hola, no entiendo por que en el ejemplo 3, la aceleración es negativa ._.

es begativa por el hecho der que la aceleracion de la gravedad es contraria al desplazamiento

hola, ¿como se puede despejar aceleracion de la tercera formula?

Dudo mucho seriamente que quieras despejar esa formula y que te sirva de algo, pudiendo usar: a = (vf - vi)/t

Saludos, mi pregunta es, ¿cual es el origen de las fórmulas cinemáticas como por ejemplo?: y=-1/2gt²+vₒsenθt+yₒ Vy=-gt+vₒsenθ x=vₒcosθt+xₒ ¿De donde es que salen estas formulas y cual es su relación con las formulas de MRU y MRUA (caída libre)?

Oscar! Estoy viendo eso en mi curso de física de la universidad así que intentaré ayudar si es que aún te sirve. Por favor lee todo detenidamente: Aquellas ecuaciones cinemáticas son totalmente equivalentes a las que muestran en este post: la primera ecuación que pones es como la ecuación (3), la segunda es como la ecuación (1) y la tercera ecuación que pones no sale en el post. Antes que nada, me gustaría corregir que esos signos menos en tus ecuaciones no están del todo bien; allí debería ir un 1/2gt² y un gt respectivamente, sin el signo menos, pues este ya viene incluido al tomar g=-9.8m/s². Luego, lo que preguntas: esas ecuaciones con identidades trigonométricas como seno o coseno vienen del hecho de dividir UN movimiento de 2 DIMENSIONES, a DOS movimientos en UNA DIMENSIÓN (descomponerlo). Imagina que tengo una pelota y la tiro en diagonal hacia arriba y hacia al frente mío. Allí tengo un movimiento en dos dimensiones un poco difícil de analizar (el movimiento vertical de cómo sube y luego baja la pelota, y el movimiento horizontal que siempre es hacia el frente). Por lo mismo, este se puede dividir en dos componentes y se hace más fácil su análisis. Para analizar en el eje x, la componente en x de la velocidad será igual a vₒcosθ (te recomiendo que veas un poco de trigonometría y circulo unitario), y ya luego la reemplazas en la fórmula cinemática común y corriente. Lo mismo ocurre con la componente en y de la velocidad que pasa a ser vₒsenθ. Las fórmulas en una dimensión, y sus equivalentes cuando descomponemos un movimiento de dos dimensiones quedan finalmente así: y=yₒ+vₒt+1/2gt² ---> y=yₒ+vₒsenθt+1/2gt² Vy=vₒ+gt ---> Vy=vₒsenθ+gt x=xₒ+vₒt ---> x=xₒ+vₒcosθt Espero que te sirva. Saludos.

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Curso: Lecciones de física > Unidad 1

Lección 4: Las fórmulas cinemáticas y el movimiento de un proyectil

¿Qué son las fórmulas cinemáticas?

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Aquí están las ecuaciones principales que puedes usar para analizar situaciones con aceleración constante.

¿Qué son las fórmulas cinemáticas?

Las fórmulas cinemáticas son un conjunto de fórmulas que relacionan las cinco variables cinemáticas listadas a continuación.

Δ x Desplazamiento

t Intervalo de tiempo

v_{0} Velocidad inicial

v Velocidad final

a Aceleración constante

t

en estas fórmulas realmente representa el intervalo de tiempo que le tomó al objeto desplazarse

Δ x

. Es probable que conceptualmente sería más claro escribir el intervalo de tiempo como

Δ t

, pero las fórmulas cinemáticas ya están lo suficientemente desordenadas para que las personas suelan excluir el signo

Δ

en frente del tiempo

t

por el bien de la limpieza y la simplicidad.

Solo tenemos que asegurarnos que sabemos que al escribir

t

, en realidad nos referimos al intervalo de tiempo

Δ t

Si conocemos tres de estas cinco variables cinemáticas

(Δ x, t, v_{0}, v, a)

para un objeto bajo aceleración constante, podemos usar una fórmula cinemática (ver más abajo) para encontrar una de las variables desconocidas.

Las fórmulas cinemáticas suelen escribirse como las siguientes cuatro ecuaciones.

