprender el proyecto con VPN
$11,107 (u $11,107,000). Suponga que Capstone no confía en sus pronósticos de ingresos en particular. Los administradores piensan que si el producto no es bien aceptado en el mercado de Estados Unidos, Capstone necesitará vender las unidades fuera de Estados Unidos, principalmente en el mercado europeo. Sin embargo, la compañía tampoco tiene el éxito garantizado en ese mercado. Antes de emprender el proyecto descrito, la compañía necesita identificar las variables clave que determinarán si el proyecto tendrá éxito o fracasará. Después de definir el tamaño del mercado, la tasa de crecimiento, el precio unitario, el costo unitario variable, el costo fijo y el valor de rescate, realizamos un análisis de sensibilidad con estas variables clave de entrada. Esto implica variar cada una de las estimaciones en un porcentaje dado y determinar el efecto que tendrá la variación en ese rubro sobre los resultados finales. Si el efecto es grande, el resultado es sensible a ese punto. Nuestro objetivo es localizar el (los) punto(s) más sensible(s). METODOLOGÍA SOLUCIÓN Desarrolle una serie de flujos de efectivo en Excel y trace la gráfica de sensibilidad. a) Análisis de sensibilidad: Comenzamos el análisis de sensibilidad considerando la situación del caso base, la cual releja la estimación más probable (valor esperado) para cada variable de entrada. Al construir la tabla 10.2, cambiamos una variable dada en 20%, en incrementos del 5% por encima y por debajo del valor del caso base, y calculamos nuevos VPN, mientras que las otras variables se mantuvieron constantes. Ahora formulamos una serie de preguntas qué-sucedería-si: ¿Qué sucedería si las ventas estuvieran un 20% por debajo del nivel esperado? ¿Qué sucedería si aumentan los costos de operaciones? ¿Qué sucedería si el precio unitario baja de $80,000 a $64,000 (una reducción del 20%)? La tabla 10.2 resume los resultados de nuestra variación de los valores de las variables clave de entrada. b) Gráica de sensibilidad: La igura 10.1 presenta las gráicas de sensibilidad del proyecto de Capstone para seis de las variables clave de entrada. El VPN del caso base aparece sobre la ordenada de la gráica en el valor 1.0 de la abscisa (o 0% de desviación). Después, el valor de la demanda del producto se reduce al 95% de su valor del caso base, y se vuelve a calcular el VPN, manteniendo todas las demás variables en su valor del caso base. Repetimos el TABLA 10.2 Análisis de sensibilidad para seis variables clave de entrada (ejemplo 10.1) Desviación Precio unitario Demanda ⴚ20% ⴚ15% ⴚ10% ($41,520) ($28,363) ($15,207) ⴚ5% 0% 5% 10% 15% 20% ($2,050) $11,107 $24,263 $37,420 $50,577 $63,733 ($2,050) $1,239 $4,528 $7,818 $11,107 $14,396 $17,685 $20,974 $24,263 $9,978 $10,258 $10,540 $10,823 $11,107 $11,392 $11,679 $11,967 $12,257 Costo variable $50,577 $40,709 $30,842 $20,974 $11,107 $1,239 Costo fijo $14,325 $13,520 $12,716 $11,911 $11,107 $10,302 $9,498 $8,693 $7,889 Valor de rescate $10,689 $10,794 $10,898 $11,002 $11,107 $11,211 $11,316 $11,420 $11,524 Tasa de crecimiento ($8,628) ($18,496) ($28,363) 10.2 Métodos para describir el riesgo de un proyecto 405 $70,000 rio ita Valor presente neto (VPN) ($) i ec Pr $50,000 $30,000 $10,000 n ou nda Dema 0 Valor de rescate Tasa de crecimiento 0 Costo fijo Base $10,000 Co sto $30,000 Figura 10.1 Gráfica de sensibilidad para el proyecto MicroCHP de Capstone $50,000 20% 15% 0 10% 5% 5% 10% Porcentaje de desviación de la base (%) 15% var iab le 20% proceso reduciendo o incrementando la desviación relativa a partir del caso base. Las líneas para el precio unitario variable, el costo unitario variable, el costo fijo y el valor de rescate se obtienen de la misma manera. COMENTARIOS En la igura 10.1 vemos que el VPN del proyecto es 1. muy sensible a los cambios en el precio unitario y el costo variable, 2. bastante sensible a los cambios en la demanda y 3. relativamente insensible a los cambios en la tasa de crecimiento, el costo ijo y el valor de rescate. Las gráicas como la de la igura 10.1 proveen un medio útil para comunicar las sensibilidades relativas de las diferentes variables sobre el valor VPN correspondiente. Sin embargo, las gráicas de sensibilidad no explican ninguna interacción entre las variables ni la probabilidad de realizar cualquier desviación especíica del caso base. Desde luego, es concebible que un proyecto no sea muy sensible a los cambios en alguno de dos rubros, pero puede ser muy sensible a la combinación de cambios de ambos. 