Misura degli angoli: gradi, primi, secondi e forma normale
La misura degli angoli consente di assegnare a ogni angolo un valore numerico che ne descrive l'ampiezza, e può essere espressa in gradi, primi e secondi oppure in radianti.
La necessità storica di lavorare con gli angoli ha fatto sì che venisse introdotta, sin dall'antichità, un'unità di misura fondamentale: il grado (da non confondere con il grado centigrado).
I babilonesi furono tra i primi a utilizzare tale unità di misura nei propri studi astronomici, ma non soffermiamoci sugli aspetti storici e occupiamoci piuttosto delle questioni geometriche.
Per la cronaca studieremo la seconda misura degli angoli, i radianti, in una delle lezioni successive.
Indice
Ampiezza di un angolo
Sappiamo che un angolo è ciascuna parte di piano individuata da due semirette aventi l'origine in comune, e che quest'ultima è il vertice dell'angolo. Le due semirette possono essere più o meno "ravvicinate" tra di loro, o per meglio dire possono essere più o meno aperte tra di loro.
L'ampiezza di un angolo è una grandezza che viene introdotta proprio per questo scopo: misurare l'apertura della regione di piano delimitata dall'angolo. Essendo una grandezza, l'ampiezza permette di quantificare l'apertura dell'angolo mediante un numero e un'unità di misura.
Solitamente gli angoli vengono indicati con una lettera greca (α, β, γ, ...), mentre la loro ampiezza viene denotata con la stessa lettera e con un accento circonflesso:
Angolo: α ; Ampiezza angolo α: α
In modo analogo rispetto ai segmenti facciamo notare che questa simbologia è frutto di una convenzione, e che le notazioni possono variare da libro a libro. Può anche capitare che la misura dell'ampiezza, per comodità, venga espressa senza accento circonflesso. Come sempre ricordiamo che le notazioni sono importanti, ma l'interpretazione può dipendere dal contesto.
Sempre in tema di notazioni, nel prosieguo delle lezioni useremo un'ulteriore simbologia. Quando studieremo i poligoni, ossia le figure piane delimitate da una linea spezzata chiusa, avremo a che fare con vertici e lati, dove i lati saranno i segmenti che delineano il contorno. In quel contesto indicheremo i vertici con lettere maiuscole (A, B, C, ...), perché sono dei punti, e avremo la necessità di indicare gli angoli facendo riferimento a dei segmenti.
Questa scelta potrebbe sembrare strana, perché per definizione un angolo è una regione di piano illimitata e individuata da due semirette; fare riferimento a un angolo come alla porzione di piano contenuta in una figura limitata e individuata da due segmenti sembrerebbe una contraddizione.
In realtà, quando si parla di angolo delimitato da due segmenti quel che ci interessa è l'ampiezza dell'angolo, ossia l'apertura tra i due segmenti.
L'angolo come ente geometrico continua ad essere la regione di piano illimitata e individuata dalle due semirette (che contengono i due segmenti e che hanno origine nel vertice), ma con un abuso di linguaggio parleremo di angolo di un poligono per intendere la sua ampiezza.
Se ad esempio volessimo indicare l'ampiezza dell'angolo compreso tra le due semirette che contengono i segmenti AB, BC, scriveremo le tre lettere in successione con un accento circonflesso sulla lettera del vertice (o su tutti e tre i vertici); in alternativa potremmo limitarci a scrivere la lettera del vertice con un accento circonflesso
Ampiezza dell'angolo tra AB e BC: ABC ; Ampiezza dell'angolo tra AB e BC: ABC ; Ampiezza dell'angolo tra AB e BC: B
Anche in questo caso sarà il contesto a suggerirci il significato, indipendentemente dai simboli. ;)
Ora torniamo a noi: vediamo qual è la prima delle due unità di misura per l'ampiezza degli angoli.
