数学里常有的万有性质(universal property)是在说明什么？

约定： C(c,d)\equiv\mathrm{Hom}_C(c,d) ，并且那些 by duality 的事情我可能就写一半。

A Naive Definition

很多材料中会讲：universal property 说的不过是某个对象是某个范畴中的 initial/final object。 满足这个条件的对象显然在差一个唯一同构的意义下是唯一的。我们只用它和其他对象间某种唯一的关系在同构意义下确定了它，这就够了，因为我们无法在这个范畴允许的探测方式中区分开同构的对象。

实际上在使用 universal property 时我们经常依赖于某个 comma category，比如在定义 free ring \mathbb{Z}[x] 时看起来同时涉及了集合间的映射 x\to \mathbb{Z}[x],~x\to R 和环同态 \mathbb{Z}[x]\to R ，为了让「交换图」有意义，我们需要把它们扯到同一个范畴 \mathrm{Set} 里面去。

下面的答案大多到此为止，然而这就够了吗？

Representable Functor & Yoneda Lemma

initial/final object 这种定义用多了，有时就会觉得这么定义的 universal property 会用到一个非常不自然的范畴。此外，我们很多时候在用 universal property 时用到的本质上并不是 xxx is initial/final 这个信息。我们似乎可以造出任意多个范畴在里面找 initial/final object，然而所有可能的 universal property 真的有这么多不一样的吗？

我们需要 universal property 的另一种定义：某个对象表示了某个函子。 c\in \mathrm{Ob}(C) 的 universal property 就是某个自然同构 C(c,-)\simeq F 。比如说，free ring \mathbb{Z}[x] 满足的 universal property 是：它表示了 forgetful functor U:\mathrm{Ring}\to\mathrm{Set} ，这个表示是 \mathrm{Ring}(\mathbb{Z}[x],R)\simeq UR,~\phi\mapsto\phi(x) 。现在 x 在哪里？x 就是通过 Yoneda lemma 给出同构 \mathrm{Ring}(\mathbb{Z}[x],-)\Rightarrow U(-) 的那个 x\in U(\mathbb{Z}[x]) 。

为什么这种 universal property 也差一个唯一同构的意义下刻画了那个对象？因为 Yoneda lemma 告诉我们 Yoneda embedding c\mapsto C(c,-) 是 fully faithful 的， 自然同构C(c,-)\simeq F\simeq C(d,-) 反过来唯一确定同构 c\to d 。

Category of Elements

为什么上面两个定义说的是一回事？接下来我们会说明给一个可表函子，总可以构造出一个范畴使得表示了它的那个对象是那个新范畴里面的 initial/final object；反过来也是对的。

实际上反过来是非常平凡的，如果 x\in\mathrm{Ob}(C) 是 initial 的，那么它的 universal property 就被可表函子 C(x,-) 所确定（那个表示就是 identity）。

由此得到启发，给定一个函子 F:C\to\mathrm{Set} （想象成一个几何对象，比如说可以考虑 C=\mathrm{CRing} ， F 是一个 (affine/formal/...) scheme 的情形），我们定义它的 category of elements \int F （"category of points"），里面的对象是 (c\in \mathrm{Ob}(C), x\in Fc) ，两个对象 (c,x),~(c^\prime,x^\prime) 间的态射是 f:c\to c^\prime~\mathrm{s.t.}~Ff:x\mapsto x^\prime 。比如说，对于函子 C(c,-) ， \int C(c,-) 就是我们熟悉的 slice category c/C ，里面的 initial object 就是 (c,\mathrm{id}_c) 。

准备工作已经完成，我们最后也是最重要的一个结论是：一个函子可表当且仅当它的 category of elements 里存在 initial/final object。一个方向是显然的，刚才已经说了 \int F\simeq\int C(c,-)\simeq c/C 有 initial object。反过来给定 initial object (c,x) ，initial 这个性质给出的态射 (c,x)\to (d,y) 通过 Yoneda lemma 给出 C(c,d)\to Fd ，可以验证以它为 component 的自然变换就是我们要的自然同态。

这样，前面对于 universal property 的两种描述说的就是同一件事情了，选择方便的那一个来用就行（不过我觉得可表函子的那种叙述总是更有用的那个）。

谢邀。

在我看来，万有性质是对某个对象所应满足的性质的普遍刻画。比如直和，它刻画了两件事情：1.给定的对象们到直和应该各有一个映射；2.直和在所有满足1的对象当中是最“小”的——如果给定的对象到另一个对象X有一个映射，那么直和可以“嵌入”X里面去。这2条性质是对集合范畴里的无交并啊，环范畴里的直和啊，等等的一个普遍刻画。某种意义上和 确界 类似——我满足一个什么性质，但是我在所有满足这些性质的东西里面是最特别的。

其实范畴论本身就是一种箭头语言，万有性质可以看成这些箭头的一个端点——参考范畴里的initial/final object，他们也是用万有性质定义的。有了这些特别的东西，画交换图的时候就方便很多吧。。