【抽象代数】1. 群的定义与基本性质
前言
- 群是代数学中最基本的代数结构，群论也是抽象代数中最基础的一部分。群是某个群及其在该群上规定的某种二元运算的集合，并且该集合满足一定的条件。集合中的元素可以是数，也可以是集合，在群论中都可以抽象为互异的元素。
- 如果需要应对抽象代数的考试，请适当多做一些习题。如果不是，请适当多看一些习题。
- 本章主要包括群的定义、基本性质、群的阶与元素的阶、循环群等基本概念。有关子群、陪集、Lagrange定理、群同态与群同构、群同态基本定理等内容放在下一篇文章中。在本科低年级的抽象代数课程中，群论通常占教学内容的一半。
- 有的学生都提到说苏式教材里直接给出定义的方式不直观，不符合感性思维，不如以某种应用背景来引入。首先直接给出定义的方式并不只出现在苏式教材中，其次很多时候定义反而是感性的。有了第一感觉以后，我们可以再来解释定义中那些令人迷惑之处。当然，每个人的理解方式有所不同，适合自己的才是最好的。
- 千万不要看到一个命题成立，就想当然地认为其逆命题也成立；如果不能证明其逆命题也找不出反例，最好的办法是查阅资料。
1.1 群的定义
群有几种不同的等价定义，这里先给出其中广泛采用的一种。
群的定义
如果一个非空集合 G 上定义了一个二元运算 \cdot ，满足如下性质：
（1）封闭性，即对于 \forall a,b \in G ，有 a\cdot b\in G ;
（2）结合律，即对于 \forall a,b,c \in G ，有 (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) ；
（3）存在 e\in G ，使得 \forall a \in G ，有 e\cdot a = a\cdot e = a ；
（4）对于 \forall a \in G ，存在 b\in G ，使得 a \cdot b = b \cdot a = e ，
则称 G 关于运算 \cdot 构成一个群（group），记为 (G,\cdot ) ，或简记为 G 。
上述定义中，第（3）条中的元素 e 称为单位元（identity），第（4）条中的 b 称为 a 的逆元（inverse），通常也记作 a^{-1} 。成立（1）的集合 G 称为原群（magma）；成立（1）（2）的集合 G 称为半群（semigroup）；成立（1）（2）（3）的集合 G 称为幺半群（monoid）。例如，在 \mathbb{R}^3 上的向量积由于不满足结合律，无法构成半群。全体正整数对于整数加法构成半群，全体自然数对于整数加法构成幺半群，全体整数对于整数加法构成群。
与上述定义等价的一种定义可以称为群的单边定义，即
群的单边定义
如果一个非空集合 G 上定义了一个二元运算 \cdot ，满足如下性质：
（1）封闭性，即对于 \forall a,b \in G ，有 a\cdot b\in G ;
（2）结合律，即对于 \forall a,b,c \in G ，有 (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) ；
（3'）存在 e\in G ，使得 \forall a \in G ，有 e\cdot a = a ；
（4'）对于 \forall a \in G ，存在 b\in G ，使得 b \cdot a = e ，
则称 G 关于运算 \cdot 构成一个群，记为 (G,\cdot ) ，或简记为 G 。
上述定义中，第（3'）条中的元素 e 称为左单位元，第（4'）条中的 b 称为 a 的左逆元。群的单边定义与定义的等价性通常作为教科书的习题，证明非常简单。同样地，有右单位元和右逆元的半群也是群。
思考：有左单位元和右逆元的半群是群吗？即在半群 G 中，
（3'）存在 e\in G ，使得 \forall a \in G ，有 e\cdot a = a ；
（4''）对于 \forall a \in G ，存在 b\in G ，使得 a \cdot b = e ，
上述思考中，对于“右逆元”的定义可能会产生歧义，这里明确第（4''）条中的 e 指的是第（3'）条中的左单位元，否则没有讨论的价值。答案是，这样的半群并不能构成群，而是一个称之为floop的结构（有时也称left-right system）。例：规定集合中所有元素的运算规则为 a\cdot b = b ，则可以证明该运算封闭、满足结合律，且集合中存在左单位元和右逆元，但并不存在右单位元。
当然了，构建群的方式也未必要按照上述“满足结合律、含有单位元、含有逆元”的顺序。反过来，对于一个只满足乘法封闭性的原群 M ，如果满足可除性（即乘法遵循幻方原则/Latin square property，也即对于 a,b\in M ，方程 x\cdot a=b 与 a\cdot y=b 在 M 中都有唯一解，所谓的幻方规则指的是运算表为一个幻方），则这个原群是一个拟群（quasigroup）。如果一个拟群 Q 含有单位元，则这个拟群是一个圈（loop）。而如果一个圈 L 的乘法满足结合律，则这个圈成为一个群。既然拟群具有可除性，那么作为二元运算的乘法也有对应的两个逆运算，即左除和右除，所以有时也会把拟群看作是具有三个二元运算的代数结构。
这里再给出一种群的等价定义，其等价性也很容易证明。
群的等价定义
如果一个非空集合 G 上定义了一个二元运算 \cdot ，满足如下性质：
（1）封闭性，即对于 \forall a,b \in G ，有 a\cdot b\in G ;
（2）结合律，即对于 \forall a,b,c \in G ，有 (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) ；
（5）对于 \forall a,b \in G ，方程 x\cdot a=b 与 a\cdot y=b 在 G 中都有解，
则称 G 关于运算 \cdot 构成一个群，记为 (G,\cdot ) ，或简记为 G 。
群是一个带有某种运算的集合。这个运算如何表示并不重要，可以是加法和乘法，也可以是其他的运算。在群论中通常将运算符号省略不写，并不失一般性地称群中的运算为乘法。乘法群中的单位元通常写作1或 e ；加法群中的单位元通常写作0，逆元通常写作 -a .
群的分类方式有很多，最常见的是根据群中元素的个数分为有限群和无限群。另外，还有一种重要的群称为交换群，定义如下：
交换群的定义
如果一个群 G 中的任意两个元素 a,b 都满足 ab=ba ，则该群称为交换群（commutative group）或Abel群（abelian group）。
“交换群”的字面意思就是元素在运算之下可以交换而结果不变，而对于“Abel群”一词的来历，是因为Abel证明了如果一个多项式 f(x) 的Galois群是可交换的，那么多项式就是根式可解的，因此后人就把交换群称为Abel群。另外要注意Abel群是abelian group（或Abelian group）而不是Abel group，这里abelian表示“Abel的”，如Artin环之于Artinian ring一样。
1.2 几类重要的群
下面介绍一些重要的群。
整数加群
整数集 \mathbb{Z} 对于整数的加法构成整数加群 (\mathbb{Z}, +) ，其单位元为0，逆元为一个数的相反数。全体有理数 \mathbb{Q} 或者全体实数 \mathbb{R} 或者全体复数 \mathbb{C} 对于加法也构成群。
但整数集对于整数的乘法不构成群，因为并不是所有的整数在乘法意义下都有逆元。
非零实数乘法群
非零实数集 \mathbb{R}^\times=\mathbb{R}\backslash\{0\} 对于实数的乘法构成乘法群，其单位元为1，逆元为一个数的倒数。全体非零有理数 \mathbb{Q}^\times 或者全体非零复数 \mathbb{C}^\times 对于乘法也构成群。
对于复数的乘法，可以用模长不变的性质构造单位圆群：
复平面上的单位圆群
复平面 \mathbb{C} 上的单位圆 S^1=\{\left| z \right|=1\ |\ z\in\mathbb{C}\} 对于复数的乘法构成单位圆群（unit circle group），元素 z 的逆元就是它的共轭复数 \tilde{z} 。
在单位圆群上取n次单位根也可以构成n次单位根群。所谓n次单位根，就是复数域下方程 z^n=1 的全部根。
设 \mathbb{F} 是一个数域，则所有n阶方阵构成的集合 \mathbb{M}_n(\mathbb{F})=\mathbb{F}^{n\times n} 对于矩阵加法构成群，其单位元为零矩阵（这里 \mathbb{M}_n 是 \mathsf{Mat}_{n\times n} 的简写，表示n×n的矩阵）；对于矩阵乘法构成幺半群，其单位元为单位矩阵。下面是几个重要的矩阵群。
一般线性群（general linear group）
数域 \mathbb{F} 上n阶可逆矩阵的集合 GL_n(\mathbb{F}) 对于矩阵乘法构成一般线性群，其单位元为单位矩阵，逆元为一个矩阵的逆矩阵。
特殊线性群（special linear group）
数域 \mathbb{F} 上行列式为1的n阶可逆矩阵的集合 SL_n(\mathbb{F}) 对于矩阵乘法构成特殊线性群，其单位元为单位矩阵，逆元为一个矩阵的逆矩阵。