Misura degli angoli in gradi, primi e secondi
Il grado è definito come la 360-esima parte di un angolo giro, ossia come la 360-esima parte dell'angolo che contiene tutti i punti del piano e i cui lati sono coincidenti. Il simbolo per indicare una misura degli angoli in gradi è un circoletto scritto come apice (°).
A partire dalla definizione di grado si possono poi definire i suoi sottomultipli: il primo ed il secondo.
- Il primo è la sessantesima parte del grado, e si indica con un apice (').
- Il secondo è la sessantesima parte del primo, o equivalentemente la 3600-sima parte del grado, e si indica con un doppio apice ('').
Il particolare sistema numerico in cui rientra la misura in gradi viene detto sistema sessagesimale (di 60 in 60), che tra l'altro è lo stesso che viene utilizzato per le misure di tempo (minuti e secondi).
Misura in gradi degli angoli notevoli: nullo, retto, piatto, giro
Nella lezione introduttiva sugli angoli abbiamo proposto diverse classificazioni, e in particolare abbiamo visto le definizioni degli angoli notevoli, ossia degli angoli che si ripropongono spesso nello studio della Geometria e negli esercizi. Tra questi: angolo nullo, angolo retto, angolo piatto e angolo giro.
Dalla definizione di misura degli angoli in gradi si capisce subito che:
- un angolo giro ha un'ampiezza di 360° (proprio perché 1 grado è definito come la 360-esima parte di un angolo giro);
- un angolo nullo ha un'ampiezza di 0° (o più propriamente 0, senza alcuna specifica);
- un angolo piatto ha un'ampiezza di 180° (essendo metà di un angolo giro);
- un angolo retto ha un'ampiezza di 90° (essendo metà di un angolo piatto).
Riassumiamo questi valori in una tabella in ordine di ampiezza crescente.
| Angolo | Ampiezza in gradi |
|---|---|
| Angolo nullo | 0° |
| Angolo retto | 90° |
| Angolo piatto | 180° |
| Angolo giro | 360° |
Misura degli angoli in forma normale
La misura di un angolo deve essere espressa in forma normale, ossia come una terna di numeri in cui il primo numero si riferisce ai gradi, il secondo numero si riferisce ai primi e il terzo numero di riferisce ai secondi.
In altri termini la misura di un angolo in forma normale si esprime nel modo seguente
gradi° primi'secondi''
dove:
- gradi è un numero naturale;
- primi è un numero naturale compreso tra 0 e 59;
- secondi è un numero (eventualmente decimale) minore di 60.
Se ad esempio consideriamo un angolo di ampiezza
102° 43'59''
tale misura è espressa in forma normale perché rispetta le condizioni elencate in precedenza.
Al contrario, se consideriamo un angolo di ampiezza
102° 71'91''
tale misura non è espressa in forma normale, perché il numero di primi è maggiore di 59; inoltre il numero che si riferisce ai secondi non è minore di 60.
Come esprimere la misura di un angolo in forma normale?
Con queste premesse dobbiamo capire come scrivere le misure degli angoli in forma normale. Partiamo da un esempio-guida, di cui ci serviamo per elencare i passaggi e le regole da seguire.
90° 99'88''
Notiamo che la misura dell'ampiezza non rispetta le condizioni previste dalla forma normale.
Partiamo da destra e controlliamo il numero di secondi. Poiché 88'' è maggiore di 60'' calcoliamo la divisione intera per 60'', ossia la classica divisione in colonna con resto. In questo modo riusciremo a capire quanti primi ci sono in 88''.
{c c|c c} 88'' 60'' ; cline{3−3} 60'' 1 quoziente ; cline{2−2} resto 28''
Il resto 28'' va sostituito al posto di 88''. Il quoziente 1 è il numero di primi e va sommato ai primi della misura di partenza, nel nostro caso 99'+1'=100'.
90° (99+1)'28''= 90° 100'28''
Regola: se i secondi hanno un valore maggiore o uguale a 60'', allora si effettua la divisione per 60''. Il quoziente della divisione va sommato ai primi, mentre il resto è il nuovo valore dei secondi.
