十二平均律

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十二平均律,又称“十二等程律”,是世界上通用的一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的波长之比完全相等。 [1]  十二平均律是由中国明朝皇族世子朱载堉发现。
十二平均律是指八度的音程按波长比例平均分成十二等份,每一等份称为一个半音(小二度)。一个大二度则是两等份,称为全音。将一个八度分成12等份有着惊人的一些巧合。这是因为它的纯五度音程的两个音的波长比(即1/2的7/12次方)约为0.6674,与2/3,约为0.6667,非常接近。
由于波长弦长之间存在正比关系,因此波长关系可以转化为弦的长短关系。所以即使在16世纪,那个西方物理学才刚刚起步,还没有发现机械波的时代,中国明朝皇族世子朱载堉就利用他精湛的数学计算能力,发现了这一近似值规律,这也是一件十分伟大和令人赞叹的事。
十二平均律在交响乐队键盘乐器中得到广泛使用,钢琴即是根据十二平均律来定音的。
中文名
十二平均律
外文名
equal temperament
发现者
朱载堉
发现时期
16世纪,(中国)明朝

十二平均律音乐定律

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十二平均律,又称“十二等程律”,是一种音乐定律方法,将一个纯八度(如c1-c2)按波长比例平均分成十二等份,每等分称为半音,各相邻两律之间的波长之比完全相等,它是最主要的调音法。钢琴就是根据十二平均律定音的。
“十二平均律”的纯四度和大三度,两个音的波长比分别与3:4和4:5比较接近。也就是说,“十二平均律”的几个主要的和弦音符,都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的,只有极小的差别,这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件,因为这些乐器是靠自然泛音级(自然泛音序列,其波长是基音波长的整数分之一序列)来形成音阶的。半音是十二平均律组织中最小的音高距离,全音由两个半音组成。1-i之间分成12份。具体1-2全音,2-3全音,3-4半音,4-5全音,5-6全音,6-7全音,7-i半音。
十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用,钢琴即是根据十二平均律来定音的,因为只有“十二平均律”才能方便地进行移调。曲调由音阶组成,音阶由音组成。音有绝对音高和相对音高。声音是机械波机械波波长由弦长等因素决定,且成正比关系。不同的音有不同的波长。人们选取一定波长的音来形成音乐体系所需要的音高。
十二平均律简而言之,就是把半根琴弦按照等比数列平均分成十二份。一根琴弦的长度设为1,可以表示为(1/2)^(0/12),第一点的位置是(1/2)^(1/12),第二点的位置是(1/2)^(2/12),依此类推,第n点的位置是(1/2)^(n/12)。因为这样的一组音是等比关系,所以无论从哪个位置开始弹起旋律都是一样的。 [1-2] 
十二平均律的半音,比五度相生律的半音大,比纯律小。因此,使用十二平均律奏和弦不纯,奏旋律导向性不够,所以在乐曲的演奏中,尤其在乐队多声部合奏的时候,实际上是多律并用的,根据实际情况,在演奏过程中,偏向哪一种律制,并不是一成不变的。
根据十二平均律所有半音都相等的特点,因此还产生了“等音”的概念。
钢琴上每相邻的两个琴键(黑白都算)的差别,音乐上即为半音。比如说C和#C相差半音,C和D相差两个半音(或曰一个全音),以此类推。如果B再往上升半音,会发现这个音的波长刚好是C的一半,而在音乐上称为一个八度,这两个音听起来“很相似”。用小写的c来表示它,依次有#c,d……再往上走可以用c1……,c2……来表示,而往下走可以用大写的C1……,C2……来表示。

