Cuadrados y Raíces Cuadradas en Álgebra

Puede que quieras leer primero la Introducción a los Cuadrados y a las Raíces Cuadradas.

Cuadrados

Para elevar al cuadrado un número, simplemente multiplícalo por sí mismo ...

Ejemplo: ¿Cuánto es 3 al cuadrado?

3 al cuadrado = 3x3 cuadrado = 3 × 3 = 9

"Elevar al cuadrado" a menudo se escribe con un pequeño 2 como este:

4 al cuadrado es igual a 16
Esto dice "4 al cuadrado es igual a 16"
(el pequeño 2 significa que el número aparece dos veces al multiplicar, entonces 4×4=16)

Raíz cuadrada

Una raíz cuadrada va en la otra dirección:

la raíz cuadrada de 9 es 3

3 al cuadrado es 9, entonces una raíz cuadrada de 9 es 3

Es como preguntar:

¿Qué puedo multiplicar por sí mismo para obtener esto?

Definición

Aquí está la definición:

Una raíz cuadrada de x es un número r cuyo cuadrado es x:

r2 = x
r es una raíz cuadrada de x

El símbolo de la raíz cuadrada

símbolo radical  

Este es el símbolo especial que significa "raíz cuadrada", es como una palomita,
y en realidad comenzó hace cientos de años como un punto con un movimiento hacia arriba.

Se llama radical y siempre hace que las matemáticas parezcan importantes.

Lo podemos usar así:

raíz cuadrada de 9
Nosotros decimos "raíz cuadrada de 9 es igual a 3"

Ejemplo: ¿cuánto es √36 ?

Respuesta: 6 × 6 = 36, así que √36 = 6

Números negativos

También podemos elevar al cuadrado números negativos.

Ejemplo: ¿cuánto es menos 5 al cuadrado?

Pero espera ... ¿qué significa "menos 5 al cuadrado"?
  • ¿elevar al cuadrado el 5, luego aplicar el menos?
  • o elevar al cuadrado (−5)?

¡No está claro! Y obtenemos diferentes respuestas:
  • elevar al cuadrado el 5, luego aplicar el menos: −(5×5) = −25
  • elevar al cuadrado (−5): (−5)×(−5) = +25

Entonces, dejémoslo claro usando "( )".

Ejemplo Corregido: ¿cuánto es (−5)2 ?

Respuesta:

(−5) × (−5) = 25

(porque negativo por negativo da positivo)

¡Eso fue interesante!

Cuando elevamos al cuadrado un número negativo, obtenemos un resultado positivo.

Igual que cuando elevamos al cuadrado un número positivo:

5x5 = -5x-5

Ahora, ¿recuerdas nuestra definición de una raíz cuadrada?

Una raíz cuadrada de x es un número r cuyo cuadrado es x:

r2 = x
r es una raíz cuadrada de x

Y acabamos de encontrar que:

(+5)2 = 25
(−5)2 = 25

Así que los dos valores +5 y −5 son raíces cuadradas de 25

Dos raíces cuadradas

¡Puede haber una raíz cuadrada positiva y otra negativa!

Esto es importante para recordar.

Ejemplo: resolver w2 = a

Respuesta:

w = √a   y   w = −√a

Raíz cuadrada principal

Entonces, si realmente hay dos raíces cuadradas, ¿por qué la gente dice √25 = 5 ?

Porque significa la raíz cuadrada principal ... ¡la que no es negativa!

Hay dos raíces cuadradas, pero el símbolo significa la raíz cuadrada principal.

Ejemplo:

Las raíces cuadradas de 36 son 6 y −6

Pero √36 = 6 (no −6)

La raíz cuadrada principal a veces se denomina raíz cuadrada positiva (pero puede ser cero).

Signo más menos

± es un símbolo especial que significa "más o menos",
   
así que en lugar de escribir:   w = √a   y   w = −√a
podemos escribir:   w = ±√a

Resumiendo

Si tenemos:r2 = x
entonces:r = ±√x

¿Porque es esto importante?

¿Por qué es importante este "más menos"? ¡Porque no queremos perder una solución!

Ejemplo: Resolver x2 − 9 = 0

Empieza con:x2 − 9 = 0
Pasa el 9 a la derecha:x2 = 9
Raíces Cuadradas:x = ±√9
Respuesta:x = ±3

El "±" nos dice que incluyamos también la respuesta "−3".

x^2-9

Ejemplo: Resolver para x en (x − 3)2 = 16

Empieza con:(x − 3)2 = 16
Raíces cuadradas:x − 3 = ±√16
Calcula √16:x − 3 = ±4
Suma 3 de ambos lados:x = 3 ± 4
Respuesta:x = 7 o −1

Comprobación: (7−3)2 = 42 = 16
Comprobación: (−1−3)2 = (−4)2 = 16

Raíz cuadrada de xy

Cuando se multiplican dos números dentro de una raíz cuadrada, podemos dividirla en una multiplicación de dos raíces cuadradas, así:

xy = √xy

pero solo cuando x y y son mayores o iguales a 0

 

Ejemplo: ¿cuánto es √(100×4) ?

√(100×4)= √(100) × √(4)
 = 10 × 2
 = 20

Y xy = √xy :

Ejemplo: ¿cuánto es √8√2 ?

√8√2= √(8×2)
 = √16
 = 4

Ejemplo: ¿cuánto es √(−8 × −2) ?

√(−8 × −2) = √(−8) × √(−2)
 = ???

¡Parece que hemos caído en alguna trampa aquí!

Podemos usar Números Imaginarios, pero eso lleva a una respuesta incorrecta de −4

Oh, es cierto ......

La regla solo funciona cuando x y y son mayores o iguales que 0

Entonces no podemos usar esa regla aquí.

En cambio, lo hacemos de esta manera:

√(−8 × −2) = √16 = +4

¿Por qué √xy = √xy ?

Podemos usar el hecho de que elevar al cuadrado una raíz cuadrada nos devuelve el valor original:

(√a)2 = a

¡Asumiendo que a no es negativa!

Podemos hacer eso para xy:(√xy)2 = xy
Y también a x, y y, por separado:(√xy)2 = (√x)2(√y)2
Usa a2b2 = (ab)2:(√xy)2 = (√xy)2
Retira el cuadrado de ambos lados:xy = √xy

Un exponente de un medio

Una raíz cuadrada también se puede escribir como un exponente fraccionario de un medio:

raíz cuadrada es exponente 1/2
pero solo para x mayor o igual a 0

¿Qué hay de la raíz cuadrada de los negativos?

El resultado es un  Número Imaginario... lee esa página para obtener más información.

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Pregunta más difícil