(PDF) JAMES STEWART Sexta edición Sexta edición EDICIÓN REVISADA EDICIÓN REVISADA | Club Turmeque - Academia.edu
EDICIÓN REVISADA STEWART El contenido de la obra que tiene usted en sus manos, Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas, se ha reorganizado de manera tal que los profesores puedan enseñar las funciones trascendentes (más que simples funciones trigonométricas) antes de pasar a la integral. Además, el autor desarrolla el texto basándose en lo que él llama regla de tres, es decir, plantea que “los temas deben presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica”. El énfasis en la solución de problemas, la meticulosa exactitud, las pacientes explicaciones y los conjuntos de problemas cuidadosamente graduados son conceptos que identifican este texto clásico de cálculo. Sexta edición Características • La obra tiene una presentación clara y selectiva. El autor conduce al estudiante a lo largo de un material crucial mediante una forma sencilla, correcta y analítica. • Se han incorporado nuevos ejercicios que van desde un nivel básico hasta los muy complicados, para obligar la práctica y adquisición de habilidades (incluyendo problemas para software y calculadora graficadora). • En el texto se enfatiza la importancia de la solución de problemas, en el apartado “Principios para la resolución de problemas”, además de las conocidas y aumentadas secciones de “Problemas adicionales”. Estamos seguros de que esta excelente obra será para usted una herramienta fundamental en la enseñanza y/o aprendizaje del Cálculo. EDICIÓN REVISADA JAMES STEWART Sexta edición Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iv Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page i CÁ L C U L O DE UNA VARIABLE Trascendentes tempranas S E X TA E D I C I Ó N (Edición revisada) J A M E S S T E WA RT McMASTER UNIVERSITY Traducción: Jorge Humber to Romo M. Traductor Profesional Revisión técnica: Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Instituto Politécnico Nacional M. en C . Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page ii Cálculo de una variable: © D.R. 2008 por Cengage Learning Editores, S.A. Trascendentes tempranas, de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Sexta edición Corporativo Santa Fe James Stewart Av. Santa Fe, núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe Presidente de Cengage Learning C.P. 05349, México, D.F. Latinoamérica: Cengage Learning™ es una marca registrada Javier Arellano Gutiérrez usada bajo permiso. Director general México DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de y Centroamérica: este trabajo amparado por la Ley Federal del Pedro Turbay Garrido Derecho de Autor, podrá ser reproducida, Director editorial Latinoamérica: transmitida, almacenada o utilizada en José Tomás Pérez Bonilla cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, Director de producción: pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, Raúl D. Zendejas Espejel reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, Coordinadora editorial: distribución en redes de información o María Rosas López almacenamiento y recopilación en sistemas de Editor de desarrollo: información a excepción de lo permitido en el Sergio R. Cervantes González Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por Editor de producción: escrito de la Editorial. Timoteo Eliosa García Traducido del libro Single Variable Calculus: Ilustrador: Early Trascendentals, Sixth Edition Brian Betsill Publicado en inglés por Thomson/Brooks/Cole Composición tipográfica: © 2008 Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V. ISBN: 0-495-01169-X Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas Sexta edición ISBN-13: 978-607-481-317-3 ISBN-10: 607-481-317-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iii PARA SALLY Y DON PARA ALAN Y SHARON PARA KELLY, KIM Y CALLUM PARA JACKIE Y NINO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iv CONTENIDO Prefacio xi Al estudiante xix Exámenes de diagnóstico xx PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO 2 1 FUNCIONES Y MODELOS 10 1.1 Cuatro maneras de representar una función 11 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones básicas 24 1.3 Funciones nuevas a partir de funciones antiguas 37 1.4 Calculadoras graficadoras y computadoras 46 1.5 Funciones exponenciales 52 1.6 Funciones inversas y logaritmos 59 Repaso 73 Principios para la resolución de problemas 76 2 LÍMITES Y DERIVADAS 82 2.1 La tangente y los problemas de la velocidad 83 2.2 Límite de una función 88 2.3 Cálculo de límites utilizando las leyes de los límites 99 2.4 Definición exacta de límite 109 2.5 Continuidad 119 2.6 Límites al infinito, asíntotas horizontales 130 2.7 Derivadas y razones de cambio 143 Redacción de proyecto Métodos anticipados para la búsqueda de tangentes & 153 2.8 La derivada como una función 154 Repaso 165 Problemas adicionales 170 v vi |||| CONTENIDO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 172 m=0 y 3.1 Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales 173 m=1 m=_1 Proyecto de aplicación Construcción de una montaña rusa & 182 0 π π 2 3.2 Las reglas del producto y el cociente 183 3.3 Derivadas de las funciones trigonométricas 189 y 3.4 La regla de la cadena 197 Proyecto de aplicación ¿Dónde debe un piloto iniciar un descenso? & 206 3.5 Derivación implícita 207 0 π π 2 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas 215 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 221 3.8 Crecimiento y decaimiento exponencial 233 3.9 Relaciones afines 241 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales 247 Proyecto de laboratorio Polinomios de Taylor & 253 3.11 Funciones hiperbólicas 254 Repaso 261 Problemas adicionales 265 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 270 4.1 Valores máximos y mínimos 271 Proyecto de aplicación El cálculo de los arcoíris & 279 4.2 Teorema del valor medio 280 4.3 Manera en que las derivadas afectan la forma de una gráfica 287 4.4 Formas indeterminadas y la regla de l’Hospital 298 Redacción de proyecto Los orígenes de la regla de l‘Hospital & 307 4.5 Resumen de trazo de curvas 307 4.6 Trazado de gráficas con cálculo y calculadoras 315 4.7 Problemas de optimización 322 Proyecto de aplicación La forma de una lata & 333 4.8 Método de Newton 334 4.9 Antiderivadas 340 Repaso 347 Problemas adicionales 351 CONTENIDO |||| vii 5 INTEGRALES 354 5.1 Áreas y distancias 355 5.2 La integral definida 366 Proyecto para un descubrimiento Funciones de área & 379 5.3 El teorema fundamental del cálculo 379 5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio total 391 Redacción de proyecto Newton, Leibniz y la invención del cálculo & 399 5.5 La regla de la sustitución 400 Repaso 408 Problemas adicionales 412 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 414 6.1 Áreas entre curvas 415 6.2 Volúmenes 422 6.3 Volúmenes mediante cascarones cilíndricos 433 6.4 Trabajo 438 6.5 Valor promedio de una función 442 Proyecto de aplicación ¿Dónde sentarse en las salas cinematográficas? & 446 Repaso 446 Problemas adicionales 448 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 452 7.1 Integración por partes 453 7.2 Integrales trigonométricas 460 7.3 Sustitución trigonométrica 467 7.4 Integración de funciones racionales por fracciones parciales 473 7.5 Estrategia para integración 483 7.6 Integración por medio de tablas y sistemas algebraicos 489 Proyecto para un descubrimiento Patrones de integrales & 494 viii |||| CONTENIDO 7.7 Integración aproximada 495 7.8 Integrales impropias 508 Repaso 518 Problemas adicionales 521 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 524 8.1 Longitud de arco 525 Proyecto para un descubrimiento Concurso de la longitud de arco & 532 8.2 Área de una superficie de revolución 532 Proyecto para un descubrimiento Rotación sobre una pendiente & 538 8.3 Aplicaciones a la física y a la ingeniería 539 Proyecto para un descubrimiento Tazas de café complementarias & 550 8.4 Aplicaciones a la economía y a la biología 550 8.5 Probabilidad 555 Repaso 562 Problemas adicionales 564 9 ECUACIONES DIFERENCIALES 566 9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 567 9.2 Campos direccionales y método de Euler 572 9.3 Ecuaciones separables 580 Proyecto de aplicación ¿Qué tan rápido drena un tanque? & 588 Proyecto de aplicación ¿Qué es más rápido, subir o bajar? & 590 9.4 Modelos de crecimiento poblacional 591 Proyecto de aplicación Cálculo y béisbol & 601 9.5 Ecuaciones lineales 602 9.6 Sistemas depredador-presa 608 Repaso 614 Problemas adicionales 618 CONTENIDO |||| ix 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 620 10.1 Curvas definidas por ecuaciones paramétricas 621 Proyecto de laboratorio Círculos que corren alrededor de círculos & 629 10.2 Cálculo con curvas paramétricas 630 Proyecto de laboratorio Curvas de Bézier & 639 10.3 Coordenadas polares 639 10.4 Áreas y longitudes en coordenadas polares 650 10.5 Secciones cónicas 654 10.6 Secciones cónicas en coordenadas polares 662 Repaso 669 Problemas adicionales 672 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 674 11.1 Sucesiones 675 Proyecto de laboratorio Sucesiones logísticas & 687 11.2 Series 687 11.3 La prueba de la integral y estimaciones de las sumas 697 11.4 Pruebas por comparación 705 11.5 Series alternantes 710 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 714 11.7 Estrategia para probar series 721 11.8 Series de potencias 723 11.9 Representaciones de las funciones como series de potencias 728 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 734 Proyecto de laboratorio Un límite escurridizo & 748 Redacción de proyecto Cómo descubrió Newton la serie binomial & 748 11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 749 Proyecto de aplicación Radiación proveniente de las estrellas & 757 Repaso 758 Problemas adicionales 761 x |||| CONTENIDO APÉNDICES A1 A Números, desigualdades y valores absolutos A2 B Geometría de coordenadas y rectas A10 C Gráficas de ecuaciones de segundo grado A16 D Trigonometría A24 E Notación sigma A34 F Pruebas de teoremas A39 G El logaritmo definido como una integral A48 H Números complejos A55 I Respuestas a ejercicios de número impar A63 ÍNDICE A113 Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xi PREFACIO Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descu- brimiento en la solución de cualquier problema. El problema del lector puede ser modesto, pero desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventi- vas; si lo resuelve por sí solo puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento. G E O R G E P O LYA El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar en un descubrimiento. He tratado de escribir un libro que ayude a estudiantes a descubrir el cálculo, por su poder práctico y sorprendente belleza. En esta edición, al igual que en las primeras cinco edicio- nes, mi meta es expresar al estudiante un sentido de la utilidad del cálculo y desarrollar competencia técnica en él, pero también me esfuerzo en dar alguna apreciación de la be- lleza intrínseca de esta materia. Es indudable que Newton experimentó una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Mi deseo es que el estudiante com- parta en algo esa emoción. El énfasis está en entender conceptos. Creo que casi todos estamos de acuerdo en que ésta debe ser el objetivo principal de aprender cálculo. De hecho, el ímpetu para el actual movimiento de reforma del cálculo provino de la Conferencia de Tulane de 1986, que formuló como su primera recomendación: Concentrarse en entender conceptos He tratado de poner en práctica esta meta a través de la Regla de Tres: “Los temas deben presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica.” La visualización, la experimen- tación numérica y gráfica, y otros métodos, han cambiado de modo fundamental la forma en que enseñamos el razonamiento conceptual. Más recientemente, la Regla de Tres se ha expandido para convertirse en la Regla de Cuatro al resaltar también el punto de vista verbal, o descriptivo. Al escribir la sexta edición, mi promesa ha sido que es posible lograr la comprensión de conceptos y retener todavía las mejores tradiciones del cálculo tradicional. El libro con- tiene elementos de reforma, pero dentro del contexto de un currículo tradicional. VERSIONES ALTERNATIVAS He escrito otros libros de cálculo diversos que podrían ser preferidos por algunos profeso- res. Casi todos ellos vienen en versiones de una variable y de varias variables. & Cálculo, Sexta edición, es semejante al presente libro con excepción de que las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el segundo semestre. & Cálculo esencial es un libro mucho más breve (800 páginas), aun cuando contiene casi todos los temas del presente libro. La brevedad relativa se alcanza por medio de expo- siciones más breves de algunos temas y poniendo algunos elementos en el sitio web. & Cálculo esencial: Primeras trascendentales se asemeja al Cálculo esencial, pero las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el Ca- pítulo 3. xi Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xii xii |||| PREFACIO & Cálculo: conceptos y contextos, Tercera edición, destaca la comprensión de conceptos con más vehemencia incluso que este libro. El tratamiento de temas no es enciclopé- dico, y el material sobre funciones trascendentales y sobre ecuaciones paramétricas se entrelaza en todo el libro, en lugar de tratarlo en capítulos separados. & Cálculo: primeros vectores introduce vectores y funciones vectoriales en el primer se- mestre y los integra en todo el libro. Es apropiado para estudiantes que toman cursos de ingeniería y física de modo concurrente con cálculo. LO NUEVO EN LA SEXTA EDICIÓN Veamos a continuación algunos de los cambios para la sexta edición de Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas: & Al principio del libro hay cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geome- tría analítica, funciones y trigonometría. Se dan las respuestas y el estudiante que no lo haga bien se remite a donde pueda buscar ayuda (Apéndices, secciones de repaso del Capítulo 1, y la web). & En respuesta a las peticiones de diversos usuarios, el material que motiva la derivada es más breve: las Secciones 2.7 y 2.8 se combinan en una sola sección llamada Deri- vadas y Magnitudes de Rapidez de Cambio. & La sección de Derivadas de Orden Superior del Capítulo 3 ha desaparecido y ese material está integrado en varias secciones de los Capítulos 2 y 3. & Los profesores que no cubren el capítulo sobre ecuaciones diferenciales han comenta- do que la sección sobre Crecimiento y Decadencia Exponenciales estaba ubicada en un lugar inadecuado. De conformidad con esto, se ha cambiado al principio del libro, al Capítulo 3. Este movimiento precipita una reorganización de los Capítulos 3 y 9. & Las Secciones 4.7 y 4.8 se unen en una sola sección, con un tratamiento más breve de problemas de optimización en finanzas y economía. & Las Secciones 11.10 y 11.11 se unen en una sola. Previamente, yo había descrito la serie del binomio en su propia sección para destacar su importancia pero me enteré que algunos profesores estaban omitiendo esta sección, de modo que decidí incorpo- rar la serie del binomio en la 11.10. & Se han agregado nuevas frases y notas marginales para aclarar la exposición. & Se han vuelto a dibujar nuevas figuras. & Los datos en ejemplos y ejercicios se han actualizado para ser más oportunos. & Numerosos ejemplos se han agregado o cambiado. Por mencionar alguno, el Ejemplo 2 de la página 185 se cambió porque era frecuente que los estudiantes se desconcertaran al ver constantes arbitrarias en un problema, por lo que quise dar un ejemplo en el que se presentan. & Se han incluido pasos adicionales en algunos de los problemas existentes. & Más del 25% de los ejercicios de cada uno de los capítulos es nuevo. He aquí algunos de mis favoritos: 3.1.79, 3.1.80, 4.3.62, 4.3.83 y 11.11.30. & También hay algunos buenos problemas nuevos en las secciones de Problemas Adi- cionales. Observen, por ejemplo, los Problemas 2 y 13 de la página 413, el Problema 13 de la página 450, y el Problema 24 de la página 763. & El nuevo proyecto de la página 550, Tazas de café complementarias, proviene de un artículo de Thomas Banchoff en el que él se preguntaba cuál de dos tazas de café, cuyos perfiles convexo y cóncavo ajustaban perfectamente, contendría más café. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xiii PREFACIO |||| xiii & El capítulo de Herramientas para Enriquecer el Cálculo (TEC, por sus siglas en in- glés) se ha rediseñado por completo y está accesible en el Internet en www.stewart- calculus.com. Ahora incluye lo que llamamos visuales, que son breves animaciones de diversas figuras del texto. Vea la descripción en la página 14. SECCIONES EJERCICIOS CONCEPTUALES La forma más importante de favorecer la comprensión de conceptos es por medio de los problemas que dejamos de tarea, para cuyo fin hemos ideado diversos tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios empiezan con peticiones para que el estudiante explique los significados de los conceptos básicos de la sección. (Vea, por ejemplo, los primeros ejer- cicios de las Secciones 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repaso empiezan con una Revisión de Conceptos y Preguntas de Verdadero-Falso. Otros ejercicios someten a prueba la comprensión de conceptos mediante gráficas o tablas (vea Ejerci- cios 2.7.17, 2.8.33-38, 2.8.41-44, 9.1.11-12, 10.1.24-27 y 11.10.2). Otro tipo de ejercicio emplea la descripción verbal para probar la comprensión de conceptos (Vea Ejercicios 2.5.8, 2.8.56, 4.3.63-64 y 7.8.67). En lo particular, valoro los problemas que combinan y comparan métodos gráficos, numéricos y algebraicos (vea Ejercicios 2.6.37-38, 3.7.25 y 9.4.2). CONJUNTO DE EJERCICIOS Cada uno de los conjuntos de ejercicios se califica cuidadosamente, avanzando desde ejerci- CALIFICADOS cios básicos de conceptos y problemas para desarrollo de habilidades hasta problemas de mayor grado de dificultad que comprenden aplicaciones y pruebas. DATOS REALES Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo en bibliotecas, en empresas y oficinas gubernamentales, y buscando información real en Internet para presentar, motivar e ilus- trar los conceptos de cálculo. Como resultado de esto, muchos de los problemas y ejerci- cios hablan de funciones definidas por esta información numérica o gráficas. Vea, por ejemplo, la Figura 1 de la Sección 1.1 (sismógrafos del terremoto en Northridge), el Ejer- cicio 2.8.34 (porcentaje de población de menos de 18 años), el Ejercicio 5.1.14 (velocidad del transbordador espacial Endeavour), y la Figura 4 de la Sección 5.4 (consumo de ener- gía eléctrica en San Francisco). PROYECTOS Un modo de interesar a estudiantes y hacerlos lectores activos es hacerlos trabajar (quizá en grupos) en proyectos prolongados que den la sensación de un logro importante cuan- do se terminen. He incluido cuatro clases de proyectos: Proyectos de Aplicación que com- prenden aplicaciones diseñadas para apelar a la imaginación de estudiantes. El proyecto después de la Sección 9.3 pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda más en alcan- zar su altura máxima o en caer a su altura original. (La respuesta podría sorprenderlo.) Los Proyectos de Laboratorio se refieren a tecnología; el que sigue de la Sección 10.2 muestra cómo usar curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras para una impresora láser. Los Redacción de Proyectos piden a estudiantes comparar métodos ac- tuales con los de los fundadores del cálculo: el método de Fermat para hallar tangentes, por ejemplo. Se sugieren referencias. Los Proyectos para un Descubrimiento anticipan resultados que se discuten más adelante o estimulan el descubrimiento por medio del re- conocimiento de figuras (vea la que sigue a la Sección 7.6). Se pueden hallar proyectos adicionales en la Guía del Profesor (vea, por ejemplo, el Ejercicio 5.1 de Grupo: Posición desde muestras). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Es común que los estudiantes tengan dificultades con problemas para los que no hay un so- lo procedimiento bien definido para obtener una respuesta. Pienso que no hay nadie que haya mejorado en mucho la estrategia de George Polya para la resolución de problemas en cuatro etapas y, de conformidad con esto, he incluido una versión de sus principios para la resolución de problemas después del Capítulo 1. Se aplican, tanto implícita como Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xiv xiv |||| PREFACIO explícitamente, en todo el libro. Después de los otros capítulos he puesto secciones llamadas Problemas Adicionales, que presentan ejemplos de cómo atacar los desafiantes problemas de cálculo. Al seleccionar los diversos problemas para estas secciones, siempre tuve presen- te el consejo de David Hilbert: “Un problema matemático debe ser difícil para convencernos, pero no inaccesible como para frustrarnos.” Cuando pongo estos desafiantes problemas en tareas y exámenes los califico de forma diferente. Aquí recompenso muy bien a un estu- diante por sus ideas hacia una solución y por reconocer cuáles principios de resolución de problemas son relevantes. TECNOLOGÍA La disponibilidad de tecnología no hace menos importante sino más importante entender claramente los conceptos que son las bases de las imágenes que aparecen en pantalla. Cuando se usan en forma adecuada, las calculadoras de gráficas y las computadoras son poderosas herramientas para descubrir y entender esos conceptos. Este texto se puede usar con o sin tecnología y aquí uso dos símbolos especiales para indicar con claridad cuándo se requiere un tipo particular de máquina. El icono ; indica un ejercicio que en forma definitiva requiere el uso de esta tecnología, pero no es para indicar que no se puede usar también en los otros ejemplos. El símbolo CAS se reserva para problemas en los que se re- quieren todos los recursos de un sistema computarizado de álgebra (como Derive, Maple, Mathematica o TI-89/92). Con todo, la tecnología no deja obsoletos al lápiz y papel. A veces son preferibles los cálculos y dibujos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de deci- dir cuándo es apropiada la mano o una máquina. TOOLS FOR ENRICHING El TEC es un compañero de este libro de texto y está pensado para enriquecer y comple- CALCULUS mentar su contenido. (Ahora está accesible por Internet en www.stewartcalculus.com.) Creado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por mí, el TEC utiliza un método de descubrimiento y exploración. En algunas secciones de este libro en donde la tecnolo- gía es particularmente apropiada, los iconos situados a los márgenes dirigen a estudiantes a módulos del TEC que dan un ambiente de laboratorio en el que pueden explorar el tema en formas diferentes y a niveles diferentes. Visual son animaciones de figuras del texto; Module son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden es- coger participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente estimular al estu- diante a usar Visual y Module para exploración independiente, hasta asignar ejercicios específicos de los incluidos en cada Module, o para crear ejercicios adicionales, laborato- rios y proyectos que hacen uso de Visual y Module. El TEC también incluye Homework Hints para ejercicios representativos (por lo gene- ral de números impares) en cada una de las secciones de este libro, indicados al imprimir en rojo el número del ejercicio. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas y tratan de imitar un asistente efectivo de enseñanza al funcionar como profesor particular silencioso. Los ejercicios están construidos para no revelar más de la solución real de lo que es el mínimo necesario para avanzar más. W EB A SSIGN MEJORADO La tecnología está teniendo impacto en la forma en que se asignan tareas a estudiantes, so- bre todo en grupos numerosos. El uso de tareas en línea es creciente y su interés depende de la facilidad de uso, precisión en calificación y confiabilidad. Con la sexta edición hemos estado trabajando con la comunidad de cálculo y WebAssign para crear un sistema de ta- reas en línea. Hasta 70% de los ejercicios de cada sección son asignables a tareas en línea, incluyendo formatos de respuesta libre, opción múltiple y partes diversas. Algunas preguntas son problemas de partes diversas sobre simulaciones de los Module del TEC. El sistema también incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados en el material didáctico paso a paso por ejemplos del texto, con vínculos al libro de texto y soluciones en video. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xv PREFACIO |||| xv PÁGINA WEB Este sitio se ha renovado y ahora incluye lo siguiente: www.stewartcalculus.com & Repaso de álgebra & Miente mi Calculadora y la Computadora me Dijo & Historia de las matemáticas, con vínculos a los mejores sitios web históricos & Temas adicionales (completos con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmu- las para el resto del semestre en series de Taylor, rotación de ejes & Problemas archivados (ejercicios de práctica que aparecieron en ediciones anteriores, junto con sus soluciones) & Problemas de desafío (algunos de las secciones de Problemas especiales de ediciones anteriores) & Vínculos, para temas en particular, a fuentes externas de la Web & Las Tools for Enriching Calculus (TEC), Module, Visual y Homework Hints CONTENIDO Exámenes de diagnóstico El libro empieza con cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analí- tica, funciones y trigonometría. Presentación preliminar del cálculo Éste es un repaso del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del cálculo. 1 & Funciones y modelos Desde el principio, se destacan representaciones múltiples de funciones: verbales, numé- ricas, visuales y algebraicas. Un estudio de los modelos matemáticos lleva a un repaso de las funciones estándar, incluyendo funciones exponenciales y logarítmicas, desde estos cuatro puntos de vista. 2 & Límites y derivadas El material sobre límites está motivado por un examen ya anterior de problemas de la tan- gente y velocidad. Los límites se tratan aquí desde puntos de vista descriptivos, gráficos, numéricos y algebraicos. La Sección 2.4, que trata de la definición precisa de e-d de un lími- te, es una sección opcional. Las Secciones 2.7 y 2.8 se refieren a derivadas (en especial con funciones definidas gráfica y numéricamente) antes de tratar las reglas de derivación en el Capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los significados de derivadas en varios contextos. Las derivadas de orden superior se introducen ahora en la Sección 2.8. 3 & Reglas de derivación Todas las funciones básicas, incluyendo funciones exponenciales, logarítmicas y trigono- métricas inversas se derivan aquí. Cuando las derivadas se calculan en situaciones de apli- cación, a los estudiantes se les pide explicar sus significados. El crecimiento y decaimiento exponenciales se tratan ahora en este capítulo. 4 & Aplicaciones de Los datos básicos referentes a valores extremos y formas de curvas se deducen del Teore- la derivación ma del Valor Medio. Graficar con tecnología destaca la interacción entre cálculo y calcu- ladoras y el análisis de familias de curvas. Se dan algunos problemas de optimización importante, incluyendo una explicación de por qué es necesario levantar la cabeza 42° para ver la parte superior de un arcoíris. 5 & Integrales El problema del área y el problema de la distancia sirven para motivar la integral definida, con la notación sigma introducida según sea necesario. (Un tratamiento completo de la no- tación sigma se da en el Apéndice E). Se hace énfasis en explicar los significados de inte- grales en diversos contextos y en estimar sus valores a partir de gráficas y tablas. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xvi xvi |||| PREFACIO 6 & Aplicaciones de la integración Aquí presento las aplicaciones de integración, es decir, área, volumen, trabajo, valor pro- medio, que razonablemente se pueden hacer sin técnicas especializadas de integración. Se destacan métodos generales. La meta es que los estudiantes puedan dividir una can- tidad en partes pequeñas, estimar con sumas de Riemann y reconocer el límite como una integral. 7 & Técnicas de integración Se tratan todos los métodos estándar pero, por supuesto, el desafío real es ser capaz de re- conocer cuál técnica se usa mejor en una situación dada. De conformidad con esto, en la Sección 7.5 presento una estrategia para integración. El uso de un sistema computarizado de álgebra se ve en la Sección 7.6. 8 & Más aplicaciones Aquí están las aplicaciones de integración —la longitud de arco y el área superficial— pa- de la integración ra las que es útil tener disponibles todas las técnicas de integración, así como aplicaciones a la biología, economía y física (fuerza hidrostática y centros de masa). También he inclui- do una sección sobre probabilidad. Hay aquí más aplicaciones de las que en realidad se puedan cubrir en un curso determinado. Los profesores deben seleccionar aplicaciones apropiadas para sus estudiantes y para las que ellos mismos puedan interesarse. 9 & Ecuaciones diferenciales La creación de modelos es el tema que unifica este tratamiento de introducción a las ecua- ciones diferenciales. Los campos de dirección y el método de Euler se estudian antes que las ecuaciones separables y lineales se resuelvan de forma explícita, de manera que los métodos cualitativo, numérico y analítico reciben igual consideración. Estos métodos se aplican a los modelos experimental, logístico y otros para crecimiento poblacional. Las primeras cuatro de cinco secciones de este capítulo sirven como una buena introducción a ecuaciones diferenciales de primer orden. Una sección final opcional utiliza modelos de predador-presa para ilustrar sistemas de ecuaciones diferenciales. 10 & Ecuaciones paramétricas Este capítulo introduce curvas paramétricas y polares y aplica los métodos del cálculo a y coordenadas polares ellas. Las curvas paramétricas son bien apropiadas para proyectos de laboratorio; las dos que aquí se presentan comprenden familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve trata- miento de secciones cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el Capítulo 13. 11 & Sucesiones y series infinitas Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (vea página 697) así como pruebas formales. Las estimaciones numéricas de sumas de series están basadas en cuál prueba se usó para demostrar una convergencia. El énfasis está en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen los de aparatos de gráficas. MATERIAL AUXILIAR Cálculo: Trascendentes tempranas, Sexta edición, está apoyado por un conjunto completo de materiales auxiliares creados bajo mi dirección. Cada parte se ha diseñado para mejo- rar la comprensión del estudiante y para facilitar una enseñanza creativa. MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor, los cuales están disponibles en inglés y sólo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para mayor información, póngase en contacto con el área de servicio a clientes en las siguientes direcciones de correo electrónico: Cengage Learning México y Centroamérica clientes.mexicoca@cengage.com Cengage Learning Caribe clientes.caribe@cengage.com Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xvii PREFACIO |||| xvii Cengage Learning Cono Sur clientes.conosur@cengage.com Cengage Learning Pacto Andino clientes.pactoandino@cengage.com Los recursos disponibles se encuentran disponibles en el sitio web del libro: http://latinoamerica.cengage.com/stewart6 Las direcciones de los sitios web referidas en el texto no son administradas por Cengage Learning Latinoamérica, por lo que ésta no es responsable de los cambios o actualizacio- nes de las mismas. REVISIÓN DE LA SEXTA EDICIÓN Marilyn Belkin, Villanova University Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Frederick Gass, Miami University Nets Katz, Indiana University Bloomington James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona Lila Roberts, Georgia College and State University Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University He sido muy afortunado por haber trabajado con algunos de los mejores editores de matemáticas en el negocio por más de dos décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt y ahora, Bob Pirtle. Bob continúa en esta tradición de editores quienes mientras escuchan consejos y ofrecen una amplia ayuda, confían en mis instintos y me permiten escribir los libros que deseo escribir. JAMES STEWART AGRADECIMIENTOS Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboración de los profesores: Dr. Manuel Álvarez Blanco, MSc. José Ignacio Cuevas Gonzáles y MSc. Eduardo Fernandini Capurro, Profesores Principales del Área de Ciencias, de la Universidad Peruana de Ciencias Apli- cadas (UPC) miembro del grupo Laureate International Universities, en la revisión de esta sexta edición en español. ATENTAMENTE , L OS E DITORES . Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xviii Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xix AL ESTUDIANTE Leer un libro de cálculo es diferente a leer un periódico o una trabajo en los otros ejercicios. El símbolo CAS se reserva para novela, o incluso un libro de física. No se desanime si tiene problemas en los que se requieren todos los recursos de un sis- que leer un pasaje más de una vez para entenderlo. Debe tener tema computarizado de álgebra (como el Derive, Maple, Ma- lápiz, papel y calculadora a la mano para bosquejar un diagra- thematica, o la TI-89/92). También encontrará el símbolo | ma o hacer un cálculo. que advierte para no cometer un error. He puesto este símbolo Algunos estudiantes empiezan por tratar sus problemas de en márgenes en situaciones donde he observado que una gran tarea y leen el texto sólo si se atoran en un ejercicio. Sugiero parte de mis estudiantes tienden a cometer el mismo error. que un plan mucho mejor es leer y entender una sección del Al Tools for Enriching Calculus, que es compañero de este texto antes de abordar los ejercicios. En particular, el estudian- libro, se hace referencia mediante el símbolo TEC y se pue- te debe leer las definiciones para ver los significados exactos de tener acceso al mismo en www.stewartcalculus.com. Dirige de los términos. Y antes de leer cada ejemplo, sugiero que llegue al estudiante a módulos en los que puede explorar aspectos de hasta la solución y trate de resolver el problema por sí mismo. cálculo para los que la computadora es particularmente útil. El Obtendrá mucho más de ver la solución si lo hace así. TEC también da Homework Hints para ejercicios representa- Parte de la meta de este curso es capacitar al estudiante para tivos que están indicados con un número de ejercicio impreso pensar de una manera lógica. Aprenda a escribir las soluciones en rojo: 15. . Estas sugerencias de tarea hacen preguntas al es- de los ejercicios de un modo enlazado y paso a paso con fra- tudiante que le permiten avanzar hacia una solución sin dar en ses explicativas, no sólo una hilera de ecuaciones o fórmulas realidad su respuesta. El lector tiene que seguir cada una de las desconectadas. sugerencias de una manera activa con papel y lápiz para trabajar Las respuestas a los ejercicios de números impares apare- los detalles. Si una sugerencia en particular no lo hace capaz cen al final de este libro, en el apéndice I. Algunos ejercicios de resolver un problema, puede hacer clic para ver la siguiente piden una explicación verbal o interpretación o descripción. En sugerencia. estos casos no una sola forma correcta de expresar la respuesta, Recomiendo que conserve este libro como referencia después de modo que no se preocupe por no hallar la respuesta definiti- que termine el curso. Debido a que es probable que el lector va. Además, a veces hay varias formas diferentes en las cuales olvide algunos de los detalles específicos del cálculo, el libro ser- se expresa una respuesta numérica o algebraica, de modo que si virá como un útil recordatorio cuando necesite usar cálculo en su respuesta difiere de la mía no suponga de inmediato que cursos subsiguientes. También, como este libro contiene más ma- está en un error. Por ejemplo, si la respuesta dada en la parte terial del que se puede cubrir en cualquier curso, puede servir final de este libro es s2  1 y usted obtiene 11  s2, en- como un valioso recurso para cualquier científico o ingeniero. tonces tiene razón y racionalizar el denominador demostrará El cálculo es una materia extraordinaria, justamente consi- que las respuestas son equivalentes. derada como uno de los mayores logros de la mente humana. El icono ; indica un ejercicio que definitivamente requiere Espero que el lector descubra que no es sólo útil sino también el uso ya sea de una calculadora de gráficas o una computadora intrínsecamente hermoso. con software de gráficas. Con todo, esto no significa que los aparatos de gráficas no se puedan usar para comprobar el JAMES STEWART xix Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xx EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO El éxito en cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticas que prece- den al cálculo: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Los exámenes que siguen tienen el propósito de diagnosticar los puntos débiles que el lector pudiera tener en estos campos del conocimiento y, después de tomar cada uno de estos exámenes, puede verificar sus respuestas contra las respuestas dadas. Además, si es necesario, puede recordar o actualizar sus conocimientos si consulta los materiales de repaso que también se dan aquí. A E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : Á L G E B R A 1. Sin usar calculadora, evalúe cada una de estas expresiones. (a) (3)4 (b) 34 (c) 34 (d) 523 521 (e)  2 3 2 (f) 163/4 2. Simplifique estas expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos. (a) s200  s32 (b) (3a3b3)(4ab2)2 (c)   3x32y3 x2y12 2 3. Expanda y simplifique. (a) 3(x  6)  4(2x  5) (b) (x  3)(4x  5) (c) sa  sbsa  sb (d) (2x  3)2 (e) (x  2)3 4. Factorice estas expresiones. (a) 4x2  25 (b) 2x2  5x  12 (c) x3  3x2  4x  12 (d) x4  27x (e) 3x3/2  9x1/2  6x1/2 (f) x3y  4xy 5. Simplifique la expresión racional. x2  3x  2 2x2  x  1 x  3 (a) (b)  x2  x  2 x2  9 2x  1 y x  x2 x1 x y (c) 2  (d) x 4 x2 1 1  y x xx Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxi EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO |||| xxi 6. Racionalice la expresión y simplifique. s10 s4  h  2 (a) (b) s5  2 h 7. Complete el cuadrado de lo siguiente. (a) x2  x  1 (b) 2x2  12x  11 8. Resuelva la ecuación. (Encuentre sólo las soluciones reales.) 2x 2x  1 (a) x  5  14  2x  1 (b) x1 x (c) x2  x  2  0 (d) 2x2  4x  1  0 (e) x4  3x2  2  0  (f) 3 x  4  10  12 (g) 2x4  x  3s4  x  0 9. Resuelva estas desigualdades, use notación de intervalo. (a) 4  5  3x  17 (b) x2  2x  8 (c) x(x  1)(x  2)  0  (d) x  4  3  2x  3 (e) 1 x1 10. Exprese si cada una de estas ecuaciones es verdadera o falsa. (a) (p  q)2  p2  q2 (b) sab  sa sb 1  TC (c) sa2  b2  a  b (d) 1T C 1 1 1 1x 1 (e)   (f)  xy x y ax  bx ab R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E P R U E B A A : Á L G E B R A 1. (a) 81 (b) 81 (c) 811 6. (a) 5s2  2s10 (b) 1 (d) 25 (e) 9 (f) 1 s4  h  2 4 8 x 7. (a) x  22  (b) 2(x  3)2  7 5 7 1 3 2. (a) 6s2 (b) 48a b (c) 4 9y7 3. (a) 11x  2 (b) 4x2  7x  15 8. (a) 6 (b) 1 (c) 3, 4 (c) a  b (d) 4x  12x  9 2 (d) 1 s2 1 2 (e) 1 s2 2 22 (f) 3,3 (e) x3  6x2  12x  8 (g) 12 5 4. (a) (2x  5)(2x  5) (b) (2x  3)(x  4) (c) (x  3)(x  2)(x  2) (d) x(x  3)(x2  3x  9) 9. (a) [4, 3) (b) (2, 4) (e) 3x1/2 (x  1)(x  2) (f) xy(x  2)(x  2) (c) (2, 0) ª (1, ) (d) (1, 7) x2 x1 (e) (1, 4] 5. (a) (b) x2 x3 1 10. (a) Falsa (b) Verdadera (c) Falsa (c) (d) (x  y) x2 (d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadera Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxii xxii |||| EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO B E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : G O M E T R Í A A N A L Í T I C A 1. Encuentre una ecuación para la recta que pasa por el punto (2, 5) y (a) tiene pendiente 3 (b) es paralela al eje x (c) es paralela al eje y (d) es paralela a la recta 2x  4y  3 2. Encuentre una ecuación para el círculo que tiene centro en (1, 4) y pasa por el punto (3, 2). 3. Encuentre el centro y radio del círculo con ecuación x2  y2  6x  10y  9  0. 4. Sean A(7, 4) y B(5, 12) puntos en el plano. (a) Encuentre la pendiente de la recta que contiene A y B. (b) Encuentre una ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son los puntos de intersección con los ejes? (c) Encuentre el punto medio del segmento AB. (d) Encuentre la longitud del segmento AB. (e) Encuentre una ecuación de la perpendicular que biseca a AB. (f) Encuentre una ecuación del círculo para el cual AB es un diámetro. 5. Trace la región en el plano xy definida por la ecuación o desigualdades. (a) 1  y  3  (b) x  4 y y  2 (c) y  1  x 1 2 (d) y x  1 2 (e) x  y  4 2 2 (f) 9x2  16y2  144 R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O B : G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A 1. (a) y  3x  1 (b) y  5 5. (a) y (b) y (c) y 3 1 (d) y  x  6 1 (c) x  2 2 2 y=1- 2 x 1 0 2. (a) x  12  y  42  52 x _4 0 4x 0 2 x _1 _2 3. Centro (3, 5), radio 5 4. 3 4 (b) 4x  3y  16  0; cruce con eje x  4, cruce con eje y 163 (d) y (e) y (f) y 3 (c) (1, 4) 2 ≈+¥=4 (d) 20 0 1 x 0 2 x 0 4 x (e) 3x  4y  13 _1 y=≈-1 (f) (x  1)2  (y  4)2  100 Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxiii EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO |||| xxiii C E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : F U N C I O N E S y 1. La gráfica de una función f se da a la izquierda. (a) Exprese el valor de f (1). (b) Estime el valor de f (2). 1 ¿Para qué valores de x es f (x)  2? (c) 0 1 x Estime los valores de x tales que f (x)  0. (d) (e) Exprese el dominio y rango de f. f2  h  f2 2. Si f(x)  x 3, evalúe el cociente de diferencia y simplifique su respuesta. h FIGURA PARA PROBLEMA 1 3. Encuentre el dominio de la función. 2x  1 sx 3 (a) fx  (b) gx  (c) hx  s4  x  sx2  1 x x2 2 x2  1 4. ¿Cómo se obtienen las gráficas de las funciones a partir de la gráfica de f? (a) y  f(x) (b) y  2f(x)  1 (c) y  (x  3)  2 5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo aproximado de la gráfica. (a) y  x 3 (b) y  (x  1) 3 (c) y  (x  2)3  3 (d) y  4  x2 (e) y  sx (f) y  2sx (g) y  2x (h) y  1  x1 6. Sea f x  1  x2 si x 0 2x  1 si x  0 (a) Evaluación f (2) y f(1) (b) Dibuje la gráfica de f. 7. Si f(x)  x2  2x  1 y t(x)  2x  3, encuentre cada una de las siguientes funciones. (a) f  t (b) t  f (c) t  t  t R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O C : F U N C I O N E S 1. (a) 2 (b) 2.8 (d) y (e) y (f) y 4 (c) 3, 1 (d) 2.5, 03 (e) [3, 3], [2, 3] 0 2 x 0 1 x 0 1 x 2. 12  6h  h 2 3. (a) ( , 2) ª (2, 1) ª (1, ) (b) ( , ) (g) y (h) y (c) ( , 1] ª [1, 4] 1 0 4. (a) Refleje alrededor del eje x 1 x 0 1 x _1 (b) Estire verticalmente en un factor de 2, y a continuación desplace 1 unidad hacia abajo (c) Desplace 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba 6. (a) 3, 3 7. (a) (f  t)(x)  4x2  8x  2 5. (a) y (b) y (c) y (b) y (b) (t  f)(x)  2x2  4x  5 (c) (t  t  t)(x)  8x  21 (2, 3) 1 1 1 0 1 x _1 0 x _1 0 x 0 x Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (Repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxiv xxiv |||| EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO D E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : T R I G O N O M E T R Í A 1. Convierta de grados a radianes. (a) 300° (b) 18° 2. Convierta de radianes a grados. (a) 5p/6 (b) 2 3. Encuentre la longitud de un arco de círculo con radio de 12 cm si el arco subtiende un ángulo central de 30°. 4. Encuentre los valores exactos. (a) tan(p/3) (b) sen(7p/6) (c) sec(5p/3) 5. Exprese las longitudes a y b de la figura en términos de u. 24 6. Si sen x  3 y sec y  4 , donde x y y están entre 0 y p/2, evalúe sen(x  y). 1 5 a ¨ 7. Demuestre las identidades. b (a) tan u sen u  cos u  sec u FIGURA PARA PROBLEMA 5 2 tan x (b)  sen 2x 1  tan2 x 8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x  sen x y 0  x  2p. 9. Trace la gráfica de la función y  1  sen 2x sin usar calculadora. R E S P U E S TA A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O D : T R I G O N O M E T R Í A (b) p/10 6. 15 4  6s2 1 1. (a) 5p/3 2. (a) 150° (b) 360/p L 114.6° 7. 0, p/3, p, 5p/3, 2p 3. 2p cm 8. y 2 4. (a) s3 (b) 21 (c) 2 5. (a) 24 sen u (b) 24 cos u _π 0 π x Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (Repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 1 CÁ L C U L O DE UNA VARIABLE Trascendentes tempranas Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 2 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que el lector ha estudiado con anterioridad. El cálculo es menos estático y más dinámico. Se interesa en el cam- bio y en el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por esa razón, puede resultar útil tener un panorama general de la materia antes de empezar su estudio intensivo. En las páginas siguientes se le presentan algunas de las ideas principales del cálculo, al mostrar cómo surgen los límites cuando intentamos resolver diversos problemas. 2 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 3 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 3 A¡ EL PROBLEMA DEL ÁREA A∞ Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2 500 años, hasta los antiguos griegos, quienes A™ hallaron áreas aplicando el “método del agotamiento”. Sabían cómo hallar el área A de A£ A¢ cualquier polígono al dividirlo en triángulos como en la figura 1, y sumar las áreas de estos triángulos. A=A¡+A™+A£+A¢+A∞ Hallar el área de una figura curva es un problema mucho más difícil. El método griego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos FIGURA 1 en torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígo- nos aumentara. En la figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con polígonos regulares inscritos. A£ A¢ A∞ Aß A¶  A¡™  FIGURA 2 Sea An el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n, parece que An se aproxi- ma cada vez más al área del círculo. El área del círculo es el límite de las áreas de los po- lígonos inscritos y TEC El Preview Visual es una investiga- A  lím An ción numérica y gráfica de la aproximación nl del área de un círculo mediante polígonos inscritos y circunscritos. Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indi- recto Eudoxo (siglo v a. C.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área de un círculo: A  r 2. El capítulo 5 expone una idea semejante para hallar las áreas de regiones del tipo que se muestra en la figura 3. Se da una aproximación del área deseada A por medio de áreas de rec- tángulos (como en la figura 4), hasta que disminuya el ancho de los rectángulos y, en seguida, se calcula A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos. y y y y (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) y=≈ A 0 1 x 0 1 1 3 1 x 0 1 x 0 1 1 x 4 2 4 n FIGURA 3 FIGURA 4 El problema del área es el problema central de la rama del cálculo que se conoce co- mo cálculo integral. Las técnicas desarrolladas en el capítulo 5 para hallar áreas también permiten calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza del agua contra la cortina de una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo que se lleva a cabo al bombear agua hacia afuera de un tanque. 3 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 4 4 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO EL PROBLEMA DE LA TANGENTE y Considere el problema de tratar de hallar la ecuación de la recta tangente t a una curva, t con ecuación y  f (x), en un punto dado P. (En el capítulo 2, aparece una definición y=ƒ precisa de recta tangente. Por ahora, puede concebirla como una recta que toca la curva en P, como en la figura 5.) Como saber que el punto P está en la recta tangente, puede P hallar la ecuación de t si conoce su pendiente m. El problema está en que necesita dos puntos para calcular la pendiente y sólo conoce un punto, P, de t. Para darle vuelta al pro- blema, primero halle una aproximación para m al tomar un punto cercano Q de la curva y calcule la pendiente mPQ de la recta secante PQ. En la figura 6 0 x f x  f a 1 mPQ  xa FIGURA 5 La recta tangente en P Imagine ahora que Q se mueve a lo largo de la curva, hacia P como en la figura 7. Puede ver que la recta secante gira y se aproxima a la recta tangente como su posición límite. Esto significa que la pendiente mPQ de la recta secante se acerca cada vez más a la pendiente y m de la recta tangente. Escriba t Q { x, ƒ} m  lím mPQ Q lP P { a, f(a)} ƒ-f(a) x-a donde m es el límite de mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Como x se acerca a a cuando Q lo hace a P, podría usar también la ecuación 1 para escribir 0 a x x f x  f a 2 m  lím FIGURA 6 xla xa La recta secante PQ En el capítulo 2 se darán ejemplos específicos de este procedimiento. El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamada cálculo dife- rencial, el cual se inventó más de 2 000 años después que el cálculo integral. Las ideas y t principales que se encuentran detrás del cálculo diferencial se deben al matemático fran- cés Pierre Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727), así como por Q el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716). P Las dos ramas del cálculo y sus problemas principales, el problema del área y el de la tangente, parecen muy diferentes, pero existe una conexión muy íntima entre ellas. El problema de la tangente y el del área son problemas inversos, en un sentido que se descu- brirá en el capítulo 5. 