十二平均律历史

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据说十二平均律是在16世纪明朝皇族世子朱载堉发现。由于波长弦长之间存在正比关系,因此波长关系可以转化为弦的长短关系。所以即使在16世纪,那个西方物理学才刚刚起步,还没有发现机械波的时代,中国明朝皇族世子朱载堉就利用他精湛的数学计算能力,发现了这一近似值规律,这也是一件十分伟大和令人赞叹的事
钢琴调律 钢琴调律
明朝中叶,皇族世子朱载堉发明以珠算开方的办法,求得律制上的等比数列,具体说来就是:用发音体的长度计算音高,假定黄钟正律为1尺,求出低八度的音高弦长为2尺,然后将2开12次方得波长公比数1.059463094,该公比自乘12次即得十二律中各律音高,且黄钟正好还原,这在物理学上就刚好对应了波长的比例关系。朱载堉用这种方法第一次解决了十二律自由旋宫转调的千古难题。
在朱载堉发表十二平均律理论之后52年,Pere Marin Mersenne在(1636年)其所著《谐声通论》中发表相似的理论。

十二平均律物理解释

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十二平均律波长和弦长

古人对于声现象的认识比较肤浅,根本不知道声音是机械波,也不可能存在现代的标准音的概念。但是由于在声现象中,弦长与物理上的波长挂钩,波长又与音调挂钩,因此古人实际上是利用物理上的弦长和波长的比例关系,来进行音律设计的,这一点充分体现了古人的智慧
十二平均律外国名著 十二平均律外国名著
所有的波(包括机械波电磁波引力波等)都有三个最本质的特性:频率/波长、振幅、相位。对于机械波(声波)来说,在相同声速下,机械波的波长决定了这个音的音调,机械波的振幅决定了这个音的大小(强度),而人耳对于相位不敏感,所以研究音乐时一般不考虑机械波的相位问题。

十二平均律波长比例

现代流行歌曲演奏几乎采用十二平均律 现代流行歌曲演奏几乎采用十二平均律
由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一,加上波长和弦长的正比关系,所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想:如果八度音程的1:2的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现,那么试试按其它的位置会怎么样呢?数学上1:2是最简单的比例关系了,简单性仅次于它的就是1:3。那么,我们如果按住弦的1/3点,会怎么样呢?其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的波长是原来的1/3(因为弦长变成了原来的1/3),另一个音是原来的2/3(因为弦长变成了原来的2/3)。这两个音彼此也是八度音程的关系(因为它们彼此的弦长比是2:1)。这样,在我们要寻找的λ/2-λ的范围内,出现了第一个重要的波长,即2/3 λ,也就是五度关系。(那个λ/3的波长正好处于下一个八度,即λ/4-λ/2中的同样位置。)
接着再试,数学上简单性仅次于1:3的是1:4,我们试试按弦的1/4点会怎样?又出现了两个音。一个音的波长是原来的1/4(因为弦长变成了原来的1/4),这和原来的音(术语叫“主音”)是两个八度音程的关系,可以不去管它。另一个音的波长是主音的3/4(因为弦长是原来的3/4)。我们又得到了一个重要的波长,3/4 λ。同一根弦,在不同的情况下发出机械波,可以发出很多波长的声音。在听觉上,与主音λ最和谐的就是2/3 λ和3/4 λ(除了主音的各个八度之外)。
这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的长度问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前6世纪)。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦,“三分损一”,即均分弦为三段,舍一留二,便得到2/3 λ。如果“三分益一”,即弦均分三段后再加一段,便得到3/4 λ。
得到这两个波长之后,是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢?不行,因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及2/3 λ、3/4 λ。实际上3/4 λ已经比2/3 λ的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音λ最和谐的2/3 λ已经找到了,他们转而找2/3 λ的2/3 λ,即与最和谐的那个音最和谐的音,这样就得到了(2/3)^2 λ即4/9 λ。可是这已经低于了λ/2的范围,进入了左边一个八度。没关系,不是有两倍波长等比关系吗?在下一个八度中的音,在这一个八度中当然有与它等价的一个音,于是把4/9 λ的波长加倍,便得到了8/9 λ。
接着把这个过程循环一遍,找2/3的3次方,于是就有了8/27 λ,这也在左边一个八度中,再次波长加倍,得到了16/27 λ。
就这样一直循环找下去吗?不行,因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后,会得到主音的某一个八度,这样就算是“回到”了主音上,不用继续找下去了。可是(2/3)^n,只要n是自然数,其结果都不会是整数,更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

