PRECÁLCULO Matemáticas para el cálculo Q U I N TA E D I C I Ó N Acerca de la portada La portada es una creación de Bill Ralph, un matemático que se apoya en las matemáticas modernas para producir representaciones visuales de “sistemas dinámicos”. Algunos ejemplos de sistemas dinámicos que se pueden observar en la naturaleza son el clima, la presión sanguínea, los movimientos de los planetas y otros fenómenos en los que hay cambios continuos. Dichos sistemas, los cuales tienden a ser impredecibles y hasta caóticos algunas veces, se modelan matemáticamente usando los conceptos de composición e iteración de funciones. La idea básica es iniciar con una función particular y evaluarla en algún punto de su dominio, lo que produce un nuevo número. La función se evalúa con el nuevo número. Al repetir este proceso se genera una sucesión de números que recibe el nombre de iteraciones de la función. El dominio original “se pinta”; se asigna un color a cada punto de inicio. El color se determina por medio de ciertas propiedades de la sucesión de iteraciones y el concepto matemático de “dimensión”. El resultado es una imagen que revela los patrones complejos del sistema dinámico. En este sentido, estas imágenes nos permiten ver, a través de los lentes de las matemáticas, pequeños universos externos que nunca antes han sido observados. El profesor Ralph imparte cátedra en la Brock University de Canadá. Se le puede contactar por medio del correo electrónico en bralph@spartan.ac.brocku.ca. Acerca de los autores James Stewart estudió en la University of Toronto y en la Stanford University, dio clases en la University of London y ahora es maestro de la McMaster University. Su campo de investigación es el análisis armónico. Es autor de la serie mejor vendida de libros de texto de cálculo. La serie está publicada por Brooks/Cole y comprende Calculus, 5th Ed., Calculus: Early Transcendentals, 5th Ed. y Calculus: Concepts and Contexts, 3rd Ed., así como una serie de libros de texto para matemáticas de bachillerato. Lothar Redlin creció en la isla de Vancouver, estudió y obtuvo el grado de licenciatura en Ciencias en la University of Victoria y el grado de doctor de la McMaster University en 1978. Después hizo algunas investigaciones y dio clases en la University of Washington, University of Waterloo y en la California State University, Long Beach. En la actualidad es profesor de matemáticas en The Pennsylvania State University, Abington College. Su campo de investigación es la topología. Saleem Watson obtuvo la licenciatura en Ciencias en la Andrews University en Michigan. Continuó sus estudios de posgrado en Dalhousie University y en la McMaster University, en donde obtuvo un doctorado en 1978. Después se dedicó a la investigación en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Varsovia en Polonia. Además, también dio clases en The Pennsylvania State University. Actualmente es profesor de Matemáticas en la California State University, Long Beach. Su campo de investigación es el análisis funcional. Los autores también han publicado College Algebra, Fourth Edition (Brooks/Cole, 2004), Algebra and Trigonometry, Second Edition (Brooks/Cole, 2007) y Trigonometry (Brooks/Cole, 2003). PRECÁLCULO Matemáticas para el cálculo QUINTA EDICIÓN James Stewart McMaster University Lothar Redlin The Pennsylvania State University Saleem Watson California State University, Long Beach Revisión técnica Héctor Vidaurri Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO) Alejandro Alfaro Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM) Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Quinta edición James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Javier Arellano Gutiérrez Director general México y Centroamérica: Pedro Turbay Garrido Director Editorial Latinoamérica: José Tomás Pérez Bonilla Director de producción: Raúl D. Zendejas Espejel Coordinadora editorial: María Rosas López Editor de desarrollo: Pedro de la Garza Rosales Editora de producción: Abril Vega Orozco Diseño de portada: Roy E. Neuhaus © D.R. 2007 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe, núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Precalculus. Mathematics for Calculus, 5th ed. Publicado en inglés por Thomson/Brooks Cole © 2006 ISBN: 0-534-49277-0 Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James, Lothar Redlin y Saleem Watson Precálculo. Matemáticas para el cálculo Quinta edición ISBN-13: 978-607-481-406-4 ISBN-10: 607-481-406-6 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com 6K6C8: EG:8ÛA8JAD#B6I:BÛI>86HE6G6:A8ÛA8JAD!FJ>CI6:9>8>âC =VW^a^YVYZh nXdcXZeidh fjZcZXZh^iVZa ZhijY^VciZeVgVad\gVg WjZcdh gZhjaiVYdhZcbViZb{i^XVh µ 9ZhXjWgVjcZc[dfjZ!egdWVYdnVXXZh^WaZ!hdWgZaV ^bedgiVcX^VYZaegZX{aXjadbViZb{i^XdZcZabjcYd Xdi^Y^Vcd Con la guía experta y cuidadosa de los autores James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson, cuya obra Precálculo: Matemáticas para el cálculo, quinta edición es la más vendida, el estudiante adquiere no sólo habilidades técnicas, sino entiende los conceptos, lo cual es esencial para obtener resultados satisfactorios en los cursos siguientes de matemáticas y ciencias. Esta obra tiene una presentación que se adecua a una amplia gama de enfoques de la enseñanza, ya que guía al estudiante hacia un entendimiento rico de la fuerza que las matemáticas tienen en la práctica. Las explicaciones claras proporcionan confianza y dan ánimo, sin que por ello se dejen de tratar las cuestiones difíciles. La atención al detalle y a la claridad, como en la obra líder en el mercado Cálculo de James Stewart, es lo que hace que Precálculo sea el texto más vendido para este curso. ‘‘ ‘‘ ‘‘ ‘‘ AVhZmea^XVX^dcZhXaVgVhYZa Vjidg!Vh†XdbdaVWjZcV dg\Vc^oVX^‹cYZiZgb^cVcaVeVjiV eVgVadhcjZkdhegd[ZhdgZh# L^aa^Vb8]Zggn! Jc^kZgh^ind[Cdgi]IZmVh :ac^kZaZheZg[ZXid#:h YZhV[^VciZh^chZgY^[†X^a# 6bn:a^oVWZi]! 7dlbVcJc^kZgh^ind[6aVWVbV=jcihk^aaZ k AVANCE PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO, QUINTA EDICIÓN Lasesfuerzo matemáticas como un para resolver problemas Enfoque en la resolución de problemas La resolución de problemas y el modelado matemático se presentan casi al inicio del libro y se refuerzan a través de todo el contenido, de modo que cuando los estudiantes terminan el curso poseen bases firmes de los principios del pensamiento matemático. CAPÍTULO 3 Repaso 317 Ejercicios 1–6 ■ Grafique el polinomio transformando una grafica apropiada de la forma y  x n. Muestre con claridad todos los intersectos x y y. 1. P1x2  x 3  64 2. P1x 2  2x 3  16 5. P1x 2  32  1x  12 5 6. P1x 2  31x  2 2 5  96 3. P1x 2  21x  12 4  32 4. P1x 2  81  1x  32 4 7–10 ■ Use un dispositivo de graficación para graficar el polinomio. Encuentre las intersecciones x y y y las coordenadas de los extremos locales correctas hasta el décimo más próximo. Des-criba el comportamiento final del polinomio. 7. P1x2  x 3  4x  1 8. P1x2  2x 3  6x 2  2 9. P1x2  3x 4  4x 3  10x  1 10. P1x 2  x 5  x 4  7x 3  x 2  6x  3 13–20 ■ Encuentre el cociente y el residuo. x 2  3x  5 13. x2 x 2  x  12 14. x3 15. x 3  x 2  11x  2 x4 16. x 3  2x 2  10 x3 17. x 4  8x 2  2x  7 x5 18. 2x 4  3x 3  12 x4 2x 3  x 2  8x  15 19. x 2  2x  1 x 4  2x 2  7x 20. x2  x  3 21–22 ■ Halle el valor indicado del polinomio por medio del teorema del residuo. 21. P1x 2  2x  9x  7x  13; encuentre P15 2 3 11. La resistencia S de una viga de madera de ancho x y profundidad y se expresa mediante la fórmula S  13.8xy 2. Se cortará una viga de un tronco de diámetro 10 pulg., como se muestra en la figura. a) Exprese la resistencia S de esta viga como una función de x solamente. b) ¿Cuál es el dominio de la función S? c) Dibuje una gráfica de S. d) ¿Qué ancho hace que la viga tenga la mayor resistencia? 2 22. Q1x2  x 4  4x 3  7x 2  10x  15; determine Q13 2 23. Muestre que 12 es un cero del polinomio P1x 2  2x 4  x 3  5x 2  10x  4 24. Use el teorema del factor para mostrar que x  4 es un factor del polinomio P1x2  x 5  4x 4  7x 3  23x 2  23x  12 25. ¿Cuál es el residuo cuando el polinomio P1x 2  x 500  6x 201  x 2  2x  4 se divide entre x  1? 368 26. ¿Cuál es el residuo cuando x101  x4  2 se divide entre x  1? CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas 27–28 ■ Se da un polinomio P. a) Liste racionales (sin probar Un si en realidad b) ¿Después de cuántos años la población de peces llega los a posibles 81. ceros Circuitos electrónicos circuito electrónico contiene son ceros). 5000? una batería que produce un voltaje de 60 volts (V), un resis12. Se construirá un pequeño cobertizo para plantas delicadas tor posible con unade resistencia de 13 ohms (), y un inductor con b) Determine el número ceros positivos y negativos con un plástico delgado. Tendrá extremos cuadrados y las unasignos inductancia de 5 henrys (H), como se muestra en la usando la regla de los de Descartes. partes superior y posterior serán rectangulares, con el frente figura. Por medio del cálculo, se puede demostrar que 2  2x I  18 I1t2 (en amperes, A) t segundos después de 27. P1x 2  x 5  6x 3 la xcorriente y el fondo abiertos, como se muestra en la figura. El área total de los cuatro lados de plástico será de 1200 pulg2. 2 cierra el interruptor es I  60 11  e13t/5 2 . 13  xse  3x  4 28. P1x 2  6x 4  3x 3 que a) Exprese el volumen V del cobertizo como una función a) Use esta ecuación para expresar el tiempo t como una de la profundidad x. función 29–36 ■ Se da un polinomio P. de la corriente I. b) Dibuje una gráfica de V. ¿Después de cuántos segundos la corriente es 2 A? a) Encuentre los cerosb)de P y sus multiplicidades. c) ¿Qué dimensiones maximizarán el volumen del b) Bosqueje la gráfica de P. 13  cobertizo?78. Transparencia de un lago Los científicos ambientales 29. en 30. P1x 2  x 3  3x 2  4x P1xun 2  x 3  16x miden la intensidad de la luz a varias profundidades y lago para determinar la transparencia del agua. Ciertos 31. P1xnive32. P1x2  x 4  5x 2  4 2  x 4  x 3  2x 2 les de transparencia se requieren para la biodiversidad de la 5H 33. P1x 2  x 4  2x 3  7x 2  8x 60 V 12 población de macrófitas. En cierto lago la intensidad de la x 34. P1x 2  x 4  2x 3  2x 2  8x  8 I  10e 0.008x Switch 35. P1x2  2x 4  x 3  2x 2  3x  2 donde I se mide en lúmenes y x en pies. x 82. Curva de aprendizaje Una curva de aprendizaje es una a) Determine la intensidad I a una profundidad de 30 pies. gráfica de una función P1t2 que mide el desempeño de b) ¿A qué profundidad la intensidad de la luz ha disalguien que aprende una habilidad como una función del minuido a I  5? tiempo de entrenamiento t. Al comienzo, la tasa de aprendizaje es rápida. Luego, conforme se incremente el desempeño y se aproxime a un valor máximo M, disminuye la tasa de aprendizaje. Se ha encontrado que la función luz a una profundidad x está dada por P1t 2  M  Ce kt 79. Presión atmosférica La presión atmosférica P (en kilopascales, kPa) a la altura h (en kilómetros, km) está gobernada por la fórmula ln a h P b  P0 k donde k  7 y P0  100 kPa son constantes. a) Despeje P de la ecuación. b) Use el inciso a) para calcular la presión P a una altitud de 4 km. 80. Enfriamiento de una máquina Suponga que conduce un automóvil en un frío día de invierno (20ºF en el exterior) y la máquina se sobrecalienta (a cerca de 220ºF). Cuando se estaciona, la máquina comienza a enfriarse. La temperatura T de la máquina t minutos después de que se estaciona satisface la ecuación ln a T  20 b  0.11t 200 a) Despeje T de la ecuación. b) Use el inciso a) para determinar la temperatura del motor después de 20 min (t  20). donde k y C son constantes positivas y C  M es un modelo razonable para el aprendizaje. a) Exprese el tiempo de aprendizaje t como una función del nivel de desempeño P. b) Para un saltador con pértiga en entrenamiento, la curva de aprendizaje está dada por P1t2  20  14e 0.024t donde P1t2 es la altura que puede saltar después de t meses. ¿Después de cuántos meses puede saltar 12 pies? c) Dibuje una gráfica de la curva de aprendizaje del in-ciso b). Principios generales Stanford University News Service vi George Polya (1887-1985) es famoso entre los matemáticos por sus ideas acerca de la resolución de problemas. Sus conferencias acerca de la resolución de problemas en Stanford University atraían a grandes cantidades de personas a quienes mantenía al borde de sus asientos, llevándolos a descubrir soluciones por sí mismos. Era capaz de hacerlo debido a su profundo conocimiento de los fenómenos psicológicos que hay en el momento de resolver un problema. Su obra mejor conocida How To Solve It está traducida a 15 idiomas. Decía que Euler (véase pág. 288) era único entre los grandes matemáticos porque explicaba cómo había encontrado sus resultados. Polya decía a menudo a sus alumnos: “Sí, ya veo que tu demostración es correcta, pero ¿cómo la descubriste?” En el prefacio del libro How To Solve It, Polya escribe “Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Su problema podrá ser modesto, pero si desafía a su curiosidad y lo lleva a poner en marcha sus facultades inventivas, y si usted resuelve el problema con sus propios medios, experimentará la fuerza y la alegría del triunfo del descubrimiento”. No hay reglas difíciles ni rápidas que aseguren el éxito al resolver problemas. Pero es posible esbozar unos pasos generales en el proceso de la resolución de problemas y dar principios que son útiles para resolver ciertos problemas. Estos pasos y principios son sólo sentido común hecho explícito. Además, son adaptaciones del agudo libro de George Polya How To Solve It. 1. Entienda el problema El primer paso es leer el problema y estar seguro de que ya lo entendió. Hágase usted mismo las preguntas siguientes: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas? Para cualquier problema es útil hacer un diagrama e identificar en el mismo diagrama las cantidades dadas y las requeridas. Por lo regular es necesario introducir una notación conveniente Al elegir símbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos letras como a, b, c, m, n, x y y, pero en algunos casos ayuda usar iniciales o símbolos sugerentes, por ejemplo, V para volumen o t para el tiempo. 2. Piense en un plan Halle una conexión entre la información dada y la incógnita, que le permita calcularla. Muchas veces ayuda preguntarse uno mismo: “¿Cómo puedo relacionar la información dada con la incógnita?”. Si usted no ve la conexión en forma inmediata, las ideas siguientes podrían ser útiles para trazar un plan. ■ Trate de identificar algo familiar Relacione la situación dada con un conocimiento anterior. Examine la incógnita y trate de recordar un problema más conocido que tiene una incógnita similar. ■ Intente identificar patrones Ciertos problemas se resuelven cuando se identifica que hay un patrón. El patrón podría ser geométrico o numérico o algebraico. Si puede ver regularidad o repetición en un problema, entonces usted sería capaz de adivinar qué patrón es y demostrarlo. ■ Use la analogía Trate de pensar en un problema análogo, es decir, que sea semejante o que esté relacionado, pero que sea más fácil que el original. Si puede resolver el problema similar más sencillo, entonces esto le podría dar las pistas que necesita para resolver el  Stewart, Redlin y Watson se enfocan en la solución de problemas y hacen énfasis en que los estudiantes desarrollen un pensamiento matemático en vez de que memoricen “reglas”. El capítulo 1 termina con la sección Enfoque en la resolución de problemas, en la cual se esbozan los pasos generales del proceso que lleva a la solución de un problema y se proporcionan principios útiles al resolver cierto tipo de problemas. Dichos pasos y principios son adaptaciones de How To Solve It de George Polya.  Más del 20% de los ejercicios del texto es material nuevo en esta edición, así como los ejercicios de aplicación. Una gran cantidad de ejercicios clasificados con todo cuidado impulsan a que el estudiante entienda los conceptos y desarrolle sus habilidades para resolver problemas. Los ejercicios van desde el desarrollo de habilidades elementales hasta los problemas más complicados. En esta edición, cada conjunto de ejercicios incluye un grupo de ejercicios de Aplicaciones. Este diseño confiere importancia a las aplicaciones de los problemas, a la vez que los hace más fáciles de asignar. El icono de calculadora para graficar señala los ejercicios que se ( resuelven idealmente por medio de la calculadora o la computadora. En la página viii de este prefacio ilustrado se encuentra más información acerca del uso de la calculadora para graficar en este libro. AVANCE PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO, QUINTA EDICIÓN Figura 3 Ejemplo 1 Rastreo de un satélite (LAA) Un satélite que orbita la Tierra pasa directamente arriba de las estaciones de observación en Phoenix y Los Ángeles, apartadas 340 millas. En un instante cuando el satélite está entre estas dos estaciones, su ángulo de elevación es observado de manera simultánea como 60 en Phoenix y 75 en Los Ángeles. ¿Qué tan lejos está el satélite de Los Ángeles? En otras palabras, encuentre la distancia AC en la figura 4. Solución Siempre que dos ángulos en un triángulo se conocen, el tercer ángulo se puede determinar de inmediato porque la suma de los ángulos de un triángulo es 180. En este caso, ⬔C  180°  175°  60°2  45° (véase la figura 4), por lo tanto se tiene sen B sen C  Ley de los senos c b millas sen 60° sen 45°  b 340 Figura 4 b Sustituya 340 sen 60°  416 sen 45° Resuelva por b La distancia del satélite desde Los Ángeles es aproximadamente 416 millas. 638 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Ejemplo 2  Muchos de los Ejemplos ilustrativos del libro incluyen una sección Revise su respuesta para remarcar la importancia de revisar y comprobar si una respuesta es razonable. Además, la mayor parte de los ejemplos ilustrativos contienen notas del autor, lo cual constituye una guía paso a paso para llegar a la solución. Método de sustitución Calcule todas las soluciones del sistema. e x 2  y 2  100 3x  y  10 Ecuación 1 Ecuación 2 Solución Iniciamos despejando y de la segunda ecuación. Despejar una variable y  3x  10 Despeje y de la ecuación 2 Luego se sustituye el valor de y en la primera ecuación y se determina el valor de x: Sustitución x 2  13x  102 2  100 Sustitución de y  3x  10 en la ecuación 1 Desarrollo x 2  19x 2  60x  1002  100 10x 2  60x  0 Simplificación 10x1x  62  0 Factorización x0 o bien x6 Determinación de x Ahora se sustituyen estos valores de x en la ecuación y  3x  10. Sustitución en la variable despejada Para x  0: y  3102  10  10 Sustitución Para x  6: y  3162  10  8 Sustitución Entonces tenemos dos soluciones: 10, 102 y 16, 82. La gráfica de la primera ecuación es una circunferencia, y la gráfica de la segunda ecuación es una recta; en la figura 3 se ilustra que las gráficas se cortan en los dos puntos 10, 102 y 16, 82. y ≈+¥=100 Compruebe su respuesta x  0, y  10: 10 2 2  1102 2  100 e 310 2  110 2  10 (6, 8) 6 x  6, y  8: 16 2 2  18 2 2  36  64  100 e 316 2  18 2  18  8  10 0 Figura 3 3x-y=10 ■ 6 _10) x ■ Método de eliminación Para resolver un sistema por medio del método de eliminación, se trata de combinar las ecuaciones usando sumas o diferencias para eliminar una de las variables. ‘‘ Otra característica notable de esta obra son las preguntas capciosas que a menudo se presentan al final de un grupo de ejercicios. Estoy impresionado por la variedad y profundidad de muchas de estas preguntas, y creo que los ejemplos prácticos, los enunciados de los problemas y las preguntas de la sección “Descubrimiento•Debate” . . . son recursos excelentes. Donald Robertson, Olympic College ‘‘ Ángeles vii viii AVANCE PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO, QUINTA EDICIÓN Matemáticas para el éxito futuro Precálculo es un libro completo, muy bien dosificado que proporciona exploración detallada de conceptos, y contiene una gran cantidad de material para graficar en la calculadora con el fin de ayudar a que el estudiante reflexione en las ideas matemáticas. 160 CAPÍTULO 2 Funciones Ejemplo 2 3 x§ x¢ _2 x™ 2 _1 a) Potencias pares de x x x£ x 2  Los amplios Proyecto para un descubrimiento ayudan al estudiante a que aprenda en forma activa, estimulándolo a utilizar sus habilidades matemáticas de una manera más provechosa. En esta edición se incluyen varias secciones nuevas de Proyecto para un descubrimiento, como la del capítulo 2, Funciones. Este proyecto se añadió para los maestros que necesitan material sobre relaciones. SECCIÓN 2.2 Gráficas de funciones Una familia de funciones exponenciales a) Grafique las funciones f 1x 2  x n para n  2, 4 y 6 en el rectángulo de visión 32, 24 por 31, 34. b) Grafique las funciones f 1x 2  x n para n  1, 3 y 5 en el rectángulo de visión 32, 24 por 32, 24. c) ¿Qué conclusiones puede sacar de estas gráficas? _2 2 Solución Las gráficas de los incisos a) y b) se muestran en la figura 4. c) Se ve que la forma general de la gráfica de f 1x 2  x n depende de si n es par o impar. Si n es par, la gráfica de f 1x 2  x n es similar a la parábola y  x 2. Si n es impar, la gráfica de f 1x 2  x n es similar a la de y  x 3. ■ Observe en la figura 4 que cuando n crece la gráfica de y  x n se vuelve más plana cerca de cero y más inclinada cuando x  1. Cuando 0  x  1, las potencias menores de x son las funciones “más grandes”. Pero cuando x  1, las potencias mayores de x son las funciones dominantes. _2 b) Potencias impares de x Figura 4 Una familia de funciones exponenciales f 1x2  x n Obtención de información de la gráfica de una función Los valores de una función se representan por la altura de su gráfica arriba del eje x. Así, los valores de una función se pueden leer de su gráfica. Ejemplo 3 171 Halle los valores de una función a partir de una gráfica La función T graficada en la figura 5 da la temperatura entre el mediodía y las 6 P.M. en cierta estación meteorológica. a) Determine T112 , T132 y T15 2 . b) ¿Qué es más grande, T12 2 o T14 2 ? T (°F) 40 30 20 10 Relaciones y funciones PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Una función f se puede representar como un conjunto de pares ordenados 1x, y 2 donde x es la entrada y y  f1x2 es la salida. Por ejemplo, la función que eleva al cuadrado cada número natural se puede representar mediante los pares ordenados 5 11, 12 , 12, 42 , 13, 92, . . .6. Una relación es cualquier colección de pares ordenados. Si los pares ordenados de una relación se denotan por 1x, y2 entonces el conjunto de valores de x (o entradas) es el dominio y el conjunto de valores de y (o salidas) es el rango. Con esta terminología una función es una relación donde para cada valor x hay exactamente un valor y (o para cada entrada hay exactamente una salida). Las correspondencias en la figura de abajo son relaciones: la primera es una función pero la segunda no porque la entrada 7 en A corresponde a dos salidas diferentes, 15 y 17, en B. A B A B 1 10 7 20 8 15 17 18 19 2 3 4 30 Función No es una función Se puede describir una relación si se listan los pares ordenados en la relación o si se da la regla de correspondencia. También, puesto que una relación consiste en pares ordenados se puede trazar su gráfica. Considérense las relaciones siguientes e intente decidir cuáles son funciones. y 3 2 1 _1 0 9 1 2 3 x La relación que consiste en los pares ordenados 5 11, 1 2, 12, 3 2, 13, 32 , 14, 22 6. La relación que consiste en los pares ordenados 511, 2 2, 11, 3 2, 12, 42 , 13, 22 6. La relación cuya gráfica se muestra a la izquierda. La relación cuyos valores de entrada son los días de enero de 2005 y cuyos valores de salida son la temperatura máxima en Los Ángeles en ese día. e) La relación cuyos valores de entrada son los días de enero de 2005 y cuyos valores de salida son las personas nacidas en Los Ángeles en ese día. a) b) c) d) La relación del inciso a) es una función porque cada entrada corresponde a exactamente una salida. Pero la relación del inciso b) no lo es, porque la entrada 1 corresponde a dos salidas diferentes (2 y 3). La relación del inciso c) no es una función porque la entrada 1 corresponde a dos salidas diferentes (1 y 2). La relación en d) es una función porque cada día corresponde a exactamente una temperatura máxima. La relación en e) no es una función porque muchas personas (no sólo una) nacieron en Los Ángeles en muchos días de enero de 2005. 1. Sea A  51, 2, 3, 46 y B  51, 0, 16. ¿La relación dada es una función de A y B? a) 511, 0 2, 12, 12 , 13, 0 2, 14, 1 2 6 b) 511, 0 2, 12, 12 , 13, 0 2, 13, 12 , 14, 0 2 6 Figura 5 Función de temperatura 0 1 2 3 4 5 6 x Horas a partir del mediodía Solución a) T112 es la temperatura a la 1 P.M. Está representada por la altura de la gráfica sobre el eje x en x  1. Por lo tanto, T112  25. De manera similar, T132  30 y T15 2  10. b) Puesto que la gráfica es mayor en x  2 que en x  4, se deduce que T12 2 es más grande que T14 2 . ■  Como una opción más en la solución de problemas, desde los primeros capítulos los autores aportan el uso de la calculadora graficadora como una herramienta importante que amplía la habilidad del estudiante para calcular y visualizar las matemáticas. Los autores utilizan en todo el libro la calculadora con el objeto de elaborar gráficas de funciones, familias de funciones y sucesiones; para calcular y obtener las gráficas de las curvas de regresión; resolver pasos del álgebra de matrices; graficar desigualdades lineales, y aún más. Las secciones, ejemplos y ejercicios en los que se utiliza la calculadora para hacer gráficas están marcados con un símbolo, lo cual permite identificarlos con facilidad. Éstos se pueden omitir sin que se pierda la continuidad. AVANCE PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO, QUINTA EDICIÓN 508 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos 40. Cálculo de un ángulo Una torre de agua de 30 m de alto se localiza en la cima de una colina. Desde una distancia de 120 m colina abajo, se observa que el ángulo entre la parte superior y la base de la torre es de 8. Encuentre el ángulo de inclinación de la colina. m burbujas (véase la figura). También, los ángulos ACB y ACD miden cada uno 60. a) Muestre que el radio r de la cara común está dado por r ab ab [Sugerencia: use la ley de los senos junto con el hecho de que un ángulo u y su complemento 180  u tienen el mismo seno.] b) Encuentre el radio de la cara común si los radios de las burbujas son 4 y 3 cm. c) ¿Qué forma toma la cara común si las dos burbujas tienen radios iguales? C r D 41. Distancias a Venus La elongación de un planeta es el ángulo que forman el planeta, la Tierra y el Sol (véase la figura). Se sabe que la distancia del Sol a Venus es de 0.723 UA (véase el ejercicio 65 de la sección 6.2). En cierto momento se encuentra que la elongación de Venus es de 39.4. Encuentre las distancias posibles de la Tierra a Venus en ese momento en unidades astronómicas (UA). Venus Descubrimiento • Debate 43. Número de soluciones en el caso ambiguo Se ha visto que al usar la ley de los senos para resolver un triángulo en el caso LLA, puede haber dos soluciones, una o ninguna. Bosqueje triángulos como los de la figura 6 para comprobar los criterios de la tabla para varias soluciones si se tiene ⬔A y los lados a y b. 1 UA Venus å Tierra 42. Burbujas de jabón Cuando dos burbujas se adhieren en el aire, su superficie común es parte de una esfera cuyo centro D yace sobre una línea que pasa por los centros de las 6.5  Si usted está enseñando trigonometría a partir del enfoque del triángulo rectángulo (capítulo 6) o con el sistema del círculo unitario (capítulo 5), Precálculo proporciona una solución flexible. Los capítulos sobre trigonometría de este libro están escritos de modo que se pueda analizar primero cualquier enfoque. Cada método está acompañado de aplicaciones adecuadas, que aclaran la razón de los diferentes enfoques de la trigonometría. En el caso de esta quinta edición, el capítulo 7, Trigonometría analítica, se ha acortado, y el material adicional se pasó a un capítulo 8 nuevo y estructurado más lógicamente, Coordenadas polares y vectores. Criterio Número de soluciones a b b  a  b sen A a  b sen A a  b sen A 1 2 1 0 Si ⬔A  30 y b  100, use estos criterios para hallar el intervalo de valores de a para los cuales el triángulo ABC tiene dos soluciones, una solución o ninguna. Ley de los cosenos La ley de los senos no se puede usar de manera directa para resolver triángulos si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos o si se conocen los tres lados (éstos son los casos 3 y 4 de la sección anterior). En estos dos casos, se aplica la ley de los cosenos.  Cada uno de los grupos de ejercicios termina con preguntas sobre Descubrimiento•Debate que estimulan a los estudiantes a experimentar con los conceptos desarrollados en esa sección. Estas preguntas se pueden resolver por grupos y ayudan a que el estudiante aprenda a comunicar el pensamiento matemático por medio de la escritura. Trigonometría de ángulos rectos 6.3 Funciones trigonométricas de ángulos 6.4 Ley de los senos 6.5 Ley de los cosenos Las funciones trigonométricas se pueden definir de dos maneras distintas pero equivalentes: como funciones de números reales (capítulo 5) o como funciones de ángulos (capítulo 6). Los dos enfoques a la trigonometría son independientes entre sí, así que se puede estudiar primero el capítulo 5 o el capítulo 6. Se estudian ambos métodos porque distintas aplicaciones requieren que sean consideradas desde un punto de vista distinto. El enfoque en este capítulo lleva a problemas geométricos en los que se requiere hallar ángulos y distancias. Suponga que se quiere hallar la distancia al Sol. Usar una cinta métrica es por supuesto impráctico, así que se necesita algo más que la medición simple para enfrentar este problema. Los ángulos son fáciles de medir; por ejemplo, se puede hallar el ángulo formado entre el Sol, la Tierra y la Luna apuntando simplemente al Sol con un brazo y a la Luna con el otro y estimar el ángulo entre ellos. La idea clave es hallar una relación entre ángulos y distancias. Así que si se tiene una manera de determinar distancias a partir de ángulos, se podría hallar la distancia al Sol sin ir allá. Las funciones trigonométricas proporcionan las herramientas necesarias. Si ABC es un ángulo recto con ángulo agudo u como en la figura, entonces se define sen u como la relación y/r. El triángulo A B C es similar al triángulo ABC, por lo tanto y y  r r Aunque las distancias y y r son diferentes de y y r, la relación dada es la misma. Así, en cualquier ángulo recto con ángulo agudo u, la relación del ángulo opuesto u a la hipotenusa es la misma y se llama sen u. Las otras relaciones trigonométricas se definen de manera similar. C' r' y' x' B' C r y ¨ Gregory D. Dimijian M.D. ‘‘ Jude T. Socrates, Pasadena City College Medida angular 6.2 Esquema del capítulo ‘‘ Mi propósito al enseñar los conceptos matemáticos necesarios para comprender el cálculo infinitesimal es conformar las bases algebraicas y las habilidades para manejar la trigonometría . . . [Precálculo] me ayuda ciertamente a lograr esta meta. 6.1 A ¨ x B A' En este capítulo se aprende cómo se pueden usar las funciones trigonométricas para medir distancias sobre la tierra y el espacio. En los ejercicios 61 y 62 de la página 487, se determina en realidad la distancia al Sol por medio de trigonometría. 467 ix AVANCE PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO, QUINTA EDICIÓN Matemáticas para situaciones Enfoque en el modelado Mapeo del mundo El método usado para medir y elaborar un mapa (página 522) funciona bien para áreas pequeñas. Pero trazar el mapa del mundo entero introduciría una nueva dificultad: ¿cómo se representa el mundo esférico mediante un mapa plano? Se han desarrollado varios métodos ingeniosos. Proyección cilíndrica Un método es la proyección cilíndrica. En este método se imagina un cilindro que envuelve a la Tierra en el ecuador como en la figura 1. Cada punto sobre la tierra se proyecta sobre el cilindro mediante un rayo que emana del centro de la Tierra. El cilindro extendido es el mapa plano deseado del mundo. El proceso se ilustra en la figura 2. Figura 1 El punto P sobre la Tierra se proyecta sobre el punto P sobre el cilindro mediante un rayo desde el centro de la Tierra C. cotidianas Los estudiantes encontrarán un gran acervo de aplicaciones del mundo real y ejemplos de ingeniería, física, química, negocios, biología, estudios ambientales y de otros campos. Mediante el Enfoque en el modelado, los autores señalan continuamente la pertinencia del pensamiento matemático para modelar situaciones de la vida cotidiana. o o 1 2 p 5p x , 6 6 3p p x  2kp, x   2kp, 2 2 donde k es un entero cualquiera. Determinación de sen x Determinación de x en el intervalo [0, 2p) x p  2kp, 6 x S 5p  2kp 6 ■ Elevación al cuadrado y uso de una identidad Resuelva la ecuación cos x  1  sen x en el intervalo [0, 2p2. A Solución Para obtener una ecuación que contenga sólo seno o sólo coseno, eleJulia Robinson vamos ambos miembros y aplicamos la identidad pitagórica. (1919-1985) nació en San Luis Missouri, y creció en Point Loma, California. Debido cos2x  2 cos x  1  sen2x Se elevan al cuadrado ambos a una enfermedad, no asistió a la miembros escuela dos años, pero después con 2 2 cos x  2 cos x  1  1  cos x Identidad pitagórica ayuda de un tutor, terminó el quin2 cos2x  2 cos x  0 Simplificación to, sexto, séptimo y octavo grados 2 cos x 1cos x  12  0 Factorizaciónen solo un año. Más tarde, en la 2 cos x  0 o bien cos x  1  0 Se iguala cada factor a 0 State University, al leer San Diego biografías de matemáticos en cos x  0 cos x  1 o bien Determinaciónlas de cos x Men of Mathematics de E. T. Bell se p 3p Determinación de x en el x , o bien xp intervalo [0, 2p) despertó en ella lo que llegó a ser 2 2 una pasión de toda su vida por las Puesto que elevamos al cuadrado ambos lados, necesitamos comprobar si hay solu- Decía “No creo examatemáticas. ciones extrañas. De acuerdo con Compruebe su respuesta observamos que las soluciogerar al destacar la importancia de nes de la ecuación dada son p/2 y p. esos libros...■en la vida intelectual de un estudiante.” Robinson es faCompruebe su respuesta mosa por su trabajo sobre el décimo p 3p problema x : : x x  p : de Hilbert (página 708), el 2 2 cual pide un procedimiento general 3p p p 3p ? ? ? cos cos p para 1  sen p cos  1  sen  1  sen determinar si una ecuación 2 2 2 2 tiene soluciones con números ente011 0  1 ⱨ 1 1  1  0 ros. Sus ideas dieron origen a una respuesta completa al problema. Es Si ejecutamos una operación en una ecuación que podría introducir nuevas raíces, hacer notar que la restal como elevar al cuadrado ambos miembros, entonces debemos interesante verificar que las soluciones que se obtienen no son extrañas; es decir, es necesariopuesta comprobar se que relacionaba con ciertas cumplen con la ecuación original, como en el ejemplo 7. propiedades de los números de Fibonacci (página 826) descubiertas por el entonces matemático ruso de 22 años Yuri Matijasevič. Como resultado de su brillante trabajo sobre el décimo problema de Hilbert, le ofrecieron una cátedra en la Universidad de California, Berkeley, y se convirtió en la primera mujer matemática elegida a la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos. También fue presidenta de la American Mathematical Society. cos x  1  sen x  Las viñetas de Matemáticas en el mundo moderno revelan la importancia de las matemáticas como una ciencia viva, decisiva para el progreso científico y técnico de los tiempos recientes, pero también para las ciencias sociales, de la conducta y de la vida. Los estudiantes encontrarán también viñetas biográficas que presentan reflexiones de varios matemáticos relativas a los conceptos preliminares del cálculo. a) Proyección cilíndrica x b) Mapa de proyección cilíndrica Por supuesto, en realidad no se puede envolver una gran pieza de papel alrededor del mundo, de modo que este proceso completo se debe hacer matemáticamente, y la herramienta que se necesita es trigonometría. En el cilindro extendido se toma el eje x para que corresponda con el ecuador y el eje y con el meridiano de Greenwich, Inglaterra (longitud 0º). Sea R el radio de la Tierra y P el punto sobre la Tierra en longitud a E y latitud b N. El punto P se proyecta hasta el punto P 1x, y2 sobre el cilindro (visto como parte del plano coordenado) donde x a p b aR 180 Fórmula para la longitud de un arco circular y  R tan b 565 El periodo tanto del seno como del coseno es 2p, de modo que obtenemos todas las soluciones de la ecuación mediante la adición de un múltiplo entero cualquiera de 2p a estas soluciones. Por lo tanto, las soluciones son Ejemplo 7 y Definición de tangente Véase la figura 2a). Estas fórmulas se pueden usar entonces para trazar el mapa. (Observe que la longitud oeste y la latitud sur corresponden a valores negativos de a y b, respectivamente.) Por supuesto, usar R como el radio de la Tierra produciría un mapa enorme, así que se remplaza R por un valor más pequeño para obtener un mapa a una escala apropiada como en la figura 2b). 2 sen x  1  0 Cada factor se iguala a 0 sen x  p 3p x , 2 2 P' Figura 2 Ecuación dada  Los capítulos 2 al 12 cuentan con una sección Enfoque en el modelado, en la que se ilustran técnicas para modelar, así como la manera en la que los conceptos preliminares del cálculo se pueden aplicar en situaciones de la vida real. Seis de dichas secciones de esta edición son nuevas, y cuentan con aplicaciones de gran interés que van desde la topografía hasta la agricultura. Además de estas secciones se incluyen muchos problemas aplicados, que dan al estudiante un modelo para analizar, así como problemas en los cuales se pide a los estudiantes que construyan modelos para situaciones de la vida cotidiana. M m c c r b 8.1 Coordenadas polares 8.2 Gráficas de ecuaciones polares 8.3 Forma polar de números complejos; teorema de DeMoivre 8.4 Vectores 8.5 Producto punto Esquema del capítulo En este capítulo se estudian las coordenadas polares, una nueva forma de describir la ubicación de puntos en un plano. Un sistema coordenado es un método para especificar la ubicación de un punto en el plano. Estamos familiarizados con coordenadas rectangulares (o cartesianas). En las coordenadas rectangulares la ubicación de un punto está dada por un par ordenado 1x, y2, que da la distancia del punto a dos ejes perpendiculares. Usar coordenadas rectangulares es como describir una ubicación en una ciudad diciendo que está en la esquina de la calle 2 y la cuarta avenida. Pero se podría describir también este mismo lugar diciendo que está una y media millas al noreste del City Hall. Por lo tanto, en vez de especificar el lugar con respecto a una cuadrícula de calles y avenidas, se especifica dando su distancia y dirección a partir de un punto de referencia fijo. Eso es lo que se hace en el sistema de coordenadas polares. En coordenadas polares la ubicación de un punto está dado por un par ordenado 1r, u2 donde r es la distancia del origen (o polo) y u es el ángulo desde el eje x positivo (véase la figura a continuación). S e l l y P(r, ¨) S r ¨ 0 a  Todos los capítulos comienzan con un Esquema del capítulo, en el que se presentan las ideas principales y se indican cómo aplicarlas en contextos reales. Courtesy of NASA SECCIÓN 7.5 Ecuaciones trigonométricas cos x  0 y x The National Academy of Sciences x x ¿Por qué se estudian diferentes sistemas coordenados? Porque ciertas curvas se describen de manera más natural en un sistema coordenado que en otro. En coordenadas rectangulares se pueden dar ecuaciones simples para líneas, parábolas o curvas cúbicas, pero la ecuación de un círculo es bastante complicada (y no es una función). En coordenadas polares, se pueden dar ecuaciones simples para círculos, elipses, rosas y figuras de números 8: curvas que es difícil describir en coordenadas rectangulares. Así, por ejemplo, es más natural describir la trayectoria de un planeta alrededor del Sol en términos de distancia a partir de este astro y el ángulo de desplazamiento, en otras palabras, en coordenadas polares. También proporcionaremos representaciones en coordenadas polares de números complejos. Como se verá, es fácil multiplicar números complejos si se escriben en forma polar. En este capítulo también se utilizan coordenadas para describir cantidades dirigidas o vectores. Cuando se habla de temperatura, masa o área, se necesita sólo un número. Por ejemplo, podemos expresar que la temperatura es de 70ºF. Pero cantidades como la velocidad o la fuerza son cantidades dirigidas, porque se relacionan con dirección así como con magnitud. Así, se dice que un bote navega a 10 nudos al noreste. Esto 581 A nuestros estudiantes, de quienes hemos aprendido tanto. Contenido Prefacio xix Al estudiante xxv Calculadoras y cálculos 1 Fundamentos ■ 1.1 1.2 1.3 xxvii 1 Esquema del capítulo 1 Números reales 2 Exponentes y radicales 12 Expresiones algebraicas 24 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO 1.4 1.5 1.6 de una fórmula 34 Expresiones racionales 35 Ecuaciones 44 Modelado mediante ecuaciones ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 2 2.1 2.2 58 Ecuaciones a través de las épocas 75 Desigualdades 76 Geometría analítica 87 Calculadoras para graficar y resolución de ecuaciones y desigualdades por métodos gráficos 101 Rectas 111 Modelos de variación 123 Repaso 130 Evaluación 135 ■ ENFOQUE EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Principios generales 138 Funciones ■ Representación gráfica 146 Esquema del capítulo ¿Qué es una función? Gráficas de funciones 147 148 158 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO y funciones Relaciones 171 xiii xiv Contenido 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3 Funciones polinomiales y racionales ■ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio 173 Transformaciones de funciones 182 Funciones cuadráticas; máximos y mínimos 193 Modelado con funciones 203 Combinación de funciones 214 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Iteración y caos Funciones uno a uno y sus inversas 225 Repaso 233 Evaluación 237 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Ajuste de líneas a datos 4.1 248 326 Esquema del capítulo 327 Funciones exponenciales 328 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO 4.2 4.3 4.4 4.5 239 Esquema del capítulo 249 Funciones polinomiales y sus gráficas 250 División de polinomios 265 Ceros reales de polinomios 272 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Centrarse en un cero 283 Números complejos 285 Ceros complejos y el teorema fundamental del álgebra 291 Funciones racionales 299 Repaso 316 Evaluación 319 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Ajuste de curvas polinomiales a datos 320 Funciones exponenciales y logarítmicas ■ 223 Explosión exponencial 341 Funciones logarítmicas 342 Leyes de los logaritmos 352 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 358 Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 369 Repaso 382 Evaluación 385 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Ajuste de curvas exponenciales y de potencia a datos 386 Contenido 5 Funciones trigonométricas de 398 números reales ■ 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6 Esquema del capítulo 399 Círculo unitario 400 Funciones trigonométricas de números reales 408 Gráficas trigonométricas 418 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Modelos de depredadores/presa 432 Más gráficas trigonométricas 434 Modelado del movimiento armónico 442 Repaso 454 Evaluación 458 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Ajuste de curvas sinusoidales a datos 459 Funciones trigonométricas de ángulos ■ 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 7 xv Esquema del capítulo 467 Medida angular 468 Trigonometría de ángulos rectos 478 Funciones trigonométricas de ángulos 488 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Similitud 499 Ley de los senos 501 Ley de los cosenos 508 Repaso 516 Evaluación 520 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Agrimensura 522 Trigonometría analítica ■ 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 526 Esquema del capítulo 527 Identidades trigonométricas 528 Fórmulas de adición y sustracción 535 Fórmulas para el ángulo doble, mitad de ángulo o semiángulo y producto-a-suma 541 Funciones trigonométricas inversas 550 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Dónde sentarse en el cine 560 Ecuaciones trigonométricas 561 Repaso 571 Evaluación 574 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Ondas progresivas y estacionarias 575 466 xvi Contenido 8 Coordenadas polares y vectores ■ 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 9 580 Esquema del capítulo 581 Coordenadas polares 582 Gráficas de ecuaciones polares 587 Forma polar de números complejos; teorema de DeMoivre 596 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Fractales 605 Vectores 607 Producto punto 617 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Navegar contra el viento 626 Repaso 627 Evaluación 629 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Mapeo del mundo 630 Sistemas de ecuaciones y desigualdades ■ 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 Esquema del capítulo 635 Sistemas de ecuaciones 636 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables 644 Sistemas de ecuaciones lineales con varias variables 651 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Mejor ajuste y ajuste exacto 660 Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 662 Álgebra de matrices 675 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO ¿Sobrevivirán las especies? 688 Inversas de matrices y ecuaciones matriciales 689 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Imágenes mediante computadora I 700 Determinantes y la regla de Cramer 704 Fracciones parciales 715 Sistemas de desigualdades 721 Repaso 728 Evaluación 733 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Programación lineal 735 10 Geometría analítica ■ 10.1 10.2 10.3 634 Esquema del capítulo Parábolas 744 Elipses 753 Hipérbolas 762 742 743 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO arquitectura 771 Cónicas en la Contenido 10.4 10.5 xvii Cónicas desplazadas 775 Rotación de ejes 783 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO 10.6 10.7 Gráficas de computadora II 792 Ecuaciones polares de cónicas 795 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 801 Repaso 810 Evaluación 814 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Trayectoria de un proyectil 816 11 Sucesiones y series ■ 11.1 11.2 11.3 820 Esquema del capítulo 821 Sucesiones y notación de suma Sucesiones aritméticas 833 Sucesiones geométricas 838 822 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO 11.4 11.5 11.6 Determinación de patrones 847 Matemáticas financieras 848 Inducción matemática 854 Teorema del binomio 860 Repaso 870 Evaluación 873 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Modelado con sucesiones recursivas 874 12 Límites: presentación preliminar de cálculo ■ 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 880 Esquema del capítulo 881 Determinación de límites en forma numérica y gráfica Determinación algebraica de límites 890 Rectas tangentes y derivadas 898 ● PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Diseño de una montaña rusa 908 Límites en el infinito; límites de sucesiones 908 Áreas 916 Repaso 925 Evaluación 928 ■ ENFOQUE EN EL MODELADO Interpretaciones de área Respuestas R1 Índice I1 Créditos de fotografía C1 882 929 Prefacio El arte de enseñar es el arte de ayudar a descubrir. MARK VAN DOREN ¿Qué es lo que los estudiantes realmente necesitan saber antes de estudiar cálculo? ¿Con qué herramientas deben contar los maestros para ayudar a sus alumnos a prepararse para el cálculo? Estas dos preguntas son el motivo por el cual hemos escrito este libro. Para estar preparado para el cálculo, el estudiante requiere no sólo habilidad técnica, sino también entender con claridad los conceptos. De hecho, la comprensión conceptual y la habilidad técnica van de la mano, y se refuerzan entre sí. Un estudiante también necesita poder apreciar la fuerza y la utilidad de las matemáticas para modelar el mundo real. Todas las características de este libro de texto están enfocadas para lograr estas metas. Estamos convencidos de que la buena enseñanza llega de maneras muy diferentes, y que cada maestro aporta brío e imaginación únicos en el salón de clases. Algunos maestros se apoyan en la tecnología para ayudar a que los estudiantes aprendan en forma activa; otros aplican la regla del cuatro: “los temas se tienen que presentar en forma geométrica, numérica, algebraica y verbal” para impulsar el razonamiento conceptual; unos más hacen gran énfasis en las aplicaciones para hacer que se aprecie la presencia de las matemáticas en la vida diaria. Hay otros que recurren al aprendizaje en grupo, proyectos ampliados o ejercicios de escritura como una forma de animar a los alumnos a explorar su propia comprensión de un concepto dado, y todas las matemáticas presentes como un esfuerzo para resolver un problema. En este libro hemos incluido todos estos métodos para enseñar los conceptos preliminares del cálculo con el fin de mejorar el eje de las habilidades fundamentales. Estos métodos son herramientas que pueden utilizar los profesores y sus alumnos para trazar su propio curso de acción en la preparación para el cálculo. Al escribir esta quinta edición nuestro objetivo era mejorar aún más la utilidad del libro como herramienta de instrucción. El cambio principal de esta edición es un mayor énfasis en el modelado y las aplicaciones: en cada sección se han ampliado los ejercicios de aplicación y se agrupan todos bajo el encabezado de Aplicaciones, y todos los capítulos, excepto el 1, finalizan con una sección llamada Enfoque en el modelado. También hemos efectuado algunos cambios en la organización del material, como la división del capítulo sobre trigonometría analítica en dos capítulos, cada uno de un tamaño más accesible. Hay numerosos cambios pequeños: a medida que trabajábamos en el libro nos dábamos cuenta que hacía falta un ejemplo, o que se debía ampliar una explicación, o que quedaría mejor una sección con tipos diferentes de ejercicios. Sin embargo, en todos estos cambios hemos conservado la estructura y las características principales que han contribuido al éxito del libro. xix xx Prefacio Muchos de los cambios de esta edición tuvieron origen en nuestra propia experiencia en la enseñanza, pero lo más importante es que hemos escuchado con mucha atención a quienes han usado este libro, entre ellos, a muchos de nuestros colegas más cercanos. Agradecemos la gran cantidad de cartas y de mensajes electrónicos que hemos recibido de maestros y de estudiantes, en los que nos recomendaban cambios o sugerían adiciones. Muchos de ellos nos ayudaron enormemente a hacer que esta edición sea más accesible para el estudiante. Características especiales GRUPOS DE EJERCICIOS La manera más importante de reforzar el entendimiento de los conceptos y perfeccionar la habilidad técnica se da mediante los problemas que asigna el maestro. Con este fin proporcionamos una amplia variedad de ejercicios. ■ ■ ■ Ejercicios Cada grupo de ejercicios está cuidadosamente clasificado según el grado de dificultad, desde los ejercicios conceptuales básicos y los problemas para el desarrollo de las habilidades, hasta los problemas más capciosos que requieren sintetizar el material que se aprendió anteriormente junto con nuevos conceptos. Ejercicios de aplicación Están incluidos problemas aplicados reales que, según nuestra opinión, captarán la atención de los estudiantes. Están incorporados en todo el libro tanto en los ejemplos como en los ejercicios. En los grupos de ejercicios, los problemas aplicados están reunidos bajo el encabezado de Aplicaciones. Descubrimientos, escritura y aprendizaje en grupo Cada uno de los grupos de ejercicios finaliza con un conjunto de ejercicios llamado Descubrimiento • Debate. Éstos se diseñaron para estimular al estudiante a experimentar, de preferencia en grupos, con los conceptos analizados en la sección, y luego a escribir lo que aprendieron, en lugar de simplemente a buscar “la respuesta”. UN CAPÍTULO DE REPASO COMPLETO Se incluye un capítulo de repaso a fin de que el estudiante repase los conceptos básicos de álgebra y geometría analítica y a su vez los tenga siempre a la mano. ■ ■ Capítulo 1 Es un capítulo de repaso; contiene los conceptos fundamentales que el estudiante requiere para iniciar un curso sobre los temas preliminares del cálculo. Lo mucho o lo poco que este capítulo sea cubierto en clase depende de los elementos con que cuenten los alumnos. Examen del capítulo 1 Se pretende que la prueba que se encuentra al finalizar el capítulo 1 sea un diagnóstico para determinar qué partes de este capítulo de repaso es necesario retomar. También ayuda al estudiante a evaluar con exactitud qué temas necesita repasar. Los capítulos sobre trigonometría están escritos de modo que se pueda abordar primero el enfoque del triángulo rectángulo o el del círculo unitario. Al colocar estos dos enfoques en distintos capítulos, cada cual con sus aplicaciones pertinentes, ayudamos a dilucidar el objetivo de cada método. Los capítulos introductorios a la trigonometría son los siguientes: ENFOQUE FLEXIBLE DE TRIGONOMETRÍA ■ Capítulo 5: Funciones trigonométricas de números reales Presenta la trigonometría por medio del método del círculo unitario. Este enfoque destaca que las funciones trigonométricas son funciones de números reales, justo como las funciones polinomiales y exponenciales con las cuales los estudiantes ya están familiarizados. Prefacio ■ xxi Capítulo 6: Funciones trigonométricas de los ángulos. Aquí se presenta la trigonometría por medio del enfoque del triángulo rectángulo. Este método se basa en los principios de un curso ordinario de trigonometría para bachillerato. Otra manera de enseñar trigonometría es entrelazar los dos métodos. Algunos maestros enseñan este material en el siguiente orden: secciones 5.1, 5.2, 6.1, 6.2, 6.3, 5.3, 5.4, 6.4, 6.5. La organización facilita hacerlo sin ocultar el hecho de que los dos métodos requieren distintas representaciones de las mismas funciones. El avance tecnológico que se ha dado en calculadoras y computadoras amplía de manera impresionante nuestra capacidad para calcular y representar las matemáticas. La disponibilidad de calculadoras graficadoras no les resta importancia, lo más importante es entender los conceptos en los que se basan las calculadoras. Así, todas las subsecciones en las que se requiere el uso de las calculadoras están precedidas por secciones en las cuales los estudiantes tienen que graficar o calcular a mano, de modo que puedan entender exactamente lo que la calculadora hace cuando más tarde la utilicen para simplificar la rutina. Las secciones, subsecciones, ejemplos y ejercicios para calculadora que están señaladas con el símbolo son optativas y se podrían omitir sin que haya pérdida de continuidad. Se utilizan las siguientes capacidades de la calculadora: CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS ■ ■ Calculadoras graficadoras El uso de este tipo de calculadora está incorporado en todo el libro para graficar y analizar funciones y sucesiones, para calcular y graficar curvas de regresión, operar con álgebra matricial, graficar desigualdades lineales y otros usos importantes. Programas sencillos Aprovechamos las capacidades de programación de la calculadora para simular situaciones de la vida cotidiana, sumar series o calcular los términos de una sucesión recursiva. El tema del modelado se usa en todo el libro para uniformar y aclarar las diversas aplicaciones de los conceptos preliminares del cálculo. En estas secciones y subsecciones de modelado realizamos un esfuerzo especial para aclarar el proceso esencial de pasar los enunciados de los problemas al lenguaje matemático. ENFOQUE EN EL MODELADO ■ ■ Modelos de construcción Hay numerosos problemas aplicados en los cuales se proporciona al alumno un modelo para que lo analice. Pero el material sobre modelado, donde a los estudiantes se les pide que construyan modelos matemáticos está organizado en secciones y subsecciones muy bien definidas. Enfoque en el modelado Todos los capítulos terminan con una sección de Enfoque en el modelado. La primera de dichas secciones, después del capítulo 2, presenta la idea básica de modelar una situación de la vida cotidiana mediante el ajuste de rectas a datos (regresión lineal). Otras secciones presentan formas en las que funciones polinomiales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas y sistemas de desigualdades se pueden utilizar para modelar fenómenos conocidos a partir de las ciencias y de la vida diaria. El capítulo 1 concluye con una sección que se llama Enfoque en la resolución de problemas. PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Una manera de hacer participar a los estudiantes y volverlos alumnos activos es hacerlos que trabajen, quizá en grupos, en proyectos extensos que los hagan sentir que logran algo importante cuando los terminan. Cada capítulo contiene uno o más Proyectos para un descubrimiento (véase el contenido). Estas secciones proporcionan un conjunto de actividades desafiantes pero xxii Prefacio accesibles que permiten que los estudiantes exploren con mayores detalles un aspecto interesante del tema que acaban de aprender. HISTORIAS MATEMÁTICAS Aprovechamos los márgenes para presentar notas históricas, reflexiones clave o aplicaciones de las matemáticas en el mundo moderno. Todo esto sirve para mostrar que las matemáticas son una actividad importante y vital, y que hasta en este nivel básico es fundamental para la vida cotidiana. ■ ■ Historias matemáticas Estas descripciones comprenden biografías de matemáticos importantes y a veces sobre un punto clave que el matemático descubrió y que es importante para este curso. Matemáticas en el mundo moderno Es una serie de viñetas que destacan el papel importante de las matemáticas en los logros técnicos y científicos actuales. REVISE SU RESPUESTA Es una sección que destaca el papel importante de esta ciencia en los logros técnicos y científicos actuales. SECCIONES DE REPASO Y PRUEBAS DE LOS CAPÍTULOS Cada capítulo finaliza con una amplia sección de repaso, incluso una Evaluación del capítulo diseñada para que el estudiante mida su avance. En la parte final del libro se proporcionan respuestas breves de los ejercicios con número impar de todas las secciones, incluso la de los ejercicios de repaso, y las respuestas a todas las preguntas de las evaluaciones de los capítulos. El material de repaso de cada capítulo inicia con una Revisión de conceptos, diseñada para motivar al estudiante a que piense y explique con sus propias palabras las ideas que se presentan en el capítulo. Se pueden usar como ejercicios de escritura, en una discusión en el salón de clases o para estudiar en forma individual. Principales cambios de la quinta edición ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Más del 20% de los ejercicios es nuevo y se seleccionó para proporcionar más práctica con conceptos básicos, así como para explorar ideas que no pudimos tratar en el texto ni en los ejemplos por falta de espacio. Se añadieron muchos nuevos ejercicios aplicados. Cada capítulo inicia con un Esquema del capítulo que presenta los temas principales del capítulo y explica la razón de la importancia del material. Se añadieron seis nuevas secciones de Enfoque en el modelado, y los temas van desde mapas del mundo (capítulo 8) hasta ondas viajeras y ondas estacionarias (capítulo 7). Se añadieron cinco nuevos Proyectos para un descubrimiento, y los temas van desde el uso de vectores en la navegación, hasta el uso de cónicas en la arquitectura. Se agregaron más historias matemáticas. Quitamos la sección sobre variación del capítulo 2 y la pasamos al capítulo 1, con lo que se logra que el capítulo 2 se enfoque más claramente en los conceptos esenciales de una función. En el capítulo 5, Funciones trigonométricas de los números reales, incorporamos el material del movimiento armónico como una sección nueva. La sección de Enfoque en el modelado trata ahora sobre ajuste de curvas sinusoidales a los datos. Prefacio ■ ■ ■ ■ ■ xxiii En el capítulo 7, Trigonometría analítica, incluimos sólo el material sobre identidades y ecuaciones trigonométricas. Hicimos este cambio a petición de los lectores. El capítulo 8, Coordenadas polares y vectores es nuevo. En él se encuentra material que estaba antes en otros capítulos. Los temas de este capítulo, que abarcan también la representación polar de números complejos, se unifican mediante el tema del uso de las funciones trigonométricas para ubicar las coordenadas de un punto o describir las componentes de un vector. En el capítulo 9, Sistemas de ecuaciones y desigualdades, la sección sobre las gráficas de desigualdades ahora es la última sección, de modo que ahora precede inmediatamente el material sobre programación lineal en la sección Enfoque en el modelado. El capítulo 10, Geometría analítica, comprende ahora sólo la sección que trata de las cónicas y ecuaciones paramétricas. El material sobre las coordenadas polares está ahora en el nuevo capítulo 8. El capítulo 11, Sucesiones y series contiene ahora más material sobre sucesiones recursivas, puesto que se añadió una sección sobre Enfoque en el modelado que trata acerca del uso de dichas sucesiones al modelar fenómenos cotidianos. Complementos Este libro cuenta con una serie de complementos para el profesor, los cuales están en inglés y sólo se proporcionan a los docentes que adopten la presente obra como texto para sus cursos. Para mayor información, favor de comunicarse con las oficinas de nuestros representantes o a los siguientes correos electrónicos: Thomson México y Centroamérica clientes@thomsonlearning.com.mx. Thomson América del Sur cliente@thomsonlearning.com Thomson Caribe amy.reyes@thomsonlearning.com Thomson Cono Sur thomson@thomsonlearning.com.ar Existe una versión en español de todas las respuestas a los ejercicios y problemas. Se encuentra en el sitio de Thomson Learning Latinoamérica www.thomson.com.mx. El acceso a este material es mediante una clave especialmente asignada al profesor que adopte este libro como texto. CD incluido Con este libro se incluye un CD con el recurso para el estudiante Interactive Video Skillbuilder, el cual contiene horas de clases en video. Lo problemas trabajados durante cada video se muestran a un lado de la pantalla, a fin de que el estudiante los vaya resolviendo antes de ver la solución. También se incluyen tutoriales, cuestionarios, tareas y otros apoyos. El símbolo señala qué temas tienen ejemplos adicionales y explicaciones en el CD. Agradecimientos Tenemos una deuda de gratitud con los siguientes revisores por sus comentarios cuidadosos y constructivos. Michelle Benedict, Augusta State University; Linda Crawford, Augusta State University; Vivian G. Kostyk, Inver Hills Community College y Heather C. McGilvray, Seattle University. REVISORES DE LA CUARTA EDICIÓN Kenneth Berg, University of Maryland; Elizabeth Bowman, University of Alabama en Huntsville; William Cherry, University of REVISORES DE LA QUINTA EDICIÓN xxiv Prefacio North Texas; Barbara Cortzen, DePaul University; Gerry Fitch, Louisiana State University; Lana Grishchenko, Cal Poly State University, San Luis Obispo; Bryce Jenkins, Cal Poly State University, San Luis Obispo; Margaret Mary Jones, Rutgers University; Victoria Kauffman, University of New Mexico; Sharon Keener, Georgia Perimeter College; YongHee Kim-Park, California State University en Long Beach; Mangala Kothari, Rutgers University; Andre Mathurin, Bellarmine College Prep; Donald Robertson, Olympic College; Jude Socrates, Pasadena City College; Enefiok Umana, Georgia Perimeter College; Michele Wallace, Washington State University, y Linda Waymire, Daytona Beach Community College. Nos hemos beneficiado mucho de las recomendaciones y los comentarios de nuestros colegas, quienes se han apoyado en ediciones anteriores de nuestros libros. Hacemos extensivo el agradecimiento especial a Linda Byun, Bruce Chaderjian, David Gau, Daniel Hernández, YongHee Kim-Park, Daniel Martínez, David McKay, Robert Mena, Kent Merryfield, Florence Newberger, Viet Ngo, Marilyn Oba, Alan Safer, Angelo Segalla, Robert Valentini y a Derming Wang, de California State University, Long Beach; a Karen Gold, Betsy Gensamer, Cecilia McVoy, Mike McVoy, Samir Ouzomgi y Ralph Rush de The Pennsylvania State University, Abington College; a Gloria Dion, de Educational Testing Service, Princeton, New Jersey; a Mark Ashbaugh y Nakhlé Asmar de la University of Missouri, Columbia; a Fred Safier, del City College de San Francisco, y Steve Edwards, de la Southern Polytechnic State University en Marietta, Georgia. También recibimos muchos consejos valiosos de nuestros alumnos, en especial de Devaki Shah y Ellen Newman. Damos las gracias en forma particular a Martha Emry, gerente de producción, por su excelente trabajo y su atención incansable a la calidad y al detalle. Su energía, dedicación, experiencia e inteligencia fueron puntos esenciales en la eleboración de este libro. También estamos muy agradecidos con Luana Richards, correctora de estilo, quien a través de los años ha moldeado el lenguaje y el estilo de todos nuestros libros. Agradecemos a Jade Meyers de Matrix Art Services por sus ingeniosas figuras. Agradecemos al equipo de G & S Book Services por su alta calidad y sistematización en la composición de las páginas. Gracias especialmente a Phyllis Panman-Watson por su dedicación y cuidado al generar la sección de respuestas. Nuestro agradecimiento al equipo de Brooks/Cole: Stacy Green, asistente del editor; Katherine Cook, asistente editorial; Karin Sandberg, gerente de comercialización; Jennifer Velásquez, asistente de comercialización; Bryan Vann, gerente comercial y de comunicaciones del proyecto; Janet Hill, gerente general de producción del proyecto; Vernon Boes, director general de arte, y Earl Perry, gerente de tecnología del proyecto. Agradecemos muy en particular al editor Bob Pirtle por dirigir este libro a través de las etapas de escritura y producción. Su apoyo y su experiencia editorial fueron invaluables en el momento de tomar decisiones cruciales. Al estudiante Este libro fue escrito a fin de que lo use como guía para conocer a fondo las matemáticas previas al cálculo. En seguida se presentan algunas recomendaciones para ayudarle a aprovechar al máximo este curso. Primero debe leer la sección adecuada del texto antes de intentar resolver los problemas de la tarea. Leer un texto de matemáticas es muy diferente a leer una novela, el periódico o cualquier otro libro. Podría encontrar que debe leer una vez tras otra un párrafo para poder entenderlo. Ponga atención especial a los ejemplos y resuélvalos usted mismo con lápiz y papel mientras los va leyendo. De esta manera será capaz de resolver la tarea con más rapidez y comprensión. No cometa el error de tratar de memorizar cada regla o hecho que se encuentre. Las matemáticas no son memorización. Las matemáticas son el arte de resolver problemas, no sólo una colección de datos. Para conocer a fondo el tema, debe resolver problemas, muchos problemas. Resuelva tantos como pueda. Asegúrese de escribir la solución en una forma lógica, paso por paso. No deseche un problema si no puede resolverlo en ese momento. Trate de entenderlo mejor, vuelva a leerlo con todo cuidado y relaciónelo con lo que ya aprendió de su maestro y de los ejemplos del libro. Luche con él hasta que lo resuelva. Hecho esto unas cuantas veces, empezará a entender de lo que realmente tratan las matemáticas. Al final del libro aparecen las respuestas a los ejercicios impares y a las evaluaciones de los capítulos. Si su respuesta difiere de la del libro, no suponga de inmediato que usted está mal. Puede haber un cálculo que relacione las dos respuestas y ambas pueden ser correctas. Por ejemplo, si usted llega a 1/1 12  12, pero la respuesta es 1  12, su respuesta es correcta porque puede multiplicar tanto el numerador como el denominador de su respuesta por 12  1 para tener la solución dada. El símbolo se utiliza para advertir que no cometa determinado error. Lo hemos colocado al margen para señalar situaciones en las que observamos que muchos estudiantes las repiten. xxv Calculadoras y cálculos Las calculadoras son esenciales en la mayor parte de las matemáticas y las ciencias. Nos liberan de ejecutar tareas rutinarias, de modo que podemos concentrarnos con más tranquilidad en los conceptos que estamos estudiando. Las calculadoras son herramientas poderosas, pero se requiere interpretar con cuidado los resultados. A continuación se describen las características que debe tener una calculadora adecuada para un curso de precálculo, y se ofrecen criterios para interpretar los resultados. Calculadoras científicas y graficadoras Para este curso usted necesita una calculadora científica, es decir, su calculadora debe tener como mínimo las operaciones aritméticas comunes (, , , ), así como las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas (ex, 10x, ln, log, sen, cos, tan). Además, será útil contar con una memoria y por lo menos algún grado de capacidad de ser programada. Su maestro podría recomendarle que compre una calculadora con la que pueda elaborar gráficas. Este libro tiene subsecciones y ejercicios optativos que requieren el uso de una calculadora de este tipo o de una computadora que tenga programas para graficar. Estas subsecciones y ejercicios especiales están señalados mediante el símbolo . Además de graficar funciones, las calculadoras para graficar se pueden usar también para encontrar funciones que modelen datos de la vida cotidiana, resuelvan ecuaciones, ejecuten cálculos con matrices (lo cual se estudia en el capítulo 9) y para que le ayuden a efectuar otras operaciones matemáticas. Todos estos usos se estudian en este libro. Es importante darse cuenta que debido a su limitada resolución, una calculadora para graficar da sólo una aproximación de la gráfica de una función. La calculadora grafica sólo una cantidad finita de puntos y luego los une para formar una representación de la gráfica. En la sección 1.9, damos criterios para usar este tipo de calculadoras e interpretar las gráficas que genera. Cálculos y cifras significativas La mayor parte de ejemplos y ejercicios aplicados de este libro requiere valores aproximados. Por ejemplo, un ejercicio establece que la Luna mide 1074 millas de radio. Esto no significa que el radio de la Luna sea exactamente de 1074 millas, sino que este es el radio redondeado a la milla más cercana. Un método simple para especificar la exactitud de un número es establecer cuántas cifras significativas tiene. Las cifras significativas de una cantidad son los números desde el primer dígito no cero hasta el último dígito no cero, leyendo de izquierda a derecha. Por consiguiente, 1074 tiene cuatro cifras significativas, 1070 tiene tres, 1100 tiene dos y 1000 tiene una cifra significativa. Esta regla puede originar algunas veces ambigüedades. Por ejemplo, si una distancia es de 200 km al kilómetro más xxvii xxviii Calculadoras y cálculos cercano, entonces el número 200 realmente tiene tres cifras significativas, y no sólo una. Esta ambigüedad se evita si se utiliza la notación científica, es decir, si se expresa el número como un múltiplo de una potencia de 10: 2.00 10 2 Cuando trabajan con valores aproximados, los estudiantes cometen a menudo el error de dar una respuesta final con más cifras significativas que los datos originales. Esto es incorrecto porque usted no puede “generar” precisión usando una calculadora. El resultado no puede ser más exacto que las mediciones dadas en el problema. Por ejemplo, suponga que nos han dicho que los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 1.25 y 2.33 pulg. De acuerdo con el Teorema de Pitágoras determinamos mediante una calculadora que la hipotenusa mide 21.252  2.332  2.644125564 pulg Pero como las longitudes están expresadas con tres cifras significativas, la respuesta no puede ser más exacta. Por lo tanto, podemos decir sólo que la hipotenusa es de 2.64 pulg, redondeando a la centésima más cercana. En general, la respuesta final se debe expresar con la misma exactitud que la medición menos exacta dada en el enunciado del problema. Las reglas siguientes establecen más precisamente este principio. Reglas para trabajar con datos aproximados 1. Al multiplicar o dividir, redondee el resultado de modo que tenga tantas cifras significativas que el valor dado con la cantidad más baja de cifras significativas. 2. Al sumar o restar, redondee el resultado de modo que su última cifra significativa esté en el lugar de los decimales en el cual el valor dado menos exacto tiene su última cifra significativa. 3. Cuando calcule potencias o raíces, redondee el resultado de modo que tenga el mismo número de cifras significativas que el valor dado. Por ejemplo, suponga que el mantel de una mesa rectangular mide 122.64 pulg por 37.3 pulg. El área y el perímetro los expresamos como sigue: Área  largo ancho  122.64 37.3  4570 pulg2 Perímetro  2Ólargo  anchoÔ  2Ó122.64  37.3Ô  319.9 pulg Tres cifras significativas Dígito de décimos Observe que en la fórmula del perímetro, el valor 2 es exacto, no una medida aproximada. Por lo tanto, no afecta la exactitud del resultado final. En general, si un problema tiene sólo valores exactos, podríamos expresar la respuesta con tantas cifras significativas como queramos. Asimismo, note que para hacer el resultado final tan exacto como sea posible, usted debe esperar hasta el último paso para redondear la respuesta. Si es necesario use la memoria de la calculadora para conservar los resultados de los pasos intermedios. Abreviaturas cm dB F ft g gal h H Hz in. J kcal kg km kPa L lb lm M m centímetro decibel farad pie gramo galón hora henry Hertz pulgada Joule kilocaloría kilogramo kilómetro kilopascal litro libra lumen mol de soluto por litro de solución metro mg MHz mi min mL mm N qt oz s  V W yd yr °C °F K ⇒ ⇔ miligramo megahertz milla minuto mililitro milímetro Newton cuarto de galón onza segundo ohm volt watt yarda año grado Celsius grado Fahrenheit Kelvin entonces equivale a xxix Historias matemáticas No hay número más pequeño o más grande en un intervalo abierto 8 Diofanto 20 François Viète 49 Pitágoras 54 Las coordenadas son como domicilios 88 Alan Turing 103 Rene Descartes 112 George Polya 138 La carta de Einstein 141 Bhaskara 144 Donald Knuth 165 Sonya Kovalevsky 188 Evariste Galois 273 Leonhard Euler 288 Carl Friedrich Gauss 294 Gerolamo Cardano 296 El Gateway Arch 331 John Napier 346 Datación mediante radiocarbono 360 ¡Espacio sólo para estar de pie! 372 Vida media de los elementos radiactivos 373 Desechos radiactivos 374 pH de algunas sustancias comunes 377 Los sismos más fuertes 378 Niveles de intensidad de los sonidos 379 El valor de p 414 Funciones periódicas 427 Radio AM y FM 428 Raíz cuadrada de la media de los cuadrados 448 Hiparco 479 Aristarco de Samos 480 Tales de Mileto 482 Levantamiento de terrenos 504 Euclides 532 Jean Baptiste Joseph Fourier 536 Pierre de Fermat 652 Olga Taussky-Todd 672 Julia Robinson 678 Arthur Cayley 692 David Hilbert 708 Emmy Noether 710 El papiro Rhind 716 Programación lineal 737 Arquímedes 748 Excentricidad de las órbitas de los planetas 758 Trayectoria de los cometas 766 Johannes Kepler 780 Maria Gaetana Agnesi 802 Galileo Galilei 817 Números primos grandes 824 Eratóstenes 825 Fibonacci 826 El número áureo 829 Srinavasa Ramanujan 840 Blaise Pascal 858 El triángulo de Pascal 862 Isaac Newton 894 Newton y los límites 902 MATEMÁTICAS EN EL MUNDO MODERNO Matemáticas en el mundo moderno 16 Palabras, sonidos e imágenes que se cambian a números 30 Codificación para corregir errores 38 Computadoras 178 Aeroplanos en modelos 245 Curvígrafos 252 Diseño de automotores 256 Códigos indescifrables 308 Coacción de una ley 344 Evaluación de funciones con una calculadora 436 Pronóstico del tiempo 562 Fractales 600 Sistemas globales de ubicación 656 Métodos para una votación justa 682 Ecología matemática 696 Observación del interior de la cabeza 746 División justa de bienes 834 Economía matemática 850 xxxi PRECÁLCULO Matemáticas para el cálculo Q U I N TA E D I C I Ó N 1 Fundamentos 1.1 Números reales 1.7 Desigualdades 1.2 Exponentes y radicales 1.8 Geometría analítica 1.3 Expresiones algebraicas 1.9 1.4 Expresiones racionales 1.5 Ecuaciones Calculadoras para graficar y resolución de ecuaciones y desigualdades por métodos gráficos 1.6 Modelado mediante ecuaciones 1.10 Rectas 1.11 Modelos de variación Esquema del capítulo Este primer capítulo es un repaso de los números reales, ecuaciones y el plano coordenado. Es probable que usted ya esté familiarizado con los conceptos, pero es útil hacer un repaso para ver cómo estas ideas trabajan juntas para resolver problemas y modelar, o describir, situaciones del mundo cotidiano. Veamos cómo todas estas ideas se usan en la siguiente situación real: suponga que le pagan 8 dólares por hora en su trabajo. Nos interesa saber cuánto dinero gana. Para describir su salario usamos los números reales. En efecto, usamos los números reales todos los días, por ejemplo, para describir cuál es nuestra estatura, cuánto dinero tenemos, qué tanto frío o calor hace, etcétera. En álgebra, expresamos las propiedades de los números reales mediante letras que representan números. Una propiedad importante es la propiedad distributiva: A1B  C2  AB  AC Para encontrar el sentido de esta propiedad, consideremos su salario si trabaja 6 horas un día y 5 horas el siguiente. El salario de los dos días se puede determinar de dos maneras distintas: $8(6  5), o bien, 8 dólares por 6  8 dólares por 5, y ambos procedimientos dan la misma respuesta. Ésta y otras propiedades de los números reales constituyen las reglas para trabajar con los números, es decir, son reglas del álgebra. También podemos modelar el salario para cualquier número de horas mediante una fórmula. Si usted trabaja x horas, entonces su salario es y dólares, donde y se encuentra mediante la fórmula algebraica y  8x Entonces, si trabaja 10 horas, el salario será y  8  10 dólares. Una ecuación es un enunciado escrito en el lenguaje del álgebra que expresa un hecho con respecto a una cantidad desconocida x. Por ejemplo, ¿cuántas horas necesitaría trabajar para obtener 60 dólares? Para responder esta pregunta es necesario resolver la ecuación y 60  8x Bob Krist /Corbis Salario (dólares) y = 8x y = 60 20 0 7.5 Horas trabajadas x Aplicamos las reglas del álgebra para encontrar x. En este caso dividimos ambos miembros de la ecuación entre 8, de modo que x  608  7.5 horas. El plano coordenado permite trazar una gráfica de una ecuación de dos variables. Por ejemplo, al graficar la ecuación y  8x podemos “ver” cómo se incrementa el salario al aumentar las horas trabajadas. Asimismo, podemos resolver gráficamente la ecuación 60  8x encontrando el valor de x en el cual se cortan las gráficas de y  8x y y  60 (observe la figura). En este capítulo hay muchos ejemplos de cómo trabajan juntos los números reales, ecuaciones y plano coordenado para que podamos resolver problemas de la vida real. 1 2 CAPÍTULO 1 Fundamentos 1.1 Números reales Repasemos los tipos de números que constituyen el sistema de los números reales. Empecemos con los números naturales: 1, 2, 3, 4, . . . Los distintos tipos de números reales se inventaron para cumplir con necesidades específicas. Por ejemplo, los números naturales se necesitan para contar, los números negativos para describir deudas o temperaturas por abajo de cero grados, los números racionales para conceptos como “medio litro de leche”, y los números irracionales para medir ciertas distancias como la diagonal de un cuadrado. Los enteros están formados por los números naturales junto con los negativos y el 0: . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . Construimos los números racionales al formar cocientes con los enteros. Por lo tanto, cualquier número racional r se puede expresar como m r n donde m y n son enteros y n  0. Ejemplos son: 37 1 2 46  461 17 0.17  100 (Recuerde que la división entre cero es imposible, por lo que expresiones como 03 y 0 0 no están definidas.) También hay números reales, como 12, que no pueden ser expresados como un cociente de enteros y, por lo tanto, se llaman números irracionales. Se puede demostrar que, con diferentes grados de dificultad, estos números son también irracionales: 3 3 13 15 1 2 p p2 El conjunto de todos los números reales se denota mediante el símbolo ⺢. Cuando usamos la palabra número sin calificativo, queremos decir “número real”. En la figura 1 se ilustra un diagrama de los tipos de números reales con los que trabajamos en este libro. Números racionales Números irracionales –21 , -–37 , 46, 0.17, 0.6, 0.317 3 œ3 , œ5 , œ2 , π , — 2 Enteros 3 π Números naturales . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . Un número decimal periódico como x  3.5474747. . . es un número racional. Para convertirlo en un cociente de dos enteros, escribimos 1000x  3547.47474747. . . 10x  35.47474747. . . 990x  3512.0 Por consiguiente, x  (La idea es multiplicar x por potencias adecuadas de 10, y luego restar para eliminar la parte que se repite.) 3512 990 . Figura 1 El campo de los números reales Todos los números reales tienen una representación decimal. Si el número es racional, entonces su decimal correspondiente es periódico. Por ejemplo, 1 2 157 495  0.5000. . .  0.50 2 3  0.66666. . .  0.6  0.3171717. . .  0.317 9 7  1.285714285714. . .  1.285714 (La barra significa que la sucesión de cifras se repite por siempre.) Si el número es irracional, la representación decimal no es periódica: 12  1.414213562373095. . . p  3.141592653589793. . . SECCIÓN 1.1 Números reales 3 Si interrumpimos la expansión decimal de cualquier número en un cierto lugar, tenemos una aproximación del número. Por ejemplo, podemos escribir p  3.14159265 donde el símbolo  quiere decir “es aproximadamente igual a”. A medida que tenemos más decimales es mejor la aproximación. Propiedades de los números reales Todos sabemos que 2  3  3  2 y que 5  7  7  5 y que 513  87  87  513, y así sucesivamente. En álgebra, expresamos estos hechos, que son infinitos, mediante la expresión abba donde a y b son dos números cualquiera. En otras palabras, “a  b  b  a” es una manera concisa de decir que “cuando se suman dos números, no importa el orden en que se sumen”. Este hecho se conoce como Propiedad conmutativa de la suma. De acuerdo con nuestra experiencia con los números, sabemos que las propiedades de la tabla siguiente son también válidas. Propiedades de los números reales Propiedad Ejemplo Descripción Propiedades conmutativas abba ab  ba 7337 3#55#3 Cuando se suman dos números, no importa el orden. Cuando se multiplican dos números no importa el orden. Propiedades asociativas 1a  b2  c  a  1b  c2 12  4 2  7  2  14  72 1ab2c  a1bc2 13 # 72 # 5  3 # 17 # 52 Propiedad distributiva a1b  c2  ab  ac 1b  c 2a  ab  ac 2 # 13  52  2 # 3  2 # 5 13  52 # 2  2 # 3  2 # 5 Cuando se suman tres números, no importa cuáles dos se suman primero. Cuando multiplicamos tres números no importa cuáles dos se multiplican primero. Cuando se multiplica un número por una suma de dos números se obtiene el mismo resultado al multiplicar el número por cada uno de los términos y luego sumar los resultados. La propiedad distributiva se aplica siempre que multiplicamos un número por una suma. En la figura 2 se explica por qué esta propiedad se aplica en el caso en el cual todos los números son enteros positivos, pero la propiedad es válida para cualquier número real a, b y c. 2(3+5) La propiedad distributiva es muy importante porque describe la manera en que interactúan la adición y la multiplicación. Figura 2 La propiedad distributiva 2#3 2#5 4 CAPÍTULO 1 Fundamentos Ejemplo 1 Uso de la propiedad distributiva a) 21x  32  2 # x  2 # 3  2x  6 Propiedad distributiva Simplificación c b) 1a  b2 1x  y2  1a  b2x  1a  b 2y Propiedad distributiva  1ax  bx2  1ay  by2 Propiedad distributiva  ax  bx  ay  by Propiedad asociativa de la suma En el último paso quitamos los paréntesis porque, de acuerdo con la propiedad asociativa, no importa el orden de la suma. No suponga que a es un número negativo. Si a es negativa o positiva depende del valor de a. Por ejemplo, si a  5, entonces a  5, un número negativo, pero si a  5, entonces a  152  5 (propiedad 2), que es un número positivo. ■ El número 0 es especial para la adición; se le llama elemento idéntico porque a  0  a para cualquier número real a. Todo número real a tiene un negativo, a, que cumple a  (a)  0. La sustracción es la operación inversa a la adición; para restar un número de otro simplemente sumamos el negativo de ese número. Por definición a  b  a  1b2 Para combinar los números reales que contienen negativos, utilizamos las propiedades siguientes. Propiedades de los negativos Propiedad Ejemplo 1. 112a  a 112 5  5 2. 1a2  a 15 2  5 4. 1a2 1b2  ab 142 13 2  4 # 3 3. 1a2b  a1b 2  1ab2 1527  5172  15 # 72 5. 1a  b2  a  b 13  52  3  5 6. 1a  b2  b  a 15  82  8  5 La propiedad 6 establece el hecho intuitivo de que a  b es el negativo de b  a. La propiedad 5 se usa a menudo con más de dos términos: 1a  b  c2  a  b  c Ejemplo 2 Uso de las propiedades de los negativos Sean x, y y z números reales. a) 1x  22  x  2 b) 1x  y  z2  x  y  1z 2  x  y  z Propiedad 5: (a  b)  a  b Propiedad 5: (a  b)  a  b Propiedad 2: (a)  a ■ SECCIÓN 1.1 Números reales 5 El número 1 es especial para la multiplicación; se le llama elemento idéntico porque a  1  a para cualquier número real a. Todo número real diferente de cero a tiene un inverso, 1/a, que cumple a # 11/a2  1. La división es la operación inversa de la multiplicación; para dividir un número multiplicamos por el inverso de ese número. Si b  0, entonces, por definición, 1 a ba# b Escribimos a # 11/b2 simplemente como a/b. Nos referimos a a/b como el cociente de a y b, o bien, como la fracción a entre b; a es el numerador y b es el denominador (o divisor). Para combinar los números reales usando la operación de división usamos las propiedades siguientes. Propiedades de las fracciones Propiedad 1. a c #  ac b d bd 2. a b 3. a b ab   c c c c a d  # d b c a c ad  bc 4.   b d bd 5. ac a  bc b 6. Si a c  , entonces ad  bc b d Ejemplo Descripción 2#5 2#5 10  #  3 7 3 7 21 Cuando se multiplican fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores. 5 2 7 14  #  7 3 5 15 Cuando se dividen fracciones, se invierte el divisor y se multiplica. 7 27 9 2    5 5 5 5 Cuando se suman fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores. 3 2#73#5 29 2    5 7 35 35 Cuando se suman fracciones con denominadores diferentes, se busca un denominador común. Luego se suman todos los numeradores. 2#5 2  3#5 3 Se anulan los números que son factores comunes en el numerador y en el denominador. 2 6  , por lo que 2 # 9  3 # 6 3 9 Multiplicación cruzada. 2 3 Por lo regular, cuando se suman fracciones con denominadores diferentes, no se usa la propiedad 4. En lugar de eso se vuelven a escribir las fracciones de modo que tengan el denominador común más pequeño posible (con frecuencia más pequeño que el producto de los denominadores), y luego se aplica la propiedad 3. Este denominador es el Mínimo Común Denominador (MCD) que se explica en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3 Evalúe: Uso del MCD en la suma de fracciones 5 7  36 120 Solución Al factorizar cada denominador en sus factores primos se tiene 36  22  32 y 120  23  3  5 Encontramos el Mínimo Común Denominador (MCD) efectuando el producto de todos los factores que hay en estas factorizaciones y se usa la potencia más alta de cada factor. 6 CAPÍTULO 1 Fundamentos Por consiguiente, el MCD es 23 # 32 # 5  360. Entonces, 5 7 5 # 10 7#3    # 36 120 36 10 120 # 3 50 21 71    360 360 360 Uso del denominador común Propiedad 3: sumar fracciones con el mismo denominador ■ La recta numérica Los números reales se pueden representar mediante puntos sobre una recta, como se muestra en la figura 3. La dirección positiva, hacia la derecha, se señala por medio de una flecha. Escogemos un punto de referencia O arbitrario, al que llamamos origen, el cual corresponde al número real 0. Dada una unidad conveniente de medición, cada número positivo x se representa por un punto en la recta a una distancia de x unidades a la derecha del origen, y cada número negativo x se representa mediante un punto a x unidades a la izquierda del origen. El número asociado con el punto P se llama coordenada de P y la recta recibe el nombre de eje coordenado o de recta de los números reales o simplemente recta real. Con frecuencia identificamos el punto con su coordenada y pensamos que un número es el inicio de la recta numérica. _3.1725 _2.63 _4.9 _4.7 _5 _4 _4.85 Figura 3 _3 1 _ 16 _ œ∑2 _2 _1 1 1 8 4 1 2 0 œ∑2 1 œ∑3 œ∑5 2 4.2 4.4 4.9999 π 3 4 5 4.3 4.5 0.3 ∑ Recta de los números reales Los números reales están ordenados. Decimos que a es menor que b y escribimos a  b si b  a es un número positivo. Desde el punto de vista geométrico, esto quiere decir que a queda a la izquierda de b en la recta numérica. Es lo mismo que decir que b es mayor que a y escribir b  a. El símbolo a  b (o b a), quiere decir que a  b o a  b y se lee como “a es menor que o igual a b”. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades verdaderas (véase figura 4): 7  7.4  7.5 p  3 _π _4 _3 12  2 22 7.4 7.5 œ∑2 _2 _1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura 4 Conjuntos e intervalos Un conjunto es una colección de objetos, y estos objetos se denominan elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notación a  S significa que a es un elemento que pertenece a S, y b  S quiere decir que b no es un elemento de S. Por ejemplo, si Z representa el conjunto de los enteros, entonces,3  Z pero p  Z. Algunos de los conjuntos se pueden describir acomodando sus elementos dentro de corchetes. Por ejemplo, un conjunto A que consiste en todos los enteros positivos menores que 7 se expresa como A  51, 2, 3, 4, 5, 66 SECCIÓN 1.1 Números reales 7 También podríamos escribir A en la notación de conjuntos: A  {x  x es un entero y 0  x  7} que se lee “A es el conjunto de todas las x tales que x es un entero y 0  x  7.” Si S y T son conjuntos, entonces la unión S  T es el conjunto que consta de todos los elementos que están en S o en T o en ambos. La intersección de S y de T es el conjunto S  T que consiste en todos los elementos que están tanto en S como en T. En otras palabras, S  T es la parte que es común a S y a T. El conjunto vacío, denotado por  es el conjunto que no contiene elementos. Ejemplo 4 Unión e intersección de conjuntos Si S  {1, 2, 3, 4, 5}, T  {4, 5, 6, 7}, y V  {6, 7, 8}, determine los conjuntos S  T, S  T y S  V. Solución T 64748 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 14243 123 S a V b Figura 5 Intervalo abierto (a, b) S  T  51, 2, 3, 4, 5, 6, 76 S  T  54, 56 SV Todos los elementos que están en S o en T Elementos comunes tanto a S como a T S y V no tienen elementos en común Ciertos conjuntos de números reales, llamados intervalos, se presentan con mucha frecuencia en el cálculo y corresponden geométricamente a segmentos lineales. Si a  b, entonces el intervalo abierto desde a hasta b consta de todos los números entre a y b y se denota con (a, b). El intervalo cerrado desde a hasta b comprende los extremos y se denota con [a, b]. Usando la notación de conjuntos, podemos escribir 1a, b2  5x 0 a  x  b6 a b Figura 6 Intervalo cerrado [a, b] 3a, b4  5x 0 a  x  b6 Observe que el paréntesis 1 2 en la notación de los intervalos y los círculos abiertos en la gráfica de la figura 5 indican que los extremos están excluidos del intervalo. Por otro lado, los corchetes 3 4 y los círculos llenos de la figura 6 indican que los extremos están incluidos. Los intervalos pueden incluir sólo un punto extremo, o se podrían prolongar hasta el infinito en una dirección o en ambas direcciones. En la siguiente tabla se ilustran los tipos posibles de intervalos. Notación El símbolo q (“infinito”) no es un número. La notación 1a, q 2 , por ejemplo, indica simplemente que el intervalo no tiene punto final a la derecha, sino que se prolonga hacia el infinito en la dirección positiva. ■ Descripción del conjunto 1a, b2 5x 0 a  x  b6 3 a, b4 5x 0 a  x  b6 3 a, b 2 5x 0 a  x  b6 1a, b 4 5x 0 a  x  b6 1a, q 2 5x 0 a  x6 3 a, q 2 5x 0 a  x6 1q, b2 5x 0 x  b6 1q, b4 5x 0 x  b6 1q, q 2 ⺢ (conjunto de todos los números reales) Gráfica a b a b a b a b a a b b 8 CAPÍTULO 1 Fundamentos Ejemplo 5 No hay número más pequeño o más grande en un intervalo abierto Graficación de intervalos Exprese cada intervalo en términos de desigualdades, y luego grafíquelos. Cualquier intervalo contiene una cantidad infinita de números —cada punto en la gráfica de un intervalo corresponde a un número real—. En el intervalo cerrado [0, 1], el número más pequeño es 0 y el más grande es 1, pero el intervalo abierto (0, 1) no contiene un número que sea el más pequeño o el más grande. Para entenderlo, observe que 0.01 está cerca de cero, pero 0.001 está más cerca, y 0.0001 está todavía más cerca, y así sucesivamente. De este modo, siempre podemos encontrar un número en el intervalo (0, 1) más cercano a cero que cualquier número dado. Puesto que 0 en sí no está en el intervalo, el intervalo no contiene un número que sea el más pequeño. Con el mismo razonamiento, 0.99 está cercano a 1, pero 0.999 está más cerca, 0.9999 es aún más cercano, y así sucesivamente. Como el 1 no está en el intervalo, éste no contiene un número que sea el más grande. a) 31, 22  5x 0 1  x  26 _1 b) 31.5, 44  5x 0 1.5  x  46 2 0 c) 13, q 2  5x 0 3  x6 Ejemplo 6 0 _3 1.5 4 ■ 0 Determinar la unión y la intersección de intervalos Grafique cada conjunto a) 11, 32  32, 74 b) 11, 32  32, 74 Solución a) La intersección de dos intervalos consiste en los números que están en ambos intervalos. Por lo tanto, 11, 32  32, 74  5x 0 1  x  3 and y 2  x  76  5x 0 2  x  36  32, 32 Este conjunto se ilustra en la figura 7. b) La unión de dos intervalos son los números que están en un intervalo o en el otro o en ambos. Por lo tanto, 11, 32  32, 74  5x 0 1  x  3 or o 2  x  76  5x 0 1  x  76  11, 74 Este conjunto se ilustra en la figura 8. 0 0.01 0.1 (1, 3) (1, 3) 0 1 0 3 1 3 [2, 7] [2, 7] 0 0.001 0.01 0 2 7 0 2 (1, 7] [2, 3) 0 0.0001 0.001 0 2 3 Figura 7 11, 3 2  32, 7 4  32, 32 Valor absoluto y distancia | _3 |=3 _3 Figura 9 | 5 |=5 0 5 7 0 1 Figura 8 11, 32  3 2, 74  11, 74 7 ■ El valor absoluto de un número a, denotado por 0 a 0 , es la distancia desde a hasta 0 sobre la recta de los números reales (véase la figura 9). La distancia es siempre positiva o cero, de modo que tenemos 0 a 0 0 para cada número a. Tenga en cuenta que a es positiva cuando a es negativa, y entonces tenemos la definición siguiente. SECCIÓN 1.1 Números reales 9 Definición de valor absoluto Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es 0a0  e Ejemplo 7 a) b) c) d) 0 0 0 0 a siif a 0 a siif a  0 Determinación de los valores absolutos de números 30 3 3 0  132  3 00 0 3  p 0  13  p2  p  3 (puesto  0) 1since 3 que  p3 1␲ 3⇒3p␲02 ■ Cuando se trabaja con números absolutos, usamos las propiedades siguientes. Propiedades del valor absoluto Propiedad Ejemplo 1. 0 a 0 0 3 0  3 _2 0 11 Figura 10 0 5 0  0 5 0 3. 0 ab 0  0 a 0 0 b 0 0 2 # 5 0  0 2 0 0 5 0 Figura 11 Longitud de un segmento de recta  0 b  a 0 ` 0a0 a `  b 0b0 ` 0 12 0 12 `  3 0 3 0 El valor absoluto de un número es siempre positivo o cero. Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto. El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos. ¿Cuál es la distancia en la recta numérica entre los números 2 y 11? En la figura 10, vemos que la distancia es 13. Llegamos a este resultado luego de determinar 0 11  12 2 0  13, o bien, 0 122  11 0  13. De acuerdo con esta observación damos la definición siguiente (véase la figura 11). Distancia entre puntos de la recta de los números reales | b-a | a 0 2. 0 a 0  0 a 0 4. 13 0 Descripción b Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta numérica es d1a, b2  0 b  a 0 10 CAPÍTULO 1 Fundamentos De acuerdo con la propiedad 6 se infiere que 0 b  a 0  0 a  b 0 . Esto confirma que, como es de esperarse, la distancia de a a b es la misma que la distancia de b a a. Ejemplo 8 La distancia entre los números 8 y 2 es 10 _8 Distancia entre puntos de la recta numérica 0 d1a, b2  0 8  2 0  0 10 0  10 2 Podemos comprobar geométricamente este cálculo, como se ilustra en la figura 12. Figura 12 1.1 ■ Ejercicios 1–2 ■ Liste los elementos del conjunto dado que son a) números naturales b) enteros c) números racionales d) números irracionales 3 1. 50, 10, 50, 227, 0.538, 17, 1.23,  13, 1 26 15 2. 51.001, 0.333. . . , p, 11, 11, 13 15 , 116, 3.14, 3 6 3–10 ■ Establezca la propiedad de los números reales que se está usando. 21–26 ■ Efectúe las operaciones indicadas. 21. a) 3 10  154 22. a) 2 3 5. 1x  2y 2  3z  x  12y  3z2 2 2 3 7. 15x  1 2 3  15x  3 8. 1x  a2 1x  b 2  1x  a 2 x  1x  a 2 b 9. 2x13  y 2  13  y 2 2x b) A 12  13 B A 12  13 B 2 3 2  34 1 1 2  3 27–28 ■ 28. a) 2 3 29–32 ■ b) 2 26. a) 27. a) 3 6. 21A  B 2  2A  2B   15 b) 0.25A 89  12 B 24. a) A3  14 B A1  45 B 25. a) 1 4 b) 1  58  16  35 23. a) 23 A6  32 B 3. 7  10  10  7 4. 213  52  13  52 2 b) b) 1 12 1 8 2 5 1 10  19  12  153 Escriba el símbolo correcto (,  o ) en el espacio. 7 2 b) 3 0.67 b) 2 3  72 0.67 c) 3.5 c) 0 0.67 0 b) 12  1.41 10. 71a  b  c 2  71a  b2  7c 30. a) 11–14 ■ Escriba de nuevo la expresión aplicando la propiedad dada de los números reales 31. a) p  3 b) 8  9 32. a) 1.1  1.1 b) 8  8 x3 10 12  11 13 12. Propiedad asociativa de la multiplicación, 713x2  33–34 13. Propiedad distributiva, 41A  B 2  33. a) x es positiva 14. Propiedad distributiva, 5x  5y  ■ 0 0.67 0 Diga de cada desigualdad si es verdadera o falsa. 29. a) 6  10 11. Propiedad conmutativa de la adición, 7 2 1 b)   1 2 Escriba cada enunciado en términos de desigualdades. b) t es menor que 4 c) a es mayor que o igual a p 15–20 ■ Aplique las propiedades de los números reales para escribir las expresiones sin paréntesis. 15. 31x  y 2 17. 412m2 19.  52 12x  4y 2 16. 1a  b 2 8 18. 43 16y 2 20. 13a 2 1b  c  2d 2 d) x es menor que 13 y es mayor que 5 e) La distancia desde p hasta 3 es cuando mucho 5 34. a) y es negativa b) z es mayor que 1 c) b es cuanto más 8 SECCIÓN 1.1 Números reales d) „ es positiva y es menor o igual a 17 e) y está por lo menos a 2 unidades desde p 35–38 ■ Encuentre el conjunto indicado si A  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B  {2, 4, 6, 8} b) 64. a) @ 2  0 12 0 @ b) 1  @ 1  0 1 0 @ 35. a) A  B b) A  B 36. a) B  C b) B  C 67–70 37. a) A  C b) A  C 67. 38. a) A  B  C b) A  B  C 39–40 ■ Encuentre el conjunto indicado si A  5x 0 x B  5x 0 x  46 26 C  5x 0 1  x  56 39. a) B  C b) B  C 40. a) A  C b) A  B 41–46 ■ Exprese el intervalo en forma de desigualdad, y luego grafique el intervalo. 41. 13, 0 2 42. 12, 8 4 45. 3 2, q 2 46. 1q, 1 2 44. 36, 43. 3 2, 8 2  12 4 47–52 ■ Exprese la desigualdad con notación de intervalo, y después grafique el intervalo correspondiente. 47. x  1 48. 1  x  2 49. 2  x  1 50. x 51. x  1 52. 5  x  2 5 53–54 ■ Exprese cada conjunto mediante la notación de los intervalos. 53. a) b) −3 0 5 −3 0 5 68. b) 0 A 13 B 1152 0 6 ` 24 66. a) ` C  {7, 8, 9, 10} 1 0 1 0 63. a) @ 0 6 0  0 4 0 @ 65. a) 0 122 # 6 0 ■ 11 b) ` 7  12 ` 12  7 Determine la distancia entre los números dados. −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 69. a) 2 y 17 b) 3 y 21 c) 11 8 y  103 70. a) 7 15 y  211 b) 38 y 57 c) 2.6 y 1.8 71–72 ■ Exprese cada uno de los decimales periódicos en forma de fracción. (Véase la nota al margen de la página 2.) 71. a) 0.7 b) 0.28 c) 0.57 72. a) 5.23 b) 1.37 c) 2.135 Aplicaciones 73. Superficie de un jardín El terreno trasero donde Mary siembra verduras mide 20 por 30 pies, por lo que esa área es 20 30  600 pies cuadrados. Decide agrandarlo, como se muestra en la figura, de modo que el área se incrementa a A  20130  x 2 . ¿Cuál propiedad de los números reales dice que la nueva área se puede expresar también como A  600  20x? 30 pies x 54. a) 0 b) 55–60 −2 ■ 2 0 Grafique el conjunto. 20 pies 55. 12, 0 2  11, 1 2 56. 12, 0 2  11, 12 59. 1q, 4 2  14, q 2 60. 1q, 6 4  12, 102 57. 3 4, 6 4  30, 8 2 61–66 ■ 58. 34, 6 2  30, 82 Evalúe cada una de las expresiones. 61. a) 0 100 0 62. a) 0 15  5 0 b) 0 73 0 b) 0 10  p 0 74. Variación de la temperatura La gráfica de barras muestra las temperaturas diarias altas de Omak, Washington, y Geneseo, Nueva York, durante una cierta semana de junio. Sea TO la temperatura de Omak y TG la temperatura de Geneseo. Calcule TO  TG y 0 TO  TG 0 para cada uno de los días mostrados. ¿Cuál de los dos valores da más información? CAPÍTULO 1 Fundamentos Temperatura diaria alta (*F) 12 78. Combinación de números racionales con números irracionales ¿Es 12  12 racional o irracional? Es 12 # 12 racional o irracional? En general, ¿qué puede decir con respecto a la suma de un número racional y un número irracional? ¿Y del producto? 75 70 65 racionales. ¿El producto de dos números irracionales es necesariamente irracional? ¿Qué sucede con la suma? Omak, WA Geneseo, NY 80 Dom. Lun. Mar. Miér. Jue. Vier. Sáb. Día 75. Envío por correo de un paquete La oficina de correos sólo aceptará paquetes para los cuales el largo más lo que mida alrededor no sea mayor que 108 pulg. Por consiguiente, para el paquete de la figura, debemos tener 79. Comportamiento limitante de los recíprocos Complete las tablas. ¿Qué sucede con el tamaño de la fracción 1/x cuando x se incrementa? ¿Y cuando disminuye? x L  21x  y 2  108 5 pies=60 pulg. x 6 pulg. y 8 pulg. 80. Números irracionales y geometría Refiérase a la figura siguiente y explique cómo ubicar el punto 12 sobre una recta numérica. ¿Puede localizar 15 mediante un método similar? ¿Y 16? Mencione otros números irracionales que se pueden ubicar mediante este modo. Descubrimiento • Análisis œ∑2 76. Signos de números Sean a, b y c números reales tales que a  0, b  0 y c  0. Determine el signo de cada expresión. a) a b) b c) bc d) a  b e) c  a f) a  bc g) ab  ac h) abc i) ab 2 77. Sumas y productos de números racionales e irracionales Explique por qué la suma, la diferencia y el producto de dos números racionales son números 1.2 1/x 1.0 0.5 0.1 0.01 0.001 1 2 10 100 1000 a) ¿La oficina de correos aceptará un paquete que mide 6 pulg de ancho, 8 pulg de alto y 5 pies de largo? ¿Y un paquete que mide 2 por 2 por 4 pies? b) ¿Cuál es el mayor largo aceptable para un paquete que tiene base cuadrada y mide 9 por 9 pulg? L x 1/x _1 0 1 1 2 81. Operaciones conmutativa y no conmutativa Hemos visto que tanto la suma como la multiplicación son operaciones conmutativas. (a) ¿Es conmutativa la substracción? (b) ¿Es conmutativa la división de números reales no cero? Exponentes y radicales En esta sección damos el significado de expresiones como a m/n en las cuales el exponente m/n es un número racional. Para hacerlo, necesitamos recordar algunos hechos con respecto a los exponentes, radicales y raíces n-ésimas de enteros. Exponentes enteros Por lo regular, un producto de números idénticos se expresa mediante la notación exponencial. Por ejemplo, 5 # 5 # 5 se escribe como 53. En general, tenemos la definición siguiente. SECCIÓN 1.2 Exponentes y radicales 13 Notación exponencial Si a es un número real cualquiera y n es un entero positivo, entonces la potencia n-ésima de a es an  a # a # . . . # a 1442443 n factores El número a se denomina base y n es el exponente. Ejemplo 1 Notación exponencial a) A 12 B 5  A 12 BA 12 BA 12 BA 12 BA 12 B  321 Observe la distinción entre 132 4 y 34. En 13 2 4 el exponente se aplica a 3, pero en 34 el exponente se aplica sólo a 3. b) 132 4  132 # 132 # 132 # 132  81 c) 34  13 # 3 # 3 # 32  81 ■ Podemos establecer varias reglas útiles para trabajar con la notación exponencial. Para descubrir la regla de la multiplicación, multipliquemos 54 por 52: 54 # 52  15 # 5 # 5 # 5215 # 52  5 # 5 # 5 # 5 # 5 # 5  56  542 1444244 43 123 1444442444443 4 factores 2 factores 6 factores Al parecer, al multiplicar dos potencias de la misma base, sumamos los exponentes. En general, para cualquier número real a y los enteros positivos m y n, tenemos aman  1a # a # . . . # a2 1a # a # . . . # a2  a # a # a # . . . # a  amn 144 4244 43 1442443 m factores n factores 144424443 m  n factores Por consiguiente aman  amn. Nos gustaría que esta regla fuera válida incluso cuando m y n sean 0 o enteros negativos. Por ejemplo, 20 # 23  203  23 Pero esto sólo puede suceder si 20  1. De igual manera, queremos tener 54 # 54  54 142  544  50  1 y esto será cierto si 54  1/54. Estas observaciones generan la definición siguiente: Exponentes cero y negativos Si a  0 es un número real y n es un entero positivo, entonces 1 a0  1 y a n  n a Ejemplo 2 Exponentes cero y negativos A 47 B 0 1 1 1 b) x  1  x x 1 1 1 c) 122 3   3  8 8 122 a) 1 ■ 14 CAPÍTULO 1 Fundamentos Es esencial conocer las reglas siguientes para trabajar con los exponentes y bases. En la tabla siguiente, las bases a y b son números reales y los exponentes m y n son enteros. Leyes de los exponentes Ley 1. aman  amn Descripción 32 # 35  325  37 3. 1a m 2 n  a mn 35  352  33 32 # 132 2 5  32 5  310 4. 1ab 2 n  a nb n 13 # 42 2  32 # 42 a n an 5. a b  n b b 3 2 32 a b  2 4 4 2. am  a mn an Ejemplo Para multiplicar dos potencias del mismo número, sume los exponentes. Para dividir dos potencias del mismo número, reste los exponentes. Para elevar una potencia a una nueva potencia, multiplique los exponentes. Para elevar un producto a una potencia, eleve cada factor a la potencia. Para elevar un cociente a una potencia, eleve tanto el numerador y denominador a la potencia. ■ Demostración de la ley 3 Si m y n son enteros positivos, tenemos 1a m2 n  1a # a # . . . # a2 n 1444442444443 m factores  1a # a # . . . # a2 1a # a # . . . # a2 . . . 1a # a # . . . # a2 1444442444443 1444442444443 1444442444443 m factores m factores m factores 144444444444424444444444443 n grupos de factores  a # a # . . . # a  amn 1444 442444 443 mn factores Los casos para los cuales m  0 o n  0 se pueden demostrar usando la definición de los exponentes negativos. ■ ■ Demostración de la ley 4 Si n es un entero positivo, tenemos 1ab2 n  1ab2 1ab2 . . . 1ab2  1a # a # . . . # a2 # 1b # b # . . . # b2  a n b n 14444244443 n factores 1442443 n factores 1442443 n factores En este caso hemos aplicado las propiedades conmutativa y asociativa de manera repetida. Si n  0 la ley 4 se puede demostrar usando la definición de los exponentes negativos. En el ejercicio 88 se le pide demostrar las leyes 2 y 5. Ejemplo 3 a) xx x 4 7 47 Aplicación de las leyes de los exponentes  x11 b) y 4y 7  y 47  y 3  c) c9  c 95  c 4 c5 Ley 1: aman  amn 1 y3 Ley 1: aman  amn Ley 2: am/an  amn ■ SECCIÓN 1.2 Exponentes y radicales # d) 1b 4 2 5  b 4 5  b 20 Ley 3: (am)n  amn e) 13x2 3  33x 3  27x 3 f) Ley 4: (ab)n  anbn x 5 x5 x5 a b  5 2 32 2 Ejemplo 4 15 Ley 5: (a/b)n  an/bn ■ Simplificación de expresiones con exponentes Simplifique: a) 12a 3b 2 2 13ab 4 2 3 b) x 3 y 2x 4 b a b a z y Solución a) 12a 3b 2 2 13ab 4 2 3  12a 3b 2 2 3 33a 3 1b 4 2 3 4  12a 3b 2 2 127a 3b 12 2  122 1272a 3a 3b 2b 12  54a 6b 14 x 3 y 2x 4 x 3 1y 2 2 4x 4 b  3 b) a b a z y y z4  x 3 y 8x 4 y 3 z4  1x 3x 4 2 a  x 7y 5 z4 Ley 4: (ab)n  anbn Ley 3: (am)n  amn Agrupación de factores con la misma base Ley 1: aman  amn Ley 5 y 4 Ley 3 y8 1 b y 3 z4 Agrupación de factores con la misma base Ley 1 y 2 ■ Al simplificar una expresión, encontrará que llega al mismo resultado mediante diferentes métodos. Siéntase libre de usar cualquiera de las reglas de los exponentes para poner en práctica su propio método. En seguida presentamos otras dos leyes que son útiles para simplificar expresiones con exponentes negativos. Leyes de los exponentes Ley a 6. a b b 7. Ejemplo n b  a b a a n bm  b m an n 3 a b 4 2 Descripción 4  a b 3 32 45  32 45 2 Para elevar una fracción a una potencia negativa, invierta la fracción y cambie el signo del exponente. Para pasar un número elevado a una potencia desde el numerador al denominador o desde el denominador al numerador, cambie el signo del exponente. ■ Demostración de la ley 7 Si usamos la definición de los exponentes negativos y luego aplicamos la propiedad 2 de las fracciones (pág. 5), tenemos 1/a n 1 bm bm a n  n#  n m  m b a 1 a 1/b Se le pedirá que demuestre la ley 6 en el ejercicio 88. ■ 16 CAPÍTULO 1 Fundamentos Matemáticas en el mundo moderno Si bien a menudo no nos percatamos de su presencia, la matemática impregna casi todos los aspectos de la vida del mundo moderno. Con la técnica moderna, las matemáticas desempeñan un papel más importante en nuestra vida. Quizá hoy usted despertó con la alarma de un reloj digital, habló por teléfono que usa transmisión digital, envió un mensaje por correo electrónico a través de Internet, guió un automóvil que cuenta con inyección de combustible controlada en forma digital, escuchó música por medio de un reproductor de discos compactos, luego durmió en una habitación cuya temperatura está controlada por un termostato digital. En cada una de estas actividades, las matemáticas son imprescindibles. En general, una propiedad como la intensidad o la frecuencia del sonido, el nivel de oxígeno en la emisión del escape del automóvil, los colores de una imagen, o la temperatura en la recámara es transformada en sucesiones de números mediante complicados algoritmos matemáticos. Estos datos numéricos, los cuales casi siempre consisten en varios millones de bits (los dígitos 0 y 1), se transmiten y luego se reinterpretan. Trabajar con esas enormes cantidades de datos no era posible antes de la invención de las computadoras, y los matemáticos fueron los que inventaron los procesos lógicos de estas máquinas. La contribución de las matemáticas en el mundo moderno no se limita a los adelantos técnicos. Los procesos lógicos de las matemáticas se utilizan ahora para analizar problemas complejos en las ciencias sociales, políticas y biológicas de manera nueva y sorprendente. Los avances en las matemáticas continúan, algunos de los más emocionantes surgieron en la década recién finalizada. En otras de las secciones de las Matemáticas en el mundo moderno se describe con más detalle cómo esta ciencia afecta a todos nosotros en nuestras actividades de la vida cotidiana. Ejemplo 5 Simplificación de expresiones con exponentes negativos Elimine los exponentes negativos y simplifique las expresiones. y 2 6st 4 a) b) a 3 b 2 2 2s t 3z Solución (a) Usamos la ley 7, la cual permite pasar un número elevado a una potencia del numerador al denominador, o viceversa, cambiando el signo del exponente. t4 se baja al denominador y se vuelve t4. 6st  4 6ss 2  2s 2t 2 2t 2t 4 Ley 7 s2 se sube al numerador - y se vuelve s2.  3s 3 t6 Ley 1 b) Usamos la ley 6, que permite cambiar el signo del exponente de una fracción si ésta se invierte. a y 2 3z 3 2 b  a 3b y 3z  9z 6 y2 Ley 6 Leyes 5 y 4 ■ Notación científica Los científicos utilizan la notación exponencial para compactar la escritura de números muy grandes o de los muy pequeños. Por ejemplo, la estrella más cercana más allá del Sol, Alfa Centauro, está a casi 40 000 000 000 000 kilómetros. Por otro lado, la masa de un átomo de hidrógeno es de casi 0.00000000000000000000000166 g. Estos números son difíciles de leer y de escribir, de modo que los científicos los expresan casi siempre en notación científica. Notación científica Se dice que un número positivo x está escrito en notación científica si está expresado como sigue: xa 10 n donde 1  a  10 y n es un entero Por ejemplo, cuando establecemos que la distancia a la estrella Alfa Centauro es 4 1013 km, el exponente positivo 13 indica que el punto decimal se debe desplazar 13 lugares a la derecha: 4 1013  40 000 000 000 000 Mover el punto decimal 13 lugares a la derecha. SECCIÓN 1.2 Exponentes y radicales 17 Cuando decimos que la masa de un átomo de hidrógeno es 1.66 1024 g, el exponente 24 indica que el punto decimal debe pasarse 24 lugares a la izquierda: 1024  0.00000000000000000000000166 1.66 Mover el punto decimal 24 lugares a la izquierda. Ejemplo 6 Escritura de números en notación científica a) 327900  3.279 14243 b) 0.000627  6.27 14243 105 5 lugares Para utilizar la notación científica en una calculadora, presione la tecla EE o bien EXP o EEX para ingresar el exponente. Por ejemplo, para escribir el número 3.629 1015 en una calculadora TI-83, escribimos 3.629 2ND EE 15 y en la pantalla se lee 3.629E15 104 ■ 4 lugares La notación científica se aplica a menudo para escribir un número muy grande o muy pequeño en una calculadora. Por ejemplo, si usamos una calculadora para elevar al cuadrado el número 1 111 111, se puede ver en la pantalla, dependiendo del modelo de calculadora, la aproximación 1.234568 12 1.23468 o bien, E12 En este caso, los dígitos finales indican la potencia de 10, e interpretamos que el resultado es 1.234568 1012 Ejemplo 7 Cálculos con ayuda de la notación científica Si a  0.00046, b  1.697 1022, y c  2.91 1018, use una calculadora para obtener un valor aproximado del cociente ab/c. Solución Podemos escribir los datos en notación científica, o bien, podemos usar las leyes de los exponentes como sigue: 14.6 ab  c 104 2 11.697 2.91 14.6 2 11.6972  2.91  2.7 1022 2 1018 1042218 1036 Damos la respuesta correcta hasta con dos cifras significativas porque el menos exacto de los números dados tiene dos cifras significativas. ■ Radicales Ya sabemos lo que 2n significa siempre que n es un entero. Para dar el significado de una potencia, como 24/5, cuyo exponente es un número racional, necesitamos estudiar a los radicales. El símbolo 1 significa “la raíz cuadrada de”. Por lo tanto Es cierto que el número 9 tiene dos raíces cuadradas, 3 y 3, pero la notación 19 se reserva para la raíz cuadrada positiva de 9 (a veces llamada raíz cuadrada principal de 9). Si queremos la raíz negativa, debemos escribir  19, que es 3. 1a  b Puesto que a  b 2 significa b2  a y b 0 0, el símbolo 1a tiene sentido sólo cuando a 19  3 porque because 32  9 y and 3 0. Por ejemplo, 0 18 CAPÍTULO 1 Fundamentos Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n-ésimas. La raíz n-ésima de x es el número que cuando se eleva a la potencia n-ésima da x. Definición de la raíz n-ésima Si n es un entero positivo, entonces la raíz n-ésima principal de a se define como sigue: n 1 a  b quiere means decir b n  a Si n es par, debemos tener a 0yb 0. Por consiguiente, 4 1 81  3 porque because 3 18  2 porque because 34  81 122  8 and y 3 0 3 4 6 Pero 18, 1 8 y 1 8 no están definidos. (Por ejemplo, 18 no está definido porque el cuadrado de todo número real es no negativo.) Observe que 242  116  4 2142 2  116  4  0 4 0 but pero Entonces, la ecuación 2a 2  a no siempre se cumple; es verdadera sólo cuando a 0. No obstante, siempre podemos escribir 2a 2  0 a 0 . Esta última ecuación es verdadera no sólo para raíces cuadradas, sino para cualquier raíz par. Ésta y otras reglas usadas al trabajar con raíces n-ésimas se listan en el siguiente cuadro. En cada propiedad suponemos que existen las raíces dadas. Propiedades de las raíces n-ésimas Propiedad Ejemplo n n 3 3 3 1 8 # 27  1 81 27  122 132  6 n 1. 2ab  2a2b n 2. 4 16 1 16 2  4  3 B 81 181 a 2a  n Bb 2b n 4 _ 3. 3 1a  3a m mn n 3 6 31729  1729  3 n 4. 2a n  a si n es impar 5. 2a n  0 a 0 n Ejemplo 8 si n es par 3 5 225  2 4 2 132 4  0 3 0  3 Simplificación de expresiones que contienen raíces n-ésimas 3 4 3 3 (a) 2 x 2 x x 3 2 152 3  5, 3 3 Sacar como factor el término más grande al cubo  2x 2x 3 3 3 Propiedad 1: 1 ab  1 a1 b 3  x2 x 3 3 Propiedad 4: 2 a a SECCIÓN 1.2 Exponentes y radicales b) 4 4 4 8 4 4 2 81x 8y 4  2 812 x 2y 19 4 4 4 4 Propiedad 1: 2 abc  2 a2 b2 c 4  32 1x 2 2 4 0 y 0 4 4 Propiedad 5: 2 a  0a0  3x 2 0 y 0 4 4 Propiedad 5: 2 a  0 a 0 , 0 x2 0  x2 ■ Con frecuencia es muy útil combinar radicales similares en una expresión como 213  513. Se puede hacer usando la propiedad distributiva. Por lo tanto, 213  513  12  52 13  713 En el ejemplo siguiente se ilustra mejor este proceso. Ejemplo 9 Evite cometer el error siguiente: 1a  b  1a  1b Por ejemplo, si hacemos a  9 y b  16, entonces vemos el error: 19  16 ⱨ 19  116 125 ⱨ 3  4 5ⱨ7 Wrong! ¡Falso! Combinación de radicales a) 132  1200  116 # 2  1100 # 2 Se sacan como factores los cuadrados más grandes  11612  110012 Propiedad 1: 1ab  1a1b  412  1012  1412 Propiedad distributiva b) Si b  0, entonces 225b  2b 3  2252b  2b 2 2b Propiedad 1: 1ab  1a1b  52b  b2b Propiedad 5, b  0  15  b2 2b Propiedad distributiva ■ Exponentes racionales Para definir lo que queremos decir con exponente racional o, lo que es lo mismo, exponente fraccionario como a1/3, necesitamos usar los radicales. Con objeto de dar significado al símbolo a1/n de manera que sea consistente con las Leyes de los exponentes, tendríamos que tener 1a 1/n 2 n  a 11/n2n  a 1  a Entonces, según la definición de raíz n-ésima, n a 1/n  1 a En general, definimos los exponentes racionales como se señala a continuación. Definición de exponentes racionales Para cualquier exponente racional m/n de los términos más bajos, donde m y n son enteros y n  0, definimos n a m/n  1 1 a2 m o en forma equivalente Si n es par, entonces es necesario que a n a m/n  2a m 0. Con esta definición se puede demostrar que las Leyes de los exponentes son válidas también para los exponentes racionales. CAPÍTULO 1 Fundamentos Diofanto vivió en Alejandría por el año 250 antes de nuestra era. Se considera que su obra Aritmética es el primer libro sobre álgebra. En ella proporciona métodos para encontrar soluciones enteras de ecuaciones algebraicas. Aritmética fue la obra en la que se estudió por más de mil años. Fermat (véase página 652) hizo algunos de sus descubrimientos más importantes cuando estudiaba este libro. La contribución principal de Diofanto es el uso de símbolos para representar las incógnitas en un problema. Aunque este simbolismo no es tan simple como lo usamos en la actualidad, fue un gran adelanto para no escribir todo con palabras. En la notación de Diofanto, la ecuación x5  7x2  8x  5  24 se escribe K©å h ©zM° ´iskd La notación algebraica moderna no se volvió común sino hasta el siglo XVII. Ejemplo 10 Uso de la definición de los exponentes racionales a) 41/2  14  2 3 b) 82/3  1 1 82 2  22  4 c) 1251/3  d) 1 3 2x 4  1 1/3 125 1 x 4/3 1  3 1125 3 2 3 Otra solución: 82/3  2 8  2 64  4  1 5  x 4/3 Ejemplo 11 ■ Uso de las Leyes de los exponentes con exponentes racionales a) a 1/3a 7/3  a 8/3 b) a 2/5a 7/5 a 3/5 Ley 1: aman  amn  a 2/57/53/5  a 6/5 Ley 1, Ley 2: c) 12a 3b 4 2 3/2  23/2 1a 3 2 3/2 1b 4 2 3/2 am  amn an Ley 4: 1abc 2 n  anbncn  1 122 3a 313/22b 413/22 Ley 3: 1am 2 n  amn  212a 9/2b 6 c 20 d) a 2x 3/4 y 1/3 b a y4 3 x b  1/2  23 1x 3/4 2 3 1y 1/3 2 3 # 1y 4x 1/2 2 8x 9/4 # 4 1/2 y x y Ley 3  8x 11/4y 3 Ejemplo 12 Leyes 1 y 2 ■ Simplificación al escribir radicales como exponentes racionales 3 a) 12 1x2 131 x2  12x 1/2 2 13x 1/3 2  6x 1/21/3  6x 5/6 b) 3x 2x  1xx 1/2 2 1/2  1x Leyes 5, 4 y 7 2 3/2 1/2  x 3/4 Definición de exponentes racionales Ley 1 Definición de exponentes racionales Ley 1 Ley 3 ■ Racionalización del denominador Con frecuencia es muy útil eliminar el denominador mediante la multiplicación tanto del numerador como del denominador por una expresión adecuada. Este procedimiento recibe el nombre de racionalización del denominador. Si el denominador es de la forma 1a, entonces multiplicamos el numerador y el denominador por 1a. Al hacerlo, estamos multiplicando la cantidad por 1, de modo que no se altera el valor. Por ejemplo 1 1 # 1 # 1a 1a  1  a 1a 1a 1a 1a SECCIÓN 1.2 Exponentes y radicales 21 Obsérvese que el denominador en la última fracción no contiene radical alguno. En n general, si el denominador es de la forma 2a m con m  n, entonces al multiplicar el n nm numerador y el denominador por 2a racionalizamos el denominador, porque, en el caso de a  0, n n n n 2a m 2a nm  2a mnm  2a n  a Ejemplo 13 2 2 # 13 213   3 13 13 13 a) 1 b) 3 2 2 x  1 3 2 3 2 x 1x  3 1 x 3 3 2 x 3 1 x x  7 5 7 5 7 5 1 1 1 2 a 2 a 2 a     2 7 7 7 7 2 2 5 7 a Ba 2a 2a 2a 2a ■ Ejercicios 1–8 ■ Escriba cada una de las expresiones con radicales usando exponentes y cada expresión exponencial usando radicales. Expresión con radicales 1. 1 15 2. 3 2 2 7 Expresión con exponentes 4 4 c) 1 24 1 54 b) 17. a) A 49 B 1/2 b) 1322 2/5 c) 322/5 b) A 278 B 2/3 3/2 c) A 25 64 B 19–22 ■ Evalúe la expresión usando x  3, y  4 y z  1. 42/3 4. 113/2 19. 2x 2  y 2 21. 19x 2 2/3  12y 2 2/3  z 2/3 5 3 2 5 5. 148 13 16. a) 17128 18. a) 10240.1 3. 23–26 21.5 6. 7. a 2/5 ■ 4 3 20. 2 x  14y  2z 22. 1xy 2 2z Simplifique la expresión. 23. 132  118 24. 175  148 5 5 25. 1 96  1 3 4 4 26. 1 48  1 3 1 8. 9–18 3 1 x 7 c) 1.2 Racionalización de denominadores 27–44 ■ Simplifique la expresión y elimine todos los exponentes negativos. 2x 5 ■ Evalúe cada expresión 9. a) 32 2 10. a) 5 11. a) 12. a) # A 15 B 3 43 28 A 23 B 3 b) 13 2 2 c) 13 2 0 107 b) 104 3 c) 2 3 b) b) 32 9 A 32 B 2 # c) A 12 B 4 # A 52 B 2 13. a) 116 4 b) 116 4 c) 11/ 16 14. a) 164 3 b) 164 5 c) 132 15. a) 8 B 27 3 b) 1 B 64 3 c) 29. 112x 2y 4 2 A 12 x 5yB 31. c) A 14 B 2 9 16 27. a9a5 5 13 5 1 96 x 9 12x 2 4 x 3 28. 13y 2 2 14y 5 2 30. 16y 2 3 32. a 3b 4 a 5b 5 33. b4 A 13b2 B 112b8 2 34. 12s3t1 2 A 14s6 B 116t4 2 35. 1rs 2 3 12s 2 2 14r 2 4 36. 12u2√3 2 3 13u3√2 2 37. 38. 39. 16y 3 2 4 2y 5 1x 2y 3 2 4 1xy 4 2 3 x 2y 12x 3 2 2 13x 4 2 40. a 1x 3 2 4 d2 3 c 4d 3 b a b cd 2 c3 22 41. CAPÍTULO 1 Fundamentos 1xy 2z 3 2 4 1x y z2 3 2 43. a 42. a 3 1 q rs 2 r 5sq 8 b 1 xy 2z 3 2 3 4 x y z b 3 b) El diámetro de un electrón es de casi 0.0000000000004 cm. c) Una gota de agua contiene más de 33 trillones de moléculas. 2a 2b 2 44. 13ab c 2 a 3 b c 2 45–52 ■ Simplifique la expresión. Suponga que las letras representan números reales. 4 4 45. 2 x 5 10 46. 2 x 4 47. 2 16x 8 3 3 6 48. 2 x y 49. 2a 2b 6 3 2 3 4 50. 2 a b 2a b 3 51. 3 264x 6 4 4 2 2 52. 2 x y z 55. 13a 1/4 2 19a2 3/2 57. 14b 2 1/2 18b 2/5 2 b) La masa de una molécula de oxígeno es de casi 0.000000000000000000000053 g. c) La masa de la Tierra es de casi 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg. 53–70 ■ Simplifique la expresión y elimine los exponentes negativos. Suponga que las letras representan números positivos. 53. x 2/3x 1/5 76. a) La distancia de la Tierra al Sol es de casi 150 millones de kilómetros. 54. 12x 3/2 2 14x2 1/2 56. 12a 3/4 2 15a 3/2 2 77–82 ■ Utilice la notación científica, las Leyes de los exponentes y la calculadora para ejecutar las operaciones señaladas. Proporcione su respuesta correcta de acuerdo con la cantidad de cifras significativas indicadas por los datos dados. 77. 17.2 78. 11.062 58. 18x 6 2 2/3 79. 61. 1 y 3/4 2 2/3 62. 1a 2/5 2 3/4 80. 63. 12x 4y 4/5 2 3 18y 2 2 2/3 64. 1x 5y 3z 10 2 3/5 59. 1c 2d 3 2 1/3 6 65. a x y 67. a 3a 2 69. y4 b 66. a 5/2 4b 1/3 b 1 68. 19st 2 3/2 127s t 2 ■ 2x y 1/2z b 1/6 1/3 4 1y 10z 5 2 1/5 1y 2z 3 2 1/3 70. a 3 4 2/3 71–72 60. 14x 6y 8 2 3/2 a 2b 3 3 x 2b 1 b a 3/2 1/3 b x 1y 2 a y Escriba las cantidades mediante la notación científica. 71. a) 69 300 000 c) 0.000028536 72. a) 129 540 000 c) 0.0000000014 d) 0.0001213 b) 7 259 000 000 d) 0.0007029 c) 2.670 74. a) 7.1 c) 8.55 105 108 1014 103 b) 2.721 108 d) 9.999 109 b) 6 1012 d) 6.257 1010 1012 2 1024 2 18.61 1019 2 1.295643 109 13.610 1017 2 12.511 173.12 11.6341 106 2 1028 2 0.0000000019 10.00001622 10.015822 1594,621,000 2 10.0058 2 83–86 ■ 82. 13.542 b) 2 Bx c) 84. a) 5 B 12 b) x B6 c) 86. a) 104 2 12 Racionalice el denominador. 1 110 85. a) 106 2 9 15.05 83. a) b) 7 200 000 000 000 73–74 ■ Escriba cada una de las cantidades en la notación decimal. 73. a) 3.19 81. 109 2 11.806 2 3 1 x 1 4 1a b) b) 1 4 2y 3 a 3 2b 2 c) c) x B3 y B 2z x y 2/5 1 c 3/7 87. Sean a, b y c números reales con a  0, b  0 y c  0. Determine el signo de cada expresión. a) b5 b) b10 c) ab2c3 d) 1b  a 2 3 e) 1b  a 2 4 f) a 3c 3 b 6c 6 88. Demuestre que las Leyes de los exponentes dadas para cada caso en el cual m y n son enteros positivos y m  n. a) Ley 2 b) Ley 5 c) Ley 6 75–76 ■ Escriba en notación científica la cantidad indicada en cada inciso. Aplicaciones 75. a) Un año luz, la distancia que la luz recorre en un año, es de casi 9 460 800 000 000 km. 89. Distancia a la estrella más cercana Alfa Centauro, la estrella más cercana al Sistema Solar, está a 4.3 años luz. SECCIÓN 1.2 Exponentes y radicales Utilice la información del ejercicio 75 a) para expresar esta distancia en kilómetros. 90. Velocidad de la luz La velocidad de la luz es de casi 300 000 km/s. Utilice la información del ejercicio 76 a) para determinar cuánto tarda un rayo de luz en llegar a la Tierra desde el Sol. 91. Volumen del mar El promedio de la profundidad del mar es de 3.7 103 m, y la superficie del mar es de 3.6 1014 m2. ¿Cuál es el volumen total del mar en litros? (Un metro cúbico contiene 1000 litros.) 23 95. Velocidad de un automóvil que frena La policía aplica la fórmula s  230fd para estimar la velocidad s (en millas por hora) a la cual un vehículo se desplaza si recorre d pies después de que aplica los frenos en forma repentina. El número f es el coeficiente de fricción de la carretera, el cual es una medida de la “deslizabilidad” de la carretera. La tabla da algunas estimaciones representativas de f. Seco Húmedo Alquitrán Concreto Grava 1.0 0.5 0.8 0.4 0.2 0.1 (a) Si un automóvil se desliza 65 pies en concreto húmedo, ¿qué tan rápido iba cuando se aplicaron los frenos? (b) Si el vehículo se desplaza a 50 millas por hora, ¿qué tanto se desliza en alquitrán húmedo? 92. Deuda nacional En noviembre de 2004, la población de Estados Unidos era de 2.949 108, y la deuda nacional era de 7.529 1012 dólares. ¿Cuánto debe cada persona? 93. Número de moléculas Un cuarto aislado de hospital mide 5 m de ancho, 10 m de largo y 3 m de alto; se llena de oxígeno puro. Un metro cúbico contiene 1000 litros y 22.4 litros de cualquier gas contiene 6.02 1023 moléculas (número de Avogadro). ¿Cuántas moléculas de oxígeno hay en el cuarto? 94. ¿Qué tan lejos puede ver? Debido a la curvatura de la Tierra, la distancia máxima D que usted puede ver desde el último piso de un edificio alto cuya altura es h se estima mediante la fórmula D  22rh  h 2 donde r  3960 millas es el radio de la Tierra y D y h también se miden en millas. ¿Qué tan lejos puede ver desde el mirador de la Torre de CN de Toronto, 1135 pies por arriba del suelo? Torre CN r 96. Distancia de la Tierra al Sol Se infiere de la Tercera Ley de Kepler del movimiento de los planetas que la distancia promedio de un planeta al Sol, en metros, es d a GM 1/3 2/3 b T 4p2 donde M  1.99 1030 kg es la masa del Sol, G  6.67 1011 N # m2/kg2 es la constante gravitacional y T es el periodo de la órbita del planeta, en segundos. Aplique el hecho de que el periodo de la órbita de la Tierra es de casi 365.25 días para encontrar la distancia de la Tierra al Sol. 97. Velocidad de flujo en un canal La velocidad del agua que fluye por un canal o por el lecho de un río se rige por la ecuación de Manning V  1.486 A2/3S 1/2 p 2/3n donde V es la velocidad del flujo en pies/s; A es el área de la sección transversal del canal; en pies cuadrados; S es la pendiente descendente del canal; p es el perímetro mojado en pies (la distancia desde la parte superior de una orilla, bajando por el lado del canal, atravesando el fondo y subiendo hasta la parte superior de la otra orilla), y n es el coeficiente de rugosidad (una medida de la rugosidad del fondo del canal). Esta ecuación se usa para predecir la capacidad de los canales de inundación para regular el escurrimiento de 24 CAPÍTULO 1 Fundamentos las fuertes deprecipitaciones pluviales. En el caso del canal mostrado en la figura, A  75 pies cuadrados, S  0.050, p  24.1 pies, y n  0.040. a) Determinar la velocidad que lleva el agua por este canal. b) ¿Cuántos pies cúbicos de agua puede descargar el canal por cada segundo? [Sugerencia: multiplique V por A para obtener el volumen del flujo por segundo.] 99. Potencias fáciles que parecen difíciles Calcule estas expresiones mentalmente. Aplique las Leyes de los exponentes para facilitar el proceso. 185 a) 5 b) 206 # 10.5 2 6 9 100. Comportamiento limitante de las potencias Complete las tablas siguientes. ¿Qué sucede con la raíz n-ésima de 2 cuando n se incrementa? ¿Qué sucede con la raíz n-ésima de 12 ? 21/n n 20 pies 1 2 5 10 100 5 pie 10 pies A 12 B 1/n 1 2 5 10 100 Construya una tabla similar para n1/n. ¿Qué sucede con la raíz e-ésima de n cuando n se incrementa? Descubrimiento • Análisis 98. ¿Qué tanto son mil millones? Si tiene un millón (106) de dólares en una valija y usted gasta mil (103) dólares cada día, ¿cuántos años tardaría en gastarse todo el dinero? Si gasta lo mismo, ¿cuántos años tardaría en vaciar la valija llena con mil millones (109) de dólares? 1.3 n 101. Comparación de raíces Sin usar calculadora, determine qué número es más grande en cada par de valores. a) 21/2 o 21/3 b) A 12 B 1/2 o A 12 B 1/3 c) 71/4 o 41/3 3 d) 1 5 o 13 Expresiones algebraicas Una variable es una letra que representa a cualquier número de un conjunto dado de números. Si empezamos con variables como x, y y z y algunos números reales, y los combinamos usando la suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces obtendremos una expresión algebraica. He aquí algunos ejemplos: 2x 2  3x  4 1x  10 y  2z y2  4 Un monomio es una expresión de la forma ax k, donde a es un número real y k es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres monomios. En general, una suma de monomios se llama polinomio. Por ejemplo, la primera expresión de las anteriores es un polinomio, pero las otras dos no lo son. Polinomios Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma a n x n  a n1x n1  . . .  a 1x  a 0 donde a0, a1, . . . , an son números reales, y n es un entero no negativo. Si an  0, entonces el polinomio es de grado n. Los polinomios a k x k que conforman el polinomio son los términos del polinomio. SECCIÓN 1.3 Expresiones algebraicas 25 Observe que el grado de un polinomio es la potencia más alta de la variable que aparece en el polinomio. Polinomio Tipo 2x 2  3x  4 x  5x 3xx  1 3 2x 5x  1 9x 5 6 Grado 2x 2, 3x, 4 trinomio 8 2 Términos 2 8 binomio x , 5x cuatro términos  12 x 3, binomio 5x, 1 monomio 9x monomio 6 8 x , x, 3 2 3 1 5 5 0 Combinación de expresiones algebraicas Propiedad distributiva ac  bc  1a  b 2 c Sumamos y restamos polinomios aplicando las propiedades de los números reales que se estudian en la sección 1.1. La idea es combinar términos semejantes (es decir, términos con las mismas variables elevadas a las mismas potencias) usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, 5x 7  3x 7  15  32x 7  8x 7 Al restar polinomios tenemos que recordar que si un signo menos precede a una expresión que se encuentra entre paréntesis, entonces el signo de cada término dentro del paréntesis cambia cuando eliminamos los paréntesis: 1b  c2  b  c [Es simplemente un caso de la propiedad distributiva, a1b  c2  ab  ac, con a  1.] Ejemplo 1 Adición y sustracción de polinomios a) Efectúe la suma 1x 3  6x 2  2x  42  1x 3  5x 2  7x2 . b) Encuentre la diferencia 1x 3  6x 2  2x  42  1x 3  5x 2  7x2 . Solución a) 1x 3  6x 2  2x  42  1x 3  5x 2  7x2  1x 3  x 3 2  16x 2  5x 2 2  12x  7x2  4 Agrupación de términos semejantes  2x 3  x 2  5x  4 Combinación de términos semejantes b) 1x 3  6x 2  2x  42  1x 3  5x 2  7x2  x 3  6x 2  2x  4  x 3  5x 2  7x Propiedad distributiva  1x  x 2  16x  5x 2  12x  7x2  4 Agrupación de términos semejantes 3 3  11x 2  9x  4 2 2 Combinación de términos semejantes ■ Para encontrar el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas necesitamos usar la propiedad distributiva en forma repetida. En particular, al usarla tres veces en el producto de dos binomios, obtenemos 1a  b2 1c  d2  a1c  d2  b1c  d 2  ac  ad  bc  bd 26 CAPÍTULO 1 Fundamentos Esto indica que para multiplicar los dos factores se multiplica cada uno de los términos de un factor por cada uno de los términos del otro factor y se suman los productos. En forma esquemática tenemos La regla práctica siguiente ayuda a obtener el producto de dos binomios: el primero por el primero, el primero por el segundo, el segundo por el primero y el segundo por el segundo. 1a  b2 1c  d2  ac  ad  bc  bd 앖 앖 앖 앖 En general, multiplicamos dos expresiones algebraicas usando la propiedad distributiva y las Leyes de los exponentes. Ejemplo 2 Multiplicación de expresiones algebraicas a) 12x  12 13x  52  6x 2  10x  3x  5 앖 앖 앖 Propiedad distributiva 앖  6x 2  7x  5 Combinación de términos semejantes b) 1x 2  32 1x 3  2x  12  x 2 1x 3  2x  12  31x 3  2x  12 Propiedad distributiva  x 5  2x 3  x 2  3x 3  6x  3  x 5  x 3  x 2  6x  3 Propiedad distributiva Combinación de términos semejantes c) 11  1x2 12  31x2  2  31x  21x  31 1x2 2 Propiedad distributiva  2  1x  3x Combinación de términos semejantes ■ Ciertos tipos de productos son tan frecuentes que es necesario memorizarlos. Puede verificar las fórmulas siguientes efectuando las multiplicaciones. Refiérase al Proyecto de descubrimiento de la página 34 para ver una interpretación geométrica de algunas de estas fórmulas. Fórmulas para productos especiales Si A y B son números reales o expresiones algebraicas, entonces 1. 1A  B2 1A  B2  A2  B 2 Suma y producto de términos iguales 2. 1A  B2 2  A2  2AB  B 2 Cuadrado de una suma 3. 1A  B2 2  A2  2AB  B 2 Cuadrado de una diferencia 4. 1A  B2  A  3A B  3AB  B 3 3 2 2 3 5. 1A  B2 3  A3  3A2B  3AB 2  B 3 Cubo de una suma Cubo de una diferencia La idea clave de usar estas fórmulas (o cualquier otra fórmula en álgebra) es el principio de la sustitución: podríamos reemplazar cualquier expresión algebraica por cualquier letra en una fórmula. Por ejemplo, para determinar 1x 2  y 3 2 2 aplicamos la fórmula 2 del producto, escribimos A en lugar de x 2 y B en lugar de y 3 para llegar a 1x 2  y 3 2 2  1x 2 2 2  21x 2 2 1 y 3 2  1y 3 2 2 (A  B)2  A2  2AB  B2 SECCIÓN 1.3 Expresiones algebraicas Ejemplo 3 27 Aplicación de las fórmulas para productos especiales Utilice las fórmulas para productos especiales para determinar cada uno de los productos. a) 13x  52 2 b) 1x 2  22 3 c) 12x  1y2 12x  1y2 Solución a) Al sustituir A  3x y B  5 en la fórmula 2 de los productos, tenemos 13x  52 2  13x2 2  213x2 15 2  52  9x 2  30x  25 b) Al sustituir A  x 2 y B  2 en la fórmula 5 de los productos, tenemos 1x 2  22 3  1x 2 2 3  31x 2 2 2 122  31x 2 2 122 2  23  x 6  6x 4  12x 2  8 c) Al sustituir A  2x y B  1y en la fórmula 1 de los productos, tenemos 12x  1y2 12x  1y2  12x2 2  1 1y2 2  4x 2  y ■ Factorización Aplicamos la propiedad distributiva para expandir las expresiones algebraicas. Algunas veces necesitamos invertir este proceso usando otra vez la propiedad distributiva mediante la factorización de una expresión en productos de términos más simples. Por ejemplo, podemos escribir x 2  4  1x  22 1x  22 Decimos que x  2 y x  2 son factores de x 2  4. El tipo más sencillo de factorización se presenta cuando los términos tienen un factor común. Ejemplo 4 Obtención de factores comunes Factorice cada una de las expresiones. a) 3x 2  6x b) 8x 4y 2  6x 3y 3  2xy 4 c) 12x  42 1x  32  51x  32 Verifique su respuesta Solución a) El factor común máximo de los términos 3x 2 y 6x es 3x, y entonces 3x 2  6x  3x 1x  22 La multiplicación da 3x1x  2 2  3x  6x 2 Verifique su respuesta La multiplicación da 2xy 2 14x 3  3x 2y  y 2 2  8x 4y 2  6x 3y 3  2xy 4 b) Observe que 8, 6 y 2 tienen a 2 como máximo factor común x 4, x 3 y x tienen a x como máximo factor común y 2, y 3 y y 4 tienen a y 2 como máximo factor común De modo que el máximo factor común de los tres términos en el polinomio es 2xy 2, por lo que 8x 4y 2  6x 3y 3  2xy 4  12xy 2 2 14x 3 2  12xy 2 2 13x 2y2  12xy 2 2 1y 2 2  2xy 2 14x 3  3x 2y  y 2 2 28 CAPÍTULO 1 Fundamentos c) Los dos términos tienen el factor común x  3. 12x  42 1x  32  51x  32  3 12x  42  54 1x  32  12x  12 1x  32 Propiedad distributiva Simplificación ■ Para factorizar un trinomio de la forma x 2  bx  c, observamos que 1x  r2 1x  s2  x 2  1r  s 2x  rs de modo que es necesario escoger números r y s tal que r  s  b y rs  c. Ejemplo 5 Factorice: Verifique su respuesta La multiplicación da 1x  32 1x  42  x 2  7x  12 Factorización de x 2  bx  c mediante ensayo y error x 2  7x  12 Solución Necesitamos encontrar dos enteros cuyo producto sea 12 y cuya suma sea igual a 7. Mediante ensayo y error encontramos que los dos enteros son 3 y 4. Por lo tanto, la factorización es x 2  7x  12  1x  32 1x  42 factores de 12 factores de a 앗 앗 ax 2  bx  c  Ó px  rÔÓqx  sÔ 앖 앖 factores de c ■ Para factorizar un trinomio de la forma ax 2  bx  c con a  1, buscamos factores de la forma px  r y qx  s: ax 2  bx  c  1 px  r2 1qx  s 2  pqx 2  1 ps  qr2x  rs Por lo tanto, tratamos de hallar números p, q, r, y s tal que pq  a, rs  c, ps  qr  b. Si todos estos números son enteros, entonces tendremos un número limitado de posibilidades para p, q, r y s. Ejemplo 6 Factorización de ax 2  bx  c por ensayo y error Factorice: 6x 2  7x  5 Verifique su respuesta La multiplicación da Solución Podemos factorizar 6 como 6 # 1 o bien 3 # 2, y 5 como 25 # 1 o 5 # 112 . Intentando estas posibilidades llegamos a la factorización 13x  5 2 12x  1 2  6x 2  7x  5 factores de 6 6x 2  7x  5  13x  52 12x  12 factores de 5 Ejemplo 7 Identificación de la forma de una expresión Factorice cada una de las expresiones. a) x 2  2x  3 b) 15a  12 2  215a  1 2  3 Solución a) x 2  2x  3  1x  32 1x  12 b) Esta expresión es de la forma Ensayo y error 2 2 3 ■ SECCIÓN 1.3 Expresiones algebraicas 29 donde representa 5a  1. Ésta es la misma forma que la de la expresión en el inciso (a), de modo que se factoriza como 1  321  12. 1 5a  1 2 2  21 5a  1 2  3  31 5a  1 2  34 31 5a  1 2  14  15a  22 15a  22 ■ Algunas expresiones algebraicas especiales se pueden factorizar usando las fórmulas siguientes. Las primeras tres son simplemente las fórmulas para productos especiales, pero escritas hacia atrás. Fórmulas de factorización especial Fórmula Nombre 1. A2  B 2  1A  B2 1A  B2 2. A  2AB  B  1A  B2 2 2 Diferencia de cuadrados 2 Cuadrado perfecto 3. A2  2AB  B 2  1A  B2 2 4. A  B  1A  B2 1A  AB  B 2 3 3 2 2 5. A3  B 3  1A  B2 1A2  AB  B 2 2 Ejemplo 8 Cuadrado perfecto Diferencia de cubos Suma de cubos Factorización de diferencias de cuadrados Factorice cada polinomio. a) 4x 2  25 b) 1x  y2 2  z 2 Solución a) Si usamos la fórmula de diferencia de cuadrados con A  2x y B  5, tenemos 4x 2  25  12x2 2  52  12x  5 2 12x  52 A2  B2  (A  B)(A  B) b) Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados con A  x  y y B  z. 1x  y2 2  z 2  1x  y  z2 1x  y  z2 Ejemplo 9 Factorización de diferencias y sumas de cubos Factorice cada polinomio. a) 27x 3  1 b) x 6  8 Solución a) Al aplicar la fórmula de diferencia de cubos con A  3x y B  1, tenemos que 27x 3  1  13x2 3  13  13x  12 3 13x2 2  13x2 112  12 4  13x  12 19x 2  3x  12 ■ 30 CAPÍTULO 1 Fundamentos Matemáticas en el mundo moderno Palabras, sonidos e imágenes que se cambian a números Fotografías, sonidos y texto se transmiten en forma continua desde un lugar a otro por medio de Internet, máquinas para facsímiles o módem. ¿Cómo pueden ser transmitidas tales cosas por los cables del teléfono? La clave para hacerlo es transformarlas en números o bits (los dígitos 0 o 1). Es fácil ver cómo se cambia un texto a números. Por ejemplo, podríamos usar la correspondencia A  00000001, B  00000010, C  00000011, D  00000100, E  00000101, y así sucesivamente. La palabra “BED” se convertiría en 000000100000010100000100. Al leer los dígitos en grupos de ocho es posible traducir este núme-ro a la palabra “BED”. Cambiar el sonido a bits es más complicado. Una onda de sonido se puede graficar en un osciloscopio o una computadora. La gráfica se descompone matemáticamente en componentes más simples que corresponden a las frecuencias diferentes del sonido original. (Una rama de las matemáticas que se llama análisis de Fourier se usa aquí.) La intensidad de cada componente es un número y el sonido original se puede reconstruir a partir de estos números. Por ejemplo, la música se almacena en un disco compacto como una sucesión de bits; se podría ver como 101010001010010100101010100000101111010100 0101011. . . . (¡Un segundo de música requiere 1.5 millones de bits!) El reproductor de discos compactos reconstruye la música a partir de los números en el disco. Cambiar fotografías a números requiere expresar el color y la brillantez de cada punto, o pixel, en un número. Lo anterior se logra con mucha eficacia usando una rama de las matemáticas que se llama teoría ondulatoria. El FBI utiliza las ondas como una manera compacta de almacenar los millones de huellas digitales que necesitan. b) Al aplicar la fórmula de la suma de cubos con A  x 2 y B  2, tenemos x 6  8  1x 2 2 3  23  1x 2  22 1x 4  2x 2  42 ■ Un trinomio es un cuadrado perfecto si es de la forma A2  2AB  B 2 A2  2AB  B 2 o bien, Entonces, reconocemos a un cuadrado perfecto si el término medio (2AB o bien, 2AB) es más o menos el doble del producto de la raíces cuadradas de los otros dos términos. Ejemplo 10 Identificación de cuadrados perfectos Factorice los trinomios. a) x 2  6x  9 b) 4x 2  4xy  y 2 Solución a) En este caso A  x y B  3, de modo que 2AB  2 # x # 3  6x. Como el término medio es 6x, el trinomio es un cuadrado perfecto. De acuerdo con la fórmula del cuadrado perfecto tenemos x 2  6x  9  1x  32 2 b) Aquí, A  2x y B  y, de modo que 2AB  2 # 2x # y  4xy. Puesto que el término medio es 4 xy, el trinomio es un cuadrado perfecto. Mediante la fórmula del cuadrado perfecto tenemos 4x 2  4xy  y 2  12x  y 2 2 ■ Cuando factorizamos una expresión, algunas veces el resultado se puede factorizar todavía más. En general, primero buscamos los factores comunes, luego inspeccionamos el resultado para ver si se puede factorizar por medio de otros métodos de esta sección. Repetimos el proceso hasta que hemos factorizado la expresión por completo. Ejemplo 11 Factorización completa de una expresión Factorice totalmente cada una de las expresiones. a) 2x 4  8x 2 b) x 5y 2  xy 6 Solución a) Primero factorizamos la potencia de x con el exponente más pequeño. 2x 4  8x 2  2x 2 1x 2  42  2x 2 1x  22 1x  22 El factor común es 2x 2 Factorizamos x 2  4 como una diferencia de cuadrados b) Primero factorizamos las potencias de x y y con los exponentes más pequeños. x 5y 2  xy 6  xy 2 1x 4  y 4 2  xy 2 1x 2  y 2 2 1x 2  y 2 2 El factor común es xy 2 Se factoriza x 4  y 4 como diferencias de cuadrados  xy 2 1x 2  y 2 2 1x  y2 1x  y2 Se factoriza x 2  y 2 como diferencias de cuadrados ■ En el siguiente ejemplo se factorizan variables con exponentes fraccionarios. Este tipo de factorización se requiere en el cálculo. SECCIÓN 1.3 Expresiones algebraicas Ejemplo 12 Para factorizar x1/2 a partir de x 3/2, restamos los exponentes: x 3/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 1x 1x 3/2 11/22 3/21/2 1x 2 2 2 (a) 3x 1/2 1x 2  3x  2 2 (b) 12  x 2  9x 2/3  6x  12  x 2 Se saca como factor 3x1/2 Factorización de la expresión cuadrática x 2  3x  2 b) Se toma como factor la potencia de 2  x con el exponente más pequeño, es decir 12  x2 2/3. 12  x2 2/3x  12  x2 1/3  12  x2 2/3 3x  12  x2 4 El factor es 12  x 2 2/3  12  x 2 2/3 12  2x2 x  12  x 2 Simplificación  212  x2 2/3 11  x2 1/2 3 x  12  x 2 4 2/3 b) 12  x2 2/3x  12  x2 1/3  3x 1/2 1x  12 1x  22 Para ver si la factorización es correcta, multiplique usando las Leyes de los Exponentes.  3x Factorice las expresiones. a) 3x 3/2  9x 1/2  6x 1/2 3x 3/2  9x 1/2  6x 1/2  3x 1/2 1x 2  3x  22 2 1/2 Factorización de expresiones con exponentes fraccionarios Solución a) Factorice la potencia de x con el exponente más pequeño, es decir, x1/2. Compruebe su respuesta 3/2 31 1/3 Se saca como factor al 2 ■ Los polinomios con al menos cuatro términos se pueden factorizar agrupando términos. El ejemplo siguiente ilustra la idea Ejemplo 13 Factorización por agrupación Factorice cada uno de los polinomios. a) x 3  x 2  4x  4 b) x 3  2x 2  3x  6 Solución a) x 3  x 2  4x  4  1x 3  x 2 2  14x  42 Términos agrupados 2  x 1x  12  41x  12 Se toman factores comunes 2  1x  42 1x  12 Se saca como factor común x  1 de cada término 3 2 3 2 b) x  2x  3x  6  1x  2x 2  13x  62 Agrupación de términos  x 2 1x  22  31x  22 Se sacan factores comunes 2  1x  32 1x  22 Se saca como factor común x  2 de cada término ■ 1.3 Ejercicios 1–6 ■ Complete la tabla siguiente escribiendo si el polinomio es un monomio, binomio o trinomio. Luego liste los términos y establezca su grado. Polinomio 1. x 2  3x  7 2. 2x 5  4x 2 3. 8 4. 12 x 7 5. x  x 2  x 3  x 4 6. 12 x  13 Tipo Términos Grado 7–42 ■ Ejecute las operaciones que se piden y simplifique. 7. 112x  7 2  15x  12 2 8. 15  3x 2  12x  82 9. 13x 2  x  12  12x 2  3x  5 2 10. 13x 2  x  12  12x 2  3x  5 2 11. 1x 3  6x 2  4x  7 2  13x 2  2x  4 2 12. 31x  1 2  41x  2 2 13. 812x  5 2  71x  9 2 14. 41x 2  3x  5 2  31x 2  2x  1 2 15. 212  5t2  t 2 1t  1 2  1t 4  12 16. 513t  4 2  1t 2  22  2t1t  3 2 32 CAPÍTULO 1 Fundamentos 17. 1x 1x  1x2 18. x 3/2 1 1x  1/ 1x2 21. 1x  2y 2 13x  y2 22. 14x  3y2 12x  5y2 19. 13t  2 2 17t  5 2 23. 11  2y 2 20. 14x  1 2 13x  72 24. 13x  42 2 67. x 5/2  x 1/2 1 b c 70. 2x 1/3 1x  22 2/3  5x 4/3 1x  22 1/3 26. a c  27. 12x  5 2 1x 2  x  12 28. 11  2x2 1x 2  3x  12 2 71–100 30. 1x 1/2  y 1/2 2 1x 1/2  y 1/2 2 29. 1x 2  a 2 2 1x 2  a 2 2 32. 1 2h 2  1  1 2 1 2h 2  1  1 2 33. 11  a 3 2 3 35. 1x 2  x  1 2 12x 2  x  2 2 38. 11  b 2 2 11  b 2 2 39. 13x y  7xy 2 1x y  2y 2 40. 1x y  y 2 1x  xy  y 2 2 2 3 2 41. 1x  y  z 2 1x  y  z 2 ■ 4 5 2 2 42. 1x 2  y  z2 1x 2  y  z2 Obtenga el factor común. 43. 2x 3  16x 44. 2x 4  4x 3  14x 2 47. 2x y  6xy  3xy 48. 7x y  14xy  21xy 45. y1y  6 2  91y  6 2 2 49–54 2 ■ 46. 1z  2 2 2  51z  2 2 4 2 3 50. x 2  6x  5 51. 8x 2  14x  15 52. 6y 2  11y  21 53. 13x  2 2 2  813x  22  12 54. 21a  b2 2  51a  b 2  3 55. 9a2  16 56. 1x  3 2 2  4 57. 27x  y 58. 8s  125t 59. x  12x  36 60. 16z  24z  9 3 2 ■ 73. x  2x  8 74. y 2  8y  15 75. 2x 2  5x  3 76. 9x 2  36x  45 77. 6x 2  5x  6 78. r 2  6rs  9s2 79. 25s 2  10st  t 2 80. x 2  36 81. 4x 2  25 82. 49  4y2 1 2 1 2 b  a1  b x x 85. x 2 1x 2  12  91x 2  12 86. 1a 2  12 b 2  41a 2  12 87. 8x 3  125 88. x 6  64 89. x6  8y 3 90. 27a3  b6 91. x 3  2x 2  x 92. 3x 3  27x 93. y3  3y 2  4y  12 94. x 3  3x 2  x  3 95. 2x 3  4x 2  x  2 96. 3x 3  5x 2  6x  10 97. 1x  12 1x  2 2 2  1x  12 2 1x  22 4 98. y 4 1 y  2 2 3  y 5 1y  22 4 100. 1a 2  2a2 2  21a 2  2a2  3 101–104 ■ Factorice completamente la expresión. (Este tipo de expresión surge en el cálculo cuando se usa la “regla del producto”.) 101. 51x 2  42 4 12x 2 1x  2 2 4  1x 2  42 5 14 2 1x  2 2 3 55–60 ■ Aplique una fórmula de factorización especial para factorizar la expresión. 61–66 72. 5ab  8abc 99. 1a 2  12 2  71a 2  12  10 Factorice el trinomio. 49. x 2  2x  3 3 71. 12x 3  18x 84. a 1  36. 13x 3  x 2  2 2 1x 2  2x  1 2 43–48 Factorice totalmente las expresiones. 83. 1a  b 2 2  1a  b2 2 34. 11  2y2 3 2 ■ 2 1 1 b a1a  b b b 37. 11  x 4/3 2 11  x 2/3 2 68. x3/2  2x1/2  x 1/2 69. 1x 2  12 1/2  21x 2  12 1/2 2 25. 12x 2  3y 2 2 2 31. a1a  67–70 ■ Factorice totalmente la expresión. Empiece por factorizar la potencia más baja de cada factor común. 3 6 2 Factorice la expresión agrupando términos. 61. x 3  4x 2  x  4 62. 3x 3  x 2  6x  2 63. 2x 3  x 2  6x  3 64. 9x 3  3x 2  3x  1 65. x 3  x 2  x  1 66. x 5  x 4  x  1 102. 312x  12 2 12 2 1x  32 1/2  12x  12 3 A 12 B 1x  3 2 1/2 103. 1x 2  32 1/3  23 x 2 1x 2  32 4/3 104. 12 x1/2 13x  42 1/2  32 x1/2 13x  42 1/2 105. a) Demuestre que ab  12 3 1a  b2 2  1a 2  b 2 2 4 . b) Demuestre que 1a 2  b 2 2 2  1a 2  b 2 2 2  4a 2b 2. c) Demuestre que 1a 2  b 2 2 1c 2  d 2 2  1ac  bd 2 2  1ad  bc2 2 d) Factorice completamente: 4a 2c 2  1a 2  b 2  c 2 2 2. 