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Precálculo Matemáticas para el cálculo Séptima edición
Stewart • Redlin • Watson
SÉPTIMA EDICIÓN
PRECÁLCULO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO
ACERCA DE LOS AUTORESS
J AMES S TEWART obtuvo la maestría de la Universidad de Stanford y el doctorado de la Universidad de Toronto. Realizó una investigación en la Universidad de Londres y fue influenciado por el famoso matemático George Polya en la Universidad de Stanford. Stewart es profesor emérito de la Universidad McMaster y actualmente es profesor de matemáticas en la Universidad de Toronto. Su campo de investigación es el análisis armónico y las conexiones entre las matemáticas y la música. James Stewart es el autor de una exitosa serie de libros de texto para cálculo publicada por Cengage Learning, incluyendo Cálculo, Cálculo: trascendentes tempranas y Cálculo: conceptos y contextos; una serie de textos de precálculo; y una serie de libros de texto de matemáticas para secundaria.
L OTHAR R EDLIN creció en la isla de Vancouver, obtuvo una licenciatura en Ciencias de la Universidad de Victoria, y recibió un doctorado de la Universidad de McMaster en 1978. Posteriormente se dedicó a la investigación y la docencia en la Universidad de Washington, en la Universidad de Waterloo y en la Universidad Estatal de California en Long Beach. En la actualidad es profesor de matemáticas en la Universidad Estatal de Pennsylvania, en el Campus de Abington. Su campo de investigación es la topología.
S ALEEM W ATSON recibió su licenciatura en Ciencias por la Universidad Andrews, en Michigan. Realizó estudios de posgrado en la Universidad de Dalhousie y en la Universidad de McMaster, donde obtuvo su doctorado, en 1978. Posteriormente se dedicó a la investigación en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Varsovia, en Polonia. También enseñó en la Universidad Estatal de Pennsylvania. Actualmente es profesor de matemáticas en la Universidad Estatal de California, Long Beach. Su campo de investigación es el análisis funcional.
Stewart, Redlin y Watson también han publicado College Algebra, Trigonometry, Algebra and Trigonometry y (con Phyllis Panman) College Algebra: Concepts and Contexts.
La obra cuenta con material adicional en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.
SÉPTIMA EDICIÓN
PRECÁLCULO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO
JAMES STEWART M C MASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO
LOTHAR REDLIN THE PENNSYLVANIA STATE UNIVERSITY
SALEEM WATSON CALIFORNIA STATE UNIVERSITY, LONG BEACH
Con la ayuda de Phyllis Panman
Traducción Mtro. Javier León Cárdenas Formación básica ESIQIE • IPN
Revisión técnica Dra. Ana Elizabeth García Hernández Instituto Politécnico Nacional
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
Precálculo. Matemáticas para el cálculo, 7a. ed. James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson Director Editorial para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Editora de Adquisiones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Antonio Mateos Martínez Gerente Editorial de Contenidos en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editora: Abril Vega Orozco Diseño de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: © zhu difeng/Shutterstock Composición tipográfica: Heriberto Gachuz Chavez Humberto Nuñez Ramos
Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 19 18 17 16
© D.R. 2017 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.
DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Precalculus: Mathematics for Calculus, Seventh Edition. James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson. Publicado en inglés por Cengage Learning ©2016. ISBN: 978-1-305-07175-9 Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James, Lothar Redlin y Saleem Watson. Precálculo. Matemáticas para el cálculo, 7a. ed. ISBN: 978-607-526-279-6 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com
CONTENIDO
PREFACIO xiii AL ESTUDIANTE xxi PRÓLOGO: PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS P1
CAPÍTULO
1 FUNDAMENTOS
1
Descripción del capítulo 1 1.1
Números reales 2
1.2
Exponentes y radicales 12
1.3
Expresiones algebraicas 24
1.4
Expresiones racionales 35
1.5
Ecuaciones 44
1.6
Modelado con ecuaciones 57
1.7
Desigualdades 73
1.8
Geometría de coordenadas 83
1.9
Calculadoras graficadoras; resolución gráfica de ecuaciones y desigualdades 96
1.10
Rectas 106
1.11
Modelos con el uso de variaciones 118 Capítulo 1 Repaso 124 Capítulo 1 Examen 128 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste lineal de datos 130
CAPÍTULO
2 FUNCIONES
141
Descripción del capítulo 141 2.1
¿Qué es una función? 142
2.2
Gráficas de funciones 152
2.3
Información a partir de la gráfica de una función 163
2.4
Rapidez de cambio promedio de una función 172
2.5
Transformaciones de funciones 179
2.6
Combinación de funciones 190
2.7
Funciones uno a uno y sus inversas 199 Capítulo 2 Repaso 207 Capítulo 2 Examen 211 ENFOQUE SOBRE MODELADO Modelado con funciones 213 vii
viii
Contenido
CAPÍTULO
3 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
223
Descripción del capítulo 223 3.1
Funciones y modelos cuadráticos 224
3.2
Funciones polinomiales y sus gráficas 232
3.3
División de polinomios 246
3.4
Ceros reales de funciones polinomiales 253
3.5
Números complejos 264
3.6
Ceros complejos y el Teorema Fundamental de Álgebra 269
3.7
Funciones racionales 277 Capítulo 3 Repaso
292
Capítulo 3 Examen 295 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas con funciones polinomiales 296
CAPÍTULO
4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
301
Descripción del capítulo 301 4.1
Funciones exponenciales 302
4.2
La función exponencial natural 310
4.3
Funciones logarítmicas 315
4.4
Leyes de logaritmos 325
4.5
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 331
4.6
Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 340 Capítulo 4 Repaso 353 Capítulo 4 Examen 356 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas exponenciales y potencia 357 Examen acumulativo de repaso: capítulos 2, 3 y 4 367
CAPÍTULO
5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
MÉTODO DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA
Descripción del capítulo 369 5.1
La circunferencia unitaria 370
5.2
Funciones trigonométricas de números reales 377
5.3
Gráficas trigonométricas 386
5.4
Más gráficas trigonométricas 399
5.5
Funciones trigonométricas inversas y sus gráficas 406
5.6
Modelado de movimiento armónico 412 Capítulo 5 Repaso 423 Capítulo 5 Examen 426 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas senoidales 427
369
Contenido
CAPÍTULO
ix
6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: MÉTODO DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 433 Descripción del capítulo 433 6.1
Medida de un ángulo 434
6.2
Trigonometría de triángulos rectángulos 443
6.3
Funciones trigonométricas de ángulos 451
6.4
Funciones trigonométricas inversas y triángulos rectángulos 462
6.5
La Ley de Senos 469
6.6
La Ley de Cosenos 476 Capítulo 6 Repaso 483 Capítulo 6 Examen 487 ENFOQUE SOBRE MODELADO Topografía 489
CAPÍTULO
7 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
493
Descripción del capítulo 493 7.1
Identidades trigonométricas 494
7.2
Fórmulas de adición y sustracción 500
7.3
Fórmulas de ángulo doble, semiángulo y producto a suma 507
7.4
Ecuaciones trigonométricas básicas 517
7.5
Más ecuaciones trigonométricas 524 Capítulo 7 Repaso 530 Capítulo 7 Examen 532 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ondas viajeras y estacionarias 533 Examen acumulativo de repaso: capítulos 5, 6 y 7 538
CAPÍTULO
8 COORDENADAS POLARES Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS
541
Descripción del capítulo 541 8.1
Coordenadas polares 542
8.2
Gráficas de ecuaciones polares 547
8.3
Forma polar de números complejos: Teorema de De Moivre 555
8.4
Curvas planas y ecuaciones paramétricas 564 Capítulo 8 Repaso 572 Capítulo 8 Examen 574 ENFOQUE SOBRE MODELADO La trayectoria de un proyectil 575
CAPÍTULO
9 VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Descripción del capítulo 579 9.1
Vectores en dos dimensiones 580
9.2
El producto punto 589
579
x
Contenido
9.3
Geometría de coordenadas en tres dimensiones 597
9.4
Vectores en tres dimensiones 603
9.5
El producto cruz 610
9.6
Ecuaciones de rectas y planos 616 Capítulo 9 Repaso 620 Capítulo 9 Examen 623 ENFOQUE SOBRE MODELADO Campos vectoriales 624 Examen acumulativo de repaso: capítulos 8 y 9 628
CAPÍTULO
10 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
629
Descripción del capítulo 629 10.1
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 630
10.2
Sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas 640
10.3
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 649
10.4
El álgebra de matrices 661
10.5
Inversas de matrices y ecuaciones matriciales 672
10.6
Determinantes y Regla de Cramer 682
10.7
Fracciones parciales 693
10.8
Sistemas de ecuaciones no lineales 698
10.9
Sistemas de desigualdades 703 Capítulo 10 Repaso 710 Capítulo 10 Examen 714 ENFOQUE SOBRE MODELADO Programación lineal 716
CAPÍTULO
11 SECCIONES CÓNICAS
723
Descripción del capítulo 723 11.1
Parábolas 724
11.2
Elipses 732
11.3
Hipérbolas 741
11.4
Cónicas desplazadas 750
11.5
Rotación de ejes 757
11.6
Ecuaciones polares de cónicas 765 Capítulo 11 Repaso 772 Capítulo 11 Examen 775 ENFOQUE SOBRE MODELADO Cónicas en arquitectura 776 Examen acumulativo de repaso: capítulos 10 y 11 780
CAPÍTULO
12 SUCESIONES Y SERIES
783
Descripción del capítulo 783 12.1
Sucesiones y notación de suma
784
Contenido
12.2
Sucesiones aritméticas 794
12.3
Sucesiones geométricas 800
12.4
Matemáticas de finanzas 808
12.5
Inducción matemática 814
12.6
El Teorema del Binomio 820
xi
Capítulo 12 Repaso 829 Capítulo 12 Examen 832 ENFOQUE SOBRE MODELADO Modelado con sucesiones recursivas 833
CAPÍTULO
13 LÍMITES: UNA MIRADA PREVIA AL CÁLCULO Descripción del capítulo 839 13.1
Hallar límites numérica y gráficamente 840
13.2
Hallar límites algebraicamente 848
13.3
Rectas tangentes y derivadas 856
13.4
Límites en el infinito; límites de sucesiones 865
13.5
Áreas 872 Capítulo 13 Repaso 881 Capítulo 13 Examen 883 ENFOQUE SOBRE MODELADO Interpretaciones de área 884 Examen acumulativo de repaso: capítulos 12 y 13 888 APÉNDICE: Cálculos y cifras significativas 889 RESPUESTAS R1 ÍNDICE I1
839
Chuck Painter/Stanford News Service
P R Ó L O G O PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
GEORGE POLYA (1887-1985) es famoso entre los matemáticos por sus ideas sobre resolución de problemas. Sus conferencias sobre este tema en la Universidad de Stanford atraían a multitudes a las cuales él llevó al borde de sus asientos, conduciéndolos a descubrir las soluciones por sí mismos. Él era capaz de hacer esto debido a su profundo conocimiento de la psicología de la resolución de problemas. Su conocido libro How to solve it ha sido traducido a 15 idiomas. Dijo que Euler (véase la página 266) fue el único grande entre los matemáticos, porque explicó cómo encontraba sus resultados. Polya dice a menudo a sus alumnos y colegas: "Sí, veo que la demostración es correcta, pero ¿cómo lo descubrió?" En el prefacio de How to solve it, Pólya escribe: "Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero es un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Usted puede ser modesto, pero si desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas, y si lo resuelve por sus propios medios, puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento. "
La capacidad de resolver problemas es una habilidad muy apreciada en muchos aspectos de nuestras vidas, es sin duda una parte importante de cualquier curso de matemáticas. No hay reglas duras y rápidas que aseguren el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, en este prólogo se proponen una serie de pasos generales en el proceso de resolución de problemas y le damos los principios que son útiles en la solución de ciertos problemas. Estas medidas y principios hacen explícito el sentido común. Se han adaptado del perspicaz libro de George Polya How To Solve It.
1. Entender el problema El primer paso es leer el problema y asegurarse de que usted lo entiende. Hágase las siguientes preguntas: ¿Qué es lo desconocido? ¿Cuáles son las cantidades que se señalan? ¿Cuáles son las condiciones dadas? Para muchos problemas, es útil dibujar un diagrama e identificar las cantidades que se requieren en el diagrama. Por lo general, es necesario introducir notación adecuada en la elección de los símbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos letras como a, b, c, m, n, x, y y, aunque en algunos casos, ayuda utilizar las iniciales como símbolos sugerentes, por ejemplo, para el volumen V o t para el tiempo.
2. Piense en un plan Encuentre una conexión entre la información dada y la desconocida que le permita calcular la incógnita. A menudo es útil preguntarse a sí mismo de forma explícita: “¿Cómo puedo relacionar lo conocido y lo desconocido?” Si usted no puede ver una conexión inmediata, las siguientes ideas pueden ser útiles en la elaboración de un plan. 䉴 Tra t e d e r e c o n o c e r a l g o f a m i l i a r
Relacione la situación dada con los conocimientos previos. Observe la incógnita y trate de recordar un problema más familiar que tenga una incógnita similar. P1
P2
Prólogo 䉴 Tra t e d e r e c o n o c e r p a t r o n e s
Ciertos problemas se resuelven mediante el reconocimiento de algún tipo de patrón que está ocurriendo. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si usted puede ver la regularidad o repetición en un problema, entonces podría ser capaz de adivinar cuál es el patrón y luego probarlo. 䉴 Us e a n a l o g í a s
Trate de pensar en un problema análogo, es decir, un problema similar o relacionado, pero que es más fácil que el original. Si puede resolver el problema similar, más simple, entonces le puede dar las pistas que necesita para resolver el original, más difícil. Por ejemplo, si un problema implica un número muy grande, usted puede en primer lugar intentar resolver un problema similar con un número menor. O si el problema está en la geometría tridimensional, se podría buscar algo similar en la geometría de dos dimensiones. O si el problema inicial es de carácter general, primero se podría tratar un caso especial. 䉴 I n t ro d u zc a a l g o a d i c i o n a l
A veces podría ser necesario introducir algo nuevo, "una ayuda extra", para hacer la conexión entre lo conocido y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema para el cual un diagrama es útil, la ayuda podría ser una nueva línea dibujada en el diagrama. En un problema más algebraico la ayuda podría ser una nueva incógnita que se relaciona con la incógnita original. 䉴 To m e c a s o s
A veces puede tener que dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada caso. Por ejemplo, a menudo tenemos que utilizar esta estrategia para hacer frente a un valor absoluto. 䉴 Tra b a j e h a c i a a t r á s
A veces es útil imaginar que su problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos proporcionados. Entonces usted podría ser capaz de revertir sus pasos y así construir una solución al problema original. Este procedimiento se utiliza comúnmente en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, en la solución de la ecuación 3x – 5 = 7, suponga que x es un número que satisface 3x – 5 = 7 y trabaje hacia atrás. Sume 5 a cada lado de la ecuación y luego divida ambos lados entre 3 para obtener x = 4. Como cada uno de estos pasos se puede revertir, ha resuelto el problema. 䉴 E s t a b l e zc a m e t a s s e c u n d a r i a s
En un problema complejo a menudo es útil establecer objetivos parciales (en los que la situación deseada se cumple sólo parcialmente). Si usted puede lograr o alcanzar estos objetivos parciales, entonces usted podría ser capaz de construir sobre ellos para alcanzar su meta final. 䉴 R a zo n a m i e n t o i n d i r e c t o
A veces es apropiado para atacar un problema indirectamente. En el uso de la prueba por contradicción para probar que P implica Q, se supone que P es cierta y Q es falsa y se trata de ver por qué esto no puede suceder. De alguna manera tenemos que utilizar esta información y llegar a una contradicción a lo que sabemos que es verdad absoluta. 䉴 La inducción matemática
Para probar las declaraciones que implican un entero positivo n, a menudo es útil utilizar el Principio de inducción matemática, que se discute en la sección 12.5.
3. Lleve a cabo el plan En el paso 2, se ideó un plan. Para llevar a cabo ese plan, usted debe comprobar cada etapa del plan y escribir los detalles que demuestran que cada etapa es la correcta.
Prólogo
P3
4. Mire hacia atrás Después de haber completado la solución, es conveniente mirar hacia atrás sobre ella, en parte para ver si se han cometido errores y en parte para ver si se puede descubrir una manera más fácil de resolver el problema. Mirar hacia atrás también le ayudará a familiarizarse con el método de solución, que puede ser útil para resolver un problema en el futuro. Descartes dijo: "Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas." Ilustraremos algunos de estos principios de resolución de problemas con un ejemplo.
P R O B L E M A | Rapidez promedio Una conductora se embarca en un viaje. Durante la primera mitad de la distancia, ella conduce al ritmo pausado de 30 km/h, durante la segunda mitad conduce a 60 km/h. ¿Cuál es su rapidez promedio en este viaje?
PIENSE EN EL PROBLEMA Es tentador tomar el promedio de las rapideces y decir que la rapidez promedio de todo el viaje es 30 60 45 mi/h 2 Intente un caso especial 씰
Sin embargo, ¿este enfoque simple es realmente correcto? Veamos un caso fácil de calcular especial. Supongamos que la distancia total recorrida es de 120 millas. Los primeros 60 km se recorren a 30 km/h, lo que tarda 2 horas. Las siguientes 60 millas se viaja a 60 km/h, lo que dura una hora. Por lo tanto, el tiempo total es 2 + 1 = 3 horas y la rapidez promedio es
120 3
40 mi/h
Por tanto, nuestra estimación de 45 mi/h estaba equivocada. Entienda el problema 씰
Introduzca una notación 씰 Identifique la información dada 씰
S O LU C I Ó N Tenemos que mirar con más cuidado en el significado de la rapidez promedio. Se define como distancia recorrida rapidez promedio tiempo transcurrido
Sea d la distancia recorrida en cada mitad del viaje. Sean t1 y t2 el tiempo tomado para la primera y segunda mitad del viaje. Ahora podemos escribir la información que se nos ha dado. Para la primera mitad del viaje tenemos
30
d t1
60
d t2
y para la segunda mitad tenemos
Identifique la incógnita 씰
Ahora podemos identificar la cantidad que se nos pide encontrar:
rapidez promedio del viaje completo Relacione la información proporcionada con la incógnita 씰
distancia total tiempo total
2d t1
t2
Para calcular esta cantidad, necesitamos conocer t1 y t2, así que resolvemos las ecuaciones anteriores para estos tiempos: d d t1 t2 30 60
P4
Prólogo
Ahora tenemos los ingredientes necesarios para calcular la cantidad deseada:
rapidez promedio
Su carta nos dio un montón de pruebas divertidas. La primera prueba de inteligencia nos ha engañado a ambos (Bucky y yo). ¡Sólo trabajándolo fuera me di cuenta de que no se dispone de tiempo para la trayectoria descendente! Bucky también fue engañado en el segundo ejemplo, pero yo no. ¡Curiosidades como ésta nos muestran lo tontos que somos!
2d t1
d 30 6012d2
d 60 a 30
© Bettmann/CORBIS
No se sienta mal si usted no puede resolver estos problemas de inmediato. Los problemas 1 y 4 fueron enviados a Albert Einstein por su amigo Wertheimer. Einstein (y su amigo Bucky) disfrutaba de los problemas y le escribió a Wertheimer. Esta es parte de su respuesta:
2d t1
120d 2d d
d b 60
120d 3d
d 60 Multiplique el numerador y el denominador por 60
40
Por tanto, la rapidez promedio del viaje completo es 40 mi/h.
Q
PROBLEMAS 1. Distancia, tiempo y velocidad Un automóvil viejo tiene que recorrer un camino de 2 millas, cuesta arriba y hacia abajo. Debido a que es tan viejo, el automóvil puede subir a la primera milla, de subida, no más rápido que la rapidez media de 15 km/h. ¿Qué tan rápido tiene que viajar el automóvil la segunda milla, en el descenso puede ir más rápido, por supuesto, para lograr una rapidez media de 30 km/h para el viaje?
2. Comparando descuentos ¿Cuál precio es mejor para el comprador, un descuento del 40% o dos descuentos sucesivos del 20%?
3. Cortar un alambre Se dobla un pedazo de alambre, como se muestra en la figura. Puede verse que un corte a través del cable produce cuatro piezas y dos cortes paralelos producen siete piezas. ¿Cuántas piezas se produjeron por 142 cortes paralelos? Escriba una fórmula para el número de piezas producidas por n cortes paralelos.
(Véase Mathematical Intelligencer, Primavera de 1990, página 41.)
4. Propagación de amibas Una amiba se propaga por división simple, cada división toma 3 minutos para completarse. Cuando esa amiba se pone en un recipiente de vidrio con un fluido nutriente, el recipiente está lleno de amibas en una hora. ¿Cuánto tiempo haría falta para que el contenedor se llenara si en lugar de comenzar con una amiba, comenzamos con dos?
5. Promedios de bateo El jugador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B para la primera mitad de la temporada de béisbol. El jugador A también tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B para la segunda mitad de la temporada. ¿Es necesariamente cierto que el jugador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B para toda la temporada?
6. Café y crema Se toma una cucharada de crema de una jarra de crema y se coloca en una taza de café. El café se agita. A continuación, una cucharada de esta mezcla se pone en la jarra de crema. ¿Hay ahora más crema en la taza de café o más café en la jarra de leche?
7. Envolviendo el mundo Una cinta se amarra fuertemente alrededor de la Tierra en el ecuador. ¿Cuánta más cinta necesita si usted ha colocado la cinta 1 pie por encima del ecuador en todas partes? (No es necesario conocer el radio de la Tierra para resolver este problema.)
8. Para terminar donde empezó Una mujer parte de un punto P sobre la superficie de la Tierra y camina 1 milla al sur, luego 1 milla al este y luego 1 milla al norte, y se encuentra de vuelta en P, el punto de partida. Describa todos los puntos P para los cuales esto es posible. [Sugerencia: Hay un número infinito de esos puntos, todos menos uno de los cuales se encuentran en la Antártida.]
Muchos problemas más y ejemplos que ponen de relieve diferentes principios de resolución de problemas están disponibles en el sitio web del libro: www.stewartmath.com. Usted puede intentarlos a medida que avanza en el libro.
CAPÍTULO
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1
FUNDAMENTOS 1.1 Números reales 1.2 Exponentes y radicales 1.3 Expresiones algebraicas 1.4 Expresiones racionales 1.5 Ecuaciones 1.6 Modelado con ecuaciones 1.7 Desigualdades
En este primer capítulo repasamos los números reales, ecuaciones y el plano coordenado. Es probable que el lector ya se encuentre familiarizado con estos conceptos, pero es útil ver de nuevo cómo funcionan estas ideas para resolver problemas y modelar (o describir) situaciones prácticas. Veamos la forma en que todas estas ideas se usan en una situación real: suponga que a usted le pagan $9 por hora en su trabajo de tiempo parcial. Podemos modelar su paga y por trabajar x horas mediante la ecuación y ⫽ 9x. Para averiguar cuántas horas necesita trabajar para que le paguen 200 dólares, resolvemos la ecuación 200 ⫽ 9x. Graficar la ecuación y ⫽ 9x en un plano coordenado nos ayuda a “ver” cómo aumenta la paga con las horas trabajadas.
1.8 Geometría de coordenadas 1.9 Calculadoras graficadoras; resolución gráfica de ecuaciones y desigualdades 1.10 Rectas 1.11 Modelos con el uso de variaciones ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste lineal de datos
1
2
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
1.1 N ÚMEROS REALES Propiedades de los números reales 䉴 Adición y sustracción 䉴 Multiplicación y división 䉴 La recta de números reales 䉴 Conjuntos e intervalos 䉴 Valor absoluto y distancia Repasemos los tipos de números que conforman el sistema de números reales. Empecemos con los números naturales: 1, 2, 3, 4, . . . Los diferentes tipos de números reales fueron inventados para satisfacer necesidades específicas. Por ejemplo, los números naturales se necesitan para contar, los números negativos para describir una deuda o temperaturas bajo cero, los números racionales para conceptos como “medio galón de leche,” y números irracionales para medir ciertas magnitudes, como la diagonal de un cuadrado.
Los enteros constan de los números naturales junto con sus negativos y 0: . . . ,⫺3, ⫺2, ⫺1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . Construimos los números racionales al tomar razones de enteros. Entonces, cualquier número racional r puede expresarse como
m n donde m y n son enteros y n ⫽ 0. Como ejemplos, tenemos r
1 2
3 7
46 1
46
0.17
17 100
(Recuerde que una división entre 0 siempre se excluye, de modo que expresiones como 03 y 00 no están definidas.) También hay números reales, tales como 12, que no se pueden expresar como una razón entre enteros y por tanto se denominan números irracionales. Se puede demostrar, con diferentes grados de dificultad, que estos números también son irracionales:
13
15
3 1 2
3 p2 Por lo general el conjunto de todos los números reales se denota con el símbolo . Cuando usamos la palabra número sin más detalle, queremos decir “número real”. La Figura 1 es un diagrama de los tipos de números reales con los que trabajamos en este libro. p
Números racionales
Números irracionales
–21 , -–37 , 46, 0.17, 0.6, 0.317
3 œ3 , œ5 , œ2 , π , — 2
3
π
Enteros
Números naturales . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .
Un número decimal periódico como
F I G U R A 1 El sistema de números reales
x ⫽ 3.5474747. . . es un número racional. Para convertirlo a una razón entre dos enteros, escribimos
1000x 10x 990x
3547.47474747. . . 35.47474747. . . 3512.0 3512 990 .
Por tanto, x La idea es multiplicar x por las potencias apropiadas de 10 y luego restar para eliminar la parte periódica.
Todo número real tiene una representación decimal. Si el número es racional, entonces su correspondente decimal es periódico. 1 2 157 495
0.5000. . .
0.50
0.3171717. . .
0.317
2 3
0.66666. . .
9 7
1.285714285714. . .
0.6 1.285714
(La barra indica que la sucesión de dígitos se repite por siempre). Si el número es irracional, la representación decimal no es periódica.
12
1.414213562373095. . .
p
3.141592653589793. . .
SECCIÓN 1.1
| Números reales 3
Si detenemos la expansión decimal de cualquier número en cierto lugar, obtenemos una aproximación al número. Por ejemplo, podemos escribir π ≈ 3.14159265 donde el símbolo ≈ se lee “es aproximadamente igual a”. Cuantos más lugares decimales retengamos, mejor es nuestra aproximación.
W Propiedades de los números reales Todos sabemos que 2 ⫹ 3 ⫽ 3 ⫹ 2, y 5 ⫹ 7 ⫽ 7 ⫹ 5, y 513 ⫹ 87 ⫽ 87 ⫹ 513, etc. En álgebra, expresamos todos estos hechos (un infinito de ellos) si escribimos a⫹b⫽b⫹a donde a y b son dos números cualquiera. En otras palabras, “a ⫹ b ⫽ b ⫹ a” es una forma concisa de decir que “cuando sumamos dos números, el orden de adición no importa”. Este hecho se conoce como Propiedad Conmutativa de la adición. De nuestra experiencia con números sabemos que las siguientes propiedades también son válidas.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Propiedades
Ejemplo
Conmutativas a b b a
7
ab
3#5
ba
Asociativas 1a b2 c 1ab2 c
a1bc 2
Distributivas a1b c2 ab 1b c2 a ab
1b
a
c2
ac ac
3
12
Descripción
3
13
Cuando sumamos dos números, el orden no importa.
5#3
42
13 # 72 # 5
2 # 13
7
52 52 # 2
7
2
3 # 17 # 52 2#3 2#3
14
2#5 2#5
Cuando multiplicamos dos números, el orden no importa. 72
Cuando sumamos tres números, no importa cuáles dos de ellos sumamos primero. Cuando multiplicamos tres números, no importa cuáles dos de ellos multiplicamos primero. Cuando multiplicamos un número por una suma de dos números, obtenemos el mismo resultado si multiplicamos el número por cada uno de los términos y luego sumamos los resultados.
La Propiedad Distributiva aplica siempre que multiplicamos un número por una suma. La Figura 2 explica por qué funciona esta propiedad para el caso en el que todos los números sean enteros positivos, pero la propiedad es verdadera para cualesquier números reales a, b y c. 2(3+5)
La Propiedad Distributiva es de importancia crítica porque describe la forma en que la adición y la multiplicación interactúan una con otra.
2#3
2#5
F I G U R A 2 La Propiedad Distributiva
4
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
E J E M P LO 1 (a) 21x (b) 1a
Uso de la Propiedad Distributiva 2#x
32
2#3
2x
6
y2
•
b2 1x
Propiedad Distributiva
1a
b2 x
ax
bx
1ax
bx2
1a
Simplifique
1ay
ay
Propiedad Distributiva
b2 y
Propiedad Distributiva
by2
Propiedad Asociativa de la Adición
by
En el último paso eliminamos el paréntesis porque, de acuerdo con la Propiedad Asociativa, no importa el orden de la adición.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 11
Q
W Adición y sustracción No suponga que –a es un número negativo. Que –a sea negativo o positivo depende del valor de a. Por ejemplo, si a ⫽ 5, entonces ⫺a ⫽ ⫺5, un número negativo, pero si a ⫽ ⫺5, entonces ⫺a ⫽ ⫺(⫺5) ⫽ 5 (Propiedad 2), un número positivo.
El número 0 es especial para la adición; recibe el nombre de identidad aditiva porque a ⫹ 0 ⫽ a para cualquier número real a. Todo número real a tiene un negativo, ⫺a, que satisface a ⫹ (⫺a) ⫽ 0. La sustracción es la operación que deshace a la adición; para sustraer un número de otro, simplemente sumamos el negativo de ese número. Por definición a ⫺ b ⫽ a ⫹ (⫺b) Para combinar números reales con números negativos, usamos las siguientes propiedades.
PROPIEDADES DE NEGATIVOS Propiedad 1. 1 12 a
1 a2
ab
6.
b
1a 1a
1ab2
a
4. 1 a2 1 b2 5.
1 52
a
3. 1 a2 b 2.
Ejemplo 1 125
a1 b2
b2 b2
a
1 527
5
1 42 1 32 13 15
b a
15 # 72
5 51 72 4#3
52 82
3 8
5 5
La Propiedad 6 expresa el hecho intuitivo de que a ⫺ b y b ⫺ a son negativos entre sí. La Propiedad 5 se usa a veces con más de dos términos: ⫺(a ⫹ b ⫹ c) ⫽ ⫺a ⫺ b ⫺ c
E J E M P LO 2 1x
Uso de las propiedades de los negativos
Sea x, y y z números reales.
(a) (b)
1x
22 y
z2
x
2 x
y
x
y
1 z2
z
Propiedad 5:
(a
b)
a
b
Propiedad 5:
(a
b)
a
b
Propiedad 2:
( a)
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 23
a
Q
SECCIÓN 1.1
| Números reales 5
W Multiplicación y división El número 1 es especial para la multiplicación; recibe el nombre de identidad multiplicativa porque a ⭈ 1 ⫽ a para cualquier número real a. Todo número real a diferente de cero tiene un recíproco, 1/a, que satisface a ⭈ (1/a) ⫽ 1. La división es la operación que deshace la multiplicación; para dividir entre un número, multiplicamos por el recíproco de ese número. Si b ⫽ 0, entonces, por definición,
1 b Escribimos a ⭈ (1/b) simplemente como a/b. Nos referimos a a/b como el cociente entre a y b o como la fracción de a sobre b; a es el numerador y b es el denominador (o divisor). Para combinar números reales usando la operación de división, usamos las siguientes propiedades. a
b
a#
PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES Propiedad
Ejemplo
a#c b d
2.
a b
c d
a#d b c
3.
a c
b c
a
4.
a b
c d
ad
5.
ac bc
6. Si
ac bd
b c bc bd
c , entonces ad d
bc
10 21
2 3
5 7
2#7 3 5
2 5
7 5
2
2 5
3 7
2#5 3#5
a b a b
2#5 3#7
2 5 # 3 7
1.
Descripción
2 3
Para multiplicar fracciones, multiplique numeradores y denominadores.
14 15
5
7
9 5
2#7
3#5 35
Para dividir fracciones, multiplique por el recíproco del divisor. Para sumar fracciones con el mismo denominador, sume los numeradores.
29 35
Para sumar fracciones con denominadores diferentes, encuentre un común denominador y a continuación sume los numeradores. Cancele números que sean factores comunes en numerador y denominador.
2 3 6 , así que 2 # 9 9
3#6
Multiplicación cruzada.
Para sumar fracciones con denominadores diferentes, por lo general no usamos la Propiedad 4. En cambio, reescribimos las fracciones de modo que tengan el mínimo denominador común que sea posible (a veces menor que el producto de los denominadores), y luego usamos la Propiedad 3. Este denominador es el Mínimo Común Denominador (MCD) que se describe en el ejemplo siguiente.
E J E M P LO 3 Evalúe:
5 36
S O LU C I Ó N
Uso del MCD para sumar fracciones 7 120 La factorización de cada denominador en factores primos dará 36 ⫽ 22 ⭈ 32
y
120 ⫽ 23 ⭈ 3 ⭈ 5
Encontramos el mínimo común denominador (MCD) al formar el producto de todos los factores presentes en estas factorizaciones, usando la máxima potencia de cada factor.
6
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos Entonces el MCD es 23 ⭈ 32 ⭈ 5 ⫽ 360. Entonces,
5 36
5 # 10 36 # 10
7 120
50 360
7#3 120 # 3 21 360
Use común denominador
71 360
Propiedad 3: Suma de fracciones con el mismo denominador
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 25
Q
W La recta real Los números reales pueden ser representados por puntos sobre una recta, como se muestra en la Figura 3. La dirección positiva (hacia la derecha) está indicada por una flecha. Escogemos un punto de referencia arbitrario O, llamado el origen, que corresponde al número real 0. Dada cualquier unidad de medida conveniente, cada número positivo x está representado por el punto sobre la recta a una distancia de x unidades a la derecha del origen, y cada número negativo –x está representado por el punto a x unidades a la izquierda del origen. El número asociado con el punto P se llama coordenada de P y la recta se llama recta coordenada, o recta de los números reales, o simplemente recta real. A veces identificamos el punto con su coordenada y consideramos que un número es un punto sobre la recta real. _4.9 _4.7
_3.1725 _2.63
_5 _4 _4.85
_3
1 _ 16
_ Ϸ2 _2
_1
1 1 8 4 1 2
0
Ϸ2 1
Ϸ3 Ϸ5 2
4.2 4.4 4.9999
π 3
4 5 4.3 4.5
0.3 ∑
F I G U R A 3 La recta real
Los números reales son ordenados. Decimos que a es menor que b y escribimos a ⬍ b si b ⫺ a es un número positivo. Geométricamente, esto significa que a está a la izquierda de b en la recta numérica, o bien, lo que es lo mismo, podemos decir que b es mayor que a y escribimos b ⬎ a. El símbolo a ≤ b (o b ≥ a) quiere decir que a ⬍ b o que a ⫽ b y se lee “a es menor o igual a b”. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades verdaderas (vea Figura 4): 7 7.4 7.5 p 3 12 2 2 2 _π _4
_3
7.4 7.5
Ϸ2 _2
_1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
FIGURA 4
W Conjuntos e intervalos Un conjunto es una colección de objetos, y estos objetos se llaman elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notación a ∈ S significa que a es un elemento de S, y b ∉ S quiere decir que b no es un elemento de S. Por ejemplo, si Z representa el conjunto de enteros, entonces ⫺3 ∈ Z pero π ∉ Z. Algunos conjuntos pueden describirse si se colocan sus elementos dentro de llaves. Por ejemplo, el conjunto A que está formado por todos los enteros positivos menores que 7 se puede escribir como A ⫽ 51, 2, 3, 4, 5, 66
A ⫽ 5x 0 x es un entero y 0 ⬍ x ⬍ 76
También podríamos escribir A en notación constructiva de conjuntos como que se lee “A es el conjunto de todas las x tales que x es un entero y 0 ⬍ x ⬍ 7”. Si S y T son conjuntos, entonces su unión S ∪ T es el conjunto formado por todos los elementos que están en S o T (o en ambos). La intersección de S y T es el conjunto S ∩ T
| Números reales 7
SECCIÓN 1.1
formado por todos los elementos que están en S y T. En otras palabras, S ∩ T es la parte común de S y T. El conjunto vacío, denotado por ∅, es el conjunto que no contiene elementos.
E J E M P LO 4
Unión e intersección de conjuntos
Si S {1, 2, 3, 4, 5}, T S ∩ T y S ∩ V.
51, 2, 3, 4, 5, 6, 76
S O LU C I Ó N T 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
S
V
S
T
S
T
S
V
{4, 5, 6, 7}, y V
54, 56
{6, 7, 8}, encuentre los conjuntos S ∪ T,
Todos los elementos en S o T Elementos comunes a S y T S y V no tienen elementos en común
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 39
1a, b2
a
b
F I G U R A 5 El intervalo abierto
3a, b4
a
b
F I G U R A 5 El intervalo cerrado
Ciertos conjuntos de números reales, llamados intervalos, se presentan con frecuencia en cálculo y corresponden geométricamente a segmentos de recta. Si a ⬍ b, entonces el intervalo abierto de a a b está formado por todos los números entre a y b y se denota con 1a, b2. El intervalo cerrado de a a b incluye los puntos extremos y se denota con 3a, b4. Usando la notación constructiva de conjuntos, podemos escribir
1a, b2
5x 0 a
x
b6
3a, b4
5x 0 a
x
b6
Nótese que los paréntesis en la notación de intervalo y círculos abiertos en la gráfica de la Figura 5 indican que los puntos extremos están excluidos del intervalo, mientras que los corchetes o paréntesis rectangulares 3 4 y los círculos sólidos de la Figura 6 indican que los puntos extremos están incluidos. Los intervalos también pueden incluir un punto extremo pero no el otro, o pueden extenderse hasta el infinito en una dirección o en ambas. La tabla siguiente es una lista de posibles tipos de intervalos. Notación
1a, b 2
Descripción de conjunto
1a, b 4
3 a, b 4
5x 0 a
Gráfica
5x 0 a
x
b6 b6
5x 0 a
x
b6
5x 0 a
x
b6
5x 0 x
5x 0 x
b6
b
b6
b
a
b
a
b
a
b
a
b
3a, b2
5x 0 a
x
3 a, q 2
5x 0 a
x6
a
x6
a
1a, q 2
El símbolo q (infinito) no representa un número. La notación (a, q), por ejemplo, simplemente indica que el intervalo no tiene punto extremo a la derecha pero que se prolonga hasta el infinito en la dirección positiva.
Q
1 q, b 2 1 q, b 4
1 q, q 2
E J E M P LO 5
(conjunto de todos los números reales)
Graficación de intervalos
Exprese cada intervalo en términos de desigualdades y, a continuación, grafique el intervalo. (a) 3 1, 22 5x 0 1 x 26
(b) 31.5, 44
(c) 1 3, q 2
5x 0 1.5 5x 0
_1
46
x
3
x6
0
0 _3
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 45
2
1.5
4
0
Q
8
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
No hay número mínimo ni número máximo en un intervalo abierto Cualquier intervalo contiene un número infinito de números; cualquier punto en la gráfica de un intervalo corresponde a un número real. En el intervalo cerrado 30, 14 , el número mínimo es 0 y el máximo es 1, pero el intervalo abierto (0, 1) no contiene número mínimo o máximo. Para ver esto, observe que 0.01 es cercano a cero, pero 0.001 más cercano, 0.0001 es todavía más cercano, y así sucesivamente. Siempre podemos hallar un número en el intervalo (0, 1) más cercano a cero que cualquier número dado. Como 0 no está en el intervalo, el intervalo no contiene un número mínimo. Del mismo modo, 0.99 es cercano a 1, pero 0.999 es más cercano y 0.9999 es todavía más cercano, y así sucesivamente. Como 1 no está en el intervalo, el intervalo no tiene número máximo.
E J E M P LO 6 (a) 11, 32
Hallar uniones e intersecciones de intervalos
32, 74
(b) 11, 32
Grafique cada conjunto. S O LU C I Ó N
32, 74
(a) La intersección de dos intervalos consta de los números que están en ambos intervalos. Por lo tanto,
11, 32
32, 74
5x 0 1
5x 0 2
x
3y2
x
36
5x 0 1
x
3o2
x
76
32, 32
76
11, 74
76
x
Este conjunto está ilustrado en la Figura 7. (b) La unión de dos intervalos consta de los números que están en un intervalo o en el otro (o en ambos). Por lo tanto,
11, 32
32, 74
5x 0 1
Este conjunto está ilustrado en la Figura 8.
x
(1, 3)
(1, 3) 0
1
0
3
1
3 [2, 7]
[2, 7] 0
0.01
0
0.1
2
0
7
2 (1, 7]
[2, 3)
F I G U R A 7 11, 3 2 0
0
0.001
0.01
2
3
32, 74
32, 32
F I G U R A 8 11, 32 0
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 59
0 0.0001
7
32, 7 4
1
11, 7 4 7
Q
0.001
El valor absoluto de un número a, denotado por 0 a 0, es la distancia de a a 0 en la recta de números reales (vea Figura 9). La distancia es siempre positiva o cero, de modo que tenemos 0 a 0 ≥ 0 para todo número a. Recordando que ⫺a es positivo cuando a es negativo, tenemos la siguiente definición.
W Valor absoluto y distancia | _3 |=3 _3
FIGURA 9
| 5 |=5 0
5
DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es 0a0
030 3 0 30 000 0 03 p0
E J E M P LO 7 (a) (b) (c) (d)
e
a a
si a si a
0 0
Evaluación de valores absolutos de números
1 32
13
3 p2
p
3
1porque 3
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 65
p 1 3
p
02 Q
SECCIÓN 1.1
| Números reales 9
Cuando trabajamos con valores absolutos, utilizamos las propiedades siguientes:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 1. 0 a 0
0
Propiedad
0
2. 0 a 0
0
3. 0 ab 0 4.
`
30
Ejemplo
a0
0a0 0b0
0a0 0b0
a ` b
3
050
0
0
2#50
`
Descripción
12 ` 3
0 50
0
El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero. Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto.
20 050
El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.
0 12 0 0 30
El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.
¿Cuál es la distancia sobre la recta real entre los números ⫺2 y 11? De la Figura 10 vemos que la distancia es 13. Llegamos a esto si encontramos ya sea 011 ⫺ (⫺2)0 ⫽ 13 o 0(⫺2) ⫺ 110 ⫽ 13. De esta observación hacemos la siguiente definición (vea Figura 11). | b-a |
13 _2
0
a
11
segmento de recta es 0 b ⫺ a 0
b
F I G U R A 1 1 La longitud de un
FIGURA 10
DISTANCIA ENTRE PUNTOS SOBRE LA RECTA REAL Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b sobre la recta real es d1a, b2
0b
0b
a0
a0
0a
b0
De la Propiedad 6 de negativos se deduce que
Esto confirma que, como es de esperarse, la distancia de a a b es la misma distancia de b a a.
E J E M P LO 8
FIGURA 12
0
La distancia entre los números ⫺8 y 2 es
10 _8
Distancia entre puntos en la recta real
0
2
d1a, b2
8
20
0
10 0
10
Podemos comprobar geométricamente este cálculo, como se ve en la Figura 12. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 73
Q
10
| Fundamentos
C A P Í T U LO 1
1.1 EJERCICIOS 19-24 Q Use propiedades de números reales para escribir la expresión sin paréntesis.
CO N C E P TO S 1. Dé un ejemplo de:
21. 412m 2 19. 31x
(a) Un número natural (b) Un entero que no sea número natural
23.
(c) Un número racional que no sea entero
25-30
(d) Un número irracional 2. Complete cada enunciado y mencione la propiedad de números reales que haya empleado.
(a) ab
1b
(b) a
(c) a 1b
;
Propiedad ;
c2
Propiedad
;
c2
Propiedad
3. El conjunto de números entre 2 y 7, pero que no los incluye, se puede escribir como sigue: ________en notación constructiva de conjuntos y 4. El símbolo 0 x 0 representa la _______del número x. Si x no es 0, entonces el signo 0 x 0 es siempre_______. ________en notación de intervalos.
HABILIDADES 5-6
(a) números naturales
(d) números irracionales
10, 50, 227, 0.538, 17, 1.23,
6. 51.001, 0.333. . . , Q
3 1 26
13 , 116, 3.14, 153 6 11, 11, 15
p,
52
13
5 22
7. 7
10
9. 1x
2y2
B2
2A
2B
12. 1x
13. 2x13
a 2 1x
b2
1x
14. 71a
b
8. 213 11. 15x
10. 21A
1 23 y2
7
3z
x
15x
c2
13
2
2
3 4 1 3
1 2
32. (a) 33-36
Q
1 3,
y 2 2x
71a
4 5B
1 5
(b ) 1
5 8
(b) A 12
(b )
1 12
1 8
1 2B
1 6
1 1 3 B A2
(b) 0.25A 89
(b )
2 3
(b)
0.67 (b)
1 9
1 3B
1 2 3 15
2 5 1 10
3 2 3
0.67 (c) 0 0.67 0 7 2
(c) 3.5
(b) 12 1 (b ) 2
7 2
Diga si cada desigualdad es verdadera o falsa.
10 12 13
3
p
1.1
a2x
1
(b ) 8
9
(b ) 8
8
37. (a) x es positivo (b) t es menor a 4 (c) a es mayor o igual a π (d) x es menor a 13 y mayor a ⫺5
b2
(b) z es mayor a 1
1x
(c) b es como máximo 8
a 2b
(d) w es positiva y menor o igual a 17 (e) y está al menos 2 unidades de π 39-42
7c
Q
15. Propiedad Conmutativa de la adición,
Encuentre el conjunto indicado si
A
x
16. Propiedad Asociativa de la multiplicación, , 17. Propiedad Distributiva, 41A B2
5x
5y
713x 2 3
0.67 0
1.41
38. (a) y es negativa
3z2
0
Escriba cada enunciado en términos de desigualdades.
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
15-18 Q Reescriba la expresión usando la propiedad dada de los números reales.
18. Propiedad Distributiva,
2d2
(e) La distancia de p a 3 es como máximo 5
12y
3
A1
7 2
6 10 3 4 . (a ) 11
Q
c
Ponga el símbolo correcto (⬍, ⬎, o ⫽) en el espacio.
Q
31. (a) 3
37-38
Exprese la propiedad de los números reales que se use.
10
2 3
2 3
36. (a) 1.1
(c) números racionales
7-14
1 4B
2
3 5 . (a )
(b) números enteros
5. 50,
31-32
6y2
1 4
(b )
3 2B
3 5
2 3
28. (a) A3
3 0 . (a )
2 2.
4 15
3 10
27. (a) 23 A6
2 9 . (a )
b28
Ejecute las operaciones indicadas.
Q
2 6 . (a )
4 31
24. 13a 2 1b
4y 2
33. (a)
Mencione los elementos del conjunto dado que sean
Q
5 2 12x
2 5 . (a )
20. 1a
y2
C
{2, 4, 6, 8}
B
{7, 8, 9, 10}
39. (a) A
B
(b) A
B
40. (a) B
C
(b) B
C
41. (a) A
C
(b) A
C
42. (a) A
B
(b) A
B
C
C
SECCIÓN 1.1 43-44
5x 0 x
Encuentre el conjunto indicado si
Q
A
5x 0
26
C
43. (a) B
C
44. (a) A
C
B 1
5x 0 x
75-76 Q Exprese cada decimal periódico como una fracción. (Vea la nota al margen en la página 2.)
46
56
x
(b) B
C
(b) A
B
45-50 Q Exprese el intervalo en términos de desigualdades y, a continuación, grafique el intervalo.
45. 1 3, 02
46. 12, 8 4
47. 32, 8 2
1 24
48. 3 6,
49. 32, q 2
50. 1 q, 12
51. x
52. 1
75. (a) 0.7
(b) 0.28
(c) 0.57
76. (a) 5.23
(b) 1.37
(c) 2.135
A P L I C AC I O N E S 77. Área de un jardín El jardín de legumbres de Mary mide 20 pies por 30 pies, de modo que su área es de 20 ⫻ 30 ⫽ 600 pies2. Ella decide agrandarlo, como se ve en la figura, para que el área aumente a A = 20(30 ⫹ x). ¿Cuál propiedad de los números reales nos dice que la nueva área también se puede escribir como A ⫽ 600 ⫹ 20x?
51-56 Q Exprese la desigualdad en notación de intervalos y, a continuación, grafique el intervalo correspondiente.
1 2
55. x
56.
1
57–58
(b)
_3
0
5
−3
0
5
58. (a)
0
(b)
61. 3 4, 6 4
63. 1 q,
42
1 1, 1 2 3 0, 8 2
65. (a) 0 100 0 66. (a) 0 15 67. (a) @ 0
60
7 0 . (a ) `
6 ` 24
68. (a) @ 2
6 9 . (a ) 0 1
71-74
71. 72.
Q
14, q 2
0
50 0
64. 1 q, 6 4 (b ) 0
73 0
(b) 0 10
40@
(b)
12 0 @
22 # 6 0
60. 1 2, 02
0
(b ) 0 A (b)
(b ) `
1
1 10
1 3B
p0
@1
1 1, 12 30, 82
12, 10 2
0
7 12 ` 12 7
0
1
2
3
_3 _2 _1
0
1
2
3
73. (a) 2 y 17 7 15
y
1 21
(b)
3 y 21
(b)
38 y
75 70 Dom Lun
Mar Miérc Jue Día
L
21x
y2
57
(c)
11 8
y
Sáb
108
(a) ¿La oficina de correos aceptará un paquete de 6 pulgadas de ancho, 8 pulgadas de profundidad y 5 pies de largo? ¿Y un paquete que mida 2 pies por 2 pies por 4 pies? (b) ¿Cuál es la máxima longitud aceptable para un paquete que tiene una base cuadrada que mide 9 pulgadas por 9 pulgadas?
L (c)
Vier
79. Envío de un paquete por correo La oficina de correos sólo aceptará paquetes para los cuales la longitud más la circunferencia no sea de más de 108 pulgadas. Así, para el paquete de la figura, debemos tener
10@
1 15 2 0
Omak, WA Geneseo, NY
80
65
Encuentre la distancia entre los números dados.
_3 _2 _1
74. (a)
20 pies
2
78. Variación de temperatura La gráfica de barras muestra las altas temperaturas diarias para Omak, Washington, y Geneseo, Nueva York, durante cierta semana en junio. Represente con TO la temperatura en Omak y TG la temperatura en Geneseo. Calcule TO ⫺ TG y 0 TO ⫺ TG 0 para cada día que se muestra. ¿Cuál de estos dos valores da más información?
62. 3 4, 62
Evalúe cada expresión.
Q
x
2
Grafique el conjunto.
59. 1 2, 0 2
65-70
5
0
−2
Q
5
Exprese cada conjunto en notación de intervalos.
Q
57. (a)
59-64
2
x
54. x
1
x
x
30 pies
Temperatura alta diaria (*F)
53.
| Números reales 11
3 10
2.6 y
5 pies=60 pulg.
x y 1.8
6 pulg. 8 pulg.
12
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
D E S C U B R I M I E N TO
Q
DISCUSIÓN
Q
R E D ACC I Ó N
80. Signos de números Sean a, b y c números reales tales que a ⬎ 0, b ⬍ 0 y c ⬍ 0. Encuentre el signo de cada expresión.
(a) a (d) a b (g) ab ac
(b) b (e) c a (h) abc
(c) bc (f) a bc (i) ab2
84. Números irracionales y geometría Usando la siguiente figura, explique cómo localizar el punto 12 en una recta numérica. ¿Puede localizar 15 por medio de un método similar? ¿Qué puede decir de 16? Haga una lista de otros números irracionales que puedan hallarse de este modo.
81. Sumas y productos de números racionales e irracionales Explique por qué la suma, la diferencia y el producto de dos números irracionales son números racionales. ¿El producto de dos números irracionales necesariamente es irracional? ¿Qué se puede decir de la suma? 82. Combinación de números racionales con números irracionales ¿21 12 es racional o irracional? ¿21 # 12 es racional o irracional? En general, ¿qué se puede decir acerca de la suma de un número racional y un número irracional? ¿Qué se puede decir del producto? 83. Limitación del comportamiento de recíprocos Complete las tablas siguientes. ¿Qué ocurre al tamaño de la fracción 1/x cuando x crece? ¿Y cuando x disminuye?
x 1 2 10 100 1000
1/x
Ϸ2
_1
0
1 1
2
85. Operaciones conmutativa y no conmutativa Hemos visto que la adición y la multiplicación son operaciones conmutativas. (a) ¿La sustracción es conmutativa? (b) ¿La división de números reales diferentes de cero es conmutativa?
1/x
x 1.0 0.5 0.1 0.01 0.001
1.2 E XPONENTES Y RADICALES Exponentes enteros (negativos y positivos) 䉴 Reglas para trabajar con exponentes 䉴 Notación científica 䉴 Radicales 䉴 Exponentes racionales 䉴 Racionalización del denominador En esta sección damos significado a expresiones como am/n en las que el exponente m/n es un número racional. Para hacer esto, necesitamos recordar algunos datos acerca de exponentes enteros, radicales y raíces n.
W Exponentes enteros (negativos y positivos) Normalmente, un producto de números idénticos se escribe en notación exponencial. Por ejemplo, 5 ⭈ 5 ⭈ 5 se escribe como 53. En general, tenemos la siguiente definición.
NOTACIÓN EXPONENCIAL Si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la n-ésima potencia de a es an a # a # . . . # a 1442443
n factores
El número a se denomina base, y n se denomina exponente.
SECCIÓN 1.2
E J E M P LO 1 Observe la distinción entre (⫺3)4 y ⫺34. En (⫺3)4 el exponente se aplica al ⫺3, pero en ⫺34 el exponente se aplica sólo al 3.
(a) A 12 B 5
(b) 1 32 4
Notación exponencial
A 12 BA 21 BA 21 BA 12 BA 12 B
1 32 # 1 32 # 1 32 # 1 32 1 32
13 # 3 # 3 # 32
34
(c)
| Exponentes y radicales 13
81
81
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 15
Q
Podemos expresar varias reglas útiles para trabajar con notación exponencial. Para descubrir la regla para multiplicación, multiplicamos 54 por 52:
15 # 5 # 5 # 5215 # 52
54 # 5 2
5#5#5#5#5#5
56
4 factores 2 factores
54
2
6 factores
Es evidente que para multiplicar dos potencias de la misma base, sumamos sus exponentes. En general, para cualquier número real a y cualesquier enteros positivos m y n, tenemos
1a # a # . . . # a2 1a # a # . . . # a2
am an
a#a#a#...#a
m factores
m n factores
n factores
am
n
Entonces a a ⫽ a . Nos gustaría que esta regla fuera verdadera aun cuando m y n fueran 0 o enteros negativos. Por ejemplo, debemos tener m n
m⫹n
20 ⭈ 23 ⫽ 20⫹3 ⫽ 23 Pero esto puede ocurrir sólo si 20 ⫽ 1. Igualmente, deseamos tener
54 # 5
4
54
1 42
54
4
50
1
y esto será cierto si 5⫺4 ⫽ 1/54. Estas observaciones llevan a la siguiente definición.
EXPONENTES CERO Y NEGATIVOS Si a
0 es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces a0
E J E M P LO 2
(a) A 74 B 0 (b) x
1
(c) 1 22
1 1 x1 3
1
y
a
n
1 an
Exponentes cero y negativos 1 x 1 1 22 3
1 8
1 8
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 17
Q
W Reglas para trabajar con exponentes La familiaridad con las reglas siguientes es esencial para nuestro trabajo con exponentes y bases. En la tabla las bases a y b son números reales, y los exponentes m y n son enteros.
14
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
LEYES DE EXPONENTES Ley
Ejemplo m n
1. a a 2.
a
am an
am
3. 1a m 2 n 4. 1ab2 n 5. a b
a b
m n
n
a mn a nb n n
an bn
3
2
35 32
# 35
132 2 5
35
13 # 42 2 3 2 a b 4
Descripción 3
2 5
2
3
7
Para multiplicar dos potencias del mismo número, sume los exponentes.
33
# 32 5
Para dividir dos potencias del mismo número, reste los exponentes.
310
Para elevar una potencia a una nueva potencia, multiplique los exponentes.
32 # 42
Para elevar un producto a una potencia, eleve cada uno de los factores a la potencia.
32 42
Para elevar un cociente a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia.
1a m2 n
1a # a # . . . # a2 n
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY 3
Si m y n son enteros positivos, tenemos
1a # a # . . . # a2 1a # a # . . . # a2 . . . 1a # a # . . . # a2 m factores
m factores m factores m factores n grupos de factores
a#a#...#a mn factores
amn
Los casos para los que m ≤ 0 o n ≤ 0 se pueden demostrar usando para ello la definición Q de exponentes negativos.
1ab2 n
1ab2 1ab2 . . . 1ab2
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY 4 n factores
1a # a # . . . # a 2 # 1 b # b # . . . # b 2
Si n es un entero positivo, tenemos n factores
n factores
anbn
Aquí hemos empleado repetidamente las Propiedades Conmutativa y Asociativa. Si n ≤ 0, Q la Ley 4 se puede demostrar usando para ello la definición de exponentes negativos. En el Ejercicio 94 nos piden demostrar las Leyes 2 y 5.
E J E M P LO 3 (a) x4x7 (b) y 4y
x4 7
Uso de las Leyes de Exponentes 7
y4
x11 7
y
3
c9 c9 5 c4 c5 # (d) 1b 4 2 5 b 4 5 b 20 (e) 13x2 3 33x 3 27x 3 x 5 x5 x5 (f) a b 5 2 32 2 (c)
1 y3
Ley 1: aman
am
n
Ley 1: aman
am
n
Ley 2:
am an
am
n
Ley 3: (am)n
amn
Ley 4: (ab)n
anbn
a n Ley 5: a b b
an bn
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 35, 37 Y 39
Q
SECCIÓN 1.2
E J E M P LO 4
| Exponentes y radicales 15
Simplificación de expresiones con exponentes
Simplifique
(a) 12a 3b 2 2 13ab 4 2 3 (a) 12a 3b 2 2 13ab 4 2 3 S O LU C I Ó N
x 3 y 2x 4 b (b) a b a z y
12a 3b 2 2 333a 3 1b 4 2 3 4
12a 3b 2 2 127a 3b 12 2
122 1272a 3a 3b 2b 12
x 3 1y 2 2 4x 4 y 3 z4 54a 6b 14
x 3 y 2x 4 b (b) a b a z y
x 3 y 8x 4 y 3 z4
1x 3x 4 2 a x 7y 5 z4
Ley 4: (ab)n
anbn
Ley 3: (am)n
amn
Agrupe factores de la misma base Ley 1: aman
am
n
Leyes 5 y 4 Ley 3
y8 1 b y 3 z4
Agrupe factores de la misma base Leyes 1 y 2
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 43 Y 47
Q
Cuando simplifique una expresión, encontrará que muchos métodos diferentes llevarán al mismo resultado; siéntase libre de usar cualquiera de las reglas de exponentes para llegar a su propio método. A continuación damos dos leyes adicionales que son útiles en la simplificación de expresiones con exponentes negativos.
LEYES DE EXPONENTES Ley
6. a b
a b
7.
a b
n
m
n
bm an
b n a b a
Ejemplo
3 a b 4
3 4
2 5
2
45 32
4 2 a b 3
Descripción
Para elevar una fracción a una potencia negativa, invierta la fracción y cambie el signo del exponente. Para pasar un número elevado a una potencia del numerador al denominador o del denominador al numerador, cambie el signo del exponente.
D E M O S T R A C I Ó N D E L A L E Y 7 Usando la definición de exponentes negativos y luego la Propiedad 2 de fracciones (página 5), tenemos
a b
n m
1/a n 1/b m
1 # bm an 1
bm an
En el Ejercicio 94 nos piden demostrar la Ley 6.
E J E M P LO 5 negativos
Simplificación de expresiones con exponentes
Elimine exponentes negativos y simplifique cada expresión.
(a)
6st 4 2s 2t 2
(b) a
y b 3z3
2
Q
16
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
L A S M AT E M Á T I C A S E N E L MUNDO MODERNO Aun cuando no observamos su presencia, las matemáticas permean casi todos los aspectos de la vida en el mundo moderno. Con el advenimiento de la moderna tecnología, las matemáticas desempeñan una función cada vez más grande en nuestras vidas. Hoy en día es probable que alguien sea despertado por un reloj de alarma digital, hizo una llamada telefónica con transmisión digital, envió un mensaje de e-mail en la Internet, manejó un auto con inyección controlada digitalmente, escuchó música en un reproductor de CD o MP3, quizá vio televisión digital o un DVD, luego durmió en una habitación cuya temperatura estaba controlada por un termostato digital. En cada una de estas actividades, las matemáticas intervienen en forma decisiva. En general, una propiedad, como por ejemplo la intensidad o frecuencia del sonido, el nivel de oxígeno en la emisión del escape de un auto, los colores en una imagen, o la temperatura de una habitación, son transformados en sucesiones de números por refinados algoritmos matemáticos. Estos datos numéricos, que suelen estar formados por muchos millones de bits (los dígitos 0 y 1), son transmitidos y reinterpretados. Trabajar con estas cantidades enormes de datos no fue posible sino hasta la invención de computadoras, máquinas cuyos procesos lógicos fueron inventados por matemáticos. Las aportaciones de las matemáticas en el mundo moderno no están limitadas a avances tecnológicos. Los procesos lógicos de las matemáticas se emplean ahora para analizar complejos problemas en ciencias sociales, políticas y biológicas en formas nuevas y sorprendentes. Los avances en matemáticas continúan y, algunos de los más emocionantes, se dieron tan sólo en la década pasada. En otro libro, llamado Mathematics in the Modern World, describiremos con más detalle el modo en que las matemáticas influyen en nuestras actividades diarias.
S O LU C I Ó N (a) Usamos la Ley 7, que nos permite pasar un número elevado a una potencia del numerador al denominador (o viceversa) cambiando el signo del exponente. t 4 pasa al denominador y se convierte en t4
6st 4 2s 2t 2 s 2 pasa al numerador y se convierte en s2
6ss 2 2t 2t 4
Ley 7
3s 3 t6
Ley 1
(b) Usamos la Ley 6, que nos permite cambiar el signo del exponente de una fracción al invertir la fracción.
a
y b 3z 3
a
2
3z 3 2 b y
Ley 6
9z 6 y2
Leyes 5 y 4
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 49
Q
W Notación científica Los científicos usan notación exponencial como una forma compacta de escribir números muy grandes y números muy pequeños. Por ejemplo, la estrella más cercana además del Sol, Proxima Centauri, está aproximadamente a 40,000,000,000,000 de km de distancia. La masa del átomo de hidrógeno es alrededor de 0.00000000000000000000000166 g. Estos números son difíciles de leer y escribir, de modo que los científicos por lo general los expresan en notación científica.
NOTACIÓN CIENTÍFICA Se dice que un número positivo x está escrito en notación científica si está expresado como sigue: x
a
10n
donde 1
a
10 y n es un entero
Por ejemplo, cuando decimos que la distancia a la estrella Proxima Centauri es 4 ⫻ 1013 km, el exponente positivo 13 indica que el punto decimal debe recorrerse 13 lugares a la derecha:
4
1013
40,000,000,000,000
Mueva el punto decimal 13 lugares a la derecha
Cuando decimos que la masa de un átomo de hidrógeno es 1.66 ⫻ 10⫺24 g, el exponente ⫺24 indica que el punto decimal debe moverse 24 lugares a la izquierda:
1.66
10
24
0.00000000000000000000000166
Mueva el punto decimal 24 lugares a la izquierda
| Exponentes y radicales 17
SECCIÓN 1.2
E J E M P LO 6
Cambio de notación decimal a científica
En notación científica, escriba cada uno de los números siguientes. (a) 56,920
(b) 0.000093
S O LU C I Ó N
(a) 56,920
104
5.692
(b) 0.000093
4 lugares
9.3
5
10
5 lugares
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 77 Y 79
Para usar notación científica en una calculadora, presione la tecla marcada EE o EXP o EEX para ingresar el exponente. Por ejemplo, para ingresar el número 3.629 ⫻ 1015 en una calculadora TI-83, ingresamos 3.629 2ND
EE 15
Q
Con frecuencia se usa notación científica en una calculadora para ver un número muy grande o uno muy pequeño. Por ejemplo, si usamos calculadora para elevar al cuadrado el número 1,111,111, la pantalla puede exhibir (dependiendo del modelo de calculadora) la aproximación
o
1.234568 12
1.23468
E12
Aquí los dígitos finales indican la potencia de 10 e interpretamos el resultado como
y en la pantalla se lee
1.234568 ⫻ 1012
3.629E15
E J E M P LO 7
Cálculo con notación científica
Si a 0.00046, b el cociente ab/c.
1022, y c
1.697
2.91
10
18
, use calculadora para aproximar
S O LU C I Ó N Podríamos ingresar los datos usando notación científica, o bien, podríamos usar leyes de exponentes como sigue:
ab c
14.6
14.62 11.6972 2.91 2.7
En el Apéndice Cálculo de cifras significativas vea guías para trabajar con cifras significativas.
10 4 2 11.697 2.91
10
10
18
1022 2
4 22 18
1036
Expresamos la respuesta redondeada a dos cifras significativas porque el menos preciso de los números dados se expresa a dos cifras significativas. AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 83 Y 85
Q
W Radicales Sabemos lo que 2n significa siempre que n sea un entero. Para dar significado a una potencia, por ejemplo 24/5, cuyo exponente es un número racional, necesitamos estudiar radicales. El símbolo 1 significa “la raíz positiva de”. Entonces Es cierto que el número 9 tiene dos raíces cuadradas, 3 y ⫺3, pero la notación 19 está reservada para la raíz cuadrada positiva de 9 (a veces llamada raíz cuadrada principal de 9). Si deseamos tener la raíz negativa, debemos escribir 19, que es ⫺3.
1a
significa que
b
b2
a
y
0
b
Como a ⫽ b2 ≥ 0, el símbolo 1a tiene sentido sólo cuando a ≥ 0. Por ejemplo,
19
3
porque
32
9
y
3
0
18
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n. La raíz n de x es el número que, cuando se eleva a la n potencia, dará x.
DEFINICIÓN DE UNA RAÍZ n Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz n principal de a se define como sigue: n 1 a b significa que b n a Si n es par, debemos tener a Por lo tanto,
4 1 81
3
1 8
0yb
0.
1 22
34
porque
3
2
porque
81
y
3
3
0
8
Pero 1 8, 1 8 y 1 8 no están definidas. (Por ejemplo, 1 8 no está definida porque el cuadrado de todo número real es no negativo.) Nótese que 6
4
242
116
21 42 2
116
0
40
a no siempre es verdadera; lo es sólo cuando a ≥ 0. No obsEntonces la ecuación 2a tante, siempre podemos escribir 2a 2 0 a 0. Esta última ecuación es verdadera no sólo para raíces cuadradas, sino para cualquier raíz par. Ésta y otras reglas empleadas para trabajar con raíces n se citan en el recuadro siguiente. En cada propiedad suponemos que existen todas las raíces dadas. 4
pero
4
2
PROPIEDADES DE RAÍCES n Propiedad 1. 2ab 2.
a Bb
n
16 B 81
3. 3 1a
2b n
4
n
0a0
5. 2a n
E J E M P LO 8
si n es par
3 3 2 x x
3 3
3 x2 x
4 (b) 2 81x 8y 4
2 1 52 3 3
4 2 1 32 4
2 3
6 1 729
0
5,
30
1 22 132
6
3
5 5 2 2
2
3
Simplificación de expresiones con raíces n
2x 2x 3
181 4
3
a si n es impar
n
3 3 1 81 27
4 1 16
31729
_ 3a mn
n
4. 2a n
3 (a) 2x 4
3 1 8 # 27
n
2a
n
m
2a2b
Ejemplo
n
n
Factorice el cubo más grande 3 Propiedad 1: 1 ab
3 3 Propiedad 4: 2 a
4 4 8 4 4 2 812 x 2y
4 32 1x 2 2 4 0 y 0
3x 0 y 0 2
3 3 1 a1 b
a
4 Propiedad 1: 2 abc 4 Propiedad 5: 2a 4
Propiedad 5: 2a 4
4
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 55 Y 57
2a 2b2c 4
0a0
4
0 a 0 , 0 x2 0
4
x2
Q
SECCIÓN 1.2
| Exponentes y radicales 19
Con frecuencia es útil combinar radicales semejantes en una expresión, por ejemplo 213 513. Esto se puede hacer usando la Propiedad Distributiva. Así,
213
12
513
52 13
713
El siguiente ejemplo ilustra más aún este proceso.
E J E M P LO 9 Evite el siguiente error:
1a
b
1a
1b
Por ejemplo, si hacemos a ⫽ 9 y b ⫽ 16, entonces vemos el error:
19
16
19
125
3
5
7
116
(a) 132
1200
Combinación de radicales 116 # 2
11612 412
(b) Si b
225b
1100 # 2
0, entonces 2b 3
4
2252b 15
Error!
110012
1012
52b
Factorice los cuadrados más grandes Propiedad 1: 1ab
1412
1a 1b
Propiedad Distributiva
2b 2 2b
Propiedad 1: 1ab Propiedad 5, b
b2b
b2 2b
1a1b
0
Propiedad Distributiva
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 29 Y 33
Q
W Exponentes racionales Para definir lo que significa exponente racional, o bien, lo que es lo mismo, un exponente fraccionario, como por ejemplo a1/3, necesitamos usar radicales. Para dar significado al símbolo a1/n de forma que sea consistente con las Leyes de Exponentes, tendríamos que tener
1a 1/n 2 n
Entonces, por la definición de la raíz n,
a 11/n2n
a 1/n
a1
a
n 1 a
En general, definimos exponentes racionales como sigue:
DEFINICIÓN DE EXPONENTES RACIONALES Para cualquier exponente racional m/n en sus términos más elementales, donde m y n son enteros y n > 0, definimos n 11 a2m
a m/n
o lo que es equivalente
Si n es par, entonces requerimos que a
a m/n
2a m n
0.
Con esta definición se puede demostrar que las Leyes de Exponentes también se cumplen para exponentes racionales.
E J E M P LO 1 0 (a) 41/2 (b) 82/3 (c) 125
14
Uso de la definición de exponentes racionales
1 182 2
2 22
3
1/3
1
4 1125 1
125
1/3
3
Solución alternativa:
1 5
(d )
2x 1
3
82/3
1 4
x 4/3
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 21 Y 23
3 2 2 8
x
3 2 64
4
4/3
Q
20
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
DIOFANTO Vivió en Alejandría hacia el año 250 d.C. Su libro Arithmetica es considerado el primer libro de álgebra donde da métodos para hallar soluciones enteras de ecuaciones algebraicas. Arithmetica fue leído y estudiado durante más de mil años. Fermat (vea página 99) hizo algunos de sus más importantes descubrimientos cuando estudiaba este libro. La mayor aportación de Diofanto es el uso de símbolos para representar las incógnitas en un problema. Aun cuando su simbolismo no es tan sencillo como el que usamos ahora, fue un avance considerable para escribir todo en palabras. En la notación de Diofanto, la ecuación
x5
7x2
8x
5
E J E M P LO 1 1 (a) a 1/3a 7/3 (b)
a 8/3
a 2/5a 7/5
(c) 12a 3b 4 2 3/2 a
(d) a
3/5
2x 3/4 y 1/3
Uso de las leyes de exponentes con exponentes racionales Ley 1: aman
a 2/5
b a
7/5
3/5
1 122 3a 313/22b 413/22 b 1/2
1 y 1/3 2 3
y4
3
x
c
Kå h
zM° ´iskd
Nuestra moderna notación algebraica no entró en uso común sino hasta el siglo XVII.
Ley 4: 1abc2 n
23 1x 3/4 2 3
212a 9/2b 6
24
©
Ley 1, Ley 2:
23/2 1a 3 2 3/2 1b 4 2 3/2
se escribe ©
a 6/5
am am an
Ley 3: 1a m 2 n
# 1y 4x 1/2 2
n
am
n
a n b nc n a mn
Leyes 5, 4 y 7
8x 9/4 4 1/2 #y x y
Ley 3
8x 11/4y 3
Leyes 1 y 2
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 61, 63, 67 Y 69
E J E M P LO 1 2
Simplificación al escribir radicales como exponentes racionales
3 (a) 121x2 131 x2
(b) 3x2x
1xx
12x 1/2 2 13x 1/3 2 2
6x 1/2
1/3
Definición de exponentes racionales
6x 5/6
Ley 1
1x 3/2 2 1/2
x
Q
1/2 1/2
Definición de exponentes racionales Ley 1
3/4
Ley 3
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 71 Y 75
Q
W Racionalización del denominador A veces es útil eliminar el radical en un denominador al multiplicar el numerador y el denominador por una expresión apropiada. Este procedimiento se denomina racionalización del denominador. Si el denominador es de la forma 1a, multiplicamos numerador y denominador por 1a. Al hacer esto multiplicamos por 1 la cantidad dada, de modo que no cambiamos su valor. Por ejemplo,
1 1a
1a a
1 # 1a 1a 1a
1 # 1 1a
Nótese que el denominador de la última fracción no contiene radical. En general, si el den nominador es de la forma 2a m con m n, entonces multiplicar el numerador y denomin n m racionalizará el denominador, porque (para a ⬎ 0) nador por 2a
2a m 2a n n
E J E M P LO 1 3
(a)
2 13
n
m
2a m n
n m
2a n n
a
Racionalización de denominadores
2 # 13 13 13
Esto es igual a 1
213 3
SECCIÓN 1.2 3 1 x
(b)
3 2 2 x
3 2 3 2 x 1x
(c)
1 B a2
7 2 2 a
1
1
7
1
3 1 x
3 1 x x
3 3 2 x
7 5 2 a
7 5 2 a
7 2 7 5 2 a 2a
1
7 7 2 a
| Exponentes y radicales 21
7 5 2 a a
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 89 Y 91
Q
1.2 EJERCICIOS CO N C E P TO S
Expresión radical
1. (a) Usando notación exponencial, podemos escribir el producto 5 ⭈ 5 ⭈ 5 ⭈ 5 ⭈ 5 como ______. (b) En la expresión 34, el número 3 se denomina______,
13.
4
5
2x 5
14.
(b) Cuando dividimos dos potencias con la misma base, 35 ______ los exponentes. Por tanto, 2 ⫽ ______. 3 3 3. (a) Usando notación exponencial, podemos escribir 25 como ______. (c) ¿Hay diferencia entre 252 y 1 15 2 2? Explique.
(b) Usando radicales, podemos escribir 51/2 como ______. 4. Explique qué significa 4 formas diferentes:
141/2 2
3/2
3/2
y, a continuación, calcule 4
o
1432
en dos
5. Explique cómo racionalizar un denominador y luego 1 complete los siguientes pasos para racionalizar : 13 1 1 # 13 13 6. Encuentre la potencia faltante en el siguiente cálculo:
51/3 # 5
5.
HABILIDADES
7. 8.
1 15
11. 12.
17. (a) A 35 B 0 2
1
18. (a) A
2 3 3B
19. (a) 116 20. (a) 164 21. (a) 294
22. (a) 17 128 23. (a) A 49 B
1/2 0.1
24. (a) 1024 25-28
Q
25. 2x 2
27. 19x2 2/3 31. 1 96
13
29. 132
12y2 2/3
11
2
3/2
1.5
2 3 30
(b) A 23 B
2
(b) 116
(c)
(c)
4 1 2 16
6 1 (c) 2 64
148 13
(b) 1 32 2 2/5
z2/3
27 2/3 8B
4 3 2 6. 2 x
4 4 (c) 1 24 1 54
(c)
322/5
25 (c) A 64 B
28. 1xy2 2z
14y
32. 1 48
13
30. 175 4
3 3 4. 2 2y 4
2x 5
3/2
2z
148 4
2y 3
Simplifique cada expresión.
y 10y 0 y
7
z2 z4 z3 z 1
(b) 13y 2 2 14y 5 2 (b) „ 2„ 4„6
(b)
x6 x 10
(b) 12y 2 2 3
2
5 (c) 1 32
4 (b) 1 256
(b) A
2
(c) A 21 2 4 # A 25 2
# 169
(b) 1 64
(b)
3 3 2
(c) A 41 B
4
5
36. (a) x 5x 3
38. (a)
(b)
118
33. 216x
37. (a)
107 104
Simplifique la expresión.
5
Q
(b)
Evalúe la expresión usando x ⫽ 3, y ⫽ 4 y z ⫽ ⫺1.
y2
Q
(c) A 31 B 4 1 3 2 2
(b) 1 3 2 2
3
35. (a) x 8x 2 42/3
5 3 2 5
32 2
35-40
3 2 2 7
9. 10.
Expresión exponencial
Evalúe cada expresión.
Q
16. (a) 54 # 5
29-34
7-14 Q Escriba cada expresión radical usando exponentes, y cada expresión exponencial usando radicales. Expresión radical
15-24
15. (a)
______ los exponentes. Por tanto, 3 ⭈ 3 ⫽ ______.
a2/5
1
y el número 4 se llama______. 2. (a) Cuando multiplicamos dos potencias con la misma base,
Expresión exponencial
(c) x 2x
6
(c) z5z 3z (c)
a 9a a
2
(c) 18x2 2
4
22
| Fundamentos
C A P Í T U LO 1
39. (a) 1a 2a 4 2 3
(b) a
40. (a) 12z2 2 5z10
a2 3 b 4
(c) 13z2 2 16z2 2
(b) 12a 3a 2 2 4
(c) a
3x b 4x 2 4
3
2
41-52 Q Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente(s) negativo(s).
41. (a) 14x 2y 4 2 12x 5y 2
42. (a) b 4 13ab 3 2 12a 2b
43. (a) 15x y 2 13x y 2 44. (a) 1s t 2 1s t2 2 3
2 5 4
2 2 2
4 5 . (a ) 4 6 . (a )
5
2
2
3
6y 3z
(b) 18a 2z 2 A 12a 3z4 B
(b) 12s 3t
2x 3y 4
a 2 5 a 3b 2 3 4 7 . (a ) a b a 3 b b c
2x y 2 x 4 z2 4 8 . (a ) a 5 b a 3 b z 4y
(b )
3 2
4 9 . (a ) 5 0 . (a )
8a 3b 4 2a 5b 5 x 1y
3
3a 5 1 . (a ) a 3 b b
1x 2y 2z2 3 12√3„2 2
1u 1√2 2 2 √3„2
1u 3√ 2 2 3 1r
(b ) a
s 2
(b ) a
1
(b) a
s 2t 4 5 2 . (a ) a b 5s 1t
4 55. 2 16x 8
y
2
5x
b
3 59. 4 264x 6
q 1r
1
5
sq
r
3
2
s 8
xy 2z
3
x 2y 3z
4
b
b
1
62. (a) 14b 2
18b
„ „
1/4
4/3 2/3
6 3 . (a )
64. (a) 18y 2
„1/3
65. (a) 18a b 3
2
2
2/3
66. (a) 1x 5y 1/3 2
6 7 . (a )
18s 3t 3 2 2/3
1s 4t
6 8 . (a ) a
2
3/5
x 8y
16y
b 4/3 4
1/4
2
x 3y 6
1/6
3
3
2
1
x 1/2
8z
4
b
3/2
1/3
1
3 4 (b) 15 2 x2 12 2 x2
3 2 (b) 12 2a2 1 2 a 2 4 7 2 x
(b )
5 3 2 7 4 . (a ) 2 x y 2x 4y 16
(b )
3 7 5 . (a ) 3 y2y
(b )
76. (a) 3s 2s 3
16u 3√ B u√5
(b )
B 2x 5y
Q
4 3 2 x
3 2 8x 2
2x
3
54x 2y 4
Escriba cada número en notación científica.
77. (a) 69,300,000 (c) 0.000028536
(b) 7,200,000,000,000 (d) 0.0001213
78. (a) 129,540,000 (c) 0.0000000014
(b) 7,259,000,000 (d) 0.0007029
Q
Escriba cada número en notación decimal.
79. (a) 3.19 105 (c) 2.670 10
(b) 2.721 (d) 9.999
8
108 10 9
3 2 3 58. 2 a b2 64a 4b
81-82 Q Escriba en notación científica el número indicado en cada enunciado.
(b) 13a
(b )
2 15a
s 5/2 12s 5/4 2 2 3/4 2
(b) 1u √ 2
1/2
2
82. (a) La distancia de la Tierra al Sol es de unos 93 millones de millas.
1/3
2 18y
132y 5z10 2 1/5
(b ) a
1/4 2
12
8y 3/4
yz
3 6
2
b
(b) El diámetro de un electrón alrededor de 0.0000000000004 centímetros.
(b) La masa de una molécula de oxígeno es de unos 0.000000000000000000000053 g.
(b) 14a 6b 8 2 3/2 164y 6z
10
(c) Una gota de agua contiene más de 33 trillones de moléculas.
s 1/2
(b) 12x 3y
(b) 6 1012 (d) 6.257 10
3
81. (a) Un año luz, la distancia que recorre la luz en un año, es alrededor de 5,900,000,000,000 millas.
(b) y 2/3y 4/3
(b )
8 1/4
b a
5 10 54. 2 x
4 6
6 3/2 2/3
4y 3z2/3
80. (a) 7.1 1014 (c) 8.55 10
61-70 Q Simplifique la expresión y elimine cualesquier exponente(s) negativo(s). Suponga que todas las letras denotan números positivos. 1/2
(b ) a
1/6
6 3 2 73. (a) 24st 3 2 st
79-80
3
4 4 2 2 60. 2 x yz
61. (a) x 3/4x 5/4
b
19st 2 a b x b 3s 2 b b a ( b ) a b x 1y a 3/2y 1/3 127s 3t 4 2 2/3 4t 1/3 y 1/2
3
71-76 Q Simplifique la expresión y elimine cualesquier exponente(s) negativo(s). Suponga que todas las letras denotan números positivos.
77-78
3
3 3 6 56. 2 x y
6 57. 2 64a 6b 7
2
x y
3 2 2
53-60 Q Simplifique la expresión. Suponga que las letras denotan cualesquier números reales. 4 4 53. 2 x
ba
10
2a 1b (b ) a 2 3 b ab
2
5xy
(b )
2 5 3
1xy 2z3 2 4
1rs 2 2 3
2/3
4 3 7 2 . (a ) 2 b 2b
(b) 12u 2√3 2 3 13u 3√ 2 2
(b )
x 5y 3
7 0 . (a ) a
x
6 5 3 2 7 1 . (a ) 2 y 2y
(b) 12a b 2 15a b 2 3 2 2
(b )
2yz2
2 A 14s 7tB 116t 4 2
2
6 9 . (a ) a
1/6 1/3
3/2
2
1/3
(c) La masa de la Tierra es de unos 5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg. 83-88 Q Use notación científica, las Leyes de Exponentes, y una calculadora para ejecutar las operaciones indicadas. Exprese su respuesta redondeada al número de dígitos significativos indicados por los datos dados.
83. 17.2
10 9 2 11.806
10
12
2
SECCIÓN 1.2 84. 11.062
85.
86. 87. 88.
1024 2 18.61
1.295643 109 13.610 10 17 2 12.511
173.1 2 11.6341
1019 2
1028 2
10.0000162 2 10.01582 2
98. Deuda nacional Al mes de julio de 2010, la población de Estados Unidos era de 3.070 ⫻ 108, y la deuda nacional era de 1.320 ⫻ 1013 dólares. ¿Cuánto era la parte que adeuda cada persona?
106 2
99. Número de moléculas Una sala sellada de un hospital, con medidas de 5 m de ancho, 10 m de largo y 3 m de alto, está llena de oxígeno puro. Un metro cúbico contiene 1000 L, y 22.4 L de cualquier gas contienen 6.02 ⫻ 1023 moléculas (número de Avogadro). ¿Cuántas moléculas de oxígeno hay en la sala?
0.0000000019
1594,621,000 2 10.0058 2 13.542 15.05
89-92
Q
89. (a)
10 6 2 9
104 2 12
100. ¿A qué distancia puede usted ver? Debido a la curvatura de la Tierra, la distancia máxima D a la que se puede ver desde lo alto de un edificio de altura h se calcula con la fórmula
Racionalice el denominador.
1 110
(b)
2 Bx
(c)
y (c) B 2z
90. (a)
5 B 12
(b)
x B6
91. (a)
1x
(b)
2y
92. (a)
4 1 a
2
3
1
(b)
1
4
(c)
3
3 2 2 b
a
| Exponentes y radicales 23
(c)
x B3
D
22rh
h2
donde r ⫽ 3960 millas es el radio de la Tierra y D y h también se miden en millas. ¿A qué distancia se puede ver desde la cubierta de observación de la Torre CN de Toronto, que está a 1135 pies sobre el suelo?
x y 2/5
Torre CN
1 c 3/7
r
93. Sean a, b y c números reales con a ⬎ 0, b ⬍ 0 y c ⬍ 0. Determine el signo de cada expresión.
(a) b5
(d) 1b
a23
(b) b10 (e) 1b
a24
(c) ab2c3 (f)
a 3c 3 b 6c 6
94. Demuestre las Leyes de Exponentes dadas para el caso en que m y n sean enteros positivos y m ⬎ n. (a) Ley 2
(b) Ley 5
(c) Ley 6
A P L I C AC I O N E S 95. Distancia a la estrella más cercana Proxima Centauri, la estrella más cercana a nuestro sistema solar, está a 4.3 años luz de distancia. Use la información del Ejercicio 81(a) para expresar esta distancia en millas. 96. Velocidad de la luz La velocidad de la luz es de unas 186,000 mi/s. Use la información del Ejercicio 82(a) para hallar cuánto tarda un rayo de luz del Sol en llegar a la Tierra. 97. Volumen de los océanos El promedio de profundidad de los océanos es 3.7 ⫻ 103 m y el área de los océanos es 3.6 ⫻ 1014 m2. ¿Cuál es el volumen total del océano en litros? (Un metro cúbico contiene 1000 litros.)
101. Rapidez de un auto que patina La policía usa la fórmula s 230fd para calcular la rapidez s (en mi/h) a la que un auto se desplaza si patina d pies después de aplicar repentinamente los frenos. El número f es el coeficiente de fricción del pavimento, que es una medida de lo “resbaloso” de la carretera. La tabla siguiente da algunos cálculos comunes para f.
Seco Mojado
Asfalto
Concreto
Grava
1.0 0.5
0.8 0.4
0.2 0.1
(a) Si un auto patina 65 pies en concreto mojado, ¿cuál era su velocidad cuando se aplicaron los frenos? (b) Si un auto corre a 50 mi/h, ¿cuánto patinará en asfalto mojado?
24
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
102. Distancia de la Tierra al Sol Se deduce de la Tercera Ley de Kepler del movimiento planetario, que el promedio de distancia de un planeta al Sol (en metros) es
a
d
GM 1/3 2/3 b T 4p2
105. Límite del comportamiento de potencias Complete las tablas siguientes. ¿Qué ocurre a la n raíz de 2 cuando n se hace grande? ¿Qué se puede decir acerca de la n raíz de 12?
donde M ⫽ 1.99 ⫻ 1030 kg es la masa del Sol, G ⫽ 6.67 ⫻ 10⫺11 N ⭈ m2/kg2 es la constante gravitacional, y T es el período de la órbita del planeta (en segundos). Use el dato de que el período de la órbita de la Tierra es de alrededor de 365.25 días para hallar la distancia de la Tierra al Sol.
DESCUBRIMIENTO
Q
21/n
n
DISCUSIÓN
Q
n 1 2 5 10 100
1 2 5 10 100
Construya una tabla similar para n1/n. ¿Qué ocurre a la n raíz de n cuando n se hace grande?
REDACCIÓN
103. ¿Cuánto es mil millones? Si usted tuviera un millón (106) de dólares en una maleta, y gastara mil dólares (103) al día, ¿cuántos años tardaría en gastarse todo el dinero? Gastando al mismo paso, ¿cuántos años tardaría en vaciar la maleta llena con mil millones (109) de dólares?
106. Comparación de raíces Sin usar calculadora, determine cuál número es más grande en cada par.
(b) A 21 B 1/2 o A 12 B 1/3
(a) 21/2 o 21/3
(d) 15 o 13 3
(c) 71/4 o 41/3
104. Potencias fáciles que se ven difíciles Calcule mentalmente estas expresiones. Use la ley de exponentes como ayuda.
(a )
185 95
A 21 B 1/n
(b) 206 # 10.5 2 6
1.3 E XPRESIONES ALGEBRAICAS Suma y resta de polinomios 䉴 Multiplicación de expresiones algebraicas 䉴 Fórmulas de productos notables 䉴 Factorización de factores comunes 䉴 Factorización de trinomios 䉴 Fórmulas especiales de factorización 䉴 Factorización por agrupación de términos Una variable es una letra que puede representar cualquier número tomado de un conjunto de números dado. Si empezamos con variables, por ejemplo x, y y z, y algunos números reales, y las combinamos usando suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces, obtenemos una expresión algebraica. Veamos a continuación algunos ejemplos:
1x
y 2z y2 4 Un monomio es una expresión de la forma axk, donde a es un número real y k es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres monomios. En general, una suma de monomios se llama polinomio. Por ejemplo, la primera expresión citada líneas antes es un polinomio, pero las otras dos no lo son. 2x 2
3x
4
10
POLINOMIOS Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma a nx n
a n 1x n
1
...
a 1x
a0
donde a0, a1, . . . , an son números reales, y n es un entero no negativo. Si an entonces el polinomio tiene grado n. Los monomios a k x k que conforman el polinomio reciben el nombre de términos del polinomio.
0,
Observe que el grado de un polinomio es la potencia más alta de la variable que aparece en el polinomio.
| Expresiones algebraicas 25
SECCIÓN 1.3 Polinomio 2x x
2
3x
8
4
5x
3
x
5x 9x
Tipo
x
1 3 2x
2
Términos 2
trinomio
2x ,
binomio
8
1
2
1 3 2x ,
8 2
x ,
x, 3
5x, 1
binomio
6
3x, 4
x , 5x
cuatro términos
5
Grado
monomial
9x
monomial
6
3 1
5
5 0
W Suma y resta de polinomios 1a
Propiedad Distributiva ac
bc
Sumamos y restamos polinomios usando las propiedades de números reales que vimos en la Sección 1.1. La idea es combinar términos semejantes (esto es, términos con las mismas variables elevados a las mismas potencias) usando la Propiedad Distributiva. Por ejemplo,
5x 7
b2c
3x 7
15
32x 7
8x 7
Para restar polinomios, tenemos que recordar que si un signo menos precede a una expresión en paréntesis, entonces se cambia el signo de cada término dentro del paréntesis cuando quitemos el paréntesis: 1b c2 b c 3Éste es simplemente el caso de la Propiedad Distributiva, a(b ⫹ c) ⫽ ab ⫹ ac, con a ⫽ ⫺1.4
E J E M P LO 1
Suma y resta de polinomios
(a) Encuentre la suma 1x 3 6x 2 2x (b) Encuentre la diferencia 1x 3 6x 2
(a) 1x 3
1x 3
S O LU C I Ó N
(b) 1x 3
1x 3
6x 2
2x
3
6x 2
x
3
11x
5x 42
x32
6x
1 6x 2
42
2
2x
1x 3
x
x32
2x
2
2
1 6x 2
2x
9x
1x 3 4
4
4
5x 2 2 5x 2
5x 2 5x 2 2 x
3
42 2x 12x
7x2 7x 2
12x
5x 2
1x 3 5x 2 7x 2 . 42 1x 3 5x 2 7x 2 . 7x 2
4
Agrupe términos semejantes Combine términos semejantes
7x 2
7x
Propiedad Distributiva
4
Agrupe términos semejantes Combine términos semejantes
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 15 Y 17
Q
W Multiplicación de expresiones algebraicas Para hallar el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas, es necesario usar repetidamente la Propiedad Distributiva. En particular, usándola tres veces en el producto de dos binomios, obtenemos
El acrónimo FOIL nos ayuda a recordar que el producto de dos binomios es la suma de los productos de los primeros (First) términos, los términos externos (Outer), los términos internos (Inner) y los últimos (Last).
1a
b2 1c
d2
a1c
d2
b1c
d2
ac
ad
bc
bd
Esto dice que multiplicamos los dos factores al multiplicar cada término de un factor por cada término del otro factor y sumamos estos productos. Esquemáticamente, tenemos
1a
b2 1c
d2
ac
ad
bc
bd
F
O
I
L
26
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos En general, podemos multiplicar dos expresiones algebraicas usando para ello la Propiedad Distributiva y las Leyes de Exponentes.
E J E M P LO 2 12x
Multiplicación de binomios usando FOIL
12 13x
6x2
52
10x
F
O
6x2
7x
3x
5
I
L
5
Propiedad Distributiva
Combine términos semejantes
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 23
Q
Cuando multiplicamos trinomios u otros polinomios con más términos, usamos la Propiedad Distributiva. También es útil acomodar nuestro trabajo en forma de tabla. El siguiente ejemplo ilustra ambos métodos.
Encuentre el producto: 12x
E J E M P LO 3 12x
32 1x2
42
12x # x
10x2
3
2
2x1x2 12x3
2x
5x
7x
8x 2
7x
13 # x
31x2
42
2x # 5x
2
5x
42
Usando la Propiedad Distributiva
S O LU C I Ó N 1 :
5x
32 1x 2
Multiplicación de polinomios
5x
2x # 42 12
13x2
42
Propiedad Distributiva
3 # 5x
2
15x
3 # 42
122
Propiedad Distributiva Leyes de Exponentes Combine términos semejantes
Usando forma de tabla
S O LU C I Ó N 2 :
x2
5x 2x 15x 8x 7x
3x2 10x2 7x2
3
2x 2x3
4 3 12
Multiplique x 2
5x
4 por 3
2
5x
4 por 2 x
Multiplique x
12
Sume términos
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 45
Q
W Fórmulas de productos notables Ciertos tipos de productos se presentan con tanta frecuencia que es necesario aprenderlos. Se pueden verificar las siguientes fórmulas al ejecutar las multiplicaciones. Vea en el Proyecto de descubrimiento, citado en la página 34, una interpretación geométrica de algunas de estas fórmulas.
FÓRMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES 1. 1A
Si A y B son números reales cualesquiera o expresiones algebraicas, entonces B 2 1A B 2 A2 B 2 Suma y producto de términos iguales
2. 1A
B22
5. 1A
B2
3. 1A 4. 1A
B22
A2
2AB
B2
Cuadrado de una suma
A2
2AB
B2
Cuadrado de una diferencia
A3
3A2B
3AB 2
B3
3
3
2
3
B23
A
2
3A B
3AB
B
Cubo de una suma Cubo de una diferencia
SECCIÓN 1.3
| Expresiones algebraicas 27
La idea clave en el uso de estas fórmulas (o cualquier otra fórmula en álgebra) es el Principio de Sustitución: podemos sustituir cualquier expresión algebraica por cualquier letra en una fórmula. Por ejemplo, para hallar (x2 ⫹ y3)2 usamos la Fórmula 2 de Productos, sustituyendo x2 por A y y3 por B, para obtener
1x 2
y322
B)2
(A
E J E M P LO 4 (a) 13x
1x 2 2 2
21x 2 2 1 y 3 2
A2
1y 3 2 2
B2
2AB
Uso de las fórmulas de productos notables (b) 1x 2
Use las fórmulas de productos notables para hallar cada producto.
52 2
22 3
S O LU C I Ó N (a) Sustituyendo A ⫽ 3x y B ⫽ 5 en la Fórmula 2 de Productos, obtenemos:
13x
13x2 2
52 2 1x 2
1x 2 2 3
213x2 152
52
31x 2 2 2 122
9x 2
30x
31x 2 2 122 2
25
(b) Sustituyendo A ⫽ x2 y B ⫽ 2 en la Fórmula 5 de Productos, obtenemos:
22 3
x6
6x 4
12x 2
23
8
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 29 Y 41
E J E M P LO 5 (a) 12x
Q
Uso de las fórmulas de productos notales
1y2 12x
(b) 1x
1y2
Encuentre cada producto. S O LU C I Ó N (a) Sustituyendo A
12x
1y2 12x
2x y B
y
12 1x
y
12
1y en la Fórmula 1 de Productos, obtenemos: 1y2
12x2 2
1 1y2 2
4x2
y
(b) Si agrupamos x ⫹ y y la vemos como una expresión algebraica, podemos usar la Fórmula 1 de Productos con A ⫽ x y B ⫽ 1.
1x
y
12 1x
y
12
3 1x 1x x2
y2 y2 2 2xy
14 3 1x y 2 12 y2 1
14 Fórmula de Producto 1 Fórmula de Producto 2
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 55 Y 59
Q
W Factorización de factores comunes Usamos la Propiedad Distributiva para expandir expresiones algebraicas. A veces necesitamos invertir este proceso (de nuevo usando la Propiedad Distributiva) al factorizar una expresión como un producto de otras más sencillas. Por ejemplo, podemos escribir
x2
4
1x
Decimos que x – 2 y x ⫹ 2 son factores de x2 – 4.
22 1x
22
28
| Fundamentos
C A P Í T U LO 1
El tipo más sencillo de factorización se presenta cuando los términos tienen un factor común.
E J E M P LO 6
Factorización de factores comunes
Factorice lo siguiente.
(a) 3x 2 (c) 12x
22
32
51x
6x 3y 3
2xy 4
32 3x 1x
(a) El máximo factor común en los términos 3x2 y ⫺6x es 3x, de modo que tenemos
La multiplicación da 3x 2
(b) 8x 4y 2
S O LU C I Ó N
V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
3x1x
6x 42 1x
6x
3x 2
6x
(b) Observamos que
22
8, 6 y ⫺2 tienen el máximo factor común 2 x4, y3 y x tienen el máximo factor común x y2, y3 y y4 tienen el máximo factor común y2
V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
2xy 2 14x 3
y2 2
3x 2y 4 2
3 3
8x y
6x y
12xy 2 2 14x 3 2
12xy 2 2 13x 2y2
12xy 2 2 1 y 2
Por tanto, el máximo factor común de los tres términos del polinomio es 2xy2, y tenemos
La multiplicación da
8x 4y 2 2xy
4
6x 3y 3
2xy 2 14x 3
2xy 4
12x
42 1x
3 12x
(c) Los dos términos tienen el factor común x ⫺ 3.
32
51x
12x
32
y22
3x 2y
12 1x 42
54 1x
32
Propiedad Distributiva
32
Simplifique
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 61, 63 Y 65
Q
W Factorización de trinomios 1x
r2 1x
s2
1r
Para factorizar un trinomio de la forma x2 ⫹ bx ⫹ c, observamos que
x2
s2x
rs
por lo que necesitamos escoger números r y s tales que r ⫹ s ⫽ b y rs ⫽ c.
Factorizar x 2 ⫹ bx ⫹ c por ensayo y error.
E J E M P LO 7 Factorice: x 2 32 1x
42
La multiplicación da x2
7x
12
SOLUCIÓN Necesitamos hallar dos enteros cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 7. Por ensayo y error encontramos que los dos enteros son 3 y 4. Entonces, la factorización es
V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
1x
7x
12
x2
7x
12
1x
32 1x
42
factores de 12
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 67
Para factorizar un trinomio de la forma ax2 ⫹ bx ⫹ c con a ⫽ 1, buscamos factores de la forma px ⫹ r y qx ⫹ s:
factores de a
ax 2
bx
c
Ó px
rÔÓqx
Q
sÔ
factores de c
ax 2
bx
c
1 px
r2 1qx
s2
pqx 2
1 ps
qr2x
rs
Por tanto, tratamos de hallar números p, q, r y s tales que pq ⫽ a y rs ⫽ c, ps ⫹ qr ⫽ b. Si estos números son enteros todos ellos, entonces tendremos un número limitado de posibilidades de intentar conseguir p, q, r y s.
SECCIÓN 1.3
| Expresiones algebraicas 29
Factorización de ax 2 ⫹ bx ⫹ c por ensayo y error
E J E M P LO 8 Factorice: 6x 2
7x
5
S O LU C I Ó N Podemos factorizar 6 como 6 ⭈ 1 o 3 ⭈ 2 y ⫺5 como ⫺5 ⭈ 1 o 5 ⭈ (⫺1). Al tratar estas posibilidades, llegamos a la factorización factores de 6
V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
13x
5 2 12x
12
6x 2
La multiplicación da 6x 2
7x
7x
13x
5
5
52 12x
12
factores de
5
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 69
E J E M P LO 9
Reconocer la forma de una expresión (b) 15a
Factorice lo siguiente.
(a) x 2
2x
Q
3
12 2
(a) x 2 2x 3 1x 32 1x 12 (b) Esta expresión es de la forma S O LU C I Ó N
215a
12
3
Ensayo y error 2
2
3
donde representa 5a ⫹ 1. Ésta es la misma forma que la expresión de la parte (a), de 321 12. modo que se factoriza como 1 1 5a
1 22
12
21 5a
3
31 5a
15a
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 71
12
22 15a
34 31 5a 22
12
14
Q
W Fórmulas especiales de factorización Algunas expresiones algebraicas notables se pueden factorizar usando las fórmulas que siguen. Las tres primeras son simplemente Fórmulas de Productos Notables escritas a la inversa.
FÓRMULAS ESPECIALES DE FACTORIZACIÓN Fórmula 1. A2
B2
2
2. A
2AB
3. A2
2AB
3
3
4. A
B
5. A3
B3
1A
B
2
1A
B2
1A
1A
B 2 1A
2
B2
B2
Diferencia de cuadrados
B22 2
Cuadrado perfecto
B 2 B2 2 2
AB AB
Cuadrado perfecto Diferencia de cubos Suma de cubos
Factorización de diferencias de cuadrados (b) 1x
Factorice lo siguiente.
25
1A
B 2 1A2
E J E M P LO 1 0 (a) 4x 2
B 2 1A
Nombre
y22
z2
30
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
L A S M AT E M Á T I C A S E N E L MUNDO MODERNO
S O LU C I Ó N
4x 2
Cambio de palabras, sonido e imágenes en números Imágenes, sonido y texto se transmiten rutinariamente de un lugar a otro por la Internet, aparatos de fax o módem. ¿Cómo pueden estas cosas transmitirse por cables telefónicos? La clave para hacer esto es cambiarlas en números o bits (los dígitos 0 o 1). Es fácil ver cómo cambiar texto a números. Por ejemplo, podríamos usar la correspondencia A ⫽ 00000001, B ⫽ 00000010, C ⫽ 00000011, D ⫽ 00000100, E ⫽ 00000101, y así sucesivamente. La palabra “BED” (CAMA) se convierte entonces en 000000100000010100000100. Al leer los dígitos en grupos de ocho, es posible transformar este número de nuevo a la palabra “BED”. Cambiar sonidos a bits es más complicado. Una onda de sonido puede ser graficada en un osciloscopio o en computadora. La gráfica se descompone a continuación matemáticamente en componentes más sencillos correspondientes a las diferentes frecuencias del sonido original. (Aquí se usa una rama de las matemáticas de nombre Análisis de Fourier.) La intensidad de cada componente es un número, y el sonido original puede reconstruirse a partir de estos números. Por ejemplo, se almacena música en un CD como una sucesión de bits; puede verse como 101010001010010100101010 1000001011110101000101011…. (Un segundo de música requiere 1.5 millones de bits). El reproductor de CD reconstruye la música a partir de los números presentes en el CD. Cambiar imágenes a números comprende expresar el color y brillantez de cada punto (o píxel) en un número. Esto se hace en forma muy eficiente usando una rama de las matemáticas llamada teoría ondulatoria. El FBI emplea trenes de ondas como forma compacta de almacenar en archivo millones de huellas dactilares que necesitan.
12x2 2
12x
52 12x
(a) Usando la fórmula de Diferencia de Cuadrados con A ⫽ 2x y B ⫽ 5, tenemos
25
A2
1x
y22
52 B2
1x
(A
B)(A
z2 1x
52 B)
z2
(b) Usamos la fórmula de Diferencia de Cuadrados con A ⫽ x ⫹ y y B ⫽ z.
z2
y
y
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 75 Y 109
E J E M P LO 1 1
Q
Factorización de diferencias y sumas de cubos
Factorice cada polinomio.
(a) 27x 3
(b) x 6
1
8
S O LU C I Ó N (a) Usando la fórmula de la Diferencia de Cubos con A ⫽ 3x y B ⫽ 1, obtenemos
27x 3
13x2 3
13x
1
12 19x 2 13
1x 2 2 3
13x
3x
12 3 13x2 2
13x 2 112
12
1x 2
22 1x 4
12 4
(b) Usando la fórmula de Suma de Cubos con A ⫽ x2 y B ⫽ 2, tenemos
x6
8
23
2x 2
42
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 77 Y 79
Q
Un trinomio es un cuadrado perfecto si es de la forma
A2
2AB
B2
A2
o
2AB
B2
Por lo tanto, reconocemos un cuadrado perfecto si el término medio (2AB o ⫺2AB) es más o menos dos veces el producto de las raíces cuadradas de los dos términos externos.
E J E M P LO 1 2
Reconocer cuadrados perfectos
Factorice cada trinomio.
(a) x 2
6x
9
(b) 4x 2
4xy
y2
S O LU C I Ó N (a) Aquí A ⫽ x y B ⫽ 3, de modo que 2AB ⫽ 2 ⭈ x ⭈ 3 ⫽ 6x. Como el término medio es 6x, el trinomio es un cuadrado perfecto. Por la fórmula del Cuadrado Perfecto tenemos
x2
6x
9
1x
32 2
(b) Aquí A ⫽ 2x y B ⫽ y, de modo que 2AB ⫽ 2 ⭈ 2x ⭈ y ⫽ 4xy. Como el término medio es ⫺4xy, el trinomio es un cuadrado perfecto. Por la fórmula del Cuadrado Perfecto tenemos
4x 2
4xy
y2
12x
y22
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 105 Y 107
Q
Cuando factorizamos una expresión, a veces el resultado puede factorizarse aún más. En general, primero factorizamos factores comunes y luego inspeccionamos el resultado para ver si puede ser factorizado por cualquiera de los otros métodos de esta sección. Repetimos este proceso hasta que hayamos factorizado completamente la expresión.
| Expresiones algebraicas 31
SECCIÓN 1.3
E J E M P LO 1 3
Factorizar por completo una expresión
Factorice por completo cada expresión.
(a) 2x 4
8x 2
(b) x 5y 2
xy 6
S O LU C I Ó N (a) Primero factorizamos la potencia de x que tenga el exponente más pequeño.
2x 2 1x 2
2x 2 1x
8x 2
2x 4
xy 2 1x 4
22 1x 42
El factor común es 2x 2
22
y42
Factorice x 2
4 como una diferencia de cuadrados
(b) Primero factorizamos las potencias de x y de y que tengan los exponentes más pequeños.
x 5y 2
xy 2 1x 2
xy 6
y 2 2 1x 2
xy 2 1x 2
y22
y 2 2 1x
El factor común es xy 2
y 2 1x
y2
Factorice x 4
y 4 como una diferencia de cuadrados
Factorice x 2
y 2 como una diferencia de cuadrados
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 115 Y 117
Q
En el siguiente ejemplo factorizamos variables con exponentes fraccionarios. Este tipo de factorización se presenta en cálculo.
E J E M P LO 1 4
Factorizar expresiones con exponentes fraccionarios (b) 12
Factorice lo siguiente.
(a) 3x 3/2
9x 1/2
1/2
6x
12
2/3
x2
x
x 2 1/3
S O LU C I Ó N (a) Factorice la potencia de x que tenga el exponente más pequeño, es decir, x⫺1/2. Para factorizar x⫺1/2 de x 3/2, restamos exponentes:
x
3/2
1x
1x 3/2
x
1/2
x
1/2
x
1/2
3/2
1x 2 2
1 1/22
1/2
2
2
3x 3/2
9x 1/2
6x
1/2
1x 2
1x
3x
1/2
3x
1/2
12 1x 3x
22
Factorice 3x
22
1/2
Factorice la ecuación de segundo grado x 2 3x
2
(b) Factorice la potencia de 2 ⫹ x que tenga el exponente más pequeño, es decir, (2 ⫹ x)⫺2/3
12
x2
2/3
x
12
x 2 1/3
12
12
212 V E R I F I Q U E S U S R E S P U E S TA S
1x 2
x2
x2 x2
2/3
3x
12
2/3
2/3
11
(b) 12
12
2x2
x2 4
Factorice 12
2/3
Simplifique Factorice 2
x2 x2
x2
3x
12
x2 4
Para ver que haya factorizado correctamente, multiplique usando las Leyes de Exponentes. (a) 3x
1/2
3x 3/2
3x
22
9x 1/2
6x
1/2
12
2/3
x2
2/3
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 91 Y 93
x
12
x 2 1/3
Q
W Factorización por agrupación de términos Los polinomios con al menos cuatro términos pueden factorizarse a veces por agrupación de términos. El siguiente ejemplo ilustra la idea.
E J E M P LO 1 5
Factorización por agrupación
Factorice lo siguiente. (a) x 3 x 2 4x 4
(b ) x 3
2x 2
3x
6
32
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos 1x 3
S O LU C I Ó N
(a) x 3
(b) x
3
x2
2x
4x
2
x 2 1x
4
3x
6
1x
1x 2
x 1x 1x
3
x22
14x
42 1x 12
41x
2x 2
12
Factorice factores comunes
13x
32 1x 22
2
Agrupe términos
12
2
2
42
31x
Factorice x
62
1 de cada término
Agrupe términos
22
Factorice factores comunes
22
Factorice x
2 de cada término
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 83
Q
1.3 EJERCICIOS CO N C E P TO S
Polinomio 5
4
1. Considere el polinomio 2x ⫹ 6x ⫹ 4x .
9.
¿Cuántos términos tiene este polinomio? _____
Factorice el polinomio: 2x5 ⫹ 6x4 ⫹ 4x3 ⫽ _____. 2. Para factorizar el trinomio x2 ⫹ 7x ⫹ 10, buscamos dos enteros cuyo producto sea____ y cuya suma sea____. Estos enteros son ___ y ___, de modo que el trinomio se factoriza como_____. 3. La fórmula de productos notables para la “suma de un cuadrado” 2
es (A ⫹ B) ⫽ ______. 2
Por tanto, (2x ⫹ 3) ⫽ ______. 4. La fórmula de productos notables para la “suma y diferencia de los mismos términos” es (A ⫹ B)(A ⫺ B) ⫽ _________. Entonces (5 ⫹ x)(5 ⫺ x) ⫽ __________. cuadrados” es A2 ⫺ B2 ⫽ ______. Entonces, 4x2 ⫺ 25 se factoriza como _______. 6. La fórmula de factorización especial para un “cuadrado perfecto” es A2 ⫹ 2AB ⫹ B2 ⫽ ______. Entonces x2 ⫹ 10x ⫹ 25 se factoriza como _________.
7-12 Q Complete la tabla siguiente diciendo si el polinomio es un monomio, binomio o trinomio; a continuación, haga una lista de sus términos y exprese su grado.
8. 2x
5
Tipo
4x
2
x3
12. 12 x 13. 112x
13-22
Q
15. 13x
16. 13x
17. 1x
2
2
x4
13
15x
72
6x
18. 31x
12
4x 41x
22
12
x 2
12x
122
12x
12
x
3
2
3x
2
13x
72
19. 812x
52
71x
92
2
3x
t 1t
31x 2
20. 41x
22. 513t
14. 15
12x
Encuentre la suma, diferencia o producto.
5t2 42
52
1t
2
2
12 22
52
3x
82
52 2
2x
2x
12
1t
3x2
4
12
2t1t
32
42
23-28 Q Multiplique las expresiones algebraicas usando el método FOIL y simplifique.
23. 13t
25. 13x
2 2 17t
5 2 12x
27. 1x
3y 2 12x
29. 13x
422
35. 1x
5 2 1x
24. 14s
42
26. 17y
12
28. 14x
y2
1 2 12s
3 2 12y
5y2 13x
52
12
y2
29-44 Q Multiplique las expresiones algebraicas usando una fórmula de producto notable y simplifique.
