如何理解 95% 置信区间？

很多答案当中用关于真值的概率描述来解释置信区间是不准确的。我们平常使用的频率学派（frequentist）95% 置信区间的意思并不是真值在这个区间内的概率是 95%。真值要么在，要么不在。由于在频率学派当中，真值是一个常数，而非随机变量（后者是贝叶斯学派） ，所以我们不对真值做概率描述。对于这个问题来说，理解的关键是我们是对这个构造置信区间的方法做概率描述，而非真值，也非我们算得的这个区间本身。

换言之，我们可以说，如果我们重复取样，每次取样后都用这个方法构造置信区间，有 95% 的置信区间会包含真值 (*)。然而（在频率学派当中）我们无法讨论其中某一个置信区间包含真值的概率。

实际上，在特定的情形中 (^) 我们甚至可以直接断定一个参数不在一个 95% 置信区间中，即使我们构造这个区间的方法完全正确。这更说明我们不能说参数在某一个区间内的概率是多少。

只有贝叶斯学派才会说某个特定的区间包含真值的概率是多少，但这需要我们为真值假设一个先验概率分布（prior distribution）。这不适用于我们平常使用的基于频率学派的置信区间构造方法。

更多的解释可以参考：

评论里的补充解释：

换种方法说，假设我们还没有取样，但已经制定好取样后构造 95% 置信区间的方法。我们可以说取样一次以后，获得的那个置信区间（现在还不知道）包含真值的概率是 95%。然而在取样并得到具体的一个区间之后，在频率学派框架下就无法讨论这个区间包含真值的概率了。

取样前能讨论，取样后却无法讨论，这可能让很多人感到很不自然。扩大来说，传统频率学派对已经发生，但我们不知道结果的事件的讨论存在困难。虽然这个问题通常在应用上无伤大雅，但确实有不少学者因此寻求对概率的不同解释。

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* 也许你会说这么描述就相当于说某个置信区间包含真值的概率是 95%。那我只能说你必须寻求频率学派以外的对概率的解释。这是一个很深奥的哲学问题：）

^ 参见

中的回答

置信区间，就是一种区间估计。

先来看看什么是点估计，什么是区间估计。

1 点估计与区间估计

以前很流行一种刮刮卡：

游戏规则是（假设只有一个大奖）：

• 大奖事先就固定好了，一定印在某一张刮刮卡上
• 买了刮刮卡之后，刮开就知道自己是否中奖

那么我们起码有两种策略来刮奖：

• 点估计：买一张，这就相当于你猜测这一张会中奖
• 区间估计：买一盒，这就相当于你猜测这一盒里面会有某一张中奖

很显然区间估计的命中率会更高（当然费用会更高，因为风险降低了）。

接下来，我们看看置信区间是如何进行区间估计的。

2 置信区间

我们通过对人类身高的估计来讲解什么是置信区间。

2.1 上帝视角

对于人类真实的平均身高，我们是没有办法知道的，因为几乎不可能把每个人都统计到。

但这个数据肯定是真实存在的，我们可以说，上帝知道。

在这里我们引入了上帝视角，即上帝看到的人类身高的真实分布。

假设人类的身高分布服从如下正态分布（ \mu =145,\sigma =1.4 ）：

X \sim N(145, 1.4^2)\\

也就是说全体人类的平均身高为145cm，为了表示只有上帝可以看到，我把真实分布用虚线来表示：

2.2 点估计

作为愚蠢的人类，我们只能在人群中抽样统计：

比如下面是一次抽样数据，我把算出来的样本均值（记作 \hat{\mu } ）画在图上（蓝色的点）：

\hat{\mu } 就是对真实的 \mu 的一次点估计。

通过一次次的抽样，我们可以算出不同的身高均值的点估计：

如果我们关闭上帝视角，我们分辨不出哪个点估计更好：

区间估计可以改进此问题。

2.3 置信区间

置信区间，提供了一种区间估计的方法。

下面采用 95\% 置信区间来构造区间估计（什么是 95\% 置信区间，这个我们后面解释）：

通过 95\% 置信区间构造出来的区间，我们可以看到，基本上都包含了真实的 \mu ，除了红色的那根。

关闭上帝视角，我们仍然不知道哪一个区间估计更好：

但是，和点估计比较：

• 点估计和区间估计，都不知道哪个点或者哪个区间更好
• 但是，按照 95\% 置信区间构造出来的区间，如果我构造出100个这样的区间，其中大约有95个会包含 \mu

这就好像用渔网捞鱼，我知道一百次网下去，可能会有95次网到我想要的鱼，但是我并不知道是不是现在这一网：

剩下的问题就是 95\% 置信区间是如何构造的。

3 95\% 置信区间

假设人群的身高服从：

X \sim N(\mu , \sigma ^2)\\

其中 \mu 未知， \sigma 已知。

我们不断对人群进行采样，样本的大小为 n ，样本的均值：

M=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_ n}{n}\\

根据大数定律和中心极限定律， M 服从：

M \sim N(\mu , \frac{\sigma ^2}{n})\\

我们可以算出以 \mu 为中心，面积为0.95的区间，如下图：

即：

P(\mu -1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leq M\leq \mu +1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}})=0.95\\

也就是， M 有 95\% 的几率落入此区间：

我们以 1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}} 为半径做区间，就构造出了 95\% 置信区间。按这样去构造的100个区间，其中大约会有95个会包含 \mu ：

那么，只有一个问题了，我们不知道、并且永远都不会知道真实的 \mu 是多少。

我们就只有用 \hat{\mu } 来代替 \mu ：

P(\hat{\mu }-1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leq M\leq \hat{\mu }+1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}})\approx 0.95\\

4 总结

总结一下：

• 置信区间要求估计量是个常数
• 95\% 也被称为置信水平，是统计中的一个习惯，可以根据应用进行调整

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