Brian Rodríguez debutó con Peñarol en 2018, se consolidó como jugador joven de la temporada en un año y migró al LAFC, antes de llegar al América
Brian Rodríguez nació el 20 de mayo del 2000 en Tranqueras, que es una ciudad en Uruguay perteneciente al departamento de Rivera, ubicado al noreste del país sudamericano y cercano a la frontera sur de Brasil.
El nuevo fichaje del América se desempeña principalmente como extremo por izquierda, sin embargo, maneja las tres posiciones de un tridente ofensivo, por lo que puede competir tanto con Jonathan Rodríguez en el flanco zurdo, así como por el opuesto con Alejandro Zendejas y Jürgen Damm, o bien, con Henry Martín, Federico Viñas y Roger Martínez.
El uruguayo de 22 años inició su andar en el mundo del futbol a en 2018 con Peñarol, club con el que debutó el 28 de marzo ante Danubio, como relevo de Giovanni González al 59', y se situó en el extremo derecho de campo.
En su primera campaña con los aurinegros, Brian Rodríguez disputó seis encuentros, uno desde el arranque, y marcó un gol, mientras que en su segundo ciclo formó parte del once inicial en once ocasiones, anotó dos dianas y se consolidó como el mejor joven del Apertura uruguayo.
En verano del 2019, Brian Rodríguez interesó al LAFC e hizo maletas rumbo a la MLS como la venta más cara de Peñarol hasta el momento con 10.3 millones de dólares involucrados en la operación, aunque actualmente ocupa el tercer sitio, por detrás de los centro delanteros Agustín Álvarez (12.3 mdd al Sassuolo) y Darwin Núñez, actual jugador del Liverpool (15.65 mdd al Almería.).
Como atacante del LAFC, Brian Rodríguez participó en nueve partidos, siete dentro del once inicial y convirtió en dos ocasiones; durante su segundo ciclo, el charrúa tomó la titularidad en 20 juegos con tres goles en su cuenta personal.
En invierno del 2021, Almería llamó a la puerta de LAFC para la cesión de Brian Rodríguez, por lo que formó parte de la Segunda División de España durante el segundo semestre de la temporada, pero volvió al manto angelino durante ese mismo verano.
En su segundo paso por LAFC , Brian Rodríguez disputó 15 duelos, 13 como titular durante la campaña 2021 de la MLS y marcó cuatro goles, mientras que, en la presente, registra ocho apariciones con el equipo y dos anotaciones.
Brian Rodríguez tuvo un acercamiento reciente con América sobre la cancha, pues el uruguayo vio acción durante la primera mitad del duelo que LAFC disputó con el equipo de la Liga MX en el marco de la Leagues Cup, que culminó con empate sin goles durante el tiempo reglamentario y cayó en tanda de penales 5 a 6.