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方差计算公式

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数学公式
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本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。
方差的概念与计算公式，例如 两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50，平均值E(X)=72；Y：73， 70，75，72，70 平均值E(Y)=72。平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为E(X)：直接计算公式分离散型和连续型。推导另一种计算公式得到：“方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数”。其中，分别为离散型和连续型计算公式 [1]。 称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
中文名
方差
外文名
variance
实    质
随机变量对于数学期望的偏离程度
记    法
D(X)
计    算
平方的均值减去均值的平方
性质1
设C为常数，则D(C) = 0
性质2
D(CX)=C^2D(X)

目录

  1. 1方差的定义
  2. 2离散型方差的一般形式
  1. 3性质
  2. 4切比雪夫不等式
  3. 5其他相关

方差的定义

播报
编辑
方差：一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数
设一组数据
,
,
……
中的平均数为
，则该组数据方差的计算公式为
,也可记为
。为了简便可写为
（其中
为该组数据的平均值）。
方差反映的是一组数据偏离平均值的情况，是反映一组数据的整体波动大小的特征的量方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 [5]

离散型方差的一般形式

播报
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已知离散型方差分布列：
X
x1
x2
...
xn
...
P
p1
p2
...
pn
...
DX公式刻画了随机变量X与其期望值EX的平均偏差程度，称DX为随机变量X的方差。
为X的标准差(Standard Deviation)或均方差，记为σX。

性质

播报
编辑
方差的性质
1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；
2．
（常数平方提取）； [2]
证：
特别地 D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)（方差无负值）
3．若X 、Y 相互独立，则证：记则
前面两项恰为 D(X)和D(Y)，第三项展开后为
当X、Y 相互独立时，
故第三项为零。
特别地
独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
平均数：
（n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值）
方差公式：
标准方差公式(1)：
标准方差公式(2)：
其中,
[4]

切比雪夫不等式

播报
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设随机变量X具有数学期望
，方差
，则对于任意正数
，不等式
成立。这一不等式称为切比雪夫（Chebyshev）不等式 [2]。

其他相关

播报
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常用分布的方差
1．两点分布
2．二项分布 X ~ B ( n, p )
引入随机变量Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）
3．泊松分布（推导略）
4．均匀分布 另一计算过程为
5．指数分布（推导略）
6．正态分布（推导略）
7.t分布：其中X~T（n），E（X）=0；
8.F分布：其中X~F（m,n）,
正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的 [3]。
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