不定积分 原函数 变上限积分 有什么区别和联系?
5 个回答
我尽量用大白话讲:
一:不定积分、原函数、导函数
1.1 不定积分的例子
不定积分是形如 ∫ dx 的,没有上下限的,一个式子或者说是这个式子的运算,比如说式(1):
\int_{}^{}2xdx=x^{2}+C\\
说明1:上下限,是定积分中的概念,之后会写,不定积分用不到。
说明2:式(1)的 C 指任一常数。所以,不定积分的运算,是把一个函数映射到另外一个函数族,上述例子里就是 f(x)=2x 映射到 F(x)=x^2+C 。
说明3:式(1)等号“左边”的式子是一个不定积分,这个运算经常被称为:y=2x的不定积分(对y=2x做不定积分)。没有疑义的情况下,在不严格的口头交流中,“y=”、“不定”可以省略,直接叫“2X的积分”。
1.2 不定积分与导函数,原函数之间的关系
关系1:不定积分是微分(求导函数)的逆运算,也就是说式(1)中:
a: f(x)=2x ,做不定积分,得到: F(x)=x^2+C 。
b: F(x)=x^2+C , 做求导,得到: f(x)=2x ;
f(x) 就是 F(x) 的导函数 F'(x) 。
有了这个知识之后,我们再补充一个说明:
说明4: 积分中的 dx 叫作微元, x 就是你认为的那个 x ,但它也可以是 x 的其它函数( x 本身也是自己的函数),结果会不一样。那么我们要看 dF(x) 和 dx 的联系,等式为: dF(x)=f(x)dx ,其中 f(x)=F'(x) ,并且, f(x)dx 的 f(x) 与 dx 中间就是个乘法。自然地,等式 dF(x)=f(x)dx 两边同除以 dx ,就得到高中时期导函数常用的一撇记号: f(x)=F'(x)=dF(x)/dx 。重新看原来的等式 dF(x)=f(x)dx ,从右到左,就是说如果想把导函数 f(x) 挪到d后面,就是个不定积分操作,变成 F(x) ,然后挪到 d 后面。(注意, F(x) 本身包含 C )。刚说了x 本身也是自己的函数,拿这个过于平凡的例子看一下:先抄一下等式 dF(x)=f(x)dx ,然后令F(x)=x ,那么, f(x)=F'(x)=x'=1 ,把 F(x)=x , f(x)=1 代入等式 dF(x)=f(x)dx ,就有 dx=1·dx ,完美。
关系2:原函数是相对于一个导函数的定义,比如说上面关系1中, f(x)=2x ,它的不定积分结果是 F(x)=x^2+C ,取任一的 C ,就是 f(x)=2x 的一个原函数。
二:变上限积分与定积分
变上限积分是相对于定积分来说的,所以先了解一下定积分。
2.1定积分的例子
与不定积分类似地,定积分也可以说是等号左边的式子,或这个式子的运算。但其结果总是一个“数字!!”,而不像不定积分的结果是一个函数族。比如说式(2):
\int_{1}^{2}x^2dx=\frac{7}{3}\\
写在积分号下面的数字叫下限(积分下限),写在积分号上面的数字叫上限(积分上限)。
口头交流中,定积分与不定积分一样,也是用一样的缩略法,直接叫“….的积分”。所以如何区分我们说的是定积分还是不定积分:定积分你反正口头交流,要补充它上下限是多少,自然就区分了。
2.2 定积分的几何与粗糙的大白话定义
2.2.1 定积分的几何
定积分几何上来说是曲边梯形的面积。
即式(2)(注意是式(2),别看成不定积分那的式(1)):
f(x)=x^2 这条曲线,与 横轴y=0 , x=1 (下限), x=2 (上限),四条边围成的曲边梯形的面积。
请始终记住,曲的那条边是函数那条边,就是最上面那条边,而左边和右边和底边三条是直线。
注:定积分的结果虽然表示面积,但可以为负数,比如式(2)中 x^2 换成 -x^2 ,结果就为 -7/3 。或者交换上下限,结果也是 -7/3 。
2.2.2 定积分粗糙定义(大白话)
定义:我们拿式(2)定积分来粗糙定义: f(x)=x^2 这个函数,它这个表达其实是 y 值,说白了就是高度,高 x^2 乘以底 x 的区间(区间就是上限减下限),那就是面积(定积分)。当然这是长方形的计算方法,而弯弯曲曲的函数是弯曲的,我们不能这么粗犷地乘一下。这时候,我们把 x 的定义域(上下限,就是 1 到 2 )切成一段一段,切的很小很小,这些一段段的叫做 dx ,这样,我们随便拿一个 dx ,以它为底,垂直画上去跟函数封闭成一个很窄的曲边梯形,这个面积就近似矩形了,把 dx 切得足够小,面积就会足够精确。这个时候算面积(定积分)就可以用长乘以宽了,即可以写作 x^{2}dx 。别忘了这只是其中一段 dx ,所以,要把所有的 dx 对应的曲边梯形面积都加一起,表达式写成 \int_{1}^{2}x^2dx 。