十二平均律数学方法

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十二平均律近似思想

回到计算不相等的问题,数学上不可能的事,只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到(2/3)^5≈0.1317,和(1/2)^3=0.1250很接近(乍一看并不接近,但取倒数后就比较接近了,前者是1/7.594,后者是1/8.000),于是决定这个音就是他们要找的最后一个音,比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样,从主音λ开始,我们只需按2:3比例寻找最和谐音”这个过程循环5次,得到了5个音,加上主音和3/4 λ,一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。
这7个音符的波长,从长到短分别是λ、8/9 λ、64/81 λ、3/4 λ、2/3 λ、16/27 λ、128/243 λ。 如果这里的λ是do,那么8/9 λ就是re、64/81 λ就是mi……,这7个波长组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字,在西方音乐术语中,它们分别被叫做主音(tonic)、上主音(supertonic)、中音(mediant)、下属音(subdominant)、属音(dominant)、下中音(submediant)、导音(leading tone)。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa,原因前面已经说过了,因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即2/3 λ推导出来的,而2:3这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”,所以这种音律叫做“五度相生律”。
西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯(所以西方把按2:3比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning),东方是《管子》一书的作者(不一定是管仲本人)。我国历代的各种音律,大部分也都是从“三分损益律”发展出来的,也可以认为它们都是“五度相生律”。
仔细看上面“五度相生律”7声音阶的波长,可以发现它们彼此的关系很简单:do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 之间的波长比都是8:9,这个比例被称为全音(tone);mi-fa、si-do 之间的波长比都是243:256,这个比例被称为半音(semitone)。
“五度相生律”产生的7声音阶,自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过,如果按住弦的1/5点或者1/6点,得到的音已经和主音不怎么和谐了,居然出现了64:81和128:243这样的比例,这不会太好听吧?于是有人开始对这7个音的波长做点调整,于是就出现了“纯律”(just intonation)。
“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来,也就是说让各个音和主音的波长比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同(今意大利南部的塔兰托城)的亚理斯托森努斯(Aristoxenus of Tarentum)。(东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。)此人是亚里士多德的学生,约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵,而不是靠数学来主导音乐。他的书籍留下来的只有残篇,不过可以证实的是他提出了所谓“自然音阶”。
自然音阶也有7个音,但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的波长分别是:λ、8/9 λ、4/5 λ、3/4 λ、2/3 λ、3/5 λ、8/15 λ。确实简单多了吧?也确实好听多了。这么简单的比例,就是“纯律”。
可以看出“纯律”不光用到了2:3的比例,还用到了4:5的比例。新的7个波长中和原来不同的就是4/5 λ、3/5(=4/5×3/4)λ、8/15(=4/5×2/3)λ。
虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听,数学上也简单,但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了,但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系,如今出现了3种:8:9(被叫做“大全音”,major tone,就是原来的“全音”)、9:10(被叫做“小全音”,minor tone)、15:16(新的“半音”)。各位把自然音阶的波长互相除一下就能得到这个结果。更进一步说,如果比较自然音阶中的re和fa,其波长比是27:32,这也不怎么简单,也不怎么好听呢!所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上,“纯律”远没有“五度相生律”流行。
对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取7个音符吗?是因为数学上的近似。可这毕竟是近似值,而不是完全相等。在一个八度之内,这么小的差距也许没什么,但是如果乐器的音域跨越了好几个八度,那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。
通过计算,古人发现(2/3)^12≈0.0077073,和(1/2)^7=0.0078125很接近(取倒数分别为1/129.7和1/128),于是他们把“五度相生律”中“按2:3比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次,便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和3/4 λ,如今就有了12个音符。 注意,“规范”音阶不是do、re、mi等7个音符了,而是12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶,其波长分别是:λ、2048/2187 λ、8/9 λ、16384/19683 λ、64/81 λ、3/4 λ、512/729 λ、2/3 λ、4096/6561 λ、16/27 λ、32768/59049 λ、128/243 λ。
和前面的“五度相生律”的7声音阶对比一下,可以发现原来的7个音都还在,只是多了5个,分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7个音符,分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出来的5个音符于是被叫做C#(读做“升C”)、D#、F#、G#、A#。12音阶不能用do、re、mi的叫法了,应该被叫做:C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的波长互相除一下,就会发现它们之间的比例只有两种:243:256(就是原来的“半音”,也叫做“自然半音”),2048:2187(这被叫做“变化半音”)。
