EDICIÓN REVISADA
STEWART
El contenido de la obra que tiene usted en sus manos, Cálculo de una variable:
Trascendentes tempranas, se ha reorganizado de manera tal que los profesores
puedan enseñar las funciones trascendentes (más que simples funciones
trigonométricas) antes de pasar a la integral. Además, el autor desarrolla el texto
basándose en lo que él llama regla de tres, es decir, plantea que “los temas deben
presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica”. El énfasis en la solución
de problemas, la meticulosa exactitud, las pacientes explicaciones y los conjuntos de
problemas cuidadosamente graduados son conceptos que identifican este texto
clásico de cálculo.
Sexta edición
Características
• La obra tiene una presentación clara y selectiva. El autor conduce al estudiante a
lo largo de un material crucial mediante una forma sencilla, correcta y analítica.
• Se han incorporado nuevos ejercicios que van desde un nivel básico hasta los
muy complicados, para obligar la práctica y adquisición de habilidades
(incluyendo problemas para software y calculadora graficadora).
• En el texto se enfatiza la importancia de la solución de problemas, en el apartado
“Principios para la resolución de problemas”, además de las conocidas y
aumentadas secciones de “Problemas adicionales”.
Estamos seguros de que esta excelente obra será para usted una herramienta
fundamental en la enseñanza y/o aprendizaje del Cálculo.
EDICIÓN
REVISADA
JAMES STEWART Sexta edición
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CÁ L C U L O
DE UNA VARIABLE
Trascendentes tempranas
S E X TA E D I C I Ó N
(Edición revisada)
J A M E S S T E WA RT
McMASTER UNIVERSITY
Traducción:
Jorge Humber to Romo M.
Traductor Profesional
Revisión técnica:
Dr. Ernesto Filio López
Unidad Profesional Interdisciplinaria
en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas
Instituto Politécnico Nacional
M. en C . Manuel Robles Bernal
Escuela Superior de Física y Matemáticas
Instituto Politécnico Nacional
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
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Cálculo de una variable: © D.R. 2008 por Cengage Learning Editores, S.A.
Trascendentes tempranas, de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.
Sexta edición Corporativo Santa Fe
James Stewart Av. Santa Fe, núm. 505, piso 12
Col. Cruz Manca, Santa Fe
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Derecho de Autor, sin el consentimiento por
Editor de producción: escrito de la Editorial.
Timoteo Eliosa García
Traducido del libro Single Variable Calculus:
Ilustrador: Early Trascendentals, Sixth Edition
Brian Betsill Publicado en inglés por Thomson/Brooks/Cole
Composición tipográfica: © 2008
Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V. ISBN: 0-495-01169-X
Datos para catalogación bibliográfica:
Stewart, James
Cálculo de una variable:
Trascendentes tempranas
Sexta edición
ISBN-13: 978-607-481-317-3
ISBN-10: 607-481-317-5
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http://latinoamerica.cengage.com
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PARA SALLY Y DON
PARA ALAN Y SHARON
PARA KELLY, KIM Y CALLUM
PARA JACKIE Y NINO
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CONTENIDO
Prefacio xi
Al estudiante xix
Exámenes de diagnóstico xx
PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO 2
1 FUNCIONES Y MODELOS 10
1.1 Cuatro maneras de representar una función 11
1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones básicas 24
1.3 Funciones nuevas a partir de funciones antiguas 37
1.4 Calculadoras graficadoras y computadoras 46
1.5 Funciones exponenciales 52
1.6 Funciones inversas y logaritmos 59
Repaso 73
Principios para la resolución de problemas 76
2 LÍMITES Y DERIVADAS 82
2.1 La tangente y los problemas de la velocidad 83
2.2 Límite de una función 88
2.3 Cálculo de límites utilizando las leyes de los límites 99
2.4 Definición exacta de límite 109
2.5 Continuidad 119
2.6 Límites al infinito, asíntotas horizontales 130
2.7 Derivadas y razones de cambio 143
Redacción de proyecto Métodos anticipados para la búsqueda de tangentes
&
153
2.8 La derivada como una función 154
Repaso 165
Problemas adicionales 170
v
vi |||| CONTENIDO
3 REGLAS DE DERIVACIÓN 172
m=0 y 3.1 Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales 173
m=1 m=_1 Proyecto de aplicación Construcción de una montaña rusa
&
182
0 π π
2 3.2 Las reglas del producto y el cociente 183
3.3 Derivadas de las funciones trigonométricas 189
y
3.4 La regla de la cadena 197
Proyecto de aplicación ¿Dónde debe un piloto iniciar un descenso?
&
206
3.5 Derivación implícita 207
0 π π
2 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas 215
3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 221
3.8 Crecimiento y decaimiento exponencial 233
3.9 Relaciones afines 241
3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales 247
Proyecto de laboratorio Polinomios de Taylor
&
253
3.11 Funciones hiperbólicas 254
Repaso 261
Problemas adicionales 265
4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 270
4.1 Valores máximos y mínimos 271
Proyecto de aplicación El cálculo de los arcoíris
&
279
4.2 Teorema del valor medio 280
4.3 Manera en que las derivadas afectan la forma de una gráfica 287
4.4 Formas indeterminadas y la regla de l’Hospital 298
Redacción de proyecto Los orígenes de la regla de l‘Hospital
&
307
4.5 Resumen de trazo de curvas 307
4.6 Trazado de gráficas con cálculo y calculadoras 315
4.7 Problemas de optimización 322
Proyecto de aplicación La forma de una lata
&
333
4.8 Método de Newton 334
4.9 Antiderivadas 340
Repaso 347
Problemas adicionales 351
CONTENIDO |||| vii
5 INTEGRALES 354
5.1 Áreas y distancias 355
5.2 La integral definida 366
Proyecto para un descubrimiento Funciones de área
&
379
5.3 El teorema fundamental del cálculo 379
5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio total 391
Redacción de proyecto Newton, Leibniz y la invención del cálculo
&
399
5.5 La regla de la sustitución 400
Repaso 408
Problemas adicionales 412
6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 414
6.1 Áreas entre curvas 415
6.2 Volúmenes 422
6.3 Volúmenes mediante cascarones cilíndricos 433
6.4 Trabajo 438
6.5 Valor promedio de una función 442
Proyecto de aplicación ¿Dónde sentarse en las salas cinematográficas?
&
446
Repaso 446
Problemas adicionales 448
7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 452
7.1 Integración por partes 453
7.2 Integrales trigonométricas 460
7.3 Sustitución trigonométrica 467
7.4 Integración de funciones racionales por fracciones parciales 473
7.5 Estrategia para integración 483
7.6 Integración por medio de tablas y sistemas algebraicos 489
Proyecto para un descubrimiento Patrones de integrales
&
494
viii |||| CONTENIDO
7.7 Integración aproximada 495
7.8 Integrales impropias 508
Repaso 518
Problemas adicionales 521
8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 524
8.1 Longitud de arco 525
Proyecto para un descubrimiento Concurso de la longitud de arco
&
532
8.2 Área de una superficie de revolución 532
Proyecto para un descubrimiento Rotación sobre una pendiente
&
538
8.3 Aplicaciones a la física y a la ingeniería 539
Proyecto para un descubrimiento Tazas de café complementarias
&
550
8.4 Aplicaciones a la economía y a la biología 550
8.5 Probabilidad 555
Repaso 562
Problemas adicionales 564
9 ECUACIONES DIFERENCIALES 566
9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 567
9.2 Campos direccionales y método de Euler 572
9.3 Ecuaciones separables 580
Proyecto de aplicación ¿Qué tan rápido drena un tanque?
&
588
Proyecto de aplicación ¿Qué es más rápido, subir o bajar?
&
590
9.4 Modelos de crecimiento poblacional 591
Proyecto de aplicación Cálculo y béisbol
&
601
9.5 Ecuaciones lineales 602
9.6 Sistemas depredador-presa 608
Repaso 614
Problemas adicionales 618
CONTENIDO |||| ix
10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 620
10.1 Curvas definidas por ecuaciones paramétricas 621
Proyecto de laboratorio Círculos que corren alrededor de círculos
&
629
10.2 Cálculo con curvas paramétricas 630
Proyecto de laboratorio Curvas de Bézier
&
639
10.3 Coordenadas polares 639
10.4 Áreas y longitudes en coordenadas polares 650
10.5 Secciones cónicas 654
10.6 Secciones cónicas en coordenadas polares 662
Repaso 669
Problemas adicionales 672
11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 674
11.1 Sucesiones 675
Proyecto de laboratorio Sucesiones logísticas
&
687
11.2 Series 687
11.3 La prueba de la integral y estimaciones de las sumas 697
11.4 Pruebas por comparación 705
11.5 Series alternantes 710
11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 714
11.7 Estrategia para probar series 721
11.8 Series de potencias 723
11.9 Representaciones de las funciones como series de potencias 728
11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 734
Proyecto de laboratorio Un límite escurridizo
&
748
Redacción de proyecto Cómo descubrió Newton la serie binomial
&
748
11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 749
Proyecto de aplicación Radiación proveniente de las estrellas
&
757
Repaso 758
Problemas adicionales 761
x |||| CONTENIDO
APÉNDICES A1
A Números, desigualdades y valores absolutos A2
B Geometría de coordenadas y rectas A10
C Gráficas de ecuaciones de segundo grado A16
D Trigonometría A24
E Notación sigma A34
F Pruebas de teoremas A39
G El logaritmo definido como una integral A48
H Números complejos A55
I Respuestas a ejercicios de número impar A63
ÍNDICE A113
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PREFACIO
Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descu-
brimiento en la solución de cualquier problema. El problema del lector puede
ser modesto, pero desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventi-
vas; si lo resuelve por sí solo puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo
del descubrimiento.
G E O R G E P O LYA
El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar en un descubrimiento. He
tratado de escribir un libro que ayude a estudiantes a descubrir el cálculo, por su poder
práctico y sorprendente belleza. En esta edición, al igual que en las primeras cinco edicio-
nes, mi meta es expresar al estudiante un sentido de la utilidad del cálculo y desarrollar
competencia técnica en él, pero también me esfuerzo en dar alguna apreciación de la be-
lleza intrínseca de esta materia. Es indudable que Newton experimentó una sensación
de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Mi deseo es que el estudiante com-
parta en algo esa emoción.
El énfasis está en entender conceptos. Creo que casi todos estamos de acuerdo en que
ésta debe ser el objetivo principal de aprender cálculo. De hecho, el ímpetu para el actual
movimiento de reforma del cálculo provino de la Conferencia de Tulane de 1986, que
formuló como su primera recomendación:
Concentrarse en entender conceptos
He tratado de poner en práctica esta meta a través de la Regla de Tres: “Los temas deben
presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica.” La visualización, la experimen-
tación numérica y gráfica, y otros métodos, han cambiado de modo fundamental la forma
en que enseñamos el razonamiento conceptual. Más recientemente, la Regla de Tres se
ha expandido para convertirse en la Regla de Cuatro al resaltar también el punto de vista
verbal, o descriptivo.
Al escribir la sexta edición, mi promesa ha sido que es posible lograr la comprensión
de conceptos y retener todavía las mejores tradiciones del cálculo tradicional. El libro con-
tiene elementos de reforma, pero dentro del contexto de un currículo tradicional.
VERSIONES ALTERNATIVAS
He escrito otros libros de cálculo diversos que podrían ser preferidos por algunos profeso-
res. Casi todos ellos vienen en versiones de una variable y de varias variables.
& Cálculo, Sexta edición, es semejante al presente libro con excepción de que las funciones
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el segundo semestre.
& Cálculo esencial es un libro mucho más breve (800 páginas), aun cuando contiene casi
todos los temas del presente libro. La brevedad relativa se alcanza por medio de expo-
siciones más breves de algunos temas y poniendo algunos elementos en el sitio web.
& Cálculo esencial: Primeras trascendentales se asemeja al Cálculo esencial, pero las
funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el Ca-
pítulo 3.
xi
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xii |||| PREFACIO
& Cálculo: conceptos y contextos, Tercera edición, destaca la comprensión de conceptos
con más vehemencia incluso que este libro. El tratamiento de temas no es enciclopé-
dico, y el material sobre funciones trascendentales y sobre ecuaciones paramétricas se
entrelaza en todo el libro, en lugar de tratarlo en capítulos separados.
& Cálculo: primeros vectores introduce vectores y funciones vectoriales en el primer se-
mestre y los integra en todo el libro. Es apropiado para estudiantes que toman cursos
de ingeniería y física de modo concurrente con cálculo.
LO NUEVO EN LA SEXTA EDICIÓN
Veamos a continuación algunos de los cambios para la sexta edición de Cálculo de una
variable: Trascendentes tempranas:
& Al principio del libro hay cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geome-
tría analítica, funciones y trigonometría. Se dan las respuestas y el estudiante que no
lo haga bien se remite a donde pueda buscar ayuda (Apéndices, secciones de repaso
del Capítulo 1, y la web).
& En respuesta a las peticiones de diversos usuarios, el material que motiva la derivada
es más breve: las Secciones 2.7 y 2.8 se combinan en una sola sección llamada Deri-
vadas y Magnitudes de Rapidez de Cambio.
& La sección de Derivadas de Orden Superior del Capítulo 3 ha desaparecido y ese
material está integrado en varias secciones de los Capítulos 2 y 3.
& Los profesores que no cubren el capítulo sobre ecuaciones diferenciales han comenta-
do que la sección sobre Crecimiento y Decadencia Exponenciales estaba ubicada en
un lugar inadecuado. De conformidad con esto, se ha cambiado al principio del libro,
al Capítulo 3. Este movimiento precipita una reorganización de los Capítulos 3 y 9.
& Las Secciones 4.7 y 4.8 se unen en una sola sección, con un tratamiento más breve de
problemas de optimización en finanzas y economía.
& Las Secciones 11.10 y 11.11 se unen en una sola. Previamente, yo había descrito la
serie del binomio en su propia sección para destacar su importancia pero me enteré
que algunos profesores estaban omitiendo esta sección, de modo que decidí incorpo-
rar la serie del binomio en la 11.10.
& Se han agregado nuevas frases y notas marginales para aclarar la exposición.
& Se han vuelto a dibujar nuevas figuras.
& Los datos en ejemplos y ejercicios se han actualizado para ser más oportunos.
& Numerosos ejemplos se han agregado o cambiado. Por mencionar alguno, el Ejemplo 2
de la página 185 se cambió porque era frecuente que los estudiantes se desconcertaran
al ver constantes arbitrarias en un problema, por lo que quise dar un ejemplo en el
que se presentan.
& Se han incluido pasos adicionales en algunos de los problemas existentes.
& Más del 25% de los ejercicios de cada uno de los capítulos es nuevo. He aquí algunos
de mis favoritos: 3.1.79, 3.1.80, 4.3.62, 4.3.83 y 11.11.30.
& También hay algunos buenos problemas nuevos en las secciones de Problemas Adi-
cionales. Observen, por ejemplo, los Problemas 2 y 13 de la página 413, el Problema
13 de la página 450, y el Problema 24 de la página 763.
& El nuevo proyecto de la página 550, Tazas de café complementarias, proviene de un
artículo de Thomas Banchoff en el que él se preguntaba cuál de dos tazas de café,
cuyos perfiles convexo y cóncavo ajustaban perfectamente, contendría más café.
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PREFACIO |||| xiii
& El capítulo de Herramientas para Enriquecer el Cálculo (TEC, por sus siglas en in-
glés) se ha rediseñado por completo y está accesible en el Internet en www.stewart-
calculus.com. Ahora incluye lo que llamamos visuales, que son breves animaciones
de diversas figuras del texto. Vea la descripción en la página 14.
SECCIONES
EJERCICIOS CONCEPTUALES La forma más importante de favorecer la comprensión de conceptos es por medio de los
problemas que dejamos de tarea, para cuyo fin hemos ideado diversos tipos de problemas.
Algunos conjuntos de ejercicios empiezan con peticiones para que el estudiante explique los
significados de los conceptos básicos de la sección. (Vea, por ejemplo, los primeros ejer-
cicios de las Secciones 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repaso
empiezan con una Revisión de Conceptos y Preguntas de Verdadero-Falso. Otros ejercicios
someten a prueba la comprensión de conceptos mediante gráficas o tablas (vea Ejerci-
cios 2.7.17, 2.8.33-38, 2.8.41-44, 9.1.11-12, 10.1.24-27 y 11.10.2).
Otro tipo de ejercicio emplea la descripción verbal para probar la comprensión de
conceptos (Vea Ejercicios 2.5.8, 2.8.56, 4.3.63-64 y 7.8.67). En lo particular, valoro
los problemas que combinan y comparan métodos gráficos, numéricos y algebraicos (vea
Ejercicios 2.6.37-38, 3.7.25 y 9.4.2).
CONJUNTO DE EJERCICIOS Cada uno de los conjuntos de ejercicios se califica cuidadosamente, avanzando desde ejerci-
CALIFICADOS cios básicos de conceptos y problemas para desarrollo de habilidades hasta problemas de
mayor grado de dificultad que comprenden aplicaciones y pruebas.
DATOS REALES Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo en bibliotecas, en empresas y oficinas
gubernamentales, y buscando información real en Internet para presentar, motivar e ilus-
trar los conceptos de cálculo. Como resultado de esto, muchos de los problemas y ejerci-
cios hablan de funciones definidas por esta información numérica o gráficas. Vea, por
ejemplo, la Figura 1 de la Sección 1.1 (sismógrafos del terremoto en Northridge), el Ejer-
cicio 2.8.34 (porcentaje de población de menos de 18 años), el Ejercicio 5.1.14 (velocidad
del transbordador espacial Endeavour), y la Figura 4 de la Sección 5.4 (consumo de ener-
gía eléctrica en San Francisco).
PROYECTOS Un modo de interesar a estudiantes y hacerlos lectores activos es hacerlos trabajar (quizá
en grupos) en proyectos prolongados que den la sensación de un logro importante cuan-
do se terminen. He incluido cuatro clases de proyectos: Proyectos de Aplicación que com-
prenden aplicaciones diseñadas para apelar a la imaginación de estudiantes. El proyecto
después de la Sección 9.3 pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda más en alcan-
zar su altura máxima o en caer a su altura original. (La respuesta podría sorprenderlo.)
Los Proyectos de Laboratorio se refieren a tecnología; el que sigue de la Sección 10.2
muestra cómo usar curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras para una
impresora láser. Los Redacción de Proyectos piden a estudiantes comparar métodos ac-
tuales con los de los fundadores del cálculo: el método de Fermat para hallar tangentes,
por ejemplo. Se sugieren referencias. Los Proyectos para un Descubrimiento anticipan
resultados que se discuten más adelante o estimulan el descubrimiento por medio del re-
conocimiento de figuras (vea la que sigue a la Sección 7.6). Se pueden hallar proyectos
adicionales en la Guía del Profesor (vea, por ejemplo, el Ejercicio 5.1 de Grupo: Posición
desde muestras).
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Es común que los estudiantes tengan dificultades con problemas para los que no hay un so-
lo procedimiento bien definido para obtener una respuesta. Pienso que no hay nadie que
haya mejorado en mucho la estrategia de George Polya para la resolución de problemas
en cuatro etapas y, de conformidad con esto, he incluido una versión de sus principios
para la resolución de problemas después del Capítulo 1. Se aplican, tanto implícita como
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xiv |||| PREFACIO
explícitamente, en todo el libro. Después de los otros capítulos he puesto secciones llamadas
Problemas Adicionales, que presentan ejemplos de cómo atacar los desafiantes problemas
de cálculo. Al seleccionar los diversos problemas para estas secciones, siempre tuve presen-
te el consejo de David Hilbert: “Un problema matemático debe ser difícil para convencernos,
pero no inaccesible como para frustrarnos.” Cuando pongo estos desafiantes problemas en
tareas y exámenes los califico de forma diferente. Aquí recompenso muy bien a un estu-
diante por sus ideas hacia una solución y por reconocer cuáles principios de resolución de
problemas son relevantes.
TECNOLOGÍA La disponibilidad de tecnología no hace menos importante sino más importante entender
claramente los conceptos que son las bases de las imágenes que aparecen en pantalla.
Cuando se usan en forma adecuada, las calculadoras de gráficas y las computadoras son
poderosas herramientas para descubrir y entender esos conceptos. Este texto se puede usar
con o sin tecnología y aquí uso dos símbolos especiales para indicar con claridad cuándo
se requiere un tipo particular de máquina. El icono ; indica un ejercicio que en forma
definitiva requiere el uso de esta tecnología, pero no es para indicar que no se puede usar
también en los otros ejemplos. El símbolo CAS se reserva para problemas en los que se re-
quieren todos los recursos de un sistema computarizado de álgebra (como Derive, Maple,
Mathematica o TI-89/92). Con todo, la tecnología no deja obsoletos al lápiz y papel. A veces
son preferibles los cálculos y dibujos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos
conceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de deci-
dir cuándo es apropiada la mano o una máquina.
TOOLS FOR ENRICHING El TEC es un compañero de este libro de texto y está pensado para enriquecer y comple-
CALCULUS mentar su contenido. (Ahora está accesible por Internet en www.stewartcalculus.com.)
Creado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por mí, el TEC utiliza un método
de descubrimiento y exploración. En algunas secciones de este libro en donde la tecnolo-
gía es particularmente apropiada, los iconos situados a los márgenes dirigen a estudiantes
a módulos del TEC que dan un ambiente de laboratorio en el que pueden explorar el tema
en formas diferentes y a niveles diferentes. Visual son animaciones de figuras del texto;
Module son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden es-
coger participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente estimular al estu-
diante a usar Visual y Module para exploración independiente, hasta asignar ejercicios
específicos de los incluidos en cada Module, o para crear ejercicios adicionales, laborato-
rios y proyectos que hacen uso de Visual y Module.
El TEC también incluye Homework Hints para ejercicios representativos (por lo gene-
ral de números impares) en cada una de las secciones de este libro, indicados al imprimir
en rojo el número del ejercicio. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas
y tratan de imitar un asistente efectivo de enseñanza al funcionar como profesor particular
silencioso. Los ejercicios están construidos para no revelar más de la solución real de lo
que es el mínimo necesario para avanzar más.
W EB A SSIGN MEJORADO La tecnología está teniendo impacto en la forma en que se asignan tareas a estudiantes, so-
bre todo en grupos numerosos. El uso de tareas en línea es creciente y su interés depende
de la facilidad de uso, precisión en calificación y confiabilidad. Con la sexta edición hemos
estado trabajando con la comunidad de cálculo y WebAssign para crear un sistema de ta-
reas en línea. Hasta 70% de los ejercicios de cada sección son asignables a tareas en línea,
incluyendo formatos de respuesta libre, opción múltiple y partes diversas. Algunas preguntas
son problemas de partes diversas sobre simulaciones de los Module del TEC.
El sistema también incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados en
el material didáctico paso a paso por ejemplos del texto, con vínculos al libro de texto y
soluciones en video.
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PREFACIO |||| xv
PÁGINA WEB Este sitio se ha renovado y ahora incluye lo siguiente:
www.stewartcalculus.com
& Repaso de álgebra
& Miente mi Calculadora y la Computadora me Dijo
& Historia de las matemáticas, con vínculos a los mejores sitios web históricos
& Temas adicionales (completos con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmu-
las para el resto del semestre en series de Taylor, rotación de ejes
& Problemas archivados (ejercicios de práctica que aparecieron en ediciones anteriores,
junto con sus soluciones)
& Problemas de desafío (algunos de las secciones de Problemas especiales de ediciones
anteriores)
& Vínculos, para temas en particular, a fuentes externas de la Web
& Las Tools for Enriching Calculus (TEC), Module, Visual y Homework Hints
CONTENIDO
Exámenes de diagnóstico El libro empieza con cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analí-
tica, funciones y trigonometría.
Presentación preliminar del cálculo Éste es un repaso del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del
cálculo.
1 & Funciones y modelos Desde el principio, se destacan representaciones múltiples de funciones: verbales, numé-
ricas, visuales y algebraicas. Un estudio de los modelos matemáticos lleva a un repaso de
las funciones estándar, incluyendo funciones exponenciales y logarítmicas, desde estos
cuatro puntos de vista.
2 & Límites y derivadas El material sobre límites está motivado por un examen ya anterior de problemas de la tan-
gente y velocidad. Los límites se tratan aquí desde puntos de vista descriptivos, gráficos,
numéricos y algebraicos. La Sección 2.4, que trata de la definición precisa de e-d de un lími-
te, es una sección opcional. Las Secciones 2.7 y 2.8 se refieren a derivadas (en especial con
funciones definidas gráfica y numéricamente) antes de tratar las reglas de derivación en el
Capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los significados de derivadas en varios
contextos. Las derivadas de orden superior se introducen ahora en la Sección 2.8.
3 & Reglas de derivación Todas las funciones básicas, incluyendo funciones exponenciales, logarítmicas y trigono-
métricas inversas se derivan aquí. Cuando las derivadas se calculan en situaciones de apli-
cación, a los estudiantes se les pide explicar sus significados. El crecimiento y decaimiento
exponenciales se tratan ahora en este capítulo.
4 & Aplicaciones de Los datos básicos referentes a valores extremos y formas de curvas se deducen del Teore-
la derivación ma del Valor Medio. Graficar con tecnología destaca la interacción entre cálculo y calcu-
ladoras y el análisis de familias de curvas. Se dan algunos problemas de optimización
importante, incluyendo una explicación de por qué es necesario levantar la cabeza 42° para
ver la parte superior de un arcoíris.
5 & Integrales El problema del área y el problema de la distancia sirven para motivar la integral definida,
con la notación sigma introducida según sea necesario. (Un tratamiento completo de la no-
tación sigma se da en el Apéndice E). Se hace énfasis en explicar los significados de inte-
grales en diversos contextos y en estimar sus valores a partir de gráficas y tablas.
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xvi |||| PREFACIO
6 & Aplicaciones de la integración Aquí presento las aplicaciones de integración, es decir, área, volumen, trabajo, valor pro-
medio, que razonablemente se pueden hacer sin técnicas especializadas de integración.
Se destacan métodos generales. La meta es que los estudiantes puedan dividir una can-
tidad en partes pequeñas, estimar con sumas de Riemann y reconocer el límite como
una integral.
7 & Técnicas de integración Se tratan todos los métodos estándar pero, por supuesto, el desafío real es ser capaz de re-
conocer cuál técnica se usa mejor en una situación dada. De conformidad con esto, en la
Sección 7.5 presento una estrategia para integración. El uso de un sistema computarizado
de álgebra se ve en la Sección 7.6.
8 & Más aplicaciones Aquí están las aplicaciones de integración —la longitud de arco y el área superficial— pa-
de la integración ra las que es útil tener disponibles todas las técnicas de integración, así como aplicaciones
a la biología, economía y física (fuerza hidrostática y centros de masa). También he inclui-
do una sección sobre probabilidad. Hay aquí más aplicaciones de las que en realidad se
puedan cubrir en un curso determinado. Los profesores deben seleccionar aplicaciones
apropiadas para sus estudiantes y para las que ellos mismos puedan interesarse.
9 & Ecuaciones diferenciales La creación de modelos es el tema que unifica este tratamiento de introducción a las ecua-
ciones diferenciales. Los campos de dirección y el método de Euler se estudian antes que
las ecuaciones separables y lineales se resuelvan de forma explícita, de manera que los
métodos cualitativo, numérico y analítico reciben igual consideración. Estos métodos se
aplican a los modelos experimental, logístico y otros para crecimiento poblacional. Las
primeras cuatro de cinco secciones de este capítulo sirven como una buena introducción a
ecuaciones diferenciales de primer orden. Una sección final opcional utiliza modelos de
predador-presa para ilustrar sistemas de ecuaciones diferenciales.
10 & Ecuaciones paramétricas Este capítulo introduce curvas paramétricas y polares y aplica los métodos del cálculo a
y coordenadas polares ellas. Las curvas paramétricas son bien apropiadas para proyectos de laboratorio; las dos
que aquí se presentan comprenden familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve trata-
miento de secciones cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de
Kepler en el Capítulo 13.
11 & Sucesiones y series infinitas Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (vea página 697) así como
pruebas formales. Las estimaciones numéricas de sumas de series están basadas en cuál
prueba se usó para demostrar una convergencia. El énfasis está en la serie y polinomios
de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen los de aparatos de
gráficas.
MATERIAL AUXILIAR
Cálculo: Trascendentes tempranas, Sexta edición, está apoyado por un conjunto completo
de materiales auxiliares creados bajo mi dirección. Cada parte se ha diseñado para mejo-
rar la comprensión del estudiante y para facilitar una enseñanza creativa.
MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR
Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor, los cuales están disponibles en
inglés y sólo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para
mayor información, póngase en contacto con el área de servicio a clientes en las siguientes
direcciones de correo electrónico:
Cengage Learning México y Centroamérica clientes.mexicoca@cengage.com
Cengage Learning Caribe clientes.caribe@cengage.com
Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xvii
PREFACIO |||| xvii
Cengage Learning Cono Sur clientes.conosur@cengage.com
Cengage Learning Pacto Andino clientes.pactoandino@cengage.com
Los recursos disponibles se encuentran disponibles en el sitio web del libro:
http://latinoamerica.cengage.com/stewart6
Las direcciones de los sitios web referidas en el texto no son administradas por Cengage
Learning Latinoamérica, por lo que ésta no es responsable de los cambios o actualizacio-
nes de las mismas.
REVISIÓN DE LA SEXTA EDICIÓN Marilyn Belkin, Villanova University
Philip L. Bowers, Florida State University
Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville
M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage
Frederick Gass, Miami University
Nets Katz, Indiana University Bloomington
James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona
Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona
Lila Roberts, Georgia College and State University
Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University
He sido muy afortunado por haber trabajado con algunos de los mejores editores de
matemáticas en el negocio por más de dos décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig
Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt y ahora, Bob Pirtle. Bob continúa en esta tradición
de editores quienes mientras escuchan consejos y ofrecen una amplia ayuda, confían en
mis instintos y me permiten escribir los libros que deseo escribir.
JAMES STEWART
AGRADECIMIENTOS
Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboración de los profesores: Dr. Manuel
Álvarez Blanco, MSc. José Ignacio Cuevas Gonzáles y MSc. Eduardo Fernandini Capurro,
Profesores Principales del Área de Ciencias, de la Universidad Peruana de Ciencias Apli-
cadas (UPC) miembro del grupo Laureate International Universities, en la revisión de esta
sexta edición en español.
ATENTAMENTE ,
L OS E DITORES .
Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xviii
Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xix
AL ESTUDIANTE
Leer un libro de cálculo es diferente a leer un periódico o una trabajo en los otros ejercicios. El símbolo CAS se reserva para
novela, o incluso un libro de física. No se desanime si tiene problemas en los que se requieren todos los recursos de un sis-
que leer un pasaje más de una vez para entenderlo. Debe tener tema computarizado de álgebra (como el Derive, Maple, Ma-
lápiz, papel y calculadora a la mano para bosquejar un diagra- thematica, o la TI-89/92). También encontrará el símbolo |
ma o hacer un cálculo. que advierte para no cometer un error. He puesto este símbolo
Algunos estudiantes empiezan por tratar sus problemas de en márgenes en situaciones donde he observado que una gran
tarea y leen el texto sólo si se atoran en un ejercicio. Sugiero parte de mis estudiantes tienden a cometer el mismo error.
que un plan mucho mejor es leer y entender una sección del Al Tools for Enriching Calculus, que es compañero de este
texto antes de abordar los ejercicios. En particular, el estudian- libro, se hace referencia mediante el símbolo TEC y se pue-
te debe leer las definiciones para ver los significados exactos de tener acceso al mismo en www.stewartcalculus.com. Dirige
de los términos. Y antes de leer cada ejemplo, sugiero que llegue al estudiante a módulos en los que puede explorar aspectos de
hasta la solución y trate de resolver el problema por sí mismo. cálculo para los que la computadora es particularmente útil. El
Obtendrá mucho más de ver la solución si lo hace así. TEC también da Homework Hints para ejercicios representa-
Parte de la meta de este curso es capacitar al estudiante para tivos que están indicados con un número de ejercicio impreso
pensar de una manera lógica. Aprenda a escribir las soluciones en rojo: 15. . Estas sugerencias de tarea hacen preguntas al es-
de los ejercicios de un modo enlazado y paso a paso con fra- tudiante que le permiten avanzar hacia una solución sin dar en
ses explicativas, no sólo una hilera de ecuaciones o fórmulas realidad su respuesta. El lector tiene que seguir cada una de las
desconectadas. sugerencias de una manera activa con papel y lápiz para trabajar
Las respuestas a los ejercicios de números impares apare- los detalles. Si una sugerencia en particular no lo hace capaz
cen al final de este libro, en el apéndice I. Algunos ejercicios de resolver un problema, puede hacer clic para ver la siguiente
piden una explicación verbal o interpretación o descripción. En sugerencia.
estos casos no una sola forma correcta de expresar la respuesta, Recomiendo que conserve este libro como referencia después
de modo que no se preocupe por no hallar la respuesta definiti- que termine el curso. Debido a que es probable que el lector
va. Además, a veces hay varias formas diferentes en las cuales olvide algunos de los detalles específicos del cálculo, el libro ser-
se expresa una respuesta numérica o algebraica, de modo que si virá como un útil recordatorio cuando necesite usar cálculo en
su respuesta difiere de la mía no suponga de inmediato que cursos subsiguientes. También, como este libro contiene más ma-
está en un error. Por ejemplo, si la respuesta dada en la parte terial del que se puede cubrir en cualquier curso, puede servir
final de este libro es s2 1 y usted obtiene 11 s2, en- como un valioso recurso para cualquier científico o ingeniero.
tonces tiene razón y racionalizar el denominador demostrará El cálculo es una materia extraordinaria, justamente consi-
que las respuestas son equivalentes. derada como uno de los mayores logros de la mente humana.
El icono ; indica un ejercicio que definitivamente requiere Espero que el lector descubra que no es sólo útil sino también
el uso ya sea de una calculadora de gráficas o una computadora intrínsecamente hermoso.
con software de gráficas. Con todo, esto no significa que los
aparatos de gráficas no se puedan usar para comprobar el JAMES STEWART
xix
Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xx
EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO
El éxito en cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticas que prece-
den al cálculo: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Los exámenes que
siguen tienen el propósito de diagnosticar los puntos débiles que el lector pudiera tener en
estos campos del conocimiento y, después de tomar cada uno de estos exámenes, puede
verificar sus respuestas contra las respuestas dadas. Además, si es necesario, puede recordar
o actualizar sus conocimientos si consulta los materiales de repaso que también se dan aquí.
A E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : Á L G E B R A
1. Sin usar calculadora, evalúe cada una de estas expresiones.
(a) (3)4 (b) 34 (c) 34
(d)
523
521
(e)
2
3
2
(f) 163/4
2. Simplifique estas expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos.
(a) s200 s32
(b) (3a3b3)(4ab2)2
(c)
3x32y3
x2y12
2
3. Expanda y simplifique.
(a) 3(x 6) 4(2x 5) (b) (x 3)(4x 5)
(c) sa sbsa sb (d) (2x 3)2
(e) (x 2)3
4. Factorice estas expresiones.
(a) 4x2 25 (b) 2x2 5x 12
(c) x3 3x2 4x 12 (d) x4 27x
(e) 3x3/2 9x1/2 6x1/2 (f) x3y 4xy
5. Simplifique la expresión racional.
x2 3x 2 2x2 x 1 x 3
(a) (b)
x2 x 2 x2 9 2x 1
y x
x2 x1 x y
(c) 2 (d)
x 4 x2 1 1
y x
xx
Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxi
EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO |||| xxi
6. Racionalice la expresión y simplifique.
s10 s4 h 2
(a) (b)
s5 2 h
7. Complete el cuadrado de lo siguiente.
(a) x2 x 1 (b) 2x2 12x 11
8. Resuelva la ecuación. (Encuentre sólo las soluciones reales.)
2x 2x 1
(a) x 5 14 2x
1
(b)
x1 x
(c) x2 x 2 0 (d) 2x2 4x 1 0
(e) x4 3x2 2 0
(f) 3 x 4 10
12
(g) 2x4 x 3s4 x 0
9. Resuelva estas desigualdades, use notación de intervalo.
(a) 4 5 3x 17 (b) x2 2x 8
(c) x(x 1)(x 2) 0
(d) x 4 3
2x 3
(e) 1
x1
10. Exprese si cada una de estas ecuaciones es verdadera o falsa.
(a) (p q)2 p2 q2 (b) sab sa sb
1 TC
(c) sa2 b2 a b (d) 1T
C
1 1 1 1x 1
(e) (f)
xy x y ax bx ab
R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E P R U E B A A : Á L G E B R A
1. (a) 81 (b) 81 (c) 811 6. (a) 5s2 2s10 (b)
1
(d) 25 (e) 9
(f) 1 s4 h 2
4 8
x
7. (a) x 22 (b) 2(x 3)2 7
5 7 1 3
2. (a) 6s2 (b) 48a b (c) 4
9y7
3. (a) 11x 2 (b) 4x2 7x 15 8. (a) 6 (b) 1 (c) 3, 4
(c) a b (d) 4x 12x 9
2
(d) 1 s2
1
2 (e) 1 s2
2 22
(f) 3,3
(e) x3 6x2 12x 8 (g)
12
5
4. (a) (2x 5)(2x 5) (b) (2x 3)(x 4)
(c) (x 3)(x 2)(x 2) (d) x(x 3)(x2 3x 9) 9. (a) [4, 3) (b) (2, 4)
(e) 3x1/2
(x 1)(x 2) (f) xy(x 2)(x 2) (c) (2, 0) ª (1,
) (d) (1, 7)
x2 x1 (e) (1, 4]
5. (a) (b)
x2 x3
1 10. (a) Falsa (b) Verdadera (c) Falsa
(c) (d) (x y)
x2 (d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadera
Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review
of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.
Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxii
xxii |||| EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO
B E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : G O M E T R Í A A N A L Í T I C A
1. Encuentre una ecuación para la recta que pasa por el punto (2, 5) y
(a) tiene pendiente 3
(b) es paralela al eje x
(c) es paralela al eje y
(d) es paralela a la recta 2x 4y 3
2. Encuentre una ecuación para el círculo que tiene centro en (1, 4) y pasa por el punto (3, 2).
3. Encuentre el centro y radio del círculo con ecuación x2 y2 6x 10y 9 0.
4. Sean A(7, 4) y B(5, 12) puntos en el plano.
(a) Encuentre la pendiente de la recta que contiene A y B.
(b) Encuentre una ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son los puntos de intersección
con los ejes?
(c) Encuentre el punto medio del segmento AB.
(d) Encuentre la longitud del segmento AB.
(e) Encuentre una ecuación de la perpendicular que biseca a AB.
(f) Encuentre una ecuación del círculo para el cual AB es un diámetro.
5. Trace la región en el plano xy definida por la ecuación o desigualdades.
(a) 1 y 3
(b) x 4 y y 2
(c) y 1 x
1
2 (d) y x 1
2
(e) x y 4
2 2
(f) 9x2 16y2 144
R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O B : G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
1. (a) y 3x 1 (b) y 5 5. (a) y (b) y (c) y
3 1
(d) y x 6
1
(c) x 2 2 2 y=1- 2 x
1
0
2. (a) x 12 y 42 52 x _4 0 4x 0 2 x
_1
_2
3. Centro (3, 5), radio 5
4. 3
4
(b) 4x 3y 16 0; cruce con eje x 4, cruce con eje y 163 (d) y (e) y (f) y
3
(c) (1, 4) 2
≈+¥=4
(d) 20 0
1 x 0 2 x 0 4 x
(e) 3x 4y 13 _1
y=≈-1
(f) (x 1)2 (y 4)2 100
Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of
Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.
Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxiii
EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO |||| xxiii
C E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : F U N C I O N E S
y 1. La gráfica de una función f se da a la izquierda.
(a)
Exprese el valor de f (1).
(b)
Estime el valor de f (2).
1
¿Para qué valores de x es f (x) 2?
(c)
0 1 x Estime los valores de x tales que f (x) 0.
(d)
(e)
Exprese el dominio y rango de f.
f2 h f2
2. Si f(x) x 3, evalúe el cociente de diferencia y simplifique su respuesta.
h
FIGURA PARA PROBLEMA 1 3. Encuentre el dominio de la función.
2x 1 sx
3
(a) fx (b) gx (c) hx s4 x sx2 1
x x2
2
x2 1
4. ¿Cómo se obtienen las gráficas de las funciones a partir de la gráfica de f?
(a) y f(x) (b) y 2f(x) 1 (c) y (x 3) 2
5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo aproximado de la gráfica.
(a) y x 3 (b) y (x 1) 3 (c) y (x 2)3 3
(d) y 4 x2 (e) y sx (f) y 2sx
(g) y 2x (h) y 1 x1
6. Sea f x 1 x2 si x 0
2x 1 si x 0
(a) Evaluación f (2) y f(1) (b) Dibuje la gráfica de f.
7. Si f(x) x2 2x 1 y t(x) 2x 3, encuentre cada una de las siguientes funciones.
(a) f t (b) t f (c) t t t
R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O C : F U N C I O N E S
1. (a) 2 (b) 2.8 (d) y (e) y (f) y
4
(c) 3, 1 (d) 2.5, 03
(e) [3, 3], [2, 3]
0 2 x 0 1 x 0 1 x
2. 12 6h h 2
3. (a) (
, 2) ª (2, 1) ª (1,
)
(b) (
,
) (g) y (h) y
(c) (
, 1] ª [1, 4] 1
0
4. (a) Refleje alrededor del eje x 1 x 0 1 x
_1
(b) Estire verticalmente en un factor de 2, y a continuación
desplace 1 unidad hacia abajo
(c) Desplace 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba 6. (a) 3, 3 7. (a) (f t)(x) 4x2 8x 2
5. (a) y (b) y (c) y (b) y (b) (t f)(x) 2x2 4x 5
(c) (t t t)(x) 8x 21
(2, 3) 1
1 1
0 1 x _1 0 x _1 0 x
0 x
Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of
Algebra (Repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.
Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxiv
xxiv |||| EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO
D E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : T R I G O N O M E T R Í A
1. Convierta de grados a radianes.
(a) 300° (b) 18°
2. Convierta de radianes a grados.
(a) 5p/6 (b) 2
3. Encuentre la longitud de un arco de círculo con radio de 12 cm si el arco subtiende un ángulo
central de 30°.
4. Encuentre los valores exactos.
(a) tan(p/3) (b) sen(7p/6) (c) sec(5p/3)
5. Exprese las longitudes a y b de la figura en términos de u.
24
6. Si sen x 3 y sec y 4 , donde x y y están entre 0 y p/2, evalúe sen(x y).
1 5
a
¨ 7. Demuestre las identidades.
b (a) tan u sen u cos u sec u
FIGURA PARA PROBLEMA 5 2 tan x
(b) sen 2x
1 tan2 x
8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x sen x y 0 x 2p.
9. Trace la gráfica de la función y 1 sen 2x sin usar calculadora.
R E S P U E S TA A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O D : T R I G O N O M E T R Í A
(b) p/10 6. 15 4 6s2
1
1. (a) 5p/3
2. (a) 150° (b) 360/p L 114.6° 7. 0, p/3, p, 5p/3, 2p
3. 2p cm 8. y
2
4. (a) s3 (b) 21 (c) 2
5. (a) 24 sen u (b) 24 cos u _π 0 π x
Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review
of Algebra (Repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 1
CÁ L C U L O
DE UNA VARIABLE
Trascendentes tempranas
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 2
PRESENTACIÓN PRELIMINAR
DEL CÁLCULO
El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que el lector ha estudiado
con anterioridad. El cálculo es menos estático y más dinámico. Se interesa en el cam-
bio y en el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por esa
razón, puede resultar útil tener un panorama general de la materia antes de empezar
su estudio intensivo. En las páginas siguientes se le presentan algunas de las ideas
principales del cálculo, al mostrar cómo surgen los límites cuando intentamos resolver
diversos problemas.
2
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 3
PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 3
A¡ EL PROBLEMA DEL ÁREA
A∞ Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2 500 años, hasta los antiguos griegos, quienes
A™ hallaron áreas aplicando el “método del agotamiento”. Sabían cómo hallar el área A de
A£ A¢ cualquier polígono al dividirlo en triángulos como en la figura 1, y sumar las áreas de estos
triángulos.
A=A¡+A™+A£+A¢+A∞ Hallar el área de una figura curva es un problema mucho más difícil. El método griego
del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos
FIGURA 1 en torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígo-
nos aumentara. En la figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con
polígonos regulares inscritos.
A£ A¢ A∞ Aß A¶ A¡™
FIGURA 2
Sea An el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n, parece que An se aproxi-
ma cada vez más al área del círculo. El área del círculo es el límite de las áreas de los po-
lígonos inscritos y
TEC El Preview Visual es una investiga- A lím An
ción numérica y gráfica de la aproximación nl
del área de un círculo mediante polígonos
inscritos y circunscritos.
Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indi-
recto Eudoxo (siglo v a. C.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área
de un círculo: A
r 2.
El capítulo 5 expone una idea semejante para hallar las áreas de regiones del tipo que se
muestra en la figura 3. Se da una aproximación del área deseada A por medio de áreas de rec-
tángulos (como en la figura 4), hasta que disminuya el ancho de los rectángulos y, en seguida,
se calcula A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos.
y y y y
(1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1)
y=≈
A
0 1 x 0 1 1 3 1 x 0 1 x 0 1 1 x
4 2 4 n
FIGURA 3 FIGURA 4
El problema del área es el problema central de la rama del cálculo que se conoce co-
mo cálculo integral. Las técnicas desarrolladas en el capítulo 5 para hallar áreas también
permiten calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza del agua
contra la cortina de una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo
que se lleva a cabo al bombear agua hacia afuera de un tanque.
3
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 4
4 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO
EL PROBLEMA DE LA TANGENTE
y Considere el problema de tratar de hallar la ecuación de la recta tangente t a una curva,
t
con ecuación y f (x), en un punto dado P. (En el capítulo 2, aparece una definición
y=ƒ precisa de recta tangente. Por ahora, puede concebirla como una recta que toca la curva
en P, como en la figura 5.) Como saber que el punto P está en la recta tangente, puede
P hallar la ecuación de t si conoce su pendiente m. El problema está en que necesita dos
puntos para calcular la pendiente y sólo conoce un punto, P, de t. Para darle vuelta al pro-
blema, primero halle una aproximación para m al tomar un punto cercano Q de la curva
y calcule la pendiente mPQ de la recta secante PQ. En la figura 6
0 x
f x f a
1 mPQ
xa
FIGURA 5
La recta tangente en P
Imagine ahora que Q se mueve a lo largo de la curva, hacia P como en la figura 7. Puede
ver que la recta secante gira y se aproxima a la recta tangente como su posición límite. Esto
significa que la pendiente mPQ de la recta secante se acerca cada vez más a la pendiente
y m de la recta tangente. Escriba
t
Q { x, ƒ} m lím mPQ
Q lP
P { a, f(a)} ƒ-f(a)
x-a donde m es el límite de mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Como x se
acerca a a cuando Q lo hace a P, podría usar también la ecuación 1 para escribir
0 a x x
f x f a
2 m lím
FIGURA 6 xla xa
La recta secante PQ
En el capítulo 2 se darán ejemplos específicos de este procedimiento.
El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamada cálculo dife-
rencial, el cual se inventó más de 2 000 años después que el cálculo integral. Las ideas
y
t principales que se encuentran detrás del cálculo diferencial se deben al matemático fran-
cés Pierre Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John
Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727), así como por
Q el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716).
P Las dos ramas del cálculo y sus problemas principales, el problema del área y el de
la tangente, parecen muy diferentes, pero existe una conexión muy íntima entre ellas. El
problema de la tangente y el del área son problemas inversos, en un sentido que se descu-
brirá en el capítulo 5.
0 x
FIGURA 7 VELOCIDAD
Rectas secantes aproximándose
a la recta tangente Cuando mire el velocímetro de un automóvil y lea que viaja a 48 mih, ¿qué informa-
ción se le indica? Sabe que la velocidad del automóvil puede variar, ¿qué significa decir
que la velocidad en un instante dado es de 48 mih?
Para analizar esta cuestión analice el movimiento de un automóvil que viaja a lo largo de
un camino recto y suponga que pueda medir la distancia recorrida por el automóvil (en pies)
a intervalos de 1 segundo, como en la tabla siguiente.
t Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5
d Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 5
PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 5
Como primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos,
encuentre la velocidad durante el intervalo 2 t 4:
distancia recorrida
velocidad promedio
tiempo transcurrido
42 9
42
16.5 piess
De manera análoga, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo 2 t 3 es
24 9
velocidad promedio 15 piess
32
Tiene la sensación de que la velocidad en el instante t 2 no puede ser muy diferente
de la velocidad promedio durante un intervalo corto que se inicie en t 2. De modo que
imagine que se ha medido la distancia recorrida a intervalos de 0.1 segundo, como en la
tabla siguiente:
t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80
Entonces, por ejemplo, calcule la velocidad promedio sobre el intervalo 2, 2.5
:
15.80 9.00
velocidad promedio 13.6 piess
2.5 2
En la tabla siguiente se muestran los resultados de esos cálculos:
Intervalo 2, 3
2, 2.5
2, 2.4
2, 2.3
2, 2.2
2, 2.1
Velocidad promedio (piess) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2
Las velocidades promedio sobre intervalos sucesivamente más pequeños parecen apro-
ximarse cada vez más a un número cercano a 10, y, por lo tanto, espera que la velocidad en
exactamente t 2 sea alrededor de 10 pies/s. En el capítulo 2, se define la velocidad instan-
tánea de un objeto en movimiento como el valor límite de las velocidades promedio sobre
intervalos cada vez más pequeños.
d En la figura 8 se muestra una representación gráfica del movimiento del automóvil al
graficar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como función del tiempo. Si
escribe d f (t), entonces f (t) es el número de pies recorridos después de t segundos. La
velocidad promedio en el intervalo 2, t
es
Q { t, f(t)}
distancia recorrida f t f 2
velocidad promedio
tiempo transcurrido t2
lo cual es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ de la figura 8. La velocidad v
20
cuando t 2 es el valor límite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es
decir
10 P { 2, f(2)} f t f 2
v lím
0 t
tl2 t2
1 2 3 4 5
y reconoce, a partir de la ecuación 2, que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tan-
FIGURA 8 gente a la curva en P.
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 6
6 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO
Por lo tanto, al resolver el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también
está resolviendo problemas referentes a velocidades. Las mismas técnicas permiten re-
solver problemas en que intervienen razones de cambio en todas las ciencias naturales
y sociales.
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
En el siglo v a. C., el filósofo griego Zenón de Elea propuso cuatro problemas, que ahora
se conocen como las paradojas de Zenón, las cuales desafiaban algunas de las ideas con-
cernientes al espacio y al tiempo que sostenían en sus días. La segunda paradoja de Zenón
se refiere a una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado una
ventaja inicial. Zenón argumentaba, como se hace ver a continuación, que Aquiles nunca
podría rebasarla. Suponga que Aquiles arranca en la posición a1 y la tortuga en la posición t1
(véase la figura 9). Cuando Aquiles llega a a3 t2, la tortuga está en t3. Este proceso
continúa indefinidamente y, de este modo, ¡parece que la tortuga siempre estará adelante!
Pero esto contraviene el sentido común.
a¡ a™ a£ a¢ a∞ ...
Aquiles
tortuga
FIGURA 9 t¡ t™ t£ t¢ ...
