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拐点，顾名思义，可以从直观上理解为函数的「拐向」发生改变的点。
通常，对于一个二阶可微函数，我们用二阶导数正负性/海森矩阵正定性来判断函数的「拐向」。
当然对于无法使用二阶条件，甚至一阶条件的函数，我们也可以用定义证明函数的「拐向」。
我们把「拐向」称为函数的「凹向性」。
也就是说，直观上理解，「拐点」就是函数「凹向性」发生改变的点。
「拐点」的定义：
设函数 f(x) 在点 x_0 连续，若存在 \delta>0 使得 f(x) 在区间 (x _0- \delta,x_0) 与 (x _0,x_0+ \delta) 上的凹向性相反，则称点 (x_0,f(x_0)) 为函数曲线的拐点。
请务必注意：拐点是点。
「拐点的判定」：
若该曲线图形的函数在某点的二阶导数为零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。若二阶导数在该点两侧符号相同，则不是拐点。
拐点的「必要条件」：
设 {\displaystyle f(x)} 在 {\displaystyle (a,b)} 内二阶可导， {\displaystyle x_{0}\in (a,b)}，若 {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} 是曲线 {\displaystyle y=f(x)} 的一个拐点，则 {\displaystyle f''(x_{0})=0} 。
拐点的「充分条件」：
设 {\displaystyle f(x)} 在 {\displaystyle (a,b)} 内二阶可导， {\displaystyle f''(x_{0})=0} ，若在 {\displaystyle x_{0}} 两侧附近 {\displaystyle f''(x)} 异号，则点 {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} 为曲线的拐点。否则（即 {\displaystyle f''(x_{0})} 保持同号）， {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} 不是拐点。
对于多元的情形，把{\displaystyle f''(x)} 异号更改为 G(x) 正定性改变即可。
谢邀。
数学中，一个连续且平滑的函数f(x)，若某个点是函数曲线的凹凸分界点，我们就称之为拐点。
用数学语言来说，对于任意的 \delta>0 ，存在 f(x) 同时满足以下两个条件
- f''(x_0)=0 或者不存在
- f''(x_{0}-\delta)*f''(x_{0}+\delta)<0
我们就说 x_0 是 f(x) 的拐点。
对于一个连续的曲线而言，拐点是图像“上凸”与“下凹”的分界点，代表着增长率（降低率）由正变负或者由负变正，他是数学函数凹凸性发生变化的点。
- 凹凸性
函数的凹凸性是指，如果一个函数 f(x) ，存在一个区间 (a,b) ，使得这个区间内任意两点 x_1,x_2 ，满足
f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
其中， a<x_1<b ， a<x_2<b
我们就说，函数 f(x) 在区间 (a,b) 是凸函数。
反之，如果
f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
我们就说，函数 f(x) 在区间 (a,b) 是凹函数。
如上图，左图为凹函数，右图为凸函数。