0 x FIGURA 7 VELOCIDAD Rectas secantes aproximándose a la recta tangente Cuando mire el velocímetro de un automóvil y lea que viaja a 48 mih, ¿qué informa- ción se le indica? Sabe que la velocidad del automóvil puede variar, ¿qué significa decir que la velocidad en un instante dado es de 48 mih? Para analizar esta cuestión analice el movimiento de un automóvil que viaja a lo largo de un camino recto y suponga que pueda medir la distancia recorrida por el automóvil (en pies) a intervalos de 1 segundo, como en la tabla siguiente. t  Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5 d  Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 5 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 5 Como primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos, encuentre la velocidad durante el intervalo 2 t 4: distancia recorrida velocidad promedio  tiempo transcurrido 42  9  42  16.5 piess De manera análoga, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo 2 t 3 es 24  9 velocidad promedio   15 piess 32 Tiene la sensación de que la velocidad en el instante t  2 no puede ser muy diferente de la velocidad promedio durante un intervalo corto que se inicie en t  2. De modo que imagine que se ha medido la distancia recorrida a intervalos de 0.1 segundo, como en la tabla siguiente: t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80 Entonces, por ejemplo, calcule la velocidad promedio sobre el intervalo 2, 2.5 : 15.80  9.00 velocidad promedio   13.6 piess 2.5  2 En la tabla siguiente se muestran los resultados de esos cálculos: Intervalo 2, 3 2, 2.5 2, 2.4 2, 2.3 2, 2.2 2, 2.1 Velocidad promedio (piess) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2 Las velocidades promedio sobre intervalos sucesivamente más pequeños parecen apro- ximarse cada vez más a un número cercano a 10, y, por lo tanto, espera que la velocidad en exactamente t  2 sea alrededor de 10 pies/s. En el capítulo 2, se define la velocidad instan- tánea de un objeto en movimiento como el valor límite de las velocidades promedio sobre intervalos cada vez más pequeños. d En la figura 8 se muestra una representación gráfica del movimiento del automóvil al graficar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como función del tiempo. Si escribe d  f (t), entonces f (t) es el número de pies recorridos después de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo 2, t es Q { t, f(t)} distancia recorrida f t  f 2 velocidad promedio   tiempo transcurrido t2 lo cual es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ de la figura 8. La velocidad v 20 cuando t  2 es el valor límite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir 10 P { 2, f(2)} f t  f 2 v  lím 0 t tl2 t2 1 2 3 4 5 y reconoce, a partir de la ecuación 2, que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tan- FIGURA 8 gente a la curva en P. Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 6 6 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO Por lo tanto, al resolver el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también está resolviendo problemas referentes a velocidades. Las mismas técnicas permiten re- solver problemas en que intervienen razones de cambio en todas las ciencias naturales y sociales. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN En el siglo v a. C., el filósofo griego Zenón de Elea propuso cuatro problemas, que ahora se conocen como las paradojas de Zenón, las cuales desafiaban algunas de las ideas con- cernientes al espacio y al tiempo que sostenían en sus días. La segunda paradoja de Zenón se refiere a una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado una ventaja inicial. Zenón argumentaba, como se hace ver a continuación, que Aquiles nunca podría rebasarla. Suponga que Aquiles arranca en la posición a1 y la tortuga en la posición t1 (véase la figura 9). Cuando Aquiles llega a a3  t2, la tortuga está en t3. Este proceso continúa indefinidamente y, de este modo, ¡parece que la tortuga siempre estará adelante! Pero esto contraviene el sentido común. a¡ a™ a£ a¢ a∞ ... Aquiles tortuga FIGURA 9 t¡ t™ t£ t¢ ... Una manera de explicar esta paradoja es con la idea de sucesión. Las posiciones suce- sivas de Aquiles a 1, a 2 , a 3 , . . . o las posiciones sucesivas de la tortuga t1, t2 , t3 , . . . forman lo que se conoce como una sucesión. En general, una sucesión a n es un conjunto de números escritos en un orden definido. Por ejemplo, la sucesión {1, 12 , 13 , 14 , 15 , . . .} se puede describir al dar la fórmula siguiente para el n-ésimo término 1 an  n Puede visualizar esta sucesión situando sus términos en una recta numérica como en la figura 10(a) o trazando su gráfica como en la figura 10(b). Observe, a partir de cual- quiera de las dos figuras, que los términos de la sucesión a n  1n se aproximan cada vez más a 0 al aumentar n. De hecho, es posible hallar términos tan pequeños como lo desee al hacer n suficientemente grande. Entonces el límite de la sucesión es 0 y se in- dica al escribir a¢ a £ a™ a¡ 1 0 1 lím 0 nl n (a) En general, se usa la notación 1 lím a n  L nl 1 2 3 4 5 6 7 8 n si los términos an se aproximan al número L, cuando n se hace suficientemente grande. Esto (b) significa que se puede aproximar los números an al número L tanto como quiera si se toma FIGURA 10 una n lo suficientemente grande. Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 7 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 7 El concepto de límite de una sucesión se presenta siempre que usa la representación de- cimal de un número real. Por ejemplo, si a 1  3.1 a 2  3.14 a 3  3.141 a 4  3.1415 a 5  3.14159 a 6  3.141592 a 7  3.1415926    entonces lím a n  nl Los términos de esta sucesión son aproximaciones racionales a p. De nuevo la paradoja de Zenón. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga for- man las sucesiones a n y tn , en donde a n  tn para toda n. Se puede demostrar que las dos sucesiones tienen el mismo límite lím a n  p  lím tn nl nl Es precisamente en este punto p en que Aquiles alcanza a la tortuga. SUMA DE UNA SERIE Otra de las paradojas de Zenón, según. Aristóteles, es: “Un hombre parado en un cuarto no puede caminar hasta la pared. Para que esto suceda, primero avanzaría la mitad de la dis- tancia, en seguida la mitad de la distancia restante y, a continuación, una vez más la mitad de la que todavía queda. Siempre se puede continuar este proceso y nunca se termina. (Véase la figura 11.) 1 1 1 1 FIGURA 11 2 4 8 16 Por supuesto, sabe que el hombre llega a la pared, de modo que esto sugiere que quizá se pueda expresar la distancia total como la suma de una infinidad de distancias más pe- queñas, como sigue 1 1 1 1 1 3 1       n   2 4 8 16 2 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 8 8 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO Zenón argumentaba que no tiene sentido sumar una infinidad de números. Pero existen otras situaciones en que, implícitamente, se usan sumas infinitas. Por ejemplo, en notación decimal, el símbolo 0.3  0.3333 . . . significa 3 3 3 3      10 100 1000 10 000 y, por lo tanto, en cierto sentido, debe ser cierto que 3 3 3 3 1       10 100 1000 10 000 3 De modo más general, si dn denota el n-ésimo dígito en la representación decimal de un número, entonces d1 d2 d3 dn 0.d1 d2 d3 d4 . . .   2  3    n   10 10 10 10 Por lo tanto, algunas sumas infinitas, o series infinitas como se les llama, tienen un signi- ficado. Pero debe definir con cuidado lo que es la suma de una serie infinita. Considere de nuevo la serie de la ecuación 3 y denote con sn la suma de los primeros n términos de la serie. De este modo s1  12  0.5 s2  12  14  0.75 s3  12  14  18  0.875 s4  12  14  18  161  0.9375 s5  12  14  18  161  321  0.96875 s6  12  14  18  161  321  641  0.984375 s7  12  14  18  161  321  641  128  0.9921875 1    s10  12  14      1024 0.99902344 1    1 1 1 s16        16 0.99998474 2 4 2 Observe que conforme agrega más y más términos, las sumas parciales se aproximan ca- da vez más a 1. De hecho, se puede demostrar que, si n es suficientemente grande (es de- cir, si se suman un número suficiente de términos de la serie), es posible aproximar la suma parcial sn tanto como desee al número 1. Por lo tanto, parece razonable decir que la serie infinita es 1 y escribir 1 1 1 1      n    1 2 4 8 2 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 9 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 9 En otras palabras, la razón de que la suma de la serie sea 1 es que lím sn  1 nl En el capítulo 11 se analizan con más detalle estas ideas. Entonces usará la idea de Newton de combinar las series infinitas con el cálculo diferencial e integral. RESUMEN El concepto de límite surge al tratar de hallar el área de una región, la pendiente de una tangente a una curva, la velocidad de un automóvil o la suma de una serie infinita. En ca- da caso, el tema común es el cálculo de una cantidad como el límite de otras cantidades calculadas con facilidad. Esta idea básica de límite separa al cálculo de las otras áreas de las matemáticas. De hecho, podría definirlo como la parte de las matemáticas que trata con límites. Después que sir Isaac Newton inventó su versión del cálculo, la utilizó para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. En la actualidad sirve para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, predecir los tamaños de poblaciones, estimar la rapidez con que se elevan los precios, pronosticar el tiempo, medir el ritmo car- diaco, calcular las primas de seguros y en una gran diversidad de otras áreas. En este libro encontrará algunos de estos usos. Para dar una idea del poder de la materia, finalice este panorama preliminar con una lis- ta de algunas de las preguntas que podría usted responder al aplicar el cálculo: rayos del Sol 1. ¿Cómo explica el hecho que se ilustra en la figura 12 de que el ángulo de eleva- ción desde un observador hasta el punto más alto de un arcoíris es 42º. (Véase 138° página 279.) 2. ¿Cómo explica las formas de las latas en los anaqueles de los supermercados? rayos del Sol 42° (Véase página 333.) 3. ¿Dónde es el mejor lugar para sentarse en un cine? (Véase página 446.) 4. ¿Qué tan lejos del aeropuerto debe empezar a descender el piloto? (Véase pá- observador gina 206.) FIGURA 12 5. ¿Cómo usar las curvas y el diseño de formas para reprsentar letras en una impresora láser? (Véase página 639). 6. ¿Cuál será la posición del parador en corto para atrapar la pelota lanzada por el jardinero y lanzarla a la base? (Véase página 601). 7. ¿Una bola lanzada hacia arriba tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o en volver al sitio del lanzamiento? (Véase página 590.) CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 10 1 FUNCIONES 20 18 Y MODELOS 16 14 12 20° N Horas 10 30° N 40° N 8 50° N 6 60° N 4 2 Representación gráfica de una función. Aquí el 0 número de horas de luz solar en diferentes Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. periodos del año y diferentes latitudes, es la manera más natural y conveniente de ilustrar la función. El propósito fundamental del cálculo son las funciones. En este capítulo se prepara el camino para el cálculo al analizar las ideas básicas referentes a las funciones, sus gráficas y las maneras para transformarlas y combinarlas. Se hará hincapié en que una función se puede representar de diferentes modos: mediante una ecuación, en una tabla, con una gráfica o con palabras. Se considerarán los tipos principales de funciones que se presentan en el cálculo y se describirá el proceso de usarlas como modelos matemáticos de fenómenos del mundo real. También se expondrá el uso de las calculadoras graficado- ras y del software para trazar gráficas. 10 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 11 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las siguientes cuatro situaciones: A. El área A de un círculo depende de su radio r. La regla que relaciona r con A se expresa mediante la ecuación A  pr 2. Con cada número positivo r existe asociado un valor de A, por lo que A es función de r. B. La población humana del mundo, P, depende del tiempo t. En la tabla se dan estima- Población Año (en millones) ciones de la población del mundo, Pt, en el tiempo t, para ciertos años. Por ejemplo, 1900 1 650 P1950 2 560 000 000 1910 1 750 1920 1 860 1930 2 070 Pero para cada valor de tiempo t existe un valor de P correspondiente, por lo que P es 1940 2 300 una función de t. 1950 2 560 C. El costo C de enviar por correo una carta de primera clase depende de su peso w. Aun 1960 3 040 cuando no existe una fórmula sencilla que relacione w con C, la oficina de correos 1970 3 710 tiene una regla parta determinar C cuando se conoce w. 1980 4 450 1990 5 280 D. La aceleración vertical a del suelo, según la mide un sismógrafo durante un terremo- 2000 6 080 to, es una función del tiempo transcurrido t. En la figura 1 se muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los Ángeles en 1994. Para un valor dado de t, la gráfica proporciona un valor correspon- diente de a. a {cm/s@} 100 50 5 10 15 20 25 30 t (segundos) FIGURA 1 _50 Aceleración vertical del suelo durante el terremoto de Northridge Calif. Dept. of Mines and Geology En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número r, t, w o t), se asigna otro número A, P, C o a). En cada caso, el segundo número es función del primero. Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exacta- mente un elemento, llamado fx), de un conjunto E. A menudo, se consideran funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos de números reales. El conjunto D se llama dominio de la función. El número fx) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de fx), conforme x varía en todo el dominio. Un símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa un número en el rango de f se llama variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variable independiente y A es la dependiente. 11 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 12 12 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Resulta útil concebir una función como una máquina véase la figura 2). Si x está en el x f ƒ (entrada) (salida) dominio de la función f, entonces cuando x entra en la máquina, se acepta como una en- trada y la máquina produce una salida fx) de acuerdo con la regla de la función. De este modo, puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el FIGURA 2 rango como el conjunto de todas las salidas posibles. Diagrama de una máquina para una función ƒ Las funciones preprogramadas de una calculadora son buenos ejemplos de una función co- mo una máquina. Por ejemplo, la tecla de raíz cuadrada en su calculadora calcula una de esas funciones. Usted oprime la tecla marcada como s o sx y registra la entrada x. Si x  0, en tal caso x no está en el dominio de esta función; es decir, x no es una entrada aceptable y la calculadora indicará un error. Si x 0, en tal caso aparecerá una aproximación a sx en la pantalla. Así, la tecla sx de su calculadora no es la misma exactamente que la función ma- temática f definida por f x  sx. Otra manera de representar una función es un diagrama de flechas como en la figura 3. x ƒ Cada flecha une un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que fx) está asociada con x, fa) con a, y así sucesivamente. a f(a) El método más común para visualizar una función es su gráfica. Si f es una función con dominio D, su gráfica es el conjunto de las parejas ordenadas D f E  x, f x x  D FIGURA 3 Observe que son parejas entrada-salida.) En otras palabras, la gráfica de f consta de todos Diagrama de flechas para ƒ los puntos x, y) en el plano coordenado, tales que y  fx) y x está en el dominio de f. La gráfica de una función f da una imagen útil del comportamiento, o la “historia de la vida”, de una función. Como la coordenada y de cualquier punto x, y) de la gráfica es y  fx), es posible leer el valor de fx) a partir de la gráfica como la altura de esta última arriba del punto x véase la figura 4). La gráfica de f también permite tener una imagen del dominio de f sobre el eje x y su rango en el eje y como en la figura 5. y { x, ƒ} y ƒ intervalo y  ƒ(x) f (2) f (1) 0 1 2 x x 0 x dominio FIGURA 4 FIGURA 5 y EJEMPLO 1 En la figura 6 se muestra la gráfica de una función f. (a) Encuentre los valores de f1) y f5). (b) ¿Cuáles son el dominio y el intervalo de f ? 1 SOLUCIÓN (a) En la figura 6 se ve que el punto 1, 3) se encuentra sobre la gráfica de f, de modo 0 x 1 que el valor de f en 1 es f 1  3. En otras palabras, el punto de la gráfica que se encuen- tra arriba de x  1 está tres unidades arriba del eje x.) Cuando x  5, la gráfica se encuentra alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x¸ por tanto, f 5 0.7 FIGURA 6 (b) fx) está definida cuando 0 x 7, de modo que el dominio de f es el intervalo cerrado [0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde 2 hasta 4, de manera que el interva- lo de f es & La notación para intervalos aparece en el apéndice A.  y 2 y 4  2, 4  CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 13 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 13 y EJEMPLO 2 Trace una gráfica y encuentre el dominio y el intervalo de cada función. a) fx  2x  1 b) tx  x 2 y=2x-1 SOLUCIÓN a) La ecuación de la gráfica es y  2x  1 y esto se reconoce como la ecuación de la 0 1 x recta con pendiente 2 y ordenada al origen 1. Recuerde la forma de pendiente-ordenada -1 2 al origen de la ecuación de una recta: y  mx  b. Véase apéndice B.) Esto permite trazar la gráfica de f. Ver la figura 7. La expresión 2x  1 está definida para todos los números reales, de modo que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales, el cual FIGURA 7 se denota con . En la gráfica se muestra que el rango también es . b) Como t2  2 2  4 y t1  12  1, podría dibujar los puntos 2, 4) y y 1, 1) junto con unos cuantos puntos más de la gráfica y unirlos para producir la gráfi- (2, 4) ca figura 8). La ecuación de la gráfica es y  x 2, la cual representa una parábola véase el apéndice C). El dominio de t es . El rango de t consta de todos los valores de y=≈ tx); es decir, todos los números de la forma x2. Pero x 2  0 para todos los números x y cualquier número positivo y es un cuadrado. De este modo, el rango de t es (_1, 1) 1  y y  0  0, . Esto también se ve en la figura 8.  0 x 1 f a  h  f a EJEMPLO 3 Si fx  2x2  5x  1 y h  0, evaluar h FIGURA 8 SOLUCIÓN Primero evalúe fa  h sustituyendo x mediante a  h en la expresión para fx: fa  h  2(a  h)2  5(a  h)  1  2(a2  2ah  h2) 5(a  h)  1  2(a2  2ah  h2) 5a  5h  1 Por lo tanto al sustituir en la expresión que se proporciona y simplificando: & La expresión f a  h  f a 2a2  4ah  2h2  5a  5h  1  2a2  5a  1 f (a  h)  f (a)  h h h en el ejemplo 3 se le denomina un cociente 2a2  4ah  2h2  5a  5h  1  2a2  5a  1 de diferencia y habitualmente sucede en  h cálculo. Como se verá en el capítulo 2, repre- senta la razón promedio de cambio f (x) entre 4ah  2h2  5h xayxah   4a  2h  5  h REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES Se tienen cuatro maneras posibles para representar una función: & Verbalmente (mediante una descripción en palabras) & Numéricamente (con una tabla de valores) & Visualmente (mediante una gráfica) & Algebraicamente (por medio de una fórmula explícita) Si la función se puede representar de las cuatro maneras, con frecuencia resulta útil pasar de una representación a otra, para adquirir un conocimiento adicional de la función. (En el ejemplo 2 se empieza con fórmulas algebraicas y, a continuación, se obtuvieron las gráficas.) Pero ciertas funciones se describen de manera más natural con uno de los métodos CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 14 14 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS que con otro. Con esto en mente, analice de nuevo las cuatro situaciones consideradas al principio de esta sección. A. Quizá la representación más útil del área de un círculo como función de su radio sea la fórmula algebraica Ar  r 2, aunque es posible compilar una tabla de valores o trazar una gráfica (la mitad de una parábola). Como un círculo debe tener un radio positivo, el  dominio es r r  0  0, , y el rango también es 0, . B. Se ha descrito verbalmente la función: Pt es la población humana del mundo en el Población Año (en millones) tiempo t. La tabla de valores de la población mundial da una representación conve- niente de esta función. Si coloca estos valores en una gráfica, obtendrá la gráfica (lla- 1900 1 650 mada gráfica de dispersión) de la figura 9. También es una representación útil; pues 1910 1 750 nos permite absorber todos los datos a la vez. ¿Qué hay acerca de una fórmula? Por 1920 1 860 supuesto, es imposible idear una fórmula explícita que dé la población humana exacta 1930 2 070 Pt en cualquier tiempo t. Pero es posible hallar una expresión para una función que 1940 2 300 proporcione una aproximación de Pt). De hecho, con la aplicación de los métodos 1950 2 560 que se explican en la sección 1.2, se obtiene la aproximación 1960 3 040 1970 3 710 Pt f t  0.008079266  1.013731t 1980 4 450 1990 5 280 y en la figura 10 se ilustra que es un “ajuste” razonablemente bueno. La función f se 2000 6 080 llama modelo matemático para el crecimiento de la población. En otras palabras, es una función con una fórmula explícita que da una aproximación para el comportamiento de la función dada. Sin embargo, verá que las ideas del cálculo se pueden aplicar a una tabla de valores; no se necesita una fórmula explícita. P P 6x10' 6x10' 1900 1920 1940 1960 1980 2000 t 1900 1920 1940 1960 1980 2000 t FIGURA 9 FIGURA 10 & Una función definida por una tabla de La función P es típica entre las funciones que surgen siempre que intenta aplicar valores se conoce como función tabular. el cálculo al mundo real. Empieza con una descripción verbal de la función. En se- guida, es posible que sea capaz de construir una tabla de valores de la función, quizá a partir de lecturas de instrumentos en un experimento científico. Aun cuando no tenga el conocimiento completo de los valores de la función, a lo largo del libro w (onzas) Cw (dólares) verá que todavía es posible realizar las operaciones del cálculo en una función de ese tipo. 0w 1 0.39 1w 2 0.63 C. Una vez más, la función está descrita en palabras: Cw) es el costo de enviar por correo 2w 3 0.87 una carta de primera clase con peso w. La regla que en 1996 aplicaba el U.S. Postal 3w 4 1.11 Service (Servicio Postal de Estados Unidos) es la siguiente: el costo es de 39 centavos 4w 5 1.35 de dólar hasta por una onza, más 24 centavos por cada onza sucesiva, hasta 13 onzas.   La tabla de valores que se muestra en el margen es la representación más conveniente   para esta función, aunque es posible trazar una gráfica (véase el ejemplo 10).   D. La gráfica que se muestra en la figura 1 es la representación más natural de la función 12  w 13 3.27 aceleración vertical at). Es cierto que se podría compilar una tabla de valores e incluso CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 15 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 15 es posible idear una fórmula aproximada. Pero todo lo que necesita saber un geólogo, amplitudes y patrones, puede observarse con facilidad a partir de la gráfica. (Lo mismo se cumple para los patrones que se ven en los electrocardiogramas de los pacientes car- diacos y en los polígrafos para la detección de mentiras.) En el ejemplo siguiente, se grafica una función definida verbalmente. T EJEMPLO 4 Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del agua depende de cuánto tiempo ha estado corriendo. Trace una gráfica aproximada de T como función del tiempo t que ha transcurrido desde que se abrió el grifo. SOLUCIÓN La temperatura inicial del agua corriente está cercana a la temperatura ambiente, debido al agua que ha estado en los tubos. Cuando empieza a salir la que se encuentra en 0 t el tanque de agua caliente, T aumenta con rapidez. En la fase siguiente, T es constante a la temperatura del agua calentada del tanque. Cuando éste se drena, T decrece hasta la FIGURA 11 temperatura de la fuente de agua. Esto permite realizar el boceto de gráfica de T como una función de t en la figura 11.  El ejemplo que sigue, parte de una descripción verbal de una función, en una situación física, y se obtiene una fórmula algebraica explícita. La capacidad para llevar a cabo esto constituye una habilidad útil en los problemas de cálculo en los que se piden los valores máximo y mínimo de cantidades. V EJEMPLO 5 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior abierta, tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su base es el doble de su ancho. El material para la base cuesta 10 dólares por metro cuadrado y el material para los lados, cuesta 6 dólares por metro cuadrado. Exprese el costo del material como función del ancho de la base. SOLUCIÓN Dibuje un diagrama como el de la figura 12 e introduzca la notación to- mando w y 2w como el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h como la altura. h El área de la base es 2ww  2w 2, de modo que el costo, en dólares, del material para la base es 102w 2 . Dos de los lados tienen el área wh y el área de los otros dos w es 2wh, así el costo del material para los lados es 6 2wh  22wh . En consecuencia el costo total es 2w C  102w 2   6 2wh  22wh  20w 2  36wh FIGURA 12 Para expresar C como función sólo de w, necesita eliminar h, lo que sucede al aplicar el hecho de que el volumen es 10 m3. De este modo, w2wh  10 10 5 lo cual da h 2  2w w2 Si se sustituye esto en la expresión para C & Al establecer funciones de aplicación, como en el ejemplo 5, puede resultar útil repasar los principios para la resolución de problemas como C  20w 2  36w w 5 2  20w 2  180 w se plantean en la página 76, en particular el paso 1: comprender el problema. Por lo tanto, la ecuación 180 Cw  20w 2  w0 w expresa C como función de w.  CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 16 16 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada función. 1 (a) f x  sx  2 (b) tx  x x 2 SOLUCIÓN & Si se da una función mediante una fórmula (a) Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como número real), y no se da el dominio explícitamente, la con- el dominio de f consta de todos los valores de x tales que x  2  0. Esto es equivalente vención es que el dominio es el conjunto de todos los números para los que la fórmula a x  2, de modo que el dominio es el intervalo 2, . tiene sentido y define un número real. (b) Dado que 1 1 tx  2  x x xx  1 y la división entre 0 no está permitida, tx no está definida cuando x  0 o x  1. Por lo tanto, el dominio de t es  x x  0, x  1 lo cual también podría escribirse, con la notación de intervalos, como  , 0  0, 1  1,   La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿cuáles curvas en el plano xy son gráficas de funciones? La siguiente prueba responde lo anterior. PRUEBA DE LA LÍNEA VERTICAL Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de una vez. En la figura 13 se puede ver la razón de la veracidad de la prueba de la línea vertical. Si cada línea vertical x  a interseca una curva sólo una vez, en a, b, por lo tanto se define exactamente un valor funcional mediante f a  b. Pero si una línea x  a se in- terseca con la curva dos veces, en a, b y a, c, entonces la curva no puede representar una función, porque una función no puede asignar dos valores diferentes a a. y y x=a x=a (a, c) (a, b) (a, b) 0 a x 0 a x FIGURA 13 Por ejemplo, la parábola x  y 2  2 que aparece en la figura 14(a) en la página que sigue no es la gráfica de una función de x porque, como el lector puede ver, existen líneas vertica- les que intersecan dos veces esa parábola. Sin embargo, la parábola en realidad contiene las gráficas de dos funciones de x. Observe que x  y 2  2 significa y 2  x  2, por lo que y  s x  2. Por esto, las mitades superior e inferior de la parábola son las gráficas de las funciones f x  s x  2 [del ejemplo 6(a)] y tx  s x  2 [véase las figu- ras 14(b) y (c)]. Observe que, si invierte los papeles de x y y, en tal caso la ecuación x  h y  y 2  2 define x como función de y (con y como la variable independiente y x como dependiente) y la parábola aparece ahora como la gráfica de la función h. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 17 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 17 y y y _2 (_2, 0) 0 x _2 0 x 0 x FIGURA 14 (a) x=¥-2 (b) y=œ„„„„ x+2 (c) y=_ œ„„„„ x+2 FUNCIONES SECCIONALMENTE DEFINIDAS Las funciones de los cuatro ejemplos siguientes están definidas por fórmulas diferentes en diferentes partes de sus dominios. V EJEMPLO 7 Una función f se define por f x   1  x si x 1 x2 si x  1 Evalúe f0), f1) y f2) y trace la gráfica. SOLUCIÓN Recuerde que una función es una regla. Para esta función en particular, la regla es: primero se considera el valor de la entrada x. Si sucede que x  1, entonces el valor de fx) es 1  x. Por otra parte, si x  1, entonces el valor de fx) es x 2. Como 0 1, tenemos f 0  1  0  1. Como 1 1, tenemos f 1  1  1  0. y Como 2  1, tenemos f 2  2 2  4. ¿Cómo dibujar la gráfica de f? Observe que, si x  1, entonces fx)  1  x de modo que la parte de la gráfica de f que se encuentra a la izquierda de la línea vertical 1 x  1 debe coincidir con la línea y  1  x, la cual tiene la pendiente 1 y 1 como ordenada al origen. Si x  1, entonces fx)  x2, por lo que la parte de la gráfica de f x que está a la derecha de la línea x  1 tiene que coincidir con la gráfica de y  x2, la cual 1 es una parábola. Esto permite trazar la gráfica de la figura 15. El punto relleno indica que FIGURA 15 el punto 1, 0) está incluido en la gráfica; el punto hueco indica que el punto 1, 1) está fuera de la gráfica.  El ejemplo siguiente de una función seccionalmente definida es la función valor abso-   luto. Recuerde que el valor absoluto de un número a, denotado con a , es la distancia de a hasta 0, sobre la recta de los números reales. Las distancias siempre son positivas o 0; de tal manera & Para un repaso más extenso de los valores absolutos, véase el apéndice A. a  0 para todo número a Por ejemplo, 3  3  3   3 0  0  s2  1   s2  1 3     3 En general, a  a si a  0  a   a si a  0 (Recuerde que si a es negativo, entonces a es positivo.) CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 18 18 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 8 Trace la gráfica de la función valor absoluto, f x  x .   y SOLUCIÓN Con base en el análisis precedente, sabe que y=| x | x   x x si x  0 si x  0 Al aplicar el método del ejemplo 7, la gráfica de f coincide con la línea y  x, a 0 x la derecha del eje y, y coincide con la línea y  x, a la izquierda del eje y (véase la figura 16).  FIGURA 16 EJEMPLO 9 Encuentre una fórmula para la función f que se dibuja en la figura 17. y 1 0 1 x FIGURA 17 SOLUCIÓN La línea que pasa por 0, 0) y 1, 1) tiene pendiente m  1 y su ordenada al ori- gen es b  0, de forma que su ecuación es y  x. Así, para la parte de la gráfica de f que une 0, 0) con 1, 1), f x  x si 0 x 1 & Forma punto-pendiente de la ecuación de La línea que pasa por 1, 1) y 2, 0) tiene pendiente m  1, de suerte que su forma una recta: punto-pendiente es y  y1  mx  x 1  y  0  1x  2 o y2x véase el apéndice B. De tal manera que f x  2  x si 1x 2 Observe también que, para x  2, la gráfica de f coincide con el eje x. Si reúne esta in- formación, tiene la fórmula siguiente para f, en tres secciones:  x f x  2  x 0 si 0 x 1 si 1  x 2 si x  2  EJEMPLO 10 En el ejemplo C del principio de esta sección, se consideró el costo Cw de enviar por correo una carta de primera clase con peso w. En realidad, ésta es una función seccionalmente definida porque, a partir de la tabla de valores, se tiene C 0.39 si 0w 1 0.63 si 1w 2 1 Cw  0.87 si 2w 3 1.11 si 3w 4    0 1 2 3 4 5 w La gráfica se muestra en la figura 18. Usted puede ver por qué a las funciones semejantes a ésta se les llama función escalón: saltan de un valor al siguiente. En el capítulo 2 se FIGURA 18 estudiarán esas funciones.  CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 19 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 19 y SIMETRÍA Si una función f satisface f x  f x, para todo número x en su dominio, entonces f se f(_x) ƒ denomina función par. Por ejemplo, la función f x  x 2 es par porque _x 0 x x f x  x2  x 2  f x El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y (véase la figura 19). Esto significa que si traza la gráfica de f para x 0, obtiene toda FIGURA 19 la gráfica con sólo reflejar esta porción con respecto al eje y. Una función par Si f satisface f x  f x, para todo número x en su dominio, entonces f se conoce y como función impar. Por ejemplo, la función f x  x 3 es impar porque f x  x3  x 3  f x _x 0 ƒ x x La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen (véase la figura 20). Si ya tiene la gráfica de f para x 0, puede obtener la gráfica entera al hacerla girar 180 alrede- dor del origen. V EJEMPLO 11 Determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ninguna FIGURA 20 Una función impar de las dos. (a) f x  x 5  x (b) tx  1  x 4 (c) hx  2x  x 2 SOLUCIÓN (a) f x  x5  x  15x 5  x  x 5  x  x 5  x  f x En consecuencia, f es una función impar. (b) tx  1  x4  1  x 4  tx De modo que t es par. (c) hx  2x  x2  2x  x 2 Dado que hx  hx y hx  hx, se concluye que h no es par ni impar.  En la figura 21 se muestran las gráficas de las funciones del ejemplo 11. Observe que la gráfica de h no es simétrica respecto al eje y ni respecto al origen. y y y f 1 g h 1 1 1 _1 1 x x 1 x _1 FIGURA 21 (a) ( b) (c) CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 20 20 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES La gráfica que se muestra en la figura 22 sube desde A hasta B, desciende desde B hasta C, y vuelve a subir desde C hasta D. Se dice que la función f está creciendo sobre el intervalo a, b , decreciendo sobre b, c , y creciendo de nuevo sobre c, d . Observe que si x1 y x2 son dos números cualesquiera entre a y b, con x 1  x 2 , entonces f x 1   f x 2 . Use esto como la propiedad que define una función creciente. y B D y=ƒ C f(x™) f(x ¡) A 0 a x¡ x™ b c d x FIGURA 22 Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I si f x 1   f x 2  siempre que x 1  x 2 en I Se dice que es decreciente sobre I si y y=≈ f x 1   f x 2  siempre que x 1  x 2 en I En la definición de función creciente es importante darse cuenta que se debe satisfacer 0 x la desigualdad f x 1   f x 2  para toda pareja de números x1 y x2 en I con x 1  x 2. A partir de la figura 23 es posible observar que la función f x  x 2 es decreciente sobre FIGURA 23 el intervalo  , 0 y creciente sobre el intervalo 0, . 1.1 EJERCICIOS 1. Se da la gráfica de una función f. y (a) Establezca el valor de f 1. (b) Estime el valor de f 2. 1 (c) ¿Para cuáles valores de x se tiene f x  2? 0 1 x (d) Estime los valores de x tales que f x  0. (e) Establezca el dominio y el rango de f. (f) ¿En qué intervalo es f creciente? CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 21 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 21 2. Se proporcionan las gráficas de f y t. el peso de esta persona a lo largo del tiempo. ¿Qué piensa el lec- (a) Dé los valores de f 4 y t3. tor que sucedió cuando esta persona tenía 30 años? (b) ¿Para cuáles valores de x se tiene f x  tx? (c) Estime la solución de la ecuación f x  1. (d) ¿En qué intervalo f es decreciente? 200 (e) Dé el dominio y el rango de f. (f) Dé el dominio y el rango de t. Peso 150 (libras) 100 50 y g 0 10 20 30 40 50 60 70 Edad f (años) 2 10. La gráfica que se muestra da la distancia a la que se encuentra un 0 2 x vendedor de su casa como función del tiempo en cierto día. Describa con palabras lo que la gráfica indica con respecto al recorrido del vendedor en este día. 3. Un instrumento operado por el Departamento de Minas y Geo- logía en el Hospital Universitario de la Universidad del Sur de Distancia California (USC) en Los Ángeles, registró la figura 1. Úsela hasta la casa (millas) para estimar el intervalo de la funcion aceleración vertical del suelo, en la USC durante el terremoto de Northridge. 8 A.M. 10 MEDIODÍA 2 4 6 P.M. Tiempo 4. En esta sección se analizaron ejemplos de funciones, cotidia- (horas) nas: la población es una función del tiempo, el costo del porte de correos es una función del peso, la temperatura del agua es una función del tiempo. Dé otros tres ejemplos de funcio- 11. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con nes de la vida cotidiana que se describan verbalmente. ¿Qué agua fría y lo deja sobre una mesa. Describa cómo cambia la puede decir acerca del dominio y del rango de cada una de temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. Después, sus funciones? Si es posible, trace una gráfica aproximada trace una gráfica aproximada de la temperatura del agua como de cada función. función del tiempo transcurrido. 12. Trace una gráfica aproximada del número de horas de luz del 5–8 Determine si la curva es la gráfica de una función de x. Si lo día como función de la época del año. es, dé el dominio y el rango de la función. 13. Trace una gráfica aproximada de la temperatura exterior como función del tiempo durante un día típico de primavera. 5. y 6. y 14. Dibuje una gráfica aproximada del valor en el mercado, por un 1 1 periodo de 20 años de un automóvil nuevo. Considere que se le 0 1 x 0 1 x da buen mantenimiento. 15. Dibuje la gráfica de la cantidad de una marca particular de café vendida por una tienda como una función del precio del café. 16. Usted coloca un pastel congelado en un horno y lo hornea duran- 7. y 8. y te una hora. Luego, lo saca y lo deja enfriar, antes de comerlo. Describa cómo cambia la temperatura del pastel conforme pasa el 1 1 tiempo. Después, trace una gráfica aproximada de la temperatura 0 1 x 0 1 x del pastel como función del tiempo. 17. El propietario de una casa corta el césped cada miércoles por la tarde. Trace una gráfica aproximada de la altura del césped como función del tiempo durante un periodo de cuatro semanas. 18. Un avión sale de un aeropuerto y aterriza, una hora más tarde, en 9. La gráfica que se muestra da el peso de cierta persona como una otro aeropuerto que se encuentra a 400 millas de distancia. Si t función de la edad. Describa con palabras la manera en que varía representa el tiempo en minutos desde que el avión ha dejado CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 22 22 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS la terminal, sea xt la distancia horizontal recorrida y yt la 1 31. hx  altitud del avión. Trace. s 4 x 2  5x (a) Una gráfica posible de xt. (b) Una gráfica posible de yt. (c) Una gráfica posible de la rapidez con respecto al suelo. 28. Encuentre el dominio, el rango y trace la gráfica de la función (d) Una gráfica posible de la velocidad vertical. hx  s4  x 2. 19. En la tabla se exhibe el número N (en millones) de usuarios de telefonos celulares en el mundo. (Se proporcionan estimaciones 33–44 Encuentre el dominio y trace la gráfica de la función. semestrales). 33. f x  5 34. Fx  2 x  3 1 t 1990 1992 1994 1996 1998 2000 4  t2 N 11 26 60 160 340 650 35. f t  t 2  6t 36. Ht  2t (a) Mediante los datos trace una gráfica de N en función de t. 37. tx  sx  5  38. Fx  2x  1  (b) Utilice la gráfica para estimar la cantidad de usuarios de teléfono celular a mediados de año en 1995 y 1999. 39. Gx  3x  x   40. tx  x 20. El 2 de junio de 2001 se tomaron lecturas de temperatura T x x2  (en °F) cada dos horas desde la medianoche hasta las 2:00 P.M. El tiempo t se midió en horas a partir de la medianoche. x2 si x  0 41. f x  1x si x  0  t 0 2 4 6 8 10 12 14 3  12x si x 2 T 73 73 70 69 72 81 88 91 42. f x  2x  5 si x  2 (a) Utilice las lecturas para trazar una gráfica aproximada de T como una función de t. 43. f x   x  2 si x 1 x2 si x  1  (b) Utilice la gráfica que trazó para estimar la temperatura a las 11:00 A.M. x  9 si x  3 21. Si f x  3x 2  x  2, encuentre f 2, f 2, f a, f a, 44. f x  2x si x 3   f a  1, 2 f a, f 2a, f a 2 , [ f a] 2 y f a  h. 6 si x  3 22. Un globo esférico con radio de r pulgadas tiene el volumen Vr  43 r 3. Encuentre una función que represente la cantidad de aire que se requiere para inflarlo desde un radio de r pulga- 45–50 Encuentre una expresión para la función cuya gráfica es la das hasta otro de r  1 pulgadas. curva dada. 23–26 Valorar el cociente de diferencia para la función que se pro- 45. El segmento rectilíneo que une los puntos 1, 3 y 5, 7 porciona. Simplifique su respuesta. 46. El segmento rectilíneo que une los puntos 5, 10 y 7, 10 f(3  h) – f(3) 47. La mitad inferior de la parábola x   y  12  0 23. f(x)  4  3x  x , 2 h 48. La mitad superior del círculo x2  (y  22  4 f(a  h) – f(a) 24. f(x)  x , 3 h 49. y 50. y 1 f(x) – f(a) 25. f(x)  , x xa 1 1 x 3 f(x) – f(1) 26. fx  , x1 x1 0 1 x 0 1 x 27–31 Encuentre el dominio de la función. 51–55 Encuentre una fórmula para la función descrita y dé su x 5x  4 dominio. 27. f x  28. f x  2 3x  1 x  3x  2 51. Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área del 29. f t  st  s 3 t 30. tu  su  s4  u rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 23 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 23 52. Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese su perímetro (b) ¿Cuál impuesto corresponde a un ingreso de 14 000 dólares como función de la longitud de uno de sus lados. y a otro de 26 000 dólares? (c) Trace la gráfica del impuesto total correspondiente T como 53. Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la función del ingreso I. longitud de uno de los lados. 60. Las funciones del ejemplo 10 y de los ejercicios 58 y 59(a) se 54. Exprese el área superficial de un cubo como función de su vo- conocen como funciones escalones porque sus gráficas parecen lumen. escaleras. Dé otros dos ejemplos de funciones escalones que surjan en la vida cotidiana. 55. Una caja rectangular abierta, con volumen de 2 m3, tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como fun- 61–62 Se muestran las gráficas de f y t. Determine si cada función ción de la longitud de uno de los lados de la base. es par, impar o ninguna de las dos. Explique su razonamiento. 56. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coro- nado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 61. y 62. y g 30 pies, exprese el área A de ella como función del ancho x f de la misma. f x x g © Catherine karnow 63. (a) Si el punto 5, 3 está sobre la gráfica de una función par, ¿cuál otro punto también debe estar sobre la gráfica? x (b) Si el punto 5, 3 está sobre la gráfica de una función impar, 57. Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir ¿cuál otro punto también debe estar sobre la gráfica? de un trozo rectangular de cartón que tiene las dimensiones de 12 pulgadas por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales 64. Una función f tiene el dominio 5, 5 y se muestra una parte de lado x en cada una de las esquinas y, a continuación, doblando de su gráfica. los lados como se ilustra en la figura. Exprese el volumen V (a) Complete la gráfica de f si se sabe que ésta es par. de la caja como función de x. (b) Complete la gráfica de f si se sabe que ésta es impar. 20 y x x x x 12 x x x x _5 0 5 x 58. Una compañía de taxis cobra dos dólares por la primera milla (o parte de una milla) y 20 centavos de dólar por cada décimo 65–70 Determine si f es par, impar o ni par ni impar. Si tiene una de milla (o parte) subsiguiente. Exprese el costo C (en dólares) de calculadora graficadora, úsela para verificar de manera visual su un viaje como función de la distancia x recorrida (en millas), respuesta para 0  x  2, y dibuje la gráfica de esta función. x x2 59. En cierto país, el impuesto sobre la renta se evalúa como se 65. f x  66. f x  x 1 2 x 1 4 indica a continuación. No se paga impuesto sobre ingresos hasta de 10 000 dólares. Cualquier ingreso superior a 10 000 dólares x paga un impuesto del 10% del mismo, hasta un ingreso de 67. f x  x1 68. f x  x x 20 000 dólares. Cualquier ingreso superior a 20 000 dólares paga impuesto con una tasa del 15%. (a) Trace la gráfica de la tasa R de impuesto como función del 69. f x  1 3x2  x4 70. f x  1 3x3  x5 ingreso I. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 24 24 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS Un modelo matemático es una descripción matemática (con frecuencia mediante una fun- ción o una ecuación), de un fenómeno del mundo real, como por ejemplo el tamaño de una población, la demanda por un producto, la rapidez de caída de un objeto, la concentración de un producto en una reacción química, la expectativa de vida de una persona cuando nace o el costo de la reducción de emisiones. El propósito del modelo es entender el fenómeno y quizá hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro. La figura 1 ilustra el proceso del modelado matemático. Una vez que se especifica un problema del mundo real, la primera tarea consiste en formular un modelo matemático iden- tificando y dándole un nombre a las variables independientes y dependientes, así como hacer supuestos que simplifiquen, lo suficiente, el fenómeno como para hacer que sea sus- ceptible de rastrearse en forma matemática. Utilice su conocimiento acerca de la situación física y sus habilidades matemáticas para obtener ecuaciones que relacionen las variables. En aquellas situaciones en las que no existen leyes físicas que lo guíen, tal vez necesite re- cabar información (ya sea de una biblioteca o de la Internet o llevando a cabo sus propios experimentos) y analizarlos en forma de tabla con objeto de discernir patrones. A par- tir de esta representación numérica quizá desee obtener una representación gráfica por medio del dibujo de los datos. En algunos casos, la gráfica puede hasta sugerir una forma algebraica adecuada. Problema en el Formular Modelo Resolver Conclusiones Interpretar Predicciones en mundo real matemático matemáticas el mundo real Test FI GURA 1 El proceso del modelado La segunda etapa es aplicar las matemáticas que conoce (como por ejemplo el cálculo que se desarrollará en todas las partes de este libro) al modelo matemático formulado con el fin de deducir conclusiones matemáticas. Después, en la tercera etapa, tome esas conclu- siones matemáticas e interprételas como información acerca del fenómeno original del mundo real por medio de ofrecer explicaciones o hacer predicciones. La etapa final es pro- bar las predicciones que formuló verificándolas contra datos nuevos relativos al mundo real. Si las predicciones no se comparan de manera apropiada con la realidad, necesita afinar su modelo o bien formular uno nuevo y empezar el ciclo de nuevo. Un modelo matemático nunca es una representación totalmente precisa de una situación física, es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente como para permitir cálculos matemáticos pero es lo suficientemente preciso para proveer conclusiones valiosas. Es importante darse cuenta de los límites del modelo. En última instancia, la madre naturaleza tiene la última palabra. Existen muchos tipos diferentes de funciones que pueden usarse para modelar corre- spondencias que se observan en el mundo real. En las secciones subsecuentes, analizará el comportamiento y las gráficas de estas funciones y atenderá ejemplos de situaciones mo- deladas en forma apropiada por medio de esas funciones. MODELOS LINEALES & En el apéndice B se repasa la geometría Cuando dice que y es una función lineal de x, lo que quiere dar a entender es que la grá- analítica de las rectas. fica de la función es una recta, de tal manera puede usar la forma pendiente-intersección de la ecuación de una recta para escribir una fórmula para la función como y  f x  mx  b donde m es la pendiente de la recta y b es la coordenada al origen y. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 25 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 25 Una característica representativa de las funciones lineales es que crecen en una pro- porción constante. La figura 2, por ejemplo, presenta una gráfica de la función lineal fx  3x  2 y una tabla de valores muestra. Observe que siempre que x aumenta en 0.1, el valor de fx se incrementa en 0.3. Por eso fx se incrementa tres veces tan rápido como x. De este modo la pendiente de la gráfica y  3x  2, en este caso 3, puede interpretarse como la relación de cambio de y con respecto a x. y y=3x-2 x f x  3x  2 1.0 1.0 1.1 1.3 0 x 1.2 1.6 _2 1.3 1.9 1.4 2.2 1.5 2.5 FIGURA 2 V EJEMPLO 1 (a) A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la tem- peratura del suelo es 20C y la temperatura a la altura de 1 km es 10C, exprese la temperatura T (en °C) como una función de la altura h (en kilómetros) suponiendo que es un modelo lineal adecuado. (b) Trace la gráfica de la función del inciso (a). ¿Qué representa la pendiente? (c) ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 km? SOLUCIÓN (a) Como supone que T es una función lineal de h, puede escribir T  mh  b Se dice que T  20 cuando h  0, así 20  m  0  b  b En otras palabras, la ordenada al origen y es b  20. Además, T  10 cuando h  1, de modo que T 10  m  1  20 20 Por lo tanto la pendiente de la recta es m  10  20  10 y la función lineal T=_10h+20 requerida es 10 T  10h  20 0 h (b) La gráfica se traza en la figura 3. La pendiente es m  10Ckm, y esto representa 1 3 la relación de cambio de temperatura con respecto a la altura. (c) A una altura h  2.5 km, la temperatura es FIGURA 3 T  102.5  20  5C  Si no existe una ley física o un principio que ayude a formular un modelo, se construye un modelo empírico, el cual se basa por completo en la información recabada. Se busca una curva que “coincida” con los datos en el sentido de que capte la tendencia fundamental de los puntos de los datos. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 26 26 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS V EJEMPLO 2 En la tabla 1 se enumera el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón en el observatorio Mauna Loa de 1980 a 2002. Use la información que en ella aparece para encontrar un modelo para el nivel de dióxido de carbono. SOLUCIÓN Use los datos que aparecen en la tabla 1 para trazar la gráfica de dispersión que se muestra en la figura 4, donde t representa el tiempo (en años) y C el nivel de CO2 (en partes por millón, ppm) C TABLA 1 370 Nivel de CO2 Nivel de CO2 Año (en ppm) Año (en ppm) 360 1980 338.7 1992 356.4 1982 341.1 1994 358.9 350 1984 344.4 1996 362.6 1986 347.2 1998 366.6 1988 351.5 2000 369.4 340 1990 354.2 2002 372.9 1980 1985 1990 1995 2000 t FIGURA 4 Gráfica de dispersión para el nivel de CO2 Observe que al parecer los puntos correspondientes a la información se encuentran cerca de una recta, por tanto es natural que en este caso se elija un modelo lineal. Pero existen numerosas rectas posibles que se aproximan a estos puntos de información, por eso ¿cuál debe escoger? A partir de la gráfica, la línea que pasa por el primero y el último puntos de información parece ser una posibilidad. La pendiente de esta recta es 372.9  338.7 34.2   1.5545 2002  1980 22 y su ecuación es C  338.7  1.5545t  1980 o bien 1 C  1.5545t  2739.21 La ecuación 1 proporciona un modelo lineal posible para el nivel de dióxido de carbono; se grafica en la figura 5. C 370 360 350 FI GURA 5 340 Modelo lineal a través del primero y último 1980 1985 1990 1995 2000 t puntos de información Si bien el modelo coincide razonablemente bien con la información, da puntos más altos que la mayor parte de los niveles reales de CO2. Por medio de un procedimiento CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 27 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 27 & Una computadora o una calculadora grafi- de estadística conocido como regresión lineal, se obtiene un mejor modelo lineal. Si cadora encuentra la recta de regresión por utiliza una calculadora graficadora, registre los datos de la tabla 1 en el editor de datos medio del método de mínimos cuadrados, el cual consiste en reducir al mínimo la suma de y elija el comando de regresión lineal. (Con Maple use el comando Fit [least square] los cuadrados de las distancias verticales en el paquete de estadística; con Mathematica utilice el comando Fit). La máquina da la entre los puntos correspondientes a datos y la pendiente y la ordenada al origen y de la recta de regresión como recta. En la sección 14.7 se explican detalles de lo anterior. m  1.55192 b  2734.55 De esta manera nuestro modelo de mínimos cuadrados para el nivel de CO2 es 2 C  1.55192t  2734.55 En la figura 6 aparece la gráfica de la recta de regresión así como los puntos de infor- mación. Al compararla con la figura 5 se observa que da una mejor coincidencia que nuestro modelo lineal anterior. C 370 360 350 340 FI GURA 6 1980 1985 1990 1995 2000 t  La recta de regresión V EJEMPLO 3 Use el modelo lineal que proporciona la ecuación 2 para estimar el nivel promedio de CO2 correspondiente al año 1987 y predecir el nivel para el 2010. Según este modelo, ¿cuándo excederá el nivel de CO2 las 400 partes por millón? SOLUCIÓN Mediante la ecuación 2 con t  1987, se estima que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue C1987  1.551921987  2734.55 349.12 Esto es un ejemplo de interpolación porque ha estimado un valor entre valores observados. (De hecho, el observatorio Mauna Loa informó que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue 348.93 ppm, de igual manera su estimado es bastante preciso.) Con t  2010, obtiene C2010  1.551922010  2734.55 384.81 De modo que se predice que el nivel promedio de CO2 en el año 2010 será 384.8 ppm. Esto es un ejemplo de extrapolación porque pronosticó un valor fuera de la región de las observaciones. Por consecuencia, está mucho menos seguro acerca de la exactitud de su predicción. Al usar la ecuación 2, observe que el nivel de CO2 excede las 400 ppm cuando 1.55192t  2734.55  400 Al resolver esta desigualdad tiene 3134.55 t 2019.79 1.55192 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 28 28 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS En consecuencia, se pronostica que el nivel de CO2 excederá de 400 ppm hacia el año 2020. Esta predicción es riesgosa hasta cierto punto porque implica un momento bastante remoto con respecto a sus observaciones.  POLINOMIOS A una función P se le lama polinomio si Px  a n x n  a n1 x n1      a 2 x 2  a 1 x  a 0 donde n es un entero no negativo y los números a 0 , a 1, a 2 , . . . , a n son constantes que se conocen como coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es    , . Si el coeficiente principal a n  0, entonces el grado del polinomio es n. Por ejemplo, la función Px  2x 6  x 4  25 x 3  s2 es un polinomio de grado 6. Un polinomio de grado 1 tiene la forma Px  mx  b y de este modo es una función lineal. Un polinomio de grado 2 tiene la forma Px  ax 2  bx  c se le llama función cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola que se obtiene, como verá en la sección siguiente, al cambiar la parábola y  ax 2. La parábola se abre hacia arriba si a  0 y hacia abajo si a  0. (Véase la figura 7.) y y 2 2 0 1 x 1 x FIGURA 7 Las gráficas de las funciones cuadráticas son parábolas. (a) y=≈+x+1 (b) y=_2≈+3x+1 Un polinomio de grado 3 tiene la forma Px  ax 3  bx 2  cx  d a0 y se le da el nombre de función cúbica. La figura 8 muestra la gráfica de una función cú- bica en la parte (a) y gráficas de polinomios de grados 4 y 5 en las partes (b) y (c). Más adelante verá por qué las gráficas tienen las formas que se ilustran a continuación. y y y 1 2 20 1 0 1 x x 1 x FIGURA 8 (a) y=˛-x+1 (b) y=x$-3≈+x (c) y=3x%-25˛+60x CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 29 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 29 Usualmente los polinomios se utilizan para modelar diversas cantidades que se susci- tan en las ciencias naturales y sociales. En la sección 3.7, por ejemplo, se explica por qué los economistas suelen usar un polinomio Px para representar el costo de producir x uni- dades de una mercancía. El ejemplo siguiente usa una fórmula cuadrática para modelar la caída de una pelota. EJEMPLO 4 Desde la plataforma superior de observación de la torre CN, a 450 m sobre el TABLA 2 nivel, se deja caer una pelota y en la tabla 2 se registra su altura h del suelo sobre el nivel a intervalos de un segundo. Encuentre un modelo que coincida con la información y úselo Tiempo Altura para predecir el tiempo en que la pelota toca el suelo. (segundos) (metros) SOLUCIÓN En la figura 9 se traza una gráfica de dispersión de la información y se observa 0 450 1 445 que no es adecuada una gráfica lineal. Pero parece ser que quizás los puntos de informa- 2 431 ción se encuentren sobre una parábola, de este modo se hace la prueba con un modelo 3 408 cuadrático. Al utilizar una calculadora graficadora o una computadora provista de siste- 4 375 ma algebraico (que utiliza el método de mínimos cuadrados), se obtiene el modelo cua- 5 332 drático siguiente: 6 279 7 216 3 h  449.36  0.96t  4.90t 2 8 143 9 61 h h (metros) 400 400 200 200 0 2 4 6 8 t 0 2 4 6 8 t (segundos) FIGURA 9 FIGURA 10 Diagrama de dispersión para una pelota que cae Modelo cuadrático para una pelota que cae En la figura 10 se traza la gráfica de la ecuación 3 con los puntos de información y se observa que el modelo cuadrático da una coincidencia adecuada. La pelota toca el suelo cuando h  0, de modo que se resuelve la ecuación cuadrática 4.90t 2  0.96t  449.36  0 La fórmula cuadrática da 0.96 s0.962  44.90449.36 t 24.90 La raíz positiva es t 9.67, por lo tanto se pronostica que la pelota tocará el suelo después de casi de 9.7 segundos.  FUNCIONES DE POTENCIA Una función de la forma f x  x a, donde a es constante se llama función potencia. Con- sidere varios casos. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 30 30 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS (i) a  n, donde n es un entero positivo La figura 11 ilustra las gráficas de f x  x n para n  1, 2, 3, 4 y 5. (Éstos son poli- nomios con un solo término.) Ya conoce la forma de las gráficas de y  x (una línea a través del origen con pendiente 1) y y  x 2 [una parábola, véase el ejemplo 2(b) en la sección 1.1]. y=≈ y=x # y=x$ y=x% y y y y y y=x 1 1 1 1 1 0 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x 1 FIGURA 11 Gráficas de f(x) = xn para n = 1, 2, 3, 4, 5 La forma general de la gráfica de f x  x n depende de si n es par o impar. Si n es par, entonces f x  x n es una función par y su gráfica es semejante a la de la parábola y  x 2. Si n es impar, entonces f x  x n es una función impar y su gráfica es similar a la de y  x 3. Sin embargo, observe en la figura 12 que conforme aumenta n, la gráfica se hace   más plana cerca de 0 y más pronunciada cuando x  1. (Si x es pequeña entonces x2 es más pequeña, x3 aún más pequeña, x4 es más pequeña y así sucesivamente.) y y y=x$ (1, 1) y=x^ y=x# y=≈ y=x% (_1, 1) (1, 1) 0 x 0 x (_1, _1) FIGURA 12 Familias de funciones de potencia (ii) a  1n, donde n es un entero positivo La función f x  x 1n  sn x es una función raíz. Para n  2 es la función raíz cuadrada f x  sx, cuyo dominio es 0,  y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola x  y 2. [Véase la figura 13(a).] Para otros valores pares de n, la gráfica de y  s n x es simi- lar a la de y  sx. Para n  3 tenemos la función raíz cúbica f x  sx cuyo dominio 3 es  (recuerde que todo número real tiene una raíz cúbica) y cuya gráfica se ilustra en la figura 13(b). La gráfica de y  s n x para n impar n  3 es similar a la de y  s 3 x. y y (1, 1) (1, 1) 0 x 0 x FIGURA 13 Gráficas de funciones raíz (a) ƒ=œ„ x (b) ƒ=Œ„ x CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 31 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 31 y (iii) a  1 y=Δ En la figura 14 se presenta la gráfica de la función recíproca f x  x 1  1x. Su grá- fica tiene la ecuación y  1x, o xy  1 y es una hipérbola con sus ejes de coordenadas 1 como sus asíntotas. Esta función surge en la física y en la química en conexión con la 0 x ley de Boyle, la cual dice que, cuando la temperatura es constante, el volumen V de un 1 gas es inversamente proporcional a la presión P: C V FIGURA 14 P La función recíproca donde C es una constante. En estos términos, la gráfica de V como una función de P (véase la figura 15) tiene la misma forma general que la mitad derecha de la figura 14. V FIGURA 15 El volumen como una función de 0 P la presión a temperatura constante En el ejercicio 26 se analiza otra situación en la que se utiliza una función potencia para modelar un fenómeno físico. FUNCIONES RACIONALES Una función racional f es una razón de dos polinomios: y Px f x  Qx 20 donde P y Q son polinomios. El dominio consiste de todos los valores de x tales que Qx  0. Un ejemplo sencillo de una función racional es la función f x  1x, cuyo 2 0 x  2 dominio es x x  0 ; esto es la función recíproca que se dibuja en la figura 14. La función 2x 4  x 2  1 f x  FIGURA 16 x2  4 2x$-≈+1 ƒ= ≈-4  es una función racional con dominio x x  2 . En la figura 16 se ilustra su gráfica. FUNCIONES ALGEBRAICAS Si una función puede construirse usando operaciones algebraicas (como suma, resta, multi- plicación y obtención de raíces) se le llama función algebraica. Cualquier función racional automáticamente es una función algebraica. A continuación dos ejemplos más: x 4  16x 2 f x  sx 2  1 tx   x  2s 3 x1 x  sx CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 32 32 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Cuando trace funciones algebraicas en el capítulo 4, verá que sus gráficas adoptan diversas formas. La figura 17 ilustra algunas de las posibilidades. y y y 2 _3 x 1 1 1 0 5 x 0 x 1 FIGURA 17 (a) ƒ=xœ„„„„ x+3 (b) ©=$œ„„„„„„ ≈-25 (c) h(x)=x@?#(x-2)@ En la teoría de la relatividad surge un ejemplo de funciones algebraicas. La masa de una partícula con velocidad v, es m0 m  f v  s1  v 2c 2 donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c  3.0  10 5 kms es la rapidez de la luz en el vacío. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS & Las páginas de referencia RP están La trigonometría y las funciones trigonométricas se repasan en la página de referencias 2 y localizadas al final del libro. también en el apéndice D. En el cálculo la convención es que siempre se utiliza la me- dida en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando se usa la función f x  sen x , se supone que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en ra- dianes es x. Por consiguiente, las gráficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 18. y y π 1 3π π 1 _ _ 2 2 _π 2 π 3π _π 0 π π 2π 5π 3π x 0 π 3π 2π 5π x _1 2 2 _1 2 2 2 (a) ƒ=sen x (b) ©=cos x FIGURA 18 Observe que tanto para la función seno como coseno el dominio es  ,  y el alcance es el intervalo cerrado 1, 1 . En estos términos, para todos los valores de x, se tiene 1 sen x 1 1 cos x 1 o, en términos de valores absolutos,  sen x  1  cos x  1 Además, los ceros de las funciones seno surgen en múltiplos enteros de p; es decir, sen x  0 donde x  np n es un número positivo CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 33 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 33 Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perió- dicas y tienen periodos 2p. Esto significa que para todas las funciones de x, senx  2   sen x cosx  2   cos x La naturaleza periódica de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos repe- titivos como por ejemplo las mareas, los resortes vibratorios y las ondas sonoras. En el caso del ejemplo 4 de la sección 1.3, verá que un modelo razonable para el número de horas de luz en Filadelfia t días después del 1 de enero está dado por la función Lt  12  2.8 sen  2 365 t  80  y La función tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuación sen x 1 tan x  cos x 3π _π π 0 π π 3π x _ _ 2 2 2 2 y su gráfica se muestra en la figura 19. Es indefinida siempre que cos x  0, es decir, cuan- do x  2, 3 2, . . . . Su intervalo es  , . Observe que la función tangente tiene periodos p: FIGURA 19 tanx    tan x para toda x y=tan x Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente. Sus gráficas se ilustran en el apén- dice D. FUNCIONES EXPONENCIALES Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f x  a x, donde la base a es una constante positiva. En la figura 20 se muestran las gráficas de y  2 x y y  0.5 x. En ambos casos el dominio es  ,  y 0,  es el intervalo. y y 1 1 0 1 x 0 1 x FIGURA 20 (a) y=2® (b) y=(0.5)® En la sección 1.5 se estudiarán las funciones exponenciales con mayores detalles y verá que resultan útiles para modelar muchos fenómenos naturales, como por ejemplo el creci- miento de la población (si a  1) y el decaimiento radiactivo (si a  1. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 34 34 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS y FUNCIONES LOGARÍTMICAS y=log™ x y=log£ x Las funciones logarítmicas f x  log a x, donde la base a es una constante positiva, 1 son las inversas de las funciones exponenciales. Las primeras se estudian en la sec- ción 1.6. En la figura 21 se muestran las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con varias bases. En cada caso el dominio es 0, , el intervalo es  , , y la función crece 0 1 x lentamente cuando x  1. y=log∞ x y=log¡¸ x FUNCIONES TRASCENDENTES Estas funciones no son algebraicas. El conjunto de funciones trascendentes incluye la trigonométrica, la trigonométrica inversa, exponencial y logarítmica, además comprende un FIGURA 21 buen número de otras funciones que nunca han recibido nombre. En el capítulo 11 se ana- lizarán las funciones trascendentes que se definen como sumas de series infinitas. EJEMPLO 5 Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos de funciones recién analizadas. (a) f x  5 x (b) tx  x 5 1x (c) hx  (d) ut  1  t  5t 4 1  sx SOLUCIÓN (a) f x  5 x es una función exponencial. (La x es el exponente.) (b) tx  x 5 es una función potencia. (La x es la base.) Podría considerar también que es un polinomio de grado 5. 1x (c) hx  es una función algebraica. 1  sx (d) ut  1  t  5t 4 es un polinomio de grado 4.  1.2 EJERCICIOS 1–2 Clasifique cada función como función potencia, función raíz, 3–4 Haga coincidir cada ecuación con su gráfica. Explique polinomio (señale su grado), función racional, función algebraica, fun- sus selecciones. (No use una computadora ni una calculadora ción trigonométrica, función exponencial o función logarítmica. graficadora.) 1. (a) f x  s 5 x (b) tx  s1  x 2 3. (a) y  x 2 (b) y  x 5 (c) y  x 8 y x2  1 g (c) hx  x 9  x 4 (d) rx  h x3  x (e) sx  tan 2x (f) t x  log10 x x6 x2 2. (a) y  (b) y  x  0 x x6 sx  1 (c) y  10 x (d) y  x 10 f (e) y  2t 6  t 4  (f) y  cos   sen  CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 35 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 35 4. (a) y  3x (b) y  3 x 12. El gerente de un bazar de fin de semana sabe con base en (c) y  x 3 (d) y  s 3 x experiencias anteriores que si cobra x dólares por la renta y de espacio en el bazar, entonces el número y de espacios F que puede rentar está dado por la ecuación y  200  4x. (a) Trace una gráfica de esta función lineal. (Recuerde que la renta que se cobra por espacio y el número de g espacios que pueden rentarse no pueden ser cantidades negativas.) f (b) ¿Qué representan la pendiente, la ordenada al origen y y la intersección x de la gráfica? x 13. La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit F y Celsius C está dada por la función lineal F  5 C  32. 9 G (a) Trace una gráfica de esta función. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? ¿Cuál 5. (a) Encuentre una ecuación para la familia de funciones linea- les con pendiente 2 y trace la gráfica de varios miembros es la intersección de F y qué representa? de la familia. 14. Jason sale de Detroit a las 2:00 P.M. y conduce con rapidez (b) Halle una ecuación para la familia de funciones lineales tal constante hacia el oeste a lo largo de la carretera I-96. Pasa por que f 2  1 y dibuje varios miembros de la familia. Ann Arbor, a 40 millas de Detroit a las 2:50 (c) ¿Qué función pertenece a ambas familias? (a) Exprese la distancia recorrida en términos del tiempo trans- 6. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de fun- currido. ciones lineales f x  1  mx  3? Trace la gráfica de varios (b) Dibuje la gráfica de la ecuación del inciso (a). miembros de la familia. (c) ¿Cuál es la pendiente de esta línea? ¿Qué representa? 7. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de fun- ciones lineales f x  c  x? Trace la gráfica de varios miem- 15. Los biólogos han notado que la cantidad de chirridos que bros de la familia. emiten los grillos de cierta especie está relacionada con la tem- peratura y la correspondencia parece ser casi lineal. Un grillo 8. Halle las expresiones para las funciones cuadráticas cuyas produce 113 chirridos por minuto a 70F y 173 chirridos por gráficas son mostradas. minuto a 80F. y y (_2, 2) (a) Encuentre una ecuación lineal que modele la tempera- f tura como una función del número de chirridos por (0, 1) minuto N. (4, 2) 0 x (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Qué representa? g (c) Si los grillos están chirreando a 150 chirridos por minuto, 0 3 x (1, _2.5) estime la temperatura. 9. Hallar una expresión para una función cúbica f si f(1)  6 y 16. El gerente de una fábrica de muebles encontró que cuesta 2 200 f(1)  f(0)  f(2)  0. dólares fabricar 100 sillas en un día y 4 800 dólares producir 10. Estudios recientes indican que la temperatura superficial de la 300 en un día. Tierra se ha estado incrementando de manera firme. Algunos (a) Exprese el costo como una función del número de sillas científicos han modelado la temperatura mediante la función que se producen, suponiendo que es lineal. Luego trace la lineal T  0.02t  8.50, donde T es la temperatura en °C y t gráfica. representa años desde 1900. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? (a) ¿Qué representa la pendiente y la intersección a T? (c) ¿Cuál es la intersección de y de la gráfica y qué (b) Utilice la ecuación para predecir la temperatura superficial representa? global al promedio al 2100. 11. Si la dosificación recomendada para un adulto de una droga es 17. En la superficie del océano la presión del agua es la misma que D (en mg), entonces, para establecer la dósis apropiada c la presión del aire por arriba del agua, 15 lbpulg2. Por debajo para un infante de edad a, el químico farmacéutico utiliza la de la superficie, la presión del agua aumenta en 4.34 lbpulg2 ecuación c  0.0417D(a  1). Considere que la dósis para un por cada 10 pies de descenso. adulto es 200 mg. (a) Exprese la presión del agua como función de la profundi- (a) Hallar la pendiente de la gráfica de c. ¿Qué representa? dad por debajo de la superficie del océano. (b) ¿Cuál es la dósis para un recién nacido? (b) ¿A qué profundidad es 100 lbpulg2 la presión? CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 36 36 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 18. El costo mensual de conducir un automóvil depende del número (b) Halle y dibuje un modelo lineal utilizando el primero y el de millas que se recorran. Lynn encontró que en el mes de ma- último puntos de información. yo recorrer 480 millas le costó 380 dólares y en junio le costó (c) Encuentre y dibuje la línea de regresión por mínimos cua- 460 dólares recorrer 800 millas. drados. (a) Exprese el costo mensual C como una función de la distan- cia recorrida d, suponiendo que la correspondencia lineal (d) Utilice el modelo lineal del inciso (c) para estimar la inci- provee un modelo adecuado. dencia de úlcera para un ingreso de 25 000 dólares. (b) Utilice el inciso (a) para predecir el costo de conducir 1 500 (e) Según el modelo, ¿qué tan probable es que alguien que perci- millas por cada mes. be un ingreso de 80 000 dólares sufra úlcera péptica? (c) Trace la gráfica de la función lineal. ¿Qué representa la (f) ¿Cree usted que sería razonable aplicar el modelo a alguien pendiente? que tiene un ingreso de 200 000 dólares? (d) ¿Qué representa la intersección de y? (e) ¿Por qué una función lineal proporciona un modelo apro- piado en esta situación? ; 22. Los biólogos han observado que la cantidad de chirridos que emiten los grillos de cierta especie parece estar relacionada con 19–20 Determine, para cada una de las gráficas de dispersión, qué la temperatura. La tabla muestra la cantidad de chirridos para tipo de función elegiría como modelo para la información. Expli- distintas temperaturas. que sus elecciones. 19. (a) (b) y y Temperatura Cantidad de chirridos Temperatura Cantidad de chirridos (°F) (chirridosminuto) (°F) (chirridosminuto) 50 20 75 140 55 46 80 173 60 79 85 198 65 91 90 211 70 113 0 x 0 x 20. (a) (b) (a) Realice una gráfica de dispersión de la información. y y (b) Encuentre y dibuje la línea de regresión. (c) Use el modelo lineal de la parte (b) para estimar la cantidad de chirridos a 100F. ; 23. La tabla proporciona las alturas ganadoras en las competen- cias de salto con garrocha de los Juegos Olímpicos durante el siglo XX. 0 x 0 x Año Altura (pies) Año Altura (pies) 1900 10.83 1956 14.96 ; 21. La tabla muestra las tasas de incidencia de úlcera péptica (a lo 1904 11.48 1960 15.42 largo de toda la vida) respecto del ingreso de diversas familias 1908 12.17 1964 16.73 (por cada 100 habitantes) según reportó el National Health 1912 12.96 1968 17.71 Interview Survey (Encuesta Nacional de Salud por medio de 1920 13.42 1972 18.04 Entrevistas) en 1989. 1924 12.96 1976 18.04 1928 13.77 1980 18.96 Incidencia de úlcera 1932 14.15 1984 18.85 Ingreso (por cada 100 habitantes) 1936 14.27 1988 19.77 $4 000 14.1 1948 14.10 1992 19.02 $6 000 13.0 1952 14.92 1996 19.42 $8 000 13.4 $12 000 12.5 (a) Dibuje una gráfica de dispersión y determine si un modelo $16 000 12.0 lineal es adecuado. $20 000 12.4 $30 000 10.5 (b) Encuentre y dibuje la línea de regresión. $45 000 9.4 (c) Utilice el modelo lineal para predecir la altura del salto con $60 000 8.2 garrocha ganador en los Juegos Olímpicos del año 2000 y compárelo con la altura ganadora real de 19.36 pies. (a) Trace una gráfica de dispersión y determine si es adecuado un (d) ¿Es razonable usar el modelo para predecir las alturas ven- modelo lineal. cedoras en los Juegos Olímpicos del año 2100? CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 37 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 37 ; 24. Un estudio que realizó la U.S. Office of Science and Technology ; 26. La tabla muestra las distancias medias (promedio) d de los pla- (Oficina de Ciencia y Tecnología de Estados Unidos) en 1972 netas al Sol (suponiendo que la unidad de medida es la distan- estimó el costo (en dólares de 1972) de reducir el costo de las cia de la Tierra al Sol) y sus periodos T (tiempo de revolución emisiones de vehículos automotores en ciertos porcentajes: en años). Reducción de Costo por vehículo Reducción de Costo por vehículo Planeta d T emisiones (%) (en dólares) emisiones (%) (en dólares) Mercurio 0.387 0.241 50 45 75 90 55 55 80 100 Venus 0.723 0.615 60 62 85 200 Tierra 1.000 1.000 65 70 90 375 Marte 1.523 1.881 70 80 95 600 Júpiter 5.203 11.861 Encuentre un modelo que capte la tendencia de “rendimientos Saturno 9.541 29.457 decrecientes” de esta información. Urano 19.190 84.008 Neptuno 30.086 164.784 ; 25. Utilice la información que aparece en la tabla para modelar la población del mundo en el siglo XX por medio de una función cú- bica. Utilice enseguida su modelo para estimar la población en el (a) Haga que un modelo de potencias coincida con la año 1925. información. Población Población (b) La tercera ley de Kepler del movimiento planetario esta- Años (millones) Años (millones) blece que 1900 1 650 1960 3 040 “El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es 1910 1 750 1970 3 710 proporcional al cubo de su distancia media 1920 1 860 1980 4 450 respecto del Sol.” 1930 2 070 1990 5 280 1940 2 300 2000 6 080 1950 2 560 ¿El modelo que formuló corrobora la tercera ley de Kepler? 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS Esta sección inicia con las funciones básicas analizadas en la sección 1.2 para obtener funciones nuevas mediante el desplazamiento, el alargamiento y la reflexión de sus gráfi- cas. También es mostrará cómo combinar pares de funciones por medio de operaciones aritméticas estándar o por composición. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES Al aplicar ciertas transformaciones a la gráfica de una función dada, puede obtener las gráfi- cas de ciertas funciones relacionadas. Esto le proporcionará la habilidad para trazar a ma- no las gráficas de muchas funciones. Además le permitirá escribir ecuaciones para gráficas conocidas. En primer lugar, se considera las traslaciones. Si c es un número positivo, enton- ces la gráfica de y  f x  c es precisamente la de y  f x desplazada hacia arriba una distancia de c unidades (ya que a cada coordenada y se incrementa el mismo número c). Del mismo modo, si tx  f x  c, donde c  0, entonces el valor de t en x es el mismo que el valor de f en x  c (c unidades a la izquierda de x). En consecuencia, la gráfica de y  f x  c es precisamente la de y  f x desplazada c unidades a la derecha (véase la figura 1). DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES Suponga que c  0. Para obtener la gráfica de y  fx  c, se desplaza la gráfica de y  fx una distancia de c unidades hacia arriba y  fx  c, se desplaza la gráfica de y  fx una distancia de c unidades hacia abajo y  fx  c, se desplaza la gráfica de y  fx una distancia de c unidades hacia la derecha y  fx  c, se desplaza la gráfica de y  fx una distancia de c unidades hacia la izquierda CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 38 38 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS y y y=ƒ+c y=cƒ (c>1) c y=f(_x) y=f(x+c) y =ƒ y=f(x-c) y=ƒ c c y= 1c ƒ 0 c x 0 x y=ƒ-c y=_ƒ FIGURA 1 FIGURA 2 Traslación de la gráfica de f Alargamiento y reflexión de la gráfica de f Considere ahora las transformaciones de alargamiento y reflexión. Si c  1, entonces la gráfica de y  cf x es la de y  f x alargada en el factor c en la dirección vertical (porque cada coordenada y se multiplica por el mismo número c) La gráfica de y  f x es la de y  f x reflejada respecto al eje x, porque el punto x, y reemplaza al punto x, y. (Véase la figura 2 y la tabla a continuación, donde también se dan los resultados de otras trans- formaciones de alargamiento, compresión y reflexión.) ALARGAMIENTOS Y REFLEXIONES VERTICALES Y HORIZONTALES Suponga que c  1. Para obtener la gráfica de y  cf x, alárguese la gráfica de y  f x verticalmente en un factor de c y  1cf x, comprímase la gráfica de y  f x verticalmernte en un factor de c y  f cx, comprímase la gráfica de y  f x horizontalmente en un factor de c y  f xc, alárguese la gráfica de y  f x horizontalmente en un factor de c y  f x, refléjese la gráfica de y  f x respecto al eje x y  f x, refléjese la gráfica de y  f x respecto al eje y La figura 3 ilustra estas transformaciones de alargamiento cuando se aplican a la fun- ción coseno con c  2. Por ejemplo, para obtener la gráfica de y  2 cos x multiplique la coordenada y de cada punto en la gráfica de y  cos x por 2. Esto significa que la grá- fica de y  cos x se alarga en dirección vertical por un factor de 2. y y=2 cos x y 2 y=cos x 2 y=cos  1 x 2 1 1 y=   cos x 1 2 0 x 0 x y=cos x FIGURA 3 y=cos 2x CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 39 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 39 V EJEMPLO 1 Dada la gráfica de y  x, use las transformaciones para dibujar y  sx  2, y  sx  2, y  sx, y  2sx y y  sx. SOLUCIÓN En la figura 4(a) aparece la gráfica de la función raíz cuadrada y  sx, que se obtuvo de la figura 13(a) en la sección 1.2. En las otras partes de la figura, se ha trazado y  sx  2 al desplazarla 2 unidades hacia abajo; y  sx  2 al desplazarla 2 unidades hacia la derecha; y  sx al reflejarla respecto al eje x; y  2sx al alargarla vertical- mente un factor de 2, y y  sx al reflejarla respecto al eje y. y y y y y y 1 0 1 x 0 x 0 2 x 0 x 0 x 0 x _2 (a) y=œ„x (b) y=œ„-2 x (c) y=œ„„„„ x-2 (d) y=_ œ„x (e) y=2 œ„x (f ) y=œ„„ _x  FIGURA 4 EJEMPLO 2 Dibuje la función f (x)  x 2  6x  10. SOLUCIÓN Al completar el cuadrado, escriba la ecuación de la gráfica como y  x 2  6x  10  x  32  1 Esto quiere decir que obtiene la gráfica deseada si parte de la parábola y  x 2 y la desplaza 3 unidades a la izquierda y, a continuación, 1 unidad hacia arriba (véase la figura 5). y y (_3, 1) 1 0 x _3 _1 0 x FIGURA 5 (a) y=≈ (b) y=(x+3)@+1  EJEMPLO 3 Trace las gráficas de las funciones siguientes: (a) y  sen 2x (b) y  1  sen x SOLUCIÓN (a) Obtiene la gráfica de y  sen 2x a partir de la de y  sen x, si la comprime horizon- talmente un factor de 2 (véase las figuras 6 y 7). De modo que, mientras el periodo de y  sen x es 2p, el periodo de y  sen 2x es 2p/2  p. y y y=sen x y=sen  2 x 1 1 0 π π x 0 π π π x 2 4 2 FIGURA 6 FIGURA 7 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 40 40 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS (b) Para obtener la gráfica de y  1  sen x, una vez más empiece con y  sen x. La refleja con respecto al eje x, para obtener la gráfica de y  sen x y, a continuación, desplácela 1 unidad hacia arriba para obtener y  1  sen x (véase la figura 8). y y=1-sen x 2 1 0 π π 3π 2π x  FIGURA 8 2 2 EJEMPLO 4 La figura 9 muestra gráficas del número de horas de luz diurna como funcio- nes de la época del año en diversas latitudes. Dado que la ciudad de Filadelfia está ubica- da a 40° de latitud N, encuentre una función que modele la duración de la luz diurna en la ciudad mencionada. 20 18 16 14 12 20° N Horas 10 30° N 40° N 8 50° N 6 FI GURA 9 60° N Gráfica de la duración de la 4 luz diurna del 21 de marzo al 2 21 de diciembre en diversas latitudes Fuente: Lucia C. Harrison, Daylight, Twilight, Darkness and Time 0 (New York: Silver, Burdett, 1935) página 40. Mar. Abr. May Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic. SOLUCIÓN Observe que cada curva se parece a una función seno desplazada y alargada. Al observar la curva de color azul parece que, en la latitud de Filadelfia, la luz diurna dura alrededor de 14.8 horas el 21 de junio y 9.2 horas el 21 de diciembre, de manera que la amplitud de la curva (el factor por el cual debe alargar la curva seno verticalmente) es 2 14.8  9.2  2.8. 1 ¿Por qué factor necesita alargar la curva seno horizontalmente si mide el tiempo t en días? Debido a que en un año hay 365 días, el periodo del modelo debe ser 365 días. Pero el periodo de y  sen t es 2p, por consiguiente el factor de alargamiento horizontal es c  2p/365. Se observa también que la curva inicia su ciclo el 21 de marzo, el 80o. día del año, de modo que desplace la curva 80 unidades hacia la derecha. Además, la desplaza 12 unidades hacia arriba. En consecuencia, modele la duración de la luz diurna en Filadelfia sobre el t-ésimo. día del año mediante la función Lt  12  2.8 sen  2 365 t  80   Otra transformación de cierto interés es tomar el valor absoluto de una función. Si   y  f x , entonces, según la definición de valor absoluto, y  f x cuando f x  0 y y  f x cuando f x  0. Esto dice cómo obtener la gráfica de y  f x a partir   de la gráfica de y  f x: la parte de la gráfica que se encuentra arriba del eje x sigue siendo la misma; la sección debajo del eje x se refleja respecto a este eje. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 41 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 41 y V EJEMPLO 5  Dibuje la función y  x 2  1 .  SOLUCIÓN En primer lugar, dibuje la parábola y  x 2  1 de la figura 10(a) desplazando la parábola y  x2 hacia abajo 1 unidad. La gráfica se encuentra debajo del eje x cuando 1  x  1, de modo que reflejamos esa parte de la gráfica respecto al eje x para obtener _1 0 1 x   la gráfica de y  x 2  1 de la figura 10(b)  COMBINACIONES DE FUNCIONES (a) y=≈-1 Se pueden combinar las dos funciones f y t para formar funciones nuevas f  t, f  t, ft y ft de manera semejante a la que aplica para sumar, restar, multiplicar y dividir números y reales. Se definen la suma y resta de funciones mediante  f  tx  f x  tx  f  tx  f x  tx _1 0 1 x Si el dominio de f es A y el de t es B, entonces el dominio de f  t es la intersección A  B porque tanto f x y tx estan definidas. Por ejemplo, el dominio de f x  sx es A  0,  y el dominio de tx  s2  x es B   , 2 , de esa manera, el dominio de (b) y=| ≈-1 |  f  tx  sx  s2  x es A  B  0, 2 De manera análoga, se definen el producto y el cociente mediante FIGURA 10 f t x  f x tx f t x  f x tx El dominio de ft es A  B, pero, como no se puede dividir entre 0, el dominio de ft es  x  A  B t x  0 . Por ejemplo, si f x  x2 y tx  x  1, entonces, el dominio de la función racional f gx  x2x  1 es xx  1 , o bien  ,1  1, . Existe otra manera de combinar dos funciones, para obtener una función nueva. Por ejemplo, considere que y  fu  su y u  gx  x2  1. Ya que y es una función de u y u es función de x, se sigue que y es finalmente función de x. Calculamos esto por sustitución y  f u  f(gx  f x2  1  sx2  1 x (entrada) El procedimiento se denomina composición porque la función nueva es compuesta de las dos funciones conocidas f y t. En general, conocidas dos funciones cualesquiera f y t, inicie con un número x en el g dominio de t y halle su imagen g x. Si este número g x está en el dominio de f, entonces puede calcular el valor de f gx. El resultado es una función nueva hx  fgx que se obtiene al sustituir t en f. Esto se denomina composición (o composite) de f y t y se señala © f•g mediante f  t (“ f círculo t”) f DEFINICIÓN Conocidas dos funciones f y t, la función compuesta f  t (también denominada la composición de f y t) se define mediante f  tx  fgx f { ©} (salida) FI GURA 1 1 El dispositivo f • g está constituido El dominio de f  t es el conjunto de todas las x en el dominio de t tal que g x está en del dispositivo g (primero) y el dominio de f . En otras palabras, f  tx está definida cada vez que g x y f gx estén en seguida el dispositivo f. definidas. La figura 11 exhibe cómo describir f  t en términos de dispositivos. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 42 42 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 6 Si f x  x 2 y tx  x  3, encuentre las funciones compuestas f  t y t  f. SOLUCIÓN Tiene  f  tx  f tx  f x  3  x  32 t  f x  t f x  tx 2   x 2  3  | NOTA Con base en el ejemplo 7 puede ver que, en general, f  t  t  f . Recuerde, la notación f t significa que primero se aplica la función t y luego f. En el ejemplo 6, f  t es la función que primero resta 3 y a continuación eleva al cuadrado; t  f es la función que en primer lutar eleva al cuadrado y lueto resta 3. V EJEMPLO 7 Si f x  sx y tx  s2  x, encuentre cada función y su dominio. (a) f  t (b) t  f (c) f  f (d) t  t SOLUCIÓN (a)  f  tx  f  tx  f (s2  x )  ss2  x  s 4 2x   El dominio de f  t es x 2  x  0  x x 2   , 2 . (b) t  f x  t f x  t(sx )  s2  sx Para que sx esté definida, debe tener x  0. Para que s2  sx esté definida debe Si 0 a b , entonces a 2 b 2 . tener 2  sx  0, es decir, sx 2, o bien, x 4. Por esto, tiene 0 x 4, así el dominio de t  f es el intervalo cerrado 0, 4 . (c)  f  f x  f  f x  f (sx )  ssx  s 4 x El dominio de f  f es 0, . (d)  t  tx  ttx  t(s2  x )  s2  s2  x Esta expresión se define cuando 2  x  0 y 2  s2  x  0. La primera desigualdad significa que x 2, y la segunda es equivalente a s2  x 2, o 2  x 4, o bien x  2. En estos términos 2 x 2, de esta manera el dominio de t  t es el inter- valo cerrado 2, 2 .  Es posible tomar la composición de tres o más funciones. Por ejemplo, la función com- puesta f  t  h se encuentra al aplicar primero h, a continuación t y, luego, f, como sigue:  f  t  hx  f thx EJEMPLO 8 Encuentre f  t  h si f x  xx  1, tx  x 10 y hx  x  3. SOLUCIÓN  f  t  hx  f thx  f tx  3 x  310  f x  310    x  310  1 Hasta ahora, ha usado la composición para construir funciones complicadas a partir de otras más sencillas. Pero en cálculo a menudo resulta útil descomponer una función complicada en otras más sencillas, como en el ejemplo siguiente. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 43 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 43 EJEMPLO 9 Dada Fx  cos2x  9, encuentre las funciones f, t y h tales que F  f  t  h. SOLUCIÓN Como Fx  cosx  9 2, la fórmula dada para F dice: primero sume 9, después tome el coseno del resultado y, por último, eleve al cuadrado. De modo que hx  x  9 tx  cos x f x  x 2 Entonces  f  t  hx  f thx  f tx  9  f cosx  9  cosx  9 2  Fx  1.3 EJERCICIOS (c) y  2 f x (d) y  2 f x  3 1 1. Suponga que se da la gráfica de f. Escriba las ecuaciones para las gráficas que se obtienen a partir de la gráfica de f, como se indica a continuación. y (a) Desplácela 3 unidades hacia arriba. (b) Desplácela 3 unidades hacia abajo. (c) Desplácela 3 unidades a la derecha. (d) Desplácela 3 unidades a la izquierda. 1 (e) Refléjela respecto al eje x. 0 1 x (f) Refléjela respecto al eje y. (g) Alárguela verticalmente un factor de 3. (h) Contráigala verticalmente un factor de 3. 5. Se da la gráfica de f. Úsela para trazar la gráfica de las funcio- nes siguientes. 2. Explique cómo se obtienen las gráficas siguientes a partir de la (a) y  f 2x (b) y  f ( 12 x) gráfica de y  f x. (c) y  f x (d) y  f x (a) y  5 f x (b) y  f x  5 (c) y  f x (d) y  5 f x y (e) y  f 5x (f) y  5 f x  3 1 3. Se da la gráfica de y  f x. Haga que coincida cada ecuación 0 1 x con su gráfica y mencione los motivos de sus elecciones. (a) y  f x  4 (b) y  f x  3 (c) y  13 f x (d) y  f x  4 6–7 Se da la gráfica de y  s3x  x 2 . Use transformaciones para (e) y  2 f x  6 crear una función cuya gráfica sea como la que se ilustra. y @ ! y 6 y=œ„„„„„„ 3x-≈ 1.5 f # 3 0 3 x $ 0 x y y _6 _3 3 6 6. 7. 3 _4 0 x _1 _3 _1 % _2.5 4. Se da la gráfica de f. Dibuje las gráficas de las funciones 0 2 5 x siguientes. (a) y  f x  4 (b) y  f x  4 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 44 44 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 8. (a) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y  2 sen x con la gráfica 29–30 Encuentre f  t, f  t, f t y ft y establezca sus dominios. de y  sen x? Use su respuesta y la figura 6(a) para grafi- 29. f x  x  2x , tx  3x 2  1 3 2 car y  2 sen x. (b) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y  1  sx con la gráfi- 30. f x  s3  x , tx  sx2  1 ca de y  sx ? Use su respuesta y la figura 4(a) para gra- ficar y  1  sx. 31–36 Encuentre las funciones (a) f  t, (b) t  f , (c) f  f , y 9–24 Dibuje cada función a mano, no por medio de la situación de (d) t  t y sus dominios. puntos, sino a partir de la gráfica de una de las funciones estánda- res que se dan en la sección 1.2 y, luego, aplicando las transforma- 31. f x  x 2  1 tx  2x  1 ciones apropiadas. 32. f x  1  2 , tx  x2  3x  4 9. y  x 3 10. y  1  x 2 33. f x  1  3x , tx  cos x 11. y   x  1 2 12. y  x  4x  3 2 34. f x  sx , gx  s 3 1x 13. y  1  2 cos x 14. y  4 sen 3x 1 x1 35. f x  x  , tx  1 x x2 15. y  sen x2 16. y  x4 x 36. f x  , tx  sen 2x 17. y  sx  3 18. y   x  24  3 1x 19. y  2  x 2  8x 20. y  1  s x1 1 3   37–40 Encuentre f  t  h. 2 1 21. y  22. y  tan x  x1 4 4 37. f x  x  1 , tx  2x , hx  x  1 38. f x  2x  1 , tx  x , hx  1  x     2 23. y  sen x 24. y  x 2  2 x 39. f x  sx  3 , tx  x 2 , hx  x3  2 25. La ciudad de Nueva Orleáns está ubicada a una latitud 30N. x 40. fx  tan x , g x  , hx  s 3 x Use la figura 9 para encontrar una función que modele el nú- x1 mero de horas de luz diurna en esa ciudad como función de la época del año. Para verificar la precisión de su modelo, utilice el hecho de que el 31 de marzo, en Nueva Orleáns el Sol sale a 41–46 Exprese la función en la forma f  t. las 5:51 A.M. y se pone a las 6:18 P.M. 41. Fx  x 2  110 42. Fx  sen( sx )  26. Una estrella variable es aquella cuyo brillo aumenta y disminu- ye alternadamente. Para la estrella variable más cercana Delta sx 3 x 43. Fx  44. Gx  3 Céfida, el tiempo entre periodos de brillo máximo es 5.4 días, 1  sx 3 1x el brillo promedio (o magnitud) de la estrella es 4.0 y su brillo tan t varía en una magnitud de 0.35. Halle una función que modele 45. ut  scos t 46. ut  1  tan t el brillo de Delta Céfida como una función del tiempo. 27. (a) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y  f ( x  ) con la gráfica de f ? 47–49 Exprese la función en la forma f  t  h.   (b) Dibuje y  sen x .  2 (c) Dibuje y  s x . 47. Hx  1  3 x 48. Hx  s2 8  x 28. Use la gráfica de f que se dio para dibujar y  1f x. ¿Cuáles 49. Hx  sec (sx ) 4 características de f son las más importantes para trazar la gráfi- ca de y  1f x? Explique cómo se usan. 50. Utilice la tabla para evaluar cada expresión y (a) f  t1 (b) t f 1 (c) f  f 1 (d) t t1 (e)  t  f 3 (f)  f  t6 1 x 1 2 3 4 5 6 0 1 x f x 3 1 4 2 2 5 tx 6 3 2 1 2 3 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 45 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 45 51. Use las gráficas dadas de f y t para evaluar cada expresión, o 57. La función de Heaviside H está definida por bien, explique por qué no está definida. (a) f  t2 (d)  t  f 6 (b) t f 0 (e)  t  t2 (c)  f  t0 (f)  f  f 4 Ht   0 si t  0 1 si t  0 Se usa en el estudio de los circuitos eléctricos para representar la y oleada repentina de corriente eléctrica, o de voltaje, cuando un in- terruptor se cierra instantáneamente. g f (a) Dibuje la función de Heaviside. (b) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el inte- 2 rruptor se cierra en el instante t  0 y se aplican instantá- neamente 120 volts al circuito. Escriba una fórmula para 0 2 x V(t) en términos de H(t). (c) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor se cie- rra en el instante t  5 segundos y se aplican de manera instantánea 240 volts al circuito. Escriba una fórmula para 52. Use las gráficas dadas de f y t para estimar el valor de f  tx V(t) en términos de H(t). (Note que partir de t  5 corres- para x  5, 4, 3, . . . , 5. Use estas estimaciones para tra- ponde a una traslación.) zar una gráfica aproximada de f  t. 58. La función de Heaviside que se definió en el ejercicio 57 puede utilizarse también para definir la función rampa y  ctH(t), la y cual representa un aumento gradual del voltaje o la corriente en g un circuito. 1 (a) Dibuje la función rampa y  tH(t). (b) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito si el interruptor se cierra 0 1 x en el instante t  0 y el voltaje se incrementa gradualmente hasta 120 volts durante un intervalo de 60 segundos. Escriba f una fórmula para V(t) en términos de H(t), para t 60. (c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el inte- rruptor se cierra en el instante t  7 segundos y el voltaje se incrementa gradualmente hasta 100 volts durante un 53. Se deja caer una piedra en un lago, que crea una ola circular periodo de 25 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en que viaja hacia afuera con rapidez de 60 cm/s. términos de H(t), para t 32. (a) Exprese el radio r de este círculo como función del tiempo 59. Sea f y g funciones lineales con ecuaciones fx  m1x  b1 y t (en segundos). gx  m2x  b2 . ¿También f  g es una función lineal? Si es (b) Si A es el área de este círculo como función del radio, en- así, ¿cuál es la pendiente de su gráfica? cuentre A  r e interprétela. 54. Se infla un balón esférico y el radio del mismo se incrementa 60. Si invierte x dolares al 4% de interés compuesto anual, por en una cantidad de 2 cm/s. lo tanto la cantidad A(x) de la inversios después de un año es (a) Exprese el radio r del balón como una función del tiempo t A(x)  1.04x. Hallar A  A, A  A  A, y A  A  A  A . ¿Qué (en segundos). representan estas composiciones? Encontrar una formula (b) Si V es el volumen del balón como una función del radio, para la composición de n copias de A. halle V  r e interprete 61. (a) Si tx  2x  1 y hx  4x 2  4x  7, encuentre una función f tal que f  t  h. (Piense qué operaciones tendrá 55. Un barco se mueve con una rapidez de 30 km/h paralelo al que efectuar en la formula para t para terminar por obtener borde recto de la playa. El barco está a 6 km de la playa y pasa la fórmula para h.) por un faro al medio día. (b) Si f x  3x  5 y hx  3x 2  3x  2, encuentre una (a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una función t tal que f  t  h. función de d, la distancia que el barco recorre desde el medio día; es decir, hallar f de modo que s  f(d) 62. Si f x  x  4 y hx  4x  1, encuentre una función tal (b) Exprese a d como una función de t, el tiempo transcurrido des- que t  f  h. de el medio día; es decir, hallar g de tal manera que d  g(t) 63. (a) Suponga que f y t son funciones pares. ¿Que puede decir (c) Hallar f  g ¿Qué representa esta función? sobre f  t y f t? 56. Un avión vuela con rapidez de 350 mi/h, a una altitud de una (b) ¿Que diría si f y t son impares? milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el 64. Supongo que f es par y t es impar. ¿Que puede decir sobre ft? instante t  0 (a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha 65. Suponga que t es una función par y sea h  f  t. ¿h siempre es volado como función de t. una función par? (b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar 66. Suponga que t es una función impar y sea h  f  t.