2.2.3 定积分与不定积分的关系
上面可以看出,除了长得差不多,整体上来说,定积分这样的定义,与不定积分(定义是求导的逆运算)毫无关系,事实上,它俩的起源本就无关。敏感的同学可能就能发现,如果它俩无关,定积分还如何计算呢?这就要引出牛顿莱布尼茨公式。
牛顿莱布尼茨公式:这里不加严格证明。只需要知道,牛顿莱布尼茨公式:定积分和不定积分计算一模一样,只是定积分最后要把上下限代入。如不定积分的算得答案为 g(x)+C ,那么,定积分答案就是 g(上限)-g(下限) 。这样,定积分的结果就可以用不定积分来求出了。
介绍完了定积分,接下去是变上限积分
2.3 从定积分衍生出变上限积分
在定积分的面积的绘景中,把积分上限2换成 t 。这样 t 就可以变化,曲边梯形的右侧边就是随着t的变化可以平动。大白话:曲边梯形的面积原本是定积分本来是个确定的数字,现在上限改成 t 了,右侧边缘可以随着t的平动,从而改变这个面积。现在,面积(变上限积分)可以随着 t 改变,所以说变上限积分是 t 的(一个)函数。
注意1:把变上限积分看作函数,其自变量是上限 t ,而不是 x 。如:
g(t)=\int_{2}^{t} x^2dx
之所以用 g 做记号, 是因为积分号里面的 x^2 ,如果不是这样具体的例子,那可能写着 f(x) 。所以要区分一下,即:
g(t)=\int_{2}^{t} f(x)dx =F(t)-F(2)
所以,上式 g 的位置不好用 f,F 来写 。当然微积分的题目用了什么记号,你就写什么记号,如果题目没有写记号,那你看什么方便且不容易混淆用什么,如果仅需要一个结果,直接写 y=...... 也没事。主要是别把自变量别把 x 和 t 搞混了。
注意2:变上限积分是定积分里出来的,所以两者都没有任意常数 C ,前者是确定的数字,后者是函数(非函数族)。
上面为了保障叙事畅通,省略了一些补充,不代表不重要
对2.2.2 定积分粗糙定义的补充:严格上,我们需要知道黎曼可积条件、Darboux和、上积分是否等于下积分等,才可以定义出定积分及其成立条件。再由此才可以严格得到瑕积分(广义积分)。幂级数也可以定义积分。这些如果有兴趣,可翻阅数学分析教材查找上述概念,如陈纪修《数学分析》。以上是一般古典微积分中都会讲的,也应是每一个想认真学微积分的人应学的。更深层次地,当定义域长得乱七八糟,以至于无法良好地去切dx ,间断点无穷多,或者函数连续性很糟糕,长得很有特点。我们会发现,上述古典内容严格归严格,但也只能在自己前提限定条件下的一亩三分地,无法定义更一般的情况。那就需要用到测度的知识,测度一般不纳入数学分析范畴。只有少数高观点数学分析,如于品《数学分析》,才会或多(σ-alg.)或少(Lebesgue)以测度为切入点,去向下讲普通微积分。要么就是专门讲测度的教材,不过,专门讲测度的,它就不向下去讲普通微积分了。
数学分析中其他积分与定积分的联系(个人见解)
- 定积分的概念可以直接推广到重积分,像二重积分,就是曲顶柱的体积之和。
- 第一型积分是积分的直接应用,除了物理意义,其实直接微元,(个人认为)不需要新概念。
- 第二型积分是有些新东西,实际上我们在谈论的是流形,这上面要定义曲面定向等。
暗戳戳说一句:先不管上下限,定积分的定义对应于 \int f(x) dx 长相,是很对应的, Σ (高 f(x) *底 dx )的意思。但是不定积分,却也用这个形式,比如 f(x)为什么要与 dx 相乘,似乎没有多少理由,我也没考究过,感觉是牛顿莱布尼兹公式提出之后,不定积分才采用了统一的符号?
多谢评论指正,我回答的内容坚决不能当成严谨的证明过程,只能说是帮助理解而已。由于水平有限,实在没法用通俗易懂的话严谨解释数学定义,希望理解。
以下是原回答
一个函数f(x)做不定积分得到的是他的全体原函数,“不定”指的就是那个C不定,正是由于C的任意,才造就了他是全体原函数。
变上限积分实际上是一个关于上限那个变量的函数,最简单的情况,上限就是x,那就是关于x的函数。这个函数(上限为x的变上限积分)也就是被积函数的一个原函数。因为变限积分归根结底是定积分,和不定积分的区别就在于那个任意常数C,定积分把C给定了,不再是任意。如果在上限为x的变限积分后面加个任意常数C,也就可以和不定积分画等号。