HABILIDADES
7
x2
21. 212
5. La fórmula de factorización especial para “la diferencia de
3x
Grado
8
11. x
¿Cuál factor es común a cada término?_____
7. x 2
Términos
10. 12 x 7
Enliste los términos:______
Polinomio
Tipo
3
Términos
Grado
31. 12u
33. 12x
37. 13x
39. 1 1x
√22
3y2 2 4 2 13x
30. 11
52
2 2 1 1x
32. 1x
42
34. 1r
22
36. 1y
38. 12y
40. 1 1y
3y 2 2
2y2 2
3 2 1y
2s2 2
5 2 12y
32
52
12 2 1 1y
12 2
| Expresiones algebraicas 33
SECCIÓN 1.3 41. 1y
43. 11
45. 1x 45-60
223
2r 2
42. 1x
47. 12x
49. 1x1x
5 2 1x 2
53. 1x 2
a 2 2 1x 2
51. y 1/3 1y 2/3
55. 1 1a
56. 1 2h 57. 11x
2
58. 1x
b 2 1 1a
12
12
x 2 2 1x
12
2
12
2
3 2 12x 2
y
12
3
63. y1y 2
65. 2x y
62
91y 2
6xy
67. x 2
2x
z2 1x
y
64. 1z
62. 2x
66.
222
4
4x
3
69. 8x 2
14x
15
73. 13x
16x
222
5
b22
813x
71. 3x 2 74. 21a
22
b2
51a
113. 8x
14x
7x y
14xy
21xy
4
6x
70. 6y 2
11y
79. 8s 3 81. x 2
72. 5x 2
7x
3
y3
78. a 3
125t 3
80. 1
1000y 3
83-88
4x 2
x
24z
85. 2x 3
x2
6x
3
x
2
84. 3x 3
4
9
88. x
1
x
x2
9x 3
86.
3
5
4
2 3x
1
1
x
89-94 Q Factorice por completo la expresión. Empiece por factorizar la potencia más baja de cada factor común.
89. x 5/2
x 1/2
93. 1x 2
1 2 1/2
91. x
94. x
3/2
1/2
95-124
Q
95. 12x
3
97. x 2
1/2
2x
1x
92. 1x
90. 3x
x 1/2
1 2 1/2
12
x 1/2 1x
21x 2
12
1/2
1 2 7/2
1x
4x 1/2
1/2
1/2
Factorice por completo la expresión.
18x 2x
8
96. 30x 3 98. x 2
25
1 0 8. r
6rs
9s 2
1 2 b x
1 1 4. x
22
2
27x
y 1y 5
71a
1x
22
12
2
21a 2
1 2 1x
22
120. 3x 3
2
4
2a 2
12
41a 2
64
2xy 4
118. 18y x 2
1 2 b x
a1
12b2
6
3 2
42 4 12x 2 1x 12 2 12 2 1x
13x 32
1/2
1/3
22 4
2 2 2 3 x 1x
42 1/2
32 1/2
5x 2
6x
10
10 3
1a 2
b 2 2 1c 2
1x 2
3 1/2 2 x 13x
129. (a) Demuestre que ab (b) Demuestre que 1a 2 (c) Demuestre que
d22
32
42 5 142 1x
12 3 A 12 B 1x
12x
4/3
1 2 3 1a 2 2
b 2
1ac
1/2
42
b2 2 1a 2
bd2 2
(d) Factorice por completo: 4a 2c 2
22 3 1/2
32
1a 2 b 2 2 4 . b 2 2 2 4a 2b 2.
1a 2
1ad
c 2 2 2.
bc2 2
b2
1 2 3/2
x 3/2
131. Volumen de concreto Se construye una alcantarilla con grandes capas cilíndricas vaciadas en concreto, como se muestra en la figura. Usando la fórmula para el volumen de un cilindro dada al final de este libro, explique por qué el volumen de la capa cilíndrica es
V
48
pR 2h
pr 2h
Factorice para demostrar que V ⫽ 2π ⭈ radio promedio ⭈ altura ⭈ grosor Use el diagrama “desenrollado” para explicar por qué esto tiene sentido geométricamente hablando.
R
r h
15x 4 14x
10x
2
A P L I C AC I O N E S
6x
3x 2 x
2a 2 2 2
1 0 6. x
116. 3x 3 x
3
9s
3
2
2
112. 1a 2
12
91x 2
2
4
130. Verifique las fórmulas especiales de factorización 4 y 5 al expandir sus lados derechos.
Factorice la expresión agrupando términos.
Q
83. x 3 87. x
4
b6
82. 16z2
36
12
10x
125-128 Q Factorice por completo la expresión. (Este tipo de expresión aparece en cálculo cuando se usa la “Regla del Producto”.)
128. 21 x
6
322
12x
22
2
127. 1x 2
21
76. 1x
77. 27x 3
1 2 1x
7x
102. 8x 2
1 1 0. a 1
x
4x 2
126. 312x
5
b22
125
125. 51x 2
12
16
12
1a
x y
124. 1a 2
22 3
y
2
2 5
122. y 1y 123. 1a
9
2x 2
4
100. 2x 2 104. 4t
b2 2
3
121. 1x
2
45
4xy
115. x 3
z2
3
6t 2
111. x 2 1x 2
75-82 Q Use una fórmula de factorización especial para factorizar la expresión.
75. 9a 2
4y
2
109. 1a
y 1/2 2
y
51z
4 2
68. x 2
3
103. 49
2
107. 4x
Factorice el trinomio.
Q
36x
119. 2x 3
3 2 60. 1x
3xy
101. 9x 2
117. x y
2
62
16x
5x
4 3
x 22 2
x 1/4 2
y 1/2 2 1x 1/2
x 2
1
3x
99. 2x 2
105. t
12
x
1/ 1x 2
52. x 1/4 12x 3/4
54. 1x 1/2
1 2 1 2h
x 2 11x
1
50. x 3/2 1 1x
a2 2
b2
2x2 1x 2
Factorice el factor común.
Q
67-74
1 2 12x 2
48. 11
12
x
y 5/3 2
y
2x
46. 1x
32
2x
1x2
12
59. 12x 61.
2y2
3
Ejecute las operaciones indicadas y simplifique.
Q
61-66
44. 13
3
2 2 1x 2
323
h
34
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
132. Podar un campo Cada semana, un campo cuadrado de cierto parque estatal es podado alrededor de los bordes. El resto del campo se mantiene sin podar para que sirva como hábitat para aves y animales pequeños (vea la figura). El campo mide b pies por b pies, y la franja podada es de x pies de ancho. (a) Explique por qué el área de la parte podada es b2 ⫺ (b ⫺ 2x)2. (b) Factorice la expresión de la parte (a) para demostrar que el área de la parte podada también es 4x(b ⫺ x).
135. Diferencias de potencias pares (a) Factorice por completo las expresiones: A4 ⫺ B4 y A6 ⫺ B6. (b) Verifique que 18,335 ⫽ 124 ⫺ 74 y que 2,868,335 ⫽ 126 ⫺ 76. (c) Use los resultados de las partes (a) y (b) para factorizar los enteros 18,335 y 2,868,335. A continuación demuestre que en estas dos factorizaciones todos los factores son números primos. 136. Factorización de An − 1 Verifique estas fórmulas al expandir y simplificar el lado derecho.
b x
A2
1
A3
1
4
x
DESCUBRIMIENTO
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
133. Grados de sumas y productos de polinomios Forme varios pares de polinomios y, a continuación, calcule la suma y producto de cada par. Con base en sus experimentos y observaciones, conteste las siguientes preguntas.
134. El poder de las fórmulas algebraicas Use la fórmula de una diferencia de cuadrados para factorizar 172 ⫺ 162. Nótese que es fácil calcular mentalmente la forma factorizada pero no es tan fácil calcular la forma original en esta forma. Evalúe mentalmente cada expresión:
(a) 5282 5272 (b) 1222 1202 (c) 10202 10102
B2 1A
A continuación, use la fórmula de productos notables
B2
2
A
B
2
para evaluar mentalmente estos productos: (d) 79 ⭈ 51 (e) 998 ⭈ 1002
12 1A
12
2
A
A
12
3x 2
1x 2
4
42 1x 2
12
Pero x4 ⫹ 3x2 ⫹ 4 no se puede factorizar así. En cambio, podemos usar el siguiente método.
x4
3x 2
4
(a) ¿Cómo está relacionado el grado del producto con los grados de los polinomios originales? (b) ¿Cómo está relacionado el grado de la suma con los grados de los polinomios originales?
1A
1A
A
3
137. Factorización de x4 ⫹ ax2 ⫹ b A veces se puede factorizar con facilidad un trinomio de la forma x4 ⫹ ax2 ⫹ b. Por ejemplo,
x4 Q
12 1A2
12
Con base en el patrón mostrado en esta lista, ¿cómo piensa usted que sería posible factorizar A5 ⫺ 1? Verifique su conjetura. Ahora generalice el patrón que haya observado para obtener una fórmula de factorización para An ⫺ 1, donde n es un entero positivo.
x
x
12 1A
1A
1
A
b
1A
1x 4
1x 2
3 1x 2
1x 2
4x 2
42
22 2
x2
22 x
x 4 3 1x 2
22 1x 2
Sume y reste x2
x2
Factorice el cuadrado perfecto
22 x
x4
Diferencia de cuadrados
22
Factorice lo siguiente, usando cualquier método apropiado.
(a) (b) (c) (d)
P
x4 x4 x4 x4
x2 2 2x 2 9 4x 2 16 2x 2 1
PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO
Visualización de una fórmula
En este proyecto descubrimos interpretaciones geométricas de algunas fórmulas de productos notables. El lector puede hallar el proyecto en el sitio web del libro: www.stewartmath.com
SECCIÓN 1.4
| Expresiones racionales 35
1.4 E XPRESIONES RACIONALES Dominio de una expresión algebraica 䉴 Simplificación de expresiones racionales 䉴 Multiplicación y división de expresiones racionales 䉴 Suma y resta de expresiones racionales 䉴 Fracciones compuestas 䉴 Racionalización del denominador o el numerador 䉴 Evitar errores comunes El cociente de dos expresiones algebraicas se denomina expresión fraccionaria. A continuación veamos algunos ejemplos:
1x 3 x 1
2x 1
x
2 4
y y2
Una expresión racional es una expresión fraccionaria donde el numerador y el denominador son polinomios. Por ejemplo, las siguientes son expresiones racionales:
2x x
x3
x 1
x
2
1
x
2
x 5x
6
En esta sección aprendemos a ejecutar operaciones algebraicas de expresiones racionales.
W Dominio de una expresión algebraica Expresión
1 x
1x 1 1x
Dominio
5x 0 x 5x 0 x
5x 0 x
06 06 06
En general, una expresión algebraica puede no estar definida para todos los valores de la variable. El dominio de una expresión algebraica es el conjunto de números reales que se permite tenga la variable. La tabla al margen de esta página da algunas expresiones básicas y sus dominios.
E J E M P LO 1
Hallar el dominio de una expresión
Encuentre los dominios de las siguientes expresiones.
(a) 2x 2
3x
(b)
1
x 5x
x2
(c)
6
x
1x 5
S O LU C I Ó N (a) Este polinomio está definido para toda x. Entonces, el dominio es el conjunto números reales. (b) Primero factorizamos el denominador.
x2
x 5x
6
1x
x 22 1x
de
32
El denominador sería 0 si x 2ox 3
Como el denominador es cero cuando x ⫽ 2 o 3, la expresión no está definida para estos números. El dominio 5x 0 x ⫽ 2 y x ⫽ 36. (c) Para que el numerador esté definido, debemos tener x ≥ 0. Tampoco podemos dividir entre 0, de modo que x ⫽ 5. Asegúrese de tener x 0 para tomar la raíz cuadrada
1x x 5
Entonces, el dominio es 5x 0 x ≥ 0 y x ⫽ 56.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 11
El denominador sería 0 si x 5
Q
36
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
W Simplificación de expresiones racionales Para simplificar expresiones racionales, factorizamos el numerador y el denominador y usamos la siguiente propiedad de fracciones:
AC BC
A B
Esto nos permite cancelar factores comunes del numerador y el denominador.
E J E M P LO 2 Simplifique:
Simplificación de expresiones racionales por cancelación x2
x
2
1 2
x
S O LU C I Ó N
x2
No podemos cancelar las x2 en x x2
2
1 x
2
x
2
1 x
2
porque x2 no es un factor.
1x 1x
x x
12 1x 12 1x
12 22
Factorice
1 2
Cancele factores comunes
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 17
Q
W Multiplicación y división de expresiones racionales Para multiplicar expresiones racionales, usamos la siguiente propiedad de fracciones:
A#C B D
AC BD
Esto dice que para multiplicar dos fracciones multiplicamos sus numeradores y multiplicamos sus denominadores.
E J E M P LO 3
Multiplicación de expresiones racionales x2 x2
2x 8x
32 31x # x 42
42 1
Ejecute la multiplicación indicada y simplifique: S O LU C I Ó N
x2 x2
2x 8x
1x
12 1x
3 # 3x 16 x
12 1
Primero factorizamos.
3 3x # 16 x
12 1
31x 31x x
1x
1x
12 1x
32 4
2
12 1x
32 1x
42
42 2
Factorice
Propiedad de fracciones Cancele factores comunes
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 25 Para dividir expresiones racionales, usamos la siguiente propiedad de fracciones:
A B
C D
A#D B C
Q
SECCIÓN 1.4
| Expresiones racionales 37
Esto dice que para dividir una fracción entre otra fracción, invertimos el divisor y multiplicamos.
E J E M P LO 4
División de expresiones racionales
Ejecute la división indicada y simplifique:
x2 x2
4 4
x x2
3x 5x
4 6
S O LU C I Ó N
4 4
x x2
x2 x2
3x 5x
4 6
4 x2 # 4 x2
x x2
5x 3x
6 4
1x 42 1x 22 1x 32 1x 22 1x 22 1x 42 1x 12 1x
x 3 22 1x
12
Invierta y multiplique
Factorice Cancele factores comunes
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 31
Q
W Suma y resta de expresiones racionales Evite hacer el siguiente error:
A B
A B
C
A C
Para sumar o restar expresiones racionales, primero encontramos un denominador común y a continuación usamos la siguiente propiedad de fracciones:
A C
Por ejemplo, si hacemos A ⫽ 2, B ⫽ 1 y C ⫽ 1, entonces vemos el error: 2 1
1 2 2 1
2 1
2 1
2
2
4
Error!
B C
A
B C
Aun cuando funcionará cualquier denominador común, es mejor usar el mínimo común denominador (MCD) como se explica en la Sección 1.1. El MCD se encuentra al factorizar cada denominador y tomar el producto de los distintos factores, usando la potencia superior que aparezca en cualquiera de los factores.
E J E M P LO 5
Sumar y restar expresiones racionales
Ejecute las operaciones indicadas y simplifique:
(a)
3
x 1
x
(b)
2
x
1 x
2
1
S O LU C I Ó N
1x
2 12 2
(a) Aquí el MCD es simplemente el producto de (x ⫺ 1)(x ⫹ 2).
3 x
x 1
x
2
1x
3x 1x
31x 22 12 1x 22
6 x2 x 12 1x 22
x 2 2x 1x 12 1x
6 22
1x
x1x 12 12 1x 22
Escriba fracciones usando el MCD Sume fracciones Combine los términos del numerador
38
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
(b) El MCD de x 2 1 1x 12 1x 12 y 1x 12 2 es 1x 1 2 1 2 1x 12 1x 12 x2 1 1x 12 2 1x 12 2 1x 12 21x 12 1x
12 1x 12 2 x 1 2x 2 1x 12 1x 12 2 3 x 1x 12 1x 12 2
12 1x
12 2.
Factorice Combine fracciones usando el MCD Propiedad Distributiva Combine los términos del numerador
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 43 Y 45
Q
W Fracciones compuestas Una fracción compuesta es una fracción en la que el numerador, el denominador, o ambos, son expresiones fraccionarias.
E J E M P LO 6 Simplifique:
Simplificación de una fracción compuesta
x y
1
1
y x
S O LU C I Ó N 1 Combinamos los términos del numerador en una sola fracción. Hacemos lo mismo con el denominador. A continuación invertimos y multiplicamos. x y x 1 y y x y # x y x y y x y 1 x x x1x y2
y1x
y2
L A S M AT E M Á T I C A S E N E L M U N D O M O D E R N O Códigos para corregir errores
Cortesía de NASA
Las imágenes enviadas por la nave Pathfinder (Explorador) desde la superficie de Marte el 4 de julio de 1997, eran asombrosamente claras. Pero pocas personas que vieron estas imágenes estaban conscientes de las complejas matemáticas utilizadas para lograr esta hazaña. La distancia a Marte es enorme, y el ruido de fondo (o estática) es muchas veces más fuerte que la señal original emitida por la nave espacial. Entonces, cuando los científicos reciben la señal, está llena de errores. Para obtener una imagen clara, los errores deben hallarse y corregirse. Este mismo problema de errores se encuentra en forma rutinaria en la transmisión de registros bancarios cuando una persona usa un cajero automático o de voz cuando habla por teléfono. Para entender la forma en que los errores se localizan y corrigen, primero debemos entender que para transmitir imágenes o texto los transformamos en bits (los dígitos 0 o 1; vea página 30). Para ayudar al re-
ceptor a reconocer errores, el mensaje se “codifica” al insertar bits adicionales. Por ejemplo, suponga que usted desea transmitir el mensaje “10100”. Un código muy sencillo es como sigue: envía cada dígito un millón de veces. La persona que recibe el mensaje lo lee en bloques de un millón de dígitos. Si el primer bloque es principalmente de números 1, concluye que es probable que usted esté tratando de transmitir un 1, y así sucesivamente. Decir que este código no es eficiente es un poco modesto; requiere enviar un millón de veces más datos que el mensaje original. Otro método inserta “dígitos de comprobación”. Por ejemplo, cada bloque de ocho dígitos inserta un noveno dígito; el dígito insertado es 0 si hay un número par de números 1 en el bloque y 1 si hay un número impar. Por lo tanto, si un solo dígito está mal (un 0 cambiado a un 1, o viceversa), los dígitos de prueba nos permiten reconocer que ha ocurrido un error. Este método no nos dice dónde está el error, de modo que no podemos corregirlo. Los modernos códigos que corrigen errores usan interesantes algoritmos matemáticos que requieren insertar relativamente pocos dígitos pero permiten al receptor no sólo reconocer errores, sino también corregirlos. El primer código corrector de errores fue inventado en la década de 1940 por Richard Hamming en el MIT. Es interesante observar que el idioma inglés tiene un mecanismo corrector de errores ya integrado; para probarlo, trate de leer esta oración cargada de errores: Gve mo libty ox biv ne deth.
SECCIÓN 1.4
| Expresiones racionales 39
S O LU C I Ó N 2 Encontramos el MCD de todas las fracciones en la expresión y, a continuación, lo multiplicamos por el numerador y denominador. En este ejemplo, el MCD de todas las fracciones es xy. Por lo tanto
x y
1
1
y x
x y
1
1
y x
x2 xy x1x y1x
#
xy xy
Multiplique numerador y denominador por xy
xy y2 y2 y2
Simplifique Factorice
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 59 Y 61
Q
Los siguientes dos ejemplos muestran situaciones en cálculo que requieren la capacidad para trabajar con expresiones fraccionarias.
E J E M P LO 7
Simplificación de una fracción compuesta 1
a
Simplifique:
h h
1 a
S O LU C I Ó N Empezamos por combinar las fracciones del numerador usando un denominador común.
1 a
h h
1 a
a
a
1a h2 a1a h2 h
Combine fracciones del numerador
1a h2 1 # a1a h2 h
Propiedad 2 de fracciones (invierta divisor y multiplicar)
a a h#1 a1a h2 h
#1
h a1a
Propiedad Distributiva Simplifique
h2 h 1
a1a
Propiedad 5 de fracciones (cancele factores comunes)
h2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 69
E J E M P LO 8
11
Simplifique:
11
S O LU C I Ó N 1 Factorice la potencia de 1 ⫹ x2 con el exponente más pequeño, en este caso (1 ⫹ x2)⫺1/2.
Q
Simplificación de una fracción compuesta x 2 2 1/2
x 2 2 1/2
1
x 2 11 x
2
x 2 11
x 22
x 22
1/2
11
x 22
Factorice (1 + x2)–1/2 del numerador.
1
x2
1/2
11
1
x 22 x
1/2
1 1/2 2
3 11
x2 11
x 22
x 24
x 2 2 3/2
1
40
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
S O LU C I Ó N 2 Como 11 x 2 2 1/2 1/11 x 2 2 1/2 es una fracción, podemos eliminar todas las fracciones al multiplicar numerador y denominador por (1 + x2)1/2.
11
x 2 2 1/2
x 2 11
1
x
2
x 22
11
1/2
x 2 2 1/2
11
x 22
11
x 2
x 2 11
1
x
x 22
2
11
x2
2 3/2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 77
1/2
x 2 2 3/2
1
# 11 11
x 2 2 1/2 x 2 2 1/2
Q
W Racionalización del denominador o el numerador
Si una fracción tiene un denominador de la forma A B 1C, podemos racionalizar el denominador al multiplicar numerador y denominador por el radical conjugado A B 1C. Esto funciona bien, por la fórmula 1 de productos notables de la Sección 1.3, el producto del denominador y su radical conjugado no contienen radical:
1A
E J E M P LO 9
B 1C 2 1A
B 1C 2
A2
B2C
Racionalización del denominador
Racionalización del denominador:
1 1
12
S O LU C I Ó N Multiplicamos numerador y denominador por el radical conjugado de 12. 1 12, que es 1
1 1
12
La Fórmula 1 de Productos Notables es (A ⫹ B)(A ⫺ B) ⫽ A2 ⫺ B2
1 1 12
12 2
1 1
12 12
#1 12 1
12 1 122 2
1
1
Multiplique numerador y denominador por el radical conjugado Fórmula 1 de productos notables
12 1
12
1
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 81
E J E M P LO 1 0
Q
Racionalización del numerador
Racionalice el numerador:
14
h h
2
S O LU C I Ó N Multiplicamos numerador y denominador por el radical conjugado 14 h 2.
14
La Fórmula 1 de Productos Notables es (A ⫹ B)(A ⫺ B) ⫽ A2 ⫺ B2
h h
2
14
1 14
h1 14
2 # 14 14
h h h2 2
22
h
22
Multiplique numerador y denominador por el radical conjugado
2 2
h h
Fórmula 1 de Productos Notables
4 h 4 h1 14 h 22 h1 14
h h
22
14
1 h
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 87
2
Propiedad 5 de fracciones (cancele factores comunes)
Q
| Expresiones racionales 41
SECCIÓN 1.4
W Evitar errores comunes No cometa el error de aplicar propiedades de la multiplicación a la operación de adición. Muchos de los errores comunes en álgebra son por esta razón. La tabla siguiente indica varias propiedades de la multiplicación e ilustra el error al aplicarlas a la adición. 1a # b 2 2
1a
Propiedad correcta de multiplicación
a2 # b2
1a # b
2a 2 # b 2
a#b
#b
1a, b
02
1a, b
1a
02
2a 2
1 a
1
1a # b 2
b2
1
1b
a
b
1
b
a
b2
1a
b
a 1
a2
1 b
a
b 1
a
a#b 1
1 1 # a b ab a
1a 1b
b22
Error común con la adición
b
a
b
b
1a
1
b2
1
Para verificar que las ecuaciones de la columna derecha están en error, simplemente sustituya los números a y b y calcule cada lado. Por ejemplo, si tomamos a ⫽ 2 y b ⫽ 2 en el cuarto error, encontramos que el lado izquierdo es
1 b
1 a
1 2
1 2
1
mientras que el lado derecho es
1
1 a
2
b
2
1 4
1 4,
Como 1 la ecuación indicada está en error. Del mismo modo, el lector debe convencerse del error en cada una de las otras ecuaciones. (Vea Ejercicio 105.)
1.4 EJERCICIOS CO N C E P TO S
4. Considere la expresión x 1x2
1. De lo siguiente, ¿cuáles son expresiones racionales?
(a)
1x (b) 2x
3x x2
1
1 3
(c)
x
1x
1 2 1x
3
3 2 1x
se simplifica a ________.
22 22
3. Para multiplicar dos expresiones racionales, multiplicamos sus ________ y multiplicamos sus ________. Por tanto,
2 x
#
1 x
x 3
es lo mismo que ________.
1x
2 x
1
x 12 2
.
(a) ¿Cuántos términos tiene esta expresión? (b) Encuentre el mínimo común denominador de todos los términos. (c) Ejecute la adición y simplifique.
12
2. Para simplificar una expresión racional, cancelamos factores que son comunes al ______ y ______. Por tanto, la expresión
1x
1 x
HABILIDADES 5-12
Encuentre el dominio de la expresión.
Q 2
5. 4x
10x
2x 7. x
9. 2x 11.
x x
2
x4
2t 8. 3t 10.
3 1 x
6.
2
1 4
2
3
2
12.
x3
5 6
2x
1
22x x 1
1
9x
42
13-22
13.
2 2 1x
61x
12
2 4
x2 17. 2 x
6x 5x
2
y
y2
1
y
3
21.
2
14. 16.
20. 6x 6
x 7x
22.
2 16x x 4 x2 2x 15 # x 25. x x2 9 t 3 # t 3 27. 2 t 9 t2 9
#
2
2
29. 30.
34.
x x2
7x 3x
x2
2xy
12 2 y2
4y 2 2
39-58
43. 45.
47. u 49.
1 x2
18
5y
3
2
1 x3
x 1
y
xy
25 # x 4 16 x 5 2x 3 3 x # 2x 3 3 x x 6 # x3 x2 2x x 2 2x 3
2
6x 7x
5 3
y
3
5y
2x 2 x2 x 38. y/z
2x 40. x
3 2
5
42.
3
x 1
1 x
122
1
2 u 1
1 x
1
x u
2
44.
2
x
x
46.
2
x x
x
2
x
1
x 2 1 x y x 1 y2
2 x x 2
y
2
y
1
4
x
x
5 2x
1 x
3
71.
72.
3 ab 1 x2
12x
73. 6
4 b2
1 x3
1
1
1
1 3 2
62.
1
1x
x
2 1
y y x
x y 1
68. 1
1 x
1 x x 3
c 3 4 x
x x
64. x
66.
1
c
60.
1
x
69.
3
x
4
4
2
x
59.
1
x
2
x
y2
y
1
1 1
1 1 1
x
69-74 Q Simplifique la expresión fraccionaria. (Expresiones como éstas aparecen en cálculo.)
1 1
x
x
2 5x
2
1
x
1
1
2 48. 2 a 50.
1 4
4
Simplifique la expresión fraccionaria compuesta.
Q
6 3x 2 1 5x 2 x 2
9
3
1
Ejecute la adición o sustracción y simplifique.
x
2
67. 1
36. 1
x2
3 x x
x
59-68
65.
x2
1
x x2
1
x y 63. 1 x2
2
52.
12
x 1 x2 x x 1 2 56. 2 x 2 x 3 x x 6 1 1 57. 2 2 x 3x 2 x 2x 3 1 2 3 58. x 1 1x 12 2 x2 1
61. y2
2x
1 1x
3y
2y 2
1 7x
x2
3 1
x 2 55. x
x 12 5x 6
2
2 x
54.
xy 2y 2 12 15 x 2 x 3
x2 2x 2
18
1
x
x2 7x 7x 6x2
x
x
1
53.
6 9
3
x 2x
Q
39. 2 41.
#
2x 2
1
x2 x/y 37. z
5x 6x
x x2
2y 2
9y x
3 5
9
x
35.
x2
y
12
2
x
24.
2
#
2x 2 3x 1 x 2 2x 15 2y
x2
x2 x2 x2 26. 2 x x2 28. x2
x
x2 y2 x2 x 3 31. 4x2 9 2x2 2x 1 32. 2 2x x 15 33.
22 1x
121x
51.
Ejecute la multiplicación o división y simplifique.
Q
4x
23.
12
41x 2
x2 18. 2 x
8 4
2
2x 2x 2
23-38
12
Simplifique la expresión racional.
Q
31x
x 15. 2 x
19.
| Fundamentos
C A P Í T U LO 1
3
322
1 x
1 1x
1
B
h2 3
1
a
x
1 1x
1 x2
h2 2 h
1x
1 1x h 70. h
1 1
h h
71x h 21
1x 3
h2
x x
2
b
7x 2
2
74.
B
1
a x3
1 2 b 4x 3
75-80 Q Simplifique la expresión. (Este tipo de expresión aparece en cálculo cuando se usa la “regla del cociente”.)
75. 76.
31x 2x1x
22 2 1x 62
1x 4
1x
32 2 x 142 1x 2
62
8
1x
32
4
22 3 122 1x
62 3
32
SECCIÓN 1.4
77. 78. 79. 80.
x 2 1/2
211 11
x 2 2 1/2
17
3x 2 1/2
81-86
x x 11
x2
x 2 11
x 2 1/3 11
x2
1
x
311
x 11 2
1
x2
3 2 x 17
7
87. 89.
2/3
3x2
84. 86.
Racionalice el numerador.
3
88.
12
90.
5 1
2 3
15
1 1x 1 21x y 2 1x
15
1x 1x h 1x 1x 2
92. 1x
x
10 20 50 100 200 500 1000
1y
13
99.
2 x
1 2
y
1
a b
96.
1
x y
1 1
a 98. 2 a b b
1
x x
2 x y
a b
100.
h h
1x
DESCUBRIMIENTO
1
x x
x y
1 x
1
101. Resistencia eléctrica Si dos resistores eléctricos con resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo (vea la figura), entonces la resistencia total R está dada por
1 1 1 R1 R2 (a) Simplifique R de la expresión. (b) Si R1 ⫽ 10 ohms y R2 ⫽ 20 ohms, ¿cuál es la resistencia R total?
R ™
Q
REDACCIÓN
x2 x
9 3
x
A P L I C AC I O N E S
R⁄
DISCUSIÓN
no está definida para x ⫽ 3. Complete las tablas y determine a cuál valor se aproxima la expresión cuando x se acerca más y más a 3. ¿Por qué es esto razonable? Factorice el numerador de la expresión y simplifique para ver por qué.
2a 2b x2
Q
103. Comportamiento límite de una expresión racional La expresión racional
x
R
Costo promedio
x
93-100 Q Diga si la ecuación dada es verdadera para todos los valores de las variables. (No considere ningún valor que haga que el denominador sea cero.) 16 a a b b 1 1 93. 94. c 16 16 b c
97.
0.01x 2
(b) Complete la tabla al calcular el costo promedio por camisa para los valores dados de x.
82.
15
Q
1
4
6x x
1/2
3x
1
91. 2x 2
95.
500
Racionalice el denominador.
Q
1r
(a) Explique por qué el costo promedio por camisa está dado por la expresión racional
A
2
87-92
1/2
2/3
13 2 83. 12 17 y 85. 13 1y 81.
102. Costo promedio Un fabricante de ropa encuentra que el costo de producir x camisas es 500 ⫹ 6x ⫹ 0.01x2 dólares.
1/2
x22
| Expresiones racionales 43
2.80 2.90 2.95 2.99 2.999
x2 x
9 3
x
x2 x
9 3
3.20 3.10 3.05 3.01 3.001
104. ¿Es esto racionalización? En la expresión 2/ 1x eliminaríamos el radical si fuéramos a elevar al cuadrado tanto el numerador como el denominador. ¿Esto es lo mismo que racionalizar el denominador? 105. Errores algebraicos La columna de la izquierda en la tabla de la página siguiente es una lista de algunos errores algebraicos comunes. En cada caso, dé un ejemplo usando números que muestren que la fórmula no es válida. Un ejemplo de este tipo, que muestra que un enunciado es falso, se llama contraejemplo.
44
| Fundamentos
C A P Í T U LO 1
Error algebraico
1 b
1 a
1a
2a
b2
2
b
a a
1a 3
a m/a n a
1 a 2
a
b
1 2
b
2
2
b
a
106. La forma de una expresión algebraica Una expresión algebraica puede parecer complicada, pero su “forma” siempre es fácil; debe ser una suma, un producto, un cociente o una potencia. Por ejemplo, considere las expresiones siguientes:
Contraejemplo
1 2
1 2
2
b
a
1
b
b 3 2 1/3
a
x x
21
5
11
2 3 b 1 x3
x2
x2 a 1
1 A1
x 1
x x
5 b x4
Con elecciones apropiadas para A y B, la primera tiene la forma A ⫹ B, la segunda AB, la tercera A/B y la cuarta A1/2. Reconociendo la forma de una expresión nos ayuda a expandirla, simplificarla o factorizarla correctamente. Encuentre la forma de las siguientes expresiones algebraicas.
b
a m/n
1 an
1/n
x222
11
2
A
(a) x
1
3 4 (c) 2 x 14x 2
1 x
(b) 11
12
(d)
1
1
x 2 2 11
21
221
x23
x x2
1.5 E CUACIONES Solución de ecuaciones lineales 䉴 Solución de ecuaciones cuadráticas 䉴 Otros tipos de ecuaciones Una ecuación es un enunciado de que dos expresiones matemáticas son iguales. Por ejemplo, 3⫹5⫽8 es una ecuación. Casi todas las ecuaciones que estudiamos en álgebra contienen variables, que son símbolos (por lo general literales) que representan números. En la ecuación x ⫽ 3 es una solución de la ecuación 4x ⫹ 7 ⫽ 19, porque sustituir x ⫽ 3 hace verdadera la ecuación:
x
413 2
3 7
19
4x ⫹ 7 ⫽ 19 la letra x es la variable. Consideramos x como la “incógnita” de la ecuación, y nuestro objetivo es hallar el valor de x que haga que la ecuación sea verdadera. Los valores de la incógnita que hagan que la ecuación sea verdadera se denominan soluciones o raíces de la ecuación, y el proceso de hallar las soluciones se llama resolver la ecuación. Dos ecuaciones con exactamente las mismas soluciones reciben el nombre de ecuaciones equivalentes. Para resolver una ecuación, tratamos de hallar una ecuación equivalente más sencilla en la que la variable está sólo en un lado del signo “igual”. A continuación veamos las propiedades que usamos para resolver una ecuación. (En estas propiedades, A, B y C representan cualesquiera expresiones algebraicas, y el símbolo 3 significa “es equivalente a”.)
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD Propiedad
Descripción
1. A
B 3
A
2. A
B 3
CA
C CB
B
Sumar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación da una ecuación equivalente.
C (C
0)
Multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad diferente de cero da una ecuación equivalente.
SECCIÓN 1.5
| Ecuaciones 45
Estas propiedades requieren que el estudiante ejecute la misma operación en ambos lados de una ecuación al resolverla. Entonces, si decimos “sume –7” al resolver una ecuación, es una forma breve de decir “sume –7 a cada lado de la ecuación”.
W Solución de ecuaciones lineales El tipo más sencillo de ecuación es una ecuación lineal, o ecuación de primer grado, que es una ecuación en la que cada término es una constante o un múltiplo diferente de cero de la variable.
ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal en una variable es una ecuación equivalente a una de la forma 0
b
ax
donde a y b son números reales y x es la variable. A continuación veamos algunos ejemplos que ilustran la diferencia entre ecuaciones lineales y no lineales. Ecuaciones lineales
4x
5
2x
1 2x
6
x
E J E M P LO 1
Ecuaciones no lineales
x2
3
2x
1x
7
6x
3 x
x 3
8
2x
0 1
No lineal; contiene el cuadrado de la variable No lineal; contiene la raíz cuadrada de la variable No lineal; contiene el recíproco de la variable
Solución de una ecuación lineal
Resuelva la ecuación 7x – 4 ⫽ 3x ⫹ 8. S O LU C I Ó N Resolvemos ésta al cambiarla a una ecuación equivalente con todos los términos que tenga la variable x en un lado y todos los términos constante en el otro.
17x
7x
4
42
4
13x
3x
3x
3x
12
Simplifique
122
3x
# 4x
Multiplique por
x
3
# 12
LI
1 4
Simplifique
713 2
3
x 4
17
LI ⫽ LD
Reste 3x Simplifique
x
x ⫽ 3:
Sume 4
12
V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
Debido a que es importante VERIFICAR SU RESPUESTA, hacemos esto en muchos de nuestros ejemplos. En estas pruebas, LI quiere decir “lado izquierdo” y LD es “lado derecho” de la ecuación original.
4
1 4
4x
1 4
Ecuación dada
82
13x
7x 7x
8
LD
3
313 2
8
17
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 15
Q
En las ciencias, muchas fórmulas involucran varias variables, por lo que es necesario expresar una en términos de otras. En el siguiente ejemplo, resolvemos la ley gravitacional de Newton para una variable.
46
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
Ésta es la Ley de Newton de Gravitación Universal. Da la fuerza gravitacional F entre dos masas m y M que están a una distancia r entre sí. La constante G es la constante universal de gravitación.
E J E M P LO 2
Solución para una variable en términos de otras
Despeje M de la ecuación siguiente.
F
G
mM r2
S O LU C I Ó N Aun cuando esta ecuación contiene más de una variable, la resolvemos como es usual al aislar M en un lado, tratando a las otras variables como si fueran números.
F a
r2 bF Gm r 2F Gm
a a
Gm bM r2
Factorice M del lado derecho
r2 Gm b a 2 bM Gm r
Multiplique por el recíproco de
Gm r2
Simplifique
M
r 2F . Gm AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 29
La solución es M
E J E M P LO 3
Q
Despejar una variable en términos de otras
El área superficial A del rectángulo cerrado que se muestra en la Figura 1 puede calcularse a partir de la longitud l, el ancho w y la altura h de acuerdo con la fórmula
l
A ⫽ 2l„ ⫹ 2„h ⫹ 2lh Despeje „ en términos de las otras variables de esta ecuación.
h
S O LU C I Ó N Aun cuando esta ecuación contiene más de una variable, la resolvemos como es usual al aislar „ en un lado, tratando las otras variables como si fueran números.
„
F I G U R A 1 Una caja rectangular
A
cerrada
A
2lh
A
2lh
A 2l
2lh 2h
12l„ 12l
2l„
2„h2
2lh
Reúna términos que contengan „
2„h
Reste 2lh
2h2„
Factorice „ del lado derecho
„
Divida entre 2l
A 2lh . 2l 2h AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 31
2h
La solución es „
Q
W Solución de ecuaciones cuadráticas Las ecuaciones lineales son ecuaciones de primer grado como 2x ⫹ 1 ⫽ 5 o 4 – 3x ⫽ 2. Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado como x2 ⫹ 2x – 3 ⫽ 0 o 2x2 ⫹ 3 ⫽ 5x. Ecuaciones cuadráticas
x
2
2x 3x
1 2 2x
1 3x
8 10 1 6
0 4x 2 0
ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2
bx
donde a, b y c son números reales con a
c 0.
0
SECCIÓN 1.5
| Ecuaciones 47
Algunas ecuaciones cuadráticas pueden resolverse al factorizar y usar las siguientes propiedades básicas de números reales.
PROPIEDAD DE PRODUCTO CERO 0
AB
si y sólo si
A
0
o B
0
Esto significa que si podemos factorizar el lado izquierdo de una ecuación cuadrática (o de otro grado), entonces podemos resolverla igualando a 0 cada factor a la vez. Este método funciona sólo cuando el lado derecho de la ecuación es 0.
E J E M P LO 4
Solución de una ecuación cuadrática por factorización
Resuelva la ecuación x2 ⫹ 5x ⫽ 24. S O LU C I Ó N
Primero debemos reescribir la ecuación de modo que el lado derecho sea 0.
1x
x2
V E R I F I Q U E S U S R E S P U E S TA S
x
13 2 2 3:
1 82
x
8:
2
513 2
51 8 2
9
64
15
40
24
24
x
3
0
x
3
o
x2
5x
24
32 1x
24
0
Reste 24
82
0
Factorice
8
0
Propiedad de Producto Cero
5x
x
x
8
Resuelva
Las soluciones son x ⫽ 3 y x ⫽ ⫺8. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 43
Q
¿Ve usted por qué un lado de la ecuación debe ser 0 en el Ejemplo 4? Factorizar la ecuación como x(x ⫹ 5) ⫽ 24 no nos ayuda a encontrar soluciones, porque 24 se puede factorizar en un número infinito de formas, por ejemplo 6 # 4, 12 # 48, A 25 B # 1 602, etcétera. Una ecuación cuadrática de la forma x2 – c ⫽ 0, donde c es una constante positiva, se 1c y factoriza como 1x 1c 2 1x 1c 2 0, de modo que las soluciones son x 1c. x 1c. Con frecuencia abreviamos esto como x
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA SENCILLA Las soluciones de la ecuación x 2
E J E M P LO 5
1c y x
c son x
1c .
Solución de ecuaciones cuadráticas sencillas (b) 1x
Resuelva las siguientes ecuaciones.
(a) x 2
5
42 2
5
15. (a) Del principio contenido en el cuadro precedente, obtenemos x (b) También podemos tomar la raíz cuadrada de cada lado de esta ecuación. S O LU C I Ó N
1x
42 2
15
x
4
4
15 y x x
Las soluciones son x
5 4
15 4
Tome la raíz cuadrada Sume 4
15.
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 51 Y 53
Q
48
| Fundamentos
C A P Í T U LO 1
En la página 30 vea cómo reconocer cuando una expresión cuadrática es un cuadrado perfecto. Completar el cuadrado El área de la región azul es
x2
b 2a bx 2
x2
bx
Sume un pequeño cuadrado de área (b/2)2 para “completar” el cuadrado.
Como vimos en el Ejemplo 5, si una ecuación cuadrática es de la forma (x ± a)2 ⫽ c, entonces podemos resolverla al tomar la raíz cuadrada de cada lado. En una ecuación de esta forma el lado izquierdo es un cuadrado perfecto: el cuadrado de una expresión lineal en x. Por lo tanto, si una ecuación cuadrática no se factoriza fácilmente, entonces podemos resolverla usando la técnica de completar el cuadrado. Esto significa que sumamos una constante a una expresión para hacerla cuadrado perfecto. Por ejemplo, para hacer que x2 – 6x sea cuadrado perfecto, debemos sumar 9 porque x2 – 6x ⫹ 9 ⫽ (x – 3)2.
COMPLETAR EL CUADRADO
b 2 bx sea un cuadrado perfecto, sume a b , que es el cuadrado 2 de la mitad del coeficiente de x. Esto da el cuadrado perfecto. Para hacer que x 2
b 2
x
x2
x b 2
E J E M P LO 6
b 2 a b 2
bx
ax
b 2 b 2
Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado
Resuelva lo siguiente.
(a) x 2
8x
(b) 3x 2
13
0
8x
13
0
2
8x
13
8x
16
13
12x
6
0
S O LU C I Ó N Cuando complete el cuadrado, asegúrese que el coeficiente de x2 sea 1. Si no lo es, se debe factorizar este coeficiente de ambos términos que contengan x:
ax
2
bx
aax
2
b xb a
A continuación complete el cuadrado dentro de los paréntesis. Recuerde que el término sumado dentro de los paréntesis se multiplica por a.
(a) x 2
x x2
1x
42 x
2
Ecuación dada
3
16
13
4
Cuadrado perfecto
13
4
x
Complete el cuadrado: sume a Reste 13
8 2 b 2
16
Tome la raíz cuadrada Sume 4
(b) Después de restar 6 de cada lado de la ecuación, debemos factorizar el coeficiente de x2 (el 3) del lado izquierdo para poner la ecuación en la forma correcta para completar el cuadrado.
3x 2
12x
6
0
Ecuación dada
3x 2
12x
6
Reste 6
2
4x2
6
Factorice 3 del lado izquierdo
31x
Ahora completamos el cuadrado al sumar (–2)2 ⫽ 4 dentro de los paréntesis. Como todo dentro de los paréntesis está multiplicado por 3, esto significa que en realidad estamos sumando 3 ⭈ 4 ⫽ 12 al lado izquierdo de la ecuación. Entonces, también debemos sumar 12 al lado derecho.
31x 2
3#4
4x
42
1x
22 2
6
Cuadrado perfecto
2
2
Divida entre 3
31x
22 x
6
2 x
2
12
12
Complete el cuadrado: sume 4
Tome la raíz cuadrada Sume 2
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 55 Y 59
Q
SECCIÓN 1.5
| Ecuaciones 49
Podemos usar la técnica de completar el cuadrado para obtener una fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática general ax2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0.
LA FÓRMULA CUADRÁTICA
Library of Congress
Las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 b
x
FRANÇOIS VIÈTE (1540-1603) tuvo una exitosa carrera política antes de dedicarse a las matemáticas en los últimos años de su vida. Fue uno de los más afamados matemáticos franceses del siglo XVI. Viète introdujo un nuevo nivel de abstracción en álgebra al usar letras para representar cantidades conocidas en una ecuación. Antes de la época de Viète, cada ecuación tenía que ser resuelta por sí misma. Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas
3x2
2x
8
0
5x2
6x
4
0
2b2 2a bx
0, donde a
c
0, son
4ac
D E M O S T R A C I Ó N Primero, dividimos entre a cada lado de la ecuación y pasamos la constante al lado derecho, obteniendo
b x a
x2
c a
Divida entre a
A continuación completamos el cuadrado al sumar (b/2a)2 a cada lado de la ecuación:
x2
b x a
ax
a
b 2 b 2a b 2 b 2a
tenían que ser resueltas por separado completando el cuadrado. La idea de Viète era considerar todas las ecuaciones cuadráticas a la vez escribiendo
b 2 b 2a
Complete el cuadrado: sume a
4ac b 2 4a 2
b
x
2b 2 2a
b 2 b 2a
Cuadrado perfecto
2b 2 4ac 2a
b 2a
x
a
c a
Tome la raíz cuadrada
4ac
Reste
b 2a
Q
ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c eran cantidades conocidas. De este modo, él hizo posible escribir una fórmula (en este caso, la fórmula cuadrática) con a, b y c que pueden usarse para resolver todas esas ecuaciones en un solo golpe. El genio matemático de Viète resultó ser sumamente valioso durante una guerra entre Francia y España. Para comunicarse con sus tropas, los españoles utilizaban un complicado código que Viète se arregló para descifrarlo. Sin saber el logro de Viète, el rey español Felipe II protestó ante el Papa, diciendo que los franceses estaban usando brujería para leer los mensajes de los españoles.
La fórmula cuadrática podría usarse para resolver las ecuaciones de los Ejemplos 4 y 6. El lector debe realizar los detalles de estos cálculos.
E J E M P LO 7
Uso de la fórmula cuadrática
Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones siguientes.
(a) 3x 2
5x
1
(b) 4x 2
0
12x
9
(c) x 2
0
2x
S O LU C I Ó N (a) En esta ecuación cuadrática a ⫽ 3, b ⫽ ⫺5 y c ⫽ ⫺1. 5
b
3x 2 a
3
5x
1 c
0 1
1 52
21 52 2 4132 1 12 5 137 2132 6 Si se desean aproximaciones, podemos usar una calculadora para obtener Por la fórmula cuadrática,
Otro método
4x 2
12x 9 12x 3 2 2 2x 3 x
0 0 0
x
3 2
137 5 137 1.8471 y x 6 6 (b) Usando la fórmula cuadrática con a ⫽ 4, b ⫽ 12 y c ⫽ 9 dará x
5
21122 2 4 # 4 # 9 2#4 3 Esta ecuación tiene sólo una solución, x 2. x
12
12 8
0
0.1805
3 2
2
0
50
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos (c) Usando la fórmula cuadrática, con a ⫽ 1, b ⫽ 2 y c ⫽ 2 resulta
222 2
2
x
4#2
1 4
2
2
21 1 2
1 1
1
Como el cuadrado de cualquier número real es no negativo, 1 1 no está definido en el sistema de números reales. La ecuación no tiene solución real.
2
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 65, 69 Y 75
Q
En la Sección 3.5 estudiamos el sistema de números complejos, en el que existen las raíces cuadradas de números negativos. La ecuación del Ejemplo 7(c) tiene soluciones en el sistema de números complejos. La cantidad b2 – 4ac que aparece bajo el signo de raíz cuadrada en la fórmula cuadrática se denomina discriminante de la ecuación ax2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 y está dada por el símbolo D. Si D ⬍ 0, entonces 2b 2 4ac no está definida y la ecuación cuadrática no tiene solución real, como en el Ejemplo 7(c). Si D ⫽ 0, entonces la ecuación tiene sólo una solución real, como en el Ejemplo 7(b). Por último, si D ⬎ 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas, como en el Ejemplo 7(a). El recuadro siguiente resume estas observaciones.
EL DISCRIMINANTE El discriminante de la ecuación cuadrática ax 2 D b 2 4ac.
bx
c
0 1a
02 es
1. Si D
0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
2. Si D
0, entonces la ecuación tiene exactamente una solución real.
3. Si D
0, entonces la ecuación no tiene solución real.
E J E M P LO 8
Uso del discriminante
Use el discriminante para determinar cuántas soluciones reales tiene cada ecuación.
(a) x 2
4x
1
0
(b) 4x 2
12x
9
0
(c) 31 x 2
2x
4
0
S O LU C I Ó N (a) El discriminante es D 42 4112 1 12 20 0, por lo cual la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. (b) El discriminante es D 1 122 2 4 # 4 # 9 0, por lo cual la ecuación tiene una solución real. 4 0, por lo cual la ecuación no tiene (c) El discriminante es D 1 22 2 4A 31 B4 3 solución real.
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 79, 81 Y 83
Q
A continuación consideremos una situación real que puede ser modelada por una ecuación cuadrática.
E J E M P LO 9 Esta fórmula depende del hecho de que la aceleración debida a la gravedad es constante cerca de la superficie terrestre. Aquí despreciamos el efecto de la resistencia del aire.
Trayectoria de un proyectil
Un objeto lanzado o disparado verticalmente hacia arriba a una velocidad inicial v0 pies/s alcanzará una altura de h pies después de t segundos, donde h y t están relacionadas por la fórmula h ⫽ –16t2 ⫹ v0t Suponga que se dispara una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 800 pies/s. Su trayectoria se ilustra en la Figura 2. (a) ¿Cuándo caerá la bala al nivel del suelo? (b) ¿Cuándo alcanza una altura de 6400 pies?
SECCIÓN 1.5
descenso ascenso
| Ecuaciones 51
(c) ¿Cuándo alcanza una altura de 2 millas? (d) ¿Cuál es la altura del punto más alto al que llega la bala? S O LU C I Ó N
Como la velocidad inicial en este caso es √0 ⫽ 800 pies/s, la fórmula es
h
h ⫽ –16t2 ⫹ 800t (a) El nivel del suelo corresponde a h ⫽ 0, de modo que debemos resolver la ecuación
FIGURA 2
0
16t 2
800t
Haga h
0
16t1t
502
Factorice
0
Por lo tanto, t ⫽ 0 o t ⫽ 50. Esto significa que la bala arranca (t ⫽ 0) al nivel del suelo y regresa a éste después de 50 segundos. (b) Haciendo h ⫽ 6400 da la ecuación
16t 2
6400 16t 2 1t 6400 pies
800t 102 1t
t2
50t
t
6400
0
400
0
Todos los términos al lado izquierdo Divida entre 16
402
0
Factorice
10
or
40
t
Resuelva
La bala llega a 6400 pies después de 10 s (en su ascenso) y otra vez después de 40 s (en su descenso a tierra). (c) Dos millas es 2 ⫻ 5280 ⫽ 10,560 pies.
16t
2
800t t2
16t 2
10,560
800t
Haga h
10,560
Todos los términos al lado izquierdo Divida entre 16
0
El discriminante de esta ecuación es D 1 502 2 416602 140, que es negativo. Entonces, la ecuación no tiene solución real. La bala nunca llega a una altura de 2 millas. (d) Cada altura a la que llega la bala es alcanzada dos veces, una vez en su ascenso y una vez en su descenso. La única excepción es el punto más alto de su trayectoria, que se alcanza una sola vez. Esto significa que para el valor más alto de h, la siguiente ecuación tiene sólo una solución para t:
16t 10,000 pies
Haga h
6400
10,560
2 mi
800t
2
50t
800t
660
0
h
16t 2
800t
0
h
1 8002 2
Alterne al lado izquierdo
Esto a su vez significa que el discriminante D de la ecuación es 0, de modo que
D
41162h
0
64h
0
640,000
h
10,000
La máxima altura alcanzada es 10,000 pies.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 111
Q
W Otros tipos de ecuaciones Hasta aquí hemos aprendido a resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. A continuación estudiaremos otros tipos de ecuaciones, incluyendo las que contienen potencias superiores, expresiones fraccionarias y radicales.
52
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
E J E M P LO 1 0
Una ecuación que contiene expresiones fraccionarias
Resuelva la ecuación
a
3: 3 3
3
2
1
1
2
LI
LD
2
LI
LD
5
5
3 x
b x1x
5 2
x
31x
2x 1x
22
22
8x
LI
5 1
3 LD
2
LI
LD
5
x
2
4x
Expanda
2x
4x
Expanda el lado izquierdo
0
2x
2
4x
0
1x
6
2
3
0
x
3
Multiplique por el MCD x(x
2
x
0 3 1
22
2x 2
5x
1:
x
2.
2
x
S O LU C I Ó N Eliminamos los denominadores al multiplicar cada lado por el mínimo común denominador.
V E R I F I Q U E S U S R E S P U E S TA S
x
3 x
o
2
6
32 1x 2x
x
1
6
Reste 8x
3
2)
Divida entre 2 ambos lados
12
Factorice
0
Propiedad de Producto Cero
1
x
Resuelva
Debemos verificar nuestras respuestas porque multiplicar por una expresión que contenga la variable puede introducir soluciones extrañas. De Verifique sus respuestas vemos que las soluciones son x ⫽ 3 y –1. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 85
Q
Cuando resuelva una ecuación que contenga radicales, debe tener especial cuidado para verificar sus respuestas finales. El siguiente ejemplo demuestra el porqué.
E J E M P LO 1 1
Una ecuación que contiene un radical
Resuelva la ecuación 2x V E R I F I Q U E S U S R E S P U E S TA S
LI
2A
LD
1
LI x
1 4B
1 4:
x
1 2
1
294
1
3 2
4x 4x
LD
4x
1: LI
2112
LD
1
12
1
1
LI
LD
12x
2x
14x
1 2
2 2
1 0
3x 0
2
x
Eleve al cuadrado cada lado
1
2
x
Expanda el lado izquierdo
1
0
Sume 2
12
0
Factorice
o 1 4
Reste 1
x
2
12
12 1x
1
12
1
4x
x
2
x.
S O LU C I Ó N Para eliminar la raíz cuadrada, primero la aislamos en un lado del signo igual y luego elevamos al cuadrado: 1 4B
A
22
12
1
x
x
1
0
Propiedad de Producto Cero
x
1
Resuelva
1 Los valores x 1 son sólo soluciones potenciales. Debemos verificarlas para 4 y x 1 ver si satisfacen la ecuación original. De Verifique sus respuestas vemos que x 4 es una 1 . solución pero x ⫽ 1 no lo es. La única solución es x 4
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 91
Q
Cuando resolvamos una ecuación, podemos terminar con una o más soluciones extrañas, es decir, soluciones potenciales que no satisfacen la ecuación original. En el Ejemplo 11 el valor x ⫽ 1 es una solución extraña. Las soluciones extrañas pueden ser introducidas cuando elevamos al cuadrado cada lado de una ecuación porque la operación de elevar al cuadrado puede convertir una ecuación falsa en una verdadera. Por ejemplo 1 1, pero 1 12 2 12. Entonces, la ecuación elevada al cuadrado puede ser verdadera para más
SECCIÓN 1.5
| Ecuaciones 53
valores de la variable que la ecuación original. Ésta es la razón por la que siempre deben verificarse las respuestas para asegurarse que cada una de ellas satisfaga la ecuación original. Una ecuación de la forma aW2 ⫹ bW ⫹ c ⫽ 0, donde W es una expresión algebraica, es una ecuación de tipo cuadrático. Resolvemos ecuaciones de tipo cuadrático al sustituir por la expresión algebraica, como vemos en los siguientes dos ejemplos.
E J E M P LO 1 2
Una ecuación de cuarto grado de tipo cuadrático
Encuentre todas las soluciones de la ecuación x4 ⫺ 8x2 ⫹ 8 ⫽ 0. S O LU C I Ó N Si hacemos W ⫽ x2, entonces obtenemos una ecuación cuadrática con la nueva variable W:
1x 2 2 2
1 82
W x2
4
x
W2
2 12
24
21 82 2 2
8x 2
8
0
8W
8
0
4#8
4
212
Fórmula cuadrática
2 12
2 12,
24
x2
Sea W
x2
W
Tome raíces cuadradas
Por lo tanto, hay cuatro soluciones:
24
Escriba x4 como 1x 2 2 2
2 12,
24
2 12,
24
2 12
Usando una calculadora, obtenemos las aproximaciones x ≈ 2.61, 1.08, ⫺2.61, ⫺1.08. AHORA INTENTE HACER EL EJECICIO 95
E J E M P LO 1 3
Q
Una ecuación con potencias fraccionarias
Encuentre todas las soluciones de la ecuación x1/3 ⫹ x1/6 – 2 ⫽ 0. S O LU C I Ó N Esta ecuación es del tipo cuadrático porque si hacemos W ⫽ x1/6, entonces W2 ⫽ (x1/6)2 ⫽ x1/3.
x 1/3 1W
x 1/6 12 1W
W2
0
2
0
Sea W
22
0
Factorice
2
0
Propiedad de Producto Cero
1
0
W
1
W
2
x 1/6
1
x 1/6
1 22 6
64
x
64:
W
16
x
o
W
2
W
1
x
x 1/6
Resuelva
2
x 1/6
W
Tome la 6a. potencia
De Verifique sus respuestas vemos que x ⫽ 1 es una solución pero x ⫽ 64 no lo es. La solución es x ⫽ 1. V E R I F I Q U E S U S R E S P U E S TA S
x
1: LI
1/3
1
1
1/6
2
0
LI
641/3 4
LD
0
LD
0
LI
LD
LI
LD
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 99
641/6 2
2
2 4
Q
54
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos Al resolver ecuaciones que contengan valores absolutos, por lo general tomamos casos.
Resuelva la ecuación 0 2x – 5 0 ⫽ 3.
E J E M P LO 1 4 S O LU C I Ó N
Una ecuación con valor absoluto
Por la definición de valor absoluto, 0 2x – 5 0 ⫽ 3 es equivalente a
2x
5
3
o
2x
5
3
2x
8
2x
2
x
4
x
1
Las soluciones son x ⫽ 1, x ⫽ 4. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 105
Q
1.5 EJERCICIOS CO N C E P TO S
HABILIDADES
1. ¿Verdadero o falso?
7-10
(a) Sumar el mismo número a cada lado de una ecuación siempre da una ecuación equivalente. (b) Multiplicar cada lado de una ecuación por el mismo número siempre da una ecuación equivalente. (c) Elevar al cuadrado cada lado de una ecuación siempre da una ecuación equivalente.
(b) Completando el cuadrado:______ (c) Usando la fórmula cuadrática:_____ 3. (a) Las soluciones de la ecuación x2(x – 4) ⫽ 0 son________. (b) Para resolver la ecuación x3 – 4x2 ⫽ 0, ________el lado izquierdo.
4. Resuelva la ecuación 12x
x
0 con los siguientes pasos.
(a) Aislar el radical:___________. (b) Elevar al cuadrado ambos lados:___________. (c) Las soluciones de la ecuación cuadrática resultante son_______. (d) La(s) solución(es) que satisface la ecuación original es (son)________. 2
5. La ecuación (x ⫹ 1) – 5(x ⫹ 1) ⫹ 6 ⫽ 0 es del tipo_________. Para resolver la ecuación, hacemos W ⫽ ____. La ecuación cuadrática resultante es ________. 6. La ecuación x6 ⫹ 7x3 – 8 ⫽ 0 es del tipo_______. Para resolver la ecuación, hacemos W ⫽ _____. La ecuación cuadrática resultante es _________.
Determine si el valor dado es una solución de la ecuación.
7. 4x 7 (a) x
9x 2
3 (b) x
32 13 8. 1 (a) x 2
9.
2. Explique cómo usaría cada método para resolver la ecuación x2 – 4x – 5 ⫽ 0. (a) Por factorización:_______
Q
x2 4 4x 16 (b) x 4
1 1 x x 4 (a) x 2
2
10.
1 (b) x
4
x2 x 3/2 x 6 (a) x
8
x
(b) x
4
8
11-28 Q La ecuación dada es lineal o equivalente a una ecuación lineal. Resuelva la ecuación.
11. 2x
7
31
12. 5x
1 2x
8
1
14. 3
13. 15. 17.
7„ 1 2y
15
x2
2
19. 211 20.
1 1y 2
2 y 3
2„ 1 3y
311
21. x
1 2x
1 x
4 3x
1
25.
1 2
3
27. 1t
1
x
29-42
42 2 Q
29. PV
5
5
16. 5t z 18. 5
13 12 3 z 7 10
22. 2x
x 2 1 2
5t
4 5
0
2x x 4 26. x 1 24.
1 1t
4
1
y
32
1 3x
23.
2x2
3 1 3x
3x
3
42 2
32
28. 13 x
1
x
6x
4 4 5 2 x
112
35 x2
1 x
5 13
1
De las siguientes ecuaciones, despeje la variable indicada.
nRT; despeje R
30. F
G
mM ; despeje m r2
| Ecuaciones 55
SECCIÓN 1.5
31. P 33.
ax cx
b d
2
35. a x
1a
1
a
12
a
b2
40. A
Pa1
41. h
1 2 2 gt
43-54
Q
43. x 2 45. x
1
1 ; despeje R1 R2
b
91. 12x 93. 2x
1
95. x 4
; despeje a
despeje r
97. 2x 4 mM G 2 ; despeje r r
38. F
i 2 b ; despeje i 100
√ 0 t; despeje t
12
99. x
12
12
n1n
42. S
47. 4x
4x
15
49. 3x
2
5x
2
222
46. x
0
2
2
48. 2y
0
; despeje n
59. 2x
6x 2
8x
2
61. 4x
1
62. x
7x 2
67. 2x 69. 3x
12
21
122 27
x
6x 3 2z
71. z
2
73. 4x
5
16x
2
8
1
0
77. 10y
12
16y
5
7x
4
0
1
0
6x
0
2
4x
1
5z
z
0
70x
49
y
2
2
0
79-84 Q Use el discriminante para determinar el número de soluciones reales de la ecuación. No resuelva la ecuación.
79. x 2 81. x
6x
2
83. 4x
1
2.20x 2
5x
80. 3x 2
0 1.21 13 8
0
0
82. x 84. x
2
2
40
3x 1/6 1 0.01
12 3/2
9
1x
12
106. 0 2x 0
4
0
0
104. x
51x
6
108. 0 x
60
1
0
3
6x
9
2.21x
1.21
rx
0
s
1s
Use la fórmula
111. Una pelota se lanza directamente hacia arriba a una velocidad inicial de v0 ⫽ 40 pies/s. (a) ¿Cuándo llega la pelota a una altura de 24 pies? (b) ¿Cuándo llega a una altura de 48 pies? (c) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota? (d) ¿Cuándo alcanza la pelota el punto más alto de su trayectoria? (e) ¿Cuándo cae al suelo? 112. ¿Con qué rapidez debe ser lanzada hacia arriba una pelota para que alcance una altura máxima de 100 pies? 3Sugerencia: Use el discriminante de la ecuación 16t2 – v0t ⫹ h ⫽ 0.4
0
1 2
x
78. 25x
0
200
2
76. 3
107. 0 x
10x
31x 5/2
111-112 Q Problemas de cuerpos en caída h ⫽ –16t2 ⫹ v0t que se estudia en el Ejemplo 9.
1 8
30x
2
74. 0
0
105. 0 3x
3x 1/3
51x
1/2
100. 1x
0
110. Una pelota se deja caer desde lo alto de un edificio de 96 pies de alto. (a) ¿Cuánto tardará la pelota en caer la mitad de la distancia al nivel del suelo? (b) ¿Cuánto tardará en caer el suelo?
0
6x 3 4x
2
72. 2y
0 9
31„ 2
70. x
0
9 16
3x
3/2
3 4
109. Si una pelota se deja caer desde 288 pies sobre el suelo, ¿cuánto tarda en llegar al nivel del suelo?
0
7 4
3x
68. 3x
0
12
102. x 1/2
0
0
0
66. x2
0
3
x
2
2
75. „
10
101. 41x
50
6
1/2
2x 3
98. x 6
0
5
x 4
3
63-78 Q Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación cuadrática. 63. x2 2x 15 0 64. x2 5x 6 0
65. x2
2/3
5x 2
109-110 Q Problemas de cuerpos en caída Suponga que un cuerpo se deja caer desde una altura h0 sobre el suelo. Entonces su altura después de t segundos está dada por h ⫽ 16t2 ⫹ h0, donde h se mide en pies. Use esta información para resolver el problema.
60. 3x
0
x
5x
1
5
96. x 4
2
0
7y
2
4x 2
94. 21x 0
x
1
x
12
2
0
8
40
1
8x 2
58. x2
0
1
13x 2
92. 15
1 3
A P L I C AC I O N E S
54. 12x
11
x
0
1
0
55-62 Q Resuelva la ecuación completando el cuadrado. 55. x2 2x 5 0 56. x2 4x 2 0
57. x2
1x
1
1
1
x
4
52. 3x 2
10
2 x2 28 x x 90. 2x 7 x x2 4 88.
3x
50. 6x1x
8
4/3
103. x 1/2
44. x 2
0
x2 50 x 100 5 x 5 89. x 2 x 2 87.
6; despeje x
c 2; despeje b
7x
53. 13x
1 R1
1 2x ; despeje x a
2
51. 2x 2
1 R
Resuelva la ecuación por factorización.
x
2
1a
b 1 2 3 pr h;
39. a 2
x2 4
31c
b
37. V
32.
2; despeje x
2 3b
34. a
36.
2„; despeje „
2l
0
02
85-108 Q Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación. 10 12 1 1 5 4 0 85. 86. x x 1 x 2 4 x 3
113. Contracción en vigas de concreto A medida que el concreto se seca, se contrae; cuanto más alto es el contenido de agua, mayor es la contracción. Si una viga de concreto tiene un contenido de agua de „ kg/m3, entonces se contraerá con un factor 0.032„ 2.5 S 10,000
donde S es la fracción de la longitud original de la viga que desaparece debido a la contracción. (a) Una viga de 12.025 m de largo es vaciada en concreto que contiene 250 kg/m3 de agua. ¿Cuál es el factor de contracción S? ¿Qué largo tendrá la viga cuando se haya secado?
56
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
(b) Una viga mide 10.014 m de largo cuando está húmeda. Deseamos que se contraiga a 10.009 m, de modo que el factor de contracción sea S ⫽ 0.00050. ¿Qué contenido de agua dará esta cantidad de contracción?
114. La ecuación de lentes Si F es la longitud focal de un lente convexo y un objeto se coloca a una distancia x desde el lente, entonces su imagen estará a una distancia y del lente, donde F, x y y están relacionadas por la ecuación de lentes
1 F
1 x
119. Profundidad de un pozo Un método para determinar la profundidad de un pozo es dejar caer en él una piedra, y luego medir el tiempo que tarda la caída hasta que se escucha el ruido de la piedra al tocar el agua. Si d es la profundidad del pozo (en pies) y t1 es el tiempo (en segundos) que tarda la piedra en caer, entonces d 16t 21, de modo que t 1 1d/4. Ahora, si t2 es el tiempo que tarda el sonido en regresar, entonces d ⫽ 1090t2 porque la velocidad del sonido es 1090 pies/s. Por lo tanto, t2 ⫽ d/1090. Así, el tiempo total transcurrido entre dejar caer la piedra y escuchar el ruido cuando cae es
t1
1d 4
t2
d 1090
¿Cuál es la profundidad del pozo si su tiempo total es 3 s?
1 y
Suponga que un lente tiene una longitud focal de 4.8 cm y que la imagen de un objeto está 4 cm más cerca del lente que el objeto mismo. ¿A qué distancia del lente está el objeto? 115. Población de peces La población de peces de cierto lago sube y baja de acuerdo con la fórmula
Tiempo en que cae la piedra:
F ⫽ 1000(30 ⫹ 17t – t2) Aquí F es el número de peces en el tiempo t, donde t se mide en años desde el 1 de enero de 2002, cuando la población de peces se estimó por primera vez. (a) ¿En qué fecha la población de peces será otra vez la misma de como era el 1 de enero de 2002? (b) ¿Antes de qué fecha habrán muerto todos los peces del lago?
116. Población de peces Un gran estanque es abastecido de peces. La población P de peces está modelada con la fórmula P 3t 10 1t 140, donde t es el número de días desde que los peces fueron introducidos en el estanque. ¿Cuántos días tardará la población de peces en llegar a 500? 117. Utilidades Un fabricante de aparatos pequeños encuentra que la utilidad P (en dólares), generada por producir x hornos de microondas por semana, está dada por la fórmula P 101 x 1300 x2 siempre que 0 ≤ x ≤ 200. ¿Cuántos hornos deben ser fabricados en una semana determinada para generar una utilidad de $1250? 118. Gravedad Si un segmento imaginario de recta se traza entre los centros de la Tierra y la Luna, entonces la fuerza F gravitacional neta que actúa sobre un objeto situado sobre este segmento de recta es K 0.012K F x2 1239 x2 2 donde K ⬎ 0 es una constante y x es la distancia del objeto desde el centro de la Tierra, medida en miles de millas. ¿A qué distancia del centro de la Tierra está el “punto muerto” donde no hay fuerza gravitacional neta que actúe sobre el objeto? (Exprese su respuesta a las mil millas más cercanas.)
t⁄=
Ϸ d 4
DESCUBRIMIENTO
d t¤= 1090
Q
DISCUSIÓN
120. Una familia de ecuaciones
Q
REDACCIÓN
La ecuación
3x ⫹ k – 5 ⫽ kx – k ⫹ 1 es en realidad una familia de ecuaciones, porque para cada valor de k obtenemos una ecuación diferente con la incógnita x. La letra k se llama parámetro para esta familia. ¿Qué valor debemos escoger para k para hacer que el valor determinado de x sea una solución de la ecuación resultante?
(a) x
(b) x
0
1
(c) x
2
121. ¿Demostración de que 0 ⫽ 1? Los siguientes pasos parecen dar ecuaciones equivalentes, que parecen demostrar que 1 ⫽ 0. Encuentre el error. Dada x 1
x2
x
Multiplique por x
x
0
Reste x
12
0
Factorice
x2 x1x x1x x
x
Tiempo en que el sonido sube:
12 1
0 x
1
Divida entre x
x
0
Simplifique
1
0
Dada x
1
1
SECCIÓN 1.6 122. Volúmenes de sólidos La esfera, el cilindro y el cono que se ven a continuación tienen todos ellos el mismo radio r y el mismo volumen V. (a) Use las fórmulas de volumen dadas al final de este libro, para demostrar que 4 3 3 pr
pr 2h 1
y
4 3 3 pr
1 2 3 pr h 2
(b) De estas ecuaciones despeje h1 y h2.
r r
h h⁄ r
123. Relación entre raíces y coeficientes La fórmula cuadrática nos da las raíces de una ecuación cuadrática a partir de sus coeficientes. También podemos obtener los coeficientes a partir de sus raíces. Por ejemplo, encuentre las raíces de la ecuación x2 – 9x ⫹ 20 ⫽ 0 y demuestre que el producto de las raíces es el término constante 20 y la suma de las raíces es 9, el nega-
1.6 M ODELADO CON ECUACIONES
| Modelado con ecuaciones 57
tivo del coeficiente de x. Demuestre que la misma relación entre raíces y coeficientes se cumple para las ecuaciones siguientes: x 2 2x 8 0 x 2 4x 2 0 Use la fórmula cuadrática para demostrar que, en general, si la ecuación x2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 tiene raíces r1 y r2, entonces c ⫽ r1r2 y b ⫽ –(r1 ⫹ r2). 124. Resolver una ecuación en formas diferentes En esta sección hemos aprendido varias formas diferentes de resolver una ecuación. Algunas ecuaciones pueden abordarse en 1x 2 0 más de un método. Por ejemplo, la ecuación x es de tipo cuadrático. Podemos resolverla haciendo 1x u y x ⫽ u2, y factorizando. O bien, podríamos despejar 1x, elevar al cuadrado cada lado y luego resolver la ecuación cuadrática resultante. Resuelva las siguientes ecuaciones usando ambos métodos indicados, y demuestre que obtiene las mismas respuestas finales. (a) x (b)
1x
2
12 1x 32 2
0 tipo cuadrático; despeje el radical y eleve al cuadrado 10 1 0 tipo cuadrático; multiplique x 3 por el MCD
Construcción y uso de modelos 䉴 Problemas acerca de interés 䉴 Problemas de área o longitud 䉴 Problemas de mezclas 䉴 Problemas del tiempo necesario para realizar un trabajo 䉴 Problemas de distancia, rapidez y tiempo Numerosos problemas en ciencias, economía, finanzas, medicina y otros muchos campos se pueden convertir en problemas de álgebra; ésta es una razón por la que el álgebra es tan útil. En esta sección usamos ecuaciones como modelos matemáticos para resolver problemas reales.
W Construcción y uso de modelos Usaremos las siguientes guías para ayudarnos a formular ecuaciones que modelen situaciones descritas en palabras. Para demostrar la forma en que estas guías pueden ayudar a formular ecuaciones, téngalas en cuenta al trabajar cada ejemplo de esta sección.
GUÍA PARA MODELAR CON ECUACIONES 1. Identifique la variable. Identifique la cantidad que el problema le pide hallar. En general, esta cantidad puede ser determinada por una cuidadosa lectura de la pregunta que se plantea al final del problema. Después introduzca notación para la variable (llámela x o alguna otra letra). 2. Transforme palabras en álgebra. De nuevo lea cada oración del problema y exprese, en términos de la variable que haya definido en el Paso 1, todas las cantidades mencionadas en el problema. Para organizar esta información, a veces es útil trazar un diagrama o hacer una tabla. 3. Formule el modelo. Encuentre el dato de importancia decisiva en el problema, que dé una relación entre las expresiones que haya citado en el Paso 2. Formule una ecuación (o modelo) que exprese esta relación. 4. Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta. Resuelva la ecuación, verifique su respuesta, y exprésela como una oración que conteste la pregunta planteada en el problema.
58
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos El siguiente ejemplo ilustra la forma en que se usa esta guía para convertir un “problema de palabras” en lenguaje de álgebra.
E J E M P LO 1
Rentar un auto
Una compañía de renta de autos cobra $30 al día y $0.15 por milla para rentar un auto. Helen renta un auto durante dos días y su cuenta llega a $108. ¿Cuántas millas recorrió? S O LU C I Ó N Identifique la variable.
Nos piden hallar el número de millas que Helen ha recorrido. Por
tanto, hacemos
x ⫽ número de millas recorridas Convierta las palabras en álgebra. Ahora convertimos toda la información dada en el problema a un lenguaje de álgebra. En palabras
En álgebra
Número de millas recorridas x Costo del recorrido (a $0.15 por milla) 0.15x Costo diario (a $30 por día) 21302
Formule el modelo.
Ahora proponemos el modelo.
costo del recorrido
costo diario
0.15x Resuelva.
0.15x 0.151320 2 108
21302
108
Ahora despejamos x.
48
Reste 60
x
48 0.15
Divida entre 0.15
x
320
Con calculadora
V E R I F I Q U E S U S R E S P U E S TA S
costo total ⫽ costo del recorrido ⫹ costo diario
21302
costo total
Helen manejó 320 millas su auto rentado. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 19
Q
En los ejemplos y ejercicios que siguen, construimos ecuaciones que modelan problemas en muchas situaciones reales diferentes.
W Problemas acerca de interés Cuando usted pide un préstamo en un banco o cuando un banco le “pide prestado” a usted al mantener el dinero en una cuenta de ahorros, quien pide el préstamo en este caso debe pagar por el privilegio de usar el dinero. La cuota que se paga se llama interés. El tipo más básico de interés es el interés simple, que es precisamente un porcentaje anual de la cantidad total solicitada en préstamo o depositada. La cantidad de un préstamo o depósito se llama principal P. El porcentaje anual pagado por el uso de este dinero es la tasa de interés r. Usaremos la variable t para representar el número de años que el dinero está en depósito y la variable I para representar el interés total ganado. La siguiente fórmula de interés simple da la cantidad de interés I ganado cuando un principal P es depositado durante t años a una tasa de interés r.
I
Prt
SECCIÓN 1.6
| Modelado con ecuaciones 59
Cuando use esta fórmula, recuerde convertir el porcentaje r a decimal. Por ejemplo, en forma decimal, 5% es 0.05. Entonces, a una tasa de interés de 5%, el interés pagado sobre un depósito de $1000 en un período de 3 años es I ⫽ Prt ⫽ 1000(0.05)(3) ⫽ $150.
E J E M P LO 2
Interés sobre una inversión
María hereda $100,000 y los invierte en dos certificados de depósito. Uno de los certificados paga 6% y el otro paga 412% de interés simple al año. Si el interés total de María es $5025 al año, ¿cuánto dinero se invierte a cada una de las tasas de interés? S O LU C I Ó N Identifique la variable. El problema pide la cantidad que ella ha invertido a cada una de las tasas. Por lo tanto, hacemos
x ⫽ la cantidad invertida al 6% Convierta las palabras en álgebra. Como la herencia total que recibió María es $100,000, se deduce que ella invirtió 100,000 x al 4 12 %. Convertimos toda la información dada en lenguaje de álgebra. En palabras
En álgebra
Cantidad invertida al 6% Cantidad invertida al 4 12 % Cantidad ganada al 6% Cantidad ganada al 4 12 %
Formule el modelo. poner el modelo.
x 100,000 x 0.06x 0.0451100,000
Usamos el dato de que el interés total de María es $5025 para pro-
interés al 4 21 %
interés al 6%
0.06x
0.0451100,000
Resuelva. A continuación despeje la x.
0.06x
x2
4500 0.015x
x2
interés total
5025
0.045x
5025
Propiedad Distributiva
4500
5025
Combine términos en x
525
Reste 4500
0.015x x
525 0.015
35,000
Divida entre 0.015
Entonces María ha invertido $35,000 al 6% y los restantes $65,000 al 4 12 %. V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
interés total
6% de $35,000
4 12 % de $65,000
$2100
$5025
$2925
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 21
Q
W Problemas de área o longitud Cuando usamos álgebra para modelar una situación física, a veces debemos usar fórmulas básicas de geometría. Por ejemplo, es posible que necesitemos una fórmula para un área o un perímetro, o la fórmula que relaciona los lados de triángulos semejantes, o el Teorema de Pitágoras. Casi todas estas fórmulas aparecen al final de este libro. Los dos ejemplos que siguen usan estas fórmulas geométricas para resolver algunos problemas prácticos.
60
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos 3 pies
E J E M P LO 3
Dimensiones de un jardín
Un jardín cuadrado tiene un andador de 3 pies de ancho alrededor de su borde exterior, como se ve en la Figura 1. Si el área de todo el jardín, incluyendo los andadores, es de 18,000 pies2, ¿cuáles son las dimensiones del área plantada?
x
S O LU C I Ó N Nos piden hallar la longitud y ancho del área plantada. Por lo
Identifique la variable. tanto, hacemos 3 pies
FIGURA 1
x ⫽ longitud del área plantada Convierta las palabras en álgebra. en el lenguaje de álgebra.
A continuación, convierta la información de la Figura 1
En palabras
En álgebra
Longitud del área plantada Longitud de todo el jardín Área de todo el jardín
Formule el modelo.
x x 1x
6 62 2
A continuación proponemos el modelo.
18,000 pies2
área de todo el jardín 1x
62 2
18,000
Resuelva. A continuación despejamos x.
6
x
118,000
x
118,000
x
128
Tome raíces cuadradas
6
Reste 6
El área plantada del jardín es de unos 128 pies por 128 pies. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 47
E J E M P LO 4
Q
Dimensiones de un lote para construcción
Un lote rectangular para construcción mide 8 pies más largo de lo que es de ancho y tiene un área de 2900 pies2. Encuentre las dimensiones del lote. S O LU C I Ó N Identifique la variable.
Nos piden hallar el ancho y largo del lote. Entonces, hacemos
„ ⫽ ancho del lote Convierta las palabras en álgebra. A continuación convertimos la información dada en el problema en el lenguaje de álgebra (vea Figura 2). En palabras
En álgebra „ „
Ancho del lote Longitud del lote
Formule el modelo.
8
Ahora formulamos el modelo ancho del lote
longitud del lote
„ 1„
82
área del lote
2900
SECCIÓN 1.6
| Modelado con ecuaciones 61
Resuelva. A continuación despejamos „.
„2 1„
„
„
2
50
502 1„ 8„
8„
2900
Expanda
2900
0
Reste 2900
582
0
Factorice
„
or
58
Propiedad de producto cero
Como el ancho del lote debe ser un número positivo, concluimos que „ ⫽ 50 pies. La longitud del lote es „ ⫹ 8 ⫽ 50 ⫹ 8 ⫽ 58 pies.
„
„+8
FIGURA 2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 39
E J E M P LO 5
Q
Determinar la altura de un edificio usando triángulos semejantes
Un hombre que mide 6 pies de alto desea hallar la altura de cierto edificio de cuatro pisos. Mide su sombra y encuentra que es de 28 pies de largo, mientras que su propia sombra es de 312 pies de largo. ¿Cuál es la altura del edificio? S O LU C I Ó N Identifique la variable.
El problema pide la altura del edificio. Por lo tanto, hagamos
h ⫽ la altura del edificio Usamos el dato que los triángulos de la Figura 3 son semejantes. Recuerde que para cualquier par de triángulos semejantes las relaciones entre lados correspondientes son iguales. Ahora convierta estas observaciones en lenguaje de álgebra.
Convierta las palabras en álgebra.
En palabras
En álgebra
Altura del edificio
h
Razón entre altura y base en el triángulo grande
h 28 6 3.5
Razón entre altura y base en el triángulo pequeño
h
6 pies 28 pies
FIGURA 3
3 12 pies
62
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos Formule el modelo. la ecuación
Como los triángulos grande y pequeño son semejantes, obtenemos
razón entre altura y base en triángulo grande
h 28 Resuelva.
razón entre altura y base en triángulo pequeño
6 3.5
A continuación despeje h.
h
6 # 28 3.5
48
Multiplique por 28
Entonces el edificio mide 48 pies de altura. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 51
Q
W Problemas de mezclas Numerosos problemas reales se refieren a la mezcla de diferentes tipos de sustancias. Por ejemplo, trabajadores de la construcción deben mezclar cemento, grava y arena; el jugo de fruta de un concentrado puede tener mezcla de diferentes tipos de jugos. Los problemas de mezclas y concentraciones hacen uso del hecho de que si una cantidad x de una sustancia se disuelve en una solución con volumen V, entonces la concentración C de la sustancia está dada por x C V Por lo tanto, si 10 g de azúcar se disuelven en 5 L de agua, entonces la concentración de azúcar es C ⫽ 10/5 ⫽ 2 g/L. Resolver un problema de mezclas por lo general nos pide analizar la cantidad x de la sustancia que está en la solución. Cuando despejamos x de esta ecuación, vemos que x ⫽ CV. Observe que en muchos problemas de mezcla la concentración C se expresa como porcentaje, como en el siguiente ejemplo.
E J E M P LO 6
Mezclas y concentración
Un fabricante de bebidas gaseosas anuncia su refresco de naranja como “con sabor natural”, aun cuando contiene sólo 5% de jugo de naranja. Un nuevo reglamento federal estipula que para ser llamada “natural”, una bebida debe contener al menos 10% de jugo de fruta. ¿Cuánto jugo de naranja puro debe agregar este fabricante a 900 galones de refresco de naranja para apegarse al nuevo reglamento? S O LU C I Ó N Identifique la variable. El problema pide la cantidad de jugo de naranja puro a ser agregado. Por lo tanto, hacemos
x ⫽ la cantidad (en galones) de jugo de naranja puro a agregar En cualquier problema de este tipo, en el que dos sustancias diferentes han de mezclarse, trazar un diagrama nos ayuda a organizar la información dada (vea Figura 4). La información de la figura puede convertirse en lenguaje de álgebra, como sigue:
Convierta las palabras en álgebra.
En palabras Cantidad de jugo de naranja a agregar Cantidad de la mezcla Cantidad de jugo de naranja en la primera tina Cantidad de jugo de naranja en la segunda tina Cantidad de jugo de naranja en la mezcla
En álgebra x 900 x 0.051900 2 1#x x 0.101900
45
x2
SECCIÓN 1.6
⫹
Volumen
FIGURA 4
| Modelado con ecuaciones 63
⫽
5% jugo
100% jugo
900 galones
x galones
10% jugo
900+x galones
Cantidad de 5% de 900 galones 100% de x galones 10% de 900+x galones jugo de naranja =45 galones =0.1(900+x) galones =x galones
Para formular el modelo, usamos el dato de que la cantidad total de jugo de naranja en la mezcla es igual al jugo de naranja de las dos primeras tinas.
Formule el modelo.
cantidad de jugo de naranja en la primera tina
cantidad de jugo de naranja en la segunda tina
45
cantidad de jugo de naranja en la mezcla
x2
0.11900
x
Resuelva. A continuación despeje la x.
45
x
90
0.9x
45
x
45 0.9
0.1x
De la Figura 4
Propiedad Distributiva Reste 0.1x y 45
50
Divida entre 0.9
El fabricante debe agregar 50 galones de jugo de naranja puro al refresco. V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
cantidad de jugo antes de mezclar
5% de 900 galones 45 galones
cantidad de jugo después de mezclar
50 galones de jugo puro
50 galones
10% de 950 galones
95 galones
95 galones
Las cantidades son iguales.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 53
Q
W Problemas del tiempo necesario para realizar un trabajo Cuando se resuelva un problema que trate de determinar el tiempo que tardan varios trabajadores en terminar un trabajo, usamos el dato de que si una persona o máquina tarda H unidades de tiempo para terminar el trabajo, entonces en una unidad de tiempo la parte del trabajo que se ha terminado es 1/H. Por ejemplo, si un trabajador tarda 5 horas para podar un césped, entonces en 1 hora el trabajador podará 1/5 del césped.
E J E M P LO 7
Tiempo necesario para realizar un trabajo
Debido a una fuerte tormenta anticipada, el nivel de agua en un estanque debe bajarse 1 pie. Abrir el vertedero A baja el nivel en esta cantidad en 4 horas, mientras que abrir el más pequeño vertedero B hace el trabajo en 6 horas. ¿Cuánto tardará en bajar el nivel de agua 1 pie con ambos vertederos abiertos?
64
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos S O L U C I Ó N Identifique la variable. Nos piden hallar el tiempo necesario para bajar el nivel 1 pie si ambos vertederos están abiertos. Por lo tanto, hacemos
A
x ⫽ tiempo (en horas) necesario para bajar el nivel de agua 1 pie si ambos vertederos están abiertos
B
No es fácil hallar una ecuación que relacione x a las otras cantidades de este problema. Ciertamente x no es sólo 4 ⫹ 6, porque eso significaría que los dos vertederos juntos necesitarían más tiempo para bajar el nivel del agua que cualquiera de ellos solo. En cambio, vemos la parte del trabajo que puede ejecutar en 1 hora cada uno de los vertederos. Convierta las palabras en álgebra.
En palabras
En álgebra
Tiempo que tarda en bajar el nivel 1 pie con A y B juntos
xh
Distancia que A baja el nivel en 1 h
1 4 1 6 1 x
Distancia que B baja el nivel en 1 h Distancia que A y B juntas bajan niveles en 1 h
Formule el modelo.
pie pie
A continuación formulamos el modelo.
fracción ejecutada por A
Resuelva.
pie
fracción ejecutada por B
fracción ejecutada por ambos
1 4
1 6
1 x
3x
2x
12
Multiplique por el MCD, 12x
5x
12
Sume
x
12 5
Divida entre 5
A continuación despejamos x.
Tardará 2 25 horas, o 2 h 24 min, para bajar el nivel del agua 1 pie si ambos vertederos están abiertos. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 61
Q
W Problemas de distancia, rapidez y tiempo El siguiente ejemplo trata sobre distancia, tasa (rapidez) y tiempo. La fórmula a recordar en estos casos es
distancia
rapidez
tiempo
donde la rapidez es ya sea la rapidez constante o el promedio de rapidez de un cuerpo en movimiento. Por ejemplo, manejar en auto a 60 mi/h durante 4 horas lleva a una persona a una distancia de 60 ⭈ 4 ⫽ 240 millas.
E J E M P LO 8
Un problema de distancia, rapidez y tiempo
Un jet voló de Nueva York a Los Ángeles, una distancia de 4200 kilómetros. La rapidez para el viaje de regreso fue de 100 km/h más rápido que la rapidez en el vuelo de ida. Si el viaje total duró 13 horas, ¿cuál fue la rapidez del jet de Nueva York a Los Ángeles? S O L U C I Ó N Identifique la variable. Nos piden la rapidez del jet de Nueva York a Los Ángeles. Aquí hacemos s rapidez de Nueva York a Los Ángeles
Entonces
s
100
rapidez de Los Ángeles a Nueva York
SECCIÓN 1.6
| Modelado con ecuaciones 65
Convierta las palabras en álgebra. A continuación organizamos la información en una tabla. Primero llenamos la columna “Distancia” porque sabemos que las ciudades están a 4200 km entre sí. A continuación llenamos la columna “Rapidez”, porque hemos expresado ambas magnitudes de rapidez en términos de la variable x. Por último, calculamos las entradas para la columna “Tiempo”, usando
distancia rapidez
tiempo Distancia (km)
N.Y. a L.A.
4200
L.A. a N.Y.
4200
Rapidez (km/h)
100
El viaje total tomó 13 horas, de modo que tenemos el modelo
Formule el modelo.
tiempo de N.Y. a L.A.
Resuelva.
4200 s 4200 s 100
s s
Tiempo (h)
tiempo de L.A. a N.Y.
tiempo total
4200 4200 13 s s 100 Multiplicando por el común denominador, s(s ⫹ 100), tenemos 4200 1s
1002 8400s
4200s 420,000 0
13s1s
1002
13s 2
1300s
2
7100s
13s
420,000
Aun cuando esta ecuación se factoriza, con números tan grandes es probable que sea más rápido usar la Fórmula Cuadrática y una calculadora.
s
21 71002 2 41132 1 420,0002 21132
7100 7100
8500 26
s
600
o
s
1400 26
53.8
Como s representa la rapidez, rechazamos la respuesta negativa y concluimos que la rapidez del jet de Nueva York a Los Ángeles fue de 600 km/h. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 67
E J E M P LO 9
isla A 5 mi B
C x 12 mi
FIGURA 5
D lugar para anidar
Q
Energía consumida en el vuelo de un pájaro
Los ornitólogos han determinado que algunas especies de aves tienden a evitar vuelos sobre grandes cuerpos de agua durante horas del día, porque generalmente el aire se eleva sobre tierra y baja sobre el agua en el día, de modo que volar sobre el agua requiere de más energía. Un ave se suelta del punto A en una isla, a 5 millas de B, que es el punto más cercano a la playa en línea recta. El ave vuela al punto C en la playa y luego vuela a lo largo de la playa al lugar para anidar D, como se ve en la Figura 5. Suponga que el ave tiene 170 kcal de reservas de energía. Consume 10 kcal/milla volando sobre tierra y 14 kcal/milla volando sobre agua. (a) ¿En dónde debe estar ubicado el punto C para que el ave use exactamente 170 kcal de energía durante su vuelo? (b) ¿El ave tiene suficientes reservas de energía para volar directamente de A a D?
66
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos (a) Identifique la variable. Nos piden hallar la ubicación de C. Hacemos
BHASKARA (nacido en 1114) fue un matemático, astrónomo y astrólogo de la India. Entre sus muchos logros estaba una ingeniosa demostración del Teorema de Pitágoras. (Vea Enfoque en la solución de problemas, en el sitio web www.stewartmath.com. compañero de este libro). Su importante libro matemático Lilavati (La Hermosa) contiene problemas de álgebra planteados en forma de cuentos para su hija Lilavati. Muchos de los problemas empiezan así: “Oh, bella doncella, suponte…” La historieta se relata usando astrología. Bhaskara había determinado que grandes desgracias ocurrirían a su hija si se casaba en cualquier momento que no fuera cierta hora de cierto día. El día de su boda, cuando ella estaba viendo con ansiedad un reloj de agua, una perla de su adorno de la cabeza cayó inadvertidamente y paró el flujo de agua del reloj, haciendo que ella perdiera el momento oportuno para su boda. El libro Lilavati de Bhaskara fue escrito para consolarla.
x ⫽ distancia de B a C De la figura, y del dato
Convierta las palabras en álgebra.
energía consumida ⫽ energía por milla ⫻ millas recorridas determinamos lo siguiente. En palabras
En álgebra
Distancia de B a C Distancia de vuelo sobre agua (de A a C) Distancia de vuelo sobre tierra (de C a D) Energía consumida sobre agua Energía consumida sobre tierra
x 2x 2 25 12 x 142x 2 25 10112 x 2
Teorema de Pitágoras
A continuación formulamos el modelo.
Formule el modelo.
total de energía consumida
energía consumida sobre agua
170
142x 2
25
energía consumida sobre tierra
10112
x2
Resuelva. Para resolver esta ecuación, eliminamos la raíz cuadrada al llevar primero todos los otros términos a la izquierda del signo igual y luego elevar al cuadrado ambos lados.
170
10112 50
2500
150
1000x
x2
10x
10x 2 2
100x 2 0
142x 2
25
Aísle a la derecha el término de raíz cuadrada
142x 2
25
Simplifique el lado izquierdo
1142 2 1x 2
252
196x 2
4900
96x 2
1000x
Eleve al cuadrado ambos lados Expanda
2400
Todos los términos al lado derecho
Esta ecuación podría factorizarse, pero como los números son tan grandes es más fácil usar la Fórmula Cuadrática y una calculadora:
x
1000
21 10002 2 21962
1000 280 192
6 23
41962 124002
o 3 43
El punto C debe ser ya sea 6 23 o 3 34 millas desde B para que el ave consuma exactamente 170 kcal de energía durante su vuelo. (b) Por el Teorema de Pitágoras (vea página 219), la longitud de la ruta directamente de A a D es 252 122 13, de modo que la energía que el ave requiera para esa ruta es 14 ⫻ 13 ⫽ 182 kcal. Esto es más energía de la que dispone el ave, de modo que no puede seguir esa ruta.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 83
Q
SECCIÓN 1.6
| Modelado con ecuaciones 67
1.6 EJERCICIOS CO N C E P TO S 1. Explique verbalmente qué significa que una ecuación modele una situación real y dé un ejemplo. 2. En la fórmula I ⫽ Prt para interés simple, P representa_____, r es______ y t es________. 3. Dé una fórmula para el área de la figura geométrica. (a) Un cuadrado de lado x:
A ⫽ _______.
(b) Un rectángulo de longitud l y ancho w: (c) Un círculo de radio r:
A ⫽ _______.
A ⫽ ______.
4. El vinagre balsámico contiene 5% de ácido acético, de modo que una botella de 32 onzas de vinagre balsámico contiene _____onzas de ácido acético. 5. Un pintor pinta una pared en x horas, por lo que la fracción de la pared que pinta en 1 hora es ______. 6. La fórmula d ⫽ rt modela la distancia d recorrida por un objeto que se mueve a una rapidez r constante en el tiempo t. Encuentre fórmulas para las siguientes cantidades. r ⫽ _______
t ⫽ _______
HABILIDADES 7-18
Q
Exprese la cantidad dada en términos de la variable indicada.
7. La suma de tres enteros consecutivos; n ⫽ primer entero de los tres 8. La suma de tres enteros consecutivos; de los tres
n ⫽ entero intermedio
9. El promedio de tres calificaciones de examen si las dos primeras calificaciones son 78 y 82; s ⫽ tercera calificación de examen 10. El promedio de cuatro calificaciones de preguntas de cada una de las tres primeras calificaciones es 8; q ⫽ cuarta calificación de preguntas
221 %
11. El interés obtenido después de un año sobre una inversión es de interés simple por año; x ⫽ número de dólares invertidos
12. La renta total pagada por un apartamento si la renta es $795 al mes; n ⫽ número de meses 13. El área (en pies2) de un rectángulo que mide tres veces más de largo que de ancho; „ ⫽ ancho del rectángulo (en pies) 14. El perímetro (en cm) de un rectángulo que es 5 cm más largo que su ancho; „ ⫽ ancho del rectángulo (en cm) 15. La distancia (en millas) que un auto recorre en 45 minutos; s ⫽ rapidez del auto (en mi/h) 16. El tiempo (en horas) que tarda en recorrer una distancia determinada a 55 mi/h; d ⫽ distancia dada (en millas) 17. La concentración (en oz/gal) de sal en una mezcla de 3 galones de salmuera que contiene 25 onzas de sal a la que se ha agregado agua pura; x ⫽ volumen de agua pura agregada (en galones) 18. El valor (en centavos) del cambio en un monedero que contiene el doble de monedas de 5 centavos que de centavo, cuatro mo-
nedas de 10 centavos más que de 5 centavos, y tantas monedas de 25 centavos que de monedas de 5 combinadas; p ⫽ número de monedas de un centavo.
A P L I C AC I O N E S 19. Renta de un camión Una compañía que renta vehículos cobra $65 al día y 20 centavos por milla por rentar un camión. Miguel rentó un camión durante 3 días y su cuenta fue de $275. ¿Cuántas millas recorrió? 20. Costos de teléfono celular Una compañía de telefonía celular cobra una cuota mensual de $10 por los primeros 1000 mensajes de texto y 10 centavos por cada mensaje adicional de texto. La cuenta de Miriam por mensajes de texto para el mes de junio es de $38.50. ¿Cuántos mensajes de texto envió ella ese mes? 21. Inversiones Felicia invirtió $12,000, una parte de los cuales gana una tasa de interés simple de 4 12 % al año y el resto gana una tasa de 4% al año. Después de 1 año, el interés total ganado sobre estas inversiones fue de $525. ¿Cuánto dinero invirtió ella a cada una de las tasas? 22. Inversiones Si Benjamín invierte $4000 al 4% de interés al año, ¿cuánto dinero adicional debe invertir al 5 12 % de interés anual, para asegurar que el interés que reciba cada año sea 4 12 % de la cantidad total invertida? 23. Inversiones ¿Qué tasa anual de interés debe ganar una persona para ganar sobre una inversión de $3500, para asegurar recibir $262.50 de interés después de 1 año? 24. Inversiones Jaime invierte $1000 a cierta tasa de interés anual, e invierte otros $2000 a una tasa anual que es medio por ciento más alta. Si él recibe un total de $190 de interés en 1 año, ¿a qué tasa se invierten los $1000? 25. Salarios Una ejecutiva de una compañía de ingeniería gana un salario mensual más un bono de Navidad de $8500. Si ella gana un total de $97,300, ¿cuál es su salario mensual? 26. Salarios Una mujer gana 15% más que su esposo. Juntos ganan $69,875 al año. ¿Cuál es el salario anual del esposo? 27. Herencia Camilo está ahorrando para comprarse una casa para vacacionar. Él hereda algún dinero de un tío rico, luego combina esto con los $22,000 que ya había ahorrado y duplica el total en una inversión afortunada. Termina con $134,000, que es justo lo suficiente para comprarse una cabaña junto a un lago. ¿Cuánto heredó? 28. Paga de tiempo extra Elena gana $7.50 por hora en su trabajo, pero si trabaja más de 35 horas a la semana le pagan 1 12 veces su salario regular por las horas de tiempo extra trabajadas. En una semana ella gana un salario bruto de $352.50. ¿Cuántas horas de tiempo extra trabajó esa semana? 29. Costos de mano de obra Un plomero y su ayudante trabajan juntos para cambiar las tuberías de una casa vieja. El plomero cobra $45 por hora por su propio trabajo y $25 por hora por el trabajo del ayudante. El plomero trabaja el doble de tiempo que su ayudante en el trabajo, y el cobro por mano de obra en la factura final es de $4025. ¿Cuánto tiempo trabajaron el plomero y su ayudante en este trabajo?
68
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
30. Un acertijo Un padre tiene cuatro veces la edad de su hija; en 6 años, tendrá tres veces la edad que actualmente tiene su hija. ¿Cuál es la edad actual de la hija? 31. Un acertijo Un actor de cine, que no está dispuesto a decir su edad, planteó el siguiente acertijo a un columnista de chismes. “Hace siete años, yo tenía 11 veces la edad de mi hija; ahora tengo cuatro veces su edad.” ¿Cuál es la edad del actor? 32. Cuadrangulares en su carrera Durante su carrera en las Ligas Mayores, Hank Aaron conectó 41 cuadrangulares más de los que conectó Babe Ruth en su carrera. Juntos conectaron 1469 cuadrangulares. ¿Cuántos conectó Babe Ruth? 33. Valor de monedas Un monedero contiene igual número de monedas de un centavo, de cinco centavos y de diez centavos. El valor total de las monedas es $1.44. ¿Cuántas monedas de cada tipo contiene el monedero?
42. Dimensiones de un lote Una parcela de terreno mide 6 pies más de largo que de ancho. Cada diagonal desde una esquina a la esquina opuesta es de 174 pies de largo. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela? 43. Dimensiones de un lote Una parcela rectangular de terreno mide 50 pies de ancho. La longitud de una diagonal entre esquinas opuestas es de 10 pies más que la longitud de la parcela. ¿Cuál es la longitud de la parcela? 44. Dimensiones de una pista Una pista de carreras tiene la forma mostrada en la figura, con costados rectos y extremos semicirculares. Si la longitud de la pista es de 440 yardas y las dos partes rectas miden 110 yardas de largo cada una, ¿cuál es el radio de las partes semicirculares (a la yarda más cercana)? 110 yd
34. Valor de monedas Mary tiene $3.00 en monedas de 5, de 10 y de 25 centavos. Si ella tiene el doble de monedas de 10 que de 25 y cinco más de monedas de 5 que de 10 centavos, ¿cuántas monedas de cada tipo tiene ella? 35. Longitud de un jardín Un jardín rectangular mide 25 pies de ancho. Si su área es de 1125 pies2, ¿cuál es la longitud del jardín?
r
45. Longitud y área Encuentre la longitud x de la figura. Se da el área de la región sombreada.
x
(a)
(b)
x 14 pulg.
10 cm
x pies
13 pulg.
6 cm
25 pies
x
x
36. Ancho de un pastizal Un pastizal mide el doble de largo que su ancho. Su área es de 115,200 pies2. ¿Cuál es el ancho del pastizal? 37. Dimensiones de un lote Un lote de terreno cuadrado tiene una construcción de 60 pies de largo y 40 pies de ancho en una esquina. El resto del terreno fuera del edificio forma un estacionamiento. Si éste tiene un área de 12,000 pies2, ¿cuáles son las dimensiones de todo el lote de terreno? 38. Dimensiones de un lote Un lote para construcción, de medio acre, mide 5 veces más de largo que de ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones? 3Nota: 1 acre ⫽ 43,560 pies2.4
39. Dimensiones de un jardín Un jardín rectangular mide 10 pies más de largo que de ancho. Su área es 875 pies2. ¿Cuáles son sus dimensiones? 40. Dimensiones de un cuarto Una habitación rectangular mide 7 pies más de largo que su ancho. Su área es de 228 pies2. ¿Cuál es el ancho del cuarto? 41. Dimensiones de un jardín Un agricultor tiene un lote rectangular de jardín rodeado por una cerca de 200 pies. Encuentre la longitud y ancho si su área es de 2400 pies2.
área=160 pulg.2 área=144 cm2 46. Longitud y área Encuentre la longitud y de la figura. Se da el área de la región sombreada. (a)
(b)
y y
y
área=120 pulg2
y y
1 cm área=1200 cm2 47. Enmarcar una pintura Ali pinta con acuarela en una hoja de papel de 20 pulgadas de ancho por 15 pulgadas de alto. A continuación pone esta hoja en un marco de cartón de modo que una franja de ancho uniforme del marco de cartón se ve a todo alrededor de la pintura. El perímetro del marco de cartón es de 102 pulgadas. ¿Cuál es el ancho de la franja del marco de cartón que se ve alrededor de la pintura?
perímetro= 200 pies 15 pulg.
x
20 pulg.
SECCIÓN 1.6
| Modelado con ecuaciones 69
48. Dimensiones de un cartel Un cartel tiene una superficie rectangular impresa de 100 cm por 140 cm y una franja negra de ancho uniforme alrededor de los bordes. El perímetro del cartel es 112 veces el perímetro de la superficie impresa. ¿Cuál es el ancho de la franja negra?
6m 100 cm x
2m 10 m
x
140 cm
x 49. Alcance de una escalera Una escalera de 1921 pies se apoya contra un edificio. La base de la escalera está a 712 pies del edificio. ¿A qué altura del edificio llega la escalera?
52. Altura de un árbol Un maderero determina la altura de un árbol alto al medir uno más pequeño que está a 125 pies de distancia del primero, y luego moviéndose de manera que sus ojos estén en la línea de vista a lo largo de las cumbres de los árboles y midiendo la distancia a la que él está del árbol pequeño (vea la figura). Suponga que el árbol pequeño mide 20 pies de alto, el hombre está a 25 pies del árbol pequeño y el nivel de sus ojos está a 5 pies sobre el suelo. ¿Cuál es la altura del árbol más alto?
1
19 2 pies 20 pies 5 pies 25 pies 1 72
125 pies
pies
50. Altura de un asta de bandera Un asta de bandera está asegurada en lados opuestos por medio de dos alambres (llamados “vientos”), cada uno de los cuales mide 5 pies más que el asta. La distancia entre los puntos donde los alambres se fijan al suelo es igual a la longitud de un alambre “viento”. ¿Cuál es la altura del asta de bandera (a la pulgada más cercana)?
53. Problema de mezclas ¿Qué cantidad de una solución ácida al 60% debe mezclarse con una solución al 30% para producir 300 mL de una solución al 50%? 54. Problema de mezclas ¿Qué cantidad de ácido puro debe agregarse a 300 mL de una solución al 50% para producir una solución ácida al 60%? 55. Problema de mezclas Una joyera tiene cinco anillos, cada uno de los cuales pesa 18 g, hechos de una aleación de 10% de plata y 90% de oro. Ella decide fundir los anillos y agregar suficiente plata para reducir el contenido de oro a 75%. ¿Cuánta plata debe agregar? 56. Problema de mezclas Una olla tiene 6 L de salmuera a una concentración de 120 g/L. ¿Cuánta agua debe hervirse para aumentar la concentración a 200 g/L?
51. Longitud de una sombra Un hombre está alejándose de un poste de alumbrado que tiene una fuente de luz a 6 m sobre el suelo. El hombre mide 2 m de alto. ¿Cuál es la longitud de la sombra del hombre cuando éste está a 10 m del poste? 3Sugerencia: Use triángulos semejantes.4
57. Problema de mezclas El radiador de un auto está lleno de una solución al 60% de anticongelante y 40% de agua. El fabricante del anticongelante sugiere que para operar el auto en verano, el enfriamiento óptimo del auto se obtiene con sólo 50% de anticongelante. Si la capacidad del radiador es 3.6 L, ¿cuánto líquido de enfriamiento debe drenarse y sustituirse con agua para reducir la concentración de anticongelante al nivel recomendado? 58. Problema de mezclas Una clínica utiliza una solución de blanqueador para esterilizar cajas de Petri en las que crecen cultivos. El tanque de esterilización contiene 100 galones de solu-
70
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
ción de blanqueador doméstico común al 2%, mezclado con agua destilada pura. Nuevas investigaciones indican que la concentración de blanqueador debe ser al 5% para completar la esterilización. ¿Cuánto de la solución debe drenarse y sustituirse con blanqueador para aumentar el contenido de blanqueador al nivel recomendado? 59. Problema de mezclas Una botella contiene 750 mL de jugos de frutas con una concentración de 50% de jugo de frutas puro. Jill toma 100 mL del ponche y luego vuelve a llenar la botella con una cantidad igual de una marca más barata del ponche. Si la concentración del jugo en la botella se reduce ahora al 48%, ¿cuál era la concentración del ponche que agregó Jill? 60. Problema de mezclas Un comerciante mezcla té que vende en $3.00 por libra con té que vende en $2.75 por libra para producir 80 lb de una mezcla que vende en $2.90 por libra. ¿Cuántas libras de cada tipo de té debe usar el comerciante en la mezcla?
otro. Si se encuentran 2 h más tarde, ¿a qué velocidad promedio está viajando cada uno de ellos? 69. Distancia, rapidez y tiempo Un piloto voló en jet de Montreal a Los Ángeles, una distancia de 2500 millas. En el viaje de regreso, el promedio de velocidad fue 20% más rápido que el de ida. El viaje redondo tardó 9 h 10 minutos. ¿Cuál fue la velocidad de Montreal a Los Ángeles? 70. Distancia, rapidez y tiempo Una mujer que maneja un auto de 14 pies de largo está rebasando a un camión de 30 pies de largo. El camión está corriendo a 50 mi/h. ¿Con qué rapidez debe ir el auto de la mujer para que pueda pasar por completo al camión en 6 s, desde la posición mostrada en la figura (a) hasta la posición de la figura (b)? 3Sugerencia: Use pies y segundos en lugar de millas y horas.4
61. Compartir un trabajo Candy y Tim comparten una ruta para vender periódicos. Candy tarda 70 minutos en entregar todos los periódicos; Tim tarda 80 minutos. ¿Cuánto tiempo les lleva a los dos cuando trabajan juntos? 62. Compartir un trabajo Stan e Hilda pueden podar el césped en 40 minutos si trabajan juntos. Si Hilda trabaja el doble de rápido que Stan, ¿cuánto tiempo le lleva a Stan podar el césped él solo? 63. Compartir un trabajo Betty y Karen han sido contratados para pintar las casas en un nuevo fraccionamiento habitacional. Trabajando juntas, las mujeres pueden pintar una casa en dos tercios del tiempo que tarda Karen si trabaja sola. Betty tarda 6 horas en pintar una casa ella sola. ¿Cuánto tarda Karen en pintar una casa si trabaja sola? 64. Compartir un trabajo Los vecinos Bob y Jim, que viven en casas contiguas entre sí, usan mangueras de ambas casas para llenar la piscina de Bob. Saben que tardan 18 horas usando ambas mangueras. También saben que la manguera de Bob, si se usa sola, toma 20% menos tiempo que la manguera de Jim sola. ¿Cuánto tiempo se requiere para llenar la piscina con cada una de las mangueras sola? 65. Compartir un trabajo Irene y Henry, trabajando juntos, pueden lavar todas las ventanas de su casa en 1 h 48 minutos. Trabajando solo, Henry tarda 11 h más que Irene para hacer el trabajo. ¿Cuánto tarda cada persona trabajando sola para lavar todas las ventanas? 66. Compartir un trabajo Jack, Kay y Lynn reparten volantes de publicidad en una pequeña población. Si cada persona trabaja sola, Jack tarda 4 h en repartir todos los volantes, y Lynn tarda 1 h más de lo que tarda Kay. Trabajando juntos, pueden repartir todos los volantes en 40% del tiempo que tarda Kay trabajando sola. ¿Cuánto le toma a Kay repartir todos los volantes ella sola? 67. Distancia, rapidez y tiempo Wendy hizo un viaje de Davenport a Omaha, una distancia de 300 millas. En parte, viajó en autobús que llegó a la estación de ferrocarril justo a tiempo para que completara su viaje en tren. El autobús promedió 40 mi/h y el tren promedió 60 mi/h. Todo el viaje tomó 51 h. ¿Cuánto tardó Wendy en el tren? 68. Distancia, rapidez y tiempo Dos ciclistas están a 90 millas entre sí. Arrancan en sus bicicletas al mismo tiempo uno hacia el otro. Uno de ellos pedalea el doble de rápido que el
50 mi/ h (a)
50 mi/h (b) 71. Distancia, rapidez y tiempo Un vendedor viaja en auto de Ajax a Barrington, una distancia de 120 millas a una velocidad constante. A continuación aumenta su velocidad en 10 mi/h para recorrer las 150 millas de Barrington a Collins. Si el segundo tramo de su viaje tomó 6 minutos más que el primer tramo, ¿con qué rapidez manejaba entre Ajax y Barrington? 72. Distancia, rapidez y tiempo Kiran viajó de Tortula a Cactus una distancia de 250 millas. Ella aumentó su velocidad en 10 mi/h para el viaje de 360 millas de Cactus a Dry Junction. Si el viaje total tomó 11 h, ¿cuál fue su velocidad de Tortula a Cactus? 73. Distancia, rapidez y tiempo A una tripulación les tomó 2 h 40 min remar 6 km corriente arriba y regresar. Si la rapidez de la corriente era de 3 km/h, ¿cuál era la velocidad de remar de la tripulación en aguas tranquilas? 74. Velocidad de un bote Dos botes pesqueros salen de un puerto al mismo tiempo, uno de ellos dirigiéndose al este y el otro al sur. El bote con dirección al este viaja a 3 mi/h más rápido que el que va al sur. Después de dos horas, los botes están a 30 millas entre sí. Encuentre la rapidez del bote que se dirige al sur.
