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这个问题也是知乎日经问题了。我来选一个目前我还没发现有人答到的方面强答一下。
我们知道，分析学中圆周率 \pi 可以被严格定义为方程
e^{2ix}=1
的最小正实数解 x ，其中 e^z 定义为幂级数 \sum_\limits{n=0}^{\infty}{\dfrac{z^n}{n!}} 。
要使 \pi 的值发生改变，有很多方式，其中非常有意思的一种是：
收敛的定义发生改变。
这在实数域 \mathbb R /复数域 \mathbb C 中是没法改变的，因为它们上面的拓扑和度量已经是被指定了的，但是：谁又规定了上面的方程就是一个实数/复数方程呢？
事实上， e^z 作为形式幂级数，它的系数都是有理数，因此可视作有理数域的任何扩域上的形式幂级数。由于要定义收敛，我们需要这个扩域上有与域结构相容的度量拓扑，而除了实数域/复数域，这样的域还有一类：p-adic数域 \mathbb Q_{p}
但是，这样做的后果就是：圆周率不存在了！！
这是因为，如果 \pi\neq 0 是上述方程的一个解，那么 0,\pm \pi,\pm2\pi,...,\pm n\pi,... 都是它的解，从而它有无穷多解，但这与Strassmann定理矛盾：
Strassmann定理[1]：设域 K 带有一个非阿基米德绝对值 \left| \cdot \right| ， R 是 K 的赋值环。再设 f(x) 是 R 上的一个非零形式幂级数，且系数 a_n 关于 \left| \cdot \right| 收敛至 0 。那么 f(x) 在 R 中至多有有限个零点。精确地说，零点的个数至多有 N 个，其中 N 是使得 \left| a_N \right|=\max\left| a_n \right| 的最大下标。
因此p-adic数域的“圆周率”是0。
当然这就显得很没意思了。而问题既然问的是“对世界会产生什么影响”，那就不能采用上面的定义，毕竟我们的现实世界的模型是基于实数域 \mathbb R 的，而不是p-adic数域 \mathbb Q_p （虽然听说 \mathbb Q_p 在量子力学和弦理论中有应用中）。我们就可以从几何的意义来定义 \pi ，这就回到它的最基本定义：
圆的周长与直径的比值。
而圆的定义是“二维Euclid空间中到某一定点的距离等于定长的点的集合”。
我们明显可以在“二维Euclid空间”上做一些文章，把它替换成任意的二维（伪）Riemann流形 (M,g_{ab}) 。例如典型的二维球面 \mathbb S^2 ，在 \mathbb S^2 按如上方式定义的“圆周率”甚至不是个定值，这本质上是因为它有内禀曲率，是一个弯曲的空间。
小更一下
刚刚写完上面的回答，躺在床上突然想到一个问题：Strassmann定理要求形式幂级数至多有有限个不同零点，那我们选一个特征为 p 的度量完备的代数闭域，就有 p\pi=0 ，那么 0,\pm \pi,\pm2\pi,...,\pm n\pi,... 只有 p 个不同元素，就满足了Strassmann定理的要求，就有可能构造出非平凡的“圆周率”。例如我们选p-adic复数域 \mathbb C_p 的tilting \mathbb C_p^\flat [2] ，它的乘法幺半群结构定义为逆向极限 \lim\limits_{\leftarrow }\left(\mathbb C_p ,f \right) ，其中映射 f:\mathbb C_p\rightarrow\mathbb C_p,x\mapsto x^p ，也就是说 \mathbb C_p^\flat 作为集合，它的元素是满足 x_n\in \mathbb C_p,x_{n+1}^p=x_n 的序列 \{x_n\}_{n\geq0} ，乘法定义为 \{x_n\}_{n\geq0}\cdot\{y_n\}_{n\geq0}:=\{x_ny_n\}_{n\geq0} ，而它的加法群结构定义为： \{x_n\}_{n\geq0}+\{y_n\}_{n\geq0}:=\{\lim \limits _{m\rightarrow\infty}(x_{n+m}+y_{n+m})^{p^m}\}_{n\geq0} 。但是在 \mathbb C_p^\flat 中定义指数函数 e^z 似乎又成了困难，因为 n\geq p 时， n!=0\mod p ，那么 \dfrac{x^n}{n!}(n\geq p) 项就没了意义。如果我们去掉这些项， e^z 就成了一个多项式，它有 p-1 个零点，但并不符合指数函数的性质，这样的推广是失败的。