106. Compruebe las fórmulas de factorización especial 4 y 5 expandiendo sus segundos miembros. SECCIÓN 1.3 Expresiones algebraicas Aplicaciones 107. Volumen de concreto Una alcantarilla está construida mediante cascarones cilíndricos colados en concreto, según se muestra en la figura. Aplique la fórmula del volumen de un cilindro que se encuentra en los forros interiores de este libro y explique por qué el volumen del cascarón cilíndrico es V  pR 2h  pr 2h Factorice para demostrar que 33 110. El poder de las fórmulas algebraicas Aplique la fórmula de las diferencias de cuadrados para factorizar 172  162. Observe que es fácil de calcular mentalmente la forma factorizada, pero es difícil de calcular la forma original de esta manera. Evalúe cada expresión mentalmente: b) 1222  1202 c) 10202  10102 a) 5282  5272 Ahora aplique la fórmula para productos especiales 1A  B2 1A  B2  A2  B 2 para evaluar estos productos mentalmente: d) 79 # 51 e) 998 # 1002 V  2␲  radio promedio  altura  espesor Utilice el esquema “desenrrollado” para explicar por qué tiene sentido desde el punto de vista geométrico. 111. Diferencias de potencias pares a) Factorice del todo las expresiones: A4  B 4 y A6  B 6. b) Verifique que 18335  124  74 y que 2 868 335  126  76. R r h h 108. Poda de un terreno Cada semana se corta el pasto de las orillas de un terreno cuadrado de un cierto estacionamiento. El resto del terreno permanece intacto para que sirva como hábitat de pájaros y otros pequeños animales (véase la figura). El terreno mide b pies por b pies y la franja podada es de x pies de ancho. (a) Explique por qué el área de la parte podada es b 2  1b  2x 2 2. (b) Factorice la expresión del inciso a) para demostrar que el área de la parte podada es también 4x1b  x 2 . b x b x x c) Use los resultados de los incisos a) y b) para factorizar los enteros 18 335 y 2 868 335. Luego demuestre que en ambas factorizaciones, todos los factores son números primos. 112. Factorización de An 1 Verifique estas fórmulas expandiendo y simplificando el segundo miembro. A2  1  1A  1 2 1A  1 2 A3  1  1A  1 2 1A2  A  12 A4  1  1A  1 2 1A3  A2  A  12 Use base en el patrón mostrado en esta lista, ¿cómo piensa que se factorizaría A5  1? Verifique sus suposiciones. En seguida generalice el patrón que observó para obtener una fórmula con la cual se factorice An  1, donde n es un entero positivo. 113. Factorización de x 4  ax 2  b Algunas veces, un trinomio de la forma x 4  ax 2  b puede factorizarse con facilidad. Por ejemplo, x 4  3x 2  4  1x 2  42 1x 2  12 . Pero x 4  3x 2  4 no se puede factorizar de esta manera, sino que podemos usar el método siguiente. x 4  3x 2  4  1x 4  4x 2  42  x 2 x Descubrimiento ● Debate 109. Grados de sumas y productos de polinomios Forme varios pares de polinomios, luego calcule la suma y el producto de cada par. Con base en sus experimentos y observaciones, responda las siguientes preguntas. a) ¿Cómo es el grado del producto en relación con los grados de los polinomios originales? b) ¿Cómo es el grado de la suma en relación con el grado de los polinomios originales? Suma y resta de x 2 2 2 2  1x  22  x Factorización del cuadrado perfecto  3 1x 2  22  x 4 3 1x 2  22  x 4 Diferencia de cuadrados  1x 2  x  2 2 1x 2  x  2 2 Factorice las expresiones siguientes usando cualquier método que sea adecuado. a) x 4  x 2  2 b) x 4  2x 2  9 c) x 4  4x 2  16 d) x 4  2x 2  1 34 CAPÍTULO 1 Fundamentos Representación gráfica de una fórmula PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Muchas de las fórmulas para productos especiales que se tratan en esta sección se pueden representar en forma geométrica, considerando el largo, el área y el volumen. Por ejemplo, la figura ilustra cómo se puede interpretar la fórmula del cuadrado de un binomio mediante áreas de cuadrados y de rectángulos. b b ab b™ a a™ ab (a+b)™ a a b a (a+b)™=a™+2ab+b™ b En la figura, a y b representan longitudes, a 2, b 2, ab y 1a  b2 2 representan áreas. Los antiguos griegos siempre interpretaban las fórmulas algebraicas en términos de figuras geométricas como se hace aquí. 1. Explique cómo la figura verifica la fórmula a 2  b 2  1a  b 2 1a  b2 . a a b b 2. Encuentre una figura que compruebe la fórmula 1a  b2 2  a 2  2ab  b 2. 3. Explique cómo la figura siguiente verifica la fórmula 1a  b2 3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3. a b a b a b 4. ¿Es posible dibujar una figura geométrica que verifique la fórmula para 1a  b2 4? Explique. 5. a) Efectúe 1a  b  c 2 2. b) Trace una figura geométrica que verifique la fórmula que encontró en el inciso a). SECCIÓN 1.4 Expresiones racionales 1.4 35 Expresiones racionales Un cociente de dos expresiones algebraicas recibe el nombre de expresión fraccionaria. Siguen algunos ejemplos: y2 y2  4 1x  3 x1 2x x1 Una expresión racional es una expresión fraccionaria donde tanto el numerador como el denominador son polinomios. Por ejemplo, las que siguen son expresiones racionales: 2x x1 x3  x x  5x  6 x x 1 2 2 En esta sección se estudia cómo efectuar operaciones algebraicas con expresiones racionales. Dominio de una expresión algebraica Expresión Dominio 1 x 5x 0 x  06 1x 5x 0 x 1 1x 5x 0 x  06 En general, una expresión algebraica podría no estar definida para todos los valores de la variable. El dominio de una expresión algebraica es el conjunto de los números reales que se le permite tener a la variable. La tabla al margen proporciona algunas expresiones básicas y sus dominios. 06 Ejemplo 1 Determinación del dominio de una expresión Encuentre el dominio de las expresiones siguientes. x 1x a) 2x 2  3x  1 b) 2 c) x5 x  5x  6 Solución a) Este polinomio está definido para toda x. Por consiguiente, el dominio es el conjunto ⺢ de los números reales. b) Primero factorizamos el denominador. x x  1x  22 1x  32 x 2  5x  6 El denominador sería 0 si x  2 o x  3. Puesto que el denominador es cero cuando x  2 o 3, la expresión no está definida para estos números. El dominio es sx  x  2 y x  3d. c) Para que el numerador esté definido, deberemos tener x 0. Además, no podemos dividir entre cero, de modo que x  5. Es necesario tener x 0 para obtener una raíz cuadrada. Por lo tanto, el dominio es sx  x 1x x5 0 y x  5d. El denominador sería igual a 0 si x  5. ■ 36 CAPÍTULO 1 Fundamentos Simplificación de expresiones racionales Para simplificar las expresiones racionales factorizamos tanto el numerador como el denominador y aplicamos la siguiente propiedad de las fracciones: AC A  BC B Esto permite eliminar los factores comunes del numerador y del denominador. Ejemplo 2 x2  1 x2  x  2 Simplifique: Solución No podemos eliminar las x 2 en x 1 porque la x 2 no está x2  x  2 multiplicando. 2 Simplificación de expresiones racionales por eliminación 1x  12 1x  12 x2  1  2 1x  12 1x  22 x x2 x1  x2 Factorización Eliminación de factores comunes ■ Multiplicación y división de expresiones racionales Para multiplicar expresiones racionales, aplicamos la siguiente propiedad de las fracciones A#C AC  B D BD Esto dice que para multiplicar dos fracciones se tienen que multiplicar los numeradores y por otra parte los denominadores. Ejemplo 3 Multiplicación de expresiones racionales Ejecute la multiplicación indicada y simplifique: x 2  2x  3 # 3x  12 x 2  8x  16 x  1 Solución Primero factorizamos. 1x  12 1x  32 31x  42 x 2  2x  3 # 3x  12 #  2 x1 x  8x  16 x  1 1x  42 2   31x  12 1x  32 1x  42 1x  12 1x  42 2 31x  32 x4 Factorización Propiedad de las fracciones Eliminación de factores comunes ■ Para dividir las expresiones racionales aplicamos la propiedad siguiente de las fracciones A B C A D  # D B C SECCIÓN 1.4 Expresiones racionales 37 Esto quiere decir que para dividir una fracción entre otra fracción, invertimos el divisor y multiplicamos. Ejemplo 4 División de expresiones racionales Efectúe la división y simplifique: x4 x2  4 x 2  3x  4 x 2  5x  6 Solución x4 x2  4 x 2  3x  4 x  4 # x 2  5x  6  x 2  5x  6 x 2  4 x 2  3x  4 1x  42 1x  22 1x  32 Inversión y multiplicación  1x  22 1x  22 1x  42 1x  12 Factorización  x3 1x  22 1x  12 Se eliminan los factores comunes ■ Adición y sustracción de expresiones racionales Evite cometer el error siguiente: A A A   BC B C Para sumar o restar expresiones racionales, primero determinamos un denominador común y luego aplicamos la propiedad siguiente de las fracciones: A B AB   C C C Por ejemplo, si tenemos A  2, B  1, y C  1, entonces vemos el error: 2 2 2 ⱨ  11 1 1 2 ⱨ22 2 1ⱨ4 Aunque podría servir cualquier denominador común, es mejor usar el mínimo común denominador (MCD), que se trató en la sección 1. El MCD se encuentra factorizando cada denominador y luego se obtiene el producto de los distintos factores; se usa la potencia más alta que aparece en alguno de los factores. ¡Falso! Ejemplo 5 Adición y sustracción de expresiones racionales Efectúe las operaciones indicadas y simplifique: 3 x 1 2 a)  b) 2  x1 x2 x 1 1x  12 2 Solución a) En este caso el MCD es simplemente el producto 1x  12 1x  22 . 31x  22 x1x  12 3 x    x1 x2 1x  12 1x  22 1x  12 1x  22 Las fracciones se escriben usando el MCD  3x  6  x 2  x 1x  12 1x  22 Las fracciones se suman  x 2  2x  6 1x  12 1x  22 Se combinan los términos del numerador 38 CAPÍTULO 1 Fundamentos Matemáticas en el mundo moderno b) El MCD de x 2  1  1x  12 1x  12 y 1x  12 2 es 1x  12 1x  12 2. 1 1 2 2  Factorización  2  1x  12 1x  12 x 1 1x  12 1x  12 2 2  1x  12  21x  12 1x  12 1x  12  NASA  Codificación para corregir errores Las imágenes que envió a la Tierra la nave espacial Pathfinder desde la superficie de Marte en julio de 1997 eran asombrosamente claras. Pero sólo muy pocos de quienes observaron estas imágenes estaban conscientes de la aplicación matemática tan compleja que se usó para lograr este hecho tan notable. La distancia a Marte es enorme, y el ruido de fondo, también conocido como estática, es muchas veces más fuerte que la señal original que envía la nave. Entonces, cuando los científicos reciben la señal, ésta se encuentra llena de errores. Para obtener una imagen clara, se tienen que encontrar los errores y corregirlos. Este mismo problema de errores se encuentra en forma rutinaria al transmitir los registros de un banco cuando usted usa un cajero automático o en la voz cuando usted habla por teléfono. Para entender cómo se encuentran y se corrigen los errores, primero debemos tener claro que para transmitir imágenes, sonido o texto es necesario transformarlos en bits (los dígitos 0 o 1; refiérase a la pág. 30). Con el fin de ayudar al receptor a identificar los errores, se “codifica” el mensaje insertando bits adicionales. Por ejemplo, suponga que quiere transmitir el mensaje “10100”. Un código muy sencillo es el siguiente: enviar cada uno de los dígitos un millón de veces. La persona que recibe el mensaje lo lee en bloques de un millón de dígitos. Si la mayoría es 1 en el primer bloque, la persona concluye (continúa) 2 x  1  2x  2 1x  12 1x  12 2 3x 1x  12 1x  12 2 Combinación de fracciones usando el MCD Propiedad distributiva Combinación de términos en el numerador ■ Fracciones compuestas Una fracción compuesta es una expresión en la cual el numerador, el denominador, o ambos son también expresiones fraccionarias. Ejemplo 6 Simplifique: Simplificación de una fracción compuesta x 1 y y 1 x Solución 1 Combinamos los términos en el numerador para tener una sola fracción. Ejecutamos lo mismo con el denominador. Luego invertimos y multiplicamos. xy x 1 y y xy # x   y xy y xy 1 x x  x1x  y2 y1x  y2 Solución 2 Determinamos el MCD de todas las fracciones en la expresión, luego multiplicamos el numerador y el denominador por el MCD. En este ejemplo, el MCD de todas las fracciones es xy. Por lo tanto, x x 1 1 y y  y y 1 1 x x # xy xy Multiplicación del numerador y del denominador por xy  x 2  xy xy  y 2 Simplificación  x1x  y2 y1x  y2 Factorización ■ SECCIÓN 1.4 Expresiones racionales que usted trata con probabilidad de transmitir un 1, y así sucesivamente. Decir que este código no es efectivo tiene un poco de declaración exageradamente modesta; se requiere enviar un millón de veces más datos que el mensaje original. En otro método se insertan “dígitos de verificación”. Por ejemplo, por cada bloque de ocho dígitos se inserta un noveno dígito; el dígito insertado es 0 si hay una cantidad par de números 1 en el bloque, y 1 si hay una cantidad impar. Entonces, si un solo dígito está mal, por ejemplo, un 0 cambiado por un 1 o viceversa, los dígitos de verificación permiten saber que ha ocurrido un error. Pero este método no nos dice dónde está el error, por lo que no podemos corregirlo. Los códigos modernos para corregir errores aplican interesantes algoritmos matemáticos que requieren la inserción de relativamente pocos dígitos, pero que permiten que el receptor no sólo identifique errores, sino que también los corrija. El primer código para corregir errores lo desarrolló Richard Hamming por el año 1940 en el Massachusetts Institute of Technology. Es interesante hacer notar que el idioma inglés tiene un mecanismo incorporado para corregir errores; para probarlo, trate de leer la oración plagada de errores: Gve mo libty ox giv ne deth (Give me more liberty or give me death).* Se saca como factor la potencia de 1  x 2 con el exponente más pequeño en este caso 11  x 2 2 1/2. 39 Los dos ejemplos siguientes muestran situaciones en el cálculo que requieren la capacidad de trabajar con expresiones fraccionarias. Ejemplo 7 Simplifique: Simplificación de una fracción compuesta 1 1  a ah h Solución Empezamos por combinar las fracciones del numerador usando un denominador común. a  1a  h2 1 1  a ah a1a  h2  h h Ejemplo 8 Simplifique: Solución 1 Combinación de fracciones en el numerador  a  1a  h2 1 # a1a  h2 h Propiedad 2 de las fracciones (inversión del divisor y multiplicación)  aah#1 a1a  h2 h Propiedad distributiva  h # 1 a1a  h2 h Simplificación  1 a1a  h2 Propiedad 5 de las fracciones (eliminación de los factores comunes) ■ Simplificación de una fracción compuesta 11  x 2 2 1/2  x 2 11  x 2 2 1/2 1  x2 Saque como factor 11  x 2 2 1/2 del numerador. 11  x 2 2 1/2  x 2 11  x 2 2 1/2 1  x2   11  x 2 2 1/2 3 11  x 2 2  x 2 4 1  x2 11  x 2 2 1/2 1x 2  1 11  x 2 2 3/2 Solución 2 Puesto que 11  x 2 2 1/2  1/11  x 2 2 1/2 es una fracción, podemos simplificar las fracciones multiplicando numerador y denominador por 11  x 2 2 1/2. 11  x 2 2 1/2  x 2 11  x 2 2 1/2 1x * Dadme más libertad o dadme la muerte 2   11  x 2 2 1/2  x 2 11  x 2 2 1/2 11  x 2 2 1/2 # 1  x2 11  x 2 2  x 2 11  x 2 2 3/2  1 11  x 2 2 3/2 11  x 2 2 1/2 ■ 40 CAPÍTULO 1 Fundamentos Racionalización del denominador o del numerador Si una fracción tiene un denominador de la forma A  B 1C, podemos racionalizar el denominador multiplicando el numerador y el denominador por el radical conjugado A  B 1C. Esto es efectivo porque de acuerdo con la fórmula 1 para los productos especiales tratada en la sección 1.3, el producto del denominador por su radical conjugado no contiene un radical: 1A  B 1C 2 1A  B 1C 2  A2  B2C Ejemplo 9 Racionalización del denominador Racionalice el denominador: 1 1  12 Solución Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el radical conjugado de 1  12, el cual es 1  12. 1 1 # 1  12  1  12 1  12 1  12 Fórmula 1 para los productos especiales 1a  b 2 1a  b 2  a 2  b 2 Ejemplo 10 Multiplicación del numerador o del denominador por el radical conjugado  1  12 1  1 122 2  1  12 1  12   12  1 12 1 2 Fórmula 1 para los productos especiales ■ Racionalización del numerador Racionalizar el numerador: 14  h  2 h Solución Multiplicamos el numerador y el denominador por el radical conjugado 14  h  2. 14  h  2 14  h  2 # 14  h  2  h h 14  h  2 Fórmula 1 para los productos especiales 1a  b2 1a  b2  a 2  b 2  1 14  h2 2  22 h1 14  h  22  4h4 h1 14  h  22  1 h  h1 14  h  22 14  h  2 Multiplicación del numerador y del denominador por el radical conjugado Fórmula 1 para productos especiales Propiedad 5 de las fracciones (eliminación de factores comunes) ■ Forma de evitar los errores comunes No cometa el error de aplicar las propiedades de la multiplicación a la operación de la adición. Muchos de los errores comunes del álgebra se relacionan precisamente con esto. En la siguiente tabla se establecen varias propiedades de la multiplicación y se ilustra el error al aplicarlos a la suma. SECCIÓN 1.4 Expresiones racionales Propiedad correcta de la multiplicación 1a # b 2  a 2 2 #b Error común en la adición 1a  b 2 2  a2  b2 2 1a # b  1a 1b 2a 2 # b 2  a # b 41 1a, b 1a, b 02 1a  b  1a  1b 02 2a 2  b 2  a  b 1#1 1  # a b a b 1 1 1   a b ab ab b a ab b a a1 # b1  1a # b 2 1 a1  b1  1a  b 2 1 Para comprobar que las ecuaciones en la columna de la derecha son erróneas sustituya simplemente números para a y b y calcule cada lado. Por ejemplo, si hacemos a  2 y b  2 en el cuarto error, encontramos que el lado izquierdo es 1 1 1 1    1 a b 2 2 y en el lado derecho es 1 1 1   ab 22 4 Puesto que 1  14, la ecuación planteada es errónea. Debe convencerse a sí mismo del error en cada una de las otras ecuaciones. (Véase el ejercicio 97.) 1.4 1–6 ■ Ejercicios Determine el dominio de la expresión. 1. 4x 2  10x  3 3. 2x  1 x4 4. 5. 2x  3 7–16 7. 9. 11. ■ 2. x 4  x 3  9x 6. 2t 2  5 3t  6 1 61x  12 2 8. 15. y2  y 14. y 1 2 2x 3  x 2  6x 2x 2  7x  6 17–30 2x  1 ■ # x2 16x 4x x2  4 121x  2 2 1x  12 19. x 2  x  12 x2  9 41x 2  1 2 16. y 2  3y  18 2y 2  5y  3 1  x2 x3  1 Efectúe la multiplicación o la división, y simplifique. 17. Simplifique la expresión racional. 31x  22 1x  1 2 13. t3 t2  9 x2 x2  4 10. x2  x  2 x2  1 21. t3 t2  9 x 2  6x  8 x 2  5x  4 12. x 2  x  12 x 2  5x  6 23. x 2  7x  12 x 2  3x  2 # 3x 4x # # 18. x 2  25 x 2  16 20. x 2  2x  3 x 2  2x  3 # 22. x2  x  6 x 2  2x x3  x2 x  2x  3 x 2  5x  6 x 2  6x  9 # x4 x5 # 3x 3x 2 42 24. CAPÍTULO 1 Fundamentos x 2  2xy  y 2 x y 2 2 # 2x 2  3x  1 25. 2 x  2x  15 26. 2x 2  xy  y 2 x  xy  2y 2 x 2  6x  5 2x 2  7x  3 4y 2  9 2y 2  y  3 2y 2  9y  18 y 2  5y  6 x3 x1 27. x x 2  2x  1 29. x/y z 31–50 ■ 1 c1 53. 1 1 c1 1 2 2x 2  3x  2 x2  1 28. 2 2x  5x  2 x2  x  2 30. x y/z 59. 32. 2x  1 1 x4 33. 1 2  x5 x3 34. 1 1  x1 x1 35. 1 1  x1 x2 36. x 3  x4 x6 x 2  37. 2 x1 1x  12 39. u  1  41. 43. x 2  y 2 x 1 y u u1 5 3  38. 2x  3 12x  3 2 2 40. 1 1  2 x2 x x 42. 2 1  2 x3 x  7x  12 44. 3 4 2   2 ab a2 b 1 1 1  2 3 x x x x 1  x2 x 4 1 1x ab ab  a b 56. ab ab  a b 2 1 1 1 58. 1 x 1  y 1 1x  y 2 1 aa  1 m 1 n b aa  b b b 60. 1 m 1 n ab  b ab  b a a 1 1  1  an 1  a n Efectúe la adición o la sustracción, y simplifique. x x3 31. 2  1 5  x1 x 55. x  x1 x 57. 1 54. 1  61–66 ■ Simplifique la expresión fraccionaria. (Expresiones como éstas se utilizan en el cálculo infinitesimal.) 1 1  a ah 61. h 62. 1x  h2 3  x 3 h 1  1x  h2 63. 64. 2  1x  h 2 h 1x 2x 1x  h2 3  71x  h2  1x 3  7x 2 h 2 65.  B 1 a x 21  x 2 b 2 66. B 1  a x3  1 2 b 4x 3 45. 1 1  2 x3 x 9 46. x 2  2 x2  x  2 x  5x  4 67–72 ■ Simplifique la expresión. (Este tipo de expresión se utiliza en el cálculo infinitesimal cuando se aplica la “regla del cociente”.) 47. 3 2 4   2 x x1 x x 67. x 2 1   48. 2 x  2 x  3 x x6 68. 1 1  2 49. 2 x  3x  2 x  2x  3 50. 69. 1 2 3   2 x1 1x  1 2 2 x 1 ■ Simplifique la expresión fraccionaria compuesta. y x  x y 51. 1 1  2 x2 y 71. 52. x  1x  32 4 2x1x  62 4  x 2 14 2 1x  6 2 3 1x  62 8 211  x2 1/2  x 11  x 2 1/2 11  x 2 x1 2 1/2 70. 51–60 31x  22 2 1x  32 2  1x  22 3 12 2 1x  32 y y x  x y 72.  x 2 11  x 2 2 1/2 1  x2 311  x 2 1/3  x 11  x 2 2/3 11  x 2 2/3 17  3x2 1/2  32 x 17  3x 2 1/2 7  3x SECCIÓN 1.4 Expresiones racionales 73–78 ■ Racionalice el denominador. 73. 1 2  13 74. 2 3  15 75. 2 12  17 76. 1 1x  1 77. y 79–84 79. 81. ■ 94. Costo promedio Un fabricante de ropa determina que el costo de la producción de x camisas es 500  6x  0.01x 2 dólares. a) Explique la razón de que el costo promedio por camisa esté dado por la expresión racional 21x  y 2 78. 13  1y 1x  1y A b) Complete la tabla siguiente con el cálculo del costo promedio por camisa para los valores dados de x. 1  15 3 80. 1r  12 5 82. 13  15 2 x 1x  1x  h h 1x 1x  h 84. 1x  1  1x 16  a a 1 16 16 86. b b 1 c bc x1 x 88.  y y1 2 1 2 87.   x 4x 2 a 2a 90. 2 a b  b 2b x 1  xy 1y a a  91. b b 1 1  x  x2  1x 92. x x Costo promedio 10 20 50 100 200 500 1000 85–92 ■ Diga si la ecuación se cumple para todos los valores de las variables. (Deseche cualquier valor que hace que el denominador sea cero.) 89. 500  6x  0.01x 2 x Racionalice el numerador. 83. 2x 2  1  x 85. 43 Descubrimiento • Debate 95. Comportamiento limitante de una expresión racional La expresión racional x2  9 x3 no está definida para x  3. Complete las tablas siguientes y determine a qué valor se aproxima la expresión a medida que x se acerca más y más a 3. ¿Por qué es razonable? Descomponga en factores el numerador de la expresión y simplifique para ver por qué. Aplicaciones 93. Resistencia eléctrica Si dos resistencias eléctricas con resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo (véase la figura), entonces la resistencia total R es R 1 1 1  R1 R2 x 2.80 2.90 2.95 2.99 2.999 x2  9 x3 x x2  9 x3 3.20 3.10 3.05 3.01 3.001 a) Simplifique la expresión para R. b) Si R1  10 ohms y R2  20 ohms, ¿cuál es la resistencia total R? R⁄ R¤ 96. ¿Esto es racionalización? En la expresión 2/ 1x eliminaríamos el radical si fuéramos a elevar al cuadrado tanto el numerador como el denominador. ¿Es lo mismo que racionalizar el denominador? 97. Errores algebraicos La columna de la izquierda en la tabla da el listado de algunos errores comunes de álgebra. En cada caso proporcione un ejemplo usando números que muestren que la fórmula no es válida. Un ejemplo de este 44 CAPÍTULO 1 Fundamentos tipo, que muestra que un enunciado es falso, se denomina contraejemplo. Error algebraico Contraejemplo 1 1 1   a b ab 1 1 1   2 2 22 1a  b2 2  a 2  b 2 98. La forma de una expresión algebraica Una expresión algebraica podría verse complicada, pero su “forma” siempre es simple; tiene que ser una suma, un producto, un cociente o una potencia. Por ejemplo, considere las expresiones siguientes: x2 3 x5 11  x 2 2 2  a 11  x 2 a 1  b b x1 1  x4 5  x3 1  21  x 2 2a  b  a  b 2 2 1x A1  x Con elecciones adecuadas para A y B, la primera tiene la forma de A  B, la segunda de AB, la tercera de A/B, y la cuarta de A1/2. Identificar la forma de una expresión nos ayuda a expandir, simplificar o a factorizar en forma correcta. Encuentre la forma de las siguientes expresiones algebraicas. ab b a 1a 3  b 3 2 1/3  a  b a m/a n  a m/n a) x  1 a 1/n  n a c) 1.5 A 1 1 x 3 4 2 x 14x 2  12 b) 11  x 2 2 11  x 2 3 d) 1  221  x 1  21  x 2 Ecuaciones Una ecuación es un enunciado en el que se establece que las expresiones matemáticas son iguales. Por ejemplo, 358 es una ecuación. La mayor parte de las ecuaciones que se estudian en el álgebra contiene variables, las cuales son símbolos, casi siempre letras que representan números. En la ecuación 4x  7  19 x  3 es una solución de la ecuación 4x  7  19, porque al sustituir x  3 la ecuación se cumple: x3 413 2  7  19 la letra x es la variable. Consideramos que la x es la “incógnita” de la ecuación, por lo que el objetivo es determinar el valor de x que hace que la ecuación sea cierta. Los valores de la incógnita que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación, y el proceso para determinar las soluciones se llama resolución de una ecuación. Dos ecuaciones con exactamente las mismas soluciones se llaman ecuaciones equivalentes. Para resolver una ecuación, tratamos de encontrar una ecuación más simple y equivalente en la que la variable esté sola en un lado del signo de “igual”. En seguida están las propiedades que aplicamos para resolver una ecuación. (En estas propiedades, A, B y C representan expresiones algebraicas y el símbolo 3 significa “equivale a”.) Propiedades de la igualdad Propiedad Descripción 1. A  B 3 A  C  B  C Sumar la misma cantidad a ambos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por la misma cantidad no cero se obtiene una ecuación equivalente. 2. A  B 3 CA  CB (C  0) SECCIÓN 1.5 Ecuaciones 45 Estas propiedades requieren que usted efectúe la misma operación en ambos lados de una ecuación cuando la resuelve. Por lo tanto, al decir “se suma 7” al resolver una ecuación, lo que realmente queremos decir es “sumar 7 a cada miembro de la ecuación”. Ecuaciones lineales El tipo más sencillo de ecuación es la ecuación lineal, o ecuación de primer grado, que es una ecuación en la cual cada término es una constante o un múltiplo no cero de la variable. Ecuaciones lineales Una ecuación lineal de una variable es una ecuación equivalente a una de la forma ax  b  0 donde a y b son números reales y x es la variable. A continuación hay algunos ejemplos que ilustran la diferencia entre ecuaciones lineales y no lineales. Ecuaciones lineales Ecuaciones no lineales 4x  5  3 x 2  2x  8 2x  12 x  7 1x  6x  0 x6 x 3 Ejemplo 1 3  2x  1 x No lineal; contiene el cuadrado de la variable No lineal, contiene la raíz cuadrada de la variable No lineal, contiene el recíproco de la variable Solución de una ecuación lineal Resuelva la ecuación 7x  4  3x  8. Solución Resolvemos la ecuación cambiándola a una equivalente en la que todos los términos que tienen la variable x están en un lado y todos los términos constantes están en el otro. 7x  4  3x  8 17x  42  4  13x  82  4 7x  3x  12 7x  3x  13x  122  3x 4x  12 1 # 1 # 4 4x  4 12 x3 Puesto que es importante VERIFICAR LAS RESPUESTAS, lo haremos en muchos de los ejemplos. En estas comprobaciones, PM quiere decir “primer miembro” y SM quiere decir “segundo miembro” de la ecuación original. Compruebe su respuesta x  3: x3 PM  7(3)  4  17 PM  SM Ecuación dada Se suma 4 Simplificación Se resta 3x Se simplifica Multiplicación por 41 ■ Simplificación x3 SM  3(3)  8  17 46 CAPÍTULO 1 Fundamentos Muchas fórmulas que se usan en las ciencias tienen varias variables, por lo que a menudo es necesario expresar una de las variables en términos de las otras. En el ejemplo siguiente determinamos una variable de la Ley de Newton de la Gravitación. Ejemplo 2 Esta es la Ley de Newton de la Gravitación. Determina la fuerza gravitacional F entre dos masas m y M que están separadas una distancia r. La constante G es la constante universal de la gravitación. Determinar una variable en términos de las otras Determinar la variable M de la ecuación FG Solución Aunque esta ecuación contiene más de una variable, la resolvemos de la manera usual, aislando a M en un lado y tratando a las otras variables como si fueran números. F a a Gm bM r2 Se saca a M como factor en el SM r2 r2 Gm bF  a b a 2 bM Gm Gm r r 2F M Gm La solución es M  Ejemplo 3 l mM r2 Multiplicación por el recíproco de Gm r2 Simplificación r 2F . Gm ■ Determinación de una variable en términos de las otras El área superficial A de la caja rectangular cerrada de la figura 1 se puede calcular a partir del largo l, el ancho „ y la altura h de acuerdo con la fórmula A  2l„  2„h  2lh h Determine „ en términos de las otras variables de esta ecuación. „ Figura 1 Una caja rectangular cerrada Solución Aunque esta ecuación contiene más de una variable, la resolvemos de la manera usual, aislando a „ en un lado y tratando a las otras variables como si fueran números. A  12l„  2„h2  2lh A  2lh  2l„  2„h A  2lh  12l  2h2„ A  2lh „ 2l  2h La solución es „  A  2lh . 2l  2h Agrupación de términos que contienen w Resta de 2lh Se saca w como factor en el SM División entre 2l  2h ■ Ecuaciones cuadráticas Las ecuaciones lineales son las ecuaciones de primer grado como 2x  1  5 o como 4  3x  2. Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado x 2  2x  3  0 o como 2x 2  3  5x. SECCIÓN 1.5 Ecuaciones Ecuaciones cuadráticas x 2  2x  8  0 3x  10  4x 2 1 2 2x 47 Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2  bx  c  0  13 x  16  0 donde a, b y c son números reales con a  0. Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante factorización y usando la propiedad básica siguiente de los números reales. Propiedad del producto nulo AB  0 si y sólo si A  0 o bien, B0 Esto quiere decir que si podemos descomponer en factores el primer miembro de una ecuación cuadrática, o de otro orden, entonces podemos resolverla igualando a cero, por turnos, a cada factor. Este método funciona sólo cuando el segundo miembro de la ecuación es 0. Ejemplo 4 Solución de una ecuación cuadrática mediante factorización Resuelva la ecuación x 2  5x  24. Solución Primero debemos volver a escribir la ecuación de modo que el segundo miembro sea igual a cero. x 2  5x  24 Compruebe su respuesta x  3: 13 2  5132  9  15  24 2 x 2  5x  24  0 1x  32 1x  82  0 x  8: x30 2 x3 182  518 2  64  40  24 Resta de 24 o or Factorización x80 x  8 Propiedad del producto nulo Solución Las soluciones son x  3 y x  8. ■ ¿Se da cuenta por qué un lado de la ecuación debe ser 0 en el ejemplo 4? Al factorizar la ecuación como x1x  52  24 no ayuda a determinar la solución, puesto que 24 se puede descomponer en factores de infinitas maneras, como 6 # 4, 12 # 48, A25 B # 1602 , etcétera. Una ecuación cuadrática de la forma x 2  c  0, donde c es una constante positiva, se factoriza como 1x  1c 2 1x  1c 2  0, así que las soluciones son x  1c y x   1c. Con frecuencia abreviamos esto como x   1c. Resolución de una ecuación cuadrática simple Las soluciones de la ecuación x 2  c son x  1c y x   1c. 48 CAPÍTULO 1 Fundamentos Ejemplo 5 Resolución de ecuaciones cuadráticas simples Encuentre la solución de cada ecuación. a) x 2  5 b) 1x  42 2  5 Solución a) De acuerdo con el principio del recuadro anterior, obtenemos x   15. b) Obtenemos también la raíz cuadrada de cada miembro de esta ecuación. 1x  42 2  5 x  4   15 x  4  15 Obtención de la raíz cuadrada Se suma 4 Las soluciones son x  4  15 y x  4  15. Refiérase a la página 30 para saber cómo identificar cuando una expresión cuadrática es un cuadrado perfecto. Completando el cuadrado El área de la región azul es b x 2  2 a b x  x 2  bx 2 Sume un cuadrado pequeño de área 1b/22 2 para “completar” el cuadrado. b 2 x ■ Como se estudió en el ejemplo 5, si una ecuación cuadrática es de la forma 1x  a2 2  c, entonces la podemos resolver obteniendo la raíz cuadrada de cada miembro. En una ecuación de esta forma, el primer miembro es un cuadrado perfecto: el cuadrado de una expresión lineal en x. Así, si una ecuación cuadrática no se factoriza con facilidad, entonces la podemos resolver aplicando la técnica de completar el cuadrado. Esto quiere decir que sumamos una constante a una expresión para hacerla un cuadrado perfecto. Por ejemplo, para hacer x 2  6x un cuadrado perfecto tenemos que añadir 9, ya que x 2  6x  9  1x  32 2. Completar el cuadrado b 2 Para hacer que x 2  bx sea un cuadrado perfecto, se suma a b , el cuadrado 2 de la mitad del coeficiente de x. Esto da el cuadrado perfecto b 2 b 2 x 2  bx  a b  a x  b 2 2 x b 2 Ejemplo 6 Resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado Resuelva la ecuación. a) x 2  8x  13  0 Cuando complete el cuadrado, asegúrese de que el coeficiente de x 2 es 1. Si no es así, debe factorizar este coeficiente de los dos términos que contienen x: b ax  bx  a a x  x b a 2 2 Luego complete el cuadrado que está dentro del paréntesis. Recuerde que el término sumado dentro del paréntesis está multiplicado por a. b) 3x 2  12x  6  0 Solución a) x 2  8x  13  0 x 2  8x  13 x 2  8x  16  13  16 1x  4 2 2  3 x  4   13 x  4  13 Ecuación dada Se resta 13 Se completa el cuadrado: se suma a Cuadrado perfecto Obtención de la raíz cuadrada Se suma 4 8 2 b  16 2 SECCIÓN 1.5 Ecuaciones 49 b) Después de restar 6 a cada miembro de la ecuación, es necesario factorizar el coeficiente de x 2 es decir, el 3, en el primer miembro para poner la ecuación en la forma correcta completando el cuadrado. 3x 2  12x  6  0 3x 2  12x  6 31x 2  4x2  6 François Viète (1540–1603) era un político exitoso cuando se dedicó a las matemáticas ya tarde en su vida. Se convirtió en uno de los matemáticos franceses más famosos del siglo XVI. Viète introdujo un nuevo nivel de abstracción en álgebra por medio del uso de letras para representar cantidades conocidas de una ecuación. Antes de la época de Viète, cada una de las ecuaciones se tenía que resolver por separado. Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas 31x 2  4x  42  6  3 # 4 31x  22 2  6 1x  22 2  2 x  2   12 x  2  12 ax  bx  c  0 donde a, b y c son cantidades conocidas. Por consiguiente, él hizo posible escribir una fórmula, en este caso, la fórmula cuadrática, que contiene a, b y c con la que se pueden resolver todas las ecuaciones cuadráticas en unos pocos pasos. El genio matemático de Viète demostró lo valioso que era durante la guerra entre Francia y España. Para comunicarse con las tropas, los españoles utilizaban un complicado código, que Viète descifró. El rey de España, Felipe II, ajeno a los logros de Viète, protestó ante el Papa, y afirmó que los franceses recurrían a la hechicería para leer sus mensajes. Factorización de 3 en el PM Cuadrado completado: se suma 4 Cuadrado perfecto División entre 3 Se obtiene la raíz cuadrada ■ Se suma 2 Podemos aplicar la técnica de completar el cuadrado con el fin de deducir una fórmula para determinar las raíces de la ecuación cuadrática general ax 2  bx  c  0. La fórmula cuadrática Las raíces de la ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0, donde a  0, son 5x 2  6x  4  0 2 Sustracción de 6 En seguida completamos el cuadrado añadiendo 122 2  4 dentro del paréntesis. Ya que todo lo que está dentro del paréntesis está multiplicado por 3, esto quiere decir que en realidad estamos añadiendo 3 # 4  12 al primer miembro de la ecuación. Por lo tanto, tenemos que sumar también 12 al segundo miembro. 3x 2  2x  8  0 se tenían que resolver separadas completando el cuadrado. La idea de Viète era considerar todas las ecuaciones cuadráticas de una vez al escribir Ecuación dada x b  2b2  4ac 2a ■ Demostración Primero dividimos ambos miembros de la ecuación entre a y pasamos la constante al lado derecho, con lo que se tiene b c x2  x   a a División entre a Luego completamos el cuadrado sumando 1b/2a2 2 a ambos miembros de la ecuación: b 2 b b 2 c x2  x  a b    a b a a 2a 2a ax  b 2 4ac  b 2 b  2a 4a 2 x 2b 2  4ac b  2a 2a x b  2b 2  4ac 2a Se completa el cuadrado: se suma a b 2 b 2a Cuadrado perfecto Obtención de la raíz cuadrada Se resta b 2a ■ La fórmula cuadrática se podría utilizar para resolver las ecuaciones en los ejemplos 4 y 6. Usted puede llevar a cabo con todo detalle estos cálculos. 50 CAPÍTULO 1 Fundamentos Ejemplo 7 Aplicación de la fórmula cuadrática Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones. a) 3x 2  5x  1  0 b) 4x 2  12x  9  0 c) x 2  2x  2  0 Solución a) En esta ecuación cuadrática a  3, b  5 y c  1. b  5 3x 2  5x  1  0 a3 c  1 De acuerdo con la fórmula cuadrática, x 152  2152 2  4132 11 2 5  137  2132 6 Si se desean aproximaciones, podemos usar una calculadora para obtener x Otro método 4x 2  12x  9  0 and y x 5  137  0.1805 6 b) Al usar la fórmula cuadrática con a  4, b  12 y c  9 tenemos 12x  32 2  0 x 2x  3  0 x   32 5  137  1.8471 6 12  21122 2  4 # 4 # 9 12  0 3   2#4 8 2 Esta ecuación tiene sólo una solución, x   32. c) Si usamos la fórmula cuadrática con a  1, b  2 y c  2 obtenemos x 2  222  4 # 2 2  14 2  211    1  11 2 2 2 Puesto que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, 11 no está definido en el sistema de los números reales. La ecuación no tiene solución real. ■ En la sección 3.4 se estudia el sistema de los números complejos, en el cual sí existen las raíces cuadradas de los números negativos. La ecuación del ejemplo 7 (c) sí tiene soluciones en el campo de los números complejos. La cantidad b 2  4ac que aparece bajo el signo de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática se denomina discriminante de la ecuación ax 2  bx  c  0 y se representan con el signo D. Si D  0, entonces 2b 2  4ac no está definido, por lo que la ecuación cuadrática no tiene solución real, como en el ejemplo 7 (c). Si D  0, la ecuación tiene sólo una solución real, como en el ejemplo 7 (b). Por último, si D  0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas, como en el ejemplo 7 (a). En el siguiente recuadro se resumen estas observaciones. El discriminante El discriminante de la ecuación cuadrática general ax 2  bx  c  0 1a  02 es D  b 2  4ac. 1. Si D  0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. 2. Si D  0, entonces la ecuación tiene exactamente una solución real. 3. Si D  0, entonces la ecuación no tiene solución real. SECCIÓN 1.5 Ecuaciones Ejemplo 8 51 Uso del discriminante Utilice el discriminante para determinar cuántas soluciones reales tiene cada ecuación. a) x 2  4x  1  0 b) 4x 2  12x  9  0 c) 13 x 2  2x  4  0 Solución a) El discriminante es D  42  4112 112  20  0, de modo que la ecuación tiene dos soluciones distintas. b) El discriminante es D  1122 2  4 # 4 # 9  0, por lo que la ecuación tiene exactamente una solución real. c) El discriminante es D  12 2 2  4A 13 B4   43  0, entonces la ecuación no tiene solución real. ■ En seguida consideramos una situación de la vida real que puede ser modelada mediante una ecuación cuadrática. Ejemplo 9 Esta fórmula depende del hecho de que la aceleración de la gravedad es constante cerca de la superficie terrestre. En este caso ignoramos el efecto de la resistencia del aire. descenso ascenso h Trayectoria de un proyectil Un objeto arrojado o lanzado hacia arriba con una velocidad inicial √ 0 pies/s alcanzará un altura de h pies después de t segundos, donde h y t están relacionadas mediante la fórmula h  16t 2  √ 0 t Suponga que se dispara una bala directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 800 pies/s. Su trayectoria se muestra en la figura 2. a) b) c) d) ¿Cuándo regresará la bala al nivel del piso? ¿Cuándo alcanzará una altura de 6 400 pies? ¿Cuándo alcanzará una altura de 2 millas? ¿Cuál es el punto más alto que alcanza la bala? Solución Puesto que la velocidad inicial es √0  800 pies/s, la fórmula es Figura 2 h  16t 2  800t a) El nivel del piso corresponde a h  0, de modo que necesitamos resolver la ecuación 0  16t 2  800t Se hace h  0 0  16t1t  502 Factorización Por consiguiente, t  0 o t  50. Esto quiere decir que la bala inicia 1t  02 al nivel del piso y regresa al mismo nivel después de 50 segundos. b) Haciendo h  6400 tenemos 6400 pies 6400  16t 2  800t 16t 2  800t  6400  0 t 2  50t  400  0 1t  102 1t  402  0 t  10 or t  40 o Se hace h = 6 400 Todos los términos al PM División entre 16 Descomposición en factores Solución La bala alcanza 6400 pies después de 10 s (el ascenso) y otra vez después de 40 s (en el descenso al suelo). 52 CAPÍTULO 1 Fundamentos 5280  10 560 pies. c) Dos millas es 2 10 560  16t 2  800t Se hace h  10 560 10,560 560  0 16t 2  800t  10 10,560 Todos los términos se pasan al PM 2 t  50t  660  0 División entre 16 2 mi El discriminante de esta ecuación es D  1502 2  416602  140, que es negativo. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución real. La bala nunca alcanza una altura de 2 millas. d) La bala alcanza dos veces cada altura: una vez en el ascenso y una vez en el descenso. La única excepción es el punto más alto en su trayectoria, al cual llega sólo una vez. Esto quiere decir que para el valor más alto de h, la ecuación siguiente sólo tiene una solución para t: 10,000 pies h  16t 2  800t 16t 2  800t  h  0 Todos los términos al PM A su vez, esto significa que el discriminante D de la ecuación es 0, y entonces D  18002 2  41162h  0 640,000 640 000  64h  0 000 h  10 10,000 La altura máxima alcanzada es 10 000 pies. ■ Otros tipos de ecuaciones Hasta este momento, hemos estudiado cómo resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. En seguida se tratan otros tipos de ecuaciones, incluso aquellos en los que hay potencias superiores, expresiones fraccionarias y radicales. Ejemplo 10 Compruebe su respuesta x  3: 3 5 LHS PM   3 32 112 SM  2 Resuelva la ecuación 5 3   2. x x2 Solución Eliminamos los denominadores multiplicando ambos miembros por el mínimo común denominador. a 5 3  b x1x  22  2x1x  22 x x2 31x  22  5x  2x 2  4x PM  SM 8x  6  2x  4x 2 x  1: PM  LHS Una ecuación con expresiones fraccionarias 3 5  1 1  2 SM  2 PM  SM x3 Desarrollo del PM Resta de 8x  6 0  x  2x  3 Ambos miembros se dividen entre 2 0  1x  32 1x  12 x30 Desarrollo 0  2x 2  4x  6 2  3  5  2 Multiplicación por MCD x(x  2) o or x10 x  1 Factorización Propiedad del producto nulo Solución SECCIÓN 1.5 Ecuaciones 53 Es necesario comprobar las respuestas porque la multiplicación por una expresión que contiene la variable puede introducir soluciones extrañas. Según la sección Compruebe su respuesta vemos que las soluciones son x  3 y 1. Compruebe su respuesta x   14: PM  2A 14 B   12 LHS 1 RHS SM  1  22  A 4 B  1  294 1  3 2  12 Cuando resuelva una ecuación que contenga radicales, sea especialmente cuidadoso al comprobar las respuestas finales. El ejemplo siguiente demuestra por qué. Ejemplo 11 Una ecuación que involucra un radical Resuelva la ecuación 2x  1  12  x. Solución Para eliminar la raíz cuadrada, primero la aislamos en un miembro, y luego elevamos al cuadrado. 2x  1   12  x 12x  12 2  2  x 4x 2  4x  1  2  x 4x 2  3x  1  0 14x  12 1x  12  0 o 4x  1  0 or x10 1 x  4 x1 PM  SM LHS RHS x  1: LHS PM  2112  2 SM  1  12  1 RHS 110 PM  SM LHS RHS ■ Resta 1 Elevamos al cuadrado ambos miembros Desarrollo del primer miembro Suma de 2  x Factorización Propiedad del producto nulo Solución  14 Los valores x  y x  1 son sólo soluciones potenciales. Es necesario comprobarlas para ver si cumplen con la ecuación original. De acuerdo con Compruebe su respuesta vemos que x   14 es una solución, pero x  1 no lo es. La única solución es x   14. ■ Cuando resolvemos una ecuación, podemos terminar con una o más soluciones extrañas, es decir, soluciones potenciales que no cumplen con la ecuación original. En el ejemplo 11, el valor x  1 es una solución extraña. Dichas soluciones se pueden introducir cuando elevamos al cuadrado ambos miembros de una ecuación porque la operación de elevar al cuadrado puede transformar una ecuación falsa en una verdadera. Por ejemplo, 1  1, pero 11 2 2  12. Por consiguiente, la ecuación cuadrada podría ser verdadera para más valores de la variable que la ecuación original. Ésta es la razón por la que debe comprobar siempre sus respuestas para tener la seguridad de que todas cumplen con la ecuación original. Una ecuación de la forma aW 2  bW  c  0, donde W es una expresión algebraica, es una ecuación del tipo cuadrático. Las ecuaciones de tipo cuadrático se resuelven reemplazando la expresión algebraica con W, como se ve en los dos ejemplos siguientes. Ejemplo 12 Una ecuación de cuatro grado de tipo cuadrático Encuentre todas las soluciones de la ecuación x 4  8x 2  8  0. Solución Si hacemos que W  x 2, entonces obtenemos una ecuación en donde la nueva variable W es cuadrática: 1x 2 2 2  8x 2  8  0 W 2  8W  8  0 182  2182  4 # 8  4  212 2 x 2  4  2 12 Se escribe x4 como 1x 2 2 2 Se hace W  x 2 2 W x   24  2 12 Fórmula cuadrática W  x2 Obtención de las raíces cuadradas 54 CAPÍTULO 1 Fundamentos Entonces, hay cuatro soluciones: Pitágoras (alrededor de 580-500 antes de nuestra era) fundó una escuela en Crotona, en el sur de Italia, que estaba dedicada al estudio de la aritmética, geometría, música y astronomía. Los pitagóricos, como ellos se llamaban a sí mismos, constituían una sociedad secreta con reglas y ritos de iniciación peculiares. No escribieron nada, ni revelaban a nadie lo que aprendían del maestro. Aunque las mujeres tenían prohibido por la ley asistir a reuniones públicas, Pitágoras permitió que asistieran mujeres a su escuela, y su estudiante más famosa fue Theano, con quien se casó posteriormente. Según Aristóteles, los pitagóricos estaban convencidos de que “los principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas”. Su lema era “El todo son los números”, y se referían a los números enteros. La principal contribución de Pitágoras es el teorema que lleva su nombre: en un triángulo rectángulo el área del cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados. 24  2 12, 24  2 12,  24  2 12,  24  2 12 Con la ayuda de una calculadora obtenemos las aproximaciones x  2.61, 1.08, 2.61, 1.08. Ejemplo 13 ■ Una ecuación que contiene potencias fraccionarias Determine todas las soluciones de la ecuación x 1/3  x 1/6  2  0. Solución Esta ecuación es del tipo cuadrático porque si hacemos que W  x 1/6, entonces W 2  1x 1/6 2 2  x 1/3. x 1/3  x 1/6  2  0 Se hace W  x 1/6 W2  W  2  0 1W  12 1W  2 2  0 W10 oor bien Factorización W20 Propiedad del producto nulo W1 W  2 Solución x 1/6  1 x 1/6  2 W  x 1/6 x  16  1 x  122 6  64 Obtención de la sexta potencia De acuerdo con Compruebe su respuesta vemos que x  1 es una solución, pero x  64 no lo es. La única solución es x  1. ■ Compruebe su respuesta x  1: x  64: PM  11/3  11/6  2  0 LHS LHS PM  641/3  641/6  2 4224 c a SM  0 SM  0 PM  SM PM  SM b Por lo común, al resolver ecuaciones que contienen valores absolutos, partimos el problema. c™=a™+b™ El inverso del Teorema de Pitágoras también es cierto: un triángulo cuyos lados a, b y c satisfacen a2  b2  c2 es un triángulo rectángulo. Ejemplo 14 Una ecuación con valor absoluto Resuelva la ecuación 0 2x  5 0  3. Solución De acuerdo con la definición de valor absoluto, 0 2x  5 0  3 equivale a 2x  5  3 2x  8 x4 Las soluciones son x  1, x  4. oor bien 2x  5  3 2x  2 x1 ■ SECCIÓN 1.5 Ecuaciones 1.5 Ejercicios 1–4 ■ Determine si el valor dado es una solución de la ecuación. 1. 4x  7  9x  3 a) x  2 b) x  2 a) x  2 b) x  4 35. h  12 gt 2  √ 0 t; para t 37–44 b) x  4 x 3/2 x8 4. x6 a) x  4 b) x  8 5–22 ■ La ecuación dada es lineal o equivale a una ecuación lineal. Resuelva la ecuación. 5. 2x  7  31 7. 81 9. 7„  15  2„ 11. 1 2y 2 1 3y 13. 211  x 2  311  2x 2  5 32. F  G i 2 b ; para i 100 34. A  P a 1  1 1 3.  1 x x4 a) x  2 31. V  13 pr 2h; para r mM ; para r r2 33. a 2  b 2  c 2; para b 2. 1  3 2  13  x 2 4  4x  16  x 2 1 2x 55 6. 5x  3  4 8. 3  1 3x 5 10. 5t  13  12  5t z 3  z 7 12. 5 10 ■ 36. S  n1n  1 2 2 ; para n Resuelva la ecuación por factorización. 37. x 2  x  12  0 38. x 2  3x  4  0 39. x 2  7x  12  0 40. x 2  8x  12  0 41. 4x 2  4x  15  0 42. 2y 2  7y  3  0 43. 3x 2  5x  2 44. 6x1x  12  21  x 45–52 ■ Resuelva la ecuación completando el cuadrado. 45. x  2x  5  0 46. x 2  4x  2  0 47. x 2  3x  74  0 48. x 2  34 x  18 49. 2x 2  8x  1  0 50. 3x 2  6x  1  0 51. 4x 2  x  0 52. 2x 2  6x  3  0 2 53–68 ■ Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación cuadrática. y1 2 1 14. y  1 y  3 2  3 2 4 53. x 2  2x  15  0 54. x 2  30x  200  0 55. x 2  3x  1  0 56. x 2  6x  1  0 15. x  13 x  12 x  5  0 x x1  6x 16. 2x   2 4 4 1 1 17.  x 3x 2x  1 4  18. x2 5 57. 2x 2  x  3  0 58. 3x 2  7x  4  0 59. 2y 2  y  12  0 60. u 2  32 u  169  0 4 2 35   2 x1 x1 x 1 x5 22. 13 x  112  13 61. 4x 2  16x  9  0 62. „ 2  31„  12 63. 3  5z  z2  0 64. x 2  15 x  1  0 19. 1 1 3   x1 2 3x  3 21. 1t  4 2 2  1t  4 2 2  32 23–36 ■ Resuelva la ecuación para la variable indicada. 23. PV  nRT; para R 25. 27. 20. 1 1 1   ; para R1 R R1 R2 24. F  G 26. P  2l  2„; para „ ax  b  2; para x cx  d 28. a  2 3 b  31c  x2 4  6; para x 29. a 2x  1a  1 2  1a  12 x ; para x 30. mM ; para m r2 a1 b1 a1   ; para a a b b 65. 16 x 2  2x  23/2  0 66. 3x 2  2x  2  0 67. 25x 2  70x  49  0 68. 5x 2  7x  5  0 69–74 ■ Utilice el discriminante para determinar el número de soluciones reales de la ecuación. No resuelva la ecuación 69. x 2  6x  1  0 70. 3x 2  6x  9 71. x 2  2.20x  1.21  0 72. x 2  2.21x  1.21  0 73. 4x  5x  74. x 2  rx  s  0 2 75–98 ■ 13 8 0 1s  0 2 Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación. 75. 1 1 5   x1 x2 4 76. 12 10  40 x x3 77. x2  50 x  100 78. 2 1  20 x1 x 56 79. CAPÍTULO 1 Fundamentos x x5 5 28 x1   2 80.  1 x2 x2 2x  7 x3 x 4 81. 12x  1  1  x 82. 15  x  1  x  2 83. 2x  1x  1  8 84. 2 1x  5  x  5 85. x  13x  40  0 86. x 4  5x 2  4  0 87. 2x 4  4x 2  1  0 88. x 6  2x 3  3  0 4 89. x 4/3 2  5x 2/3 4 90. 1x  3 1 x40 60 91. 41x  12 1/2  51x  1 2 3/2  1x  1 2 5/2  0 92. x 1/2  3x1/2  10x3/2 93. x 1/2  3x 1/3  3x 1/6  9 94. x  5 1x  6  0 97. 0 x  4 0  0.01 98. 0 x  6 0  1 95. 0 2x 0  3 donde S es la fracción de la longitud de la viga original que desaparece debido a la contracción. a) Una viga de 12.025 m de largo se cuela con concreto que contiene 250 kg/m3 de agua. ¿Cuál es el factor de contracción S? ¿Cuánto medirá de largo la viga cuando seque? b) Una viga mide de largo 10.014 m recién colada. Queremos que se contraiga a 10.009 m, por lo que el factor de contracción debe ser de S  0.00050. ¿Qué contenido de agua proporcionará esta cantidad de contracción? 96. 0 3x  5 0  1 Aplicaciones 99–100 ■ Problemas de caída de los cuerpos Suponga que dejamos caer un objeto desde una altura h0 por arriba del suelo. Entonces, su altura después de t segundos es h  16t 2  h0, donde h se mide en pies. Utilice esta información para resolver el problema. 99. Si se deja caer una pelota desde 288 pies por arriba del suelo, ¿cuánto tiempo es necesario para que llegue al suelo? 100. Se deja caer una pelota desde la parte superior de un edificio de 96 pies de alto. a) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer la mitad de la distancia al suelo? b) ¿Cuánto tardará en llegar al suelo? 101–102 ■ Problemas de caída de los cuerpos Utilice la fórmula h  16t 2  √ 0 t que se analizó en el ejemplo 9. 101. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de √ 0  40 pies/s. a) ¿Cuándo alcanza la pelota la altura de 24 pies? b) ¿Cuándo alcanza la altura de 48 pies? c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? d) ¿Cuándo alcanza la pelota el punto más alto de su trayectoria? e) ¿Cuándo golpea el suelo la pelota? 102. ¿Qué tan rápido se tendría que lanzar hacia arriba una pelota para alcanzar una altura máxima de 100 pies? [Sugerencia: utilice el discriminante de la ecuación 16t 2  √ 0 t  h  0.] 103. Contracción de las vigas de concreto A medida que el concreto fragua, se contrae —entre mayor es el contenido de agua, es mayor la contracción—. Si una viga de concreto tiene un contenido de agua de „ kg/m3, entonces sufrirá contracción de acuerdo con un factor S 0.032„  2.5 10,000 10 000 104. Ecuación de una lente Si F es la distancia focal de una lente convexa y se coloca un objeto a una distancia x de la lente, entonces la imagen del objeto estará a una distancia y de la lente, donde F, x y y están relacionadas mediante la ecuación de una lente 1 1 1   x y F Suponga que la distancia focal de una lente es de 4.8 cm, y que la imagen de un objeto es 4 cm más cercana a la lente que el objeto en sí. ¿A qué distancia de la lente está el objeto? 105. Población de peces La población de peces de un lago aumenta y disminuye según la fórmula F  1000130  17t  t 2 2 En este caso, F es la cantidad de peces que hay en el tiempo t, donde t se mide en años desde el primero de enero de 2002, cuando la población de peces se estimó por vez primera. a) ¿En qué fecha la población de peces volverá a ser la misma que en el primero de enero de 2002? b) ¿En qué fecha habrán muerto todos los peces del lago? 106. Población de peces Un gran estanque se surte de peces. La población de peces P se modela mediante la fórmula P  3t  10 1t  140, donde t es el número de días a partir de que los peces se introdujeron al estanque. ¿Cuántos días se tardará en que la población de peces alcance 500? 107. Ganancias Un fabricante de pequeños instrumentos encuentra que la ganancia P (en dólares) generada por la producción de x hornos de microondas por semana está dada por la fórmula P  101 x 1300  x 2 siempre que 0  x  200. ¿Cuántos hornos se tienen que fabricar en una semana para generar una ganancia de 1250 dólares? 108. Gravedad Si un segmento de recta imaginario se traza entre los centros de la Tierra y la Luna, entonces la fuerza SECCIÓN 1.5 Ecuaciones gravitacional neta F que actúa en un objeto situado en este segmento es K 0.012K  2 x 1239  x2 2 donde K  0 es una constante y x es la distancia del objeto desde el centro de la Tierra, medido en miles de millas. ¿Qué tan lejos del centro de la Tierra está el “punto muerto” donde ninguna fuerza gravitacional actúa sobre el objeto? Exprese su respuesta en la milla más cercana. F es en realidad una familia de ecuaciones porque para cada valor de k obtenemos una ecuación distinta con la incógnita x. La letra k se denomina parámetro de esta familia. ¿Qué valor debemos escoger para k para que el valor dado de x sea una solución de la ecuación resultante? a) x  0 b) x  1 c) x  2 111. ¿Demostración de que 0 1? Al parecer, los pasos siguientes dan ecuaciones equivalentes, lo cual parece demostrar que 1  0. Encuentre el error. x1 Dato x x 2 Multiplicación por x x x0 2 x Resta de x x1x  12  0 x1x  12 x1 109. Profundidad de un pozo Un método para determinar la profundidad de un pozo es arrojar una piedra hacia dentro y medir el tiempo que toma hasta que se escucha el choque contra el agua. Si d es la profundidad del pozo en pies y t1 en tiempo en segundos que requiere la piedra para llegar al agua, entonces d  16t 21, de modo que t 1  1d/4. Luego, si t2 es el tiempo que tarda el sonido en viajar, entonces d  1090t2 porque la velocidad del sonido es 1090 pies/s. Entonces t2  d/1090. Por lo tanto, el tiempo total transcurrido entre que se arroja la piedra y escuchar que choca contra el agua es 1d d  4 1090 ¿Qué tan profundo es el pozo si el tiempo total es 3 segundos? t1  t2  57  Factorización 0 x1 División entre x  1 x0 Simplificación 10 Dado x  1 112. Volumen de sólidos La esfera, cilindro y el cono mostrados aquí tienen el mismo radio r y el mismo volumen V. a) Utilice las fórmulas del volumen que se encuentran en los forros interiores de este libro para demostrar que 4 3 3 pr  pr 2h 1 4 3 3 pr and y  13 pr 2h 2 b) Resuelva estas ecuaciones para h1 y h2. r r h¤ h⁄ r Tiempo en que la piedra cae: t⁄= œ∑ d 4 Tiempo en que el sonido sube: d t¤= 1090 Descubrimiento ● Debate 110. Una familia de ecuaciones La ecuación 3x  k  5  kx  k  1 113. Relaciones entre raíces y coeficientes La fórmula cuadrática nos proporciona las raíces de una ecuación cuadrática a partir de sus coeficientes. También es posible obtener los coeficientes a partir de las raíces. Por ejemplo, encuentre las raíces de la ecuación x 2  9x  20  0 y demuestre que el producto de las raíces es el término constante 20 y que la suma de las raíces es 9, el negativo del coeficiente de x. Demuestre que la misma relación entre raíces y coeficientes se cumple para las ecuaciones siguientes: x 2  2x  8  0 x 2  4x  2  0 Aplique la fórmula cuadrática para demostrar que, en general, si la ecuación x 2  bx  c  0 tiene raíces r1 y r2, entonces c  r1r2 y b  1r1  r2 2 . 58 CAPÍTULO 1 Fundamentos 114. Resolución de una ecuación de maneras distintas Ya se estudiaron varias maneras de resolver una ecuación en esta sección. Algunas ecuaciones se pueden abordar por más de un método. Por ejemplo, la ecuación x  1x  2  0 es de tipo cuadrático: podemos resolverla haciendo 1x  u y x  u 2, y factorizando después. O también se puede eliminar 1x, elevando al cuadrado ambos miembros, y luego resolviendo la ecuación cuadrática resultante. Resuelva las ecuaciones siguientes 1.6 usando ambos métodos señalados y demuestre que obtiene las mismas respuestas finales. a) x  1x  2  0 tipo cuadrático; despeje del radical y elevar al cuadrado 12 10 b)   1  0 tipo cuadrático; x3 1x  32 2 multiplicación por el mínimo común denominador Modelado mediante ecuaciones Muchos de los problemas de las ciencias, economía, finanzas, medicina y otros numerosos campos se pueden traducir a problemas de álgebra. Ésta es una razón por la que el álgebra es tan útil. En esta sección usamos las ecuaciones como modelos matemáticos para resolver problemas de la vida cotidiana. Criterios para modelar con ecuaciones Se aplican los siguientes criterios para plantear ecuaciones que modelen situaciones formuladas en palabras. Para mostrar la manera en que los criterios pueden ayudar a plantear las ecuaciones, anotamos al margen cuándo funciona cada ejemplo de esta sección. Criterios para modelar con ecuaciones 1. Identificar la variable. Identifique la cantidad que el problema le pide determinar. Por lo regular, esta cantidad se puede determinar por medio de una lectura cuidadosa de la pregunta planteada al final del problema. Entonces introduzca la notación para la variable (llámela x o cualquier otro nombre). 2. Expresar todas las incógnitas en términos de la variable. Lea una vez más cada oración del problema, y exprese todas las cantidades mencionadas en el problema en términos de la variable que definió en el paso 1. Para organizar esta información, a veces es útil dibujar un esquema o elaborar una tabla. 3. Plantear el modelo. Encuentre el hecho decisivo en el problema que relaciona las expresiones que usted listó en el paso 2. Plantee una ecuación o modelo, que exprese esta relación. 4. Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta. Resuelva la ecuación, verifique la respuesta y exprésela como una oración que responde a la pregunta hecha en el problema. El ejemplo siguiente ilustra la manera en que estos criterios se aplican para traducir el enunciado de un problema al lenguaje del álgebra. SECCIÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones Ejemplo 1 59 Renta de un automóvil Una compañía que renta automóviles cobra 30 dólares al día más 15 centavos de dólar por milla al rentar un automóvil. Helen renta un automóvil por dos días y su cuenta es de 108 dólares. ¿Cuántas millas recorrió? Identifique la variable Solución Se pide determinar la cantidad de millas que Helen recorrió. Entonces sea x  cantidad de millas recorridas Luego traducimos toda la información del problema al lenguaje del álgebra. En palabras Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable En lenguaje algebraico Cantidad de millas recorridas Costo de la cantidad de millas recorridas (a 15 centavos la milla) Costo diario (a 30 dólares el día) x 0.15x 2 1302 En seguida planteamos el modelo. costo de las  millas recorridas Plantee el modelo costo diario costo total  0.15x  21302  108 Resolución 0.15x  48 Compruebe su respuesta costo total  x costo de costo las millas  por recorridas día  0.15 13202  2 1302 48 0.15 x  320 Sustracción de 60 División entre 0.15 Calculadora Helen recorrió 320 millas con su auto rentado.  108 ■ Construcción de modelos En los ejemplos y ejercicios que siguen planteamos ecuaciones que modelan problemas en muchas situaciones distintas de la vida cotidiana. Ejemplo 2 Interés de una inversión Mary hereda 100 000 dólares y los invierte en dos certificados de depósito. Uno de los certificados paga el 6% y el otro paga 4 12 % de interés anual simple. Si el interés total de Mary es 5025 dólares por año, ¿cuánto dinero está invertido en cada tasa? Identifique la variable Solución El problema pide la cantidad que Helen invirtió a cada una de las tasas. Sea x  la cantidad invertida a 6% Puesto que el total de la herencia de Mary es de 100 000 dólares, se infiere entonces que invirtió 100 000  x al 4 12 %. Pasamos toda la información al lenguaje del álgebra. 60 CAPÍTULO 1 Fundamentos Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable En palabras En lenguaje algebraico Cantidad invertida al 6% Cantidad invertida al 4 12 % Interés ganado al 6% Interés ganado al 4 12 % x 100 000  x 0.06x 0.045(100 000  x) Aprovechamos el hecho de que el interés total de Mary es de 5025 dólares para plantear el modelo. Plantee el modelo interés al 6%  interés al 4 12 %  interés total 0.06x  0.0451100,000  x2  5025 0.06x  4500  0.045x  5025 Resuelva 0.015x  4500  5025 0.015x  525 x Multiplicación Combinación de los términos x Sustracción de 4500 525 35 000 División entre 0.015  35,000 0.015 Por lo tanto, Mary invirtió 35 000 dólares al 6% y los restantes $65 000 dólares al 4 12 %. ■ Compruebe su respuesta interés total  6% de 35 000 dólares  4 12 % de 65 000 dólares  $2100  $2925  $5025 Ejemplo 3 En problemas como éste, para el que se requiere geometría, es esencial dibujar un diagrama como el que se muestra en la figura 1. Dimensiones de un cartel Un cartel tiene una superficie impresa de 100 por 140 cm y una franja de ancho uniforme alrededor de los cuatro lados. El perímetro del cartel es 1 12 veces el perímetro del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la franja en blanco y cuáles son las dimensiones del cartel? Solución Se pide determinar el ancho de la franja en blanco. Entonces, sea x  ancho de la franja en blanco Identifique la variable Luego pasamos la información de la figura 1 al lenguaje algebraico: Exprese las cantidades desconocidas en términos de la variable En palabras En lenguaje algebraico Ancho de la franja en blanco Perímetro de la superficie impresa Ancho del cartel Largo del cartel Perímetro del cartel x 211002  2 11402  480 100  2x 140  2x 21100  2x2  21140  2x2 SECCIÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones 61 A continuación usaremos el hecho de que el perímetro del cartel es 112 veces el perímetro del área impresa para formular el modelo.  32 perímetro del cartel Plantee el modelo perímetro del área impresa 21100  2x2  21140  2x2  32 # 480 Desarrollo y combinación de términos semejantes en el PM 480  8x  720 Resuelva 8x  240 Sustracción de 480 x  30 División entre 8 La franja en blanco mide 30 cm de ancho, de modo que las dimensiones del cartel son 100  30  30  160 cm de ancho por 140  30  30  200 cm de largo 100 cm x 140 cm x ■ Figura 1 Ejemplo 4 Dimensiones de un terreno para construcción Un terreno de forma rectangular para construir mide 8 pies más que el ancho y su área es de 2900 pies cuadrados. Determine las dimensiones del lote. Solución Se pide determinar el ancho y el largo del terreno. Entonces, sea w  ancho del terreno Identifique la variable Luego expresamos la información dada en lenguaje algebraico (véase la figura 2 de la pág. 62). Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable En palabras Ancho del terreno Largo del terreno Ahora planteamos el modelo. En lenguaje algebraico „ „8 62 CAPÍTULO 1 Fundamentos ancho del terreno Formule el modelo largo del terreno  área del terreno „ 1„  82  2900 Resuelva „ 2  8„  2900 „ 2  8„  2900  0 1„  502 1„  582  0 „  50 or „  58 o Desarrollo Sustracción de 2900 Factorización Propiedad del producto nulo Puesto que el ancho del terreno tiene que ser un número positivo, concluimos que „  50 pies. El largo del terreno es „  8  50  8  58 pies. w Figura 2 Ejemplo 5 w+8 ■ Determinación de la altura de un edificio aplicando los triángulos semejantes Un hombre de 6 pies de estatura desea encontrar la altura de un edificio de cuatro pisos. Mide la sombra del edificio y encuentra que es de 28 pies, y mide también su propia sombra, la cual es 3 12 pies de largo. ¿Cuál es la altura del edificio? Solución El problema pide determinar la altura del edificio. Sea h  altura del edificio Identifique la variable Aprovechamos el hecho de que los triángulos de la figura 3 son semejantes. Recuerde que para cualquier par de triángulos semejantes las relaciones de sus lados correspondientes son iguales. Ahora traduzcamos estas observaciones al lenguaje del álgebra. En palabras En lenguaje algebraico Altura del edificio Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable h Relación entre la altura y la base del triángulo mayor h 28 Relación entre la altura y la base del triángulo menor 6 3.5 Como el triángulo mayor y el menor son semejantes, obtenemos la ecuación Plantee el modelo proporción entre la altura y la proporción entre la altura y la  base en el triángulo grande base en el triángulo pequeño h 6  28 3.5 Resuelva h 6 # 28  48 3.5 SECCIÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones 63 El edificio es de 48 pies de alto. h 6 pies 28 pies Figura 3 Ejemplo 6 3 12 pies ■ Mezclas y concentración Un fabricante de bebidas refrescantes afirma que su naranjada tiene “saborizante natural”, aunque contiene sólo 5% de jugo de naranja. Una nueva ley federal establece que para que se le llame “natural” a una bebida ésta debe contener por lo menos 10% de jugo de fruta. ¿Cuánto jugo natural puro debe agregar este fabricante a los 900 galones de bebida de naranja para apegarse a la nueva reglamentación? Solución El problema pide determinar la cantidad de jugo de naranja puro que se debe añadir. Sea Identifique la variable x  la cantidad (en galones) de jugo de naranja puro que se tiene que añadir En cualquier problema de este tipo, en el cual se mezclan dos sustancias diferentes, un diagrama ayuda a organizar la información dada (véase la figura 4).  Volumen Figura 4 Cantidad de jugo de naranja  5% de jugo 100% de jugo 900 galones x galones 10% de jugo 900+x galones 5% de 900 galones 100% de x galones 10% de 900+x galones =45 galones =0.1(900+x) galones =x galones 64 CAPÍTULO 1 Fundamentos Luego traducimos la información que se da en la figura al lenguaje del álgebra. En palabras Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable En el lenguaje algebraico Cantidad de jugo de naranja que se tiene que añadir Cantidad de la mezcla Cantidad de jugo de naranja en el primer recipiente Cantidad de jugo en el segundo recipiente Cantidad de jugo de naranja en la mezcla x 900  x 0.05 19002 = 45 1 xx 0.10 1900 + x2 # Para plantear el modelo, aprovechamos el hecho de que la cantidad total de jugo de naranja en la mezcla es igual al jugo de naranja en los primeros dos recipientes. Plantee el modelo cantidad de jugo cantidad de jugo de cantidad de jugo de naranja en el  naranja en el  de naranja en la primer recipiente segundo recipiente mezcla 45  x  0.11900  x2 Según la figura 4 45  x  90  0.1x Multiplicación 0.9x  45 Resuelva x 45  50 0.9 Sustracción de 0.1x y 45 División entre 0.9 El fabricante debe añadir 50 galones de jugo de naranja puro a la bebida. ■ Compruebe su respuesta cantidad de jugo antes de la mezcla  5% de 900 galones  50 galones de jugo puro  45 galones  50 galones  95 galones cantidad de jugo después de la mezcla  10% de 950 galones  95 galones Las cantidades son iguales. Ejemplo 7 B A Tiempo necesario para hacer un trabajo Debido a una fuerte tormenta imprevista, el nivel del agua en una presa se debe reducir un pie. La apertura de la compuerta A reduce el nivel a esa cantidad en 4 horas, pero la apertura de la compuerta más pequeña B permite el desalojo en 6 horas. ¿Cuánto tiempo se necesita para bajar el nivel del agua un pie si se abren ambas compuertas? Solución Se pide determinar el tiempo que se requiere para bajar el nivel un pie si ambas compuertas se abren. Sea entonces Identifique la variable x  el tiempo en horas que se requiere para bajar el nivel un pie si ambas compuertas se abren Encontrar una ecuación que relacione x con las otras cantidades de este problema es difícil. SECCIÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones 65 Claro que x no es simplemente 4  6, porque eso significaría que juntas las dos compuertas requerirían más tiempo para bajar el nivel del agua que una sola. Entonces, examinemos la fracción del trabajo que puede hacer cada una de las compuertas en una hora. En palabras Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable En lenguaje algebraico Tiempo que necesitan las compuertas A y B juntas para bajar el nivel 1 pie Nivel que baja A en 1 h Nivel que baja B en 1 h Nivel que baja con A y B juntas en 1 h xh 1 4 1 6 1 x de pie de pie de pie Ahora planteamos el modelo. Plantee el modelo parte que efectúa A  parte que efectúa B  parte que efectúan ambas 1 1 1   x 4 6 3x  2x  12 Resuelva Multiplicación por el MCD, 12x Adición 5x  12 12 División entre 5 x 5 Se necesitan 2 25 horas, o 2 h 24 min bajar el nivel un pie si se abren ambas compuertas. ■ El siguiente ejemplo trata de la distancia, rapidez (velocidad) y tiempo. La fórmula que se debe tener presente es distancia  rapidez tiempo donde la rapidez es velocidad constante o velocidad promedio de desplazamiento de un objeto. Por ejemplo, manejar a 60 millas por hora durante 4 horas representa una distancia de 60 4  240 millas. Ejemplo 8 Un problema de distancia-velocidad-tiempo Un avión voló desde Nueva York a Los Ángeles, una distancia de 4 200 km. La velocidad para el viaje de regreso fue de 100 km/h más rápido que la velocidad de ida. Si el viaje total dura 13 horas, ¿cuál es la velocidad del avión desde Nueva York a Los Ángeles? Solución Se pide la velocidad del avión de Nueva York a Los Ángeles. Hagamos Identifique la variable s  velocidad de Nueva York a Los Ángeles Entonces s  100  velocidad desde Los Ángeles hasta Nueva York En seguida organizamos la información en una tabla. Primero llenamos la columna “Distancia”, porque sabemos que entre las ciudades hay 4200 km. Luego llenamos la columna “Velocidad”, ya que hemos expresado ambas velocidades en términos de la variable s. Por último, calculamos las entradas para la columna “Tiempo” mediante distancia tiempo  velocidad 66 CAPÍTULO 1 Fundamentos Exprese las cantidades desconocidas en términos de la variable Distancia (km) Velocidad (km /h) N.Y. a L.A. 4200 s L.A. a N.Y. 4200 s  100 Tiempo (h) 4200 s 4200 s  100 El viaje total dura 13 horas, de modo que tenemos el modelo tiempo desde  tiempo desde  tiempo N.Y. a L.A. L.A. a N.Y. total Plantee el modelo 4200 4200   13 s s  100 Al multiplicar por el común denominador, s1s  100 2 , obtenemos 42001s  1002  4200s  13s1s  1002 000  13s 2  1300s 8400s  420 420,000 000 420,000 0  13s 2  7100s  420 Aunque esta ecuación se puede factorizar, con cantidades tan grandes quizá sea más rápido usar la fórmula cuadrática y una calculadora. 7100  2171002 2  41132 1420,000 2 21132 7100  8500  26 1400 s  600 or s  53.8 o 26 s Resuelva Puesto que s representa la velocidad, rechazamos la respuesta negativa y concluimos que la velocidad del avión desde Nueva York hasta Los Ángeles fue de 600 km/h. Ejemplo 9 A Isla 5 millas B C x Figura 5 Zona donde arriba 12 millas D ■ Energía que gasta al volar un ave Los ornitólogos han determinado que algunas especies de aves evitan volar sobre cuerpos de agua grandes mientras haya luz del día porque, por lo general, el aire se eleva durante el día sobre el suelo, pero desciende sobre el agua, de modo que volar sobre el agua requiere más energía. Un ave es liberada en el punto A en una isla, a 5 millas de B, el punto más cercano sobre una orilla recta de la playa. El ave vuela hasta el punto C sobre la orilla de la playa y luego a lo largo de la playa hasta una zona D donde anida, según se ilustra en la figura 5. Suponga que el ave tiene 170 kcal de reservas de energía. Utiliza 10 kcal/milla al volar sobre tierra y 14 kcal/milla al volar sobre agua. a) ¿Dónde se debe ubicar el punto C para que el ave utilice exactamente 170 kcal de energía durante su vuelo? b) ¿Tiene el ave suficientes reservas de energía para volar de manera directa desde A hasta D? SECCIÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones 67 Solución a) Se pide determinar la ubicación de C. De modo que x  distancia desde B hasta C Identifique la variable De acuerdo con la figura y por el hecho de que energía usada  energía por milla millas voladas determinamos lo siguiente: En palabras Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable En lenguaje algebraico Distancia desde B hasta C Distancia de vuelo sobre el agua (desde A hasta C) Distancia de vuelo sobre tierra (desde C hasta D) Energía utilizada sobre el agua Energía usada sobre tierra x 2x 2  25 Teorema de Pitágoras 12  x 14 2x 2  25 10112  x2 Ahora establecemos el modelo. Plantee el modelo energía total  energía usada  energía usada usada sobre el agua sobre tierra 170  142x 2  25  10112  x2 Para resolver esta ecuación, eliminamos primero la raíz cuadrada pasando todos los otros términos a la izquierda del signo de igual y luego elevamos al cuadrado ambos miembros. Resuelva 170  10112  x2  142x 2  25 50  10x  142x 2  25 Se aísla el término de la raíz cuadrada en el primer miembro Simplificación del primer miembro 150  10x2 2  1142 2 1x 2  252 Se elevan al cuadrado ambos miembros 2 2 Desarrollo 2500  1000x  100x  196x  4900 Todos los términos se pasan al 0  96x 2  1000x  2400 primer término Esta ecuación se puede factorizar, pero como las cantidades son muy grandes es más sencillo usar la fórmula cuadrática y una calculadora: x  1000  2110002 2  41962 124002 21962 1000  280  6 23 192 o bien 3 34 El punto C debe estar a 6 23 millas o a 3 34 millas de B para que el ave utilice exactamente 170 kcal de energía durante su vuelo. b) De acuerdo con el teorema de Pitágoras (véase la pág. 54), la longitud de la ruta desde A hasta D es 252  122  13 millas, de modo que la energía que el ave requiere para esa ruta es 14 13  182 kcal. Esto es más de lo que tiene el ave reservado, de modo que no puede irse por esa ruta. ■ 68 CAPÍTULO 1 Fundamentos 1.6 Ejercicios 1–12 ■ Exprese la cantidad dada en términos de la variable indicada. 1. La suma de tres enteros consecutivos; de los tres n  primer entero 2. La suma de tres enteros consecutivos; dio de los tres n  entero interme- 3. El promedio de tres calificaciones de exámenes si las primeras dos calificaciones son 78 y 82; s  tercera calificación 18. 19. 20. 4. El promedio de cuatro calificaciones si cada una de las tres primeras es 8; q  cuarta calificación 5. El interés obtenido después de un año de una inversión al 2 12 % de interés simple anual; x  cantidad de dólares invertida 21. 6. La renta total pagada por un departamento si la renta es de 795 dólares al mes; n  cantidad de meses 7. El área en pies cuadrados de un rectángulo cuyo largo es tres veces su ancho; „  ancho del rectángulo en pies 8. El perímetro en cm de un rectángulo cuyo largo es 5 cm mayor que su ancho; „  ancho del rectángulo en cm 22. 23. 9. La distancia en millas que recorre un automóvil en 45 min; s  velocidad del vehículo en millas por hora 10. El tiempo en horas que se requiere para viajar una distancia dada en 55 millas/h; d  distancia dada en millas 11. La concentración en onzas por galón de sal en una mezcla de 3 galones de salmuera que contienen 25 onzas de sal, a la cual se le ha añadido agua pura; x  volumen de agua pura adicionada en galones 12. El valor en centavos del cambio que hay en una bolsa que contiene el doble de monedas de cinco centavos que de monedas de un centavo, cuatro monedas más de diez centavos que de monedas de 5 centavos y la misma cantidad de monedas de 25 centavos que de monedas de 10 y de 5 centavos combinadas; p  cantidad de monedas de a centavo 24. 25. Aplicaciones 13. Problema de números Encuentre tres enteros consecutivos cuya suma sea 156. 26. 14. Problema de números Encuentre cuatro enteros impares consecutivos cuya suma sea 416. 