1. v = v_{0} + a t

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Como las fórmulas cinemáticas solo son ciertas si la aceleración es constante durante el intervalo de tiempo considerado, debemos ser cuidadosos de no usarlas cuando la aceleración esté cambiando. Además, las fórmulas cinemáticas suponen que todas las variables se refieren a la misma dirección:

x

horizontal,

y

vertical, etc.

Si sustituyes una velocidad inicial horizontal

v_{0 x}

en una fórmula cinemática, el resto de las variables que sustituyas en esa fórmula

(Δ x, v_{x}, a_{x})

también deben ser para la dirección horizontal.

Si sustituyes una velocidad inicial vertical

v_{0 y}

en una fórmula cinemática, el resto de las variables que sustituyas en esa fórmula

(Δ y, v_{y}, a_{y})

también deben ser para la dirección vertical.

En otras palabras, para ser muy claros, las fórmulas cinemáticas para una dirección dada (por ejemplo,

x

) en realidad deberían escribirse con un subíndice para denotar esa dirección:

v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

\frac{v_{x} + v_{0 x}}{2} = \frac{Δ x}{t}

Sin embargo, incluir todos estos subíndices puede comenzar a ser problemático. Así que los libros de texto, cursos y profesores a menudo excluyen los subíndices y solo recuerdan que las fórmulas cinemáticas funcionarán para cualquier dirección (incluso diagonal) en la que la aceleración sea constante, siempre y cuando incluyas solo las variables en esa dirección particular.

¿Qué es un objeto que vuela libremente, es decir, un proyectil?

Podría parecer que el hecho de que las fórmulas cinemáticas solo funcionen para intervalos de tiempo de aceleración constante limitaría seriamente la aplicabilidad de estas fórmulas. Sin embargo, una de las formas más comunes de movimiento (la caída libre), resulta ser a aceleración constante.

Todos los objetos que vuelan libremente (también llamados proyectiles) en la Tierra, sin importar su masa, tienen una aceleración constante dirigida hacia abajo debida a la gravedad de magnitud

g = 9.81 \frac{m}{s^{2}}

g = 9.81 \frac{m}{s^{2}} (Magnitud de la aceleración debida a la gravedad).

Se define un objeto que vuela libremente como cualquier objeto que esté acelerando debido solo a la influencia de la gravedad. Típicamente suponemos que el efecto de la resistencia del aire es tan pequeño que lo podemos ignorar, lo que significa que cualquier objeto que se suelta, se lanza o que de otra manera vuela libremente a través del aire, se considera como un proyectil que vuela libremente con una aceleración constante dirigida hacia abajo de magnitud

g = 9.81 \frac{m}{s^{2}}

Cuando pensamos en ello, es extraño y afortunado. Es extraño pues significa que una roca gigante se acelerará hacia abajo con la misma aceleración que una pequeña piedra, y si se dejaran caer de la misma altura, golpearían el suelo al mismo tiempo.

Es afortunado ya que no necesitamos conocer la masa del proyectil cuando resolvemos fórmulas cinemáticas, dado que el objeto que vuela libremente tendrá la misma magnitud de la aceleración,

g = 9.81 \frac{m}{s^{2}}

, sin importar qué masa tenga (siempre y cuando la resistencia del aire sea despreciable).

Observa que

g = 9.81 \frac{m}{s^{2}}

solo es la magnitud de la aceleración debida a la gravedad. Si seleccionamos arriba como la dirección positiva, cuando hagamos las sustituciones en las fórmulas cinemáticas para un proyectil, debemos hacer que la aceleración de la gravedad sea negativa:

a_{y} = - 9.81 \frac{m}{s^{2}}

Advertencia: una de las fuentes de error más comunes es olvidar incluir un signo negativo cuando se usan las fórmulas cinemáticas.

¿Cómo seleccionas y usas una fórmula cinemática?

Escogemos la fórmula cinemática que incluya tanto la variable desconocida que queremos determinar y tres de las variables cinemáticas que ya conozcamos. De esta forma, podemos resolver para la incógnita que queremos encontrar, que será la única incógnita en la fórmula.

