Sistema binario
Il sistema binario, o sistema numerico binario, è un sistema di numerazione posizionale in base 2. A differenza del sistema decimale (in base 10) le uniche cifre che compongono i numeri sono 0 ed 1, e per tale motivo essi vengono detti numeri binari.
Tra tutti i sistemi di numerazione non decimali il sistema binario è il più importante, in quanto è alla base dell'Informatica e definisce il cosiddetto codice binario.
In questa lezione vedremo com'è definito, quali sono le sue caratteristiche, come si passa dal sistema binario al sistema decimale e dal sistema decimale a quello binario.
Indice
- Cos'è il sistema binario
- Come passare dal sistema binario al sistema decimale
- Dal sistema decimale al sistema binario
Cos'è il sistema binario
Il sistema numerico binario, o sistema in base 2, deve il proprio nome al fatto che utilizza soltanto due cifre: 0 e 1. Proprio come nel caso del sistema decimale il sistema di numerazione binario è posizionale, ossia il valore di ogni singola cifra dipende dalla posizione che occupa all'interno dei numeri.
Per indicare che un numero è scritto in codice binario va racchiuso tra parentesi tonde indicando un 2 come pedice.
Ad esempio 1011 scritto in questo modo indica il numero milleundici nel sistema di numerazione decimale, mentre scrivendo (1011)2 si indica un numero nella base 2, che leggeremo come "uno zero uno uno in base due" (si leggono le cifre che lo compongono una alla volta).
1011 → milleunidici (base 10) ; (1011)_2 → uno zero uno uno (base 2)
Se ricordate ciò che abbiamo visto nella lezione sulla forma polinomiale di un numero, comprendere le analogie e le differenze tra i numeri in base 10 e i numeri in base 2 sarà immediato.
Per capirle compiliamo una tabella con il numero delle posizioni occupate dalle cifre di un numero in base 2 (da destra verso sinistra) e il corrispondente valore, in modo del tutto simile a quanto fatto per il sistema decimale.
Per esprimere il valore ci serviamo dei numeri in base 10, e li esprimiamo come potenze di 2.
| Posizione della cifra | Valore |
|---|---|
| 1 | 20=1 |
| 2 | 21=2 |
| 3 | 22=4 |
| 4 | 23=8 |
| 5 | 24=16 |
| 6 | 25=32 |
| 7 | 26=64 |
| 8 | 27=128 |
| 9 | 28=256 |
| 10 | 29=512 |
| 11 | 210=1024 |
La differenza tra sistema binario e decimale è che nel primo le cifre utilizzabili sono 0, 1 e ogni posizione ha un valore che si esprime mediante una specifica potenza di 2; nel secondo le cifre consentite sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e il valore di ogni posizione viene espresso mediante una specifica potenza di 10.
Con queste premesse vediamo come funziona il sistema binario e come convertire un numero dalla base 2 alla base 10 e, viceversa, come passare dalla base 10 alla base 2.
Come passare dal sistema binario al sistema decimale
Per convertire un numero dalla base 2 alla base 10 basta ricorrere alla forma polinomiale. Come? Vediamolo con un esempio.
Proponiamoci di convertire il numero (1101)2 in base 10.
1) Partendo dalla prima cifra a destra assegniamo la posizione alle cifre del nostro numero:
1 (4) 1 (3) 0 (2) 1 (1)
2) Moltiplichiamo la cifra in posizione 1 per 20, quella in posizione 2 per 21, quella in posizione 3 per 22, quella in posizione 4 per 23... E così via, nel caso di numeri binari con più di 4 cifre.
(1101)_2 = 1×2^0+0×2^1+1×2^2+1×2^3
3) Sommando i valori trovati al punto 2) otteniamo il corrispondente numero in base 10.
Volendo fare il tutto in un solo colpo:
(1101)_2 = 1×2^0+0×2^1+1×2^2+1×2^3 = 1×1+0×2+1×4+1×8 = 1+0+4+8 = 13
In conclusione (1101)2=13.
Esempi di passaggio dalla base 2 alla base 10
Applichiamo il procedimento e convertiamo qualche altro numero dal sistema binario (base 2) al sistema decimale (base 10).
(10100)_2 = 0×2^0+0×2^1+1×2^2+0×2^3+1×2^4 = 0+0+4+0+16 = 20
Proviamo con un numero binario un po' più lungo:
(110101)_2 = 1×2^0+0×2^1+1×2^2+0×2^3+1×2^4+1×2^5 = 1+0+4+0+16+32 = 53
Vediamo un terzo esempio:
(11001001)_2 = 1×2^0+0×2^1+0×2^2+1×2^3+0×2^4+0×2^5+1×2^6+1×2^7 = 1+0+0+8+0+0+64+128 = 201
Dal sistema decimale al sistema binario
Per passare dalla base dieci alla base due bisogna dividere il numero per 2 e continuare a dividere i quozienti successivi per 2, fino a ottenere come quoziente uno zero. I resti delle divisioni, scritti in ordine inverso, individuano il numero espresso in base due.
Supponiamo ad esempio di voler scrivere il numero 136 in base 2. Cominciamo dividendo 136 per 2, e proseguiamo facendo lo stesso con i successivi quozienti.
Scrivendo i resti in ordine inverso otteniamo la rappresentazione di 136 nel sistema binario, ossia 136=(10001000)2.
136 = (10001000)_2
Esempi di conversione dalla base 10 alla base 2
Vogliamo scrivere 29 in base 2. Pronti con le divisioni?
29 = (?)_2 ; {rcrclcll}29 : 2 = 14 resto 1 ; 14 : 2 = 7 resto 0 ; 7 : 2 = 3 resto 1 ; 3 : 2 = 1 resto 1 ; 1 : 2 = 0 resto 1
Leggendo i resti al contrario ricaviamo la rappresentazione binaria del numero: 29 = (11101)_2.
Vediamo un altro esempio.
Riportando i resti al contrario scopriamo che 287 = (100011111)_2.
È tutto. Nella prossima lezione vedremo come si risolvono le operazioni con i numeri binari; inoltre avete a disposizione una scheda correlata di esercizi risolti sul sistema binario, e un convertitore binario per effettuare le conversioni online.
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Buon proseguimento su YouMath!
Giuseppe Carichino (Galois)
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