15. Problema de números Calcule dos números cuya suma es 55 y cuyo producto es 684. 27. 16. Problema de números La suma de los cuadrados de dos enteros pares consecutivos es 1252. Encuentre los enteros. 17. Inversiones Phyllis invirtió 12 000 dólares; una parte gana un interés simple de 4 12 % por año y el resto gana una tasa de 4% anual. Después de un año, el interés total ganado 28. por las inversiones es de 525 dólares. ¿Cuánto dinero invirtió a cada tasa? Inversiones Si Ben invierte 4000 dólares a 4% de interés anual, ¿cuánto dinero adicional debe invertir a un interés de 5 12 % anual para que el interés que reciba cada año sea 4 12 % de la cantidad total invertida? Inversiones ¿Qué tasa de interés anual tendría que tener usted sobre una inversión de 3500 dólares para asegurar que recibe 262.50 dólares de interés después de un año? Inversiones Jack invierte 1000 dólares a una cierta tasa de interés anual, e invierte otros 2000 dólares a una tasa anual que es 0.5% superior. Si recibe un total de 190 dólares de interés en un año, ¿a qué tasa están invertidos los 1000 dólares? Salarios Una ejecutiva de una compañía de ingeniería tiene un salario mensual más un bono para la Navidad de 8500 dólares. Si gana un total de 97 300 dólares al año, ¿cuál es su salario mensual? Salarios Una mujer gana 15% más que su marido. Entre los dos juntan 69 875 dólares al año. ¿Cuál es el salario del marido al año? Herencias Craig está ahorrando para comprar una casa para ir de vacaciones. Heredó algún dinero de un tío rico, y lo junta con los 22 000 dólares que ya tenía y duplica el total mediante una inversión afortunada. Al final tiene reunidos 134 000 dólares, lo suficiente para comprar una cabaña en un lago. ¿Cuánto dinero heredó? Tiempo extra Helen gana 7.50 dólares por hora en su trabajo, pero si trabaja más de 35 horas a la semana, se le paga 1 12 veces su salario regular por las horas de tiempo extra trabajadas. Una semana obtiene un salario bruto de 352.50 dólares. ¿Cuántas horas de tiempo extra trabajó esa semana? Costo de la mano de obra Un plomero y su ayudante trabajan juntos para reemplazar la tubería de una casa vieja. El plomero gana 45 dólares por hora por su trabajo y 25 dólares su ayudante. El plomero trabaja el doble del tiempo que su ayudante y el cargo final por mano de obra es de 4025 dólares. ¿Cuánto tiempo trabajaron el plomero y su ayudante en esta casa? Una carrera de jonrones Durante su carrera en las ligas mayores, Hank Aaron lanzó 41 jonrones más que Babe Ruth en toda su carrera. Entre los dos colocaron 1459 jonrones. ¿Cuántos jonrones colocó Babe Ruth? Acertijo Un actor de cine, decidido a no revelar su edad, le dijo el siguiente acertijo a un articulista de chismes: “Hace siete años, yo tenía once veces la edad de mi hija. Ahora tengo cuatro veces la edad de ella.” ¿Cuántos años tenía el actor? Acertijo Un papá tiene cuatro veces la edad de su hija. Dentro de 6 años, él tendrá tres veces la edad de ella. ¿Qué edad tiene su hija ahora? SECCIÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones 29. Valor de las monedas Una bolsa con cambio contiene una cantidad igual de monedas de 1 centavo, 5 y 10 centavos. El valor total de las monedas es 1.44 dólares. ¿Cuántas monedas de cada tipo contiene la bolsa? 30. Valor de las monedas Mary tiene 3 dólares en monedas de 5, 10 y 25 centavos. Si tiene el doble de monedas de 10 centavos que de monedas de 25 y cinco monedas de 5 centavos que de 10 centavos, ¿cuántas monedas de cada tipo tiene? 31. Ley de la palanca En la figura se ilustra un sistema de palancas, similar al sube y baja que usted encuentra en los parques para niños. Para que el sistema se equilibre, el producto del peso por la distancia a partir del punto de apoyo debe ser igual en cada lado. Es decir, „1x 1  „2x 2 33. Longitud y área Calcule la longitud x de la figura. Se proporciona el área de la región sombreada. x (a) (b) x 14 pulg. 10 cm 6 cm 13 pulg. x x área=160 pulg.2 área=144 cm2 34. Longitud y área Determine la longitud y de la figura. Se proporciona el área de la región sombreada. a) Esta ecuación recibe el nombre de ley de la palanca, y fue descubierta por Arquímedes (véase la pág. 748). Una mujer y su hijo están jugando en un sube y baja. El muchacho está en un extremo, a 8 pies del punto de apoyo. Si el hijo pesa 100 libras y la madre pesa 125 libras, ¿dónde debe colocarse la mujer para equilibrar el sube y baja? 69 b) y y y y área=120 pulg.2 y 1 cm área=1200 cm2 „¤ „⁄ x⁄ x¤ 32. Ley de la palanca Un tablón de 30 pies de largo se apoya en la azotea de un edificio; 5 pies del tablón sobresalen de la orilla según se muestra en la figura. Un trabajador que pesa 240 libras se sienta en el otro extremo del tablón. ¿Cuál es el peso más grande que se puede colgar en el extremo que sobresale del tablón si tiene que estar en equilibrio? Aplique la ley de la palanca establecida en el ejercicio 31. 5 pies 35. Largo de un jardín El ancho de un jardín rectangular es de 25 pies. Si el área es de 1125 pies cuadrados, ¿cuál es el largo del jardín? x pies 25 pies 36. Ancho de un terreno de pastura El largo de un terreno de pastura es el doble del ancho. Su área es 115 200 pies cuadrados. ¿Cuánto mide de ancho el terreno? 37. Dimensiones de un terreno Un terreno de forma cuadrada tiene una construcción de 60 pies de largo por 40 pies de ancho en una esquina. El resto del terreno es un estacionamiento. Si el área del estacionamiento es de 12 000 pies cuadrados, ¿cuáles son las dimensiones de todo el terreno? 38. Dimensiones de un terreno El largo de un terreno de medio acre es cinco veces lo que mide el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones? [Nota: 1 acre  43 560 pies cuadrados.] 39. Dimensiones de un jardín Un jardín rectangular mide 10 pies más de largo que lo que mide de ancho. Su área es de 875 pies cuadrados. ¿Cuáles son sus dimensiones? 70 CAPÍTULO 1 Fundamentos 40. Dimensiones de una habitación Una recámara rectangular mide de largo 7 pies más de lo que mide el ancho. Su área es de 228 pies cuadrados. ¿Cuál es el ancho de la habitación? 41. Dimensiones de un jardín Un granjero tiene un terreno rectangular para jardín, rodeado por una cerca de 200 pies. Determine la longitud y la anchura del jardín si el área es de 2 400 pies cuadrados. perímetro=200 pies 42. Dimensiones de un terreno El largo de una parcela mide 6 pies más que el ancho. Cada diagonal mide 174 pies. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela? 43. Dimensiones de un terreno El ancho de una parcela rectangular mide 50 pies. Una diagonal mide 10 pies más que el largo de la parcela. ¿Cuál es el largo de la parcela? 44. Dimensiones de una pista Una pista para carreras tiene la forma que se ilustra en la figura, con lados rectos y extremos semicirculares. Si la pista mide en total 440 yardas y los dos lados rectos miden 110 yardas de largo, ¿cuál es el radio de las partes semicirculares, aproximado a la yarda más cercana? 110 yardas 46. Ancho de un terreno con césped Se va a construir una fábrica en un terreno que mide 180 por 240 pies. El reglamento de construcción local señala que debe rodear a la fábrica un terreno con césped de ancho uniforme y de área igual al área de la misma. ¿Cuál debe ser el ancho de esta zona de césped y cuáles las dimensiones de la fábrica? 47. Alcance de una escalera Una escalera de 19 21 pies se apoya contra una construcción. La base de la escalera está a 7 12 pies a partir del edificio. ¿Qué altura del edificio alcanza la escalera? 19 12 pies 7 12 pies 48. Altura de un asta de bandera Un asta está asegurada por dos tensores de alambre, opuestos entre sí. Cada tensor mide 5 pies más que el asta. La distancia entre los puntos donde se fijan los tensores al suelo es igual a la longitud de un tensor. ¿Cuál es la altura del asta, aproximada a la pulgada más cercana? r 45. Marco para una pintura Alejandro pinta una acuarela en una hoja de papel de 20 por 15 pulg. Luego coloca su acuarela sobre una base de modo que quede una franja de un ancho uniforme alrededor de la pintura. El perímetro de la base es de 102 pulg. ¿Cuánto mide el ancho de la franja que rodea a la acuarela? x 49. Longitud de una sombra Un hombre se aleja caminando de un poste cuya luminaria está a 6 m por arriba del suelo. El hombre tiene una estatura de 2 m. ¿Cuánto mide la sombra del hombre cuando está a 10 m del poste? [Sugerencia: aplique triángulos semejantes.] 15 pulg. 6m 2m 20 pulg. 10 m x SECCIÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones 50. Altura de un árbol Un aserrador estima la altura de un árbol alto midiendo primero un árbol pequeño alejado 125 pies del árbol alto; luego se desplaza de tal manera que sus ojos estén en la visual de las copas de los árboles y mide después qué tan lejos está del árbol pequeño (véase la figura). Suponga que el árbol pequeño mide 20 pies de altura, el hombre está a 25 pies del árbol pequeño y sus ojos están a 5 pies por arriba del suelo. ¿Cuánto mide el árbol más alto? 71 traer y reemplazar con blanqueador para incrementar el contenido de éste y tener el nivel recomendado? 57. Problema de mezclas Una botella contiene 750 ml de ponche de frutas con una concentración de jugo de frutas puro al 50%. Jill toma 100 ml del ponche y luego vuelve a llenar la botella con una cantidad igual pero de una marca más barata de ponche, si la concentración de jugo en la botella se redujo ahora a 48%, ¿cuál es la concentración del ponche que Jill añadió? 58. Problema de mezclas Un comerciante mezcla té que vende a 3 dólares una libra con té que vende a 2.75 dólares la libra para producir 80 libras de una mezcla que vende a 2.90 dólares la libra. ¿Cuántas libras de cada tipo de té debe usar el comerciante en su mezcla? 20 pies 5 pies 25 pies 125 pies 51. Compra de una casa Un grupo de amigos decide comprar una casa para ir de vacaciones de 120 000 dólares, para lo que compartirán los gastos en partes iguales. Si pueden encontrar una persona más que se les una, cada uno contribuirá con 6 000 dólares. ¿Cuántas personas forman el grupo? 52. Problema de mezclas ¿Qué cantidad de una solución ácida al 60% se tiene que mezclar con una solución al 30% para producir 300 ml de una solución al 50%? 53. Problema de mezclas Un joyero tiene cinco anillos, cada uno pesa 18 g, y son de una aleación de 10% de plata y 90% de oro. Decide fundir los anillos y añadir suficiente plata para reducir el contenido de oro a 75%. ¿Cuánta plata debe añadir? 54. Problema de mezclas Un olla contiene 6 litros de salmuera a una concentración de 120 g/L. ¿Cuánta agua se debe evaporar por ebullición para que la concentración sea de 200 g/L? 55. Problema de mezclas El radiador de un automóvil está lleno con una solución de 60% de anticongelante y 40% de agua. El fabricante del anticongelante recomienda que, en verano, el enfriamiento óptimo del motor se logra con sólo 50% de anticongelante. Si la capacidad del radiador es de 3.6 litros, ¿cuanto anticongelante se debe extraer para reemplazarlo con agua para reducir la concentración del anticongelante al nivel recomendado? 56. Problema de mezclas Un centro de salud aplica una solución de blanqueador para esterilizar las cajas de Petri en las que crecieron cultivos. El recipiente de esterilización contiene 100 galones de una solución de blanqueador común para uso doméstico al 2% mezclado con agua pura destilada. Las nuevas investigaciones señalan que la concentración del blanqueador debe ser de 5% para conseguir una esterilización completa. ¿Cuánta de la solución se debe ex- 59. Trabajo compartido Candy y Tim comparten una ruta de entrega de periódicos. Candy tarda 70 min en entregar todos los periódicos, y Tim se tarda 80 min. ¿Cuánto se tardan los dos cuando trabajan en forma conjunta? 60. Trabajo compartido Stan e Hilda pueden podar el pasto en 40 min si trabajan juntos. Si Hilda trabaja el doble de rápido que Stan, ¿cuánto se tardará Stan en podar él solo el césped? 61. Trabajo compartido Betty y Karen fueron contratadas para pintar las casas de una unidad habitacional. Si trabajan juntas, las mujeres pueden pintar una casa en dos tercios del tiempo que se tarda Karen si trabaja sola. Betty se tarda 6 h en pintar una casa sola. ¿Cuánto se tarda Karen en pintar una casa si trabaja sola? 62. Trabajo compartido Bob y Jim son vecinos y utilizan mangueras de las dos casas para llenar la piscina de Bob. Ya saben que se requieren 18 h si se usan ambas mangueras. También saben que si se usa sólo la manguera de Bob, se tarda 20% menos de tiempo que cuando se utiliza la manguera de Jim sola. ¿Cuánto tiempo se requiere para llenar la piscina con cada una de las mangueras? 63. Trabajo compartido Cuando Henry e Irene trabajan juntos pueden lavar todas las ventanas de su casa en 1 h 48 min. Si Henry trabaja solo, se tarda 1 21 más que Irene en hacer el trabajo. ¿Cuánto tarda cada persona sola en lavar todas las ventanas? 64. Trabajo compartido Jack, Kay y Lynn entregan folletos de propaganda en un poblado pequeño. Si cada uno de ellos trabaja solo, Jack tarda 4 h en entregar todos los folletos, y Lynn se tarda una hora más que Kay. Si trabajan juntos, pueden entregar toda la propaganda en 40% del tiempo que tarda Kay cuando trabaja sola. ¿Cuánto tarda Kay en entregar toda la propaganda ella sola? 65. Distancia, velocidad y tiempo Wendy emprende un viaje desde Davenport hasta Omaha, que es una distancia de 300 millas. Viaja una parte por autobús, el cual llega a la estación del tren justo a tiempo para que Wendy continúe su viaje por tren. El autobús viajó a una velocidad promedio de 40 millas por hora y el tren se mueve a una velocidad de 60 millas por hora. El viaje completo dura 5 12 h. ¿Cuánto tiempo pasó Wendy en el tren? 72 CAPÍTULO 1 Fundamentos 66. Distancia, velocidad y tiempo Dos ciclistas separados por 90 millas, inician al mismo tiempo un viaje para encontrarse. Uno se desplaza el doble de rápido que el otro. Si se encuentran 2 h después, ¿a qué velocidad promedio viajó cada ciclista? 67. Distancia, velocidad y tiempo Un piloto vuela un avión desde Montreal a Los Ángeles, que es una distancia de 2500 millas. En el viaje de regreso la velocidad promedio fue de 20% más alta que la velocidad de ida. El viaje redondo dura 9 h 10 min. ¿Cuál fue la velocidad de Montreal a Los Ángeles? 68. Distancia, velocidad y tiempo Una mujer que maneja un automóvil de 14 pies de largo va a rebasar a un camión de carga de 30 pies de largo. El camión va a una velocidad de 50 millas/hora. ¿Qué tan rápido debe ir la mujer en su automóvil para que pueda rebasar por completo al camión en 6 s, de acuerdo con la posición que se muestra en la figura (a) hasta la posición de la figura (b)? [Sugerencia: utilice pies y segundos en lugar de millas y horas.] 50 millas/h a) fue la velocidad de remado de la tripulación en aguas tranquilas? 72. Velocidad de un bote Dos naves pesqueras salen de un puerto al mismo tiempo, una viaja hacia el este y otra hacia el sur. El bote que viaja hacia el este se desplaza a una velocidad de 3 millas/h más rápido que el que va al sur. Después de dos horas los botes están separados 30 millas. Calcule la velocidad del bote que va hacia el sur. N O E S s illa m 30 73. Dimensiones de una caja Una caja de madera contrachapada tiene un volumen de 180 pies cúbicos. El largo mide de 9 pies más que su altura y su anchura mide 4 pies menos que su altura. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja? x+9 x 50 millas/h x-4 b) 69. Distancia, velocidad y tiempo Un vendedor viaja desde Ajax a Barrington, que es una distancia de 120 millas, a una velocidad constante. Después aumenta su velocidad 10 millas/h para viajar las 150 millas desde Barrington hasta Collins. Si la segunda parte de este viaje tarda 6 min más que la primera parte, ¿a qué velocidad viajó de Ajax a Barrington? 70. Distancia, velocidad y tiempo Kiran fue en automóvil desde Tortula a Cactus, que es una distancia de 250 millas. Luego aumentó su velocidad 10 millas/hora para el viaje de 360 millas entre Cactus y Dry Junction. Si todo el recorrido dura 11 h, ¿cuál fue la velocidad desde Tortula hasta Cactus? 71. Distancia, velocidad y tiempo La tripulación de una lancha tarda 2 h 40 min remar 6 km corriente arriba y regresar. Si la velocidad de la corriente es de 3 km/h, ¿cuál 74. Radio de una esfera Un joyero tiene tres esferas sólidas y pequeñas de oro, de 2 mm, 3 mm y 4 mm de radio. El joyero decide fundirlas y hacer una sola esfera con ellas. ¿Cuál será el radio de la esfera resultante? 75. Dimensiones de una caja Una caja de base cuadrada y sin tapa se hace con una pieza cuadrada de cartulina, en la que se recortan cuadrados de 4 pulg en cada esquina, y se doblan los lados según se muestra en la figura. La caja tendrá un volumen de 100 pulg3. ¿De qué tamaño tiene que ser la cartulina que se requiere? 4 pulg. 4 pulg. SECCIÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones 76. Dimensiones de una lata Una lata cilíndrica tiene un volumen de 40p cm3 y mide 10 cm de altura. ¿Cuál es el diámetro? [Sugerencia: aplique la fórmula del volumen que se encuentra en los forros interiores de este libro.] 73 mente a 750 pies de su sombrilla que está al otro lado de la arena; la sombrilla está sobre la orilla de la playa. El hombre camina a 4 pies/s por el paseo y a 2 pies/s sobre la arena. ¿Cuánto debe caminar por el paseo antes de cambiar de dirección y caminar sobre la arena si quiere llegar a su sombrilla en exactamente 4 min 45 s? 10 cm 77. Radio de un recipiente Un recipiente esférico tiene una capacidad de 750 galones. Aplique el hecho de que un galón es casi 0.1337 pies cúbicos, y determine el radio del depósito con aproximación a la centésima de pie más cercana. 750 pies 210 pies Paseo 78. Dimensiones de un terreno Un terreno urbano tiene la forma de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de 7 pies más grande que uno de los catetos. El perímetro del terreno es de 392 pies. ¿Cuánto mide el otro cateto? 79. Costos de construcción El pueblo de Foxton queda a 10 millas al norte de una carretera abandonada que va del este al oeste que sale de Grimley, según se muestra en la figura. El punto de la carretera abandonada más cercano a Foxton está a 40 millas de Grimley. Las autoridades del condado están por construir una nueva carretera que una los dos pueblos. Ya calcularon que restaurar la carretera vieja costaría 100 000 dólares por milla, y que la construcción de una nueva costaría 200 000 dólares por milla. ¿Cuánto de la carretera abandonada se podría aprovechar, según la figura, si las autoridades pretenden gastar exactamente 6.8 millones? ¿Costaría menos que esta cantidad construir una nueva carretera que una en forma directa los pueblos? Foxton Grimley Nueva carretera 10 millas Carretera abandonada 40 millas 80. Distancia, velocidad y tiempo Un paseo es paralelo a la orilla de una playa recta y está a 210 pies tierra adentro desde dicha orilla. Una playa arenosa está situada entre el paseo y la orilla. Un hombre está parado en el paseo, exacta- 81. Volumen de cereales El grano está cayendo desde un canalón sobre el suelo y forma un montón en forma de cono cuyo diámetro es siempre el triple de su altura. ¿Qué altura tiene el montón, aproximada a la centésima más cercana de un pie, cuando contiene 1000 pies cúbicos de grano? 82. Monitores de TV Dos televisores están colocados uno al lado del otro en un aparador de una tienda de aparatos electrónicos. La altura de la pantalla es la misma. Uno tiene una pantalla ordinaria que mide 5 pulg más de ancho que el largo. El otro tiene una pantalla más amplia y de alta definición, que mide de ancho 1.8 veces la altura. La diagonal de la pantalla más ancha mide 14 pulg más que la diagonal de la pantalla más pequeña. ¿Cuál es la altura de las pantallas aproximada hasta la décima de pulgada más cercana? 74 CAPÍTULO 1 Fundamentos 83. Dimensiones de una estructura Un contenedor para almacenar maíz consta de una parte cilíndrica fabricada con tela de alambre y una cubierta cónica de estaño, como se muestra en la figura. La altura de la cubierta es de un tercio de la altura total de la estructura. Si el volumen total de esta estructura es de 1400p pies cúbicos y su radio es de 10 pies, ¿cuál es la altura total? [Sugerencia: utilice las fórmulas del volumen que se encuentran en los forros interiores de este libro.] Una vara de bambú de 10 pies de largo se parte de tal manera que la punta toca el suelo a 3 pies de la base de la vara, como se muestra en la figura. ¿A qué altura se produjo el quiebre? [Sugerencia: utilice el Teorema de Pitágoras.] 1 3h h 3 pies 10 pies Descubrimiento • Debate 84. Comparación de áreas Un alambre de 360 pulg de largo se corta en dos partes. Con una parte se forma un cuadrado y con la otra un círculo. Si las dos figuras tienen la misma área, ¿cuánto miden de largo los dos trozos de alambre? Exprese los resultados a la décima más cercana de una pulgada. 86. Investigación histórica Lea las notas sobre la vida de Pitágoras (pág. 54), Euclides (pág. 532) y Arquímedes (pág. 748). Elija uno de estos matemáticos e investigue más acerca de él en la biblioteca o la Internet. Escriba un ensayo sobre lo que encuentre. Incluya tanto información biográfica como una descripción de los conceptos matemáticos por los cuales se hizo famoso. 87. Una ecuación cuadrática babilonia Los antiguos babilonios sabían cómo resolver ecuaciones cuadráticas. En seguida se presenta un problema de una de las tablillas con símbolos cuneiformes encontradas en una escuela de Babilonia, que data de hace más de 2000 años antes de nuestra era. 85. Un antiguo problema chino Este problema se tomó de un libro chino de matemáticas llamado Chui-chang suanshu, que quiere decir Nine Chapters on the Mathematical Art, que se escribió por el año 250 antes de nuestra era. Tengo una vara, no conozco su largo. Le corté un codo, y así la vara cabe 60 veces en el largo de mi parcela. Restablecí a la vara lo que le había cortado, y ahora se ajusta 30 veces en el ancho de mi parcela. El área de mi parcela es de 375 nindas cuadradas. ¿Cuál era la longitud original de la vara? Resuelva este problema. Aplique el hecho de que 1 ninda  12 codos. SECCIÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones Ecuaciones a través de las épocas PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Las ecuaciones se han utilizado para resolver problemas a través de toda la historia registrada, en todas las civilizaciones. (Véase por ejemplo el ejercicio 85 de la página 74.) A continuación presentamos un problema de Babilonia (alrededor de 2000 años antes de nuestra era). Encontré una piedra, pero no la pesé. Después añadí un séptimo y luego un onceavo del resultado; pesé todo y encontré que pesaba una mina. ¿Cuál era el peso original de la piedra? The British Museum La respuesta dada en la tablilla es de 23 mina, 8 sheqel, y 22 12 se, donde 1 mina  60 sheqel y 1 sheqel  180 se. En el antiguo Egipto, el saber cómo resolver problemas planteados en palabras era un secreto altamente valorado. El Papiro Rhind (alrededor de 1850 años antes de nuestra era) contiene muchos de dichos problemas (véase pág. 716). El problema 32 en el papiro dice: Una cantidad, su tercio, su cuarto, sumados juntos se convierten en 2. ¿Cuál es la cantidad? La respuesta en la notación egipcia es 1  4  76, donde la barra indica “recíproco”, como nuestra notación 41. El matemático griego Diofanto (alrededor de 250 antes de nuestra era) escribió el libro Arithmetica, el cual contiene muchos enunciados de problemas y ecuaciones. El matemático indio Bhaskara (siglo XII antes de nuestra era, véase pág. 144) y el matemático chino Chang Ch’iu-Chien (siglo VI antes de nuestra era) también estudiaron y escribieron sobre ecuaciones. Naturalmente, las ecuaciones siguen siendo importantes en la actualidad. 1. Resuelvan el problema babilonio y demuestren que su respuesta es correcta. 2. Resuelvan el problema egipcio y demuestren que su respuesta es correcta. 3. Los egipcios y babilonios antiguos utilizaban ecuaciones para resolver problemas prácticos. Por los problemas que se han dado aquí, ¿cree usted que habrán disfrutado de plantear y resolver problemas sólo por gusto? 4. Resuelva este problema de la India del sigo XII antes de nuestra era. 15 x 45 Un pavo real está posado en lo alto de una columna de 15 codos y la guarida de una serpiente está al pie de la columna. El pavo ve a la serpiente cuando ésta se encuentra a 45 codos de su madriguera, y se lanza en forma oblicua sobre ella cuando se desliza hacia su agujero. ¿A cuántos codos de la madriguera de la serpiente se encuentran, suponiendo que cada uno se desplaza una distancia igual? 5. Considere este problema de la China del siglo VI. Si un gallo vale 5 monedas, una gallina 3 monedas y tres pollos juntos valen una moneda, ¿cuántos gallos, gallinas y pollos, que hagan un total de 100, se pueden comprar con 100 monedas? Este problema tiene varias respuestas. Aplique el ensayo y error para encontrar por lo menos una respuesta. ¿Es un problema práctico o un acertijo? Escriba un ensayo corto para sustentar su opinión. 6. Escriba un ensayo corto para explicar cuántas ecuaciones afectan su propia vida en el mundo actual. 75 76 CAPÍTULO 1 Fundamentos 1.7 En el álgebra, algunos problemas originan desigualdades en lugar de ecuaciones. Una desigualdad es similar a una ecuación, sólo que en lugar de tener un signo de igual hay uno de los símbolos , ,  o . Aquí está un ejemplo de una desigualdad: 4x  7  19 4x  7  19 x La tabla que aparece al margen muestra que algunos números satisfacen la desigualdad y algunos números no. Resolver una desigualdad que contiene una variable quiere decir determinar todos los valores de la variable que hacen que la desigualdad sea verdadera. Al contrario que en una ecuación, una desigualdad por lo general tiene infinitas soluciones, las cuales forman un intervalo o una unión de intervalos en la recta de los números reales. La ilustración que sigue muestra cómo una desigualdad difiere de su ecuación correspondiente: 11  19 15  19 19  19 23  19 27  19 1 2 3 4 5 Desigualdades Solución Gráfica 4x  7  19 x3 0 3 Desigualdad: 4 x  7  19 x3 0 3 Ecuación: Para resolver desigualdades, aplicamos las reglas siguientes para aislar la variable a un lado del signo de la desigualdad. Estas reglas indican cuándo dos desigualdades son equivalentes (el símbolo 3 significa “equivale a”). En estas reglas, los símbolos A, B y C son números reales o expresiones algebraicas. Aquí establecemos las reglas para desigualdades que contienen el símbolo , pero se aplican a los cuatro símbolos de desigualdad. Reglas de las desigualdades Regla Descripción 1. A  B 3 ACBC 2. A  B 3 ACBC 3. Si C  0, entonces AB 3 CA  CB 4. Si C  0, entonces AB 3 CA 1 A 1 B 5. Si A  0 entonces y B  0, AB 3 6. Si A  B y C  D, entonces A  C  B  D CB Sumar la misma cantidad a cada miembro de una desigualdad da una desigualdad equivalente. Restar la misma cantidad de ambos miembros de una desigualdad da una desigualdad equivalente. Multiplicar cada miembro de una desigualdad por la misma cantidad positiva da una desigualdad equivalente. Multiplicar ambos miembros de una desigualdad por la misma cantidad negativa invierte la dirección de la desigualdad. Obtener los recíprocos de ambos miembros de una desigualdad que contiene cantidades positivas invierte la dirección de la desigualdad. Las desigualdades se pueden sumar. SECCIÓN 1.7 Desigualdades 77 Ponga atención especial a las reglas 3 y 4. La regla 3 establece que podemos multiplicar (o dividir) cada miembro de una desigualdad por un número positivo, pero la regla 4 señala que si multiplicamos cada miembro de una desigualdad por un número negativo, entonces invertimos la dirección de la desigualdad. Por ejemplo, si empezamos con la desigualdad 35 y multiplicamos por 2, obtenemos 6  10 pero si multiplicamos por 2, tenemos 6  10 Desigualdades lineales Una desigualdad es lineal si cada término es constante o es un múltiplo de la variable. Ejemplo 1 Resolución de una desigualdad lineal Resuelva la desigualdad 3x  9x  4 y grafique el conjunto solución. Solución 3x  9x  4 3x  9x  9x  4  9x 6x  4 16 La multiplicación por el número invierte la dirección de la desigualdad. _ 23 A 16 B16x2  A16 B142 x   23 Sustracción de 9x Simplificación Multiplicación por  61 (o división entre 6) Simplificación El conjunto solución consta de todos los números mayores que  23. En otras palabras, la solución de la desigualdad es el intervalo A 23, qB . La gráfica se ilustra en la figura 1. ■ 0 Figura 1 Ejemplo 2 Resolución de un par de desigualdades simultáneas Resuelva las desigualdades 4  3x  2  13. Solución El conjunto solución consiste en todos los valores de x que cumplen tanto la desigualdad 4  3x  2 y 3x  2  13. Aplicando las reglas 1 y 3, vemos que las desigualdades siguientes son equivalentes: 4  3x  2  13 0 Figura 2 2 5 6  3x  15 Suma de 2 2x5 División entre 3 Por lo tanto, el conjunto solución es 32, 52 , como se ilustra en la figura 2. ■ Desigualdades no lineales Para resolver desigualdades que contienen la variable al cuadrado o a otras potencias, aplicamos la factorización junto con el principio siguiente. 78 CAPÍTULO 1 Fundamentos El signo de un producto o cociente Si un producto o un cociente tienen un número par de factores negativos, entonces su valor es positivo. Si un producto o un cociente tienen un número impar de factores negativos, entonces su valor es negativo. Ejemplo 3 Una desigualdad cuadrática Resuelva la desigualdad x 2  5x  6  0. Solución Primero factorizamos el primer miembro. 1x  22 1x  32  0 (_`, 2) 0 (2, 3) 2 (3, `) 3 Figura 3 Sabemos que la ecuación correspondiente 1x  22 1x  32  0 tiene las soluciones 2 y 3. Como se ilustra en la figura 3, los números 2 y 3 dividen la recta de los números reales en tres intervalos: 1q, 22 , 12, 32 y 13, q 2 . Determinamos los signos de los factores usando valores de prueba en cada uno de estos intervalos. Elegimos un número dentro de cada intervalo y comprobamos el signo de los factores x  2 y x  3 en el valor seleccionado. Por ejemplo, si usamos el valor de prueba x  1 para el intervalo 1q, 22 mostrado en la figura 4, entonces la sustitución en los factores x  2 y x  3 da x  2  1  2  1  0 x  3  1  3  2  0 y Valor de prueba x=1 0 Figura 4 Valor de prueba x = 2 21 2 3 Valor de prueba x=4 Ambos factores son negativos en este intervalo. (Los factores x  2 y x  3 cambian de signo sólo en 2 y en 3, respectivamente, de modo que conservan sus signos en cada intervalo. Ésta es la razón de que usar un solo valor de prueba en cada intervalo es suficiente.) La siguiente tabla de signos se elaboró usando los valores de prueba x  2 12 y x  4 para los intervalos 12, 32 y 13, q 2 (véase la figura 4), respectivamente. El renglón final es el producto de dos factores. 1q, 22 12, 32 13, q2 Signo de x  2    Signo de x  3    Signo de Óx  2ÔÓx  3Ô    Intervalo Si lo prefiere, puede representar esta información sobre una recta numérica, como en el siguiente diagrama de signos. Las líneas verticales indican los puntos en los cuales la recta de los números reales se divide en intervalos: SECCIÓN 1.7 Desigualdades 79 3 2 Signo de x-2 - + + Signo de x-3 - - + Signo de (x-2)(x-3) + - + De acuerdo con la tabla o con el diagrama vemos que 1x  22 1x  32 es negativo en el intervalo 12, 32 . Por consiguiente, la solución de la desigualdad 1x  2 2 1x  32  0 es 0 Figura 5 2 3 5x 0 2  x  36  32, 34 Están incluidos los extremos 2 y 3 porque buscamos valores de x tales que el producto es menor que o igual a cero. La solución se ilustra en la figura 5. ■ En el ejemplo 3 se ilustran los siguientes criterios para resolver una desigualdad que se puede factorizar. Criterios para resolver desigualdades no lineales 1. Pase todos los términos a un miembro. Si es necesario, vuelva a escribir la desigualdad de modo que todos los términos no cero aparezcan a un lado del signo de la desigualdad. Si el lado no cero de la desigualdad contiene cocientes, busque un denominador común. 2. Factorice. Factorice el miembro no cero de la desigualdad. 3. Determine los intervalos. Calcule los valores para los cuales cada factor es cero. Estos números dividirán la recta numérica en intervalos. Liste los intervalos determinados por medio de estos números. 4. Elabore una tabla o diagrama. Utilice los valores de prueba para construir una tabla o un diagrama de los signos de cada factor en cada intervalo. En el último renglón de la tabla determine el signo del producto o cociente de estos factores. 5. Resuelva. Determine la solución de la desigualdad a partir del último renglón de la tabla de signos. Compruebe si alguno de los extremos de los intervalos cumplen con la desigualdad, lo cual es válido si la desigualdad contiene  o ). La técnica de factorización descrita en estos criterios funciona sólo si todos los términos no cero aparecen en un lado del símbolo de desigualdad. Si la desigualdad no está expresada en esta forma, primero vuélvala a escribir, como se indica en el paso 1. Esta técnica se ilustra en los ejemplos que siguen. 80 CAPÍTULO 1 Fundamentos Es tentador multiplicar ambos miembros de la desigualdad por 1  x (como se haría si ésta fuera una ecuación). Esto no funciona porque no sabemos si 1  x es positivo o negativo, de modo que no podemos decir si la desigualdad necesita ser invertida. (Véase el ejercicio 110.) Ejemplo 4 Resuelva: Una desigualdad que contiene un cociente 1x 1x 1 Solución Primero pasamos todos los términos no cero al lado izquierdo, y luego simplificamos usando un denominador común. 1x 1x 1x 1 1x 1x 1x  1x 1x 1x1x 1x 2x 1x Pase los términos a un lado 1 0 Resta de 1 para pasar todos los términos al primer miembro 0 Denominador común 1  x 0 Combinación de las fracciones 0 Simplificación El numerador es cero cuando x  0 y el denominador es cero cuando x  1, de modo que elaboramos el siguiente diagrama de signos usando los valores para definir intervalos en la recta numérica. 1 0 Elabore un diagrama Resuelva 1 0 Figura 6 Signo de 2x - + + Signo de 1-x 2x Signo de 1-x + + - - + - A partir del diagrama vemos que la solución es 5x 0 0  x  16  30, 12 . Está incluido el extremo 0 porque la desigualdad original requiere que el cociente sea mayor que o igual a 1. No obstante, no incluimos el otro extremo porque el cociente de la desigualdad no está definido en 1. Compruebe siempre los extremos de los intervalos de solución para determinar si cumplen la desigualdad original. El conjunto solución 30, 12 se ilustra en la figura 6. ■ Ejemplo 5 Resolución de una desigualdad con tres factores Resuelva la desigualdad x  Pase los términos a un lado Factorice 2 . x1 Solución Después de pasar todos los términos no cero a un lado de la desigualdad, utilizamos un común denominador para combinar los términos. 2 2 x 0 Resta de x1 x1 x1x  12 2  0 Común denominador x  1 x1 x1 x2  x  2 0 Combinación de fracciones x1 1x  12 1x  22 0 Factorización del numerador x1 SECCIÓN 1.7 Desigualdades 81 Los factores en este cociente cambian de signo en 1, 1 y 2, de modo que debemos examinar los intervalos 1q, 12 , 11, 12 , 11, 22 y 12, q 2 . Al usar los valores de prueba, obtenemos el siguiente diagrama de signos. Determine los intervalos 1 _1 Elabore un diagrama 2 Signo de x+1 - + + + Signo de x-2 - - - + Signo de x-1 (x+1)(x-2) Signo de x-1 - - + + - + - + Como el cociente debe ser negativo, la solución es _1 0 1 1q, 12  11, 22 2 como se ilustra en la figura 7. Figura 7 ■ Desigualdades con valores absolutos Aplicamos las propiedades siguientes para resolver desigualdades que contienen valores absolutos. Propiedades de desigualdades con valores absolutos Estas propiedades se cumplen cuando x se reemplaza por cualquier expresión algebraica. (En la figuras suponemos que c  0.) c _c c c 0 x |x| Desigualdad Forma equivalente 1. 앚x 앚  c c  x  c 2. 앚x 앚  c c  x  c 3. 앚x 앚  c x  c o cx 4. 앚x 앚 x  c o cx c _c 0 c _c 0 c _c 0 c _c 0 c Estas propiedades se pueden demostrar usando la definición de valor absoluto. Para demostrar la propiedad 1, por ejemplo, observe que la desigualdad 0 x 0  c establece que la distancia desde x hasta 0 es menor que c, y según la figura 8 usted puede observar que esto es cierto si y sólo si x está entre c y c. Ejemplo 6 Figura 8 Gráfica Resolución de una desigualdad que contiene valor absoluto Resuelva la desigualdad 0 x  5 0  2. Solución 1 La desigualdad 0 x  5 0  2 equivale a 2  x  5  2 2 0 Figura 9 3 3x7 Suma de 5 El conjunto solución es el intervalo abierto 13, 72 . 2 5 Propiedad 1 7 Solución 2 Desde el punto de vista geométrico, el conjunto solución consiste en todos los números x cuya distancia desde 5 es menor que 2. Según la figura 9, vemos que es el intervalo 13, 72 . ■ 82 CAPÍTULO 1 Fundamentos Ejemplo 7 Resolución de una desigualdad que contiene valor absoluto Resuelva la desigualdad 0 3x  2 0 4. Solución De acuerdo con la propiedad 4 la desigualdad 0 3x  2 0 equivale a 3x  2 3x x 4 2 3x  2  4 3x  6 x  2 o bien 2 3 4 Resta de 2 División entre 3 De modo que el conjunto solución es 5x 0 x  2 _2 0 2 3 Figura 10 x o bien 2 36  1q, 24  3 23, q 2 El conjunto se grafica en la figura 10. ■ Modelado con desigualdades El modelado de problemas de la vida cotidiana da con frecuencia desigualdades porque estamos interesados a menudo en determinar cuándo una cantidad es más o menos que otra. Ejemplo 8 Boletos para el carnaval Un carnaval tiene dos planes de boletos. Plan A: tarifa de entrada de 5 dólares y 25 centavos cada vuelta en los juegos Plan B: tarifa de entrada de 2 dólares y 50 centavos cada vuelta en los juegos ¿Cuántas vueltas tendría que dar para que el plan A resultara menos caro que el plan B? Solución Se pide el número de vueltas en los juegos para que el plan A sea menos caro que el plan B. Entonces x  número de vueltas Identifique la variable La información en el problema se podría organizar como sigue. En palabras Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable En lenguaje algebraico Número de vueltas Costo con el plan A Costo con el plan B x 5  0.25x 2  0.50x Ahora planteamos el modelo. costo con el plan A  costo con el plan B Plantee el modelo 5  0.25x  2  0.50x 3  0.25x  0.50x 3  0.25x Resuelva 12  x Resta de 2 Resta de 0.25x División entre 0.25 De modo que si planea dar más de 12 vueltas, el plan A es menos caro. ■ SECCIÓN 1.7 Desigualdades Ejemplo 9 30 86 5 *C 41 *F 83 Escalas Fahrenheit y Celsius Las instrucciones en un empaque de película indican que la caja debe conservarse a una temperatura entre 5°C y 30°C. ¿Qué temperaturas corresponden en la escala Fahrenheit? Solución La relación entre grados Celsius (C ) y grados Fahrenheit (F ) la da la ecuación C  59 1F  322 . Al expresar la condición de la caja en términos de desigualdades, tenemos 5  C  30 De modo que las temperaturas Fahrenheit correspondientes cumplen con las desigualdades 5  59 1F  322  30 9 5 # 5  F  32  95 # 30 9  F  32  54 Multiplicación por 95 Simplificación 9  32  F  54  32 Suma de 32 41  F  86 Simplificación La película se debe conservar a una temperatura de entre 41 y 86°F. Ejemplo 10 ■ Boletos para un concierto Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. El costo de contratar a un autobús para que los lleve al concierto es de 450 dólares, lo cual se debe repartir en forma uniforme entre los estudiantes. Los promotores del concierto ofrecen descuentos a grupos que lleguen en autobús. Los boletos cuestan normalmente 50 dólares cada uno, pero se reducen 10 centavos de dólar del precio del boleto por cada persona que vaya en el grupo (hasta la capacidad máxima del autobús). ¿Cuántos estudiantes deben ir en el grupo para que el costo total por estudiante sea menor a 54 dólares? Identifique la variable Solución Se pide determinar el número de estudiantes que debe ir en el grupo. Entonces, x  cantidad de estudiantes en el grupo La información del problema se podría organizar como se indica a continuación. En palabras En lenguaje algebraico Número de estudiantes en el grupo Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable Costo del autobús por estudiante Costo del boleto por estudiante x 450 x 50  0.10x Ahora planteamos el modelo. Plantee el modelo costo del autobús costo del boleto para   de cada estudiante cada estudiante 450  150  0.10x2  54 x 54 84 CAPÍTULO 1 Fundamentos 450  4  0.10x  0 x Resuelva Sustracción de 54 450  4x  0.10x 2 0 x Denominador común 4500  40x  x 2 0 x 190  x2 150  x2 0 x Multiplicación por 10 Factorización del numerador 50 0 _90 Signo de 90+x - + + + Signo de 50-x + + + - Signo de x (90+x)(50-x) Signo de x - - + + + - + - El diagrama de signos muestra que la solución de la desigualdad es 190, 02  150, q 2 . Debido a que no podemos tener un número negativo de estudiantes, se infiere que el grupo debe tener más de 50 estudiantes para que el total del costo por persona sea menor de 54 dólares. ■ 1.7 Ejercicios 1–6 ■ Sea S  52, 1, 0, 12, 1, 12, 2, 46 . Determine cuáles elementos de S cumplen con la desigualdad. 27. 1. 3  2x  12 2. 2x  1 3. 1  2x  4  7 4. 2  3  x  2 1 1 5.  x 2 6. x  2  4 x 29. 1x  2 2 1x  3 2  0 7–28 ■ Resuelva la desigualdad lineal. Exprese la solución usando la notación de intervalos y grafique el conjunto solución. 9. 7  x 8. 3x  11  5 10. 5  3x  16 5 11. 2x  1  0 12. 0  5  2x 13. 3x  11  6x  8 14. 6  x 15. 1 2x  2 16. 2 5x 17. 1 3x 2 18. 2 3 2 3 1 6x 1 2x  9  1   2x  1 5 1 2x 1 6 1 2x  13 2   6 12 3 26. 3  3x  7  12 28.  1 4  3x 1   2 5 4 29–62 ■ Resuelva la desigualdad no lineal. Exprese la solución usando la notación de intervalos y grafique el conjunto solución. 2 7. 2x  5  3 25. 2  8  2x  1 x 19. 4  3x  11  8x 2 20. 217x  3 2  12x  16 21. 2  x  5  4 22. 5  3x  4  14 23. 1  2x  5  7 24. 1  3x  4  16 31. x12x  7 2 0 30. 1x  5 2 1x  42 32. x12  3x 2  0 33. x  3x  18  0 34. x 2  5x  6  0 35. 2x 2  x 36. x 2  x  2 2 1 37. 3x 2  3x  2x 2  4 38. 5x 2  3x 39. x 2  31x  62 40. x 2  2x  3 41. x 2  4 42. x 2 3x 2  2 9 43. 2x  4 2 44. 1x  22 1x  1 2 1x  3 2  0 45. x 3  4x  0 47. x3 x1 49. 4x 2 2x  3 0 46. 16x  x 3 48. 2x  6 0 x2 50. 2  0 x1 x3 SECCIÓN 1.7 Desigualdades 51. 53. 55. 57. 59. 61. 2x  1 3 x5 4 x x 2 2 1  x x1 6 6 1  x x1 x2 x1  x3 x2 x4  x2 52. 54. 56. 58. 60. 62. 3x 1 3x x  3x x1 4 3 1  x x1 5 x 4 2 x1 1 1  0 x1 x2 x5  x2 63–76 ■ Resuelva la desigualdad con valor absoluto. Exprese la respuesta usando la notación de intervalos y grafique el conjunto solución. 63. 0 x 0  4 64. 0 3x 0  15 65. 0 2x 0  7 x2 ` 2 3 75. 8  0 2x  1 0 4 76. 7 0 x  2 0  5  4 77. Todos los números reales x menores que 3 unidades a partir del 0 78. Todos los números reales x de más de 2 unidades a partir del 0 79. Todos los números reales x de por lo menos 5 unidades a partir del 7 80. Todos los números reales x cuando mucho de 4 unidades a partir del 2 81–86 ■ Está graficado un conjunto de números reales. Encuentre una desigualdad que contenga un valor absoluto que describa el conjunto. 82. 83. 84. 85. 86. 90. 1/2 1 b x  5x  14 2 4 1  x B2  x 91. Resuelva la desigualdad con respecto a x, suponiendo que a, b y c son constantes positivas. a) a1bx  c 2 bc b) a  bx  c  2a 92. Suponga que a, b, c y d son números positivos tales que a c  b d ac c a Demuestre que   b bd d 94. Escalas de temperatura ¿Qué intervalo de la escala de Celsius corresponde al intervalo 50  F  95? 1 77–80 ■ Se proporciona una frase que describe un conjunto de números reales. Exprese la frase como una desigualdad que contiene valores absolutos. 81. 89. a Aplicaciones 1 74. 3  0 2x  4 0  1 6 88. 23x 2  5x  2 x1 ` 2 72. ` 73. 0 x  6 0  0.001 87. 216  9x 2 70. 0 5x  2 0  6 68. 0 x  1 0 69. 0 2x  3 0  0.4 71. ` 0x0 87–90 ■ Determine los valores de la variable para la cual la expresión está definida como un número real. 93. Escalas de temperatura Aplique la relación entre C y F dada en el ejemplo 9 para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que corresponde al intervalo de temperatura 20  C  30. 66. 67. 0 x  5 0  3 1 2 85 _5 _4 _3 _2 _1 0 1 2 3 4 5 _5 _4 _3 _2 _1 0 1 2 3 4 5 _5 _4 _3 _2 _1 0 1 2 3 4 5 _5 _4 _3 _2 _1 0 1 2 3 4 5 _5 _4 _3 _2 _1 0 1 2 3 4 5 _5 _4 _3 _2 _1 0 1 2 3 4 5 95. Costo de la renta de un automóvil Una compañía que renta vehículos ofrece dos planes para rentar un automóvil. Plan A: 30 dólares por día y 10 centavos por milla Plan B: 50 dólares por día y gratis millas recorridas ilimitadas ¿Para qué valor de millas el plan B le hará ahorrar dinero? 96. Costos de las llamadas de larga distancia Una compañía telefónica ofrece dos planes de larga distancia. Plan A: 25 dólares por mes y 5 centavos por minuto Plan B: 5 dólares por mes y 12 centavos por minuto ¿Para cuántos minutos de llamadas de larga distancia el plan B sería ventajoso desde el punto de vista financiero? 97. Costos de manejo de un automóvil Se estima que el costo anual de manejar un cierto automóvil nuevo se obtiene mediante la fórmula C  0.35m  2200 donde m representa la cantidad de millas recorridas al año y C es el costo en dólares. Jane compró uno de esos vehículos y decide apartar para el año próximo entre 6400 y 7100 dólares para los costos de manejo. ¿Cuál es el intervalo correspondiente de millas que puede recorrer con su nuevo automóvil? 98. Cantidad de millas por galón de gasolina La cantidad de millas que recorre un vehículo particular por cada galón de gasolina, manejado a √ millas por hora, se obtiene mediante la fórmula g  10  0.9√  0.01√ 2, siempre que √ esté entre 10 millas/h y 75 millas/h. ¿Para qué velocidades la cantidad de millas recorridas por galón es 30 millas/galón o más? 86 CAPÍTULO 1 Fundamentos 99. Gravedad La fuerza gravitacional F que ejerce la Tierra sobre un objeto cuya masa es de 100 kg se determina mediante la ecuación F 4 000 000 d2 donde d es la distancia en km del objeto desde el centro de la Tierra y la fuerza F se mide en newtons (N). ¿Para qué distancias la fuerza que ejerce la Tierra sobre este objeto estará entre 0.0004 N y 0.01 N? 100. Temperatura de una hoguera En las cercanías de una hoguera, la temperatura T en °C a una distancia de x metros desde el centro de la hoguera se determina mediante T 600 000 x2  300 ¿A qué distancias del centro del fuego la temperatura será menor de 500°C? 101. Distancia de frenado Para un cierto modelo de automóvil la distancia d que requiere para detenerse si está viajando a una velocidad √ millas/h se encuentra mediante la fórmula d√ √2 20 donde d se mide en pies. Kerry desea que su distancia de frenado no exceda 240 pies. ¿Entre qué rango de velocidad debe viajar? 103. Temperatura del aire A medida que el aire seco asciende, se expande, y al hacerlo se enfría a un ritmo de alrededor de 1°C por cada 100 metros que sube, hasta casi los 12 km. a) Si la temperatura del suelo es de 20°C, plantee una fórmula para la temperatura a una altura h. b) ¿Que temperaturas se pueden esperar si un aeroplano despega y alcanza una altura máxima de 5 km? 104. Precio del boleto de avión Una aerolínea que fleta aviones observa que en sus vuelos del sábado desde Filadelfia a Londres, los 120 lugares se venderán si el precio del boleto es de 200 dólares. Pero por cada 3 dólares de incremento en el precio del boleto, los lugares vendidos disminuirán en uno. a) Determine una fórmula para el número de lugares vendidos si el precio del boleto es P dólares. b) En un cierto periodo, el número de lugares vendidos para este vuelo varían entre 90 y 115. ¿Cuál fue el intervalo correspondiente de precios para el boleto? 105. Costo de una función de teatro Un barco en el río ofrece funciones de teatro y el viaje en autobús para grupos de personas con las siguientes bases. Alquilar un autobús cuesta al grupo 360 dólares, que los del grupo deben aportar por partes iguales. Los boletos para la función de teatro cuestan normalmente 30 dólares cada uno, pero se les descuentan 25 centavos de dólar por cada persona del grupo. ¿Cuántas personas deben ir en grupo para que el costo de la tarifa del autobús más el boleto de la función de teatro sea de menos de 39 dólares por persona? 106. Cercado de un jardín Una mujer tiene 120 pies de una cerca resistente a los venados. Quiere delimitar un huerto rectangular en su terreno que mida por lo menos 800 pies cuadrados. ¿Qué valores son posibles para el largo de dicho huerto rectangular? 107. Espesor de un material laminado Una compañía fabrica laminados industriales (hojas delgadas con una base de nailon) de 0.020 pulg. de espesor, con una tolerancia de 0.003 pulg. a) Determine una desigualdad que contenga valores absolutos y que describa el intervalo de espesores posibles para el material laminado. b) Resuelva la desigualdad que encontró en el inciso a). 240 pies 0.020 pulg. 102. Ganancia de un fabricante Si un fabricante vende x unidades de un cierto producto, sus ingresos R y sus costos C todo en dólares, son R  20x C  2000  8x  0.0025x 2 Aplique el hecho de que ganancia  ingresos  costos para determinar cuántas unidades debe vender para disfrutar de una ganancia de por lo menos 2400 dólares. 108. Estaturas posibles La estatura promedio de un varón adulto es de 68.2 pulg. y 95% de los varones adultos tiene una altura h que cumple la desigualdad ` h  68.2 ` 2 2.9 Resuelva la desigualdad para determinar el intervalo de estaturas. SECCIÓN 1.8 Geometría analítica por ejemplo, x  1 está en este intervalo, pero no satisface la desigualdad original. Explique por qué este método no funciona (piense con respecto al signo de x). Resuelva luego la desigualdad correctamente. Descubrimiento • Debate 109. ¿Con las potencias se conserva el orden? Si a  b, ¿es a 2  b 2? (Compruebe tanto el valor positivo como el negativo para a y b.) Si a  b, ¿es a 3  b 3 ? Con base en sus observaciones plantee una regla general con respecto a la relación entre a n y b n cuando a  b y n es un entero positivo. 110. ¿Qué es lo que está mal aquí? Es tentador tratar de resolver una desigualdad como si fuera una ecuación. Por ejemplo, podríamos tratar de resolver 1  3/x multiplicando ambos miembros por x, para obtener x  3, de modo que la solución sería 1q, 3 2 . Pero esto es falso; 1.8 87 111. Uso de las distancias para resolver desigualdades que contienen valores absolutos Recuerde que 0 a  b 0 es la distancia entre a y b en la recta numérica. Para cualquier número x, ¿qué representan 0 x  1 0 y 0 x  3 0 ? Aplique esta interpretación para resolver geométricamente la desigualdad 0 x  1 0  0 x  3 0 . En general, si a  b, ¿cuál es la solución de la desigualdad 0 x  a 0  0 x  b 0? Geometría analítica El plano coordenado es el vínculo entre el álgebra y la geometría. En el plano coordenado podemos trazar gráficas de ecuaciones algebraicas. Las gráficas, a su vez, nos permiten “ver” la relación existente entre las variables de la ecuación. En esta sección se trata el plano coordenado. El plano coordenado El plano cartesiano lleva ese nombre en honor al matemático francés René Descartes (1596-1650), aunque otro francés, Pierre Fermat (1601-1665) también inventó los principios de la geometría analítica al mismo tiempo. (Véanse sus biografías en las páginas 112 y 652.) Al igual que los puntos sobre una recta se pueden representar con números reales para formar la recta numérica, los puntos sobre un plano se pueden identificar por medio de pares ordenados de números para formar el plano coordenado o plano cartesiano. Para hacerlo, trazamos dos rectas de números reales entre sí y que se cortan en el 0 de cada recta. Por lo regular, una recta es horizontal con dirección positiva hacia la derecha y se llama eje x; la otra recta es vertical y la dirección posi-tiva es hacia arriba; recibe el nombre de eje y. El punto de intersección del eje x y del eje y es el origen O, y los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, llamados I, II, III y IV en la figura 1. (Los puntos que se localizan sobre los ejes coordenados no se asignan a ningún cuadrante.) y y P (a, b) b II I (1, 3)) (_2, 2) 1 O III Figura 1 Aunque la notación para un punto 1a, b 2 es la misma que la notación para un intervalo abierto, el contexto debe ayudar a aclarar qué es lo que se quiere representar. a IV 0 x (5, 0)) x 1 (_3, _2) (2, _4) Figura 2 Cualquier punto P en el plano coordenado se puede ubicar por medio de un único par ordenado de números 1a, b2 , como se muestra en la figura 1. El primer número a se llama coordenada x de P; y el segundo número b se llama coordenada y de P. Podemos pensar que las coordenadas de P son como su “domicilio” porque especifican su ubicación en el plano. En la figura 2 se muestran varios puntos con sus coordenadas. 88 CAPÍTULO 1 Fundamentos Ejemplo 1 Las coordenadas son como domicilios Las coordenadas de un punto en el plano xy determinan exclusivamente su ubicación. Podríamos decir que las coordenadas son como el “domicilio” o la dirección del punto. En Salt Lake City, Utah, las direcciones de la mayor parte de los edificios se dan de hecho como coordenadas. La ciudad se divide en cuadrantes donde la Main Street es el eje vertical (Norte-Sur) y S. Temple Street es el eje horizontal (Este-Oeste). Una dirección tal como 1760 W 2100 S señala un lugar 17.6 cuadras al oeste de Main Street y 21 cuadras al sur de S. Temple Street. (Es la dirección de la oficina principal de correos en Salt Lake City.) Con este sistema lógico es posible para cualquiera que no conozca la ciudad localizar de manera inmediata cualquier dirección, tan fácil como cuando uno localiza un punto sobre el plano coordenado. Gráficas de regiones en el plano coordenado Describa y grafique las regiones representadas mediante cada conjunto. a) 51x, y2 0 x 06 b) 51x, y2 0 y  16 c) 51x, y2 @ 0 y 0  16 Solución a) Los puntos cuyas coordenada x son 0 o positivas quedan en el eje y o a la derecha de él, como se muestra en la figura 3(a). b) El conjunto de todos los puntos con coordenada y igual a 1 es una recta horizontal situada una unidad por arriba del eje de las x, como se ilustra en la figura 3(b). c) Recuerde que en la sección 1.7 se estableció que 0y0 1 ifsiand onlysiif y sólo Entonces, la región dada consiste en aquellos puntos en el plano cuyas coordenadas y quedan entre 1 y 1. Por consiguiente, la región consiste en todos los puntos que están entre las rectas horizontales y  1 y y  1, pero no sobre ellas. Estas rectas se ilustran como líneas discontinuas en la figura 3(c) para señalar que los puntos sobre esas rectas no están en el conjunto. y y y y=1 x 0 0 0 x x y=_1 a) x≥0 500 North St. 1  y  1 c) | y | <1 b) y=1 ■ Figura 3 S. Temple St. 300 West St. Main St. 900 West St. 1700 West St. Jordan River 4th South St. 9th South St. 13th South St. 21st South St. Oficina de correos 1760 W 2100 S 7th East St. 17th South St. Fórmulas para la distancia y el punto medio Ahora determinaremos una fórmula para la distancia d1A, B2 entre dos puntos A1x 1, y1 2 y B1x 2, y2 2 en el plano. Recuerde que en la sección 1.1 se estableció que la distancia entre los puntos a y b sobre una recta numérica es d1a, b2  0 b  a 0 . Entonces, de acuerdo con la figura 4, la distancia entre los puntos A1x 1, y1 2 y C1x 2, y1 2 sobre una recta horizontal debe ser 0 x2  x1 0 , y la distancia entre B1x 2, y2 2 y C1x 2, y1 2 sobre la línea vertical debe ser 0 y2  y1 0 . y B(x¤, y¤) y¤ ) ,B d (A y⁄ A(x⁄, y⁄) 0 Figura 4 x⁄ | x¤-x⁄| | y¤-y⁄| C(x¤, y⁄) x¤ x SECCIÓN 1.8 Geometría analítica 89 Puesto que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo, mediante el teorema de Pitágoras se obtiene d1A, B2  2 0 x2  x1 0 2  0 y2  y1 0 2  21x2  x1 2 2  1y2  y1 2 2 Fórmula de la distancia La distancia entre los puntos A1x 1, y1 2 y B1x 2, y2 2 en el plano es d1A, B2  21x2  x1 2 2  1y2  y1 2 2 y Ejemplo 2 Q (8, 9) Aplicación de la fórmula para la distancia 8 ¿Cuál de los puntos P11, 22 o Q18, 92 está más cerca al punto A15, 32 ? 6 Solución Según la fórmula de la distancia, tenemos d1P, A2  215  12 2  33  12 2 4 2  242  52  141 4 A(5, 3) d1Q, A2  215  82 2  13  9 2 2  213 2 2  162 2  145 2 0 4 _2 P (1, _2) Figura 5 8 x Esto demuestra que d1P, A2  d1Q, A2 , de modo que P está más cerca a A (véase la ■ figura 5). Ahora determinemos las coordenadas 1x, y2 del punto medio M del segmento de recta que une el punto A1x1, y1 2 con el punto B1x2, y2 2 . En la figura 6 vemos que los triángulos APM y MQB son congruentes porque d1A, M2  d1M, B 2 y los ángulos correspondientes son iguales. y B(x¤, y¤) Punto medio M(x, y) Q x¤-x A(x⁄, y⁄) P x-x⁄ x 0 Figura 6 Se infiere entonces que d1A, P2  d1M, Q2 y que x  x1  x2  x Al determinar el valor de x, en esta ecuación, tenemos 2x  x1  x2, y entonces y1  y2 x1  x2 . De igual manera, y  . x 2 2 90 CAPÍTULO 1 Fundamentos Fórmula del punto medio El punto medio del segmento de recta desde A1x1, y1 2 a B1x2, y2 2 es a Ejemplo 3 x1  x2 y1  y2 , b 2 2 Aplicación de la fórmula del punto medio Demuestre que el cuadrilátero con vértices P11, 22 , Q14, 42 , R15, 92 y S12, 72 es un paralelogramo al probar que sus dos diagonales se bisecan. Solución Si las dos diagonales tienen el mismo punto medio, entonces deben bisecarse. El punto medio de la diagonal PR es y R 8 a S 4 y el punto medio de la diagonal QS es Q a P 0 4 15 29 11 , b  a 3, b 2 2 2 x Figura 7 42 47 11 , b  a 3, b 2 2 2 de modo que ambas diagonales se bisecan, como se ilustra en la figura 7. (Un teorema de la geometría elemental establece que el cuadrilátero es por lo tanto un paralelogramo.) ■ Gráficas de las ecuaciones con dos variables Principio fundamental de la geometría analítica Un punto 1x, y 2 pertenece a una gráfica de una ecuación si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación. Una ecuación de dos variables, tal como y  x 2  1, expresa una relación entre dos cantidades. Un punto 1x, y2 satisface la ecuación si la ecuación es verdadera cuando los valores para x y y se sustituyen en dicha ecuación. Por ejemplo, el punto (3, 10) satisface la ecuación y  x 2  1 porque 10  32  1, pero el punto (1, 3) no porque 3  12  1. Gráfica de una ecuación La gráfica de una ecuación con x y y es el conjunto de todos los puntos 1x, y2 del plano coordenado que satisfacen la ecuación. La gráfica de una ecuación es una curva, de modo que para graficar una ecuación trazamos tantos puntos como podamos y, luego, los unimos por medio de una curva suave. Ejemplo 4 Trazo de una gráfica mediante la ubicación de puntos Trace la gráfica de la ecuación 2x  y  3. Solución Primero resolvemos la ecuación para encontrar el valor de y  2x  3 SECCIÓN 1.8 Geometría analítica 91 Esto ayuda a calcular las coordenadas y en la tabla siguiente. y 4 y=2x-3 0 x 4 x y  2x  3 1x, y 2 1 0 1 2 3 4 5 3 1 1 3 5 11, 52 10, 32 11, 12 12, 12 13, 32 14, 52 Claro, hay una infinidad de puntos en la gráfica, por lo que es imposible localizar todos. Pero entre más puntos ubiquemos mejor imaginaremos cómo es la gráfica que representa la ecuación. Trazamos los puntos que encontramos en la figura 8; al parecer forman una recta. Entonces, para completar la gráfica unimos los puntos mediante una línea. (En la sección 1.10 comprobamos que la gráfica de esta ■ ecuación es realmente una recta.) Figura 8 Ejemplo 5 Trazo de una gráfica mediante la ubicación de puntos Trace la gráfica de la ecuación y  x 2  2. Un análisis exhaustivo de las parábolas y sus propiedades geométricas se presenta en el capítulo 10. Solución Determinamos algunos de los puntos que satisfacen a la ecuación en la tabla siguiente. En la figura 9 graficamos estos puntos y los unimos mediante una curva suave. Una curva con esta forma se llama parábola. ■ y 4 y=≈-2 0 _4 x 4 Ejemplo 6 Figura 9 x y  x2  2 1x, y 2 3 2 1 0 1 2 3 7 2 1 2 1 2 7 13, 72 12, 22 11, 12 10, 22 11, 12 12, 22 13, 72 Gráfica de una ecuación que contiene valores absolutos Trace la gráfica de la ecuación y  0 x 0 . Solución Elaboramos una tabla de valores: y 4 y=| x | 2 _4 _2 Figura 10 0 2 4 x x y 0x0 1x, y 2 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 13, 32 12, 22 11, 12 10, 02 11, 12 12, 22 13, 32 En la figura 10 localizamos estos puntos y los utilizamos para graficar la ecuación. ■ 92 CAPÍTULO 1 Fundamentos Intersecciones con los ejes Las coordenadas x de los puntos donde una gráfica corta al eje x se denominan intersección con el eje x de la gráfica y se obtiene haciendo y  0 en la ecuación de la gráfica. Las coordenadas y de los puntos donde una gráfica corta al eje y se llaman intersección con el eje y de la gráfica y se determinan haciendo x  0 en la ecuación de la gráfica. Definición de las intersecciones con los ejes Intersecciones Manera de determinarlas Intersecciones con el eje x Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica de una ecuación corta al eje x En qué parte de la gráfica se encuentran y Hacer y  0 y determinar x 0 Intersecciones con el eje y Las coordenadas y de los puntos donde la gráfica de una ecuación corta al eje y x y Hacer x  0 y determinar y 0 Ejemplo 7 x Determinación de las intersecciones Encuentre las intersecciones con los ejes x y y de la gráfica de la ecuación y  x 2  2. y 0 _2 0  x2  2 x2  2 x   12 Intersección con el eje x 2 _2 Solución Para encontrar las intersecciones con el eje x hacemos y  0 y determinamos x. Por lo tanto, y=≈-2 2 Intersección con el eje y x Se hace y  0 Suma de 2 a ambos miembros Obtención de la raíz cuadrada Las intersecciones con el eje x son 12 y  12. Para calcular las intersecciones con el eje y hacemos x  0 y calculamos y. Entonces, Se hace x  0 y  02  2 y  2 Figura 11 La intersección con el eje y es 2. La gráfica de esta ecuación se ilustra en el ejemplo 5. Se repite en la figura 11 con las intersecciones señaladas. ■ Circunferencia Hasta ahora hemos estudiado cómo determinar la gráfica de una ecuación que contiene x y y. El problema inverso consiste en encontrar una ecuación de una gráfica, SECCIÓN 1.8 Geometría analítica y P(x, y) r C(h, k) 0 x 93 es decir, una ecuación que representa a una curva dada en el plano xy. Las coordenadas de los puntos de la curva, y no otros, satisfacen tal ecuación. Ésta es la otra mitad del principio fundamental de la geometría analítica según lo formularon Descartes y Fermat. La idea es que si una curva geométrica puede ser representada mediante una ecuación algebraica, entonces las reglas del álgebra se pueden utilizar para analizar la curva. Para ejemplificar este tipo de problema, determinemos la ecuación de una circunferencia con radio r y centro en 1h, k 2 . Por definición, la circunferencia es el conjunto de todos los puntos P1x, y2 cuya distancia desde el centro C1h, k2 es r (véase la figura 12). Por lo tanto, P está sobre la circunferencia si y sólo si d1P, C2  r. De acuerdo con la fórmula de la distancia tenemos 21x  h 2 2  1y  k2 2  r Figura 12 1x  h2 2  1y  k2 2  r 2 Se elevan al cuadrado ambos miembros Ésta es la ecuación deseada. Ecuación de una circunferencia Una ecuación de la circunferencia con centro en 1h, k 2 y radio r es 1x  h2 2  1y  k2 2  r 2 Esta expresión se denomina forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Si el centro de la circunferencia es el origen (0, 0), entonces la ecuación es x2  y2  r 2 Ejemplo 8 Gráfica de una circunferencia Grafique las ecuaciones. a) x 2  y 2  25 b) 1x  22 2  1y  12 2  25 Solución a) Volvemos a escribir la ecuación como x 2  y 2  5 2, y advertimos que es una ecuación de una circunferencia de radio 5 y centro en el origen. Su gráfica se ilustra en la figura 13. b) Reescribimos la ecuación como 1x  22 2  1y  12 2  52, y nos percatamos de que es una ecuación de una circunferencia de radio 5 y centro en 12, 12 . Su gráfica se muestra en la figura 14. y y 5 0 5 x x 0 (2, _1) ≈+¥=25 (x-2)™+(y+1)™=25 Figura 13 Figura 14 ■ 94 CAPÍTULO 1 Fundamentos Ejemplo 9 y 0 a) Determinar la ecuación de una circunferencia cuyo radio es 3 y su centro es 12, 52 . b) Encontrar una ecuación de la circunferencia cuyos puntos P11, 82 y Q15, 62 son los extremos de su diámetro. x 2 Determinación de la ecuación de una circunferencia _2 Solución a) Aplicamos la ecuación de la circunferencia con r  3, h  2 y k  5, y obtenemos 1x  22 2  1y  52 2  9 (2, _5) La gráfica se ilustra en la figura 15. b) Primero observamos que el centro es el punto medio del diámetro PQ, de modo que, según la fórmula del punto medio, el centro es (x-2)™+(y+5)™=9 Figura 15 a y P(1, 8) 15 86 , b  13, 12 2 2 El radio r es la distancia desde P hasta el centro, por lo que según la fórmula de la distancia r 2  13  12 2  11  82 2  22  172 2  53 Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es (3, 1) 1x  32 2  1y  12 2  53 x 0 La gráfica se muestra en la figura 16. ■ Desarrollemos la ecuación de la circunferencia del ejemplo anterior. Q(5, _6) (x-3)™+(y-1)™=53 Figura 16 La técnica de completar cuadrados se utiliza en muchos contextos en el álgebra. En la sección 1.5 utilizamos dicha técnica para resolver ecuaciones cuadráticas. 1x  32 2  1y  1 2 2  53 x 2  6x  9  y 2  2y  1  53 x 2  6x  y 2  2y  43 Forma ordinaria Desarrollo de los cuadrados Sustracción de 10 para obtener la forma desarrollada Suponga que se nos da la ecuación desarrollada de una circunferencia. Entonces, para encontrar su centro y su radio, tenemos que expresar la ecuación en su forma ordinaria. Esto quiere decir que tenemos que invertir los pasos de los cálculos anteriores, y para hacerlo necesitamos conocer qué sumar a una expresión como x 2  6x para convertirla en un cuadrado perfecto, es decir, necesitamos completar el cuadrado, como se hace en el ejemplo siguiente. Ejemplo 10 Identificación de la ecuación de una circunferencia Demuestre que la ecuación x 2  y 2  2x  6y  7  0 representa una circunferencia y determine su centro y su radio. Solución Primero agrupamos los términos que contienen x y los términos que contienen y. Luego completamos el cuadrado dentro de cada grupo. Es decir, completamos el cuadrado para x 2  2x sumando A 12 # 2B 2  1, y completamos el cuadrado de y 2  6y sumando 3 12 # 162 4 2  9. 1x 2  2x Debemos sumar las mismas cantidades a ambos miembros para conservar la igualdad 2  1 y 2  6y 2  7 Se agrupan los términos Completamos el cuadrado 1x 2  2x  12  1 y 2  6y  92  7  1  9 sumando 1 y 9 a ambos miembros 1x  12 2  1 y  32 2  3 Factorizamos y simplificamos SECCIÓN 1.8 Geometría analítica 95 Al comparar esta ecuación con la ecuación ordinaria de una circunferencia, vemos que h  1, k  3 y r  13 , de modo que la ecuación dada sí representa una circunferencia con centro en 11, 32 y radio 13. ■ y y=≈ (_x, y) (x, y) 1 0 1 x Figura 17 Simetría En la figura 17 se muestra la gráfica de y  x 2. Observe que la parte de la gráfica a la izquierda del eje y es la imagen especular de la parte que se encuentre a la derecha del eje y. La razón es que si el punto (x, y) está en la gráfica, entonces también lo está 1x, y2 , y estos puntos son los reflejos de los otros con respecto al eje y. En esta situación decimos que la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Con un razonamiento similar, decimos que una gráfica es simétrica con respecto al eje x si siempre que haya un punto (x, y) en la gráfica, hay un punto 1x, y2 . Una gráfica es simétrica con respecto al origen si habiendo un punto (x, y) en la gráfica, hay un punto 1x, y2 . Definición de simetría Tipo de simetría Cómo probar la simetría Simetría con respecto al eje x La ecuación permanece sin cambios cuando y es reemplazada por y Cómo se ve la gráfica (las figuras de esta sección) y La gráfica no cambia cuando se refleja en el eje x (x, y) 0 Significado geométrico x (x, _y) (Figuras 13, 18) Simetría con respecto al eje y La ecuación permanece sin cambios cuando x es reemplazada por x y La gráfica no cambia cuando se refleja en el eje y (x, y) (_x, y) 0 x (Figuras 9, 10, 11, 13, 17) Simetría con respecto al origen y La ecuación permanece sin cambios cuando x es reemplazada por x y y por y (x, y) 0 x (_x, _y) (Figuras 13, 19) La gráfica no cambia cuando gira 180° con respecto al origen 96 CAPÍTULO 1 Fundamentos Los ejemplos restantes de esta sección muestran cómo la simetría ayuda a trazar las gráficas de las ecuaciones. Ejemplo 11 Aplicación de la simetría para trazar una gráfica Pruebe si la ecuación x  y 2 es simétrica y trace la gráfica correspondiente. Solución Si reemplazamos a y por y en la ecuación x  y 2, obtenemos Reemplazo de y por y x  y2 Simplificación la ecuación permanece sin cambios. Por lo tanto, la gráfica es simétrica con respecto al eje x. Pero al cambiar x por x se tiene la ecuación x  y 2, lo cual no es lo mismo que la ecuación original, de modo que la gráfica no es simétrica con respecto al eje y. Aplicamos la simetría con respecto al eje x para trazar la gráfica ubicando puntos para y  0 y luego reflejamos la gráfica en el eje x como se muestra en la figura 18. y 4 x  1y2 2 (4, 2) (9, 3) y x  y2 1x, y 2 0 1 2 3 0 1 4 9 10, 02 11, 12 14, 22 19, 32 (1, 1) (0, 0) x 4 x=¥ ■ Figura 18 Ejemplo 12 Aplicación de la simetría para trazar una gráfica Pruebe si la ecuación y  x 3  9x es simétrica y trace la gráfica. Solución Si reemplazamos x por x y y por y en la ecuación, tenemos y  1x 2 3  91x2 Reemplazo de x por x y y por y y  x  9x Simplificación 3 y  x 3  9x y Multiplicación por 1 y la ecuación no se modifica. Esto significa que la gráfica es simétrica con respecto al origen. La gráfica se elabora localizando puntos para x  0 y luego aplicando la simetría con respecto al origen (véase la figura 19). y=x£-9x 20 _2 0 _20 Figura 19 2 4 x (2.5, _6.875) (1.5, _10.125) x y  x 3  9x 1x, y 2 0 1 1.5 2 2.5 3 4 0 8 10.125 10 6.875 0 28 10, 02 11, 82 11.5, 10.1252 12, 102 12.5, 6.8752 13, 02 14, 282 ■ SECCIÓN 1.8 Geometría analítica 1.8 Ejercicios 9. 13, 62 , 14, 182 1. Grafique los puntos dados en el plano coordenado: 12, 3 2 , 12, 3 2 , 14, 5 2 , 14, 5 2 , 14, 5 2 , 14, 52 10. 11, 12 , 19, 92 2. Encuentre las coordenadas de los puntos mostrados en la figura. 11. 16, 22 , 16, 22 12. 10, 62 , 15, 02 y C 13. Dibuje el rectángulo con vértices A11, 3 2 , B15, 32 , C11, 3 2 , y D15, 32 en un plano coordenado. Calcule el área del rectángulo. D B A F 1 0 E 14. Dibuje el paralelogramo con vértices A11, 22 , B15, 22 , C13, 62 y D17, 62 en un plano coordenado. Calcule el área del paralelogramo. x 1 H G 3–6 ■ 15. Localice los puntos A11, 02 , B15, 02 , C14, 32 y D12, 32 , en un plano coordenado. Trace los segmentos AB, BC, CD y DA. ¿Qué clase de cuadrilátero es ABCD, y cuál es su área? Está graficado un par de puntos. 16. Localice los puntos P15, 12 , Q10, 62 y R15, 12 , en un plano coordenado. ¿Dónde se debe situar el punto S para que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado? Calcule el área de este cuadrado. a) Determine la distancia entre ellos. b) Calcule el punto medio del segmento que los une. y 3. 97 4. y 17–26 ■ Dibuje la región dada por el conjunto. 17. 51x, y2 0 x 1 1 0 1 0 x 1 x 36 18. 51x, y2 0 y  36 19. 51x, y2 0 y  26 20. 51x, y2 0 x  16 5. 6. y 21. 51x, y2 0 1  x  26 y 22. 51x, y2 0 0  y  46 2 1 0 1 x 0 1 x 23. 5 1x, y 2 @ 0 x 0  46 24. 5 1x, y 2 @ 0 y 0  26 25. 51x, y2 0 x 7–12 ■ Está graficado un par de puntos. a) Grafique los puntos en un plano coordenado. b) Determine la distancia entre ellos. c) Determine el punto medio del segmento de recta que los une. 7. 10, 8 2 , 16, 16 2 8. 12, 5 2 , 110, 0 2 1 and y y  36 26. 5 1x, y 2 @ 0 x 0  2 and y 0 y 0  36 27. ¿Cuál de los puntos A16, 72 o B15, 82 está más cercano al origen? 28. ¿Cuál de los puntos C16, 32 o D13, 02 está más cercano al punto E12, 12 ? 29. ¿Cuál de los puntos P13, 12 o Q11, 32 está más cercano al punto R11, 12 ? 98 CAPÍTULO 1 Fundamentos 30. a) Demuestre que los puntos 17, 3 2 y 13, 7 2 están a la misma distancia del origen. b) Demuestre que los puntos 1a, b 2 y 1b, a 2 están a la misma distancia del origen. 31. Demuestre que el triángulo con vértices A10, 2 2 , B13, 12 y C14, 3 2 es isósceles. 32. Determinar el área del triángulo ilustrado en la figura. C 41. a) Trace el paralelogramo con vértices A12, 12 , B14, 22 , C17, 72 y D11, 4 2 . c) De la parte b) demuestre que las diagonales se bisecan entre sí. 2 A B _2 40. Si M16, 82 es el punto medio del segmento de recta AB, y si A tiene las coordenadas 12, 32 , determine las coordenadas de B. b) Determine los puntos medios de las diagonales de este paralelogramo. y 4 39. Grafique los puntos P11, 42 , Q11, 12 y R14, 22 , sobre un plano coordenado. ¿Dónde debe estar el punto S para que la figura PQRS sea un paralelogramo? 0 2 4 8 x 6 _2 42. El punto M de la figura es el punto medio del segmento de recta AB. Demuestre que M es equidistante de los vértices del triángulo ABC. y B(0, b) 33. Refiérase al triángulo ABC de la figura. a) Demuestre que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo usando el inverso del teorema de Pitágoras (véase pág. 54). b) Encuentre el área del triángulo ABC. M C (0, 0) x A(a, 0) y 43–46 ■ Determine si los puntos dados están en la gráfica de la ecuación. A 2 10, 02 , 11, 02 , 11, 12 43. x  2y  1  0; _4 _2 0 2 B 4 6 x _2 C 34. Demuestre que el triángulo con vértices A16, 72 , B111, 32 y C12, 2 2 es un triángulo rectángulo aplicando el inverso del teorema de Pitágoras. Calcule el área del triángulo. 35. Demuestre que los puntos A12, 9 2 , B14, 6 2 , C11, 0 2 y D15, 3 2 son los vértices de un cuadrado. 36. Demuestre que los puntos A11, 3 2 , B13, 11 2 y C15, 15 2 son colineales probando que d1A, B 2  d1B, C2  d1A, C 2 . 37. Encuentre un punto sobre el eje de la y que es equidistante de los puntos 15, 5 2 y 11, 1 2 . 38. Determine las longitudes de las medianas de un triángulo con vértices A11, 0 2 , B13, 6 2 y C18, 2 2 . (Una mediana es un segmento de recta que parte de un vértice y se dirige al punto medio del lado opuesto.) 44. y1x2  12  1; 11, 12 , A1, 12 B, A1, 12 B 45. x2  xy  y2  4; 46. x2  y2  1; 10, 22 , 11, 22 , 12, 22 10, 12 , a 1 1 13 1 , b, a , b 2 2 12 12 47–50 ■ Se proporcionan una ecuación y su gráfica. Calcule las intersecciones con los ejes x y y. 47. y  4x  x 2 48. y2 x2  1 9 4 y y 1 0 1 0 1 x 1 x SECCIÓN 1.8 Geometría analítica 49. x 4  y 2  xy  16 50. x 2  y 3  x 2y 2  64 79. Simétrica con respecto al origen y y 80. Simétrica con respecto al origen y y x y= 1+≈ 1 0 1 y= 0 0 x x x 51–70 ■ Elabore una tabla de valores y trace la gráfica de la ecuación. Encuentre las intersecciones con los ejes x y y e investigue si hay simetría. 81–86 ■ Encuentre una ecuación de la circunferencia que cumpla con las condiciones dadas. 51. y  x  4 52. y  3x  3 81. Centro 12, 12 ; radio 3 53. 2x  y  6 54. x  y  3 82. Centro 11, 42 ; radio 8 55. y  1  x 2 56. y  x 2  2 83. Centro en el origen; pasa por 14, 72 57. 4y  x 2 58. 8y  x 3 59. y  x 2  9 60. y  9  x 2 61. xy  2 62. y  1x  4 63. y  24  x 2 64. y   24  x 65. x  y 2  4 66. x  y 3 67. y  16  x 4 68. x  0 y 0 69. y  4  0 x 0 70. y  0 4  x 0 ■ 1 x£ x 2 0 2 71–76 99 84. Los extremos de un diámetro son P11, 12 y Q15, 92 85. Centro 17, 32 ; tangente al eje x 86. La circunferencia está en el primer cuadrante y es tangente tanto al eje x como al eje y; radio 5 2 87–88 ■ Determine la ecuación de la circunferencia mostrada en la figura. 87. 88. y y 2 2 Investigue si la ecuación es simétrica. 71. y  x 4  x 2 72. x  y 4  y 2 73. x 2y 2  xy  1 74. x 4y 4  x 2y 2  1 75. y  x 3  10x 76. y  x 2  0 x 0 _2 77–80 ■ Complete la gráfica usando la propiedad de simetría dada. 77. Simétrica con respecto al eje y x 89. x 2  y 2  4x  10y  13  0 y 90. x 2  y 2  6y  2  0 1 y= 1+≈ 91. x 2  y 2  12 x  12 y  18 ¥-≈=1 0 2 x 0 _2 0 2 x 89–94 ■ Demuestre que la ecuación representa una circunferencia, y determine el centro y el radio. 78. Simétrica con respecto al eje x y 0 x 92. x 2  y 2  12 x  2y  161  0 93. 2x 2  2y 2  3x  0 94. 3x 2  3y 2  6x  y  0 100 CAPÍTULO 1 Fundamentos 95–96 ■ a) ¿En qué intersección está situado el café? Grafique la región dada por el conjunto. 95. 51x, y2 0 x 2  y 2  16 b) ¿Cuánto tiene que caminar cada uno de ellos para llegar al café? 96. 51x, y 2 0 x 2  y 2  46 97. Determine el área de la región que queda fuera de la circunferencia x 2  y 2  4 pero dentro de la circunferencia x 2  y 2  4y  12  0 98. Grafique la región en el plano coordenado que cumple con las desigualdades x 2  y 2  9 y y 0 x 0 . ¿Cuál es el área de esta región? 101. Órbita de un satélite Un satélite está en órbita alrededor de la Luna. Un plano coordenado que contiene la órbita está establecido de tal manera que el centro de la Luna está en el origen, como se muestra en la gráfica. Las distancias se miden en megametros (Mm). La ecuación de la órbita del satélite es 1x  32 2 25 y2 1 16 a) Según la gráfica, determine lo más cerca y lo más lejos que puede estar el satélite al centro de la Luna. Aplicaciones N 7a. Av. B E 4 cuadras S 6a. Av. d y 2 Descubrimiento • Debate 102. Cambio del plano de coordenadas Suponga que cada punto del plano de coordenadas se desplaza 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. a) ¿A qué punto nuevo se desplaza el punto (5, 3)? 4a. Av. b) ¿A qué punto nuevo se desplaza el punto (a, b)? 2a. Av. 3 cuadras c) ¿Qué punto se desplazó a (3, 4)? d) El triángulo ABC de la figura se movió al triángulo A B C . Determine las coordenadas de los puntos A , B yC . 5a. calle 4a. calle 3a. calle 2a. calle 1a. Av. 1a. calle x 2 5a. Av. 3a. Av. A b) Hay dos puntos en la órbita que tienen coordenada y igual a 2. Encuentre las coordenadas x de estos puntos y calcule sus distancias al centro de la Luna. NASA 99. Distancias en una ciudad Una ciudad tiene calles que van de norte a sur y avenidas que van de oriente a poniente, todas tienen igual separación. Las calles y las avenidas están numeradas en forma consecutiva, según se muestra en la figura. La distancia si uno va caminando entre los puntos A y B es de 7 cuadras, es decir, 3 cuadras al oriente y 4 cuadras al norte. Para encontrar las distancias en línea recta d, tenemos que usar la fórmula de la distancia. a) Determine la distancia en línea recta (en cuadras) entre A y B. b) Calcule la distancia que se recorre caminando y la distancia en línea recta entre la esquina de la cuarta calle y la segunda avenida y la esquina de la calle decimoprimera y la vigesimosexta avenida. c) ¿Qué tiene que ser cierto en relación con los puntos P y Q si la distancia que se recorre caminando entre P y Q es igual a la distancia en línea recta entre P y Q? O  100. Punto intermedio Dos amigos viven en la ciudad descrita en el ejercicio 99: uno en la esquina de la 3a. calle y la 7a. avenida, y el otro en la esquina de la 27a. calle y la 17a. avenida. Con frecuencia se encuentran en un café que está a mitad del camino a sus casas. y B' C' B(_3, 2) C(2, 1) A' 0 A(_5, _1) x SECCIÓN 1.9 Calculadoras para graficar y resolución de ecuaciones y desigualdades por métodos gráficos 103. Reflexión en el plano coordenado Suponga que el eje y actúa como un espejo que refleja cada punto de la derecha de él en un punto a la izquierda de él. a) ¿En qué punto se refleja el punto (3, 7)? b) ¿En qué punto se refleja el punto (a, b)? c) ¿Qué punto se refleja en el punto 14, 12 ? d) El triángulo ABC de la figura se refleja como el triángulo A B C . Determine las coordenadas de los puntos A ,B yC . y A' B(6, 1) 0 C' x (i) 1x  2 2 2  1 y  12 2  9; 1x  62 2  1 y  42 2  16 (ii) x 2  1 y  22 2  4; (iii) 1x  3 2 2  1 y  12 2  1; 1x  22 2  1 y  22 2  25 b) ¿Cómo se puede decir, sólo con saber los radios de dos circunferencias y la distancia entre sus centros, si las circunferencias se intersecan? Escriba un párrafo pequeño en el que explique cómo se decidiría esto y trace una gráfica para ilustrar su respuesta. C(1, _4) 104. Completar un segmento de recta Grafique los puntos M16, 8 2 y A12, 3 2 en un plano coordenado. Si M es el punto medio del segmento rectilíneo AB, determine las coordenadas de B. Escriba una breve descripción de los pasos que siguió para determinar B, y las razones que lo llevaron a seguirlos. 105. Completar un paralelogramo Grafique los puntos P10, 3 2 , Q 12, 2 2 y R15, 3 2 en un plano de coordenadas. ¿Dónde se debe colocar el punto S para que la figura PQRS sea un paralelogramo. Escriba una breve explicación de los pasos que siguió y las razones de hacerlo así. 106. ¿Circunferencia, punto o conjunto vacío? Complete los cuadrados de la ecuación general x 2  ax  y 2  by  c  0 y simplifique el resultado tanto como sea posible. ¿En qué condiciones de los coeficientes a, b y c esta ecuación representa una circunferencia? ¿Y un solo punto? ¿Y un conjunto vacío? En el caso de que la ecuación sí represente una circunferencia, determine el centro y el radio. 1.9 107. ¿Se intersecan las circunferencias? a) Calcule el radio de cada uno de los círculos del par y la distancia entre sus centros. Aplique después esta información para determinar si las circunferencias se intersecan. 1x  5 2 2  1 y  142 2  9 A(3, 3) B' 101 108. Cómo hacer simétrica a una gráfica La gráfica mostrada en la figura no es simétrica con respecto al eje x ni al eje y ni al origen. Añada segmentos de recta a la gráfica de modo que muestre la simetría que se pide. En cada caso añada lo menos posible. a) Simetría con respecto al eje x b) Simetría con respecto al eje y c) Simetría con respecto al origen y 1 0 1 x Calculadoras para graficar y resolución de ecuaciones y desigualdades por métodos gráficos En las secciones 1.5 y 1.7 resolvimos ecuaciones y desigualdades mediante álgebra. En la sección anterior aprendimos a trazar la gráfica de una ecuación en un plano coordenado. En esta sección usaremos las gráficas para resolver ecuaciones y desigualdades. Para hacerlo, primero necesitamos dibujar la gráfica mediante un dispositivo que grafique. Entonces, empezamos por dar algunos criterios que ayuden a utilizar con efectividad los dispositivos de graficación. 102 CAPÍTULO 1 Fundamentos Uso de una calculadora para graficar y=d (a, d) (b, d) x=a x=b (a, c) (b, c) y=c Figura 1 Rectángulo de visión 3a, b4 por 3c, d 4 Una calculadora para elaborar gráficas o una computadora muestran, una parte de la gráfica de una ecuación en un rectángulo de la pantalla, llamado rectángulo de visión. La pantalla que aparece automáticamente proporciona una imagen incompleta o engañosa, de modo que es importante elegir con cuidado el rectángulo de visión. Si elegimos que los valores de x varíen desde un valor mínimo de Xmin  a a un valor máximo de Xmax  b y que los valores de y varíen de un valor mínimo de Ymin  c a un valor máximo de Ymax  d, entonces la parte que se muestra queda en el rectángulo 3a, b4 3c, d4  51x, y2 0 a  x  b, c  y  d6 como se ilustra en la figura 1. Nos referimos a él como el rectángulo de visión 3a, b4 por 3c, d4 . Los dispositivos para graficar trazan la gráfica de una ecuación tal como usted lo podría hacer. Localizan los puntos de la forma (x, y) para un cierto número de valores de x, igualmente separados entre a y b. Si la ecuación no está definida para un valor de x o si el valor correspondiente de y queda fuera del rectángulo de visión, el dispositivo ignora este valor y pasa al siguiente valor de x. La máquina une cada uno de los puntos con el graficado anteriormente para generar una representación de la gráfica de la ecuación. Ejemplo 1 Elección de un rectángulo de visión aceptable Grafique la ecuación y  x 2  3 en un rectángulo de visión aceptable. Solución Experimentemos con diferentes rectángulos de visión. Iniciemos con el rectángulo 32, 24 por 32, 24 , de modo que tenemos  2 Xmax  2 Xmin  2 Xmax  2 Ymin La gráfica que resulta y que se muestra en la figura 2(a) ¡no se ve! La razón es que x 2 0, de modo que x 2  3 3 para todas las x. Por consiguiente, la gráfica está totalmente arriba del rectángulo de visión, de modo que este rectángulo no es adecuado. Si agrandamos el rectángulo a 34, 44 por 34, 44 , como en la figura 2(b), empezamos a ver una parte de la gráfica. Intentemos ahora con el rectángulo 310, 104 por 35, 304 . La gráfica en la figura 2(c) parece dar una visión más completa de la gráfica. Si agrandamos aún más el rectángulo, como en la figura 2(d), la gráfica nos muestra con claridad que la intersección con el eje y es 3. Entonces, el rectángulo 310, 104 por 35, 304 proporciona una representación aceptable de la gráfica. 2 _2 4 2 _4 4 _10 _2 a) Figura 2 Gráficas de y  x  3 2 1000 30 10 _50 50 _4 _5 _100 b) c) d) ■ SECCIÓN 1.9 Calculadoras para graficar y resolución de ecuaciones y desigualdades por métodos gráficos National Portrait Gallery Ejemplo 2 Alan Turing (1912-1954) estuvo en el centro de dos hechos determinantes del siglo xx: la Segunda Guerra Mundial y la invención de las computadoras. Cuando tenía 23 años, Turing puso su marca en las matemáticas al resolver un problema importante de las bases matemáticas que había planteado David Gilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1928 (véase pág. 708). En esta investigación inventó una máquina teórica, que en la actualidad se conoce como máquina de Turing. Esta máquina fue la inspiración para las computadoras modernas digitales. Durante la Segunda Guerra Mundial, Turing estuvo a cargo del esfuerzo que hicieron los británicos para descifrar los códigos alemanes. El éxito total que tuvo en esta empresa tuvo un papel decisivo en la victoria de los aliados. Para llevar a cabo los numerosos pasos lógicos requeridos para descifrar un mensaje en código Turing elaboró procedimientos de decisión similares a los programas modernos para las computadoras. Después de la guerra ayudó a desarrollar las primeras computadoras electrónicas de los británicos. También fue de los primeros en trabajar en la inteligencia artificial y en modelos para computadora de los procesos biológicos. Turing murió envenenado a la edad de 42 años luego de comer una manzana que había sido rociada misteriosamente con cianuro. 103 Dos gráficas en la misma pantalla Grafique las ecuaciones y  3x 2  6x  1 y y  0.23x  2.25 juntas en el rectángulo de visión 31, 34 por 32.5, 1.54 . ¿Las gráficas se cortan en este rectángulo de visión? Solución La figura 3(a) muestra las características esenciales de ambas gráficas. Una es una parábola y la otra es una recta. Se ve como si las gráficas se cortaran cerca del punto 11, 22 . Sin embargo, si hacemos un acercamiento de la zona que rodea al punto como se muestra en la figura 3(b), observamos que aunque las gráficas casi se tocan, en realidad no se intersecan. 1.5 _1.85 _1 3 0.75 _2.25 _2.5 a) 1.25 b) ■ Figura 3 De acuerdo con los ejemplos 1 y 2, vemos que la elección del rectángulo de visión tiene gran importancia en el aspecto de la gráfica. Si usted desea una vista global de la gráfica, tiene que seleccionar un rectángulo de visión relativamente grande para ver la gráfica. En cambio, si desea investigar los detalles, debe efectuar un acercamiento con un rectángulo de visión pequeño que muestre sólo la característica de interés. La mayor parte de las calculadoras con las que se pueden elaborar gráficas sólo pueden graficar ecuaciones en las que y está aislada en un miembro. El siguiente ejemplo muestra cómo graficar ecuaciones que no tienen esta propiedad. Ejemplo 3 Gráfica de una circunferencia Grafique la circunferencia x 2  y 2  1. Solución Primero despejamos y, para que quede en un solo miembro. y2  1  x2 Se resta x2 y   21  x 2 Obtención de las raíces cuadradas Por lo tanto, la circunferencia se describe mediante las gráficas de dos ecuaciones: y  21  x 2 and y y   21  x 2 La primera ecuación representa la mitad superior de la circunferencia (porque y 0), y la segunda representa la mitad inferior de la circunferencia (porque y  0). Si graficamos la primera ecuación en el rectángulo de visión 32, 24 por 104 CAPÍTULO 1 Fundamentos 32, 24 , obtenemos la semicircunferencia mostrada en la figura 4 a). La gráfica de la segunda ecuación es la semicircunferencia de la figura 4 b). Al graficar estas semicircunferencias juntas en el mismo rectángulo de visión obtenemos la figura completa en la figura 4 c). 2 _2 2 2 2 _2 2 _2 2 _2 _2 _2 a) b) c) La gráfica de la figura 4(c) parece algo aplanada. La mayor parte de las calculadoras permiten fijar las escalas en los ejes de modo que las circunferencias se vean como tales. En las calculadoras TI-82 y TI-83, en el menú ZOOM , escogemos ZSquare para fijar adecuadamente las escalas. (En la TI-86, la orden es Zsq.) Figura 4 Gráfica de la ecuación x 2  y 2  1 ■ Resolución de ecuaciones mediante métodos gráficos En la sección 1.5 aprendimos a resolver ecuaciones. Para resolver una ecuación como 3x  5  0 aplicamos el método algebraico. Esto quiere decir que usaremos las reglas del álgebra para aislar a x en un lado de la ecuación. Consideramos a x como una incógnita y aplicamos las reglas del álgebra para cazarla. He aquí los pasos de la solución: 3x  5  0 3x  5 x  53 Suma de 5 División entre 3 De modo que la solución es x  También podemos resolver la ecuación mediante el método gráfico. En este método consideramos a x como una variable y trazamos la gráfica de la ecuación 5 3. y  3x  5 Valores diferentes de x dan valores diferentes para y. El objetivo es determinar el valor de x para el cual y  0. Según la gráfica de la figura 5 vemos que y  0 cuando x  1.7. Por consiguiente, la solución es x  1.7. Observe que de acuerdo con la gráfica obtenemos una solución aproximada. y y=3x-5 1 0 “El álgebra es una ciencia festiva”, diría el tío Jakob. “Vamos a caza de un animalito cuyo nombre desconocemos, así que lo llamamos x. Cuando nos embolsamos nuestra presa, la calamos y le damos su nombre correcto.” ALBERT EINSTEIN 1 2 x Figura 5 Estos métodos están resumidos en el recuadro siguiente. SECCIÓN 1.9 Calculadoras para graficar y resolución de ecuaciones y desigualdades por métodos gráficos 105 Resolución de una ecuación Método algebraico Método gráfico Utilice las reglas del álgebra para aislar la incógnita x en un lado de la ecuación. Pase todos los términos a un lado e iguale todo con y. Trace la gráfica para determinar el valor de x cuando y  0. Ejemplo: 2x  6  x 3x  6 Suma de x x  2 División entre 3 La solución es x  2. Ejemplo: 2x  6  x 0  6  3x Haga y  6  3x y grafique. y y=6-3x 2 0 1 2 x De acuerdo con la gráfica la solución es x  2. El proyecto de descubrimiento de la página 283 describe un método numérico para resolver ecuaciones. La ventaja del método algebraico es que proporciona respuestas exactas. Asimismo, el proceso de descifrar la ecuación ayuda a entender la estructura algebraica de la ecuación. Por otro lado, en el caso de muchas ecuaciones es difícil o imposible aislar x. El método gráfico proporciona una aproximación numérica a la respuesta. Esto es una ventaja cuando se desea una respuesta numérica. (Por ejemplo, un ingeniero podría encontrar una respuesta expresada como x  2.6 que tiene mayor utilidad inmediata que x  17.) Además, la gráfica de una ecuación ayuda a imaginarnos cómo está relacionada la solución con otros valores de la variable. Ejemplo 4 Resolución algebraica y por métodos gráficos de una ecuación cuadrática Resuelva algebraicamente y mediante métodos gráficos las ecuaciones cuadráticas. a) x 2  4x  2  0 b) x 2  4x  4  0 c) x 2  4x  6  0 Solución 1: por medio de álgebra Aplicamos la fórmula cuadrática para resolver cada ecuación. La fórmula cuadrática se estudia en la página 49. a) x  142  2142 2  4 # 1 # 2 4  18   2  12 2 2 Hay dos soluciones, x  2  12 y x  2  12. b) x  142  214 2 2  4 # 1 # 4 4  10  2 2 2 Hay sólo una solución, x  2. 14 2  2142 2  4 # 1 # 6 4  18  2 2 No hay solución real. c) x  106 CAPÍTULO 1 Fundamentos Solución 2: método gráfico Graficamos las ecuaciones y  x 2  4x  2, y  x 2  4x  4, y y  x 2  4x  6 en la figura 6. Al determinar las intersecciones con el eje x de las gráficas, encontramos las soluciones siguientes. a) x  0.6 y x  3.4 b) x  2 c) No hay intersecciones con el eje x por lo que la ecuación no tiene solución. 10 10 _1 5 _5 10 _1 5 _1 _5 a) y=≈-4x+2 5 _5 b) y=≈-4x+4 c) y=≈-4x+6 Figura 6 ■ Las gráficas de la figura 6 muestran por qué una ecuación cuadrática podría tener dos soluciones, una solución, o ninguna solución real. Demostramos este hecho algebraicamente en la sección 1.5 cuando estudiamos el discriminante. Ejemplo 5 Otro método gráfico Resuelva la ecuación en forma algebraica y mediante métodos gráficos: 5  3x  8x  20 Solución 1: Método algebraico 5  3x  8x  20 3x  8x  25 11x  25 25 x  2 113 11 y⁄=5-3x 3 y¤=8x-20 Intersection X=2.2727723 _25 Y=-1.818182 Resta de 8x División entre 11 y simplificación Solución 2: Método gráfico Podríamos pasar todos los términos a un lado del signo igual, igualar el resultado a y, y graficar la ecuación resultante. Pero para evitar estos pasos algebraicos, mejor graficamos las dos ecuaciones: 10 _1 Resta de 5 y1  5  3x y and y2  8x  20 La solución de la ecuación original será el valor de x que hace que y1 sea igual a y2; es decir, la solución es la coordenada x del punto de intersección de las dos gráficas. Usamos la característica TRACE del comando intersect en una calculadora para elaborar gráficas, y vemos que, según la figura 7, la solución es x  2.27. ■ Figura 7 En el ejemplo siguiente aplicamos el método gráfico para resolver una ecuación que es muy difícil de resolver de manera algebraica. SECCIÓN 1.9 Calculadoras para graficar y resolución de ecuaciones y desigualdades por métodos gráficos Ejemplo 6 107 Resolución de una ecuación en un intervalo Resuelva la ecuación x 3  6x 2  9x  1x en el intervalo 31, 64 . Solución Se nos pide calcular todas las soluciones x que cumplen 1  x  6, de modo que graficaremos la ecuación en un rectángulo de visión para el cual los valores x están restringidos a este intervalo. x 3  6x 2  9x  1x x 3  6x 2  9x  1x  0 También podemos utilizar el comando zero para determinar las soluciones, como se muestra en las figuras 8(a) y 8(b). Resta de 1x En la figura 8 se ilustra la gráfica de la ecuación y  x 3  6x 2  9x  1x en el rectángulo de visión 31, 64 por 35, 54. Hay dos intersecciones con el eje x en esta pantalla; si efectuamos un acercamiento vemos que las soluciones son x  2.18 y x  3.72. 5 5 1 6 Zero X=2.1767162 1 6 Zero X=3.7200502 Y=0 _5 Y=0 _5 Figura 8 a) b) ■ En realidad, la ecuación del ejemplo 6 tiene cuatro soluciones. Se piden las otras dos soluciones en el ejercicio 57. Ejemplo 7 Intensidad de la luz Dos fuentes de luz están separadas 10 m. Una es tres veces más intensa que la otra. La intensidad de la luz L (en luxes) en el punto a x metros desde la fuente más débil es 10 30 L 2  x 110  x2 2 (Véase la figura 9.) Calcule los puntos a los cuales la intensidad de la luz es 4 luxes. 10 − x x Figura 9 Solución Necesitamos resolver la ecuación 4 30 10  x2 110  x2 2 108 CAPÍTULO 1 Fundamentos y2 = 102 + x 30 (10 – x)2 Las gráficas de y1  4 10 y2  y and 10 30 2  x 110  x2 2 se muestran en la figura 10. Al efectuar un acercamiento o usar el comando intersect encontramos dos soluciones, x  1.67431 y x  7.1927193. Entonces, la intensidad de la luz es 4 luxes en los puntos que están a 1.67 y 7.19 de la fuente más débil. y1 = 4 0 ■ 10 Resolución gráfica de desigualdades Figura 10 Las desigualdades se pueden resolver gráficamente. Para explicar el método resolvamos x 2  5x  6  0 10 Esta desigualdad está resuelta algebraicamente en la sección 1.7, ejemplo 3. Para resolver la desigualdad gráficamente, dibujamos la gráfica de _1 5 _2 Figura 11 x 2  5x  6  0 y  x 2  5x  6 El objetivo es calcular aquellos valores de x para los cuales y  0. Éstos son simplemente los valores de x para los cuales la gráfica queda abajo del eje x. Podemos ver en la figura 11 que la solución de la desigualdad es el intervalo 32, 34. Ejemplo 8 Resolución gráfica de una desigualdad Resuelva la desigualdad 3.7x 2  1.3x  1.9  2.0  1.4x. 5 Solución Graficamos las ecuaciones y⁄ y1  3.7x 2  1.3x  1.9 _3 3 y¤ _3 Figura 12 y1  3.7x 2  1.3x  1.9 y2  2.0  1.4x y2  2.0  1.4x y and en el mismo rectángulo de visión de la figura 12. Nos interesan los valores de x para los cuales y1  y2; son los puntos para los cuales la gráfica de y2 queda sobre la gráfica de y1 o por arriba de ella. Para determinar el intervalo adecuado, buscamos las coordenadas x de puntos donde las gráficas se cortan. Concluimos que la solución es aproximadamente el intervalo 31.45, 0.724. ■ Ejemplo 9 Resolución gráfica de una desigualdad Resuelva la desigualdad x 3  5x 2 8. Solución Escribimos la desigualdad como 15 x 3  5x 2  8 0 y luego graficamos la ecuación _6 6 _15 Figura 13 x 3  5x 2  8 0 y  x 3  5x 2  8 en el rectángulo de visión 36, 64 por 315, 154, como se ilustra en la figura 13. La solución de la desigualdad consiste en los intervalos en los cuales la gráfica queda sobre el eje x o arriba de él. Al desplazar el cursor a las intersecciones con el eje x encontramos que la solución es 31.1, 1.54  34.6, q2 correcta a una cifra decimal. ■ SECCIÓN 1.9 Calculadoras para graficar y resolución de ecuaciones y desigualdades por métodos gráficos 1.9 109 Ejercicios 1–6 ■ Utilice una calculadora para graficar o una computadora para decidir qué rectángulo de visión a) a d) genera la gráfica más adecuada de la ecuación. 18. y  2x  0 x 2  5 0 17. y  1  0 x  1 0 19. Grafique la circunferencia x 2  y 2  9 despejando y y trazando las dos ecuaciones como en el ejemplo 3. 20. Grafique la circunferencia 1 y  12 2  x 2  1 despejando y y trazando las dos ecuaciones como en el ejemplo 3. 1. y  x 4  2 a) 32, 24 por 32, 24 b) 30, 44 por 30, 44 21. Grafique la ecuación 4x 2  2y 2  1 despejando y y trazando las dos ecuaciones que corresponden a las raíces negativa y positiva (Esta gráfica se llama elipse.) c) 38, 84 por 34, 404 d) 340, 404 por 380, 8004 b) 30, 104 por 320, 1004 22. Grafique la ecuación y 2  9x 2  1 determinando y y trazando las dos ecuaciones correspondientes a las raíces cuadradas positiva y negativa. (Esta gráfica se llama hipérbola.) d) 310, 34 por 3100, 204 23–26 ■ ¿Las gráficas se cortan en el rectángulo de visión dado? Si es así, ¿cuántos puntos de intersección hay? 2. y  x 2  7x  6 a) 35, 54 por 35, 54 c) 315, 84 por 320, 1004 23. y  3x 2  6x  12, y  27  127 x 2; 34, 44 por 31, 34 3. y  100  x 2 a) 34, 44 por 34, 44 24. y  249  x 2, y  15 141  3x 2 ; b) 310, 104 por 310, 104 c) 315, 154 por 330, 1104 25. y  6  4x  x , y  3x  18; 2 d) 34, 44 por 330, 1104 36, 24 por 35, 204 34, 44 por 315, 154 26. y  x 3  4x, y  x  5; 4. y  2x 2  1000 38, 84 por 31, 84 27–36 ■ Resuelva la ecuación por medio del álgebra y de los métodos gráficos. a) 310, 104 por 310, 104 b) 310, 104 por 3100, 1004 27. x  4  5x  12 d) 325, 254 por 31200, 2004 29. c) 310, 104 por 31000, 10004 5. y  10  25x  x 3 a) 34, 4] por 34, 44 28. 12 x  3  6  2x 1 2  7 x 2x 30. 6 5 4   x2 2x 2x  4 31. x 2  32  0 32. x 3  16  0 33. 16x 4  625 34. 2x 5  243  0 b) 310, 104 por 310, 104 35. 1x  52 4  80  0 d) 3100, 1004 por 3200, 2004 37–44 ■ Resuelva la ecuación gráficamente en el intervalo dado. Dé cada respuesta correcta con dos cifras decimales. c) 320, 204 por 3100, 1004 6. y  28x  x 2 37. x 2  7x  12  0; a) 34, 44 por 34, 44 38. x  0.75x  0.125  0; 41. x  1x  1  0; 7–18 ■ Determine un rectángulo de visión adecuado para la ecuación y utilícelo para trazar la gráfica. 8. y  100x 2 13. y 0.01x  x  5 3 15. y  x 4 4x 3 2 2 10. y  0.3x 2  1.7x  3 12. y  212x  17 14. y  x1x  6 2 1x  92 x 16. y  2 x  25 31, 54 31, 54 42. 1  1x  21  x ; 2 43. x 1/3  x  0; 33, 34 44. x 1/2  x 1/3  x  0; 31, 44 32, 24 40. 16x 3  16x 2  x  1; d) 32, 104 por 32, 64 4 11. y  2256  x 2 32, 24 39. x  6x  11x  6  0; 3 c) 310, 104 por 310, 404 9. y  4  6x  x 2 30, 64 2 b) 35, 54 por 30, 1004 7. y  100x 2 36. 61x  22 5  64 31, 54 45–48 ■ Calcule todas las soluciones reales de la ecuación con dos cifras decimales. 45. x 3  2x 2  x  1  0 47. x1x  1 2 1x  2 2  16 x 46. x 4  8x 2  2  0 48. x 4  16  x 3 110 CAPÍTULO 1 Fundamentos 49–56 ■ Calcule las soluciones de la desigualdad trazando gráficas adecuadas. Proporcione cada respuesta con dos cifras decimales. 49. x 2  3x  10  0 50. 0.5x 2  0.875x  0.25 51. x 3  11x  6x 2  6 52. 16x 3  24x 2  9x  1 Descubrimiento • Debate 60. Notación de las ecuaciones en las calculadoras para graficar Cuado usted introduce los datos de las ecuaciones siguientes en la calculadora, ¿qué tanto difiere lo que usted ve en la pantalla de la manera usual de escribir las ecuaciones? (Verifique en el manual de usuario si no está seguro.) a) y  0 x 0 5 b) y  1 x x c) y  x1 3 d) y  x 3  1 x2 53. x 1/3  x 54. 20.5x 2  1  2 0 x 0 55. 1x  1 2 2  1x  1 2 2 56. 1x  1 2 2  x 3 57. En el ejemplo 6 encontramos dos soluciones de la ecuación x 3  6x 2  9x  1x, las soluciones que quedan entre 1 y 6. Determine dos soluciones más con dos cifras decimales. 61. Introducción cuidadosa de los datos de una ecuación Un estudiante desea graficar las ecuaciones y  x 1/3 Aplicaciones 58. Ganancia estimada Un fabricante de electrodomésticos estima que la ganancia y en dólares que genera la producción x de ollas por mes se determina mediante la ecuación y  10x  0.5x 2  0.001x 3  5000 donde 0  x  450. a) Grafique la ecuación. b) ¿Cuántas ollas se tienen que fabricar para empezar a generar ganancias? c) ¿Para qué valores de x la ganancia de la compañía es mayor que 15 000 dólares? 59. ¿Qué tan lejos puede ver? Si se pone de pie en un barco que va por mar calmo, entonces su estatura x en pies por arriba del nivel del mar se relaciona con la distancia más lejana y en millas que alcanza a ver mediante la ecuación 2 x b B 5280 a) Grafique la ecuación para 0  x  100. b) ¿Qué tan alto tiene que estar usted para ser capaz de alcanzar a ver 10 millas? y 1.5x  a x and y y x x4 en la misma pantalla, de modo que introduce la información siguiente en su calculadora: Y1  X^1/3 Y2  X/X  4 La calculadora grafica dos rectas en lugar de las ecuaciones que el estudiante quería. ¿Qué estuvo mal hecho? 62. Métodos de solución algebraico y gráfico Escriba un breve ensayo para comparar los métodos algebraico y gráfico en la resolución de ecuaciones. Plantee sus propios ejemplos para ilustrar las ventajas y desventajas de cada método. 63. ¿Cuántas soluciones? milia de ecuaciones Este ejercicio trata sobre la fa- x 3  3x  k a) Trace las gráficas de y1  x 3  3x y y2  k en el mismo rectángulo de visión, en el caso de k  4, 2, 0, 2, y 4. ¿Cuántas soluciones de la ecuación x 3  3x  k hay en cada caso? Calcule las soluciones correctas con dos cifras decimales b) ¿Para qué valores de k la ecuación tiene una solución? ¿Dos soluciones? ¿Tres soluciones? SECCIÓN 1.10 Rectas 1.10 111 Rectas En esta sección determinamos ecuaciones para rectas que están en un plano coordenado. Las ecuaciones dependen de la inclinación de la recta, de modo que empezamos por analizar el concepto de pendiente. La pendiente de una recta Primero necesitamos un modo de medir la “inclinación” de una recta, o qué tan rápido se levanta o desciende cuando nos desplazamos desde la izquierda hacia la derecha. Definimos desplazamiento horizontal como la distancia que nos movemos a la derecha y desplazamiento vertical como la distancia correspondiente que la recta sube o cae. La pendiente de una recta es la relación de desplazamiento horizontal a desplazamiento vertical: desplazamiento vertical desplazamiento horizontal pendiente  En la figura 1 se muestran situaciones donde la pendiente es importante. Los carpinteros utilizan el término declive para dar a entender la pendiente de un techo o de una rampa; el término rasante se utiliza para la pendiente de una carretera. 1 8 3 1 100 12 Declive de una rampa Declive de un techo 1 Pendiente= 12 Rasante de una carretera 1 Pendiente= 3 8 Pendiente= 100 Figura 1 Si una recta está en un plano coordenado, entonces el desplazamiento horizontal es el cambio en la coordenada x y el desplazamiento vertical es el cambio correspondiente en la coordenada y entre dos puntos cualesquiera de la recta (véase la figura. 2). Así llegamos a la siguiente definición de pendiente. y y 2 2 Desplazamiento vertical: cambio en la coordenada y (positivo) 1 Desplazamiento vertical: cambio en la coordenada y (negativo) 1 0 x Figura 2 Desplazamiento horizontal 0 x Desplazamiento horizontal 112 CAPÍTULO 1 Fundamentos Pendiente de una recta La pendiente m de una recta que no es vertical y que pasa por los puntos A1x1, y1 2 y B1x2, y2 2 es m desplazamiento vertical  desplazamiento horizontal y2  y1 x2  x1 La pendiente de una recta vertical no está definida. René Descartes (1596-1650) nació en la ciudad de La Haye en el sur de Francia. Desde temprana edad, a Descartes le gustaron las matemáticas debido a “la certeza de sus resultados y a la claridad de su razonamiento”. Él opinaba que con el fin de llegar a la verdad uno debía empezar por dudar de todo, incluso de la propia existencia de uno mismo. Esto le llevó a formular quizá la frase más conocida de toda la filosofía: “Pienso, luego existo”. En su libro Discurso del método describió lo que ahora conocemos como plano cartesiano. Esta idea de combinar el álgebra y la geometría permitió que los matemáticos “vieran” por primera vez las ecuaciones que estudiaban. El filósofo John Stuart Mill llamó a su invención “el paso más grande jamás dado en el avance de las ciencias exactas”. A Descartes le gustaba levantarse tarde y pasar la mañana en la cama pensando y escribiendo. Inventó el plano coordenado mientras yacía en la cama observando el recorrido errático de una mosca en el techo, y razonando que podría describir la posición exacta de la mosca si supiera su distancia a dos muros perpendiculares. En 1649, Descartes se volvió tutor de la reina Cristina de Suecia. A ella le gustaba tomar sus lecciones a las 5 de la mañana, hora en que, según ella, su mente estaba más despierta. Pero el cambio en los hábitos de Descartes y la biblioteca fría como el hielo donde estudiaban fueron demasiado para él. En febrero de 1650, justo dos meses después, enfermó de neumonía y murió La pendiente es independiente de los puntos que se escogen en la recta. Podemos observar que esto es verdadero a partir de los triángulos y2œ  y1œ y2  y1  œ x2  x1 x2  x1œ y B(x¤, y¤) y¤-y⁄ (Desplazamiento vertical) A(x⁄, y⁄) B(x'¤, y'¤) y'¤-y'⁄ A'(x'⁄, y'⁄) x¤-x⁄ (Desplazamiento horizontal) x'¤-x'⁄ 0 x Figura 3 En la figura 4 se muestran varias rectas con sus pendientes marcadas. Observe que las rectas con pendiente positiva están hacia arriba a la derecha, y las de pendiente negativa están hacia abajo y a la derecha. Las rectas con mayor pendiente son aquellas cuyo valor absoluto de la pendiente es más grande; una recta horizontal tiene pendiente cero. y m=5 m=2 m=1 1 m= 2 m=0 1 m=_ 2 0 x m=_5 m=_2 m=_1 Figura 4 Rectas de varias pendientes SECCIÓN 1.10 Rectas Ejemplo 1 y Q(8, 5) 113 Determinación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos P12, 12 y Q18, 52 . Solución Puesto que dos puntos cualesquiera determinan una recta, sólo una recta pasa por esos dos puntos. De acuerdo con la definición, la pendiente es P ( 2, 1) m x y2  y1 51 4 2    x2  x1 82 6 3 Esto quiere decir que por cada 3 unidades que nos movamos hacia la derecha, el desplazamiento vertical es de 2 unidades. La recta se ilustra en la figura 5. Figura 5 ■ Ecuaciones de rectas y Determinemos la ecuación de la recta que pasa por un punto dado P1x 1, y1 2 y tiene pendiente m. Un punto P1x, y2 con x  x1 queda en esta recta si y sólo si la pendiente de la recta que pasa por P1 y P es igual a m (véase la figura 6), es decir P (x, y) P⁄(x⁄, y⁄) Desplazamiento horizontal x – x1 0 y  y1 m x  x1 Desplazamiento vertical y – y1 x Esta ecuación se puede volver a escribir en la forma y  y1  m1x  x1 2 ; observe que la ecuación también se cumple cuando x  x1 y y  y1. Por lo tanto, es una ecuación de la recta dada. Forma de la ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada Figura 6 Una ecuación de la recta que pasa por el punto 1x1, y1 2 y tiene pendiente m es y  y1  m1x  x1 2 Ejemplo 2 Determinación de la ecuación de una recta mediante un punto y la pendiente a) Encuentre una ecuación de la recta que pasa por 11, 32 y su pendiente es  12. b) Grafique la recta. Solución a) Aplicando la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada con m  12, x1  1 y y1  3, obtenemos una ecuación de la recta y 1 0 Figura 7 3 x Desplazamiento horizontal = 2 Desplazamiento vertical = –1 (1, _3) y  3  12 1x  12 2y  6  x  1 x  2y  5  0 Según la ecuación dados un punto y la pendiente Multiplicación por 2 Reacomodo de términos b) El hecho de que la pendiente es 12 indica que cuando nos desplazamos a la derecha 2 unidades, la recta cae una unidad. Esto posibilita que dibujemos la recta de la figura 7. ■ 114 CAPÍTULO 1 Fundamentos Ejemplo 3 Determinación de la ecuación de una recta por medio de dos puntos dados Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos 11, 22 y 13, 42 . Solución La pendiente de la recta es 4  2 6 3   3  112 4 2 Al aplicar la ecuación de una recta que pasa por un punto y conocemos la pendiente con x1  1 y y1  2, tenemos m Podemos utilizar cualquier punto, 11, 22 o bien 13, 4 2 , en la ecuación donde se da un punto y la pendiente. Llegaremos a la misma respuesta final. y  2  32 1x  12 Según la ecuación de punto y pendiente dados 2y  4  3x  3 Multiplicación por 2 3x  2y  1  0 Reacomodo de los términos ■ Suponga una recta no vertical que tiene una pendiente m y una ordenada al origen b (véase la figura 8). Esto significa que la recta corta al eje de las y en el punto (0, b), de modo que la ecuación cuando se da un punto y la pendiente para la ecuación de la recta, con x  0 y y  b, se vuelve y (0, b) y  b  m1x  02 y=mx+b 0 Se simplifica a y  mx  b, que se conoce como ecuación de la recta dada la pendiente y la ordenada en el origen. x Ecuación de una recta dadas la pendiente y la ordenada en el origen Figura 8 Una ecuación de la recta que tiene una pendiente m y cuya ordenada en el origen es b es y  mx  b Ejemplo 4 Ecuación de rectas dadas la pendiente y la ordenada en el origen a) Calcular la ecuación de la recta con pendiente 3 y ordenada en el origen igual a 2. b) Encontrar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3y  2x 1. Solución a) Puesto que m  3 y b  2, de acuerdo con la ecuación de una recta dadas la pendiente y la ordenada al origen tenemos Pendiente Ordenada en el origen y y  23 x  13 y  3x  2 b) Primero escribimos la ecuación en la forma de y  mx  b: 3y  2x  1 3y  2x  1 y 2 3x  1 3 Suma de 2x División entre 3 Según la ecuación de la recta dadas la pendiente y la ordenada al origen, vemos que la pendiente es m  23 y la ordenada es b  13. ■ SECCIÓN 1.10 Rectas y Si la recta es horizontal, su pendiente es m  0, de modo que su ecuación es y  b, donde b es la ordenada en el origen (véase la figura 9). Una vertical no tiene una pendiente, pero podemos expresar su ecuación como x  a, donde a es la intersección con el eje x porque la coordenada x de cada uno de los puntos sobre la recta es a. (a, b) y=b b x=a 0 a Rectas verticales y horizontales x Una ecuación de la vertical que pasa por 1a, b2 es x  a. Una ecuación de la horizontal que pasa por 1a, b2 es y  b. Figura 9 y Ejemplo 5 x=3 2 _2 115 0 2 4 x Rectas verticales y horizontales a) La gráfica de la ecuación x  3 es una vertical cuya intersección con el eje x es 3 b) La gráfica de la ecuación y  2 es una horizontal cuya intersección con el eje y es una horizontal cuya intersección con el eje y es 2. Las rectas se grafican en la figura 10. ■ Una ecuación lineal es una ecuación de la forma y=_2 Ax  By  C  0 Figura 10 donde A, B y C son constantes y A y B no son simultáneamente iguales a cero. La ecuación de una recta es una ecuación lineal: ■ ■ Una recta no vertical tiene por ecuación y  mx  b o bien mx  y  b  0, la cual es una ecuación lineal con A  m, B  1 y C  b. Una recta vertical tiene por ecuación x  a o bien, x  a  0, que es una ecuación lineal con A  1, B  0 y C  a. Por lo contrario, la gráfica de una ecuación lineal es una recta: ■ ■ Si B  0, la ecuación se transforma en A C y x B B y ésta es la forma de la ecuación de una recta dadas la pendiente y la ordenada en el origen (con m  A/B y b  C/B). Si B  0, la ecuación se vuelve Ax  C  0 o bien x  C/A, la cual representa una línea vertical. Hemos demostrado lo siguiente. Ecuación general de la recta La gráfica de toda ecuación lineal Ax  By  C  0 (A, B no son simultáneamente cero) es una recta. En caso contrario, cada recta es la gráfica de una ecuación lineal. 116 CAPÍTULO 1 Fundamentos y Ejemplo 6 Trace la gráfica de la ecuación 2x  3y  12  0. 2x-3y-12=0 1 0 1 x (6, 0) (0, _4) Figura 11 y 2x-3y-12=0 1 0 x 1 Solución 1 Puesto que la ecuación es lineal, su gráfica es una recta. Para dibujar la gráfica es suficiente encontrar dos puntos cualesquiera sobre la recta. Las intersecciones con los ejes son los puntos más fáciles de determinar. Intersección con el eje x: sustituya y  0 para obtener 2x  12  0, de modo que x = 6 Intersección con el eje y: sustituya x  0 para obtener 3y  12  0, de modo que y  4 Con estos puntos podemos trazar la gráfica en la figura 11. Solución 2 Expresamos la ecuación en la forma de pendiente y ordenada en el origen dadas 2x  3y  12  0 2x  3y  12 Suma de 12 3y  2x  12 Resta de 2x y  23 x  4 División entre 3 Esta ecuación está en la forma de y  mx  b, de modo que la pendiente es m  23 y la ordenada al origen es b  4. Para graficar, localizamos la intersección con el eje y y luego nos desplazamos 3 unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba como se muestra en la figura 12. ■ 2 (0, _4) Gráfica de una ecuación lineal 3 Rectas paralelas y rectas perpendiculares Figura 12 Puesto que la pendiente mide la inclinación de una recta, es razonable que las rectas paralelas tengan la misma pendiente. De hecho, podemos demostrarlo. Rectas paralelas Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. ■ Demostración Sean las rectas l1 y l2 de la figura 13 que tienen pendientes m1 y m2. Si las rectas son paralelas, entonces los triángulos rectángulos ABC y DEF son semejantes, de modo que d1E, F2 d1B, C2   m2 m1  d1A, C2 d1D, F2 l¤ y E Y al contrario, si las pendientes son iguales, entonces los triángulos son semejantes, ■ por lo que ⬔BAC ⬔EDF y las rectas son paralelas. l⁄ D F A B Ejemplo 7 C x Figura 13 Determinación de la ecuación de una recta paralela a una recta dada Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 2) que es paralela a la recta 4x  6y  5  0. Solución Primero escribimos la ecuación de la recta dada en la forma de pendiente y ordenada en el origen. 4x  6y  5  0 6y  4x  5 y  23 x  56 Resta de 4x  5 División entre 6 SECCIÓN 1.10 Rectas 117 Por lo que la recta tiene la pendiente m   23. Como la recta requerida es paralela a la recta dada, tiene también la pendiente m   23. De acuerdo con la ecuación de una recta que pasa por un punto y se conoce su pendiente obtenemos y  2  23 1x  52 3y  6  2x  10 2x  3y  16  0 Pendiente m  32 , pendiente 15, 22 Multiplicación por 3 Reacomodo de los términos Por lo tanto, la ecuación de la recta requerida es 2x  3y  16  0. ■ La condición para rectas perpendiculares no es tan obvia como con las rectas paralelas. Rectas perpendiculares Dos rectas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y sólo si m1m2  1, es decir, sus pendientes recíprocas y de signo contrario: 1 m2   m1 Asimismo, una recta horizontal (pendiente 0) es perpendicular a la recta vertical (pendiente indefinida). ■ y l⁄ l¤ A(1, m⁄) x O Demostración En la figura 14 se ilustran dos rectas que se cortan en el origen. (Si las rectas se cortan en algún otro punto, consideramos rectas paralelas a éstas que se cortan en el origen. Estas rectas tienen las mismas pendientes que las rectas originales.) Si las rectas l1 y l2 tienen pendientes m1 y m2, entonces sus ecuaciones son y  m1x y y  m2x. Observe que A11, m 1 2 queda sobre l1 y B11, m 2 2 queda sobre l2. Según el teorema de Pitágoras y su inverso (véase pág. 54), OA ⬜ OB si y sólo si 3d1O, A2 4 2  3d1O, B2 4 2  3d1A, B 2 4 2 De acuerdo con la fórmula de la distancia, esto se transforma en 112  m 21 2  112  m 22 2  11  12 2  1m 2  m 1 2 2 B(1, m¤) 2  m 21  m 22  m 22  2m 1m 2  m 21 Figura 14 2  2m 1m 2 m 1m 2  1 y Q 17 Ejemplo 8 Rectas perpendiculares Demuestre que los puntos P13, 32, Q18, 172 y R111, 52 son los vértices de un triángulo rectángulo. 5 3 0 Solución Las pendientes de las rectas que contienen a PR y QR son respectivamente, 53 5  17 1 m1  and m2    4 y 11  3 4 11  8 R P 3 Figura 15 8 11 x Puesto que m1 y m2  1, estas rectas son perpendiculares y, entonces PQR es un triángulo rectángulo. La gráfica se ilustra en la figura 15. ■ 118 CAPÍTULO 1 Fundamentos Ejemplo 9 Determinación de la ecuación de una recta perpendicular a una recta dada Determinar una ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 4x  6y  5  0 y que pasa por el origen. Solución En el ejemplo 7 encontramos que la pendiente de la recta 4x  6y  5  0 es  23. Por consiguiente, la pendiente de una perpendicular es la pendiente recíproca y de signo negativo, es decir, 32 . Puesto que la recta requerida pasa por (0, 0), la ecuación de la recta cuando se conoce un punto y la pendiente es y  0  32 1x  02 y  32 x 6 Ejemplo 10 _6 6 ■ Trazo de una familia de rectas Utilice la calculadora para elaborar gráficas con el fin de trazar la familia de rectas y  0.5x  b Solución Las rectas se grafican en la figura 16 en el rectángulo de visión 36, 64 por 36, 64 . Todas las rectas tienen la misma pendiente, de modo que son paralelas. ■ Aplicaciones: pendiente como razón de cambio Cuando una recta se utiliza como modelo de la relación entre dos cantidades, la pendiente de la recta es la razón de cambio de una cantidad con respecto a la otra. Por ejemplo, la gráfica de la figura 17 (a) da la cantidad de gas de un tanque que se está llenando. La pendiente entre los puntos indicados es m 6 galones  2 galones por minuto 2 minutos La pendiente es la razón a la cual el tanque se está llenando, 2 galones por minuto. En la figura 17(b), el tanque se está vaciando a la razón de 0.03 galones por minuto y la pendiente es 0.03. y 18 15 12 9 6 galones 6 3 min 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Tiempo (min) a) Tanque que se llena a razón de 2 galones por minuto. La pendiente de la recta es 2 Figura 17 Volumen de gas (galones) Figura 16 y  0.5x  b para b  2, 1, 0, 1, 2. ¿Qué propiedad comparten las rectas? Volumen de gas (galones) _6 y 18 15 12 9 −3 galones 100 min 6 3 0 20 100 Tiempo (min) 200 x b) Tanque que se vacía a razón de 0.03 galones por minuto. La pendiente de la recta es −0.03 SECCIÓN 1.10 Rectas 119 Los dos ejemplos siguientes representan otras situaciones donde la pendiente de una recta es una razón de cambio. Ejemplo 11 Pendiente como razón de cambio Una presa está construida sobre un río para tener un embalse. El nivel del agua „ en el embalse está dado por la ecuación „  4.5t  28 donde t es la cantidad de años desde que la presa se construyó y „ se mide en pies. a) Trace una gráfica de esta ecuación. b) ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje „ de esta gráfica? Solución a) Esta ecuación es lineal, de modo que su gráfica es lineal, es una recta. Como dos puntos definen una recta, localizamos dos puntos que quedan sobre la gráfica y dibujamos una recta que los una. Cuando t  0, entonces „  4.5(0)  28  28, por lo que (0, 28) está sobre la recta. Cuando t  2, entonces „  4.5(2)  28  37, por lo que (2, 37) está sobre la recta. La recta definida por estos puntos se muestra en la figura 18. „ „=4.5t+28 10 La temperatura desciende con la altitud Figura 18 0 1 t b) La pendiente es m  4.5; representa la tasa de cambio del nivel del agua con respecto al tiempo. Esto quiere decir que el nivel del agua se incrementa 4.5 pies por año. La intersección con el eje „ es 28 y ocurre cuando t  0, de modo que representa el nivel del agua cuando la presa fue construida. Ejemplo 12 ■ Relación lineal entre temperatura y altitud a) A medida que el aire seco asciende, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es de 20°C y la temperatura a una altura de 1 km es 10°C, exprese la temperatura T (en °C) en términos de la altura h (en kilómetros). (Suponga que la relación entre T y h es lineal.) b) Dibuje la gráfica de la ecuación lineal. ¿Qué representa la pendiente? c) ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 km? Solución a) Como estamos suponiendo una relación lineal entre T y h, la ecuación debe tener la forma T  mh  b 120 CAPÍTULO 1 Fundamentos donde m y b son constantes. Cuando h  0, sabemos que T  20, por lo que 20  m102  b b  20 Por lo tanto, tenemos T  mh  20 Cuando h  1, tenemos que T  10 y entonces 10  m112  20 m  10  20  10 T 20 10 0 La expresión requerida es T  10h  20 T=_10h+20 1 b) La gráfica se ilustra en la figura 19. La pendiente es m  10C/km, que representa la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia por arriba del suelo. De este modo, la temperatura desciende 10°C por kilómetro de altura. c) A una altura de h  2.5 km, la temperatura es h 3 T  1012.52  20  25  20  5°C Figura 19 1.10 ■ Ejercicios 1–8 ■ Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q. 1. P10, 0 2 , Q14, 2 2 2. P10, 0 2 , Q12, 6 2 3. P12, 2 2 , Q110, 0 2 4. P11, 2 2 , Q13, 3 2 5. P12, 4 2 , Q14, 3 2 6. P12, 52 , Q14, 3 2 7. P11, 32 , Q11, 6 2 8. P11, 4 2 , Q16, 0 2 10. a) Grafique las rectas que pasan por (0, 0) con pendientes 1, 0, 12 , 2 y 1. b) Grafique las rectas que pasan por (0, 0) con pendientes 1 1 1 3 , 2 ,  3 y 3. 11–14 ■ Determine una ecuación para la recta cuya gráfica se proporciona. 11. y 3 9. Calcule las pendientes de las rectas l1, l2, l3 y l4 en la figura que sigue. 3 1 0 y 5 x _3 0 2 x 0 _2 y 1 x y 14. l‹ 1 l› 3 l¤ 13. _2 1 _2 l⁄ y 12. 1 1 2 x 0 _3 1 3 x _4 0 _3 SECCIÓN 1.10 Rectas 121 15–34 ■ Calcule una ecuación de la recta que cumpla las condiciones dadas. 41–52 ■ Determine la pendiente y la ordenada al origen de la recta y trace la gráfica. 15. Pasa por 12, 32 ; pendiente 1 41. x  y  3 42. 3x  2y  12 43. x  3y  0 44. 2x  5y  0 17. Pasa por 11, 72 ; pendiente 23 45. 12 x  13 y  1  0 46. 3x  5y  30  0 47. y  4 48. 4y  8  0 49. 3x  4y  12 50. x  5 51. 3x  4y  1  0 52. 4x  5y  10 16. Pasa por 12, 4 2 ; pendiente 1 18. Pasa por 13, 5 2 ; pendiente  72 19. Pasa por 12, 12 y 11, 6 2 20. Pasa por 11, 2 2 y 14, 3 2 21. Pendiente 3; ordenada al origen y 2 22. Pendiente 25 ; ordenada al origen y 4 23. Intersección con el eje x 1; ordenada al origen y 3 24. Intersección con el eje x 8; ordenada al origen y 6 25. Pasa por 14, 52 ; paralela al eje x 26. Pasa por 14, 52 ; paralela al eje y 27. Pasa por 11, 6 2 ; paralela a la recta x  2y  6 28. Ordenada al origen 6; paralela a la recta 2x  3y  4  0 29. Pasa por 11, 2 2 ; paralela a la recta x  5 30. Pasa por 12, 62 ; perpendicular a la recta y  1 31. Pasa por 11, 2 2 ; perpendicular a la recta 2x  5y  8  0 32. Pasa por A 12,  23 B ; perpendicular a la recta 4x  8y  1 33. Pasa por 11, 72 ; paralela a la recta que pasa por 12, 52 y 12, 1 2 34. Pasa por 12, 11 2 ; perpendicular a la recta que pasa por 11, 1 2 y 15, 12 35. a) Grafique la recta con pendiente 32 que pasa por el punto 12, 1 2 . b) Determine una ecuación para esta recta. 36. a) Grafique la recta con pendiente 2 que pasa por el punto 14, 12 . b) Encuentre la ecuación de esta recta. 53. Utilice las pendientes para demostrar que A11, 12 , B17, 42 , C15, 102 y D11, 72 son vértices de un paralelogramo. 54. Utilice las pendientes para demostrar que A13, 12 , B13, 32 y C19, 82 son vértices de un triángulo rectángulo. 55. Utilice las pendientes para demostrar que A11, 12 , B111, 32 , C110, 82 y D10, 62 son vértices de un rectángulo. 56. Utilice las pendientes para determinar si los puntos dados son colineales, es decir, están sobre la misma recta. a) 11, 12 , 13, 92 , 16, 212 b) 11, 32 , 11, 72 , 14, 152 57. Determine una ecuación de la bisectriz perpendicular a la recta que une los puntos A11, 42 y B17, 22 . 58. Calcule el área del triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta 2y  3x  6  0 59. a) Demuestre que si las intersecciones con los ejes x y y de una recta son números no cero a y b, entonces la ecuación de la recta se puede expresar de la forma y x  1 a b Esta forma se denomina ecuación simétrica de la recta. b) Utilice el inciso a) para determinar una ecuación de la recta cuya intersección con el eje x sea 6 y cuya ordenada al origen sea 8. 60. a) Calcule una ecuación para la tangente a la circunferencia x 2  y 2  25 en el punto 13, 42 . (Véase la figura.) b) ¿En qué otro punto de la circunferencia una tangente será paralela a la tangente del inciso a)? y 37–40 ■ Utilice una calculadora o una computadora para graficar y trace la familia de rectas en el mismo rectángulo de visión. ¿Qué tienen las rectas en común? 37. y  2x  b por b  0, 1, 3, 6 0 x 38. y  mx  3 por m  0, 0.25, 0.75, 1.5 39. y  m1x  3 2 por m  0, 0.25, 0.75, 1.5 40. y  2  m1x  3 2 por m  0, 0.5, 1, 2, 6 (3, _4) 122 CAPÍTULO 1 Fundamentos Aplicaciones 61. Rasante de una carretera Al oeste de Albuquerque, Nuevo México, la carretera 40 con rumbo al este es recta y tiene una fuerte pendiente hacia la ciudad. La carretera tiene una rasante del 6%, lo cual quiere decir que su pendiente es 6 . Al manejar por esta carretera usted puede ver por los  100 señalamientos que ha bajado 1000 pies. ¿Cuál es el cambio en la distancia horizontal? Pendiente del 6% b) ¿Qué representan la pendiente y la ordenada en el origen de la gráfica? 66. Escalas de temperatura La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y Celsius (C ) se expresa mediante la ecuación F  95 C  32. a) Complete la tabla para comparar las dos escalas en los valores dados. b) Determine la temperatura a la cual las dos temperaturas concuerdan. [Sugerencia: suponga que a es la temperatura a la cual las escalas concuerdan. Haga F  a y C  a. Luego determine a.] 6% GRAD E C 1000 pies 62. Advertencia mundial Algunos científicos opinan que la temperatura superficial promedio del mundo está aumentando en forma constante. La temperatura superficial promedio se expresa mediante T  0.02t  8.50 donde T es la temperatura en °C y t es años desde 1900. a) ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje T? b) Utilice la ecuación para predecir la temperatura superficial promedio del mundo en 2100. 63. Dosis de medicamentos Si la dosis de un medicamento que se recomienda para un adulto es D en mg, entonces para determinar la dosis aceptable c para un niño de edad a, los farmacéuticos usan la ecuación c  0.0417D1a  1 2 Suponga que la dosis para un adulto es de 200 mg. a) Determine la pendiente. ¿Qué representa? b) ¿Cuál es la dosis para un recién nacido? 64. Mercado de pulgas La administradora de un mercado de pulgas de fin de semana sabe por experiencias anteriores que si cobra x dólares por un espacio en renta en el mercado, entonces el número y de espacios que puede rentar se representan mediante la ecuación y  200  4x. a) Trace una gráfica de esta ecuación lineal. (Recuerde que el costo de la renta por el espacio y la cantidad de espacios rentados deben ser cantidades no negativas.) b) ¿Qué representan la pendiente, la intersección con el eje y y la intersección con el eje x? 65. Costos de producción Un pequeño fabricante de electrodomésticos observa que si produce x tostadores en un mes su costo de producción está representado por la ecuación y  6x  3000 donde y se mide en dólares. a) Trace una gráfica de su ecuación lineal. F 30 20 10 0 50 68 86 67. Grillos y temperatura Los biólogos han observado que la tasa de chirridos de los grillos de ciertas especies se relaciona con la temperatura, y la relación parece ser casi lineal. Un grillo produce 120 chirridos por minuto a 70°F y 168 chirridos por minuto a 80°F. a) Encuentre la ecuación lineal que relaciona la temperatura t con la cantidad de chirridos por minuto n. b) Si los grillos están chirriando a 150 chirridos por minuto, estime la temperatura. 68. Depreciación Una pequeña empresa compra una computadora en 4000 dólares. Después de cuatro años, el valor esperado de la computadora será de 200 dólares. Para cuestiones de contabilidad, la empresa aplica la depreciación lineal para evaluar el valor de la computadora en un tiempo dado. Esto significa que si V es el valor de la computadora en el tiempo t, entonces se usa una ecuación lineal para relacionar V y t. a) Determine una ecuación lineal que relacione V y t. b) Grafique la ecuación lineal. c) ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje V de la gráfica? d) Calcule el valor depreciado de la computadora tres años después de la fecha de la compra. 69. Presión y profundidad En la superficie del mar, la presión del agua es la misma que la presión del aire por arriba del agua, 15 lb/pulg2. Abajo de la superficie, la presión del agua aumenta 4.34 lb/pulg2 por cada 10 pies que se descienden. a) Determine una ecuación para la relación entre presión y profundidad abajo de la superficie del mar. b) Trace una gráfica de esta ecuación lineal. c) ¿Qué representan la pendiente y la ordenada en el origen de la gráfica? SECCION 1.11 Modelado de la variación d) ¿A qué profundidad se tiene una presión de 100 lb/pulg2? La presión del agua aumenta al incrementarse la profundidad 72. Costos de producción El gerente de una fábrica de muebles observa que cuesta 2200 dólares manufacturar 100 sillas en un día y 4800 dólares producir 300 sillas en un día. 71. Costos por manejar un automóvil El costo mensual de manejar un automóvil depende de la cantidad de millas recorridas. Lynn observa que, en mayo, el costo de manejo fue de 380 dólares por 480 millas y que en junio el costo fue de 460 dólares por 800 millas. Suponga que hay una rela- Los modelos matemáticos se estudian con mayores detalles en Enfoque en el modelado, que inicia en la página 239. ción lineal entre el costo mensual C por manejar un automóvil y la distancia recorrida d. a) Calcule una ecuación lineal que relacione C y d. b) Use el inciso a) para predecir el costo por manejar 1500 millas al mes. c) Trace la gráfica de la ecuación lineal. ¿Qué representa la pendiente de la recta? d) ¿Qué representa la ordenada en el origen de la gráfica? e) ¿Por qué una relación lineal es un modelo adecuado en el caso de esta situación? 70. Distancia, velocidad y tiempo Jason y Debbie salen en automóvil de Detroit a las 2:00 PM y manejan a una velocidad constante viajando hacia el oeste sobre la I-90. Dejan atrás Ann Arbor, a 40 millas de Detroit, a las 2:50 PM. a) Exprese la distancia recorrida en términos del tiempo transcurrido. b) Trace la gráfica de la ecuación del inciso a). c) ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Qué representa? 1.11 123 a) Si se supone que la relación entre costo y número de sillas fabricadas es lineal, encuentre una ecuación que exprese esta relación. Luego grafique la ecuación. b) ¿Cuál es la pendiente de la recta del inciso a), y qué representa? c) ¿Cuál es la ordenada al origen de esta recta y qué representa? Descubrimiento • Debate 73. ¿Qué significa la pendiente? Suponga que la gráfica de la temperatura en el exterior en un cierto periodo es una recta. ¿Qué tanto está cambiando el tiempo si la pendiente de la recta es positiva? ¿Y si es negativa? ¿Y si es cero? 74. Puntos colineales Suponga que le dan las coordenadas de tres puntos en el plano, y que quiere ver si quedan en la misma recta. ¿Cómo lo puede hacer usando las pendientes? ¿Y aplicando la fórmula de la distancia? ¿Puede imaginar otro método? Modelos de variación Cuando los científicos hablan acerca de un modelo matemático para un fenómeno del mundo cotidiano con frecuencia se refieren a una ecuación que describe la relación entre dos cantidades. Por ejemplo, el modelo podría describir cómo la población de especies animales varía con el tiempo o cómo la presión de un gas varía a medida que cambia la temperatura. En esta sección se estudia la clase de modelado llamado variación. Variación directa Dos tipos de modelos matemáticos se presentan con tanta frecuencia que tienen nombres especiales. El primero se llama variación directa y se presenta cuando una cantidad es un múltiplo constante del otro, de modo que usamos una ecuación de la forma y  kx para modelar esta dependencia. 124 CAPÍTULO 1 Fundamentos Variación directa Si las cantidades x y y están relacionadas mediante una ecuación y  kx y para alguna constante k  0, decimos que y varía directamente con x, o y es directamente proporcional a x, o simplemente y es proporcional a x. La constante k se llama constante de proporcionalidad. y=kx (k>0) k 0 Recuerde que la gráfica de una ecuación de la forma y  mx  b es una recta cuya pendiente es m y la ordenada al origen es b. Entonces, la gráfica de una ecuación y  kx que describe la variación directa es una recta con pendiente k y ordenada al origen 0 (véase la figura 1). x 1 Figura 1 Ejemplo 1 Variación directa Durante una tormenta de rayos usted ve el rayo antes de escuchar el trueno porque la luz viaja mucho más rápido que el sonido. La distancia entre usted y la tormenta varía directamente con el intervalo que transcurre entre el rayo y el trueno. a) Suponga que el trueno de una tormenta a 5400 pies de lejanía tarda 5 s para llegar hasta usted. Determine la constante de proporcionalidad y plantee la ecuación de la variación. b) Grafique la ecuación. ¿Qué representa la constante de proporcionalidad? c) Si el intervalo entre el rayo y el trueno es ahora de 8 s, ¿qué tan lejos está la tormenta? Solución a) Sea d la distancia desde donde está usted hasta la tormenta y sea t el tiempo transcurrido. Sabemos que d varía directamente con t, de modo que d  kt donde k es una constante. Para determinar k, usamos el hecho de que t  5 y d  5400. Al sustituir estos valores en la ecuación obtenemos 5400  k152 k d Sustitución 5400  1080 5 Determinación de k 6000 d=1080t 4000 d  1080t 2000 0 Figura 2 Al sustituir este valor de k en la ecuación para d, obtenemos 2 4 6 8 t cuando la ecuación de d está en función de t. b) La gráfica de la ecuación d  1080t es una recta que pasa por el origen con pendiente 1080, y se muestra en la figura 2. La constante k  1080 es la velocidad aproximada del sonido en pies/segundo. SECCIÓN 1.11 Modelado de la variación c) Cuando t  8, tenemos 125 d  1080 # 8  8640 Entonces, la tormenta está a 8640 pies, casi 1.6 millas. ■ Variación inversa Otra ecuación que con frecuencia se utiliza en el modelado matemático es y  k/x, donde k es una constante. Variación inversa y Si las cantidades x y y se relacionan mediante la ecuación y= k x (k>0) 0 Figura 3 Variación inversa y x k x para alguna constante k  0, decimos que y es inversamente proporcional a x, o que y varía inversamente con x. La gráfica de y  k/x para x  0 se muestra en la figura 3 para el caso k  0. Esto da una imagen de lo que sucede cuando y es inversamente proporcional a x. Ejemplo 2 Variación inversa La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a una temperatura constante, la presión del gas es inversamente proporcional al volumen del gas. a) Suponga que la presión de una muestra de aire ocupa 0.106 m3 a 25 C está a 50 kPa. Determine la constante de proporcionalidad y plantee la ecuación que expresa la proporcionalidad inversa. b) Si la muestra se expande a un volumen de 0.3 m3, estime la nueva presión. Solución a) Sea P la presión de la muestra de gas y sea V su volumen. Entonces, de acuerdo con la definición de proporcionalidad inversa tenemos P k V donde k es constante. Para determinar k aplique el hecho de que P  50 cuando V  0.106. Al sustituir estos valores en la ecuación obtenemos 50  k 0.106 k  1502 10.1062  5.3 Sustitución Determinación de k 126 CAPÍTULO 1 Fundamentos Al sustituir este valor de k en la ecuación de P, tenemos P 5.3 V P 5.3  17.7 0.3 b) Cuando V  0.3, tenemos Entonces, la nueva presión es de casi 17.7 kPa. ■ Variación conjunta Con frecuencia, una cantidad física depende de otra cantidad. Si una cantidad es proporcional a dos o más cantidades, esta relación se llama variación conjunta. Variación conjunta Si las cantidades x, y y z están relacionadas mediante la ecuación z  kxy donde k es una constante no cero, decimos que z varía en forma conjunta con x y y, o que z es conjuntamente proporcional a x y y. En las ciencias, las relaciones entre tres o más variables son comunes, y es posible cualquier combinación de los diferentes tipos de proporcionalidad que hemos analizado. Por ejemplo, si zk x y decimos que z es proporcional a x y que es inversamente proporcional a y. Ejemplo 3 Ley de Newton de la gravitación La Ley de Newton de la gravitación establece que dos objetos con masas m1 y m2 se atraen entre sí con una fuerza F que es conjuntamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre los objetos. Exprese la Ley de Newton de la gravitación como una ecuación. 1.5 Solución Si aplicamos las definiciones de variación conjunta e inversa y la notación tradicional G para la constante gravitacional de proporcionalidad tenemos 0 Figura 4 1 Gráfica de F  2 r 5 FG m 1m 2 r2 ■ Si m1 y m2 son masas constantes, entonces la fuerza gravitacional entre ellas es F  C/r 2 donde C  Gm1m2 es una constante. En la figura 4 se ilustra la gráfica de esta ecuación para r  0 con C  1. Observe cómo la atracción gravitacional disminuye cuando aumenta la distancia. SECCIÓN 1.11 Modelado de la variación 1.11 1–12 ■ 127 Ejercicios Escriba una ecuación que exprese el enunciado. 1. T varía directamente con x. 2. P es directamente proporcional a „. 3. √ es directamente proporcional a z. 4. „ es proporcional conjuntamente a m y n. 5. y es proporcional a s e inversamente proporcional a t. 6. P varía inversamente a T. En este caso, la constante de proporcionalidad se denomina constante del resorte. a) Exprese la ley de Hooke en forma de una ecuación. b) Si un resorte tiene una longitud natural de 10 cm y se necesita una fuerza de 40 N para mantener el resorte estirado a una longitud de 15 cm, determine la constante del resorte. c) ¿Qué fuerza se requiere para mantener estirado el resorte a una longitud de 14 cm? 7. z es proporcional a la raíz cuadrada de y. 8. A es proporcional al cuadrado de t e inversamente proporcional al cubo de x. 9. V es conjuntamente proporcional a l, „ y h. 10. S es conjuntamente proporcional a los cuadrados de r y u. 11. R es conjuntamente proporcional a i e inversamente proporcional a P y t. 12. A es conjuntamente proporcional a las raíces cuadradas de x y de y. 0 60 5 cm 20 40 0 60 Exprese el enunciado como una ecuación. Utilice 13–22 la información dada para determinar la constante de proporcionalidad. 13. y es directamente proporcional a x. Si x  6, entonces y  42. 14. z varía inversamente a t. Si t  3, entonces z  5. 15. M varía directamente con x e inversamente a y. Si x  2 y y  6, entonces M  5. 16. S varía conjuntamente con p y q. Si p  4 y q  5, entonces S  180. 20 40 ■ 24. Ley del péndulo El periodo de un péndulo (el tiempo que transcurre durante un balanceo completo del péndulo) varía directamente con la raíz cuadrada de la longitud del péndulo. a) Exprese esta relación mediante una ecuación. b) Con el objeto de duplicar el periodo, ¿qué tanto tendríamos que modificar la longitud l? 17. W es inversamente proporcional al cuadrado de r. Si r  6, entonces W  10. 18. t es conjuntamente proporcional a x y y e inversamente proporcional a r. Si x  2, y  3 y r  12, entonces t  25. l 19. C es conjuntamente proporcional a l, „ y h. Si l  „  h  2, entonces C  128. 20. H es conjuntamente proporcional a los cuadrados de l y „. Si l  2 y „  13, entonces H  36. 21. s es inversamente proporcional al cuadrado de t. Si s  100, entonces t  25. 22. M es conjuntamente proporcional a a, b y c, e inversamente proporcional a d. Si a y d valen lo mismo, y si b y c valen 2, entonces M  128. Aplicaciones 23. Ley de Hooke La ley de Hooke establece que la fuerza necesaria para mantener un resorte estirado x unidades más allá de su longitud natural es directamente proporcional a x. 25. Costos de impresión El costo C de imprimir una revista es conjuntamente proporcional a la cantidad de páginas p de la revista y la cantidad de revistas impresas m. a) Plantee una ecuación que exprese esta variación conjunta. b) Encuentre la constante de proporcionalidad si el costo de impresión es 60000 dólares para 4000 ejemplares de la revista de 120 páginas. c) ¿De cuánto sería el costo de impresión para 5000 ejemplares de 92 páginas cada uno? 128 CAPÍTULO 1 Fundamentos 26. Ley de Boyle La presión P de una muestra de gas es directamente proporcional a la temperatura T e inversamente proporcional al volumen V. a) Escriba una ecuación que exprese esta variación. b) Determine la constante de proporcionalidad si 100 L de gas ejercen una presión de 33.2 kPa a una temperatura de 400 K (temperatura absoluta medida en la escala de Kelvin). en 240 pies. ¿Cuál es la velocidad máxima a la que se puede viajar si es necesario detenerse en 160 pies? 31. Chorro de agua La fuerza P de un chorro de agua es conjuntamente proporcional al área de la sección transversal A del chorro y al cubo de la velocidad √. Si la velocidad se duplica y el área de la sección transversal se reduce a la mitad, ¿en qué factor se incrementará la fuerza? c) Si la temperatura aumenta a 500 K y el volumen disminuye a 80 L, ¿cuál es la presión del gas? 27. Potencia de un molino de viento La potencia P que se puede obtener de un molino de viento es directamente proporcional al cubo de la velocidad del viento s. a) Plantee una ecuación que exprese esta variación. b) Determine la constante de proporcionalidad para un molino de viento que produce 96 watts de potencia cuando el viento está soplando a 20 millas/hora. c) ¿Cuánta potencia genera este molino si la velocidad del viento se incrementa a 30 millas/hora? 28. Potencia necesaria para impulsar un bote La potencia P medida en caballos de fuerza, hp, necesaria para impulsar una embarcación es directamente proporcional al cubo de la velocidad s. Se requiere un motor de 80 hp para impulsar cierto bote a 10 nudos. Encuentre la potencia necesaria para desplazar al bote a 15 nudos. 29. Intensidad del sonido La intensidad L de un sonido, medida en decibeles, dB, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d desde la fuente del sonido. Una persona a 10 pies de una podadora experimenta un nivel de sonido de 70 dB; ¿qué tan intenso es el sonido de la podadora cuando la persona está a 100 pies? 30. Distancia de frenado La distancia D para que un vehículo se detenga después que se han aplicado los frenos varía directamente con el cuadrado de la velocidad s. Un cierto automóvil que viaja a 50 millas/hora puede detenerse 32. Empuje aerodinámico El empuje L sobre el ala de un aeroplano al despegar varía conjuntamente con el cuadrado de la velocidad s del avión y el área A de sus alas. Un aeroplano con un área de alas de 500 pies cuadrados que se desplaza a 50 millas/hora experimenta un empuje de 1700 lb. ¿Qué empuje experimenta un aeroplano que tiene un área de alas de 600 pies cuadrados y que viaja a 40 millas/h? Empuje 33. Fuerza de arrastre de un bote La fuerza de arrastre F de una embarcación es conjuntamente proporcional al área de superficie mojada A del casco y al cuadrado de la velocidad s del bote. Un bote experimenta una fuerza de arrastre de 220 lb cuando se desplaza a 5 millas/h con un área de superficie mojada igual a 40 pies cuadrados. ¿Qué tan rápido debe ir una embarcación si tiene 28 pies cuadrados de superficie mojada y está experimentando una fuerza de arrastre de 175 lb? 34. Deslizamiento en curvas Un automóvil se mueve por una curva que forma un arco circular. La fuerza F necesaria para evitar que el vehículo se deslice es conjuntamente proporcional a su peso „ y al cuadrado de su velocidad s, e inversamente proporcional al radio r de la curva. a) Escriba una ecuación que exprese esta variación. b) Un automóvil que pesa 1600 lb viaja por una curva a 60 millas/h. El siguiente automóvil que pasa por esta curva pesa 2500 lb y requiere la misma fuerza que el SECCIÓN 1.11 Modelado de la variación primero para no deslizarse. ¿Qué tan rápido va el segundo vehículo? 35. Resistencia eléctrica La resistencia R de un alambre varía directamente con su longitud L e inversamente con el cuadrado de su diámetro d. a) Plantee una ecuación que exprese esta variación conjunta. b) Encuentre la constante de proporcionalidad si un alambre de 1.2 m de largo y 0.005 m de diámetro tiene una resistencia de 140 ohms. c) Determine la resistencia de un alambre hecho del mismo material que es de 3 m de largo y tiene un diámetro de 0.008 m. 36. Tercera Ley de Kepler La tercera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas establece que el cuadrado del periodo T de un planeta (el tiempo que tarda el planeta en completar una revolución alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de su distancia promedio d a partir del Sol. a) Exprese esta ley de Kepler como una ecuación. b) Determine la constante de proporcionalidad aplicando el hecho de que el periodo para nuestro planeta es de casi 365 días y la distancia promedio es de casi 93 millones de millas. c) El planeta Neptuno está a casi 2.79 109 millas del Sol. Calcule el periodo de Neptuno. 37. Energía de radiación La energía de radiación total E que emite una superficie caliente por unidad de área varía con la cuarta potencia de su temperatura absoluta T. La temperatura es 6000 K en la superficie del Sol y 300 K en la superficie de la Tierra. a) ¿Cuántas veces más se produce energía de radiación por unidad de área por el Sol que por la Tierra? b) El radio de la Tierra es de 3960 millas y el radio del Sol es de 435 000 millas. ¿Cuántas veces más emite radiación total el Sol que la Tierra? 38. Valor de un terreno El valor de un lote para construcción en la Isla Galiano es conjuntamente proporcional a su superficie y la cantidad de agua que produce un pozo en la propiedad. Un lote de 200 por 300 pies tiene un pozo que produce 10 galones de agua por minuto y vale 48 000 dólares. ¿Cuál es el valor de un lote de 400 por 400 pies si el pozo del terreno produce 4 galones de agua por minuto? 39. Cultivo de coles En la corta estación de crecimiento del territorio ártico canadiense de Nunavut, algunos jardineros 129 logran cultivar coles gigantes con el sol de medianoche. Suponga que el tamaño final de una col es proporcional a la cantidad de nutrientes que recibe e inversamente proporcional al número de otras coles que la rodean. Una col que recibe 20 onzas de nutrientes y tiene 12 coles a su alrededor llega a pesar 30 lb. ¿Qué tamaño llegará a tener si recibe 10 onzas de nutrientes y sólo tiene como vecinas otras cinco coles? 40. Calor de una fogata El calor que proporciona una fogata a un excursionista es proporcional a la cantidad de leña en el fuego, e inversamente proporcional al cubo de la distancia desde la fogata. Si el excursionista está a 20 pies del fuego y alguien duplica la cantidad de leña que se quema, ¿a qué distancia del fuego tiene que estar el excursionista de modo que sienta el mismo calor que antes? x 41. Frecuencia de vibración La frecuencia f de vibración de una cuerda de violín es inversamente proporcional a su largo L. La constante de proporcionalidad k es positiva y depende de la tensión y densidad de la cuerda. a) Plantee una ecuación que represente esta variación. b) ¿Qué efecto hay al duplicar la longitud de la cuerda en la frecuencia de su vibración? 42. Diseminación de una enfermedad La tasa r a la cual una enfermedad se extiende dentro de una población de tamaño P es conjuntamente proporcional a la cantidad x de personas infectadas y al número P  x de quienes no están infectados. Una infección brota en un pequeño pueblo cuya población es P  5000. a) Escriba una ecuación que exprese a r en función de x. b) Compare la tasa de diseminación de esta infección cuando 10 personas están infectadas con la tasa de diseminación cuando están infectadas 1000 personas. ¿Qué tasa es mayor? ¿Con qué factor? c) Calcule la tasa de diseminación cuando toda la población está infectada. ¿Por qué esta respuesta es intuitiva? Descubrimiento • Debate 43. ¿Todo es proporcionalidad? Una gran cantidad de leyes de la física y la química se expresan como proporciones. Dé por lo menos un ejemplo de una función que se encuentra en las ciencias que no sea una proporción. 130 CAPÍTULO 1 Fundamentos 1 Repaso Comprobación de conceptos 1. Defina cada término con sus propias palabras. Compruebe la respuesta refiriéndose a la definición del texto. a) Un entero c) Un número irracional b) Un número racional d) Un número real 12. ¿Cómo se resuelve una ecuación a) algebraicamente? 13. Escriba la fórmula general de cada tipo de ecuación. a) Una ecuación lineal 2. Enuncie cada una de estas propiedades de los números reales. a) Propiedad conmutativa b) Propiedad asociativa c) Propiedad distributiva b) gráficamente? b) Una ecuación cuadrática 14. ¿Cuáles son las tres maneras de resolver una ecuación cuadrática? 15. Enuncie la propiedad del producto nulo. 16. Describa el proceso de completar cuadrados. 3. ¿Qué es un intervalo abierto? ¿Qué es un intervalo cerrado? ¿Qué notación se utiliza para estos intervalos? 17. Proporcione la fórmula cuadrática. 