从古典微分几何发展到现代微分几何的过程是怎样的？（数学思想、历史等方面）?为何引入现代微分几何？

你的感觉基本是对的。

古典微分几何是逐渐形成，一开始拉格朗日用《分析力学》把几何踢出了物理世界，那时分析学就变得非常重要了；之后欧拉用他的天才开始研究微积分意义下的几何学，但这不是“微分几何”这门分支的开端。我们知道在曲面上每点都可以建立一个法向量，欧拉推广了法向量的内容，将它变为法平面，他用这个法平面研究曲面。按欧拉的想法，法平面是“垂直”于曲面的，就像刀一样切割曲面，因此，以法线为旋转轴，法平面旋转一个2π弧度时，基本这个曲面在该点附近的弯曲情况就摸清了：因为我们每切一下，我们就有一个曲面在法平面上的“截面”【其实是截线】，它是一条曲线，然后我们定义在那个固定点【法线所在的点】附近的曲率，它们都是曲线的曲率，称为法截面的截线曲率，简称法曲率。这时我们有一堆法曲率，而它们中只有两个是重要的，那就它们的极值，我们叫主曲率。

还记得主曲率的乘积吗？对，高斯曲率。整个古典微分几何就是以它为中心进行展开的。正常来说，弗雷内标架也是在曲线自身上移动，因此，由它得到的那个曲线的曲率也可以看成内蕴的。它其实是高斯曲率的降维情形，一般书上不怎么提这事，我只在诺维科夫的《现代几何学》里看见过。

高斯曲率最大的特点是什么？内蕴，对吧。可是我们是怎么定义高斯曲率？就是上面那样，主曲率的乘积。这种方式我们叫外在式，它方便推广，对于高维欧氏空间，我们可以定义高维超曲面的这种类似的曲率，它同样是超曲面的多个主曲率的乘积，我们叫高斯-克罗内克曲率。

但是现代微分几何走的是高斯-黎曼的“内蕴”路线。因此按教程内容来说，古典微分几何除了弗雷内标架下的曲线曲率以及有的书在讲到高斯曲率时会提一句它是内蕴的就完了。当然了，不同的教材会有差别，很多近年来改进的教材会加入内蕴几何的内容，会介绍外代数、外形式、外微分，然后定义曲面的结构和运动方程，即高斯-柯达奇-麦因纳尔迪方程。这个方程是内蕴的，虽然被冠以曲面论的基本方程之名，但它不算太重要，重要的是用这个方程表达的高斯曲率。

这个高斯曲率是 R_{ijkl} ，因为这些指标只能取1和2【二维曲面嘛】，所以它只有一个分量 R_{1212} 。它是随坐标变化的【行话讲它不是标量】，但是我们能通过一些其它技巧得到它的一个不随坐标变化的值，这个值是高斯曲率的2倍。我们叫标量曲率 R 【它是标量】。

此时的高斯曲率与前面那种主曲率的乘积有何不同？那个是用法截面截出曲面的“截面”后，得到的两个极值之间的乘积，而 R_{1212} 直接被冠以现代术语——截面曲率。而它基本的作用就像它的名字一样，只不过是以内蕴的方式【与背景空间、坐标系、法截面都无关】来描述被研究曲面的“截面”的。高维曲面的截面曲率不只一个，是很多个，这表明它们以不同的方式对曲面进行“切割”。所以，以主曲率乘积得到的高斯曲率是外在的、代数的【高斯曲率其实就是一种二次型矩阵的对角线的乘积】，以第一基本型得到的截面曲率是内蕴的、几何的！

现在，我们来点关于截面曲率进阶的东西：因为高维空间的截面曲率很多，因此某一个截面曲率其实意义不大，我们看的是一堆截面曲率的“平均状态”，这个状态是通过它们求和得到的，比如，我们沿一个给定方向【行话叫切向量】的全部截面曲率，把它们求和，得到的就是“里奇曲率 R_{ij} ”，它反映就是沿着那个给定方向的截面曲率的平均状态；这还没完，我们知道曲面一点处有切平面，而超曲面的切平面称为切空间，我们可以计算出超曲面在某点的切空间处的全部截面曲率，它们的平均状态是不同方向上里奇曲率的和，其结果就是是我们上面说的“标量曲率 R ”。现在，我们构造如下精彩表达式 R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R ， g_{ij} 是曲面第一基本形式系数，但更准确地说，它是四维时空的距离函数，而里奇曲率 R_{ij} 标量曲率 R都是内蕴量，因此整个表达式也是内蕴的，它与外在背景空间无关。我们称之为“爱因斯坦张量”，它是约束引力场存在形式的表达式。如果让它等于某种表达能量动量的函数 T_{ij} 【当然要配一个系数】，即 R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R=\frac{8πG}{c^4}T_{ij} ，那么它就是爱因斯坦当年给出的引力场方程——广义相对论的基本方程。而对于真空，里奇曲率就是引力场的约束条件，引力场方程为 R_{ij}=0 .

