Z分数

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z分数(z-score),也叫标准分数(standard score)是一个数与平均数的差再除以标准差的过程。在统计学中,标准分数是一个观测或数据点的值高于被观测值或测量值的平均值的标准偏差的符号数。
z分数可以回答这样一个问题:"一个给定分数距离平均数多少个标准差?"在平均数之上的分数会得到一个正的标准分数,在平均数之下的分数会得到一个负的标准分数。 z分数是一种可以看出某分数在分布中相对位置的方法。
中文名
Z分数
外文名
z-score
别    名
standard score
中文别名
标准分数,标准化变量
类    别
数学术语
属    于
统计学

目录

Z分数定义

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z分数能够真实的反应一个分数距离平均数的相对标准距离。如果我们把每一个分数都转换成z分数,那么每一个z分数会以标准差为单位表示一个具体分数到平均数的距离或离差。将成正态分布的数据中的原始分数转换为z分数,我们就可以通过查阅z分数在正态曲线下面积的表格来得知平均数与z分数之间的面积,进而得知原始分数在数据集合中的百分等级。一个数列的各z分数的平方和等于该数列数据的个数,并且z分数的标准差和方差都为1.平均数为0.

Z分数公式

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Z 分数也叫标准分数(standard score),它是以标准差为尺子去度量某一原始分数偏离平均数的距离,这段距离含有几个标准差,z分数就是几。从而确定这一数据在全体数据中的位置。称这一过程为标准化。转化的公式为:
式中:
X:原始数据;
:平均数;
S: 标准差。
Z 分数是以标准差为单位的离均差。从Z分数的计算可以看出,由于在运算过程中保留了原始数据与平均数的差的关系(X-
),平均数的Z分数等于0,其它数值的z分数比平均数大的为正值,比平均数小的为负值。而且,任一原始数据与平均数的差的大小,决定了它的位置。所以,Z分数既能表示比其它数大多少或少多少;也可以表示该数的位置。
在统计中,Z分数是一个非常重要的指标,当原始分数的分布形态是正态分布时,把所有原始分数都转化为Z分数,就形成了标准正态分布 [1] 

Z分数应用

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Z分数的应用主要有:①表示各原始数据在数据组中的相对位置;②对于正态数据,可表示该数据以下或以上数据的比例,具体说可以求解诸如分数线问题或人数比例问题;③表示标准化测验的分数;④用于异常值的取舍。标准分数在学生教育评价中常有以下五种应用:纵横比较、成绩等级化、标准转化、等级比例确定、品质评定数量化。

Z分数标准化

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在数学统计中,任意变量X的标准化过程是减去它的期望值E(X)并且除以它的标准差
,即:
若上述任意变量X是任意采样结果
的平均值
,即:
那么,标准化格式变为: [2] 

Z分数T分数

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由于Z分数存在正数负数,又有小数。使得Z分数在计算和解释实验结果、测验结果时有些不好理解,因此,常要对Z分数作一线性变换,即将Z转化为T分数,T分数既有z分数的分布状态即标准正态分布又易于理解和解释。利用线性公式转换:
Y=m+k(z)
式中:Y:转化后的分数;m,k常数,m 为转换后新的分数的平均数,k 为转换后新的分数的标准差。
T 分数就是以平均数为50,标准差为10 进行转换后的分数。
T=50+10(z)
T分数的本质与Z分数一样,保持单位等距,和使数据分布归于标准正态分布。
在教育评估中,T分数是一个标准分数Z,并且平均数为50,标准偏差为10。
骨密度测量中,与健康30岁成年人的人群相比,T评分是测量的标准评分。 [3] 
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参考资料
  • 1.    E. Kreyszig (1979). Advanced Engineering Mathematics (Fourth ed.). Wiley. p. 880, eq. 6.
  • 2.    Randy W. Kamphaus (16 August 2005). Clinical Assessment of Child and Adolescent Intelligence. Springer. pp. 123–. ISBN 978-0-387-26299-4.
  • 3.    "Bone Mass Measurement: What the Numbers Mean". NIH Ostoporosis and Related Bone Diseases National Resource Center. National Institute of Health. Retrieved 5 August 2017.