自由代数

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数学、とくに環論という抽象代数学の分野において、自由代数(じゆうだいすう、: free algebra)は多項式環の非可換類似である、なぜならばその元は可換でない変数の「多項式」として書けるからである。同様に、多項式環は自由可換代数 (free commutative algebra) と見ることができる(多項式環#多項式環の普遍性参照)。

定義[編集]

可換環 R に対し、n 不定元 {X1, ..., Xn} 上の自由(結合的単位的代数とは、アルファベット {X1, ..., Xn} 上のすべての(空な語を含み、これは自由代数の単位元である)からなる基底を持つ自由 R 加群である。この R 加群は積を以下のように定義して R 代数となる:2つの基底元の積は対応する語の結合

であり、2つの任意の元の積は、これらの積から一意的に決定される(なぜならば R 代数における積は R 双線型でなければならないからである)。この R 代数は RX1, ..., Xn と書かれる。この構成は不定元の任意の集合 X に容易に一般化できる。つまり、任意の集合 X = { Xi | iI} に対して、X 上の自由(結合的単位的)R-代数は

に語の積が結合となる R-双線型な積が入ったものである、ただし X*X 上の自由モノイド(すなわちアルファベット Xi 上の語すべてからなるモノイド)を表し、 は外部直和を表し、Rw は1元、語 w 上の自由 R 加群を表す。

例えば、RX1,X2,X3,X4 において、スカラー α, β, γ, δR に対して、2元の積の具体例は である。

自由 R-代数 RX は自由モノイド X*R 上のモノイド環 R[X*] と同一視できる。

多項式との対照[編集]

アルファベット {X1, ..., Xn} 上の語全体は RX1, ..., Xn の基底をなすから、RX1, ..., Xn の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである:

ただし R の元で、これらの元のうち有限個を除くすべては 0 である。これはなぜ RX1, ..., Xn の元が「変数」(あるいは「不定元」X1, ..., Xn の「非可換多項式」としばしば呼ばれるのかを説明する;元 はこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、R 代数 RX1, ..., Xn は「R 上の n 不定元の非可換多項式環」と呼ばれる。本当の多項式環とは異なり、変数たちは可換ではないことに注意。例えば X1X2X2X1 と等しくない。

より一般に、任意の生成元の集合 E 上の自由代数 RE を構成することができる。環は Z 代数と見なすことができるから、E 上の自由環 (free ring) は自由代数 ZE として定義できる。

上では n 不定元の自由代数は n 次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できる。より一般の係数環に対しては、n 生成元の自由加群を取ることで同じ構成ができる。

E 上の自由代数の構成は本来関手的であり、適切な普遍性を満たす。自由代数関手は R 代数の圏から集合の圏への忘却関手左随伴である。

可除環上の自由代数は自由イデアル環英語版である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007 
  • L.A. Bokut' (2001), Free associative algebra”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/f/f041520.htm