Por ejemplo, digamos que supiéramos que un libro que se encuentra en el suelo fue pateado hacia adelante con una velocidad inicial de

v_{0} = 5 m/s

, y que le tomó un intervalo de tiempo de

t = 3 s

deslizarse un desplazamiento de

Δ x = 8 m

. Podríamos usar la fórmula cinemática

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

para resolver algebraicamente para la aceleración desconocida

a

del libro (suponiendo que la aceleración fuera constante) ya que conocemos todas las otras variables en esa fórmula

(Δ x, v_{0}, t)

además de

a

Consejo para resolver el problema: observa que a cada fórmula cinemática le falta alguna de las cinco variables cinemáticas:

Δ x, t, v_{0}, v, a

1. v = v_{0} + a t (A esta fórmula le falta Δ x).

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (A esta fórmula le falta a).

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} (A esta fórmula le falta v).

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x (A esta fórmula le falta t).

Para escoger la fórmula cinemática que sea adecuada para tu problema, determina cuál variable no se te da y no se te pide encontrar. Por ejemplo, en el problema de arriba, la velocidad final

v

del libro ni se nos dio ni se nos pidió, así que deberíamos escoger una fórmula que no incluya a

v

. A la fórmula cinemática

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

le falta el término

v

, por lo que en este caso es la elección correcta para resolver para la aceleración

a

Sí, existe.

5. Δ x = v t - \frac{1}{2} a t^{2} (A esta fórmula le falta v_{0}).

La quinta fórmula cinemática se ve igual que la tercera,

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, excepto con la velocidad inicial

v_{0}

reemplazada por la velocidad final

v

y el signo positivo remplazado por un signo negativo. Puede derivarse al sustituir la primera fórmula cinemática en la tercera.

Esta quinta fórmula cinemática no suele ser tan útil, ya que en muchas situaciones, típicamente se conoce o se da la velocidad inicial.

¿Cómo derivas la primera fórmula cinemática, $v = v_{0} + a t$ ‍ ?

Esta fórmula cinemática es probablemente la más fácil de derivar, ya que en realidad es solo una versión reorganizada de la definición de la aceleración. Podemos empezar con la definición de la aceleración,

a = \frac{Δ v}{Δ t}

Sí. Si el intervalo de tiempo

Δ t

es grande, la fórmula

a = \frac{Δ v}{Δ t}

es la aceleración promedio sobre el intervalo de tiempo.

Entonces, la derivación que haremos a continuación en realidad supone que la

a

en la fórmula es la aceleración promedio

a_{p r o m}

. Sin embargo, si la aceleración es constante, la aceleración instantánea

a_{i n s t}

será igual a la aceleración promedio

a_{p r o m}

, en cuyo caso no tenemos que preocuparnos por ser específicos y simplemente la podemos llamar

a

Entonces, para que la fórmula cinemática que vamos a derivar sea correcta, la aceleración debería ser constante. De otro modo, la

a

en la fórmula se refiere a la aceleración promedio y no a la aceleración instantánea.

Ahora podemos reemplazar

Δ v

con la definición de cambio en la velocidad:

v - v_{0}

a = \frac{v - v_{0}}{Δ t}

Por último, si resolvemos para

v

obtenemos

v = v_{0} + a Δ t

Y si estamos de acuerdo en usar

t

en vez de

Δ t

, esta se vuelve la primera fórmula cinemática.

v = v_{0} + a t

¿Cómo derivas la segunda fórmula cinemática, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Una manera genial de derivar esta fórmula cinemática de manera visual es al considerar la gráfica de velocidad para un objeto con aceleración constante (en otras palabras, una pendiente constante) que empieza con velocidad inicial

v_{0}

, como se ve en la siguiente gráfica.

El área debajo de cualquier gráfica de velocidad da el desplazamiento $Δ x$ ‍. Entonces, el área debajo de esta gráfica de velocidad será el desplazamiento

Δ x

del objeto.

Δ x = área total

De manera conveniente, podemos separar esta área en un rectángulo azul y un triángulo rojo, como se muestra en la gráfica de arriba.