Una manera de explicar esta paradoja es con la idea de sucesión. Las posiciones suce-
sivas de Aquiles a 1, a 2 , a 3 , . . . o las posiciones sucesivas de la tortuga t1, t2 , t3 , . . . forman
lo que se conoce como una sucesión.
En general, una sucesión a n es un conjunto de números escritos en un orden definido.
Por ejemplo, la sucesión
{1, 12 , 13 , 14 , 15 , . . .}
se puede describir al dar la fórmula siguiente para el n-ésimo término
1
an
n
Puede visualizar esta sucesión situando sus términos en una recta numérica como en
la figura 10(a) o trazando su gráfica como en la figura 10(b). Observe, a partir de cual-
quiera de las dos figuras, que los términos de la sucesión a n 1n se aproximan cada
vez más a 0 al aumentar n. De hecho, es posible hallar términos tan pequeños como lo
desee al hacer n suficientemente grande. Entonces el límite de la sucesión es 0 y se in-
dica al escribir
a¢ a £ a™ a¡
1
0 1 lím 0
nl
n
(a)
En general, se usa la notación
1
lím a n L
nl
1 2 3 4 5 6 7 8 n
si los términos an se aproximan al número L, cuando n se hace suficientemente grande. Esto
(b)
significa que se puede aproximar los números an al número L tanto como quiera si se toma
FIGURA 10 una n lo suficientemente grande.
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 7
PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 7
El concepto de límite de una sucesión se presenta siempre que usa la representación de-
cimal de un número real. Por ejemplo, si
a 1 3.1
a 2 3.14
a 3 3.141
a 4 3.1415
a 5 3.14159
a 6 3.141592
a 7 3.1415926
entonces lím a n
nl
Los términos de esta sucesión son aproximaciones racionales a p.
De nuevo la paradoja de Zenón. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga for-
man las sucesiones a n y tn , en donde a n tn para toda n. Se puede demostrar que las
dos sucesiones tienen el mismo límite
lím a n p lím tn
nl
nl
Es precisamente en este punto p en que Aquiles alcanza a la tortuga.
SUMA DE UNA SERIE
Otra de las paradojas de Zenón, según. Aristóteles, es: “Un hombre parado en un cuarto no
puede caminar hasta la pared. Para que esto suceda, primero avanzaría la mitad de la dis-
tancia, en seguida la mitad de la distancia restante y, a continuación, una vez más la mitad
de la que todavía queda. Siempre se puede continuar este proceso y nunca se termina.
(Véase la figura 11.)
1 1 1 1
FIGURA 11 2 4 8 16
Por supuesto, sabe que el hombre llega a la pared, de modo que esto sugiere que quizá
se pueda expresar la distancia total como la suma de una infinidad de distancias más pe-
queñas, como sigue
1 1 1 1 1
3 1 n
2 4 8 16 2
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 8
8 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO
Zenón argumentaba que no tiene sentido sumar una infinidad de números. Pero existen
otras situaciones en que, implícitamente, se usan sumas infinitas. Por ejemplo, en notación
decimal, el símbolo 0.3 0.3333 . . . significa
3 3 3 3
10 100 1000 10 000
y, por lo tanto, en cierto sentido, debe ser cierto que
3 3 3 3 1
10 100 1000 10 000 3
De modo más general, si dn denota el n-ésimo dígito en la representación decimal de un
número, entonces
d1 d2 d3 dn
0.d1 d2 d3 d4 . . . 2 3 n
10 10 10 10
Por lo tanto, algunas sumas infinitas, o series infinitas como se les llama, tienen un signi-
ficado. Pero debe definir con cuidado lo que es la suma de una serie infinita.
Considere de nuevo la serie de la ecuación 3 y denote con sn la suma de los primeros n
términos de la serie. De este modo
s1 12 0.5
s2 12 14 0.75
s3 12 14 18 0.875
s4 12 14 18 161 0.9375
s5 12 14 18 161 321 0.96875
s6 12 14 18 161 321 641 0.984375
s7 12 14 18 161 321 641 128 0.9921875
1
s10 12 14 1024
0.99902344
1
1 1 1
s16 16
0.99998474
2 4 2
Observe que conforme agrega más y más términos, las sumas parciales se aproximan ca-
da vez más a 1. De hecho, se puede demostrar que, si n es suficientemente grande (es de-
cir, si se suman un número suficiente de términos de la serie), es posible aproximar la suma
parcial sn tanto como desee al número 1. Por lo tanto, parece razonable decir que la serie
infinita es 1 y escribir
1 1 1 1
n 1
2 4 8 2
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 9
PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 9
En otras palabras, la razón de que la suma de la serie sea 1 es que
lím sn 1
nl
En el capítulo 11 se analizan con más detalle estas ideas. Entonces usará la idea de
Newton de combinar las series infinitas con el cálculo diferencial e integral.
RESUMEN
El concepto de límite surge al tratar de hallar el área de una región, la pendiente de una
tangente a una curva, la velocidad de un automóvil o la suma de una serie infinita. En ca-
da caso, el tema común es el cálculo de una cantidad como el límite de otras cantidades
calculadas con facilidad. Esta idea básica de límite separa al cálculo de las otras áreas
de las matemáticas. De hecho, podría definirlo como la parte de las matemáticas que trata
con límites.
Después que sir Isaac Newton inventó su versión del cálculo, la utilizó para explicar el
movimiento de los planetas alrededor del Sol. En la actualidad sirve para calcular las
órbitas de los satélites y de las naves espaciales, predecir los tamaños de poblaciones,
estimar la rapidez con que se elevan los precios, pronosticar el tiempo, medir el ritmo car-
diaco, calcular las primas de seguros y en una gran diversidad de otras áreas. En este libro
encontrará algunos de estos usos.
Para dar una idea del poder de la materia, finalice este panorama preliminar con una lis-
ta de algunas de las preguntas que podría usted responder al aplicar el cálculo:
rayos del Sol
1. ¿Cómo explica el hecho que se ilustra en la figura 12 de que el ángulo de eleva-
ción desde un observador hasta el punto más alto de un arcoíris es 42º. (Véase
138° página 279.)
2. ¿Cómo explica las formas de las latas en los anaqueles de los supermercados?
rayos del Sol 42° (Véase página 333.)
3. ¿Dónde es el mejor lugar para sentarse en un cine? (Véase página 446.)
4. ¿Qué tan lejos del aeropuerto debe empezar a descender el piloto? (Véase pá-
observador
gina 206.)
FIGURA 12 5. ¿Cómo usar las curvas y el diseño de formas para reprsentar letras en una
impresora láser? (Véase página 639).
6. ¿Cuál será la posición del parador en corto para atrapar la pelota lanzada por el
jardinero y lanzarla a la base? (Véase página 601).
7. ¿Una bola lanzada hacia arriba tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o
en volver al sitio del lanzamiento? (Véase página 590.)
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 10
1
FUNCIONES 20
18
Y MODELOS 16
14
12
20° N
Horas 10 30° N
40° N
8 50° N
6
60° N
4
2
Representación gráfica de una función. Aquí el
0
número de horas de luz solar en diferentes Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
periodos del año y diferentes latitudes,
es la manera más natural y conveniente
de ilustrar la función.
El propósito fundamental del cálculo son las funciones. En este capítulo se prepara el
camino para el cálculo al analizar las ideas básicas referentes a las funciones, sus gráficas
y las maneras para transformarlas y combinarlas. Se hará hincapié en que una función
se puede representar de diferentes modos: mediante una ecuación, en una tabla, con
una gráfica o con palabras. Se considerarán los tipos principales de funciones que se
presentan en el cálculo y se describirá el proceso de usarlas como modelos matemáticos
de fenómenos del mundo real. También se expondrá el uso de las calculadoras graficado-
ras y del software para trazar gráficas.
10
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 11
1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN
Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las siguientes
cuatro situaciones:
A. El área A de un círculo depende de su radio r. La regla que relaciona r con A se expresa
mediante la ecuación A pr 2. Con cada número positivo r existe asociado un valor
de A, por lo que A es función de r.
B. La población humana del mundo, P, depende del tiempo t. En la tabla se dan estima-
Población
Año (en millones) ciones de la población del mundo, Pt, en el tiempo t, para ciertos años. Por ejemplo,
1900 1 650
P1950
2 560 000 000
1910 1 750
1920 1 860
1930 2 070 Pero para cada valor de tiempo t existe un valor de P correspondiente, por lo que P es
1940 2 300 una función de t.
1950 2 560 C. El costo C de enviar por correo una carta de primera clase depende de su peso w. Aun
1960 3 040 cuando no existe una fórmula sencilla que relacione w con C, la oficina de correos
1970 3 710
tiene una regla parta determinar C cuando se conoce w.
1980 4 450
1990 5 280 D. La aceleración vertical a del suelo, según la mide un sismógrafo durante un terremo-
2000 6 080 to, es una función del tiempo transcurrido t. En la figura 1 se muestra una gráfica
generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los
Ángeles en 1994. Para un valor dado de t, la gráfica proporciona un valor correspon-
diente de a.
a
{cm/s@}
100
50
5 10 15 20 25 30 t (segundos)
FIGURA 1 _50
Aceleración vertical del suelo
durante el terremoto de Northridge Calif. Dept. of Mines and Geology
En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número r, t, w
o t), se asigna otro número A, P, C o a). En cada caso, el segundo número es función del
primero.
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exacta-
mente un elemento, llamado fx), de un conjunto E.
A menudo, se consideran funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos de
números reales. El conjunto D se llama dominio de la función. El número fx) es el valor
de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de
fx), conforme x varía en todo el dominio. Un símbolo que representa un número arbitrario
en el dominio de una función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa
un número en el rango de f se llama variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variable
independiente y A es la dependiente.
11
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 12
12 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
Resulta útil concebir una función como una máquina véase la figura 2). Si x está en el
x f ƒ
(entrada) (salida)
dominio de la función f, entonces cuando x entra en la máquina, se acepta como una en-
trada y la máquina produce una salida fx) de acuerdo con la regla de la función. De este
modo, puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el
FIGURA 2
rango como el conjunto de todas las salidas posibles.
Diagrama de una máquina para
una función ƒ
Las funciones preprogramadas de una calculadora son buenos ejemplos de una función co-
mo una máquina. Por ejemplo, la tecla de raíz cuadrada en su calculadora calcula una de esas
funciones. Usted oprime la tecla marcada como s o sx y registra la entrada x. Si x 0,
en tal caso x no está en el dominio de esta función; es decir, x no es una entrada aceptable y
la calculadora indicará un error. Si x 0, en tal caso aparecerá una aproximación a sx en la
pantalla. Así, la tecla sx de su calculadora no es la misma exactamente que la función ma-
temática f definida por f x sx.
Otra manera de representar una función es un diagrama de flechas como en la figura 3.
x ƒ Cada flecha une un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que fx) está
asociada con x, fa) con a, y así sucesivamente.
a f(a)
El método más común para visualizar una función es su gráfica. Si f es una función con
dominio D, su gráfica es el conjunto de las parejas ordenadas
D
f
E
x, f x x D
FIGURA 3 Observe que son parejas entrada-salida.) En otras palabras, la gráfica de f consta de todos
Diagrama de flechas para ƒ los puntos x, y) en el plano coordenado, tales que y fx) y x está en el dominio de f.
La gráfica de una función f da una imagen útil del comportamiento, o la “historia de la
vida”, de una función. Como la coordenada y de cualquier punto x, y) de la gráfica es
y fx), es posible leer el valor de fx) a partir de la gráfica como la altura de esta última
arriba del punto x véase la figura 4). La gráfica de f también permite tener una imagen del
dominio de f sobre el eje x y su rango en el eje y como en la figura 5.
y { x, ƒ} y
ƒ
intervalo y ƒ(x)
f (2)
f (1)
0 1 2 x x 0 x
dominio
FIGURA 4 FIGURA 5
y
EJEMPLO 1 En la figura 6 se muestra la gráfica de una función f.
(a) Encuentre los valores de f1) y f5).
(b) ¿Cuáles son el dominio y el intervalo de f ?
1 SOLUCIÓN
(a) En la figura 6 se ve que el punto 1, 3) se encuentra sobre la gráfica de f, de modo
0 x
1 que el valor de f en 1 es f 1 3. En otras palabras, el punto de la gráfica que se encuen-
tra arriba de x 1 está tres unidades arriba del eje x.)
Cuando x 5, la gráfica se encuentra alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x¸ por
tanto, f 5
0.7
FIGURA 6 (b) fx) está definida cuando 0 x 7, de modo que el dominio de f es el intervalo cerrado
[0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde 2 hasta 4, de manera que el interva-
lo de f es
& La notación para intervalos aparece en el
apéndice A.
y 2 y 4 2, 4
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 13
SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 13
y EJEMPLO 2 Trace una gráfica y encuentre el dominio y el intervalo de cada función.
a) fx 2x 1 b) tx x 2
y=2x-1 SOLUCIÓN
a) La ecuación de la gráfica es y 2x 1 y esto se reconoce como la ecuación de la
0 1 x
recta con pendiente 2 y ordenada al origen 1. Recuerde la forma de pendiente-ordenada
-1 2 al origen de la ecuación de una recta: y mx b. Véase apéndice B.) Esto permite trazar
la gráfica de f. Ver la figura 7. La expresión 2x 1 está definida para todos los números
reales, de modo que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales, el cual
FIGURA 7 se denota con . En la gráfica se muestra que el rango también es .
b) Como t2 2 2 4 y t1 12 1, podría dibujar los puntos 2, 4) y
y 1, 1) junto con unos cuantos puntos más de la gráfica y unirlos para producir la gráfi-
(2, 4) ca figura 8). La ecuación de la gráfica es y x 2, la cual representa una parábola véase
el apéndice C). El dominio de t es . El rango de t consta de todos los valores de
y=≈ tx); es decir, todos los números de la forma x2. Pero x 2 0 para todos los números x
y cualquier número positivo y es un cuadrado. De este modo, el rango de t es
(_1, 1) 1
y y 0 0,
. Esto también se ve en la figura 8.
0 x
1 f a h f a
EJEMPLO 3 Si fx 2x2 5x 1 y h 0, evaluar
h
FIGURA 8
SOLUCIÓN Primero evalúe fa h sustituyendo x mediante a h en la expresión
para fx:
fa h 2(a h)2 5(a h) 1
2(a2 2ah h2) 5(a h) 1
2(a2 2ah h2) 5a 5h 1
Por lo tanto al sustituir en la expresión que se proporciona y simplificando:
& La expresión
f a h f a 2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1
f (a h) f (a)
h h
h
en el ejemplo 3 se le denomina un cociente 2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1
de diferencia y habitualmente sucede en
h
cálculo. Como se verá en el capítulo 2, repre-
senta la razón promedio de cambio f (x) entre 4ah 2h2 5h
xayxah 4a 2h 5
h
REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES
Se tienen cuatro maneras posibles para representar una función:
& Verbalmente (mediante una descripción en palabras)
& Numéricamente (con una tabla de valores)
& Visualmente (mediante una gráfica)
& Algebraicamente (por medio de una fórmula explícita)
Si la función se puede representar de las cuatro maneras, con frecuencia resulta útil
pasar de una representación a otra, para adquirir un conocimiento adicional de la función.
(En el ejemplo 2 se empieza con fórmulas algebraicas y, a continuación, se obtuvieron las
gráficas.) Pero ciertas funciones se describen de manera más natural con uno de los métodos
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 14
14 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
que con otro. Con esto en mente, analice de nuevo las cuatro situaciones consideradas al
principio de esta sección.
A. Quizá la representación más útil del área de un círculo como función de su radio sea la
fórmula algebraica Ar
r 2, aunque es posible compilar una tabla de valores o trazar
una gráfica (la mitad de una parábola). Como un círculo debe tener un radio positivo, el
dominio es r r 0 0,
, y el rango también es 0,
.
B. Se ha descrito verbalmente la función: Pt es la población humana del mundo en el
Población
Año (en millones)
tiempo t. La tabla de valores de la población mundial da una representación conve-
niente de esta función. Si coloca estos valores en una gráfica, obtendrá la gráfica (lla-
1900 1 650 mada gráfica de dispersión) de la figura 9. También es una representación útil; pues
1910 1 750 nos permite absorber todos los datos a la vez. ¿Qué hay acerca de una fórmula? Por
1920 1 860 supuesto, es imposible idear una fórmula explícita que dé la población humana exacta
1930 2 070 Pt en cualquier tiempo t. Pero es posible hallar una expresión para una función que
1940 2 300 proporcione una aproximación de Pt). De hecho, con la aplicación de los métodos
1950 2 560 que se explican en la sección 1.2, se obtiene la aproximación
1960 3 040
1970 3 710 Pt
f t 0.008079266 1.013731t
1980 4 450
1990 5 280 y en la figura 10 se ilustra que es un “ajuste” razonablemente bueno. La función f se
2000 6 080 llama modelo matemático para el crecimiento de la población. En otras palabras, es una
función con una fórmula explícita que da una aproximación para el comportamiento
de la función dada. Sin embargo, verá que las ideas del cálculo se pueden aplicar a
una tabla de valores; no se necesita una fórmula explícita.
P P
6x10' 6x10'
1900 1920 1940 1960 1980 2000 t 1900 1920 1940 1960 1980 2000 t
FIGURA 9 FIGURA 10
& Una función definida por una tabla de
La función P es típica entre las funciones que surgen siempre que intenta aplicar
valores se conoce como función tabular. el cálculo al mundo real. Empieza con una descripción verbal de la función. En se-
guida, es posible que sea capaz de construir una tabla de valores de la función,
quizá a partir de lecturas de instrumentos en un experimento científico. Aun cuando
no tenga el conocimiento completo de los valores de la función, a lo largo del libro
w (onzas) Cw (dólares) verá que todavía es posible realizar las operaciones del cálculo en una función de
ese tipo.
0w 1 0.39
1w 2 0.63 C. Una vez más, la función está descrita en palabras: Cw) es el costo de enviar por correo
2w 3 0.87 una carta de primera clase con peso w. La regla que en 1996 aplicaba el U.S. Postal
3w 4 1.11 Service (Servicio Postal de Estados Unidos) es la siguiente: el costo es de 39 centavos
4w 5 1.35 de dólar hasta por una onza, más 24 centavos por cada onza sucesiva, hasta 13 onzas.
La tabla de valores que se muestra en el margen es la representación más conveniente
para esta función, aunque es posible trazar una gráfica (véase el ejemplo 10).
D. La gráfica que se muestra en la figura 1 es la representación más natural de la función
12 w 13 3.27
aceleración vertical at). Es cierto que se podría compilar una tabla de valores e incluso
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 15
SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 15
es posible idear una fórmula aproximada. Pero todo lo que necesita saber un geólogo,
amplitudes y patrones, puede observarse con facilidad a partir de la gráfica. (Lo mismo
se cumple para los patrones que se ven en los electrocardiogramas de los pacientes car-
diacos y en los polígrafos para la detección de mentiras.)
En el ejemplo siguiente, se grafica una función definida verbalmente.
T EJEMPLO 4 Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del agua depende de
cuánto tiempo ha estado corriendo. Trace una gráfica aproximada de T como función
del tiempo t que ha transcurrido desde que se abrió el grifo.
SOLUCIÓN La temperatura inicial del agua corriente está cercana a la temperatura ambiente,
debido al agua que ha estado en los tubos. Cuando empieza a salir la que se encuentra en
0 t
el tanque de agua caliente, T aumenta con rapidez. En la fase siguiente, T es constante a
la temperatura del agua calentada del tanque. Cuando éste se drena, T decrece hasta la
FIGURA 11 temperatura de la fuente de agua. Esto permite realizar el boceto de gráfica de T como
una función de t en la figura 11.
El ejemplo que sigue, parte de una descripción verbal de una función, en una situación
física, y se obtiene una fórmula algebraica explícita. La capacidad para llevar a cabo esto
constituye una habilidad útil en los problemas de cálculo en los que se piden los valores
máximo y mínimo de cantidades.
V EJEMPLO 5 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior
abierta, tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su base es el doble de su ancho. El
material para la base cuesta 10 dólares por metro cuadrado y el material para los lados,
cuesta 6 dólares por metro cuadrado. Exprese el costo del material como función del
ancho de la base.
SOLUCIÓN Dibuje un diagrama como el de la figura 12 e introduzca la notación to-
mando w y 2w como el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h como
la altura.
h El área de la base es 2ww 2w 2, de modo que el costo, en dólares, del material
para la base es 102w 2 . Dos de los lados tienen el área wh y el área de los otros dos
w es 2wh, así el costo del material para los lados es 6 2wh 22wh
. En consecuencia
el costo total es
2w
C 102w 2 6 2wh 22wh
20w 2 36wh
FIGURA 12
Para expresar C como función sólo de w, necesita eliminar h, lo que sucede al aplicar el
hecho de que el volumen es 10 m3. De este modo,
w2wh 10
10 5
lo cual da h 2
2w w2
Si se sustituye esto en la expresión para C
& Al establecer funciones de aplicación, como
en el ejemplo 5, puede resultar útil repasar los
principios para la resolución de problemas como
C 20w 2 36w w
5
2 20w 2
180
w
se plantean en la página 76, en particular el
paso 1: comprender el problema. Por lo tanto, la ecuación
180
Cw 20w 2 w0
w
expresa C como función de w.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 16
16 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada función.
1
(a) f x sx 2 (b) tx
x x
2
SOLUCIÓN
& Si se da una función mediante una fórmula (a) Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como número real),
y no se da el dominio explícitamente, la con-
el dominio de f consta de todos los valores de x tales que x 2 0. Esto es equivalente
vención es que el dominio es el conjunto de
todos los números para los que la fórmula a x 2, de modo que el dominio es el intervalo 2,
.
tiene sentido y define un número real. (b) Dado que
1 1
tx 2
x x xx 1
y la división entre 0 no está permitida, tx no está definida cuando x 0 o x 1. Por lo
tanto, el dominio de t es
x x 0, x 1
lo cual también podría escribirse, con la notación de intervalos, como
, 0 0, 1 1,
La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿cuáles
curvas en el plano xy son gráficas de funciones? La siguiente prueba responde lo anterior.
PRUEBA DE LA LÍNEA VERTICAL Una curva en el plano xy es la gráfica de una
función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de
una vez.
En la figura 13 se puede ver la razón de la veracidad de la prueba de la línea vertical.
Si cada línea vertical x a interseca una curva sólo una vez, en a, b, por lo tanto se
define exactamente un valor funcional mediante f a b. Pero si una línea x a se in-
terseca con la curva dos veces, en a, b y a, c, entonces la curva no puede representar
una función, porque una función no puede asignar dos valores diferentes a a.
y y
x=a x=a
(a, c)
(a, b)
(a, b)
0 a x 0 a x
FIGURA 13
Por ejemplo, la parábola x y 2 2 que aparece en la figura 14(a) en la página que sigue
no es la gráfica de una función de x porque, como el lector puede ver, existen líneas vertica-
les que intersecan dos veces esa parábola. Sin embargo, la parábola en realidad contiene
las gráficas de dos funciones de x. Observe que x y 2 2 significa y 2 x 2, por lo
que y s x 2. Por esto, las mitades superior e inferior de la parábola son las gráficas
de las funciones f x s x 2 [del ejemplo 6(a)] y tx s x 2 [véase las figu-
ras 14(b) y (c)]. Observe que, si invierte los papeles de x y y, en tal caso la ecuación
x h y y 2 2 define x como función de y (con y como la variable independiente y x
como dependiente) y la parábola aparece ahora como la gráfica de la función h.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 17
SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 17
y y y
_2
(_2, 0) 0 x _2 0 x 0 x
FIGURA 14 (a) x=¥-2 (b) y=œ„„„„
x+2 (c) y=_ œ„„„„
x+2
FUNCIONES SECCIONALMENTE DEFINIDAS
Las funciones de los cuatro ejemplos siguientes están definidas por fórmulas diferentes en
diferentes partes de sus dominios.
V EJEMPLO 7 Una función f se define por
f x
1 x si x 1
x2 si x 1
Evalúe f0), f1) y f2) y trace la gráfica.
SOLUCIÓN Recuerde que una función es una regla. Para esta función en particular, la regla
es: primero se considera el valor de la entrada x. Si sucede que x 1, entonces el valor de
fx) es 1 x. Por otra parte, si x 1, entonces el valor de fx) es x 2.
Como 0 1, tenemos f 0 1 0 1.
Como 1 1, tenemos f 1 1 1 0.
y
Como 2 1, tenemos f 2 2 2 4.
¿Cómo dibujar la gráfica de f? Observe que, si x 1, entonces fx) 1 x de
modo que la parte de la gráfica de f que se encuentra a la izquierda de la línea vertical
1 x 1 debe coincidir con la línea y 1 x, la cual tiene la pendiente 1 y 1 como
ordenada al origen. Si x 1, entonces fx) x2, por lo que la parte de la gráfica de f
x que está a la derecha de la línea x 1 tiene que coincidir con la gráfica de y x2, la cual
1
es una parábola. Esto permite trazar la gráfica de la figura 15. El punto relleno indica que
FIGURA 15 el punto 1, 0) está incluido en la gráfica; el punto hueco indica que el punto 1, 1) está
fuera de la gráfica.
El ejemplo siguiente de una función seccionalmente definida es la función valor abso-
luto. Recuerde que el valor absoluto de un número a, denotado con a , es la distancia de
a hasta 0, sobre la recta de los números reales. Las distancias siempre son positivas o 0;
de tal manera
& Para un repaso más extenso de los valores
absolutos, véase el apéndice A.
a 0 para todo número a
Por ejemplo,
3 3 3 3 0 0 s2 1 s2 1 3
3
En general,
a a si a 0
a a si a 0
(Recuerde que si a es negativo, entonces a es positivo.)
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 18
18 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
EJEMPLO 8 Trace la gráfica de la función valor absoluto, f x x .
y
SOLUCIÓN Con base en el análisis precedente, sabe que
y=| x |
x x
x
si x 0
si x 0
Al aplicar el método del ejemplo 7, la gráfica de f coincide con la línea y x, a
0 x la derecha del eje y, y coincide con la línea y x, a la izquierda del eje y (véase la
figura 16).
FIGURA 16
EJEMPLO 9 Encuentre una fórmula para la función f que se dibuja en la figura 17.
y
1
0 1 x
FIGURA 17
SOLUCIÓN La línea que pasa por 0, 0) y 1, 1) tiene pendiente m 1 y su ordenada al ori-
gen es b 0, de forma que su ecuación es y x. Así, para la parte de la gráfica de f
que une 0, 0) con 1, 1),
f x x si 0 x 1
& Forma punto-pendiente de la ecuación de La línea que pasa por 1, 1) y 2, 0) tiene pendiente m 1, de suerte que su forma
una recta: punto-pendiente es
y y1 mx x 1
y 0 1x 2 o y2x
véase el apéndice B.
De tal manera que
f x 2 x si 1x 2
Observe también que, para x 2, la gráfica de f coincide con el eje x. Si reúne esta in-
formación, tiene la fórmula siguiente para f, en tres secciones:
x
f x 2 x
0
si 0 x 1
si 1 x 2
si x 2
EJEMPLO 10 En el ejemplo C del principio de esta sección, se consideró el costo Cw de
enviar por correo una carta de primera clase con peso w. En realidad, ésta es una función
seccionalmente definida porque, a partir de la tabla de valores, se tiene
C
0.39 si 0w 1
0.63 si 1w 2
1 Cw 0.87 si 2w 3
1.11 si 3w 4
0 1 2 3 4 5 w La gráfica se muestra en la figura 18. Usted puede ver por qué a las funciones semejantes
a ésta se les llama función escalón: saltan de un valor al siguiente. En el capítulo 2 se
FIGURA 18 estudiarán esas funciones.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 19
SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 19
y SIMETRÍA
Si una función f satisface f x f x, para todo número x en su dominio, entonces f se
f(_x) ƒ denomina función par. Por ejemplo, la función f x x 2 es par porque
_x 0 x x
f x x2 x 2 f x
El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al
eje y (véase la figura 19). Esto significa que si traza la gráfica de f para x 0, obtiene toda
FIGURA 19
la gráfica con sólo reflejar esta porción con respecto al eje y.
Una función par
Si f satisface f x f x, para todo número x en su dominio, entonces f se conoce
y
como función impar. Por ejemplo, la función f x x 3 es impar porque
f x x3 x 3 f x
_x 0 ƒ
x x
La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen (véase la figura 20). Si ya
tiene la gráfica de f para x 0, puede obtener la gráfica entera al hacerla girar 180 alrede-
dor del origen.
V EJEMPLO 11 Determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ninguna
FIGURA 20
Una función impar de las dos.
(a) f x x 5 x (b) tx 1 x 4 (c) hx 2x x 2
SOLUCIÓN
(a) f x x5 x 15x 5 x
x 5 x x 5 x
f x
En consecuencia, f es una función impar.
(b) tx 1 x4 1 x 4 tx
De modo que t es par.
(c) hx 2x x2 2x x 2
Dado que hx hx y hx hx, se concluye que h no es par ni impar.
En la figura 21 se muestran las gráficas de las funciones del ejemplo 11. Observe que
la gráfica de h no es simétrica respecto al eje y ni respecto al origen.
y y y
f 1 g h
1 1
1
_1 1 x x 1 x
_1
FIGURA 21 (a) ( b) (c)
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 20
20 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
La gráfica que se muestra en la figura 22 sube desde A hasta B, desciende desde B hasta C,
y vuelve a subir desde C hasta D. Se dice que la función f está creciendo sobre el intervalo
a, b
, decreciendo sobre b, c
, y creciendo de nuevo sobre c, d
. Observe que si x1 y x2
son dos números cualesquiera entre a y b, con x 1 x 2 , entonces f x 1 f x 2 . Use esto
como la propiedad que define una función creciente.
y
B
D
y=ƒ
C
f(x™)
f(x ¡)
A
0 a x¡ x™ b c d x
FIGURA 22
Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I si
f x 1 f x 2 siempre que x 1 x 2 en I
Se dice que es decreciente sobre I si
y
y=≈ f x 1 f x 2 siempre que x 1 x 2 en I
En la definición de función creciente es importante darse cuenta que se debe satisfacer
0 x la desigualdad f x 1 f x 2 para toda pareja de números x1 y x2 en I con x 1 x 2.
A partir de la figura 23 es posible observar que la función f x x 2 es decreciente sobre
FIGURA 23 el intervalo
, 0
y creciente sobre el intervalo 0,
.
1.1 EJERCICIOS
1. Se da la gráfica de una función f. y
(a) Establezca el valor de f 1.
(b) Estime el valor de f 2.
1
(c) ¿Para cuáles valores de x se tiene f x 2?
0 1 x
(d) Estime los valores de x tales que f x 0.
(e) Establezca el dominio y el rango de f.
(f) ¿En qué intervalo es f creciente?
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SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 21
2. Se proporcionan las gráficas de f y t. el peso de esta persona a lo largo del tiempo. ¿Qué piensa el lec-
(a) Dé los valores de f 4 y t3. tor que sucedió cuando esta persona tenía 30 años?
(b) ¿Para cuáles valores de x se tiene f x tx?
(c) Estime la solución de la ecuación f x 1.
(d) ¿En qué intervalo f es decreciente? 200
(e) Dé el dominio y el rango de f.
(f) Dé el dominio y el rango de t. Peso 150
(libras)
100
50
y
g 0 10 20 30 40 50 60 70 Edad
f (años)
2
10. La gráfica que se muestra da la distancia a la que se encuentra un
0 2 x vendedor de su casa como función del tiempo en cierto día.
Describa con palabras lo que la gráfica indica con respecto al
recorrido del vendedor en este día.
3. Un instrumento operado por el Departamento de Minas y Geo-
logía en el Hospital Universitario de la Universidad del Sur de Distancia
California (USC) en Los Ángeles, registró la figura 1. Úsela hasta la casa
(millas)
para estimar el intervalo de la funcion aceleración vertical del
suelo, en la USC durante el terremoto de Northridge.
8 A.M. 10 MEDIODÍA 2 4 6 P.M. Tiempo
4. En esta sección se analizaron ejemplos de funciones, cotidia- (horas)
nas: la población es una función del tiempo, el costo del porte
de correos es una función del peso, la temperatura del agua
es una función del tiempo. Dé otros tres ejemplos de funcio- 11. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con
nes de la vida cotidiana que se describan verbalmente. ¿Qué agua fría y lo deja sobre una mesa. Describa cómo cambia la
puede decir acerca del dominio y del rango de cada una de temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. Después,
sus funciones? Si es posible, trace una gráfica aproximada trace una gráfica aproximada de la temperatura del agua como
de cada función. función del tiempo transcurrido.
12. Trace una gráfica aproximada del número de horas de luz del
5–8 Determine si la curva es la gráfica de una función de x. Si lo
día como función de la época del año.
es, dé el dominio y el rango de la función.
13. Trace una gráfica aproximada de la temperatura exterior como
función del tiempo durante un día típico de primavera.
5. y 6. y
14. Dibuje una gráfica aproximada del valor en el mercado, por un
1 1 periodo de 20 años de un automóvil nuevo. Considere que se le
0 1 x 0 1 x
da buen mantenimiento.
15. Dibuje la gráfica de la cantidad de una marca particular de café
vendida por una tienda como una función del precio del café.
16. Usted coloca un pastel congelado en un horno y lo hornea duran-
7. y 8. y
te una hora. Luego, lo saca y lo deja enfriar, antes de comerlo.
Describa cómo cambia la temperatura del pastel conforme pasa el
1 1
tiempo. Después, trace una gráfica aproximada de la temperatura
0 1 x 0 1 x del pastel como función del tiempo.
17. El propietario de una casa corta el césped cada miércoles por la
tarde. Trace una gráfica aproximada de la altura del césped como
función del tiempo durante un periodo de cuatro semanas.
18. Un avión sale de un aeropuerto y aterriza, una hora más tarde, en
9. La gráfica que se muestra da el peso de cierta persona como una otro aeropuerto que se encuentra a 400 millas de distancia. Si t
función de la edad. Describa con palabras la manera en que varía representa el tiempo en minutos desde que el avión ha dejado
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 22
22 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
la terminal, sea xt la distancia horizontal recorrida y yt la 1
31. hx
altitud del avión. Trace. s
4
x 2 5x
(a) Una gráfica posible de xt.
(b) Una gráfica posible de yt.
(c) Una gráfica posible de la rapidez con respecto al suelo. 28. Encuentre el dominio, el rango y trace la gráfica de la función
(d) Una gráfica posible de la velocidad vertical. hx s4 x 2.
19. En la tabla se exhibe el número N (en millones) de usuarios de
telefonos celulares en el mundo. (Se proporcionan estimaciones 33–44 Encuentre el dominio y trace la gráfica de la función.
semestrales).
33. f x 5 34. Fx 2 x 3
1
t 1990 1992 1994 1996 1998 2000
4 t2
N 11 26 60 160 340 650 35. f t t 2 6t 36. Ht
2t
(a) Mediante los datos trace una gráfica de N en función de t. 37. tx sx 5
38. Fx 2x 1
(b) Utilice la gráfica para estimar la cantidad de usuarios de
teléfono celular a mediados de año en 1995 y 1999.
39. Gx
3x x 40. tx x
20. El 2 de junio de 2001 se tomaron lecturas de temperatura T x x2
(en °F) cada dos horas desde la medianoche hasta las 2:00 P.M. El
tiempo t se midió en horas a partir de la medianoche. x2 si x 0
41. f x
1x si x 0
t 0 2 4 6 8 10 12 14
3 12x si x 2
T 73 73 70 69 72 81 88 91 42. f x
2x 5 si x 2
(a) Utilice las lecturas para trazar una gráfica aproximada de T
como una función de t. 43. f x x 2 si x 1
x2 si x 1
(b) Utilice la gráfica que trazó para estimar la temperatura a las
11:00 A.M. x 9 si x 3
21. Si f x 3x 2 x 2, encuentre f 2, f 2, f a, f a, 44. f x 2x si x 3
f a 1, 2 f a, f 2a, f a 2 , [ f a] 2 y f a h. 6 si x 3
22. Un globo esférico con radio de r pulgadas tiene el volumen
Vr 43
r 3. Encuentre una función que represente la cantidad
de aire que se requiere para inflarlo desde un radio de r pulga- 45–50 Encuentre una expresión para la función cuya gráfica es la
das hasta otro de r 1 pulgadas. curva dada.
23–26 Valorar el cociente de diferencia para la función que se pro- 45. El segmento rectilíneo que une los puntos 1, 3 y 5, 7
porciona. Simplifique su respuesta.
46. El segmento rectilíneo que une los puntos 5, 10 y 7, 10
f(3 h) – f(3) 47. La mitad inferior de la parábola x y 12 0
23. f(x) 4 3x x ,
2
h
48. La mitad superior del círculo x2 (y 22 4
f(a h) – f(a)
24. f(x) x , 3
h 49. y 50. y
1 f(x) – f(a)
25. f(x) ,
x xa
1 1
x 3 f(x) – f(1)
26. fx ,
x1 x1 0 1 x 0 1 x
27–31 Encuentre el dominio de la función.
51–55 Encuentre una fórmula para la función descrita y dé su
x 5x 4 dominio.
27. f x 28. f x 2
3x 1 x 3x 2
51. Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área del
29. f t st s
3
t 30. tu su s4 u rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 23
SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 23
52. Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese su perímetro (b) ¿Cuál impuesto corresponde a un ingreso de 14 000 dólares
como función de la longitud de uno de sus lados. y a otro de 26 000 dólares?
(c) Trace la gráfica del impuesto total correspondiente T como
53. Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la función del ingreso I.
longitud de uno de los lados.
60. Las funciones del ejemplo 10 y de los ejercicios 58 y 59(a) se
54. Exprese el área superficial de un cubo como función de su vo- conocen como funciones escalones porque sus gráficas parecen
lumen. escaleras. Dé otros dos ejemplos de funciones escalones que
surjan en la vida cotidiana.
55. Una caja rectangular abierta, con volumen de 2 m3, tiene una
base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como fun-
61–62 Se muestran las gráficas de f y t. Determine si cada función
ción de la longitud de uno de los lados de la base.
es par, impar o ninguna de las dos. Explique su razonamiento.
56. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coro-
nado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 61. y 62. y
g
30 pies, exprese el área A de ella como función del ancho x
f
de la misma. f
x x
g
© Catherine karnow
63. (a) Si el punto 5, 3 está sobre la gráfica de una función par,
¿cuál otro punto también debe estar sobre la gráfica?
x
(b) Si el punto 5, 3 está sobre la gráfica de una función impar,
57. Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir ¿cuál otro punto también debe estar sobre la gráfica?
de un trozo rectangular de cartón que tiene las dimensiones de
12 pulgadas por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales 64. Una función f tiene el dominio 5, 5
y se muestra una parte
de lado x en cada una de las esquinas y, a continuación, doblando de su gráfica.
los lados como se ilustra en la figura. Exprese el volumen V (a) Complete la gráfica de f si se sabe que ésta es par.
de la caja como función de x. (b) Complete la gráfica de f si se sabe que ésta es impar.
20
y
x x
x x
12
x x
x x
_5 0 5 x
58. Una compañía de taxis cobra dos dólares por la primera milla
(o parte de una milla) y 20 centavos de dólar por cada décimo 65–70 Determine si f es par, impar o ni par ni impar. Si tiene una
de milla (o parte) subsiguiente. Exprese el costo C (en dólares) de calculadora graficadora, úsela para verificar de manera visual su
un viaje como función de la distancia x recorrida (en millas), respuesta
para 0 x 2, y dibuje la gráfica de esta función.
x x2
59. En cierto país, el impuesto sobre la renta se evalúa como se 65. f x 66. f x
x 1
2
x 1
4
indica a continuación. No se paga impuesto sobre ingresos hasta
de 10 000 dólares. Cualquier ingreso superior a 10 000 dólares x
paga un impuesto del 10% del mismo, hasta un ingreso de 67. f x
x1
68. f x x x
20 000 dólares. Cualquier ingreso superior a 20 000 dólares
paga impuesto con una tasa del 15%.
(a) Trace la gráfica de la tasa R de impuesto como función del 69. f x 1 3x2 x4 70. f x 1 3x3 x5
ingreso I.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 24
24 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS
Un modelo matemático es una descripción matemática (con frecuencia mediante una fun-
ción o una ecuación), de un fenómeno del mundo real, como por ejemplo el tamaño de una
población, la demanda por un producto, la rapidez de caída de un objeto, la concentración de
un producto en una reacción química, la expectativa de vida de una persona cuando nace o el
costo de la reducción de emisiones. El propósito del modelo es entender el fenómeno y quizá
hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro.
La figura 1 ilustra el proceso del modelado matemático. Una vez que se especifica un
problema del mundo real, la primera tarea consiste en formular un modelo matemático iden-
tificando y dándole un nombre a las variables independientes y dependientes, así como
hacer supuestos que simplifiquen, lo suficiente, el fenómeno como para hacer que sea sus-
ceptible de rastrearse en forma matemática. Utilice su conocimiento acerca de la situación
física y sus habilidades matemáticas para obtener ecuaciones que relacionen las variables.
En aquellas situaciones en las que no existen leyes físicas que lo guíen, tal vez necesite re-
cabar información (ya sea de una biblioteca o de la Internet o llevando a cabo sus propios
experimentos) y analizarlos en forma de tabla con objeto de discernir patrones. A par-
tir de esta representación numérica quizá desee obtener una representación gráfica por
medio del dibujo de los datos. En algunos casos, la gráfica puede hasta sugerir una forma
algebraica adecuada.
Problema en el Formular Modelo Resolver Conclusiones Interpretar Predicciones en
mundo real matemático matemáticas el mundo real
Test
FI GURA 1 El proceso del modelado
La segunda etapa es aplicar las matemáticas que conoce (como por ejemplo el cálculo
que se desarrollará en todas las partes de este libro) al modelo matemático formulado con
el fin de deducir conclusiones matemáticas. Después, en la tercera etapa, tome esas conclu-
siones matemáticas e interprételas como información acerca del fenómeno original del
mundo real por medio de ofrecer explicaciones o hacer predicciones. La etapa final es pro-
bar las predicciones que formuló verificándolas contra datos nuevos relativos al mundo real.
Si las predicciones no se comparan de manera apropiada con la realidad, necesita afinar su
modelo o bien formular uno nuevo y empezar el ciclo de nuevo.
Un modelo matemático nunca es una representación totalmente precisa de una situación
física, es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente como para
permitir cálculos matemáticos pero es lo suficientemente preciso para proveer conclusiones
valiosas. Es importante darse cuenta de los límites del modelo. En última instancia, la madre
naturaleza tiene la última palabra.
Existen muchos tipos diferentes de funciones que pueden usarse para modelar corre-
spondencias que se observan en el mundo real. En las secciones subsecuentes, analizará el
comportamiento y las gráficas de estas funciones y atenderá ejemplos de situaciones mo-
deladas en forma apropiada por medio de esas funciones.
MODELOS LINEALES
& En el apéndice B se repasa la geometría
Cuando dice que y es una función lineal de x, lo que quiere dar a entender es que la grá-
analítica de las rectas. fica de la función es una recta, de tal manera puede usar la forma pendiente-intersección
de la ecuación de una recta para escribir una fórmula para la función como
y f x mx b
donde m es la pendiente de la recta y b es la coordenada al origen y.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 25
SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 25
Una característica representativa de las funciones lineales es que crecen en una pro-
porción constante. La figura 2, por ejemplo, presenta una gráfica de la función lineal
fx 3x 2 y una tabla de valores muestra. Observe que siempre que x aumenta en 0.1, el
valor de fx se incrementa en 0.3. Por eso fx se incrementa tres veces tan rápido como x.
De este modo la pendiente de la gráfica y 3x 2, en este caso 3, puede interpretarse
como la relación de cambio de y con respecto a x.
y
y=3x-2 x f x 3x 2
1.0 1.0
1.1 1.3
0 x 1.2 1.6
_2 1.3 1.9
1.4 2.2
1.5 2.5
FIGURA 2
V EJEMPLO 1
(a) A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la tem-
peratura del suelo es 20C y la temperatura a la altura de 1 km es 10C, exprese la
temperatura T (en °C) como una función de la altura h (en kilómetros) suponiendo que
es un modelo lineal adecuado.
(b) Trace la gráfica de la función del inciso (a). ¿Qué representa la pendiente?
(c) ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 km?
SOLUCIÓN
(a) Como supone que T es una función lineal de h, puede escribir
T mh b
Se dice que T 20 cuando h 0, así
20 m 0 b b
En otras palabras, la ordenada al origen y es b 20.
Además, T 10 cuando h 1, de modo que
T 10 m 1 20
20 Por lo tanto la pendiente de la recta es m 10 20 10 y la función lineal
T=_10h+20 requerida es
10 T 10h 20
0 h (b) La gráfica se traza en la figura 3. La pendiente es m 10Ckm, y esto representa
1 3
la relación de cambio de temperatura con respecto a la altura.
(c) A una altura h 2.5 km, la temperatura es
FIGURA 3 T 102.5 20 5C
Si no existe una ley física o un principio que ayude a formular un modelo, se construye
un modelo empírico, el cual se basa por completo en la información recabada. Se busca una
curva que “coincida” con los datos en el sentido de que capte la tendencia fundamental de
los puntos de los datos.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 26
26 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
V EJEMPLO 2 En la tabla 1 se enumera el nivel promedio de dióxido de carbono en la
atmósfera, medido en partes por millón en el observatorio Mauna Loa de 1980 a 2002.
Use la información que en ella aparece para encontrar un modelo para el nivel de
dióxido de carbono.
SOLUCIÓN Use los datos que aparecen en la tabla 1 para trazar la gráfica de dispersión que
se muestra en la figura 4, donde t representa el tiempo (en años) y C el nivel de CO2 (en
partes por millón, ppm)
C
TABLA 1 370
Nivel de CO2 Nivel de CO2
Año (en ppm) Año (en ppm) 360
1980 338.7 1992 356.4
1982 341.1 1994 358.9 350
1984 344.4 1996 362.6
1986 347.2 1998 366.6
1988 351.5 2000 369.4 340
1990 354.2 2002 372.9
1980 1985 1990 1995 2000 t
FIGURA 4 Gráfica de dispersión para el nivel de CO2
Observe que al parecer los puntos correspondientes a la información se encuentran cerca
de una recta, por tanto es natural que en este caso se elija un modelo lineal. Pero existen
numerosas rectas posibles que se aproximan a estos puntos de información, por eso ¿cuál
debe escoger? A partir de la gráfica, la línea que pasa por el primero y el último puntos de
información parece ser una posibilidad. La pendiente de esta recta es
372.9 338.7 34.2
1.5545
2002 1980 22
y su ecuación es
C 338.7 1.5545t 1980
o bien
1 C 1.5545t 2739.21
La ecuación 1 proporciona un modelo lineal posible para el nivel de dióxido de
carbono; se grafica en la figura 5.
C
370
360
350
FI GURA 5 340
Modelo lineal a través
del primero y último 1980 1985 1990 1995 2000 t
puntos de información
Si bien el modelo coincide razonablemente bien con la información, da puntos más
altos que la mayor parte de los niveles reales de CO2. Por medio de un procedimiento
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 27
SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 27
& Una computadora o una calculadora grafi-
de estadística conocido como regresión lineal, se obtiene un mejor modelo lineal. Si
cadora encuentra la recta de regresión por utiliza una calculadora graficadora, registre los datos de la tabla 1 en el editor de datos
medio del método de mínimos cuadrados, el
cual consiste en reducir al mínimo la suma de
y elija el comando de regresión lineal. (Con Maple use el comando Fit [least square]
los cuadrados de las distancias verticales en el paquete de estadística; con Mathematica utilice el comando Fit). La máquina da la
entre los puntos correspondientes a datos y la pendiente y la ordenada al origen y de la recta de regresión como
recta. En la sección 14.7 se explican detalles
de lo anterior. m 1.55192 b 2734.55
De esta manera nuestro modelo de mínimos cuadrados para el nivel de CO2 es
2 C 1.55192t 2734.55
En la figura 6 aparece la gráfica de la recta de regresión así como los puntos de infor-
mación. Al compararla con la figura 5 se observa que da una mejor coincidencia que
nuestro modelo lineal anterior.
C
370
360
350
340
FI GURA 6 1980 1985 1990 1995 2000 t
La recta de regresión
V EJEMPLO 3 Use el modelo lineal que proporciona la ecuación 2 para estimar el nivel
promedio de CO2 correspondiente al año 1987 y predecir el nivel para el 2010. Según
este modelo, ¿cuándo excederá el nivel de CO2 las 400 partes por millón?
SOLUCIÓN Mediante la ecuación 2 con t 1987, se estima que el nivel promedio de CO2
en 1987 fue
C1987 1.551921987 2734.55
349.12
Esto es un ejemplo de interpolación porque ha estimado un valor entre valores observados.
(De hecho, el observatorio Mauna Loa informó que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue
348.93 ppm, de igual manera su estimado es bastante preciso.)
Con t 2010, obtiene
C2010 1.551922010 2734.55
384.81
De modo que se predice que el nivel promedio de CO2 en el año 2010 será
384.8 ppm. Esto es un ejemplo de extrapolación porque pronosticó un valor fuera de
la región de las observaciones. Por consecuencia, está mucho menos seguro acerca de la
exactitud de su predicción.
Al usar la ecuación 2, observe que el nivel de CO2 excede las 400 ppm cuando
1.55192t 2734.55 400
Al resolver esta desigualdad tiene
3134.55
t
2019.79
1.55192
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 28
28 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
En consecuencia, se pronostica que el nivel de CO2 excederá de 400 ppm hacia el
año 2020. Esta predicción es riesgosa hasta cierto punto porque implica un momento
bastante remoto con respecto a sus observaciones.
POLINOMIOS
A una función P se le lama polinomio si
Px a n x n a n1 x n1 a 2 x 2 a 1 x a 0
donde n es un entero no negativo y los números a 0 , a 1, a 2 , . . . , a n son constantes que se
conocen como coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es
,
. Si el coeficiente principal a n 0, entonces el grado del polinomio es n. Por
ejemplo, la función
Px 2x 6 x 4 25 x 3 s2
es un polinomio de grado 6.
Un polinomio de grado 1 tiene la forma Px mx b y de este modo es una función
lineal. Un polinomio de grado 2 tiene la forma Px ax 2 bx c se le llama función
cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola que se obtiene, como verá en la sección
siguiente, al cambiar la parábola y ax 2. La parábola se abre hacia arriba si a 0 y hacia
abajo si a 0. (Véase la figura 7.)
y y
2 2
0 1 x 1 x
FIGURA 7
Las gráficas de las funciones
cuadráticas son parábolas. (a) y=≈+x+1 (b) y=_2≈+3x+1
Un polinomio de grado 3 tiene la forma
Px ax 3 bx 2 cx d a0
y se le da el nombre de función cúbica. La figura 8 muestra la gráfica de una función cú-
bica en la parte (a) y gráficas de polinomios de grados 4 y 5 en las partes (b) y (c). Más
adelante verá por qué las gráficas tienen las formas que se ilustran a continuación.
y y y
1 2 20
1
0 1 x x 1 x
FIGURA 8 (a) y=˛-x+1 (b) y=x$-3≈+x (c) y=3x%-25˛+60x
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 29
SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 29
Usualmente los polinomios se utilizan para modelar diversas cantidades que se susci-
tan en las ciencias naturales y sociales. En la sección 3.7, por ejemplo, se explica por qué
los economistas suelen usar un polinomio Px para representar el costo de producir x uni-
dades de una mercancía. El ejemplo siguiente usa una fórmula cuadrática para modelar la
caída de una pelota.
EJEMPLO 4 Desde la plataforma superior de observación de la torre CN, a 450 m sobre el
TABLA 2 nivel, se deja caer una pelota y en la tabla 2 se registra su altura h del suelo sobre el nivel a
intervalos de un segundo. Encuentre un modelo que coincida con la información y úselo
Tiempo Altura
para predecir el tiempo en que la pelota toca el suelo.
(segundos) (metros)
SOLUCIÓN En la figura 9 se traza una gráfica de dispersión de la información y se observa
0 450
1 445 que no es adecuada una gráfica lineal. Pero parece ser que quizás los puntos de informa-
2 431 ción se encuentren sobre una parábola, de este modo se hace la prueba con un modelo
3 408 cuadrático. Al utilizar una calculadora graficadora o una computadora provista de siste-
4 375 ma algebraico (que utiliza el método de mínimos cuadrados), se obtiene el modelo cua-
5 332 drático siguiente:
6 279
7 216 3 h 449.36 0.96t 4.90t 2
8 143
9 61
h h
(metros)
400 400
200 200
0 2 4 6 8 t 0 2 4 6 8 t
(segundos)
FIGURA 9 FIGURA 10
Diagrama de dispersión para una pelota que cae Modelo cuadrático para una pelota que cae
En la figura 10 se traza la gráfica de la ecuación 3 con los puntos de información y se
observa que el modelo cuadrático da una coincidencia adecuada.
La pelota toca el suelo cuando h 0, de modo que se resuelve la ecuación cuadrática
4.90t 2 0.96t 449.36 0
La fórmula cuadrática da
0.96 s0.962 44.90449.36
t
24.90
La raíz positiva es t
9.67, por lo tanto se pronostica que la pelota tocará el suelo después
de casi de 9.7 segundos.
FUNCIONES DE POTENCIA
Una función de la forma f x x a, donde a es constante se llama función potencia. Con-
sidere varios casos.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 30
30 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
(i) a n, donde n es un entero positivo
La figura 11 ilustra las gráficas de f x x n para n 1, 2, 3, 4 y 5. (Éstos son poli-
nomios con un solo término.) Ya conoce la forma de las gráficas de y x (una línea a
través del origen con pendiente 1) y y x 2 [una parábola, véase el ejemplo 2(b) en
la sección 1.1].
y=≈ y=x # y=x$ y=x%
y y y y y
y=x
1 1 1 1 1
0 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
1
FIGURA 11 Gráficas de f(x) = xn para n = 1, 2, 3, 4, 5
La forma general de la gráfica de f x x n depende de si n es par o impar. Si n es
par, entonces f x x n es una función par y su gráfica es semejante a la de la parábola
y x 2. Si n es impar, entonces f x x n es una función impar y su gráfica es similar a la
de y x 3. Sin embargo, observe en la figura 12 que conforme aumenta n, la gráfica se hace
más plana cerca de 0 y más pronunciada cuando x 1. (Si x es pequeña entonces x2
es más pequeña, x3 aún más pequeña, x4 es más pequeña y así sucesivamente.)
y
y
y=x$
(1, 1)
y=x^ y=x#
y=≈
y=x%
(_1, 1) (1, 1)
0 x
0 x (_1, _1)
FIGURA 12
Familias de funciones de potencia
(ii) a 1n, donde n es un entero positivo
La función f x x 1n sn
x es una función raíz. Para n 2 es la función raíz cuadrada
f x sx, cuyo dominio es 0,
y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola
x y 2. [Véase la figura 13(a).] Para otros valores pares de n, la gráfica de y s
n
x es simi-
lar a la de y sx. Para n 3 tenemos la función raíz cúbica f x sx cuyo dominio
3
es (recuerde que todo número real tiene una raíz cúbica) y cuya gráfica se ilustra en la
figura 13(b). La gráfica de y s n
x para n impar n 3 es similar a la de y s 3
x.
y y
(1, 1) (1, 1)
0 x 0 x
FIGURA 13
Gráficas de funciones raíz (a) ƒ=œ„
x (b) ƒ=Œ„
x
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 31
SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 31
y (iii) a 1
y=Δ
En la figura 14 se presenta la gráfica de la función recíproca f x x 1 1x. Su grá-
fica tiene la ecuación y 1x, o xy 1 y es una hipérbola con sus ejes de coordenadas
1 como sus asíntotas. Esta función surge en la física y en la química en conexión con la
0 x ley de Boyle, la cual dice que, cuando la temperatura es constante, el volumen V de un
1
gas es inversamente proporcional a la presión P:
C
V
FIGURA 14
P
La función recíproca
donde C es una constante. En estos términos, la gráfica de V como una función de P (véase
la figura 15) tiene la misma forma general que la mitad derecha de la figura 14.
V
FIGURA 15
El volumen como una función de 0 P
la presión a temperatura constante
En el ejercicio 26 se analiza otra situación en la que se utiliza una función potencia para
modelar un fenómeno físico.
FUNCIONES RACIONALES
Una función racional f es una razón de dos polinomios:
y Px
f x
Qx
20
donde P y Q son polinomios. El dominio consiste de todos los valores de x tales que
Qx 0. Un ejemplo sencillo de una función racional es la función f x 1x, cuyo
2 0 x
2
dominio es x x 0; esto es la función recíproca que se dibuja en la figura 14. La
función
2x 4 x 2 1
f x
FIGURA 16
x2 4
2x$-≈+1
ƒ=
≈-4
es una función racional con dominio x x 2. En la figura 16 se ilustra su gráfica.
FUNCIONES ALGEBRAICAS
Si una función puede construirse usando operaciones algebraicas (como suma, resta, multi-
plicación y obtención de raíces) se le llama función algebraica. Cualquier función racional
automáticamente es una función algebraica. A continuación dos ejemplos más:
x 4 16x 2
f x sx 2 1 tx x 2s
3
x1
x sx
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 32
32 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
Cuando trace funciones algebraicas en el capítulo 4, verá que sus gráficas adoptan diversas
formas. La figura 17 ilustra algunas de las posibilidades.
y y y
2
_3 x
1
1 1
0 5 x 0 x
1
FIGURA 17 (a) ƒ=xœ„„„„
x+3 (b) ©=$œ„„„„„„
≈-25 (c) h(x)=x@?#(x-2)@
En la teoría de la relatividad surge un ejemplo de funciones algebraicas. La masa de una
partícula con velocidad v, es
m0
m f v
s1 v 2c 2
donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c 3.0 10 5 kms es la rapidez de la luz
en el vacío.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
& Las páginas de referencia RP están
La trigonometría y las funciones trigonométricas se repasan en la página de referencias 2 y
localizadas al final del libro. también en el apéndice D. En el cálculo la convención es que siempre se utiliza la me-
dida en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando se usa la
función f x sen x , se supone que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en ra-
dianes es x. Por consiguiente, las gráficas de las funciones seno y coseno son como las que
se ilustran en la figura 18.
y y
π
1 3π π 1
_ _
2 2 _π 2 π 3π
_π 0 π π 2π 5π 3π x 0 π 3π 2π 5π x
_1 2 2 _1 2 2 2
(a) ƒ=sen x (b) ©=cos x
FIGURA 18
Observe que tanto para la función seno como coseno el dominio es
,
y el alcance
es el intervalo cerrado 1, 1
. En estos términos, para todos los valores de x, se tiene
1 sen x 1 1 cos x 1
o, en términos de valores absolutos,
sen x 1 cos x 1
Además, los ceros de las funciones seno surgen en múltiplos enteros de p; es decir,
sen x 0 donde x np n es un número positivo
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 33
SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 33
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perió-
dicas y tienen periodos 2p. Esto significa que para todas las funciones de x,
senx 2
sen x cosx 2
cos x
La naturaleza periódica de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos repe-
titivos como por ejemplo las mareas, los resortes vibratorios y las ondas sonoras. En el caso
del ejemplo 4 de la sección 1.3, verá que un modelo razonable para el número de horas de luz
en Filadelfia t días después del 1 de enero está dado por la función
Lt 12 2.8 sen 2
365
t 80
y La función tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la
ecuación
sen x
1 tan x
cos x
3π _π π 0 π π 3π x
_ _
2 2 2 2
y su gráfica se muestra en la figura 19. Es indefinida siempre que cos x 0, es decir, cuan-
do x
2, 3
2, . . . . Su intervalo es
,
. Observe que la función tangente tiene
periodos p:
FIGURA 19 tanx
tan x para toda x
y=tan x
Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son
recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente. Sus gráficas se ilustran en el apén-
dice D.
FUNCIONES EXPONENCIALES
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f x a x, donde la base a es
una constante positiva. En la figura 20 se muestran las gráficas de y 2 x y y 0.5 x. En
ambos casos el dominio es
,
y 0,
es el intervalo.
y y
1 1
0 1 x 0 1 x
FIGURA 20 (a) y=2® (b) y=(0.5)®
En la sección 1.5 se estudiarán las funciones exponenciales con mayores detalles y verá
que resultan útiles para modelar muchos fenómenos naturales, como por ejemplo el creci-
miento de la población (si a 1) y el decaimiento radiactivo (si a 1.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 34
34 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
y FUNCIONES LOGARÍTMICAS
y=log™ x
y=log£ x Las funciones logarítmicas f x log a x, donde la base a es una constante positiva,
1
son las inversas de las funciones exponenciales. Las primeras se estudian en la sec-
ción 1.6. En la figura 21 se muestran las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con
varias bases. En cada caso el dominio es 0,
, el intervalo es
,
, y la función crece
0 1 x lentamente cuando x 1.
y=log∞ x
y=log¡¸ x
FUNCIONES TRASCENDENTES
Estas funciones no son algebraicas. El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonométrica, la trigonométrica inversa, exponencial y logarítmica, además comprende un
FIGURA 21 buen número de otras funciones que nunca han recibido nombre. En el capítulo 11 se ana-
lizarán las funciones trascendentes que se definen como sumas de series infinitas.
EJEMPLO 5 Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos de funciones recién
analizadas.
(a) f x 5 x (b) tx x 5
1x
(c) hx (d) ut 1 t 5t 4
1 sx
SOLUCIÓN
(a) f x 5 x es una función exponencial. (La x es el exponente.)
(b) tx x 5 es una función potencia. (La x es la base.) Podría considerar también que
es un polinomio de grado 5.
1x
(c) hx es una función algebraica.
1 sx
(d) ut 1 t 5t 4 es un polinomio de grado 4.
1.2 EJERCICIOS
1–2 Clasifique cada función como función potencia, función raíz, 3–4 Haga coincidir cada ecuación con su gráfica. Explique
polinomio (señale su grado), función racional, función algebraica, fun- sus selecciones. (No use una computadora ni una calculadora
ción trigonométrica, función exponencial o función logarítmica. graficadora.)
1. (a) f x s
5
x (b) tx s1 x 2 3. (a) y x 2 (b) y x 5 (c) y x 8
y
x2 1 g
(c) hx x 9 x 4 (d) rx h
x3 x
(e) sx tan 2x (f) t x log10 x
x6 x2
2. (a) y (b) y x 0 x
x6 sx 1
(c) y 10 x (d) y x 10 f
(e) y 2t 6 t 4
(f) y cos sen
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 35
SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 35
4. (a) y 3x (b) y 3 x 12. El gerente de un bazar de fin de semana sabe con base en
(c) y x 3
(d) y s
3
x experiencias anteriores que si cobra x dólares por la renta
y de espacio en el bazar, entonces el número y de espacios
F
que puede rentar está dado por la ecuación y 200 4x.
(a) Trace una gráfica de esta función lineal. (Recuerde
que la renta que se cobra por espacio y el número de
g espacios que pueden rentarse no pueden ser cantidades
negativas.)
f (b) ¿Qué representan la pendiente, la ordenada al origen y y la
intersección x de la gráfica?
x
13. La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit F y
Celsius C está dada por la función lineal F 5 C 32.
9
G
(a) Trace una gráfica de esta función.
(b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? ¿Cuál
5. (a) Encuentre una ecuación para la familia de funciones linea-
les con pendiente 2 y trace la gráfica de varios miembros es la intersección de F y qué representa?
de la familia.
14. Jason sale de Detroit a las 2:00 P.M. y conduce con rapidez
(b) Halle una ecuación para la familia de funciones lineales tal
constante hacia el oeste a lo largo de la carretera I-96. Pasa por
que f 2 1 y dibuje varios miembros de la familia.
Ann Arbor, a 40 millas de Detroit a las 2:50
(c) ¿Qué función pertenece a ambas familias?
(a) Exprese la distancia recorrida en términos del tiempo trans-
6. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de fun-
currido.
ciones lineales f x 1 mx 3? Trace la gráfica de varios (b) Dibuje la gráfica de la ecuación del inciso (a).
miembros de la familia. (c) ¿Cuál es la pendiente de esta línea? ¿Qué representa?
7. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de fun-
ciones lineales f x c x? Trace la gráfica de varios miem- 15. Los biólogos han notado que la cantidad de chirridos que
bros de la familia. emiten los grillos de cierta especie está relacionada con la tem-
peratura y la correspondencia parece ser casi lineal. Un grillo
8. Halle las expresiones para las funciones cuadráticas cuyas
produce 113 chirridos por minuto a 70F y 173 chirridos por
gráficas son mostradas.
minuto a 80F.
y y
(_2, 2) (a) Encuentre una ecuación lineal que modele la tempera-
f tura como una función del número de chirridos por
(0, 1)
minuto N.
(4, 2) 0 x (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Qué representa?
g
(c) Si los grillos están chirreando a 150 chirridos por minuto,
0 3 x (1, _2.5)
estime la temperatura.
9. Hallar una expresión para una función cúbica f si f(1) 6 y
16. El gerente de una fábrica de muebles encontró que cuesta 2 200
f(1) f(0) f(2) 0.
dólares fabricar 100 sillas en un día y 4 800 dólares producir
10. Estudios recientes indican que la temperatura superficial de la 300 en un día.
Tierra se ha estado incrementando de manera firme. Algunos
(a) Exprese el costo como una función del número de sillas
científicos han modelado la temperatura mediante la función
que se producen, suponiendo que es lineal. Luego trace la
lineal T 0.02t 8.50, donde T es la temperatura en °C y t
gráfica.
representa años desde 1900.
(b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa?
(a) ¿Qué representa la pendiente y la intersección a T? (c) ¿Cuál es la intersección de y de la gráfica y qué
(b) Utilice la ecuación para predecir la temperatura superficial representa?
global al promedio al 2100.
11. Si la dosificación recomendada para un adulto de una droga es 17. En la superficie del océano la presión del agua es la misma que
D (en mg), entonces, para establecer la dósis apropiada c la presión del aire por arriba del agua, 15 lbpulg2. Por debajo
para un infante de edad a, el químico farmacéutico utiliza la de la superficie, la presión del agua aumenta en 4.34 lbpulg2
ecuación c 0.0417D(a 1). Considere que la dósis para un por cada 10 pies de descenso.
adulto es 200 mg. (a) Exprese la presión del agua como función de la profundi-
(a) Hallar la pendiente de la gráfica de c. ¿Qué representa? dad por debajo de la superficie del océano.
(b) ¿Cuál es la dósis para un recién nacido? (b) ¿A qué profundidad es 100 lbpulg2 la presión?
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 36
36 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
18. El costo mensual de conducir un automóvil depende del número (b) Halle y dibuje un modelo lineal utilizando el primero y el
de millas que se recorran. Lynn encontró que en el mes de ma- último puntos de información.
yo recorrer 480 millas le costó 380 dólares y en junio le costó (c) Encuentre y dibuje la línea de regresión por mínimos cua-
460 dólares recorrer 800 millas.
drados.
(a) Exprese el costo mensual C como una función de la distan-
cia recorrida d, suponiendo que la correspondencia lineal (d) Utilice el modelo lineal del inciso (c) para estimar la inci-
provee un modelo adecuado. dencia de úlcera para un ingreso de 25 000 dólares.
(b) Utilice el inciso (a) para predecir el costo de conducir 1 500 (e) Según el modelo, ¿qué tan probable es que alguien que perci-
millas por cada mes. be un ingreso de 80 000 dólares sufra úlcera péptica?
(c) Trace la gráfica de la función lineal. ¿Qué representa la
(f) ¿Cree usted que sería razonable aplicar el modelo a alguien
pendiente?
que tiene un ingreso de 200 000 dólares?
(d) ¿Qué representa la intersección de y?
(e) ¿Por qué una función lineal proporciona un modelo apro-
piado en esta situación? ; 22. Los biólogos han observado que la cantidad de chirridos que
emiten los grillos de cierta especie parece estar relacionada con
19–20 Determine, para cada una de las gráficas de dispersión, qué la temperatura. La tabla muestra la cantidad de chirridos para
tipo de función elegiría como modelo para la información. Expli- distintas temperaturas.
que sus elecciones.
19. (a) (b)
y y Temperatura Cantidad de chirridos Temperatura Cantidad de chirridos
(°F) (chirridosminuto) (°F) (chirridosminuto)
50 20 75 140
55 46 80 173
60 79 85 198
65 91 90 211
70 113
0 x 0 x
20. (a) (b) (a) Realice una gráfica de dispersión de la información.
y y (b) Encuentre y dibuje la línea de regresión.
(c) Use el modelo lineal de la parte (b) para estimar la cantidad
de chirridos a 100F.
; 23. La tabla proporciona las alturas ganadoras en las competen-
cias de salto con garrocha de los Juegos Olímpicos durante
el siglo XX.
0 x 0 x
Año Altura (pies) Año Altura (pies)
1900 10.83 1956 14.96
; 21. La tabla muestra las tasas de incidencia de úlcera péptica (a lo
1904 11.48 1960 15.42
largo de toda la vida) respecto del ingreso de diversas familias
1908 12.17 1964 16.73
(por cada 100 habitantes) según reportó el National Health
1912 12.96 1968 17.71
Interview Survey (Encuesta Nacional de Salud por medio de 1920 13.42 1972 18.04
Entrevistas) en 1989. 1924 12.96 1976 18.04
1928 13.77 1980 18.96
Incidencia de úlcera 1932 14.15 1984 18.85
Ingreso (por cada 100 habitantes) 1936 14.27 1988 19.77
$4 000 14.1 1948 14.10 1992 19.02
$6 000 13.0 1952 14.92 1996 19.42
$8 000 13.4
$12 000 12.5 (a) Dibuje una gráfica de dispersión y determine si un modelo
$16 000 12.0 lineal es adecuado.
$20 000 12.4
$30 000 10.5 (b) Encuentre y dibuje la línea de regresión.
$45 000 9.4 (c) Utilice el modelo lineal para predecir la altura del salto con
$60 000 8.2 garrocha ganador en los Juegos Olímpicos del año 2000 y
compárelo con la altura ganadora real de 19.36 pies.
(a) Trace una gráfica de dispersión y determine si es adecuado un (d) ¿Es razonable usar el modelo para predecir las alturas ven-
modelo lineal. cedoras en los Juegos Olímpicos del año 2100?
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 37
SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 37
; 24. Un estudio que realizó la U.S. Office of Science and Technology ; 26. La tabla muestra las distancias medias (promedio) d de los pla-
(Oficina de Ciencia y Tecnología de Estados Unidos) en 1972 netas al Sol (suponiendo que la unidad de medida es la distan-
estimó el costo (en dólares de 1972) de reducir el costo de las cia de la Tierra al Sol) y sus periodos T (tiempo de revolución
emisiones de vehículos automotores en ciertos porcentajes: en años).
Reducción de Costo por vehículo Reducción de Costo por vehículo
Planeta d T
emisiones (%) (en dólares) emisiones (%) (en dólares)
Mercurio 0.387 0.241
50 45 75 90
55 55 80 100 Venus 0.723 0.615
60 62 85 200 Tierra 1.000 1.000
65 70 90 375 Marte 1.523 1.881
70 80 95 600 Júpiter 5.203 11.861
Encuentre un modelo que capte la tendencia de “rendimientos Saturno 9.541 29.457
decrecientes” de esta información. Urano 19.190 84.008
Neptuno 30.086 164.784
; 25. Utilice la información que aparece en la tabla para modelar la
población del mundo en el siglo XX por medio de una función cú-
bica. Utilice enseguida su modelo para estimar la población en el
(a) Haga que un modelo de potencias coincida con la
año 1925.
información.
Población Población (b) La tercera ley de Kepler del movimiento planetario esta-
Años (millones) Años (millones) blece que
1900 1 650 1960 3 040
“El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es
1910 1 750 1970 3 710
proporcional al cubo de su distancia media
1920 1 860 1980 4 450
respecto del Sol.”
1930 2 070 1990 5 280
1940 2 300 2000 6 080
1950 2 560 ¿El modelo que formuló corrobora la tercera ley de
Kepler?
1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS
Esta sección inicia con las funciones básicas analizadas en la sección 1.2 para obtener
funciones nuevas mediante el desplazamiento, el alargamiento y la reflexión de sus gráfi-
cas. También es mostrará cómo combinar pares de funciones por medio de operaciones
aritméticas estándar o por composición.
TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES
Al aplicar ciertas transformaciones a la gráfica de una función dada, puede obtener las gráfi-
cas de ciertas funciones relacionadas. Esto le proporcionará la habilidad para trazar a ma-
no las gráficas de muchas funciones. Además le permitirá escribir ecuaciones para gráficas
conocidas. En primer lugar, se considera las traslaciones. Si c es un número positivo, enton-
ces la gráfica de y f x c es precisamente la de y f x desplazada hacia arriba una
distancia de c unidades (ya que a cada coordenada y se incrementa el mismo número c). Del
mismo modo, si tx f x c, donde c 0, entonces el valor de t en x es el mismo
que el valor de f en x c (c unidades a la izquierda de x). En consecuencia, la gráfica de
y f x c es precisamente la de y f x desplazada c unidades a la derecha (véase la
figura 1).
DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES Suponga que c 0. Para obtener la
gráfica de
y fx c, se desplaza la gráfica de y fx una distancia de c unidades hacia arriba
y fx c, se desplaza la gráfica de y fx una distancia de c unidades hacia abajo
y fx c, se desplaza la gráfica de y fx una distancia de c unidades hacia la derecha
y fx c, se desplaza la gráfica de y fx una distancia de c unidades hacia la izquierda
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 38
38 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
y y
y=ƒ+c y=cƒ
(c>1)
c y=f(_x)
y=f(x+c) y =ƒ y=f(x-c)
y=ƒ
c c y= 1c ƒ
0 c x 0 x
y=ƒ-c
y=_ƒ
FIGURA 1 FIGURA 2
Traslación de la gráfica de f Alargamiento y reflexión de la gráfica de f
Considere ahora las transformaciones de alargamiento y reflexión. Si c 1, entonces
la gráfica de y cf x es la de y f x alargada en el factor c en la dirección vertical
(porque cada coordenada y se multiplica por el mismo número c) La gráfica de y f x es
la de y f x reflejada respecto al eje x, porque el punto x, y reemplaza al punto x, y.
(Véase la figura 2 y la tabla a continuación, donde también se dan los resultados de otras trans-
formaciones de alargamiento, compresión y reflexión.)
ALARGAMIENTOS Y REFLEXIONES VERTICALES Y HORIZONTALES Suponga que c 1. Para
obtener la gráfica de
y cf x, alárguese la gráfica de y f x verticalmente en un factor de c
y 1cf x, comprímase la gráfica de y f x verticalmernte en un factor de c
y f cx, comprímase la gráfica de y f x horizontalmente en un factor de c
y f xc, alárguese la gráfica de y f x horizontalmente en un factor de c
y f x, refléjese la gráfica de y f x respecto al eje x
y f x, refléjese la gráfica de y f x respecto al eje y
La figura 3 ilustra estas transformaciones de alargamiento cuando se aplican a la fun-
ción coseno con c 2. Por ejemplo, para obtener la gráfica de y 2 cos x multiplique
la coordenada y de cada punto en la gráfica de y cos x por 2. Esto significa que la grá-
fica de y cos x se alarga en dirección vertical por un factor de 2.
y y=2 cos x y
2 y=cos x 2 y=cos 1 x
2
1 1
y= cos x 1
2
0 x 0 x
y=cos x
FIGURA 3 y=cos 2x
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 39
SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 39
V EJEMPLO 1 Dada la gráfica de y x, use las transformaciones para dibujar
y sx 2, y sx 2, y sx, y 2sx y y sx.
SOLUCIÓN En la figura 4(a) aparece la gráfica de la función raíz cuadrada y sx, que se
obtuvo de la figura 13(a) en la sección 1.2. En las otras partes de la figura, se ha trazado
y sx 2 al desplazarla 2 unidades hacia abajo; y sx 2 al desplazarla 2 unidades
hacia la derecha; y sx al reflejarla respecto al eje x; y 2sx al alargarla vertical-
mente un factor de 2, y y sx al reflejarla respecto al eje y.
y y y y y y
1
0 1 x 0 x 0 2 x 0 x 0 x 0 x
_2
(a) y=œ„x (b) y=œ„-2
x (c) y=œ„„„„
x-2 (d) y=_ œ„x (e) y=2 œ„x (f ) y=œ„„
_x
FIGURA 4
EJEMPLO 2 Dibuje la función f (x) x 2 6x 10.
SOLUCIÓN Al completar el cuadrado, escriba la ecuación de la gráfica como
y x 2 6x 10 x 32 1
Esto quiere decir que obtiene la gráfica deseada si parte de la parábola y x 2 y la
desplaza 3 unidades a la izquierda y, a continuación, 1 unidad hacia arriba (véase
la figura 5).
y y
(_3, 1) 1
0 x _3 _1 0 x
FIGURA 5 (a) y=≈ (b) y=(x+3)@+1
EJEMPLO 3 Trace las gráficas de las funciones siguientes:
(a) y sen 2x (b) y 1 sen x
SOLUCIÓN
(a) Obtiene la gráfica de y sen 2x a partir de la de y sen x, si la comprime horizon-
talmente un factor de 2 (véase las figuras 6 y 7). De modo que, mientras el periodo de
y sen x es 2p, el periodo de y sen 2x es 2p/2 p.
y y
y=sen x y=sen 2 x
1 1
0 π π x 0 π π π x
2 4 2
FIGURA 6 FIGURA 7
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 40
40 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
(b) Para obtener la gráfica de y 1 sen x, una vez más empiece con y sen x. La
refleja con respecto al eje x, para obtener la gráfica de y sen x y, a continuación,
desplácela 1 unidad hacia arriba para obtener y 1 sen x (véase la figura 8).
y
y=1-sen x
2
1
0 π π 3π 2π x
FIGURA 8 2 2
EJEMPLO 4 La figura 9 muestra gráficas del número de horas de luz diurna como funcio-
nes de la época del año en diversas latitudes. Dado que la ciudad de Filadelfia está ubica-
da a 40° de latitud N, encuentre una función que modele la duración de la luz diurna en la
ciudad mencionada.
20
18
16
14
12
20° N
Horas 10 30° N
40° N
8 50° N
6
FI GURA 9 60° N
Gráfica de la duración de la 4
luz diurna del 21 de marzo al
2
21 de diciembre en diversas latitudes
Fuente: Lucia C. Harrison, Daylight, Twilight, Darkness and Time 0
(New York: Silver, Burdett, 1935) página 40. Mar. Abr. May Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic.
SOLUCIÓN Observe que cada curva se parece a una función seno desplazada y alargada. Al
observar la curva de color azul parece que, en la latitud de Filadelfia, la luz diurna dura
alrededor de 14.8 horas el 21 de junio y 9.2 horas el 21 de diciembre, de manera que la
amplitud de la curva (el factor por el cual debe alargar la curva seno verticalmente) es
2 14.8 9.2 2.8.
1
¿Por qué factor necesita alargar la curva seno horizontalmente si mide el tiempo t en
días? Debido a que en un año hay 365 días, el periodo del modelo debe ser 365 días.
Pero el periodo de y sen t es 2p, por consiguiente el factor de alargamiento horizontal
es c 2p/365.
Se observa también que la curva inicia su ciclo el 21 de marzo, el 80o. día del año, de
modo que desplace la curva 80 unidades hacia la derecha. Además, la desplaza 12
unidades hacia arriba. En consecuencia, modele la duración de la luz diurna en Filadelfia
sobre el t-ésimo. día del año mediante la función
Lt 12 2.8 sen 2
365
t 80
Otra transformación de cierto interés es tomar el valor absoluto de una función. Si
y f x , entonces, según la definición de valor absoluto, y f x cuando f x 0
y y f x cuando f x 0. Esto dice cómo obtener la gráfica de y f x a partir
de la gráfica de y f x: la parte de la gráfica que se encuentra arriba del eje x sigue
siendo la misma; la sección debajo del eje x se refleja respecto a este eje.
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 41
SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 41
y V EJEMPLO 5
Dibuje la función y x 2 1 .
SOLUCIÓN En primer lugar, dibuje la parábola y x 2 1 de la figura 10(a) desplazando la
parábola y x2 hacia abajo 1 unidad. La gráfica se encuentra debajo del eje x cuando
1 x 1, de modo que reflejamos esa parte de la gráfica respecto al eje x para obtener
_1 0 1 x
la gráfica de y x 2 1 de la figura 10(b)
COMBINACIONES DE FUNCIONES
(a) y=≈-1
Se pueden combinar las dos funciones f y t para formar funciones nuevas f t, f t, ft y
ft de manera semejante a la que aplica para sumar, restar, multiplicar y dividir números
y reales. Se definen la suma y resta de funciones mediante
f tx f x tx f tx f x tx
_1 0 1 x Si el dominio de f es A y el de t es B, entonces el dominio de f t es la intersección
A B porque tanto f x y tx estan definidas. Por ejemplo, el dominio de f x sx es
A 0,
y el dominio de tx s2 x es B
, 2
, de esa manera, el dominio de
(b) y=| ≈-1 | f tx sx s2 x es A B 0, 2
De manera análoga, se definen el producto y el cociente mediante
FIGURA 10
f t x f x tx f
t
x
f x
tx
El dominio de ft es A B, pero, como no se puede dividir entre 0, el dominio de ft es
x A B t x 0. Por ejemplo, si f x x2 y tx x 1, entonces, el dominio
de la función racional f gx x2x 1 es xx 1, o bien
,1 1,
.
Existe otra manera de combinar dos funciones, para obtener una función nueva. Por
ejemplo, considere que y fu su y u gx x2 1. Ya que y es una función de
u y u es función de x, se sigue que y es finalmente función de x. Calculamos esto por
sustitución
y f u f(gx f x2 1 sx2 1
x (entrada)
El procedimiento se denomina composición porque la función nueva es compuesta de las
dos funciones conocidas f y t.
En general, conocidas dos funciones cualesquiera f y t, inicie con un número x en el
g dominio de t y halle su imagen g x. Si este número g x está en el dominio de f, entonces
puede calcular el valor de f gx. El resultado es una función nueva hx fgx que se
obtiene al sustituir t en f. Esto se denomina composición (o composite) de f y t y se señala
© f•g mediante f t (“ f círculo t”)
f DEFINICIÓN Conocidas dos funciones f y t, la función compuesta f t (también
denominada la composición de f y t) se define mediante
f tx fgx
f { ©} (salida)
FI GURA 1 1
El dispositivo f • g está constituido El dominio de f t es el conjunto de todas las x en el dominio de t tal que g x está en
del dispositivo g (primero) y el dominio de f . En otras palabras, f tx está definida cada vez que g x y f gx estén
en seguida el dispositivo f. definidas. La figura 11 exhibe cómo describir f t en términos de dispositivos.
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 42
42 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
EJEMPLO 6 Si f x x 2 y tx x 3, encuentre las funciones compuestas f t
y t f.
SOLUCIÓN Tiene
f tx f tx f x 3 x 32
t f x t f x tx 2 x 2 3
| NOTA Con base en el ejemplo 7 puede ver que, en general, f t t f . Recuerde, la
notación f t significa que primero se aplica la función t y luego f. En el ejemplo 6, f t
es la función que primero resta 3 y a continuación eleva al cuadrado; t f es la función
que en primer lutar eleva al cuadrado y lueto resta 3.
V EJEMPLO 7 Si f x sx y tx s2 x, encuentre cada función y su dominio.
(a) f t (b) t f (c) f f (d) t t
SOLUCIÓN
(a) f tx f tx f (s2 x ) ss2 x s
4
2x
El dominio de f t es x 2 x 0 x x 2
, 2
.
(b) t f x t f x t(sx ) s2 sx
Para que sx esté definida, debe tener x 0. Para que s2 sx esté definida debe
Si 0 a b , entonces a 2 b 2 . tener 2 sx 0, es decir, sx 2, o bien, x 4. Por esto, tiene 0 x 4, así el
dominio de t f es el intervalo cerrado 0, 4
.
(c) f f x f f x f (sx ) ssx s
4
x
El dominio de f f es 0,
.
(d) t tx ttx t(s2 x ) s2 s2 x
Esta expresión se define cuando 2 x 0 y 2 s2 x 0. La primera desigualdad
significa que x 2, y la segunda es equivalente a s2 x 2, o 2 x 4, o bien
x 2. En estos términos 2 x 2, de esta manera el dominio de t t es el inter-
valo cerrado 2, 2
.
Es posible tomar la composición de tres o más funciones. Por ejemplo, la función com-
puesta f t h se encuentra al aplicar primero h, a continuación t y, luego, f, como sigue:
f t hx f thx
EJEMPLO 8 Encuentre f t h si f x xx 1, tx x 10 y hx x 3.
SOLUCIÓN f t hx f thx f tx 3
x 310
f x 310
x 310 1
Hasta ahora, ha usado la composición para construir funciones complicadas a partir
de otras más sencillas. Pero en cálculo a menudo resulta útil descomponer una función
complicada en otras más sencillas, como en el ejemplo siguiente.
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 43
SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 43
EJEMPLO 9 Dada Fx cos2x 9, encuentre las funciones f, t y h tales que
F f t h.
SOLUCIÓN Como Fx cosx 9
2, la fórmula dada para F dice: primero sume 9,
después tome el coseno del resultado y, por último, eleve al cuadrado. De modo que
hx x 9 tx cos x f x x 2
Entonces
f t hx f thx f tx 9 f cosx 9
cosx 9
2 Fx
1.3 EJERCICIOS
(c) y 2 f x (d) y 2 f x 3
1
1. Suponga que se da la gráfica de f. Escriba las ecuaciones para
las gráficas que se obtienen a partir de la gráfica de f, como se
indica a continuación. y
(a) Desplácela 3 unidades hacia arriba.
(b) Desplácela 3 unidades hacia abajo.
(c) Desplácela 3 unidades a la derecha.
(d) Desplácela 3 unidades a la izquierda. 1
(e) Refléjela respecto al eje x.
0 1 x
(f) Refléjela respecto al eje y.
(g) Alárguela verticalmente un factor de 3.
(h) Contráigala verticalmente un factor de 3. 5. Se da la gráfica de f. Úsela para trazar la gráfica de las funcio-
nes siguientes.
2. Explique cómo se obtienen las gráficas siguientes a partir de la (a) y f 2x (b) y f ( 12 x)
gráfica de y f x. (c) y f x (d) y f x
(a) y 5 f x (b) y f x 5
(c) y f x (d) y 5 f x y
(e) y f 5x (f) y 5 f x 3
1
3. Se da la gráfica de y f x. Haga que coincida cada ecuación
0 1 x
con su gráfica y mencione los motivos de sus elecciones.
(a) y f x 4 (b) y f x 3
(c) y 13 f x (d) y f x 4
6–7 Se da la gráfica de y s3x x 2 . Use transformaciones para
(e) y 2 f x 6
crear una función cuya gráfica sea como la que se ilustra.
y
@ ! y
6
y=œ„„„„„„
3x-≈
1.5
f #
3
0 3 x
$
0 x y y
_6 _3 3 6
6. 7.
3
_4 0 x
_1
_3 _1
%
_2.5
4. Se da la gráfica de f. Dibuje las gráficas de las funciones 0 2 5 x
siguientes.
(a) y f x 4 (b) y f x 4
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 44
44 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
8. (a) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y 2 sen x con la gráfica 29–30 Encuentre f t, f t, f t y ft y establezca sus dominios.
de y sen x? Use su respuesta y la figura 6(a) para grafi-
29. f x x 2x , tx 3x 2 1
3 2
car y 2 sen x.
(b) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y 1 sx con la gráfi- 30. f x s3 x , tx sx2 1
ca de y sx ? Use su respuesta y la figura 4(a) para gra-
ficar y 1 sx.
31–36 Encuentre las funciones (a) f t, (b) t f , (c) f f , y
9–24 Dibuje cada función a mano, no por medio de la situación de (d) t t y sus dominios.
puntos, sino a partir de la gráfica de una de las funciones estánda-
res que se dan en la sección 1.2 y, luego, aplicando las transforma- 31. f x x 2 1 tx 2x 1
ciones apropiadas.
32. f x 1 2 , tx x2 3x 4
9. y x 3
10. y 1 x 2
33. f x 1 3x , tx cos x
11. y x 1 2
12. y x 4x 3
2
34. f x sx , gx s
3
1x
13. y 1 2 cos x 14. y 4 sen 3x
1 x1
35. f x x , tx
1 x x2
15. y sen x2 16. y
x4
x
36. f x , tx sen 2x
17. y sx 3 18. y x 24 3 1x
19. y 2 x 2 8x 20. y 1 s x1
1 3
37–40 Encuentre f t h.
2 1
21. y 22. y tan x
x1 4 4 37. f x x 1 , tx 2x , hx x 1
38. f x 2x 1 , tx x , hx 1 x
2
23. y sen x 24. y x 2 2 x
39. f x sx 3 , tx x 2 , hx x3 2
25. La ciudad de Nueva Orleáns está ubicada a una latitud 30N. x
40. fx tan x , g x , hx s
3
x
Use la figura 9 para encontrar una función que modele el nú- x1
mero de horas de luz diurna en esa ciudad como función de la
época del año. Para verificar la precisión de su modelo, utilice
el hecho de que el 31 de marzo, en Nueva Orleáns el Sol sale a 41–46 Exprese la función en la forma f t.
las 5:51 A.M. y se pone a las 6:18 P.M.
41. Fx x 2 110 42. Fx sen( sx )
26. Una estrella variable es aquella cuyo brillo aumenta y disminu-
ye alternadamente. Para la estrella variable más cercana Delta sx
3
x
43. Fx 44. Gx 3
Céfida, el tiempo entre periodos de brillo máximo es 5.4 días, 1 sx
3
1x
el brillo promedio (o magnitud) de la estrella es 4.0 y su brillo tan t
varía en una magnitud de 0.35. Halle una función que modele 45. ut scos t 46. ut 1 tan t
el brillo de Delta Céfida como una función del tiempo.
27. (a) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y f ( x ) con la gráfica
de f ?
47–49 Exprese la función en la forma f t h.
(b) Dibuje y sen x .
2
(c) Dibuje y s x . 47. Hx 1 3 x 48. Hx s2
8
x
28. Use la gráfica de f que se dio para dibujar y 1f x. ¿Cuáles 49. Hx sec (sx )
4
características de f son las más importantes para trazar la gráfi-
ca de y 1f x? Explique cómo se usan.
50. Utilice la tabla para evaluar cada expresión
y
(a) f t1 (b) t f 1 (c) f f 1
(d) t t1 (e) t f 3 (f) f t6
1
x 1 2 3 4 5 6
0 1 x
f x 3 1 4 2 2 5
tx 6 3 2 1 2 3
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 45
SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 45
51. Use las gráficas dadas de f y t para evaluar cada expresión, o 57. La función de Heaviside H está definida por
bien, explique por qué no está definida.
(a) f t2
(d) t f 6
(b) t f 0
(e) t t2
(c) f t0
(f) f f 4
Ht 0 si t 0
1 si t 0
Se usa en el estudio de los circuitos eléctricos para representar la
y oleada repentina de corriente eléctrica, o de voltaje, cuando un in-
terruptor se cierra instantáneamente.
g f (a) Dibuje la función de Heaviside.
(b) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el inte-
2
rruptor se cierra en el instante t 0 y se aplican instantá-
neamente 120 volts al circuito. Escriba una fórmula para
0 2 x V(t) en términos de H(t).
(c) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor se cie-
rra en el instante t 5 segundos y se aplican de manera
instantánea 240 volts al circuito. Escriba una fórmula para
52. Use las gráficas dadas de f y t para estimar el valor de f tx V(t) en términos de H(t). (Note que partir de t 5 corres-
para x 5, 4, 3, . . . , 5. Use estas estimaciones para tra- ponde a una traslación.)
zar una gráfica aproximada de f t. 58. La función de Heaviside que se definió en el ejercicio 57 puede
utilizarse también para definir la función rampa y ctH(t), la
y
cual representa un aumento gradual del voltaje o la corriente en
g
un circuito.
1 (a) Dibuje la función rampa y tH(t).
(b) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito si el interruptor se cierra
0 1 x en el instante t 0 y el voltaje se incrementa gradualmente
hasta 120 volts durante un intervalo de 60 segundos. Escriba
f una fórmula para V(t) en términos de H(t), para t 60.
(c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el inte-
rruptor se cierra en el instante t 7 segundos y el voltaje
se incrementa gradualmente hasta 100 volts durante un
53. Se deja caer una piedra en un lago, que crea una ola circular periodo de 25 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en
que viaja hacia afuera con rapidez de 60 cm/s. términos de H(t), para t 32.
(a) Exprese el radio r de este círculo como función del tiempo
59. Sea f y g funciones lineales con ecuaciones fx m1x b1 y
t (en segundos).
gx m2x b2 . ¿También f g es una función lineal? Si es
(b) Si A es el área de este círculo como función del radio, en-
así, ¿cuál es la pendiente de su gráfica?
cuentre A r e interprétela.
54. Se infla un balón esférico y el radio del mismo se incrementa 60. Si invierte x dolares al 4% de interés compuesto anual, por
en una cantidad de 2 cm/s. lo tanto la cantidad A(x) de la inversios después de un año es
(a) Exprese el radio r del balón como una función del tiempo t A(x) 1.04x. Hallar A A, A A A, y A A A A . ¿Qué
(en segundos). representan estas composiciones? Encontrar una formula
(b) Si V es el volumen del balón como una función del radio, para la composición de n copias de A.
halle V r e interprete 61. (a) Si tx 2x 1 y hx 4x 2 4x 7, encuentre una
función f tal que f t h. (Piense qué operaciones tendrá
55. Un barco se mueve con una rapidez de 30 km/h paralelo al
que efectuar en la formula para t para terminar por obtener
borde recto de la playa. El barco está a 6 km de la playa y pasa
la fórmula para h.)
por un faro al medio día.
(b) Si f x 3x 5 y hx 3x 2 3x 2, encuentre una
(a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una
función t tal que f t h.
función de d, la distancia que el barco recorre desde el
medio día; es decir, hallar f de modo que s f(d) 62. Si f x x 4 y hx 4x 1, encuentre una función tal
(b) Exprese a d como una función de t, el tiempo transcurrido des- que t f h.
de el medio día; es decir, hallar g de tal manera que d g(t)
63. (a) Suponga que f y t son funciones pares. ¿Que puede decir
(c) Hallar f g ¿Qué representa esta función? sobre f t y f t?
56. Un avión vuela con rapidez de 350 mi/h, a una altitud de una (b) ¿Que diría si f y t son impares?
milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el 64. Supongo que f es par y t es impar. ¿Que puede decir sobre ft?
instante t 0
(a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha 65. Suponga que t es una función par y sea h f t. ¿h siempre es
volado como función de t. una función par?
(b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar 66. Suponga que t es una función impar y sea h f t.¿Es h
como función de d. siempre una función impar? ¿Qué pasa si f es impar? ¿Qué
(c) Aplique la composición para expresar s como función de t. pasa si f es par?
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 46
46 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS
En esta sección, se supondrá que tiene acceso a una calculadora graficadora o a una compu-
tadora con software para trazar gráficas. Se dará cuenta de que el uso de uno de esos
aparatos le da capacidad para trazar gráficas de funciones más complicadas y resolver pro-
blemas más complejos de lo que sería posible de otra forma. También encontrará algunas
de las dificultades que se pueden presentar con estas máquinas.
Ambos dispositivos pueden dar gráficas muy exactas de las funciones. Pero, en el ca-
pítulo 4, verá que sólo usando el cálculo puede estar seguro de haber descubierto todos los
aspectos interesantes de una gráfica.
(a, d ) y=d ( b, d ) Una calculadora graficadora o una computadora presentan una parte rectangular de la
gráfica de una función en una ventana de visualización o pantalla, a los cuales se hará re-
fencia simplemente como rectángulo de visualización. La pantalla predeterminada a me-
x=a x=b
nudo da una imagen incompleta o engañosa, de modo que es importante elegir con cuidado
el rectángulo de visualización. Si elige que los valores x varíen desde un valor mínimo de
Xmín a hasta un valor máximo de Xmáx b y que los valores y varíen desde uno míni-
mo de Ymín c hasta uno máximo de Ymáx d, entonces la parte visible de la gráfica se
(a, c ) y=c ( b, c ) encuentra en el rectángulo
FIGURA 1
a, b
c, d
x, y a x b, c y d
La pantalla de [a, b] por [c, d]
que se muestra en la figura 1. A este espacio se le refiere como el rectángulo de visua-
lización de [a, b] por [c, d].
La máquina dibuja la gráfica de una función f de modo muy semejante a como usted lo
haría. Sitúa los puntos de la forma x, f x para un cierto número de valores igualmente
espaciados de x entre a y b. Si un valor x no está en el dominio de f o si f x queda fuera el
rectangulo de visualización, la máquina pasa al valor x siguiente. Une cada punto con el an-
terior para formar una representación de la gráfica de f.
EJEMPLO 1 Dibuje la gráfica de la función f x x 2 3 en cada uno de los siguientes
rectángulos de visualización.
(a) 2, 2
por 2, 2
(b) 4, 4
por 4, 4
(c) 10, 10
por 5, 30
(d) 50, 50
por 100, 1000
2
SOLUCIÓN Para el inciso (a), seleccione el intervalo al establecer Xmín 2, Xmáx 2,
Ymín 2 y Ymáx 2. En la figura 2(a), aparece la gráfica resultante. ¡La pantalla está
en blanco! Un momento de reflexión da la explicación: observe que x 2 0 para toda x,
_2 2
de modo que x 2 3 3 para toda x. Por lo tanto, el intervalo de la función f x x 2 3
es 3,
. Esto significa que la gráfica de f está por completo fuera de la pantalla 2, 2
por 2, 2
.
_2 En la figura 2, también se muestran las gráficas para las pantallas de los incisos (b), (c)
y (d). Observe que obtiene una imagen más completa en los incisos (c) y (d), pero en el
(a) _2, 2
por _2, 2
inciso (d) no se ve con claridad que la intersección con el eje y es 3.
4 30 1000
_4 4
_10 10 _50 50
_4 _5 _100
(b) _4, 4
por _4, 4
(c) _10, 10
por _5, 30
(d) _50, 50
por _100, 1000
FIGURA 2 Gráficas de f(x) = x2 + 3
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 47
SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 47
Con base en el ejemplo 1, la elección de un rectángulo de visualización puede dar lugar
a una gran diferencia en el aspecto de una gráfica. A veces es necesario cambiar a un rec-
tángulo de visualización más grande para obtener una imagen más global de la gráfica. Pe-
ro una pantalla demasiado grande también puede ser engañosa. En el ejemplo siguiente, el
conocimiento del dominio y del intervalo de una función a veces proporciona información
suficiente para seleccionar un buen rectángulo de visualización.
EJEMPLO 2 Determine un rectángulo de visualización apropiada para la función
f x s8 2x 2 y úsela para trazar la gráfica de f.
SOLUCIÓN La expresión para f(x) está definida cuando
8 2x 2 0 &? 2x 2 8 &? x2 4
&? x 2 &? 2 x 2
4
Debido a eso, el dominio de f es el intervalo 2, 2
. Además,
0 s8 2x 2 s8 2s2
2.83
de modo que el alcance de f es el intervalo [0, 2s2 ].
_3 3
Elija el rectángulo de visualización de modo que el intervalo x sea algo mayor que el
_1
dominio y que el intervalo y sea mayor que el alcance. Si lo define en 3, 3
por 1, 4
,
obtiene la gráfica que se muestra en la figura 3.
FIGURA 3
EJEMPLO 3 Dibuje la función y x 3 150x.
5 SOLUCIÓN En este caso, el dominio es , el conjunto de todos los números reales. Eso
no ayuda a seleccionar un rectángulo de visualización. Experimente. Si empieza
con el rectángulo de visualización 5, 5
por 5, 5
, obtiene la gráfica de la figura 4.
Al parecer está en blanco, pero en realidad es casi tan vertical que se mezcla con
_5 5
el eje y.
Si cambia el rectángulo de visualización a 20, 20
por 20, 20
, obtiene la
imagen que se muestra en la figura 5(a). La gráfica parece consistir en rectas verticales,
_5 pero sabe que no es correcto. Si mira con cuidado mientras se traza la gráfica, veá
que ésta sale de la pantalla y vuelve a aparecer durante el proceso. Esto indica que
FIGURA 4
necesita ver más en dirección vertical, de modo que cambie el rectángulo de visualización
a 20, 20
por 500, 500
. En la figura 5(b) aparece la gráfica resultante. Todavía
no revela todas las características principales de la función, de modo que pruebe con
20, 20
por 1 000, 1 000
en la figura 5(c). Ahora tiene más confianza de contar
con un rectángulo de visualización apropiada. En el capítulo 4 será capaz de ver que
la gráfica que se muestra en la figura 5(c) revela todas las características principales
de la función.
20 500 1 000
_20 20 _20 20 _20 20
_20 _500 _1000
(a) ( b) (c)
FIGURA 5 y=˛-150x
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48 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
V EJEMPLO 4 Trace la gráfica de la función f(x) sen 50 x en un rectángulo de visua-
lización apropiada.
SOLUCIÓN En la figura 6(a) se ilustra la gráfica de f producida por una calculadora grafica-
dora usando un rectángulo de visualización 12, 12
por 1.5, 1.5
. A primera vista,
la gráfica parece ser razonable. Pero si cambia el rectángulo de visualización a las que
se presentan en las siguientes partes de la figura 6, la gráfica se ve muy diferente. Algo
extraño está pasando.
1.5 1.5
_12 12 _10 10
& El aspecto de las gráficas de la figura 6 _1.5 _1.5
depende de la máquina que se use. Es posible
que las gráficas que obtenga con su dispositivo (a) (b)
graficador no se parezcan a estas figuras, pero
también serán bastante inexactas. 1.5 1.5
_9 9 _6 6
FIGURA 6
Gráfica de f (x) = sen 50 x en cuatro _1.5 _1.5
rectángulos de visualización (c) (d)
Para explicar las grandes diferencias en el aspecto de estas gráficas y hallar un rec-
tángulo de visualización adecuado, necesita hallar el periodo de la función y sen 50 x.
1.5 Puntos que la función y sen x tiene el periodo 2p, y la gráfica de y sen 50 x se
comprime horizontalmente por un factor de 50, el periodo de y sen 50 x es
2
0.126
_.25 .25 50 25
Esto sugiere que sólo debe tratar con valores pequeños de x con el fin de mostrar sólo
unas cuantas oscilaciones de la gráfica. Si elige el rectángulo de visualización 0.25,
_1.5
0.25
por 1.5, 1.5
, obtiene la gráfica que se muestra en la figura 7.
Ahora sabe en dónde estuvo el error en la figura 6. Las oscilaciones de y sen
FIGURA 7
50 x son tan rápidas que cuando la calculadora sitúa los puntos y los une, falla en la ma-
ƒ=sen 50x
yor parte de los puntos máximos y mínimos y, en consecuencia, da una impresión muy
engañosa de la gráfica.
Ha visto que el uso de un rectángulo de visualización inadecuado puede proporcionar
una impresión engañosa de la gráfica de una función. En los ejemplos 1 y 3, resolvió el
problema al cambiar a un rectángulo de visualización más grande. En el ejemplo 4, tuvo
que reducirlo. En el ejemplo siguiente, verá una función para la que no existe un rectángu-
lo de visualización sencilla que revele la verdadera forma de la gráfica.
Trace la gráfica de la función f x sen x 100
1
V EJEMPLO 5 cos 100x .
SOLUCIÓN En la figura 8 aparece la gráfica de f producida por una calculadora graficadora con
el rectángulo de visualización 6.5, 6.5
por 1.5, 1.5
. Se ve muy semejante a la gráfica
de y sen x, pero con algunas protuberancias. Si realiza un acercamiento hacia el rec-
tángulo de visualización 0.1, 0.1
por 0.1, 0.1
, puede ver con mucho mayor claridad
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 49
SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 49
la forma de las protuberancias de la figura 9. La razón de este comportamiento es que el
1
segundo término, 100 cos 100x, es muy pequeño en comparación con el primero, sen x. Así,
en realidad necesita dos gráficas para ver la verdadera naturaleza de esta función.
1.5 0.1
_6.5 6.5 _0.1 0.1
_1.5 _0.1
FIGURA 8 FIGURA 9
1
EJEMPLO 6 Dibuje la gráfica de la función y .
1x
SOLUCIÓN En la figura 10(a) se ilustra la gráfica producida por una calculadora graficadora
con el réctangulo de visualización 9, 9
por 9, 9
. Al unir los puntos sucesivos de la
gráfica, la calculadora produjo un segmento rectilíneo empinado de la parte superior a
la inferior de la pantalla. Ese segmento rectilíneo en verdad no es parte de la gráfica. Note
que el dominio de la función y 1(1 x) es x x 1. Puede eliminar la extraña
recta casi vertical experimentando con un cambio de escala. Cuando cambia al rectángulo
de visualización más pequeño 4.7, 4.7
por 4.7, 4.7
, en esta calculadora en particular,
obtiene la gráfica mucho mejor que aparece en la figura 10(b).
& Otra forma de evitar la recta extraña es 9 4.7
cambiar el modo de trazar las gráficas en
la calculadora, de manera tal que los puntos
no se unan.
_9 9 _4.7 4.7
_9 _4.7
FIGURA 10 (a) (b)
EJEMPLO 7 Trace la gráfica de la función y s
3
x.
SOLUCIÓN Algunos dispositivos graficadores despliegan la gráfica como en la figura 11,
en tanto que otros producen una gráfica como la de la figura 12. Por lo que se vio en la
sección 1.2 (figura 13), sabe que la gráfica de la figura 12 es la correcta; de esa manera,
¿qué sucedió en la figura 11? La explicación es que, algunas máquinas, calculan la raíz
cúbica de x utilizando un logaritmo, en el cual no está definido si x es negativa, así que
sólo se produce la mitad derecha de la gráfica.
2 2
_3 3 _3 3
_2 _2
FIGURA 11 FIGURA 12
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 50
50 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
Usted debe experimentar con su máquina para ver cuál de estas dos gráficas se produ-
ce. Si obtiene la de la figura 11, puede obtener la imagen correcta al trazar la gráfica de
la función
x
f x x 13
x
Note que esta función es igual a s
3
x, excepto cuando x 0.
Para comprender cómo se relaciona la expresión de una función con su gráfica, ayuda
trazar la gráfica de una familia de funciones; es decir, una colección de funciones cu-
yas ecuaciones están relacionadas. En el ejemplo siguiente, se trazan las gráficas de los
miembros de una familia de polinomios.
V EJEMPLO 8 Dibuje y x3 cx para varios valores del número c. ¿Cómo cambia la
gráfica al cambiar c?
SOLUCIÓN En la figura 13 se muestran las gráficas de y x3 cx para c 2, 1, 0, 1 y
2, para valores positivos de c, la gráfica crece de izquierda a derecha sin puntos máximos
ni mínimos (picos o valles). Cuando c 0, la curva es plana en el origen. Cuando c es
TEC En Visual 1.4 puede ver negativo, la gráfica tiene un punto máximo y uno mínimo. Conforme c disminuye, el
una animación de la figura 13 punto máximo se vuelve más alto y el mínimo, más bajo.
(a) y=˛+2x (b) y=˛+x (c) y=˛ (d) y=˛-x (e) y=˛-2x
FIGURA 13
Varios miembros de la familia de EJEMPLO 9 Encuentre la solución de la ecuación cos x x correcta hasta dos cifras de-
funciones y = x3 + cx, se grafican cimales.
todas en el rectángulo de visualización
[2, 2] por [2.5, 2.5] SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación cos x x son las coordenadas x de los puntos de
intersección de las curvas y cos x y y x. En la figura 14(a), se ve que sólo existe
una solución y que se encuentra entre 0 y l. Si se hace un acercamiento al rectángulo
de visualización 0, 1
por 0, 1
, en la figura 14(b) se observa que la raíz está entre
0.7 y 0.8. De modo que al acercarse más hasta el rectángulo de visualización 0.7, 0.8
por 0.7, 0.8
de la figura 14(c). Si mueve el cursor hasta el punto de intersección de
las dos curvas, o por inspección y con base en que la escala x es 0.01, verá que la raíz
de la ecuación es casi de 0.74. (Muchas calculadoras tienen una capacidad de intersección
integrada.)
1.5 1 0.8
y=x
y=cos x
y=cos x
y=x
_5 5 y=x
y=cos x
1 0.8
_1.5 0 0.7
FIGURA 14
Localización de las (a) _5, 5
por _1.5, 1.5
(b) 0, 1
por 0, 1
(c) 0.7, 0.8
por 0.7, 0.8
raíces de cos x = x escala-x=1 escala-x=0.1 escala-x=0.01
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 51
SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 51
1.4 ; EJERCICIOS
1. Mediante una calculadora graficadora o una computadora deter- 24. Use gráficas para determinar cuál de las funciones
mine cuál de los rectángulos de visualización da lugar a la f(x) x4 100x3 y t(x) x3 termina por ser mayor.
gráfica más adecuada de la función f (x) sx3 5x2 .
25. ¿Para cuáles valores de x se cumple que sen x x 0.1 ?
(a) 5, 5
por 5, 5
(b) 0, 10
por 0, 2
26. Trace las gráficas de los polinomios P(x) 3x 5x3 2x y
5
(c) 0, 10
por 0, 10
Q(x) 3x5 en la misma pantalla, usando en primer lugar el
2. Por medio de una calculadora graficadora o una computadora rectángulo de visualización 2, 2
por 2, 2
y luego cambie
determine cuál de los rectángulos de visualización origina la al 10, 10
por 10 000, 10 000
. ¿Qué observa a partir de
gráfica más adecuada de la función f(x) x4 16x2 20. estas gráficas?
(a) 3, 3
por 3, 3
(b) 10, 10
por 10, 10
27. En este ejercicio se considera la familia de las funciones
(c) 50, 50
por 50, 50
(d) 5, 5
por 50, 50
f x s n
x, en donde n es un entero positivo.
(a) Trace las gráficas de las funciones y sx, y s 4
xy
3–14 Determine un rectángulo de visualización adecuado para la y sx en la misma pantalla 1, 4
por 1, 3
.
6
función que se proporciona y úsela para dibujar la gráfica (b) Trace las gráficas de las funciones y x, y s 3
xy
y sx en la misma pantalla, 3, 3
por 2, 2
. (Véase
5
3. f x 5 20x x 2 4. f x x 3 30x 2 200x
el ejemplo 7.)
5. f x s
4
81 x 4 6. f x s0.1x 20 (c) Trace las gráficas de las funciones y sx, y s 3
x, y s
4
x
7. f x x 225x
x y y sx en la misma pantalla 1, 3
por 1, 2
.
5
8. f x
3
x 2 100 (d) ¿A qué conclusiones puede llegar a partir de estas gráficas?
9. f x sen21000x 10. f x cos(0.001x) 28. En este ejercicio se considera la familia de funciones
11. f x sen sx 12. f x sec(20px) f(x) 1xn, en donde n es un entero positivo.
(a) Trace las gráficas de las funciones y 1x y y 1x3 en la
13. y 10 sen x sen 100x 14. y x2 0.002 sen 50x misma pantalla usando el rectángulo de visualización 3,
3
por 3, 3
.
15. Dibuje la elipse 4x2 2y2 1, al trazar las funciones cuyas (b) Trace las gráficas de las funciones y 1x2 y y 1x4 en
gráficas son las mitades superior e inferior de la elipse. la misma pantalla usando el rectángulo de visualización del
inciso (a).
16. Dibuje la hipérbola y2 9x2 1 dibujando las funciones cuyas (c) Trace la gráfica de todas las funciones de los incisos (a) y
gráficas son las ramas superior e inferior de la hipérbola. (b) en la misma pantalla usando el rectángulo de
17–18 ¿Los dibujos cruzan en el rectángulo de visualización que se visualización 1, 3
por 1, 3
.
proporciona? Si es así, ¿cuántos puntos de intersección están ahí?. (d) ¿A qué conclusiones puede llegar a partir de estas gráficas?
29. Dibuje la función f(x) x cx x, para varios valores
4
17. y 3x2 6x 1 , y 0.23x 2.25 ; 1, 3
por 2.5, 1.5
de c. ¿Cómo cambia la gráfica al cambiar c?
18. y 6 4x x2 , y 3x 18 ; 6, 2
por 5, 20
30. Trace la gráfica de la función f x s1 cx 2 , para
diferentes valores de c. Describa cómo influye en la gráfica el
19–21 Encuentre todas las soluciones de la ecuación correcta hasta valor de c variable.
dos cifras decimales.
31. Trace la gráfica de la función y x n 2 x, x 0, para
19. x 3 9x 2 4 0 20. x 3 4x 1 n 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cómo cambia la gráfica al crecer n?
32. Las curvas con ecuaciones
21. x 2 sen x
y
x
sc x 2
22. En el ejemplo 9 se vio que la ecuación cos x x tiene una
solución. se llaman curvas de nariz de bala. Dibuje algunas para
(a) Use una gráfica para demostrar que la ecuación ver por qué este nombre. ¿Qué sucede al crecer c?
cos x 0.3x tiene tres soluciones y encuentre sus 33. ¿Qué sucede a la gráfica de la ecuación y cx x a medida
2 3 2
valores correctos hasta dos cifras decimales. que c varía?
(b) Encuentre un valor aproximado de m tal que la ecuación 34. En este ejercicio se examina el efecto de la función interior t
cos x mx tiene dos soluciones. sobre una función compuesta y f(t(x)).
23. Use gráficas para determinar cuál de las funciones f(x) 10x (a) Trace la gráfica de la función y sen( sx ), usando el rec-
2
y t(x) x310 será mayor en algún momento (es decir, mayor tángulo de visualización 0, 400
por 1.5, 1.5
. ¿Qué di-
cuando x es muy grande). ferencia existe entre esta gráfica y la de la función seno?
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 52
52 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
(b) Trace la gráfica de la función y sen (x2) usando el 36. La primera gráfica que aparece en la figura es la de y sen
rectángulo de visualización 5, 5
por 1.5, 1.5
. ¿Qué 45x según la exhibe una calculadora graficadora TI-83. Es
diferencia existe entre esta gráfica y la de la función seno? inexacta y por eso, para ayudar a explicar su aspecto en la
segunda gráfica se traza la curva de nuevo en la modalidad de
35. La figura muestra las gráficas de y sen 96x y y sen 2x se- puntos.
gún la exhibe una calculadora graficadora TI-83.
0 2π 0 2π 0 2π 0 2π
y=sen 96x y=sen 2x
¿Qué dos curvas seno parece estar graficando la calculadora?
La primera gráfica es inexacta. Explique por qué las dos gráfi- Demuestre que cada punto sobre la gráfica de y sen 45x que
cas parecen ser idénticas. Sugerencia: La ventana de graficación la TI-83 decide dibujar se encuentra de hecho sobre una de es-
de la TI-83 tiene 95 pixeles de ancho.
¿Qué puntos específicos tas dos curvas. (La ventana de graficación de la TI-83 tiene 95
dibuja la calculadora? pixeles de ancho.)
1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES
La función f(x) 2x se denomina función exponencial porque la variable, x, es el expo-
nente. No debe confundirse con la función potencia t(x) x2 en la cual la variable es la
base.
& En el apéndice G aparece un planteamiento En general, una función exponencial es una función de la forma
alterno para las funciones exponencial y
logarítmica empleando cálculo integral.
f x a x
donde a es una constante positiva. Cabe recordar qué significa esto.
Si x n, un entero positivo, entonces
an a a a
n factores
Si x 0, en tal caso a0 1, y si x n, donde n es un entero positivo, entonces
1
a n
an
Si x es un número racional, x pq, donde p y q son enteros positivos y q 0, entonces
p
a x a pq sa (sa )
q p q
y
Pero ¿cuál es el significado de ax si x es un número irracional? ¿Qué quiere decir, por
ejemplo, 2 s3 o 5
?
Para ayudar a responder esta pregunta primero se ve la gráfica de la función y 2x,
donde x es racional. La figura 1 ilustra una representación de esta gráfica. Cabe ampliar
1 el dominio de y 2x para incluir números tanto racionales como irracionales.
En la gráfica de la figura 1 hay huecos que corresponden a valores irracionales de x.
0 1 x Cabe llenar los huecos definiendo f(x) 2x donde x , de modo que f es una función
que se incrementa. En particular, debido a que el número irracional s3 satisface
FIGURA 1
Representación de x racional y=2® 1.7 s3 1.8
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 53
SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 53
debe tener
2 1.7 2 s3 2 1.8
y sabe qué significa 21.7 y 21.8 porque 1.7 y 1.8 son números racionales. De manera aná-
loga, si usa mejores aproximaciones para s3, obtiene mejores aproximaciones para
2 s3:
1.73 s3 1.74 ? 2 1.73 2 s3 2 1.74
1.732 s3 1.733 ? 2 1.732 2 s3 2 1.733
1.7320 s3 1.7321 ? 2 1.7320 2 s3 2 1.7321
1.73205 s3 1.73206 ? 2 1.73205 2 s3 2 1.73206
. . . .
. . . .
. . . .
& Una prueba de este hecho se proporciona en Es posible demostrar que existe exactamente un número que es mayor que todos los nú-
J. Marsden y A. Weinstein, Calculus Unlimited meros
(Menlo Park, CA: BenjaminCummings, 1981.)
Para una versión en línea, vease
2 1.7, 2 1.73, 2 1.732, 2 1.7320, 2 1.73205, ...
www.cds.caltech.edu/~marsden/
volume/cu/CU.pdf
y menor que todos los números
2 1.8, 2 1.74, 2 1.733, 2 1.7321, 2 1.73206, ...
y Defina 2 s3 como este número. Al utilizar el proceso de aproximación anterior puede calcular-
lo correcto hasta seis cifras decimales
2 s3
3.321997
De manera análoga, puede definir 2x (o ax, si a 0) donde x es cualquier número irra-
1
cional. La figura 2 muestra cómo se llenaron todos los huecos en la figura 1 para completar
la gráfica de la función f x 2 x, x .
0 x
1 En la figura 3 se muestran las gráficas de los miembros de la familia de funciones y ax
para distintos valores de la base a. Observe que todas estas gráficas pasan por el mismo
FIGURA 2
punto (0, 1) porque a0 1 para a 0. Note asimismo que a medida que aumenta la base
y=2®, real
a, se incrementa más rápido la función exponencial (para x 0).
® 1 ® y 4®
1
” ’ ” ’ 10® 2®
2 4 1.5®
& Si 0 a 1, después ax se aproxima a
0 conforme x aumenta. Si a 1, entonces ax
se aproxima a 0 a medida que x disminuye a
través de valores negativos. En ambos casos
1®
el eje x es una asíntota horizontal. Estos
aspectos se analizan en la sección 2.6.
0 1 x
FIGURA 3
De la figura 3 puede verse que básicamente existen tres tipos de funciones exponenciales
y ax. Si 0 a 1, disminuye la función exponencial; si a 1, es una constante, y
si a 1, se incrementa. Estos tres casos se ilustran en la figura 4. Observe que si a 1,
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 54
54 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
entonces la función exponencial y a x tiene dominio y rango 0,
. Observe asimismo
que, puesto que 1a x 1a x a x, la gráfica de y 1a x es sólo el reflejo de y ax
con respecto al eje y.
y y y
(0, 1) 1
(0, 1)
0 x 0 x 0 x
(a) y=a®, 0<a<1 (b) y=1® (c) y=a®, a>1
FIGURA 4
En las propiedades siguientes se encuentra un motivo de la importancia de la función
exponencial. Si x y y son números racionales, entonces a partir del álgebra elemental se
conocen bien estas leyes. Es posible probar que siguen siendo verdaderas para números ar-
bitrarios reales x y y. (Vease apéndice G).
www.stewartcalculus.com Para revisar y LEY DE LOS EXPONENTES Si a y b son números positivos y x y y son cualquier núme-
practicar las leyes de exponentes, oprima
ro real, entonces
en Review of Algebra
ax
1. a xy a xa y 2. a xy 3. a x y a xy 4. ab x a xb x
ay
EJEMPLO 1 Trace la gráfica de la función y 3 2x y determine su dominio y su
intervalo.
& Para un repaso de reflexión y
SOLUCIÓN Primero se refleja la gráfica de y 2x [que se ilustra en la figura 5(a)] con res-
desplazamiento de gráficas, vea la sección 1.3. pecto al eje x para obtener la gráfica de y 2x de la figura 5(b). Luego desplace la
gráfica de y 2x tres unidades hacia arriba para obtener la gráfica de y 3 2x
que aparece en la figura 5(c). El dominio es y el intervalo
, 3.
y y y
y=3
2
1
0 x 0 x 0 x
_1
FIGURA 5 (a) y=2® (b) y=_2® (c) y=3-2®
V EJEMPLO 2 Mediante un dispositivo graficador, compare la función exponencial
f(x) 2x y la función potencia t(x) x2. ¿Cuál función aumenta más rápido cuando x
es grande?
SOLUCIÓN La figura 6 muestra ambas funciones trazadas en el rectángulo de visualización
2, 6
por 0, 40
. Observe que las gráficas se intersecan tres veces, pero para x 4 la
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SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 55
gráfica de f(x) 2x permanece por arriba de la gráfica de t(x) x2. La figura 7
proporciona una visión más global y denota que para valores grandes de x, la función
exponencial y 2x aumenta mucho más rápido que la función potencia y x2.
& El ejemplo 2 muestra que y 2x aumenta 40 250
con mayor rapidez que y x2. Para demostrar y=≈
y=2® y=2®
qué tan rápido aumenta f (x) 2x, efectúe
el experimento de pensamiento siguiente.
Suponga que empieza con un trozo de papel
de un milésimo de pulgada de espesor y lo
dobla a la mitad 50 veces. Cada vez que dobla y=≈
el papel a la mitad, el espesor se duplica, por
lo tanto el espesor del trozo resultante sería _2 6 0 8
2501000 pulgadas. ¿Qué tan grueso cree 0
usted que es? Resulta ser ¡más de 17 millones
FIGURA 6 FIGURA 7
de millas!
APLICACIONES DE FUNCIONES EXPONENCIALES
La función exponencial se presenta muy a menudo en los modelos matemáticos de la na-
turaleza y la sociedad. A continuación se indica brevemente cómo surge en la descripción
de crecimiento de la población. En el capítulo 1.3 se abordarán éstas y otras aplicaciones
con mayor detalle.
En primer lugar, considere una población de bacterias en un medio nutriente homogé-
neo. Suponga que al muestrear la población a ciertos intervalos se determina que la población
se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el tiempo t es p(t), donde t se mide
en horas, y la población inicial es p(0) 1000, entonces se tiene
p1 2p0 2 1000
p2 2p1 2 2 1000
p3 2p2 2 3 1000
A partir de este patrón parece ser que, en términos generales,
pt 2 t 1000 10002 t
Esta función de población es un múltiplo constante de la función exponencial y 2t, de
modo que manifiesta el crecimiento rápido que observa en las figuras 2 y 7. En condiciones
ideales (espacio ilimitado así como nutrición y libertad de enfermedades) este crecimiento
exponencial es típico de lo que ocurre en realidad en la naturaleza.
¿Qué sucede con la población humana? La tabla 1 muestra datos respecto de la población
del mundo en el siglo XX y la figura 8 ilustra la gráfica de dispersión correspondiente.
TABLA 1
Población P
Año (millones)
6x10'
1900 1 650
1910 1 750
1920 1 860
1930 2 070
1940 2 300
1950 2 560
1960 3 040
1970 3 710
1980 4 450 1900 1920 1940 1960 1980 2000 t
1990 5 280
2000 6 080 FIGURA 8 Gráfica de dispersión para el crecimiento de la población en el mundo
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 56
56 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
El patrón de los puntos de información que aparece en la figura 8 sugiere crecimiento ex-
ponencial, por eso es conveniente usar una calculadora graficadora con capacidad de regresión
exponencial para aplicar el método de mínimos cuadrados y obtener el modelo exponencial
P 0.008079266 1.013731 t
La figura 9 muestra la gráfica de esta función exponencial con los puntos de información
originales. Observe que la curva exponencial coincide razonablemente bien con los datos.
El periodo de crecimiento relativamente lento de la población se explica mediante las dos
guerras mundiales y la Gran Depresión ocurrida en la década de los trienta.
P
6x10'
FIGURA 9
Modelo exponencial para 1900 1920 1940 1960 1980 2000 t
crecimiento de la población
EL NÚMERO e
De todas las bases posibles para una función exponencial, existe una que es más convenien-
te para los propósitos del cálculo. La elección de una base a se ve influida por la manera en
que la gráfica de y a x cruza el eje y. Las figuras 10 y 11 muestran las líneas tangentes a
las gráficas de y 2 x y y 3 x en el punto 0, 1. (Las líneas tangentes se definirán con pre-
cisión en la sección 2.7. Para los propósitos actuales, puede imaginarse la línea tangente a
una gráfica exponencial en un punto como la recta que toca la gráfica sólo en ese punto.) Si
mide las pendientes de estas rectas tangentes en 0, 1, encontrará que m
0.7 para y 2 x
y m
1.1 para y 3 x.
y y
y=2® y=3®
mÅ1.1
mÅ0.7
1 1
0 x 0 x
y
y=´
FIGURA 10 FIGURA 11
m=1
Como verá en el capítulo 3, resulta que algunas de las fórmulas del cálculo se simpli-
1 ficarán en gran medida si elige la base a de manera que la pendiente de la línea tangente a
y a x en 0, 1 sea exactamente 1 (véase la figura 12). De hecho, existe tal número y es
denotado por la letra e. (Esta notación la escogió el matemático suizo Leonhard Euler en
0 x
1727, probablemente porque es la primera letra de la palabra exponencial.) En vista de las
figuras 10 y 11, no causa sorpresa alguna que el número e se encuentre entre 2 y 3 y la grá-
fica de y e x entre las gráficas de y 2 x y y 3 x. (Véase la figura 13.) En el capítulo
FIGURA 12 3 verá que el valor de e, correcto hasta cinco lugares decimales, es
La función exponencial natural
cruza el eje y con una pendiente de 1 e
2.71828
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 57
SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 57
TEC Module 1.5 le permite graficar y y=3®
funciones exponenciales con varias bases
y con sus líneas tangentes, a fin de estimar
en forma más aproximada el valor de y=2®
a para el cual la tangente tiene la
pendiente 1. y=e ®
1
0 x
FIGURA 13
V EJEMPLO 3 Dibuje la función y 12 ex 1 y determine el dominio y el rango.
SOLUCIÓN Empiece por la gráfica de y e x de las figuras 12 y 14(a) y refleje con respecto
al eje y para obtener la gráfica de y ex en la figura 14(b). (Note que la gráfica cruza
el eje y con una pendiente de 1.) Luego comprima la gráfica verticalmente por un factor
de 2 para obtener la gráfica de y 12 ex en la figura 14(c). Por último, desplace la gráfica
una unidad hacia abajo para obtener la gráfica deseada en la figura 14(d). El dominio es
y el rango es 1,
.
y y y y
1 1 1
1
0 x 0 x 0 x 0 x
y=_1
(a) y=´ (b) y=e–® (c) y= 21 e–® (d) y= 21 e–®-1
FIGURA 14
¿Qué tanto cree usted que tenga que ir hacia la derecha para que la altura de la gráfica
de y e x exceda de un millón? El ejemplo siguiente demuestra el crecimiento rápido de
esta función al proporcionar una respuesta que quizás le sorprenda.
EJEMPLO 4 Use un dispositivo graficador para hallar los valores de x para los cuales
ex 1 000 000.
SOLUCIÓN En la figura 15 aparece tanto la función y e x como la línea horizontal
y 1 000 000. Estas curvas se intersecan cuando x
13.8. Así, e x 10 6 cuando
x 13.8. Tal vez le sorprenda que los valores de la función exponencial ya hayan
rebasado un millón cuando x es sólo 14.
1.5x10^
y=10^
y=´
FIGURA 15 0 15
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 58
58 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
1.5 EJERCICIOS
1. (a) Escriba una ecuación que defina la función exponencial con 17–18 Encuentre la función exponencial f x Ca x cuya gráfica
base a 0. se proporciona.
(b) ¿Cuál es el dominio de esta función?
y
(c) Si a 1, ¿cuál es el intervalo de esta función?
17. (3, 24)
(d) Trace la forma general de la gráfica de la función exponen-
cial para cada uno de los casos siguientes.
(i) a 1 (ii) a 1 (iii) 0 a 1
(1, 6)
2. (a) ¿Cómo se define el número e?
(b) )¿Cuál es un valor aproximado para e? 0 x
(c) ¿Cuál es la función exponencial natural?
; 3–6 Dibuje las funciones que se proporcionan sobre una pantalla y
común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 18.
3. y 2 x, y e x, y 5 x, y 20 x 2
x x
4. y e , x
ye , y8, x
y8
x x 2
5. y 3 ,
x
y 10 x, y ( 13 ) , y (101 ) ”2, 9 ’
6. y 0.9 x, y 0.6 x, y 0.3 x, y 0.1x 0 x
7–12 Realice un boceto de la gráfica de la función. No utilice calcu-
ladora. Sólo use las gráficas de las figuras 3 y 12 y, si es necesario, las 19. Si f x 5 x, demuestre que
transformaciones de la sección 1.3.
7. y 4x 3
x
8. y 4x 3 f (x h) f (x)
h
5x
5h 1
h
9. y 2 10. y 1 2e x
x1
12. y 21 e x 20. Suponga que le ofrecen un trabajo que dura un mes. ¿Cuál de
11. y 1 2 e
los métodos de pago siguientes prefiere?
I. Un millón al mes.
II. Un centavo el primer día del mes. Dos centavos el segundo
13. Comenzando por la gráfica de y e , escriba la ecuación de la
x
día, cuatro centavos el tercero y, en general, 2n1 centavos
gráfica que resulta de el n-ésimo día.
(a) desplazarse 2 unidades hacia abajo
(b) desplazarse 2 unidades hacia la derecha 21. Suponga que las gráficas de f x x 2 y tx 2 x se dibujan
(c) reflejar respecto al eje x sobre una plantilla de coordenadas donde la unidad de medi-
(d) reflejar respecto al eje y ción es 1 pulgada. Demuestre que, a una distancia de 2 pies a
la derecha del origen, la altura de la gráfica de f es 48 pies pero
(e) reflejar respecto al eje x y a continuación al eje y
la altura de la gráfica es alrededor de 265 mi.
14. Empezando por la gráfica de y e x, encuentre la ecuación de ; 22. Compare las funciones f x x y tx 5 al trazar ambas
5 x
la gráfica resultante de en varios rectángulos de visualización. Encuentre todos los
(a) reflejar respecto a la recta y 4 puntos de intersección de las gráficas corregidos a un solo lugar
(b) reflejar respecto a la línea x 2 decimal. ¿Qué función crece más rápidamente cuando x es
grande?
15–16 Encuentre el dominio de cada función.
; 23. Compare las funciones f x x y tx e trazando tanto f
10 x
1 1 como t en varios rectángulos de visualización. ¿Cuándo rebasa
15. (a) f x (b) f x
1 ex 1 ex finalmente la gráfica de t la gráfica de f?
16. (a) tt senet (b) tt s1 2 t
; 24. Utilice una gráfica para estimar los valores de x tales que
ex 1 000 000 000.
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SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 59
25. Se sabe que en condiciones ideales cierta población de la población de Estados Unidos desde 1900. Use el modelo
bacterias se duplica cada tres horas. Suponga que al principio para estimar la población en el año 1925 y predecirla en el
hay 100 bacterias. 2010 y el 2020.
(a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas?
(b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas? Año Población Año Población
(c) Estime el tamaño de la población después de 20 horas.
1900 76 1960 179
; (d) Dibuje la función de población y estime el tiempo que se 1910 92 1970 203
requiere para que la población llegue a 50 000. 1920 106 1980 227
26. Un cultivo de bacterias inicia con 500 baterias y duplica su 1930 123 1990 250
tamaño cada media hora.. 1940 131 2000 281
(a) ¿Cuántas bacterias existen después de 3 horas? 1950 150
(b) ¿Cuántas bacterias existen después de t horas?
(c) ¿Cuantas baterias existen después de 40 minutos? ; 29. Si gráfica la función
; (d) Grafique la función población y estime el tiempo para que
1 e1/x
la población alcance 100 000. f x
1 e1/x
; 27. Use una calculadora graficadora con capacidad de regresión ex-
ponencial para modelar la población del mundo con la informa- verá que f parece una función impar. Demuéstrelo
ción de 1950 a 2000 que aparecen en la tabla 1 en la página 55. ; 30. Dibuje diferentes grupos de la familia de funciones
Recurra al modelo para estimar la población en el año 1993 y
predecirla en el año 2010. 1
f x
1 aebx
; 28. La tabla siguiente presenta la población de Estados Unidos, en
millones, para los años 1900 a 2000. Use una calculadora gra- donde a 0. ¿Cómo cambia la gráfica cuando b cambia?
ficadora con capacidad de regresión exponencial para modelar ¿Cómo cambia cuando a cambia?
1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS
La tabla 1 proporciona información de un experimento en el cual un cultivo de bacte-
rias se inició con 100 bacterias en un medio nutriente limitado; el tamaño de la población de
bacterias se registró a intervalos de horas. El número de bacterias N es una función del
tiempo t: N f t.
Sin embargo, suponga que la bióloga modifica su punto de vista y se interesa en el tiem-
po que se requiere para que la población alcance diversos niveles. En otras palabras, ella
considera a t como una función de N. A esta función se le llama función inversa de f,
denotada por f 1, y se lee “f inversa”. De esta manera, t f 1N es el tiempo que se re-
quiere para que el nivel de la población llegue a N. Los valores de f 1 pueden encontrarse
leyendo la tabla 1 de derecha a izquierda o bien consultando la tabla 2. Por ejemplo,
f 1550 6 porque f 6 550.
TABLA 1 N como una función de t TABLA 2 t como función de N
t N f t t f 1N
(horas) población en el tiempo t N tiempo para llegar a N bacterias
0 100 100 0
1 168 168 1
2 259 259 2
3 358 358 3
4 445 445 4
5 509 509 5
6 550 550 6
7 573 573 7
8 586 586 8
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60 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
No todas las funciones poseen inversas. Compare las funciones f y t cuyos diagramas de
flechas se muestran en la figura 1. Observe que f nunca adopta el mismo valor dos veces
(dos entradas cualesquiera en A tienen salidas diferentes), en tanto que t adopta el mismo
valor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma salida, 4).
En símbolos,
t2 t3
pero f x 1 f x 2 siempre que x 1 x 2
Las funciones que comparten esta función con f se llaman funciones uno a uno.
4 10 4 10
3 7 3
4
2 4 2
1 2 1 2
FIGURA 1 f g
f es uno a uno; g no lo es A B A B
& En el lenguaje de entradas y salidas,
1 DEFINICIÓN A una función f se le llama función uno a uno si nunca toma el
esta definición dice que f está uno a uno si mismo valor dos veces; es decir,
cada salida corresponde a sólo una entrada.
f x 1 f x 2 siempre que x 1 x 2
Si una línea horizontal interseca la gráfica de f en más de un punto, como es el caso de
la figura 2 existen números x1 y x2 tales que f x 1 f x 2 . Esto significa que f no está
uno a uno. Debido a eso tenemos el método geométrico siguiente para determinar si una
función es uno a uno.
y
y=ƒ
fl ‡
FIGURA 2
Esta función no es uno a uno 0 ⁄ ¤ x
porque f(⁄)=f(¤)
PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL Una función es uno a uno si y sólo si, ninguna
línea horizontal interseca su gráfica más de una vez.
y
y=˛
V EJEMPLO 1 ¿La función f x x 3 es uno a uno?
0 x SOLUCIÓN 1 Si x 1 x 2 , entonces x 13 x 23 (dos números distintos no pueden tener el mis-
mo cubo). Por lo tanto, por la definición 1, f x x 3 es uno a uno.
SOLUCIÓN 2 En la figura 3 ve que ninguna línea horizontal interseca la gráfica de f x x 3
FIGURA 3 más de una vez. Por consiguiente, mediante la prueba de la línea horizontal, f es uno
ƒ=˛ es uno a uno a uno.
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 61
SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 61
y
y=≈
V EJEMPLO 2 ¿La función tx x 2 es uno a uno?
SOLUCIÓN 1 Esta función no es uno a uno porque, por ejemplo,
t1 1 t1
0 x y de este modo 1 y 1 tienen la misma salida.
FIGURA 4 SOLUCIÓN 2 En la figura 4 existen líneas horizontales que intersecan la gráfica de t más
©=≈ no es uno a uno de una vez. Por consiguiente, mediante la prueba de la línea horizontal, t no es uno
a uno
Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente las funciones que
poseen funciones inversas según la siguiente definición
2 DEFINICIÓN Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces
su función inversa f 1 tiene dominio B y rango A y se define mediante
f 1y x &? f x y
para cualquier y en B.
x Esta definición dice que si f mapea x en y, después f 1 mapea y de regreso hacia x.
A
(Si f no fuera uno a uno, entonces f 1 no estaría definida en forma única.) El diagrama
f f –! de flechas de la figura 5 indica que f 1 invierte el efecto de f. Observe que
B
y
dominio de f1 rango de f
FIGURA 5
rango f 1 dominio de f
Por ejemplo, la función inversa de f x x 3 es f 1x x 13 porque si y x 3, en
tal caso
f 1y f 1x 3 x 3 13 x
| PRECAUCIÓN No confundir el 1 en f 1 con un exponente. Así
1
f 1x no significa
f x
El recíproco 1f x podría, no obstante, escribirse como f x
1.
V EJEMPLO 3 Si f 1 5, f 3 7 y f 8 10, encuentre f 17, f 15 y
1
f 10.
SOLUCIÓN De la definición de f 1
f 17 3 porque f 3 7
f 15 1 porque f 1 5
f 110 8 porque f 8 10
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62 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
El diagrama que aparece en la figura 6 pone en evidencia la manera en que f 1 in-
vierte el efecto de f en este caso.
A B A B
1 5 1 5
3 7 3 7
8 _10 8 _10
FIGURA 6
La función inversa invierte f f –!
las entradas y las salidas
Por tradición la letra x se usa como la variable independiente, así, al concentrarse
en f 1 en vez de f, por lo regular invierte las funciones que juegan x y y en la defini-
ción 2 y escribia
3 f 1x y &? f y x
Al sustituir y en la definición 2, y sustituir x en (3), obtiene las ecuaciones de cancela-
ción siguientes:
4 f 1 f x x para toda x en A
1
f f x x para toda x en B
La primera ecuación de cancelación dice que si empieza con x, aplica f, a continuación
aplica f 1, llega de nuevo a x, donde empezamos (véase el diagrama que aparece en la
figura 7). Así, f 1 deshace lo que f hace. La segunda ecuación dice que f deshace lo que
f 1 hace.
x f ƒ f –! x
FIGURA 7
Por ejemplo, si fx x3, entonces f 1x x13 y de ese modo las ecuaciones de can-
celación se convierten en
f 1 f x x 3 13 x
f f 1x x 13 3 x
Estas ecuaciones indican simplemente que la función cúbica y la función raíz cúbica se
cancelan entre sí cuando se aplican en forma sucesiva.
Vea ahora cómo calcular funciones inversas. Si tiene una función y f x y es capaz
de resolver esta ecuación para x en términos de y, entonces según la definición 2 tiene que
x f 1y. Si desea nombrar como x la variable independiente, entonces intercambie x y y
y llegue a la ecuación y f 1x.
5 CÓMO ENCONTRAR LA FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN f UNO A UNO
ETAPA 1 Escriba y f x.
ETAPA 2 Resuelva la ecuación para x en términos de y (de ser posible).
ETAPA 3 Para expresar f 1 como una función de x, intercambie x y y. La ecuación
resultante es y f 1x.
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SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 63
V EJEMPLO 4 Encuentre la función inversa de f x x 3 2.
SOLUCIÓN Según (5) primero escriba
y x3 2
A continuación resuelva esta ecuación para x:
x3 y 2
xs
3
y2
Por último, intercambie x y y:
1
& Observe en el ejemplo 4 cómo f invierte ys
3
x2
el efecto de f. La función f sigue la regla
“eleve al Cubo, entonces sume 2”, f1 sigue En consecuencia, la función inversa es f 1x s
3
x 2.
la regla “Reste 2, entonces obtenga la raíz
cuadrada”.
El principio de intercambiar x y y para hallar la función inversa da también el método
para obtener la gráfica de f 1 de la gráfica de f. Puesto que f a b si y sólo si
f 1b a, el punto (a, b) se encuentra en la gráfica de f si y sólo si el punto (b, a)
está sobre la gráfica de f 1. Pero obtiene el punto (b, a) de (a, b) al reflejar respecto a la
línea y x. (Véase la figura 8.)
y y
(b, a)
f –!
(a, b)
0 0
x x
y=x y=x f
FIGURA 8 FIGURA 9
Por lo tanto, como lo ilustra la figura 9:
y
y=ƒ La gráfica de f 1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la línea y x.
y=x
EJEMPLO 5 Trace las gráficas de f x s1 x y su función inversa usando los mis-
0
mos ejes de coordenadas.
(_1, 0) x
(0, _1)
SOLUCIÓN En primer lugar trace la curva de y s1 x (la mitad superior de la parábo-
la y 2 1 x, o bien x y 2 1) y a continuación refleje respecto a la línea y x
y=f –!(x) para obtener la gráfica de f 1. (Véase la figura 10.) A manera de comprobación de la
gráfica, observe que la expresión para f 1 es f 1x x 2 1, x 0. De modo que
FIGURA 10
la gráfica de f 1 es la mitad derecha de la parábola y x 2 1 y a partir de la figura 10,
esto parece ser razonable.
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Si a 0 y a 1, la función exponencial f x a x bien es creciente o decreciente y por
eso mediante la prueba de la línea horizontal es uno a uno. Por lo tanto tiene una función
inversa f 1, a la cual se le da el nombre de función logarítmica con base a y se denota me-
diante loga. Si utiliza la formulación de una función inversa dada por (3)
f 1x y &? f y x
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64 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
se tiene
6 log a x y &? ay x
De ese modo, si x 0, entonces log a x es el exponente al cual debe elevarse la base a para
dar x. Por ejemplo, log10 0.001 3 porque 103 0.001.
Las ecuaciones de cancelación (4) cuando se aplican a las funciones f x a x y
1
f x log a x, se convierten en
7 log aa x x para toda x
y
y=x a log a x x para toda x 0
La función logarítmica log a tiene dominio 0,
y rango . Su gráfica es el reflejo de la
gráfica de y ax respecto a la línea y x.
y=a®, a>1
La figura 11 muestra el caso en que a 1. (Las funciones logarítmicas más importan-
tes tienen base a 1.) El hecho de que y a x sea una función que aumenta muy rápida-
0 x
mente para x 0 se refleja en el hecho de que y log a x es una función que aumenta muy
y=log a x, a>1 lentamente para x 1.
La figura 12 muestra las gráficas de y log a x con varios valores de la base a 1. Como
log a 1 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0).
FIGURA 11 Las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas se derivan de las propieda-
des correspondientes de las funciones exponenciales que se dieron en la sección 1.5.
LEYES DE LOS LOGARITMOS Si x y y son números positivos, entonces
y
y=log™ x 1. log axy log a x log a y
1
y=log£ x
2. log a x
y
log a x log a y
0 1 x 3. log ax r r log a x (donde r es cualquier número real)
y=log∞ x
y=log¡¸ x
EJEMPLO 6 Use las leyes de los logaritmos para evaluar log 2 80 log 2 5.
SOLUCIÓN Al usar la ley 2, tiene
FIGURA 12
log 2 80 log 2 5 log 2
80
5
log 2 16 4
Porque 2 4 16.
& NOTACIÓN PARA LOGARITMOS
LOGARITMOS NATURALES
La mayoría de los libros de texto de cálculo y
de ciencias, así como las calculadoras usan la En el capítulo 3 verá que de todas las bases a posibles para logaritmos, la elección más
notación ln x para el logaritmo natural y log x conveniente es el número e, que se definió en la sección 1.5. Al logaritmo con base e se le
para el “logaritmo común”, log 10 x. Sin embargo, llama logaritmo natural y tiene una notación especial
en la literatura de matemáticas y científica más
avanzada y en los lenguajes de computadora,
la notación log x denota por lo general al lo- log e x ln x
garitmo natural.
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SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 65
Si pone a e y sustituye loge con “ln” en (6) y (7), entonces las propiedades de la fun-
ción logaritmo natural se convierten en
8 ln x y &? ey x
9 lne x x x
e ln x x x0
En particular, si establece que x 1, obtiene
ln e 1
EJEMPLO 7 Encuentre x si ln x 5.
SOLUCIÓN 1 De (8) observe que
ln x 5 significa e5 x
Por lo tanto, x e 5.
(Si trabajar con la notación “ln” le causa problemas, sustitúyala con log e . Entonces la
ecuación se convierte en log e x 5; por consiguiente, mediante la definición de logaritmo,
e 5 x.)
SOLUCIÓN 2 Empiece con la ecuación
ln x 5
y aplique la función exponencial a ambos lados de la ecuación
e ln x e 5
Pero la segunda ecuación de cancelación en (9) dice que e ln x x. Por lo tanto, x e 5.
EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación e 53x 10.
SOLUCIÓN Tome logaritmos naturales de ambos lados de la ecuación y
use (9):
lne 53x ln 10
5 3x ln 10
3x 5 ln 10
x 13 5 ln 10
Como el logaritmo natural se encuentra en las calculadoras científicas, puede aproximar
la solución a cuatro cifras decimales: x
0.8991.
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66 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
V EJEMPLO 9 Exprese ln a 12 ln b como un solo logaritmo.
SOLUCIÓN Usando las leyes 3 y 1 de los logaritmos
ln a 12 ln b ln a ln b 12
ln a ln sb
ln(asb )
La fórmula siguiente muestra que los logaritmos con cualquier base pueden expresarse
en términos del logaritmo natural
10 FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE Para cualquier número positivo a (a 1), se tiene
ln x
log a x
ln a
DEMOSTRACIÓN Sea y logax. Entonces de (6), tiene ay x. Al tomar los logaritmos
naturales de ambos lados de esta ecuación, obtiene y ln a ln x. Por consiguiente
ln x
y
ln a
Las calculadoras científicas tienen una tecla para logaritmos naturales, de modo que la
fórmula 10 permite usar una calculadora para obtener un logaritmo con cualquier base
(como se ilustra en el ejemplo siguiente). De manera análoga, la fórmula 10 permite dibu-
jar cualquier función logarítmica en una calculadora o computadora graficadora (véase
ejercicios 43 y 44).
EJEMPLO 10 Evalúe log8 5 con una aproximación hasta seis lugares decimales.
SOLUCIÓN La fórmula 10 produce
ln 5
log 8 5
0.773976
ln 8
Las gráficas de la función exponencial y ex y su función inversa, la función loga-
ritmo natural, se ilustran en la figura 13. Debido a que la curva y ex cruza el eje y con
una pendiente de 1, se deduce que la curva reflejada y ln x cruza el eje x con una pen-
y
diente de 1.
y=´ Al igual que todas las demás funciones logarítmicas que tienen una base mayor que 1,
y=x
el logaritmo natural es una función creciente que se define sobre (0,
) y el eje y es una
asíntota vertical. (Esto significa que los valores de ln x se convierten en negativos muy
grandes en magnitud a medida que x se aproxima a cero.)
1 y=ln x
0
EJEMPLO 11 Trace la gráfica de la función y ln(x 2) 1.
1 x
SOLUCIÓN Empiece con la gráfica de y ln x según se proporciona en la figura 13. Al utili-
zar la transformación de la sección 1.3, vaya dos unidades hacia la derecha para obtener
la gráfica de y ln(x 2) y luego desplácela una unidad hacia abajo para obtener la
FIGURA 13 gráfica de y lnx 2 1. (Véase la figura 14.)
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SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 67
y y y
x=2 x=2
y=ln x y=ln(x-2)-1
y=ln(x-2)
0 (1, 0) x 0 2 (3, 0) x 0 2 x
(3, _1)
FIGURA 14
y Si bien ln x es una función creciente, crece muy despacio cuando x 1. De hecho,
ln x crece más despacio que cualquier potencia positiva de x. Para ilustrar este hecho,
x
y=œ„ compare valores aproximados de las funciones y ln x y y x 12 sx en la tabla si-
guiente que aparecen dibujados en las figuras 15 y 16. Podrá observar que en un principio
1
y=ln x las gráficas de y sx y y ln x crecen en cantidades similares, pero en algún momen-
to la función raíz rebasa por mucho al logaritmo.
0 1 x
x 1 2 5 10 50 100 500 1000 10 000 100 000
FIGURA 15
ln x 0 0.69 1.61 2.30 3.91 4.6 6.2 6.9 9.2 11.5
sx 1 1.41 2.24 3.16 7.07 10.0 22.4 31.6 100 316
y ln x
0 0.49 0.72 0.73 0.55 0.46 0.28 0.22 0.09 0.04
x
y=œ„ sx
20
y=ln x FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Cuando tratamos de calcular las funciones trigonométricas inversas hay una pequeña difi-
0 1000 x cultad: puesto que las funciones trigonométricas no son uno a uno o biunívocas, no tienen
funciones inversas. La dificultad se vence restringiendo los dominios de estas funciones de
FIGURA 16 modo que se transformen en uno a uno.
Observe en la figura 17 que la función seno y sen x no es uno a uno (aplique la prueba
de la línea horizontal). Pero la función f x sen x,
2 x
2 (véase figura 18)
es uno a uno. La función inversa de la función seno f(x) restringida existe y se denota me-
diante sen1 o arcsen. Se llama función inversa del seno o función arco seno.
y y
y=sen x
_ π2
_π 0 π π x 0 π x
2 2
π π
FIGURA 17 FIGURA 18 y=sen x, _ 2 ¯x¯ 2
Puesto que la definición de una función inversa establece que
f 1x y &? f y x
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68 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
tiene
sen1x y &? sen y x y y
2 2
1
| sen 1x Por esto, si 1 x 1, sen1x es el número entre p2 y p2 cuyo seno es x.
sen x
EJEMPLO 12 Determine (a) sen1( 2) y (b) tan(arcsen 3 ).
1 1
SOLUCIÓN
(a) Tenemos
sen1( 12)
6
porque sen
6 12 y p6 queda entre p2 y p2.
(b) Sea arcsen 13 , de modo que sen 13. Entonces, podemos dibujar un triángulo
3
1 rectángulo con ángulo u como en la figura 19 y deducir de acuerdo con el Teorema de
Pitágoras que el cateto faltante mide s9 1 2s2. Esto permite que podamos saber
¨ a partir del triángulo que
2 œ„
2
1
FIGURA 19 tan(arcsen 13 ) tan
2s2
Las ecuaciones de cancelación para el caso de las funciones inversas se transforman en
sen1sen x x para x
2 2
sensen1x x para 1 x 1
El dominio de la función inversa del seno, sen1, es 1, 1
y el rango es
2,
2
,
y su gráfica, que se ilustra en la figura 20, se obtiene de la función restringida del seno (fi-
gura 18) por reflexión con respecto a la línea y x.
y y
π
2
1
_1 0 1 x 0 π
π x
2
_ π2
FI GURA 2 0 FI GURA 2 1
y=sen–! x=arcsen x y=cos x, 0¯x¯π
La función inversa del coseno se trata en forma similar. La función restringida del co-
seno f x cos x, 0 x
, es uno a uno (véase figura 21) y, de este modo, tiene una
función inversa que se denota mediante cos1 o arccos.
cos1x y &? cos y x y 0 y
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SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 69
y Las ecuaciones de cancelación son
π
cos 1cos x x para 0 x
π
2
coscos1x x para 1 x 1
El dominio de la función inversa del coseno, cos1, es 1, 1
y el rango es 0,
. Su
_1 0 1 x gráfica se ilustra en la figura 22.
La función tangente se puede hacer uno a uno si se la restringe al intervalo
2,
2.
FIGURA 22 Por consiguiente, la función tangente inversa se define como la inversa de la función
y=cos–! x=arccos x f x tan x,
2 x
2. (Véase figura 23.) Se denota mediante tan1 o arctan.
y
tan1x y &? tan y x y y
2 2
EJEMPLO 13 Simplifique la expresión costan1x.
_ π2 0 π
2
x
SOLUCIÓN 1 Sea y tan1x. Entonces tan y x y
2 y
2. Quiere determinar el
cos y pero como tan y se conoce, es más fácil determinar primero sec y:
sec2 y 1 tan2 y 1 x 2
FIGURA 23
π
y=tan x, _ 2 <x< 2
π sec y s1 x 2 puesto que sec y 0 para
2 y
2
1 1
De este modo costan1x cos y
sec y s1 x 2
œ„„„„„
1+≈
x
SOLUCIÓN 2 En lugar de aplicar las identidades trigonométricas como en la solución 1, es
tal vez más fácil utilizar un diagrama. Si y tan1x, entonces tan y x, y puede saber a
y partir de la figura 24 (que ilustra el caso y 0) que
1
1
FIGURA 24 costan1x cos y
s1 x 2
La función tangente inversa, tan1 arctan, tiene por dominio y rango
2,
2.
Sus gráficas se muestran en la figura 25.
y
π
2
0
x
FIGURA 25 _ π2
y=tan–! x=arctan x
Las líneas x
2 son asíntotas verticales de la gráfica de la tangente. Puesto que
la gráfica de tan1 se obtiene reflejando la gráfica de la función tangente restringida con
respecto a la línea y x, se infiere que las líneas y
2 y y
2 son asíntotas ho-
rizontales de la gráfica de tan1.
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70 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
Las funciones trigonométricas inversas restantes no se aplican con frecuencia por lo que
se resumen en seguida.
11 y csc1x x 1 &? csc y x y y 0,
2
, 3
2
y
y sec1x x 1 &? sec y x y y 0,
2
, 3
2
y cot1x x &? cot y x y y 0,
0 π 2π x
_1
No hay un acuerdo universal sobre la elección de los intervalos para y en las defini-
ciones de csc1 o sec1. Por ejemplo, algunos autores usan y 0,
2
2,
en
FI GURA 2 6 la definición de sec1. [Usted puede comprobar con la gráfica de la función secante de la
y=sec x figura 26 que funcionan tanto esta opción como la que se encuentra en (11).]
1.6 EJERCICIOS
1. (a) ¿Qué es una función uno a uno? 13. f(t) es la altura de un balón de fútbol t segundos después de la
(b) ¿Cómo puede decir a partir de la gráfica de una función si patada de salida.
ésta es uno a uno? 14. f(t) es su altura a la edad de t.
2. (a) Suponga que f es una función uno a uno con dominio A e
intervalo B. ¿Cómo se define la función inversa f1? ¿Cuál 15. Si f es una función uno a uno tal que f 2 9, ¿cuánto
es el dominio de f1? ¿Cuál es el rango de f1? es f 19?
(b) Si le dan una fórmula para f, ¿cómo encuentra una 16. Sea f(x) 3 x2 tan(
x2), donde 1 x 1.
fórmula para f1? (a) Halle f1(3).
(c) ¿Si le dan la gráfica de f, ¿cómo encuentra la gráfica de (b) Encuentre f(f1(5)).
f1?
1
17. Si t(x) 3 x e , encuentre t (4).
x
3–14 Se da una función mediante una tabla, una gráfica, una fórmula
o una descripción verbal. Determine si es uno a uno. 18. Se proporciona la gráfica de f.
(a) ¿Por qué f es uno a uno?
3. x 1 2 3 4 5 6 (b) Defina el dominio y el rango de f1.
(c) ¿Cuál es el valor de f 12.
f x 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0
(d) ¿Estime el valor de f 10.
4. y
x 1 2 3 4 5 6
f x 1 2 4 8 16 32
1
5. y 6. y
0 1 x
x x
19. La fórmula C 9 F 32, donde F 459.67, expresa
5
la temperatura en grados Celsius C como una función de la
temperatura en grados Fahrenheit F. Encuentre una fórmula
7. y 8. y
para la función inversa e interprétela. ¿Cuál es el dominio de
la función inversa?
x x 20. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con rapi-
dez v es m0
m f v
s1 v 2c 2
donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la rapidez
9. f x x 2 2x 10. f x 10 3x
de la luz en el vacío. Encuentre la función inversa de f y expli-
11. tx 1/x 12. tx cos x que su significado.
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 71
SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 71
21–26 Encuentre una fórmula para la inversa de la función.
; 41–42 Use la fórmula 10 para dibujar las funciones que se propor-
cionan en una pantalla común. ¿De qué manera se relacionan estas
4x 1
21. f x s10 3x 22. f x gráficas?
2x 3
3
41. y log 1.5 x , y ln x, y log 10 x , y log 50 x
23. f x e x 24. y 2 x 3 3
42. y ln x, y log 10 x , ye ,
x
y 10 x
ex
25. y lnx 3 26. y
1 2e x
43. Suponga que la gráfica de y log2x se dibuja en una plantilla
de coordenadas donde la unidad de medida es una pulgada.
1
; 27–28 Encuentre una fórmula explícita para f y úsela para dibujar ¿Cuántas millas hacia la derecha del origen hay que desplazarse
f1, f y la recta y x sobre la misma pantalla. Para verificar su antes que la altura de la curva llegue a 3 pies?
trabajo, vea si las gráficas de f y f1 son reflejos respecto a la recta.
; 44. Compare las funciones f(x) x y t(x) ln x mediante el
0.1
27. f x x4 1 , x 0 28. f x 2 ex dibujo de tanto f como t en varios rectángulos de visualización.
¿Cuándo termina la gráfica de f por rebasar la gráfica de t?
45–46 Haga un trazo aproximado de la gráfica de cada función. No
29–30 Utilice la gráfica que se proporciona para f para dibujar la use una calculadora. Utilice sólo las gráficas que se proporcionan en
gráfica de f1. las figuras 12 y 13 y, de ser necesario, las transformaciones de la
sección 1.3.
29. 30.
y y 45. (a) y log 10x 5 (b) y ln x
1 46. (a) y lnx (b) y ln x
1 0 2 x
47–50 Resuelva cada ecuación para x.
0 1 x
47. (a) 2 ln x 1 (b) ex 5
48. (a) e 2x3 7 0 (b) ln5 2 x 3
31. (a) ¿Cómo se define la función logarítmica y logax? 49. (a) 2
x5
3 (b) ln x lnx 1 1
(b) ¿Cuál es el dominio de esta función?
(c) ¿Cuál es el rango de esta función? 50. (a) lnln x 1 (b) e ax Ce bx, donde a b
(d) Trace la forma general de la gráfica de la función
y logax si a 1. 51–52 Resuelva cada desigualdad para x.
32. (a) ¿Qué es el logaritmo natural? 51. (a) e x 10 (b) ln x 1
(b) ¿Qué es el logaritmo común?
(c) Trace las gráficas de la función logaritmo natural y la fun- 52. (a) 2 ln x 9 (b) e 23x 4
ción exponencial natural con un conjunto común de ejes.
33–36 Encuentre el valor exacto de cada expresión. 53–54 Encuentre (a) el dominio de f y (b) f1 y su dominio.
1
33. (a) log5125 (b) log 3 27 53. f x s3 e 2x 54. f x ln2 ln x
34. (a) ln1e (b) log10 s10
35. (a) log26 log215 log220 CAS 55. Dibuje la función f x sx 3 x 2 x 1 y explique por
(b) log3 100 log318 log350 qué es uno a uno. A continuación use un sistema algebraico de
36. (a) e 2 ln 5
(b) lnln e e10 computadora para encontrar una expresión explícita para
f1(x). (Su CAS generará tres expresiones posibles. Explique
por qué dos de ellas son irrelevantes en este contexto.)
37–39 Exprese la cantidad que se proporciona como un logaritmo
único. CAS 56. (a) Si t(x) x6 x4, x 0, utilice un sistema algebraico de
computadora para encontrar una expresión para t1(x).
37. ln 5 5 ln 3 (b) Use la expresión del inciso (a) para dibujar y t(x),
38. lna b lna b 2 ln c y x y y t1(x) en la misma pantalla.
39. ln1 x 2 2 ln x ln sen x
1
57. Si una población de bacterias inicia con 100 bacterias y se du-
plica cada tres horas, luego el número de bacterias una vez que
transcurren t horas es n f(t) 100 2t3. (Véase el ejercicio
40. Use la fórmula 10 para evaluar cada logaritmo aproximado hasta 25 en la sección 1.5.)
seis cifras decimales. (a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado.
(a) log12 10 (b) log 2 8.4 (b) ¿Cuándo llegará la población a 50 000?
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 72
72 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
58. Cuando se apaga el flash de una cámara, las baterías empie- 66–68 Simplifique la expresión.
zan de inmediato a recargar el capacitor del flash, el cual alma-
66. tansen1x 67. sentan1x
cena carga eléctrica dada por
68. cos2 tan1x
ta
Qt Q 0 1 e
; 69–70 Grafique las funciones dadas en la misma pantalla. ¿Cuál es
(La capacidad máxima de carga es Q0 y t se mide en la relación entre estas gráficas?
segundos.)
(a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. 69. y sen x ,
2 x
2; y sen1x ; yx
(b) ¿Cuánto tarda en cargar el capacitor hasta 90% de su capa- 70. y tan x,
2 x
2; 1
y tan x; yx
cidad si a 2?
71. Determine el dominio y el rango de la función.
59–64 Calcule el valor exacto de cada expresión.
tx sen13x 1
59. (a) sen1(s32) (b) cos11 1
; 72. (a) Grafique la función f x sensen x y explique el
60. (a) tan 1s3 (b) sec1 2 aspecto de la gráfica.
61. (a) arctan 1 (b) sen 1
(1s2) (b) Grafique la función tx sen1sen x. ¿Cuál es su expli-
1
cación sobre el aspecto de esta gráfica?
62. (a) cot s3 (b) arccos12
73. (a) Si desplaza una curva hacia la izquierda, ¿qué pasa con su
63. (a) tanarctan 10 (b) sen1sen7p3 reflejo respecto a la línea y x? En vista de este principio
64. (a) tansec 1
4 (b) sen(2 sen ( ))
1 3 geométrico, encuentre una expresión para la inversa de
5
t(x) f(x c) donde f es una función uno a uno
(b) Encuentre una expresión para la inversa de h(x) f(cx),
65. Demuestre que cossen1x s1 x 2 . donde c 0.
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 73
CAPÍTULO 1 REPASO |||| 73
1 REPASO
R E V I S I Ó N D E C O N C E P TO S
1. (a) ¿Qué es una función? ¿Cuál es su dominio y su rango? (b) ¿Cuál es el dominio de ft?
(b) ¿Qué es la gráfica de una función? (c) ¿Cuál es el dominio de ft?
(c) ¿Cómo puede usted decir si una curva dada es la gráfica de
una función? 10. ¿Cómo se define la función composición f t? ¿Cuál es su
dominio?
2. Analice cuatro maneras de representar una función. Ilustre su
análisis con ejemplos. 11. Suponga que la gráfica de f está dada. Escriba una ecuación
para cada una de las gráficas que se obtienen de la gráfica de f
3. (a) ¿Qué es una función par? ¿Cómo puede decir si una función como se describe a continuación.
es par al mirar su gráfica?
(a) Desplazando 2 unidades hacia arriba
(b) ¿Qué es una función impar? ¿Cómo puede decir si una fun-
ción es impar al mirar su gráfica? (b) Desplazando 2 unidades hacia abajo
(c) Desplazando 2 unidades hacia la derecha
4. ¿Qué es una función creciente?
(d) Desplazando 2 unidades hacia la izquierda
5. ¿Qué es un modelo matemático? (e) Al reflejar respecto al eje x
6. Proporcione un ejemplo de cada tipo de función (f) Al reflejar respecto al eje y
(a) Función lineal (b) Función potencia (g) Al alargar verticalmente por un factor de 2
(c) Función exponencial (d) Función cuadrática (h) Al contraer verticalmente por un factor de 2
(e) Polinomio grado 5 (f) Función racional (i) Al alargar horizontalmente por un factor de 2
7. Trace, a mano, en los mismos ejes, las gráficas de las funciones (j) Al contraer horizontalmente por un factor de 2
siguientes.
12. (a) ¿Qué es una función uno a uno? ¿Cómo puede decir si una
(a) f x x (b) tx x 2
función es uno a uno al mirar su gráfica?
(c) hx x 3 (d) jx x 4
(b) Si f es una función uno a uno, ¿cómo se define su función
8. Dibuje a mano un esquema aproximado de la gráfica de cada inversa f 1? ¿Cómo obtiene la gráfica de f 1 a partir de la
función. gráfica de f?
(a) y sen x (b) y tan x
(c) y e x (d) y ln x 13. (a) ¿Cómo se define la función seno inversa f x sen1x ?
(e) y 1x (f) y x ¿Cuáles son su dominio y su rango?
(b) ¿Cómo se define la función coseno inversa f x cos1x ?
(g) y sx (h) y tan1 x
¿Cuáles son su dominio y su rango?
9. Suponga que f tiene dominio A y g tiene dominio B. (c) ¿Cómo se define la función tangente inversa f x tan1x ?
(a) ¿Cuál es el dominio de f t? ¿Cuáles son su dominio y su rango?
PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO
Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, expli- 8. Siempre se puede dividir entre e x.
que por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la
proposición.
9. Si 0 a b, entonces ln a ln b.
1. Si f es una función, entonces f s t f s f t.
2. Si f s f t, luego s t. 10. Si x 0, entonces ln x6 6 ln x.
3. Si f es una función, entonces f 3x 3 f x.
4. Si x 1 x 2 y f es una función decreciente, luego ln x x
11. Si x 0 y a 1, entonces ln .
f x 1 f x 2 . ln a a
5. Una línea vertical interseca la gráfica de una función más de
12. tan11 3p4 .
una vez.
6. Si f y t son funciones, luego f t t f . sen1x
13. tan1x
1 cos1x
7. Si f es uno a uno, en tal caso f 1x .
f x
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74 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
EJERCICIOS
1. Sea f la función cuya gráfica se da. (c) y 1 2 f x (d) y f x 2 2
(a) Estime el valor de f(2). (e) y f x (f) y f 1x
(b) Estime los valores de x tales que f(x) 3.
10. Se da la gráfica de f. Dibuje las funciones siguientes.
(c) Dé el dominio de f.
(a) y f x 8 (b) y f x
(d) Dé el rango de f.
(c) y 2 f x (d) y 2 f x 1
1
(e) ¿Sobre cuál intervalo f es creciente?
(f) ¿ f es uno a uno? Explique. (e) y f 1x (f) y f 1x 3
(g) ¿ f es par, impar o de ninguno de los dos tipos?
Explique y
y
f 1
1 0 1 x
1 x
11–16 Use transformaciones para trazar la gráfica de la función.
11. y sen 2x 12. y 3 ln x 2
13. y 2 1 e x 14. y 2 sx
1
2. Se da la gráfica de t.
(a) Dé el valor de t(2).
(b) ¿Por qué t es uno a uno?
(c) Estime el valor de t1(2).
15. f x
1
x2
16. f x x
ex 1
si x 0
si x 0
(d) Estime el dominio de t1.
(e) Trace la gráfica de t1. 17. Establezca si f es par, impar o ninguna de las dos cosas.
(a) f x 2x 5 3x 2 2
y g (b) f x x 3 x 7
2
(c) f x ex
(d) f x 1 sen x
1 18. Encuentre una expresión para la función cuya gráfica consta de
un segmento de línea del punto (2, 2) hasta el punto (1, 0)
0 1 x
junto con la mitad superior del círculo con centro en el origen y
radio 1.
19. Si f (x) ln x y t(x) x2 9, encuentre las funciones (a) f t,
3. Si f x x 2x 3 , evalúe el cociente de diferencia
5 (b) t f , (c) f f , (d) t t, y sus dominios.
20. Exprese la función Fx 1sx sx como una composición
f a h fa
de tres funciones.
h
4. Trace la gráfica aproximada del rendimiento de un cultivo co- 21. La expectativa de vida mejoró de manera dramática en el siglo
XX. La tabla proporciona la expectativa de vida (en años) al
mo función de la cantidad de fertilizante que se usó.
momento del nacimiento de hombres en Estados Unidos.
5–8 Encuentre el dominio y el rango de la función
Año de Expectativa Año de Expectativa
5. f x 23x 1 6. g x s16 x4 nacimiento de vida nacimiento de vida
7. hx lnx 6 8. Ft 3 cos 2t 1900 48.3 1960 66.6
1910 51.1 1970 67.1
9. Suponga que se da la gráfica de f. Describa cómo se pueden 1920 55.2 1980 70.0
obtener las gráficas de las funciones siguientes a partir de la 1930 57.4 1990 71.8
gráfica de f. 1940 62.5 2000 73.0
1950 65.6
(a) y f x 8 (b) y f x 8
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CAPÍTULO 1 REPASO |||| 75
Use una gráfica de dispersión para elegir un tipo de modelo 26. Resuelva cada ecuación para x.
apropiado. Utilice su modelo para predecir la duración de la (a) e x 5 (b) ln x 2
x
vida de un hombre que nace en el año 2010. (c) e e 2 (d) tan1x 1
22. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le 27. La población de cierta especie en un ambiente limitado, con
cuesta 9 000 dólares producir 1 000 hornos para tostar y 12 000 población inicial de 100 y que soporta una capacidad de
dólares producir 1 500 hornos por semana. 1 000, es
(a) Exprese el costo como una función del número de hornos
para tostar que se producen, suponiendo que es lineal. En- 100 000
Pt
seguida trace la gráfica. 100 900et
(b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué donde t se mide en años.
representa? ; (a) Dibuje esta función y estime cuánto tarda para que la po-
(c) ¿Cuál es la intersección y de la gráfica y qué blación llegue a 900.
representa? (b) Encuentre la inversa de esta función y explique su significa-
do.
23. Si f (x) 2x ln x, encuentre f 1(2). (c) Use la función inversa para encontrar el tiempo que se re-
quiere para que la población llegue a 900. Compare con el
x1
24. Encuentre la función inversa de f x . resultado del inciso (a).
2x 1
; 28. Dibuje las tres funciones y x , y a y y loga x en la mis-
a x
25. Halle el valor exacto de cada expresión.
ma pantalla para dos o tres valores de a 1. Para valores gran-
(a) e 2 ln 3 (b) log 10 25 log 10 4
des de x, ¿cuál de estas funciones tiene los valores más grandes
(c) tan(arcsen 2 ) (d) sen(cos1( 5))
1 4
y cuál los más pequeños?
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 76
PRINCIPIOS PARA LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
No existen reglas firmes y rápidas que garanticen el éxito en la solución de problemas. Sin
embargo, es posible delinear algunos etapas generales del proceso de solución de problemas
y dar algunos principios que pueden resultar útiles en la solución de ciertos problemas. Estas
etapas y principios no son más que sentido común hecho explícito. Se han adaptado del libro
How To Solve It de George Polya.
1 Comprender el problema El primer paso es leer el problema y asegurarse de entenderlo con claridad. Hágase las pre-
guntas siguientes:
¿Cuál es la incógnita?
¿Cuáles son las cantidades dadas?
¿Cuáles son las condiciones dadas?
Para muchos problemas, resulta útil
dibujar un diagrama
e identificar las cantidades dadas y requeridas en el diagrama.
A menudo, es necesario
introducir una notación apropiada
Al elegir los símbolos para las cantidades desconocidas, use letras como a, b, c, m, n, x y
y pero, en algunos casos, ayuda usar iniciales como los símbolos significantes; por ejem-
plo, V para el volumen o t para el tiempo.
2 Pensar en un plan Encuentre una relación entre la información dada y lo que desconoce que le permita calcu-
lar la incógnita. Con frecuencia ayuda preguntarse: “¿Cómo puedo relacionar lo que se pro-
porciona con lo desconocido?” Si no ve una relación de inmediato, las ideas siguientes
pueden resultar útiles para idear un plan.
Intente reconocer algo familiar Relacione la situación que se proporciona con sus conocimien-
tos previos. Observe la incógnita e intente recordar un problema más familiar que tenga una
incógnita semejante.
Intente reconocer patrones Algunos problemas se resuelven al reconocer que se presenta
alguna clase de patrón. Éste puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si reconoce re-
gularidad o repetición en un problema, quizá sea capaz de conjeturar cuál es el patrón y
probarlo.
Use la analogía Intente pensar en un problema análogo; es decir, un problema semejante o
relacionado, pero más fácil que el original. Si puede resolver un problema similar, más
sencillo, en tal caso éste le podría dar los indicios que necesita para resolver el problema
original, más complicado. Por ejemplo, si en un problema intervienen números muy gran-
des, podría intentar primero un caso semejante con números más pequeños. O bien, si en
el problema interviene geometría tridimensional, busque uno similar en geometría bidi-
mensional. O también, si el problema con que empieza es general, podría intentar con un
caso especial.
Introduzca algo adicional A veces puede ser necesario introducir algo nuevo, algo auxiliar,
para ayudar a establecer la conexión entre lo dado y lo desconocido. Por ejemplo, en un
problema donde un diagrama es útil, lo auxiliar podría ser una nueva línea trazada en un dia-
grama. En un problema más algebraico, podría ser una nueva incógnita relacionada con la
original.
76
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 77
PRINCIPIOS PARA LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Establezca casos En ocasiones habrá que dividir el problema en varios casos y dar un argu-
mento diferente para cada uno. Por ejemplo, con frecuencia debe aplicar esta estrategia al
tratar con el valor absoluto.
Resuelva hacia atrás A veces resulta útil imaginar que el problema está resuelto y trabajar
hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a la información que se proporciona. Por lo tanto, es
posible invertir las etapas y, de este modo, construir una solución del problema original.
Es común aplicar este procedimiento al resolver ecuaciones. Por ejemplo, al resolver la
ecuación 3x 5 7, suponga que x es un número que satisface 3x 5 7 y proceda hacia
atrás. Sume 5 a cada miembro de la ecuación y divida cada miembro entre 3 para obtener
x 4. Como cada etapa se puede invertir, ha resuelto el problema.
Establezca metas parciales En un problema complejo suele convenir establecer metas interme-
dias (en las cuales sólo se satisface parcialmente la situación deseada). Si alcanza la primera
de estas metas intermedias, luego es posible que sea capaz de construir sobre ellas hasta al-
canzar la meta final.
Razonamiento indirecto En ocasiones es apropiado atacar un problema de manera indirecta.
Al utilizar la demostración por contradicción para probar que P implica Q, suponga que
P es verdadera y que Q es falsa e intente ver por qué esto no puede ser. De algún modo,
debe usar esta información y llegar a una contradicción de lo que está seguros que es ver-
dadero.
Inducción matemática Al probar proposiciones que comprenden un entero positivo n, con fre-
cuencia es útil aplicar el principio siguiente:
PRINCIPIO DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA Sea Sn una proposición acerca del
entero n. Si:
1. S1 es verdadera.
2. Sk1 es verdadera siempre que Sk es verdadera.
Entonces Sn es verdadera para todos los enteros positivos n.
Esto es razonable porque, como S1 es verdadera, de la condición 2 (con k 1) se infiere
que S2 es verdadera. En tal caso, si se aplica la condición 2 con k 2, S3 es verdadera. Al
aplicar una vez más la condición 2, esta vez con k 3, S4 es verdadera. Este procedimien-
to se puede seguir indefinidamente.
3 Llevar a cabo el plan En la etapa 2 se ideó un plan. Al ponerlo en práctica debe comprobar cada etapa y escribir
los detalles que prueben que cada una es correcta.
4 Mirar retrospectivamente Luego de completar la solución, es inteligente revisarla, en parte para ver si hay errores
en la solución y también para ver si es posible pensar en una manera más fácil de resol-
ver el problema. Otra razón para mirar hacia atrás es que lo familiarizará con el método
de solución y esto puede ser útil para resolver un problema futuro. Descartes dijo: “Cada
problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros pro-
blemas.”
Estos principios de solución de problemas se ilustran en los ejemplos siguientes. Intente
resolverlos antes de mirar las soluciones. Consulte estos principios de solución de proble-
mas si se atora. Puede encontrar útil referirse a esta sección de vez en cuando al resolver los
ejercicios de los capítulos restantes del libro.
77
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 78
PRINCIPIOS PARA LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EJEMPLO 1 Exprese la hipotenusa h de un triángulo rectángulo con un área de 25 m2 como
función de su perímetro P.
& Comprender el problema. SOLUCIÓN Primero clasifique la información, identificando la cantidad desconocida y los
datos:
Incógnita: hipotenusa h
Cantidades dadas: perímetro P, área de 25 m2
& Dibujar un diagrama. Ayuda dibujar un diagrama como el de la figura 1.
h
b
FIGURA 1 a
& Relacionar lo dado con lo desconocido. Para relacionar las cantidades dadas con la incógnita, introduzca dos variables adicionales,
& Introducir algo adicional. a y b, que son las longitudes de los otros dos lados del triángulo. Esto permite expresar la
condición dada, que el triángulo es rectángulo, por el teorema de Pitágoras:
h2 a2 b2
Las otras relaciones entre las variables se obtienen al escribir las expresiones para el área
y el perímetro:
25 12 ab Pabh
Como se da P, note que ahora tiene tres ecuaciones en las tres incógnitas a,
b y h:
1 h2 a2 b2
2 25 12 ab
3 Pabh
Aunque tiene el número correcto de ecuaciones, no son fáciles de resolver de manera
directa; pero si aplica la estrategia de intentar reconocer algo familiar, en tal caso puede
& Relacionar con algo familiar. resolverlas con un método más fácil. Vea el lado derecho de las ecuaciones 1, 2 y 3.
¿Le recuerdan algo familiar? Observe que contienen los ingredientes de una fórmula
conocida:
a b2 a 2 2ab b 2
Si aplica esta idea puede expresar (a b)2 de dos maneras. De las ecuaciones 1 y 2
tiene
a b2 a 2 b 2 2ab h 2 425
De la ecuación 3
a b2 P h2 P 2 2Ph h 2
En estos términos, h 2 100 P 2 2Ph h 2
2Ph P 2 100
P 2 100
h
2P
Es la expresión requerida para h como función de P.
78
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PRINCIPIOS PARA LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Como se ilustra en el siguiente ejemplo, a menudo es necesario aplicar el principio de
resolución de problemas de establecer casos, al tratar con valores absolutos.
EJEMPLO 2 Resuelva la desigualdad x 3 x 2 11.
SOLUCIÓN Recuerde la definición de valor absoluto:
x x
x
si x 0
si x 0
Se concluye que
x 3
x3
x 3
si x 3 0
si x 3 0
x3
x 3
si x 3
si x 3
De manera análoga,
x 2
x2
x 2
si x 2 0
si x 2 0
x2
x 2
si x 2
si x 2
& Establecer casos. Estas expresiones hacen ver que debe considerar tres casos:
x 2 2 x 3 x3
CASO I Si x 2, tiene
x 3 x 2 11
x 3 x 2 11
2x 10
x 5
CASO II Si 2 x 3, la desigualdad dada queda
x 3 x 2 11
5 11 (siempre cierto)
CASO III Si x 3, la desigualdad se transforma en
x 3 x 2 11
2x 12
x6
Si combina los casos I, II y III, observe que la desigualdad se satisface cuando
5 x 6. De modo que la solución es el intervalo (5, 6).
79
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PRINCIPIOS PARA LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En el ejemplo siguiente, primero suponga una respuesta revisando los casos especiales y
reconociendo un patrón. A continuación, pruébelo mediante inducción matemática.
Al aplicar el principio de inducción matemática, sigue tres etapas:
ETAPA 1 Se prueba que Sn es verdadera cuando n 1.
ETAPA 2 Se supone que Sn es verdadera cuando n k y se deduce que Sn es verdadera cuando
n k 1.
ETAPA 3 Se concluye, por el principio de inducción matemática, que Sn es verdadera para
toda n.
EJEMPLO 3 Si f0x xx 1 y fn1 f0 fn, para n 0, 1, 2, . . ., encuentre una
fórmula para fn(x).
& Analogía: intente un problema SOLUCIÓN Empiece por hallar fórmulas para fn(x), para los casos especiales n 1, 2 y 3.
semejante, más sencillo.
f1x f0 f0x f0 f0x f0 x
x1
x x
x1 x1 x
x 2x 1 2x 1
1
x1 x1
f2x f0 f1 x f0 f1x f0 x
2x 1
x x
2x 1 2x 1 x
x 3x 1 3x 1
1
2x 1 2x 1
f3x f0 f2 x f0 f2x f0 x
3x 1
& Buscar un patrón. x x
3x 1 3x 1 x
x 4x 1 4x 1
1
3x 1 3x 1
Note un patrón: en los tres casos que se calcularon, el coeficiente de x en el denomi-
nador de fn(x) es n 1. De modo que conjeture que, en general,
x
4 fnx
n 1x 1
Para probar esto, aplique el principio de inducción matemática. Ya ha comprobado que (4)
es verdadera para n 1. Suponga que es verdadera para n k; es decir,
x
fkx
k 1x 1
80
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 81
PRINCIPIOS PARA LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Entonces
x
fk1x f0 fk x f0 fkx f0
k 1x 1
x x
k 1x 1 k 1x 1 x
x k 2x 1 k 2x 1
1
k 1x 1 k 1x 1
Esta expresión hace ver que (4) es verdadera para n k 1. En consecuencia, por
inducción matemática, es verdadera para todos los enteros positivos n.
PROBLEMAS
1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4 cm. Exprese la longitud
de la altura perpendicular a la hipotenusa como función de longitud de esta última.
2. La altura perpendicular a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 12 cm. Exprese la lon-
gitud de la hipotenusa como función del perímetro.
3. Resuelva la ecuación 2x 1 x 5 3.
4. Resuelva la desigualdad x 1 x 3 5.
5. Trace la gráfica de la función fx x 4x 3 .
2
6. Dibuje la gráfica de la función tx x 2 1 x 2 4 .
7. Trace la gráfica de la ecuación x x y y .
8. Dibuje la gráfica de la ecuación x 4 4 x 2 x 2 y 2 4y 2 0 .
9. Esquematice la región en el plano que consta de todos los puntos (x, y) tales que
x y 1.
10. Dibuje la región en el plano que consta de todos los puntos (x, y) tales que
x y x y 2
11. Evalúe log 2 3log 3 4log 4 5 log 31 32.
12. (a) Demuestre que la función f x ln( x sx 2 1 ) es una función impar.
(b) Encuentre la función inversa de f.
13. Resuelva la desigualdad lnx 2 2x 2 0.
14. Aplique un razonamiento indirecto para probar que log2 5 es un número irracional.
15. Una conductora emprende un viaje. A lo largo de la primera parte del trayecto conduce a un
paso moderado de 30 mih; en la segunda parte conduce a 60 mih. ¿Cuál es su rapidez
promedio en esta travesía?
16. ¿Es cierto que f t h f t f h ?
17. Compruebe que si n es un entero positivo, entonces, 7n 1 es divisible entre 6.
18. Pruebe que 1 3 5 2n 1 n2.
19. Si f0(x) x2 y fn1x f0 fnx para n 0, 1, 2, . . . , encuentre una fórmula para fn(x).
1
20. (a) Si f0x y fn1 f0 fn para n 0, 1, 2, . . . , encuentre una expresión para fn(x)
2x
y aplique la inducción matemática para probarla.
; (b) Trace la gráfica de f0 , f1, f2 , f3 en la misma pantalla y describa los efectos de la composi-
ción repetida.
81
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 82
2
LÍMITES Y DERIVADAS
La idea de un límite se ilus-
tra mediante líneas secantes
que se aproximan a una lí-
nea tangente.
En la presentación preliminar del Cálculo (página 2) se ve cómo la idea de límite sus-
tenta las diversas ramas del cálculo; de ahí la importancia de empezar el estudio de éste
investigando los límites y sus propiedades. El tipo especial de límites utilizados para la
obtención de tangentes y velocidades conducen a la idea central del Cálculo Diferencial:
la derivada.
82
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 83
2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD
En esta sección se analiza cómo surgen los límites cuando se intenta hallar la tangente a
una curva o la velocidad de un objeto.
PROBLEMA DE LA TANGENTE
t La palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens, la cual significa “tocar”. De este
modo, una tangente a una curva es una recta que toca la curva. ¿De qué manera se puede
precisar esta idea?
Para una circunferencia podría seguirse la idea de Euclides y decir que una tangente es
una recta que intersecta a la circunferencia una y sólo una vez como en la figura 1(a). Pa-
ra curvas más complicadas, esta definición es inadecuada. En la figura 1(b), se muestran
(a) dos rectas, l y t, que intersectan a la curva C en un punto P. La recta l interseca C sólo una
vez, pero es evidente que no se parece a lo que consideramos una tangente. Por otra parte,
la recta t parece una tangente pero intersecta a la curva C dos veces.
Para ser específicos, considere el problema de intentar hallar una recta tangente t a la
P parábola y x2 en el ejemplo siguiente.
t C
V EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y x2 en el punto
l P1, 1.
SOLUCIÓN Podremos obtener la ecuación de la recta tangente al conocer su pendiente. La
(b)
dificultad es que se conoce sólo un punto P, de t, en tanto que necesitamos dos puntos
FIGURA 1 para calcular la pendiente. Pero puede calcular una aproximación para m si elige un
punto cercano Qx, x 2 de la parábola (como en la figura 2) y calcular la pendiente mPQ
de la línea secante PQ.
y Elija x 1, de modo que Q P. Entonces
Q { x, ≈} t
x2 1
mPQ
y=≈
P (1, 1) x1
0 x Por ejemplo, para el punto Q1.5, 2.25
2.25 1 1.25
mPQ 2.5
FIGURA 2 1.5 1 0.5
x mPQ
Las tablas en el margen muestran los valores de mPQ para varios valores de x cercanos
a 1. Entre más cerca está Q de P, más lo está x de 1 y, por lo que se ve en las tablas,
2 3 mPQ está más próxima a 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe
1.5 2.5 ser m 2.
1.1 2.1 Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las
1.01 2.01 rectas secantes y, simbólicamente, expresamos esto al escribir
1.001 2.001
x2 1
lím mPQ m y lím 2
x mPQ Q lP xl1 x1
0 1
Si supone que, en efecto, la pendiente de la recta tangente es 2, use la forma punto-pen-
0.5 1.5
diente de la ecuación de una recta (véase el apéndice B) para escribir la ecuación de la recta
0.9 1.9
tangente que pasa por 1, 1 como
0.99 1.99
0.999 1.999
y 1 2x 1 o y 2x 1
83
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 84
84 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
La figura 3 ilustra el proceso de límite que se presenta en este ejemplo. Conforme Q
se aproxima a P a lo largo de la parábola, las rectas secantes correspondientes rotan en
torno a P y se aproximan a la recta tangente t.
y y y
Q
t t t
Q
Q
P P P
0 x 0 x 0 x
Q se aproxima a P desde la derecha
y y y
t t t
Q P P P
Q Q
0 x 0 x 0 x
Q se aproxima a P desde la izquierda
FIGURA 3
TEC En Visual 2.1 puede ver cómo Muchas funciones que se encuentran en las ciencias no se describen mediante una ecua-
funciona el proceso en la figura 3 para ción explícita; se definen por medio de información experimental. En el ejemplo siguiente se
funciones adicionales. indica cómo estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ese tipo de funciones.
V EJEMPLO 2 La unidad de destello (flash) de una cámara funciona por el almacena-
t Q
miento de carga en un capacitor y su liberación repentina al disparar la unidad. Los
0.00 100.00 datos que se muestran al margen describen la carga Q que resta en el capacitor (medida
0.02 81.87 en microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos después de que la unidad de
0.04 67.03 destello ha sido apagada). Use los datos para dibujar la gráfica de esta función y estime
0.06 54.88 la pendiente de la recta tangente en el punto donde t 0.04. Nota: la pendiente de la
0.08 44.93 recta tangente representa la corriente eléctrica que circula del capacitor al bulbo del
0.10 36.76 flash (medida en microamperes).
SOLUCIÓN En la figura 4 está la información que se proporcionó y se usa para dibujar una
curva que se aproxime a la gráfica de la función.
Q (microcoulombs)
o
100
90
80 A
70 P
60
50 B C
FIGURA 4 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t (segundos)
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 85
SECCIÓN 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD |||| 85
A partir de los puntos P0.04, 67.03 y R0.00, 100.00 de la gráfica la pendiente de la
recta secante es
100.00 67.03
mPR 824.25
0.00 0.04
En la tabla que aparece a la izquierda se muestran los resultados de cálculos similares para
R mPR
las pendientes de otras rectas secantes. Con base en esa tabla cabe esperar que la pendiente
0.00, 100.00 824.25 de la recta tangente en t 0.04 se encuentre en algún valor entre 742 y 607.5. De
0.02, 81.87 742.00 hecho, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes más próximas es
0.06, 54.88 607.50
742 607.5 674.75
1
0.08, 44.93 552.50 2
0.10, 36.76 504.50
Así, mediante este método estimamos la pendiente de la recta tangente como 675.
Otro método es trazar una aproximación a la recta tangente en P y medir los lados
del triángulo ABC como en la figura 4. Esto da una estimación de la pendiente de la
recta tangente como
AB
80.4 53.6 670
& El significado físico de la respuesta del
ejemplo 2 es que la corriente eléctrica que
fluye del capacitor al foco del flash después
de 0.04 de segundo es de casi de –670
BC 0.06 0.02
microamperes.
EL PROBLEMA DE LA VELOCIDAD
Si observa el velocímetro de un automóvil al viajar en el tráfico de la ciudad, puede ver
que la aguja no permanece inmóvil mucho tiempo; es decir, la velocidad del auto no es
constante. Al observar el velocímetro, el vehículo tiene una velocidad definida en cada mo-
mento, ¿pero cómo se define la velocidad “instantánea”? Investiguemos el ejemplo de una
pelota que cae.
V EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma de observación
de la Torre CN en Toronto, 450 m por encima del nivel del suelo. Encuentre la velocidad
de la pelota una vez que transcurren 5 segundos.
SOLUCIÓN A través de experimentos que se llevaron a cabo cuatro siglos atrás, Galileo
descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae libremente es propor-
cional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (En este modelo de caída libre
no se considera la resistencia del aire.) Si la distancia recorrida después de t segundos
se denota mediante st y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa
con la ecuación
st 4.9t 2
La dificultad para hallar la velocidad después de 5 s es que trata con un solo ins-
tante t 5, de modo que no interviene un intervalo. Sin embargo, puede tener una
aproximación de la cantidad deseada calculando la velocidad promedio durante el
© 2003 Brand X Pictures
breve intervalo de una décima de segundo, desde t 5 hasta t 5.1:
cambio en la posición
velocidad promedio
tiempo transcurrido
La Torre CN en Toronto es el edificio autoes-
table más alto del mundo en la actualidad. s5.1 s5
0.1
4.95.12 4.952
49.49 ms
0.1
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86 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
En la tabla siguiente se muestran los resultados de cálculos similares de la velocidad
promedio durante periodos sucesivamente cada vez más pequeños
Intervalo de tiempo Velocidad promedio (ms)
5t6 53.9
5 t 5.1 49.49
5 t 5.05 49.245
5 t 5.01 49.049
5 t 5.001 49.0049
Parece que conforme acorta el periodo, la velocidad promedio se aproxima a 49 ms. La
velocidad instantánea, cuando t 5, se define como el valor límite de estas velocidades
promedio, durante periodos cada vez más cortos que se inician en t 5. En estos términos,
la velocidad (instantánea) después de 5 s es
v 49 ms
Quizá sienta que los cálculos que se utilizan en la solución de este problema son muy se-
mejantes a los que se aplicaron con anterioridad en esta sección para hallar tangentes. De
hecho, existe una relación íntima entre el problema de la tangente y el de hallar velocidades.
Si dibuja la gráfica de la función distancia de la pelota (como en la figura 5) y considera los
puntos Pa, 4.9a2 y Qa h, 4.9a h2 de la gráfica, en tonces la pendiente de la recta
secante PQ es
4.9a h2 4.9a 2
mPQ
a h a
la cual es la misma que la velocidad promedio durante el periodo a, a h
. Por lo tanto, la
velocidad en el instante t a (el límite de estas velocidades promedio a medida que h tiende
a 0) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente en P (el límite de las pendientes de las
rectas secantes).
s s
s=4.9t @ s=4.9t @
Q
pendiente de la recta secante
⫽ velocidad promedio pendiente de la tangente
P P ⫽ velocidad instantánea
0 a a+h t 0 a t
FIGURA 5
Los ejemplos 1 y 3 hacen ver que para resolver problemas de tangentes y de veloci-
dades, debe ser capaz de hallar límites. Después de estudiar los métodos para calcular lí-
mites en las cinco secciones siguientes, en la sección 2.7 regresará a los problemas de
hallar tangentes y velocidades.
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 87
SECCIÓN 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD |||| 87
2.1 EJERCICIOS
1. Un depósito contiene 1 000 galones de agua que se drenan desde (c) Mediante la pendiente del inciso (b), halle una ecuación de
la parte inferior en media hora. Los valores que aparecen en la la recta tangente a la curva en P3, 1.
tabla muestran el volumen V de agua que resta en el tanque (en (d) Trace la curva, dos de las rectas secantes y la recta tangente.
galones) una vez que transcurren t minutos.
5. Si se lanza una pelota en el aire con una velocidad de
t (min) 5 10 15 20 25 30 40 piess, su altura en pies, después de t segundos, se
V (gal) 694 444 250 111 28 0
expresa por y 40t 16t 2.
(a) Encuentre la velocidad promedio para el periodo que se
(a) Si P es el punto (15, 250) en la gráfica de V, encuentre las inicia cuando t 2 y dura:
pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto (i) 0.5 seg (ii) 0.1 seg
en la gráfica con t 5, 10, 20, 25 y 30. (iii) 0.05 seg (iv) 0.01 seg
(b) Estime la pendiente de la recta tangente en P promediando (b) Estime la velocidad instantánea cuando t 2.
las pendientes de dos rectas secantes.
(c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de 6. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con una
la recta tangente en P. (Esta pendiente representa la canti- velocidad de 10 ms, su altura en metros t segundos después
dad a la que fluye el agua desde el tanque después de 15 se proporciona mediante y 10t 1.86t2.
minutos.)
(a) Hallar la velocidad promedio en los intervalos de tiempo
2. Se usa un monitor cardiaco para medir la frecuencia cardiaca que se proporcionan:
de un paciente después de una cirugía. Éste recopila el núme- (i) 1, 2
(ii) 1, 1.5
(iii) 1, 1.1
ro de latidos cardiacos después de t minutos. Cuando se si- (iv) 1, 1.01
(v) 1, 1.001
túan los datos de la tabla en una gráfica, la pendiente de la
(b) Estimar la velocidad instantánea cuando t 1.
recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos
por minuto. 7. La tabla exhibe la posición de un ciclista.
t (min) 36 38 40 42 44
t (segundos) 0 1 2 3 4 5
Latidos cardiacos 2 530 2 661 2 806 2 948 3 080
s (metros) 0 1.4 5.1 10.7 17.7 25.8
El monitor estima este valor calculando la pendiente de una
recta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardiaca
del paciente, después de 42 minutos, usando la recta secante (a) Hallar la velocidad promedio para cada periodo:
entre los puntos (i) 1, 3
(ii) 2, 3
(iii) 3, 5
(iv) 3, 4
(a) t 36 y t 42 (b) t 38 y t 42 (b) Use la gráfica de s como una función de t para estimar la
(c) t 40 y t 42 (d) t 42 y t 44 velocidad instantánea cuando t 3.
¿Cuáles son sus conclusiones?
8. El desplazamiento (en centímetros) de una partícula de atrás
3. El punto P (1, 2 ) está sobre la curva y x1 x.
1
hacia adelante en una línea recta se conoce por la ecuación
(a) Si Q es el punto x, x1 x, use su calculadora para de movimiento s 2 sen p t 3 cos p t, donde t se mide en
hallar la pendiente de la recta secante PQ (correcta hasta segundos.
seis cifras decimales) para los valores de x que se enumeran (a) Encuentre la velocidad promedio durante cada periodo:
a continuación:
(i) 1, 2
(ii) 1, 1.1
(i) 0.5 (ii) 0.9 (iii) 0.99 (iv) 0.999
(iii) 1, 1.01
(iv) 1, 1.001
(v) 1.5 (vi) 1.1 (vii) 1.01 (viii) 1.001
(b) Mediante los resultados del inciso (a) conjeture el valor de (b) Estimar la velocidad instantánea de la partícula cuando
la pendiente de la recta tangente a la curva en P (1, 12 ). t 1.
(c) Usando la pendiente del inciso (b) encuentre la ecuación de
9. El punto P1, 0 está sobre la curva y sen10px.
la recta tangente a la curva en P (1, 12 ).
(a) Si Q es el punto x, sen10px, encuentre la pendiente de
4. El punto P3, 1 se encuentra sobre la curva y sx 2 la recta secante PQ (correcta hasta cuatro cifras decimales)
(a) Si Q es el punto (x, sx 2 ), mediante una calculadora para s 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9.
determine la pendiente de la secante PQ (con seis ¿Parece que las pendientes tienden a un límite?
cifras decimales) para los valores siguientes de x: ; (b) Use una gráfica de la curva para explicar por qué las
(i) 2.5 (ii) 2.9 (iii) 2.99 (iv) 2.999 pendientes de las rectas secantes del inciso (a) no están
(v) 3.5 (vi) 3.1 (vii) 3.01 (viii) 3.001 cercanas a la pendiente de la recta tangente en P.
(b) Por medio de los resultados del inciso (a), conjeture el valor (c) Mediante la selección de rectas secantes apropiadas, estime
de la pendiente de la recta tangente en P3, 1. la pendiente de la recta tangente en P.
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88 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Luego de ver en la sección anterior cómo surgen los límites cuando desea hallar la tangen-
te a una curva o la velocidad de un objeto, dirija su atención hacia los límites en general y
los métodos numéricos y gráficos para calcularlos.
Investigue el comportamiento de la función f definida por f x x2 x 2 para valo-
res cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de fx para valores de x cercanos
a 2, pero no iguales a 2.
y
x fx x fx
1.0 2.000000 3.0 8.000000
ƒ 1.5 2.750000 2.5 5.750000
y=≈-x+2
tiende a 4 1.8 3.440000 2.2 4.640000
4 1.9 3.710000 2.1 4.310000
1.95 3.852500 2.05 4.152500
1.99 3.970100 2.01 4.030100
1.995 3.985025 2.005 4.015025
1.999 3.997001 2.001 4.003001
0 2 x
A medida que x tiende a 2
A partir de la tabla y de la gráfica de f (una parábola) que se ilustra en la figura 1,
FIGURA 1 es claro cuando x está cercana a 2 (por cualquiera de los dos lados de 2), f x lo está
a 4. De hecho, parece posible acercar los valores de f x a 4 tanto como desee si toma
una x lo suficientemente cerca de 2. Expresa este hecho al decir: “el límite de la fun-
ción f x x2 x 2, cuando x tiende a 2, es igual a 4”. La notación para esta ex-
presión es
lím x 2 x 2 4
x l2
En general, se usa la siguiente notación
1 DEFINICIÓN Escriba
lím f x L
xla
que se expresa como: “el límite de fx cuando x tiende a a, es igual a L”
si podemos acercar arbitrariamente los valores de fx a L (tanto como desee) esco-
giendo una x lo bastante cerca de a, pero no igual a a.
En términos generales, esto afirma que los valores de f x se aproximan cada vez más
al número L cuando x se acerca a a (desde cualquiera de los dos lados de a) pero x a.
(En la sección 2.4 se proporciona una definición más exacta.)
Una notación alternativa para
lím f x L
xla
es fx l L cuando xla
que suele leerse “fx tiende a L cuando x tiende a a”.
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SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 89
Advierta la frase “pero x a” en la definición de límite. Esto significa que al hallar
el límite de f x cuando x tiende a a, nunca consideró x a. De hecho, incluso no es
necesario que f x esté definida cuando x a. Lo único que importa es cómo está de-
finida f cerca de a.
En la figura 2 se muestran las gráficas de tres funciones. Observe que en la parte (c),
f a no está definida y, en la parte (b), f a L. Pero en cada caso, sin importar lo que
suceda en a, es verdadero que lím x l a f x L.
y y y
L L L
0 a x 0 a x 0 a x
(a) (b) (c)
FIGURA 2 lím ƒ=L en los tres casos
x a
x1
EJEMPLO 1 Conjeture el valor de lím .
x l1 x2 1
SOLUCIÓN Advierta que la función fx x 1x2 1 no está definida cuando x 1,
x1 fx
pero eso no importa porque la definición de lím x l a fx dice que considere valores de x
0.5 0.666667 próximos a a pero diferentes de a.
0.9 0.526316 En las tablas que aparecen al margen izquierdo se proporcionan los valores de f x
0.99 0.502513 (correctos hasta seis posiciones decimales) para valores de x que tienden a 1 (pero no
0.999 0.500250 son iguales a 1). Con base en los valores de las tablas, suponga que
0.9999 0.500025
x1
lím 0.5
x l1 x2 1
x1 f x
El ejemplo 1 se ilustra mediante la gráfica de f de la figura 3. Cambie ahora ligeramen-
1.5 0.400000
te el valor de f, dándole un valor de 2 cuando x 1 y denominando a la función resultante
1.1 0.476190
como t.
1.01 0.497512
1.001 0.499750 x 1 si x 1
1.0001 0.499975 t(x) x 2
1
2 si x 1
Esta nueva función t todavía tiene el mismo límite conforme x tiende a 1 (véase la figura 4).
y y
2
x-1
y= y=©
≈-1
0.5 0.5
0 1 x 0 1 x
FIGURA 3 FIGURA 4
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90 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
st 2 9 3
EJEMPLO 2 Estime el valor de lím .
tl0 t2
SOLUCIÓN En la tabla se enumeran los valores de la función para varios valores de t cer-
canos a 0.
st 2 9 3
t
t2
1.0 0.16228
0.5 0.16553
0.1 0.16662
0.05 0.16666
0.01 0.16667
A medida que t tiende a 0, los valores de la función parecen acercarse a 0.1666666. . . y,
por consiguiente, supone que
st 2 9 3 1
lím 2
tl0 t 6
st 2 9 3
t
t2 En el ejemplo 2, ¿qué habría sucedido si hubiera tomado valores incluso más pequeños
de t? En la tabla al margen se muestran los resultados que se obtuvieron con una calcula-
0.0005 0.16800
dora; usted puede ver que parece suceder algo extraño.
0.0001 0.20000
0.00005 0.00000 Si intenta realizar estos cálculos en su calculadora podría obtener valores diferentes, pero
0.00001 0.00000 llegará un momento en que obtendrá el valor 0, si reduce t lo suficiente. ¿Significa esto que
la respuesta en realidad es 0, en lugar de 6 ? No, el valor del límite es 16, como se demostrará
1
| en la sección siguiente. El problema es que las calculadoras dan valores falsos porque
st 2 9 está muy cercana a 3 cuando t es pequeño. (De hecho, cuando t es lo suficien-
temente pequeño, el valor para st 2 9 de una calculadora es 3.000. . . hasta el número de
www.stewartcalculus.com
Para una explicación más detallada de dígitos que la calculadora es capaz de llevar.)
por qué en ocasiones las calculadoras dan Algo similar sucede cuando intenta trazar la gráfica de la función
valores falsos, véase el sitio en la red.
Dé un clic en Additional Topics y luego en
Lies My Calculator and Computer Told st 2 9 3
f t
Me. En particular, refiérase a la sección t2
llamada The Perils of Subtraction.
del ejemplo 2 en una calculadora graficadora o en una computadora. Los incisos (a) y (b)
de la figura ilustran gráficas bastante exactas de f y, cuando se usa el modo de trazo (si
cuenta con él), puede estimar con facilidad que el límite es alrededor de 16. Pero si realiza
un acercamiento muy grande, como en los incisos (c) y (d), obtiene gráficas inexactas, una
vez más debido a problemas con la sustracción.
0.2 0.2
0.1 0.1
(a) _5, 5
por _0.1, 0.3
(b) _0.1, 0.1
por _0.1, 0.3
(c) _10–^, 10–^
por _0.1, 0.3
(d) _10–&, 10–&
por _ 0.1, 0.3
FIGURA 5
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 91
SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 91
sen x
V EJEMPLO 3 Encuentre el valor de lím .
xl0 x
SOLUCIÓN La función f x sen xx no está definida cuando x 0. Con una calculadora
(y recordando que si x , sen x quiere decir el seno del ángulo cuya medida en radianes
es x), construya la tabla siguiente de valores, correctos hasta ocho posiciones decimales.
sen x
x A partir de la tabla a la izquierda y de la gráfica de la figura 6, suponga que
x
1.0 0.84147098 sen x
0.5 0.95885108 lím 1
xl0 x
0.4 0.97354586
0.3 0.98506736 De hecho, esta conjetura es correcta, como se probará en el capítulo 3 mediante la
0.2 0.99334665 aplicación de un argumento geométrico.
