为什么1/n发散，而1/n的平方收敛?

不妨直接算算看。

\fbox{1} 對於剛接觸極限的同學，我覺得這兩個例子值得做一遍，然後再來接受系統性的級數審斂法。

\begin{align} &1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} +\frac{1}{5 }+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots\\ &\geq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} +\frac{1}{8 }+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots\\ &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots \end{align}

會發現它衝向無限大； 另一方面，

\begin{align} &1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\\ &\leq 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots\\ &=1+2\cdot \frac{1}{2^2}+4\cdot \frac{1}{4^2}+8\cdot \frac{1}{8^2}+\cdots\\ &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots\end{align}

由於最後一行公比 <1，其有限項之和必定 <2，代表原本的平方倒數之有限和也 <2，因此再怎麼往後加，都突破不了 2 的限制，它必定得收斂。

\fbox{2} 針對 \sum \frac{1}{n^p} 也可以用類似的方法處理，差別就在最後的等比級數會變成

\qquad\begin{cases} 1+2^{1-p}+4^{1-p}+\cdots & 當 p<1\\ 1+\frac{1}{2^{p-1}}+\frac{1}{4^{p-1}}+\cdots & 當 p>1 時 \end{cases} 。

即可利用等比級數的公比來辨別斂散性：

等比級數 a+ar+ar^2 + \cdots =\begin{cases} \frac{a}{1-r} & |r|<1\\ 0&|r|\geq 1 且 a=0\\ 發散 & |r|\geq 1 且 a\ne 0 \end{cases} 。

\sum ar^{n-1} 跟 \sum \frac{1}{n^p} 分別稱作等比級數與 p 級數審斂法，以下是更多在微積分教材裡的經典審斂法。

除此之外，判別級數斂散性的還有八大級數審斂法。 要瞭解級數是否收斂還是要先知道級數收斂發散的 遊戲規則：

任給序列 \{a_n\} ，如果級數

\qquad\quad\qquad\quad \sum_{n=1}^\infty a_n

滿足其部份和 S_m=a_1 + ... + a_m 為收斂數列的話，那麼稱此級數為收斂級數。 若 S_m\to L ，則說此級數之 級數和 為 L。其嚴格定義為對任意的 \varepsilon>0 ，存在 N\in\mathbb N 滿足當 n\geq N 時， |(a_1+...+a_n)-L|<\varepsilon 。

然後由淺入深，在微積分課本裡學習進一步的級數理論。 在學習時，不妨花一些注意力去觀察，是誰的收斂，造成新的，進多樣的級數收斂，就會發現，整體的理論都是仰賴 \frac{1}{n} 跟 a^n 這兩種基本的數列！

可以参考一下这个巴塞尔问题的课件：