N O
E S
30
mi
SECCIÓN 1.6 75. Ley de la palanca La figura muestra un sistema de palancas, semejante a un subibaja (balancín) que se puede hallar en un parque de recreo infantil. Para que el sistema esté en equilibrio, el producto del peso y su distancia desde el fulcro debe ser igual en cada lado; esto es, „1x1 ⫽ „2x2 Esta ecuación recibe el nombre de ley de la palanca y fue descubierta por Arquímedes (vea página 729). Una mujer y su hijo están jugando en un subibaja. El muchacho está en un extremo, a 8 pies del fulcro. Si el hijo pesa 100 lb y la madre pesa 125 lb, ¿dónde debe sentarse la mujer para que el subibaja esté balanceado?
„¤
„⁄ x⁄
| Modelado con ecuaciones 71
4 pulg. 4 pulg.
80. Dimensiones de una lata Una lata cilíndrica tiene un volumen de 40p cm3 y mide 10 cm de alto. ¿Cuál es su diámetro? 3Sugerencia: Use la fórmula de volumen que aparece al final del libro.4
10 cm
x¤
76. Ley de la palanca Una tabla de 30 pies de largo está apoyada en lo alto de un edificio de techo plano, con 5 pies de la tabla sobresaliendo del borde, como se ve en la figura. Un trabajador que pesa 240 lb se sienta en un extremo de la tabla. ¿Cuál es el peso máximo que puede ser colgado del extremo de la tabla que sobresale si debe estar en equilibrio? (Use la ley de la palanca expresada en el Ejercicio 75.)
5 pies
77. Dimensiones de una caja Una caja grande de madera terciada tiene un volumen de 180 pies3. Su longitud es 9 pies más que su peso, y su ancho es 4 pies menor que su altura. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
81. Radio de un tanque Un tanque esférico tiene una capacidad de 750 galones. Usando el dato de que un galón es 0.1337 pies3 aproximadamente, encuentre el radio del tanque (al centésimo de pie más cercano). 82. Dimensiones de un lote Un lote urbano tiene la forma de un triángulo recto cuya hipotenusa es 7 pies más larga que uno de los otros lados. El perímetro del lote es de 392 pies. ¿Cuál es la longitud de cada lado del lote? 83. Costos de construcción La ciudad de Foxton está a 10 millas al norte de un camino abandonado de dirección esteoeste que pasa por Grimley, como se ve en la figura. El punto del camino abandonado más cercano a Foxton está a 40 millas de Grimley. Oficiales del condado están por construir un nuevo camino que enlaza las dos ciudades. Han determinado que restaurar el camino antiguo costaría $100,000 por milla, mientras que construir un nuevo camino costaría $200,000 por milla. ¿Cuánto del camino abandonado debe usarse (como se indica en la figura) si los oficiales tienen intención de gastar exactamente $6.8 millones de dólares? ¿Costaría menos que esto la construcción de un nuevo camino que conecte las ciudades directamente?
x+9 x
Foxton
Grimley x-4
78. Radio de una esfera Un joyero tiene tres pequeñas esferas de oro macizo, de 2 mm de radio, 3 mm y 4 mm. Él decide fundirlas y hacer con ellas una sola esfera. ¿Cuál será el radio de esta esfera más grande? 79. Dimensiones de una caja Una caja con una base cuadrada y sin tapa ha de hacerse de una pieza cuadrada de cartón al cortarle cuadros de 4 pulgadas de cada esquina y doblar los lados, como se muestra en la figura. La caja ha de contener 100 pulg.3. ¿De qué dimensión se necesita la pieza de cartón?
Camino nuevo
10 mi
Camino abandonado 40 mi 84. Distancia, rapidez y tiempo Un entablado o andén de madera está paralelo y a 210 pies tierra adentro del borde de una playa recta. Una playa arenosa está entre el andén y el borde de la playa. Un hombre está de pie en el andén, exactamente a 750 pies de su sombrilla para playa al otro lado de la arena, que está recta en el borde de la playa. El hombre camina a 4 pies/s en el andén y a 2 pies/s en la arena. ¿Qué distancia
72
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
debe caminar en el andén antes de entrar a la arena si desea llegar a su sombrilla en exactamente 4 minutos 45 segundos?
750 pies
88. Comparación de áreas Un alambre de 360 pulgadas de largo se corta en dos piezas. A una de éstas se le da forma de cuadrado y de círculo a la otra. Si las dos figuras tienen la misma área, ¿cuáles son las longitudes de las dos piezas de alambre (al décimo de pulgada más cercano)?
210 pies andén
85. Volumen de grano Están cayendo granos de un canal al suelo, formando una pila cónica cuyo diámetro es siempre el triple de su altura. ¿De qué altura es la pila (al centésimo de pie más cercano) cuando contiene 1000 pies3 de grano?
89. Un antiguo problema chino Este problema ha sido tomado de un libro de texto chino llamado Chui-chang suan-shu, o Nueve Capítulos del Arte Matemático, que fue escrito hacia el año 250 a.C. Un tallo de bambú de 10 pies de largo se descompone en forma tal que su punta toca el suelo a 3 pies de la base del tallo, como se ve en la figura. ¿Cuál es la altura de la rotura?
3Sugerencia: Use el Teorema de Pitágoras.4
86. Monitores de TV Dos monitores de TV, colocados uno al lado del otro en un estante de una tienda de aparatos eléctricos, tienen la misma altura de pantalla. Uno de ellos tiene una pantalla convencional, que es 5 pulgadas más ancha que su altura; el otro tiene una pantalla más ancha, de alta definición, que es 1.8 veces más ancha que su altura. La medida diagonal de la pantalla más ancha es 14 pulgadas más que la medida diagonal de la pantalla más pequeña. ¿Cuál es la altura de las pantallas, correcta al 0.1 de pulgada más cercano?
87. Dimensiones de una estructura Un silo de almacenamiento para maíz está formado de una sección cilíndrica hecha de malla de alambre, rematada por un techo cónico de estaño, como se ve en la figura. La altura del techo es un tercio de la altura de toda la estructura. Si el volumen total de la estructura es 1400p pies3 y su radio es 10 pies, ¿cuál es su altura? 3Sugerencia: Use las fórmulas de volumen al final del libro.4 1 3h
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
90. Investigación histórica Lea las notas biográficas acerca de Pitágoras (página 219), Euclides (página 497) y Arquímedes (página 729). Escoja uno de estos matemáticos e investigue más sobre él en la biblioteca o en Internet. Escriba un breve ensayo de lo que haya encontrado. Incluya información biográfica y una descripción de la matemática por la cual él es famoso. 91. Una ecuación cuadrática de Babilonia Los antiguos babilonios sabían cómo resolver ecuaciones cuadráticas. A continuación veamos un problema de una tablilla cuneiforme hallada en una escuela de Babilonia, que data del año 2000 a.C. Tengo un junco, sé su longitud. De él tomo un cúbito que cabe 60 veces a lo largo de mi campo. Lo devuelvo al junco que he dividido, y cabe 30 veces a lo ancho de mi campo. El área de mi campo es de 375 nindas (una medida) cuadradas. ¿Cuál era la longitud original del junco? Resuelva este problema. Use el dato que 1 ninda ⫽ 12 cúbitos.
h
10 pies
3 pies
P
PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO
Ecuaciones a lo largo del tiempo
En este proyecto estudiamos ecuaciones que fueron creadas y resueltas por los pueblos antiguos de Egipto, Babilonia, India y China. El lector puede hallar el proyecto en el sitio web compañero de este libro: www.stewartmath.com
SECCIÓN 1.7
| Desigualdades 73
1.7 D ESIGUALDADES Resolución de desigualdades lineales 䉴 Resolución de desigualdades no lineales 䉴 Desigualdades con valor absoluto 䉴 Modelado con desigualdades Algunos problemas en álgebra llevan a desigualdades en lugar de ecuaciones. Una desigualdad se ve muy semejante a una ecuación, excepto que en lugar del signo igual hay uno de los símbolos ⬍, ⬎, ≤ o ≥. A continuación veamos un ejemplo de una desigualdad: 4x
x
1 2 3 4 5
11 15 19 23 27
7
19
4x ⫽ 7 ≤ 19 La tabla que aparece al margen muestra que algunos números satisfacen la desigualdad y algunos números no la satisfacen. Resolver una desigualdad que contenga una variable significa hallar todos los valores de la variable que hagan verdadera la desigualdad. A diferencia de una ecuación, una desigualdad por lo general tiene un infinito de soluciones, que forma un intervalo o una unión de intervalos en la recta real. La siguiente ilustración muestra el modo en que una desigualdad difiere de su ecuación correspondiente:
19 19 19 19 19
Solución
Gráfica
4x
7
19
x
3
0
3
Desigualdad 4 x
7
19
x
3
0
3
Ecuación:
Para resolver desigualdades, usamos las reglas siguientes para aislar la variable en un lado del signo de desigualdad. Estas reglas nos dicen cuándo dos desigualdades son equivalentes (el símbolo ⇔ significa “es equivalente a”). En estas reglas los símbolos A, B y C representan números reales o expresiones algebraicas. A continuación expresamos las reglas para desigualdades que contienen el símbolo ≤, pero aplican a los cuatro símbolos de desigualdad.
REGLAS PARA DESIGUALDADES Regla
Descripción
1. A
B
3
A
C
B
C
Sumar la misma cantidad a cada lado de una desigualdad da una desigualdad equivalente.
2. A
B
3
A
C
B
C
Restar la misma cantidad de cada lado de una desigualdad da una desigualdad equivalente.
3. Si C
0, entonces A
B
3
CA
CB
Multiplicar cada lado de una desigualdad por la misma cantidad positiva da una desigualdad equivalente.
4. Si C
0, entonces A
B
3
CA
CB
Multiplicar cada lado de una desigualdad por la misma cantidad negativa invierte la dirección de la desigualdad.
5. Si A
0 y B
entonces A
0, B
3
6. Si A B y C D, entonces A C B
1 A
1 B
Tomar recíprocos de cada lado de una desigualdad que contenga cantidades positivas invierte la dirección de la desigualdad.
Las desigualdades se pueden sumar. D Ponga especial atención a las Reglas 3 y 4. La Regla 3 dice que podemos multiplicar (o dividir) cada lado de una desigualdad por un número positivo, pero la Regla 4 dice que si multiplicamos cada lado de una desigualdad por un número negativo, entonces invertimos la dirección de la desigualdad. Por ejemplo, si empezamos con la desigualdad
3⬍5
74
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos y multiplicamos por 2, obtenemos 6 ⬍ 10 pero si multiplicamos por ⫺2, obtenemos ⫺6 ⬎ ⫺10
W Solución de desigualdades lineales Una desigualdad es lineal si cada término es constante o un múltiplo de la variable. Para resolver una desigualdad lineal, aislamos la variable en un lado del signo de desigualdad.
E J E M P LO 1
Resolver una desigualdad lineal
Resuelva la desigualdad 3x ⬍ 9x ⫹ 4 y trace el conjunto solución. S O LU C I Ó N
1 6
Multiplicar por el número negativo invierte la dirección de la desigualdad.
_ 23
0
1
3x
9x
4
3x
9x
9x
4
1 6 B1
6x
4
6x2 x
A
Desigualdad dada
9x
1 6 B142
Reste 9x Simplifique Multiplique por
2 3
1 6
e invierta la desigualdad
Simplifique
El conjunto solución está formado por todos los números mayores a 23. En otras palabras, la solución de la desigualdad es el intervalo A 23, qB. Está graficada en la Figura 1. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 21
FIGURA 1
E J E M P LO 2
Q
Resolver un par de desigualdades simultáneas
Resuelva las desigualdades 4 ≤ 3x ⫺ 2 ⬍ 13. S O LU C I Ó N El conjunto solución está formado por todos los valores de x que satisfacen las desigualdades 4 ≤ 3x ⫺ 2 y 3x ⫺ 2 ⬍ 13. Usando las Reglas 1 y 3, vemos que las siguientes desigualdades son equivalentes:
0
FIGURA 2
2
5
4
3x
2
6
3x
15
13
Desigualdad dada Sume 2
Por lo tanto, el conjunto de solución es 32, 5), como se ve en la Figura 2.
2
x
5
Divida entre 3
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 31
Q
W Solución de desigualdades no lineales Para resolver desigualdades que contengan cuadrados y otras potencias de la variable, usamos factorización, junto con el principio siguiente.
EL SIGNO DE UN PRODUCTO O COCIENTE Si un producto o un cociente tienen un número par de factores negativos, entonces su valor es positivo. Si un producto o un cociente tienen un número impar de factores negativos, entonces su valor es negativo.
SECCIÓN 1.7
Por ejemplo, para resolver la desigualdad x2 5x términos al lado izquierdo y factorizamos para obtener
1x
22 1x
| Desigualdades 75
6, primero movemos todos los
Esta forma de la desigualdad nos dice que el producto 1x 22 1x 32 debe ser negativo o cero, de modo que, para resolver la desigualdad, debemos determinar en dónde cada factor es negativo o positivo (porque el signo de un producto depende del signo de los factores). Los detalles se explican en el Ejemplo 3, en el que usamos la guía siguiente.
32
0
GUÍA PARA RESOLVER DESIGUALDADES NO LINEALES 1. Pase todos los términos a un lado. Si es necesario, reescriba la desigualdad de modo que todos los términos diferentes de cero aparezcan en un lado del signo de desigualdad. Si el lado diferente de cero de la desigualdad contiene cocientes, páselos a un común denominador. 2. Factorice. Factorice el lado diferente de cero de la desigualdad. 3. Encuentre los intervalos. Determine los valores para los cuales cada factor es cero. Estos números dividirán la recta real en intervalos. Haga una lista de los intervalos que están determinados por estos números. 4. Haga una tabla o diagrama. Use valores de prueba para hacer una tabla o diagrama de los signos de cada factor en cada intervalo. En el último renglón de la tabla determine el signo del producto (o cociente) de estos factores. 5. Resuelva. Determine la solución de la desigualdad a partir del último renglón de la tabla de signos. Asegúrese de verificar si la desigualdad queda satisfecha por algunos o todos los puntos extremos de los intervalos. (Esto puede ocurrir si la desigualdad contiene ≤ o ≥. La técnica de factorización que se describe en esta guía funciona sólo si todos los términos diferentes de cero aparecen en un lado del símbolo de desigualdad. Si la desigualdad no se escribe en esta forma, primero la reescribimos, como se indica en el Paso 1.
E J E M P LO 3
Resolver una desigualdad cuadrática
Resuelva la desigualdad x 2 S O LU C I Ó N
5x
6.
Seguiremos la guía dada líneas antes. Pasamos todos los términos al lado izquierdo.
Pase todos los términos a un lado. 2
x 5x 6 Desigualdad dada Reste 5x, sume 6 x 5x 6 0 Factorizando el lado izquierdo de la desigualdad, obtenemos 2
22 1x 32 0 Factorice Los factores del lado izquierdo son x 2 y x 3. Estos factores son cero cuando x es 2 y 3, respectivamente. Como se ve en la Figura 3, los números 2 y 3 dividen la recta real en los tres intervalos 1 q, 22, 12, 32, 13, q 2
Factorice. (_`, 2) 0
(2, 3) 2
(3, `) 3
FIGURA 3
1x
Encuentre los intervalos.
Los factores x ⫺ 2 y x ⫺ 3 cambian de signo sólo en 2 y 3, respectivamente. Por lo tanto, estos factores mantienen su signo en cada uno de estos tres intervalos. Valor de prueba x=1
0
FIGURA 4
Valor de prueba x=2 12
2
3
Valor de prueba x=4
Haga una tabla o diagrama. Para determinar el signo de cada factor en cada uno de los intervalos que encontramos, usamos valores de prueba. Escogemos un número dentro de cada intervalo y comprobamos el signo de los factores x ⫺ 2 y x ⫺ 3 en el número que escojamos. Para el intervalo 1 q, 22, escojamos el valor de prueba 1 (vea Figura 4). Sustituyendo 1 por x en los factores x ⫺ 2 y x ⫺ 3, obtenemos x 2 1 2 1 0
x
3
1
3
2
0
76
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos Por lo tanto ambos factores son negativos en este intervalo. Nótese que necesitamos verificar sólo un valor de prueba por cada intervalo porque los factores x ⫺ 2 y x ⫺ 3 no cambian signo en ninguno de los tres intervalos que encontramos. Usando los valores de prueba x 2 12 y x 4 para los intervalos (2, 3) y (3, q) (vea Figura 4), respectivamente, construimos la siguiente tabla de signos. El renglón final de la tabla se obtiene del dato que la expresión del último renglón es el producto de los dos factores. 1 q, 22
Intervalo Signo de x Signo de x
2 3
Signo de 1x
221x
12, 32
13, q2
32
Si el lector así lo prefiere, puede representar esta información en una recta real, como en el siguiente diagrama de signos. Las rectas verticales indican los puntos en los que la recta real está dividida en intervalos: 3
2 Signo de x-2
-
+
+
Signo de x-3
-
-
+
Signo de (x-2)(x-3)
+
-
+
Resuelva. Leemos de la tabla o el diagrama que 1x valo (2, 3). Entonces, la solución de la desigualdad 1x 0
FIGURA 5
2
3
5x 0 2
32, 34
36
x
22 1x 22 1x
32 es negativo en el inter32 0 es
Hemos incluido los puntos extremos 2 y 3 porque buscamos valores de x tales que el producto es menor o igual a cero. La solución está ilustrada en la Figura 5. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 41
E J E M P LO 4
12 2 1x
Q
Resolver una desigualdad con factores repetidos
Resuelva la desigualdad x1x
32
0.
S O LU C I Ó N Todos los términos diferentes de cero ya están en un lado de la desigualdad, y el lado diferente de cero de la desigualdad ya está factorizado. Por lo tanto, empezamos por hallar los intervalos para esta desigualdad. Los factores del lado izquierdo son x, (x ⫺ 1)2 y x ⫺ 3. Éstos son cero cuando x ⫽ 0, 1, 3. Estos números dividen la recta real en los intervalos Encuentre los intervalos.
1 q, 02 , 10, 12, 11, 32 , 13, q 2
Hacemos el siguiente diagrama, usando puntos de prueba para determinar el signo de cada factor en cada intervalo.
Haga un diagrama.
3
1
0 Signo de x
-
+
+
+
Signo de (x-1)2
+
+
+
+
Signo de (x-3)
-
-
-
+
Signo de x(x-1)2(x-3)
+
-
-
+
SECCIÓN 1.7
| Desigualdades 77
0 para x en el intervalo (0, 1) o Del diagrama vemos que x1x 12 2 1x 32 para x en (1, 3). Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de estos dos intervalos:
Resuelva.
(0, 1) ∪ (1, 3)
0
1
3
FIGURA 6
El conjunto solución está graficado en la Figura 6. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 53
E J E M P LO 5
Q
Resolver una desigualdad con un cociente
Resuelva la desigualdad
1 1
x x
1
S O LU C I Ó N Pase todos los términos a un lado. Movemos los términos al lado izquierdo y simplificamos usando un denominador común.
Es tentador simplemente multiplicar ambos lados de la desigualdad por 1 ⫺ x (como se haría si fuera una ecuación.) Pero esto no funciona porque no sabemos si 1 ⫺ x es positivo o negativo, de modo que no podemos decir si la desigualdad necesita ser invertida. (Vea Ejercicio 123.)
1 1
x x
1
Desigualdad dada
1 1
x x
1
0
Reste 1
1 1
x x
1 1
x x
0
Denominador común 1 – x
1
x 1
1 x
x
0
Combine las fracciones
0
Simplifique
2x 1
x
Los factores del lado izquierdo son 2x y 1 ⫺ x. Éstos son cero cuando x es 0 y 1. Estos números dividen la recta real en los intervalos
Encuentre los intervalos.
1 q, 02 , 10, 12, 11, q 2
Haga un diagrama. Hacemos el siguiente diagrama usando puntos de prueba para determinar el signo de cada factor en cada intervalo. 1
0 Signo de 2x
-
+
+
Signo de 1-x 2x Signo de 1-x
+
+
-
-
+
-
2x 0 para x en el intervalo 30, 1). Incluimos el 1 x punto extremo 0 porque la desigualdad original requiere que el cociente sea mayor o igual a 1. No obstante, no incluimos el otro punto extremo 1 porque el cociente de la desigualdad no está definido en 1. Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo Resuelva.
0
FIGURA 7
1
Del diagrama vemos que
30, 1)
El conjunto solución está graficado en la Figura 7. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 59
Q
El Ejemplo 5 muestra que siempre debemos comprobar los puntos extremos del conjunto solución para ver si satisfacen la desigualdad original.
78
| Fundamentos
C A P Í T U LO 1
W Desigualdades con valor absoluto Usamos las siguientes propiedades para resolver desigualdades que contienen valor absoluto.
PROPIEDADES DE DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO Estas propiedades se cumplen cuando x es sustituida por cualquier expresión algebraica. (En la figura supusimos que c ⬎ 0.)
c _c
x
c |x|
c
0
FIGURA 8
Desigualdad
c
c
x
c
2. x
c
c
x
c
3. x
c
x
c
o
c
x
4. x
c
x
c
o
c
x
Resuelva la desigualdad 0 x
3
2 5
0
c
_c
0
c
_c
0
c
_c
0
c
50
Resolver una desigualdad con valor absoluto
La desigualdad 0 x
50
2.
2
x
5
3
x
7
2 es equivalente a 2
Propiedad 1 Sume 5
El conjunto solución es el intervalo abierto (3, 7). 7
FIGURA 9
_c
Estas propiedades se pueden demostrar con el uso de la definición de valor absoluto. Para c dice que la demostrar la Propiedad 1, por ejemplo, observe que la desigualdad 0 x 0 distancia de x a 0 es menor que c, y de la Figura 8 vemos que esto es verdadero si y sólo si x está entre –c y c.
E J E M P LO 6
2
Gráfica
1. x
S O LU C I Ó N 1
0
Forma equivalente
S O LU C I Ó N 2 Geométricamente, el conjunto solución está formado por todos los números x cuya distancia desde 5 es menor a 2. De la Figura 9 vemos que éste es el intervalo (3, 7).
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 79 Resuelva la desigualdad 0 3x
E J E M P LO 7 S O LU C I Ó N
20
Resolver una desigualdad con valor absoluto
Por la Propiedad 4, la desigualdad 0 3x
3x
2
4
3x x Ex 0 x
4.
o
3x
FIGURA 10
0
2 3
20
4 es equivalente a
2
4
2
3x
6
Reste 2
2 3
x
2
Divida entre 3
Entonces el conjunto solución es _2
Q
2 o
x
El conjunto está graficado en la Figura 10.
2 3F
1 q,
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 83
24
C23, q 2 Q
W Modelado con desigualdades Modelar problemas prácticos lleva a desigualdades porque con frecuencia estamos interesados en determinar cuándo una cantidad es mayor (o menor) que otra.
SECCIÓN 1.7
E J E M P LO 8
| Desigualdades 79
Boletos para carnaval
Un carnaval tiene dos planes para boletos Plan A: Cuota de $5 la entrada y $0.25 cada juego mecánico Plan B: Cuota de $2 la entrada y $0.50 cada juego mecánico ¿Cuántos juegos mecánicos tendría que tomar para que el Plan A sea menos costoso que el Plan B? S O LU C I Ó N Identifique la variable. Nos piden el número de viajes en juego mecánico para el cual es menos costoso que el Plan B. Por lo tanto, hacemos x ⫽ número de viajes en juego mecánico La información del problema puede organizarse
Convierta las palabras en álgebra.
como sigue. En palabras
En álgebra
Número de viajes Costo con Plan A Costo con plan B
x 5 2
0.25x 0.50x
A continuación formulamos el modelo.
Formule el modelo.
costo con Plan A
5
costo con Plan B
0.25x
2
0.50x
Resuelva. A continuación despejamos x.
3
0.25x
0.50x
Reste 2
3
0.25x
Reste 0.25x
x
Divida entre 0.25
12
Entonces, si usted piensa tomar más de 12 viajes, el Plan A es menos costoso. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 107
E J E M P LO 9
Q
Relación entre escalas Fahrenheit y Celsius
Las instrucciones en una botella de medicina indican que la botella debe conservarse a una temperatura entre 5°C y 30°C. ¿Qué intervalo de temperaturas corresponde en una escala Fahrenheit? 30
86
S O LU C I Ó N La relación entre grados Celsius (C) y grados Fahrenheit (F) está dada por la ecuación C 59 1F 322. Expresando el enunciado de la botella en términos de desigualdades, tenemos
5
5
41
30
5 9 1F
F
32
9 5
9
F
32
54
Simplifique
32
F
54
32
Sume 32
41
F
86
Entonces las temperaturas Fahrenheit correspondientes satisfacen las desigualdades
5 *C
C
*F
9 5
9
#5
322
30
# 30
Sustituya C
5 9 (F
Multiplique por
32)
9 5
Simplifique
La medicina debe conservarse a una temperatura entre 41°F y 86°F. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 105
Q
80
| Fundamentos
C A P Í T U LO 1
1.7 EJERCICIOS CO N C E P TO S 1. Llene el espacio en blanco con un signo de desigualdad apropiado.
(c) Si x ⱖ 2, entonces ⫺3x ____ ⫺6. (d) Si x ⬍ ⫺2, entonces ⫺x ____ 2. (a) Si x(x ⫹ 1) ⬎ 0, entonces x y x ⫹ 1 son ambos positivos o ambos negativos. 3. (a) La solución de la desigualdad 0 x 0 ≤ 3 es el intervalo _______.
(b) Si x(x ⫹ 1) ⬎ 5, entonces x y x ⫹ 1 son cada uno mayores a 5. (b) La solución de la desigualdad 0 x 0 ≥ 3 es una unión de dos intervalos ____ ∪ _____.
4. (a) El conjunto de todos los puntos sobre la recta real cuya distancia desde cero es menor a 3 puede ser descrito por la desigualdad de valor absoluto 0 x 0 _______. (b) El conjunto de todos los puntos sobre la recta real cuya distancia desde cero es mayor a 3 puede ser descrito por la desigualdad de valor absoluto 0 x 0 _______.
HABILIDADES
5⫺10 Q Sea S 5 2, 1, 0, 21, 1, 12, 2, 46 . Determine cuáles elementos de S satisfacen la desigualdad.
7. 1
2x
4
1 x
1 2
9.
6. 2x 8.
7
1
2
2
4
13. 2x
5
15. 7
12. 5
17. 2x
1
19. 3x
11
21. 21 x
2 3
2
23. 31 x
2
1 6x
25. 4
3x
27. 2
x
0 6x
5
11
2x
5
31.
2
8
2x
2x
13 12
18. 0
5
2x
20. 6
x
2x
24.
1 8x2
4
1
1 6
3x
7 1
2 3
2 5x 2 3
1 2x
26. 217x 28. 5
3x
30. 1
3x
55. x 57.
59. 61. 63. 65.
32
32.
3
3x
34.
1 2
4
12x 4
14
4
16
7 3x 5
4x
3 1 4x 2x 3 2x 1 x 5 4 x x 2 1 x 6 x 1 x 2 x 3
71. x 4
16
1 4
42. x
2
32
0
12
0
0 12
0
42 0
5x
6
0
2
x 2
3x
46. x
2
2x
48. x
2
9
3x 2
2
3
32 2 1x
52. 1x
0
12
0
0
x3
56. 16x
6 0 2 x 1 60. 2 x 3 3 x 1 62. 3 x x 3x 64. x 1 3 4 1 66. x x 1 x 5 4 68. 2 x 1 1 1 70. x 1 x 2 58.
0 2 3
2 x
1 6 x x x
1 1 2
x2
2x x
72. x 5
0
x2
73⫺88 Q Resuelva la desigualdad con valor absoluto. Exprese la respuesta usando notación de intervalos y grafique el conjunto solución.
83. `
74. 0 3x 0
4
50
20
2
3
60
0 2x
`
1 2
10
82. 0 8x
0.4 5
84. `
2
88. 7 0 x
86. 3
0.001 6
x
1
20
80. 0 5x
3
10
0x0
15
78. 0 x
76.
7
30
x
85. 0 x 87. 8
1 2
2
0
x x
81. 0 3x
x
32 1x
12
3
79. 0 2x
2x
1 6
2
77. 0 x
9
1 5
22 1x
22
2
75. 0 2x 0
16
1
42 1x
54. x 1x 2
22 1x
40. x
2
44. 5x
4
12 1x
52 1x
73. 0 x 0
5
16. 5
22.
29.
33.
8
11
22 1x
51. 1x
2
62
4
50. 1x
53. 1x
1
31x
49. 1x
69.
10
14. 3x
3
x
4x
2
0
2x
3x 2
38. x12
0
3x
52 1x
36. 1x
0
18
x
2
47. x
67.
2
x
11⫺34 Q Resuelva la desigualdad lineal. Exprese la solución usando notación de intervalos y grafique el conjunto solución.
7
43. 3x
2
x
3
10. x 2
11. 2x
41. 2x
32
72
3x 2
45. x
2. ¿Verdadero o falso?
1 2
22 1x
2
39. x
(b) Si x ⱕ 5, entonces 3x ____ 15.
2x
35. 1x
37. x12x
(a) Si x ⬍ 5, entonces x ⫺ 3 ____ 2.
5. 3
35⫺72 Q Resuelva la desigualdad no lineal. Exprese la solución usando notación de intervalos y grafique el conjunto solución.
30
1
0 2x
2
`
20
1 6 12
4
40
5
1 4
88⫺92 Q Se da una frase que describe un conjunto de números reales. Exprese la frase como una desigualdad que contenga un valor absoluto. 89. Todos los números reales x menos 3 unidades desde 0
SECCIÓN 1.7 90. Todos los números reales x más 2 unidades desde 0 91. Todos los números reales x menos 5 unidades desde 7 92. Todos los números reales x como máximo 4 desde 2
93⫺98 Q Se grafica un conjunto de números reales. Encuentre una desigualdad que contenga un valor absoluto que describa el conjunto.
93. 94. 95. 96. 97. 98.
109. Costo de manejar un auto Se estima que el costo anual de manejar cierto auto nuevo está dado por la fórmula C ⫽ 0.35m ⫹ 2200 donde m representa el número de millas recorridas por año y C es el costo en dólares. Juana compró ese auto y decide presupuestar entre $6400 y $7100 para costos de manejo del año siguiente. ¿Cuál es el intervalo correspondiente de millas que ella puede manejar su nuevo auto?
_5 _4 _3 _2 _1 0
1
2
3
4
5
_5 _4 _3 _2 _1 0
1
2
3
4
5
_5 _4 _3 _2 _1 0
1
2
3
4
5
(a) Si la temperatura del suelo es de 20°C, escriba una fórmula para la temperatura a una altura h.
_5 _4 _3 _2 _1 0
1
2
3
4
5
_5 _4 _3 _2 _1 0
1
2
3
4
5
(b) ¿Qué intervalo de temperaturas se puede esperar si un avión despega y alcanza una altitud máxima de 5 km?
_5 _4 _3 _2 _1 0
1
2
3
4
5
110. Temperatura del aire Cuando el aire asciende, se dilata y, al dilatarse, se enfría a razón de alrededor de 1°C por cada 100 metros de ascenso hasta unos 12 km.
99⫺102 Q Determine los valores de la variable para la cual la expresión está definida como número real.
99. 216
101. a
| Desigualdades 81
x
2
9x 2 1 5x
14
b
100. 23x 2
1/2
102.
4 1 B2
5x
2
x x
103. De la desigualdad despeje x, suponiendo que a, b y c son constantes positivas.
(a) a1bx
c2
(b) a
bc
bx
c
2a
104. Suponga que a, b, c y d son números positivos tales que
a b a Demuestre que b
a b
c d c d
c . d
A P L I C AC I O N E S 105. Escalas de temperatura Use la relación entre C y F dada en el Ejemplo 9 para hallar el intervalo en la escala Fahrenheit correspondiente al intervalo de temperatura 20 ≤ C ≤ 30. 106. Escalas de temperatura ¿Cuál intervalo en la escala Celsius corresponde al intervalo de temperatura 50 ≤ F ≤ 95? 107. Costo de renta de un auto Una compañía de renta de autos ofrece dos planes para renta de un auto. Plan A:
$30 por día y $0.10 por milla
Plan B:
$50 por día con kilometraje ilimitado
108. Costo de llamadas de larga distancia Una compañía telefónica ofrece dos planes de llamadas de larga distancia. Plan A:
$25 por mes y $0.05 por minuto
Plan B:
$5 por mes y $0.12 por minuto
¿Para cuántos minutos de llamadas de larga distancia sería financieramente ventajoso el Plan B?
111. Precio de boleto en una aerolínea Una aerolínea que hace vuelos especiales encuentra que, en sus vuelos de sábados de Filadelfia a Londres, los 120 asientos se venderán si el precio es de $200. No obstante, por cada aumento de $3 en el precio del boleto, el número de asientos disminuye en uno. (a) Encuentre una fórmula para el número de asientos vendidos si el precio del boleto es de P dólares. (b) Durante cierto período, el número de asientos vendidos para este vuelo variaban entre 90 y 115. ¿Cuál era la variación correspondiente de precios de boletos? 112. Precisión de una báscula Un comerciante de café vende a un cliente 3 lb de café Hawaiian Kona a $6.50 por libra. La báscula del comerciante es precisa con variación no mayor de 0.03 lb. ¿Cuánto podría habérsele cobrado de más o de menos al cliente por la posible imprecisión de la báscula? 113. Gravedad La fuerza gravitacional F ejercida por la Tierra sobre un cuerpo que tiene una masa de 100 kg está dada por la ecuación 4,000,000 F d2 donde d es la distancia (en km) del objeto desde el centro de la Tierra, y la fuerza F se mide en newtons (N). ¿Para qué distancias será entre 0.0004 N y 0.01 N la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre este cuerpo? 114. Temperatura de una fogata En la cercanía de una fogata, la temperatura T en °C a una distancia de x metros del centro de la fogata está dada por
T
600,000 x 2 300
¿A qué intervalo de distancias desde el centro de la fogata era la temperatura menor a 500°C?
82
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
115. Una pelota en caída Usando cálculo, se puede demostrar que si una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 16 pies/s desde lo alto de un edificio de 128 pies de alto, entonces su altura h sobre el suelo t segundos después será
119. Cercar un jardín Una jardinera tiene 120 pies de cerca resistente a venados. Ella desea encerrar un jardín rectangular de verduras en su patio trasero, y que el área encerrada sea al menos de 800 pies2. ¿Qué intervalo de valores es posible para la longitud de su jardín?
h ⫽ 128 ⫹ 16t ⫺ 16t2
120. Grueso de un laminado Una compañía fabrica laminados industriales (hojas delgadas con base de nylon) de 0.020 pulgadas de grosor, con una tolerancia de 0.003 pulgadas.
¿Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota al menos a 32 pies sobre el suelo?
(a) Encuentre una desigualdad que contenga valores absolutos que describa el intervalo del posible grueso para el laminado. (b) Resuelva la desigualdad que haya encontrado en la parte (a). 0.020 pulg.
116. Rendimiento de gasolina El rendimiento de gasolina g (medido en millas/gal) para un auto en particular, manejado a √ mi/h, está dado por la fórmula g ⫽ 10 ⫹ 0.9√ ⫺ 0.01√2, mientras √ esté entre 10 mi/h y 75 mi/h. ¿Para qué intervalo de velocidades el rendimiento del vehículo será de 30 mi/gal o mejor? 117. Distancia de parada Para cierto modelo de auto, la distancia d requerida para parar el vehículo si está corriendo a √ mi/h está dada por la fórmula
d
√
√ 20 2
donde d se mide en pies. Kerry desea que su distancia de parada no rebase los 240 pies. ¿A qué intervalo de velocidades puede manejar ella?
240 pies 118. Utilidades de un fabricante Si un fabricante vende x unidades de cierto producto, el ingreso R y el costo C (en dólares) están dados por R 20x
C
2000
8x
0.0025x 2
Utilice el hecho de que
utilidad ⫽ ingreso – costo para determinar cuántas unidades debe vender el fabricante para disfrutar de una utilidad de al menos $2400.
121. Intervalo de estatura El promedio de estatura de hombres adultos es de 68.2 pulgadas y 95% de ellos tiene una estatura h que satisface la siguiente desigualdad `
h
68.2 ` 2.9
2
Resuelva la desigualdad para hallar el intervalo de estaturas.
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
122. ¿Las potencias preservan el orden? Si a ⬍ b, ¿a2 ⬍ b2? (Verifique valores positivos y negativos para a y b.) Si a ⬍ b, ¿a3 ⬍ b3? Con base en sus observaciones, exprese una regla general acerca de la relación entre an y bn cuando a ⬍ b y n es un entero positivo. 123. ¿Qué está mal aquí? Es tentador tratar de resolver una desigualdad como si fuera una ecuación. Por ejemplo, podríamos tratar de resolver 1 ⬍ 3/x multiplicando ambos lados por x, para obtener x ⬍ 3, de modo que la solución sería (⫺q, 3). Pero eso está mal; por ejemplo, x ⫽ ⫺1 está en el intervalo pero no satisface la desigualdad original. Explique por qué este método no funciona (piense en el signo de x). A continuación resuelva correctamente la desigualdad. 124. Uso de distancias para resolver desigualdades de valor absoluto Recuerde que 0 a ⫺ b 0 es la distancia entre a y b en la recta numérica. Para cualquier número x, ¿qué representan 0 x ⫺ 1 0 ⬍ 0 x ⫺ 3 0? Use esta interpretación para resolver la desigualdad 0 x ⫺ 1 0 ⬍ 0 x ⫺ 3 0 geométricamente. En general, si a ⬍ b, ¿cuál es la solución de la desigualdad 0 x ⫺ a 0 ⬍ 0 x ⫺ b 0?
SECCIÓN 1.8
| Geometría de coordenadas 83
1.8 G EOMETRÍA DE COORDENADAS El plano coordenado 䉴 Las fórmulas para distancia y punto medio 䉴 Gráficas de ecuaciones con dos variables 䉴 Puntos de intersección 䉴 Círculos 䉴 Simetría El plano coordenado es el vínculo entre el álgebra y la geometría. En el plano coordenado podemos trazar gráficas de ecuaciones algebraicas. Las gráficas, a su vez, nos permiten “ver” la relación entre las variables de la ecuación. En esta sección estudiamos el plano coordenado.
W El plano coordenado El plano cartesiano recibe ese nombre en honor al matemático francés René Descartes (1596⫺1650), aun cuando otro francés, Pierre Fermat (1601⫺1665), inventó los principios de geometría de coordenadas al mismo tiempo. (Vea sus biografías en las páginas 181 y 99.)
En la misma forma en que puntos sobre una recta pueden ser identificados con números reales para formar la recta coordenada, los puntos en un plano se pueden identificar con pares ordenados de números para formar el plano coordenado o plano cartesiano. Para hacer esto, trazamos dos rectas reales perpendiculares que se cruzan en 0 en cada recta. Por lo general, una recta es horizontal con dirección positiva a la derecha y se llama eje x; la otra recta es vertical con dirección positiva hacia arriba y se denomina eje y. El punto de intersección del eje x y el eje y es el origen O, y los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, marcados I, II, III y IV en la Figura 1. (Los puntos sobre los ejes coordenados no se asignan a ningún cuadrante.) y
y
II
P (a, b)
b
I
(1, 3))
(_2, 2)
(5, 0))
1 a
O
III
0
x
IV
(_3, _2) (2, _4)
FIGURA 1
Aun cuando la notación para un punto (a, b) es la misma que la notación para un intervalo abierto (a, b), el contexto debe dejar claro cuál significado se persigue.
x
1
FIGURA 2
Cualquier punto P del plano coordenado puede ser localizado por un par ordenado de números (a, b), como se muestra en la Figura 1. El primer número a se llama coordenada x de P; el segundo número b se llama coordenada y de P. Podemos considerar las coordenadas de P como su “dirección”, porque especifican su ubicación en el plano. Varios puntos están marcados en la Figura 2.
E J E M P LO 1 (a) 51x, y 2 0 x
Graficar regiones en el plano coordenado (b) 51x, y2 0 y
Describa y trace las regiones dadas por cada conjunto.
S O LU C I Ó N
06
16
(c) 51x, y 2 @ 0 y 0
16
(a) Los puntos cuyas coordenadas x son 0 o positivos se encuentran sobre el eje y o a la derecha del mismo, como se ve en la Figura 3(a). (b) El conjunto de todos los puntos con coordenada y = 1 es una recta horizontal que está una unidad arriba del eje x, como se ve en la Figura 3(b).
84
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos 0y0
(c) Recuerde, de la Sección 1.7, que Coordenadas como direcciones Las coordenadas de un punto en el plano xy determinan de manera única su ubicación. Podemos considerar las coordenadas como la “dirección” del punto. En Salt Lake City, Utah, las direcciones de casi todos los edificios están de hecho expresadas como coordenadas. La ciudad está dividida en cuadrantes con la Calle Principal como eje vertical (Norte⫺Sur) y la Calle del Templo S. como eje horizontal (Oriente⫺Poniente). Una dirección como 1760 W
S. Temple St.
4th South St. 300 West St.
Main St.
900 West St.
1700 West St.
9th South St.
13th South St.
y
1
y
y
y
y=1 x
0
0
(a) x≥0
x
0
x
y=_1
(c) | y |0)
k
Si las cantidades x y y están relacionadas por una ecuación y
0
para alguna constante k 0, decimos que y varía directamente con x, o que y es directamente proporcional a x, o simplemente y es proporcional a x. La constante k se denomina constante de proporcionalidad.
x
1
kx
FIGURA 1
Recuerde que la gráfica de una ecuación de la forma y ⫽ mx ⫹ b es una recta con pendiente m y punto de intersección b en el eje y. Entonces, la gráfica de una ecuación y ⫽ kx que describe variación directa es una recta con pendiente k y punto de intersección 0 en el eje y (vea Figura 1).
E J E M P LO 1
Variación directa
Durante una tormenta se ve el rayo antes de escuchar el trueno porque la luz viaja mucho más rápido que el sonido. La distancia entre una persona y la tormenta varía directamente con el tiempo entre el relámpago y el trueno. (a) Suponga que el trueno de una tormenta que está a 5400 pies de distancia tarda 5 s en llegar a usted. Determine la constante de proporcionalidad y escriba la ecuación para la variación. (b) Trace la gráfica de esta ecuación. ¿Qué representa la constante de proporcionalidad? (c) Si el tiempo entre el relámpago y el trueno es ahora de 8 s, ¿a qué distancia está la tormenta? S O LU C I Ó N (a) Sea d la distancia entre usted y la tormenta y sea t el tiempo. Nos indican que d varía directamente con t, por lo que
d ⫽ kt donde k es una constante. Para hallar k, usamos el hecho de que t ⫽ 5 cuando d ⫽ 5400. Sustituyendo estos valores en la ecuación, obtenemos
5400 d
d=1080t
4000 2000
FIGURA 2
Sustituya
5400 1080 Despeje k 5 Sustituyendo este valor de k de la ecuación por d, obtenemos k
6000
0
k152
2
4
6
8 t
d ⫽ 1080t porque la ecuación por d es una función de t. (b) La gráfica de la ecuación d ⫽ 1080t es una recta que pasa por el origen con pendiente 1080 y se muestra en la Figura 2. La constante k ⫽ 1080 es la rapidez aproximada del sonido (en pies/s). (c) Cuando t ⫽ 8, tenemos
d ⫽ 1080 ⭈ 8 ⫽ 8640 Por lo tanto, la tormenta está a 8640 pies ≈ 1.6 millas de distancia.
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 17 Y 29
Q
120
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
W Variación inversa Otra ecuación que se usa con frecuencia en modelado matemático es y ⫽ k/x, donde k es una constante.
VARIACIÓN INVERSA y
Si las cantidades x y y están relacionadas por la ecuación
k x para alguna constante k 0 decimos que y es inversamente proporcional a x o que y varía inversamente con x. La constante k se denomina constante de proporcionalidad.
y= k x (k>0)
0
y
x
F I G U R A 3 Variación inversa
La gráfica de y ⫽ k/x para x ⬎ 0 se muestra en la Figura 3 para el caso k > 0. Da una imagen de lo que ocurre cuando y es inversamente proporcional a x.
E J E M P LO 2
Variación inversa
La Ley de Boyle dice que cuando una muestra de gas se comprime a una temperatura constante, la presión del gas es inversamente proporcional al volumen del gas. (a) Suponga que la presión de una muestra de aire que ocupa 0.106 m3 a 25ºC es 50 kPa. Encuentre la constante de proporcionalidad y escriba la ecuación que expresa la proporcionalidad inversa. (b) Si la muestra se expande a un volumen de 0.3 m3, encuentre la nueva presión. S O LU C I Ó N (a) Sea P la presión de la muestra de gas y sea V su volumen. Entonces, por la definición de proporcionalidad inversa, tenemos k P V donde k es una constante. Para hallar k, usamos el hecho de que P ⫽ 50 cuando V ⫽ 0.106. Sustituyendo estos valores en la ecuación, obtenemos
50 k
k 0.106
1502 10.1062
Sustituya
5.3
Despeje k
Poniendo este valor de k en la ecuación por P, tenemos
5.3 V
P (b) Cuando V = 0.3, tenemos P
5.3 0.3
17.7
Entonces la nueva presión es aproximadamente 17.7 kPa.
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 19 Y 35
Q
W Variación conjunta Una cantidad física depende con frecuencia de más de una cantidad. Si una cantidad es proporcional a dos o más cantidades diferentes, a dicha relación se le denomina variación conjunta.
SECCIÓN 1.11
| Modelos con el uso de variaciones 121
VARIACIÓN CONJUNTA Si las cantidades x, y y z están relacionadas por la ecuación
z
kxy
donde k es una constante diferente de cero, decimos que z varía conjuntamente con x y y o z es conjuntamente proporcional a x y y.
En ciencias, las relaciones entre tres o más variables son comunes, y es posible cualquier combinación de los tipos diferentes de proporcionalidad que hemos estudiado. Por ejemplo, si
z
k
x y
Decimos que z es proporcional a x e inversamente proporcional a y.
E J E M P LO 3
Ley de Newton de la Gravitación
La Ley de Newton de la Gravitación dice que dos cuerpos con masas m1 y m2 se atraen entre sí, con una fuerza F que es conjuntamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre los cuerpos. Exprese la Ley de Newton de la Gravitación como ecuación. S O LU C I Ó N Usando las definiciones de variación conjunta e inversa y la tradicional notación G para la constante de proporcionalidad gravitacional, tenemos 1.5
F
G
m 1m 2 r2
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 21 Y 41
5
0
F I G U R A 4 Gráfica de F
1 r2
Q
Si m1 y m2 son masas fijas, entonces la fuerza gravitacional entre ellas es F ⫽ C/r2 (donde C ⫽ Gm1m2 es una constante). La Figura 4 muestra la gráfica de esta ecuación para r ⬎ 0 con C ⫽ 1. Observe cómo decrece la atracción gravitacional con una distancia creciente.
1.11 EJERCICIOS CO N C E P TO S 1. Si las cantidades x y y están relacionadas por la ecuación y ⫽ 3x, entonces decimos que y es _______ _______ a x y la constante de _________ es 3.
3 , x entonces decimos que y es _______ _______ a x y la constante
2. Si las cantidades x y y están relacionadas por la ecuación y de _________ es 3.
3. Si las cantidades x, y y z están relacionadas por la ecuación x z 3 , entonces decimos que z es _______ _______ a x y e _________ a y.
4. Si z es conjuntamente proporcional a x y a y y si z es 10 cuando x es 4 y y es 5, entonces x, y y z están relacionadas por la ecuación z ⫽ _______.
HABILIDADES 5-16
Q
Escriba una ecuación que exprese el enunciado.
5. T varía directamente con x. 6. P es directamente proporcional a w. 7. v es inversamente proporcional a z. 8. w es conjuntamente proporcional a m y n. 9. y es proporcional a s e inversamente proporcional a t.
122
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
10. P varía inversamente con T. 11. z es proporcional a la raíz cuadrada de y. 12. A es proporcional al cuadrado de t e inversamente proporcional al cubo de x. 13. V es conjuntamente proporcional a l, w y h.
30. Ley del Péndulo El período de un péndulo (tiempo transcurrido durante una oscilación completa del péndulo) varía directamente con la raíz cuadrada de la longitud del péndulo. (a) Exprese esta relación escribiendo una ecuación. (b) Para duplicar el período, ¿cómo tendríamos que cambiar la longitud l?
14. S es conjuntamente proporcional a los cuadrados de r y θ. 15. R es proporcional a i e inversamente proporcional a P y t. 16. A es conjuntamente proporcional a las raíces cuadradas de x y y. 17-28 Q Exprese el enunciado como una ecuación. Use la información dada para hallar la constante de proporcionalidad.
l
17. y es directamente proporcional a x. Si x ⫽ 6, entonces y ⫽ 42. 18. z varía inversamente con t. Si t ⫽ 3, entonces z ⫽ 5. 19. R es inversamente proporcional a s. Si s ⫽ 4, entonces R ⫽ 3. 20. P es directamente proporcional a T. Si T ⫽ 300, entonces P ⫽ 20. 21. M varía directamente con x e inversamente con y. Si x ⫽ 2 y y ⫽ 6, entonces M ⫽ 5. 22. S varía conjuntamente con p y q. Si p ⫽ 4 y q ⫽ 5, entonces S ⫽ 180. 23. W es inversamente proporcional al cuadrado de r. Si r ⫽ 6, entonces W ⫽ 10. 24. t es conjuntamente proporcional a x y y, e inversamente proporcional a t. Si x ⫽ 2, y ⫽ 3 y r ⫽ 12, entonces t ⫽ 25. 25. C es conjuntamente proporcional a l, w y h. Si l ⫽ w ⫽ h ⫽ 2, entonces C ⫽ 128. 26. H es conjuntamente proporcional a los cuadrados de l y w. Si l ⫽ 2 y „ 13, entonces H ⫽ 36. 27. s es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de t. Si s ⫽ 100, entonces t ⫽ 25. 28. M es conjuntamente proporcional a a, b y c e inversamente proporcional a d. Si a y d tienen el mismo valor y si b y c son ambas 2, entonces M ⫽ 128.
A P L I C AC I O N E S 29. Ley de Hooke La Ley de Hooke dice que la fuerza necesaria para mantener un resorte estirado x unidades más que su longitud natural es directamente proporcional a x. Aquí la constante de proporcionalidad se denomina constante de resorte. (a) Escriba la Ley de Hooke como una ecuación. (b) Si un resorte tiene una longitud natural de 10 cm y se requiere una fuerza de 40 N para mantener estirado el resorte a una longitud de 15 cm, encuentre la constante de resorte. (c) ¿Qué fuerza es necesaria para mantener estirado el resorte a una longitud de 14 cm?
5 cm
31. Costos de impresión El costo C de imprimir una revista es conjuntamente proporcional al número de páginas p de la revista y el número m de revistas impresas. (a) Escriba una ecuación que exprese esta variación conjunta. (b) Encuentre la constante de proporcionalidad si el costo de impresión es $60,000 para 4000 ejemplares de una revista de 120 páginas. (c) ¿Cuál sería el costo de impresión de 5000 ejemplares de una revista de 92 páginas? 32. Ley de Boyle La presión P de una muestra de gas es directamente proporcional a la temperatura T e inversamente proporcional al volumen V. (a) Escriba una ecuación que exprese la variación. (b) Encentre la constante de proporcionalidad si 100 L de gas ejercen una presión de 33.2 kPa a una temperatura de 400 K (temperatura absoluta medida en la escala Kelvin). (c) Si la temperatura se aumenta a 500 K y el volumen se disminuye a 80 L, ¿cuál es la presión del gas? 33. Potencia de un molino de viento La potencia P que se puede obtener de un molino de viento es directamente proporcional con el cubo de la velocidad del viento s. (a) Escriba una ecuación que exprese la variación. (b) Encuentre la constante de proporcionalidad para un molino de viento que produce 96 watts de potencia cuando el viento está soplando a 10 mi/h. (c) ¿Cuánta potencia producirá el molino de viento si la velocidad del viento aumenta a 30 mi/h? 34. Potencia necesaria para impulsar un bote La potencia P (medida en caballos de fuerza, hp) necesaria para impulsar un bote es directamente proporcional al cubo de la velocidad s. Es necesario un motor de 80 hp para impulsar cierto bote a 10 nudos. Encuentre la potencia necesaria para mover el bote a 15 nudos.
SECCIÓN 1.11 35. Intensidad del sonido La intensidad L de un sonido (medida en decibeles, dB) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d desde la fuente del sonido. Una persona que se encuentre a 10 pies de una podadora de césped capta un nivel de sonido de 70 dB. ¿Cuál es la intensidad del sonido de la podadora cuando la persona esté a 100 pies de distancia?
| Modelos con el uso de variaciones 123
(b) Un auto que pesa 1600 lb se desplaza en una curva a 60 mi/h. El siguiente auto en transitar por esta curva pesa 2500 lb y requiere la misma fuerza que el primer auto para evitar que patine. ¿Cuál es la velocidad a la que circula?
36. Distancia de parada La distancia de frenado D de un auto después de habérsele aplicado los frenos varía directamente con el cuadrado de su velocidad s. Cierto auto que corre a 50 mi/h puede detenerse en 240 pies. ¿Cuál es la velocidad máxima a la que puede correr si necesita detenerse en 160 pies? 37. Un chorro de agua La potencia P de un chorro de agua es conjuntamente proporcional al área de sección transversal A del chorro y el cubo de la velocidad v. Si v se duplica y el área de sección transversal se reduce a la mitad, ¿en qué factor aumenta la potencia? 41. Resistencia eléctrica La resistencia R de un alambre varía directamente con su longitud L e inversamente con el cuadrado de su diámetro d. (a) Escriba una ecuación que exprese esta variación conjunta. (b) Encuentre la constante de proporcionalidad si un alambre de 1.2 m de largo y 0.005 m de diámetro tiene una resistencia de 140 ohms. (c) Encuentre la resistencia de un alambre hecho del mismo material que mide 3 m de largo y tiene un diámetro de 0.008 m. 38. Fuerza ascensional aerodinámica La fuerza ascensional L del ala de un avión en el despegue varía conjuntamente con el cuadrado de la velocidad s del avión y el área A de sus alas. Un avión con un área de alas de 500 pies2 que corre a 50 mi/h experimenta una fuerza ascensional de 1700 lb. ¿Cuánta fuerza ascensional experimentará un avión con área de alas de 600 pies2 que corre a 40 mi/h?
Elevación
39. Fuerza de resistencia al avance de un bote La fuerza F de resistencia al avance en un bote es conjuntamente proporcional al área A de superficie húmeda en el casco y el cuadrado de la velocidad s del bote. Un bote experimenta una fuerza de resistencia al avance de 220 lb cuando navega a 5 mi/h con un área de superficie húmeda de 40 pies2. ¿Con qué rapidez debe estar navegando un bote si tiene 28 pies2 de área de superficie húmeda y está experimentando una fuerza de resistencia al avance de 175 lb? 40. Patinar en una curva Un auto se desplaza en una curva que forma un arco circular. La fuerza F necesaria para evitar que el auto patine es conjuntamente proporcional al peso w del auto y el cuadrado de la velocidad s, y es inversamente proporcional al radio r de la curva. (a) Escriba una ecuación que exprese esta variación.
42. Tercera Ley de Kepler La Tercera Ley de Kepler de movimiento planetario dice que el cuadrado del período T de un planeta (el tiempo que tarda en hacer una revolución completa alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de su promedio de distancia d desde el Sol. (a) Exprese la Tercera Ley de Kepler como ecuación. (b) Encuentre la constante de proporcionalidad usando el hecho que, para nuestro planeta, el período es alrededor de 365 días y la distancia promedio es de unos 93 millones de millas. (c) El planeta Neptuno está a unos 2.79 ⫻ 109 millas del Sol. Encuentre el período de Neptuno. 43. Energía de radiación El total de energía de radiación E emitida por una superficie calentada, por unidad de área, varía con la cuarta potencia de su temperatura absoluta T. La temperatura es 6000 K en la superficie del Sol y 300 K en la superficie de la Tierra. (a) ¿Cuántas veces más energía de radiación por unidad de área es producida por el Sol que por la Tierra? (b) El radio de la Tierra es de 3960 millas y el radio del Sol es de 435,000 millas. ¿Cuántas veces más de radiación total emite el Sol que la Tierra? 44. Valor de un lote El valor de un lote para construcción en la isla de Galiano es conjuntamente proporcional a su área y a la cantidad de agua producida por un pozo que está en la propiedad. Un lote de 200 pies por 300 pies tiene un pozo que produce 10 galones de agua por minuto, y está valuado en 48,000 dólares. ¿Cuál es el valor de un lote de 400 pies por 400 pies si el pozo del lote produce 4 galones de agua por minuto? 45. Producción de coles En una corta temporada de producción del territorio ártico canadiense de Nunavut, algunos jardineros encuentran posible producir coles gigantes en el sol de medianoche. Suponga que el tamaño final de una col es pro-
124
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
porcional a la cantidad de nutriente que recibe e inversamente proporcional al número de otras coles que la rodean. Una col que recibe 20 onzas de nutrientes y tenía otras 12 coles a su alrededor creció a un peso de 30 libras. ¿De qué tamaño crecería si recibe 10 onzas de nutrientes y tiene sólo 5 coles “vecinas”? 46. Calor de una fogata El calor que percibe un excursionista por una fogata es proporcional a la cantidad de madera en la fogata e inversamente proporcional al cubo de su distancia desde la misma. Si el excursionista está a 20 pies de la fogata y alguien duplica la cantidad de madera que está ardiendo, ¿a qué distancia de la fogata tendría que estar para captar el mismo calor que antes?
47. Frecuencia de vibración La frecuencia f de vibraciones de una cuerda de violín es inversamente proporcional a su longitud L. La constante de proporcionalidad k es positiva y depende de la tensión y densidad de la cuerda. (a) Escriba una ecuación que represente esta variación. (b) ¿Qué efecto tendrá duplicar la longitud de la cuerda en la frecuencia de su vibración? 48. Propagación de una enfermedad La rapidez r con la que se propaga una enfermedad en una población de tamaño P es conjuntamente proporcional al número x de personas infectadas y del número P 2 x que no estén infectadas. Una infección brota en una pequeña ciudad que tiene una población P ⫽ 5000. (a) Escriba una ecuación que exprese r como función de x. (b) Compare la rapidez de propagación de esta infección cuando 1000 personas están infectadas. ¿Cuál rapidez es más grande? ¿En qué factor? (c) Calcule la rapidez de dispersión cuando toda la población está infectada. ¿Por qué tiene sentido intuitivo esta respuesta?
DESCUBRIMIENTO x
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
49. ¿La proporcionalidad lo es todo? Numerosas leyes de física y química se pueden expresar como proporcionalidades. Dé al menos un ejemplo de una función que ocurre en las ciencias y que no sea una proporcionalidad.
C A P Í T U L O 1 | R E PA S O Q VERIFICACIÓN DE CONCEPTOS 1. Defina verbalmente cada término. (Compruebe consultando la definición del texto.) (a) Un número entero (b) Un número racional (c) Un número irracional (d) Un número real 2. Exprese cada una de estas propiedades de números reales. (a) Propiedad Conmutativa (b) Propiedad Asociativa (c) Propiedad Distributiva 3. ¿Qué es un intervalo abierto? ¿Qué es un intervalo cerrado? ¿Qué notación se usa para estos intervalos? 4. ¿Cuál es el valor absoluto de un número? 5. (a) (b) (c) (d)
En la expresión ax, ¿cuál es la base y cuál es el exponente? ¿Qué significa ax si x ⫽ n, un entero positivo? ¿Qué pasa si x ⫽ 0? ¿Qué pasa si x es un entero negativo: x ⫽ 2n, donde n es un entero positivo? (e) ¿Qué pasa si s ⫽ m/n, un número racional? (f) Exprese las Leyes de Exponentes.
6. (a) ¿Qué significa 1a (b) ¿Por qué es 2a 2 n
0 a 0? b?
(c) ¿Cuántas raíces n reales tiene un número positivo real si n es impar? ¿Y si es par?
7. Explique cómo funciona el procedimiento de racionalizar el denominador. 8. Exprese las Fórmulas de Productos Notables para (a ⫹ b)2, (a 2 b)2, (a ⫹ b)3 y (a 2 b)3. 9. Exprese cada una de las Fórmulas de Factorización Notable. (a) Diferencia de cuadrados (b) Diferencia de cubos (c) Suma de cubos 10. ¿Qué es la solución de una ecuación? 11. ¿Cómo se resuelve una ecuación que contenga radicales? ¿Por qué es importante comprobar las respuestas al resolver ecuaciones de este tipo? 12. ¿Cómo se resuelve una ecuación (a) algebraicamente? (b) gráficamente? 13. Escriba la forma general de cada tipo de ecuación. (a) Una ecuación lineal (b) Una ecuación cuadrática 14. ¿Cuáles son las tres formas de resolver una ecuación cuadrática? 15. Exprese la Propiedad del Producto Cero. 16. Describa el proceso de completar el cuadrado. 17. Exprese la fórmula cuadrática. 18. ¿Cuál es el discriminante de una ecuación cuadrática? 19. Exprese las reglas para trabajar con desigualdades.
CAPÍTULO 1
| Repaso 125
(b) Simetría con respecto al eje y (c) Simetría con respecto al origen
20. ¿Cómo se resuelve (a) una desigualdad lineal? (b) una desigualdad no lineal?
28. Defina la pendiente de una recta.
21. (a) ¿Cómo se resuelve una ecuación con un valor absoluto? (b) ¿Cómo se resuelve una desigualdad con un valor absoluto? 22. (a) Describa el plano de coordenadas. (b) ¿Cómo se localizan puntos en el plano de coordenadas? 23. Exprese cada fórmula. (a) La Fórmula de la Distancia (b) La Fórmula del Punto Medio
29. Escriba cada forma de la ecuación de una recta. (a) La forma punto-pendiente (b) La forma pendiente-intersección 30. (a) ¿Cuál es la ecuación de una recta vertical? (b) ¿Cuál es la ecuación de una recta horizontal? 31. ¿Cuál es la ecuación general de una recta?
24. Dada una ecuación, ¿cuál es su gráfica? 25. ¿Cómo se encuentran los puntos de intersección de x y de y de una gráfica? 26. Escriba la ecuación de la circunferencia con centro (h, k) y radio r. 27. Explique el significado de cada tipo de simetría. ¿Cómo se prueba? (a) Simetría con respecto al eje x
32. Dadas unas rectas con pendientes m1 y m2, explique cómo se puede saber si las rectas son (a) paralelas (b) perpendiculares 33. Escriba una ecuación que exprese cada relación. (a) y es directamente proporcional a x. (b) y es inversamente proporcional a x. (c) z es conjuntamente proporcional a x y a y.
Q EJERCICIOS 1-4
Exprese la propiedad de números reales que se use.
Q
2. 1a
b 2 1a
1. 3x
2y
b2
1 2 1x
4. 1A
3. 41a
b2
2y
4a
y2
1a
3x
1A
4b
b 2 1a
b2
1 2x
1A
12y
5. 3 2, 6 2
6. 1 q, 4 4
7. x
8.
9. @ 3
3
11. 2
90 @
3
2
1242 12
13. 216 15.
0
1/3
19.
x3
3 23. 2 1x 3y 2 2y 4
y
3
b
10 @
1/2
20. 1a 2 2 22. a
3
2 4/3
r s
1/3
r s
x 2y 3 2
x y
b
b
33-48
Q
2
a
x 3y y
1/2
9x
18
36. 6x 2
x
12
38. x 4
2x 2
1
39. 25
16t 2
40. 2y 6
41. x 6
1
42. y 3
1/2
49. 12x
Q
50. 12y b
10
34. x 2
13t
49-64
2
9x 3y 2
37. 4t 2
48. 3x 3
1/2
3xy 5
3x
47. 1x 2
6
Factorice la expresión completamente.
33. 12x 2 y 4
45. 4x 3
1a 3b2 2 1b 3 2 4
24. 2x 2y 4 26. a
b
32. Si su corazón late 80 veces por minuto y usted vive hasta los 90 años de edad, estime el número de veces que su corazón pulsa durante su vida. Exprese su respuesta en notación científica.
43. x
18. 12 150
21. 13xy 2 2 3 1 23 x 1y 2 2 25. a
12. 2 125 3
Simplifique la expresión.
9x 3y
0
@1
10. 1
4 4 16. 1 41 324
2
4
31. Si a ≈ 0.00000293, b ≈ 1.582 ⫻ 10214 y c ≈ 2.8064 ⫻ 1012, use una calculadora para aproximar el número ab/c.
35. x 2
14. 64
x 12x 2 4 Q
5
x
2/3
17. 21/2 81/2 19-28
1
Evalúe la expresión.
Q
3
ab 2c 2a 3b
30. Escriba el número 2.08 ⫻ 1028 en notación decimal ordinaria.
7-8 Q Exprese la desigualdad en notación de intervalos y, a continuación, grafique el intervalo correspondiente.
9-18
28. a
8r 1/2s 3 2r 2s 4
29. Escriba el número 78,250,000,000 en notación científica.
5-6 Q Exprese el intervalo en términos de desigualdades y, a continuación, grafique el intervalo.
5
27.
51. 11
2x 1/2
x 3/2 2x 1x 2
8x 2
3x
22 5/2 2x 2
2y 2
44. a 4b 2 46. 8x 3
6
18x
32y 2
x 2 2x 2
22 3/2
y
2
ab 5 y6 2
12
Ejecute las operaciones indicadas y simplifique.
12 13x
72 12y
x 2 12
52. 1x 1 1x 53. x 2 1x
12
22
22 72
514x 13
12 12 1x x2
x1x
12
x 2 13
x2
12
22 2
54.
x2 2x 2
2x 5x
3 3
126 55.
x2 x2
2x 8x
3 16
57.
x2 x2
2x 6x
15 5
58.
2 x
x
60.
1 x 61. x
1 2 2
13
Q
65. 7x
16
71. 2x 73. 4x
3
79. 0 x
x
1x
4x
2
59. 2 x
2
1 x2
1
x
1
2 1 1
x
87-94 Q Resuelva la desigualdad. Exprese la solución usando notación de intervalos y grafique el conjunto de solución en la recta numérica real.
1 x
1
87. 3x 89. x
1racionalice el numerador 2 66. 8
9
3x
6
14
70. x
0
91.
25x 4x
74. x
0 1
76.
0
1 2 70
8x 2
9 4
24x
144
5x
2
0
2x
2
5x
2
0
95. x 2 97. 4x Q
0
4 80. 0 2x
50
9
4x
12
4 4
0
1 2
90. x
0
92.
5
3
40
4x
4
4
x2
5
5x
2
1 5
94. 0 x
3
2x
x
3
x
2
0
0.02
Resuelva gráficamente la ecuación o desigualdad.
Q
99-100
88.
11
50
3
1
x
x x2
93. 0 x
95-98
0
10
2
2
8 x2
2
x
1 x
x
422
2
3
14
1x
222
2
72. 3x
1
x
2x
68. 1x
3x
x
78. x 4
12 1
Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación.
75. 3x 2 x
222
área y ella tiene a la mano 88 pies de material para la cerca, ¿qué dimensiones debe tener cada lote?
1 1
1racionalice el denominador 2
h h
9x 2
4
12
1 1 2
2
3
t3 t2
1 x 62. 1 x
6
x x
69. x
77.
x
2x
65-80
67.
1x
56.
x x2
1 2
64.
x2
2
1
12 1
3x x
#
1
x
63.
| Fundamentos
C A P Í T U LO 1
4x
2x
3
2
x
96. 1x
7
98. x
3
4x
2
Nos dan dos puntos P y Q. (a) Determine P y Q en un plano de coordenadas. (b) Encuentre la distancia de P a Q. (c) Encuentre el punto medio del segmento PQ. (d) Trace la recta determinada por P y Q, y encuentre su ecuación en forma de pendiente e intersección. (e) Trace la circunferencia que pasa por Q y tiene centro P, y encuentre la ecuación de esta circunferencia.
99. P12, 02 , 101. 51x, y2 0
Q1 5, 12 2
100. P17,
12 , Q12,
112
81. El propietario de una tienda vende pasitas en $3.20 por libra y nueces en $2.40 por libra. Él decide mezclar las pasitas y nueces y vende 50 lb de la mezcla en $2.72 por libra. ¿Qué cantidades de pasitas y nueces debe usar?
101-102
82. Antonio sale de Kingston a las 2:00 p.m. y viaja en auto a Queensville, a 160 millas de distancia, a 45 mi/h. A las 2:15 p.m. Helen sale de Queensville y va en auto a Kingston a 40 mi/h. ¿A qué hora se encuentran entre sí en la carretera?
103. ¿Cuál de los puntos A(4, 4) o B(5, 3) es más cercano al punto C(21, 23)?
Q
Trace la región dada por el conjunto.
102. 51x, y2 0 x
4
x
4 y
4 or y
2
y
26
26
104. Encuentre una ecuación del círculo que tenga centro (2, 25) y radio 12.
83. Una mujer va en bicicleta a 8 mi/h más rápido de lo que corre. Todas las mañanas anda en bicicleta 4 millas y corre 2 21 millas, en un total de 1 hora de ejercicio. ¿Cuál es la velocidad a la que corre?
105. Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene centro (25, 21) y pasa por el origen.
84. La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene 20 cm de longitud. La suma de las longitudes de los otros dos lados es 28 cm. Encuentre las longitudes de los otros lados del triángulo.
106. Encuentre la ecuación de la circunferencia que contiene los puntos P(2, 3) y Q(21, 8) y tiene el punto medio del segmento PQ como su centro.
85. Abbie pinta el doble de rápido que Beth y el triple de rápido que Cathie. Si les toma 60 minutos pintar una sala con las tres trabajadoras juntas, ¿cuánto tiempo tardaría Abbie si ella trabajara sola?
107-110 Q Determine si la ecuación representa una circunferencia, representa un punto o no tiene gráfica. Si la ecuación es la de una circunferencia, encuentre su centro y radio.
86. La propietaria de una casa desea poner una cerca en tres terrenos de jardín adyacentes, uno para cada uno de sus hijos, como se muestra en la figura. Si cada lote ha de ser de 80 pies2 de
107. x 2 108. 2x
y2 2
2y
2x 2
6y 2x
9 8y
0 1 2
CAPÍTULO 1 109. x 2
y2
72
12x
110. x 2
y2
6x
10y
111-118
Q
131. La Ley de Hooke dice que si un peso w se fija a un resorte colgante, entonces la longitud alargada s del resorte está linealmente relacionada a w. Para un resorte particular tenemos
0
Pruebe la simetría de la ecuación y trace su gráfica.
111. y
2
113. x
3y
115. y
16
1y
117. x
34
112. 2x
y
1
21
114. x
2y
12
x2
116. 8x
3x
y2
21
118. y
0
x2 x3
121. y
6x
120. y
4x 2
x2 122. 4
5x
x2
25
x
y2
1
123. Encuentre la ecuación para la recta que pasa por los puntos (21, 26) y (2, 24) 124. Encuentre la ecuación para la recta que pasa por el punto (6, 23) y tiene pendiente 21.
125. Encuentre la ecuación para la recta que tiene punto de intersección x de 4 y punto de intersección y de 12. 126. Encuentre la ecuación para la recta que pasa por el punto (1, 7) y es perpendicular a la recta x 2 3y ⫹ 16 ⫽ 0. 127. Encuentre la ecuación para la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta 3x ⫹ 15y ⫽ 22. 128. Encuentre la ecuación para la recta que pasa por el punto (5, 2) y es paralela a la recta que pasa por (21, 23) y (3, 2). 129-130 Q Encuentre ecuaciones para la circunferencia y la recta de la figura.
y
129.
0
x
(b) ¿Cuál es la longitud del resorte cuando se le fija un peso de 5 libras? 132. Margarita es contratada por una empresa de contadores con un salario de $60,000 por año. Tres años después, su salario anual ha aumentado a $70,500. Suponga que su salario aumenta linealmente. (a) Encuentre una ecuación que relacione el salario anual S de ella con el número de años t que ella ha trabajado para la empresa. (b) ¿Qué representan la pendiente y el punto de intersección S de la ecuación del salario de Margarita? (c) ¿Cuál será su salario después de 12 años con la empresa? 133. Suponga que M varía directamente con z, y M ⫽ 120 cuando z ⫽ 15. Escriba una ecuación que exprese esta variación. 134. Suponga que z es inversamente proporcional a y, y que z ⫽ 12 cuando y ⫽ 16. Escriba una ecuación que exprese z en términos de y. 135. La intensidad de iluminación I de una luz varía inversamente con el cuadrado de la distancia d desde la luz. (a) Escriba este enunciado como una ecuación. (b) Determine la constante de proporcionalidad si se sabe que una lámpara tiene una intensidad de 1000 candelas a una distancia de 8 metros. (c) ¿Cuál es la intensidad de esta lámpara a una distancia de 20 metros?
137. La velocidad terminal de un paracaidista es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su peso. Un paracaidista de 160 lb de peso alcanza una velocidad terminal de 9 mi/h. ¿Cuál es la velocidad terminal para un paracaidista que pesa 240 libras? 138. El alcance máximo de un proyectil es directamente proporcional al cuadrado de su velocidad. Un lanzador de béisbol lanza una pelota a 60 mi/h, con un alcance máximo de 242 pies. ¿Cuál es este máximo alcance si él lanza la pelota a 70 mi/h?
y
5
0
donde s se mide en pulgadas y w en libras.
136. La frecuencia de una cuerda en vibración bajo constante tensión es inversamente proporcional a su longitud. Si una cuerda de violín de 12 pulgadas de largo vibra 440 veces por segundo, ¿a qué longitud debe acortarse para que vibre 660 veces por segundo?
(_5, 12)
130.
s ⫽ 0.3w ⫹ 2.5
(a) ¿Qué representan la pendiente y el punto de intersección s en esta ecuación?
0
119-122 Q Use calculadora graficadora para graficar la ecuación en un rectángulo de vista apropiado.
119. y
| Repaso 127
(8, 1 ) 5
x
C A P Í T U LO 1
EXAMEN 1. (a) Grafique los intervalos (25, 3] y (2, q) sobre la recta de números reales. (b) Exprese las desigualdades x ≤ 3 y 21 ≤ x ⬍ 4 en notación de intervalos. (c) Encuentre la distancia entre 27 y 9 sobre la recta de números reales.
(a) 1 3 2 4
2 (e) a b 3
2. Evalúe cada una de las expresiones siguientes.
(b)
34
(c) 3
4
(d)
523 521
2
(f) 16
3/4
3. Escriba cada uno de estos números en notación científica. (a) 186,000,000,000 (b) 0.0000003965
4. Simplifique cada expresión. Escriba su respuesta final sin exponentes negativos. 3x 3/2y 3 2 132 (c) a 2 1/2 b (a) 1200 (b) (3a 3b 3 )(4ab 2 )2 x y y x x y x2 x 2 3x 2 x 1 (d) 2 (e) 2 (f) x 2 1 1 x x 2 x 4 x y 110 5. Racionalice el denominador y simplifique: 15 2 6. Realice las operaciones indicadas y simplifique. (a) 31x 6 2 (b) 1x 32 14x 412x 52 (d) 12x 3 2 2 (e) 1x 22 3
7. Factorice por completo cada expresión. (b) 2x 2 5x 12 (a) 4x 2 25 4 (d) x 27x (e) 3x 3/2 9x 1/2 6x
8. Encuentre todas las soluciones reales.
(a) x (d) 2x 2 (g) 3 0 x
5
14 4x 40
1 2x
1 0 10
(b)
2x
(e) 33
x
2x 1
2x
(c) 1 1a
52
1/2
1 x 5
2
1b2 1 1a
(c) x 3 (f) x 3 y
3x 2 4xy
(c) x 2
x
(f) x 4
3x 2
1b2
4x
12
12
0 2
0
9. Mary viajó en auto de Amity a Belleville a una velocidad de 50 mi/h. En el viaje de regreso, manejó a 60 mi/h. El total del viaje duró 4 25 h de tiempo de manejo. Encuentre la distancia entre estas dos ciudades. 10. Una parcela rectangular de tierras mide 70 pies más larga que su ancho. Cada diagonal entre esquinas opuestas mide 130 pies. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela? 11. Resuelva estas desigualdades. Escriba la respuesta usando notación de intervalos y trace la solución en la recta de números reales. 0 (a) 4 5 3x 17 (b) x1x 12 1x 22 2x 3 3 1 (c) 0 x 4 0 (d) x 1 12. Se ha de almacenar una botella de medicina a una temperatura entre 5ºC y 10ºC. ¿A qué intervalo corresponde esto en la escala Fahrenheit? 3Nota: Las temperaturas Fahrenheit (F) y Celsius (C) satisfacen la relación C 59 1F 322.4 13. ¿Para qué valores de x está definida la expresión 26x
14. Resuelva gráficamente la ecuación y la desigualdad. (b) x 2 1 (a) x 3 9x 1 0
x 2 como un número real?
0x
10
15. (a) Localice los puntos P(0, 3), Q(3, 0) y R(6, 3) en el plano de coordenadas. ¿Dónde debe estar ubicado el punto S para que PQRS sea un cuadrado? (b) Encuentre el área de PQRS.
128
16. (a) Trace la gráfica de y ⫽ x2 2 4. (b) Encuentre los puntos de intersección x y y de la gráfica. (c) ¿La gráfica es simétrica alrededor del eje x, del eje y o del origen?
CAPÍTULO 1
| Examen 129
17. Sean P(23, 1) y Q(5, 6) dos puntos en el plano de coordenadas. (a) Localice P y Q en el plano de coordenadas. (b) Encuentre la distancia entre P y Q. (c) Encuentre el punto medio del segmento PQ. (d) Encuentre la pendiente de la recta que contenga a P y Q. (e) Encuentre el bisector perpendicular de la recta que contenga a P y Q. (f) Encuentre la ecuación para la circunferencia para el que el segmento PQ es un diámetro. 18. Encuentre el centro y radio de cada circunferencia y trace su gráfica.
(a) x 2
y2
25
(b) 1x
22 2
1y
12 2
9
(c) x 2
6x
y2
2y
6
0
19. Escriba una ecuación lineal 2x 2 3y ⫽ 15 en forma de pendiente e intersección, y trace su gráfica. ¿Cuáles son la pendiente y el punto de intersección y? 20. Encuentre una ecuación para la recta con la propiedad dada. (a) Pasa por el punto (3,26) y es paralela a la recta 3x ⫹ y 2 10 ⫽ 0. (b) Tiene punto de intersección x en 6 y punto de intersección y en 4. 21. Un geólogo usa una sonda para medir la temperatura T (en ºC) del suelo, a varias profundidades debajo de la superficie, y encuentra que a una profundidad de x centímetros la temperatura está dada por la ecuación lineal T ⫽ 0.08x 2 4. (a) ¿Cuál es la temperatura a una profundidad de 1 metro (100 cm)? (b) Trace una gráfica de la ecuación lineal. (c) ¿Qué representan la pendiente, la intersección en x y la intersección T de la gráfica de esta ecuación?
L
h „
22. El peso máximo M que puede ser soportado por una viga es conjuntamente proporcional a su ancho w y el cuadrado de su altura h, e inversamente proporcional a su longitud L. (a) Escriba una ecuación que exprese esta proporcionalidad. (b) Determine la constante de proporcionalidad si una viga de 4 pulg. de ancho, 6 pulg. de alto y 12 pies de largo puede soportar un peso de 4800 libras. (c) Si una viga de 10 pies hecha del mismo material mide 3 pulg. de ancho y 10 pulg. de alto, ¿cuál es el peso máximo que puede soportar? Si usted tuvo dificultad con cualquiera de estos problemas, puede repasar la sección de este capítulo que se indica a continuación.
Si usted tuvo dificultad con este problema de examen
Repase esta sección
1 2, 3, 4(a), 4(b), 4(c) 4(d), 4(e), 4(f), 5 6, 7 8 9, 1 0 1 1, 1 2, 1 3 14 15, 16, 17(a), 17(b) 1 7 ( c) , 1 7 ( d ) 17(e), 17(f), 18 1 9, 2 0, 2 1 22
Sección Sección Sección Sección Sección Sección Sección Sección Sección Sección Sección Sección Sección
1.1 1.2 1.4 1.3 1.5 1.6 1.7 1.9 1.8 1.10 1.8 1.10 1.11
ENFOQUE SOBRE MODELADO
Ajuste lineal de datos Un modelo es una representación de un objeto o un proceso. Por ejemplo, un Ferrari de juguete es un modelo del auto real; un mapa de caminos es un modelo de las calles en una ciudad. Un modelo matemático es una representación matemática (por lo general una ecuación) de un objeto o proceso. Una vez hecho un modelo matemático, éste se puede usar para obtener información útil o hacer predicciones acerca de lo que esté siendo modelado. En estas secciones de Enfoque sobre modelado exploramos diferentes formas en las que se pueden usar matemáticas para modelar fenómenos reales.
W La recta que mejor se ajusta a los datos En la Sección 1.10 usamos ecuaciones lineales para modelar relaciones entre cantidades variables. En la práctica estas relaciones se descubren al recolectar datos, pero los datos reales raras veces caen en una recta precisa. La gráfica de dispersión de la Figura 1(a) muestra el resultado de un estudio acerca de la obesidad infantil. La gráfica determina el índice de masa corporal (BMI) contra el número de horas al día de ver televisión para 25 adolescentes. Desde luego que no esperaríamos que los datos fueran exactamente lineales como en la Figura 1(b), pero hay una tendencia lineal indicada por la recta azul de la Figura 1(a): a más horas que un adolescente ve televisión, más alto es el BMI. En esta sección aprenderemos a hallar la recta que mejor se ajusta a los datos. BMI 30
BMI 30
20
20
10
10
0
1
2
3
4
5
0
h
(a) Recta de mejor ajuste
1
2
3
4
5
h
(b) La recta se ajusta exactamente a los datos
FIGURA 1 La Tabla 1 da la tasa de mortalidad infantil en todo el país para el período de 1950 a 2000. La tasa es el número de infantes que mueren antes de llegar a su primer año de vida, contado por cada 1000 niños nacidos vivos. TABLA 1
y
Mortalidad infantil en Estados Unidos
130
Año
Tasa
1950 1960 1970 1980 1990 2000
29.2 26.0 20.0 12.6 9.2 6.9
30 20 10 0
10
20 30
40 50 x
F I G U R A 2 Tasa de mortalidad infantil en Estados Unidos
La gráfica de dispersión de la Figura 2 muestra que los datos están aproximadamente en una línea recta. Podemos tratar de ajustar una recta visualmente para aproximar los puntos de datos, pero como los datos no son exactamente lineales, hay muchas rectas que podría
Ajuste lineal de datos
131
parecer que funcionan. La Figura 3 presenta dos aspectos de “visualizar” una recta para ajustarse a los datos. y
30 20 10
F I G U R A 3 Intentos visuales para ajustar la recta a los datos
0
y
0
x
F I G U R A 4 Distancia de los puntos de datos a la recta
10
20 30
40 50 x
De todas las rectas que pasan por estos puntos de datos hay una que “mejor” se ajusta a los datos, en el sentido de que da el modelo lineal más preciso para los datos. A continuación describimos cómo hallar esta recta. Parece razonable que la recta de mejor ajuste es aquella tan cercana como sea posible a todos los puntos de datos. Ésta es la recta para la cual la suma de las distancias verticales de los puntos de datos a la recta es tan pequeña como sea posible (vea Figura 4). Por razones técnicas es mejor usar la recta donde la suma de los cuadrados de estas distancias sea la más pequeña. Ésta se denomina recta de regresión. La fórmula para la recta de regresión se encuentra por medio de cálculo, pero afortunadamente la fórmula está programada en casi todas las calculadoras graficadoras. En el Ejemplo 1 vemos cómo usar una calculadora TI-83 para hallar la recta de regresión para los datos de mortalidad infantil descritos líneas antes. (El proceso para otras calculadoras es similar.)
E J E M P LO 1
Recta de regresión para tasas de mortalidad infantil en Estados Unidos
(a) Encuentre la recta de regresión para los datos de mortalidad infantil de la Tabla 1. (b) Grafique la recta de regresión en una gráfica de dispersión de los datos. (c) Use la recta de regresión para estimar las tasas de mortalidad infantil en 1995 y 2006.
L1 L2 0 29.2 10 26 20 20 30 12.6 40 9.2 50 6.9 ------L2(7)=
L3 1 -------
S O LU C I Ó N (a) Para hallar la recta de regresión usando una calculadora TI-83, primero debemos ingresar los datos en las listas L1 y L2 a las que se tiene acceso presionando la tecla STAT y seleccionando Edit. La Figura 5 muestra la pantalla de la calculadora después de ingresar los datos. (Observe que estamos haciendo x ⫽ 0 correspondiente al año 1950, de modo que x ⫽ 50 corresponde a 2000. Esto hace que las ecuaciones sean más fáciles de trabajar.) A continuación presionamos la tecla STAT otra vez para seleccionar Calc, en seguida 4:LinReg(ax+b), que da la salida visualizada en la Figura 6(a). Esto nos dice que la recta de regresión es
y ⫽ 20.48x ⫹ 29.4
F I G U R A 5 Ingreso de los datos
Aquí x representa el número de años desde 1950, y y representa la tasa de mortalidad infantil correspondiente. (b) La gráfica de dispersión y la recta de regresión han sido determinadas en la pantalla de una calculadora graficadora en la Figura 6(b). 30 LinReg y=ax+b a=-.4837142857 b=29.40952381
0
FIGURA 6
(a) Salida del comando LinReg
55 (b) Gráfica de dispersión y recta de regresión
132
Enfoque sobre modelado
(c) El año 1995 es 45 años después de 1950, de manera que sustituyendo por x encontramos que y ⫽ 20.48(45) ⫹ 29.4 ⫽ 7.8. Por lo tanto, la tasa de mortalidad infantil en 1995 fue alrededor de 7.8. Análogamente, sustituyendo 56 por x, encontramos que la tasa de mortalidad infantil pronosticada para 2006 fue de aproximadamente 20.48(56) ⫹ 29.4 ≈ 2.5. Q
AP Photo/Michael Probst
Una búsqueda en Internet muestra que la verdadera tasa de mortalidad infantil fue de 7.6 en 1995 y 6.4 en 2006. Entonces, la recta de regresión es suficientemente precisa para 1995 (la tasa real fue un poco menor que la tasa pronosticada), pero está muy alejada para 2006 (la tasa real fue más del doble de la tasa pronosticada). La razón es que la tasa de mortalidad infantil en Estados Unidos dejó de bajar y en realidad empezó a subir en 2002, por primera vez en más de un siglo. Esto muestra que debemos ser cuidadosos al extrapolar modelos lineales fuera del dominio sobre el cual están dispersos los datos.
W Ejemplos de análisis de regresión
Steven Hooker, ganador de la medalla de oro olímpica de 2008, en salto con pértiga para hombres
Desde que comenzaron los Juegos Olímpicos en 1896, los avances en eventos de pista y campo han estado mejorando constantemente. Un ejemplo en el que los récords ganadores han presentado una tendencia lineal ascendente es el salto con pértiga. El salto con pértiga empezó en Holanda como actividad práctica: al viajar de una población a otra, las personas saltaban los muchos canales que cruzaban la zona para evitar tener que salirse de su camino y hallar un puente. Las familias tenían a la mano un buen abasto de maderos de longitudes apropiadas para cada miembro de la familia. El salto de altura con pértiga, en lugar de distancia, se convirtió en un evento universitario de pista y campo hacia mediados del siglo XIX y fue uno de los eventos de los primeros Juegos Olímpicos modernos. En el siguiente ejemplo vemos un modelo lineal para récords ganadores de medalla de oro en Juegos Olímpicos, en el salto de altura con pértiga para hombres.
E J E M P LO 2
Recta de regresión para récords olímpicos de salto de altura con pértiga
La Tabla 2 da los récords olímpicos de salto de altura con pértiga para hombres, hasta 2004. (a) Encuentre la recta de regresión para los datos. (b) Haga una gráfica de dispersión de los datos y grafique la recta de regresión. ¿La recta de regresión parece ser apropiada para modelar los datos? (c) ¿Qué representa la pendiente de la recta de regresión? (d) Use el modelo para predecir la altura ganadora de salto con pértiga para los Juegos Olímpicos de 2008. TA B L A 2 Récords olímpicos de salto con pértiga para hombres Año
x
1896 1900 1904 1906 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1936 1948 1952
4 0 4 6 8 12 20 24 28 32 36 48 52
Medallista de oro
William Hoyt, USA Irving Baxter, USA Charles Dvorak, USA Fernand Gonder, France A. Gilbert, E. Cook, USA Harry Babcock, USA Frank Foss, USA Lee Barnes, USA Sabin Can, USA William Miller, USA Earle Meadows, USA Guinn Smith, USA Robert Richards, USA
Altura (m)
Año
x
3.30 3.30 3.50 3.50 3.71 3.95 4.09 3.95 4.20 4.31 4.35 4.30 4.55
1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104
Medallista de oro
Robert Richards, USA Don Bragg, USA Fred Hansen, USA Bob Seagren, USA W. Nordwig, E. Germany Tadeusz Slusarski, Poland W. Kozakiewicz, Poland Pierre Quinon, France Sergei Bubka, USSR M. Tarassob, Unified Team Jean Jaffione, France Nick Hysong, USA Timothy Mack, USA
Altura (m)
4.56 4.70 5.10 5.40 5.64 5.64 5.78 5.75 5.90 5.87 5.92 5.90 5.95
Ajuste lineal de datos
133
S O LU C I Ó N (a) Sea x ⫽ año 2 1900, de modo que 1896 corresponde a x ⫽ 24, 1900 a x ⫽ 0 y así sucesivamente. Usando calculadora, encontramos la siguiente recta de regresión:
LinReg y=ax+b a=.0265652857 b=3.400989881
y ⫽ 0.0266x ⫹ 3.40
Salida en la función LinReg en la TI-83
(b) La gráfica de dispersión y la recta de regresión se ilustran en la Figura 7. La recta de regresión parece ser un buen modelo para los datos. (c) La pendiente es el promedio de porcentaje de aumento en el récord de salto con pértiga por año. Entonces, en promedio, el récord de salto con pértiga aumentó en 0.0266 m/año. y 6
Altura (m)
4 2
F I G U R A 7 Gráfica de dispersión y recta de regresión para los datos de salto con pértiga
0
20
40 60 80 Años a partir de 1900
100
x
(d) El año 2008 corresponde a x ⫽ 108 en nuestro modelo. El modelo da
y
0.026611082
3.40
6.27 Por lo tanto, el modelo predice que en 2008 el salto con pértiga ganador será de 6.27 m. Q
TABLA 3 Datos de tumores causados por asbesto Exposición al asbesto (fibras/mL) 50 400 500 900 1100 1600 1800 2000 3000
Porcentaje que presentaba tumores pulmonares 2 6 5 10 26 42 37 28 50
En los Juegos Olímpicos de 2008 en Beijing, China, la medalla de oro olímpica en el salto con pértiga fue ganada por Steven Hooker de Australia, con un salto de 5.96 metros. Aun cuando esta altura estableció un récord olímpico, fue considerablemente más bajo que los 6.27 m pronosticados por el modelo del Ejemplo 2. En el Problema 10 vemos una recta de regresión para los datos de salto con pértiga de 1972 a 2004. Haga usted el problema para ver si este conjunto restringido de datos más recientes da un mejor pronóstico para el récord de 2008. ¿Un modelo lineal es realmente apropiado para los datos del Ejemplo 2? En subsiguientes secciones de Enfoque sobre modelado estudiamos modelos de regresión que usan otros tipos de funciones, y aprendemos a escoger el mejor modelo para un conjunto determinado de datos. En el siguiente ejemplo vemos cómo se usa regresión lineal en investigación médica para investigar potenciales causas de enfermedades como el cáncer.
E J E M P LO 3
Recta de regresión para enlace entre asbesto y cáncer
Cuando ratas de laboratorio son expuestas a fibras de asbesto, algunas ratas presentan tumores pulmonares. La Tabla 3 es una lista de los resultados de varios experimentos realizados por diferentes científicos. (a) Encuentre la recta de regresión para los datos. (b) Haga una gráfica de dispersión y grafique la recta de regresión. ¿La recta de regresión parece ser un modelo razonable para los datos? (c) ¿Qué representa el punto de intersección y de la recta de regresión?
134
Enfoque sobre modelado
S O LU C I Ó N (a) Usando calculadora, encontramos la siguiente recta de regresión (vea Figura 8(a)):
y ⫽ 0.0177x ⫹ 0.5405 © Eric and David Hosking/CORBIS
(b) La gráfica de dispersión y recta de regresión están graficadas en la Figura 8(b). La recta de regresión parece ser un modelo razonable para los datos. 55 LinReg y=ax+b a=.0177212141 b=.5404689256
3100
0 (a) Salida del comando LinReg
(b) Gráfica de dispersión y recta de regresión
F I G U R A 8 Regresión lineal para los datos de asbesto-tumores
(c) El punto de intersección y es el porcentaje de ratas a las que se les formaron tumores cuando no había fibras de asbesto presentes. En otras palabras, éste es el porcentaje que normalmente presentan tumores pulmonares (por razones diferentes al asbesto). Q
W ¿Qué tan bueno es el ajuste? El coeficiente de correlación Para cualquier conjunto determinado de datos con dos variables siempre es posible hallar una recta de regresión, incluso si los puntos de datos no tienden a estar en una recta y si las variables parecen no estar relacionadas en absoluto. Veamos las tres gráficas de dispersión de la Figura 9. En la primera gráfica de dispersión, los puntos de datos están cercanos a una recta. En la segunda gráfica, todavía se observa una tendencia lineal pero los puntos están más dispersos. En la tercera gráfica no parece haber ninguna tendencia en absoluto, lineal o de otro tipo. y
y
r=0.98
x
y
r=0.84
x
r=0.09
x
FIGURA 9
Una calculadora graficadora puede darnos una recta de regresión por cada una de estas gráficas de dispersión, pero, ¿qué tan bien representan o “se ajustan” estas líneas a los datos? Para contestar esta pregunta, los expertos en estadística han inventado el coeficiente de correlación, por lo general denotado por r. El coeficiente de correlación es un número entre 21 y 1 que mide qué tan cercanamente los datos siguen a la recta de regresión, o bien, en otras palabras, qué tan fuertemente están correlacionadas las variables. Numerosas calculadoras dan el valor de r cuando calculan la recta de regresión. Si r es cercana a 21 o a 1, entonces las variables están fuertemente correlacionadas, es decir, la gráfica de dispersión sigue muy de cerca a la recta de regresión. Si r es cercana a 0, entonces las variables están
Ajuste lineal de datos
135
débilmente correlacionadas o no están correlacionadas para nada. (El signo de r depende de la pendiente de la recta de regresión.) Los coeficientes de correlación de las gráficas de dispersión de la Figura 9 están indicados en las gráficas. Para la primera gráfica, r es cercana a 1 porque los datos están muy cercanos a ser lineales. La segunda gráfica también tiene una r relativamente grande, pero no tan grande como la primera, porque los datos, si bien son bastante lineales, están más difusos. La tercera gráfica tiene una r cercana a 0, ya que prácticamente no hay tendencia lineal en los datos. No hay reglas rígidas y rápidas para determinar qué valores de r son suficientes para decidir que una correlación lineal es “significativa”. El coeficiente de correlación es sólo una guía aproximada para ayudarnos a decidir cuánta fe poner en una determinada recta de regresión. En el Ejemplo 1 el coeficiente de correlación es 20.99, indicando un muy alto nivel de correlación, por lo cual podemos con seguridad decir que la baja en tasas de mortalidad infantil de 1950 a 2000 fue fuertemente lineal. (El valor de r es negativo, puesto que la mortalidad infantil tuvo una tendencia a la baja en este período.) En el Ejemplo 3 el coeficiente de correlación es 0.92, que también indica una fuerte correlación entre las variables. Entonces, la exposición al asbesto está claramente asociada con el crecimiento de tumores pulmonares en ratas. ¿Significa esto que el asbesto causa cáncer pulmonar? Si dos variables están correlacionadas, esto no necesariamente significa que un cambio en una variable causa un cambio en la otra. Por ejemplo, el matemático John Allen Paulos afirma que la medida en calzado está fuertemente correlacionada con las calificaciones en matemáticas entre niños escolares. ¿Esto significa que los pies grandes causan altas calificaciones en matemáticas? Ciertamente que no, pero la medida en calzado y la facilidad para las matemáticas aumentan independientemente a medida que los niños crecen. Por lo tanto, es importante no saltar a las conclusiones: la correlación y la causa no son lo mismo. La correlación es una útil herramienta para descubrir importantes relaciones de causa y efecto; pero para demostrar una causa debemos explicar el mecanismo por medio del cual una variable afecta a la otra. Por ejemplo, el enlace entre fumar y el cáncer pulmonar fue observado como correlación mucho antes que la ciencia encontrara el mecanismo por el que fumar causa cáncer pulmonar.
PROBLEMAS 1. Longitud del fémur y estatura Los antropólogos usan un modelo lineal que relaciona la longitud del fémur con la estatura. El modelo permite a un antropólogo determinar la estatura de una persona cuando sólo se encuentra un esqueleto parcial (incluyendo el fémur). En este problema encontramos el modelo al analizar los datos acerca de la longitud del fémur y la estatura para los ocho hombres dados en la tabla.
(a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre y grafique una función lineal que modele los datos. (c) Un antropólogo encuentra un fémur de 58 cm de longitud. ¿Cuál era la estatura de la persona?
Fémur
Longitud del fémur (cm)
Estatura (cm)
50.1 48.3 45.2 44.7 44.5 42.7 39.5 38.0
178.5 173.6 164.8 163.7 168.3 165.0 155.4 155.8
2. Demanda de bebidas gaseosas El gerente de una tienda de conveniencia observa que las ventas de bebidas gaseosas son más altas en días calurosos, de modo que reúne los datos de la tabla.
(a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre y grafique una función lineal que modele los datos.
136
Enfoque sobre modelado (c) Use el modelo para predecir las ventas de gaseosas si la temperatura es de 95ºF. Temperatura alta (°F)
Número de latas vendidas
55 58 64 68 70 75 80 84
340 335 410 460 450 610 735 780
3. Diámetro de un árbol y su edad Para estimar las edades de árboles, los guardabosques usan un modelo lineal que relaciona el diámetro de un árbol con la edad del mismo. El modelo es útil porque el diámetro de un árbol es mucho más fácil de medir que la edad (que requiere herramientas especiales para extraer una sección transversal representativa del árbol y contar los anillos). Para hallar el modelo, use los datos de la tabla, que fueron recolectados para una cierta variedad de robles.
(a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre y grafique una función que modele los datos. (c) Use el modelo para estimar la edad de un roble cuyo diámetro es de 18 pulgadas. Diámetro (pulg.)
Edad (años)
2.5 4.0 6.0 8.0 9.0 9.5 12.5 15.5
15 24 32 56 49 76 90 89
4. Niveles de dióxido de carbono El Observatorio de Mauna Loa, ubicado en la isla de Hawaii, ha estado observando niveles de dióxido de carbono (CO2) en la atmósfera desde 1958. La tabla es una lista del promedio anual de niveles de CO2 medidos en partes por millón (ppm) de 1984 a 2006.
(a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre y grafique la recta de regresión. (c) Use el modelo lineal de la parte (b) para estimar el nivel de CO2 en la atmósfera en 2005. Compare su respuesta con el nivel real de CO2 de 379.7 que fue medido en 2005. Año
Nivel de CO2 (ppm)
1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
344.3 347.0 351.3 354.0 356.3 358.9 362.7 366.5 369.4 372.0 377.5 380.9
Ajuste lineal de datos Frecuencia de Temperatura chirridos (°F) (chirridos/minuto) 50 55 60 65 70 75 80 85 90
20 46 79 91 113 140 173 198 211
137
5. Temperatura y grillos que chirrían Unos biólogos han observado que la frecuencia de chirridos de grillos de cierta especie parece estar relacionada con la temperatura. La tabla siguiente muestra las frecuencias de chirridos para varias temperaturas.
(a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre y grafique la recta de regresión. (c) Use el modelo lineal de la parte (b) para estimar la frecuencia de chirridos a 100ºF. 6. Extensión del hielo del Océano Ártico El Centro Nacional de Información de Nieve y Hielo monitorea la cantidad de hielo del Ártico todo el año. La tabla siguiente da valores aproximados para la extensión del hielo marino en millones de kilómetros cuadrados de 1980 a 2006, en intervalos de dos años.
(a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre y grafique la recta de regresión. (c) Use el modelo lineal de la parte (b) para estimar la extensión del hielo en el año 2010.
Porcentaje de flujo (%)
Porcentaje positivo de mosquitos (%)
0 10 40 60 90 100
22 16 12 11 6 2
Año
Extensión del hielo (millones de km2)
Año
Extensión del hielo (millones de km2)
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
7.9 7.4 7.2 7.6 7.5 6.2 7.6
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
7.1 7.9 6.6 6.3 6.0 6.1 5.7
7. Prevalencia de mosquitos La tabla siguiente es una lista de la abundancia relativa de mosquitos (medida por el porcentaje positivo de mosquitos) contra la rapidez de flujo (medida como porcentaje del flujo máximo) de redes de canales en la ciudad de Saga, Japón.
(a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre y grafique la recta de regresión. (c) Use el modelo lineal de la parte (b) para estimar el porcentaje positivo de mosquitos si el flujo del canal es 70% del máximo. 8. Ruido e inteligencia Expertos en audiología estudian la inteligibilidad de oraciones habladas bajo diferentes niveles de ruido. La inteligibilidad, calificación de una MRT (imagen de resonancia magnética), se mide como porcentaje de una oración pronunciada y que el escucha puede descifrar a cierto nivel de ruido en decibeles (dB). La tabla muestra los resultados de uno de dichos exámenes.
(a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre y grafique la recta de regresión. (c) Encuentre el coeficiente de correlación. ¿Es apropiado un modelo lineal? (d) Use el modelo lineal de la parte (b) para estimar la inteligibilidad de una oración a un nivel de ruido de 94 dB. Nivel de ruido (dB)
Calificación en MRT (%)
80 84 88 92 96 100 104
99 91 84 70 47 23 11
138
Enfoque sobre modelado 9. Esperanza de vida El promedio de esperanza de vida en Estados Unidos ha estado aumentando constantemente en las últimas décadas, como se ve en la tabla siguiente.
(a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre y grafique la recta de regresión. (c) Use el modelo lineal que encontró en la parte (b) para predecir la esperanza de vida en el año 2006. (d) Busque en la Internet o en la biblioteca de su plantel para hallar el promedio real de esperanza de vida en 2006. Compare con su respuesta de la parte (c). Año
Esperanza de vida
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
54.1 59.7 62.9 68.2 69.7 70.8 73.7 75.4 76.9
10. Salto con pértiga en Juegos Olímpicos La gráfica de la Figura 7 indica que en años recientes la altura ganadora de salto con pértiga para hombres, en Juegos Olímpicos, ha caído por debajo del valor pronosticado por la recta de regresión del Ejemplo 2. Esto podría haber ocurrido porque cuando el salto con pértiga era un evento nuevo, había mucho más espacio para mejorar en la actuación de los deportistas de esta especialidad, mientras que ahora hasta el mejor entrenamiento puede dar avances apenas incrementales. Veamos si al concentrarnos en resultados más recientes resulta un mejor pronóstico de futuros récords.
(a) Use los datos de la Tabla 2 para completar la tabla de alturas ganadoras de salto con pértiga. (Observe que estamos usando x ⫽ 0 para que corresponda al año 1972, donde empieza este conjunto restringido de datos.) (b) Encuentre la recta de regresión para los datos de la parte (a). (c) Localice los datos y la recta de regresión en los mismos ejes. ¿La recta de regresión parece dar un buen modelo para los datos? (d) ¿Cuál predice la recta de regresión como altura ganadora de salto con pértiga para los Juegos Olímpicos de 2008? Compare este valor pronosticado con la altura ganadora real de 2008 de 5.96 metros, como se describe en la página 133. ¿Esta nueva recta de regresión ha dado un mejor pronóstico que la recta del Ejemplo 2? Año
x
Altura (m)
1972
0
5.64
1976
4
1980
8
1984 1988 1992 1996 2000 2004
Ajuste lineal de datos
139
11. Récords olímpicos de natación Las tablas siguientes dan los tiempos de medalla de oro en el evento de natación de 100 metros estilo libre, en Juegos Olímpicos, para hombres y mujeres.
(a) Encuentre las rectas de regresión para los datos de hombres y de mujeres. (b) Trace ambas rectas de regresión en la misma gráfica. ¿Cuándo predicen estas rectas que las mujeres superarán a los hombres en el evento? ¿Esta conclusión parece razonable?
HOMBRES Año 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1936 1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008
Medallista de oro C. Daniels, USA D. Kahanamoku, USA D. Kahanamoku, USA J. Weissmuller, USA J. Weissmuller, USA Y. Miyazaki, Japan F. Csik, Hungary W. Ris, USA C. Scholes, USA J. Henricks, Australia J. Devitt, Australia D. Schollander, USA M. Wenden, Australia M. Spitz, USA J. Montgomery, USA J. Woithe, E. Germany R. Gaines, USA M. Biondi, USA A. Popov, Russia A. Popov, Russia P. van den Hoogenband, Netherlands P. van den Hoogenband, Netherlands A. Bernard, France
MUJERES Tiempo (s)
Año
6 5 .6 63.4 61.4 59.0 58.6 58.2 57.6 5 7 .3 5 7 .4 55.4 55.2 53.4 52.2 5 1 .2 2 49.99 50.40 4 9 .8 0 4 8 .6 3 4 9 .0 2 4 8 .7 4 48.30 48.17 47.21
1912 1920 1924 1928 1932 1936 1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008
Medallista de oro F. Durack, Australia E. Bleibtrey, USA E. Lackie, USA A. Osipowich, USA H. Madison, USA H. Mastenbroek, Holland G. Andersen, Denmark K. Szoke, Hungary D. Fraser, Australia D. Fraser, Australia D. Fraser, Australia J. Henne, USA S. Nielson, USA K. Ender, E. Germany B. Krause, E. Germany (Tie) C. Steinseifer, USA N. Hogshead, USA K. Otto, E. Germany Z. Yong, China L. Jingyi, China I. DeBruijn, Netherlands J. Henry, Australia B. Steffen, Germany
Tiempo (s) 82.2 73.6 7 2 .4 71.0 66.8 65.9 66.3 66.8 62.0 61.2 59.5 6 0 .0 5 8 .5 9 55.65 54.79 55.92 55.92 54.93 5 4 .6 4 5 4 .5 0 53.83 53.84 53.12
12. Medida de calzado y estatura ¿Piensa usted que la medida del calzado y la estatura están correlacionadas? Investigue al estudiar las medidas de calzado y estaturas de personas de su grupo en la universidad. (Desde luego, los datos para hombres y mujeres deben ser separados.) Encuentre el coeficiente de correlación.
¿Compraría usted una barra de dulce de la máquina expendedora del pasillo, si el precio es como el indicado? Precio
Sí o no
13. Demanda de barras de dulces En este problema, usted determinará una ecuación de demanda lineal que describe la demanda de barras de dulces en su grupo en la universidad. Investigue a sus compañeros para determinar qué precio estarían dispuestos a pagar por una barra de dulce. La forma de su estudio podría verse como la muestra de la izquierda.
(a) Haga una tabla del número de quienes respondieron “sí” a cada nivel de precios. (b) Haga una gráfica de dispersión de sus datos. (c) Encuentre y grafique la recta de regresión y ⫽ mp ⫹ b, que da el número y de quienes respondieron y que comprarían una barra de dulce si el precio fuera de p centavos. Ésta es la ecuación de demanda. ¿Por qué la pendiente m es negativa? (d) ¿Cuál es el punto de intersección p de la ecuación de demanda? ¿Qué le dice este punto de intersección acerca de los precios de barras de dulce?
© 2010 ArtmannWitte. Utilizada bajo licencia de Shutterstock.com
CAPÍTULO
2
FUNCIONES 2.1 ¿Qué es una función? 2.2 Gráficas de funciones 2.3 Información a partir de la gráfica de una función 2.4 Rapidez de cambio promedio de una función 2.5 Transformaciones de funciones 2.6 Combinación de funciones
Quizá la idea más útil para modelar el mundo real sea el concepto de función. Veamos un ejemplo. Si un escalador deja caer una piedra desde un alto risco, sabemos que la piedra caerá. Pero esta descripción general no nos ayuda a saber cuándo llegará la piedra al suelo. Para averiguarlo, necesitamos una regla que relacione la distancia d que cae la piedra y el tiempo que haya estado en caída. Galileo fue el primero en descubrir la regla: en t segundos la piedra cae 16t2 pies. Esta “regla” se denomina función; escribimos esta función como d(t) ⫽ 16t2. Con el uso de este modelo de función, podemos predecir cuándo caerá la piedra al suelo. En este capítulo estudiamos propiedades de funciones y la forma en que los modelos funcionales pueden ayudarnos a obtener información precisa acerca de la cosa o proceso que se esté modelando.
2.7 Funciones uno a uno y sus inversas ENFOQUE SOBRE MODELADO d(t)=16t2
Modelado con funciones
Descripción general: La piedra cae.
Función: En t segundos, la piedra cae 16t2 pies.
141
142
C A P Í T U LO 2
| Funciones
2.1 ¿Q UÉ ES UNA FUNCIÓN ? Funciones a nuestro alrededor 䉴 Definición de función 䉴 Evaluación de una función 䉴 Dominio de una función 䉴 Cuatro formas de representar una función En esta sección exploramos la idea de una función y a continuación damos la definición de función.
W Funciones a nuestro alrededor En casi todos los fenómenos físicos observamos que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la estatura de una persona depende de su edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar un paquete por correo depende de su peso (vea Figura 1). Usamos el término función para describir esta dependencia de una cantidad con respecto a otra. Esto es, decimos lo siguiente: Q
La estatura es una función de la edad.
Q
La temperatura es una función de la fecha.
Q
El costo de enviar un paquete por correo depende de su peso.
La Oficina de Correos de Estados Unidos utiliza una sencilla regla para determinar el costo de enviar por correo un paquete de primera clase con base en el peso del paquete. Pero no es tan fácil describir la regla que relaciona la estatura con la edad o la regla que relaciona temperatura y fecha. *F 100
7 6 5 Estatura 4 (en pies) 3 2 1 0
80 60 Temperatura alta diaria Columbia, MO, mayo de 2010
40 5
10
15
20
25
Edad (en años)
FIGURA 1
„ (onzas)
La estatura es función de la edad.
0
5
10
15
20
25
30 Fecha
La temperatura es función de la fecha.
0 < „≤1 1 < „≤2 2 < „≤3 3 < „≤4 4 < „≤5 5 < „≤6
Porte (dólares) 1.22 1.39 1.56 1.73 1.90 2.07
El porte es función del peso.
¿Puede usted considerar otras funciones? Veamos a continuación algunos ejemplos: Q
El área de un círculo es una función de su radio.
Q
El número de bacterias en un cultivo es función del tiempo.
Q
El peso de una astronauta es una función de su elevación.
Q
El precio de una mercancía es una función de la demanda de esa mercancía.