0.1 0.99833417
0.05 0.99958339
0.01 0.99998333 y
0.005 0.99999583 sen x
1 y=
x
0.001 0.99999983
_1 0 1 x
FIGURA 6
V EJEMPLO 4 Investigue lím sen .
xl0 x
SOLUCIÓN Una vez más, la función f x senpx no está definida en 0. Si se evalúa la
función para algunos valores pequeños de x, resulta
f1 sen p 0 f ( 12 ) sen 2
0
& SISTEMAS ALGEBRAICOS PARA COMPUTADORA
Los sistemas algebraicos para computadora f ( 13) sen 3
0 f ( 14 ) sen 4
0
(CAS: computer algebra systems, CAS) tienen
comandos que calculan límites. En virtud de f0.1 sen 10p 0 f0.01 sen 100p 0
las dificultades que se demostraron en los
ejemplos 2, 4 y 5, no encuentran los límites
De manera análoga, f 0.001 f 0.0001 0. Con base en esta información, podría
por experimentación numérica, sino que apli-
can técnicas más elaboradas, como el cálculo sentirse tentado a presumir que
de series infinitas. Si tiene acceso a un CAS,
use el comando límite, calcule los límites de
lím sen 0
los ejemplos de esta sección y compruebe sus xl0 x
respuestas a los ejercicios de este capítulo.
| pero en esta ocasión su conjetura es errónea. Advierta que aun cuando f1n sen np 0,
para cualquier entero n, también se cumple que fx 1 para un número infinito de valores
de x que tienden a 0. La gráfica de f se da en la figura 7.
y
y=sen(π/x)
1
_1
1 x
_1
FIGURA 7
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92 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
Los valores de sen (px ) fluctúan entre 1 y 1 infinidad de veces, cuando x tiende a cero.
(Véase el ejercicio 39.)
Ya que el valor de f x no se aproxima a un número fijo cuando x se aproxima a cero.
lím sen no existe
xl0 x
x x3
cos 5x
10 000
EJEMPLO 5 Encuentre lím x 3
xl0
cos 5x
10 000
.
1 1.000028 SOLUCIÓN Como antes construya una tabla de valores. A partir de la primera tabla que apa-
0.5 0.124920 rece en el margen
0.1 0.001088
0.05 0.000222 cos 5x
lím x 3 0
0.01 0.000101 xl0 10 000
Pero si perseveran con valores más pequeños de x, la segunda tabla sugiere que
cos 5x
x x3 cos 5x 1
10 000 lím x 3 0.000100
xl0 10 000 10 000
0.005 0.00010009
0.001 0.00010000 Más adelante verá que lím x l 0 cos 5x 1 y en tal caso se concluye que el límite
es 0.0001.
| Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos en la suposición del valor de un límite.
Es fácil suponer un valor erróneo, si se usan valores inapropiados de x, pero es difícil saber
cuándo suspender el cálculo de valores. Y, como hace ver el análisis que sigue al ejemplo 2, a
veces las calculadoras y las computadoras dan valores erróneos. Sin embargo, más adelante
se desarrollan métodos infalibles para calcular límites.
y V EJEMPLO 6 La función de Heaviside H se define por
1
Ht 0
1
si t 0
si t 0
0 t
Esta función recibe ese nombre en honor al ingeniero electricista Oliver Heaviside
(1850-1925) y se puede usar para describir una corriente eléctrica que se hace circular
FIGURA 8 en el instante t 0.
En la figura 8 se muestra su gráfica.
Conforme t se acerca a 0 por la izquierda, Ht tiende a 0. Cuando t se aproxima a 0
por la derecha, Ht tiende a 1. No existe un número único al que Ht se aproxime
cuando t tiende a 0. Por consiguiente, lím tl 0 Ht no existe.
LÍMITES LATERALES
En el ejemplo 6 se vio que Ht tiende a 0 cuando t lo hace a 0 por la izquierda y que esa
función tiende a 1 cuando t lo hace a 0 por la derecha. Se indica simbólicamente esta situa-
ción escribiendo
lím Ht 0 y lím Ht 1
t l 0 t l 0
El símbolo “t l 0” indica que sólo se consideran valores de t menores que 0. Del mismo
modo “t l 0” indica que sólo se consideran valores de t mayores que 0.
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SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 93
2 DEFINICIÓN Escriba
lím f x L
x l a
y se lee el límite izquierdo de f x cuando x tiende a a o el límite de f x
cuando x se acerca a a por la izquierda
es igual a L, si puede aproximar los
valores de f x a L tanto como quiera, escogiendo una x lo bastante cerca de a
pero menor que a.
Advierta que la definición 2 difiere de la 1 sólo en que x debe ser menor que a. De
manera análoga, si requiere que x sea mayor que a, obtiene: “el límite de f x por la de-
recha cuando x se aproxima a a es igual a L” y escribe
lím f x L
x l a
Así, el símbolo “x l a” significa que considere sólo x a. En la figura 9 se ilustran estas
definiciones
y y
L ƒ
ƒ L
0 x a x 0 a x x
FIGURA 9 (a) lím ƒ=L (b) lím ƒ=L
x a_ x a+
Al comparar la definición 1 con las definiciones de los límites laterales, se cumple lo
siguiente
3 lím f x L si y sólo si lím f x L y lím f x L
xla x l a x l a
y V EJEMPLO 7 En la figura 10 se muestra la gráfica de una función t. Úsela para dar los
4 valores (si existen de los límites siguientes:
3
y=© (a) lím tx (b) lím tx (c) lím tx
xl2 xl2 xl2
1 (d) lím tx (e) lím tx (f) lím tx
xl5 xl5 xl5
0 1 2 3 4 5 x SOLUCIÓN A partir de la gráfica es claro que los valores de tx tienden a 3 cuando x tiende
a 2 por la izquierda, pero se acercan a 1 cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Por
consiguiente
FIGURA 10
(a) lím tx 3 y (b) lím tx 1
xl2 xl2
(c) Como los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, con base en (3) se
concluye que lím x l 2 tx no existe
La gráfica muestra también que
(d) lím tx 2 y (e) lím tx 2
xl5 xl5
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94 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
(f) En esta ocasión los límites por la izquierda y la derecha son los mismos y, de este
modo, con base en (3)
lím tx 2
xl5
A pesar de este hecho, observe que t5 2.
LÍMITES INFINITOS
1
EJEMPLO 8 Halle lím si existe.
xl0 x2
SOLUCIÓN Conforme x se aproxima a 0, x2 también se aproxima a 0 y 1x2 se hace muy
1
x grande. (Vea la tabla en el margen.) De hecho, al ver la gráfica de la función f x 1x2
x2
que se muestra en la figura 11, parece que los valores de fx se pueden aumentar en forma
1 1 arbitraria, si se escoge una x lo suficientemente cerca de 0. De este modo los valores de
0.5 4 fx no tienden a un número, de tal manera que lím x l 0 1x 2 no existe.
0.2 25
0.1 100 Para indicar la clase de comportamiento que se muestra en el ejemplo 8, utilice la
0.05 400 notación
0.01 10 000
0.001 1 000 000 1
lím ∞
xl0 x2
y | Esto no quiere decir que se considere ∞ como un número. Ni siquiera significa que el lí-
mite existe. Simplemente expresa la manera particular en la cual el límite no existe: 1/x2
puede ser tan grande como guste llevando a x lo suficientemente cerca de 0.
En general, se escribe simbólicamente
1
y=
≈ lím f x ∞
xla
para indicar que los valores de fx se vuelven más y más grandes, es decir (se “incrementan
0 x
sin límite”) a medida que x se acerca más y más a a.
FIGURA 11
4 DEFINICIÓN Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posi-
blemente en a; entonces
lím f x ∞
xla
significa que los valores de f x se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan
grandes como uno quiera) haciendo que x se acerque suficientemente a a, pero
no es igual que a.
Otra notación para lím x l a fx
es
y
f x l
cuando xl a
y=ƒ
Recuerde que el símbolo ∞ no es un número, pero la expresión lím x l a fx
se lee
con frecuencia como
0 a x
“el límite de fx cuando x tiende a a es el infinito”
x=a
o bien, “f x se vuelve infinita cuando x se aproxima a a”
FIGURA 12 o bien, “f x se incrementa sin límite cuando x tiende a a”
lím ƒ=`
x a Esta definición se ilustra en la figura 12.
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 95
SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 95
& Al decir que un número es “negativo muy
Un tipo similar de límite, para el caso de funciones que manifiestan valores negativos
grande” significa que es negativo pero su muy grandes cuando x tiende a a, se presenta en la definición 5 y se ilustra en la figura 13.
magnitud (valor absoluto) es muy grande o
considerablemente grande.
5 DEFINICIÓN Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posible-
y
mente en a misma. Entonces
x=a
lím f x ∞
xla
0 a x significa que los valores de f x se pueden hacer de manera arbitraria grandes y
y=ƒ negativos al dar valores a x que estén muy cerca de a, pero sin que lleguen a ser
iguales a a.
FIGURA 13 El símbolo lím x l a fx
quiere decir “el límite de fx cuando x tiende a a es el
lím ƒ=_` infinito negativo” o bien, “f x decrece sin cota inferior cuando x tiende a a”. Como ejem-
x a
plo tiene
1
lím 2
x l0 x
Definiciones similares se pueden dar para los límites infinitos laterales
lím f x
lím f x
x l a x l a
lím f x
lím f x
x l a x l a
sin olvidar que “x l a” significa que considera sólo valores de x que sean menores que
a y, de igual manera, “x l a” quiere decir que considera sólo x a. Ejemplos de estos
cuatro casos se presentan en la figura 14.
y y y y
0 a x 0 a x 0 a x 0 a x
(a) lím ƒ=` (b) lím ƒ=` (c) lím ƒ=_` (d) lím ƒ=_`
x a_ x a+ x a_ x a+
FIGURA 14
6 DEFINICIÓN La recta x a se llama asíntota vertical de la curva y f x si
por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
lím f x
lím f x
lím f x
x la x l a x l a
lím f x
lím f x
lím f x
x la x l a x l a
Por ejemplo, el eje y es una asíntota vertical de la curva y 1x 2 porque
lím x l 0 1x 2
. En la figura 14, la recta x a es una asíntota vertical en cada uno
de los cuatro casos mostrados. En general, es muy útil conocer las asíntotas verticales
para trazar las gráficas.
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96 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
y 2x 2x
EJEMPLO 9 Determine lím y lím .
2x
y= x-3 x l3 x 3 x l3 x 3
5 SOLUCIÓN Si x está en la vecindad de 3, pero es mayor que 3, entonces el denominador
x 3 es un número positivo pequeño y 2x está cercano a 6. Así, el cociente 2xx 3
0 x es un número positivo grande. En estos términos, ve intuitivamente que
x=3 2x
lím
x l3 x3
De manera similar, si x está cerca de 3 pero es más pequeña que 3, entonces x 3 es un
FIGURA 15 número negativo pequeño, pero 2x es aún un número positivo, cercano a 6. De esa manera,
2xx 3 es en su magnitud un número negativo grande. Por esto,
2x
lím
y x l3 x3
La gráfica de la curva y 2xx 3 se ilustra en la figura 15. La recta x 3 es una
asíntota vertical.
1
EJEMPLO 10 Determine las asíntotas verticales de fx tan x.
3π _π π 0 π π 3π x
_ 2 _
2 2 2 SOLUCIÓN Puesto que
sen x
tan x
cos x
FIGURA 16 hay asíntotas verticales potenciales donde cos x 0. En efecto, como cos x l 0 cuando
y=tan x x l p2 y cos x l 0 cuando x l p2, en vista de que sen x es positiva cuando x
está cerca de p2,
lím tan x
y lím tan x
x l
2 x l p2
y
Esto demuestra que la recta x p2 es una asíntota vertical. Un razonamiento similar
muestra que las rectas x 2n 1p2, donde n es un entero, son asíntotas verticales
y=ln x
de fx tan x. La gráfica de la figura 16 lo confirma.
0 1 x Otro ejemplo de una función cuya gráfica tiene una asíntota vertical es la función loga-
ritmo natural y ln x. A partir de la figura 17
lím ln x
x l 0
FIGURA 17
El eje y es una asíntota vertical y de este modo la recta x 0 (el eje y) es una asíntota vertical. En efecto, lo mismo se
de la función logaritmo natural. cumple para y loga x siempre que a 1. (Véase figuras 11 y 12 de la sección 1.6.)
2.2 EJERCICIOS
1. Explique con sus propias palabras qué se quiere dar a entender 2. Explique qué se quiere dar a entender con
mediante la ecuación
lím f x 3 y lím f x 7
lím f x 5 x l 1 x l 1
xl2
¿Es posible que se cumpla esta proposición y todavía f2 3? Dé En esta situación ¿es posible que lím xl 1 fx exista?
una explicación. Dé una explicación.
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 97
SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 97
3. Explique el significado de cada una de las expresiones 7. Para la función t cuya gráfica se proporciona, establezca el
siguientes. valor de cada cantidad, si acaso existe. Si no existe, explique
(a) lím f x ∞ (b) lím f x ∞ la razón.
x l 3 xl4
(a) lím t t (b) lím t t (c) lím t t
tl0 tl0 tl0
4. Para la función f cuya gráfica se proporciona, establezca el valor
de cada cantidad, si existe. Si no la hay, explique por qué. (d) lím t t (e) lím t t (f) lím t t
tl2 xl0 tl2
(a) lím f x (b) lím f x (c) lím f x
xl0 xl3 xl3 (g) t2 (h) lím t t
tl4
(d) lím f x (e) f3
xl3 y
y 4
4 2
2
2 4 t
0 2 4 x
8. En el caso de la función R cuya gráfica se muestra, establezca lo
5. Use la gráfica de f que se proporciona para establecer el valor
siguiente.
de cada cantidad, si existe. Si no existe, explique por qué.
(a) lím R x (b) lím R x
(a) lím f x (b) lím f x (c) lím f x xl2 xl5
xl1 xl1 xl1
(c) lím Rx (d) lím Rx
(d) lím f x (e) f5 x l 3 x l 3
xl5
(e) Las ecuaciones de las asíntotas verticales.
y
y
4
2
_3 0 2 5 x
0 2 4 x
6. Para la función h, cuya gráfica se da, determine el valor de cada
cantidad, si existe. En caso que no exista explique por qué.
9. En el caso de la función f cuya gráfica se muestra, establezca lo
(a) lím hx (b) lím hx (c) lím hx siguiente.
x l 3 x l 3 x l 3
(a) lím f x (b) lím f x (c) lím f x
(d) h3 (e) lím hx (f) lím hx x l 7 x l 3 xl0
x l0 x l0
(d) lím f x (e) lím f x
(g) lím hx (h) h0 (i) lím hx xl6 xl6
x l0 x l2
(f) Las ecuaciones de las asíntotas verticales.
(j) h2 (k) lím hx (l) lím hx
x l5 x l5
y
y
_7 _3 0 6 x
_4 _2 0 2 4 6 x
10. Un paciente recibe una inyección de 150 mg de un medica-
mento cada 4 horas. La gráfica muestra la cantidad f t del
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 98
98 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
medicamento en el torrente sanguíneo, después de t horas. x 2 2x
18. lím ,
xl 1 x x2
2
lím f t y lím f t
t l 12 t l 12 x 0, 0.5, 0.9, 0.95, 0.99, 0.999,
2, 1.5, 1.1, 1.01, 1.001
y explique el significado de estos límites laterales.
ex 1 x
19. lím , x 1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01
xl0 x2
f(t)
20. lím x lnx x 2 , x 1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001
300 xl0
21–24 Mediante una tabla de valores estime el valor del límite. Si
150
dispone de una calculadora o de una computadora para graficar,
úsela para confirmar gráficamente sus resultados.
sx 4 2 tan 3x
0 4 8 12 16 t 21. lím 22. lím
xl0 x xl0 tan 5x
x6 1 9x 5x
23. lím 24. lím
xl1 x10 1 xl0 x
; 11. Use la gráfica de la función fx 11 e para estable-
1x
cer el valor de cada límite, si es que existe. Si no existe dé
la razón. 25–32 Determine el límite infinito.
(a) lím f x (b) lím f x (c) lím f x x2
xl0 xl0 xl0 x2
25. lím + 26. lím
x l3 x3 x l3 x3
12. Trace la gráfica de la función siguiente y úsela para determinar
los valores de a para los cuales existe lím xl a fx si: 2x ex
27. lím 28. lím
xl1 x 12 xl5 x 53
2x
fx x
x 1) 2
si x 1
si 1 x 1
si x 1
29. lím+ lnx2 9
31.
xl3
lím x csc x
x l2
30. lím cot x
xl
32. lím
x l2
x2 2x
x 4x 4
2
13–16 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que cumpla
con todas las condiciones dadas.
1 1
33. Determine lím y lím
13. lím f x 2 , lím f x 2 , f 1 2 x 3 1 x l1 x 3 1
x l1
xl1 x l1
(a) evaluando fx 1x 3 1 para encontrar valores de
14. lím f x 1, lím f x 1, lím f x 0, x que se aproximen a 1 desde la izquierda y desde la
xl0 x l 0 x l 2
derecha.
(b) planteando un razonamiento como en el ejemplo 9 y
lím f x 1, f 2 1, f 0 no está definida
x l 2 ; (c) a partir de la gráfica de f.
15. lím f x 4, lím f x 2, lím f x 2, 34. (a) Determine las asíntotas verticales de la función
xl3 x l 3 x l 2
f 3 3, f 2 1 x2 1
y
3x 2x 2
16. lím f x 3 , lím f x 3 , lím f x 3 , ; (b) Confirme su respuesta del inciso (a) graficando la función.
xl1 x l 4 x l 4
f 1 1, f 4 1 35. (a) Estime el valor del límite lím xl 0 1 x1x hasta cinco
cifras decimales. ¿Le resulta familiar este número?
; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la función y 1 x1x.
17–20 Suponga el valor del límite (siempre y cuando exista) eva-
luando la función en los números dados (con seis cifras decimales). ; 36. (a) Grafique la función fx tan 4xx y realice un acerca-
miento hacia el punto donde la gráfica cruza el eje y, estimar
x 2 2x el valor de lím xl 0 fx.
17. lím , x 2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001,
x l2 x x2
2
(b) Verificar su respuesta del inciso (a) evaluando f x para
1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999 valores de x que se aproximan a cero.
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 99
SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 99
37. (a) Evalúe la función f x x2 2x1000 para x 1, 0.8, veces un acercamiento hacia el origen. Comente el comporta-
0.6, 0.4, 0.2, 0.1 y 0.05 y conjeture el valor de miento de esta función.
lím x 2
xl0
2x
1000
40. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con
velocidad v es
m0
(b) Evalúe fx para x 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.003 y 0.001. m
s1 v 2c 2
Conjeture de nuevo.
donde m0 es la masa de la partícula en reposo y c es la rapidez
38. (a) Evalúe hx tan x xx3 para x 1, 0.5, 0.1, 0.05,
de la luz. ¿Qué sucede cuando v l c?
0.01 y 0.05
tan x x
(b) Conjeture el valor de lím . ; 41. Estime mediante una gráfica las ecuaciones de todas las asíntotas
xl0 x3 verticales de la curva
(c) Evalúe hx para valores cada vez más pequeños de x hasta
que finalmente llegue a valores 0 para hx. ¿Aún está seguro y tan2 sen x p x p
de que lo que conjeturó en el inciso (b) es correcto? Expli-
que por qué obtuvo valores 0 en algún momento. (En la Luego determine las ecuaciones exactas de estas asíntotas.
sección 4.4 se explicará un método para evaluar el límite.)
; (d) Dibuje la función h en el rectángulo de visualización ; 42. (a) Use evidencia numérica y gráfica para conjeturar el valor
1, 1
por 0, 1
. A continuación haga un acercamiento del límite.
hasta el punto en que la gráfica cruza el eje y para estimar
el límite de hx conforme x se aproxima a 0. Prosiga con el x3 1
lím
acercamiento hasta que observe distorsiones en la gráfica xl1 sx 1
de h. Compare con los resultados del inciso (c).
(b) ¿Qué tan cerca de 1 tiene que estar x para asegurar que
; 39. Grafique la función f x senpx del ejemplo 4 en el rec- la función del inciso (a) esté dentro de una distancia 0.5
tángulo de visión 1, 1
por 1, 1
. Después efectúe varias respecto de su límite?
2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES
En la sección 2.2 usó calculadoras y gráficas para suponer los valores de los límites, pero
fue claro que esos métodos no siempre conducen a la respuesta correcta. En esta sección
aplicará las siguientes propiedades de los límites, conocidas como leyes de los límites, pa-
ra calcularlos.
LEYES DE LOS LÍMITES Suponga que c es una constante y que los límites
lím f x y lím tx
xla xla
existen. Entonces
1. lím f x tx
lím f x lím tx
xla xla xla
2. lím f x tx
lím f x lím tx
xla xla xla
3. lím cf x
c lím f x
xla xla
4. lím f xtx
lím f x lím tx
xla xla xla
f x lím f x
5. lím xla si lím tx 0
xla tx lím tx xla
xla
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 100
100 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
Estas leyes se pueden expresar en forma verbal como sigue
LEY DE LA SUMA 1. El límite de una suma es la suma de los límites.
LEY DE LA DIFERENCIA 2. El límite de una diferencia es la diferencia de los límites.
LEY DE MÚLTIPLO CONSTANTE 3. El límite de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada
por el límite de la función
LEY DEL PRODUCTO 4. El límite de un producto es el producto de los límites.
LEY DEL COCIENTE 5. El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del
denominador no sea cero).
Es fácil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, si fx está cercano a L
y tx lo está de M, resulta razonable concluir que fx tx está cercano a L M. Esto da
una base intuitiva para creer que la ley 1 es verdadera. En la sección 2.4 aparece una defini-
ción precisa de límite; la cual se utilizará para demostrar esta ley. Las demostraciones de las
leyes restantes se proporcionan en el apéndice F.
y EJEMPLO 1 Use las leyes de los límites y las gráficas de f y t de la figura 1 para evaluar
f
los límites siguientes, si existen.
1 f x
(a) lím f x 5tx
(b) lím f xtx
(c) lím
x l 2 xl1 xl2 tx
0 1 x
g SOLUCIÓN
(a) A partir de las gráficas de f y t,
FIGURA 1 lím f x 1 y lím tx 1
x l 2 x l 2
Por lo tanto,
lím f x 5tx
lím f x lím 5tx
(por la ley 1)
x l 2 x l 2 x l 2
lím f x 5 lím tx (por la ley 3)
x l 2 x l 2
1 51 4
(b) Observe que lím x l 1 f x 2. Pero lím x l 1 tx no existe porque los límites por la
izquierda y por la derecha son diferentes:
lím tx 2 lím tx 1
x l 1 x l 1
De suerte que no es posible usar la ley 4 para el límite deseado. Pero puede usar la ley 4
para los límites laterales:
lím f xtx
2 2 4 lím f xtx
2 1 2
x l 1 x l 1
los límites izquierdo y derecho no son iguales, así lím x l 1 f xtx
no existe.
(c) Las gráficas muestran que
lím f x
1.4 y lím tx 0
xl2 xl2
Ya que el límite del denominador es 0, no puede aplicar la ley 5. El límite dado no existe
porque el denominador se aproxima a cero en tanto que el numerador tiende a un número
no cero.
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 101
SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 101
Si aplica la ley del producto repetidas veces, con tx f x, obtiene la ley siguiente:
6. lím f x
n lím f x
[ ] n
LEY DE LA POTENCIA donde n es un entero positivo
x la x la
En la aplicación de estas seis leyes de los límites, necesita usar dos límites especiales:
7. lím c c 8. lím x a
xla xla
Estos límites son evidentes desde un punto de vista intuitivo (establézcalos verbalmente
o dibuje y c y y x), pero demostraciones en términos de la definición precisa se piden
en los ejercicios de la sección 2.4.
Si en la ley 6 pone ahora f x x y aplica la Ley 8, obtiene otro límite especial
útil.
9. lím x n a n donde n es un entero positivo
xla
Se cumple un límite similar para las raíces, como sigue. (En el caso de las raíces cua-
dradas la demostración se esboza en el ejercicio 37 de la sección 2.4.)
10. lím s
n
xs
n
a donde n es un entero positivo
xla
(Si n es par, considere que a 0.)
De modo más general, tiene la siguiente ley, que es verificada como una consecuencia de
la ley 10 en la sección 2.5.
LEY DE LA RAÍZ 11. lím s
n
f x) s lím
n
f x) donde n es un entero positivo
x la x la
Si n es par, suponga que lím f x 0.
x la
EJEMPLO 2 Evalúe los límites siguientes y justifique cada paso.
x 3 2x 2 1
(a) lím 2x 2 3x 4 (b) lím
x l5 x l 2 5 3x
SOLUCIÓN
(a) lím 2x 2 3x 4 lím 2x 2 lím 3x lím 4 (por las leyes 2 y 1)
x l5 x l5 x l5 x l5
2 lím x 2 3 lím x lím 4 (por la 3)
x l5 x l5 x l5
252 35 4 (por las 9, 8 y 7)
39
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 102
102 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
NEWTON Y LOS LÍMITES (b) Empiece con la ley 5, pero su aplicación sólo se justifica plenamente en la
Isaac Newton nació el día de Navidad, en etapa final, cuando los límites del numerador y del denominador existen, y este
1642, el año en que murió Galileo. Cuando último no es 0.
ingresó a la Universidad de Cambridge, en
1661, no sabía mucho de matemáticas, pero x 3 2x 2 1 lím x 3 2x 2 1
aprendió con rapidez leyendo a Euclides y lím x l 2 (por la ley 5)
Descartes y asistiendo a las conferencias de x l 2 5 3x lím 5 3x
x l 2
Isaac Barrow. Cambridge se cerró debido a la
plaga de 1665 y 1666, y Newton regresó a lím x 3 2 lím x 2 lím 1
x l 2 x l 2 x l 2
casa a reflexionar en lo que había aprendido. (por las 1, 2 y 3)
Esos dos años fueron asombrosamente produc- lím 5 3 lím x
x l 2 x l 2
tivos porque hizo cuatro de sus principales
descubrimientos: 1) su representación de 2 22 1
3 2
funciones como sumas de series infinitas, in- (por las 9, 8 y 7)
5 32
cluyendo el teorema del binomio; 2) su trabajo
sobre el cálculo diferencial e integral; 3) sus 1
leyes del movimiento y la ley de la gravitación
11
universal y 4) sus experimentos del prisma
acerca de la naturaleza de la luz y del color.
Debido a cierto temor a la controversia y a la NOTA Si fx 2x2 3x 4, entonces f5 39. En otras palabras, habría obtenido la
crítica, se mostró renuente a publicar sus respuesta correcta del ejemplo 2(a) sustituyendo x con 5. De manera análoga, la sustitu-
descubrimientos y no fue sino hasta 1687, a ción directa da la respuesta correcta en el inciso (b). Las funciones del ejemplo 2 son un
instancias del astrónomo Halley, que publicó
Principia Mathematica. En este trabajo, el tra- polinomio y una función racional, respectivamente y el uso semejante de las leyes de los
tado científico más grande jamás escrito, New- límites prueba que la sustitución directa siempre funciona para este tipo de funciones (vea
ton expuso su versión del cálculo y lo usó para los ejercicios 53 y 54). Este hecho se expresa del modo siguiente:
investigar la mecánica, la dinámica de fluidos
y el movimiento ondulatorio, así como para
explicar el movimiento de los planetas y de los PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN DIRECTA Si f es un polinomio o una función racional
cometas.
Los inicios del cálculo se encuentran en las
y a está en el dominio de f, entonces
operaciones para hallar las áreas y los volúme-
lím f x f a
nes que realizaron los antiguos eruditos grie- x la
gos, como Eudoxo y Arquímedes. Aun cuando
los aspectos de la idea de límite se encuentran
implícitos en su “método de agotamiento”, Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman continuas en a y se
Eudoxo y Arquímedes nunca formularon explí- estudian en la sección 2.5. Sin embargo, no todos los límites se pueden evaluar por sus-
citamente el concepto de límite. Del mismo titución directa, como los ejemplos siguientes hacen ver.
modo, matemáticos como Cavalieri, Fermat y
Barrow, los precursores inmediatos de Newton
en el desarrollo del cálculo, no usaron los lími- x2 1
EJEMPLO 3 Encuentre lím .
tes. Isaac Newton fue el primero en hablar ex- xl1 x1
plícitamente al respecto. Explicó que la idea
principal detrás de los límites es que las canti- SOLUCIÓN Sea f x x2 1x 1. No puede hallar el límite al sustituir x 1 porque
dades “se acercan más que cualquier diferencia f 1 no está definido. tampoco puede aplicar la ley del cociente porque el límite del
dada”. Newton expresó que el límite era el
concepto básico del cálculo, pero fue tarea de
denominador es 0. En lugar de ello, necesita algo de álgebra preliminar. Factorice
matemáticos posteriores, como Cauchy, aclarar el numerador como una diferencia de cuadrados:
sus ideas acerca de los límites.
x2 1 x 1x 1
x1 x1
El numerador y el denominador tienen un factor común de x 1. Cuando toma el límite
a medida que x tiende a 1, tiene x 1 y, por lo tanto, x 1 0. Por consiguiente, can-
cele el factor común y calcule el límite como sigue:
x2 1 x 1x 1
lím lím lím x 1 1 1 2
xl1 x1 xl1 x1 xl1
El límite de este ejemplo surgió en la sección 2.1, cuando trató de hallar la tangente a la
parábola y x2 en el punto 1, 1.
NOTA En el ejemplo 3 fue capaz de calcular el límite sustituyendo la función dada
fx x2 1x 1 por una función más sencilla, tx x 1, con el mismo límite.
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 103
SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 103
y Esto es válido porque f x tx excepto cuando x 1, y al calcular un límite con-
y=ƒ forme x se aproxima a 1 no se considera qué sucede cuando x es en realidad igual a 1.
3
2
En general tiene el hecho útil siguiente.
1
Si f x tx cuando x a, entonces lím f x lím tx, en caso de que exista
xla xla
0 1 2 3 x el límite.
y
EJEMPLO 4 Encuentre lím tx, donde
y=© x l1
3
x 1 si x 1
2 tx
si x 1
1
SOLUCIÓN En este caso, t está definida en x 1 y t1 p, pero el valor de un límite
0 x
1 2 3 cuando x tiende a 1 no depende del valor de la función en 1. Como tx x 1 para
x 1,
FIGURA 2
Las gráficas de las funciones f (del lím tx lím x 1 2
xl1 xl1
ejemplo 3) y g (del ejemplo 4)
Advierta que los valores de las funciones de los ejemplos 3 y 4 son idénticos, excepto
cuando x 1 (véase la figura 2), de modo que tienen el mismo límite cuando x tiende a 1.
3 h2 9
V EJEMPLO 5 Evalúe lím .
hl0 h
SOLUCIÓN Si define
3 h2 9
Fh
h
en tal caso, como en el ejemplo 3, no puede calcular lím h l 0 Fh haciendo h 0, ya que
F0 no está definido. Pero si simplifica Fh algebraicamente, encuentra que
9 6h h 2 9 6h h 2
Fh 6h
h h
(Recuerde que sólo se considera h 0 cuando se hace que h tienda a 0.) De este modo,
3 h2 9
lím lím 6 h 6
hl0 h hl0
st 2 9 3
EJEMPLO 6 Encuentre lím .
tl0 t2
SOLUCIÓN No puede aplicar la ley del cociente de inmediato, puesto que el límite del deno-
minador es 0. En el presente caso, el álgebra preliminar consiste en la racionalización del
numerador:
st 2 9 3 st 2 9 3 st 2 9 3
lím lím
tl0 t 2 tl0 t2 st 2 9 3
t 2 9 9 t2
lím lím
tl0 t (st 2 9 3)
2 t l 0 t (st 2 9 3)
2
1 1 1 1
lím
tl0 st 2 9 3 s lím t 2 9 3 3 3 6
tl0
Este cálculo confirma lo que se conjeturó en el ejemplo 2 de la sección 2.2.
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 104
104 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
Lo mejor para calcular algunos límites es hallar en primer lugar los límites por la iz-
quierda y por la derecha. El teorema siguiente es un recordatorio de lo que se descubrió en
la sección 2.2. Afirma que existe un límite bilateral si y sólo si los dos límites laterales
existen y son iguales.
1 TEOREMA lím f x L si y sólo si lím f x L lím f x
xla xla x la
Cuando calculamos un límite lateral aplicamos el hecho de que las Leyes de los Límites
también se cumplen para los límites de este tipo.
& Según la figura 3, el resultado del ejemplo 7
parece plausible.
EJEMPLO 7 Demuestre que lím x 0.
xl0
SOLUCIÓN Recuerde que
y
x si x 0
y=| x| x x si x 0
Como x x para x 0, tiene
0 x
x l 0
lím x lím x 0
xl0
FIGURA 3 Para x 0, tiene x x y, por consiguiente,
x l 0
lím x lím x 0
xl0
En consecuencia, por el teorema 1,
xl0
lím x 0
V EJEMPLO 8 Compruebe que lím x no existe.
xl0 x
y SOLUCIÓN lím x lím
x
lím 1 1
|x| x l 0 x x l 0 x xl0
y= x 1
0 x lím x lím
x
lím 1 1
_1
xl0 x xl0 x xl0
Como los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes, por el teorema 1
FIGURA 4 se concluye que lím x l 0 x x no existe. La figura 4 muestra la gráfica de la función
f x x x y apoya los límites laterales que encontró.
EJEMPLO 9 Si
f x sx 4
8 2x
si x 4
si x 4
determine si existe lím x l 4 fx.
SOLUCIÓN Puesto que f x sx 4 para x 4, tiene
& Se demuestra en el ejemplo 3 de la sección 2.4
que lím x l 0 sx 0.
lím f x lím sx 4 s4 4 0
x l 4 xl4
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 105
SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 105
y
Puesto que f x 8 2x para x 4, tiene
lím f x lím 8 2x 8 2 4 0
x l 4 xl4
0 4 x
Los límites del lado derecho y del lado izquierdo son iguales. Por lo tanto, el límite existe y
FIGURA 5 lím f x 0
xl4
La gráfica de f se ilustra en la figura 5.
& Otras expresiones para x son x
y ⎣x⎦ . A EJEMPLO 10 La función mayor entero se define como x el entero más grande que es
la función entero máximo algunas veces se le menor o igual que x. (Por ejemplo, 4 4, 4.8 4, p 3, s2 1, 12 1.)
llama la función piso.
Demuestre que lím x l3 x no existe.
y
4
SOLUCIÓN En la figura 6 se muestra la gráfica de la función entero máximo. Puesto que
x 3 para 3 x 4, tiene
3
2 y=[ x]
lím x lím 3 3
x l3 x l3
1
0 1 2 3 4 5 x Dado que x 2 para 2 x 3, tiene
lím x lím 2 2
x l3 x l3
FIGURA 6
Función máximo entero
En virtud de que estos límites unilaterales no son iguales, por el teorema 1, lím x l 3 x
no existe.
En los dos teoremas siguientes se dan dos propiedades adicionales de los límites. Sus
demostraciones se proporcionan en el apéndice F.
2 TEOREMA Si f x tx, cuando x está cerca de a (excepto posiblemente en
a), y los límites de f y t existen cuando x tiende a a, entonces
lím f x lím tx
xla xla
3 TEOREMA DE LA COMPRESIÓN Si f x tx hx, cuando x está cerca de a
(excepto quizá en a) y
y
lím f x lím hx L
xla xla
h
g
L entonces lím tx L
xla
f
En la figura 7 se ilustra el teorema de la compresión, a veces conocido como teorema
0 a x del emparedado o del apretón. Afirma que si tx se comprime entre f x y hx, cerca de
a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, por lo tanto es forzoso que t tenga el mismo
FIGURA 7 límite L en a
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 106
106 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
1
V EJEMPLO 11 Demuestre que lím x 2 sen 0.
xl0 x
SOLUCIÓN En primer lugar, note que no puede aplicar
1 1
| lím x 2 sen lím x 2 lím sen
xl0 x xl0 xl0 x
porque lím x l0 sen1x no existe (véase el ejemplo 4, en la sección 2.2). Sin embargo,
como
1
1 sen 1
x
y tiene, como se ilustra mediante la figura 8,
y=≈
1
x 2 x 2 sen x2
x
0 x
Sabe que
y=_≈ lím x 2 0 y lím x 2 0
xl0 xl0
FIGURA 8
Al tomar f x x2, tx x2 sen 1x y hx x2 en el teorema de la compresión,
y=≈ sen(1/x)
obtiene
1
lím x 2 sen 0
xl0 x
2.3 EJERCICIOS
1. Dado que f x
(c) lím f xtx
(d) lím
lím f x 4 lím tx 2 lím hx 0 x l0 x l 1 tx
x l2 x l2 x l2
encuentre los límites que existan. Si el límite no existe,
(e) lím x 3f x
(f) lím s3 f x
explique por qué. x l2 x l1
(a) lím f x 5tx
(b) lím tx
3 3–9 Evalúe el límite y justifique cada etapa indicando la(s) ley(es)
x l2 x l2
de los límites apropiada(s).
3f x
(c) lím sf x (d) lím 2x 2 1
x l2 x l2 tx 3. lím 3x 4 2x 2 x 1 4. lím
x l 2 x l2 x 6x 4
2
tx txhx
(e) lím (f) lím
x l 2 hx x l2 f x 5. lím (1 sx )2 6x 2 x 3
3
6. lím t 2 13t 35
xl8 t l 1
2. Se dan las gráficas de f y t. Úselas para evaluar cada límite, si
existe. Si el límite no existe, explique por qué.
y y 7. lím
x l1
1 3x
1 4x 2 3x 4
3
8. lím su 4 3u 6
u l2
y=ƒ y=©
1 1 9. lím s16 x 2
xl4
1 x 0 1 x
10. (a) ¿Qué está incorrecto en la ecuación siguiente?
x2 x 6
(a) lím f x tx
(b) lím f x tx
x3
x l2 x l1 x2
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 107
SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 107
(b) En vista del inciso (a), explique por qué la ecuación f x x2, tx x2 cos 20px y hx x2 en la misma
x x6
2 pantalla.
lím lím x 3
x l2 x2 x l2 ; 34. Aplique el teorema de la compresión para demostrar que
es correcta.
lím sx 3 x 2 sen 0
x l0 x
11–30 Evalúe el límite, si existe.
Ilustre dibujando las funciones f, t y h (en la notación de ese
x2 x 6 x 2 5x 4 teorema) en la misma pantalla.
11. lím 12. lím 2
x l2 x2 x l 4 x 3x 4
35. Si 4x 9 fx x 2 4x 7 para x 0, hallar el
x2 x 6 x 2 4x lím xl 4 fx.
13. lím 14. lím
x l2 x2 xl4 x 3x 4
2
36. Si 2x tx x 4 x 2 2 para toda x, valorar el
lím xl 1 tx.
t2 9 x 2 4x
15. lím 16. lím
t l 3 2t 7t 3
2
x l 1 x 3x 4
2 2
37. Demuestre que lím x 4 cos 0.
x l0 x
4 h2 16 x3 1
17. lím 18. lím 38. Demuestre que lím sx e sen
x 0 .
hl0 h x l1 x2 1 x l0
x2 2 h 8 3
39–44 Determine el límite, si acaso existe. Si el límite no existe ex-
19. lím 20. lím
x l2 x3 8 h l0 h plique la razón.
9t s1 h 1 2x 12
21. lím
tl9 3 st
22. lím
h l0 h
39. lím (2x x 3
xl3
) 40. lím
x l 6
x6
sx 2 3 x 2x 1
2
2x 1 2 x
23. lím 24. lím 41. lím 42. lím
x l7 x7 x l 1 x4 1 x l0.5
2x
3
x2 x l2 2x
1 1
1 1 1 1
4 x 1 1 43. lím 44. lím
25. lím
x l 4 4 x
26. lím
tl0 t
2
t t
x l0 x x x l0 x
x
4 sx 3 h1 3 1
27. lím 28. lím 45. La función signum o signo se denota mediante sgn y se define
x l16 16x x 2 hl0 h
como
1 1 sx 9 5 2
1 si x 0
29. lím 30. lím
tl0 t s1 t t x l4 x4 sgn x 0 si x 0
1 si x 0
; 31. (a) Estime el valor de (a) Trace la gráfica de esta función.
x
lím (b) Calcule cada uno de los límites siguientes o explique por
x l0 s1 3x 1
qué no existe.
dibujando la función f x x(s1 3x 1). (i) lím sgn x
xl0
(ii) lím sgn x
xl0
(b) Haga una tabla de valores de f x para x cerca de 0 e intente
el valor del límite.
(iii) lím sgn x
xl0
(iv) lím sgn x
xl0
(c) Use las leyes de los límites para probar que su conjetura es
correcta. 46. Sea
; 32. (a) Use una gráfica de
f x
s3 x s3
f x 4 x2
x1
si x 2
si x 2
x
(a) Determine lím xl 2 fx y lím xl 2 fx.
para estimar el valor de lím xl 0 f x hasta dos cifras (b) ¿Existe lím xl 2 fx?
decimales. (c) Trace la gráfica de f.
(b) Use una tabla de valores de f x para estimar el límite hasta
cuatro cifras decimales. x2 1
47. Sea Fx .
(c) Utilice las leyes de los límites para hallar el valor exacto x1
del límite.
(a) Encuentre
; 33. Aplique el teorema de la compresión para demostrar que (i) lím Fx (ii) lím Fx
lím xl 0 x2 cos 20p x 0. Ilustre dibujando las funciones x l1 x l1
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 108
108 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
(b) ¿Existe lím xl 1 Fx? f x 8
55. Si lím 10 , hallar lím fx.
(c) Trace la gráfica de F. xl1 x1 xl1
48. Sea fx
x si x 1 56. Si lím 5 , hallar los límites que siguen.
xl0 x2
3 si x 1
tx fx
2 x2 si 1 x 2 (a) lím fx (b) lím
x3 si x 2 xl0 xl0 x
(a) Evalúe cada uno de los límites siguientes, si es que existe. 57. Si
(i) lím tx
xl1
(ii) lím tx
x l1
(iii) t1
f x x2
0
si x es racional
si x es irracional
(iv) lím tx (v) lím tx (vi) lím tx
xl2 xl2 x l2
demuestre que lím xl 0 fx 0.
(b) Trace la gráfica de t.
49. (a) Si el símbolo denota la función mayor entero definida en 58. Muestre por medio de un ejemplo que lím xl a f x tx
el ejemplo 10, evalúe puede existir aunque no existan ni lím xl a f x ni lím xl a tx.
(i) lím x (ii) lím x (iii) lím x 59. Muestre por medio de un ejemplo que lím xl a f xtx
puede
x l 2 x l 2 x l 2.4
(b) Si n es un entero, evalúe existir aunque no existan ni lím xl a fx ni lím xl a tx.
(i) lím x (ii) lím x s6 x 2
x ln xln
60. Evalúe lím .
(c) ¿Para cuáles valores de a existe lím xl a x? x l2 s3 x 1
50. Sea f x cos x, p x p. 61. ¿Hay un número a tal que
(a) Trace la gráfica de f
(b) Evalúe cada límite, si es que existe. 3x 2 ax a 3
lím
x l2 x2 x 2
(i) lím f x (ii) lím f x
x l0 x l
2
exista? Si es así, encuentre los valores de a y del límite.
(iii) lím f x (iv) lím f x
xl
2 xl
2
62. En la figura se muestra una circunferencia C1 con ecuación
(c) ¿Para cuáles valores de a existe lím xl a fx?
x 12 y2 1 y una circunferencia C2 que se contrae,
51. Si f x x x, demuestre que lím xl 2 fx existe pero no con radio r y centro en el origen. P es el punto 0, r, Q es
es igual a f 2. el punto superior de intersección de los dos círculos y R es el
punto de intersección de la recta PQ y el eje x. ¿Qué le sucede
52. En la teoría de la relatividad, la fórmula de la contracción de
a R al contraerse C2; es decir, cuando r l 0?
Lorentz
L L 0 s1 v 2c 2
y
expresa la longitud L de un objeto como función de su velo-
cidad v respecto a un observador, donde L0 es la longitud P
Q
del objeto en reposo y c es la rapidez de la luz. Encuentre
C™
lím v l c L e interprete el resultado. ¿Por qué se necesita un
límite por la izquierda?
53. Si p es un polinomio, demuestre que lím xl a px pa. 0 R x
C¡
54. Si r es una función racional, aplique el resultado del ejercicio 53
para demostrar que lím xl a rx ra, para todo número a en
el dominio de r.
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 109
SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 109
2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE
La definición intuitiva de límite que se presenta en la sección 2.2 es inaceptable en al-
gunos casos porque son vagas las frases como “x se acerca a 2” y “f x se acerca más y
más a L”. Con objeto de ser capaz de demostrar en forma concluyente que
xl0
lím x 3
cos 5x
10 000
0.0001 o bien lím
xl0
sen x
x
1
se tiene que hacer una definición precisa de límite.
Para motivar la definición precisa de límite considere la función
f x 2x 1
6
si x 3
si x 3
Es evidente y claro que cuando x se acerca a 3 con x 3, entonces fx está cerca de 5 y así
lím xl3 fx 5.
Con el fin de obtener más detalles con respecto a cómo varía f x cuando x se acerca a
3, se plantean las siguientes preguntas:
¿Qué tan cerca de 3 tiene que estar x para que fx difiera de 5 en menos de 0.1?
& El uso de la letra griega d (delta) ya es una La distancia de x a 3 es x 3 y la distancia desde f x a 5 es fx 5 , de modo que el
costumbre en esta situación. problema es encontrar un número d tal que
f x 5 0.1 si x 3 d pero x 3
Si x 3 0, entonces x 3, de modo que una formulación equivalente del problema es
determinar un número d tal que
fx 5 0.1 si 0 x 3 d
Observe que si 0 x 3 0.12 0.05, entonces
f x 5 2x 1 5 2x 6 2 x 3 0.1
es decir, fx 5 0.1 si 0 x 3 0.05
De este modo, una respuesta al problema lo da d 0.05; es decir, si x está dentro de una
distancia de 0.05 desde 3, entonces f x estará dentro de una distancia de 0.1 desde 5.
Si cambia la cantidad 0.1 del problema por una cantidad menor 0.01, entonces usando
el mismo método se encuentra que fx difiere de 5 por menos de 0.01 siempre que x di-
fiera de 3 en menos de (0.01)2 0.005:
f x 5 0.01 si 0 x 3 0.005
De manera igual,
f x 5 0.001 si 0 x 3 0.0005
Las cantidades 0.1, 0.01 y 0.001 son consideradas como tolerancias de error que podría per-
mitir. Para que 5 sea el límite exacto de fx cuando x tiende a 3, tiene no sólo que ser capaz
de llevar la diferencia entre fx y 5 por abajo de cada una de estas tres cantidades; tiene que
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 110
110 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
conservar abajo a cualquier número positivo. Y de acuerdo con el mismo razonamiento,
¡claro que es posible! Si escribe e (la letra griega épsilon) para que represente un número
positivo arbitrario, entonces se encuentra al igual que antes que
1 f x 5 e si
0 x3 2
Ésta es una forma exacta de decir que f x está cerca de 5 cuando x se acerca a 3 porque
(1) establece que es posible hacer que los valores de f x queden dentro de una distancia
arbitraria e a partir de 5 conservando los valores de x dentro de una distancia e2 a partir
de 3 (pero x 3).
Observe que otra forma de (1) es:
si 3 d x 3 d x 3 en tal caso 5 e f x 5 e
y lo cual se ilustra en la figura 1. Al hacer que los valores de x 3 queden en el inter-
valo 3 d, 3 d es posible hacer que los valores de f x se ubiquen en el intervalo
5+∑
ƒ 5 e, 5 e.
está 5
Usando (1) como modelo, damos una definición precisa de límite.
aquí 5-∑
2 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene
el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces decimos que el límite de
0 3 x fx cuando x tiende a a es L, se escribe
3-∂ 3+∂ lím f x L
xla
cuando x está aquí
(x≠3) si para todo número e 0 hay un número d 0 tal que
FIGURA 1 si 0 x a d entonces fx L e
Puesto que x a es la distancia desde x hasta a y fx L es la distancia desde f x
hasta L y como e puede ser arbitrariamente pequeño, la definición de límite se puede ex-
presar en palabras como se indica a continuación:
lím x l a fx L quiere decir que la distancia entre f x y L puede hacerse pequeña en forma
arbitraria al hacer que la distancia desde x hasta a sea suficientemente pequeña (pero no 0).
Otra posibilidad es
lím x l a f x L significa que los valores de f x pueden ser tan cercanos como quiera a L
al hacer que x se acerque lo suficiente a a (pero que no sea igual a a).
Asimismo, puede replantear la definición 2 en términos de intervalos si observa que la de-
sigualdad x a d equivale a d x a d, que a su vez se puede escribir como
a d x a d. También 0 x a es verdadera si y sólo si x a 0 es decir,
x a. De manera similar, la desigualdad fx L e equivale al par de desigualdades
L e f x L e. Por lo tanto, en términos de intervalos, la definición 2 se puede
plantear como sigue:
lím x l a fx L quiere decir que para todo e 0 (sin que importe lo pequeño que sea e)
puede encontrar una d 0 tal que si x está en el intervalo abierto a d, a d y x a,
entonces f x queda en el intervalo abierto L e, L e.
La interpretación geométrica de este enunciado se consigue representando una función
mediante un diagrama de flechas como en la figura 2, donde f mapea un subconjunto de
en otro subconjunto de .
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SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 111
f
FIGURA 2 x a f(a) ƒ
La definición de límite establece que si cualquier intervalo pequeño L e, L e
alrededor de L, entonces es posible encontrar un intervalo a d, a d alrededor de a
tal que f mapea todos los puntos en a d, a d (excepto posiblemente en a) en el inter-
valo L e, L e. Véase figura 3.
f
x ƒ
FIGURA 3 a-∂ a a+∂ L-∑ L L+∑
Otra interpretación geométrica de los límites se puede hacer en términos de la grá-
fica de la función. Si e 0 trace las rectas horizontales y L e y y L e y la
gráfica de f (véase figura 4). Si lím x l a f x L, entonces se puede encontrar un número
d 0 tal que si restringe a x a que quede en el intervalo a d, a d y hace x a,
entonces la curva y f x está entre las rectas y L e y y L e. (Véase figura 5.)
Usted puede ver que si se ha encontrado tal d en tal caso cualquier d más pequeña también
funcionará.
Es importante darse cuenta que el proceso ilustrado en las figuras 4 y 5 debe funcionar
para todo número positivo e sin que importe qué tan pequeño sea. En la figura 6 se ilustra
que si se elige un e más pequeño, entonces se podría requerir una d más pequeña.
y y y
y=ƒ
L+∑
y=L+∑ y=L+∑ y=L+∑
ƒ
∑ ∑
L está L ∑
∑
aquí y=L-∑
y=L-∑ y=L-∑
L-∑
0 a x 0 a x 0 a x
a-∂ ∂ a-∂ a+∂
cuando est aquí
(x a)
FIGURA 4 FIGURA 5 FIGURA 6
EJEMPLO 1 Utilice una gráfica para encontrar un número d tal que
15 si x 1 d entonces x3 5x 6 2 0.2
En otras palabras, encuentre un número d que corresponda a e 0.2 en la definición de
límite para la función fx x3 5x 6 en donde a 1 y L 2.
