De-Broglie-Wellenlänge
Louis de Broglie stellt 1924 die These auf, dass nicht nur Licht Wellen- und Teilcheneigenschaften besitzt, sondern auch jedes materiebehaftetes Teilchen wie bspw. Elektronen. Die Wellenlänge der "Materiewelle", auch de-Broglie-Wellenlänge genannt, sollte berechnet werden aus Plankschen Wirkungsquantum \(h\) geteilt durch den Impuls \(p\) des Teilchen.
Am Beispiel von Elektronen also $$\lambda_{\text{de Broglie}} = \frac {h}{p_\text e}=\frac {h}{m_\text e\cdot v_\text e}$$
Klassische de-Broglie-Wellenlänge von Elektronen
Bei der Beschleunigung von Elektronen in einer Elektronenkanone mit der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{b}}\) ergibt sich bei klassischer Rechnung die de-Broglie-Wellenlänge entsprechend aus $$\bbox[8px,border:2px solid red]{\lambda_{\text{de Broglie}} = \frac {h}{m_\text e\cdot \sqrt{2\cdot \frac{e}{m_\text e}\cdot U_{\text b}}}=\frac {h}{\sqrt{2\cdot m_\text e \cdot e\cdot U_{\text b}}}}$$ Dass diese These von de Broglie richtig ist, wird experimentell mithilfe der Elektronenbeugungsröhre auf den nächsten Seiten gezeigt.
Berechnung der de-Broglie-Wellenlänge von Elektronen
Beispielhaft ergeben sich für die de-Broglie-Wellenlängen von Elektronen, die mit \(U_{\rm{b}}\) beschleunigt wurden, die in der Tabelle dargestellten Werte.
Dabei wurden folgende Werte genutzt: $h=6{,}6\cdot 10^{-34}\,\text J\cdot \text s$, $ m_{\text e}=9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$, $e=1{,}6\cdot 10^{-19}\,{\text C}$
| Beschleunigungsspannung Ub | de-Broglie-Wellenlänge $\lambda_{\text {de Broglie}}$ |
|---|---|
| 10 V | $3{,}87\cdot 10^{-10}\,\text m $ |
| 100 V | $1{,}22\cdot 10^{-10}\,\text m $ |
| 1000 V | $3{,}87\cdot 10^{-11}\,\text m $ |
| 10000 V | $1{,}22\cdot 10^{-11}\,\text m $ |
| V | ${}$ |
Hinweis: Der Rechner erlaubt eine maximale Beschleunigungsspannung von \(U_{\rm{b}}=100000\,\rm{V}\). Spätestens ab hier ist eine relativistische Betrachtung sinnvoll, um den durch klassische Rechnung verursachten Fehler nicht zu groß werden zu lassen.