La regla que describe la forma en que el área A de un círculo depende de su radio r está dada por la fórmula A ⫽ pr2. Aun cuando no exista una regla o fórmula precisa que describa una función, todavía podemos describir la función por medio de una gráfica. Por ejemplo, cuando abrimos la llave del agua caliente de una llave, la temperatura del agua depende de cuánto tiempo haya estado saliendo el agua. Por tanto, podemos decir: Q
La temperatura del agua de la llave es una función del tiempo.
La Figura 2 muestra una gráfica aproximada de la temperatura T del agua como función del tiempo t que haya transcurrido desde que se abrió la llave. La gráfica muestra que la temperatura inicial del agua es cercana a la temperatura ambiente. Cuando el agua del tanque de agua caliente llega a la llave, la temperatura T del agua aumenta rápidamente. En la siguiente fase, T es constante a la temperatura del agua del tanque. Cuando éste se descarga, T disminuye a la temperatura del agua fría de alimentación.
S E C C I Ó N 2.1
| ¿Qué es una función? 143
T (°F) 110 100 90 80 70 60 50
F I G U R A 2 Gráfica de la temperatura T del agua como función del tiempo t
0
t
W Definición de función Ya antes hemos empleado letras para representar números. Aquí hacemos algo muy distinto: usamos letras para representar reglas.
Una función es una regla. Para hablar de una función, es necesario darle un nombre. Usaremos letras como f, g, h,… para representar funciones. Por ejemplo, podemos usar la letra f para representar una regla como sigue: “f”
es la regla
“elevar al cuadrado el número”
Cuando escribimos f (2) queremos decir “aplicar la regla f al número 2”. La aplicación de la regla da f (2) ⫽ 22 ⫽ 4. Del mismo modo, f (3) ⫽ 32 ⫽ 9, f (4) ⫽ 42 ⫽ 16, y en general f (x) ⫽ x2.
DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. La tecla 1 de una calculadora es un buen ejemplo de una función como máquina. Primero se ingresa x en la pantalla y, a continuación, se pulsa la tecla marcada como 1 . (En casi todas las calculadoras graficadoras se invierte el orden de estas operaciones.) Si x < 0, entonces x no está en el dominio de esta función; esto es, x no es una entrada aceptable, y la calculadora indicará un error. Si x ≥ 0, entonces aparece una aproximación a 1x en la pantalla, correcta a cierto número de lugares decimales. (Entonces, la tecla 1 de la calculadora no es exactamente la misma que la función matemática exacta f definida por f1x 2 1x.)
Por lo general consideramos funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de números reales. El símbolo f (x) se lee “f de x” o “f en x” y se denomina valor de f en x, o la imagen de x bajo f. El conjunto A recibe el nombre de dominio de la función. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f (x) cuando x varía en todo el dominio, es decir,
Rango de f ⫽ 5 f (x) 0 x ∈ A6
El símbolo que representa un número arbitrario del dominio de una función f se llama variable independiente. El símbolo que representa un número en el rango de f se llama variable dependiente. Por tanto, si escribimos y ⫽ f (x), entonces x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Es útil considerar una función como una máquina (vea Figura 3). Si x está en el dominio de la función f, entonces cuando x entra a la máquina, es aceptada como entrada y la máquina produce una salida f (x) de acuerdo con la regla de la función. Así, podemos considerar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas y el rango como el conjunto de todas las posibles salidas. F I G U R A 3 Diagrama de máquina de f
Ï salida
f
x entrada
Otra forma de representar una función es por medio de un diagrama de flecha como en la Figura 4. Cada flecha conecta un elemento de A con un elemento de B. La flecha indica que f (x) está asociada con x, f (a) está asociada con a, y así sucesivamente. B
A
Ï
x
f(a)
a
F I G U R A 4 Diagrama de flecha de f
f
144
C A P Í T U LO 2
| Funciones
E J E M P LO 1
Análisis de una función
Una función f está definida por la fórmula f (x) ⫽ x2 ⫹ 4 (a) (b) (c) (d)
Exprese verbalmente cómo actúa f sobre la entrada x para producir la salida f (x). Evalúe f (3), f (22) y f 1 152. Encuentre el dominio y rango de f. Trace un diagrama de máquina para f.
S O LU C I Ó N (a) La fórmula nos dice que f primero eleva al cuadrado la entrada x y luego suma 4 al resultado. Por tanto, f es la función
“elevar al cuadrado, luego sumar 4” (b) Los valores de f se encuentran al sustituir por x en la fórmula f (x) ⫽ x2 ⫹ 4.
f 1 22
f132 x entrada
elevar al cuadrado y sumar 4
x2+4
3
elevar al cuadrado y sumar 4
13
_2
elevar al cuadrado y sumar 4
8
f 1 152
salida
F I G U R A 5 Diagrama de máquina
32
1 22 2 4
1 152
2
13 4 4
Sustituir x por 3
8
Sustituir x por –2
9
Sustituir x por
5
(c) El dominio de f está formado por todas las posibles entradas para x. Como podemos evaluar la fórmula f (x) ⫽ x2 ⫹ 4 para cada número real x, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales. El rango de f está formado por todas las posibles salidas de f. Como x2 ≥ 0 para todos los números reales x, tenemos x2 ⫹ 4 ≥ 4, de modo que por cada salida de f tenemos f (x) ≥ 4. Entonces, el rango de f es 5y 0 y ≥ 46 ⫽ 34, q). (d) Un diagrama de máquina para f se ilustra en la Figura 5.
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 9, 13, 17 Y 43
Q
W Evaluación de una función En la definición de una función, la variable independiente x desempeña el papel de un símbolo o dígito. Por ejemplo, la función f (x) ⫽ 3x2 ⫹ x 2 5 se puede considerar como f1
2
3#
2
5
Para evaluar f en un número, sustituimos el número por el símbolo o dígito.
E J E M P LO 2
Evaluación de una función
Sea f (x) ⫽ 3x ⫹ x 2 5. Evalúe cada valor de la función. (a) f 1 22 (b) f 102 (c) f 142 (d) f A 21 B 2
S O LU C I Ó N de f.
Para evaluar f en un número, sustituimos el número por x en la definición
(a) f 1 22 (b) f102
3 # 02
(d) fA 21 B
3 # A 21 B 2
(c) f142
3 # 1 22 2
3 # 142
0
2
4 1 2
5
1 22
5
5
47
5
5
5
15 4
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 19
Q
S E C C I Ó N 2.1
E J E M P LO 3
| ¿Qué es una función? 145
Una función definida por tramos
Un plan de teléfono celular cuesta $39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cobra $0.20 por cada minuto adicional de uso. Los cargos mensuales son una función del número de minutos usados, dada por
C1x 2
u
39 39
0.201x
si 0 si x
4002
x 400 400
Encuentre C(100), C(400) y C(480). S O LU C I Ó N Recuerde que una función es una regla. He aquí cómo aplicamos la regla para esta función. Primero vemos el valor de la entrada x. Si 0 ≤ x ≤ 400, entonces el valor de C(x) es 39. Por otra parte, si x > 400, entonces el valor de C(x) es 39 ⫹ 0.20((x 2 400). Una función definida por tramos está definida por diferentes fórmulas en diferentes partes de su dominio. La función C del Ejemplo 3 está definida por tramos.
400, tenemos C 11002 400, tenemos C 14002
Como 100 Como 400
39.
400, tenemos C14802
Como 480
0.20 1480
39. 39
4002
55.
Por tanto, el plan cobra $39 por 100 minutos, $39 por 400 minutos y $55 por 480 minutos. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 27
E J E M P LO 4 (a) f 1a2
Evaluación de una función (b) f 1 a2 f 1a h2 (d ) h
2
Si f (x) ⫽ 2x ⫹ 3x 2 1, evalúe lo siguiente.
Expresiones como la del inciso (d) del ejemplo 4 aparecen con frecuencia en cálculo y se les llama cociente de diferencias y representan el cambio promedio en el valor de f entre x ⫽ a y x ⫽ a ⫹ h.
(c) f1a
(a) f 1a2
Q
h2
f 1a2
,
h
0
S O LU C I Ó N
(b) f 1 a2 (c) f 1a
2a 2
3a
21 a2 2 h2
21a 21a 2 2a
2
1 31 a2 h2
2
h2 2
31a
2ah 4ah
2h
12a 2
2a 2
1
1
1
h2
2
3a
31a 3a
1
h2 3h
1
(d) Usando los resultados de las partes (c) y (a), tenemos
f1a
h2 h
f1a2
4ah
4ah 2h 2 h
2h 2 3h
3a
4a
3h h 2h
12
3a
12
3
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 35
E J E M P LO 5
12a 2
Q
El peso de una astronauta
Si una astronauta pesa 130 libras en la superficie de la Tierra, entonces su peso cuando esté a h millas sobre la Tierra está dado por la función
„1h2
130 a
2 3960 b 3960 h
(a) ¿Cuál es su peso cuando ella esté a 100 millas sobre la Tierra?
146
C A P Í T U LO 2
| Funciones (b) Construya una tabla de valores para la función „ que da el peso de la astronauta a altitudes de 0 a 500 millas. ¿Qué se concluye a partir de la tabla? S O LU C I Ó N (a) Buscamos el valor de la función „ cuando h ⫽ 100; esto es, debemos calcular „(100).
130 a
„11002
El peso de un cuerpo que esté sobre la Tierra, o muy cerca de ésta, es la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre ese cuerpo. Cuando se encuentre en órbita alrededor de la Tierra, una astronauta experimenta la sensación de “ingravidez” porque la fuerza centrípeta que la mantiene en órbita es exactamente igual que la atracción gravitacional de la Tierra.
2 3960 b 3960 100
123.67
Entonces, a una altitud de 100 millas, ella pesa unas 124 lb. (b) La tabla da el peso de la astronauta, redondeado a la libra más cercana, en incrementos de 100 millas. Los valores de la tabla están calculados como en la parte (a). „ 1h2
h 0 100 200 300 400 500
130 124 118 112 107 102
La tabla indica que cuanto más alto se encuentre ella, menor es su peso.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 71
Q
W Dominio de una función Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de todas las entradas para la función. El dominio de una función puede indicarse explícitamente. Por ejemplo, si escribimos f (x) ⫽ x2
Los dominios de expresiones algebraicas se estudian en la página 35.
0≤x≤5
entonces el dominio es el conjunto de todos los números reales x para los cuales 0 ≤ x ≤ 5. Si la función está dada por una expresión algebraica y el dominio no se indica explícitamente, entonces por convención el dominio de la función es el dominio de la expresión algebraica, es decir, el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión está definida como un número real. Por ejemplo, considere las funciones
f 1x2
1 x
4
g1x2
1x
La función f no está definida en x ⫽ 4, de modo que su dominio es 5x 0 x ⫽ 46. La función g no está definida para x negativa, de modo que su dominio es 5x 0 x ≥ 06.
E J E M P LO 6
Hallar dominios de funciones
Encuentre el dominio de cada una de las funciones siguientes. 1 (a) f1x2 (b) g1x2 29 x 2 (c) h1t 2 x2 x
1t
t 1
S E C C I Ó N 2.1
| ¿Qué es una función? 147
S O LU C I Ó N (a) Una expresión racional no está definida cuando el denominador es 0. Como
f 1x 2
1
1 x
2
x1x
x
5x 0 x
12
vemos que f (x) no está definida cuando x ⫽ 0 o x ⫽ 1. Entonces, el dominio de f es
0, x
16
El dominio también se puede escribir en notación de intervalos como
(q, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, q) (b) No podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo, de modo que debemos tener 9 2 x2 ≥ 0. Usando los métodos de la Sección 1.7, podemos resolver esta desigualdad para hallar que 23 ≤ x ≤ 3. Por lo tanto, el dominio de g es
5x 0
3
x
36
3 3, 34
(c) No podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo, y no podemos dividir entre 0, de modo que debemos tener t ⫹ 1 > 0, es decir, t > 21. Por lo tanto, el dominio de h es
5t 0 t > 21 6 ⫽(21, q)
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 47 Y 51
Q
W Cuatro formas de representar una función Para ayudarnos a entender lo que es una función, hemos empleado diagramas de máquina y de flecha. Podemos describir una función específica en las siguientes cuatro formas: verbalmente (por descripción en palabras) algebraicamente (por una fórmula explícita) visualmente (por una gráfica) numéricamente (por una tabla de valores) Una función individual puede estar representada en las cuatro formas, y con frecuencia es útil pasar de una representación a otra para adquirir más conocimientos sobre la función. No obstante, ciertas funciones se describen en forma más natural por medio de un método que por los otros. Un ejemplo de una descripción verbal es la siguiente regla para convertir entre escalas de temperatura:
“Para hallar el equivalente Fahrenheit de una temperatura Celsius, multiplicar por 95 la temperatura Celsius y luego sumar 32.” En el Ejemplo 7 vemos cómo describir esta regla verbal algebraica, gráfica y numéricamente. Una representación útil del área de un círculo como función de su radio es la fórmula algebraica A(r) ⫽ pr2 La gráfica producida por un sismógrafo (vea la caja en la página siguiente) es una representación visual de la función de aceleración vertical a(t) del suelo durante un terremoto. Como un ejemplo final, considere la función C(„), que se describe verbalmente como “el costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso „”. La forma más conveniente de describir esta función es numéricamente, es decir, usando una tabla de valores. Estaremos usando las cuatro representaciones de funciones en todo este libro; las resumimos en el cuadro siguiente.
148
C A P Í T U LO 2
| Funciones
CUATRO FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN Verbal
Algebraica
Usando palabras:
Usando una fórmula:
“Para convertir de Celsius a Fahrenheit, multiplicar la temperatura Celsius por 95 , luego sumar 32.”
Área de un círculo
Relación entre escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit.
A1r 2
pr 2
Visual
Numérica
Usando una gráfica:
Usando una tabla de valores:
a (cm/s2) 100
10
15
20
25
30 t (s)
50 Fuente: Departamento de Minas y Geología de California
C(„) (dólares)
„ „ „ „ „ o
1.22 1.39 1.56 1.73 1.90 o
0 1 2 3 4
50 5
„ (onzas) 1 2 3 4 5
Costo de enviar por correo un paquete de primera clase
Aceleración vertical durante un terremoto
E J E M P LO 7
Representar una función verbal, algebraica, numérica y gráficamente
Sea F(C) la temperatura Fahrenheit correspondiente a la temperatura Celsius C. (Así, F es la función que convierte entradas Celsius en salidas Fahrenheit.) El cuadro citado líneas antes da una descripción verbal de esta función. Encuentre formas de representar esta función (a) Algebraicamente (usando una fórmula) (b) Numéricamente (usando una tabla de valores) (c) Visualmente (usando una gráfica) S O LU C I Ó N (a) La descripción verbal nos dice que primero debemos multiplicar la entrada C por 59 y luego sumar 32 al resultado.
F1C 2
9 5C
32
(b) Usamos la fórmula algebraica para F que encontramos en la parte (a) para construir una tabla de valores: C (Celsius) 10 0 10 20 30 40
F (Fahrenheit) 14 32 50 68 86 104
S E C C I Ó N 2.1
| ¿Qué es una función? 149
(c) Usamos los puntos tabulados en la parte (b) para ayudarnos a trazar la gráfica de esta función en la Figura 6. F 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
F I G U R A 6 Celsius y Fahrenheit
_10
0
10
20
30
40 C
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 65
Q
2.1 EJERCICIOS CO N C E P TO S 1. Si una función f está dada por la fórmula y ⫽ f (x), entonces f (a) es la ______de f en x ⫽ a. 2. Para una función f, el conjunto de todas las posibles entradas se denomina _____de f, y el conjunto de todas las posibles salidas se denomina _______de f. 3. (a) ¿Cuáles de las siguientes funciones tienen 5 en sus dominios?
f 1x 2
x2
9. h1x 2
9-12
3x
g1x 2
5
x
h1x 2
2x
10
x (b) Para las funciones de la parte (a) que tienen 5 en sus dominios, encuentre el valor de la función en 5.
Q
11. f 1x2 13-14
13. f 1x 2
Q
15. f 1x2 15-16
Q
0 2 4 6
19
17. f1x 2
Q
19. f 1x 2
5-8 Q Exprese la regla en notación de función. (Por ejemplo, la regla “elevar al cuadrado, luego restar 5” se expresa como la función f (x) ⫽ x2 2 5.) 5. Sumar 3, luego multiplicar por 2
17-26
18. f1x 2
HABILIDADES
6. Dividir entre 7, luego restar 4
7. Restar 5, luego elevar al cuadrado 8. Tomar la raíz cuadrada, sumar 8, luego multiplicar por 13 .
2
x
4
1x x 3
12. g1x2
3
2 4
Trace un diagrama de máquina para la función.
1x
1
Complete la tabla.
21x
12 2 f1x2
14. f 1x2
3 x
2
0 2x
16. g1x 2
x
1 0 1 2 3
(a) Verbal: “Restar 4, luego _____ y _____. (b) Numérica:
f1x2
x2
x
4. Una función está dada algebraicamente por la fórmula f (x) ⫽ (x 2 4)2 ⫹ 3. Complete estas otras formas de representar a f:
x
10. k1x 2
Exprese la función (o regla) en palabras.
3 2 0 1 3
Evalúe la función en los valores indicados.
x2 x3
6; f1 32, f132, f102, f A 12 B , f1102
2x; f1 22, f112, f102, f A 13 B , f10.22
f 112 , f 1 22, f A 21 B, f 1a2, f 1 a2 , f 1a 2x
20. f 1x2
x2
21. g1x2
1 1
1;
b2
2x;
1 f 102 , f 13 2 , f 1 32 , f 1a2 , f 1 x 2 , f a b a x ; x
g122 , g1 22 , gA 21 B, g1a2, g1a
12 , g1 12
30
g1x2
150
| Funciones
C A P Í T U LO 2
22. h1t2
1 ; t
t
h112 , h1 1 2 , h12 2,
23. f 1x 2
hA 12 B,
1 h1x 2, h a b x
f 102 , f 12 2 , f 1 2 2 , f 1 122 , f 1x
24. f 1x 2
2x 2
3x
x3
4x 2;
4;
39. f 1x 2
41. f 1x 2
1 2, f 1 x2
43-64
43. f 1x2
45. f 1x 2
x f 102 , f 11 2 , f 1 1 2, f A 32 B, f a b , f 1x 2 2 2
25. f 1x 2
20x
10;
f 1 2 2 , f 102 , f A 21 B, f 12 2, f 1x
26. f 1x 2
0x0
1 2, f 1x 2
;
46. f 1x 2
47. f 1x 2
22
49. f 1x2
1 f 1 2 2 , f 1 1 2 , f 10 2 , f 152 , f 1x 2, f a b x
27-30 cados.
Q
27. f 1x 2
x
2
Evalúe la función definida por tramos en los valores indi-
e
x2 x
f 1 2 2 , f 1 1 2 , f 102 , f 11 2 , f 12 2
28. f 1x 2
1
5 e 2x
si x si x
29. f 1x 2
x 2 2x •x 1
30. f 1x 2
3x •x 1 1x 2 2 2
f1 42, fA
3 2 B,
si x 1 si 1 x si x 1
63. f 1x 2
1
f 1 1 2, f 10 2, f 1252 0 x 2
2
32. f 1x2
33. f 1x 2 34. f 1x 2
f 1a
35-42
Q
h2
35. f 1x 2
h
37. f 1x 2
3x x 6x
1; f 1x
2 2 , f 1x 2
1; f 12x 2 , 2f 1x 2
f 12 2
5
2
42. f 1x2
x
44. f 1x2
x2
Encuentre el dominio de la función.
2x 1
2x, x2
1,
x
0
x
5 5
1 x
3
x x2
2 1
2x
3 2 t
22x
50. f 1x2
52. f 1x2
5
54. g 1x 2
1
56. G 1x 2
5
22 x 3 x
4 2 2 x
2x
58. g 1x 2
60. g 1x 2
6x
62. f 1x2
3
1x
22x
48. f 1x 2
4
64. f 1x2
12 2 1
1
1 3x
6
x2
x4 x
2x 4
9
27
2x 2
2x 2
6
2x 2
3x 9
1x x
26
1 2x
8
x2
4 2 9
x x x2
2 3
al resul-
36. f 1x2
38. f 1x2
67. Sea T(x) la cantidad de impuesto de ventas cobrado en el condado de Lemon por la compra de x dólares. Para hallar el impuesto, tome 8% del precio de compra.
A P L I C AC I O N E S
Encuentre f (a), f (a ⫹ h), y el cociente de diferencias
3x
4x
68. Sea V(d) el volumen de una esfera de diámetro d. Para hallar el volumen, tome el cubo del diámetro, luego multiplique por p y divida entre 6.
x f 1x 2 18; f a b , 3 3
, donde h ⫽ 0.
5x
1 3
66. Para evaluar g(x), reste 4 de la entrada y multiplique el resultado por 43 .
4; f 1x 2 2, 1f 1x2 2 2
f 1a2
3
2
2x x
65. Para evaluar f (x), divida la entrada entre 3 y sume tado.
31-34 Q Use la función para evaluar las expresiones indicadas y simplifique.
x2
1
65-68 Q Se da una descripción verbal de una función. Encuentre representaciones (a) algebraica, (b) numérica y (c) gráfica para la función.
f 1 52 , f 10 2 , f 112, f 12 2, f 15 2
31. f 1x2
55. h 1x 2
61. f 1x 2
2 2
si x si 0 si x
53. f 1t2
59. g 1x2
f 1 3 2, f 10 2, f 122 , f 132 , f 15 2 3
51. f 1x 2
57. g 1x 2
0 0
si x si x
Q
40. f 1x2
x x
x2
1 1
x
1
69. Costo de producción El costo C en dólares por producir x yardas de cierta tela está dado por la función
C 1x 2
1500
3x
0.02x 2
0.0001x 3
(a) Encuentre C(10) y C(100). (b) ¿Qué representan sus respuestas a la parte (a)? (c) Encuentre C(0). (Este número representa los costos fijos.)
S E C C I Ó N 2.1 70. Área de una esfera El área superficial S de una esfera es una función de su radio r dado por S(r) ⫽ 4pr2
74. Tamaño de la pupila Cuando aumenta la brillantez x de una fuente de luz, el ojo reacciona al disminuir el radio R de la pupila. La dependencia de R en x está dada por la función
(a) Encuentre S(2) y S(3). (b) ¿Qué representan sus respuestas en la parte (a)? 71. Ley de Torricelli Un tanque contiene 50 galones de agua, que se descarga por una fuga en el fondo, haciendo que el tanque se vacíe en 20 minutos. El tanque se descarga con más rapidez cuando está casi lleno porque es mayor la presión sobre la fuga. La Ley de Torricelli da el volumen de agua restante en el tanque después de t minutos como
V1t2
50 a 1
t 2 b 20
0
| ¿Qué es una función? 151
13 B1
R1x2
7x 0.4 4x 0.4
donde R se mide en milímetros y x se mide en unidades de brillantez apropiadas. (a) Encuentre R(1), R(10) y R(100). (b) Haga una tabla de valores de R(x).
20
t
(a) Encuentre V(0) y V(20). (b) ¿Qué representan sus respuestas a la parte (a)? (c) Haga una tabla de valores de V(t) para t ⫽ 0, 5, 10, 15, 20.
R
75. Relatividad Según la Teoría de la Relatividad, la longitud L de un cuerpo es una función de su velocidad v con respecto a un observador. Para un cuerpo cuya longitud en reposo es 10 m, la función está dada por
72. ¿A qué distancia puede usted ver? Debido a la curvatura de la Tierra, la distancia D máxima a que se puede ver desde la parte superior de un edificio alto o un avión a una altitud h está dada por la función
D1h 2
22rh
h2
donde r ⫽ 3960 millas es el radio de la Tierra y D y h se miden en millas. (a) Encuentre D(0.1) y D(0.2). (b) ¿A qué distancia puede usted ver desde la cubierta de observación de la Torre CN de Toronto, a 1135 pies del suelo? (c) Los aviones comerciales vuelan a una altitud de unas 7 millas. ¿A qué distancia puede ver el piloto? 73. Circulación sanguínea Cuando la sangre circula por una vena o una arteria, su velocidad v es máxima a lo largo del eje central y disminuye a medida que la distancia r desde el eje central aumenta (vea la figura). La fórmula que da v como función de r se llama ley de flujo laminar. Para una arteria con radio 0.5 cm, la relación entre v (en cm/s) y r (en cm) está dada por la función
√1r2
18,50010.25
r2 2
0
r
0.5
(a) Encuentre v(0, 1) y v(0, 4). (b) ¿Qué le dicen sus respuestas a la parte (a) acerca de la circulación sanguínea en esta arteria? (c) Haga una tabla de valores de v(r) ⫽ 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5.
0.5 cm
r
L 1√2
10
B
1
√2 c2
donde c es la velocidad de la luz (300,000 km/s). (a) Encuentre L(0.5c), L(0.75c) y L(0.9c). (b) ¿Cómo cambia la longitud de un cuerpo cuando aumenta su velocidad? 76. Impuesto sobre la renta En cierto país, el impuesto sobre la renta T se valora de acuerdo con la siguiente función de ingreso x:
T1x 2
0 • 0.08x 1600
0.15x
si 0 x si 10,000 si 20,000
10,000 x 20,000 x
(a) Encuentre T15,000 2, T112,0002 , y T125,000 2 . (b) ¿Qué representan sus repuestas en el inciso (a)?
77. Compras por Internet Una librería de ventas por Internet cobra $15 por envío de pedidos de menos de $100 pero no cobra nada por pedidos de $100 o más. El costo C de un pedido es una función del precio total x del libro comprado, dado por
C 1x 2
e
x x
15
si x si x
100 100
(a) Encuentre C(75), C(90), C(100) y C(105). (b) ¿Qué representan sus respuestas en la parte (a)? 78. Costo de una estancia en hotel Una cadena hotelera cobra $75 por noche por las primeras dos noches y $50 por cada noche adicional de estancia. El costo total T es una función del número de noches x que permanezca un huésped.
152
C A P Í T U LO 2
| Funciones
(a) Complete las expresiones de la siguiente función definida por tramos.
T 1x2
e
si 0 si x
x 2
2
82. Cambio diario de temperatura Las lecturas de temperatura T (en ºF) fueron registradas cada 2 horas de la medianoche al mediodía en Atlanta, Georgia, el 18 de marzo de 1996. El tiempo t se midió en horas desde la medianoche. Trace una gráfica aproximada de T como función de t.
(b) Encuentre T(2), T(3) y T(5). (c) ¿Qué representan sus respuestas de la parte (b)? 79. Boleta de infracción por rebasar límite de velocidad En cierto estado, la máxima velocidad permitida en autopistas es de 65 mi/h, y la mínima es 40 mi/h. La multa F por violar estos límites es de $15 por cada milla arriba del máximo o abajo del mínimo. (a) Complete las expresiones de la siguiente función definida por partes, donde x es la velocidad a la cual una persona está viajando.
F1x2
•
si 0 x 40 si 40 x 65 si x 65
(b) Encuentre F(30), F(50) y F(75). (c) ¿Qué representan sus respuestas de la parte (b)? 80. Altura de césped El propietario de una casa poda el césped en la tarde de todos los miércoles. Trace una gráfica aproximada de la altura del césped como función del tiempo en el curso de un período de 4 semanas que empieza un domingo.
0
2
4
6
8
10
12
T 58
57
53
50
51
57
61
t
83. Crecimiento poblacional La población P (en miles) de San José, California, de 1988 a 2000 se muestra en la tabla siguiente. (Se dan estimaciones de mediados de año.) Trace una gráfica aproximada de P como función de t.
t
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
P
733
782
800
817
838
861
895
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
84. Ejemplos de funciones Al principio de esta sección estudiamos tres ejemplos de funciones ordinarias y frecuentes: la estatura es función de la edad, la temperatura es función de la fecha y el costo del porte es función del peso. Dé otros tres ejemplos de funciones de nuestra vida diaria. 85. Cuatro formas de representar una función En el cuadro de la página 148 representamos cuatro funciones diferentes verbal, algebraica, visual y numéricamente. Considere una función que pueda representarse en las cuatro formas y escriba las cuatro representaciones.
81. Cambio de temperatura Una persona coloca un pastel congelado en un horno y lo hornea durante una hora. A continuación, saca el pastel y lo deja enfriar antes de consumirlo. Trace una gráfica aproximada de la temperatura del pastel como función del tiempo.
2.2 G RÁFICAS DE FUNCIONES Graficar funciones por localización de puntos 䉴 Graficar funciones con calculadora graficadora 䉴 Graficar funciones definidas por tramos 䉴 La prueba de la recta vertical 䉴 Ecuaciones que definen funciones La forma más importante de visualizar una función es por medio de su gráfica. En esta sección investigamos con más detalle el concepto de graficar funciones.
W Graficar funciones por localización de puntos Para graficar una función f, localizamos los puntos (x, f (x)) en un plano de coordenadas. En otras palabras, localizamos los puntos (x, y) cuya coordenada x es una entrada y cuya coordenada y es la correspondiente salida de la función.
S E C C I Ó N 2.2
| Gráficas de funciones 153
LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados 51x, f 1x22 0 x A6
localizados en un plano de coordenadas. En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos 1x, y2 tales que y = f 1x2; esto es, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f 1x2. y
Óx, ÏÔ
f(1) 0
Ï
f(2) 1
2
x
x
La gráfica de una función f da un retrato del comportamiento o “historia de la vida” de la función. Podemos leer el valor de f (x) a partir de la gráfica como la altura de la gráfica arriba del punto x (vea Figura 1). Una función f de la forma f (x) ⫽ mx ⫹ b se denomina función lineal porque su gráfica es la gráfica de la ecuación y ⫽ mx ⫹ b, que representa una recta con pendiente m y punto de intersección b en y. Un caso especial de una función lineal se presenta cuando la pendiente es m ⫽ 0. La función f (x) ⫽ b, donde b es un número determinado, recibe el nombre de función constante porque todos sus valores son el mismo número, es decir, b. Su gráfica es la recta horizontal y ⫽ b. La Figura 2 muestra las gráficas de la función constante f (x) ⫽ 3 y la función lineal f (x) ⫽ 2x ⫹ 1.
F I G U R A 1 La altura de la gráfica sobre el punto x es el valor de f (x). y
y
4
y=3
y=2x+1
2
1
0
_2
2
4
0
x
6
La función constante Ï=3
x
1
La función lineal Ï=2x+1
FIGURA 2
E J E M P LO 1
Graficar funciones por localización de puntos (b) g 1x 2
Trace las gráficas de las siguientes funciones.
(a) f1x2
x2
x3
(c) h1x2
1x
S O LU C I Ó N Primero hacemos una tabla de valores. A continuación, localizamos los puntos dados por la tabla y los unimos con una curva suave sin irregularidades para obtener la gráfica. Las gráficas están trazadas en la Figura 3 en la página siguiente.
x
f1x2
x2
g1x2
x
x3
0
0
0
0
1 2 3
1 4 9
1 2
1 8
1 2
1 8
1 2
1 4
1 2
1 2
1 8
1 8
x 0 1 2 3 4 5
h1x2 0 1 12 13 2 15
1x
154
C A P Í T U LO 2
| Funciones y
y
(_2, 4)
y (2, 8)
(2, 4) 3
y=≈
(_1, 1) !_ 21 , 41 @
2
(1, 1) 0
! 21 , 41 @
3
x y=Ϸ
y=x£
x
(_1, _1)
(2, Ϸ 2) 1
(1, 1)
0
x
1
(4, 2)
(1, 1) x
1
(_2, _8)
FIGURA 3
(a) Ï=≈
(b) ˝=x£
(c) h(x)=Ϸ x
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 11, 15 Y 19
Q
W Graficar funciones con calculadora graficadora Una forma cómoda de graficar una función es usar una calculadora graficadora. Como la gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y ⫽ f (x), podemos usar los métodos de la Sección 1.9 para graficar funciones en una calculadora graficadora.
E J E M P LO 2
Graficar una función con calculadora graficadora
Use una calculadora graficadora para graficar la función f (x) ⫽ x3 2 8x2 en un rectángulo de vista apropiado. S O LU C I Ó N Para graficar la función f (x) ⫽ x3 2 8x2, debemos graficar la ecuación 3 2 y ⫽ x 2 8x . En la calculadora graficadora TI-83, el rectángulo de vista predeterminado da la gráfica de la Figura 4(a). Pero esta gráfica parece rebasar la parte superior y la inferior de la pantalla. Necesitamos expandir el eje vertical para obtener una mejor representación de la gráfica. El rectángulo de vista 324, 104 por 3 2100, 1004 da un retrato más completo de la gráfica, como se ve en la Figura 4(b). 10
_10
100
10
_10
F I G U R A 4 Gráfica de la función f (x) ⫽ x3 2 8x2
(a)
_4
10
_100 (b)
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 29
E J E M P LO 3
Una familia de funciones potencia
Q
(a) Grafique las funciones f (x) ⫽ xn para n ⫽ 2, 4 y 6 en el rectángulo de vista 322, 24 por 321, 34. (b) Grafique las funciones f (x) ⫽ xn para n ⫽ 1, 3 y 5 en el rectángulo de vista 322, 24 por 322, 24. (c) ¿Qué conclusiones se pueden sacar de estas gráficas?
S E C C I Ó N 2.2
| Gráficas de funciones 155
S O LU C I Ó N Para graficar la función f (x) ⫽ xn, graficamos la ecuación y ⫽ xn. Las gráficas para las partes (a) y (b) se muestran en la Figura 5. x§ x¢
3
x™
2
x∞ x£ x
2
⫺2 2
⫺2
F I G U R A 5 Una familia de funciones de potencia f (x) ⫽ xn
⫺1
⫺2
(a) Potencias pares de x
(b) Potencias impares de x
(c) Vemos que la forma general de la gráfica de f (x) ⫽ xn depende de si n es par o impar.
Si n es par, la gráfica de f (x) ⫽ xn es similar a la parábola y ⫽ x2. Si n es impar, la gráfica de f (x) ⫽ xn es similar a la de y ⫽ x3. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 69
Q
Observe de la Figura 5 que cuando n crece, la gráfica de y ⫽ xn se hace más plana cerca de 0 y más pronunciado cuando x > 1. Cuando 0 < x < 1, las potencias inferiores de x son las funciones “más grandes”. Pero cuando x > 1, las potencias superiores de x son las funciones dominantes.
W Graficar funciones definidas por tramos Una función definida por tramos está definida por diferentes fórmulas en diferentes partes de su dominio. Como es de esperarse, la gráfica de tal función está formada por tramos separados.
E J E M P LO 4
Graficar una función definida por tramos
Trace la gráfica de la función.
En varias calculadoras graficadoras, la gráfica de la Figura 6 puede ser producida al usar las funciones lógicas de la calculadora. Por ejemplo, en la TI-83 la siguiente ecuación da la gráfica requerida: Y1 1X 12 X2 1X 1 2 12X 1 2
f 1x 2
e
x2 2x
si x si x
1
1 1
S O LU C I Ó N Si x ≤ 1, entonces f (x) ⫽ x2, y la parte de la gráfica a la izquierda de x ⫽ 1 coincide con la gráfica de y ⫽ x2, que trazamos en la Figura 3. Si x > 1, entonces f (x) ⫽ 2x ⫹ 1, y la parte de la gráfica a la derecha de x ⫽ 1 coincide con la recta y ⫽ 2x ⫹ 1, que graficamos en la Figura 2. Esto hace posible que tracemos la gráfica de la Figura 6. El punto sólido en (1, 1) indica que este punto está incluido en la gráfica; el punto abierto en (1, 3) indica que este punto está excluido de la gráfica. y
5
2
⫺2
f(x) ⫽ ≈ if x ⱕ 1
f(x) ⫽ 2x ⫹ 1 if x ⬎ 1 1
⫺1 0 (Para evitar la recta vertical extraña entre las dos partes de la gráfica, ponga la calculadora en el modo Dot.)
1
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 35
x
FIGURA 6 f 1x 2
e
x2 2x
1
si x si x
1 1
Q
156
C A P Í T U LO 2
| Funciones Trace la gráfica de la función valor absoluto f (x) ⫽ 0 x 0 .
E J E M P LO 5
Gráfica de la función valor absoluto
Recuerde que
S O LU C I Ó N
0x0
e
x x
si x si x
0 0
Usando el mismo método que en el Ejemplo 4, observamos que la gráfica de f coincide con la recta y ⫽ x a la derecha del eje y y coincide con la recta y ⫽ 2x a la izquierda del eje y (vea Figura 7). y
F I G U R A 7 Gráfica de f (x) ⫽ 0 x 0
1 0
x
1
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 23
Q
La función entero mayor está definida por
ࠢxࠣ ⫽ máximo entero menor o igual a x Por ejemplo, “2‘ 1. “ 0.5‘
2, “2.3‘
2, “1.999‘
1, “0.002‘
0, “ 3.5‘
E J E M P LO 6
Gráfica de la función entero mayor
4, y
Trace la gráfica de f (x) ⫽ࠢxࠣ S O LU C I Ó N La tabla muestra los valores de f para algunos valores de x. Observe que f (x) es constante entre enteros consecutivos, de modo que la gráfica entre enteros es un segmento de recta horizontal, como se ve en la Figura 8. “ x‘
x 2 1 0 1 2
o x x x x x o
1 0 1 2 3
o 2 1 0 1 2 o
y
1 0
1
x
F I G U R A 8 La función entero mayor, y ⫽ࠢxࠣ
Q
La función entero mayor es un ejemplo de una función escalón. El siguiente ejemplo da un ejemplo real de una función escalón.
E J E M P LO 7
La función de costo para llamadas telefónicas de larga distancia
El costo de una llamada telefónica de larga distancia diurna de Toronto, Canadá, a Mumbai, India, es de 69 centavos por el primer minuto y 58 centavos por cada minuto adicional (o parte de un minuto). Trace la gráfica del costo C (en dólares) de la llamada telefónica como función del tiempo t (en minutos).
S E C C I Ó N 2.2 C
S O LU C I Ó N Sea C(t) el costo por t minutos. Como t > 0, el dominio de la función es (0, q). De la información dada tenemos
1 0
| Gráficas de funciones 157
1
t
F I G U R A 9 Costo de una llamada de larga distancia
C1t2
0.69
C1t2
0.69
0.58
C1t2
0.69
210.582
C1t2
0.69
310.582
si 0
t
1
si 1
t
2
1.85
si 2
t
3
2.43
si 3
t
4
1.27
y así sucesivamente. La gráfica se muestra en la Figura 9. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 81
Las funciones continuas están definidas en forma más precisa en la Sección 13.2, en la página 851.
Q
Una función se llama continua si su gráfica no tiene “rupturas” o “huecos”. Las funciones de los Ejemplos 1, 2, 3 y 5 son continuas; las funciones de los Ejemplos 4, 6 y 7 no son continuas.
W La prueba de la recta vertical La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿Cuáles curvas del plano xy son gráficas de funciones? Esto se contesta por medio de la prueba siguiente.
LA PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Una curva en el plano de coordenadas es la gráfica de una función si y sólo si ninguna recta vertical cruza la curva más de una vez. Podemos ver de la Figura 10 por qué la Prueba de la Recta Vertical es verdadera. Si cada recta vertical x ⫽ a cruza la curva sólo una vez en (a, b), entonces exactamente un valor funcional está definido por f (a) ⫽ b. Pero si una recta x ⫽ a cruza la curva dos veces, en (a, b) y en (a, c), entonces la curva no puede representar una función porque una función no puede asignar dos valores diferentes a a. y
y
x=a
x=a (a, c)
(a, b) 0
a
(a, b) 0
x
a
x
F I G U R A 1 0 Prueba de la Recta Vertical
Gráfica de una función
E J E M P LO 8
No es la gráfica de una función
Uso de la Prueba de la Recta Vertical
Usando la Prueba de la Recta Vertical, vemos que las curvas en las partes (b) y (c) de la Figura 11 representan funciones, mientras que las de las partes (a) y (d) no la representan. y
y
0
FIGURA 11
(a)
x
0
y
x
(b)
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 51
y
0
(c)
x
0
x
(d)
Q
158
C A P Í T U LO 2
| Funciones
W Ecuaciones que definen funciones Cualquier ecuación con las variables x y y define una relación entre estas variables. Por ejemplo, la ecuación y 2 x2 ⫽ 0 define una relación entre y y x. ¿Esta ecuación define a y como función de x? Para saberlo, despejamos y y obtenemos y ⫽ x2 Vemos que la ecuación define una regla, o función, que da un valor de y por cada valor de x. Podemos expresar esta regla en notación de funciones como f (x)⫽ x2 Pero no toda ecuación define a y como función de x, como lo muestra el siguiente ejemplo.
E J E M P LO 9
Ecuaciones que definen funciones
¿La ecuación define a y como función de x? (a) y x 2 2 (b) x 2 y 2 4 S O LU C I Ó N (a) Despejando y en términos de x tendremos
Stanford University News Service
y
D O N A L D K N U T H nació en Milwaukee en 1938 y es profesor emérito de Ciencias de la Computación en la Universidad de Stanford. Cuando Knuth era estudiante de secundaria, quedó fascinado con gráficas de funciones y laboriosamente dibujó cientos de ellas porque quería ver el comportamiento de una gran variedad de funciones. (Hoy en día, desde luego, es mucho más fácil usar computadoras y calculadoras graficadoras para hacer esto.) Cuando todavía era estudiante graduado en el Caltech, empezó a escribir una monumental serie de libros titulada The Art of Computer Programming. Knuth es famoso por su invento del ENTRA, que es un sistema de ajuste de tipos asistido por computadora. Este sistema fue utilizado en la preparación del manuscrito para este libro. Knuth ha recibido numerosos honores, entre ellos la elección como Profesor Adjunto de la Academia de Ciencias de Francia, y como Miembro de Número de la Royal Society. El presidente Carter le otorgó la Medalla Nacional de Ciencias en 1979.
x2
2
y
x2
2
Sume x2
La última ecuación es una regla que da un valor de y por cada valor de x, de modo que define a y como función de x. Podemos escribir la función como f (x) ⫽ x2 ⫹ 2. (b) Intentamos despejar y en términos de x:
x2
y2
4
2
4
y
y
x2
24
Reste x2
x2
Tome raíces cuadradas
La última ecuación da dos valores de y por un valor dado de x. Entonces, la ecuación no define a y como una función de x.
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 57 Y 61
Q
Las gráficas de las ecuaciones del Ejemplo 9 se ilustran en la Figura 12. La Prueba de la Recta Vertical muestra gráficamente que la ecuación del Ejemplo 9(a) define una función, pero la ecuación del Ejemplo 9(b) no la define. y
y-≈=2
y ≈+¥=4 1 0
1 0
1 (a)
FIGURA 12
x (b)
1
x
S E C C I Ó N 2.2
| Gráficas de funciones 159
La tabla siguiente muestra las gráficas de algunas funciones que con frecuencia se ven en este libro.
ALGUNAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS
Funciones lineales f 1x 2 mx b
y
y b
b x
x Ï=b
Funciones potencia xn f 1x 2
y
y
f 1x2
1x
y
y
x Ï=≈
Funciones raíz
Ï=mx+b
x
Ï=x3
y
x Ï=x4
y
x
Ï=x5
y
y
n
x
x £x Ï= œ∑
Ï=œ∑ x
Funciones recíprocas 1 f 1x 2 xn
y
x
¢x Ï= œ ∑
∞x Ï=œ∑
y
x Ï=
Función valor absoluto 0x0 f 1x 2
x
x
1 x
Ï=
y
1 ≈
Función entero mayor f1x2 “ x‘
y 1 1
x Ï=|x|
x
Ï=“x‘
2.2 EJERCICIOS CO N C E P TO S 1. Para graficar la función f, localizamos los puntos (x,_) en un plano de coordenadas. Para graficar f (x) ⫽ x3 ⫹ 2, localizamos los puntos (x,_). Por lo tanto, el punto (2,___) está sobre la gráfica de f.
La altura de la gráfica de f arriba del eje x cuando x ⫽ 2 es ____. 2. Si f (2) ⫽ 3, entonces el punto (2,___) está sobre la gráfica de f.
160
| Funciones
C A P Í T U LO 2
3. Si el punto (2, 3) está sobre la gráfica de f, entonces f (2) ⫽ ___. 4. Relacione la función con su gráfica.
(a) f1x2 (c) f 1x 2
(b) f1x2 (d) f 1x 2
x2 1x
I
II
y
y
1
1
0
III
x3 0x0
0
x
1
IV
y
1
x
y
1
0
x
1
1
x
5-28 Q Trace la gráfica de la función haciendo primero una tabla de valores.
2
7. f1x2
2x
6. f1x2
9. f1x2
10. f 1x 2
3,
3
x 2
11. f1x2
8. f1x2
4
x
,
3
0
x2
x
4
14. g1x2
1x
32 2
x3
8
16. g1x2
17. g1x2
19. f 1x 2
x2
2x
21. g 1x 2
1
20. f 1x 2
25. G1x 2
27. f 1x 2
0 2x 0
0x0
0 2x
x
20
1x
x2
15. g1x2
23. H1x 2
18. h1x2
22. g 1x 2
24. H1x 2
26. G1x 2
28. f 1x 2
22 3
4x 2
1x
x4
0x
10
1 x 0x0
x 0x0
4
x
29-32 Q Grafique la función en cada uno de los rectángulos de vista dados, y seleccione el que produzca la gráfica más apropiada de la función.
29. f1x2 (a) 3 (b) 3 (c) 3 (d) 3
Q
33. f 1x 2 34. f 1x 2
8x x 2 5, 5 4 por 3 5, 5 4 10, 104 por 3 10, 104 2, 10 4 por 3 5, 20 4 10, 104 por 3 100, 100
36. f 1x 2
x 2 x 20 2, 2 4 por 3 5, 5 4 10, 10 4 por 3 10, 10 4 7, 7 4 por 3 25, 20 4 10, 104 por 3 100, 1004
x 3 5x 2, 24 por 3 3, 34 por 3 3, 34 por 3 10, 104 por
Trace la gráfica de la función definida por tramos.
e
e e
e
0 1
si x si x
1 x
1
si x si x
1 1
1
si x si x
2 2
3 x 1 5
e
39. f 1x 2
•1
40. f 1x 2
41. f 1x 2
42. f 1x 2
e
1 1
1
1 x
x2
e
x2 1
4 • x2
si 0 x 0 si 0 x 0
•9 x
1 1 si x si x
si 0 x 0 si 0 x 0
x
1 1
si x 1 si 1 x si x 1
e
45. f 1x 2
si x si x
1
si x si x
0 3
0 0
si x 1 si 1 x si x 1
2 x2
e
46. f 1x2
1
2 2
si x si x
1
2x 3 3 x
•x 1 e
2 2
si x si x
x
x x
43. f 1x 2
44. f 1x 2
4 2, 24 10, 104 10, 54 3 10, 104
x2 2 1, 1 4 por 3 1, 1 4 2, 2 4 por 3 2, 2 4 5, 5 4 por 3 5, 5 4 10, 10 4 por 3 10, 10 4 1 4 32 x
37. f 1x 2 38. f 1x 2
3x
12. f1x2 x
1x
6
5
16
1x
3
3
x
13. h1x2
2
32. k 1x 2 (a) 3 (b) 3 (c) 3 (d) 3
35. f 1x 2
HABILIDADES 5. f1x2
31. h1x 2 (a) 3 (b) 3 (c) 3 (d) 3
33-46
1
0
30. g1x2 (a) 3 (b) 3 (c) 3 (d) 3
6
x x2 3
2 2 2 2 1 1
si x 2 si 2 x si x 2
si x si 0 si x
0 x 3
2
3
S E C C I Ó N 2.2 47-48 Q Use una calculadora graficadora para trazar la gráfica de la función definida por tramos. (Vea la nota al margen, pág. 155.)
e
47. f 1x 2
e
48. f 1x 2
x x2 2x 1x
2
si x si x
x2 123
1 1
si x si x
| Gráficas de funciones 161
53-56 Q Use la Prueba de la Recta Vertical para determinar si la curva es la gráfica de una función de x. Si lo es, exprese el dominio y el rango de la función. y y 53. 54.
1 1
2
49-50 Q Nos dan la gráfica de una función definida por tramos. Encuentre una fórmula para la función en la forma indicada.
2
0
x
2
0
3
x
y
49.
2 0
2
x
f 1x2
•
si x 2 si 2 x si x 2
2
y
55.
y
56.
2
1 0
3
x
0
2
x
y
50.
2 0
1
x
•
f 1x 2
si x 1 si 1 x si x 2
2
57-68 Q Determine si la ecuación define y como función de x. (Vea Ejemplo 9.)
57. x 2
2y
59. x
y
2
y
2
61. x 51-52 Q Use la Prueba de la Recta Vertical para determinar si la curva es la gráfica de una función de x. 51. (a)
y
0
(c)
(b)
y
0
(d)
x
x
y
0
x
x
y
0
x
y
0
(c)
(d)
x
y
0
63. x y
67. x
y
0
x
y
0
52. (a)
(b)
65. 2 0 x 0 2
x
9
y y
7y
21
60. x
2
(y
1)2
62. x
2
y
64. 1x
1
y 3
58. 3x
4
0
68. x
9
0y0 y
66. 2x y
4
12 0
4
69-74 Q Nos dan una familia de funciones. En las partes (a) y (b) grafique en el rectángulo de vista indicado todos los miembros de la familia dados. En la parte (c) exprese las conclusiones que pueda hacer a partir de sus gráficas.
69. f 1x2 x 2 c (a) c 0, 2, 4, 6; 3 5, 5 4 por 3 10, 104 (b) c 0, 2, 4, 6; 3 5, 5 4 por 3 10, 10 4 (c) ¿En qué forma afecta la gráfica el valor de c?
1x c 2 2 70. f 1x 2 (a) c 0, 1, 2, 3; 3 5, 5 4 por 3 10, 104 (b) c 0, 1, 2, 3; 3 5, 5] por 3 10, 10] (c) ¿En qué forma afecta la gráfica el valor de c?
1x c 2 3 71. f 1x 2 (a) c 0, 2, 4, 6; 3 10, 10] por 3 10, 10] (b) c 0, 2, 4, 6; 3 10, 10] por 3 10, 10] (c) ¿En qué forma afecta la gráfica el valor de c?
72. f 1x2 cx 2 (a) c 1, 21 , 2, 4; [ 5, 5] por [ 10, 10] (b) c 1, 1, 21 , 2; [ 5, 5] por [ 10, 10] (c) ¿En qué forma afecta la gráfica el valor de c?
73. f 1x2 x c 1 1 1 (a) c [ 1, 4] por [ 1, 3] 2, 4, 6; (b) c 1, 13, 15; [ 3, 3] por [ 2, 2] (c) ¿En qué forma afecta la gráfica el valor de c?
162
C A P Í T U LO 2
| Funciones
74. f 1x2
1 xn (a) n 1, 3; 3 3, 3 4 por 3 3, 34 (b) n 2, 4; 3 3, 34 por 3 3, 34 (c) ¿En qué forma afecta la gráfica el valor de n?
75-78
Q
Encuentre una función cuya gráfica es la curva dada.
75. El segmento de recta que une los puntos (22, 1) y (4, 26) 76. El segmento de recta que une los puntos (23, 22) y (6, 3) 77. La mitad superior de la circunferencia x2 ⫹ y2 ⫽ 9 78. La mitad inferior de la circunferencia x2 ⫹ y2 ⫽ 9
82. Función de un taxi Una compañía de taxis cobra $2.00 por la primera milla (o parte de milla) y 20 centavos por cada décimo sucesivo de milla (o parte). Exprese el costo C (en dólares) de un viaje como función definida por partes de la distancia x recorrida (en millas) para 0 < x < 2, y trace la gráfica de esta función. 83. Tarifas postales La tarifa nacional de portes por cartas de primera clase, de 3.5 onzas o menos, es de 44 centavos por la primera onza (o menos), más 17 centavos por cada onza adicional (o parte de una onza). Exprese el porte P como una función definida por partes del peso x de una carta, con 0 < x ≤ 3.5, y trace la gráfica de esta función.
DESCUBRIMIENTO
A P L I C AC I O N E S 79. Globo de meteorología Cuando se infla un globo de meteorología, el grueso T de la capa de caucho está relacionada con el globo mediante la ecuación
T1r 2
0.5 r2
donde T y r se miden en centímetros. Grafique la función T para valores de r entre 10 y 100. 80. Potencia generada por una turbina de viento La potencia producida por una turbina de viento depende de la velocidad del viento. Si un molino de viento tiene aspas de 3 metros de largo, entonces la potencia P producida por la turbina está modelada por
P(v) ⫽ 14.1v3 donde P se mide en watts (W) y v se mide en metros por segundo (m/s). Grafique la función P para velocidades de viento entre 1 m/s y 10 m/s.
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
84. ¿Cuándo una gráfica representa a una función? Para todo entero n, la gráfica de la ecuación y ⫽ xn es la gráfica de una función, es decir, f (x) ⫽ xn. Explique por qué la gráfica de x ⫽ y2 no es la gráfica de una función de x. ¿La gráfica de x ⫽ y3 es una gráfica de la función de x? Si es así, ¿de qué función de x es la gráfica? Determine para qué enteros n la gráfica de x ⫽ yn es la gráfica de una función de x. 85. Funciones escalón En el Ejemplo 7 y los Ejercicios 82 y 83 nos dan funciones cuyas gráficas están formadas por segmentos de recta horizontal. Es frecuente que tales funciones reciban el nombre de funciones escalón, porque sus gráficas se ven como escaleras. Dé algunos otros ejemplos de funciones escalón que se ven en la vida diaria. 86. Funciones escalón alargadas Trace gráficas de las funciones f (x) ⫽ࠢxࠣ, g(x) ⫽ࠢ2xࠣy h(x)⫽ࠢ3xࠣen gráficas separadas. ¿Cómo están relacionadas? Si n es un entero positivo, ¿qué aspecto tiene la gráfica de k(x) ⫽ࠢnxࠣ ? 87. Gráfica del valor absoluto de una función
f 1x 2
(a) Trace las gráficas de las funciones
y
g1x 2
0x
x2
6
x 2
x
60
¿Cómo están relacionadas las gráficas de f y g?
(b) Trace las gráficas de las funciones f (x) ⫽ x4 2 6x2 y g(x) ⫽ 0 x4 2 6x2 0. ¿Cómo están relacionadas las gráficas de f y g? (c) En general, si g(x) ⫽ 0 f (x) 0 , ¿cómo están relacionadas las gráficas de f y g? Trace gráficas para ilustrar su respuesta.
81. Tarifas de una empresa generadora de energía eléctrica Westside Energy cobra a sus consumidores de energía eléctrica una tarifa base de $6.00 por mes, más $0.10 por kilowatt-hora (kWh) por los primeros 300 kWh consumidos y $0.06 por kWh por todo lo consumido de más de 300 kWh. Suponga que un cliente usa x kWh de electricidad en un mes. (a) Exprese el costo mensual E como una función de x definida por tramos. (b) Grafique la función E para 0 ≤ x ≤ 600.
P
PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO
Relaciones y funciones
En este proyecto exploramos el concepto de función al compararlo con el concepto de una relación. Se puede hallar el proyecto en el sitio web acompañante de este libro: www.stewartmath.com
S E C C I Ó N 2.3
| Información a partir de la gráfica de una función 163
2.3 I NFORMACIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Valores de una función: dominio y rango 䉴 Funciones crecientes y decrecientes 䉴 Valores máximo y mínimo locales de una función Numerosas propiedades de una función se obtienen más fácilmente de una gráfica que de la regla que describe la función. Veremos en esta sección cómo una gráfica nos dice si los valores de una función son crecientes o decrecientes, así como también dónde están los valores máximo y mínimo de una función.
W Valores de una función: dominio y rango Una gráfica completa de una función contiene toda la información acerca de una función, porque la gráfica nos dice cuáles valores de entrada corresponden a cuáles valores de salida. Para analizar la gráfica de una función, debemos recordar que la altura de la gráfica es el valor de la función. Entonces, podemos leer los valores de una función a partir de su gráfica.
E J E M P LO 1
La función T graficada en la Figura 1 da la temperatura entre el mediodía y las 6:00 p.m. en cierta estación meteorológica. (a) Encuentre T(1), T(3) y T(5). (b) ¿Cuál es mayor, T(2) o T(4)? (c) Encuentre el (los) valor(es) de x para los que T(x) ⫽ 25. (d) Encuentre el (los) valor(es) de x para los que T(x) ≥ 25.
T (*F) 40 30 20 10 0
Hallar los valores de una función a partir de una gráfica
1
2
3
4
5
6
x
F I G U R A 1 Función temperatura
S O LU C I Ó N (a) T(1) es la temperatura a la 1:00 p.m. Está representada por la altura de la gráfica arriba del eje x en x ⫽ 1. Entonces, T(1) ⫽ 25. Análogamente, T(3) ⫽ 30 y T(5) ⫽ 20. (b) Como la gráfica es más alta en x ⫽ 2 que en x ⫽ 4, se deduce que T(2) es mayor que T(4). (c) La altura de la gráfica es 25 cuando x es 1 y cuando x es 4. En otras palabras, la temperatura es 25 a la 1:00 p.m. y a las 4:00 p.m. (d) La gráfica es más alta de 25 para x entre 1 y 4. En otras palabras, la temperatura era 25 o mayor entre la 1:00 p.m. y las 4:00 p.m.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 5
Q
La gráfica de una función nos ayuda a representar el dominio y rango de la función en el eje x y eje y, como se ve en la figura 2. y
Rango
F I G U R A 2 Dominio y rango de f
0
y=Ï
Dominio
x
164
C A P Í T U LO 2
| Funciones
E J E M P LO 2
Hallar el dominio y rango a partir de una gráfica
(a) Use calculadora graficadora para trazar la gráfica de f 1x2 (b) Encuentre el dominio y rango de f.
24
x 2.
S O LU C I Ó N (a) La gráfica se muestra en la Figura 3.
Rango=[0, 2]
F I G U R A 3 Gráfica de f 1x 2
24
0
_2 x
2
2
Dominio=[_2, 2]
(b) De la gráfica de la Figura 3 vemos que el dominio es 322, 24 y el rango es 30, 24 .
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 15
Q
W Funciones crecientes y decrecientes Es muy útil saber en dónde sube la gráfica y en dónde baja. La gráfica que se ve en la Figura 4 sube, baja y luego sube de nuevo a medida que avanzamos de izquierda a derecha: sube de A a B, baja de B a C y sube otra vez de C a D. Se dice que la función f es creciente cuando su gráfica sube y decreciente cuando baja. y
f es creciente
B
D
f es decreciente C
F I G U R A 4 f es creciente en 3a, b4 y 3c, d4. f es decreciente en 3b, c4.
0
f es creciente
y=Ï
A
b
a
c
d
x
Tenemos la siguiente definición. f es creciente en un intervalo I si f1x 1 2
f1x 2 2 siempre que x 1
DEFINICIÓN DE FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
f es decreciente en un intervalo I si f 1x 1 2 y
f1x 2 2 siempre que x 1
0
x⁄
x 2 en I.
y
f
f f(x⁄)
x 2 en I.
f(x2) x2
f es creciente
f(x⁄) x
0
x⁄
f(x2) x2
f es decreciente
x
S E C C I Ó N 2.3
E J E M P LO 3
| Información a partir de la gráfica de una función 165
Intervalos en los que una función crece y decrece
La gráfica de la Figura 5 da el peso W de una persona a la edad x. Determine los intervalos en los que la función W es creciente y en los que es decreciente. W (lb) 200 150 100 50 0
10 20 30 40 50 60 70 80
x (años)
F I G U R A 5 El peso como función de la edad
S O LU C I Ó N La función W es creciente en 30, 254 y 335, 404. Es decreciente en 340, 504. La función W es constante (ni creciente ni decreciente) en 325, 304 y 350, 804. Esto significa que la persona aumentó de peso hasta la edad de 25, luego aumentó de peso otra vez entre las edades de 35 y 40. Bajó de peso entre las edades de 40 y 50.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 45
E J E M P LO 4
Q
Hallar intervalos donde una función crece y decrece
(a) Trace la gráfica de la función f (x) ⫽ 12x2 ⫹ 4x3 2 3x4. (b) Encuentre el dominio y rango de f. (c) Encuentre los intervalos en los que f crece y decrece. S O LU C I Ó N (a) Usamos una calculadora graficadora para trazar la gráfica de la Figura 6. (b) El dominio de f es porque f está definida para todos los números reales. Usando la función TRACE de la calculadora, encontramos que el valor más alto de f (2) ⫽ 32. Por lo tanto, el rango de f es (2q, 324. (c) De la gráfica vemos que f es creciente en los intervalos (2q, 214 y 30, 24 y es creciente en 321, 04 y 32, q). 40
3.5
⫺2.5
⫺40
F I G U R A 6 Gráfica de f (x) ⫽ 12x2 ⫹ 4x3 2 3x4
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 23
Q
166
C A P Í T U LO 2
| Funciones
E J E M P LO 5
Hallar intervalos donde una función crece y decrece
(a) Trace la gráfica de la función f (x) ⫽ x2/3. (b) Encuentre el dominio y rango de la función. (c) Encuentre los intervalos en los que f crece y decrece. S O LU C I Ó N (a) Usamos una calculadora graficadoras para trazar la gráfica en la Figura 7. (b) De la gráfica observamos que el dominio de f es y el rango es 30, q). (c) De la gráfica vemos que f es decreciente en (2q, 04 y creciente en 30, q). 10
20
⫺20
F I G U R A 7 Gráfica de f(x) ⫽ x2/3
⫺1
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 29
Q
W Valores máximo y mínimo locales de una función Hallar los valores máximo y mínimo de una función es importante en numerosas aplicaciones. Por ejemplo, si una función representa ingreso o utilidad, entonces estamos interesados en su valor máximo. Para una función que representa costo, desearíamos hallar su valor mínimo. (Vea Enfoque sobre el modelado: Modelado con funciones en las páginas 213-222 para muchos otros ejemplos.) Fácilmente podemos hallar estos valores a partir de la gráfica de una función. Primero definimos qué queremos decir con un máximo o mínimo locales. 1. El valor de una función f 1a2 es un valor máximo local de f si
MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN f1x 2
cuando x es cercana a a
f1x 2
cuando x es cercana a a
(Esto significa que f1a 2 f1x 2 para toda x en algún intervalo abierto que contenga a a.) En este caso decimos que f tiene un máximo local en x a. 2. El valor de la función f 1a2 es un mínimo local de f si f1a2
(Esto significa que f 1a 2 f1x 2 para toda x en algún intervalo abierto que contenga a a.) En este caso decimos que f tiene un mínimo local en x a. f1a2
y
Máximo local Máximo local f
0 Mínimo local
Mínimo local
x
S E C C I Ó N 2.3
| Información a partir de la gráfica de una función 167
Podemos hallar los valores máximo y mínimo locales de una función usando una calculadora graficadora. Si hay un rectángulo de vista tal que el punto (a, f (a)) es el punto más alto en la gráfica de f dentro del rectángulo de vista (no en el borde), entonces el número f (a) es un valor máximo local de f (vea Figura 8). Observe que f (a) ≥ f (x) para todos los números x que sean cercanos a a. y
Valor máximo local f(a)
FIGURA 8
0
a
b
Valor mínimo local f(b)
x
Análogamente, si hay un rectángulo de vista tal que el punto (b, f (b)) es el punto más bajo en la gráfica de f dentro del rectángulo de vista, entonces el número f (b) es un valor mínimo local de f. En este caso, f (b) ≤ f (x) para todos los números x que sean cercanos a b.
E J E M P LO 6
Hallar máximos y mínimos locales para una gráfica
Encuentre los valores máximo y mínimo local de la función f (x) ⫽ x3 2 8x ⫹ 1, correctos a tres lugares decimales. 20
_5
5
_20
F I G U R A 9 Gráfica de f(x) ⫽ x3 2 8x ⫹ 1
S O LU C I Ó N La gráfica de f se muestra en la Figura 9. Parece haber un máximo local entre x ⫽ 22 y x ⫽ 21, y un mínimo local entre x ⫽ 1 y x ⫽ 2. Primero busquemos las coordenadas del punto máximo local. Hacemos acercamiento (zoom) para ampliar el área cerca de este punto, como se ve en la Figura 10. Con el uso de la función TRACE de la calculadora graficadora, movemos el cursor a lo largo de la curva y observamos cómo cambian las coordenadas y. El valor máximo local de y es 9.709 y este valor ocurre cuando x es 21.633 correcto a tres lugares decimales. Localizamos el valor mínimo en una forma similar. Al hacer acercamiento en el rectángulo de vista como se ve en la Figura 11, encontramos que el valor mínimo local es aproximadamente 27.709, y este valor se presenta cuando x ≈ 1.633. _7.7 1.6
_7.71
FIGURA 10
9.71
1.7
_1.7
_1.6 9.7
FIGURA 11
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 35
Q
Los comandos maximum y minimum en una calculadora TI-83 o TI-84 son otro método para hallar valores extremos de funciones. Usamos este método en el siguiente ejemplo.
168
C A P Í T U LO 2
| Funciones
E J E M P LO 7
Un modelo para el índice de precios de alimentos
Un modelo para el índice de precios de alimentos (el precio de una “canasta” representativa de alimentos) entre 1990 y 2000 está dado por la función
I1t 2
0.0113t 3
0.0681t 2
0.198t
99.1
donde t se mide en años desde la mitad del año 1990, de modo que 0 ≤ t ≤ 10, e I(t) está a escala para que I(3) ⫽ 100. Estime el tiempo cuando el alimento fue más costoso durante el período 1990-2000. S O LU C I Ó N La gráfica de I como función de t se muestra en la Figura 12(a). Parece haber un máximo entre t ⫽ 4 y t ⫽ 7. Usando el comando maximum, como se ve en la Figura 12(b), observamos que el valor máximo de I es alrededor de 100.38 y se presenta cuando t ≈ 5.15, que corresponde a agosto de 1995. 102
102
0 96
10
0 96
(a)
FIGURA 12
Maximum X=5.1514939
Y=100.38241
10
(b)
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 53
Q
2.3 EJERCICIOS 3. (a) Si f es creciente en un intervalo, entonces los valores y de
CO N C E P TO S 1-4 Q Estos ejercicios se refieren a la gráfica de la función f que se muestra a continuación. y
_____ y ______. (b) Si f es decreciente en un intervalo, entonces los valores y de los puntos sobre la gráfica _____cuando aumentan los valores x. De la gráfica de f vemos que f es decreciente en los intervalos _____ y _____.
f 3
0
los puntos en la gráfica ____ cuando aumentan los valores x. De la gráfica de f vemos que f es creciente en los intervalos
4. (a) El valor de una función f (a) es un valor máximo local de f
3
x
1. Para hallar el valor de una función f (x) a partir de la gráfica de f, encontramos la altura de la gráfica arriba del eje x en x ⫽ ______. De la gráfica de f vemos que f (3) ⫽ ______. 2. El dominio de la función f es todos los valores de ___ de los puntos sobre la gráfica, y el rango es todos los valores ____ correspondientes. De la gráfica de f vemos que el dominio de f es el intervalo _____ y el rango de f es el intervalo _____.
si f (a) es el ______valor de f en algún intervalo que contenga a a. De la gráfica de f vemos que un valor máximo local de f es ____ y que este valor se presenta cuando x es _____. (b) El valor de una función f (a) es un valor mínimo local de f si f (a) es el ______valor de f en algún intervalo que contenga a a. De la gráfica de f vemos que un valor mínimo local de f es ____ y que este valor se presenta cuando x es _____.
| Información a partir de la gráfica de una función 169
S E C C I Ó N 2.3
HABILIDADES 5. Se da la gráfica de una función h. (a) Encuentre h(22), h(0), h(2) y h(3). (b) Encuentre el dominio y rango de h. (c) Encuentre los valores de x para los cuales h(x) ⫽ 3. (d) Encuentre los valores de x para los cuales h(x) ≤ 3.
11. f 1x 2
13. f 1x 2
17. f 1x 2
h
0
_3
9. f 1x 2
15. f 1x 2
y 3
9-18 Q Se da una función f. (a) Use calculadora graficadora para trazar la gráfica de f. (b) Encuentre el dominio y rango de f a partir de la gráfica.
4, 1
x
12. f 1x 2
3
14. f 1x 2
x2
4
216
16. f 1x2
x2
1x
2(x
1)
x 2,
2
x2
18. f 1x2
1
x
5
4
225
2x
x2 2
19-22 Q Se da la gráfica de una función. Determine los intervalos en los que la función es (a) creciente y (b) decreciente.
x
3
10. f 1x 2
1
x
19. 6. Se da la gráfica de una función h. (a) Encuentre g(22), g(0) y g(7). (b) Encuentre el dominio y rango de g. (c) Encuentre los valores de x para los cuales g(x) ⫽ 4. (d) Encuentre los valores de x para los cuales g(x) > 4.
y
y
20.
1
1 0
0
x
1
x
1
y y
21.
y
22.
g
4
1 0 4
0
23. f 1x 2
3
0
3
x
y
_2
25. f 1x 2
x2
x3
2x 2
x
29. f 1x 2
x4
4x 3
2x 2
27. f 1x 2
28. f 1x2
24. f 1x 2
5x
2x 3
3x 2
26. f 1x2
12x 2 4x
x 2/5
x3
4x
x4
16x 2
3
30. f 1x 2
4
x 2/3
31-34 Q Se da la gráfica de una función. (a) Encuentre todos los valores máximo y mínimo locales de la función y el valor de x en el que ocurre cada uno. (b) Encuentre los intervalos en los que la función es creciente y en los que la función es decreciente.
8. Se dan las gráficas de las funciones f y g. (a) ¿Cuál es mayor, f (0) o g(0)? (b) ¿Cuál es mayor, f (23) o g(23)? (c) ¿Para cuáles valores de x es f (x) ⫽ g(x)?
f
x
1
23-30 Q Se da una función f. (a) Use calculadora graficadora para trazar la gráfica de f. (b) Exprese aproximadamente los intervalos en los que f es creciente y en los que f es decreciente.
y
_3
x
1
x
7. Se da la gráfica de una función g. (a) Encuentre g(24), g(22), g(0), g(2) y g(4). (b) Encuentre el dominio y rango de g.
g
1
31.
y
32.
y
g 2 0 _2
1
1 2
x
0
1
x
0
1
x
170
C A P Í T U LO 2
33.
y
0
| Funciones 34.
1 1
y
a (cm/s2) 100
1
50
0
x
1
x
5
10 15 20 25 30 t (s)
−50 Fuente: California Department of Mines and Geology
35-42 Q Se da una función. (a) Encuentre todos los valores máximo y mínimo locales de la función y el valor de x en el que ocurre cada uno. Exprese cada respuesta correcta a dos lugares decimales. (b) Encuentre los intervalos en los que la función es creciente y en los que la función es decreciente. Exprese cada respuesta correcta a dos lugares decimales.
35. f 1x 2 37. g1x 2
39. U1x 2
41. V1x 2
x
3
36. f 1x 2
38. g1x 2
x
x4
2x 3
x 16
40. U1x 2
11x 2
x
x5
x3
x
x
8x 3
x 2x
42. V1x 2
x2
1
3
x2
2
1 x
x
3
20x
45. Función de peso La gráfica da el peso W de una persona a la edad x. (a) Determine los intervalos en los que la función W es creciente y aquellos en los que es decreciente. (b) ¿Qué piensa usted que ocurrió cuando esta persona tenía 30 años de edad?
W (lb) 200 150 100
x2
50 1
0
A P L I C AC I O N E S 43. Consumo de energía eléctrica La figura muestra el consumo de energía eléctrica en San Francisco para el 19 de septiembre de 1996 (P se mide en megawatts; t se mide en horas empezando a la medianoche). (a) ¿Cuál fue el consumo de energía eléctrica a las 6:00 a.m.? ¿A las 6:00 p.m.? (b) ¿Cuándo fue mínimo el consumo de energía eléctrica? (c) ¿Cuándo fue máximo el consumo de energía eléctrica?
P (MW)
10
20
30
40
50
70 x (años)
60
46. Función de distancia La gráfica da la distancia de un representante de ventas desde su casa como función del tiempo en cierto día. (a) Determine los intervalos (tiempo) en los que su distancia desde casa fue creciente y aquellos en los que fue decreciente. (b) Describa verbalmente lo que indica la gráfica acerca de sus viajes en este día.
Distancia desde casa (millas)
800 600
8 a.m.
10
MEDIODÍA
400 200 0
2
4
6 p.m.
Tiempo (horas)
3
6
9
12
15
18
21
t (h)
Fuente: Pacific Gas & Electric
44. Terremoto La gráfica muestra la aceleración vertical del suelo por el terremoto Northridge de 1994 en Los Ángeles, medido por un sismógrafo. (Aquí t representa el tiempo en segundos.) (a) ¿En qué tiempo t el terremoto hizo los primeros movimientos observables de la tierra? (b) ¿En qué tiempo t pareció terminar el terremoto? (c) ¿En qué tiempo t alcanzó su intensidad máxima el terremoto?
47. Niveles cambiantes de agua La gráfica muestra la profundidad del agua W en un depósito en un período de un año, como función del número de días x desde el principio del año. (a) Determine los intervalos en los que la función W es creciente y en los que es decreciente. (b) ¿En qué valor de x alcanza W un máximo local? ¿Un mínimo local?
W (pies) 100 75 50 25 0
100
200
300
x (días)
| Información a partir de la gráfica de una función 171
S E C C I Ó N 2.3 48. Aumento y disminución de población La gráfica siguiente muestra la población P en una pequeña ciudad industrial de 1950 a 2000. La variable x representa los años desde 1950. (a) Determine los intervalos en los que la función P es creciente y aquellos en los que es decreciente. (b) ¿Cuál fue la población máxima, y en qué año se alcanzó?
52. Peces migratorios Un pez nada a una velocidad v con respecto al agua, contra una corriente de 5 mi/h. Usando un modelo matemático de gasto de energía, puede demostrarse que la energía total E requerida para nadar una distancia de 10 millas está dada por 10 E1√2 2.73√ 3 √ 5
P (miles) 50 40 30 20 10 0
medida en watts (W) y T es la temperatura absoluta medida en kelvin (K). (a) Grafique la función E para temperaturas T entre 100 K y 300 K. (b) Use la gráfica para describir el cambio en energía E cuando la temperatura T aumenta.
10
20
30
40
50 x (años)
49. Carrera de obstáculos Tres atletas compiten en una carrera de 100 metros con vallas. La gráfica describe la distancia corrida como función del tiempo para cada uno de los atletas. Describa verbalmente lo que indica la gráfica acerca de la carrera. ¿Quién ganó la carrera? ¿Cada uno de los atletas terminó la carrera? ¿Qué piensa usted que le ocurrió al corredor B?
Los biólogos piensan que los peces migratorios tratan de reducir al mínimo la energía necesaria para nadar una distancia fija. Encuentre el valor de v que minimiza la energía necesaria. NOTA: Este resultado ha sido verificado; los peces migratorios nadan contra una corriente a una velocidad 50% mayor que la velocidad de la corriente.
y (m) A
100
0
B
C
20
t (s)
50. Gravedad cerca de la Luna Podemos usar la Ley de Newton de Gravitación para medir la atracción gravitacional entre la Luna y un estudiante de álgebra en una nave espacial situada a una distancia x sobre la superficie de la Luna:
F1x2
350 x2
Aquí F se mide en newtons (N), y x se mide en millones de metros. (a) Grafique la función F para valores de x entre 0 y 10. (b) Use la gráfica para describir el comportamiento de la atracción gravitacional F cuando aumenta la distancia x.
53. Ingeniería de carreteras Una ingeniera de carreteras desea estimar el número máximo de autos que con seguridad puedan viajar por una carretera en particular a una velocidad determinada. Ella supone que cada auto mide 17 pies de largo, viaja a una rapidez s, y sigue al auto de adelante a una “distancia segura de seguimiento” para esa rapidez. Ella encuentra que el número N de autos que pueden pasar por cierto punto por minuto está modelado por la función
N1s 2
88s
17
17 a
s 2 b 20
¿A qué rapidez puede viajar con seguridad en esa carretera el máximo número de autos? 54. Volumen de agua Entre 0ºC y 30ºC, el volumen V (en centímetros cúbicos) de 1 kg de agua a una temperatura T está dado por la fórmula
V
999.87
0.06426T
0.0085043T 2
0.0000679T 3
Encuentre la temperatura a la cual el volumen de 1 kg de agua es mínimo.
51. Radios de estrellas Los astrónomos infieren los radios de estrellas con el uso de la Ley de Stefan Boltzmann:
E(T) ⫽ (5.67 ⫻ 1028)T 4 donde E es la energía radiada por unidad de área superficial
55. Toser Cuando un cuerpo extraño alojado en la tráquea (garganta) obliga a una persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba, causando un aumento en presión en los pulmones. Al mismo tiempo, la tráquea se contrae, causando que el aire expulsado se mueva más rápido y aumente la presión sobre el cuerpo extraño. De acuerdo con un modelo matemático de toser, la velocidad v de la corriente de aire que pasa por la tráquea de una persona de tamaño promedio está relacionada con el radio r de la tráquea (en centímetros) por la función
√ 1r 2
3.211
r2 r 2
1 2
r
1
Determine el valor de r para el cual √ es máxima.
172
C A P Í T U LO 2
| Funciones
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
56. Funciones que son siempre crecientes o decrecientes Trace gráficas aproximadas de funciones que están definidas para todos los números reales, y que exhiben el comportamiento indicado (o explique por qué el comportamiento es imposible). (a) f es siempre creciente, y f (x) > 0 para toda x. (b) f es siempre decreciente, y f (x) > 0 para toda x. (c) f es siempre creciente, y f (x) < 0 para toda x. (d) f es siempre decreciente, y f (x) < 0 para toda x. 57. Máximos y mínimos En el Ejemplo 7 vimos una situación real en la que el valor máximo de una función es importante. Mencione otras varias situaciones diarias en las que es importante un valor máximo o mínimo.
58. Reducir al mínimo una distancia Cuando buscamos un valor mínimo o máximo de una función, a veces es más fácil trabajar con una función más sencilla. (a) Suponga que
g1x 2
2f 1x 2
donde f (x) ≥ 0 para toda x. Explique por qué los mínimos y máximos locales de f y g se presentan a los mismos valores de x. (b) Sea g(x) la distancia entre el punto (3, 0) y el punto (x, x2) en la gráfica de la parábola y ⫽ x2. Exprese g como función de x. (c) Encuentre el valor mínimo de la función g que encontró en la parte (b). Use el principio descrito en la parte (a) para simplificar su trabajo.
2.4 R APIDEZ DE CAMBIO PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN Rapidez de cambio promedio 䉴 Las funciones lineales tienen rapidez de cambio constante Las funciones se usan con frecuencia para modelar cantidades que cambian. En esta sección aprendemos a hallar la rapidez a la que cambian los valores de una función cuando cambia la variable de entrada.
W Rapidez de cambio promedio Todos estamos familiarizados con el concepto de rapidez: si una persona viaja en auto una distancia de 120 millas en 2 horas, entonces el promedio de rapidez, o rapidez de viaje, es 120 mi 60 mi/h. Ahora supongamos que usted hace un viaje en auto y registra la distancia 2h recorrida a cada pocos minutos. La distancia s que ha recorrido es una función del tiempo t: s(t) ⫽ distancia total recorrida en el tiempo t Graficamos la función s como se ve en la Figura 1. La gráfica muestra que la persona ha recorrido un total de 50 millas después de 1 hora, 75 millas después de 2 horas, 140 millas después de 3 horas, y así sucesivamente. Para hallar su promedio de rapidez entre cualesquier dos puntos en el viaje, dividimos la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. s (mi) 200 150 mi
100 3h
FIGURA 1
Promedio de rapidez
0
1
2
3
4
t (h)
Calculemos su promedio de rapidez entre la 1:00 p.m. y las 4:00 p.m. El tiempo transcurrido es 4 2 1 ⫽ 3 horas. Para hallar la distancia recorrida, restamos la distancia a la 1:00 p.m. de la distancia a las 4:00 p.m., es decir, 200 2 50 ⫽ 150 millas. Entonces, el promedio de su rapidez es
promedio de rapidez
distancia recorrida tiempo transcurrido
150 mi 3h
50 mi/h
S E C C I Ó N 2.4
| Rapidez de cambio promedio de una función 173
El promedio de rapidez que acabamos de calcular se puede expresar usando notación de funciones:
s142 4
promedio de rapidez
s112 1
200
50
50 mi/h
3
Observe que el promedio de rapidez es diferente en diferentes intervalos. Por ejemplo, entre las 2:00 p.m. y las 3:00 p.m. encontramos que
s132 3
promedio de rapidez
s122 2
140
75 1
65 mi/h
Hallar la rapidez de cambio promedio es importante en innumerables contextos. Por ejemplo, podríamos estar interesados en saber la rapidez con que baja la temperatura del aire cuando una tormenta se aproxima, o la rapidez con la que aumentan los ingresos por la venta de un nuevo producto. Por lo tanto, necesitamos saber cómo determinar la rapidez de cambio promedio de las funciones que modelan estas cantidades. De hecho, el concepto de rapidez de cambio promedio puede definirse para cualquier función.
RAPIDEZ DE CAMBIO PROMEDIO f 1b2 b
f 1a2 a
La rapidez de cambio promedio de la función y = f1x2 entre x = a y x = b es cambio en y cambio en x
rapidez de cambio promedio
La rapidez de cambio promedio es la pendiente de la recta secante entre x = a y x = b en la gráfica de f, esto es, la recta que pasa por 1a, f 1a22 y 1b, f 1b22 . y
f(b)-f(a)
rapidez de cambio promedio= b-a
f(b)
y=Ï
f(a)
0
E J E M P LO 1
f(b)-f(a)
b-a a
Cálculo de la rapidez de cambio promedio
Para la función f (x) ⫽ (x 2 3)2, cuya gráfica se muestra en la Figura 2, encuentre la rapidez de cambio promedio entre los siguientes puntos: (a) x 1 y x 3 (b) x 4 y x 7
y 16
f 112 1
S O LU C I Ó N 9
1 0
x
b
(a) Rapidez de cambio promedio
1
3
4
F I G U R A 2 f (x) ⫽ (x 2 3)2
7
x
f132 3 13
32 2 3
0
4 2
11 1
2
Definición
32 2
Use f(x)
(x
3)2
174
C A P Í T U LO 2
| Funciones (b) Rapidez de cambio promedio
f 172 7
f 142 4
17
32 2 7
16
1
Definición
14 4
32 2
Use f(x)
3)2
(x
5
3 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 11
E J E M P LO 2
Q
Promedio de rapidez de un cuerpo en caída
Si un cuerpo se deja caer desde un risco o un edificio alto, entonces la distancia que ha caído después de t segundos está dada por la función d(t) ⫽ 16t2. Encuentre su promedio de rapidez (rapidez de cambio promedio) en los siguientes intervalos: (a) Entre 1 s y 5 s (b) Entre t ⫽ a y t ⫽ a ⫹ h S O LU C I Ó N (a) Rapidez de cambio promedio
d152 5
d112 1
16152 2 5 d(t)=16t2
Definición
16112 2 1
400
Use d(t)
16t2
16 4
96 pies/s (b) Rapidez de cambio promedio
Función: En t segundos la piedra cae 16t2 pies.
d1a 1a
h2 h2
d1a2 a
161a h2 2 1a h2 161a2
1612ah h 16h12a h 1612a
2ah h
h2 2 h2
h2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 15
161a2 2 a h2
Definición
a2 2
Use d(t)
16t2
Desarrolla y factorice 16 Simplifique el numerador Factorice h Simplifique
Q
La rapidez de cambio promedio calculada en el Ejemplo 2(b) se conoce como un cociente de diferencias. En cálculo, usamos cocientes de diferencias para calcular la magnitud de rapidez de cambio instantáneo. Un ejemplo de una rapidez de cambio instantáneo es la velocidad indicada en el velocímetro de un auto. Éste cambia de un instante al siguiente cuando cambia la velocidad del auto. Las gráficas de la Figura 3 muestran que si una función es creciente en un intervalo, entonces la rapidez de cambio promedio entre cualesquier dos puntos es positivo, mientras que si una función es decreciente en un intervalo, entonces la rapidez de cambio promedio entre cualesquier dos puntos es negativo.
S E C C I Ó N 2.4 y
| Rapidez de cambio promedio de una función 175 y
y=Ï
y=Ï
Pendiente>0 Pendiente1
y=Ï
y=c Ï
x
0 0
1
_2 32
abajo del eje x
Punto de prueba x=2 P (2) < 0
+ arriba del eje x
Punto de prueba x=4 P (3) > 0 3
-
+
abajo del arriba del eje x eje x
238
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales
3DProfi/Shutterstock.com
L A S M AT E M Á T I C A S E N EL MUNDO MODERNO
Diseño de automotores El diseño asistido por computadora (CAD) ha cambiado por completo la forma en la que las compañías fabricantes de automotores diseñan y manufacturan estos autos. Antes de la década de 1980, los ingenieros de diseño construirían un modelo de “tuercas y tornillos” a escala completa de un nuevo auto propuesto; ésta era realmente la única forma de saber si el diseño era factible. Hoy en día, los ingenieros en automotores construyen un modelo matemático, que existe sólo en la memoria de una computadora. El modelo incorpora todas las características principales de diseño del auto. Ciertas curvas con polinomio, llamadas curvas paramétricas, se usan en dar forma a la carrocería del auto. El “auto matemático” resultante puede ser probado en cuanto a su estabilidad estructural, manejo, aerodinámica, respuesta de suspensión y más; todas estas pruebas se realizan antes de construir un prototipo. Como es de suponerse, el CAD ahorra millones de dólares cada año a los fabricantes y, lo que es más importante, el CAD da a los ingenieros de diseño mucha más flexibilidad en el diseño; los cambios deseados se pueden crear y probar en segundos. Con ayuda de gráficas por computadora, los diseñadores pueden ver qué tan bien se verá un “auto matemático” antes de construir uno real. Además, el auto matemático puede ser visto desde cualquier perspectiva; puede moverse, hacerse girar y verse desde el interior. Estas manipulaciones del auto en el monitor de una computadora se convierten matemáticamente en grandes sistemas para resolver ecuaciones lineales.
Localizar unos cuantos puntos adicionales y enlazarlos con una curva sin irregularidades nos ayuda a completar la gráfica de la Figura 7.
Punto de prueba Punto de prueba
Punto de prueba Punto de prueba
x
P1x2
3 2 1 0 1 2 3 4
24 0 8 6 0 4 0 18
5 0
x
1
Punto de prueba P (–3) < 0
Punto de prueba P (2) < 0
F I G U R A 7 P1x 2
1x
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 17
E J E M P LO 5
Punto de prueba P (4) > 0
y
Punto de prueba P (–1) > 0
22 1x
12 1x
32
Q
Hallar ceros y graficar una función polinomial
3
2
Sea P1x2 ⫽ x 2 2x 2 3x. (a) Encontrar los ceros de P. (b) Trazar una gráfica de P. S O LU C I Ó N (a) Para hallar los ceros, factorizamos completamente.
P1x2
x3 x1x
2x 2
3x
32 1x
2
2x
x1x
32
Factorizar x
12
Factor cuadrático
Entonces, los ceros son x ⫽ 0, x ⫽ 3 y x ⫽ 21. (b) Los puntos de intersección x son x ⫽ 0, x ⫽ 3 y x ⫽ 21. El punto de intersección y es P102 ⫽ 0. Hacemos una tabla de valores de P1x2, asegurándonos de escoger puntos de prueba entre ceros sucesivos (a la derecha e izquierda de éstos). Como P es de grado impar y su coeficiente principal es positivo, tiene el siguiente comportamiento final:
y
q
q
cuando x
y
y
q
q
cuando x
Localizamos los puntos en la tabla y los enlazamos con una curva sin irregularidades para completar la gráfica, como se ve en la Figura 8.
Punto de prueba Punto de prueba Punto de prueba
Punto de prueba
x
P1x2
2 1
10 0
0 1 2 3 4
0 4 6 0 20
1 2
y
7 8
5 0
F I G U R A 8 P1x 2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 27
1
x
x3
2x 2
3x
Q
S E C C I Ó N 3.2
E J E M P LO 6
| Funciones polinomiales y sus gráficas
239
Hallar ceros y graficar una función polinomial
Sea P1x2 ⫽ 22x4 2 x3 ⫹ 3x2. (a) Hallar los ceros de P.
(b) Trazar una gráfica de P.
S O LU C I Ó N (a) Para hallar los ceros, factorizamos completamente.
x 2 12x 2 2x 4
P1x2
x3
x 2 12x
3x 2
32 1x
32
x
Factorizar
12
x2
Factor cuadrático
3 Entonces, los ceros son x ⫽ 0, x 2 y x ⫽ 1. 3 (b) Los puntos de intersección son x ⫽ 0, x 2 y x ⫽ 1. El punto de intersección y es P102 ⫽ 0. Hacemos una tabla de valores de P1x2, asegurándonos de escoger puntos de prueba entre ceros sucesivos (a la derecha e izquierda) de éstos. Como P es de grado par y su coeficiente principal es negativo, tiene el siguiente comportamiento final:
q
y
cuando x
q
y
q
y
q
cuando x
Localizamos los puntos de la tabla y enlazamos los puntos con una curva sin irregularidades para completar la gráfica de la Figura 9. y
Una tabla de valores se calcula con más facilidad si se usa una calculadora programable o calculadora graficadora.
x
P1x2
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5
12 0 2 0.75 0 0.5 0 6.75
2 0
x
1
_12
F I G U R A 9 P1x 2
2x 4
x3
3x 2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 31
E J E M P LO 7 3
Q
Hallar ceros y graficar una función polinomial 2
Sea P1x2 ⫽ x 2 2x 2 4x ⫹ 8. (a) Hallar los ceros de P.
(b) Trazar una gráfica de P.
S O LU C I Ó N (a) Para hallar los ceros, factorizamos completamente.
P1x 2
x 2 1x x3
2x 2
4x
1x
42 1x
41x
1x
1x
2
22
22 1x 22 1x
8 22
22 1x 22
22
2
Entonces, los ceros son x ⫽ 22 y x ⫽ 2.
Agrupar y factorizar Factorizar x
22
2
Diferencia de cuadrados Simplificar
240
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales (b) Los puntos de intersección x son x ⫽ 22 y x ⫽ 2. El punto de intersección y es P102 ⫽ 8. La tabla da valores adicionales de P1x2. Como P es de grado impar y su coeficiente principal es positivo, tiene el siguiente comportamiento final.
y
q
cuando x
q
y
q
y
q
cuando x
Enlazamos los puntos con una curva sin irregularidades y completamos la gráfica de la Figura 10. x
P1x2
3 2 1 0 1 2 3
25 0 9 8 3 0 5
y 5 0
F I G U R A 1 0 P1x 2
x
1
x3
2x 2
4x
8
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 33
Q
W Forma de la gráfica cerca de un cero
Aun cuando x ⫽ 2 es un cero de la función polinomial en el Ejemplo 7, la gráfica no cruza el eje x en el punto de intersección 2. Esto es porque el factor 1x 2 222 correspondiente a ese cero está elevado a una potencia par, de modo que no cambia signo cuando probamos puntos en cualquiera de los lados de 2. En la misma forma, la gráfica no cruza el eje x en x ⫽ 0 en el Ejemplo 6. En general, si c es un cero de P, y el correspondiente factor x 2 c se presenta exactamente m veces en la factorización de P, entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m. Si consideramos puntos de prueba en cualquiera de los lados del punto c de intersección en x, concluimos que la gráfica cruza el eje x en c si la multiplicidad m es impar y no cruza el eje x si m es par. Además, puede demostrarse mediante cálculo que cerca de x ⫽ c la gráfica tiene la misma forma general que la gráfica de y ⫽ A1x 2 c2m.
FORMA DE LA GRÁFICA CERCA DE UN CERO DE MULTIPLICIDAD m Si c es un cero de P de multiplicidad m, entonces la forma de la gráfica de P cerca de c es como sigue. Multiplicidad de c
Forma de la gráfica de P cerca del punto de intersección x de c y
y
m impar, m
1
c
x
O
E J E M P LO 8
1
x
c
x
y
y
m par, m
c
c
x
O
Graficar una función polinomial usando sus ceros
Grafique el polinomio P1x2 ⫽ x41x 2 2231x ⫹ 122.
| Funciones polinomiales y sus gráficas
S E C C I Ó N 3.2
S O LU C I Ó N
241
Los ceros de P son 21, 0 y 2 con multiplicidades 2, 4 y 3, respectivamente. 0 es un cero de multiplicidad 4
P1x 2
2 es un cero de multiplicidad 3
x 4 1x
22 3 1x
12 2
y
y
–1 es un cero de multiplicidad 2
El cero 2 tiene multiplicidad impar, de modo que la gráfica cruza el eje x en el punto de cruce x de 2. Pero los ceros 0 y 21 tienen multiplicidad par, de modo que la gráfica no cruza el eje x en los puntos de intersección 0 y 21. Como P es una polinomial de grado 9 y tiene coeficiente principal positivo, tiene el siguiente comportamiento final:
y
q
cuando x
q
q
cuando x
q
Con esta información y una tabla de valores trazamos la gráfica de la Figura 11. x 1.3 1 0.5 0 1 2 2.3
y
P1x2 9.2 0 3.9 0 4 0 8.2
Multiplicidades pares
5
0
1
x Multiplicidad impar
F I G U R A 1 1 P1x 2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 25
x 4 1x
22 3 1x
12 2
Q
Recuerde de la Sección 2.3 que si el punto 1a, f 1a22 es el más alto en la gráfica de f dentro de algún rectángulo de vista, entonces f 1a2 es un valor máximo local de f, y si 1b, 1f 1b22 es el punto más bajo en la gráfica de f dentro de un rectángulo de vista, entonces f 1b2 es un valor mínimo local (vea Figura 12). Decimos que tal punto 1a, f 1a22 es un punto máximo local en la gráfica y que 1b, 1f 1b22 es un punto mínimo local. Los puntos máximos y mínimos locales en la gráfica de una función se denominan extremos locales.
W Máximos y mínimos locales de funciones polinomiales
y
Óa, f(a)Ô Punto máximo local y=Ï
Ób, f(b)Ô Punto mínimo local
FIGURA 12
0
a
b
x
242
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales Para una función polinomial, el número de extremos locales debe ser menor que el grado, como indica el siguiente principio. (Una prueba de este principio requiere Cálculo.)
EXTREMOS LOCALES DE FUNCIONES POLINOMIALES a n x n a n 1x n 1 . . . a 1x a 0 es una función polinomial de Si P1x2 grado n, entonces la gráfica de P tiene a lo sumo n 1 extremos locales.
En efecto, una función polinomial de grado n puede tener menos de n 2 1 extremos locales. Por ejemplo, P1x2 ⫽ x5 (graficado en la Figura 2) no tiene extremos locales, aun cuando es de grado 5. El principio precedente nos dice sólo que una función polinomial de grado n no puede tener más de n 2 1 extremos locales.
E J E M P LO 9 (a) P1 1x 2 (b) P2 1x 2 (c) P3 1x 2
El número de extremos locales
Determine cuántos extremos locales tiene cada función polinomial.
S O LU C I Ó N
x 4 x 3 16x 2 4x 48 x 5 3x 4 5x 3 15x 2 4x 7x 4 3x 2 10x
15
Las gráficas se muestran en la Figura 13.
(a) P1 tiene dos puntos mínimos locales y un punto máximo local, para un total de tres extremos locales. (b) P2 tiene dos puntos mínimos locales y dos puntos máximos locales, para un total de cuatro extremos locales. (c) P3 tiene sólo un extremo local, un mínimo local.
100
_5
100
5
_5
100
5
_5
5
_100
_100
_100
(a)
(b)
(c)
P⁄(x)=x¢+x£-16≈-4x+48
P¤(x)=x∞+3x¢-5x£-15≈+4x-15
P‹(x)=7x¢+3≈-10x
FIGURA 13
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 61 Y 63
Q
Con una calculadora graficadora podemos rápidamente trazar las gráficas de numerosas funciones a la vez, en la misma pantalla de vista. Esto nos permite ver la forma en que cambiar un valor en la definición de las funciones afecta la forma de su gráfica. En el siguiente ejemplo aplicamos este principio a una familia de polinomiales de tercer grado.
E J E M P LO 1 0
Una familia de funciones polinomiales
Trace la familia de polinomiales P1x2 ⫽ x3 2 cx2 para c ⫽ 0, 1, 2 y 3. ¿Cómo se afecta la gráfica con el cambio del valor de c?
| Funciones polinomiales y sus gráficas
S E C C I Ó N 3.2
S O LU C I Ó N
P0 1x2
P1 1x 2
Las funciones polinomiales
P2 1x2
P3 1x 2
x3 x3
2x 2
x3
x2
x3
3x 2
243
están graficadas en la Figura 14. Vemos que aumentar el valor de c hace que la gráfica desarrolle un “valle” cada vez más profundo a la derecha del eje y, creando un máximo local en el origen y un mínimo local en un punto en el cuarto cuadrante. Este mínimo local se mueve más abajo y a más distancia a la derecha cuando c aumenta. Para ver por qué ocurre esto, factorice P1x2 ⫽ x21x 2 c2. La función polinomial P tiene ceros en 0 y en c y, cuanto más grande se haga c, a más distancia a la derecha estará el mínimo entre 0 y c. c=0 c=1 c=2 c=3 10
_2
F I G U R A 1 4 Una familia de polinomios P1x 2 x 3 cx 2
4
_10
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 71
Q
3.2 EJERCICIOS 3. Si c es un cero de la polinomial P, ¿cuál de los siguientes enunciados debe ser verdadero? 0. c. (a) P 1c 2 (b) P 102 (c) x 2 c es un factor de P1x2. (d) c es el punto de intersección y de la gráfica de P.
CO N C E P TO S 1. Sólo una de las gráficas siguientes podría ser la gráfica de una función polinomial. ¿Cuál? ¿Por qué las otras no son gráficas polinomiales? I II y y
x
4. ¿Cuál de los siguientes enunciados no podría ser verdadero acerca de la función polinomial P? (a) P tiene grado 3, dos máximos locales y dos mínimos locales. (b) P tiene grado 3 y no tiene máximos ni mínimos locales. (c) P tiene grado 4, un máximo local y no tiene mínimos locales.
x
HABILIDADES 5-8 Q Trace la gráfica de cada función al transformar la gráfica de una función apropiada de la forma y ⫽ xn de la Figura 2. Indique todos los puntos de intersección x y y en cada gráfica.
III y
5. (a) P1x 2 (c) R1x 2
6. (a) P1x 2 (c) R1x 2
x 2. Toda función polinomial tiene uno de los siguientes comportamientos: q cuando x q y y q cuando x q (i) y q cuando x q y y q cuando x q (ii) y q cuando x q y y q cuando x q (iii) y q cuando x q y y q cuando x q (iv) y
2x4
12x
100: comportamiento final
8. (a) P1x 2 (c) R1x 2
x4 1x x3 1x
(b) Q1x 2 16 (d) S1x2
16 22 4 1x
(b) Q1x 2 (d) S1x2
8 22
1 2 1x
32
3
5
22 5
(b) Q1x 2 (d) S1x 2
1x 21x
42 2 22 2
1x 22 4 21x 2 2 4
1 2 1x
x3
27 12 3
4
21x 32 64 1 22 5 16 2 1x 5
9-14 Q Relacione la función polinomial con una de las gráficas I-IV de la página siguiente. Dé razones para su selección.
Para cada polinomial, escoja la descripción apropiada de su comportamiento final de la lista anterior. (a) y x 3 8x 2 2x 15: comportamiento final
(b) y
7. (a) P1x2 (c) R1x 2
(b) Q1x 2 (d) S1x2
x2 4 2x 2 2
. .
9. P1x 2
11. R1x2
x 1x 2
x5
42 5x 3
4x
10. Q1x 2 12. S1x 2
x 2 1x 2
1 6 2x
2x 4
42
244
| Funciones polinomiales y racionales
C A P Í T U LO 3
13. T1x 2
x4
2x 3 y
I
1
IV
1
y
V
1
VI
x4
2x 3
8x
16
39. P1x 2
x4
2x 3
8x
16
x4
3x 2
4
41. P1x 2
42. P1x 2
3x 3
43. P1x 2
1 8
44. P1x 2 1
3x 3
16x
7x 2
40. P1x 2
1; Q1x 2
12x; Q1x 2
2x 2
x 12; Q1x 2
x 11 2x 2
5; Q1x 2
1 8
y
1
0 1
x
12 1x
1x
3 2 1x
22 13x
20. P1x 2
1 5
19. P1x2
21. P1x2 23. P1x2 25. P1x2
22
1 2 1x
x 1x
18. P1x 2
1 2 1x
1x
17. P1x 2
12x
x 1x
1x
1 12 1x
x 3 1x
3 2 1x
x5
x 11 x 12
y
x
0
22
22
1 2 1x
1 2 1x
522
1 2 2 1x
32
2 2 1x
32
2 2 1x
1
31. P1x2
x
4
3x
33. P1x2
x3
x2
x3
29. P1x2
35. P1x2
x2
22
22. P1x 2 24. P1x 2
2
26. P1x2
1 4 1x
1x 1x
1 2 3 1x
1 2 1x 3 2 2 1x 2
223
32
2x
3
12x
3
2
x
2x x
2
30. P1x 2 34. P1x2
x3
32. P1x 2
1 18x
9
2x 2
2x 3 x
5
x2 9x
122
x2
51. y
8x x
4x
1
50. P1x 2
1 4 9x
4 3 9x
y
1
1
x
0
2
x
51-58 Q Grafique la función polinomial en el rectángulo de vista dado. Encuentre las coordenadas de todos los extremos locales. Exprese su respuesta redondeada a dos lugares decimales.
3
3x 2
3 2x
y
0
x3
28. P1x2
6x
x2
1 3 2x
1
27-40 Q Factorice el polinomio y use la forma factorizada para hallar los ceros. A continuación, trace la gráfica.
x3
49. P1x 2
x
1
x
1
32
322
2
27. P1x 2
x3
1
1
15-26 Q Trace la gráfica de la función polinomial. Asegúrese que su gráfica muestre todos los puntos de intersección y exhiba el comportamiento final apropiado.
16. P1x 2
1
47-50 Q Nos dan la gráfica de una función polinomial. De la gráfica, encuentre (a) los puntos de intersección x y y y (b) las coordenadas de todos los extremos locales. 2 3 x 2 4x x2 47. P1x 2 48. P1x2 9x
0
1x
2x 3
x4
1
15. P1x 2
x6
3x 3
x; Q1x 2
5x
9x 9; Q1x 2
x5
46. P1x 2
5x 1 2 4x
x3
x4
45. P1x 2
x
x2
y
0
242 2
41-46 Q Determine el comportamiento final de P. Compare las gráficas de P y Q en rectángulos de vista grandes y pequeños, como en el Ejemplo 3(b).
x
y
0
x
1 4 8 12x
37. P1x 2
1
1
36. P1x 2 38. P1x 2
1 0
x
y
0
2x 2
y
II
1 0
III
x3
14. U1x2
12
x
3
53. y
x
3
54. y
2x 3
55. y
x4
56. y
x4
52. y
57. y
3x
58. y
5
x
2
12x
9,
3 5, 54 por 3 30, 304
32, 3 5, 54 por 3 60, 304
4x 3, 3 5, 54 por 3 30, 304 3x 2
18x 2 5
3 4, 124 por 3 50, 304
3x , 3 2, 54 por 3 10, 104 8x,
5x 5x
2
3
12x
32, 3 5, 54 por 3 100, 1004 3, 3 3, 34 por 3 5, 104
6,
3 3, 34 por 3 5, 104
S E C C I Ó N 3.2
59-68 Q Grafique la función polinomial y determine cuántos máximos y mínimos locales tiene.
2x 2
59. y
3
3x 2
61. y
x
63. y
x4
5x 2
64. y
1.2x 5
1x
225
65. y
x
x8
67. y
x3
60. y
5
62. y
x
6x
12x 3
3x
1
3x 4
7x 3
1x 2
15x 2
32
66. y
x
68. y
223
18x 1 7 3x
17x 2
7
70. P1x 2
1x
c 2 4; c
1, 2, 5, 12
cx 3; c
71. P1x 2
72. P1x 2
74. P1x 2 73. P1x2
1, 0, 1, 2
x
4
x
3
cx; c
2, 0,
x
4
cx; c
0, 1, 8, 27
1, 0, 1, 2
c; c
x; c
2,
4
75. (a) En los mismos ejes de coordenadas, trace gráficas (tan precisamente como sea posible) de las funciones.
y
x3
2x 2
x
2
y
x2
y
5x
2
(b) Con base en el trazo que haya hecho usted en la parte (a), ¿en cuántos puntos parecen cruzarse las dos gráficas? (c) Encuentre las coordenadas de todos los puntos de intersección. 76. En la figura siguiente están localizadas partes de las gráficas de y ⫽ x2, y ⫽ x3, y ⫽ x4, y ⫽ x5 y y ⫽ x6. Determine cuál función pertenece a cada gráfica.
y
y 1
1
0
0
1
1
x
x5
1x
12 1x
32 1x
42
5
P1x 2
1x
a2 1x
b2 1x
c2
debe tener dos extremos locales.
80. (a) ¿Cuántos puntos de intersección x y cuántos extremos locales tiene la función polinomial P1x2 ⫽ x3 2 4x? (b) ¿Cuántos puntos de intersección x y cuántos extremos locales tiene la función polinomial Q1x2 ⫽ x3 ⫹ 4x? (c) Si a > 0, ¿cuántos puntos de intersección x y cuántos extremos locales tiene cada una de las funciones polinomiales P1x2 ⫽ x3 2 ax y Q1x2 ⫽ x3 ⫹ ax? Explique su respuesta.
6x 3
81. Estudio de mercado Un analista de mercado, que trabaja para un fabricante de aparatos electrodomésticos pequeños, encuentra que si la compañía produce y vende x licuadoras al año, su utilidad total (en dólares) es
P1x 2
8x
0.3x 2
0.0013x 3
372
Grafique la función P en un rectángulo de observación apropiado y use la gráfica para contestar las siguientes preguntas. (a) Cuando se fabrican sólo unas cuantas licuadoras, la compañía pierde dinero (utilidad negativa). (Por ejemplo, P(10) ⫽ 2263.3, de modo que la compañía pierde $263.30 si produce y vende sólo 10 licuadoras.) ¿Cuántas licuadoras debe producir la compañía para alcanzar el punto de equilibrio (no pierde ni gana)? (b) ¿La ganancia se incrementa infinitamente entre más licuadoras se produzcan y se vendan? Si no es así ¿cuál es la mayor ganancia posible que la firma puede tener? 82. Cambio de población Se observa que la población de conejos en una pequeña isla está dada por la función
P1t2 ⫽ 120t 2 0.4t4 ⫹ 1000
x
77. Recuerde que una función f es impar si f 12x2 ⫽ 2f 1x2 o par si f 12x2 ⫽ f 1x2 para toda x real. (a) Demuestre que una función polinomial P1x2 que contenga sólo potencias impares de x es una función impar. (b) Demuestre que una función polinomial P1x2 que contenga sólo potencias pares de x es una función par. (c) Demuestre que una función polinomial P1x2 contiene potencias impares y pares de x, entonces no es función ni impar ni par. (d) Exprese la función
P1x2
Q1x 2
A P L I C AC I O N E S
1, 3, 5, 7
c
78. (a) Grafique la función P1x2 ⫽ 1x 2 12 1x 2 32 1x 2 42 y encuentre todos los extremos locales, correctos al décimo más cercano. (b) Grafique la función
79. (a) Grafique la función P1x2 ⫽ 1x 2 22 1x 2 42 1x 2 52 y determine cuántos extremos locales tiene. (b) Si a < b < c, explique por qué la función
69-74 Q Grafique la familia de polinomiales en el mismo rectángulo de vista, usando los valores dados de c. Explique la forma en que cambiar el valor de c afecta la gráfica.
69. P1x2
245
y use sus respuestas a la parte (a) para hallar todos los extremos locales, correctos al décimo más cercano.
4
3.75x 4
| Funciones polinomiales y sus gráficas
x2
2x
donde t es el tiempo (en meses) desde que se iniciaron las observaciones de la isla. (a) ¿Cuándo se alcanza la máxima población, y cuál es la máxima población? (b) ¿Cuándo desaparece la población de conejos de la isla?
P
5
y la suma de una función impar y una función par.
0
t
246
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales
83. Volumen de una caja Se ha de construir una caja con una pieza de cartón de 20 cm por 40 cm, cortando cuadrados de longitud x de lado de cada esquina y doblando los lados hacia arriba, como se ve en la figura. (a) Exprese el volumen V de la caja como función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de V? (Use el dato de que la longitud y el volumen deben ser positivos.) (c) Trace una gráfica de la función V, y úsela para estimar el volumen máximo para esa caja.
40 cm
x
DESCUBRIMIENTO
84. Volumen de una caja Una caja de cartón tiene base cuadrada, con cada arista de la caja con longitud de x pulgadas, como se ve en la figura. La longitud total de las 12 aristas de la caja es de 144 pulgadas. (a) Demuestre que el volumen de la caja está dado por la función V1x2 ⫽ 2x2118 2 x2. (b) ¿Cuál es el dominio de V? (Use el dato de que la longitud y el volumen deben ser positivos.) (c) Trace una gráfica de la función V y úsela para estimar el volumen máximo para esa caja.
Q
REDACCIÓN
85. Gráficas de potencias grandes Grafique las funciones y ⫽ x2, y ⫽ x3, y ⫽ x4 y y ⫽ x5, para 21 ≤ x ≤ 1, en los mismos ejes de coordenadas. ¿Cómo piensa usted que se verá la gráfica de y ⫽ x100 en este mismo intervalo? ¿Qué se puede decir de y ⫽ x101? Haga una tabla de valores para confirmar sus respuestas. 86. Número máximo de extremos locales ¿Cuál es el grado más pequeño posible que puede tener la función polinomial cuya gráfica se muestra? Explique.
y
x
20 cm
DISCUSIÓN
Q
0
x
87. Número posible de extremos locales ¿Es posible que una polinomial de tercer grado tenga exactamente un extremo local? ¿Una polinomial de cuarto grado puede tener exactamente dos extremos locales? ¿Cuántos extremos locales pueden tener polinomiales de tercero, cuarto, quinto y sexto grados? (Considere el comportamiento final de esas funciones polinomiales.) A continuación, dé un ejemplo de una función polinomial que tenga seis extremos locales. 88. ¿Situación imposible? ¿Es posible que una función polinomial tenga dos máximos locales y no tenga un mínimo local? Explique.
x
x
3.3 D IVISIÓN DE POLINOMIOS División larga de polinomios 䉴 División sintética 䉴 Los teoremas del residuo y factor Hasta este punto en este capítulo hemos estado estudiando funciones polinomiales gráficamente. En esta sección empezamos por estudiar polinomios algebraicamente. La mayor parte de nuestro trabajo se ocupará de factorizar polinomios y, para factorizar, necesitamos saber cómo dividir polinomios.
W División larga de polinomios La división de polinomios es muy semejante al conocido proceso de dividir números. Cuando dividimos 38 entre 7, el cociente es 5 y el residuo es 3. Escribimos Dividendo Residuo Divisor
38 7
5
Cociente
3 7
S E C C I Ó N 3.3
| División de polinomios 247
Para dividir polinomios, usamos división larga, como sigue.
Si P1x2 y D1x2 son funciones polinomiales, con D1x 2 0, entonces existen polinomiales únicas Q1x2 y R1x2 , donde R1x 2 es 0 o de grado menor al grado de D1x2 , de modo que
ALGORITMO DE DIVISIÓN
Para escribir el algoritmo de división de otro modo, dividimos todo entre D(x):
P1x 2
D1x 2
Q1x 2
P1x 2
D1x 2 R1x2
R1x 2
D1x2 # Q1x2
Dividendo
Divisor
Residuo
Cociente
Las funciones polinomiales P1x2 y D1x2 se denominan dividendo y divisor, respectivamente, Q1x2 es el cociente, y R1x2 es el residuo.
