Tangente e cotangente

Tangente e cotangente, indicate con tan(α) e cot(α), sono due funzioni trigonometriche che vengono definite sulla circonferenza goniometrica a partire dal seno e dal coseno di un angolo, e che associano a ciascun angolo un numero reale.

In questa lezione parleremo di tangente e cotangente di un angolo, enunciando e spiegando le definizioni per poi elencare le proprietà di cui godono queste due funzioni goniometriche e mostrarne i grafici.

Le definizioni di tangente e cotangente verranno date a partire dalla circonferenza goniometrica, e sfruttando gli aspetti grafici e geometrici delle definizioni ricaveremo l'espressione analitica di tangente e cotangente in funzione di seno e coseno.

Rappresentazione e definizione di tangente e cotangente

Partiamo dalla definizione di tangente e cotangente e come prima cosa disegniamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica facendo coincidere il vertice dell'angolo col centro della circonferenza ed il suo primo lato col semiasse positivo delle ascisse:

Definizione di tangente di un angolo

Dato un angolo α sulla circonferenza goniometrica consideriamo la retta t tangente la circonferenza nel punto S(1,0) e sia T il punto di intersezione tra tale retta ed il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento).

Come possiamo osservare nell'immagine seguente, se il secondo lato dell'angolo α cade nel primo o nel quarto quadrante, ossia se 0≤α<90° oppure 270°<α≤360°, allora è proprio il secondo lato dell'angolo ad intersecare la retta t. Se invece il secondo lato dell'angolo giace nel secondo o nel terzo quadrante, cioè se 90°<α<270°, allora sarà il suo prolungamento ad incontrare la retta t.

Si definisce tangente dell'angolo α l'ordinata del punto T dato dall'intersezione tra il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento) e la retta tangente la circonferenza nel punto (1,0). In formule:

tan(α) = y_T

Come si può notare dalla figura precedente, se il secondo lato dell'angolo α cade sull'asse y, ossia se α=90° oppure α=270°, allora tale lato sarà parallelo alla retta t e quindi non vi sarà alcun punto di intersezione tra tale retta ed il lato dell'angolo. Conseguentemente, come avremo modo di approfondire nel prosieguo della lezione, per α=90° e per α=270° non è definito alcun valore della tangente.

Definizione di tangente con seno e coseno

In modo del tutto analogo e sempre partendo dalla circonferenza goniometrica si può definire la tangente di un angolo come il rapporto tra il seno ed il coseno dello stesso angolo. In formule:

tan(α) = (sin(α))/(cos(α)), per ogni α ≠ 90°+k180°, k∈Z

Per capire da dove deriva la precedente relazione disegniamo ancora una volta un angolo α (con α≠90° e α≠270°) sulla circonferenza goniometrica, e sia t la retta tangente la circonferenza nel punto S(1,0).

Indichiamo con P il punto di intersezione tra il secondo lato e la circonferenza, e T l'intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la retta t. Infine chiamiamo Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi coordinati.

Sappiamo che

OR = cos(α), OQ = PR = sin(α), y_T = TS = tan(α)

Consideriamo ora i due triangoli di vertici ORP e OST:

Essi sono triangoli simili, infatti hanno i tre angoli uguali:

- l'angolo α è in comune,

- entrambi sono triangoli rettangoli;

- la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, dunque anche i due angoli restanti saranno uguali.

In particolare i lati di triangoli simili sono ordinatamente in proporzione, quindi vale la relazione seguente:

(TS)/(OS) = (PR)/(OR)

Osservando che OS è un raggio della circonferenza e ricordando che la circonferenza ha raggio unitario, si ha

(tan(α))/(1) = (sin(α))/(cos(α))

ossia

tan(α) = (sin(α))/(cos(α))

ed ecco che abbiamo ottenuto la definizione di tangente con seno e coseno. :)

Definizione di cotangente di un angolo

Ancora una volta, per dare la definizione di cotangente, partiamo da un angolo α sulla circonferenza goniometrica ma, questa volta, consideriamo la retta c tangente la circonferenza nel punto A(0,1). Sia C il punto di intersezione tra tale retta ed il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento).

Nella seguente immagine possiamo osservare che se il secondo lato dell'angolo α cade nel primo o nel secondo quadrante, ossia se 0<α<180°, allora è proprio il secondo lato dell'angolo ad intersecare la retta c. Se invece il secondo lato dell'angolo giace nel terzo o nel quarto quadrante, cioè se 180°<α<360°, allora sarà il suo prolungamento ad incontrare la retta c.

Si definisce cotangente dell'angolo α l'ascissa del punto C dato dall'intersezione tra il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento) e la retta tangente la circonferenza nel punto (0,1), ossia

cot(α) = x_C

È immediato verificare che, se il secondo lato dell'angolo α cade sull'asse x, ossia se α=0°=360° oppure α=180°, allora non vi sarà alcun punto di intersezione tra la retta c ed il secondo lato dell'angolo. Perciò, per α=0° (oppure per α=360°) e per α=180° non è definito alcun valore della cotangente.

Definizione di cotangente con seno e coseno

Come dimostreremo tra poco, la cotangente di un angolo è data dal rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo. In formule:

cot(α) = (cos(α))/(sin(α)), per ogni α ≠ k180°, k∈Z

Disegniamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica, con α≠180° e α≠360°, e sia c la retta tangente la circonferenza nel punto A(0,1).

