- 中文名
- 对数函数
- 外文名
- Logarithmic Function
- 别 名
- 对函数
- 表达式
- y=logax（a>0 & a≠1）
- 提出者
- 约翰·纳皮尔
对数函数通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），并把log10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并且把logeN 记为ln N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当a>0，a≠1时，aX=N
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
有理和无理指数
如果
加减对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
复对数
复对数计算公式
复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 [1]。
对数的图像Nap．㏒x=10㏑（107/x）
由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入中国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和中国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫真数，0.3010叫做假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用假数为对数」。
中国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后，大为叹服。
当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。
定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1
和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
对称性：无
最值：无
零点：x=1
注意：负数和0没有对数。
两句经典话：底真同对数正，底真异对数负。解释如下：
也就是说：若y=logab （其中a>0，a≠1，b>0）
当0<a<1， 0<b<1时，y=logab>0;
当a>1， b>1时，y=logab>0;
当0<a<1， b>1时，y=logab<0;
当a>1， 0<b<1时，y=logab<0。
e的定义：
设a>0，a≠1
方法一：
指数函数
特殊地，当
方法二：
设
两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a
特殊地，当a=e时，y'=（a^x）'=（e^x）'=e^xln e=e^x。
eº=1
一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要>0且≠1 真数>0
并且，在比较两个函数值时：
如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）
如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）
当a>0且a≠1时，M>0，N>0，那么：
对数函数化简问题
和差
换底公式推导：设
换底公式所以
换底公式两边取对数，则有
换底公式即
换底公式又因为
换底公式所以
换底公式
指系
互换
倒数
链式 [2]（1）常用对数：lg（b）=log10b（10为底数）。
（2）自然对数：ln（b）=logeb（e为底数）。
当a>0且a≠1时，ax=N
对数函数的一般形式为 y=㏒ax，它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。
