Tangente e cotangente
Tangente e cotangente, indicate con tan(α) e cot(α), sono due funzioni trigonometriche che vengono definite sulla circonferenza goniometrica a partire dal seno e dal coseno di un angolo, e che associano a ciascun angolo un numero reale.
In questa lezione parleremo di tangente e cotangente di un angolo, enunciando e spiegando le definizioni per poi elencare le proprietà di cui godono queste due funzioni goniometriche e mostrarne i grafici.
Le definizioni di tangente e cotangente verranno date a partire dalla circonferenza goniometrica, e sfruttando gli aspetti grafici e geometrici delle definizioni ricaveremo l'espressione analitica di tangente e cotangente in funzione di seno e coseno.
Rappresentazione e definizione di tangente e cotangente
Partiamo dalla definizione di tangente e cotangente e come prima cosa disegniamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica facendo coincidere il vertice dell'angolo col centro della circonferenza ed il suo primo lato col semiasse positivo delle ascisse:
Definizione di tangente di un angolo
Dato un angolo α sulla circonferenza goniometrica consideriamo la retta t tangente la circonferenza nel punto S(1,0) e sia T il punto di intersezione tra tale retta ed il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento).
Come possiamo osservare nell'immagine seguente, se il secondo lato dell'angolo α cade nel primo o nel quarto quadrante, ossia se 0≤α<90° oppure 270°<α≤360°, allora è proprio il secondo lato dell'angolo ad intersecare la retta t. Se invece il secondo lato dell'angolo giace nel secondo o nel terzo quadrante, cioè se 90°<α<270°, allora sarà il suo prolungamento ad incontrare la retta t.
Si definisce tangente dell'angolo α l'ordinata del punto T dato dall'intersezione tra il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento) e la retta tangente la circonferenza nel punto (1,0). In formule:
tan(α) = y_T
Come si può notare dalla figura precedente, se il secondo lato dell'angolo α cade sull'asse y, ossia se α=90° oppure α=270°, allora tale lato sarà parallelo alla retta t e quindi non vi sarà alcun punto di intersezione tra tale retta ed il lato dell'angolo. Conseguentemente, come avremo modo di approfondire nel prosieguo della lezione, per α=90° e per α=270° non è definito alcun valore della tangente.
Definizione di tangente con seno e coseno
In modo del tutto analogo e sempre partendo dalla circonferenza goniometrica si può definire la tangente di un angolo come il rapporto tra il seno ed il coseno dello stesso angolo. In formule:
tan(α) = (sin(α))/(cos(α)), per ogni α ≠ 90°+k180°, k∈Z
Per capire da dove deriva la precedente relazione disegniamo ancora una volta un angolo α (con α≠90° e α≠270°) sulla circonferenza goniometrica, e sia t la retta tangente la circonferenza nel punto S(1,0).
Indichiamo con P il punto di intersezione tra il secondo lato e la circonferenza, e T l'intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la retta t. Infine chiamiamo Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi coordinati.
Sappiamo che
OR = cos(α), OQ = PR = sin(α), y_T = TS = tan(α)
Consideriamo ora i due triangoli di vertici ORP e OST:
Essi sono triangoli simili, infatti hanno i tre angoli uguali:
- l'angolo α è in comune,
- entrambi sono triangoli rettangoli;
- la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, dunque anche i due angoli restanti saranno uguali.
In particolare i lati di triangoli simili sono ordinatamente in proporzione, quindi vale la relazione seguente:
(TS)/(OS) = (PR)/(OR)
Osservando che OS è un raggio della circonferenza e ricordando che la circonferenza ha raggio unitario, si ha
(tan(α))/(1) = (sin(α))/(cos(α))
ossia
tan(α) = (sin(α))/(cos(α))
ed ecco che abbiamo ottenuto la definizione di tangente con seno e coseno. :)
Definizione di cotangente di un angolo
Ancora una volta, per dare la definizione di cotangente, partiamo da un angolo α sulla circonferenza goniometrica ma, questa volta, consideriamo la retta c tangente la circonferenza nel punto A(0,1). Sia C il punto di intersezione tra tale retta ed il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento).
Nella seguente immagine possiamo osservare che se il secondo lato dell'angolo α cade nel primo o nel secondo quadrante, ossia se 0<α<180°, allora è proprio il secondo lato dell'angolo ad intersecare la retta c. Se invece il secondo lato dell'angolo giace nel terzo o nel quarto quadrante, cioè se 180°<α<360°, allora sarà il suo prolungamento ad incontrare la retta c.
Si definisce cotangente dell'angolo α l'ascissa del punto C dato dall'intersezione tra il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento) e la retta tangente la circonferenza nel punto (0,1), ossia
cot(α) = x_C
È immediato verificare che, se il secondo lato dell'angolo α cade sull'asse x, ossia se α=0°=360° oppure α=180°, allora non vi sarà alcun punto di intersezione tra la retta c ed il secondo lato dell'angolo. Perciò, per α=0° (oppure per α=360°) e per α=180° non è definito alcun valore della cotangente.
Definizione di cotangente con seno e coseno
Come dimostreremo tra poco, la cotangente di un angolo è data dal rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo. In formule:
cot(α) = (cos(α))/(sin(α)), per ogni α ≠ k180°, k∈Z
Disegniamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica, con α≠180° e α≠360°, e sia c la retta tangente la circonferenza nel punto A(0,1).
Chiamiamo P il punto di intersezione tra il secondo lato e la circonferenza, C l'intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la retta c, Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi y ed x.