因此，所谓引力场方程，其实就是找到某种描述截面曲率的“平均状态”的一种表达式，这种表达式是两个描述截面曲率平均状态的曲率共同给出的，我们能够通过变分法证明，这个表达式 R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R是唯一满足欧拉-拉格朗日方程的【即最小约束原理】，因此，至少按爱因斯坦对引力理论的构想，这个方程对于物理学来说是唯一真实的。

因此古典微分几何向现代微分几何过度时，那个二维的高斯曲率主要是沿着内蕴的方向向截面曲率进行推广的。至于任意维空间的决定性曲率——黎曼曲率，那得等你学了向量在曲面上平行移动的内容后才能知道。如果你好奇，我们大致说一下：我们会引入衡量向量移动轨迹与曲面本身的曲率之间的联系——联络 \Gamma_{jk}^{i} ——有了它，我们就可以把数学分析中的求导进行推广，使得在弯曲曲面上也能进行求导，我们称之为协变导数，再然后，我们对一个向量先按一个顺序求两次协变导数【二阶协变导数】，然后交换刚才的求导顺序再求一次二阶协变导数，让它们做差，我们就有了衡量空间本身的两个内蕴量：任意维空间的曲率和挠率【它们都是用联络来表述的】。后者是衡量空间是否扭曲的，三维空间的二维曲面挠率都是0，即使是螺旋面！只有四维以上的空间才有那种挠率不为0的三维扭曲曲面。

这之后，我们让古典微分几何的所谓第一基本形式的那个系数 g_{ij} 与联络建立联系，也就是把联络表达成这个系数的某种微分式。为什么要用第一基本形式？因为它是所谓的内蕴量的基石——凡是用第一基本形式表达的几何量都是内蕴量。这时，联络就变了内蕴量，所以曲率和挠率也是内蕴的。这种用第一基本系数、进而用联络来表达的曲率就叫黎曼曲率 R_{jkl}^{i} 。

当我们把曲面进行推广，引入代数和拓扑的某些性质后，我们叫曲面为微分流形，在其上研究黎曼曲率的局部和整体性质，这就是黎曼几何的中心内容之一。

我大致给你梳理一下古典微分几何到黎曼几何的一个核心概念的过度。当然了，这只是局部几何，还有整体几何，那就先不说了。

至于历史，其实没什么太多了内容。我大致说说，你大致听听。高斯参加测地活动，这是为了给汉诺威公国画地图，他亲自计算了很多坐标点，因此有感而发地想到：研究曲面可以脱离背景空间，直接在曲面上进行研究，于是他各种计算，最后发现，曲面的第一基本形式在保持点与点的长度的变形之下是不变的。因此他叫第一基本形式为曲面的内蕴量【这之后他又发现高斯曲率也是内蕴的，他觉得这是不得了的事，因此给这个结论一个醒目的名字：绝妙定理。我们现在认为绝妙定理的建立是“微分几何”这个分支的开端，高斯，是微分几何之父】。他给戴德金讲课时提过，曲面的距离概念可以推广到超过三维的空间上，那时高斯就有高维空间的概念，但只是个大概。黎曼拜访高斯，高斯和他说了自己的曲面研究，黎曼那时没什么想法，后来他要应聘无薪讲师，他提交了三个题目给评委会以供挑选。

评委会主席是高斯，他选了黎曼关于几何的那个题目，黎曼有点慌，因为他准备的不充分。为了拿下无薪讲师资格，他奋战了几个夜晚，研究了高斯的曲面论文，它想在最一般的情况下建立一个关于高维内蕴几何的距离公式，但是他又没有太多时间来研究那个函数“F”的性质【我们现在叫芬斯勒度量】，因此他先试了一个四次微分式，展开后一长串儿，他觉得太麻烦了，于是又选择了高斯当初给的那个二次微分式，也就是第一基本形式。只不过，他让这个形式在任意维空间都好使！而且他给出了具体的那个第一基本形式，这是他划时代论文中唯一的公式。

那个公式里出现了我们上面说的截面曲率。在黎曼心理，他最终已经把新几何认识到什么程度，我们只猜测个大概——后期，意大利的数学家列维-齐维塔研究我们上面说的平行移动，而当年黎曼给出过关于那个曲率【就是我们说的黎曼曲率】的一个说明论文，但是评审人依然看不懂，那时高斯已经去世，按已有的史料，在当时，高斯是唯一真正理解黎曼的人。因此，黎曼可能距离我们认为的现代黎曼几何不太远，这是他天才的表现。

黎曼的几何后来由列维-齐维塔、里奇等了逐渐完善。在爱因斯坦的广义相对论的加持下达到巅峰。虽然黎曼几何是广相的工具，但是从成名的角度来说，是广相成就了黎曼几何，而不是倒过来。庞加莱就热衷于同伦和拓扑的研究，他不太看好黎曼的几何。

至于微分流形，那是更后来的事了，我们只说个大概吧。黎曼几何是局部，而一提微分流形，它指的是整体几何，这就像南极大陆和地球的关系，南极大陆只是地球表面的一块，整个地球表面才是微分流形正整施展威力的地方。微分流形是当代几何研究的中心之一，是最重要的几何对象，没有任何数学背景舞台能比微分流形更有名、更重要。它的内在性质可以充分发挥拓扑、代数、分析的威力。因此现代微分几何都是研究微分流形。

你可以了解一下黎曼以后的微分几何学家的工作，比如Levi-Civita, Bianchi, Ricci，乃至20世纪上半叶的Cartan，陈省身等等。其实也是很精彩的一段历史，我记得丘先生在求真书院的数学史课程上重点讲过这些数学家的工作，好像是上个学期吧，你可以去B站上搜一下求真书院当时的课程录像。

你在黎曼几何教材上看到的短短几章内容，其实是近百年几何发展史中沉淀下来的精华，又以现代数学的表达方式重新整理成比较紧凑的形式。你如果愿意多花点时间了解一下数学观念演化发展的过程的话，认识会更清楚一点。