SOLUCIÓN Una gráfica de f se presenta en la figura 7; estamos interesados en la región
_3 3
cercana al punto 1, 2. Observe que puede volver a escribir la desigualdad
_5 x3 5x 6 2 0.2
FIGURA 7 como 1.8 x3 5x 6 2.2
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112 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
2.3 Necesitamos establecer los valores de x para los cuales la curva y x3 5x 6
y=2.2 se sitúa entre las horizontales y 1.8 y y 2.2. Por lo tanto, grafique las curvas
y=˛-5x+6 y x3 5x 6, y 1.8 y y 2.2 cerca del punto 1, 2 en la figura 8. Luego utilice el
cursor para estimar que la coordenada x del punto donde se cortan la recta y 2.2 y
(1, 2)
la curva y x3 5x 6 está por 0.911. De igual manera, y x3 5x 6 corta la
y=1.8 recta y 1.8 cuando x
1.124. De este modo, al redondear para estar seguro, puede
0.8 1.2
decir que
1.7
si 0.92 x 1.12 entonces 1.8 x3 5x 6 2.2
FIGURA 8
Este intervalo 0.92, 1.12 no es simétrico con respecto a x 1. La distancia desde x 1
hasta el extremo izquierdo es 1 0.92 0.08 y la distancia hasta el extremo derecho es
0.12. Puede escoger d como el más pequeño de estos números, es decir, d 0.08. Luego
puede reescribir las desigualdades en términos de distancias como sigue:
si x 1 0.08 entonces x3 5x 6 2 0.2
Esto dice justamente que al mantener a x dentro del 0.08 de 1, es capaz de conservar a fx
dentro de 0.2 de 2.
Aunque seleccionamos d 0.08, cualquier valor positivo más pequeño de d habría
funcionado.
El procedimiento gráfico del ejemplo 1 ilustra la definición para e 0.2, pero no demues-
tra que el límite es igual a 2. Una demostración tiene que proporcionar una d para cada e.
Para mejorar los enunciados de límite sería útil pensar en la definición de límite como
un desafío. Primero lo retan con un número e. Después usted debe ser capaz de obtener una
d adecuada. Debe ser capaz de hacerlo para toda e 0, no sólo para una e en particular.
Considere una contienda entre dos personas A y B, piense que usted es B. La persona
A estipula que se debe aproximar al número fijo L por medio de valores de f x dentro de
un grado de exactitud e (por ejemplo 0.01). Por lo tanto, la persona B responde determi-
nando un número d tal que 0 x a d siempre que fx L e. Luego A podría
volverse más exigente y desafiar a B con un valor más pequeño de e, por ejemplo, 0.0001.
Una vez más, B tiene que responder encontrando una d correspondiente. Por lo regular, a
medida que el valor de e es más pequeño, es menor el correspondiente valor de d. Si B
siempre gana, sin importar qué tan pequeño haga A a e, entonces lím xl a fx L.
V EJEMPLO 2 Demuestre que lím 4x 5 7.
x l3
SOLUCIÓN
1. Análisis preliminar del problema (adivinar un valor de d). Sea e un número
positivo dado. Queremos encontrar un número d tal que
si 0 x 3 d entonces 4x 5 7 e
Pero 4x 5 7 4x 12 4x 3 4 x 3 . Por lo tanto,
si 0 x 3 d entonces 4 x 3 e
es decir, si 0 x 3 d entonces x 3 4
Esto hace pensar que debe escoger d e4.
2. Comprobación (presentación de que esta d funciona). Dado e 0, elija d e4.
Si 0 x 3 d, entonces
4x 5 7 4x 12 4 x 3 4 4
4
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SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 113
y por lo tanto
y=4x-5
7+∑
si 0 x 3 d entonces 4x 5 7 e
7
7-∑ Por lo tanto, de acuerdo con la definición de límite,
lím 4x 5 7
x l3
Este ejemplo se ilustra en la figura 9.
0 3 x
Observe que en la solución del ejemplo 2 hay dos etapas: adivinar y ensayar. Efectuó un
3-∂ 3+∂
análisis preliminar que posibilitó suponer un valor de d. Pero luego, en la segunda etapa, tu-
FIGURA 9 vo que regresar y comprobar en forma cuidadosa y lógica que dio una opinión correcta. Es-
te procedimiento es característico de gran parte de la matemática. Algunas veces se necesita
hacer primero una conjetura inteligente con respecto a la respuesta de un problema y luego
demostrar que la suposición es correcta.
Las definiciones intuitivas de límites unilaterales que se presentan en la sección 2.2 se
pueden reformular exactamente como se señala a continuación
3 DEFINICIÓN DE LÍMITE IZQUIERDO
CAUCHY Y LOS LÍMITES
lím f x L
Después de la invención del cálculo infinitesimal x l a
en el siglo XVII, siguió un periodo de libre desa-
rrollo de esta materia en el siglo XVIII. Matemáti- si para todo número e 0 hay un número d 0 tal que
cos como los hermanos Bernoulli y Euler estaban
ansiosos por explotar el poder del cálculo y
si adxa entonces fx L e
exploraron con audacia las consecuencias de
esta nueva y maravillosa teoría matemática sin
preocuparse mucho por si las demostraciones
eran correctas del todo.
En cambio, el siglo XIX fue la Época del Rigor 4 DEFINICIÓN DE LÍMITE DERECHO
en la matemática. Hubo un movimiento para
volver a los fundamentos de la materia –para lím f x L
proporcionar definiciones cuidadosas y demos- x l a
traciones. A la vanguardia de este movimiento
se encontraba el matemático francés Augustin- si para todo número e 0 hay un número d 0 tal que
Louis Cauchy (1789-1857), quien fue primero
ingeniero militar antes de convertirse en profe- si axad entonces fx L e
sor de matemáticas en París. Cauchy tomó la
idea de límite de Newton, idea que el matemáti-
co francés Jean d’Alembert había mantenido viva
en el siglo XVIII y la hizo más exacta. Su defini- Observe que la definición 3 es la misma que la definición 2 salvo que x está restrin-
ción de límite era: “Cuando los valores sucesivos gida a estar en la mitad izquierda a d, a del intervalo a d, a d. En la defini-
atribuidos a una variable se aproximan indefini- ción 4, x tiene que estar en la mitad derecha a, a d del intervalo
damente a un valor fijo para terminar diferen-
a d, a d.
ciándose de éste por tan poco como uno quiere,
esto se llama límite de todos los otros.” Pero
cuando Cauchy aplicaba esta definición en V EJEMPLO 3 Mediante la definición 4 demuestre que lím sx 0.
ejemplos y demostraciones utilizaba a menudo xl0
desigualdades delta-épsilon similares a las de
esta sección. Una demostración representativa SOLUCIÓN
de Cauchy inicia con: “Denótese mediante d y e 1. Adivinar un valor de d. Sea e un número positivo dado. Aquí a 0 y L 0, de
dos números muy pequeños; . . .” Utilizaba e de- modo que buscamos un número d tal que
bido a la correspondencia entre épsilon y la
sx 0
palabra francesa erreur. Posteriormente, el ma-
temático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) si 0xd entonces
estableció la definición de un límite exactamente
como en la definición de este texto.
es decir, si 0xd entonces sx
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114 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
o bien, al elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad sx , obtiene
si 0xd por lo tanto x e2
Esto lleva a pensar que debe elegir d e2.
2. Demostración de que sí trabaja esta d. Dado e 0, sea d e2. Si 0 x d,
entonces
sx s s 2
de modo que sx 0
De acuerdo con la definición 4, esto demuestra que lím x l 0 sx 0.
EJEMPLO 4 Demuestre que lím x 2 9.
xl3
SOLUCIÓN
1. Adivinar un valor de d. Dado que e 0. Debe encontrar un número d 0
tal que
si 0 x 3 d entonces x2 9 e
Para relacionar x2 9 con x 3 escriba x2 9 x 3x 3 . Luego
quiere
si 0 x 3 d entonces x 3 x 3 e
Observe que si puede encontrar una constante positiva C tal que x 3 C, entonces
x 3 x 3 C x 3
y puede hacer C x 3 e tomando x 3 eC d.
Puede determinar tal número C si restringe a x a quedar en un intervalo con centro en
3. En efecto, puesto que está interesado sólo en valores de x que estén cercanos a 3, es ra-
zonable suponer que x está a una distancia 1 desde 3, es decir, x 3 1. Por lo tanto
2 x 4, de modo que 5 x 3 7. Así, x 3 7, y por eso C 7 es una elec-
ción aceptable para la constante.
Pero ahora ya hay dos restricciones en x 3 , a saber
x 3 1 y x 3 C 7
Para tener la certeza de que ambas desigualdades se cumplen, haga que d sea la más
pequeña de los dos números 1 y e7. La notación para esto es d mín1, e7.
2. Demostración de que esta d funciona. Dado e 0, sea d mín1, e7. Si 0
x 3 d, entonces x 3 1 ? 2 x 4 ? x 3 7 (como en la parte 1).
También tiene que x 3 e7, de modo que
x 2
9 x3 x 3 7 7
Esto demuestra que lím x l3 x2 9.
Como se observa en el ejemplo 4, no siempre es fácil demostrar que son verdaderos
los enunciados de límite usando la definición e, d. En efecto, si tiene una función más
complicada como f x 6x2 8x 92x2 1, una demostración requeriría una gran
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SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 115
cantidad de ingenio. Por fortuna esto es innecesario porque las leyes de los límites es-
tablecidas en la sección 2.3 se demuestran usando la definición 2 y luego los límites de
funciones complicadas se pueden determinar en forma rigurosa a partir de las leyes de los
límites sin recurrir directamente a la definición.
Por ejemplo la ley de la suma: si existen tanto lím xl a fx L como lím xl a tx M
entonces
lím f x tx
L M
xla
Las leyes restantes se demuestran en los ejercicios y en el apéndice F.
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LA SUMA Se proporciona e 0. Es necesario determinar
d 0 tal que
si 0 x a d entonces fx tx L M e
& Desigualdad triangular Si usa la desigualdad triangular puede escribir
a bab
(Véase apéndice A.)
5 f x tx L M f x L tx M
f x L tx M
Haga que fx tx L M sea menor que e dejando que los términos
fx L y tx M sean menores que e2.
Puesto que e2 0 y lím xl a fx L, existe un número d1 0 tal que
si 0 x a d1 entonces f x L 2
De manera similar, puesto que lím xl a tx M, existe un número d 2 0 tal que
si 0 x a d2 entonces tx M 2
Sea mín 1, 2. Observe que
si 0 x a d entonces 0 x a d1 y 0 x a d2
de modo que f x L 2 y tx M 2
Por lo tanto, de acuerdo con (5)
f x tx L M fx L tx M
2 2
Para resumir,
si 0 x a d entonces fx tx L M e
De esta manera, según la definición de límite,
lím f x tx
L M
xla
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116 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
LÍMITES INFINITOS
Los límites infinitos también se pueden definir de manera exacta. La que sigue es una ver-
sión exacta de la definición 4 de la sección 2.2.
6 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene
el número a, excepto tal vez en a misma. Entonces,
lím f x
xla
y quiere decir que para todo número positivo M hay un número positivo d tal que
M y=M si 0 x a d entonces f x M
Esto establece que los valores de f x se pueden hacer arbitrariamente grandes (más
grandes que cualquier número dado M) al acercar x lo suficiente a a (a una distancia
d, donde d depende de M, pero x a). Una representación geométrica se ilustra en la
0 a x figura 10.
a-∂ a+∂ Dada una línea horizontal y M, puede hallar un número d 0 tal que si restringe
FIGURA 10 a que x se sitúe en el intervalo a d, a d donde x a, entonces la curva y f x
queda por arriba de la recta y M. Se puede ver si escoge una M más grande, entonces
se requeriría una d más pequeña.
1
V EJEMPLO 5 Aplique la definición 6 para demostrar que lím
.
xl0 x2
SOLUCIÓN Sea M un número positivo determinado. Busca un número d tal que
si 0 x d entonces 1x2 M
1 1 1
Pero
x2
M &fi x2
M
&fi x sM
Si seleccionamos 1sM y 0 x 1sM, entonces 1x2 M. Esto demuestra
que 1x 2 l
cuando x l 0.
y La que sigue es una versión exacta de la definición 5 de la sección 2.2. Se ilustra en la
figura 11.
a-∂ a+∂
a
0 x 7 DEFINICIÓN Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene el
número a, excepto posiblemente para a misma. Entonces
N y=N
lím f x
xla
FIGURA 11
quiere decir que para todo número negativo N hay un número positivo d tal que
si 0 x a d entonces f x N
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SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 117
2.4 EJERCICIOS
1. Utilice la gráfica dada de fx 1x para calcular un número y
d tal que
y=≈
1.5
si x 2 d en seguida 1
x
0.5 0.2 0.5
1
y
0 ? 1 ? x
1
1 y= x
0.7
; 5. Por medio de una gráfica determine un número d tal que
0.5
0.3
si x entonces tan x 1 0.2
4
0 10 2 10 x
7 3
; 6. Con la ayuda de una gráfica determine un número d tal que
2. Utilice la gráfica dada de f para determinar un número
2x
d tal que si x 1 d entonces 0.4 0.1
x2 4
si 0 x 5 d en consecuencia fx 3 0.6 ; 7. Para el límite
y lím 4 x 3x 3 2
xl1
3.6
3 ilustre la definición 2 calculando valores de d que correspon-
2.4 den a e 1 y e 0.1.
; 8. Para el límite
0 x ex 1
4 5 5.7 lím 1
xl 0 x
3. Mediante la gráfica dada de f x sx hallar un número ilustre la definición 2 determinando valores de d que corres-
d tal que ponden a e 0.5 y e 0.1.
; 9. Teniendo en cuenta que el lím x lp2 tan x
, explicar
2
si x 4 d por lo tanto sx 2 0.4 la definición 6 hallando valores de d que corresponda
(a) M 1 000 y (b) M 10 000.
y ; 10. Utilice una gráfica para hallar un número d tal que
y=œ„
œx
2.4
2 x2
si 5x5d entonces 100
1.6 sx 5
11. Se requiere un tornero para fabricar un disco circular de metal
0 ? 4 ? x cuya área sea de 1 000 cm2.
(a) ¿Qué radio produce dicho disco?
(b) Si al tornero se le permite una tolerancia de error de
4. Con la gráfica dada de f x x 2 encuentre un número 5 cm2 en el área del disco, ¿qué tan cercano al radio
d tal que ideal del inciso (a) debe el tornero controlar el radio?
(c) Según la definición e, d de límxla fx L, ¿qué es x?
¿Qué es fx? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de
si x 1 d después x 2
1 21 e se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d?
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118 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
33. Compruebe que otra elección posible de d es demostrar que
; 12. Se utiliza un horno de crecimiento de cristales en la investiga-
ción para determinar cuál es la mejor manera de fabricar cristales lím xl 3 x2 9 en el ejemplo 4 es d mín 2, e8.
que se usarán en las partes electrónicas de los transbordadores
espaciales. Para que el crecimiento de los cristales sea el 34. Verifique mediante un razonamiento geométrico que la elección
correcto, la temperatura se tiene que controlar exactamente más grande posible de d para demostrar que lím xl 3 x2 9 es
ajustando la potencia de entrada. Suponga que la relación se s9 3.
representa con
CAS 35. (a) En el caso del límite lím xl 1 x 3 x 1 3, determine
un valor de d mediante una gráfica que corresponde a
Tw 0.1w2 2.155w 20 e 0.4.
(b) Utilice un sistema algebraico para computadora con el fin
donde T es la temperatura en grados Celsius y w es la entrada de resolver la ecuación cúbica x 3 x 1 3 e, y
de potencia en watts. determinar el valor más grande posible de d que funciona
(a) ¿Cuánta potencia se requiere para mantener la temperatura para cualquier e 0.
a 200°C? (c) Use e 0.4 en su respuesta del inciso (b) y compare con
(b) Si se permite una variación de temperatura de hasta su respuesta del inciso (a).
1 °C, con respecto a 200°C, ¿qué intervalo de potencia en
watts se permite para la potencia de entrada? 1 1
36. Demuestre que lím .
(c) De acuerdo con la definición e, d de lím xl a fx L, ¿qué x l2 x 2
es x? ¿Qué es fx? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de e
se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d? 37. Demuestre que lím sx sa si a 0.
xla
13. (a) Hallar un número d tal que si x 2 d, por lo tanto
4x 8 e, donde e 0.1.
(b) Repetir el inciso (a) con e 0.01.
|
Sugerencia: utilice sx sa | sx x sa
a
.
38. Si H es la función de Heaviside que se definió en el ejemplo 6
14. Teniendo en cuenta que el lím x l 2 5x 7 3, explicar la de la sección 2.2, demuestre mediante la definición 2 que no
definición 2 hallando valores de d que corresponda a existe el lím tl 0 Ht. [Sugerencia: efectúe una demostración
e 0.1, e 0.05 y e 0.01. indirecta como se indica. Suponga que el límite es L. Haga
2 en la definición de un límite e intente llegar a una
1
15–18 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de límite contradicción.]
e ilustre con un diagrama como el de la figura 9.
39. Si la función f se define mediante
( 12 x 3) 2
15. lím 2x 3 5 16. lím
xl1 x l 2
0 si x es racional
f x
17. lím 1 4x 13 18. lím 7 3x 5 1 si x es irracional
x l 3 xl4
demuestre que lím x l 0 fx no existe.
19–32 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de
límite. 40. Mediante la comparación de las definiciones 2, 3 y 4
demuestre el teorema 1 de la sección 2.3.
19. lím
x l3
x
5
3
5
20. lím
xl6
x
4
3
9
2
41. ¿Qué tan cerca a 3 tiene que hacer a x para que
1
x2 x 6 9 4x 2 10 000
21. lím 5 22. lím 6 x 34
x l2 x2 x l1.5 3 2x
1
23. lím x a 24. lím c c 42. Demuestre aplicando la definición 6 que lím
.
xla xla x l3 x 34
25. lím x 2 0 26. lím x 3 0 43. Demuestre que lím ln x
.
xl0 xl0 xl0
44. Suponga que lím xl a fx
y lím xl a tx c, donde c es un
27. lím x 0
xl0
28. lím s
xl9
4
9x0
número real. Demuestre cada proposición.
(a) lím f x tx
29. lím x 4x 5 1
2
30. lím x x 4 8
2
xla
x l2 x l3
(b) lím f xtx
si c 0
xla
31. lím x 2 1 3 32. lím x 3 8
x l2 x l2
(c) lím f xtx
si c 0
xla
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 119
SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 119
2.5 CONTINUIDAD
En la sección 2.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el límite de una función
cuando x tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las funcio-
nes con esta propiedad son continuas en a. Ahora verá que la definición matemática de
continuidad corresponde íntimamente al significado de la palabra continuidad en el lengua-
je cotidiano. (Un proceso continuo tiene lugar gradualmente, sin interrupción ni cambio
abrupto.)
1 DEFINICIÓN Una función f es continua en un número a si
lím f x f a
x la
& Como se ilustra en la figura 1, si f es
Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a:
continua, después los puntos x, fx de
la gráfica de f tienden al punto a, f a 1. fa está definido (es decir, a está en el dominio de f )
de la gráfica. Así, no hay brecha alguna
en la curva. 2. lím f x existe
x la
y
y=ƒ 3. lím f x f a
x la
ƒ
tiende a f(a)
La definición afirma que f es continua en a si fx tiende a f a cuando x tiende a a. Así,
f(a). una función continua tiene la propiedad de que un cambio pequeño en x sólo produce una
pequeña alteración en fx. De hecho, el cambio en fx se puede mantener tan pequeño co-
mo desee, restringiendo el cambio en x lo necesario.
Si f está definida cerca de a (en otras palabras, f está definida en un intervalo abierto
que contiene a, excepto tal vez en a), f es discontinua en a (o f tiene una discontinui-
0 a x dad en a) si f no es continua en a.
Conforme x se Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la velo-
aproxima a a, cidad de un vehículo varían en forma continua con el tiempo, como pasa con la estatu-
FIGURA 1
ra de una persona. Pero en realidad se presentan discontinuidades en situaciones como las
corrientes eléctricas. Vea el ejemplo 6, de la sección 2.2, donde la función de Heaviside
es discontinua en 0 porque lím tl 0 Ht no existe.
Geométricamente, una función continua en todo número en un intervalo se puede con-
cebir como una función cuya gráfica no se interrumpe. La gráfica se puede trazar sin le-
vantar la pluma del papel.
y EJEMPLO 1 En la figura 2 se muestra la gráfica de una función f. ¿En cuáles números es f
discontinua? ¿Por qué?
SOLUCIÓN Se ve como si hubiera una discontinuidad cuando a 1 porque la gráfica
tiene una ruptura allí. La razón oficial de que f sea discontinua en 1 es que f 1 no
está definido.
La gráfica también tiene una ruptura cuando a 3, pero la razón de la discontinuidad
0 1 2 3 4 5 x es diferente. En este caso, f3 está definido, pero lím xl 3 fx no existe (porque los límites
por la izquierda y por la derecha son diferentes). Por lo tanto, f es discontinua en 3.
¿Qué pasa cuando x 5? En tal caso, f5 está definido y lím x l 5 fx existe (porque
FIGURA 2 los límites por la izquierda y por la derecha son los mismos). Pero
lím f x f 5
xl5
De este modo, f es discontinua en 5.
Observe ahora cómo detectar las discontinuidades cuando una fórmula define a la
función.
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 120
120 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
¿En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes?
V EJEMPLO 2
1
x2 x 2 si x 0
(a) f x (b) f x x2
x2
si x 0
1
x2 x 2
si x 2
(c) f x x2 (d) fx x
1 si x 2
SOLUCIÓN
(a) Advierta que f 2 no está definido, también f es discontinua en 2. Más adelante
verá por qué es continua en todos los otros números.
(b) En este caso, f 0 1 está definido pero
1
lím f x lím
xl0 xl0 x2
no existe. (Véase el ejemplo 8 en la sección 2.2.) Así, f es discontinua en 0.
(c) En este caso f 2 1 está definido y
x2 x 2 x 2x 1
lím f x lím lím lím x 1 3
x l2 x l2 x2 x l2 x2 x l2
existe. Pero
lím f x f 2
x l2
por eso, f no es continua en 2.
(d) La función mayor entero f x x tiene discontinuidades en todos los enteros
porque lím x l n x no existe si n es un entero. (Véase el ejemplo 10 y el ejercicio 49 de
la sección 2.3.)
En la figura 3 se muestran las gráficas de las funciones del ejemplo 2. En cada caso
no se puede dibujar la gráfica sin levantar la pluma del papel, porque se presenta un agu-
jero, una ruptura o un salto en esa gráfica. El tipo de discontinuidad que se ilustra en los
incisos (a) y (c) se conoce como removible porque la discontinuidad podría eliminarse al
redefinir f justo en el número único 2. [La función tx x 1 es continua.] La disconti-
nuidad del inciso (b) recibe el nombre de discontinuidad infinita. Las discontinuidades
del inciso (d) se llaman discontinuidad por salto porque la función “salta” de un valor a
otro.
y y y y
1 1 1 1
0 1 2 x 0 x 0 1 2 x 0 1 2 3 x
1 ≈-x-2
≈-x-2 si x≠0 si x≠2
(a) ƒ= (b) ƒ= ≈ (c) ƒ= x-2 (d) ƒ=[ x ]
x-2
1 si x=0 1 si x=2
FIGURA 3 Gráficas de las funciones del ejemplo 2
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 121
SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 121
2 DEFINICIÓN Una función f es continua desde la derecha en un número a si
lím f x f a
x l a
y f es continua desde la izquierda en a si
lím f x f a
xla
EJEMPLO 3 En cada entero n, la función f x x véase la figura 3(d)
es continua des-
de la derecha pero discontinua desde la izquierda porque
lím f x lím x n f n
x l n x ln
pero lím f x lím x n 1 f n
xln xln
3 DEFINICIÓN Una función f es continua sobre un intervalo si es continua en
todo número en el intervalo. (Si f se define únicamente en un lado de un punto ex-
tremo del intervalo, continua quiere decir continua desde la derecha o continua
desde la izquierda.)
EJEMPLO 4 Demuestre que la función f x 1 s1 x 2 es continua sobre el
intervalo 1, 1
.
SOLUCIÓN Si 1 a 1 entonces, al aplicar las leyes de los límites
lím f x lím (1 s1 x 2 )
xla xla
1 lím s1 x 2 (por las leyes 2 y 7)
xla
1 s lim 1 x 2 (por la ley 11)
xla
1 s1 a 2 (por las leyes 2, 7 y 9)
f a
y De suerte que por la definición 1, f es continua en a si 1 a 1. Cálculos similares
ƒ=1-œ„„„„„
1-≈
hacen ver que
1
lím f x 1 f 1 y lím f x 1 f 1
x l 1 xl1
0 x de modo que f es continua desde la derecha en 1 y continua desde la izquierda en 1.
-1 1
Por consiguiente, según la definición 3, f es continua sobre 1, 1
.
En la figura 4 se ilustra la gráfica de f. Es la mitad inferior de la circunferencia
FIGURA 4
x2 y 12 1
En lugar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 y 3 para comprobar la continuidad
de una función, como en el ejemplo 4, a menudo resulta conveniente aplicar el teorema
siguiente, el cual muestra cómo formar funciones continuas complicadas a partir de fun-
ciones sencillas.
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 122
122 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
4 TEOREMA Si f y t son continuas en a y c es una constante, entonces las funcio-
nes siguientes también son continuas en a:
1. f t 2. f t 3. cf
f
4. ft 5. si ta 0
t
DEMOSTRACIÓN Cada una de las cinco partes de este teorema se infieren de la ley de los lí-
mites correspondiente de la sección 2.3. Por ejemplo, demuestra la parte 1. Puesto que f y
t son continuas en a,
lím f x f a y lím tx ta
xla xla
En consecuencia,
lím f tx lím f x tx
xla xla
lím f x lím tx (por la Ley 1)
xla xla
f a ta
f ta
Esto muestra que f t es continua en a.
Del teorema 4 y la definición 3 se deduce que si f y t son continuas sobre un intervalo,
también lo son las funciones f t, f t, cf, ft y (si t nunca es 0) ft. En la sección 2.3
se enunció el siguiente teorema como propiedad de sustitución directa.
5 TEOREMA
(a) Cualquier polinomio es continuo en todas partes; es decir, es continuo sobre
,
.
(b) Cualquier función racional es continua, siempre que esté definida; es decir, es
continua en su dominio.
DEMOSTRACIÓN
(a) Un polinomio es una función de la forma
Px cn x n cn1 x n1 c1 x c0
donde c0, c1, . . . , cn son constantes. Sabe que
lím c0 c0 (por la ley 7)
xla
y lím x m a m m 1.2, . . . , n (por la ley 9)
xla
Esta ecuación es precisamente la proposición de que la función fx xm es una
función continua. Por esto, con base en la parte 3 del teorema 4, la función
tx cxm es continua. Dado que P es una suma de funciones de esta forma y
una función constante, a partir de la parte 1 del teorema 4 se deduce que P es
continua.
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 123
SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 123
(b) Una función racional es una función de la forma
Px
f x
Qx
donde P y Q son polinomios. El dominio de f es D x Qx 0. Sabe, del in-
ciso (a), que P y Q son continuas en todas partes. De esta manera, f es continua en todo
número en D, de acuerdo con la parte 5 del teorema 4.
Como ilustración del teorema 5, observe que el volumen de una esfera varía continuamen-
te con su radio porque la fórmula Vr 43
r 3 hace ver que V es una función polinomial
de r. Del mismo modo, si se lanza una pelota verticalmente en el aire, con una velocidad de
50 fts, después la fórmula h 50t 16t 2 expresa la altura de la pelota, en pies, después
de t segundos. De nuevo, es una función polinomial, de modo que la altura es una función
continua del tiempo transcurrido.
Saber cuáles funciones son continuas permite evaluar algunos límites con mucha
rapidez, como demuestra el ejemplo siguiente. Compárelo con el ejemplo 2(b) de la sec-
ción 2.3.
x 3 2x 2 1
EJEMPLO 5 Encuentre lím .
x l 2 5 3x
SOLUCIÓN La función
x 3 2x 2 1
f x
5 3x
es racional, de modo que por el teorema 5 es continua sobre su dominio, el cual es
{x x 53}. En consecuencia
x 3 2x 2 1
lím lím f x f 2
x l2 5 3x x l2
23 222 1 1
5 32 11
y Resulta que la mayor parte de las funciones conocidas son continuas en todo número
en su dominio. Por ejemplo, la ley de los límites 10 (página 110) es exactamente la propo-
sición de que las funciones raíz son continuas.
P(cos ¨, sen ¨) Con base en el aspecto de las gráficas de las funciones seno y coseno (figura 18, en la
1 sección 1.2), podría suponer con toda certeza que son continuas. De acuerdo con la defini-
ción de sen u y cos u sabe que las coordenadas del punto P de la figura 5 son cos u, sen u.
¨ Cuando u l 0, P tiende al punto 1, 0 y, por consiguiente, cos u l 1 y sen u l 0. De
0 (1, 0) x esta manera
FIGURA 5
6 lím cos 1 lím sen 0
l0 l0
Como cos 0 1 y sen 0 0, las ecuaciones dadas en (6) afirman que las funciones seno
& Otra forma de establecer los límites en (6) y coseno son continuas en 0. Por lo tanto se pueden aplicar las fórmulas de la adición pa-
es usar el teorema de la compresión con la ra coseno y seno para deducir que estas funciones son continuas en todas partes (véase los
desigualdad sen u u (para u 0), lo cual
ejercicios 56 y 57).
se prueba en la sección 3.3.
De la parte 5 del teorema 4, se deduce que
sen x
tan x
cos x
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 124
124 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
y es continua excepto donde cos x 0. Esto sucede cuando x es un múltiplo impar de p2, de
modo que y tan x tiene discontinuidades infinitas cuando x p2, 3p2, 5p2, y
así sucesivamente (véase la figura 6).
La función inversa de cualquier función uno a uno continua también es continua. (Este
1
hecho se comprueba en el apéndice F, pero la intuición geométrica lo hace parecer razo-
3π _π π 0 π π 3π x nable: La gráfica de f 1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la recta y x. Tam-
_ 2 _
2 2 2 bién, si la gráfica de f no tiene ruptura alguna, tampoco la tiene la gráfica de f 1.) De este
modo, las funciones trigonométricas inversas son continuas.
En la sección 1.5 se definió la función exponencial y ax de modo que se llenaran los
agujeros en la gráfica de esta función donde x es racional. En otras palabras, la simple
definición de y ax la hace una función continua sobre . Por lo tanto, su función inversa
FIGURA 6 y=tan x y loga x es continua sobre 0,
.
& En la sección 1.6 se hace un repaso
7 TEOREMA Los tipos siguientes de funciones son continuos en todo número en
de las funciones trigonométricas inversas. sus dominios:
polinomios funciones racionales funciones raíz
funciones trigonométricas funciones trigonométricas inversas
funciones exponenciales funciones logarítmicas
ln x tan1 x
EJEMPLO 6 ¿En dónde es continua la función f x ?
x2 1
SOLUCIÓN Por el teorema 7, sabe que la función y ln x es continua para x 0 y que
y tan1 x es continua sobre . Así, por la parte 1 del teorema 4, y ln x tan1 x
es continua sobre 0,
. El denominador, y x2 1, es un polinomio, de modo que es
continuo en todas partes. Por lo tanto, por la parte 5 del teorema 4, f es continua en
todos los números positivos x, excepto donde x2 1 0. De este modo, f es continua
en los intervalos 0, 1 y 1,
.
sen x
EJEMPLO 7 Hallar el valor numérico del lím .
x l
2 cos x
SOLUCIÓN El teorema 7 dice que y sen x es continua. La función en el denominador,
y 2 cos x, es la suma de dos funciones continuas y en consecuencia es continua.
Dese cuenta que esta función jamás es cero porque cos x 1 para toda x y también
2 cos x 0 en todas partes. En estos términos la relación
sen x
f x
2 cos x
es continua en todas partes. Por lo tanto, mediante la definición de función continua,
sen x sen
0
lím lím fx f
0
xl
2 cos x xl
2 cos
21
Otra manera de combinar las funciones continuas f y t para obtener una nueva función
continua es formar la función compuesta f t. Este hecho es una consecuencia del teorema
siguiente.
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 125
SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 125
& Este teorema expresa que se puede mover
un símbolo de límite a través de un símbolo de 8 TEOREMA Si f es continua en b y lím tx b, entonces lím f tx f b.
función, si la función es continua y el límite xla x la
existe. En otras palabras, se puede invertir el
En otras palabras,
orden de estos dos símbolos. lím f tx f lím tx ( )
xla xla
A nivel intuitivo, este teorema resulta razonable porque si x está cerca de a, después tx
está cerca de b y como f es continua en b, si tx está cerca de b, en seguida ftx está cerca
de fb. Una demostración del teorema 8 se proporciona en el apéndice F.
EJEMPLO 8 Evalúe lím arcsen
x l1
1 sx
1x
.
SOLUCIÓN Ya que arcsen es una función continua, aplique el teorema 8:
lím arcsen
x l1
1 sx
1x
arcsen lím x l1
1 sx
1x
arcsen lím
x l1
1 sx
(1 sx ) (1 sx )
arcsen lím x l1
1
1 sx
1
arcsen
2 6
Aplique el teorema 8 en el caso especial donde f x s
n
x , y n es un entero positivo.
Entonces
f tx s
n
tx
y f lím tx
( xla ) slím
n
xla
tx
Si sustituye estas expresiones en el teorema 8 obtiene
lím s
n
tx s
n
lím tx
xla xla
con lo que queda demostrada la ley 11 de los límites. (Supone que las raíces existen.)
9 TEOREMA Si t es continua en a y f es continua en ta, entonces la función
compuesta f t dada por f tx f tx es continua en a.
A menudo, este teorema se expresa de manera informal diciendo: “una función conti-
nua de una función continua es una función continua”.
DEMOSTRACIÓN Como t es continua en a
lím tx ta
xla
Como f es continua en b ta, puede aplicar el teorema 8 para obtener
lím f tx f ta
xla
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 126
126 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
que es precisamente la proposición de que la función hx ftx es continua en a; es
decir, f t es continua en a.
V EJEMPLO 9 ¿En dónde son continuas las funciones siguientes?
(a) hx senx 2 (b) Fx ln1 cos x
SOLUCIÓN
(a) Tiene hx f tx donde
2 tx x2 y f x sen x
_10 10 Ahora t es continua sobre , puesto que es un polinomio, y f también es continua en todas
partes. Por consiguiente, h f t es continua sobre por el teorema 9.
(b) Con base en el teorema 7, sabe que f x ln x es continua y tx 1 cos x es
continua (porque tanto y 1 como y cos x son continuas). Por lo tanto, del teorema 9,
Fx f tx es continuo siempre que esté definido. Ahora bien, ln 1 cos x está
_6 definido cuando 1 cos x 0. De este modo, no está definido cuando cos x 1, y esto
FIGURA 7
sucede cuando x p, 3p, . . . . Por esto, F tiene discontinuidades cuando x es un múlti-
y=ln(1+cos x)
plo impar de p y es continua sobre los intervalos entre estos valores. (Véase la figura 7.)
Una propiedad importante de las funciones continuas se expresa con el siguiente teorema,
cuya demostración se encuentra en libros más avanzados de cálculo.
10 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Suponga que f es continua sobre el inter-
valo cerrado a, b
y sea N cualquier número entre fa y fb, donde fa fb.
Entonces existe un número c en a, b tal que fc N.
El teorema del valor intermedio afirma que una función continua toma todos los valores
intermedios entre los valores de la función fa y fb. Este hecho se ilustra en la figura 8.
Observe que el valor N se puede tomar una vez como en la parte a
o más de una vez como
en la parte (b)
.
y y
f(b) f(b)
N
y=ƒ
N
f(a) y=ƒ f(a)
0 a c b x 0 a c¡ c™ c£ b x
FIGURA 8 (a) (b)
y
Si piensa en una función continua como en una función cuya gráfica no tiene agujeros
f(a) o rupturas, en tal caso es fácil creer que el teorema del valor intermedio es cierto. En tér-
y=ƒ
N y=N minos geométricos, dice que si se da cualquier recta horizontal y N entre y f a y
y f b, como en la figura 9, por lo tanto la gráfica de f no puede saltar sobre la recta.
Debe intersecar y N en alguna parte.
f(b)
Es importante que la función f del teorema 10 sea continua. En general, el teorema del valor
0 a b x intermedio no se cumple para las funciones discontinuas (véase el ejercicio 44).
Un uso del teorema del valor intermedio es hallar las raíces de ecuaciones, como en el
FIGURA 9 ejemplo siguiente.
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 127
SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 127
V EJEMPLO 10 Demuestre que existe una raíz de la ecuación
4x 3 6x 2 3x 2 0
entre 1 y 2.
SOLUCIÓN Sea f x 4x 3 6x 2 3x 2. Busca una solución de la ecuación dada; es
decir, un número c entre 1 y 2 tal que f c 0. Por lo tanto, en el teorema 10, toma a 1,
b 2 y N 0. Tiene
f1 4 6 3 2 1 0
y f2 32 24 6 2 12 0
Por esto, f 1 0 f 2; es decir, N 0 es un número entre f 1 y f 2. Ahora bien, f es
continua porque es un polinomio, de modo que el teorema del valor intermedio afirma que
existe un número c entre 1 y 2 tal que f c 0. En otras palabras, la ecuación 4x3 6x2
3x 2 0 tiene por lo menos una raíz c en el intervalo 1, 2.
De hecho, podemos localizar una raíz con mayor precisión aplicando de nuevo el
teorema del valor intermedio. Puesto que
f 1.2 0.128 0 y f1.3 0.548 0
una raíz se debe encontrar entre 1.2 y 1.3. Una calculadora da, por tanteos,
f1.22 0.007008 0 y f1.23 0.056068 0
de modo que una raíz se encuentra en el intervalo 1.22, 1.23.
Use una calculadora graficadora o una computadora para ilustrar la aplicación del teo-
rema del valor intermedio en el ejemplo 10. En la figura 10 se muestra la gráfica de f en
rectángulo de visualización 1, 3
por 3, 3
y se puede ver que la gráfica cruza el eje
x entre 1 y 2. En la figura 11 se muestra el resultado de realizar un acercamiento hacia la
pantalla 1.2, 1.3
por 0.2, 0.2
.
3 0.2
_1 3 1.2 1.3
_3 _0.2
FIGURA 10 FIGURA 11
De hecho, el teorema del valor intermedio desempeña un papel en la manera en que
funcionan estos aparatos graficadores. Una computadora calcula un número finito de
puntos de la gráfica y hace aparecer los pixeles que contienen estos puntos calculados.
Supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos pun-
tos consecutivos. En consecuencia, la computadora une los pixeles al hacer aparecer los
pixeles intermedios.
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128 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
2.5 EJERCICIOS
1. Escriba una ecuación que exprese el hecho de que una función (d) El costo de un viaje en taxi como función de la distancia
f es continua en el número 4. recorrida.
(e) La corriente en el circuito para las luces de una habitación
2. Si f es continua sobre
,
, ¿qué puede decir acerca de su
como función del tiempo.
gráfica?
9. Si f y t son funciones continuas con f 3 5 y
3. (a) A partir de la gráfica de f, establezca el número al cual f lím x l 3 2 f x tx
4 , encuentre t3.
es discontinua y explique por qué.
(b) Para cada uno de los números que se determinaron en el 10–12 Use la definición de continuidad y las propiedades de los
inciso (a), determine si f es continua desde la derecha, límites para demostrar que la función es continua en el número
desde la izquierda o desde ninguno de los dos lados. a dado.
y
10. f x x 2 s7 x, a4
11. f x x 2x 3 4, a 1
2t 3t 2
12. ht , a1
1 t3
_4 _2 0 2 4 6 x
13–14 Use la definición de continuidad y las propiedades de los
límites para demostrar que la función es continua en el intervalo
2x 3
13. f x , 2,
4. A partir de la gráfica de t, dé los intervalos sobre los que t es x2
continua.
14. tx 2 s3 x,
, 3
.
y
15–20 Explique por qué la función es discontinua en el punto
dado a. Dibuje la gráfica de la función.
15. f x ln x 2 a2
_4 _2 2 4 6 8 x
1
si x 1
16. f x x1 a1
2 si x 1
5. Trace la gráfica de una función que sea continua en todas partes,
excepto en x 3, y sea continua desde la izquierda en 3. 17. f x e
x2
x
si x 0
si x 0
a0
6. Dibuje una función que tenga una discontinuidad de salto en
x2 x
x 2 y una discontinuidad removible en x 4, pero que sea si x 1
continua en todas las demás partes. 18. f x x 2 1 a1
1 si x 1
7. En un lote de estacionamiento se cobran $3 por la primera hora
(o fracción) y $2 por cada hora (o fracción) subsiguiente, hasta cos x si x 0
un máximo diario de $10. 19. f x 0 si x 0 a0
(a) Dibuje el costo de estacionar un automóvil en este lote, 1 x2 si x 0
como función del tiempo que permanezca allí.
(b) Analice las discontinuidades de esta función y su significado 2x 2 5x 3
si x 3
para alguien que estacione su automóvil en el lote. x3
20. f x a3
8. Explique por qué cada función es continua o discontinua. 6 si x 3
(a) La temperatura en un lugar específico como función del
tiempo.
(b) La temperatura en un momento dado como función de la 21–28 Con los teoremas 4, 5, 7 y 9 explique por qué la función es
distancia hacia el oeste de la ciudad de Nueva York continua en todo número en su dominio. Dé el dominio.
(c) La altitud sobre el nivel del mar como función de la distancia x
hacia el oeste de la ciudad de Nueva York. 21. Fx 22. Gx s
3
x 1 x 3
x 2 5x 6
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 129
SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 129
sen x 41. ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua sobre
23. Rx x 2 s2 x 1 24. hx
x1
,
?
25. Lt e5t cos 2p t 26. Fx sen1x 2 1
cx 2 2x si x 2
27. Gt lnt 1 4
28. Hx cos(e sx
) f x
x 3 cx si x 2
42. Hallar el valor de a y b que hace a f continua en todas partes
; 29–30 Localice las discontinuidades de la función e ilústrelas tra-
zando una gráfica. x2 4
si x 2
1 x2
29. y 30. y lntan2 x f x
1 e 1x ax 2 bx 3 si 2 x 3
2x a b si x 3
31–34 Aplique la continuidad para evaluar el límite. 43. ¿Cuál de las funciones f siguientes tiene discontinuidad removible
en a? Si la discontinuidad es removible, determine una función
5 sx t que concuerde con f para x a y es continua en .
31. lím 32. lím senx sen x
x l4 s5 x x l
x4 1
(a) f x , a1
2 x2 4 x1
33. lím e x x 34. lím arctan
x l1 x l2 3x 2 6x x 3 x2 2x
(b) f x , a2
x2
(c) f x sen x, ap
35–36 Demuestre que f es continua sobre
,
.
35. f x x 2 si x 1
sx si x 1
44. Suponga que una función f es continua sobre 0, 1
,
excepto en 0.25, y que f 0 1 y f 1 3. Sea N 2.
Trace dos gráficas posibles de f, una en que se muestre
que f podría no satisfacer la conclusión del teorema del
sen x si x
4
36. f x valor intermedio y la otra que muestre que f todavía
cos x si x
4 podría satisfacer ese teorema (aun cuando no satisfaga
la hipótesis).
37–39 Determine los números en los que f es discontinua. ¿En 45. Si f x x 2 10 sen x, demuestre que hay un número c tal
cuáles de estos valores f es continua por la derecha, por la iz- que f c 1 000.
quierda o no lo es ni por la derecha ni por la izquierda? Trace la
gráfica de f. 46. Considere que f es continua en 1, 5
y la única solución de
f x 6 son x 1 y x 4. Si f 2 8, explique ¿por
1 x 2 si x 0 qué f 3 6?
37. f x 2 x si 0 x 2
x 22 si x 2 47–50 Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que
existe una raíz de la ecuación dada en el intervalo especificado.
x1 si x 1
38. f x 1x si 1 x 3 47. x 4 x 3 0, 1, 2 48. s
3
x 1 x, 0, 1
sx 3 si x 3 49. cos x x, 0, 1 50. ln x ex, 1, 2
39. f x
x 2 si x 0
ex si 0 x 1
2 x si x 1
51–52 (a) Compruebe que la ecuación tiene cuando menos una raíz
real. (b) Use su calculadora para hallar un intervalo de longitud
0.01 que contenga una raíz.
40. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa
51. cos x x 3 52. ln x 3 2x
unitaria a una distancia r del centro del planeta es
GMr
si r R
R3 ; 53–54 (a) Pruebe que la ecuación tiene cuando menos una raíz
Fr real. (b) Utilice su dispositivo graficador para encontrar la raíz
GM
si r R correcta hasta tres cifras decimales.
r2
donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante 53. 100ex100 0.01x 2 54. arctan x 1 x
gravitacional. ¿F es una función continua de r?
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 130
130 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
55. Demuestre que f es continua en a si y sólo si 62. Si a y b son números positivos, comprobar que la ecuación
a b
lím f a h f a 3 0
hl0 x3 2x2 1 x x2
56. Para demostrar que seno es continuo necesita demostrar que tiene por lo menos una solución en el intervalo 1, 1.
lím x l a sen x sen a para todo número real a. Según el
63. Demuestre que la función
ejercicio 55, una proposición equivalente es que
x4 sen1x si x 0
f x
lím sena h sen a 0 si x 0
hl0
es continua en
,
.
Aplique (6) para demostrar que esto es cierto.
64. (a) Demuestre que la función de valor absoluto Fx x es
57. Compruebe que coseno es una función continua. continua en todas partes.
(b) Compruebe que si f es una función continua sobre un
58. (a) Demuestre el teorema 4, parte 3. intervalo, entonces también lo es f .
(b) Demuestre el teorema 4, parte 5. (c) ¿Lo inverso de la proposición del inciso (b) también es
verdadero? En otras palabras, ¿si f es continua se
59. ¿Para qué valores de x es continua f ? deduce que f es continua? De ser así, compruébelo.
En caso de no ser así, halle un ejemplo contrario.
0 si x es racional 65. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 A.M. y
f x
1 si x es irracional emprende su camino habitual hacia la cima de la montaña,
60. ¿Para qué valores de x es continua g?
a donde llega a las 7:00 P.M. La mañana siguiente inicia el
regreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 A.M. y llega
tx 0
x
si x es racional
si x es irracional
al monasterio a las 7:00 P.M. Mediante el teorema del valor
intermedio demuestre que existe un punto a lo largo de la
ruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora en
61. ¿Hay un número que es exactamente 1 más que su cubo? ambos días.
2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES
En las secciones 2.2 y 2.4 se trataron los límites infinitos y las asíntotas verticales. Ahí se
dejó que x se aproximara a un número y el resultado es que los valores de y se vuelven
arbitrariamente grandes (ya sean positivos o negativos). En esta sección se permite que x
x f x
se vuelva arbitrariamente grande en magnitud y se observa qué le sucede a y.
0 1 Empiece por investigar el comportamiento de la función f definida por
1 0
2
x2 1
0.600000 f x
3 0.800000 x2 1
4 0.882353 cuando x se hace grande. La tabla al margen da valores de esta función correctos hasta seis
5 0.923077 posiciones decimales (o seis dígitos decimales) y, en la figura 1, se ha trazado la gráfica de
10 0.980198 f por medio de una computadora.
50 0.999200
y
100 0.999800 y=1
1000 0.999998
0 1 x
≈-1
y=
≈+1
FIGURA 1
Conforme x crece más y más, se puede ver que los valores de fx se aproximan cada vez
más a 1. De hecho, parece que puede acercar cuanto quiera los valores de fx a 1 eligiendo
una x lo suficientemente grande. Esta situación se expresa en forma simbólica escribiendo
x2 1
lím 1
x l
x2 1
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 131
SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 131
En general, use el simbolismo
lím f x L
x l
para indicar que los valores de f x tienden a L conforme x se hace más y más grande.
1 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo a,
. Entonces
lím f x L
x l
significa que los valores de fx se pueden aproximar a L tanto como desee, si escoge
una x suficientemente grande.
Otra notación para lím x l
fx L es
fx l L conforme x l
El símbolo
no representa un número. No obstante, la expresión lím f x L a menudo
x l
se lee como
“el límite de fx, cuando x tiende al infinito, es L”
o “el límite de fx, cuando x se hace infinito, es L”
o bien “el límite de f x, cuando x crece sin cota, es L”
La definición 1 da el significado de esas frases. Una definición más exacta, similar a la
definición de e, d de la sección 2.4 se encuentra al final de esta sección
En la figura 2 se muestran ilustraciones geométricas de la definición 1. Advierta que
hay muchas maneras de aproximar la gráfica de f a la recta y L (la cual se llama asín-
tota horizontal) a medida que ve hacia el extremo derecho de cada gráfica.
y y y
y=L y=L
y=ƒ
y=ƒ
y=L y=ƒ
0 x 0 x 0 x
FIGURA 2
Ejemplos que ilustran lím ƒ=L Si vuelve a la figura 1, verá que para valores negativos de x grandes en magnitud, los
valores de f x están cercanos a 1. Al decrecer x a través de valores negativos sin cota,
x `
puede acercar fx a 1 cuanto quiera. Esto se expresa escribiendo
x2 1
lím 1
x l
x2 1
La definición general es como sigue:
2 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo
, a. Entonces
lím f x L
x l
quiere decir que los valores de f x se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L
haciendo que x sea negativa y suficientemente grande en magnitud.
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 132
132 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
y Es necesario remarcar que el símbolo
no representa un número, pero la expresión
y=ƒ lím f x L se lee a menudo como
x l
“el límite de fx, cuando x tiende al infinito negativo, es L”.
y=L
La definición 2 se ilustra en la figura 3. Observe que la gráfica tiende a la recta y L como
0 x en el extremo izquierdo de cada gráfica.
y
3 DEFINICIÓN La recta y L se llama asíntota horizontal de la curva
y f x si
y=ƒ
y=L lím f x L o bien lím f x L
x l
x l
0 x Por ejemplo, la curva que se ilustra en la figura 1 tiene la recta y 1 como asíntota
horizontal porque
FIGURA 3
Ejemplos que ilustran lím ƒ=L x2 1
x _`
lím 1
x l
x2 1
y
π
2 Un ejemplo de una curva con dos asíntotas horizontales es y tan1x. (Véase la figura 4.)
En efecto,
0
x
4 lím tan1 x lím tan1 x
x l
2 x l
2
_ π2
de modo que las dos rectas y p2 y y p2 son asíntotas horizontales. (Éste surge
FIGURA 4
a partir del hecho de que las rectas x p2 son asíntotas verticales de la gráfica de
y=tan–!x
tan.)
y EJEMPLO 1 Encuentre los límites infinitos, los límites en el infinito y las asíntotas para la
función f cuya gráfica se muestra en la figura 5.
SOLUCIÓN Ya que los valores de fx se vuelven grandes cuando x l 1 por ambos lados;
2 por lo tanto
0 2 x lím f x
x l 1
Advierta que f x se hace negativo grande en magnitud cuando x tiende a 2 por la iz-
quierda, pero grande positivo cuando x tiende a 2 por la derecha. De este modo,
FIGURA 5
lím f x
y lím f x
x l 2 x l 2
De esta suerte, las dos rectas x 1 y x 2 son asíntotas verticales.
Cuando x crece, f x tiende a 4. Pero cuando x decrece a través de valores negativos,
fx tiende a 2. Así entonces,
lím f x 4 y lím f x 2
x l
x l
Esto significa que tanto y 4 como y 2 son asíntotas horizontales.