La altura del rectángulo azul es

v_{0}

y la base es

t

, por lo que el área total del rectángulo azul es

v_{0} t

.
La base del triángulo rojo es

t

y la altura es

v - v_{0}

, entonces el área debajo del triángulo rojo es

\frac{1}{2} t (v - v_{0})

El área total será la suma de las áreas del rectángulo azul y el triángulo rojo.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} t (v - v_{0})

Si distribuimos el factor de

\frac{1}{2} t

obtenemos

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} v t - \frac{1}{2} v_{0} t

Podemos simplificar al combinar los términos de

v_{0}

para obtener

Δ x = \frac{1}{2} v t + \frac{1}{2} v_{0} t

Y por último podemos volver a escribir el lado derecho para obtener la segunda fórmula cinemática

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Esta fórmula es interesante ya que si divides ambos lados entre

t

, obtienes

\frac{Δ x}{t} = (\frac{v + v_{0}}{2})

. Esto dice que la velocidad promedio

\frac{Δ x}{t}

es igual al promedio de las velocidades final e inicial

\frac{v + v_{0}}{2}

. Sin embargo, esto solo es verdadero al suponer que la aceleración es constante, ya que derivamos esta fórmula a partir de una gráfica de velocidad con pendiente/aceleración constante.

¿Cómo derivas la tercera fórmula cinemática, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Hay dos maneras de derivar la ecuación

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

. Hay una derivación geométrica genial y una derivación menos emocionante que involucra sustituir y calcular. Primero vamos a hacer la derivación geométrica genial.

Considera un objeto que empieza con una velocidad

v_{0}

y mantiene una aceleración constante hasta una velocidad final

v

como se observa en la siguiente gráfica.

Ya que el área debajo de la gráfica de la velocidad da el desplazamiento

Δ x

, cada término en el lado derecho de la fórmula

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

representa un área en la gráfica de arriba.

El término

v_{0} t

representa el área del rectángulo azul, pues

A_{r e c t á n g u l o} = b h

El término

\frac{1}{2} a t^{2}

representa el área del triángulo rojo, pues

A_{t r i á n g u l o} = \frac{1}{2} b h

Esto es todo. La fórmula

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

tiene que ser verdadera, ya que el desplazamiento debe estar dado por el área total bajo la curva. Hicimos la suposición de que la gráfica de velocidad era una linda recta diagonal, de modo que pudiéramos usar la fórmula del triángulo, así que esta fórmula cinemática, como el resto de las fórmulas cinemáticas, solo es verdadera bajo la suposición de que la aceleración es constante.

Aquí está la derivación alternativa al hacer una sustitución con cálculos. La tercera fórmula cinemática se puede derivar al sustituir la primera fórmula cinemática,

v = v_{0} + a t

, en la segunda fórmula cinemática,

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

Si empezamos con la segunda fórmula cinemática

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

y usamos

v = v_{0} + a t

para sustituir

v

, obtenemos

\frac{Δ x}{t} = \frac{(v_{0} + a t) + v_{0}}{2}

Podemos desarrollar el lado derecho y obtener

\frac{Δ x}{t} = \frac{v_{0}}{2} + \frac{a t}{2} + \frac{v_{0}}{2}

Al combinar los términos

\frac{v_{0}}{2}

en el lado derecho nos da

\frac{Δ x}{t} = v_{0} + \frac{a t}{2}

Y por último, al multiplicar ambos lados por el tiempo

t

nos da la tercera fórmula cinemática.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

De nuevo, usamos otras fórmulas cinemáticas, las cuales tienen un requerimiento de que la aceleración sea constante, así que esta tercera fórmula cinemática solo es verdadera bajo la suposición de que la aceleración es constante.

¿Cómo derivas la cuarta fórmula cinemática, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

Para derivar la cuarta fórmula cinemática, vamos a empezar con la segunda fórmula cinemática:

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Queremos eliminar el tiempo

t

de esta fórmula. Para hacerlo, vamos a despejar el tiempo de la primera fórmula cinemática,

v = v_{0} + a t

para obtener

t = \frac{v - v_{0}}{a}

. Si sustituimos esta expresión para el tiempo

t

en la segunda fórmula cinemática obtendremos

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) (\frac{v - v_{0}}{a})

Multiplicar las fracciones en el lado derecho nos da

Δ x = (\frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a})

Y ahora, al despejar

v^{2}

, obtenemos la cuarta fórmula cinemática.

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

¿Qué es confuso acerca de las fórmulas cinemáticas?

La gente suele olvidar que las fórmulas cinemáticas solo son verdaderas al suponer que la aceleración es constante durante el intervalo de tiempo considerado.

