- 中文名
- 威尔科克森符号秩检验
- 外文名
- Wilcoxon Signed Rank Test
- 别 名
- 威尔科克伦代符号的等级检验
- 提出者
- 威尔科克森（F·Wilcoxon）
- 提出时间
- 1945年
- 基 础
- 观测数据的符号检验
在Wilcoxon符号秩检验中，它把观测值和零假设的中心位置之差的绝对值的秩分别按照不同的符号相加作为其检验统计量。它适用于T检验中的成对比较，但并不要求成对数据之差di服从正态分布，只要求对称分布即可。检验成对观测数据之差是否来自均值为0的总体（产生数据的总体是否具有相同的均值）。
正负符号检验和威尔科克森符号秩检验，都可看作是就成对观察值而进行的参数方式的T检验的代用品，非参数检验具有无需对总体分布作假定的优点，而就成对观察值作的参数方式的T检验，必须假定有关的差别总体服从正态分布。
该方法具体步骤如下：
(1)对i=1,...,n，计算∣Xi-M0∣，它们代表这些样本点到M0的距离。
(2)把上面的n个绝对值排序，并找出它们的n个秩，如果它们有相同的样本点，每个点取平均秩（如1,4,4,5的秩为1,2.5,2.5,4）。
(3)令W+等于Xi-M0>0的∣Xi-M0∣的秩的和，而W-等于Xi-M0<0的∣Xi-M0∣的秩的和。
(4)对双边检验H0：M=M0<=>H1：M≠M0，在零假设下，W+和W-应差不多。因而，当其中之一很小时，应怀疑零假设。在此，取检验统计量W=W+ 或 W=W-。
(5)根据得到的W值，利用统计软件或查Wilcoxon符号秩检验的分布表以得到在零假设下的p值。如果n很大要用正态近似：得到一个与W有关的正态随机变量Z的值，再用软件或查正态分布表得到p值。
(6)如果p值较小（比如小于或等于给定的显著性水平，譬如0.05）则可以拒绝零假设。如果p值较大则没有充分的证据来拒绝零假设，但不意味着接受零假设。 [1]
高锰酸钾法和EDTA法测定蛋鸡配合料钙含量结果(%)
编号 | 高锰酸钾法 | EDTA法 | di | 等级 |
1 | 1.26 | 1.24 | 0.02 | 4.5 |
2 | 1.24 | 1.28 | -0.04 | -7 |
3 | 1.24 | 1.21 | 0.03 | 6 |
4 | 1.25 | 1.25 | 0 | 1.5 |
5 | 1.26 | 1.26 | 0 | 1.5 |
6 | 1.25 | 1.24 | 0.01 | 3 |
7 | 1.24 | 1.22 | 0.02 | 4.5 |
假设两种方法检测饲料中钙含量结果无显著差异，即检验：
- H0：两种方法检测结果无显著差异；
- H1：两种方法检测结果有差异。
单侧α | 双侧α | n值 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
0.05 | 0.10 | T值 | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 11 | 14 | 17 | 21 | 26 | 30 | 36 |
0.025 | 0.05 | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 11 | 14 | 17 | 21 | 25 | 30 | ||
0.01 | 0.02 | 0 | 2 | 3 | 5 | 7 | 10 | 13 | 16 | 20 | 24 | |||
0.005 | 0.01 | 0 | 2 | 3 | 5 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 |
符号检验利用了观测值和零假设的中心位置之差的符号进行检验，但是它并没有利用这些差的大小（体现于差的绝对值大小）所包含的信息。因此，在符号检验中，每个观测值点相应的正号或负号仅仅代表了该点在中心位置的哪一边，而并没有表明该点距离中心的远近。如果把各观测值距离中心远近的信息考虑进去，自然比仅仅利用符号要更有效。这也是引进Wilcoxon符号秩检验的宗旨。
注意：该检验需要假定样本点X1，X2...,Xn来自连续对称总体分布（符号检验不需要这个假设）
在这个假定下，总体中位数等于均值。它的检验目的和符号检验是一样的，即要检验H0：M=M0（相对于各种单双边的备选假设） [3]
弗兰克·威尔科克森(Frank Wilcoxon，1892—1965)，美国统计学家、化学家。