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SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 133
1 1
EJEMPLO 2 Encuentre lím y lím .
x l
x x l
x
SOLUCIÓN Observe que cuando x es grande, 1x es pequeño. Por ejemplo,
1 1 1
0.01 0.0001 0.000001
100 10 000 1 000 000
y De hecho, si elige una x suficientemente grande, puede aproximar 1x a 0 cuanto quiera.
Por lo tanto, según la definición 4
y=Δ
1
lím 0
x l
x
0 x Un razonamiento similar hace ver que cuando x es negativo grande en magnitud, 1x es
pequeño negativo; de este modo, también tiene
1
lím 0
x l
x
FIGURA 6
1 1
lím =0, lím =0 Se infiere que la recta y 0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la curva y 1x (que
x ` x x _` x
es una hipérbola equilátera; véase la figura 6).
La mayor parte de las leyes de los límites que se dieron en la sección 2.3 también se
cumplen para los límites en el infinito. Se puede probar que las leyes de los límites, cuya
lista se da en la sección 2.3 (con la excepción de las leyes 9 y 10), también son válidas si
“x l a” se reemplaza con “x l
” o con “x l
”. En particular, si combina la ley 6
con los resultados del ejemplo 2, obtiene la importante regla que sigue para el cálculo de
límites.
5 TEOREMA Si r 0 es un número racional, entonces
1
lím 0
xl
xr
Si r 0 es un número racional tal que x r está definida para toda x, entonces
1
lím 0
x l
xr
V EJEMPLO 3 Evalúe
3x 2 x 2
lím
x l
5x 2 4x 1
e indique las propiedades de límites que se usan en cada etapa.
SOLUCIÓN Conforme x se hace más grande, tanto el numerador como el denominador se
hacen más grandes, por lo tanto no resulta evidente qué sucede con su proporción. Necesi-
ta hacer algunas operaciones algebraicas preliminares.
Para evaluar el límite en el infinito de una función racional, divida el numerador y el
denominador entre la mayor potencia de x que hay en el denominador. (Puede suponer
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 134
134 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
que x 0, puesto que sólo está interesado en los valores grandes de x.) En este caso, la
mayor potencia de x en el dominador es x2, con lo cual tiene
3x 2 x 2 1 2
3 2
3x x 2
2
x2 x x
lím lím lím
x l
5x 2 4x 1 x l
5x 2 4x 1 x l
4 1
5 2
x2 x x
lím 3
x l
1
x
2
2
x
(por la ley de los Límites 5)
4 1
lím 5 2
x l
x x
y
y=0.6 1 1
lím 3 lím 2 lím
x l
x l
x x l
x2
0 1 x (por 1, 2 y 3)
1 1
lím 5 4 lím lím
x l
x l
x x l
x2
300
(por 7 y el teorema 5)
500
3
5
FIGURA 7 Un cálculo semejante hace ver que el límite cuando x l
también es 53 . En la figura 7
3≈-x-2
y= se ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo la gráfica de la función ra-
5≈+4x+1
cional dada se aproxima a la asíntota horizontal y 35 .
EJEMPLO 4 Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función
s2x 2 1
f x
3x 5
SOLUCIÓN Al dividir tanto el numerador como el denominador entre x y aplicar las propie-
dades de los límites tiene
lím
s2x 2 1
lím
2
1
x2
(puesto que sx 2 x para x 0)
xl
3x 5 xl
5
3
x
lím
x l
2 1
x2
lím 2 lím
x l
1
x2
x l
s2 0 s2
5 1 350 3
lím 3 lím 3 5 lím
x l
x x l
x l
x
Por lo tanto, la recta y s23 es una asíntota horizontal de la gráfica de f.
Si calcula el límite cuando x l
, debe recordar que para x 0,
tiene sx 2 x x. De donde, al dividir el numerador entre x, para
x 0 obtiene
1
x
s2x 2 1
1
sx 2
s2x 2 1 2
1
x2
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 135
SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 135
Por lo tanto,
lím
s2x 1 2
lím
2
1
x2
2 lím
x l
1
x2
s2
x l
3x 5 x l
5 1 3
3 3 5 lím
x x l
x
y
Así, la recta y s23 también es una asíntota horizontal.
Es probable que haya una asíntota vertical cuando el denominador, 3x 5, es 0, es
decir, cuando x 53 . Si x tiende a 3 y x 53 , después el denominador está cercano a 0 y
5
y= 3
œ„ 3x 5 es positivo. El numerador s2x 2 1 siempre es positivo, de modo que fx es
positivo. Por lo tanto,
x
s2x 2 1
œ„ lím
y=_ 3 x l 53 3x 5
Si x está cerca de 3 pero x 53 , en seguida 3x 5 0 y fx es grande y negativa. De
5
5
x= esta manera,
3
s2x 2 1
lím
FIG 8 x l 53 3x 5
+1
y=
3x-5 La asíntota vertical es x 53 . Las tres asíntotas se ilustran en la figura 8.
EJEMPLO 5 Calcule lím (sx 2 1 x).
x l
SOLUCIÓN Ya que tanto sx 2 1 como x son grandes cuando x es grande, es difícil
ver qué sucede con su diferencia, por eso, use el álgebra para escribir de nuevo la
función. En primer lugar multiplique el numerador y el denominador por el radical
& Puede considerar que la función dada tiene conjugado.
un denominador de 1.
sx 2 1 x
lím (sx 2 1 x) lím (sx 2 1 x)
x l
x l
sx 2 1 x
x 2 1 x 2 1
lím lím
x l
sx 2 1 x x l
sx 2 1 x
Se podría aplicar el teorema de la compresión para demostrar que este límite es 0. Pero
un método más fácil es dividir el numerador y el denominador entre x. Al efectuar
esto y aplicar las leyes de los límites obtiene
1
1 x
lím (sx 2 1 x) lím lím
x l
x l
sx 2 1 x x l
sx 2 1 x
x
y 1
x 0
lím 0
y=œ„„„„„
≈+1 -x x l
1 1 s1 0 1
1 2
1 x
En la figura 9 se ilustra este resultado.
0 1 x
En la gráfica de la función exponencial natural y ex tiene la recta y 0 (el eje x)
FIGURA 9 como asíntota horizontal. (Lo mismo se cumple para cualquier función exponencial con
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 136
136 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
base a 1.) En efecto, a partir de la gráfica de la figura 10 y la tabla correspondiente
de valores observe que
6 lím e x 0
x l
Advierta que los valores de ex tienden a 0 con mucha rapidez.
y
x ex
y=´
0 1.00000
1 0.36788
2 0.13534
1 3 0.04979
5 0.00674
8 0.00034
0 x
1 10 0.00005
FIGURA 10
V EJEMPLO 6 Evalúe lím e 1x .
x l0
& La estrategia para resolver problemas para SOLUCIÓN Si hace que t 1x, sabe que t l
cuando x l 0. Por lo tanto, de acuerdo
el ejemplo 6 es introducir algo adicional
con (6),
(véase página 76). En este caso, lo adicional,
el elemento auxiliar, es la variable t. lím e 1x lím e t 0
x l 0 t l
(Véase ejercicio 71.)
EJEMPLO 7 Evalúe lím sen x .
x l
SOLUCIÓN Cuando x crece, los valores de sen x oscilan entre 1 y 1 infinitamente a menudo,
y, de este modo, no se aproximan a ningún número definido. Así, lím xl
sen x no existe.
LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO
La notación
lím f x
xl
se usa para indicar que los valores de f x se agrandan cuando x se hace grande. Se aso-
cian significados semejantes a los símbolos siguientes:
lím f x
lím f x
lím f x
x l
xl
x l
EJEMPLO 8 Determine lím x 3 y lím x 3.
xl
x l
y
SOLUCIÓN Cuando x se incrementa, también lo hace x 3. Por ejemplo,
y=˛ 103 1000 1003 1 000 000 10003 1 000 000 000
En efecto, puede hacer a x3 tan grande como quiera incrementando de manera suficiente
a x. Por lo tanto,
0 x
lím x 3
xl
de manera similar, cuando x toma un valor negativo grande, así es x 3. En estos términos
lím x 3
x l
FIGURA 11
Asimismo, eatas proposiciones de los límites se pueden ver en la gráfica de y x 3 en la
lím x#=`, lím x#=_`
x ` x _` figura 11.
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 137
SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 137
y Al examinar la figura 10 observe que
y=´
lím e x
x l
pero, como se muestra en la figura 12, y e x se hace grande cuando x l
con mucha
mayor rapidez que y x 3.
y=˛ EJEMPLO 9 Encuentre lím x 2 x.
100 xl
| SOLUCIÓN Advierta que no puede escribir
0 1 x
lím x 2 x lím x 2 lím x
x l
x l
x l
FIGURA 12
´ es tan grande como ˛ Las leyes de los límites no se pueden aplicar a los límites infinitos porque
no es un nú-
cuando x es grande. mero (
está indefinido). Sin embargo, puede escribir
lím x 2 x lím xx 1
x l
x l
porque tanto x como x 1 se hacen arbitrariamente grandes y, por lo tanto, también
su producto.
x2 x
EJEMPLO 10 Encuentre lím .
x l
3x
SOLUCIÓN Como en el ejemplo 3, divida el numerador y denominador entre la potencia
más alta de x en el denominador, que es justamente x:
x2 x x1
lím lím
x l
3x x l
3
1
x
porque x 1 l
y 3x 1 l 1 cuando x l
.
En el ejemplo siguiente se muestra que al analizar límites infinitos en el infinito, junto
con intersecciones, es posible llegar a tener una idea general de la gráfica de un polinomio
sin tener que graficar una gran cantidad de puntos.
V EJEMPLO 11 Trace la gráfica de y x 24x 13x 1 con ayuda de las
intersecciones y sus límites cuando x l
y cuando x l
.
SOLUCIÓN La intersección con el eje y es f 0 24131 16 y los cortes con el
eje x se encuentran al hacer y 0: x 2, 1, 1. Observe que como x 24 es positiva,
la función no cambia de signo en 2; de este modo, la gráfica no corta el eje x en 2. La
y
gráfica corta el eje en 1 y 1.
Cuando x adquiere un valor grande y positivo, los tres factores son grandes, de modo que
lím x 24x 13x 1
xl
_1 0 1 2 x
Cuando x tiene un valor grande y negativo, el primer factor toma un valor grande y
positivo y el segundo y el tercer factores son grandes negativos, por lo que
_16 lím x 24x 13x 1
x l
FIGURA 13
y=(x-2)$(x +1)#(x-1) Al combinar esta información, obtiene un esbozo de la gráfica en la figura 13.
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 138
138 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
DEFINICIONES EXACTAS
La definición 1 se puede establecer precisamente como se indica a continuación.
7 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo a,
. Entonces,
lím f x L
xl
significa que para toda e 0 hay un número correspondiente N tal que
si xN entonces f x L e
En lenguaje común, esto establece que los valores de fx se pueden hacer arbitraria-
mente cercanos a L (dentro de una distancia e, donde e es cualquier número positivo) al
hacer que x tome valores suficientemente grandes (más grandes que N, donde N depende
de e). Desde el punto de vista gráfico, esto plantea que al escoger valores grandes de x
(mayores que algún número N) es posible hacer que la gráfica de f se sitúe entre las rec-
tas horizontales y L e y y L e como en la figura 14. Esto se tiene que cumplir
sin que importe qué tan pequeño sea e. En la figura 15 se ilustra que si se escoge un
valor pequeño de e, después se podría requerir un valor mayor de N.
y
y=ƒ
y=L+∑
∑ ƒ
L ∑
está aquí
y=L-∑
0 N x
FIGURA 14
lím ƒ=L donde x está aquí
x `
y
y=ƒ
L y=L+∑
y=L-∑
FIGURA 15 0 N x
lím ƒ=L
x `
De igual manera, una versión exacta de la definición 2 se proporciona mediante la
definición 8, la cual se ilustra en la figura 16.
8 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo de
, a.
Entonces,
lím f x L
x l
quiere decir que para toda e 0 hay un número correspondiente N tal que
si xN entonces f x L e
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 139
SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 139
y
y=ƒ
y=L+∑
L
y=L-∑
FIGURA 16 N 0 x
lím ƒ=L
x _`
En el ejemplo 3 se calculó que
3x 2 x 2 3
lím
xl
5x 4x 1
2
5
En el ejemplo siguiente se utiliza una calculadora o computadora para relacionar este
enunciado de la definición 7 con L 35 y e 0.1.
EJEMPLO 12 Mediante una gráfica determine un número N tal que
si xN entonces 3x 2 x 2
5x 2 4x 1
0.6 0.1
SOLUCIÓN Reescriba la desigualdad como
3x 2 x 2
0.5 0.7
5x 2 4x 1
1 Es necesario determinar los valores de x para los cuales la curva dada queda entre las
rectas horizontales y 0.5 y y 0.7. La curva y las rectas están graficadas en la figura 17.
y=0.7 Luego, por medio del cursor, se estima que la curva cruza la recta y 0.5 cuando
y=0.5 x
6.7. A la derecha de este número, la curva se localiza entre las rectas y 0.5 y
y 0.7. Efectúe un redondeo y después
3≈-x-2
y=
5 +4x+1
3x 2 x 2
0 15 si x7 entonces 0.6 0.1
5x 2 4x 1
FIGURA 17
En otras palabras, para e 0.1 puede elegir N 7 (o cualquier otro número mayor) en
la definición 7.
1
EJEMPLO 13 Mediante la definición 7 demuestre que lím 0.
xl
x
SOLUCIÓN Dado e 0, busque N tal que
si xN entonces 1
x
0
Al calcular el límite podría suponer que x 0. Entonces 1x e &fi x 1e.
Seleccione N 1e. De esa manera
si xN
1
entonces 1
x
1
x
0
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 140
140 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
De donde, según la definición 7,
1
lím 0
xl
x
En la figura 18 se ilustra la demostración en la que se muestran algunos valores de y
los valores correspondientes de N.
y y y
∑=1
∑=0.2 ∑=0.1
0 N=1 x 0 N=5 x 0 N=10 x
FIGURA 18
Para finalizar, observe que se puede definir un límite infinito en el infinito como sigue.
y La representación geométrica se proporciona en la figura 19.
y=M
M 9 DEFINICIÓN Si f es una función definida en algún intervalo a,
. entonces
lím f x
xl
significa que para todo número positivo M hay un número positivo correspondiente
0 N x
N tal que
FIGURA 19
si xN entonces f x M
lím ƒ=`
x `
Definiciones similares son válidas cuando el símbolo
se reemplaza con
. (Véase
ejercicio 70.)
2.6 EJERCICIOS
1. Explique con sus propias palabras el significado de cada una de (d) lím f x (e) lím f x
x l
x l
las expresiones siguientes.
(a) lím f x 5 (b) lím f x 3 (f) Las ecuaciones de las asíntotas.
x l
x l
y
2. (a) ¿La gráfica de y f x se puede intersecar con una asíntota
vertical? ¿Se puede intersecar con una asíntota horizontal?
Ilustre trazando gráficas.
(b) ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica de 1
y f x? Trace gráficas para ilustrar las posibilidades.
1 x
3. Para la función f cuya gráfica se ilustra, dé lo siguiente:
(a) lím f x (b) lím f x (c) lím f x
x l2 x l 1 x l 1
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 141
SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 141
4. Para la función t cuya gráfica se ilustra, proporcione lo 13–14 Evalúe un límite y justifique cada etapa señalando las pro-
siguiente: piedades adecuadas de los límites.
(a) lím tx (b) lím tx
x l
(c) lím tx
x l3
x l
(d) lím tx
x l0
13. lím
xl
3x 2 x 4
2x 2 5x 8
14. lím
xl
12x 3 5x 2
1 4x 2 3x 3
(e) lím tx (f) Las ecuaciones de las asíntotas.
x l 2
y
15–36 Calcule el límite.
1 3x 5
15. lím 16. lím
xl
2x 3 x l
x4
1
1 x x2 2 3y 2
0 2 x 17. lím 18. lím
x l
2x 2 7 yl
5y 2 4y
x 5x
3
t2 2
19. lím 20. lím
x l
2x x 2 4
3
t l
t t2 1
3
4u 5
4
x2
21. lím 22. lím
5–10 Dibuje el ejemplo de una función f que satisfaga todas las ul
u 2 22u 2 1 x l
s9x 2 1
condiciones dadas.
s9x 6 x s9x 6 x
23. lím 24. lím
5. f 0 0, f 1 1, lím f x 0, f es impar xl
x3 1 x l
x3 1
x l
6. lím f x
, lím f x
, lím f x 1, 25. lím (s9x 2 x 3x) 26. lím ( x sx 2 2x )
x l0 x l 0 x l
x l
x l
lím f x 1
x l
27. lím (sx 2 ax sx 2 bx )
x l
7. lím f x
, lím f x
, lím f x 0,
x l2 x l
x l
28. lím cos x
x l
lím f x
, lím f x
x l 0 x l 0 x x3 x5
29. lím 30. lím sx 2 1
8. lím f x
, lím f x 3, lím f x 3
xl
1 x2 x4 xl
x l 2 x l
x l
x 3 2x 3
9. f 0 3, lím f x 4 , lím f x 2 , 31. lím x 4 x 5 32. lím
xl0 xl 0
x l
xl
5 2x 2
lím f x
, lím f x
, lím f x
, 1 ex
xl
x l4 x l 4 33. lím 34. lím tan1x 2 x 4
xl
1 2ex xl
lím f x 3
xl
35. lím e2x cos x 36. lím e tan x
xl
x l
2
10. lím f x
, lím f x 2 , f0 0, f es par
x l3 xl
; 37. (a) Estime el valor de
; 11. Determine el valor del límite
lím (sx 2 x 1 x)
x l
2
x
lím
x l
2x dibujando la función f x sx 2 x 1 x.
(b) Use una tabla de valores de f x para conjeturar el valor del
evaluando la función fx x22x para x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
límite.
8, 9, 10, 20, 50 y 100. A continuación, utilice una gráfica de f
para respaldar su conjetura. (c) Pruebe que su conjetura es correcta.
; 12. (a) Use una gráfica de ; 38. (a) Use una gráfica de
f x 1
2
x
x
f x s3x 2 8x 6 s3x 2 3x 1
para estimar el valor de lím xl
fx hasta una cifra
para estimar el valor de lím xl
fx correcto hasta dos ci- decimal.
fras decimales (b) Use una tabla de valores de f x para estimar el límite hasta
(b) Use una tabla de valores de f x para estimar el límite cuatro cifras decimales.
hasta cuatro cifras decimales. (c) Halle el valor exacto del límite.
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 142
142 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
39–44 Hallar las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si 53. (a) Aplique el teorema de la compresión para evaluar
tiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando la sen x
lím .
curva y estimando las asíntotas. xl
x
; (b) Grafique f x sen xx. ¿Cuántas veces la gráfica corta
2x 1 x2 1 la asíntota?
39. y 40. y
x2 2x 2 3x 2
; 54. Por comportamiento al final de una función debe dar a
2x2 x 1 1 x4 entender una descripción de lo que sucede a sus valores cuando
41. y 2 42. y 2
x x2 x x4 x l
y cuando x l
.
(a) Describa y compare el comportamiento al final de las
x3 x 2ex funciones
43. y 44. y
x 6x 5
2
e 5
x
Px 3x5 5x3 2x Qx 3x5
dibujando las dos funciones en los rectángulos de visua-
; 45. Estimar la asíntota horizontal de la función lización 2, 2
por 2, 2
y 10, 10
por 10 000,
3x3 500x2 10 000
.
f x (b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento
x 500x2 100x 2000
3
al final si su relación tiende a 1 cuando x l
. Demuestre
mediante la gráfica de f para 10 x 10. Después calcule que P y Q tienen el mismo comportamiento al final.
la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la
55. Sean P y Q dos polinomios. Encuentre
discrepancia?
Px
lím
; 46. (a) Grafique la función xl
Qx
s2x2 1 si el grado de P es (a) menor que el grado de Q y (b) mayor
f x que el grado de Q.
3x 5
56. Haga un boceto aproximado de la gráfica de la curva y xn (n
¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa? Use la
un entero) para los cinco casos siguientes:
gráfica para estimar el valor de los límites
(i) n 0 (ii) n 0, n impar
s2x 2 1 s2x 2 1 (iii) n 0, n par (iv) n 0, n impar
lím y lím
xl
3x 5 x l
3x 5 (v) n 0, n par
Después use estos bocetos para encontrar los límites siguientes.
(b) Calcular los valores de f x, proporcione estimaciones
(a) lím x n (b) lím x n
numéricas de los límites del inciso (a). x l0 x l0
(c) Calcular los valores exactos de los límites en el inciso (a) (c) lím x n (d) lím x n
x l
x l
obtenga el mismo valor o valores diferentes de esos dos
límites [con respecto a su respuesta del inciso (a), tendrá 57. Determine lím xl
fx si, para toda x 1,
que verificar su cálculo para el segundo límite].
10ex 21 5sx
f x
47. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las 2ex
sx 1
condiciones siguientes:
58. (a) Un depósito contiene 5 000 L de agua pura. Se bombea
lím f x 0 , lím f x
, f 2 0, salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al
x l
x l0 depósito a una proporción de 25 Lmin. Demuestre que
la concentración de sal t minutos después (en gramos por
lím f x
, lím f x
x l 3 x l 3 litro) es
48. Plantee una fórmula para una función cuyas asíntotas verticales 30t
Ct
son x 1 y x 3 y asíntota horizontal y 1. 200 t
(b) ¿Qué sucede con la concentración cuando t l
?
49–52 Determine los límites cuando x l
y cuando x l
.
Utilice esta información junto con las intersecciones para conseguir 59. En el capítulo 9 se demostrará que, según ciertas hipótesis,
un esbozo de la gráfica como en el ejemplo 11. la velocidad vt de una gota de lluvia que cae, en el instante
t, es
49. y x4 x6 50. y x 3x 22x 1
vt v*1 ettv*
51. y 3 x1 x 1 x 2 4
donde t es la aceleración debida a la gravedad y v* es la
52. y x 2x2 12x 2 velocidad terminal de la gota de lluvia.
(a) Encuentre lím t l
vt.
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 143
SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 143
; (b) Trace la gráfica de vt si v* 1 ms y g 9.8 ms2. 65. (a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que
¿Cuánto tiempo transcurre para que la velocidad de la gota 1x2 0.0001?
de agua alcance el 99% de su velocidad terminal? (b) Al hacer r 2 en el Teorema 5, tenemos la proposición
1
; 60. (a) Mediante el trazo de y e
x10
y y 0.1 en una pantalla lím 0
xl
x2
común, descubra cuánto tiene que aumentar x de modo que
ex10 0.1. Demuéstrela directamente aplicando la Definición 7.
(b) ¿Puede resolver el inciso (a) sin un aparato graficador? 66. (a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que
1sx 0.0001?
; 61. Mediante una gráfica determine un número N tal que (b) Al hacer r 12 en el Teorema 5, tenemos la proposición
si xN entonces 3x 2 1
2x 2 x 1
1.5 0.05
lím
xl
1
sx
0
Demuéstrela directamente aplicando la Definición 7.
; 62. En el caso del límite 1
67. Aplique la Definición 8 para demostrar que lím 0.
x l
x
s4x 2 1
lím 2 68. Demuestre mediante la Definición 9 que lím x 3
.
xl
x1 xl
69. Mediante la definición 9 demuestre que
ilustre la definición 7 mediante la determinación de valores de
N que corresponden a e 0.5 y e 0.1. lím e x
xl
; 63. Ilustre la definición 8 para el límite 70. Formule una definición exacta de
lím f x
s4x 2 1 x l
lím 2
x l
x1 Luego aplique su definición para demostrar que
determinando valores de N que corresponden a e 0.5 y lím 1 x 3
x l
e 0.1.
71. Demuestre que
; 64. Ilustre la definición 9 para el límite
lím f x lím f 1t
xl
tl0
2x 1
lím
y lím f x lím f 1t
x l
sx 1
x l
tl0
calculando valores de N que corresponden a M 100. si existen los límites.
2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO
El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la veloci-
dad de un objeto, involucran encontrar el mismo tipo de límite, como se vio en la sección
2.1. Esta clase especial de límite se denomina derivada y puede ser interpretada como una
razón de cambio en cualquiera de las ciencias o ingeniería.
TANGENTES
Si una curva C tiene la ecuación y fx y quiere hallar la tangente a C en el punto Pa, fa,
entonces considere un punto cercano Qx, fx, donde x a, y calcule la pendiente de la línea
secante PQ:
f x f a
mPQ
xa
En seguida, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si mPQ
tiende a un número m, entonces defina la tangente t como la recta que pasa por P con
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 144
144 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
y pendiente m. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta se-
Q{ x, ƒ } cante PQ cuando Q tiende a P. Véase la figura 1.)
ƒ-f(a)
P { a, f(a)} 1 DEFINICIÓN La recta tangente a la curva y fx en el punto Pa, fa es la
x-a
recta que pasa por P con pendiente
f x f a
m lím
xla xa
0 a x x
cuando el límite existe.
y t En el primer ejemplo, se confirma la suposición hecha en el ejemplo 1 de la sec-
ción 2.1.
Q
Q
V EJEMPLO 1 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y x2, en el
P Q punto P1, 1.
SOLUCIÓN En este caso, a 1 y fx x2, de modo que la pendiente es
f x f 1 x2 1
m lím lím
0 x
x l1 x1 x l1 x 1
x 1x 1
FIGURA 1 lím
x l1 x1
lím x 1 1 1 2
x l1
& Forma punto-pendiente para una recta que
Con la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, se encuentra que una ecuación
pasa por el punto x1, y1 con pendiente m: de la recta tangente en 1, 1 es
y y1 mx x1
y 1 2x 1 o bien y 2x 1
A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en un pun-
to como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si se acerca lo suficiente al
punto, la curva parece una línea recta. En la figura 2 se ilustra este procedimiento para la
TEC Visual 2.7 muestra una animación curva y x2 del ejemplo 1. Entre más se acerque, la parábola más parece una recta. En
de la figura 2. otras palabras, la curva casi se vuelve indistinguible de su recta tangente.
2 1.5 1.1
(1, 1) (1, 1) (1, 1)
0 2 0.5 1.5 0.9 1.1
FIGURA 2 Acercamiento hacia el punto (1, 1) sobre la parábola y=≈
Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar.
Si h x a, en este caso x a h y así la pendiente de la línea secante PQ es
f a h f a
m PQ
h
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 145
SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 145
Q { a+h, f(a+h)} (Véase la figura 3, donde se ilustra el caso h 0 y Q está a la derecha de P. Sin embargo,
y t
si h 0, Q estaría a la izquierda de P.)
Advierta que, cuando x tiende a a, h lo hace a 0 (porque h x a) y, de este modo, la
expresión para la pendiente de la recta tangente, que se da en la definición 1, se convierte en
P { a, f(a)}
h f(a+h)-f(a)
f a h f a
2 m lím
hl0 h
0 a a+h x
FIGURA 3 EJEMPLO 2 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola y 3x, en el
punto 3, 1.
SOLUCIÓN Sea fx 3x. Por lo tanto, la pendiente de la tangente en 3, 1 es
y 3 3 3 h
1
x+3y-6=0 3 f 3 h f 3 3h 3h
y=
x m lím lím lím
hl0 h hl0 h hl0 h
(3, 1) h 1 1
lím lím
0 x
hl0 h3 h hl0 3h 3
En consecuencia, una ecuación de la tangente en el punto 3, 1 es
FIGURA 4 y 1 13 x 3
la cual se simplifica hasta x 3y 6 0
En la figura 4 se muestra la hipérbola y su tangente.
posición en el posición en el
VELOCIDADES
instante instante
t=a t=a+h En la sección 2.1 se investigó el movimiento de una pelota que se dejó caer desde la To-
rre CN y se definió su velocidad como el límite del valor de las velocidades promedio
0 s sobre periodos cada vez más cortos.
f(a+h)-f(a) En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo
f(a) con una ecuación del movimiento s ft, donde s es el desplazamiento (distancia directa)
del objeto respecto al origen, en el instante t. La función f que describe el movimiento se
f(a+h) conoce como función de posición del objeto. En el intervalo de t a hasta t a h, el
FIGURA 5
cambio en la posición es f a h f a. (Véase la figura 5.) La velocidad promedio en
este intervalo de tiempo es
s
Q { a+h, f(a+h)} desplazamiento f a h f a
velocidad promedio
tiempo h
P { a, f(a)}
h
que es lo mismo que la pendiente de la secante PQ en la figura 6.
Suponga ahora que calcula las velocidades promedio sobre lapsos a, a h
más y más
cortos. En otras palabras, haga que h tienda a 0. Como en el ejemplo de la pelota que cae,
se definió la velocidad (o velocidad instantánea) va en el instante t a como el límite
0 a a+h t
de estas velocidades promedio:
f(a+h)-f(a)
mPQ=
h
⫽ velocidad promedio f a h f a
3 va lím
hl0 h
FIGURA 6
CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 146
146 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
Esto significa que la velocidad en el instante t a es igual a la pendiente de la recta tan-
gente en P. (Compare las ecuaciones 2 y 3.)
Ahora que sabe calcular límites, vuelva a considerar el problema de la pelota que cae.
V EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de
observación de la Torre CN, 450 m sobre el nivel del suelo.
(a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos?
(b) ¿Con qué velocidad viaja cuando choca contra el suelo?
& Recuerde que en la sección 2.1 vimos que
SOLUCIÓN Necesita hallar la velocidad cuando t 5 y cuando la pelota golpea el suelo,
la distancia (en metros) que recorre la pelota de tal manera, que es eficaz iniciar la búsqueda de la velocidad en un tiempo común
que cae una vez que transcurren t segundos
es 4.9t2.
t a. Empleando la ecuación de movimiento s f t 4.9t2, tiene
f a h f a 4.9a h2 4.9a 2
va lím lím
hl0 h hl0 h
4.9a 2 2ah h 2 a 2 4.92ah h 2
lím lím
hl0 h hl0 h
lím 4.92a h 9.8a
hl0
(a) La velocidad después de 5 s es v5 9.85 49 ms.
(b) Como la plataforma de observación está 450 m sobre el nivel del suelo, la pelota
chocará contra el suelo en el instante t1, cuando st1 450; es decir,
4.9t 21 450
Esto da
t12
450
4.9
y t1 450
4.9
9.6 s
Por lo tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es
vt1 9.8t1 9.8 450
4.9
94 ms
DERIVADAS
Ha visto que surge la misma clase de límite en la búsqueda de la pendiente de una línea
tangente (ecuación 2) o la velocidad de un objeto (ecuación 3). En realidad, los límites de
la forma
fa h fa
lím
hl0 h
surgen cuando calcula una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o en ingeniería,
tal como la velocidad de reacción en química o un costo marginal en economía. Ya que
esta clase de límite sucede, muy seguido, se proporciona un nombre y notación especial.
4 DEFINICIÓN La derivada de una función f en un número a, se indica
mediante f a, es
& f a se lee “f es fundamental de a”. fa h f a
fa lím
hl0 h
si este límite existe.
CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 147
SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 147
Si escribe x a h, en tal caso, tiene h x a y h se aproxima a 0 si y sólo si x se
aproxima a a. En consecuencia, una manera equivalente de establecer la definición de la
derivada, como se mencionó en la búsqueda de rectas tangentes, es
fx f a
5 fa lím
xla xa
V EJEMPLO 4 Hallar la derivada de la funcion f x x2 8x 9 en el número a.
SOLUCIÓN De la definición 4 se tiene
fa h f a
f a lím
hl0 h
a h2 8a h 9
a2 8a 9
lím
hl0 h
a2 2ah h2 8a 8h 9 a2 8a 9
lím
hl0 h
2ah h2 8h
lím lím 2a h 8
hl0 h hl0
2a 8
Defina la recta tangente a la curva y f x en el punto Pa, f a como la recta tan-
gente que pasa a través de P y tiene pendiente m, proporcionada por la ecuación 1 o 2,
ya que, mediante la definición 4, es la misma que la derivada f a, ahora puede decir
lo siguiente.
La recta tangente a y fx en a, fa es la recta tangente a través de a, fa cuya
pendiente es igual a f a, la derivada de f en a.
Si usa la forma punto pendiente de la ecuación de una recta, puede escribir una ecuación
de la recta tangente a la curva y fx en el punto a, fa:
y
y fa f ax a
y=≈-8x+9
V EJEMPLO 5 Halle una ecuación de la recta tangente a la parábola y x2 8x 9 en
el punto 3, 6.
0 x
SOLUCIÓN Del ejemplo 4 sabe que la derivada de f x x2 8x 9 en el número
(3, _6)
a es f a 2a 8. En consecuencia la pendiente de la recta tangente en 3, 6 es
f 3 23 8 2. En estos términos, una ecuación de la recta tangente, se
y=_2x muestra en la figura 7, es
FIGURA 7 y 6 2x 3 o bien y 2x
RELACIONES DE CAMBIO
Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x
y escriba y f x. Si x cambia de x1 a x2, por lo tanto el cambio en x (también conocido
como incremento de x) es
x x2 x1
CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 148
148 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
Q { ¤, ‡} y el cambio correspondiente en y es
y
y f x2 fx1
P {⁄, fl}
Îy El cociente de diferencias
Îx y f x 2 f x 1
x x2 x1
0 ⁄ ¤ x
se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo x1, x2
y se
razón promedio de cambio ⫽ mPQ puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura 7.
razón instantánea de cambio ⫽ Por analogía con la velocidad, considere la relación de cambio promedio en intervalos
pendiente de la tangente en P cada vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por lo tanto, al hacer que x tienda
a 0. El límite de estas relaciones de cambio promedio se llama razón (instantánea) de
FIGURA 8
cambio de y con respecto a x en x x1, lo cual se interpreta como la pendiente de la tan-
gente a la curva y fx en Px1, fx1:
y f x2 f x1
6 razón de cambio instantánea lím lím
x l 0 x x 2 l x 1 x2 x1
Reconocer este límite como la derivada f x1.
Sabe que una interpretación de la derivada f a es como la pendiente de la tangente a
la curva y fx cuando x a. Ahora tiene una segunda interpretación:
La derivada f a es la razón de cambio instantánea de y fx con respecto a x
y cuando x a.
Q
El enlace con la primera interpretación es que si dibuja la curva y f x, a conti-
nuación la razón de cambio instantánea es la pendiente de la tangente a esta curva en
el punto donde x a. Esto significa que cuando la derivada es grande (y en consecuen-
P cia, la curva es escarpada, como en el punto P de la figura 9), los valores de y cambian
rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana y el valor
de y cambia lentamente.
x En particular, si s ft es la función posición de una partícula que se traslada a lo
largo de una línea recta, entonces f a es la razón de cambio del desplazamiento s con
respecto al tiempo t. En otras palabras, f a es la velocidad de la partícula en el tiempo
FIGURA 9 t a. La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, es decir, f a .
Los valores de y cambian con rapidez En el siguiente ejemplo se analiza el significado de la derivada de una función que
en P y con lentitud en Q es definida verbalmente.
V EJEMPLO 6 Un fabricante produce un rollo de un tejido con un ancho fijo. El costo de
producir x yardas de este tejido es de C fx dólares.
(a) ¿Cuál es el significado de la derivada f x? ¿Cuáles son sus unidades?
(b) En términos prácticos, ¿qué significa decir qué f 1000 9?
(c) ¿Qué le hace pensar que es más grande f 50 o f 500? ¿Qué hay con respecto a
f 5 000?
SOLUCIÓN
(a) La derivada f x es la razón de cambio instantánea de C con respecto a x, es de-
cir, f x significa la razón de cambio del costo de producción con respecto al número
de yardas producidas. (Los economistas llaman a esto rapidez de cambio del costo
marginal. Esta idea se analiza con más detalle en las secciones 3.7 y 4.7.)
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SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 149
Porque
C
fx lím
x l 0 x
las unidades para f x son las mismas que las unidades para el cociente de diferencia
Cx. Ya que C se mide en dólares y x en yardas, por lo que las unidades para f x
son dólares por cada yarda.
(b) El enunciado de que f 1000 9 significa que, después de fabricar 1000 yardas de
tejido, la cantidad a la cual se incrementa el costo de producción es de 9 dólaresyarda.
(Cuando x 1000, C se incrementa 9 veces tan rápido como x.)
Ya que x 1 es pequeño si se le compara con x 1000, podría usarse la apro-
ximación
& En este caso suponga que la función costo se
conduce bien, en otras palabras, Cx no oscila C C
rápidamente cerca de x 1000.
f1000
C
x 1
y decir que el costo de fabricación de la yarda 1000 (o de la 1001) es de casi 9 dó-
lares.
(c) La proporción a la cual se incrementa el costo de producción (por cada yarda) pro-
bablemente es inferior cuando x 500 que cuando x 50 (el costo de fabricación de la
yarda 500 es menor que el costo de la yarda 50) debido a la economía de proporción. (El
fabricante hace más eficiente el uso de los costos de producción fijos.) De manera que
f 50 f 500
Pero, como se expande la producción, el resultado de la operación a gran escala será de-
ficiente y con eso los costos de horas extras de trabajo. En estos términos es posible que
la proporción de incremento de costos por último aumentarán. De este modo, es posi-
ble que suceda
f 5000 f 500
En el ejemplo siguiente estimará la proporción de cambio de la deuda nacional con
respecto al tiempo. En este caso, la función no se define mediante una fórmula sino me-
diante una tabla de valores.
V EJEMPLO 7 Sea Dt la deuda nacional de Estados Unidos en el tiempo t. La tabla en
t Dt
el margen proporciona valores aproximados de esta función siempre que se estime a fin
1980 930.2 de año, en miles de míllones de dólares, desde 1980 hasta 2000. Explique y juzgue el
1985 1945.9 valor de D1990.
1990 3233.3
1995 4974.0 SOLUCIÓN La derivada D1990 significa que la razón de cambio de D con respecto a t
2000 5674.2 cuando t 1990, es decir, la proporción de incremento de la deuda nacional en 1990.
De acuerdo a la ecuación 5,
Dt D1990
D1990 lím
t l1990 t 1990
Así calcule y tabule los valores del cociente de diferencia (la razón de cambio promedio)
como sigue.
Dt D1990
t
t 1990
1980 230.31
1985 257.48
1995 348.14
2000 244.09
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150 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
& UNA NOTA SOBRE UNIDADES
A partir de esta tabla se ve que D1990 se localiza en alguna parte entre 257.48 y
Las unidades de la razón de cambio promedio
Dt son las unidades de D divididas entre
348.14 miles de millones de dólares por cada año. [En este caso, está haciendo la supo-
las unidades de t, o sea, de dólares por cada sición razonable de que la deuda no fluctuará de manera errática entre 1980 y 2000.] Se
año. La razón de cambio instantánea es el límite estima que la proporción de incremento de la deuda nacional de Estados Unidos en 1990
de la razón de cambio promedio, de este modo, fue el promedio de estos números, específicamente
se mide en las mismas unidades: miles de
millones de dólares por cada año. D1990
303 miles de millones de dólares por cada año
Otro método sería una gráfica de la función deuda y valorar la pendiente de la línea
tangente cuando t 1990.
En los ejemplos 3, 6 y 7 aparecen tres casos específicos de razones de cambio: la ve-
locidad de un objeto es la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo;
el costo marginal es la razón de cambio del costo de producción con respecto al número
de artículos producidos; la razón de cambio de la deuda con respecto al tiempo es de in-
terés en economía. En este caso, es una muestra pequeña de otras razones de cambio: En
física, la razón de cambio de trabajo con respecto al tiempo se le denomina potencia. Los
químicos quienes estudian una reacción química están interesados en la razón de cambio
de la concentración de un reactivo con respecto al tiempo (denominada velocidad de
reacción). Un biólogo se interesa en la relación de cambio de la población de una colo-
nia de bacterias con respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de razones de cambio es
importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería e, incluso, en las ciencias so-
ciales. En la sección 3.7 se darán más ejemplos.
Todas estas razones de cambio se pueden interpretar como pendientes de tangentes. Esto
le confiere un significado adicional a la solución del problema de la tangente. Siempre que
resulva problemas en que intervienen rectas tangentes, no resulve sólo un problema de geo-
metría. También resuelve implícitamente una gran variedad de problemas de la ciencia y la
ingeniería en que intervienen razones de cambio.
2.7 EJERCICIOS
1. Una curva tiene la ecuación y fx. 5–8 Encuentre una ecuación de la tangente a la curva en el punto
(a) Escriba una expresión para la pendiente de la recta secante dado.
que pasa por los puntos P3, f 3 y Qx, f x.
x1
(b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta 5. y , 3, 2 6. y 2x 3 5x, 1, 3
tangente en P. x2
2x
; 2. Dibuje la curva y e en los rectángulos de visualización
x
7. y sx , 1, 1 8. y , 0, 0
x 12
1, 1] por 0, 2
, 0.5, 0.5
por 0.5, 1.5
y 0.1, 0.1
por
0.9, 1.1
. ¿Qué advierte acerca de la curva conforme hace un
acercamiento hacia el punto 0, 1? 9. (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva
y 3 4x 2 2x 3 en el punto donde x a.
3. (a) Halle la pendiente de la línea tangente a la parábola
(b) Determine las ecuaciones de las tangentes en los puntos
y 4x x2 en el punto 1, 3
1, 5 y 2, 3.
(i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2
(b) Encuentre una ecuación de la recta tangente del ; (c) Grafique la curva y ambas tangentes en una misma
pantalla.
inciso (a).
; (c) Dibuje la parábola y la tangente. Como verificación de su 10. (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva y 1sx
trabajo, haga un acercamiento hacia el punto 1, 3 hasta en el punto donde x a.
que la parábola y la tangente sean indistinguibles. (b) Plantee las ecuaciones de las tangentes en los puntos
1, 1 y (4, 2 ).
1
4. (a) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva
y x x3 en el punto 1, 0 ; (c) Grafique la curva y las tres tangentes en una misma
pantalla.
(i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2
(b) Halle una ecuación de la tangente del inciso (a). 11. (a) Una partícula inicia moviéndose a la derecha a lo largo de
; (c) Dibuje la curva y la tangente en rectángulos de visualización una línea horizontal; se muestra la gráfica de su función
cada vez más pequeñas centradas en 1, 0 hasta que parezcan de posición. ¿Cuándo se mueve la partícula a la derecha?
coincidir la curva y la recta. ¿Cuándo a la izquierda? ¿Cuándo permanece inmóvil?
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SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 151
(b) Dibuje una gráfica de la función velocidad.
y
y=©
s (metros)
4
2 _1 0 1 2 3 4 x
0 2 4 6 t (segundos)
12. Se muestran las gráficas de las funciones de posición de 18. (a) Halle una ecuación de la línea tangente a la gráfica de
dos competidoras, A y B, quienes compiten en los 100 m y y tx en x 5 si t5 3 y t5 4.
terminan en empate. (b) Si la línea tangente a y fx en 4, 3 pasa a través del
(metros) punto 0, 2, halle f4 y f 4.
19. Dibuje la gráfica de una función f para la cual f0 0,
80
A f 0 3, f 1 0 y f 2 1.
40 20. Dibuje la gráfica de una función t para la que t0 t0 0,
B
t1 1, t1 3 y t2 1.
0 4 8 12 t (segundos) 21. Si fx 3x 2 5x, halle f 2 y utilice esto para hallar una
ecuación de la línea tangente a la parábola y 3x 2 5x en el
(a) Relate y compare cómo desarrollaron la competencia. punto 2, 2.
(b) ¿En qué momento la distancia entre las competidoras es la
más grande? 22. Si tx 1 x 3, halle t0 y utilice esto para hallar una
(c) ¿En qué momento tienen la misma velocidad? ecuación de la línea tangente a la curva y 1 x 3 en el
punto 0, 1.
13. Si una pelota se lanza al aire hacia arriba, con una velocidad
23. (a) Si Fx 5x1 x , halle F 2 utilice esto para
2
de 40 fts, su altura (en ft) una vez que transcurren t
segundos, está dada por y 40 t 16t2. Encuentre la hallar una ecuación de la línea tangente a la curva
velocidad después de t 2. y 5x1 x2 en el punto 2, 2.
; (b) Ilustre el inciso (a) graficando la curva y la línea
14. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con tangente en la misma pantalla.
una velocidad de 10 ms, su altura (en metros) después de
t segundos se conoce por H 10t 1.86t 2. 24. (a) Si Gx 4x 2 x 3, hallar Ga utilice esto para
(a) Halle la velocidad de la roca después de un segundo. encontrar una ecuación de la línea tangente a la curva
(b) Halle la velocidad de la roca cuando t a. y 4x 2 x 3 en los puntos 2, 8 y 3, 9.
(c) ¿Cuándo incidirá en la superficie la roca? ; (b) Ilustre el inciso (a) mediante la gráfica de la curva y la
(d) ¿Con qué velocidad la roca incidirá en la superficie? línea tangente en la misma pantalla.
15. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve 25–30 Hallar f a.
en línea recta está dado por la ecuación del movimiento
s 1t 2, donde t se mide en segundos. Halle la velocidad de 25. fx 3 2x 4x 2 26. ft t 4 5t
la partícula en los instantes t a, t 1, t 2 y t 3. 2t 1 x2 1
27. f t 28. f x
16. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve t3 x2
en línea recta está dado por s t2 8t 18, donde t se mide 1
en segundos 29. f x 30. f x s3x 1
sx 2
(a) Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo
(i) 3, 4
(ii) 3.5, 4
(iii) 4, 5
(iv) 4, 4.5
31–36 Cada límite representa la derivada de alguna función f en
algún número a. Presente en cada caso las f y a.
(b) Halle la velocidad instantánea cuando t 4.
(c) Dibuje la gráfica de s como función de t y trace las rectas 1 h10 1 s
4
16 h 2
secantes cuyas pendientes son las velocidades promedio del 31. lím 32. lím
hl0 h hl0 h
inciso (a) y la recta tangente cuya pendiente es la velocidad
instantánea del inciso (b). 2 32
x
tan x 1
33. lím 34. lím
xl5 x5 x l
4 x
4
17. Se proporciona la gráfica de la función t, reordene los números
siguientes en orden creciente y explique su razonamiento. cos
h 1 t4 t 2
35. lím 36. lím
hl0 h t l1 t1
0 t2 t0 t2 t4
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152 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
37–38 Una partícula se traslada a lo largo de una línea recta con (b) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000
ecuación de movimiento s f t, donde s se mide en metros y t en considerando el promedio de dos relaciones de cambio
segundos. Halle la velocidad y la rapidez cuando t 5. promedio. ¿Cuáles son sus unidades?
(c) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000
37. f t 100 50t 4.9t 2 38. ft t1 t
midiendo la pendiente de una tangente.
39. Se coloca una lata tibia de gaseosa en un refrigerador frío. 43. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es
Grafique la temperatura de la gaseosa como función del Cx 5000 10x 0.05x 2.
tiempo. ¿La razón de cambio inicial de la temperatura (a) Encuentre la razón de cambio promedio de C con
es mayor o menor que la relación de cambio después de respecto a x, cuando se cambia el nivel de producción:
una hora? (i) de x 100 a x 105
40. Se saca un pavo asado del horno cuando su temperatura ha (ii) de x 100 a x 101
alcanzado 185F y se coloca sobre la mesa de un cuarto (b) Halle la razón de cambio instantánea de C con respecto a
donde la temperatura es de 75F. En la gráfica se muestra x, cuando x 100. (Esto se conoce como costo marginal.
cómo disminuye la temperatura del pavo y, finalmente, tiende En la sección 3.7 se explica su significado.)
a la temperatura del cuarto. Por medio de la medición de la
pendiente de la tangente, estime la razón de cambio de 44. Si un tanque cilíndrico contiene 100 000 galones de agua que
la temperatura después de una hora. se pueden drenar por el fondo del depósito en 1 h, la ley de
Torricelli da el volumen V del agua que queda después de t
T (°F) minutos como
200
2
t
Vt 100 000 1 0 t 60
P 60
100
Encuentre la rapidez con que fluye el agua hacia afuera del
tanque (la razón de cambio instantánea de V con respecto
a t) como función de t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los
0 30 60 90 120 150 t (min)
instantes t 0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60 min, encuentre el gasto
y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus
hallazgos en una oración o dos. ¿En qué instante el gasto es
máximo? ¿Cuándo es mínimo?
41. La tabla muestra el porcentaje estimado P de la población
de Europa que utiliza teléfono celular. (Se proporcionan
45. El costo de producir x onzas de oro a partir de una mina de oro
estimaciones semestrales.)
reciente es C fx dólares.
Año 1998 1999 2000 2001 2002 2003 (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f x? ¿Cuáles son sus
unidades?
P 28 39 55 68 77 83 (b) ¿Qué significa enunciar f 800 17?
(c) ¿Los valores de f x se incrementarán o disminuirán en
(a) Halle la razón de crecimiento promedio de celulares corto tiempo, cuál es su opinión? ¿Y a largo plazo?
(i) de 2000 a 2002 (ii) de 2000 a 2001 Explique.
(iii) de 1999 a 2000
En cada caso, incluya las unidades. 46. El número de bacterias después de t horas en un experimento de
(b) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 laboratorio controlado es n ft.
tomando el promedio de dos relaciones de cambio (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f 5? ¿Cuáles son sus
promedio. ¿Cuáles son sus unidades? unidades?
(c) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 (b) Considere que existe una cantidad de espacio y nutrimentos
midiendo la pendiente de la tangente. para la bacteria. ¿Cuál es mayor f 5 o f 10? Si
se limita el suministro de nutrimentos, ¿afectaría su
42. En la tabla se proporciona el número N de establecimientos
conclusión?
de una popular cadena de cafeterías. (Se dan los números de
establecimientos al 30 de junio.)
47. Sea Tt la temperatura (en °F) en Dallas t horas después de la
Año 1998 1999 2000 2001 2002 medianoche el 2 de junio de 2001. La tabla muestra los valores de
esta función registrada cada dos horas. ¿Cuál es el significado
N 1 886 2 135 3 501 4 709 5 886 de T10? Estime su valor.
(a) Determine la tasa media de crecimiento
(i) desde 2000 a 2002 (ii) desde 2000 a 2001 t 0 2 4 6 8 10 12 14
(iii) de 1999 a 2000
T 73 73 70 69 72 81 88 91
En cada caso incluya las unidades.
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REDACCIÓN DE PROYECTO MÉTODOS ANTICIPADOS PARA LA BÚSQUEDA DE TANGENTES |||| 153
48. La cantidad (en libras) de un café que es vendido por una 50. La gráfica muestra la influencia de la temperatura T
compañía en un precio de p dólares por cada libra es en la rapidez máxima sostenible de nado del salmón
Q f p. Coho.
(a) ¿Cuál es el significado de la derivada f 8? ¿Cuáles son sus (a) ¿Cuál es el significado de la derivada ST? ¿Cuáles son
unidades? sus unidades?
(b) ¿f 8 es positiva o negativa? Explique. (b) Estime los valores de S 15 y S 25 e interprételos.
49. La cantidad de oxígeno que se puede disolver en agua depende de
la temperatura del agua. (De esa manera la polución térmica S
induce el contenido de oxígeno en el agua.) La gráfica muestra (cm/s)
cómo varía la solubilidad S de oxígeno como una función de la 20
temperatura del agua T.
(a) ¿Cuál es el significado de la derivada ST? ¿Cuáles son
sus unidades?
(b) Estime e interprete el valor de S16. 0 10 20 T (°C)
S
(mg / L)
16
51–52 Establezca si existe f 0.
12
1
8 x sen si x 0
51. f x x
4 0 si x 0
0 8 16 24 32 40 T (°C)
Adaptada de Environmental Science: Sc