4. ¿Qué es el valor absoluto de un número? 19. Enuncie las reglas para trabajar con desigualdades. 5. a) En la expresión a x, ¿cuál es la base y cuál es el exponente? b) ¿Qué significa a x si x  n, a un entero positivo? (c) ¿Qué significa x  0? d) ¿Qué significa x es un entero negativo: x  n, donde n es un entero positivo? e) ¿Qué significa x  m/n, es un número racional? 20. ¿Cómo resuelve f) Enuncie las leyes de los exponentes. n 6. a) ¿Qué significa 1 a  b? b) ¿Por qué es 2a 2  0 a 0 ? c) ¿Cuántas raíces n-nésimas reales tiene un número real positivo si n es impar? ¿Y si es par? 18. ¿Cuál es el discriminante de una ecuación cuadrática? a) una desigualdad lineal? b) ¿Y una desigualdad no lineal? 21. a) ¿Cómo resuelve una ecuación que contiene un valor absoluto? b) ¿Cómo resuelve una desigualdad que contiene un valor absoluto? 22. a) Describa el plano coordenado. b) ¿Cómo localiza puntos en el plano coordenado? 23. Escriba cada fórmula. a) Fórmula de la distancia b) Fórmula del punto medio 7. Explique cómo funciona el procedimiento de racionalización de un denominador. 24. Dada una ecuación, ¿qué es su gráfica? 8. Enuncie las fórmulas de los productos especiales para 1a  b 2 2, 1a  b2 2, 1a  b 2 3 y 1a  b 2 3. 25. ¿Cómo calcula las intersecciones con el eje x y con el eje y de una gráfica? 9. Enuncie cada fórmula para factorización especial. a) Diferencia de cuadrados b) Diferencia de cubos c) Suma de cubos 10. ¿Qué es la solución de una ecuación? 11. ¿Cómo se resuelve una ecuación que contiene radicales? ¿Por qué es importante comprobar las respuestas cuando se resuelven ecuaciones de este tipo? 26. Escriba una ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) y radio r. 27. Explique el significado de cada tipo de simetría. ¿Cómo la prueba? a) Simetría con respecto al eje x b) Simetría con respecto al eje y c) Simetría con respecto al origen 28. Defina la pendiente de una recta. CAPÍTULO 1 Repaso 29. Escriba cada forma de la ecuación de una recta. a) Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada b) Ecuación de la recta dadas su pendiente y su ordenada en el origen 131 32. Sean dos rectas con pendientes m1 y m2, explique cómo puede decir si las rectas son a) paralelas b) perpendiculares 33. Escriba una ecuación que exprese cada relación. 30. a) ¿Cuál es la ecuación de una recta vertical? b) ¿Cuál es la ecuación de una recta horizontal? a) y es directamente proporcional a x. b) y es inversamente proporcional a x. c) z es conjuntamente proporcional a x y y. 31. ¿Cuál es la ecuación general de una recta? Ejercicios 1–4 ■ Establezca la propiedad de los números reales que se aplicó. 27. 2. 1a  b2 1a  b 2  1a  b 2 1a  b 2 b 1/2 8r s 2r 2s 4 30. Escriba el número 2.08 común. 4. 1A  1 2 1x  y 2  1A  1 2x  1A  12 y 5–6 ■ Exprese el intervalo en términos de desigualdades y grafique luego el intervalo. 6. 1q, 4 4 7–8 ■ Exprese la desigualdad en la notación de intervalos y grafique después el intervalo correspondiente. 8. 1  x  5 5 y 3 9–18 Evalúe las expresiones. 9. @ 3  0 9 0 @ 28. a x 2 y 3 b 1/2 2 3 2 2 x y ab c b 2a 3b 4 a x 3y y b 1/2 10. 1  @ 1  0 1 0 @ 108 en la notación decimal 32. Si su corazón late 80 veces por minuto y llega a vivir 90 años de edad, estime las veces que su corazón late durante toda su vida. Escriba la respuesta en notación científica. 33–48 ■ Factorice la expresión totalmente. 33. 12x y  3xy 5  9x 3y 2 34. x 2  9x  18 35. x 2  3x  10 36. 6x 2  x  12 37. 4t 2  13t  12 38. x 4  2x 2  1 11. 23  32 12. 2125 39. 25  16t 2 40. 2y 6  32y 2 13. 2161/3 14. 642/3 41. x 6  1 42. y 3  2y 2  y  2 43. x1/2  2x 1/2  x 3/2 44. a 4b 2  ab 5 45. 4x 3  8x 2  3x  6 46. 8x 3  y 6 3 1242 15. 12 16. 14 1324 17. 21/2 81/2 18. 12 150 19–28 19. ■ 4 4 47. 1x 2  22 5/2  2x 1x 2  22 3/2  x 2 2x 2  2 48. 3x 3  2x 2  18x  12 Simplifique la expresión. x 2 12x 2 4 20. 1a 2 2 3 1a 3b 2 2 1b 3 2 4 x3 21. 13xy 2 2 3 1 23 x 1y 2 2 22. a 23. 2 1x y 2 y 24. 2x y 3 2 31. Si a  0.00000293, b  1.582 1014, y c  2.8064 1012, utilice una calculadora para determinar el valor aproximado del número ab/c. 2 4 ■ 26. a 29. Escriba el número 78 250 000 000 en la notación científica. 3. 41a  b2  4a  4b 7. x 9x 3y 1/2 3 1. 3x  2y  2y  3x 5. 32, 6 2 25. a 3 2 4 r 2s 4/3 1/3 r s 2 4 b 6 49–64 ■ Desarrolle las operaciones indicadas y simplifique. 49. 12x  12 13x  22  514x  12 50. 12y  72 12y  7 2 51. 11  x2 12  x2  13  x2 13  x 2 52. 1x 1 1x  12 12 1x  12 132 CAPÍTULO 1 Fundamentos 53. x 2 1x  22  x1x  2 2 2 55. x 2  2x  3 x 2  8x  16 # 3x  12 x1 x 2  2x  15 57. 2 x  6x  5 54. x 2  2x  3 2x 2  5x  3 56. t3  1 t2  1 x 2  x  12 x2  1 58. 1 3 2   x x2 1x  22 2 60. 1 1 2  2  2 x2 x 4 x x2 1 1  x 2 61. x2 59. 2 1  2 x1 x 1 1 1  x x1 62. 1 1  x x1 63. 16 (racionalice el denominador) 13  12 64. 2x  h  1x h 65–80 ■ 85. Abbie pinta igual de rápido que Beth y tres veces más rápido que Cathie. Si se tardan 60 min en pintar una sala las tres trabajando juntas, ¿qué tanto se tardaría Abbie si trabajara sola? 86. La dueña de una casa desea cercar tres jardines adyacentes, uno para cada uno de sus niños, como se muestra en la figura. Si cada parcela es de 80 pies cuadrados de área, y tiene a la mano 88 pies de material para cercar, ¿qué dimensiones debe tener cada parcela? Determine todas las soluciones reales de la ecuación. x1 3x  x1 3x  6 66. 8  2x  14  x 68. 1x  2 2 2  1x  4 2 2 69. x 2  9x  14  0 70. x 2  24x  144  0 71. 2x 2  x  1 72. 3x 2  5x  2  0 73. 4x 3  25x  0 74. x 3  2x 2  5x  10  0 75. 3x 2  4x  1  0 76. 77. 84. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 cm. La suma de las longitudes de los catetos es 28. Calcule lo que mide cada cateto del triángulo. (racionalice el numerador) 65. 7x  6  4x  9 67. 83. Una mujer viaja en bicicleta 8 millas/h más rápido de lo que ella corre. Cada mañana recorre en bicicleta 4 millas y corre 2 12 millas durante un total de una hora de ejercicio. ¿Qué tan rápido corre? 1 2  3 x x1 x 1 8   2 x2 x2 x 4 78. x 4  8x 2  9  0 79. 0 x  7 0  4 87–94 ■ Resuelva la desigualdad. Exprese la solución usando notación de intervalos y grafique el conjunto solución en una recta de números reales. 87. 3x  2  11 88. 1  2x  5  3 89. x 2  4x  12  0 90. x 2  1 91. x4 0 x2  4 92. 5 0 x 3  x 2  4x  4 80. 0 2x  5 0  9 81. El dueño de una tienda vende uva pasa a 3.20 dólares la libra y nueces a 2.40 dólares cada libra. Decide mezclar las uvas pasa y las nueces y vende 50 libras de la mezcla a 2.72 dólares cada libra. ¿Qué cantidades de uva pasa y de nueces debe usar? 82. Anthony sale de Kingstown a las 2:00 PM y maneja su automóvil a 45 millas por hora hasta Queensville, a 160 millas de distancia. A las 2:15 PM, Helen sale de Queensville y se dirige a Kingstown a 40 millas/h. ¿En qué momento se cruzarán en la carretera? 93. 0 x  5 0  3 94. 0 x  4 0  0.02 95–98 ■ Resuelva la ecuación o la desigualdad mediante métodos gráficos. 95. x 2  4x  2x  7 96. 1x  4  x 2  5 CAPÍTULO 1 Repaso 97. 4x  3 114. x  2y  12 x2 115. y  16  x 2 98. x 3  4x 2  5x  2 99–100 ■ Se dan los puntos P y Q. a) b) c) d) Grafique P y Q en un plano coordenado. Calcule la distancia desde P hasta Q. Determine el punto medio del segmento PQ. Determine la recta definida por P y Q, y exprese su ecuación en la forma cuando se dan la pendiente y la ordenada al origen. e) Grafique la circunferencia que pasa por Q y tiene centro en P, y encuentre la ecuación de dicha circunferencia. 99. P12, 0 2 , Q15, 12 2 101–102 ■ 100. P17, 1 2 , Q12, 112 116. 8x  y 2  0 117. x  1y 118. y   21  x 2 119–122 ■ Utilice una calculadora para graficar o una computadora para trazar la gráfica de la ecuación en un rectángulo de visión adecuado 119. y  x 2  6x 120. y  25  x 121. y  x 3  4x 2  5x Grafique la región definida por el conjunto. y 2  y  26 101. 51x, y2 0 4  x  4 and 102. 51x, y2 0 x o y 4 or 26 103. ¿Cuál de los puntos A14, 4 2 o B15, 3 2 está más cerca al punto C11, 32 ? 104. Encuentre una ecuación de la circunferencia que tiene centro en 12, 5 2 y radio 12. 105. Encuentre una ecuación de la circunferencia que tiene centro en 15, 1 2 y pasa por el origen. 106. Encuentre una ecuación de la circunferencia que contiene los puntos P12, 3 2 y Q11, 8 2 y cuyo punto medio del segmento PQ es el centro. 107–110 ■ Determine si la ecuación representa una circunferencia, un punto o no tiene gráfica. Si la ecuación es una circunferencia determine el centro y el radio. 107. x 2  y 2  2x  6y  9  0 108. 2x 2  2y 2  2x  8y  12 122. x2  y2  1 4 123. Determine una ecuación de la recta que pasa por los puntos 11, 62 y 12, 42 . 124. Determine una ecuación de la recta que pasa por el punto 16, 32 y tiene pendiente  12. 125. Determine una ecuación de la recta cuya intersección con el eje x es 4 y la intersección con el eje y es 12. 126. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto 11, 72 y es perpendicular a la recta x  3y  16  0. 127. Determine la ecuación de la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta 3x  15y  22. 128. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto 15, 22 y es paralela a la recta que pasa por 11, 3 2 y 13, 22 . 129–130 ■ Calcule las ecuaciones de la circunferencia y de la recta de la figura. 129. y 109. x 2  y 2  72  12x 110. x 2  y 2  6x  10y  34  0 111–118 gráfica. ■ (_5, 12) Compruebe si la ecuación es simétrica y trace su 111. y  2  3x 112. 2x  y  1  0 113. x  3y  21 133 0 x 134 130. CAPÍTULO 1 Fundamentos 133. Suponga que M varía directamente con z, y M  120 cuando z  15. Plantee la ecuación que expresa esta variación. y 134. Suponga que z es inversamente proporcional a y, y que z  12 cuando y  16. Escriba una ecuación que exprese a z en función de y. 5 (8, 1 ) 0 5 x 131. La ley de Hooke establece que si un peso „ se engancha a un resorte que está colgando, entonces la longitud s que se estira el resorte está relacionada linealmente con „. En el caso de un resorte particular tenemos s  0.3„  2.5 donde s se mide en pulgadas y „ en libras. a) ¿Qué representan en esta ecuación la pendiente y la intersección con el eje s? b) ¿Qué tan largo es el resorte cuando se le coloca un peso de 5 libras? 132. Margarita empezó a trabajar en una compañía de contabilidad con un salario de 60 000 dólares por año. Tres años más tarde su salario anual se había incrementado a 70 500 dólares. Suponga que su salario se incrementa en forma lineal. a) Determine una ecuación que relacione su salario anual S y el número de años t que ella trabajó para la compañía. b) ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje S? c) ¿Cuál será su salario después de 12 años de trabajar en esa compañía? 135. La intensidad de iluminación I de una luz varía inversamente con el cuadrado de la distancia d de la luz. a) Escriba este enunciado como una ecuación. b) Determine la constante de proporcionalidad si se sabe que una lámpara tiene una intensidad de 1000 candelas a una distancia de 8 m. c) ¿Cuál será la intensidad de esta lámpara a una distancia de 20 m? 136. La frecuencia de una cuerda que vibra a tensión constante es inversamente proporcional a su longitud. Si la cuerda de un violín de 12 pulg de largo vibra 440 veces por segundo, ¿cuánto se le debe recortar para que vibre 660 veces por segundo? 137. La velocidad final de un paracaidista es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su peso. Un paracaidista de 160 libras de peso adquiere una velocidad final de 9 millas/h. ¿Cuál es la velocidad final de un paracaidista que pesa 240 lb? 138. El alcance máximo de un proyectil es directamente proporcional al cuadrado de su velocidad. Un pitcher lanza la pelota a 60 millas/h, con un alcance máximo de 242 pies. ¿Cuál será el alcance máximo si lanza la pelota a 70 millas/h? CAPÍTULO 1 Evaluación 1 135 Evaluación 1. a) Grafique los intervalos 15, 34 y 12, q 2 sobre la recta de números reales. b) Exprese las desigualdades x  3 y 1  x  4 en la notación de intervalos. c) Determine la distancia entre 7 y 9 en la recta numérica. 2. Evalúe cada expresión. a) 132 4 b) 34 c) 34 d) 523 521 2 2 e) a b 3 f) 163/4 3. Escriba cada cantidad en notación científica. a) 186 000 000 000 b) 0.0000003965 4. Simplifique cada expresión. Escriba su respuesta final sin exponentes negativos. 3x 3/2y 3 2 a) 1200  132 b) (3a 3b 3 )(4ab 2 )2 c) a 2 1/2 b x y y x  2 2 x y x x  3x  2 x1 d) e) 2 f)  1 x2 1 x2  x  2 x 4  x y 5. Racionalice el denominador y simplifique: 110 15  2 6. Ejecute las operaciones indicadas y simplifique. a) 31x  62  412x  52 b) 1x  32 14x  52 2 d) 12x  32 e) 1x  22 3 7. Factorice del todo cada expresión. a) 4x 2  25 b) 2x 2  5x  12 4 d) x  27x e) 3x 3/2  9x 1/2  6x1/2 8. Encuentre todas las soluciones reales. 2x 2x  1 a) x  5  14  12 x b)  x x1 d) 2x 2  4x  1  0 g) 3 0 x  4 0  10 e) 33  2x  5  2 c) 1 1a  1b2 1 1a  1b2 c) x 3  3x 2  4x  12 f) x 3 y  4xy c) x 2 x  12  0 f) x 4  3x 2  2  0 9. Mary maneja su automóvil desde Amity hasta Belleville a una velocidad de 50 millas/h. En el camino de regreso iba a una velocidad de 60 millas/h. El viaje total fue de 4 25 horas. Calcule la distancia entre estas dos ciudades. 10. Una parcela rectangular es 70 pies más larga de lo que mide el ancho. Cada diagonal mide 130 pies. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela? 11. Resuelva todas las desigualdades. Escriba la respuesta usando notación de intervalos, y grafique la solución en una recta numérica. a) 4  5  3x  17 b) x1x  1 2 1x  2 2  0 2x  3 c) 0 x  4 0  3 d) 1 x1 12. Un frasco de un medicamento se va a almacenar a una temperatura entre 5 C y 10 C. ¿Qué temperatura le corresponde en la escala Fahrenheit? [Nota: las temperaturas Fahrenheit (F ) y Celsius (C) cumplen la relación C  59 1F  322 .] 13. ¿Para qué valores de x la expresión 26x  x 2 está definida como un número real? 136 CAPÍTULO 1 Fundamentos 14. Resuelva la ecuación y la desigualdad gráficamente. a) x 3  9x  1  0 b) x 2  1  0 x  1 0 15. a) Grafique los puntos P10, 32 , Q13, 02 y R16, 32 en el plano coordenado. ¿Dónde se debe localizar el punto S para que PQRS sea un cuadrado? b) Determine el área de PQRS. 16. a) Trace la gráfica de y  x2  4. b) Determine dónde corta la gráfica a los ejes x y y. c) ¿La gráfica es simétrica con respecto al eje x, al eje y o al origen? 17. Sean P13, 12 y Q15, 62 dos puntos en el plano coordenado. a) Grafique P y Q en un plano de coordenadas. b) Calcule la distancia entre P y Q. c) Determine el punto medio del segmento PQ. d) Determine la pendiente de la recta que contiene a P y Q. e) Encuentre la bisectriz perpendicular a la recta que contiene a P y a Q. f) Calcule la ecuación de la circunferencia para la cual el segmento PQ es un diámetro. 18. Calcule el centro y el radio de cada circunferencia y trace la gráfica. a) x 2  y 2  25 b) 1x  2 2 2  1 y  12 2  9 c) x 2  6x  y 2  2y  6  0 19. Escriba la ecuación lineal 2x  3y  15 en la forma cuando se dan la pendiente y la ordenada al origen, y grafique. ¿Qué son la pendiente y la ordenada al origen? 20. Encuentre una ecuación para la recta con la propiedad dada. a) Para por el punto 13, 62 y es paralela a la recta 3x  y  10  0. b) Corta al eje x en 6 y la ordenada al origen es 4. 21. Un geólogo utiliza una sonda para medir la temperatura T (en C) del suelo a distintas profundidades por abajo de la superficie, y observa que a una profundidad de x cm, la temperatura está representada por la ecuación T  0.08x  4. a) ¿Cuál es la temperatura a una profundidad de un metro (100 cm)? b) Trace una gráfica de la ecuación lineal. c) ¿Qué representan la pendiente, la intersección con el eje x y la intersección con el eje T de la gráfica de esta ecuación? 22. El peso máximo M que puede ser soportado por una viga es conjuntamente proporcional a su ancho „, y al cuadrado de su peralte h, e inversamente proporcional a su largo L. a) Plantee una ecuación que exprese esta proporcionalidad. b) Determine la constante de proporcionalidad si una viga de 4 pulg de ancho, 6 pulg de peralte y 12 pies de largo puede soportar un peso de 4800 lb. c) Si una viga de 10 pies fabricada con el mismo material mide 3 pulg de ancho y 10 pulg de peralte, ¿cuál es el peso máximo que soporta? h L „ CAPÍTULO 1 Evaluación 137 Si encontró dificultad en alguno de los problemas podría revisar la sección de este capítulo que se señala enseguida. Si tuvo dificultad con este problema del examen Repase esta sección 1 Sección 1.1 2, 3, 4(a), 4(b), 4(c) Sección 1.2 4(d), 4(e), 4(f), 5 Sección 1.4 6, 7 Sección 1.3 8 Sección 1.5 9, 10 Sección 1.6 11, 12, 13 Sección 1.7 14 Sección 1.9 15, 16, 17(a), 17(b) Sección 1.8 17(c), 17(d) Sección 1.10 17(e), 17(f), 18 Sección 1.8 19, 20, 21 Sección 1.10 22 Sección 1.11 Enfoque en la resolución de problemas Stanford University News Service Principios generales George Polya (1887-1985) es famoso entre los matemáticos por sus ideas acerca de la resolución de problemas. Sus conferencias acerca de la resolución de problemas en Stanford University atraían a grandes cantidades de personas a quienes mantenía al borde de sus asientos, llevándolos a descubrir soluciones por sí mismos. Era capaz de hacerlo debido a su profundo conocimiento de los fenómenos psicológicos que hay en el momento de resolver un problema. Su obra mejor conocida How To Solve It está traducida a 15 idiomas. Decía que Euler (véase pág. 288) era único entre los grandes matemáticos porque explicaba cómo había encontrado sus resultados. Polya decía a menudo a sus alumnos: “Sí, ya veo que tu demostración es correcta, pero ¿cómo la descubriste?” En el prefacio del libro How To Solve It, Polya escribe “Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Su problema podrá ser modesto, pero si desafía a su curiosidad y lo lleva a poner en marcha sus facultades inventivas, y si usted resuelve el problema con sus propios medios, experimentará la fuerza y la alegría del triunfo del descubrimiento”. No hay reglas difíciles ni rápidas que aseguren el éxito al resolver problemas. Pero es posible esbozar unos pasos generales en el proceso de la resolución de problemas y dar principios que son útiles para resolver ciertos problemas. Estos pasos y principios son sólo sentido común hecho explícito. Además, son adaptaciones del agudo libro de George Polya How To Solve It. 1. Entienda el problema El primer paso es leer el problema y estar seguro de que ya lo entendió. Hágase usted mismo las preguntas siguientes: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas? Para cualquier problema es útil hacer un diagrama e identificar en el mismo diagrama las cantidades dadas y las requeridas. Por lo regular es necesario introducir una notación conveniente Al elegir símbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos letras como a, b, c, m, n, x y y, pero en algunos casos ayuda usar iniciales o símbolos sugerentes, por ejemplo, V para volumen o t para el tiempo. 2. Piense en un plan Halle una conexión entre la información dada y la incógnita, que le permita calcularla. Muchas veces ayuda preguntarse uno mismo: “¿Cómo puedo relacionar la información dada con la incógnita?”. Si usted no ve la conexión en forma inmediata, las ideas siguientes podrían ser útiles para trazar un plan. ■ Trate de identificar algo familiar Relacione la situación dada con un conocimiento anterior. Examine la incógnita y trate de recordar un problema más conocido que tiene una incógnita similar. ■ Intente identificar patrones Ciertos problemas se resuelven cuando se identifica que hay un patrón. El patrón podría ser geométrico o numérico o algebraico. Si puede ver regularidad o repetición en un problema, entonces usted sería capaz de adivinar qué patrón es y demostrarlo. ■ Use la analogía Trate de pensar en un problema análogo, es decir, que sea semejante o que esté relacionado, pero que sea más fácil que el original. Si puede resolver el problema similar más sencillo, entonces esto le podría dar las pistas que necesita para resolver el 138 Principios generales 139 problema original más difícil. Por ejemplo, si un problema contiene números muy grandes, podría primero intentar con un problema similar con números más pequeños. O bien, si el problema es de geometría tridimensional, podría buscar algo similar en geometría bidimensional. O si el problema con el que empieza es uno muy general, podría tratar primero con algún caso especial. ■ Introduzca algo nuevo Algunas veces necesitará introducir algo nuevo —un auxiliar— para lograr la co-nexión entre lo que se tiene y lo que se ignora. Por ejemplo, en un problema donde un diagrama es útil, la ayuda adicional sería una nueva línea dibujada en el diagra-ma. En la mayor parte de los problemas algebraicos la ayuda podría ser una nueva incógnita que se relacione con la incógnita original. ■ Desglose el problema En algunas ocasiones podría dividir el problema en varias partes y elaborar un razonamiento distinto para cada parte. Por ejemplo, tenemos que usar a menudo esta estrategia al tratar con el valor absoluto. ■ Trabajar hacia atrás Es útil imaginar que su problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso por paso, hasta llegar a los datos originales. Entonces podría ser capaz de invertir los pasos y construir por lo tanto una solución para el problema original. Este procedimiento es muy común al resolver ecuaciones. Por ejemplo, al resolver la ecuación 3x  5  7, suponemos que x es un número que satisface a 3x  5  7 y trabajamos hacia atrás. Añadimos 5 a cada miembro de la ecuación y luego dividimos cada miembro entre 3 para obtener x  4. Puesto que cada uno de estos pasos se puede invertir, ya resolvimos el problema. ■ Establecer metas secundarias Con frecuencia, en un problema complejo es útil establecer objetivos secundarios, en los cuales la situación deseada sólo se cumple en parte. Si usted logra o alcanza esta meta secundaria, entonces podría ser capaz de utilizarlas como base para alcanzar el objetivo final ■ Razonamiento indirecto Algunas veces es adecuado atacar un problema en forma indirecta. Al utilizar la demostración por contradicción para demostrar que P implica Q, suponemos que P es verdadera y que Q es falsa, y tratar de ver por qué no puede suceder. De alguna manera tenemos que usar esta información y llegar a una contradicción de lo que estamos absolutamente seguros de que es cierto. ■ Inducción matemática Al demostrar enunciados que contienen un entero positivo n, es frecuente que sea útil usar el Principio de la inducción matemática, la cual se estudia en la sección 11.5. 3. Poner en marcha el plan En el paso 2, se diseñó un plan. Al ejecutarlo, debe verificar cada etapa del mismo y escribir los detalles que demuestran que la etapa es correcta. 140 Enfoque en la resolución de problemas 4. Reflexione y revise Al llegar a la solución, es prudente regresar y revisar, en parte para ver si hay errores y en parte para ver si hay una manera más sencilla de resolver el problema. Revisar lo hecho lo familiariza con el método de solución, lo cual podría ser útil para resolver un problema futuro. Descartes decía “Cada problema que he resuelto se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas”. Ilustramos algunos de estos principios de resolución de problemas mediante un ejemplo. Otros ejemplos de estos principios se presentan al final de capítulos seleccionados. Problema Velocidad promedio Una automovilista sale de viaje. En la primera mitad de la distancia, ella viaja pausadamente a la velocidad de 30 millas/h; en la segunda mitad maneja a 60 millas/h. ¿Cuál es la velocidad promedio en su viaje? ■ Intente con un caso especial Razonamiento para el problema Es tentador calcular el promedio de las velocidades y decir que la velocidad promedio de todo el viaje es 30  60  45 millas/h 2 ¿Pero es este enfoque tan sencillo realmente correcto? Veamos un caso especial que se calcula con facilidad. Supongamos que la distancia total recorrida es 120 millas. Puesto que las primeras 60 millas se recorren a 30 millas/h, el recorrido dura 2 h. Las segundas 60 millas se recorren a 60 millas/h, por lo que el recorrido dura una hora. Por lo tanto, el tiempo total es 2  1  3 horas y la velocidad promedio es 120  40 millas/h 3 De modo que la suposición de 45 millas/h es errónea. Entienda el problema Solución Necesitamos considerar con más cuidado el significado de velocidad promedio. Se define como distancia recorrida velocidad promedio  tiempo transcurrido Introduzca una notación Sea d la distancia recorrida en cada mitad del viaje. Sean t1 y t2 los tiempos transcurridos en la primera y en la segunda mitad del viaje. Ya podemos escribir la información con la que contamos. Para la primera mitad del viaje, tenemos d (1) 30  t1 y para la segunda mitad, tenemos d 60  (2) t2 A continuación identificamos la cantidad que nos piden determinar: 2d distancia total  velocidad promedio de todo el viaje  t1  t2 tiempo total Establezca lo que tiene Identifique la incógnita Principios generales Conecte lo conocido con lo desconocido 141 Para calcular esta cantidad necesitamos conocer t1 y t2, de modo que resolvemos las ecuaciones 1 y 2 para estos tiempos: d d t1  t2  30 60 Ahora tenemos los ingredientes necesarios para calcular la cantidad deseada: 2d 2d  average speed  velocidad promedio t1  t2 d d  30 60 6012d 2 Multiplicación del  numerador y del d d denominador por 60 60 a  b 30 60 120d 120d    40 2d  d 3d Entonces, la velocidad promedio para todo el viaje es 40 millas por hora. ■ Problemas 1. Distancia, tiempo y velocidad Un hombre viaja en su automóvil desde su casa hasta el trabajo a una velocidad de 50 millas/h. El viaje de regreso desde su trabajo a casa lo efectúa más despacio, a sólo 30 millas/h. ¿Cuál es la velocidad promedio del hombre para el recorrido completo? Bettrnann /Corbis 2. Distancia, tiempo y velocidad Un viejo automóvil tiene que recorrer una ruta de 2 millas, colina arriba y colina abajo. Como es tan viejo, el vehículo puede subir la primera milla —el ascenso— no más rápido que a una velocidad promedio de 15 millas/h. ¿Qué tan rápido tiene que desplazarse el automóvil en la segunda milla —al descender, puede ir más rápido, naturalmente— para que llegue a una velocidad promedio de 30 millas/h en el viaje? No se sienta mal si no resuelve correctamente estos problemas. Los problemas 2 y 6 fueron enviados a Albert Einstein por su amigo Wetheimer. Einstein y su amigo Bucky disfrutaban los problemas, y le contestaban a Wertheimer. He aquí una parte de la réplica: Su carta nos causó una gran diversión. La primera prueba de inteligencia nos engañó a Bucky y a mí. Sólo al trabajar en ella me di cuenta de que ¡no hay tiempo disponible para la carrera colina abajo! El segundo ejemplo también engañó al señor Bucky, pero a mí ya no. ¡Tales bromas nos mostraron cuán estúpidos somos! (Véase Mathematical Intelligencer, primavera de 1990, pág. 41.) 3. Una mosca a exceso de velocidad Un automóvil y un camión de mudanzas están estacionados a 120 millas uno de otro sobre una carretera recta. Cada uno de los conductores empieza a manejar en dirección al otro al mediodía, cada uno a una velocidad de 40 millas/h. Una mosca sale desde la defensa delantera del camión al mediodía y vuela hacia la defensa del automóvil, luego regresa de inmediato a la defensa del camión y de nuevo a la del automóvil, y así sucesivamente, hasta que se encuentran el automóvil y el camión de mudanzas. Si la mosca vuela a una velocidad de 100 millas/h, ¿cuál es la distancia total que recorre? 4. Comparación de descuentos ¿Qué precio es mejor para el comprador, uno de 40% o dos descuentos sucesivos de 20%? 5. Corte de un alambre Un trozo de alambre está doblado como se ilustra en la figura. Puede ver que un corte a través del trozo de alambre produce cuatro trozos, y que dos cortes paralelos producen siete pedacitos. ¿Cuántos pedacitos se obtendrán por medio de 142 cortes paralelos? Escriba una fórmula para la cantidad de pedacitos que se obtienen con n cortes paralelos. 6. Propagación de las amebas Una ameba se propaga mediante simple división; cada división tarda 3 minutos en completarse. Cuado tal ameba se coloca dentro de un recipiente de vidrio con un líquido con nutrientes, el recipiente se llena de amebas en una hora. ¿Cuánto tardaría en llenarse el recipiente si empezamos no con una ameba, sino con dos? 142 Enfoque en la resolución de problemas 7. Vuelta a un circuito Dos corredores empiezan a correr por un circuito al mismo tiempo, desde la misma posición de salida. George completa una vuelta en 50 s; Sue corre una vuelta en 30 s .¿Cuándo los corredores estarán corriendo lado a lado? 8. Promedios de bateo El jugador A tiene un promedio de bateo superior al del jugador B durante la primera mitad de la temporada de béisbol. El jugador A también tiene un promedio de bateo superior al del jugador B en la segunda mitad de la temporada. ¿Es necesariamente cierto que el jugador A tiene un promedio de bateo superior al del jugador B en toda la temporada? 9. Café con crema Se toma una cucharada de crema de un recipiente y se vierte en una taza de café. El café se derrama. Entonces se toma una cucharada de esta mezcla y se vierte dentro del recipiente de la crema. ¿Hay ahora más crema en la taza de café o más café en el recipiente de la crema? 10. Un cubo de hielo fundido Un cubo de hielo está flotando en un vaso con agua, lleno hasta el borde, como se muestra en la figura. ¿Qué sucede cuando el hielo se funde? ¿El vaso se derrama o el nivel de agua baja o permanece igual? (Necesita saber el Principio de Arquímedes: un objeto que flota desplaza un volumen de agua cuyo peso es igual al peso del objeto.) 11. Rodeando al mundo Un listón rojo se amarra fuertemente alrededor del Ecuador de la Tierra. ¿Cuánto listón necesita de más si sube el listón un pie por encima del Ecuador? (No necesita saber el radio de la Tierra para resolver este problema.) 12. Potencias irracionales Demuestre que es posible elevar un número irracional a una potencia irracional y obtener un resultado racional. [Sugerencia: el número a  1212 es racional o irracional. Si a es racional, usted está acabado. Si a es irracional, considere a 12.] 13. Raíces cuadradas babilonias Los antiguos babilonios idearon el siguiente proceso para determinar la raíz cuadrada de un número N. Primero hacían una suposición de la raíz cuadrada, llamémosla primera suposición r1. Al observar que r1 # a N b N r1 concluyeron que la raíz cuadrada real debe estar en algún lugar entre r1 y N/r1, de modo que su siguiente suposición para la raíz cuadrada, r2, era el promedio de estos dos números: r2  1 N ar  b 2 1 r1 Al continuar de esta manera, la siguiente aproximación era r3  1 N ar  b 2 2 r2 Principios generales 143 y así sucesivamente. En general, una vez que hemos hecho la n-ésima aproximación de la raíz cuadrada de N, encontramos la 1n  1 2 -ésima usando rn1  1 N ar  b 2 n rn Aplique este procedimiento para encontrar 172, con dos cifras decimales. 14. Un cubo perfecto Demuestre que si multiplica tres enteros consecutivos y luego suma el entero de en medio al resultado, obtiene un cubo perfecto. 15. Patrones numéricos Encuentre el último dígito del número 3459. [Sugerencia: calcule las primeras potencias de 3 y busque un patrón.] 16. Patrones numéricos Aplique las técnicas de resolución de un problema más sencillo y busque un patrón para evaluar el número 39999999999992 17. Triángulos rectángulos y primos Demuestre que todo número primo es un cateto de exactamente un triángulo rectángulo con lados enteros. (Este problema lo planteó primero Fermat; véase pág. 652.) 18. Una ecuación sin solución Demuestre que la ecuación x 2  y 2  4z  3 no tiene solución en los enteros. [Sugerencia: recuerde que un número par es de la forma 2n y un impar es de la forma 2n  1. Considere todos los casos posibles de x y de y par o impar.] 19. Terminar donde empezó Una mujer parte del punto P en la superficie de la Tierra, y camina 1 milla al Sur, luego 1 milla al Este, luego 1 milla al Norte y encuentra que regresó al punto P, el punto donde empezó. Describa todos los puntos P para los cuales esto es posible (hay una cantidad infinita). 20. Volumen de una pirámide truncada Los antiguos egipcios, como resultado de la construcción de sus pirámides, sabían que el volumen de una pirámide de altura h y base cuadrada de lado a es V  13 ha 2. Fueron capaces de aplicar este hecho para demostrar que el volumen de una pirámide truncada es V  13 h1a 2  ab  b 2 2 , donde h es la altura y b y a son las longitudes de los lados de la parte cuadrada superior y de la base, como se muestra en la figura. Demuestre la fórmula del volumen de la pirámide truncada. b b h h a a a a 21. Área de un anillo Determine el área de la región entre los dos cículos concéntricos mostrados en la figura. 2 144 Enfoque en la resolución de problemas Bhaskara (nació en 1114) fue un matemático, astrónomo y astrólogo hindú. Entre sus muchos logros está una ingeniosa demostración del teorema de Pitágoras (véase el problema 22). Su importante libro de matemática, Lilavati [Lo hermoso] consiste en problemas de álgebra planteados en la forma de historias para su hija Lilavati. Muchos de los problemas empiezan con “¡Oh hermosa doncella!, imagina ...” Se dice que, usando la astrología, Bhaskara determinó la gran desgracia que sobrevendría a su hija si ésta se casaba en otro momento que no fuera una cierta hora y un cierto día. El día de la boda, mientras ella observaba con gran expectación el reloj de agua, cayó una perla de su tocado sin que ella se percatara. Esto detuvo el flujo de agua del reloj, lo que ocasionó que se pasara el momento oportuno para la boda. Bhaskara escribió la obra Lilavati para consolarla. Entrada 22. Demostración de Bhaskara El matemático hindú Bhaskara dibujó las dos figuras que se ilustran aquí y escribió abajo de ellas: “¡He aquí!” Explique cómo estos dibujos demuestran el teorema de Pitágoras. 23. Un entero interesante El número 1729 es el entero positivo más pequeño que puede ser representado en dos maneras distintas como la suma de dos cubos. ¿Cuáles son estas maneras? 24. Números simples a) Utilice una calculadora para determinar el valor de la expresión 23  212  23  212 El número parece muy sencillo. Demuestre que el valor calculado es correcto. b) Mediante una calculadora evalúe 12  16 22  13 Demuestre que el valor calculado es correcto. 25. Recorrido por el museo imposible Un museo tiene la forma de un cuadrado con seis salas a un lado; la entrada y la salida están en esquinas opuestas, como se muestra en la figura de la izquierda. Cada par de salas adyacentes está unido por una puerta. A algunos turistas muy eficientes les gustaría recorrer el museo visitando cada sala exactamente una vez. ¿Puede encontrar una trayectoria para tal recorrido? Aquí hay ejemplos de intentos que fallaron. ¡Oh! Faltó esta sala. Salida ¡Oh! No es salida. Aquí está cómo puede demostrar que el recorrido por el museo es imposible. Imagine que las salas están coloreadas en blanco y negro como en un tablero de ajedrez. a) Muestre que los colores de las salas se alternan entre blanco y negro a medida que el turista camina por el museo. b) Utilice el inciso a) y el hecho de que hay un número par de salas en el museo para concluir que el recorrido no puede terminar en la salida. 26. Iluminación del plano coordenado Suponga que cada punto en el plano coordenado está pintado de rojo o de azul. Demuestre que es necesario que haya siempre dos puntos del mismo color que están separados exactamente una unidad. 27. Bosque coordenado racional Suponga que cada punto (x, y) en el plano, cuyas coordenadas son números racionales, representan un árbol. Si usted está de pie en el punto (0, 0), ¿qué tan lejos podría ver en este bosque? Principios generales 145 28. Mil puntos Se grafican mil puntos en el plano coordenado. Explique por qué es posible dibujar una recta en el plano de modo que la mitad de los puntos están en un lado de la recta y la otra mitad en el otro lado. [Sugerencia: considere las pendientes de las rectas determinadas por cada par de puntos.] 29. Gráfica de una región en el plano todos los puntos (x, y) tales que Trace la región en el plano que consiste en 0x0  0y0 1 30. Gráfica de una ecuación Grafique la ecuación x 2y  y 3  5x 2  5y 2  0 [Sugerencia: factorice.] 2 Funciones 2.1 ¿Qué es una función? 2.6 Modelado con funciones 2.2 Gráficas de funciones 2.7 Combinación de funciones 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio 2.8 Funciones uno a uno y sus inversas 2.4 Transformaciones de funciones 2.5 Funciones cuadráticas; máximos y mínimos Esquema del capítulo Quizá la idea matemática más útil para modelar el mundo real es el concepto de función, que se estudia en este capítulo. Para entender qué es una función, veremos un ejemplo. Si un escalador de rocas deja caer una piedra desde un acantilado alto, ¿qué sucede con la piedra? Por supuesto la piedra cae; qué tanto ha caído en determinado momento depende del tiempo que ha estado descendiendo. Ésta es una descripción general, pero no indica de manera exacta cuándo la piedra choca con el suelo. d(t) = 16t2 Descripción general: la piedra cae. Función: en t segundos la piedra cae 16t2 pies. Lo que necesitamos es una regla que relacione la posición de la piedra con el tiempo que ésta ha descendido. Los físicos saben que la regla es: en t segundos la piedra cae 16t 2 pies. Si d1t2 representa la distancia que ha descendido la piedra en el instante t, entonces esta regla se puede expresar como Galen Rowell /Corbis d1t 2  16t 2 Esta “regla” para hallar la distancia en términos del tiempo se llama función. Se dice que la distancia es una función del tiempo. Para entender mejor esta regla o función, se puede construir una tabla de valores o dibujar una gráfica. La gráfica permite ver con facilidad qué tan lejos y qué tan rápido cae la piedra. 147 148 CAPÍTULO 2 Funciones Tiempo t Distancia d1t2 0 1 2 3 4 0 16 64 144 256 • ••• ••• ••• •• • •• • •• • • • • • • Usted puede observar por qué son importantes las funciones. Por ejemplo, si un físico encuentra la “regla” o función que relaciona la distancia recorrida con el tiempo transcurrido, entonces puede predecir cuándo un misil chocará con el suelo. Si un biólogo halla la función o “regla” que relaciona el número de bacterias en un cultivo con el tiempo, entonces puede predecir el número de bacterias para algún tiempo futuro. Si un agricultor conoce la función o “regla” que relaciona la producción de manzanas con la cantidad de árboles por acre, entonces puede decidir cuántos árboles plantar por acre para maximizar la producción. En este capítulo aprenderemos cómo se emplean las funciones para modelar situaciones del mundo real y cómo hallar esta clase de funciones. 2.1 ¿Qué es una función? En esta sección se explora la idea de función y después se da su definición matemática. Funciones en nuestro entorno En casi todo fenómeno físico se observa que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la estatura depende de la edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar por correo un paquete depende de su peso (véase figura 1). Se usa el término función para describir esta dependencia de una cantidad sobre otra. Es decir, se expresa lo siguiente: ■ ■ ■ La altura es una función de la edad. La temperatura es una función de la fecha. El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso. La Oficina Postal de Estados Unidos emplea una regla simple para determinar el costo de enviar un paquete con base en su peso. Pero no es fácil describir la regla que relaciona el peso con la edad o la temperatura con la fecha. *F 80 7 6 5 Estatura 4 (en pies) 3 2 1 0 „ (onzas) 60 40 Temperatura alta diaria Columbia, MO, abril de 1995 20 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 30 Fecha 0<„ 1 <„ 2<„ 3<„ 4<„ 5<„ 1 2 3 4 5 6 Franqueo (dólares) 0.37 0.60 0.83 1 .06 1 .29 1 .52 Edad (en años) La estatura es una función de la edad. Figura 1 La temperatura es una función de la fecha. El franqueo es una función del peso. SECCIÓN 2.1 ¿Qué es una función? 149 ¿Puede pensar en otras funciones? Aquí hay algunos ejemplos: ■ ■ ■ ■ El área de un círculo es una función de su radio. El número de bacterias en un cultivo es una función del tiempo. El peso de un astronauta es una función de su elevación. El precio de un artículo es una función de la demanda de ese artículo. La regla que describe cómo el área A de un círculo depende de su radio r está dada por la fórmula A  pr 2. Incluso cuando no está disponible una regla o fórmula precisa que describe una función, se puede todavía describir la función mediante una gráfica. Por ejemplo, cuando se abre la llave del agua caliente, la temperatura del agua depende del tiempo que el agua haya estado corriendo. Así, se puede decir ■ La temperatura del agua de la llave es una función del tiempo. En la figura 2 se muestra una gráfica aproximada de la temperatura T del agua como una función del tiempo t que ha trascurrido desde que se abrió la llave. En la gráfica se muestra que la temperatura inicial del agua es cercana a la temperatura ambiente. Cuando el agua del depósito de agua caliente llega a la llave, la temperatura T del agua se incrementa con rapidez. En la fase siguiente, T es constante a la temperatura del agua en el depósito. Cuando se vacía el depósito, T disminuye a la temperatura del suministro de agua fría. Figura 2 Gráfica de la temperatura T del agua como una función del tiempo t T (°F) 110 100 90 80 70 60 50 0 t Definición de función Antes se emplearon letras para representar números. Aquí se hace algo muy diferente. Se emplean letras para representar reglas. Una función es una regla. Para hablar acerca de una función, se requiere asignarle un nombre. Se emplearán letras como f, g, h, . . . para representar funciones. Por ejemplo, se puede usar la letra f para representar una regla como sigue: “f” es la regla “cuadrado del número” Cuando se escribe f122 , se entiende “aplicar la regla f al número 2”. Al aplicar la regla se obtiene f122  22  4. De manera similar, f132  32  9, f142  42  16, y en general f1x2  x 2. Definición de función Una función f es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento, llamado f1x2 , en un conjunto B. 150 CAPÍTULO 2 Funciones Por lo general, se consideran funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de números reales. El símbolo f1x2 se lee “f de x” o “f en x” y se llama el valor de f en x, o la imagen de x bajo f. El conjunto A se llama dominio de la función. El rango de f es el conjunto de los valores posibles de f1x2 cuando x varía a través de el dominio, es decir, range de of f  5f1x2 0 x  A6 rango La tecla œ– en la calculadora es un buen ejemplo de considerar una función como una máquina. Primero se introduce x en la pantalla. Luego, se oprime la tecla marcada como œ– . (En la mayor parte de las calculadoras de graficación, el orden de estas operaciones es a la inversa.) Si x  0, entonces x no está en el dominio de esta función; es decir, x no es una entrada aceptable y la calculadora indicará un error. Si x 0, entonces aparece en la pantalla una aproximación a 1x correcta hasta cierto número de lugares decimales. (Por lo tanto, la tecla œ– en la calculadora no es lo mismo que la función matemática exacta f definida por f1x 2  1x.) El símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente. El símbolo que representa un número en el rango de f se llama variable dependiente. Así, si se escribe y  f1x2 , entonces x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Es útil considerar una función como una máquina (véase figura 3). Si x está en el dominio de la función f, entonces cuando se introduce x en la máquina, es aceptada como una entrada y la máquina produce una salida f1x2 de acuerdo con la regla de la función. Así, se puede considerar al dominio como el conjunto de las entradas posibles y al rango como el conjunto de las salidas posibles. Figura 3 Diagrama de máquina de f Ï salida f x entrada Otra forma de ilustrar una función es mediante un diagrama de flechas como en la figura 4. Cada flecha conecta un elemento de A con un elemento de B. La flecha indica que f 1x2 se relaciona con x, f1a2 se relaciona con a, etcétera. B A Ï x f(a) a Figura 4 Diagrama de flechas de f Ejemplo 1 f La función cuadrática La función cuadrática asigna a cada número real x su cuadrado x 2. Se define por f1x2  x 2 x entrada cuadrado x2 salida 3 cuadrado 9 _2 cuadrado 4 Figura 5 Diagrama de máquina a) Evaluar f132 , f122 y f1 152 . b) Hallar el dominio y el rango de f. c) Trazar el diagrama de máquina para f. Solución a) Los valores de f se hallan al sustituir x en f1x2  x 2. f132  32  9 f12 2  122 2  4 f1 152  1 152 2  5 b) El dominio de f es el conjunto ⺢ de todos los números reales. El rango de f consiste en los valores de f1x2 , es decir, los números de la forma x 2. Puesto que x 2 0 para todos los números reales x, se puede ver que el rango de f es 5y 0 y 06  30, q 2 . c) En la figura 5 se muestra un diagrama de máquina para esta función. ■ SECCIÓN 2.1 ¿Qué es una función? 151 Evaluación de una función En la definición de una función la variable independiente x desempeña el papel de “marcador de posición”. Por ejemplo, la función f1x2  3x 2  x  5 se puede considerar como fÓ Ô3 2  5 Para evaluar f en un número, se sustituye el número para el marcador de posición. Ejemplo 2 Evaluación de una función Sea f1x2  3x 2  x  5. Evalúe cada valor de función. a) f122 b) f102 c) f142 d) fA 12 B Solución Para evaluar f en un número, se sustituye x por el número en la definición de f. a) f122  3 # 122 2  122  5  5 b) f102  3 # 02  0  5  5 c) f142  3 # 42  4  5  47 ■ d) fA 12 B  3 # A 12 B 2  12  5  154 Ejemplo 3 Una función definida por partes Un teléfono celular cuesta $39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20¢. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como C1x 2  e 39 39  0.21x  4002 if 0  x  400 si if x  400 si Determine C(100), C(400) y C(480). Una función por partes se define mediante fórmulas distintas en partes diferentes de su dominio. La función C del ejemplo 3 es definida por partes. Solución Recuerde que una función es una regla. A continuación se explica cómo aplicar la regla para esta función. Primero, se considera el valor de la entrada x. Si 0  x  400, entonces el valor de C1x2 es 39. Por otro lado, si x  400, entonces el valor de C1x2 es 39  0.21x  4002 . Puesto que 100  400, se tiene C(100)  39 Puesto que 400  400, se tiene C(400)  39 Puesto que 480  400, se tiene C(480)  39  0.2(480  400)  55. Por lo tanto, el plan carga $39 por 100 minutos, $39 por 400 minutos y $55 por 480 minutos. ■ Expresiones como la del inciso d) del ejemplo 4 se presentan con frecuencia en cálculo; se llaman cocientes de diferencias, y representan el cambio promedio en el valor de f entre x  a y x  a  h. Ejemplo 4 Evaluar una función Si f1x2  2x  3x  1, evalúe lo siguiente. a) f1a2 b) f1a2 f1a  h2  f1a2 c) f1a  h2 d) , h0 h 2 152 CAPÍTULO 2 Funciones Solución a) f1a2  2a2  3a  1 b) f1a2  21a2 2  31a2  1  2a2  3a  1 c) f1a  h2  21a  h2 2  31a  h 2  1  21a 2  2ah  h 2 2  31a  h2  1  2a 2  4ah  2h 2  3a  3h  1 d) Con los resultados de los incisos c) y a), se tiene 12a2  4ah  2h2  3a  3h  12  12a2  3a  12 f 1a  h2  f1a2  h h  Ejemplo 5 4ah  2h 2  3h  4a  2h  3 h ■ Peso de un astronauta Si un astronauta pesa 130 libras en la superficie de la Tierra, entonces su peso cuando está h millas arriba de la Tierra se expresa mediante la función „1h2  130 a 2 3960 b 3960  h a) ¿Cuál es su peso cuando está 100 millas sobre la Tierra? b) Construya una tabla de valores para función „ que dé el peso a alturas de 0 a 500 millas. ¿Qué concluye de la tabla? El peso de un objeto sobre o cerca de la Tierra es la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre él. Cuando está en órbita alrededor de la Tierra, un astronauta experimenta la sensación de “ingravidez” porque la fuerza centrípeta que lo mantiene en órbita es exactamente la misma que la atracción gravitacional de la Tierra. Solución a) Se desea el valor de la función „ cuando h  100; es decir, se debe calcular „1100 2 . „11002  130 a 2 3960 b  123.67 3960  100 Por lo tanto, a una altura de 100 millas, pesa 124 lb. b) La tabla proporciona el peso del astronauta, redondeado a la libra más cercana, en incrementos de 100 millas. Los valores de la tabla se calculan como en el inciso a). h „ 1h2 0 100 200 300 400 500 130 124 118 112 107 102 La tabla indica que mientras más alto vaya el astronauta pesa menos. ■ SECCIÓN 2.1 ¿Qué es una función? 153 Dominio de una función Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de las entradas para la función. El dominio de una función se puede expresar de forma explícita. Por ejemplo, si se escribe f1x2  x 2, 0x5 Los dominios de las expresiones algebraicas se describen en la página 35. entonces el dominio es el conjunto de los números reales para los cuales 0  x  5. Si la función está dada por una expresión algebraica y el dominio no se enuncia de manera explícita, entonces por convención el dominio de la función es el dominio de la expresión algebraica —es decir, el conjunto de los números reales para los que la expresión se define como un número real. Por ejemplo, considere las funciones f1x 2  1 x4 g1x2  1x La función f no está definida en x  4, así que su dominio es {x 0 x  4}. La función g no está definida para x negativa, así que su dominio es { x 0 x  0}. Ejemplo 6 Determinación de dominios de funciones Halle el dominio de cada función.. 1 a) f1x2  2 b) g1x2  29  x 2 x x c) h1t2  t 1t  1 Solución a) La función no está definida cuando el denominador es 0. Puesto que f1x2  1 1  x1x  12 x x 2 se puede observar que f1x2 no está definida cuando x  0 o x  1. Así, el dominio de f es 5x 0 x  0, x  16 El dominio se puede escribir en notación de intervalo como 1q, 02  10, 12  11, q 2 b) No se puede sacar la raíz cuadrada de una cantidad negativa, así que se debe tener 9  x 2 0. Con los métodos de la sección 1.7, se puede resolver esta desigualdad para hallar que 3  x  3. Así, el dominio de g es 5x 0 3  x  36  33, 34 c) No se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo, y tampoco se puede dividir entre cero, así que se debe tener t  1  0, es decir, t  1. Por lo tanto, el dominio de h es 5t 0 t  16  11, q 2 ■ Cuatro formas de representar una función Para ayudar a entender lo que es una función, se han empleado diagramas de máquina y flechas. Se puede describir una función específica en las cuatro formas siguientes: ■ ■ verbal (mediante una descripción en palabras) algebraica (mediante una fórmula explícita) 154 CAPÍTULO 2 Funciones ■ ■ visual (por medio de una gráfica) numérica (por medio de una tabla de valores) Una función simple se puede representar por las cuatro formas, y suele ser útil ir de una representación a otra para comprender mejor la función. Sin embargo, ciertas funciones se describen de manera más natural con un método que con otros. Un ejemplo de una descripción verbal es P(t) es “la población del mundo en el momento t” La función P se puede describir también de forma numérica si se da una tabla de valores (véase la tabla 1 en la página 386). Una representación útil del área de un círculo como una función de su radio es la fórmula algebraica A1r2  pr 2 La gráfica producida mediante un sismógrafo (véase el cuadro) es una representación visual de la función de aceleración vertical a1t2 del suelo durante un terremoto. Como un ejemplo final, considere la función C1„2 , que se describe de forma verbal como “el costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso „”. La forma más conveniente de describir esta función es numéricamente; es decir, con una tabla de valores. En este libro se emplearán las cuatro representaciones de funciones. Se resumen en el siguiente cuadro. Cuatro formas de representar una función Verbal Algebraica Con palabras: Por medio de una fórmula: A1r2  pr 2 PÓtÔ es la “población del mundo en el instante t” Relación de la población P y el tiempo t Área de un círculo Visual Numérica Por medio de una gráfica: Por medio de una tabla de valores: a (cm/s2) 1 00 50 5 10 15 20 25 30 t (s) −50 „ (onzas) C 1„2 (dólares) 0„1 1„2 2„3 3„4 4„5 .. . 0.37 0.60 0.83 1.06 1.29 .. . Fuente: Calif. Depto. de Minas y Geología Aceleración vertical durante un terremoto Costo de enviar una carta por correo de primera clase SECCIÓN 2.1 ¿Qué es una función? 2.1 Ejercicios 1–4 ■ Exprese la regla en notación de función. (Por ejemplo, la regla “eleve al cuadrado, luego reste 5” se expresa como la función f 1x 2  x 2  5.) 3. Reste 5, luego eleve al cuadrado 4. Saque la raíz cuadrada, sume 8, luego multiplique por 13 Exprese la función (o regla) en palabras. x4 5. f 1x2  3 x 6. g1x 2   4 3 7. h1x 2  x  2 8. k1x2  2x  2 2 9–10 ■ Trace un diagrama de máquina para la función. 9. f 1x 2  2x  1 11–12 ■ 10. f 1x2  Complete la tabla. 11. f 1x2  21x  1 2 2 ■ x g1x 2 3 2 0 1 3 Evalúe la función en los valores indicados. 13. f 1x 2  2x  1; f 11 2 , f 122 , f A 12 B, f 1a 2 , f 1a 2 , f 1a  b 2 14. f 1x 2  x  2x; 2 1 f 10 2 , f 132 , f 13 2 , f 1a 2, f 1x2 , f a b a 1x 15. g1x2  ; 1x g12 2 , g12 2 , gA 12 B, f 12 2, f 102, f A 12 B, f 122 , f 1x  12 , f 1x 2  22 20. f 1x 2  0x0 x ; 1 f 122 , f 112 , f 10 2, f 152 , f 1x 2 2, f a b x 21–24 ■ Evalúe la función definida por partes en los valores indicados. 21. f 1x 2  e 12. g1x 2  0 2x  3 0 1 0 1 2 3 13–20 3 x2 19. f 1x2  2 0 x  1 0 ; x2 x1 if x  0 si if x 0 si f 122, f 112 , f 102 , f 11 2, f 122 f 1x 2 x f 10 2, f 122 , f 122 , f 1 12 2, f 1x  1 2, f 1x2 x f 102, f 112, f 112 , f A 32 B, f a b , f 1x 2 2 2 2. Divida entre 7, después reste 4 ■ 17. f 1x 2  2x 2  3x  4; 18. f 1x 2  x 3  4x 2; 1. Sume 5, luego multiplique por 2 5–8 155 g1a 2 , g1a  1 2 , g112 1 16. h1t 2  t  ; t 1 h11 2 , h112 , h122 , hA 12 B, h1x2 , h a b x 22. f 1x 2  e 5 2x  3 if x  2 si if x  2 si f 132, f 102 , f 12 2, f 13 2, f 152 x 2  2x 23. f 1x2  cx 1 if x  1 si if 1  x  1 si si if x  1 3x 24. f 1x 2  cx  1 1x  22 2 if x  0 si if 0  x  2 si if x  2 si f 142 , f A32 B, f 112, f 102 , f 125 2 f 15 2, f 102, f 112 , f 12 2, f 152 25–28 ■ Use la función para evaluar las expresiones indicadas y simplifique. 25. f 1x 2  x 2  1; f 1x  22 , f 1x 2  f 12 2 26. f 1x 2  3x  1; f 12x 2, 2f 1x 2 27. f 1x2  x  4; f 1x 2 2, 1f 1x 22 2 x f 1x 2 28. f 1x 2  6x  18; f a b , 3 3 29–36 ■ Halle f 1a 2 , f 1a  h 2 , y el cociente de diferencias f 1a  h 2  f 1a2 , donde h  0. h 29. f 1x 2  3x  2 30. f 1x 2  x 2  1 156 CAPÍTULO 2 Funciones 31. f 1x 2  5 32. f 1x 2  1 x1 33. f 1x 2  34. f 1x2  2x x1 x x1 35. f 1x 2  3  5x  4x 2 37–58 ■ 36. f 1x 2  x 3 Encuentre el dominio de la función. 38. f 1x 2  x 2  1 37. f 1x 2  2x 39. f 1x 2  2x, 1  x  5 40. f 1x 2  x  1, 0x5 2 41. f 1x 2  1 x3 42. f 1x2  1 3x  6 43. f 1x2  x2 x2  1 44. f 1x2  x4 x x6 2 45. f 1x 2  2x  5 46. f 1x2  2x  9 3 47. f 1t2  2t  1 48. g1x 2  27  3x 49. h1x2  22x  5 50. G1x2  2x 2  9 51. g1x 2  22  x 3x 4 52. g1x 2  1x 2x 2  x  1 4 53. g1x2  2x 2  6x 54. g1x 2  2x 2  2x  8 55. f 1x 2  56. f 1x2  57. f 1x 2  3 2x  4 1x  1 2 2 22x  1 58. f 1x2  desde la parte alta de un edificio alto o desde un avión a la altura h está dada por la función D1h 2  22rh  h 2 donde r  3960 millas es el radio de la Tierra y D y h se miden en millas. a) Determine D10.1 2 y D10.22 . b) ¿Qué tan lejos puede ver desde la terraza de la torre CN de Toronto, situada a 1135 pies desde el nivel del suelo? c) La aviación comercial vuela a una altitud de cerca de 7 millas. ¿Qué tan lejos puede ver el piloto? 62. Ley de Torricelli Un depósito contiene 50 galones de agua, que drenan desde un orificio en el fondo, lo cual causa que el depósito se vacíe en 20 minutos. El depósito drena más rápido cuando está casi lleno porque la presión del orificio es mayor. La ley de Torricelli da el volumen de agua que permanece en el depósito después de t minutos como V1t2  50 a 1  t 2 b 20 0  t  20 a) Determine V102 y V1202 . b) ¿Qué representan sus respuestas del inciso a)? c) Elabore una tabla de valores de V1t2 para t  0, 5, 10, 15, 20. x2 26  x x 4 2 9  x2 Aplicaciones 59. Costo de producción El costo C en dólares de producir x yardas de cierta tela se expresa mediante la función C 1x 2  1500  3x  0.02x 2  0.0001x 3 a) Halle C1102 y C1100 2 . b) ¿Qué representan sus respuestas del inciso a)? c) Encuentre C10 2 . (Este número representa los costos fijos.) 60. Área de una esfera El área de superficie S de una esfera es una función de su radio r dada por S1r2  4pr 2 a) Determine S12 2 y S13 2 . b) ¿Qué representan sus respuestas del inciso a)? 61. ¿Qué tan lejos puede ver? Debido a la curvatura de la Tierra, la distancia máxima D que una persona puede ver 63. Flujo de sangre Cuando la sangre se mueve por una vena o arteria, su velocidad √ es mayor a lo largo del eje central y disminuye a medida que se incrementa la distancia r desde el eje central (véase la figura). La fórmula que da √ como una función de r se llama ley de flujo laminar. Para una arteria con radio 0.5 cm, se tiene √1r 2  18,50010.25  r 2 2 0  r  0.5 a) Determine √10.1 2 y √10.42 . b) ¿Qué indican las respuestas del inciso a) acerca del flujo de sangre en esta arteria? c) Construya una tabla de valores de √1r 2 para r  0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5. 0.5 cm r SECCIÓN 2.1 ¿Qué es una función? 64. Tamaño de la pupila Cuando se incrementa la brillantez x de una fuente de luz, el ojo reacciona disminuyendo el radio R de la pupila. La dependencia de R en x está dada por la función R1x 2  13  7x B 1  4x 0.4 0.4 a) Encuentre R11 2 , R110 2 y R1100 2 . b) Elabore una tabla de valores de R1x 2 . 65. Relatividad De acuerdo con la teoría de la relatividad, la longitud L de un objeto es una función de su velocidad √ con respecto a un observador. Para un objeto cuya longitud en reposo es 10 m, la función está dada por L1√ 2  10 B 1 66. Impuesto sobre la renta En cierto país, el impuesto sobre la renta T se evalúa de acuerdo con la siguiente función de ingreso x: 67. Compras por Internet Una librería por Internet cobra $15 por envío para pedidos menores a $100, pero el envío es gratis para pedidos de $100 o más. El costo C de un pedido es una función del precio total x de los libros comprados, dada por x  15 x if x  100 si if x 100 si (a) Encuentre C1752 , C190 2, C1100 2 y C11052 . (b) ¿Qué representan las respuestas al inciso a)? 68. Costo de estancia en un hotel Una cadena de hoteles cobra $75 por noche para las dos primeras noches y $50 por cada noche adicional. El costo total T es una función del número de noches x que permanece un huésped. a) Complete las expresiones en la siguiente función definida por partes. T1x 2  e if 0  x  40 si si if 40  x  65 si if x  65 b) Determine F130 2, F1502 y F175 2 . c) ¿Qué representan las respuestas del inciso b)? POLICE 70. Altura del césped Una persona poda el césped todos los miércoles por la tarde. Bosqueje una gráfica aproximada de la altura del césped como una función del tiempo en el curso de un periodo de cuatro semanas comenzando en un domingo. if 0  x  10,000 si if 10,000  x  20,000 si if 20,000  x si a) Encuentre T15,000 2, T112,0002 y T125,0002 . b) ¿Qué representan las respuestas al inciso a)? C1x2  e 69. Multas por exceso de velocidad En cierto estado la velocidad máxima permitida en las autopistas es 65 millas/h y la mínima es 40. La multa F por violar estos límites es $15 por cada milla arriba del máximo o abajo del mínimo. a) Complete las expresiones en la siguiente función definida por partes, donde x es la velocidad a la que conduce una persona. √2 c2 donde c es la velocidad de la luz. a) Determine L10.5c2 , L10.75c2 y L10.9c 2 . b) ¿Cómo cambia la longitud de un objeto cuando se incrementa su velocidad? 0 T1x 2  c0.08x 1600  0.15x b) Determine T122 , T132 y T152 . c) ¿Qué representan las respuestas del inciso b)? F1x 2  c R 157 if 0  x  2 si si if x  2 71. Cambio de temperatura Se coloca un pastel congelado en un horno y se calienta durante una hora. Luego se saca y se deja enfriar antes de comerlo. Trace una gráfica aproximada de la temperatura del pastel como una función del tiempo. 72. Cambio diario de temperatura Las lecturas de temperatura T (en ºF) se registraron cada dos horas desde la medianoche hasta el mediodía en Atlanta, Georgia, el día 18 de marzo de 1996. El tiempo t se midió en horas desde la media noche. Trace una gráfica aproximada de T como una función de t. t 0 2 4 6 8 10 12 T 58 57 53 50 51 57 61 158 CAPÍTULO 2 Funciones 73. Crecimiento de la población La población P (en miles) de San José, California, de 1988 a 2000 se muestra en la tabla. (Se dan las estimaciones de medio año.) Dibuje una gráfica aproximada de P como una función del tiempo t. t P 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 733 782 800 817 838 861 895 2.2 Descubrimiento • Debate 74. Ejemplos de funciones Al comienzo de esta sección se analizaron tres ejemplos de funciones ordinarias de la vida diaria: la estatura es una función de la edad, la temperatura es una función de la fecha y el costo postal es una función del peso. Dé tres ejemplos de funciones de la vida diaria. 75. Cuatro formas de representar una función En el cuadro de la página 154 se representaron cuatro funciones diferentes de manera verbal, algebraica, visual y numérica. Considere una función que se pueda representar en las cuatro formas y escriba las cuatro representaciones. Gráficas de funciones La forma más importante de representar una función es por medio de su gráfica. En esta sección se investiga con más detalle el concepto de graficar funciones. Graficación de funciones y Óx, ÏÔ La gráfica de una función Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados 51x, f1x22 0 x  A6 Ï f(2) f(1) 0 1 2 x x Figura 1 La altura de la gráfica arriba del punto x es el valor de f 1x 2 . En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos 1x, y2 tales que y  f1x2 ; es decir, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y  f1x 2 . La gráfica de una función f da un cuadro del comportamiento o “historia de vida” de la función. Se puede leer el valor de f1x2 de la gráfica como la altura de la gráfica arriba del punto x (véase figura 1). Una función f de la forma f1x2  mx  b se llama función lineal porque su gráfica es la de la ecuación y  mx  b, que representa una recta con pendiente m y y-ordenada al origen b. Un caso especial de una función lineal se presenta cuando la pendiente es m  0. La función f1x2  b, donde b es un determinado número, se llama función constante porque todos sus valores son el mismo número, a saber, b. Su gráfica es la recta horizontal y  b. En la figura 2 se muestran las gráficas de la función constante f1x2  3 y la función lineal f1x2  2x  1. SECCIÓN 2.2 Gráficas de funciones 159 y y 4 y=3 y= 2x+1 2 1 0 _2 Figura 2 2 4 6 0 x La función constante Ï=3 Ejemplo 1 x 1 La función lineal Ï= 2x+1 Graficación de funciones Trace las gráficas de las siguientes funciones. a) f1x2  x 2 b) g1x2  x 3 c) h1x 2  1x Solución Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos expresados en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la gráfica. Las gráficas se bosquejan en la figura 3. x f 1x2  x 2 x 0 0 0 1 4 1 2 1 8 1 4 9 1 2  12 1 2 1 8  18 1 8 0  12 1 2 3 g1x 2  x 3 y y (_2, 4) (_1, 1) 0 y= ! 21 , 41 @ 0 1 12 13 2 15 y=œx y=x£ x (_1, _1) (2, œ2) 1 2 3 0 1 2 3 4 5 (2, 8) (1, 1) !_ 21 , 41 @ h1x 2  1x y (2, 4) 3 x (1, 1) 1 x 0 (4, 2) (1, 1) x 1 (_2, _8) Figura 3 a) Ï= b) ˝=x£ c) h(x)=œx ■ Una forma conveniente de graficar una función es usar una calculadora de graficación, como en el ejemplo siguiente. 160 CAPÍTULO 2 Funciones Ejemplo 2 3 x§ x¢ _2 x™ Una familia de funciones exponenciales a) Grafique las funciones f1x2  x n para n  2, 4 y 6 en el rectángulo de visión 32, 24 por 31, 34. b) Grafique las funciones f1x2  x n para n  1, 3 y 5 en el rectángulo de visión 32, 24 por 32, 24. c) ¿Qué conclusiones puede sacar de estas gráficas? 2 _1 a) Potencias pares de x x x£ x 2 _2 2 Solución Las gráficas de los incisos a) y b) se muestran en la figura 4. c) Se ve que la forma general de la gráfica de f1x2  x n depende de si n es par o impar. Si n es par, la gráfica de f1x2  x n es similar a la parábola y  x 2. Si n es impar, la gráfica de f1x2  x n es similar a la de y  x 3. ■ Observe en la figura 4 que cuando n crece la gráfica de y  x n se vuelve más plana cerca de cero y más inclinada cuando x  1. Cuando 0  x  1, las potencias menores de x son las funciones “más grandes”. Pero cuando x  1, las potencias mayores de x son las funciones dominantes. _2 b) Potencias impares de x Figura 4 Una familia de funciones exponenciales f 1x2  x n Obtención de información de la gráfica de una función Los valores de una función se representan por la altura de su gráfica arriba del eje x. Así, los valores de una función se pueden leer de su gráfica. Ejemplo 3 Halle los valores de una función a partir de una gráfica La función T graficada en la figura 5 da la temperatura entre el mediodía y las 6 P.M. en cierta estación meteorológica. a) Determine T112, T132 y T152 . b) ¿Qué es más grande, T122 o T142 ? T (°F) 40 30 20 10 Figura 5 Función de temperatura 0 1 2 3 4 5 6 x Horas a partir del mediodía Solución a) T112 es la temperatura a la 1 P.M. Está representada por la altura de la gráfica sobre el eje x en x  1. Por lo tanto, T112  25. De manera similar, T132  30 y T152  10. b) Puesto que la gráfica es mayor en x  2 que en x  4, se deduce que T122 es más grande que T142 . ■ SECCIÓN 2.2 Gráficas de funciones 161 La gráfica de una función ayuda a ilustrar el dominio y el rango de la función en el eje x y el eje y como se muestra en la figura 6. y y=Ï Rango Figura 6 Dominio y rango de f Ejemplo 4 0 Dominio x Halle el dominio y el rango de una gráfica a) Use una calculadora de graficación para trazar la gráfica de f1x2  24  x 2. b) Halle el dominio y el rango de f. Solución a) La gráfica se muestra en la figura 7. Rango=[0, 2] Figura 7 Gráfica de f 1x 2  24  x 2 _2 0 2 Dominio=[_ 2, 2] b) De la gráfica de la figura 7 se ve que el dominio es 32, 24 y el rango es 30, 24. ■ Graficación de funciones definidas por partes Una función por partes se define mediante fórmulas distintas en diferentes partes de su dominio. Como se podría esperar, la gráfica de tal función consiste en trozos separados. Ejemplo 5 Gráfica de una función definida por partes Bosqueje la gráfica de la función f 1x2  e x2 2x  1 si if x  1 si if x  1 Solución Si x  1, entonces f1x2  x 2, así que la parte de la gráfica a la izquierda de x  1 coincide con la gráfica de y  x 2, que se bosquejó en la figura 3. Si x  1, entonces f1x2  2x  1, de modo que la parte de la gráfica a la derecha 162 CAPÍTULO 2 Funciones En muchas calculadoras de graficación, la gráfica de la figura 8 se puede producir por medio de funciones lógicas en la calculadora. Por ejemplo, en la TI-83 la siguiente ecuación da la gráfica requerida: de x  1 coincide con la recta y  2x  1, que se grafica en la figura 2. Esto permite trazar la gráfica en la figura 8. El punto sólido en (1, 1) indica que este punto está incluido en la gráfica; el punto abierto en (1, 3) indica que este punto está excluido de la gráfica. y Y1  1X  12 X^ 2  1X  12 12X  12 5 Figura 8 _2 2 f 1x 2  e _1 (Para evitar la línea vertical extraña entre las dos partes de la gráfica, ponga la calculadora en el modo Dot (punto).) Ejemplo 6 f(x) = 2x + 1 si x > 1 f(x) = x2 si x  1 2 x 2x  1 1 if x  1 si if x  1 si 0 1 x ■ Gráfica de la función valor absoluto Trace la gráfica de la función valor absoluto f1x2  0 x 0 . Solución Recuerde que 0x0  e x x si if x 0 si if x  0 Con el mismo método del ejemplo 5, se nota que la gráfica de f coincide con la recta y  x a la derecha del eje y y coincide con la recta y  x a la izquierda del eje y (véase figura 9). y 1 Figura 9 Gráfica de f 1x2  0 x 0 0 1 x ■ La función máximo entero se define por “x‘  máximo entero menor que o igual a x Por ejemplo, “2‘  2, “2.3‘  2, “ 1.999‘  1, “0.002‘  0, “ 3.5‘  4, “0.5‘  1. Ejemplo 7 Gráfica de la función máximo entero Bosqueje la gráfica de f(x)  “ x‘. Solución La tabla muestra los valores de f para algunos valores de x. Note que f1x2 es constante entre enteros consecutivos de modo que la gráfica entre enteros es un segmento de recta horizontal como se muestra en la figura 10. SECCIÓN 2.2 Gráficas de funciones x “x‘ y .. . 2  x  1 1  x  0 0x 1 1x 2 2x 3 .. . ... 2 1 0 1 2 .. . 1 0 1 163 x Figura 10 La función máximo entero, y  “x‘ ■ La función máximo entero es un ejemplo de una función escalón. En el ejemplo siguiente se da un ejemplo del mundo real de una función escalón. Ejemplo 8 La función costo para llamadas telefónicas de larga distancia El costo de una llamada telefónica diurna de larga distancia desde Toronto a Mumbai, India, es 69 centavos para el primer minuto y 58 centavos por cada minuto adicional (o parte de un minuto). Dibuje la gráfica del costo C (en dólares) de la llamada telefónica como una función del tiempo t (en minutos). C Solución Sea C1t2 el costo por t minutos. Puesto que t  0, el dominio de la función es 10, q 2 . De la información suministrada, se tiene C1t2  0.69 1 0 1 Figura 11 Costo de una llamada de larga distancia t C1t 2  0.69  0.58  1.27 C1t 2  0.69  210.582  1.85 C1t2  0.69  310.582  2.43 if 0  t  1 si if 1  t  2 si if 2  t  3 si if 3  t  4 si y así sucesivamente. La gráfica se muestra en la figura 11. ■ Prueba de la línea vertical La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿qué curvas en el plano xy son gráficas de funciones? Esto se contesta mediante la prueba siguiente. Prueba de la línea vertical Una curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y sólo si ninguna línea vertical corta la curva más de una vez. 164 CAPÍTULO 2 Funciones Se puede ver de la figura 12 por qué es cierta la prueba de la línea vertical. Si cada línea vertical x  a corta una curva sólo una vez en 1a, b2 , entonces f1a2  b define exactamente un valor funcional. Pero si una línea x  a corta la curva dos veces en 1a, b2 y en 1a, c2 , entonces la curva no puede representar una función porque una función no puede asignar dos valores diferentes para a. y y x=a x=a (a, c) (a, b) 0 a (a, b) 0 x Gráfica de una función a x No es una gráfica de una función Figura 12 Prueba de la línea vertical Ejemplo 9 Uso de la prueba de la línea vertical Con la prueba de la línea vertical, se ve que las curvas de los incisos b) y c) de la figura 13 representan funciones, no así para el caso de los incisos a) y d). y 0 a) y x 0 b) y y 0 x c) Figura 13 x 0 x d) ■ Ecuaciones que definen funciones Cualquier ecuación en las variables x y y define una relación entre estas variables. Por ejemplo, la ecuación y  x2  0 define una relación entre y y x. ¿Esta ecuación define a y como una función de x? Para investigar, se despeja y, y se obtiene y  x2 SECCIÓN 2.2 Gráficas de funciones 165 Standford University News Service Se ve que la ecuación define una regla, o función, que da un valor de y para cada valor de x. Se puede expresar esta regla en notación de función como Donald Knuth nació en Milwaukee en 1938 y es profesor emérito de computación en la Universidad de Stanford. Aún como estudiante de licenciatura en Caltech, comenzó a escribir una serie monumental de libros titulados The art of Computer Programming. El presidente Carter le otorgó la medalla nacional de Ciencia en 1979. Cuando Knuth era alumno de secundaria, se fascinó con las gráficas de funciones y de manera laboriosa trazó muchos cientos de ellas porque quería ver el comportamiento de una gran variedad de funciones. (En la actualidad, por supuesto, es bastante fácil usar las computadoras y calculadoras de graficación para hacer esto.) Knuth es famoso por su invención de TEX, un sistema de composición tipográfica asistido por computadora. Este sistema se empleó en la preparación del manuscrito para este libro. También escribió una novela titulada Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathemátics and Found Total Happiness. El doctor Knuth ha recibido numerosos honores, entre ellos la elección como asociado de la Academia Francesa de Ciencias y como profesor invitado de la Royal Society. f1x2  x 2 Pero no toda ecuación define a y como una función de x, como se ve en el ejemplo siguiente. Ejemplo 10 Ecuaciones que definen funciones ¿La ecuación define a y como una función de x? a) y  x 2  2 b) x 2  y 2  4 Solución a) Si se expresa y en términos de x se obtiene y  x2  2 y  x2  2 Sumar x2 La última ecuación es una regla que da un valor de y para cada valor de x, así que define a y como una función de x. Se puede escribir la función como f1x2  x 2  2. b) Se intenta expresar y en términos de x: x2  y2  4 y2  4  x2 y   24  x 2 Restar x2 Sacar las raíces cuadradas De la última ecuación se obtienen dos valores de y para un determinado valor de x. Por lo tanto, la ecuación no define a y como una función de x. ■ Las gráficas de las ecuaciones del ejemplo 10 se muestran en la figura 14. La prueba de la línea vertical muestra de forma gráfica que la ecuación del ejemplo 10(a) define una función pero la ecuación del ejemplo 10(b) no. y y y- =2 +¥=4 1 0 1 0 Figura 14 1 a) x b) 1 x 166 CAPÍTULO 2 Funciones En la tabla siguiente se muestran las gráficas de algunas funciones que se verán con frecuencia en este libro. Funciones lineales Ï=mx+b y y b b x x Ï=b Funciones exponenciales Ï=x n Ï=mx+b y y y y x x x x Ï=≈ Funciones de raíz Ï=nœ∑ x Ï=x£ y y x £x Ï= œ∑ Ï=œ∑ x y y x x ¢x Ï=œ ∑ ∞x Ï=œ∑ y x Ï= Función valor absoluto Ï=|x | Ï=x∞ y x Funciones recíprocas Ï=1/x n Ï=x¢ x 1 x Ï= 1 ≈ Función entero máximo Ï=“x‘ y y 1 x Ï=| x | 1 Ï=“x‘ x SECCIÓN 2.2 Gráficas de funciones 2.2 Ejercicios 1–22 ■ Trace la gráfica de la función construyendo primero una tabla de valores. 1. f 1x2  2 2. f 1x 2  3 3. f 1x 2  2x  4 4. f 1x 2  6  3x 25. Se dan las gráficas de las funciones f y g. a) ¿Cuál es más grande, f 10 2 o g102 ? b) ¿Cuál es más grande, f 132 o g132 ? c) ¿Para qué valores de x es f 1x2  g1x2 ? y 5. f 1x 2  x  3, 3  x  3 6. f 1x 2  x3 , 2 g 0x5 7. f 1x 2  x 2 f 8. f 1x 2  x 2  4 10. g1x 2  4x 2  x 4 9. g1x 2  x 3  8 11. g1x 2  1x  4 13. F1x2  167 _2 12. g1x 2  1x 14. F1x 2  1 x 1 x4 15. H1x2  0 2x 0 16. H1x 2  0 x  1 0 17. G1x 2  0 x 0  x 18. G1x2  0 x 0  x 19. f 1x 2  0 2x  2 0 20. f 1x2  21. g1x 2  22. g1x2  2 x2 x 0x0 2 0 x 2 _2 26. Se da la gráfica de la función f. a) Estime f 10.52 al décimo más próximo. b) Estime f 13 2 al décimo más próximo. c) Encuentre los números x en el dominio de f para los que f 1x 2  1. 