也就是说,这12个音符几乎可以说又构成了一个等比数列。它们之间的“距离”几乎是相等的。(当然,如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话,就是严格的“距离”相等了。)原来的7声音阶中,C-D、D-E、F-G、G-A、A-B之间都相隔一个“全音”,如今则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。
既然C#被认为是从C“升”了半音得到的,那么C#也可以被认为是从D“降”了半音得到的,所以C#和Db(读做“降D”)就被认为是等价的。事实上,5个新加入的音符也可以被写做:Db、Eb、Gb、Ab、Bb。
这种12声音阶在音乐界的地位,我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D……B,所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb……Bb。
能不能把“五度相生律”的12声音阶再往前发展一下呢?可以的。12声音阶的依据仍然是近似思想,按照这个思路,继续找接近的值就可以了嘛。
还有人真地找到了,此人就是我国西汉的著名学者京房(77 BC-47 BC)。他发现(2/3)^53和(1/2)^31也很接近,这个计算量对常人而言是难以想象的,但是他算出来了,于是提出了一个53音阶的新音律。要知道古人并没有我们的计算器,计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。
当然,京房的新律并没有流行开,原因就是53个音阶也太麻烦了吧!开始学音乐的时候要记住这么多音符,谁还会有兴趣哦!但是这种努力是值得肯定的,也说明12声音阶也不完美,也确实需要改进。
“五度相生律”的12声音阶中的主要问题是,相邻音符的波长比例有两种(自然半音和变化半音),而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。(2048:2187)/(243:256)≈ 0.9865。好像差不多哦?但其实自然半音本身就是243:256 ≈ 0.9492了。
如果12声音阶是真正的等比数列的话,每个半音就应该是相等的,各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说,真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢?因为在音乐的发展过程中,人们越来越觉得有“转调”的必要了。
所谓转调,其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。比方说,如果某一个人的音域是C~高音C(也就是以前的do~高音do),乐器为了给他伴奏,得在C~高音C之内弹奏旋律;如果另一个人的音域是D~高音D(也就是以前的re~高音re),乐器得在D~高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是等比数列,人们会觉得C~高音C之内的旋律和D~高音D之内的旋律不一样。特别是如果旋律涉及到比较多的半音,这种不和谐就会很明显。可以说,如果钢琴是按“五度相生律”来决定各键的音高,那么只要旋律中涉及到许多黑键,弹出来的效果就会一塌糊涂。
这种问题在弦乐器上比较好解决,因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。演奏者可以根据不同的音域、旋律的要求,有意地不在规定的指位上按弦,而是偏移一点按弦,就能解决问题。可是键盘乐器(比如钢琴、管风琴、羽管键琴等)的音高是固定的,无法临时调整。
所以在西方中世纪的音乐理论里,就规定了有些调、有些音是不能用的,有些旋律是不能写的。而有些教堂的管风琴,为了应付可能出现的各种情况,就预先准备下许多额外的发音管。以至于有的管风琴的发音管有几百甚至上万根之多。这种音律规则上的缺陷,导致一方面作曲家觉得受到了限制,一方面演奏家也觉得演奏起来太麻烦。
问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的(2/3)^12毕竟和(1/2)^7并不完全相等。之所以会出现两种半音,就是这个近似值造成的。
对“五度相生律”12声音阶的进一步修改,东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天(370 AD-447 AD),他的做法是把(2/3)^12和(1/2)^7之间的差距分成12份,累加地分散到12个音阶上,造成一个等比数列。可惜这只是一种修补工作,并没有从根本上解决问题。西方的做法也是把(2/3)^12和(1/2)^7之间的差距分散到其它音符上。但是为了保证主音C和属音G的2:3的比例关系(这个“纯五度”是一个音阶中最重要的和谐,即使是在12声音阶中也是如此),这种分散注定不是平均的,最好的结果也是12音中至少有一个“不在调上”。如果把差距全部分散到12个音阶上的话,就必须破坏C和G之间的“纯五度”,以及C和F之间的3:4比例(术语是“纯四度”)。这样一来,虽然方便了转调,但代价就是音阶再也没有以前好听了。因为一个八度之内最和谐的两个关系――纯五度和纯四度――都被破坏了。
一直到文艺复兴之前,西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”(Meantone temperament),就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下,把(2/3)^12和(1/2)^7之间的差距尽量分配到12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协,大家其实都在等待新的音律出现。
终于还是有人想到了彻底的解决办法。不就是在一个八度内均分12份吗?直接就把1:2这个比例关系开12次方不就行了?也就是说,真正的半音比例应该是¹²√2。如果12音阶中第一个音的波长是λ,那么第二个音的波长就是(1/2)^(1/12) λ(根式可以用分数指数幂来表示),第三个音就是(1/2)^(2/12) λ,第四个音是(1/2)^(3/12) λ,……,第十二个是(1/2)^(11/12) λ,第十三个就是(1/2)^(12/12) λ,就是λ/2,正好是λ的八度。这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律,从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上,而对旋律不产生影响。西方巴洛克音乐中,复调音乐对于多重声部的偏爱,有了这个新音律之后,可以说不再有任何障碍了。后来的古典主义音乐,也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话,后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。
这种新的音律就叫“十二平均律”。首先发明它的是一位中国人,叫朱载堉(yù)。他是明朝的一位皇室后代,生于1536年,逝世于1611年。他用珠算开方的办法(珠算开12次方,难度可想而知),首次计算出了十二平均律的正确半音比例,其成就见于所著的《律学新书》一书。很可惜,他的发明,和中国古代其它一些伟大的发明一样,被淹没在历史的尘埃之中了,很少被后人所知。但是,这也充分体现了中国古人对于世界发展的伟大贡献
西方人提出“十二平均律”,大约比朱载堉晚50年左右。不过很快就传播、流行开来了。主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。当然,反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度。不过这种破坏程度并不十分明显。

