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分類：財務數學
2007/06/05 23:59

題目：

1．試求6年後到期，到期值為8000元，年利率5%，每季複利一次的複利現值。

2．若一簡單年金，每期期金為5000元，期末付款，年金期間為5年，支付期間為半年，若年利率為8%，試求該筆年金之年金終值如何？年金現值又如何？

3．同上題，若該年金係期初付款，則其年金終值與年金現值又各如何？

4．小王想買一台電腦，廠商提供下列兩種付款方式：
a．現金價4萬元
b．頭期款1萬元，以後以每月付款6000元，半年付清。
若已知年利率9%，請問趙大應選擇哪一種付款方式較省錢？

5．某人期望於兩年後積蓄80000元去旅行，並決定於郵局辦理零存整付存款來籌措這筆資金。假設存款利率為年利率6%，每月複利一次，問此人每月初應存款若干於郵局？

6．某人向銀行貸款100萬元，貸款期限10年，雙方約定每季攤還一次，每次攤還額相等，而利率以年利率12%計算，每季複利一次，問每次（亦即每季）應攤還銀行多少錢？

p.s.離開學校太久了，數學相關的解題能力相當弱，
因此我需要詳細的解題過程和公式，
希望能透過大家的幫忙，來理解這些題型，
非常謝謝！！

Ans.以上問題都是「貨幣時間價值」計算問題：

1.S=8,000,i=5%,n=6(年，下同),c=4(每季計息一次),P=?

i(4)=[(1+0.05/4)^4]-1=0.05094
P=8,000*(1.0594^-6)=5,937.76

2.R=5,000,i=8%,n=5,c=2(每半年計息一次),p=12(每半年付款一次),A(n)=?,S(n)=?

j=0.08/2=0.04==>(因為c=p)
m=5*2=10(期)

A(10)=5,000*PVIFA(0.04,10)
=5,000*[(1-(1.04^-10))/0.04]
=40,554.48

S(10)=5,000*FVIFA(0.04,10)
=5,000*[((1.04^10)-1)/0.04]
=60,030.54

3.條件同上,S(n)(BGN)=?,A(n)(BGN)=?

A(10)(BGN)=5,000*PVIFA(0.04,10)(BGN)
=5,000*[(1-(1.04^-10))/0.04]*(1.04)==>(期初付需多乘1+i，下同)
=42,176.66

S(10)(BGN)=5,000*FVIFA(0.04,10)(BGN)
=5,000*[((1.04^10)-1)/0.04]*(1.04)
=62,431.76

4.a案比b案划算！以下為b案之計算過程：

A=40,000-10,000(頭期款)=30,000
R=6,000
n=6(月)
i=?

30,000=6,000*PVIFA(i,6)
PVIFA(i,6)=30,000/6,000=5

求i(1)可使用以下公式：
i≒[2*(n-k)]/[k*(n+1)]==>公式出處詳見參考資料(2)

n=總期限
k=期付複利現值因子

i(1)=[2*(6-5)]/[5*(6+1)]=0.057143
i(2)=0.057143-0.005=0.052143(筆者自己抓的)

得到2個起始值之後，便可利用直線內插法求出約略之貸款利率，使用以下公式：

x=[(x(0)*(y(1)-y))+(x(1)*(y-y(0))]/[y(1)-y(0)]==>公式出處詳見參考資料(3)

x(0)=小的利率相鄰值
x(1)=大的利率相鄰值
y=期付複利現值因子
y(0)=小的期付複利現值因子
y(1)=大的期付複利現值因子

求解得：0.054733

6個月後之半年利率：
0.054733*6=0.328398(利率高的嚇人)

由上計算可知a案較划算！



5.S=80,000,i=6%,n=2,c=12,p=12,R=?

j=0.06/12=0.005==>(因為c=p)
m=2*12=24(期)

80,000=R*FVIFA(0.005,24)(BGN)

R=80,000/[((1.005^24)-1)/0.005]*(1.005)
=3,129.99



6.A=100萬,i=12%,n=10,c=4,p=4,R=?

j=0.12/12=0.01==>(因為c=p)
m=10*4=40(期)

100萬=R*PVIFA(0.01,40)

R=1,000,000/[(1-(1.01^-40))/0.01]
=43,262.38

請自行算算看！

#

附帶一提等值期利率公式，這與題目之中的c及p因子有關：

i’=[((1+i/c)^c)^(1/p)]-1

c=每年複利次數
p=每年付款次數

因為上面的題目都是c=p，而1/n次方又是n次方的逆算，因此相互抵銷，簡化為下式：

i’=i/m

其中m為c=p之值，現今一般貸款期利率大都是如此去計算！


參考資料 (1)筆者修讀過財務數學；(2)呂秋文 譯《利率學》新陸 民83；(3)金錢文化《理財小數典》民85。