¿Es h como función de d. siempre una función impar? ¿Qué pasa si f es impar? ¿Qué (c) Aplique la composición para expresar s como función de t. pasa si f es par? CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 46 46 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS En esta sección, se supondrá que tiene acceso a una calculadora graficadora o a una compu- tadora con software para trazar gráficas. Se dará cuenta de que el uso de uno de esos aparatos le da capacidad para trazar gráficas de funciones más complicadas y resolver pro- blemas más complejos de lo que sería posible de otra forma. También encontrará algunas de las dificultades que se pueden presentar con estas máquinas. Ambos dispositivos pueden dar gráficas muy exactas de las funciones. Pero, en el ca- pítulo 4, verá que sólo usando el cálculo puede estar seguro de haber descubierto todos los aspectos interesantes de una gráfica. (a, d ) y=d ( b, d ) Una calculadora graficadora o una computadora presentan una parte rectangular de la gráfica de una función en una ventana de visualización o pantalla, a los cuales se hará re- fencia simplemente como rectángulo de visualización. La pantalla predeterminada a me- x=a x=b nudo da una imagen incompleta o engañosa, de modo que es importante elegir con cuidado el rectángulo de visualización. Si elige que los valores x varíen desde un valor mínimo de Xmín  a hasta un valor máximo de Xmáx  b y que los valores y varíen desde uno míni- mo de Ymín  c hasta uno máximo de Ymáx  d, entonces la parte visible de la gráfica se (a, c ) y=c ( b, c ) encuentra en el rectángulo FIGURA 1  a, b  c, d  x, y a x b, c y d La pantalla de [a, b] por [c, d] que se muestra en la figura 1. A este espacio se le refiere como el rectángulo de visua- lización de [a, b] por [c, d]. La máquina dibuja la gráfica de una función f de modo muy semejante a como usted lo haría. Sitúa los puntos de la forma x, f x para un cierto número de valores igualmente espaciados de x entre a y b. Si un valor x no está en el dominio de f o si f x queda fuera el rectangulo de visualización, la máquina pasa al valor x siguiente. Une cada punto con el an- terior para formar una representación de la gráfica de f. EJEMPLO 1 Dibuje la gráfica de la función f x  x 2  3 en cada uno de los siguientes rectángulos de visualización. (a) 2, 2 por 2, 2 (b) 4, 4 por 4, 4 (c) 10, 10 por 5, 30 (d) 50, 50 por 100, 1000 2 SOLUCIÓN Para el inciso (a), seleccione el intervalo al establecer Xmín  2, Xmáx  2, Ymín  2 y Ymáx  2. En la figura 2(a), aparece la gráfica resultante. ¡La pantalla está en blanco! Un momento de reflexión da la explicación: observe que x 2  0 para toda x, _2 2 de modo que x 2  3  3 para toda x. Por lo tanto, el intervalo de la función f x  x 2  3 es 3, . Esto significa que la gráfica de f está por completo fuera de la pantalla 2, 2 por 2, 2 . _2 En la figura 2, también se muestran las gráficas para las pantallas de los incisos (b), (c) y (d). Observe que obtiene una imagen más completa en los incisos (c) y (d), pero en el (a) _2, 2 por _2, 2 inciso (d) no se ve con claridad que la intersección con el eje y es 3. 4 30 1000 _4 4 _10 10 _50 50 _4 _5 _100 (b) _4, 4 por _4, 4 (c) _10, 10 por _5, 30 (d) _50, 50 por _100, 1000 FIGURA 2 Gráficas de f(x) = x2 + 3  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 47 SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 47 Con base en el ejemplo 1, la elección de un rectángulo de visualización puede dar lugar a una gran diferencia en el aspecto de una gráfica. A veces es necesario cambiar a un rec- tángulo de visualización más grande para obtener una imagen más global de la gráfica. Pe- ro una pantalla demasiado grande también puede ser engañosa. En el ejemplo siguiente, el conocimiento del dominio y del intervalo de una función a veces proporciona información suficiente para seleccionar un buen rectángulo de visualización. EJEMPLO 2 Determine un rectángulo de visualización apropiada para la función f x  s8  2x 2 y úsela para trazar la gráfica de f. SOLUCIÓN La expresión para f(x) está definida cuando 8  2x 2  0 &? 2x 2 8 &? x2 4 &? x 2 &? 2 x 2 4 Debido a eso, el dominio de f es el intervalo 2, 2 . Además, 0 s8  2x 2 s8  2s2 2.83 de modo que el alcance de f es el intervalo [0, 2s2 ]. _3 3 Elija el rectángulo de visualización de modo que el intervalo x sea algo mayor que el _1 dominio y que el intervalo y sea mayor que el alcance. Si lo define en 3, 3 por 1, 4 , obtiene la gráfica que se muestra en la figura 3.  FIGURA 3 EJEMPLO 3 Dibuje la función y  x 3  150x. 5 SOLUCIÓN En este caso, el dominio es , el conjunto de todos los números reales. Eso no ayuda a seleccionar un rectángulo de visualización. Experimente. Si empieza con el rectángulo de visualización 5, 5 por 5, 5 , obtiene la gráfica de la figura 4. Al parecer está en blanco, pero en realidad es casi tan vertical que se mezcla con _5 5 el eje y. Si cambia el rectángulo de visualización a 20, 20 por 20, 20 , obtiene la imagen que se muestra en la figura 5(a). La gráfica parece consistir en rectas verticales, _5 pero sabe que no es correcto. Si mira con cuidado mientras se traza la gráfica, veá que ésta sale de la pantalla y vuelve a aparecer durante el proceso. Esto indica que FIGURA 4 necesita ver más en dirección vertical, de modo que cambie el rectángulo de visualización a 20, 20 por 500, 500 . En la figura 5(b) aparece la gráfica resultante. Todavía no revela todas las características principales de la función, de modo que pruebe con 20, 20 por 1 000, 1 000 en la figura 5(c). Ahora tiene más confianza de contar con un rectángulo de visualización apropiada. En el capítulo 4 será capaz de ver que la gráfica que se muestra en la figura 5(c) revela todas las características principales de la función. 20 500 1 000 _20 20 _20 20 _20 20 _20 _500 _1000 (a) ( b) (c) FIGURA 5 y=˛-150x  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 48 48 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS V EJEMPLO 4 Trace la gráfica de la función f(x)  sen 50 x en un rectángulo de visua- lización apropiada. SOLUCIÓN En la figura 6(a) se ilustra la gráfica de f producida por una calculadora grafica- dora usando un rectángulo de visualización 12, 12 por 1.5, 1.5 . A primera vista, la gráfica parece ser razonable. Pero si cambia el rectángulo de visualización a las que se presentan en las siguientes partes de la figura 6, la gráfica se ve muy diferente. Algo extraño está pasando. 1.5 1.5 _12 12 _10 10 & El aspecto de las gráficas de la figura 6 _1.5 _1.5 depende de la máquina que se use. Es posible que las gráficas que obtenga con su dispositivo (a) (b) graficador no se parezcan a estas figuras, pero también serán bastante inexactas. 1.5 1.5 _9 9 _6 6 FIGURA 6 Gráfica de f (x) = sen 50 x en cuatro _1.5 _1.5 rectángulos de visualización (c) (d) Para explicar las grandes diferencias en el aspecto de estas gráficas y hallar un rec- tángulo de visualización adecuado, necesita hallar el periodo de la función y  sen 50 x. 1.5 Puntos que la función y  sen x tiene el periodo 2p, y la gráfica de y  sen 50 x se comprime horizontalmente por un factor de 50, el periodo de y  sen 50 x es 2  0.126 _.25 .25 50 25 Esto sugiere que sólo debe tratar con valores pequeños de x con el fin de mostrar sólo unas cuantas oscilaciones de la gráfica. Si elige el rectángulo de visualización 0.25, _1.5 0.25 por 1.5, 1.5 , obtiene la gráfica que se muestra en la figura 7. Ahora sabe en dónde estuvo el error en la figura 6. Las oscilaciones de y  sen FIGURA 7 50 x son tan rápidas que cuando la calculadora sitúa los puntos y los une, falla en la ma- ƒ=sen 50x yor parte de los puntos máximos y mínimos y, en consecuencia, da una impresión muy engañosa de la gráfica.  Ha visto que el uso de un rectángulo de visualización inadecuado puede proporcionar una impresión engañosa de la gráfica de una función. En los ejemplos 1 y 3, resolvió el problema al cambiar a un rectángulo de visualización más grande. En el ejemplo 4, tuvo que reducirlo. En el ejemplo siguiente, verá una función para la que no existe un rectángu- lo de visualización sencilla que revele la verdadera forma de la gráfica. Trace la gráfica de la función f x  sen x  100 1 V EJEMPLO 5 cos 100x . SOLUCIÓN En la figura 8 aparece la gráfica de f producida por una calculadora graficadora con el rectángulo de visualización 6.5, 6.5 por 1.5, 1.5 . Se ve muy semejante a la gráfica de y  sen x, pero con algunas protuberancias. Si realiza un acercamiento hacia el rec- tángulo de visualización 0.1, 0.1 por 0.1, 0.1 , puede ver con mucho mayor claridad CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 49 SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 49 la forma de las protuberancias de la figura 9. La razón de este comportamiento es que el 1 segundo término, 100 cos 100x, es muy pequeño en comparación con el primero, sen x. Así, en realidad necesita dos gráficas para ver la verdadera naturaleza de esta función. 1.5 0.1 _6.5 6.5 _0.1 0.1 _1.5 _0.1  FIGURA 8 FIGURA 9 1 EJEMPLO 6 Dibuje la gráfica de la función y  . 1x SOLUCIÓN En la figura 10(a) se ilustra la gráfica producida por una calculadora graficadora con el réctangulo de visualización 9, 9 por 9, 9 . Al unir los puntos sucesivos de la gráfica, la calculadora produjo un segmento rectilíneo empinado de la parte superior a la inferior de la pantalla. Ese segmento rectilíneo en verdad no es parte de la gráfica. Note  que el dominio de la función y  1(1  x) es x x  1 . Puede eliminar la extraña recta casi vertical experimentando con un cambio de escala. Cuando cambia al rectángulo de visualización más pequeño 4.7, 4.7 por 4.7, 4.7 , en esta calculadora en particular, obtiene la gráfica mucho mejor que aparece en la figura 10(b). & Otra forma de evitar la recta extraña es 9 4.7 cambiar el modo de trazar las gráficas en la calculadora, de manera tal que los puntos no se unan. _9 9 _4.7 4.7 _9 _4.7 FIGURA 10 (a) (b) EJEMPLO 7 Trace la gráfica de la función y  s 3 x. SOLUCIÓN Algunos dispositivos graficadores despliegan la gráfica como en la figura 11, en tanto que otros producen una gráfica como la de la figura 12. Por lo que se vio en la sección 1.2 (figura 13), sabe que la gráfica de la figura 12 es la correcta; de esa manera, ¿qué sucedió en la figura 11? La explicación es que, algunas máquinas, calculan la raíz cúbica de x utilizando un logaritmo, en el cual no está definido si x es negativa, así que sólo se produce la mitad derecha de la gráfica. 2 2 _3 3 _3 3 _2 _2 FIGURA 11 FIGURA 12 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 50 50 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Usted debe experimentar con su máquina para ver cuál de estas dos gráficas se produ- ce. Si obtiene la de la figura 11, puede obtener la imagen correcta al trazar la gráfica de la función x     f x   x 13 x Note que esta función es igual a s 3 x, excepto cuando x  0.  Para comprender cómo se relaciona la expresión de una función con su gráfica, ayuda trazar la gráfica de una familia de funciones; es decir, una colección de funciones cu- yas ecuaciones están relacionadas. En el ejemplo siguiente, se trazan las gráficas de los miembros de una familia de polinomios. V EJEMPLO 8 Dibuje y  x3  cx para varios valores del número c. ¿Cómo cambia la gráfica al cambiar c? SOLUCIÓN En la figura 13 se muestran las gráficas de y  x3  cx para c  2, 1, 0, 1 y 2, para valores positivos de c, la gráfica crece de izquierda a derecha sin puntos máximos ni mínimos (picos o valles). Cuando c  0, la curva es plana en el origen. Cuando c es TEC En Visual 1.4 puede ver negativo, la gráfica tiene un punto máximo y uno mínimo. Conforme c disminuye, el una animación de la figura 13 punto máximo se vuelve más alto y el mínimo, más bajo. (a) y=˛+2x (b) y=˛+x (c) y=˛ (d) y=˛-x (e) y=˛-2x  FIGURA 13 Varios miembros de la familia de EJEMPLO 9 Encuentre la solución de la ecuación cos x  x correcta hasta dos cifras de- funciones y = x3 + cx, se grafican cimales. todas en el rectángulo de visualización [2, 2] por [2.5, 2.5] SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación cos x  x son las coordenadas x de los puntos de intersección de las curvas y  cos x y y  x. En la figura 14(a), se ve que sólo existe una solución y que se encuentra entre 0 y l. Si se hace un acercamiento al rectángulo de visualización 0, 1 por 0, 1 , en la figura 14(b) se observa que la raíz está entre 0.7 y 0.8. De modo que al acercarse más hasta el rectángulo de visualización 0.7, 0.8 por 0.7, 0.8 de la figura 14(c). Si mueve el cursor hasta el punto de intersección de las dos curvas, o por inspección y con base en que la escala x es 0.01, verá que la raíz de la ecuación es casi de 0.74. (Muchas calculadoras tienen una capacidad de intersección integrada.) 1.5 1 0.8 y=x y=cos x y=cos x y=x _5 5 y=x y=cos x 1 0.8 _1.5 0 0.7 FIGURA 14 Localización de las (a) _5, 5 por _1.5, 1.5 (b) 0, 1 por 0, 1 (c) 0.7, 0.8 por 0.7, 0.8 raíces de cos x = x escala-x=1 escala-x=0.1 escala-x=0.01  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 51 SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 51 1.4 ; EJERCICIOS 1. Mediante una calculadora graficadora o una computadora deter- 24. Use gráficas para determinar cuál de las funciones mine cuál de los rectángulos de visualización da lugar a la f(x)  x4  100x3 y t(x)  x3 termina por ser mayor. gráfica más adecuada de la función f (x)  sx3  5x2 .   25. ¿Para cuáles valores de x se cumple que sen x  x  0.1 ? (a) 5, 5 por 5, 5 (b) 0, 10 por 0, 2 26. Trace las gráficas de los polinomios P(x)  3x  5x3  2x y 5 (c) 0, 10 por 0, 10 Q(x)  3x5 en la misma pantalla, usando en primer lugar el 2. Por medio de una calculadora graficadora o una computadora rectángulo de visualización 2, 2 por 2, 2 y luego cambie determine cuál de los rectángulos de visualización origina la al 10, 10 por 10 000, 10 000 . ¿Qué observa a partir de gráfica más adecuada de la función f(x)  x4  16x2  20. estas gráficas? (a) 3, 3 por 3, 3 (b) 10, 10 por 10, 10 27. En este ejercicio se considera la familia de las funciones (c) 50, 50 por 50, 50 (d) 5, 5 por 50, 50 f x  s n x, en donde n es un entero positivo. (a) Trace las gráficas de las funciones y  sx, y  s 4 xy 3–14 Determine un rectángulo de visualización adecuado para la y  sx en la misma pantalla 1, 4 por 1, 3 . 6 función que se proporciona y úsela para dibujar la gráfica (b) Trace las gráficas de las funciones y  x, y  s 3 xy y  sx en la misma pantalla, 3, 3 por 2, 2 . (Véase 5 3. f x  5  20x  x 2 4. f x  x 3  30x 2  200x el ejemplo 7.) 5. f x  s 4 81  x 4 6. f x  s0.1x  20 (c) Trace las gráficas de las funciones y  sx, y  s 3 x, y  s 4 x 7. f x  x  225x x y y  sx en la misma pantalla 1, 3 por 1, 2 . 5 8. f x  3 x 2  100 (d) ¿A qué conclusiones puede llegar a partir de estas gráficas? 9. f x  sen21000x 10. f x  cos(0.001x) 28. En este ejercicio se considera la familia de funciones 11. f x  sen sx 12. f x  sec(20px) f(x)  1xn, en donde n es un entero positivo. (a) Trace las gráficas de las funciones y  1x y y  1x3 en la 13. y  10 sen x  sen 100x 14. y  x2  0.002 sen 50x misma pantalla usando el rectángulo de visualización 3, 3 por 3, 3 . 15. Dibuje la elipse 4x2  2y2  1, al trazar las funciones cuyas (b) Trace las gráficas de las funciones y  1x2 y y  1x4 en gráficas son las mitades superior e inferior de la elipse. la misma pantalla usando el rectángulo de visualización del inciso (a). 16. Dibuje la hipérbola y2  9x2  1 dibujando las funciones cuyas (c) Trace la gráfica de todas las funciones de los incisos (a) y gráficas son las ramas superior e inferior de la hipérbola. (b) en la misma pantalla usando el rectángulo de 17–18 ¿Los dibujos cruzan en el rectángulo de visualización que se visualización 1, 3 por 1, 3 . proporciona? Si es así, ¿cuántos puntos de intersección están ahí?. (d) ¿A qué conclusiones puede llegar a partir de estas gráficas? 29. Dibuje la función f(x)  x cx  x, para varios valores 4 17. y  3x2  6x  1 , y  0.23x  2.25 ; 1, 3 por 2.5, 1.5 de c. ¿Cómo cambia la gráfica al cambiar c? 18. y  6  4x  x2 , y  3x  18 ; 6, 2 por 5, 20 30. Trace la gráfica de la función f x  s1  cx 2 , para diferentes valores de c. Describa cómo influye en la gráfica el 19–21 Encuentre todas las soluciones de la ecuación correcta hasta valor de c variable. dos cifras decimales. 31. Trace la gráfica de la función y  x n 2 x, x  0, para 19. x 3  9x 2  4  0 20. x 3  4x  1 n  1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cómo cambia la gráfica al crecer n? 32. Las curvas con ecuaciones 21. x 2  sen x y   x sc  x 2 22. En el ejemplo 9 se vio que la ecuación cos x  x tiene una solución. se llaman curvas de nariz de bala. Dibuje algunas para (a) Use una gráfica para demostrar que la ecuación ver por qué este nombre. ¿Qué sucede al crecer c? cos x  0.3x tiene tres soluciones y encuentre sus 33. ¿Qué sucede a la gráfica de la ecuación y  cx  x a medida 2 3 2 valores correctos hasta dos cifras decimales. que c varía? (b) Encuentre un valor aproximado de m tal que la ecuación 34. En este ejercicio se examina el efecto de la función interior t cos x  mx tiene dos soluciones. sobre una función compuesta y  f(t(x)). 23. Use gráficas para determinar cuál de las funciones f(x)  10x (a) Trace la gráfica de la función y  sen( sx ), usando el rec- 2 y t(x)  x310 será mayor en algún momento (es decir, mayor tángulo de visualización 0, 400 por 1.5, 1.5 . ¿Qué di- cuando x es muy grande). ferencia existe entre esta gráfica y la de la función seno? CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 52 52 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS (b) Trace la gráfica de la función y  sen (x2) usando el 36. La primera gráfica que aparece en la figura es la de y  sen rectángulo de visualización 5, 5 por 1.5, 1.5 . ¿Qué 45x según la exhibe una calculadora graficadora TI-83. Es diferencia existe entre esta gráfica y la de la función seno? inexacta y por eso, para ayudar a explicar su aspecto en la segunda gráfica se traza la curva de nuevo en la modalidad de 35. La figura muestra las gráficas de y  sen 96x y y  sen 2x se- puntos. gún la exhibe una calculadora graficadora TI-83. 0 2π 0 2π 0 2π 0 2π y=sen 96x y=sen 2x ¿Qué dos curvas seno parece estar graficando la calculadora? La primera gráfica es inexacta. Explique por qué las dos gráfi- Demuestre que cada punto sobre la gráfica de y  sen 45x que cas parecen ser idénticas. Sugerencia: La ventana de graficación la TI-83 decide dibujar se encuentra de hecho sobre una de es- de la TI-83 tiene 95 pixeles de ancho. ¿Qué puntos específicos tas dos curvas. (La ventana de graficación de la TI-83 tiene 95 dibuja la calculadora? pixeles de ancho.) 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES La función f(x)  2x se denomina función exponencial porque la variable, x, es el expo- nente. No debe confundirse con la función potencia t(x)  x2 en la cual la variable es la base. & En el apéndice G aparece un planteamiento En general, una función exponencial es una función de la forma alterno para las funciones exponencial y logarítmica empleando cálculo integral. f x  a x donde a es una constante positiva. Cabe recordar qué significa esto. Si x  n, un entero positivo, entonces an  a  a      a n factores Si x  0, en tal caso a0  1, y si x  n, donde n es un entero positivo, entonces 1 a n  an Si x es un número racional, x  pq, donde p y q son enteros positivos y q  0, entonces p a x  a pq  sa  (sa ) q p q y Pero ¿cuál es el significado de ax si x es un número irracional? ¿Qué quiere decir, por ejemplo, 2 s3 o 5 ? Para ayudar a responder esta pregunta primero se ve la gráfica de la función y  2x, donde x es racional. La figura 1 ilustra una representación de esta gráfica. Cabe ampliar 1 el dominio de y  2x para incluir números tanto racionales como irracionales. En la gráfica de la figura 1 hay huecos que corresponden a valores irracionales de x. 0 1 x Cabe llenar los huecos definiendo f(x) 2x donde x  , de modo que f es una función que se incrementa. En particular, debido a que el número irracional s3 satisface FIGURA 1 Representación de x racional y=2® 1.7  s3  1.8 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 53 SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 53 debe tener 2 1.7  2 s3  2 1.8 y sabe qué significa 21.7 y 21.8 porque 1.7 y 1.8 son números racionales. De manera aná- loga, si usa mejores aproximaciones para s3, obtiene mejores aproximaciones para 2 s3: 1.73  s3  1.74 ? 2 1.73  2 s3  2 1.74 1.732  s3  1.733 ? 2 1.732  2 s3  2 1.733 1.7320  s3  1.7321 ? 2 1.7320  2 s3  2 1.7321 1.73205  s3  1.73206 ? 2 1.73205  2 s3  2 1.73206 . . . . . . . . . . . . & Una prueba de este hecho se proporciona en Es posible demostrar que existe exactamente un número que es mayor que todos los nú- J. Marsden y A. Weinstein, Calculus Unlimited meros (Menlo Park, CA: BenjaminCummings, 1981.) Para una versión en línea, vease 2 1.7, 2 1.73, 2 1.732, 2 1.7320, 2 1.73205, ... www.cds.caltech.edu/~marsden/ volume/cu/CU.pdf y menor que todos los números 2 1.8, 2 1.74, 2 1.733, 2 1.7321, 2 1.73206, ... y Defina 2 s3 como este número. Al utilizar el proceso de aproximación anterior puede calcular- lo correcto hasta seis cifras decimales 2 s3 3.321997 De manera análoga, puede definir 2x (o ax, si a  0) donde x es cualquier número irra- 1 cional. La figura 2 muestra cómo se llenaron todos los huecos en la figura 1 para completar la gráfica de la función f x  2 x, x  . 0 x 1 En la figura 3 se muestran las gráficas de los miembros de la familia de funciones y  ax para distintos valores de la base a. Observe que todas estas gráficas pasan por el mismo FIGURA 2 punto (0, 1) porque a0  1 para a  0. Note asimismo que a medida que aumenta la base y=2®, real a, se incrementa más rápido la función exponencial (para x  0). ® 1 ® y 4® 1 ”   ’ ”   ’ 10® 2® 2 4 1.5® & Si 0  a  1, después ax se aproxima a 0 conforme x aumenta. Si a  1, entonces ax se aproxima a 0 a medida que x disminuye a través de valores negativos. En ambos casos 1® el eje x es una asíntota horizontal. Estos aspectos se analizan en la sección 2.6. 0 1 x FIGURA 3 De la figura 3 puede verse que básicamente existen tres tipos de funciones exponenciales y  ax. Si 0  a  1, disminuye la función exponencial; si a  1, es una constante, y si a  1, se incrementa. Estos tres casos se ilustran en la figura 4. Observe que si a  1, CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 54 54 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS entonces la función exponencial y  a x tiene dominio  y rango 0, . Observe asimismo que, puesto que 1a x  1a x  a x, la gráfica de y  1a x es sólo el reflejo de y  ax con respecto al eje y. y y y (0, 1) 1 (0, 1) 0 x 0 x 0 x (a) y=a®,  0<a<1 (b) y=1® (c) y=a®,  a>1 FIGURA 4 En las propiedades siguientes se encuentra un motivo de la importancia de la función exponencial. Si x y y son números racionales, entonces a partir del álgebra elemental se conocen bien estas leyes. Es posible probar que siguen siendo verdaderas para números ar- bitrarios reales x y y. (Vease apéndice G). www.stewartcalculus.com Para revisar y LEY DE LOS EXPONENTES Si a y b son números positivos y x y y son cualquier núme- practicar las leyes de exponentes, oprima ro real, entonces en Review of Algebra ax 1. a xy  a xa y 2. a xy  3. a x  y  a xy 4. ab x  a xb x ay EJEMPLO 1 Trace la gráfica de la función y  3  2x y determine su dominio y su intervalo. & Para un repaso de reflexión y SOLUCIÓN Primero se refleja la gráfica de y  2x [que se ilustra en la figura 5(a)] con res- desplazamiento de gráficas, vea la sección 1.3. pecto al eje x para obtener la gráfica de y  2x de la figura 5(b). Luego desplace la gráfica de y  2x tres unidades hacia arriba para obtener la gráfica de y  3  2x que aparece en la figura 5(c). El dominio es  y el intervalo  , 3. y y y y=3 2 1 0 x 0 x 0 x _1 FIGURA 5 (a) y=2® (b) y=_2® (c) y=3-2®  V EJEMPLO 2 Mediante un dispositivo graficador, compare la función exponencial f(x)  2x y la función potencia t(x)  x2. ¿Cuál función aumenta más rápido cuando x es grande? SOLUCIÓN La figura 6 muestra ambas funciones trazadas en el rectángulo de visualización 2, 6 por 0, 40 . Observe que las gráficas se intersecan tres veces, pero para x  4 la CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 55 SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 55 gráfica de f(x)  2x permanece por arriba de la gráfica de t(x)  x2. La figura 7 proporciona una visión más global y denota que para valores grandes de x, la función exponencial y  2x aumenta mucho más rápido que la función potencia y  x2. & El ejemplo 2 muestra que y  2x aumenta 40 250 con mayor rapidez que y  x2. Para demostrar y=≈ y=2® y=2® qué tan rápido aumenta f (x)  2x, efectúe el experimento de pensamiento siguiente. Suponga que empieza con un trozo de papel de un milésimo de pulgada de espesor y lo dobla a la mitad 50 veces. Cada vez que dobla y=≈ el papel a la mitad, el espesor se duplica, por lo tanto el espesor del trozo resultante sería _2 6 0 8 2501000 pulgadas. ¿Qué tan grueso cree 0 usted que es? Resulta ser ¡más de 17 millones FIGURA 6 FIGURA 7  de millas! APLICACIONES DE FUNCIONES EXPONENCIALES La función exponencial se presenta muy a menudo en los modelos matemáticos de la na- turaleza y la sociedad. A continuación se indica brevemente cómo surge en la descripción de crecimiento de la población. En el capítulo 1.3 se abordarán éstas y otras aplicaciones con mayor detalle. En primer lugar, considere una población de bacterias en un medio nutriente homogé- neo. Suponga que al muestrear la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el tiempo t es p(t), donde t se mide en horas, y la población inicial es p(0)  1000, entonces se tiene p1  2p0  2  1000 p2  2p1  2 2  1000 p3  2p2  2 3  1000 A partir de este patrón parece ser que, en términos generales, pt  2 t  1000  10002 t Esta función de población es un múltiplo constante de la función exponencial y  2t, de modo que manifiesta el crecimiento rápido que observa en las figuras 2 y 7. En condiciones ideales (espacio ilimitado así como nutrición y libertad de enfermedades) este crecimiento exponencial es típico de lo que ocurre en realidad en la naturaleza. ¿Qué sucede con la población humana? La tabla 1 muestra datos respecto de la población del mundo en el siglo XX y la figura 8 ilustra la gráfica de dispersión correspondiente. TABLA 1 Población P Año (millones) 6x10' 1900 1 650 1910 1 750 1920 1 860 1930 2 070 1940 2 300 1950 2 560 1960 3 040 1970 3 710 1980 4 450 1900 1920 1940 1960 1980 2000 t 1990 5 280 2000 6 080 FIGURA 8 Gráfica de dispersión para el crecimiento de la población en el mundo CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 56 56 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS El patrón de los puntos de información que aparece en la figura 8 sugiere crecimiento ex- ponencial, por eso es conveniente usar una calculadora graficadora con capacidad de regresión exponencial para aplicar el método de mínimos cuadrados y obtener el modelo exponencial P  0.008079266  1.013731 t La figura 9 muestra la gráfica de esta función exponencial con los puntos de información originales. Observe que la curva exponencial coincide razonablemente bien con los datos. El periodo de crecimiento relativamente lento de la población se explica mediante las dos guerras mundiales y la Gran Depresión ocurrida en la década de los trienta. P 6x10' FIGURA 9 Modelo exponencial para 1900 1920 1940 1960 1980 2000 t crecimiento de la población EL NÚMERO e De todas las bases posibles para una función exponencial, existe una que es más convenien- te para los propósitos del cálculo. La elección de una base a se ve influida por la manera en que la gráfica de y  a x cruza el eje y. Las figuras 10 y 11 muestran las líneas tangentes a las gráficas de y  2 x y y  3 x en el punto 0, 1. (Las líneas tangentes se definirán con pre- cisión en la sección 2.7. Para los propósitos actuales, puede imaginarse la línea tangente a una gráfica exponencial en un punto como la recta que toca la gráfica sólo en ese punto.) Si mide las pendientes de estas rectas tangentes en 0, 1, encontrará que m 0.7 para y  2 x y m 1.1 para y  3 x. y y y=2® y=3® mÅ1.1 mÅ0.7 1 1 0 x 0 x y y=´ FIGURA 10 FIGURA 11 m=1 Como verá en el capítulo 3, resulta que algunas de las fórmulas del cálculo se simpli- 1 ficarán en gran medida si elige la base a de manera que la pendiente de la línea tangente a y  a x en 0, 1 sea exactamente 1 (véase la figura 12). De hecho, existe tal número y es denotado por la letra e. (Esta notación la escogió el matemático suizo Leonhard Euler en 0 x 1727, probablemente porque es la primera letra de la palabra exponencial.) En vista de las figuras 10 y 11, no causa sorpresa alguna que el número e se encuentre entre 2 y 3 y la grá- fica de y  e x entre las gráficas de y  2 x y y  3 x. (Véase la figura 13.) En el capítulo FIGURA 12 3 verá que el valor de e, correcto hasta cinco lugares decimales, es La función exponencial natural cruza el eje y con una pendiente de 1 e 2.71828 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 57 SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 57 TEC Module 1.5 le permite graficar y y=3® funciones exponenciales con varias bases y con sus líneas tangentes, a fin de estimar en forma más aproximada el valor de y=2® a para el cual la tangente tiene la pendiente 1. y=e ® 1 0 x FIGURA 13 V EJEMPLO 3 Dibuje la función y  12 ex  1 y determine el dominio y el rango. SOLUCIÓN Empiece por la gráfica de y  e x de las figuras 12 y 14(a) y refleje con respecto al eje y para obtener la gráfica de y  ex en la figura 14(b). (Note que la gráfica cruza el eje y con una pendiente de 1.) Luego comprima la gráfica verticalmente por un factor de 2 para obtener la gráfica de y  12 ex en la figura 14(c). Por último, desplace la gráfica una unidad hacia abajo para obtener la gráfica deseada en la figura 14(d). El dominio es  y el rango es 1, . y y y y 1 1 1 1 0 x 0 x 0 x 0 x y=_1 (a) y=´ (b) y=e–® (c) y= 21 e–® (d) y= 21 e–®-1 FIGURA 14  ¿Qué tanto cree usted que tenga que ir hacia la derecha para que la altura de la gráfica de y  e x exceda de un millón? El ejemplo siguiente demuestra el crecimiento rápido de esta función al proporcionar una respuesta que quizás le sorprenda. EJEMPLO 4 Use un dispositivo graficador para hallar los valores de x para los cuales ex  1 000 000. SOLUCIÓN En la figura 15 aparece tanto la función y  e x como la línea horizontal y  1 000 000. Estas curvas se intersecan cuando x 13.8. Así, e x  10 6 cuando x  13.8. Tal vez le sorprenda que los valores de la función exponencial ya hayan rebasado un millón cuando x es sólo 14. 1.5x10^ y=10^ y=´ FIGURA 15 0 15  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 58 58 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 1.5 EJERCICIOS 1. (a) Escriba una ecuación que defina la función exponencial con 17–18 Encuentre la función exponencial f x  Ca x cuya gráfica base a  0. se proporciona. (b) ¿Cuál es el dominio de esta función? y (c) Si a  1, ¿cuál es el intervalo de esta función? 17. (3, 24) (d) Trace la forma general de la gráfica de la función exponen- cial para cada uno de los casos siguientes. (i) a  1 (ii) a  1 (iii) 0  a  1 (1, 6) 2. (a) ¿Cómo se define el número e? (b) )¿Cuál es un valor aproximado para e? 0 x (c) ¿Cuál es la función exponencial natural? ; 3–6 Dibuje las funciones que se proporcionan sobre una pantalla y común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 18. 3. y  2 x, y  e x, y  5 x, y  20 x 2 x x 4. y  e , x ye , y8, x y8 x x 2 5. y  3 , x y  10 x, y  ( 13 ) , y  (101 ) ”2,  9 ’ 6. y  0.9 x, y  0.6 x, y  0.3 x, y  0.1x 0 x 7–12 Realice un boceto de la gráfica de la función. No utilice calcu- ladora. Sólo use las gráficas de las figuras 3 y 12 y, si es necesario, las 19. Si f x  5 x, demuestre que transformaciones de la sección 1.3. 7. y  4x  3 x 8. y  4x  3 f (x  h)  f (x) h   5x 5h  1 h  9. y  2 10. y  1  2e x x1 12. y  21  e x  20. Suponga que le ofrecen un trabajo que dura un mes. ¿Cuál de 11. y  1  2 e los métodos de pago siguientes prefiere? I. Un millón al mes. II. Un centavo el primer día del mes. Dos centavos el segundo 13. Comenzando por la gráfica de y  e , escriba la ecuación de la x día, cuatro centavos el tercero y, en general, 2n1 centavos gráfica que resulta de el n-ésimo día. (a) desplazarse 2 unidades hacia abajo (b) desplazarse 2 unidades hacia la derecha 21. Suponga que las gráficas de f x  x 2 y tx  2 x se dibujan (c) reflejar respecto al eje x sobre una plantilla de coordenadas donde la unidad de medi- (d) reflejar respecto al eje y ción es 1 pulgada. Demuestre que, a una distancia de 2 pies a la derecha del origen, la altura de la gráfica de f es 48 pies pero (e) reflejar respecto al eje x y a continuación al eje y la altura de la gráfica es alrededor de 265 mi. 14. Empezando por la gráfica de y  e x, encuentre la ecuación de ; 22. Compare las funciones f x  x y tx  5 al trazar ambas 5 x la gráfica resultante de en varios rectángulos de visualización. Encuentre todos los (a) reflejar respecto a la recta y  4 puntos de intersección de las gráficas corregidos a un solo lugar (b) reflejar respecto a la línea x  2 decimal. ¿Qué función crece más rápidamente cuando x es grande? 15–16 Encuentre el dominio de cada función. ; 23. Compare las funciones f x  x y tx  e trazando tanto f 10 x 1 1 como t en varios rectángulos de visualización. ¿Cuándo rebasa 15. (a) f x  (b) f x  1  ex 1  ex finalmente la gráfica de t la gráfica de f? 16. (a) tt  senet  (b) tt  s1  2 t ; 24. Utilice una gráfica para estimar los valores de x tales que ex  1 000 000 000. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 59 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 59 25. Se sabe que en condiciones ideales cierta población de la población de Estados Unidos desde 1900. Use el modelo bacterias se duplica cada tres horas. Suponga que al principio para estimar la población en el año 1925 y predecirla en el hay 100 bacterias. 2010 y el 2020. (a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas? (b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas? Año Población Año Población (c) Estime el tamaño de la población después de 20 horas. 1900 76 1960 179 ; (d) Dibuje la función de población y estime el tiempo que se 1910 92 1970 203 requiere para que la población llegue a 50 000. 1920 106 1980 227 26. Un cultivo de bacterias inicia con 500 baterias y duplica su 1930 123 1990 250 tamaño cada media hora.. 1940 131 2000 281 (a) ¿Cuántas bacterias existen después de 3 horas? 1950 150 (b) ¿Cuántas bacterias existen después de t horas? (c) ¿Cuantas baterias existen después de 40 minutos? ; 29. Si gráfica la función ; (d) Grafique la función población y estime el tiempo para que 1  e1/x la población alcance 100 000. f x  1  e1/x ; 27. Use una calculadora graficadora con capacidad de regresión ex- ponencial para modelar la población del mundo con la informa- verá que f parece una función impar. Demuéstrelo ción de 1950 a 2000 que aparecen en la tabla 1 en la página 55. ; 30. Dibuje diferentes grupos de la familia de funciones Recurra al modelo para estimar la población en el año 1993 y predecirla en el año 2010. 1 f x  1  aebx ; 28. La tabla siguiente presenta la población de Estados Unidos, en millones, para los años 1900 a 2000. Use una calculadora gra- donde a  0. ¿Cómo cambia la gráfica cuando b cambia? ficadora con capacidad de regresión exponencial para modelar ¿Cómo cambia cuando a cambia? 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS La tabla 1 proporciona información de un experimento en el cual un cultivo de bacte- rias se inició con 100 bacterias en un medio nutriente limitado; el tamaño de la población de bacterias se registró a intervalos de horas. El número de bacterias N es una función del tiempo t: N  f t. Sin embargo, suponga que la bióloga modifica su punto de vista y se interesa en el tiem- po que se requiere para que la población alcance diversos niveles. En otras palabras, ella considera a t como una función de N. A esta función se le llama función inversa de f, denotada por f 1, y se lee “f inversa”. De esta manera, t  f 1N es el tiempo que se re- quiere para que el nivel de la población llegue a N. Los valores de f 1 pueden encontrarse leyendo la tabla 1 de derecha a izquierda o bien consultando la tabla 2. Por ejemplo, f 1550  6 porque f 6  550. TABLA 1 N como una función de t TABLA 2 t como función de N t N  f t t  f 1N (horas)  población en el tiempo t N  tiempo para llegar a N bacterias 0 100 100 0 1 168 168 1 2 259 259 2 3 358 358 3 4 445 445 4 5 509 509 5 6 550 550 6 7 573 573 7 8 586 586 8 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 60 60 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS No todas las funciones poseen inversas. Compare las funciones f y t cuyos diagramas de flechas se muestran en la figura 1. Observe que f nunca adopta el mismo valor dos veces (dos entradas cualesquiera en A tienen salidas diferentes), en tanto que t adopta el mismo valor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma salida, 4). En símbolos, t2  t3 pero f x 1   f x 2  siempre que x 1  x 2 Las funciones que comparten esta función con f se llaman funciones uno a uno. 4 10 4 10 3 7 3 4 2 4 2 1 2 1 2 FIGURA 1 f g f es uno a uno; g no lo es A B A B & En el lenguaje de entradas y salidas, 1 DEFINICIÓN A una función f se le llama función uno a uno si nunca toma el esta definición dice que f está uno a uno si mismo valor dos veces; es decir, cada salida corresponde a sólo una entrada. f x 1   f x 2  siempre que x 1  x 2 Si una línea horizontal interseca la gráfica de f en más de un punto, como es el caso de la figura 2 existen números x1 y x2 tales que f x 1   f x 2 . Esto significa que f no está uno a uno. Debido a eso tenemos el método geométrico siguiente para determinar si una función es uno a uno. y y=ƒ fl ‡ FIGURA 2 Esta función no es uno a uno 0 ⁄ ¤ x porque f(⁄)=f(¤) PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL Una función es uno a uno si y sólo si, ninguna línea horizontal interseca su gráfica más de una vez. y y=˛ V EJEMPLO 1 ¿La función f x  x 3 es uno a uno? 0 x SOLUCIÓN 1 Si x 1  x 2 , entonces x 13  x 23 (dos números distintos no pueden tener el mis- mo cubo). Por lo tanto, por la definición 1, f x  x 3 es uno a uno. SOLUCIÓN 2 En la figura 3 ve que ninguna línea horizontal interseca la gráfica de f x  x 3 FIGURA 3 más de una vez. Por consiguiente, mediante la prueba de la línea horizontal, f es uno ƒ=˛ es uno a uno a uno.  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 61 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 61 y y=≈ V EJEMPLO 2 ¿La función tx  x 2 es uno a uno? SOLUCIÓN 1 Esta función no es uno a uno porque, por ejemplo, t1  1  t1 0 x y de este modo 1 y 1 tienen la misma salida. FIGURA 4 SOLUCIÓN 2 En la figura 4 existen líneas horizontales que intersecan la gráfica de t más ©=≈ no es uno a uno de una vez. Por consiguiente, mediante la prueba de la línea horizontal, t no es uno a uno  Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente las funciones que poseen funciones inversas según la siguiente definición 2 DEFINICIÓN Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f 1 tiene dominio B y rango A y se define mediante f 1y  x &? f x  y para cualquier y en B. x Esta definición dice que si f mapea x en y, después f 1 mapea y de regreso hacia x. A (Si f no fuera uno a uno, entonces f 1 no estaría definida en forma única.) El diagrama f f –! de flechas de la figura 5 indica que f 1 invierte el efecto de f. Observe que B y dominio de f1  rango de f FIGURA 5 rango f 1  dominio de f Por ejemplo, la función inversa de f x  x 3 es f 1x  x 13 porque si y  x 3, en tal caso f 1y  f 1x 3   x 3 13  x | PRECAUCIÓN No confundir el 1 en f 1 con un exponente. Así 1 f 1x no significa f x El recíproco 1f x podría, no obstante, escribirse como f x 1. V EJEMPLO 3 Si f 1  5, f 3  7 y f 8  10, encuentre f 17, f 15 y 1 f 10. SOLUCIÓN De la definición de f 1 f 17  3 porque f 3  7 f 15  1 porque f 1  5 f 110  8 porque f 8  10 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 62 62 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS El diagrama que aparece en la figura 6 pone en evidencia la manera en que f 1 in- vierte el efecto de f en este caso. A B A B 1 5 1 5 3 7 3 7 8 _10 8 _10 FIGURA 6  La función inversa invierte f f –! las entradas y las salidas Por tradición la letra x se usa como la variable independiente, así, al concentrarse en f 1 en vez de f, por lo regular invierte las funciones que juegan x y y en la defini- ción 2 y escribia 3 f 1x  y &? f  y  x Al sustituir y en la definición 2, y sustituir x en (3), obtiene las ecuaciones de cancela- ción siguientes: 4 f 1 f x  x para toda x en A 1 f  f x  x para toda x en B La primera ecuación de cancelación dice que si empieza con x, aplica f, a continuación aplica f 1, llega de nuevo a x, donde empezamos (véase el diagrama que aparece en la figura 7). Así, f 1 deshace lo que f hace. La segunda ecuación dice que f deshace lo que f 1 hace. x f ƒ f –! x FIGURA 7 Por ejemplo, si fx  x3, entonces f 1x  x13 y de ese modo las ecuaciones de can- celación se convierten en f 1 f x  x 3 13  x f  f 1x  x 13 3  x Estas ecuaciones indican simplemente que la función cúbica y la función raíz cúbica se cancelan entre sí cuando se aplican en forma sucesiva. Vea ahora cómo calcular funciones inversas. Si tiene una función y  f x y es capaz de resolver esta ecuación para x en términos de y, entonces según la definición 2 tiene que x  f 1y. Si desea nombrar como x la variable independiente, entonces intercambie x y y y llegue a la ecuación y  f 1x. 5 CÓMO ENCONTRAR LA FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN f UNO A UNO ETAPA 1 Escriba y  f x. ETAPA 2 Resuelva la ecuación para x en términos de y (de ser posible). ETAPA 3 Para expresar f 1 como una función de x, intercambie x y y. La ecuación resultante es y  f 1x. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 63 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 63 V EJEMPLO 4 Encuentre la función inversa de f x  x 3  2. SOLUCIÓN Según (5) primero escriba y  x3  2 A continuación resuelva esta ecuación para x: x3  y  2 xs 3 y2 Por último, intercambie x y y: 1 & Observe en el ejemplo 4 cómo f invierte ys 3 x2 el efecto de f. La función f sigue la regla “eleve al Cubo, entonces sume 2”, f1 sigue En consecuencia, la función inversa es f 1x  s 3 x  2.  la regla “Reste 2, entonces obtenga la raíz cuadrada”. El principio de intercambiar x y y para hallar la función inversa da también el método para obtener la gráfica de f 1 de la gráfica de f. Puesto que f a  b si y sólo si f 1b  a, el punto (a, b) se encuentra en la gráfica de f si y sólo si el punto (b, a) está sobre la gráfica de f 1. Pero obtiene el punto (b, a) de (a, b) al reflejar respecto a la línea y  x. (Véase la figura 8.) y y (b, a) f –! (a, b) 0 0 x x y=x y=x f FIGURA 8 FIGURA 9 Por lo tanto, como lo ilustra la figura 9: y y=ƒ La gráfica de f 1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la línea y  x. y=x EJEMPLO 5 Trace las gráficas de f x  s1  x y su función inversa usando los mis- 0 mos ejes de coordenadas. (_1, 0) x (0, _1) SOLUCIÓN En primer lugar trace la curva de y  s1  x (la mitad superior de la parábo- la y 2  1  x, o bien x  y 2  1) y a continuación refleje respecto a la línea y  x y=f –!(x) para obtener la gráfica de f 1. (Véase la figura 10.) A manera de comprobación de la gráfica, observe que la expresión para f 1 es f 1x  x 2  1, x  0. De modo que FIGURA 10 la gráfica de f 1 es la mitad derecha de la parábola y  x 2  1 y a partir de la figura 10, esto parece ser razonable.  FUNCIONES LOGARÍTMICAS Si a  0 y a  1, la función exponencial f x  a x bien es creciente o decreciente y por eso mediante la prueba de la línea horizontal es uno a uno. Por lo tanto tiene una función inversa f 1, a la cual se le da el nombre de función logarítmica con base a y se denota me- diante loga. Si utiliza la formulación de una función inversa dada por (3) f 1x  y &? f y  x CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 64 64 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS se tiene 6 log a x  y &? ay  x De ese modo, si x  0, entonces log a x es el exponente al cual debe elevarse la base a para dar x. Por ejemplo, log10 0.001  3 porque 103  0.001. Las ecuaciones de cancelación (4) cuando se aplican a las funciones f x  a x y 1 f x  log a x, se convierten en 7 log aa x   x para toda x   y y=x a log a x  x para toda x  0 La función logarítmica log a tiene dominio 0,  y rango . Su gráfica es el reflejo de la gráfica de y  ax respecto a la línea y  x. y=a®,  a>1 La figura 11 muestra el caso en que a  1. (Las funciones logarítmicas más importan- tes tienen base a  1.) El hecho de que y  a x sea una función que aumenta muy rápida- 0 x mente para x  0 se refleja en el hecho de que y  log a x es una función que aumenta muy y=log a x,  a>1 lentamente para x  1. La figura 12 muestra las gráficas de y  log a x con varios valores de la base a  1. Como log a 1  0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). FIGURA 11 Las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas se derivan de las propieda- des correspondientes de las funciones exponenciales que se dieron en la sección 1.5. LEYES DE LOS LOGARITMOS Si x y y son números positivos, entonces y y=log™ x 1. log axy  log a x  log a y 1 y=log£ x 2. log a x y  log a x  log a y 0 1 x 3. log ax r   r log a x (donde r es cualquier número real) y=log∞ x y=log¡¸ x EJEMPLO 6 Use las leyes de los logaritmos para evaluar log 2 80  log 2 5. SOLUCIÓN Al usar la ley 2, tiene FIGURA 12 log 2 80  log 2 5  log 2   80 5  log 2 16  4 Porque 2 4  16.  & NOTACIÓN PARA LOGARITMOS LOGARITMOS NATURALES La mayoría de los libros de texto de cálculo y de ciencias, así como las calculadoras usan la En el capítulo 3 verá que de todas las bases a posibles para logaritmos, la elección más notación ln x para el logaritmo natural y log x conveniente es el número e, que se definió en la sección 1.5. Al logaritmo con base e se le para el “logaritmo común”, log 10 x. Sin embargo, llama logaritmo natural y tiene una notación especial en la literatura de matemáticas y científica más avanzada y en los lenguajes de computadora, la notación log x denota por lo general al lo- log e x  ln x garitmo natural. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 65 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 65 Si pone a  e y sustituye loge con “ln” en (6) y (7), entonces las propiedades de la fun- ción logaritmo natural se convierten en 8 ln x  y &? ey  x 9 lne x   x x e ln x  x x0 En particular, si establece que x  1, obtiene ln e  1 EJEMPLO 7 Encuentre x si ln x  5. SOLUCIÓN 1 De (8) observe que ln x  5 significa e5  x Por lo tanto, x  e 5. (Si trabajar con la notación “ln” le causa problemas, sustitúyala con log e . Entonces la ecuación se convierte en log e x  5; por consiguiente, mediante la definición de logaritmo, e 5  x.) SOLUCIÓN 2 Empiece con la ecuación ln x  5 y aplique la función exponencial a ambos lados de la ecuación e ln x  e 5 Pero la segunda ecuación de cancelación en (9) dice que e ln x  x. Por lo tanto, x  e 5.  EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación e 53x  10. SOLUCIÓN Tome logaritmos naturales de ambos lados de la ecuación y use (9): lne 53x   ln 10 5  3x  ln 10 3x  5  ln 10 x  13 5  ln 10 Como el logaritmo natural se encuentra en las calculadoras científicas, puede aproximar la solución a cuatro cifras decimales: x 0.8991.  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 66 66 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS V EJEMPLO 9 Exprese ln a  12 ln b como un solo logaritmo. SOLUCIÓN Usando las leyes 3 y 1 de los logaritmos ln a  12 ln b  ln a  ln b 12  ln a  ln sb  ln(asb )  La fórmula siguiente muestra que los logaritmos con cualquier base pueden expresarse en términos del logaritmo natural 10 FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE Para cualquier número positivo a (a  1), se tiene ln x log a x  ln a DEMOSTRACIÓN Sea y  logax. Entonces de (6), tiene ay  x. Al tomar los logaritmos naturales de ambos lados de esta ecuación, obtiene y ln a  ln x. Por consiguiente ln x y  ln a Las calculadoras científicas tienen una tecla para logaritmos naturales, de modo que la fórmula 10 permite usar una calculadora para obtener un logaritmo con cualquier base (como se ilustra en el ejemplo siguiente). De manera análoga, la fórmula 10 permite dibu- jar cualquier función logarítmica en una calculadora o computadora graficadora (véase ejercicios 43 y 44). EJEMPLO 10 Evalúe log8 5 con una aproximación hasta seis lugares decimales. SOLUCIÓN La fórmula 10 produce ln 5 log 8 5  0.773976  ln 8 Las gráficas de la función exponencial y  ex y su función inversa, la función loga- ritmo natural, se ilustran en la figura 13. Debido a que la curva y  ex cruza el eje y con una pendiente de 1, se deduce que la curva reflejada y  ln x cruza el eje x con una pen- y diente de 1. y=´ Al igual que todas las demás funciones logarítmicas que tienen una base mayor que 1, y=x el logaritmo natural es una función creciente que se define sobre (0, ) y el eje y es una asíntota vertical. (Esto significa que los valores de ln x se convierten en negativos muy grandes en magnitud a medida que x se aproxima a cero.) 1 y=ln x 0 EJEMPLO 11 Trace la gráfica de la función y  ln(x  2)  1. 