威尔科克森出生在爱尔兰科克附近格伦加里夫城堡的一个富有的美国家庭。父亲是一位诗人、野外工作者和狩猎者。当他还在孩提时，父母即回到美国，因此，威尔科克森的童年，是在哈得孙河畔，纽约的克蒂斯克尔渡过的。
威尔科克森的早期教育，是从家庭教师得到的。他青年时代，在纽约港做过商船水手，在西弗吉尼亚一个偏僻地区管理过煤气抽送站，当过树医，以后进入宾夕法尼亚军事学院，1917年毕业，获得理学士学位。但他并不喜欢军事管理体制，认为这不符合他的个人自由观念。
在军事学院毕业后，威尔科克森曾在密歇根霍顿的阿特拉斯电力公司工作，并于1920年进入拉特格斯大学学习化学。1921年，他获得了理科硕士学位，继续在科内尔大学作研究生，并担任助教，于1924年获物理化学方面的哲学博士学位。此后，他成为赫克舍研究员。1926年5月，他与匹兹堡的一位研究生弗雷德里卡·费西亚丝(Frederica Facius)女士结为伉俪。在以后的生活中，他们对统计学会有着共同的爱好，一起定期参加戈登研究会在化学和化学工程统计方面的活动。
1927年，威尔科克森离开科内尔大学，到尼科尔斯·科珀公司组织的、位于纽约容克斯的博伊斯·汤普森植物研究所，担任农作物保护高级研究员。1928年，威尔科克森转到尼科尔斯·科珀公司工作。1929年，博伊斯·汤普森研究所从赫尔曼·弗雷奇基金会得到一笔补助金，又请威尔科克森回去领导杀虫药剂和真菌作用研究小组。从此，他与这个研究所结下不解之缘，中间虽然几度离开，但却与它保持着长期的合作。直到他退休后，还为研究所担任统计方面的业余顾问。
在此期间，威尔科克森从1929年起，除开博伊斯·汤普森研究所的专职工作外，还利用晚上时间，为布鲁克林理工学院的研究生讲授物理、化学课程;并于1934—1935年期间到前苏联进行访问，考察了解前苏联的计划经济生活的“巨型实验”。1941年，他辞去研究所和学校的工作，到艾奥华担任雷文纳军械厂控制实验室主管。1943年，他成为康涅狄格州斯坦福美国氨基氰公司的杀虫药剂和真菌剂小组的领导。1950年，他转到了纽约珀尔河一个公司的勒德尔实验室，并在这里创建了一个统计咨询组，从事统计咨询工作，直到1957年退休。
威尔科克森对统计的研究，开始于早期在博伊斯·汤普森研究所。当时，他对奥尔顿(C·R·Orton)的温室研究、反复实验、有机易变种籽处理感到兴趣。正好罗纳德·费暄(Ronald · A·Fisher，1890—1962)的《研究人员用的统计方法》一书的第一版在这时出版，威尔科克森和同事生物学家丹尼(F·E·Denny)、化学工程师尤登(W·J·Youden，1900—1971)、昆虫学家布利斯(C·I ·Bliss)等就组织成立了一个小组来对该书进行研究，受到很大启发。此后，便对统计学更加感到兴趣，阅读了大量有关著作。
威尔科克森在统计学方面，可以说是自学成材的。他对统计学的最大贡献是他提出的等级评定法，即非参数检验法。
威尔科克森的第一篇统计著作是在1945年发表的，题目是《统计学在植物病理学方面的某些应用》。紧接着，他于同年又在《生物统计学》杂志第一卷上，发表了《用等级评定法进行个体比较》的重要文章，提出了很有价值的等级评定法。他所发展的等级评定法的两个奠基石：“双样本等级和统计量”与“单样本(或配对样本)符号等级统计量”，已为众所周知，被用他的名字命名为“威尔科克森等级和统计量”与“威尔科克森符号等级统计量”。次年，他又在《生物统计学学报》上发表了《用等级评定法分组数据的个体比较》，再次论证了他的等级评定法。他的这两个统计量，在发展等级评定法方面是令人鼓舞的推动力，是统计学中非参数法的中心主题。
威尔科克森检验与古典t检验比较，具有许多优点：(1)计算容易、快速;(2)应用精确的显著性水平，而不用限制性的正态假设;(3)对游离样本观察值相对地不那么灵敏;(4)在数据的某些单调变换情况下具有不变性;(5)适用于有序数据的情况;(6)对宽阔的可替换分布组具有优越功效性质;(7)对有趣的位置参数无分布置信限通过转换具有实用性。
