Rango di una matrice

Il rango di una matrice, detto anche caratteristica, esprime una proprietà delle matrici che è fondamentale nello studio dell'Algebra Lineare, nella risoluzione dei sistemi lineari e nel contesto delle applicazioni lineari. Sapere cos'è il rango e conoscere i metodi per calcolarlo vi permetteranno di cavarvela in un sacco di situazioni.

Si possono dare varie definizioni di rango, tutte equivalenti tra loro. In questa lezione riporteremo quelle più usate, lasciando a voi la facoltà di scegliere quella adottata dal vostro libro di testo o dal vostro docente. Se state seguendo l'ordinamento delle lezioni, dovrete far riferimento alla definizione [***]. Se siete autodidatti, vi consigliamo di prendere come riferimento una tra le definizioni che si basano sulle nozioni che già conoscete. Infine, se state ripassando in vista dell'esame... Dovete semplicemente saperle tutte. ;)

Spiegheremo poi come si calcola il rango di una matrice riportando e descrivendo i vari metodi, per ciascuno dei quali vedremo un esempio di applicazione.

Definizione di rango di una matrice

Sia A una qualsiasi matrice, quadrata o rettangolare, a coefficienti in un campo K (come ad esempio R o C), con m righe e n colonne. Il suo rango (o caratteristica) si può indicare in uno dei seguenti modi:

rango(A), rk(A), rank(A), rg(A), ρ(A), r(A)

e altro non è se non un numero intero non negativo associato alla matrice A.

Si possono dare le seguenti definizioni di rango:

- il massimo numero di righe linearmente indipendenti di A;

- il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di A;

- la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare

L_A: K^(n) → K^m ; L_A(x) = Ax

- [***] l'ordine massimo dei minori non nulli che si possono estrarre da A, cioè l'ordine massimo delle sottomatrici quadrate che si possono estrarre da A con determinante diverso da zero.

- Il numero di pivot di una riduzione a scala della matrice A attraverso il metodo di eliminazione gaussiana;

- La dimensione del sottospazio vettoriale generato dalle righe (o dalle colonne) di A.

Badate bene che quelle che abbiamo appena scritto sono definizioni, quindi vanno considerate come tali, senza farsi troppe domande. Ciò che ha senso domandarsi, al momento, è perché sussiste l'equivalenza delle varie definizioni di rango: chiunque fosse interessato e in fase di ripasso può dare uno sguardo alla pagina del link. ;)

Come calcolare il rango di una matrice

Ci sono essenzialmente tre metodi che permettono di calcolare il rango di una matrice: il criterio dei minori, l'applicazione del teorema di Kronecker (o teorema degli orlati) e la procedura di eliminazione gaussiana. Prima di vederli è però utile fare una piccola osservazione.

Una matrice rettangolare A con m righe e n colonne ha rango compreso tra 0 e il minimo tra il numero di righe e il numero di colonne della matrice. In breve

0 ≤ rk(A) ≤ min(m,n)

In generale l'unica matrice di rango 0 è la matrice nulla.

Nel caso in cui il rango coincida con il minimo tra m ed n, cioè

rk(A) = min(m,n)

si dice che la matrice ha rango massimo.

Calcolo del rango con il criterio dei minori

Sia A una matrice con m righe e n colonne.

Abbiamo definito il rango di A come l'ordine massimo dei minori non nulli che si possono estrarre da A. In modo equivalente, il rango di una matrice è l'ordine massimo delle sottomatrici quadrate con determinante diverso da zero che si possono estrarre da A, dove per ordine di una matrice quadrata si intende il suo numero di righe (o di colonne).

Tale definizione fornisce un metodo per il calcolo del rango, detto criterio dei minori, che abbiamo riportato qui di seguito.

1) Consideriamo il minimo tra il numero di righe e il numero di colonne di A, ossia j_1 = min(m,n). Estraiamo tutte le sottomatrici quadrate di A di ordine j_1.

1.a) Se c'è almeno una sottomatrice quadrata di ordine j_1 con determinante diverso da zero, allora rk(A) = j_1.

1.b) Se tutte le sottomatrici di ordine j_1 estratte da A hanno determinante nullo, il rango della matrice è minore di j_1. Andiamo al punto 2).

2) Sia j_2 = j_1−1, e consideriamo le sottomatrici quadrate di A di ordine j_2.

2.a) Se ce n'è almeno una con determinante diverso da zero, allora rk(A) = j_2.

2.b) Se tutte hanno determinante uguale a zero, il rango di A è minore di j_2 e passiamo al punto 3).

3) Reiteriamo il procedimento diminuendo l'ordine delle sottomatrici di 1 ad ogni passo. Non appena ne troviamo una con determinante non nullo ci fermiamo e concludiamo che il rango di A è uguale all'ordine della sottomatrice quadrata con determinante diverso da zero.