Consideriamo ora i due triangoli rettangoli di vertici OAC e OQP che sono simili in quanto hanno tutti e tre gli angoli congruenti. Pertanto possiamo scrivere la seguente proporzione tra lati omologhi:
(AC)/(OA) = (QP)/(OQ)
Ora:
AC = cot(α), OA = 1, QP = OR = cos(α), OQ = sin(α)
Sostituendo nella relazione precedente otteniamo
cot(α) = (cos(α))/(sin(α))
che è proprio la definizione di cotangente come rapporto tra coseno e seno.
Principali valori di tangente e cotangente
Non è necessario ricordare a memoria i valori notevoli di tangente e cotangente. Grazie alle definizioni che abbiamo dato poco fa
tan(α) = (sin(α))/(cos(α)), cot(α) = (cos(α))/(sin(α))
per ricavare tangente e cotangente degli angoli notevoli è sufficiente ricordare i valori del seno e del coseno in corrispondenza di tali angoli.
Esempio
Se α=π/6, sapendo che il seno di 30 vale 1/2 e che il coseno di 30 vale √3/2 possiamo ricavare immediatamente il valore della tangente e della cotangente di 30 gradi:
tan((π)/(6)) = tan(30°) = (sin(30°))/(cos(30°)) = ((1)/(2))/((√(3))/(2)) = (1)/(2)·(2)/(√(3)) = (1)/(√(3)) = (√(3))/(3) ; cot((π)/(6)) = cot(30°) = (cos(30°))/(sin(30°)) = ((√(3))/(2))/((1)/(2)) = (√(3))/(2)·2 = √(3)
Ad ogni modo, nella tabella qui sotto sono riportati i valori di seno, coseno, tangente e cotangente per i principali angoli espressi sia in gradi che in radianti.
α in gradi | α in radianti | sin(α) | cos(α) | tan(α) | cot(α) |
0° | 0 | 0 | 1 | 0 | not ∃ |
30° | (π)/(6) | (1)/(2) | (√(3))/(2) | (√(3))/(3) | √(3) |
45° | (π)/(4) | (√(2))/(2) | (√(2))/(2) | 1 | 1 |
60° | (π)/(3) | (√(3))/(2) | (1)/(2) | √(3) | (√(3))/(3) |
90° | (π)/(2) | 1 | 0 | not ∃ | 0 |
180° | π | 0 | −1 | 0 | not ∃ |
270° | (3π)/(2) | −1 | 0 | not ∃ | 0 |
360° | 2π | 0 | 1 | 0 | not ∃ |
Se vi interessa la tabella completa dei principali valori delle funzioni goniometriche - click!
Perché tangente e cotangente non sono definite per certi angoli?
Come abbiamo già accennato e come avrete certamente notato nella precedente tabella, per alcuni angoli il valore per la tangente e per la cotangente non è definito.
Il motivo è presto detto: le definizioni di tangente e cotangente si basano su dei rapporti
tan(α) = (sin(α))/(cos(α)) ; cot(α) = (cos(α))/(sin(α))
e noi sappiamo bene che non si può dividere per zero. Dunque, tangente e cotangente non sono definite per i valori dell'angolo α che annullano il rispettivo denominatore.
In particolare, poiché il coseno di un angolo α si annulla per α = (π)/(2)+kπ allora la tangente di α non è definita per tali valori dell'angolo, ossia
tan(α) = (sin(α))/(cos(α)) per ogni α ≠ (π)/(2)+kπ, k ∈ Z
Allo stesso modo, visto che il seno di un angolo α si annulla per α = kπ allora
cot(α) = (cos(α))/(sin(α)) per ogni α ≠ kπ, k ∈ Z
Per saperne di più: tangente di 90 gradi - click!
Le funzioni tangente e cotangente
Le informazioni raccolte finora sono il punto da cui partire per poter tracciare il grafico delle due funzioni tangente e cotangente. Facciamo un piccolo riepilogo:
A) La funzione tangente non è definita per α = (π)/(2)+kπ, ossia il dominio della funzione tangente è
Dom[tan] = R−{(π)/(2)+kπ}, k ∈ Z
Mentre la funzione cotangente ha come dominio
Dom[cot] = R−{kπ}, k ∈ Z
Entrambe le funzioni hanno invece come immagine l'insieme R dei numeri reali.
B) Chi ha già confidenza con i limiti (argomento di quinta superiore) saprà che
lim_(x → ((π)/(2))^+) tan(x) = −∞ lim_(x → ((π)/(2))^−) tan(x) = +∞ ; lim_(x → 0^+)cot(x) = +∞ lim_(x → 0^−) cot(x) = −∞
C) Fissato un angolo α compreso tra 0 e 2π, se a tale angolo sommiamo o sottraiamo π otterremo un nuovo angolo la cui tangente e la cui cotangente coincidono con quella dell'angolo α. In simboli scriveremo
tan(α) = tan(α+kπ) per qualsiasi k ∈ Z ; cot(α) = cot(α+kπ) per qualsiasi k ∈ Z
Da qui deduciamo che le funzioni tangente e cotangente sono funzioni periodiche di periodo π.
Naturalmente chi è agli esordi con lo studio della Trigonometria può e deve prendere tali grafici per buoni, e usarli come banco di prova per la lettura delle informazioni analitiche. Anzi: un buon esercizio prevede proprio di riconoscere tutte le proprietà che abbiamo elencato, a partire dalla definizione, semplicemente consultando il grafico.
Grafico della funzione tangente
Per approfondire tutte le proprietà analitiche della funzione tangente - click!
Grafico della funzione cotangente
Per approfondire le varie proprietà analitiche della funzione cotangente - click!
È davvero tutto! In caso di necessità potete trovare tantissimi esercizi svolti e spiegati qui su YouMath, non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)
Bye bye, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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