E J E M P LO 1
División larga de polinomios
2
Divida 6x 2 26x ⫹ 12 entre x 2 4. S O LU C I Ó N El dividendo es 6x2 2 26x ⫹ 12 y el divisor es x 2 4. Empezamos por acomodarlos como sigue:
4 6x 2
x
26x
12
A continuación dividimos el término principal del dividendo entre el término principal del divisor para obtener el primer término del cociente: 6x2/x ⫽ 6x. En seguida multiplicamos el divisor por 6x y restamos el resultado del dividendo
x
Divida términos principales:
6x 4 6x 2 6x 2
26x 24x 2x
42
12 Multiplique: 6x1x Reste y “baje” 12
12
6x 2 x
6x 2
6x 24x
Repetimos el proceso usando el último renglón 22x ⫹ 12 como dividendo.
x
6x 2 4 6x 2 6x 2
Divida términos principales:
2 26x 24x 2x 2x
12 12 8 4
42
Multiplique: 21x Reste
2x x
2x
2
8
El proceso de división termina cuando el último renglón es de menor grado que el divisor. El último renglón que contenga el residuo, y el renglón superior contienen el cociente. El resultado de la división puede interpretarse en cualquiera de dos formas. Dividendo
6x
x
Divisor
o
2
6x 2
26x 4
26x
Dividendo
12
Cociente
12 1x
6x
Divisor
2
42 16x
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 3
4 x 22
4 4
Residuo
Residuo
Cociente
Q
248
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales
E J E M P LO 2
División larga de polinomios
Sean P1x2 8x 4 6x 2 3x 1 y D1x2 2x 2 # y R1x2 tales que P1x2 D1x2 Q1x2 R1x 2 .
2. Encuentre polinomiales Q1x2
x
S O LU C I Ó N Usamos división larga después de insertar primero el término 0x3 en el dividendo para asegurar que las columnas queden alineadas correctamente.
2x
2
x
4x 2 2 8x 4 8x 4
2x 0x 3 4x 3 4x 3 4x 3
6x 2 8x 2 2x 2 2x 2
3x
1 Multiplique el divisor por 4x 2
3x 4x 7x
Reste Multiplique el divisor por 2 x
1
Reste
El proceso se completa en este punto porque 27x ⫹ 1 es de menor grado que el divisor 2x2 2 x ⫹ 2. De la división larga de líneas antes vemos que Q1x2 ⫽ 4x2 ⫹ 2x y R1x2 ⫽ 27x ⫹ 1, de modo que
8x 4
6x 2
3x
12x 2
1
x
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 19
22 14x 2
2x2
1 7x
12 Q
W División sintética La división sintética es un método rápido de dividir polinomios; se puede usar cuando el divisor es de la forma x 2 c. En división sintética escribimos sólo las partes esenciales de la división larga. Compare las siguientes divisiones larga y sintética, en las que dividimos 7x 2 5 por x 3. (Explicaremos cómo realizar la división sintética en el 2x 3 Ejemplo 3.) División larga
x
2x 2 3 2x 3 2x 3
División sintética Cociente
x 3 7x 2 0x 6x 2 x 2 0x x 2 3x 3x 3x
3
2
5 2
7
0
5
6
3
9
1
3
4
144424443
5 9 4
Cociente
Residuo
Residuo
Observe que en la división sintética abreviamos 2x3 2 7x2 ⫹ 5 al escribir sólo los coeficientes: 2, 27, 0, 5 y en lugar de x 2 3 escribimos simplemente 3. (Escribir 3 en lugar de 23 nos permite sumar en lugar de restar, pero esto cambia el signo de todos los números que aparecen en las cajas color oro.) El siguiente ejemplo muestra cómo se realiza la división sintética.
E J E M P LO 3
División sintética
Use división sintética para dividir 2x3 2 7x2 ⫹ 5 entre x 2 3. S O LU C I Ó N Empezamos por escribir los coeficientes apropiados para representar el divisor y el dividendo. Divisor x – 3
3
2
7
0
5
Dividendo 2x 3 – 7x 2 + 0x + 5
S E C C I Ó N 3.3
| División de polinomios 249
Bajamos el 2, multiplicamos 3 ⭈ 2 ⫽ 6 y escribimos el resultado en el renglón de en medio. A continuación, sumamos.
3
2 -7
0
5
·
6
Multiplique: 3 2 = 6
2 -1
Sume: –7 + 6 = –1
Repetimos este proceso de multiplicar y luego sumar hasta completar la tabla.
3
2
2 3
2
2
−7
0
5
6
−3
Multiplique: 3(–1) = –3
−1
−3
Sume: 0 + (–3) = –3
−7
0
5
6
−3
−9
Multiplique: 3(–3) = –9
−1
−3
−4
Sume: 5 + (–9) = –4
Residuo –4
Cociente 2x2 – x – 3
Del último renglón de la división sintética vemos que el cociente es 2x2 2 x 2 3 y el residuo es 24. Por lo tanto,
2x 3
7x 2
5
1x
32 12x 2
x
32
4
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 31
Q
W Los teoremas del residuo y factor El siguiente teorema muestra la forma en que la división sintética se puede usar para evaluar funciones polinomiales fácilmente. Si la función polinomial P1x2 se divide entre x
TEOREMA DEL RESIDUO
c, entonces el residuo es el valor P1c2.
DEMOSTRACIÓN Si el divisor del Algoritmo de División es de la forma x 2 c para algún número real c, entonces el residuo debe ser constante (porque el grado del residuo es menor que el grado del divisor). Si a esta constante la llamamos r, entonces
P1x 2
1x
c 2 # Q1x 2
r
Sustituyendo x por c en esta ecuación, obtenemos P1c2 r r, esto es, P1c2 es el residuo r.
E J E M P LO 4
1c
c2 # Q1x 2
r
Uso del Teorema del Residuo para hallar el valor de una función polinomial
Sea P1x2 3x 5 5x 4 4x 3 7x 3. (a) Encuentre el cociente y residuo cuando P1x2 se divide entre x ⫹ 2. (b) Use el Teorema del Residuo para hallar P1222.
0 Q
250
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales (a) Como x ⫹ 2 ⫽ x 2 1222, la división sintética para este problema toma la siguiente forma. S O LU C I Ó N
2
3 3
5 6
4 2
0 4
7 8
3 2
1
2
4
1
5
El residuo es 5, por lo que P(–2) = 5
El cociente es 3x4 2 x3 2 2x2 ⫹ 4x 2 1, y el residuo es 5. (b) Por el Teorema del Residuo, P1222 es el residuo cuando P1x2 se divide entre x 2 1222 ⫽ x ⫹ 2. De la parte (a) el residuo es 5, por lo que P1222 ⫽ 5.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 39
Q
El siguiente teorema dice que los ceros de polinomiales corresponden a factores; utilizamos este dato en la Sección 3.2 para graficar funciones polinomiales. c es un factor de P1x2.
TEOREMA DEL FACTOR c es cero de P si y sólo si x
Si P1x2 se factoriza como P1x2 ⫽ 1x 2 c2 ⭈ Q1x2, entonces
DEMOSTRACIÓN
P1c2
1x
1c
c 2 # Q1c2
0 # Q1c 2 1x
0
c2 # Q1x 2
Inversamente, si P1c2 ⫽ 0, entonces por el Teorema del Residuo
P1x2
c2 # Q1x2
de modo que x 2 c es un factor de P1x2.
E J E M P LO 5
0
Q
Factorizar una función polinomial usando el Teorema del Factor
Sea P1x2 ⫽ x3 2 7x ⫹ 6. Demuestre que P112 ⫽ 0 y use este dato para factorizar P1x2 completamente. 1
1 1 2
x
x 1 x3 x3
0
7
6
1
1
6
1
6
0
x 6 0x 2 7x x2 x 2 7x x2 x 6x 6x
S O LU C I Ó N Sustituyendo, vemos que P112 ⫽ 13 2 7 ⭈ 1 ⫹ 6 ⫽ 0. Por el Teorema del Factor esto significa que x 2 1 es un factor de P1x2. Usando división sintética o larga (mostrada al margen), vemos que
6
P1x 2
1x
x3 1x
12 1x 2 7x
12 1x
6
Polinomial dada
22 1x x
62
Vea al margen
32
Factorice la cuadrática x2 + x – 6
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 53 Y 57 6 6 0
E J E M P LO 6
Hallar una función polinomial con ceros especificados
Encuentre una función polinomial de grado 4 que tenga ceros 23, 0, 1 y 5.
S O LU C I Ó N Por el Teorema del Factor x 2 1232,x 2 0,x 2 1 y x 2 5 deben todos ellos ser factores de la función polinomial deseada.
Q
| División de polinomios
S E C C I Ó N 3.3 y
P1x 2
Sea
10 _3
01
x
5
1x
32 1x
4
02 1x
3
3x
x
12 1x
2
13x
251
52
15x
Como P1x2 es de grado 4, es una solución del problema. Cualquiera otra solución del problema debe ser un múltiplo constante de P1x2, porque sólo una multiplicación por una constante no cambia el grado. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 59
FIGURA 1 P1x) 1x 32x1x
121x
Q
La función polinomial P del Ejemplo 6 está graficada en la Figura 1. Observe que los ceros de P corresponden a los puntos de intersección x de la gráfica.
52 tiene
ceros 23, 0, 1 y 5.
3.3 EJERCICIOS CO N C E P TO S
1. Si dividimos la polinomial P entre el factor x 2 c y obtenemos la ecuación P1x2 ⫽ 1x 2 c2Q1x2 ⫹ R1x2, entonces decimos que x 2 c es el divisor, Q1x2 es el ______, y R1x2 es el _______. 2. (a) Si dividimos la polinomial P1x2 entre el factor x 2 c y obtenemos un residuo de 0, entonces sabemos que c es un _____ de P. (b) Si dividimos la polinomial P1x2 entre el factor x 2 c y obtenemos un residuo de k, entonces sabemos que P1c2 ⫽ ____.
3-8 Q Nos dan dos funciones polinomiales P y D. Use cualquier división sintética o larga para dividir P1x2 entre D1x2, y exprese P en la forma P1x2 ⫽ D1x2 ⭈ Q1x2 ⫹ R1x2.
3. P1x 2 4. P1x 2
3x
5. P1x 2
x3 2x
6. P1x2
4x
3
8. P1x 2
x4 2x 5
3x
D1x 2
4,
4x 2 3
7. P1x 2
5x
6x 2
7x x3
2x, 9, 4x
4x 4
D1x 2
D1x 2
1,
D1x 2
D1x 2
2,
4x 3
x
3
x
1
x 2x 1
3,
D1x 2 x2
P1x2 D1x2 9. P1x2
x
4x
17.
8,
Q1x 2
D1x 2
R1x 2
x
D1x 2 3
21. 23.
25. 3 x2
2
6x 3
x2
12x
4
3
2
14. P1x2
x
27. 29. 31. 33.
x
x x
4
6x
8
D1x 2
x
1,
x3 x2
6x 2x
6x 3
16.
4 2x 2 2x
4x 3
2x 1
3
3 2
x4 x2
x2 1
18. 20.
2x 2 22x 2x 2 5
x6
1 3x
D1x 2 x
2
4
4 x2
1
x
1
x3
x2 x
x3
3x 2 3x
2x 2 4x 6
5x 3
3x 4 x
2
6 3
20x 3
x
22.
9x 2 x 5 3x 2 7x
24.
2x 5 4x 2
7x 4 6x
5
13 8
Encuentre el cociente y residuo usando división sintética.
Q 2
5x
4
3x 2 x
5x 6
x3
2x 2 x
2x 2
x3
8x
2
x
26.
3
x
x5
2x
3
5,
D1x 2 2x
D1x2
9x ,
4
x
Encuentre el cociente y residuo usando división larga.
Q 2
x
x
D1x 2
7,
5
15.
5,
3x
2x
15-24
6x
4x 2
13. P1x2
25-38
9-14 Q Nos dan dos funciones polinomiales P y D. Use cualquier división sintética o larga para dividir P1x2 entre D1x2, y exprese el cociente P1x2/D1x2 en la forma
2
12. P1x 2
3
2x
x3
11. P1x2
19.
HABILIDADES
2
10. P1x 2
28.
3
3x 3 x 1
6
1
30. 32. 34.
x2
5x
4 1
x 4x 2 3 x 5 3x 3
12x 2 9x x 5
x4
x3
x3
9x 2 x
x2 x 2 27x 3
x
1 2 27
252 35. 36. 37.
| Funciones polinomiales y racionales
C A P Í T U LO 3 2x 3 6x 4 x3 x
3x 2 x
2x
63. Encuentre una función polinomial de grado 3 que tenga ceros 1,22 y 3 y en el que el coeficiente de x2 sea 3.
1
1 2
10x 3 x
5x 2
64. Encuentre una función polinomial de grado 4 que tenga coeficientes enteros y ceros 1, 21, 2 y 12.
1
x
2 3
27 3
x4 x
38.
65-68 Q Encuentre la función polinomial del grado especificado cuya gráfica se muestra.
16 2
65. Grado 3
39-51 Q Use división sintética y el Teorema del Residuo para evaluar P1c2.
39. P1x 2 40. P1x 2
4x 2
12x
41. P1x 2
2x x3
x2
44. P1x 2
x3
2x 2
42. P1x 2 43. P1x 2
45. P1x 2
46. P1x 2
47. P1x 2
49. P1x 2
x
2
3x
2x 5x
4
6x
5
x7 2x
50. P1x 2
3
3x x
7x
21x 30x
3
10x
3
3
6
4x 2x 2
200, c
11
36x
14, c
1, c
x
7
67. Grado 4
2
4
7x 2
10x
1, c 8, c 40x 6
60x 3
112, c
3
0.1
16x 5
69x 2
139
53-56 Q Use el Teorema del Factor para demostrar que x 2 c es un factor de P1x2 para el (los) valor(es) dado(s) de c.
54. P1x 2
55. P1x 2 56. P1x 2
3x 2
3x
1, c
3
2
3x
10, c
2
6x
5, c
1 2
16x 2
27x
x
2x
2x 3 x4
7x 2 3x 3
1
63, c
3,
3
57-58 Q Demuestre que el (los) valor(es) dado(s) de c son ceros de P1x2, y encuentre todos los otros ceros de P1x2.
57. P1x 2
58. P1x 2
x
3
3x 4
x
2
x3
11x 21x 2
15, c 11x
3
6, c
1 3,
2
59-62 Q Encuentre una función polinomial del grado especificado que tenga los ceros dados. 59. Grado 3: ceros 21, 1, 3 60. Grado 4: ceros 22, 0, 2, 4 61. Grado 4: ceros 21, 1, 3, 5 62. Grado 5: ceros 22, 21, 0, 1, 2
0
x
1
x
1
200x 4
13x
x3
1
1
Calcule P172 (a) usando división sintética y (b) sustituyendo x ⫽ 7 en la función polinomial y evaluando directamente.
53. P1x 2
y
2 3
0 6x 7
x
1
68. Grado 4
y
1 4
3x
0
x
1
3
40x 2x
P1x 2
52. Sea
40x
1, c
x
x3
2
0
1
2
1, c 7x
1
2
9x
5
1
2
5, c 7, c
2
y
1
6, c
x
y
1 2
1, c
2
3x 2
48. P1x2
51. P1x 2
9x
3
3
5, c
66. Grado 3
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
69. ¿División imposible? Supongamos que nos piden resolver los siguientes dos problemas en un examen: A. Encuentre el residuo cuando 6x 1000 17x 562 12x 26 se divide entre x ⫹ 1. B. ¿x 2 1 es factor de x 567 3x 400 x 9 2? Obviamente, es imposible resolver estos problemas al hacer una división, porque los polinomios son de grado muy alto. Use uno o más de los teoremas de esta sección para resolver estos problemas sin hacer realmente la división. 70. Forma anidada de una función polinomial Expanda Q para demostrar que las polinomiales P y Q son iguales.
Q1x 2 P1x2
1113x
3x 4
5x 3 52 x
x2 12 x
3x
5 32 x
5
Trate de evaluar P122 y Q122 mentalmente, usando las formas dadas. ¿Cuál es más fácil? Ahora escriba la función polinomial x 5 2x 4 3x 3 2x 2 3x 4 en forma “anidada”, R1x 2 como la polinomial Q. Use la forma anidada para hallar R132 mentalmente. ¿Ve usted cómo calcular con la forma anidada sigue los mismos pasos aritméticos que calcular el valor de una función polinomial usando división sintética?
S E C C I Ó N 3.4
| Ceros reales de funciones polinomiales 253
3.4 C EROS REALES DE FUNCIONES POLINOMIALES Ceros racionales de funciones polinomiales 䉴 Regla de Descartes de los signos y límites superior e inferior para raíces 䉴 Uso de álgebra y calculadoras gratificadoras para resolver ecuaciones con polinomios El Teorema del Factor nos dice que hallar los ceros de una función polinomial es en realidad lo mismo que factorizarlo en factores lineales. En esta sección estudiamos algunos métodos algebraicos que nos ayudan a hallar los ceros reales de una función polinomial y, por tanto, factorizar el polinomio. Empezamos con los ceros racionales de una función polinomial.
W Ceros racionales de funciones polinomiales P1x 2
1x
22 1x
32 1x
Para ayudarnos a entender el siguiente teorema, consideremos la función polinomial 3
2
x
x
14x
42
Forma factorizada
24
Forma expandida
De la forma factorizada vemos que los ceros de P son 2, 3 y 24. Cuando se expande el polinomio, la constante 24 se obtiene al multiplicar 1222 ⫻ 1232 ⫻ 4. Esto significa que los ceros de la función polinomial son todos ellos factores del término constante. Lo siguiente generaliza esta observación.
TEOREMA DE CEROS RACIONALES a n x n a n 1x n 1 . . . a 1x a 0 tiene Si la función polinomial P1x2 coeficientes enteros, entonces todo cero racional de P es de la forma p q donde y
p es un factor del coeficiente constante a0 q es un factor del coeficiente principal an.
DEMOSTRACIÓN Si p/q es un cero racional, en sus términos más sencillos, la función polinomial P, entonces tenemos
p n an a b q an pn
an an
p1a n p n
p n b a 1 q
1p 1
n
1
...
1
q
an
...
1p
n
p a1 a b q
2
a 1pq n q
...
1
a0
0
2
0
a 0q n
a 1q n
1
Multiplique por qn
a 0q n
Reste a0qn y factorice el lado izquierdo
Ahora p es un factor del lado izquierdo, de modo que también debe ser un factor del lado derecho. Como p/q está en sus términos más sencillos, p y q no tienen factor en común, de modo que p debe ser un factor de a0. Una demostración similar muestra que q es un factor de an. Q Vemos del Teorema de Ceros Racionales que si el coeficiente principal es 1 o 21, entonces los ceros racionales deben ser factores del término constante.
E J E M P LO 1
Uso del Teorema de Ceros Racionales
Encuentre los ceros racionales de P1x2 ⫽ x3 2 3x ⫹ 2.
254
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales S O LU C I Ó N Como el coeficiente principal es 1, cualquier cero racional debe ser un divisor del término constante 2. Entonces los ceros racionales posibles son 1 y 2. Probamos cada una de estas posibilidades.
112 3
1 12
P112
122 3
Library of Congress
P1 12
EVARISTE GALOIS (1811-1832) es uno de los muy pocos matemáticos de tener toda una teoría a la que se ha dado nombre en su honor. Murió cuando todavía no cumplía 21 años, pero ya había resuelto por completo el problema central de la teoría de ecuaciones al describir un criterio que revela si una ecuación con polinomios se puede resolver con operaciones algebraicas. Galois fue uno de los más grandes matemáticos de su tiempo, aunque casi no fue conocido. Repetidas veces envió su trabajo a los eminentes matemáticos Cauchy y Poisson, quienes o bien perdieron las cartas o no entendieron sus ideas. Galois escribía en un estilo terso e incluía pocos detalles, lo cual es probable desempeñó un papel para no aprobar los exámenes de admisión de la Ecole Polytechique de París. Político radical, Galois pasó varios meses en prisión por sus actividades revolucionarias. Su corta vida llegó a su fin cuando murió en un duelo por un lío de faldas y, temiendo esto, escribió la esencia de sus ideas y las confió a su amigo Auguste Chevalier. Concluyó escribiendo “habrá, espero, personas que encuentren ventaja en descifrar todo este desorden.” El matemático Camille Jordan hizo justamente esto, 14 años después.
3112 3
1 22 3
P122 P1 22
2
0
31 12 3122
2
2
4
4
31 22
2
0
Los ceros racionales de P son 1 y 22.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 15
Q
En el siguiente recuadro se explica cómo usar el Teorema de Ceros Racionales con división sintética para factorizar un polinomio.
HALLAR LOS CEROS RACIONALES DE UN POLINOMIO 1. Hacer una lista de los ceros posibles. Haga una lista de todos los ceros racionales posibles, usando el Teorema de Ceros Racionales. 2. Dividir. Use división sintética para evaluar la función polinomial de cada uno de los candidatos para los ceros racionales que usted encontró en el Paso 1. Cuando el residuo sea 0, observe el cociente que haya obtenido. 3. Repetir. Repita los Pasos 1 y 2 para el cociente. Deténgase cuando obtenga un cociente que sea cuadrático o se factorice con facilidad, y use la fórmula cuadrática o factorice para hallar los ceros restantes.
E J E M P LO 2
Hallar ceros racionales
Factorice la función polinomial P1x2 ⫽ 2x3 ⫹ x2 2 13x ⫹ 6, y encuentre todos sus ceros. S O LU C I Ó N forma
Por el Teorema de Ceros Racionales, los ceros racionales de P son de la
factor de término constante factor de coeficiente principal
posible cero racional de P
El término constante es 6 y el coeficiente principal es 2, y
posible cero racional de P Los factores de 6 son 1, 2, 3, posibles ceros racionales de P son
1 , 1
2 , 1
3 , 1
factor de 6 factor de 2
6 y los factores de 2 son
6 , 1
1 , 2
2 , 2
3 , 2
1,
2. Por lo tanto, los
6 2
Simplificando las fracciones y eliminando duplicados, obtenemos la siguiente lista de posibles ceros racionales:
1,
2,
3,
6,
1 , 2
3 2
S E C C I Ó N 3.4
| Ceros reales de funciones polinomiales 255
Para comprobar cuál de estos posibles ceros en realidad son ceros, necesitamos evaluar P en cada uno de estos números. Una forma eficiente de hacerlo es usar división sintética. Pruebe con 1 como cero
1
2 2
Pruebe si 2 es un cero
1
13
6
2
3
10
3
10
4
2
2 2
1
13
6
4
10
6
5
3
0
El residuo no es 0, por lo que 1 no es un cero
El residuo es 0, por lo que 2 es un cero
De la última división sintética vemos que 2 es un cero de P y que P se factoriza como
1x
2x 3
P1x2
1x
22 12x x2
22 12x
13x
6
Función polinomial dada
12 1x
2
5x
32
De división sintética
32
Factorice 2x 2 + 5x – 3
De la forma factorizada vemos que los ceros de P son 2, 21 y 23. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 27
E J E M P LO 3
Q
Uso del Teorema de Ceros Racionales y la Fórmula Cuadrática
Sea P1x 2 x 4 5x 3 5x 2 (a) Encuentre los ceros de P.
23x
10. (b) Trace la gráfica de P.
S O LU C I Ó N 1
1 1
2
1 1
5
1 1
(a) El coeficiente principal de P es 1, de modo que todos los ceros racionales son enteros: son divisores del término constante 10. Entonces, los posibles candidatos son
5 1 4
5 4 9
23 9 14
10 14 24
5 2 3
5 6 11
23 22 1
10 2 12
Usando división sintética (vea al margen), encontramos que 1 y 2 no son ceros pero que 5 es un cero y que P se factoriza como
10 10 0
3
5 5 0
5 0 5
23 25 2
1,
x4
5x 3
5x 2
2,
23x
5,
10 1x
10
52 1x 3
5x
22
Ahora tratamos de factorizar el cociente x 2 5x 2 2. Sus posibles ceros son los divisores de 22, es decir,
1,
2
Como ya sabemos que 1 y 2 no son ceros de la función polinomial original P, no necesitamos probarlos otra vez. Verificando los candidatos restantes, 21 y 22, vemos que 22 es un cero (vea al margen), y P se factoriza como 2
1
0
5
2
1
2 2
4 1
2 0
x4
5x 3
5x 2
23x
10
1x
1x
52 1x 3
52 1x
4112 1 12
22 1x 5x
22 2
2x
12
A continuación use la fórmula cuadrática para obtener los dos ceros restantes de P:
x Los ceros de P son 5,
2 2, 1
21 22 2 2
12, y 1
12.
1
12
256
| Funciones polinomiales y racionales
C A P Í T U LO 3 50
_3
6
(b) Ahora que conocemos los ceros de P, podemos usar los métodos de la Sección 3.2 para trazar la gráfica. Si deseamos usar una calculadora graficadora, conocer los ceros nos permite escoger un rectángulo de vista apropiado, que sea lo suficiente ancho como para contener todos los puntos de intersección x de P. Las aproximaciones numéricas de los ceros de P son Por lo tanto, en este caso escogemos el rectángulo 323, 64 por 3250, 504 y trazamos la gráfica que se ve en la Figura 1.
5,
_50
FIGURA 1 P1x 2 x 4 5x 3
5x 2
23x
10
2,
2.4,
y
0.4
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 47 Y 51
Q
W Regla de Descartes de los signos y límites superior e inferior para raíces
Polinomio
x 2 4x 1 2x 3 x 6 x 4 3x 2 x 4
Variaciones en signo
0 1 2
En algunos casos, la regla siguiente descubierta por el filósofo y matemático francés René Descartes hacia 1637 (vea página 181) es útil para eliminar candidatos de listas largas de posibles raíces racionales. Para describir esta regla, necesitamos el concepto de variación en signo. Si P1x2 es una función polinomial con coeficientes reales, escrito con potencias descendentes de x (y omitiendo potencias con coeficiente 0), entonces una variación en signo se presenta siempre que coeficientes adyacentes tengan signos contrarios. Por ejemplo,
5x 7
P1x2
3x 5
x4
2x 2
3
x
tiene tres variaciones en signos.
REGLA DE DESCARTES DE SIGNOS 1. El número de ceros reales positivos de P1x2 es igual al número de variaciones en signo en P1x2 o es menor a este último número, en un número entero par.
Sea P una función polinomial con coeficientes reales.
2. El número de ceros reales negativos de P1x2 es igual al número de variaciones en signo en P1 x2 o es menor a este último número, en un número entero par.
E J E M P LO 4
Uso de la Regla de Descartes
Use la Regla de Descartes de los Signos para determinar el número posible de ceros reales positivos y negativos de la función polinomial
P1x2
3x 6
4x 5
3x 3
x
3
S O LU C I Ó N La polinomial tiene una variación en signo, de modo que tiene un cero positivo. Ahora
P1 x2
31 x 2 6
3x 6
4x 5
41 x2 5 3x 3
31 x2 3 x
3
1 x2
3
Por lo tanto, P12x2 tiene tres variaciones en signo. Entonces, P1x2 tiene ya sea tres o un cero negativo, haciendo un total de dos o de cuatro ceros reales. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 67
Q
Decimos que a es un límite inferior y b es un límite superior para los ceros de una función polinomial si todo cero real c de la polinomial satisface a ≤ c ≤ b. El siguiente teorema nos ayuda a hallar esos límites para los ceros de una función polinomial.
| Ceros reales de funciones polinomiales 257
S E C C I Ó N 3.4
TEOREMA DE LOS LÍMITES SUPERIORES E INFERIORES Sea P una función polinomial con coeficientes reales. 1. Si dividimos P1x2 entre x
b (con b 0) usando división sintética y si el renglón que contiene el cociente y residuo no tiene una entrada negativa, entonces b es un límite superior para los ceros reales de P. 2. Si dividimos P1x2 entre x a (con a 0) usando división sintética y si el renglón que contiene el cociente y residuo tiene entradas que son alternativamente no positivas y no negativas, entonces a es un límite inferior para los ceros reales de P. Una demostración de este teorema está sugerida en el Ejercicio 97. La frase “alternativamente no positivas y no negativas” simplemente quiere decir que los signos de los números se alternan, con 0 considerado como positivo o negativo según se requiera.
E J E M P LO 5
Límites superior e inferior para ceros de una función polinomial
Demuestre que todos los ceros reales de la función polinomial P1x2 ⫽ x4 2 3x2 1 2x 2 5 se encuentran entre 23 y 2. Dividimos P1x2 entre x 2 2 y x ⫹ 3 usando división sintética.
S O LU C I Ó N
2
1
1
0
3
2
5
2
4
2
8
2
1
4
3
3
1
Todas las entradas positivas
1
0
3
2
5
3
9
18
48
3
6
16
43
Las entradas se alternan en signo
Por el Teorema de los Límites Superiores e Inferiores, 23 es un límite inferior y 2 es un límite superior para los ceros. Como ni 23 ni 2 es un cero (los residuos no son 0 en la tabla de división), todos los ceros reales están entre estos números. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 71
E J E M P LO 6
Q
Factorizar una función polinomial de quinto grado
Factorice completamente la función polinomial
2x 5
P1x2
5x 4
8x 3
14x 2
6x
9
S O LU C I Ó N Los posibles ceros racionales de P son 12 , 1, 32, 3, 92, y rificamos primero los candidatos positivos, empezando con el más pequeño. 1 2
2
2
5
8
14
6
9
1
3
5 2
33 4
9 8
6
5
33 2
9 4
63 8
1
2
1 2
no es un cero
2
5
8
14
6
9
2
7
1
15
9
7
1
15
9
0
9. Ve-
P(1) = 0
1x 12 12x 4 7x 3 x 2 15x 92 . Continuamos facEntonces 1 es un cero, y P1x2 torizando el cociente. Todavía tenemos la misma lista de posibles ceros excepto que 12 se ha eliminado. 1
2 2
7
1
15
9
2
9
8
7
9
8
7
16
3 2
1 no es un cero
2 2
7
1
15
3
15
21
10
14
6
9
P A 32 B 0, 0 todas las entradas no negativas
9
258
| Funciones polinomiales y racionales
C A P Í T U LO 3
Vemos que 32 es un cero y un límite superior para los ceros de P1x2, de modo que no necesitamos verificar más por ceros positivos, porque todos los candidatos restantes son mayores a 32.
P1x 2
1x
1x
3 3 2 2 12x
12 1x
12 12x
32 1x 3
10x 2
14x
5x 2
62
7x
Por división sintética Factorice 2 del último factor, multiplique en segundo factor
32
Por la Regla de Descartes de los Signos, x3 ⫹ 5x2 ⫹ 7x ⫹ 3 no tiene cero positivo, de modo que sus únicos ceros racionales posibles son 21 y 23.
1
40
1 1
_4
P1x 2
2
9
1x
2x
5
1 2 12x 5x
4
3 2 1x
8x
3
1x
P1x2
_20
FIGURA 2
1x
Por lo tanto,
1 2 1x
14x
2
6x
2
32
9
12 12x
12 12x
32 1x
32 1x
5
7
3
1
4
3
4
3
0
12 1x 2
12 2 1x
4x
P(–1) = 0
32
Por división sintética
32
Factorización cuadrática
Esto significa que los ceros de P son 1, 32, 21 y 23. La gráfica de la función polinomial se muestra en la Figura 2. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 79
Q
W Uso de álgebra y calculadoras graficadoras para resolver ecuaciones con polinomios En la Sección 1.9 utilizamos calculadoras graficadoras para resolver ecuaciones gráficamente. Ahora podemos usar las técnicas algebraicas que hemos aprendido, para seleccionar un rectángulo de vista apropiado cuando resolvamos gráficamente una ecuación con polinomios.
E J E M P LO 7
Resolver gráficamente una ecuación de cuarto grado
Encuentre todas las soluciones reales de la siguiente ecuación, redondeadas al décimo más cercano. 3x 4 4x 3 7x 2 2x 3 0 S O LU C I Ó N
Para resolver gráficamente la ecuación, graficamos
P1x2 Usamos el Teorema de los Límites Superiores e Inferiores para ver dónde pueden hallarse las soluciones.
3x 4
4x 3
7x 2
2x
3
Primero usamos el Teorema de los Límites Superiores e Inferiores para hallar dos números entre los cuales deben estar todas las soluciones. Esto nos permite escoger un rectángulo de vista que seguramente contiene todos los puntos de intersección x de P. Usamos división sintética y procedemos por prueba y error. Para hallar un límite superior, intentamos los números enteros 1, 2, 3, . . . , como candidatos potenciales. Vemos que 2 es un límite superior para las soluciones.
2
3 3
4
7
2
3
6
20
26
48
10
13
24
45
Todos positivos
S E C C I Ó N 3.4 20
Ahora buscamos un límite inferior, intentando con los números 21, 22 y 23 como potenciales candidatos. Vemos que 23 es un límite inferior para las soluciones.
_3
3
2
3 3
7x 2
2x
4
7
2
3
9
15
24
78
5
8
26
75
Las entradas se alternan en signo
Entonces, todas las soluciones se encuentran entre 23 y 2. Por lo tanto, el rectángulo de vista 323, 24 por 3220, 204 contiene todos los puntos de intersección x de P. La gráfica de la figura 3 tiene dos puntos de intersección x, uno entre 23 y 22 y el otro entre 1 y 2. Si hacemos acercamiento (zoom), encontramos que las soluciones de la ecuación, al décimo más cercano, son 22.3 y 1.3.
_20
FIGURA 3 y 3x 4 4x 3
| Ceros reales de funciones polinomiales 259
3
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 93
E J E M P LO 8
Q
Determinar el tamaño de un tanque de combustible
Un tanque de combustible está formado por una sección cilíndrica central de 4 pies de largo y dos secciones hemisféricas de extremo, como se ve en la Figura 4. Si el tanque tiene un volumen de 100 pies3, ¿cuál es el radio r que se muestra en la figura, redondeado al centésimo de pie más cercano? 4 pies r
FIGURA 4 S O LU C I Ó N Usando la fórmula del volumen al final de este libro, vemos que el volumen de la sección cilíndrica del tanque es Volumen de un cilindro: V Volumen de una esfera: V
p # r2 # 4 Las dos partes semiesféricas juntas forman una esfera completa cuyo volumen es
pr 2h 4 3
4 3 3 pr
pr 3
Como el volumen total del tanque es de 100 pies3, obtenemos la siguiente ecuación: 4 3 3 pr
150
0
3
50
FIGURA 5 y 43 px 3 4px 2 y y
100
4pr 2
100
Una solución negativa para r no tendría sentido en esta situación física, y por sustitución podemos verificar que r ⫽ 3 lleva a un tanque que tiene más de 226 pies3 de volumen, mucho mayor que el requerido de 100 pies3. Por lo tanto, sabemos que el radio correcto está entre 0 y 3 pies, de modo que usamos un rectángulo de vista de 30, 34 por 350, 1504 para graficar la función y 43 px 3 4px 2, como se ve en la Figura 5. Como buscamos que el valor de esta función sea 100, también graficamos la recta horizontal y ⫽ 100 en el mismo rectángulo de vista. El radio correcto será la coordenada x del punto de intersección de la curva y la recta. Usando el cursor y haciendo acercamiento zoom, vemos que en el punto de intersección x ≈ 2.15, redondeado a dos lugares decimales. Entonces el tanque tiene un radio de aproximadamente 2.15 pies. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 99
Q
Observe que podríamos haber resuelto la ecuación del Ejemplo 8 al escribirla primero como 4 3 3 pr
4pr 2
100
y luego hallar el punto de intersección x de la función y
0 4 3 3 px
4px 2
100.
260
| Funciones polinomiales y racionales
C A P Í T U LO 3
3.4 EJERCICIOS CO N C E P TO S
12. P1x2
3x 3
4x 2
2
x
1. Si la función polinomial
P 1x 2
an x
n
y an 1 x
n 1
p
a1 x
a0
tiene coeficientes enteros, entonces los únicos números que posiblemente podrían ser ceros racionales de P son todos los p de la forma , donde p es un factor de _____y q es un factor q de _____. Los posibles ceros racionales de
P 1x 2
6x 3
5x 2
19x
10 son __________.
2. Usando la Regla de Descartes de los Signos, podemos decir que la función polinomial P1x2 ⫽ x5 2 3x4 ⫹ 2x3 2 x2 ⫹ 8x 2 8 tiene
1 0
13. P1x 2
2x 4
9x 3
9x 2
1
x
x
3
y
______,_____, o ______ceros reales positivos y ____ceros
1
reales negativos.
0 1
3. ¿Verdadero o falso? Si c es un cero real de la polinomial P, entonces todos los otros ceros de P son ceros de P1x2/1x 2 c2.
x
4. ¿Verdadero o falso? Si a es un límite superior para los ceros reales de la polinomial P, entonces –a es necesariamente un límite inferior para los ceros reales de P.
HABILIDADES 5-10 Q Haga una lista de todos los posibles ceros racionales dados por el Teorema de Ceros Racionales (pero no verifique cuáles son realmente ceros).
5. P1x 2
6. Q1x 2
x3
4x 2
3
x4
3x 3
6x
2x 5
3x 3
8. S1x2
6x 4
x2
10. U1x 2
4x 4
2x 2
7. R1x 2 9. T1x2
12x 5
5x 3
x2
2x
4x
1 y
0
8
1
x
12
7 2x
5x
x3
1
15-46 Q Encuentre todos los ceros racionales de la función polinomial, y escriba el polinomio en forma factorizada.
8
11-14 Q Nos dan una función polinomial P y su gráfica. (a) Haga una lista de todos los posibles ceros racionales de P dados por el Teorema de Ceros Racionales. (b) De la gráfica, determine cuáles de los posibles ceros racionales en realidad resultan ser ceros.
11. P1x 2
4x 4
8
4x 2
6x 3
14. P1x 2
15. P1x 2 16. P1x 2
17. P1x 2 18. P1x 2
y
19. P1x 2
1
22. P1x 2
1
0
20. P1x 2 21. P1x 2
1
x
23. P1x 2 24. P1x 2
25. P1x 2 26. P1x 2
x3
3x 2
x
3
7x
2
x
3
3x
x
3
x
3
x
3
2
x
3
x
3
x
3
3
x
x
4
x
4
4 14x
8
2
4x
2
3x
6x
2
12x
18 8
8x
12
4x
2
x
6
4x
2
7x
3x
2
x
2
11x
5x
2
4
2x
3
3x 2
x
4x
10 3 30 8x
4
| Ceros reales de funciones polinomiales 261
S E C C I Ó N 3.4 27. P1x 2 28. P1x 2
29. P1x 2
31. P1x 2
30. P1x2 32. P1x 2 34. P1x 2
33. P1x2
x4
6x 3
7x 2
6x
8
x4
x3
23x 2
3x
90
9x
9
4
4x
4
25x
2
3
2x
3x 4
10x 3
4x 3
35. P1x 2
2x 3
9x 2
7x 2
2x 3
40x
4x
4x 2
2x
3
36. P1x 2
7x
37. P1x 2
8x 3
10x 2
x
38. P1x 2
4x 3
8x 2
11x
15
39. P1x 2
6x
3
3x
2
40. P1x 2
20x 3
8x 2
5x
2
41. P1x 2
12x 3
20x 2
x
3
42. P1x 2
2x 4
7x 3
3x 2
43. P1x 2
6x 4
7x 3
12x 2
45. P1x 2
46. P1x2
3
11x
2
8x
4
3x 31x 2
36
5
4
3
2
4x
3x
3x
14x
2x
6
5
3x
4
22x
14x 13x
x3
4x 2
3x
49. P1x 2
x
3
5x
2
2x
x
4
6x
3
x
4
2x
3
x
4
7x
3
14x
x
5
4x
4
3
48. P1x2
3
36x
4
29x
24
2
43x
3
27x
10
2
32x
12
50. P1x2
51. P1x2 53. P1x 2 52. P1x2
54. P1x 2
55. P1x 2 56. P1x 2
4x
3
3x
3
2x
4
4x
5
2 12
4x
2
2x
x
6x
2
5x
2
15x
2
4
3x 2
10x
2x
4
17x
18x
4
3
6x
2
3x 91x
1 2
60x
9
57-64 Q Nos dan una función polinomial P. (a) Encuentre todos los ceros reales de P. (b) Trace la gráfica de P.
57. P1x 2
59. P1x 2
x3
3x 2
x3
58. P1x2
4x
2x 2
2x 3
7x 2
60. P1x2
3x 3
17x 2
62. P1x 2
4
61. P1x2
63. P1x 2 64. P1x 2
x
x x
5
x5
5x 4
x
x4
6
4x 6x 2
5x
2
9 4x
8x 3
6x 3
8
8 x
71. P1x2
2x 3
5x 2
72. P1x2
4
3
2
14x 2
5x x
x
4x 4
3
7 3
x x
2
3
x
1
12
x 2
6x
4
x
5x
x3
x2
1
x
8x
x
2x
74. P1x 2
8x
3
3x
4
76. P1x 2
x3
2; a
x 2
9x
10x
2
17x
3
2x
39x 24x
3, b
1
8; a
3, b
9; a 2
9x
3, b 1; a
5 2
0, b
6
77. P1x 2
2x
3x 2 3
4
3x
78. P1x 2
x
4
2x
x
5
4
79. P1x 2 80. P1x 2
2x 4
83. P1x 2
x
2
8x
3
x
2
12 9x
2
1
79-84 Q Encuentre todos los ceros racionales de la función polinomial, y luego encuentre los ceros irracionales, si los hay. Siempre que sea apropiado, use el Teorema de Ceros Racionales, el Teorema de los Límites Superiores e Inferiores, la Regla de Descartes de los Signos, la fórmula cuadrática u otras técnicas de factorización.
3x 3
4x 2
2x
4
15x
3
4x
4
21x
2
6x
4
3
x
7x
5
8x
7x 5
4
31x 5
2 20x
8x 2
5x
3
23x 2
9x
14x
3x 2
4
22x
3
57x
4
50x 2
24 35x
6
85-88 Q Demuestre que la función polinomial no tiene ningún cero racional.
86. P1x 2 85. P1x2
87. P1x 2
88. P1x 2
x3 2x 3x
3
x
2
x 4
50
x
3
x
x
2
6x
5x
25
2
x
12 2
1
89-92 Q Las soluciones reales de la ecuación dada son racionales. Haga una lista de todas las posibles raíces racionales usando el Teorema de Ceros Racionales, y luego grafique la función polinomial en el rectángulo de vista dado para determinar cuáles valores son soluciones realmente. (Todas las soluciones se puedan ver en el rectángulo de vista.)
4
21x
3
10x 4
12
5x
x
5
84. P1x2
2
15x
4x
8
82. P1x 2
9
2
1 8x
70. P1x 2
x
5
81. P1x 2
2
3x
3
x
4
75. P1x 2
47-56 Q Encuentre todos los ceros reales de la función polinomial. Use la fórmula cuadrática si es necesario, como en el Ejemplo 3(a).
47. P1x2
2x
6
2
75-78 Q Encuentre enteros que sean límites superiores e inferiores para los ceros reales de la función polinomial.
2
9x 3
4x
67. P1x 2
2x
x
3
x
3
73. P1x2
3x 4 5
69. P1x 2
x2
71-74 Q Demuestre que los valores dados para a y b son límites inferiores y superiores para los ceros reales de la función polinomial.
3
x5 x
66. P1x 2
x3
68. P1x 2
1
x
3x 2
12
4
4x 3
44. P1x2
65. P1x 2
36 19x2
x
65-70 Q Use la Regla de Descartes de los Signos para determinar cuántos ceros reales positivos y cuántos negativos puede tener la función polinomial. A continuación, determine el posible número total de ceros reales.
4 11x
3
89. x 3
3x 2
4x
90. x 4
5x 2
4
0; 3 4, 44 por 3 15, 154
0; 3 4, 44 por 3 30, 304 12
262
| Funciones polinomiales y racionales
C A P Í T U LO 3
91. 2x 4
5x 3
14x 2
92. 3x 3
8x 2
5x
0; 3 2, 54 por 3 40, 404
0; 3 3, 34 por 3 10, 104
5x 2
12
opuestas se mide y resulta ser 10 pies más larga que un lado de la parcela. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno, redondeadas al pie más cercano?
x
93-96 Q Use una calculadora graficadora para hallar todas las soluciones reales de la ecuación, redondeada a dos lugares decimales.
93. x 4 94. 2x
8x
95. 4.00x 4 96. x
5
4
x 3
2
0 9x
9
4.00x 3
2.00x
4
x+10
0
10.96x 2
0.96x
3
5.88x
5.00x
2
9.09
10.00x
0 4.80
0
97. Sea P1x2 una función polinomial con coeficientes reales y sea b > 0. Use el Algoritmo de División para escribir
P1x 2
1x
b 2 # Q1x 2
r h1t2
Suponga que r ≥ 0 y que todos los coeficientes en Q1x2 son no negativos. Sea z > b. (a) Demuestre que P1z2 > 0. (b) Demuestre la primera parte del Teorema de los Límites Superiores e Inferiores. (c) Use la primera parte del Teorema de los Límites Superiores e Inferiores para demostrar la segunda parte. 3Sugerencia: Demuestre que si P1x2 satisface la segunda parte del teorema, entonces P12x2 satisface la primera parte.4 98. Demuestre que la ecuación
x5
x4
x3
5x 2
12x
101. Profundidad de una nevada Empezó a caer nieve al mediodía de un domingo. La cantidad de nieve en el suelo en cierto lugar en el tiempo t está dada por la función
6
0
tiene exactamente una raíz racional, y luego demuestre que debe tener ya sea dos o cuatro raíces racionales.
11.60t
12.41t 2
6.20t 3
1.58t 4
0.20t 5
0.01t 6
donde t se mide en días desde el comienzo de la nevada y h1t2 es la profundidad de la nieve en pulgadas. Trace una gráfica de esta función y use su gráfica para contestar las siguientes preguntas. (a) ¿Qué ocurrió poco después del mediodía del martes? (b) ¿Hubo más de 5 pulgadas de nieve en el suelo? Si es así, ¿en qué día(s)? (c) ¿En qué día y a qué hora (a la hora más cercana) desapareció por completo la nieve? 102. Volumen de una caja Una caja abierta con volumen de 1500 cm3 ha de construirse tomando una pieza de cartón de 20 cm por 40 cm, cortando cuadrados de lado de longitud x cm de cada esquina, y doblando los lados hacia arriba. Demuestre que esto puede hacerse en dos formas diferentes, y encuentre las dimensiones exactas de la caja en cada caso.
A P L I C AC I O N E S
40 cm
99. Volumen de un silo Un silo para granos está formado por una sección principal cilíndrica y un techo semiesférico. Si el volumen total del silo (incluyendo la parte dentro de la sección del techo) es de 15,000 pies3 y la parte cilíndrica es de 30 pies de altura, ¿cuál es el radio del silo, redondeado al décimo de pie más cercano?
x
x
20 cm
103. Volumen de un cohete Un cohete está formado por un cilindro circular recto de 20 m de altura, rematado por un cono cuya altura y diámetro son iguales y cuyo radio es igual que el de la sección cilíndrica. ¿Cuál debe ser este radio (redondeado a dos lugares decimales) si el volumen total debe ser de 500π/3 m3?
30 pies
20 m
100. Dimensiones de un lote Una parcela rectangular de tierra tiene un área de 5000 pies2. Una diagonal entre esquinas
S E C C I Ó N 3.4 104. Volumen de una caja Una caja rectangular con volumen de 2 12 pies 3 tiene una base cuadrada, como se ilustra en la figura siguiente. La diagonal de la caja (entre un par de esquinas opuestas) es 1 pie más larga que cada lado de la base. (a) Si la caja tiene lados de longitud de x pies, demuestre que
x6
2x 5
x4
8
0
(b) Demuestre que dos cajas diferentes satisfacen las condiciones dadas. Encuentre las dimensiones en cada caso, redondeadas al centésimo de pie más cercano.
x
x
b l b
Q
107. La cúbica deprimida La ecuación cúbica más general (tercer grado) con coeficientes racionales se puede escribir como
x3
ax 2
bx
0
c
(a) Demuestre que si sustituimos x por X ⫺ a/3 y simplificamos, terminamos con una ecuación que no tiene término en X2, es decir, una ecuación de la forma
X3
pX
0
q
A esto se llama cúbica deprimida, porque hemos “deprimido” el término cuadrático. (b) Use el procedimiento descrito en la parte (a) para deprimir la ecuación x3 ⫹ 6x2 ⫹ 9x ⫹ 4 ⫽ 0. 108. La fórmula cúbica La fórmula cuadrática se puede usar para resolver cualquier ecuación cuadrática (o de segundo grado). El estudiante puede preguntarse si existen esas fórmulas para ecuaciones cúbicas (de tercer grado), cuárticas (de cuarto grado) y de grado superior. Para la cúbica deprimida x3 ⫹ px ⫹ q ⫽ 0, Cardano (página 274) encontró la siguiente fórmula para una solución:
105. Dimensiones alrededor de una caja Una caja con base cuadrada tiene longitud más dimensiones a su alrededor de 108 pulgadas. ¿Cuál es la longitud de la caja si su volumen es de 2200 pulg.3?
DESCUBRIMIENTO
| Ceros reales de funciones polinomiales 263
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
106. ¿Cuántos ceros reales puede tener una función polinomial? Dé ejemplos polinomiales que tengan las siguientes propiedades, o explique por qué es imposible hallar ese polinomio. (a) Una polinomial de grado 3 que no tiene ceros reales (b) Una polinomial de grado 4 que no tiene ceros reales (c) Una polinomial de grado 3 que no tiene tres ceros reales, sólo uno de los cuales es racional (d) Una polinomial de grado 3 que no tiene cuatro ceros reales, ninguno de los cuales es racional. ¿Qué debe ser verdadero acerca del grado de una polinomial con coeficientes enteros si no tiene ceros reales?
x
q C 2 3
q2 B4
p3 27
q C 2 3
q2 B4
p3 27
Una fórmula para ecuaciones cuárticas (de cuarto grado) fue descubierta por el matemático italiano Ferrari en 1540. En 1824, el matemático noruego Niels Henrik Abel demostró que es imposible escribir una fórmula quíntica, es decir, una fórmula para ecuaciones de quinto grado. Finalmente, Galois (página 254) dio un criterio para determinar cuáles ecuaciones se pueden resolver mediante una fórmula que contenga radicales. Utilice la fórmula cúbica para hallar una solución para las siguientes ecuaciones. A continuación resuelva las ecuaciones usando los métodos que aprendió en esta sección. ¿Cuál método es más fácil?
(a) x 3 (b) x 3 (c) x 3
P
3x 2 0 27x 54 0 3x 4 0
PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO
Apuntando hacia un cero
En este proyecto exploramos un método numérico para aproximar los ceros de una función polinomial. Se puede hallar el proyecto en el sitio web acompañante de este libro: www.stewartmath.com
264
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales
3.5 N ÚMEROS COMPLEJOS Operaciones aritméticas con números complejos 䉴 Raíces cuadradas de números negativos 䉴 Soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas En la Sección 1.5 vimos que si el discriminante de una ecuación cuadrática es negativo, la ecuación no tiene solución real. Por ejemplo, la ecuación x2 ⫹ 4 ⫽ 0 no tiene solución real. Si intentamos resolver esta ecuación, obtenemos x2 ⫽ 24, por lo que
Vea en la nota acerca de Cardano (página 274) un ejemplo de cómo se usan números complejos para hallar soluciones reales de ecuaciones con polinomios.
x 1 4 Pero esto es imposible, porque el cuadrado de cualquier número real es positivo. 3Por ejemplo, 12222 ⫽ 4, un número positivo.4 Por lo tanto, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales. Para hacer posible resolver todas las ecuaciones cuadráticas, los matemáticos han inventado un sistema numérico expandido, llamado sistema de números complejos. Primero definieron el nuevo número i 1 1 Esto significa que i2 ⫽ 21. Un número complejo es entonces un número de la forma a ⫹ bi, donde a y b son números reales.
DEFINICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Un número complejo es una expresión de la forma
a
bi
2
donde a y b son números reales y i 1. La parte real de este número complejo es a y la parte imaginaria es b. Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.
Observe que las partes reales e imaginarias de un número complejo son números reales.
E J E M P LO 1
Números complejos
Los siguientes son ejemplos de números complejos.
3
4i
Parte real 3, parte imaginaria 4
1 2
2 3i
Parte real 12 , parte imaginaria
6i
2 3
Parte real 0, parte imaginaria 6 7
Parte real
7, parte imaginaria 0
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 5 Y 9
Q
Un número tal como 6i, que tiene parte real 0, se llama número imaginario puro. Un número real como 27 puede considerarse como número complejo con parte imaginaria 0. En el sistema de números complejos, toda ecuación cuadrática tiene soluciones. Los números 2i y 22i son soluciones de x2 ⫽ 24 porque
12i 2 2
2 2i 2
41 12
4
y
1 2i2 2
1 22 2i 2
41 12
4
Aun cuando usamos el término imaginario en este contexto, los números imaginarios no deben considerarse como menos “reales” (en el sentido más bien ordinario que matemático de la palabra) que números negativos o números irracionales. Todos los números (excepto posiblemente los enteros positivos) son creaciones de la mente humana —los números 21 y 12 así como el número i. Estudiamos números complejos porque completan, en una forma útil y elegante, nuestro estudio de las soluciones de ecuaciones. De hecho, los
S E C C I Ó N 3.5
| Números complejos 265
números imaginarios son útiles no sólo en álgebra y matemáticas, sino también en las otras ciencias. Para dar sólo un ejemplo, en teoría eléctrica la reactancia de un circuito es una cantidad cuya medida es un número imaginario.
W Operaciones aritméticas con números complejos
Los números complejos se suman, restan, multiplican y dividen exactamente igual que con cualquier número de la forma a b 1c. La única diferencia que necesitamos recordar es que i2 ⫽ 21. Entonces, los siguientes cálculos son válidos.
1a
bi 2 1c
di 2
ac 1ac
ac
1ad
1ad
bd2
bc2i 1ad
bdi 2
Multiplique y reúna términos semejantes
bc 2i
i2
bd1 12
bc2i
1
Combine partes reales e imaginarias
Por lo tanto definimos la suma, diferencia y producto de números complejos como sigue.
SUMAR, RESTAR Y MULTIPLICAR NÚMEROS COMPLEJOS Definición
1a
bi 2
Descripción
1c
Suma
Resta 1a bi 2
1c
di 2 di 2
Multiplicación 1a bi 2 # 1c di2
1a 1a
1ac
c2
c2
bd2
1b 1b
d2 i
Para sumar números complejos, sumamos las partes reales y las partes imaginarias.
d2 i
Para restar números complejos, restamos las partes reales y las partes imaginarias.
1ad
E J E M P LO 2 Las calculadoras graficadoras pueden realizar operaciones aritméticas con números complejos. (3+5i)+(4-2i) 7+3i (3+5i)*(4-2i) 22+14i
(a) 13 (c) 13
Número 2i i
3 1 4i 5
Sumar, restar y multiplicar números complejos (b) 13 (d) i 23
5i 2 14 2i 2 5i 2 14 2i 2
Exprese lo siguiente en la forma a ⫹ bi.
5i 2
14
2i2
S O LU C I Ó N
(a) De acuerdo con la definición, sumamos las partes reales y sumamos las partes imaginarias. 14 2i2 13 42 15 22i 7 3i 13 5i 2
(b) 13 (c) 13 (d) i 23 Conjugados complejos
Multiplicamos números complejos como binomios, usando 1. i2
bc2i
5i 2 14 2i 2 13 42 35 1 22 4 i 5i 2 14 2i 2 33 # 4 51 22 4 331 22 22 1 2 11 11 i 1i 2 i 1 12 i 1 12i i
1 7i 5 # 44i 22
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 15, 19, 25 Y 33
14i
Q
Conjugado 3 1
2i i 4i 5
La división de números complejos es muy semejante a racionalizar el denominador de una expresión radical, que consideramos en la Sección 1.4. Para el número complejo z ⫽ a ⫹ bi definimos que su conjugado complejo es z a bi. Observe que
z#z
1a
bi 2 1a
bi 2
a2
b2
266
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales De modo que el producto de un número complejo y su conjugado es siempre un número real no negativo. Usamos esta propiedad para dividir números complejos.
Library of Congress
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS a bi , multiplicamos el numerador y el denominador c di por el complejo conjugado del denominador: Para simplificar el cociente
a c
a
bi di
LEONHARD EULER (1707-1783) nació en Basilea, Suiza, hijo de un pastor. Cuando Euler tenía 13 años, su padre lo envió a la Universidad en Basilea a estudiar teología, pero Euler pronto decidió dedicarse a las ciencias. Además de teología, estudió matemáticas, medicina, astronomía, física e idiomas de Asia. Se dice que Euler podía calcular sin esfuerzo al igual que “los hombres respiran o las águilas vuelan”. Cien años antes de Euler, Fermat (vea página 99) n había conjeturado que 22 1 es un número primo para toda n. Los primeros cinco de estos números son 5, 17, 257, 65,537, y 4,294,967,297. Es fácil demostrar que los primeros cuatro son primos. El quinto también fue considerado primo hasta que Euler, con su fenomenal capacidad de cálculo, demostró que es el producto 641 ⫻ 6,700,417 por lo tanto no es primo. Euler publicó más que cualquier otro matemático en la historia. Sus obras recolectadas comprenden 75 grandes volúmenes. Aun cuando quedó ciego los últimos 17 años de su vida, continuó trabajando y publicando sus obras. En éstas popularizó el uso de los símbolos p, e e i, que el lector encontrará en este libro. Una de las más duraderas aportaciones de Euler es su desarrollo de los números complejos.
bi c ba di c
a c
1ac
di b di
bd2 c2
1bc
ad2i
d2
Más que memorizar toda esta fórmula, es más fácil recordar el primer paso y luego multiplicar el numerador y el denominador como de costumbre.
E J E M P LO 3
Dividir números complejos
Exprese lo siguiente en la forma a ⫹ bi. 3 5i 7 3i (a) (b) 1 2i 4i S O LU C I Ó N Multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador para hacer que el nuevo denominador sea un número real.
(a) El complejo conjugado de 1 a
5i 2i
3 1
3 1
2i es 1
5i 1 ba 2i 1
(b) El complejo conjugado de 4i es 3i
7 4i
a
7
3i 4i
2i b 2i
2i
1
2i .
7
11i
7 5
5
11 i 5
4i. Por lo tanto,
ba
4i b 4i
12
28i 16
3 4
7 i 4
INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 37 Y 43
Q
Así como todo número real positivo r tiene dos raíces cuadradas 1 1r y 1r 2, todo número negativo también tiene dos raíces cuadradas. Si –r es un número negativo, entonces sus raíces cuadradas son i 1r, porque 1i 1r2 2 i2r r y 1 i 1r2 2 1 12 2i 2r r.
W Raíces cuadradas de números negativos
RAÍCES CUADRADAS DE NÚMEROS NEGATIVOS Si
r es negativo, entonces la raíz cuadrada principal de
1 r
Las dos raíces cuadradas de r son i 1r y
i 1r
r es
i 1r.
Por lo general escribimos i 1b en lugar de 1b i para evitar confusión con 1bi
E J E M P LO 4
(a) 1 1
i 11
Raíces cuadradas de números negativos i
(b) 1 16
i 116
4i
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 47 Y 49
(c) 1 3
i 13 Q
| Números complejos 267
S E C C I Ó N 3.5
Debe tenerse especial cuidado al realizar cálculos que comprendan raíces cuadradas de 1ab cuando a y b son positivas, esto no es números negativos. Aun cuando 1a # 1b verdadero cuando ambas son negativas. Por ejemplo,
1 2# 1 3
pero
i 12 # i 13
11 22 1 32
16
16
11 22 1 32
1 2# 1 3
entonces
i 2 16
Al completar radicales de números negativos, expréselas primero en la forma i 1r (donde r > 0) para evitar posibles errores de este tipo. Evalúe 1 112
E J E M P LO 5 1 112
S O LU C I Ó N
1 32 13
Usar raíces cuadradas de números negativos 1 42 y expréselos en la forma a ⫹ bi.
1 32 13
1 42
1 112
i 132 13
8 13
i 13
12 13
i 132 13
16 13
2 132
i 142 2i2
i12 # 2 13
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 51
3 132
Q
W Soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas Ya hemos visto que si a ⫽ 0, entonces las soluciones de la ecuación cuadrática ax2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 son b 2b2 4ac x 2a Si b2 2 4ac < 0, entonces la ecuación no tiene solución real. Pero en el sistema de números complejos, esta ecuación siempre tendrá soluciones porque los números negativos tienen raíces cuadradas en la situación expandida.
E J E M P L O 6 0 Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas Resuelva cada una de las ecuaciones siguientes.
(a) x 2
9
0
(b) x 2
4x
5
0
S O LU C I Ó N
1 9
i 19
(a) La ecuación x2 ⫹ 9 ⫽ 0 significa x2 ⫽ 29, y entonces
x
3i
Las soluciones son por tanto 3i y 23i. (b) Por la Fórmula Cuadrática tenemos
x
242 2
4
4#5
1 4
4 2 4
2i 2
21 2 2
Entonces las soluciones son 22 ⫹ i y 22 2 i.
i2
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 57 Y 59
2
i
Q
268
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales Vemos del Ejemplo 6 que si una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene soluciones complejos, entonces estas soluciones son complejos conjugados entre sí. Por lo tanto, si a ⫹ bi es una solución, entonces a 2 bi también es una solución.
E J E M P LO 7
Complejos conjugados como soluciones de una cuadrática
Demuestre que las soluciones de la ecuaciones
4x 2
24x
37
0
son conjugados complejos entre sí. Usamos la Fórmula Cuadrática para obtener
S O LU C I Ó N
x
21242 2 4142 1372 2142
24
1 16 8
24
1 2i
Por lo tanto, las soluciones son 3
24
4i 8
1 2 i,
y 3
3
1 i 2
y éstos son complejos conjugados.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 65
3.5 EJERCICIOS CO N C E P TO S 2
1. El número imaginario i tiene la propiedad de que i ⫽ _______. 2. Para el número complejo 3 ⫹ 4i la parte real es _______ y la parte imaginaria es _______.
(b) 13
4i 2
3. (a) El complejo conjugado de 3 ⫹ 4i es 3
4i213
4i ⫽_______.
.
4. Si 3 ⫹ 4i es una solución de una ecuación cuadrática con coeficientes reales, entonces _______ también es una solución de la ecuación.
21. 1 12
25. 17
23. 41 1
27. 13
Q
Encuentre las partes real e imaginaria del número complejo.
5. 5 7.
6.
7i
2
5i
8.
3
9. 3 11.
31. i
33. i
100
1 i
37.
2 1
39.
26 2
41.
10i 1 2i
2 3i
15. 12
Q
17. 1 6
19. A7
12. i 13
1 4 13
14. 2 16. 12
43.
1 5
45.
14
6i 2
Evalúe la expresión y escriba el resultado en la forma a ⫹ bi.
5i2 6i2 1 2 iB
A5
19
4i2 i2 3 2 iB
18. 13
20. 1 4
5i2 2i2 i2
A 5 12
5i 2
1 3 iB
2i2 12i2 3i2
2iA 21
14
A 32
12iB A 61
22. 6i 26. 15 2 4.
32. 12i2
i2
3i2 11 iB
3 0. 1 2 2 8.
3 6.
3i 2i
4
3 8.
39i 3i
4 0.
i2 13
4
i2 24iB 7i2
6i
4 4.
1
1 i
1 1
i
5 3
i 4i 25
4
42. 12
3i 1
4i2
34. i 1002
35.
2 1 2
5i2 12
3
4i
7i
4
10.
13. 13 15-46
6
i2 14
4i2 15
29. 16
HABILIDADES 5-14
2i 2
17
8i2
Q
1
i
4 6.
3i
3i 2
1
3 5i 15i
11
2i 2 13
2
i2
i
47-56 Q Evalúe la expresión radical y exprese el resultado en la forma a ⫹ bi. 9 47. 1 25 4 8. B 4
49. 1 3 1 12
50. 213 1 27
S E C C I Ó N 3.6 51. 13
52. 1 13
53. 55.
2 1
1 52 11
1 12
1 4 2 1 16
1 8 1 2
1 36 1 21 9
1 82 54. 56.
73-80 Q Recuerde que el símbolo z representa el conjugado complejo de z. Si z ⫽ a ⫹ bi y w ⫽ c ⫹ di, demuestre cada enunciado.
1 1 1 1
1 1
75. 1z2 73. z
1 71 49 128
57-72 Q Encuentre todas las soluciones de la ecuación y expréselas en la forma a ⫹ bi.
57. x 2
49
0
59. x 2
4x
5
61. x 2
2x
5
63. x 2
x
65. 2x 2 67. t 69. 6x 71.
1 2x
2
1 2 2x
1
3 t
3
4
0
0
60. x 2
2x
2
0
62. x 2
6x
10
64. x 2
3x
3
0
7
5
66. 2x 2 68. z
0
12x
x
58. 9x 2
0
0
0
2
2
16x 1 2x
0
1
z
„
z#„
74. z„
z2
7 6. z
77. z
z es un número real.
78. z
z es un número imaginario puro.
80. z
z si y sólo si z es real.
z
79. z # z es un número real.
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
81. Raíces complejas conjugadas Suponga que la ecuación ax2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 tiene coeficientes reales y raíces complejas. ¿Por qué deben las raíces ser complejos conjugados entre sí? (Piense en cómo encontraría las raíces usando la Fórmula Cuadrática.)
0
0 19
„ 2
DESCUBRIMIENTO
0
2x
12 z
4
70. 4x 72. x
3
| Ceros complejos y el Teorema Fundamental de Álgebra 269
82. Potencias de i Calcule las primeras 12 potencias de i, es decir, i, i2, i3, . . . , i12. ¿Se observa un patrón? Explique cómo calcularía usted cualquier potencia entera de i, usando el patrón que haya descubierto. Use este procedimiento para calcular i4446.
0
0
3.6 C EROS COMPLEJOS Y EL T EOREMA F UNDAMENTAL DE Á LGEBRA El Teorema Fundamental de Álgebra y Factorización Completa 䉴 Ceros y sus multiplicidades 䉴 Los ceros complejos vienen en pares conjugados 䉴 Factores lineales y cuadráticos Ya hemos visto que una función polinomial de grado n puede tener como máximo n ceros reales. En el sistema de números complejos, una función polinomial de grado n tiene exactamente n ceros y por lo tanto se puede factorizar en exactamente n factores lineales. Este dato es una consecuencia del Teorema Fundamental de Álgebra, que fue demostrado por el matemático alemán C. F. Gauss en 1799 (vea página 272).
W El Teorema Fundamental de Álgebra y Factorización Completa El siguiente teorema es la base para gran parte de nuestro trabajo de factorizar polinomios y resolver ecuaciones con polinomios.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE ÁLGEBRA P1x 2
Toda función polinomial
an x n
an
1x
n
1
...
a1x
a0
1n
1, an
02
con coeficientes complejos tiene al menos un cero complejo.
Debido a que cualquier número real también es un número complejo, el teorema también se aplica a funciones polinomiales con coeficientes reales.
270
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales El Teorema Fundamental de Álgebra y el Teorema del Factor juntos demuestran que un polinomio se puede factorizar completamente en factores lineales, como lo demostramos a continuación.
TEOREMA DE FACTORIZACIÓN COMPLETA Si P1x2 es una función polinomial de grado n 1, entonces existen números complejos a, c1, c2, . . . , cn (con a 0) tal que
P1x 2
c1 2 1x
a1x
c2 2 p 1x
cn 2
DEMOSTRACIÓN Por el Teorema Fundamental de Álgebra, P tiene al menos un cero. Llamémosle c1. Por el Teorema del Factor (vea página 250), P1x2 se puede factorizar como
c1 2 # Q1 1x2
1x
donde Q11x2 es de grado n 2 1. La aplicación del Teorema Fundamental al cociente Q11x2 nos da la factorización
P1x2
1x
c1 2 # 1x
c2 2 # Q2 1x 2
donde Q21x2 es de grado n 2 2 y c2 es un cero de Q11x2. Al continuar este proceso para n pasos, obtenemos un cociente final Qn1x2 de grado 0, una constante diferente de cero a la que llamaremos a. Esto significa que P ha sido factorizado como
P1x2
P1x 2
c1 2 1x
a1x
c2 2 p 1x
cn 2
Q
Para hallar realmente los ceros complejos de un polinomio de grado n, por lo general factorizamos primero tanto como sea posible, luego usamos la fórmula cuadrática en partes que no podamos factorizar más.
E J E M P LO 1
Factorizar completamente una función polinomial
Sea P1x2 ⫽ x3 2 3x2 ⫹ x 2 3. (a) Encuentre todos los ceros de P. (b) Encuentre la factorización completa de P. S O LU C I Ó N (a) Primero factorizamos P como sigue.
P1x2
x2 1x x3
3x2
1x
32 1x
P1x 2
1x
x
32
2
3
Dado
32
Agrupar términos
12
1x
Factorizar x
32 1x 2
3
Encontramos los ceros de P al igualar a 0 cada factor:
Este factor es 0 cuando x
3
12
Este factor es 0 cuando x
io
i
Haciendo x 2 3 ⫽ 0, vemos que x ⫽ 3 es un cero. Haciendo x2 ⫹ 1 ⫽ 0, obtenemos x2 ⫽ 21, de modo que x ⫽ ±i. Por lo tanto, los ceros de P son 3, i y 2i. (b) Como los ceros son 3, i y –i por el Teorema de Factorización Completa P se factoriza como P1x2 1x 32 1x i 2 3x 1 i 2 4
1x
32 1x
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 5
i 2 1x
i2
Q
S E C C I Ó N 3.6
E J E M P LO 2
| Ceros complejos y el Teorema Fundamental de Álgebra 271
Factorizar completamente una función polinomial
Sea P1x2 ⫽ x3 2 2x ⫹ 4.
(a) Encuentre todos los ceros de P. (b) Encuentre la factorización completa de P. S O LU C I Ó N 2
1 1
0 2 2
2 4 2
4 4 0
(a) Los posibles ceros racionales son los factores de 4, que son 1, 2, 4. Usando división sintética (vea al margen), encontramos que 22 es un cero, y los factores con polinomios como
P1x 2
1x
Este factor es 0 cuando x
22 1x 2
2
2x
22
Use la Fórmula Cuadrática para hallar cuándo es 0 este factor
Para hallar los ceros, igualamos a 0 cada factor. Desde luego, x ⫹ 2 ⫽ 0 significa que x ⫽ 22. Usamos la fórmula cuadrática para hallar cuándo es 0 el otro factor.
x2
2x
x x
2
2
14 2
2
2i
0 8
1
Fórmula Cuadrática Tome raíz cuadrada
2
x
Iguale a 0 el factor
Simplifique
i
Por lo tanto, los ceros de P son 22, 1 ⫹ i y 1 2 i. (b) Como los ceros son 22, 1 ⫹ i y 1 2 i, por el Teorema de Factorización Completa, P se factoriza como
P1x2
3x
1x
1 22 4 3x
22 1x
1
11
i 2 1x
i 2 4 3x 1
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 19
i2
11
i2 4
Q
W Ceros y sus multiplicidades En el Teorema de Factorización Completa los números c1, c2, . . . , cn son los ceros de P. Estos ceros no necesitan ser todos diferentes. Si el factor x 2 c aparece k veces en la factorización completa de P1x2, entonces decimos que c es un cero de multiplicidad k (vea página 240). Por ejemplo, el polinomio
P1x2 tiene los siguientes ceros: 1 (multiplicidad 3),
1x
12 3 1x
22 2 1x
22 (multiplicidad 2)
32 5 23 (multiplicidad 5)
La función polinomial P tiene el mismo número de ceros que su grado: tiene grado 10 y tiene 10 ceros, siempre que contemos multiplicidades. Esto es verdadero para todas las funciones polinomiales, como lo demostramos en el siguiente teorema.
TEOREMA DE CEROS Toda función polinomial de grado n 1 tiene exactamente n ceros, siempre que un cero de multiplicidad k se cuente k veces.
272
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales DEMOSTRACIÓN zación complete
Sea P una función polinomial de grado n. Por el Teorema de Factori-
P1x 2
c1 2 1x
a1x
c1 2 1c
c2 2 p 1x
c2 2 p 1c
cn 2
cn 2
Ahora supongamos que c es un cero de P diferente de c1, c2, . . . , cn. Entonces
© CORBIS
P1c2
CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855) es considerado el más grande matemático de los tiempos modernos. Sus contemporáneos lo llamaban “Príncipe de las Matemáticas”. Nació de una familia pobre; su padre se ganaba la vida como albañil. Cuando Gauss era aún muy pequeño, encontró un error de cálculo en las cuentas de su padre, el primero de muchos incidentes que dieron evidencia de su precocidad matemática. (Vea también página 796.) Cuando tenía 19 años, Gauss demostró que el polígono regular de 17 lados se puede construir con escuadra y compás, algo notable porque, desde los tiempos de Euclides, se pensaba que los únicos polígonos regulares que se podían construir de esta forma eran el triángulo y el pentágono. Por este descubrimiento, Gauss decidió buscar una carrera en matemáticas en lugar de idiomas, su otra pasión. En su tesis de doctorado, escrita a la edad de 22 años, Gauss demostró el Teorema Fundamental de Álgebra: Un polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces. Sus otros logros abarcan todas las ramas de las matemáticas, así como de la física y la astronomía.
a1c
0
Así, por la Propiedad del Producto Cero, uno de los factores c 2 ci debe ser 0, por lo que c ⫽ ci para alguna i. Se deduce que P tiene exactamente n ceros c1, c2, . . . , cn. Q
E J E M P LO 3
Factorización de una función polinomial con ceros complejos
Encuentre la factorización completa y los cinco ceros de la función polinomial
3x 5
P1x2 S O LU C I Ó N
24x 3
48x
Como 3x es un factor común, tenemos
P1x2
3x1x 4
8x 2
2
2
3x1x Este factor es 0 cuando x
42
162
Este factor es 0 cuando x 2i o x 2i
0
Para factorizar x2 ⫹ 4, observe que 2i y 22i son ceros de esta función polinomial. Entonces, x2 ⫹ 4 ⫽ 1x 2 2i21x ⫹ 2i2, y
3x 3 1x
P1x2
3x1x 0 es un cero de multiplicidad 1
2i 2 1x
2i 2 4 2
2i 2 2 1x
2i 2 2
2i es un cero de multiplicidad 2
2i es un cero de multiplicidad 2
Los ceros de P son 0, 2i y 22i. Como los factores x 2 2i y x ⫹ 2i se presentan cada uno dos veces en la factorización completa de P, los ceros 2i y 22i son de multiplicidad 2 (o dobles ceros). Por lo tanto, hemos encontrado los cinco ceros. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 29
Q
La tabla siguiente da más ejemplos de funciones polinomiales con sus factorizaciones completas y ceros.
2
P1x 2
Polinomial
P1x 2
3
P1x2
x3 x1x
Grado 1
4 5
P1x 2
P1x 2
x
x 1x
2
x4 1x
4
10x 52 1x
x i2 1x
Cero(s)
Número de ceros
5 1multiplicidad 22
1 2
0, i,
3
4
25 52 i2
18x 2 81 3i 2 2 1x 3i2 2
x 5 2x 4 x 3 x 3 1x 12 2
i
3i 1multiplicidad 2 2, 3i 1multiplicidad 22
0 1multiplicidad 32 , 1 1multiplicidad 22
4 5
| Ceros complejos y el Teorema Fundamental de Álgebra 273
S E C C I Ó N 3.6
E J E M P LO 4
Hallar funciones polinomiales con ceros especificados
(a) Encuentre una función polinomial P1x2 de grado 4, con ceros i,2i, 2 y 22, y con P132 ⫽ 25. (b) Encuentre una función polinomial Q1x2 de grado 4, con ceros 22 y 0, donde 22 es un cero de multiplicidad 3. S O LU C I Ó N
P1x 2
a1x 2
i2 1x
a1x 4
12 1x 2 3x 2
42
a134
3 # 32
42
50a
1 4 2x
3 2 2x
(a) El polinomio pedido tiene la forma
a1x
Sabemos que P132
P1x2 Q1x 2
(b) Requerimos
a3x
1 22 4 3 1x
1 i 22 1x
22 1x
Diferencia de cuadrados Multiplique
42
1 222
25, de modo que a
1 2.
Entonces,
2
02
a1x
22 3x
a1x 3
6x 2
12x
a1x 4
6x 3
12x 2
82x
Fórmula 4 de Productos Notables (Sección 1.3)
8x2
Como no nos dan información acerca de Q que no sea sus ceros y su multiplicidad, podemos escoger cualquier número por a. Si usamos a ⫽ 1, obtenemos Q1x 2 x 4 6x 3 12x 2 8x
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 35
E J E M P LO 5
Hallar todos los ceros de una función polinomial 3x 4
Encuentre todos los ceros de P1x2
_2
4
P1x 2
3x 4 1x 1x
_20
31x
FIGURA 1 3x 4
2x 3
2x 3
x2
12x
4.
S O LU C I Ó N Usando el Teorema de Ceros Racionales de la Sección 3.4, obtenemos la siguiente lista de posibles ceros racionales: 1, 2, 4, 13, 23, 43. Comprobando éstos usando división sintética, encontramos que 2 y 13 son ceros, y obtenemos la siguiente factorización:
40
P1x 2
Q
x2
12x
4
La Figura 1 muestra la gráfica de la función polinomial P del Ejemplo 5. Los puntos de intersección x corresponden a los ceros reales de P. Los ceros imaginarios no pueden ser determinados a partir de la gráfica.
2x 3
22 13x3 22 Ax
22 Ax
x2 4x2
1 2 3 B13x 1 2 3 B1x
Los ceros del factor cuadrático son
x
1
11 2
12x
8
1 2
por lo tanto los ceros de P1x2 son
2,
1 , 3
1 2
i
4
7x
22
Factorice x
2
3x
62
Factorice x
1 3
22
x
i
17 2
17 2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 45
y
Factorice 3
Fórmula cuadrática
1 2
i
17 2 Q
274
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales
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W Los ceros complejos vienen en pares conjugados Como ya es posible que el lector haya observado, por los ejemplos dados hasta este punto, los ceros complejos de funciones polinomiales con coeficientes reales vienen en pares. Siempre que a ⫹ bi es un cero, su complejo conjugado a 2 bi es también un cero.
TEOREMA DE CEROS CONJUGADOS Si la función polinomial P tiene coeficientes reales y si el número complejo z es un cero de P, entonces su complejo conjugado z también es un cero de P.
GEROLAMO CARDANO (1501-1576) es ciertamente una de las figuras más pintorescas en la historia de las matemáticas. Fue el médico mejor conocido en la Europa de su tiempo, pero toda su vida estuvo atormentada por numerosas enfermedades, incluyendo fracturas, hemorroides y un temor irracional de encontrarse con perros rabiosos. Fue un padre afectuoso, pero sus amados hijos lo descorazonaron: su hijo favorito fue decapitado por asesinar a su propia esposa. Cardano fue también un jugador compulsivo; de hecho, su vicio lo llevó a escribir el Libro de juegos y oportunidades, su primer estudio de probabilidad desde un punto de vista matemático. En la obra matemática más importante de Cardano, la Ars Magna, detalló la solución de las ecuaciones generales de tercero y cuarto grados. Cuando se publicó, los matemáticos se sintieron incómodos incluso con números negativos, pero las fórmulas de Cardano facilitaron el camino para la aceptación no sólo de números negativos, sino también de números imaginarios, porque ocurrían de manera natural para resolver ecuaciones con polinomios. Por ejemplo, para la ecuación cúbica
x3
15x
4
0
una de sus fórmulas da la solución
x
3 2 2
1 121
3 2 2
1 121
(Vea página 263, Ejercicio 108). Este valor de x en realidad resulta ser el entero 4, pero, para encontrarlo, Cardano tuvo que usar el número imaginario 1 121 11i.
Sea
DEMOSTRACIÓN
an x n
P1x2
...
1
an 1x n
a1x
a0
donde cada coeficiente es real. Suponga que P1z2 ⫽ 0. Debemos demostrar que P1z2 0. Usamos los datos de que el complejo conjugado de una suma de dos números complejos es la suma de los conjugados y que el conjugado de un producto es el producto de los conjugados.
P1z2
an 1z 2 n
an 1 1z 2 n
an z n
an
zn
1
an z n
an 1 z n
1
1
anz n
an 1z n
P1z2
0
...
1
a0
...
a1 z
a0
...
a1z
a0
...
1
a1z
a1z
Porque los coeficientes son reales
a0
0
Esto demuestra que z también es un cero de P1x2, que demuestra el teorema.
E J E M P LO 6
Q
Una función polinomial con un cero complejo especificado
Encuentre una función polinomial P1x2 de grado 3 que tenga coeficientes enteros y ceros 12 y 3 2 i. S O LU C I Ó N Como 3 2 i es un cero, entonces también lo es 3 ⫹ i por el Teorema de Ceros Conjugados. Esto significa que P1x2 debe tener la siguiente forma.
P1x2
aAx aAx aAx aAx aAx 3
1 2 B 3x
1 2 B 3 1x 1 2 B 3 1x 1 2 2 B1x
13 2 2 x
13
i 2 4 3x
13
i2 4
32 2
i4 3 1x
6x
102
Expanda
5B
Expanda
32
13x
i2 4
32
i4
Reagrupe Fórmula de Diferencia de Cuadrados
Para hacer enteros todos los coeficientes, hacemos a ⫽ 2 y tenemos
P1x2
2x 3
13x 2
26x
10
Cualquier otra función polinomial que satisfaga los requisitos dados debe ser un múltiplo entero de éste. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 39
Q
S E C C I Ó N 3.6
| Ceros complejos y el Teorema Fundamental de Álgebra 275
W Factores lineales y cuadráticos Hemos visto que un polinomio se factoriza completamente en factores lineales si usamos números complejos. Si no usamos números complejos, entonces un polinomio con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lineales y cuadráticos. Usamos esta propiedad en la Sección 10.7 cuando estudiamos fracciones parciales. Un polinomio cuadrático sin ceros reales se denomina irreductible en los números reales. Dicho polinomio no puede ser factorizado sin usar números complejos.
TEOREMA DE FACTORES LINEALES Y CUADRÁTICOS Toda función polinomial con coeficientes reales puede ser factorizado en un producto de factores lineales y cuadráticos irreductibles con coeficientes reales.
DEMOSTRACIÓN entonces
Primero observamos que si c ⫽ a ⫹ bi es un número complejo,
1x
c2 1x
c2
3x
1a
3 1x
a2
x2
2ax
1x
a2 2
bi 2 4 3x
1a
bi 4 3 1x
1bi2 1a 2
a2
bi 2 4 bi4
b2 2
2
La última expresión es una cuadrática con coeficientes reales. Ahora, si P es una función polinomial con coeficientes reales, entonces por el Teorema de Factorización Completa
P1x 2
a1x
c1 2 1x
c2 2 p 1x
cn 2
Como las raíces complejas se presentan en pares conjugados, podemos multiplicar los factores correspondientes a cada uno de tales pares para obtener un factor cuadrático con coeficientes reales. Esto resulta en que P es factorizada en factores lineales y cuadráticos irreductibles. Q
E J E M P LO 7
Factorizar una función polinomial en factores lineales y cuadráticos
x 4 2x 2 8. Sea P1x 2 (a) Factorice P en factores lineales y cuadráticos irreductibles con coeficientes reales. (b) Factorice P completamente en factores lineales con coeficientes reales. S O LU C I Ó N (a)
P1x 2
1x 2
22 1x 2
x4
2x 2
1x
122 1x
8 122 1x 2
42
42
El factor x2 ⫹ 4 es irreductible, porque no tiene ceros reales. (b) Para obtener la factorización completa, factorizamos el factor cuadrático restante.
P1x2
1x
1x
122 1x
122 1x
122 1x 2
122 1x
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 65
2i2 1x 42
2i 2
Q
276
| Funciones polinomiales y racionales
C A P Í T U LO 3
3.6 EJERCICIOS 31x 5 2 3 1x 3 2 1x 2 2 tiene 1. La función polinomial P 1x2 grado_____. Tiene ceros 5, 3 y _____. El cero 5 tiene multiplicidad_____, y el cero 3 tiene multiplicidad _____.
CO N C E P TO S
2. (a) Si a es un cero de la función polinomial P, entonces _____ debe ser un factor de P1x2. (b) Si a es un cero de multiplicidad m de la función polinomial P, entonces _____ debe ser un factor de P1x2 cuando factorizamos P completamente. 3. Una función polinomial de grado n ≥ 1 tiene exactamente _____ ceros si un cero de multiplicidad m se cuenta m veces.
41. R tiene grado 4 y ceros 1 2 2i y 1, con 1 un cero de multiplicidad 2. 42. S tiene grado 4 y ceros 2i y 3i. 43. T tiene grado 4, ceros i y 1 ⫹ i, y término constante 12. 44. U tiene grado 5, ceros 12, 21 y –i, y coeficiente principal 4; el cero 21 tiene multiplicidad 2.
45. P1x 2 45-62
Q
Encuentre todos los ceros de la función polinomial.
46. P1x 2 47. P1x 2
48. P1x 2
50. P1x 2 49. P1x2
4. Si la función polinomial P tiene coeficientes reales y si a ⫹ bi es un cero de P, entonces _____ es también un cero de P.
51. P1x 2
53. P1x 2 52. P1x2
HABILIDADES 5-16 Q Nos dan una función polinomial P. (a) Encuentre todos los ceros de P, reales y complejos. (b) Factorice P completamente. x 4 4x 2 x 5 9x 3 5. P1x2 6. P1x 2
7. P1x 2 9. P1x 2
x3
2x 2
2x
x4
2x 2
1
15. P1x 2
x3
8
x6
1
11. P1x 2
13. P1x 2
x4
8. P1x 2
10. P1x 2 12. P1x 2 14. P1x 2
16
16. P1x 2
x3
x2
x
x4
x2
2
x4
6x 2
x3
8
x6
7x 3
19. Q1x 2
x2
25
21. P1x 2
x2
2x
23. Q1x 2
x3
29. Q1x 2
3
25. P1x 2 27. P1x 2 33. P1x 2
x
4
x
5
31. P1x 2
x
x
4
22. P1x 2
20. Q1x2
2
4x
x4 16x
18. P1x 2 26. P1x 2
24. Q1x2
1 4
81 x
2
9x
2x
2
3x
2
6x
3
30. Q1x 2 28. P1x2
9
32. P1x 2
1
34. P1x 2
4 9x
4x 2
9
x2
8x
x3
8
x4
64
x
6
729 25
x
5
7x
x
6
16x 3
64
10x 3
35-44 Q Encuentre una función polinomial con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones dadas.
35. P tiene grado 2 y ceros 1 ⫹ i y 1 2 i. 36. P tiene grado 2 y ceros 1
i12 y 1
37. Q tiene grado 3 y ceros 3, 2i y 22i. 38. Q tiene grado 3 y ceros 0 e i. 39. P tiene grado 3 y ceros 2 e i. 40. Q tiene grado 3 y ceros 23 y 1 ⫹ i.
i12.
60. P1x 2
2x 2
x
3
7x
2
17x
x
3
2x
2
2x
x3
7x 2
3
2
x
3x
x3
4x
8 15 1
18x
18
3x
2
6
x
2x 3
7x 2
12x
3
8x 2
9x
2x
9 9
x4
x3
x4
2x 3
2x 2
2x
x
4
3
7x
2
x
3
2
8 [Sugerencia: Factorize por grupos.]
x
5
x
5
x4 x
7x 2 7x
8x
6x 3
4
x
9x
13x 2
2
2x 5x 2
4
3
2
2x 3x 4
5
4
x3
5x 2
12x
12
36
2
4x 3
x5
3
24x
4x 4 4x
18
2x
12x 3
4x
1
3x
1
28x 2
3
27x
9
2
x 2x 2x 4x x 2 62. P1x2 63-68 Q Nos dan una función polinomial P. (a) Factorice P en factores lineales y cuadráticos irreductibles con coeficientes reales. (b) Factorice P completamente en factores lineales con coeficientes complejos. 63. P1x 2
67. P1x 2
2
x
59. P1x 2 58. P1x2
65. P1x 2
625
x
57. P1x 2
56. P1x2
64. P1x2
x
3
4
17
x2
55. P1x 2
61. P1x 2
9
17-34 Q Factorice la función polinomial completamente, y encuentre todos sus ceros. Exprese la multiplicidad de cada cero.
17. P1x2
54. P1x 2
x3
x
3
x
4
x
6
2x 8x
4x
20 66. P1x 2
4 2
68. P1x 2
9
64
x4
8x 2
5
16x
x
16
69. Por el Teorema de Ceros, toda ecuación de n grado con polinomios tiene exactamente n soluciones (incluyendo posiblemente algunas que son repetidas). Algunas de éstas pueden ser reales, y algunas pueden ser imaginarias. Use una calculadora graficadora para determinar cuántas soluciones reales e imaginarias tiene cada ecuación.
(a) x 4 (b) x 4 (c) x 4
2x 3 2x 3 2x 3
11x 2 11x 2 11x 2
12x 12x 12x
0 5 0 40 0
70-72 Q Hasta este punto, hemos trabajado sólo con polinomios que tienen coeficientes reales. Estos ejercicios contienen polinomios con coeficientes reales e imaginarios.
70. Encuentre todas las soluciones de la ecuación.
(a) 2x (c) x 2
4i 2ix
1 1
0
(b) x 2 (d) ix 2
ix 0 2x i
0
S E C C I Ó N 3.7 71. (a) Demuestre que 2i y 1 2 i son soluciones de la ecuación
x
2
11
i2 x
12
2i2
0
pero que sus complejos conjugados 22i y 1 ⫹ i no lo son. (b) Explique por qué el resultado de la parte (a) no viola el Teorema de Ceros Conjugados. 72. (a) Encuentre la función polinomial con coeficientes reales del grado más bajo posible para el que i y 1 ⫹ i son ceros y en el que el coeficiente de la potencia más alta es 1. (b) Encuentre la función polinomial con coeficientes complejos del grado más pequeño posible para el que i y 1 ⫹ i son ceros y en el que el coeficiente de la potencia más alta es 1.
DESCUBRIMIENTO
Q
| Funciones racionales 277
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
73. Polinomios de grado impar El Teorema de Ceros Conjugados dice que los ceros complejos de una función polinomial con coeficientes reales se presentan en pares conjugados complejos. Explique la forma en que este hecho demuestra que una función polinomial con coeficientes reales y grado impar tiene al menos un cero real. 74. Raíces de la unidad Hay dos raíces cuadradas de 1, es decir, 1 y 21. Éstas son las soluciones de x2 ⫽ 1. Las raíces cuartas de 1 son las soluciones de la ecuación x4 ⫽ 1 o x4 2 1 ⫽ 0. ¿Cuántas raíces cuartas de 1 hay? Encuéntrelas. Las raíces cúbicas de 1 son las soluciones de la ecuación x3 ⫽ 1 o x3 2 1 ⫽ 0. ¿Cuántas raíces cúbicas de 1 hay? Encuéntrelas. ¿Cómo hallaría usted las raíces sextas de 1? ¿Cuántas raíces hay? Haga una conjetura acerca del número de las n-raíces de 1.
3.7 F UNCIONES RACIONALES Funciones racionales y asíntotas 䉴 Transformaciones de y ⫽ 1/x 䉴 Asíntotas de funciones racionales 䉴 Gráficas de funciones racionales 䉴 Asíntotas diagonales y comportamiento final 䉴 Aplicaciones Una función racional es una función de la forma
r 1x2
P1x2 Q1x 2
donde P y Q son funciones polinomiales. Suponemos que P1x2 y Q1x2 no tienen factor en común. Aun cuando las funciones racionales se construyen a partir de polinomios, sus gráficas tienen un aspecto muy diferente del de las gráficas de funciones polinomiales.
W Funciones racionales y asíntotas Los dominios de expresiones racionales se estudian en la Sección 1.4.
El dominio de una función racional está formado por todos los números reales x excepto aquellos para los cuales el denominador es cero. Al hacer la gráfica de una función racional, debemos poner especial atención al comportamiento de la gráfica cerca de esos valores x. Empezamos por graficar una función racional muy sencilla.
E J E M P LO 1
Una función racional sencilla
Grafique la función racional f1x2
1 y exprese el dominio y rango. x
S O LU C I Ó N La función f no está definida para x ⫽ 0. Las tablas siguientes muestran que cuando x es cercana a cero, el valor de 0 f 1x2 0 es grande, y cuanto más se acerque x a cero, más grande se hace 0 f 1x2 0. Para números positivos reales,
1 NÚMERO GRANDE 1 número pequeño
número pequeño NÚMERO GRANDE
x 0.1 0.01 0.00001
Se aproxima a 0
f 1x2
10 100 100,000
Se aproxima a
x 0.1 0.01 0.00001
Se aproxima a 0
f 1x2
10 100 100,000
Se aproxima a
278
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales Describimos este comportamiento en palabras y en símbolos como sigue. La primera tabla muestra que cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, los valores de y ⫽ f 1x2 decrecen sin límite. En símbolos
f 1x2
q
cuando x
“y se aproxima al infinito negativo cuando x se aproxima a 0 por la izquierda”
0
La segunda tabla muestra que cuando x se aproxima a 0 por la derecha, los valores de f 1x2 aumentan sin límite. En símbolos,
q
f1x2
cuando x
“y se aproxima al infinito cuando x se aproxima a 0 por la derecha”
0
Las dos tablas siguientes muestran cómo cambia f 1x2 cuando 0 x 0 se hace grande. f 1x2
x
10 100 100,000
0.1 0.01 0.00001
10 100 100,000
Se aproxima a 0
Se aproxima a
f 1x2
x
0.1 0.01 0.00001
Se aproxima a 0
Se aproxima a
Estas tablas muestran que cuando 0 x 0 se hace grande, el valor de f 1x2 se aproxima y está cerca de cero. Describimos esta situación simbólicamente al escribir.
f 1x2
0
q
cuando x
y
f 1x2
0
cuando x
q
Usando la información de estas tablas y localizando unos cuantos puntos adicionales, obtenemos la gráfica de la Figura 1. f 1x2
x 2 1
y
1 x 1 2
2
1 2 2 1
1 2 1 2
1 2
f(x) q cuando x
0 f(x) 0 cuando x _q
1 2
f 1x2
FIGURA 1 1 x
f(x) cuando x
0+
f(x) 0 cuando x q 2
x
_q 0_
La función f está definida para todos los valores de x que no sean 0, de modo que el dominio 5x 0 x ⫽ 06. De la gráfica vemos que el rango es 5y 0 y ⫽ 06. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 7
En el Ejemplo 1 utilizamos la siguiente notación de flechas. Símbolo
x x x x
a a q q
Significado
x se aproxima a a por la izquierda x se aproxima a a por la derecha x se va al infinito negativo; es decir, x decrece sin límite x se va al infinito; es decir, x aumenta sin límite
Q
S E C C I Ó N 3.7
| Funciones racionales 279
La recta x ⫽ 0 se denomina asíntota vertical de la gráfica de la Figura 1, y la recta y ⫽ 0 es una asíntota horizontal. Informalmente hablando, una asíntota de una función es una recta a la que la gráfica de la función se acerca cada vez más cuando nos movemos a lo largo de la recta.
DEFINICIÓN DE ASÍNTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES f1x2 si y se aproxima a
a es una asíntota vertical de la función y la derecha o por la izquierda.
1. La recta x
y
y
a
y
q cuando x
a
x
a±
y a
a–
a±
y
_q cuando x
a–
q.
y
b
b cuando x
x
f 1x2 si y se aproxima a b cuando x se aproxima a
y
y
a
x
_q cuando x
y
b es una asíntota horizontal de la función y
2. La recta y
y
x
q cuando x
y
q cuando x se aproxima a a por
b
x
q
y
x
b cuando x
_q
Una función racional tiene asíntotas verticales donde la función no está definida, es decir, donde el denominador es cero.
W Transformaciones de y ⫽ 1/x Una función racional de la forma
ax cx
r1x2
b d
1 puede graficarse al desplazar, estirar y/o reflejar la gráfica de f1x 2 x mostrada en la Figura 1, usando las transformaciones estudiadas en la Sección 2.5. (Tales funciones se denominan transformaciones fraccionarias lineales.)
E J E M P LO 2
y
Grafique cada función racional, y exprese el dominio y rango. 2 3x 5 (a) r1x2 (b) s1x 2 x 3 x 2 S O LU C I Ó N
Asíntota vertical x=3
(a) Sea f 1x2
2 r(x)=x-3
1 0
FIGURA 2
3
Asíntota horizontal y=0
Usar transformaciones para graficar funciones racionales
x
1 x.
Entonces podemos expresar r en términos de f como sigue:
r1x 2
2 2a x
3 1
x 21f 1x
b 3 322
Factorice 2 Porque f(x) = 1x
De esta forma vemos que la gráfica de r se obtiene de la gráfica de f al desplazar 3 unidades a la derecha y alargar verticalmente en un factor de 2. Entonces, r tiene asíntota vertical x ⫽ 3 y asíntota horizontal y ⫽ 0. La gráfica de r se muestra en la Figura 2.
280
C A P Í T U LO 3
x
| Funciones polinomiales y racionales
3 2 3x 3x
5 6 1
La función r está definida para toda x que no sea 3, por lo que el dominio es 5x 0 x ⫽ 36. De la gráfica vemos que el rango es 5y 0 y ⫽ 06. 3 x 1 2. Entonces, pode(b) Usando división larga (vea al margen), obtenemos s1x2 mos expresar s en términos de f como sigue:
s1x 2
1
3
2
x 1 f 1x x
3
2
Reacomodando términos
22
Ya que f(x) = 1x
3
De esta forma vemos que la gráfica de s se obtiene de la gráfica de f al desplazar 2 unidades a la izquierda, reflejar en el eje x y desplazar hacia arriba 3 unidades. Entonces, s tiene una asíntota vertical x ⫽ 22 y asíntota horizontal y ⫽ 3. La gráfica de s se muestra en la Figura 3. Asíntota vertical x = _2 y Asíntota horizontal y=3 3
3x+5 s(x)= x+2 _2
0
x
FIGURA 3
La función s está definida para toda x que no sea 22, de modo que el dominio es 5x 0 x ⫽ 226. De la gráfica vemos que el rango es 5y 0 y ⫽ 36.
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 35 Y 37
Q
W Asíntotas de funciones racionales Los métodos del Ejemplo 2 se cumplen sólo para funciones racionales simples. Para graficar unas más complicadas, necesitamos dar una mirada más rigurosa al comportamiento de una función racional cerca de sus asíntotas vertical y horizontal.
E J E M P LO 3 Grafique r 1x2
Asíntotas de una función racional 2x 2 x2
4x 2x
5 y exprese el dominio y rango. 1
S O LU C I Ó N Asíntota vertical: Primero factorizamos el denominador
r1x 2
2x 2 4x 5 1x 12 2
La recta x ⫽ 1 es una asíntota vertical porque el denominador de r es cero cuando x ⫽ 1.
| Funciones racionales 281
S E C C I Ó N 3.7
Para ver cuál es el aspecto de la gráfica de f cerca de la asíntota vertical, hacemos tablas de valores para valores x a la izquierda y derecha de 1. De las tablas mostradas a continuación vemos que
y y x
y x
q cuando
1–
y
q cuando
q cuando x
1±
y
q cuando x
y
1
x
5
1
1
1
x
x
y
x
y
0 0.5 0.9 0.99
5 14 302 30,002
2 1.5 1.1 1.01
5 14 302 30,002
1 _1 0
1
x
2
Se aproxima a 1 –
Se aproxima a 1 +
Se aproxima a
Se aproxima a
Entonces, cerca de la asíntota vertical x ⫽ 1, la gráfica de r tiene la forma mostrada en la Figura 4.
FIGURA 4
La asíntota horizontal es el valor que alcanza y cuando x 씮 ± q. Para ayudarnos a hallar este valor, dividimos numerador y denominador entre x2, la potencia superior de x que aparece en la expresión: Asíntota horizontal:
2
y y
2x x2
4x 2x
5 1
#
1 x2 1 x2
4 x 2 x
2 1
5 x2 1 x2
4 5 2 1 Las expresiones fraccionarias x , x2 , x y x2 se aproximan todas a 0 cuando x Ejercicio 83, página 12). Por lo tanto, cuando x q, tenemos
y x
Estos términos se aproximan a 0
5
2 cuando _q
y x
2 cuando q
2 y 1
1 −1 0
FIGURA 5 r 1x 2
2x 2 x2
4x 2x
5 1
q (vea
1
2
x
4 x 2 x
5 x2 1 x2
——
2 1
0 0
0 0
2
Estos términos se aproximan a 0
Entonces, la asíntota horizontal es la recta y ⫽ 2. Como la gráfica debe aproximarse a la asíntota horizontal, podemos completarla como en la Figura 5. La función r está definida para todos los valores de x que no sean 1, de modo que el dominio es 5x 0 x ⫽ 16. De la gráfica vemos que el rango es 5y 0 y ⬎ 26.
Dominio y rango:
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 45
Q
Del Ejemplo 3 vemos que la asíntota horizontal está determinada por los coeficientes principales del numerador y denominador, porque después de dividir todo entre x2 (la potencia superior de x), todos los otros términos se aproximan a cero. En general, si r1x2 ⫽ P1x2/Q1x2 y los grados de P y Q son iguales (ambos n, por ejemplo), entonces dividir entre xn tanto numerador como denominador muestra que la asíntota horizontal es
y
coeficiente principal de P coeficiente principal de Q
282
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales En el siguiente recuadro se resume el procedimiento para hallar asíntotas.
HALLAR ASÍNTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES Sea r la función racional
r1x 2
an x n bm x m
... ...
an 1x n 1 bm 1x m 1
a1x b1x
a0 b0
1. Las asíntotas verticales de r son las rectas x
a, donde a es un cero del denominador. 2. (a) Si n m, entonces r tiene asíntota horizontal y 0. an (b) Si n m, entonces r tiene asíntota horizontal y . bm (c) Si n m, entonces r no tiene asíntota horizontal.
E J E M P L O 4 0 Asíntotas de una función racional Encuentre las asíntotas vertical y horizontal de r1x 2 S O LU C I Ó N Asíntotas verticales:
2x 3x
1 . 2
Primero factorizamos
r 1x2
3x 2 2x 12x 12 1x
Este factor es 0 cuando x = 12
Las asíntotas verticales son las rectas x Asíntota horizontal:
3x 2 2x 2
1 2
1 22 Este factor es 0 cuando x 2
y x
2.
Los grados del numerador y denominador son iguales, y
coeficiente principal de numerador coeficiente principal de denominador
3 2
Entonces, la asíntota horizontal es la recta y 32. Para confirmar nuestros resultados, graficamos r usando una calculadora graficadora (vea Figura 6). 10
FIGURA 6 3x 2 r 1x 2 2x 2
2x 1 3x 2 La gráfica está trazada usando modo de puntos para evitar líneas extrañas.
_6
3
_10
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 23 Y 25
Q
W Gráficas de funciones racionales Hemos visto que las asíntotas son importantes cuando se grafican funciones racionales. En general, usamos las siguientes guías para graficar funciones racionales.
S E C C I Ó N 3.7
| Funciones racionales 283
TRAZADO DE GRÁFICAS DE FUNCIONES RACIONALES Una fracción es 0 si y sólo si su numerador es 0.
1. Factorizar. Factorice el numerador y denominador. 2. Puntos de intersección. Encuentre los puntos de intersección x al determinar los ceros del numerador, así como los puntos de intersección y a partir del valor de la función en x ⫽ 0. 3. Asíntotas verticales. Encuentre las asíntotas verticales al determinar los ceros del denominador y, a continuación, vea si y 씮 q o y 씮 ⫺q en cada lado de cada asíntota vertical mediante el uso de valores de prueba. 4. Asíntota horizontal. Encuentre la asíntota horizontal (si la hay) usando el procedimiento descrito en el recuadro de la página 282. 5. Trazar la gráfica. Grafique la información dada por los primeros cuatro pasos. A continuación localice tantos puntos adicionales como sea necesario, para llenar el resto de la gráfica de la función.
E J E M P LO 5
Graficar una función racional
Grafique r 1x2
Cuando escojamos valores de prueba, debemos asegurarnos que no haya un punto de intersección x entre el punto de prueba y la asíntota vertical.
2x 2 7x 4 y exprese el dominio y rango. x2 x 2 S O LU C I Ó N Factorizamos el numerador y el denominador, encontramos los puntos de intersección y asíntotas, y trazamos la gráfica. 12x 12 1x 42 Factorice: y 1x 12 1x 22 Puntos de intersección x: Los puntos de intersección x son los ceros del numerador, x 12 y x 4. Puntos de intersección y: Para hallar el punto de intersección y, sustituimos x ⫽ 0 en la forma original de la función. 2102 2 7102 4 4 r102 2 1022 102 2 2 El punto de intersección y es 2. Asíntotas verticales: Las asíntotas verticales se presentan donde el denominador es 0, es decir, donde la función no está definida. De la forma factorizada vemos que las asíntotas verticales son las rectas x ⫽ 1 y x ⫽ 22. Comportamiento cerca de asíntotas verticales: Necesitamos saber si y 씮 q o y 씮 −q en cada lado de cada asíntota vertical. Para determinar el signo de y para valores x cerca de las asíntotas verticales, usamos valores de prueba. Por ejemplo, cuando x씮 12, usamos un valor de prueba cercano y a la izquierda de 1 (x ⫽ 0.9, por ejemplo) para comprobar si y es positiva o negativa a la izquierda de x ⫽ 1. y
1210.92 110.92
12 1 10.92 12 1 10.92
42 22
1 21 2 1 21 2
cuyo signo es
1negativo2
q cuando x 1 . Por otra parte, cuando x Entonces, y 1 , usamos un valor de prueba cercano y a la derecha de 1 (x ⫽ 1.1, por ejemplo), para obtener
y
1211.12 111.12
12 111.12 12 1 11.12
Entonces, y q cuando x manera semejante. 112x
Cuando x
el signo de y
1x
entonces y
1 122 1x 1 2 12 1x
42 22
1 21 2 1 21 2
cuyo signo es
1positivo2
1 . Las otras entradas de la tabla siguiente se calculan de
422 es 222
1
1
2
21
21
q
2
2
1
1
2
21
21
q
2
2
1
1
1
21
21
q
2
2
1
1
1
21 21
q
2 2
284
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales
L A S M AT E M Á T I C A S E N EL MUNDO MODERNO
Asíntota horizontal:
coeficiente principal del numerador coeficiente principal del denominador
Códigos indescifrables Si usted lee novelas de espías, sabe de códigos secretos y cómo es que el héroe “descifra” el código. Hoy en día, los códigos secretos tienen un uso mucho más común. La mayor parte de la información almacenada en computadoras está codificada para evitar su uso por personas no autorizadas. Por ejemplo, los registros bancarios, los historiales médicos, los datos escolares y otros similares están codificados. Un sinnúmero de teléfonos celulares e inalámbricos codifican la señal que lleva la voz para que nadie más pueda oírla. Por fortuna, por los recientes avances en matemáticas, los códigos de la actualidad son “indescifrables”. Los códigos modernos están basados en un principio sencillo: factorizar es mucho más difícil que multiplicar. Por ejemplo, trate de multiplicar 78 y 93; ahora trate de factorizar 9991. Lleva tiempo factorizar 9991 porque es un producto de los dos números primos 97 ⫻ 103, de manera que para factorizarlos tenemos que hallar uno de estos primos. Ahora imagine tratar de factorizar un número N que es producto de dos primos p y q, cada uno de ellos de 200 dígitos de largo. Hasta las computadoras más potentes tardarían millones de años en factorizar ese número. Pero la misma computadora tardaría menos de un segundo en multiplicar esos dos números. Este dato fue utilizado por Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman en la década de 1970 para idear el código RSA. El código de ellos utiliza un número extremadamente grande para codificar un mensaje pero exige que conozcamos sus factores para descifrarlo. Como se puede ver, ese código es particularmente indescifrable. El código RSA es un ejemplo de código de “cifrado público clave”. En dichos códigos, cualquiera puede cifrar un mensaje usando un procedimiento conocido públicamente basado en N, pero para decodificar el mensaje deben saber p y q, los factores de N. Cuando fue inventado el código RSA, se pensó que un número de 80 dígitos cuidadosamente seleccionado daría un código indescifrable, pero es curioso que recientes avances en el estudio de la factorización hayan hecho necesarios números mucho más grandes.
Los grados del numerador y el denominador son iguales y
2 1
2
Entonces, la asíntota horizontal es la recta y ⫽ 2. Usamos la información que hemos encontrado, junto con algunos valores adicionales, para trazar la gráfica de la Figura 7.
Gráfica:
x
y
6 3 1 1.5 2 3
0.93 1.75 4.50 6.29 4.50 3.50
y
5 0
3
x
FIGURA 7
r 1x2
2x 2 x2
7x 4 x 2
Dominio y rango: El dominio es 5x 0 x ⫽ 1, x ⫽ −26. De la gráfica vemos que el rango es todos los números reales.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 53
E J E M P LO 6 Grafique r1x 2 S O LU C I Ó N Factorice:
y
Q
Gráfica de una función racional 5x 21 y exprese el dominio y rango. x 10x 25 2
5x 1x
21 52 2
Punto de intersección x: Punto de intersección y:
21 , de 5x 5
21
21 , porque r102 25
0
5 # 0 21 02 10 # 0 25 21 25
Asíntota vertical: x ⫽ 25, de los ceros del denominador Comportamiento cerca de asíntota vertical: Cuando x
el signo de y
5x 11x
entonces y
21 es 522 2
1
1
5
21
2
q
2
1
1
5
21
2
q
2
Asíntota horizontal: y ⫽ 0, porque el grado del numerador es menor que el grado del
denominador
| Funciones racionales 285
S E C C I Ó N 3.7
Usamos la información que hemos encontrado, junto con algunos valores adicionales, para trazar la gráfica de la Figura 8.
Gráfica:
x
y
y
15 10 3 1 3 5 10
0.5 1.2 1.5 1.0 0.6 0.5 0.3
1 0
x
5
FIGURA 8 5x 21 r 1x 2 x 2 10x 25
El dominio es 5x 0 x ⫽ 256. De la gráfica vemos que el rango es aproximadamente el intervalo (2q, 1.54.
Dominio y rango:
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 55
Q
De la gráfica de la Figura 8 vemos que, al contrario de una mala interpretación, una gráfica puede cruzar una asíntota horizontal. La gráfica de la Figura 8 cruza el eje x (la asíntota horizontal) desde abajo, alcanza un valor máximo cerca de x ⫽ 23, y luego se aproxima al eje x desde arriba cuando x 씮 q.
E J E M P LO 7
Gráfica de una función racional
Grafique la función racional r1x 2 S O LU C I Ó N Factorice:
y
1x
x 2 3x 4 . 2x 2 4x
12 1x 42 2x1x 22
Puntos de intersección x:
21 y 4, de x ⫹ 1 ⫽ 0 y x 2 4 ⫽ 0
Punto de intersección y:
Ninguno, porque r102 no está definido
Asíntotas verticales:
x ⫽ 0 y x ⫽ 22, de los ceros del denominador
Comportamiento cerca de asíntotas verticales: 11x
122 11x 422 es 1 2x1x 222
Cuando x
el signo de y
entonces y
Asíntota horizontal:
son iguales y
y
1 2,
1
1
21
2
21
q
2
2
1
1
21
2
21
q
2
2
21
1
0
1
21
q
2 2
1
1
21
0
21
q
2
2
porque el grado del numerador y el grado del denominador
coeficiente principal del numerador coeficiente principal del denominador
1 2
286
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales Usamos la información que hemos encontrado, junto con algunos valores adicionales, para trazar la gráfica de la Figura 9
Gráfica:
x
y
3 2.5 0.5 1 3 5
2.33 3.90 1.50 1.00 0.13 0.09
y
2 3
x
FIGURA 9 x 2 3x 4 r1x 2 2x 2 4x
El dominio es 5x 0 x ⫽ 0, x ⫽ 226. De la gráfica vemos que el rango es todos los números reales.
