线性代数里面的退化是什么意思？

一个复杂的东西在某种条件下变成一个简单的东西，就叫「退化」。这并不是线性代数特有的概念。

比如，一个一元二次方程，在二次项系数为零时，就退化成一元一次方程。

又如，椭圆在离心率为零时退化成圆。

再如，向量的内积，在向量只有一维的时候，就退化成标量乘法。

再再如，矩阵的若当标准形，在矩阵对称的时候（这是个充分非必要条件），退化成对角阵。

如你所知，秩（Rank）是等级次序的意思，在古代表示官职级别。 如你所知，矩阵可以理解为一个变化（线性），也可以理解为一个空间（线性）。 那么，直接按字面意思来说，退化就是等级次序降低，这个在矩阵上的体现是最直接的，因为秩就是等级次序。

退化其实是个很普遍的概念，其实如果你喜欢这种描述，在很多时候我们都可以用，比如一个单点集就是一个退化的连续统，实数则是退化的复数……有答主举了更多例子，我就不再赘述了。

再说“奇异”，我学习时有好为人师的习惯，总喜欢把学到的东西自己即时写成教案的形式——也许这属于费曼学习法的一种形式(但我并不推荐这样做因为这样学得会超级慢)。我在刚学矩阵这个知识的时候，我如此写道——

“但有时我们会遇到这样的情况\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right) \end{equation}，理论上，一个向量用了三个坐标来表示，就表示我们是把它放在一个三维空间去考虑的，然而，这个矩阵中的两个向量暂且只能构成一个二维空间，因此我们把这个矩阵称为三维空间的一个二维子空间，它的等级是没有满的，简称为不满秩。 而更奇怪的是，我们有时候遇到这样的情况，\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{array} \right) \end{equation} ，即明明有三个向量构成一个矩阵，其也的确在一个三维空间里，但这个矩阵却仍然只是一个二维空间，这实在太过奇异。嗯，现在我意识到了提出“线性相关”这一概念的的重要意义。”

现在看来这段文字虽稍显稚嫩青涩，但仍具有启发意义。我现在都记得我后来接触到“奇异”这种概念的时候那种快感，就如同自己创造一样。我没有像 @王赟 Maigo 进行过那样的概括，深感惭愧。不过，“对某些优良性质的破坏”，在我看来确实是个很妙的概括。

其实这个答案在我草稿箱里呆了好久了，本来想写的东西有点多，比如“退化/进化这种概念在数学之外是没有被严格定义的，但我们总是会称一些变化是进化的，一些变化是退化的。一个典型的例子是生物学中的“进化”，说到底，生物学家是如何判断一个演化是“进化”还是“退化”呢？而回过头来，数学家们又是怎么判断一个变换是“进化的”还是“退化的”呢？”这本来是这个答案里想谈谈的，细心的人大概可以发现，我是想从两个角度谈退化的，一个是空间，一个是变换。不过最近比较忙。就只从空间的角度回答了一下，希望能算是个好回答。