10.2.2 Análisis de sensibilidad para alternativas mutuamente excluyentes En la igura 10.1, cada variable está uniformemente ajustada por ±20% y todas las variables se trazan sobre la misma gráica. Este ajuste uniforme tal vez sea una suposición muy simplista; en muchas situaciones, cada variable puede tener un rango diferente de incertidumbre. Además, trazar todas las variables sobre la misma gráica podría ser confuso si existen demasiadas variables a considerar. Cuando efectuamos análisis de sensibilidad para alternativas mutuamente excluyentes, quizá resulte más efectivo trazar los VPN (o cualquier otra medida, como las AE) de todas las alternativas a lo largo del intervalo de cada entrada; en otras palabras, construya una gráica para cada entrada, con las unidades de la entrada sobre el eje horizontal. El ejemplo 10.2 ilustra este enfoque. 406 CAPÍTULO 10 Cómo manejar la incertidumbre de los proyectos EJEMPLO 10.2 Análisis de sensibilidad para alternativas mutuamente excluyentes Una oficina local del servicio postal de Estados Unidos está considerando comprar un montacargas de 4,000 libras, que será utilizado principalmente para transportar los paquetes postales de entrada y salida. Los montacargas tradicionalmente han utilizado gasolina como combustible, gas propano líquido (gas LP) o diesel. Sin embargo, los montacargas eléctricos de baterías gozan cada vez de mayor aceptación en muchos sectores industriales por sus beneficios económicos y ambientales. Por eso, el servicio postal está interesado en comparar los cuatro diferentes tipos de montacargas. Los costos de compra, así como los costos anuales de operación y mantenimiento para cada tipo de montacargas, están al alcance en una empresa de servicio público local. Los costos anuales de combustible y mantenimiento se miden en términos del número de turnos laborales por año, donde un turno equivale a ocho horas de operación. En la siguiente tabla se presenta una comparación de las variables de los cuatro tipos de montacargas: Energía eléctrica Esperanza de vida Costo inicial Valor de rescate Máximo número de turnos por año Consumo de combustible/turno Costo del combustible/unidad Costo del combustible/turno Gas LP Gasolina Combustible diesel 7 años 7 años 7 años 7 años $30,000 $21,000 $20,000 $25,000 $3,000 $2,000 $2,000 $2,200 260 260 260 260 32 kWh 12 gal 11 gal 7 gal $0.12/kWh $2.10/gal $2.90/gal $2.85/gal $3.84 $25.20 $31.90 $19.95 $500 $1,000 $1,200 $1,500 $5 $6 $7 $9 Costo anual de mantenimiento: Costo fijo Costo variable/turno El servicio postal no está seguro del número de turnos por año, pero espera que sean entre 200 y 260. Como el servicio postal de Estados Unidos no paga impuesto sobre la renta, no se requiere información fiscal ni tampoco acerca de la depreciación. El gobierno de Estados Unidos utiliza un 10% como la tasa de descuento para la evaluación de cualquier proyecto de esta naturaleza. Construya una gráfica de sensibilidad que muestre cómo la mejor opción de las alternativas cambia como una función del número de turnos por año. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dos componentes del costo anual son pertinentes en este problema: 1. costo de propiedad (costo de capital) y 2. costo de operación (costo de combustible y mantenimiento). Como el costo de operación ya está dado sobre una base anual, sólo necesitamos determinar el costo de propiedad anual equivalente. Dados: Los datos financieros de la tabla, tasa de interés
10% e intervalo de turnos de operación. Determine: ¿Cuál alternativa es la mejor como una función del número de turnos? 