数学猜想
头像：谢尔宾斯基正十二面体
以下命题都是等价的。 0. 黎曼猜想：黎曼 [公式] 函数的非平凡零点都在直线 [公式] 上。1. [公式] 。其中 [公式] 是Möbius函数。2. 对任意正数 [公式] ， [公式] 。其中 [公式] 是Mertens函数。3. 存在正数 [公式] ， [公式]
如何用更少的超平面覆盖超立方体上的点
【前言】蛮长时间没有写故事了，为了防止提前步入中年痴呆，近期打算分享一些我很喜欢的问题和方法。 今天先讲一个例子，关于覆盖hypercube上点的一个几何问题。 【一些概念】通俗说法中，超立方体是大家熟知的立方体的的四维类比，我们这里则指的是更高维度的。我们用相对图论的方式去描述 [公式] 维的超立方体（hypercube ），记作 [公式] ，它的点集可以写成 [公式] ，也就是长度为 [公式] 的 [公式] 向量，如果两个点他们有且仅有一个位…
质数的最小间隔有上限，人的奋斗没有上限 | 好文重发
本文首发于2019年11月14日。 双十一刚过，许多人是不是正处在剁手后的吃土时间？今天，我们就来介绍一位吃土界的宗师级人物。他倒不是买了太多东西，而是在很长时间内根本没钱买东西。但与众不同的是，他在各种艰难困苦的条件下，都一直在研究世界难题，最后终于石破天惊。他就是传奇数学家张益唐。 [图片] 张益唐做了什么呢？回答非常有意思。 数学家的成果往往很难向大众介绍，因为仅仅听懂他们在研究什么问题都需要很多背景知识。而…
虽然Riemann-Siegel公式可以进行更加精确的计算，但为了可读性本回答将推导一个简易的近似公式从而证明以下较弱结论： 定理1：Zeta函数 [公式] 上半平面第一个非平凡零点的纵坐标在13.96和14.34之间。为了方便描述，设 [公式] 。本文后续出现的log一律指代自然对数。Zeta函数的简易近似公式当 [公式] 时 [公式] 的级数表达式绝对收敛，所以在这个区域内函数的性质均可用部分和 [公式] …
一位乐观的悲观主义者
1、可以用于证明素数定理。我们知道，素数定理是用于刻画素数分布的一个定理，最初由勒让德和高斯给出猜想公式，最后由阿达马等人证明。但是如果我们以假定黎曼猜想成立为前提的话，我们将得到一个无比精确的素数分布公式。这个公式和最终的素数分布曲线之间依然存在误差，但是其已经精确到连肉眼都难以察觉到误差了（这个指的是那两条分布曲线之间已经近乎重合了）。 2、然后就是大家喜闻乐见的哥德巴赫猜想。当然，这个是和广…
待到山花烂漫时
审核这东西的这位编辑，在数学研究之外的任何领域，都应该有更大的发展空间。 私下认为他不应该埋没掉这种天赋 显然k!+1之后的k-1个数都不会是素数。 420是个什么鬼？ 好奇怪，评论区指出我一个错误，我就从善如流改了并回复致谢。但是我回复了两次，两次，过一会都莫名其妙的消失了。 从来不知道“表示感谢，已经修改”这样的内容也会被删掉。
[图片] （证明哥德巴赫猜想，不是民间科学家们，早就完成的工作了吗？ 老把戏了，图片出自 https://www.zhihu.com/question/24228016/answer/43964355 ） 看到这个问题，我陷入了困惑，我决定去问数学系楼下徘徊的那只胖猫。 ”朋友，你如何看待高中生声称证明了哥德巴赫猜想？“ “喵，那他可以获得来年的诺贝尔数学奖了，” 那猫打了一个哈欠，这样说。 “可诺贝尔奖里没有数学奖啊，这是不可能的事情！” “是啊，这是不可能的事情 ，你这不是知道嘛。那个高中生不可能证…
事实上这个问题可以和 [公式] 在临界线上的渐近上界建立联系。Ingham[1]在1937年证明了： 定理1：如果存在正数A、c使得当t为实数时总有 [公式] ，则： [公式] 换言之，当 [公式] 表示第n个素数时总有 [公式] 。目前为止最好的无条件结论…
最反直觉的世界数学难题——霍奇猜想，汇集了最抽象的数学概念
一派胡言
[图片] 英国数学家霍奇（William Vallance Douglas Hodge）于1950年提出的霍奇猜想，无疑是所有千禧难题中最难理解的。这是个高度专业的问题，只有极少数专业数学家才能真正地理解。下面是霍奇猜想： 一个非奇异射影代数簇上的每一个（一定类型的）调和微分形式都是代数闭链的上同调类的一个有理组合。 是不是发现，这个句子中的每一个专业术语你都不理解。在关于伯奇和斯温纳顿一戴尔猜想的文章中，我还可以把那个猜想与简单的几何联系…
数论 等幂和问题 eslpower.org
我看了本问题已有的44个回答，其中3个都是关于欧拉猜想的。下面我着重谈谈 欧拉猜想被证伪后，数学研究者们继续做的探索，包括不算知名的Lander-Parkin-Selfridge猜想。 一、欧拉猜想作为对费马大定理的推广，欧拉于1769年提出以下猜想：对于每个大于 [公式] 的整数 [公式] ，任何 [公式] 个正整数的 [公式] 次幂的和都不是某正整数的 [公式] 次幂。当 [公式] 时，欧拉猜想是成立的，此时正是费马大定理 [公式] 的情形。此后欧拉猜想没有任何进展，直至1911年R…
