Legge dei gas ideali
La legge dei gas ideali stabilisce che il prodotto tra pressione e volume di un gas perfetto è uguale al prodotto tra il numero di moli, la costante dei gas ideali e la temperatura; tale equazione racchiude in sé le leggi relative alle trasformazioni isoterma, isobara e isocora dei gas, nonché la legge di Avogadro.
Dopo aver gettato le basi per lo studio dei gas siamo finalmente giunti al cuore della teoria: in questa lezione vi presenteremo la legge dei gas ideali, detta anche equazione di stato dei gas perfetti.
Per cominciare vedremo come l'equazione dei gas ideali riassume in un'unica formula le quattro leggi dei gas già studiate fin qui (Boyle, Gay-Lussac, Avogadro). Ci soffermeremo quindi su una definizione molto importante in Termodinamica: riprenderemo la nozione di gas ideale già trattata in una delle precedenti lezioni, ripassandone le proprietà. Ci dedicheremo infine alle principali applicazioni dell'equazione di stato.
La legge dei gas perfetti
La legge che stiamo per presentarvi è una delle più importanti della Termodinamica, ed è un'equazione da tenere sempre a mente in ogni esercizio in cui si parli di gas ideali.
Tale equazione è detta legge dei gas perfetti o, in termini più rigorosi, equazione di stato dei gas perfetti, ed è una sorta di condensato della legge di Boyle e delle due leggi di Gay-Lussac.
Ecco come si presenta la legge dei gas ideali:
pV = nRT
Come vedete nell'equazione compaiono le tre variabili di stato caratteristiche dei gas, ossia:
- la pressione p;
- la temperatura T;
- il volume V.
Con n indichiamo il numero di moli e con R la cosiddetta costante dei gas perfetti, che vale:
R = 8,314472 (J)/(mol·K)
All'occorrenza, nelle applicazioni e negli esercizi, si può ricorrere al valore approssimato
R ≃ 8,314 (J)/(mol·K)
Le unità di misura da usare nel contesto della legge dei gas perfetti sono, al solito, quelle del Sistema Internazionale:
- i pascal per la pressione p;
- i metri cubi per il volume V;
- i kelvin per la temperatura T;
- le moli per il numero di moli n.
Equazione di stato dei gas perfetti e nozione di gas ideale
In una delle precedenti lezioni abbiamo presentato l'elenco delle proprietà dei gas ideali, oltre a spiegare i motivi per cui è necessario introdurre tale modello.
Ripassiamo per un attimo le proprietà richieste dalla definizione. Un gas ideale:
1) è costituito da molecole con volume trascurabile (molecole puntiformi);
2) le molecole non interagiscono tra loro a distanza (molecole non interagenti);
3) le molecole interagiscono con le pareti del recipiente tramite urti perfettamente elastici;
4) le molecole sono tutte uguali tra loro;
5) le molecole si muovono di moto casuale in ogni direzione;
Alla luce dell'equazione di stato, possiamo fornire una definizione alternativa e del tutto equivalente. Diciamo gas perfetto, o gas ideale, un qualsiasi gas che soddisfa l'equazione di stato. Allo stesso modo, un gas si dice ideale se soddisfa la legge di Boyle e le due leggi di Gay-Lussac.
Ricapitolando ciò che abbiamo visto qui e nelle precedenti lezioni:
A) se un gas soddisfa le condizioni 1) → 5), allora è perfetto e soddisfa la legge dei gas ideali;
B) viceversa, se un gas può essere descritto mediante la legge dei gas ideali, allora è perfetto e gode delle proprietà 1) → 5);
C) da ultimo, i gas reali possono essere assimilati a gas ideali quando si considerano temperature alte e valori di pressione bassi.
Applicazioni della legge dei gas ideali
La prima applicazione dell'equazione di stato riguarda lo studio degli stati di equilibrio dei gas. Conoscendo due grandezze termodinamiche è sempre possibile ricavare la terza mediante la legge dei gas perfetti.
Supponiamo ad esempio di avere 3 moli di un gas a una temperatura di 300 K e a una pressione di 2 atm, e di volerne calcolare il volume. In tal caso ricaveremo V dalla legge dei gas ideali, ricordandoci però di convertire la pressione da atmosfere a pascal
2 atm = 202650 Pa ; V = (nRT)/(p) = ((3 mol)·(8,31 (J)/(mol·K))·(300 K))/(202650 Pa) = 0,037 m^3
Che dire a proposito delle trasformazioni dei gas in cui una delle tre grandezze termodinamiche viene mantenuta costante? In questo frangente l'equazione di stato mostra tutta la propria importanza, perché fornisce una perfetta sintesi delle leggi per le trasformazioni isoterme, isobare e isocore.