正交群（orthogonal group）
所有n阶正交矩阵的集合 O_n 对于矩阵乘法构成正交群。所有行列式为1的n阶正交矩阵的集合 SO_n 对于矩阵乘法构成特殊正交群。
酉群（unitary group）
所有n阶酉矩阵的集合 U_n 对于矩阵乘法构成酉群。所有行列式为1的n阶酉矩阵的集合 SU_n 对于矩阵乘法构成特殊酉群。
辛群（symplectic group）
数域 \mathbb{F} 上所有2n阶辛矩阵的集合 Sp_{2n}( \mathbb{F}) 对于矩阵乘法构成辛群。
如果读者学过高等代数就会知道，{\mathbb F} 上的 n 维线性空间 V 的线性变换 \operatorname{End} V 与 \mathbb{M}_n(\mathbb F)有一个自然的一一对应，因此上述矩阵群都可以直接扩展到线性空间中。另外，n阶可逆上三角矩阵的集合是一个群，n阶可逆对角矩阵的集合也是一个群。
对称群、变换群、置换群
设 M 是一个非空集合， S(M) 是 M 的所有一一变换构成的集合。规定该集合上面的二元运算为变换的合成，即 \forall m\in M 和 f,g \in S(M) ，定义 (gf)(m)=g(f(m)) ，可以验证在这样的定义下， S(M) 构成一个群。群的单位元是 M 上的恒等变换 1_M ，逆元是变换的逆变换。 S(M) 称为 M 的对称群（symmetric group）。将 S(M) 的子群统称为变换群（transformation group）。
若 \Omega=\{1,2,\cdots,n\} 中有n个元素，则 S(\Omega) 称为n次对称群，记作 S_n 。其中有 n! 个元素，其元素称为置换，其子群统称为置换群（permutation group）。
上述定义中提到的子群的概念，可以理解为保持运算的子集合，在后文中再给出明确定义。n次对称群是非常重要的概念，在下文中我们会提到，任何一个群都与一个n次对称群的子群同构。可以把n次对称群表示为 S_n=\{\sigma=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{array} \right)|(i_1,i_2,\cdots,i_n)是1到n的一个排列\} \\
其中 \sigma 表示一个置换，是 n 元有限集 T=\{1,2,\cdots,n\} 上的一个双射变换，使得 1\mapsto i_1, \cdots, n\mapsto i_n ，这是置换的一种表示方法。有关置换群和交错群的内容在后文中还会讨论，这里先介绍一些基本的概念。
轮换和对换
设置换 \sigma \in S_n ， i_1,i_2,\cdots,i_t \in \{1,2,\cdots,n\} ，如果 \sigma(i_1)=i_2 ， \sigma(i_2)=i_3 ， \cdots ， \sigma(i_{t-1})=i_t ， \sigma(i_t)=i_1 ，且 i_1,i_2,\cdots,i_t 之外的元素在 \sigma 下都保持不变，则称 \sigma 是 i_1,i_2,\cdots,i_t 的轮换（cycle），记作 (i_1\, i_2\, \cdots\, i_t) ，也称t-轮换，t是轮换的长度。长度为2的轮换称为对换（transposition），即两个元素交换。长度为1的轮换是恒等变换，可以记作 (1) 。
轮换和对换的定义非常生动形象。例如， \sigma=\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 5 & 2 \end{array} \right) 是一个3-轮换，可以记作 \sigma=(2\, 4\, 5) ，而 \tau = \left( \begin{array} {ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3& 2 & 1 & 4 &5 \end{array} \right) 是一个对换，可以记作 \tau=(1\ 3) 。如果两个轮换 (i_1\, i_2\, \cdots\, i_t) 与 (j_1\ j_2\ \cdots\ j_s) 中没有相同的数字，即 i_k\neq j_l,\forall k,\forall l ，则称两个轮换是不相交（disjoint）的。要记得， S_n 中的元素是置换，元素的乘法是置换的复合。
这里强调一下置换乘法计算的顺序。如果把置换看成一种左作用，那么置换的对象在右边，距离对象最近的优先计算，从而是从右至左的，本专栏采用这样的方式计算。反之，如果置换作为一种右作用，对象在左边，置换则是从左至右的。不同的教材会采用不同的计算方式，虽然不同的方式不影响置换群本身的性质，但对计算影响较大，例如：
