当存在正实数x，使得ax^2+(a^2-1)x+a=0成立时，则实数a的取值范围是？

显然 a\ne0, 于是方程可化为 f(x):=x^2+\left(a-\frac{1}{a}\right)x+1=0.\\ 设其两根为 x_1,x_2, 依 \text{Vieta} 定理， x_1x_2=1>0, 故若 x_1,x_2 有一为正，则两者均正。 f(x) 有两个正根 x_1,x_2, 需且只需同时满足 \displaystyle\begin{cases} \Delta=\left(a-\frac{1}{a}\right)^2-4\ge0,\\[5pt] x_1+x_2=-\left(a-\frac{1}{a}\right)>0. \end{cases} \\ 这等价于 a-\frac{1}{a}\le -2,\\ 解得 a\in\left(-\infty, -1-\sqrt{2}~\right]\bigcup \left(~0,\sqrt{2}-1~\right].\\

这题需要分类讨论，分别讨论 a=0 和 a\ne0 的情况.

当 a=0 时，

整理原方程，得到

-x=0

解得

x=0

不是正实数根，故舍去.

当 a\ne0 时，

这就是一个一元二次方程，

那么

\Delta = b^2 - 4ac = (a^2 - 1)^2 - 4a \cdot a = a^4 - 2a^2 + 1 - 4a^2 = a^4 - 6a^2 + 1

若要使这个方程有实数解，就要使判别式大于等于0,即

\Delta= a^4 - 6a^2 + 1 \geq 0

可以通过换元法或因式分解解这个不等式

注意到

a^4 - 6a^2 + 1=\left(a^{2}-2 a-1\right)\left(a^{2}+2 a-1\right)

那么有

\left(a^{2}-2 a-1\right)\left(a^{2}+2 a-1\right) \geq0

解得

\begin{array}{l} a \geq 1+\sqrt{2} \\ 1-\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2}-1 \\ a \leq-1-\sqrt{2} \end{array}

对于

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-(a^2 - 1) \pm \sqrt{a^4 - 6a^2 + 1}}{2a}

要使 x>0

即解

\frac{-(a^2 - 1) + \sqrt{a^4 - 6a^2 + 1}}{2a}>0

或

\frac{-(a^2 - 1) - \sqrt{a^4 - 6a^2 + 1}}{2a}>0

解得

0<a\leq\sqrt{2}-1

或

a \leq-1-\sqrt{2}

综上，实数 a 的取值范围是 \left( -\infty,-1-\sqrt{2} \right]\cup\left( 0,\sqrt{2}-1 \right] .

通俗易懂！