群（数学概念）_百度百科
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群

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数学概念
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在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。
中文名
群
外文名
group
含    义
数学概念
例    子
置换群，循环群，一般线性群等
相关定义
阿贝尔群、同态、共轭类等
性    质
封闭性、结合律、单位元和逆元

目录

  1. 1定义
  2. 2性质
  3. 3简单例子
  1. ▪置换群
  2. ▪一般线性群
  3. 4相关定义
  4. ▪半群
  1. ▪阿贝尔群
  2. ▪同态
  3. ▪共轭类

定义

播报
编辑
若集合
，在
上的二元运算（该运算称为群的乘法，注意它未必是通常意义下数的乘法，其结果称为积）
构成的代数结构
，满足：
1. 封闭性：即G的任意两个元素在
下的运算结果都是该集合的一个元素。（
，
）；
2. 结合律：
，有
；
3.单位元（幺元）：
中存在元素
，使G中任意元素
与之相乘（包括左乘和右乘）的结果都等于
本身。（
，使
，有
）；
4. 逆元：
，
，使得
，
称为
的逆元，记为
，
则
称为一个群，或乘法群，简记作
。
在无歧义时，可将 a·b写成 ab。
有时由于上下文的原因，群上的二元运算亦可称为加法（同样未必是通常意义下数的加法），此时该运算通常记为
，群元素的运算也被记为如同
的形式，而群也可被称为加法群。

性质

播报
编辑
设
是一个群，则
  1. 1.
    单位元是唯一的：设
    和
    都是
    的单位元，则根据定义中的3，有
    .
  2. 2.
    任意一个元素的逆元是唯一的：设
    和
    都是
    的逆元，根据定义中的2，3和4，
    .
  3. 3.
    对任意
    ,
    ，方程
    和
    （其中
    ,
    是未知数）在
    中都有解，此时
  4. 4.
    满足消去律（左消去和右消去），即
    ，若
    ，则
    ；若
    ，则
  5. 5.
    任意一个元素的逆元的逆元是其本身，即
  6. 6.
    对任意
    ，
性质3,4,5,6的证明如下：
（3）根据定义4，
使得
。由于
和
均为
中元素并且
关于乘法封闭，所以
也在
中。令
，则
，因此方程在
中有解
。
同理可证另一个方程在
中有解
。
（4）若
，则两边左乘
，根据结合律即可得
，同理可证右消去律。
（5）设
是
的逆元，则
。根据消去律可知
。
（6）由封闭性易证
。由于
，所以
是
的逆元。根据逆元的唯一性可知结论成立。
注意：性质4的消去律虽然是由逆元
的存在性以及单位元e的存在性证明的，但是不能将定义中的3：单位元的存在性和4：逆元的存在性替换为消去律。例如考虑正整数集以及通常意义下的乘法，在乘法下正整数集满足封闭性、乘法结合律和消去律，但显然无法构成一个群，因为除了单位元“1”以外所有元素都不存在逆元。
但是，如果将集合限定为有限集，则只要它满足封闭性、结合律和消去律，它就是一个群。

简单例子

播报
编辑
例1
在普通乘法下是群。 [1]
证：
（1）封闭性：1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1
（2）结合律：成立
（3）单位元：1
（4）逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1
例2
在
的加法下是群. [1]
证：
（1）封闭性：除以n的余数只能是
，故封闭性成立
（2）结合律：成立
（3）单位元：0
（4）逆元素：对任意元素a有
，a的逆元

置换群

定义
为集合
上所有双射的集合，并定义合成映射
，这里
是
的任意元素。
构成一个群，这个群被称为置换群，记为
或
。
例集合
的三个元素置换群组成
.

一般线性群

定义
为所有n阶实可逆方阵的集合，乘法
为矩阵乘法，则
构成一个群。
这个群称为一般线性群，记为
。

相关定义

播报
编辑

半群

若一个非空集合G只满足群的定义中的（1）和（2），即满足封闭性和结合律，称这样的代数结构
为半群。

阿贝尔群

若一个群
满足交换律：对
的任意两个元素
，总有
，则称群
为阿贝尔群，也称为交换群。
例如，群
就是一个阿贝尔群；群
和
亦然。

同态

若对于两个群
和
，有映射
满足以下条件：
对G中任意元素a,b，都有
；
则称映射
为群
到群
的同态。
如果映射
为单射，则称
为单同态。
如果映射
为双射，则称
为同构。
易证得，同态有如下性质：
其中
是
的单位元，
是
的单位元。
经典的同态有
是阿贝尔群
到阿贝尔群
的同态。
经典的同构有：
(1)
是正实数乘法群到实数加法群的同构。
(2)
其中 ，
是
的原根。
映射
是
到
的同构。

共轭类

一般可以把
中任意一个置换p分解为若干不相交的循环乘积。
P=(
…
)(
…
)….(
…
)
其中
，设k阶循环出现的次数为
,用
表示，则
中置换的格式为
...
。
例：(1)(23)(4 5 6 7)的格式是
。
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