Algunas veces, una variable conocida no se proporciona de forma explícita en un problema dado, sino más bien se da de forma implícita en palabras clave. Por ejemplo, "empieza en reposo" significa

v_{0} = 0

, "se deja caer" a menudo significa

v_{0} = 0

, y "se detiene" significa

v = 0

. También, la magnitud de la aceleración debida a la gravedad en todos los proyectiles que vuelan libremente se supone que es

g = 9.81 \frac{m}{s^{2}}

, de modo que esta aceleración usualmente no se da de forma explícita en un problema, sino que se entiende que este es su valor para un objeto que vuela libremente.

La gente olvida que todas las variables cinemáticas

(Δ x, v_{o}, v, a)

, excepto el tiempo

t

, pueden ser negativas. Un signo negativo faltante es una fuente de error muy común. Si la dirección hacia arriba se toma como positiva, entonces la aceleración debida a la gravedad de un objeto que vuela libremente debe ser negativa:

a_{g} = - 9.81 \frac{m}{s^{2}}

La tercera fórmula cinemática,

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, podría requerir el uso de la fórmula cuadrática (revisa el ejemplo resuelto no. 3 a continuación).

La gente olvida que aún cuando puedes escoger cualquier intervalo de tiempo durante la aceleración constante, las variables cinemáticas que sustituyes en una fórmula cinemática deben ser consistentes con ese intervalo de tiempo. En otras palabras, la velocidad inicial

v_{0}

tiene que ser la velocidad del objeto en la posición inicial al comienzo del intervalo de tiempo

t

. Del mismo modo, la velocidad final

v

debe ser la velocidad en la posición final al final del intervalo de tiempo

t

que está siendo analizado.

¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran a las fórmulas cinemáticas?

Ejemplo 1: la primera fórmula cinemática, $v = v_{0} + a t$ ‍

Un globo lleno de agua de sabor se deja caer desde la azotea de un edificio muy alto.

¿Cuál es la velocidad del globo con agua después de caer durante $t = 2.35 s$ ‍?

Al suponer que la dirección hacia arriba es la positiva, nuestras variables conocidas son

v_{0} = 0

(Como el globo con agua se deja caer, empieza en reposo).

t = 2.35 s

(Este es el intervalo de tiempo después del cual queremos encontrar la velocidad).

a_{g} = - 9.81 \frac{m}{s^{2}}

(Esta está implícita, ya que el globo con agua es un objeto en caída libre).

Si esperas lo suficiente, sí, pero nosotros no usaremos eso en nuestra fórmula por dos razones.

Primero, estamos considerando solo el intervalo de tiempo de

2.35 s

, que es presumiblemente menor al tiempo que necesita para alcanzar el suelo.

Segundo, solo podemos aplicar las fórmulas cinemáticas para un intervalo de tiempo de aceleración constante. Cuando el globo con agua golpea el suelo, su aceleración cambia dramáticamente por el choque. Entonces, si vamos a decir que la aceleración en nuestra fórmula cinemática es

a_{g} = - 9.81 \frac{m}{s^{2}}

, ya que el objeto está en caída libre, entonces no podemos decir que la velocidad final es cero, pues esa es una parte del viaje en la que el objeto está golpeando el suelo (es decir, no está en caída libre), y nos estamos contradiciendo.

Si conociéramos la aceleración al impacto, y si esa aceleración fuera constante, podríamos aplicar las fórmulas cinemáticas durante el intervalo de tiempo del impacto. Pero esa no es la pregunta que estamos considerando, y en la mayoría de los problemas de caída libre solo consideramos el tiempo después de que se suelta el objeto y el tiempo antes del impacto.

El movimiento es vertical en esta situación, así que vamos a usar

y

como nuestra variable de posición en lugar de

x

. El símbolo que escojamos no tiene mucha importancia siempre y cuando seamos consistentes, pero la gente típicamente usa

y

para indicar movimiento vertical.

Como no conocemos el desplazamiento

Δ y

y no se nos preguntó por el desplazamiento

Δ y

, vamos a usar la primera fórmula cinemática

v = v_{0} + a t

, a la cual le falta

Δ y

v = v_{0} + a t (Usa la primera fórmula cinemática, ya que le falta Δ y).

v = 0 m/s + (- 9.81 \frac{m}{s^{2}}) (2.35 s) (Sustituye los valores conocidos).

v = - 23.1 m/s (¡Calcula y celebra!)

Nota: la velocidad final fue negativa ya que el globo con agua estaba yendo hacia abajo.