Esempi sul calcolo del rango con il criterio dei minori

A) Calcolare il rango della matrice 3x3

A = [1 −1 2 ; 2 3 4 ; 3 2 6]

Svolgimento: A è una matrice quadrata con m = n = 3, quindi consideriamo come sottomatrice di ordine j_1 = min(m,n) = 3 la matrice stessa.

Procedendo con la regola di Sarrus lasciamo a voi il compito di verificare che il determinante di A è pari a zero

det(A) = 0

dunque A ha rango minore di 3. Passiamo alle sottomatrici quadrate di ordine

j_2 = j_1−1 = 3−1 = 2

Prendiamo quella che si ottiene eliminando la terza riga e la terza colonna di A e calcoliamone il determinante

det[1 −1 ; 2 3] = (1·3)−(−1·2) = 3−(−2) = 3+2 = 5

Dato che il suo determinante è diverso da zero, possiamo concludere che il rango di A è 2, ossia

rk(A) = j_2 = 2

B) Determinare il rango della matrice

A = [1 −5 3 0 ; 0 3 −1 1 ; 1 1 1 2]

Svolgimento: la matrice A ha m = 3 righe e n = 4 colonne, quindi dobbiamo prendere in esame le sottomatrici quadrate di ordine

j_1 = min(m,n) = min(3,4) = 3

e calcolarne il determinante. Se ne troviamo almeno una con determinante diverso di zero il rango di A è 3, altrimenti dobbiamo considerare le sottomatrici quadrate di ordine 2.

Dalla matrice A possiamo estrarre ben quattro sottomatrici quadrate di ordine 3:

[−5 3 0 ; 3 −1 1 ; 1 1 2] [1 3 0 ; 0 −1 1 ; 1 1 2] [1 −5 0 ; 0 3 1 ; 1 1 2] [1 −5 3 ; 0 3 −1 ; 1 1 1 ]

ottenute eliminando, rispettivamente, prima, seconda, terza e quarta colonna di A.

Ciascuna sottomatrice di ordine 3 ha determinante uguale a zero (a voi il compito di verificarlo: anche in questo caso non è necessario scomodare il metodo di Laplace), dunque il rango di A è minore di 3.

Consideriamo la sottomatrice di ordine 2 che si ottiene eliminando la terza riga, terza colonna e quarta colonna di A e calcoliamone il determinante

det[1 −5 ; 0 3] = (1·3)−(−5·0) = 3−0 = 3 ≠ 0

Il criterio dei minori ci permette di concludere che il rango di A è 2

rk(A) = 2

Quest'ultimo esempio lascia intuire che all'aumentare dell'ordine della matrice i determinanti da calcolare sono sempre di più, dunque il criterio dei minori inizia a portarsi dietro una mole esagerata di conti, che possiamo però ridurre notevolmente applicando il teorema di Kronecker.

Calcolo del rango con il teorema di Kronecker (teorema degli orlati)

Il teorema di Kronecker, detto anche teorema degli orlati, fornisce un altro procedimento utile per calcolare il rango di una matrice. Proprio come il metodo dei minori si basa sul calcolo dei determinanti di sottomatrici quadrate estratte, ma permette di risparmiare il calcolo di qualche determinante, e non è cosa da poco.

Prima di vedere cosa afferma ricordiamo cos'è un minore orlato.

Sia A una matrice con m righe e n colonne e sia M un minore non nullo di A di ordine p, con p ≤ min(m,n).

In altri termini, M è il determinante non nullo di una sottomatrice quadrata di A di ordine p ≤ min(m,n).

Si dice minore orlato il minore di ordine p+1 che si ottiene aggiungendo una riga e una colonna di A alla sottomatrice che definisce il minore M.

Possiamo ora enunciare il teorema di Kronecker: sia A una matrice con m righe e n colonne e sia p ≤ min(m,n). Il rango di A è uguale a p se e solo se esiste un minore non nullo di A di ordine p, e tutti i minori orlati di ordine p+1 sono nulli.

All'atto pratico, il teorema di Kronecker è utile a calcolare il rango di una matrice A diversa dalla matrice nulla e con un numero di righe e di colonne maggiore di 3, procedendo nel modo seguente.

1) Si individua una sottomatrice quadrata di ordine 2 con determinante diverso da zero. Se tale sottomatrice non esiste allora il rango di A è 1.

2) Si orla la sottomatrice di ordine 2 per formarne una di ordine 3, e si calcola il determinante di quest'ultima.

3) Se il determinante di ciascuna sottomatrice orlata è zero, allora il rango di A è 2. Fine.

4) Se si trova una matrice orlata di ordine 3 con determinante diverso da zero la si orla considerando le eventuali sottomatrici di ordine 4.