1 x SOLUCIÓN Empiece con la gráfica de y  ln x según se proporciona en la figura 13. Al utili- zar la transformación de la sección 1.3, vaya dos unidades hacia la derecha para obtener la gráfica de y  ln(x  2) y luego desplácela una unidad hacia abajo para obtener la FIGURA 13 gráfica de y  lnx  2  1. (Véase la figura 14.) CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 67 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 67 y y y x=2 x=2 y=ln x y=ln(x-2)-1 y=ln(x-2) 0 (1, 0) x 0 2 (3, 0) x 0 2 x (3, _1) FIGURA 14  y Si bien ln x es una función creciente, crece muy despacio cuando x  1. De hecho, ln x crece más despacio que cualquier potencia positiva de x. Para ilustrar este hecho, x y=œ„ compare valores aproximados de las funciones y  ln x y y  x 12  sx en la tabla si- guiente que aparecen dibujados en las figuras 15 y 16. Podrá observar que en un principio 1 y=ln x las gráficas de y  sx y y  ln x crecen en cantidades similares, pero en algún momen- to la función raíz rebasa por mucho al logaritmo. 0 1 x x 1 2 5 10 50 100 500 1000 10 000 100 000 FIGURA 15 ln x 0 0.69 1.61 2.30 3.91 4.6 6.2 6.9 9.2 11.5 sx 1 1.41 2.24 3.16 7.07 10.0 22.4 31.6 100 316 y ln x 0 0.49 0.72 0.73 0.55 0.46 0.28 0.22 0.09 0.04 x y=œ„ sx 20 y=ln x FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Cuando tratamos de calcular las funciones trigonométricas inversas hay una pequeña difi- 0 1000 x cultad: puesto que las funciones trigonométricas no son uno a uno o biunívocas, no tienen funciones inversas. La dificultad se vence restringiendo los dominios de estas funciones de FIGURA 16 modo que se transformen en uno a uno. Observe en la figura 17 que la función seno y  sen x no es uno a uno (aplique la prueba de la línea horizontal). Pero la función f x  sen x,  2 x 2 (véase figura 18) es uno a uno. La función inversa de la función seno f(x) restringida existe y se denota me- diante sen1 o arcsen. Se llama función inversa del seno o función arco seno. y y y=sen x _ π2 _π 0 π π x 0 π x 2 2 π π FIGURA 17 FIGURA 18 y=sen x, _ 2 ¯x¯ 2 Puesto que la definición de una función inversa establece que f 1x  y &? f  y  x CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 68 68 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS tiene sen1x  y &? sen y  x y  y 2 2 1 | sen 1x  Por esto, si 1 x 1, sen1x es el número entre p2 y p2 cuyo seno es x. sen x EJEMPLO 12 Determine (a) sen1( 2) y (b) tan(arcsen 3 ). 1 1 SOLUCIÓN (a) Tenemos sen1( 12)  6 porque sen 6  12 y p6 queda entre p2 y p2. (b) Sea   arcsen 13 , de modo que sen   13. Entonces, podemos dibujar un triángulo 3 1 rectángulo con ángulo u como en la figura 19 y deducir de acuerdo con el Teorema de Pitágoras que el cateto faltante mide s9  1  2s2. Esto permite que podamos saber ¨ a partir del triángulo que 2 œ„ 2 1 FIGURA 19 tan(arcsen 13 )  tan    2s2 Las ecuaciones de cancelación para el caso de las funciones inversas se transforman en sen1sen x  x para  x 2 2 sensen1x  x para 1 x 1 El dominio de la función inversa del seno, sen1, es 1, 1 y el rango es  2, 2 , y su gráfica, que se ilustra en la figura 20, se obtiene de la función restringida del seno (fi- gura 18) por reflexión con respecto a la línea y  x. y y π 2 1 _1 0 1 x 0 π π x 2 _ π2 FI GURA 2 0 FI GURA 2 1 y=sen–! x=arcsen x y=cos x, 0¯x¯π La función inversa del coseno se trata en forma similar. La función restringida del co- seno f x  cos x, 0 x , es uno a uno (véase figura 21) y, de este modo, tiene una función inversa que se denota mediante cos1 o arccos. cos1x  y &? cos y  x y 0 y CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 69 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 69 y Las ecuaciones de cancelación son π cos 1cos x  x para 0 x π 2 coscos1x  x para 1 x 1 El dominio de la función inversa del coseno, cos1, es 1, 1 y el rango es 0, . Su _1 0 1 x gráfica se ilustra en la figura 22. La función tangente se puede hacer uno a uno si se la restringe al intervalo  2, 2. FIGURA 22 Por consiguiente, la función tangente inversa se define como la inversa de la función y=cos–! x=arccos x f x  tan x,  2  x  2. (Véase figura 23.) Se denota mediante tan1 o arctan. y tan1x  y &? tan y  x y  y 2 2 EJEMPLO 13 Simplifique la expresión costan1x. _ π2 0 π 2 x SOLUCIÓN 1 Sea y  tan1x. Entonces tan y  x y  2  y  2. Quiere determinar el cos y pero como tan y se conoce, es más fácil determinar primero sec y: sec2 y  1  tan2 y  1  x 2 FIGURA 23 π y=tan x, _ 2 <x< 2 π sec y  s1  x 2 puesto que sec y  0 para  2  y  2 1 1 De este modo costan1x  cos y   sec y s1  x 2 œ„„„„„ 1+≈ x SOLUCIÓN 2 En lugar de aplicar las identidades trigonométricas como en la solución 1, es tal vez más fácil utilizar un diagrama. Si y  tan1x, entonces tan y  x, y puede saber a y partir de la figura 24 (que ilustra el caso y  0) que 1 1 FIGURA 24 costan1x  cos y   s1  x 2 La función tangente inversa, tan1  arctan, tiene por dominio  y rango  2, 2. Sus gráficas se muestran en la figura 25. y π 2 0 x FIGURA 25 _ π2 y=tan–! x=arctan x Las líneas x  2 son asíntotas verticales de la gráfica de la tangente. Puesto que la gráfica de tan1 se obtiene reflejando la gráfica de la función tangente restringida con respecto a la línea y  x, se infiere que las líneas y  2 y y   2 son asíntotas ho- rizontales de la gráfica de tan1. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 70 70 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Las funciones trigonométricas inversas restantes no se aplican con frecuencia por lo que se resumen en seguida.   11 y  csc1x  x  1 &? csc y  x y y  0, 2   , 3 2 y   y  sec1x  x  1 &? sec y  x y y  0, 2  , 3 2 y  cot1x x   &? cot y  x y y  0,  0 π 2π x _1 No hay un acuerdo universal sobre la elección de los intervalos para y en las defini- ciones de csc1 o sec1. Por ejemplo, algunos autores usan y  0, 2   2, en FI GURA 2 6 la definición de sec1. [Usted puede comprobar con la gráfica de la función secante de la y=sec x figura 26 que funcionan tanto esta opción como la que se encuentra en (11).] 1.6 EJERCICIOS 1. (a) ¿Qué es una función uno a uno? 13. f(t) es la altura de un balón de fútbol t segundos después de la (b) ¿Cómo puede decir a partir de la gráfica de una función si patada de salida. ésta es uno a uno? 14. f(t) es su altura a la edad de t. 2. (a) Suponga que f es una función uno a uno con dominio A e intervalo B. ¿Cómo se define la función inversa f1? ¿Cuál 15. Si f es una función uno a uno tal que f 2  9, ¿cuánto es el dominio de f1? ¿Cuál es el rango de f1? es f 19? (b) Si le dan una fórmula para f, ¿cómo encuentra una 16. Sea f(x)  3  x2  tan( x2), donde 1  x  1. fórmula para f1? (a) Halle f1(3). (c) ¿Si le dan la gráfica de f, ¿cómo encuentra la gráfica de (b) Encuentre f(f1(5)). f1? 1 17. Si t(x)  3  x  e , encuentre t (4). x 3–14 Se da una función mediante una tabla, una gráfica, una fórmula o una descripción verbal. Determine si es uno a uno. 18. Se proporciona la gráfica de f. (a) ¿Por qué f es uno a uno? 3. x 1 2 3 4 5 6 (b) Defina el dominio y el rango de f1. (c) ¿Cuál es el valor de f 12. f x 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0 (d) ¿Estime el valor de f 10. 4. y x 1 2 3 4 5 6 f x 1 2 4 8 16 32 1 5. y 6. y 0 1 x x x 19. La fórmula C  9 F  32, donde F 459.67, expresa 5 la temperatura en grados Celsius C como una función de la temperatura en grados Fahrenheit F. Encuentre una fórmula 7. y 8. y para la función inversa e interprétela. ¿Cuál es el dominio de la función inversa? x x 20. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con rapi- dez v es m0 m  f v   s1 v 2c 2 donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la rapidez 9. f x  x 2  2x 10. f x  10  3x de la luz en el vacío. Encuentre la función inversa de f y expli- 11. tx  1/x 12. tx  cos x que su significado. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 71 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 71 21–26 Encuentre una fórmula para la inversa de la función. ; 41–42 Use la fórmula 10 para dibujar las funciones que se propor- cionan en una pantalla común. ¿De qué manera se relacionan estas 4x  1 21. f x  s10  3x 22. f x  gráficas? 2x  3 3 41. y  log 1.5 x , y  ln x, y  log 10 x , y  log 50 x 23. f x  e x 24. y  2 x 3  3 42. y  ln x, y  log 10 x , ye , x y  10 x ex 25. y  lnx  3 26. y  1  2e x 43. Suponga que la gráfica de y  log2x se dibuja en una plantilla de coordenadas donde la unidad de medida es una pulgada. 1 ; 27–28 Encuentre una fórmula explícita para f y úsela para dibujar ¿Cuántas millas hacia la derecha del origen hay que desplazarse f1, f y la recta y  x sobre la misma pantalla. Para verificar su antes que la altura de la curva llegue a 3 pies? trabajo, vea si las gráficas de f y f1 son reflejos respecto a la recta. ; 44. Compare las funciones f(x)  x y t(x)  ln x mediante el 0.1 27. f x  x4  1 , x  0 28. f x  2  ex dibujo de tanto f como t en varios rectángulos de visualización. ¿Cuándo termina la gráfica de f por rebasar la gráfica de t? 45–46 Haga un trazo aproximado de la gráfica de cada función. No 29–30 Utilice la gráfica que se proporciona para f para dibujar la use una calculadora. Utilice sólo las gráficas que se proporcionan en gráfica de f1. las figuras 12 y 13 y, de ser necesario, las transformaciones de la sección 1.3. 29. 30. y y 45. (a) y  log 10x  5 (b) y  ln x 1 46. (a) y  lnx (b) y  ln x  1 0 2 x 47–50 Resuelva cada ecuación para x. 0 1 x 47. (a) 2 ln x  1 (b) ex  5 48. (a) e 2x3  7  0 (b) ln5  2 x  3 31. (a) ¿Cómo se define la función logarítmica y  logax? 49. (a) 2 x5 3 (b) ln x  lnx  1  1 (b) ¿Cuál es el dominio de esta función? (c) ¿Cuál es el rango de esta función? 50. (a) lnln x  1 (b) e ax  Ce bx, donde a  b (d) Trace la forma general de la gráfica de la función y  logax si a  1. 51–52 Resuelva cada desigualdad para x. 32. (a) ¿Qué es el logaritmo natural? 51. (a) e x  10 (b) ln x  1 (b) ¿Qué es el logaritmo común? (c) Trace las gráficas de la función logaritmo natural y la fun- 52. (a) 2  ln x  9 (b) e 23x  4 ción exponencial natural con un conjunto común de ejes. 33–36 Encuentre el valor exacto de cada expresión. 53–54 Encuentre (a) el dominio de f y (b) f1 y su dominio. 1 33. (a) log5125 (b) log 3 27 53. f  x  s3  e 2x 54. f  x  ln2  ln x 34. (a) ln1e (b) log10 s10 35. (a) log26  log215  log220 CAS 55. Dibuje la función f x  sx 3  x 2  x  1 y explique por (b) log3 100  log318  log350 qué es uno a uno. A continuación use un sistema algebraico de 36. (a) e 2 ln 5 (b) lnln e  e10 computadora para encontrar una expresión explícita para f1(x). (Su CAS generará tres expresiones posibles. Explique por qué dos de ellas son irrelevantes en este contexto.) 37–39 Exprese la cantidad que se proporciona como un logaritmo único. CAS 56. (a) Si t(x)  x6  x4, x 0, utilice un sistema algebraico de computadora para encontrar una expresión para t1(x). 37. ln 5  5 ln 3 (b) Use la expresión del inciso (a) para dibujar y  t(x), 38. lna  b  lna  b  2 ln c y  x y y  t1(x) en la misma pantalla. 39. ln1  x 2   2 ln x  ln sen x 1 57. Si una población de bacterias inicia con 100 bacterias y se du- plica cada tres horas, luego el número de bacterias una vez que transcurren t horas es n  f(t)  100  2t3. (Véase el ejercicio 40. Use la fórmula 10 para evaluar cada logaritmo aproximado hasta 25 en la sección 1.5.) seis cifras decimales. (a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. (a) log12 10 (b) log 2 8.4 (b) ¿Cuándo llegará la población a 50 000? CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 72 72 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 58. Cuando se apaga el flash de una cámara, las baterías empie- 66–68 Simplifique la expresión. zan de inmediato a recargar el capacitor del flash, el cual alma- 66. tansen1x 67. sentan1x cena carga eléctrica dada por 68. cos2 tan1x ta Qt  Q 0 1  e  ; 69–70 Grafique las funciones dadas en la misma pantalla. ¿Cuál es (La capacidad máxima de carga es Q0 y t se mide en la relación entre estas gráficas? segundos.) (a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. 69. y  sen x ,  2 x 2; y  sen1x ; yx (b) ¿Cuánto tarda en cargar el capacitor hasta 90% de su capa- 70. y  tan x,  2  x  2; 1 y  tan x; yx cidad si a  2? 71. Determine el dominio y el rango de la función. 59–64 Calcule el valor exacto de cada expresión. tx  sen13x  1 59. (a) sen1(s32) (b) cos11 1 ; 72. (a) Grafique la función f x  sensen x y explique el 60. (a) tan 1s3 (b) sec1 2 aspecto de la gráfica. 61. (a) arctan 1 (b) sen 1 (1s2) (b) Grafique la función tx  sen1sen x. ¿Cuál es su expli- 1 cación sobre el aspecto de esta gráfica? 62. (a) cot s3 (b) arccos12 73. (a) Si desplaza una curva hacia la izquierda, ¿qué pasa con su 63. (a) tanarctan 10 (b) sen1sen7p3 reflejo respecto a la línea y  x? En vista de este principio 64. (a) tansec 1 4 (b) sen(2 sen ( )) 1 3 geométrico, encuentre una expresión para la inversa de 5 t(x)  f(x  c) donde f es una función uno a uno (b) Encuentre una expresión para la inversa de h(x)  f(cx), 65. Demuestre que cossen1x  s1  x 2 . donde c  0. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 73 CAPÍTULO 1 REPASO |||| 73 1 REPASO R E V I S I Ó N D E C O N C E P TO S 1. (a) ¿Qué es una función? ¿Cuál es su dominio y su rango? (b) ¿Cuál es el dominio de ft? (b) ¿Qué es la gráfica de una función? (c) ¿Cuál es el dominio de ft? (c) ¿Cómo puede usted decir si una curva dada es la gráfica de una función? 10. ¿Cómo se define la función composición f  t? ¿Cuál es su dominio? 2. Analice cuatro maneras de representar una función. Ilustre su análisis con ejemplos. 11. Suponga que la gráfica de f está dada. Escriba una ecuación para cada una de las gráficas que se obtienen de la gráfica de f 3. (a) ¿Qué es una función par? ¿Cómo puede decir si una función como se describe a continuación. es par al mirar su gráfica? (a) Desplazando 2 unidades hacia arriba (b) ¿Qué es una función impar? ¿Cómo puede decir si una fun- ción es impar al mirar su gráfica? (b) Desplazando 2 unidades hacia abajo (c) Desplazando 2 unidades hacia la derecha 4. ¿Qué es una función creciente? (d) Desplazando 2 unidades hacia la izquierda 5. ¿Qué es un modelo matemático? (e) Al reflejar respecto al eje x 6. Proporcione un ejemplo de cada tipo de función (f) Al reflejar respecto al eje y (a) Función lineal (b) Función potencia (g) Al alargar verticalmente por un factor de 2 (c) Función exponencial (d) Función cuadrática (h) Al contraer verticalmente por un factor de 2 (e) Polinomio grado 5 (f) Función racional (i) Al alargar horizontalmente por un factor de 2 7. Trace, a mano, en los mismos ejes, las gráficas de las funciones (j) Al contraer horizontalmente por un factor de 2 siguientes. 12. (a) ¿Qué es una función uno a uno? ¿Cómo puede decir si una (a) f x  x (b) tx  x 2 función es uno a uno al mirar su gráfica? (c) hx  x 3 (d) jx  x 4 (b) Si f es una función uno a uno, ¿cómo se define su función 8. Dibuje a mano un esquema aproximado de la gráfica de cada inversa f 1? ¿Cómo obtiene la gráfica de f 1 a partir de la función. gráfica de f? (a) y  sen x (b) y  tan x (c) y  e x (d) y  ln x 13. (a) ¿Cómo se define la función seno inversa f x  sen1x ? (e) y  1x (f) y x  ¿Cuáles son su dominio y su rango? (b) ¿Cómo se define la función coseno inversa f x  cos1x ? (g) y  sx (h) y  tan1 x ¿Cuáles son su dominio y su rango? 9. Suponga que f tiene dominio A y g tiene dominio B. (c) ¿Cómo se define la función tangente inversa f x  tan1x ? (a) ¿Cuál es el dominio de f  t? ¿Cuáles son su dominio y su rango? PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, expli- 8. Siempre se puede dividir entre e x. que por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición. 9. Si 0  a  b, entonces ln a  ln b. 1. Si f es una función, entonces f s  t  f s  f t. 2. Si f s  f t, luego s  t. 10. Si x  0, entonces ln x6  6 ln x. 3. Si f es una función, entonces f 3x  3 f x. 4. Si x 1  x 2 y f es una función decreciente, luego ln x x 11. Si x  0 y a  1, entonces  ln . f x 1   f x 2 . ln a a 5. Una línea vertical interseca la gráfica de una función más de 12. tan11  3p4 . una vez. 6. Si f y t son funciones, luego f  t  t  f . sen1x 13. tan1x  1 cos1x 7. Si f es uno a uno, en tal caso f 1x  . f x CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 74 74 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJERCICIOS 1. Sea f la función cuya gráfica se da. (c) y  1  2 f x (d) y  f x  2  2 (a) Estime el valor de f(2). (e) y  f x (f) y  f 1x (b) Estime los valores de x tales que f(x)  3. 10. Se da la gráfica de f. Dibuje las funciones siguientes. (c) Dé el dominio de f. (a) y  f x  8 (b) y  f x (d) Dé el rango de f. (c) y  2  f x (d) y  2 f x  1 1 (e) ¿Sobre cuál intervalo f es creciente? (f) ¿ f es uno a uno? Explique. (e) y  f 1x (f) y  f 1x  3 (g) ¿ f es par, impar o de ninguno de los dos tipos? Explique y y f 1 1 0 1 x 1 x 11–16 Use transformaciones para trazar la gráfica de la función. 11. y  sen 2x 12. y  3 ln x  2 13. y  2 1  e x  14. y  2  sx 1 2. Se da la gráfica de t. (a) Dé el valor de t(2). (b) ¿Por qué t es uno a uno? (c) Estime el valor de t1(2). 15. f x  1 x2 16. f x  x ex  1 si x  0 si x  0 (d) Estime el dominio de t1. (e) Trace la gráfica de t1. 17. Establezca si f es par, impar o ninguna de las dos cosas. (a) f x  2x 5  3x 2  2 y g (b) f x  x 3  x 7 2 (c) f x  ex (d) f x  1  sen x 1 18. Encuentre una expresión para la función cuya gráfica consta de un segmento de línea del punto (2, 2) hasta el punto (1, 0) 0 1 x junto con la mitad superior del círculo con centro en el origen y radio 1. 19. Si f (x)  ln x y t(x)  x2  9, encuentre las funciones (a) f  t, 3. Si f x  x  2x  3 , evalúe el cociente de diferencia 5 (b) t  f , (c) f  f , (d) t  t, y sus dominios. 20. Exprese la función Fx  1sx  sx como una composición f a  h  fa de tres funciones. h 4. Trace la gráfica aproximada del rendimiento de un cultivo co- 21. La expectativa de vida mejoró de manera dramática en el siglo XX. La tabla proporciona la expectativa de vida (en años) al mo función de la cantidad de fertilizante que se usó. momento del nacimiento de hombres en Estados Unidos. 5–8 Encuentre el dominio y el rango de la función Año de Expectativa Año de Expectativa 5. f x  23x  1 6. g x  s16  x4 nacimiento de vida nacimiento de vida 7. hx  lnx  6 8. Ft  3  cos 2t 1900 48.3 1960 66.6 1910 51.1 1970 67.1 9. Suponga que se da la gráfica de f. Describa cómo se pueden 1920 55.2 1980 70.0 obtener las gráficas de las funciones siguientes a partir de la 1930 57.4 1990 71.8 gráfica de f. 1940 62.5 2000 73.0 1950 65.6 (a) y  f x  8 (b) y  f x  8 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 75 CAPÍTULO 1 REPASO |||| 75 Use una gráfica de dispersión para elegir un tipo de modelo 26. Resuelva cada ecuación para x. apropiado. Utilice su modelo para predecir la duración de la (a) e x  5 (b) ln x  2 x vida de un hombre que nace en el año 2010. (c) e e  2 (d) tan1x  1 22. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le 27. La población de cierta especie en un ambiente limitado, con cuesta 9 000 dólares producir 1 000 hornos para tostar y 12 000 población inicial de 100 y que soporta una capacidad de dólares producir 1 500 hornos por semana. 1 000, es (a) Exprese el costo como una función del número de hornos para tostar que se producen, suponiendo que es lineal. En- 100 000 Pt  seguida trace la gráfica. 100  900et (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué donde t se mide en años. representa? ; (a) Dibuje esta función y estime cuánto tarda para que la po- (c) ¿Cuál es la intersección y de la gráfica y qué blación llegue a 900. representa? (b) Encuentre la inversa de esta función y explique su significa- do. 23. Si f (x)  2x  ln x, encuentre f 1(2). (c) Use la función inversa para encontrar el tiempo que se re- quiere para que la población llegue a 900. Compare con el x1 24. Encuentre la función inversa de f x  . resultado del inciso (a). 2x  1 ; 28. Dibuje las tres funciones y  x , y  a y y  loga x en la mis- a x 25. Halle el valor exacto de cada expresión. ma pantalla para dos o tres valores de a  1. Para valores gran- (a) e 2 ln 3 (b) log 10 25  log 10 4 des de x, ¿cuál de estas funciones tiene los valores más grandes (c) tan(arcsen 2 ) (d) sen(cos1( 5)) 1 4 y cuál los más pequeños? CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 76 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS No existen reglas firmes y rápidas que garanticen el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, es posible delinear algunos etapas generales del proceso de solución de problemas y dar algunos principios que pueden resultar útiles en la solución de ciertos problemas. Estas etapas y principios no son más que sentido común hecho explícito. Se han adaptado del libro How To Solve It de George Polya. 1 Comprender el problema El primer paso es leer el problema y asegurarse de entenderlo con claridad. Hágase las pre- guntas siguientes: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas? Para muchos problemas, resulta útil dibujar un diagrama e identificar las cantidades dadas y requeridas en el diagrama. A menudo, es necesario introducir una notación apropiada Al elegir los símbolos para las cantidades desconocidas, use letras como a, b, c, m, n, x y y pero, en algunos casos, ayuda usar iniciales como los símbolos significantes; por ejem- plo, V para el volumen o t para el tiempo. 2 Pensar en un plan Encuentre una relación entre la información dada y lo que desconoce que le permita calcu- lar la incógnita. Con frecuencia ayuda preguntarse: “¿Cómo puedo relacionar lo que se pro- porciona con lo desconocido?” Si no ve una relación de inmediato, las ideas siguientes pueden resultar útiles para idear un plan. Intente reconocer algo familiar Relacione la situación que se proporciona con sus conocimien- tos previos. Observe la incógnita e intente recordar un problema más familiar que tenga una incógnita semejante. Intente reconocer patrones Algunos problemas se resuelven al reconocer que se presenta alguna clase de patrón. Éste puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si reconoce re- gularidad o repetición en un problema, quizá sea capaz de conjeturar cuál es el patrón y probarlo. Use la analogía Intente pensar en un problema análogo; es decir, un problema semejante o relacionado, pero más fácil que el original. Si puede resolver un problema similar, más sencillo, en tal caso éste le podría dar los indicios que necesita para resolver el problema original, más complicado. Por ejemplo, si en un problema intervienen números muy gran- des, podría intentar primero un caso semejante con números más pequeños. O bien, si en el problema interviene geometría tridimensional, busque uno similar en geometría bidi- mensional. O también, si el problema con que empieza es general, podría intentar con un caso especial. Introduzca algo adicional A veces puede ser necesario introducir algo nuevo, algo auxiliar, para ayudar a establecer la conexión entre lo dado y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema donde un diagrama es útil, lo auxiliar podría ser una nueva línea trazada en un dia- grama. En un problema más algebraico, podría ser una nueva incógnita relacionada con la original. 76 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 77 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Establezca casos En ocasiones habrá que dividir el problema en varios casos y dar un argu- mento diferente para cada uno. Por ejemplo, con frecuencia debe aplicar esta estrategia al tratar con el valor absoluto. Resuelva hacia atrás A veces resulta útil imaginar que el problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a la información que se proporciona. Por lo tanto, es posible invertir las etapas y, de este modo, construir una solución del problema original. Es común aplicar este procedimiento al resolver ecuaciones. Por ejemplo, al resolver la ecuación 3x  5  7, suponga que x es un número que satisface 3x  5  7 y proceda hacia atrás. Sume 5 a cada miembro de la ecuación y divida cada miembro entre 3 para obtener x  4. Como cada etapa se puede invertir, ha resuelto el problema. Establezca metas parciales En un problema complejo suele convenir establecer metas interme- dias (en las cuales sólo se satisface parcialmente la situación deseada). Si alcanza la primera de estas metas intermedias, luego es posible que sea capaz de construir sobre ellas hasta al- canzar la meta final. Razonamiento indirecto En ocasiones es apropiado atacar un problema de manera indirecta. Al utilizar la demostración por contradicción para probar que P implica Q, suponga que P es verdadera y que Q es falsa e intente ver por qué esto no puede ser. De algún modo, debe usar esta información y llegar a una contradicción de lo que está seguros que es ver- dadero. Inducción matemática Al probar proposiciones que comprenden un entero positivo n, con fre- cuencia es útil aplicar el principio siguiente: PRINCIPIO DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA Sea Sn una proposición acerca del entero n. Si: 1. S1 es verdadera. 2. Sk1 es verdadera siempre que Sk es verdadera. Entonces Sn es verdadera para todos los enteros positivos n. Esto es razonable porque, como S1 es verdadera, de la condición 2 (con k  1) se infiere que S2 es verdadera. En tal caso, si se aplica la condición 2 con k  2, S3 es verdadera. Al aplicar una vez más la condición 2, esta vez con k  3, S4 es verdadera. Este procedimien- to se puede seguir indefinidamente. 3 Llevar a cabo el plan En la etapa 2 se ideó un plan. Al ponerlo en práctica debe comprobar cada etapa y escribir los detalles que prueben que cada una es correcta. 4 Mirar retrospectivamente Luego de completar la solución, es inteligente revisarla, en parte para ver si hay errores en la solución y también para ver si es posible pensar en una manera más fácil de resol- ver el problema. Otra razón para mirar hacia atrás es que lo familiarizará con el método de solución y esto puede ser útil para resolver un problema futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros pro- blemas.” Estos principios de solución de problemas se ilustran en los ejemplos siguientes. Intente resolverlos antes de mirar las soluciones. Consulte estos principios de solución de proble- mas si se atora. Puede encontrar útil referirse a esta sección de vez en cuando al resolver los ejercicios de los capítulos restantes del libro. 77 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 78 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EJEMPLO 1 Exprese la hipotenusa h de un triángulo rectángulo con un área de 25 m2 como función de su perímetro P. & Comprender el problema. SOLUCIÓN Primero clasifique la información, identificando la cantidad desconocida y los datos: Incógnita: hipotenusa h Cantidades dadas: perímetro P, área de 25 m2 & Dibujar un diagrama. Ayuda dibujar un diagrama como el de la figura 1. h b FIGURA 1 a & Relacionar lo dado con lo desconocido. Para relacionar las cantidades dadas con la incógnita, introduzca dos variables adicionales, & Introducir algo adicional. a y b, que son las longitudes de los otros dos lados del triángulo. Esto permite expresar la condición dada, que el triángulo es rectángulo, por el teorema de Pitágoras: h2  a2  b2 Las otras relaciones entre las variables se obtienen al escribir las expresiones para el área y el perímetro: 25  12 ab Pabh Como se da P, note que ahora tiene tres ecuaciones en las tres incógnitas a, b y h: 1 h2  a2  b2 2 25  12 ab 3 Pabh Aunque tiene el número correcto de ecuaciones, no son fáciles de resolver de manera directa; pero si aplica la estrategia de intentar reconocer algo familiar, en tal caso puede & Relacionar con algo familiar. resolverlas con un método más fácil. Vea el lado derecho de las ecuaciones 1, 2 y 3. ¿Le recuerdan algo familiar? Observe que contienen los ingredientes de una fórmula conocida: a  b2  a 2  2ab  b 2 Si aplica esta idea puede expresar (a  b)2 de dos maneras. De las ecuaciones 1 y 2 tiene a  b2  a 2  b 2   2ab  h 2  425 De la ecuación 3 a  b2  P  h2  P 2  2Ph  h 2 En estos términos, h 2  100  P 2  2Ph  h 2 2Ph  P 2  100 P 2  100 h 2P Es la expresión requerida para h como función de P.  78 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 79 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Como se ilustra en el siguiente ejemplo, a menudo es necesario aplicar el principio de resolución de problemas de establecer casos, al tratar con valores absolutos.  EJEMPLO 2 Resuelva la desigualdad x  3  x  2  11.   SOLUCIÓN Recuerde la definición de valor absoluto: x  x x si x  0 si x  0 Se concluye que x  3   x3 x  3 si x  3  0 si x  3  0   x3 x  3 si x  3 si x  3 De manera análoga, x  2   x2 x  2 si x  2  0 si x  2  0   x2 x  2 si x  2 si x  2 & Establecer casos. Estas expresiones hacen ver que debe considerar tres casos: x  2 2 x  3 x3 CASO I Si x  2, tiene  x  3    x  2   11 x  3  x  2  11 2x  10 x  5 CASO II Si 2 x  3, la desigualdad dada queda x  3  x  2  11 5  11 (siempre cierto) CASO III Si x  3, la desigualdad se transforma en x  3  x  2  11 2x  12 x6 Si combina los casos I, II y III, observe que la desigualdad se satisface cuando 5  x  6. De modo que la solución es el intervalo (5, 6).  79 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 80 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS En el ejemplo siguiente, primero suponga una respuesta revisando los casos especiales y reconociendo un patrón. A continuación, pruébelo mediante inducción matemática. Al aplicar el principio de inducción matemática, sigue tres etapas: ETAPA 1 Se prueba que Sn es verdadera cuando n  1. ETAPA 2 Se supone que Sn es verdadera cuando n  k y se deduce que Sn es verdadera cuando n  k  1. ETAPA 3 Se concluye, por el principio de inducción matemática, que Sn es verdadera para toda n. EJEMPLO 3 Si f0x  xx  1 y fn1  f0  fn, para n  0, 1, 2, . . ., encuentre una fórmula para fn(x). & Analogía: intente un problema SOLUCIÓN Empiece por hallar fórmulas para fn(x), para los casos especiales n  1, 2 y 3. semejante, más sencillo. f1x   f0  f0x  f0 f0x  f0  x x1 x x x1 x1 x    x 2x  1 2x  1 1 x1 x1 f2x   f0  f1 x  f0 f1x  f0  x 2x  1  x x 2x  1 2x  1 x    x 3x  1 3x  1 1 2x  1 2x  1 f3x   f0  f2 x  f0 f2x  f0  x 3x  1  & Buscar un patrón. x x 3x  1 3x  1 x    x 4x  1 4x  1 1 3x  1 3x  1 Note un patrón: en los tres casos que se calcularon, el coeficiente de x en el denomi- nador de fn(x) es n  1. De modo que conjeture que, en general, x 4 fnx  n  1x  1 Para probar esto, aplique el principio de inducción matemática. Ya ha comprobado que (4) es verdadera para n  1. Suponga que es verdadera para n  k; es decir, x fkx  k  1x  1 80 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 81 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Entonces x fk1x   f0  fk x  f0 fkx  f0 k  1x  1  x x k  1x  1 k  1x  1 x    x k  2x  1 k  2x  1 1 k  1x  1 k  1x  1 Esta expresión hace ver que (4) es verdadera para n  k  1. En consecuencia, por inducción matemática, es verdadera para todos los enteros positivos n.  PROBLEMAS 1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4 cm. Exprese la longitud de la altura perpendicular a la hipotenusa como función de longitud de esta última. 2. La altura perpendicular a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 12 cm. Exprese la lon- gitud de la hipotenusa como función del perímetro.    3. Resuelva la ecuación 2x  1  x  5  3.  4. Resuelva la desigualdad  x  1    x  3   5. 5. Trace la gráfica de la función fx   x  4x  3 . 2 6. Dibuje la gráfica de la función tx   x 2  1    x 2  4 . 7. Trace la gráfica de la ecuación x   x   y   y . 8. Dibuje la gráfica de la ecuación x 4  4 x 2  x 2 y 2  4y 2  0 . 9. Esquematice la región en el plano que consta de todos los puntos (x, y) tales que  x    y  1. 10. Dibuje la región en el plano que consta de todos los puntos (x, y) tales que x  y  x  y 2 11. Evalúe log 2 3log 3 4log 4 5    log 31 32. 12. (a) Demuestre que la función f x  ln( x  sx 2  1 ) es una función impar. (b) Encuentre la función inversa de f. 13. Resuelva la desigualdad lnx 2  2x  2 0. 14. Aplique un razonamiento indirecto para probar que log2 5 es un número irracional. 15. Una conductora emprende un viaje. A lo largo de la primera parte del trayecto conduce a un paso moderado de 30 mih; en la segunda parte conduce a 60 mih. ¿Cuál es su rapidez promedio en esta travesía? 16. ¿Es cierto que f   t  h  f  t  f  h ? 17. Compruebe que si n es un entero positivo, entonces, 7n  1 es divisible entre 6. 18. Pruebe que 1  3  5      2n  1  n2. 19. Si f0(x)  x2 y fn1x  f0 fnx para n  0, 1, 2, . . . , encuentre una fórmula para fn(x). 1 20. (a) Si f0x  y fn1  f0  fn para n  0, 1, 2, . . . , encuentre una expresión para fn(x) 2x y aplique la inducción matemática para probarla. ; (b) Trace la gráfica de f0 , f1, f2 , f3 en la misma pantalla y describa los efectos de la composi- ción repetida. 81 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 82 2 LÍMITES Y DERIVADAS La idea de un límite se ilus- tra mediante líneas secantes que se aproximan a una lí- nea tangente. En la presentación preliminar del Cálculo (página 2) se ve cómo la idea de límite sus- tenta las diversas ramas del cálculo; de ahí la importancia de empezar el estudio de éste investigando los límites y sus propiedades. El tipo especial de límites utilizados para la obtención de tangentes y velocidades conducen a la idea central del Cálculo Diferencial: la derivada. 82 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 83 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD En esta sección se analiza cómo surgen los límites cuando se intenta hallar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto. PROBLEMA DE LA TANGENTE t La palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens, la cual significa “tocar”. De este modo, una tangente a una curva es una recta que toca la curva. ¿De qué manera se puede precisar esta idea? Para una circunferencia podría seguirse la idea de Euclides y decir que una tangente es una recta que intersecta a la circunferencia una y sólo una vez como en la figura 1(a). Pa- ra curvas más complicadas, esta definición es inadecuada. En la figura 1(b), se muestran (a) dos rectas, l y t, que intersectan a la curva C en un punto P. La recta l interseca C sólo una vez, pero es evidente que no se parece a lo que consideramos una tangente. Por otra parte, la recta t parece una tangente pero intersecta a la curva C dos veces. Para ser específicos, considere el problema de intentar hallar una recta tangente t a la P parábola y  x2 en el ejemplo siguiente. t C V EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y  x2 en el punto l P1, 1. SOLUCIÓN Podremos obtener la ecuación de la recta tangente al conocer su pendiente. La (b) dificultad es que se conoce sólo un punto P, de t, en tanto que necesitamos dos puntos FIGURA 1 para calcular la pendiente. Pero puede calcular una aproximación para m si elige un punto cercano Qx, x 2  de la parábola (como en la figura 2) y calcular la pendiente mPQ de la línea secante PQ. y Elija x  1, de modo que Q  P. Entonces Q { x, ≈} t x2  1 mPQ  y=≈ P (1, 1) x1 0 x Por ejemplo, para el punto Q1.5, 2.25 2.25  1 1.25 mPQ    2.5 FIGURA 2 1.5  1 0.5 x mPQ Las tablas en el margen muestran los valores de mPQ para varios valores de x cercanos a 1. Entre más cerca está Q de P, más lo está x de 1 y, por lo que se ve en las tablas, 2 3 mPQ está más próxima a 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe 1.5 2.5 ser m  2. 1.1 2.1 Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las 1.01 2.01 rectas secantes y, simbólicamente, expresamos esto al escribir 1.001 2.001 x2  1 lím mPQ  m y lím 2 x mPQ Q lP xl1 x1 0 1 Si supone que, en efecto, la pendiente de la recta tangente es 2, use la forma punto-pen- 0.5 1.5 diente de la ecuación de una recta (véase el apéndice B) para escribir la ecuación de la recta 0.9 1.9 tangente que pasa por 1, 1 como 0.99 1.99 0.999 1.999 y  1  2x  1 o y  2x  1 83 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 84 84 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS La figura 3 ilustra el proceso de límite que se presenta en este ejemplo. Conforme Q se aproxima a P a lo largo de la parábola, las rectas secantes correspondientes rotan en torno a P y se aproximan a la recta tangente t. y y y Q t t t Q Q P P P 0 x 0 x 0 x Q se aproxima a P desde la derecha y y y t t t Q P P P Q Q 0 x 0 x 0 x Q se aproxima a P desde la izquierda FIGURA 3  TEC En Visual 2.1 puede ver cómo Muchas funciones que se encuentran en las ciencias no se describen mediante una ecua- funciona el proceso en la figura 3 para ción explícita; se definen por medio de información experimental. En el ejemplo siguiente se funciones adicionales. indica cómo estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ese tipo de funciones. V EJEMPLO 2 La unidad de destello (flash) de una cámara funciona por el almacena- t Q miento de carga en un capacitor y su liberación repentina al disparar la unidad. Los 0.00 100.00 datos que se muestran al margen describen la carga Q que resta en el capacitor (medida 0.02 81.87 en microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos después de que la unidad de 0.04 67.03 destello ha sido apagada). Use los datos para dibujar la gráfica de esta función y estime 0.06 54.88 la pendiente de la recta tangente en el punto donde t  0.04. Nota: la pendiente de la 0.08 44.93 recta tangente representa la corriente eléctrica que circula del capacitor al bulbo del 0.10 36.76 flash (medida en microamperes). SOLUCIÓN En la figura 4 está la información que se proporcionó y se usa para dibujar una curva que se aproxime a la gráfica de la función. Q (microcoulombs) o 100 90 80 A 70 P 60 50 B C FIGURA 4 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t (segundos) CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 85 SECCIÓN 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD |||| 85 A partir de los puntos P0.04, 67.03 y R0.00, 100.00 de la gráfica la pendiente de la recta secante es 100.00  67.03 mPR   824.25 0.00  0.04 En la tabla que aparece a la izquierda se muestran los resultados de cálculos similares para R mPR las pendientes de otras rectas secantes. Con base en esa tabla cabe esperar que la pendiente 0.00, 100.00 824.25 de la recta tangente en t  0.04 se encuentre en algún valor entre 742 y 607.5. De 0.02, 81.87 742.00 hecho, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes más próximas es 0.06, 54.88 607.50 742  607.5  674.75 1 0.08, 44.93 552.50 2 0.10, 36.76 504.50 Así, mediante este método estimamos la pendiente de la recta tangente como 675. Otro método es trazar una aproximación a la recta tangente en P y medir los lados del triángulo ABC como en la figura 4. Esto da una estimación de la pendiente de la recta tangente como  AB   80.4  53.6  670 & El significado físico de la respuesta del ejemplo 2 es que la corriente eléctrica que   fluye del capacitor al foco del flash después de 0.04 de segundo es de casi de –670  BC  0.06  0.02 microamperes. EL PROBLEMA DE LA VELOCIDAD Si observa el velocímetro de un automóvil al viajar en el tráfico de la ciudad, puede ver que la aguja no permanece inmóvil mucho tiempo; es decir, la velocidad del auto no es constante. Al observar el velocímetro, el vehículo tiene una velocidad definida en cada mo- mento, ¿pero cómo se define la velocidad “instantánea”? Investiguemos el ejemplo de una pelota que cae. V EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma de observación de la Torre CN en Toronto, 450 m por encima del nivel del suelo. Encuentre la velocidad de la pelota una vez que transcurren 5 segundos. SOLUCIÓN A través de experimentos que se llevaron a cabo cuatro siglos atrás, Galileo descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae libremente es propor- cional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (En este modelo de caída libre no se considera la resistencia del aire.) Si la distancia recorrida después de t segundos se denota mediante st y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa con la ecuación st  4.9t 2 La dificultad para hallar la velocidad después de 5 s es que trata con un solo ins- tante t  5, de modo que no interviene un intervalo. Sin embargo, puede tener una aproximación de la cantidad deseada calculando la velocidad promedio durante el © 2003 Brand X Pictures breve intervalo de una décima de segundo, desde t  5 hasta t  5.1: cambio en la posición velocidad promedio  tiempo transcurrido La Torre CN en Toronto es el edificio autoes- table más alto del mundo en la actualidad. s5.1  s5  0.1 4.95.12  4.952   49.49 ms 0.1 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 86 86 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS En la tabla siguiente se muestran los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante periodos sucesivamente cada vez más pequeños Intervalo de tiempo Velocidad promedio (ms) 5t6 53.9 5  t  5.1 49.49 5  t  5.05 49.245 5  t  5.01 49.049 5  t  5.001 49.0049 Parece que conforme acorta el periodo, la velocidad promedio se aproxima a 49 ms. La velocidad instantánea, cuando t  5, se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez más cortos que se inician en t  5. En estos términos, la velocidad (instantánea) después de 5 s es v  49 ms  Quizá sienta que los cálculos que se utilizan en la solución de este problema son muy se- mejantes a los que se aplicaron con anterioridad en esta sección para hallar tangentes. De hecho, existe una relación íntima entre el problema de la tangente y el de hallar velocidades. Si dibuja la gráfica de la función distancia de la pelota (como en la figura 5) y considera los puntos Pa, 4.9a2 y Qa  h, 4.9a  h2 de la gráfica, en tonces la pendiente de la recta secante PQ es 4.9a  h2  4.9a 2 mPQ  a  h  a la cual es la misma que la velocidad promedio durante el periodo a, a  h . Por lo tanto, la velocidad en el instante t  a (el límite de estas velocidades promedio a medida que h tiende a 0) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente en P (el límite de las pendientes de las rectas secantes). s s s=4.9t @ s=4.9t @ Q pendiente de la recta secante ⫽ velocidad promedio pendiente de la tangente P P ⫽ velocidad instantánea 0 a a+h t 0 a t FIGURA 5 Los ejemplos 1 y 3 hacen ver que para resolver problemas de tangentes y de veloci- dades, debe ser capaz de hallar límites. Después de estudiar los métodos para calcular lí- mites en las cinco secciones siguientes, en la sección 2.7 regresará a los problemas de hallar tangentes y velocidades. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 87 SECCIÓN 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD |||| 87 2.1 EJERCICIOS 1. Un depósito contiene 1 000 galones de agua que se drenan desde (c) Mediante la pendiente del inciso (b), halle una ecuación de la parte inferior en media hora. Los valores que aparecen en la la recta tangente a la curva en P3, 1. tabla muestran el volumen V de agua que resta en el tanque (en (d) Trace la curva, dos de las rectas secantes y la recta tangente. galones) una vez que transcurren t minutos. 5. Si se lanza una pelota en el aire con una velocidad de t (min) 5 10 15 20 25 30 40 piess, su altura en pies, después de t segundos, se V (gal) 694 444 250 111 28 0 expresa por y  40t  16t 2. (a) Encuentre la velocidad promedio para el periodo que se (a) Si P es el punto (15, 250) en la gráfica de V, encuentre las inicia cuando t  2 y dura: pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto (i) 0.5 seg (ii) 0.1 seg en la gráfica con t  5, 10, 20, 25 y 30. (iii) 0.05 seg (iv) 0.01 seg (b) Estime la pendiente de la recta tangente en P promediando (b) Estime la velocidad instantánea cuando t  2. las pendientes de dos rectas secantes. (c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de 6. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con una la recta tangente en P. (Esta pendiente representa la canti- velocidad de 10 ms, su altura en metros t segundos después dad a la que fluye el agua desde el tanque después de 15 se proporciona mediante y  10t  1.86t2. minutos.) (a) Hallar la velocidad promedio en los intervalos de tiempo 2. Se usa un monitor cardiaco para medir la frecuencia cardiaca que se proporcionan: de un paciente después de una cirugía. Éste recopila el núme- (i) 1, 2 (ii) 1, 1.5 (iii) 1, 1.1 ro de latidos cardiacos después de t minutos. Cuando se si- (iv) 1, 1.01 (v) 1, 1.001 túan los datos de la tabla en una gráfica, la pendiente de la (b) Estimar la velocidad instantánea cuando t  1. recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos por minuto. 7. La tabla exhibe la posición de un ciclista. t (min) 36 38 40 42 44 t (segundos) 0 1 2 3 4 5 Latidos cardiacos 2 530 2 661 2 806 2 948 3 080 s (metros) 0 1.4 5.1 10.7 17.7 25.8 El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardiaca del paciente, después de 42 minutos, usando la recta secante (a) Hallar la velocidad promedio para cada periodo: entre los puntos (i) 1, 3 (ii) 2, 3 (iii) 3, 5 (iv) 3, 4 (a) t  36 y t  42 (b) t  38 y t  42 (b) Use la gráfica de s como una función de t para estimar la (c) t  40 y t  42 (d) t  42 y t  44 velocidad instantánea cuando t  3. ¿Cuáles son sus conclusiones? 8. El desplazamiento (en centímetros) de una partícula de atrás 3. El punto P (1, 2 ) está sobre la curva y  x1  x. 1 hacia adelante en una línea recta se conoce por la ecuación (a) Si Q es el punto x, x1  x, use su calculadora para de movimiento s  2 sen p t  3 cos p t, donde t se mide en hallar la pendiente de la recta secante PQ (correcta hasta segundos. seis cifras decimales) para los valores de x que se enumeran (a) Encuentre la velocidad promedio durante cada periodo: a continuación: (i) 1, 2 (ii) 1, 1.1 (i) 0.5 (ii) 0.9 (iii) 0.99 (iv) 0.999 (iii) 1, 1.01 (iv) 1, 1.001 (v) 1.5 (vi) 1.1 (vii) 1.01 (viii) 1.001 (b) Mediante los resultados del inciso (a) conjeture el valor de (b) Estimar la velocidad instantánea de la partícula cuando la pendiente de la recta tangente a la curva en P (1, 12 ). t  1. (c) Usando la pendiente del inciso (b) encuentre la ecuación de 9. El punto P1, 0 está sobre la curva y  sen10px. la recta tangente a la curva en P (1, 12 ). (a) Si Q es el punto x, sen10px, encuentre la pendiente de 4. El punto P3, 1 se encuentra sobre la curva y  sx  2 la recta secante PQ (correcta hasta cuatro cifras decimales) (a) Si Q es el punto (x, sx  2 ), mediante una calculadora para s  2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9. determine la pendiente de la secante PQ (con seis ¿Parece que las pendientes tienden a un límite? cifras decimales) para los valores siguientes de x: ; (b) Use una gráfica de la curva para explicar por qué las (i) 2.5 (ii) 2.9 (iii) 2.99 (iv) 2.999 pendientes de las rectas secantes del inciso (a) no están (v) 3.5 (vi) 3.1 (vii) 3.01 (viii) 3.001 cercanas a la pendiente de la recta tangente en P. (b) Por medio de los resultados del inciso (a), conjeture el valor (c) Mediante la selección de rectas secantes apropiadas, estime de la pendiente de la recta tangente en P3, 1. la pendiente de la recta tangente en P. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 88 88 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Luego de ver en la sección anterior cómo surgen los límites cuando desea hallar la tangen- te a una curva o la velocidad de un objeto, dirija su atención hacia los límites en general y los métodos numéricos y gráficos para calcularlos. Investigue el comportamiento de la función f definida por f x  x2  x  2 para valo- res cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de fx para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2. y x fx x fx 1.0 2.000000 3.0 8.000000 ƒ 1.5 2.750000 2.5 5.750000 y=≈-x+2 tiende a 4 1.8 3.440000 2.2 4.640000 4 1.9 3.710000 2.1 4.310000 1.95 3.852500 2.05 4.152500 1.99 3.970100 2.01 4.030100 1.995 3.985025 2.005 4.015025 1.999 3.997001 2.001 4.003001 0 2 x A medida que x tiende a 2 A partir de la tabla y de la gráfica de f (una parábola) que se ilustra en la figura 1, FIGURA 1 es claro cuando x está cercana a 2 (por cualquiera de los dos lados de 2), f x lo está a 4. De hecho, parece posible acercar los valores de f x a 4 tanto como desee si toma una x lo suficientemente cerca de 2. Expresa este hecho al decir: “el límite de la fun- ción f x  x2  x  2, cuando x tiende a 2, es igual a 4”. La notación para esta ex- presión es lím x 2  x  2  4 x l2 En general, se usa la siguiente notación 1 DEFINICIÓN Escriba lím f x  L xla que se expresa como: “el límite de fx cuando x tiende a a, es igual a L” si podemos acercar arbitrariamente los valores de fx a L (tanto como desee) esco- giendo una x lo bastante cerca de a, pero no igual a a. En términos generales, esto afirma que los valores de f x se aproximan cada vez más al número L cuando x se acerca a a (desde cualquiera de los dos lados de a) pero x  a. (En la sección 2.4 se proporciona una definición más exacta.) Una notación alternativa para lím f x  L xla es fx l L cuando xla que suele leerse “fx tiende a L cuando x tiende a a”. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 89 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 89 Advierta la frase “pero x  a” en la definición de límite. Esto significa que al hallar el límite de f x cuando x tiende a a, nunca consideró x  a. De hecho, incluso no es necesario que f x esté definida cuando x  a. Lo único que importa es cómo está de- finida f cerca de a. En la figura 2 se muestran las gráficas de tres funciones. Observe que en la parte (c), f a no está definida y, en la parte (b), f a  L. Pero en cada caso, sin importar lo que suceda en a, es verdadero que lím x l a f x  L. y y y L L L 0 a x 0 a x 0 a x (a) (b) (c) FIGURA 2 lím ƒ=L en los tres casos x a x1 EJEMPLO 1 Conjeture el valor de lím . x l1 x2  1 SOLUCIÓN Advierta que la función fx  x  1x2  1 no está definida cuando x  1, x1 fx pero eso no importa porque la definición de lím x l a fx dice que considere valores de x 0.5 0.666667 próximos a a pero diferentes de a. 0.9 0.526316 En las tablas que aparecen al margen izquierdo se proporcionan los valores de f x 0.99 0.502513 (correctos hasta seis posiciones decimales) para valores de x que tienden a 1 (pero no 0.999 0.500250 son iguales a 1). Con base en los valores de las tablas, suponga que 0.9999 0.500025 x1 lím  0.5  x l1 x2  1 x1 f x El ejemplo 1 se ilustra mediante la gráfica de f de la figura 3. Cambie ahora ligeramen- 1.5 0.400000 te el valor de f, dándole un valor de 2 cuando x  1 y denominando a la función resultante 1.1 0.476190 como t.  1.01 0.497512 1.001 0.499750 x  1 si x  1 1.0001 0.499975 t(x)  x 2 1 2 si x  1 Esta nueva función t todavía tiene el mismo límite conforme x tiende a 1 (véase la figura 4). y y 2 x-1 y= y=© ≈-1 0.5 0.5 0 1 x 0 1 x FIGURA 3 FIGURA 4 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 90 90 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS st 2  9  3 EJEMPLO 2 Estime el valor de lím . tl0 t2 SOLUCIÓN En la tabla se enumeran los valores de la función para varios valores de t cer- canos a 0. st 2  9  3 t t2 1.0 0.16228 0.5 0.16553 0.1 0.16662 0.05 0.16666 0.01 0.16667 A medida que t tiende a 0, los valores de la función parecen acercarse a 0.1666666. . . y, por consiguiente, supone que st 2  9  3 1 lím 2   tl0 t 6 st 2  9  3 t t2 En el ejemplo 2, ¿qué habría sucedido si hubiera tomado valores incluso más pequeños de t? En la tabla al margen se muestran los resultados que se obtuvieron con una calcula- 0.0005 0.16800 dora; usted puede ver que parece suceder algo extraño. 0.0001 0.20000 0.00005 0.00000 Si intenta realizar estos cálculos en su calculadora podría obtener valores diferentes, pero 0.00001 0.00000 llegará un momento en que obtendrá el valor 0, si reduce t lo suficiente. ¿Significa esto que la respuesta en realidad es 0, en lugar de 6 ? No, el valor del límite es 16, como se demostrará 1 | en la sección siguiente. El problema es que las calculadoras dan valores falsos porque st 2  9 está muy cercana a 3 cuando t es pequeño. (De hecho, cuando t es lo suficien- temente pequeño, el valor para st 2  9 de una calculadora es 3.000. . . hasta el número de www.stewartcalculus.com Para una explicación más detallada de dígitos que la calculadora es capaz de llevar.) por qué en ocasiones las calculadoras dan Algo similar sucede cuando intenta trazar la gráfica de la función valores falsos, véase el sitio en la red. Dé un clic en Additional Topics y luego en Lies My Calculator and Computer Told st 2  9  3 f t  Me. En particular, refiérase a la sección t2 llamada The Perils of Subtraction. del ejemplo 2 en una calculadora graficadora o en una computadora. Los incisos (a) y (b) de la figura ilustran gráficas bastante exactas de f y, cuando se usa el modo de trazo (si cuenta con él), puede estimar con facilidad que el límite es alrededor de 16. Pero si realiza un acercamiento muy grande, como en los incisos (c) y (d), obtiene gráficas inexactas, una vez más debido a problemas con la sustracción. 0.2 0.2 0.1 0.1 (a) _5, 5 por _0.1, 0.3 (b) _0.1, 0.1 por _0.1, 0.3 (c) _10–^, 10–^ por _0.1, 0.3 (d) _10–&, 10–& por _ 0.1, 0.3 FIGURA 5 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 91 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 91 sen x V EJEMPLO 3 Encuentre el valor de lím . xl0 x SOLUCIÓN La función f x  sen xx no está definida cuando x  0. Con una calculadora (y recordando que si x  , sen x quiere decir el seno del ángulo cuya medida en radianes es x), construya la tabla siguiente de valores, correctos hasta ocho posiciones decimales. sen x x A partir de la tabla a la izquierda y de la gráfica de la figura 6, suponga que x 1.0 0.84147098 sen x 0.5 0.95885108 lím 1 xl0 x 0.4 0.97354586 0.3 0.98506736 De hecho, esta conjetura es correcta, como se probará en el capítulo 3 mediante la 0.2 0.99334665 aplicación de un argumento geométrico. 0.1 0.99833417 0.05 0.99958339 0.01 0.99998333 y 0.005 0.99999583 sen x 1 y= x 0.001 0.99999983 _1 0 1 x FIGURA 6  V EJEMPLO 4 Investigue lím sen . xl0 x SOLUCIÓN Una vez más, la función f x  senpx no está definida en 0. Si se evalúa la función para algunos valores pequeños de x, resulta f1  sen p  0 f ( 12 )  sen 2  0 & SISTEMAS ALGEBRAICOS PARA COMPUTADORA Los sistemas algebraicos para computadora f ( 13)  sen 3  0 f ( 14 )  sen 4  0 (CAS: computer algebra systems, CAS) tienen comandos que calculan límites. En virtud de f0.1  sen 10p  0 f0.01  sen 100p  0 las dificultades que se demostraron en los ejemplos 2, 4 y 5, no encuentran los límites De manera análoga, f 0.001  f 0.0001  0. Con base en esta información, podría por experimentación numérica, sino que apli- can técnicas más elaboradas, como el cálculo sentirse tentado a presumir que de series infinitas. Si tiene acceso a un CAS, use el comando límite, calcule los límites de lím sen 0 los ejemplos de esta sección y compruebe sus xl0 x respuestas a los ejercicios de este capítulo. | pero en esta ocasión su conjetura es errónea. Advierta que aun cuando f1n  sen np  0, para cualquier entero n, también se cumple que fx  1 para un número infinito de valores de x que tienden a 0. La gráfica de f se da en la figura 7. y y=sen(π/x) 1 _1 1 x _1 FIGURA 7 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 92 92 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Los valores de sen (px ) fluctúan entre 1 y 1 infinidad de veces, cuando x tiende a cero. (Véase el ejercicio 39.) Ya que el valor de f x no se aproxima a un número fijo cuando x se aproxima a cero. lím sen no existe  xl0 x x x3  cos 5x 10 000 EJEMPLO 5 Encuentre lím x 3  xl0  cos 5x 10 000 .  1 1.000028 SOLUCIÓN Como antes construya una tabla de valores. A partir de la primera tabla que apa- 0.5 0.124920 rece en el margen   0.1 0.001088 0.05 0.000222 cos 5x lím x 3  0 0.01 0.000101 xl0 10 000 Pero si perseveran con valores más pequeños de x, la segunda tabla sugiere que   cos 5x x x3  cos 5x 1 10 000 lím x 3   0.000100  xl0 10 000 10 000 0.005 0.00010009 0.001 0.00010000 Más adelante verá que lím x l 0 cos 5x  1 y en tal caso se concluye que el límite es 0.0001.  | Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos en la suposición del valor de un límite. Es fácil suponer un valor erróneo, si se usan valores inapropiados de x, pero es difícil saber cuándo suspender el cálculo de valores. Y, como hace ver el análisis que sigue al ejemplo 2, a veces las calculadoras y las computadoras dan valores erróneos. Sin embargo, más adelante se desarrollan métodos infalibles para calcular límites. y V EJEMPLO 6 La función de Heaviside H se define por 1 Ht   0 1 si t  0 si t  0 0 t Esta función recibe ese nombre en honor al ingeniero electricista Oliver Heaviside (1850-1925) y se puede usar para describir una corriente eléctrica que se hace circular FIGURA 8 en el instante t  0. En la figura 8 se muestra su gráfica. Conforme t se acerca a 0 por la izquierda, Ht tiende a 0. Cuando t se aproxima a 0 por la derecha, Ht tiende a 1. No existe un número único al que Ht se aproxime cuando t tiende a 0. Por consiguiente, lím tl 0 Ht no existe.  LÍMITES LATERALES En el ejemplo 6 se vio que Ht tiende a 0 cuando t lo hace a 0 por la izquierda y que esa función tiende a 1 cuando t lo hace a 0 por la derecha. Se indica simbólicamente esta situa- ción escribiendo lím Ht  0 y lím Ht  1 t l 0 t l 0 El símbolo “t l 0” indica que sólo se consideran valores de t menores que 0. Del mismo modo “t l 0” indica que sólo se consideran valores de t mayores que 0. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 93 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 93 2 DEFINICIÓN Escriba lím f x  L x l a y se lee el límite izquierdo de f x cuando x tiende a a o el límite de f x cuando x se acerca a a por la izquierda es igual a L, si puede aproximar los valores de f x a L tanto como quiera, escogiendo una x lo bastante cerca de a pero menor que a. Advierta que la definición 2 difiere de la 1 sólo en que x debe ser menor que a. De manera análoga, si requiere que x sea mayor que a, obtiene: “el límite de f x por la de- recha cuando x se aproxima a a es igual a L” y escribe lím f x  L x l a Así, el símbolo “x l a” significa que considere sólo x  a. En la figura 9 se ilustran estas definiciones y y L ƒ ƒ L 0 x a x 0 a x x FIGURA 9 (a) lím ƒ=L (b) lím ƒ=L x a_ x a+ Al comparar la definición 1 con las definiciones de los límites laterales, se cumple lo siguiente 3 lím f x  L si y sólo si lím f x  L y lím f x  L xla x l a x l a y V EJEMPLO 7 En la figura 10 se muestra la gráfica de una función t. Úsela para dar los 4 valores (si existen de los límites siguientes: 3 y=© (a) lím tx (b) lím tx (c) lím tx xl2 xl2 xl2 1 (d) lím tx (e) lím tx (f) lím tx xl5 xl5 xl5 0 1 2 3 4 5 x SOLUCIÓN A partir de la gráfica es claro que los valores de tx tienden a 3 cuando x tiende a 2 por la izquierda, pero se acercan a 1 cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Por consiguiente FIGURA 10 (a) lím tx  3 y (b) lím tx  1 xl2 xl2 (c) Como los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, con base en (3) se concluye que lím x l 2 tx no existe La gráfica muestra también que (d) lím tx  2 y (e) lím tx  2 xl5 xl5 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 94 94 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS (f) En esta ocasión los límites por la izquierda y la derecha son los mismos y, de este modo, con base en (3) lím tx  2 xl5 A pesar de este hecho, observe que t5  2.  LÍMITES INFINITOS 1 EJEMPLO 8 Halle lím si existe. xl0 x2 SOLUCIÓN Conforme x se aproxima a 0, x2 también se aproxima a 0 y 1x2 se hace muy 1 x grande. (Vea la tabla en el margen.) De hecho, al ver la gráfica de la función f x  1x2 x2 que se muestra en la figura 11, parece que los valores de fx se pueden aumentar en forma 1 1 arbitraria, si se escoge una x lo suficientemente cerca de 0. De este modo los valores de 0.5 4 fx no tienden a un número, de tal manera que lím x l 0 1x 2 no existe.  0.2 25 0.1 100 Para indicar la clase de comportamiento que se muestra en el ejemplo 8, utilice la 0.05 400 notación 0.01 10 000 0.001 1 000 000 1 lím ∞ xl0 x2 y | Esto no quiere decir que se considere ∞ como un número. Ni siquiera significa que el lí- mite existe. Simplemente expresa la manera particular en la cual el límite no existe: 1/x2 puede ser tan grande como guste llevando a x lo suficientemente cerca de 0. En general, se escribe simbólicamente 1 y= ≈ lím f x  ∞ xla para indicar que los valores de fx se vuelven más y más grandes, es decir (se “incrementan 0 x sin límite”) a medida que x se acerca más y más a a. FIGURA 11 4 DEFINICIÓN Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posi- blemente en a; entonces lím f x  ∞ xla significa que los valores de f x se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan grandes como uno quiera) haciendo que x se acerque suficientemente a a, pero no es igual que a. Otra notación para lím x l a fx  es y f x l cuando xl a y=ƒ Recuerde que el símbolo ∞ no es un número, pero la expresión lím x l a fx  se lee con frecuencia como 0 a x “el límite de fx cuando x tiende a a es el infinito” x=a o bien, “f x se vuelve infinita cuando x se aproxima a a” FIGURA 12 o bien, “f x se incrementa sin límite cuando x tiende a a” lím ƒ=` x a Esta definición se ilustra en la figura 12. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 95 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 95 & Al decir que un número es “negativo muy Un tipo similar de límite, para el caso de funciones que manifiestan valores negativos grande” significa que es negativo pero su muy grandes cuando x tiende a a, se presenta en la definición 5 y se ilustra en la figura 13. magnitud (valor absoluto) es muy grande o considerablemente grande. 5 DEFINICIÓN Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posible- y mente en a misma. Entonces x=a lím f x   ∞ xla 0 a x significa que los valores de f x se pueden hacer de manera arbitraria grandes y y=ƒ negativos al dar valores a x que estén muy cerca de a, pero sin que lleguen a ser iguales a a. FIGURA 13 El símbolo lím x l a fx   quiere decir “el límite de fx cuando x tiende a a es el lím ƒ=_` infinito negativo” o bien, “f x decrece sin cota inferior cuando x tiende a a”. Como ejem- x a plo tiene 1 lím  2   x l0 x   Definiciones similares se pueden dar para los límites infinitos laterales lím f x  lím f x  x l a x l a lím f x   lím f x   x l a x l a sin olvidar que “x l a” significa que considera sólo valores de x que sean menores que a y, de igual manera, “x l a” quiere decir que considera sólo x  a. Ejemplos de estos cuatro casos se presentan en la figura 14. y y y y 0 a x 0 a x 0 a x 0 a x (a) lím ƒ=` (b) lím ƒ=` (c) lím ƒ=_` (d) lím ƒ=_` x a_ x a+ x a_ x a+ FIGURA 14 6 DEFINICIÓN La recta x  a se llama asíntota vertical de la curva y  f x si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero lím f x  lím f x  lím f x  x la x l a x l a lím f x   lím f x   lím f x   x la x l a x l a Por ejemplo, el eje y es una asíntota vertical de la curva y  1x 2 porque lím x l 0 1x 2  . En la figura 14, la recta x  a es una asíntota vertical en cada uno de los cuatro casos mostrados. En general, es muy útil conocer las asíntotas verticales para trazar las gráficas. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 96 96 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS y 2x 2x EJEMPLO 9 Determine lím y lím . 2x y= x-3 x l3 x  3 x l3 x  3 5 SOLUCIÓN Si x está en la vecindad de 3, pero es mayor que 3, entonces el denominador x  3 es un número positivo pequeño y 2x está cercano a 6. Así, el cociente 2xx  3 0 x es un número positivo grande. En estos términos, ve intuitivamente que x=3 2x lím  x l3 x3 De manera similar, si x está cerca de 3 pero es más pequeña que 3, entonces x  3 es un FIGURA 15 número negativo pequeño, pero 2x es aún un número positivo, cercano a 6. De esa manera, 2xx  3 es en su magnitud un número negativo grande. Por esto, 2x lím   y x l3 x3 La gráfica de la curva y  2xx  3 se ilustra en la figura 15. La recta x  3 es una asíntota vertical.  1 EJEMPLO 10 Determine las asíntotas verticales de fx  tan x. 3π _π π 0 π π 3π x _ 2 _ 2 2 2 SOLUCIÓN Puesto que sen x tan x  cos x FIGURA 16 hay asíntotas verticales potenciales donde cos x  0. En efecto, como cos x l 0 cuando y=tan x x l p2 y cos x l 0 cuando x l p2, en vista de que sen x es positiva cuando x está cerca de p2, lím tan x  y lím tan x   x l  2 x l p2 y Esto demuestra que la recta x  p2 es una asíntota vertical. Un razonamiento similar muestra que las rectas x  2n  1p2, donde n es un entero, son asíntotas verticales y=ln x de fx  tan x. La gráfica de la figura 16 lo confirma.  0 1 x Otro ejemplo de una función cuya gráfica tiene una asíntota vertical es la función loga- ritmo natural y  ln x. A partir de la figura 17 lím ln x   x l 0 FIGURA 17 El eje y es una asíntota vertical y de este modo la recta x  0 (el eje y) es una asíntota vertical. En efecto, lo mismo se de la función logaritmo natural. cumple para y  loga x siempre que a  1. (Véase figuras 11 y 12 de la sección 1.6.) 2.2 EJERCICIOS 1. Explique con sus propias palabras qué se quiere dar a entender 2. Explique qué se quiere dar a entender con mediante la ecuación lím f x  3 y lím f x  7 lím f x  5 x l 1 x l 1 xl2 ¿Es posible que se cumpla esta proposición y todavía f2  3? Dé En esta situación ¿es posible que lím xl 1 fx exista? una explicación. Dé una explicación. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 97 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 97 3. Explique el significado de cada una de las expresiones 7. Para la función t cuya gráfica se proporciona, establezca el siguientes. valor de cada cantidad, si acaso existe. Si no existe, explique (a) lím f x  ∞ (b) lím f x  ∞ la razón. x l 3 xl4 (a) lím t t (b) lím t t (c) lím t t tl0 tl0 tl0 4. Para la función f cuya gráfica se proporciona, establezca el valor de cada cantidad, si existe. Si no la hay, explique por qué. (d) lím t t (e) lím t t (f) lím t t tl2 xl0 tl2 (a) lím f x (b) lím f x (c) lím f x xl0 xl3 xl3 (g) t2 (h) lím t t tl4 (d) lím f x (e) f3 xl3 y y 4 4 2 2 2 4 t 0 2 4 x 8. En el caso de la función R cuya gráfica se muestra, establezca lo 5. Use la gráfica de f que se proporciona para establecer el valor siguiente. de cada cantidad, si existe. Si no existe, explique por qué. (a) lím R x (b) lím R x (a) lím f x (b) lím f x (c) lím f x xl2 xl5 xl1 xl1 xl1 (c) lím Rx (d) lím Rx (d) lím f x (e) f5 x l 3 x l 3 xl5 (e) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. y y 4 2 _3 0 2 5 x 0 2 4 x 6. Para la función h, cuya gráfica se da, determine el valor de cada cantidad, si existe. En caso que no exista explique por qué. 9. En el caso de la función f cuya gráfica se muestra, establezca lo (a) lím hx (b) lím hx (c) lím hx siguiente. x l 3 x l 3 x l 3 (a) lím f x (b) lím f x (c) lím f x (d) h3 (e) lím hx (f) lím hx x l 7 x l 3 xl0 x l0 x l0 (d) lím f x (e) lím f x (g) lím hx (h) h0 (i) lím hx xl6 xl6 x l0 x l2 (f) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. (j) h2 (k) lím hx (l) lím hx x l5 x l5 y y _7 _3 0 6 x _4 _2 0 2 4 6 x 10. Un paciente recibe una inyección de 150 mg de un medica- mento cada 4 horas. La gráfica muestra la cantidad f t del CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 98 98 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS medicamento en el torrente sanguíneo, después de t horas. x 2  2x 18. lím , xl 1 x x2 2 lím f t y lím f t t l 12 t l 12 x  0, 0.5, 0.9, 0.95, 0.99, 0.999, 2, 1.5, 1.1, 1.01, 1.001 y explique el significado de estos límites laterales. ex  1  x 19. lím , x  1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01 xl0 x2 f(t) 20. lím x lnx  x 2 , x  1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001 300 xl0 21–24 Mediante una tabla de valores estime el valor del límite. Si 150 dispone de una calculadora o de una computadora para graficar, úsela para confirmar gráficamente sus resultados. sx  4  2 tan 3x 0 4 8 12 16 t 21. lím 22. lím xl0 x xl0 tan 5x x6  1 9x  5x 23. lím 24. lím xl1 x10  1 xl0 x ; 11. Use la gráfica de la función fx  11  e  para estable- 1x cer el valor de cada límite, si es que existe. Si no existe dé la razón. 25–32 Determine el límite infinito. (a) lím f x (b) lím f x (c) lím f x x2 xl0 xl0 xl0 x2 25. lím + 26. lím x l3 x3 x l3 x3 12. Trace la gráfica de la función siguiente y úsela para determinar los valores de a para los cuales existe lím xl a fx si: 2x ex 27. lím 28. lím xl1 x  12 xl5 x  53 2x fx  x  x  1) 2 si x  1 si 1 x  1 si x  1 29. lím+ lnx2  9 31. xl3 lím x csc x x l2 30. lím cot x xl 32. lím x l2 x2  2x x  4x  4 2 13–16 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que cumpla con todas las condiciones dadas. 1 1 33. Determine lím y lím 13. lím f x  2 , lím f x  2 , f 1  2 x 3  1 x l1 x 3  1 x l1  xl1 x l1 (a) evaluando fx  1x 3  1 para encontrar valores de 14. lím f x  1, lím f x  1, lím f x  0, x que se aproximen a 1 desde la izquierda y desde la xl0 x l 0 x l 2 derecha. (b) planteando un razonamiento como en el ejemplo 9 y lím f x  1, f 2  1, f 0 no está definida x l 2 ; (c) a partir de la gráfica de f. 15. lím f x  4, lím f x  2, lím f x  2, 34. (a) Determine las asíntotas verticales de la función xl3 x l 3 x l 2 f 3  3, f 2  1 x2  1 y 3x  2x 2 16. lím f x  3 , lím f x  3 , lím f x  3 , ; (b) Confirme su respuesta del inciso (a) graficando la función. xl1 x l 4 x l 4 f 1  1, f 4  1 35. (a) Estime el valor del límite lím xl 0 1  x1x hasta cinco cifras decimales. ¿Le resulta familiar este número? ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la función y  1  x1x. 17–20 Suponga el valor del límite (siempre y cuando exista) eva- luando la función en los números dados (con seis cifras decimales). ; 36. (a) Grafique la función fx  tan 4xx y realice un acerca- miento hacia el punto donde la gráfica cruza el eje y, estimar x 2  2x el valor de lím xl 0 fx. 17. lím , x  2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001, x l2 x x2 2 (b) Verificar su respuesta del inciso (a) evaluando f x para 1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999 valores de x que se aproximan a cero. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 99 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 99 37. (a) Evalúe la función f x  x2  2x1000 para x  1, 0.8, veces un acercamiento hacia el origen. Comente el comporta- 0.6, 0.4, 0.2, 0.1 y 0.05 y conjeture el valor de miento de esta función.  lím x 2  xl0 2x 1000  40. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es m0 (b) Evalúe fx para x  0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.003 y 0.001. m s1  v 2c 2 Conjeture de nuevo. donde m0 es la masa de la partícula en reposo y c es la rapidez 38. (a) Evalúe hx  tan x  xx3 para x  1, 0.5, 0.1, 0.05, de la luz. ¿Qué sucede cuando v l c? 0.01 y 0.05 tan x  x (b) Conjeture el valor de lím . ; 41. Estime mediante una gráfica las ecuaciones de todas las asíntotas xl0 x3 verticales de la curva (c) Evalúe hx para valores cada vez más pequeños de x hasta que finalmente llegue a valores 0 para hx. ¿Aún está seguro y  tan2 sen x p  x  p de que lo que conjeturó en el inciso (b) es correcto? Expli- que por qué obtuvo valores 0 en algún momento. (En la Luego determine las ecuaciones exactas de estas asíntotas. sección 4.4 se explicará un método para evaluar el límite.) ; (d) Dibuje la función h en el rectángulo de visualización ; 42. (a) Use evidencia numérica y gráfica para conjeturar el valor 1, 1 por 0, 1 . A continuación haga un acercamiento del límite. hasta el punto en que la gráfica cruza el eje y para estimar el límite de hx conforme x se aproxima a 0. Prosiga con el x3  1 lím acercamiento hasta que observe distorsiones en la gráfica xl1 sx  1 de h. Compare con los resultados del inciso (c). (b) ¿Qué tan cerca de 1 tiene que estar x para asegurar que ; 39. Grafique la función f x  senpx del ejemplo 4 en el rec- la función del inciso (a) esté dentro de una distancia 0.5 tángulo de visión 1, 1 por 1, 1 . Después efectúe varias respecto de su límite? 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES En la sección 2.2 usó calculadoras y gráficas para suponer los valores de los límites, pero fue claro que esos métodos no siempre conducen a la respuesta correcta. En esta sección aplicará las siguientes propiedades de los límites, conocidas como leyes de los límites, pa- ra calcularlos. LEYES DE LOS LÍMITES Suponga que c es una constante y que los límites lím f x y lím tx xla xla existen. Entonces 1. lím f x  tx  lím f x  lím tx xla xla xla 2. lím f x  tx  lím f x  lím tx xla xla xla 3. lím cf x  c lím f x xla xla 4. lím f xtx  lím f x  lím tx xla xla xla f x lím f x 5. lím  xla si lím tx  0 xla tx lím tx xla xla CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 100 100 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Estas leyes se pueden expresar en forma verbal como sigue LEY DE LA SUMA 1. El límite de una suma es la suma de los límites. LEY DE LA DIFERENCIA 2. El límite de una diferencia es la diferencia de los límites. LEY DE MÚLTIPLO CONSTANTE 3. El límite de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por el límite de la función LEY DEL PRODUCTO 4. El límite de un producto es el producto de los límites. LEY DEL COCIENTE 5. El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del denominador no sea cero). Es fácil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, si fx está cercano a L y tx lo está de M, resulta razonable concluir que fx  tx está cercano a L  M. Esto da una base intuitiva para creer que la ley 1 es verdadera. En la sección 2.4 aparece una defini- ción precisa de límite; la cual se utilizará para demostrar esta ley. Las demostraciones de las leyes restantes se proporcionan en el apéndice F. y EJEMPLO 1 Use las leyes de los límites y las gráficas de f y t de la figura 1 para evaluar f los límites siguientes, si existen. 1 f x (a) lím f x  5tx (b) lím f xtx (c) lím x l 2 xl1 xl2 tx 0 1 x g SOLUCIÓN (a) A partir de las gráficas de f y t, FIGURA 1 lím f x  1 y lím tx  1 x l 2 x l 2 Por lo tanto, lím f x  5tx  lím f x  lím 5tx (por la ley 1) x l 2 x l 2 x l 2  lím f x  5 lím tx (por la ley 3) x l 2 x l 2  1  51  4 (b) Observe que lím x l 1 f x  2. Pero lím x l 1 tx no existe porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes: lím tx  2 lím tx  1 x l 1 x l 1 De suerte que no es posible usar la ley 4 para el límite deseado. Pero puede usar la ley 4 para los límites laterales: lím f xtx  2  2  4 lím f xtx  2  1  2 x l 1 x l 1 los límites izquierdo y derecho no son iguales, así lím x l 1 f xtx no existe. (c) Las gráficas muestran que lím f x 1.4 y lím tx  0 xl2 xl2 Ya que el límite del denominador es 0, no puede aplicar la ley 5. El límite dado no existe porque el denominador se aproxima a cero en tanto que el numerador tiende a un número no cero.  CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 101 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 101 Si aplica la ley del producto repetidas veces, con tx  f x, obtiene la ley siguiente: 6. lím f x n  lím f x [ ] n LEY DE LA POTENCIA donde n es un entero positivo x la x la En la aplicación de estas seis leyes de los límites, necesita usar dos límites especiales: 7. lím c  c 8. lím x  a xla xla Estos límites son evidentes desde un punto de vista intuitivo (establézcalos verbalmente o dibuje y  c y y  x), pero demostraciones en términos de la definición precisa se piden en los ejercicios de la sección 2.4. Si en la ley 6 pone ahora f x  x y aplica la Ley 8, obtiene otro límite especial útil. 9. lím x n  a n donde n es un entero positivo xla Se cumple un límite similar para las raíces, como sigue. (En el caso de las raíces cua- dradas la demostración se esboza en el ejercicio 37 de la sección 2.4.) 10. lím s n xs n a donde n es un entero positivo xla (Si n es par, considere que a  0.) De modo más general, tiene la siguiente ley, que es verificada como una consecuencia de la ley 10 en la sección 2.5. LEY DE LA RAÍZ 11. lím s n f x)  s lím n f x) donde n es un entero positivo x la x la Si n es par, suponga que lím f x  0. x la EJEMPLO 2 Evalúe los límites siguientes y justifique cada paso. x 3  2x 2  1 (a) lím 2x 2  3x  4 (b) lím x l5 x l 2 5  3x SOLUCIÓN (a) lím 2x 2  3x  4  lím 2x 2   lím 3x  lím 4 (por las leyes 2 y 1) x l5 x l5 x l5 x l5  2 lím x 2  3 lím x  lím 4 (por la 3) x l5 x l5 x l5  252  35  4 (por las 9, 8 y 7)  39 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 102 102 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS NEWTON Y LOS LÍMITES (b) Empiece con la ley 5, pero su aplicación sólo se justifica plenamente en la Isaac Newton nació el día de Navidad, en etapa final, cuando los límites del numerador y del denominador existen, y este 1642, el año en que murió Galileo. Cuando último no es 0. ingresó a la Universidad de Cambridge, en 1661, no sabía mucho de matemáticas, pero x 3  2x 2  1 lím x 3  2x 2  1 aprendió con rapidez leyendo a Euclides y lím  x l 2 (por la ley 5) Descartes y asistiendo a las conferencias de x l 2 5  3x lím 5  3x x l 2 Isaac Barrow. Cambridge se cerró debido a la plaga de 1665 y 1666, y Newton regresó a lím x 3  2 lím x 2  lím 1 x l 2 x l 2 x l 2 casa a reflexionar en lo que había aprendido.  (por las 1, 2 y 3) Esos dos años fueron asombrosamente produc- lím 5  3 lím x x l 2 x l 2 tivos porque hizo cuatro de sus principales descubrimientos: 1) su representación de 2  22  1 3 2 funciones como sumas de series infinitas, in-  (por las 9, 8 y 7) 5  32 cluyendo el teorema del binomio; 2) su trabajo sobre el cálculo diferencial e integral; 3) sus 1 leyes del movimiento y la ley de la gravitación   11 universal y 4) sus experimentos del prisma acerca de la naturaleza de la luz y del color. Debido a cierto temor a la controversia y a la NOTA Si fx  2x2  3x  4, entonces f5  39. En otras palabras, habría obtenido la crítica, se mostró renuente a publicar sus respuesta correcta del ejemplo 2(a) sustituyendo x con 5. De manera análoga, la sustitu- descubrimientos y no fue sino hasta 1687, a ción directa da la respuesta correcta en el inciso (b). Las funciones del ejemplo 2 son un instancias del astrónomo Halley, que publicó Principia Mathematica. En este trabajo, el tra- polinomio y una función racional, respectivamente y el uso semejante de las leyes de los tado científico más grande jamás escrito, New- límites prueba que la sustitución directa siempre funciona para este tipo de funciones (vea ton expuso su versión del cálculo y lo usó para los ejercicios 53 y 54). Este hecho se expresa del modo siguiente: investigar la mecánica, la dinámica de fluidos y el movimiento ondulatorio, así como para explicar el movimiento de los planetas y de los PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN DIRECTA Si f es un polinomio o una función racional cometas. Los inicios del cálculo se encuentran en las y a está en el dominio de f, entonces operaciones para hallar las áreas y los volúme- lím f x  f a nes que realizaron los antiguos eruditos grie- x la gos, como Eudoxo y Arquímedes. Aun cuando los aspectos de la idea de límite se encuentran implícitos en su “método de agotamiento”, Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman continuas en a y se Eudoxo y Arquímedes nunca formularon explí- estudian en la sección 2.5. Sin embargo, no todos los límites se pueden evaluar por sus- citamente el concepto de límite. Del mismo titución directa, como los ejemplos siguientes hacen ver. modo, matemáticos como Cavalieri, Fermat y Barrow, los precursores inmediatos de Newton en el desarrollo del cálculo, no usaron los lími- x2  1 EJEMPLO 3 Encuentre lím . tes. Isaac Newton fue el primero en hablar ex- xl1 x1 plícitamente al respecto. Explicó que la idea principal detrás de los límites es que las canti- SOLUCIÓN Sea f x  x2  1x  1. No puede hallar el límite al sustituir x  1 porque dades “se acercan más que cualquier diferencia f 1 no está definido. tampoco puede aplicar la ley del cociente porque el límite del dada”. Newton expresó que el límite era el concepto básico del cálculo, pero fue tarea de denominador es 0. En lugar de ello, necesita algo de álgebra preliminar. Factorice matemáticos posteriores, como Cauchy, aclarar el numerador como una diferencia de cuadrados: sus ideas acerca de los límites. x2  1 x  1x  1  x1 x1 El numerador y el denominador tienen un factor común de x  1. Cuando toma el límite a medida que x tiende a 1, tiene x  1 y, por lo tanto, x  1  0. Por consiguiente, can- cele el factor común y calcule el límite como sigue: x2  1 x  1x  1 lím  lím  lím x  1  1  1  2 xl1 x1 xl1 x1 xl1 El límite de este ejemplo surgió en la sección 2.1, cuando trató de hallar la tangente a la parábola y  x2 en el punto 1, 1.  NOTA En el ejemplo 3 fue capaz de calcular el límite sustituyendo la función dada fx  x2  1x  1 por una función más sencilla, tx  x  1, con el mismo límite. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 103 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 103 y Esto es válido porque f x  tx excepto cuando x  1, y al calcular un límite con- y=ƒ forme x se aproxima a 1 no se considera qué sucede cuando x es en realidad igual a 1. 3 2 En general tiene el hecho útil siguiente. 1 Si f x  tx cuando x  a, entonces lím f x  lím tx, en caso de que exista xla xla 0 1 2 3 x el límite. y EJEMPLO 4 Encuentre lím tx, donde y=© x l1  3 x  1 si x  1 2 tx  si x  1 1 SOLUCIÓN En este caso, t está definida en x  1 y t1  p, pero el valor de un límite 0 x 1 2 3 cuando x tiende a 1 no depende del valor de la función en 1. Como tx  x  1 para x  1, FIGURA 2 Las gráficas de las funciones f (del lím tx  lím x  1  2  xl1 xl1 ejemplo 3) y g (del ejemplo 4) Advierta que los valores de las funciones de los ejemplos 3 y 4 son idénticos, excepto cuando x  1 (véase la figura 2), de modo que tienen el mismo límite cuando x tiende a 1. 3  h2  9 V EJEMPLO 5 Evalúe lím . hl0 h SOLUCIÓN Si define 3  h2  9 Fh  h en tal caso, como en el ejemplo 3, no puede calcular lím h l 0 Fh haciendo h  0, ya que F0 no está definido. Pero si simplifica Fh algebraicamente, encuentra que 9  6h  h 2   9 6h  h 2 Fh   6h h h (Recuerde que sólo se considera h  0 cuando se hace que h tienda a 0.) De este modo, 3  h2  9 lím  lím 6  h  6  hl0 h hl0 st 2  9  3 EJEMPLO 6 Encuentre lím . tl0 t2 SOLUCIÓN No puede aplicar la ley del cociente de inmediato, puesto que el límite del deno- minador es 0. En el presente caso, el álgebra preliminar consiste en la racionalización del numerador: st 2  9  3 st 2  9  3 st 2  9  3 lím  lím  tl0 t 2 tl0 t2 st 2  9  3 t 2  9  9 t2  lím  lím tl0 t (st 2  9  3) 2 t l 0 t (st 2  9  3) 2 1 1 1 1  lím    tl0 st 2  9  3 s lím t 2  9  3 3  3 6 tl0 Este cálculo confirma lo que se conjeturó en el ejemplo 2 de la sección 2.2.  CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 104 104 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Lo mejor para calcular algunos límites es hallar en primer lugar los límites por la iz- quierda y por la derecha. El teorema siguiente es un recordatorio de lo que se descubrió en la sección 2.2. Afirma que existe un límite bilateral si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales. 1 TEOREMA lím f x  L si y sólo si lím f x  L  lím f x xla xla x la Cuando calculamos un límite lateral aplicamos el hecho de que las Leyes de los Límites también se cumplen para los límites de este tipo. & Según la figura 3, el resultado del ejemplo 7 parece plausible. EJEMPLO 7 Demuestre que lím x  0. xl0   SOLUCIÓN Recuerde que  y x si x  0 y=| x| x  x si x  0 Como  x   x para x  0, tiene 0 x x l 0   lím x  lím x  0 xl0 FIGURA 3 Para x  0, tiene  x   x y, por consiguiente, x l 0   lím x  lím x  0 xl0 En consecuencia, por el teorema 1, xl0   lím x  0  V EJEMPLO 8 Compruebe que lím  x  no existe. xl0 x y SOLUCIÓN lím x  lím x  lím 1  1 |x| x l 0 x x l 0 x xl0 y= x 1 0 x lím x  lím x  lím 1  1 _1 xl0 x xl0 x xl0 Como los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes, por el teorema 1 FIGURA 4 se concluye que lím x l 0  x x no existe. La figura 4 muestra la gráfica de la función f x   x x y apoya los límites laterales que encontró.  EJEMPLO 9 Si f x   sx  4 8  2x si x  4 si x  4 determine si existe lím x l 4 fx. SOLUCIÓN Puesto que f x  sx  4 para x  4, tiene & Se demuestra en el ejemplo 3 de la sección 2.4 que lím x l 0 sx  0. lím f x  lím sx  4  s4  4  0 x l 4 xl4 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 105 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 105 y Puesto que f x  8  2x para x  4, tiene lím f x  lím 8  2x  8  2  4  0 x l 4 xl4 0 4 x Los límites del lado derecho y del lado izquierdo son iguales. Por lo tanto, el límite existe y FIGURA 5 lím f x  0 xl4 La gráfica de f se ilustra en la figura 5.  & Otras expresiones para x son x y ⎣x⎦ . A EJEMPLO 10 La función mayor entero se define como x  el entero más grande que es la función entero máximo algunas veces se le menor o igual que x. (Por ejemplo, 4  4, 4.8  4, p  3,  s2   1,  12   1.) llama la función piso. Demuestre que lím x l3 x no existe. y 4 SOLUCIÓN En la figura 6 se muestra la gráfica de la función entero máximo. Puesto que x  3 para 3  x  4, tiene 3 2 y=[ x] lím x  lím 3  3 x l3 x l3 1 0 1 2 3 4 5 x Dado que x  2 para 2  x  3, tiene lím x  lím 2  2 x l3 x l3 FIGURA 6 Función máximo entero En virtud de que estos límites unilaterales no son iguales, por el teorema 1, lím x l 3 x no existe.  En los dos teoremas siguientes se dan dos propiedades adicionales de los límites. Sus demostraciones se proporcionan en el apéndice F. 2 TEOREMA Si f x  tx, cuando x está cerca de a (excepto posiblemente en a), y los límites de f y t existen cuando x tiende a a, entonces lím f x lím tx xla xla 3 TEOREMA DE LA COMPRESIÓN Si f x  tx  hx, cuando x está cerca de a (excepto quizá en a) y y lím f x  lím hx  L xla xla h g L entonces lím tx  L xla f En la figura 7 se ilustra el teorema de la compresión, a veces conocido como teorema 0 a x del emparedado o del apretón. Afirma que si tx se comprime entre f x y hx, cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, por lo tanto es forzoso que t tenga el mismo FIGURA 7 límite L en a CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 106 106 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 1 V EJEMPLO 11 Demuestre que lím x 2 sen  0. xl0 x SOLUCIÓN En primer lugar, note que no puede aplicar 1 1 | lím x 2 sen  lím x 2  lím sen xl0 x xl0 xl0 x porque lím x l0 sen1x no existe (véase el ejemplo 4, en la sección 2.2). Sin embargo, como 1 1 sen 1 x y tiene, como se ilustra mediante la figura 8, y=≈ 1 x 2 x 2 sen x2 x 0 x Sabe que y=_≈ lím x 2  0 y lím x 2   0 xl0 xl0 FIGURA 8 Al tomar f x  x2, tx  x2 sen 1x y hx  x2 en el teorema de la compresión, y=≈ sen(1/x) obtiene 1 lím x 2 sen 0  xl0 x 2.3 EJERCICIOS 1. Dado que f x (c) lím f xtx (d) lím lím f x  4 lím tx  2 lím hx  0 x l0 x l 1 tx x l2 x l2 x l2 encuentre los límites que existan. Si el límite no existe, (e) lím x 3f x (f) lím s3  f x explique por qué. x l2 x l1 (a) lím f x  5tx (b) lím tx 3 3–9 Evalúe el límite y justifique cada etapa indicando la(s) ley(es) x l2 x l2 de los límites apropiada(s). 3f x (c) lím sf x (d) lím 2x 2  1 x l2 x l2 tx 3. lím 3x 4  2x 2  x  1 4. lím x l 2 x l2 x  6x  4 2 tx txhx (e) lím (f) lím x l 2 hx x l2 f x 5. lím (1  sx )2  6x 2  x 3 3 6. lím t 2  13t  35 xl8 t l 1 2. Se dan las gráficas de f y t. Úselas para evaluar cada límite, si existe. Si el límite no existe, explique por qué. y y 7. lím x l1  1  3x 1  4x 2  3x 4  3 8. lím su 4  3u  6 u l2 y=ƒ y=© 1 1 9. lím s16  x 2 xl4 1 x 0 1 x 10. (a) ¿Qué está incorrecto en la ecuación siguiente? x2  x  6 (a) lím f x  tx (b) lím f x  tx x3 x l2 x l1 x2 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 107 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 107 (b) En vista del inciso (a), explique por qué la ecuación f x  x2, tx  x2 cos 20px y hx  x2 en la misma x x6 2 pantalla. lím  lím x  3 x l2 x2 x l2 ; 34. Aplique el teorema de la compresión para demostrar que es correcta. lím sx 3  x 2 sen 0 x l0 x 11–30 Evalúe el límite, si existe. Ilustre dibujando las funciones f, t y h (en la notación de ese x2  x  6 x 2  5x  4 teorema) en la misma pantalla. 11. lím 12. lím 2 x l2 x2 x l 4 x  3x  4 35. Si 4x  9  fx  x 2  4x  7 para x 0, hallar el x2  x  6 x 2  4x lím xl 4 fx. 13. lím 14. lím x l2 x2 xl4 x  3x  4 2 36. Si 2x  tx  x 4  x 2  2 para toda x, valorar el lím xl 1 tx. t2  9 x 2  4x 15. lím 16. lím t l 3 2t  7t  3 2 x l 1 x  3x  4 2 2 37. Demuestre que lím x 4 cos  0. x l0 x 4  h2  16 x3  1 17. lím 18. lím 38. Demuestre que lím sx e sen x  0 . hl0 h x l1 x2  1 x l0 x2 2  h  8 3 39–44 Determine el límite, si acaso existe. Si el límite no existe ex- 19. lím 20. lím x l2 x3  8 h l0 h plique la razón. 9t s1  h  1 2x  12 21. lím tl9 3  st 22. lím h l0 h 39. lím (2x  x  3 xl3  ) 40. lím x l 6  x6  sx  2  3 x  2x  1 2 2x  1 2  x 23. lím 24. lím 41. lím 42. lím x l7 x7 x l 1 x4  1 x l0.5  2x 3  x2  x l2 2x     1 1    1 1 1 1 4 x 1 1 43. lím  44. lím  25. lím x l 4 4  x 26. lím tl0 t  2 t t x l0 x x   x l0 x   x 4  sx 3  h1  3 1 27. lím 28. lím 45. La función signum o signo se denota mediante sgn y se define x l16 16x  x 2 hl0 h    como 1 1 sx  9  5 2 1 si x  0 29. lím  30. lím tl0 t s1  t t x l4 x4 sgn x  0 si x  0 1 si x  0 ; 31. (a) Estime el valor de (a) Trace la gráfica de esta función. x lím (b) Calcule cada uno de los límites siguientes o explique por x l0 s1  3x  1 qué no existe. dibujando la función f x  x(s1  3x  1). (i) lím sgn x xl0 (ii) lím sgn x xl0 (b) Haga una tabla de valores de f x para x cerca de 0 e intente el valor del límite. (iii) lím sgn x xl0  (iv) lím sgn x xl0  (c) Use las leyes de los límites para probar que su conjetura es correcta. 46. Sea ; 32. (a) Use una gráfica de f x  s3  x  s3 f x  4  x2 x1 si x 2 si x  2 x (a) Determine lím xl 2 fx y lím xl 2 fx. para estimar el valor de lím xl 0 f x hasta dos cifras (b) ¿Existe lím xl 2 fx? decimales. (c) Trace la gráfica de f. (b) Use una tabla de valores de f x para estimar el límite hasta cuatro cifras decimales. x2  1 47. Sea Fx  . (c) Utilice las leyes de los límites para hallar el valor exacto x1  del límite. (a) Encuentre ; 33. Aplique el teorema de la compresión para demostrar que (i) lím Fx (ii) lím Fx lím xl 0 x2 cos 20p x  0. Ilustre dibujando las funciones x l1 x l1 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 108 108 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS (b) ¿Existe lím xl 1 Fx? f x  8 55. Si lím  10 , hallar lím fx. (c) Trace la gráfica de F. xl1 x1 xl1 48. Sea fx x si x  1 56. Si lím  5 , hallar los límites que siguen. xl0 x2 3 si x  1 tx  fx 2  x2 si 1  x 2 (a) lím fx (b) lím x3 si x  2 xl0 xl0 x (a) Evalúe cada uno de los límites siguientes, si es que existe. 57. Si (i) lím tx xl1 (ii) lím tx x l1 (iii) t1 f x  x2 0 si x es racional si x es irracional (iv) lím tx (v) lím tx (vi) lím tx xl2 xl2 x l2 demuestre que lím xl 0 fx  0. (b) Trace la gráfica de t. 49. (a) Si el símbolo   denota la función mayor entero definida en 58. Muestre por medio de un ejemplo que lím xl a f x  tx el ejemplo 10, evalúe puede existir aunque no existan ni lím xl a f x ni lím xl a tx. (i) lím x (ii) lím x (iii) lím x 59. Muestre por medio de un ejemplo que lím xl a f xtx puede x l 2 x l 2 x l 2.4 (b) Si n es un entero, evalúe existir aunque no existan ni lím xl a fx ni lím xl a tx. (i) lím x (ii) lím x s6  x  2 x ln xln 60. Evalúe lím . (c) ¿Para cuáles valores de a existe lím xl a x? x l2 s3  x  1 50. Sea f x  cos x, p  x  p. 61. ¿Hay un número a tal que (a) Trace la gráfica de f (b) Evalúe cada límite, si es que existe. 3x 2  ax  a  3 lím x l2 x2  x  2 (i) lím f x (ii) lím f x x l0 x l  2 exista? Si es así, encuentre los valores de a y del límite. (iii) lím f x (iv) lím f x xl 2 xl 2 62. En la figura se muestra una circunferencia C1 con ecuación (c) ¿Para cuáles valores de a existe lím xl a fx? x  12  y2  1 y una circunferencia C2 que se contrae, 51. Si f x  x  x, demuestre que lím xl 2 fx existe pero no con radio r y centro en el origen. P es el punto 0, r, Q es es igual a f 2. el punto superior de intersección de los dos círculos y R es el punto de intersección de la recta PQ y el eje x. ¿Qué le sucede 52. En la teoría de la relatividad, la fórmula de la contracción de a R al contraerse C2; es decir, cuando r l 0? Lorentz L  L 0 s1  v 2c 2 y expresa la longitud L de un objeto como función de su velo- cidad v respecto a un observador, donde L0 es la longitud P Q del objeto en reposo y c es la rapidez de la luz. Encuentre C™ lím v l c L e interprete el resultado. ¿Por qué se necesita un límite por la izquierda? 53. Si p es un polinomio, demuestre que lím xl a px  pa. 0 R x C¡ 54. Si r es una función racional, aplique el resultado del ejercicio 53 para demostrar que lím xl a rx  ra, para todo número a en el dominio de r. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 109 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 109 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE La definición intuitiva de límite que se presenta en la sección 2.2 es inaceptable en al- gunos casos porque son vagas las frases como “x se acerca a 2” y “f x se acerca más y más a L”. Con objeto de ser capaz de demostrar en forma concluyente que xl0  lím x 3  cos 5x 10 000   0.0001 o bien lím xl0 sen x x 1 se tiene que hacer una definición precisa de límite. Para motivar la definición precisa de límite considere la función f x  2x  1 6 si x  3 si x  3 Es evidente y claro que cuando x se acerca a 3 con x  3, entonces fx está cerca de 5 y así lím xl3 fx  5. Con el fin de obtener más detalles con respecto a cómo varía f x cuando x se acerca a 3, se plantean las siguientes preguntas: ¿Qué tan cerca de 3 tiene que estar x para que fx difiera de 5 en menos de 0.1? & El uso de la letra griega d (delta) ya es una La distancia de x a 3 es  x  3  y la distancia desde f x a 5 es  fx  5 , de modo que el costumbre en esta situación. problema es encontrar un número d tal que  f x  5   0.1 si x  3  d pero x  3 Si  x  3   0, entonces x  3, de modo que una formulación equivalente del problema es determinar un número d tal que  fx  5   0.1 si 0  x  3  d Observe que si 0   x  3   0.12  0.05, entonces  f x  5    2x  1  5    2x  6   2 x  3   0.1 es decir,  fx  5   0.1 si 0   x  3   0.05 De este modo, una respuesta al problema lo da d  0.05; es decir, si x está dentro de una distancia de 0.05 desde 3, entonces f x estará dentro de una distancia de 0.1 desde 5. Si cambia la cantidad 0.1 del problema por una cantidad menor 0.01, entonces usando el mismo método se encuentra que fx difiere de 5 por menos de 0.01 siempre que x di- fiera de 3 en menos de (0.01)2  0.005:  f x  5   0.01 si 0   x  3   0.005 De manera igual,  f x  5   0.001 si 0   x  3   0.0005 Las cantidades 0.1, 0.01 y 0.001 son consideradas como tolerancias de error que podría per- mitir. Para que 5 sea el límite exacto de fx cuando x tiende a 3, tiene no sólo que ser capaz de llevar la diferencia entre fx y 5 por abajo de cada una de estas tres cantidades; tiene que CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 110 110 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS conservar abajo a cualquier número positivo. Y de acuerdo con el mismo razonamiento, ¡claro que es posible! Si escribe e (la letra griega épsilon) para que represente un número positivo arbitrario, entonces se encuentra al igual que antes que  1  f x  5   e si  0 x3   2 Ésta es una forma exacta de decir que f x está cerca de 5 cuando x se acerca a 3 porque (1) establece que es posible hacer que los valores de f x queden dentro de una distancia arbitraria e a partir de 5 conservando los valores de x dentro de una distancia e2 a partir de 3 (pero x  3). Observe que otra forma de (1) es: si 3  d  x  3  d x  3 en tal caso 5  e  f x  5  e y lo cual se ilustra en la figura 1. Al hacer que los valores de x  3 queden en el inter- valo 3  d, 3  d es posible hacer que los valores de f x se ubiquen en el intervalo 5+∑ ƒ 5  e, 5  e. está 5 Usando (1) como modelo, damos una definición precisa de límite. aquí 5-∑ 2 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces decimos que el límite de 0 3 x fx cuando x tiende a a es L, se escribe 3-∂ 3+∂ lím f x  L xla cuando x está aquí (x≠3) si para todo número e  0 hay un número d  0 tal que FIGURA 1 si 0   x  a   d entonces  fx  L   e Puesto que  x  a  es la distancia desde x hasta a y  fx  L  es la distancia desde f x hasta L y como e puede ser arbitrariamente pequeño, la definición de límite se puede ex- presar en palabras como se indica a continuación: lím x l a fx  L quiere decir que la distancia entre f x y L puede hacerse pequeña en forma arbitraria al hacer que la distancia desde x hasta a sea suficientemente pequeña (pero no 0). Otra posibilidad es lím x l a f x  L significa que los valores de f x pueden ser tan cercanos como quiera a L al hacer que x se acerque lo suficiente a a (pero que no sea igual a a). Asimismo, puede replantear la definición 2 en términos de intervalos si observa que la de- sigualdad  x  a   d equivale a d  x  a  d, que a su vez se puede escribir como a  d  x  a  d. También 0   x  a  es verdadera si y sólo si x  a  0 es decir, x  a. De manera similar, la desigualdad  fx  L   e equivale al par de desigualdades L  e  f x  L  e. Por lo tanto, en términos de intervalos, la definición 2 se puede plantear como sigue: lím x l a fx  L quiere decir que para todo e  0 (sin que importe lo pequeño que sea e) puede encontrar una d  0 tal que si x está en el intervalo abierto a  d, a  d y x  a, entonces f x queda en el intervalo abierto L  e, L  e. La interpretación geométrica de este enunciado se consigue representando una función mediante un diagrama de flechas como en la figura 2, donde f mapea un subconjunto de  en otro subconjunto de . CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 111 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 111 f FIGURA 2 x a f(a) ƒ La definición de límite establece que si cualquier intervalo pequeño L  e, L  e alrededor de L, entonces es posible encontrar un intervalo a  d, a  d alrededor de a tal que f mapea todos los puntos en a  d, a  d (excepto posiblemente en a) en el inter- valo L  e, L  e. Véase figura 3. f x ƒ FIGURA 3 a-∂ a a+∂ L-∑ L L+∑ Otra interpretación geométrica de los límites se puede hacer en términos de la grá- fica de la función. Si e  0 trace las rectas horizontales y  L  e y y  L  e y la gráfica de f (véase figura 4). Si lím x l a f x  L, entonces se puede encontrar un número d  0 tal que si restringe a x a que quede en el intervalo a  d, a  d y hace x  a, entonces la curva y  f x está entre las rectas y  L  e y y  L  e. (Véase figura 5.) Usted puede ver que si se ha encontrado tal d en tal caso cualquier d más pequeña también funcionará. Es importante darse cuenta que el proceso ilustrado en las figuras 4 y 5 debe funcionar para todo número positivo e sin que importe qué tan pequeño sea. En la figura 6 se ilustra que si se elige un e más pequeño, entonces se podría requerir una d más pequeña. y y y y=ƒ L+∑ y=L+∑ y=L+∑ y=L+∑ ƒ ∑ ∑ L está L ∑ ∑ aquí y=L-∑ y=L-∑ y=L-∑ L-∑ 0 a x 0 a x 0 a x a-∂ ∂ a-∂ a+∂ cuando est aquí (x a) FIGURA 4 FIGURA 5 FIGURA 6 EJEMPLO 1 Utilice una gráfica para encontrar un número d tal que 15 si x  1  d entonces  x3  5x  6  2   0.2 En otras palabras, encuentre un número d que corresponda a e  0.2 en la definición de límite para la función fx  x3  5x  6 en donde a  1 y L  2. SOLUCIÓN Una gráfica de f se presenta en la figura 7; estamos interesados en la región _3 3 cercana al punto 1, 2. Observe que puede volver a escribir la desigualdad _5  x3  5x  6  2   0.2 FIGURA 7 como 1.8  x3  5x  6  2.2 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 112 112 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2.3 Necesitamos establecer los valores de x para los cuales la curva y  x3  5x  6 y=2.2 se sitúa entre las horizontales y  1.8 y y  2.2. Por lo tanto, grafique las curvas y=˛-5x+6 y  x3  5x  6, y  1.8 y y  2.2 cerca del punto 1, 2 en la figura 8. Luego utilice el cursor para estimar que la coordenada x del punto donde se cortan la recta y  2.2 y (1, 2) la curva y  x3  5x  6 está por 0.911. De igual manera, y  x3  5x  6 corta la y=1.8 recta y  1.8 cuando x 1.124. De este modo, al redondear para estar seguro, puede 0.8 1.2 decir que 1.7 si 0.92  x  1.12 entonces 1.8  x3  5x  6  2.2 FIGURA 8 Este intervalo 0.92, 1.12 no es simétrico con respecto a x  1. La distancia desde x  1 hasta el extremo izquierdo es 1  0.92  0.08 y la distancia hasta el extremo derecho es 0.12. Puede escoger d como el más pequeño de estos números, es decir, d  0.08. Luego puede reescribir las desigualdades en términos de distancias como sigue: si  x  1   0.08 entonces  x3  5x  6  2   0.2 Esto dice justamente que al mantener a x dentro del 0.08 de 1, es capaz de conservar a fx dentro de 0.2 de 2. Aunque seleccionamos d  0.08, cualquier valor positivo más pequeño de d habría funcionado.  