数学经典教材有什么？

以下提到的书基本都是我学过/正在看/看过的，没看过的不想评价。整体来说我比较喜欢咸鱼之友系列的书籍，因为过程比较详细。当然像GTM249/250这种细得让人反胃，作者绝对有严重强迫症的书，我是拒绝的。

数学分析：《数学分析教程（第三版上册）》常庚哲、史济怀

这本书没有什么高观点，都是极为朴实的数学分析，讲解详细但并不缺深度。一上来直接学高大上的东西很容易变成“名词党”。

线性代数：《线性代数》李炯生、查建国、王新茂，《高等代数》张贤科

难度与广度兼备

近世代数：《高等近世代数》Joseph Rotman,

Patrick Morandi: Field and Galois Theory, GTM167.

（我代数实在太差了，只能看看这种咸鱼之友）

常微分方程：没有

复变：《复变函数》史济怀、刘太顺+Greene和Krantz合写的单复变函数论(Function Theory of One Complex Variable). 实际上史济怀的这本书是史先生早年教复变的时候根据龚昇那本《简明复分析》编写的讲义，无论是详细程度还是严谨性上，比龚昇的书处理好很多。而Krantz的书覆盖面较广，拓扑、调和函数、素数定理等均有涉及。

实变：本科难度→Stein前三章+周民强。之后（从抽象测度开始）Gerald B. Folland: Real Analysis.Folland讲的应该是非常正统的实分析，总之这本书非常有用，我后来还经常查结论。实变的常用技巧基本都展示了一遍，过程略显跳跃，需要下功夫念，至少要念完第1、2、3、6、7、8、9章。

还有一本偏门一点的可以是几何测度论的皮毛入门Evans&Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions.

泛函分析：Barry Simon: 现代数学物理方法第一卷·泛函分析

看了这本书之后我终于觉得泛函分析并不是像张恭庆的上册那样味同嚼蜡。

PDE入门: Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, 2nd edition. 这本书应该分两个学期上。（按我科的培养计划，大二上的微分方程1后半学期应该上这本书第2、4章，大三下的微分方程2应该上完这本书第5-7章。但我认为课上加入非线性PDE部分的一些专题会更好。）

概率论与随机过程：

Grimmett, Stirzaker: Probability Theory and Random Process. 碾压国内所有本科概率论和随机过程教科书。

Rick Durrett: Probability: Theory and Examples.

Jean-François Le Gall: Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus, GTM 274. 比GTM113（布朗运动与随机计算）友好。

傅立叶分析：

Stein的傅立叶分析（数分级别）、奇异积分与函数可微性（第3、4章）

Javier Duoandikoetxea: Fourier Analysis，第2、6、9章

Camil Muscalu, Wilhelm Schlag: Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Vol. 1. 第8、9章

Stein调和分析：震荡积分的章节

Christopher D. Sogge: Fourier Integrals in Classical Analysis. 最近开始看这本书了，下学期要听Sogge大大亲自讲这门课。

流形与黎曼几何：

几何我学的也很少…因为大四才开始接触这些

Loring Tu: 流形导论。非常简单的一本书，适合入门。

John M. Lee:光滑流形导论，GTM218，内容较全。

《黎曼几何初步》伍鸿熙，不是很适合初学，因为细节太少。黎曼几何不动笔算细节那么等于没学。Petersen那本书内容很全，可以作为工具书。do Carmo的感觉还不错。（其实我觉得白正国的也不错…计算好详细，生怕读者算不出来）

谢妖~

前面几位答主的建议已经其实已经很详实了，我在这里就根据自己的经验写一点吧。

• 数学分析
• baby Rudin 和 Apostol 的 Mathematical Analysis 被称为西方数学分析教材的“双壁”。
• 菲尔金格尔斯的《微积分学教程》 非常适合初学者自学，例子很丰富，也交给你很多技巧，非常难得的好书。当然第三卷对于多元微积分部分的处理不够现代，也可以不看。

• 代数
• Groups and Symmetry, Amstrong 学群论不读这本书不完整，只读这本书不充分。
  
• Algebra, Serge Lang 代数的经典教材。Ken. Ribet 评价为“代书圣经”，也是我的第一本代数书。可以和作者 Undergraduate Algebra一起看。
  
• Abstract Algebra, Dummite & Foote比上面那本好读，例子和习题也多不少但是有的地方写的太罗嗦。不过依然是一本极好的书。
• Introduction to Commutative Algebra, Atiyah & Mcdonald 无须解释的经典，关键是要好好做书后习题。
• An Introduction to Homological Algebra, Weibel。很好的同调代数入门。

• 数论
• A Course in Arithmetic, Serre。这本书是作者给巴黎高师大二的学生开课的讲义，非常经典。特别是最后关于模形式的部分，收到很多数论大家推崇，比如 Richard Borcherds。貌似还有人说 "Anyone interested in modular forms should begin with the last part of Serre's book."
• 《数论导引》，华罗庚。书是老了一点，估计现在不再出版了。内容很齐全，也侧重一些技巧的介绍。有意思的是作者的语言很风趣，貌似在二次互反律一章李作者写道“故高斯氏不特老谋，而且深算。”
• Rational Points on Elliptic Curves, Silverman & Tate. 椭圆曲线的入门，貌似也是仅有的 Tate署名的书中的一本。写的很基础，比较侧重直观的感觉，有的定理没有严格的证明，书后有大量习题。唯一的遗憾可能就是笔误有点多吧。。。

其实数学里面的经典书籍很多的，如果真的分门别类地介绍是要花很多功夫的，比如

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更新一下关于几何和拓扑部分的材料吧，虽然不是做这个方向的。。。

• Lectures on Elementary Topology and Geometry,I.M. Singer, J.A. Thorpe. 作者之一是 著名的Atiyah-Singer之一的Singer。这本书的内容在基础的拓扑学和几何学中dense。
• Complex Algebraic Curves, Francis Kirwan. Kirwan女神是Atiyah的著名学生之一，这本书是作者给牛津大学大三学生上课的讲义。非常精美的一本书。
• Algebraic Topology, A. Hatcher. 无需多言的经典，特别是对初学者。讲得很细致，但是有点过于啰嗦。不过如果你能耐下心来阅读，就会发现作者其实很苦口婆心地叫你怎么样去理解拓扑。下功夫看这本书可以得到很好的几何上的直觉。
• 我没学过微分几何，就不推荐相关了。。。你们不要嘲笑我。。。

好吧，再说一点表示论和李理论吧

• Linear Representations on Finite Groups, Serre. 又是 Serre的书。基础知识要求很少，任何一个大一学生都能看。
• Representation Theory: a First Course, Fulton & Harris. Richard. Borhcerds 推荐的表示论入门。里面有非常多的例子，炒鸡喜欢~
• Lectures on Lie Algebras, J.Bernstein. Bernstein大神的名字如雷贯耳。这份notes很短，但是从最最基础的李代数的定义一直讲到Verma module 以及 Weyl Character Formula。看完之后就可以直接进入 BGG Category O 的学习了。
• Representations of Semisimple Lie Algebras in BGG Category O, Humphreys. 其实作者还有一本Linear Algebraic Groups 也是经典。
• D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory, Ryoshi Hotta & etc. 第一部分是D-module 的理论介绍，还有perverse sheaves 的介绍。不过当时是大二，不懂同调，所以很多东西没好好看。。。第二部分讲geometric aspects of representation theory.非常好的入门，但是有日本数学家写书的通病，有的地方太过technical，整体上的想法反而不够突出。。。但无论如何是一本好书。

所以真正重要的是，挑一两本是很自己的书，把它们读懂，读透彻，最忌讳每本书都看一点，哪本书也没学通。