10.2 Métodos para describir el riesgo de un proyecto 407 METODOLOGÍA SOLUCIÓN Calcule el costo de propiedad (de capital), el costo anual de operación y el costo anual equivalente. a) Costo de propiedad (costo de capital): Utilizando la fórmula de la recuperación del capital con rendimientos desarrollada en la ecuación (6.3), calculamos lo siguiente: Energía eléctrica: CR110%2 = 1$30,000 - $3,00021A/P, 10%, 72 + 10.102$3,000 = $5,845; Gas LP: CR 110%2 = 1$21,000 - $2,00021A/P, 10%, 72 + 10.102$2,000 = $4,103; Gasolina: CR110%2 = 1$20,000 - $2,00021A/P, 10%, 72 + 10.102$2,000 = $3,897; Combustible diesel: CR110%2 = 1$25,000 - $2,20021A/P, 10%, 72 + 10.102$2,200 = $4,903. b) Costo anual de operación: Podemos expresar el costo anual de operación como una función del número de turnos por año (M) si combinamos las porciones de los costos variables y fijos de los gastos por combustible y mantenimiento: Energía eléctrica: $500 + 13.84 + 52M = $500 + 8.84M; Gas LP: $1,000 + 125.2 + 62M = $1,000 + 31.2M; Gasolina: $1,200 + 131.9 + 72M = $1,200 + 38.90M; Combustible diesel: $1,500 + 19.95 + 9 M = $1,500 + 28.95M. c) Costo total anual equivalente: Este valor es la suma del costo de propiedad y el costo de operación: Energía eléctrica: CAE 110%2 = $6,345 + 8.84M; Gas LP: CAE110%2 = $5,103 + 31.2M; Gasolina: CAE110%2 = $5,097 + 38.90M; Combustible diesel: CAE110%2 = $6,403 + 28.95M. En la igura 10.2 estos cuatro costos de equivalencia anual se graican como una función del número de turnos, M. Parece que el aspecto económico del montacargas se puede justiicar en tanto el número de turnos anuales exceda aproximadamente 56. Si el número de turnos es menor que 56, el montacargas de gas LP se convierte en la opción más viable desde el punto de vista económico. En términos de una comparación de pares con el montacargas eléctrico, la opción de gasolina no es una alternativa viable para ningún intervalo de M. 408 CAPÍTULO 10 Cómo manejar la incertidumbre de los proyectos 18,000 Gasolina Diesel 15,000 Costo anual equivalente ($) Gas LP 12,000 9,000 Eléctrico 6,000 M
56 3,000 Gasolina 0 Eléctrico 40 80 120 160 200 Número de turnos por año (M) 240 280 Figura 10.2 Análisis de sensibilidad para alternativas mutuamente excluyentes. Con M < 56, elija el montacargas de gas LP; de otra manera, elija el montacargas eléctrico. 10.2.3 Análisis de equilibrio Cuando llevamos a cabo un análisis de sensibilidad para un proyecto, estamos preguntando qué tan serio será el efecto de los ingresos más bajos o los costos más altos en la rentabilidad de un proyecto. A veces, los administradores prefieren preguntarse cuánto pueden caer las ventas por debajo de los pronósticos antes de que el proyecto comience a perder dinero. Este tipo de análisis se conoce como análisis de equilibrio. Para ilustrar el procedimiento del análisis de equilibrio basado en el VPN, usamos la función Buscar objetivo de Excel. Note que este cálculo del valor de equilibrio es similar al cálculo que usamos para la tasa interna de retorno cuando queremos encontrar la tasa de interés que hace al VPN igual a 0, o cuando deseamos encontrar muchos otros “valores meta” cuando una opción cambia. EJEMPLO 10.3 Análisis de equilibrio con Excel A partir del análisis de sensibilidad que se expuso en el ejemplo 10.1, los administradores de Capstone están convencidos de que el VPN es más sensible a los cambios en el precio unitario. Determine el precio unitario de equilibrio. 10.2 Métodos para describir el riesgo de un proyecto 409 ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dado: El estado de los flujos de efectivo de la tabla 10.1. Determine: El precio unitario de equilibrio. Los flujos de efectivo después de impuestos que aparecen en la tabla 10.3 son básicamente los mismos que los de la tabla 10.1. La tabla es simplemente una hoja de cálculo de Excel en la que las entradas de los flujos de efectivo son una función de las variables de entrada. Aquí, lo que buscamos es la cantidad mínima del precio unitario que convierta al VPN en 0. TABLA 10.3 Análisis de equilibrio usando la función. Buscar objetivo de Excel (unidad: $000). Datos de entrada (Base): Precio unitario ($) Demanda Tasa de crecimiento Costo variable ($/unidad) Costo fijo ($) Rescate ($) Tasa de interés (%) TREMA (%) Estado de ingresos Ingresos: Precio unitario Demanda (unidades) Ingresos por ventas Gastos: Costo unitario variable Costo variable Costo fijo Depreciación Ingreso gravable Impuestos sobre la renta (40%) Ingreso neto Estado de los flujos de efectivo Actividades operativas: Ingreso neto Depreciación Actividades de inversión: Inversión Rescate Impuesto sobre las ganancias Flujo de efectivo neto Análisis de resultados: TIR VP Establecer celda Cambiando la celda VPN 410 CAPÍTULO 10 Cómo manejar la incertidumbre de los proyectos METODOLOGÍA SOLUCIÓN Utilice la función Buscar objetivo de Excel para encontrar el precio