Sí, somos libres de llamar hacia abajo la dirección positiva para cualquier problema, pero debemos ser consistentes con esa decisión. Si llamamos hacia abajo la dirección positiva, entonces todo vector que apunta hacia abajo tiene que ser considerado positivo.

Entonces la aceleración tendría que ser

+ 9.8 \frac{m}{s^{2}}

y habríamos obtenido una velocidad final positiva en lugar de una velocidad final negativa.

Ejemplo 2: la segunda fórmula cinemática, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Un leopardo está corriendo con una rapidez de 6.20 m/s y, después de ver un espejismo que tiene forma de un camión de helados, aumenta su rapidez a 23.1 m/s en un tiempo de 3.3 s.

¿Cuánta distancia cubrió el leopardo al ir de 6.20 m/s a 23.1 m/s?

Al suponer que la dirección inicial del recorrido es la dirección positiva, nuestras variables conocidas son

v_{0} = 6.20 m/s

(La rapidez inicial del leopardo).

v = 23.1 m/s

(La rapidez final del leopardo).

t = 3.30 s

(El tiempo que le tomó aumentar su rapidez).

Como no conocemos la aceleración

a

y no se nos pidió la aceleración, vamos a usar la segunda fórmula cinemática para la dirección horizontal

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

, a la cual le falta

a

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (Usa la segunda fórmula cinemática, ya que le falta a).

Δ x = (\frac{23.1 m/s + 6.20 m/s}{2}) (3.30 s) (Sustituye los valores conocidos).

Δ x = 48.3 m (¡Calcula y celebra!)

Ejemplo 3: la tercera fórmula cinemática, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Una estudiante está harta de hacer su tarea de fórmulas cinemáticas, así que lanza su lápiz hacia arriba y de forma recta a

18.3 m/s

¿Cuánto tiempo le toma al lápiz alcanzar por primera vez un punto 12.2 m más alto de donde fue lanzado?

Al suponer que la dirección hacia arriba es la positiva, nuestras variables conocidas son

v_{0} = 18.3 m/s

(La velocidad inicial hacia arriba del lápiz).

Δ y = 12.2 m

(Queremos conocer el tiempo que le toma al lápiz recorrer este desplazamiento).

a = - 9.81 \frac{m}{s^{2}}

(El lápiz es un proyectil que vuela libremente).

Como no conocemos la velocidad final

v

y no se nos pidió encontrar la velocidad final, vamos a usar la tercera fórmula cinemática para la dirección vertical

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

, a la cual le falta

v

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (Empieza con la tercera fórmula cinemática).

Normalmente solo resolveríamos nuestra expresión de manera algebraica para la variable que queremos encontrar. Pero esta fórmula cinemática no se puede resolver de forma algebraica para el tiempo si ninguno de los términos es cero, porque si ninguno de los términos es cero y

t

es la variable desconocida, esta ecuación se vuelve una ecuación de segundo grado. Podemos verlo al sustituir los valores conocidos.

12.2 m = (18.3 m/s) t + \frac{1}{2} (- 9.81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} (Sustituye los valores conocidos).

Para escribir esto como una ecuación de segundo grado más fácil de resolver, movemos todos los términos a un solo lado de la ecuación. Al restarle 12.2 m de ambos lados obtenemos

0 = \frac{1}{2} (- 9.81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} + (18.3 m/s) t - 12.2 m (Ponla en la forma de la ecuación de segundo grado).

En este momento, resolvemos la ecuación de segundo grado para el tiempo

t

. Las soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma

a t^{2} + b t + c = 0

se encuentran al usar la fórmula cuadrática

t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

. Para nuestra ecuación cinemática,

a = \frac{1}{2} (- 9.81 \frac{m}{s^{2}})

b = 18.3 m/s

c = - 12.2 m

Entonces, al sustituir en la fórmula cuadrática, obtenemos

t = \frac{- 18.3 m/s \pm \sqrt{(18.3 m/s)^{2} - 4 [\frac{1}{2} (- 9.81 \frac{m}{s^{2}}) (- 12.2 m)]}}{2 [\frac{1}{2} (- 9.81 \frac{m}{s^{2}})]}

Como hay un signo de más/menos en la fórmula cuadrática, obtenemos dos respuestas para el tiempo

t

: una cuando usas el signo

+

y otra cuando usas el signo

-

. Resolver la fórmula cuadrática de arriba da estos dos tiempos:

t = 0.869 s

t = 2.86 s

Hay dos soluciones positivas ya que hay dos tiempos para los cuales el lápiz está a una altura de 12.2 m. El tiempo menor se refiere al tiempo requerido para ir hacia arriba y alcanzar por primera vez el desplazamiento de 12.2 m de altura. El tiempo mayor se refiere al tiempo requerido para moverse hacia arriba, pasar por los 12.2 m de altura, alcanzar la altura máxima y después caer de regreso a un punto que está a 12.2 m de altura.

