协方差矩阵

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在统计学与概率论中,协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差,是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。
中文名
协方差矩阵
外文名
covariance matrix
领    域
统计学概率论
形    式
矩阵
特殊性
为对称非负定矩阵
元    素
各个向量元素之间的协方差
别    名
方差矩阵 [1] 

目录

协方差矩阵概念

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为n维随机变量,称矩阵
为n维随机变量
的协方差矩阵(covariance matrix),也记为
,其中
的分量
的协方差(设它们都存在)。
例如,二维随机变量
的协方差矩阵为
其中
由于
,所以协方差矩阵为对称非负定矩阵 [2] 

协方差矩阵性质

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协方差矩阵具有如下性质:
(1)
.
(2)
,其中A是矩阵,b是向量。
(3)
[3] 

协方差矩阵应用

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协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度,从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究。以二维随机变量
为例,由于
引入矩阵
的协方差矩阵
由此可得
由于
于是
的概率密度
此式可以推广到n维正态分布的情形。 [2] 
参考资料
  • 1.    张贤达.矩阵分析与应用(第2版).北京:清华大学出版社,2013:39
  • 2.    孙淑娥,刘蓉主编.新编概率论与数理统计.西安:西安电子科技大学出版社,2015.04:130-131
  • 3.    薛毅,陈立萍编著.实用数据分析与MATLAB软件.北京:北京工业大学出版社,2015.09:26