Dominio y rango:
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 57
Q
W Asíntotas diagonales y comportamiento final Si r1x2 ⫽ P1x2/Q1x2 es una función racional en la que el grado del numerador es uno más que el grado del denominador, podemos usar el Algoritmo de división para expresar la función en la forma
r 1x2
ax
R1x 2 Q1x2
b
donde el grado de R es menor que el grado de Q y a ⫽ 0. Esto significa que cuando 0, de modo que para valores grandes de 0 x 0 la gráfica de y ⫽ r1x2 se x q, R1x2 /Q1x 2 aproxima a la gráfica de y ⫽ ax ⫹ b. En esta situación decimos que y ⫽ ax ⫹ b es una asíntota diagonal, o una asíntota oblicua.
E J E M P LO 8
Una función racional con una asíntota diagonal
Grafique la función racional r1x 2 S O LU C I Ó N Factorice:
y
1x
12 1x x 3
x2
4x x
5 3
.
52
Puntos de intersección x:
21 y 5, de x ⫹ 1 ⫽ 0 y x 2 5 ⫽ 0
Puntos de intersección y:
5 , porque r102 3
Asíntota horizontal:
02
4#0 0 3
5
5 3
Ninguna, porque el grado del numerador es mayor que el grado del
denominador Asíntota vertical:
x ⫽ 3, del cero del denominador
Comportamiento cerca de asíntota vertical:
x씮3
⫹
y 씮 q cuando x 씮 32 y y 씮 2q cuando
S E C C I Ó N 3.7
x
x 3 x2 x2
1 4x 3x x x
5 5 3 8
| Funciones racionales 287
Asíntota diagonal: Como el grado del numerador es uno más que el grado del denominador, la función tiene una asíntota diagonal. Dividiendo (vea al margen), obtenemos
r1x 2
8
1
x
x
3
Por lo tanto, y ⫽ x 2 1 es la asíntota diagonal. Gráfica: Usamos la información que hemos encontrado, junto con algunos valores adicionales, para trazar la gráfica de la Figura 10. x
y
2 1 2 4 6
1.4 4 9 5 2.33
y Asíntota diagonal 5 x
2
y=x-1
r(x)=
FIGURA 10
≈-4x-5 x-3
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 65
Q
Hasta este punto, hemos considerado sólo asíntotas horizontales y diagonales como comportamientos finales para funciones racionales. En el siguiente ejemplo graficamos una función cuyo comportamiento final es como el de una parábola.
E J E M P LO 9
Comportamiento final de una función racional
Grafique la función racional
r 1x2
x3
2x 2 x 2
3
y describa su comportamiento final. S O LU C I Ó N Factorice:
y⫽
1x
12 1x 2 3x x 2
Puntos de intersección x: reales.) Puntos de intersección y: Asíntota vertical:
32
21, de x ⫹ 1 ⫽ 0 (El otro factor del numerador no tiene ceros
3 , porque r102 2
x씮2
⫹
Asíntota horizontal: denominador
x
2x 2x 2
0x
3 3
3
3 2
y 씮 2q cuando x 씮 22 y y 씮 q cuando
Ninguna, porque el grado del numerador es mayor que el grado del
Comportamiento final: 2
2 # 02 0 2
x ⫽ 2, del cero del denominador
Comportamiento cerca de asíntota vertical:
x2 2 x3 x3
03
Dividiendo (vea al margen), tenemos
r1x2
x2
3
x 2 Esto demuestra que el comportamiento final de r es como el de la parábola y ⫽ x2 porque 3/1x 2 22 es pequeño cuando 0 x 0 es grande. Esto es, 3/1x 2 22 씮 0 cuando x 씮 ± q. Esto significa que la gráfica de r estará cercana a la gráfica de y ⫽ x2 para 0 x 0 grande.
288
C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales En la Figura 11(a) graficamos r en un rectángulo de vista pequeño; podemos ver los puntos de intersección, las asíntotas verticales y el mínimo local. En la Figura 11(b) la gráfica r en un rectángulo de vista más grande; aquí la gráfica se ve casi como la gráfica de una parábola. En la figura 11(c) graficamos tanto y ⫽ r1x2 como y ⫽ x2; estas gráficas están muy cercanas entre sí excepto cerca de la asíntota vertical.
Gráfica:
20
_4
20
200
4
_30
30
y=≈ _8
FIGURA 11 r 1x 2
x3
_20
_200
(a)
(b)
_5 (c)
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 73
2x 2 x 2
Q
3
W Aplicaciones Con frecuencia se presentan funciones racionales en aplicaciones científicas de álgebra. En el ejemplo del texto analizamos la gráfica de una función de teoría de electricidad.
E J E M P LO 1 0 8 ohms
Resistencia eléctrica
Cuando dos resistores con resistencias R1 y R2 están conectados en paralelo, su resistencia combinada R está dada por la fórmula
R x
FIGURA 12
8
R1R2 R1 R2
Suponga que un resistor fijo de 8 ohms está conectado en paralelo con un resistor variable, como se ve en la Figura 12. Si la resistencia del resistor variable está denotada por x, entonces la resistencia combinada R es una función de x. Grafique R, y dé una interpretación física de la gráfica. S O LU C I Ó N
Sustituyendo R1 ⫽ 8 y R2 ⫽ x en la fórmula dará la función
R1x2
8x
8 x Como la resistencia no puede ser negativa, esta función tiene significado físico sólo cuando x > 0. La función está graficada en la Figura 13(a) usando el rectángulo de vista 30, 204 por 30, 104. La función no tiene asíntota vertical cuando x está restringida a valores positivos. La resistencia combinada R aumenta cuando la resistencia variable x aumenta. Si ampliamos el rectángulo de vista a 30, 1004 por 30, 104, obtenemos la gráfica de la Figura 13(b). Para x grande, la resistencia combinada E se nivela, acercándose más y más a la asíntota horizontal R ⫽ 8. Sin importar lo grande que sea la resistencia variable x, la resistencia combinada nunca es mayor que 8 ohms. 10
FIGURA 13 8x R 1x2 8 x
10
20
0
100
0
(a)
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 83
(b)
Q
S E C C I Ó N 3.7
| Funciones racionales 289
3.7 EJERCICIOS CO N C E P TO S 1. Si la función racional y ⫽ r1x2 tiene la asíntota vertical x ⫽ 2, entonces cuando x 씮 2⫹, ya sea y 씮____o y 씮 ____.
17-20 Q De la gráfica, determine los puntos de intersección x y y y las asíntotas verticales y horizontales.
y
17.
y
18.
4
2. Si la función racional y ⫽ r1x2 tiene la asíntota horizontal
2
y ⫽ 2, entonces y 씮____cuando x 씮 ± q. 3-6
Q
1x
1 2 1x
22
Las preguntas siguientes son acerca de la función racional
r1x 2
1x
2 2 1x
32
3. La función r tiene puntos de intersección x___ y ___.
1
0
0
4
y
19.
y
20.
4. La función r tiene punto de intersección y _____. x ⫽ _____.
−3
7-10 Q Nos dan una función racional. (a) Complete cada tabla para la función. (b) Describa el comportamiento de la función cerca de su asíntota vertical, basada en las Tablas 1 y 2. (c) Determine la asíntota horizontal, basada en las Tablas 3 y 4.
r 1x2
x 1.5 1.9 1.99 1.999
x 10 50 100 1000
9. r 1x2
2
3x 1x
TABLA 4
x 10 50 100 1000
8. r 1x2
x x
2.5 2.1 2.01 2.001
r 1x2
TABLA 3
7. r 1x 2
x
10. r 1x 2
10 222
4x x
3x 1x
r 1x2
r 1x2
15. r 1x 2
x2 x
2
x
6
x 2
9 x2
14. r 1x 2
16. r 1x 2
x2 x3 x2
1 222
2 3x 8 4
23. r 1x2 25. s 1x2
27. s 1x2 29. r 1x2
31. t 1x 2
4
24. r 1x 2
6x
x
2
2 2
6x 1 2x 2 x 1 15x
13x
12 1x
6x
2x 3 2
12 1x
3
5x 2
2 1
x x
12 22
2 6x
26. s 1x2
28. s 1x 2
30. r 1x2 32. r 1x2
2x
x
2
4
37. t 1x2
39. r 1x2
1 1
x 3 x
1
2x x
3 2
x x
2 3
34. r 1x 2
36. s 1x 2 38. t 1x 2
40. r 1x2
1
x 2
8x 1 4x 2 2x 6 12x
12 1x
13x
12 1x
32 42
3
x3
5x 2x 2
3
2
x 3x x2 4 1 x
33-40 Q Use transformaciones de la gráfica de y la función racional, como en el Ejemplo 2.
35. s 1x2
11-16 Q Encuentre los puntos de intersección x y y de la función racional. 3x x 1 11. r 1x 2 12. s 1x 2 x 4 x 5
13. t 1x2
3
21-32 Q Encuentre todas las asíntotas horizontales y verticales (si las hay). 2x 3 5 21. r 1x 2 22. r 1x 2 x 2 x2 1
33. r 1x2
1 2 2
x
4
x −6
HABILIDADES
TABLA 2
0
−4
0 1
6. La función r tiene asíntota horizontal y ⫽ _____.
TABLA 1
2
2
5. La función r tiene asíntotas verticales x ⫽ _____ y
x
x
5x
para graficar
1 4
x 2 x
2
3x x
3 2
2x x
9 4
41-64 Q Encuentre los puntos de intersección y asíntotas y, a continuación, trace una gráfica de la función racional y exprese el dominio y rango. Use una calculadora graficadora para confirmar su respuesta. 4x 4 2x 6 41. r 1x2 42. r 1x 2 x 2 6x 3
290
| Funciones polinomiales y racionales
C A P Í T U LO 3
43. s 1x2
45. r 1x2 47. s 1x2
49. s 1x 2 51. t 1x 2
53. r 1x2
55. r 1x2
57. r 1x2 59. r 1x2
61. r 1x 2 63. s 1x 2
4 x
3x 7
1x
18 322
x2
6 5x
44. s 1x 2 46. r 1x 2
48. s 1x 2
4x 8 1x 4 2 1x 1 2 3x
1x
x2
6
1 2 1x
8
2x 2x
1 1
2x
1x
1 2 1x
x2 x2 2
2x
50. s 1x 2
6
52. t 1x 2
22
54. r 1x2
32
10x 12 x 6
x2
x2 x 6 x 2 3x 3x x2 x
2
2
3
60. r 1x2 64. t 1x 2
2x 1 3x 2
x3
58. r 1x 2
62. r 1x 2
6
2x
56. r 1x 2
de vista suficientemente grande como para verificar que los comportamientos finales de la polinomial y la función racional son iguales. 2x 2 5x 77. y 2x 3
1 2x 2x 3 x 1x 1x
2 122
2x
x2
x 2 3 2 1x 4
2 4x
2x 1x
1x
22
1 2 1x
4x 2 2x
x2 2x
2
2
x2
5
4x 3
x3
79. y
81. r 1x 2
3x 3 x 2 3x x 2 3x
x4 x5 3
x4
x4
80. y
1
x
3
3x 3 x 3
82. r 1x 2
6
x
2
2 x2
4 x2
x4 1
A P L I C AC I O N E S 83. Crecimiento poblacional Suponga que la población de conejos de la granja de Mr. Jenkin sigue la fórmula
p1t2
3000t t 1
donde t ≥ 0 es el tiempo (en meses) desde principios del año. (a) Trace una gráfica de la población de conejos. (b) ¿Qué ocurre finalmente a la población de conejos?
6
x
x
4
3x
2
5x
42
3
2x 2 x x
x2 x
2
x
x x2
12
78. y
4
x
2
3x
2
65-72 Q Encuentre la asíntota diagonal, las asíntotas verticales y trace una gráfica de la función. x2 x 2 2x 65. r 1x 2 66. r 1x 2 x 2 x 1
67. r 1x 2 69. r 1x2
71. r 1x 2
x2
2x x
8
x2
5x
4
70. r 1x 2
3
x 3
68. r 1x 2
72. r 1x2
2
x x2
x 4
x2 2
3x 2x
x3 2x 2 3
2x x2
4 x
1
2x 1
73-76 Q Grafique la función racional f, y determine todas las asíntotas verticales a partir de su gráfica. A continuación, grafique f y g en un rectángulo de vista suficientemente grande como para demostrar que tienen el mismo comportamiento final. 2x 2 6x 6 , g1x 2 2x 73. f 1x 2 x 3
74. f 1x 2 75. f 1x 2
76. f 1x2
x
3
2
x2 x3 x4
6x 2x
5
, g1x 2
2x 2 16 , g1x 2 x 2
2x 3 2x , 1x 1 2 2
g1x 2
x
4
x2 1
x
2
77-82 Q Grafique la función racional, y encuentre todas las asíntotas verticales, puntos de intersección x y y, y extremos locales, correctos al decimal más cercano. A continuación, use división larga para hallar una función polinomial que tenga el mismo comportamiento final que la función racional, y grafique ambas funciones en un rectángulo
84. Concentración de medicamento Después que cierta droga se inyecta en un paciente, se vigila la concentración c de la droga en el torrente sanguíneo. En el tiempo t ≥ 0 (en horas desde que se aplicó la droga), la concentración (en mg/L) está dada por 30t c 1t2 t2 2
(a) Trace una gráfica de la concentración del medicamento. (b) ¿Qué ocurre finalmente a la concentración del medicamento en el torrente sanguíneo?
85. Concentración de medicamento Se administra una droga a un paciente, y se vigila la concentración de la droga en su torrente sanguíneo. En el tiempo t ≥ 0 (en horas desde que se aplicó la droga), la concentración (en mg/L) está dada por
c 1t2
5t t
2
1
Grafique la función c con una calculadora graficadora. (a) ¿Cuál es la concentración más alta de droga que se alcanza en el torrente sanguíneo del paciente? (b) ¿Qué ocurre a la concentración de medicamento después de un tiempo prolongado? (c) ¿Cuánto tarda la concentración en bajar a menos de 0.3 mg/L?
S E C C I Ó N 3.7 86. Vuelo de un cohete Suponga que un cohete es disparado hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad inicial √ (medida en metros por segundo). Entonces la máxima altura h (en metros) alcanzada por el cohete está dada por la función
h1√ 2
R√ 2 2gR √ 2
donde R ⫽ 6.4 ⫻ 106 m es el radio de la Tierra y g ⫽ 9.8 m/s2 es la aceleración debida a la gravedad. Use calculadora graficadora para trazar una gráfica de la función h. (Observe que h y √ deben ser positivas ambas, de modo que no es necesario que el rectángulo de observación contenga valores negativos.) ¿Qué representa físicamente la asíntota vertical? 87. El efecto Doppler Cuando un tren se acerca a un observador (vea la imagen), el tono de su silbato suena más alto al observador de lo que sonaría si el tren estuviera en reposo, porque las crestas de las ondas de sonido están comprimidas más cerca unas de otras. Este fenómeno se conoce como efecto Doppler. El tono observado P es una función de la velocidad √ del tren y está dado por s0 P0 a b P1√2 s0 √
donde P0 es el paso real del silbato en la fuente y s0 ⫽ 332 m/s es la velocidad del sonido en el aire. Suponga que un tren tiene un silbato con tono en P0 ⫽ 440 Hz. Grafique la función y ⫽ P1√2 usando una calculadora graficadora. ¿Cómo puede interpretarse físicamente la asíntota vertical de esta función?
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
1 y
1 F
(Vea la figura.) Suponga que la cámara tiene un lente de 55 mm (F ⫽ 55). (a) Exprese y como función de x y grafique la función. (b) ¿Qué ocurre a la distancia de enfoque y cuando el objeto se aleja del lente? (c) ¿Qué ocurre a la distancia de enfoque y cuando el objeto se acerca al lente?
REDACCIÓN
90. Una función racional sin asíntota Explique cómo se puede decir (sin graficarla) que la función
r 1x2
x6 x
4
10 8x
2
15
no tiene punto de intersección x y no tiene asíntota horizontal, vertical ni diagonal. ¿Cuál es su comportamiento final? 91. Gráficas con agujeros En este capítulo adoptamos la convención de que, en funciones racionales, el numerador y el denominador no comparten un factor común. En este ejercicio consideramos la gráfica de una función racional que no satisface esta regla. (a) Demuestre que la gráfica de
r 1x2
3x 2
3x 2
x
6
es la recta y ⫽ 3x ⫹ 3 con el punto (2, 9) removido. 3Sugerencia: Factorice. ¿Cuál es el dominio de r?4 (b) Grafique las funciones racionales:
x2
20
x 5
x
t 1x 2
1 x
Q
89. Construcción de una función racional a partir de sus asíntotas Dé un ejemplo de una función racional que tiene asíntota vertical x ⫽ 3. A continuación dé un ejemplo de una que tenga asíntota vertical x ⫽ 3 y además asíntota horizontal y ⫽ 2. Ahora dé un ejemplo de una función racional con asíntotas verticales x ⫽ 1 y x ⫽ 21, asíntota horizontal y ⫽ 0 y punto de intersección x de 4.
s 1x 2
88. Distancia de enfoque Para que una cámara con un lente de longitud focal F fija se enfoque en un objeto situado a una distancia x desde el lente, la película debe ser colocada a una distancia y detrás del lente, donde F, x y y están relacionadas por
| Funciones racionales 291
2x 2
u 1x 2
x x2
1
x 1
x 2 2x
92. Transformaciones de y = 1/x2 En el Ejemplo 2 vimos que algunas funciones racionales simples pueden ser graficadas al desplazar, estirar o reflejar la gráfica de y ⫽ 1/x. En este ejercicio consideramos funciones racionales que pueden ser graficadas al transformar la gráfica de y ⫽ 1/x2, mostrada en la página siguiente. (a) Grafique la función 1 r 1x 2 1x 22 2 al transformar la gráfica de y ⫽ 1/x2. (b) Use división larga y factorización para demostrar que la función
s1x 2
2x 2 x2
s 1x 2
2
4x 2x
5 1
se puede escribir como
x
F y
1x
3 12 2
A continuación grafique s al transformar la gráfica de y ⫽ 1/x2.
292
| Funciones polinomiales y racionales
C A P Í T U LO 3
y
(c) Una de las siguientes funciones puede ser graficada al transformar la gráfica de y ⫽ 1/x2; la otra no puede ser graficada. Use transformaciones para graficar la que se puede graficar, y explique por qué este método no funciona para la otra.
p1x 2
2 x
2
3x 2 4x 4
q 1x2
y=
12x 3x 2 x 2 4x 4
1 ≈
1 0
1
x
C A P Í T U L O 3 | R E PA S O Q VERIFICACIÓN DE CONCEPTOS 1. (a) Escriba la ecuación de definición para una función polinomial P de grado n. (b) ¿Qué significa decir que c es un cero de P? 2. Trace gráficas que muestren los posibles comportamientos finales de una función polinomial de grado impar y de grado par. 3. ¿Qué pasos seguiría usted para graficar manualmente una función polinomial? 4. (a) ¿Qué significa un punto máximo local o un punto mínimo local de una función polinomial? (b) ¿Cuántos extremos locales puede tener una función polinomial de grado n? 5. Exprese el Algoritmo de División e identifique el dividendo, divisor, cociente y residuo. 6. ¿Cómo funciona la división sintética? 7. (a) Exprese el Teorema del Residuo. (b) Exprese el Teorema del Factor. 8. (a) Exprese el Teorema de Ceros Racionales. (b) ¿Qué pasos tomaría usted para hallar los ceros racionales de una función polinomial? 9. Exprese la Regla de Descartes de los Signos. 10. (a) ¿Qué significa decir que a es un límite inferior y b es un límite superior para los ceros de una función polinomial? (b) Exprese el Teorema de Límites Superiores e Inferiores.
11. (a) ¿Qué es un número complejo? (b) ¿Cuáles son las partes reales e imaginarias de un número complejo? (c) ¿Qué es el complejo conjugado de un número complejo? (d) ¿Cómo se suman, restan, multiplican y dividen números complejos? 12. (a) Exprese el Teorema Fundamental de Álgebra. (b) Exprese el Teorema de Factorización Completa. (c) ¿Qué significa decir que c es un cero de multiplicidad k de una función polinomial P? (d) Exprese el Teorema de Ceros. (e) Exprese el Teorema de Ceros Conjugados. 13. (a) ¿Qué es una función racional? (b) ¿Qué significa decir que x ⫽ a es una asíntota vertical de y ⫽ f 1x2? (c) ¿Cómo se localiza una asíntota vertical? (d) ¿Qué significa decir que y ⫽ b es una asíntota horizontal de y ⫽ f 1x2? (e) ¿Cómo se localiza una asíntota horizontal? (f) ¿Cuáles pasos se siguen para trazar manualmente la gráfica de una función racional? (g) ¿Bajo qué circunstancias una función tendrá una asíntota diagonal? Si existe una, ¿cómo se encuentra? (h) ¿Cómo se determina el comportamiento final de una función racional?
Q EJERCICIOS 1-4 Q Nos dan una función cuadrática. (a) Exprese la función en forma normal. (b) Grafique la función.
1. f 1x 2
3. g1x 2
x2 1
4x 8x
1 x2
2. f 1x 2
4. g1x 2
2x 2 6x
12x
12
3x 2
5-6 Q Encuentre el valor máximo o mínimo de la función cuadrática.
5. f 1x 2
2x 2
4x
5
6. g1x 2
1
x
x2
7. Una piedra es lanzada hacia arriba desde lo alto de un edificio. Su altura (en pies) arriba del suelo después de t segundos está dada por la función h1t2 ⫽ 216t2 ⫹ 48t ⫹ 32. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la piedra?
8. La utilidad P (en dólares) generada por vender x unidades de cierta mercancía está dada por la función
1500 12x 0.004x 2 P1x 2 ¿Cuál es la utilidad máxima y cuántas unidades deben ser vendidas para generarla?
9-14 Q Grafique la función polinomial al transformar una gráfica apropiada de la forma y ⫽ xn. Muestre claramente todos los puntos de intersección x y y. x 3 64 2x 3 16 9. P1x2 10. P1x 2
11. P1x 2 13. P1x 2
21x 32
1x
12 4
32
12 5
12. P1x 2
14. P1x2
81
31x
1x
32 4
22 5
96
C A P Í T U LO 3 15-16 Q Nos dan una función polinomial P. (a) Determine la multiplicidad de cada cero de P. (b) Trace una gráfica de P.
x 3 1x
15. P1x2
16. P1x 2
222
1 2 3 1x
x1x
12 2
17-20 Q Use calculadora graficadora para graficar la función polinomial. Encuentre los puntos de intersección x y y y las coordenadas de todos los extremos locales, correctos al decimal más cercano. Describa el comportamiento final del polinomio.
17. P1x 2
x
20. P1x2
x5
19. P1x 2
3
4x 4x 3
3x 4
x4
18. P1x 2
1 10x 7x 3
2x
3
6x
2
2
1 x2
6x
31-32 Q Encuentre el valor indicado de la función polinomial usando el Teorema del Residuo.
31. P1x 2
32. Q1x 2
9x 2
4
3
4x
7x 7x
15; encuentre Q1 3 2
13; encuentre P152
2
10x
33. Demuestre que es un cero de la función polinomial. 1 2
P1x 2
x3
2x 4
5x 2
10x
4
34. Use el Teorema del Factor para demostrar que x ⫹ 4 es un factor de la función polinomial.
P1x 2
x5
4x 4
7x 3
23x 2
23x
12
35. ¿Cuál es el residuo cuando la función polinomial
P1x 2
x 500
6x 201
x2
2x
4
se divide entre x 2 1? 36. ¿Cuál es el residuo cuando x101 2 x4 ⫹ 2 se divide entre x ⫹ 1? 37-38 Q Nos dan una función polinomial P. (a) Haga una lista de todos los posibles ceros racionales (sin probar por ver si en realidad son ceros). (b) Determine el posible número de ceros reales positivos y negativos usando la Regla de Descartes de los Signos.
37. P1x 2
10 pulg.
2x 3 x
3
21. La resistencia S de una viga de madera de ancho x y profundidad y está dada por la fórmula S ⫽ 13.8xy2. Se ha de cortar una viga de un tronco de 10 pulgadas de diámetro, como se muestra en la figura. (a) Exprese la resistencia S de esta viga como función sólo de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función S? (c) Trace una gráfica de S. (d) ¿Qué ancho hará que sea más fuerte la viga?
| Repaso 293
38. P1x 2
x5
40. P1x 2
x3
16x
x
3
3x 2
x
4
3
6x
6x 3 4
3x
x2 3
x
2x 2
18
3x
4
39-46 Q Nos dan una función polinomial P. (a) Encuentre todos los ceros reales de P y exprese sus multiplicidades. (b) Trace la gráfica de P.
22. Un pequeño cobertizo para plantas delicadas se ha de construir con material plástico delgado. Tendrá extremos cuadrados y parte superior y posterior rectangulares, con fondo y frente abiertos, como se ve en la figura. El área total de los cuatro lados de plástico debe ser de 1200 pulg.2 (a) Exprese el volumen V del cobertizo como función de la profundidad x. (b) Trace una gráfica de V. (c) ¿Qué dimensiones harán máximo el volumen del cobertizo?
23. 25. 27. 29.
3x
x
3
11x 4
2
8x 2 x
2x 5
7
x2
8x
2x 3 x
24.
x
x
x4
5
2
2
2x
15 1
44. P1x 2
45. P1x2 46. P1x2
51.
2
x
43. P1x 2
Q
49. 12
x Encuentre el cociente y residuo.
Q
42. P1x 2
47. 12
x
x2
41. P1x 2
47-56
y
23-30
39. P1x 2
26. 28. 30.
55. 11
53. i 25
x2
12
x x
x
4 2
3
2x 4
3 2
2x 10 x 3 3x 3 x 4
x 4 2x 2 x2 x
12 7x 3
x
4x 2x 2
x4
5x 2
x
4
2x
3
7x 2
8x
12
x
4
2x
3
2x
2
8x
8
x
3
2x
2
3x
2
2x
4
9x
5
4
21x 11
4
10x
3
6x 2 48. 13
3x
1
6i 2
16
Evalúe la expresión y escriba en la forma a ⫹ bi.
i2 13 3i2
4i2
50. 4i12
2i2
2i i
1 12 11
52.
1 12
8 4
54. 11
1 2 i2
4i2
3i 3i i2 3
56. 1 10 # 1 40
57. Encuentre una función polinomial de grado 3 con coeficiente constante 12 y ceros 21, 2 y 3. 58. Encuentre una función polinomial de grado 4 que tenga coeficientes enteros y ceros 3i y 4, con 4 un doble cero. 59. ¿Existe una función polinomial de grado 4 con coeficientes enteros que tenga ceros i, 2i, 3i y 4i? Si es así, encuéntrelo; si no, explique por qué. 60. Demuestre que la ecuación 3x4 ⫹ 5x2 ⫹ 2 ⫽ 0 no tiene raíz real.
294
| Funciones polinomiales y racionales
C A P Í T U LO 3
61-70 Q Encuentre todos los ceros racionales, irracionales y complejos (y exprese sus multiplicidades). Use la Regla de Descartes de los Signos, el Teorema de Límites Superiores e Inferiores, la Fórmula Cuadrática u otras técnicas de factorización para ayudarse siempre que sea posible.
61. P1x2
62. P1x 2
x3
63. P1x 2
2x 3
5x 2
x
4
6x
3
17x
65. P1x 2
x
4
7x
3
9x
2
66. P1x 2
x
5
3x
4
3
67. P1x 2
x
4
81
x
6
70. P1x 2
6x 4
64. P1x2
68. P1x 2
3x 2
x
15
6x
x
28x 17x 11x
2
20 20 12x
4
3
3x 2
4x
18x 3
6x 2
15x
2
4
1 30x
36
54
71-74 Q Use una calculadora graficadora para hallar todas las soluciones reales de la ecuación.
71. 2x 2 72. x
3
5x x
2
73. x 4
3x 3
74. x 5
x
3 14x 3x 2 3
24 9x
0 2
0
75. P1x2
x3
2x
x4
76. P1x2
4
3x2
4
77-82 Q Grafique la función racional. Demuestre claramente todos los puntos de intersección x y y y asíntotas.
77. r 1x2
9 2
64
18x
69. P1x2
13x
75-76 Q Nos dan una función polinomial P. Encuentre todos los ceros reales de P y factorice P completamente en factores cuadráticos lineales e irreductibles con coeficientes reales.
79. r 1x 2
81. r 1x2
3x x x x
78. r 1x2
12 1
2
80. r 1x 2
2 2x 8
x2 2x 2
1x
9 1
1 22 2
2x 2
82. r 1x 2
6x x 4
x3 x
27 4
86. r 1x 2
2x 3 x
7
83-86 Q Use calculadora graficadora para analizar la gráfica de la función racional. Encuentre todos los puntos de intersección x y y y todas las asíntotas verticales, horizontales y diagonales. Si la función no tiene asíntota horizontal o diagonal, encuentre una función polinomial que tenga el mismo comportamiento final como la función racional. 2x 7 x 3 83. r 1x 2 84. r 1x 2 2x 6 x2 9
85. r 1x 2
x3
x
2
8
x
2
x2 1
87. Encuentre las coordenadas de todos los puntos de intersección de las gráficas
y
x4
x2
24x
y
y
6x 3
20
C A P Í T U LO 3
EXAMEN 1. Exprese la función cuadrática f 1x2 ⫽ x2 2 x 2 6 en forma normal, y trace su gráfica. 2. Encuentre el valor máximo o mínimo de la función cuadrática g1x2 ⫽ 2x2 ⫹ 6x ⫹ 3.
3. Una bala de cañón disparada al mar desde una batería en la costa sigue una trayectoria parabólica dada por la gráfica de la ecuación
h1x2 ⫽ 10x 2 0.01x2 h(x) x
donde h1x2 es la altura de la bala de cañón sobre el agua cuando ha recorrido una distancia horizontal de x pies. (a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala de cañón? (b) ¿Qué distancia recorre horizontalmente la bala de cañón antes de caer al agua? 4. Grafique la función polinomial P1x2 ⫽ 21x ⫹ 223 ⫹ 27, mostrando claramente todos los puntos de intersección x y y. 5. (a) Use división sintética para hallar el cociente y residuo cuando x 4 4x 2 2x 5 se divide entre x 2 2. (b) Use división larga para hallar el cociente y residuo cuando 2x5 ⫹ 4x4 2 x3 2 x2 ⫹ 7 se divide entre 2x2 2 1. 6. Sea P1x2 ⫽ 2x3 2 5x2 2 4x ⫹ 3. (a) Haga una lista de todos los ceros racionales posibles de P. (b) Encuentre la factorización completa de P. (c) Encuentre los ceros de P. (d) Trace la gráfica de P.
(a) 13
14
(b) 13
14
7. Realice la operación indicada y escriba el resultado en la forma a ⫹ bi.
(c) 13
(e) i 48
2i2
2i2 14
3i2
(d)
3i2
3 4
(f) 1 12
2i2 2i 3i
3i2
1 22 1 18
1 22
8. Encuentre todos los ceros reales y complejos de P1x2 ⫽ x3 2 x2 2 4x 2 6. 9. Encuentre la factorización completa de P1x2 ⫽ x4 2 2x3 ⫹ 5x2 2 8x ⫹ 4. 10. Encuentre una función polinomial de cuarto grado con coeficientes enteros que tenga ceros 3i y 21, con 21 un cero de multiplicidad 2. 11. Sea P1x2 ⫽ 2x4 2 7x3 ⫹ x2 2 18x ⫹ 3.
(a) Use la Regla de Descartes de los Signos para determinar cuántos ceros reales positivos y cuántos negativos puede tener P. (b) Demuestre que 4 es un límite superior y 21 es un límite inferior para los ceros reales de P. (c) Trace una gráfica de P, y úsela para estimar los ceros reales de P, correctos a dos lugares decimales. (d) Encuentre las coordenadas de todos los extremos locales de P, correctas a dos decimales. 12. Considere las siguientes funciones racionales:
r1x2 (a) (b) (c) (d)
2x x2
1 x
2
s1x 2
x3 x2
27 4
t1x 2
x3 x
9x 2
u1x2
x2 x 6 x 2 25
¿Cuál de estas funciones racionales tiene una asíntota horizontal? ¿Cuál de estas funciones tiene una asíntota diagonal? ¿Cuál de estas funciones no tiene asíntota vertical? Grafique y ⫽ u1x2, mostrando claramente cualesquiera asíntotas y puntos de intersección x y y que la función pueda tener. (e) Use división larga para hallar una función polinomial P que tenga el mismo comportamiento final que t. Grafique P y t en la misma pantalla para verificar que tienen el mismo comportamiento final.
295
ENFOQUE SOBRE MODELADO
Ajuste de datos a curvas con funciones polinomiales Hemos aprendido a ajustar datos a una recta (vea Enfoque en el modelado, página 130). La recta modela la tendencia creciente y decreciente en los datos. Si los datos exhiben más variabilidad, por ejemplo un aumento seguido por un decremento, entonces para modelar los datos necesitamos usar una curva más que una recta. La Figura 1 muestra una gráfica de dispersión con tres posibles modelos que parecen ajustarse a los datos. ¿Cuál modelo se ajusta mejor a los datos? y
y
y
x Modelo lineal FIGURA 1
x
x
Modelo cuadrático
Modelo cúbico
W Funciones polinomiales como modelos Las funciones polinomiales son ideales para modelar datos para los cuales la gráfica de dispersión tiene picos o valles (esto es, máximos o mínimos locales). Por ejemplo, si los datos tienen un solo pico como en la Figura 2(a), entonces puede ser apropiado usar una polinomia cuadrática para modelar los datos. Cuantos más picos o valles exhiban los datos, más elevado es el grado de la función polinomial necesaria para modelar los datos (vea Figura 2). y
y
y
x (a)
x (b)
x (c)
FIGURA 2
Las calculadoras graficadoras están programadas para hallar la función polinomial de mejor ajuste de un grado especificado. Al igual que en el caso de las rectas (vea página 131), una función polinomial de un grado determinado se ajusta a los datos mejor, si la suma de los cuadrados de las distancias entre la gráfica de la función polinomial y los puntos de datos se reduce al mínimo.
E J E M P LO 1
296
Lluvia y producción de cosechas
La lluvia es esencial para que crezcan las cosechas, pero demasiada lluvia puede disminuir la producción. Los datos siguientes dan la lluvia y producción de algodón por acre para varias estaciones en cierto condado. (a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. ¿Qué grado de la función polinomial parece ser apropiado para modelar los datos? (b) Use calculadora graficadora para hallar el polinomio de mejor ajuste. Grafique la función polinomial en la gráfica de dispersión. (c) Use el modelo que haya encontrado para estimar la producción si hay 25 pulgadas de lluvia.
Ajuste de datos a curvas con funciones polinomiales
Ted Wood/The Image Bank/Getty Images
Estación
Lluvia (pulg.)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
23.3 20.1 18.1 12.5 30.9 33.6 35.8 15.5 27.6 34.5
297
Producción (kg/acre) 5311 4382 3950 3137 5113 4814 3540 3850 5071 3881
S O LU C I Ó N (a) La gráfica de dispersión se muestra en la Figura 3. Los datos parecen tener un pico, de modo que es apropiado modelar los datos por medio de una función polinomial cuadrática (grado 2). 6000
10 1500
40
F I G U R A 3 Gráfica de dispersión de producción contra datos de lluvia
(b) Usando calculadora graficadora, encontramos que la función polinomial cuadrática de mejor ajuste es
y
12.6x2
651.5x
3283.2
La salida de la calculadora y la gráfica de dispersión, junto con la gráfica del modelo cuadrático, se muestran en la Figura 4. 6000
10 1500
(a)
40 (b)
FIGURA 4
(c) Usando el modelo con x ⫽ 25, obtenemos
y
12.61252 2
651.51252
3283.2
Estimamos que la producción es de unos 5130 kg/acre.
5129.3 Q
298
Enfoque sobre modelado
E J E M P LO 2
Bacalao
Pez rojo
Merluza
Otolitos para varias especies de peces
Datos de longitud a cierta edad para peces
Los otolitos (“orejas de piedra”) son diminutas estructuras que se encuentran en la cabeza de peces. Los anillos microscópicos de crecimiento en los otolitos, que no son diferentes a los anillos de crecimiento de un árbol, registran la edad de un pez. La tabla siguiente da las longitudes de róbalos pescados a diferentes edades, como lo determinan sus otolitos. Unos científicos han propuesto un polinomio cúbico para modelar estos datos. (a) Use calculadora graficadora para hallar la función polinomial cúbica de mejor ajuste para los datos. (b) Haga una gráfica de dispersión de los datos y grafique la función polinomial de la parte (a). (c) Un pescador captura un róbalo de 20 pulgadas de largo. Use el modelo para estimar su edad. Edad (años) Longitud (pulg.) 1 2 2 3 4 5 6 6 7 8
Edad (años) Longitud (pulg.)
4.8 8.8 8.0 7.9 11.9 14.4 14.1 15.8 15.6 17.8
9 9 10 10 11 12 12 13 14 14
18.2 17.1 18.8 19.5 18.9 21.7 21.9 23.8 26.9 25.1
S O LU C I Ó N (a) Usando calculadora graficadora (vea Figura 5(a)), encontramos la función polinomial cúbica de mejor ajuste:
y
0.0155x 3
0.372x 2
3.95x
1.21
(b) La gráfica de dispersión de los datos y la función polinomial cúbica están graficadas en la Figura 5(b). 30
15
0 (a)
(b)
FIGURA 5
(c) Moviendo el cursor a lo largo de la gráfica del polinomio, encontramos que y ⫽ 20 cuando x ≈ 10.8. Entonces, el pez tiene alrededor de 11 años de edad. Q
PROBLEMAS 1. Presión de inflado de llantas y desgaste de la superficie de rodamiento Es necesario inflar correctamente las llantas de autos. Una presión excesiva o demasiado baja pueden causar desgaste prematuro. Los datos y gráfica de dispersión de la página siguiente muestran la duración de una llanta para diferentes valores de inflado para cierto tipo de llanta.
(a) Encuentre la función polinomial cuadrática que mejor se ajuste a los datos. (b) Trace una gráfica de la polinomial de la parte (a) junto con una gráfica de dispersión de los datos. (c) Use su resultado de la parte (b) para estimar la presión que da la duración más larga.
Ajuste de datos a curvas con funciones polinomiales Presión (lb/pulg.2)
Duración (mi)
26 28 31 35 38 42 45
50,000 66,000 78,000 81,000 74,000 70,000 59,000
299
y (mi) 80,000 70,000 60,000 50,000 0
0
25
30
35
40
45
50 x (lb/pulg.2)
2. ¿Demasiadas plantas de maíz por acre? Cuanto más maíz plante un agricultor por acre, mayor es la producción que éste pueda esperar… pero hasta cierto punto. Demasiadas plantas por acre pueden causar demasiada aglomeración y disminuye la producción. Los datos siguientes dan producciones por acre para varias densidades de plantación de maíz, como lo hallaron investigadores en una granja de pruebas de una universidad.
(a) Encuentre la función polinomial cuadrática que mejor se ajuste a los datos. (b) Trace una gráfica de la función polinomial de la parte (a) junto con una gráfica de dispersión de los datos. (c) Use su resultado de la parte (b) para estimar la producción para 37,000 plantas por acre.
Densidad (plantas/acre) 15,000 20,000 25,000 30,000 35,000 40,000 45,000 50,000
Producción (búshels/acre) 43 98 118 140 142 122 93 67
3. ¿Con qué rapidez puede usted hacer una lista de sus cosas favoritas? Si a usted se le pide hacer una lista de objetos en cierta categoría, la rapidez con la que pueda hacer esa lista sigue un modelo que se puede predecir. Por ejemplo, si trata de mencionar tantas hortalizas como pueda, es probable que piense en varias de ellas de inmediato, por ejemplo zanahorias, chícharos, frijoles, maíz, etcétera. Después, tras cierta pausa, puede pensar en otras que usted coma con menos frecuencia, quizá calabacines, berenjenas y espárragos. Finalmente, puede pensar en unas pocas legumbres exóticas como alcachofas, jícama, repollo chino u otras semejantes. Un psicólogo hace este experimento en varios individuos. La tabla siguiente da el número promedio de legumbres que las personas han citado en cierto número de segundos.
(a) Encuentre la función polinomial cúbica que mejor se ajuste a los datos. (b) Trace una gráfica de la función polinomial de la parte (a) junto con una gráfica de dispersión de los datos. (c) Use su resultado de la parte (b) para estimar el número de legumbres que las personas podrían mencionar en 40 segundos. (d) De acuerdo con el modelo, ¿cuánto tardaría una persona (al décimo de segundo más cercano) en citar cinco legumbres?
Segundos 1 2 5 10 15 20 25 30
Número de legumbres 2 6 10 12 14 15 18 21
300
Enfoque sobre modelado 4. Las ventas de ropa son estacionales Las ventas de ropa tienden a variar por temporadas, con más de ellas vendidas en primavera y otoño. La tabla siguiente da las cifras de ventas para cada mes en cierta tienda de ropa.
(a) Encuentre una función polinomial cuártica (de cuarto grado) que mejor se ajuste a los datos. (b) Trace una gráfica de la función polinomial de la parte (a) junto con una gráfica de dispersión de los datos. (c) ¿Piensa usted que una función polinomial cuártica es un buen modelo para estos datos? Explique.
Mes
Ventas ($)
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
8,000 18,000 22,000 31,000 29,000 21,000 22,000 26,000 38,000 40,000 27,000 15,000
5. Altura de una pelota de béisbol Una pelota es lanzada hacia arriba y su altura se mide a intervalos de 0.5 segundos con una luz estroboscópica. Los datos resultantes se dan en la tabla siguiente.
(a) Trace una gráfica de dispersión de los datos. ¿Qué grado de una función polinomial es apropiado para modelar los datos? (b) Encuentre un modelo de polinomial que mejor se ajuste a los datos y grafíquelo en la gráfica de dispersión. (c) Encuentre los tiempos en los que la pelota está a 20 pies sobre el suelo. (d) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la pelota?
Tiempo (s) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Altura (pies) 4.2 26.1 40.1 46.0 43.9 33.7 15.8
6. Ley de Torricelli El agua de un tanque se saldrá por un pequeño agujero del fondo con más rapidez cuando el tanque esté casi lleno que cuando esté casi vacío. De acuerdo con la ley de Torricelli, la altura h1t2 del agua restante en el tiempo t es una función cuártica de t. Cierto tanque se llena con agua y se deja drenar. La altura del agua se mide en tiempos diferentes como se muestra en la tabla.
(a) Encuentre la función polinomial cuadrática que mejor se ajuste a los datos. (b) Trace una gráfica de la función polinomial de la parte (a) junto con una gráfica de dispersión de los datos. (c) Use su gráfica de la parte (b) para estimar cuánto tardará el tanque en drenarse por completo.
Tiempo (min) Altura (pies) 0 4 8 12 16
5.0 3.1 1.9 0.8 0.2
George Marks/Retrofile/Getty Images
CAPÍTULO
4
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 4.1 Funciones exponenciales 4.2 La función exponencial natural 4.3 Funciones logarítmicas 4.4 Leyes de logaritmos 4.5 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 4.6 Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas
En este capítulo estudiamos una clase de funciones llamadas funciones exponenciales. Éstas son funciones, como f 1x2 ⫽ 2x, donde la variable independiente está en el exponente. Las funciones exponenciales se usan para modelar numerosos fenómenos del mundo real, como por ejemplo el crecimiento de una población o el crecimiento de una inversión que gana interés compuesto. Una vez obtenido el modelo exponencial, podemos usar el modelo para predecir el tamaño poblacional o calcular la cantidad de una inversión para cualquier fecha futura. Para investigar cuándo una población llegará a cierto nivel, usamos las funciones inversas de funciones exponenciales, llamadas funciones logarítmicas. Por lo tanto, si tenemos un modelo exponencial para crecimiento poblacional, podemos contestar preguntas como: ¿Cuándo estará mi ciudad tan congestionada como la calle de Nueva York que se ve en la foto?
ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas exponenciales y potencia
301
302
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
4.1 F UNCIONES EXPONENCIALES Funciones exponenciales 䉴 Gráficas de funciones exponenciales 䉴 Interés compuesto En este capítulo estudiamos una nueva clase de funciones llamadas funciones exponenciales. Por ejemplo, f 1x2 ⫽ 2x es una función exponencial (con base 2). Observe la rapidez con la que aumentan los valores de esta función: f 132 23 8
f 1102 f 1302
210 230
1024 1,073,741,824
Compare esto con la función g1x2 ⫽ x2, donde g1302 ⫽ 302 ⫽ 900. El punto es que cuando la variable está en el exponente, incluso un pequeño cambio en la variable puede causar un cambio muy grande en el valor de la función.
W Funciones exponenciales Para estudiar funciones exponenciales, primero debemos definir lo que queremos decir por la expresión ax cuando x es cualquier número. En la Sección 1.2 definimos ax para a > 0 y x un número racional, pero todavía no hemos definido potencias irracionales. Por lo tanto, ¿qué significa 513 o 2π? Para definir ax cuando x es irracional, aproximamos x por medio de números racionales. Por ejemplo, dado que 13 1.73205. . . es un número irracional, sucesivamente aproximamos a13 mediante las siguientes potencias racionales: a1.7, a1.73, a1.732, a1.7320, a1.73205, . . . Intuitivamente, podemos ver que estas potencias racionales de a se acercan más y más a a13. Se puede demostrar mediante matemáticas avanzadas que hay exactamente un número al que estas potencias se aproximan. Definimos que a13 es este número. Por ejemplo, usando calculadora, encontramos
513
Las Leyes de Exponentes se dan en la página 14.
51.732 16.2411. . .
Cuantos más lugares decimales de 13 usemos en nuestro cálculo, es mejor nuestra aproximación de 513. Se puede demostrar que las Leyes de Exponentes todavía son verdaderas cuando los exponentes son números reales.
FUNCIONES EXPONENCIALES La función exponencial con base a está definida para todos los números reales x por f1x2 ax donde a 0 y a 1.
Suponemos que a ⫽ 1 porque la función f 1x2 ⫽ 1x ⫽ 1 es precisamente una función constante. A continuación veamos algunos ejemplos de funciones exponenciales:
f 1x 2
2x
Base 2
g1x2
3x
Base 3
h1x2
10 x
Base 10
S E C C I Ó N 4.1
| Funciones exponenciales 303
Sea f 1x2 ⫽ 3x y evalúe lo siguiente:
E J E M P LO 1
(b) f 1 23 2 (d) f 1 122
(a) f122 (c) f 1p2
Usamos calculadora para obtener los valores de f.
S O LU C I Ó N
(a) f 122 (b) f A
2 3B
(c) f 1p2
(d) f A12 B
Evaluación de funciones exponenciales
Tecleo en calculadora
32
9
3 3p 3
3 ^ 2
2/3
12
9
ENTER
3 ^ ( (_) 2
0.4807 31.544
3 ^ P
3 )
0.4807498
ENTER
31.5442807
ENTER
3 ^ 1 2
4.7288
Salida
4.7288043
ENTER
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 5
Q
W Gráficas de funciones exponenciales Primero graficamos funciones exponenciales al localizar puntos. Veremos que las gráficas de esas funciones tienen una forma fácilmente reconocible.
E J E M P LO 2
Graficado de funciones exponenciales al localizar puntos
Trace la gráfica de cada función.
(a) f 1x2
(b) g1x2
3x
1 x a b 3
S O LU C I Ó N Calculamos valores de f 1x2 y g1x2 y localizamos puntos para trazar las gráficas de la Figura 1. x 3 2 1 0 1 2 3
f 1x2
3 1 27 1 9 1 3
x
g 1x2
1 3 9 27
27 9 3 1
y
x A 31 B
y=! 31 @˛
1 3 1 9 1 27
y=3˛
1 0
1
x
FIGURA 1
Observe que
La reflexión de gráficas se explica en la Sección 2.5.
g1x 2
1 x a b 3
1 3x
3
x
f1 x2
de modo que hemos obtenido la gráfica de g a partir de la gráfica de f al reflejar en el eje y. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 15
Q
304
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
Para ver la rapidez con la que aumenta f(x) ⫽ 2x, realicemos el siguiente experimento de pensamiento. Suponga que empezamos con un trozo de papel de un milésimo de pulgada de grueso, y lo doblamos a la mitad 50 veces. Cada vez que doblamos el papel, se duplica el grosor de la pila del papel, de modo que el grosor de la pila resultante sería 250/1000 pulgadas. ¿De qué grosor piensa usted qué es? Resulta que es de más de 17 millones de millas.
F I G U R A 2 Una familia de funciones exponenciales Vea la Sección 3.7, página 278, donde se explica la “notación de flechas” empleada aquí.
La Figura 2 muestra las gráficas de la familia de funciones exponenciales f 1x2 ⫽ 2x para varios valores de la base a. Todas estas gráficas pasan por el punto 10, 12 porque a0 ⫽ 1 para toda a ⫽ 0. De la Figura 2 se puede ver que hay dos clases de funciones exponenciales: si 0 < a < 1, la función exponencial decrece rápidamente; si a > 1, la función aumenta rápidamente (vea nota al margen). y=! 31 @˛ y=! 21 @˛
y=! 101 @˛ y=10 ˛ y=! 51 @˛ y
y=5˛ y=3˛
y=2˛
2
0
x
1
El eje x es una asíntota horizontal para la función exponencial f 1x2 ⫽ ax. Esto es porque cuando a > 1, tenemos que ax 씮 0 cuando x 씮 −q, y cuando 0 < a < 1, tenemos ax 씮 0 cuando x 씮 q (vea Figura 2). También ax > 0 para toda x ∈ , de modo que la función f 1x2 ⫽ ax tiene dominio y rango 10, q2. Estas observaciones se resumen en el cuadro siguiente.
GRÁFICAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES 1a
La función exponencial
tiene dominio y rango 10, q 2 . La recta y 0 (el eje x) es una asíntota horizontal de f. La gráfica de f tiene una de las siguientes formas.
f1x2
ax
0, a
y
12
y
(0, 1)
(0, 1) 0
0
x
Ï=a˛ para a>1
x
Ï=a˛ para 0 0 y a ⫽ 1, es una función biunívoca por la Prueba de la Recta Horizontal (vea Figura 1 para el caso a > 1) y por tanto tiene una función inversa. La función inversa f⫺1 se denomina función logarítmica con base a y se denota con loga. Recuerde de la Sección 2.6 que f⫺1 está definida por
W Funciones logarítmicas
f
1
1x2
y
3
f 1y2
x
Esto lleva a la siguiente definición de la función logarítmica.
DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Sea a un número positivo con a 1. La función logarítmica con base a, denotada por log a, está definida por Leemos logax ⫽ y como “el log base a de x es y”.
Por tradición el nombre de la función logarítmica es loga, no sólo una letra. También, por lo general omitimos los paréntesis en la notación de función y escribimos loga(x) ⫽ loga x
loga x
y
3
ay
x
Por lo tanto, loga x es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x.
Cuando usamos la definición de logaritmos para pasar entre la forma logarítmica loga x ⫽ y y la forma exponencial ay ⫽ x, es útil observar que, en ambas formas, la base es la misma: Forma logarítmica Exponente
loga x Base
y
Forma exponencial Exponente
ay Base
x
316
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
E J E M P LO 1
Formas logarítmicas y exponenciales
Las formas logarítmicas y exponenciales son ecuaciones equivalentes: si una es verdadera, también lo es la otra. Por lo tanto, podemos pasar de una forma a la otra como en las siguientes ilustraciones. Forma logarítmica log10 100,000 log2 8 3 3 log2 ! 18 @ log 5 s r
Forma exponencial 105 100,000 23 8 2 3 18 5r s
5
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 5
log 10 x
x 104 103 102 10 1 10 1 10 2 10 3 10 4
f 1 1f1x 22
(a) (b) (c) (d)
Evaluación de logaritmos
log101000 3 log2 32 5 1 log10 0.1 1 log16 4 2
porque porque porque porque
10 3 1000 2 5 32 10 1 0.1 16 1/2 4
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 7 Y 9
Propiedad de la Función Inversa:
f 1f 1 1x 22
Es importante entender que loga x es un exponente. Por ejemplo, los números de la columna derecha de la tabla del margen son los logaritmos (base 10) de los números de la columna izquierda. Éste es el caso para todas las bases, como ilustra el siguiente ejemplo.
E J E M P LO 2
4 3 2 1 0 1 2 3 4
Q
x
Q
Cuando aplicamos la Propiedad de la Función Inversa descrita en la página 201 a f 1x2 ⫽ ax y f⫺11x2 ⫽ loga x, obtenemos
log a 1a x 2
a loga x
x
x,
x
x,
x
0
Hacemos una lista de éstas y otras propiedades de logaritmos que estudiamos en esta sección.
PROPIEDADES DE LOGARITMOS Propiedad 1. loga 1 2. loga a 3. loga a 4. a
Razón 0
Debemos elevar a a la potencia 0 para obtener 1.
1
Debemos elevar a a la potencia 1 para obtener a.
x
loga x
Debemos elevar a a la potencia x para obtener a x.
x
loga x es la potencia a la que a debe elevarse para obtener x.
x
E J E M P LO 3
Aplicar propiedades de logaritmos
Ilustramos las propiedades de logaritmos cuando la base es 5.
log5 1
0 8
log5 5
8
Propiedad 1
log5 5
Propiedad 3
log5 12
5
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 19 Y 25
1
Propiedad 2
12
Propiedad 4
Q
| Funciones logarítmicas 317
S E C C I Ó N 4.3 y
y=a˛, a>1
W Gráficas de funciones logarítmicas
y=loga x
1 1
x
y=x
F I G U R A 2 Gráfica de la función logarítmica f(x) ⫽ loga x
Recuerde que si una función biunívoca f tiene dominio A y rango B, entonces su función inversa f⫺1 tiene dominio B y rango A. Como la función exponencial f 1x2 ⫽ ax con a ⫽ 1 tiene dominio y rango 10, q2, concluimos que su función inversa, f⫺11x2 ⫽ loga x, tiene dominio 10, q2 y rango . La gráfica de f⫺11x2 ⫽ loga x se obtiene al reflejar la gráfica de f 1x2 ⫽ ax en la recta y ⫽ x. La Figura 2 muestra el caso a > 1. El hecho de que y ⫽ ax (para a > 1) sea una función muy rápidamente creciente para x > 0 implica que y ⫽ loga x es una función muy rápidamente creciente para x > 1 (vea Ejercicio 92). Como loga 1 ⫽ 0, el punto de intersección x de la función y ⫽ loga x es 1. El eje y es una asíntota vertical de y ⫽ loga x porque loga x 씮 ⫺q cuando x 씮 0⫹.
E J E M P LO 4
Graficar una función logarítmica localizando puntos
Trace la gráfica de f 1x2 ⫽ log2 x.
S O LU C I Ó N Para hacer una tabla de valores, escogemos los valores x que sean potencias de 2 para que podamos fácilmente hallar sus logaritmos. Localizamos estos puntos y los enlazamos con una curva sin irregularidades como en la Figura 3. y
log2 x
x 23 22 2 1 2 1 2 2 2 3 2 4
3 2 1 0 1 2 3 4
f(x)=log¤ x
3 2 1 _1 _2 _3 _4
1 2
4
6
8
x
FIGURA 3
AHORA TRATE DE HACER EL EJERCICIO 41
Q
La Figura 4 muestra las gráficas de la familia de funciones logarítmicas con bases 2, 3, 5 y 10. Estas gráficas se trazan al reflejar las gráficas de y ⫽ 2x, y ⫽ 3x, y ⫽ 5x y y ⫽ 10x (vea Figura 2 en la Sección 4.1) en la recta y ⫽ x. También podemos localizar puntos como ayuda para trazar estas gráficas, como se ilustra en el Ejemplo 4. y
y=log2 x y=log‹ x y=logfi x y=log⁄‚ x
1 0
F I G U R A 4 Familia de funciones logarítmicas
1
x
318
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
L A S M AT E M Á T I C A S E N EL MUNDO MODERNO
En los siguientes dos ejemplos graficamos funciones logarítmicas empezando con las gráficas básicas de la Figura 4 y usando las transformaciones de la Sección 2.5.
E J E M P LO 5
Reflejar gráficas de funciones logarítmicas
Trace la gráfica de cada función. (a) g1x2 log2 x
(b) h1x2 © Bettmann/CORBIS
© Hulton-Deutsch Collection/CORBIS
Aplicación de la ley Las matemáticas ayudan a la aplicación de la ley en numerosas y sorprendentes formas, desde la reconstrucción de trayectorias de balas hasta determinar el tiempo de una muerte, para calcular la probabilidad de que una muestra de ADN sea de una persona en particular. Un uso interesante está en la búsqueda de personas desaparecidas. Una persona que haya estado desaparecida durante años podría verse muy diferente respecto de su más reciente fotografía disponible. Esto es particularmente cierto si la persona desaparecida es un niño. ¿Alguna vez se ha preguntado usted cómo se verá dentro de 5, 10 o 15 años? Unos investigadores han hallado que diferentes partes del cuerpo crecen más rápido que otras. Por ejemplo, sin duda usted ha observado que la cabeza de un bebé es mucho más grande con respecto a su cuerpo que la cabeza de un adulto. Como otro ejemplo, la relación entre la longitud del brazo de una persona y la estatura de ésta es 13 2 en un niño pero alrededor de 5 en un adulto. Al recolectar datos y analizar gráficas, los investigadores pueden determinar las funciones que modelan el crecimiento. Al igual que en todos los fenómenos de crecimiento, las funciones exponenciales y logarítmicas desempeñan una función de importancia decisiva. Por ejemplo, la fórmula que relaciona la longitud l de un brazo con la estatura h es l ⫽ aekh donde a y k son constantes. Estudiando varias características físicas de una persona, biólogos matemáticos modelan cada una de las características con una función que describe la forma en que cambian con el tiempo. Los modelos de características del rostro se pueden programar en una computadora para dar una imagen de cómo cambia con el tiempo la apariencia de una persona. Estas imágenes ayudan a departamentos de aplicación de la ley para localizar a personas extraviadas.
log2 1 x2
(a) Empezamos con la gráfica de f 1x2 ⫽ log2 x y la reflejamos en el eje x para obtener la gráfica de g1x2 ⫽ ⫺log2 x en la Figura 5(a). (b) Empezamos con la gráfica de f 1x2 ⫽ log2 x y la reflejamos en el eje y para obtener la gráfica de h1x2 ⫽ log2 1⫺x2 en la Figura 5(b). S O LU C I Ó N
y
y
f(x)=log¤ x
1 0
_1 0
x
1
f(x)=log¤ x
1
x
1
h(x)=log¤ (_x) g(x)=_log¤ x (a)
(b)
FIGURA 5
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 55
E J E M P LO 6
Q
Desplazar gráficas de funciones logarítmicas
Encuentre el dominio de cada función y trace la gráfica. (a) g1x2 2 log5 x (b) h1x2 log10 1x 32
(a) La gráfica de g se obtiene de la gráfica de f 1x2 ⫽ log5 x (Figura 4) al desplazar hacia arriba 2 unidades (vea Figura 6). El dominio de f es (0, q). S O LU C I Ó N
y
3
g(x)=2+logfi x
2
f(x)=logfi x
1 0
x
1
FIGURA 6
(b) La gráfica de h se obtiene de la gráfica de f 1x2 ⫽ log10 x (Figura 4) al desplazar a la derecha 3 unidades (vea Figura 7). La recta x ⫽ 3 es una asíntota vertical. Como log10 x está definido sólo cuando x > 0, el dominio de h1x2 ⫽ log10 1x ⫺ 32 es
5x 0 x
3
06
5x 0 x
36
13, q 2
| Funciones logarítmicas 319
S E C C I Ó N 4.3 y
Asíntota x=3
1
f(x)=log⁄‚ x
Library of Congress
h(x)=log⁄‚(x-3) 0
FIGURA 7
JOHN NAPIER (1550-1617) fue un terrateniente escocés para quien las matemáticas eran un pasatiempo favorito. Hoy lo conocemos por su invención clave: los logaritmos, que él publicó en 1614 bajo el título de A description of the Marvelous Rule of Logarithms (Una descripción de la Maravillosa Regla de los Logaritmos). En la época de Napier, los logaritmos eran utilizados exclusivamente para simplificar complicados cálculos. Por ejemplo, para multiplicar dos números grandes, los escribiríamos como potencias de 10. Los exponentes son simplemente los logaritmos de los números. Por ejemplo,
4532
x
4
1
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 53 Y 57
Q
W Logaritmos comunes Ahora estudiamos logaritmos con base 10.
LOGARITMO COMÚN El logaritmo común con base 10 se llama logaritmo común y se denota omitiendo la base:
log10 x
log x
57,783 103.65629 10
104.76180
De la definición de logaritmos podemos fácilmente hallar que
8.41809
log 10
261,872,564 La idea es que multiplicar potencias de 10 es fácil (sólo sumamos sus exponentes). Napier produjo extensas tablas que dan los logaritmos (o exponentes) de números. Desde el advenimiento de calculadoras y computadoras, los logaritmos ya no se usan para este propósito, pero las funciones logarítmicas han encontrado numerosas aplicaciones, algunas de las cuales se describen en este capítulo. Napier escribió sobre innumerables temas. Una de sus obras más pintorescas es un libro titulado A Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John, en el que predijo que el mundo se acabaría en el año 1700.
1
y
log 100
2
Pero ¿cómo definimos log 50? Necesitamos hallar el exponente y tal que 10y ⫽ 50. Claramente, 1 es demasiado pequeño y 2 es demasiado grande. Por lo tanto 1 < log 50 < 2 Para obtener una mejor aproximación, podemos experimentar para hallar una potencia de 10 más cercana a 50. Por fortuna, las calculadoras científicas están equipadas con una tecla LOG que directamente da valores de logaritmos comunes. Use calculadora para hallar valores apropiados de f 1x2 ⫽ log x y utilice los valores para trazar la gráfica.
E J E M P LO 7
Evaluar logaritmos comunes
S O LU C I Ó N Hacemos una tabla de valores, usando una calculadora para evaluar la función en aquellos valores de x que no sean potencias de 10. Localizamos esos puntos y los enlazamos con una curva sin irregularidades como en la Figura 8. y x 0.01 0.1 0.5 1 4 5 10
log x 2 1 0.301 0 0.602 0.699 1
2
f(x)=log x
1 0 _1
2
4
6
8
10
12
x
FIGURA 8
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 43
Q
320
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (sonido, luz o presión) usando funciones logarítmicas. Por ejemplo, la intensidad de un sonido debe ser aumentado muchas veces antes que “sintamos” que la intensidad simplemente se ha duplicado. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como
k log a
S
I b I0
donde S es la intensidad subjetiva del estímulo, I es la intensidad física del estímulo, I0 representa el umbral de intensidad física y k es una constante que es diferente para cada estímulo sensorial. La respuesta humana al sonido e intensidad luminosa es logarítmica.
E J E M P LO 8
Logaritmos comunes y sonido
La percepción de la intensidad B (en decibeles, dB) de un sonido con intensidad física I (en W/m2) está dada por
10 log a
B
Estudiamos la escala de decibeles en más detalle en la Sección 4.6.
I b I0
donde I0 es la intensidad física de un sonido apenas audible. Encuentre el nivel de decibeles (intensidad) de un sonido cuya intensidad física I es 100 veces la de I0. S O LU C I Ó N
Encontramos el nivel de decibeles B usando el hecho de que I ⫽ 100I0.
B
10 log a
I b I0
Definición de B
10 log a
100I0 b I0
I = 100I0
10 log 100
Cancele I0
10 # 2
20
Definición de log
La intensidad del sonido es de 20 dB. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 87
Q
W Logaritmos naturales La notación ln es una abreviatura del nombre latino logarithmus naturalis.
y
De todas las posibles bases a para logaritmos, resulta que la opción más cómoda para los propósitos de cálculo es el número e, que definimos en la Sección 4.2.
LOGARITMO NATURAL
y=e˛
El logaritmo con base e se denomina logaritmo natural y se denota con ln:
ln x 1
y=ln x 1
x
y=x
F I G U R A 9 Gráfica de la función de logaritmo natural
loge x
La función de logaritmo natural y ⫽ ln x es la función inversa de la función exponencial natural y ⫽ ex. Ambas funciones están graficadas en la Figura 9. Por la definición de funciones inversas tenemos
ln x
y
3
ey
x
Si sustituimos a ⫽ e y escribimos “ln” por “loge” en las propiedades de logaritmos ya citadas antes, obtenemos las siguientes propiedades de logaritmos naturales.
| Funciones logarítmicas 321
S E C C I Ó N 4.3
PROPIEDADES DE LOGARITMOS NATURALES Propiedad
Razón
1. ln 1
0
Debemos elevar e a la potencia 0 para obtener 1.
2. ln e
1
Debemos elevar e a la potencia 1 para obtener e.
3. ln e x 4. eln x
Debemos elevar e a la potencia x para obtener e x.
x
ln x es la potencia a la que e debe elevarse para obtener x.
x
Las calculadoras están equipadas con una tecla res de logaritmos naturales.
E J E M P LO 9 (a) ln e8
que directamente presenta los valo-
Evaluar la función de logaritmo natural
8
1 b ln e e2 (c) ln 5 1.609 (b) ln a
LN
Definición de logaritmo natural 2
2
Definición de logaritmo natural Use la tecla
LN
de su calculadora
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 39
Q
Encuentre el dominio de la función f 1x2 ⫽ ln14 ⫺ x22.
E J E M P LO 1 0
Hallar el dominio de una función logarítmica
S O LU C I Ó N Igual que con cualquier función logarítmica, ln x está definida cuando x > 0. Entonces, el dominio de f es
5x 0 4
x2
06
5x 0 x 2
5x 0
2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 63
3
_3
3
_3 x ln14
x
5x @ 0 x 0
26
1 2, 22 26
Q
Trace la gráfica de la función y ⫽ x ln14 ⫺ x22, y úsela para hallar las asíntotas y valores máximo y mínimo locales.
E J E M P LO 1 1
FIGURA 10 y
46
x2 2
Trazar la gráfica de una función logarítmica
S O LU C I Ó N Como en el Ejemplo 10, el dominio de esta función es el intervalo 1⫺2, 22, de modo que escogemos el rectángulo de vista 3⫺3, 34 por 3⫺3, 34. La gráfica se muestra en la Figura 10, y de ella vemos que las rectas x ⫽ ⫺2 y x ⫽ 2 son asíntotas verticales. La función tiene un punto máximo local a la derecha de x ⫽ 1 y un punto mínimo local a la izquierda de x ⫽ ⫺1. Al hacer acercamiento (zoom) y trazar a lo largo de la gráfica con el cursor, encontramos que el valor máximo local es aproximadamente 1.13 y esto ocurre cuando x ≈ 1.15. Del mismo modo (o al observar que la función es impar), encontramos que el valor mínimo local es alrededor de ⫺1.13 y se presenta cuando x ≈ ⫺1.15.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 69
Q
322
| Funciones exponenciales y logarítmicas
C A P Í T U LO 4
4.3 EJERCICIOS CO N C E P TO S
6.
Forma logarítmica
1. log x es el exponente al cual la base 10 debe elevarse para obtener ________. Por lo tanto, podemos completar la tabla siguiente para log x. 3
2
10
x
1
10
0
10
10
1
10
10
2
10
3
log 4 A 161 B log 4 A 12 B
10
log x
2. La función f 1x2 ⫽ log9 x es la función logarítmica con
base ________. Por tanto, f 192 ⫽ ________, f 112 ⫽ ________, ________, y f 132 ⫽ ________.
f 1 19 2
3. (a) 53
125, entonces log
(b) log5 25 (a) f 1x2
(b) f 1x2
I
log2x
y
(d) f 1x 2
II
log 2 1 x 2
III
1
0 2
0 2
x
y
IV
1
x
y
12
0 2
0 2
x
x
3
3 2 3
(b) ln y
5
(b) ln1x
12
4
Exprese la ecuación en forma logarítmica.
1000
1 5 . (a ) 8
1
1 8
16. (a) 4
3/2
17. (a) e
x
18. (a) e
x 1
4
(b) 10
125
14. (a) 10
Q
log 2 A 18 B
(b) log 8 4
2
3
19-28
1
(b ) 4
12. (a) ln1x
0
(b) log 8 512
1 1 3
x
13. (a) 5 3
1
(b) log5 1
2
11. (a) ln 5
Q
1 32
5/2
Exprese la ecuación en forma exponencial.
7. (a) log5 25
13-18
y
8
4
10. (a) log 3 81
log 2 1 x2
43/2 1 2
9. (a) log 8 2
4. Relacione la función logarítmica con su gráfica.
(c) f 1x 2
Q
64
2
8. (a) log 10 0.1
2, entonces
log2 x
7-12
43 1 2
log 4 2 1/2
Forma exponencial
0.0001
1/2
(b) 81 (b ) 2 (b) 7 3
0.125
3
(b) e
2
9 1 8
3
343 y
0.5x
(b) e
0.5
t
Evalúe la expresión.
19. (a) log 3 3
(b) log 3 1
(c) log 3 3 2
20. (a) log 5 5 4
(b) log 4 64
(c) log 3 9
21. (a) log 6 36
(b) log 9 81
(c) log 7 710
(b) log 8 817
(c) log 6 1
log 3 A 271 B
22. (a) log 2 32 23. (a)
(b) log 10 110
24. (a) log 5 125
(b) log 49 7
(c) log 5 0.2
(c) log 9 13
HABILIDADES
25. (a) 2
(b) 3
(c) e ln15
5-6 Q Complete la tabla al hallar la forma logarítmica o exponencial apropiada de la ecuación, como en el Ejemplo 1.
26. (a) e ln p
(b) 10 log 5
(c) 10 log 87
27. (a) log 8 0.25
(b) ln e 4
5.
log2 37
Forma logarítmica
Forma exponencial
log 8 8 1 log 8 64 2
log 8 A 81 B
82/3 4 83 512
1 8
2
1 64
log3 8
28. (a) log 4 12
29-36
Q
(b)
log 4 A 12 B
(c) ln11/e 2 (c) log 4 8
Use la definición de la función logarítmica para hallar x.
29. (a) log 2 x
5
(b) log 2 16
30. (a) log 5 x
4
(b) log 10 0.1
31. (a) log 3 243
x
x x
(b) log 3 x
3
32. (a) log 4 2
x
(b) log 4 x
2
33. (a) log 10 x
2
(b) log 5 x
2
| Funciones logarítmicas 323
S E C C I Ó N 4.3 34. (a) log x 1000 35. (a) log x 16
(b) log x 25
3 4
1 2
36. (a) log x 6
53-62 Q Grafique la función, no al localizar puntos sino empezando de las gráficas de las Figuras 4 y 9. Exprese el dominio, rango y asíntota.
2
(b) log x 8
3 2
(b) log x 3
1 3
37-40 Q Use calculadora para evaluar la expresión, aproximada a cuatro lugares decimales.
37. (a) log 2
(c) logA 32 B
(b) log 35.2
38. (a) log 50
(b) log 12
(c) log13 122
39. (a) ln 5
(b) ln 25.3
(c) ln11
40. (a) ln 27
(b) ln 7.39
(c) ln 54.6
132
Encuentre la función de la forma y ⫽ logax cuya gráfica
Q
y
45.
1
log x
1
5
x
y
47.
x
1
1 ! 2,
_1@
48. y
1
1
1
!3, 2 @
0
0
3
1
(9, 2)
x
1
3
6
9 x
56. g1x2 58. y
log 3 x
60. y
log 10 x
6 2. y
log 10 1x
64. f 1x 2
log 10 x log 3 1x
log 3 1x
ln x 1x
66. g1x 2
32 12 ln12 2
log 5 110
22
ln1 x 2
ln 0 x 0
1
log 5 18
Encuentre el dominio de la función. 2
12
ln1x
ln1x
x2
x2
log 10 11
ln x
x
7 0. y 7 2. y
ln x x
75. f 1x 2 75-78
x22
Q
76. f 1x 2
77. f 1x 2 78. f 1x 2
7 4. y
x1ln x 2 ln1x 2
49. f 1x 2 I
2
50. f 1x 2
ln x
II y
y
2 0
ln1x
x=2
x log 10 1x
x
0
1
3
10 2
Encuentre las funciones f$g y g$f y sus dominios.
2x, 3, x
g 1x 2
g 1x 2
log 2x,
1
x
g 1x 2
g 1x 2
x
2
1 x
2
79. Compare las rapidez de crecimiento de las funciones f 1x2 ⫽ ln x 1x al trazar sus gráficas en una pantalla común y g1x 2 usando el rectángulo de vista 3⫺1, 304 por 3⫺1, 64 .
logx,
x
2
f1x 2
1
ln11
x2
y
g1x 2
1x
en un rectángulo de vista apropiado, demuestre que aun cuando una función logarítmica empieza más alta que una función de raíz, es finalmente superada por la función de raíz. (b) Encuentre, aproximadas a dos lugares decimales, las soluciones de la ecuación 1x 1 ln11 x2. 81-82 Q Nos dan una familia de funciones. (a) Trace gráficas de la familia para c ⫽ 1, 2, 3 y 4. (b) ¿Cómo están relacionadas las gráficas de la parte (a)?
(3, 0)
(1, 2) 1
22
2x 2
x 2 2
x2 2
80. (a) Trazando las gráficas de las funciones
49-50 Q Relacione la función logarítmica con una de las gráficas marcadas I o II.
2
69-74 Q Trace la gráfica de la función en un rectángulo de vista apropiado, y úsela para hallar el dominio, las asíntotas y los valores máximo y mínimo locales.
73. y
0 _1
log 5 1 x2
54. f 1x 2
42
0 ln x 0
68. h1x 2
71. y
1 0
Q
69. y
(5, 1)
1
1
67. h1x2
y
46.
59. y
65. g1x 2
log4 x
44. g1x2
2 log x
2
63. f 1x 2
45-48 se da.
43. f 1x 2
42. g1x 2
log3 x
57. y
63-68
41. f 1x 2 Q
log 2 1x
55. g1x 2 61. y
Trace la gráfica de la función al localizar puntos.
41-44
53. f 1x2
x
51. Trace la gráfica de y ⫽ 4x y, a continuación, úsela para trazar la gráfica de y ⫽ log4 x.
52. Trace la gráfica de y ⫽ 3x y, a continuación, úsela para trazar la gráfica de y ⫽ log3 x.
81. f 1x 2
log1cx 2
82. f 1x 2
c log x
83. f 1x 2
log 2 1log 10 x 2
84. f 1x2
ln1ln1ln x 22
83-84 Q Nos dan una función f 1x2. (a) Encuentre el dominio de la función f. (b) Encuentre la función inversa de f. 85. (a) Encuentre la inversa de la función f 1x 2
(b) ¿Cuál es el dominio de la función inversa?
2x
1
2x
.
324
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
A P L I C AC I O N E S 86. Absorción de luz Un espectrofotómetro mide la concentración de una muestra disuelta en agua al hacer brillar una luz a través de ella y registrar la cantidad de luz que emerge. En otras palabras, si sabemos la cantidad de luz que es absorbida, podemos calcular la concentración de la muestra. Para cierta sustancia, la concentración (en moles por litro) se encuentra usando la fórmula
2500 ln a
C
I b I0
91. Dificultad de una tarea La dificultad en “alcanzar un objetivo” (por ejemplo usar el ratón para hacer clic en un icono en la pantalla de la computadora) depende de la distancia a la que está el objetivo y el tamaño de éste. De acuerdo con la Ley de Fitts, el índice de dificultad (ID) está dado por
log12A/W2
ID
donde I0 es la intensidad de la luz incidente e I es la intensidad de la luz que emerge. Encuentre la concentración de la sustancia si la intensidad I es 70% de I0.
I0
donde k es una constante positiva que depende de la batería. Para cierta batería, k ⫽ 0.25. Si esta batería está completamente descargada, ¿cuánto tomará cargarla al 90% de su carga máxima C0?
log 2
donde W es el ancho del objetivo y A es la distancia al centro del objetivo. Compare la dificultad de hacer clic en un icono de 5 mm de ancho con hacer clic en uno de 10 mm de ancho. En cada caso, suponga que el ratón está a 100 mm del icono.
I
87. Determinación de la edad por carbono La edad de un artefacto antiguo puede ser determinada por la cantidad de carbono 14 radiactivo restante en una muestra. Si D0 es la cantidad original de carbono 14 y D es la cantidad restante, entonces la edad A del artefacto (en años) está dada por
8267 ln a
A
D b D0
Encuentre la edad de un objeto si la cantidad D de carbono 14 que queda en el objeto es 73% de la cantidad original D0. 88. Colonia de bacterias Cierta cepa de bacterias se divide cada tres horas. Si una colonia se inicia con 50 bacterias, entonces el tiempo t (en horas) necesario para que la colonia crezca a N bacterias está dado por
t
3
log1N/502 log 2
Encuentre el tiempo necesario para que la colonia crezca a un millón de bacterias. 89. Inversión El tiempo necesario para duplicar la cantidad de una inversión a una tasa de interés r capitalizado continuamente está dado por
t
ln 2 r
Encuentre el tiempo necesario para duplicar una inversión al 6%, 7% y 8%. 90. Carga de una batería La rapidez a la que se carga una batería es más lenta cuanto más cerca está la batería de su carga máxima C0. El tiempo (en horas) necesario para cargar una batería completamente descargada a una carga C está dado por
t
k ln a 1
C b C0
DESCUBRIMIENTO
DISCUSIÓN
Q
Q
REDACCIÓN
92. Altura de la gráfica de una función logarítmica Suponga que la gráfica de y ⫽ 2x está trazada en un plano de coordenadas donde la unidad de medición es 1 pulgada. (a) Demuestre que, a una distancia de 2 pies a la derecha del origen, la altura de la gráfica es de unas 265 millas. (b) Si la gráfica de y ⫽ log2 x se traza en el mismo conjunto de ejes, ¿a qué distancia a la derecha del origen tenemos que ir antes que la altura de la curva llegue a 2 pies? 93. El Googolplex Un googol es 10100, y un googolplex es 10googol. Encuentre
log(log(googol))
y
log(log(log(googolplex)))
94. Comparación de logaritmos ¿Cuál es más grande, log417 o log524? Explique su razonamiento. 95. Número de dígitos de un entero Compare log 1000 con el número de dígitos de 1000. Haga lo mismo para 10,000. ¿Cuántos dígitos tiene cualquier número entre 1000 y 10,000? ¿Entre cuáles dos valores debe encontrarse el logaritmo común de tal número? Use sus observaciones para explicar por qué el número de dígitos de cualquier entero positivo x esࠢlog xࠣ⫹ 1. (El símboloࠢnࠣes la función entero mayor definida en la Sección 2.2.) ¿Cuántos dígitos tiene el número 2100?
S E C C I Ó N 4.4
| Leyes de logaritmos 325
4.4 L EYES DE LOGARITMOS Leyes de logaritmos 䉴 Expansión y combinación de expresiones logarítmicas 䉴 Fórmula para cambio de base En esta sección estudiamos propiedades de logaritmos. Estas propiedades dan a las funciones logarítmicas una amplia variedad de aplicaciones, como veremos en la Sección 4.6.
W Leyes de logaritmos Como los logaritmos son exponentes, las Leyes de Exponentes dan lugar a las Leyes de Logaritmos.
LEYES DE LOGARITMOS Sea a un número positivo, con a
1. Sean A, B y C cualesquier números reales con A
1. loga 1AB2
Ley
2. loga a
A b B
3. loga 1AC 2
0yB
0.
Descripción
loga A
loga B
El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números.
loga A
loga B
El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números.
C loga A
El logaritmo de una potencia de un número es el exponente por el logaritmo del número.
Hacemos uso de la propiedad logaax ⫽ x de la Sección 4.3. Ley 1 Sean loga A ⫽ u y loga B ⫽ √. Cuando se escriben en forma exponencial, estas cantidades se convierten en DEMOSTRACIÓN
loga 1AB2 au
Por lo tanto,
Ley 2
Usando la Ley 1, tenemos
loga A Así Ley 3
loga 1AC 2
loga c a
loga a
loga 1a a 2 y
A
a√
u √
√
u
A bBd B
A b B
loga 1au 2 C
loga 1au √ 2 B
loga A
loga a
loga A loga 1auC 2
loga B
A b B
loga B
loga B
Sean loga A ⫽ u. Entonces au ⫽ A, por lo que
E J E M P LO 1
uC
C loga A
Uso de las leyes de logaritmos para evaluar expresiones
Evalúe las expresiones siguientes. (a) log 4 2 log 4 32
(b) log 2 80 log 2 5 1 (c) 3 log 8
Q
326
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas log 4 12 # 322
S O LU C I Ó N
(a) log 4 2
log 4 32
log 2 A 805 B
log 4 64 (b) log 2 80
log 2 5
3
1 3
logA 21 B
log 8
log 8
Porque 64 = 4 3 Ley 2
log 2 16 (c)
Ley 1
4
Porque 16 = 2 4
1/3
Ley 3 Propiedad de exponentes negativos
0.301
Calculadora
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 7, 9 Y 11
Q
W Expansión y combinación de expresiones logarítmicas Las Leyes de Logaritmos nos permiten escribir el logaritmo de un producto o un cociente como la suma o diferencia de logaritmos. Este proceso, llamado expansión de una expresión logarítmica, se ilustra en el siguiente ejemplo.
E J E M P LO 2
Expansión de expresiones logarítmicas
Use las Leyes de Logaritmos para expandir estas expresiones. ab (a) log 2 16x 2 (b) log 5 1x3y6 2 (c) ln a 3 b 1c
(a) log 2 16x 2 S O LU C I Ó N
(b) log 5 1x3y6 2 (c) ln a
1c ab 3
log 2 6
log 2 x
log 5 x3
log 5 y6
3 log 5 x
b
ln a
Ley 1
6 log 5 y
Ley 3
3 ln 1 c
ln1ab2 ln a
Ley 1
Ley 2
ln b
ln c1/3
Ley 1
ln b
1 3
Ley 3
ln c
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 19, 21 Y 33
Q
Las Leyes de Logaritmos también nos permiten invertir el proceso de expansión que se hizo en el Ejemplo 2. Es decir, podemos escribir sumas y diferencias de logaritmos como un solo logaritmo. Este proceso, llamado combinar expresiones logarítmicas, está ilustrado en el siguiente ejemplo.
E J E M P LO 3
Combinar expresiones logarítmicas
Combine 3 log x
1 2
log1x
12 en un solo logaritmo.
S O LU C I Ó N
3 log x
1 2
log1x
12
log1x3 1x log x3
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 47
E J E M P LO 4 Combine 3 ln s
12 1/2 2
log1x
12 1/2
Combinar expresiones logarítmicas 1 2
ln t
4 ln1t 2
12 en un solo logaritmo.
Ley 3 Ley 1
Q
| Leyes de logaritmos 327
S E C C I Ó N 4.4
S O LU C I Ó N 3 ln s
1 2
4 ln1t 2
ln t
ln1s t 2 ln s3
12
ln a
ln t1/2
3 1/2
ln1t
s3 1t b 1t 12 4
ln1t 2 2
12
12 4
Ley 3
4
Ley 1 Ley 2
2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 49
Q
Advertencia Aun cuando las Leyes de Logaritmos nos dicen cómo calcular el logaritmo de un producto o un cociente, no hay regla correspondiente para el logaritmo de una suma o una diferencia. Por ejemplo,
loga 1x
loga x
y2
loga y
De hecho, sabemos que el lado derecho es igual a loga(xy). Del mismo modo, no simplifique incorrectamente cocientes o potencias de logaritmos. Por ejemplo,
log 6 log 2
6 log a b 2
1log2 x 2 3
y
3 log2 x
Se usan funciones logarítmicas para modelar diversas situaciones donde interviene el comportamiento humano. Uno de éstos es la rapidez con la que olvidamos cosas que hemos aprendido. Por ejemplo, si usted aprende álgebra a cierto nivel (por ejemplo 90% en un examen) y no usa álgebra durante un tiempo, ¿cuánto retendrá después de una semana, un mes o un año? Hermann Ebbinghaus (1850-1909) estudió este fenómeno y formuló la ley descrita en el ejemplo siguiente.
E J E M P LO 5
La ley de olvido
Si una tarea se aprende a cierto nivel P0, después de cierto tiempo t el nivel de recordatorio P satisface la ecuación log P log P0 c log1t 12 donde c es una constante que depende del tipo de tarea y t se mide en meses. (a) Despeje P. (b) Si su calificación en el examen de historia es 90, ¿qué calificación esperaría obtener en un examen similar después de dos meses? ¿Después de un año? (Suponga que c ⫽ 0.2.) Olvidar lo que hemos aprendido depende de cuánto tiempo hace que lo aprendimos.
S O LU C I Ó N (a) Primero combinamos el lado derecho.
log P
log P0
c log1t
log P
log P0
log1t
log P
log
P
12 12
c
Ecuación dada Ley 3
P0 1t 12 c
Ley 2
P0 1t 12 c
Porque log es biunívoco
(b) Aquí P0 ⫽ 90, c ⫽ 0.2 y t se mide en meses.
IEn dos meses:
t
2
y
P
IEn un año:
t
12
y
P
90 12 12 0.2 112
90
12 0.2
72 54
Sus calificaciones esperadas después de dos meses y un año son 72 y 54, respectivamente. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 69
Q
328
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
W Fórmula para cambio de base Para algunos propósitos encontramos útil cambiar de logaritmos de una base a logaritmos de otra base. Suponga que nos dan loga x y deseamos hallar logb x. Sea y ⫽ logb x Escribimos esto en forma exponencial y tomamos el logaritmo, con base a, de cada lado.
loga 1b 2
by
x
Forma exponencial
y
loga x
Tome loga de cada lado
y loga b
loga x
Ley 3
y
loga x loga b
Divida entre log a b
Esto demuestra la siguiente fórmula. Podemos escribir la Fórmula para Cambio para Base como 1 log b x a b log a x log a b Entonces loga x es sólo un múltiplo cons1 . tante de loga x; la constante es log a b
FÓRMULA PARA CAMBIO DE BASE logb x
loga x loga b
En particular, si ponemos x ⫽ a, entonces loga a, y esta fórmula se convierte en
logb a
1 loga b
Ahora podemos evaluar un logaritmo a cualquier base con el uso de la Fórmula para Cambio de Base, para expresar el logaritmo en términos de logaritmos comunes o logaritmos naturales y luego usar calculadora.
E J E M P LO 6
Evaluar logaritmos con la Fórmula para Cambio de Base
Use la Fórmula para Cambio de Base y logaritmos comunes o naturales para evaluar cada logaritmo, aproximado a cinco lugares decimales. (a) log8 5 (b) log9 20 S O LU C I Ó N (a) Usamos la Fórmula para Cambio de Base con b ⫽ 8 y a ⫽ 10:
log 8 5
log10 5 log10 8
0.77398
(b) Usamos la Fórmula para Cambio de Base con b ⫽ 9 y a ⫽ e:
log 9 20
ln 20 ln 9
1.36342
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 55 Y 57
E J E M P LO 7
Usar la Fórmula para Cambio de Base para graficar una función logarítmica
Use calculadora graficadora para graficar f 1x2 ⫽ log6 x.
Q
| Leyes de logaritmos 329
S E C C I Ó N 4.4 2
S O LU C I Ó N Las calculadoras no tienen tecla para log6, de modo que usamos la Fórmula para Cambio de Base para escribir
0
f1x 2
36
ln x ln 6
log 6 x
Como las calculadoras tienen una tecla LN , podemos ingresar esta nueva forma de la función y graficarla. La gráfica se muestra en la Figura 1.
_1
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 63
F I G U R A 1 f 1x 2
Q
ln x ln 6
log 6 x
4.4 EJERCICIOS 1. El logaritmo de un producto de dos números es igual que log5 125 ⋅ 1252 ⫽___⫹____.
la___ de los logaritmos de estos números. Por tanto,
2. El logaritmo de un cociente de dos números es igual que 25 2 log5 1 125
la ___ de los logaritmos de estos números. Por tanto,
..
log5125102 ⫽_______.
que la potencia _____ el logaritmo del número. Por tanto,
x2y 4. (a) Podemos expandir a b para obtener _______. z (b) Podemos combinar 2 log x ⫹ log y ⫺ log z para obtener _______. 5. La mayor parte de calculadoras pueden hallar logaritmos con base ____ y base ___. Para hallar logaritmos con bases diferentes, usamos la Fórmula _____. Para Hallar log7 12, escribimos
log log
log7 12
HABILIDADES 7. log 3 127
13. log 2 6
12. log 12 9
log 4 3 log 2 15
14. log 3 100
log 3 18
17. log1log 1010,000 2 15. log 4 16100
26. log 6 117 4
29. log 5 2x2
31. ln 1ab
33. log a
x3y4 z6
35. log 2 a
log 12 16
b
x1x2
2x y b 37. ln a x Bz 4
B 1x2
Q
18. ln1ln ee 2 16. log 2 8 33
200
36. log 5 38. ln
x Bx
1 1
3x2 1x 12 10
40. log a
y2
a2 b b4 1c
11
x
3
x
b
42. log 3x2y 1z
72 2
44. log a
2
x1x
10x 12 1x4
22
b
Use las Leyes de Logaritmos para combinar la expresión.
5 log 3 2 1 2
46. log 12 48. log 5 1x 47. log 2 A
12 1 3
log 5 1x
2 log 2 C
2 ln x
12
2
12
2 log1x
ln1a
b2
2 ln c
log1x
b2
52. 21log5 x
log 2
log 7
log 2 B
2
51. ln 5
b
x3 1x 1 b 3x 4
50. ln1a
log 3 50
1
34. log a
x2 4 12 1x3
49. 4 log x
log 2 20
x2 b yz3
32. ln 23r2s
12
2
39. log 2x2
43. ln a
30. loga a
1
3
45. log 3 5 8. log2 160 log2 5 1 10. log 11000
log 25
11. log 4 192
28. log 2 1xy2 10
122
25. log 2 1AB2 2
45-54
Evalúe la expresión.
9. log 4
27. log 3 1x 1y2
21. log 2 1x1x
41. log
6. ¿Verdadero o falso? Obtenemos la misma respuesta si hacemos el cálculo del Ejercicio 5 usando ln en lugar de log.
Q
23. log 610
20. log 3 15y2 x 22. log 5 2 24. ln 1z
Use las Leyes de Logaritmos para expandir la expresión.
Q
3
3. El logaritmo de un número elevado a una potencia es igual
7-18
19. log 2 12x 2 19-44
CO N C E P TO S
2
3 ln1x
2 log5 y
52
3 log5 z2
12
330 53.
C A P Í T U LO 4 1 3 log1x
54. loga b
223
c loga d
| Funciones exponenciales y logarítmicas 1 2 3log
log1x 2
x4
6224
x
r loga s
(b) Use la parte (a) para demostrar que si k ⫽ 3, entonces duplicar el área aumenta ocho veces el número de especies.
55-62 Q Use la Regla para Cambio de Base y una calculadora para evaluar el logaritmo, redondeado a seis lugares decimales. Use logaritmos naturales o comunes.
55. log 2 5
56. log 5 2
57. log 3 16
58. log 6 92
59. log 7 2.61
60. log 6 532
61. log 4 125
62. log 12 2.5
63. Use la Fórmula para Cambio de Base para demostrar que
log 3 x
ln x ln 3
A continuación use este dato para trazar la gráfica de la función f 1x2 ⫽ log3 x.
64. Trace gráficas de la familia de funciones y ⫽ loga x para a ⫽ 2, e, 5 y 10 en la misma pantalla, usando el rectángulo de vista 30, 54 por 3⫺3, 34 . ¿Cómo están relacionadas estas gráficas?
71. Magnitud de estrellas La magnitud M de una estrella es una medida del brillo que una estrella parece tener a la vista del hombre. Está definida como
log e
66. Simplifique: 1log252 1log572 67. Demuestre que
ln1x
2x2
1 ln 10 12
ln1x
2x2
12 .
2.5 log a
M
65. Use la Fórmula para Cambio de Base para demostrar que
B b B0
donde B es el brillo real de la estrella y B0 es una constante. (a) Expanda el lado derecho de la ecuación. (b) Use la parte (a) para demostrar que cuanto más brillante sea una estrella, menor es su magnitud. (c) Betelgeuse es unas 100 veces más brillante que Albiero. Use la parte (a) para demostrar que Betelgeuse es 5 magnitudes menos brillante que Albiero.
A P L I C AC I O N E S 68. Olvido Use la Ley de Olvido (Ejemplo 5) para estimar la calificación de un estudiante, en un examen de biología, dos años después que obtuvo una calificación de 80 en un examen sobre el mismo material. Suponga que c ⫽ 0.3 y t se mide en meses. 69. Distribución de riqueza Vilfredo Pareto (1848-1923) observó que la mayor parte de la riqueza de un país es propiedad de unos cuantos miembros de la población. El Principio de Pareto es
log P
log c
k log W
donde W es el nivel de riqueza (cuánto dinero tiene una persona) y P es el número de personas de la población que tiene ese dinero. (a) De esa ecuación, despeje P. (b) Suponga que k ⫽ 2.1, c ⫽ 8000, y W se mide en millones de dólares. Use la parte (a) para hallar el número de personas que tienen $2 millones de dólares o más. ¿Cuántas personas tienen $10 millones de dólares o más? 70. Diversidad Algunos biólogos modelan el número de especies S en un área fija A (por ejemplo una isla) con la relación especie-área
log S
log c
k log A
donde c y k son constantes positivas que dependen del tipo de especie y hábitat. (a) De la ecuación, despeje S.
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
72. ¿Verdadero o falso? Discuta cada una de las ecuaciones siguientes y determine si es verdadera para todos los valores posibles de las variables. (Ignore valores de las variables para las que cualquier término no esté definido.)
x (a) log a b y (b) log 2 1x (c) log 5 a
y2
log x log y log 2 x
a b b2
log 5 a
(e) 1log P2 1log Q 2 (d) log 2z
(g) 1log 2 72 x a
(i) log1x (j)
ln a
2 log 5 b
z log 2
log a (f) log b
(h) loga a
log 2 y
log P
log a
log b
x log 2 7 a
y2
1 b A
log x log y ln A
log Q
S E C C I Ó N 4.5 73. Encuentre el error mento?
74. Desplazamiento, contracción y alargamiento de gráficas de funciones Sea f 1x2 ⫽ x2. Demuestre que f 12x2 ⫽ 4f 1x2 y explique la forma en que esto demuestra que la contracción de la gráfica de f, horizontalmente, tiene el mismo efecto que alargarla verticalmente. A continuación use las identidades e2⫹x ⫽ e2ex y ln12x2 ⫽ ln 2 ⫹ ln x para demostrar que para g1x2 ⫽ ex un desplazamiento horizontal es igual que un alargamiento vertical y para h1x2 ⫽ ln x una contracción horizontal es lo mismo que un desplazamiento vertical.
¿Qué está mal en el siguiente argu-
log 0.1
log10.1 2 2 2 log 0.1
log 0.01 log 0.1 0.1
| Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 331
log 0.01 0.01
4.5 E CUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ecuaciones exponenciales 䉴 Ecuaciones logarítmicas 䉴 Interés compuesto En esta sección resolvemos ecuaciones que contienen funciones exponenciales o logarítmicas. Las técnicas que desarrollamos aquí se usarán en la siguiente sección para resolver problemas aplicados.
W Ecuaciones exponenciales Una ecuación exponencial es aquella en la que la variable aparece en el exponente. Por ejemplo, 2x ⫽ 7 La variable x presenta una dificultad porque está en el exponente. Para resolver esta dificultad, tomamos el logaritmo de cada lado y luego usamos las Leyes de Logaritmos para “bajar x” del exponente.
2x
7
Ecuación dada
x
ln 7
Tome ln de cada lado
x ln 2
ln 7
Ley 3 (bajar exponente)
x
ln 7 ln 2
Despeje x
2.807
Calculadora
ln 2
Recuerde que la Ley 3 de las Leyes de Logaritmos dice que loga Ac ⫽ C loga A. El método que usamos para resolver 2x ⫽ 7 es típico de cómo resolvemos ecuaciones exponenciales en general.
GUÍAS PARA RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES 1. Aísle la expresión exponencial en un lado de la ecuación. 2. Tome el logaritmo de cada lado y a continuación use las Leyes de Logaritmos para “bajar el exponente”. 3. Despeje la variable.
E J E M P LO 1
Resolver una ecuación exponencial
Encuentre la solución de la ecuación 3x⫹2 ⫽ 7, redondeada a seis lugares decimales.
332
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas S O LU C I Ó N
Tomamos el logaritmo común de cada lado y usamos la Ley 3.
log 13x 2 2
2
3x
1x
Podríamos haber usado logaritmos naturales en lugar de logaritmos comunes. De hecho, usando los mismos pasos, obtenemos ln 7 x 2 0.228756 ln 3
7
Ecuación dada
log 7
Tome log de cada lado
22log 3
log 7
Ley 3 (bajar exponente)
2
log 7 log 3
Divida entre log 3
x
log 7 log 3
x
2
Reste 2
0.228756
Calculadora
V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
Sustituyendo x ⫽ ⫺0.228756 en la ecuación original y usando calculadora, obtenemos 31
0.2287562 2
7
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 7
E J E M P LO 2
Q
Resolver una ecuación exponencial
Resuelva la ecuación 8e2x ⫽ 20. S O L U C I O N Primero dividimos entre 8 para aislar el término exponencial en un lado de la ecuación.
8e2x
20
Ecuación dada
20 8
Divida entre 8
ln e2x
ln 2.5
Tome ln de cada lado
2x
ln 2.5
Propiedad de ln
x
ln 2.5 2
Divida entre 2
0.458
Calculadora
2x
e
V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
Sustituyendo x ⫽ 0.458 en la ecuación original y utilizando una calculadora, tenemos 8e210.4582
20
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 9
E J E M P LO 3
Q
Resolver una ecuación exponencial de forma algebraica y gráfica
Resuelva la ecuación e 3⫺2x ⫽ 4 de manera algebraica y gráfica. S O L U C I Ó N 1 : Algebraica Como la base del término exponencial es e, usamos logaritmos naturales para resolver esta ecuación.
ln 1e3
e3
3
2
2x
4
Ecuación dada
ln 4
Tome ln de cada lado
2x
ln 4
Propiedad de ln
2x
1 2 13
2x
x
3
ln 4 2 ln 4
Reste 3
0.807
Multiplique por
Es necesario verificar que esta respuesta satisfaga la ecuación original.
1 2
S E C C I Ó N 4.5 5
| Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 333
S O L U C I Ó N 2 : Gráfica Graficamos las ecuaciones y ⫽ e3⫺2x y y ⫽ 4 en el mismo rectángulo de vista como en la Figura 1. Las soluciones se presentan donde las gráficas se intersecan. Si hacemos acercamiento (zoom) en el punto de intersección de las dos gráficas, vemos que x ≈ 0.81.
y=4
y=e3_2x
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 11 2
0
FIGURA 1
E J E M P LO 4
Q
Una ecuación exponencial de tipo cuadrático
Resuelva la ecuación e2x ⫺ ex ⫺ 6 ⫽ 0. Para aislar el término exponencial, factorizamos.
S O LU C I Ó N
e2x
1e x 2 2
Si hacemos „ ⫽ ex, obtenemos la ecuación cuadrática
„2
„
6
que se factoriza como 1„ 3 2 1„ 2 2
3
1e x
ex
3
0 0
ex
32 1e x
0
6
0
Ecuación dada
6
0
Ley de Exponentes
22
0
Factorice (un cuadrático en ex)
ex ex
o bien e x
2
0
Propiedad del Producto Cero
2
ex
La ecuación ex ⫽ 3 lleva a x ⫽ ln 3. Pero la ecuación ex ⫽ ⫺2 no tiene solución porque ex > 0 para toda x. Entonces, x ⫽ ln 3 ≈ 1.0986 es la única solución. Es necesario comprobar que esta respuesta satisfaga la ecuación original. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 29
E J E M P LO 5
Q
Resolver una ecuación exponencial
Resuelva la ecuación 3xex ⫹ x2ex ⫽ 0. Primero factorizamos el lado izquierdo de la ecuación.
S O LU C I Ó N V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
x
x
310 2 e0 0:
02e0
31 3 2 e 3:
3
9e
3
0
1 3 2 2e 9e
3
3xe x
x2e x
0
Ecuación dada
x13
x2e x
x2
0
Factorizamos factores comunes
0
Dividimos entre ex (porque ex ≠ 0)
x13 3
x 0
0
o
3
x
0
Propiedad del Producto Cero
Entonces las soluciones son x ⫽ 0 y x ⫽ ⫺3. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 33
La determinación de la edad por radiocarbono es un método que los arqueólogos usan para determinar la edad de objetos antiguos. El dióxido de carbono en la atmósfera siempre contiene una fracción fija de carbono radiactivo, carbono 14 (14C), con una vida media de unos 5730 años. Las plantas absorben dióxido de carbono de la atmósfera, que luego pasa a los animales a través de la cadena alimentaria. Entonces, todos los seres vivientes contienen las mismas proporciones fijas entre 14C y 12C no radiactivo como la atmósfera. Después que un organismo muere, deja de asimilar 14C y la cantidad de 14C en su interior empieza a desintegrarse exponencialmente. Podemos entonces determinar el tiempo transcurrido desde la muerte del organismo si medimos la cantidad de 14C que tenga.
Por ejemplo, si el hueso de un borrico que murió hace t años contiene 73% del 14C que tenga uno vivo, entonces por la fórmula para desintegración radiactiva (Sección 4.6),
0.73
11.002e
1t ln 22/5730
Resolvemos esta ecuación exponencial para hallar t ≈ 2600, de modo que el hueso tiene unos 2600 años de antigüedad.
Q
334
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
W Ecuaciones logarítmicas Una ecuación logarítmica es aquella en la que aparece un logaritmo de la variable. Por ejemplo, log21x ⫹ 22 ⫽ 5
Para despejar x, escribimos la ecuación en forma exponencial
x
2
25
x
32
Forma exponencial
2
30
Despeje x
Otra forma de ver el primer paso es elevar la base, 2, a cada lado de la ecuación.
2log21x
22
25
Eleve 2 a cada lado
x
2
25
Propiedad de logaritmos
x
32
2
30
Despeje x
El método empleado para resolver este sencillo problema es típico. Resumimos los pasos como sigue:
GUÍAS PARA RESOLVER ECUACIONES LOGARÍTMICAS 1. Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación; es posible que primero sea necesario combinar los términos logarítmicos. 2. Escriba la ecuación en forma exponencial (o elevar la base a cada lado de la ecuación). 3. Despeje la variable.
E J E M P LO 6
Resolver ecuaciones logarítmicas (b) log 2 125
x2
ln x
8
De cada ecuación, despeje x.
(a) ln x
8
S O LU C I Ó N (a)
8
x
e
3
Ecuación dada Forma exponencial
Por lo tanto, x ⫽ e8 ≈ 2981. También podemos resolver este problema en otra forma:
log 2 125
ln x
8
Ecuación dada
eln x
e8
Eleve e a cada lado
x
e8
Propiedad de ln
(b) El primer paso es reescribir la ecuación en forma exponencial.
V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
log 2 125
17 2
Si x ⫽ 17, tenemos log 2 8
3
x
x2
3
Ecuación dada
25
x
23
Forma exponencial (o eleve 2 a cada lado)
25
x
8
25
8
17
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 37 Y 41
Q
S E C C I Ó N 4.5
E J E M P LO 7
| Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 335
Resolver una ecuación logarítmica
Resuelva la ecuación 4 ⫹ 3 log12x2 ⫽ 16. S O LU C I Ó N Primero aislamos el término logarítmico. Esto nos permite escribir la ecuación en forma exponencial.
3 log 12x2
4
3 log12x2
16
Ecuación dada
log 12x2
12
Reste 4
4
Divida entre 3
104
Forma exponencial (o eleve 10 a cada lado)
5000
Divida entre 2
2x x
V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
Si x ⫽ 5000, obtenemos
3 log 215000 2
4
4
3 log 10,000
4
3142
16
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 43
E J E M P LO 8
22
4:
log1 2 2
log1 4
3:
x
log13
22
log1 5 2
log1 4
log 5
log 2
log 10
1
22
log1x
12
1.
S O L U C I Ó N 1 : Algebraica Primero combinamos los términos logarítmicos, usando las Leyes de Logaritmos.
12
log 3 1x
1x
no definido
log13
Resolver algebraica y gráficamente una ecuación logarítmica
Resuelva algebraica y gráficamente la ecuación log1x
V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA
x
Q
12
log15 # 2 2
x
1x
4
22 1x
x x2
22 1x
2
12 4
1
Ley 1
12
10
Forma exponencial (o eleve 10 a cada lado)
2
10
Expanda lado izquierdo
12
0
Reste 10
32
0
Factorice
x
3
x
42 1x x
o
Verificamos estas potenciales soluciones en la ecuación original y encontramos que x ⫽ ⫺4 no es una solución (porque los logaritmos de números negativos no están definidos), pero x ⫽ 3 es una solución. (Vea Verifique sus respuestas.) 3
S O L U C I Ó N 2 : Gráfica Primero movemos todos los términos a un lado de la ecuación:
log1x 0
6
_3
log1x
12
1
0
12
1
A continuación graficamos
y FIGURA 2
22
log1x
22
log1x
como en la Figura 2. Las soluciones son los puntos de intersección x de la gráfica. Entonces, la única solución es x ≈ 3. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 49
Q
336
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
En el Ejemplo 9 no es posible aislar x algebraicamente, de modo que debemos resolver gráficamente la ecuación.
E J E M P LO 9
Resolver gráficamente una ecuación logarítmica
Resuelva la ecuación x2 ⫽ 2 ln1x ⫹ 22. S O LU C I Ó N
Primero movemos todos los términos a un lado de la ecuación.
x2
2
2 ln1x
22
0
Entonces graficamos 3
_2
_2
FIGURA 3
y
x2
2 ln1x
22
como en la Figura 3. Las soluciones son los puntos de intersección x de la gráfica. Si hacemos zoom en los puntos de intersección x, vemos que hay dos soluciones y
x ≈ ⫺0.71
x ≈ 1.60
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 59
Q
Se usan ecuaciones logarítmicas para determinar la cantidad de luz que llega a diversas profundidades en un lago. (Esta información ayuda a biólogos a determinar los tipos de fauna que un lago puede soportar.) Cuando pasa luz por el agua (u otros materiales transparentes como vidrio o plástico), parte de la luz es absorbida. Es fácil ver que cuanto más turbia sea el agua, más luz se absorbe. La relación exacta entre absorción de luz y la distancia que viaja la luz en un material está descrita en el siguiente ejemplo.
E J E M P LO 1 0
Transparencia de un lago
Si I0 e I denotan la intensidad de luz antes y después de pasar por un material y x es la distancia (en pies) que la luz se desplaza en el material, entonces, de acuerdo con la Ley de Beer-Lambert, 1 I ln a b x k I0 La intensidad de la luz en un lago disminuye con la profundidad.
donde k es una constante que depende del tipo de material. (a) Despeje I de la ecuación (b) Para cierto lago, k ⫽ 0.025, y la intensidad de la luz es I0 ⫽ 14 lumen (lm). Encuentre la intensidad de luz a una profundidad de 20 pies. S O LU C I Ó N (a) Primero aislamos el término logarítmico.
1 I ln a b k I0 ln a
I b I0
I I0 I
Ecuación dada
x
e
kx
Multiplique por – k
kx
Forma exponencial
I0e
kx
Multiplique por I0
(b) Encontramos I usando la fórmula de la parte (a).
I
I0e
14e1
8.49
kx 0.02521202
De la parte (a) I0 = 14, k = 0.025, x = 20 Calculadora
La intensidad de luz a una profundidad de 20 pies es alrededor de 8.5 lm.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 85
Q
S E C C I Ó N 4.5
| Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 337
W Interés compuesto Recuerde las fórmulas para interés que hallamos en la Sección 4.1. Si un principal P se invierte a una tasa de interés r durante un tiempo de t años, entonces la cantidad A de la inversión está dada por
A
P11
A1t 2
Pa1
A1t 2
r2
r b n
Pe rt
Interés simple (para un año) nt
Interés capitalizado n veces por año Interés capitalizado continuamente
Podemos usar logaritmos para determinar el tiempo que tarda el principal en aumentar a una cantidad dada.
E J E M P LO 1 1
Hallar el tiempo para que una inversión se duplique
Una suma de $5000 se invierte a una tasa de interés del 5% al año. Encuentre el tiempo necesario para que el dinero se duplique si el interés se capitaliza de acuerdo con el siguiente método. (a) Semestralmente (b) Continuamente (a) Usamos la fórmula para interés compuesto con P ⫽ $5000, A1t2 ⫽ $10,000, r ⫽ 0.05 y n ⫽ 2 y de la ecuación exponencial resultante despejamos t. S O LU C I Ó N
5000 a 1
0.05 2t b 2
r nt b n
2
Pa1
2t
log 1.025
log 2
Tome log de cada lado
2t log 1.025
log 2
Ley 3 (baje el exponente)
t
log 2 2 log 1.025
Divida entre 2 log 1.025
t
14.04
Calculadora
11.0252 2t
10,000
A
Divida entre 5000
El dinero se duplicará en 14.04 años. (b) Usamos la fórmula para interés capitalizado continuamente con P ⫽ $5000, A1t2 ⫽ $10,000 y r ⫽ 0.05 y de la ecuación exponencial resultante despejamos t.
5000e0.05t e0.05t ln e
0.05t
0.05t t t
10,000
Pert = A
2
Divida entre 5000
ln 2
Tome ln de cada lado
ln 2 ln 2 0.05 13.86
Propiedad de ln Divida entre 0.05 Calculadora
El dinero se duplicará en 13.86 años.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 75
E J E M P LO 1 2
Q
Tiempo necesario para crecer una inversión
Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 4% al año. Encuentre el tiempo necesario para que la cantidad crezca a $4000 si el interés se capitaliza continuamente.
338
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas S O LU C I Ó N Usamos la fórmula para interés capitalizado continuamente con P ⫽ $1000, A1t2 ⫽ $4000 y r ⫽ 0.04 y de la ecuación exponencial resultante se despeja t.
1000e0.04t
4000
Pert = A
e0.04t
4
Divida entre 1000
0.04t
ln 4
Tome ln de cada lado
t
ln 4 0.04
Divida entre 0.04
t
34.66
Calculadora
La cantidad será $4000 en 34 años y 8 meses. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 77
Q
4.5 EJERCICIOS CO N C E P TO S
25.
1. Resolvamos la ecuación exponencial 2ex ⫽ 50. (a) Primero, aislamos ex para obtener la ecuación equivalente___. (b) A continuación, tomamos ln de cada lado para obtener
50 1 e
27. 10011.04 2 2t 29-36
29. e
(c) Ahora usamos una calculadora para hallar x ⫽ _____. log 3 ⫹ log1x ⫺ 22 ⫽ log x.
3ex
4x
31. e
(b) A continuación, escribimos cada lado en forma exponencial para obtener la ecuación equivalente______.
2
3. 10x 5. e
25
4. 10
2x
7
6. e3x
x
3
8. 32x
10
10. 2e12x
7. 21 9. 3ex 11. e1
4x
15. 80.4x 17. 5
2x
19. e
1
21. 5x 23. 23x
4x 1
10 5x 2
34
16. 3x/14 x A 41 B
18. e3
2 200
20.
1
22. 101
3x
2
24. 7x/2
0.1
5x
16 75 6x
x
51
x
12e
2
34. x 10
3x4e
x10
36. x2ex
0
2
41. log13x
52
x2
log13
47. log x 49. log5 1x 48. log 5 x
53. log 9 1x
42. log 3 12 40. log1x
log 2 5
log 2
12
12
log5 1x
log2 1x
log1x 52 12
12
ln1x
22
x2
1
42
3
x2
3
x
22
2
0
2
22
42
12
32
log 9 1x
ex
log 5 20
log3 1x 32
xex
2110x 2 0
log14x 2
log13x
log1x
152
log 2 1x
3
log 2 x
log 5 1x
44. log 2 1x
2
1
x x
x
38. ln12
39. log x
54. ln1x
3x
10
52. log x
9
0
6
ex
De la ecuación logarítmica despeje x.
Q
51. log2 x
5 17
14. 23x
8
5
x/100
1
12. 411
2
35x
13. 4
12
30. e2x
37-54
50. log3 1x
4
x
2
x
0
46. 2 log x
3-28 Q Encuentre la solución de la ecuación exponencial, redondeada a cuatro lugares decimales.