Entonces, para encontrar la respuesta a nuestra pregunta de "¿cuánto tiempo le toma al lápiz alcanzar por primera vez un punto 12.2 m más alto de donde fue lanzado?" escogeríamos el tiempo menor

t = 0.869 s

Si la fórmula cuadrática da un tiempo negativo y otro positivo, entonces el objeto en cuestión solo alcanza el desplazamiento especificado una vez después de ser lanzado. En ese caso, simplemente podemos escoger el tiempo positivo e ignorar el negativo.

El tiempo negativo se refiere al tiempo antes de que se lanzara el objeto cuando habría estado en el desplazamiento especificado. En otras palabras, supón que antes de que se lanzara el objeto, este ya se encontraba en su trayectoria, y simplemente alcanzó el punto en el que se lanzó con la velocidad inicial especificada.

Ejemplo 4: la cuarta fórmula cinemática, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Un motociclista europeo comienza con una rapidez de 23.4 m/s y, al ver tráfico adelante, decide frenar en una longitud de 50.2 m con una desaceleración constante de magnitud

3.20 \frac{m}{s^{2}}

. Supón que la motocicleta se está moviendo hacia adelante durante todo el recorrido.

¿Cuál es la nueva velocidad de l motociclista después de frenar en los 50.2 m?

Al suponer que la dirección inicial del recorrido es la dirección positiva, nuestras variables conocidas son

v_{0} = 23.4 m/s

(La velocidad inicial de la motocicleta).

a = - 3.20 \frac{m}{s^{2}}

(La aceleración es negativa ya que la motocicleta está frenando y suponemos que la dirección hacia adelante es la positiva).

Δ x = 50.2 m

(Queremos conocer la velocidad después de que la motocicleta se mueva a través de este desplazamiento).

Como no conocemos el tiempo

t

y no se nos pidió encontrarlo, vamos a usar la cuarta fórmula cinemática para la dirección horizontal

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

, a la cual le falta

t

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x (Empieza con la cuarta formula cinemática).

v_{x} = \pm \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x} (Resuelve de manera algebraica para la velocidad final).

Observa que al sacar una raíz cuadrada, obtienes dos posibles respuestas: positiva o negativa. Como nuestro motociclista seguirá yendo en la dirección de movimiento con la que empezó y supusimos que esa dirección era positiva, vamos a escoger la respuesta positiva

v_{x} = + \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x}

Ahora podemos sustituir los valores para obtener

v_{x} = \sqrt{(23.4 m/s)^{2} + 2 (- 3.20 \frac{m}{s^{2}}) (50.2 m)} (Sustituye los valores conocidos).

v_{x} = 15.0 m/s (¡Calcula y celebra!)

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Oscar Garcia
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “Saludos, mi pregunta es, ...” de Oscar Garcia
Saludos, mi pregunta es, ¿cual es el origen de las fórmulas cinemáticas como por ejemplo?:
y=-1/2gt²+vₒsenθt+yₒ
Vy=-gt+vₒsenθ
x=vₒcosθt+xₒ
¿De donde es que salen estas formulas y cual es su relación con las formulas de MRU y MRUA (caída libre)?
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- Jo Cabezas
  Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “Oscar! Estoy viendo eso e...” de Jo Cabezas
  Oscar! Estoy viendo eso en mi curso de física de la universidad así que intentaré ayudar si es que aún te sirve. Por favor lee todo detenidamente:
  Aquellas ecuaciones cinemáticas son totalmente equivalentes a las que muestran en este post: la primera ecuación que pones es como la ecuación (3), la segunda es como la ecuación (1) y la tercera ecuación que pones no sale en el post.
  Antes que nada, me gustaría corregir que esos signos menos en tus ecuaciones no están del todo bien; allí debería ir un 1/2gt² y un gt respectivamente, sin el signo menos, pues este ya viene incluido al tomar g=-9.8m/s².
  