0x0 x2 f 23. Se da la gráfica de una función h. a) Determine h122 , h10 2 , h12 2 y h13 2 . b) Halle el dominio y el rango de h. 2 _2 y 0 2 x _2 3 h 0 _3 x 3 27–36 24. Se da la gráfica de una función g. a) Determine g14 2 , g122 , g10 2 , g12 2 y g142 . b) Halle el dominio y el rango de g. y g _3 3 0 ■ Se tiene una función f. a) Emplee una calculadora de graficación para trazar la gráfica de f. b) Halle el dominio y el rango de f a partir de la gráfica. 27. f 1x 2  x  1 28. f 1x 2  21x  12 31. f 1x 2  4  x 2 32. f 1x 2  x 2  4 29. f 1x 2  4 33. f 1x 2  216  x2 35. f 1x 2  1x  1 3 x 37–50 ■ 30. f 1x 2  x 2 34. f 1x 2   225  x 2 36. f 1x 2  1x  2 Bosqueje la gráfica de la función definida por partes. 37. f 1x 2  e 0 1 if x  2 si if x 2 si 168 CAPÍTULO 2 Funciones 38. f 1x 2  e 1 x1 if x  1 si if x  1 si 53–54 ■ Se da la gráfica de la función definida por partes. Determine una fórmula para la función en la forma indicada. 39. f 1x 2  e 3 x1 if x  2 si if x 2 si 53. y 2 1x 40. f 1x 2  e 5 if x  2 si if x 2 si 0 x x1 42. f 1x2  e 2x  3 3x if x  1 si if x 1 si 1 43. f 1x 2  c1 1 si if x  1 if 1  x  1 si if x  1 si 1 44. f 1x2  cx 1 si if x  1 if 1  x  1 si if x  1 si 45. f 1x 2  e si if x  1 if x  1 si 54. f 1x2  c si if x  1 if 1  x  2 si if x  2 si y 2 0 1x 46. f 1x 2  e x f 1x 2  c if x  0 si if x  0 si 41. f 1x 2  e 2 x2 x 2 if x  2 si if 2  x  2 si if x  2 si 2 if 0 x 0  2 si if 0 x 0  2 si x2 48. f 1x 2  b 1 if 0 x 0  1 si if 0 x 0  1 si x 50. f 1x2  c9  x 2 x3 2x  x 2 52. f 1x2  e 1x  1 2 3 Determine si la curva es la gráfica de una función de x. b) y 0 c) if x  2 si if 2  x  2 si if x  2 si si if x  0 if 0  x  3 si if x  3 si 51–52 ■ Emplee un dispositivo de graficación para trazar la gráfica de la función definida por partes. (Véase la nota al margen en la página 162.) x2 51. f 1x 2  e 2 x 55. a) ■ y if x  2 si if x  2 si 0 47. f 1x2  e 3 4 49. f 1x 2  cx 2 x  6 55–56 x 1 if x  1 si if si x  1 if x  1 si if x  1 si y 0 56. a) c) d) b) y 0 d) x x y 0 x x y 0 x y 0 0 x x y 0 x SECCIÓN 2.2 Gráficas de funciones 57–60 ■ Determine si la curva es la gráfica de una función x. En caso afirmativo, exprese el dominio y el rango de la función. 57. y 58. 2 0 59. y 2 x 2 y 0 60. x 3 3 77. f 1x 2  x c a) c  12, 14, 16 ; 31, 44 por 31, 34 b) c  1, 13, 15 ; 33, 34 por 32, 24 c) ¿Cómo afecta la gráfica el valor de c? y 2 79–82 0 x 76. f 1x 2  cx 2 a) c  1, 12, 2, 4; 35, 54 por 310, 104 b) c  1, 1,  12, 2; 35, 54 por 310, 104 c) ¿Cómo afecta la gráfica el valor de c? 78. f 1x 2  1/x n a) n  1, 3; 33, 34 por 33, 34 b) n  2, 4; 33, 34 por 33, 34 c) ¿Cómo afecta la gráfica el valor de n? ■ Encuentre una función cuya gráfica es la curva dada. 79. El segmento de recta que une los puntos 12, 1 2 y 14, 6 2 1 0 169 2 x 80. El segmento de recta que une los puntos 13, 22 y 16, 3 2 81. La mitad superior del círculo x 2  y 2  9 82. La mitad inferior del círculo x 2  y 2  9 Aplicaciones 61–72 ■ Determine si la ecuación define a y como una función de x. (Véase el ejemplo 10.) 61. x 2  2y  4 62. 3x  7y  21 63. x  y 2 64. x 2  1 y  1 2 2  4 65. x  y 2  9 66. x 2  y  9 67. x 2 y  y  1 68. 1x  y  12 69. 2 0 x 0  y  0 71. x  y 3 70. 2x  0 y 0  0 72. x  y 4 83. Función peso La gráfica da el peso de cierta persona como una función de la edad. Describa en palabras cómo el peso de esta persona ha variado con el tiempo. ¿Qué cree que sucedió cuando esta persona tenía 30 años de edad? 200 Peso (libras) 74. f 1x 2  1x  c 2 2 a) c  0, 1, 2, 3; 35, 54 por 310, 104 b) c  0, 1, 2, 3; 35, 54 por 310, 104 c) ¿Cómo afecta la gráfica el valor de c? 75. f 1x 2  1x  c2 3 a) c  0, 2, 4, 6; 310, 104 por 310, 104 b) c  0, 2, 4, 6; 310, 104 por 310, 104 c) ¿Cómo afecta la gráfica el valor de c? 100 50 73–78 ■ Se da una familia de funciones. En los incisos a) y b) grafique los miembros dados de la familia en el rectángulo de visión indicado. En el inciso c) exprese las conclusiones que pueda deducir de sus gráficas. 73. f 1x 2  x 2  c a) c  0, 2, 4, 6; 35, 54 por 310, 104 b) c  0, 2, 4, 6; 35, 54 por 310, 104 c) ¿Cómo afecta la gráfica el valor de c? 150 0 10 20 30 40 50 60 Edad (años) 70 84. Función distancia La gráfica da una distancia del vendedor desde su casa como una función del tiempo en cierto día. Describa en palabras lo que indica la gráfica acerca de su viaje en este día. Distancia desde casa (millas) 8 A.M. 10 MEDIO DÍA 2 4 Tiempo (horas) 6 P.M. 170 CAPÍTULO 2 Funciones 85. Carrera con obstáculos Tres corredores compiten en una carrera de 100 metros con obstáculos. En la gráfica se ilustra la distancia como una función del tiempo para cada corredor. Describa en palabras lo que indica la gráfica acerca de esta competencia. ¿Quién ganó esta carrera? ¿Cada corredor termina la carrera? ¿Qué cree que le sucedió al corredor B? y (m) A 100 B 0 C 20 89. Función para taxis Una compañía de taxis cobra $2.00 por la primera milla (o parte de una milla) y 20 centavos por cada décima de milla sucesiva (o parte). Exprese el costo C (en dólares) de un viaje como una función de la distancia x recorrida (en millas) para 0  x  2, y trace la gráfica de esta función. t (s) 86. Consumo de energía En la figura se muestra el consumo de energía en San Francisco para el 19 de septiembre de 1996 (P se mide en megawatts; t se mide en horas comenzando a la medianoche). a) ¿Cuál fue el consumo de energía a las 6 A.M.? ¿A las 6 P.M.? b) ¿Cuándo fue mínimo el consumo de energía? c) ¿Cuándo fue máximo el consumo de energía? P (MW) 800 600 400 200 0 3 6 9 12 15 18 21 t (h) Fuente: Pacific Gas & Electric 87. Terremoto En la gráfica se muestra la aceleración vertical del suelo desde el terremoto de Northridge en 1994 en Los Ángeles, medida mediante un sismógrafo. (Aquí t representa el tiempo en segundos.) a) ¿En qué tiempo t el terremoto produjo primero movimientos notables de la tierra? b) ¿En qué tiempo t al parecer terminó el terremoto? c) ¿En qué tiempo t el terremoto alcanzó la máxima intensidad? a (cm/s2) 1 00 50 5 88. Tarifas eléctricas Westside Energy cobra a sus clientes una tarifa base de $6.00 por mes, más 10¢ por kilowatt-hora (kWh) por los primeros 300 kWh empleados y 6¢ por kWh para todo consumo mayor de 300 kWh. Suponga que un cliente utiliza x kWh de electricidad en un mes. a) Exprese el costo mensual E como una función de x. b) Grafique la función E para 0  x  600. 10 1 5 20 25 30 t (s) −50 Fuente: Calif. Dept. de Minas y Geología 90. Tarifas postales La tarifa doméstica de correos para cartas de primera clase que pesan 12 onzas o menos es 37 centavos por la primera onza (o parte de una onza). Exprese los gastos de envío P como una función del peso x de una carta, con 0  x  12, y trace la gráfica de esta función. Descubrimiento • Debate 91. ¿Cuándo una gráfica representa una función? Para cada entero n, la gráfica de la ecuación y  x n es la gráfica de una función, a saber f 1x 2  x n. Explique por qué la gráfica de x  y 2 no es la gráfica de una función de x. ¿La gráfica de x  y 3 es la gráfica de una función de x? Si es así, ¿de qué función de x es la gráfica? Determine para qué n enteros la gráfica de x  y n es la gráfica de una función de x. 92. Funciones escalón En el ejemplo 8 y los ejercicios 89 y 90 se dan funciones cuyas gráficas consisten en segmentos de recta horizontales. Esta clase de funciones se llama funciones escalón, porque sus gráficas se asemejan a escaleras. Dé algunos otros ejemplos de funciones escalón que surgen en la vida diaria. 93. Funciones escalón extendidas Bosqueje las gráficas de las funciones f(x)  “ x‘, g(x)  “ 2x‘ y h(x)  “ 3x‘ en gráficas separadas. ¿Cómo se relacionan las gráficas? Si n es un entero positivo, ¿a qué se parece la gráfica de k(x)  “ nx‘? 94. Gráfica del valor absoluto de una función a) Dibuje las gráficas de las funciones f 1x 2  x 2  x  6 y g1x2  0 x 2  x  6 0 . ¿Cómo se relacionan las gráficas de f y g? b) Trace las gráficas de las funciones f 1x 2  x4  6x 2 y g1x 2  0 x 4  6x 2 0 . ¿Cómo se relacionan las gráficas de f y g? c) En general, si g1x2  0 f 1x2 0 , ¿cómo se relacionan las gráficas de f y g ¿Dibuje las gráficas para ilustrar su respuesta. SECCIÓN 2.2 Gráficas de funciones 171 Relaciones y funciones PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Una función f se puede representar como un conjunto de pares ordenados 1x, y2 donde x es la entrada y y  f1x2 es la salida. Por ejemplo, la función que eleva al cuadrado cada número natural se puede representar mediante los pares ordenados 511, 12, 12, 42, 13, 92, . . .6. Una relación es cualquier colección de pares ordenados. Si los pares ordenados de una relación se denotan por 1x, y2 entonces el conjunto de valores de x (o entradas) es el dominio y el conjunto de valores de y (o salidas) es el rango. Con esta terminología una función es una relación donde para cada valor x hay exactamente un valor y (o para cada entrada hay exactamente una salida). Las correspondencias en la figura de abajo son relaciones: la primera es una función pero la segunda no porque la entrada 7 en A corresponde a dos salidas diferentes, 15 y 17, en B. A B A B 1 10 7 20 8 15 17 18 19 2 3 4 30 Función No es una función Se puede describir una relación si se listan los pares ordenados en la relación o si se da la regla de correspondencia. También, puesto que una relación consiste en pares ordenados se puede trazar su gráfica. Considérense las relaciones siguientes e intente decidir cuáles son funciones. y 3 2 1 _1 0 9 1 2 3 x La relación que consiste en los pares ordenados 511, 12, 12, 32, 13, 32, 14, 22 6. La relación que consiste en los pares ordenados 511, 22, 11, 32, 12, 42, 13, 22 6. La relación cuya gráfica se muestra a la izquierda. La relación cuyos valores de entrada son los días de enero de 2005 y cuyos valores de salida son la temperatura máxima en Los Ángeles en ese día. e) La relación cuyos valores de entrada son los días de enero de 2005 y cuyos valores de salida son las personas nacidas en Los Ángeles en ese día. a) b) c) d) La relación del inciso a) es una función porque cada entrada corresponde a exactamente una salida. Pero la relación del inciso b) no lo es, porque la entrada 1 corresponde a dos salidas diferentes (2 y 3). La relación del inciso c) no es una función porque la entrada 1 corresponde a dos salidas diferentes (1 y 2). La relación en d) es una función porque cada día corresponde a exactamente una temperatura máxima. La relación en e) no es una función porque muchas personas (no sólo una) nacieron en Los Ángeles en muchos días de enero de 2005. 1. Sea A  51, 2, 3, 46 y B  51, 0, 16. ¿La relación dada es una función de A y B? a) 511, 02, 12, 12, 13, 02, 14, 12 6 b) 511, 02, 12, 12, 13, 02, 13, 12, 14, 02 6 172 CAPÍTULO 2 Funciones 2. Determine si la correspondencia es una función. a) A b) B 1 2 3 4 5 A B C D A B 1 2 3 4 5 A B C D 3. Los datos siguientes se obtuvieron de miembros de una clase universitaria de precálculo. ¿Es una función el conjunto de pares ordenados 1x, y2 ? a) 6'6" 6'0" 5'6" 5'0" c) b) x y Altura Peso 72 pulg. 60 pulg. 60 pulg. 63 pulg. 70 pulg. 180 lb 204 lb 120 lb 145 lb 184 lb x y x Edad Número de ID 19 21 40 21 21 82-4090 80-4133 66-8295 64-9110 20-6666 Año de graduación 2005 2006 2007 2008 2009 y Número de graduados 2 12 18 7 1 4. Una ecuación en x y y define una relación, la cual puede ser una función o no (véase la página 164). Decida si la relación que consiste en los pares ordenados de números reales 1x, y2 que satisfacen la condición dada es una función. a) y  x 2 CENTRAL WIRELESS abc def 2 3 ghi jkl mno 4 5 6 pqrs tuv wxyz 7 8 9 1 oper 0 b) x  y 2 c) x  y d) 2x  7y  11 5. En la vida diaria se encuentran muchas relaciones que pueden definir funciones o no. Por ejemplo, se hace corresponder a las personas con su número o números telefónicos, a los jugadores de béisbol con sus promedios de bateo o a los varones casados con sus esposas. ¿Esta última correspondencia define una función? En una sociedad en la que cada varón casado tiene exactamente una esposa la regla es una función. Pero la regla no es una función. ¿Cuáles de las siguientes relaciones cotidianas son funciones? a) x es la hija de y (x y y son mujeres en Estados Unidos). b) x es más alta que y (x y y son personas en California). c) x ha recibido tratamiento dental de y (x y y son millonarios en Estados Unidos). d) x es un dígito (0 a 9) en un número telefónico y y es una letra correspondiente. SECCIÓN 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio 2.3 173 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio* Las funciones se emplean con frecuencia para modelar cantidades cambiantes. En esta sección se aprende cómo determinar si una función es creciente o decreciente, y cómo hallar la tasa a la cual sus valores cambian cuando cambia la variable. Funciones crecientes y decrecientes Es muy útil saber dónde sube la gráfica de una función y donde baja. La gráfica mostrada en la figura 1 sube, baja, luego sube de nuevo conforme se va de izquierda a derecha: sube de A a B, baja de B a C, y sube de nuevo de C a D. Se dice que la función f es creciente cuando su gráfica sube y decreciente cuando su gráfica baja. y f es creciente. B f es decrecien te. D C f es creciente. y=Ï A 0 b a c d x Figura 1 f es creciente en [a, b] y [c, d]. f es decreciente en [b, c]. Se tiene la siguiente definición. Definición de funciones crecientes y decrecientes f es creciente en un intervalo I si f1x1 2  f1x2 2 siempre que x1  x2 en I. f es decreciente en un intervalo I si f1x1 2  f1x2 2 siempre que x1  x2 en I. y y f f f(x¤) f(x⁄) f(x⁄) 0 x⁄ x¤ x f es creciente * También se le llama razón de cambio promedio. 0 x⁄ f(x¤) x¤ f es decreciente x 174 CAPÍTULO 2 Funciones Ejemplo 1 Intervalos en los que una función crece y decrece La gráfica de la figura 2 da el peso W de una persona a la edad x. Determine los intervalos en los que la función W es creciente y en los que es decreciente. W (lb) 200 150 100 50 Figura 2 Peso como una función de la edad 0 10 20 30 40 50 60 70 80 x (año) Solución La función es creciente en [0, 25] y [35, 40]. Es decreciente en [40, 50]. La función es constante (ni creciente ni decreciente) en [25, 35] y [50, 80]. Esto significa que la persona ganó peso hasta la edad de 25 años, luego ganó peso de nuevo entre los 35 y 40 años. Perdió peso entre los 40 y 50 años. Ejemplo 2 ■ Uso de una gráfica para hallar intervalos donde la función crece y disminuye a) Trace la gráfica de la función f1x2  x 2/3. b) Halle el dominio y el rango de la función. c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye. Algunas calculadoras de graficación, como la TI-82, no evalúan x 2/3 [introducida como x^12/32 ] para x negativa. Para graficar una función como f 1x2  x 2/3, se introduce como y1  1x^11/3 22^2 porque estas calculadoras evalúan de manera correcta potencias de la forma x^11/n 2 . Las calculadoras más recientes, como la TI-83 y la TI-86, no tienen este problema. Solución a) Se emplea una calculadora de graficación para trazar la gráfica de la figura 3. b) De la gráfica se observa que el dominio de f es ⺢ y el rango es 30, q 2 . c) De la gráfica se ve que f es decreciente en 1q, 04 y creciente en 30, q 2 . ■ 10 Figura 3 Gráfica de f 1x 2  x 2/3 _20 20 _1 Tasa de cambio promedio Se está familiarizado con el concepto de velocidad: si conduce una distancia de 120 millas en dos horas, entonces su velocidad promedio, o tasa de recorrido, es 120 mi 2 h  60 mi/h. SECCIÓN 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio 175 Ahora suponga que realiza un viaje en automóvil y registra la distancia que recorre cada cierto número de minutos. La distancia s que ha recorrido es una función del tiempo t: s(t)  distancia total recorrida en el tiempo t Se grafica la función s como se muestra en la figura 4. En la gráfica se observa que se ha recorrido un total de 50 millas después de una hora, 75 millas después de dos horas, 140 millas después de tres horas, etc. Para hallar la velocidad promedio entre dos puntos cualesquiera en el viaje, se divide la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Se calcula la velocidad promedio entre la 1:00 P.M. y 4:00 P.M. El tiempo transcurrido es 4  1  3 horas. Para hallar la distancia recorrida, se resta la distancia a la 1:00 P.M. de la distancia a las 4:00 P.M., es decir, 200  50  150 millas. Así, la velocidad promedio es distancia recorrida 150 millas velocidad promedio    65 millas/h tiempo transcurrido 3 horas s (mi) 200 150 mi La velocidad promedio recién calculada se puede expresar con notación de función: 100 velocidad promedio  3h 0 1 2 Figura 4 Velocidad promedio 3 4 t (h) s(4)  s(1) 200  50   50 millas/h 41 3 Hay que observar que la velocidad promedio es diferente en intervalos de tiempo distintos. Por ejemplo, entre las 2:00 P.M. y 3:00 P.M. se encuentra que velocidad promedio  140  75 s(3)  s(2)   65 millas/h 32 1 Determinar las tasas de cambio promedio es importante en muchos contextos. Por ejemplo, se puede tener interés en saber qué tan rápido desciende la temperatura del aire cuando se aproxima una tormenta, o qué tan rápido crecen los ingresos por la venta de un nuevo producto. Por lo tanto, se necesita saber cómo determinar la tasa de cambio promedio de funciones que modelan estas cantidades. De hecho, el concepto de tasa de cambio promedio se puede definir para cualquier función. Tasa de cambio promedio La tasa de cambio promedio de la función y  f1x2 entre x  a y x  b es tasa de cambio promedio  cambio en y f(b)  f (a)  cambio en x ba La tasa de cambio promedio es la pendiente de la recta secante entre x  a y x  b en la gráfica de f, es decir, la recta que pasa por 1a, f1a22 y 1b, f1b22. y f(b)-f(a) tasa de cambio promedio= b-a f(b) y=Ï f(b)-f(a) f(a) b-a 0 a b x 176 CAPÍTULO 2 Funciones y Ejemplo 3 9 1 0 Cálculo de la tasa de cambio promedio Para la función f1x2  1x  32 2, cuya gráfica se muestra en la figura 5, encuentre la tasa de cambio promedio entre los puntos siguientes: a) x  1 y x  3 b) x  4 y x  7 16 1 Figura 5 f1x2  1x  3 2 2 3 4 7 x Solución f(3)  f (1) a) Tasa de cambio promedio  31 13  32 2  11  32 2  31 04  2  2 f(7)  f(4) 37  4 2 17  32  14  32 2  74 b) Tasa de cambio promedio   Ejemplo 4 Definición Emplee f 1x 2  1x  32 2 Definición Emplee f 1x 2  1x  32 2 16  1 5 3 ■ Velocidad promedio de un objeto en descenso Si se deja caer un objeto desde un edificio alto, entonces la distancia que ha descendido después de t segundos está dada por la función d1t 2  16t 2. Encuentre su velocidad promedio (tasa de cambio promedio) en los siguientes intervalos: a) Entre 1 s y 5 s b) Entre t  a y t  a  h Solución d(5)  d(1) a) Tasa de cambio promedio  51  16152 2  16112 2 51  400  16  96 pies/s ft/s 4 b) Tasa de cambio promedio      Definición Emplee d1t2  16t 2 d(a  h)  d(a) (a  h)  a Definición 161a  h2 2  161a2 2 1a  h2  a Emplee d1t2  16t 2 161a 2  2ah  h 2  a 2 2 Desarrolle y factorice 16 h 1612ah  h 2 2 h 16h12a  h2 h  1612a  h2 Simplifique el numerador Factorice h Simplifique ■ SECCIÓN 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio 177 La tasa promedio de cambio calculada en el ejemplo 4(b) se conoce como cociente de diferencias. En cálculo se emplean los cocientes de diferencias para calcular las tasas de cambio instantáneas. Un ejemplo de una tasa de cambio instantánea es la velocidad mostrada en el odómetro de su automóvil. Ésta cambia de un instante al siguiente a medida que cambia la velocidad del automóvil. Tiempo Temperatura (°F) 8:00 A.M. 9:00 A.M. 10:00 A.M. 11:00 A.M. 12:00 MEDIODÍA 1:00 P.M. 2:00 P.M. 3:00 P.M. 4:00 P.M. 5:00 P.M. 6:00 P.M. 7:00 P.M. 38 40 44 50 56 62 66 67 64 58 55 51 Ejemplo 5 Tasa promedio de cambio de temperatura En la tabla aparecen las temperaturas externas que un estudiante de ciencias observó en un día de primavera. Trace una gráfica de los datos y determine la tasa promedio de cambio de temperatura entre los siguientes tiempos: a) 8:00 A.M. y 9:00 A.M. b) 1:00 P.M. y 3:00 P.M. c) 4:00 P.M. y 7:00 P.M. Solución En la figura 6 se muestra una gráfica de los datos de temperatura. Sea t el tiempo, medido en horas desde la medianoche (de modo que las 2:00 P.M., por ejemplo, corresponden t  14). Defina la función F por F(t)  temperatura en el tiempo t °F 70 a) Tasa de cambio promedio  60 50 40 30 0 8 Figura 6 10 12 14 16 18 h temperatura a las 9 A.M.  temperatura a las 8 A.M. 98  F192  F182 98  40  38 2 98 La tasa de cambio promedio fue 2 F por hora. b) Tasa de cambio promedio   temperatura a las 3 P.M.  temperatura a las 1 P.M. 15  13 F1152  F1132 15  13 67  62  2.5 2 La tasa de cambio promedio fue 2.5 F por hora.  c) Tasa de cambio promedio   temperatura a las 7 P.M.  temperatura a las 4 P.M. 19  16 F1192  F1162 19  16 51  64  4.3 3 La tasa de cambio promedio fue de casi 4.3F por hora durante este intervalo de tiempo. El signo negativo indica que la temperatura descendió. ■  178 CAPÍTULO 2 Funciones Matemáticas en el mundo moderno Computadoras Durante siglos las máquinas han sido diseñadas para efectuar tareas específicas. Por ejemplo, una lavadora lava la ropa, una tejedora teje ropa, una sumadora suma números, etc. La computadora ha cambiado todo eso. La computadora es la máquina que no hace nada, hasta que recibe instrucciones sobre qué hacer. Así, su computadora puede jugar juegos, trazar imágenes o calcular p hasta un millón de cifras decimales; todo depende de qué programa (o instrucciones) le dé a la computadora. La computadora puede hacer todo esto porque puede aceptar y cambiar de manera lógica las instrucciones con base en los datos entrantes. Esta versatilidad hace a las computadoras útiles en casi todo aspecto del esfuerzo humano. El matemático Allan Turing describió de manera teórica en la década de los cuarentas la idea de una computadora (véase la página 103) en lo que llamó una máquina universal. En 1945 el matemático John Von Neumann, ampliando las ideas de Turing, construyó una de las primeras computadoras electrónicas. Los matemáticos continúan con el desarrollo de nuevas bases teóricas para el diseño de computadoras. El corazón de la computadora es el “chip”, que es capaz de procesar instrucciones lógicas. Para tener una idea de la complejidad del chip, considere que el chip Pentium ¡tiene más de 3.5 millones de circuitos lógicos! Las gráficas de la figura 7 muestran que si una función es creciente en un intervalo, entonces la tasa de cambio promedio entre dos puntos cualesquiera es positiva, mientras que si una función es decreciente en un intervalo, entonces la tasa de cambio promedio entre dos puntos cualesquiera es negativa. y y y=Ï y=Ï Pendiente> 0 Pendiente< 0 0 a 0 x b ƒ creciente Tasa de cambio promedio positiva a b x ƒ decreciente Tasa de cambio promedio negativa Figura 7 Ejemplo 6 Las funciones lineales tienen tasa de cambio constante Sea f 1x2  3x  5. Determine la tasa de cambio promedio de f entre los puntos siguientes. a) x  0 y x  1 b) x  3 y x  7 c) x  a y x  a  h ¿Qué conclusión puede sacar de sus respuestas? Solución a) Tasa de cambio promedio   b) Tasa de cambio promedio   c) Tasa de cambio promedio   f112  f102 10  12 2  152 1 13 # 1  52  13 # 0  52 1 3 13 # 7  52  13 # 3  52 f172  f132  73 4 16  4 3 4 331a  h2  54  3 3a  54 f1a  h2  f1a2  1a  h2  a h 3h 3a  3h  5  3a  5  3 h h Al parecer la tasa de cambio promedio siempre es 3 para esta función. De hecho, el inciso c) provee la tasa de cambio entre dos puntos arbitrarios x  a y x  a  h es 3. ■ Como indica el ejemplo 6, para una función lineal f1x2  mx  b, la tasa de cambio promedio entre dos puntos cualesquiera es la pendiente m de la recta. Esto concuerda con lo aprendido en la sección 1.10, que la pendiente de una recta representa la tasa de cambio de y con respecto a x. SECCIÓN 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio 2.3 Ejercicios 1–4 ■ Se da la gráfica de una función. Determine los intervalos en los que la función es a) creciente y b) decreciente. y 1. 179 2. 14. y 4 y 2 1 1 0 0 y 3. 4. x 1 x 1 0 5 x 1 5 x 5 x y 15. y 1 6 1 1 0 x 1 1 x 5–12 ■ Se da una función f. a) Emplee un dispositivo de graficación para trazar la gráfica de f. b) Exprese de forma aproximada los intervalos en los que f es creciente y en los que f es decreciente. 5. f 1x 2  x 0 16. y 4 2/5 6. f 1x 2  4  x 2/3 2 7. f 1x 2  x 2  5x 8. f 1x 2  x 3  4x _1 0 9. f 1x 2  2x 3  3x 2  12x 10. f 1x 2  x 4  16x 2 17–28 ■ Dada una función, determine la tasa de cambio promedio de la función entre los valores dados de la variable. 11. f 1x 2  x  2x  x  2 3 2 12. f 1x 2  x 4  4x 3  2x 2  4x  3 13–16 ■ Se da la gráfica de una función. Determine la tasa de cambio promedio de la función entre los valores indicados de la variable. 13. 17. f 1x2  3x  2; x  2, x  3 18. g1x2  5  x; x  1, x  5 1 2 19. h1t 2  t  2t; 2 20. f 1z 2  1  3z ; 2 21. f 1x 2  x  4x ; 3 y 2 t  1, t  4 z  2, z  0 x  0, x  10 5 22. f 1x 2  x  x ; x  1, x  3 3 24. f 1x2  4  x ; 4 23. f 1x 2  3x 2; 1 25. g1x2  ; x 1 0 x  2, x  2  h 2 1 4 x 26. g1x 2  x  1, x  1  h x  1, x  a 2 ; x  0, x  h x1 180 CAPÍTULO 2 Funciones 2 27. f 1t2  ; t 28. f 1t2  1t ; t  a, t  a  h t  a, t  a  h 29–30 ■ Se da una función lineal. a) Encuentre la tasa de cambio promedio de la función entre x  a y x  a  h. b) Muestre que la tasa de cambio promedio es la misma que la pendiente de la recta. 29. f 1x2  12 x  3 30. g1x 2  4x  2 Aplicaciones 31. Niveles de agua cambiantes En la gráfica se observa la profundidad del agua W en un depósito en un periodo de un año, como una función del número de días x desde el comienzo del año. a) Determine los intervalos en los que la función W es creciente y en los que es decreciente. b) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de W entre x  100 y x  200? W (pies) 100 75 50 25 0 100 200 300 x (días) 32. Crecimiento y disminución poblacional En la gráfica se muestra la población P en una pequeña ciudad industrial de 1950 a 2000. La variable x representa el número de años desde 1950. a) Determine los intervalos en los que la función P es creciente y en los que es decreciente. b) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de P entre x  20 y x  40? c) Interprete el valor de la tasa de cambio promedio que encontró en el inciso b). P (miles) 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 x (años) 33. Crecimiento y disminución poblacional En la tabla se da la población en una pequeña comunidad costera para el periodo 1997-2006. Las cifras mostradas son para el primero de enero de cada año. a) ¿Cuál fue la tasa de cambio promedio de la población entre 1998 y 2001? b) ¿Cuál fue la tasa de cambio promedio de la población entre 2002 y 2004? c) ¿Para qué periodo la población fue creciente? d) ¿Para qué periodo la población fue decreciente? Año Población 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 624 856 1336 1578 1591 1483 994 826 801 745 34. Velocidad de carrera Un hombre corre alrededor de una pista circular de 200 m. Un observador emplea un cronómetro para registrar el tiempo del corredor al final de cada vuelta, y obtiene los datos de la tabla siguiente. a) ¿Cuál es la velocidad (tasa) promedio del hombre entre 68 s y 152 s? b) ¿Cuál es la velocidad promedio del hombre entre 263 s y 412 s? c) Calcule la velocidad del hombre para cada vuelta. ¿Baja su velocidad, aumenta o permanece constante? Tiempo (s) Distancia (m) 32 68 108 152 203 263 335 412 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 35. Ventas de reproductor de CD En la tabla se muestra el número de reproductores de CD vendidos en tiendas pequeñas de aparatos electrónicos en los años 1993 a 2003. (a) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de ventas entre 1993 y 2003? SECCIÓN 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio b) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de ventas entre 1993 y 1994? c) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de ventas entre 1994 y 1996? d) ¿Entre qué par de años sucesivos se incrementaron con más rapidez las ventas de reproductores de CD, disminuyeron con más rapidez? b) Describa las diferencias entre la manera en que los tres corredores corren la competencia. d (m) 100 A B 50 Año Reproductores de CD vendidos 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 512 520 413 410 468 510 590 607 732 612 584 1980 1981 1982 1985 1990 1992 1995 1997 1998 1999 2000 420 460 5 10 t (s) 38. Tasas de cambio variables: concavidad En las dos tablas y gráficas se dan las distancias que recorre un automóvil de carreras durante porciones de 10 s de una competencia. En cada caso, calcule la velocidad promedio a la que viaja el automóvil entre los puntos de datos observados. ¿La velocidad es creciente o decreciente? En otras palabras, ¿el automóvil acelera o desacelera en cada uno de estos intervalos? ¿Cómo la forma de la gráfica indica si el automóvil acelera o desacelera? (Se dice que la primera gráfica es cóncava hacia arriba y la segunda es cóncava hacia abajo.) 36. Colección de libros Entre 1980 y 2000, un coleccionista de libros raros compra libros para su colección a una tasa de 40 libros por año. Use esta información para completar la tabla siguiente. (Hay que obserar que faltan los datos para algunos años.) Número de libros C 0 a) Año 181 Tiempo Distancia (s) (pies) 0 2 4 6 8 10 b) 0 34 70 196 490 964 Tiempo Distancia (s) (pies) 30 32 34 36 38 40 5208 5734 6022 6204 6352 6448 d (pies) 800 600 400 200 0 2 4 6 8 1 0 t (s) d (pies) 6400 6000 5600 5200 0 30 40 t (s) 1220 Descubrimiento • Debate 37. Carrera de 100 metros Una carrera de 100 m termina en un empate triple por el primer lugar. En la gráfica se muestra la distancia como una función del tiempo para cada uno de los tres ganadores. a) Halle la velocidad promedio para cada ganador. 39. Funciones que son siempre crecientes o decrecientes Bosqueje las gráficas aproximadas de funciones que están definidas para los números reales y que exhiben el comportamiento indicado (o explique por qué es imposible el comportamiento). a) f es creciente siempre y f 1x2  0 para toda x b) f es decreciente siempre y f 1x 2  0 para toda x c) f es creciente siempre y f 1x 2  0 para toda x d) f es decreciente siempre f 1x 2  0 para toda x 182 CAPÍTULO 2 Funciones 2.4 Transformaciones de funciones En esta sección se estudia cómo ciertas transformaciones de una función afectan su gráfica. Esto proporciona una mejor comprensión de cómo graficar funciones. Las transformaciones que se estudian son desplazamiento, reflexión y estiramiento. Desplazamiento vertical Sumar una constante a una función desplaza su gráfica en dirección vertical: hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si es negativa. Ejemplo 1 Desplazamientos verticales de gráficas Use la gráfica de f1x2  x 2 para trazar la gráfica de cada función. a) g1x2  x 2  3 b) h1x2  x 2  2 Solución La función f1x2  x 2 se graficó en el ejemplo 1(a), sección 2.2. Se traza de nuevo en la figura 1. a) Observe que g1x2  x 2  3  f1x2  3 Así que la coordenada y de cada punto sobre la gráfica de g está tres unidades arriba del punto correspondiente sobre la gráfica de f. Esto significa que para graficar g se desplaza la gráfica de f hacia arriba tres unidades, como en la figura 1. g(x) = x2 + 3 y f(x) = x2 h(x) = x 2 – 2 2 0 2 x Figura 1 b) De manera similar, para graficar h se desplaza la gráfica de f hacia abajo dos unidades, como se muestra. Recuerde que la gráfica de la función f es la misma que la gráfica de la ecuación y  f1x2 . ■ En general, suponga que se conoce la gráfica de y  f1x2 . Cómo se obtienen de ésta las gráficas de y  f1x2  c and y y  f1x2  c 1c  02 La coordenada y de cada punto sobre la gráfica de y  f1x2  c está c unidades arriba de la coordenada y del punto correspondiente sobre la gráfica de y  f1x2 . Así, la gráfica de y  f1x2  c se obtiene simplemente al desplazar c unidades hacia arriba la gráfica de y  f1x2 . De manera similar, se obtiene la gráfica de y  f1x2  c al desplazar c unidades hacia abajo la gráfica de y  f1x2 . SECCIÓN 2.4 Transformaciones de funciones 183 Desplazamientos verticales de gráficas Suponga que c  0. Para graficar y  f1x2  c, desplace c unidades hacia arriba la gráfica de y  f1x2 . Para graficar y  f1x 2  c, desplace c unidades hacia abajo la gráfica de y  f1x2 . y y y=f(x)+c c y=f(x) c y=f(x) 0 Ejemplo 2 0 x y=f(x)-c x Desplazamientos verticales de gráficas Use la gráfica de f1x2  x 3  9x, que se trazó en el ejemplo 12, sección 1.8, para bosquejar la gráfica de cada función. a) g1x2  x 3  9x  10 b) h1x2  x 3  9x  20 Solución La gráfica de f se traza de nuevo en la figura 2. a) Para graficar g la gráfica de f se desplaza 10 unidades hacia arriba, como se muestra. b) Para graficar h la gráfica de f se desplaza 20 unidades hacia abajo, como se muestra. f(x) = x3 – 9x y 30 _4 _2 2 4 x g(x) = x 3 – 9x + 10 _30 Figura 2 h(x) = x 3 – 9x – 20 ■ Desplazamiento horizontal Suponga que se conoce la gráfica de y  f1x 2 . ¿Cómo se emplea para obtener las gráficas de y  f1x  c2 and y  f1x  c2 1c  02 y El valor de f1x  c2 en x es el mismo que el valor de f1x 2 en x  c. Puesto que x  c está c unidades a la izquierda de x, se deduce que la gráfica de y  f1x  c2 184 CAPÍTULO 2 Funciones es la gráfica de y  f1x2 desplazada a la derecha c unidades. Con un razonamiento similar se demuestra que la gráfica de y  f1x  c2 es la gráfica de y  f 1x 2 desplazada a la izquierda c unidades. En el cuadro siguiente se resumen estos hechos. Desplazamientos horizontales de gráficas Supóngase que c  0. Para graficar y  f1x  c 2 , desplace la gráfica de y  f1x2 a la derecha c unidades. Para graficar y  f1x  c2 , desplace la gráfica de y  f1x2 a la izquierda c unidades. y y y=f(x-c) y=f(x+c) y=Ï y=Ï c c 0 Ejemplo 3 0 x x Desplazamientos horizontales de gráficas Use la gráfica de f1x2  x 2 para trazar la gráfica de cada función. a) g1x2  1x  42 2 b) h1x2  1x  22 2 Solución a) Para graficar g, la gráfica de f se desplaza 4 unidades a la izquierda. b) Para graficar h, la gráfica de f se desplaza 2 unidades a la derecha. Las gráficas de g y h se bosquejan en la figura 3. g(x) = (x + 4)2 f(x) = x2™ y h(x) = (x – 2)2 1 Figura 3 Ejemplo 4 _4 0 1 x ■ Combinación de desplazamientos horizontales y verticales Bosqueje la gráfica de f1x2  1x  3  4. Solución Se empieza con la gráfica de y  1x (ejemplo 1(c), sección 2.2) y se desplaza a la derecha 3 unidades para obtener la gráfica de y  1x  3. Luego, la SECCIÓN 2.4 Transformaciones de funciones 185 gráfica resultante se desplaza 4 unidades hacia arriba para obtener la gráfica de f1x2  1x  3  4 mostrada en la figura 4. y 4 f(x) = x – 3 + 4 (3, 4) y= x y= x–3 0 Figura 4 x 3 ■ Reflexión de gráficas Suponga que se conoce la gráfica de y  f1x2 . ¿Cómo se emplea para obtener las gráficas de y  f1x2 y y  f1x 2 ? La coordenada y de cada punto sobre la gráfica de y  f1x2 es simplemente el negativo de la coordenada y del punto correspondiente en la gráfica de y  f1x2 . Por lo tanto, la gráfica deseada es la reflexión de la gráfica de y  f1x2 en el eje x. Por otro lado, el valor de y  f1x2 en x es el mismo que el valor de y  f1x2 en x por consiguiente, la gráfica deseada aquí es la reflexión de la gráfica de y  f1x2 en el eje y. En el cuadro siguiente se resumen estas observaciones. Reflexión de gráficas Para graficar y  f1x2 , refleje la gráfica de y  f1x2 en el eje x. Para graficar y  f1x 2 , refleje la gráfica de y  f1x2 en el eje y. y y y=Ï y=Ï 0 y=_Ï y 0 x x y=f(_x) y=x™ 2 Ejemplo 5 2 x f(x)=_x ™ Figura 5 Reflexión de gráficas Trace la gráfica de cada función (a) f1x2  x 2 (b) g1x2  1x Solución a) Se empieza con la gráfica de y  x 2. La gráfica de f1x2  x 2 es la gráfica de y  x 2 reflejada en el eje x (véase figura 5). 186 CAPÍTULO 2 Funciones b) Se inicia con la gráfica de y  1x (ejemplo 1(c) en la sección 2.2). La gráfica de g1x2  1x es la gráfica de y  1x reflejada en el eje y (véase figura 6). Note que el dominio de la función g1x2  1x es is 5x 0 x  06. y g(x)=œ_x y=œx 1 0 Figura 6 1 x ■ Estiramiento y acortamiento vertical Suponga que se conoce la gráfica de y  f1x 2 . ¿Cómo se usa para obtener la gráfica de y  cf1x2 ? La coordenada y de y  cf1x 2 en x es la misma que la coordenada y correspondiente de y  f1x2 multiplicada por c. Multiplicar las coordenadas y por c tiene el mismo efecto de alargar y acortar verticalmente la gráfica por un factor de c. Estiramiento y acortamiento vertical de gráficas Para graficar y  cf1x2 : Si c  1, alargue verticalmente la gráfica de y  f1x2 por un factor de c. Si 0  c  1, acorte verticalmente la gráfica de y  f1x2 por un factor de c. y y y=c Ï y=Ï 0 c >1 y f(x) = x2 g(x) = 4 3x2 h(x) = 31 x 2 0 Figura 7 1 x Ejemplo 6 y=Ï x 0 x y=c Ï 0 <c <1 Estiramiento y acortamiento vertical de gráficas Use la gráfica de f1x2  x 2 para trazar la gráfica de cada función. a) g1x2  3x 2 b) h1x2  13 x 2 Solución a) La gráfica de g se obtiene al multiplicar la coordenada y de cada punto sobre la gráfica de f por 3. Es decir, para obtener la gráfica de g se alarga la gráfica de f verticalmente por un factor de 3. El resultado es la parábola más estrecha en la figura 7. b) La gráfica de h se obtiene al multiplicar la coordenada y de cada punto sobre la gráfica de f por 13 . Es decir, para obtener la gráfica de h se acorta verticalmente la gráfica de f por un factor de 13 . El resultado es la parábola más amplia en la figura 7. ■ En el ejemplo siguiente se ilustra el efecto de combinar desplazamientos, reflexiones y estiramiento. SECCIÓN 2.4 Transformaciones de funciones Ejemplo 7 187 Combinación de desplazamiento, estiramiento y reflexión Bosqueje la gráfica de la función f1x2  1  21x  32 2. Solución Comenzando con la gráfica y  x 2, se desplaza primero a la derecha 3 unidades para obtener la gráfica de y  1x  32 2. Luego se refleja en el eje x y se alarga por un factor de 2 para obtener la gráfica de y  21x  32 2. Por último, se desplaza 1 unidad hacia arriba para obtener la gráfica de f1x2  1  21x  32 2 mostrada en la figura 8. y y = (x – 3)2 (3, 1) 1 y = x2 0 x 1 f(x) = 1 – 2(x – 3)2 y = –2(x – 3)2 Figura 8 ■ Alargamiento y estiramiento horizontal Ahora abordaremos el acortamiento y alargamiento horizontal de gráficas. Si se conoce la gráfica de y  f1x2 , entonces ¿cómo se relaciona la gráfica de y  f1cx 2 con ésta? La coordenada y de y  f1cx 2 en x es la misma que la coordenada y de y  f1x2 en cx. Así, las coordenadas x en la gráfica de y  f1x 2 corresponde a las coordenadas x en la gráfica de y  f1cx 2 multiplicadas por c. Considerado de otro modo, se puede observar que las coordenadas x en la gráfica de y  f1cx 2 son las coordenadas x en la gráfica de y  f1x2 multiplicada por 1/c. En otras palabras, para cambiar la gráfica de y  f1x2 a la gráfica de y  f1cx 2 , se debe acortar (o alargar) la gráfica horizontalmente por un factor de 1/c, como se resume en el cuadro siguiente. Acortamiento y alargamiento horizontal de gráficas La gráfica de y  f1cx 2 : Si c  1, acorte la gráfica de y  f1x 2 horizontalmente por un factor de 1/c. Si 0  c  1, alargue la gráfica de y  f1x2 horizontalmente por un factor de 1/c. y y y=f(cx) y=f(cx) 0 x y=Ï c >1 0 x y=Ï 0 <c <1 188 CAPÍTULO 2 Funciones Ejemplo 8 Alargamiento y acortamiento horizontal de gráficas The Granger Collection La gráfica de y  f1x2 se muestra en la figura 9. Trace la gráfica de cada función. a) y  f12x2 b) y  fA 12 xB Sonya Kovalevsky (1850-1891) es considerada la matemática más importante del siglo XIX. Nació en Moscú en una familia aristócrata. En su infancia conoció el cálculo de una manera muy inusual, su recámara fue tapizada temporalmente con las páginas de un libro de cálculo. Ella escribió después que “pasó muchas horas enfrente de esa pared, tratando de entenderla”. Puesto que la ley rusa prohibía a las mujeres estudiar en la universidad, tuvo un casamiento de conveniencia, que le permitió viajar a Alemania y obtener un doctorado en matemáticas de la Universidad de Göttingen. Finalmente obtuvo una plaza de profesor de tiempo completo en la universidad de Estocolmo, donde enseñó durante ocho años antes de morir de influenza a la edad de 41 años. Su investigación fue útil para colocar sobre una base sólida y lógica las ideas y aplicaciones de las funciones y el cálculo. Recibió muchas distinciones y premios por su trabajo de investigación. y 1 Figura 9 y  f 1x2 0 x 1 Solución Con base en los principios descritos en el cuadro precedente, se obtienen las gráficas mostradas en las figuras 10 y 11. y y 1 1 0 1 2 x 1 Figura 10 y  f 12x2 _1 0 1 2 Figura 11 y  f A 12 xB x ■ Funciones par e impar Si una función f satisface f1x 2  f1x2 para todo número x en su dominio, entonces f se llama función par. Por ejemplo, la función f1x2  x 2 es par porque f1x2  1x 2 2  112 2x 2  x 2  f1x2 La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y (véase figura 12). Esto significa que si se ha trazado la gráfica de f para x 0, entonces se puede obtener la gráfica completa simplemente reflejando esta porción en el eje y. Si f satisface f1x 2  f1x2 para todo número x en su dominio, entonces f se llama función impar. Por ejemplo, la función f1x2  x 3 es impar porque f1x 2  1x 2 3  112 3x 3  x 3  f1x2 La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen (véase figura 13). Si se ha trazado la gráfica de f para x 0, entonces se puede obtener la gráfica completa y y Ï=x£ Ï=x™ _x 0 _x 0 x Figura 12 f 1x2  x 2 es una función par. x x Figura 13 f 1x 2  x 3 es una función impar. x SECCIÓN 2.4 Transformaciones de funciones 189 si se gira esta porción 180º respecto al origen. (Esto es equivalente a reflejar primero en el eje x luego en el eje y.) Funciones par e impar Sea f una función. f es par si f1x2  f1x2 para toda x en el dominio de f. f es impar si f1x 2  f1x2 para toda x en el dominio de f y y f(_x) _x Ï 0 x x x 0 f(_x) La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y. Ejemplo 9 Ï _x x La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Funciones par e impar Determine si las funciones son par, impar o ni par ni impar. a) f1x2  x 5  x b) g1x2  1  x 4 c) h1x2  2x  x 2 Solución a) f1x 2  1x2 5  1x2  x 5  x  1x 5  x2  f1x2 Por lo tanto, f es una función impar. b) g1x2  1  1x 2 4  1  x 4  g1x2 Por lo tanto g es par. c) h 1x 2  21x2  1x 2 2  2x  x 2 Puesto que h1x2  h1x2 y h1x2  h1x2 , se concluye que h no es par ni impar. ■ Las gráficas de las funciones del ejemplo 9 se muestran en la figura 14. La gráfica de f es simétrica respecto al origen, y la gráfica de g es simétrica con respecto al eje y. La gráfica de h no es simétrica respecto al eje y o al origen. 2.5 Ï=x + x 2.5 2.5 h(x)=2x-x™ _1.75 Figura 14 1.75 _2.5 a) _2 2 _2.5 b) ˝=1-x ¢ _1 3 _2.5 c) 190 CAPÍTULO 2 Funciones 2.4 Ejercicios 1–10 ■ Suponga que se da la gráfica de f. Describa cómo se puede obtener la gráfica de cada función a partir de la gráfica de f. 1. a) y  f 1x 2  5 4. a) y  f 1x 2 y g b) y  f 1x  5 2 2. a) y  f 1x  7 2 3. a) y  f 1x  14. b) y  f 1x 2  7 b) y  f 1x2  1 22 b) y  f 1x2 5. a) y  2f 1x 2 b) y   12 f 1x2 6. a) y  f 1x 2  5 7. a) y  f 1x  4 2  0 x 1 b) y  3f 1x2  5 b) y  f 1x  4 2  34 3 4 8. a) y  2f 1x  2 2  2 15. y b) y  2f 1x  2 2  2 b) y  f A 14 xB 9. a) y  f 14x 2 10. a) y  f 12x2 f(x)= x b) y  f 12x 2  1 0 x 11–16 ■ Se dan las gráficas de f y g. Encuentre una fórmula para la función g. 11. f(x)=| x| 2 1 2 g y 16. y g f(x) = x2 f(x)= x2 1 0 0 x 1 x g 12. y g 17–18 ■ Se da la gráfica de y  f 1x 2 . Compare cada ecuación con su gráfica. 17. a) y  f 1x  42 f(x) = x3 1 c) y  2f 1x  62 0 d) y  f 12x 2 x 1 y ➁ 13. b) y  f 1x 2  3 6 y 3 g f(x)=| x| _6 _3 ➀ 0 3 1 0 1 x _3 ➂ Ï ➃ 6 x SECCIÓN 2.4 Transformaciones de funciones b) y  f 1x  42 18. a) y  13 f 1x 2 c) y  f 1x  4 2  3 3 22. a) Bosqueje la gráfica de g1x2  1x graficando los puntos. b) Use la gráfica de g para trazar las gráficas de las siguientes funciones. 3 3 i) y  1 ii) y  1 x2 x22 3 3 iii) y  1  1x iv) y  2 1 x d) y  f 1x 2 y ➀ 6 ➃ Ï 3 23–26 ■ Explique cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f. ➁ _6 _3 ➂ 0 191 3 x 6 23. a) f 1x 2  x 2, g1x2  1x  22 2 b) f 1x 2  x 2, g1x2  x 2  2 24. a) f 1x 2  x 3, g1x2  1x  42 3 b) f 1x 2  x 3, g1x2  x 3  4 _3 19. Se da la gráfica de f. Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones. a) y  f 1x  22 b) y  f 1x 2  2 c) y  2f 1x 2 d) y  f 1x2  3 e) y  f 1x 2 f) y  12 f 1x  1 2 y 1 1 x 20. Se da la gráfica de g. Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones. a) y  g1x  1 2 b) y  g1x  1 2 c) y  g1x  2 2 d) y  g1x2  2 e) y  g1x 2  2 f) y  2g1x 2 y 1 1 27–32 ■ Se da una función f y se aplican a su gráfica las transformaciones indicadas (en el orden dado). Escriba la ecuación para la gráfica transformada final. 28. f 1x 2  x 3; desplace hacia abajo 1 unidad y 4 unidades a la izquierda. 29. f 1x 2  1x; desplace 3 unidades a la izquierda, alargue verticalmente por un factor de 5 y refleje en el eje x. 3 30. f 1x 2  1 x; refleje en el eje y, acorte verticalmente por un factor de 12 , y desplace hacia arriba 35 unidades. 31. f 1x 2  0 x 0 ; desplace a la derecha 12 unidad, acorte verticalmente por un factor de 0.1 y desplace hacia abajo 2 unidades. 32. f 1x 2  0 x 0 ; desplace a la izquierda 1 unidad, alargue verticalmente por un factor de 3 y desplace hacia arriba 10 unidades. g 0 26. a) f 1x 2  0 x 0 , g1x2  3 0 x 0  1 b) f 1x 2  0 x 0 , g1x 2   0 x  1 0 27. f 1x 2  x 2; desplace hacia arriba 3 unidades y 2 unidades a la derecha. f 0 25. a) f 1x 2  1x, g1x 2  2 1x b) f 1x 2  1x, g1x2  12 1x  2 x 1 21. a) Bosqueje la gráfica de f 1x 2  mediante la graficación x de los puntos. b) Use la gráfica de f para trazar las gráficas de las siguientes funciones. 1 1 i) y   ii) y  x x1 1 2 iii) y  iv) y  1  x2 x3 33–48 ■ Bosqueje la gráfica de la función, no mediante la graficación de puntos, sino iniciando con la gráfica de una función estándar y aplicando transformaciones. 33. f 1x 2  1x  22 2 34. f 1x 2  1x  7 2 2 37. f 1x 2  x 3  2 38. f 1x 2  x 3 35. f 1x 2  1x  1 2 2 39. y  1  1x 41. y  1x  4  3 1 2 43. y  5  1x  3 2 2 45. y  0 x 0  1 47. y  0 x  2 0  2 36. f 1x 2  1  x 2 40. y  2  1x  1 42. y  3  21x  1 2 2 44. y  13 x3  1 46. y  0 x  1 0 48. y  2  0 x 0 192 CAPÍTULO 2 Funciones 49–52 ■ Grafique las funciones en la misma pantalla con el rectángulo de visión dado. ¿Cómo se relaciona cada gráfica con la gráfica del inciso a)? y 55. 49. Rectángulo de visión 38, 84 por 32, 84 y 56. 1 4 a) y  1 x 4 b) y  1 x5 4 c) y  2 1x  5 4 d) y  4  2 1x  5 1 0 1 0 1 x x 50. Rectángulo de visión 38, 84 por 36, 64 a) y  0 x 0 b) y   0 x 0 c) y  3 0 x 0 57–58 ■ Use la gráfica de f 1x 2  “ x‘ descrita en las páginas 162 a 163 para graficar la función indicada. d) y  3 0 x  5 0 51. Rectángulo de visión 34, 64 por 34, 44 a) y  x 6 57. y  “ 2x‘ b) y  13 x 6 d) y   13 1x  4 2 6 c) y   13 x 6 59. Si f 1x 2  22x  x 2, grafique las siguientes funciones en el rectángulo de visión [5, 5] por [4, 4]. ¿Cómo se relaciona cada gráfica con la del inciso a)? 52. Rectángulo de visión 36, 64 por 34, 44 a) y  1 1x b) y  1 1x  3 c) y  1 2 1x  3 d) y  1 3 2 1x  3 a) y  f 1x 2 53. Se da la gráfica de g. Utilícela para graficar cada una de las siguientes funciones. a) y  g12x 2 y 0 c) y  f A 12 xB 60. Si f 1x 2  22x  x 2, grafique las funciones siguientes en el rectángulo de visión [5, 5] por [4, 4]. ¿Cómo se relaciona cada gráfica con la del inciso a)? a) y  f 1x 2 b) y  f 1x2 e) y  f A 12 xB c) y  f 1x2 61–68 ■ Determine si la función f es par, impar o ninguna. Si f es par o impar, use la simetría para bosquejar su gráfica. g 1 x 54. Se da la gráfica de h. Utilícela para graficar cada una de las funciones siguientes. a) y  h13x 2 b) y  f 12x 2 d) y  f 12x 2 b) y  gA 12 xB 1 58. y  “ 14 x‘ b) y  hA 13 xB 61. f 1x 2  x2 62. f 1x 2  x3 63. f 1x 2  x 2  x 64. f 1x 2  x4  4x 2 65. f 1x 2  x 3  x 66. f 1x 2  3x 3  2x 2  1 3 67. f 1x 2  1  1 x 68. f 1x 2  x  1 x 69. Se muestran las gráficas de f1x 2  x 2  4 y g1x2  0 x 2  4 0 . Explique cómo se obtiene la gráfica de g de la gráfica de f. y h _3 0 3 x 55–56 ■ Se da la gráfica de una función definida para x Complete la gráfica para x  0 para construir a) una función par b) una función impar _2 y y 8 8 4 4 0 2 0. _2 0 2 _4 _4 Ï= x -4 ˝=| -4 | x SECCIÓN 2.5 Funciones cuadráticas; máximos y mínimos 70. Se muestra la gráfica de f 1x 2  x 4  4x 2. Use esta gráfica para trazar la gráfica de g1x 2  0 x 4  4x 2 0 . 4 2 _1 1 3 x _4 71–72 ■ 74. Escalas de temperatura cambiantes La temperatura en cierta tarde se modela mediante la función C1t2  12 t 2  2 y _3 193 donde t representa horas después de las 12 del día 10  t  62 y C se mide en C. a) ¿Qué operaciones de desplazamiento y decrecimiento se tienen que desarrollar en la función y  t 2 para obtener la función y  C1t2 ? b) Suponga que en cambio desea medir la temperatura en F. ¿Qué transformación tendría que aplicar a la función y  C1t2 para llevar a cabo esto? (Use el hecho de que la relación entre grados Celsius y Fahrenheit está dada por F  95 C  32.) Escriba la nueva función y  F1t2 que resulta de esta transformación. Bosqueje la gráfica de cada función. 71. a) f 1x 2  4x  x 2 72. a) f 1x 2  x 3 b) g1x 2  0 4x  x 2 0 b) g1x 2  0 x 3 0 Aplicaciones 73. Crecimiento de las ventas Las ventas anuales de cierta compañía se pueden modelar mediante la función f 1t 2  4  0.01t 2, donde t representa los años desde 1990 y f 1t 2 se mide en millones de dólares. a) ¿Qué operaciones de desplazamiento y acortamiento se deben efectuar en la función y  t 2 para obtener la función y  f 1t2 ? b) Suponga que desea que t represente los años desde 2000 en vez de 1990. ¿Qué transformación tendría que aplicar a la función y  f 1t 2 para llevar a cabo esto? Escriba la nueva función y  g1t2 que resulta de esta transformación. 2.5 Descubrimiento • Debate 75. Sumas de funciones par e impar Si f y g son funciones pares, ¿f  g es necesariamente par? Si ambas son impares, ¿su suma es necesariamente impar? ¿Qué puede decir acerca de la suma si una es impar y una es par? En cada caso, demuestre su respuesta. 76. Productos de funciones par e impar Conteste las mismas preguntas que en el ejercicio 75, excepto que esta vez considere el producto de f y g en lugar de la suma. 77. Funciones exponenciales par e impar ¿Qué debe ser cierto acerca del entero n si la función f 1x 2  x n es una función par? ¿Si es una función impar? ¿Por qué considera que se eligieron los nombres “par” e “impar” para estas propiedades de función? Funciones cuadráticas; máximos y mínimos Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. Para una función que representa la ganancia en un negocio, se estaría interesado en el valor máximo; para una función que representa la cantidad de material en un proceso de manufactura, se estaría interesado en el valor mínimo. En esta sección se aprende cómo hallar los valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas y otras. 194 CAPÍTULO 2 Funciones Graficación de funciones cuadráticas usando la forma estándar Una función cuadrática es una función f de la forma f1x2  ax 2  bx  c donde a, b y c son números reales y a  0. En particular, si se toma a  1 y b  c  0, se obtiene la función cuadrática simple f1x2  x 2 cuya gráfica es la parábola que se dibujó en el ejemplo 1 de la sección 2.2. De hecho, la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola; se puede obtener de la gráfica de f1x2  x 2 por las transformaciones dadas en la sección 2.4. Forma estándar de una función cuadrática Una función cuadrática f1x2  ax 2  bx  c se puede expresar en la forma estándar f1x2  a1x  h2 2  k completando el cuadrado. La gráfica de f es una parábola con vértice 1h, k2 ; la parábola se abre hacia arriba si a  0 o hacia abajo si a  0. y y Vértice (h , k) k k Vértice (h , k) 0 0 x h Ï=a(x-h)™+k, a>0 Ejemplo 1 h x Ï=a(x-h)™+k, a<0 Forma estándar de una función cuadrática Sea f 1x2  2x  12x  23. a) Exprese f en la forma estándar. b) Bosqueje la gráfica de f. 2 En la sección 1.5 se explica cómo completar el cuadrado. Solución a) Puesto que el coeficiente de x 2 no es 1, se debe factorizar este coeficiente a partir de los términos relacionados con x antes de completar el cuadrado. f 1x2  2x 2  12x  23  21x 2  6x2  23 f 1x 2  21x  32 2  5 El vértice es 13, 5 2  21x  6x  92  23  2 # 9 Factorice 2 de los términos en x Complete el cuadrado: sume 9 dentro del paréntesis, reste 2  9 fuera  21x  32 2  5 Factorice y simplifique 2 La forma estándar es f1x2  21x  32 2  5. SECCIÓN 2.5 Funciones cuadráticas; máximos y mínimos 195 b) La forma estándar indica que la gráfica de f se obtiene tomando la parábola y  x 2, desplazándola 3 unidades a la derecha, alargándola por un factor de 2 y moviéndola 5 unidades hacia arriba. El vértice de la parábola está en 13, 52 y la parábola abre hacia arriba. La gráfica se bosqueja en la figura 1 después de notar que el intersecto y es f102  23. y Ï=2(x-3)™+5 25 23 15 5 Vértice (3, 5) 0 Figura 1 x 3 ■ Valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas Si una función cuadrática tiene vértice 1h, k2 , entonces la función tiene un valor mínimo en el vértice si abre hacia arriba y un valor máximo en el vértice si abre hacia abajo. Por ejemplo, la función graficada en la figura 1 tiene un valor mínimo 5 cuando x  3, puesto que el vértice 13, 52 es el punto mínimo sobre la gráfica. Valor máximo o mínimo de una función cuadrática Sea f una función cuadrática con forma estándar f1x2  a1x  h2 2  k. El valor máximo o mínimo de f ocurre en x  h. Si a  0, entonces el valor mínimo de f es f1h2  k. Si a  0, entonces el valor máximo de f es f1h2  k. y y Máximo k k 0 Mínimo h Ï=a(x-h)™+k, 0 a> 0 x h Ï=a(x-h)™+k, < 0 a x 196 CAPÍTULO 2 Funciones Ejemplo 2 Valor mínimo de una función cuadrática Considere la función cuadrática f1x2  5x 2  30x  49. a) Exprese f en la forma estándar. b) Bosqueje la gráfica de f. c) Halle el valor mínimo de f. y Ï=5(x-3)™+4 49 Solución a) Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el cuadrado. f1x2  5x 2  30x  49 (3, 4) 4 0 Figura 2 3 Valor mínimo 4 x  51x 2  6x2  49  51x 2  6x  92  49  5 # 9 Factorice 5 de los términos en x Complete el cuadrado: sume 9 dentro del paréntesis, reste 5  9 fuera  51x  32 2  4 Factorice y simplifique b) La gráfica es una parábola que tiene su vértice en 13, 42 y abre hacia arriba, como se bosqueja en la figura 2. c) Puesto que el coeficiente de x 2 es positivo, f tiene un valor mínimo. El valor mínimo es f132  4. Ejemplo 3 ■ Valor máximo de una función cuadrática Considere la función cuadrática f1x2  x 2  x  2. a) Exprese f en la forma estándar. b) Bosqueje la gráfica de f. c) Encuentre el valor máximo de f. Solución a) Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el cuadrado. y  x 2  x  2  1x 2  x2  2  Ax  x  2 1 4B  Ax  12 B 2  94 Factorice -1 de los términos en x 2 112 14 Complete el cuadrado: sume 41 dentro del paréntesis, reste 112 41 fuera Factorice y simplifique b) De la forma estándar se puede observar que la gráfica es una parábola que abre hacia arriba y tiene vértice A 12, 94 B . Como ayuda para trazar la gráfica, se encuentran las intersecciones. La intersección y es f102  2. Para hallar las intersecciones con x, se establece f1x2  0 y se factoriza la ecuación resultante. x 2  x  2  0 1x 2  x  22  0 1x  22 1x  1 2  0 SECCIÓN 2.5 Funciones cuadráticas; máximos y mínimos 197 Así, las intersecciones x son x  2 y x  1. La gráfica de f se traza en la figura 3. y 1 9 ! 2, 4@ Valor máximo 9 4 1 _1 0 1 2 x Figura 3 Gráfica de f 1x 2  x 2  x  2 c) Puesto que el coeficiente de x 2 es negativo, f tiene un valor máximo, que es f A 12 B  94. ■ Expresar una función cuadrática en la forma estándar ayuda a bosquejar su gráfica así como a hallar su valor máximo o mínimo. Si se está interesado sólo en hallar el valor máximo o mínimo, entonces hay una fórmula para hacerlo. Esta fórmula se obtiene completando el cuadrado para la función cuadrática general como sigue: f1x2  ax 2  bx  c  aax2  b xb  c a Factorice a de los términos en x Complete el cuadrado: b2 b b2  aax2  x  2 b  c  aa 2b a 4a 4a  aax  b b b c 2a 4a 2 sume reste b2 dentro del paréntesis, 4a2 b2 a 2b 4a fuera 2 Factorice Esta ecuación está en la forma estándar con h  b/12a2 y k  c  b2/14a2 . Puesto que el valor máximo o mínimo ocurre en x  h, se tiene el resultado siguiente. Valor máximo o mínimo de una función cuadrática El valor máximo o mínimo de una función cuadrática f1x 2  ax 2  bx  c ocurre en b x 2a Si a  0, entonces el valor mínimo es f a b b. 2a Si a  0, entonces el valor máximo es f a b b. 2a 198 CAPÍTULO 2 Funciones Ejemplo 4 Hallar valores máximos y mínimos de funciones cuadráticas Hallar el valor máximo o mínimo de cada función cuadrática. a) f1x2  x 2  4x b) g1x2  2x 2  4x  5 4 2 _5 Solución a) Esta es una función cuadrática con a  1 y b  4. Por lo tanto, el valor máximo o mínimo ocurre en b 4 x     #  2 2a 2 1 Puesto que a  0, la función tiene el valor mínimo f122  122 2  4122  4 _6 El valor mínimo ocurre en x = _2. 1 4 _2 b) Esta es una función cuadrática con a  2 y b  4. Así, el valor máximo o mínimo ocurre en b 4 x  # 1 2a 2 122 Puesto que a  0, la función tiene el valor máximo f112  2112 2  4112  5  3 Muchos problemas del mundo real tienen que ver con hallar un valor máximo o mínimo para una función que modela una determinada situación. En el ejemplo siguiente se encuentra el valor máximo de una función cuadrática que modela la cantidad de millas recorridas de un automóvil. _6 El valor máximo ocurre en x = 1. Ejemplo 5 0 El millaje máximo de combustible ocurre a 42 km/h. Millaje máximo de combustible para un automóvil La mayor parte de los automóviles obtienen su mejor millaje de combustible cuando viajan a velocidad relativamente modesta. El millaje M para cierto automóvil nuevo se modela mediante la función 1 M1s2   s 2  3s  31, 15  s  70 28 donde s es la velocidad en millas/h y M se mide en millas/gal. ¿Cuál es el mejor millaje de combustible para el automóvil y a qué velocidad se obtiene? 40 15 ■ 70 Solución La función M es una función cuadrática con a  281 y b  3. Así, su valor máximo ocurre cuando b 3 s   42 2a 2A 281 B El máximo es M1422   281 1422 2  31422  31  32. Así que el mejor millaje de combustible del automóvil es 32 millas/gal, cuando está viajando a 42 millas/h. ■ Uso de dispositivos de graficación para hallar valores extremos Los métodos analizados se aplican para hallar valores extremos de funciones cuadráticas solamente. Ahora se muestra cómo localizar valores extremos de cualquier función que se puede graficar con una calculadora o computadora. SECCIÓN 2.5 Funciones cuadráticas; máximos y mínimos 199 Si hay un rectángulo de visión tal que el punto 1a, f1a22 es el punto más alto en la gráfica de f dentro del rectángulo de visión (no en el borde), entonces el número f1a2 se llama valor máximo local de f (véase figura 4). Observe que f1a2 f1x2 para todos los números x que están cerca de a. y Valor máximo local f(a) Valor mínimo local f(b) 0 a Figura 4 b x De manera similar, si hay un rectángulo de visión tal que el punto 1b, f 1b22 es el punto mínimo en la gráfica de f dentro del rectángulo de visión, entonces el número f 1b2 se llama valor mínimo local de f. En este caso, f1b2  f1x2 para los números x que están cercanos a b. Ejemplo 6 Hallar los valores máximos y mínimos locales de la función f1x2  x 3  8x  1, correctos hasta tres decimales. 20 _5 5 _20 Figura 5 Gráfica de f 1x 2  x 3  8x  1 Hallar los máximos y mínimos locales de una gráfica Solución La gráfica de f se muestra en la figura 5. Al parecer hay un máximo local entre x  2 y x  1, y un mínimo local entre x  1 y x  2. Primero se determinarán las coordenadas del punto máximo local. Se hace un acercamiento para agrandar el área cercana a este punto, como se muestra en la figura 6. Usando la característica TRACE en el dispositivo de graficación, se mueve el cursor a lo largo de la curva y se observa cómo cambian las coordenadas y. El valor máximo local de y es 9.709, y su valor ocurre cuando x es 1.633, correcto hasta tres decimales. Se localiza el valor mínimo de una manera similar. Al realizar un acercamiento al rectángulo de visión mostrado en la figura 7, se encuentra que el valor máximo local es aproximadamente 7.709, y este valor ocurre cuando x  1.633. _1.7 Figura 6 9.71 _7.7 1.6 _1.6 9.7 _7.71 Figura 7 1.7 ■ 200 CAPÍTULO 2 Funciones Los comandos maximum y minimum en una calculadora TI-82 o TI-83 proveen otro método para hallar valores extremos de funciones. En el ejemplo siguiente se usa este método. Ejemplo 7 Un modelo para el índice de precios de alimentos Un modelo para el índice de precios de alimentos (el precio de una “canasta” representativa de alimentos) entre 1990 y 2000 está dado por la función I1t 2  0.0113t 3  0.0681t 2  0.198t  99.1 donde t se mide en años desde la mitad de 1990, así que 0  t  10, e I1t2 se escala de modo que I132  100. Estime el tiempo cuando la comida fue más cara durante el periodo 1990-2000. Solución La gráfica de I como una función de t se muestra en la figura 8(a). Al parecer hay un máximo entre t  4 y t  7. Usando el comando maximum como se muestra en la figura 8(b), se puede observar que el valor máximo de I es casi 100.38, y ocurre cuando t  5.15, que corresponde a agosto de 1995. 102 102 0 96 10 0 96 Maximum X=5.1514939 a) Y=100.38241 10 b) ■ Figura 8 2.5 Ejercicios 1–4 ■ Se da la gráfica de una función cuadrática. a) Determine las coordenadas del vértice. b) Halle el valor máximo o mínimo de f. 1. f 1x 2  x 2  6x  5 2. f 1x2   12 x 2  2x  6 3. f 1x 2  2x 2  4x  1 y y 1 x 0 1 1 0 1 y y 5 0 4. f 1x 2  3x 2  6x  1 1 x 1 x 0 1 x SECCIÓN 2.5 Funciones cuadráticas; máximos y mínimos 45. f 1x 2  x 2  1.79x  3.21 5–18 ■ Se da una función cuadrática. a) Exprese la función cuadrática en la forma estándar. b) Halle su vértice y sus intersectos x y y. c) Bosqueje su gráfica. 46. f 1x 2  1  x  12x 2 6. f 1x 2  x 2  8x 5. f 1x 2  x 2  6x 7. f 1x 2  2x 2  6x 9. f 1x 2  x 2  4x  3 11. f 1x 2  x 2  6x  4 13. f 1x 2  2x 2  4x  3 15. f 1x2  2x 2  20x  57 17. f 1x 2  4x  16x  3 2 201 47–50 ■ Halle los valores máximo y mínimo de la función cuya gráfica se muestra. 8. f 1x2  x 2  10x 10. f 1x 2  x 2  2x  2 47. 48. 12. f 1x 2  x 2  4x  4 y y 1 1 14. f 1x 2  3x 2  6x  2 16. f 1x 2  2x 2  x  6 18. f 1x2  6x  12x  5 2 0 1 0 x x 1 19–28 ■ Se da una función cuadrática. a) Exprese la función cuadrática en la forma estándar. b) Bosqueje su gráfica. c) Halle su valor máximo o mínimo. 19. f 1x 2  2x  x 2 20. f 1x2  x  x 2 23. f 1x 2  x 2  3x  3 24. f 1x 2  1  6x  x 2 21. f 1x 2  x 2  2x  1 25. g1x2  3x 2  12x  13 27. h1x 2  1  x  x 29–38 ■ 2 49. 22. f 1x 2  x 2  8x  8 26. g1x 2  2x 2  8x  11 28. h1x2  3  4x  4x 2 30. f 1x2  1  3x  x 2 33. f 1s 2  s2  1.2s  16 34. g1x2  100x 2  1500x 31. f 1t2  100  49t  7t 2 0 1 1 1 x 0 1 x 32. f 1t 2  10t 2  40t  113 35. h1x 2  12 x 2  2x  6 36. f 1x2   37. f 1x 2  3  x  12 x 2 38. g1x 2  2x1x  4 2  7 x2  2x  7 3 39. Encuentre una función cuya gráfica es una parábola con vértice 11, 2 2 y que pasa por el punto 14, 16 2 . 40. Halle una función cuya gráfica es una parábola con vértice 13, 4 2 y que pasa por el punto 11, 82 . ■ y Halle el valor máximo o mínimo de la función. 29. f 1x 2  x 2  x  1 41–44 50. y Halle el dominio y el rango de la función. 41. f 1x 2  x 2  4x  3 43. f 1x 2  2x 2  6x  7 51–58 ■ Encuentre los valores locales máximo y mínimo de la función y el valor de x en el que ocurre cada uno. Exprese cada respuesta correcta a dos decimales. 51. f 1x 2  x 3  x 52. f 1x 2  3  x  x 2  x 3 53. g1x2  x 4  2x 3  11x 2 54. g1x2  x 5  8x 3  20x 55. U1x2  x 16  x 56. U1x2  x 2x  x 2 57. V1x2  1  x2 x3 58. V1x2  1 x2  x  1 42. f 1x 2  x 2  2x  3 44. f 1x 2  3x 2  6x  4 45–46 ■ Se da una función cuadrática. (a) Use un dispositivo de graficación para hallar el valor máximo o mínimo de la función cuadrática f, correcto a dos lugares decimales. (b) Encuentre el valor exacto máximo o mínimo de f, y compare con su respuesta al inciso a). Aplicaciones 59. Altura de una bola Si se lanza una bola directamente hacia arriba con una velocidad de 40 pies/s, su altura (en pies) después de t segundos está dada por y  40t  16t 2. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola? 60. Trayectoria de la bola Se lanza una bola en un campo de juego. Su trayectoria está dada por la ecuación 202 CAPÍTULO 2 Funciones y  0.005x 2  x  5, donde x es la distancia que la bola ha viajado horizontalmente, y y es la altura sobre el nivel del suelo, ambas medidas en pies. a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola? b) ¿Qué tan lejos ha viajado horizontalmente la bola cuando choca con el suelo? ¿Cuántos árboles se deben plantar por acre a fin de obtener la producción máxima de manzanas? 66. Peces migratorios Un pez nada a una velocidad √ relativa al agua, contra una corriente de 5 millas/h. Con un modelo matemático de gasto de energía, se puede mostrar que la energía total E requerida para nadar una distancia de 10 millas está dada por E1√2  2.73√ 3 61. Ingreso Un fabricante encuentra que el ingreso generado por vender x unidades de cierto artículo está dado por la función R1x 2  80x  0.4x 2, donde el ingreso R1x2 se mide en dólares. ¿Cuál es el ingreso máximo y cuántas unidades se tienen que fabricar para obtener ese máximo? 62. Ventas Un vendedor de bebidas carbonatadas en una popular playa analiza sus registros de ventas, y encuentra que si vende x latas de bebida en un día, su ganancia (en dólares) está dada por 10 √5 Los biólogos creen que los peces migratorios tratan de reducir al mínimo la energía total requerida para nadar una distancia fija. Encuentre el valor de √ que minimiza la energía requerida. NOTA: este resultado ha sido comprobado; los peces migratorios nadan contra la corriente a una velocidad 50% mayor que la velocidad de la corriente. P1x 2  0.001x 2  3x  1800 ¿Cuál es su ganancia máxima por día, y cuántas latas debe vender para que la ganancia sea máxima? 63. Publicidad La efectividad de un comercial de televisión depende de cuántas veces lo vea un televidente. Después de algunos experimentos una agencia de publicidad encuentra que si la efectividad E se mide en una escala de 0 a 10, entonces, E1n 2  23 n  901 n2 donde n es el número de veces que un televidente ve un determinado comercial. Para que un comercial tenga efectividad máxima, ¿cuántas veces lo debe ver un televidente? 64. Productos farmacéuticos Cuando cierto fármaco se toma oralmente, su concentración en el torrente sanguíneo del paciente después de t minutos está dada por C1t 2  0.06t  0.0002t 2, donde 0  t  240 y la concentración se mide en mg/L. ¿Cuándo se alcanza la concentración máxima, y cuál es esa concentración máxima? 65. Agricultura El número de manzanas que produce cada árbol en una huerta depende de la densidad de árboles plantados. Si se plantan n árboles en un acre de tierra, entonces cada árbol produce 900  9n manzanas. Así que el número de manzanas producidas por acre es A1n 2  n1900  9n2 67. Ingeniería de carreteras Un ingeniero desea calcular el número máximo de automóviles que pueden viajar de manera segura en una determinada carretera a una velocidad especificada. Se supone que cada automóvil mide 17 pies de longitud, viaja a una velocidad s y sigue al automóvil frente a él a la “distancia segura” para esa velocidad. Encuentra que el número N de automóviles que pueden pasar en determinado punto por minuto se modela mediante la función N1s 2  88s s 2 b 20 ¿A qué velocidad puede el mayor número de automóviles viajar con seguridad por la carretera? 17  17 a 68. Volumen de agua Entre 0ºC y 30ºC, el volumen V (en centímetros cúbicos) de 1 kg de agua a una temperatura T está dado por la fórmula V  999.87  0.06426T  0.0085043T 2  0.0000679T 3 Encuentre la temperatura a la cual el volumen de 1 kg de agua es un mínimo. SECCIÓN 2.6 Modelado con funciones 69. Tos Cuando un objeto extraño alojado en la tráquea fuerza a una persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba causando un incremento de presión en los pulmones. Al mismo tiempo la tráquea se contrae, y provoca que el aire expelido se mueva más rápido e incremente la presión sobre el objeto extraño. De acuerdo con el modelo matemático de toser, la velocidad √ de la corriente de aire por la tráquea de una persona de tamaño promedio se relaciona con el radio r de la tráquea (en centímetros) mediante la función √ 1r2  3.211  r 2 r 2, 1 2 r1 Determine el valor de r para el cual √ es un máximo. 71. Minimizar una distancia Cuando se busca un valor mínimo o máximo de una función, algunas veces se considera más fácil trabajar con una función más simple. a) Suponga que g1x 2  1f 1x 2 , donde f 1x 2 0 para toda x. Explique por qué los mínimos y máximos locales de f y g ocurren en los mismos valores de x. b) Sea g1x 2 la distancia entre el punto 13, 02 y el punto 1x, x 2 2 sobre la gráfica de la parábola y  x 2. Exprese a g como una función de x. c) Encuentre el valor mínimo de la función g que encontró en el inciso b). Use el principio descrito en el inciso a) para simplificar su trabajo. 72. Máximo de un polinomio de cuarto grado Encuentre el valor máximo de la función Descubrimiento • Debate 70. Máximos y mínimos En el ejemplo 5 se analizó una situación del mundo real en la que el valor máximo de una función es importante. Mencione otras situaciones cotidianas en las que un valor máximo o mínimo es importante. 2.6 203 f 1x 2  3  4x 2  x 4 [Sugerencia: sea t  x 2.] Modelado con funciones Muchos de los procesos estudiados en las ciencias físicas y sociales requieren entender cómo varía una cantidad respecto a otra. Hallar una función que describe la dependencia de una cantidad en otra se llama modelado. Por ejemplo, un biólogo observa que el número de bacterias en cierto cultivo se incrementa con el tiempo. Él intenta modelar este fenómeno mediante la determinación de la función precisa (o regla) que relaciona la población de bacterias con el tiempo transcurrido. En esta sección se aprenderá cómo hallar modelos que se pueden construir con propiedades geométricas o algebraicas del objeto bajo estudio. (La determinación de modelos a partir de datos se estudia en la parte Enfoque en el modelado al final de este capítulo.) Una vez que se encuentra el modelo, se emplea para analizar y predecir propiedades del objeto o proceso bajo estudio. Modelado con funciones Empezaremos con una situación simple de la vida real que ilustra el proceso de modelado. Ejemplo 1 Modelado del volumen de una caja Una compañía productora de cereal fabrica cajas para empacar su producto. Por razones estéticas, la caja debe tener las siguientes proporciones: su amplitud es tres veces su profundidad y su altura es cinco veces su profundidad. a) Halle una función que modele el volumen de la caja en términos de su profundidad. b) Encuentre el volumen de la caja si su profundidad es 1.5 pulgadas. c) ¿Para qué profundidad el volumen es 90 pulg3? d) ¿Para qué profundidad el volumen es mayor que 60 pulg3? 204 CAPÍTULO 2 Funciones ■ Razonamiento acerca del problema Experimentemos con el problema. Si la profundidad es 1 pulg, entonces la amplitud es 3 pulg y la altura es 5 pulg. Así que en este caso, el volumen es V  1 3 5  15 pulg3. En la tabla se dan otros valores. Observe que todas las cajas tienen la misma forma, y mientras mayor es la profundidad mayor es el volumen. 3x Profundidad 1 2 3 4 1 2 3 4 Volumen 3 5  15 6 10  120 9 15  405 12 20  960 5x x Solución a) Para hallar la función que modela el volumen de la caja, se usan los siguientes pasos. ■ Exprese el modelo en palabras Se sabe que el volumen de una caja rectangular es volumen  profundidad ■ ancho altura Elija la variable Hay tres cantidades variables: ancho, profundidad y altura. Puesto que la función que se desea depende de la profundidad, sea x  profundidad de la caja Entonces se expresan las otras dimensiones de la caja en términos de x. ■ 400 En palabras En álgebra Profundidad Ancho Altura x 3x 5x Establezca el modelo El modelo es la función V que da el volumen de la caja en términos de la profundidad x. volumen  profundidad V1x 2  x # 3x # 5x 0 Figura 1 3 ancho altura V1x 2  15x 3 El volumen de la caja se modela mediante la función V1x2  15x 3. La función V se grafica en la figura 1. SECCIÓN 2.6 Modelado con funciones ■ 205 Use el modelo Se usa el modelo para contestar las preguntas de los incisos b), c) y d). b) Si la profundidad es 1.5 pulg, el volumen es V11.52  1511.52 3  50.625 pulg3. c) Se necesita resolver la ecuación V1x2  90 o bien 400 y=15x£ 15x 3  90 y=9 0 x3  6 3 0 15x £=90 3 x 1 6  1.82 in . pulg. El volumen es 90 pulg3 cuando su profundidad es cerca de 1.82 pulg. (Esta ecuación se puede resolver también de manera gráfica, como se muestra en la figura 2.) d) Se requiere resolver la desigualdad V(x)  60, o bien, Figura 2 15x3  60 400 x3  4 y=15x£ 3 x 1 4  1.59 y=6 0 3 0 15x £>60 Figura 3 El volumen será mayor que 60 pulg3 si la profundidad es mayor que 1.59 pulg. (Esta desigualdad se puede resolver también de manera gráfica, como se ilustra en la figura 3.) ■ Los pasos del ejemplo 1 son representativos de cómo modelar con funciones. Se resumen en el cuadro siguiente. Normas para modelar con funciones 1. Exprese el modelo en palabras. Identifique la cantidad que quiere modelar y exprésela, en palabras, como una función de otras cantidades en el problema. 2. Elija la variable. Identifique las variables empleadas para expresar la función en el paso 1. Asigne un símbolo, como x, a una variable y exprese las otras variables en términos de este símbolo. 3. Establezca el modelo. Exprese la función en el lenguaje del álgebra al escribirla como una función de la única variable elegida en el paso 2. 4. Use el modelo. Emplee la función para contestar las preguntas planteadas en el problema. (Para hallar un máximo o un mínimo, use los métodos algebraico o gráfico descritos en la sección 2.5.) Ejemplo 2 Cercado de un jardín Un jardinero tiene 140 pies de cerca para un jardín de legumbres rectangular. a) Encuentre una función de modele el área del jardín que puede cercar. b) ¿Para qué intervalo de amplitudes el área es mayor o igual que 825 pies2? c) ¿Puede cercar un jardín con área de 1250 pies2? d) Encuentre las dimensiones del área más grande que puede cercar. 