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In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni, e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.
Per prima cosa si scrive il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
Usando le proprietà trigonometriche di addizione:
A questo punto, ricordando i limiti notevoli
applicando la linearità del limite otteniamo:
Dimostrazione
Per prima cosa si scrive il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
Adesso sfruttiamo le proprietà trigonometriche di addizione:
A questo punto, ricordando i limiti notevoli
applicando la linearità del limite otteniamo:
Dimostrazione
Per prima cosa si scrive la funzione tangente come rapporto tra il seno ed il coseno:
Ora è possibile utilizzare la derivata del rapporto di due funzioni:
A questo punto si può sviluppare il rapporto in due modi:
Dimostrazione
Le notazioni e indicano la stessa funzione. Scrivendo la funzione , applicando ad ambo le parti la funzione seno in modo da ottenere e differenziando l'espressione trovata si ottiene:
di conseguenza si ha che:
Ricordando che:
sostituendo nella derivata e si ottiene la formula che si stava cercando:
Dimostrazione
Le notazioni e indicano la stessa funzione. Scrivendo la funzione , applicando ad ambo le parti la funzione coseno in modo da ottenere e differenziando l'espressione trovata si ottiene:
di conseguenza si ha che:
Ricordando che:
sostituendo nella derivata e si ottiene la formula che si stava cercando: