断裂力学中的三种裂纹类型，分别在什么情况下容易产生？

一、断裂力学的任务

1．研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，寻找控制材料开裂的物理参量；

2．研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标的变化规律，确定其数值及测定方法；

3．建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则；

4．含裂纹的各种几何构形在不同载荷作用下，控制材料开裂物理参量的计算。

将上述3和4结合解决下述问题：

1) 给定结构型式、裂纹，计算含裂纹体承载能力；

2) 给定结构型式、载荷，计算允许裂纹长度—损伤容限；

3) 给定结构损伤容限和载荷，设计结构几何尺寸；

4) 计算重复载荷作用下裂纹扩展至容许长度的寿命；

5) 为结构选择材料；

6) 裂纹的止裂与结构的修补。

从弹性力学方程或弹塑性力学方程出发，把裂纹作为一种边界条件，考虑裂纹尖端的应力、应变和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量之间的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。

二、线弹性断裂力学

2.1 裂纹分类及其对强度的影响

1、按裂纹的几何特征

（1）穿透裂纹（贯穿裂纹）——简化为理想尖裂纹；

（2）表面裂纹——简化为半椭圆形裂纹；

（3）深埋裂纹——简化为椭圆片状裂纹或圆形裂纹（钱币状裂纹）。

2、按裂纹的力学特征

1）张开型（Ⅰ型，Opening mode）裂纹

在与裂纹面正交的拉应力作用下，裂纹面产生的张开位移（位移与裂纹面正交），上下面位移相反；

2）滑移型（Ⅱ型，Sliding Mode）裂纹

在与裂纹面平行而与裂纹尖端线垂直的切应力作用下，使裂纹面产生相对滑移（位移平行切应力方向）；

3）撕开型（Ⅲ型，Anti-plane Shear Mode)裂纹

在与裂纹面垂直而与裂纹尖端线平行的切应力作用下，使裂纹面产生沿裂纹面外相对滑移（位移平行切应力方向）。

注：多数裂纹为复合型裂纹，Ⅰ型裂纹最常见、最危险、最重要。

3、裂纹对材料强度的影响

含椭圆切口无限大平板承受均匀拉应力最大应力发生在椭圆长轴端点处。（C.E.Inglis，1913年）

(\sigma_y )_{max}=\sigma(1+ 2\frac{a}{b}) ，

式中，a为椭圆半长轴，b为椭圆半短轴；

当b\rightarrow\infty 时，出现应力集中，有

(\sigma_y )_{max}\rightarrow\infty

似乎材料的强度降低。

2.2 断裂力学的能量方法

1、能量释放率

20世纪20年代，英国科学家Griffith首先应用能量原理的方法对玻璃、陶瓷等脆性材料进行了断裂分析，建立了脆裂应力、裂纹尺寸及材料性质之间的关系，奠定了断裂力学的理论基础。

Griffith裂口断裂理论

（1）脆性材料中存在微裂纹，微裂纹尖端的应力集中大大降低材料的断裂强度；

（2）对于一定尺寸的裂纹 a ，存在一定的临界应力 \delta_c ，当外加应力大于 \delta_c 时，裂纹扩展导致断裂；

（3）裂纹扩展的条件是扩展所需的表面自由能由系统所释放的弹性应变能提供。

Griffith能量释放观点

裂纹能量释放率：裂纹由某一端点向前扩展单位长度、单位厚度平板所释放出来的能量，用G表示，单位为MN/m。

表面自由能（ \gamma_s ）：材料抵抗裂纹扩展的能力，材料每形成单位裂纹面积所需的能量，量纲与能量释放率相同。

根据能量守恒，裂纹发生扩展的必要条件是裂端区释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量。

GB\Delta a=\gamma_s2B\Delta a （单边裂纹）

G=2\gamma_s

可得到Griffith判据：

G\ge2\gamma_s ，发生断裂；

G\lt2\gamma_s ，不发生断裂；

2、应变能

对于带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下若裂纹维持静止，则弹性体储存的总应变能U要比在没有裂纹时所储存的总应变能U0大，两者之差U1（U1=U-U0）可认为是裂纹存在附加的应变能。

假设裂纹发生准静态扩展，裂纹所释放的能量由总应变能的一部分转化而来。因此，比较裂纹扩展前后总应变能即可得到能量释放率。

对于单边裂纹有：

G=\lim_{\Delta a\to0}\frac{1}{B}\frac{U(a+\Delta a)-U(a)}{a+\Delta a-a}=\frac{1}{B}\frac{\partial U}{\partial a}

类似的，对于Griffith裂纹（中心对称裂纹）有：

G=\frac{1}{2B}\frac{\partial U}{\partial a} 或 G=\frac{1}{2B}\frac{\partial U_1}{\partial a}

要得到G，必须算出U或U1。

利用Inglis带有椭圆孔的无限大平板的解析解，得到因裂纹（2a）存在而附加的应变能U1：

U_1=\frac{\pi\sigma^2 a^2B}{E}

上式仅适用于很薄的平板（平面应力）；若是厚板（平面应变状态），应用 \frac{E}{1-\upsilon^2} 代替 E 。

Griffith裂纹能量释放率为： G=\frac{\pi\sigma^2 a}{E} ， G=\frac{1}{2B}\frac{\partial U_1}{\partial a}

由断裂判据得Griffith裂纹（双向扩展）断裂判据： \sigma^2a=\frac{2E\gamma_s}{\pi} ， G=2\gamma_s

在刚刚发生断裂时， \sigma^2a 也将为一材料常数，若 \sigma^2a<2E\gamma_s/\pi ，此时的裂纹长度和应力不足以产生断裂。此判据可求一定长度裂纹对应的临界应力及某一应力作用下的临界裂纹长度。

注意：此处的判据仅适用于脆性材料，发生断裂的应力水平远低于材料的屈服应力。

3、能量平衡理论及断裂判据

在Griffith能量释放理论的基础上，Irwin和Orowan从热力学观点重新考虑断裂问题，提出了能量平衡理论。

热力学能量守恒定律： W+Q=U+T+D

式中， W 为外力做功，Q 为外界供给物体的热量，若为绝热过程， Q=0 ；若裂纹处于准静态， T=0 ；所有不可恢复的消耗能（ D ）都用来制造裂纹新面积，则：

D=A_t\gamma_p=2Ba\gamma_p(单边裂纹）；4Ba\gamma_p(中心裂纹）

式中， A_t 为新形成裂纹的总面积。 \gamma_p 为表面能，形成单位裂纹面积所需的能量。

若没有塑性变形， \gamma_p=\gamma_s ；若有塑性变形， \gamma_p>\gamma_s ，塑性好的材料 \gamma_p\approx\gamma_s\ast10^{2-3}

能量守恒定律可得（绝热 Q=0 、准静态： T=0 ）：

W-U=D=A_t\gamma_p

因此可得发生断裂的临界条件： \frac{d(W-U)}{dA_t}-\gamma_p=0

由于 d(W-U) 是系统由于裂纹长度改变引起能量的变化量，在考虑动能 （T=0) 和塑性变形的情况下，此量在裂端释放使裂纹扩展。由能量释放率定义可知：

G=\frac{d(W-U)}{d\frac{A_t}{2}}=\begin{cases}\frac{1}{B}\frac{d(W-U)}{da},单边裂纹\\\frac{1}{2B}\frac{d(W-U)}{da},中心裂纹\end{cases}

断裂判据成为：

G=2\gamma_p

对于脆性断裂材料，断裂发生前裂端区塑性变形所消耗的能量可以忽略（ \gamma_p=\gamma_s )。

\frac{dG}{da}>0 ，失稳扩展；

\frac{dG}{da}<0 ，可以止裂

虽然有了G的一般表达式，也表明了它的物理意义，但实际工程中难以计算G 。为利用相应的断裂判据，需要求出可以满足工程应用的G的表达式，解决断裂判据使用问题。简单介绍I型裂纹在恒位移和恒载荷下G1的获取。

（1）恒位移条件下得到G1

恒位移条件下无外力做功， W=0 ,

G_1=\frac{\partial(W-U)}{\partial A}\overset{W=0}{\Rightarrow}-\frac{1}{2B}(\frac{\partial U}{\partial a})_\Delta

裂纹扩展所需要的能量是弹性变形能的减少。

线弹性情况下 U=\frac{1}{2}P\Delta, \Delta=CP

式中，C为弹性体的柔度，是裂纹的函数 C=C(a)

dU=\frac{1}{2}Pd\Delta+\frac{1}{2}\Delta dP=\frac{1}{2}PCdP

d\Delta=PdC+CdP=0\Rightarrow CdP=-PdC

\Rightarrow dU=-\frac{1}{2}P^2dC

代入 G_1 得：

G_1=-\frac{1}{2B}(\frac{\partial U}{\partial a})_\Delta=\frac{1}{4B}p^2\frac{\partial C}{\partial a}

（2）恒载条件

dP=0

G_1=\frac{1}{2B}(\frac{\partial(W-U)}{\partial a})_P (中心对称裂纹）

dU=\frac{1}{2} Pd\Delta=\frac{1}{2}P(PdC+CdP)=\frac{1}{2}P^2dC

dW=Pd\Delta=P^2dC=2dU

代入能量释放率表达式：

G=\frac{d(W-U)}{d\frac{A_t}{2}}=\begin{cases}\frac{1}{B}\frac{d(W-U)}{da}=\frac{P^2}{2B}\frac{\partial C}{\partial a} ,单边裂纹\\\frac{1}{2B}\frac{d(W-U)}{da}=\frac{P^2}{4B}\frac{\partial C}{\partial a},中心裂纹\end{cases}

恒载条件下裂纹扩展所需的能量由外力功提供：一半用于裂纹扩展，一半用于增加构件的变形能。

可见，无论是恒位移还是恒载荷， G 具有相同的形式。

4、应力强度因子

(1)Ⅰ型裂纹

要使裂纹扩展，必须 \delta>0 ，即只有拉应力才能引起裂纹的张开型扩展。

讨论含有长为 2a 的穿透裂纹的无限大平板，两端承受垂直于裂纹面的拉应力 \delta 作用的情况。

在距离裂尖r，与x轴夹角为 \theta 处取一尺寸为 dx, dy 的微面元；

根据受力平衡，可得裂纹尖端附近任一点 (r,\theta) 处的正应力 \sigma_{xx}、\sigma_{yy} 和剪应力 \tau_{xy} 。

裂纹尖端附近 (r,\theta) 应力场：

\sigma_{xx}=\sigma\sqrt\frac{a}{2r}cos\frac{\theta}{2}[1-sin\frac{\theta}{2}sin\frac{3\theta}{2}]

\sigma_{yy}=\sigma\sqrt\frac{a}{2r}cos\frac{\theta}{2}[1+sin\frac{\theta}{2}sin\frac{3\theta}{2}]

\tau_{xy}=\sigma\sqrt\frac{a}{2r}sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}cos\frac{3\theta}{2}

所讨论的是平面问题，故有 \tau_{yz}=\tau_{zx}=0

对于平面应力状态，还有 \sigma_{zz}=0

若为平面应变状态，则有 \sigma_{zz}=\upsilon(\sigma_{xx}+\sigma_{yy})

由应力场可知，当 r\rightarrow\infty,\sigma_{ij}\rightarrow0;

但显然当 \theta=0 时，在x轴远离裂纹处应有 \sigma_{yy}=\sigma ，且不受r的影响。

断裂力学关心的只是裂纹尖端附近的应力场；

\sigma_{xx}=\sigma\sqrt\frac{\pi a}{2\pi r}cos\frac{\theta}{2}[1-sin\frac{\theta}{2}sin\frac{3\theta}{2}]

\sigma_{yy}=\sigma\sqrt\frac{\pi a}{2\pi r}cos\frac{\theta}{2}[1+sin\frac{\theta}{2}sin\frac{3\theta}{2}]

\tau_{xy}=\sigma\sqrt\frac{\pi a}{2\pi r}sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}cos\frac{3\theta}{2}

应力可写为：

\sigma_{ij}=\frac{K_1}{\sqrt{2\pi r}}\phi_{ij}(\theta)

式中， K_1=\sigma\sqrt{\pi a} ，裂尖应力强度因子。

K 反映了裂尖应力场的强弱。下标1表示Ⅰ型。

可见： \sigma 越大， K 越大；

裂纹尺寸 a 越大， K 越大；

K 的量纲为 [应力][长度]^\frac{1}{2} ，常用 MPa\sqrt{m} 。

（2）Ⅱ型裂纹

\sigma_{xx}=\frac{-K_2}{\sqrt{2\pi r}}sin\frac{\theta}{2}(2+cos\frac{\theta}{2}cos\frac{3\theta}{2})

\sigma_{yy}=\frac{K_2}{\sqrt{2\pi r}}cos\frac{\theta}{2}sin\frac{\theta}{2}cos\frac{3\theta}{2}

\tau_{xy}=\frac{K_2}{\sqrt{2\pi r}}cos\frac{\theta}{2}(1-sin\frac{\theta}{2}cos\frac{3\theta}{2})

K_2=\tau\sqrt{\pi a}

（3）Ⅲ型裂纹

\tau_{xy}=\frac{-K_3}{\sqrt{2\pi r}}sin\frac{\theta}{2}

\tau_{yz}=\frac{K_3}{\sqrt{2\pi r}}cos\frac{\theta}{2}

K_3=\tau\sqrt{\pi a}

裂尖应力强度因子分别用裂尖应力 \sigma_{yy}(r,0) 、 \tau_{yx}(r,0) 和 \tau_{yz}(r,0) 定义：

K_1=\lim_{r\to0}\sqrt{2\pi r}\sigma_{yy}(r,0)

K_2=\lim_{r\to0}\sqrt{2\pi r}\tau_{yx}(r,0)

K_3=\lim_{r\to0}\sqrt{2\pi r}\tau_{yz}(r,0)

利用解析法往往是先求得应力场，再利用上式求 K 。

也可以用裂纹的张开位移、滑开位移及撕开位移定义 K 。

注：断裂力学研究表明， K_1 可以更一般地写为：

K_1=\sigma\sqrt{\pi a}f(a,W,...)

f(a,W,...) 为几何修正函数，可查手册获得；

特别地，当 a\ll w 时，承受拉伸的：

无限宽中心裂纹板： f=1 ;无限宽单边裂纹板： f=1.12 。

应力强度因子与载荷（应力）呈线弹性关系，满足叠加原理。

5、控制断裂的基本因素及断裂判据

（1）断裂三要素：

1）裂纹尺寸和形状（先决条件）；

2）应力大小（必要条件）；

3）材料的断裂韧性 K_{1C} （材料抗力）：含裂纹材料抵抗断裂能力的度量。

作用越大，抗力越低，越可能断裂。

K 是低应力脆性断裂（线弹性断裂）发生与否的控制参量，断裂判据可写为：

K=f(\frac{a}{W},...)\sigma \sqrt{\pi a}\le K_{IC} ，抗断设计的基本控制方程。

K_{IC} 是断裂韧性（材料抗断指标），由试验确定。

K 是线弹性分析得到，适用于脆性高强度材料或大尺寸情形，即：

a\ge2.5(K_1/\sigma_{ys})^2

式中， \sigma_{ys} 是材料的屈服应力。

（2） K_1 和 G_1 的关系

能量平衡断裂判据（G）和应力强度因子（K）判据描述的是同一个问题，只是出发点不同，它们之间必然存在某种联系。

虽然G、K判据是等效的，但实际上一般较多使用的仍是K判据，主要原因是K计算比较简单，且测量也较容易。同时也应注意到，G判据的概念和结论在K的实验标定和弹塑性断裂力学中经常用到。

6、复合裂纹脆断理论

（1）复合裂纹需要研究两个问题：

1）裂纹的开裂和扩展方向（开裂角）；

2）裂纹的开裂和扩展条件（断裂判据）。

（2）3种理论：

1）最大周向应力理论

2）应变能密度理论

3）能量释放率理论

首先要弄清楚什么是张开型（I型）、滑开型（II型）、撕开型（III型）裂纹？它们的定义是根据裂纹和所承受荷载形式来定义的。张开型裂纹指的是正应力垂直于裂纹面，扩展方向和正应力垂直；滑开型裂纹指的是剪应力和裂纹扩展方向平行； 撕开型指的是剪应力和裂纹扩展方向垂直，如下图所示。不同的金属材料对应哪种类型则没有必然的联系。