5) Se il determinante di tutte le sottomatrici orlate di ordine 4 è zero, allora il rango di A è 3. Fine!

6) Se si trova una matrice orlata di ordine 4 con determinante non nullo la si continua ad orlare considerando le eventuali sottomatrici di ordine 5.

7) Si reitera il procedimento fino a quando non è più possibile orlare.

Esempio sul calcolo del rango con il teorema degli orlati

Consideriamo la matrice

A = [ 1 2 1 0 ; 2 1 −1 3 ; 1 1 0 1 ;−2 1 3 −5]

che è una matrice quadrata non nulla di ordine 4, quindi 1 ≤ rk(A) ≤ 4. Calcoliamone il rango con il teorema degli orlati.

Svolgimento: consideriamo la sottomatrice quadrata di ordine 2 ricavata eliminando terza e quarta riga e terza e quarta colonna, e calcoliamone il determinante

det[1 2 ; 2 1] = 1−4 = −3 ≠ 0

Consideriamo le quattro sottomatrici di ordine 3 che si ottengono orlando la precedente sottomatrice di ordine 2.

[1 2 1 ; 2 1 −1 ; 1 1 0 ] [1 2 0 ; 2 1 3 ; 1 1 1 ] [1 2 1 ; 2 1 −1 ;−2 1 3 ] [1 2 0 ; 2 1 3 ;−2 1 −5 ]

Procedendo con la regola di Sarrus o con il metodo di Laplace è facile verificare che tutte e quattro le precedenti matrici hanno determinante nullo.

Il teorema di Kronecker ci permette allora di concludere che il rango della matrice A è 2.

Se avessimo voluto procedere al calcolo del rango con il criterio dei minori avremmo dovuto calcolare dapprima il determinante dell'intera matrice, per poi considerare tutte le sottomatrici di ordine 3, che sono ben 12. Il risparmio dei conti è quindi evidente! Con il teorema degli orlati è stato sufficiente il calcolo di soli 4 determinanti. ;)

Calcolo del rango con il metodo di eliminazione gaussiana

Non descriviamo la procedura di eliminazione gaussiana qui ed ora (lo abbiamo già fatto in una delle precedenti lezioni), e la diamo per nota. Ci limitiamo a vedere come applicare la riduzione gaussiana per individuare il rango di una matrice assegnata.

Consideriamo una matrice A con m righe e n colonne e riduciamola con il metodo di Gauss, ottenendo alla fine della procedura una matrice a gradini A.

Il rango della matrice A coincide con il numero di pivot della matrice ridotta A.

Per chi non se lo ricordasse, si dice pivot di una matrice a scalini il primo elemento non nullo che si incontra su ogni riga leggendola da sinistra verso destra. In parole povere il numero di pivot è il numero di righe non identicamente nulle della matrice ridotta.

Esempio sul calcolo del rango per eliminazione gaussiana

Riprendiamo la matrice del precedente esempio

A = [ 1 2 1 0 ; 2 1 −1 3 ; 1 1 0 1 ;−2 1 3 −5]

e riduciamola secondo Gauss effettuando le seguenti sostituzioni, che permettono di annullare gli elementi che si trovano al di sotto di a_(11) = 1.

Otteniamo così la matrice

A'= [ 1 2 1 0 ; 0 −3 −3 3 ; 0 −1 −1 1 ; 0 5 5 −5]

Continuiamo la riduzione a scala eliminando gli elementi sotto a_(22)'= −3. A tal proposito effettuiamo le sostituzioni che seguono:

Abbiamo così ricavato la matrice ridotta

A = [ 1 2 1 0 ; 0 −3 −3 3 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0]

che ha solamente due pivot a_(11) = 1 e a_(22) = −3, quindi concludiamo che il rango di A è proprio 2.

Calcolo del rango: quale metodo scegliere?

Giunti a questo punto dovrebbe sorgere spontanea una domanda: nel calcolo del rango di una matrice, qual è il metodo da preferire?

Potremmo dirvi che un metodo vale l'altro, ma in realtà ciò è vero per le matrici 3x3 o, al più, 4x3 o 3x4. Quando il numero di righe e di colonne di una matrice è maggiore o uguale a 4, conviene usare il metodo dei minori solo per verificare se il rango è massimo, e se così non fosse è bene procedere con l'eliminazione gaussiana o con il teorema di Kronecker

Se volete vedere altri esempi sappiate che qui su YM avete a disposizione migliaia e migliaia di esercizi risolti e spiegati, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna, anche se la scheda correlata di esercizi svolti è un ottimo punto di partenza. Infine, per controllare i risultati dei vostri esercizi potete usare il tool per il calcolo del rango online. ;)

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

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Ultima modifica: 12/01/2024