206 CAPÍTULO 2 Funciones ■ Razonamiento acerca del problema Si el jardinero cerca una parcela de 10 pies de ancho, entonces la longitud debe ser de 60 pies, porque 10  10  60  60  140. Por lo tanto, el área es A  ancho largo  10·60  600 pies2 En la tabla se muestran varias elecciones para cercar el jardín. Se puede observar que cuando se incrementa la amplitud, se incrementa el área cercada, luego disminuye. Ancho Largo Área 10 20 30 40 50 60 60 50 40 30 20 10 600 1000 1200 1200 1000 600 ancho largo Solución a) El modelo que se desea es una función que proporciona el área que se puede cercar. ■ Exprese el modelo en palabras Se sabe que el área de un jardín rectangular es área  ancho l x ■ x largo Elija la variable Hay dos cantidades variables, ancho y largo. Puesto que la función que se desea depende sólo de una variable, sea x  ancho del jardín l Figura 4 Luego, se expresa la longitud en términos de x. El perímetro se fija en 140 pies, así que la longitud se determina una vez que se elige la amplitud. Si se permite que l sea la longitud, como en la figura 4, entonces 2x  2l  140, de modo que l  70  x. Se resumen estos hechos. En palabras En álgebra Ancho Largo ■ x 70  x Establezca el modelo El modelo es la función A que proporciona el área del jardín para cualquier ancho x. área  ancho largo A1x 2  x170  x2 A1x 2  70x  x 2 El área que se puede cercar se modela mediante la función A1x2  70x  x 2. SECCIÓN 2.6 Modelado con funciones 207 ■ Los valores máximos de funciones cuadráticas se estudian en la página 195. Use el modelo Se usa el modelo para contestar las preguntas de los incisos b) a d). b) Se requiere resolver la desigualdad A1x2 825. Para resolver de forma gráfica, se traza y  70x  x 2 y y  825 en el mismo rectángulo de visión (véase figura 5). Se puede observar que 15  x  55. c) De la figura 6 se puede observar que la gráfica de A1x 2 siempre yace debajo de la recta y  1250, de modo que nunca se obtiene un área de 1250 pies2. d) Se necesita hallar el valor máximo de la función A1x2  70x  x 2. Puesto que ésta es una función cuadrática con a  1 y b  70, el máximo ocurre en b 70 x   35 2a 2112 En consecuencia, el área máxima que se puede cercar tiene una amplitud de 35 pies y una longitud de 70  35  35 pies. 1500 1500 y=1250 y=825 y=70x- y=70x_5 Figura 5 75 _100 _5 Figura 6 Ejemplo 3 75 _100 ■ Maximización del ingreso por ventas de boletos Un equipo de hockey juega en una arena con una capacidad de 15 000 espectadores sentados. Con el precio del boleto establecido en $14, la asistencia promedio a juegos recientes ha sido 9500. Una encuesta de mercado indica que por cada dólar que baje el precio del boleto, la asistencia promedio se incrementa en 1000. a) Encuentre una función que modele el ingreso en términos del precio del boleto. b) ¿Qué precio de boleto es tan alto que nadie asiste y, por lo tanto, no se genera ningún ingreso? c) Encuentre el precio que maximiza el ingreso por la venta de boletos. ■ Razonamiento acerca del problema Con un precio de boleto de $14, el ingreso es 9500 $14  $133 000. Si baja el precio del boleto a $13, la asistencia se incrementa a 9500  1000  10 500, así que el ingreso se convierte en 10 500 $13  $136 500. En la tabla se muestra el ingreso para varios precios de boleto. Note que si baja el precio del boleto, se incrementa el ingreso, pero si baja mucho, disminuye el ingreso. Precio $15 $14 $13 $12 $11 $10 $9 Asistencia Ingreso 8 500 9 500 10 500 11 500 12 500 13 500 14 500 $127 500 $133 500 $136 500 $138 500 $137 500 $135 500 $130 500 208 CAPÍTULO 2 Funciones Solución a) El modelo que se quiere es una función que proporciona el ingreso para cualquier precio del boleto. ■ Exprese el modelo en palabras Se sabe que ingreso  precio del boleto ■ asistencia Elija la variable Hay dos cantidades variables: precio del boleto y asistencia. Puesto que la función que se desea depende del precio, sea x  precio del boleto A continuación, se debe expresar la asistencia en términos de x. En palabras En álgebra Precio del boleto Cantidad que disminuye el precio del boleto x 14  x Incremento de la asistencia Asistencia 1000114  x 2 9500  1000114  x 2  23,500  1000x ■ Establezca el modelo El modelo es la función R que proporciona el ingreso para un determinado precio de boleto x. ingreso  precio del boleto asistencia R1x 2  x123,500  1000x 2 150 000 R1x2  23,500x  1000x 2 ■ _5 25 _50 000 Figura 7 Los valores máximos de funciones cuadráticas se describen en la página 195. Use el modelo Se emplea el modelo para contestar las preguntas de los incisos b) y c). b) Se desea hallar el precio x del boleto para el cual R(x)  23 000x  1000x 2  0. Esta ecuación cuadrática se puede resolver de forma algebraica o gráfica. De la gráfica de la figura 7 se ve que R1x2  0 cuando x  0 o x  23.5. Por lo tanto, de acuerdo con el modelo, el ingreso bajaría a cero si el precio del boleto es de $23.50 o más alto. (Por supuesto, ¡el ingreso también es cero si el precio del boleto es cero!) c) Puesto que R(x)  23 500x  1000x 2 es una función cuadrática con a  1000 y b  23 500, el máximo ocurre en x 23 500 b 23,500   11.75 2a 2110002 Así, el precio de $11.75 para el boleto produce el ingreso máximo. A este precio el ingreso es R(11.75)  23 500(11.75)  1000(11.75)2  $138 062.50 ■ SECCIÓN 2.6 Modelado con funciones Ejemplo 4 209 Reducir al mínimo el metal de una lata Un fabricante elabora una lata de metal que contiene 1 L (litro) de aceite. ¿Qué radio reduce al mínimo la cantidad de metal en la lata? ■ Para usar la mínima cantidad de metal, se debe reducir al mínimo el área de superficie de la lata, es decir, el área de la parte de arriba, el fondo y los lados. El área de la parte superior y el fondo es 2pr 2 y el área de los lados es 2prh (véase figura 8), de modo que el área de superficie de la lata es r 2 r h h r Razonamiento acerca del problema r S  2pr 2  2prh El radio y la altura de la lata se deben elegir de modo que el volumen sea exactamente 1 L o 1000 cm3. Si se desea un radio pequeño, por ejemplo r  3, entonces la altura debe ser la suficiente para hacer que el volumen total sean1000 cm3. En otras palabras, se debe tener p132 2h  1000 Figura 8 h El volumen de la lata es pr 2h 1000  35.4 cm 9p Despeje h Ahora que se conoce el radio y la altura, se puede hallar el área de superficie de la lata: área de superficie  2p(3)2  2p(3)(35.4)  729.1 cm3 Si se desea un radio diferente, se puede hallar la altura correspondiente y el área superficial de un modo similar. Solución El modelo que se desea es una función que da el área de superficie de la lata. ■ Exprese el modelo en palabras Se sabe que para una lata cilíndrica área superficial  área de la parte superior y el fondo  área de los lados ■ Elija la variable Hay dos cantidades variables: radio y altura. Puesto que la función que se desea depende del radio, sea r  radio de la lata A continuación, se debe expresar la altura en términos del radio r. Puesto que el volumen de una lata cilíndrica es V  pr 2h y el volumen debe ser 1000 cm3, se tiene pr 2h  1000 h 1000 pr 2 El volumen de la lata es 1000 cm3 Despeje h 210 CAPÍTULO 2 Funciones Ahora se pueden expresar las áreas de la parte superior, el fondo y los lados en términos de r solamente. En palabras En álgebra Radio de la lata r 1000 pr 2 Altura de la lata ■ Área de la parte superior y el fondo 2pr 2 Área de los lados 12prh 2 2pr a 1000 b pr 2 Establezca el modelo El modelo es la función S que proporciona el área de superficie de la lata como una función del radio r. área de superficie  área de la parte superior y el fondo  área de los lados 1000 S1r 2  2pr 2  2pr a S1r2  2pr 2  1000 b pr 2 2000 r 15 0 ■ Figura 9 2000 S  2pr  r 2 2.6 Use el modelo Se emplea el modelo para hallar el área de superficie mínima de la lata. Se grafica S en la figura 9 y se amplía en el punto mínimo para hallar que el valor mínimo de S es casi 554 cm2 y ocurre cuando el radio es cercano a 5.4 cm. ■ Ejercicios 1–18 ■ En estos ejercicios se pide hallar una función que modela una situación de la vida real. Use las normas para modelado descritas en el texto como ayuda. 6. Perímetro Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Encuentre una función que modele su perímetro P en términos de la longitud x de uno de sus lados. 1. Área La longitud de un lote de edificación rectangular es tres veces su ancho. Encuentre una función que modela su área en términos de su ancho „. 7. Área Determine una función que modele el área A de un triángulo equilátero en términos de la longitud x de uno de sus lados. 2. Área Un cartel es 10 pulgadas más largo que su ancho. Encuentre una función que modele su área A en términos de su ancho „. 8. Área Encuentre una función que modele el área superficial de S de un cubo en términos de su volumen V. 3. Volumen Una caja rectangular tiene una base cuadrada. Su altura es la mitad del ancho de la base. Encuentre una función que modele su volumen V en términos de su ancho „. 4. Volumen La altura de un cilindro es cuatro veces su radio. Encuentre una función que modele el volumen V del cilindro en términos de su radio r. 5. Área Un rectángulo tiene un perímetro de 20 pies. Encuentre una función que modele el área A en términos de la longitud x de uno de sus lados. 9. Radio Encuentre una función que modele el radio r de un círculo en términos de su área A. 10. Área Halle una función que modele el área A de un círculo en términos de su circunferencia C. 11. Área Una caja rectangular con un volumen de 60 pies3 tiene una base cuadrada. Encuentre una función que modele su área superficial S en términos de la longitud x de un lado de su base. 12. Longitud Una mujer de 5 pies de estatura está parada cerca de una lámpara del alumbrado público que tiene SECCIÓN 2.6 Modelado con funciones 12 pies de altura, como se muestra en la figura. Encuentre una función que modele la longitud L de su sombra en términos de su distancia d desde la base de la lámpara. 12 pies 5 pies L d 211 19–36 ■ En estos problemas se pide hallar una función que modele una situación de la vida real, y después usar el modelo para contestar preguntas acerca de la situación. Use las normas de la página 205 como ayuda. 19. Maximización de un producto Considere el siguiente problema: Encuentre dos números cuya suma es 19 y cuyo producto es tan grande como sea posible. a) Experimente con el problema construyendo una tabla parecida a la siguiente, que muestre el producto de pares diferentes de números que suman hasta 19. Con base en la evidencia de su tabla, estime la respuesta al problema. Primer número Segundo número Producto 13. Distancia Dos barcos salen de puerto al mismo tiempo. Uno navega hacia el sur a 15 millas/h y el otro navega hacia el este a 20 millas/h. Encuentre la función que modela la distancia D entre los barcos en términos del tiempo t (en horas) transcurrido desde su partida. 1 2 3 .. . 18 17 16 .. . 18 34 48 .. . b) Encuentre una función que modele el producto en términos de uno de los dos números. c) Use su modelo para resolver el problema, y compare con su respuesta al inciso a). 20. Minimizar una suma Encuentre dos números positivos cuya suma sea 100 y la suma de cuyos cuadrados sea un mínimo. D 21. Maximización de un producto Halle dos números cuya suma sea 24 y cuyo producto sea un máximo. 14. Producto La suma de dos números positivos es 60. Encuentre una función que modele su producto P en términos de x, uno de los números. 15. Área Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 8 cm. Encuentre una función que modele su área A en términos de la longitud de su base b. 16. Perímetro Un triángulo rectángulo tiene un cateto dos veces más grande que el otro. Encuentre una función que modele su perímetro P en términos de la longitud x del cateto más corto. 17. Área Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de radio 10, como se muestra en la figura. Encuentre una función que modele el área A del rectángulo en términos de su altura h. h A h 10 18. Altura El volumen de un cono es 100 pulg3. Encuentre una función que modele la altura h del cono en términos de su radio r. 22. Maximización del área Entre los rectángulos que tienen un perímetro de 20 pies, encuentre las dimensiones del que tiene el área más grande. 23. Cercado de un campo Considere el siguiente problema: un agricultor tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que bordea un río recto. No necesita cercar a lo largo del río (véase la figura). ¿Cuáles son las dimensiones del campo con el área más grande que puede cercar? a) Experimente con el problema dibujando varios diagramas que ilustran la situación. Calcule el área de cada configuración, y use sus resultados para calcular las dimensiones del campo más grande posible. b) Encuentre una función que modele el área del campo en términos de uno de sus lados. c) Use su modelo para resolver el problema, y compare con su respuesta al inciso a). x A x 212 CAPÍTULO 2 Funciones 24. División de un corral Un ranchero con 750 pies de cerca quiere encerrar un área rectangular y dividirla después en cuatro corrales con cerca paralela a un lado del rectángulo (véase la figura). a) Encuentre una función que modele el área total de los cuatro corrales. b) Determine el área total más grande posible de los cuatro corrales. 25. Cercado de una parcela de jardín El dueño de una casa quiere cercar una parcela de jardín adyacente a una carretera, como se muestra en la figura. La cerca junto a la carretera debe ser más robusta y cuesta $5 por pie, pero la otra cerca cuesto sólo $3 por pie. El jardín tendrá un área de 1200 pies cuadrados. a) Encuentre una función que modele el costo de cercar el jardín. b) Determine las dimensiones de jardín que reducen al mínimo el costo de cercar. c) Si el dueño tiene a lo sumo $600 para gastar en la cerca, encuentre el intervalo de longitudes que puede cercar a lo largo de la carretera. x 26. Área máxima Un alambre de 10 cm de largo se corta en dos trozos, uno de longitud x y el otro de longitud 10  x, como se muestra en la figura. Cada trozo se dobla en la forma de un cuadro. a) Encuentre una función que modele el área total encerrada por los dos cuadrados. b) Halle el valor de x que reduce al mínimo el área total de los dos cuadrados. 10 cm x 10-x 27. Ingreso de un estadio Un equipo de beisbol juega en un estadio que aloja 55 000 espectadores. Con el precio del boleto a $10, la asistencia promedio en juegos recientes ha sido 27 000. Un estudio de mercado indica que por cada dólar que se reduce al precio del boleto, la asistencia se incrementa en 3000. a) Encuentre una función que modele el ingreso en términos del precio del boleto. b) ¿Qué precio de boleto es tan alto que no se genera ningún ingreso? c) Encuentre el precio que maximiza el ingreso por la venta de boletos. 28. Maximizar la ganancia Una sociedad dedicada a observar aves elabora y vende alimentadores simples para pájaros con el fin de reunir fondos para sus actividades de conservación. El costo del material para cada alimentador es $6, y venden un promedio de 20 por semana a un precio de $10 cada uno. Han estado considerando subir el precio, así que llevan a cabo un estudio y encuentran que por cada incremento de un dólar pierden dos ventas por semana. a) Encuentre una función que modele la ganancia semanal en términos del precio por alimentador. b) ¿Qué precio debe cobrar la sociedad por cada alimentador con el fin de maximizar las ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima? 29. Luz de una ventana Una ventana Normanda tiene la forma de un rectángulo rematado con un semicírculo, como se ilustra en la figura. Se construirá una ventana Normanda con perímetro de 30 pies. a) Encuentre una función que modele el área de la ventana. b) Determine las dimensiones de la ventana que admite la mayor cantidad de luz. x 30. Volumen de una caja Se construirá una caja con una abertura en la parte superior a partir de una pieza rectangular de cartón con dimensiones de 12 por 20 pulg cortando cuadros iguales de lado x en cada esquina y luego doblando los lados hacia arriba (véase la figura). a) Encuentre una función que modele el volumen de la caja. SECCIÓN 2.6 Modelado con funciones b) Halle los valores de x para los que el volumen es mayor que 200 pulg3. c) Encuentre el volumen más grande que puede tener la caja. b) ¿Dónde debe desembarcar de modo que llegue a B lo más pronto posible? 7 mi 20 pulg. x 12 pulg. x x x x x P x x 213 x B A x 31. Área de una caja Se tiene previsto que una caja abierta con una base cuadrada tenga un volumen de 12 pies3. a) Halle el volumen que modela el área de superficie de la caja. b) Encuentre las dimensiones que reducen al mínimo la cantidad de material empleado. 32. Rectángulo inscrito Encuentre las dimensiones que da el área más grande del rectángulo mostrado en la figura. Su base está sobre el eje x y sus otros dos vértices están arriba del eje x, sobre la parábola y  8  x 2. y 35. Vuelo de un ave Se libera a un pájaro en el punto A de una isla, 5 millas desde el punto B más próximo en una ribera recta. El pájaro vuela hasta un punto C sobre la ribera y luego vuela a lo largo de la ribera hasta su área de anidamiento D (véase la figura). Suponga que el área requiere 10 kcal/milla de energía para volar sobre tierra y 14 kcal/milla para volar sobre el agua (véase el ejemplo 9 de la sección 1.6). a) Encuentre una función que modele el gasto de energía del pájaro. b) Si por instinto el pájaro elige una trayectoria que minimiza su gasto de energía, ¿hasta qué punto vuela? A Isla y=85 mi (x, y) B Área de anidamiento 12 mi 0 x 33. Minimización de costos Un ranchero quiere construir un corral rectangular con un área de 100 m2. a) Encuentre una función que modele la longitud de la cerca requerida. b) Determine las dimensiones del corral que requieren la cantidad mínima de cerca. 34. Reducción del tiempo Un hombre se encuentra parado en un punto A en la orilla de un río recto de dos millas de ancho. Para llegar al punto B, 7 millas corriente abajo en la orilla opuesta, rema primero en su bote hasta el punto P en la orilla opuesta y luego camina la distancia restante x hasta B, como se muestra en la figura. Él puede remar a una velocidad de 2 millas/h y caminar a una velocidad de 5 millas/h. a) Encuentre una función que permita modelar el tiempo necesario para el recorrido. D C x 36. Área de una cometa Se construirá el marco de una cometa a partir de seis piezas de madera. Las cuatro piezas que forman su borde se cortaron a las longitudes indicadas en la figura. Sea x como se muestra en la figura. a) Muestre que el área de la cometa está dada por la función A1x 2  x 1 225  x 2  2144  x 2 2 b) ¿Cuál debe ser la longitud de las piezas cruzadas a fin de maximizar el área de la cometa? 5 5 x 12 x 12 214 CAPÍTULO 2 Funciones 2.7 Combinación de funciones En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir nuevas. Sumas, diferencias, productos y cocientes La suma de f y g se define mediante 1f  g2 1x 2  f 1x 2  g1x 2 El nombre de la nueva función es “f  g.” Por lo tanto, este signo  representa la operación de adición de funciones. El signo  del lado derecho, sin embargo, representa la suma de los números f 1x 2 y g1x2 . Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f  g, f  g, fg y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplica y divide números reales. Por ejemplo, se define la función f  g por 1f  g2 1x 2  f1x2  g1x2 La nueva función f  g se llama suma de las funciones f y g; su valor en x es f 1x2  g1x2 . Por supuesto, la suma del lado derecho tiene sentido sólo si f 1x 2 y g1x2 están definidas, es decir, si x pertenece al dominio de f y también al dominio de g. Así, si el dominio de f es A y el dominio de g es B, entonces el dominio de f  g es la intersección de estos dominios, es decir, A  B. De manera similar, se puede definir la diferencia f  g, el producto fg, y el cociente f/g de las funciones f y g. Sus dominios son A  B, pero en el caso del cociente se debe recordar no dividir entre cero. Álgebra de funciones Sean f y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones f  g, f  g, fg y f/g se definen como sigue. 1f  g2 1x2  f 1x2  g1x2 Dominio A  B 1f  g2 1x2  f1x2  g1x2 Dominio A  B 1fg2 1x2  f1x2g1x2 Dominio A  B f1x2 f a b 1x2  g g1x2 Ejemplo 1 Dominio 5x  A  B 0 g1x2  06 Combinaciones de funciones y sus dominios 1 y g1x2  1x. x2 a) Encuentre las funciones f  g, f  g, fg y f/g y sus dominios. b) Encuentre 1f  g2 142, 1f  g2 142, 1fg2 142 y 1f/g2 142 . Sean f1x2  Solución a) El dominio de f es 5x 0 x  26 y el dominio de g es 5x 0 x de los dominios de f y g es 5x 0 x 0 and y x  26  30, 22  12, q 2 06. La intersección SECCIÓN 2.7 Combinación de funciones 215 Así, se tiene 1f  g2 1x2  f1x2  g1x2  1  1x x2 1 1f  g2 1x2  f1x2  g1x2   1x x2 1x 1fg2 1x2  f1x 2g1x2  x2 f1x2 f 1 a b 1x2   g g1x2 1x  22 1x Para dividir fracciones, invierta el denominador y multiplique: 1/1x  22 1x  1/1x  22 1x/1 1 # 1  x  2 1x  1 1x  22 1x Dominio 5x 0 x y x  26 0 and Dominio 5x 0 x y x  26 0 and Dominio 5x 0 x y x  26 0 and y x  26 Dominio 5x 0 x  0 and Hay que observar que en el dominio de f/g se excluye 0 porque g102  0. b) Cada uno de estos valores existe porque x  4 está en el dominio de cada función. 1f  g2 142  f142  g142  1 5  14  42 2 1f  g2 142  f142  g142  1 3  14   42 2 1fg2 142  f142g142  a 1 b 14  1 42 f142 f 1 1 a b 142    g g142 4 14  22 14 ■ La gráfica de la función f  g se puede obtener de las gráficas de f y g mediante adición gráfica. Esto significa que se suman las coordenadas y correspondientes, como se ilustra en el ejemplo siguiente. y y=˝ Ejemplo 2 Uso de la adición gráfica Las gráficas de f y g se muestran en la figura 1. Use la suma gráfica para trazar la función f  g. y=Ï x Solución Se obtiene la gráfica de f  g al “sumar gráficamente” el valor de f1x2 a g1x2 como se muestra en la figura 2. Esto se pone en práctica al copiar el segmento de recta PQ en la parte superior PR para obtener el punto S sobre la gráfica de f  g. y y=( f+g)(x) Figura 1 y=˝ S f (x) R g(x) y=Ï Q Figura 2 Suma gráfica f (x) P x ■ 216 CAPÍTULO 2 Funciones Composición de funciones Ahora, considérese una forma muy importante de combinar dos funciones para obtener una nueva función. Suponga que f1x2  1x y g1x2  x 2  1. Se puede definir una función h como h1x2  f1g1x22  f1x 2  12  2x 2  1 La función h está compuesta de las funciones f y g de una manera interesante: dado un número x, se aplica primero a la función g, luego se aplica f al resultado. En este caso, f es la regla “sacar la raíz cuadrada”, g es la regla “elevar al cuadrado” después sumar 1”, y h es la regla “elevar al cuadrado, a continuación sumar 1, luego sacar la raíz cuadrada”. En otras palabras, se obtiene la regla h al aplicar la regla g y luego la regla f. En la figura 3 se muestra un diagrama de máquina para h. g x Entrada x+1 f œ + Salida Figura 3 La máquina h está compuesta de la máquina g (primero) y después la máquina f. En general, dadas dos funciones cualesquiera f y g, comience con un número x en el dominio de g y encuentre su imagen g1x2 . Si este número g1x2 está en el dominio de f, se puede calcular entonces el valor de f1g1x22 . El resultado es una nueva función h1x2  f1g1x22 obtenida al sustituir g en f. Se llama la composición (o compuesta) de f y g y se denota mediante f ⴰ g (“f compuesta con g”). Composición de funciones Dadas dos funciones f y g, la función compuesta f ⴰ g (denominada también la composición de f y g) está definida por 1f ⴰ g2 1x2  f1g1x22 El dominio de f ⴰ g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g1x2 está en el dominio de f. En otras palabras 1f ⴰ g2 1x 2 se define siempre que g1x2 y f1g1x22 estén definidas. Se puede ilustrar f ⴰ g por medio de un diagrama de flecha (figura 4). f$g g x f g(x) Figura 4 Diagrama de flechas para f ⴰ g fÓ˝Ô SECCIÓN 2.7 Composición de funciones Ejemplo 3 217 Determine la composición de funciones Sea f1x 2  x 2 and y g1x2  x  3. a) Encuentre las funciones f ⴰ g y g ⴰ f y sus dominios. b) Halle 1f ⴰ g2 152 y 1g ⴰ f2 172 . En el ejemplo 3, f es la regla “elevar al cuadrado” y g es la regla “restar 3”. La función f ⴰ g primero resta 3 y después eleva al cuadrado; la función g ⴰ f primero eleva al cuadrado y luego resta 3. Solución a) Se tiene 1f ⴰ g2 1x2  f1g1x 22 Definición de f ⴰ g  f1x  32 Definición de g  1x  32 2 Definición de f 1g ⴰ f2 1x2  g1f1x22 y Definición de g ⴰ f  g1x 2 2 Definición de f  x2  3 Definición de g Los dominios de f ⴰ g y g ⴰ f son ⺢. b) Se tiene 1f ⴰ g2 152  f1g1522  f122  22  4 1g ⴰ f2 172  g1f1722  g1492  49  3  46 ■ Del ejemplo 3 se puede ver que, en general, f ⴰ g  g ⴰ f. Recuerde que la notación f ⴰ g significa que la función g se aplica primero y después f. Ejemplo 4 Determine la composición de funciones Si f1x2  1x y g1x2  12  x, encuentre las siguientes funciones y sus dominios. a) f ⴰ g b) g ⴰ f c) f ⴰ f d) g ⴰ g Solución a) 1f ⴰ g2 1x2  f1g1x22 Definición de f ⴰ g  f1 12  x2 Definición de g  312  x Definición de f 4 1 2x El dominio de f ⴰ g es 5x 0 2  x b) 06  5x 0 x  26  1q, 24 . 1g ⴰ f2 1x2  g1f1x22 Definición de g ⴰ f  g1 1x2 Definición de f  32  1x Definición de g 218 CAPÍTULO 2 Funciones Las gráficas de f y g del ejemplo 4, así como f ⴰ g, g ⴰ f, f ⴰ f, y g ⴰ g, se muestran a continuación. Estas gráficas indican que la operación de composición puede producir funciones bastante diferentes de las funciones originales. g Para que 1x esté definida, se debe tener x 0. Para que 32  1x esté definida, se debe tener 2  1x 0, es decir, 1x  2, o bien x  4. Así, se tiene 0  x  4, por lo tanto el dominio de g ⴰ f es el intervalo cerrado [0, 4]. 1f ⴰ f2 1x2  f1f1x22 c) f El dominio de f ⴰ f es 30, q 2 . f$g  f1 1x2 Definición de f  31x 4 1 x Definición de f 1g ⴰ g2 1x 2  g1g1x22 d) Definición de f ⴰ f Definición de g ⴰ g  g1 12  x2 Definición de g  32  12  x Definición de g Esta expresión se define cuando 2  x 0 y 2  12  x 0. La primera desigualdad significa x  2, y la segunda es equivalente a 12  x  2, o 2  x  4, o x 2. Por lo tanto, 2  x  2, así que el dominio de g ⴰ g es [2, 2]. ■ Es posible tomar la composición de tres o más funciones. Por ejemplo, la función compuesta f ⴰ g ⴰ h se encuentra al aplicar h, luego g y después f como sigue: 1f ⴰ g ⴰ h2 1x 2  f1g1h1x222 g$f Ejemplo 5 Una composición de tres funciones Encuentre f ⴰ g ⴰ h si f1x2  x/1x  12, g1x2  x 10 y h1x 2  x  3. Solución 1f ⴰ g ⴰ h2 1x2  f1g1h1x222 f$f Definición de f ⴰ g ⴰ h  f1g1x  322  f11x  32 10 2  g$g 1x  32 Definición de h Definición de g 10 1x  32 10  1 Definición de f ■ Hasta aquí se ha usado la composición para construir funciones complicadas a partir de las más simples. Pero en cálculo es útil poder “descomponer” una función complicada en funciones más simples, como se muestra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 6 Cómo reconocer una composición de funciones 4 Dada F1x2  1x  9, encuentre las funciones f y g tales que F  f ⴰ g. Solución Puesto que la fórmula para F indica sumar primero 9 y luego sacar la raíz cuarta, sea g1x2  x  9 y and 4 f1x2  1 x SECCIÓN 2.7 Composición de funciones Entonces 1f ⴰ g2 1x2  f1g1x 22 219 Definición de f ⴰ g  f1x  92 Definición de g 4 1 x9 Definición de f  F1x2 Ejemplo 7 tiempo  mediodía 5 mi d s ■ Una aplicación de la composición de funciones Un barco está viajando a 20 millas/h paralela a una ribera recta. El barco está a 5 millas de la orilla. Pasa un faro a mediodía. a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una función de d, la distancia que ha recorrido el barco desde mediodía; es decir, encuentre f de modo que s  f1d2 . b) Exprese a d como una función de t, el tiempo transcurrido desde mediodía; es decir, encuentre g tal que d  g1t2 . c) Encuentre f ⴰ g. ¿Qué representa esta función? Solución Primero se traza un diagrama como en la figura 5. a) Se pueden relacionar las distancias s y d mediante el teorema de Pitágoras. Así, s puede ser expresada como una función de d por tiempo  t Figura 5 s  f1d2  225  d 2 distancia  velocidad tiempo b) Puesto que la nave está viajando a 20 millas/h, la distancia d que ha recorrido es una función de t como sigue: d  g1t 2  20t c) Se tiene 1f ⴰ g2 1t 2  f1g1t 22 Definición de f ⴰ g  f120t2  225  120t2 2 Definición de g Definición de f La función f ⴰ g da la distancia del barco desde el faro como una función del tiempo. 2.7 1–6 ■ Ejercicios Encuentre f  g, f  g, fg y f/g y sus dominios. 1. f 1x 2  x  3, 2. f 1x 2  x  2x, g1x2  x 2 3. f 1x 2  24  x 2, 2 g1x 2  3x 2  1 g1x 2  11  x 4. f 1x 2  29  x 2, g1x2  2x 2  4 2 5. f 1x2  , x 4 x4 g1x2  6. f 1x 2  7–10 ■ 2 , x1 g1x2  x x1 Encuentre el dominio de la función. 7. f 1x 2  1x  11  x 9. h1x2  1x  32 1/4 8. g1x2  1x  1  10. k1x 2  1x  3 x1 1 x ■ 220 CAPÍTULO 2 Funciones 11–12 f  g. ■ 11. y Use la adición gráfica para bosquejar la gráfica de g f x y x 13–16 ■ Dibuje las gráficas de f, g y f  g en una pantalla común para ilustrar la suma gráfica. 14. f 1x 2  x 2, 15. f 1x 2  x 2, g1x 2  11  x g1x 2  1x g1x 2  13 x 3 16. f 1x 2  11  x, 4 x2 g1x 2  1  B 9 17–22 ■ Use f 1x 2  3x  5 y g1x2  2  x 2 para evaluar la expresión. 17. a) f 1g1022 b) g1f 10 22 18. a) f 1f 14 22 b) g1g13 22 19. a) 1f ⴰ g2 122 b) 1g ⴰ f 2 122 20. a) 1f ⴰ f 2 112 b) 1g ⴰ f 2 1x2 22. a) 1f ⴰ f 2 1x 2 ■ 27. 1g ⴰ g2 122 28. 1f ⴰ f 2 142 29. f 1x 2  2x  3, g1x2  4x  1 30. f 1x 2  6x  5, g1x2  g1x 2  x  1 34. f 1x 2  x 2, g1x 2  1x  3 35. f 1x 2  0 x 0 , g1x2  2x  3 36. f 1x 2  x  4, g1x 2  0 x  4 0 37. f 1x 2  x , x1 g1x2  2x  1 38. f 1x 2  1 , 1x 3 39. f 1x 2  1 x, 2 40. f 1x2  , x ■ g1x2  x 2  4x 4 g1x 2  1x g1x 2  y 1 42. f 1x 2  , x 44. f 1x 2  1x, f g1x 2  1x, h1x 2  x  1 g1x 2  x 3, h1x 2  x 2  2 43. f 1x 2  x 4  1, g x x2 Encuentre f ⴰ g ⴰ h. 41. f 1x 2  x  1, Use las gráficas de f y g para evaluar la expresión. 3 g1x 2  1x g1x 2  2x  4 41–44 b) 1g ⴰ g 2 1x 2 x 2 1 33. f 1x 2  , x b) 1g ⴰ g2 12 2 21. a) 1f ⴰ g2 1x2 23–28 26. 1f ⴰ g2 102 32. f 1x 2  x 3  2, g 13. f 1x 2  11  x, 25. 1g ⴰ f 2 14 2 31. f 1x2  x 2, f 0 24. g1f 1022 29–40 ■ Encuentre las funciones, f ⴰ g, g ⴰ f, f ⴰ f y g ⴰ g y sus dominios. 0 12. 23. f 1g1222 g1x2  x  5, h1x 2  1x g1x2  x 3 , h1x 2  1 x x1 2 45–50 0 2 x ■ Exprese la función en la forma f ⴰ g. 45. F1x 2  1x  9 2 5 46. F1x 2  1x  1 SECCIÓN 2.7 Composición de funciones 47. G1x2  x2 x 4 48. G1x 2  1 x3 221 b) Encuentre una función f que modele el área del círculo como una función del radio. c) Encuentre f ⴰ g. ¿Qué representa esta función? 2 49. H1x 2  0 1  x 3 0 50. H1x 2  31  1x 51–54 ■ Exprese la función en la forma f ⴰ g ⴰ h. 51. F1x 2  1 x2  1 58. Inflado de un globo Un globo esférico está siendo inflado. El radio del globo crece a la velocidad de 1 cm/s. 3 52. F1x 2  3 1x  1 a) Encuentre una función f que modele el radio como una función del tiempo. 3 53. G1x2  14  1x2 9 54. G1x 2  b) Encuentre una función g que modele el volumen como una función del radio. 2 13  1x2 2 c) Encuentre g ⴰ f. ¿Qué representa esta función? 59. Área de un globo Se está inflando un globo meteorológico esférico. El radio del globo se incrementa a la velocidad de 2 cm/s. Exprese el área superficial del globo como una función del tiempo t (en segundos). Aplicaciones 55–56 ■ Ingreso, costo y ganancia Una imprenta elabora calcomanías para las campañas electorales. Si se piden x calcomanías (donde x  10 000), entonces el precio por calcomanía es 0.15  0.000002x dólares, y el costo total de producir la orden es 0.095x  0.0000005x 2 dólares. r 55. Use el hecho de que ingreso  precio por artículo número de artículos vendidos para expresar R1x2 , el ingreso de una orden de x calcomanías, como un producto de dos funciones de x. 56. Use el hecho de que ganancia  ingreso  costo para expresar P1x 2 , la ganancia en un pedido de x calcomanías, como una diferencia de dos funciones de x. 57. Área de una onda Se deja caer una piedra en un lago, que crea una onda circular que viaja hacia fuera a una velocidad de 60 cm/s. a) Encuentre una función g que modele el radio como una función del tiempo. 60. Descuentos múltiples Se tiene un cupón de $50 de un fabricante bueno por la compra de un teléfono celular. La tienda donde compra su teléfono celular ofrece un descuento de 20% en todos los teléfonos celulares. Sea x el precio normal del teléfono celular. a) Suponga que sólo se aplica el 20% de descuento. Encuentre una función f que modele el precio de compra del teléfono celular como una función del precio regular x. b) Suponga que sólo se aplica el cupón de $50. Encuentre una función g que modele el precio de compra del teléfono celular como una función del precio de etiqueta x. 222 CAPÍTULO 2 Funciones c) Si puede usar el cupón y el descuento, entonces el precio de compra es f ⴰ g1x 2 o g ⴰ f 1x 2 , dependiendo del orden en el que se apliquen al precio. Encuentre f ⴰ g1x 2 y g ⴰ f 1x 2 . ¿Qué composición da el precio más bajo? 61. Descuentos múltiples Un vendedor de aparatos anuncia un descuento de 10% en todas sus lavadoras. Además, el fabricante ofrece una rebaja de 100 dólares en la compra de una lavadora. Sea x que representa el precio de etiqueta de la lavadora. Descubrimiento • Debate 63. Interés compuesto Una cuenta de ahorros gana 5% de interés compuesto anualmente. Si invierte x dólares en tal cuenta, luego la cantidad A1x 2 de la inversión después de un año es la inversión inicial más 5%; es decir, A1x2  x  0.05x  1.05x. Encuentre AⴰA AⴰAⴰA AⴰAⴰAⴰA a) Suponga que sólo se aplica el 10%. Encuentre una función f que modele el precio de compra de la lavadora como una función del precio de etiqueta x. ¿Qué representan estas composiciones? Encuentre una fórmula para lo que obtiene cuando compone n copias de A. b) Suponga que sólo se aplica la rebaja de 100 dólares. Encuentre una función g que modele el precio de compra de la lavadora como una función del precio de etiqueta x. 64. Composición de funciones lineales Las gráficas de las funciones c) Encuentre f ⴰ g y g ⴰ f. ¿Qué representan estas funciones? ¿Cuál es el mejor trato? 62. Trayectoria de un avión Un avión está volando a una velocidad de 350 millas/h a una altitud de una milla. El avión pasa directamente arriba de una estación de radar en el tiempo t  0. a) Exprese la distancia s (en millas) entre el avión y la estación de radar como una función de la distancia horizontal d (en millas) que ha volado el avión. b) Exprese d como una función del tiempo t (en horas) que ha volado el avión. c) Use la composición para expresar s como una función de t. f 1x 2  m 1 x  b1 g1x 2  m 2 x  b2 son rectas con pendientes m1 y m2, respectivamente. ¿La gráfica de f ⴰ g es una recta? En caso afirmativo, ¿cuál es la pendiente? 65. Resolución de una ecuación para una función desconocida Suponga que g1x 2  2x  1 h1x2  4x 2  4x  7 Encuentre una función f tal que f ⴰ g  h. (Considere qué operaciones tendría que realizar en la fórmula para g a fin de terminar con la fórmula para h.) Ahora suponga que f 1x 2  3x  5 h1x 2  3x 2  3x  2 d 1 mi s Use la misma clase de razonamiento para hallar una función g tal que f ⴰ g  h. 66. Composiciones de funciones impares y pares Suponga que hfⴰg Si g es una función par, ¿h es necesariamente par? Si g es impar, ¿h es impar? ¿Qué pasa si g es impar y f es impar? ¿Qué pasa si g es impar y f es par? SECCIÓN 2.7 Composición de funciones 223 Iteración y caos PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO Las iteraciones de una función f en el punto x0 son f1x 0 2 , f1f1x 0 22 , f1f1f1x 0 222 , y así sucesivamente. Se escribe x 1  f1x 0 2 x 2  f1f1x 0 22 x 3  f1f1f1x 0 222 Primera iteración Segunda iteración Tercera iteración Por ejemplo, si f1x2  x 2, entonces las iteraciones de f en 2 son x1  4, x2  16, x3  256, etc. (Compruebe esto.) Las iteraciones se pueden describir en forma gráfica como en la figura 1. Empiece con x0 en el eje x muévase verticalmente a la gráfica de f, luego horizontalmente a la recta y  x, después verticalmente a la gráfica de f, etc. Las coordenadas x en los puntos sobre la gráfica de f son las iteraciones de f en x0. y f(x¤) y=x f(x›) f(x‹) f(x⁄) y=Ï f(x‚) x‚ x⁄ x¤ x› x‹ x Figura 1 Las iteraciones son importantes en el estudio de la función logística n xn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.1 0.234 0.46603 0.64700 0.59382 0.62712 0.60799 0.61968 0.61276 0.61694 0.61444 0.61595 0.61505 f1x2  kx11  x2 que modela la población de una especie con potencial limitado para crecimiento (p. ej., conejos en una isla o peces en un estanque). En este modelo la población máxima que puede soportar el medio es 1 (es decir, 100%). Si se comienza con una fracción de esa población, por ejemplo 0.1 (10%), entonces las iteraciones de f en 0.1 dan la población después de cada intervalo de tiempo (días, meses o años, dependiendo de las especies). La constante k depende de la tasa de crecimiento de la especie que está siendo modelada; se llama constante de crecimiento. Por ejemplo, para k  2.6 y x0  0.1 las iteraciones mostradas en la tabla a la izquierda dan la población de las especies para los primeros 12 intervalos de tiempo. La población se estabiliza al parecer alrededor de 0.615 (es decir, 61.5% del máximo). En las tres gráficas de la figura 2, se grafican las iteraciones de f en 0.1 para diferentes valores de la constante de crecimiento k. Para k  2.6 la población 224 CAPÍTULO 2 Funciones al parecer se estabiliza en un valor 0.615 del máximo, para k  3.1 la población parece oscilar entre dos valores, y para k  3.8 no surge ningún patrón obvio. Este última situación se describe de forma matemática mediante la palabra caos. 1 1 21 0 1 21 0 k=2.6 21 0 k=3.1 k=3.8 Figura 2 El siguiente programa de la TI-83 traza la primera gráfica de la figura 2. Las otras gráficas se obtienen eligiendo el valor apropiado para K en el programa. PROGRAM:ITERATE :ClrDraw :2.6 S K :0.1 S X :For(N, 1, 20) :K*X*(1-X) S Z :Pt-On(N, Z, 2) :Z S X :End 1. Use el procedimiento gráfico ilustrado en la figura 1 para las primeras cinco iteraciones de f1x2  2x11  x 2 en x  0.1. 2. Encuentre las iteraciones de f1x 2  x 2 en x  1. 3. Encuentre las iteraciones de f1x 2  1/x en x  2. 4. Encuentre las seis primeras iteraciones de f1x2  1/11  x2 en x  2. ¿Cuál es la iteración número 1000 de f en 2? 5. Encuentre las primeras 10 iteraciones de la función logística en x  0.1 para el valor dado de k. ¿La población se estabiliza, oscila o es caótica? a) k  2.1 b) k  3.2 c) k  3.9 6. Es fácil hallar iteraciones por medio de una calculadora graficadora. Los pasos siguientes muestran cómo encontrar las iteraciones de f1x2  kx11  x 2 en 0.1 para k  3 en una calculadora TI-83. (El procedimiento se puede adaptar a cualquier calculadora graficadora.) Y1 K * X * 11 X 2 3SK 0.1 S X Y1 S X 0.27 0.5913 0.72499293 0.59813454435 Introduzca f Y1 en la lista de gráficas Almacene 3 en la variable K Almacene 0.1 en la variable X Evalúe f en X y guarde de nuevo el resultado en X Oprima ENTER y obtenga la primera iteración Mantenga oprimida la tecla ENTER para volver a ejecutar el comando y obtener iteraciones sucesivas El programa en el margen se puede usar también para graficar las iteraciones y estudiarlas de manera visual. Use una calculadora de graficación para experimentar cómo el valor de k afecta las iteraciones de f1x2  kx11  x2 en 0.1. Encuentre varios valores diferentes de k que hacen que las iteraciones se estabilicen en un valor, oscilen entre dos valores y exhiban caos. (Use valores de k entre 1 y 4.) ¿Puede hallar valores de k que hacen que las iteraciones oscilen entre cuatro valores? SECCIÓN 2.8 Funciones uno a uno y sus inversas 2.8 225 Funciones uno a uno y sus inversas La inversa de una función es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa “deshace” o invierte lo que ha hecho la función. No todas las funciones tienen inversas; las que sí la tienen se llaman funciones uno a uno. Funciones uno a uno Compárense las funciones f y g cuyos diagramas de flecha se muestran en la figura 1. Hay que observar que f nunca toma el mismo valor dos veces (dos números cualesquiera en A tienen imágenes diferentes), mientras que g toma el mismo valor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma imagen, 4). En símbolos, g12 2  g132 pero f1x 1 2  f1x 2 2 siempre que x1  x2. Las funciones que tienen esta última propiedad se llaman uno a uno. A B 4 10 7 4 2 3 2 1 Figura 1 A B 4 10 3 4 2 2 1 f g f es uno a uno g no es uno a uno Definición de una función uno a uno Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es decir, f(x1)  f(x2) siempre que x1  x2 Una forma equivalente de escribir la condición de una función uno a uno es ésta: Si f(x1)  f(x2), entonces x1  x2. y y=Ï f(x⁄) 0 x⁄ Si una recta horizontal cruza la gráfica de f en más de un punto, entonces se puede observar en la figura 2 que hay números x1  x2 tales que f1x 1 2  f1x 2 2 . Esto significa que f no es uno a uno. Por lo tanto, se tiene el siguiente método geométrico para determinar si una función es uno a uno. f(x¤) x¤ Figura 2 La función no es uno a uno porque f 1x 1 2  f 1x 2 2 . x Prueba de la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal cruza su gráfica más de una vez. 226 CAPÍTULO 2 Funciones y Ejemplo 1 Decidir si una función es uno a uno ¿La función f1x2  x 3 es uno a uno? Solución 1 Si x1  x 2, entonces x13  x 32 (dos números diferentes no pueden tener el mismo cubo). Por lo tanto, f1x2  x 3 es uno a uno. 1 0 1 x Solución 2 En la figura 3 se puede observar que ninguna recta horizontal cruza la gráfica de f1x2  x 3 más de una vez. Por lo tanto, mediante la prueba de la recta horizontal, f es uno a uno. ■ Observe que la función f del ejemplo 1 es creciente y también es uno a uno. De hecho, se puede probar que toda función creciente y toda función decreciente es uno a uno. Figura 3 f 1x2  x 3 es uno a uno. Ejemplo 2 Decidir si una función es uno a uno ¿La función g1x2  x 2 es uno a uno? y Solución 1 Esta función no es uno a uno porque, por ejemplo, g(1)  1 y g(1)  1 y, por lo tanto, 1 y 1 tienen la misma imagen. 1 0 1 x Figura 4 f1x2  x 2 no es uno a uno. Solución 2 De la figura 4 se puede observar que hay rectas horizontales que cruzan la gráfica de g más de una vez. Por lo tanto, por la prueba de la recta horizontal, g no es uno a uno. Aunque la función g del ejemplo 2 no es uno a uno, es posible restringir su dominio de modo que la función resultante sea uno a uno. De hecho, si se define h1x2  x 2, y Ejemplo 3 Figura 5 f 1x2  x 2 1x x 0 entonces h es uno a uno, como se puede observar en la figura 5 y la prueba de la recta horizontal. 1 0 ■ Mostrar que una función es uno a uno Muestre que la función f1x2  3x  4 es uno a uno. 1 x 0 2 es uno a uno. Solución Suponga que hay números x1 y x2 tales que f1x 1 2  f1x 2 2 . Entonces 3x1  4  3x2  4 3x1  3x2 x1  x2 Por lo tanto, f es uno a uno. Suponga que f 1x 1 2  f 1x 2 2 Reste 4 Divida entre 3 ■ La inversa de una función Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente las funciones que poseen funciones inversas de acuerdo con la siguiente definición. SECCIÓN 2.8 Funciones uno a uno y sus inversas No confunda el 1 en f 1 con un exponente. 1 f 1x2 no significa f 1 does not mean El recíproco 1/f 1x 2 se escribe como 1f 1x 22 1. A B f x y=Ï f Figura 6 _1 227 Definición de la inversa de una función Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f 1 tiene dominio B y rango A y está definida por f 1 1y2  x 3 f 1x2  y para cualquier y en B. Esta definición establece que si f envía x a y, entonces f 1 envía a y de nuevo a x. (Si f no fuera uno a uno, entonces f 1 no estaría definida de manea única.) El diagrama de flechas en la figura 6 indica que f 1 invierte el efecto de f. De la definición se tiene dominio de f 1  rango de f rango de f 1  dominio de f Ejemplo 4 Encuentre f 1 para valores específicos Si f11 2  5, f132  7 y f182  10 encuentre f 1 152, f 1 172 , y f 1 1102 . Solución De la definición de f 1 se tiene f 1(5)  1 porque f(1)  5 f 1(7)  3 porque f(3)  7 porque f(8)  10 1 f (10)  8 En la figura 7 se muestra cómo f 1 invierte el efecto de f en este caso. Figura 7 A B A B 1 5 1 5 3 7 3 7 8 _10 8 _10 f _1 f 1 ■ Por definición la función inversa f deshace lo que hace f si se empieza con x, se aplica f, y luego se aplica f 1, se llega de nuevo a x, donde se inició. De manera similar, f deshace lo que hace f 1. En general, cualquier función que invierte el efecto de f en esta forma debe ser la inversa de f. Estas observaciones se expresan con precisión como sigue. Propiedad de la función inversa Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa f 1 satisface las siguientes propiedades de cancelación. f 1(f(x))  x para toda x en A f(f 1(x))  x para toda x en B A la inversa, cualquier función f versa de f. 1 que satisface estas ecuaciones es la in- 228 CAPÍTULO 2 Funciones Estas propiedades indican que f es la función inversa de f 1, por lo tanto se dice que f y f 1 son inversas entre sí. Ejemplo 5 Verificar que dos funciones son inversas Muestre que f1x2  x 3 y g1x2  x 1/3 son inversas entre sí. Solución Observe que el dominio y el rango de f y g es ⺢. Se tiene g1f1x 22  g1x 3 2  1x 3 2 1/3  x f1g1x 22  f1x 1/3 2  1x 1/3 2 3  x Por consiguiente, por la propiedad de las funciones inversas, f y g son inversas entre sí. Estas ecuaciones simplemente expresan que la función cúbica y la función raíz cúbica, cuando se componen, se cancelan entre sí. ■ Ahora se examinará cómo se calculan las funciones inversas. Se observa primero de la definición de f 1 que y  f1x2 3 f 1 1y2  x En consecuencia, si y  f1x2 y si se puede resolver esta ecuación para x en términos de y, entonces se debe tener x  f 1 1y2 . Si luego se intercambian x y y, se tiene y  f 1 1x 2 , que es la ecuación deseada. Cómo hallar la inversa de una función uno a uno 1. Escriba y  f1x2 . 2. Resuelva esta ecuación para x en términos de y (si es posible). 3. Intercambie x y y. La ecuación resultante es y  f 1 1x2 . En el ejemplo 6 observe cómo f 1 invierte el efecto de f. La función f es la regla “multiplicar por 3, luego restar 2”, mientras que f 1 es la regla “sumar 2, luego dividir entre 3”. Compruebe su respuesta Se usa la propiedad de la función inversa. f 1 1f 1x 22  f 1 13x  2 2   13x  2 2  2 3 3x x 3 f 1f 1 1x 22  f a x2 b 3 x2  3a b 2 3 x22x Hay que observar que se pueden invertir los pasos 2 y 3. En otras palabras, se puede intercambiar x y y primero y luego resolver para y en términos de x. Ejemplo 6 Cómo determinar la inversa de una función Encuentre la inversa de la función f1x2  3x  2. Solución Primero se escribe y  f1x2 . y  3x  2 Luego, de esta ecuación se despeja x: 3x  y  2 x y2 3 Sume 2 Divida entre 3 Por último, se intercambian x y y: y x2 3 Por lo tanto, la función inversa es f 1 1x2  x2 . 3 ■ SECCIÓN 2.8 Funciones uno a uno y sus inversas En el ejemplo 7 observe cómo f 1 invierte el efecto de f. La función f es la regla “tome la quinta potencia, reste 3, luego divida entre 2”, mientras que f 1 es la regla “multiplique entre 2, sume 3, luego tome la raíz quinta”. Ejemplo 7 Hallar la inversa de una función Encuentre la inversa de la función f1x2  y Se emplea la propiedad de la función inversa. 2  2x x 2 x  2y  3 Sume 3 Tome las raíces quintas ■ El principio de intercambiar x y y para encontrar la función inversa también proporciona un método para obtener la gráfica de f 1 a partir de la gráfica de f. Si f1a2  b, entonces f 1 1b2  a. Así, el punto 1a, b2 está sobre la gráfica de f si y sólo si el punto 1b, a2 está sobre la gráfica de f 1. Pero el punto 1b, a2 se obtiene del punto 1a, b 2 al reflejar en la línea y  x (véase figura 8). Por lo tanto, como se ilustra en la figura 9, lo siguiente es cierto. 3 12x  32 1/5 4 5  3 2x  3  3 2 Multiplique por 2 1/5 f 1f 1 1x 22  f 112x  3 2 1/5 2  2y  x 5  3 Luego se intercambia x y y para obtener y  12x  32 1/5. Por lo tanto, la función inversa es f 1 1x2  12x  32 1/5.  1x 5 2 1/5  x  Ecuación que define la función x  12y  32 1/5 1/5 x5  3 b  3d 2  1x  3  3 2 x5  3 2 5 x5  3 f 1 1f1x 22  f 1 a b 2 5 x5  3 . 2 Solución Primero se escribe y  1x 5  32/2 y se despeja x. Compruebe su respuesta  c2a 229 La gráfica de f 1 se obtiene al reflejar la gráfica de f en la recta y  x. y y y=x y=x (b, a) f _¡ (a, b) x x Figura 8 y Figura 9 y=x Ejemplo 8 y=f –¡(x) Encontrar la inversa de una función a) Bosqueje la gráfica de f1x2  1x  2. b) Use la gráfica de f para bosquejar la gráfica de f 1. c) Encuentre una ecuación para f 1. 2 x 2 x-2 y=Ï=œ∑ Figura 10 f Solución a) Con las transformaciones de la sección 2.4, se bosqueja la gráfica de y  1x  2 al trazar la gráfica de la función y  1x (ejemplo 1(c) en la sección 2.2) y moverla a la derecha dos unidades. b) La gráfica de f 1 se obtiene de la gráfica de f en el inciso a) reflejándola en la recta y  x, como se muestra en la figura 10. 230 CAPÍTULO 2 Funciones c) De y  1x  2 despeje x, notando que y 0. 1x  2  y x  2  y2 eleve al cuadrado ambos miembros x  y  2, y 2 y  x 2  2, Por consiguiente, f 1 1x2  x 2  2, x 0 x 0 1 Esta expresión muestra que la gráfica de f es la mitad derecha de la parábola y  x 2  2 y, de la gráfica mostrada en la figura 10, esto parece razonable. ■ Ejercicios 1–6 ■ Se da la gráfica de una función f. Determine si f es uno a uno. y 1. Sume 2 Intercambie x y y: En el ejemplo 8 se puede observar cómo f 1 invierte el efecto de f. La función f es la regla “reste 2, luego tome la raíz cuadrada”, mientras que f 1 es la regla “eleve al cuadrado, después sume 2”. 2.8 0 2. 13. f 1x 2  x 4  5 14. f 1x 2  x 4  5, 0  x  2 y 15. f 1x2  0 0 x 12. h1x 2  x 3  8 11. h1x 2  x 2  2x 16. f 1x 2  1 x2 1 x x 17–18 ■ Suponga que f es una función uno a uno. 17. a) Si f 12 2  7, encuentre f 1 17 2 . b) Si f 1 13 2  1, encuentre f 112 . y 3. 4. 18. a) Si f 15 2  18, encuentre f 1 118 2 . y b) Si f 1 14 2  2, encuentre f 12 2 . 19. Si f 1x2  5  2 x, encuentre f 1 13 2 . 0 0 x x 20. Si g1x 2  x 2  4x con x 2, encuentre g 1 15 2 . 21–30 ■ Use la propiedad de la función inversa para mostrar que f y g son inversas entre sí. 21. f 1x 2  x  6, g1x2  x  6 y 5. 6. 22. f 1x 2  3x, y g1x2  x 3 23. f 1x 2  2 x  5; g1x 2  0 0 x x 24. f 1x 2  3x ; 4 x5 2 g1x 2  3  4x 1 1 25. f 1x 2  , g1x 2  x x 7–16 ■ Determine si la función es uno a uno. 7. f 1x 2  2 x  4 9. g1x 2  1x 8. f 1x2  3x  2 10. g1x2  0 x 0 26. f 1x 2  x 5, 5 g1x2  1 x 27. f 1x 2  x 2  4, x g1x 2  1x  4, 0; x 4 SECCIÓN 2.8 Funciones uno a uno y sus inversas 28. f 1x 2  x 3  1; g1x 2  1x  12 1/3 61. f 1x 2  2  x 62. f 1x 2  2  12 x 29. f 1x 2  1 , x  1; x1 63. g1x2  1x  3 64. g1x2  x 2  1, x g1x 2  1  1, x  0 x 31–50 ■ y Encuentre la función inversa de f. 31. f 1x 2  2x  1 32. f 1x 2  6  x 35. f 1x2  x 2 36. f 1x2  37. f 1x 2  1 x2 38. f 1x 2  39. f 1x 2  1  3x 5  2x 40. f 1x2  5  4x 3 y 34. f 1x 2  3  5x 1 , x2 1 x0 x 0 45. f 1x 2  4  1x 3 47. f 1x2  1  11  x 0 x2 x2 67. h1x2  1x  22 2 x 0 44. f 1x2  12x  1 53. f 1x 2  1x  1 1 55. f 1x 2  x  x 57. f 1x 2  x  12 x6 59. f 1x2  0 x 0  0 x  6 0 0 1 _1 0 50. f 1x 2  1  x 3 69–70 54. f 1x 2  x 3  1 69. x 0 ■ 1 x x Use la gráfica de f para bosquejar la gráfica de f 1. 70. y y 1 0 1 x 1 55–60 ■ Trace una gráfica de f y empléela para determinar si la función es uno a uno. 3 y 46. f 1x2  12  x 3 2 5 52. f 1x2  16  x 2, x 68. k1x 2  0 x  3 0 y 51–54 ■ Se da una función f. a) Bosqueje la gráfica de f. b) Use la gráfica de f para bosquejar la gráfica de f 1. c) Encuentre f 1. 51. f 1x2  3x  6 1  12 48. f 1x 2  29  x 2, 0  x  3 49. f 1x 2  x 4, 1 x 1 0 42. f 1x2  x 2  x, x 41. f 1x 2  12  5x 43. f 1x 2  4  x 2, 66. g1x 2  1x  12 2 65. f 1x 2  4  x 2 0x2 33. f 1x 2  4x  7 0 65–68 ■ La función dada no es uno a uno. Restrinja su dominio de modo que la función resultante sea uno a uno. Encuentre la inversa de la función con el dominio restringido. (Hay más de una respuesta correcta.) 30. f 1x2  24  x 2, 0  x  2; g1x2  24  x 2, 231 0 1 x 56. f 1x 2  x  x 3 58. f 1x 2  2x 3  4x  1 Aplicaciones 60. f 1x2  x # 0 x 0 71. Cuota por servicio Por sus servicios, un investigador privado requiere una cuota de retención de $500 más $80 por hora. Sea x el número de horas que el investigador pasa trabajando en un caso. a) Halle una función f que modela la cuota del investigador como una función de x. b) Encuentre f 1. ¿Qué representa f 1? c) Encuentre f 1(1220). ¿Qué representa su respuesta? 61–64 ■ Se da una función uno a uno. a) Encuentre la inversa de la función. b) Grafique tanto la función como su inversa en la misma pantalla para comprobar que las gráficas son reflexiones entre sí en la recta y  x. 232 CAPÍTULO 2 Funciones 72. Ley de Torricelli Un recipiente contiene 100 galones de agua, que salen de una fuga en el fondo, lo que causa que el recipiente se vacíe en 40 minutos. La ley de Torricelli proporciona el volumen de agua que permanece en el recipiente después de t minutos como V1t 2  100 a 1  t 2 b 40 a) Encuentre V 1. ¿Qué representa V 1? b) Determine V 1 1152 . ¿Qué representa su respuesta? 73. Flujo de sangre Cuando la sangre se mueve por una vena o arteria, su velocidad √ es mayor a lo largo del eje central y disminuye a medida que se incrementa la distancia r desde el eje central (véase la figura). Para una arteria con radio 0.5 cm, √ está dada como una función de r por √1r2  18,50010.25  r 2 2 a) Encuentre √1. ¿Qué representa √1? b) Determine √1 130 2 . ¿Qué representa su respuesta? r 74. Función de demanda La cantidad vendida de un artículo se llama demanda del artículo. La demanda D para cierto artículo es una función del precio dada por D1 p 2  3p  150 a) Encuentre D1. ¿Qué representa D1? b) Determine D1 130 2 . ¿Qué representa su respuesta? 75. Escalas de temperatura La relación entre las escalas Fahrenheit (F ) y Celsius (C ) esta dada por F1C 2  95 C  32 a) Encuentre F 1. ¿Qué representa F 1? b) Determine F 1 186 2 . ¿Qué representa su respuesta? 76. Tasas de intercambio El valor relativo de las monedas circulantes fluctúa día con día. Cuando se escribió este problema, un dólar canadiense valía 0.8159 de dólar estadounidense. a) Encuentre una función f que proporciona el valor f 1x2 en dólares estadounidenses de x dólares canadienses. b) Encuentre f 1. ¿Qué representa f 1? c) ¿Cuánto serían 12 250 dólares canadienses en moneda estadounidense actual? 77. Impuesto Sobre la Renta. En cierto país, el impuesto por ingresos menores o iguales que 20 000 euros es 10%. Para ingresos de más de 20 000 euros, el impuesto es 2000 euros más 20% de la cantidad sobre 20 000 euros. a) Encuentre una función f que proporciona el Impuesto Sobre la Renta por un ingreso x. Exprese f como una función definida por partes. b) Encuentre f 1. ¿Qué representa f 1? c) ¿Cuánto ingreso requeriría pagar un impuesto de 10 000 euros? 78. Descuentos múltiples Un vendedor de automóviles anuncia un descuento de 15% en todos sus autos nuevos. Además, el fabricante ofrece una rebaja de $1000 en la compra de un automóvil nuevo. Sea x el precio de venta del automóvil. a) Suponga que sólo se aplica el 15% de descuento. Encuentre una función f que modele el precio de compra del automóvil como una función del precio de etiqueta x. b) Suponga que sólo se aplica una rebaja de $1000. Encuentre una función g que modele el precio de compra del automóvil como una función del precio de etiqueta x. c) Encuentre una fórmula para H  f ⴰ g. d) Encuentre H 1. ¿Qué representa H 1? e) Determine H 1 113,0002 . ¿Qué representa su respuesta? 79. Costo de una pizza Marcello’s Pizza fijó como precio base de la pizza grande $7 más $2 por cada ingrediente. Por tanto, si usted ordena una pizza grande con x ingredientes, el precio lo dará la función f 1x2  7  2x. Encuentre f 1. ¿Qué representa la función f 1? Descubrimiento • Debate 80. Determinar cuándo una función lineal tiene una inversa Para la función lineal f 1x 2  mx  b sea uno a uno, ¿qué debe ser cierto acerca de su pendiente? Si es uno a uno, encuentre su inversa. ¿La inversa es lineal? En caso afirmativo, ¿cuál es su pendiente? 81. Hallar una inversa “en su cabeza” En las notas del margen de esta sección se señaló que la inversa de una función se puede encontrar revirtiendo las operaciones que constituyen la función. Por ejemplo, en el ejemplo 6 se vio que la inversa de f 1x 2  3x  2 es is f 1 1x 2  x2 3 porque el “inverso" de “multiplicar por 3 y restar 2” es “sumar 2 y dividir entre 3”. Use el mismo procedimiento para hallar la inversa de las siguientes funciones. 2x  1 1 a) f 1x 2  b) f 1x 2  3  x 5 c) f 1x 2  2x 3  2 d) f 1x 2  12x  52 3 Ahora considere otra función: f 1x 2  x 3  2x  6 CAPÍTULO 2 Repaso ¿Es posible usar la misma clase de inversión simple de operaciones para hallar la inversa de esta función? En caso afirmativo, hágalo. Si no, explique qué es diferente acerca de esta función que hace difícil esta tarea. 82. La función identidad La función I1x2  x se llama función identidad. Muestre que para cualquier función f se tiene f ⴰ I  f, I ⴰ f  f y f ⴰ f 1  f 1 ⴰ f  I. (Esto significa que la función identidad I se comporta para funciones y composición de la misma forma que el número 1 se comporta para números reales y multiplicación.) 83. Solución de una ecuación para una función desconocida En el ejercicio 65 de la sección 2.7 se pidió resolver la ecuación en la que las incógnitas fueron funciones. Ahora que se sabe acerca de las inversas y la función identidad (véase el ejercicio 82), se puede usar álgebra para resolver 2 233 tales ecuaciones. Por ejemplo, para resolver f ⴰ g  h para la función desconocida f, se efectúan los pasos siguientes: fⴰgh fⴰgⴰg 1 hⴰg Problema: despejar f 1 f ⴰ I  h ⴰ g 1 f  h ⴰ g 1 Componer con g1 a la derecha g ⴰ g1  I fⴰIf Por lo tanto, la solución es f  h ⴰ g1. Use esta técnica para resolver la ecuación f ⴰ g  h para la función desconocida indicada. a) Resuelva para f, donde g1x 2  2x  1 y h1x2  4x 2  4x  7 b) Resuelva para g, donde f 1x 2  3x  5 y h1x 2  3x 2  3x  2 Repaso Comprobación de conceptos 1. Defina cada concepto en sus propias palabras. (Compruebe refiriéndose a la definición en el texto.) a) Función b) Dominio y rango de una función c) Gráfica de una función d) Variables independiente y dependiente 2. Dé un ejemplo de cada tipo de función. a) Función constante. b) Función lineal c) Función cuadrática 3. Trace a mano, en los mismos ejes, las gráficas de las funciones siguientes. a) f 1x 2  x b) g1x 2  x 2 3 c) h1x 2  x d) j1x 2  x 4 4. a) Exprese la prueba de la recta vertical b) Exprese la prueba de la recta horizontal. 7. Suponga que se da la gráfica de f. Escriba una ecuación para cada gráfica que se obtiene de la gráfica de f como sigue. a) Desplace 3 unidades hacia arriba b) Desplace 3 unidades hacia abajo c) Desplace 3 unidades a la derecha d) Desplace 3 unidades a la izquierda e) Refleje en el eje x f) Refleje en el eje y g) Alargue verticalmente por un factor de 3 h) Acorte verticalmente por un factor de 13 i) Alargue horizontalmente por un factor de 2 j) Acorte horizontalmente por un factor de 12 8. a) ¿Qué es una función par? ¿Qué simetría posee su gráfica? Dé un ejemplo de una función par. b) ¿Qué es una función impar? ¿Qué simetría posee su gráfica? Dé un ejemplo de una función impar. 9. Escriba la forma estándar de una función cuadrática. 5. ¿Cómo se define la tasa promedio de cambio de la función f entre dos puntos? 10. ¿Qué significa decir f 13 2 es un valor máximo local de f? 6. Defina cada concepto en sus propias palabras. a) Función creciente b) Función decreciente c) Función constante 11. Suponga que f tiene dominio A y g tiene dominio B. a) ¿Cuál es el dominio de f  g? b) ¿Cuál es el dominio de fg? c) ¿Cuál es el dominio de f/g? 234 CAPÍTULO 2 Funciones 12. ¿Cómo está definida la función compuesta f ⴰ g? f 1? ¿Cuál es el dominio de f 1? ¿Cuál es el rango de f 1? d) Si se tiene una fórmula para f, ¿cómo encuentra una fórmula para f 1? e) Si se tiene la gráfica de f, ¿cómo encontraría la gráfica de f 1? 13. a) ¿Qué es una función uno a uno? b) ¿Cómo se puede decir si la gráfica de una función es uno a uno? c) Suponga que f es una función uno a uno con dominio A y rango B. ¿Cómo se define la función inversa Ejercicios 1. Si f 1x 2  x 2  4x  6, encuentre f 10 2 , f 122 , f 12 2 , f 1a2 , f 1a 2 , f 1x  12 , f 12x2 y 2f 1x 2  2. 2. Si f 1x 2  4  13x  6 encuentre f 15 2 , f 19 2 , f 1a  2 2 , f 1x2 , f 1x 2 2 , y 3 f 1x2 4 2. 3. Se da la gráfica de una función f. a) Encuentre f 12 2 y f 12 2 . b) Determine el dominio de f. c) Encuentre el rango de f. d) ¿En qué intervalos f es creciente? ¿En qué intervalos f es decreciente? e) ¿f es uno a uno? 5–6 ■ 7–14 ■ Encuentre el dominio de la función. 7. f 1x 2  7x  15 8. f 1x 2  11. f 1x 2  1 1 1   x x1 x2 21. g1x 2  1  1x 22. g1x2   0 x 0 19. f 1x 2  x 2  6x  6 x 4. ¿Cuáles de las siguientes figuras son gráficas de funciones? ¿Cuál de las funciones son uno a uno? 25. h1x 2  1x 1 27. g1x2  2 x y 0 x x y 0 y x if x  0 si if x 0 si 1  2x 2x  1 if x  0 si si if x  0 x6 x2 if x  2 si si if x 2 31. f 1x 2  e x 32. f 1x 2  cx 2 1 d) 0 x 26. H1x2  x 3  3x 2 1 28. G1x 2  1x  32 2 1x 1 29. f 1x2  e 20. f 1x 2  3  8x  2x 2 24. h1x 2  1x  3 1 3 2x 30. f 1x 2  e b) 3 1 2x  2 18. g1t 2  t 2  2t 3 0 3 1 2x  1 17. f 1t 2  1  12 t 2 23. h1x 2  b) 2x 2  5x  3 2x 2  5x  3 Bosqueje la gráfica de la función. 16. f 1x 2  13 1x  52 , 2  x  8 2 y 2 1x  1 15. f 1x2  1  2x f a) 12. g1x2  13. h1x 2  14  x  2x 2  1 14. f 1x2  ■ 2x  1 2x  1 10. f 1x 2  3x  9. f 1x 2  1x  4 15–32 2 6. F 1t 2  t 2  2t  5 5. f 1x2  1x  3 y 0 Encuentre el dominio y el rango de la función. if x  0 si if 0  x  2 si if x 2 si 33. Determine cuál de los rectángulos de visión producen la gráfica más apropiada de la función f 1x 2  6x 3  15x 2  4x  1. (i) 32, 24 por 32, 24 (ii) 38, 84 por 38, 84 (iii) 34, 44 por 312, 124 (iv) 3100, 1004 por 3100, 1004 CAPÍTULO 2 Repaso 34. Determine cuál rectángulo de visión produce la gráfica más apropiada de la función f 1x2  2100  x 3. i) 34, 44 por 34, 44 ii) 310, 104 por 310, 104 iii) 310, 104 por 310, 404 235 48. Se da la gráfica de f. Trace las gráficas de las siguientes funciones. a) y  f 1x  22 c) y  3  f 1x 2 e) y  f 1 1x 2 iv) 3100, 1004 por 3100, 1004 b) y  f 1x 2 d) y  12 f 1x 2  1 f) y  f 1x2 y 35–38 ■ Dibuje la gráfica de la función en un rectángulo de visión apropiado. 35. f 1x 2  x 2  25x  173 1 36. f 1x 2  1.1x 3  9.6x 2  1.4x  3.2 37. f 1x 2  0 x x 1 2x 2  16 38. f 1x 2  0 x1x  2 2 1x  42 0 49. Determine si f es par, impar o ninguna. 39. Encuentre, aproximadamente, el dominio de la función 1  x2 1 d) f 1x 2  x2 1  x2 50. Determine si la función de la figura es par, impar o ninguna. f 1x 2  2x 3  4x  1. 40. Determine en forma aproximada el rango de la función f 1x 2  x 4  x 3  x 2  3x  6. a) f 1x 2  2x 5  3x 2  2 b) f 1x 2  x 3  x 7 c) f 1x2  a) b) y y 41–44 ■ Encuentre la tasa de cambio promedio de la función entre los puntos dados. 0 41. f 1x 2  x 2  3x; x  0, x  2 42. f 1x 2  0 x x 1 ; x  4, x  8 x2 1 43. f 1x 2  ; x  3, x  3  h x c) y d) y 44. f 1x 2  1x  1 2 2; x  a, x  a  h 0 x 0 x 45–46 ■ Dibuje la gráfica de la función f, y determine los intervalos en los que f es creciente y en los que f es decreciente. 51. Exprese la función cuadrática f 1x2  x 2  4x  1 en la forma estándar. 45. f1x2  x 3  4x 2 46. f1x 2  0 x 4  16 0 47. Suponga que se da la gráfica de f. Describa cómo se pueden obtener las gráficas de las siguientes funciones a partir de f. 52. Exprese la función cuadrática f 1x 2  2x 2  12x  12 en la forma estándar. a) y  f 1x 2  8 b) y  f 1x  82 53. Encuentre el valor mínimo de la función g1x2  2x 2  4x  5. e) y  f 1x 2 f) y  f 1x 2 54. Determine el valor máximo de la función f 1x 2  1  x  x 2. c) y  1  2f 1x2 g) y  f 1x2 d) y  f 1x  2 2  2 h) y  f 1 1x 2 236 CAPÍTULO 2 Funciones 55. Se lanza una piedra hacia arriba desde la parte superior de un edificio. Su altura (en pies) sobre el suelo después de t segundos está dada por h1t2  16t 2  48t  32. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? 56. La ganancia P (en dólares) que se genera al vender x unidades de cierto artículo está dada por P1x 2  1500  12x  0.0004x 2 ¿Cuál es la ganancia máxima, y cuántas unidades se deben vender para generarla? ■ 57–58 Encuentre los valores máximo y mínimo locales de la función y los valores de x en los que ocurren. Exprese cada respuesta correcta hasta dos lugares decimales. 57. f 1x 2  3.3  1.6x  2.5x 3 58. f 1x 2  x 2/3 16  x 2 1/3 59. El número de acondicionadores de aire que vende una tienda de aparatos depende de la época del año. Bosqueje una gráfica aproximada del número de unidades A/C vendidas como una función de la época del año. 60. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 8 cm. Exprese el área A del triángulo como una función de la longitud b de la base del triángulo. 61. Un rectángulo está inscrito en un triángulo equilátero con un perímetro de 30 cm como en la figura. a) Exprese el área A del rectángulo como una función de la longitud x mostrada en la figura. b) Encuentre las dimensiones del rectángulo con el área más grande. 63. Si f 1x 2  x 2  3x  2 y g1x2  4  3x, encuentre las siguientes funciones. a) f  g b) f  g c) fg d) f/g e) f ⴰ g f) g ⴰ f 64. Si f 1x 2  1  x 2 y g1x 2  1x  1, encuentre lo siguiente. a) f ⴰ g b) g ⴰ f c) 1f ⴰ g2 12 2 d) 1f ⴰ f2 122 e) f ⴰ g ⴰ f f) g ⴰ f ⴰ g 65–66 ■ Encuentre las funciones f ⴰ g, g ⴰ f, f ⴰ f y g ⴰ g y sus dominios. 65. f 1x 2  3x  1, 66. f 1x 2  1x, g1x 2  2x  x 2 g1x2  2 x4 67. Encuentre f ⴰ g ⴰ h, donde f 1x 2  11  x, g1x2  1  x 2, y h1x 2  1  1x. 68. Si T1x 2  1 31  2x que f ⴰ g ⴰ h  T. 69–74 ■ , encuentre funciones f, g y h tales Determine si la función es uno a uno. 69. f 1x 2  3  x 3 70. g1x2  2  2x  x 2 71. h1x 2  1 x4 72. r 1x 2  2  1x  3 73. p1x 2  3.3  1.6x  2.5x 3 74. q1x 2  3.3  1.6x  2.5x 3 10 75–78 ■ Encuentre la inversa de la función. 75. f 1x2  3x  2 x 62. Una pieza de alambre de 10 m de largo se corta en dos piezas. Una de longitud x, se dobla en la forma de un cuadrado. La otra pieza se dobla en la forma de un triángulo equilátero. a) Exprese el área total encerrada como una función de x. b) ¿Para qué valor de x el área total es un mínimo? 10 cm x 76. f 1x 2  2x  1 3 77. f 1x 2  1x  12 3 5 78. f 1x 2  1  1x  2 79. a) Bosqueje la gráfica de la función f 1x 2  x 2  4, x 0 b) Use el inciso a) para bosquejar la gráfica de f 1. c) Encuentre una ecuación para f 1. 80. a) b) c) d) 4 Muestre que la función f 1x 2  1  1x es uno a uno. Bosqueje la gráfica de f. Use el inciso b) para trazar la gráfica de f 1. Encuentre una ecuación para f 1. CAPÍTULO 2 Evaluación 2 Evaluación 1. ¿Cuáles de las siguientes son gráficas de funciones? Si la gráfica corresponde a la de una función, ¿Es uno a uno? a) y b) 0 c) y 0 x y d) y 0 x x x 1x  1 . x (a) Evalúe f 13 2, f 152 y f 1a  12 . (b) Encuentre el dominio de f. 2. Sea f 1x2  3. Determine la tasa promedio de cambio para la función f 1t 2  t 2  2t entre t  2 y t  5. 4. a) Bosqueje la gráfica de la función f 1x2  x 3. b) Use el inciso a) para graficar la función g1x2  1x  12 3  2. 5. a) ¿Cómo se obtiene la gráfica de y  f 1x  32  2 a partir de la gráfica de f? b) ¿Cómo se obtiene la gráfica de y  f 1x2 a partir de la gráfica de f? 6. a) Escriba la función cuadrática f 1x2  2x 2  8x  13 en la forma estándar. b) Bosqueje una gráfica de f. c) ¿Cuál es el valor mínimo de f? 7. Sea f 1x 2  e 1  x2 2x  1 si if x  0 si xx  0 if a) Evalúe f 122 y f 11 2 . b) Bosqueje la gráfica de f. x x x x y x x 8. a) Si 1800 pies de cerca están disponibles para construir cinco corrales adyacentes, como se ilustra en el diagrama de la izquierda, exprese el área total de los corrales como una función de x. b) ¿Qué valor de x maximizará el área total? 9. Si f 1x 2  x 2  1 y g1x 2  x  3, encuentre lo siguiente. a) f ⴰ g b) g ⴰ f c) f 1g1222 d) g 1f 12 22 e) g ⴰ g ⴰ g 237 238 CAPÍTULO 2 Funciones 10. a) Si f 1x2  13  x, encuentre la función inversa f 1. b) Bosqueje las gráficas de f y f 1 en los mismos ejes de coordenadas. 11. Se da la gráfica de una función f. a) Encuentre el dominio y el rango de f. b) Bosqueje la gráfica de f 1. c) Encuentre la tasa de cambio promedio de f entre x  2 y x  6. y 1 0 1 x 12. Sea f 1x2  3x 4  14x 2  5x  3. a) Dibuje la gráfica de f en un rectángulo de visión apropiado. b) ¿Es f uno a uno? c) Encuentre los valores locales máximo y mínimo de f y los valores de x en los que ocurren. Exprese cada respuesta correcta a dos decimales. d) Use la gráfica para determinar el rango de f. e) Encuentre los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente. Enfoque en el modelado Ajuste de líneas a datos Un modelo es una representación de un objeto o proceso. Por ejemplo, un juguete Ferrari es un modelo del automóvil real; un mapa urbano es un modelo de las calles y autopistas de una ciudad. Un modelo representa por lo común sólo un aspecto del objeto original. El juguete Ferrari no es un automóvil real, pero representa lo que se parece a un Ferrari real; un mapa de carreteras no contiene las calles reales de una ciudad, pero representa la relación de las calles entre sí. Un modelo matemático es una representación matemática de un objeto o proceso. Con frecuencia un modelo matemático es una función que describe cierto fenómeno. En el ejemplo 12 de la sección 1.10 se encontró que la función T  10h  20 modela la temperatura atmosférica T a la altura h. Después se utilizó esta función para predecir la temperatura a cierta altura. En la figura siguiente se ilustra el proceso de modelado matemático. Construcción de un modelo matemático Mundo real Uso de modelo para hacer Modelo matemático predicciones acerca del mundo real Los modelos matemáticos son útiles porque permiten aislar aspectos críticos del objeto bajo estudio y predecir cómo se comportará. Los modelos se emplean de forma extensa en ingeniería, industria y manufactura. Por ejemplo, los ingenieros emplean modelos de computadora de rascacielos para predecir su resistencia y cómo se comportarían en un terremoto. Los fabricantes de aviones usan elaborados modelos matemáticos para predecir las propiedades aerodinámicas de un nuevo diseño antes de construir en realidad el avión. ¿Cómo se desarrollan los modelos matemáticos? ¿Cómo se usan para predecir el comportamiento de un proceso? En las páginas siguientes y en las secciones posteriores de Enfoque en el modelado, se explica cómo se pueden construir los modelos matemáticos a partir de datos del mundo real, y se describen algunas de sus aplicaciones. Ecuaciones lineales como modelos Los datos de la tabla 1 se obtuvieron midiendo la presión a varias profundidades en el océano. En la tabla se observa que la presión se incrementa con la profundidad. Para ver mejor esta tendencia, se construye una gráfica de dispersión como en la figura 1. Al parecer los datos yacen más o menos a lo largo de una recta. Se puede intentar ajustar una recta en forma visual para aproximar los puntos en la gráfica de disTabla 1 Profundidad (pies) 5 8 12 15 18 22 25 30 Presión (lb/pulg2) 15.5 20.3 20.7 20.8 23.2 23.8 24.9 29.3 y (lb/pulg2) 30 y (lb/pulg2) 30 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 0 5 10 15 20 25 30 x (pies) Figura 1 Diagrama de dispersión 0 5 10 15 20 25 30 x (pies) Figura 2 Intentos para ajustar de manera visual la recta a los datos 239 240 Enfoque en el modelado y 0 x Figura 3 Distancias desde los puntos a la recta persión (véase fiura 2), pero este método no es exacto. Así que, ¿cómo se encuentra la recta que ajusta los datos lo mejor posible? Parece razonable elegir la recta que se acerca lo más posible a todos los puntos. Esta es la recta para la cual la suma de las distancias desde los puntos de datos a la recta es tan pequeña como sea posible (véase figura 3). Por razones técnicas es mejor hallar la recta donde la suma de los cuadrados de estas distancias es la más pequeña. La recta resultante se llama recta de regresión. La fórmula para la recta de regresión se encuentra por medio del cálculo. Por fortuna, esta fórmula se programa en la mayor parte de las calculadoras de graficación. Con una calculadora (véase figura 4(a)), se encuentra que la recta de regresión para los datos de profundidad-presión en la tabla 1 es P  0.45d  14.7 Modelo La recta de regresión y el diagrama de dispersión se grafican en la figura 4(b). 35 LinReg y=ax+b a=.4500365586 b=14.71813307 Figura 4 Regresión lineal en una calculadora de graficación 0 10 a) Resultado del comando LinReg en una calculadora TI-83 Ejemplo 1 Tabla 2 35 b) Diagrama de dispersión y recta de regresión para los datos de profundidad-presión Salto olímpico con pértiga En la tabla 2 se dan los registros de salto olímpico con pértiga para varones hasta 2004. a) Encuentre la recta de regresión para los datos. b) Elabore una gráfica de dispersión de los datos y grafique la recta de regresión. ¿La recta de regresión parece ser un modelo adecuado para los datos? c) Use el modelo para predecir la altura ganadora de salto con pértiga para los Juegos Olímpicos de 2008. Año Medallista de oro Altura (m) Año 1896 1900 1904 1906 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1936 1948 1952 William Hoyt, USA Irving Baxter, USA Charles Dvorak, USA Fernand Gonder, Francia A. Gilbert, E. Cook, USA Harry Babcock, USA Frank Foss, USA Lee Barnes, USA Sabin Carr, USA William Miller, USA Earle Meadows, USA Guinn Smith, USA Robert Richards, USA 3.30 3.30 3.50 3.50 3.71 3.95 4.09 3.95 4.20 4.31 4.35 4.30 4.55 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 Medallista de oro Robert Richards, USA Don Bragg, USA Fred Hansen, USA Bob Seagren, USA W. Nordwig, E. Alemania Tadeusz Slusarski, Polonia W. Kozakiewicz, Polonia Pierre Quinon, Francia Sergei Bubka, USSR M. Tarassob, Equipo unificado Jean Jalfione, Francia Nick Hysong, USA Timothy Mack, USA Altura (m) 4.56 4.70 5.10 5.40 5.64 5.64 5.78 5.75 5.90 5.87 5.92 5.90 5.95 Ajuste de líneas a datos LinReg y=ax+b a=.0265652857 b=3.400989881 241 Solución a) Sea x  año – 1900, de modo que 1896 corresponde a x  4, 1900 a x  0, etcétera. Con una calculadora, encuentre la recta de regresión: y  0.0266x  3.40 b) La gráfica de dispersión y la recta de regresión se muestran en la figura 5. La recta de regresión parece ser un buen modelo para los datos. Resultado de la función LinReg en la TI-83 Plus y 6 Altura (m) 4 2 Alexandr Satinsky/AFP/Getty Images 0 20 40 60 80 Años desde 1900 100 x Figura 5 Diagrama de dispersión y recta de regresión para los datos de salto con pértiga. c) El año 2008 corresponde a x  108 en el modelo. El modelo da y  0.026611082  3.40  6.27 m Si al momento de leer esto ya pasaron los Juegos Olímpicos de 2008, busque el registro real para 2008 y compare con esta predicción. Esta clase de predicciones son razonables para puntos cercanos a los datos medidos, pero no se pueden hacer predicciones muy apartadas respecto de los datos medidos. ¿Es razonable usar este modelo para predecir el registro 100 años a partir de ahora? Ejemplo 2 Fibras de asbesto y cáncer C