El procedimiento gráfico del ejemplo 1 ilustra la definición para e  0.2, pero no demues- tra que el límite es igual a 2. Una demostración tiene que proporcionar una d para cada e. Para mejorar los enunciados de límite sería útil pensar en la definición de límite como un desafío. Primero lo retan con un número e. Después usted debe ser capaz de obtener una d adecuada. Debe ser capaz de hacerlo para toda e  0, no sólo para una e en particular. Considere una contienda entre dos personas A y B, piense que usted es B. La persona A estipula que se debe aproximar al número fijo L por medio de valores de f x dentro de un grado de exactitud e (por ejemplo 0.01). Por lo tanto, la persona B responde determi- nando un número d tal que 0   x  a   d siempre que  fx  L   e. Luego A podría volverse más exigente y desafiar a B con un valor más pequeño de e, por ejemplo, 0.0001. Una vez más, B tiene que responder encontrando una d correspondiente. Por lo regular, a medida que el valor de e es más pequeño, es menor el correspondiente valor de d. Si B siempre gana, sin importar qué tan pequeño haga A a e, entonces lím xl a fx  L. V EJEMPLO 2 Demuestre que lím 4x  5  7. x l3 SOLUCIÓN 1. Análisis preliminar del problema (adivinar un valor de d). Sea e un número positivo dado. Queremos encontrar un número d tal que si 0  x  3  d entonces  4x  5  7   e Pero  4x  5  7    4x  12    4x  3   4 x  3 . Por lo tanto, si 0  x  3  d entonces 4 x  3   e  es decir, si 0  x  3  d entonces x  3  4 Esto hace pensar que debe escoger d  e4. 2. Comprobación (presentación de que esta d funciona). Dado e  0, elija d  e4. Si 0   x  3   d, entonces  4x  5  7    4x  12   4 x  3   4  4   4  CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 113 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 113 y por lo tanto y=4x-5 7+∑ si 0  x  3  d entonces  4x  5  7   e 7 7-∑ Por lo tanto, de acuerdo con la definición de límite, lím 4x  5  7 x l3 Este ejemplo se ilustra en la figura 9.  0 3 x Observe que en la solución del ejemplo 2 hay dos etapas: adivinar y ensayar. Efectuó un 3-∂ 3+∂ análisis preliminar que posibilitó suponer un valor de d. Pero luego, en la segunda etapa, tu- FIGURA 9 vo que regresar y comprobar en forma cuidadosa y lógica que dio una opinión correcta. Es- te procedimiento es característico de gran parte de la matemática. Algunas veces se necesita hacer primero una conjetura inteligente con respecto a la respuesta de un problema y luego demostrar que la suposición es correcta. Las definiciones intuitivas de límites unilaterales que se presentan en la sección 2.2 se pueden reformular exactamente como se señala a continuación 3 DEFINICIÓN DE LÍMITE IZQUIERDO CAUCHY Y LOS LÍMITES lím f x  L Después de la invención del cálculo infinitesimal x l a en el siglo XVII, siguió un periodo de libre desa- rrollo de esta materia en el siglo XVIII. Matemáti- si para todo número e  0 hay un número d  0 tal que cos como los hermanos Bernoulli y Euler estaban ansiosos por explotar el poder del cálculo y si adxa entonces  fx  L   e exploraron con audacia las consecuencias de esta nueva y maravillosa teoría matemática sin preocuparse mucho por si las demostraciones eran correctas del todo. En cambio, el siglo XIX fue la Época del Rigor 4 DEFINICIÓN DE LÍMITE DERECHO en la matemática. Hubo un movimiento para volver a los fundamentos de la materia –para lím f x  L proporcionar definiciones cuidadosas y demos- x l a traciones. A la vanguardia de este movimiento se encontraba el matemático francés Augustin- si para todo número e  0 hay un número d  0 tal que Louis Cauchy (1789-1857), quien fue primero ingeniero militar antes de convertirse en profe- si axad entonces  fx  L   e sor de matemáticas en París. Cauchy tomó la idea de límite de Newton, idea que el matemáti- co francés Jean d’Alembert había mantenido viva en el siglo XVIII y la hizo más exacta. Su defini- Observe que la definición 3 es la misma que la definición 2 salvo que x está restrin- ción de límite era: “Cuando los valores sucesivos gida a estar en la mitad izquierda a  d, a del intervalo a  d, a  d. En la defini- atribuidos a una variable se aproximan indefini- ción 4, x tiene que estar en la mitad derecha a, a  d del intervalo damente a un valor fijo para terminar diferen- a  d, a  d. ciándose de éste por tan poco como uno quiere, esto se llama límite de todos los otros.” Pero cuando Cauchy aplicaba esta definición en V EJEMPLO 3 Mediante la definición 4 demuestre que lím sx  0. ejemplos y demostraciones utilizaba a menudo xl0 desigualdades delta-épsilon similares a las de esta sección. Una demostración representativa SOLUCIÓN de Cauchy inicia con: “Denótese mediante d y e 1. Adivinar un valor de d. Sea e un número positivo dado. Aquí a  0 y L  0, de dos números muy pequeños; . . .” Utilizaba e de- modo que buscamos un número d tal que bido a la correspondencia entre épsilon y la  sx  0    palabra francesa erreur. Posteriormente, el ma- temático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) si 0xd entonces estableció la definición de un límite exactamente como en la definición de este texto. es decir, si 0xd entonces sx   CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 114 114 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS o bien, al elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad sx  , obtiene si 0xd por lo tanto x  e2 Esto lleva a pensar que debe elegir d  e2. 2. Demostración de que sí trabaja esta d. Dado e  0, sea d  e2. Si 0  x  d, entonces sx  s  s 2   de modo que  sx  0    De acuerdo con la definición 4, esto demuestra que lím x l 0 sx  0.   EJEMPLO 4 Demuestre que lím x 2  9. xl3 SOLUCIÓN 1. Adivinar un valor de d. Dado que e  0. Debe encontrar un número d  0 tal que si 0  x  3  d entonces  x2  9   e Para relacionar  x2  9  con  x  3  escriba  x2  9    x  3x  3 . Luego quiere si 0  x  3  d entonces x  3 x  3  e Observe que si puede encontrar una constante positiva C tal que  x  3   C, entonces  x  3   x  3   C x  3  y puede hacer C  x  3   e tomando  x  3   eC  d. Puede determinar tal número C si restringe a x a quedar en un intervalo con centro en 3. En efecto, puesto que está interesado sólo en valores de x que estén cercanos a 3, es ra- zonable suponer que x está a una distancia 1 desde 3, es decir,  x  3   1. Por lo tanto 2  x  4, de modo que 5  x  3  7. Así,  x  3   7, y por eso C  7 es una elec- ción aceptable para la constante. Pero ahora ya hay dos restricciones en  x  3 , a saber   x  3  1 y x  3  C  7 Para tener la certeza de que ambas desigualdades se cumplen, haga que d sea la más pequeña de los dos números 1 y e7. La notación para esto es d  mín 1, e7 . 2. Demostración de que esta d funciona. Dado e  0, sea d  mín 1, e7 . Si 0   x  3   d, entonces  x  3   1 ? 2  x  4 ?  x  3   7 (como en la parte 1). También tiene que  x  3   e7, de modo que  x 2   9  x3  x  3   7  7   Esto demuestra que lím x l3 x2  9.  Como se observa en el ejemplo 4, no siempre es fácil demostrar que son verdaderos los enunciados de límite usando la definición e, d. En efecto, si tiene una función más complicada como f x  6x2  8x  92x2  1, una demostración requeriría una gran CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 115 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 115 cantidad de ingenio. Por fortuna esto es innecesario porque las leyes de los límites es- tablecidas en la sección 2.3 se demuestran usando la definición 2 y luego los límites de funciones complicadas se pueden determinar en forma rigurosa a partir de las leyes de los límites sin recurrir directamente a la definición. Por ejemplo la ley de la suma: si existen tanto lím xl a fx  L como lím xl a tx  M entonces lím f x  tx  L  M xla Las leyes restantes se demuestran en los ejercicios y en el apéndice F. DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LA SUMA Se proporciona e  0. Es necesario determinar d  0 tal que si 0  x  a  d entonces  fx  tx  L  M   e & Desigualdad triangular Si usa la desigualdad triangular puede escribir a  bab (Véase apéndice A.) 5  f x  tx  L  M     f x  L   tx  M   f x  L    tx  M  Haga que  fx  tx  L  M  sea menor que e dejando que los términos  fx  L  y  tx  M  sean menores que e2. Puesto que e2  0 y lím xl a fx  L, existe un número d1  0 tal que  si 0   x  a   d1 entonces  f x  L   2 De manera similar, puesto que lím xl a tx  M, existe un número d 2  0 tal que  si 0   x  a   d2 entonces  tx  M   2 Sea   mín  1,  2 . Observe que si 0   x  a   d entonces 0   x  a   d1 y 0   x  a   d2   de modo que  f x  L   2 y  tx  M   2 Por lo tanto, de acuerdo con (5)  f x  tx  L  M    fx  L    tx  M       2 2 Para resumir, si 0  x  a  d entonces  fx  tx  L  M   e De esta manera, según la definición de límite, lím f x  tx  L  M  xla CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 116 116 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS LÍMITES INFINITOS Los límites infinitos también se pueden definir de manera exacta. La que sigue es una ver- sión exacta de la definición 4 de la sección 2.2. 6 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto tal vez en a misma. Entonces, lím f x  xla y quiere decir que para todo número positivo M hay un número positivo d tal que M y=M si 0  x  a  d entonces f x  M Esto establece que los valores de f x se pueden hacer arbitrariamente grandes (más grandes que cualquier número dado M) al acercar x lo suficiente a a (a una distancia d, donde d depende de M, pero x  a). Una representación geométrica se ilustra en la 0 a x figura 10. a-∂ a+∂ Dada una línea horizontal y  M, puede hallar un número d  0 tal que si restringe FIGURA 10 a que x se sitúe en el intervalo a  d, a  d donde x  a, entonces la curva y  f x queda por arriba de la recta y  M. Se puede ver si escoge una M más grande, entonces se requeriría una d más pequeña. 1 V EJEMPLO 5 Aplique la definición 6 para demostrar que lím  . xl0 x2 SOLUCIÓN Sea M un número positivo determinado. Busca un número d tal que si 0  x  d entonces 1x2  M 1 1 1 Pero x2 M &fi x2  M &fi  x   sM Si seleccionamos   1sM y 0   x     1sM, entonces 1x2  M. Esto demuestra que 1x 2 l cuando x l 0.  y La que sigue es una versión exacta de la definición 5 de la sección 2.2. Se ilustra en la figura 11. a-∂ a+∂ a 0 x 7 DEFINICIÓN Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente para a misma. Entonces N y=N lím f x   xla FIGURA 11 quiere decir que para todo número negativo N hay un número positivo d tal que si 0  x  a  d entonces f x  N CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 117 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 117 2.4 EJERCICIOS 1. Utilice la gráfica dada de fx  1x para calcular un número y d tal que y=≈ 1.5 si x  2  d en seguida  1 x  0.5  0.2  0.5 1 y 0 ? 1 ? x 1 1 y= x 0.7 ; 5. Por medio de una gráfica determine un número d tal que 0.5   0.3 si x  entonces  tan x  1   0.2 4 0 10 2 10 x 7 3 ; 6. Con la ayuda de una gráfica determine un número d tal que   2. Utilice la gráfica dada de f para determinar un número 2x d tal que si x  1  d entonces  0.4  0.1 x2  4 si 0  x  5  d en consecuencia  fx  3   0.6 ; 7. Para el límite y lím 4  x  3x 3   2 xl1 3.6 3 ilustre la definición 2 calculando valores de d que correspon- 2.4 den a e  1 y e  0.1. ; 8. Para el límite 0 x ex  1 4 5 5.7 lím 1 xl 0 x 3. Mediante la gráfica dada de f x  sx hallar un número ilustre la definición 2 determinando valores de d que corres- d tal que ponden a e  0.5 y e  0.1. ; 9. Teniendo en cuenta que el lím x lp2 tan x  , explicar 2 si x  4  d por lo tanto  sx  2   0.4 la definición 6 hallando valores de d que corresponda (a) M  1 000 y (b) M  10 000. y ; 10. Utilice una gráfica para hallar un número d tal que y=œ„ œx 2.4 2 x2 si 5x5d entonces  100 1.6 sx  5 11. Se requiere un tornero para fabricar un disco circular de metal 0 ? 4 ? x cuya área sea de 1 000 cm2. (a) ¿Qué radio produce dicho disco? (b) Si al tornero se le permite una tolerancia de error de 4. Con la gráfica dada de f x  x 2 encuentre un número 5 cm2 en el área del disco, ¿qué tan cercano al radio d tal que ideal del inciso (a) debe el tornero controlar el radio? (c) Según la definición e, d de límxla fx  L, ¿qué es x? ¿Qué es fx? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de si x  1  d después x 2   1  21 e se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d? CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 118 118 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 33. Compruebe que otra elección posible de d es demostrar que ; 12. Se utiliza un horno de crecimiento de cristales en la investiga- ción para determinar cuál es la mejor manera de fabricar cristales lím xl 3 x2  9 en el ejemplo 4 es d  mín 2, e8 . que se usarán en las partes electrónicas de los transbordadores espaciales. Para que el crecimiento de los cristales sea el 34. Verifique mediante un razonamiento geométrico que la elección correcto, la temperatura se tiene que controlar exactamente más grande posible de d para demostrar que lím xl 3 x2  9 es ajustando la potencia de entrada. Suponga que la relación se   s9    3. representa con CAS 35. (a) En el caso del límite lím xl 1 x 3  x  1  3, determine un valor de d mediante una gráfica que corresponde a Tw  0.1w2  2.155w  20 e  0.4. (b) Utilice un sistema algebraico para computadora con el fin donde T es la temperatura en grados Celsius y w es la entrada de resolver la ecuación cúbica x 3  x  1  3  e, y de potencia en watts. determinar el valor más grande posible de d que funciona (a) ¿Cuánta potencia se requiere para mantener la temperatura para cualquier e  0. a 200°C? (c) Use e  0.4 en su respuesta del inciso (b) y compare con (b) Si se permite una variación de temperatura de hasta su respuesta del inciso (a). 1 °C, con respecto a 200°C, ¿qué intervalo de potencia en watts se permite para la potencia de entrada? 1 1 36. Demuestre que lím  . (c) De acuerdo con la definición e, d de lím xl a fx  L, ¿qué x l2 x 2 es x? ¿Qué es fx? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de e se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d? 37. Demuestre que lím sx  sa si a  0. xla 13. (a) Hallar un número d tal que si  x  2   d, por lo tanto  4x  8   e, donde e  0.1. (b) Repetir el inciso (a) con e  0.01.  | Sugerencia: utilice sx  sa  | sx x  sa a .  38. Si H es la función de Heaviside que se definió en el ejemplo 6 14. Teniendo en cuenta que el lím x l 2 5x  7  3, explicar la de la sección 2.2, demuestre mediante la definición 2 que no definición 2 hallando valores de d que corresponda a existe el lím tl 0 Ht. [Sugerencia: efectúe una demostración e  0.1, e  0.05 y e  0.01. indirecta como se indica. Suponga que el límite es L. Haga   2 en la definición de un límite e intente llegar a una 1 15–18 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de límite contradicción.] e ilustre con un diagrama como el de la figura 9. 39. Si la función f se define mediante ( 12 x  3)  2  15. lím 2x  3  5 16. lím xl1 x l 2 0 si x es racional f x  17. lím 1  4x  13 18. lím 7  3x  5 1 si x es irracional x l 3 xl4 demuestre que lím x l 0 fx no existe. 19–32 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de límite. 40. Mediante la comparación de las definiciones 2, 3 y 4 demuestre el teorema 1 de la sección 2.3. 19. lím x l3 x 5  3 5 20. lím xl6  x 4 3  9 2 41. ¿Qué tan cerca a 3 tiene que hacer a x para que 1 x2  x  6 9  4x 2  10 000 21. lím 5 22. lím 6 x  34 x l2 x2 x l1.5 3  2x 1 23. lím x  a 24. lím c  c 42. Demuestre aplicando la definición 6 que lím  . xla xla x l3 x  34 25. lím x 2  0 26. lím x 3  0 43. Demuestre que lím ln x   . xl0 xl0 xl0 44. Suponga que lím xl a fx  y lím xl a tx  c, donde c es un 27. lím x  0 xl0   28. lím s xl9 4 9x0 número real. Demuestre cada proposición. (a) lím f x  tx  29. lím x  4x  5  1 2 30. lím x  x  4  8 2 xla x l2 x l3 (b) lím f xtx  si c  0 xla 31. lím x 2  1  3 32. lím x 3  8 x l2 x l2 (c) lím f xtx   si c  0 xla CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 119 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 119 2.5 CONTINUIDAD En la sección 2.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el límite de una función cuando x tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las funcio- nes con esta propiedad son continuas en a. Ahora verá que la definición matemática de continuidad corresponde íntimamente al significado de la palabra continuidad en el lengua- je cotidiano. (Un proceso continuo tiene lugar gradualmente, sin interrupción ni cambio abrupto.) 1 DEFINICIÓN Una función f es continua en un número a si lím f x  f a x la & Como se ilustra en la figura 1, si f es Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a: continua, después los puntos x, fx de la gráfica de f tienden al punto a, f a 1. fa está definido (es decir, a está en el dominio de f ) de la gráfica. Así, no hay brecha alguna en la curva. 2. lím f x existe x la y y=ƒ 3. lím f x  f a x la ƒ tiende a f(a) La definición afirma que f es continua en a si fx tiende a f a cuando x tiende a a. Así, f(a). una función continua tiene la propiedad de que un cambio pequeño en x sólo produce una pequeña alteración en fx. De hecho, el cambio en fx se puede mantener tan pequeño co- mo desee, restringiendo el cambio en x lo necesario. Si f está definida cerca de a (en otras palabras, f está definida en un intervalo abierto que contiene a, excepto tal vez en a), f es discontinua en a (o f tiene una discontinui- 0 a x dad en a) si f no es continua en a. Conforme x se Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la velo- aproxima a a, cidad de un vehículo varían en forma continua con el tiempo, como pasa con la estatu- FIGURA 1 ra de una persona. Pero en realidad se presentan discontinuidades en situaciones como las corrientes eléctricas. Vea el ejemplo 6, de la sección 2.2, donde la función de Heaviside es discontinua en 0 porque lím tl 0 Ht no existe. Geométricamente, una función continua en todo número en un intervalo se puede con- cebir como una función cuya gráfica no se interrumpe. La gráfica se puede trazar sin le- vantar la pluma del papel. y EJEMPLO 1 En la figura 2 se muestra la gráfica de una función f. ¿En cuáles números es f discontinua? ¿Por qué? SOLUCIÓN Se ve como si hubiera una discontinuidad cuando a  1 porque la gráfica tiene una ruptura allí. La razón oficial de que f sea discontinua en 1 es que f 1 no está definido. La gráfica también tiene una ruptura cuando a  3, pero la razón de la discontinuidad 0 1 2 3 4 5 x es diferente. En este caso, f3 está definido, pero lím xl 3 fx no existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes). Por lo tanto, f es discontinua en 3. ¿Qué pasa cuando x  5? En tal caso, f5 está definido y lím x l 5 fx existe (porque FIGURA 2 los límites por la izquierda y por la derecha son los mismos). Pero lím f x  f 5 xl5 De este modo, f es discontinua en 5.  Observe ahora cómo detectar las discontinuidades cuando una fórmula define a la función. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 120 120 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS ¿En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes?  V EJEMPLO 2 1 x2  x  2 si x  0 (a) f x  (b) f x  x2 x2 si x  0  1 x2  x  2 si x  2 (c) f x  x2 (d) fx  x 1 si x  2 SOLUCIÓN (a) Advierta que f 2 no está definido, también f es discontinua en 2. Más adelante verá por qué es continua en todos los otros números. (b) En este caso, f 0  1 está definido pero 1 lím f x  lím xl0 xl0 x2 no existe. (Véase el ejemplo 8 en la sección 2.2.) Así, f es discontinua en 0. (c) En este caso f 2  1 está definido y x2  x  2 x  2x  1 lím f x  lím  lím  lím x  1  3 x l2 x l2 x2 x l2 x2 x l2 existe. Pero lím f x  f 2 x l2 por eso, f no es continua en 2. (d) La función mayor entero f x  x tiene discontinuidades en todos los enteros porque lím x l n x no existe si n es un entero. (Véase el ejemplo 10 y el ejercicio 49 de la sección 2.3.)  En la figura 3 se muestran las gráficas de las funciones del ejemplo 2. En cada caso no se puede dibujar la gráfica sin levantar la pluma del papel, porque se presenta un agu- jero, una ruptura o un salto en esa gráfica. El tipo de discontinuidad que se ilustra en los incisos (a) y (c) se conoce como removible porque la discontinuidad podría eliminarse al redefinir f justo en el número único 2. [La función tx  x  1 es continua.] La disconti- nuidad del inciso (b) recibe el nombre de discontinuidad infinita. Las discontinuidades del inciso (d) se llaman discontinuidad por salto porque la función “salta” de un valor a otro. y y y y 1 1 1 1 0 1 2 x 0 x 0 1 2 x 0 1 2 3 x 1 ≈-x-2 ≈-x-2 si x≠0 si x≠2 (a) ƒ= (b) ƒ= ≈ (c) ƒ= x-2 (d) ƒ=[ x ] x-2 1 si x=0 1 si x=2 FIGURA 3 Gráficas de las funciones del ejemplo 2 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 121 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 121 2 DEFINICIÓN Una función f es continua desde la derecha en un número a si lím f x  f a x l a y f es continua desde la izquierda en a si lím f x  f a xla EJEMPLO 3 En cada entero n, la función f x  x véase la figura 3(d) es continua des- de la derecha pero discontinua desde la izquierda porque lím f x  lím x  n  f n x l n x ln pero lím f x  lím x  n  1  f n  xln xln 3 DEFINICIÓN Una función f es continua sobre un intervalo si es continua en todo número en el intervalo. (Si f se define únicamente en un lado de un punto ex- tremo del intervalo, continua quiere decir continua desde la derecha o continua desde la izquierda.) EJEMPLO 4 Demuestre que la función f x  1  s1  x 2 es continua sobre el intervalo 1, 1 . SOLUCIÓN Si 1  a  1 entonces, al aplicar las leyes de los límites lím f x  lím (1  s1  x 2 ) xla xla  1  lím s1  x 2 (por las leyes 2 y 7) xla  1  s lim 1  x 2  (por la ley 11) xla  1  s1  a 2 (por las leyes 2, 7 y 9)  f a y De suerte que por la definición 1, f es continua en a si 1  a  1. Cálculos similares ƒ=1-œ„„„„„ 1-≈ hacen ver que 1 lím f x  1  f 1 y lím f x  1  f 1 x l 1 xl1 0 x de modo que f es continua desde la derecha en 1 y continua desde la izquierda en 1. -1 1 Por consiguiente, según la definición 3, f es continua sobre 1, 1 . En la figura 4 se ilustra la gráfica de f. Es la mitad inferior de la circunferencia FIGURA 4 x2  y  12  1  En lugar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 y 3 para comprobar la continuidad de una función, como en el ejemplo 4, a menudo resulta conveniente aplicar el teorema siguiente, el cual muestra cómo formar funciones continuas complicadas a partir de fun- ciones sencillas. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 122 122 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 4 TEOREMA Si f y t son continuas en a y c es una constante, entonces las funcio- nes siguientes también son continuas en a: 1. f  t 2. f  t 3. cf f 4. ft 5. si ta  0 t DEMOSTRACIÓN Cada una de las cinco partes de este teorema se infieren de la ley de los lí- mites correspondiente de la sección 2.3. Por ejemplo, demuestra la parte 1. Puesto que f y t son continuas en a, lím f x  f a y lím tx  ta xla xla En consecuencia, lím  f  tx  lím f x  tx xla xla  lím f x  lím tx (por la Ley 1) xla xla  f a  ta  f  ta Esto muestra que f  t es continua en a.  Del teorema 4 y la definición 3 se deduce que si f y t son continuas sobre un intervalo, también lo son las funciones f  t, f  t, cf, ft y (si t nunca es 0) ft. En la sección 2.3 se enunció el siguiente teorema como propiedad de sustitución directa. 5 TEOREMA (a) Cualquier polinomio es continuo en todas partes; es decir, es continuo sobre    , . (b) Cualquier función racional es continua, siempre que esté definida; es decir, es continua en su dominio. DEMOSTRACIÓN (a) Un polinomio es una función de la forma Px  cn x n  cn1 x n1      c1 x  c0 donde c0, c1, . . . , cn son constantes. Sabe que lím c0  c0 (por la ley 7) xla y lím x m  a m m  1.2, . . . , n (por la ley 9) xla Esta ecuación es precisamente la proposición de que la función fx  xm es una función continua. Por esto, con base en la parte 3 del teorema 4, la función tx  cxm es continua. Dado que P es una suma de funciones de esta forma y una función constante, a partir de la parte 1 del teorema 4 se deduce que P es continua. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 123 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 123 (b) Una función racional es una función de la forma Px f x  Qx donde P y Q son polinomios. El dominio de f es D  x    Qx  0 . Sabe, del in- ciso (a), que P y Q son continuas en todas partes. De esta manera, f es continua en todo número en D, de acuerdo con la parte 5 del teorema 4.  Como ilustración del teorema 5, observe que el volumen de una esfera varía continuamen- te con su radio porque la fórmula Vr  43 r 3 hace ver que V es una función polinomial de r. Del mismo modo, si se lanza una pelota verticalmente en el aire, con una velocidad de 50 fts, después la fórmula h  50t  16t 2 expresa la altura de la pelota, en pies, después de t segundos. De nuevo, es una función polinomial, de modo que la altura es una función continua del tiempo transcurrido. Saber cuáles funciones son continuas permite evaluar algunos límites con mucha rapidez, como demuestra el ejemplo siguiente. Compárelo con el ejemplo 2(b) de la sec- ción 2.3. x 3  2x 2  1 EJEMPLO 5 Encuentre lím . x l 2 5  3x SOLUCIÓN La función x 3  2x 2  1 f x  5  3x es racional, de modo que por el teorema 5 es continua sobre su dominio, el cual es {x  x  53}. En consecuencia x 3  2x 2  1 lím  lím f x  f 2 x l2 5  3x x l2 23  222  1 1    5  32 11 y Resulta que la mayor parte de las funciones conocidas son continuas en todo número en su dominio. Por ejemplo, la ley de los límites 10 (página 110) es exactamente la propo- sición de que las funciones raíz son continuas. P(cos ¨, sen ¨) Con base en el aspecto de las gráficas de las funciones seno y coseno (figura 18, en la 1 sección 1.2), podría suponer con toda certeza que son continuas. De acuerdo con la defini- ción de sen u y cos u sabe que las coordenadas del punto P de la figura 5 son cos u, sen u. ¨ Cuando u l 0, P tiende al punto 1, 0 y, por consiguiente, cos u l 1 y sen u l 0. De 0 (1, 0) x esta manera FIGURA 5 6 lím cos   1 lím sen   0 l0 l0 Como cos 0  1 y sen 0  0, las ecuaciones dadas en (6) afirman que las funciones seno & Otra forma de establecer los límites en (6) y coseno son continuas en 0. Por lo tanto se pueden aplicar las fórmulas de la adición pa- es usar el teorema de la compresión con la ra coseno y seno para deducir que estas funciones son continuas en todas partes (véase los desigualdad sen u  u (para u  0), lo cual ejercicios 56 y 57). se prueba en la sección 3.3. De la parte 5 del teorema 4, se deduce que sen x tan x  cos x CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 124 124 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS y es continua excepto donde cos x  0. Esto sucede cuando x es un múltiplo impar de p2, de modo que y  tan x tiene discontinuidades infinitas cuando x  p2, 3p2, 5p2, y así sucesivamente (véase la figura 6). La función inversa de cualquier función uno a uno continua también es continua. (Este 1 hecho se comprueba en el apéndice F, pero la intuición geométrica lo hace parecer razo- 3π _π π 0 π π 3π x nable: La gráfica de f 1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la recta y  x. Tam- _ 2 _ 2 2 2 bién, si la gráfica de f no tiene ruptura alguna, tampoco la tiene la gráfica de f 1.) De este modo, las funciones trigonométricas inversas son continuas. En la sección 1.5 se definió la función exponencial y  ax de modo que se llenaran los agujeros en la gráfica de esta función donde x es racional. En otras palabras, la simple definición de y  ax la hace una función continua sobre . Por lo tanto, su función inversa FIGURA 6 y=tan x y  loga x es continua sobre 0, . & En la sección 1.6 se hace un repaso 7 TEOREMA Los tipos siguientes de funciones son continuos en todo número en de las funciones trigonométricas inversas. sus dominios: polinomios funciones racionales funciones raíz funciones trigonométricas funciones trigonométricas inversas funciones exponenciales funciones logarítmicas ln x  tan1 x EJEMPLO 6 ¿En dónde es continua la función f x  ? x2  1 SOLUCIÓN Por el teorema 7, sabe que la función y  ln x es continua para x  0 y que y  tan1 x es continua sobre . Así, por la parte 1 del teorema 4, y  ln x  tan1 x es continua sobre 0, . El denominador, y  x2  1, es un polinomio, de modo que es continuo en todas partes. Por lo tanto, por la parte 5 del teorema 4, f es continua en todos los números positivos x, excepto donde x2  1  0. De este modo, f es continua en los intervalos 0, 1 y 1, .  sen x EJEMPLO 7 Hallar el valor numérico del lím . x l 2  cos x SOLUCIÓN El teorema 7 dice que y  sen x es continua. La función en el denominador, y  2  cos x, es la suma de dos funciones continuas y en consecuencia es continua. Dese cuenta que esta función jamás es cero porque cos x 1 para toda x y también 2  cos x  0 en todas partes. En estos términos la relación sen x f x  2  cos x es continua en todas partes. Por lo tanto, mediante la definición de función continua, sen x sen 0 lím  lím fx  f     0  xl 2  cos x xl 2  cos 21 Otra manera de combinar las funciones continuas f y t para obtener una nueva función continua es formar la función compuesta f  t. Este hecho es una consecuencia del teorema siguiente. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 125 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 125 & Este teorema expresa que se puede mover un símbolo de límite a través de un símbolo de 8 TEOREMA Si f es continua en b y lím tx  b, entonces lím f tx  f b. función, si la función es continua y el límite xla x la existe. En otras palabras, se puede invertir el En otras palabras, orden de estos dos símbolos. lím f tx  f lím tx ( ) xla xla A nivel intuitivo, este teorema resulta razonable porque si x está cerca de a, después tx está cerca de b y como f es continua en b, si tx está cerca de b, en seguida ftx está cerca de fb. Una demostración del teorema 8 se proporciona en el apéndice F. EJEMPLO 8 Evalúe lím arcsen x l1  1  sx 1x .  SOLUCIÓN Ya que arcsen es una función continua, aplique el teorema 8: lím arcsen x l1  1  sx 1x   arcsen lím  x l1 1  sx 1x   arcsen lím  x l1 1  sx (1  sx ) (1  sx )   arcsen lím  x l1 1 1  sx  1  arcsen   2 6 Aplique el teorema 8 en el caso especial donde f x  s n x , y n es un entero positivo. Entonces f tx  s n tx y f lím tx  ( xla ) slím n xla tx Si sustituye estas expresiones en el teorema 8 obtiene lím s n tx  s n lím tx xla xla con lo que queda demostrada la ley 11 de los límites. (Supone que las raíces existen.) 9 TEOREMA Si t es continua en a y f es continua en ta, entonces la función compuesta f  t dada por f  tx  f tx es continua en a. A menudo, este teorema se expresa de manera informal diciendo: “una función conti- nua de una función continua es una función continua”. DEMOSTRACIÓN Como t es continua en a lím tx  ta xla Como f es continua en b  ta, puede aplicar el teorema 8 para obtener lím f tx  f ta xla CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 126 126 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS que es precisamente la proposición de que la función hx  ftx es continua en a; es decir, f  t es continua en a.  V EJEMPLO 9 ¿En dónde son continuas las funciones siguientes? (a) hx  senx 2 (b) Fx  ln1  cos x SOLUCIÓN (a) Tiene hx  f tx donde 2 tx  x2 y f x  sen x _10 10 Ahora t es continua sobre , puesto que es un polinomio, y f también es continua en todas partes. Por consiguiente, h  f  t es continua sobre  por el teorema 9. (b) Con base en el teorema 7, sabe que f x  ln x es continua y tx  1  cos x es continua (porque tanto y  1 como y  cos x son continuas). Por lo tanto, del teorema 9, Fx  f tx es continuo siempre que esté definido. Ahora bien, ln 1  cos x está _6 definido cuando 1  cos x  0. De este modo, no está definido cuando cos x  1, y esto FIGURA 7 sucede cuando x  p, 3p, . . . . Por esto, F tiene discontinuidades cuando x es un múlti- y=ln(1+cos x) plo impar de p y es continua sobre los intervalos entre estos valores. (Véase la figura 7.)  Una propiedad importante de las funciones continuas se expresa con el siguiente teorema, cuya demostración se encuentra en libros más avanzados de cálculo. 10 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Suponga que f es continua sobre el inter- valo cerrado a, b y sea N cualquier número entre fa y fb, donde fa  fb. Entonces existe un número c en a, b tal que fc  N. El teorema del valor intermedio afirma que una función continua toma todos los valores intermedios entre los valores de la función fa y fb. Este hecho se ilustra en la figura 8. Observe que el valor N se puede tomar una vez como en la parte a o más de una vez como en la parte (b) . y y f(b) f(b) N y=ƒ N f(a) y=ƒ f(a) 0 a c b x 0 a c¡ c™ c£ b x FIGURA 8 (a) (b) y Si piensa en una función continua como en una función cuya gráfica no tiene agujeros f(a) o rupturas, en tal caso es fácil creer que el teorema del valor intermedio es cierto. En tér- y=ƒ N y=N minos geométricos, dice que si se da cualquier recta horizontal y  N entre y  f a y y  f b, como en la figura 9, por lo tanto la gráfica de f no puede saltar sobre la recta. Debe intersecar y  N en alguna parte. f(b) Es importante que la función f del teorema 10 sea continua. En general, el teorema del valor 0 a b x intermedio no se cumple para las funciones discontinuas (véase el ejercicio 44). Un uso del teorema del valor intermedio es hallar las raíces de ecuaciones, como en el FIGURA 9 ejemplo siguiente. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 127 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 127 V EJEMPLO 10 Demuestre que existe una raíz de la ecuación 4x 3  6x 2  3x  2  0 entre 1 y 2. SOLUCIÓN Sea f x  4x 3  6x 2  3x  2. Busca una solución de la ecuación dada; es decir, un número c entre 1 y 2 tal que f c  0. Por lo tanto, en el teorema 10, toma a  1, b  2 y N  0. Tiene f1  4  6  3  2  1  0 y f2  32  24  6  2  12  0 Por esto, f 1  0  f 2; es decir, N  0 es un número entre f 1 y f 2. Ahora bien, f es continua porque es un polinomio, de modo que el teorema del valor intermedio afirma que existe un número c entre 1 y 2 tal que f c  0. En otras palabras, la ecuación 4x3  6x2  3x  2  0 tiene por lo menos una raíz c en el intervalo 1, 2. De hecho, podemos localizar una raíz con mayor precisión aplicando de nuevo el teorema del valor intermedio. Puesto que f 1.2  0.128  0 y f1.3  0.548  0 una raíz se debe encontrar entre 1.2 y 1.3. Una calculadora da, por tanteos, f1.22  0.007008  0 y f1.23  0.056068  0 de modo que una raíz se encuentra en el intervalo 1.22, 1.23.  Use una calculadora graficadora o una computadora para ilustrar la aplicación del teo- rema del valor intermedio en el ejemplo 10. En la figura 10 se muestra la gráfica de f en rectángulo de visualización 1, 3 por 3, 3 y se puede ver que la gráfica cruza el eje x entre 1 y 2. En la figura 11 se muestra el resultado de realizar un acercamiento hacia la pantalla 1.2, 1.3 por 0.2, 0.2 . 3 0.2 _1 3 1.2 1.3 _3 _0.2 FIGURA 10 FIGURA 11 De hecho, el teorema del valor intermedio desempeña un papel en la manera en que funcionan estos aparatos graficadores. Una computadora calcula un número finito de puntos de la gráfica y hace aparecer los pixeles que contienen estos puntos calculados. Supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos pun- tos consecutivos. En consecuencia, la computadora une los pixeles al hacer aparecer los pixeles intermedios. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 128 128 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2.5 EJERCICIOS 1. Escriba una ecuación que exprese el hecho de que una función (d) El costo de un viaje en taxi como función de la distancia f es continua en el número 4. recorrida. (e) La corriente en el circuito para las luces de una habitación 2. Si f es continua sobre  , , ¿qué puede decir acerca de su como función del tiempo. gráfica? 9. Si f y t son funciones continuas con f 3  5 y 3. (a) A partir de la gráfica de f, establezca el número al cual f lím x l 3 2 f x  tx  4 , encuentre t3. es discontinua y explique por qué. (b) Para cada uno de los números que se determinaron en el 10–12 Use la definición de continuidad y las propiedades de los inciso (a), determine si f es continua desde la derecha, límites para demostrar que la función es continua en el número desde la izquierda o desde ninguno de los dos lados. a dado. y 10. f x  x 2  s7  x, a4 11. f x  x  2x 3 4, a  1 2t  3t 2 12. ht  , a1 1  t3 _4 _2 0 2 4 6 x 13–14 Use la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que la función es continua en el intervalo 2x  3 13. f x  , 2,  4. A partir de la gráfica de t, dé los intervalos sobre los que t es x2 continua. 14. tx  2 s3  x,  , 3 . y 15–20 Explique por qué la función es discontinua en el punto dado a. Dibuje la gráfica de la función.  15. f x  ln x  2  a2  _4 _2 2 4 6 8 x 1 si x  1 16. f x  x1 a1 2 si x  1 5. Trace la gráfica de una función que sea continua en todas partes, excepto en x  3, y sea continua desde la izquierda en 3. 17. f x   e x2 x si x  0 si x  0 a0  6. Dibuje una función que tenga una discontinuidad de salto en x2  x x  2 y una discontinuidad removible en x  4, pero que sea si x  1 continua en todas las demás partes. 18. f x  x 2  1 a1 1 si x  1  7. En un lote de estacionamiento se cobran $3 por la primera hora (o fracción) y $2 por cada hora (o fracción) subsiguiente, hasta cos x si x  0 un máximo diario de $10. 19. f x  0 si x  0 a0 (a) Dibuje el costo de estacionar un automóvil en este lote, 1  x2 si x  0  como función del tiempo que permanezca allí. (b) Analice las discontinuidades de esta función y su significado 2x 2  5x  3 si x  3 para alguien que estacione su automóvil en el lote. x3 20. f x  a3 8. Explique por qué cada función es continua o discontinua. 6 si x  3 (a) La temperatura en un lugar específico como función del tiempo. (b) La temperatura en un momento dado como función de la 21–28 Con los teoremas 4, 5, 7 y 9 explique por qué la función es distancia hacia el oeste de la ciudad de Nueva York continua en todo número en su dominio. Dé el dominio. (c) La altitud sobre el nivel del mar como función de la distancia x hacia el oeste de la ciudad de Nueva York. 21. Fx  22. Gx  s 3 x 1  x 3  x 2  5x  6 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 129 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 129 sen x 41. ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua sobre 23. Rx  x 2  s2 x  1 24. hx  x1  , ?  25. Lt  e5t cos 2p t 26. Fx  sen1x 2  1 cx 2  2x si x  2 27. Gt  lnt  1 4 28. Hx  cos(e sx ) f x  x 3  cx si x  2 42. Hallar el valor de a y b que hace a f continua en todas partes ; 29–30 Localice las discontinuidades de la función e ilústrelas tra- zando una gráfica. x2  4 si x  2 1 x2 29. y  30. y  lntan2 x f x  1  e 1x ax 2  bx  3 si 2  x  3 2x  a  b si x  3 31–34 Aplique la continuidad para evaluar el límite. 43. ¿Cuál de las funciones f siguientes tiene discontinuidad removible en a? Si la discontinuidad es removible, determine una función 5  sx t que concuerde con f para x  a y es continua en . 31. lím 32. lím senx  sen x x l4 s5  x x l x4  1   (a) f x  , a1 2 x2  4 x1 33. lím e x x 34. lím arctan x l1 x l2 3x 2  6x x 3  x2  2x (b) f x  , a2 x2 (c) f x  sen x, ap 35–36 Demuestre que f es continua sobre  , . 35. f x   x 2 si x  1 sx si x  1 44. Suponga que una función f es continua sobre 0, 1 , excepto en 0.25, y que f 0  1 y f 1  3. Sea N  2. Trace dos gráficas posibles de f, una en que se muestre  que f podría no satisfacer la conclusión del teorema del sen x si x  4 36. f x  valor intermedio y la otra que muestre que f todavía cos x si x  4 podría satisfacer ese teorema (aun cuando no satisfaga la hipótesis). 37–39 Determine los números en los que f es discontinua. ¿En 45. Si f x  x 2  10 sen x, demuestre que hay un número c tal cuáles de estos valores f es continua por la derecha, por la iz- que f c  1 000. quierda o no lo es ni por la derecha ni por la izquierda? Trace la gráfica de f. 46. Considere que f es continua en 1, 5 y la única solución de  f x  6 son x  1 y x  4. Si f 2  8, explique ¿por 1  x 2 si x 0 qué f 3  6? 37. f x  2  x si 0  x 2 x  22 si x  2 47–50 Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que  existe una raíz de la ecuación dada en el intervalo especificado. x1 si x 1 38. f x  1x si 1  x  3 47. x 4  x  3  0, 1, 2 48. s 3 x  1  x, 0, 1 sx  3 si x  3 49. cos x  x, 0, 1 50. ln x  ex, 1, 2 39. f x   x  2 si x  0 ex si 0 x 1 2  x si x  1 51–52 (a) Compruebe que la ecuación tiene cuando menos una raíz real. (b) Use su calculadora para hallar un intervalo de longitud 0.01 que contenga una raíz. 40. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa 51. cos x  x 3 52. ln x  3  2x unitaria a una distancia r del centro del planeta es GMr si r  R R3 ; 53–54 (a) Pruebe que la ecuación tiene cuando menos una raíz Fr  real. (b) Utilice su dispositivo graficador para encontrar la raíz GM si r  R correcta hasta tres cifras decimales. r2 donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante 53. 100ex100  0.01x 2 54. arctan x  1  x gravitacional. ¿F es una función continua de r? CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 130 130 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 55. Demuestre que f es continua en a si y sólo si 62. Si a y b son números positivos, comprobar que la ecuación a b lím f a  h  f a  3 0 hl0 x3  2x2  1 x x2 56. Para demostrar que seno es continuo necesita demostrar que tiene por lo menos una solución en el intervalo 1, 1. lím x l a sen x  sen a para todo número real a. Según el 63. Demuestre que la función  ejercicio 55, una proposición equivalente es que x4 sen1x si x  0 f x  lím sena  h  sen a 0 si x  0 hl0 es continua en  , . Aplique (6) para demostrar que esto es cierto. 64. (a) Demuestre que la función de valor absoluto Fx   x  es 57. Compruebe que coseno es una función continua. continua en todas partes. (b) Compruebe que si f es una función continua sobre un 58. (a) Demuestre el teorema 4, parte 3. intervalo, entonces también lo es  f . (b) Demuestre el teorema 4, parte 5. (c) ¿Lo inverso de la proposición del inciso (b) también es verdadero? En otras palabras, ¿si  f  es continua se 59. ¿Para qué valores de x es continua f ? deduce que f es continua? De ser así, compruébelo.  En caso de no ser así, halle un ejemplo contrario. 0 si x es racional 65. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 A.M. y f x  1 si x es irracional emprende su camino habitual hacia la cima de la montaña, 60. ¿Para qué valores de x es continua g? a donde llega a las 7:00 P.M. La mañana siguiente inicia el regreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 A.M. y llega tx  0 x si x es racional si x es irracional al monasterio a las 7:00 P.M. Mediante el teorema del valor intermedio demuestre que existe un punto a lo largo de la ruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora en 61. ¿Hay un número que es exactamente 1 más que su cubo? ambos días. 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES En las secciones 2.2 y 2.4 se trataron los límites infinitos y las asíntotas verticales. Ahí se dejó que x se aproximara a un número y el resultado es que los valores de y se vuelven arbitrariamente grandes (ya sean positivos o negativos). En esta sección se permite que x x f x se vuelva arbitrariamente grande en magnitud y se observa qué le sucede a y. 0 1 Empiece por investigar el comportamiento de la función f definida por 1 0 2 x2  1 0.600000 f x  3 0.800000 x2  1 4 0.882353 cuando x se hace grande. La tabla al margen da valores de esta función correctos hasta seis 5 0.923077 posiciones decimales (o seis dígitos decimales) y, en la figura 1, se ha trazado la gráfica de 10 0.980198 f por medio de una computadora. 50 0.999200 y 100 0.999800 y=1 1000 0.999998 0 1 x ≈-1 y= ≈+1 FIGURA 1 Conforme x crece más y más, se puede ver que los valores de fx se aproximan cada vez más a 1. De hecho, parece que puede acercar cuanto quiera los valores de fx a 1 eligiendo una x lo suficientemente grande. Esta situación se expresa en forma simbólica escribiendo x2  1 lím 1 x l x2  1 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 131 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 131 En general, use el simbolismo lím f x  L x l para indicar que los valores de f x tienden a L conforme x se hace más y más grande. 1 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo a, . Entonces lím f x  L x l significa que los valores de fx se pueden aproximar a L tanto como desee, si escoge una x suficientemente grande. Otra notación para lím x l fx  L es fx l L conforme x l El símbolo no representa un número. No obstante, la expresión lím f x  L a menudo x l se lee como “el límite de fx, cuando x tiende al infinito, es L” o “el límite de fx, cuando x se hace infinito, es L” o bien “el límite de f x, cuando x crece sin cota, es L” La definición 1 da el significado de esas frases. Una definición más exacta, similar a la definición de e, d de la sección 2.4 se encuentra al final de esta sección En la figura 2 se muestran ilustraciones geométricas de la definición 1. Advierta que hay muchas maneras de aproximar la gráfica de f a la recta y  L (la cual se llama asín- tota horizontal) a medida que ve hacia el extremo derecho de cada gráfica. y y y y=L y=L y=ƒ y=ƒ y=L y=ƒ 0 x 0 x 0 x FIGURA 2 Ejemplos que ilustran lím ƒ=L Si vuelve a la figura 1, verá que para valores negativos de x grandes en magnitud, los valores de f x están cercanos a 1. Al decrecer x a través de valores negativos sin cota, x ` puede acercar fx a 1 cuanto quiera. Esto se expresa escribiendo x2  1 lím 1 x l  x2  1 La definición general es como sigue: 2 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo  , a. Entonces lím f x  L x l quiere decir que los valores de f x se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L haciendo que x sea negativa y suficientemente grande en magnitud. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 132 132 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS y Es necesario remarcar que el símbolo  no representa un número, pero la expresión y=ƒ lím f x  L se lee a menudo como x l “el límite de fx, cuando x tiende al infinito negativo, es L”. y=L La definición 2 se ilustra en la figura 3. Observe que la gráfica tiende a la recta y  L como 0 x en el extremo izquierdo de cada gráfica. y 3 DEFINICIÓN La recta y  L se llama asíntota horizontal de la curva y  f x si y=ƒ y=L lím f x  L o bien lím f x  L x l x l  0 x Por ejemplo, la curva que se ilustra en la figura 1 tiene la recta y  1 como asíntota horizontal porque FIGURA 3 Ejemplos que ilustran lím ƒ=L x2  1 x _` lím 1 x l x2  1 y π 2 Un ejemplo de una curva con dos asíntotas horizontales es y  tan1x. (Véase la figura 4.) En efecto, 0 x 4 lím tan1 x   lím tan1 x  x l  2 x l 2 _ π2 de modo que las dos rectas y  p2 y y  p2 son asíntotas horizontales. (Éste surge FIGURA 4 a partir del hecho de que las rectas x  p2 son asíntotas verticales de la gráfica de y=tan–!x tan.) y EJEMPLO 1 Encuentre los límites infinitos, los límites en el infinito y las asíntotas para la función f cuya gráfica se muestra en la figura 5. SOLUCIÓN Ya que los valores de fx se vuelven grandes cuando x l 1 por ambos lados; 2 por lo tanto 0 2 x lím f x  x l 1 Advierta que f x se hace negativo grande en magnitud cuando x tiende a 2 por la iz- quierda, pero grande positivo cuando x tiende a 2 por la derecha. De este modo, FIGURA 5 lím f x   y lím f x  x l 2 x l 2 De esta suerte, las dos rectas x  1 y x  2 son asíntotas verticales. Cuando x crece, f x tiende a 4. Pero cuando x decrece a través de valores negativos, fx tiende a 2. Así entonces, lím f x  4 y lím f x  2 x l x l  Esto significa que tanto y  4 como y  2 son asíntotas horizontales.  CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 133 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 133 1 1 EJEMPLO 2 Encuentre lím y lím . x l x x l  x SOLUCIÓN Observe que cuando x es grande, 1x es pequeño. Por ejemplo, 1 1 1  0.01  0.0001  0.000001 100 10 000 1 000 000 y De hecho, si elige una x suficientemente grande, puede aproximar 1x a 0 cuanto quiera. Por lo tanto, según la definición 4 y=Δ 1 lím 0 x l x 0 x Un razonamiento similar hace ver que cuando x es negativo grande en magnitud, 1x es pequeño negativo; de este modo, también tiene 1 lím 0 x l  x FIGURA 6 1 1 lím =0, lím =0 Se infiere que la recta y  0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la curva y  1x (que x ` x x _` x es una hipérbola equilátera; véase la figura 6).  La mayor parte de las leyes de los límites que se dieron en la sección 2.3 también se cumplen para los límites en el infinito. Se puede probar que las leyes de los límites, cuya lista se da en la sección 2.3 (con la excepción de las leyes 9 y 10), también son válidas si “x l a” se reemplaza con “x l ” o con “x l  ”. En particular, si combina la ley 6 con los resultados del ejemplo 2, obtiene la importante regla que sigue para el cálculo de límites. 5 TEOREMA Si r  0 es un número racional, entonces 1 lím 0 xl xr Si r  0 es un número racional tal que x r está definida para toda x, entonces 1 lím 0 x l xr V EJEMPLO 3 Evalúe 3x 2  x  2 lím x l 5x 2  4x  1 e indique las propiedades de límites que se usan en cada etapa. SOLUCIÓN Conforme x se hace más grande, tanto el numerador como el denominador se hacen más grandes, por lo tanto no resulta evidente qué sucede con su proporción. Necesi- ta hacer algunas operaciones algebraicas preliminares. Para evaluar el límite en el infinito de una función racional, divida el numerador y el denominador entre la mayor potencia de x que hay en el denominador. (Puede suponer CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 134 134 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS que x  0, puesto que sólo está interesado en los valores grandes de x.) En este caso, la mayor potencia de x en el dominador es x2, con lo cual tiene 3x 2  x  2 1 2 3  2 3x  x  2 2 x2 x x lím  lím  lím x l 5x 2  4x  1 x l 5x 2  4x  1 x l 4 1 5  2 x2 x x lím 3  x l  1 x 2  2 x     (por la ley de los Límites 5) 4 1 lím 5   2 x l x x y y=0.6 1 1 lím 3  lím  2 lím x l x l x x l x2 0 1 x  (por 1, 2 y 3) 1 1 lím 5  4 lím  lím x l x l x x l x2 300  (por 7 y el teorema 5) 500 3  5 FIGURA 7 Un cálculo semejante hace ver que el límite cuando x l  también es 53 . En la figura 7 3≈-x-2 y= se ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo la gráfica de la función ra- 5≈+4x+1 cional dada se aproxima a la asíntota horizontal y  35 .  EJEMPLO 4 Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función s2x 2  1 f x  3x  5 SOLUCIÓN Al dividir tanto el numerador como el denominador entre x y aplicar las propie- dades de los límites tiene lím s2x 2  1  lím  2 1 x2 (puesto que sx 2  x para x  0) xl 3x  5 xl 5 3 x lím x l  2  1 x2 lím 2  lím x l 1 x2 x l s2  0 s2       5 1 350 3 lím 3  lím 3  5 lím x l x x l x l x Por lo tanto, la recta y  s23 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Si calcula el límite cuando x l  , debe recordar que para x  0,   tiene sx 2  x  x. De donde, al dividir el numerador entre x, para x  0 obtiene 1 x s2x 2  1   1 sx 2 s2x 2  1    2 1 x2 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 135 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 135 Por lo tanto, lím s2x  1 2  lím   2 1 x2    2  lím x l 1 x2  s2 x l 3x  5 x l 5 1 3 3 3  5 lím x x l x y Así, la recta y  s23 también es una asíntota horizontal. Es probable que haya una asíntota vertical cuando el denominador, 3x  5, es 0, es decir, cuando x  53 . Si x tiende a 3 y x  53 , después el denominador está cercano a 0 y 5 y= 3 œ„ 3x  5 es positivo. El numerador s2x 2  1 siempre es positivo, de modo que fx es positivo. Por lo tanto, x s2x 2  1 œ„ lím   y=_ 3 x l 53 3x  5 Si x está cerca de 3 pero x  53 , en seguida 3x  5  0 y fx es grande y negativa. De 5 5 x= esta manera, 3 s2x 2  1 lím   FIG 8 x l 53 3x  5 +1 y= 3x-5 La asíntota vertical es x  53 . Las tres asíntotas se ilustran en la figura 8.  EJEMPLO 5 Calcule lím (sx 2  1  x). x l SOLUCIÓN Ya que tanto sx 2  1 como x son grandes cuando x es grande, es difícil ver qué sucede con su diferencia, por eso, use el álgebra para escribir de nuevo la función. En primer lugar multiplique el numerador y el denominador por el radical & Puede considerar que la función dada tiene conjugado. un denominador de 1. sx 2  1  x lím (sx 2  1  x)  lím (sx 2  1  x) x l x l sx 2  1  x x 2  1  x 2 1  lím  lím x l sx 2  1  x x l sx 2  1  x Se podría aplicar el teorema de la compresión para demostrar que este límite es 0. Pero un método más fácil es dividir el numerador y el denominador entre x. Al efectuar esto y aplicar las leyes de los límites obtiene 1 1 x lím (sx 2  1  x)  lím  lím x l x l sx 2  1  x x l sx 2  1  x x y 1 x 0   lím  0 y=œ„„„„„ ≈+1 -x x l 1 1 s1  0  1 1 2 1 x En la figura 9 se ilustra este resultado.  0 1 x En la gráfica de la función exponencial natural y  ex tiene la recta y  0 (el eje x) FIGURA 9 como asíntota horizontal. (Lo mismo se cumple para cualquier función exponencial con CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 136 136 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS base a  1.) En efecto, a partir de la gráfica de la figura 10 y la tabla correspondiente de valores observe que 6 lím e x  0 x l  Advierta que los valores de ex tienden a 0 con mucha rapidez. y x ex y=´ 0 1.00000 1 0.36788 2 0.13534 1 3 0.04979 5 0.00674 8 0.00034 0 x 1 10 0.00005 FIGURA 10 V EJEMPLO 6 Evalúe lím e 1x . x l0 & La estrategia para resolver problemas para SOLUCIÓN Si hace que t  1x, sabe que t l  cuando x l 0. Por lo tanto, de acuerdo el ejemplo 6 es introducir algo adicional con (6), (véase página 76). En este caso, lo adicional, el elemento auxiliar, es la variable t. lím e 1x  lím e t  0 x l 0 t l  (Véase ejercicio 71.)  EJEMPLO 7 Evalúe lím sen x . x l SOLUCIÓN Cuando x crece, los valores de sen x oscilan entre 1 y 1 infinitamente a menudo, y, de este modo, no se aproximan a ningún número definido. Así, lím xl sen x no existe.  LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO La notación lím f x  xl se usa para indicar que los valores de f x se agrandan cuando x se hace grande. Se aso- cian significados semejantes a los símbolos siguientes: lím f x  lím f x   lím f x   x l xl x l EJEMPLO 8 Determine lím x 3 y lím x 3. xl x l y SOLUCIÓN Cuando x se incrementa, también lo hace x 3. Por ejemplo, y=˛ 103  1000 1003  1 000 000 10003  1 000 000 000 En efecto, puede hacer a x3 tan grande como quiera incrementando de manera suficiente a x. Por lo tanto, 0 x lím x 3  xl de manera similar, cuando x toma un valor negativo grande, así es x 3. En estos términos lím x 3   x l FIGURA 11 Asimismo, eatas proposiciones de los límites se pueden ver en la gráfica de y  x 3 en la lím x#=`, lím x#=_` x ` x _` figura 11.  CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 137 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 137 y Al examinar la figura 10 observe que y=´ lím e x  x l pero, como se muestra en la figura 12, y  e x se hace grande cuando x l con mucha mayor rapidez que y  x 3. y=˛ EJEMPLO 9 Encuentre lím x 2  x. 100 xl | SOLUCIÓN Advierta que no puede escribir 0 1 x lím x 2  x  lím x 2  lím x   x l x l x l FIGURA 12 ´ es tan grande como ˛ Las leyes de los límites no se pueden aplicar a los límites infinitos porque no es un nú- cuando x es grande. mero (  está indefinido). Sin embargo, puede escribir lím x 2  x  lím xx  1  x l x l porque tanto x como x  1 se hacen arbitrariamente grandes y, por lo tanto, también su producto.  x2  x EJEMPLO 10 Encuentre lím . x l 3x SOLUCIÓN Como en el ejemplo 3, divida el numerador y denominador entre la potencia más alta de x en el denominador, que es justamente x: x2  x x1 lím  lím   x l 3x x l 3 1 x porque x  1 l y 3x  1 l 1 cuando x l .  En el ejemplo siguiente se muestra que al analizar límites infinitos en el infinito, junto con intersecciones, es posible llegar a tener una idea general de la gráfica de un polinomio sin tener que graficar una gran cantidad de puntos. V EJEMPLO 11 Trace la gráfica de y  x  24x  13x  1 con ayuda de las intersecciones y sus límites cuando x l y cuando x l  . SOLUCIÓN La intersección con el eje y es f 0  24131  16 y los cortes con el eje x se encuentran al hacer y  0: x  2, 1, 1. Observe que como x  24 es positiva, la función no cambia de signo en 2; de este modo, la gráfica no corta el eje x en 2. La y gráfica corta el eje en 1 y 1. Cuando x adquiere un valor grande y positivo, los tres factores son grandes, de modo que lím x  24x  13x  1  xl _1 0 1 2 x Cuando x tiene un valor grande y negativo, el primer factor toma un valor grande y positivo y el segundo y el tercer factores son grandes negativos, por lo que _16 lím x  24x  13x  1  x l FIGURA 13 y=(x-2)$(x +1)#(x-1) Al combinar esta información, obtiene un esbozo de la gráfica en la figura 13.  CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 138 138 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS DEFINICIONES EXACTAS La definición 1 se puede establecer precisamente como se indica a continuación. 7 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo a, . Entonces, lím f x  L xl significa que para toda e  0 hay un número correspondiente N tal que si xN entonces  f x  L   e En lenguaje común, esto establece que los valores de fx se pueden hacer arbitraria- mente cercanos a L (dentro de una distancia e, donde e es cualquier número positivo) al hacer que x tome valores suficientemente grandes (más grandes que N, donde N depende de e). Desde el punto de vista gráfico, esto plantea que al escoger valores grandes de x (mayores que algún número N) es posible hacer que la gráfica de f se sitúe entre las rec- tas horizontales y  L  e y y  L  e como en la figura 14. Esto se tiene que cumplir sin que importe qué tan pequeño sea e. En la figura 15 se ilustra que si se escoge un valor pequeño de e, después se podría requerir un valor mayor de N. y y=ƒ y=L+∑ ∑ ƒ L ∑ está aquí y=L-∑ 0 N x FIGURA 14 lím ƒ=L donde x está aquí x ` y y=ƒ L y=L+∑ y=L-∑ FIGURA 15 0 N x lím ƒ=L x ` De igual manera, una versión exacta de la definición 2 se proporciona mediante la definición 8, la cual se ilustra en la figura 16. 8 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo de  , a. Entonces, lím f x  L x l quiere decir que para toda e  0 hay un número correspondiente N tal que si xN entonces  f x  L   e CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 139 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 139 y y=ƒ y=L+∑ L y=L-∑ FIGURA 16 N 0 x lím ƒ=L x _` En el ejemplo 3 se calculó que 3x 2  x  2 3 lím  xl 5x  4x  1 2 5 En el ejemplo siguiente se utiliza una calculadora o computadora para relacionar este enunciado de la definición 7 con L  35 y e  0.1. EJEMPLO 12 Mediante una gráfica determine un número N tal que si xN entonces  3x 2  x  2 5x 2  4x  1  0.6  0.1 SOLUCIÓN Reescriba la desigualdad como 3x 2  x  2 0.5   0.7 5x 2  4x  1 1 Es necesario determinar los valores de x para los cuales la curva dada queda entre las rectas horizontales y  0.5 y y  0.7. La curva y las rectas están graficadas en la figura 17. y=0.7 Luego, por medio del cursor, se estima que la curva cruza la recta y  0.5 cuando y=0.5 x 6.7. A la derecha de este número, la curva se localiza entre las rectas y  0.5 y y  0.7. Efectúe un redondeo y después   3≈-x-2 y= 5 +4x+1 3x 2  x  2 0 15 si x7 entonces  0.6  0.1 5x 2  4x  1 FIGURA 17 En otras palabras, para e  0.1 puede elegir N  7 (o cualquier otro número mayor) en la definición 7.  1 EJEMPLO 13 Mediante la definición 7 demuestre que lím  0. xl x SOLUCIÓN Dado e  0, busque N tal que si xN entonces  1 x 0  Al calcular el límite podría suponer que x  0. Entonces 1x  e &fi x  1e. Seleccione N  1e. De esa manera si xN 1  entonces  1 x 1 x 0   CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 140 140 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS De donde, según la definición 7, 1 lím 0 xl x En la figura 18 se ilustra la demostración en la que se muestran algunos valores de  y los valores correspondientes de N. y y y ∑=1 ∑=0.2 ∑=0.1 0 N=1 x 0 N=5 x 0 N=10 x  FIGURA 18 Para finalizar, observe que se puede definir un límite infinito en el infinito como sigue. y La representación geométrica se proporciona en la figura 19. y=M M 9 DEFINICIÓN Si f es una función definida en algún intervalo a, . entonces lím f x  xl significa que para todo número positivo M hay un número positivo correspondiente 0 N x N tal que FIGURA 19 si xN entonces f x  M lím ƒ=` x ` Definiciones similares son válidas cuando el símbolo se reemplaza con  . (Véase ejercicio 70.) 2.6 EJERCICIOS 1. Explique con sus propias palabras el significado de cada una de (d) lím f x (e) lím f x x l x l  las expresiones siguientes. (a) lím f x  5 (b) lím f x  3 (f) Las ecuaciones de las asíntotas. x l x l y 2. (a) ¿La gráfica de y  f x se puede intersecar con una asíntota vertical? ¿Se puede intersecar con una asíntota horizontal? Ilustre trazando gráficas. (b) ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica de 1 y  f x? Trace gráficas para ilustrar las posibilidades. 1 x 3. Para la función f cuya gráfica se ilustra, dé lo siguiente: (a) lím f x (b) lím f x (c) lím f x x l2 x l 1 x l 1 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 141 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 141 4. Para la función t cuya gráfica se ilustra, proporcione lo 13–14 Evalúe un límite y justifique cada etapa señalando las pro- siguiente: piedades adecuadas de los límites. (a) lím tx (b) lím tx x l (c) lím tx x l3 x l  (d) lím tx x l0 13. lím xl 3x 2  x  4 2x 2  5x  8 14. lím xl  12x 3  5x  2 1  4x 2  3x 3 (e) lím tx (f) Las ecuaciones de las asíntotas. x l 2 y 15–36 Calcule el límite. 1 3x  5 15. lím 16. lím xl 2x  3 x l x4 1 1  x  x2 2  3y 2 0 2 x 17. lím 18. lím x l  2x 2  7 yl 5y 2  4y x  5x 3 t2  2 19. lím 20. lím x l 2x  x 2  4 3 t l  t  t2  1 3 4u  5 4 x2 21. lím 22. lím 5–10 Dibuje el ejemplo de una función f que satisfaga todas las ul u 2  22u 2  1 x l s9x 2  1 condiciones dadas. s9x 6  x s9x 6  x 23. lím 24. lím 5. f 0  0, f 1  1, lím f x  0, f es impar xl x3  1 x l  x3  1 x l 6. lím f x  , lím f x   , lím f x  1, 25. lím (s9x 2  x  3x) 26. lím ( x  sx 2  2x ) x l0 x l 0 x l x l x l lím f x  1 x l  27. lím (sx 2  ax  sx 2  bx ) x l 7. lím f x   , lím f x  , lím f x  0, x l2 x l x l  28. lím cos x x l lím f x  , lím f x   x l 0 x l 0 x  x3  x5 29. lím 30. lím sx 2  1 8. lím f x  , lím f x  3, lím f x  3 xl 1  x2  x4 xl x l 2 x l  x l x 3  2x  3 9. f 0  3, lím f x  4 , lím f x  2 , 31. lím x 4  x 5  32. lím xl0 xl 0 x l  xl 5  2x 2 lím f x   , lím f x   , lím f x  , 1  ex xl x l4 x l 4 33. lím 34. lím tan1x 2  x 4  xl 1  2ex xl lím f x  3 xl 35. lím e2x cos x 36. lím e tan x xl x l  2  10. lím f x   , lím f x  2 , f0  0, f es par x l3 xl ; 37. (a) Estime el valor de ; 11. Determine el valor del límite lím (sx 2  x  1  x) x l  2 x lím x l 2x dibujando la función f x  sx 2  x  1  x. (b) Use una tabla de valores de f x para conjeturar el valor del evaluando la función fx  x22x para x  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, límite. 8, 9, 10, 20, 50 y 100. A continuación, utilice una gráfica de f para respaldar su conjetura. (c) Pruebe que su conjetura es correcta. ; 12. (a) Use una gráfica de ; 38. (a) Use una gráfica de   f x  1  2 x x f x  s3x 2  8x  6  s3x 2  3x  1 para estimar el valor de lím xl fx hasta una cifra para estimar el valor de lím xl fx correcto hasta dos ci- decimal. fras decimales (b) Use una tabla de valores de f x para estimar el límite hasta (b) Use una tabla de valores de f x para estimar el límite cuatro cifras decimales. hasta cuatro cifras decimales. (c) Halle el valor exacto del límite. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 142 142 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 39–44 Hallar las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si 53. (a) Aplique el teorema de la compresión para evaluar tiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando la sen x lím . curva y estimando las asíntotas. xl x ; (b) Grafique f x  sen xx. ¿Cuántas veces la gráfica corta 2x  1 x2  1 la asíntota? 39. y  40. y  x2 2x 2  3x  2 ; 54. Por comportamiento al final de una función debe dar a 2x2  x  1 1  x4 entender una descripción de lo que sucede a sus valores cuando 41. y  2 42. y  2 x x2 x  x4 x l y cuando x l  . (a) Describa y compare el comportamiento al final de las x3  x 2ex funciones 43. y  44. y  x  6x  5 2 e 5 x Px  3x5  5x3  2x Qx  3x5 dibujando las dos funciones en los rectángulos de visua- ; 45. Estimar la asíntota horizontal de la función lización 2, 2 por 2, 2 y 10, 10 por 10 000, 3x3  500x2 10 000 . f x  (b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento x  500x2  100x  2000 3 al final si su relación tiende a 1 cuando x l . Demuestre mediante la gráfica de f para 10  x  10. Después calcule que P y Q tienen el mismo comportamiento al final. la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la 55. Sean P y Q dos polinomios. Encuentre discrepancia? Px lím ; 46. (a) Grafique la función xl Qx s2x2  1 si el grado de P es (a) menor que el grado de Q y (b) mayor f x  que el grado de Q. 3x  5 56. Haga un boceto aproximado de la gráfica de la curva y  xn (n ¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa? Use la un entero) para los cinco casos siguientes: gráfica para estimar el valor de los límites (i) n  0 (ii) n  0, n impar s2x 2  1 s2x 2  1 (iii) n  0, n par (iv) n  0, n impar lím y lím xl 3x  5 x l 3x  5 (v) n  0, n par Después use estos bocetos para encontrar los límites siguientes. (b) Calcular los valores de f x, proporcione estimaciones (a) lím x n (b) lím x n numéricas de los límites del inciso (a). x l0 x l0 (c) Calcular los valores exactos de los límites en el inciso (a) (c) lím x n (d) lím x n x l x l  obtenga el mismo valor o valores diferentes de esos dos límites [con respecto a su respuesta del inciso (a), tendrá 57. Determine lím xl fx si, para toda x  1, que verificar su cálculo para el segundo límite]. 10ex  21 5sx  f x  47. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las 2ex sx  1 condiciones siguientes: 58. (a) Un depósito contiene 5 000 L de agua pura. Se bombea lím f x  0 , lím f x   , f 2  0, salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al x l x l0 depósito a una proporción de 25 Lmin. Demuestre que la concentración de sal t minutos después (en gramos por lím f x  , lím f x   x l 3 x l 3 litro) es 48. Plantee una fórmula para una función cuyas asíntotas verticales 30t Ct  son x  1 y x  3 y asíntota horizontal y  1. 200  t (b) ¿Qué sucede con la concentración cuando t l ? 49–52 Determine los límites cuando x l y cuando x l  . Utilice esta información junto con las intersecciones para conseguir 59. En el capítulo 9 se demostrará que, según ciertas hipótesis, un esbozo de la gráfica como en el ejemplo 11. la velocidad vt de una gota de lluvia que cae, en el instante t, es 49. y  x4  x6 50. y  x 3x  22x  1 vt  v*1  ettv* 51. y  3  x1  x 1  x 2 4 donde t es la aceleración debida a la gravedad y v* es la 52. y  x 2x2  12x  2 velocidad terminal de la gota de lluvia. (a) Encuentre lím t l vt. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 143 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 143 ; (b) Trace la gráfica de vt si v*  1 ms y g  9.8 ms2. 65. (a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que ¿Cuánto tiempo transcurre para que la velocidad de la gota 1x2  0.0001? de agua alcance el 99% de su velocidad terminal? (b) Al hacer r  2 en el Teorema 5, tenemos la proposición 1 ; 60. (a) Mediante el trazo de y  e x10 y y  0.1 en una pantalla lím 0 xl x2 común, descubra cuánto tiene que aumentar x de modo que ex10  0.1. Demuéstrela directamente aplicando la Definición 7. (b) ¿Puede resolver el inciso (a) sin un aparato graficador? 66. (a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que 1sx  0.0001? ; 61. Mediante una gráfica determine un número N tal que (b) Al hacer r  12 en el Teorema 5, tenemos la proposición si xN entonces  3x 2  1 2x 2  x  1   1.5  0.05 lím xl 1 sx 0 Demuéstrela directamente aplicando la Definición 7. ; 62. En el caso del límite 1 67. Aplique la Definición 8 para demostrar que lím  0. x l x s4x 2  1 lím 2 68. Demuestre mediante la Definición 9 que lím x 3  . xl x1 xl 69. Mediante la definición 9 demuestre que ilustre la definición 7 mediante la determinación de valores de N que corresponden a e  0.5 y e  0.1. lím e x  xl ; 63. Ilustre la definición 8 para el límite 70. Formule una definición exacta de lím f x   s4x 2  1 x l lím  2 x l x1 Luego aplique su definición para demostrar que determinando valores de N que corresponden a e  0.5 y lím 1  x 3    x l e  0.1. 71. Demuestre que ; 64. Ilustre la definición 9 para el límite lím f x  lím f 1t xl tl0 2x  1 lím  y lím f x  lím f 1t x l sx  1 x l tl0 calculando valores de N que corresponden a M  100. si existen los límites. 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la veloci- dad de un objeto, involucran encontrar el mismo tipo de límite, como se vio en la sección 2.1. Esta clase especial de límite se denomina derivada y puede ser interpretada como una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o ingeniería. TANGENTES Si una curva C tiene la ecuación y  fx y quiere hallar la tangente a C en el punto Pa, fa, entonces considere un punto cercano Qx, fx, donde x  a, y calcule la pendiente de la línea secante PQ: f x  f a mPQ  xa En seguida, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si mPQ tiende a un número m, entonces defina la tangente t como la recta que pasa por P con CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 144 144 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS y pendiente m. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta se- Q{ x, ƒ } cante PQ cuando Q tiende a P. Véase la figura 1.) ƒ-f(a) P { a, f(a)} 1 DEFINICIÓN La recta tangente a la curva y  fx en el punto Pa, fa es la x-a recta que pasa por P con pendiente f x  f a m  lím xla xa 0 a x x cuando el límite existe. y t En el primer ejemplo, se confirma la suposición hecha en el ejemplo 1 de la sec- ción 2.1. Q Q V EJEMPLO 1 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y  x2, en el P Q punto P1, 1. SOLUCIÓN En este caso, a  1 y fx  x2, de modo que la pendiente es f x  f 1 x2  1 m  lím  lím 0 x x l1 x1 x l1 x  1 x  1x  1 FIGURA 1  lím x l1 x1  lím x  1  1  1  2 x l1 & Forma punto-pendiente para una recta que Con la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, se encuentra que una ecuación pasa por el punto x1, y1 con pendiente m: de la recta tangente en 1, 1 es y  y1  mx  x1 y  1  2x  1 o bien y  2x  1  A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en un pun- to como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si se acerca lo suficiente al punto, la curva parece una línea recta. En la figura 2 se ilustra este procedimiento para la TEC Visual 2.7 muestra una animación curva y  x2 del ejemplo 1. Entre más se acerque, la parábola más parece una recta. En de la figura 2. otras palabras, la curva casi se vuelve indistinguible de su recta tangente. 2 1.5 1.1 (1, 1) (1, 1) (1, 1) 0 2 0.5 1.5 0.9 1.1 FIGURA 2 Acercamiento hacia el punto (1, 1) sobre la parábola y=≈ Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar. Si h  x  a, en este caso x  a  h y así la pendiente de la línea secante PQ es f a  h  f a m PQ  h CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 145 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 145 Q { a+h, f(a+h)} (Véase la figura 3, donde se ilustra el caso h  0 y Q está a la derecha de P. Sin embargo, y t si h  0, Q estaría a la izquierda de P.) Advierta que, cuando x tiende a a, h lo hace a 0 (porque h  x  a) y, de este modo, la expresión para la pendiente de la recta tangente, que se da en la definición 1, se convierte en P { a, f(a)} h f(a+h)-f(a) f a  h  f a 2 m  lím hl0 h 0 a a+h x FIGURA 3 EJEMPLO 2 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola y  3x, en el punto 3, 1. SOLUCIÓN Sea fx  3x. Por lo tanto, la pendiente de la tangente en 3, 1 es y 3 3  3  h 1 x+3y-6=0 3 f 3  h  f 3 3h 3h y= x m  lím  lím  lím hl0 h hl0 h hl0 h (3, 1) h 1 1  lím  lím   0 x hl0 h3  h hl0 3h 3 En consecuencia, una ecuación de la tangente en el punto 3, 1 es FIGURA 4 y  1  13 x  3 la cual se simplifica hasta x  3y  6  0 En la figura 4 se muestra la hipérbola y su tangente.  posición en el posición en el VELOCIDADES instante instante t=a t=a+h En la sección 2.1 se investigó el movimiento de una pelota que se dejó caer desde la To- rre CN y se definió su velocidad como el límite del valor de las velocidades promedio 0 s sobre periodos cada vez más cortos. f(a+h)-f(a) En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo f(a) con una ecuación del movimiento s  ft, donde s es el desplazamiento (distancia directa) del objeto respecto al origen, en el instante t. La función f que describe el movimiento se f(a+h) conoce como función de posición del objeto. En el intervalo de t  a hasta t  a  h, el FIGURA 5 cambio en la posición es f a  h  f a. (Véase la figura 5.) La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es s Q { a+h, f(a+h)} desplazamiento f a  h  f a velocidad promedio   tiempo h P { a, f(a)} h que es lo mismo que la pendiente de la secante PQ en la figura 6. Suponga ahora que calcula las velocidades promedio sobre lapsos a, a  h más y más cortos. En otras palabras, haga que h tienda a 0. Como en el ejemplo de la pelota que cae, se definió la velocidad (o velocidad instantánea) va en el instante t  a como el límite 0 a a+h t de estas velocidades promedio: f(a+h)-f(a) mPQ= h  ⫽ velocidad promedio f a  h  f a 3 va  lím hl0 h FIGURA 6 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 146 146 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Esto significa que la velocidad en el instante t  a es igual a la pendiente de la recta tan- gente en P. (Compare las ecuaciones 2 y 3.) Ahora que sabe calcular límites, vuelva a considerar el problema de la pelota que cae. V EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de observación de la Torre CN, 450 m sobre el nivel del suelo. (a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos? (b) ¿Con qué velocidad viaja cuando choca contra el suelo? & Recuerde que en la sección 2.1 vimos que SOLUCIÓN Necesita hallar la velocidad cuando t  5 y cuando la pelota golpea el suelo, la distancia (en metros) que recorre la pelota de tal manera, que es eficaz iniciar la búsqueda de la velocidad en un tiempo común que cae una vez que transcurren t segundos es 4.9t2. t  a. Empleando la ecuación de movimiento s  f t  4.9t2, tiene f a  h  f a 4.9a  h2  4.9a 2 va  lím  lím hl0 h hl0 h 4.9a 2  2ah  h 2  a 2  4.92ah  h 2   lím  lím hl0 h hl0 h  lím 4.92a  h  9.8a hl0 (a) La velocidad después de 5 s es v5  9.85  49 ms. (b) Como la plataforma de observación está 450 m sobre el nivel del suelo, la pelota chocará contra el suelo en el instante t1, cuando st1  450; es decir, 4.9t 21  450 Esto da t12  450 4.9 y t1   450 4.9 9.6 s Por lo tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es vt1  9.8t1  9.8  450 4.9 94 ms  DERIVADAS Ha visto que surge la misma clase de límite en la búsqueda de la pendiente de una línea tangente (ecuación 2) o la velocidad de un objeto (ecuación 3). En realidad, los límites de la forma fa  h  fa lím hl0 h surgen cuando calcula una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o en ingeniería, tal como la velocidad de reacción en química o un costo marginal en economía. Ya que esta clase de límite sucede, muy seguido, se proporciona un nombre y notación especial. 4 DEFINICIÓN La derivada de una función f en un número a, se indica mediante f a, es & f a se lee “f es fundamental de a”. fa  h  f a fa  lím hl0 h si este límite existe. CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 147 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 147 Si escribe x  a  h, en tal caso, tiene h  x  a y h se aproxima a 0 si y sólo si x se aproxima a a. En consecuencia, una manera equivalente de establecer la definición de la derivada, como se mencionó en la búsqueda de rectas tangentes, es fx  f a 5 fa  lím xla xa V EJEMPLO 4 Hallar la derivada de la funcion f x  x2  8x  9 en el número a. SOLUCIÓN De la definición 4 se tiene fa  h  f a f a  lím hl0 h a  h2  8a  h  9  a2  8a  9  lím hl0 h a2  2ah  h2  8a  8h  9  a2  8a  9  lím hl0 h 2ah  h2  8h  lím  lím 2a  h  8 hl0 h hl0  2a  8  Defina la recta tangente a la curva y  f x en el punto Pa, f a como la recta tan- gente que pasa a través de P y tiene pendiente m, proporcionada por la ecuación 1 o 2, ya que, mediante la definición 4, es la misma que la derivada f a, ahora puede decir lo siguiente. La recta tangente a y  fx en a, fa es la recta tangente a través de a, fa cuya pendiente es igual a f a, la derivada de f en a. Si usa la forma punto pendiente de la ecuación de una recta, puede escribir una ecuación de la recta tangente a la curva y  fx en el punto a, fa: y y  fa  f ax  a y=≈-8x+9 V EJEMPLO 5 Halle una ecuación de la recta tangente a la parábola y  x2  8x  9 en el punto 3, 6. 0 x SOLUCIÓN Del ejemplo 4 sabe que la derivada de f x  x2  8x  9 en el número (3, _6) a es f a  2a  8. En consecuencia la pendiente de la recta tangente en 3, 6 es f 3  23  8  2. En estos términos, una ecuación de la recta tangente, se y=_2x muestra en la figura 7, es FIGURA 7 y  6  2x  3 o bien y  2x  RELACIONES DE CAMBIO Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y escriba y  f x. Si x cambia de x1 a x2, por lo tanto el cambio en x (también conocido como incremento de x) es x  x2  x1 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 148 148 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Q { ¤, ‡} y el cambio correspondiente en y es y y  f x2  fx1 P {⁄, fl} Îy El cociente de diferencias Îx y f x 2  f x 1  x x2  x1 0 ⁄ ¤ x se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo x1, x2 y se razón promedio de cambio ⫽ mPQ puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura 7. razón instantánea de cambio ⫽ Por analogía con la velocidad, considere la relación de cambio promedio en intervalos pendiente de la tangente en P cada vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por lo tanto, al hacer que x tienda a 0. El límite de estas relaciones de cambio promedio se llama razón (instantánea) de FIGURA 8 cambio de y con respecto a x en x  x1, lo cual se interpreta como la pendiente de la tan- gente a la curva y  fx en Px1, fx1: y f x2   f x1 6 razón de cambio instantánea  lím  lím x l 0 x x 2 l x 1 x2  x1 Reconocer este límite como la derivada f x1. Sabe que una interpretación de la derivada f a es como la pendiente de la tangente a la curva y  fx cuando x  a. Ahora tiene una segunda interpretación: La derivada f a es la razón de cambio instantánea de y  fx con respecto a x y cuando x  a. Q El enlace con la primera interpretación es que si dibuja la curva y  f x, a conti- nuación la razón de cambio instantánea es la pendiente de la tangente a esta curva en el punto donde x  a. Esto significa que cuando la derivada es grande (y en consecuen- P cia, la curva es escarpada, como en el punto P de la figura 9), los valores de y cambian rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana y el valor de y cambia lentamente. x En particular, si s  ft es la función posición de una partícula que se traslada a lo largo de una línea recta, entonces f a es la razón de cambio del desplazamiento s con respecto al tiempo t. En otras palabras, f a es la velocidad de la partícula en el tiempo FIGURA 9 t  a. La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, es decir,  f a . Los valores de y cambian con rapidez En el siguiente ejemplo se analiza el significado de la derivada de una función que en P y con lentitud en Q es definida verbalmente. V EJEMPLO 6 Un fabricante produce un rollo de un tejido con un ancho fijo. El costo de producir x yardas de este tejido es de C  fx dólares. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f x? ¿Cuáles son sus unidades? (b) En términos prácticos, ¿qué significa decir qué f 1000  9? (c) ¿Qué le hace pensar que es más grande f 50 o f 500? ¿Qué hay con respecto a f 5 000? SOLUCIÓN (a) La derivada f x es la razón de cambio instantánea de C con respecto a x, es de- cir, f x significa la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de yardas producidas. (Los economistas llaman a esto rapidez de cambio del costo marginal. Esta idea se analiza con más detalle en las secciones 3.7 y 4.7.) CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 149 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 149 Porque C fx  lím x l 0 x las unidades para f x son las mismas que las unidades para el cociente de diferencia Cx. Ya que C se mide en dólares y x en yardas, por lo que las unidades para f x son dólares por cada yarda. (b) El enunciado de que f 1000  9 significa que, después de fabricar 1000 yardas de tejido, la cantidad a la cual se incrementa el costo de producción es de 9 dólaresyarda. (Cuando x  1000, C se incrementa 9 veces tan rápido como x.) Ya que x  1 es pequeño si se le compara con x  1000, podría usarse la apro- ximación & En este caso suponga que la función costo se conduce bien, en otras palabras, Cx no oscila C C rápidamente cerca de x  1000. f1000   C x 1 y decir que el costo de fabricación de la yarda 1000 (o de la 1001) es de casi 9 dó- lares. (c) La proporción a la cual se incrementa el costo de producción (por cada yarda) pro- bablemente es inferior cuando x  500 que cuando x  50 (el costo de fabricación de la yarda 500 es menor que el costo de la yarda 50) debido a la economía de proporción. (El fabricante hace más eficiente el uso de los costos de producción fijos.) De manera que f 50  f 500 Pero, como se expande la producción, el resultado de la operación a gran escala será de- ficiente y con eso los costos de horas extras de trabajo. En estos términos es posible que la proporción de incremento de costos por último aumentarán. De este modo, es posi- ble que suceda f 5000  f 500  En el ejemplo siguiente estimará la proporción de cambio de la deuda nacional con respecto al tiempo. En este caso, la función no se define mediante una fórmula sino me- diante una tabla de valores. V EJEMPLO 7 Sea Dt la deuda nacional de Estados Unidos en el tiempo t. La tabla en t Dt el margen proporciona valores aproximados de esta función siempre que se estime a fin 1980 930.2 de año, en miles de míllones de dólares, desde 1980 hasta 2000. Explique y juzgue el 1985 1945.9 valor de D1990. 1990 3233.3 1995 4974.0 SOLUCIÓN La derivada D1990 significa que la razón de cambio de D con respecto a t 2000 5674.2 cuando t  1990, es decir, la proporción de incremento de la deuda nacional en 1990. De acuerdo a la ecuación 5, Dt  D1990 D1990  lím t l1990 t  1990 Así calcule y tabule los valores del cociente de diferencia (la razón de cambio promedio) como sigue. Dt  D1990 t t  1990 1980 230.31 1985 257.48 1995 348.14 2000 244.09 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 150 150 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS & UNA NOTA SOBRE UNIDADES A partir de esta tabla se ve que D1990 se localiza en alguna parte entre 257.48 y Las unidades de la razón de cambio promedio Dt son las unidades de D divididas entre 348.14 miles de millones de dólares por cada año. [En este caso, está haciendo la supo- las unidades de t, o sea, de dólares por cada sición razonable de que la deuda no fluctuará de manera errática entre 1980 y 2000.] Se año. La razón de cambio instantánea es el límite estima que la proporción de incremento de la deuda nacional de Estados Unidos en 1990 de la razón de cambio promedio, de este modo, fue el promedio de estos números, específicamente se mide en las mismas unidades: miles de millones de dólares por cada año. D1990 303 miles de millones de dólares por cada año Otro método sería una gráfica de la función deuda y valorar la pendiente de la línea tangente cuando t  1990.  En los ejemplos 3, 6 y 7 aparecen tres casos específicos de razones de cambio: la ve- locidad de un objeto es la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo; el costo marginal es la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de artículos producidos; la razón de cambio de la deuda con respecto al tiempo es de in- terés en economía. En este caso, es una muestra pequeña de otras razones de cambio: En física, la razón de cambio de trabajo con respecto al tiempo se le denomina potencia. Los químicos quienes estudian una reacción química están interesados en la razón de cambio de la concentración de un reactivo con respecto al tiempo (denominada velocidad de reacción). Un biólogo se interesa en la relación de cambio de la población de una colo- nia de bacterias con respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de razones de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería e, incluso, en las ciencias so- ciales. En la sección 3.7 se darán más ejemplos. Todas estas razones de cambio se pueden interpretar como pendientes de tangentes. Esto le confiere un significado adicional a la solución del problema de la tangente. Siempre que resulva problemas en que intervienen rectas tangentes, no resulve sólo un problema de geo- metría. También resuelve implícitamente una gran variedad de problemas de la ciencia y la ingeniería en que intervienen razones de cambio. 2.7 EJERCICIOS 1. Una curva tiene la ecuación y  fx. 5–8 Encuentre una ecuación de la tangente a la curva en el punto (a) Escriba una expresión para la pendiente de la recta secante dado. que pasa por los puntos P3, f 3 y Qx, f x. x1 (b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta 5. y  , 3, 2 6. y  2x 3  5x, 1, 3 tangente en P. x2 2x ; 2. Dibuje la curva y  e en los rectángulos de visualización x 7. y  sx , 1, 1 8. y  , 0, 0 x  12 1, 1] por 0, 2 , 0.5, 0.5 por 0.5, 1.5 y 0.1, 0.1 por 0.9, 1.1 . ¿Qué advierte acerca de la curva conforme hace un acercamiento hacia el punto 0, 1? 9. (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva y  3  4x 2  2x 3 en el punto donde x  a. 3. (a) Halle la pendiente de la línea tangente a la parábola (b) Determine las ecuaciones de las tangentes en los puntos y  4x  x2 en el punto 1, 3 1, 5 y 2, 3. (i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2 (b) Encuentre una ecuación de la recta tangente del ; (c) Grafique la curva y ambas tangentes en una misma pantalla. inciso (a). ; (c) Dibuje la parábola y la tangente. Como verificación de su 10. (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva y  1sx trabajo, haga un acercamiento hacia el punto 1, 3 hasta en el punto donde x  a. que la parábola y la tangente sean indistinguibles. (b) Plantee las ecuaciones de las tangentes en los puntos 1, 1 y (4, 2 ). 1 4. (a) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y  x  x3 en el punto 1, 0 ; (c) Grafique la curva y las tres tangentes en una misma pantalla. (i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2 (b) Halle una ecuación de la tangente del inciso (a). 11. (a) Una partícula inicia moviéndose a la derecha a lo largo de ; (c) Dibuje la curva y la tangente en rectángulos de visualización una línea horizontal; se muestra la gráfica de su función cada vez más pequeñas centradas en 1, 0 hasta que parezcan de posición. ¿Cuándo se mueve la partícula a la derecha? coincidir la curva y la recta. ¿Cuándo a la izquierda? ¿Cuándo permanece inmóvil? CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 151 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 151 (b) Dibuje una gráfica de la función velocidad. y y=© s (metros) 4 2 _1 0 1 2 3 4 x 0 2 4 6 t (segundos) 12. Se muestran las gráficas de las funciones de posición de 18. (a) Halle una ecuación de la línea tangente a la gráfica de dos competidoras, A y B, quienes compiten en los 100 m y y  tx en x  5 si t5  3 y t5  4. terminan en empate. (b) Si la línea tangente a y  fx en 4, 3 pasa a través del (metros) punto 0, 2, halle f4 y f 4. 19. Dibuje la gráfica de una función f para la cual f0  0, 80 A f 0  3, f 1  0 y f 2  1. 40 20. Dibuje la gráfica de una función t para la que t0  t0  0, B t1  1, t1  3 y t2  1. 0 4 8 12 t (segundos) 21. Si fx  3x 2  5x, halle f 2 y utilice esto para hallar una ecuación de la línea tangente a la parábola y  3x 2  5x en el (a) Relate y compare cómo desarrollaron la competencia. punto 2, 2. (b) ¿En qué momento la distancia entre las competidoras es la más grande? 22. Si tx  1  x 3, halle t0 y utilice esto para hallar una (c) ¿En qué momento tienen la misma velocidad? ecuación de la línea tangente a la curva y  1  x 3 en el punto 0, 1. 13. Si una pelota se lanza al aire hacia arriba, con una velocidad 23. (a) Si Fx  5x1  x , halle F 2 utilice esto para 2 de 40 fts, su altura (en ft) una vez que transcurren t segundos, está dada por y  40 t  16t2. Encuentre la hallar una ecuación de la línea tangente a la curva velocidad después de t  2. y  5x1  x2 en el punto 2, 2. ; (b) Ilustre el inciso (a) graficando la curva y la línea 14. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con tangente en la misma pantalla. una velocidad de 10 ms, su altura (en metros) después de t segundos se conoce por H  10t  1.86t 2. 24. (a) Si Gx  4x 2  x 3, hallar Ga utilice esto para (a) Halle la velocidad de la roca después de un segundo. encontrar una ecuación de la línea tangente a la curva (b) Halle la velocidad de la roca cuando t  a. y  4x 2  x 3 en los puntos 2, 8 y 3, 9. (c) ¿Cuándo incidirá en la superficie la roca? ; (b) Ilustre el inciso (a) mediante la gráfica de la curva y la (d) ¿Con qué velocidad la roca incidirá en la superficie? línea tangente en la misma pantalla. 15. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve 25–30 Hallar f a. en línea recta está dado por la ecuación del movimiento s  1t 2, donde t se mide en segundos. Halle la velocidad de 25. fx  3  2x  4x 2 26. ft  t 4  5t la partícula en los instantes t  a, t  1, t  2 y t  3. 2t  1 x2  1 27. f t  28. f x  16. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve t3 x2 en línea recta está dado por s  t2  8t  18, donde t se mide 1 en segundos 29. f x  30. f x  s3x  1 sx  2 (a) Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo (i) 3, 4 (ii) 3.5, 4 (iii) 4, 5 (iv) 4, 4.5 31–36 Cada límite representa la derivada de alguna función f en algún número a. Presente en cada caso las f y a. (b) Halle la velocidad instantánea cuando t  4. (c) Dibuje la gráfica de s como función de t y trace las rectas 1  h10  1 s 4 16  h  2 secantes cuyas pendientes son las velocidades promedio del 31. lím 32. lím hl0 h hl0 h inciso (a) y la recta tangente cuya pendiente es la velocidad instantánea del inciso (b). 2  32 x tan x  1 33. lím 34. lím xl5 x5 x l 4 x  4 17. Se proporciona la gráfica de la función t, reordene los números siguientes en orden creciente y explique su razonamiento. cos  h  1 t4  t  2 35. lím 36. lím hl0 h t l1 t1 0 t2 t0 t2 t4 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 152 152 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 37–38 Una partícula se traslada a lo largo de una línea recta con (b) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 ecuación de movimiento s  f t, donde s se mide en metros y t en considerando el promedio de dos relaciones de cambio segundos. Halle la velocidad y la rapidez cuando t  5. promedio. ¿Cuáles son sus unidades? (c) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 37. f t  100  50t  4.9t 2 38. ft  t1  t midiendo la pendiente de una tangente. 39. Se coloca una lata tibia de gaseosa en un refrigerador frío. 43. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es Grafique la temperatura de la gaseosa como función del Cx  5000  10x  0.05x 2. tiempo. ¿La razón de cambio inicial de la temperatura (a) Encuentre la razón de cambio promedio de C con es mayor o menor que la relación de cambio después de respecto a x, cuando se cambia el nivel de producción: una hora? (i) de x  100 a x  105 40. Se saca un pavo asado del horno cuando su temperatura ha (ii) de x  100 a x  101 alcanzado 185F y se coloca sobre la mesa de un cuarto (b) Halle la razón de cambio instantánea de C con respecto a donde la temperatura es de 75F. En la gráfica se muestra x, cuando x  100. (Esto se conoce como costo marginal. cómo disminuye la temperatura del pavo y, finalmente, tiende En la sección 3.7 se explica su significado.) a la temperatura del cuarto. Por medio de la medición de la pendiente de la tangente, estime la razón de cambio de 44. Si un tanque cilíndrico contiene 100 000 galones de agua que la temperatura después de una hora. se pueden drenar por el fondo del depósito en 1 h, la ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después de t T (°F) minutos como   200 2 t Vt  100 000 1  0  t  60 P 60 100 Encuentre la rapidez con que fluye el agua hacia afuera del tanque (la razón de cambio instantánea de V con respecto a t) como función de t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los 0 30 60 90 120 150 t (min) instantes t  0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60 min, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus hallazgos en una oración o dos. ¿En qué instante el gasto es máximo? ¿Cuándo es mínimo? 41. La tabla muestra el porcentaje estimado P de la población de Europa que utiliza teléfono celular. (Se proporcionan 45. El costo de producir x onzas de oro a partir de una mina de oro estimaciones semestrales.) reciente es C  fx dólares. Año 1998 1999 2000 2001 2002 2003 (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f x? ¿Cuáles son sus unidades? P 28 39 55 68 77 83 (b) ¿Qué significa enunciar f 800  17? (c) ¿Los valores de f x se incrementarán o disminuirán en (a) Halle la razón de crecimiento promedio de celulares corto tiempo, cuál es su opinión? ¿Y a largo plazo? (i) de 2000 a 2002 (ii) de 2000 a 2001 Explique. (iii) de 1999 a 2000 En cada caso, incluya las unidades. 46. El número de bacterias después de t horas en un experimento de (b) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 laboratorio controlado es n  ft. tomando el promedio de dos relaciones de cambio (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f 5? ¿Cuáles son sus promedio. ¿Cuáles son sus unidades? unidades? (c) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 (b) Considere que existe una cantidad de espacio y nutrimentos midiendo la pendiente de la tangente. para la bacteria. ¿Cuál es mayor f 5 o f 10? Si se limita el suministro de nutrimentos, ¿afectaría su 42. En la tabla se proporciona el número N de establecimientos conclusión? de una popular cadena de cafeterías. (Se dan los números de establecimientos al 30 de junio.) 47. Sea Tt la temperatura (en °F) en Dallas t horas después de la Año 1998 1999 2000 2001 2002 medianoche el 2 de junio de 2001. La tabla muestra los valores de esta función registrada cada dos horas. ¿Cuál es el significado N 1 886 2 135 3 501 4 709 5 886 de T10? Estime su valor. (a) Determine la tasa media de crecimiento (i) desde 2000 a 2002 (ii) desde 2000 a 2001 t 0 2 4 6 8 10 12 14 (iii) de 1999 a 2000 T 73 73 70 69 72 81 88 91 En cada caso incluya las unidades. CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 153 REDACCIÓN DE PROYECTO MÉTODOS ANTICIPADOS PARA LA BÚSQUEDA DE TANGENTES |||| 153 48. La cantidad (en libras) de un café que es vendido por una 50. La gráfica muestra la influencia de la temperatura T compañía en un precio de p dólares por cada libra es en la rapidez máxima sostenible de nado del salmón Q  f p. Coho. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f 8? ¿Cuáles son sus (a) ¿Cuál es el significado de la derivada ST? ¿Cuáles son unidades? sus unidades? (b) ¿f 8 es positiva o negativa? Explique. (b) Estime los valores de S 15 y S 25 e interprételos. 49. La cantidad de oxígeno que se puede disolver en agua depende de la temperatura del agua. (De esa manera la polución térmica S induce el contenido de oxígeno en el agua.) La gráfica muestra (cm/s) cómo varía la solubilidad S de oxígeno como una función de la 20 temperatura del agua T. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada ST? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Estime e interprete el valor de S16. 0 10 20 T (°C) S (mg / L) 16 51–52 Establezca si existe f 0.  12 1 8 x sen si x  0 51. f x  x 4 0 si x  0 0 8 16 24 32 40 T (°C) Adaptada de Environmental Science: Sc