一派胡言
[图片] 英国数学家霍奇（William Vallance Douglas Hodge）于1950年提出的霍奇猜想，无疑是所有千禧难题中最难理解的。这是个高度专业的问题，只有极少数专业数学家才能真正地理解。下面是霍奇猜想： 一个非奇异射影代数簇上的每一个（一定类型的）调和微分形式都是代数闭链的上同调类的一个有理组合。是不是发现，这个句子中的每一个专业术语你都不理解。在关于伯奇和斯温纳顿一戴尔猜想的文章中，我还可以把那个猜想与简单的几何联系…
年轻数学家攻克数十年难题，猜想提出者：我没想到这么快
[图片] 机器之心 编译 数学史上每一个突破都需要扎实的基础工作。 [图片] 图源：Quantamagazine 公元前三世纪，阿基米德提出一个关于 放牧牛群的谜题，并声称只有真正聪明的人才能解开。他的问题最终归结为一个涉及两个平方项之差的方程，即 x^2 – dy^2 = 1。其中，d 是一个整数（可能是正整数或负整数），而阿基米德提出的问题要求解 x 和 y 也是整数。 这类方程被称为 佩尔方程，几千年来一直让数学家们着迷。 在阿基米德之后几个世纪，印…
“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”，所以一根棍子也轻松的超越了无限。建议：好好用你那具备智慧的头脑思考正确的问题，不要总利用自然语言的不严谨性来思考所谓的“哲学”问题。 什么叫超越无限？如何定义？这种表述或定义有何价值与意义？有何作用？ 用最含混的语言可以表述即难以理解又似乎正确的内容，可这既不是数学，也不是哲学。 如果你总是用这样的“表述”和含混的“概念”来思考问题且无法自拔，建议去搞艺术，而不要…
我本芜湖人，家在蚌埠住
期刊上还发表过气功治癌症，中药注射液，特异功能研究，永动机的制造方法，风水学找矿，周易八卦预测股市，以及各种学者的扯淡、领导的车轱辘话和研究生的毕业作文。有的还出了专著。 你会惊叹于人类的科技竟然恐怖如斯。三体人看了都想逃。
Sidorenko猜想
Sidorenko猜想可能是最近一些年，在极值组合领域里冉冉升起的一个重要猜想，或者已经可以认为是一个中心的猜想了。因为除了它本身在极值图论领域的重要性以外，他与若干其它数学分支有紧密的联系，甚至，它与诸如量子场论，量子化学，统计力学等其他科学领域有所关联。因为暂时身边，或者国内我还没有能够认识对这个猜想感兴趣的同行，所以今天想 抛砖引玉一下，说不定可以吸引对这个猜想感兴趣的老师同学，一起聊聊这个问题。 … [公式] ，我们想知道在一个给定点数 [公式] 和边密度 [公式] 的图 [公式] 里，能包含这个结构图 [公式] 的数目最小值是多少。
2022 年度新知答主
抖个我以前抖过的机灵吧。 给定一种有限多符号的形式语言（包含常量 变量 谓词 逻辑量词等），给定一个很大的整数N，列举出该语言可表述的证明长度不超过N的所有真命题的集合。 数学可能是无限的，但人类能理解的数学大概是有限的。因为人类使用的语言只有有限多个符号，而人类能理解的证明长度应该是有个上界的。
仅凭直觉，很容易想到球面的高阶同伦群为0. 但这是错的。 带基点的拓扑空间 [公式] 的 [公式] 阶同伦群 [公式] 的元素为 带基点的 [公式] 维球面 [公式] 到 [公式] 的映射同伦类。对于 [公式] ，我们容易得到如下结论： [公式] [公式] 证明第一组等式最重…
什么是数学证明？四色猜想的证明为何震动了整个数学界？
一派胡言
[图片] 关于是否会存在定理证明机，在理论上人们是有过不同的看法的。有些人认为不可能，如著名数学家庞加莱；而有些人却觉得是可能的，并从理论上进行了论证，如著名的数理逻辑学家塔尔斯基。同时他还指出初等代数和初等几何范围的定理证明是可以实现机械化的。而在希尔伯特的《几何基础》中，也已经蕴涵了“万理一证”的定理证明机械化思想，只是由于物质条件的不成熟而计人把他的这个重要思想给忽视了。然而，本世纪初数理逻辑的创立…
学生
实际上题目中的表述并不是很精确。 把题目表述换成更符合统计推断的表述：假设样本$x_1, …, x_n$独立同分布，其分布函数$F(x)$满足均值为$E(X)$，方差为$S^2$。那么$x_{min}=x_(1)$和$x_{max}=x_(n)$的分布确实可以用次序统计量来解答。 当然，对于最小值和最大值，我们可以考虑一种更简单的方法： $$ P(x_{max}\leq t) = P(x_1\leq t,…, x_n\leq t) =P(x_1\leq t)…P(x_n \leq t)= [F(t)]^n $$ 最小值也可以同理。 可以看到最…