我喜欢慢慢读数学书，不着急的心态，慢慢读过我想知道的章节。认真check清楚我不清楚的每一个细节。和一个数学家做过的比喻类似——时间和耐心对我来说，就像使用海水一样浸泡开复杂数学坚硬的外壳。只要达到足够的时机，他就会自动解开，为我呈上他的果肉。

最近在读数学书，后来发现纤维丛的地方有一些没搞清楚的地方。不得不退回去系统的看。用到了很多点集拓扑的内容。我决定一边整理我会用到的知识，一边写一下自己整理的内容。这些内容放在这里，也算是一个笔记，供自己以后翻阅。

我们知道，对于两个集合：A、B，我们会有很多映射f_i，当然这些f_i无论是单射还是满射。这时候我们说，通过两个集合A、B。我们得到了一组映射的集合{f_i}。

但是我们如果为两个集合A、B赋予拓扑结构，那么就会有很多映射f不再能够成为连续映射。但是这也带来了好消息，如果我们有拓扑空间A和拓扑空间B，那么我们就会有，或者说规定了一组连续映射{g_i}。这时候，我们也可以说，通过两个集合拓扑A、B，我们得到了一组连续映射{g_i}。

remark 1.1：连续映射的定义是任意开集的逆仍然是开集。当然，很容易验证这个定义跟任意闭集的逆仍然是闭集等价。

到此为止，我想到一个问题。当我学习到悬垂-环路对偶的时候，了解到环路空间Ω的定义：对于一个带点拓扑空间（X，x)，我们取一个带点环路(圆环)（S^1，s）。我们取全部的从S^1到X连续的，并且把s能够映射到x的映射{f_i}。这里{f_i}构成了一个集合，叫做环路空间ΩX。当然，我们研究同伦问题，只有集合空间是远远不够的，同伦问题是一个拓扑问题，所以说我们要为集合ΩX赋予拓扑结构，使他成为一个拓扑空间ΩX。这里我们为他赋予了一个关于映射的拓扑结构，叫做“紧开拓扑”。但我们为什么唯独要赋予这样的拓扑呢？我们关于映射集的拓扑其实有很多，比如“一致收敛拓扑”等等...。这其中的原因，目前我不并不是很清楚。

remark：紧开拓扑是在对于全部连续映射f_i：X  \to Y，构成的空间{f_i}来说。如果把X上的紧集K映射到Y上开集U的全部映射叫记开集V(K,U)，那么把全部这些V(K_i,U_j)作当拓扑亚基生成的拓扑就叫做{f_i}的紧开拓扑。

那如果我有一个拓扑空间A，和一个映射f呢？如果我希望映射f能够成为连续映射，那么我们应该为B赋予什么样的拓扑呢？