Repaso sobre la regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital nos ayuda a evaluar límites de las formas indeterminadas ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$‍.

En otras palabras, nos ayuda a encontrar ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}}$‍, donde ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}u(x)=\underset{x\to c}{lim}v(x)=0}$‍ (o, alternativamente, donde ambos límites son iguales a $\pm \mathrm{\infty }$‍).

La regla esencialmente dice que si el límite ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}}}$‍ existe, entonces los dos límites son iguales:

Encontremos, por ejemplo, ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{7x-\sin (x)}{x^2+\sin (3x)}}}$‍.

Sustituir $x=0$‍ en ${\displaystyle \frac{7x-\sin (x)}{x^2+\sin (3x)}}$‍ nos lleva a la forma indeterminada ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍. Así, usemos la regla de L'Hôpital.

Observa que solo pudimos usar la regla de L'Hôpital porque el límite ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{d}{dx}}[7x-\sin (x)]}{{\displaystyle \frac{d}{dx}}[x^2+\sin (3x)]}}}$‍ en realidad existe.

Encontremos, por ejemplo, ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(1+2x{)}^{{}^{\frac{1}{\sin (x)}}}}$‍. Sustituir $x=0$‍ en la expresión nos lleva a la forma indeterminada $1^{{}^{\mathrm{\infty }}}$‍.

Para simplificar el estudio de la expresión, tomemos su logaritmo natural (este es un truco común para lidiar con funciones exponenciales compuestas). En otras palabras, si $y=(1+2x{)}^{{}^{\frac{1}{\sin (x)}}}$‍, podemos encontrar ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (y)}$‍. Una vez que conozcamos su valor, seremos capaces de determinar ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y}$‍.

$\ln (y)={\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{\sin (x)}}$‍

Sustituir $x=0$‍ en ${\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{\sin (x)}}$‍ nos lleva a la forma indeterminada ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍, ¡por lo que es el turno de la regla de L'Hôpital de ayudarnos en nuestra misión!

Encontramos que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (y)=2}$‍, lo que significa que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y=e^2}$‍.