如何理解施密特(Schmidt)正交化 - 知乎
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如何理解施密特(Schmidt)正交化

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为什么要使用施密特正交化法

  • 在一个平面,或者三维空间中,任意一点都可以被坐标系表示出来。而我们更喜欢的是单位直角坐标系,因为在一个单位直角坐标系中,任意一个向量的坐标分量,通过简单的投影就可以搞定。


  • 因此,如何找到欧式空间的一个“直角坐标系”,变得非常重要。施密特正交化法就告诉我们了一种把“任意坐标系”变为“直角坐标系”的方法。

如何理解欧氏空间R^n中的施密特正交化法

  • 我们首先需要理解一个向量 \alpha_2 在另外一个向量\alpha_1 的投影公式。只要利用正交的定义,就很容易知道\alpha_2\alpha_1 的投影向量为\frac{(\alpha_1,\alpha_2)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1. \\


利用这个投影公式,我们便可以轻松理解施密特正交化法。

二维平面空间的情况

  • 平面上任意两个不共线的向量都可以构成平面的一个坐标系(也就是一组基),我们可以利用这两个向量之间的投影得到两个正交的向量:
    • Step1:令\beta_1=\alpha_1
    • Step2: 做向量 \alpha_2 在向量\beta_1=\alpha_1 的投影,并与\alpha_2做差得到

\beta_2=\alpha_2-\frac{(\beta_1,\alpha_2)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1: \\

三维立体空间的情况

  • 对于一个三维欧氏空间来说,首先可以轻松找到一组基:
    • Step1:任意取一个非零向量 \alpha_1;
    • Step2: 除去非零向量 \alpha_1 所在的直线后,任意取一个非零向量 \alpha_2;
    • Step3: 除去非零向量\alpha_1,\alpha_2 所在的平面,任意取一个非零向量 \alpha_3

图。。。。。

  • 下面我们看看如何利用施密特正交化法将这一组基正交化。
    • Step1:令\beta_1=\alpha_1
    • Step2: 做向量 \alpha_2 在向量\beta_1=\alpha_1 的投影,并与\alpha_2做差得到 \beta_2=\alpha_2-\frac{(\beta_1,\alpha_2)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1:\\


    • Step3:分别做向量 \alpha_3 在向量\beta_1,\beta_2 的投影 \frac{(\beta_1,\alpha_3)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,\frac{(\beta_2,\alpha_3)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2,利用\alpha_3减去两个投影的和得到

\beta_3=\alpha_3-\frac{(\beta_1,\alpha_3)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\beta_2,\alpha_3)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2: \\

n维欧氏空间的情况

  • 对于任意一个n 维欧氏空间来说,我们也可以轻松得到一组基
    • Step1: 任意取一个非零向量 \alpha_1;
    • Step2: 除去非零向量 \alpha_1 所生成的子空间 span\{\alpha_1\}后,任意取一个非零向量 \alpha_2;
    • Step3: 除去非零向量\alpha_1,\alpha_2 所生成的子空间span\{\alpha_1,\alpha_2\}后,任意取一个非零向量 \alpha_3
    • Step4: 除去非零向量\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 所生成的子空间span\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}后,任意取一个非零向量 \alpha_4.
    • ...

因为空间维数有限,到第n步后一定可以产生n维欧氏空间的一组基。

  • 利用施密特正交化找到一组正交基的过程与三维空间是类似的:
    • Step1:令\beta_1=\alpha_1
    • Step2: 做向量 \alpha_2 在向量\beta_1=\alpha_1 的投影,并与\alpha_2做差得到 \beta_2=\alpha_2-\frac{(\beta_1,\alpha_2)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1:\\
    • Step3: 分别做向量 \alpha_3 在向量\beta_1,\beta_2 的投影 \frac{(\beta_1,\alpha_3)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,\frac{(\beta_2,\alpha_3)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2,利用\alpha_3减去两个投影的和得到

\beta_3=\alpha_3-\frac{(\beta_1,\alpha_3)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\beta_2,\alpha_3)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 \\

    • Step4:分别做向量 \alpha_4 在向量\beta_1,\beta_2,\beta_3 的投影\frac{(\beta_1,\alpha_4)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,\frac{(\beta_2,\alpha_4)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2,\frac{(\beta_3,\alpha_4)}{(\beta_3,\beta_3)}\beta_3, 利用\alpha_4减去两个投影的和得到

\\ \beta_4=\alpha_4-\frac{(\beta_1,\alpha_4)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\beta_2,\alpha_4)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2-\frac{(\beta_3,\alpha_4)}{(\beta_3,\beta_3)}\beta_3 \\

    • ....

如果你想得到一个单位直角坐标系,或者单位正交基,那么你还需要对得到的正交向量逐个单位化即可。

编辑于 2023-02-06 22:38・IP 属地北京