Se manteniamo costante la temperatura, la relazione che si ottiene tra la pressione e il volume è di fatto la legge di Boyle. Tutto il secondo membro infatti è costante in quanto prodotto di termini invarianti: R, che è la costante dei gas perfetti; n, che è costante se il gas non si disperde; T, che rimane costante perché stiamo operando una trasformazione isoterma.
In questo modo otteniamo proprio la legge di Boyle, secondo la quale il prodotto tra la pressione e il volume è costante in una trasformazione a temperatura costante:
T costante ⇒ pV = costante
Se al contrario pensiamo di effettuare una trasformazione isobara, e dunque di mantenere costante la pressione, possiamo scrivere la legge dei gas perfetti per lo stato iniziale e per lo stato finale
p_1V_1 = nRT_1 ; p_1V_2 = nRT_2
Nella seconda equazione non abbiamo scritto p_2, bensì p_1, proprio perché il gas è sottoposto a una trasformazione isobara. Ricaviamo quindi la pressione p_1 da entrambe le equazioni
p_(1) = (nRT_(1))/(V_(1)) ; p_(1) = (nRT_(2))/(V_(2))
per poi uguagliare le relative espressioni
(nRT_(1))/(V_(1)) = (nRT_(2))/(V_(2))
Se semplifichiamo il numero di moli n e la costante R in entrambi i membri e ricaviamo il volume finale V_2, otteniamo:
p costante ⇒ V_(2) = V_(1) (T_(2))/(T_(1))
Con la stessa logica si può arrivare ad una legge simile mantenendo costante il volume (trasformazione isocora).
V costante ⇒ p_(2) = p_(1) (T_(2))/(T_(1))
Attenzione perché la legge dei gas ideali non si limita a questo. Ricaviamo il numero di moli dall'equazione:
n = (pV)/(RT)
Stando alla legge di Avogadro, se consideriamo due volumi uguali V di gas diversi alla stessa temperatura T e alla stessa pressione p, otteniamo lo stesso valore di n per entrambi i gas.
V_1 = V_2 gas 1: n_1 = (p_1V_1)/(RT_1) ; p_1 = p_2 ; T_1 = T_2 gas 2: n_2 = (p_2V_2)/(RT_2)} n_1 = n_2
Se il numero di moli n non cambia, vuol dire che non cambia nemmeno il numero di molecole N, infatti vale la relazione
N = N_An
dove N_A è il numero di Avogadro. In definitiva la legge dei gas perfetti racchiude in sé anche la legge di Avogadro.
Variante della legge dei gas ideali
È possibile scrivere la legge dei gas perfetti in una forma un po' diversa rispetto a quella "canonica". Il numero di moli n infatti può essere scritto come il rapporto tra il numero di molecole che compongo il gas e il numero di Avogadro
n = (N)/(N_(A))
Sostituendo n nella legge dei gas perfetti, si ricava
pV = (N)/(N_(A)) RT
Il rapporto tra R e N_A è a sua volta un costante, che prende il nome di costante di Boltzmann. Si indica con k_B e vale:
k_B = 1,3806488×10^(−23) (J)/(K)
o, in termini di approssimazione
k_(B) = ≃ 1,38·10^(−23) (J)/(K)
Possiamo così riscrivere la legge dei gas perfetti nella forma:
pV = N k_(B) T
Negli esercizi e nelle applicazioni teoriche useremo la prima o la seconda versione in base ai dati del problema.
Con questo è tutto! Siamo pronti per fare un ulteriore passo nello studio della Termodinamica: a partire dalla lezione successiva inizieremo a occuparci dei gas da un punto di vista energetico, e in particolare ci dedicheremo al lavoro dei gas.
Come nota a margine per chi è in fase di ripasso, anticipiamo che verso la fine del corso presenteremo una versione della legge dei gas ideali adattata al caso reale. Una sorta di equazione di stato dei gas reali, detta equazione di Van der Waals.
Come al solito non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante lezioni, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)
Buona Fisica a tutti!
Alessandro Catania (Alex)
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