参考
- ^https://www.detailedpedia.com/wiki-Strassmann%27s_theorem
- ^通过百度网盘分享的文件：Lecture1… 链接:https://pan.baidu.com/s/1JGnlKQ3gaP6Uv-DVwLZ8SA 提取码:rf6h 复制这段内容打开「百度网盘APP 即可获取」
以下皆为瞎扯，看个乐就行。
我们把 \pi 定义为圆的周长与直径的比值. 把 \pi 定义为 3.1415\cdots 是通过计算圆的周长得出来的，并不是人为定义的，所以随便改成其他值也不会对世界产生什么影响。而对于像
\dfrac{\pi}{4} = 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots
这样的看起来跟“圆”没有关系的恒等式，如果把 \pi 改成其他值，上面的恒等式也只不过差一个倍数罢了。
作为数学爱好者，我有时候并不是生活在三维欧几里得空间上，而是生活更一般的度量空间、甚至是拓扑空间。例如，今天早上醒来我就发现我处在 \ell^4 空间。我们知道，一条参数曲线
\left\{\begin{aligned} &x=f(t) \\ &y=g(t) \end{aligned}\right., t\in I
的长度如下定义：
\displaystyle \int_I \left(|x'(t)|^2+|y'(t)|^2\right)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t,
那么到了 \ell^p 空间，两点 A(a_1,a_2),B(b_1,b_2) 之间的距离是 \left(|a_1-b_1|^p+|a_2-b_2|^p\right)^{\frac{1}{p}}. 于是参数曲线的长度就变成了
\displaystyle \int_I \left(|x'(t)|^p+|y'(t)|^p\right)^{\frac{1}{p}}\mathrm{d}t,
在 L^p 空间中单位圆的参数方程是(可能还需要添加绝对值来保证定义良好)
\left\{\begin{aligned} &x=\cos^{\frac{2}{p}}t \\ &y=\sin^{\frac{2}{p}}t, \end{aligned}\right., t\in [0,2\pi],
所以周长就是
C(p) = \displaystyle \dfrac{2}{p}\int_0^{2\pi} \left(|\cos^{\frac{2}{p}-1}t\cdot \sin t|^p+|\sin^{\frac{2}{p}-1}t\cdot \cos t|^p\right)^{\frac{1}{p}}\mathrm{d}t,
当 p=2 时 \ell^2 空间就是我们熟悉的欧几里得空间，单位圆的周长就是 C(2)=2\pi = 6.28\cdots
这里似乎有点循环论证。但因为我们在这里最终目的是计算曲线长度，所以实际上可以用“以直代曲”然后不断逼近圆的周长，有点像我国古代的“割圆法”的思想，另一个答主也提到了从古至今如何得到 \pi 的近似值，这里就不再赘述了。
在这里，我们暂时沿用 \pi=3.1415\cdots 的记号，假如我想定义一个新的圆周率 \tau\!\,\!\!\pi 适用于 \ell^4 空间，那么当 p=4 时，可以算出
C(4) = 2\tau\!\,\!\!\pi = 6.793845345719663, 所以根据圆周率的定义：周长和直径的比值，可得
\tau\!\,\!\!\pi = 3.396922672859831\cdots
这就是我今天所处在的 \ell^4 空间的“圆周率”. 我今天所处在的世界里面，圆周率不再是 3.1415\cdots ，而是 3.3969\cdots ！与此同时，非常可怕的事情出现了：我的世界不再是内积空间，没有办法定义两条 \ell^4 空间中的直线垂直（想定义垂直或者正交，必须要引入另一个空间，即 \ell^4 的对偶空间 \ell^{\frac{4}{3}} ），所以经常要在两个空间中反复横跳，在日常生活中带来了极大的不便。