威尔科克森的等级评定法使他在统计界获得很高声誉。但是，也有一些人对他的成果持批评态度，认为他对双样本问题，并未谈到不等样本含量通过等级和统计量的处理，而是由曼(H· R·Mann，1925—)和惠特尼(D · R ·Whitney)来解决的。还有些人引证克鲁斯卡尔(W·H·Kruskal，1919—)1957年关于等级和检验历史的渊博文章，表明对双样本检验，曾经有人在时间上早于威尔科克森提出过独立的建议或接近有关这类方法。在早些时候的教材中，例如霍特林(H · Hotelling，1895—1973)和帕勃斯特(M·R·Pabst)1936年及弗里德曼(M·Friedman，1912—)1937年对等级已有应用。美国统计学家布拉德利(L· A · Bradley，1923—)和霍兰德尔(M · Hollander，1941—)则认为：这些评价“并未使威尔科克森的光辉贡献为之失色”。因为“这里有一个基本的观念：用等级值代替实际样本值，从而相对地减少复杂分布理论的简单计算，同时还获得许多统计上的好处。而且，威尔科克森能够对他的方法作出简要的、非数学方式的描述本身，就减少了许多没有受过统计训练的潜在使用者可能的顾虑，从而促进了等级评定法的广泛应用。”
五十年代后期，威尔科克森把他的研究引向深化，他仔细地研究如何使等级评定法获得满意的性质，能够应用于更复杂数据的情况。他对双向分类以及等级总和的联合分布感到很大兴趣。
六十年代，他着重研究了多重比较法和非参数序贯分析。他在1964年对其1947年著作《某些快速近似统计方法》中关于多重比较法的结论进行了修正，使之成为人们更能接受的重要统计方法。同时，他认为，基于等级在固定样本大小情况下被证明如此成功，它们应当推广到获得的数据是有序的和在样本中的观察值数目本身是随机量的情况。他的这一观点，导致了他和布拉德利等人在六十年代中期合作发展了许多序贯等级评定法。1966年，他和丹尼尔(Cuthbert Daniel，1904—)合作，发表了《因素2p-q方案稳健性与线性及二次趋势的对比》文章，提出了可能对某些线性二次趋势稳健的析因实验设计。
威尔科克森非常关心统计教育。他坚持正规教学差不多有二十年之久，他为自然科学方面学生开的统计方法论课程，听讲的人数超过了注册学生人数。他坚持，如果对问题没有正确的最终数字答案，即使所用的方法是正确的，也不给予评定等级的荣誉。他在1957年退休后，除了从事统计咨询活动和统计科学研究外，还于1960年到佛罗里达州立大学新创办的统计系担任业余讲师。他的知识和经验对这个新成立的系贡献很大。
威尔科克森是美国统计协会的成员，他在统计方面的活动直到他的生命终结。
威尔科克森兴趣广阔，才华横溢，他是一个充满热情的乐于把自己的知识、兴趣和生活之乐传给周围世界的人。他对音乐有很深修养，是一位伴奏音乐家，擅长弹奏吉它，还会其它几种弦乐器。他熟悉多种语言，在三十年代中期访问苏联时，掌握了熟练的俄语阅读知识;在他去世前一年，他认真研究了荷兰文;在他母亲失明后，他研究了盲文。他喜欢数学游戏、智力测验、计算图表、研究求积仪。他对统计学的教学充满热忱，讲课深入浅出，生动活泼，深受学生们的爱戴。他经常使用一个长颈瓶，里面装着两串不同颜色的珠子，塞上瓶口，来摸拟双样本等级检验。他曾经对民间使用的一种用两根L形铁杖来探寻埋管道和水管线的“魔”杖(即一种用迷信方法来探寻矿脉、水源用的木叉式探矿杖)感到兴趣，在参加戈登研究会时，对汉普顿中学的许多管道的位置和线路进行了探寻，并找了各种地质学家和物理学家进行磋商，企图为之找出某种解释。他喜欢大自然和野外活动，如骑自行车，爬树等。他在中年时，同妻子经常骑自行车作度假旅行，一天跑100英里。在佛罗里达州立大学时，他购置了一辆本田摩托车，经常骑着它去工作。他对自己的爬树能力感到自豪，直到七十多岁时摔了一跤，才减少了这方面的活动。他在一次乘独木船旅行后，由于心脏病突发，于1965年11月18日在佛罗里达州的塔拉哈西去世，终年七十三岁。
威尔科克森还是美国科学促进协会的成员，戈登研究会在化学和化学工程统计方面早期的主席。美国质量控制学会化学部每年都要对在《工程测量学》杂志上发表的最好的文章颁发“威尔科克森奖”。佛罗里达州立大学为了表示对他的崇敬，将该校统计图书馆和阅览室命名为弗兰克·威尔科克森纪念室。
威尔科克森的主要统计著作有：
1.《用等级评定法进行个体比较》，1945年;
2.《某些快速近似统计方法》，1947年;
3.《等级相关法》，与J·T·里奇菲尔德合作，1955年;
4.《用于筛选实验的两个序贯双样本组的等级检验》，与L·J·罗兹、R·A·布拉德利合作，1963年;
5.《因素2-方案稳健性与线性及二次趋势的对比》，与C·丹尼尔合作，1966年;
6.《在双向分类中等级总和范围的实际公布》，与P·邓-兰金合作，1966年;
7.《对威尔科克森等级和检验与威尔科克森符号等级检验的临界值及概率水平》，与S·K·凯蒂、R·A·威尔科克斯合作，1970年。 [3]