unitario de equilibrio. Utilizando la función Buscar objetivo, deseamos establecer el VPN (celda $F$7) en 0 cambiando el valor del precio unitario (celda $B$6). Si presionamos el botón OK produciremos los resultados que se muestran en la tabla 10.3, los cuales indican que el proyecto alcanzará el equilibrio cuando el precio unitario sea exactamente de $76.62 ($76,620), o simplemente un 4.23% menos que la estimación más probable de $80. Buscar objetivo ? Establecer celda: X $F$7 Al valor: 0 Cambiando la celda: OK $B$6 Cancelar 10.2.4 Análisis de escenarios Aun cuando el análisis de sensibilidad y el análisis de equilibrio son útiles, ambos tienen limitantes. A menudo, es difícil especiicar con precisión la relación entre una variable en particular y el VPN. La relación se complica todavía más por las interdependencias entre las variables. Mantener los costos de operación constantes mientras se hacen variaciones en las ventas unitarias puede facilitar el análisis, pero en realidad los costos de operación no se comportan de esta manera. Aun así, permitir movimientos en más de una variable al mismo tiempo puede complicar demasiado el análisis. Un análisis de escenarios es una técnica que considera la sensibilidad del VPN a los cambios en las variables clave y en el intervalo de valores probables de las variables. Por ejemplo, la persona que toma las decisiones puede considerar dos casos extremos: el escenario en el peor de los casos (ventas unitarias bajas, precio unitario bajo, alto costo variable por unidad, costo fijo elevado y demás) y el escenario en el mejor de los casos. Entonces, se calculan los VPN en las peores y en las mejores condiciones y se comparan con el VPN esperado, o del caso base. El ejemplo 10.4 ilustra un análisis de escenarios probables para el proyecto MicroCHP de Capstone. EJEMPLO 10.4 Análisis de escenarios Considere nuevamente el proyecto MicroCHP de Capstone del ejemplo 10.1. Dadas las estimaciones de tres puntos para las seis variables clave de entrada (tamaño del mercado, tasa de crecimiento del mercado, precio unitario, costo unitario variable, costo fijo y valor de rescate), el personal de marketing e ingeniería presenta los escenarios en la tabla que aparece en la siguiente página. Suponga que los administradores de la compañía confían en otras estimaciones, como la vida del proyecto, la tasa de impuestos y la TREMA. Además, suponga que consideran extremadamente improbable una disminución en las ventas por debajo 10.2 Métodos para describir el riesgo de un proyecto 411 Variable considerada Escenario en el peor de los casos Tamaño del mercado Escenario más probable Escenario en el mejor de los casos 1,000 1,500 2,000 3% 5% 8% Precio unitario $72,000 $80,000 $86,000 Costo unitario variable $65,000 $60,000 $56,000 Costo fijo $9,000,000 $8,000,000 $6,500,000 Valor de rescate $4,000,000 $7,000,000 $8,000,000 Tasa de crecimiento del mercado de 1,000 o un incremento por encima de 2,000. Así, una disminución de 500 unidades en las ventas anuales define el límite inferior, o el escenario en el peor de los casos, mientras que un incremento de 500 unidades en las ventas define el límite superior, o el escenario en el mejor de los casos. La misma lógica se aplica a otras estimaciones de entradas. Analice los escenarios en el peor y en el mejor de los casos. ANÁLISIS DEL PROBLEMA Dadas: Las estimaciones de tres puntos para las seis variables clave de entrada del ejemplo 10.1. Determine: El VPN del proyecto en cada escenario. METODOLOGÍA SOLUCIÓN Para llevar a cabo el análisis de escenarios, usamos los valores de las variables del peor de los casos para obtener el VPN en el peor de los casos, y los valores de las variables en el mejor de los casos para obtener el VPN en el mejor de los casos. Los resultados de nuestro análisis se resumen de la siguiente manera: a) Escenario en el peor de los casos: Con los parámetros de entrada en el escenario en el peor de los casos, el estado de los flujos de efectivo del proyecto se vería como los resultados de la tabla 10.4. Si esto sucediera, Capstone perdería la totalidad de la inversión en el proyecto, al punto de experimentar una tasa de retorno negativa sobre su inversión (24%). b) Escenario en el mejor de los casos: Con el escenario en el mejor de los casos, Capstone obtendría una ganancia considera