  Luego, lo que preguntas: esas ecuaciones con identidades trigonométricas como seno o coseno vienen del hecho de dividir UN movimiento de 2 DIMENSIONES, a DOS movimientos en UNA DIMENSIÓN (descomponerlo).
  Imagina que tengo una pelota y la tiro en diagonal hacia arriba y hacia al frente mío. Allí tengo un movimiento en dos dimensiones un poco difícil de analizar (el movimiento vertical de cómo sube y luego baja la pelota, y el movimiento horizontal que siempre es hacia el frente). Por lo mismo, este se puede dividir en dos componentes y se hace más fácil su análisis.
  Para analizar en el eje x, la componente en x de la velocidad será igual a vₒcosθ (te recomiendo que veas un poco de trigonometría y circulo unitario), y ya luego la reemplazas en la fórmula cinemática común y corriente. Lo mismo ocurre con la componente en y de la velocidad que pasa a ser vₒsenθ.
  
  Las fórmulas en una dimensión, y sus equivalentes cuando descomponemos un movimiento de dos dimensiones quedan finalmente así:
  y=yₒ+vₒt+1/2gt² ---> y=yₒ+vₒsenθt+1/2gt²
  Vy=vₒ+gt ---> Vy=vₒsenθ+gt
  x=xₒ+vₒt ---> x=xₒ+vₒcosθt
  Espero que te sirva. Saludos.
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Cinthya Eusebia Quispe Poma
Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “hola, no entiendo por que...” de Cinthya Eusebia Quispe Poma
hola, no entiendo por que en el ejemplo 3, la aceleración es negativa ._.
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- cruz.sergio177ver
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “es begativa por el hecho ...” de cruz.sergio177ver
  es begativa por el hecho der que la aceleracion de la gravedad es contraria al desplazamiento
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Juan Alejandro Florez González
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “hola necesito alguien que...” de Juan Alejandro Florez González
hola
necesito alguien que me esplique mejor
si alguien quiere se mi profesor le agradezco mucho
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Antonio Aviles Aguayo
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “este ejemplos y esta expl...” de Antonio Aviles Aguayo
este ejemplos y esta explicacion esta super bien es una informacion confiable
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joseangelsanchezbellido4444
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “hola, ¿como se puede desp...” de joseangelsanchezbellido4444
hola, ¿como se puede despejar aceleracion de la tercera formula?
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- Sek
  Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Dudo mucho seriamente que...” de Sek
  Dudo mucho seriamente que quieras despejar esa formula y que te sirva de algo, pudiendo usar:
  
  a = (vf - vi)/t
  Comentar en la publicación “Dudo mucho seriamente que...” de Sek
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Madeleine González
Publicado hace hace 6 meses. Enlace directo a la publicación “Esto me está ayudando muc...” de Madeleine González
Esto me está ayudando mucho en mi aprendizaje
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luisanayatan
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “y como se deriva la 5 for...” de luisanayatan
y como se deriva la 5 formula cinematica?
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lina barillas
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “En las fórmulas cinematoc...” de lina barillas
En las fórmulas cinematocas como se cuando poner signo negativo o cambiarlo a positivo?
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Girlis Guerra
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Una nadadora está nadando...” de Girlis Guerra
Una nadadora está nadando hacia la izquierda con una rapidez de 1.0\,\dfrac{\text m}{\text s}1.0
s
m

1, point, 0, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction cuando empieza a aumentar la rapidez con una aceleración constante. La nadadora alcanza una rapidez final de 2.5\,\dfrac{\text m}{\text s}2.5
s
m

2, point, 5, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction a lo largo de una distancia de 5.0\,\text m5.0m5, point, 0, start text, m, end text.
¿Cuánto tiempo tardó la nadadora en aumentar la rapidez a 2.5\,\dfrac{\text m}{\text s}2.5
s
m

2, point, 5, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction?
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mojicacorredorjuanvicente
Publicado hace hace 3 meses. Enlace directo a la publicación “no entiendo nada estoy vi...” de mojicacorredorjuanvicente
no entiendo nada
estoy viendo aceleracion velocidad instantanea
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