Attenzione: non abbiamo ancora concluso. La misura non è ancora espressa in forma normale, perché il numero di primi è maggiore di 59. Possiamo allora pensare di ripetere il procedimento che abbiamo applicato per i secondi: dividiamo i primi per 60', così da determinare quanti gradi ci sono in 100'.
{c c|c c} 100' 60' ; cline{3−3} 60' 1 quoziente ; cline{2−2} resto 40'
Il quoziente è il numero da sommare ai gradi, mentre il resto è il valore da sostituire al posto dei primi.
90° 100'28'' = (90+1)° 40'28''= 91° 40'28''
Regola: se il numero di primi è maggiore di 59, effettuiamo la divisione intera per 60'. Il quoziente è il numero che va sommato ai gradi, mentre il resto è il nuovo valore per i primi.
Altro esempio: misura di un angolo in forma normale
Vogliamo esprimere in forma normale l'ampiezza di un angolo di 7201''.
Svolgimento: i secondi hanno un valore molto maggiore di 59. Dividiamo quindi per 60'' ottenendo come quoziente 120 e come resto 1''. Di conseguenza:
7201''= 120'1''
A questo punto dobbiamo scrivere in forma normale i primi. Dividiamo 120' per 60' e ricaviamo come quoziente 2 e come resto 0', dunque 120' corrispondono a 2° 0'.
7201''= 120'1''= 2° 0'1''
Ce l'abbiamo fatta: anche in questo caso abbiamo espresso la misura dell'angolo in forma normale.
Misura degli angoli in forma normale con numeri decimali
E se avessimo a che fare con numeri decimali per i gradi e per i primi? In tal caso il metodo per passare alla forma normale è leggermente più impegnativo, e anche qui facciamo riferimento a un esempio guidato.
Vogliamo esprimere in forma normale l'ampiezza dell'angolo:
120,523°
La parte intera, cioè 120°, è la misura in gradi della forma normale.
Prendiamo in considerazione la parte decimale: 0,523. Moltiplichiamola per 60', in modo da ricavare il corrispondente valore in primi:
0,523×60'= 31,38'
In questo modo abbiamo scaricato la parte decimale dai gradi ai primi e siamo passati a una misura equivalente dell'angolo, che però non è ancora in forma normale:
120,523° = 120° 31,38'
Per concludere dobbiamo trasformare anche i primi seguendo lo stesso procedimento. La parte intera dei primi (31') è quella da considerare nella forma normale. La parte decimale (0,38) va moltiplicata per 60'', così da ottenere i secondi:
0,38×60''= 22,8''
Da notare che per definizione la forma normale della misura degli angoli consente che il numero di secondi sia decimale, quindi abbiamo finito.
120,523° = 120° 31'22,8''
Da questo esempio possiamo trarre la seguente regola. Se la misura in gradi è un numero decimale, allora si prende come valore in gradi la parte intera. La parte decimale va moltiplicata per 60'; in questo modo si ricava un nuovo numero, la cui parte intera è il numero di primi. L'eventuale parte decimale invece va moltiplicata per 60'', e il risultato sarà il valore dei secondi della misura dell'angolo.
Concludiamo con un paio di approfondimenti e di anticipazioni:
- tra le schede didattiche della Scuola Primaria abbiamo parlato del goniometro, uno strumento che permette di misurare gli angoli in gradi, primi e secondi in modo abbastanza semplice;
- nella prossima lezione mostriamo come si svolgono le operazioni tra angoli;
- nelle lezioni successive presenteremo un'ulteriore misura dei gradi, i radianti, dopodiché approfondiremo lo studio degli angoli con ampiezze fondamentali (angolo piatto, angolo giro e angolo nullo).
Infine una raccomandazione: non esitate nel servirvi degli esercizi svolti che potete reperire qui su YM con la barra di ricerca interna. ;)
Hej, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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