Chiamiamo P il punto di intersezione tra il secondo lato e la circonferenza, C l'intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la retta c, Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi y ed x.

Consideriamo ora i due triangoli rettangoli di vertici OAC e OQP che sono simili in quanto hanno tutti e tre gli angoli congruenti. Pertanto possiamo scrivere la seguente proporzione tra lati omologhi:

(AC)/(OA) = (QP)/(OQ)

Ora:

AC = cot(α), OA = 1, QP = OR = cos(α), OQ = sin(α)

Sostituendo nella relazione precedente otteniamo

cot(α) = (cos(α))/(sin(α))

che è proprio la definizione di cotangente come rapporto tra coseno e seno.

Principali valori di tangente e cotangente

Non è necessario ricordare a memoria i valori notevoli di tangente e cotangente. Grazie alle definizioni che abbiamo dato poco fa

tan(α) = (sin(α))/(cos(α)), cot(α) = (cos(α))/(sin(α))

per ricavare tangente e cotangente degli angoli notevoli è sufficiente ricordare i valori del seno e del coseno in corrispondenza di tali angoli.

Esempio

Se α=π/6, sapendo che il seno di 30 vale 1/2 e che il coseno di 30 vale √3/2 possiamo ricavare immediatamente il valore della tangente e della cotangente di 30 gradi:

tan((π)/(6)) = tan(30°) = (sin(30°))/(cos(30°)) = ((1)/(2))/((√(3))/(2)) = (1)/(2)·(2)/(√(3)) = (1)/(√(3)) = (√(3))/(3) ; cot((π)/(6)) = cot(30°) = (cos(30°))/(sin(30°)) = ((√(3))/(2))/((1)/(2)) = (√(3))/(2)·2 = √(3)

Ad ogni modo, nella tabella qui sotto sono riportati i valori di seno, coseno, tangente e cotangente per i principali angoli espressi sia in gradi che in radianti.

Se vi interessa la tabella completa dei principali valori delle funzioni goniometriche - click!

Perché tangente e cotangente non sono definite per certi angoli?

Come abbiamo già accennato e come avrete certamente notato nella precedente tabella, per alcuni angoli il valore per la tangente e per la cotangente non è definito.

Il motivo è presto detto: le definizioni di tangente e cotangente si basano su dei rapporti

tan(α) = (sin(α))/(cos(α)) ; cot(α) = (cos(α))/(sin(α))

e noi sappiamo bene che non si può dividere per zero. Dunque, tangente e cotangente non sono definite per i valori dell'angolo α che annullano il rispettivo denominatore.

In particolare, poiché il coseno di un angolo α si annulla per α = (π)/(2)+kπ allora la tangente di α non è definita per tali valori dell'angolo, ossia

tan(α) = (sin(α))/(cos(α)) per ogni α ≠ (π)/(2)+kπ, k ∈ Z

Allo stesso modo, visto che il seno di un angolo α si annulla per α = kπ allora

cot(α) = (cos(α))/(sin(α)) per ogni α ≠ kπ, k ∈ Z

Per saperne di più: tangente di 90 gradi - click!

Le funzioni tangente e cotangente

Le informazioni raccolte finora sono il punto da cui partire per poter tracciare il grafico delle due funzioni tangente e cotangente. Facciamo un piccolo riepilogo:

A) La funzione tangente non è definita per α = (π)/(2)+kπ, ossia il dominio della funzione tangente è

Dom[tan] = R−{(π)/(2)+kπ}, k ∈ Z

Mentre la funzione cotangente ha come dominio

Dom[cot] = R−{kπ}, k ∈ Z

Entrambe le funzioni hanno invece come immagine l'insieme R dei numeri reali.

B) Chi ha già confidenza con i limiti (argomento di quinta superiore) saprà che

lim_(x → ((π)/(2))^+) tan(x) = −∞ lim_(x → ((π)/(2))^−) tan(x) = +∞ ; lim_(x → 0^+)cot(x) = +∞ lim_(x → 0^−) cot(x) = −∞

C) Fissato un angolo α compreso tra 0 e 2π, se a tale angolo sommiamo o sottraiamo π otterremo un nuovo angolo la cui tangente e la cui cotangente coincidono con quella dell'angolo α. In simboli scriveremo

tan(α) = tan(α+kπ) per qualsiasi k ∈ Z ; cot(α) = cot(α+kπ) per qualsiasi k ∈ Z

Da qui deduciamo che le funzioni tangente e cotangente sono funzioni periodiche di periodo π.

Naturalmente chi è agli esordi con lo studio della Trigonometria può e deve prendere tali grafici per buoni, e usarli come banco di prova per la lettura delle informazioni analitiche. Anzi: un buon esercizio prevede proprio di riconoscere tutte le proprietà che abbiamo elencato, a partire dalla definizione, semplicemente consultando il grafico.

Grafico della funzione tangente

Per approfondire tutte le proprietà analitiche della funzione tangente - click!

Grafico della funzione cotangente

Per approfondire le varie proprietà analitiche della funzione cotangente - click!

È davvero tutto! In caso di necessità potete trovare tantissimi esercizi svolti e spiegati qui su YouMath, non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

Bye bye, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Ultima modifica: 19/04/2023