Zderzenia sprężyste i niesprężyste w jednym i dwóch wymiarach – wykorzystanie zasady zachowania pędu i zasady zachowania energii.

W tej lekcji będziemy rozważali przyjemne zagadnienie jakim są zderzenia.

Na sam początek podajmy założenia odnośnie analizowanych układów ciał:

• Będziemy analizowali układy ciał, a nie ciała z osobna.
• Układy są izolowane, co znaczy, że energia nie może być z niego odebrana ani do niego dostarczona.
• Układy są zamknięte co znaczy, że wypadkowa sił zewnętrznych na niego działająca jest równa 0.

Rodzaje zderzeń

Jeśli podczas zderzenia energia układu została zachowana, co znaczy, że nie zmieniła się ona w wyniku zderzenia, to takie zderzenie nazywamy zderzeniem sprężystym. Nie towarzyszy mu np. efekt odkształcenia, wytworzenia ciepła lub dźwięku (lub są to pomijalnie małe zmiany energii).

Opozycyjnie, jeśli energia układu nie jest zachowana mamy do czynienia ze zderzeniem niesprężystym.

Zderzenie, po którym ciała są ze sobą złączone nazywane jest zderzeniem całkowicie niesprężystym. Przykładem może być zderzenie kija baseballowego z plastelinową kulką.

Prędkość środka masy

Prędkość środka masy układu zamkniętego i izolowanego nie może się zmienić w wyniku zderzenia, ponieważ wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ, które mogłyby to sprawić jest równa 0.

Przeanalizujmy teraz układ dwóch ciał oraz ich zderzenie w jednym wymiarze. Przedstawmy całkowity pęd układu dwóch ciał w następujący sposób:

Wzór ogólny zasady zachowania pędu w przypadku układu dwóch ciał przedstawiamy następującą:

Pęd całkowity jest równy każdej ze stron powyższego równania. Podstawmy więc pod  lewą jego

stronę:

Przyrównajmy do siebie równania (1.1) oraz (1.3) oraz przekształćmy względem V_ŚM :

Prawa strona tego równania jest stała, więc prędkość średnia środka masy układu również jest stała.

Oznacza to też, że zderzenie nie wpływa na położenie środka masy układu zamkniętego i izolowanego.

Rekomendowane zajęcia

Zapraszamy na korepetycje indywidualne z fizyki

Korepetycje z fizyki

Zderzenia w jednym wymiarze

Niesprężyste:

Rozważmy zderzenie w układzie dwóch ciał. Jako, że układ jest zamknięty możemy zastosować zasadę zachowania pędu w następującej postaci:

Jako, że ruch odbywa się tylko w jednym wymiarze możemy opuścić wektory i zająć się tylko składowymi. Przekształćmy równanie korzystając z zależności p = mv:

Całkowicie niesprężyste:

Na potrzeby lepszego zrozumienia wyobraźmy sobie pewne zderzenie. Ciało m₁ porusza się z prędkością v₁ w kierunku ciała m₂, które się nie porusza. Po zderzeniu i złączeniu się ciał (ponieważ jest to zderzenie całkowicie niesprężyste) poruszają się one z prędkością V. Zapiszmy w takim razie zasadę zachowania pędu dla tego przypadku:

Czyli:

Zwróć uwagę, że V zawsze będzie mniejsza od v_1pocz, ponieważ ułamek m₁ / m₁ + m₂ jest zawsze mniejszy od 1.

Sprężyste, gdy jedno z ciał przed zderzeniem się nie porusza:

Zacznijmy od ważnego faktu: energia kinetyczna każdego ze zderzających się sprężyście ciał może się zmienić, jednakże zmianie nie może ulec całkowita energia kinetyczna układu tych ciał.

Przykładem takiego zderzenia w życiu jest zderzenie dwóch kul bilardowych. Można w tym przypadku uznać, że w przybliżeniu energia kinetyczna zderzających się ciał jest zachowana. Słysząc odgłos zderzenia możemy jednak wyciągnąć wniosek, że niewielka część energii jest przekształcana w energię akustyczną.

Wyobraźmy sobie zderzenie dwóch ciał m₁ i m₂ . Ciało m₁ porusza się z prędkością v₁ , a ciało m₂ pozostaje w spoczynku. Mamy do czynienia z układem zamkniętym i izolowanym, a więc możemy zapisać równanie zasady zachowania pędu dla tego układu:

Jako, że jest to zderzenie sprężyste to energia kinetyczna układu jest również zachowana. Zapiszmy więc:

Aby wyznaczyć prędkości końcowe ciał zapiszmy powyższe dwa równania następująco:

Dzielimy powyższe równania stronami, wyznaczamy v_1końc oraz v_2końc i otrzymujemy:

Rozważmy szczególne przypadki zderzeń opisywanych powyższymi równaniami:

1. Ciała mają jednakowe masy. Jeśli m₁ = m₂ to powyższe równania przyjmują postać:

Przy zderzeniu czołowym ciała „wymieniają się” prędkościami. Jest to też prawdziwe, gdy ciało m₂ nie jest początkowo nieruchome.

2. Ciało m₂ o bardzo dużej masie. Jeśli m₂ ma o wiele większą masę niż m₁, to powyższe równania przyjmują postać:

Wynika z tego, że ciało m₁ odbija się od ciała m₂ praktycznie bez zmiany prędkości, a ciał m₂ porusza się do przodu, jednak z bardzo małą prędkością.

3. Ciało m₁ o bardzo dużej masie. Jeśli m₁ ma o wiele większą masę niż m₂, to powyższe równania przyjmują postać:

Wynika z tego, że ciało m₁ porusza się praktycznie z tą samą prędkością, a ciało m₂ z dwukrotnie większą od ciała m₁.

Sprężyste, gdy obydwa ciała przed zderzeniem się poruszają:

Wyobraźmy sobie, że dwa ciała poruszają się naprzeciwko siebie i zderzają się czołowo. Zapiszmy równania zasady zachowania pędu oraz zasady zachowania energii:

Wyznaczmy prędkości końcowe obydwu ciał:

Zauważ, że przypisanie ciałom wskaźników 1 i 2 jest dowolne i nie zmienia tych równań.

Zderzenia w dwóch wymiarach

Jeśli zderzenie ciał nie zachodzi na wspólnej osi mamy do czynienia ze zderzeniem w dwóch wymiarach.

Przy opisywaniu zderzenia w dwóch wymiarach wygodnie jest rozpisać równania zasadę zachowania pędu względem osi X i Y.

Względem osi X:

α – kąt tworzony przez kierunek ruchu ciała m₁ względem osi X.

β – kąt tworzony przez kierunek ruchu ciała m₂ względem osi X.

Względem osi Y:

α – kąt tworzony przez kierunek ruchu ciała m₁ względem osi Y.

β – kąt tworzony przez kierunek ruchu ciała m₂ względem osi Y.

Teraz zapiszmy zasadę zachowania energii:

Powyższe równanie jest nam potrzebne tylko w celu wyznaczenia prędkości końcowych obydwu ciał, a więc nie musimy zawierać w równaniu kąta pod jakimi są prędkości względem osi X oraz Y.

Jeśli znamy przynajmniej 4 wielkości z 7 zmiennych pozostałe możemy wyznaczyć za pomocą powyższych równań.

Rekomendowane zajęcia

Zobacz jak możemy Ci pomóc

Korepetycje z fizyki Korepetycje z matematyki Kurs maturalny z matematyki Wakacyjny Obóz Maturalny – Matematyka