如果采用从右至左，则 (1\, 2)(1\, 3)=(1\, 3\, 2) ；而如果是从左至右，则 (1\, 2)(1\, 3)=(1\, 2\, 3) ，读者需要注意自己的教材采用的是哪一种计算方式。
下面有几个重要的结论：
置换与轮换的性质
（1）如果 \sigma 和 \tau 是 S_n 中的两个不相交的轮换，则 \sigma\tau=\tau\sigma
（2）除恒等置换外， S_n 中的任何一个置换都可以（不计顺序的意义下）唯一地分解为不相交的轮换的乘积。
（3）任何一个轮换都可以分解为若干个对换的乘积。从而任何一个置换都可以分解为若干个对换的乘积。
（4）任一给定的置换分解为对换的乘积时，无论何种分解方式，得到的对换个数奇偶性不变。
如果一个置换等于偶数个对换的乘积，则称之为偶置换；否则称为奇置换。 S_n 中所有偶置换构成的集合，按照置换的复合运算构成一个群，称为n次交错群（alternating group），记作 A_n ，则有 |A_n|=\frac{n!}{2} 。
以 S_3 为例，集合 \{1,2,3\} 中的置换有6种情况，读者可以自行列出这6种置换。显然这6种置换都是轮换，因此可以得到 S_3=\{(1),(1\, 2),(1\, 3),(2\, 3),(1\, 2\, 3),(1\, 3\, 2)\} 。请注意， (1\, 2\, 3) 和 (2\,3\,1) 还有 (3\, 1\, 2) 表示的是同一个置换。
请读者自行验证，3次对称群 S_3 是非交换群。事实上，S_3 是最小的非交换群。
模n剩余类加群
设n是一个确定的正整数，对于任意整数 i ，可以定义一个整数集的子集为 [i] :=\{i+kn|k\in \mathbb{Z}\} ，该集合称为（ i 所在的）模n剩余类（residue class）。用 \mathbb{Z}_n 表示所有的模n剩余类的集合，则根据整数理论和带余除法，有 \mathbb{Z}_n=\{[0],[1],\cdots,[n-1]\} ，并定义该集合上的加法为 [a] + [b]=[a+b] ，则可以验证，该集合与如上定义的加法构成群，称为模n剩余类加群。
上述定义中有两点未指明。第一，为什么 \mathbb{Z}_n 中只有n个元素？事实上，任何一个整数除以n得到的余数只有n种可能，即0到n-1中的某个整数。设这个余数为a，那么所有模n余a的整数都在[a]这个集合内，我们实际上是将整数分成了n类。第二，上述定义的加法应当是良定义（well-defined）的，即这样的定义是有意义且无二义性的。即需要验证 [a]=[a'],[b]=[b'] 时，一定有 [a+b]=[a'+b'] ，验证过程较为简单。
图形的对称群
设 T 是 n 维Euclidean空间的一个子集，即图形。将 T 映射成自身的正交变换的全体关于变换的复合构成一个群，称为图形 T 的对称群，记作 \operatorname{Sym}(T) 。
二面体群
在实平面上，保持正 n(n\geq 3) 边形的全体正交变换的集合 D_{n} 按照变换的复合构成一个群，称为二面体群（dihedral group），包含 2n 个元素，分别是 n 个旋转变换和 n 个反射变换。
本节的最后介绍一种有限群的表示法，即运算表。既然有限群只有有限个元素，我们完全可以按照运算规则将所有的运算结果列在一张表里。例如，假设一个群 G_3=\{e,a,b\} ，其运算表可以写成如下形式：
\begin{array} {c|ccc} \cdot &e & a & b\\ \hline e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b& e &a \end{array}\\ 用同样的方法，也可以写出含有两个和四个元素的群的运算表。不要忘记，任何一个群都有单位元。运算表对于直观理解有限群非常有帮助，而且很容易得到运算表沿对角线对称当且仅当该群是Abel群。
运算表可能不是唯一的。事实上，含有3个元素的群只能写成上述的运算表，或者说，含3个元素的群的运算规则是唯一的。下面的运算表代表的群本质上与上面的 G_3 并没有区别。
\begin{array}{c|ccc} \cdot &X & Y & Z\\ \hline X & X & Y & Z \\ Y & Y &Z & X \\ Z &Z& X &Y\end{array}\\ 不失一般性，含有n个元素的群（n阶有限群）都可以表示为 T=\{1,2,\cdots,n\} .
1.3 群的基本性质
设 G 是一个群，则
（1） G 的单位元唯一
（2） G 的逆元唯一
（3） \forall a,b\in G ，有 (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}
（4） \forall a \in G ，有 (a^{-1})^{-1}=a
（5） \forall a,b,c\in G ，若 ab=ac 则 b=c
（6） \forall a,b,c\in G ，若 ba=ca 则 b=c
上述性质的证明都非常简单，其中最后两条分别称为左消去律和右消去律，这是群的运算中的重要性质。消去律也可以表述为，用同一个元素左乘（或右乘）互异元素，得到的结果也是互异的。消去律在运算表中的体现为除表头外，运算表的每行、每列元素都不重复。
有限半群成为群的充要条件
设 G 是有限半群，则 G 是群当且仅当其满足左消去律与右消去律。
证明较为简单，取 a\in G ，可以证明子集 Ga:=\{ga|g\in G\} 中的元素个数与 G 相等，然后找到单位元与逆元即可。
设 G 是一个群，对于 \forall a,b \in G ，方程 x\cdot a=b 与 a\cdot y=b 在 G 中都有解。
注意到，这是群的第二定义中的最后一条。该性质可以简单地由群的定义证明。
元素的幂（power）
设 G 是一个群， a \in G,n\in \mathbb{N}_+，则定义 a^n=aa\cdots a 为 n 个 a 的连续二元运算。规定 a^{-n}=(a^{-1})^n ， a^0=e 。
这里要注意，“ n 个 a 的连续二元运算”是不严谨的。实际上，幂的定义方式是以 a^n=a^{n-1}a 进行递归定义。为了便于读者理解，连续二元运算即为连乘或连加之意。在连加时元素的幂通常写作 na ，但切记它此时的含义是n个a相加而非n与a相乘。
元素的幂运算性质
对于群中的元素 a,b 和整数 m,n
（1） a^{m+n}=a^ma^n
（2） a^{mn}=(a^m)^n
（3）如果 ab=ba ，则 (ab)^n=a^nb^n .
考虑以下事实。固定群中的某个元素 a\in G ，以下映射均为双射：
\forall x \in G,\quad x\rightarrow x^{-1},\quad x\rightarrow ax,\quad x\rightarrow xa, \quad x\rightarrow a^{-1}xa \\
后面三个映射分别称为左作用、右作用和共轭作用。
1.4 群的阶与元素的阶
群的阶
设 G 是一个群， G 中元素的个数称为 G 的阶（order），记作 |G| 。有限群的阶为正整数，无限群的阶为无穷大。
因此，n元有限群通常称为n阶群。
元素的阶
设 G 是一个群， a\in G ， a 的阶（order）为使得 a^n=e 成立的最小正整数。若这样的数不存在，则称 a 的阶为无穷大。通常 a 的阶记为 o(a)，有时也写作 |a| .
群的阶的含义是直观的，但元素的阶的概念并不十分直观。从本质上说，元素的阶就是元素生成的子群的阶（下一篇），即 o(a)=|\left<a\right>| 。在循环群中将对元素的阶有更深的体会。下面给出一些阶的性质。
阶的性质
设 G 是群， a\in G ，则
（1）若 G 是有限群，则 o(a)<\infty ，且 a 的阶能整除 G 的阶，即 o(a)| \ |G|
（2）若 a^t=e ，则 o(a)|\ t
（3）若 o(a)<\infty ，则 o(a^t)=\frac{o(a)}{(t,o(a))}
（4）若 o(a)=m<\infty ， o(b)=n<\infty ， ab=ba ，且 (m,n)=1 ，则 o(ab)=mn
（5）若 o(a)=n<\infty ，则 a^i=a^j 当且仅当 i\equiv j(\operatorname{mod}n)
（6）若 o(a)=\infty，则 a^i=a^j 当且仅当 i=j
（7） o(a)=o(a^{-1})
（8）对于 \forall a,b\in G ，有 o(ab)=o(ba)
其中， (m,n) 指的是两数的最大公约数， [m,n] 指的是两数的最小公倍数。性质（1）表明，有限群的元素的阶都有限；且在阶有限时，元素的阶整除群的阶。其证明方法有多种，最简单的一种是利用 a 的循环子群和Lagrange定理证明。该性质表明了元素的阶与群的阶之间的关系，例如由此我们可知10阶群中没有6阶元素。（2）可以用带余除法证明，并推出（3）而（4）的证明需要计算出 (ab)^{mn}=e, a^{no(ab)}=e,b^{mo(ab)}=e ，即可得证。（5）（6）的证明考虑 a^{i-j} 即可。（7）和（8）虽然简单但极其重要。
群的方次数
群 G 中所有元素的阶的最小公倍数称为群的方次数（exponent），记作 \operatorname{exp}(G) 。若不存在，则称方次数为 \infty 。
1.5 循环群
循环群是一类结构简单，运算规则明确的特殊群，其定义如下：
循环群（cyclic group）
若一个群 G 中存在一个元素 a 使得对于 \forall g\in G ，都存在 n\in\mathbb{Z} 使得 g=a^n ，则 G 称为由 a 生成的循环群，记作 G=\left<a \right> 。元素 a 称为该群的生成元（generator）。
直观地来看，如果循环群中生成元 a 的阶是有限的，反复乘上自身 a,a^2,a^3,\cdots 最终就能得到单位元 a^k=e ，从而 k 也是循环群的阶。例如 \{i,-1,-i,1\} 这样的4阶循环群，其中 i^2=-1, i^3=-i,i^4=1 。
如果循环群中生成元 a 的阶是无限的，即不存在正整数 k 使得 a^k=e ，说明序列 a,a^2,a^3,\cdots 中的元素都是互不相同的，否则如果 a^m=a^n, m>n 则 a^{m-n}=e 。同理序列 a^{-1},a^{-2},a^{-3},\cdots 中的元素也是互不相同的，也不存在正整数 m,n 使得 a^m=a^{-n} ，否则 a^{m+n}=e 。
因此有：
循环群的结构
如果生成元的阶为无穷，则循环群可以表示为 \left<a\right>=\{a^n|n\in\mathbb{Z}\}
如果生成元的阶为 m ，则循环群可以表示为 \left<a\right>=\{e,a,a^2,\cdots,a^{m-1}\}
下面给出几个循环群的例子。
整数加群 (\mathbb{Z},+)=\left<1\right> 是无限循环群。
模 n 剩余类加群 (\mathbb{Z}_n,+)=\left<[1]\right> 是 n 阶循环群。
n 次单位根群：设群 G=\{\omega\in\mathbb{C} | \omega^n=1\} 称为n次单位根群。该群中共有n个元素（复数）。容易验证，该群为循环群。
所谓n次单位根，就是指方程 z^n=1 在复数域上的全部根，其中 n 是正整数。根据De Moivre's定理，显然这 n 个根可以表示为 z_k=\cos\frac{2k\pi }{n} + i\sin\frac{2k\pi }{n}=e^{i\frac{2k\pi}{n}} ，其中 1\leq k\leq n 。容易验证，这 n 个根关于复数乘法可以构成 n 阶循环群，例如 \{i,-1,-i,1\} 就是 n=4 的情况。
有关循环群的结构定理，将在下一部分同态与同构后进行叙述。最后，给出循环群的重要性质。
循环群的性质
循环群都是交换群。
因为循环群中任何一个元素都可以表示成 a^m 的形式，而 a^m 与 a^n 又是可交换的，因此循环群是交换群。
定理
若一个群 G 是有限Abel群，则它是循环群当且仅当 \operatorname{exp}(G) = |G| .
后记：
有些人疑惑于为什么通常会把置换群放在群论中如此靠前和重要的位置，这实际上是因为群论本身起源于对置换群与对称的研究。
