Partitielle Integration Hilfe?
Hallo, ich brauche dringend Hilfe. Ich muss mithilfe der (mehrmaligen) partiellen Integration beweisen, dass die Funktion
mit
eine Stammfunktion von
ist.
Beim Integrieren komme ich aber die ganze Zeit durcheinander, bekomme seltsame Ergebnisse raus. Daher bitte ich euch, mir Schritt für Schritt zu erklären, wie ich vorzugehen habe.
Wir verwenden die Formel:
4 Antworten
h(x) = (x+2)² * e^(-1/2*x)
v(x) = e^(-1/2*x)
h(x) = x²*v(x) + 4*x*v(x) + 4*v(x)
Erstmal die einzelnen Integrale lösen:
##
(a) Int v(x) = -2*v(x)
##
(b) Int x*v(x)
f'(x) = v(x), f(x) = -2*v(x)
g(x) = x, g'(x) = 1
Int f'g = f*g - Int g'*f
(b) Int: x*v(x) = -2*v(x)*x - Int 1*-2*v(x) =
-2*v(x)*x + 2*(a) =
-2*v(x)*x - 4*v(x) = -(2x+4)*v(x)
##
(c) Int: x²*v(x)
f'(x) = v(x), f(x) = -2*v(x)
g(x) = x², g'(x) = 2x
Int f'g = f*g - Int g'*f
(c) Int x²*v(x) = -2*v(x)*u² - Int 2x*-2*v(x) =
-2*v(x)*x² + 4 * Int x*v(x) =
-2*v(x)*x² + 4*(b) =
-2*v(x)*x² + 4*(-2*v(x)*x -4*v(x))
= (-2x² - 8x - 16)*v(x)
Alles einsetzen:
H(x) = [c] + 4*[b] + 4*[a]
H(x) = [(-2x² - 8x -16)*v(x)] + 4*[-(2x+4)*v(x)] + 4*[-2*v(x)]
H(x) = (-2x² - 16 x - 40) v(x)
Das ist viel Schreibarbeit, passt aber. Die notwendige Sorgfalt kann Dir keiner abnehmen.
Erste partielle Integration:
u' = e^((-1/2) * x) ; u = -2 * e^((-1/2) * x)
v = (x + 2)² ; v' = 2 * (x + 2)
Zweite partielle Integration:
Vorab 4 aus dem Integral herausziehen und Klammern setzen nicht vergessen.
u' = e^((-1/2) * x) ; u = -2 * e^((-1/2) * x)
v = (x + 2) ; v' = 1
2 aus dem Integral herausziehen. Es bleibt das Integral von e^((-1/2) * x) übrig, welches ja bereits gelöst ist. Faktor vor der Klammer nicht vergessen.
Erste part. Integration:
= -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2)² - ∫ -2 * e^((-1/2) * x) * 2 * (x + 2) dx
= -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2)² + 4 * ∫ e^((-1/2) * x) * (x + 2) dx
Zweite part. Integration:
= -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2)² + 4 * ( -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2) - ∫-2 * e^((-1/2) * x) dx)
= -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2)² - 8 * e^((-1/2) * x) * (x + 2) + 8 * ∫ e^((-1/2) * x) dx
= -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2)² - 8 * e^((-1/2) * x) * (x + 2) + 8 * (-2) * e^((-1/2) * x) + C
= e^((-1/2) * x) * (-2 * (x + 2)² - 8 * (x + 2) - 16) + C
= e^((-1/2) * x) * (-2 * x² * - 8 * x - 8 - 8 * x - 16 - 16) + C
= e^((-1/2) * x) * (-2 * x² * - 16 * x - 40) + C
Hallo,
leite doch einfach die Stammfunktion ab und prüfe, ob die Ableitung identisch ist mit f(x).
Herzliche Grüße,
Willy
Leider erlaubt das die Aufgabenstellung nicht, wir müssen genau das tun, was in der Aufgabe steht
Naja, zuallererst würde ich doch dringend raten, zuerst mal das durchzuführen, was Willy gerade vorgeschlagen hat ! Geht dieser Test fehl, dann hätten wir irgendwie ein echtes Problem ...
Auch für die Durchführung der partiellen Integration kriegt man aus dem "Test" wohl nützliche Hinweise.
Nach mehrfachen Versuchen (die eine oder andere Konstante verschlampt), habe ich die angegebene Stammfunktion gefunden durch mehrfache partielle Integration.
Du darfst nicht vergessen, daß e^((-1/2)x) bei jeder Integration mit dem Faktor (-2) multipliziert wird. Da kommt einiges zusammen.
Hier:
https://www.youtube.com/watch?v=5cz_twQXyMU
findest Du das sogenannte DI-Verfahren, mit dem die partielle Integration ganz einfach wird (ab Minute 5:35).
Was hast du denn für u' und v gesetzt?
Sinnvollerweise nimmst du für u' immer den Term mit der Exponentialfunktion. Dann sollte sich das aufribbeln.
Schreib doch mal auf, was ist u'? Was ist u? Was ist v, was ist v'?
u'=e^{-1/2x} und u= -2e^... und v= (x+2)^2 und v'=2(x+2)
Das ist doch prima und alles richtig. Ich kürze mal ab und nenne den Ausdruck e^{-1/2x} einfach mal E, dann ist das einfacher.
Du hast dann
I = [-2 E * (x+2)^2] - Int (-2E * 2(x+2)) dx
= [-2 E * (x+2)^2] + 2 Int (E * 2(x+2)) dx
Jetzt bleibe ich bei u'=E und u= -2E, aber v ist jetzt v=2(x+2), v' = 2.
= [-2 E * (x+2)^2] + 2 ([-2 *E*2(x+2)] - Int (-2E * 2) dx)
= -2 E (x+2)² - 8 E (x+2) - 8 (Int E dx)
= -2 E (x+2)² - 8 E (x+2) - 8 * (-2E)
= -2 E (x+2)² - 8 E (x+2) - 16 E
= E * ( -2(x² + 4x + 4 ) - 8(x+2) -16))
= E * (-2x² - 8x - 8 - 8x - 16 - 16) = E * (-2x² - 16x - 40)
würdest du mir bitte den gesamten Lösungsweg zeigen