28. 11.006252 12t 3 2. e
0
2
x
3x
45. log 2 3
HABILIDADES
10 1 e
35. 4x3e
43. 4
(c) Ahora encontramos x ⫽ _______.
0
21
x
37. ln x
ecuación equivalente_______.
2
4e
33. x 2
(a) Primero, combinamos los logaritmos para obtener la
300
2x
2 x
2. Resolvamos la ecuación logarítmica
2 6.
4
Resuelva la ecuación.
Q
2x
la ecuación equivalente _____.
x
2
12
2
32
1
2 1 1
55. ¿Para qué valor de x es verdadero lo siguiente? 56. ¿Para qué valor de x es verdadero que 1log x23 ⫽ 3 log x?
log1x
32
58. Despeje x: log2 1log3 x2 ⫽ 4 57. Despeje x: 22/log5 x
1 16
log x
log 3
S E C C I Ó N 4.5 59-66 Q Use calculadora graficadora para hallar todas las soluciones de la ecuación, redondeadas a dos lugares decimales.
59. ln x 61. x 63. e
3
x log1x
x
x
65. 4
3 1x x
x
12
62. x 64. 2 66. e
x 2
x2
60. log x
2
2
ln14 x x2
x
1
2
x3
log2 x
69. 2
10
x
71. f 1x 2 71-74
Q
73. f 1x 2
I ⫽ 10e⫺0.008x donde I se mide en lumen y x en pies. (a) Encuentre la intensidad I a una profundidad de 30 pies. (b) ¿A qué profundidad la intensidad de luz habrá bajado a I ⫽ 5?
4
5
84. Transparencia de un lago Científicos ambientalistas miden la intensidad de luz a varias profundidades en un lago, para hallar la “transparencia” del agua. Ciertos niveles de transparencia se requieren para la biodiversidad de la población macroscópica sumergida. En cierto lago, la intensidad de luz a una profundidad x está dada por
x
67-70 Q Resuelva la desigualdad. log19 x2 1 67. log1x 2 2
68. 3
| Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 339
70. x 2e x
2e x
72. f 1x 2
3x
0
Encuentre la función inversa de f.
log 2 1x 22x
12
74. f 1x 2
1
log 3x
A P L I C AC I O N E S 75. Interés compuesto Un hombre invierte $5000 en una cuenta que paga 8.5% de interés por año, capitalizado trimestralmente. (a) Encuentre la cantidad después de 3 años. (b) ¿Cuánto tiempo tomará para que la inversión se duplique?
76. Interés compuesto Una mujer invierte $6500 en una cuenta que paga 6% de interés por año, capitalizado continuamente. (a) ¿Cuál es la cantidad después de 2 años? (b) ¿Cuánto tiempo tomará para que la cantidad sea $8000? 77. Interés compuesto Encuentre el tiempo necesario para que una inversión de $5000 crezca a $8000 a una tasa de interés de 7.5% por año, capitalizado trimestralmente. 78. Interés compuesto Nancy desea invertir $4000 en certificados de ahorro que pagan una tasa de interés de 9.75% por año, capitalizado semestralmente. ¿Cuánto tiempo debe ella escoger para ahorrar una cantidad de $5000? 79. Duplicar una inversión ¿Cuánto tiempo tardará una inversión de $1000 en duplicar su valor, si la tasa de interés es 8.5% por año, capitalizado continuamente? 80. Tasa de interés Una suma de $1000 se invirtió durante 4 años, y el interés se capitalizó semestralmente. Si esta suma ascendió a $1435.77 en el tiempo dado, ¿cuál fue la tasa de interés? 81. Desintegración radiactiva Una muestra de 15 g de yodo radiactivo se desintegra en forma tal que la masa restante después de t días está dada por m 1t2 ⫽ 15e⫺0.087t, donde m1t2 se mide en gramos. ¿Después de cuántos días quedan sólo 5 gramos? 82. Paracaidismo La velocidad de un paracaidista t segundos después de saltar está dada por √ 1t2 ⫽ 8011 ⫺ e⫺0.2t2. ¿Después de cuántos segundos será de 70 pies/s la velocidad?
83. Población de peces En un pequeño lago se introduce cierta especie de peces. La población de peces está modelada por la función 10 P 1 4e 0.8t
donde P es el número de peces en miles y t se mide en años desde que el lago fue poblado por estos peces. (a) Encuentre la población de peces después de 3 años. (b) ¿Después de cuántos años la población de peces llegará a 5000?
85. Presión atmosférica La presión atmosférica P (en kilopascals, kPa) a una altitud h (en kilómetros, km) está regida por la fórmula P h ln a b P0 k
donde k ⫽ 7 y P0 ⫽ 100 kPa son constantes. (a) De la ecuación, despeje P. (b) Use la parte (a) para hallar la presión P a una altitud de 4 km.
86. Enfriamiento de un motor Supongamos que el lector está manejando su auto en un frío día de invierno (20ºF al exterior) y el motor se sobrecalienta (a unos 220ºF). Cuando se estaciona, el motor empieza a enfriarse. La temperatura T del motor t minutos después de estacionarlo satisface la ecuación
20 b 0.11t 200 (a) De la ecuación, despeje T. (b) Use la parte (a) para hallar la temperatura del motor después de 20 minutos 1t ⫽ 202. ln a
T
87. Circuitos eléctricos Un circuito eléctrico contiene una batería que produce un voltaje de 60 volts (V), un resistor con una resistencia de 13 ohms (Ω), y un inductor con una inductancia de 5 henrys (H), como se muestra en la figura. Usando cálculo, se puede demostrar que la corriente I ⫽ I1t2 (en amperes, A) t see 13t/5 2. gundos después de cerrar el interruptor es I 60 13 11 (a) Use la ecuación para expresar el tiempo t como función de la corriente I. (b) ¿Después de cuántos segundos será la corriente de 2 A?
13 ⍀
5H
60 V Interruptor
340
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
88. Curva de aprendizaje Una curva de aprendizaje es una gráfica de una función P1t2 que mide el rendimiento de alguien que aprende una disciplina como función del tiempo t de capacitación. Al principio, la rapidez de aprendizaje es alta. Entonces, a medida que el rendimiento aumenta y se aproxima a un valor máximo M, la rapidez de aprendizaje disminuye. Se ha encontrado que la función P1t2 ⫽ M ⫺ Ce⫺kt donde k y C son constantes positivas y C < M es un modelo razonable para aprendizaje. (a) Exprese el tiempo de aprendizaje t como función del nivel de rendimiento P. (b) Para un atleta de salto con pértiga en entrenamiento, la curva de aprendizaje está dada por
donde P1t2 es la altura que él es capaz de saltar con pértiga después de t meses. ¿Después de cuántos meses de aprendizaje podrá saltar 12 pies? (c) Trace una gráfica de la curva de aprendizaje de la parte (b). P1t2 ⫽ 20 ⫺ 14e
⫺0.024t
DESCUBRIMIENTO
DISCUSIÓN
Q
Q
REDACCIÓN
89. Estimar una solución Sin resolver realmente la ecuación, encuentre dos números enteros entre los cuales debe estar la solución de 9x ⫽ 20. Haga lo mismo para 9x ⫽ 100. Explique cómo ha llegado a esa conclusión. 90. Una ecuación sorprendente Tome logaritmos para demostrar que la ecuación x1/log x ⫽ 5 no tiene solución. ¿Para qué valores de k tiene solución la ecuación ¿Qué nos dice esto acerca de la gráfica de la función f 1x2 ⫽ x1/log x? Confirme su respuesta usando una calculadora graficadora. x1/log x ⫽ k?
91. Ecuaciones disfrazadas Cada una de estas ecuaciones se puede transformar en una ecuación de tipo lineal o cuadrático si se aplica la sugerencia. Resuelva cada ecuación.
(a) 1x
12 log1x
(b) log2 x (c) 4
x
12
1001x
log4 x 2
x
1
12 [Tome log de cada lado.]
log8 x
11 [Cambie todos los log a base 2.]
3
[Escriba como cuadrática en 2 x.]
4.6 M ODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Crecimiento exponencial (tiempo de duplicación) 䉴 Crecimiento exponencial (tasa de crecimiento relativa) 䉴 Desintegración radiactiva 䉴 Ley de Newton de Enfriamiento 䉴 Escalas logarítmicas Un gran número de procesos que se presentan en la naturaleza, por ejemplo el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva, la difusión de calor y otros muchos, se pueden modelar usando funciones exponenciales. Se usan funciones logarítmicas en modelos para la intensidad de sonidos, la intensidad de terremotos y otros numerosos fenómenos. En esta sección estudiamos modelos exponenciales y logarítmicos.
W Crecimiento exponencial (tiempo de duplicación) Supóngase que empezamos con una sola bacteria, que se divide cada hora. Después de una hora tenemos 2 bacterias, después de dos horas tenemos 22 o sea 4 bacterias, después de tres horas tenemos 23 o sea 8 bacterias, y así sucesivamente (vea Figura 1). Vemos que podemos modelar la población de bacterias después de t horas, por medio de f 1t2 ⫽ 2t. F I G U R A 1 Población de bacterias
0
1
2
3
4
5
6
S E C C I Ó N 4.6
| Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 341
Si empezamos con 10 de estas bacterias, entonces la población está modelada por f 1t2 ⫽ 10 ⋅ 2t. Una especie de bacteria, de crecimiento más lento, se duplica cada 3 horas; en este caso la población está modelada por f 1t2 ⫽ 10 ⋅ 2t/3. En general, tenemos lo siguiente.
CRECIMIENTO EXPONENCIAL (TIEMPO DE DUPLICACIÓN) Si el tamaño inicial de una población es n 0 y el tiempo de duplicación es a, entonces el tamaño de la población en el tiempo t es
n1t 2
n 02t/a
donde a y t se miden en las mismas unidades de tiempo (minutos, horas, días, años, etcétera).
E J E M P LO 1
Población de bacterias
Bajo condiciones ideales, cierta población de bacterias se duplica cada tres horas. Inicialmente hay 1000 en una colonia. (a) Encuentre un modelo para la población de bacterias después de t horas. (b) ¿Cuántas bacterias hay en la colonia después de 15 horas? (c) ¿Cuándo llegará a 100,000 el número de bacterias? S O LU C I Ó N (a) La población en el tiempo t está modelada por
n1t 2
1000 # 2t/3
donde t se mide en horas. (b) Después de 15 horas el número de bacterias es
n115 2
1000 # 215/3
32,000
(c) Hacemos n1t2 ⫽ 100,000 en el modelo que encontramos en la parte (a) y de la ecuación exponencial resultante despejamos t.
1000 # 2t/3
n1t2
2t/3
Divida entre 1000
log 100
log 2t/3
Tome log de cada lado
2
t log 2 3
Propiedades de log
t
6 log 2
100,000 100
Busque guías para trabajar con cifras significativas, vea el Apéndice: Calculations and Significant Figures (Cálculos y Cifras Significativas).
19.93
1000 # 2t/3
Despeje t
El nivel de bacterias llega a 100,000 en unas 20 horas. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 1
E J E M P LO 2
Q
Población de conejos
Cierta clase de conejos fue introducida en una pequeña isla hace 8 meses. La población actual de conejos en la isla se estima en 4100 y se duplica cada 3 meses. (a) ¿Cuál fue el tamaño inicial de la población de conejos? (b) Estime la población a un año después que los conejos fueron introducidos en la isla. (c) Trace una gráfica de la población de conejos.
342
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas S O LU C I Ó N
n1t 2
(a) El tiempo de duplicación es a ⫽ 3, de modo que la población en el tiempo t es
n 0 2t/3
Modelo
donde n0 es la población inicial. Como la población es 4100 cuando t es 8 meses, tenemos
n182
n 0 28/3
4100
8/3
n0 n0
20,000
n 02
4100 28/3 645
Porque n18 2 Del modelo
4100
Divida entre 28/3 e intercambie lados Calcule
Entonces estimamos que 645 conejos fueron introducidos en la isla. (b) De la parte (a) sabemos que la población inicial es n0 ⫽ 645, de modo que podemos modelar la población después de t meses por medio de
0
F I G U R A 2 n1t2
20
n1t 2
n112 2
Modelo
Después de un año t ⫽ 12, y entonces
645 # 2t/3
Busque guías para trabajar con cifras significativas, vea el Apéndice: Calculations and Significant Figures (Cálculos y Cifras Significativas).
645 # 2t/3
645 # 212/3
10,320
Por lo tanto, después de un año, habría unos 10,000 conejos. (c) Primero observamos que el dominio es t ≥ 0. La gráfica se muestra en la Figura 2.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 3
Q
W Crecimiento exponencial (tasa de crecimiento relativa) Hemos utilizado una función exponencial con base 2 para modelar el crecimiento poblacional (en términos del tiempo de duplicación). También modelaríamos la misma población con una función exponencial con base 3 (en términos del tiempo de triplicación). De hecho, podemos hallar un modelo exponencial con cualquier base. Si usamos la base e, obtenemos el siguiente modelo de una población en términos de la tasa de crecimiento relativa r: la tasa de crecimiento poblacional expresada como una proporción de la población en cualquier momento. Por ejemplo, si r ⫽ 0.02, entonces en cualquier tiempo t la tasa de crecimiento es 2% de la población en el tiempo t.
CRECIMIENTO EXPONENCIAL (TASA DE CRECIMIENTO RELATIVA) Una población que experimenta un crecimiento exponencial aumenta de acuerdo con el modelo
donde
n1t 2 n0 r t
n1t 2
n0e rt
población en el tiempo t tamaño inicial de la población tasa de crecimiento relativa (expresada como una proporción de la población) tiempo
Observe que la fórmula para el crecimiento poblacional es la misma que para interés capitalizado continuamente. De hecho, el mismo principio funciona en ambos casos: el crecimiento de una población (o una inversión) por período es proporcional al tamaño de la
| Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 343
S E C C I Ó N 4.6
población (o la cantidad de la inversión). Una población de 1,000,000 aumentará más en un año que una población de 1000; en exactamente la misma forma, una inversión de $1,000,000 aumentará más en un año que una inversión de $1000. En los siguientes ejemplos suponemos que las poblaciones crecen exponencialmente.
E J E M P LO 3
Predicción del tamaño de una población
La cantidad inicial de bacterias en un cultivo es 500. Posteriormente, un biólogo hace un conteo de muestra de bacterias del cultivo y encuentra que la tasa de crecimiento relativa es 40% por hora. (a) Encuentre una función que modele el número de bacterias después de t horas. (b) ¿Cuál es la cantidad estimada después de 10 horas? (c) ¿Cuándo llegará a 80,000 la cantidad de bacterias? (d) Trace la gráfica de la función n1t2. S O LU C I Ó N
(a) Usamos el modelo de crecimiento exponencial con n0 ⫽ 500 y r ⫽ 0.4 para obtener
n1t2 ⫽ 500e0.4t donde t se mide en horas. (b) Usando la función de la parte (a), encontramos que la cantidad de bacterias después de 10 horas es n1102 500e0.4 1102 500e4 27,300
(c) Hacemos n1t2 ⫽ 80,000 y de la ecuación exponencial resultante despejamos t:
5000
500 # e0.4t
n1t2
160
e0.4t
Divida entre 500
ln 160
0.4t
Tome ln de cada lado
80,000
n(t)=500eº—¢‰
500 0
t 6
FIGURA 3
ln 160 0.4
12.68
500 # e0.4t
Despeje t
El nivel de bacterias llega a 80,000 en unas 12.7 horas. (d) La gráfica se muestra en la Figura 3.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 5
E J E M P LO 4 El crecimiento relativo de la población mundial ha estado bajando en las últimas décadas, de 2% en 1995 a 1.3% en 2006. Únicamente de pie La población mundial era aproximadamente de 6100 millones en 2000 y estaba creciendo 1.4% al año. Suponiendo que cada persona ocupe un promedio de 4 pies2 de la superficie terrestre, el modelo exponencial para crecimiento poblacional proyecta que para el año 2801 habrá espacio únicamente para estar de pie. (El área total de superficie terrestre del mundo es alrededor de 1.8 ⫻ 1015 pies2.)
Q
Comparación de diferentes tasas de crecimiento poblacional
En el año 2000 la población mundial era de 6100 millones, y la tasa de crecimiento relativa era de 1.4% por año. Se dice que una tasa del 1.0% haría una diferencia importante en la población total en sólo unas pocas décadas. Pruebe esta frase estimando la población mundial del año 2050 usando una tasa de crecimiento relativa de (a) 1.4% al año y (b) 1.0% al año. Grafique las funciones de población para los siguientes 100 años para las dos tasas de crecimiento relativas en el mismo rectángulo de observación. S O LU C I Ó N (a) Con el modelo de crecimiento exponencial tenemos
n1t 2
donde n1t2 se mide en miles de millones y t se mide en años desde 2000. Como el año 2050 es 50 años después del 2000, encontramos que
n1502
6.1e0.014t
6.1e0.014 1502
6.1e0.7
12.3
La población estimada en el año 2050 es 12,300 millones.
344
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
30
(b) Usamos la función
n1t2⫽ 6.1e0.010t
n(t)=6.1e0.014t
y encontramos
n1502
n(t)=6.1e0.01t 100
0
6.1e0.010 1502
6.1e0.50
10.1
La población estimada en el año 2050 es alrededor de 10,100 millones.
Las gráficas de la Figura 4 muestran que un pequeño cambio en la tasa de crecimiento relativa hará, con el tiempo, una gran diferencia en el tamaño de la población.
FIGURA 4
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 7
E J E M P LO 5
Q
Expresar el modelo en términos de e
Un cultivo se inicia con 10,000 bacterias, y el número se duplica a cada 40 minutos. (a) Encuentre una función n1t2⫽ n02t/a que modele el número de bacterias después de t minutos. (b) Encuentre una función n1t2⫽ n0ert que modele el número de bacterias después de t minutos. (c) Trace una gráfica del número de bacterias en el tiempo t. S O LU C I Ó N (a) La población inicial es n0 ⫽ 10,000. El tiempo de duplicación es a ⫽ 40 min ⫽ 2/3 h. Como 1/a ⫽ 3/2 ⫽ 1.5, el modelo es
n1t 2
10,000 # 21.5t
(b) La población inicial es n0 ⫽ 10,000. Necesitamos hallar la tasa de crecimiento relativa r. Como hay 20,000 bacterias cuando t ⫽ 2/3 h, tenemos
20,000 2 ln 2 500,000
ln 2 r
10,000er12/32
n1t2
er12/32
Divida entre 10,000
r12/3 2
Tome ln de cada lado
ln er12/32
3 ln 2 2
10,000ert
Propiedad de ln
1.0397
Despeje r
Ahora que sabemos la tasa de crecimiento relativa r, podemos hallar el modelo: 0
4
F I G U R A 5 Gráficas de y ⫽ 10,000 ⋅ 21.5t y y ⫽ 10,000e1.0397t
n1t2 ⫽ 10,000e1.0397t (c) Podemos graficar el modelo de la parte (a) o el de la parte (b). Las gráficas son idénticas. Vea la Figura 5.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 9
Q
W Desintegración radiactiva Las sustancias radiactivas se desintegran al emitir radiación espontáneamente. La rapidez de desintegración es proporcional a la masa de la sustancia. Esto es análogo al crecimiento poblacional excepto que la masa decrece. Los físicos expresan la rapidez de desintegración en términos de vida media. Por ejemplo, la vida media del radio 226 es 1600 años, de modo que una muestra de 100 g se desintegra a 50 g 1o 1 ⫻ 100 g2 en 1600 años, entonces 25 g 1o 21 12 100 g2 en 3200 años, y así sucesivamente. En general, para una
| Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 345
S E C C I Ó N 4.6
Las vidas medias de elementos radiactivos varían de muy largas a muy cortas. A continuación veamos unos ejemplos. Elemento
Vida media
Torio-23
14.5 mil millones de años 4.5 mil millones de años 80,000 años 24,360 años 5,730 años 1,600 años 30 años 28 años 140 días 25 días 8 días 3.8 días 3.6 minutos 10 segundos
Uranio-235 Torio-230 Plutonio-239 Carbono-1 Radio-226 Cesio-137 Estroncio -90 Polonio-210 Torio-234 Yodo-135 Radón-222 Plomo-211 Criptón-91
sustancia radiactiva con masa m0 y vida media h, la cantidad restante en el tiempo t está modelada por m1t 2
m 02
t/h
donde h y t se miden en las mismas unidades de tiempo (minutos, horas, días, años, etcétera). Para expresar este modelo en la forma m(t) ⫽ m0ert, necesitamos hallar la tasa relativa de desintegración r. Como h es la vida media, tenemos
m1t 2
m0 2 1 2
ln
m 0e
rt
Modelo
m 0e
rh
h es la vida media
rh
Divida entre m0
1 2
rh
Tome ln de cada lado
r
ln 2 h
e
Despeje r
Esta última ecuación nos permite hallar la tasa r a partir de la vida media h.
MODELO DE DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA Si m0 es la masa inicial de una sustancia radiactiva con vida media h, entonces la masa restante en el tiempo t está modelada por la función
donde r
m1t 2
ln 2 . h
m0e
rt
El polonio 210 1210Po2 tiene una vida media de 140 días. Suponga que una muestra de esta sustancia tiene una masa de 300 mg. (a) Encuentre una función m1t2⫽ m02⫺t/h que modele la masa restante después de t días. (b) Encuentre una función m1t2⫽ m0e⫺rt que modele la masa restante después de t días. (c) Encuentre la masa restante después de un año. (d) ¿Cuánto tiempo tomará la muestra en desintegrarse a una masa de 200 mg? (e) Trace una gráfica de la masa de la muestra como función del tiempo.
E J E M P LO 6
Desintegración radiactiva
S O LU C I Ó N (a) Tenemos m0 ⫽ 300 y h ⫽ 140, de modo que la cantidad restante después de t días es
300 # 2
m1t2
t/140
(b) Tenemos m0 ⫽ 300 y r ⫽ ln 2/140 ≈ ⫺0.00495, de modo que la cantidad restante después de t días es En las partes (c) y (d) también podemos usar el modelo encontrado en la parte (a). Compruebe que el resultado sea el mismo usando cualquiera de estos dos modelos.
m1t 2
300 # e
0.00495t
(c) Usamos la función que encontramos en la parte (a) con t ⫽ 365 (un año)
m13652
300e
0.0049513652
49.256
Entonces, aproximadamente 49 mg de 210Po quedarán después de un año.
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
(d) Usamos la función que encontramos en la parte (a) con m1t2 ⫽ 200 y de la ecuación exponencial resultante despejamos t.
© Joel W. Rogers/CORBIS
346
Se producen peligrosos isótopos radiactivos siempre que ocurre una reacción nuclear, ya sea como resultado de una prueba de una bomba atómica, un accidente nuclear como el de Chernobyl en 1986, o la producción sin incidentes de electricidad en una planta generadora nuclear. Un material que se produce en bombas atómicas es el isótopo estroncio 90 (90Sr), con una vida media de 28 años. Éste se deposita como el calcio en el tejido óseo humano, donde puede causar leucemia y otros tipos de cáncer. No obstante, en las décadas transcurridas desde que dejaron de realizarse pruebas atmosféricas de armas nucleares, los niveles del 90S en el ambiente han bajado a un nivel que ya no plantea una amenaza para la salud. Las plantas nucleares para generación de energía eléctrica producen plutonio radiactivo 239 (239Pu), que tiene una vida media de 24,360 años. Debido a su larga vida media, el 239Pu podría representar una amenaza para el ambiente durante miles de años, por lo cual debe tenerse gran cuidado para eliminarlo en forma apropiada. La dificultad de garantizar la seguridad del desecho radiactivo eliminado es una razón por la que las plantas nucleares para generación de electricidad siguen siendo controvertidas.
0.00495t
200
m(t) = m0e
e
0.00495t
2 3
Divida entre 300
ln e
0.00495t
ln 23
0.00495t
2 3
Propiedad de ln
ln 23 0.00495
Despeje t
ln
t t
rt
Tome ln de cada lado
81.9
Calculadora
El tiempo necesario para que la muestra se desintegre a 200 mg es de unos 82 días. (e) Podemos graficar el modelo de la parte (a) o el de la parte (b). Las gráficas son idénticas. Vea Figura 6. m(t) Cantidad de 200Po (mg)
Desechos radiactivos
300e
300 m(t)=300 e_0.00495t
200 100 0
50
FIGURA 6
150 Tiempo (días)
t
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 17
Q
W Ley de Newton de Enfriamiento La Ley de Newton de Enfriamiento dice que la rapidez a la que un cuerpo se enfría es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y su entorno, siempre que la diferencia de temperatura no sea demasiado grande. Mediante cálculo, el siguiente modelo puede ser deducido a partir de esta ley.
LEY DE NEWTON DE ENFRIAMIENTO Si D0 es la diferencia inicial de temperatura entre un cuerpo y su entorno, y si su entorno tiene temperatura Ts, entonces la temperatura del cuerpo en el tiempo t está modelada por la función
T1t2
Ts
D0e
kt
donde k es una constante positiva que depende del tipo de cuerpo.
E J E M P LO 7
Ley de Newton de Enfriamiento
Una taza de café tiene una temperatura de 200ºF y se coloca en un cuarto que tiene una temperatura de 70ºF. Después de 10 minutos, la temperatura del café es 150ºF. (a) Encuentre una función que modele la temperatura del café en el tiempo t. (b) Encuentre la temperatura del café después de 15 minutos.
| Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 347
S E C C I Ó N 4.6
(c) ¿Cuándo se habrá enfriado el café a 100ºF? (d) Haga una gráfica de la función de temperatura. S O LU C I Ó N (a) La temperatura del cuarto es Ts ⫽ 70ºF, y la diferencia inicial de temperatura es
D0 ⫽ 200 ⫺ 70 ⫽ 130ºF Entonces, por la Ley de Newton de Enfriamiento, la temperatura después de t minutos está modelada con la función
T1t2 ⫽ 70 ⫹ 130e⫺kt Necesitamos hallar la constante k asociada con esta taza de café. Para hacer esto, usamos el hecho de que cuando t ⫽ 10, la temperatura T1102 ⫽ 150. Por lo tanto, tenemos
70
130e
10k
150
Ts + D0e–kt = T(t)
130e
10k
80
Reste 70
e
10k
8 13
10k
Divida entre 130 8 13
ln
1 10
k
Tome ln de cada lado
ln
8 13
k
0.04855
T1t 2
70
Despeje k Calculadora
Sustituyendo este valor de k en la expresión para T1t2, obtenemos
130e
0.04855t
(b) Usamos la función que encontramos en la parte (a) con t ⫽ 15. (c) Usamos la función que hallamos en la parte (a) con T1t2 ⫽ 100 y de la ecuación exponencial resultante despejamos t.
T1152
T (˚F)
70
200 T=70+130e_0.04855t
20
30
después de 7 minutos
133°F
100
Ts + D0e–kt = T(t)
130e
0.04855t
30
Reste 70
e
0.04855t
3 13
Divida entre 130
ln 133
Tome ln de cada lado
t
40 t (min)
F I G U R A 7 Temperatura del café
0.048551152
0.04855t
T=70 10
130e
130e
0.04855t
70
0
70
t
ln 133 0.04855 30.2
Despeje t Calculadora
El café se habrá enfriado a 100ºF después de media hora. (d) La gráfica de la función de temperatura aparece en la Figura 7. Observe que la recta t ⫽ 70 es una asíntota horizontal. (¿Por qué?)
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 25
Q
W Escalas logarítmicas Cuando una cantidad física varía con un margen muy grande, a veces es conveniente tomar su logaritmo para tener un conjunto de números más manejable. Estudiamos tres de estas situa-
348
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
pH para algunas sustancias comunes Sustancia
pH
Leche de magnesia Agua de mar Sangre humana Galletas Maíz molido Leche de vaca Espinacas Tomates Naranjas Manzanas Limones Ácido de batería
10.5 8.0–8.4 7.3–7.5 7.0–8.5 6.9–7.9 6.4–6.8 5.1–5.7 4.1–4.4 3.0–4.0 2.9–3.3 1.3–2.0 1.0
ciones: la escala pH, que mide acidez; la escala Richter, que mide la intensidad de terremotos, y la escala de decibeles, que mide la intensidad de sonidos. Otras cantidades que se miden en escalas logarítmicas son la intensidad de luz, capacidad de información, y radiación. La escala pH Los químicos medían la acidez de una solución dando su concentración de iones de hidrógeno hasta que Soren Peter Lauritz Sorensen, en 1909, propuso una medida más cómoda. Él definió
pH
log3H 4
entonces
pH
donde 3H⫹4 es la concentración de iones de hidrógeno medida en moles por litro (M). Hizo esto para evitar números muy pequeños y exponentes negativos. Por ejemplo, si
3H 4
10
4
M,
log10 110 4 2
1 42
4
Las soluciones con un pH de 7 se definen como neutras, aquellas con pH < 7 son ácidas, y las que tengan pH > 7 son básicas. Observe que cuando el pH aumenta en una unidad, el 3H⫹4 disminuye en un factor de 10.
E J E M P LO 8
Escala de pH y concentración de iones de hidrógeno
(a) La concentración de iones de hidrógeno de una muestra de sangre humana se midió y resultó ser 3H⫹4 ⫽ 3.16 ⫻ 10⫺18 M. Encuentre el pH y clasifique la sangre como ácida o básica. (b) La lluvia más ácida jamás medida ocurrió en Escocia en 1974; su pH fue de 2.4. Encuentre la concentración de iones de hidrógeno. S O LU C I Ó N (a) Una calculadora da
pH
log 3H 4
10 8 2
log13.16
7.5
Como esto es mayor a 7, la sangre es básica. (b) Para hallar la concentración de iones de hidrógeno, necesitamos despejar 3H⫹4 de la ecuación logarítmica
log 3H 4 3H 4
pH
Por lo tanto, la escribimos en forma exponencial.
3H 4
pH
10
En este caso pH ⫽ 2.4, por lo cual Terremotos más fuertes Lugar
Fecha
Magnitud
Chile Alaska Sumatra Alaska Kamchatka Chile Ecuador Alaska Sumatra Tibet Kamchatka Indonesia Islas Kuriles
1960 1964 2004 1957 1952 2010 1906 1965 2005 1950 1923 1938 1963
9.5 9.2 9.1 9.1 9.0 8.8 8.8 8.7 8.7 8.6 8.5 8.5 8.5
10
2.4
4.0
10
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 29
3
M Q
La escala Richter En 1935, el geólogo estadounidense Charles Richter (1900-1984) definió la magnitud M de un terremoto como
log
M
I S
donde I es la intensidad del terremoto, medida por la amplitud de la lectura de un sismógrafo tomada a 100 km del epicentro del terremoto, y S es la intensidad de un terremoto “estándar” (cuya amplitud es 1 micrón ⫽ 10⫺4 cm). La magnitud de un terremoto estándar es
M
log
S S
log 1
0
S E C C I Ó N 4.6
| Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 349
Richter estudió numerosos terremotos que ocurrieron entre 1900 y 1950. El más grande tuvo una magnitud de 8.9 en la escala de Richter y, el más pequeño, tuvo magnitud 0. Esto corresponde a una relación de intensidades de 800,000,000, de modo que la escala de Richter da números más manejables para trabajar. Por ejemplo, un terremoto de magnitud 6 es diez veces más fuerte que uno de magnitud 5.
E J E M P LO 9
Magnitud de terremotos
El terremoto de 1906 en San Francisco tuvo una magnitud estimada de 8.3 en la escala de Richter. En el mismo año ocurrió un poderoso terremoto en la frontera entre Colombia y Ecuador, que fue cuatro veces más intenso. ¿Cuál fue la magnitud del temblor entre Colombia y Ecuador en la escala de Richter? S O LU C I Ó N Si I es la intensidad del terremoto de San Francisco, entonces por la definición de magnitud tenemos
I 8.3 S La intensidad del terremoto entre Colombia y Ecuador fue 4I, de modo que su magnitud fue M
log
M
4I S
log 4
log
log
I S
log 4
8.3
8.9
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 35
E J E M P LO 1 0
Q
Intensidad de terremotos
El terremoto de 1989 de Loma Prieta que sacudió San Francisco tuvo una magnitud de 7.1 en la escala de Richter. ¿Cuántas veces más intenso fue el temblor de 1906 (vea Ejemplo 9) que el evento de 1989?
© Roger Ressmeyer/CORBIS
S O LU C I Ó N Si I1 e I2 son las intensidades de los terremotos de 1906 y 1989, entonces nos piden hallar I1/I2. Para relacionar esto con la definición de magnitud, dividimos el numerador y el denominador entre S.
log
I1 I2
log
I1/S I2/S
log
I1 S
8.3
Divida numerador y denominador entre S
log 7.1
Por lo tanto,
I1 I2
I2 S
Ley 2 de logaritmos
1.2
Definición de magnitud de terremotos
10log1I1/I22
101.2
16
El terremoto de 1906 fue unas 16 veces más intenso que el de 1989. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 37
Q
Escala de decibeles Nuestro oído es sensible a una gama extremadamente grande de intensidades de sonido. Tomamos como referencia la intensidad I0 ⫽ 10⫺12 W/m2 (watts por metro cuadrado) a una frecuencia de 1000 hertz, que mide un sonido que es apenas audible (el umbral de escucha). La sensación psicológica de intensidad varía con el logaritmo de la intensidad (Ley de Weber-Fechner), de modo que el nivel de intensidad B, medido en decibeles, está definido como
B
10 log
I I0
350
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas El nivel de intensidad del sonido de referencia apenas audible es
Los niveles de intensidad de sonidos que podemos oír varían de muy fuertes a muy débiles. A continuación veamos algunos ejemplos de niveles en decibeles de sonidos que se escuchan comúnmente. Fuente de sonido Despegue de un jet Martillo neumático Concierto de rock Tren subterráneo Tránsito intenso Tránsito ordinario Conversación normal Susurro Hojas que caen Umbral de escucha
1 2 B 1dB2
140 130 120 100 80 70 50 30 10–20 0
B
E J E M P LO 1 1
10 log
I0 I0
10 log 1
0 dB
Intensidad de sonido del despegue de un avión jet
Encuentre el nivel de intensidad en decibeles de un motor de jet durante el despegue, si la intensidad se mide a 100 W/m2. S O LU C I Ó N
De la definición de nivel de intensidad vemos que
B
10 log
I I0
10 log
102 10 12
10 log 1014
140 dB
Por lo tanto, el nivel de intensidad es 140 dB. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 41
Q
La tabla del margen es una lista de niveles de intensidad en decibeles para algunos sonidos comunes que van desde el umbral de escucha humana hasta el despegue de aviones jet del Ejemplo 11. El umbral del dolor es de unos 120 dB.
4.6 EJERCICIOS A P L I C AC I O N E S 1-16
Q
Estos ejercicios usan el modelo de crecimiento poblacional.
© 2009 Sebastian Kaulitzki Utilizada bajo licencia de Shutterstock.com
1. Cultivo de bacterias Cierto cultivo de la bacteria Streptococcus A inicialmente tiene 10 bacterias y se observa que se duplica cada 1.5 horas. (a) Encuentre un modelo exponencial n1t2 ⫽ n02t/a para el número de bacterias en el cultivo después de t horas. (b) Estime el número de bacterias después de 35 horas. (c) ¿Cuándo llegará a 10,000 el número de bacterias?
Streptococcus A (12,000 × aumentos) 2. Cultivo de bacterias Cierto cultivo de la bacteria Rhodobacter sphaeroides inicialmente tiene 25 bacterias y se observa que se duplica cada 5 horas. (a) Encuentre un modelo exponencial n1t2 ⫽ n02t/a para el número de bacterias del cultivo después de t horas. (b) Estime el número de bacterias después de 18 horas.
(c) ¿Después de cuántas horas llegará el número de bacterias a un millón? 3. Población de ardillas Una población de arcillas grises fue introducida en cierto condado de la Gran Bretaña, hace 30 años. Unos biólogos observaron que la población se duplica cada 6 años, y ahora la población es de 100,000. (a) ¿Cuál es el tamaño inicial de la población de ardillas? (b) Estime la población de ardillas a 10 años a partir de ahora. (c) Trace una gráfica de la población de ardillas. 4. Población de aves Cierta especie de aves fue introducida en un condado hace 25 años. Unos biólogos observan que la población se duplica cada 10 años, y ahora la población es de 13,000. (a) ¿Cuál fue el tamaño inicial de la población de aves? (b) Estime la población de aves a 5 años a partir de ahora. (c) Trace una gráfica de la población de aves. 5. Población de zorros La población de zorros en cierta región tiene una tasa de crecimiento relativa de 8% por año. Se estima que la población en 2005 era de 18,000. (a) Encuentre una función n1t2 ⫽ n0ert que modele la población en t años después de 2005. (b) Use la función de la parte (a) para estimar la población de zorros en el año 2013. (c) Trace una gráfica de la función de población de zorros para los años 2005-2013. 6. Población de peces La población de cierta especie de peces tiene una tasa de crecimiento relativa de 1.2% por año. Se estima que la población en 2000 era de 12 millones. (a) Encuentre un modelo exponencial n1t2 ⫽ n0ert para la población t años después de 2000. (b) Estime la población de peces en el año 2005. (c) Trace una gráfica de la población de peces.
S E C C I Ó N 4.6 7. Población de un condado La población de un condado tiene una tasa de crecimiento relativa de 3% por año. El gobierno está tratando de reducir la tasa de crecimiento al 2%. La población en 1995 era de aproximadamente 110 millones. Encuentre la población proyectada para el año 2020 para las siguientes condiciones. (a) La tasa de crecimiento relativa permanece en 3% al año. (b) La tasa de crecimiento relativa se reduce a 2% al año. 8. Cultivo de bacterias Se observa que cierto cultivo de bacterias tiene una tasa de crecimiento relativa de 12% por hora pero, en presencia de un antibiótico, la tasa de crecimiento relativa se reduce a 5% por hora. El número inicial en el cultivo es 22. Encuentre la población proyectada después de 24 horas para las siguientes condiciones. (a) No hay antibiótico presente, por lo cual la tasa de crecimiento relativa es 12%. (b) Está presente un antibiótico en el cultivo, por lo cual la tasa de crecimiento relativa se reduce a 5%. 9. Población de una ciudad La población de cierta ciudad era de 12,000 en 2006; el tiempo de duplicación observado para la población es de 18 años. (a) Encuentre un modelo exponencial n1t2 ⫽ n02t/a para la población, t años después de 2006. (b) Encuentre un modelo exponencial n1t2 ⫽ n0ert para la población, t años después de 2006. (c) Trace una gráfica de la población en el tiempo t. (d) Estime cuándo llegará la población a 500,000. 10. Población de murciélagos La población de murciélagos en cierto condado del oeste medio era de 350,000 en 2009, y el tiempo de duplicación observado para la población es de 25 años. (a) Encuentre un modelo exponencial n1t2 ⫽ n02t/a para la población, t años después de 2006. (b) Encuentre un modelo exponencial n1t2 ⫽ n0ert para la población, t años después de 2006. (c) Trace una gráfica de la población en el tiempo t. (d) Estime cuándo llegará la población a 2 millones. 11. Población de venados La gráfica muestra la población de venados en un condado de Pennsylvania entre 2003 y 2007. Suponga que la población crece exponencialmente. (a) ¿Cuál era la población de venados en 2003? (b) Encuentre una función que modele la población de venados t años después de 2003. (c) ¿Cuál es la población de venados proyectada en 2011? (d) ¿En qué año la población de venados llegará a 100,000?
n(t) 30,000
(4, 31,000)
10,000 0
1 2 3 4 Años desde 2003
(b) Encuentre una función que modele la población de estas ranas t años desde que las ranas fueron puestas en el estanque. (c) ¿Cuál es la población proyectada de ranas mugidoras después de 15 años? (d) Estime cuánto tiempo tomará a la población llegar a 75,000. n 700 600 Población 500 de ranas 400 300 (2, 225) 200 100
0
t
12. Población de ranas Se introdujeron algunas ranas mugidoras en un pequeño estanque. La gráfica muestra la población de estas ranas para los siguientes pocos años. Suponga que la población crece exponencialmente. (a) ¿Cuál era la población inicial de ranas mugidoras?
1
2
3
4
5
6 t
13. Cultivo de bacterias Un cultivo empieza con 8600 bacterias. Después de una hora la cantidad es 10,000. (a) Encuentre una función que modele el número de bacterias n1t2 después de t horas. (b) Encuentre el número de bacterias después de 2 horas. (c) ¿Después de cuántas horas se duplicará el número de bacterias? 14. Cultivo de bacterias La cantidad en un cultivo de bacterias era de 400 después de 2 horas y de 25,600 después de 6 horas. (a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativa de la población de bacterias? Exprese su respuesta como porcentaje. (b) ¿Cuál era el tamaño inicial del cultivo? (c) Encuentre una función que modele el número de bacterias n1t2 después de t horas. (d) Encuentre el número de bacterias después de 4.5 horas. (e) ¿Cuándo será de 50,000 el número de bacterias? 15. Población de California La población de California era de 29.76 millones en 1990 y 33.87 en 2000. Suponga que la población crece exponencialmente. (a) Encuentre la función que modele la población t años después de 1990. (b) Encuentre el tiempo necesario para que la población se duplique (c) Use la función de la parte (a) para predecir la población de California en el año 2010. Busque en su biblioteca la población real de California en 2010 y compare. 16. Población mundial La población mundial era de 5700 millones en 1995, y la tasa de crecimiento observada relativa era de 2% al año. (a) ¿En qué año se habrá duplicado la población? (b) ¿En qué año se habrá triplicado la población? 17-24
Población 20,000 de venados
| Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 351
Q
Estos ejercicios usan el modelo de desintegración radiactiva.
17. Radio radiactivo La vida media del radio 226 es de 1600 años. Suponga que tenemos una muestra de 22 mg. (a) Encuentre una función m1t2 ⫽ m02⫺t/h que modele la masa restante después de t años. (b) Encuentre una función m1t2 ⫽ m0e⫺rt que modele la masa restante después de t años. (c) ¿Cuánto de la muestra habrá después de 4000 años? (d) ¿Después de cuánto tiempo habrá sólo 18 mg de la muestra? 18. Cesio radiactivo La vida media del cesio 137 es de 30 años. Suponga que tenemos una muestra de 10 gramos. (a) Encuentre una función m1t2 ⫽ m02⫺t/h que modele la masa restante después de t años.
352
C A P Í T U LO 4
| Funciones exponenciales y logarítmicas
(b) Encuentre una función m1t2 ⫽ m0e⫺rt que modele la masa restante después de t años. (c) ¿Cuánto de la muestra habrá después de 80 años? (d) ¿Después de cuánto tiempo habrá sólo 2 mg de la muestra?
19. Estroncio radiactivo La vida media del estroncio 90 es de 28 años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de 50 mg en desintegrarse a una masa de 32 mg? 20. Radio radiactivo El radio 221 tiene una vida media de 30 s. ¿Cuánto tiempo tomará que el 95% de la muestra se desintegre? 21. Hallar vida media Si 250 mg de un elemento radiactivo se desintegran a 200 mg en 48 horas, encuentre la vida media del elemento. 22. Radón radiactivo Después de 3 días, una muestra de radón 222 se ha desintegrado a 58% de su cantidad original. (a) ¿Cuál es la vida media del radón 222? (b) ¿Cuánto tiempo tomará para que la muestra se desintegre al 20% de su cantidad original? 23. Determinación de antigüedad por carbono 14 Un artefacto de madera de una tumba antigua contiene 65% del carbono 14 que está presente en árboles vivos. ¿Cuánto tiempo hace que se construyó el artefacto? (La vida media del carbono 14 es de 5370 años.) 24. Determinación de antigüedad por carbono 14 Se estima que la tela para el entierro de una momia egipcia contiene 59% del carbono 14 que contenía originalmente. ¿Cuánto tiempo hace que la momia fue enterrada? (La vida media del carbono 14 es de 5730 años.)
25-28
Q
Estos ejercicios usan la Ley de Newton de Enfriamiento.
(a) Si la temperatura del pavo es 150ºF después de media hora, ¿cuál es su temperatura después de 45 minutos? (b) ¿Cuándo se enfriará el pavo a 100ºF? 28. Ebullición del agua Una tetera llena de agua se pone a hervir en un cuarto con temperatura de 20ºC. Después de 15 minutos, la temperatura del agua ha bajado de 100ºC a 75ºC. Encuentre la temperatura después de otros 10 minutos. Ilustre con una gráfica de la función de temperatura. 29-43
Q
Estos ejercicios se refieren a escalas logarítmicas.
29. Hallar el pH Nos dan la concentración de un ion de hidrógeno de una muestra de cada sustancia. Calcule el pH de la sustancia. (a) Jugo de limón: 3H⫹4 ⫽ 5.0 ⫻ 10⫺3 M (b) Jugo de tomate: 3H⫹4 ⫽ 3.2 ⫻ 10⫺4 M (c) Agua de mar: 3H⫹4 ⫽ 5.0 ⫻ 10⫺9 M
30. Hallar el pH Una sustancia desconocida tiene una concentración de iones de hidrógeno de 3H⫹4 ⫽ 3.1 ⫻ 10⫺8 M. Encuentre el pH y clasifique la sustancia como ácida o básica.
31. Concentración de iones Nos dan la lectura de pH de una muestra de cada sustancia. Calcule la concentración de iones de hidrógeno de la sustancia. (a) Vinagre: pH ⫽ 3.0 (b) Leche: pH ⫽ 6.5
32. Concentración de iones Nos dan la lectura de pH de un vaso de líquido. Encuentre la concentración de iones de hidrógeno del líquido. (a) Cerveza: pH ⫽ 4.6 (b) Agua: pH ⫽ 7.3 33. Hallar el pH Las concentraciones de iones de hidrógeno en quesos van de 4.0 ⫻ 10⫺7 M a 1.6 ⫻ 10⫺5 M. Encuentre la variación correspondiente de lecturas de pH.
25. Sopa que se enfría Un tazón de sopa caliente se sirve en una fiesta. Empieza a enfriarse de acuerdo con la Ley de Newton de Enfriamiento, de modo que la temperatura en el tiempo t está dada por
T1t2
65
145e
0.05t
donde t se mide en minutos y T se mide en ºF. (a) ¿Cuál es la temperatura inicial de la sopa? (b) ¿Cuál es la temperatura después de 10 minutos? (c) ¿Después de cuánto tiempo será de 100ºF la temperatura? 26. Tiempo de fallecimiento La Ley de Newton de Enfriamiento se utiliza en investigaciones de homicidios para determinar el tiempo de un fallecimiento. La temperatura normal del cuerpo es de 98.6ºF. Inmediatamente después de la muerte, el cuerpo empieza a enfriarse. Se ha determinado en forma experimental que la constante de la Ley de Newton de Enfriamiento es aproximadamente k ⫽ 0.1947, suponiendo que el tiempo se mida en horas. Suponga que la temperatura del entorno es de 60ºF. (a) Encuentre la función T1t2 que modele la temperatura t horas después del fallecimiento. (b) Si la temperatura del cuerpo es ahora de 72ºF, ¿cuánto tiempo transcurrió desde la muerte? 27. Enfriamiento de un pavo Un pavo rostizado se saca de un horno cuando su temperatura ha alcanzado 185ºF y se coloca en una mesa en un cuarto donde la temperatura es de 75ºF.
34. Concentración de iones en vino Las lecturas de pH para vinos varían de 2.8 a 3.8. Encuentre la variación correspondiente de concentraciones de iones de hidrógeno. 35. Magnitudes de terremotos Si un terremoto es 20 veces más intenso que otro, ¿cuánto más grande es su magnitud en la escala de Richter? 36. Magnitudes de terremotos El terremoto de 1906 en San Francisco tuvo una magnitud de 8.3 en la escala de Richter. Al mismo tiempo, en Japón, un terremoto con magnitud 4.9 causó sólo daños de menor importancia. ¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de San Francisco que el de Japón? 37. Magnitudes de terremotos El terremoto de Alaska de 1964 tuvo una magnitud de 8.6 en la escala de Richter. ¿Cuántas veces más intenso fue esto que el terremoto de San Francisco? (Vea Ejercicio 36.)
C A P Í T U LO 4 38. Magnitudes de terremotos El terremoto de 1994 en Northridge, California, tuvo una magnitud de 6.8 en la escala de Richter. Un año después, un terremoto de magnitud 7.2 destruyó Kobe, Japón. ¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de Kobe que el de Northridge?
43. Ley del Cuadrado Inverso para Sonido Una ley de física dice que la intensidad del sonido es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d desde la fuente: I ⫽ k/d2. (a) Use este modelo y la ecuación
39. Magnitudes de terremotos El terremoto de 1985 de la ciudad de México tuvo una magnitud de 8.1 en la escala de Richter. El terremoto de 1976 en Tangshan, China, fue 1.26 más intenso. ¿Cuál fue la magnitud del terremoto de Tangshan?
42. Comparación de niveles de decibeles El ruido de una podadora de motor se midió en 106 dB. El nivel de ruido en un concierto de rock se midió en 120 dB. Encuentre la relación entre la intensidad de la música de rock y la de la podadora de motor.
10 log
B
I I0
(descrita en esta sección) para mostrar que los niveles B1 y B2 en decibeles, a distancias d1 y d2 desde la fuente, están relacionados por la ecuación
40. Ruido en el Metro La intensidad del sonido en un tren del Metro se midió en 98 dB. Encuentre la intensidad en W/m2. 41. Ruido de tránsito La intensidad del sonido de tránsito en un crucero de mucho movimiento se midió en 2.0 ⫻ 10⫺5 W/m2. Encuentre el nivel de intensidad en decibeles.
| Repaso 353
B2
B1
20 log
d1 d2
(b) El nivel de intensidad en un concierto de rock es 120 dB a una distancia de 2 m de los altavoces. Encuentre el nivel de intensidad a una distancia de 10 metros.
C A P Í T U L O 4 | R E PA S O Q VERIFICACIÓN DE CONCEPTOS 1. (a) Escriba una ecuación que defina la función exponencial con base a. (b) ¿Cuál es el dominio de esta función? (c) ¿Cuál es el rango de esta función? (d) Trace la forma general de la gráfica de la función exponencial para cada caso. (i) a > 1
(ii) 0 < a < 1
2. Si x es grande, ¿cuál función crece más rápido, y ⫽ 2x o y ⫽ x2? 3. (a) ¿Cómo está definido el número e? (b) ¿Cuál es la función exponencial natural? 4. (a) (b) (c) (d)
¿Cómo está definida la función logarítmica y ⫽ loga x? ¿Cuál es el dominio de esta función? ¿Cuál es el rango de esta función? Trace la forma general de la gráfica de la función y ⫽ loga x si a > 1. (e) ¿Cuál es el logaritmo natural? (f) ¿Cuál es el logaritmo común?
5. Exprese las tres Leyes de Logaritmos. 6. Exprese la Fórmula para Cambio de Base.
7. (a) ¿Cómo resuelve una ecuación exponencial? (b) ¿Cómo resuelve una ecuación logarítmica? 8. Supoga que se invierte una cantidad P a una tasa r y que A es la cantidad después de t años. (a) Escriba una expresión para A si el interés es compuesto n veces por año. (b) Escriba una expresión para A si el interés es compuesto continuamente. 9. El tamaño inicial de una población es n0 y la población crece exponencialmente. (a) Escriba una expresión para la población en términos del tiempo de duplicación a. (b) Escriba una expresión para la población en términos de la tasa de crecimiento relativo r. 10. (a) ¿Cuál es la vida media de una sustacia radiactiva? (b) Si una sustancia tiene una vida media h y una masa inicial m0 escriba una expresión para la masa restante en el tiempo t. 11. ¿Qué dice la Ley de Newton de enfriamiento? 12. ¿Qué tienen en común la escala de pH, la de Richter y la de decibeles? ¿Cómo se miden?
Q EJERCICIOS 1-4 Q Use calculadora para hallar los valores indicados de la función exponencial, aproximada a tres lugares decimales.
1. f 1x 2 2. f 1x 2
3. g1x2
5x; f 1 1.5 2, f 1 22 2, f 12.5 2
3 # 2x; f 1 2.2 2, f 1 272, f 15.52 4#
A 23 B x
; g1 0.7 2, g1e 2, g1p 2
2
4. g1x2
7 x 4e
; g1 22, g1 232, g13.62
1
5-16 Q Trace la gráfica de la función. Exprese el dominio, rango y asíntota.
5. f 1x 2
7. g1x 2
2 3
x 1
2x
6. f 1x2 8. g1x 2
2
3x 5
x
5
354
| Funciones exponenciales y logarítmicas
C A P Í T U LO 4 log 3 1x
9. f 1x 2
11. f 1x 2
13. F1x 2
2
15. g1x 2
2 ln x
10
x2
x 2
log11 42
log12
2
x
2
19. h1x2
ln1x
23. log x
2x 2
25. 2
24. ln c
26. 49
64
27. 10 29-44
Q
63. x e
69. 5 71. 5
x
k
m
2x
35. log 3 A 271 B
34. log4 8
79. ln x
38. e2ln7
40. log3 1243 42. log5 250
x 47. ln B x2
2
49. log5 a 51-56 3 2
log 2 1x
54. log 5 2
1 2 3ln1x
55. log1x 56.
x2 11
1 1
2x3
4x
y2
log 5 1x
22
b
50. ln a
42
2 log 2 1x2
log1x
5 ln1x
2
1
0
70. 23x 7 2. e
22
x2
Q
6
5
7
15k
10,000
7 4. y
10x
5x
7 6. y
2x2
ln x
x2
7 8. 4
2x
e
2x
Resuelva gráficamente la desigualdad.
x
4x2
80. ex
2
y
log5 2
y=ln x 12
0
4x b 48. log a 2 y 1x 1 2 5
12
22
1
3
3
4 log 2
log 12
82. Encuentre una ecuación de la recta mostrada en la figura.
46. log 2 1x 2x 2
x
0
44. log log 10
log8 2
5x 2 3/2
6
100
Combine en un solo logaritmo.
Q
51. log 6 53.
1
Expanda la expresión logarítmica.
Q
3x
81. Use una gráfica de f 1x2 ⫽ ex ⫺ 3e⫺x ⫺ 4x para hallar, aproximadamente, los intervalos en los que f es creciente y en los que f es decreciente.
36. 2log 213
45. log1AB2C3 2 45-50
log8 1x 12
0.63
log1x 3
79-80
log8 3
32
75. y
32. log 0.000001
43. log8 6
52
e x/1x
31. 10log 45
41. log2 1623
10
2x
4
log1x
73. y
77. 3 log x
log 4
6 4. 3
8e
x2
1
30. log8 1
39. log 25
2x
2xe
2x/3
29. log2 128
37. log5 15
2x
77-78 Q Encuentre las soluciones de la ecuación, redondeadas a dos lugares decimales.
Evalúe la expresión sin usar calculadora.
33. ln1e6 2
62. e3x/4
73-76 Q Trace una gráfica de la función y úsela para determinar las asíntotas y los valores máximo y mínimo locales.
1 7
1/2
5
69-72 Q Use calculadora para hallar la solución de la ecuación, redondeada a seis lugares decimales.
17
28. e
74
65. log2 11 2 2x
66. log x
ln 0 x 0
22. log6 37
y
32x
x
68. ln12x
20. k1x2
10
61. 4 1
67. log8 1x
2
Escriba la ecuación en forma logarítmica.
Q
6 x
ln1x 2
42
Escriba la ecuación en forma exponencial.
Q
21. log2 1024
25-28
16. g1x 2
log 5 1x
1 x 1 2e
Encuentre el dominio de la función.
Q
18. g1x 2 21-24
3
log1 x2
14. G 1x 2
1
x
10. g1x 2
12. f 1x 2
log 2 x
e
17. f 1x 2 17-20
12
y2 2
log1x2y 2
52. log x
1 3 log 5 13x
22
3 2x 4 12 b 1x 16 2 1x 3
4x 2 4
1 2 2 log1x
72
3 log y
42
57-68 Q Resuelva la ecuación. Encuentre la solución exacta si es posible; de otro modo, use calculadora para aproximar a dos decimales.
57. 32x
7
27
58. 54
59. 23x
5
7
60. 106
1 125
x 3x
18
x
ea
83-86 Q Use la Fórmula para Cambio de Base para evaluar el logaritmo, redondeado a seis lugares decimales.
83. log4 15 85. log9 0.28
84. log7 1 34 2
86. log100 250
88. Encuentre la inversa de la función f 1x2 minio y rango.
87. ¿Qué es mayor, log4 258 o log5 620
23 y exprese su dox
89. Si $12,000 se invierten a una tasa de interés de 10% al año, encuentre la cantidad de la inversión al término de 3 años por cada uno de los métodos de capitalización. (a) Semestralmente (b) Mensualmente (c) Diario (d) Continuamente 90. Una suma de $5000 se invierte a una tasa de 8 21 al año, capitalizado semestralmente. (a) Encuentre la cantidad de la inversión después de 1 21 años.
C A P Í T U LO 4 (b) ¿Después de qué tiempo la cantidad de la inversión será de $7000? (c) Si el interés se capitalizara continuamente en lugar de semestralmente, ¿cuánto tiempo tardaría la cantidad en crecer a $7000? 91. Una cuenta de mercado de dinero paga 5.2% de interés anual, capitalizado diariamente. Si se invierten $100,000 en esta cuenta, ¿cuánto tardará la cuenta en acumular $10,000 en intereses? 92. Un plan de ahorros para el retiro paga 4.5% de interés, capitalizado continuamente. ¿Cuánto tiempo tomará en duplicarse una inversión en este plan? 93-94 Q Determine el porcentaje anual de ganancia (APY, por sus siglas en inglés) para la tasa de interés nominal anual y frecuencia compuesta dada 93. 4.25%; diariamente
94. 3.2%; mensualmente
95. La población de gatos callejeros de una pequeña ciudad crece exponencialmente. En 1999 la ciudad tenía 30 gatos callejeros y la tasa de crecimiento relativa era de 15% al año. (a) Encuentre una función que modele la población n1t2 de gatos callejeros después de t años. (b) Encuentre la población proyectada después de 4 años. (c) Encuentre el número de años necesario para que la población de gatos callejeros llegue a 500. 96. Un cultivo contiene 10,000 bacterias inicialmente. Después de una hora, la cantidad de bacterias es de 25,000. (a) Encuentre el período de duplicación. (b) Encuentre el número de bacterias después de 3 horas. 97. El uranio 234 tiene una vida media de 2.7 ⫻ 105 años. (a) Encuentre la cantidad restante de una muestra de 10 mg después de mil años. (b) ¿Cuánto tiempo tomará para que esta muestra se descomponga hasta que su masa sea de 7 mg? 98. Una muestra de bismuto 210 se desintegró a 33% de su masa original después de 8 días. (a) Encuentre la vida media de este elemento. (b) Encuentre la masa restante después de 12 días 99. La vida media del radio 226 es de 1590 años. (a) Si una muestra tiene una masa de 150 mg, encuentre una función que modele la masa que resta después de t años. (b) Encuentre la masa que habrá después de 1000 años. (c) ¿Después de cuántos años habrá sólo 50 mg?
| Repaso 355
100. La vida media del paladio 100 es 4 días. Después de 20 días, una muestra se ha reducido a una masa de 0.375 g. (a) ¿Cuál era la masa inicial de la muestra? (b) Encuentre una función que modele la masa restante después de t días. (c) ¿Cuál es la masa después de 3 días? (d) Después de cuántos días habrá sólo 0.15 g?
101. La gráfica muestra la población de una rara especie de ave, donde t representa años desde 1999 y n1t2 se mide en miles. (a) Encuentre una función que modele la población de aves en el tiempo t en la forma n1t2 ⫽ n0ert. (b) ¿Cuál se espera que sea la población de aves en el año 2010?
n(t)
4000 (5, 3200)
3000
Población de aves 2000 1000 0
1 2 3 4 5 Años desde 1999
t
102. El motor de un auto funciona a una temperatura de 190ºF. Cuando el motor se apaga, se enfría de acuerdo con la Ley de Newton de Enfriamiento con una constante k ⫽ 0.0341, donde el tiempo se mide en minutos. Encuentre el tiempo necesario para que el motor se enfríe a 90ºF si la temperatura circundante es de 60ºF. 103. La concentración de iones de hidrógeno de claras de huevo fresco se midió como
3H 4
1.3
10
8
M
Encuentre el pH y clasifique la sustancia como ácida o básica. 104. El pH del jugo de limón es 1.9. Encuentre la concentración de iones de hidrógeno. 105. Si un terremoto tiene magnitud de 6.5 en la escala de Richter, ¿cuál es la magnitud de otro terremoto que es 35 veces más intenso? 106. La operación de un martillo neumático se midió en 132 dB. El sonido de un susurro se midió en 28 dB. Encuentre la relación entre la intensidad del martillo y la del susurro.
C A P Í T U LO 4
EXAMEN 1. Trace la gráfica de cada función y exprese su dominio, rango y asíntota. Demuestre que los puntos x y y intersectan la gráfica. 2 x 4 (a) f 1x 2 (b) g1x 2 log3 1x 32 2. (a) Escriba la ecuación 62x ⫽ 25 en forma logarítmica.
(b) Escriba la ecuación ln A ⫽ 3 en forma exponencial. 3. Encuentre el valor exacto de cada expresión.
(a) 10log 36
(c) log 3 127
(b) ln e3 (d) log2 80
(e) log8 4
(f) log6 4
log2 10 log6 9
4. Use las Leyes de Logaritmos para expandir la expresión:
log
x 2 3 B x 4 1x 2 42
5. Combine, en un solo logaritmo, lo siguiente: ln x
2 ln1x 2 x2
12
1 2 ln13
6. Encuentre la solución de la ecuación, aproximada a dos lugares decimales.
(a) 2x (c) 10
1 x
10 3
6 2x
(d) log 2 1x (b) 5 ln13
22
log 2 1x
x 42
4
12
2
7. El tamaño inicial de un cultivo de bacteria es 1000. Después de una hora, la cantidad de bacterias es de 8000. (a) Encuentre una función que modele la población después de t horas. (b) Encuentre la población después de 1.5 horas. (c) ¿Cuándo llegará la población a 15,000? (d) Trace la gráfica de la función de población. 8. Suponga que se invierten $12,000 en una cuenta de ahorros que paga 5.6% de interés al año. (a) Escriba la fórmula para la cantidad en la cuenta después de t años si el interés se capitaliza mensualmente. (b) Encuentre la cantidad en la cuenta después de 3 años si el interés se capitaliza diariamente. (c) ¿Cuánto tiempo tomará para que la cantidad en la cuenta crezca a $20,000 si el interés se capitaliza semestralmente?
9. La vida media del criptón 91 191Kr2 es 10 segundos. En el tiempo t ⫽ 0 un recipiente de construcción robusta contiene 3 g de este gas radiactivo. (a) Encuentre la función que modele la cantidad A1t2 de 91Kr que queda en el recipiente después de t segundos.
(b) ¿Cuánto 91Kr habrá después de un minuto?
(c) ¿Cuándo es que la cantidad de 91Kr restante se reducirá a 1 µg (1 microgramo, o 10⫺6 g)? 10. Un terremoto de 6.4 en la escala de Richter golpeó las costas de Japón, causando grandes daños. Antes, ese mismo año, un terremoto de menor importancia que midió 3.1 en la escala de Richter se sintió en algunos lugares de Pennsylvania. ¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de Japón que el de Pennsylvania?
356
ENFOQUE SOBRE MODELADO
Ajuste de datos a curvas exponenciales y potencia En una sección previa de Enfoque sobre modelado, página 296, aprendimos que la forma de una gráfica de dispersión nos ayuda a escoger el tipo de curva a usar para modelar datos. La primera gráfica de la Figura 1 sugiere una recta que pase por en medio de los puntos, y la segunda apunta a un polinomio cúbico. Para la tercera gráfica es tentador ajustar un polinomio de segundo grado. Pero, ¿qué pasa si una curva exponencial se ajusta mejor? ¿Cómo determinamos esto? En esta sección aprendemos a ajustar curvas exponenciales y de potencia a datos y a determinar qué tipo de curva se ajusta mejor a los datos. También aprendemos que para gráficas de dispersión como las de las últimas dos gráficas de la Figura 1, los datos pueden ser modelados por medio de funciones logarítmicas o logísticas.
FIGURA 1
W Modelado con funciones exponenciales Si una gráfica de dispersión muestra que los datos aumentan rápidamente, podríamos modelar los datos usando un modelo exponencial, es decir, una función de la forma
f1x 2
Cekx
donde C y k son constantes. En el primer ejemplo modelamos la población mundial mediante un modelo exponencial. Recuerde de la Sección 4.6 que la población tiende a aumentar exponencialmente.
E J E M P LO 1
TABLA 1 Población mundial Año (t) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Población mundial (P en millones) 1650 1750 1860 2070 2300 2520 3020 3700 4450 5300 6060
Un modelo exponencial para la población mundial
La Tabla 1 da la población del mundo en el siglo XX. (a) Trace una gráfica de dispersión y observe que un modelo lineal no es apropiado. (b) Encuentre una función exponencial que modele el crecimiento poblacional. (c) Trace una gráfica de la función que encontró junto con la gráfica de dispersión. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos? (d) Use el modelo que usted encontró para predecir la población mundial en el año 2020. S O LU C I Ó N (a) La gráfica de dispersión se muestra en la Figura 2. Los puntos localizados no parecen encontrarse a lo largo de una recta, de modo que el modelo lineal no es apropiado. 6500
1900
0
2000
F I G U R A 2 Gráfica de dispersión de la población mundial
357
358
Enfoque sobre modelado
(b) Usando una calculadora graficadora y el comando ExpReg (vea Figura 3(a)), obtenemos el modelo exponencial
© Chabruken/The Image Bank/Getty Images
P1t 2
10.0082543 2 # 11.01371862 t
Éste es un modelo de la forma y ⫽ Cbt. Para convertir esto a la forma y ⫽ Cekt, usamos las propiedades de exponenciales y logaritmos como sigue:
eln 1.0137186
1.0137186t
t
A = elnA
et ln 1.0137186
ln AB = B ln A
e0.013625t
ln 1.0137186
P1t 2
0.013625
Entonces, podemos escribir el modelo como La población del mundo aumenta exponencialmente.
0.0082543e0.013625t
(c) De la gráfica de la Figura 3(b) vemos que el modelo parece ajustarse muy bien a los datos. El período de crecimiento poblacional relativamente lento se explica con la depresión de la década de 1930 y las dos guerras mundiales. 6500
1900 (a)
0
2000 (b)
F I G U R A 3 Modelo exponencial para la población mundial
(d) El modelo predice que la población mundial en 2020 será
P120202
0.0082543e10.0136252 120202
7,405,400,000
Q
W Modelado con funciones potencia Si la gráfica de dispersión de los datos que estamos estudiando se asemeja a la gráfica de y ⫽ ax2, y ⫽ ax1.32, o a alguna otra función potencia, entonces buscamos un modelo potencia, es decir, una función de la forma
f1x2
Saturno Mercurio Sol
Tierra Venus
Marte Júpiter
ax n
donde a es una constante positiva y n es cualquier número real. En el siguiente ejemplo buscamos un modelo potencia para algunos datos astronómicos. En astronomía, la distancia en el sistema solar se mide con frecuencia en unidades astronómicas. Una unidad astronómica (UA) es la distancia media de la Tierra al Sol. El período de un planeta es el tiempo que tarda el planeta en hacer una revolución completa alrededor del Sol (medido en años terrestres). En este ejemplo derivamos la relación sorprendente, descubierta primero por Johannes Kepler (vea página 754), entre la distancia media de un planeta desde el Sol y su período.
E J E M P L O 2 0 Un modelo potencia para períodos planetarios
La Tabla 2 da la distancia media d de cada planeta desde el Sol en unidades astronómicas y su período T en años.
Ajuste de datos a curvas exponenciales y potencia
TABLA 2 Distancia y períodos de los planetas Planeta
d
Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
0.387 0.723 1.000 1.523 5.203 9.541 19.190 30.086 39.507
T 0.241 0.615 1.000 1.881 11.861 29.457 84.008 164.784 248.350
359
(a) Trace una gráfica de dispersión. ¿Un modelo lineal es apropiado? (b) Encuentre una función potencia que modele los datos. (c) Trace una gráfica de la función que encontró y la gráfica de dispersión sobre la misma gráfica. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos? (d) Use el modelo que encontró para calcular el período de un asteroide cuya distancia media desde el Sol es 5 UA. S O LU C I Ó N (a) La gráfica de dispersión de la Figura 4 indica que los puntos localizados no se encuentran a lo largo de una recta, de modo que el modelo lineal no es apropiado. 260
F I G U R A 4 Gráfica de dispersión de datos planetarios
45
0
(b) Usando calculadora graficadora y el comando PwrReg (vea Figura 5(a)), obtenemos el modelo potencia
T
1.000396d1.49966
Si redondeamos ambos coeficientes y el exponente a tres cifras significativas, podemos escribir el modelo como
T ⫽ d1.5 Ésta es la relación descubierta por Kepler (vea página 754). Sir Isaac Newton (página 852) usó posteriormente su Ley de Gravitación para derivar teóricamente esta relación, dando así una fuerte evidencia científica de que la Ley de Gravitación debe ser verdadera. (c) La gráfica se muestra en la Figura 5(b). El modelo parece ajustar muy bien a los datos. 260
F I G U R A 5 Modelo potencia para datos planetarios
45
0 (a)
(b)
(d) En este caso d ⫽ 5 UA, de modo que nuestro modelo da
T
1.00039 # 51.49966
El período del asteroide es de unos 11.2 años.
11.22 Q
W Alineación de datos Hemos utilizado la forma de una gráfica de dispersión para determinar qué tipo de modelo usar: lineal, exponencial o potencia. Esto funciona bien si los puntos de datos se encuentran sobre una recta, pero es difícil distinguir una gráfica de dispersión que sea exponencial de una que requiera un modelo potencia. Por lo tanto, para ayudar a determinar qué modelo usar, podemos alinear los datos, es decir, aplicar una función que “enderece” la gráfica de dispersión. La inversa de la función de alineación es entonces un modelo apro-
360
Enfoque sobre modelado
piado. A continuación describimos cómo alinear datos que puedan ser modelados por funciones exponenciales o potencia. Si sospechamos que los puntos de datos 1x, y2 se encuentran sobre una curva exponencial y ⫽ Cekx, entonces los puntos 䉴 Alineación de datos exponenciales
1x, ln y2
deben estar sobre una recta. Podemos ver esto a partir de los siguientes cálculos:
ln y
ln Cekx
Suponga que y = Cekx y tome ln
ln ekx TABLA 3
t
Población P (en millones)
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
1650 1750 1860 2070 2300 2520 3020 3700 4450 5300 6060
Propiedad de ln
ln C
kx
Datos de la población mundial
ln C
Propiedad de ln
Para ver que ln y es una función lineal de x, sea Y ⫽ ln y y A ⫽ ln C; entonces ln P
21.224 21.283 21.344 21.451 21.556 21.648 21.829 22.032 22.216 22.391 22.525
Aplicamos esta técnica a los datos de población mundial 1t, P2 para obtener los puntos 1t, ln P2 en la Tabla 3. La gráfica de dispersión de 1t, ln P2 de la Figura 6, llamada gráfica semi-log, muestra que los datos alineados están aproximadamente sobre una recta, de modo que el modelo exponencial debe ser apropiado. Y ⫽ kx ⫹ A
23
F I G U R A 6 Gráfica semi-log de la Tabla 3
1900
2010
21
Si sospechamos que los puntos de datos 1x, y2 están sobre una curva potencia y ⫽ axn, entonces los puntos 䉴 Alineación de datos potencia
1ln x, ln y2
deben estar sobre una recta. Podemos ver esto a partir de los siguientes cálculos:
ln y
ln ax n
Suponga que y = axn y tome ln
ln a
ln x n
Propiedad de ln
ln a
n ln x
Propiedad de ln
Para ver que ln y es una función lineal de ln x, sea Y ⫽ ln y, X ⫽ ln x y A ⫽ ln a; entonces Aplicamos esta técnica a los datos planetarios 1d, T2 en la Tabla 2 para obtener los puntos 1ln d, ln T2 en la Tabla 4. La gráfica de dispersión 1ln d, ln T2 en la Figura 7, llamada gráfica log-log, muestra que los datos se encuentran sobre una recta, de modo que el modelo potencia parece apropiado. Y ⫽ nX ⫹ A
TABLA 4 Tabla log-log ln d 0.94933 0.32435 0 0.42068 1.6492 2.2556 2.9544 3.4041 3.6765
ln T 1.4230 0.48613 0 0.6318 2.4733 3.3829 4.4309 5.1046 5.5148
6
_2
F I G U R A 7 Gráfica loglog de datos en la Tabla 4
4 _2
Ajuste de datos a curvas exponenciales y potencia
361
Suponga que una gráfica de dispersión de los puntos de datos 1x, y2 muestra un rápido aumento. ¿Debemos usar una función exponencial o una función potencia para modelar los datos? Para ayudarnos a determinarlo, trazamos dos gráficas de dispersión: una para los puntos 1x, ln y2 y la otra para los puntos 1ln x, ln y2. Si la primera gráfica de dispersión parece encontrarse a lo largo de una recta, entonces es apropiado un modelo exponencial; si la segunda gráfica parece encontrarse a lo largo de una recta, entonces es apropiado un modelo de potencia.
W ¿Modelo exponencial o potencia?
Los puntos de datos 1x, y2 se muestran en la Tabla 5. (a) Trace una gráfica de dispersión de los datos. (b) Trace gráficas de dispersión de 1x, ln y2 y 1ln x, ln y2. (c) ¿Es apropiada una función exponencial o una función potencia para modelar esta información? (d) Encuentre una función apropiada para modelar los datos.
E J E M P LO 3 TABLA 5 x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 6 14 22 34 46 64 80 102 130
¿Modelo exponencial o potencia?
S O LU C I Ó N (a) La gráfica de dispersión de los datos se muestra en la Figura 8. 140
FIGURA 8
TABLA 6 x
ln x
ln y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.7 1.1 1.4 1.6 1.8 1.9 2.1 2.2 2.3
0.7 1.8 2.6 3.1 3.5 3.8 4.2 4.4 4.6 4.9
140
11
0
(b) Usamos los valores de la Tabla 6 para graficar las gráficas de dispersión en las Figuras 9 y 10. 6
0
5
11
0
2.5
(c) La gráfica de dispersión de 1x, ln y2 de la figura 9 no parece ser lineal, por lo que el modelo exponencial no es apropiado. Por otra parte, la gráfica de dispersión de 1ln x, ln y2 de la Figura 10 es muy cercanamente lineal, de modo que un modelo potencia es apropiado. (d) Usando el comando PwrReg en una calculadora graficadora, encontramos que la función potencia que mejor ajusta el punto de datos es F I G U R A 9 Gráfica semi-log
F I G U R A 1 0 Gráfica log-log
y ⫽ 1.85x1.82 La gráfica de esta función y los puntos de datos originales se muestran en la Figura 11. Q 0
FIGURA 11
11
Antes que las calculadoras graficadoras y software de estadística se hicieran comunes, era frecuente que los modelos exponenciales y potencia para datos se construyeran al hallar primero un modelo lineal para los datos alineados. A continuación, se encontraba el modelo para los datos reales al tomar exponenciales. Por ejemplo, si encontramos que ln y ⫽ A ln x ⫹ B, entonces al tomar exponenciales obtenemos el modelo y ⫽ eB ⋅ eAb ln x, o y ⫽ CxA 1donde C ⫽ eB2. Se usaba un papel de gráficas especial llamado “papel log” o “papel log-log” para facilitar este proceso.
362
Enfoque sobre modelado
W Modelado con funciones logísticas Un modelo logístico de crecimiento es una función de la forma
f 1t 2
c ae
1
bt
donde a, b y c son constantes positivas. Se usan funciones logísticas para modelar poblaciones donde el crecimiento está restringido por recursos disponibles. (Vea Ejercicios 25-28 de la Sección 4.2.)
E J E M P LO 4 TABLA 7 Semana
Bagres
0 15 30 45 60 75 90 105 120
1000 1500 3300 4400 6100 6900 7100 7800 7900
Abastecer de bagres un estanque
Buena parte del pescado que se vende hoy en día en supermercados se cría en granjas piscícolas comerciales, no se pescan en estado silvestre. En un estanque en una de estas granjas se introducen inicialmente 1000 bagres, y la población de peces se muestrea entonces a intervalos de 15 semanas para estimar su tamaño. Los datos de la población se dan en la Tabla 7. (a) Encuentre un modelo apropiado para los datos. (b) Haga una gráfica de dispersión de los datos y grafique, en la gráfica de dispersión, el modelo que encontró en la parte (a). (c) ¿Cómo predice el modelo que la población de peces cambiará con el tiempo? S O LU C I Ó N (a) Como la población de bagres está restringida por su hábitat (el estanque), un modelo logístico es apropiado. Usando el comando Logistic en una calculadora (vea Figura 12(a)), encontramos el siguiente modelo para la población P1t) de bagres:
P1t 2
1
7925 7.7e 0.052t 9000
180
0
FIGURA 12
(a)
(b) Población de bagres y = P(t)
(b) La gráfica de dispersión y la curva logística se muestran en la Figura 12(b). (c) De la gráfica de P en la Figura 12(b), vemos que la población de bagres aumenta rápidamente hasta unas t ⫽ 80 semanas. A partir de ahí el crecimiento se reduce y, alrededor de t ⫽ 120 semanas, la población se nivela y queda más o menos constante en ligeramente más de 7900. Q
El comportamiento que es exhibido por la población de bagres en el Ejemplo 4 es típico de un crecimiento logístico. Después de una fase de crecimiento rápido, la población se aproxima a un nivel constante llamado capacidad de sostenimiento (o de carga) del entorno. Esto ocurre porque cuando t 씮 q tenemos e⫺bt 씮 0 (vea Sección 4.2), y entonces
P1t2
1
c ae
bt
¡
Por lo tanto, la capacidad de sostenimiento es c.
c 1
0
c
Ajuste de datos a curvas exponenciales y potencia
363
PROBLEMAS 1. Población de Estados Unidos La constitución de Estados Unidos exige un censo cada 10 años. Los datos del censo para 1790-2000 se dan en la tabla siguiente. (a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Use calculadora para hallar un modelo exponencial para los datos. (c) Use su modelo para predecir la población en el censo de 2010. (d) Use su modelo para estimar la población en 1965. (e) Compare sus respuestas de las partes (c) y (d) contra los valores de la tabla. ¿Piensa usted que un modelo exponencial es apropiado para estos datos?
Tiempo Distancia (s) (m) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.048 0.197 0.441 0.882 1.227 1.765 2.401 3.136 3.969 4.902
Año
Población (en millones)
Año
Población (en millones)
1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4
1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940
38.6 50.2 63.0 76.2 92.2 106.0 123.2 132.2
Año
Población (en millones)
1950 1960 1970 1980 1990 2000
151.3 179.3 203.3 226.5 248.7 281.4
2. Una pelota en caída En un experimento de física se deja caer una pelota desde una altura de 5 metros. Los estudiantes registran la distancia que cae la pelota a cada décimo de segundo. (Esto puede hacerse usando una cámara y una luz estroboscópica.) (a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Use calculadora para hallar un modelo potencia. (c) Use su modelo para predecir la distancia que caerá la pelota en 3 segundos
3. Gastos en salud Los gastos en salud en Estados Unidos para los años 1970-2001 se dan en la tabla siguiente, y una gráfica de dispersión de los datos se muestra en la figura. (b) Haga una tabla de valores 1t, ln E) en una gráfica de dispersión. ¿La gráfica de dispersión parece ser lineal? (a) ¿La gráfica de dispersión mostrada sugiere un modelo exponencial?
(c) Encuentre una recta de regresión para los datos de la parte (b).
(d) Use los resultados de la parte (c) para hallar un modelo exponencial para el crecimiento de gastos en salud. (e) Use su modelo para predecir los gastos totales en salud en 2009.
Año
Gastos en salud (en miles de millones de dólares)
E 1400
1970 1980 1985 1987 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001
74.3 251.1 434.5 506.2 696.6 820.3 937.2 1039.4 1150.0 1310.0 1424.5
1200 Gastos en salud 1000 (en miles de 800 millones de dólares) 600 400 200 1970
1980
Año
1990
2000
t
364
Enfoque sobre modelado
Tiempo (h) 0 8 16 24 32 40 48
Cantidad de 131I 1g2 4.80 4.66 4.51 4.39 4.29 4.14 4.04
4. Vida media del yodo radiactivo Un estudiante está tratando de determinar la vida media del yodo radiactivo 131. Él mide la cantidad de yodo 131 en una solución de muestra cada 8 horas. Sus datos se ilustran en la tabla del margen. (a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Use calculadora para hallar un modelo exponencial. (c) Use su modelo para hallar la vida media del yodo 131.
5. Ley de Beer-Lambert Cuando pasa luz solar por las aguas de lagos y océanos, la luz es absorbida y, cuanto mayor sea la profundidad a la que penetre, más disminuye su intensidad. La intensidad I de luz a una profundidad x está dada por la Ley Beer-Lambert:
I ⫽ I0e⫺kx donde I0 es la intensidad de luz en la superficie y k es una constante que depende de la oscuridad del agua (vea página 336). Un biólogo usa un fotómetro para investigar la penetración de luz en un lago del norte, obteniendo los datos de la tabla. (a) Use una calculadora graficadora para hallar una función exponencial de la forma dada por la Ley de Beer-Lambert para modelar estos datos. ¿Cuál es la intensidad de luz I0 en la superficie en este día, y cuál es la constante k de “oscuridad” para este lago? 3Sugerencia: Si su calculadora da una función de la forma I ⫽ abx, convierta esto a la forma que desee x usando las identidades b x e ln 1b 2 e x ln b. Vea Ejemplo 1(b).4
(b) Haga una gráfica de dispersión de los datos y grafique la función que encontró en la parte (a) en su gráfica de dispersión. (c) Si la intensidad de luz desciende por debajo de 0.15 lumen (lm), cierta especie de algas no puede sobrevivir porque la fotosíntesis es imposible. Use su modelo de la parte (a) para determinar la profundidad a la cual hay insuficiente luz para sostener estas algas.
Profundidad Intensidad de luz (pies) (lm)
La intensidad de luz disminuye exponencialmente con la profundidad.
5 10 15 20
13.0 7.6 4.5 2.7
Profundidad Intensidad de luz (pies) (lm) 25 30 35 40
1.8 1.1 0.5 0.3
6. Experimentos con curvas “de olvido” Todos estamos familiarizados con el fenómeno de olvidar algo. Datos que con claridad entendimos en el momento en que los aprendimos primero a veces se desvanecen de la memoria cuando hacemos un examen final. Unos psicólogos han propuesto varias formas de modelar este proceso. Uno de estos modelos es la Ley de Ebbinghaus de Olvido, que se describe en la página 327. Otros modelos usan funciones exponenciales o logarítmicas. Para crear su propio modelo, una psicóloga realiza un experimento en un grupo de voluntarios a quien pide memorizar una lista de 100 palabras relacionadas. A continuación, ella prueba cuántas de estas palabras pueden recordar después de varios períodos. Los resultados promedio para el grupo se muestran en la tabla siguiente. (a) Use calculadora graficadora para hallar una función de potencia, de la forma y ⫽ atb, que modele el número promedio de palabras y que los voluntarios recuerdan después de t horas. A continuación, encuentre una función exponencial de la forma y ⫽ abt para modelar los datos. (b) Haga una gráfica de dispersión de los datos y grafique las dos funciones que encontró en la parte (a) en su gráfica de dispersión. (c) ¿Cuál de las dos funciones parece dar el mejor modelo?
Tiempo
Palabras recordadas
15 min 1h 8h 1 día 2 días 3 días 5 días
64.3 45.1 37.3 32.8 26.9 25.6 22.9
Ajuste de datos a curvas exponenciales y potencia
365
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7. Modelar una relación entre especies y área La tabla siguiente da las áreas de varias cuevas de la región central de México, y el número de especies de murciélagos que viven en cada cueva.* (a) Encuentre una función potencia que modele los datos. (b) Trace una gráfica de la función que encontró en la parte (a) y una gráfica de dispersión de los datos en la misma gráfica. ¿El modelo se ajusta bien a los datos? (c) La cueva llamada El Sapo cerca de Puebla, México, tiene una superficie A ⫽ 205 m2. Use el modelo para estimar el número de especies de murciélagos que esperaría encontrar en esa cueva.
El número de especies diferentes de murciélagos en una cueva está relacionado con el tamaño de la cueva por una función de potencia.
Área 1m22
Cueva La Escondida El Escorpión El Tigre Misión Imposible San Martín El Arenal La Ciudad Virgen
Número de especies
18 19 58 60 128 187 344 511
1 1 1 2 5 4 6 7
8. Emisiones de escapes de autos Un estudio realizado por la U.S. Office of Science and Technology en 1972 estimó el costo de reducir emisiones de automóviles en ciertos porcentajes. Encuentre un modelo exponencial que capte la tendencia de “rendimientos de reducción” de estos datos mostrados en la tabla siguiente.
Reducción en emisiones (%)
Costo por auto ($)
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
45 55 62 70 80 90 100 200 375 600
9. ¿Modelo exponencial o potencia? En la tabla siguiente se muestran los puntos de datos 1x, y2. (b) Trace gráficas de dispersión de 1x, ln y2 y 1ln x, ln y2.
(a) Trace una gráfica de dispersión de los datos.
(c) ¿Qué es más apropiado para modelar estos datos: una función exponencial o una función potencia? (d) Encuentre una función apropiada para modelar los datos.
*
x
y
2 4 6 8 10 12 14 16
0.08 0.12 0.18 0.25 0.36 0.52 0.73 1.06
A. K. Brunet y R. A. Medallin, “The Species-Area Relationship in Bat Assemblages of Tropical Caves.” Journal of Mammalogy, 82(4):1114-1122, 2001.
366
Enfoque sobre modelado
x
y
10 20 30 40 50 60 70 80 90
29 82 151 235 330 430 546 669 797
10. ¿Modelo exponencial o potencia? Los puntos de datos 1x, y2 se muestran en la tabla del margen.
(b) Trace gráficas de dispersión de 1x, ln y2 y 1ln x, ln y2.
(a) Trace una gráfica de dispersión de los datos.
(c) ¿Qué es más apropiado para modelar estos datos: una función exponencial o una función potencia? (d) Encuentre una función apropiada para modelar los datos.
11. Crecimiento logístico de la población
La tabla y gráfica de dispersión dan la población de moscas negras en un recipiente cerrado de laboratorio, en un período de 18 días. (a) Use el comando Logistic de su calculadora para hallar un modelo logístico para estos datos. (b) Use el modelo para estimar el tiempo cuando hubo 400 moscas en el recipiente.
Tiempo (días)
Número de moscas
0 2 4 6 8 10 12 16 18
10 25 66 144 262 374 446 492 498
N 500 400 Número 300 de moscas 200 100 0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 Días
t
12. Modelos logarítmicos Un modelo logarítmico es una función de la forma y ⫽ a ⫹ b ln x
Numerosas relaciones entre variables en el mundo real pueden ser modeladas por este tipo de función. La tabla y gráfica de dispersión siguientes muestran la producción de carbón (en toneladas métricas) de una pequeña mina en el norte de la Columbia Británica. (a) Use el comando LnReg de su calculadora para hallar un modelo logarítmico para estas cifras de producción. (b) Use el modelo para predecir la producción de carbón extraído de esta mina en 2010.
C Año
Toneladas métricas de carbón
1950 1960 1970 1980 1990 2000
882 889 894 899 905 909
905 900 Toneladas 895 métricas de carbón 890 885 1940
1960
1980 Año
2000
t
E X A M E N A C U M U L AT I V O D E R E PA S O C A P Í T U L O S 2 , 3 y 4 1. Sea f 1x2
x2
4x y g1x 2
1x
4. Encuentre lo siguiente:
(a) El dominio de f
(c) f 1 22 , f 102 , f 142, g102 , g182, g1 6 2 (b) El dominio de g
(d) f 1x
22 , f 12
22 , g1x
h2
(f) f g, g f, f 1g1122 2 , g1f 112 2 2
(e) El promedio de rapidez de cambio de g entre x ⫽ 5 y x ⫽ 21 (g) La inversa de g
2. Sea f 1x 2
e
4 x
2 2
si x si x
(a) Evalúe f 102, f 112, f 122, f 132 y f 142.
3
3. Sea f la función cuadrática f 1x2 ⫽ ⫺2x2 ⫹ 8x ⫹ 5. (b) Trace la gráfica de f.
(a) Exprese f en forma estándar.
(b) Encuentre el valor máximo o mínimo de f. (c) Trace la gráfica de f. (e) ¿Cómo se obtiene la gráfica de g1x 2
(d) Encuentre el intervalo en el que f es creciente y el intervalo en el que f es decreciente. (f) ¿Cómo se obtiene la gráfica de h1x 2 de f?
2x2
8x
21x
32
2
10 a partir de la gráfica de f? 81x
5 a partir de la gráfica
32
4. Sin usar calculadora graficadora, relacione cada una de las siguientes funciones con las gráficas que aparecen a continuación. Dé razones para sus elecciones.
f 1x 2 s1x 2
A
y
0
B
x
y
0
C
x
5. Sea P1x2
x3
8x
2x x2
3 9
y
h1x 2 D
0
2x3
g1x2
2x
10x
8x2 5
y
x
r1x 2
k1x2 E
0
x
11x2
x4
2x x2 2
3 9 x
y
0
3 F
x
y
0
x
8.
(a) Haga una lista de todos los posibles ceros racionales de P. (b) Determine cuáles de los números que citó usted en la parte (a) en realidad son ceros de P. (c) Factorice P completamente. (d) Trace una gráfica de P. 6. Sea Q1x2
x5
3x4
3x3
x2
4x
2
(a) Encuentre todos los ceros de Q, reales y complejos, y exprese sus multiplicidades. (b) Factorice Q completamente. (c) Factorice Q en factores cuadráticos lineales e irreductibles.
367
368
E X A M E N A C U M U L AT I V O D E R E PA S O
| Capítulos 2, 3 y 4
7. Sea r1x 2
3x2
6x . Encuentre los puntos de intersección x y y y las asíntotas x x 2 horizontales y verticales. A continuación, trace la gráfica de r.
(a) f 1x 2
2
(b) g1x 2
8. Trace gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano de coordenadas.
2
ex
ln1x
12
9. (a) Encuentre el valor exacto de log3 16 ⫺ 2 log3 36. (b) Use las Leyes de Logaritmos para expandir la expresión
log2 1x
log a
x5 1x 1 b 2x 3
10. Resuelva las ecuaciones.
(a) log2 x 3x
(b) 2e
2x
11e
22 10e
x
3 8
0
[Sugerencia: Compare con el polinomio del Problema 5.]
11. Una suma de $25,000 se deposita en una cuenta que paga 5.4% de interés al año, capitalizado diariamente. (a) ¿Cuál será la cantidad en la cuenta después de 3 años? (b) ¿Cuándo habrá crecido la cuenta a $35,000? (c) ¿Cuánto tiempo tomará el depósito inicial en duplicarse? 12. Después de un naufragio, 129 ratas se las arreglan para nadar desde el naufragio a una isla desierta. La población de ratas en la isla crece exponencialmente, y después de 15 meses hay 280 ratas en la isla. (a) Encuentre una función que modele la población t meses después de la llegada de las ratas. (b) ¿Cuál será la población 3 años después del naufragio? (c) ¿Cuándo llegará la población a ser de 2000?
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CAPÍTULO
5
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: MÉTODO DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA Si el lector ha subido a una rueda “de la fortuna” sabe de movimiento periódico, es decir, movimiento que se repite una y otra vez. El movimiento periódico es común en la naturaleza. Considere el diario amanecer y puesta de Sol (día, noche, día, noche, …), la variación diaria de los niveles de mareas (alta, baja, alta, baja, …), o las vibraciones de una hoja en el viento (izquierda, derecha, izquierda, derecha, …). Para modelar tal movimiento necesitamos una función cuyos valores aumentan, después disminuyen, luego aumentan otra vez, y así sucesivamente. Para entender cómo definir tal función, veamos a una persona que disfruta de un paseo en una “rueda de la fortuna”. La gráfica muestra la altura a la que se encuentra la persona sobre el centro de la rueda en el tiempo t. Observe que la gráfica sube y baja repetidamente. La función trigonométrica seno se define en una forma similar, usando la circunferencia unitaria (en lugar de “rueda de la fortuna”). Las funciones trigonométricas se pueden definir en dos formas diferentes pero equivalentes: como funciones de números reales (Capítulo 5) o como funciones de ángulos (Capítulo 6). Los dos métodos son independientes entre sí, de modo que ya sea el Capítulo 5 o el Capítulo 6 se pueden estudiar primero. Estudiamos ambos métodos porque se requiere de diferentes métodos para aplicaciones diferentes.
5.1 La circunferencia unitaria 5.2 Funciones trigonométricas de números reales 5.3 Gráficas trigonométricas 5.4 Más gráficas trigonométricas 5.5 Funciones trigonométricas inversas y sus gráficas 5.6 Modelado de movimiento armónico ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas senoidales
y t t
t
369
370
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria
5.1 L A CIRCUNFERENCIA UNITARIA La circunferencia unitaria 䉴 Puntos terminales en la circunferencia unitaria 䉴 El número de referencia En esta sección exploramos algunas propiedades de la circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Estas propiedades se usan en la siguiente sección para definir las funciones trigonométricas.
W La circunferencia unitaria y
El conjunto de puntos a una distancia 1 del origen es una circunferencia de radio 1 (vea Figura 1). En la Sección 1.8 aprendimos que la ecuación de esta circunferencia es x2 ⫹ y2 ⫽ 1.
LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA 0
1
x
La circunferencia unitaria es de radio 1 con centro en el origen en el plano xy. Su ecuación es
≈+¥=1
x2
y2
1
F I G U R A 1 La circunferencia unitaria
E J E M P LO 1
Un punto en la circunferencia unitaria
13 16 , b está en la circunferencia unitaria. 3 3 S O LU C I Ó N Necesitamos demostrar que este punto satisface la ecuación de la circunferencia unitaria, es decir, x2 ⫹ y2 ⫽ 1. Como Demuestre que el punto P a
13 2 b 3 P está en la circunferencia unitaria. a
a
16 2 b 3
3 9
6 9
1
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 3
E J E M P LO 2
Q
Localizar un punto sobre la circunferencia unitaria
El punto PA 13/2, yB está en la circunferencia unitaria en el cuarto cuadrante. Encuentre su coordenada y. S O LU C I Ó N
13 2 b 2
Como el punto está en la circunferencia unitaria, tenemos
a
y2
1
y2
1
3 4
1 4
1 2 Como el punto está en el cuarto cuadrante, su coordenada y debe ser negativa, de modo que 1 y 2. y
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 9
W Puntos terminales en la circunferencia unitaria
Q
Suponga que t es un número real. Marquemos una distancia t a lo largo de la circunferencia unitaria, empezando en el punto 11, 02 y moviéndonos en dirección contraria al giro de las manecillas de un reloj si t es positiva y en el sentido de las manecillas si t es negativa (Figura 2).
S E C C I Ó N 5.1
| La circunferencia unitaria 371
En esta forma llegamos al punto P1x, y2 en la circunferencia. El punto P1x, y2 obtenido en esta forma se llama punto terminal determinado por el número real t. y
y
P(x, y)
t >0
0
1
0
x
x 1 t 0
La circunferencia unitaria es C ⫽ 2p112 ⫽ 2p. Entonces, si un punto inicia en 11, 02 y se mueve en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj en toda la vuelta del círculo unitario y regresa a 11, 02, viaja una distancia de 2p. Para moverse la mitad alrededor del círculo, viaja una distancia de 12 12p2 p. Para moverse un cuarto de la distancia alrededor del círculo, viaja una distancia de 41 12p2 p/2. ¿Dónde termina el punto cuando viaja estas distancias a lo largo del círculo? De la Figura 3 vemos, por ejemplo, que cuando viaja una distancia de p iniciando en 11, 02, su punto terminal es 1−1, 02. y
y
π
y
t=π
t= 2
P(_1, 0) 1
(b) Punto terminal P(x, y) determinado por t < 0
0
x
1
t= 0
x
3π 2
1
t=2π x
0
P(1, 0) 1
x
P(0, _1)
F I G U R A 3 Puntos terminales determinados por t p2 , p, 3p 2 y 2 p.
E J E M P LO 3
Hallar puntos terminales
Encuentre el punto terminal en la circunferencia unitaria determinado por cada número real t.
3p
(a) t
(b) t
p
p 2
(c) t
(a) El punto terminal determinado por 3p es 1⫺1, 02. (b) El punto terminal determinado por ⫺p es 1⫺1, 02. (c) El punto terminal determinado por ⫺p/2 es 10, ⫺12.
De la Figura 4 obtenemos lo siguiente:
S O LU C I Ó N
y
y
y
t=3π P(_1, 0) P(_1, 0)
0
1
x
0
1 t=_π
FIGURA 4
x
0 P(0, _1)
x
1 t=_ π2
Observe que diferentes valores de t pueden determinar el mismo punto terminal. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 23
Q
372
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria
El punto terminal P1x, y2 determinado por t ⫽ p/4 es la misma distancia de 11, 02 que 10, 12 a lo largo de la circunferencia unitaria (vea Figura 5). y
y=x
2 P ! Ϸ , 2
π
Ϸ 2 @ 2
t= 4 0
1
x
FIGURA 5
Como la circunferencia unitaria es simétrica con respecto a la recta y ⫽ x, se deduce que P se encuentra sobre la recta y ⫽ x. Por lo tanto, P es el punto de intersección (en el primer cuadrante) de la circunferencia x2 ⫹ y2 ⫽ 1 y la recta y ⫽ x. Sustituyendo x por y en la ecuación de la circunferencia, obtenemos
x2
x2
1
2
1
Combine términos semejantes
x2
1 2
Divida entre 2
2x
1 12
x
Tome raíces cuadradas
Como P está en el primer cuadrante, x 1/ 12 y como y ⫽ x, tenemos y bién. Entonces, el punto terminal determinado por p/4 es
Pa
1 1 , b 12 12
Pa
1/ 12 tam-
12 12 , b 2 2
Se pueden usar métodos similares para hallar los puntos terminales determinados por t ⫽ p/6 y t ⫽ p/3 (vea Ejercicios 57 y 58). La Tabla 1 y la Figura 6 dan los puntos terminales para algunos valores especiales de t. y
TABLA 1
t 0 p 6 p 4 p 3 p 2
E J E M P LO 4
Punto terminal determinado por t
11, 0 2
π ; 2
(0, 1)
A 12,
12 2 B
0
13 2 B
10, 1 2
π œ∑2 œ∑2 ;! 2 , 2 @ 4 π œ∑3 1 ;! 2 , 2@ 6
1 A 13 2 , 2B
A 12 2 ,
π 1 œ∑3 ; ! 2, 2 @ 3
FIGURA 6
Hallar puntos terminales
Encuentre el punto terminal determinado por cada número real t dado. p 3p 5p (a) t (b) t (c) t 4 4 6
0; (1, 0) x
S E C C I Ó N 5.1
| La circunferencia unitaria 373
S O LU C I Ó N (a) Sea P el punto terminal determinado por ⫺p/4, y sea Q el punto terminal determinado por p/4. De la Figura 7(a) vemos que el punto P tiene las mismas coordenadas que Q excepto por el signo de la coordenada en y. Como P está en el cuarto cuadrante, su coordenada x es positiva y su coordenada y es negativa. Entonces, el punto terminal es PA 12/2, 12/2B . y
3π
2 Q ! œ∑ , 2 π 4
0 P
t= 4
Ϸ2 @ 2
y
P
2 Q ! Ϸ , 2
Ϸ2 @ 2
1
x
π 4
0
1 x π t=_ 4
Q! 0
1
œ∑3 1 , @ 2 2 π 6
x
P t=_ 5π 6
(a)
FIGURA 7
y
(b)
(c)
(b) Sea P el punto terminal determinado por 3p/4, y sea Q el punto terminal determinado por p/4. De la Figura 7(b) vemos que el punto P tiene las mismas coordenadas que Q excepto por el signo de la coordenada en x. Como P está en el segundo cuadrante, su coordenada x es negativa y su coordenada y es positiva. Entonces, el punto terminal es PA 12/2, 12/2B . (c) Sea P el punto terminal determinado por ⫺5p/6, y sea Q el punto terminal determinado por p/6. De la Figura 7(c) vemos que el punto P tiene las mismas coordenadas que Q excepto por el signo. Como P está en el tercer cuadrante, sus coordenadas son ambas negativas. Entonces, el punto terminal es PA 13/2, 12 B .
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 25
Q
W El número de referencia De los Ejemplos 3 y 4 vemos que para hallar un punto terminal en cualquier cuadrante sólo necesitamos saber el punto terminal “correspondiente” en el primer cuadrante. Usamos la idea del número de referencia para ayudarnos a hallar puntos terminales.
NÚMERO DE REFERENCIA Sea t un número real. El número de referencia t asociado con t es la distancia más corta a lo largo de la circunferencia unitaria entre el punto terminal determinado por t y el eje x. La Figura 8 muestra que para hallar el número de referencia t , es útil saber el cuadrante en el que se encuentre el punto terminal determinado por t. Si el punto terminal se encuentra en el primero o cuarto cuadrante, donde x es positiva, encontramos t al movernos a lo largo de la circunferencia al eje x positivo. Si se encuentra en los cuadrantes segundo o tercero, donde x es negativa, encontramos t al movernos a lo largo de la circunferencia al eje x negativo. y
y
y t
t=t 0
1
x
y t
t
t 0
F I G U R A 8 El número de referencia t por t.
1
x
0 t
1
x
0
1
t
x
374
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria
E J E M P LO 5
Hallar números de referencia
Encuentre el número de referencia para cada valor de t. 5p 7p 2p (a) t (b) t (c) t 6 4 3 S O LU C I Ó N
(a) t (b) t (c) t (d) t y π t= 6
0
(a)
FIGURA 9
5p 6 7p 2p 4 2p p 3
p 6 p 4 p 3
5.80
0.48
y 5π t= 6
1
5.80
De la Figura 9 encontramos los números de referencia como sigue:
p
2p
(d) t
y
y 7π t= 4
x
0
1
t=5.80
x π
t= 4
0
1
π t= 3
x
0
1
x tÅ0.48
2π t=_ 3
(b)
(c)
(d)
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 35
Q
USO DE NÚMEROS DE REFERENCIA PARA HALLAR PUNTOS TERMINALES Para hallar el punto terminal P determinado por cualquier valor de t, usamos los pasos siguientes: 1. Encuentre el número de referencia t . 2. Encuentre el punto terminal Q(a, b) determinado por t . 3. El punto terminal determinado por t es P(±a, ±b), donde los signos se escogen de acuerdo con el cuadrante en el que se encuentre este punto terminal.
E J E M P LO 6
Uso de números de referencia para hallar puntos terminales
Encuentre el punto terminal determinado por cada número real t dado. 5p 7p 2p (a) t (b) t (c) t 6 4 3 S O LU C I Ó N el Ejemplo 5.
Los números de referencia asociados con estos valores de t se hallaron en
(a) El número de referencia es t p/6 , que determina el punto terminal A 13/2, 21 B de la Tabla 1. Como el punto terminal determinado por t está en el segundo cuadrante, su coordenada x es negativa y su coordenada y es positiva. Entonces, el punto terminal deseado es
a
13 1 , b 2 2
S E C C I Ó N 5.1
| La circunferencia unitaria 375
(b) El número de referencia es t p/4, que determina el punto terminal A 12/2, 12/2B de la Tabla 1. Como el punto terminal está en el cuarto cuadrante, su coordenada x es positiva y su coordenada y es negativa. Entonces, el punto terminal deseado es
a
12 , 2
12 b 2
(c) El número de referencia es t p/3, que determina el punto terminal A 21, 13/2B de la Tabla 1. Como el punto terminal está determinado por t en el tercer cuadrante, sus coordenadas son ambas negativas. Entonces, el punto terminal deseado es
a
1 , 2
13 b 2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 39
Q
Como el perímetro de la circunferencia unitaria es 2p, el punto terminal determinado por t es el mismo que el determinado por t ⫹ 2p o t ⫺ 2p. En general, podemos sumar o restar 2p cualquier número de veces sin cambiar el punto terminal determinado por t. Usamos esta observación en el siguiente ejemplo para hallar puntos terminales para t grandes.
y
E J E M P LO 7
3 1 !_ Ϸ , @ 2 2
Hallar el punto terminal para t grande 29p . 6
Encuentre el punto terminal determinado por t 1
0
S O LU C I Ó N
x
Como
29p 6
t
4p
5p 6
vemos que el punto terminal de t es el mismo que el de 5p/6 (esto es, restamos 4p). Por lo tanto, por el Ejemplo 6(a) el punto terminal es A 13/2, 21 B . (Vea Figura 10.)
FIGURA 10
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 45
Q
5.1 EJERCICIOS CO N C E P TO S
HABILIDADES
1. (a) La circunferencia unitaria es la circunferencia con centro en ____ con radio ____.
(b) La ecuación de la circunferencia unitaria es ______. (c) Suponga que el punto P1x, y2 está en la circunferencia unitaria. Encuentre la coordenada faltante:
(i) P 11,
(iii) P 1 1,
2
2
(ii) P 1
(iv) P 1
, 12 ,
12
2. (a) Si marcamos una distancia t a lo largo de la circunferencia unitaria, empezando en 11, 02 y moviéndonos en dirección contraria al giro de las manecillas de un reloj, llegamos al punto ______ determinado por t.
3-8
Q
Demuestre que el punto está en la circunferencia unitaria.
4 3. a , 5 6. a
5 , 7
3 b 5
2 16 b 7
7. a
5 12 , b 13 13 15 2 , b 3 3
5. a
8. a
7 24 , b 25 25
111 5 , b 6 6
9-14 Q Encuentre la coordenada faltante de P, usando el hecho de que P se encuentra en la circunferencia unitaria en el cuadrante dado.
B
Coordenadas
9. PA
3 5,
(b) Los puntos terminales determinados por p/2, p, ⫺p/2,
10. PA
,
2p son ________, ________, ________, y ______,
11. PA
,
respectivamente.
4. a
1 3B
7 25 B
Cuadrante
III IV II
376
C A P Í T U LO 5 B
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria
Coordenadas 2 7B
12. PA 25, ,
13. PA 14. PA
2 3,
35-38
Cuadrante
I
B
Encuentre el número de referencia para cada valor de t.
Q
IV
1 3,
y la coordenada x es positiva.
37. (a) t
18. La coordenada x de P es positiva, y la coordenada y de P es 15/5.
(c) t
19. La coordenada x de P es
12/3, y P está abajo del eje x.
20. La coordenada x de P es
2 5,
38. (a) t (c) t
y P está arriba del eje x.
21-22 Q Encuentre t y el punto terminal determinado por t para cada punto de la figura. En el Ejercicio 21, t aumenta en incrementos de p/4; al igual que en el Ejercicio 22, t aumenta en incrementos de p/6.
y 1
_1
y
22.
π t= 4 ;
1
2 Ϸ2 ! Ϸ , 2@ 2
1
11p 3 5p 7
(c) t
y la coordenada x es negativa.
17. La coordenada y de P es
2 3,
5p 6
36. (a) t
15. La coordenada x de P es 45 , y la coordenada y es positiva. 16. La coordenada y de P es
4p 3
(c) t
II
15-20 Q El punto P está en la circunferencia unitaria. Encuentre P1x, y2 a partir de la información dada.
21.
5p 4
35. (a) t
π
t= 6 ;
3 1 ! Ϸ , @ 2 2
x
_1
1
(b) t
7p 3
(d) t
p 6
(b) t
7p 6 7p 4 7p 9
(d) t (b) t
3
(d) t
11p 5
(b) t
9p 7
6
(d) t
7
5
39-52 Q Encuentre (a) el número de referencia para cada valor de t y (b) el punto terminal determinado por t.
39. t
2p 3
40. t
4p 3
41. t
3p 4
42. t
7p 3
2p 3
43. t
x
7p 6
44. t
45. t
13p 4
46. t
13p 6
23-32 Q Encuentre el punto terminal P1x, y2 en la circunferencia unitaria determinado por el valor dado de t.
47. t
7p 6
48. t
17p 4
50. t
31p 6
23. t
51. t
_1
_1
25. t 27. t 29. t 31. t
p 2 5p 6 p 3 2p 3 3p 4
24. t 26. t 28. t 30. t 32. t
3p 2 7p 6 5p 3 p 2 11p 6
33. Suponga que el punto terminal determinado por t es el punto A 35, 54 B en la circunferencia unitaria. Encuentre el punto terminal determinado por cada uno de los siguientes. (b) t (a) p t (c) p t (d) 2p t 34. Suponga que el punto terminal determinado por t es el punto A 43, 17/4B en la circunferencia unitaria. Encuentre el punto terminal determinado por cada uno de los siguientes.
(a) t (c) p t
(b) 4p t (d) t p
11p 3
49. t
16p 3
41p 4
52. t
53-56 Q Use la figura para hallar el punto terminal determinado por el número real t, con coordenadas redondeadas a un lugar decimal.
y
53. t
1
54. t
2.5
55. t 56. t
2
1
1.1 4.2
3 0
_1
1 6
4 5
x
S E C C I Ó N 5.2
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
Q
| Funciones trigonométricas de números reales 377
58. Hallar el punto terminal para P/3 Ahora que ya sabe usted el punto terminal determinado por t ⫽ p/6, use simetría para hallar el punto terminal determinado por t ⫽ p/3 (vea la figura). Explique su razonamiento.
REDACCIÓN
57. Hallar el punto terminal para P/6 Suponga que el punto terminal determinado por t ⫽ p/6 es P1x, y2 y los puntos Q y R son como se ve en la figura. ¿Por qué son iguales las distancias PQ y PR? Use este dato, junto con la Fórmula de la Distancia, para demostrar que las coordenadas de P satisfacen 2x 2 1 y 1 2 2. Simplifique esta ecuación la ecuación 2y usando el hecho de que x2 ⫹ y2 ⫽ 1. Resuelva la ecuación simplificada para hallar P1x, y2.
y
π 6
P 0
y
π 6
Q
t=π3
1
x
R(0, 1)
P(x, y)
y=x
π
t= 6
0
1
x
Q(x, _y)
5.2 F UNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES Las funciones trigonométricas 䉴 Valores de las funciones trigonométricas 䉴 Identidades fundamentales Una función es una regla que asigna a cada número real otro número real. En esta sección usamos propiedades de la circunferencia unitaria de la sección precedente para definir las funciones trigonométricas. Recuerde que para hallar el punto terminal P1x, y2 para un número real dado t, nos movemos una distancia t a lo largo de la circunferencia unitaria, empezando en el punto 11, 02. Nos movemos en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj si t es positiva y en la dirección de las manecillas si t es negativa (vea Figura 1). A continuación usamos las coordenadas x y y del punto P1x, y2 para definir varias funciones. Por ejemplo, definimos la función llamada seno al asignar a cada número real t la coordenada y del punto terminal P1x, y2 determinado por t. Las funciones coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente también se definen si usamos las coordenadas de P1x, y2.
W Las funciones trigonométricas
y P (x, y)
t
0
FIGURA 1
1
x
Sea t cualquier número real y sea P1x, y 2 el punto terminal en la circunferencia unitaria determinado por t. Definimos
DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
sen t
y
csc t
1 y
1y
02
cos t
x
sec t
1 x
1x
02
tan t
y x
cot t
x y
1x
1y
02 02
Debido a que las funciones trigonométricas se pueden definir en términos de la circunferencia unitaria, a veces reciben el nombre de funciones circulares.
