- 中文名
- 斯托克斯公式
- 外文名
- Stokes formula
- 领 域
- 数学
- 提出者
- 斯托克斯
- 形 式
- 积分
- 相关公式
- 格林公式
设 是具有边界曲线 的有向曲面, 的边界曲线 的正向这样规定:使这个正向与有向曲面 的法向量符合右手法则.即当右手除大拇指外的四指依曲线 的绕行方向时,竖起的大拇指的指向与曲面 的法向量的指向一致.如此定向的边界曲线 称为有向曲面 的正向边界曲线.
设 为空间的一条分段光滑的有向曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手法则.函数 在曲面 (连同边界 )上具有连续的一阶偏导数,则
称为斯托克斯公式。 [2]
首先证明
先假定用平行于z轴的直线穿过曲面 时只有一个交点。 的方向不妨取上侧,它在xOy面上的投影区域为 ,而 的边界曲线 在xOy面上的投影即为 的边界曲线L,且L的方向与 方向一致,如图1所示.此时 的方程可写为 .
从而 的参数方程为
t的增大方向对应于 的正向,则由曲线积分计算法易于验证
由格林公式得
另一方面, 的法向量 ,设其单位法向量 ,于是
从而 ,因此 [3]
比较得到
若 的方向取下侧, 也相应地改取相反的方向,那么上式两端同时改变符号,因此上式仍成立。
同理可证:
将式(1),(2),(3)两端分别相加即得斯托克斯公式。
为了便于记忆,斯托克斯公式也常用如下的行列式来表示:
式左端的行列式按第一行展开,并把 与 的乘积理解为 , 与 的乘积理解为 ,其他类似,展开后的表达式就是斯托克斯公式的左端。
利用两类曲面积分间的联系,可得斯托克斯公式的另一种形式如下:
其中 为有向曲面 的单位法向量。
当曲面 是面xOy上的一块平面闭区域时,斯托克斯公式就变成格林公式.因此斯托克斯公式是格林公式从平面形式到空间形式的一个推广。 [2]