十二平均律波长计算

“十二平均律”的12声音阶的波长(近似值)分别是:
(1) λ = λ(/1)(C)
0.9439 λ = λ/1.059(C#/Db)
0.8909 λ = λ/1.122(D)
0.8409 λ = λ/1.189(D#/Eb)
0.7937 λ = λ/1.260(E)
0.7492 λ = λ/1.335(F)
0.7071 λ = λ/1.414(F#/Gb)
0.6674 λ = λ/1.498(G)
0.6300 λ = λ/1.587(G#/Ab)
0.5946 λ = λ/1.682(A)
0.5612 λ = λ/1.782(A#/Bb)
0.5297 λ = λ/1.888(B)。
注意,所有的半音都一样了,都是¹²√2,即1.059。以前的自然半音和变化半音的区别没有了。另外,原来“五度相生律”的12音阶中,C和G的比例是2:3(即纯五度),“十二平均律”的12音阶中,C和G的比例是0.6674,和纯五度所要求的2:3(0.6667)非常接近。原来“五度相生律”的12音阶中,C和F的比例是3:4(即纯四度),“十二平均律”的12音阶中,C和F的比例是0.7492,和纯四度所要求的3:4(0.7500)也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解决了转调问题,所以后来“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的统治地位。钢琴就是按“十二平均律”来确定各键音高的。学生们学习的do、re、mi也是按“十二平均律”修改过的7声音阶。如果想听“五度相生律”或者“纯律”的do、re、mi,已经很不容易了。
将八度音等分为十二等分,其数学意义如下:
八度音指的是波长减半(即半波长)。因此在八度音中分为十二等分乃是分为十二个等比级数,其结果就是每个音的波长为前一个音的2开12次方分之一(¹²√2≈1.059463)。
理论上来说,所有乐器的音准只需要仪器来校准。但是实践证明,人感觉上的音阶会存在个体差异,所以乐器的调音师是不可被仪器替代的。
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参考资料
  • 1.    李重光.音乐理论基础.北京:人民音乐出版社,1962年10月:9-9
  • 2.    李重光.基本乐理简明教程.北京:人民音乐出版社,1770 (2015重印):6-7