378
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria
y
E J E M P LO 1 1 Ϸ3 P !2, 2 @
Encuentre las seis funciones trigonométricas de cada número real t dado. p p (a) t (b) t 3 2
π t= 3
0
x
1
Evaluación de funciones trigonométricas
S O LU C I Ó N (a) De la Tabla 1 de la página 372, vemos que el punto terminal determinado por t ⫽ p/3 es PA 12, 13/2B . (Vea Figura 2.) Como las coordenadas son x 12 y y 13/2, tenemos
FIGURA 2
sen csc
π
t= 2
0
1
p 3
13 2
213 3
cos
p 3
1 2
tan
p 3
13/2 1/2
sec
p 3
2
cot
p 3
1/2 13/2
1
cot
13
13 3
(b) El punto terminal determinado por p/2 es P10, 12. (Vea Figura 3.) Por lo tanto,
y P(0, 1)
p 3
sen
x
p 2
1
cos
p 2
0
csc
p 2
1 1
p 2
0 1
0
Pero tan p/2 y sec p/2 no están definidos porque x ⫽ 0 aparece en el denominador en cada una de sus definiciones.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 3
Q
Algunos valores especiales de las funciones trigonométricas se dan en la Tabla 1. Esta tabla se obtiene con facilidad de la Tabla 1 de la Sección 5.1, junto con las definiciones de las funciones trigonométricas.
FIGURA 3
TABLA 1 Valores especiales de las funciones trigonométricas t
sen t
cos t
tan t
csc t
sec t
cot t
0
0
1
0
—
1
—
p 6
1 2
2
213 3
12
12
p 4 p 3
Podemos fácilmente recordar los senos y cosenos de los ángulos básicos si los escribimos en la forma 1 /2 : t 0 p/6 p/4 p/3 p/2
sen t
10/2 11/2 12/2 13/2 14/2
cos t
14/2 13/2 12/2 11/2 10/2
p 2
12 2 13 2 1
13 2
12 2 1 2 0
13 3 1
13
2 13 3
—
1
2 —
13
1
13 3 0
El Ejemplo 1 muestra que algunas de las funciones trigonométricas no están definidas para ciertos números reales, por lo cual es necesario determinar sus dominios. Las funciones seno y coseno están definidas para todos los valores de t. Como las funciones cotangente y cosecante tienen y en el denominador de sus definiciones, no están definidas siempre que la coordenada y del punto terminal P1x, y2 determinado por t sea 0. Esto ocurre cuando t ⫽ np para cualquier entero n, de modo que sus dominios no incluyen estos puntos. Las funciones tangente y secante tienen x en el denominador en sus definiciones, de modo que no están definidas siempre que x ⫽ 0. Esto ocurre cuando t ⫽ 1p/22 ⫹ np para cualquier entero n.
| Funciones trigonométricas de números reales 379
S E C C I Ó N 5.2
Relación con las funciones trigonométricas de ángulos Si ya usted ha estudiado trigonometría de triángulos rectángulos (Capítulo 6), es probable se pregunte cómo el seno y coseno de un ángulo se relacionan con los de esta sección. Para ver cómo es esto, empecemos con un triángulo rectángulo, ÎOPQ. P
Q
O Triángulo rectángulo OPQ
sen t
Ponga el triángulo en el plano de coordenadas como se muestra, con el ángulo ¨ en posición normal.
O
¨
P
1
ady hip
OQ OP
OQ ¿ OP ¿
x
y
cos t
x
A continuación, si ¨ se mide en radianes, entonces ¨ = t (vea la figura). Por lo tanto, las funciones trigonométricas del ángulo con medida en radianes ¨ son exactamente iguales que las funciones trigonométricas definidas en términos del punto terminal determinado por el número real t. y
t Q'
P ¿Q ¿ OP ¿
Por la definición de las funciones trigonométricas del número real t, tenemos
adyacente
P'(x, y)
PQ OP y
x 1
opuesto
¨
op hip y 1
cos u
hipotenusa
y
sen u
Q
P'(x, y)
x O
¨
t 1
x
P'(x, y) es el punto terminal determinado por t.
El punto P ¿1x, y2 de la figura es el punto terminal determinado por el arco t. Observe que el triángulo OPQ es semejante al triángulo pequeño OP Q cuyos catetos tienen longitudes x y y. A continuación, por la definición de las funciones trigonométricas del ángulo ¨ tenemos:
La medida en radianes del ángulo ¨ es t.
¿Por qué entonces estudiar trigonometría en dos formas diferentes? Porque diferentes aplicaciones requieren que veamos las funciones trigonométricas de modo diferente. (Compare la Sección 5.6 con las Secciones 6.2, 6.5 y 6.6.)
380
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria DOMINIOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función
Dominio
sen x, cos x Todos los números reales tan x, sec x cot x, csc x
p np para cualquier entero n 2 Todos los números reales que no sean np para cualquier entero n Todos los números reales que no sean
W Valores de las funciones trigonométricas Para calcular otros valores de las funciones trigonométricas, primero determinamos sus signos. Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante en el que se encuentre el punto terminal de t. Por ejemplo, si el punto terminal P1x, y2 determinado por t está en el tercer cuadrante, entonces sus coordenadas son negativas ambas. En consecuencia, sen t, cos t, csc t y sec t son todas negativas, mientras que tan t y cos t son positivas. Se pueden comprobar las otras entradas del recuadro siguiente.
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Cuadrante
Funciones positivas
Funciones negativas
I
todas
ninguna
II
sen x, csc x
cos x, sec x, tan x, cot x
III
tan x, cot x
sen x, csc x, cos x, sec x
IV
cos x, sec x
sen x, csc x, tan x, cot x
Por ejemplo, cos12p/32 < 0 porque el punto terminal de t ⫽ 2p/3 está en el segundo cuadrante, mientras que tan 4 > 0 porque el punto terminal de t ⫽ 4 está en el tercer cuadrante. En la Sección 5.1 utilizamos el número de referencia para hallar el punto terminal determinado por un número real t. Como las funciones trigonométricas están definidas en términos de las coordenadas de puntos terminales, podemos usar el número de referencia para hallar valores de las funciones trigonométricas. Suponga que t es el número de referencia para t. Entonces el punto terminal de t tiene las mismas coordenadas, excepto posiblemente por el signo, como el punto terminal de t. Entonces, los valores de las funciones trigonométricas en t son iguales, excepto posiblemente por el signo, como sus valores en t . Ilustramos este procedimiento en el siguiente ejemplo.
E J E M P LO 2
Evaluación de funciones trigonométricas
Encuentre cada valor de lo siguiente. 2p p (a) cos (b) tan a b 3 3
(c) sen
19p 4
S O LU C I Ó N
(a) El número de referencia para 2p/3 es p/3 (vea Figura 4(a)). Como el punto terminal de 2p/3 está en el segundo cuadrante, cos12p/32 es negativo. Entonces,
cos
2p 3
Signo
cos
p 3
Número de referencia
1 2
De la Tabla 1
S E C C I Ó N 5.2 y
y
y
2π t= 3
π
t= 3
t=
π
0 π t=_ 3
x
0
FIGURA 4
| Funciones trigonométricas de números reales 381
t= 4 x
0
π t= 3
(b)
(a)
19π 4
x
(c)
(b) El número de referencia para ⫺p/3 es p/3 (vea Figura 4(b)). Como el punto terminal es ⫺p/3 está en el cuarto cuadrante, tan1⫺p/32 es negativa. Por lo tanto,
tan a
p b 3
tan
Signo
13
p 3
Número de De la referencia Tabla 1
(c) Como 119p/42 ⫺ 4p ⫽ 3p/4, los puntos terminales determinados por 19p/4 y 3p/4 son los mismos. El número de referencia para 3p/4 es p/4 (vea Figura 4(c)). Como el punto terminal de 3p/4 está en el segundo cuadrante, sen13p/42 es positivo. Entonces,
sen
19p 4
sen
Reste 4 p
3p 4
Signo
sen
p 4
12 2
Número de De la referencia Tabla 1
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 7
Q
Hasta este punto, hemos podido calcular los valores de las funciones trigonométricas sólo para ciertos valores de t. De hecho, podemos calcular los valores de las funciones trigonométricas siempre que t sea múltiplo de p/6, p/4, p/3 y p/2. ¿Cómo podemos calcular las funciones trigonométricas para otros valores de t? Por ejemplo, ¿cómo podemos hallar sen 1.5? Una forma es trazando cuidadosamente un diagrama y leer el valor (vea Ejercicios 39-46), pero este método no es muy preciso. Por fortuna, programados directamente en calculadoras científicas son procedimientos matemáticos (vea nota al margen en la página 400) que encuentran los valores de las funciones seno, coseno y tangente redondeados al número de dígitos en la pantalla. La calculadora debe ser puesta en el modo de radianes para evaluar estas funciones. Para hallar valores de las funciones cosecante, secante y cotangente usando una calculadora, necesitamos usar las siguientes relaciones recíprocas:
csc t
1 sen t
sec t
1 cos t
cot t
1 tan t
Estas identidades se siguen de las definiciones de las funciones trigonométricas. Por ejemplo, como sen t ⫽ y y csc t ⫽ 1/y, tenemos csc t ⫽ 1/y ⫽ 1/1sen t2. Los otros se obtienen de un modo semejante.
E J E M P LO 3
Uso de calculadora para evaluar funciones trigonométricas
Asegurándonos que nuestra calculadora esté puesta en el modo de radianes y redondeando los resultados a seis lugares decimales, obtenemos: (a) sen 2.2 0.808496 (b) cos 1.1 0.453596 1 1 (c) cot 28 3.553286 (d) csc 0.98 1.204098 tan 28 sen 0.98 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 41 Y 43
Q
382
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria
y y
Consideremos la relación entre las funciones trigonométricas de t y las de –t. De la Figura 5 vemos que sen 1 t 2 y sen t
(x, y) t
0 _y
x
1 _t
x
(x, _y)
FIGURA 5
Las funciones pares e impares están definidas en la Sección 2.5.
cos 1 t 2
x
tan 1 t 2
cos t
y y tan t x x Estas identidades muestran que las funciones seno y tangente son funciones impares, en tanto que la función coseno es una función par. Es fácil ver que la recíproca de una función par es par y la recíproca de una función impar es impar. Este dato, junto con las relaciones recíprocas, completa nuestro conocimiento de las propiedades par-impar para todas las funciones trigonométricas.
PROPIEDADES PARES-IMPARES Las funciones seno, cosecante, tangente y cotangente son funciones impares; las funciones coseno y secante son funciones pares. csc 1 t2 sen1 t2
E J E M P LO 4
cos 1 t2
sen t csc t
sec1 t2
tan 1 t2 cot 1 t2
cos t sec t
tan t cot t
Funciones trigonométricas pares e impares
Use las propiedades pares-impares de las funciones trigonométricas para determinar cada valor. p p (a) sen a b (b) cos a b 6 4 S O LU C I Ó N Por las propiedades pares-impares y la Tabla 1 tenemos p p 1 (a) sena Seno es impar b sen 6 6 2 p p 12 (b) cos a Coseno es par b cos 4 4 2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 13
Q
W Identidades fundamentales Las funciones trigonométricas están relacionadas entre sí por medio de expresiones llamadas identidades trigonométricas. Damos las más importantes en el recuadro siguiente.*
IDENTIDADES FUNDAMENTALES Identidades recíprocas
csc t
1 sen t
1 cos t
sec t
cot t
1 tan t
tan t
sen t cos t
cot t
cos t sen t
Identidades de Pitágoras
sen 2 t
cos2 t
1
tan2 t
1
sec2 t
1
cot 2 t
csc2 t
* Seguimos la convención acostumbrada de escribir sen2t por (sen t)2. En general, escribimos senn t por (sen t)n por todos los enteros n excepto n ⫽ ⫺1. Al exponente n ⫽ ⫺1 se le asignará otro significado en la Sección 5.5. Por supuesto, la misma convención aplica a las otras cinco funciones trigonométricas.
| Funciones trigonométricas de números reales 383
S E C C I Ó N 5.2
El valor de P El número p es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Desde la Antigüedad se ha sabido que esta relación es la misma para todos las circunferencias. El primer esfuerzo sistemático para hallar una aproximación numérica para p fue hecho por Arquímedes (hacia el año 240 p 223 a.C.), quien demostró que 22 7 71 al hallar los perímetros de polígonos regulares inscritos y circunscritos alrededor de la circunferencia.
Hacia el año 480 a.C., el físico chino Tsu Ch′ung-chih dio la aproximación
p
355 113
D E M O S T R A C I Ó N Las identidades recíprocas se siguen inmediatamente de las definiciones de la página 377. A continuación demostramos las identidades de Pitágoras. Por definición, cos t ⫽ x y sen t ⫽ y, donde x y y son las coordenadas de un punto P1x, y2 en la circunferencia unitaria. Como P1x, y2 está en la circunferencia unitaria, tenemos que x2 ⫹ y2 ⫽ 1. Por lo tanto sen2 t cos2 t 1
Dividiendo ambos lados entre cos2t (siempre que cos t ⫽ 02, obtenemos
sen2 t cos2 t a
cos2 t cos2 t
sen t 2 b cos t
1
tan2 t
1
1 cos2 t a
2 1 b cos t
sec2 t
Hemos utilizado las identidades recíprocas sen t/cos t ⫽ tan t y 1/cos t ⫽ sec t. Análogamente, dividiendo ambos lados de la primera identidad de Pitágoras entre sen2t (siempre que sen t ⫽ 02 nos da 1 ⫹ cot2t ⫽ csc2t. Q
3.141592 . . .
que es correcta a seis lugares decimales. Esta estimación siguió siendo la más precisa de p hasta que el matemático holandés Adrianus Romanus (1593) utilizó polígonos con más de mil millones de lados para calcular p correcto a 15 lugares decimales. En el siglo XVII, los matemáticos empezaron a usar series infinitas e identidades trigonométricas en busca de p. El inglés William Shanks se pasó 15 años (18581873) usando estos métodos para calcular p a 707 decimales, pero en 1946 se encontró que sus cifras estaban erróneas empezando con el decimal 528. En la actualidad, con ayuda de computadoras, de manera rutinaria los matemáticos determinan p correcto a millones de lugares decimales. El récord actual es que p ha sido calculado a 2, 576, 980, 370, 000 (más de dos billones, 1012) de lugares decimales por T. Daesuke y su equipo.
Como sus nombres lo indican, las identidades fundamentales desempeñan un papel esencial en trigonometría porque podemos usarlas para relacionar cualquier función trigonométrica con cualquiera otra. Por lo tanto, si conocemos el valor de cualquiera de las funciones trigonométricas en t, entonces podemos hallar los valores de todas las otras en t.
E J E M P LO 5
Hallar todas las funciones trigonométricas a partir del valor de una de ellas
Si cos t 35 y t está en el cuarto cuadrante, encuentre los valores de todas las funciones trigonométricas en t. De las identidades de Pitágoras tenemos
S O LU C I Ó N
sen2 t sen 2 t
cos2 t A 53 B 2
sen2 t sen t
1 1
Sustituya cos t 9 25
1
16 25
3 5
Despeje sen2 t
4 5
Tome raíces cuadradas
4 Como este punto está en el cuarto cuadrante, sen t es negativo, de modo que sen t 5. Ahora que conocemos sen t y cos t, podemos hallar los valores de las otras funciones trigonométricas usando las identidades recíprocas:
sen t
4 5
csc t
1 sen t
5 4
cos t
3 5
sec t
1 cos t
5 3
tan t
sen t cos t
cot t
1 tan t
4 5 3 5
4 3
3 4
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 65
E J E M P LO 6
Escribir una función trigonométrica en términos de otra
Escriba tan t en términos de cos t, donde t está en el tercer cuadrante.
Q
384
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria S O LU C I Ó N Como tan t ⫽ sen t/cos t, necesitamos escribir sen t en términos de cos t. Por las identidades de Pitágoras tenemos
sen 2 t
cos2 t
1
sen 2 t
1
sen t
cos2 t
21
Despeje sen2 t
cos2 t
Tome raíces cuadradas
Como sen t es negativo en el tercer cuadrante, el signo negativo aplica aquí. Por lo tanto,
tan t
sen t cos t
21 cos2 t cos t
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 55
Q
5.2 EJERCICIOS 1. Sea P1x, y2 el punto terminal en la circunferencia unitaria determinado por t. Entonces sen t ⫽ ____, cos t ⫽ ____, y tan t ⫽ _____.
CO N C E P TO S
2. Si P1x, y2 está en la circunferencia unitaria, entonces x2 ⫹ y2 ⫽ _____. Entonces, para toda t tenemos sen2t ⫹ cos2t ⫽ ______.
HABILIDADES 3–4 Q Encuentre sen t y cos t para los valores de t cuyos puntos terminales se muestran en la circunferencia unitaria en la figura. En el ejercicio 3, t crece con incrementos de p/4; en el ejercicio 4, t aumenta con incrementos de p/6. (Vea los ejercicios 21 y 22 en la sección 5.1.) y
3.
1
_1
y
4.
1
π
t= 4 1
π
t= 6 x
_1
_1
1
x
_1
5-24 Q Encuentre el valor exacto de la función trigonométrica en el número real dado.
5. (a) sen
2p 3
(b) cos
2p 3
(c) tan
2p 3
6. (a) sen
5p 6
(b) cos
5p 6
(c) tan
5p 6
7. (a) sen
7p 6
(b) sena
(c) sen
11p 6
8. (a) cos
5p 3
(c) cos
7p 3
(b) cos a
p b 6
5p b 3
9. (a) cos
3p 4
(b) cos
5p 4
(c) cos
7p 4
10. (a) sen
3p 4
(b) sen
5p 4
(c) sen
7p 4
11. (a) sen
7p 3
(b) csc
7p 3
(c) cot
7p 3
12. (a) cos a 13. (a) sena 14. (a) sena
p b 3
(b) sec a
p b 3
(c) tan a
p b 3
3p b 2
(b) cos a
3p b 2
(c) cot a
3p b 2
p b 2
15. (a) sec
11p 3
16. (a) cos 17. (a) tan
p b 2
(b) csc
11p 3
7p 6
(b) sec
7p 6
5p 6
(b) tan (b) cot
18. (a) cot a
19. (a) cos a 20. (a) sen
(b) cos a
5p 4
21. (a) csc a
p b 3
p b 4
p b 2
(c) cot a
(c) sec a
p b 2
p b 3
(c) csc
7p 6
7p 6
(c) tan
11p 6
2p 3
(c) cot
5p 3
(b) csc a
p b 4
(b) sec
5p 4
(b) csc
p 2
(c) cot a
p b 4
(c) tan
5p 4
(c) csc
3p 2
22. (a) sec1 p2
(b) sec p
(c) sec 4p
23. (a) sen 13p
(b) cos 14p
(c) tan 15p
24. (a) sen
25p 2
(b) cos
25p 2
(c) cot
25p 2
| Funciones trigonométricas de números reales 385
S E C C I Ó N 5.2 25-28 Q Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas (si está definido) en el número real t dado. Use sus respuestas para completar la tabla.
0
26. t
p 2
t
sen t
cos t
tan t
0
0
1
25. t
27. t csc t
28. t
p sec t
3p 2
cot t
57. tan t, sen t; Cuadrante IV 58. tan t, cos t; Cuadrante III 59. sec t, tan t; Cuadrante II
60. csc t, cot t; Cuadrante III
63. tan 2 t, sen t ; cualquier cuadrante
0
indefinido
3p 2
29-38 Q Nos dan el punto terminal P1x, y2 determinado por un número real t. Encuentre sen t, cos t y tan t.
3 4 29. a , b 5 5 15 , 31. a 4
30. a
111 b 4
2 12 b 3
36. a
20 21 , b 29 29
38. a
1 6
45. cos 4.1 46. sen( 5.2)
5 47-50 Q Encuentre el signo de la expresión si el punto terminal determinado por t está en el cuadrante dado.
47. sen t cos t, Cuadrante II tan t sen t , Cuadrante III cot t
0 y sec t
0
68. tan t
el punto terminal de t está en el cuadrante III 3 4,
cos t
2, sen t 1 4,
0 0
sec t
0
4, csc t
0
73. f 1x2
Determine si la función es par, impar o ninguna de éstas.
74. f 1x2
sen x
79. f 1x 2
80. f 1x 2
cos1sen x 2
Q
77. f 1x 2
x 2 sen x 0 x 0 cos x
sen x cos x
x
3
cos x
76. f 1x2 78. f 1x2
x 2 cos 2x cos x
3
x sen x
A P L I C AC I O N E S 81. Movimiento armónico El desplazamiento a partir del equilibrio de una masa oscilante unida a un resorte está dado por y1t2 ⫽ 4 cos 3pt, donde y se mide en pulgadas y t en segundos. Encuentre el desplazamiento en los tiempos indicados en la tabla.
t 0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25
y1t 2
y>0 Equilibrio, y=0 y 1 o alargar la gráfica horizontalmente si k < 1. y _π
1
_π π 2
FIGURA 8
y
y=sen 2x
(a)
π
2π x
_2π
1 _1
y=sen 21 x π (b)
2π
3π
4π x
S E C C I Ó N 5.3
| Gráficas trigonométricas 391
Por comparación, en la Figura 9 mostramos las gráficas de un período de la curva seno y ⫽ a sen kx para varios valores de k. y y=a sen x
a 0 _a
FIGURA 9 y
2π
4π
3π
5π
6π
x
y=a sen 31 x
y=a sen 21 x
y=a sen 2x
E J E M P LO 3
y=4 ç 3x
4
π
Amplitud y período
Encuentre la amplitud y período de cada función y trace su gráfica.
(a) y
4 cos 3x
2 sen 21 x
(b) y
S O LU C I Ó N (a) Obtenemos la amplitud y período a partir de la forma de la función como sigue: _
π π _ 2 3
0
π 6
π 3
π 2π 2 3
π
4π 3
x
0a0
amplitud
4 cos 3x
y período
_4
FIGURA 10
4
2p k
2p 3
La amplitud es 4 y el período es 2p/3. La gráfica se ilustra en la Figura 10. (b) Para y 2 sen 21 x,
0a0
amplitud
2p
período
y
y=_2 sen 21 x
2
0
20
4p
1 2
2
La gráfica está en la Figura 11.
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 19 Y 21 0 _2
FIGURA 11
π
2π
3π
4π x
Q
Las gráficas de funciones de la forma y ⫽ a sen k1x ⫺ b2 y y ⫽ a cos k1x ⫺ b2 son simplemente curvas seno y coseno desplazadas horizontalmente en una cantidad 0 b 0. Se desplazan a la derecha si b > 0 o a la izquierda si b < 0. El número b es el desfase. Resumimos las propiedades de estas funciones en el recuadro siguiente.
CURVAS SENO Y COSENO DESPLAZADAS Las curvas sinusoidales y cosenoidales tienen amplitud 0 a 0 , período 2p/k, y desfase b. y
a sen k1x
b2
y
y
a cos k1x
b2
1k
Un intervalo apropiado sobre el cual graficar un período completo es 3b, b 12p/k2 4 .
02
392
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria Las gráficas de y y
sen a x
sen a x
p b se muestran en la Figura 12. 6
y
π y=sen!x- 3 @ 4π 3 2π
1 0
p b yy 3
π 3
π
7π 3
y=sen x
π
y=sen!x+ 6 @
1 x
π
_6
11π 6
π 0
5π 6
2π
x
y=sen x
FIGURA 12
E J E M P LO 4
Encuentre la amplitud, período y desfase de y completo. S O LU C I Ó N sigue:
0a0
y
21x x
p 42
3 sen 2 a x
0
p 4
0
x
p 4
21x x
p
x
5p 4
2p 2
p
p 1a la derecha2 4
p p c , 4 4
pd
p 5p c , d 4 4
Como ayuda para trazar la gráfica, dividimos este intervalo en cuatro partes iguales y a continuación graficamos una curva seno con amplitud 3, como en la Figura 13. y 3
2p
p 4
p b 4
2p k
Como el desfase es p/4 y el período es p, un período completo ocurre sobre el intervalo
Fin de período: p 42
período
3,
desfase
Inicio de período
p b , y grafique un período 4
Obtenemos la amplitud, período y desfase de la forma de la función como amplitud
Veamos ahora otra forma de hallar un intervalo apropiado sobre el cual graficar un período completo. Como el período de y ⫽ sen x es 2p, la función y 3 sen 21x p4 2 pasará por un período completo a medida que 21x p4 2 varíe de 0 a 2p.
3 sen 2 a x
Una curva seno desplazada
Período π Desfase π 4
Entonces, graficamos un período sobre el intervalo 3 p4 , 5p . 4 4.
0
5π 4 π 4
π 2
3π 4
π
x
Amplitud 3 _3
y=3 sen 2!x-π4 @
FIGURA 13
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 33
E J E M P LO 5
Q
Curva coseno desplazada
Encuentre la amplitud, período y desfase de
y y grafique un período completo.
3 cos a 2x 4
2p b 3
S E C C I Ó N 5.3
| Gráficas trigonométricas 393
Primero escribimos esta función en la forma y ⫽ a cos k1x ⫺ b2. Para ha2p para obtener cer esto, factorizamos 2 de la expresión 2x 3
S O LU C I Ó N
3 cos 2 c x 4
y Por lo tanto, tenemos
Inicio del período: Fin del período:
2x
2p 3
2x x
0
2x 2p 3 p 3
2p 3
2p
2x
4p 3 2p 3
x
p bd 3
3 4 2p 2p período p k 2 p p desfase b Desfase a la izquierda 3 3 A partir de esta información tenemos que un período de esta curva coseno comienza y termina en ⫺p/3. Para trazar la gráfica sobre el intervalo, éste lo dividimos en cuatro partes iguales y graficamos la curva coseno con amplitud como se muestra en la Figura 14. amplitud
Podemos encontrar un período completo, como sigue:
0a0
a
y
3
y= 4 ç!2x+ 2π @ 3
3 4
3
Amplitud 4
π
_ 12
De este modo podemos graficar un período sobre el intervalo 3 p3 , 2p 3 4.
π
_3
π
_6
0
Desfase 3 π _4 _3
FIGURA 14
π 6
π 3
5π 12 π 2
2π 3
x
Período π
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 35
Q
W Uso de calculadoras graficadoras para graficar funciones trigonométricas Vea en la Sección 1.9 las guías sobre cómo seleccionar un rectángulo de vista apropiado.
Cuando use una calculadora graficadora o computadora para graficar una función, es importante escoger cuidadosamente el rectángulo de vista para producir una gráfica razonable de la función. Esto es en especial verdadero para funciones trigonométricas; el siguiente ejemplo muestra que, si no se tiene cuidado, es fácil producir una gráfica engañosa de una función trigonométrica. Grafique la función f 1x2 ⫽ sen 50x en un rectángulo de vista apropiado.
E J E M P LO 6 El aspecto de las gráficas de la Figura 15 depende de la máquina que se use. Las gráficas que el lector obtenga con su calculadora graficadora podrían no parecerse a estas figuras, pero también serán bastante imprecisas.
1.5
_12
S O LU C I Ó N La Figura 15(a) muestra la gráfica de f producida por una calculadora graficadora usando el rectángulo de vista 3⫺12, 124 por 3⫺1.5, 1.54. A primera vista la gráfica parece ser razonable, pero si cambiamos el rectángulo de vista a los que aparecen en la Figura 15, las gráficas se verán muy diferentes. Algo extraño está pasando. 1.5
12 _10
_1.5 (a)
Selección de un rectángulo de vista
1.5
10 _9
_1.5 (b)
F I G U R A 1 5 Gráficas de f(x) ⫽ sen 50x en diferentes rectángulos de vista.
1.5
9 _6
_1.5 (c)
6
_1.5 (d)
394
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria 1.5
Para explicar las grandes diferencias en el aspecto de estas gráficas y hallar un rectángulo de vista apropiado, necesitamos hallar el período de la función y ⫽ sen 50x:
2p p 0.126 50 25 0.25 Esto sugiere que debemos trabajar con pequeños valores de x para mostrar sólo unas pocas oscilaciones de la gráfica. Si escogemos el rectángulo de vista 3⫺0.25, 0.254 por 3⫺1.5, 1.54, obtenemos la gráfica que se ilustra en la Figura 16. Ahora vemos lo que estaba mal en la Figura 15. Las oscilaciones de y ⫽ sen 50x son tan rápidas que cuando la calculadora localiza puntos y los enlaza, se pierden la mayor parte de los puntos máximo y mínimo y, por tanto, da una impresión engañosa de la gráfica. período
_0.25
_1.5
F I G U R A 1 6 f(x) ⫽ sen 50x
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 51 La función h del Ejemplo 7 es periódica con período 2p. En general, las funciones que son sumas de funciones de la siguiente lista son periódicas:
1, cos kx, cos 2kx, cos 3kx, . . . sen kx, sen 2kx, sen 3kx, . . . Aun cuando estas funciones parecen ser especiales (notables), son en realidad fundamentales para describir todas las funciones periódicas que surgen en la práctica. El matemático francés J. B. J. Fourier (vea página 501) descubrió que casi toda función periódica se puede escribir como una suma (por lo general una suma infinita) de estas funciones. Esto es notable porque significa que cualquier situación, en la que se presente una variación periódica, se puede describir matemáticamente usando las funciones seno y coseno. Una aplicación moderna del descubrimiento de Fourier es la codificación digital del sonido en discos compactos.
E J E M P LO 7
Q
Una suma de curvas seno y coseno
Grafique f1x2 2 cos x, g1x2 sen 2x, y h1x2 para ilustrar el método de adición gráfica.
2 cos x
sen 2x en una pantalla común
S O LU C I Ó N Observe que h ⫽ f ⫹ g, de modo que su gráfica se obtiene sumando las coordenadas y correspondientes de las gráficas de f y g. Las gráficas de f, g y h se muestran en la Figura 17. 3 y=2 ç x y=sen 2x y=2 ç x+sen 2x
7π 2
_ π2
_3
FIGURA 17
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 59
E J E M P LO 8
Q
Una curva coseno con amplitud variable
Grafique las funciones y ⫽ x2, y ⫽ ⫺x2 y y ⫽ x2 cos 6px en una pantalla común. Comente y explique sobre la relación entre las gráficas.
2
_1.5
1.5
S O LU C I Ó N La Figura 18 muestra las tres gráficas en el rectángulo de vista 3⫺1.5, 1.54 por 3⫺2, 24 . Parece que la gráfica de y ⫽ x2 cos 6p se encuentra entre las gráficas de las funciones y ⫽ x2 y y ⫽ ⫺x2. Para entender esto, recuerde que los valores de cos 6x están entre ⫺1 y 1, es decir,
⫺1 ≤ cos 6px ≤ 1 _2
FIGURA 18 y
x2 cos 6px
para todos los valores de x. Multiplicando las desigualdades por x2 y observando que x2 ≥ 0, obtenemos
x2
x 2 cos 6px
x2
Esto explica por qué las funciones y ⫽ x2 y y ⫽ ⫺x2 forman una frontera para la gráfica de y ⫽ x2 cos 6px. (Observe que las gráficas se tocan cuando 6px ⫽ ±1.2 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 63
Q
El Ejemplo 8 muestra que la función y ⫽ x2 controla la amplitud de la gráfica de y ⫽ x cos 6px. En general, si f 1x2 ⫽ a1x2 cos kx, la función a determina cómo varía la amplitud de f, y la gráfica de f está entre las gráficas de y ⫽ ⫺a1x2 y y ⫽ a1x2. A continuación veamos otro ejemplo. 2
S E C C I Ó N 5.3
Radio AM y FM Las transmisiones de radio están formadas por ondas de sonido sobrepuestas en una forma de onda electromagnética llamada señal portadora.
| Gráficas trigonométricas 395
Grafique la función f 1x2 ⫽ cos 2px cos 16px.
E J E M P LO 9
Curva coseno con amplitud variable
S O LU C I Ó N La gráfica aparece en la Figura 19. Aun cuando está trazada por una computadora, podríamos haberla hecho manualmente trazando primero las curvas de frontera y ⫽ cos 2px y y ⫽ ⫺cos 2px. La gráfica de f es una curva coseno que está entre las gráficas de estas dos funciones. y
Onda de sonido
y=ç 2πx
1
Señal portadora
0
Hay dos tipos de transmisión de radio, llamadas amplitud modulada (AM) y frecuencia modulada (FM). En emisoras de AM, la onda de sonido cambia, o modula, la amplitud de la portadora, pero la frecuencia permanece sin cambio.
_1
F I G U R A 1 9 f 1x 2
x
1 y=_ç 2πx cos 2px cos 16px
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 65
E J E M P LO 1 0
Q
Una curva seno con amplitud amortiguada
Señal de AM. En emisoras de FM, la onda de sonido modula la frecuencia, pero la amplitud permanece igual.
Señal de FM.
sen x es importante en cálculo. Grafique esta función y comente sobre x su comportamiento cuando x es cercana a 0.
La función f1x2
S O LU C I Ó N El rectángulo de vista 3⫺15, 154 por 3⫺0.5, 1.54 que se ilustra en la Figura 20(a) da una buena vista general de la gráfica de f. El rectángulo de vista 3⫺1, 14 por 3⫺0.5, 1.54 de la Figura 20(b) se enfoca en el comportamiento de f cuando x ≈ 0. Observe que aun cuando f 1x2 no está definida cuando x ⫽ 0 (en otras palabras, 0 no está en el dominio de f 2, los valores de f parecen aproximarse a 1 cuando x se acerca a 0. Este dato es crucial en cálculo. 1.5
1.5
_15
15
_1
_0.5 (a)
F I G U R A 2 0 f 1x 2
1 _0.5 (b)
sen x x
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 75
Q
La función del Ejemplo 10 se puede escribir como
f1x2
1 sen x x
y puede entonces verse como una función seno cuya amplitud está controlada por la función a1x2 ⫽ 1/x.
396
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria
5.3 EJERCICIOS CO N C E P TO S
3 cos p1x
39. y
1. Las funciones trigonométricas y ⫽ sen x y y ⫽ cos x tienen amplitud ____y período _____. Trace una gráfica de cada función en el intervalo 0 2p 0.
1
1
0
2π
0
sen 1p
41. y
3x2
1 22
a sen k1x
y
2π
o
b2
y
44.
4
y período _______.
3. f 1x 2
5. f 1x2
1
7. f 1x 2
cos x sen x
9. g1x 2
2
11. g1x 2
sen x
3 cos x
13. g1x 2
1 2
15. h1x 2
sen x
0 cos x 0
3
3 cos x
4. f 1x 2
y
45.
6. f 1x 2
8. f 1x 2
10. g1x 2
3
sen x
2
cos x 1
12. g1x 2 14. g1x 2
2 3
16. h1x 2
46.
0 sen x 0
4
17. y
21. y
18. y
cos 2x 3 sen 3x
0π _ 23
10 sen 12 x
22. y
5 cos 14 x
23. y
1 3
cos 13 x
24. y
25. y
2 sen 2px
26. y
27. y
1
1 2
cos px
28. y
4 sen 1 2x2
31. y 33. y 35. y 37. y
cos a x
p b 2
p b 6 p b 4 sen 2 a x 2 p 5 cos a 3x b 4 1 1 p cos a 2x b 2 2 3 2 sen a x
30. y 32. y 34. y 36. y 38. y
4π x
0 2π
y
48.
1 10
π
_3
2π 3
0 _ 21 y
49.
x
_ π4
x
π 4
y 5
50.
4
0
_ 101
cos 4px
29-42 Q Encuentre la amplitud, período y desfase de la función, y grafique un período completo.
29. y
x
y
3 sen px 2
y
1 2
cos 4x
x
3π 4
_3
47.
sen 2x 1 2
π 2
6
2 sen x
20. y
π 4
3
cos x
cos x
b2
y
_2
3 2
2 sen x
a cos k1x
y
0
_4
17-28 Q Encuentre la amplitud y período de la función, y trace su gráfica.
19. y
2π x
π
0
HABILIDADES Grafique la función.
xb
p 2
2
2. La función trigonométrica y ⫽ 3 sen 2x tiene amplitud______
Q
cos a
42. y
12
43-50 Q Nos dan la gráfica de un período completo de una curva seno o coseno. (a) Encuentre la amplitud, período y desfase. (b) Escriba una ecuación que represente la curva en la forma
43.
3-16
2 sen 3 1x
3
40. y
2 sen a x
p b 3 p 3 cos a x b 4 1 p b sen a x 2 4 2 p 2 sen a x b 3 6 p 1 cos a 3x b 2
1
_2
1 2
0
1
_4
x
_ 41
0
1 4
3 4
x
_5
51-58 Q Determine un rectángulo de vista apropiado para cada función, y úselo para trazar la gráfica.
51. f 1x 2 53. f 1x2
sen 1x/40 2 cos 100x
55. y
tan 25x
57. y
2
sen 20x
52. f 1x2 54. f 1x 2 56. y
58. y
3 sen 120x cos1x/802 csc 40x
1tan 10px
S E C C I Ó N 5.3 59-60 Q Grafique f, g y f ⫹ g en una pantalla común para ilustrar la adición gráfica.
59. f 1x 2 60. f 1x 2
g1x 2
sen x, g1x 2 x,
sen x
(a) Encuentre el período de la ola. (b) Encuentre la altura de la ola, es decir, la distancia vertical entre el valle y la cresta de la ola.
sen 2x cresta
61-66 Q Grafique las tres funciones en una pantalla común. ¿Cómo están relacionadas las gráficas?
61. y
x 2,
62. y
x, y
1x,
63. y
x 2,
y
x,
y
1
64. y
,
y
65. y
cos 3px,
y
66. y
sen 2px, y
67-70
1
x
x 2 sen x
y y
1x,
x cos x
1x sen 5px
y 1
1
valle
x
2
,
cos 3px,
y y
sen 2px, y
cos 2px 1 x2 cos 3px cos 21px sen 2px sen 10px
Encuentre los valores máximo y mínimo de la función.
Q
67. y
sen x
68. y
x
69. y
2
sen 2x
2 sen x, 0
70. y
2
x
2p
2
2 sen x
sen x
cos x sen x
71-74 Q Encuentre todas las soluciones de la ecuación que estén sobre el intervalo 30, p4 . Exprese cada respuesta redondeada a dos lugares decimales.
71. cos x
0.4
72. tan x
2
73. csc x
3
74. cos x
x
75. f 1x 2 76. f 1x 2
78. Vibraciones de sonido Se pulsa un diapasón, produciendo un tono puro cuando vibran sus puntas. Las vibraciones son modeladas por la función
cos x x
sen 4x 2x
donde √1t2 es el desplazamiento de las puntas en milímetros en el tiempo t segundos. (a) Encuentre el período de la vibración. (b) Encuentre la frecuencia de la vibración, es decir, el número de veces que la punta vibra por segundo. (c) Grafique la función √. 79. Presión sanguínea Cada vez que pulsa nuestro corazón, la presión sanguínea primero aumenta y después disminuye a medida que el corazón descansa entre una pulsación y otra. Las presiones sanguíneas máxima y mínima reciben el nombre de presiones sistólica y diastólica, respectivamente. Las lecturas de presión sanguínea se escriben como sistólica/diastólica. Una lectura de 120/80 se considera normal. La presión sanguínea de cierta persona está modelada por la función
77. Altura de una ola Cuando pasa una ola por un rompeolas de pilotes, la altura del agua está modelada por la función
h1t2
3 cos a
p tb 10
donde h1t2 es la altura en pies sobre el nivel medio del mar en el tiempo t segundos.
25 sen 1160pt2
donde p1t2 es la presión en mmHg (milímetros de mercurio), en el tiempo t medida en minutos. (a) Encuentre el período de p. (b) Encuentre el número de pulsaciones por minuto. (c) Grafique la función p. (d) Encuentre la lectura de presión sanguínea. ¿Cómo se compara esto contra la presión sanguínea normal?
115
80. Estrellas variables Las estrellas variables son aquellas cuyo brillo varía periódicamente. Una de las más visibles es R Leonis; su brillo está modelada por la función
b1t2
A P L I C AC I O N E S
0.7 sen 1880pt2
√1t2
p1t2
75-76 Q Nos dan una función f. (a) ¿f es par, impar o ninguna de éstas? (b) Encuentre los puntos de intersección x de la gráfica de f. (c) Grafique f en un rectángulo de vista apropiado. (d) Describa el comportamiento de la función a medida que x → ± q. (e) Observe que f 1x2 no está definida cuando x ⫽ 0. ¿Qué ocurre cuando x se aproxima a 0?
1
| Gráficas trigonométricas 397
7.9
2.1 cos a
p tb 156
donde t se mide en días. (a) Encuentre el período de R Leonis. (b) Encuentre el brillo máximo y mínimo. (c) Grafique la función b.
398
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria
C A P Í T U LO 5
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
81. Composiciones que contienen funciones trigonométricas Este ejercicio explora el efecto de la función interior g en una función compuesta y ⫽ f 1g1x22. (a) Grafique la función y ⫽ sen1x usando el rectángulo de vista 30, 4004 por 3⫺1.5, 1.54 . ¿En qué formas difiere esta gráfica de la gráfica de la función seno? (b) Grafique la función y ⫽ sen1x22 usando el rectángulo de vista 3⫺5, 54 por 3⫺1.5, 1.54 . ¿En qué formas difiere esta gráfica de la gráfica de la función seno?
82. Funciones periódicas I Recuerde que una función f es periódica si hay un número positivo p tal que f 1t ⫹ p2 ⫽ f 1t2 para toda t, y la más pequeña p (si existe) es el período de f. La gráfica de una función de período p se ve igual en cada intervalo de longitud p, de modo que podemos fácilmente determinar el período a partir de la gráfica. Determine si la función cuya gráfica se muestra es periódica; si es periódica, encuentre el período. (a)
y
_4
(b)
_2
2
83. Funciones periódicas II Use calculadora graficadora para graficar las siguientes funciones. De la gráfica, determine si la función es periódica; si es periódica, encuentre el período. (Vea página 156 para la definición deࠢxࠣ .)
0 sen x 0
(c) y
sen 0 x 0
(d) y
x
(a) y (b) y
(e) y (f) y
2cos x
cos1sen x 2 “x‘
cos1x 2 2
84. Curvas sinusoidales La gráfica de y ⫽ sen x es la misma que la gráfica de y ⫽ cos x desplazada a la derecha p/2 unidades. Entonces, la curva seno y ⫽ sen x es también al mismo tiempo una curva coseno: y ⫽ cos1x ⫺ p/22. De hecho, cualquier curva seno es también una curva coseno con un desfase diferente, y cualquier curva coseno también es una curva seno. Las curvas seno y coseno se conocen en forma colectiva como sinusoidales. Para la curva cuya gráfica se muestra, encuentre todas las formas posibles de expresarla como curva seno y ⫽ a sen1x ⫺ b2 o como curva coseno y ⫽ a cos1x ⫺ b2. Explique por qué piensa usted que ha encontrado todas las opciones posibles para a y b en cada caso.
x
4
y 5
y _π 2
4
6
8
x
10
_
3π 2
π
_2
0
π 2
π
3π 2
2π
5π 2
x
_5
(c)
y
_4
_2
(d)
2
x
4
P
y
_4
_2
2
4
6
8
x
PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO
Modelos depredador/presa
En este proyecto exploramos el uso de funciones sinusoidales al modelar la población de un depredador y su presa. Se puede hallar el proyecto en el sitio web acompañante de este libro: www.stewartmath.com
S E C C I Ó N 5.4
| Más gráficas trigonométricas 399
5.4 M ÁS GRÁFICAS TRIGONOMÉTRICAS Gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante 䉴 Gráficas de transformaciones de las funciones tangente y cotangente 䉴 Gráficas de transformaciones de las funciones cosecante y secante En esta sección graficamos las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante, y transformaciones de estas funciones.
W Gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante Empezamos por expresar las propiedades periódicas de estas funciones. Recuerde que las funciones seno y coseno tienen período 2p. Como las funciones cosecante y secante son las recíprocas de las funciones seno y coseno, respectivamente, también tienen período 2p (vea Ejercicio 55). Las funciones tangente y cotangente, sin embargo, tienen período p (vea Ejercicio 85 de la Sección 5.2).
PROPIEDADES PERIÓDICAS Las funciones tangente y cotangente tienen período p: tan1x
tan x
p2
cot1x
cot x
p2
Las funciones cosecante y secante tienen período 2p: csc1x x 0
/6 /4 /3 1.4 1.5 1.55 1.57 1.5707
tan x 0 0.58 1.00 1.73 5.80 14.10 48.08 1,255.77 10,381.33
2p2
csc x
sec1x
2p2
sec x
Primero trazamos la gráfica de la función tangente. Como tiene período p, necesitamos sólo trazar la gráfica sobre cualquier intervalo de longitud p y luego repetir la configuración a izquierda y derecha. Trazamos la gráfica sobre el intervalo 1⫺p/2, p/2). Como tan1p/22 y tan1⫺p/22 no están definidas, es necesario tener cuidado trazar la gráfica en los puntos cercanos a p/2 y ⫺p/2. A medida que x se acerca a p/2 por medio de valores menores a p/2, el valor de tan x se hace grande. Para ver esto, observe que cuando x se acerca a p/2, cos x se aproxima a 0 y sen x se aproxima a 1 y, por lo tanto, tan x ⫽ sen x/cos x es grande. Al margen se muestra una tabla de valores de tan x para x cercana a p/2 1≈ 1.5707962. Entonces, al escoger x cercana lo suficiente a p/2 hasta valores menores a p/2, podemos hacer el valor de tan x mayor a cualquier número positivo dado. Expresamos esto escribiendo
tan x
q
cuando
x
p 2
Esto se lee “tan x se aproxima al infinito cuando x se aproxima a p/2 por la izquierda”. Análogamente, al escoger x cercana a ⫺p/2 hasta valores mayores a ⫺p/2, podemos hacer tan x más pequeña que cualquier número negativo dado. Escribimos esto como La notación de flecha se estudia en la Sección 3.7.
Las asíntotas se estudian en la Sección 3.7.
tan x
q
cuando
x
p 2
Esto se lee “tan x se aproxima al infinito negativo cuando x se aproxima a ⫺p/2 por la derecha”. Entonces, la gráfica de y ⫽ tan x se aproxima a las rectas verticales x ⫽ p/2 y x ⫽ ⫺p/2. Por lo tanto, estas rectas son asíntotas verticales. Con la información que tenemos hasta ahora, trazamos la gráfica de y ⫽ tan x para ⫺p/2 < x < p/2 en la Figura 1. La gráfica
400
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria completa de tangente (vea Figura 5(a) en la página siguiente) se obtiene ahora usando el dato de que la tangente es periódica con período p. y
y
1
1
Asíntota vertical
0
π
_2
L A S M AT E M Á T I C A S E N EL MUNDO MODERNO Evaluación de funciones en una calculadora
¿En qué forma su calculadora evalúa sen t, cos t, et, ln t, 1t y otras funciones como éstas? Un método es aproximar estas funciones por medio de polinomiales, porque las polinomiales son fáciles de evaluar. Por ejemplo,
sen t
t
t3 3! 2
cos t
t 2!
1
t5 5!
t7 7!
4
6
t 4!
...
donde n! ⫽ 1⭈ 2 ⭈ 3 ⭈⋅⋅⋅⭈n. Estas notables fórmulas fueron encontradas por el matemático inglés Brook Taylor (1685-1731). Por ejemplo, si usamos los primeros tres términos de la serie de Taylor para hallar cos(0.4), obtenemos
cos 0.4
1
2!
10.4 2 4 4!
0.92106667 (Compare esto con el valor que usted obtiene en su calculadora.) La gráfica muestra que cuantos más términos de la serie utilicemos, las polinomiales se aproximan más cercanamente a la función cos t.
y
x
π 2
1.4
0
π π π 6 4 3
π
π 2
x
0.14
Asíntota vertical
FIGURA 1
FIGURA 2
Un período de y ⫽ tan x
Un período de y ⫽ cot x
La función y ⫽ cot x está graficada sobre el intervalo 10, p2 por un análisis similar (vea Figura 2). Como cot x no está definida para x ⫽ np con n un entero, su gráfica completa (en la Figura 5(b) en la página siguiente) tiene asíntotas verticales en estos valores. Para graficar las funciones cosecante y secante, usamos las identidades recíprocas
1 sen x
csc x
y
1 cos x
sec x
...
t 6!
10.4 2 2
π π π 6 4 3
2π 3π 5π 3 4 6 3
4 2 y=1– t + t 2! 4!
Por lo tanto, para graficar y ⫽ csc x, tomamos las recíprocas de las coordenadas y de los puntos de la gráfica de y ⫽ sen x. (Vea Figura 3.) Análogamente, para graficar y ⫽ sec x, tomamos las recíprocas de las coordenadas y de los puntos de la gráfica de y ⫽ cos x. (Vea Figura 4.) y
y
1 0
y=sen x
y=ç x
π 2
π
1
3π 2
2π
x
3π 2 π 2
0
π
FIGURA 3
FIGURA 4
Un período de y ⫽ sec x
Un período de y ⫽ csc x
2π x
Consideremos más cercanamente la gráfica de la función y ⫽ csc x en el intervalo 0 < x < p. Necesitamos examinar los valores de la función cerca de 0 y p, porque en estos valores sen x ⫽ 0 y csc x está así indefinido. Vemos que
2
_5 2 y=1– t 2!
0 _1
5
t
y = cos t
csc x
q
cuando
x
0
csc x
q
cuando
x
p
Por lo tanto, las rectas x ⫽ 0 y x ⫽ p son asíntotas verticales. Sobre el intervalo p < x < 2p la gráfica se traza en la misma forma. Los valores de csc x sobre ese intervalo son los mismos que los del intervalo 0 < x < p excepto por el signo (vea Figura 3). La gráfica completa de la Figura 5(c) se obtiene ahora del hecho de que la función cosecante es perió-
S E C C I Ó N 5.4
| Más gráficas trigonométricas 401
dica con período 2p. Observe que la gráfica tiene asíntotas verticales en los puntos donde sen x ⫽ 0, es decir, en x ⫽ np, para n un entero.
_
3π 2
y
y
1
1
_π _ π 2
0
π 2
π
3π 2
x
_
3π 2
_π _ π 2
(a) y=† x
π
_
3π 2
_π
π
3π 2
x
π
3π 2
x
y
1 0
π 2
(b) y=ˇ x
y
_2
0
3π 2 π 2
π
x
_
3π 2
0 _π _ π 2 _1
(c) y= x
π 2
(d) y=˚ x
FIGURA 5
y=† x
y 2 _π _
3π 2
0π
π
π 4 2
_2
π
3π 2
x
_2
W Gráficas de transformaciones de las funciones tangente y cotangente
(a) y=2 † x y
A continuación consideramos gráficas de transformaciones de las funciones tangente y cotangente.
y=† x
E J E M P LO 1
3π 2
_π _ π 2
0
π 2
(b) y=_† x
FIGURA 6
Graficar curvas tangentes
Grafique cada una de las funciones siguientes. (a) y 2 tan x (b) y tan x
1 _
La gráfica de y ⫽ sec x se traza de un modo semejante. Observe que el dominio de sec x es el conjunto de todos los números reales que no sean x ⫽ 1p/22 ⫹ np, para n un entero, de modo que la gráfica tiene asíntotas verticales en esos puntos. La gráfica completa se muestra en la Figura 5(d). Es evidente que las gráficas de y ⫽ tan x, y ⫽ cot x, y y ⫽ csc x son simétricas respecto del origen, mientras que la de y ⫽ sec x es simétrica respecto del eje y. Esto es porque las funciones tangente, cotangente y cosecante son funciones impares, mientras que la función secante es una función par.
π
3π 2
x
S O LU C I Ó N
Primero graficamos y ⫽ tan x y luego la transformamos según sea necesario.
(a) Para graficar y ⫽ 2 tan x, multiplicamos la coordenada y de cada punto en la gráfica de y ⫽ tan x por 2. La gráfica resultante se muestra en la Figura 6(a). (b) La gráfica de y ⫽ ⫺tan x en la Figura 6(b) se obtiene de la de y ⫽ tan x por reflexión en el eje x.
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 9 Y 11
Q
402
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria 1k
Como las funciones tangente y cotangente tienen período p, las funciones
a tan kx
y
y
a cot kx
y
02
completan un período cuando kx varía de 0 a p, es decir, para 0 ≤ kx ≤ p. Resolviendo esta desigualdad, obtenemos 0 ≤ x ≤ p/k. Por lo tanto, cada una de ellas tiene período p/k.
CURVAS TANGENTE Y COTANGENTE 1k
Las funciones y
a tan kx
y
y
a cot kx
tienen período p/k.
02
Por lo tanto, un período completo de las gráficas de estas funciones se presentan sobre cualquier intervalo de longitud p/k. Para trazar un período completo de estas gráficas, es conveniente seleccionar un intervalo entre asíntotas verticales: Para graficar un período de y ⫽ a tan kx, un intervalo apropiado es a
p p , b. 2k 2k
Para graficar un período de y ⫽ a cot kx, un intervalo apropiado es a 0,
E J E M P LO 2
p b. k
Graficar curvas tangentes
Grafique cada una de las funciones siguientes. p (a) y tan 2x (b) y tan 2 a x b 4
(a) El período es p/2 y un intervalo apropiado es 1⫺p/4, p/42. Los puntos extremos x ⫽ ⫺p/4 y x ⫽ p/4 son asíntotas verticales. De esta manera, graficamos un período completo de la función en 1⫺p/4, p/42. La gráfica tiene la misma forma que la de la función tangente, pero está contraída horizontalmente en un factor de 12. A continuación repetimos esa porción de la gráfica a la izquierda y a la derecha. Vea Figura 7(a). (b) La gráfica es la misma que la del inciso (a), pero está desplazada a la derecha p/4, como se ve en la Figura 7(b). S O LU C I Ó N
Como y ⫽ tan x completa un período p p entre x 2 y x 2 , la función p y tan 21x 4 2 completa un período cuando 21x p4 2 varía de p2 a p2 . Inicio de período: Fin de período p 42 p 4
Inicio de período:
21x x
x
p 2 p 4
0
p 42 p 4
y
y
Fin de período
21x x
x
p 2 p 4 p 2
Entonces graficamos un período sobre el intervalo 10, p2 2 .
1
π
_2 _
3π 4
π
_4
1
π
_4 π π 8 4
(a) y=† 2x
π 2
3π 4
x
0
π
_2
π 4
π 2
3π 4
π
x
π
(b) y=† 2!x- 4 @
FIGURA 7
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 27 Y 39
Q
S E C C I Ó N 5.4
E J E M P LO 3 Grafique y S O LU C I Ó N
Como y ⫽ cot x completa un período entre x ⫽ 0 y x ⫽ p, la función y 2 cot13x p2 2 completa un período cuando 3x p2 varía de 0 a p.
Inicio de período:
3x
p 2
0
3x
p 2 p 6
x
Fin de período
3x
p 2
p
3x
3p 2 p 2
x
Entonces graficamos un período sobre el intervalo 1 p6 , p2 2 .
Un desplazamiento de una curva cotangente
2 cot a 3x
expresión 3x
| Más gráficas trigonométricas 403
p b. 2
Primero ponemos esto en la forma y ⫽ a cot k1x ⫺ b2 al factorizar 3 de la p : 2 p p y 2 cot a 3x b 2 cot 3 a x b 2 6
Así, la gráfica es la misma que la de y ⫽ 2 cot 3x pero está desplazada a la derecha p/6. El período de y ⫽ 2 cot 3x es p/3, y un intervalo apropiado es 10, p/32. Para obtener el intervalo correspondiente para la gráfica deseada, desplazamos este intervalo a la derecha p/6. Esto da p p p p p a0 , b a , b 6 3 6 6 2 Finalmente, graficamos un período en la forma de cotangente sobre el intervalo 1p/6, p/22 y repetimos la parte de la gráfica a la izquierda y a la derecha. (Vea Figura 8.) y
π
π
0
π
_2 _3 _6 2 cot a 3x
FIGURA 8 y
π 6
π 3
π 2π 2 3
5π 6
x
p b 2
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 43
Q
W Gráficas de transformaciones de las funciones cosecante y secante Ya hemos observado que las funciones cosecante y secante son las recíprocas de las funciones seno y coseno. Entonces, el siguiente resultado es similar del resultado para curvas seno y coseno en la Sección 5.3.
CURVAS COSECANTE Y SECANTE Las funciones y
a csc kx
y
y
a sec kx
tienen período 2p/k.
1k
02
Un intervalo apropiado sobre el cual graficar un período completo es 30, 2p/k4 .
E J E M P LO 4
Graficar curvas cosecantes
Grafique cada una de las funciones siguientes. 1 1 p (a) y csc 2x (b) y csc a 2x b 2 2 2
404
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria (a) El período es 2p/2 ⫽ p. Un intervalo apropiado es 30, p4 y las asíntotas se presentan sobre este intervalo siempre que sen 2p ⫽ 0. Entonces las asíntotas sobre este intervalo son x ⫽ 0, x ⫽ p/2 y x ⫽ p. Con esta información trazamos sobre el intervalo 30, p4 una gráfica con la misma forma general que la de un período de la función cosecante. La gráfica completa de la Figura 9(a) se obtiene al repetir esta parte de la gráfica a la izquierda y a la derecha. (b) Primero escribimos S O LU C I Ó N
Como y ⫽ csc x completa un período entre x ⫽ 0 y x ⫽ 2p, la función y 12 csc12x p2 2 completa un período cuando 2x p2 varía de 0 a 2p.
Inicio de período:
2x
p 2
2x x
0
Fin de período:
2x p 2 p 4
p 2
2x x
1 csc a 2x 2
y
p b 2
1 csc 2 a x 2
p b 4
De esto vemos que la gráfica es la misma que la del inciso (a) pero desplazada a la izquierda p/4. La gráfica se ilustra en la figura 9(b).
2p 3p 2 3p 4
y
Entonces graficamos un período sobre el intervalo 1 p4 , 3p 4 2.
_π
y
π
3π 4
_4
1 2 π
π
π 2
_2
3π 2
2π
x
_
1
3π 4
π 4
5π 4
x
π
1
(a) y= 2 2x
7π 4
(b) y= 2 !2x+ 2 @
FIGURA 9
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 33 Y 45
E J E M P LO 5
Q
Graficar una curva secante
S O LU C I Ó N El período es 2p 12 4p. Un intervalo apropiado es 30, 4p4 y las asíntotas se presentan sobre este intervalo en donde cos 21 x 0. Entonces, las asíntotas sobre este intervalo son x ⫽ p, x ⫽ 3p. Con esta información trazamos sobre el intervalo 30, 4p4 una gráfica con la misma forma general que la de un período de la función secante. La gráfica completa de la Figura 10 se obtiene al repetir esta parte de la gráfica a la izquierda y a la derecha.
Grafique y
3 sec 12 x.
y
3 _2π
0
π 2π
4π
x
FIGURA 10
y
3 sec 12 x
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 31
Q
S E C C I Ó N 5.4
| Más gráficas trigonométricas 405
5.4 EJERCICIOS CO N C E P TO S
17. y
1. La función trigonométrica y ⫽ tan x tiene período ________
y asíntotas x ⫽ ________. Trace una gráfica de esta función sobre el intervalo 1⫺p/2, p/22.
19. y 21. y
2. La función trigonométrica y ⫽ csc x tiene período ________
y asíntotas x ⫽ ____. Trace una gráfica de esta función sobre el intervalo 1⫺p, p2.
HABILIDADES
8. f 1x 2
2 sec x
y
I
25. y 27. y
3-8 Q Relacione la función trigonométrica con una de las gráficas I-VI. p tan a x b sec 2x 3. f 1x 2 4. f 1x2 4 cot 2x tan x 5. f 1x2 6. f 1x 2
7. f 1x2
23. y
1
1
0
π _2
x
π
π 4
x
3π 5π 4 4
y
IV
π0 π 4
x
3π 4
_4
0
π
_2
π
π 2
_2
3π 2
x
y
VI
2 π
_2
π 2
π
3π 2
x
0
π
_4
p b 6
26. y 28. y
36. y
37. y
3p 5 csc x 2
38. y
43. y
51. y
tan 2 a x tan 21x
cot a 2x
30. y 32. y
40. y
p b 2
44. y
42. y
p2
2 csc a px 5 sec a 3x 2 tan a x 3
p b 2
3 sec p a x
p b 3
46. y
p b 2
48. y
p b 6
2 tan a 2x
1 b 2
50. y
p b 3
52. y 54. y
3 sec x
tan a x
sec a x
2 csc a x
3 csc a x
tan 12 x p cot x 2 5 csc 3x
p b 4
p b 4
p b 3
p b 2
csc 12 x p 2 tan x 2 5 sec 2px
csc 2 a x
sec 2 a x 1 2
tan1px
1 2
sec12px
1 2 sec a x 2 1 tan a x 2
sec a 3x
2 csc13x
p b 2 p b 2
p2
p b 3
p2
p b 4
p b 2 32
55. (a) Demuestre que si f es periódica con período p, entonces 1/f también es periódica con período p. (b) Demuestre que las funciones cosecante y secante tienen cada una un período 2p.
1 0
1 sec a x 2
2 tan 3px
53. y V
24. y
22. y
35. y
49. y
1
p b 4
p b 2
34. y
47. y
2
cot a x
csc a x
csc 4x
45. y III
20. y
31. y
41. y
π _4
tan a x
33. y
29. y
39. y 1
18. y
p b 2
tan 4x p tan x 4 sec 2x
csc x
II
3 sec x
π 4
x
56. Demuestre que si f y g son periódicas con período p, entonces f/g es también periódica, pero su período podría ser menor que p.
A P L I C AC I O N E S 9-54
9. y
Q
Encuentre el período y grafique la función.
4 tan x
11. y
1 2
13. y
cot x
15. y
tan x
2 csc x
4 tan x
10. y
12. y
1 2
14. y
2 cot x
16. y
1 2
tan x
csc x
57. Faro El haz luminoso de un faro completa una rotación cada dos minutos. En el tiempo t, la distancia d mostrada en la figura de la página siguiente es
d1t2 ⫽ 3 tan pt
donde t se mide en minutos y d en millas. (a) Encuentre d10.15), d10.25) y d10.45).
406
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria (d) Explique lo que ocurre a la sombra a medida que el tiempo se aproxima a las 6 p.m. (es decir, cuando t → 12⫺).
(b) Trace una gráfica de la función d para 0 t 12 . (c) ¿Qué ocurre a la distancia d cuando t se aproxima a 21 ?
d 3 mi 6 pies S 58. Longitud de una sombra En un día cuando el Sol pasa directamente encima al mediodía, un hombre de seis pies de estatura proyecta una sombra de longitud
S1t2
p 6 ` cot t` 12
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
REDACCIÓN
Q
59. Fórmulas de reducción Use las gráficas de la Figura 5 para explicar por qué son verdaderas las siguientes fórmulas.
tan a x
donde S se mide en pies y t es el número de horas desde las 6 a.m. (a) Encuentre la longitud de la sombra a las 8:00 a.m., al mediodía, a las 2:00 p.m. y a las 5:45 p.m. (b) Trace una gráfica de la función S para 0 < t < 12. (c) De la gráfica determine los valores de t en los que la longitud de la sombra es igual a la estatura del hombre. ¿A qué hora corresponden cada uno de estos valores?
sec a x
p b 2
p b 2
cot x csc x
5.5 F UNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Y SUS GRÁFICAS La función seno inverso 䉴 La función coseno inverso 䉴 La función tangente inversa 䉴 Las funciones secante, cosecante y cotangente inversas En las Secciones 6.4-6.6 estudiamos aplicaciones de funciones trigonométricas inversas a triángulos.
Recuerde de la Sección 2.7 que la inversa de una función f es una función f⫺1 que invierte la regla de f. Para que una función tenga una inversa, debe ser biunívoca. Como las funciones trigonométricas no son biunívocas, no tienen inversas pero es posible restringir los dominios de funciones trigonométricas en forma tal que las funciones resultantes sean biunívocas.
W La función seno inverso Consideremos la función seno en primer término. Hay numerosas formas de restringir el dominio del seno de manera que la nueva función sea biunívoca. Una forma natural de hacer esto es restringir el dominio al intervalo 3⫺p/2, p/24 . La razón para esta opción es que el seno es biunívoco sobre este intervalo y además alcanza cada uno de los valores en su rango sobre este intervalo. De la Figura 1 vemos que el seno es biunívoco sobre este dominio restringido (por la Prueba de la Recta Horizontal) y por lo tanto tiene una inversa. y
y
1 _2π
F I G U R A 1 Gráficas de la función seno y la función seno restringida
_π
_ π2 0 _1
y=sen x
π
2π x
1 0
π 2
x
y=sen x, _ π2 ≤x≤ π2
S E C C I Ó N 5.5 y
_1
Ahora podemos definir una función seno inversa sobre este dominio restringido. La gráfica de sen⫺1 x se muestra en la Figura 2; se obtiene reflejando la gráfica de y ⫽ sen x, ⫺p/2 ≤ x ≤ p/2, en la recta y ⫽ x.
y=sen–¡x
π 2
0
1
| Funciones trigonométricas inversas y sus gráficas 407
x con dominio sobre 3 1, 1 4 y rango
DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN SENO INVERSO x
_ π2
F I G U R A 2 Gráfica de y ⫽ sen⫺1 x
La función seno inverso es la función sen 3 p/2, p/2 4 definida por
sen 1 x
1
3
y
sen y
x
La función seno inverso también se denomina arcoseno, denotada por arcsen x.
Así, y ⫽ sen⫺1 x es el número sobre el intervalo 3⫺p/2, p/24 cuyo seno es x. En otras palabras, sen1sen⫺1 x2 ⫽ x. Realmente, de las propiedades generales de funciones inversas estudiadas en la Sección 2.7, tenemos las siguientes propiedades de cancelación. sen 1sen x 2
sen1sen
1
x2
1
E J E M P LO 1
1
para
x
para
x
1
x p 2
x
p 2
Evaluación de la función seno inverso
Encuentre cada uno de los valores siguientes.
(a) sen
1
(b) sen 1 a
1 2
1 b 2
(c) sen
1
3 2
(a) El número en el intervalo 3⫺p/2, p/24 cuyo seno es 21 es p/6 . Así, sen⫺1 12 es p/6. (b) El número en el intervalo 3⫺p/2, p/24 cuyo seno es 12 es p/6 . Así, sen 1 1 12 2 p/6. 3 (c) Como 2 1, no está en el dominio de sen⫺1 x, de modo que sen 1 32 no está definido. S O LU C I Ó N
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 3
Q
Encuentre valores aproximados para (a) sen⫺110.822 y (b) sen
E J E M P LO 2
Uso de calculadora para evaluar seno inverso 11 3.
S O LU C I Ó N Usamos calculadora para aproximar estos valores. Usando la(s) tecla(s) SIN INV SIN o ARC SIN de una calculadora (puesta en el modo de radianes), obtenemos
(a) sen 1 10.822
0.96141
(b) sen
11 3
1
o
0.33984
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 11 Y 21
Q
Cuando evalúe expresiones que contengan sen⫺1 x, necesitamos recordar que el rango de sen⫺1 x es el intervalo 3⫺p/2, p/24.
E J E M P LO 3
Evaluación de expresiones con seno inverso
Encuentre cada uno de los valores siguientes. (a) sen
1
asen
p b 3
(b) sen
1
asen
2p b 3
408
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria (a) Como p/3 está en el intervalo 3⫺p/2, p/24 , podemos usar las propiedades de cancelación de funciones inversas, ya citadas líneas antes. S O LU C I Ó N
sen
1
a sen
p b 3
p 3
Propiedad de cancelación:
p 2
p 3
p 3
23 2
p 2
(b) Primero evaluamos la expresión de los paréntesis:
sen
Nota: sen (sen x) ⫽ x sólo si ⫺1
p 2
x
p 2.
1
a sen
2p b 3
sen 1 a p 3
23 b 2
Evalúe
Porque sen
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 31 Y 33
Q
Si el dominio de la función coseno se restringe al intervalo 30, p4, la función resultante es biunívoca y tiene una inversa. Escogemos este intervalo porque, en él, el coseno alcanza cada uno de sus valores exactamente una vez (vea Figura 3).
W La función coseno inverso
_2π
_π
F I G U R A 3 Gráficas de la función
y
y
1
1 0
π
_1
2π
0 _1
x
x
y=ç x, 0≤x≤π
y=ç x
coseno y la función coseno restringida
π
x con dominio 3 1, 1 4 rango
DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN COSENO INVERSA La función coseno inversa es la función cos 3 0, p 4 definida por 1
cos
y
cos y
x
Así, y ⫽ cos⫺1 x es el número en el intervalo 30, p4 cuyo coseno es x. Las siguientes propiedades de cancelación se siguen de las propiedades de función inversas.
y=cos–¡x π 2
cos 1cos x2 cos1cos 1
0
3
y
La función coseno inverso también se llama arcocoseno, denotada por arccos x.
π
_1
x
1
1
x
F I G U R A 4 Gráfica de y ⫽ cos⫺1 x
1
x2
1
x
por
x
por 0
1
x x
p
La gráfica de y ⫽ cos⫺1 x se muestra en la Figura 4; se obtiene al reflejar la gráfica de y ⫽ cos x, 0 ≤ x ≤ p, en la recta y ⫽ x.
E J E M P LO 4
Evaluación de la función coseno inversa
Encuentre cada uno de los valores siguientes.
(a) cos
1
23 2
(b) cos
1
0
(c) cos
1
5 7
S E C C I Ó N 5.5
| Funciones trigonométricas inversas y sus gráficas 409
(a) El número en el intervalo 30, p4 cuyo coseno es 23/2 es p/6. Así, cos 1 1 23/22 p/6. (b) El número en el intervalo 30, p4 cuyo coseno es 0 es p/2. Así, cos⫺10 ⫽ p/2. (c) Como no hay múltiplo racional de p cuyo coseno es 75 , usamos una calculadora (en modo de radianes) para hallar este valor aproximadamente: S O LU C I Ó N
cos
5 7
1
0.77519
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 5 Y 13
E J E M P LO 5
Q
Evaluación de expresiones con coseno inverso
Encuentre cada uno de los valores siguientes. (a) cos
1
a cos
2p b 3
(b) cos
1
a cos
5p b. 3
(a) Como 2p/3 está en el intervalo 30, p4 podemos usar las propiedades de cancelación ya citadas líneas antes: S O LU C I Ó N
cos
1
a cos
2p b 3
2p 3
Propiedad de cancelación: 0
2p 3
p
(b) Primero evaluamos la expresión en paréntesis:
cos Nota: cos⫺1(cos x) ⫽ x sólo si 0 ≤ x ≤ p.
1
a cos
5p b 3
cos 1 A 21 B
Evalúe
p 3
Porque cos
p 3
1 2
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 29 Y 35
Q
Restringimos el dominio de la función tangente al intervalo 1⫺p/2, p/22 para obtener una función biunívoca.
W La función tangente inversa
DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN TANGENTE INVERSA La función tangente inversa es la función tan 1 p/2, p/2 2 definida por
tan
1
x
y
3
1
x con dominio
tan y
y rango
x
La función tangente inversa también se llama arcotangente, denotada por arctan.
Así, y ⫽ tan⫺1 x es el número en el intervalo 1⫺p/2, p/22 cuya tangente es x. Las siguientes propiedades de cancelación se siguen de propiedades de la función inversa. tan1tan
tan 1 1tan x2
1
x2
x para x
x para
p 2
x
p 2
410
C A P Í T U LO 5
| Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria
La Figura 5 muestra la gráfica de y ⫽ tan x en un intervalo 1⫺p/2, p/22 y la gráfica de su función inversa, y ⫽ tan⫺1 x. y
3π 2
π
_2
F I G U R A 5 Gráficas de la función tangente restringida y la función tangente inversa
π 2
1
_π _
y
_1 0
π 2
π
π
3π 2
x
π
y=† x, _ 2 0 y u es agudo, las fórmulas se cumplen para cualquier ángulo u y para cualquier valor de r.)
P(r, ¨) P(x, y) y x
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES 1. Para cambiar de coordenadas polares a rectangulares, use las fórmulas
x
r cos u
y
y
r sen u
2. Para cambiar de coordenadas rectangulares a polares, use las fórmulas
r2
x2
y2
y
tan u
y x
1x
02
544
| Coordenadas polares y ecuaciones paramétricas
C A P Í T U LO 8
E J E M P LO 3
Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares
Encuentre coordenadas rectangulares para el punto que tiene coordenadas polares 14, 2p/32. Como r ⫽ 4 y u ⫽ 2p/3, tenemos
S O LU C I Ó N
x
r cos u
4 cos
2p 3
y
r sen u
4 sen
2p 3
4# a
4#
13 2
1 b 2
2 2 13
Entonces el punto tiene coordenadas rectangulares 1 2, 2 132. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 27
E J E M P LO 4
y
Usando x ⫽ 2, y ⫽ ⫺2, tenemos
S O LU C I Ó N π
_4
x (2, _2)
π !2 œ∑2, _ 4 @ 3π !_2 œ∑ 2, 4 @
FIGURA 7
Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares
Encuentre coordenadas polares para el punto que tiene coordenadas rectangulares 12, ⫺22.
3π 4
0
Q
2 12
de modo que r
r2
x2
y2
o 2 12. También tan u
y x
22
1 22 2
2 2
8
1
por lo que u ⫽ 3p/4 o ⫺p/4. Como el punto 12, ⫺22 se encuentra en el cuarto cuadrante (vea Figura 7), podemos representarlo en coordenadas polares como 12 12, p/4 2 o 1 2 12, 3p/4 2. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 35
Q
Nótese que las ecuaciones que relacionan coordenadas polares y rectangulares no determinan r o u de manera única. Cuando usamos estas ecuaciones para hallar las coordenadas polares de un punto, debemos tener cuidado de que los valores que escojamos para r y u nos den un punto en el cuadrante correcto, como hicimos en el Ejemplo 4.
W Ecuaciones polares En los Ejemplos 3 y 4 convertimos puntos de un sistema de coordenadas a otro. A continuación consideramos el mismo problema para ecuaciones.
E J E M P LO 5
Convertir una ecuación de coordenadas rectangulares a polares
Exprese la ecuación x2 ⫽ 4y en coordenadas polares. S O LU C I Ó N
Usamos las fórmulas x ⫽ r cos u y y ⫽ r sen u:
x2 1r cos u 2 2
r 2 cos2 u r r
4y 41r sen u2 4r sen u sen u 4 cos2 u 4 sec u tan u
Ecuación rectangular Sustituya x = r cos u, y = r sen u Desarrolle Divida entre r cos2u Simplifique
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 45
Q
S E C C I Ó N 8.1
| Coordenadas polares 545
Como lo muestra el Ejemplo 5, convertir de coordenadas rectangulares a polares es sencillo: simplemente sustituya x por r cos u y y por r sen u, y a continuación simplifique. Pero, convertir ecuaciones polares a forma rectangular con frecuencia requiere de pensar más.
E J E M P LO 6
Convertir ecuaciones de coordenadas polares a rectangulares
Exprese la ecuación polar en coordenadas rectangulares. Si posible, determine la gráfica de la ecuación a partir de su forma rectangular. (a) r 5 sec u (b) r 2 sen u (c) r 2 2 cos u S O LU C I Ó N (a) Como sec u ⫽ 1/cos u, multiplicamos ambos lados por cos u:
5 sec u
Ecuación polar
r cos u
5
Multiplique por cos u
x
5
Sustituya x = r cos u
r
La gráfica de x ⫽ 5 es la recta vertical de la Figura 8. (b) Multiplicamos ambos lados de la ecuación por r, porque entonces podemos usar las fórmulas r2 ⫽ x2 ⫹ y2 y r sen u ⫽ y: 2 sen u Ecuación polar r
r2 x x2
2
y
1y
y2
2
2y
2r sen u
Multiplique por r
2y
r2 = x2 + y2 y r sen u = y
0
Reste 2y
Ésta es la ecuación de una circunferencia de radio 1 con centro en el punto 10, 12, y está graficada en la Figura 9.
x2
y
12 2
1
Complete el cuadrado en y
y
x=5
1 0
x
0
1
x
FIGURA 8 FIGURA 9 (c) Primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por r: r2 ⫽ 2r ⫹ 2r cos u
Usando r2 ⫽ x2 ⫹ y2 y x ⫽ r cos u, podemos convertir dos términos de la ecuación en coordenadas rectangulares, pero eliminar la r restante requiere más trabajo: r 2 x 2 y 2 y r cos u x x 2 y 2 2r 2x
1x 2
x2
1x
2
y2
2x
y2
2x2 2
2
2
y
2x2
2r
Reste 2x
4r 2 41x
2
y 2 2
Se elevan al cuadrado ambos lados r2
x2
y2
En este caso la ecuación rectangular se ve más complicada que la ecuación polar. Aun cuando no podemos determinar fácilmente la gráfica de la ecuación a partir de su forma rectangular, veremos en la siguiente sección cómo graficarla usando la ecuación polar.
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 53, 55 Y 57
Q
546
C A P Í T U LO 8
| Coordenadas polares y ecuaciones paramétricas
8.1 EJERCICIOS CO N C E P TO S 1. Podemos describir la ubicación de un punto en el plano usando
diferentes sistemas de_________. El punto P mostrado en la fi2 y coordenadas gura tiene coordenadas rectangulares 1 , 1 , 2 polares .
y
1
19. 14,
23p/4 2
20. 1 4, 23p/4 2 22. 14, 103p/4 2
21. 1 4, 101p/42
23-24 Q Un punto está graficado en forma rectangular. Encuentre coordenadas polares para el punto, con r > 0 y 0 < u < 2p.
y
23.
y
24.
P
P
1 0
0
(b) Si P tiene coordenadas rectangulares 1x, y2 entonces
tiene coordenadas polares 1r, u2 donde r2 ⫽ _______ y tan u ⫽ _______.
5. 16,
4. 11, 02
7p/6 2
Localice el punto que tienen las coordenadas polares dadas.
7. 1 2, 4p/3 2
2p/32
8. 1 5,
17p/6 2
9-14 Q Localice el punto que tienen las coordenadas polares dadas. A continuación, dé otras dos representaciones de coordenadas del punto, una con r < 0 y la otra con r > 0.
9. 13, p/2 2
12. 1 2,
11. 1 1, 7p/6 2
10. 12, 3p/4 2 13. 1 5, 02
p/3 2
14. 13, 12
15-22 Q Determine cuál punto de la figura, P, Q, R o S, tiene las coordenadas polares.
Q
3
4 P
2 1
π 4
25.
1
17. 1 4,
p/4 2
5π 6
26. S
_
1
2π 3
O
27. 14, p/62
28. 16, 2p/32
33. 16 12, 11p/62
34. 1 13,
29. 1 12,
31. 15, 5p2
π 4
16. 14,
18. 1 4, 13p/42
32. 10, 13p2
5p/32
36. 13 13,
41. 1 6, 02
42. 10,
22
44. x 2
y2
37. 1 18, 182
38. 1 16,
39. 13, 4 2
43-48
Q
49. r
40. 11,
x
2
122
132
48. x
9
5
46. y
4 Q
32
Convierta la ecuación a forma polar.
y
47. x
3p/4 2
30. 1 1, 5p/2 2
35. 1 1, 12
45. y
S
p/4 2
35-42 Q Convierta las coordenadas rectangulares en coordenadas polares con r > 0 y 0 ≤ u < 2p.
49-68
15. 14, 3p/4 2
O
R
43. x
O R
x
27-34 Q Encuentre las coordenadas rectangulares para el punto cuyas coordenadas polares se dan.
HABILIDADES 6. 13,
1
25-26 Q Un punto está graficado en forma polar. Encuentre sus coordenadas rectangulares.
y ⫽ _______.
3. 14, p/4 2
0
x
Q
coordenadas rectangulares 1x, y2 donde x ⫽ _______ y
Q
1
x
1
2. Sea P un punto en el plano. (a) Si P tiene coordenadas polares 1r, u2 entonces tiene
3-8
1
2
y2
1
Convierta la ecuación polar a coordenadas rectangulares.
7
51. u
53. r cos u
3
50. r p 2
6
52. u
p
54. r
2 csc u
S E C C I Ó N 8.2 55. r
4 sen u
56. r
6 cos u
57. r
1
58. r
311
59. r
1
60. r
2
63. r 65. r
sen u 2
2 sen u
1 2
67. sec u
4 2 sen u
tan u 2
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
69. La Fórmula de la Distancia en Coordenadas Polares (a) Use la Ley de Cosenos para demostrar que la distancia entre los puntos polares 1r1, u12 y 1r2, u22 es
cos u
cos u 1 sen u cos u
61. r
DESCUBRIMIENTO
| Gráficas de ecuaciones polares 547
2r 21
d
62. r 64. r
66. r
2
1
1 sen u
1
2 cos u
2r1r2 cos1u2
u1 2
(b) Encuentre la distancia entre los puntos cuyas coordenadas polares son 13, 3p/42 y 11, 7p/62, usando la fórmula del inciso (a).
(c) Ahora convierta los puntos del inciso (b) a coordenadas rectangulares. Encuentre la distancia entre ellos usando la Fórmula de la Distancia. ¿Obtiene la misma respuesta?
sen 2u
68. cos 2u
r 22
1
8.2 G RÁFICAS DE ECUACIONES POLARES Gráficas de ecuaciones polares 䉴 Simetría 䉴 Gráficas de ecuaciones polares con calculadora graficadora
La gráfica de una ecuación polar r ⫽ f 1u2 está formada por todos los puntos P que tienen al menos una representación polar 1r, u2 cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Muchas curvas que aparecen en matemáticas y sus aplicaciones son representadas en forma más fácil y natural por ecuaciones polares que por ecuaciones rectangulares.
W Gráficas de ecuaciones polares Una cuadrícula rectangular es útil para localizar puntos en coordenadas rectangulares (vea Figura 1(a)). Para localizar puntos en coordenadas polares, es conveniente usar una cuadrícula formada por circunferencias centradas en el polo y rayos que emanan del polo, como en la Figura 1(b). Usaremos tales cuadrículas para ayudarnos a trazar gráficas polares. π 2
y
P(_2, 3)
5 4 3 2 1
π 3
3π 4
A!6,
Q(4, 2)
_5 _4 _3 _2 _1 0 1 2 3 4 5 _1 _2 _3 _4 _5 R(3, _5)
x
π
5π 6 @
B!4,
π 4 π 4@
π 6
O 1 2 3 4 5 6 C !3,
4π 3 @
5π 4
7π 4 3π 2
FIGURA 1
(a) Cuadrícula para coordenadas rectangulares
(b) Cuadrícula para coordenadas polares
0
548
C A P Í T U LO 8
| Coordenadas polares y ecuaciones paramétricas En los Ejemplos 1 y 2 vemos que las circunferencias centradas en el origen y las rectas que pasan por el origen tienen ecuaciones particularmente sencillas en coordenadas polares. π 4
3π 4
r=3
O
5π 4
7π 4
FIGURA 2
π 3 π
¨= 3 π 3
O
FIGURA 3
Trazar la gráfica de una ecuación polar
Trace una gráfica de la ecuación r ⫽ 3 y exprese la ecuación en coordenadas rectangulares. S O LU C I Ó N La gráfica está formada por todos los puntos cuya coordenada r es 3, es decir, todos los puntos que están a 3 unidades de distancia del origen. Por lo tanto, la gráfica es una circunferencia de radio 3 con centro en el origen, como se ve en la Figura 2. Si se elevan al cuadrado ambos lados, obtenemos
x2
r2
32
Se elevan al cuadrado ambos lados
y2
9
Sustituya r2 = x2 + y2
Entonces, la ecuación equivalente en coordenadas rectangulares es x2 ⫹ y2 ⫽ 9. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 17
2π 3
4π 3
E J E M P LO 1
5π 3
Q
En general, la gráfica de la ecuación r ⫽ a es una circunferencia de radio 0 a 0 con centro en el origen. Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, vemos que la ecuación equivalente en coordenadas rectangulares es x2 ⫹ y2 ⫽ a2.
E J E M P LO 2
Trazar la gráfica de una ecuación polar
Trace una gráfica de la ecuación u ⫽ p/3, y exprese la ecuación en coordenadas rectangulares. S O LU C I Ó N La gráfica está formada por todos los puntos cuya coordenada u es p/3. Ésta es la recta que pasa por el origen y forma un ángulo de p/3 con el eje polar (vea Figura 3). Observe que los puntos 1r, p/32 sobre la recta con r > 0 se encuentran en el primer cuadrante, mientras que los puntos con r < 0 están en el tercer cuadrante. Si el punto 1x, y2 está sobre esta recta, entonces
y x
tan u
tan
13
p 3
Por lo tanto, la ecuación rectangular de esta recta es y
13x .
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 19
Q
Para trazar una curva polar cuya gráfica no es tan obvia como las de los ejemplos precedentes, localizamos puntos calculados para un número suficiente de valores de u y, a continuación, los unimos en una curva continua. (Esto es lo que hicimos cuando primero aprendimos a graficar funciones en coordenadas rectangulares.)
E J E M P LO 3
Trazar la gráfica de una ecuación polar
Trace una gráfica de la ecuación polar r ⫽ 2 sen u. S O LU C I Ó N Primero usamos la ecuación para determinar las coordenadas polares de varios puntos en la curva. Los resultados se muestran en la tabla siguiente. u r
2 sen u
0
p /6
0
1
p /4 12
p /3 13
p /2 2
2p /3 13
3p /4 12
5p /6
p
1
0
Localizamos estos puntos en la Figura 4 y a continuación los unimos para trazar la curva. La gráfica parece ser una circunferencia. Hemos utilizado valores de u sólo entre 0 y p, porque los mismos puntos (esta vez expresados con coordenadas r negativas) se obtendrían si permitimos que u varíe de p a 2p.
S E C C I Ó N 8.2
| Gráficas de ecuaciones polares 549
La ecuación polar r ⫽ 2 sen u en coordenadas rectangulares es x2 ⫹ 1y ⫺ 122 ⫽ 1
(vea Sección 8.1, Ejemplo 6(b)). De la forma rectangular de la ecuación vemos que la gráfica es una circunferencia de radio 1 con centro en 10, 12.
F I G U R A 4 r ⫽ 2 sen u.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 21
Q
En general, las gráficas de ecuaciones de la forma son circunferencias con radio 0a0 con centro en los puntos con coordenadas polares 1a, p/22 y 1a, 02, respectivamente.
r
r
E J E M P LO 4
2a sen u
y
r
2a cos u
Trazado de la gráfica de un cardioide
Trace una gráfica de r ⫽ 2 ⫹ 2 cos u.
0
π
π 2
3π 2
S O LU C I Ó N En lugar de localizar puntos como en el Ejemplo 3, primero trazamos la gráfica de r ⫽ 2 ⫹ 2 cos u en coordenadas rectangulares en la figura 5. Podemos considerar esta gráfica como una tabla de valores que hace posible que leamos de un vistazo los valores de r que corresponden a valores crecientes de u. Por ejemplo, vemos que cuando u aumenta de 0 a p/2, r (la distancia desde O) decrece de 4 a 2, de modo que trazamos la parte correspondiente de la gráfica polar de la Figura 6(a). Cuando u aumenta de p/2 a p, la Figura 5 muestra que r decrece de 2 a 0, de modo que trazamos la siguiente parte de la gráfica como en la Figura 6(b). Cuando u aumenta de p a 3p/2, r aumenta de 0 a 2, como se ve en el inciso (c). Finalmente, cuando u aumenta de 3p/2 a 2p, r aumenta de 2 a 4, como se ve en el inciso (d). Si hacemos que u aumente a más de 2p o disminuya a menos de 0, simplemente volveríamos a trazar nuestra trayectoria. Combinando las partes de la gráfica de los incisos (a) a la (d) de la Figura 6, trazamos la gráfica completa del inciso (e).
¨
2π
F I G U R A 5 r ⫽ 2 ⫹ 2 cos u.
¨=
π 2
¨=
O
¨=0
π 2
¨=π
O
¨=
(a)
O
¨=π
O
3π 2
(b)
¨=
¨=2π
O
3π 2
(c)
(d)
(e)
F I G U R A 6 Pasos para trazar r ⫽ 2 ⫹ 2 cos u La ecuación polar r ⫽ 2 ⫹ 2 cos u en coordenadas rectangulares es
1x 2
y2
2x2 2
41x 2
y22
(vea Sección 8.1, Ejemplo 6(c)). La forma más sencilla de la ecuación polar muestra que es más natural describir cardioides usando coordenadas polares.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 25
Q
La curva de la figura 6 recibe el nombre de cardioide por su forma de corazón. En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma
r es un cardioide.
a11
cos u2
o
r
a11
sen u2
550
C A P Í T U LO 8
| Coordenadas polares y ecuaciones paramétricas
E J E M P LO 5
Trazado de la gráfica de una rosa de cuatro pétalos
Trace la curva r ⫽ cos 2u. S O LU C I Ó N Al igual que en el Ejemplo 4, primero trazamos la gráfica de r ⫽ cos 2u en coordenadas rectangulares, como se ve en la Figura 7. Cuando u aumenta de 0 a p/4, la Figura 7 muestra que r disminuye de 1 a 0, de modo que trazamos la parte correspondiente de la curva polar de la Figura 8 (indicada por 䐖㻌㻑㻃Cuando u aumenta de p/4 a p/2, el valor de r pasa de 0 a ⫺1. Esto significa que la distancia desde el origen aumenta de 0 a 1, pero en lugar de estar en el primer cuadrante, esta parte de la curva polar (indicada por 䐗) se encuentra en el lado opuesto del origen en el tercer cuadrante. El resto de la curva se traza en forma similar, con las flechas y números indicando el orden en el que están trazadas las partes. La curva resultante tiene cuatro pétalos y se denomina rosa de cuatro pétalos. π
r ¨=3π 4
1
0
π 4
π 2
3π 4
π
5π 4
3π 2
7π 4
2π
¨= 2
¨=π
¨
π
¨= 4
¨=0
_1
F I G U R A 7 Gráfica de r ⫽ cos 2u trazada en coordenadas rectangulares
F I G U R A 8 Rosa de cuatro pétalos r ⫽
cos 2u trazada en coordenadas polares
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 29
Q
En general, la gráfica de una ecuación de la forma r ⫽ a cos nu o r ⫽ a sen nu es una rosa de n pétalos si n es impar o 2n pétalos si n es par (como en el Ejemplo 5).
W Simetría Al graficar una ecuación polar, a veces es útil aprovechar la simetría. A continuación mencionamos tres pruebas de simetría; la Figura 9 muestra por qué funcionan estas tareas.
PRUEBAS DE SIMETRÍA 1. Si una ecuación polar no cambia cuando sustituimos u por –u, entonces la gráfica es simétrica alrededor del eje polar (Figura 9(a)). 2. Si la ecuación no cambia cuando sustituimos r por –r, entonces la gráfica es simétrica alrededor del polo (Figura 9(b)). 3. Si la ecuación no cambia cuando sustituimos u por p – u, la gráfica es simétrica alrededor de la recta vertical u = p/2 (el eje y) (Figura 9(c)). ¨=π2 (r, π _ ¨)
(r, ¨)
O
(r, ¨)
¨ _¨ (r, _¨ )
FIGURA 9
(a) Simetría alrededor del eje polar
(_r, ¨)
O
(b) Simetría alrededor del polo
(r, ¨) π-¨ ¨ O
(c) Simetría alrededor de la recta ¨=π2
S E C C I Ó N 8.2 r 3
0 _1
π 3
π
2π 3
2π
¨
Las gráficas de las Figuras 2, 6(e) y 8 son simétricas alrededor del eje polar. La gráfica de la Figura 8 es también simétrica alrededor del polo. Las Figuras 4 y 8 muestran gráficas que son simétricas alrededor de u ⫽ p/2. Observe que la rosa de cuatro pétalos de la Figura 8 satisface las tres pruebas de simetría. En coordenadas rectangulares, los ceros de la función y ⫽ f 1x2 corresponden a los puntos de intersección x de la gráfica. En coordenadas polares, los ceros de la función r ⫽ f 1u2 son los ángulos u en los que la curva cruza el polo. Los ceros nos ayudan a trazar la gráfica, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
E J E M P LO 6 FIGURA 10
| Gráficas de ecuaciones polares 551
Uso de simetría para trazar un caracol
Trace una gráfica de la ecuación r ⫽ 1 ⫹ 2 cos u. S O LU C I Ó N
Usamos lo siguiente como ayudas para trazar la gráfica:
Simetría: En vista que la ecuación no cambia cuando u se sustituye por ⫺u, la gráfica es simétrica alrededor del eje polar.
¨=2π 3
Ceros:
Para hallar los ceros, resolvemos
2 cos u 1 cos u 2 2p 4p u , 3 3 Tabla de valores: Al igual que en el Ejemplo 4, trazamos la gráfica de r ⫽ 1 ⫹ 2 cos u en coordenadas rectangulares para que sirva como tabla de valores (Figura 10). A continuación trazamos la gráfica polar de r ⫽ 1 ⫹ 2 cos u de u ⫽ 0 a u ⫽ p y después usamos simetría para completar la gráfica de la Figura 11. 0
¨=4π 3
FIGURA 11 r
1
2 cos u
1
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 35
Q
La curva de la Figura 11 se denomina limaçon, por la palabra francesa que significa caracol. En general, la gráfica de una ecuación de la forma r a b cos u o r a b sen u es un caracol. La forma del caracol depende del tamaño relativo de a y b (vea la tabla de la página siguiente).
W Graficar ecuaciones polares con calculadora graficadora
FIGURA 12 r
sen u
sen3 15 u/2 2
Aun cuando es útil tener aptitud para trazar manualmente gráficas polares sencillas, necesitamos una calculadora o computadora cuando la gráfica es tan complicada como la de la Figura 12. Por fortuna, la mayor parte de calculadoras son capaces de graficar ecuaciones polares directamente.
E J E M P LO 7
Trazar la gráfica de una ecuación polar
Grafique la ecuación r ⫽ cos12u/32.
1
_1
1
_1
FIGURA 13 r
cos12u/32
S O LU C I Ó N Necesitamos determinar el dominio para u, por lo que nos preguntamos: ¿cuántas veces debe u hacer una revolución completa 12p radianes2 antes que la gráfica empiece a repetirse? La gráfica se repite cuando el mismo valor de r se obtenga en u y u ⫹ 2np. Entonces necesitamos hallar un entero n, de modo que 21u 2np2 2u cos cos 3 3 Para que se cumpla esta igualdad, 4np/3 debe ser múltiplo de 2p, y esto primero ocurre cuando n ⫽ 3. Por lo tanto, obtenemos toda la gráfica si escogemos valores de u entre u ⫽ 0 y u ⫽ 0 ⫹ 2132p ⫽ 6p. La gráfica se ilustra en la Figura 13.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 43
Q
552
C A P Í T U LO 8
| Coordenadas polares y ecuaciones paramétricas
E J E M P LO 8
Una familia de ecuaciones polares
Grafique la familia de ecuaciones polares r ⫽ 1 ⫹ c sen u para c ⫽ 3, 2.5, 2, 1.5, 1. ¿Cómo cambia la forma de la gráfica cuando cambia c? S O LU C I Ó N La Figura 14 muestra gráficas generadas por computadora para los valores dados de c. Cuando c > 1, la gráfica tiene un lazo interior; el lazo disminuye en tamaño a medida que c disminuye. Cuando c ⫽ 1, el lazo desaparece y la gráfica se convierte en cardioide (vea Ejemplo 4).
F I G U R A 1 4 Familia de caracoles, r ⫽ 1 ⫹ c sen u en el rectángulo de vista 3⫺2.5, 2.54 por 3⫺0.5, 4.54. c=3.0
c=2.5
c=2.0
c=1.5
c=1.0
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 47
Q
El cuadro siguiente da un resumen de algunas de las gráficas polares básicas que se usan en Cálculo.
ALGUNAS CURVAS POLARES COMUNES Circunferencia y espiral
r=a circunferencia
r=a sen ¨ circunferencia
r=a ç ¨ circunferencia
r=a¨ espiral
ab caracol alveolado
a≥2b caracol convexo
r=a ç 2¨ rosa de 4 hojas
r=a ç 3¨ rosa de 3 hojas
r=a ç 4¨ rosa de 8 hojas
r=a ç 5¨ rosa de 5 hojas
r™=a™ sen 2¨ lemniscata
r™=a™ ç 2¨ lemniscata
Caracoles r
a
r
a
1a
b sen u 02
b cos u 0, b
La orientación depende de la función trigonométrica (seno o coseno) y del signo de b. Rosas r
a sen nu
r
a cos nu
n hojas si n es impar 2n hojas si n es par Lemniscatas Curvas en forma de un ocho
S E C C I Ó N 8.2
| Gráficas de ecuaciones polares 553
8.2 EJERCICIOS V
CO N C E P TO S
VI
1. Para determinar puntos en coordenadas polares, usamos una cuadrícula formada por _______con centro en el polo y 2. (a) Para graficar una ecuación polar r ⫽ f 1u2, localizamos todos los puntos 1r, u2 que ________la ecuación.
(b) Las ecuaciones polares más sencillas se obtienen haciendo r o u iguales a una constante. La gráfica de la ecuación
1
1
________ que emanan del polo.
3
polar r ⫽ 3 es una _____con radio _____con centro en
9-16 Q Pruebe si hay simetría en la ecuación polar con respecto al eje polar, el polo, y la recta u ⫽ p/2. 10. r 4 8 cos u 9. r 2 sen u
el ____. La gráfica de la ecuación polar u ⫽ p/4 es una
11. r
______ que pasa por el _____con pendiente_____.
13. r
Grafique las ecuaciones polares siguientes.
3 sec u
4 2 sen u
3
15. r 2
5 cos u csc u
12. r 14. r 16. r 2
4 cos 2u
5 3 cos u
1
9 sen u
17-22 Q Trace una gráfica de la ecuación polar y exprese la ecuación en coordenadas rectangulares.
2
17. r O
O
2
2
p/2
20. u
5p/6
21. r
6 sen u
22. r
cos u
Q
Trace una gráfica de la ecuación polar.
2 cos u
23. r 2
25. r
311
HABILIDADES
29. r
sen 2u
3-8 Q Relacione la ecuación polar con las gráficas marcadas I-IV. Use la tabla de la página 552 para ayudarse.
31. r
4. r
3
5. r
2
6. r
1
7. r
sen 3u
8. r
sen 4u
2 sen u
23
33. r
37. r
23 2
39. r I
1 IV
3
1
28. r
cos u
30. r
2 cos 3u
3 2. r
sen 4u
2 sen u
34. r
2
sen u
cos u
36. r
1
2 cos u
sen u 2
u, 1,
38. r
2
2 cos u
sen u 1
4 sen 2u
0 (espiral)
u
0 (espiral recíproca)
u
41. r
2
sec u (concoide)
42. r
sen u tan u (cisoide)
43-46 Q Use calculadora graficadora para graficar la ecuación polar. Escoja el dominio de u para asegurarse de producir toda la gráfica.
1
III
26. r
cos 2u
40. r u
II
2 sen u
cos 5u
35. r
2 cos u
24. r
2 cos u
27. r
3 cos u
1
19. u
23-42
3. r
18. r
cos1u/22
45. r
1
46. r
1
3
2 sen 1u/2 2 (nefroide)
43. r
21
44. r
sen 18u/5 2
0.8 sen2 u (hipopedia)
47. Grafique la familia de ecuaciones polares r ⫽ 1 ⫹ sen nu para n ⫽ 1, 2, 3, 4 y 5. ¿Cómo está relacionado el número de lazos con respecto a n? 48. Grafique la familia de ecuaciones polares r ⫽ 1 ⫹ c sen 2u para c ⫽ 0.3, 0.6, 1, 1.5 y 2. ¿Cómo cambia la gráfica cuando c aumenta?
554
| Coordenadas polares y ecuaciones paramétricas
C A P Í T U LO 8
49-52 Q Relacione la ecuación polar con las gráficas marcadas I-IV. Dé razones para sus respuestas. 49. r sen 1u/2 2 50. r 1/ 1u
u sen u
51. r
52. r
I
1
(b) ¿Para qué ángulo u está más cercano el satélite a la Tierra? Encuentre la altura del satélite sobre la superficie terrestre para este valor de u.
3 cos13u2
II r 1
III
¨
1
60. Una órbita inestable La órbita descrita en el Ejercicio 59 es estable porque el satélite recorre la misma trayectoria una y otra vez cuando u aumenta. Suponga que un meteoro choca contra el satélite y cambia su órbita a
IV
10
1 r
53-56 Q Trace una gráfica de la ecuación rectangular. 3Sugerencia: Primero convierta la ecuación a coordenadas polares.4
53. 1x 2 54. 1x 2
55. 1x 2 56. x 2
y223 y223 y222
y2
1x 2
4x 2y 2
1x 2
x2
y222
y2 y2
x22
57. Demuestre que la gráfica de r ⫽ a cos u ⫹ b sen u es una circunferencia, y encuentre su centro y radio. 58. (a) Grafique la ecuación polar r ⫽ tan u sec u en el rectángulo de vista 3⫺3, 34 por 3⫺1, 94.
(b) Observe que su gráfica del inciso (a) se asemeja a una parábola (vea Sección 2.5). Confirme esto convirtiendo la ecuación a coordenadas rectangulares.
A P L I C AC I O N E S
22,500 a 1 4
u b 40 cos u
(a) En la misma pantalla de observación grafique la circunferencia r ⫽ 3960 y la nueva ecuación de órbita, con u creciente de 0 a 3p. Describa el nuevo movimiento del satélite. (b) Use el comando TRACE de su calculadora graficadora para hallar el valor de u en el momento en que el satélite choca en la Tierra.
DESCUBRIMIENTO
Q
DISCUSIÓN
Q
REDACCIÓN
61. Una transformación de gráficas polares tán relacionadas las gráficas de
y
r
1
sena u
r
1
sena u
¿Cómo es-
p b 6 p b 3
con la gráfica de r ⫽ 1 ⫹ sen u? En general, ¿cómo está relacionada la gráfica de r ⫽ f 1u ⫺ a2 con la gráfica de r ⫽ f 1u2?
59. Órbita de un satélite Es frecuente que científicos e ingenieros usen ecuaciones polares para modelar el movimiento de satélites en órbita de la Tierra. Consideremos un satélite cuya órbita está modelada por la ecuación r ⫽ 22,500 14 ⫺ cos u2, donde r es la distancia en millas entre el satélite y el centro de la Tierra y u es el ángulo mostrado en la figura siguiente.
62. Selección de un sistema de coordenadas útil Compare la ecuación polar de la circunferencia r ⫽ 2 con su ecuación en coordenadas rectangulares. ¿En cuál sistema de coordenadas es más sencilla la ecuación? Haga lo mismo para la ecuación de la rosa de cuatro pétalos r ⫽ sen 2u. ¿Cuál sistema de coordenadas escogería usted para estudiar estas curvas?
(a) En la misma pantalla de vista grafique la circunferencia r ⫽ 3960 (para representar la Tierra, que supondremos es una esfera de 3960 millas de radio) y la ecuación polar de la órbita del satélite. Describa el movimiento del satélite cuando u aumenta de 0 a 2p.
63. Selección de un sistema de coordenadas útil Compare la ecuación rectangular de la recta y ⫽ 2 con su ecuación polar. ¿En cuál sistema de coordenadas es más sencilla la ecuación? ¿Cuál sistema de coordenadas escogería usted para estudiar rectas?
S E C C I Ó N 8.3
| Forma polar de números complejos: Teorema de De Moivre 555
8.3 F ORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS : T EOREMA DE D E M OIVRE Gráficas de números complejos 䉴 Forma polar de números complejos 䉴 Teorema de De Moivre 䉴 Raíces nn-ésimas de números complejos En esta sección representamos números complejos en forma polar (o trigonométrica). Esto hace posible que encontremos las raíces n de números complejos. Para describir la forma polar de números complejos, debemos primero aprender a trabajar gráficamente con números complejos.
Eje imaginario a+bi
bi 0
a
Eje real
FIGURA 1 Im 3i
z⁄=2+3i
2i i _i _2i
Para graficar números reales o conjuntos de números reales, hemos estado empleado la recta, que tiene sólo una dimensión. Los números complejos, no obstante, tienen dos componentes: una parte real y una parte imaginaria. Esto sugiere que necesitamos dos ejes para graficar números complejos: uno para la parte real y uno para la parte imaginaria. A éstos se les da el nombre de eje real y eje imaginario, respectivamente. El plano determinado por estos dos ejes se denomina plano complejo. Para graficar el número complejo a ⫹ bi, localizamos el par ordenado de números 1a, b2 en este plano, como se indica en la Figura 1.
E J E M P LO 1
z⁄+z¤=5+i 2
W Gráficas de números complejos
4
Re
Graficar números complejos
Grafique los números complejos z1
2
3i, z2
S O LU C I Ó N Tenemos z1 en la Figura 2.
(2
3i)
z2
3 (3
2i, y z1 2i)
5
z2. i. La gráfica se ilustra
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 19
z¤=3-2i
E J E M P LO 2
FIGURA 2
5a 5a
bi 0 a bi 0 a
Q
Graficar conjuntos de números complejos
Grafique cada conjunto de números complejos.
(a) S (b) T
S O LU C I Ó N
06 1, b
06
(a) S es el conjunto de números complejos cuya parte real es no negativa. La gráfica se muestra en la Figura 3(a). (b) T es el conjunto de números complejos para el cual la parte real es menor a 1 y la parte imaginara es no negativa. La gráfica se ilustra en la Figura 3(b). Im
0
FIGURA 3
Im
Re
(a)
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 21
0
1
Re
(b)
Q
556
C A P Í T U LO 8
| Coordenadas polares y ecuaciones paramétricas Recuerde que el valor absoluto de un número real puede considerarse como su distancia del origen en la recta de números reales (vea Sección 1.1). Definimos el valor absoluto para números complejos en forma semejante. Usando el Teorema de Pitágoras, podemos ver de la Figura 4 que la distancia entre a ⫹ bi y el origen en el plano complejo es 2a 2 b 2. Esto lleva a la siguiente definición.
Im a+bi
bi a™+b™ œ∑∑∑∑∑∑
b
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO 0
a
Re
0z0
El módulo (o valor absoluto) del número complejo z = a + bi es
FIGURA 4
E J E M P LO 3
2a 2
b2
Calcular el módulo
Encuentre los módulos de los números complejos 3 ⫹ 4i y 8 ⫺ 5i.
El plural de módulo es módulos.
03
S O LU C I Ó N
08
4i 0 5i 0
232 282
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 9
E J E M P LO 4
125
1 52 2
42
5
189
Q
Valor absoluto de números complejos
Grafique los siguientes conjuntos de números complejos. (a) C 5z @ 0 z 0 16 (b) D 5z @ 0 z 0 16 S O LU C I Ó N
(a) C es el conjunto de números complejos cuya distancia desde el origen es 1. Entonces, C es una circunferencia de radio 1 con centro en el origen, como se ve en la Figura 5. (b) D es el conjunto de números complejos cuya distancia desde el origen es menor o igual a 1. Entonces, D es el disco que está formado por todos los números complejos en y dentro del círculo C del inciso (a), como se ve en la Figura 6. Im
_1
i
C | z |=1
0
1
Im
_1
Re
_i
FIGURA 5
Im
a+bi
bi
i
D | z |≤1
0
1
Re
_i
FIGURA 6
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 23 Y 25
Q
r
0
¨
FIGURA 7
W Forma polar de números complejos a
Re
Sea z ⫽ a ⫹ bi un número complejo, y en el plano complejo tracemos el segmento de recta que enlaza el origen al punto a ⫹ bi (vea Figura 7). La longitud de este segmento de recta 2 es r 0z0 2a 2 b . (Si u es un ángulo en posición normal cuyo lado terminal coin-
| Forma polar de números complejos: Teorema de De Moivre 557
S E C C I Ó N 8.3
cide con este segmento de recta, entonces por las definiciones de seno y coseno (vea Sección 6.2) a ⫽ r cos u y b ⫽ r sen u
de modo que z ⫽ r cos u ⫹ ir sen u ⫽ r1cos u ⫹ i sen u2. Hemos demostrado lo siguiente:
FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS r 1cos u
Un número complejo z = a + bi tiene la forma polar (o forma trigonométrica) z
donde r 0z0 2a 2 es un argumento de z.
i sen u2
b 2 y tan u = b/a. El número r es el módulo de z y u
El argumento de z no es único, sino que cualesquier dos argumentos de z difieren en un múltiplo de 2p. Cuando determinemos el argumento, debemos considerar el cuadrante en el que se encuentre z, como vemos en el siguiente ejemplo.
E J E M P LO 5
Escribir números complejos en forma polar 13i
Escriba cada número complejo en forma polar.
(a) 1
1
(b)
i
413
(c)
4i
(d) 3
4i
S O LU C I Ó N Estos números complejos están graficados en la Figura 8, lo cual nos ayuda a hallar sus argumentos. Im
_1+Ϸ3 i
1+i
i
Im
Ϸ3 i
¨
1
Re
_1
0
Re
0
_4 Ϸ 3
(a)
(b)
11
u
13 1
tan u
1 13
(b) Un argumento es u
4 4 13
tan u
1 13
(c) Un argumento es u Entonces
4 13
u
(d) Un argumento es u
4 3
tan
1 4 3
tan 3
1 4 3
4i
4i yr
3
Re
16
8.
12. Entonces,
1
11
p 4
3
i sen
2 a cos
2p 3
8 a cos
7p 6
232
53cosAtan
p b 4
2 . Entonces,
7p/6 (o podríamos usar u
7p 6
tan u
13 i
1
¨
(d)
12 a cos
i
2p/3 y r
2p 3
u
u
p/4 y r
(a) Un argumento es u
1
Re
(c)
FIGURA 8 1 1 p 4
0
3+4i
_4i
_4 Ϸ 3-4i
tan u
Im 4i
¨
¨
0
Im
1 4 3B
42
i sen
2p b 3
5p/6), y r
i sen
148
7p b 6
1 4 3B 4
5. Por tanto, i senAtan
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 29, 31 Y 33
Q
558
C A P Í T U LO 8
| Coordenadas polares y ecuaciones paramétricas Las Fórmulas de la Adición para Seno y Coseno que estudiamos en la Sección 7.2 simplifican en gran medida la multiplicación y división de números complejos en forma polar. El siguiente teorema nos muestra cómo es esto.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS r1 1cos u1
i sen u1 2
r2 1cos u2
i sen u2 2
Si los dos números complejos z1 y z2 tienen las formas polares z1
r1r2 3cos1u1
entonces z1z2
u2 2
u2 2
r1 3cos1u1 r2
z1 z2
y
z2
i sen1u1
u2 2 4
u2 2 4
i sen1u1
Multiplicación
1z2
02
División
Este teorema dice lo siguiente: Para multiplicar dos números complejos, multiplique los módulos y sume los argumentos. Para dividir dos números complejos, divida los módulos y reste y los argumentos. DEMOSTRACIÓN Para probar la Fórmula de la Multiplicación, simplemente multiplicamos los dos números complejos:
r1r2 1cos u1
i sen u1 2 1cos u2
r1r2 3cos u1 cos u2
z1z2
r1r2 3cos1u1
u2 2
i sen u2 2
u2 2 4
sen u1 sen u2 i sen1u1
i1sen u1 cos u2
cos u1 sen u2 2 4
En el último paso usamos las Fórmulas de la Adición para Seno y Coseno. La demostración de la Fórmula de la División se deja como ejercicio.
E J E M P LO 6 Sea
z1
Multiplicación y división de números complejos 2 a cos
p 4
i sen
p b 4
5 a cos
z2
y
p 3
i sen
p b 3
Encuentre (a) z1z2 y (b) z1/z2. S O LU C I Ó N (a) Por la Fórmula de la Multiplicación
z1z2
122 152 c cos a
10 a cos
7p 12
p b 3
p 4
i sen
7p b 12
i sena
p 4
p bd 3
Para aproximar la respuesta, usamos una calculadora en modo de radianes y obtenemos
z1z2
101 0.2588 2.588
0.9659i 2
9.659i
| Forma polar de números complejos: Teorema de De Moivre 559
S E C C I Ó N 8.3
(b) Por la Fórmula de la División
2 p c cos a 5 4
z1 z2
p b 3
2 p c cos a b 5 12 p 2 a cos 5 12
i sena i sena
i sen
p b 12
p 4
p bd 12
p bd 3
Usando una calculadora en modo de radianes, obtenemos la respuesta aproximada: 2 5 10.9659
z1 z2
0.2588i 2
0.3864
0.1035i
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 55
Q
W Teorema de De Moivre El uso repetido de la Fórmula de la Multiplicación da la siguiente fórmula útil para elevar un número complejo a una potencia n para cualquier entero positivo n.
r 1cos u
TEOREMA DE DE MOIVRE Si z
r n 1cos nu
i sen u2, entonces para cualquier entero n zn
i sen nu2
Este