极坐标怎么与直角坐标系相互转化？

极坐标和直角坐标的关系

当我们在平面上同时使用极坐标和直角坐标时，我们令它们的原点重合，取极坐标的初始射线为正X轴，射线 \theta=\frac{\pi}{2}，r>0 ,如下图所示

这个图就把两个坐标联系在一起，通过下面的方程可以相互转化

x=rcos\theta,y=rsin\theta,

x^{2}+y^{2}=r^{2}, \frac{y}{x}=tan\theta

举个栗子

从直角坐标转换到极坐标

x^{2}+(y-3)^{2}=9 ，这个不用画图，一眼就能看出这是一个以 （0，3） 为圆心，以 3 为半径的圆。利用上面的转化方程，把这个方程展开可得

x^{2}+y^{2}-6y=0 ,

把 y=rsin\theta, x^{2}+y^{2}=r^{2} 代入得

r=0和r=6sin\theta .

从极坐标转换到直角坐标

r^{2}=4rcos\theta ,用同样的方法，把 x^{2}+y^{2}=r^{2}, x=rcos\theta 分别代入

得 x^{2}+y^{2}=4x ,变形加配方后可以得到

（x-2）^{2}+y^{2}=4

这样是不是很容易就看出来这是一个以 （2，0） 为圆心以2为半径的圆

画个三角形啥问题都解决了：

极坐标变成直角坐标：

\left\{\begin{matrix} x= r\text{cos}\theta \\ y= r\text{sin}\theta \end{matrix}\right.

直角坐标变成极坐标要麻烦一点

主要是要考虑点所在的象限，比如图中的情况：

\left\{\begin{matrix} r = \sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arcsin \frac{y}{r}= \frac{y}{x^2+y^2 } \end{matrix}\right.

但如果不在第一象限，就要用诱导公式把角处理一下。

主要原因是反三角函数的值域都只有半个周期：

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text { 反三角函数 } & \text { 三角函数} & \text {定义域} & 值域 \\ \hline y=\arcsin (x) & x=\sin (y) & -1 \leq x \leq 1 & -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \\ \hline y=\arccos (x) & x=\cos (y) & -1 \leq x \leq 1 & 0 \leq y \leq \pi \\ \hline y=\arctan (x) & x=\tan (y) & -\infty \le x +\infty & -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2} \\ \hline y=\operatorname{arccot}(x) & x=\cot (y) & -\infty \le x +\infty & 0<y<\pi \\ \hline y=\operatorname{arcsec}(x) & x=\sec (y) & x \leq-1 \text { or } 1 \leq x & 0 \leq y<\frac{\pi}{2} \text { or } \frac{\pi}{2}<y \leq \pi \\ \hline y=\operatorname{arccsc}(x) & x=\csc (y) & x \leq-1 \text { or } 1 \leq x & -\frac{\pi}{2} \leq y<0 \text { or } 0<y \leq \frac{\pi}{2} \\ \hline \end{array}

一般来说：

一、四象限用 \arcsin ,\arctan 都可以

二象限一般就用 \arccos

三象限就比较麻烦，一般可以用： \pi-\arcsin