Poj�cie wymiaru, pomimo pozornej prostoty, sprawia�o matematyk� sporo problem�w. Intuicyjne definiowanie wystarcza�o dla obiekt�w, kt�re mo�na by�o zobaczy�, lecz okazywa�o si� niewystarczaj�ce przy bardziej teoretycznych rozwa�aniach. Jedna z pierwszych pr�b jednoznacznego zdefiniowania brzmia�a:

Definicja:

Wymiar zbioru A dany jest indukcyjnie:

1. Je�eli zbi�r A jest zbiorem pustym, to jego wymiar r�wny jest -1
2. Je�eli dowolny podzbi�r zbioru A mo�na odseparowa� od reszty zbioru zbiorem B o wymiarze n oraz istnieje podzbi�r zbioru A, kt�rego nie mo�na odseparowa� od reszty zbioru zbiorem C o wymiarze mniejszym od n, to zbi�r A ma wymiar n+1.

Jak w praktyce wygl�da stosowanie tej definicji? Zbi�r pusty ma wymiar -1. Punkt, poniewa� �aden zbi�r nie mo�e go podzieli�, ma wymiar r�wny 0. Prosta, okr�g i dowolna krzywa mog� zosta� podzielone na cz�ci przy u�yciu punkt�w, zatem ich wymiar r�wny jest 1. Jak wida� definicja ta jest zgodna z intuicj� oraz umo�liwia badanie zbior�w dowolnego wymiaru. Jej wady to konieczno�� badania wszystkich mo�liwych podzbior�w i indukcyjne rozumowanie. Jednak w roku 1883 Georg Cantor przedstawi� problem, kt�ry zobrazowa� prawdziwe braki powy�szej definicji

Definicja:



Geometryczna interpretacja przedstawiona jest na rysunku powy�ej. Gdzie tkwi problem? W dowolnym momencie konstrukcji otrzymujemy sum� sko�czenie wielu odcink�w, zatem zbi�r o wymiarze r�wnym 1. Jednak zbi�r Cantora sk�ada si� tylko z pojedy�czych, odseparowanych punkt�w, czyli jego wymiar wynosi 0. Intuicyjna definicja nie pozwala na odr�nienie obiekt�w zachowywuj�cych si� "porz�dnie" od tych, kt�re zmieniaj� sw�j wymiar. Rozwi�zanie tego problemu zosta�o zaproponowane dopiero w pierwszej po�owie XX wieku przez Felixa Hausdorffa. Przyj�ta przez niego definicja pozwala na istnienie obiekt�w o wymiarze nie b�d�cym liczb� ca�kowit�, a nawet wymiern�. Dla zbioru Cantora jest on r�wny: