EDICIÓN REVISADA STEWART El contenido de la obra que tiene usted en sus manos, Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas, se ha reorganizado de manera tal que los profesores puedan enseñar las funciones trascendentes (más que simples funciones trigonométricas) antes de pasar a la integral. Además, el autor desarrolla el texto basándose en lo que él llama regla de tres, es decir, plantea que “los temas deben presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica”. El énfasis en la solución de problemas, la meticulosa exactitud, las pacientes explicaciones y los conjuntos de problemas cuidadosamente graduados son conceptos que identifican este texto clásico de cálculo. Sexta edición Características • La obra tiene una presentación clara y selectiva. El autor conduce al estudiante a lo largo de un material crucial mediante una forma sencilla, correcta y analítica. • Se han incorporado nuevos ejercicios que van desde un nivel básico hasta los muy complicados, para obligar la práctica y adquisición de habilidades (incluyendo problemas para software y calculadora graficadora). • En el texto se enfatiza la importancia de la solución de problemas, en el apartado “Principios para la resolución de problemas”, además de las conocidas y aumentadas secciones de “Problemas adicionales”. Estamos seguros de que esta excelente obra será para usted una herramienta fundamental en la enseñanza y/o aprendizaje del Cálculo. EDICIÓN REVISADA JAMES STEWART Sexta edición Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iv Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page i CÁ L C U L O DE UNA VARIABLE Trascendentes tempranas S E X TA E D I C I Ó N (Edición revisada) J A M E S S T E WA RT McMASTER UNIVERSITY Traducción: Jorge Humber to Romo M. Traductor Profesional Revisión técnica: Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Instituto Politécnico Nacional M. en C . Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page ii Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas, Sexta edición James Stewart Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Javier Arellano Gutiérrez Director general México y Centroamérica: Pedro Turbay Garrido Director editorial Latinoamérica: José Tomás Pérez Bonilla Director de producción: Raúl D. Zendejas Espejel Coordinadora editorial: María Rosas López Editor de desarrollo: Sergio R. Cervantes González Editor de producción: Timoteo Eliosa García Ilustrador: Brian Betsill Composición tipográfica: Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V. © D.R. 2008 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe, núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Single Variable Calculus: Early Trascendentals, Sixth Edition Publicado en inglés por Thomson/Brooks/Cole © 2008 ISBN: 0-495-01169-X Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas Sexta edición ISBN-13: 978-607-481-317-3 ISBN-10: 607-481-317-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iii PARA SALLY Y DON PARA ALAN Y SHARON PARA KELLY, KIM Y CALLUM PARA JACKIE Y NINO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iv CONTENIDO Prefacio xi Al estudiante xix Exámenes de diagnóstico xx PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 10 1.1 Cuatro maneras de representar una función 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones básicas 1.3 Funciones nuevas a partir de funciones antiguas 1.4 Calculadoras graficadoras y computadoras 1.5 Funciones exponenciales 1.6 Funciones inversas y logaritmos Repaso 11 37 46 59 73 LÍMITES Y DERIVADAS 76 82 2.1 La tangente y los problemas de la velocidad 2.2 Límite de una función 2.3 Cálculo de límites utilizando las leyes de los límites 2.4 Definición exacta de límite 2.5 Continuidad 2.6 Límites al infinito, asíntotas horizontales 2.7 Derivadas y razones de cambio 83 88 99 109 119 130 143 Redacción de proyecto Métodos anticipados para la búsqueda de tangentes & 2.8 La derivada como una función Repaso 24 52 Principios para la resolución de problemas 2 2 153 154 165 Problemas adicionales 170 v vi |||| CONTENIDO m=0 m=1 3 REGLAS DE DERIVACIÓN y 3.1 π 2 Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales Proyecto de aplicación Construcción de una montaña rusa m=_1 0 172 182 & π y 3.2 Las reglas del producto y el cociente 3.3 Derivadas de las funciones trigonométricas 3.4 La regla de la cadena 183 189 197 Proyecto de aplicación ¿Dónde debe un piloto iniciar un descenso? & 0 π 2 π 206 3.5 Derivación implícita 207 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 3.8 Crecimiento y decaimiento exponencial 3.9 Relaciones afines 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales & 3.11 Funciones hiperbólicas Repaso 215 233 247 253 254 261 Problemas adicionales 265 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 4.1 Valores máximos y mínimos 270 271 Proyecto de aplicación El cálculo de los arcoíris & 279 4.2 Teorema del valor medio 4.3 Manera en que las derivadas afectan la forma de una gráfica 4.4 Formas indeterminadas y la regla de l’Hospital 280 Redacción de proyecto Los orígenes de la regla de l‘Hospital & 4.5 Resumen de trazo de curvas 4.6 Trazado de gráficas con cálculo y calculadoras 4.7 Problemas de optimización & 4.8 Método de Newton 4.9 Antiderivadas 340 347 Problemas adicionales 351 334 298 307 307 322 Proyecto de aplicación La forma de una lata Repaso 221 241 Proyecto de laboratorio Polinomios de Taylor 4 173 333 315 287 CONTENIDO 5 INTEGRALES 354 5.1 Áreas y distancias 355 5.2 La integral definida 366 Proyecto para un descubrimiento Funciones de área & 379 5.3 El teorema fundamental del cálculo 379 5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio total Redacción de proyecto Newton, Leibniz y la invención del cálculo & 5.5 399 La regla de la sustitución 400 Repaso 408 Problemas adicionales 6 391 412 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 6.1 Áreas entre curvas 6.2 Volúmenes 6.3 Volúmenes mediante cascarones cilíndricos 6.4 Trabajo 6.5 Valor promedio de una función 414 415 422 433 438 442 Proyecto de aplicación ¿Dónde sentarse en las salas cinematográficas? & Repaso 446 Problemas adicionales 7 446 448 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 452 7.1 Integración por partes 453 7.2 Integrales trigonométricas 460 7.3 Sustitución trigonométrica 467 7.4 Integración de funciones racionales por fracciones parciales 7.5 Estrategia para integración 7.6 Integración por medio de tablas y sistemas algebraicos 483 Proyecto para un descubrimiento Patrones de integrales & 494 489 473 |||| vii viii |||| CONTENIDO 7.7 Integración aproximada 7.8 Integrales impropias Repaso 508 518 Problemas adicionales 8 495 521 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 8.1 Longitud de arco 524 525 Proyecto para un descubrimiento Concurso de la longitud de arco & 8.2 Área de una superficie de revolución 532 Proyecto para un descubrimiento Rotación sobre una pendiente & 8.3 Aplicaciones a la física y a la ingeniería & 8.4 Aplicaciones a la economía y a la biología 8.5 Probabilidad 9 550 555 562 Problemas adicionales 564 ECUACIONES DIFERENCIALES 566 9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 9.2 Campos direccionales y método de Euler 9.3 Ecuaciones separables 567 572 580 Proyecto de aplicación ¿Qué tan rápido drena un tanque? 588 Proyecto de aplicación ¿Qué es más rápido, subir o bajar? 590 & & 9.4 Modelos de crecimiento poblacional Proyecto de aplicación Cálculo y béisbol & 9.5 Ecuaciones lineales 9.6 Sistemas depredador-presa Repaso 614 Problemas adicionales 618 602 608 601 538 539 Proyecto para un descubrimiento Tazas de café complementarias Repaso 532 591 550 CONTENIDO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 10.1 Curvas definidas por ecuaciones paramétricas 621 Proyecto de laboratorio Círculos que corren alrededor de círculos & 10.2 Cálculo con curvas paramétricas 630 Proyecto de laboratorio Curvas de Bézier 639 & 10.3 Coordenadas polares 10.4 Áreas y longitudes en coordenadas polares 10.5 Secciones cónicas 10.6 Secciones cónicas en coordenadas polares Repaso 639 654 662 672 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 11.1 650 669 Problemas adicionales 11 629 Sucesiones 674 675 Proyecto de laboratorio Sucesiones logísticas & 687 11.2 Series 687 11.3 La prueba de la integral y estimaciones de las sumas 11.4 Pruebas por comparación 11.5 Series alternantes 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 11.7 Estrategia para probar series 11.8 Series de potencias 11.9 Representaciones de las funciones como series de potencias 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 705 710 723 & 734 748 Redacción de proyecto Cómo descubrió Newton la serie binomial & Aplicaciones de los polinomios de Taylor 749 Proyecto de aplicación Radiación proveniente de las estrellas & Repaso 758 Problemas adicionales 761 714 721 Proyecto de laboratorio Un límite escurridizo 11.11 697 757 748 728 |||| 620 ix x |||| CONTENIDO APÉNDICES A1 A Números, desigualdades y valores absolutos B Geometría de coordenadas y rectas C Gráficas de ecuaciones de segundo grado D Trigonometría E Notación sigma F Pruebas de teoremas G El logaritmo definido como una integral H Números complejos I Respuestas a ejercicios de número impar ÍNDICE A113 A2 A10 A16 A24 A34 A39 A48 A55 A63 Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xi PREFACIO Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. El problema del lector puede ser modesto, pero desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas; si lo resuelve por sí solo puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento. G E O R G E P O LYA El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar en un descubrimiento. He tratado de escribir un libro que ayude a estudiantes a descubrir el cálculo, por su poder práctico y sorprendente belleza. En esta edición, al igual que en las primeras cinco ediciones, mi meta es expresar al estudiante un sentido de la utilidad del cálculo y desarrollar competencia técnica en él, pero también me esfuerzo en dar alguna apreciación de la belleza intrínseca de esta materia. Es indudable que Newton experimentó una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Mi deseo es que el estudiante comparta en algo esa emoción. El énfasis está en entender conceptos. Creo que casi todos estamos de acuerdo en que ésta debe ser el objetivo principal de aprender cálculo. De hecho, el ímpetu para el actual movimiento de reforma del cálculo provino de la Conferencia de Tulane de 1986, que formuló como su primera recomendación: Concentrarse en entender conceptos He tratado de poner en práctica esta meta a través de la Regla de Tres: “Los temas deben presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica.” La visualización, la experimentación numérica y gráfica, y otros métodos, han cambiado de modo fundamental la forma en que enseñamos el razonamiento conceptual. Más recientemente, la Regla de Tres se ha expandido para convertirse en la Regla de Cuatro al resaltar también el punto de vista verbal, o descriptivo. Al escribir la sexta edición, mi promesa ha sido que es posible lograr la comprensión de conceptos y retener todavía las mejores tradiciones del cálculo tradicional. El libro contiene elementos de reforma, pero dentro del contexto de un currículo tradicional. VERSIONES ALTERNATIVAS He escrito otros libros de cálculo diversos que podrían ser preferidos por algunos profesores. Casi todos ellos vienen en versiones de una variable y de varias variables. & & & Cálculo, Sexta edición, es semejante al presente libro con excepción de que las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el segundo semestre. Cálculo esencial es un libro mucho más breve (800 páginas), aun cuando contiene casi todos los temas del presente libro. La brevedad relativa se alcanza por medio de exposiciones más breves de algunos temas y poniendo algunos elementos en el sitio web. Cálculo esencial: Primeras trascendentales se asemeja al Cálculo esencial, pero las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el Capítulo 3. xi Preliminares.qk xii |||| 06/04/2009 17:38 Page xii PREFACIO & & Cálculo: conceptos y contextos, Tercera edición, destaca la comprensión de conceptos con más vehemencia incluso que este libro. El tratamiento de temas no es enciclopédico, y el material sobre funciones trascendentales y sobre ecuaciones paramétricas se entrelaza en todo el libro, en lugar de tratarlo en capítulos separados. Cálculo: primeros vectores introduce vectores y funciones vectoriales en el primer semestre y los integra en todo el libro. Es apropiado para estudiantes que toman cursos de ingeniería y física de modo concurrente con cálculo. LO NUEVO EN LA SEXTA EDICIÓN Veamos a continuación algunos de los cambios para la sexta edición de Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas: & & & & & & Al principio del libro hay cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría. Se dan las respuestas y el estudiante que no lo haga bien se remite a donde pueda buscar ayuda (Apéndices, secciones de repaso del Capítulo 1, y la web). En respuesta a las peticiones de diversos usuarios, el material que motiva la derivada es más breve: las Secciones 2.7 y 2.8 se combinan en una sola sección llamada Derivadas y Magnitudes de Rapidez de Cambio. La sección de Derivadas de Orden Superior del Capítulo 3 ha desaparecido y ese material está integrado en varias secciones de los Capítulos 2 y 3. Los profesores que no cubren el capítulo sobre ecuaciones diferenciales han comentado que la sección sobre Crecimiento y Decadencia Exponenciales estaba ubicada en un lugar inadecuado. De conformidad con esto, se ha cambiado al principio del libro, al Capítulo 3. Este movimiento precipita una reorganización de los Capítulos 3 y 9. Las Secciones 4.7 y 4.8 se unen en una sola sección, con un tratamiento más breve de problemas de optimización en finanzas y economía. Las Secciones 11.10 y 11.11 se unen en una sola. Previamente, yo había descrito la serie del binomio en su propia sección para destacar su importancia pero me enteré que algunos profesores estaban omitiendo esta sección, de modo que decidí incorporar la serie del binomio en la 11.10. & Se han agregado nuevas frases y notas marginales para aclarar la exposición. & Se han vuelto a dibujar nuevas figuras. & Los datos en ejemplos y ejercicios se han actualizado para ser más oportunos. & & & & & Numerosos ejemplos se han agregado o cambiado. Por mencionar alguno, el Ejemplo 2 de la página 185 se cambió porque era frecuente que los estudiantes se desconcertaran al ver constantes arbitrarias en un problema, por lo que quise dar un ejemplo en el que se presentan. Se han incluido pasos adicionales en algunos de los problemas existentes. Más del 25% de los ejercicios de cada uno de los capítulos es nuevo. He aquí algunos de mis favoritos: 3.1.79, 3.1.80, 4.3.62, 4.3.83 y 11.11.30. También hay algunos buenos problemas nuevos en las secciones de Problemas Adicionales. Observen, por ejemplo, los Problemas 2 y 13 de la página 413, el Problema 13 de la página 450, y el Problema 24 de la página 763. El nuevo proyecto de la página 550, Tazas de café complementarias, proviene de un artículo de Thomas Banchoff en el que él se preguntaba cuál de dos tazas de café, cuyos perfiles convexo y cóncavo ajustaban perfectamente, contendría más café. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xiii PREFACIO & |||| xiii El capítulo de Herramientas para Enriquecer el Cálculo (TEC, por sus siglas en inglés) se ha rediseñado por completo y está accesible en el Internet en www.stewartcalculus.com. Ahora incluye lo que llamamos visuales, que son breves animaciones de diversas figuras del texto. Vea la descripción en la página 14. SECCIONES EJERCICIOS CONCEPTUALES La forma más importante de favorecer la comprensión de conceptos es por medio de los problemas que dejamos de tarea, para cuyo fin hemos ideado diversos tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios empiezan con peticiones para que el estudiante explique los significados de los conceptos básicos de la sección. (Vea, por ejemplo, los primeros ejercicios de las Secciones 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repaso empiezan con una Revisión de Conceptos y Preguntas de Verdadero-Falso. Otros ejercicios someten a prueba la comprensión de conceptos mediante gráficas o tablas (vea Ejercicios 2.7.17, 2.8.33-38, 2.8.41-44, 9.1.11-12, 10.1.24-27 y 11.10.2). Otro tipo de ejercicio emplea la descripción verbal para probar la comprensión de conceptos (Vea Ejercicios 2.5.8, 2.8.56, 4.3.63-64 y 7.8.67). En lo particular, valoro los problemas que combinan y comparan métodos gráficos, numéricos y algebraicos (vea Ejercicios 2.6.37-38, 3.7.25 y 9.4.2). CONJUNTO DE EJERCICIOS CALIFICADOS Cada uno de los conjuntos de ejercicios se califica cuidadosamente, avanzando desde ejercicios básicos de conceptos y problemas para desarrollo de habilidades hasta problemas de mayor grado de dificultad que comprenden aplicaciones y pruebas. DATOS REALES Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo en bibliotecas, en empresas y oficinas gubernamentales, y buscando información real en Internet para presentar, motivar e ilustrar los conceptos de cálculo. Como resultado de esto, muchos de los problemas y ejercicios hablan de funciones definidas por esta información numérica o gráficas. Vea, por ejemplo, la Figura 1 de la Sección 1.1 (sismógrafos del terremoto en Northridge), el Ejercicio 2.8.34 (porcentaje de población de menos de 18 años), el Ejercicio 5.1.14 (velocidad del transbordador espacial Endeavour), y la Figura 4 de la Sección 5.4 (consumo de energía eléctrica en San Francisco). PROYECTOS Un modo de interesar a estudiantes y hacerlos lectores activos es hacerlos trabajar (quizá en grupos) en proyectos prolongados que den la sensación de un logro importante cuando se terminen. He incluido cuatro clases de proyectos: Proyectos de Aplicación que comprenden aplicaciones diseñadas para apelar a la imaginación de estudiantes. El proyecto después de la Sección 9.3 pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda más en alcanzar su altura máxima o en caer a su altura original. (La respuesta podría sorprenderlo.) Los Proyectos de Laboratorio se refieren a tecnología; el que sigue de la Sección 10.2 muestra cómo usar curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras para una impresora láser. Los Redacción de Proyectos piden a estudiantes comparar métodos actuales con los de los fundadores del cálculo: el método de Fermat para hallar tangentes, por ejemplo. Se sugieren referencias. Los Proyectos para un Descubrimiento anticipan resultados que se discuten más adelante o estimulan el descubrimiento por medio del reconocimiento de figuras (vea la que sigue a la Sección 7.6). Se pueden hallar proyectos adicionales en la Guía del Profesor (vea, por ejemplo, el Ejercicio 5.1 de Grupo: Posición desde muestras). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Es común que los estudiantes tengan dificultades con problemas para los que no hay un solo procedimiento bien definido para obtener una respuesta. Pienso que no hay nadie que haya mejorado en mucho la estrategia de George Polya para la resolución de problemas en cuatro etapas y, de conformidad con esto, he incluido una versión de sus principios para la resolución de problemas después del Capítulo 1. Se aplican, tanto implícita como Preliminares.qk xiv |||| 06/04/2009 17:38 Page xiv PREFACIO explícitamente, en todo el libro. Después de los otros capítulos he puesto secciones llamadas Problemas Adicionales, que presentan ejemplos de cómo atacar los desafiantes problemas de cálculo. Al seleccionar los diversos problemas para estas secciones, siempre tuve presente el consejo de David Hilbert: “Un problema matemático debe ser difícil para convencernos, pero no inaccesible como para frustrarnos.” Cuando pongo estos desafiantes problemas en tareas y exámenes los califico de forma diferente. Aquí recompenso muy bien a un estudiante por sus ideas hacia una solución y por reconocer cuáles principios de resolución de problemas son relevantes. TECNOLOGÍA La disponibilidad de tecnología no hace menos importante sino más importante entender claramente los conceptos que son las bases de las imágenes que aparecen en pantalla. Cuando se usan en forma adecuada, las calculadoras de gráficas y las computadoras son poderosas herramientas para descubrir y entender esos conceptos. Este texto se puede usar con o sin tecnología y aquí uso dos símbolos especiales para indicar con claridad cuándo se requiere un tipo particular de máquina. El icono ; indica un ejercicio que en forma definitiva requiere el uso de esta tecnología, pero no es para indicar que no se puede usar también en los otros ejemplos. El símbolo CAS se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos de un sistema computarizado de álgebra (como Derive, Maple, Mathematica o TI-89/92). Con todo, la tecnología no deja obsoletos al lápiz y papel. A veces son preferibles los cálculos y dibujos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de decidir cuándo es apropiada la mano o una máquina. TOOLS FOR ENRICHING CALCULUS El TEC es un compañero de este libro de texto y está pensado para enriquecer y complementar su contenido. (Ahora está accesible por Internet en www.stewartcalculus.com.) Creado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por mí, el TEC utiliza un método de descubrimiento y exploración. En algunas secciones de este libro en donde la tecnología es particularmente apropiada, los iconos situados a los márgenes dirigen a estudiantes a módulos del TEC que dan un ambiente de laboratorio en el que pueden explorar el tema en formas diferentes y a niveles diferentes. Visual son animaciones de figuras del texto; Module son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden escoger participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente estimular al estudiante a usar Visual y Module para exploración independiente, hasta asignar ejercicios específicos de los incluidos en cada Module, o para crear ejercicios adicionales, laboratorios y proyectos que hacen uso de Visual y Module. El TEC también incluye Homework Hints para ejercicios representativos (por lo general de números impares) en cada una de las secciones de este libro, indicados al imprimir en rojo el número del ejercicio. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas y tratan de imitar un asistente efectivo de enseñanza al funcionar como profesor particular silencioso. Los ejercicios están construidos para no revelar más de la solución real de lo que es el mínimo necesario para avanzar más. W EB A SSIGN MEJORADO La tecnología está teniendo impacto en la forma en que se asignan tareas a estudiantes, sobre todo en grupos numerosos. El uso de tareas en línea es creciente y su interés depende de la facilidad de uso, precisión en calificación y confiabilidad. Con la sexta edición hemos estado trabajando con la comunidad de cálculo y WebAssign para crear un sistema de tareas en línea. Hasta 70% de los ejercicios de cada sección son asignables a tareas en línea, incluyendo formatos de respuesta libre, opción múltiple y partes diversas. Algunas preguntas son problemas de partes diversas sobre simulaciones de los Module del TEC. El sistema también incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados en el material didáctico paso a paso por ejemplos del texto, con vínculos al libro de texto y soluciones en video. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xv PREFACIO PÁGINA WEB www.stewartcalculus.com |||| xv Este sitio se ha renovado y ahora incluye lo siguiente: & Repaso de álgebra & Miente mi Calculadora y la Computadora me Dijo & Historia de las matemáticas, con vínculos a los mejores sitios web históricos & & & Temas adicionales (completos con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmulas para el resto del semestre en series de Taylor, rotación de ejes Problemas archivados (ejercicios de práctica que aparecieron en ediciones anteriores, junto con sus soluciones) Problemas de desafío (algunos de las secciones de Problemas especiales de ediciones anteriores) & Vínculos, para temas en particular, a fuentes externas de la Web & Las Tools for Enriching Calculus (TEC), Module, Visual y Homework Hints CONTENIDO Exámenes de diagnóstico El libro empieza con cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría. Presentación preliminar del cálculo Éste es un repaso del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del cálculo. 1 3 & Funciones y modelos Desde el principio, se destacan representaciones múltiples de funciones: verbales, numéricas, visuales y algebraicas. Un estudio de los modelos matemáticos lleva a un repaso de las funciones estándar, incluyendo funciones exponenciales y logarítmicas, desde estos cuatro puntos de vista. 2 & Límites y derivadas El material sobre límites está motivado por un examen ya anterior de problemas de la tangente y velocidad. Los límites se tratan aquí desde puntos de vista descriptivos, gráficos, numéricos y algebraicos. La Sección 2.4, que trata de la definición precisa de e-d de un límite, es una sección opcional. Las Secciones 2.7 y 2.8 se refieren a derivadas (en especial con funciones definidas gráfica y numéricamente) antes de tratar las reglas de derivación en el Capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los significados de derivadas en varios contextos. Las derivadas de orden superior se introducen ahora en la Sección 2.8. Reglas de derivación Todas las funciones básicas, incluyendo funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se derivan aquí. Cuando las derivadas se calculan en situaciones de aplicación, a los estudiantes se les pide explicar sus significados. El crecimiento y decaimiento exponenciales se tratan ahora en este capítulo. & 4 & Aplicaciones de la derivación 5 & Integrales Los datos básicos referentes a valores extremos y formas de curvas se deducen del Teorema del Valor Medio. Graficar con tecnología destaca la interacción entre cálculo y calculadoras y el análisis de familias de curvas. Se dan algunos problemas de optimización importante, incluyendo una explicación de por qué es necesario levantar la cabeza 42° para ver la parte superior de un arcoíris. El problema del área y el problema de la distancia sirven para motivar la integral definida, con la notación sigma introducida según sea necesario. (Un tratamiento completo de la notación sigma se da en el Apéndice E). Se hace énfasis en explicar los significados de integrales en diversos contextos y en estimar sus valores a partir de gráficas y tablas. Preliminares.qk xvi |||| 6 & 06/04/2009 Aplicaciones de la integración Aquí presento las aplicaciones de integración, es decir, área, volumen, trabajo, valor promedio, que razonablemente se pueden hacer sin técnicas especializadas de integración. Se destacan métodos generales. La meta es que los estudiantes puedan dividir una cantidad en partes pequeñas, estimar con sumas de Riemann y reconocer el límite como una integral. Técnicas de integración Se tratan todos los métodos estándar pero, por supuesto, el desafío real es ser capaz de reconocer cuál técnica se usa mejor en una situación dada. De conformidad con esto, en la Sección 7.5 presento una estrategia para integración. El uso de un sistema computarizado de álgebra se ve en la Sección 7.6. Más aplicaciones de la integración Aquí están las aplicaciones de integración —la longitud de arco y el área superficial— para las que es útil tener disponibles todas las técnicas de integración, así como aplicaciones a la biología, economía y física (fuerza hidrostática y centros de masa). También he incluido una sección sobre probabilidad. Hay aquí más aplicaciones de las que en realidad se puedan cubrir en un curso determinado. Los profesores deben seleccionar aplicaciones apropiadas para sus estudiantes y para las que ellos mismos puedan interesarse. Ecuaciones diferenciales La creación de modelos es el tema que unifica este tratamiento de introducción a las ecuaciones diferenciales. Los campos de dirección y el método de Euler se estudian antes que las ecuaciones separables y lineales se resuelvan de forma explícita, de manera que los métodos cualitativo, numérico y analítico reciben igual consideración. Estos métodos se aplican a los modelos experimental, logístico y otros para crecimiento poblacional. Las primeras cuatro de cinco secciones de este capítulo sirven como una buena introducción a ecuaciones diferenciales de primer orden. Una sección final opcional utiliza modelos de predador-presa para ilustrar sistemas de ecuaciones diferenciales. Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Este capítulo introduce curvas paramétricas y polares y aplica los métodos del cálculo a ellas. Las curvas paramétricas son bien apropiadas para proyectos de laboratorio; las dos que aquí se presentan comprenden familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve tratamiento de secciones cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el Capítulo 13. Sucesiones y series infinitas Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (vea página 697) así como pruebas formales. Las estimaciones numéricas de sumas de series están basadas en cuál prueba se usó para demostrar una convergencia. El énfasis está en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen los de aparatos de gráficas. & 8 9 10 & Page xvi PREFACIO 7 11 17:38 & & & MATERIAL AUXILIAR Cálculo: Trascendentes tempranas, Sexta edición, está apoyado por un conjunto completo de materiales auxiliares creados bajo mi dirección. Cada parte se ha diseñado para mejorar la comprensión del estudiante y para facilitar una enseñanza creativa. MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor, los cuales están disponibles en inglés y sólo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para mayor información, póngase en contacto con el área de servicio a clientes en las siguientes direcciones de correo electrónico: Cengage Learning México y Centroamérica Cengage Learning Caribe clientes.mexicoca@cengage.com clientes.caribe@cengage.com Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xvii PREFACIO Cengage Learning Cono Sur Cengage Learning Pacto Andino |||| xvii clientes.conosur@cengage.com clientes.pactoandino@cengage.com Los recursos disponibles se encuentran disponibles en el sitio web del libro: http://latinoamerica.cengage.com/stewart6 Las direcciones de los sitios web referidas en el texto no son administradas por Cengage Learning Latinoamérica, por lo que ésta no es responsable de los cambios o actualizaciones de las mismas. REVISIÓN DE LA SEXTA EDICIÓN Marilyn Belkin, Villanova University Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Frederick Gass, Miami University Nets Katz, Indiana University Bloomington James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona Lila Roberts, Georgia College and State University Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University He sido muy afortunado por haber trabajado con algunos de los mejores editores de matemáticas en el negocio por más de dos décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt y ahora, Bob Pirtle. Bob continúa en esta tradición de editores quienes mientras escuchan consejos y ofrecen una amplia ayuda, confían en mis instintos y me permiten escribir los libros que deseo escribir. JAMES STEWART AGRADECIMIENTOS Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboración de los profesores: Dr. Manuel Álvarez Blanco, MSc. José Ignacio Cuevas Gonzáles y MSc. Eduardo Fernandini Capurro, Profesores Principales del Área de Ciencias, de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC) miembro del grupo Laureate International Universities, en la revisión de esta sexta edición en español. ATENTAMENTE , L OS E DITORES . Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xviii Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xix AL ESTUDIANTE Leer un libro de cálculo es diferente a leer un periódico o una novela, o incluso un libro de física. No se desanime si tiene que leer un pasaje más de una vez para entenderlo. Debe tener lápiz, papel y calculadora a la mano para bosquejar un diagrama o hacer un cálculo. Algunos estudiantes empiezan por tratar sus problemas de tarea y leen el texto sólo si se atoran en un ejercicio. Sugiero que un plan mucho mejor es leer y entender una sección del texto antes de abordar los ejercicios. En particular, el estudiante debe leer las definiciones para ver los significados exactos de los términos. Y antes de leer cada ejemplo, sugiero que llegue hasta la solución y trate de resolver el problema por sí mismo. Obtendrá mucho más de ver la solución si lo hace así. Parte de la meta de este curso es capacitar al estudiante para pensar de una manera lógica. Aprenda a escribir las soluciones de los ejercicios de un modo enlazado y paso a paso con frases explicativas, no sólo una hilera de ecuaciones o fórmulas desconectadas. Las respuestas a los ejercicios de números impares aparecen al final de este libro, en el apéndice I. Algunos ejercicios piden una explicación verbal o interpretación o descripción. En estos casos no una sola forma correcta de expresar la respuesta, de modo que no se preocupe por no hallar la respuesta definitiva. Además, a veces hay varias formas diferentes en las cuales se expresa una respuesta numérica o algebraica, de modo que si su respuesta difiere de la mía no suponga de inmediato que está en un error. Por ejemplo, si la respuesta dada en la parte final de este libro es s2  1 y usted obtiene 11  s2, entonces tiene razón y racionalizar el denominador demostrará que las respuestas son equivalentes. El icono ; indica un ejercicio que definitivamente requiere el uso ya sea de una calculadora de gráficas o una computadora con software de gráficas. Con todo, esto no significa que los aparatos de gráficas no se puedan usar para comprobar el trabajo en los otros ejercicios. El símbolo CAS se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos de un sistema computarizado de álgebra (como el Derive, Maple, Mathematica, o la TI-89/92). También encontrará el símbolo | que advierte para no cometer un error. He puesto este símbolo en márgenes en situaciones donde he observado que una gran parte de mis estudiantes tienden a cometer el mismo error. Al Tools for Enriching Calculus, que es compañero de este libro, se hace referencia mediante el símbolo TEC y se puede tener acceso al mismo en www.stewartcalculus.com. Dirige al estudiante a módulos en los que puede explorar aspectos de cálculo para los que la computadora es particularmente útil. El TEC también da Homework Hints para ejercicios representativos que están indicados con un número de ejercicio impreso en rojo: 15. . Estas sugerencias de tarea hacen preguntas al estudiante que le permiten avanzar hacia una solución sin dar en realidad su respuesta. El lector tiene que seguir cada una de las sugerencias de una manera activa con papel y lápiz para trabajar los detalles. Si una sugerencia en particular no lo hace capaz de resolver un problema, puede hacer clic para ver la siguiente sugerencia. Recomiendo que conserve este libro como referencia después que termine el curso. Debido a que es probable que el lector olvide algunos de los detalles específicos del cálculo, el libro servirá como un útil recordatorio cuando necesite usar cálculo en cursos subsiguientes. También, como este libro contiene más material del que se puede cubrir en cualquier curso, puede servir como un valioso recurso para cualquier científico o ingeniero. El cálculo es una materia extraordinaria, justamente considerada como uno de los mayores logros de la mente humana. Espero que el lector descubra que no es sólo útil sino también intrínsecamente hermoso. JAMES STEWART xix Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xx EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO El éxito en cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticas que preceden al cálculo: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Los exámenes que siguen tienen el propósito de diagnosticar los puntos débiles que el lector pudiera tener en estos campos del conocimiento y, después de tomar cada uno de estos exámenes, puede verificar sus respuestas contra las respuestas dadas. Además, si es necesario, puede recordar o actualizar sus conocimientos si consulta los materiales de repaso que también se dan aquí. A E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : Á L G E B R A 1. Sin usar calculadora, evalúe cada una de estas expresiones. (b) 34 (a) (3)4 (d) 523 521 (e)  2 3 2 (c) 34 (f) 163/4 2. Simplifique estas expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos. (a) s200  s32 (b) (3a3b3)(4ab2)2 (c)   3x32y3 x2y12 2 3. Expanda y simplifique. (a) 3(x  6)  4(2x  5) (b) (x  3)(4x  5) (c) sa  sbsa  sb (d) (2x  3)2 (e) (x  2)3 4. Factorice estas expresiones. (a) 4x2  25 (b) 2x2  5x  12 (c) x3  3x2  4x  12 (d) x4  27x (e) 3x3/2  9x1/2  6x1/2 (f) x3y  4xy 5. Simplifique la expresión racional. (a) x2  3x  2 x2  x  2 x1 x2 (c) 2  x 4 x2 xx (b) 2x2  x  1 x  3  x2  9 2x  1 y x  x y (d) 1 1  y x Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxi EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO |||| 6. Racionalice la expresión y simplifique. (a) s10 s5  2 (b) s4  h  2 h 7. Complete el cuadrado de lo siguiente. (a) x2  x  1 (b) 2x2  12x  11 8. Resuelva la ecuación. (Encuentre sólo las soluciones reales.) (c) x2  x  2  0 2x 2x  1  x1 x (d) 2x2  4x  1  0 (e) x4  3x2  2  0 (f) 3 x  4  10 (a) x  5  14  2x 1 12 (g) 2x4  x (b)    3s4  x  0 9. Resuelva estas desigualdades, use notación de intervalo. (a) 4  5  3x  17 (b) x2  2x  8 (c) x(x  1)(x  2)  0 (d) x  4  3 2x  3 (e) x1   1 10. Exprese si cada una de estas ecuaciones es verdadera o falsa. (a) (p  q)2  p2  q2 (b) sab  sa sb (c) sa2  b2  a  b (d) 1  TC 1T C (f) 1x 1  ax  bx ab (e) 1 1 1   xy x y R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E P R U E B A A : Á L G E B R A (b) 81 1. (a) 81 (d) 25 (e) (c) 811 9 4 (f) 5 7 2. (a) 6s2 (b) 48a b 3. (a) 11x  2 (b) 4x2  7x  15 1 8 (c) x 9y7 (c) a  b (d) 4x  12x  9 (e) x3  6x2  12x  8 2 4. (a) (2x  5)(2x  5) (c) (x  3)(x  2)(x  2) 1/2 (e) 3x (x  1)(x  2) x2 x2 1 (c) x2 5. (a) 1 s4  h  2 6. (a) 5s2  2s10 (b) 7. (a) x  22  (b) 2(x  3)2  7 1 3 4 8. (a) 6 (d) 1 (g) (c) 3, 4 (b) 1 1 2 s2 (e) 1 s2 2 22 3 (f) 3, 12 5 (b) (2x  3)(x  4) (d) x(x  3)(x2  3x  9) (f) xy(x  2)(x  2) (b) x1 x3 (d) (x  y) 9. (a) [4, 3) (b) (2, 4) (c) (2, 0) ª (1, ) (d) (1, 7) (e) (1, 4] 10. (a) Falsa (d) Falsa (b) Verdadera (e) Falsa Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. (c) Falsa (f) Verdadera xxi Examen de diagnóstico xxii |||| B 06/04/2009 17:41 Page xxii EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : G O M E T R Í A A N A L Í T I C A 1. Encuentre una ecuación para la recta que pasa por el punto (2, 5) y (a) tiene pendiente 3 (b) es paralela al eje x (c) es paralela al eje y (d) es paralela a la recta 2x  4y  3 2. Encuentre una ecuación para el círculo que tiene centro en (1, 4) y pasa por el punto (3, 2). 3. Encuentre el centro y radio del círculo con ecuación x2  y2  6x  10y  9  0. 4. Sean A(7, 4) y B(5, 12) puntos en el plano. (a) Encuentre la pendiente de la recta que contiene A y B. (b) Encuentre una ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son los puntos de intersección con los ejes? (c) Encuentre el punto medio del segmento AB. (d) Encuentre la longitud del segmento AB. (e) Encuentre una ecuación de la perpendicular que biseca a AB. (f) Encuentre una ecuación del círculo para el cual AB es un diámetro. 5. Trace la región en el plano xy definida por la ecuación o desigualdades.  (a) 1  y  3  (b) x  4 y y  2 (c) y  1  x (d) y (e) x  y  4 (f) 9x  16y2  144 1 2 2 2 x 1 2 2 R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O B : G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A 1. (a) y  3x  1 (c) x  2 (b) y  5 5. (a) (b) y (c) y y 3 (d) y  x  6 1 2 1 2 1 y=1- 2 x 0 2. (a) x  12  y  42  52 0 _4 x _1 4x 0 2 x _2 3. Centro (3, 5), radio 5 4. 3 4 (b) 4x  3y  16  0; cruce con eje x  4, cruce con eje y 163 (d) (e) y (c) (1, 4) 2 (d) 20 (f) y ≈+¥=4 y 3 0 (e) 3x  4y  13 _1 1 x y=≈-1 (f) (x  1)2  (y  4)2  100 Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. 0 2 x 0 4 x Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxiii EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO C |||| xxiii E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : F U N C I O N E S y 1. La gráfica de una función f se da a la izquierda. (a) (b) (c) (d) (e) Exprese el valor de f (1). Estime el valor de f (2). ¿Para qué valores de x es f (x)  2? Estime los valores de x tales que f (x)  0. Exprese el dominio y rango de f. f2  h  f2 2. Si f(x)  x 3, evalúe el cociente de diferencia y simplifique su respuesta. h 3. Encuentre el dominio de la función. 1 0 x 1 FIGURA PARA PROBLEMA 1 (a) fx  2x  1 2 x x2 (b) gx  3 sx x2  1 (c) hx  s4  x  sx2  1 4. ¿Cómo se obtienen las gráficas de las funciones a partir de la gráfica de f? (a) y  f(x) (b) y  2f(x)  1 (c) y  (x  3)  2 5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo aproximado de la gráfica. (b) y  (x  1) 3 (e) y  sx (h) y  1  x1 (a) y  x 3 (d) y  4  x2 (g) y  2x 6. Sea f x   (c) y  (x  2)3  3 (f) y  2sx 1  x2 si x 0 2x  1 si x  0 (a) Evaluación f (2) y f(1) (b) Dibuje la gráfica de f. 7. Si f(x)  x2  2x  1 y t(x)  2x  3, encuentre cada una de las siguientes funciones. (a) f  t (b) t  f (c) t  t  t R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O C : F U N C I O N E S 1. (a) 2 (c) 3, 1 (e) [3, 3], [2, 3] (d) (b) 2.8 (d) 2.5, 03 (e) y 4 0 2 0 x (f) y 1 x 1 x y 0 2. 12  6h  h 2 3. (a) ( , 2) ª (2, 1) ª (1, ) (g) (b) ( , ) (c) ( , 1] ª [1, 4] 1 (b) Estire verticalmente en un factor de 2, y a continuación desplace 1 unidad hacia abajo (c) Desplace 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba (b) y (c) y 1 0 x _1 _1 (2, 3) 0 _1 7. (a) (f  t)(x)  4x2  8x  2 (b) (t  f)(x)  2x2  4x  5 (c) (t  t  t)(x)  8x  21 y 0 0 x 1 x 0 1 6. (a) 3, 3 (b) y 1 1 y 0 4. (a) Refleje alrededor del eje x 5. (a) (h) y x x Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (Repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. 1 x Examen de diagnóstico xxiv |||| 06/04/2009 17:41 Page xxiv EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO D E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : T R I G O N O M E T R Í A 1. Convierta de grados a radianes. (b) 18° (a) 300° 2. Convierta de radianes a grados. (a) 5p/6 (b) 2 3. Encuentre la longitud de un arco de círculo con radio de 12 cm si el arco subtiende un ángulo central de 30°. 4. Encuentre los valores exactos. (a) tan(p/3) (b) sen(7p/6) (c) sec(5p/3) 5. Exprese las longitudes a y b de la figura en términos de u. 24 6. Si sen x  3 y sec y  4 , donde x y y están entre 0 y p/2, evalúe sen(x  y). 1 a 5 7. Demuestre las identidades. ¨ (a) tan u sen u  cos u  sec u b FIGURA PARA PROBLEMA 5 (b) 2 tan x  sen 2x 1  tan2 x 8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x  sen x y 0  x  2p. 9. Trace la gráfica de la función y  1  sen 2x sin usar calculadora. R E S P U E S TA A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O D : T R I G O N O M E T R Í A 1. (a) 5p/3 (b) p/10 6. 15 4  6s2 2. (a) 150° (b) 360/p L 114.6° 7. 0, p/3, p, 5p/3, 2p 1 y 2 8. 3. 2p cm 4. (a) s3 (b) 21 5. (a) 24 sen u (b) 24 cos u (c) 2 _π 0 π Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (Repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. x Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 1 CÁ L C U L O DE UNA VARIABLE Trascendentes tempranas Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 2 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que el lector ha estudiado con anterioridad. El cálculo es menos estático y más dinámico. Se interesa en el cambio y en el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por esa razón, puede resultar útil tener un panorama general de la materia antes de empezar su estudio intensivo. En las páginas siguientes se le presentan algunas de las ideas principales del cálculo, al mostrar cómo surgen los límites cuando intentamos resolver diversos problemas. 2 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 3 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO 3 EL PROBLEMA DEL ÁREA A¡ Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2 500 años, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “método del agotamiento”. Sabían cómo hallar el área A de cualquier polígono al dividirlo en triángulos como en la figura 1, y sumar las áreas de estos triángulos. Hallar el área de una figura curva es un problema mucho más difícil. El método griego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígonos aumentara. En la figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con polígonos regulares inscritos. A∞ A™ A£ |||| A¢ A=A¡+A™+A£+A¢+A∞ FIGURA 1 A£ A¢ A∞ Aß  A¶  A¡™ FIGURA 2 Sea An el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n, parece que An se aproxima cada vez más al área del círculo. El área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos y A  lím An TEC El Preview Visual es una investigación numérica y gráfica de la aproximación del área de un círculo mediante polígonos inscritos y circunscritos. nl Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indirecto Eudoxo (siglo v a. C.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área de un círculo: A  r 2. El capítulo 5 expone una idea semejante para hallar las áreas de regiones del tipo que se muestra en la figura 3. Se da una aproximación del área deseada A por medio de áreas de rectángulos (como en la figura 4), hasta que disminuya el ancho de los rectángulos y, en seguida, se calcula A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos. y y y (1, 1) y (1, 1) (1, 1) (1, 1) y=≈ A 0 FIGURA 3 1 x 0 1 4 1 2 3 4 1 x 0 1 x 0 1 n 1 x FIGURA 4 El problema del área es el problema central de la rama del cálculo que se conoce como cálculo integral. Las técnicas desarrolladas en el capítulo 5 para hallar áreas también permiten calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza del agua contra la cortina de una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo que se lleva a cabo al bombear agua hacia afuera de un tanque. 3 Presentacion de calculo 4 |||| 06/04/2009 17:42 Page 4 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO EL PROBLEMA DE LA TANGENTE y Considere el problema de tratar de hallar la ecuación de la recta tangente t a una curva, con ecuación y  f (x), en un punto dado P. (En el capítulo 2, aparece una definición precisa de recta tangente. Por ahora, puede concebirla como una recta que toca la curva en P, como en la figura 5.) Como saber que el punto P está en la recta tangente, puede hallar la ecuación de t si conoce su pendiente m. El problema está en que necesita dos puntos para calcular la pendiente y sólo conoce un punto, P, de t. Para darle vuelta al problema, primero halle una aproximación para m al tomar un punto cercano Q de la curva y calcule la pendiente mPQ de la recta secante PQ. En la figura 6 t y=ƒ P 0 x mPQ  1 FIGURA 5 La recta tangente en P Imagine ahora que Q se mueve a lo largo de la curva, hacia P como en la figura 7. Puede ver que la recta secante gira y se aproxima a la recta tangente como su posición límite. Esto significa que la pendiente mPQ de la recta secante se acerca cada vez más a la pendiente m de la recta tangente. Escriba y t m  lím mPQ Q { x, ƒ} ƒ-f(a) P { a, f(a)} Q lP x-a a 0 f x  f a xa donde m es el límite de mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Como x se acerca a a cuando Q lo hace a P, podría usar también la ecuación 1 para escribir x x FIGURA 6 f x  f a xa m  lím 2 xla La recta secante PQ y t Q P 0 FIGURA 7 Rectas secantes aproximándose a la recta tangente x En el capítulo 2 se darán ejemplos específicos de este procedimiento. El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamada cálculo diferencial, el cual se inventó más de 2 000 años después que el cálculo integral. Las ideas principales que se encuentran detrás del cálculo diferencial se deben al matemático francés Pierre Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727), así como por el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716). Las dos ramas del cálculo y sus problemas principales, el problema del área y el de la tangente, parecen muy diferentes, pero existe una conexión muy íntima entre ellas. El problema de la tangente y el del área son problemas inversos, en un sentido que se descubrirá en el capítulo 5. VELOCIDAD Cuando mire el velocímetro de un automóvil y lea que viaja a 48 mih, ¿qué información se le indica? Sabe que la velocidad del automóvil puede variar, ¿qué significa decir que la velocidad en un instante dado es de 48 mih? Para analizar esta cuestión analice el movimiento de un automóvil que viaja a lo largo de un camino recto y suponga que pueda medir la distancia recorrida por el automóvil (en pies) a intervalos de 1 segundo, como en la tabla siguiente. t  Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5 d  Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 5 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 5 Como primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos, encuentre la velocidad durante el intervalo 2 t 4: distancia recorrida tiempo transcurrido 42  9  42  16.5 piess velocidad promedio  De manera análoga, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo 2 velocidad promedio  t 3 es 24  9  15 piess 32 Tiene la sensación de que la velocidad en el instante t  2 no puede ser muy diferente de la velocidad promedio durante un intervalo corto que se inicie en t  2. De modo que imagine que se ha medido la distancia recorrida a intervalos de 0.1 segundo, como en la tabla siguiente: t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80 Entonces, por ejemplo, calcule la velocidad promedio sobre el intervalo 2, 2.5 : velocidad promedio  15.80  9.00  13.6 piess 2.5  2 En la tabla siguiente se muestran los resultados de esos cálculos: Intervalo 2, 3 2, 2.5 2, 2.4 2, 2.3 2, 2.2 2, 2.1 Velocidad promedio (piess) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2 Las velocidades promedio sobre intervalos sucesivamente más pequeños parecen aproximarse cada vez más a un número cercano a 10, y, por lo tanto, espera que la velocidad en exactamente t  2 sea alrededor de 10 pies/s. En el capítulo 2, se define la velocidad instantánea de un objeto en movimiento como el valor límite de las velocidades promedio sobre intervalos cada vez más pequeños. En la figura 8 se muestra una representación gráfica del movimiento del automóvil al graficar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como función del tiempo. Si escribe d  f (t), entonces f (t) es el número de pies recorridos después de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo 2, t es d Q { t, f(t)} velocidad promedio  20 10 0 P { 2, f(2)} 1 FIGURA 8 2 3 4 5 t distancia recorrida f t  f 2  tiempo transcurrido t2 lo cual es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ de la figura 8. La velocidad v cuando t  2 es el valor límite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir f t  f 2 v  lím tl2 t2 y reconoce, a partir de la ecuación 2, que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tangente a la curva en P. Presentacion de calculo 6 |||| 06/04/2009 17:42 Page 6 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO Por lo tanto, al resolver el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también está resolviendo problemas referentes a velocidades. Las mismas técnicas permiten resolver problemas en que intervienen razones de cambio en todas las ciencias naturales y sociales. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN En el siglo v a. C., el filósofo griego Zenón de Elea propuso cuatro problemas, que ahora se conocen como las paradojas de Zenón, las cuales desafiaban algunas de las ideas concernientes al espacio y al tiempo que sostenían en sus días. La segunda paradoja de Zenón se refiere a una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado una ventaja inicial. Zenón argumentaba, como se hace ver a continuación, que Aquiles nunca podría rebasarla. Suponga que Aquiles arranca en la posición a1 y la tortuga en la posición t1 (véase la figura 9). Cuando Aquiles llega a a3  t2, la tortuga está en t3. Este proceso continúa indefinidamente y, de este modo, ¡parece que la tortuga siempre estará adelante! Pero esto contraviene el sentido común. a¡ a™ a£ a¢ a∞ ... t¡ t™ t£ t¢ ... Aquiles FIGURA 9 tortuga Una manera de explicar esta paradoja es con la idea de sucesión. Las posiciones sucesivas de Aquiles a 1, a 2 , a 3 , . . . o las posiciones sucesivas de la tortuga t1, t2 , t3 , . . . forman lo que se conoce como una sucesión. En general, una sucesión a n es un conjunto de números escritos en un orden definido. Por ejemplo, la sucesión {1, 12 , 13 , 14 , 15 , . . .} se puede describir al dar la fórmula siguiente para el n-ésimo término an  1 n Puede visualizar esta sucesión situando sus términos en una recta numérica como en la figura 10(a) o trazando su gráfica como en la figura 10(b). Observe, a partir de cualquiera de las dos figuras, que los términos de la sucesión a n  1n se aproximan cada vez más a 0 al aumentar n. De hecho, es posible hallar términos tan pequeños como lo desee al hacer n suficientemente grande. Entonces el límite de la sucesión es 0 y se indica al escribir a¢ a £ a™ 0 a¡ lím 1 nl 1 0 n (a) En general, se usa la notación 1 lím a n  L nl 1 2 3 4 5 6 7 8 (b) FIGURA 10 n si los términos an se aproximan al número L, cuando n se hace suficientemente grande. Esto significa que se puede aproximar los números an al número L tanto como quiera si se toma una n lo suficientemente grande. Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 7 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 7 El concepto de límite de una sucesión se presenta siempre que usa la representación decimal de un número real. Por ejemplo, si a 1  3.1 a 2  3.14 a 3  3.141 a 4  3.1415 a 5  3.14159 a 6  3.141592 a 7  3.1415926    lím a n  entonces nl Los términos de esta sucesión son aproximaciones racionales a p. De nuevo la paradoja de Zenón. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga forman las sucesiones a n y tn , en donde a n  tn para toda n. Se puede demostrar que las dos sucesiones tienen el mismo límite lím a n  p  lím tn nl nl Es precisamente en este punto p en que Aquiles alcanza a la tortuga. SUMA DE UNA SERIE Otra de las paradojas de Zenón, según. Aristóteles, es: “Un hombre parado en un cuarto no puede caminar hasta la pared. Para que esto suceda, primero avanzaría la mitad de la distancia, en seguida la mitad de la distancia restante y, a continuación, una vez más la mitad de la que todavía queda. Siempre se puede continuar este proceso y nunca se termina. (Véase la figura 11.) 1 2 FIGURA 11 1 4 1 8 1 16 Por supuesto, sabe que el hombre llega a la pared, de modo que esto sugiere que quizá se pueda expresar la distancia total como la suma de una infinidad de distancias más pequeñas, como sigue 3 1 1 1 1 1 1       n   2 4 8 16 2 Presentacion de calculo 8 |||| 06/04/2009 17:42 Page 8 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO Zenón argumentaba que no tiene sentido sumar una infinidad de números. Pero existen otras situaciones en que, implícitamente, se usan sumas infinitas. Por ejemplo, en notación decimal, el símbolo 0.3  0.3333 . . . significa 3 3 3 3      10 100 1000 10 000 y, por lo tanto, en cierto sentido, debe ser cierto que 3 3 3 3 1       10 100 1000 10 000 3 De modo más general, si dn denota el n-ésimo dígito en la representación decimal de un número, entonces 0.d1 d2 d3 d4 . . .  d1 d2 d3 dn  2  3    n   10 10 10 10 Por lo tanto, algunas sumas infinitas, o series infinitas como se les llama, tienen un significado. Pero debe definir con cuidado lo que es la suma de una serie infinita. Considere de nuevo la serie de la ecuación 3 y denote con sn la suma de los primeros n términos de la serie. De este modo s1  12  0.5 s2  12  14  0.75 s3  12  14  18  0.875 s4  12  14  18  161  0.9375 s5  12  14  18  161  321  0.96875 s6  12  14  18  161  321  641  0.984375 s7  12  14    s10  12  14    1 s16   2 1  18  161  321  641  128  0.9921875 1      1024 1 1      16 4 2 0.99902344 0.99998474 Observe que conforme agrega más y más términos, las sumas parciales se aproximan cada vez más a 1. De hecho, se puede demostrar que, si n es suficientemente grande (es decir, si se suman un número suficiente de términos de la serie), es posible aproximar la suma parcial sn tanto como desee al número 1. Por lo tanto, parece razonable decir que la serie infinita es 1 y escribir 1 1 1 1      n    1 2 4 8 2 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 9 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 9 En otras palabras, la razón de que la suma de la serie sea 1 es que lím sn  1 nl En el capítulo 11 se analizan con más detalle estas ideas. Entonces usará la idea de Newton de combinar las series infinitas con el cálculo diferencial e integral. RESUMEN El concepto de límite surge al tratar de hallar el área de una región, la pendiente de una tangente a una curva, la velocidad de un automóvil o la suma de una serie infinita. En cada caso, el tema común es el cálculo de una cantidad como el límite de otras cantidades calculadas con facilidad. Esta idea básica de límite separa al cálculo de las otras áreas de las matemáticas. De hecho, podría definirlo como la parte de las matemáticas que trata con límites. Después que sir Isaac Newton inventó su versión del cálculo, la utilizó para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. En la actualidad sirve para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, predecir los tamaños de poblaciones, estimar la rapidez con que se elevan los precios, pronosticar el tiempo, medir el ritmo cardiaco, calcular las primas de seguros y en una gran diversidad de otras áreas. En este libro encontrará algunos de estos usos. Para dar una idea del poder de la materia, finalice este panorama preliminar con una lista de algunas de las preguntas que podría usted responder al aplicar el cálculo: rayos del Sol 1. ¿Cómo explica el hecho que se ilustra en la figura 12 de que el ángulo de eleva138° 2. rayos del Sol 42° 3. observador FIGURA 12 4. 5. 6. 7. ción desde un observador hasta el punto más alto de un arcoíris es 42º. (Véase página 279.) ¿Cómo explica las formas de las latas en los anaqueles de los supermercados? (Véase página 333.) ¿Dónde es el mejor lugar para sentarse en un cine? (Véase página 446.) ¿Qué tan lejos del aeropuerto debe empezar a descender el piloto? (Véase página 206.) ¿Cómo usar las curvas y el diseño de formas para reprsentar letras en una impresora láser? (Véase página 639). ¿Cuál será la posición del parador en corto para atrapar la pelota lanzada por el jardinero y lanzarla a la base? (Véase página 601). ¿Una bola lanzada hacia arriba tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o en volver al sitio del lanzamiento? (Véase página 590.) CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 10 1 FUNCIONES Y MODELOS 20 18 16 14 12 20° N 30° N 40° N 50° N Horas 10 8 6 60° N 4 2 Representación gráfica de una función. Aquí el número de horas de luz solar en diferentes periodos del año y diferentes latitudes, es la manera más natural y conveniente de ilustrar la función. 0 Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. El propósito fundamental del cálculo son las funciones. En este capítulo se prepara el camino para el cálculo al analizar las ideas básicas referentes a las funciones, sus gráficas y las maneras para transformarlas y combinarlas. Se hará hincapié en que una función se puede representar de diferentes modos: mediante una ecuación, en una tabla, con una gráfica o con palabras. Se considerarán los tipos principales de funciones que se presentan en el cálculo y se describirá el proceso de usarlas como modelos matemáticos de fenómenos del mundo real. También se expondrá el uso de las calculadoras graficadoras y del software para trazar gráficas. 10 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 11 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las siguientes cuatro situaciones: A. El área A de un círculo depende de su radio r. La regla que relaciona r con A se expresa mediante la ecuación A  pr 2. Con cada número positivo r existe asociado un valor de A, por lo que A es función de r. Año Población (en millones) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 1 650 1 750 1 860 2 070 2 300 2 560 3 040 3 710 4 450 5 280 6 080 B. La población humana del mundo, P, depende del tiempo t. En la tabla se dan estima- ciones de la población del mundo, Pt, en el tiempo t, para ciertos años. Por ejemplo, P1950 2 560 000 000 Pero para cada valor de tiempo t existe un valor de P correspondiente, por lo que P es una función de t. C. El costo C de enviar por correo una carta de primera clase depende de su peso w. Aun cuando no existe una fórmula sencilla que relacione w con C, la oficina de correos tiene una regla parta determinar C cuando se conoce w. D. La aceleración vertical a del suelo, según la mide un sismógrafo durante un terremo- to, es una función del tiempo transcurrido t. En la figura 1 se muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los Ángeles en 1994. Para un valor dado de t, la gráfica proporciona un valor correspondiente de a. a {cm/s@} 100 50 5 FIGURA 1 Aceleración vertical del suelo durante el terremoto de Northridge 10 15 20 25 30 t (segundos) _50 Calif. Dept. of Mines and Geology En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número r, t, w o t), se asigna otro número A, P, C o a). En cada caso, el segundo número es función del primero. Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado fx), de un conjunto E. A menudo, se consideran funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos de números reales. El conjunto D se llama dominio de la función. El número fx) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de fx), conforme x varía en todo el dominio. Un símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa un número en el rango de f se llama variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variable independiente y A es la dependiente. 11 CAPITULO-01-A 12 06/04/2009 |||| 17:46 Page 12 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS x (entrada) f ƒ (salida) FIGURA 2 Diagrama de una máquina para una función ƒ x ƒ a f(a) f D Resulta útil concebir una función como una máquina véase la figura 2). Si x está en el dominio de la función f, entonces cuando x entra en la máquina, se acepta como una entrada y la máquina produce una salida fx) de acuerdo con la regla de la función. De este modo, puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el rango como el conjunto de todas las salidas posibles. Las funciones preprogramadas de una calculadora son buenos ejemplos de una función como una máquina. Por ejemplo, la tecla de raíz cuadrada en su calculadora calcula una de esas funciones. Usted oprime la tecla marcada como s o sx y registra la entrada x. Si x  0, en tal caso x no está en el dominio de esta función; es decir, x no es una entrada aceptable y la calculadora indicará un error. Si x 0, en tal caso aparecerá una aproximación a sx en la pantalla. Así, la tecla sx de su calculadora no es la misma exactamente que la función matemática f definida por f x  sx. Otra manera de representar una función es un diagrama de flechas como en la figura 3. Cada flecha une un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que fx) está asociada con x, fa) con a, y así sucesivamente. El método más común para visualizar una función es su gráfica. Si f es una función con dominio D, su gráfica es el conjunto de las parejas ordenadas  x, f x x  D E Observe que son parejas entrada-salida.) En otras palabras, la gráfica de f consta de todos los puntos x, y) en el plano coordenado, tales que y  fx) y x está en el dominio de f. La gráfica de una función f da una imagen útil del comportamiento, o la “historia de la vida”, de una función. Como la coordenada y de cualquier punto x, y) de la gráfica es y  fx), es posible leer el valor de fx) a partir de la gráfica como la altura de esta última arriba del punto x véase la figura 4). La gráfica de f también permite tener una imagen del dominio de f sobre el eje x y su rango en el eje y como en la figura 5. FIGURA 3 Diagrama de flechas para ƒ y y { x, ƒ} y  ƒ(x) intervalo ƒ f (2) f (1) 0 1 2 x x x 0 dominio FIGURA 4 EJEMPLO 1 En la figura 6 se muestra la gráfica de una función f. (a) Encuentre los valores de f1) y f5). (b) ¿Cuáles son el dominio y el intervalo de f ? y SOLUCIÓN 1 0 FIGURA 5 1 x FIGURA 6 & La notación para intervalos aparece en el apéndice A. (a) En la figura 6 se ve que el punto 1, 3) se encuentra sobre la gráfica de f, de modo que el valor de f en 1 es f 1  3. En otras palabras, el punto de la gráfica que se encuentra arriba de x  1 está tres unidades arriba del eje x.) Cuando x  5, la gráfica se encuentra alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x¸ por tanto, f 5 0.7 (b) fx) está definida cuando 0 x 7, de modo que el dominio de f es el intervalo cerrado [0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde 2 hasta 4, de manera que el intervalo de f es  y 2 y 4  2, 4  CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 13 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN y SOLUCIÓN x 1 2 FIGURA 7 y (2, 4) y=≈ (_1, 1) a) La ecuación de la gráfica es y  2x  1 y esto se reconoce como la ecuación de la recta con pendiente 2 y ordenada al origen 1. Recuerde la forma de pendiente-ordenada al origen de la ecuación de una recta: y  mx  b. Véase apéndice B.) Esto permite trazar la gráfica de f. Ver la figura 7. La expresión 2x  1 está definida para todos los números reales, de modo que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales, el cual se denota con . En la gráfica se muestra que el rango también es . b) Como t2  2 2  4 y t1  12  1, podría dibujar los puntos 2, 4) y 1, 1) junto con unos cuantos puntos más de la gráfica y unirlos para producir la gráfica figura 8). La ecuación de la gráfica es y  x 2, la cual representa una parábola véase el apéndice C). El dominio de t es . El rango de t consta de todos los valores de tx); es decir, todos los números de la forma x2. Pero x 2  0 para todos los números x y cualquier número positivo y es un cuadrado. De este modo, el rango de t es  y y  0  0, . Esto también se ve en la figura 8.  1 0 13 EJEMPLO 2 Trace una gráfica y encuentre el dominio y el intervalo de cada función. a) fx  2x  1 b) tx  x 2 y=2x-1 0 -1 |||| 1 x FIGURA 8 EJEMPLO 3 Si fx  2x2  5x  1 y h  0, evaluar f a  h  f a h SOLUCIÓN Primero evalúe fa  h sustituyendo x mediante a  h en la expresión para fx: fa  h  2(a  h)2  5(a  h)  1  2(a2  2ah  h2) 5(a  h)  1  2(a2  2ah  h2) 5a  5h  1 Por lo tanto al sustituir en la expresión que se proporciona y simplificando: & La expresión 2a2  4ah  2h2  5a  5h  1  2a2  5a  1 f a  h  f a  h h f (a  h)  f (a) h en el ejemplo 3 se le denomina un cociente de diferencia y habitualmente sucede en cálculo. Como se verá en el capítulo 2, representa la razón promedio de cambio f (x) entre xayxah  2a2  4ah  2h2  5a  5h  1  2a2  5a  1 h  4ah  2h2  5h  4a  2h  5 h  REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES Se tienen cuatro maneras posibles para representar una función: & & & & Verbalmente Numéricamente Visualmente Algebraicamente (mediante una descripción en palabras) (con una tabla de valores) (mediante una gráfica) (por medio de una fórmula explícita) Si la función se puede representar de las cuatro maneras, con frecuencia resulta útil pasar de una representación a otra, para adquirir un conocimiento adicional de la función. (En el ejemplo 2 se empieza con fórmulas algebraicas y, a continuación, se obtuvieron las gráficas.) Pero ciertas funciones se describen de manera más natural con uno de los métodos CAPITULO-01-A 14 |||| 06/04/2009 17:46 Page 14 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS que con otro. Con esto en mente, analice de nuevo las cuatro situaciones consideradas al principio de esta sección. A. Quizá la representación más útil del área de un círculo como función de su radio sea la fórmula algebraica Ar  r 2, aunque es posible compilar una tabla de valores o trazar una gráfica (la mitad de una parábola). Como un círculo debe tener un radio positivo, el dominio es r r  0  0, , y el rango también es 0, .  Año Población (en millones) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 1 650 1 750 1 860 2 070 2 300 2 560 3 040 3 710 4 450 5 280 6 080 B. Se ha descrito verbalmente la función: Pt es la población humana del mundo en el tiempo t. La tabla de valores de la población mundial da una representación conveniente de esta función. Si coloca estos valores en una gráfica, obtendrá la gráfica (llamada gráfica de dispersión) de la figura 9. También es una representación útil; pues nos permite absorber todos los datos a la vez. ¿Qué hay acerca de una fórmula? Por supuesto, es imposible idear una fórmula explícita que dé la población humana exacta Pt en cualquier tiempo t. Pero es posible hallar una expresión para una función que proporcione una aproximación de Pt). De hecho, con la aplicación de los métodos que se explican en la sección 1.2, se obtiene la aproximación Pt f t  0.008079266  1.013731t y en la figura 10 se ilustra que es un “ajuste” razonablemente bueno. La función f se llama modelo matemático para el crecimiento de la población. En otras palabras, es una función con una fórmula explícita que da una aproximación para el comportamiento de la función dada. Sin embargo, verá que las ideas del cálculo se pueden aplicar a una tabla de valores; no se necesita una fórmula explícita. P P 6x10' 6x10' 1900 1920 1940 FIGURA 9 1980 2000 t 1900 1920 1940 1960 1980 2000 t FIGURA 10 & Una función definida por una tabla de valores se conoce como función tabular. w (onzas) 0w 1w 2w 3w 4w    12  w 1960 1 2 3 4 5 13 Cw (dólares) 0.39 0.63 0.87 1.11 1.35    3.27 La función P es típica entre las funciones que surgen siempre que intenta aplicar el cálculo al mundo real. Empieza con una descripción verbal de la función. En seguida, es posible que sea capaz de construir una tabla de valores de la función, quizá a partir de lecturas de instrumentos en un experimento científico. Aun cuando no tenga el conocimiento completo de los valores de la función, a lo largo del libro verá que todavía es posible realizar las operaciones del cálculo en una función de ese tipo. C. Una vez más, la función está descrita en palabras: Cw) es el costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso w. La regla que en 1996 aplicaba el U.S. Postal Service (Servicio Postal de Estados Unidos) es la siguiente: el costo es de 39 centavos de dólar hasta por una onza, más 24 centavos por cada onza sucesiva, hasta 13 onzas. La tabla de valores que se muestra en el margen es la representación más conveniente para esta función, aunque es posible trazar una gráfica (véase el ejemplo 10). D. La gráfica que se muestra en la figura 1 es la representación más natural de la función aceleración vertical at). Es cierto que se podría compilar una tabla de valores e incluso CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 15 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 15 es posible idear una fórmula aproximada. Pero todo lo que necesita saber un geólogo, amplitudes y patrones, puede observarse con facilidad a partir de la gráfica. (Lo mismo se cumple para los patrones que se ven en los electrocardiogramas de los pacientes cardiacos y en los polígrafos para la detección de mentiras.) En el ejemplo siguiente, se grafica una función definida verbalmente. EJEMPLO 4 Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del agua depende de cuánto tiempo ha estado corriendo. Trace una gráfica aproximada de T como función del tiempo t que ha transcurrido desde que se abrió el grifo. T t 0 FIGURA 11 SOLUCIÓN La temperatura inicial del agua corriente está cercana a la temperatura ambiente, debido al agua que ha estado en los tubos. Cuando empieza a salir la que se encuentra en el tanque de agua caliente, T aumenta con rapidez. En la fase siguiente, T es constante a la temperatura del agua calentada del tanque. Cuando éste se drena, T decrece hasta la temperatura de la fuente de agua. Esto permite realizar el boceto de gráfica de T como  una función de t en la figura 11. El ejemplo que sigue, parte de una descripción verbal de una función, en una situación física, y se obtiene una fórmula algebraica explícita. La capacidad para llevar a cabo esto constituye una habilidad útil en los problemas de cálculo en los que se piden los valores máximo y mínimo de cantidades. V EJEMPLO 5 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior abierta, tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su base es el doble de su ancho. El material para la base cuesta 10 dólares por metro cuadrado y el material para los lados, cuesta 6 dólares por metro cuadrado. Exprese el costo del material como función del ancho de la base. h w 2w SOLUCIÓN Dibuje un diagrama como el de la figura 12 e introduzca la notación tomando w y 2w como el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h como la altura. El área de la base es 2ww  2w 2, de modo que el costo, en dólares, del material para la base es 102w 2 . Dos de los lados tienen el área wh y el área de los otros dos es 2wh, así el costo del material para los lados es 6 2wh  22wh . En consecuencia el costo total es C  102w 2   6 2wh  22wh  20w 2  36wh FIGURA 12 Para expresar C como función sólo de w, necesita eliminar h, lo que sucede al aplicar el hecho de que el volumen es 10 m3. De este modo, w2wh  10 h lo cual da 10 5 2  2w w2 Si se sustituye esto en la expresión para C & Al establecer funciones de aplicación, como en el ejemplo 5, puede resultar útil repasar los principios para la resolución de problemas como se plantean en la página 76, en particular el paso 1: comprender el problema.   C  20w 2  36w 5 w 2  20w 2  180 w Por lo tanto, la ecuación Cw  20w 2  expresa C como función de w. 180 w w0  CAPITULO-01-A 16 |||| 06/04/2009 17:46 Page 16 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada función. (a) f x  sx  2 (b) tx  1 x x 2 SOLUCIÓN Si se da una función mediante una fórmula y no se da el dominio explícitamente, la convención es que el dominio es el conjunto de todos los números para los que la fórmula tiene sentido y define un número real. & (a) Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como número real), el dominio de f consta de todos los valores de x tales que x  2  0. Esto es equivalente a x  2, de modo que el dominio es el intervalo 2, . (b) Dado que 1 1 tx  2  x x xx  1 y la división entre 0 no está permitida, tx no está definida cuando x  0 o x  1. Por lo tanto, el dominio de t es  x x  0, x  1 lo cual también podría escribirse, con la notación de intervalos, como  , 0  0, 1  1,   La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿cuáles curvas en el plano xy son gráficas de funciones? La siguiente prueba responde lo anterior. PRUEBA DE LA LÍNEA VERTICAL Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de una vez. En la figura 13 se puede ver la razón de la veracidad de la prueba de la línea vertical. Si cada línea vertical x  a interseca una curva sólo una vez, en a, b, por lo tanto se define exactamente un valor funcional mediante f a  b. Pero si una línea x  a se interseca con la curva dos veces, en a, b y a, c, entonces la curva no puede representar una función, porque una función no puede asignar dos valores diferentes a a. y y x=a (a, c) x=a (a, b) (a, b) FIGURA 13 0 a x 0 a x Por ejemplo, la parábola x  y 2  2 que aparece en la figura 14(a) en la página que sigue no es la gráfica de una función de x porque, como el lector puede ver, existen líneas verticales que intersecan dos veces esa parábola. Sin embargo, la parábola en realidad contiene las gráficas de dos funciones de x. Observe que x  y 2  2 significa y 2  x  2, por lo que y  s x  2. Por esto, las mitades superior e inferior de la parábola son las gráficas de las funciones f x  s x  2 [del ejemplo 6(a)] y tx  s x  2 [véase las figuras 14(b) y (c)]. Observe que, si invierte los papeles de x y y, en tal caso la ecuación x  h y  y 2  2 define x como función de y (con y como la variable independiente y x como dependiente) y la parábola aparece ahora como la gráfica de la función h. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 17 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN y y |||| 17 y _2 (_2, 0) FIGURA 14 0 x _2 0 x (b) y=œ„„„„ x+2 (a) x=¥-2 x 0 (c) y=_ œ„„„„ x+2 FUNCIONES SECCIONALMENTE DEFINIDAS Las funciones de los cuatro ejemplos siguientes están definidas por fórmulas diferentes en diferentes partes de sus dominios. V EJEMPLO 7 Una función f se define por f x   1  x si x 1 x2 si x  1 Evalúe f0), f1) y f2) y trace la gráfica. SOLUCIÓN Recuerde que una función es una regla. Para esta función en particular, la regla es: primero se considera el valor de la entrada x. Si sucede que x  1, entonces el valor de fx) es 1  x. Por otra parte, si x  1, entonces el valor de fx) es x 2. y Como 0 1, tenemos f 0  1  0  1. Como 1 1, tenemos f 1  1  1  0. Como 2  1, tenemos f 2  2 2  4. 1 1 x FIGURA 15 ¿Cómo dibujar la gráfica de f? Observe que, si x  1, entonces fx)  1  x de modo que la parte de la gráfica de f que se encuentra a la izquierda de la línea vertical x  1 debe coincidir con la línea y  1  x, la cual tiene la pendiente 1 y 1 como ordenada al origen. Si x  1, entonces fx)  x2, por lo que la parte de la gráfica de f que está a la derecha de la línea x  1 tiene que coincidir con la gráfica de y  x2, la cual es una parábola. Esto permite trazar la gráfica de la figura 15. El punto relleno indica que el punto 1, 0) está incluido en la gráfica; el punto hueco indica que el punto 1, 1) está  fuera de la gráfica. El ejemplo siguiente de una función seccionalmente definida es la función valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número a, denotado con a , es la distancia de a hasta 0, sobre la recta de los números reales. Las distancias siempre son positivas o 0; de tal manera   & Para un repaso más extenso de los valores absolutos, véase el apéndice A. a  0 Por ejemplo, 3  3  3   3 para todo número a 0  0  s2  1   s2  1 En general, a  a  a   a si a  0 si a  0 (Recuerde que si a es negativo, entonces a es positivo.) 3    3 CAPITULO-01-A 18 06/04/2009 |||| 17:46 Page 18 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS   EJEMPLO 8 Trace la gráfica de la función valor absoluto, f x  x . SOLUCIÓN Con base en el análisis precedente, sabe que y y=| x | x  0  si x  0 si x  0 x x Al aplicar el método del ejemplo 7, la gráfica de f coincide con la línea y  x, a la derecha del eje y, y coincide con la línea y  x, a la izquierda del eje y (véase la figura 16). x  FIGURA 16 EJEMPLO 9 Encuentre una fórmula para la función f que se dibuja en la figura 17. y 1 0 x 1 FIGURA 17 SOLUCIÓN La línea que pasa por 0, 0) y 1, 1) tiene pendiente m  1 y su ordenada al ori- gen es b  0, de forma que su ecuación es y  x. Así, para la parte de la gráfica de f que une 0, 0) con 1, 1), f x  x Forma punto-pendiente de la ecuación de una recta: & si 0 x 1 La línea que pasa por 1, 1) y 2, 0) tiene pendiente m  1, de suerte que su forma punto-pendiente es y  y1  mx  x 1  y  0  1x  2 véase el apéndice B. y2x o De tal manera que f x  2  x si 1x 2 Observe también que, para x  2, la gráfica de f coincide con el eje x. Si reúne esta información, tiene la fórmula siguiente para f, en tres secciones:  x f x  2  x 0 si 0 x si 1  x si x  2 1 2  EJEMPLO 10 En el ejemplo C del principio de esta sección, se consideró el costo Cw de enviar por correo una carta de primera clase con peso w. En realidad, ésta es una función seccionalmente definida porque, a partir de la tabla de valores, se tiene C Cw  1 0.39 0.63 0.87 1.11    0 1 FIGURA 18 2 3 4 5 w si si si si 0w 1w 2w 3w 1 2 3 4 La gráfica se muestra en la figura 18. Usted puede ver por qué a las funciones semejantes a ésta se les llama función escalón: saltan de un valor al siguiente. En el capítulo 2 se  estudiarán esas funciones. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 19 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN y Si una función f satisface f x  f x, para todo número x en su dominio, entonces f se denomina función par. Por ejemplo, la función f x  x 2 es par porque ƒ 0 19 SIMETRÍA f(_x) _x |||| x x f x  x2  x 2  f x El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y (véase la figura 19). Esto significa que si traza la gráfica de f para x 0, obtiene toda la gráfica con sólo reflejar esta porción con respecto al eje y. Si f satisface f x  f x, para todo número x en su dominio, entonces f se conoce como función impar. Por ejemplo, la función f x  x 3 es impar porque FIGURA 19 Una función par y _x f x  x3  x 3  f x ƒ 0 x x La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen (véase la figura 20). Si ya tiene la gráfica de f para x 0, puede obtener la gráfica entera al hacerla girar 180 alrededor del origen. V EJEMPLO 11 Determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ninguna de las dos. (a) f x  x 5  x (b) tx  1  x 4 (c) hx  2x  x 2 FIGURA 20 Una función impar SOLUCIÓN f x  x5  x  15x 5  x (a)  x 5  x  x 5  x  f x En consecuencia, f es una función impar. tx  1  x4  1  x 4  tx (b) De modo que t es par. hx  2x  x2  2x  x 2 (c) Dado que hx  hx y hx  hx, se concluye que h no es par ni impar.  En la figura 21 se muestran las gráficas de las funciones del ejemplo 11. Observe que la gráfica de h no es simétrica respecto al eje y ni respecto al origen. 1 y y y 1 f g h 1 1 _1 1 x x 1 _1 FIGURA 21 (a) ( b) (c) x CAPITULO-01-A 20 |||| 06/04/2009 17:46 Page 20 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES La gráfica que se muestra en la figura 22 sube desde A hasta B, desciende desde B hasta C, y vuelve a subir desde C hasta D. Se dice que la función f está creciendo sobre el intervalo a, b , decreciendo sobre b, c , y creciendo de nuevo sobre c, d . Observe que si x1 y x2 son dos números cualesquiera entre a y b, con x 1  x 2 , entonces f x 1   f x 2 . Use esto como la propiedad que define una función creciente. y B D y=ƒ C f(x™) f(x ¡) A 0 a x¡ x™ b c d x FIGURA 22 Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I si f x 1   f x 2  siempre que x 1  x 2 en I Se dice que es decreciente sobre I si y y=≈ 0 x FIGURA 23 1.1 f x 1   f x 2  siempre que x 1  x 2 en I En la definición de función creciente es importante darse cuenta que se debe satisfacer la desigualdad f x 1   f x 2  para toda pareja de números x1 y x2 en I con x 1  x 2. A partir de la figura 23 es posible observar que la función f x  x 2 es decreciente sobre el intervalo  , 0 y creciente sobre el intervalo 0, . EJERCICIOS 1. Se da la gráfica de una función f. y (a) Establezca el valor de f 1. (b) Estime el valor de f 2. (c) ¿Para cuáles valores de x se tiene f x  2? 1 (d) Estime los valores de x tales que f x  0. 0 (e) Establezca el dominio y el rango de f. (f) ¿En qué intervalo es f creciente? 1 x CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 21 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 2. Se proporcionan las gráficas de f y t. (a) (b) (c) (d) (e) (f) |||| 21 el peso de esta persona a lo largo del tiempo. ¿Qué piensa el lector que sucedió cuando esta persona tenía 30 años? Dé los valores de f 4 y t3. ¿Para cuáles valores de x se tiene f x  tx? Estime la solución de la ecuación f x  1. ¿En qué intervalo f es decreciente? Dé el dominio y el rango de f. Dé el dominio y el rango de t. 200 150 Peso (libras) 100 50 y 0 g 10 20 30 40 50 60 70 f Edad (años) 2 10. La gráfica que se muestra da la distancia a la que se encuentra un 0 2 x vendedor de su casa como función del tiempo en cierto día. Describa con palabras lo que la gráfica indica con respecto al recorrido del vendedor en este día. 3. Un instrumento operado por el Departamento de Minas y Geo- logía en el Hospital Universitario de la Universidad del Sur de California (USC) en Los Ángeles, registró la figura 1. Úsela para estimar el intervalo de la funcion aceleración vertical del suelo, en la USC durante el terremoto de Northridge. 4. En esta sección se analizaron ejemplos de funciones, cotidia- nas: la población es una función del tiempo, el costo del porte de correos es una función del peso, la temperatura del agua es una función del tiempo. Dé otros tres ejemplos de funciones de la vida cotidiana que se describan verbalmente. ¿Qué puede decir acerca del dominio y del rango de cada una de sus funciones? Si es posible, trace una gráfica aproximada de cada función. 5–8 Determine si la curva es la gráfica de una función de x. Si lo es, dé el dominio y el rango de la función. Distancia hasta la casa (millas) 8 A.M. 10 MEDIODÍA 2 4 6 P.M. Tiempo (horas) 11. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con agua fría y lo deja sobre una mesa. Describa cómo cambia la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. Después, trace una gráfica aproximada de la temperatura del agua como función del tiempo transcurrido. 12. Trace una gráfica aproximada del número de horas de luz del día como función de la época del año. 13. Trace una gráfica aproximada de la temperatura exterior como 5. 6. y función del tiempo durante un día típico de primavera. y 14. Dibuje una gráfica aproximada del valor en el mercado, por un 1 1 0 1 0 x 1 x periodo de 20 años de un automóvil nuevo. Considere que se le da buen mantenimiento. 15. Dibuje la gráfica de la cantidad de una marca particular de café vendida por una tienda como una función del precio del café. 7. 8. y 1 1 0 16. Usted coloca un pastel congelado en un horno y lo hornea duran- y 1 x 0 1 x te una hora. Luego, lo saca y lo deja enfriar, antes de comerlo. Describa cómo cambia la temperatura del pastel conforme pasa el tiempo. Después, trace una gráfica aproximada de la temperatura del pastel como función del tiempo. 17. El propietario de una casa corta el césped cada miércoles por la tarde. Trace una gráfica aproximada de la altura del césped como función del tiempo durante un periodo de cuatro semanas. 18. Un avión sale de un aeropuerto y aterriza, una hora más tarde, en 9. La gráfica que se muestra da el peso de cierta persona como una función de la edad. Describa con palabras la manera en que varía otro aeropuerto que se encuentra a 400 millas de distancia. Si t representa el tiempo en minutos desde que el avión ha dejado CAPITULO-01-A 22 06/04/2009 |||| 17:46 Page 22 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS la terminal, sea xt la distancia horizontal recorrida y yt la altitud del avión. Trace. (a) Una gráfica posible de xt. (b) Una gráfica posible de yt. (c) Una gráfica posible de la rapidez con respecto al suelo. (d) Una gráfica posible de la velocidad vertical. 31. hx  1 4 x 2  5x s 28. Encuentre el dominio, el rango y trace la gráfica de la función hx  s4  x 2. 19. En la tabla se exhibe el número N (en millones) de usuarios de telefonos celulares en el mundo. (Se proporcionan estimaciones semestrales). t 1990 1992 1994 1996 1998 2000 N 11 26 60 160 340 650 (a) Mediante los datos trace una gráfica de N en función de t. (b) Utilice la gráfica para estimar la cantidad de usuarios de teléfono celular a mediados de año en 1995 y 1999. 20. El 2 de junio de 2001 se tomaron lecturas de temperatura T (en °F) cada dos horas desde la medianoche hasta las 2:00 P.M. El tiempo t se midió en horas a partir de la medianoche. t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 73 73 70 69 72 81 88 91 (a) Utilice las lecturas para trazar una gráfica aproximada de T como una función de t. (b) Utilice la gráfica que trazó para estimar la temperatura a las 11:00 A.M. 21. Si f x  3x 2  x  2, encuentre f 2, f 2, f a, f a, f a  1, 2 f a, f 2a, f a 2 , [ f a] 2 y f a  h. 33–44 Encuentre el dominio y trace la gráfica de la función. 33. f x  5 34. Fx  2 x  3 35. f t  t 2  6t 36. Ht  37. tx  sx  5 38. Fx  2x  1 39. Gx  41. f x  42. f x  43. f x  44. f x  22. Un globo esférico con radio de r pulgadas tiene el volumen Vr  43 r 3. Encuentre una función que represente la cantidad de aire que se requiere para inflarlo desde un radio de r pulgadas hasta otro de r  1 pulgadas. 23–26 Valorar el cociente de diferencia para la función que se pro- porciona. Simplifique su respuesta. 2 23. f(x)  4  3x  x , f(3  h) – f(3) h 24. f(x)  x , 25. f(x)  1 , x 26. fx  x 3 , x1    3x  x x    x2 1x 3  12x 2x  5  4  t2 2t 40. tx   x x2 si x  0 si x  0 si x 2 si x  2 x  2 si x 1 x2 si x  1 x  9 si x  3 3 2x si x 6 si x  3   45–50 Encuentre una expresión para la función cuya gráfica es la curva dada. 45. El segmento rectilíneo que une los puntos 1, 3 y 5, 7 46. El segmento rectilíneo que une los puntos 5, 10 y 7, 10 47. La mitad inferior de la parábola x   y  12  0 48. La mitad superior del círculo x2  (y  22  4 f(a  h) – f(a) h 3 1 49. 50. y y f(x) – f(a) xa 1 1 f(x) – f(1) x1 0 27–31 Encuentre el dominio de la función. x 27. f x  3x  1 5x  4 28. f x  2 x  3x  2 3 t 29. f t  st  s 30. tu  su  s4  u 1 x 0 1 x 51–55 Encuentre una fórmula para la función descrita y dé su dominio. 51. Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 23 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 52. Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese su perímetro |||| 23 (b) ¿Cuál impuesto corresponde a un ingreso de 14 000 dólares y a otro de 26 000 dólares? (c) Trace la gráfica del impuesto total correspondiente T como función del ingreso I. como función de la longitud de uno de sus lados. 53. Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de los lados. 54. Exprese el área superficial de un cubo como función de su vo- 60. Las funciones del ejemplo 10 y de los ejercicios 58 y 59(a) se conocen como funciones escalones porque sus gráficas parecen escaleras. Dé otros dos ejemplos de funciones escalones que surjan en la vida cotidiana. lumen. 55. Una caja rectangular abierta, con volumen de 2 m3, tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como función de la longitud de uno de los lados de la base. 56. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coro- nado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de ella como función del ancho x de la misma. 61–62 Se muestran las gráficas de f y t. Determine si cada función es par, impar o ninguna de las dos. Explique su razonamiento. 61. 62. y y g f f x x © Catherine karnow g x 57. Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartón que tiene las dimensiones de 12 pulgadas por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y, a continuación, doblando los lados como se ilustra en la figura. Exprese el volumen V de la caja como función de x. 63. (a) Si el punto 5, 3 está sobre la gráfica de una función par, ¿cuál otro punto también debe estar sobre la gráfica? (b) Si el punto 5, 3 está sobre la gráfica de una función impar, ¿cuál otro punto también debe estar sobre la gráfica? 64. Una función f tiene el dominio 5, 5 y se muestra una parte de su gráfica. (a) Complete la gráfica de f si se sabe que ésta es par. (b) Complete la gráfica de f si se sabe que ésta es impar. 20 y x x x x x x 12 x x _5 0 x 5 58. Una compañía de taxis cobra dos dólares por la primera milla (o parte de una milla) y 20 centavos de dólar por cada décimo de milla (o parte) subsiguiente. Exprese el costo C (en dólares) de un viaje como función de la distancia x recorrida (en millas), para 0  x  2, y dibuje la gráfica de esta función. 59. En cierto país, el impuesto sobre la renta se evalúa como se indica a continuación. No se paga impuesto sobre ingresos hasta de 10 000 dólares. Cualquier ingreso superior a 10 000 dólares paga un impuesto del 10% del mismo, hasta un ingreso de 20 000 dólares. Cualquier ingreso superior a 20 000 dólares paga impuesto con una tasa del 15%. (a) Trace la gráfica de la tasa R de impuesto como función del ingreso I. 65–70 Determine si f es par, impar o ni par ni impar. Si tiene una calculadora graficadora, úsela para verificar de manera visual su respuesta x2 x 1 65. f x  x x 1 66. f x  67. f x  x x1 68. f x  x x 2 69. f x  1 3x2  x4 4  70. f x  1 3x3  x5 CAPITULO-01-A 24 |||| 06/04/2009 17:46 Page 24 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS Un modelo matemático es una descripción matemática (con frecuencia mediante una función o una ecuación), de un fenómeno del mundo real, como por ejemplo el tamaño de una población, la demanda por un producto, la rapidez de caída de un objeto, la concentración de un producto en una reacción química, la expectativa de vida de una persona cuando nace o el costo de la reducción de emisiones. El propósito del modelo es entender el fenómeno y quizá hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro. La figura 1 ilustra el proceso del modelado matemático. Una vez que se especifica un problema del mundo real, la primera tarea consiste en formular un modelo matemático identificando y dándole un nombre a las variables independientes y dependientes, así como hacer supuestos que simplifiquen, lo suficiente, el fenómeno como para hacer que sea susceptible de rastrearse en forma matemática. Utilice su conocimiento acerca de la situación física y sus habilidades matemáticas para obtener ecuaciones que relacionen las variables. En aquellas situaciones en las que no existen leyes físicas que lo guíen, tal vez necesite recabar información (ya sea de una biblioteca o de la Internet o llevando a cabo sus propios experimentos) y analizarlos en forma de tabla con objeto de discernir patrones. A partir de esta representación numérica quizá desee obtener una representación gráfica por medio del dibujo de los datos. En algunos casos, la gráfica puede hasta sugerir una forma algebraica adecuada. Problema en el mundo real Formular Modelo matemático Resolver Conclusiones matemáticas Interpretar Predicciones en el mundo real Test FI GURA 1 El proceso del modelado La segunda etapa es aplicar las matemáticas que conoce (como por ejemplo el cálculo que se desarrollará en todas las partes de este libro) al modelo matemático formulado con el fin de deducir conclusiones matemáticas. Después, en la tercera etapa, tome esas conclusiones matemáticas e interprételas como información acerca del fenómeno original del mundo real por medio de ofrecer explicaciones o hacer predicciones. La etapa final es probar las predicciones que formuló verificándolas contra datos nuevos relativos al mundo real. Si las predicciones no se comparan de manera apropiada con la realidad, necesita afinar su modelo o bien formular uno nuevo y empezar el ciclo de nuevo. Un modelo matemático nunca es una representación totalmente precisa de una situación física, es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente como para permitir cálculos matemáticos pero es lo suficientemente preciso para proveer conclusiones valiosas. Es importante darse cuenta de los límites del modelo. En última instancia, la madre naturaleza tiene la última palabra. Existen muchos tipos diferentes de funciones que pueden usarse para modelar correspondencias que se observan en el mundo real. En las secciones subsecuentes, analizará el comportamiento y las gráficas de estas funciones y atenderá ejemplos de situaciones modeladas en forma apropiada por medio de esas funciones. MODELOS LINEALES & En el apéndice B se repasa la geometría analítica de las rectas. Cuando dice que y es una función lineal de x, lo que quiere dar a entender es que la gráfica de la función es una recta, de tal manera puede usar la forma pendiente-intersección de la ecuación de una recta para escribir una fórmula para la función como y  f x  mx  b donde m es la pendiente de la recta y b es la coordenada al origen y. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 25 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 25 Una característica representativa de las funciones lineales es que crecen en una proporción constante. La figura 2, por ejemplo, presenta una gráfica de la función lineal fx  3x  2 y una tabla de valores muestra. Observe que siempre que x aumenta en 0.1, el valor de fx se incrementa en 0.3. Por eso fx se incrementa tres veces tan rápido como x. De este modo la pendiente de la gráfica y  3x  2, en este caso 3, puede interpretarse como la relación de cambio de y con respecto a x. y y=3x-2 0 x _2 FIGURA 2 x f x  3x  2 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 V EJEMPLO 1 (a) A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es 20C y la temperatura a la altura de 1 km es 10C, exprese la temperatura T (en °C) como una función de la altura h (en kilómetros) suponiendo que es un modelo lineal adecuado. (b) Trace la gráfica de la función del inciso (a). ¿Qué representa la pendiente? (c) ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 km? SOLUCIÓN (a) Como supone que T es una función lineal de h, puede escribir T  mh  b Se dice que T  20 cuando h  0, así 20  m  0  b  b En otras palabras, la ordenada al origen y es b  20. Además, T  10 cuando h  1, de modo que 10  m  1  20 T Por lo tanto la pendiente de la recta es m  10  20  10 y la función lineal requerida es T  10h  20 20 T=_10h+20 10 0 1 FIGURA 3 3 h (b) La gráfica se traza en la figura 3. La pendiente es m  10Ckm, y esto representa la relación de cambio de temperatura con respecto a la altura. (c) A una altura h  2.5 km, la temperatura es T  102.5  20  5C  Si no existe una ley física o un principio que ayude a formular un modelo, se construye un modelo empírico, el cual se basa por completo en la información recabada. Se busca una curva que “coincida” con los datos en el sentido de que capte la tendencia fundamental de los puntos de los datos. CAPITULO-01-A 26 |||| 06/04/2009 17:46 Page 26 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS V EJEMPLO 2 En la tabla 1 se enumera el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón en el observatorio Mauna Loa de 1980 a 2002. Use la información que en ella aparece para encontrar un modelo para el nivel de dióxido de carbono. SOLUCIÓN Use los datos que aparecen en la tabla 1 para trazar la gráfica de dispersión que se muestra en la figura 4, donde t representa el tiempo (en años) y C el nivel de CO2 (en partes por millón, ppm) C 370 TABLA 1 Nivel de CO2 Nivel de CO2 Año (en ppm) Año (en ppm) 1980 1982 1984 1986 1988 1990 338.7 341.1 344.4 347.2 351.5 354.2 1992 1994 1996 1998 2000 2002 356.4 358.9 362.6 366.6 369.4 372.9 360 350 340 1980 1985 1990 1995 2000 t FIGURA 4 Gráfica de dispersión para el nivel de CO2 Observe que al parecer los puntos correspondientes a la información se encuentran cerca de una recta, por tanto es natural que en este caso se elija un modelo lineal. Pero existen numerosas rectas posibles que se aproximan a estos puntos de información, por eso ¿cuál debe escoger? A partir de la gráfica, la línea que pasa por el primero y el último puntos de información parece ser una posibilidad. La pendiente de esta recta es 372.9  338.7 34.2   1.5545 2002  1980 22 y su ecuación es C  338.7  1.5545t  1980 o bien C  1.5545t  2739.21 1 La ecuación 1 proporciona un modelo lineal posible para el nivel de dióxido de carbono; se grafica en la figura 5. C 370 360 350 FI GURA 5 Modelo lineal a través del primero y último puntos de información 340 1980 1985 1990 1995 2000 t Si bien el modelo coincide razonablemente bien con la información, da puntos más altos que la mayor parte de los niveles reales de CO2. Por medio de un procedimiento CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 27 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS & Una computadora o una calculadora graficadora encuentra la recta de regresión por medio del método de mínimos cuadrados, el cual consiste en reducir al mínimo la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos correspondientes a datos y la recta. En la sección 14.7 se explican detalles de lo anterior. |||| 27 de estadística conocido como regresión lineal, se obtiene un mejor modelo lineal. Si utiliza una calculadora graficadora, registre los datos de la tabla 1 en el editor de datos y elija el comando de regresión lineal. (Con Maple use el comando Fit [least square] en el paquete de estadística; con Mathematica utilice el comando Fit). La máquina da la pendiente y la ordenada al origen y de la recta de regresión como m  1.55192 b  2734.55 De esta manera nuestro modelo de mínimos cuadrados para el nivel de CO2 es C  1.55192t  2734.55 2 En la figura 6 aparece la gráfica de la recta de regresión así como los puntos de información. Al compararla con la figura 5 se observa que da una mejor coincidencia que nuestro modelo lineal anterior. C 370 360 350 340 FI GURA 6 1980 1985 1990 1995 2000 t La recta de regresión  V EJEMPLO 3 Use el modelo lineal que proporciona la ecuación 2 para estimar el nivel promedio de CO2 correspondiente al año 1987 y predecir el nivel para el 2010. Según este modelo, ¿cuándo excederá el nivel de CO2 las 400 partes por millón? SOLUCIÓN Mediante la ecuación 2 con t  1987, se estima que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue C1987  1.551921987  2734.55 349.12 Esto es un ejemplo de interpolación porque ha estimado un valor entre valores observados. (De hecho, el observatorio Mauna Loa informó que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue 348.93 ppm, de igual manera su estimado es bastante preciso.) Con t  2010, obtiene C2010  1.551922010  2734.55 384.81 De modo que se predice que el nivel promedio de CO2 en el año 2010 será 384.8 ppm. Esto es un ejemplo de extrapolación porque pronosticó un valor fuera de la región de las observaciones. Por consecuencia, está mucho menos seguro acerca de la exactitud de su predicción. Al usar la ecuación 2, observe que el nivel de CO2 excede las 400 ppm cuando 1.55192t  2734.55  400 Al resolver esta desigualdad tiene t 3134.55 1.55192 2019.79 CAPITULO-01-A 28 |||| 06/04/2009 17:46 Page 28 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS En consecuencia, se pronostica que el nivel de CO2 excederá de 400 ppm hacia el año 2020. Esta predicción es riesgosa hasta cierto punto porque implica un momento bastante remoto con respecto a sus observaciones.  POLINOMIOS A una función P se le lama polinomio si Px  a n x n  a n1 x n1      a 2 x 2  a 1 x  a 0 donde n es un entero no negativo y los números a 0 , a 1, a 2 , . . . , a n son constantes que se conocen como coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es    , . Si el coeficiente principal a n  0, entonces el grado del polinomio es n. Por ejemplo, la función Px  2x 6  x 4  25 x 3  s2 es un polinomio de grado 6. Un polinomio de grado 1 tiene la forma Px  mx  b y de este modo es una función lineal. Un polinomio de grado 2 tiene la forma Px  ax 2  bx  c se le llama función cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola que se obtiene, como verá en la sección siguiente, al cambiar la parábola y  ax 2. La parábola se abre hacia arriba si a  0 y hacia abajo si a  0. (Véase la figura 7.) y y 2 2 0 1 x x 1 FIGURA 7 Las gráficas de las funciones cuadráticas son parábolas. (a) y=≈+x+1 (b) y=_2≈+3x+1 Un polinomio de grado 3 tiene la forma Px  ax 3  bx 2  cx  d a0 y se le da el nombre de función cúbica. La figura 8 muestra la gráfica de una función cúbica en la parte (a) y gráficas de polinomios de grados 4 y 5 en las partes (b) y (c). Más adelante verá por qué las gráficas tienen las formas que se ilustran a continuación. y y 1 2 0 FIGURA 8 y 20 1 1 (a) y=˛-x+1 x x (b) y=x$-3≈+x 1 x (c) y=3x%-25˛+60x CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 29 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 29 Usualmente los polinomios se utilizan para modelar diversas cantidades que se suscitan en las ciencias naturales y sociales. En la sección 3.7, por ejemplo, se explica por qué los economistas suelen usar un polinomio Px para representar el costo de producir x unidades de una mercancía. El ejemplo siguiente usa una fórmula cuadrática para modelar la caída de una pelota. TABLA 2 Tiempo (segundos) Altura (metros) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61 EJEMPLO 4 Desde la plataforma superior de observación de la torre CN, a 450 m sobre el nivel, se deja caer una pelota y en la tabla 2 se registra su altura h del suelo sobre el nivel a intervalos de un segundo. Encuentre un modelo que coincida con la información y úselo para predecir el tiempo en que la pelota toca el suelo. SOLUCIÓN En la figura 9 se traza una gráfica de dispersión de la información y se observa que no es adecuada una gráfica lineal. Pero parece ser que quizás los puntos de información se encuentren sobre una parábola, de este modo se hace la prueba con un modelo cuadrático. Al utilizar una calculadora graficadora o una computadora provista de sistema algebraico (que utiliza el método de mínimos cuadrados), se obtiene el modelo cuadrático siguiente: h  449.36  0.96t  4.90t 2 3 h (metros) 400 400 200 200 0 h 2 4 6 8 t (segundos) 0 2 4 6 8 t FIGURA 9 FIGURA 10 Diagrama de dispersión para una pelota que cae Modelo cuadrático para una pelota que cae En la figura 10 se traza la gráfica de la ecuación 3 con los puntos de información y se observa que el modelo cuadrático da una coincidencia adecuada. La pelota toca el suelo cuando h  0, de modo que se resuelve la ecuación cuadrática 4.90t 2  0.96t  449.36  0 La fórmula cuadrática da t 0.96 s0.962  44.90449.36 24.90 La raíz positiva es t 9.67, por lo tanto se pronostica que la pelota tocará el suelo después  de casi de 9.7 segundos. FUNCIONES DE POTENCIA Una función de la forma f x  x a, donde a es constante se llama función potencia. Considere varios casos. CAPITULO-01-A 30 |||| 06/04/2009 17:46 Page 30 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS (i) a  n, donde n es un entero positivo La figura 11 ilustra las gráficas de f x  x n para n  1, 2, 3, 4 y 5. (Éstos son polinomios con un solo término.) Ya conoce la forma de las gráficas de y  x (una línea a través del origen con pendiente 1) y y  x 2 [una parábola, véase el ejemplo 2(b) en la sección 1.1]. y y=≈ y y=x 1 1 0 1 x y=x # y 1 x y 1 1 0 y=x$ y 0 1 x y=x% 1 0 1 x 0 1 x FIGURA 11 Gráficas de f(x) = xn para n = 1, 2, 3, 4, 5 La forma general de la gráfica de f x  x n depende de si n es par o impar. Si n es par, entonces f x  x n es una función par y su gráfica es semejante a la de la parábola y  x 2. Si n es impar, entonces f x  x n es una función impar y su gráfica es similar a la de y  x 3. Sin embargo, observe en la figura 12 que conforme aumenta n, la gráfica se hace más plana cerca de 0 y más pronunciada cuando x  1. (Si x es pequeña entonces x2 es más pequeña, x3 aún más pequeña, x4 es más pequeña y así sucesivamente.)   y y y=x$ (1, 1) y=x^ y=x# y=≈ (_1, 1) y=x% (1, 1) x 0 x 0 (_1, _1) FIGURA 12 Familias de funciones de potencia (ii) a  1n, donde n es un entero positivo n La función f x  x 1n  s x es una función raíz. Para n  2 es la función raíz cuadrada f x  sx, cuyo dominio es 0,  y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola n x  y 2. [Véase la figura 13(a).] Para otros valores pares de n, la gráfica de y  s x es simi3 lar a la de y  sx. Para n  3 tenemos la función raíz cúbica f x  sx cuyo dominio es  (recuerde que todo número real tiene una raíz cúbica) y cuya gráfica se ilustra en la n 3 figura 13(b). La gráfica de y  s x para n impar n  3 es similar a la de y  s x. y y (1, 1) (1, 1) 0 x 0 FIGURA 13 Gráficas de funciones raíz x (a) ƒ=œ„ x (b) ƒ=Œ„ x CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 31 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS 31 (iii) a  1 y En la figura 14 se presenta la gráfica de la función recíproca f x  x 1  1x. Su gráfica tiene la ecuación y  1x, o xy  1 y es una hipérbola con sus ejes de coordenadas como sus asíntotas. Esta función surge en la física y en la química en conexión con la ley de Boyle, la cual dice que, cuando la temperatura es constante, el volumen V de un gas es inversamente proporcional a la presión P: y=Δ 1 0 |||| x 1 V FIGURA 14 La función recíproca C P donde C es una constante. En estos términos, la gráfica de V como una función de P (véase la figura 15) tiene la misma forma general que la mitad derecha de la figura 14. V FIGURA 15 El volumen como una función de la presión a temperatura constante 0 P En el ejercicio 26 se analiza otra situación en la que se utiliza una función potencia para modelar un fenómeno físico. FUNCIONES RACIONALES Una función racional f es una razón de dos polinomios: y f x  20 2 0 2 x donde P y Q son polinomios. El dominio consiste de todos los valores de x tales que Qx  0. Un ejemplo sencillo de una función racional es la función f x  1x, cuyo dominio es x x  0 ; esto es la función recíproca que se dibuja en la figura 14. La función  f x  FIGURA 16 ƒ= 2x$-≈+1 ≈-4 Px Qx 2x 4  x 2  1 x2  4  es una función racional con dominio x x  2 . En la figura 16 se ilustra su gráfica. FUNCIONES ALGEBRAICAS Si una función puede construirse usando operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicación y obtención de raíces) se le llama función algebraica. Cualquier función racional automáticamente es una función algebraica. A continuación dos ejemplos más: f x  sx 2  1 tx  x 4  16x 2 3  x  2s x1 x  sx CAPITULO-01-A 32 |||| 06/04/2009 17:46 Page 32 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Cuando trace funciones algebraicas en el capítulo 4, verá que sus gráficas adoptan diversas formas. La figura 17 ilustra algunas de las posibilidades. y y y 1 1 2 _3 1 x 0 FIGURA 17 (a) ƒ=xœ„„„„ x+3 x 5 0 (b) ©=$œ„„„„„„ ≈-25 x 1 (c) h(x)=x@?#(x-2)@ En la teoría de la relatividad surge un ejemplo de funciones algebraicas. La masa de una partícula con velocidad v, es m  f v  m0 s1  v 2c 2 donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c  3.0  10 5 kms es la rapidez de la luz en el vacío. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS La trigonometría y las funciones trigonométricas se repasan en la página de referencias 2 y también en el apéndice D. En el cálculo la convención es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando se usa la función f x  sen x , se supone que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Por consiguiente, las gráficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 18. & Las páginas de referencia RP están localizadas al final del libro. y _ _π π 2 y 3π 2 1 0 _1 π 2 π _π 2π 5π 2 3π _ 1 π 0 x 3π 3π 2 π 2 _1 (a) ƒ=sen x FIGURA 18 π 2 2π 5π 2 x (b) ©=cos x Observe que tanto para la función seno como coseno el dominio es  ,  y el alcance es el intervalo cerrado 1, 1 . En estos términos, para todos los valores de x, se tiene 1 sen x 1 1 1  cos x  cos x 1 o, en términos de valores absolutos,  sen x  1 Además, los ceros de las funciones seno surgen en múltiplos enteros de p; es decir, sen x  0 donde x  np n es un número positivo CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 33 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 33 Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas y tienen periodos 2p. Esto significa que para todas las funciones de x, senx  2   sen x cosx  2   cos x La naturaleza periódica de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos repetitivos como por ejemplo las mareas, los resortes vibratorios y las ondas sonoras. En el caso del ejemplo 4 de la sección 1.3, verá que un modelo razonable para el número de horas de luz en Filadelfia t días después del 1 de enero está dado por la función  Lt  12  2.8 sen tan x  1 3π _π π _ 2 2  La función tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuación y _ 2 t  80 365 0 π 2 π 3π 2 sen x cos x x y su gráfica se muestra en la figura 19. Es indefinida siempre que cos x  0, es decir, cuando x  2, 3 2, . . . . Su intervalo es  , . Observe que la función tangente tiene periodos p: FIGURA 19 tanx    tan x y=tan x para toda x Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente. Sus gráficas se ilustran en el apéndice D. FUNCIONES EXPONENCIALES Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f x  a x, donde la base a es una constante positiva. En la figura 20 se muestran las gráficas de y  2 x y y  0.5 x. En ambos casos el dominio es  ,  y 0,  es el intervalo. y y 1 1 0 FIGURA 20 1 (a) y=2® x 0 1 x (b) y=(0.5)® En la sección 1.5 se estudiarán las funciones exponenciales con mayores detalles y verá que resultan útiles para modelar muchos fenómenos naturales, como por ejemplo el crecimiento de la población (si a  1) y el decaimiento radiactivo (si a  1. CAPITULO-01-A 34 06/04/2009 |||| 17:46 Page 34 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS y FUNCIONES LOGARÍTMICAS y=log™ x y=log£ x 1 0 x 1 y=log∞ x Las funciones logarítmicas f x  log a x, donde la base a es una constante positiva, son las inversas de las funciones exponenciales. Las primeras se estudian en la sección 1.6. En la figura 21 se muestran las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con varias bases. En cada caso el dominio es 0, , el intervalo es  , , y la función crece lentamente cuando x  1. y=log¡¸ x FUNCIONES TRASCENDENTES Estas funciones no son algebraicas. El conjunto de funciones trascendentes incluye la trigonométrica, la trigonométrica inversa, exponencial y logarítmica, además comprende un buen número de otras funciones que nunca han recibido nombre. En el capítulo 11 se analizarán las funciones trascendentes que se definen como sumas de series infinitas. FIGURA 21 EJEMPLO 5 Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos de funciones recién analizadas. (a) f x  5 x (b) tx  x 5 1x (c) hx  (d) ut  1  t  5t 4 1  sx SOLUCIÓN (a) f x  5 x es una función exponencial. (La x es el exponente.) (b) tx  x 5 es una función potencia. (La x es la base.) Podría considerar también que es un polinomio de grado 5. 1x (c) hx  es una función algebraica. 1  sx  (d) ut  1  t  5t 4 es un polinomio de grado 4. 1.2 EJERCICIOS 1–2 Clasifique cada función como función potencia, función raíz, 3–4 Haga coincidir cada ecuación con su gráfica. Explique polinomio (señale su grado), función racional, función algebraica, función trigonométrica, función exponencial o función logarítmica. sus selecciones. (No use una computadora ni una calculadora graficadora.) 5 1. (a) f x  s x (b) tx  s1  x 2 (d) rx  (e) sx  tan 2x (f) t x  log10 x x6 x6 (b) y  x 5 y x2  1 x3  x (c) hx  x 9  x 4 2. (a) y  3. (a) y  x 2 (b) y  x  (d) y  x 10 (e) y  2t 6  t 4  (f) y  cos   sen  g h x2 sx  1 (c) y  10 x (c) y  x 8 0 f x CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 35 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS 4. (a) y  3x (c) y  x (b) y  3 x 3 x (d) y  s 3 |||| 35 12. El gerente de un bazar de fin de semana sabe con base en experiencias anteriores que si cobra x dólares por la renta de espacio en el bazar, entonces el número y de espacios que puede rentar está dado por la ecuación y  200  4x. y F (a) Trace una gráfica de esta función lineal. (Recuerde que la renta que se cobra por espacio y el número de espacios que pueden rentarse no pueden ser cantidades negativas.) (b) ¿Qué representan la pendiente, la ordenada al origen y y la intersección x de la gráfica? g f x 13. La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit F y 9 Celsius C está dada por la función lineal F  5 C  32. G 5. (a) Encuentre una ecuación para la familia de funciones linea- les con pendiente 2 y trace la gráfica de varios miembros de la familia. (b) Halle una ecuación para la familia de funciones lineales tal que f 2  1 y dibuje varios miembros de la familia. (c) ¿Qué función pertenece a ambas familias? 6. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de fun- ciones lineales f x  1  mx  3? Trace la gráfica de varios miembros de la familia. (a) Trace una gráfica de esta función. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? ¿Cuál es la intersección de F y qué representa? 14. Jason sale de Detroit a las 2:00 P.M. y conduce con rapidez constante hacia el oeste a lo largo de la carretera I-96. Pasa por Ann Arbor, a 40 millas de Detroit a las 2:50 (a) Exprese la distancia recorrida en términos del tiempo transcurrido. (b) Dibuje la gráfica de la ecuación del inciso (a). (c) ¿Cuál es la pendiente de esta línea? ¿Qué representa? 7. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de fun- ciones lineales f x  c  x? Trace la gráfica de varios miembros de la familia. 8. Halle las expresiones para las funciones cuadráticas cuyas gráficas son mostradas. y y (_2, 2) f (0, 1) (4, 2) 0 x g 0 3 x (1, _2.5) 9. Hallar una expresión para una función cúbica f si f(1)  6 y f(1)  f(0)  f(2)  0. 10. Estudios recientes indican que la temperatura superficial de la Tierra se ha estado incrementando de manera firme. Algunos científicos han modelado la temperatura mediante la función lineal T  0.02t  8.50, donde T es la temperatura en °C y t representa años desde 1900. (a) ¿Qué representa la pendiente y la intersección a T? (b) Utilice la ecuación para predecir la temperatura superficial global al promedio al 2100. 11. Si la dosificación recomendada para un adulto de una droga es D (en mg), entonces, para establecer la dósis apropiada c para un infante de edad a, el químico farmacéutico utiliza la ecuación c  0.0417D(a  1). Considere que la dósis para un adulto es 200 mg. (a) Hallar la pendiente de la gráfica de c. ¿Qué representa? (b) ¿Cuál es la dósis para un recién nacido? 15. Los biólogos han notado que la cantidad de chirridos que emiten los grillos de cierta especie está relacionada con la temperatura y la correspondencia parece ser casi lineal. Un grillo produce 113 chirridos por minuto a 70F y 173 chirridos por minuto a 80F. (a) Encuentre una ecuación lineal que modele la temperatura como una función del número de chirridos por minuto N. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Qué representa? (c) Si los grillos están chirreando a 150 chirridos por minuto, estime la temperatura. 16. El gerente de una fábrica de muebles encontró que cuesta 2 200 dólares fabricar 100 sillas en un día y 4 800 dólares producir 300 en un día. (a) Exprese el costo como una función del número de sillas que se producen, suponiendo que es lineal. Luego trace la gráfica. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? (c) ¿Cuál es la intersección de y de la gráfica y qué representa? 17. En la superficie del océano la presión del agua es la misma que la presión del aire por arriba del agua, 15 lbpulg2. Por debajo de la superficie, la presión del agua aumenta en 4.34 lbpulg2 por cada 10 pies de descenso. (a) Exprese la presión del agua como función de la profundidad por debajo de la superficie del océano. (b) ¿A qué profundidad es 100 lbpulg2 la presión? CAPITULO-01-A 36 |||| 06/04/2009 17:46 Page 36 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 18. El costo mensual de conducir un automóvil depende del número de millas que se recorran. Lynn encontró que en el mes de mayo recorrer 480 millas le costó 380 dólares y en junio le costó 460 dólares recorrer 800 millas. (a) Exprese el costo mensual C como una función de la distancia recorrida d, suponiendo que la correspondencia lineal provee un modelo adecuado. (b) Utilice el inciso (a) para predecir el costo de conducir 1 500 millas por cada mes. (c) Trace la gráfica de la función lineal. ¿Qué representa la pendiente? (d) ¿Qué representa la intersección de y? (e) ¿Por qué una función lineal proporciona un modelo apropiado en esta situación? 19–20 Determine, para cada una de las gráficas de dispersión, qué tipo de función elegiría como modelo para la información. Explique sus elecciones. 19. (a) (b) Halle y dibuje un modelo lineal utilizando el primero y el último puntos de información. (c) Encuentre y dibuje la línea de regresión por mínimos cuadrados. (d) Utilice el modelo lineal del inciso (c) para estimar la incidencia de úlcera para un ingreso de 25 000 dólares. (e) Según el modelo, ¿qué tan probable es que alguien que percibe un ingreso de 80 000 dólares sufra úlcera péptica? (f) ¿Cree usted que sería razonable aplicar el modelo a alguien que tiene un ingreso de 200 000 dólares? ; 22. Los biólogos han observado que la cantidad de chirridos que emiten los grillos de cierta especie parece estar relacionada con la temperatura. La tabla muestra la cantidad de chirridos para distintas temperaturas. (b) y y Temperatura Cantidad de chirridos (°F) (chirridosminuto) 50 55 60 65 70 0 0 x 20. (a) 20 46 79 91 113 75 80 85 90 140 173 198 211 x (a) Realice una gráfica de dispersión de la información. (b) y Temperatura Cantidad de chirridos (°F) (chirridosminuto) (b) Encuentre y dibuje la línea de regresión. y (c) Use el modelo lineal de la parte (b) para estimar la cantidad de chirridos a 100F. ; 23. La tabla proporciona las alturas ganadoras en las competencias de salto con garrocha de los Juegos Olímpicos durante el siglo XX. 0 x 0 x ; 21. La tabla muestra las tasas de incidencia de úlcera péptica (a lo largo de toda la vida) respecto del ingreso de diversas familias (por cada 100 habitantes) según reportó el National Health Interview Survey (Encuesta Nacional de Salud por medio de Entrevistas) en 1989. Ingreso Incidencia de úlcera (por cada 100 habitantes) $4 000 $6 000 $8 000 $12 000 $16 000 $20 000 $30 000 $45 000 $60 000 14.1 13.0 13.4 12.5 12.0 12.4 10.5 9.4 8.2 (a) Trace una gráfica de dispersión y determine si es adecuado un modelo lineal. Año Altura (pies) Año Altura (pies) 1900 1904 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1936 1948 1952 10.83 11.48 12.17 12.96 13.42 12.96 13.77 14.15 14.27 14.10 14.92 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 14.96 15.42 16.73 17.71 18.04 18.04 18.96 18.85 19.77 19.02 19.42 (a) Dibuje una gráfica de dispersión y determine si un modelo lineal es adecuado. (b) Encuentre y dibuje la línea de regresión. (c) Utilice el modelo lineal para predecir la altura del salto con garrocha ganador en los Juegos Olímpicos del año 2000 y compárelo con la altura ganadora real de 19.36 pies. (d) ¿Es razonable usar el modelo para predecir las alturas vencedoras en los Juegos Olímpicos del año 2100? CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 37 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS ; 24. Un estudio que realizó la U.S. Office of Science and Technology (Oficina de Ciencia y Tecnología de Estados Unidos) en 1972 estimó el costo (en dólares de 1972) de reducir el costo de las emisiones de vehículos automotores en ciertos porcentajes: 45 55 62 70 80 75 80 85 90 95 netas al Sol (suponiendo que la unidad de medida es la distancia de la Tierra al Sol) y sus periodos T (tiempo de revolución en años). Años Población (millones) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1 650 1 750 1 860 2 070 2 300 2 560 Años Población (millones) 1960 1970 1980 1990 2000 3 040 3 710 4 450 5 280 6 080 1.3 Planeta 90 100 200 375 600 Encuentre un modelo que capte la tendencia de “rendimientos decrecientes” de esta información. ; 25. Utilice la información que aparece en la tabla para modelar la población del mundo en el siglo XX por medio de una función cúbica. Utilice enseguida su modelo para estimar la población en el año 1925. 37 ; 26. La tabla muestra las distancias medias (promedio) d de los pla- Reducción de Costo por vehículo Reducción de Costo por vehículo emisiones (%) (en dólares) emisiones (%) (en dólares) 50 55 60 65 70 |||| d T Mercurio 0.387 0.241 Venus 0.723 0.615 Tierra 1.000 1.000 Marte 1.523 1.881 Júpiter 5.203 11.861 9.541 29.457 Saturno Urano 19.190 84.008 Neptuno 30.086 164.784 (a) Haga que un modelo de potencias coincida con la información. (b) La tercera ley de Kepler del movimiento planetario establece que “El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media respecto del Sol.” ¿El modelo que formuló corrobora la tercera ley de Kepler? FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS Esta sección inicia con las funciones básicas analizadas en la sección 1.2 para obtener funciones nuevas mediante el desplazamiento, el alargamiento y la reflexión de sus gráficas. También es mostrará cómo combinar pares de funciones por medio de operaciones aritméticas estándar o por composición. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES Al aplicar ciertas transformaciones a la gráfica de una función dada, puede obtener las gráficas de ciertas funciones relacionadas. Esto le proporcionará la habilidad para trazar a mano las gráficas de muchas funciones. Además le permitirá escribir ecuaciones para gráficas conocidas. En primer lugar, se considera las traslaciones. Si c es un número positivo, entonces la gráfica de y  f x  c es precisamente la de y  f x desplazada hacia arriba una distancia de c unidades (ya que a cada coordenada y se incrementa el mismo número c). Del mismo modo, si tx  f x  c, donde c  0, entonces el valor de t en x es el mismo que el valor de f en x  c (c unidades a la izquierda de x). En consecuencia, la gráfica de y  f x  c es precisamente la de y  f x desplazada c unidades a la derecha (véase la figura 1). DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES Suponga que c  0. Para obtener la gráfica de y  fx  c, se desplaza la gráfica de y  fx una distancia de c unidades hacia arriba y  fx  c, se desplaza la gráfica de y  fx una distancia de c unidades hacia abajo y  fx  c, se desplaza la gráfica de y  fx una distancia de c unidades hacia la derecha y  fx  c, se desplaza la gráfica de y  fx una distancia de c unidades hacia la izquierda CAPITULO-01-A 38 |||| 06/04/2009 17:46 Page 38 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS y y y=ƒ+c y=f(x+c) c y=cƒ (c>1) y=f(_x) y=f(x-c) y =ƒ y=ƒ c 0 y= 1c ƒ c x c x 0 y=ƒ-c y=_ƒ FIGURA 1 FIGURA 2 Traslación de la gráfica de f Alargamiento y reflexión de la gráfica de f Considere ahora las transformaciones de alargamiento y reflexión. Si c  1, entonces la gráfica de y  cf x es la de y  f x alargada en el factor c en la dirección vertical (porque cada coordenada y se multiplica por el mismo número c) La gráfica de y  f x es la de y  f x reflejada respecto al eje x, porque el punto x, y reemplaza al punto x, y. (Véase la figura 2 y la tabla a continuación, donde también se dan los resultados de otras transformaciones de alargamiento, compresión y reflexión.) ALARGAMIENTOS Y REFLEXIONES VERTICALES Y HORIZONTALES Suponga que c  1. Para obtener la gráfica de y  cf x, alárguese la gráfica de y  f x verticalmente en un factor de c y  1cf x, comprímase la gráfica de y  f x verticalmernte en un factor de c y  f cx, comprímase la gráfica de y  f x horizontalmente en un factor de c y  f xc, alárguese la gráfica de y  f x horizontalmente en un factor de c y  f x, refléjese la gráfica de y  f x respecto al eje x y  f x, refléjese la gráfica de y  f x respecto al eje y La figura 3 ilustra estas transformaciones de alargamiento cuando se aplican a la función coseno con c  2. Por ejemplo, para obtener la gráfica de y  2 cos x multiplique la coordenada y de cada punto en la gráfica de y  cos x por 2. Esto significa que la gráfica de y  cos x se alarga en dirección vertical por un factor de 2. y y=2 cos x y 2 y=cos x 2 1 2 1 1 0 y= cos x x y=cos 1 x 2 0 x y=cos x FIGURA 3 y=cos 2x CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 39 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 39 Dada la gráfica de y  x, use las transformaciones para dibujar y  sx  2, y  sx  2, y  sx, y  2sx y y  sx. V EJEMPLO 1 SOLUCIÓN En la figura 4(a) aparece la gráfica de la función raíz cuadrada y  sx, que se obtuvo de la figura 13(a) en la sección 1.2. En las otras partes de la figura, se ha trazado y  sx  2 al desplazarla 2 unidades hacia abajo; y  sx  2 al desplazarla 2 unidades hacia la derecha; y  sx al reflejarla respecto al eje x; y  2sx al alargarla verticalmente un factor de 2, y y  sx al reflejarla respecto al eje y. y y y y y y 1 0 1 x x 0 0 x 2 x 0 x 0 0 x _2 (a) y=œ„x (b) y=œ„-2 x (c) y=œ„„„„ x-2 (d) y=_ œ„x (f ) y=œ„„ _x (e) y=2 œ„x  FIGURA 4 EJEMPLO 2 Dibuje la función f (x)  x 2  6x  10. SOLUCIÓN Al completar el cuadrado, escriba la ecuación de la gráfica como y  x 2  6x  10  x  32  1 Esto quiere decir que obtiene la gráfica deseada si parte de la parábola y  x 2 y la desplaza 3 unidades a la izquierda y, a continuación, 1 unidad hacia arriba (véase la figura 5). y y 1 (_3, 1) 0 FIGURA 5 x _3 (a) y=≈ _1 0 x (b) y=(x+3)@+1  EJEMPLO 3 Trace las gráficas de las funciones siguientes: (a) y  sen 2x (b) y  1  sen x SOLUCIÓN (a) Obtiene la gráfica de y  sen 2x a partir de la de y  sen x, si la comprime horizontalmente un factor de 2 (véase las figuras 6 y 7). De modo que, mientras el periodo de y  sen x es 2p, el periodo de y  sen 2x es 2p/2  p. y y y=sen 2 x y=sen x 1 1 0 FIGURA 6 π 2 π x 0 π π 4 FIGURA 7 2 π x CAPITULO-01-B 40 |||| 06/04/2009 18:07 Page 40 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS (b) Para obtener la gráfica de y  1  sen x, una vez más empiece con y  sen x. La refleja con respecto al eje x, para obtener la gráfica de y  sen x y, a continuación, desplácela 1 unidad hacia arriba para obtener y  1  sen x (véase la figura 8). y 2 y=1-sen x 1 0 FIGURA 8 π 2 3π 2 π x 2π  EJEMPLO 4 La figura 9 muestra gráficas del número de horas de luz diurna como funciones de la época del año en diversas latitudes. Dado que la ciudad de Filadelfia está ubicada a 40° de latitud N, encuentre una función que modele la duración de la luz diurna en la ciudad mencionada. 20 18 16 14 12 20° N 30° N 40° N 50° N Horas 10 8 6 60° N FI GURA 9 Gráfica de la duración de la luz diurna del 21 de marzo al 21 de diciembre en diversas latitudes 4 Fuente: Lucia C. Harrison, Daylight, Twilight, Darkness and Time (New York: Silver, Burdett, 1935) página 40. 0 2 Mar. Abr. May Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic. SOLUCIÓN Observe que cada curva se parece a una función seno desplazada y alargada. Al observar la curva de color azul parece que, en la latitud de Filadelfia, la luz diurna dura alrededor de 14.8 horas el 21 de junio y 9.2 horas el 21 de diciembre, de manera que la amplitud de la curva (el factor por el cual debe alargar la curva seno verticalmente) es 1 2 14.8  9.2  2.8. ¿Por qué factor necesita alargar la curva seno horizontalmente si mide el tiempo t en días? Debido a que en un año hay 365 días, el periodo del modelo debe ser 365 días. Pero el periodo de y  sen t es 2p, por consiguiente el factor de alargamiento horizontal es c  2p/365. Se observa también que la curva inicia su ciclo el 21 de marzo, el 80o. día del año, de modo que desplace la curva 80 unidades hacia la derecha. Además, la desplaza 12 unidades hacia arriba. En consecuencia, modele la duración de la luz diurna en Filadelfia sobre el t-ésimo. día del año mediante la función  Lt  12  2.8 sen  2 t  80 365  Otra transformación de cierto interés es tomar el valor absoluto de una función. Si y  f x , entonces, según la definición de valor absoluto, y  f x cuando f x  0 y y  f x cuando f x  0. Esto dice cómo obtener la gráfica de y  f x a partir de la gráfica de y  f x: la parte de la gráfica que se encuentra arriba del eje x sigue siendo la misma; la sección debajo del eje x se refleja respecto a este eje.     CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 41 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS y V EJEMPLO 5  |||| 41  Dibuje la función y  x 2  1 . SOLUCIÓN En primer lugar, dibuje la parábola y  x 2  1 de la figura 10(a) desplazando la 0 _1 x 1 parábola y  x2 hacia abajo 1 unidad. La gráfica se encuentra debajo del eje x cuando 1  x  1, de modo que reflejamos esa parte de la gráfica respecto al eje x para obtener  la gráfica de y  x 2  1 de la figura 10(b)   COMBINACIONES DE FUNCIONES (a) y=≈-1 Se pueden combinar las dos funciones f y t para formar funciones nuevas f  t, f  t, ft y ft de manera semejante a la que aplica para sumar, restar, multiplicar y dividir números reales. Se definen la suma y resta de funciones mediante y  f  tx  f x  tx 0 _1 x 1 (b) y=| ≈-1 |  f  tx  f x  tx Si el dominio de f es A y el de t es B, entonces el dominio de f  t es la intersección A  B porque tanto f x y tx estan definidas. Por ejemplo, el dominio de f x  sx es A  0,  y el dominio de tx  s2  x es B   , 2 , de esa manera, el dominio de  f  tx  sx  s2  x es A  B  0, 2 De manera análoga, se definen el producto y el cociente mediante FIGURA 10 f t x  f x tx  f f x x  t tx El dominio de ft es A  B, pero, como no se puede dividir entre 0, el dominio de ft es x  A  B t x  0 . Por ejemplo, si f x  x2 y tx  x  1, entonces, el dominio de la función racional f gx  x2x  1 es xx  1 , o bien  ,1  1, . Existe otra manera de combinar dos funciones, para obtener una función nueva. Por ejemplo, considere que y  fu  su y u  gx  x2  1. Ya que y es una función de u y u es función de x, se sigue que y es finalmente función de x. Calculamos esto por sustitución  y  f u  f(gx  f x2  1  sx2  1 x (entrada) g © f•g f f { ©} (salida) El procedimiento se denomina composición porque la función nueva es compuesta de las dos funciones conocidas f y t. En general, conocidas dos funciones cualesquiera f y t, inicie con un número x en el dominio de t y halle su imagen g x. Si este número g x está en el dominio de f, entonces puede calcular el valor de f gx. El resultado es una función nueva hx  fgx que se obtiene al sustituir t en f. Esto se denomina composición (o composite) de f y t y se señala mediante f  t (“ f círculo t”) DEFINICIÓN Conocidas dos funciones f y t, la función compuesta f  t (también denominada la composición de f y t) se define mediante f  tx  fgx FI GURA 1 1 El dispositivo f • g está constituido del dispositivo g (primero) y en seguida el dispositivo f. El dominio de f  t es el conjunto de todas las x en el dominio de t tal que g x está en el dominio de f . En otras palabras, f  tx está definida cada vez que g x y f gx estén definidas. La figura 11 exhibe cómo describir f  t en términos de dispositivos. CAPITULO-01-B 42 |||| 06/04/2009 18:07 Page 42 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 6 Si f x  x 2 y tx  x  3, encuentre las funciones compuestas f  t y t  f. SOLUCIÓN Tiene  f  tx  f tx  f x  3  x  32 t  f x  t f x  tx 2   x 2  3 |  Con base en el ejemplo 7 puede ver que, en general, f  t  t  f . Recuerde, la notación f t significa que primero se aplica la función t y luego f. En el ejemplo 6, f  t es la función que primero resta 3 y a continuación eleva al cuadrado; t  f es la función que en primer lutar eleva al cuadrado y lueto resta 3. NOTA V EJEMPLO 7 (a) f  t Si f x  sx y tx  s2  x, encuentre cada función y su dominio. (b) t  f (c) f  f (d) t  t SOLUCIÓN (a) 4  f  tx  f  tx  f (s2  x )  ss2  x  s 2x   El dominio de f  t es x 2  x  0  x x (b) Si 0 a b , entonces a 2 b 2. 2   , 2 . t  f x  t f x  t(sx )  s2  sx Para que sx esté definida, debe tener x  0. Para que s2  sx esté definida debe tener 2  sx  0, es decir, sx 2, o bien, x 4. Por esto, tiene 0 x 4, así el dominio de t  f es el intervalo cerrado 0, 4 . (c) 4  f  f x  f  f x  f (sx )  ssx  s x El dominio de f  f es 0, . (d)  t  tx  ttx  t(s2  x )  s2  s2  x Esta expresión se define cuando 2  x  0 y 2  s2  x  0. La primera desigualdad significa que x 2, y la segunda es equivalente a s2  x 2, o 2  x 4, o bien x  2. En estos términos 2 x 2, de esta manera el dominio de t  t es el inter valo cerrado 2, 2 . Es posible tomar la composición de tres o más funciones. Por ejemplo, la función compuesta f  t  h se encuentra al aplicar primero h, a continuación t y, luego, f, como sigue:  f  t  hx  f thx EJEMPLO 8 Encuentre f  t  h si f x  xx  1, tx  x 10 y hx  x  3. SOLUCIÓN  f  t  hx  f thx  f tx  3  f x  310   x  310 x  310  1  Hasta ahora, ha usado la composición para construir funciones complicadas a partir de otras más sencillas. Pero en cálculo a menudo resulta útil descomponer una función complicada en otras más sencillas, como en el ejemplo siguiente. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 43 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 43 EJEMPLO 9 Dada Fx  cos2x  9, encuentre las funciones f, t y h tales que F  f  t  h. SOLUCIÓN Como Fx  cosx  9 2, la fórmula dada para F dice: primero sume 9, después tome el coseno del resultado y, por último, eleve al cuadrado. De modo que hx  x  9 tx  cos x f x  x 2 Entonces  f  t  hx  f thx  f tx  9  f cosx  9  cosx  9 2  Fx 1.3  EJERCICIOS (c) y  2 f x 1. Suponga que se da la gráfica de f. Escriba las ecuaciones para las gráficas que se obtienen a partir de la gráfica de f, como se indica a continuación. (a) Desplácela 3 unidades hacia arriba. (b) Desplácela 3 unidades hacia abajo. (c) Desplácela 3 unidades a la derecha. (d) Desplácela 3 unidades a la izquierda. (e) Refléjela respecto al eje x. (f) Refléjela respecto al eje y. (g) Alárguela verticalmente un factor de 3. (h) Contráigala verticalmente un factor de 3. y 1 0 x 1 5. Se da la gráfica de f. Úsela para trazar la gráfica de las funcio- nes siguientes. (a) y  f 2x (c) y  f x 2. Explique cómo se obtienen las gráficas siguientes a partir de la gráfica de y  f x. (a) y  5 f x (c) y  f x (e) y  f 5x 1 (d) y  2 f x  3 (b) y  f ( 12 x) (d) y  f x (b) y  f x  5 (d) y  5 f x (f) y  5 f x  3 y 1 3. Se da la gráfica de y  f x. Haga que coincida cada ecuación con su gráfica y mencione los motivos de sus elecciones. (a) y  f x  4 (b) y  f x  3 (c) y  13 f x (d) y  f x  4 (e) y  2 f x  6 0 x 1 6–7 Se da la gráfica de y  s3x  x 2 . Use transformaciones para crear una función cuya gráfica sea como la que se ilustra. y @ 6 3 ! y # 0 $ _6 _3 0 y=œ„„„„„„ 3x-≈ 1.5 f 3 6 x x 3 y y 6. 7. 3 _4 % _3 4. Se da la gráfica de f. Dibuje las gráficas de las funciones siguientes. (a) y  f x  4 (b) y  f x  4 _1 x 0 _1 _2.5 0 2 5 x CAPITULO-01-B 44 |||| 06/04/2009 18:07 Page 44 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 8. (a) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y  2 sen x con la gráfica de y  sen x? Use su respuesta y la figura 6(a) para graficar y  2 sen x. (b) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y  1  sx con la gráfica de y  sx ? Use su respuesta y la figura 4(a) para graficar y  1  sx. 9–24 Dibuje cada función a mano, no por medio de la situación de puntos, sino a partir de la gráfica de una de las funciones estándares que se dan en la sección 1.2 y, luego, aplicando las transformaciones apropiadas. 9. y  x 10. y  1  x 3 2 12. y  x  4x  3 13. y  1  2 cos x 14. y  4 sen 3x 15. y  sen x2 1 16. y  x4 17. y  sx  3 18. y   x  24  3 19. y  2  x 2  8x 3 x1 20. y  1  s 2 21. y  x1 1 22. y  tan x  4 4 2 1  23. y  sen x  24. y  x 2  2 x tx  3x 2  1 tx  sx2  1 30. f x  s3  x , 31–36 Encuentre las funciones (a) f  t, (b) t  f , (c) f  f , y (d) t  t y sus dominios. 31. f x  x 2  1 tx  2x  1 32. f x  1  2 , tx  x2  3x  4  25. La ciudad de Nueva Orleáns está ubicada a una latitud 30N. Use la figura 9 para encontrar una función que modele el número de horas de luz diurna en esa ciudad como función de la época del año. Para verificar la precisión de su modelo, utilice el hecho de que el 31 de marzo, en Nueva Orleáns el Sol sale a las 5:51 A.M. y se pone a las 6:18 P.M. 36. f x  1 , x tx  x , 1x x1 x2 tx  sen 2x 37–40 Encuentre f  t  h. 37. f x  x  1 , tx  2x , 38. f x  2x  1 , 39. f x  sx  3 , 40. fx  tan x , hx  x  1 tx  x , hx  1  x 2 tx  x 2 , g x  hx  x3  2 x , x1 3 x hx  s 41–46 Exprese la función en la forma f  t. 42. Fx  sen( sx ) 41. Fx  x 2  110 26. Una estrella variable es aquella cuyo brillo aumenta y disminu- ye alternadamente. Para la estrella variable más cercana Delta Céfida, el tiempo entre periodos de brillo máximo es 5.4 días, el brillo promedio (o magnitud) de la estrella es 4.0 y su brillo varía en una magnitud de 0.35. Halle una función que modele el brillo de Delta Céfida como una función del tiempo. tx  cos x 3 gx  s 1x 34. f x  sx , 35. f x  x     3 2 29. f x  x  2x , 33. f x  1  3x , 11. y   x  1 2 29–30 Encuentre f  t, f  t, f t y ft y establezca sus dominios. 43. Fx  3 sx 3 1  sx 44. Gx   3 x 1x tan t 46. ut  1  tan t 45. ut  scos t  ) con la gráfica 27. (a) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y  f ( x de f ? (b) Dibuje y  sen x . 47–49 Exprese la función en la forma f  t  h.   (c) Dibuje y  s x . 47. Hx  1  3 x 28. Use la gráfica de f que se dio para dibujar y  1f x. ¿Cuáles características de f son las más importantes para trazar la gráfica de y  1f x? Explique cómo se usan. y 1 0 1 x  2 8 48. Hx  s2  x 49. Hx  sec (sx ) 4 50. Utilice la tabla para evaluar cada expresión (a) f  t1 (b) t f 1 (c) f  f 1 (d) t t1 (e)  t  f 3 (f)  f  t6 x 1 2 3 4 5 6 f x 3 1 4 2 2 5 tx 6 3 2 1 2 3 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 45 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS 51. Use las gráficas dadas de f y t para evaluar cada expresión, o bien, explique por qué no está definida. (a) f  t2 (b) t f 0 (d)  t  f 6 (e)  t  t2 (c)  f  t0 (f)  f  f 4 y g f 2 0 x 2 52. Use las gráficas dadas de f y t para estimar el valor de f  tx para x  5, 4, 3, . . . , 5. Use estas estimaciones para trazar una gráfica aproximada de f  t. y g 1 0 1 x f 53. Se deja caer una piedra en un lago, que crea una ola circular que viaja hacia afuera con rapidez de 60 cm/s. (a) Exprese el radio r de este círculo como función del tiempo t (en segundos). (b) Si A es el área de este círculo como función del radio, encuentre A  r e interprétela. 54. Se infla un balón esférico y el radio del mismo se incrementa en una cantidad de 2 cm/s. (a) Exprese el radio r del balón como una función del tiempo t (en segundos). (b) Si V es el volumen del balón como una función del radio, halle V  r e interprete 55. Un barco se mueve con una rapidez de 30 km/h paralelo al borde recto de la playa. El barco está a 6 km de la playa y pasa por un faro al medio día. (a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una función de d, la distancia que el barco recorre desde el medio día; es decir, hallar f de modo que s  f(d) (b) Exprese a d como una función de t, el tiempo transcurrido desde el medio día; es decir, hallar g de tal manera que d  g(t) (c) Hallar f  g ¿Qué representa esta función? 56. Un avión vuela con rapidez de 350 mi/h, a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el instante t  0 (a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función de t. (b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d. (c) Aplique la composición para expresar s como función de t. |||| 45 57. La función de Heaviside H está definida por  0 si t  0 1 si t  0 Se usa en el estudio de los circuitos eléctricos para representar la oleada repentina de corriente eléctrica, o de voltaje, cuando un interruptor se cierra instantáneamente. (a) Dibuje la función de Heaviside. (b) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor se cierra en el instante t  0 y se aplican instantáneamente 120 volts al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). (c) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor se cierra en el instante t  5 segundos y se aplican de manera instantánea 240 volts al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). (Note que partir de t  5 corresponde a una traslación.) Ht  58. La función de Heaviside que se definió en el ejercicio 57 puede utilizarse también para definir la función rampa y  ctH(t), la cual representa un aumento gradual del voltaje o la corriente en un circuito. (a) Dibuje la función rampa y  tH(t). (b) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito si el interruptor se cierra en el instante t  0 y el voltaje se incrementa gradualmente hasta 120 volts durante un intervalo de 60 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t), para t 60. (c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor se cierra en el instante t  7 segundos y el voltaje se incrementa gradualmente hasta 100 volts durante un periodo de 25 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t), para t 32. 59. Sea f y g funciones lineales con ecuaciones fx  m1x  b1 y gx  m2x  b2 . ¿También f  g es una función lineal? Si es así, ¿cuál es la pendiente de su gráfica? 60. Si invierte x dolares al 4% de interés compuesto anual, por lo tanto la cantidad A(x) de la inversios después de un año es A(x)  1.04x. Hallar A  A, A  A  A, y A  A  A  A . ¿Qué representan estas composiciones? Encontrar una formula para la composición de n copias de A. 61. (a) Si tx  2x  1 y hx  4x 2  4x  7, encuentre una función f tal que f  t  h. (Piense qué operaciones tendrá que efectuar en la formula para t para terminar por obtener la fórmula para h.) (b) Si f x  3x  5 y hx  3x 2  3x  2, encuentre una función t tal que f  t  h. 62. Si f x  x  4 y hx  4x  1, encuentre una función tal que t  f  h. 63. (a) Suponga que f y t son funciones pares. ¿Que puede decir sobre f  t y f t? (b) ¿Que diría si f y t son impares? 64. Supongo que f es par y t es impar. ¿Que puede decir sobre ft? 65. Suponga que t es una función par y sea h  f  t. ¿h siempre es una función par? 66. Suponga que t es una función impar y sea h  f  t.¿Es h siempre una función impar? ¿Qué pasa si f es impar? ¿Qué pasa si f es par? CAPITULO-01-B 46 |||| 06/04/2009 18:07 Page 46 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 1.4 (a, d ) y=d ( b, d ) x=b x=a (a, c ) y=c ( b, c ) CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS En esta sección, se supondrá que tiene acceso a una calculadora graficadora o a una computadora con software para trazar gráficas. Se dará cuenta de que el uso de uno de esos aparatos le da capacidad para trazar gráficas de funciones más complicadas y resolver problemas más complejos de lo que sería posible de otra forma. También encontrará algunas de las dificultades que se pueden presentar con estas máquinas. Ambos dispositivos pueden dar gráficas muy exactas de las funciones. Pero, en el capítulo 4, verá que sólo usando el cálculo puede estar seguro de haber descubierto todos los aspectos interesantes de una gráfica. Una calculadora graficadora o una computadora presentan una parte rectangular de la gráfica de una función en una ventana de visualización o pantalla, a los cuales se hará refencia simplemente como rectángulo de visualización. La pantalla predeterminada a menudo da una imagen incompleta o engañosa, de modo que es importante elegir con cuidado el rectángulo de visualización. Si elige que los valores x varíen desde un valor mínimo de Xmín  a hasta un valor máximo de Xmáx  b y que los valores y varíen desde uno mínimo de Ymín  c hasta uno máximo de Ymáx  d, entonces la parte visible de la gráfica se encuentra en el rectángulo  a, b  c, d  x, y a FIGURA 1 La pantalla de [a, b] por [c, d] x b, c y d que se muestra en la figura 1. A este espacio se le refiere como el rectángulo de visualización de [a, b] por [c, d]. La máquina dibuja la gráfica de una función f de modo muy semejante a como usted lo haría. Sitúa los puntos de la forma x, f x para un cierto número de valores igualmente espaciados de x entre a y b. Si un valor x no está en el dominio de f o si f x queda fuera el rectangulo de visualización, la máquina pasa al valor x siguiente. Une cada punto con el anterior para formar una representación de la gráfica de f. EJEMPLO 1 Dibuje la gráfica de la función f x  x 2  3 en cada uno de los siguientes rectángulos de visualización. (a) 2, 2 por 2, 2 (c) 10, 10 por 5, 30 2 _2 2 _2 (a) _2, 2 por _2, 2 SOLUCIÓN Para el inciso (a), seleccione el intervalo al establecer Xmín  2, Xmáx  2, Ymín  2 y Ymáx  2. En la figura 2(a), aparece la gráfica resultante. ¡La pantalla está en blanco! Un momento de reflexión da la explicación: observe que x 2  0 para toda x, de modo que x 2  3  3 para toda x. Por lo tanto, el intervalo de la función f x  x 2  3 es 3, . Esto significa que la gráfica de f está por completo fuera de la pantalla 2, 2 por 2, 2 . En la figura 2, también se muestran las gráficas para las pantallas de los incisos (b), (c) y (d). Observe que obtiene una imagen más completa en los incisos (c) y (d), pero en el inciso (d) no se ve con claridad que la intersección con el eje y es 3. 4 _4 (b) 4, 4 por 4, 4 (d) 50, 50 por 100, 1000 1000 30 4 10 _10 _50 50 _4 _5 _100 (b) _4, 4 por _4, 4 (c) _10, 10 por _5, 30 (d) _50, 50 por _100, 1000 FIGURA 2 Gráficas de f(x) = x2 + 3  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 47 SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 47 Con base en el ejemplo 1, la elección de un rectángulo de visualización puede dar lugar a una gran diferencia en el aspecto de una gráfica. A veces es necesario cambiar a un rectángulo de visualización más grande para obtener una imagen más global de la gráfica. Pero una pantalla demasiado grande también puede ser engañosa. En el ejemplo siguiente, el conocimiento del dominio y del intervalo de una función a veces proporciona información suficiente para seleccionar un buen rectángulo de visualización. EJEMPLO 2 Determine un rectángulo de visualización apropiada para la función f x  s8  2x 2 y úsela para trazar la gráfica de f. SOLUCIÓN La expresión para f(x) está definida cuando 8  2x 2  0 &? &? 4 x &? 8 2 x2 &? 2 4 x 2 Debido a eso, el dominio de f es el intervalo 2, 2 . Además, 0 _3 2x 2 3 _1 s8  2x 2 s8  2s2 2.83 de modo que el alcance de f es el intervalo [0, 2s2 ]. Elija el rectángulo de visualización de modo que el intervalo x sea algo mayor que el dominio y que el intervalo y sea mayor que el alcance. Si lo define en 3, 3 por 1, 4 ,  obtiene la gráfica que se muestra en la figura 3. FIGURA 3 EJEMPLO 3 Dibuje la función y  x 3  150x. SOLUCIÓN En este caso, el dominio es , el conjunto de todos los números reales. Eso 5 _5 5 _5 FIGURA 4 no ayuda a seleccionar un rectángulo de visualización. Experimente. Si empieza con el rectángulo de visualización 5, 5 por 5, 5 , obtiene la gráfica de la figura 4. Al parecer está en blanco, pero en realidad es casi tan vertical que se mezcla con el eje y. Si cambia el rectángulo de visualización a 20, 20 por 20, 20 , obtiene la imagen que se muestra en la figura 5(a). La gráfica parece consistir en rectas verticales, pero sabe que no es correcto. Si mira con cuidado mientras se traza la gráfica, veá que ésta sale de la pantalla y vuelve a aparecer durante el proceso. Esto indica que necesita ver más en dirección vertical, de modo que cambie el rectángulo de visualización a 20, 20 por 500, 500 . En la figura 5(b) aparece la gráfica resultante. Todavía no revela todas las características principales de la función, de modo que pruebe con 20, 20 por 1 000, 1 000 en la figura 5(c). Ahora tiene más confianza de contar con un rectángulo de visualización apropiada. En el capítulo 4 será capaz de ver que la gráfica que se muestra en la figura 5(c) revela todas las características principales de la función. 20 _20 500 20 _20 1 000 20 20 _20 _20 _500 _1000 (a) ( b) (c) FIGURA 5 y=˛-150x  CAPITULO-01-B 48 06/04/2009 |||| 18:07 Page 48 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Trace la gráfica de la función f(x)  sen 50 x en un rectángulo de visualización apropiada. V EJEMPLO 4 SOLUCIÓN En la figura 6(a) se ilustra la gráfica de f producida por una calculadora grafica- dora usando un rectángulo de visualización 12, 12 por 1.5, 1.5 . A primera vista, la gráfica parece ser razonable. Pero si cambia el rectángulo de visualización a las que se presentan en las siguientes partes de la figura 6, la gráfica se ve muy diferente. Algo extraño está pasando. 1.5 _12 & El aspecto de las gráficas de la figura 6 depende de la máquina que se use. Es posible que las gráficas que obtenga con su dispositivo graficador no se parezcan a estas figuras, pero también serán bastante inexactas. 1.5 12 _10 10 _1.5 _1.5 (a) (b) 1.5 1.5 _9 9 _6 6 FIGURA 6 Gráfica de f (x) = sen 50 x en cuatro rectángulos de visualización .25 _1.5 FIGURA 7 ƒ=sen 50x _1.5 (c) (d) Para explicar las grandes diferencias en el aspecto de estas gráficas y hallar un rectángulo de visualización adecuado, necesita hallar el periodo de la función y  sen 50 x. Puntos que la función y  sen x tiene el periodo 2p, y la gráfica de y  sen 50 x se comprime horizontalmente por un factor de 50, el periodo de y  sen 50 x es 1.5 _.25 _1.5 2  0.126 50 25 Esto sugiere que sólo debe tratar con valores pequeños de x con el fin de mostrar sólo unas cuantas oscilaciones de la gráfica. Si elige el rectángulo de visualización 0.25, 0.25 por 1.5, 1.5 , obtiene la gráfica que se muestra en la figura 7. Ahora sabe en dónde estuvo el error en la figura 6. Las oscilaciones de y  sen 50 x son tan rápidas que cuando la calculadora sitúa los puntos y los une, falla en la mayor parte de los puntos máximos y mínimos y, en consecuencia, da una impresión muy  engañosa de la gráfica. Ha visto que el uso de un rectángulo de visualización inadecuado puede proporcionar una impresión engañosa de la gráfica de una función. En los ejemplos 1 y 3, resolvió el problema al cambiar a un rectángulo de visualización más grande. En el ejemplo 4, tuvo que reducirlo. En el ejemplo siguiente, verá una función para la que no existe un rectángulo de visualización sencilla que revele la verdadera forma de la gráfica. V EJEMPLO 5 1 Trace la gráfica de la función f x  sen x  100 cos 100x . SOLUCIÓN En la figura 8 aparece la gráfica de f producida por una calculadora graficadora con el rectángulo de visualización 6.5, 6.5 por 1.5, 1.5 . Se ve muy semejante a la gráfica de y  sen x, pero con algunas protuberancias. Si realiza un acercamiento hacia el rectángulo de visualización 0.1, 0.1 por 0.1, 0.1 , puede ver con mucho mayor claridad CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 49 SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 49 la forma de las protuberancias de la figura 9. La razón de este comportamiento es que el 1 segundo término, 100 cos 100x, es muy pequeño en comparación con el primero, sen x. Así, en realidad necesita dos gráficas para ver la verdadera naturaleza de esta función. 1.5 0.1 _0.1 6.5 _6.5 0.1 _1.5 _0.1 FIGURA 8  FIGURA 9 1 . 1x SOLUCIÓN En la figura 10(a) se ilustra la gráfica producida por una calculadora graficadora con el réctangulo de visualización 9, 9 por 9, 9 . Al unir los puntos sucesivos de la gráfica, la calculadora produjo un segmento rectilíneo empinado de la parte superior a la inferior de la pantalla. Ese segmento rectilíneo en verdad no es parte de la gráfica. Note que el dominio de la función y  1(1  x) es x x  1 . Puede eliminar la extraña recta casi vertical experimentando con un cambio de escala. Cuando cambia al rectángulo de visualización más pequeño 4.7, 4.7 por 4.7, 4.7 , en esta calculadora en particular, obtiene la gráfica mucho mejor que aparece en la figura 10(b). EJEMPLO 6 Dibuje la gráfica de la función y   & Otra forma de evitar la recta extraña es cambiar el modo de trazar las gráficas en la calculadora, de manera tal que los puntos no se unan. 9 4.7 _9 9 FIGURA 10 _4.7 4.7 _9 _4.7 (a) (b) 3 EJEMPLO 7 Trace la gráfica de la función y  s x. SOLUCIÓN Algunos dispositivos graficadores despliegan la gráfica como en la figura 11, en tanto que otros producen una gráfica como la de la figura 12. Por lo que se vio en la sección 1.2 (figura 13), sabe que la gráfica de la figura 12 es la correcta; de esa manera, ¿qué sucedió en la figura 11? La explicación es que, algunas máquinas, calculan la raíz cúbica de x utilizando un logaritmo, en el cual no está definido si x es negativa, así que sólo se produce la mitad derecha de la gráfica. 2 _3 2 3 _3 _2 FIGURA 11 3 _2 FIGURA 12 CAPITULO-01-B 50 |||| 06/04/2009 18:07 Page 50 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Usted debe experimentar con su máquina para ver cuál de estas dos gráficas se produce. Si obtiene la de la figura 11, puede obtener la imagen correcta al trazar la gráfica de la función x f x   x 13 x     3 Note que esta función es igual a s x, excepto cuando x  0.  Para comprender cómo se relaciona la expresión de una función con su gráfica, ayuda trazar la gráfica de una familia de funciones; es decir, una colección de funciones cuyas ecuaciones están relacionadas. En el ejemplo siguiente, se trazan las gráficas de los miembros de una familia de polinomios. V EJEMPLO 8 Dibuje y  x3  cx para varios valores del número c. ¿Cómo cambia la gráfica al cambiar c? SOLUCIÓN En la figura 13 se muestran las gráficas de y  x3  cx para c  2, 1, 0, 1 y 2, para valores positivos de c, la gráfica crece de izquierda a derecha sin puntos máximos ni mínimos (picos o valles). Cuando c  0, la curva es plana en el origen. Cuando c es negativo, la gráfica tiene un punto máximo y uno mínimo. Conforme c disminuye, el punto máximo se vuelve más alto y el mínimo, más bajo. TEC En Visual 1.4 puede ver una animación de la figura 13 (a) y=˛+2x (b) y=˛+x (c) y=˛ (d) y=˛-x (e) y=˛-2x  FIGURA 13 Varios miembros de la familia de funciones y = x3 + cx, se grafican todas en el rectángulo de visualización [2, 2] por [2.5, 2.5] EJEMPLO 9 Encuentre la solución de la ecuación cos x  x correcta hasta dos cifras de- cimales. SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación cos x  x son las coordenadas x de los puntos de intersección de las curvas y  cos x y y  x. En la figura 14(a), se ve que sólo existe una solución y que se encuentra entre 0 y l. Si se hace un acercamiento al rectángulo de visualización 0, 1 por 0, 1 , en la figura 14(b) se observa que la raíz está entre 0.7 y 0.8. De modo que al acercarse más hasta el rectángulo de visualización 0.7, 0.8 por 0.7, 0.8 de la figura 14(c). Si mueve el cursor hasta el punto de intersección de las dos curvas, o por inspección y con base en que la escala x es 0.01, verá que la raíz de la ecuación es casi de 0.74. (Muchas calculadoras tienen una capacidad de intersección integrada.) 1.5 1 y=x 0.8 y=cos x y=cos x _5 y=x 5 y=x y=cos x FIGURA 14 Localización de las raíces de cos x = x _1.5 (a) _5, 5 por _1.5, 1.5 escala-x=1 1 0 (b) 0, 1 por 0, 1 escala-x=0.1 0.8 0.7 (c) 0.7, 0.8 por 0.7, 0.8 escala-x=0.01  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 51 SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS 1.4 |||| 51 ; EJERCICIOS 1. Mediante una calculadora graficadora o una computadora deter- mine cuál de los rectángulos de visualización da lugar a la gráfica más adecuada de la función f (x)  sx3  5x2 . (a) 5, 5 por 5, 5 (c) 0, 10 por 0, 10 (b) 0, 10 por 0, 2 2. Por medio de una calculadora graficadora o una computadora determine cuál de los rectángulos de visualización origina la gráfica más adecuada de la función f(x)  x4  16x2  20. (a) 3, 3 por 3, 3 (c) 50, 50 por 50, 50 (b) 10, 10 por 10, 10 (d) 5, 5 por 50, 50 3–14 Determine un rectángulo de visualización adecuado para la función que se proporciona y úsela para dibujar la gráfica 3. f x  5  20x  x 2 4. f x  x 3  30x 2  200x 4 81  x 4 5. f x  s 6. f x  s0.1x  20 7. f x  x  225x 8. f x  3 9. f x  sen21000x x x 2  100 10. f x  cos(0.001x) 11. f x  sen sx 12. f x  sec(20px) 13. y  10 sen x  sen 100x 14. y  x2  0.002 sen 50x 15. Dibuje la elipse 4x2  2y2  1, al trazar las funciones cuyas gráficas son las mitades superior e inferior de la elipse. 16. Dibuje la hipérbola y2  9x2  1 dibujando las funciones cuyas gráficas son las ramas superior e inferior de la hipérbola. 17–18 ¿Los dibujos cruzan en el rectángulo de visualización que se proporciona? Si es así, ¿cuántos puntos de intersección están ahí?. 17. y  3x2  6x  1 , y  0.23x  2.25 ; 1, 3 por 2.5, 1.5 18. y  6  4x  x2 , y  3x  18 ; 6, 2 por 5, 20 19–21 Encuentre todas las soluciones de la ecuación correcta hasta dos cifras decimales. 19. x 3  9x 2  4  0 24. Use gráficas para determinar cuál de las funciones f(x)  x4  100x3 y t(x)  x3 termina por ser mayor.   25. ¿Para cuáles valores de x se cumple que sen x  x  0.1 ? 26. Trace las gráficas de los polinomios P(x)  3x  5x3  2x y 5 Q(x)  3x5 en la misma pantalla, usando en primer lugar el rectángulo de visualización 2, 2 por 2, 2 y luego cambie al 10, 10 por 10 000, 10 000 . ¿Qué observa a partir de estas gráficas? 27. En este ejercicio se considera la familia de las funciones n f x  s x, en donde n es un entero positivo. 4 xy (a) Trace las gráficas de las funciones y  sx, y  s 6 y  sx en la misma pantalla 1, 4 por 1, 3 . 3 xy (b) Trace las gráficas de las funciones y  x, y  s 5 y  sx en la misma pantalla, 3, 3 por 2, 2 . (Véase el ejemplo 7.) 3 4 x, y  s x (c) Trace las gráficas de las funciones y  sx, y  s 5 y y  sx en la misma pantalla 1, 3 por 1, 2 . (d) ¿A qué conclusiones puede llegar a partir de estas gráficas? 28. En este ejercicio se considera la familia de funciones f(x)  1xn, en donde n es un entero positivo. (a) Trace las gráficas de las funciones y  1x y y  1x3 en la misma pantalla usando el rectángulo de visualización 3, 3 por 3, 3 . (b) Trace las gráficas de las funciones y  1x2 y y  1x4 en la misma pantalla usando el rectángulo de visualización del inciso (a). (c) Trace la gráfica de todas las funciones de los incisos (a) y (b) en la misma pantalla usando el rectángulo de visualización 1, 3 por 1, 3 . (d) ¿A qué conclusiones puede llegar a partir de estas gráficas? 4 29. Dibuje la función f(x)  x cx  x, para varios valores de c. ¿Cómo cambia la gráfica al cambiar c? 30. Trace la gráfica de la función f x  s1  cx 2 , para diferentes valores de c. Describa cómo influye en la gráfica el valor de c variable. 31. Trace la gráfica de la función y  x n 2 x, x  0, para 20. x 3  4x  1 21. x 2  sen x n  1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cómo cambia la gráfica al crecer n? 32. Las curvas con ecuaciones y 22. En el ejemplo 9 se vio que la ecuación cos x  x tiene una solución. (a) Use una gráfica para demostrar que la ecuación cos x  0.3x tiene tres soluciones y encuentre sus valores correctos hasta dos cifras decimales. (b) Encuentre un valor aproximado de m tal que la ecuación cos x  mx tiene dos soluciones. 2 23. Use gráficas para determinar cuál de las funciones f(x)  10x y t(x)  x310 será mayor en algún momento (es decir, mayor cuando x es muy grande).   x sc  x 2 se llaman curvas de nariz de bala. Dibuje algunas para ver por qué este nombre. ¿Qué sucede al crecer c? 2 3 2 33. ¿Qué sucede a la gráfica de la ecuación y  cx  x a medida que c varía? 34. En este ejercicio se examina el efecto de la función interior t sobre una función compuesta y  f(t(x)). (a) Trace la gráfica de la función y  sen( sx ), usando el rectángulo de visualización 0, 400 por 1.5, 1.5 . ¿Qué diferencia existe entre esta gráfica y la de la función seno? CAPITULO-01-B 52 |||| 06/04/2009 18:07 Page 52 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS (b) Trace la gráfica de la función y  sen (x2) usando el rectángulo de visualización 5, 5 por 1.5, 1.5 . ¿Qué diferencia existe entre esta gráfica y la de la función seno? 36. La primera gráfica que aparece en la figura es la de y  sen 45x según la exhibe una calculadora graficadora TI-83. Es inexacta y por eso, para ayudar a explicar su aspecto en la segunda gráfica se traza la curva de nuevo en la modalidad de puntos. 35. La figura muestra las gráficas de y  sen 96x y y  sen 2x se- gún la exhibe una calculadora graficadora TI-83. 0 2π 0 y=sen 96x 2π 0 2π 0 2π y=sen 2x La primera gráfica es inexacta. Explique por qué las dos gráficas parecen ser idénticas. Sugerencia: La ventana de graficación de la TI-83 tiene 95 pixeles de ancho. ¿Qué puntos específicos dibuja la calculadora? 1.5 & En el apéndice G aparece un planteamiento alterno para las funciones exponencial y logarítmica empleando cálculo integral. ¿Qué dos curvas seno parece estar graficando la calculadora? Demuestre que cada punto sobre la gráfica de y  sen 45x que la TI-83 decide dibujar se encuentra de hecho sobre una de estas dos curvas. (La ventana de graficación de la TI-83 tiene 95 pixeles de ancho.) FUNCIONES EXPONENCIALES La función f(x)  2x se denomina función exponencial porque la variable, x, es el exponente. No debe confundirse con la función potencia t(x)  x2 en la cual la variable es la base. En general, una función exponencial es una función de la forma f x  a x donde a es una constante positiva. Cabe recordar qué significa esto. Si x  n, un entero positivo, entonces an  a  a      a n factores Si x  0, en tal caso a0  1, y si x  n, donde n es un entero positivo, entonces a n  1 an Si x es un número racional, x  pq, donde p y q son enteros positivos y q  0, entonces q p q a x  a pq  sa  (sa ) y 1 0 1 x FIGURA 1 Representación de x racional y=2® p Pero ¿cuál es el significado de ax si x es un número irracional? ¿Qué quiere decir, por ejemplo, 2 s3 o 5 ? Para ayudar a responder esta pregunta primero se ve la gráfica de la función y  2x, donde x es racional. La figura 1 ilustra una representación de esta gráfica. Cabe ampliar el dominio de y  2x para incluir números tanto racionales como irracionales. En la gráfica de la figura 1 hay huecos que corresponden a valores irracionales de x. Cabe llenar los huecos definiendo f(x) 2x donde x  , de modo que f es una función que se incrementa. En particular, debido a que el número irracional s3 satisface 1.7  s3  1.8 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 53 SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 53 debe tener 2 1.7  2 s3  2 1.8 y sabe qué significa 21.7 y 21.8 porque 1.7 y 1.8 son números racionales. De manera análoga, si usa mejores aproximaciones para s3, obtiene mejores aproximaciones para 2 s3: & Una prueba de este hecho se proporciona en J. Marsden y A. Weinstein, Calculus Unlimited (Menlo Park, CA: BenjaminCummings, 1981.) Para una versión en línea, vease www.cds.caltech.edu/~marsden/ volume/cu/CU.pdf 1.73  s3  1.74 ? 2 1.73  2 s3  2 1.74 1.732  s3  1.733 ? 2 1.732  2 s3  2 1.733 1.7320  s3  1.7321 ? 2 1.7320  2 s3  2 1.7321 1.73205  s3  1.73206 . . . . . . ? 2 1.73205  2 s3  2 1.73206 . . . . . . Es posible demostrar que existe exactamente un número que es mayor que todos los números 2 1.7, 2 1.73, 2 1.732, 2 1.7320, 2 1.73205, ... 2 1.733, 2 1.7321, 2 1.73206, ... y menor que todos los números 2 1.8, 2 1.74, Defina 2 s3 como este número. Al utilizar el proceso de aproximación anterior puede calcularlo correcto hasta seis cifras decimales y 2 s3 De manera análoga, puede definir 2x (o ax, si a  0) donde x es cualquier número irracional. La figura 2 muestra cómo se llenaron todos los huecos en la figura 1 para completar la gráfica de la función f x  2 x, x  . En la figura 3 se muestran las gráficas de los miembros de la familia de funciones y  ax para distintos valores de la base a. Observe que todas estas gráficas pasan por el mismo punto (0, 1) porque a0  1 para a  0. Note asimismo que a medida que aumenta la base a, se incrementa más rápido la función exponencial (para x  0). 1 0 1 3.321997 x FIGURA 2 y=2®, real ” 2 ’® 1 ” 4 ’® 1 y 10® 4® 2® Si 0  a  1, después ax se aproxima a 0 conforme x aumenta. Si a  1, entonces ax se aproxima a 0 a medida que x disminuye a través de valores negativos. En ambos casos el eje x es una asíntota horizontal. Estos aspectos se analizan en la sección 2.6. 1.5® & FIGURA 3 1® 0 1 x De la figura 3 puede verse que básicamente existen tres tipos de funciones exponenciales y  ax. Si 0  a  1, disminuye la función exponencial; si a  1, es una constante, y si a  1, se incrementa. Estos tres casos se ilustran en la figura 4. Observe que si a  1, CAPITULO-01-B 54 06/04/2009 |||| 18:08 Page 54 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS entonces la función exponencial y  a x tiene dominio  y rango 0, . Observe asimismo que, puesto que 1a x  1a x  a x, la gráfica de y  1a x es sólo el reflejo de y  ax con respecto al eje y. y y (0, 1) y 1 (0, 1) 0 0 x (a) y=a®, 0<a<1 0 x (b) y=1® x (c) y=a®, a>1 FIGURA 4 En las propiedades siguientes se encuentra un motivo de la importancia de la función exponencial. Si x y y son números racionales, entonces a partir del álgebra elemental se conocen bien estas leyes. Es posible probar que siguen siendo verdaderas para números arbitrarios reales x y y. (Vease apéndice G). www.stewartcalculus.com Para revisar y practicar las leyes de exponentes, oprima en Review of Algebra LEY DE LOS EXPONENTES Si a y b son números positivos y x y y son cualquier núme- ro real, entonces 1. a xy  a xa y 2. a xy  ax ay 3. a x  y  a xy 4. ab x  a xb x EJEMPLO 1 Trace la gráfica de la función y  3  2x y determine su dominio y su intervalo. & Para un repaso de reflexión y desplazamiento de gráficas, vea la sección 1.3. SOLUCIÓN Primero se refleja la gráfica de y  2x [que se ilustra en la figura 5(a)] con res- pecto al eje x para obtener la gráfica de y  2x de la figura 5(b). Luego desplace la gráfica de y  2x tres unidades hacia arriba para obtener la gráfica de y  3  2x que aparece en la figura 5(c). El dominio es  y el intervalo  , 3. y y y y=3 2 1 0 x 0 x 0 x _1 FIGURA 5 (a) y=2® (b) y=_2® (c) y=3-2®  V EJEMPLO 2 Mediante un dispositivo graficador, compare la función exponencial f(x)  2x y la función potencia t(x)  x2. ¿Cuál función aumenta más rápido cuando x es grande? SOLUCIÓN La figura 6 muestra ambas funciones trazadas en el rectángulo de visualización 2, 6 por 0, 40 . Observe que las gráficas se intersecan tres veces, pero para x  4 la CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 55 SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 55 gráfica de f(x)  2x permanece por arriba de la gráfica de t(x)  x2. La figura 7 proporciona una visión más global y denota que para valores grandes de x, la función exponencial y  2x aumenta mucho más rápido que la función potencia y  x2. El ejemplo 2 muestra que y  2x aumenta con mayor rapidez que y  x2. Para demostrar qué tan rápido aumenta f (x)  2x, efectúe el experimento de pensamiento siguiente. Suponga que empieza con un trozo de papel de un milésimo de pulgada de espesor y lo dobla a la mitad 50 veces. Cada vez que dobla el papel a la mitad, el espesor se duplica, por lo tanto el espesor del trozo resultante sería 2501000 pulgadas. ¿Qué tan grueso cree usted que es? Resulta ser ¡más de 17 millones de millas! & 40 250 y=2® y=≈ y=2® y=≈ _2 6 0 8 0 FIGURA 6 FIGURA 7  APLICACIONES DE FUNCIONES EXPONENCIALES La función exponencial se presenta muy a menudo en los modelos matemáticos de la naturaleza y la sociedad. A continuación se indica brevemente cómo surge en la descripción de crecimiento de la población. En el capítulo 1.3 se abordarán éstas y otras aplicaciones con mayor detalle. En primer lugar, considere una población de bacterias en un medio nutriente homogéneo. Suponga que al muestrear la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el tiempo t es p(t), donde t se mide en horas, y la población inicial es p(0)  1000, entonces se tiene p1  2p0  2  1000 p2  2p1  2 2  1000 p3  2p2  2 3  1000 A partir de este patrón parece ser que, en términos generales, pt  2 t  1000  10002 t TABLA 1 Año Población (millones) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 1 650 1 750 1 860 2 070 2 300 2 560 3 040 3 710 4 450 5 280 6 080 Esta función de población es un múltiplo constante de la función exponencial y  2t, de modo que manifiesta el crecimiento rápido que observa en las figuras 2 y 7. En condiciones ideales (espacio ilimitado así como nutrición y libertad de enfermedades) este crecimiento exponencial es típico de lo que ocurre en realidad en la naturaleza. ¿Qué sucede con la población humana? La tabla 1 muestra datos respecto de la población del mundo en el siglo XX y la figura 8 ilustra la gráfica de dispersión correspondiente. P 6x10' 1900 1920 1940 1960 1980 2000 t FIGURA 8 Gráfica de dispersión para el crecimiento de la población en el mundo CAPITULO-01-B 56 |||| 06/04/2009 18:08 Page 56 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS El patrón de los puntos de información que aparece en la figura 8 sugiere crecimiento exponencial, por eso es conveniente usar una calculadora graficadora con capacidad de regresión exponencial para aplicar el método de mínimos cuadrados y obtener el modelo exponencial P  0.008079266  1.013731 t La figura 9 muestra la gráfica de esta función exponencial con los puntos de información originales. Observe que la curva exponencial coincide razonablemente bien con los datos. El periodo de crecimiento relativamente lento de la población se explica mediante las dos guerras mundiales y la Gran Depresión ocurrida en la década de los trienta. P 6x10' FIGURA 9 Modelo exponencial para crecimiento de la población 1900 1920 1940 1960 1980 2000 t EL NÚMERO e De todas las bases posibles para una función exponencial, existe una que es más conveniente para los propósitos del cálculo. La elección de una base a se ve influida por la manera en que la gráfica de y  a x cruza el eje y. Las figuras 10 y 11 muestran las líneas tangentes a las gráficas de y  2 x y y  3 x en el punto 0, 1. (Las líneas tangentes se definirán con precisión en la sección 2.7. Para los propósitos actuales, puede imaginarse la línea tangente a una gráfica exponencial en un punto como la recta que toca la gráfica sólo en ese punto.) Si mide las pendientes de estas rectas tangentes en 0, 1, encontrará que m 0.7 para y  2 x y m 1.1 para y  3 x. y y y=2® y=3® mÅ1.1 mÅ0.7 1 0 1 0 x x y y=´ FIGURA 10 FIGURA 11 m=1 1 0 x FIGURA 12 La función exponencial natural cruza el eje y con una pendiente de 1 Como verá en el capítulo 3, resulta que algunas de las fórmulas del cálculo se simplificarán en gran medida si elige la base a de manera que la pendiente de la línea tangente a y  a x en 0, 1 sea exactamente 1 (véase la figura 12). De hecho, existe tal número y es denotado por la letra e. (Esta notación la escogió el matemático suizo Leonhard Euler en 1727, probablemente porque es la primera letra de la palabra exponencial.) En vista de las figuras 10 y 11, no causa sorpresa alguna que el número e se encuentre entre 2 y 3 y la gráfica de y  e x entre las gráficas de y  2 x y y  3 x. (Véase la figura 13.) En el capítulo 3 verá que el valor de e, correcto hasta cinco lugares decimales, es e 2.71828 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 57 SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES TEC Module 1.5 le permite graficar funciones exponenciales con varias bases y con sus líneas tangentes, a fin de estimar en forma más aproximada el valor de a para el cual la tangente tiene la pendiente 1. y |||| 57 y=3® y=2® y=e ® 1 x 0 FIGURA 13 V EJEMPLO 3 Dibuje la función y  12 ex  1 y determine el dominio y el rango. SOLUCIÓN Empiece por la gráfica de y  e x de las figuras 12 y 14(a) y refleje con respecto al eje y para obtener la gráfica de y  ex en la figura 14(b). (Note que la gráfica cruza el eje y con una pendiente de 1.) Luego comprima la gráfica verticalmente por un factor de 2 para obtener la gráfica de y  12 ex en la figura 14(c). Por último, desplace la gráfica una unidad hacia abajo para obtener la gráfica deseada en la figura 14(d). El dominio es  y el rango es 1, . y y y y 1 1 1 1 0 x 0 0 x 0 x x y=_1 (a) y=´ (d) y= 21 e–®-1 (c) y= 21 e–® (b) y=e–® FIGURA 14  ¿Qué tanto cree usted que tenga que ir hacia la derecha para que la altura de la gráfica de y  e x exceda de un millón? El ejemplo siguiente demuestra el crecimiento rápido de esta función al proporcionar una respuesta que quizás le sorprenda. EJEMPLO 4 Use un dispositivo graficador para hallar los valores de x para los cuales ex  1 000 000. SOLUCIÓN En la figura 15 aparece tanto la función y  e x como la línea horizontal y  1 000 000. Estas curvas se intersecan cuando x 13.8. Así, e x  10 6 cuando x  13.8. Tal vez le sorprenda que los valores de la función exponencial ya hayan rebasado un millón cuando x es sólo 14. 1.5x10^ y=10^ y=´ FIGURA 15 0 15  CAPITULO-01-B 58 06/04/2009 |||| 18:08 Page 58 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 1.5 EJERCICIOS 1. (a) Escriba una ecuación que defina la función exponencial con base a  0. (b) ¿Cuál es el dominio de esta función? (c) Si a  1, ¿cuál es el intervalo de esta función? (d) Trace la forma general de la gráfica de la función exponencial para cada uno de los casos siguientes. (i) a  1 (ii) a  1 (iii) 0  a  1 17–18 Encuentre la función exponencial f x  Ca x cuya gráfica se proporciona. y 17. (3, 24) (1, 6) 2. (a) ¿Cómo se define el número e? (b) )¿Cuál es un valor aproximado para e? (c) ¿Cuál es la función exponencial natural? 0 ; 3–6 Dibuje las funciones que se proporcionan sobre una pantalla común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 3. y  2 x, y  e x, y  5 x, x ye , y8, x 5. y  3 , y  10 x, y  ( 13 ) , 6. y  0.9 x, y  0.6 x, y8 x x 2 x y  (101 ) y  0.3 x, 2 x ”2, 9 ’ y  0.1x 8. y  4x  3 x 9. y  2 10. y  1  2e x 1 x 11. y  1  2 e 12. y  21  e x  x 13. Comenzando por la gráfica de y  e , escriba la ecuación de la gráfica que resulta de (a) desplazarse 2 unidades hacia abajo (b) desplazarse 2 unidades hacia la derecha (c) reflejar respecto al eje x (d) reflejar respecto al eje y (e) reflejar respecto al eje x y a continuación al eje y 14. Empezando por la gráfica de y  e x, encuentre la ecuación de la gráfica resultante de (a) reflejar respecto a la recta y  4 (b) reflejar respecto a la línea x  2 1 1  ex 16. (a) tt  senet  (b) f x  19. Si f x  5 x, demuestre que  f (x  h)  f (x) 5h  1  5x h h  20. Suponga que le ofrecen un trabajo que dura un mes. ¿Cuál de los métodos de pago siguientes prefiere? I. Un millón al mes. II. Un centavo el primer día del mes. Dos centavos el segundo día, cuatro centavos el tercero y, en general, 2n1 centavos el n-ésimo día. 21. Suponga que las gráficas de f x  x 2 y tx  2 x se dibujan sobre una plantilla de coordenadas donde la unidad de medición es 1 pulgada. Demuestre que, a una distancia de 2 pies a la derecha del origen, la altura de la gráfica de f es 48 pies pero la altura de la gráfica es alrededor de 265 mi. 5 x ; 22. Compare las funciones f x  x y tx  5 al trazar ambas en varios rectángulos de visualización. Encuentre todos los puntos de intersección de las gráficas corregidos a un solo lugar decimal. ¿Qué función crece más rápidamente cuando x es grande? 15–16 Encuentre el dominio de cada función. 15. (a) f x  x 0 7–12 Realice un boceto de la gráfica de la función. No utilice calculadora. Sólo use las gráficas de las figuras 3 y 12 y, si es necesario, las transformaciones de la sección 1.3. 7. y  4x  3 y 18. y  20 x 4. y  e , x x 1 1  ex (b) tt  s1  2 t 10 x ; 23. Compare las funciones f x  x y tx  e trazando tanto f como t en varios rectángulos de visualización. ¿Cuándo rebasa finalmente la gráfica de t la gráfica de f? ; 24. Utilice una gráfica para estimar los valores de x tales que ex  1 000 000 000. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 59 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 25. Se sabe que en condiciones ideales cierta población de ; 26. Un cultivo de bacterias inicia con 500 baterias y duplica su ; Población Año Población 1900 1910 1920 1930 1940 1950 76 92 106 123 131 150 1960 1970 1980 1990 2000 179 203 227 250 281 f x  1  e1/x 1  e1/x verá que f parece una función impar. Demuéstrelo ; 30. Dibuje diferentes grupos de la familia de funciones f x  ; 28. La tabla siguiente presenta la población de Estados Unidos, en 1 1  aebx donde a  0. ¿Cómo cambia la gráfica cuando b cambia? ¿Cómo cambia cuando a cambia? millones, para los años 1900 a 2000. Use una calculadora graficadora con capacidad de regresión exponencial para modelar 1.6 Año ; 29. Si gráfica la función ; 27. Use una calculadora graficadora con capacidad de regresión ex- ponencial para modelar la población del mundo con la información de 1950 a 2000 que aparecen en la tabla 1 en la página 55. Recurra al modelo para estimar la población en el año 1993 y predecirla en el año 2010. 59 la población de Estados Unidos desde 1900. Use el modelo para estimar la población en el año 1925 y predecirla en el 2010 y el 2020. bacterias se duplica cada tres horas. Suponga que al principio hay 100 bacterias. (a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas? (b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas? (c) Estime el tamaño de la población después de 20 horas. (d) Dibuje la función de población y estime el tiempo que se requiere para que la población llegue a 50 000. tamaño cada media hora.. (a) ¿Cuántas bacterias existen después de 3 horas? (b) ¿Cuántas bacterias existen después de t horas? (c) ¿Cuantas baterias existen después de 40 minutos? (d) Grafique la función población y estime el tiempo para que la población alcance 100 000. |||| FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS La tabla 1 proporciona información de un experimento en el cual un cultivo de bacterias se inició con 100 bacterias en un medio nutriente limitado; el tamaño de la población de bacterias se registró a intervalos de horas. El número de bacterias N es una función del tiempo t: N  f t. Sin embargo, suponga que la bióloga modifica su punto de vista y se interesa en el tiempo que se requiere para que la población alcance diversos niveles. En otras palabras, ella considera a t como una función de N. A esta función se le llama función inversa de f, denotada por f 1, y se lee “f inversa”. De esta manera, t  f 1N es el tiempo que se requiere para que el nivel de la población llegue a N. Los valores de f 1 pueden encontrarse leyendo la tabla 1 de derecha a izquierda o bien consultando la tabla 2. Por ejemplo, f 1550  6 porque f 6  550. TABLA 1 N como una función de t TABLA 2 t como función de N t (horas) N  f t  población en el tiempo t N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 100 168 259 358 445 509 550 573 586 100 168 259 358 445 509 550 573 586 t  f 1N  tiempo para llegar a N bacterias 0 1 2 3 4 5 6 7 8 CAPITULO-01-B 60 |||| 06/04/2009 18:08 Page 60 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS No todas las funciones poseen inversas. Compare las funciones f y t cuyos diagramas de flechas se muestran en la figura 1. Observe que f nunca adopta el mismo valor dos veces (dos entradas cualesquiera en A tienen salidas diferentes), en tanto que t adopta el mismo valor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma salida, 4). En símbolos, t2  t3 f x 1   f x 2  pero siempre que x 1  x 2 Las funciones que comparten esta función con f se llaman funciones uno a uno. 4 10 4 3 7 3 2 4 2 2 1 1 FIGURA 1 f es uno a uno; g no lo es & En el lenguaje de entradas y salidas, esta definición dice que f está uno a uno si cada salida corresponde a sólo una entrada. 10 4 2 g f A A B B 1 DEFINICIÓN A una función f se le llama función uno a uno si nunca toma el mismo valor dos veces; es decir, f x 1   f x 2  siempre que x 1  x 2 Si una línea horizontal interseca la gráfica de f en más de un punto, como es el caso de la figura 2 existen números x1 y x2 tales que f x 1   f x 2 . Esto significa que f no está uno a uno. Debido a eso tenemos el método geométrico siguiente para determinar si una función es uno a uno. y y=ƒ fl ‡ FIGURA 2 Esta función no es uno a uno porque f(⁄)=f(¤) 0 ⁄ ¤ x PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL Una función es uno a uno si y sólo si, ninguna línea horizontal interseca su gráfica más de una vez. y y=˛ 0 x V EJEMPLO 1 ¿La función f x  x 3 es uno a uno? SOLUCIÓN 1 Si x 1  x 2 , entonces x 13  x 23 (dos números distintos no pueden tener el mis- mo cubo). Por lo tanto, por la definición 1, f x  x 3 es uno a uno. SOLUCIÓN 2 En la figura 3 ve que ninguna línea horizontal interseca la gráfica de f x  x 3 FIGURA 3 ƒ=˛ es uno a uno más de una vez. Por consiguiente, mediante la prueba de la línea horizontal, f es uno a uno.  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 61 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS y V EJEMPLO 2 y=≈ |||| 61 ¿La función tx  x 2 es uno a uno? SOLUCIÓN 1 Esta función no es uno a uno porque, por ejemplo, t1  1  t1 0 y de este modo 1 y 1 tienen la misma salida. x SOLUCIÓN 2 En la figura 4 existen líneas horizontales que intersecan la gráfica de t más FIGURA 4 de una vez. Por consiguiente, mediante la prueba de la línea horizontal, t no es uno  a uno ©=≈ no es uno a uno Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente las funciones que poseen funciones inversas según la siguiente definición 2 DEFINICIÓN Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f 1 tiene dominio B y rango A y se define mediante f 1y  x &? f x  y para cualquier y en B. Esta definición dice que si f mapea x en y, después f 1 mapea y de regreso hacia x. (Si f no fuera uno a uno, entonces f 1 no estaría definida en forma única.) El diagrama de flechas de la figura 5 indica que f 1 invierte el efecto de f. Observe que x A f B f –! y dominio de f1  rango de f FIGURA 5 rango f 1  dominio de f Por ejemplo, la función inversa de f x  x 3 es f 1x  x 13 porque si y  x 3, en tal caso f 1y  f 1x 3   x 3 13  x | PRECAUCIÓN No confundir el 1 en f 1 con un exponente. Así f 1x no significa 1 f x El recíproco 1f x podría, no obstante, escribirse como f x V EJEMPLO 3 f 1 10. 1 . Si f 1  5, f 3  7 y f 8  10, encuentre f 17, f 15 y SOLUCIÓN De la definición de f 1 f 17  3 porque f 3  7 f 15  1 porque f 1  5 f 110  8 porque f 8  10 CAPITULO-01-B 62 |||| 06/04/2009 18:08 Page 62 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS El diagrama que aparece en la figura 6 pone en evidencia la manera en que f 1 invierte el efecto de f en este caso. FIGURA 6 A B A B 1 5 1 5 3 7 3 7 8 _10 8 _10  La función inversa invierte las entradas y las salidas f –! f Por tradición la letra x se usa como la variable independiente, así, al concentrarse en f 1 en vez de f, por lo regular invierte las funciones que juegan x y y en la definición 2 y escribia f 1x  y &? 3 f  y  x Al sustituir y en la definición 2, y sustituir x en (3), obtiene las ecuaciones de cancelación siguientes: f 1 f x  x 4 1 f  f x  x para toda x en A para toda x en B La primera ecuación de cancelación dice que si empieza con x, aplica f, a continuación aplica f 1, llega de nuevo a x, donde empezamos (véase el diagrama que aparece en la figura 7). Así, f 1 deshace lo que f hace. La segunda ecuación dice que f deshace lo que f 1 hace. x f ƒ f –! x FIGURA 7 Por ejemplo, si fx  x3, entonces f 1x  x13 y de ese modo las ecuaciones de cancelación se convierten en f 1 f x  x 3 13  x f  f 1x  x 13 3  x Estas ecuaciones indican simplemente que la función cúbica y la función raíz cúbica se cancelan entre sí cuando se aplican en forma sucesiva. Vea ahora cómo calcular funciones inversas. Si tiene una función y  f x y es capaz de resolver esta ecuación para x en términos de y, entonces según la definición 2 tiene que x  f 1y. Si desea nombrar como x la variable independiente, entonces intercambie x y y y llegue a la ecuación y  f 1x. 5 CÓMO ENCONTRAR LA FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN f UNO A UNO ETAPA 1 ETAPA 2 ETAPA 3 Escriba y  f x. Resuelva la ecuación para x en términos de y (de ser posible). Para expresar f 1 como una función de x, intercambie x y y. La ecuación resultante es y  f 1x. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 63 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS V EJEMPLO 4 |||| 63 Encuentre la función inversa de f x  x 3  2. SOLUCIÓN Según (5) primero escriba y  x3  2 A continuación resuelva esta ecuación para x: x3  y  2 3 xs y2 Por último, intercambie x y y: 1 3 ys x2 Observe en el ejemplo 4 cómo f invierte el efecto de f. La función f sigue la regla “eleve al Cubo, entonces sume 2”, f1 sigue la regla “Reste 2, entonces obtenga la raíz cuadrada”. & 3 En consecuencia, la función inversa es f 1x  s x  2.  El principio de intercambiar x y y para hallar la función inversa da también el método para obtener la gráfica de f 1 de la gráfica de f. Puesto que f a  b si y sólo si f 1b  a, el punto (a, b) se encuentra en la gráfica de f si y sólo si el punto (b, a) está sobre la gráfica de f 1. Pero obtiene el punto (b, a) de (a, b) al reflejar respecto a la línea y  x. (Véase la figura 8.) y y (b, a) f –! (a, b) 0 0 x x y=x y=x FIGURA 8 FIGURA 9 f Por lo tanto, como lo ilustra la figura 9: y La gráfica de f 1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la línea y  x. y=ƒ y=x 0 (_1, 0) x (0, _1) SOLUCIÓN En primer lugar trace la curva de y  s1  x (la mitad superior de la parábo- y=f –!(x) FIGURA 10 EJEMPLO 5 Trace las gráficas de f x  s1  x y su función inversa usando los mismos ejes de coordenadas. la y 2  1  x, o bien x  y 2  1) y a continuación refleje respecto a la línea y  x para obtener la gráfica de f 1. (Véase la figura 10.) A manera de comprobación de la gráfica, observe que la expresión para f 1 es f 1x  x 2  1, x  0. De modo que la gráfica de f 1 es la mitad derecha de la parábola y  x 2  1 y a partir de la figura 10,  esto parece ser razonable. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Si a  0 y a  1, la función exponencial f x  a x bien es creciente o decreciente y por eso mediante la prueba de la línea horizontal es uno a uno. Por lo tanto tiene una función inversa f 1, a la cual se le da el nombre de función logarítmica con base a y se denota mediante loga. Si utiliza la formulación de una función inversa dada por (3) f 1x  y &? f y  x CAPITULO-01-B 64 06/04/2009 |||| 18:08 Page 64 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS se tiene log a x  y &? 6 ay  x De ese modo, si x  0, entonces log a x es el exponente al cual debe elevarse la base a para dar x. Por ejemplo, log10 0.001  3 porque 103  0.001. Las ecuaciones de cancelación (4) cuando se aplican a las funciones f x  a x y 1 f x  log a x, se convierten en 7 y log aa x   x para toda x   a log a x  x para toda x  0 y=x La función logarítmica log a tiene dominio 0,  y rango . Su gráfica es el reflejo de la gráfica de y  ax respecto a la línea y  x. La figura 11 muestra el caso en que a  1. (Las funciones logarítmicas más importantes tienen base a  1.) El hecho de que y  a x sea una función que aumenta muy rápidamente para x  0 se refleja en el hecho de que y  log a x es una función que aumenta muy lentamente para x  1. La figura 12 muestra las gráficas de y  log a x con varios valores de la base a  1. Como log a 1  0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). Las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas se derivan de las propiedades correspondientes de las funciones exponenciales que se dieron en la sección 1.5. y=a®, a>1 0 x y=log a x, a>1 FIGURA 11 LEYES DE LOS LOGARITMOS Si x y y son números positivos, entonces y 1. log axy  log a x  log a y y=log™ x  y=log£ x 2. log a 1 0 1 x y=log∞ x x y  log a x  log a y 3. log ax r   r log a x (donde r es cualquier número real) y=log¡¸ x EJEMPLO 6 Use las leyes de los logaritmos para evaluar log 2 80  log 2 5. SOLUCIÓN Al usar la ley 2, tiene FIGURA 12   log 2 80  log 2 5  log 2 80 5 Porque 2 4  16. & NOTACIÓN PARA LOGARITMOS La mayoría de los libros de texto de cálculo y de ciencias, así como las calculadoras usan la notación ln x para el logaritmo natural y log x para el “logaritmo común”, log 10 x. Sin embargo, en la literatura de matemáticas y científica más avanzada y en los lenguajes de computadora, la notación log x denota por lo general al logaritmo natural.  log 2 16  4  LOGARITMOS NATURALES En el capítulo 3 verá que de todas las bases a posibles para logaritmos, la elección más conveniente es el número e, que se definió en la sección 1.5. Al logaritmo con base e se le llama logaritmo natural y tiene una notación especial log e x  ln x CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 65 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 65 Si pone a  e y sustituye loge con “ln” en (6) y (7), entonces las propiedades de la función logaritmo natural se convierten en ln x  y &? 8 9 ey  x lne x   x x e ln x  x x0 En particular, si establece que x  1, obtiene ln e  1 EJEMPLO 7 Encuentre x si ln x  5. SOLUCIÓN 1 De (8) observe que ln x  5 significa e5  x Por lo tanto, x  e 5. (Si trabajar con la notación “ln” le causa problemas, sustitúyala con log e . Entonces la ecuación se convierte en log e x  5; por consiguiente, mediante la definición de logaritmo, e 5  x.) SOLUCIÓN 2 Empiece con la ecuación ln x  5 y aplique la función exponencial a ambos lados de la ecuación e ln x  e 5 Pero la segunda ecuación de cancelación en (9) dice que e ln x  x. Por lo tanto, x  e 5.  EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación e 53x  10. SOLUCIÓN Tome logaritmos naturales de ambos lados de la ecuación y use (9): lne 53x   ln 10 5  3x  ln 10 3x  5  ln 10 x  13 5  ln 10 Como el logaritmo natural se encuentra en las calculadoras científicas, puede aproximar  la solución a cuatro cifras decimales: x 0.8991. CAPITULO-01-B 66 06/04/2009 |||| 18:08 Page 66 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS V EJEMPLO 9 Exprese ln a  12 ln b como un solo logaritmo. SOLUCIÓN Usando las leyes 3 y 1 de los logaritmos ln a  12 ln b  ln a  ln b 12  ln a  ln sb  ln(asb )  La fórmula siguiente muestra que los logaritmos con cualquier base pueden expresarse en términos del logaritmo natural 10 FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE Para cualquier número positivo a (a  1), se tiene ln x ln a log a x  DEMOSTRACIÓN Sea y  logax. Entonces de (6), tiene ay  x. Al tomar los logaritmos naturales de ambos lados de esta ecuación, obtiene y ln a  ln x. Por consiguiente y ln x ln a  Las calculadoras científicas tienen una tecla para logaritmos naturales, de modo que la fórmula 10 permite usar una calculadora para obtener un logaritmo con cualquier base (como se ilustra en el ejemplo siguiente). De manera análoga, la fórmula 10 permite dibujar cualquier función logarítmica en una calculadora o computadora graficadora (véase ejercicios 43 y 44). EJEMPLO 10 Evalúe log8 5 con una aproximación hasta seis lugares decimales. SOLUCIÓN La fórmula 10 produce log 8 5  0.773976  Las gráficas de la función exponencial y  ex y su función inversa, la función logaritmo natural, se ilustran en la figura 13. Debido a que la curva y  ex cruza el eje y con una pendiente de 1, se deduce que la curva reflejada y  ln x cruza el eje x con una pendiente de 1. Al igual que todas las demás funciones logarítmicas que tienen una base mayor que 1, el logaritmo natural es una función creciente que se define sobre (0, ) y el eje y es una asíntota vertical. (Esto significa que los valores de ln x se convierten en negativos muy grandes en magnitud a medida que x se aproxima a cero.) y y=´ y=x 1 ln 5 ln 8 y=ln x 0 1 x EJEMPLO 11 Trace la gráfica de la función y  ln(x  2)  1. SOLUCIÓN Empiece con la gráfica de y  ln x según se proporciona en la figura 13. Al utili- FIGURA 13 zar la transformación de la sección 1.3, vaya dos unidades hacia la derecha para obtener la gráfica de y  ln(x  2) y luego desplácela una unidad hacia abajo para obtener la gráfica de y  lnx  2  1. (Véase la figura 14.) CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 67 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS y y y=ln x 0 0 2 y=ln(x-2)-1 x (3, 0) 67 x=2 y=ln(x-2) x (1, 0) y x=2 |||| 2 0 x (3, _1) FIGURA 14  Si bien ln x es una función creciente, crece muy despacio cuando x  1. De hecho, ln x crece más despacio que cualquier potencia positiva de x. Para ilustrar este hecho, compare valores aproximados de las funciones y  ln x y y  x 12  sx en la tabla siguiente que aparecen dibujados en las figuras 15 y 16. Podrá observar que en un principio las gráficas de y  sx y y  ln x crecen en cantidades similares, pero en algún momento la función raíz rebasa por mucho al logaritmo. y x y=œ„ 1 0 y=ln x x 1 FIGURA 15 y x y=œ„ x 1 2 5 10 50 100 500 1000 10 000 100 000 ln x 0 0.69 1.61 2.30 3.91 4.6 6.2 6.9 9.2 11.5 sx 1 1.41 2.24 3.16 7.07 10.0 22.4 31.6 100 316 ln x sx 0 0.49 0.72 0.73 0.55 0.46 0.28 0.22 0.09 0.04 20 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS y=ln x 0 1000 x FIGURA 16 Cuando tratamos de calcular las funciones trigonométricas inversas hay una pequeña dificultad: puesto que las funciones trigonométricas no son uno a uno o biunívocas, no tienen funciones inversas. La dificultad se vence restringiendo los dominios de estas funciones de modo que se transformen en uno a uno. Observe en la figura 17 que la función seno y  sen x no es uno a uno (aplique la prueba de la línea horizontal). Pero la función f x  sen x,  2 x 2 (véase figura 18) es uno a uno. La función inversa de la función seno f(x) restringida existe y se denota mediante sen1 o arcsen. Se llama función inversa del seno o función arco seno. y y y=senx _ π2 _π 0 π 2 π 0 x x π 2 π FIGURA 17 π FIGURA 18 y=sen x, _ 2 ¯x¯ 2 Puesto que la definición de una función inversa establece que f 1x  y &? f  y  x CAPITULO-01-B 68 06/04/2009 |||| 18:08 Page 68 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS tiene sen1x  y | sen 1x  1 sen x Por esto, si 1 x &? sen y  x y  y 2 2 1, sen1x es el número entre p2 y p2 cuyo seno es x. EJEMPLO 12 Determine (a) sen1( 2) y (b) tan(arcsen 3 ). 1 1 SOLUCIÓN (a) Tenemos sen1( 12)  3 1 ¨ 6 porque sen 6  12 y p6 queda entre p2 y p2. (b) Sea   arcsen 13 , de modo que sen   13. Entonces, podemos dibujar un triángulo rectángulo con ángulo u como en la figura 19 y deducir de acuerdo con el Teorema de Pitágoras que el cateto faltante mide s9  1  2s2. Esto permite que podamos saber a partir del triángulo que 2 œ„ 2 tan(arcsen 13 )  tan   FIGURA 19 1 2s2  Las ecuaciones de cancelación para el caso de las funciones inversas se transforman en sen1sen x  x 1 sensen x  x para  x 2 para 1 x 2 1 El dominio de la función inversa del seno, sen1, es 1, 1 y el rango es  2, 2 , y su gráfica, que se ilustra en la figura 20, se obtiene de la función restringida del seno (figura 18) por reflexión con respecto a la línea y  x. y y π 2 1 _1 0 1 0 x π 2 π x _ π2 FI GURA 2 0 FI GURA 2 1 y=sen–! x=arcsen x y=cos x, 0¯x¯π La función inversa del coseno se trata en forma similar. La función restringida del coseno f x  cos x, 0 x , es uno a uno (véase figura 21) y, de este modo, tiene una función inversa que se denota mediante cos1 o arccos. cos1x  y &? cos y  x y 0 y CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 69 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 69 Las ecuaciones de cancelación son y π cos 1cos x  x coscos1x  x π 2 0 _1 |||| x para 1 x 1 El dominio de la función inversa del coseno, cos1, es 1, 1 y el rango es 0, . Su gráfica se ilustra en la figura 22. La función tangente se puede hacer uno a uno si se la restringe al intervalo  2, 2. Por consiguiente, la función tangente inversa se define como la inversa de la función f x  tan x,  2  x  2. (Véase figura 23.) Se denota mediante tan1 o arctan. x 1 para 0 FIGURA 22 y=cos–! x=arccos x y tan1x  y &? tan y  x _ π2 0 π 2 y  2 y 2 EJEMPLO 13 Simplifique la expresión costan1x. x SOLUCIÓN 1 Sea y  tan1x. Entonces tan y  x y  2  y  2. Quiere determinar el cos y pero como tan y se conoce, es más fácil determinar primero sec y: sec2 y  1  tan2 y  1  x 2 FIGURA 23 π sec y  s1  x 2 π y=tan x, _ 2 <x< 2 De este modo œ„„„„„ 1+≈ x y puesto que sec y  0 para  2  y  2 costan1x  cos y  1 1  sec y s1  x 2 SOLUCIÓN 2 En lugar de aplicar las identidades trigonométricas como en la solución 1, es tal vez más fácil utilizar un diagrama. Si y  tan1x, entonces tan y  x, y puede saber a partir de la figura 24 (que ilustra el caso y  0) que 1 costan1x  cos y  FIGURA 24 1 s1  x 2  La función tangente inversa, tan1  arctan, tiene por dominio  y rango  2, 2. Sus gráficas se muestran en la figura 25. y π 2 0 x FIGURA 25 y=tan–! x=arctan x _ π2 Las líneas x  2 son asíntotas verticales de la gráfica de la tangente. Puesto que la gráfica de tan1 se obtiene reflejando la gráfica de la función tangente restringida con respecto a la línea y  x, se infiere que las líneas y  2 y y   2 son asíntotas horizontales de la gráfica de tan1. CAPITULO-01-B 70 06/04/2009 |||| 18:08 Page 70 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Las funciones trigonométricas inversas restantes no se aplican con frecuencia por lo que se resumen en seguida.   11 y  csc1x  x  1 &? csc y  x y y  0, 2   , 3 2 y  sec1x  x  1 &? sec y  x y y  0, 2  y  cot1x x   cot y  x y y  0,  y   0 _1 π x 2π No hay un acuerdo universal sobre la elección de los intervalos para y en las definiciones de csc1 o sec1. Por ejemplo, algunos autores usan y  0, 2   2, en la definición de sec1. [Usted puede comprobar con la gráfica de la función secante de la figura 26 que funcionan tanto esta opción como la que se encuentra en (11).] FI GURA 2 6 y=sec x 1.6 &? , 3 2 EJERCICIOS 1. (a) ¿Qué es una función uno a uno? 13. f(t) es la altura de un balón de fútbol t segundos después de la (b) ¿Cómo puede decir a partir de la gráfica de una función si ésta es uno a uno? patada de salida. 14. f(t) es su altura a la edad de t. 2. (a) Suponga que f es una función uno a uno con dominio A e intervalo B. ¿Cómo se define la función inversa f1? ¿Cuál es el dominio de f1? ¿Cuál es el rango de f1? (b) Si le dan una fórmula para f, ¿cómo encuentra una fórmula para f1? (c) ¿Si le dan la gráfica de f, ¿cómo encuentra la gráfica de f1? 3–14 Se da una función mediante una tabla, una gráfica, una fórmula 4. 5. x 1 2 3 4 5 6 f x 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0 x 1 2 3 4 5 6 f x 1 2 4 8 16 32 6. y es f 19? 16. Sea f(x)  3  x2  tan( x2), donde 1  x  1. (a) Halle f1(3). (b) Encuentre f(f1(5)). x 1 17. Si t(x)  3  x  e , encuentre t (4). 18. Se proporciona la gráfica de f. o una descripción verbal. Determine si es uno a uno. 3. 15. Si f es una función uno a uno tal que f 2  9, ¿cuánto (a) (b) (c) (d) ¿Por qué f es uno a uno? Defina el dominio y el rango de f1. ¿Cuál es el valor de f 12. ¿Estime el valor de f 10. y 1 y 0 x 1 x x 5 459.67, expresa la temperatura en grados Celsius C como una función de la temperatura en grados Fahrenheit F. Encuentre una fórmula para la función inversa e interprétela. ¿Cuál es el dominio de la función inversa? 19. La fórmula C  9 F  32, donde F 7. y 8. y x x 20. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con rapi- dez v es 9. f x  x 2  2x 11. tx  1/x 10. f x  10  3x 12. tx  cos x m0  s1 v 2c 2 donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la rapidez de la luz en el vacío. Encuentre la función inversa de f y explique su significado. m  f v  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 71 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 21–26 Encuentre una fórmula para la inversa de la función. 21. f x  s10  3x 23. f x  e x 22. f x  3 26. y  cionan en una pantalla común. ¿De qué manera se relacionan estas gráficas? 4x  1 2x  3 41. y  log 1.5 x , 42. y  ln x, ex 1  2e x f1, f y la recta y  x sobre la misma pantalla. Para verificar su trabajo, vea si las gráficas de f y f1 son reflejos respecto a la recta. 45–46 Haga un trazo aproximado de la gráfica de cada función. No use una calculadora. Utilice sólo las gráficas que se proporcionan en las figuras 12 y 13 y, de ser necesario, las transformaciones de la sección 1.3. 30. 0 y 45. (a) y  log 10x  5 (b) y  ln x 1 46. (a) y  lnx (b) y  ln x 0 2 47–50 Resuelva cada ecuación para x. 31. (a) ¿Cómo se define la función logarítmica y  logax? 48. (a) e 2x3  7  0 (b) ln5  2 x  3 x5 3 1 3 27 51. (a) e x  10 (b) ln x  1 52. (a) 2  ln x  9 (b) e 23x  4 53. f  x  s3  e 2x (b) log 34. (a) ln1e (b) log10 s10 35. (a) log26  log215  log220 CAS (b) log3 100  log318  log350 (b) lnln e  37–39 Exprese la cantidad que se proporciona como un logaritmo CAS 37. ln 5  5 ln 3 38. lna  b  lna  b  2 ln c 39. ln1  x 2   2 ln x  ln sen x 1 40. Use la fórmula 10 para evaluar cada logaritmo aproximado hasta (b) log 2 8.4 54. f  x  ln2  ln x 55. Dibuje la función f x  sx 3  x 2  x  1 y explique por qué es uno a uno. A continuación use un sistema algebraico de computadora para encontrar una expresión explícita para f1(x). (Su CAS generará tres expresiones posibles. Explique por qué dos de ellas son irrelevantes en este contexto.) e10 único. (b) e ax  Ce bx, donde a  b 53–54 Encuentre (a) el dominio de f y (b) f1 y su dominio. 33–36 Encuentre el valor exacto de cada expresión. 33. (a) log5125 (b) ln x  lnx  1  1 51–52 Resuelva cada desigualdad para x. (b) ¿Qué es el logaritmo común? (c) Trace las gráficas de la función logaritmo natural y la función exponencial natural con un conjunto común de ejes. seis cifras decimales. (a) log12 10 (b) ex  5 50. (a) lnln x  1 32. (a) ¿Qué es el logaritmo natural? 36. (a) e 47. (a) 2 ln x  1 49. (a) 2 (b) ¿Cuál es el dominio de esta función? (c) ¿Cuál es el rango de esta función? (d) Trace la forma general de la gráfica de la función y  logax si a  1. 2 ln 5   x x 1 y  10 x 0.1 ; 44. Compare las funciones f(x)  x y t(x)  ln x mediante el gráfica de f1. 1 ye , y  log 50 x dibujo de tanto f como t en varios rectángulos de visualización. ¿Cuándo termina la gráfica de f por rebasar la gráfica de t? 28. f x  2  ex y y  log 10 x , x de coordenadas donde la unidad de medida es una pulgada. ¿Cuántas millas hacia la derecha del origen hay que desplazarse antes que la altura de la curva llegue a 3 pies? 29–30 Utilice la gráfica que se proporciona para f para dibujar la 29. y  ln x, y  log 10 x , 43. Suponga que la gráfica de y  log2x se dibuja en una plantilla 1 ; 27–28 Encuentre una fórmula explícita para f y úsela para dibujar 27. f x  x4  1 , x  0 71 ; 41–42 Use la fórmula 10 para dibujar las funciones que se propor- 24. y  2 x 3  3 25. y  lnx  3 |||| 56. (a) Si t(x)  x6  x4, x 0, utilice un sistema algebraico de computadora para encontrar una expresión para t1(x). (b) Use la expresión del inciso (a) para dibujar y  t(x), y  x y y  t1(x) en la misma pantalla. 57. Si una población de bacterias inicia con 100 bacterias y se du- plica cada tres horas, luego el número de bacterias una vez que transcurren t horas es n  f(t)  100  2t3. (Véase el ejercicio 25 en la sección 1.5.) (a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. (b) ¿Cuándo llegará la población a 50 000? CAPITULO-01-B 72 |||| 06/04/2009 18:08 Page 72 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 58. Cuando se apaga el flash de una cámara, las baterías empie- zan de inmediato a recargar el capacitor del flash, el cual almacena carga eléctrica dada por Qt  Q 0 1  e ta 59. (a) sen1(s32) (b) cos11 60. (a) tan 1s3 (b) sec1 2 (b) sen (1s2) 1 63. (a) tanarctan 10 (b) sen1sen7p3 4 (b) sen(2 sen 65. Demuestre que cossen1x  s1  x 2 . ; 69–70 Grafique las funciones dadas en la misma pantalla. ¿Cuál es la relación entre estas gráficas? 69. y  sen x ,  2 x 70. y  tan x,  2  x  2; 2; y  sen1x ; 1 y  tan x; yx yx 1 ; 72. (a) Grafique la función f x  sensen x y explique el (b) arccos12 64. (a) tansec 68. cos2 tan1x tx  sen13x  1 62. (a) cot s3 1 67. sentan1x 71. Determine el dominio y el rango de la función. 59–64 Calcule el valor exacto de cada expresión. 1 66. tansen1x  (La capacidad máxima de carga es Q0 y t se mide en segundos.) (a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. (b) ¿Cuánto tarda en cargar el capacitor hasta 90% de su capacidad si a  2? 61. (a) arctan 1 66–68 Simplifique la expresión. ( )) 1 3 5 aspecto de la gráfica. (b) Grafique la función tx  sen1sen x. ¿Cuál es su explicación sobre el aspecto de esta gráfica? 73. (a) Si desplaza una curva hacia la izquierda, ¿qué pasa con su reflejo respecto a la línea y  x? En vista de este principio geométrico, encuentre una expresión para la inversa de t(x)  f(x  c) donde f es una función uno a uno (b) Encuentre una expresión para la inversa de h(x)  f(cx), donde c  0. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 73 CAPÍTULO 1 REPASO 1 |||| 73 REPASO R E V I S I Ó N D E C O N C E P TO S 1. (a) ¿Qué es una función? ¿Cuál es su dominio y su rango? (b) ¿Qué es la gráfica de una función? (c) ¿Cómo puede usted decir si una curva dada es la gráfica de una función? 2. Analice cuatro maneras de representar una función. Ilustre su 3. (a) ¿Qué es una función par? ¿Cómo puede decir si una función es par al mirar su gráfica? (b) ¿Qué es una función impar? ¿Cómo puede decir si una función es impar al mirar su gráfica? 4. ¿Qué es una función creciente? 5. ¿Qué es un modelo matemático? 6. Proporcione un ejemplo de cada tipo de función (b) Función potencia (d) Función cuadrática (f) Función racional 7. Trace, a mano, en los mismos ejes, las gráficas de las funciones siguientes. (a) f x  x (c) hx  x 3 (b) tx  x 2 (d) jx  x 4 8. Dibuje a mano un esquema aproximado de la gráfica de cada función. (a) y  sen x (c) y  e x (e) y  1x (g) y  sx 10. ¿Cómo se define la función composición f  t? ¿Cuál es su dominio? 11. Suponga que la gráfica de f está dada. Escriba una ecuación análisis con ejemplos. (a) Función lineal (c) Función exponencial (e) Polinomio grado 5 (b) ¿Cuál es el dominio de ft? (c) ¿Cuál es el dominio de ft? (b) (d) (f) (h) y  tan x y  ln x y x y  tan1 x   9. Suponga que f tiene dominio A y g tiene dominio B. (a) ¿Cuál es el dominio de f  t? para cada una de las gráficas que se obtienen de la gráfica de f como se describe a continuación. (a) Desplazando 2 unidades hacia arriba (b) Desplazando 2 unidades hacia abajo (c) Desplazando 2 unidades hacia la derecha (d) Desplazando 2 unidades hacia la izquierda (e) Al reflejar respecto al eje x (f) Al reflejar respecto al eje y (g) Al alargar verticalmente por un factor de 2 (h) Al contraer verticalmente por un factor de 2 (i) Al alargar horizontalmente por un factor de 2 (j) Al contraer horizontalmente por un factor de 2 12. (a) ¿Qué es una función uno a uno? ¿Cómo puede decir si una función es uno a uno al mirar su gráfica? (b) Si f es una función uno a uno, ¿cómo se define su función inversa f 1? ¿Cómo obtiene la gráfica de f 1 a partir de la gráfica de f? 13. (a) ¿Cómo se define la función seno inversa f x  sen1x ? ¿Cuáles son su dominio y su rango? (b) ¿Cómo se define la función coseno inversa f x  cos1x ? ¿Cuáles son su dominio y su rango? (c) ¿Cómo se define la función tangente inversa f x  tan1x ? ¿Cuáles son su dominio y su rango? PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición. 1. Si f es una función, entonces f s  t  f s  f t. 2. Si f s  f t, luego s  t. 8. Siempre se puede dividir entre e x. 9. Si 0  a  b, entonces ln a  ln b. 10. Si x  0, entonces ln x6  6 ln x. 3. Si f es una función, entonces f 3x  3 f x. 4. Si x 1  x 2 y f es una función decreciente, luego 11. Si x  0 y a  1, entonces 5. Una línea vertical interseca la gráfica de una función más de 12. tan11  3p4 . f x 1   f x 2 . una vez. 6. Si f y t son funciones, luego f  t  t  f . 7. Si f es uno a uno, en tal caso f 1x  1 . f x 13. tan1x  sen1x cos1x ln x x  ln . ln a a CAPITULO-01-B 74 |||| 06/04/2009 18:08 Page 74 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJERCICIOS 1. Sea f la función cuya gráfica se da. (a) Estime el valor de f(2). (b) Estime los valores de x tales que f(x)  3. (c) Dé el dominio de f. (d) Dé el rango de f. (e) ¿Sobre cuál intervalo f es creciente? (f) ¿ f es uno a uno? Explique. (g) ¿ f es par, impar o de ninguno de los dos tipos? Explique (c) y  1  2 f x (e) y  f x (d) y  f x  2  2 (f) y  f 1x 10. Se da la gráfica de f. Dibuje las funciones siguientes. (a) y  f x  8 (c) y  2  f x (e) y  f 1x (b) y  f x 1 (d) y  2 f x  1 (f) y  f 1x  3 y y f 1 0 1 1 x x 1 11–16 Use transformaciones para trazar la gráfica de la función. 12. y  3 ln x  2 13. y  2 1  e x  14. y  2  sx 1 2. Se da la gráfica de t. (a) Dé el valor de t(2). (b) ¿Por qué t es uno a uno? (c) Estime el valor de t1(2). (d) Estime el dominio de t1. (e) Trace la gráfica de t1. y 11. y  sen 2x 15. f x  1 x2 16. f x   x ex  1 si x  0 si x  0 17. Establezca si f es par, impar o ninguna de las dos cosas. (a) (b) (c) (d) g 1 f x  2x 5  3x 2  2 f x  x 3  x 7 2 f x  ex f x  1  sen x 18. Encuentre una expresión para la función cuya gráfica consta de 0 1 x un segmento de línea del punto (2, 2) hasta el punto (1, 0) junto con la mitad superior del círculo con centro en el origen y radio 1. 19. Si f (x)  ln x y t(x)  x2  9, encuentre las funciones (a) f  t, 3. Si f x  x  2x  3 , evalúe el cociente de diferencia 5 f a  h  fa h 4. Trace la gráfica aproximada del rendimiento de un cultivo co- mo función de la cantidad de fertilizante que se usó. (b) t  f , (c) f  f , (d) t  t, y sus dominios. 20. Exprese la función Fx  1sx  sx como una composición de tres funciones. 21. La expectativa de vida mejoró de manera dramática en el siglo XX. La tabla proporciona la expectativa de vida (en años) al momento del nacimiento de hombres en Estados Unidos. 5–8 Encuentre el dominio y el rango de la función 5. f x  23x  1 6. g x  s16  x4 7. hx  lnx  6 8. Ft  3  cos 2t 9. Suponga que se da la gráfica de f. Describa cómo se pueden obtener las gráficas de las funciones siguientes a partir de la gráfica de f. (a) y  f x  8 (b) y  f x  8 Año de nacimiento Expectativa de vida Año de nacimiento Expectativa de vida 1900 1910 1920 1930 1940 1950 48.3 51.1 55.2 57.4 62.5 65.6 1960 1970 1980 1990 2000 66.6 67.1 70.0 71.8 73.0 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 75 CAPÍTULO 1 REPASO 24. Encuentre la función inversa de f x  x1 . 2x  1 25. Halle el valor exacto de cada expresión. (a) e 2 ln 3 (b) log 10 25  log 10 4 1 (c) tan(arcsen 2 ) (d) sen(cos1( 5)) 4 (b) ln x  2 (d) tan1x  1 (a) e x  5 x (c) e e  2 22. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le 23. Si f (x)  2x  ln x, encuentre f 1(2). 75 26. Resuelva cada ecuación para x. Use una gráfica de dispersión para elegir un tipo de modelo apropiado. Utilice su modelo para predecir la duración de la vida de un hombre que nace en el año 2010. cuesta 9 000 dólares producir 1 000 hornos para tostar y 12 000 dólares producir 1 500 hornos por semana. (a) Exprese el costo como una función del número de hornos para tostar que se producen, suponiendo que es lineal. Enseguida trace la gráfica. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? (c) ¿Cuál es la intersección y de la gráfica y qué representa? |||| 27. La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100 y que soporta una capacidad de 1 000, es Pt  ; 100 000 100  900et donde t se mide en años. (a) Dibuje esta función y estime cuánto tarda para que la población llegue a 900. (b) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. (c) Use la función inversa para encontrar el tiempo que se requiere para que la población llegue a 900. Compare con el resultado del inciso (a). a x ; 28. Dibuje las tres funciones y  x , y  a y y  loga x en la mis- ma pantalla para dos o tres valores de a  1. Para valores grandes de x, ¿cuál de estas funciones tiene los valores más grandes y cuál los más pequeños? CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 76 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS No existen reglas firmes y rápidas que garanticen el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, es posible delinear algunos etapas generales del proceso de solución de problemas y dar algunos principios que pueden resultar útiles en la solución de ciertos problemas. Estas etapas y principios no son más que sentido común hecho explícito. Se han adaptado del libro How To Solve It de George Polya. 1 Comprender el problema El primer paso es leer el problema y asegurarse de entenderlo con claridad. Hágase las preguntas siguientes: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas? Para muchos problemas, resulta útil dibujar un diagrama e identificar las cantidades dadas y requeridas en el diagrama. A menudo, es necesario introducir una notación apropiada Al elegir los símbolos para las cantidades desconocidas, use letras como a, b, c, m, n, x y y pero, en algunos casos, ayuda usar iniciales como los símbolos significantes; por ejemplo, V para el volumen o t para el tiempo. 2 Pensar en un plan Encuentre una relación entre la información dada y lo que desconoce que le permita calcular la incógnita. Con frecuencia ayuda preguntarse: “¿Cómo puedo relacionar lo que se proporciona con lo desconocido?” Si no ve una relación de inmediato, las ideas siguientes pueden resultar útiles para idear un plan. Intente reconocer algo familiar Relacione la situación que se proporciona con sus conocimientos previos. Observe la incógnita e intente recordar un problema más familiar que tenga una incógnita semejante. Intente reconocer patrones Algunos problemas se resuelven al reconocer que se presenta alguna clase de patrón. Éste puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si reconoce regularidad o repetición en un problema, quizá sea capaz de conjeturar cuál es el patrón y probarlo. Use la analogía Intente pensar en un problema análogo; es decir, un problema semejante o relacionado, pero más fácil que el original. Si puede resolver un problema similar, más sencillo, en tal caso éste le podría dar los indicios que necesita para resolver el problema original, más complicado. Por ejemplo, si en un problema intervienen números muy grandes, podría intentar primero un caso semejante con números más pequeños. O bien, si en el problema interviene geometría tridimensional, busque uno similar en geometría bidimensional. O también, si el problema con que empieza es general, podría intentar con un caso especial. Introduzca algo adicional A veces puede ser necesario introducir algo nuevo, algo auxiliar, para ayudar a establecer la conexión entre lo dado y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema donde un diagrama es útil, lo auxiliar podría ser una nueva línea trazada en un diagrama. En un problema más algebraico, podría ser una nueva incógnita relacionada con la original. 76 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 77 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Establezca casos En ocasiones habrá que dividir el problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada uno. Por ejemplo, con frecuencia debe aplicar esta estrategia al tratar con el valor absoluto. Resuelva hacia atrás A veces resulta útil imaginar que el problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a la información que se proporciona. Por lo tanto, es posible invertir las etapas y, de este modo, construir una solución del problema original. Es común aplicar este procedimiento al resolver ecuaciones. Por ejemplo, al resolver la ecuación 3x  5  7, suponga que x es un número que satisface 3x  5  7 y proceda hacia atrás. Sume 5 a cada miembro de la ecuación y divida cada miembro entre 3 para obtener x  4. Como cada etapa se puede invertir, ha resuelto el problema. Establezca metas parciales En un problema complejo suele convenir establecer metas intermedias (en las cuales sólo se satisface parcialmente la situación deseada). Si alcanza la primera de estas metas intermedias, luego es posible que sea capaz de construir sobre ellas hasta alcanzar la meta final. Razonamiento indirecto En ocasiones es apropiado atacar un problema de manera indirecta. Al utilizar la demostración por contradicción para probar que P implica Q, suponga que P es verdadera y que Q es falsa e intente ver por qué esto no puede ser. De algún modo, debe usar esta información y llegar a una contradicción de lo que está seguros que es verdadero. Inducción matemática Al probar proposiciones que comprenden un entero positivo n, con frecuencia es útil aplicar el principio siguiente: PRINCIPIO DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA Sea Sn una proposición acerca del entero n. Si: 1. S1 es verdadera. 2. Sk1 es verdadera siempre que Sk es verdadera. Entonces Sn es verdadera para todos los enteros positivos n. Esto es razonable porque, como S1 es verdadera, de la condición 2 (con k  1) se infiere que S2 es verdadera. En tal caso, si se aplica la condición 2 con k  2, S3 es verdadera. Al aplicar una vez más la condición 2, esta vez con k  3, S4 es verdadera. Este procedimiento se puede seguir indefinidamente. 3 Llevar a cabo el plan En la etapa 2 se ideó un plan. Al ponerlo en práctica debe comprobar cada etapa y escribir los detalles que prueben que cada una es correcta. 4 Mirar retrospectivamente Luego de completar la solución, es inteligente revisarla, en parte para ver si hay errores en la solución y también para ver si es posible pensar en una manera más fácil de resolver el problema. Otra razón para mirar hacia atrás es que lo familiarizará con el método de solución y esto puede ser útil para resolver un problema futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas.” Estos principios de solución de problemas se ilustran en los ejemplos siguientes. Intente resolverlos antes de mirar las soluciones. Consulte estos principios de solución de problemas si se atora. Puede encontrar útil referirse a esta sección de vez en cuando al resolver los ejercicios de los capítulos restantes del libro. 77 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 78 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EJEMPLO 1 Exprese la hipotenusa h de un triángulo rectángulo con un área de 25 m2 como función de su perímetro P. & SOLUCIÓN Primero clasifique la información, identificando la cantidad desconocida y los Comprender el problema. datos: Incógnita: hipotenusa h Cantidades dadas: perímetro P, área de 25 m2 & Dibujar un diagrama. Ayuda dibujar un diagrama como el de la figura 1. h b FIGURA 1 & & Relacionar lo dado con lo desconocido. Introducir algo adicional. a Para relacionar las cantidades dadas con la incógnita, introduzca dos variables adicionales, a y b, que son las longitudes de los otros dos lados del triángulo. Esto permite expresar la condición dada, que el triángulo es rectángulo, por el teorema de Pitágoras: h2  a2  b2 Las otras relaciones entre las variables se obtienen al escribir las expresiones para el área y el perímetro: 25  12 ab Pabh Como se da P, note que ahora tiene tres ecuaciones en las tres incógnitas a, b y h: 1 2 3 & Relacionar con algo familiar. h2  a2  b2 25  12 ab Pabh Aunque tiene el número correcto de ecuaciones, no son fáciles de resolver de manera directa; pero si aplica la estrategia de intentar reconocer algo familiar, en tal caso puede resolverlas con un método más fácil. Vea el lado derecho de las ecuaciones 1, 2 y 3. ¿Le recuerdan algo familiar? Observe que contienen los ingredientes de una fórmula conocida: a  b2  a 2  2ab  b 2 Si aplica esta idea puede expresar (a  b)2 de dos maneras. De las ecuaciones 1 y 2 tiene a  b2  a 2  b 2   2ab  h 2  425 De la ecuación 3 a  b2  P  h2  P 2  2Ph  h 2 En estos términos, h 2  100  P 2  2Ph  h 2 2Ph  P 2  100 h P 2  100 2P Es la expresión requerida para h como función de P. 78  CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 79 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Como se ilustra en el siguiente ejemplo, a menudo es necesario aplicar el principio de resolución de problemas de establecer casos, al tratar con valores absolutos.     EJEMPLO 2 Resuelva la desigualdad x  3  x  2  11. SOLUCIÓN Recuerde la definición de valor absoluto: x   si x  0 si x  0 x x Se concluye que x  3     x3 x  3 si x  3  0 si x  3  0 x3 x  3 si x  3 si x  3 De manera análoga, x  2   & Establecer casos.   x2 x  2 si x  2  0 si x  2  0 x2 x  2 si x  2 si x  2 Estas expresiones hacen ver que debe considerar tres casos: x  2 CASO I 2 x3 x3 Si x  2, tiene  x  3    x  2   11 x  3  x  2  11 2x  10 x  5 CASO II Si 2 x  3, la desigualdad dada queda x  3  x  2  11 5  11 CASO III (siempre cierto) Si x  3, la desigualdad se transforma en x  3  x  2  11 2x  12 x6 Si combina los casos I, II y III, observe que la desigualdad se satisface cuando 5  x  6. De modo que la solución es el intervalo (5, 6).  79 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 80 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS En el ejemplo siguiente, primero suponga una respuesta revisando los casos especiales y reconociendo un patrón. A continuación, pruébelo mediante inducción matemática. Al aplicar el principio de inducción matemática, sigue tres etapas: ETAPA 1 Se prueba que Sn es verdadera cuando n  1. ETAPA 2 Se supone que Sn es verdadera cuando n  k y se deduce que Sn es verdadera cuando n  k  1. ETAPA 3 Se concluye, por el principio de inducción matemática, que Sn es verdadera para toda n. EJEMPLO 3 Si f0x  xx  1 y fn1  f0  fn, para n  0, 1, 2, . . ., encuentre una fórmula para fn(x). & Analogía: intente un problema semejante, más sencillo. SOLUCIÓN Empiece por hallar fórmulas para fn(x), para los casos especiales n  1, 2 y 3.   x x1 f1x   f0  f0x  f0 f0x  f0 x x x1 x1 x    x 2x  1 2x  1 1 x1 x1  x 2x  1  x 3x  1 f2x   f0  f1 x  f0 f1x  f0  x x 2x  1 2x  1 x    x 3x  1 3x  1 1 2x  1 2x  1 f3x   f0  f2 x  f0 f2x  f0 &  x x 3x  1 3x  1 x    x 4x  1 4x  1 1 3x  1 3x  1 Buscar un patrón. Note un patrón: en los tres casos que se calcularon, el coeficiente de x en el denominador de fn(x) es n  1. De modo que conjeture que, en general, 4 fnx  x n  1x  1 Para probar esto, aplique el principio de inducción matemática. Ya ha comprobado que (4) es verdadera para n  1. Suponga que es verdadera para n  k; es decir, fkx  80 x k  1x  1 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 81 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Entonces   x k  1x  1 x x k  1x  1 k  1x  1 x    x k  2x  1 k  2x  1 1 k  1x  1 k  1x  1 fk1x   f0  fk x  f0 fkx  f0 Esta expresión hace ver que (4) es verdadera para n  k  1. En consecuencia, por inducción matemática, es verdadera para todos los enteros positivos n.  PROBLEMAS 1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4 cm. Exprese la longitud de la altura perpendicular a la hipotenusa como función de longitud de esta última. 2. La altura perpendicular a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 12 cm. Exprese la lon- gitud de la hipotenusa como función del perímetro.     Resuelva la desigualdad  x  1    x  3   5. Trace la gráfica de la función fx   x  4x  3 . Dibuje la gráfica de la función tx   x 2  1    x 2  4 . Trace la gráfica de la ecuación x   x   y   y . 3. Resuelva la ecuación 2x  1  x  5  3. 4. 5. 6. 7. 2 8. Dibuje la gráfica de la ecuación x 4  4 x 2  x 2 y 2  4y 2  0 . 9. Esquematice la región en el plano que consta de todos los puntos (x, y) tales que x  y 1. 10. Dibuje la región en el plano que consta de todos los puntos (x, y) tales que x  y  x  y 2 11. Evalúe log 2 3log 3 4log 4 5    log 31 32. 12. (a) Demuestre que la función f x  ln( x  sx 2  1 ) es una función impar. (b) Encuentre la función inversa de f. 13. Resuelva la desigualdad lnx 2  2x  2 0. 14. Aplique un razonamiento indirecto para probar que log2 5 es un número irracional. 15. Una conductora emprende un viaje. A lo largo de la primera parte del trayecto conduce a un paso moderado de 30 mih; en la segunda parte conduce a 60 mih. ¿Cuál es su rapidez promedio en esta travesía? 16. ¿Es cierto que f   t  h  f  t  f  h ? 17. Compruebe que si n es un entero positivo, entonces, 7n  1 es divisible entre 6. 18. Pruebe que 1  3  5      2n  1  n2. 19. Si f0(x)  x2 y fn1x  f0 fnx para n  0, 1, 2, . . . , encuentre una fórmula para fn(x). 1 y fn1  f0  fn para n  0, 1, 2, . . . , encuentre una expresión para fn(x) 2x y aplique la inducción matemática para probarla. 20. (a) Si f0x  ; (b) Trace la gráfica de f0 , f1, f2 , f3 en la misma pantalla y describa los efectos de la composición repetida. 81 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 82 2 LÍMITES Y DERIVADAS La idea de un límite se ilustra mediante líneas secantes que se aproximan a una línea tangente. En la presentación preliminar del Cálculo (página 2) se ve cómo la idea de límite sustenta las diversas ramas del cálculo; de ahí la importancia de empezar el estudio de éste investigando los límites y sus propiedades. El tipo especial de límites utilizados para la obtención de tangentes y velocidades conducen a la idea central del Cálculo Diferencial: la derivada. 82 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 83 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD En esta sección se analiza cómo surgen los límites cuando se intenta hallar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto. PROBLEMA DE LA TANGENTE t (a) P C t La palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens, la cual significa “tocar”. De este modo, una tangente a una curva es una recta que toca la curva. ¿De qué manera se puede precisar esta idea? Para una circunferencia podría seguirse la idea de Euclides y decir que una tangente es una recta que intersecta a la circunferencia una y sólo una vez como en la figura 1(a). Para curvas más complicadas, esta definición es inadecuada. En la figura 1(b), se muestran dos rectas, l y t, que intersectan a la curva C en un punto P. La recta l interseca C sólo una vez, pero es evidente que no se parece a lo que consideramos una tangente. Por otra parte, la recta t parece una tangente pero intersecta a la curva C dos veces. Para ser específicos, considere el problema de intentar hallar una recta tangente t a la parábola y  x2 en el ejemplo siguiente. V EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y  x2 en el punto P1, 1. l SOLUCIÓN Podremos obtener la ecuación de la recta tangente al conocer su pendiente. La (b) dificultad es que se conoce sólo un punto P, de t, en tanto que necesitamos dos puntos para calcular la pendiente. Pero puede calcular una aproximación para m si elige un punto cercano Qx, x 2  de la parábola (como en la figura 2) y calcular la pendiente mPQ de la línea secante PQ. Elija x  1, de modo que Q  P. Entonces FIGURA 1 y Q { x, ≈} y=≈ t mPQ  P (1, 1) x 0 Por ejemplo, para el punto Q1.5, 2.25 mPQ  FIGURA 2 x mPQ 2 1.5 1.1 1.01 1.001 3 2.5 2.1 2.01 2.001 x mPQ 0 0.5 0.9 0.99 0.999 1 1.5 1.9 1.99 1.999 x2  1 x1 2.25  1 1.25   2.5 1.5  1 0.5 Las tablas en el margen muestran los valores de mPQ para varios valores de x cercanos a 1. Entre más cerca está Q de P, más lo está x de 1 y, por lo que se ve en las tablas, mPQ está más próxima a 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe ser m  2. Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes y, simbólicamente, expresamos esto al escribir lím mPQ  m Q lP y lím xl1 x2  1 2 x1 Si supone que, en efecto, la pendiente de la recta tangente es 2, use la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta (véase el apéndice B) para escribir la ecuación de la recta tangente que pasa por 1, 1 como y  1  2x  1 o y  2x  1 83 CAPITULO-02-A 84 |||| 06/04/2009 18:35 Page 84 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS La figura 3 ilustra el proceso de límite que se presenta en este ejemplo. Conforme Q se aproxima a P a lo largo de la parábola, las rectas secantes correspondientes rotan en torno a P y se aproximan a la recta tangente t. y y y Q t t t Q Q P P 0 x P 0 0 x x Q se aproxima a P desde la derecha y y y t Q t t P P P Q 0 Q 0 x 0 x x Q se aproxima a P desde la izquierda  FIGURA 3 TEC En Visual 2.1 puede ver cómo funciona el proceso en la figura 3 para funciones adicionales. t Q 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 100.00 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76 Muchas funciones que se encuentran en las ciencias no se describen mediante una ecuación explícita; se definen por medio de información experimental. En el ejemplo siguiente se indica cómo estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ese tipo de funciones. V EJEMPLO 2 La unidad de destello (flash) de una cámara funciona por el almacenamiento de carga en un capacitor y su liberación repentina al disparar la unidad. Los datos que se muestran al margen describen la carga Q que resta en el capacitor (medida en microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos después de que la unidad de destello ha sido apagada). Use los datos para dibujar la gráfica de esta función y estime la pendiente de la recta tangente en el punto donde t  0.04. Nota: la pendiente de la recta tangente representa la corriente eléctrica que circula del capacitor al bulbo del flash (medida en microamperes). SOLUCIÓN En la figura 4 está la información que se proporcionó y se usa para dibujar una curva que se aproxime a la gráfica de la función. Q (microcoulombs) o 100 90 80 A P 70 60 50 FIGURA 4 0 B 0.02 C 0.04 0.06 0.08 0.1 t (segundos) CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 85 SECCIÓN 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD |||| 85 A partir de los puntos P0.04, 67.03 y R0.00, 100.00 de la gráfica la pendiente de la recta secante es mPR  R mPR 0.00, 100.00 0.02, 81.87 0.06, 54.88 0.08, 44.93 0.10, 36.76 824.25 742.00 607.50 552.50 504.50 & El significado físico de la respuesta del ejemplo 2 es que la corriente eléctrica que fluye del capacitor al foco del flash después de 0.04 de segundo es de casi de –670 microamperes. 100.00  67.03  824.25 0.00  0.04 En la tabla que aparece a la izquierda se muestran los resultados de cálculos similares para las pendientes de otras rectas secantes. Con base en esa tabla cabe esperar que la pendiente de la recta tangente en t  0.04 se encuentre en algún valor entre 742 y 607.5. De hecho, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes más próximas es 1 2 742  607.5  674.75 Así, mediante este método estimamos la pendiente de la recta tangente como 675. Otro método es trazar una aproximación a la recta tangente en P y medir los lados del triángulo ABC como en la figura 4. Esto da una estimación de la pendiente de la recta tangente como   AB   BC   80.4  53.6  670 0.06  0.02  EL PROBLEMA DE LA VELOCIDAD Si observa el velocímetro de un automóvil al viajar en el tráfico de la ciudad, puede ver que la aguja no permanece inmóvil mucho tiempo; es decir, la velocidad del auto no es constante. Al observar el velocímetro, el vehículo tiene una velocidad definida en cada momento, ¿pero cómo se define la velocidad “instantánea”? Investiguemos el ejemplo de una pelota que cae. V EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma de observación de la Torre CN en Toronto, 450 m por encima del nivel del suelo. Encuentre la velocidad de la pelota una vez que transcurren 5 segundos. SOLUCIÓN A través de experimentos que se llevaron a cabo cuatro siglos atrás, Galileo descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae libremente es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (En este modelo de caída libre no se considera la resistencia del aire.) Si la distancia recorrida después de t segundos se denota mediante st y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa con la ecuación st  4.9t 2 © 2003 Brand X Pictures La dificultad para hallar la velocidad después de 5 s es que trata con un solo instante t  5, de modo que no interviene un intervalo. Sin embargo, puede tener una aproximación de la cantidad deseada calculando la velocidad promedio durante el breve intervalo de una décima de segundo, desde t  5 hasta t  5.1: velocidad promedio  La Torre CN en Toronto es el edificio autoestable más alto del mundo en la actualidad. cambio en la posición tiempo transcurrido  s5.1  s5 0.1  4.95.12  4.952  49.49 ms 0.1 CAPITULO-02-A 86 |||| 06/04/2009 18:35 Page 86 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS En la tabla siguiente se muestran los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante periodos sucesivamente cada vez más pequeños Intervalo de tiempo Velocidad promedio (ms) 5t6 5  t  5.1 5  t  5.05 5  t  5.01 5  t  5.001 53.9 49.49 49.245 49.049 49.0049 Parece que conforme acorta el periodo, la velocidad promedio se aproxima a 49 ms. La velocidad instantánea, cuando t  5, se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez más cortos que se inician en t  5. En estos términos, la velocidad (instantánea) después de 5 s es v  49 ms  Quizá sienta que los cálculos que se utilizan en la solución de este problema son muy semejantes a los que se aplicaron con anterioridad en esta sección para hallar tangentes. De hecho, existe una relación íntima entre el problema de la tangente y el de hallar velocidades. Si dibuja la gráfica de la función distancia de la pelota (como en la figura 5) y considera los puntos Pa, 4.9a2 y Qa  h, 4.9a  h2 de la gráfica, en tonces la pendiente de la recta secante PQ es mPQ  4.9a  h2  4.9a 2 a  h  a la cual es la misma que la velocidad promedio durante el periodo a, a  h . Por lo tanto, la velocidad en el instante t  a (el límite de estas velocidades promedio a medida que h tiende a 0) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente en P (el límite de las pendientes de las rectas secantes). s s s=4.9t @ s=4.9t @ Q pendiente de la recta secante ⫽ velocidad promedio 0 pendiente de la tangente ⫽ velocidad instantánea P P a a+h t 0 a t FIGURA 5 Los ejemplos 1 y 3 hacen ver que para resolver problemas de tangentes y de velocidades, debe ser capaz de hallar límites. Después de estudiar los métodos para calcular límites en las cinco secciones siguientes, en la sección 2.7 regresará a los problemas de hallar tangentes y velocidades. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 87 SECCIÓN 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD 2.1 |||| 87 EJERCICIOS 1. Un depósito contiene 1 000 galones de agua que se drenan desde (c) Mediante la pendiente del inciso (b), halle una ecuación de la recta tangente a la curva en P3, 1. (d) Trace la curva, dos de las rectas secantes y la recta tangente. la parte inferior en media hora. Los valores que aparecen en la tabla muestran el volumen V de agua que resta en el tanque (en galones) una vez que transcurren t minutos. 5. Si se lanza una pelota en el aire con una velocidad de t (min) 5 10 15 20 25 30 V (gal) 694 444 250 111 28 0 40 piess, su altura en pies, después de t segundos, se expresa por y  40t  16t 2. (a) Encuentre la velocidad promedio para el periodo que se inicia cuando t  2 y dura: (i) 0.5 seg (ii) 0.1 seg (iii) 0.05 seg (iv) 0.01 seg (b) Estime la velocidad instantánea cuando t  2. (a) Si P es el punto (15, 250) en la gráfica de V, encuentre las pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto en la gráfica con t  5, 10, 20, 25 y 30. (b) Estime la pendiente de la recta tangente en P promediando las pendientes de dos rectas secantes. (c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de la recta tangente en P. (Esta pendiente representa la cantidad a la que fluye el agua desde el tanque después de 15 minutos.) 6. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con una velocidad de 10 ms, su altura en metros t segundos después se proporciona mediante y  10t  1.86t2. (a) Hallar la velocidad promedio en los intervalos de tiempo que se proporcionan: (i) 1, 2 (ii) 1, 1.5 (iii) 1, 1.1 (iv) 1, 1.01 (v) 1, 1.001 (b) Estimar la velocidad instantánea cuando t  1. 2. Se usa un monitor cardiaco para medir la frecuencia cardiaca de un paciente después de una cirugía. Éste recopila el número de latidos cardiacos después de t minutos. Cuando se sitúan los datos de la tabla en una gráfica, la pendiente de la recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos por minuto. t (min) Latidos cardiacos 36 38 40 42 44 2 530 2 661 2 806 2 948 3 080 7. La tabla exhibe la posición de un ciclista. El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardiaca del paciente, después de 42 minutos, usando la recta secante entre los puntos (a) t  36 y t  42 (b) t  38 y t  42 (c) t  40 y t  42 (d) t  42 y t  44 ¿Cuáles son sus conclusiones? 0 1 2 3 4 5 s (metros) 0 1.4 5.1 10.7 17.7 25.8 (a) Hallar la velocidad promedio para cada periodo: (i) 1, 3 (ii) 2, 3 (iii) 3, 5 (iv) 3, 4 (b) Use la gráfica de s como una función de t para estimar la velocidad instantánea cuando t  3. 8. El desplazamiento (en centímetros) de una partícula de atrás 3. El punto P (1, 2 ) está sobre la curva y  x1  x. 1 hacia adelante en una línea recta se conoce por la ecuación de movimiento s  2 sen p t  3 cos p t, donde t se mide en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio durante cada periodo: (i) 1, 2 (ii) 1, 1.1 (iii) 1, 1.01 (iv) 1, 1.001 (b) Estimar la velocidad instantánea de la partícula cuando t  1. (a) Si Q es el punto x, x1  x, use su calculadora para hallar la pendiente de la recta secante PQ (correcta hasta seis cifras decimales) para los valores de x que se enumeran a continuación: (i) 0.5 (ii) 0.9 (iii) 0.99 (iv) 0.999 (v) 1.5 (vi) 1.1 (vii) 1.01 (viii) 1.001 (b) Mediante los resultados del inciso (a) conjeture el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P (1, 12 ). (c) Usando la pendiente del inciso (b) encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en P (1, 12 ). 9. El punto P1, 0 está sobre la curva y  sen10px. (a) Si Q es el punto x, sen10px, encuentre la pendiente de la recta secante PQ (correcta hasta cuatro cifras decimales) para s  2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9. ¿Parece que las pendientes tienden a un límite? 4. El punto P3, 1 se encuentra sobre la curva y  sx  2 (a) Si Q es el punto (x, sx  2 ), mediante una calculadora determine la pendiente de la secante PQ (con seis cifras decimales) para los valores siguientes de x: (i) 2.5 (ii) 2.9 (iii) 2.99 (iv) 2.999 (v) 3.5 (vi) 3.1 (vii) 3.01 (viii) 3.001 (b) Por medio de los resultados del inciso (a), conjeture el valor de la pendiente de la recta tangente en P3, 1. t (segundos) ; (b) Use una gráfica de la curva para explicar por qué las pendientes de las rectas secantes del inciso (a) no están cercanas a la pendiente de la recta tangente en P. (c) Mediante la selección de rectas secantes apropiadas, estime la pendiente de la recta tangente en P. CAPITULO-02-A 88 |||| 06/04/2009 18:35 Page 88 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Luego de ver en la sección anterior cómo surgen los límites cuando desea hallar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto, dirija su atención hacia los límites en general y los métodos numéricos y gráficos para calcularlos. Investigue el comportamiento de la función f definida por f x  x2  x  2 para valores cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de fx para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2. y ƒ tiende a 4 y=≈-x+2 4 0 2 x fx x fx 1.0 1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999 2.000000 2.750000 3.440000 3.710000 3.852500 3.970100 3.985025 3.997001 3.0 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001 8.000000 5.750000 4.640000 4.310000 4.152500 4.030100 4.015025 4.003001 x A medida que x tiende a 2 FIGURA 1 A partir de la tabla y de la gráfica de f (una parábola) que se ilustra en la figura 1, es claro cuando x está cercana a 2 (por cualquiera de los dos lados de 2), f x lo está a 4. De hecho, parece posible acercar los valores de f x a 4 tanto como desee si toma una x lo suficientemente cerca de 2. Expresa este hecho al decir: “el límite de la función f x  x2  x  2, cuando x tiende a 2, es igual a 4”. La notación para esta expresión es lím x 2  x  2  4 x l2 En general, se usa la siguiente notación 1 DEFINICIÓN Escriba lím f x  L xla que se expresa como: “el límite de fx cuando x tiende a a, es igual a L” si podemos acercar arbitrariamente los valores de fx a L (tanto como desee) escogiendo una x lo bastante cerca de a, pero no igual a a. En términos generales, esto afirma que los valores de f x se aproximan cada vez más al número L cuando x se acerca a a (desde cualquiera de los dos lados de a) pero x  a. (En la sección 2.4 se proporciona una definición más exacta.) Una notación alternativa para lím f x  L xla es fx l L cuando xla que suele leerse “fx tiende a L cuando x tiende a a”. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 89 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 89 Advierta la frase “pero x  a” en la definición de límite. Esto significa que al hallar el límite de f x cuando x tiende a a, nunca consideró x  a. De hecho, incluso no es necesario que f x esté definida cuando x  a. Lo único que importa es cómo está definida f cerca de a. En la figura 2 se muestran las gráficas de tres funciones. Observe que en la parte (c), f a no está definida y, en la parte (b), f a  L. Pero en cada caso, sin importar lo que suceda en a, es verdadero que lím x l a f x  L. y y y L L L 0 a 0 x a (a) 0 x x a (b) (c) FIGURA 2 lím ƒ=L en los tres casos x a EJEMPLO 1 Conjeture el valor de lím x l1 x1 fx 0.5 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.666667 0.526316 0.502513 0.500250 0.500025 SOLUCIÓN Advierta que la función fx  x  1x2  1 no está definida cuando x  1, pero eso no importa porque la definición de lím x l a fx dice que considere valores de x próximos a a pero diferentes de a. En las tablas que aparecen al margen izquierdo se proporcionan los valores de f x (correctos hasta seis posiciones decimales) para valores de x que tienden a 1 (pero no son iguales a 1). Con base en los valores de las tablas, suponga que lím x l1 x1 f x 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001 0.400000 0.476190 0.497512 0.499750 0.499975 x1 . x2  1 x1  0.5 x2  1  El ejemplo 1 se ilustra mediante la gráfica de f de la figura 3. Cambie ahora ligeramente el valor de f, dándole un valor de 2 cuando x  1 y denominando a la función resultante como t. x  1 si x  1 2 x 1 t(x)  2 si x  1  Esta nueva función t todavía tiene el mismo límite conforme x tiende a 1 (véase la figura 4). y y 2 y= x-1 ≈-1 y=© 0.5 0 FIGURA 3 0.5 1 x 0 FIGURA 4 1 x CAPITULO-02-A 90 |||| 06/04/2009 18:35 Page 90 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS EJEMPLO 2 Estime el valor de lím tl0 st 2  9  3 . t2 SOLUCIÓN En la tabla se enumeran los valores de la función para varios valores de t cer- canos a 0. t 1.0 0.5 0.1 0.05 0.01 st 2  9  3 t2 0.16228 0.16553 0.16662 0.16666 0.16667 A medida que t tiende a 0, los valores de la función parecen acercarse a 0.1666666. . . y, por consiguiente, supone que lím tl0 st 2  9  3 t2 t 0.0005 0.0001 0.00005 0.00001 0.16800 0.20000 0.00000 0.00000 1 st 2  9  3  2 t 6  En el ejemplo 2, ¿qué habría sucedido si hubiera tomado valores incluso más pequeños de t? En la tabla al margen se muestran los resultados que se obtuvieron con una calculadora; usted puede ver que parece suceder algo extraño. Si intenta realizar estos cálculos en su calculadora podría obtener valores diferentes, pero llegará un momento en que obtendrá el valor 0, si reduce t lo suficiente. ¿Significa esto que 1 la respuesta en realidad es 0, en lugar de 6 ? No, el valor del límite es 16, como se demostrará | en la sección siguiente. El problema es que las calculadoras dan valores falsos porque www.stewartcalculus.com Para una explicación más detallada de por qué en ocasiones las calculadoras dan valores falsos, véase el sitio en la red. Dé un clic en Additional Topics y luego en Lies My Calculator and Computer Told Me. En particular, refiérase a la sección llamada The Perils of Subtraction. st 2  9 está muy cercana a 3 cuando t es pequeño. (De hecho, cuando t es lo suficientemente pequeño, el valor para st 2  9 de una calculadora es 3.000. . . hasta el número de dígitos que la calculadora es capaz de llevar.) Algo similar sucede cuando intenta trazar la gráfica de la función f t  st 2  9  3 t2 del ejemplo 2 en una calculadora graficadora o en una computadora. Los incisos (a) y (b) de la figura ilustran gráficas bastante exactas de f y, cuando se usa el modo de trazo (si cuenta con él), puede estimar con facilidad que el límite es alrededor de 16. Pero si realiza un acercamiento muy grande, como en los incisos (c) y (d), obtiene gráficas inexactas, una vez más debido a problemas con la sustracción. 0.2 0.2 0.1 0.1 (a) _5, 5 por _0.1, 0.3 FIGURA 5 (b) _0.1, 0.1 por _0.1, 0.3 (c) _10–^, 10–^ por _0.1, 0.3 (d) _10–&, 10–& por _ 0.1, 0.3 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 91 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN V EJEMPLO 3 Encuentre el valor de lím xl0 |||| 91 sen x . x SOLUCIÓN La función f x  sen xx no está definida cuando x  0. Con una calculadora x 1.0 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 (y recordando que si x  , sen x quiere decir el seno del ángulo cuya medida en radianes es x), construya la tabla siguiente de valores, correctos hasta ocho posiciones decimales. A partir de la tabla a la izquierda y de la gráfica de la figura 6, suponga que sen x x 0.84147098 0.95885108 0.97354586 0.98506736 0.99334665 0.99833417 0.99958339 0.99998333 0.99999583 0.99999983 lím xl0 sen x 1 x De hecho, esta conjetura es correcta, como se probará en el capítulo 3 mediante la aplicación de un argumento geométrico. y FIGURA 6 V EJEMPLO 4 _1 Investigue lím sen xl0 x 1 y= 0 1 sen x x x  . SOLUCIÓN Una vez más, la función f x  senpx no está definida en 0. Si se evalúa la función para algunos valores pequeños de x, resulta SISTEMAS ALGEBRAICOS PARA COMPUTADORA Los sistemas algebraicos para computadora (CAS: computer algebra systems, CAS) tienen comandos que calculan límites. En virtud de las dificultades que se demostraron en los ejemplos 2, 4 y 5, no encuentran los límites por experimentación numérica, sino que aplican técnicas más elaboradas, como el cálculo de series infinitas. Si tiene acceso a un CAS, use el comando límite, calcule los límites de los ejemplos de esta sección y compruebe sus respuestas a los ejercicios de este capítulo. f1  sen p  0 f ( 12 )  sen 2  0 f ( 13)  sen 3  0 f ( 14 )  sen 4  0 f0.1  sen 10p  0 f0.01  sen 100p  0 & De manera análoga, f 0.001  f 0.0001  0. Con base en esta información, podría sentirse tentado a presumir que lím sen xl0 x 0 | pero en esta ocasión su conjetura es errónea. Advierta que aun cuando f1n  sen np  0, para cualquier entero n, también se cumple que fx  1 para un número infinito de valores de x que tienden a 0. La gráfica de f se da en la figura 7. y y=sen(π/x) 1 _1 1 _1 FIGURA 7 x CAPITULO-02-A 92 |||| 06/04/2009 18:35 Page 92 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Los valores de sen (px ) fluctúan entre 1 y 1 infinidad de veces, cuando x tiende a cero. (Véase el ejercicio 39.) Ya que el valor de f x no se aproxima a un número fijo cuando x se aproxima a cero. lím sen xl0 x 1 0.5 0.1 0.05 0.01 x3   EJEMPLO 5 Encuentre lím x 3  cos 5x 10 000 xl0 no existe x   cos 5x . 10 000 SOLUCIÓN Como antes construya una tabla de valores. A partir de la primera tabla que apa- 1.000028 0.124920 0.001088 0.000222 0.000101 rece en el margen  cos 5x 10 000 lím x 3  xl0  0 Pero si perseveran con valores más pequeños de x, la segunda tabla sugiere que x x3  cos 5x 10 000 0.005 0.001  lím x 3  xl0 0.00010009 0.00010000  0.000100  1 10 000 La función de Heaviside H se define por 1 Ht  t  Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos en la suposición del valor de un límite. Es fácil suponer un valor erróneo, si se usan valores inapropiados de x, pero es difícil saber cuándo suspender el cálculo de valores. Y, como hace ver el análisis que sigue al ejemplo 2, a veces las calculadoras y las computadoras dan valores erróneos. Sin embargo, más adelante se desarrollan métodos infalibles para calcular límites. V EJEMPLO 6 y FIGURA 8  Más adelante verá que lím x l 0 cos 5x  1 y en tal caso se concluye que el límite es 0.0001. | 0 cos 5x 10 000  0 1 si t  0 si t  0 Esta función recibe ese nombre en honor al ingeniero electricista Oliver Heaviside (1850-1925) y se puede usar para describir una corriente eléctrica que se hace circular en el instante t  0. En la figura 8 se muestra su gráfica. Conforme t se acerca a 0 por la izquierda, Ht tiende a 0. Cuando t se aproxima a 0 por la derecha, Ht tiende a 1. No existe un número único al que Ht se aproxime  cuando t tiende a 0. Por consiguiente, lím tl 0 Ht no existe. LÍMITES LATERALES En el ejemplo 6 se vio que Ht tiende a 0 cuando t lo hace a 0 por la izquierda y que esa función tiende a 1 cuando t lo hace a 0 por la derecha. Se indica simbólicamente esta situación escribiendo lím Ht  0 t l 0 y lím Ht  1 t l 0 El símbolo “t l 0” indica que sólo se consideran valores de t menores que 0. Del mismo modo “t l 0” indica que sólo se consideran valores de t mayores que 0. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 93 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 93 2 DEFINICIÓN Escriba lím f x  L x l a y se lee el límite izquierdo de f x cuando x tiende a a o el límite de f x cuando x se acerca a a por la izquierda es igual a L, si puede aproximar los valores de f x a L tanto como quiera, escogiendo una x lo bastante cerca de a pero menor que a. Advierta que la definición 2 difiere de la 1 sólo en que x debe ser menor que a. De manera análoga, si requiere que x sea mayor que a, obtiene: “el límite de f x por la derecha cuando x se aproxima a a es igual a L” y escribe lím f x  L x l a Así, el símbolo “x l a” significa que considere sólo x  a. En la figura 9 se ilustran estas definiciones y y L ƒ 0 FIGURA 9 x a ƒ L 0 x a x x (b) lím ƒ=L (a) lím ƒ=L x a+ x a_ Al comparar la definición 1 con las definiciones de los límites laterales, se cumple lo siguiente 3 4 3 y=© lím f x  L x l a (a) lím tx (b) lím tx (c) lím tx (d) lím tx (e) lím tx (f) lím tx xl2 1 FIGURA 10 si y sólo si y lím f x  L x l a V EJEMPLO 7 En la figura 10 se muestra la gráfica de una función t. Úsela para dar los valores (si existen de los límites siguientes: y 0 lím f x  L xla xl5 1 2 3 4 5 x xl2 xl5 xl2 xl5 SOLUCIÓN A partir de la gráfica es claro que los valores de tx tienden a 3 cuando x tiende a 2 por la izquierda, pero se acercan a 1 cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Por consiguiente (a) lím tx  3 xl2 y (b) lím tx  1 xl2 (c) Como los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, con base en (3) se concluye que lím x l 2 tx no existe La gráfica muestra también que (d) lím tx  2 xl5 y (e) lím tx  2 xl5 CAPITULO-02-A 94 |||| 06/04/2009 18:35 Page 94 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS (f) En esta ocasión los límites por la izquierda y la derecha son los mismos y, de este modo, con base en (3) lím tx  2 xl5 A pesar de este hecho, observe que t5  2.  LÍMITES INFINITOS EJEMPLO 8 Halle lím xl0 SOLUCIÓN Conforme x se aproxima a 0, x2 también se aproxima a 0 y 1x2 se hace muy 1 x2 x 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.01 0.001 1 si existe. x2 grande. (Vea la tabla en el margen.) De hecho, al ver la gráfica de la función f x  1x2 que se muestra en la figura 11, parece que los valores de fx se pueden aumentar en forma arbitraria, si se escoge una x lo suficientemente cerca de 0. De este modo los valores de  fx no tienden a un número, de tal manera que lím x l 0 1x 2 no existe. 1 4 25 100 400 10 000 1 000 000 Para indicar la clase de comportamiento que se muestra en el ejemplo 8, utilice la notación lím xl0 1 ∞ x2 | Esto no quiere decir que se considere ∞ como un número. Ni siquiera significa que el lí- y mite existe. Simplemente expresa la manera particular en la cual el límite no existe: 1/x2 puede ser tan grande como guste llevando a x lo suficientemente cerca de 0. En general, se escribe simbólicamente y= 1 ≈ lím f x  ∞ xla x 0 FIGURA 11 para indicar que los valores de fx se vuelven más y más grandes, es decir (se “incrementan sin límite”) a medida que x se acerca más y más a a. 4 DEFINICIÓN Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en a; entonces lím f x  ∞ xla significa que los valores de f x se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan grandes como uno quiera) haciendo que x se acerque suficientemente a a, pero no es igual que a. Otra notación para lím x l a fx  y es f x l y=ƒ cuando xl a Recuerde que el símbolo ∞ no es un número, pero la expresión lím x l a fx  con frecuencia como 0 a x “el límite de fx cuando x tiende a a es el infinito” x=a o bien, FIGURA 12 lím ƒ=` x a o bien, “f x se vuelve infinita cuando x se aproxima a a” “f x se incrementa sin límite cuando x tiende a a” Esta definición se ilustra en la figura 12. se lee CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 95 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN & Al decir que un número es “negativo muy grande” significa que es negativo pero su magnitud (valor absoluto) es muy grande o considerablemente grande. |||| 95 Un tipo similar de límite, para el caso de funciones que manifiestan valores negativos muy grandes cuando x tiende a a, se presenta en la definición 5 y se ilustra en la figura 13. 5 DEFINICIÓN Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en a misma. Entonces y x=a lím f x   ∞ xla 0 a x y=ƒ significa que los valores de f x se pueden hacer de manera arbitraria grandes y negativos al dar valores a x que estén muy cerca de a, pero sin que lleguen a ser iguales a a. El símbolo lím x l a fx   quiere decir “el límite de fx cuando x tiende a a es el infinito negativo” o bien, “f x decrece sin cota inferior cuando x tiende a a”. Como ejemplo tiene 1 lím  2   x l0 x FIGURA 13 lím ƒ=_` x a   Definiciones similares se pueden dar para los límites infinitos laterales lím f x  lím f x  x l a x l a lím f x   lím f x   x l a x l a sin olvidar que “x l a” significa que considera sólo valores de x que sean menores que a y, de igual manera, “x l a” quiere decir que considera sólo x  a. Ejemplos de estos cuatro casos se presentan en la figura 14. y y a 0 (a) lím ƒ=` x a_ x y a 0 x a+ a 0 x (b) lím ƒ=` y (c) lím ƒ=_` x a 0 x x (d) lím ƒ=_` a_ x a+ FIGURA 14 6 DEFINICIÓN La recta x  a se llama asíntota vertical de la curva y  f x si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero lím f x  x la lím f x   x la lím f x  x l a lím f x   x l a lím f x  x l a lím f x   x l a Por ejemplo, el eje y es una asíntota vertical de la curva y  1x 2 porque lím x l 0 1x 2  . En la figura 14, la recta x  a es una asíntota vertical en cada uno de los cuatro casos mostrados. En general, es muy útil conocer las asíntotas verticales para trazar las gráficas. CAPITULO-02-A 96 06/04/2009 |||| 18:35 Page 96 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS y EJEMPLO 9 Determine lím 2x y= x-3 x l3 2x 2x y lím . x  3 x l3 x  3 SOLUCIÓN Si x está en la vecindad de 3, pero es mayor que 3, entonces el denominador 5 x  3 es un número positivo pequeño y 2x está cercano a 6. Así, el cociente 2xx  3 es un número positivo grande. En estos términos, ve intuitivamente que x 0 x=3 2x  x3 lím x l3 De manera similar, si x está cerca de 3 pero es más pequeña que 3, entonces x  3 es un número negativo pequeño, pero 2x es aún un número positivo, cercano a 6. De esa manera, 2xx  3 es en su magnitud un número negativo grande. Por esto, FIGURA 15 lím x l3 y 2x  x3 La gráfica de la curva y  2xx  3 se ilustra en la figura 15. La recta x  3 es una  asíntota vertical. 1 3π _π _ 2 _ π 2 0 π 2 3π 2 π x EJEMPLO 10 Determine las asíntotas verticales de fx  tan x. SOLUCIÓN Puesto que tan x  hay asíntotas verticales potenciales donde cos x  0. En efecto, como cos x l 0 cuando x l p2 y cos x l 0 cuando x l p2, en vista de que sen x es positiva cuando x está cerca de p2, FIGURA 16 y=tan x lím tan x  y x l  2 y 1 lím tan x   x l p2 Esto demuestra que la recta x  p2 es una asíntota vertical. Un razonamiento similar muestra que las rectas x  2n  1p2, donde n es un entero, son asíntotas verticales de fx  tan x. La gráfica de la figura 16 lo confirma. y=ln x 0 sen x cos x x  Otro ejemplo de una función cuya gráfica tiene una asíntota vertical es la función logaritmo natural y  ln x. A partir de la figura 17 lím ln x   x l 0 FIGURA 17 El eje y es una asíntota vertical de la función logaritmo natural. 2.2 y de este modo la recta x  0 (el eje y) es una asíntota vertical. En efecto, lo mismo se cumple para y  loga x siempre que a  1. (Véase figuras 11 y 12 de la sección 1.6.) EJERCICIOS 1. Explique con sus propias palabras qué se quiere dar a entender 2. Explique qué se quiere dar a entender con mediante la ecuación lím f x  5 xl2 ¿Es posible que se cumpla esta proposición y todavía f2  3? Dé una explicación. lím f x  3 x l 1 y lím f x  7 x l 1 En esta situación ¿es posible que lím xl 1 fx exista? Dé una explicación. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 97 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 3. Explique el significado de cada una de las expresiones siguientes. (a) lím f x  ∞ (b) lím f x  ∞ x l 3 xl4 4. Para la función f cuya gráfica se proporciona, establezca el valor de cada cantidad, si existe. Si no la hay, explique por qué. (a) lím f x (b) lím f x (d) lím f x (e) f3 xl0 (c) lím f x xl3 xl3 xl3 |||| 97 7. Para la función t cuya gráfica se proporciona, establezca el valor de cada cantidad, si acaso existe. Si no existe, explique la razón. (a) lím t t (b) lím t t (c) lím t t (d) lím t t (e) lím t t (f) lím t t (g) t2 (h) lím t t tl0 tl0 tl2 tl0 xl0 tl2 tl4 y y 4 4 2 2 2 0 2 de cada cantidad, si existe. Si no existe, explique por qué. (b) lím f x (d) lím f x (e) f5 xl1 xl5 (c) lím f x xl1 t x 4 5. Use la gráfica de f que se proporciona para establecer el valor (a) lím f x 4 xl1 8. En el caso de la función R cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente. (a) lím R x (b) lím R x (c) lím Rx (d) lím Rx xl2 xl5 x l 3 x l 3 (e) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. y y 4 2 0 _3 0 2 2 x 5 x 4 6. Para la función h, cuya gráfica se da, determine el valor de cada cantidad, si existe. En caso que no exista explique por qué. (a) lím hx (b) lím hx (c) lím hx (d) h3 (e) lím hx (f) lím hx (g) lím hx (h) h0 (i) lím hx x l 3 x l 3 x l 3 x l0 x l0 (j) h2 x l0 x l2 (k) lím hx 9. En el caso de la función f cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente. (a) lím f x (b) lím f x (d) lím f x (e) lím f x x l 7 xl6 x l 3 (c) lím f x xl0 xl6 (f) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. (l) lím hx x l5 x l5 y y _7 _4 _2 0 2 4 6 x _3 0 6 x 10. Un paciente recibe una inyección de 150 mg de un medica- mento cada 4 horas. La gráfica muestra la cantidad f t del CAPITULO-02-A 98 |||| 06/04/2009 18:35 Page 98 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS medicamento en el torrente sanguíneo, después de t horas. 18. lím lím f t xl 1 lím f t y t l 12 x 2  2x , x x2 2 x  0, 0.5, 0.9, 0.95, 0.99, 0.999, 2, 1.5, 1.1, 1.01, 1.001 t l 12 y explique el significado de estos límites laterales. 19. lím xl0 f(t) 0.5, 0.1, 0.05, 0.01 xl0 21–24 Mediante una tabla de valores estime el valor del límite. Si 150 dispone de una calculadora o de una computadora para graficar, úsela para confirmar gráficamente sus resultados. 0 4 8 12 t 16 21. lím sx  4  2 x 22. lím tan 3x tan 5x 23. lím x6  1 x10  1 24. lím 9x  5x x xl0 xl1 1x ; 11. Use la gráfica de la función fx  11  e  para estable- cer el valor de cada límite, si es que existe. Si no existe dé la razón. xl0 1, 20. lím x lnx  x 2 , x  1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001 300 (a) lím f x ex  1  x , x x2 (b) lím f x xl0 (c) lím f x xl0 25. lím + 12. Trace la gráfica de la función siguiente y úsela para determinar los valores de a para los cuales existe lím xl a fx si:  xl0 25–32 Determine el límite infinito. x l3 2x fx  x x  1) 2 xl0 27. lím xl1 si x  1 si 1 x  1 si x  1 x2 x3 26. 2x x  12 lím x l3 28. lím xl5 x2 x3 ex x  53 29. lím+ lnx2  9 30. lím cot x 31. 32. lím xl3 xl lím x csc x x l2 x l2 x2  2x x  4x  4 2 13–16 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que cumpla con todas las condiciones dadas. 13. lím f x  2 , x l1 14. lím f x  1, x l 0 xl1 xl0 lím f x  1, x l 2 15. lím f x  4, xl3 f 3  3, lím f x  1, f 2  1, lím f x  2, x l 3 x l1 lím f x  0, x l 2 f 0 no está definida lím f x  3 , x l 4 ; lím f x  2, y lím f x  3 , x l 4 17–20 Suponga el valor del límite (siempre y cuando exista) eva- luando la función en los números dados (con seis cifras decimales). x l2 x 2  2x , x  2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001, 2 x x2 1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999  34. (a) Determine las asíntotas verticales de la función x l 2 ; f 1  1, f 4  1 17. lím 1 1 y lím x 3  1 x l1 x 3  1 (a) evaluando fx  1x 3  1 para encontrar valores de x que se aproximen a 1 desde la izquierda y desde la derecha. (b) planteando un razonamiento como en el ejemplo 9 y (c) a partir de la gráfica de f. 33. Determine lím f 1  2 f 2  1 16. lím f x  3 , xl1 lím f x  2 , x2  1 3x  2x 2 (b) Confirme su respuesta del inciso (a) graficando la función. 35. (a) Estime el valor del límite lím xl 0 1  x1x hasta cinco ; cifras decimales. ¿Le resulta familiar este número? (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la función y  1  x1x. ; 36. (a) Grafique la función fx  tan 4xx y realice un acerca- miento hacia el punto donde la gráfica cruza el eje y, estimar el valor de lím xl 0 fx. (b) Verificar su respuesta del inciso (a) evaluando f x para valores de x que se aproximan a cero. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 99 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 37. (a) Evalúe la función f x  x2  2x1000 para x  1, 0.8,  lím x 2  2x 1000  40. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es m (b) Evalúe fx para x  0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.003 y 0.001. Conjeture de nuevo. 0.01 y 0.05 tan x  x . x3 (c) Evalúe hx para valores cada vez más pequeños de x hasta que finalmente llegue a valores 0 para hx. ¿Aún está seguro de que lo que conjeturó en el inciso (b) es correcto? Explique por qué obtuvo valores 0 en algún momento. (En la sección 4.4 se explicará un método para evaluar el límite.) (d) Dibuje la función h en el rectángulo de visualización 1, 1 por 0, 1 . A continuación haga un acercamiento hasta el punto en que la gráfica cruza el eje y para estimar el límite de hx conforme x se aproxima a 0. Prosiga con el acercamiento hasta que observe distorsiones en la gráfica de h. Compare con los resultados del inciso (c). (b) Conjeture el valor de lím xl0 ; 41. Estime mediante una gráfica las ecuaciones de todas las asíntotas verticales de la curva y  tan2 sen x p  x  p Luego determine las ecuaciones exactas de estas asíntotas. ; 42. (a) Use evidencia numérica y gráfica para conjeturar el valor del límite. lím xl1 x3  1 sx  1 (b) ¿Qué tan cerca de 1 tiene que estar x para asegurar que la función del inciso (a) esté dentro de una distancia 0.5 respecto de su límite? ; 39. Grafique la función f x  senpx del ejemplo 4 en el rec- tángulo de visión 1, 1 por 1, 1 . Después efectúe varias 2.3 m0 s1  v 2c 2 donde m0 es la masa de la partícula en reposo y c es la rapidez de la luz. ¿Qué sucede cuando v l c? 38. (a) Evalúe hx  tan x  xx3 para x  1, 0.5, 0.1, 0.05, ; 99 veces un acercamiento hacia el origen. Comente el comportamiento de esta función. 0.6, 0.4, 0.2, 0.1 y 0.05 y conjeture el valor de xl0 |||| CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES En la sección 2.2 usó calculadoras y gráficas para suponer los valores de los límites, pero fue claro que esos métodos no siempre conducen a la respuesta correcta. En esta sección aplicará las siguientes propiedades de los límites, conocidas como leyes de los límites, para calcularlos. LEYES DE LOS LÍMITES Suponga que c es una constante y que los límites lím f x xla y existen. Entonces 1. lím f x  tx  lím f x  lím tx xla xla xla 2. lím f x  tx  lím f x  lím tx xla xla xla 3. lím cf x  c lím f x xla xla 4. lím f xtx  lím f x  lím tx xla xla 5. lím lím f x f x  xla tx lím tx xla xla xla si lím tx  0 xla lím tx xla CAPITULO-02-A 100 |||| 06/04/2009 18:35 Page 100 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Estas leyes se pueden expresar en forma verbal como sigue LEY DE LA SUMA 1. El límite de una suma es la suma de los límites. LEY DE LA DIFERENCIA 2. El límite de una diferencia es la diferencia de los límites. LEY DE MÚLTIPLO CONSTANTE 3. El límite de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada LEY DEL PRODUCTO 4. El límite de un producto es el producto de los límites. LEY DEL COCIENTE 5. El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del por el límite de la función denominador no sea cero). Es fácil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, si fx está cercano a L y tx lo está de M, resulta razonable concluir que fx  tx está cercano a L  M. Esto da una base intuitiva para creer que la ley 1 es verdadera. En la sección 2.4 aparece una definición precisa de límite; la cual se utilizará para demostrar esta ley. Las demostraciones de las leyes restantes se proporcionan en el apéndice F. y EJEMPLO 1 Use las leyes de los límites y las gráficas de f y t de la figura 1 para evaluar f los límites siguientes, si existen. 1 (a) lím x l 2 0 g 1 f x  5tx (b) lím f xtx (c) lím xl1 xl2 x f x tx SOLUCIÓN (a) A partir de las gráficas de f y t, lím f x  1 FIGURA 1 x l 2 lím tx  1 y x l 2 Por lo tanto, lím x l 2 f x  5tx  lím f x  lím 5tx (por la ley 1)  lím f x  5 lím tx (por la ley 3) x l 2 x l 2 x l 2 x l 2  1  51  4 (b) Observe que lím x l 1 f x  2. Pero lím x l 1 tx no existe porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes: lím tx  2 lím tx  1 x l 1 x l 1 De suerte que no es posible usar la ley 4 para el límite deseado. Pero puede usar la ley 4 para los límites laterales: lím x l 1 f xtx  2  2  4 lím x l 1 f xtx  2  1  2 los límites izquierdo y derecho no son iguales, así lím x l 1 f xtx no existe. (c) Las gráficas muestran que lím f x xl2 1.4 y lím tx  0 xl2 Ya que el límite del denominador es 0, no puede aplicar la ley 5. El límite dado no existe porque el denominador se aproxima a cero en tanto que el numerador tiende a un número  no cero. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 101 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 101 Si aplica la ley del producto repetidas veces, con tx  f x, obtiene la ley siguiente: 6. lím f x LEY DE LA POTENCIA x la n  lím f x [ x la ] n donde n es un entero positivo En la aplicación de estas seis leyes de los límites, necesita usar dos límites especiales: 7. lím c  c 8. lím x  a xla xla Estos límites son evidentes desde un punto de vista intuitivo (establézcalos verbalmente o dibuje y  c y y  x), pero demostraciones en términos de la definición precisa se piden en los ejercicios de la sección 2.4. Si en la ley 6 pone ahora f x  x y aplica la Ley 8, obtiene otro límite especial útil. 9. lím x n  a n donde n es un entero positivo xla Se cumple un límite similar para las raíces, como sigue. (En el caso de las raíces cuadradas la demostración se esboza en el ejercicio 37 de la sección 2.4.) n n 10. lím s xs a donde n es un entero positivo xla (Si n es par, considere que a  0.) De modo más general, tiene la siguiente ley, que es verificada como una consecuencia de la ley 10 en la sección 2.5. n 11. lím s f x)  LEY DE LA RAÍZ x la f x) s lím x la n donde n es un entero positivo Si n es par, suponga que lím f x  0. x la EJEMPLO 2 Evalúe los límites siguientes y justifique cada paso. (a) lím 2x 2  3x  4 (b) lím x l5 x l 2 x 3  2x 2  1 5  3x SOLUCIÓN (a) lím 2x 2  3x  4  lím 2x 2   lím 3x  lím 4 x l5 x l5 x l5 x l5 (por las leyes 2 y 1)  2 lím x 2  3 lím x  lím 4 (por la 3)  252  35  4 (por las 9, 8 y 7) x l5  39 x l5 x l5 CAPITULO-02-A 102 |||| 06/04/2009 18:35 Page 102 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS NEWTON Y LOS LÍMITES Isaac Newton nació el día de Navidad, en 1642, el año en que murió Galileo. Cuando ingresó a la Universidad de Cambridge, en 1661, no sabía mucho de matemáticas, pero aprendió con rapidez leyendo a Euclides y Descartes y asistiendo a las conferencias de Isaac Barrow. Cambridge se cerró debido a la plaga de 1665 y 1666, y Newton regresó a casa a reflexionar en lo que había aprendido. Esos dos años fueron asombrosamente productivos porque hizo cuatro de sus principales descubrimientos: 1) su representación de funciones como sumas de series infinitas, incluyendo el teorema del binomio; 2) su trabajo sobre el cálculo diferencial e integral; 3) sus leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal y 4) sus experimentos del prisma acerca de la naturaleza de la luz y del color. Debido a cierto temor a la controversia y a la crítica, se mostró renuente a publicar sus descubrimientos y no fue sino hasta 1687, a instancias del astrónomo Halley, que publicó Principia Mathematica. En este trabajo, el tratado científico más grande jamás escrito, Newton expuso su versión del cálculo y lo usó para investigar la mecánica, la dinámica de fluidos y el movimiento ondulatorio, así como para explicar el movimiento de los planetas y de los cometas. Los inicios del cálculo se encuentran en las operaciones para hallar las áreas y los volúmenes que realizaron los antiguos eruditos griegos, como Eudoxo y Arquímedes. Aun cuando los aspectos de la idea de límite se encuentran implícitos en su “método de agotamiento”, Eudoxo y Arquímedes nunca formularon explícitamente el concepto de límite. Del mismo modo, matemáticos como Cavalieri, Fermat y Barrow, los precursores inmediatos de Newton en el desarrollo del cálculo, no usaron los límites. Isaac Newton fue el primero en hablar explícitamente al respecto. Explicó que la idea principal detrás de los límites es que las cantidades “se acercan más que cualquier diferencia dada”. Newton expresó que el límite era el concepto básico del cálculo, pero fue tarea de matemáticos posteriores, como Cauchy, aclarar sus ideas acerca de los límites. (b) Empiece con la ley 5, pero su aplicación sólo se justifica plenamente en la etapa final, cuando los límites del numerador y del denominador existen, y este último no es 0. lím x l 2 lím x 3  2x 2  1 x 3  2x 2  1  x l 2 5  3x lím 5  3x (por la ley 5) x l 2  lím x 3  2 lím x 2  lím 1 x l 2 x l 2 x l 2 lím 5  3 lím x x l 2 x l 2 2  22  1 5  32 1  11 3 (por las 1, 2 y 3) 2  (por las 9, 8 y 7)  Si fx  2x2  3x  4, entonces f5  39. En otras palabras, habría obtenido la respuesta correcta del ejemplo 2(a) sustituyendo x con 5. De manera análoga, la sustitución directa da la respuesta correcta en el inciso (b). Las funciones del ejemplo 2 son un polinomio y una función racional, respectivamente y el uso semejante de las leyes de los límites prueba que la sustitución directa siempre funciona para este tipo de funciones (vea los ejercicios 53 y 54). Este hecho se expresa del modo siguiente: NOTA PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN DIRECTA Si f es un polinomio o una función racional y a está en el dominio de f, entonces lím f x  f a x la Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman continuas en a y se estudian en la sección 2.5. Sin embargo, no todos los límites se pueden evaluar por sustitución directa, como los ejemplos siguientes hacen ver. EJEMPLO 3 Encuentre lím xl1 x2  1 . x1 SOLUCIÓN Sea f x  x2  1x  1. No puede hallar el límite al sustituir x  1 porque f 1 no está definido. tampoco puede aplicar la ley del cociente porque el límite del denominador es 0. En lugar de ello, necesita algo de álgebra preliminar. Factorice el numerador como una diferencia de cuadrados: x2  1 x  1x  1  x1 x1 El numerador y el denominador tienen un factor común de x  1. Cuando toma el límite a medida que x tiende a 1, tiene x  1 y, por lo tanto, x  1  0. Por consiguiente, cancele el factor común y calcule el límite como sigue: lím xl1 x2  1 x  1x  1  lím  lím x  1  1  1  2 xl1 xl1 x1 x1 El límite de este ejemplo surgió en la sección 2.1, cuando trató de hallar la tangente a la parábola y  x2 en el punto 1, 1.  NOTA En el ejemplo 3 fue capaz de calcular el límite sustituyendo la función dada fx  x2  1x  1 por una función más sencilla, tx  x  1, con el mismo límite. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 103 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES y y=ƒ 3 2 1 0 1 2 3 x y y=© 3 Si f x  tx cuando x  a, entonces lím f x  lím tx, en caso de que exista xla xla el límite. EJEMPLO 4 Encuentre lím tx, donde x l1 tx  1 1 2 3 x FIGURA 2 103 Esto es válido porque f x  tx excepto cuando x  1, y al calcular un límite conforme x se aproxima a 1 no se considera qué sucede cuando x es en realidad igual a 1. En general tiene el hecho útil siguiente. 2 0 ||||  x  1 si x  1 si x  1 SOLUCIÓN En este caso, t está definida en x  1 y t1  p, pero el valor de un límite cuando x tiende a 1 no depende del valor de la función en 1. Como tx  x  1 para x  1, lím tx  lím x  1  2 Las gráficas de las funciones f (del ejemplo 3) y g (del ejemplo 4) xl1 xl1  Advierta que los valores de las funciones de los ejemplos 3 y 4 son idénticos, excepto cuando x  1 (véase la figura 2), de modo que tienen el mismo límite cuando x tiende a 1. V EJEMPLO 5 3  h2  9 . h Evalúe lím hl0 SOLUCIÓN Si define Fh  3  h2  9 h en tal caso, como en el ejemplo 3, no puede calcular lím h l 0 Fh haciendo h  0, ya que F0 no está definido. Pero si simplifica Fh algebraicamente, encuentra que 9  6h  h 2   9 6h  h 2  6h h h Fh  (Recuerde que sólo se considera h  0 cuando se hace que h tienda a 0.) De este modo, lím hl0 EJEMPLO 6 Encuentre lím tl0 3  h2  9  lím 6  h  6 hl0 h  st 2  9  3 . t2 SOLUCIÓN No puede aplicar la ley del cociente de inmediato, puesto que el límite del deno- minador es 0. En el presente caso, el álgebra preliminar consiste en la racionalización del numerador: lím tl0 st 2  9  3 st 2  9  3 st 2  9  3  lím  2 tl0 t t2 st 2  9  3  lím t 2  9  9 t2  lím 2 t l 0 t (st 2  9  3) t (st 2  9  3)  lím 1  st 2  9  3 tl0 tl0 2 1 1 1   2  9  3 3  3 6 lím t s tl0 Este cálculo confirma lo que se conjeturó en el ejemplo 2 de la sección 2.2.  CAPITULO-02-A 104 |||| 06/04/2009 18:35 Page 104 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Lo mejor para calcular algunos límites es hallar en primer lugar los límites por la izquierda y por la derecha. El teorema siguiente es un recordatorio de lo que se descubrió en la sección 2.2. Afirma que existe un límite bilateral si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales. 1 TEOREMA lím f x  L lím f x  L  lím f x si y sólo si xla xla x la Cuando calculamos un límite lateral aplicamos el hecho de que las Leyes de los Límites también se cumplen para los límites de este tipo. & Según la figura 3, el resultado del ejemplo 7 parece plausible.   EJEMPLO 7 Demuestre que lím x  0. xl0 SOLUCIÓN Recuerde que  y si x  0 si x  0 x x x  y=| x| Como  x   x para x  0, tiene 0   lím x  lím x  0 x x l 0 xl0 Para x  0, tiene  x   x y, por consiguiente, FIGURA 3   lím x  lím x  0 x l 0 xl0 En consecuencia, por el teorema 1,   lím x  0 xl0 V EJEMPLO 8 y SOLUCIÓN |x| y= x Compruebe que lím xl0 lím x l 0 x  x   x  no existe. x lím x l 0 x  lím 1  1 xl0 x 1 0 lím x xl0 _1 FIGURA 4 x  x lím xl0 x  lím 1  1 xl0 x Como los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes, por el teorema 1 se concluye que lím x l 0  x x no existe. La figura 4 muestra la gráfica de la función f x   x x y apoya los límites laterales que encontró. EJEMPLO 9 Si f x   sx  4 8  2x si x  4 si x  4 determine si existe lím x l 4 fx. SOLUCIÓN Puesto que f x  sx  4 para x  4, tiene & Se demuestra en el ejemplo 3 de la sección 2.4 que lím x l 0 sx  0. lím f x  lím sx  4  s4  4  0 x l 4 xl4  CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 105 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES y |||| 105 Puesto que f x  8  2x para x  4, tiene lím f x  lím 8  2x  8  2  4  0 x l 4 0 x 4 xl4 Los límites del lado derecho y del lado izquierdo son iguales. Por lo tanto, el límite existe y FIGURA 5 lím f x  0 xl4 La gráfica de f se ilustra en la figura 5. & Otras expresiones para x son x y ⎣x⎦ . A la función entero máximo algunas veces se le llama la función piso.  EJEMPLO 10 La función mayor entero se define como x  el entero más grande que es menor o igual que x. (Por ejemplo, 4  4, 4.8  4, p  3,  s2   1,  12   1.) Demuestre que lím x l3 x no existe. y SOLUCIÓN En la figura 6 se muestra la gráfica de la función entero máximo. Puesto que 4 x  3 para 3  x  4, tiene 3 y=[ x] 2 lím x  lím 3  3 x l3 1 0 1 2 3 4 5 x l3 Dado que x  2 para 2  x  3, tiene x lím x  lím 2  2 x l3 FIGURA 6 x l3 En virtud de que estos límites unilaterales no son iguales, por el teorema 1, lím x l 3 x no existe. Función máximo entero  En los dos teoremas siguientes se dan dos propiedades adicionales de los límites. Sus demostraciones se proporcionan en el apéndice F. 2 TEOREMA Si f x  tx, cuando x está cerca de a (excepto posiblemente en a), y los límites de f y t existen cuando x tiende a a, entonces lím f x xla 3 lím tx xla TEOREMA DE LA COMPRESIÓN Si f x  tx  hx, cuando x está cerca de a (excepto quizá en a) y lím f x  lím hx  L y xla xla h g L f 0 FIGURA 7 a x entonces lím tx  L xla En la figura 7 se ilustra el teorema de la compresión, a veces conocido como teorema del emparedado o del apretón. Afirma que si tx se comprime entre f x y hx, cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, por lo tanto es forzoso que t tenga el mismo límite L en a CAPITULO-02-A 106 06/04/2009 |||| 18:35 Page 106 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS V EJEMPLO 11 1  0. x Demuestre que lím x 2 sen xl0 SOLUCIÓN En primer lugar, note que no puede aplicar | lím x 2 sen xl0 1 1  lím x 2  lím sen xl0 xl0 x x porque lím x l0 sen1x no existe (véase el ejemplo 4, en la sección 2.2). Sin embargo, como 1 1 sen 1 x y tiene, como se ilustra mediante la figura 8, y=≈ x 2 x 0 x 2 sen x2 Sabe que lím x 2  0 y=_≈ lím x 2   0 y xl0 FIGURA 8 xl0 Al tomar f x  x2, tx  x2 sen 1x y hx  x2 en el teorema de la compresión, obtiene y=≈ sen(1/x) lím x 2 sen xl0 2.3 1 x 1 0 x  EJERCICIOS 1. Dado que lím f x  4 x l2 lím tx  2 lím hx  0 x l2 (a) lím f x  5tx (b) lím tx (c) lím sf x (d) lím x l2 3 x l2 3f x tx tx txhx (f) lím x l 2 hx x l2 f x 2. Se dan las gráficas de f y t. Úselas para evaluar cada límite, si existe. Si el límite no existe, explique por qué. (e) lím y 0 2x 2  1 x  6x  4 4. lím 5. lím (1  sx )2  6x 2  x 3 6. lím t 2  13t  35 x l 2 3 xl8  1  3x 1  4x 2  3x 4  x l2 2 t l 1 3 8. lím su 4  3u  6 u l2 9. lím s16  x 2 1 x x l1 3. lím 3x 4  2x 2  x  1 x l1 y=© 1 1 (f) lím s3  f x x l2 7. lím y y=ƒ (e) lím x 3f x x l 1 3–9 Evalúe el límite y justifique cada etapa indicando la(s) ley(es) de los límites apropiada(s). x l2 x l2 (d) lím x l0 x l2 encuentre los límites que existan. Si el límite no existe, explique por qué. f x tx (c) lím f xtx xl4 1 x 10. (a) ¿Qué está incorrecto en la ecuación siguiente? (a) lím f x  tx x l2 (b) lím f x  tx x l1 x2  x  6 x3 x2 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 107 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES (b) En vista del inciso (a), explique por qué la ecuación x l2 x x6  lím x  3 x l2 x2 ; 34. Aplique el teorema de la compresión para demostrar que es correcta. lím sx 3  x 2 sen x x l0 11–30 Evalúe el límite, si existe. x2  x  6 11. lím x l2 x2 x 2  5x  4 12. lím 2 x l 4 x  3x  4 x x6 x2 13. lím x l2 t l 3 17. lím hl0 19. lím tl9 16. lím x l 1 4  h2  16 h x l2 21. lím xl4 t2  9 2 2t  7t  3 15. lím 18. lím x l1 x2 x3  8 9t 3  st sx  2  3 x7 1 1  4 x 25. lím x l 4 4  x 29. lím tl0 s1  h  1 h 24. lím x l 1 26. lím 38. Demuestre que lím sx e sen tl0 28. lím 1 1  t s1  t t  hl0 1 1  2 t t t x l0  0. 39–44 Determine el límite, si acaso existe. Si el límite no existe ex- plique la razón.  39. lím (2x  x  3 xl3  3  h1  3 1 h 41. lím x l0.5  43. lím x l0 2x  1 3  x2  2x 1 1  x x   ) 40. lím x l 6 dibujando la función f x  x(s1  3x  1). (b) Haga una tabla de valores de f x para x cerca de 0 e intente el valor del límite. (c) Use las leyes de los límites para probar que su conjetura es correcta. 44. lím x l0 para estimar el valor de lím xl 0 f x hasta dos cifras decimales. (b) Use una tabla de valores de f x para estimar el límite hasta cuatro cifras decimales. (c) Utilice las leyes de los límites para hallar el valor exacto del límite. ; 33. Aplique el teorema de la compresión para demostrar que lím xl 0 x2 cos 20p x  0. Ilustre dibujando las funciones  2  x 2x  1 1  x x    45. La función signum o signo se denota mediante sgn y se define  como 1 0 1 sgn x  si x  0 si x  0 si x  0 (a) Trace la gráfica de esta función. (b) Calcule cada uno de los límites siguientes o explique por qué no existe. (i) lím sgn x (ii) lím sgn x xl0 xl0 (iii) lím sgn x  (iv) lím sgn x xl0 xl0 46. Sea ; 32. (a) Use una gráfica de s3  x  s3 f x  x  x l2  sx  9  5 30. lím x l4 x4 x s1  3x  1 2x  12 x6 42. lím  2 ; 31. (a) Estime el valor de lím x x l0 x  2x  1 x4  1  2  0. x 37. Demuestre que lím x 4 cos 2 4  sx 16x  x 2  22. lím 0, hallar el lím xl 1 tx. x l0 x3  1 x2  1 2  h3  8 h h l0 x l7 x l16 35. Si 4x  9  fx  x 2  4x  7 para x 36. Si 2x  tx  x 4  x 2  2 para toda x, valorar el x 2  4x 2 x  3x  4 20. lím h l0 23. lím 27. lím Ilustre dibujando las funciones f, t y h (en la notación de ese teorema) en la misma pantalla. 2 14. lím 0 lím xl 4 fx. x  4x x 2  3x  4 2 107 f x  x2, tx  x2 cos 20px y hx  x2 en la misma pantalla. 2 lím |||| f x   4  x2 x1 si x 2 si x  2 (a) Determine lím xl 2 fx y lím xl 2 fx. (b) ¿Existe lím xl 2 fx? (c) Trace la gráfica de f. 47. Sea Fx  x2  1 . x1   (a) Encuentre (i) lím Fx x l1 (ii) lím Fx x l1  CAPITULO-02-A 108 06/04/2009 |||| 18:35 Page 108 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS (b) ¿Existe lím xl 1 Fx? (c) Trace la gráfica de F. si x  1 si x  1 si 1  x si x  2 x 3 2  x2 x3 2 (iii) t1 (iv) lím tx (v) lím tx (vi) lím tx x l1 xl2 x l2 (b) Trace la gráfica de t. 49. (a) Si el símbolo   denota la función mayor entero definida en el ejemplo 10, evalúe (ii) lím x x l 2 (iii) lím x x l 2 x l 2.4 (b) Si n es un entero, evalúe (i) lím x (ii) lím x x ln xln (c) ¿Para cuáles valores de a existe lím xl a x? 57. Si f x  (iii) lím xl 2 f x (ii)  x2 0 fx x si x es racional si x es irracional demuestre que lím xl 0 fx  0. 58. Muestre por medio de un ejemplo que lím xl a f x  tx puede existir aunque no existan ni lím xl a f x ni lím xl a tx. 59. Muestre por medio de un ejemplo que lím xl a f xtx puede existir aunque no existan ni lím xl a fx ni lím xl a tx. 60. Evalúe lím x l2 (a) Trace la gráfica de f (b) Evalúe cada límite, si es que existe. x l0 xl0 s6  x  2 . s3  x  1 61. ¿Hay un número a tal que 50. Sea f x  cos x, p  x  p. (i) lím f x (b) lím xl0 (ii) lím tx (i) lím x fx  5 , hallar los límites que siguen. x2 (a) lím fx (i) lím tx xl2 56. Si lím xl0 (a) Evalúe cada uno de los límites siguientes, si es que existe. xl1 f x  8  10 , hallar lím fx. xl1 x1 xl1 48. Sea tx  55. Si lím lím x l  2 lím x l2 f x (iv) lím f x xl 2 (c) ¿Para cuáles valores de a existe lím xl a fx? 51. Si f x  x  x, demuestre que lím xl 2 fx existe pero no es igual a f 2. 52. En la teoría de la relatividad, la fórmula de la contracción de Lorentz exista? Si es así, encuentre los valores de a y del límite. 62. En la figura se muestra una circunferencia C1 con ecuación x  12  y2  1 y una circunferencia C2 que se contrae, con radio r y centro en el origen. P es el punto 0, r, Q es el punto superior de intersección de los dos círculos y R es el punto de intersección de la recta PQ y el eje x. ¿Qué le sucede a R al contraerse C2; es decir, cuando r l 0? L  L 0 s1  v 2c 2 expresa la longitud L de un objeto como función de su velocidad v respecto a un observador, donde L0 es la longitud del objeto en reposo y c es la rapidez de la luz. Encuentre lím v l c L e interprete el resultado. ¿Por qué se necesita un límite por la izquierda? 53. Si p es un polinomio, demuestre que lím xl a px  pa. 54. Si r es una función racional, aplique el resultado del ejercicio 53 para demostrar que lím xl a rx  ra, para todo número a en el dominio de r. 3x 2  ax  a  3 x2  x  2 y P Q C™ 0 R C¡ x CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 109 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE 2.4 |||| 109 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE La definición intuitiva de límite que se presenta en la sección 2.2 es inaceptable en algunos casos porque son vagas las frases como “x se acerca a 2” y “f x se acerca más y más a L”. Con objeto de ser capaz de demostrar en forma concluyente que  lím x 3  xl0 cos 5x 10 000   0.0001 o bien lím xl0 sen x 1 x se tiene que hacer una definición precisa de límite. Para motivar la definición precisa de límite considere la función f x   2x  1 6 si x  3 si x  3 Es evidente y claro que cuando x se acerca a 3 con x  3, entonces fx está cerca de 5 y así lím xl3 fx  5. Con el fin de obtener más detalles con respecto a cómo varía f x cuando x se acerca a 3, se plantean las siguientes preguntas: ¿Qué tan cerca de 3 tiene que estar x para que fx difiera de 5 en menos de 0.1? & El uso de la letra griega d (delta) ya es una costumbre en esta situación. La distancia de x a 3 es  x  3  y la distancia desde f x a 5 es  fx  5 , de modo que el problema es encontrar un número d tal que  f x  5   0.1 x  3  d si pero x  3 Si  x  3   0, entonces x  3, de modo que una formulación equivalente del problema es determinar un número d tal que  fx  5   0.1 si 0  x  3  d Observe que si 0   x  3   0.12  0.05, entonces  f x  5    2x  1  5    2x  6   2 x  3   0.1 es decir,  fx  5   0.1 si 0   x  3   0.05 De este modo, una respuesta al problema lo da d  0.05; es decir, si x está dentro de una distancia de 0.05 desde 3, entonces f x estará dentro de una distancia de 0.1 desde 5. Si cambia la cantidad 0.1 del problema por una cantidad menor 0.01, entonces usando el mismo método se encuentra que fx difiere de 5 por menos de 0.01 siempre que x difiera de 3 en menos de (0.01)2  0.005:  f x  5   0.01 si 0   x  3   0.005  f x  5   0.001 si 0   x  3   0.0005 De manera igual, Las cantidades 0.1, 0.01 y 0.001 son consideradas como tolerancias de error que podría permitir. Para que 5 sea el límite exacto de fx cuando x tiende a 3, tiene no sólo que ser capaz de llevar la diferencia entre fx y 5 por abajo de cada una de estas tres cantidades; tiene que CAPITULO-02-A 110 06/04/2009 |||| 18:35 Page 110 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS conservar abajo a cualquier número positivo. Y de acuerdo con el mismo razonamiento, ¡claro que es posible! Si escribe e (la letra griega épsilon) para que represente un número positivo arbitrario, entonces se encuentra al igual que antes que  f x  5   e 1 si   0 x3   2 Ésta es una forma exacta de decir que f x está cerca de 5 cuando x se acerca a 3 porque (1) establece que es posible hacer que los valores de f x queden dentro de una distancia arbitraria e a partir de 5 conservando los valores de x dentro de una distancia e2 a partir de 3 (pero x  3). Observe que otra forma de (1) es: si 3  d  x  3  d en tal caso 5  e  f x  5  e lo cual se ilustra en la figura 1. Al hacer que los valores de x  3 queden en el intervalo 3  d, 3  d es posible hacer que los valores de f x se ubiquen en el intervalo 5  e, 5  e. Usando (1) como modelo, damos una definición precisa de límite. y ƒ está aquí x  3 5+∑ 5 5-∑ 2 0 x 3 3-∂ el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces decimos que el límite de fx cuando x tiende a a es L, se escribe 3+∂ cuando x está aquí (x≠3) FIGURA 1 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene lím f x  L xla si para todo número e  0 hay un número d  0 tal que si 0   x  a   d entonces  fx  L   e Puesto que  x  a  es la distancia desde x hasta a y  fx  L  es la distancia desde f x hasta L y como e puede ser arbitrariamente pequeño, la definición de límite se puede expresar en palabras como se indica a continuación: lím x l a fx  L quiere decir que la distancia entre f x y L puede hacerse pequeña en forma arbitraria al hacer que la distancia desde x hasta a sea suficientemente pequeña (pero no 0). Otra posibilidad es lím x l a f x  L significa que los valores de f x pueden ser tan cercanos como quiera a L al hacer que x se acerque lo suficiente a a (pero que no sea igual a a). Asimismo, puede replantear la definición 2 en términos de intervalos si observa que la desigualdad  x  a   d equivale a d  x  a  d, que a su vez se puede escribir como a  d  x  a  d. También 0   x  a  es verdadera si y sólo si x  a  0 es decir, x  a. De manera similar, la desigualdad  fx  L   e equivale al par de desigualdades L  e  f x  L  e. Por lo tanto, en términos de intervalos, la definición 2 se puede plantear como sigue: lím x l a fx  L quiere decir que para todo e  0 (sin que importe lo pequeño que sea e) puede encontrar una d  0 tal que si x está en el intervalo abierto a  d, a  d y x  a, entonces f x queda en el intervalo abierto L  e, L  e. La interpretación geométrica de este enunciado se consigue representando una función mediante un diagrama de flechas como en la figura 2, donde f mapea un subconjunto de  en otro subconjunto de . CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 111 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 111 f FIGURA 2 x a f(a) ƒ La definición de límite establece que si cualquier intervalo pequeño L  e, L  e alrededor de L, entonces es posible encontrar un intervalo a  d, a  d alrededor de a tal que f mapea todos los puntos en a  d, a  d (excepto posiblemente en a) en el intervalo L  e, L  e. Véase figura 3. f x FIGURA 3 a-∂ ƒ a a+∂ L-∑ L L+∑ Otra interpretación geométrica de los límites se puede hacer en términos de la gráfica de la función. Si e  0 trace las rectas horizontales y  L  e y y  L  e y la gráfica de f (véase figura 4). Si lím x l a f x  L, entonces se puede encontrar un número d  0 tal que si restringe a x a que quede en el intervalo a  d, a  d y hace x  a, entonces la curva y  f x está entre las rectas y  L  e y y  L  e. (Véase figura 5.) Usted puede ver que si se ha encontrado tal d en tal caso cualquier d más pequeña también funcionará. Es importante darse cuenta que el proceso ilustrado en las figuras 4 y 5 debe funcionar para todo número positivo e sin que importe qué tan pequeño sea. En la figura 6 se ilustra que si se elige un e más pequeño, entonces se podría requerir una d más pequeña. y y y y=ƒ L+∑ y=L+∑ L ƒ está aquí ∑ ∑ y=L-∑ L y=L+∑ y=L+∑ y=L-∑ y=L-∑ ∑ ∑ L-∑ 0 0 x a x a a-∂ 0 a-∂ ∂ x a a+∂ cuando est aquí (x a) FIGURA 4 FIGURA 5 FIGURA 6 EJEMPLO 1 Utilice una gráfica para encontrar un número d tal que 15 si x  1  d entonces  x3  5x  6  2   0.2 En otras palabras, encuentre un número d que corresponda a e  0.2 en la definición de límite para la función fx  x3  5x  6 en donde a  1 y L  2. _3 3 SOLUCIÓN Una gráfica de f se presenta en la figura 7; estamos interesados en la región cercana al punto 1, 2. Observe que puede volver a escribir la desigualdad  x3  5x  6  2   0.2 _5 FIGURA 7 como 1.8  x3  5x  6  2.2 CAPITULO-02-B 112 06/04/2009 |||| 18:38 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2.3 y=2.2 y=˛-5x+6 (1, 2) y=1.8 0.8 1.7 FIGURA 8 Page 112 1.2 Necesitamos establecer los valores de x para los cuales la curva y  x3  5x  6 se sitúa entre las horizontales y  1.8 y y  2.2. Por lo tanto, grafique las curvas y  x3  5x  6, y  1.8 y y  2.2 cerca del punto 1, 2 en la figura 8. Luego utilice el cursor para estimar que la coordenada x del punto donde se cortan la recta y  2.2 y la curva y  x3  5x  6 está por 0.911. De igual manera, y  x3  5x  6 corta la recta y  1.8 cuando x 1.124. De este modo, al redondear para estar seguro, puede decir que 0.92  x  1.12 si 1.8  x3  5x  6  2.2 entonces Este intervalo 0.92, 1.12 no es simétrico con respecto a x  1. La distancia desde x  1 hasta el extremo izquierdo es 1  0.92  0.08 y la distancia hasta el extremo derecho es 0.12. Puede escoger d como el más pequeño de estos números, es decir, d  0.08. Luego puede reescribir las desigualdades en términos de distancias como sigue:  x  1   0.08 si entonces  x3  5x  6  2   0.2 Esto dice justamente que al mantener a x dentro del 0.08 de 1, es capaz de conservar a fx dentro de 0.2 de 2. Aunque seleccionamos d  0.08, cualquier valor positivo más pequeño de d habría  funcionado. El procedimiento gráfico del ejemplo 1 ilustra la definición para e  0.2, pero no demuestra que el límite es igual a 2. Una demostración tiene que proporcionar una d para cada e. Para mejorar los enunciados de límite sería útil pensar en la definición de límite como un desafío. Primero lo retan con un número e. Después usted debe ser capaz de obtener una d adecuada. Debe ser capaz de hacerlo para toda e  0, no sólo para una e en particular. Considere una contienda entre dos personas A y B, piense que usted es B. La persona A estipula que se debe aproximar al número fijo L por medio de valores de f x dentro de un grado de exactitud e (por ejemplo 0.01). Por lo tanto, la persona B responde determinando un número d tal que 0   x  a   d siempre que  fx  L   e. Luego A podría volverse más exigente y desafiar a B con un valor más pequeño de e, por ejemplo, 0.0001. Una vez más, B tiene que responder encontrando una d correspondiente. Por lo regular, a medida que el valor de e es más pequeño, es menor el correspondiente valor de d. Si B siempre gana, sin importar qué tan pequeño haga A a e, entonces lím xl a fx  L. V EJEMPLO 2 Demuestre que lím 4x  5  7. x l3 SOLUCIÓN 1. Análisis preliminar del problema (adivinar un valor de d). Sea e un número positivo dado. Queremos encontrar un número d tal que si 0  x  3  d entonces  4x  5  7   e Pero  4x  5  7    4x  12    4x  3   4 x  3 . Por lo tanto, es decir, si 0  x  3  d entonces 4 x  3   e si 0  x  3  d entonces x  3  4  Esto hace pensar que debe escoger d  e4. 2. Comprobación (presentación de que esta d funciona). Dado e  0, elija d  e4. Si 0   x  3   d, entonces   4x  5  7    4x  12   4 x  3   4  4  4  CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 113 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE 113 por lo tanto y y=4x-5 7+∑ |||| 0  x  3  d si 7 7-∑ entonces  4x  5  7   e Por lo tanto, de acuerdo con la definición de límite, lím 4x  5  7 x l3 Este ejemplo se ilustra en la figura 9. 0 x 3 3-∂  3+∂ FIGURA 9 Observe que en la solución del ejemplo 2 hay dos etapas: adivinar y ensayar. Efectuó un análisis preliminar que posibilitó suponer un valor de d. Pero luego, en la segunda etapa, tuvo que regresar y comprobar en forma cuidadosa y lógica que dio una opinión correcta. Este procedimiento es característico de gran parte de la matemática. Algunas veces se necesita hacer primero una conjetura inteligente con respecto a la respuesta de un problema y luego demostrar que la suposición es correcta. Las definiciones intuitivas de límites unilaterales que se presentan en la sección 2.2 se pueden reformular exactamente como se señala a continuación 3 DEFINICIÓN DE LÍMITE IZQUIERDO CAUCHY Y LOS LÍMITES Después de la invención del cálculo infinitesimal en el siglo XVII, siguió un periodo de libre desarrollo de esta materia en el siglo XVIII. Matemáticos como los hermanos Bernoulli y Euler estaban ansiosos por explotar el poder del cálculo y exploraron con audacia las consecuencias de esta nueva y maravillosa teoría matemática sin preocuparse mucho por si las demostraciones eran correctas del todo. En cambio, el siglo XIX fue la Época del Rigor en la matemática. Hubo un movimiento para volver a los fundamentos de la materia –para proporcionar definiciones cuidadosas y demostraciones. A la vanguardia de este movimiento se encontraba el matemático francés AugustinLouis Cauchy (1789-1857), quien fue primero ingeniero militar antes de convertirse en profesor de matemáticas en París. Cauchy tomó la idea de límite de Newton, idea que el matemático francés Jean d’Alembert había mantenido viva en el siglo XVIII y la hizo más exacta. Su definición de límite era: “Cuando los valores sucesivos atribuidos a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para terminar diferenciándose de éste por tan poco como uno quiere, esto se llama límite de todos los otros.” Pero cuando Cauchy aplicaba esta definición en ejemplos y demostraciones utilizaba a menudo desigualdades delta-épsilon similares a las de esta sección. Una demostración representativa de Cauchy inicia con: “Denótese mediante d y e dos números muy pequeños; . . .” Utilizaba e debido a la correspondencia entre épsilon y la palabra francesa erreur. Posteriormente, el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) estableció la definición de un límite exactamente como en la definición de este texto. lím f x  L x l a si para todo número e  0 hay un número d  0 tal que si 4 adxa entonces  fx  L   e DEFINICIÓN DE LÍMITE DERECHO lím f x  L x l a si para todo número e  0 hay un número d  0 tal que si axad entonces  fx  L   e Observe que la definición 3 es la misma que la definición 2 salvo que x está restringida a estar en la mitad izquierda a  d, a del intervalo a  d, a  d. En la definición 4, x tiene que estar en la mitad derecha a, a  d del intervalo a  d, a  d. V EJEMPLO 3 Mediante la definición 4 demuestre que lím sx  0. xl0 SOLUCIÓN 1. Adivinar un valor de d. Sea e un número positivo dado. Aquí a  0 y L  0, de modo que buscamos un número d tal que es decir, si 0xd entonces  sx  0    si 0xd entonces sx   CAPITULO-02-B 114 |||| 06/04/2009 18:38 Page 114 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS o bien, al elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad sx  , obtiene si 0xd por lo tanto x  e2 Esto lleva a pensar que debe elegir d  e2. 2. Demostración de que sí trabaja esta d. Dado e  0, sea d  e2. Si 0  x  d, entonces sx  s  s 2    sx  0    de modo que De acuerdo con la definición 4, esto demuestra que lím x l 0 sx  0.   EJEMPLO 4 Demuestre que lím x 2  9. xl3 SOLUCIÓN 1. Adivinar un valor de d. Dado que e  0. Debe encontrar un número d  0 tal que si 0  x  3  d entonces  x2  9   e Para relacionar  x2  9  con  x  3  escriba  x2  9    x  3x  3 . Luego quiere si 0  x  3  d entonces x  3 x  3  e Observe que si puede encontrar una constante positiva C tal que  x  3   C, entonces  x  3   x  3   C x  3  y puede hacer C  x  3   e tomando  x  3   eC  d. Puede determinar tal número C si restringe a x a quedar en un intervalo con centro en 3. En efecto, puesto que está interesado sólo en valores de x que estén cercanos a 3, es razonable suponer que x está a una distancia 1 desde 3, es decir,  x  3   1. Por lo tanto 2  x  4, de modo que 5  x  3  7. Así,  x  3   7, y por eso C  7 es una elección aceptable para la constante. Pero ahora ya hay dos restricciones en  x  3 , a saber x  3  1 y   x  3  C  7 Para tener la certeza de que ambas desigualdades se cumplen, haga que d sea la más pequeña de los dos números 1 y e7. La notación para esto es d  mín 1, e7 . 2. Demostración de que esta d funciona. Dado e  0, sea d  mín 1, e7 . Si 0   x  3   d, entonces  x  3   1 ? 2  x  4 ?  x  3   7 (como en la parte 1). También tiene que  x  3   e7, de modo que x 2   9  x3 Esto demuestra que lím x l3 x2  9.   x  3   7  7    Como se observa en el ejemplo 4, no siempre es fácil demostrar que son verdaderos los enunciados de límite usando la definición e, d. En efecto, si tiene una función más complicada como f x  6x2  8x  92x2  1, una demostración requeriría una gran CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 115 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 115 cantidad de ingenio. Por fortuna esto es innecesario porque las leyes de los límites establecidas en la sección 2.3 se demuestran usando la definición 2 y luego los límites de funciones complicadas se pueden determinar en forma rigurosa a partir de las leyes de los límites sin recurrir directamente a la definición. Por ejemplo la ley de la suma: si existen tanto lím xl a fx  L como lím xl a tx  M entonces lím f x  tx  L  M xla Las leyes restantes se demuestran en los ejercicios y en el apéndice F. DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LA SUMA Se proporciona e  0. Es necesario determinar d  0 tal que si & Desigualdad triangular entonces  fx  tx  L  M   e Si usa la desigualdad triangular puede escribir a  bab (Véase apéndice A.) 0  x  a  d  f x  tx  L  M     f x  L   tx  M   f x  L    tx  M  5 Haga que  fx  tx  L  M  sea menor que e dejando que los términos  fx  L  y  tx  M  sean menores que e2. Puesto que e2  0 y lím xl a fx  L, existe un número d1  0 tal que si 0   x  a   d1 entonces   f x  L   2 De manera similar, puesto que lím xl a tx  M, existe un número d 2  0 tal que si 0   x  a   d2 entonces   tx  M   2 Sea   mín  1,  2 . Observe que si 0   x  a   d de modo que entonces 0   x  a   d1   f x  L   2 y y 0   x  a   d2   tx  M   2 Por lo tanto, de acuerdo con (5)  f x  tx  L  M    fx  L    tx  M       2 2 Para resumir, si 0  x  a  d entonces  fx  tx  L  M   e De esta manera, según la definición de límite, lím f x  tx  L  M xla  CAPITULO-02-B 116 06/04/2009 |||| 18:38 Page 116 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS LÍMITES INFINITOS Los límites infinitos también se pueden definir de manera exacta. La que sigue es una versión exacta de la definición 4 de la sección 2.2. 6 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto tal vez en a misma. Entonces, lím f x  xla quiere decir que para todo número positivo M hay un número positivo d tal que y y=M M 0 x a a-∂ a+∂ FIGURA 10 0  x  a  d si f x  M entonces Esto establece que los valores de f x se pueden hacer arbitrariamente grandes (más grandes que cualquier número dado M) al acercar x lo suficiente a a (a una distancia d, donde d depende de M, pero x  a). Una representación geométrica se ilustra en la figura 10. Dada una línea horizontal y  M, puede hallar un número d  0 tal que si restringe a que x se sitúe en el intervalo a  d, a  d donde x  a, entonces la curva y  f x queda por arriba de la recta y  M. Se puede ver si escoge una M más grande, entonces se requeriría una d más pequeña. V EJEMPLO 5 Aplique la definición 6 para demostrar que lím xl0 1  . x2 SOLUCIÓN Sea M un número positivo determinado. Busca un número d tal que si Pero 1 M x2 0  x  d &fi x2  entonces 1 M 1x2  M &fi 1  x   sM Si seleccionamos   1sM y 0   x     1sM, entonces 1x2  M. Esto demuestra  que 1x 2 l cuando x l 0. La que sigue es una versión exacta de la definición 5 de la sección 2.2. Se ilustra en la figura 11. y a-∂ a+∂ a 0 N x 7 DEFINICIÓN Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente para a misma. Entonces y=N lím f x   xla FIGURA 11 quiere decir que para todo número negativo N hay un número positivo d tal que si 0  x  a  d entonces f x  N CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 117 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE 2.4 |||| 117 EJERCICIOS 1. Utilice la gráfica dada de fx  1x para calcular un número y d tal que x  2  d si en seguida   1  0.5  0.2 x 1 0.5 y 1 0 1 y= x 0.7 ? 1 ? x ; 5. Por medio de una gráfica determine un número d tal que 0.5 0.3 si 0 y=≈ 1.5 10 7 x 10 3 2   x 4   tan x  1   0.2 entonces ; 6. Con la ayuda de una gráfica determine un número d tal que 2. Utilice la gráfica dada de f para determinar un número d tal que si x  1  d si 0  x  5  d  fx  3   0.6 en consecuencia entonces   2x  0.4  0.1 x2  4 ; 7. Para el límite lím 4  x  3x 3   2 y xl1 3.6 3 2.4 ilustre la definición 2 calculando valores de d que corresponden a e  1 y e  0.1. ; 8. Para el límite 0 4 x 5 5.7 lím xl 0 3. Mediante la gráfica dada de f x  sx hallar un número d tal que x  4  d si por lo tanto  sx  2   0.4 y y=œ„ œx 2.4 2 1.6 ex  1 1 x ilustre la definición 2 determinando valores de d que corresponden a e  0.5 y e  0.1. 2 ; 9. Teniendo en cuenta que el lím x lp2 tan x  , explicar la definición 6 hallando valores de d que corresponda (a) M  1 000 y (b) M  10 000. ; 10. Utilice una gráfica para hallar un número d tal que si 5x5d entonces x2  100 sx  5 11. Se requiere un tornero para fabricar un disco circular de metal 0 ? x ? 4 4. Con la gráfica dada de f x  x 2 encuentre un número d tal que si x  1  d después x 2   1  21 cuya área sea de 1 000 cm2. (a) ¿Qué radio produce dicho disco? (b) Si al tornero se le permite una tolerancia de error de 5 cm2 en el área del disco, ¿qué tan cercano al radio ideal del inciso (a) debe el tornero controlar el radio? (c) Según la definición e, d de límxla fx  L, ¿qué es x? ¿Qué es fx? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de e se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d? CAPITULO-02-B 118 |||| 06/04/2009 18:38 Page 118 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 33. Compruebe que otra elección posible de d es demostrar que ; 12. Se utiliza un horno de crecimiento de cristales en la investiga- ción para determinar cuál es la mejor manera de fabricar cristales que se usarán en las partes electrónicas de los transbordadores espaciales. Para que el crecimiento de los cristales sea el correcto, la temperatura se tiene que controlar exactamente ajustando la potencia de entrada. Suponga que la relación se representa con Tw  0.1w2  2.155w  20 donde T es la temperatura en grados Celsius y w es la entrada de potencia en watts. (a) ¿Cuánta potencia se requiere para mantener la temperatura a 200°C? (b) Si se permite una variación de temperatura de hasta 1 °C, con respecto a 200°C, ¿qué intervalo de potencia en watts se permite para la potencia de entrada? (c) De acuerdo con la definición e, d de lím xl a fx  L, ¿qué es x? ¿Qué es fx? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de e se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d? 13. (a) Hallar un número d tal que si  x  2   d, por lo tanto  4x  8   e, donde e  0.1. (b) Repetir el inciso (a) con e  0.01. lím xl 3 x2  9 en el ejemplo 4 es d  mín 2, e8 . 34. Verifique mediante un razonamiento geométrico que la elección más grande posible de d para demostrar que lím xl 3 x2  9 es   s9    3. CAS 35. (a) En el caso del límite lím xl 1 x 3  x  1  3, determine un valor de d mediante una gráfica que corresponde a e  0.4. (b) Utilice un sistema algebraico para computadora con el fin de resolver la ecuación cúbica x 3  x  1  3  e, y determinar el valor más grande posible de d que funciona para cualquier e  0. (c) Use e  0.4 en su respuesta del inciso (b) y compare con su respuesta del inciso (a). 36. Demuestre que lím x l2 1 1  . x 2 37. Demuestre que lím sx  sa si a  0. xla   a . | sx x  sa | Sugerencia: utilice sx  sa  38. Si H es la función de Heaviside que se definió en el ejemplo 6 14. Teniendo en cuenta que el lím x l 2 5x  7  3, explicar la definición 2 hallando valores de d que corresponda a e  0.1, e  0.05 y e  0.01. 15–18 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de límite e ilustre con un diagrama como el de la figura 9. 16. lím 17. lím 1  4x  13 18. lím 7  3x  5 x l 3 39. Si la función f se define mediante ( 12 x  3)  2 x l 2 15. lím 2x  3  5 xl1 de la sección 2.2, demuestre mediante la definición 2 que no existe el lím tl 0 Ht. [Sugerencia: efectúe una demostración indirecta como se indica. Suponga que el límite es L. Haga 1   2 en la definición de un límite e intente llegar a una contradicción.] f x  xl4  0 1 si x es racional si x es irracional demuestre que lím x l 0 fx no existe. 19–32 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de límite. 19. lím x 3  5 5 20. lím 21. lím x2  x  6 5 x2 22. x l3 x l2 xl6   lím x l1.5 9 x 3  4 2 40. Mediante la comparación de las definiciones 2, 3 y 4 demuestre el teorema 1 de la sección 2.3. 41. ¿Qué tan cerca a 3 tiene que hacer a x para que 1  10 000 x  34 9  4x 2 6 3  2x 23. lím x  a 24. lím c  c 42. Demuestre aplicando la definición 6 que lím 25. lím x 2  0 26. lím x 3  0 43. Demuestre que lím ln x   . xla xl0   xla xl0 27. lím x  0 4 28. lím s 9x0 29. lím x 2  4x  5  1 30. lím x 2  x  4  8 31. lím x 2  1  3 32. lím x 3  8 xl0 x l2 x l2 xl9 x l3 x l2 x l3 1  . x  34 xl0 44. Suponga que lím xl a fx  y lím xl a tx  c, donde c es un número real. Demuestre cada proposición. (a) lím f x  tx  xla (b) lím f xtx  xla (c) lím f xtx   xla si c  0 si c  0 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 119 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 2.5 |||| 119 CONTINUIDAD En la sección 2.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el límite de una función cuando x tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las funciones con esta propiedad son continuas en a. Ahora verá que la definición matemática de continuidad corresponde íntimamente al significado de la palabra continuidad en el lenguaje cotidiano. (Un proceso continuo tiene lugar gradualmente, sin interrupción ni cambio abrupto.) 1 DEFINICIÓN Una función f es continua en un número a si lím f x  f a x la Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a: & Como se ilustra en la figura 1, si f es continua, después los puntos x, fx de la gráfica de f tienden al punto a, f a de la gráfica. Así, no hay brecha alguna en la curva. 1. fa está definido (es decir, a está en el dominio de f ) 2. lím f x existe x la y ƒ tiende a f(a). 3. lím f x  f a y=ƒ x la f(a) 0 x a Conforme x se aproxima a a, FIGURA 1 La definición afirma que f es continua en a si fx tiende a f a cuando x tiende a a. Así, una función continua tiene la propiedad de que un cambio pequeño en x sólo produce una pequeña alteración en fx. De hecho, el cambio en fx se puede mantener tan pequeño como desee, restringiendo el cambio en x lo necesario. Si f está definida cerca de a (en otras palabras, f está definida en un intervalo abierto que contiene a, excepto tal vez en a), f es discontinua en a (o f tiene una discontinuidad en a) si f no es continua en a. Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la velocidad de un vehículo varían en forma continua con el tiempo, como pasa con la estatura de una persona. Pero en realidad se presentan discontinuidades en situaciones como las corrientes eléctricas. Vea el ejemplo 6, de la sección 2.2, donde la función de Heaviside es discontinua en 0 porque lím tl 0 Ht no existe. Geométricamente, una función continua en todo número en un intervalo se puede concebir como una función cuya gráfica no se interrumpe. La gráfica se puede trazar sin levantar la pluma del papel. EJEMPLO 1 En la figura 2 se muestra la gráfica de una función f. ¿En cuáles números es f y discontinua? ¿Por qué? SOLUCIÓN Se ve como si hubiera una discontinuidad cuando a  1 porque la gráfica 0 1 FIGURA 2 2 3 4 5 x tiene una ruptura allí. La razón oficial de que f sea discontinua en 1 es que f 1 no está definido. La gráfica también tiene una ruptura cuando a  3, pero la razón de la discontinuidad es diferente. En este caso, f3 está definido, pero lím xl 3 fx no existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes). Por lo tanto, f es discontinua en 3. ¿Qué pasa cuando x  5? En tal caso, f5 está definido y lím x l 5 fx existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son los mismos). Pero lím f x  f 5 xl5 De este modo, f es discontinua en 5.  Observe ahora cómo detectar las discontinuidades cuando una fórmula define a la función. CAPITULO-02-B 120 |||| 06/04/2009 18:38 Page 120 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS V EJEMPLO 2 (a) f x  (c) f x  ¿En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? x2  x  2 x2  (b) f x  x2  x  2 si x  2 x2 1 si x  2  1 si x  0 x2 1 si x  0 (d) fx  x SOLUCIÓN (a) Advierta que f 2 no está definido, también f es discontinua en 2. Más adelante verá por qué es continua en todos los otros números. (b) En este caso, f 0  1 está definido pero 1 x2 lím f x  lím xl0 xl0 no existe. (Véase el ejemplo 8 en la sección 2.2.) Así, f es discontinua en 0. (c) En este caso f 2  1 está definido y lím f x  lím x l2 x l2 x2  x  2 x  2x  1  lím  lím x  1  3 x l2 x l2 x2 x2 existe. Pero lím f x  f 2 x l2 por eso, f no es continua en 2. (d) La función mayor entero f x  x tiene discontinuidades en todos los enteros porque lím x l n x no existe si n es un entero. (Véase el ejemplo 10 y el ejercicio 49 de la sección 2.3.)  En la figura 3 se muestran las gráficas de las funciones del ejemplo 2. En cada caso no se puede dibujar la gráfica sin levantar la pluma del papel, porque se presenta un agujero, una ruptura o un salto en esa gráfica. El tipo de discontinuidad que se ilustra en los incisos (a) y (c) se conoce como removible porque la discontinuidad podría eliminarse al redefinir f justo en el número único 2. [La función tx  x  1 es continua.] La discontinuidad del inciso (b) recibe el nombre de discontinuidad infinita. Las discontinuidades del inciso (d) se llaman discontinuidad por salto porque la función “salta” de un valor a otro. y y y y 1 1 1 1 0 (a) ƒ= 1 2 ≈-x-2 x-2 x 0 1 si x≠0 (b) ƒ= ≈ 1 si x=0 FIGURA 3 Gráficas de las funciones del ejemplo 2 0 x (c) ƒ= 1 2 x ≈-x-2 si x≠2 x-2 1 si x=2 0 1 2 (d) ƒ=[ x ] 3 x CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 121 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 2 |||| 121 DEFINICIÓN Una función f es continua desde la derecha en un número a si lím f x  f a x l a y f es continua desde la izquierda en a si lím f x  f a xla EJEMPLO 3 En cada entero n, la función f x  x véase la figura 3(d) es continua desde la derecha pero discontinua desde la izquierda porque lím f x  lím x  n  f n x l n lím f x  lím x  n  1  f n pero 3 x ln xln xln  DEFINICIÓN Una función f es continua sobre un intervalo si es continua en todo número en el intervalo. (Si f se define únicamente en un lado de un punto extremo del intervalo, continua quiere decir continua desde la derecha o continua desde la izquierda.) EJEMPLO 4 Demuestre que la función f x  1  s1  x 2 es continua sobre el intervalo 1, 1 . SOLUCIÓN Si 1  a  1 entonces, al aplicar las leyes de los límites lím f x  lím (1  s1  x 2 ) xla xla  1  lím s1  x 2 (por las leyes 2 y 7)  1  s lim 1  x 2  (por la ley 11)  1  s1  a 2 (por las leyes 2, 7 y 9) xla xla  f a De suerte que por la definición 1, f es continua en a si 1  a  1. Cálculos similares hacen ver que y ƒ=1-œ„„„„„ 1-≈ 1 lím f x  1  f 1 x l 1 -1 0 1 x y lím f x  1  f 1 xl1 de modo que f es continua desde la derecha en 1 y continua desde la izquierda en 1. Por consiguiente, según la definición 3, f es continua sobre 1, 1 . En la figura 4 se ilustra la gráfica de f. Es la mitad inferior de la circunferencia FIGURA 4 x2  y  12  1  En lugar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 y 3 para comprobar la continuidad de una función, como en el ejemplo 4, a menudo resulta conveniente aplicar el teorema siguiente, el cual muestra cómo formar funciones continuas complicadas a partir de funciones sencillas. CAPITULO-02-B 122 |||| 06/04/2009 18:38 Page 122 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 4 TEOREMA Si f y t son continuas en a y c es una constante, entonces las funciones siguientes también son continuas en a: 1. f  t 2. f  t 4. ft 5. f t 3. cf si ta  0 DEMOSTRACIÓN Cada una de las cinco partes de este teorema se infieren de la ley de los límites correspondiente de la sección 2.3. Por ejemplo, demuestra la parte 1. Puesto que f y t son continuas en a, lím f x  f a xla lím tx  ta y xla En consecuencia, lím  f  tx  lím f x  tx xla xla  lím f x  lím tx xla xla (por la Ley 1)  f a  ta  f  ta Esto muestra que f  t es continua en a.  Del teorema 4 y la definición 3 se deduce que si f y t son continuas sobre un intervalo, también lo son las funciones f  t, f  t, cf, ft y (si t nunca es 0) ft. En la sección 2.3 se enunció el siguiente teorema como propiedad de sustitución directa. 5 TEOREMA (a) Cualquier polinomio es continuo en todas partes; es decir, es continuo sobre    , . (b) Cualquier función racional es continua, siempre que esté definida; es decir, es continua en su dominio. DEMOSTRACIÓN (a) Un polinomio es una función de la forma Px  cn x n  cn1 x n1      c1 x  c0 donde c0, c1, . . . , cn son constantes. Sabe que lím c0  c0 xla y lím x m  a m xla (por la ley 7) m  1.2, . . . , n (por la ley 9) Esta ecuación es precisamente la proposición de que la función fx  xm es una función continua. Por esto, con base en la parte 3 del teorema 4, la función tx  cxm es continua. Dado que P es una suma de funciones de esta forma y una función constante, a partir de la parte 1 del teorema 4 se deduce que P es continua. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 123 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 123 (b) Una función racional es una función de la forma f x  Px Qx donde P y Q son polinomios. El dominio de f es D  x    Qx  0 . Sabe, del inciso (a), que P y Q son continuas en todas partes. De esta manera, f es continua en todo  número en D, de acuerdo con la parte 5 del teorema 4. Como ilustración del teorema 5, observe que el volumen de una esfera varía continuamente con su radio porque la fórmula Vr  43 r 3 hace ver que V es una función polinomial de r. Del mismo modo, si se lanza una pelota verticalmente en el aire, con una velocidad de 50 fts, después la fórmula h  50t  16t 2 expresa la altura de la pelota, en pies, después de t segundos. De nuevo, es una función polinomial, de modo que la altura es una función continua del tiempo transcurrido. Saber cuáles funciones son continuas permite evaluar algunos límites con mucha rapidez, como demuestra el ejemplo siguiente. Compárelo con el ejemplo 2(b) de la sección 2.3. EJEMPLO 5 Encuentre lím x l 2 x 3  2x 2  1 . 5  3x SOLUCIÓN La función f x  x 3  2x 2  1 5  3x es racional, de modo que por el teorema 5 es continua sobre su dominio, el cual es {x  x  53}. En consecuencia lím x l2 x 3  2x 2  1  lím f x  f 2 x l2 5  3x  y P(cos ¨, sen ¨) 1 ¨ 0 (1, 0) x 6 Otra forma de establecer los límites en (6) es usar el teorema de la compresión con la desigualdad sen u  u (para u  0), lo cual se prueba en la sección 3.3.  Resulta que la mayor parte de las funciones conocidas son continuas en todo número en su dominio. Por ejemplo, la ley de los límites 10 (página 110) es exactamente la proposición de que las funciones raíz son continuas. Con base en el aspecto de las gráficas de las funciones seno y coseno (figura 18, en la sección 1.2), podría suponer con toda certeza que son continuas. De acuerdo con la definición de sen u y cos u sabe que las coordenadas del punto P de la figura 5 son cos u, sen u. Cuando u l 0, P tiende al punto 1, 0 y, por consiguiente, cos u l 1 y sen u l 0. De esta manera FIGURA 5 & 23  222  1 1  5  32 11 lím cos   1 l0 lím sen   0 l0 Como cos 0  1 y sen 0  0, las ecuaciones dadas en (6) afirman que las funciones seno y coseno son continuas en 0. Por lo tanto se pueden aplicar las fórmulas de la adición para coseno y seno para deducir que estas funciones son continuas en todas partes (véase los ejercicios 56 y 57). De la parte 5 del teorema 4, se deduce que tan x  sen x cos x CAPITULO-02-B 124 |||| 06/04/2009 18:38 Page 124 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS y 1 3π _π _ 2 _ π 2 0 π 2 π 3π 2 FIGURA 6 y=tan x & En la sección 1.6 se hace un repaso de las funciones trigonométricas inversas. x es continua excepto donde cos x  0. Esto sucede cuando x es un múltiplo impar de p2, de modo que y  tan x tiene discontinuidades infinitas cuando x  p2, 3p2, 5p2, y así sucesivamente (véase la figura 6). La función inversa de cualquier función uno a uno continua también es continua. (Este hecho se comprueba en el apéndice F, pero la intuición geométrica lo hace parecer razonable: La gráfica de f 1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la recta y  x. También, si la gráfica de f no tiene ruptura alguna, tampoco la tiene la gráfica de f 1.) De este modo, las funciones trigonométricas inversas son continuas. En la sección 1.5 se definió la función exponencial y  ax de modo que se llenaran los agujeros en la gráfica de esta función donde x es racional. En otras palabras, la simple definición de y  ax la hace una función continua sobre . Por lo tanto, su función inversa y  loga x es continua sobre 0, . 7 TEOREMA Los tipos siguientes de funciones son continuos en todo número en sus dominios: polinomios funciones racionales funciones raíz funciones trigonométricas funciones trigonométricas inversas funciones exponenciales funciones logarítmicas EJEMPLO 6 ¿En dónde es continua la función f x  ln x  tan1 x ? x2  1 SOLUCIÓN Por el teorema 7, sabe que la función y  ln x es continua para x  0 y que y  tan1 x es continua sobre . Así, por la parte 1 del teorema 4, y  ln x  tan1 x es continua sobre 0, . El denominador, y  x2  1, es un polinomio, de modo que es continuo en todas partes. Por lo tanto, por la parte 5 del teorema 4, f es continua en todos los números positivos x, excepto donde x2  1  0. De este modo, f es continua  en los intervalos 0, 1 y 1, . EJEMPLO 7 Hallar el valor numérico del lím xl sen x . 2  cos x SOLUCIÓN El teorema 7 dice que y  sen x es continua. La función en el denominador, y  2  cos x, es la suma de dos funciones continuas y en consecuencia es continua. Dese cuenta que esta función jamás es cero porque cos x 1 para toda x y también 2  cos x  0 en todas partes. En estos términos la relación f x  sen x 2  cos x es continua en todas partes. Por lo tanto, mediante la definición de función continua, lím xl sen x sen  lím fx  f    xl 2  cos x 2  cos  0 0 21  Otra manera de combinar las funciones continuas f y t para obtener una nueva función continua es formar la función compuesta f  t. Este hecho es una consecuencia del teorema siguiente. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 125 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD & Este teorema expresa que se puede mover un símbolo de límite a través de un símbolo de función, si la función es continua y el límite existe. En otras palabras, se puede invertir el orden de estos dos símbolos. |||| 125 8 TEOREMA Si f es continua en b y lím tx  b, entonces lím f tx  f b. xla x la En otras palabras, lím f tx  f lím tx ( xla ) xla A nivel intuitivo, este teorema resulta razonable porque si x está cerca de a, después tx está cerca de b y como f es continua en b, si tx está cerca de b, en seguida ftx está cerca de fb. Una demostración del teorema 8 se proporciona en el apéndice F. EJEMPLO 8 Evalúe lím arcsen x l1   1  sx . 1x SOLUCIÓN Ya que arcsen es una función continua, aplique el teorema 8: lím arcsen x l1  1  sx 1x      arcsen lím x l1  arcsen lím x l1  arcsen lím  arcsen x l1 1  sx 1x  1  sx (1  sx ) (1  sx ) 1 1  sx   1  2 6  n Aplique el teorema 8 en el caso especial donde f x  s x , y n es un entero positivo. Entonces n f tx  s tx y f lím tx  ( xla ) tx slím xla n Si sustituye estas expresiones en el teorema 8 obtiene n n lím s tx  s lím tx xla xla con lo que queda demostrada la ley 11 de los límites. (Supone que las raíces existen.) 9 TEOREMA Si t es continua en a y f es continua en ta, entonces la función compuesta f  t dada por f  tx  f tx es continua en a. A menudo, este teorema se expresa de manera informal diciendo: “una función continua de una función continua es una función continua”. DEMOSTRACIÓN Como t es continua en a lím tx  ta xla Como f es continua en b  ta, puede aplicar el teorema 8 para obtener lím f tx  f ta xla CAPITULO-02-B 126 06/04/2009 |||| 18:39 Page 126 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS que es precisamente la proposición de que la función hx  ftx es continua en a; es  decir, f  t es continua en a. ¿En dónde son continuas las funciones siguientes? (a) hx  senx 2 (b) Fx  ln1  cos x V EJEMPLO 9 SOLUCIÓN (a) Tiene hx  f tx donde tx  x2 2 _10 10 _6 FIGURA 7 y=ln(1+cos x) y f x  sen x Ahora t es continua sobre , puesto que es un polinomio, y f también es continua en todas partes. Por consiguiente, h  f  t es continua sobre  por el teorema 9. (b) Con base en el teorema 7, sabe que f x  ln x es continua y tx  1  cos x es continua (porque tanto y  1 como y  cos x son continuas). Por lo tanto, del teorema 9, Fx  f tx es continuo siempre que esté definido. Ahora bien, ln 1  cos x está definido cuando 1  cos x  0. De este modo, no está definido cuando cos x  1, y esto sucede cuando x  p, 3p, . . . . Por esto, F tiene discontinuidades cuando x es un múltiplo impar de p y es continua sobre los intervalos entre estos valores. (Véase la figura 7.)  Una propiedad importante de las funciones continuas se expresa con el siguiente teorema, cuya demostración se encuentra en libros más avanzados de cálculo. 10 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Suponga que f es continua sobre el intervalo cerrado a, b y sea N cualquier número entre fa y fb, donde fa  fb. Entonces existe un número c en a, b tal que fc  N. El teorema del valor intermedio afirma que una función continua toma todos los valores intermedios entre los valores de la función fa y fb. Este hecho se ilustra en la figura 8. Observe que el valor N se puede tomar una vez como en la parte a o más de una vez como en la parte (b) . y y f(b) f(b) y=ƒ N N y=ƒ f(a) 0 FIGURA 8 y f(a) y=ƒ y=N N f(b) 0 a FIGURA 9 b x a f(a) c (a) b x 0 a c¡ c™ c£ b x (b) Si piensa en una función continua como en una función cuya gráfica no tiene agujeros o rupturas, en tal caso es fácil creer que el teorema del valor intermedio es cierto. En términos geométricos, dice que si se da cualquier recta horizontal y  N entre y  f a y y  f b, como en la figura 9, por lo tanto la gráfica de f no puede saltar sobre la recta. Debe intersecar y  N en alguna parte. Es importante que la función f del teorema 10 sea continua. En general, el teorema del valor intermedio no se cumple para las funciones discontinuas (véase el ejercicio 44). Un uso del teorema del valor intermedio es hallar las raíces de ecuaciones, como en el ejemplo siguiente. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 127 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD V EJEMPLO 10 |||| 127 Demuestre que existe una raíz de la ecuación 4x 3  6x 2  3x  2  0 entre 1 y 2. SOLUCIÓN Sea f x  4x 3  6x 2  3x  2. Busca una solución de la ecuación dada; es decir, un número c entre 1 y 2 tal que f c  0. Por lo tanto, en el teorema 10, toma a  1, b  2 y N  0. Tiene f1  4  6  3  2  1  0 f2  32  24  6  2  12  0 y Por esto, f 1  0  f 2; es decir, N  0 es un número entre f 1 y f 2. Ahora bien, f es continua porque es un polinomio, de modo que el teorema del valor intermedio afirma que existe un número c entre 1 y 2 tal que f c  0. En otras palabras, la ecuación 4x3  6x2  3x  2  0 tiene por lo menos una raíz c en el intervalo 1, 2. De hecho, podemos localizar una raíz con mayor precisión aplicando de nuevo el teorema del valor intermedio. Puesto que f 1.2  0.128  0 f1.3  0.548  0 y una raíz se debe encontrar entre 1.2 y 1.3. Una calculadora da, por tanteos, f1.22  0.007008  0 f1.23  0.056068  0 y de modo que una raíz se encuentra en el intervalo 1.22, 1.23.  Use una calculadora graficadora o una computadora para ilustrar la aplicación del teorema del valor intermedio en el ejemplo 10. En la figura 10 se muestra la gráfica de f en rectángulo de visualización 1, 3 por 3, 3 y se puede ver que la gráfica cruza el eje x entre 1 y 2. En la figura 11 se muestra el resultado de realizar un acercamiento hacia la pantalla 1.2, 1.3 por 0.2, 0.2 . 3 0.2 3 _1 _3 FIGURA 10 1.2 1.3 _0.2 FIGURA 11 De hecho, el teorema del valor intermedio desempeña un papel en la manera en que funcionan estos aparatos graficadores. Una computadora calcula un número finito de puntos de la gráfica y hace aparecer los pixeles que contienen estos puntos calculados. Supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos puntos consecutivos. En consecuencia, la computadora une los pixeles al hacer aparecer los pixeles intermedios. CAPITULO-02-B 128 06/04/2009 |||| 2.5 18:39 Page 128 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS EJERCICIOS 1. Escriba una ecuación que exprese el hecho de que una función f es continua en el número 4. 2. Si f es continua sobre  , , ¿qué puede decir acerca de su gráfica? 3. (a) A partir de la gráfica de f, establezca el número al cual f es discontinua y explique por qué. (b) Para cada uno de los números que se determinaron en el inciso (a), determine si f es continua desde la derecha, desde la izquierda o desde ninguno de los dos lados. y (d) El costo de un viaje en taxi como función de la distancia recorrida. (e) La corriente en el circuito para las luces de una habitación como función del tiempo. 9. Si f y t son funciones continuas con f 3  5 y lím x l 3 2 f x  tx  4 , encuentre t3. 10–12 Use la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que la función es continua en el número a dado. 10. f x  x 2  s7  x, a  1 11. f x  x  2x 3 4, 12. ht  _4 0 _2 2 4 2t  3t 2 , 1  t3 a4 a1 x 6 13–14 Use la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que la función es continua en el intervalo 4. A partir de la gráfica de t, dé los intervalos sobre los que t es continua. 13. f x  2x  3 , 2,  x2 14. tx  2 s3  x,  , 3 . y 15–20 Explique por qué la función es discontinua en el punto dado a. Dibuje la gráfica de la función. _4 _2 2 4 6 8 x 16. f x  5. Trace la gráfica de una función que sea continua en todas partes, excepto en x  3, y sea continua desde la izquierda en 3. 6. Dibuje una función que tenga una discontinuidad de salto en x  2 y una discontinuidad removible en x  4, pero que sea continua en todas las demás partes. 7. En un lote de estacionamiento se cobran $3 por la primera hora (o fracción) y $2 por cada hora (o fracción) subsiguiente, hasta un máximo diario de $10. (a) Dibuje el costo de estacionar un automóvil en este lote, como función del tiempo que permanezca allí. (b) Analice las discontinuidades de esta función y su significado para alguien que estacione su automóvil en el lote. 8. Explique por qué cada función es continua o discontinua. (a) La temperatura en un lugar específico como función del tiempo. (b) La temperatura en un momento dado como función de la distancia hacia el oeste de la ciudad de Nueva York (c) La altitud sobre el nivel del mar como función de la distancia hacia el oeste de la ciudad de Nueva York.  15. f x  ln x  2 17. f x    1 x1 2 x e x2    a2 si x  1 a1 si x  1 si x  0 si x  0 x2  x 18. f x  x 2  1 1 19. f x   cos x 0 1  x2 a0 si x  1 a1 si x  1 si x  0 si x  0 si x  0 2x 2  5x  3 x3 20. f x  6 a0 si x  3 si x  3 a3 21–28 Con los teoremas 4, 5, 7 y 9 explique por qué la función es continua en todo número en su dominio. Dé el dominio. 21. Fx  x x 2  5x  6 3 22. Gx  s x 1  x 3  CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 129 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 25. Lt  e5t cos 2p t sen x x1 26. Fx  sen1x 2  1 27. Gt  lnt  1 28. Hx  cos(e 23. Rx  x 2  s2 x  1 24. hx  sx 4 |||| 129 41. ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua sobre  , ? f x  )  cx 2  2x x 3  cx si x  2 si x  2 42. Hallar el valor de a y b que hace a f continua en todas partes ; 29–30 Localice las discontinuidades de la función e ilústrelas tra- x2  4 x2 ax 2  bx  3 2x  a  b zando una gráfica. 1 29. y  1  e 1x f x  30. y  lntan2 x x l4 5  sx s5  x en a? Si la discontinuidad es removible, determine una función t que concuerde con f para x  a y es continua en . 32. lím senx  sen x xl 2 33. lím e x x  34. lím arctan x l1 x l2 x2  4 3x 2  6x  35–36 Demuestre que f es continua sobre  , .   sen x si x  cos x si x  36. f x  4 4 cuáles de estos valores f es continua por la derecha, por la izquierda o no lo es ni por la derecha ni por la izquierda? Trace la gráfica de f. x 3  x2  2x , x2 (c) f x  sen x, a2 ap x  2 si x  0 ex si 0 x 2  x si x  1 45. Si f x  x 2  10 sen x, demuestre que hay un número c tal que f c  1 000. 46. Considere que f es continua en 1, 5 y la única solución de 2 47–50 Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación dada en el intervalo especificado. x1 si x 1 si 1  x  3 38. f x  1x sx  3 si x  3 47. x 4  x  3  0, 49. cos x  x, 1 0, 1 3 48. s x  1  x, 50. ln x  ex, 0, 1 1, 2 real. (b) Use su calculadora para hallar un intervalo de longitud 0.01 que contenga una raíz. unitaria a una distancia r del centro del planeta es GMr R3 GM r2 1, 2 51–52 (a) Compruebe que la ecuación tiene cuando menos una raíz 40. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa Fr  (b) f x  a1 f x  6 son x  1 y x  4. Si f 2  8, explique ¿por qué f 3  6? 1  x 2 si x 0 37. f x  2  x si 0  x x  22 si x  2 39. f x  x4  1 , x1 excepto en 0.25, y que f 0  1 y f 1  3. Sea N  2. Trace dos gráficas posibles de f, una en que se muestre que f podría no satisfacer la conclusión del teorema del valor intermedio y la otra que muestre que f todavía podría satisfacer ese teorema (aun cuando no satisfaga la hipótesis). 37–39 Determine los números en los que f es discontinua. ¿En    (a) f x  44. Suponga que una función f es continua sobre 0, 1 , x 2 si x  1 sx si x  1 35. f x  si 2  x  3 si x  3 43. ¿Cuál de las funciones f siguientes tiene discontinuidad removible 31–34 Aplique la continuidad para evaluar el límite. 31. lím si x  2 si r  R si r  R donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante gravitacional. ¿F es una función continua de r? 51. cos x  x 3 52. ln x  3  2x ; 53–54 (a) Pruebe que la ecuación tiene cuando menos una raíz real. (b) Utilice su dispositivo graficador para encontrar la raíz correcta hasta tres cifras decimales. 53. 100ex100  0.01x 2 54. arctan x  1  x CAPITULO-02-B 130 |||| 06/04/2009 18:39 Page 130 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 55. Demuestre que f es continua en a si y sólo si 62. Si a y b son números positivos, comprobar que la ecuación a b  3 0 x3  2x2  1 x x2 lím f a  h  f a hl0 56. Para demostrar que seno es continuo necesita demostrar que lím x l a sen x  sen a para todo número real a. Según el ejercicio 55, una proposición equivalente es que tiene por lo menos una solución en el intervalo 1, 1. 63. Demuestre que la función f x  lím sena  h  sen a hl0 Aplique (6) para demostrar que esto es cierto. 57. Compruebe que coseno es una función continua. 58. (a) Demuestre el teorema 4, parte 3. (b) Demuestre el teorema 4, parte 5. 59. ¿Para qué valores de x es continua f ? f x   0 1 si x es racional si x es irracional 60. ¿Para qué valores de x es continua g? tx   0 x si x es racional si x es irracional 61. ¿Hay un número que es exactamente 1 más que su cubo? 2.6 x 0 1 2 3 4 5 10 50 100 1000 f x 1 0 0.600000 0.800000 0.882353 0.923077 0.980198 0.999200 0.999800 0.999998  x4 sen1x 0 si x  0 si x  0 es continua en  , . 64. (a) Demuestre que la función de valor absoluto Fx   x  es continua en todas partes. (b) Compruebe que si f es una función continua sobre un intervalo, entonces también lo es  f . (c) ¿Lo inverso de la proposición del inciso (b) también es verdadero? En otras palabras, ¿si  f  es continua se deduce que f es continua? De ser así, compruébelo. En caso de no ser así, halle un ejemplo contrario. 65. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 A.M. y emprende su camino habitual hacia la cima de la montaña, a donde llega a las 7:00 P.M. La mañana siguiente inicia el regreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 A.M. y llega al monasterio a las 7:00 P.M. Mediante el teorema del valor intermedio demuestre que existe un punto a lo largo de la ruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora en ambos días. LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES En las secciones 2.2 y 2.4 se trataron los límites infinitos y las asíntotas verticales. Ahí se dejó que x se aproximara a un número y el resultado es que los valores de y se vuelven arbitrariamente grandes (ya sean positivos o negativos). En esta sección se permite que x se vuelva arbitrariamente grande en magnitud y se observa qué le sucede a y. Empiece por investigar el comportamiento de la función f definida por x2  1 x2  1 cuando x se hace grande. La tabla al margen da valores de esta función correctos hasta seis posiciones decimales (o seis dígitos decimales) y, en la figura 1, se ha trazado la gráfica de f por medio de una computadora. f x  y y=1 0 1 y= ≈-1 ≈+1 x FIGURA 1 Conforme x crece más y más, se puede ver que los valores de fx se aproximan cada vez más a 1. De hecho, parece que puede acercar cuanto quiera los valores de fx a 1 eligiendo una x lo suficientemente grande. Esta situación se expresa en forma simbólica escribiendo lím xl x2  1 1 x2  1 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 131 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 131 En general, use el simbolismo lím f x  L xl para indicar que los valores de f x tienden a L conforme x se hace más y más grande. 1 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo a, . Entonces lím f x  L xl significa que los valores de fx se pueden aproximar a L tanto como desee, si escoge una x suficientemente grande. Otra notación para lím x l fx  L es fx l L conforme x l El símbolo no representa un número. No obstante, la expresión lím f x  L a menudo xl se lee como “el límite de fx, cuando x tiende al infinito, es L” o “el límite de fx, cuando x se hace infinito, es L” “el límite de f x, cuando x crece sin cota, es L” o bien La definición 1 da el significado de esas frases. Una definición más exacta, similar a la definición de e, d de la sección 2.4 se encuentra al final de esta sección En la figura 2 se muestran ilustraciones geométricas de la definición 1. Advierta que hay muchas maneras de aproximar la gráfica de f a la recta y  L (la cual se llama asíntota horizontal) a medida que ve hacia el extremo derecho de cada gráfica. y y y=L y y=L y=ƒ y=ƒ y=ƒ y=L 0 x 0 x 0 x FIGURA 2 Ejemplos que ilustran lím ƒ=L x ` Si vuelve a la figura 1, verá que para valores negativos de x grandes en magnitud, los valores de f x están cercanos a 1. Al decrecer x a través de valores negativos sin cota, puede acercar fx a 1 cuanto quiera. Esto se expresa escribiendo lím x l x2  1 1 x2  1 La definición general es como sigue: 2 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo  , a. Entonces lím f x  L x l quiere decir que los valores de f x se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L haciendo que x sea negativa y suficientemente grande en magnitud. CAPITULO-02-B 132 06/04/2009 |||| 18:39 Page 132 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Es necesario remarcar que el símbolo  no representa un número, pero la expresión lím f x  L se lee a menudo como y y=ƒ x l “el límite de fx, cuando x tiende al infinito negativo, es L”. y=L 0 x y La definición 2 se ilustra en la figura 3. Observe que la gráfica tiende a la recta y  L como en el extremo izquierdo de cada gráfica. 3 DEFINICIÓN La recta y  L se llama asíntota horizontal de la curva y  f x si y=ƒ y=L lím f x  L o bien xl 0 x lím f x  L x l Por ejemplo, la curva que se ilustra en la figura 1 tiene la recta y  1 como asíntota horizontal porque FIGURA 3 Ejemplos que ilustran lím ƒ=L x _` lím xl y π 2 x2  1 1 x2  1 Un ejemplo de una curva con dos asíntotas horizontales es y  tan1x. (Véase la figura 4.) En efecto, 0 x 4 lím tan1 x   x l lím tan1 x  2 xl 2 _ π2 de modo que las dos rectas y  p2 y y  p2 son asíntotas horizontales. (Éste surge a partir del hecho de que las rectas x  p2 son asíntotas verticales de la gráfica de tan.) FIGURA 4 y=tan–!x y EJEMPLO 1 Encuentre los límites infinitos, los límites en el infinito y las asíntotas para la función f cuya gráfica se muestra en la figura 5. SOLUCIÓN Ya que los valores de fx se vuelven grandes cuando x l 1 por ambos lados; 2 0 por lo tanto 2 lím f x  x x l 1 Advierta que f x se hace negativo grande en magnitud cuando x tiende a 2 por la izquierda, pero grande positivo cuando x tiende a 2 por la derecha. De este modo, FIGURA 5 lím f x   y x l 2 lím f x  x l 2 De esta suerte, las dos rectas x  1 y x  2 son asíntotas verticales. Cuando x crece, f x tiende a 4. Pero cuando x decrece a través de valores negativos, fx tiende a 2. Así entonces, lím f x  4 xl y lím f x  2 x l Esto significa que tanto y  4 como y  2 son asíntotas horizontales.  CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 133 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES EJEMPLO 2 Encuentre lím xl |||| 133 1 1 y lím . x x l x SOLUCIÓN Observe que cuando x es grande, 1x es pequeño. Por ejemplo, 1  0.01 100 1  0.0001 10 000 De hecho, si elige una x suficientemente grande, puede aproximar 1x a 0 cuanto quiera. Por lo tanto, según la definición 4 y y=Δ lím xl 0 x 1 0 x Un razonamiento similar hace ver que cuando x es negativo grande en magnitud, 1x es pequeño negativo; de este modo, también tiene lím x l FIGURA 6 1 1 lím =0, lím =0 x ` x x _` x 1  0.000001 1 000 000 1 0 x Se infiere que la recta y  0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la curva y  1x (que  es una hipérbola equilátera; véase la figura 6). La mayor parte de las leyes de los límites que se dieron en la sección 2.3 también se cumplen para los límites en el infinito. Se puede probar que las leyes de los límites, cuya lista se da en la sección 2.3 (con la excepción de las leyes 9 y 10), también son válidas si “x l a” se reemplaza con “x l ” o con “x l  ”. En particular, si combina la ley 6 con los resultados del ejemplo 2, obtiene la importante regla que sigue para el cálculo de límites. 5 TEOREMA Si r  0 es un número racional, entonces lím xl 1 0 xr Si r  0 es un número racional tal que x r está definida para toda x, entonces lím x l V EJEMPLO 3 1 0 xr Evalúe lím xl 3x 2  x  2 5x 2  4x  1 e indique las propiedades de límites que se usan en cada etapa. SOLUCIÓN Conforme x se hace más grande, tanto el numerador como el denominador se hacen más grandes, por lo tanto no resulta evidente qué sucede con su proporción. Necesita hacer algunas operaciones algebraicas preliminares. Para evaluar el límite en el infinito de una función racional, divida el numerador y el denominador entre la mayor potencia de x que hay en el denominador. (Puede suponer CAPITULO-02-B 134 |||| 06/04/2009 18:39 Page 134 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS que x  0, puesto que sólo está interesado en los valores grandes de x.) En este caso, la mayor potencia de x en el dominador es x2, con lo cual tiene 3x 2  x  2 1 2 3  2 3x  x  2 x2 x x lím  lím  lím x l 5x 2  4x  1 xl xl 5x 2  4x  1 4 1 5  2 x2 x x 2   lím 3   y y=0.6 0 FIGURA 7 3≈-x-2 y= 5≈+4x+1 1 xl 1 2  2 x x 4 1 lím 5   2 xl x x   (por la ley de los Límites 5) 1  2 lím xl xl x xl  1 lím 5  4 lím  lím xl xl x xl lím 3  lím x  300 500  3 5 1 x2 1 x2 (por 1, 2 y 3) (por 7 y el teorema 5) Un cálculo semejante hace ver que el límite cuando x l  también es 53 . En la figura 7 se ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo la gráfica de la función ra cional dada se aproxima a la asíntota horizontal y  35 . EJEMPLO 4 Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función f x  s2x 2  1 3x  5 SOLUCIÓN Al dividir tanto el numerador como el denominador entre x y aplicar las propie- dades de los límites tiene s2x 2  1 lím  lím xl xl 3x  5 lím  xl  5 3 x (puesto que sx 2  x para x  0)     2 lím 3  xl 1 x2 2 5 x 1 x2 1 x2 s2  0 s2    350 3 1 lím 3  5 lím xl xl x lím 2  lím xl xl Por lo tanto, la recta y  s23 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Si calcula el límite cuando x l  , debe recordar que para x  0, tiene sx 2  x  x. De donde, al dividir el numerador entre x, para x  0 obtiene    1 1 s2x 2  1   s2x 2  1   x sx 2 2 1 x2 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 135 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 135 Por lo tanto, s2x  1 lím  lím x l x l 3x  5 2 y   2 5 3 x 1 x2    2  lím x l 1 3  5 lím x l x 1 x2  s2 3 Así, la recta y  s23 también es una asíntota horizontal. Es probable que haya una asíntota vertical cuando el denominador, 3x  5, es 0, es 5 decir, cuando x  53 . Si x tiende a 3 y x  53 , después el denominador está cercano a 0 y 3x  5 es positivo. El numerador s2x 2  1 siempre es positivo, de modo que fx es positivo. Por lo tanto, œ„ y= 3 x lím  œ„ y=_ 3 x l 53 s2x 2  1  3x  5 Si x está cerca de 3 pero x  53 , en seguida 3x  5  0 y fx es grande y negativa. De esta manera, 5 5 x= 3 FIG y= lím 8 x l 53 +1 3x-5 s2x 2  1  3x  5 La asíntota vertical es x  53 . Las tres asíntotas se ilustran en la figura 8.  EJEMPLO 5 Calcule lím (sx 2  1  x). xl SOLUCIÓN Ya que tanto sx 2  1 como x son grandes cuando x es grande, es difícil Puede considerar que la función dada tiene un denominador de 1. & ver qué sucede con su diferencia, por eso, use el álgebra para escribir de nuevo la función. En primer lugar multiplique el numerador y el denominador por el radical conjugado. lím (sx 2  1  x)  lím (sx 2  1  x) xl xl  lím xl sx 2  1  x sx 2  1  x x 2  1  x 2 1  lím x l sx 2  1  x sx 2  1  x Se podría aplicar el teorema de la compresión para demostrar que este límite es 0. Pero un método más fácil es dividir el numerador y el denominador entre x. Al efectuar esto y aplicar las leyes de los límites obtiene 1 1 x lím (sx 2  1  x)  lím  lím 2 xl x l sx 2  1  x xl sx  1  x x 1 x 0  lím  0 xl s1  0  1 1 1 1 2 x y  y=œ„„„„„ ≈+1 -x 1 0 FIGURA 9 1 x En la figura 9 se ilustra este resultado. En la gráfica de la función exponencial natural y  ex tiene la recta y  0 (el eje x) como asíntota horizontal. (Lo mismo se cumple para cualquier función exponencial con  CAPITULO-02-B 136 |||| 06/04/2009 18:39 Page 136 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS base a  1.) En efecto, a partir de la gráfica de la figura 10 y la tabla correspondiente de valores observe que lím e x  0 6 x l Advierta que los valores de ex tienden a 0 con mucha rapidez. y y=´ 1 0 FIGURA 10 V EJEMPLO 6 La estrategia para resolver problemas para el ejemplo 6 es introducir algo adicional (véase página 76). En este caso, lo adicional, el elemento auxiliar, es la variable t. & x 1 x ex 0 1 2 3 5 8 10 1.00000 0.36788 0.13534 0.04979 0.00674 0.00034 0.00005 Evalúe lím e 1x . x l0 SOLUCIÓN Si hace que t  1x, sabe que t l  cuando x l 0. Por lo tanto, de acuerdo con (6), lím e 1x  lím e t  0 x l 0 t l (Véase ejercicio 71.)  EJEMPLO 7 Evalúe lím sen x . xl SOLUCIÓN Cuando x crece, los valores de sen x oscilan entre 1 y 1 infinitamente a menudo, y, de este modo, no se aproximan a ningún número definido. Así, lím xl sen x no existe.  LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO La notación lím f x  xl se usa para indicar que los valores de f x se agrandan cuando x se hace grande. Se asocian significados semejantes a los símbolos siguientes: lím f x  x l lím f x   xl lím f x   x l EJEMPLO 8 Determine lím x 3 y lím x 3. xl y x l SOLUCIÓN Cuando x se incrementa, también lo hace x 3. Por ejemplo, 103  1000 y=˛ 1003  1 000 000 10003  1 000 000 000 En efecto, puede hacer a x3 tan grande como quiera incrementando de manera suficiente a x. Por lo tanto, 0 x lím x 3  xl de manera similar, cuando x toma un valor negativo grande, así es x 3. En estos términos lím x 3   x l FIGURA 11 lím x#=`, lím x#=_` x ` x _` Asimismo, eatas proposiciones de los límites se pueden ver en la gráfica de y  x 3 en la  figura 11. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 137 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 137 Al examinar la figura 10 observe que y y=´ lím e x  xl pero, como se muestra en la figura 12, y  e x se hace grande cuando x l mayor rapidez que y  x 3. y=˛ 100 0 con mucha EJEMPLO 9 Encuentre lím x 2  x. xl x 1 | SOLUCIÓN Advierta que no puede escribir lím x 2  x  lím x 2  lím x  xl FIGURA 12 xl xl  Las leyes de los límites no se pueden aplicar a los límites infinitos porque mero (  está indefinido). Sin embargo, puede escribir ´ es tan grande como ˛ cuando x es grande. no es un nú- lím x 2  x  lím xx  1  xl xl porque tanto x como x  1 se hacen arbitrariamente grandes y, por lo tanto, también su producto. EJEMPLO 10 Encuentre lím xl  x2  x . 3x SOLUCIÓN Como en el ejemplo 3, divida el numerador y denominador entre la potencia más alta de x en el denominador, que es justamente x: lím xl porque x  1 l x2  x x1  lím  xl 3x 3 1 x y 3x  1 l 1 cuando x l .  En el ejemplo siguiente se muestra que al analizar límites infinitos en el infinito, junto con intersecciones, es posible llegar a tener una idea general de la gráfica de un polinomio sin tener que graficar una gran cantidad de puntos. Trace la gráfica de y  x  24x  13x  1 con ayuda de las intersecciones y sus límites cuando x l y cuando x l  . V EJEMPLO 11 SOLUCIÓN La intersección con el eje y es f 0  24131  16 y los cortes con el eje x se encuentran al hacer y  0: x  2, 1, 1. Observe que como x  24 es positiva, la función no cambia de signo en 2; de este modo, la gráfica no corta el eje x en 2. La gráfica corta el eje en 1 y 1. Cuando x adquiere un valor grande y positivo, los tres factores son grandes, de modo que y lím x  24x  13x  1  xl _1 0 1 2 x Cuando x tiene un valor grande y negativo, el primer factor toma un valor grande y positivo y el segundo y el tercer factores son grandes negativos, por lo que _16 lím x  24x  13x  1  x l FIGURA 13 y=(x-2)$(x +1)#(x-1) Al combinar esta información, obtiene un esbozo de la gráfica en la figura 13.  CAPITULO-02-B 138 |||| 06/04/2009 18:39 Page 138 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS DEFINICIONES EXACTAS La definición 1 se puede establecer precisamente como se indica a continuación. 7 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo a, . Entonces, lím f x  L xl significa que para toda e  0 hay un número correspondiente N tal que si xN entonces  f x  L   e En lenguaje común, esto establece que los valores de fx se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L (dentro de una distancia e, donde e es cualquier número positivo) al hacer que x tome valores suficientemente grandes (más grandes que N, donde N depende de e). Desde el punto de vista gráfico, esto plantea que al escoger valores grandes de x (mayores que algún número N) es posible hacer que la gráfica de f se sitúe entre las rectas horizontales y  L  e y y  L  e como en la figura 14. Esto se tiene que cumplir sin que importe qué tan pequeño sea e. En la figura 15 se ilustra que si se escoge un valor pequeño de e, después se podría requerir un valor mayor de N. y y=ƒ y=L+∑ ∑ L ∑ y=L-∑ ƒ está aquí 0 x N FIGURA 14 lím ƒ=L donde x está aquí x ` y y=ƒ y=L+∑ L y=L-∑ 0 FIGURA 15 N x lím ƒ=L x ` De igual manera, una versión exacta de la definición 2 se proporciona mediante la definición 8, la cual se ilustra en la figura 16. 8 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo de  , a. Entonces, lím f x  L x l quiere decir que para toda e  0 hay un número correspondiente N tal que si xN entonces  f x  L   e CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 139 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 139 y y=ƒ y=L+∑ L y=L-∑ FIGURA 16 x 0 N lím ƒ=L x _` En el ejemplo 3 se calculó que lím xl 3x 2  x  2 3  2 5x  4x  1 5 En el ejemplo siguiente se utiliza una calculadora o computadora para relacionar este enunciado de la definición 7 con L  35 y e  0.1. EJEMPLO 12 Mediante una gráfica determine un número N tal que xN si entonces   3x 2  x  2  0.6  0.1 5x 2  4x  1 SOLUCIÓN Reescriba la desigualdad como 0.5  Es necesario determinar los valores de x para los cuales la curva dada queda entre las rectas horizontales y  0.5 y y  0.7. La curva y las rectas están graficadas en la figura 17. Luego, por medio del cursor, se estima que la curva cruza la recta y  0.5 cuando x 6.7. A la derecha de este número, la curva se localiza entre las rectas y  0.5 y y  0.7. Efectúe un redondeo y después 1 y=0.7 y=0.5 y= 3x 2  x  2  0.7 5x 2  4x  1 3≈-x-2 5 +4x+1 0 FIGURA 17 15 x7 si entonces   3x 2  x  2  0.6  0.1 5x 2  4x  1 En otras palabras, para e  0.1 puede elegir N  7 (o cualquier otro número mayor) en  la definición 7. EJEMPLO 13 Mediante la definición 7 demuestre que lím xl 1  0. x SOLUCIÓN Dado e  0, busque N tal que si xN entonces   1 0  x Al calcular el límite podría suponer que x  0. Entonces 1x  e &fi x  1e. Seleccione N  1e. De esa manera si xN 1  entonces   1 1 0   x x CAPITULO-02-B 140 06/04/2009 |||| 18:39 Page 140 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS De donde, según la definición 7, lím xl 1 0 x En la figura 18 se ilustra la demostración en la que se muestran algunos valores de  y los valores correspondientes de N. y y y ∑=1 ∑=0.2 0 0 x N=1 ∑=0.1 x N=5 0 N=10 x  FIGURA 18 Para finalizar, observe que se puede definir un límite infinito en el infinito como sigue. La representación geométrica se proporciona en la figura 19. y y=M 9 DEFINICIÓN Si f es una función definida en algún intervalo a, M . entonces lím f x  xl 0 x N FIGURA 19 significa que para todo número positivo M hay un número positivo correspondiente N tal que si xN entonces f x  M lím ƒ=` x ` Definiciones similares son válidas cuando el símbolo ejercicio 70.) 2.6 se reemplaza con  . (Véase EJERCICIOS 1. Explique con sus propias palabras el significado de cada una de (a) lím f x  5 (b) lím f x  3 xl (d) lím f x xl las expresiones siguientes. (e) lím f x x l (f) Las ecuaciones de las asíntotas. x l 2. (a) ¿La gráfica de y  f x se puede intersecar con una asíntota vertical? ¿Se puede intersecar con una asíntota horizontal? Ilustre trazando gráficas. (b) ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica de y  f x? Trace gráficas para ilustrar las posibilidades. y 1 1 3. Para la función f cuya gráfica se ilustra, dé lo siguiente: (a) lím f x x l2 (b) lím f x x l 1 (c) lím f x x l 1 x CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 141 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 4. Para la función t cuya gráfica se ilustra, proporcione lo siguiente: (a) lím tx piedades adecuadas de los límites. x l 13. lím (c) lím tx (d) lím tx (e) lím tx (f) Las ecuaciones de las asíntotas. x l3 xl x l0 x l 2 3x 2  x  4 2x 2  5x  8 14. lím xl  15. lím xl 1 0 x 2 1 2x  3 16. lím 3x  5 x4 2  3y 2 5y 2  4y xl 17. lím 1  x  x2 2x 2  7 18. lím 19. lím x  5x 2x  x 2  4 20. lím 21. lím 4u  5 u 2  22u 2  1 22. lím 23. lím s9x 6  x x3  1 24. lím xl yl 3 xl 3 t l 4 5–10 Dibuje el ejemplo de una función f que satisfaga todas las ul condiciones dadas. f 1  1, 6. lím f x  lím f x  0, f es impar xl lím f x   , , x l0 lím f x  1, x l 0 xl lím f x  1 7. lím f x   , lím f x  , x l2 xl lím f x  , 9. f 0  3, lím f x  0, x l lím f x   x l 0 x l 2 x l 0 lím f x  3, , x l lím f x  4 , lím f x   , lím f x  3 x2 s9x 2  1 s9x 6  x x3  1 xl 25. lím (s9x 2  x  3x) xl 26. lím ( x  sx 2  2x ) x l xl 28. lím cos x xl 29. lím xl x  x3  x5 1  x2  x4 30. lím sx 2  1 xl xl lím f x  2 , xl0 xl xl 0 lím f x   , lím f x  , x l4 x l 4 lím f x  3 31. lím x 4  x 5  32. lím xl 33. lím xl xl 1  ex 1  2ex 10. lím f x   , lím f x  2 , xl f0  0, f es par x 3  2x  3 5  2x 2 34. lím tan1x 2  x 4  xl 35. lím e2x cos x xl x l3 xl xl t2  2 t  t2  1 3 27. lím (sx 2  ax  sx 2  bx ) x l 8. lím f x  12x 3  5x  2 1  4x 2  3x 3 15–36 Calcule el límite. y 5. f 0  0, 141 13–14 Evalúe un límite y justifique cada etapa señalando las pro- (b) lím tx xl |||| 36. xl lím e tan x x l  2  ; 37. (a) Estime el valor de ; 11. Determine el valor del límite lím (sx 2  x  1  x) x l 2 lím xl x 2x evaluando la función fx  x22x para x  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 50 y 100. A continuación, utilice una gráfica de f para respaldar su conjetura. ; 12. (a) Use una gráfica de dibujando la función f x  sx 2  x  1  x. (b) Use una tabla de valores de f x para conjeturar el valor del límite. (c) Pruebe que su conjetura es correcta. ; 38. (a) Use una gráfica de   f x  1  2 x x para estimar el valor de lím xl fx correcto hasta dos cifras decimales (b) Use una tabla de valores de f x para estimar el límite hasta cuatro cifras decimales. f x  s3x 2  8x  6  s3x 2  3x  1 para estimar el valor de lím xl fx hasta una cifra decimal. (b) Use una tabla de valores de f x para estimar el límite hasta cuatro cifras decimales. (c) Halle el valor exacto del límite. CAPITULO-02-B 142 06/04/2009 |||| 18:39 Page 142 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 53. (a) Aplique el teorema de la compresión para evaluar 39–44 Hallar las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si tiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando la curva y estimando las asíntotas. 2x  1 39. y  x2 x2  1 40. y  2x 2  3x  2 2x2  x  1 41. y  2 x x2 1  x4 42. y  2 x  x4 43. y  x3  x x  6x  5 44. y  2 2ex e 5 ; ; 54. Por comportamiento al final de una función debe dar a entender una descripción de lo que sucede a sus valores cuando x l y cuando x l  . (a) Describa y compare el comportamiento al final de las funciones x ; 45. Estimar la asíntota horizontal de la función f x  sen x . x (b) Grafique f x  sen xx. ¿Cuántas veces la gráfica corta la asíntota? lím xl 3x3  500x2 x  500x2  100x  2000 3 mediante la gráfica de f para 10  x  10. Después calcule la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la discrepancia? Px  3x5  5x3  2x dibujando las dos funciones en los rectángulos de visualización 2, 2 por 2, 2 y 10, 10 por 10 000, 10 000 . (b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento al final si su relación tiende a 1 cuando x l . Demuestre que P y Q tienen el mismo comportamiento al final. 55. Sean P y Q dos polinomios. Encuentre lím ; 46. (a) Grafique la función f x  xl xl s2x 2  1 3x  5 y s2x 2  1 3x  5 lím x l (b) Calcular los valores de f x, proporcione estimaciones numéricas de los límites del inciso (a). (c) Calcular los valores exactos de los límites en el inciso (a) obtenga el mismo valor o valores diferentes de esos dos límites [con respecto a su respuesta del inciso (a), tendrá que verificar su cálculo para el segundo límite]. 47. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las condiciones siguientes: lím f x  , x l 3 x l0 f 2  0, lím f x   x l 3 48. Plantee una fórmula para una función cuyas asíntotas verticales son x  1 y x  3 y asíntota horizontal y  1. 49–52 Determine los límites cuando x l y cuando x l  . Utilice esta información junto con las intersecciones para conseguir un esbozo de la gráfica como en el ejemplo 11. 49. y  x4  x6 50. y  x 3x  22x  1 51. y  3  x1  x 1  x 2 52. y  x 2x2  12x  2 56. Haga un boceto aproximado de la gráfica de la curva y  xn (n un entero) para los cinco casos siguientes: (i) n  0 (ii) n  0, n impar (iii) n  0, n par (iv) n  0, n impar (v) n  0, n par Después use estos bocetos para encontrar los límites siguientes. (a) lím x n (b) lím x n x l0 x l0 (c) lím x n (d) lím x n xl x l 57. Determine lím xl fx si, para toda x  1, 10ex  21 5sx  f x  x 2e sx  1 58. (a) Un depósito contiene 5 000 L de agua pura. Se bombea lím f x  0 , lím f x   , xl Px Qx si el grado de P es (a) menor que el grado de Q y (b) mayor que el grado de Q. s2x2  1 3x  5 ¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa? Use la gráfica para estimar el valor de los límites lím Qx  3x5 4 salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al depósito a una proporción de 25 Lmin. Demuestre que la concentración de sal t minutos después (en gramos por litro) es Ct  30t 200  t (b) ¿Qué sucede con la concentración cuando t l ? 59. En el capítulo 9 se demostrará que, según ciertas hipótesis, la velocidad vt de una gota de lluvia que cae, en el instante t, es vt  v*1  ettv* donde t es la aceleración debida a la gravedad y v* es la velocidad terminal de la gota de lluvia. (a) Encuentre lím t l vt. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 143 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO ; (b) Trace la gráfica de vt si v*  1 ms y g  9.8 ms2. ¿Cuánto tiempo transcurre para que la velocidad de la gota de agua alcance el 99% de su velocidad terminal? ; 61. Mediante una gráfica determine un número N tal que si xN entonces   1x2  0.0001? (b) Al hacer r  2 en el Teorema 5, tenemos la proposición lím xl 1 0 x2 Demuéstrela directamente aplicando la Definición 7. 66. (a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que 1sx  0.0001? (b) Al hacer r  12 en el Teorema 5, tenemos la proposición 3x 2  1  1.5  0.05 2x 2  x  1 lím xl 1 0 sx Demuéstrela directamente aplicando la Definición 7. ; 62. En el caso del límite 67. Aplique la Definición 8 para demostrar que lím lím xl s4x 2  1 2 x1 ilustre la definición 7 mediante la determinación de valores de N que corresponden a e  0.5 y e  0.1. x l s4x 2  1  2 x1 determinando valores de N que corresponden a e  0.5 y e  0.1. ; 64. Ilustre la definición 9 para el límite 1  0. x 68. Demuestre mediante la Definición 9 que lím x 3  xl . 69. Mediante la definición 9 demuestre que lím e x  xl lím f x   x l Luego aplique su definición para demostrar que lím 1  x 3    x l 71. Demuestre que lím f x  lím f 1t xl 2x  1 lím  xl sx  1 tl0 lím f x  lím f 1t y calculando valores de N que corresponden a M  100. 2.7 x l 70. Formule una definición exacta de ; 63. Ilustre la definición 8 para el límite lím 143 65. (a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que x10 y y  0.1 en una pantalla ; 60. (a) Mediante el trazo de y  e común, descubra cuánto tiene que aumentar x de modo que ex10  0.1. (b) ¿Puede resolver el inciso (a) sin un aparato graficador? |||| x l tl0 si existen los límites. DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la velocidad de un objeto, involucran encontrar el mismo tipo de límite, como se vio en la sección 2.1. Esta clase especial de límite se denomina derivada y puede ser interpretada como una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o ingeniería. TANGENTES Si una curva C tiene la ecuación y  fx y quiere hallar la tangente a C en el punto Pa, fa, entonces considere un punto cercano Qx, fx, donde x  a, y calcule la pendiente de la línea secante PQ: mPQ  f x  f a xa En seguida, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si mPQ tiende a un número m, entonces defina la tangente t como la recta que pasa por P con CAPITULO-02-B 144 06/04/2009 |||| 18:39 Page 144 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS pendiente m. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante PQ cuando Q tiende a P. Véase la figura 1.) y Q{ x, ƒ } ƒ-f(a) 1 DEFINICIÓN La recta tangente a la curva y  fx en el punto Pa, fa es la recta que pasa por P con pendiente P { a, f(a)} x-a m  lím xla 0 a y x x f x  f a xa cuando el límite existe. En el primer ejemplo, se confirma la suposición hecha en el ejemplo 1 de la sección 2.1. t Q Q V EJEMPLO 1 Q P Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y  x2, en el punto P1, 1. SOLUCIÓN En este caso, a  1 y fx  x2, de modo que la pendiente es m  lím x l1 x 0  lím FIGURA 1 x l1 f x  f 1 x2  1  lím x l1 x  1 x1 x  1x  1 x1  lím x  1  1  1  2 x l1 & Forma punto-pendiente para una recta que pasa por el punto x1, y1 con pendiente m: y  y1  mx  x1 Con la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, se encuentra que una ecuación de la recta tangente en 1, 1 es y  1  2x  1 TEC Visual 2.7 muestra una animación de la figura 2. 2 1.5 1.1 (1, 1) 2  A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si se acerca lo suficiente al punto, la curva parece una línea recta. En la figura 2 se ilustra este procedimiento para la curva y  x2 del ejemplo 1. Entre más se acerque, la parábola más parece una recta. En otras palabras, la curva casi se vuelve indistinguible de su recta tangente. (1, 1) 0 y  2x  1 o bien 0.5 (1, 1) 1.5 0.9 1.1 FIGURA 2 Acercamiento hacia el punto (1, 1) sobre la parábola y=≈ Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar. Si h  x  a, en este caso x  a  h y así la pendiente de la línea secante PQ es m PQ  f a  h  f a h CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 145 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO Q { a+h, f(a+h)} y t |||| 145 (Véase la figura 3, donde se ilustra el caso h  0 y Q está a la derecha de P. Sin embargo, si h  0, Q estaría a la izquierda de P.) Advierta que, cuando x tiende a a, h lo hace a 0 (porque h  x  a) y, de este modo, la expresión para la pendiente de la recta tangente, que se da en la definición 1, se convierte en P { a, f(a)} f(a+h)-f(a) h 0 a a+h f a  h  f a h m  lím 2 hl0 x EJEMPLO 2 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola y  3x, en el FIGURA 3 punto 3, 1. SOLUCIÓN Sea fx  3x. Por lo tanto, la pendiente de la tangente en 3, 1 es 3 3  3  h 1 f 3  h  f 3 3h 3h m  lím  lím  lím hl0 hl0 hl0 h h h y 3 y= x x+3y-6=0 (3, 1)  lím hl0 x 0 h 1 1  lím   hl0 h3  h 3h 3 En consecuencia, una ecuación de la tangente en el punto 3, 1 es y  1  13 x  3 FIGURA 4 la cual se simplifica hasta x  3y  6  0 En la figura 4 se muestra la hipérbola y su tangente. posición en el instante t=a posición en el instante t=a+h s 0 f(a+h)-f(a) f(a) f(a+h) FIGURA 5  VELOCIDADES En la sección 2.1 se investigó el movimiento de una pelota que se dejó caer desde la Torre CN y se definió su velocidad como el límite del valor de las velocidades promedio sobre periodos cada vez más cortos. En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con una ecuación del movimiento s  ft, donde s es el desplazamiento (distancia directa) del objeto respecto al origen, en el instante t. La función f que describe el movimiento se conoce como función de posición del objeto. En el intervalo de t  a hasta t  a  h, el cambio en la posición es f a  h  f a. (Véase la figura 5.) La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es s Q { a+h, f(a+h)} velocidad promedio  desplazamiento f a  h  f a  tiempo h P { a, f(a)} h 0 a mPQ= a+h t f(a+h)-f(a) h ⫽ velocidad promedio FIGURA 6 que es lo mismo que la pendiente de la secante PQ en la figura 6. Suponga ahora que calcula las velocidades promedio sobre lapsos a, a  h más y más cortos. En otras palabras, haga que h tienda a 0. Como en el ejemplo de la pelota que cae, se definió la velocidad (o velocidad instantánea) va en el instante t  a como el límite de estas velocidades promedio: 3 va  lím hl0 f a  h  f a h CAPITULO-02-C 146 |||| 06/04/2009 18:42 Page 146 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Esto significa que la velocidad en el instante t  a es igual a la pendiente de la recta tangente en P. (Compare las ecuaciones 2 y 3.) Ahora que sabe calcular límites, vuelva a considerar el problema de la pelota que cae. Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de observación de la Torre CN, 450 m sobre el nivel del suelo. (a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos? (b) ¿Con qué velocidad viaja cuando choca contra el suelo? V EJEMPLO 3 & Recuerde que en la sección 2.1 vimos que la distancia (en metros) que recorre la pelota que cae una vez que transcurren t segundos es 4.9t2. SOLUCIÓN Necesita hallar la velocidad cuando t  5 y cuando la pelota golpea el suelo, de tal manera, que es eficaz iniciar la búsqueda de la velocidad en un tiempo común t  a. Empleando la ecuación de movimiento s  f t  4.9t2, tiene va  lím hl0  lím hl0 f a  h  f a 4.9a  h2  4.9a 2  lím hl0 h h 4.9a 2  2ah  h 2  a 2  4.92ah  h 2   lím hl0 h h  lím 4.92a  h  9.8a hl0 (a) La velocidad después de 5 s es v5  9.85  49 ms. (b) Como la plataforma de observación está 450 m sobre el nivel del suelo, la pelota chocará contra el suelo en el instante t1, cuando st1  450; es decir, 4.9t 21  450 Esto da t12  450 4.9 t1  y  450 4.9 9.6 s Por lo tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es  vt1  9.8t1  9.8 450 4.9 94 ms  DERIVADAS Ha visto que surge la misma clase de límite en la búsqueda de la pendiente de una línea tangente (ecuación 2) o la velocidad de un objeto (ecuación 3). En realidad, los límites de la forma fa  h  fa lím hl0 h surgen cuando calcula una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o en ingeniería, tal como la velocidad de reacción en química o un costo marginal en economía. Ya que esta clase de límite sucede, muy seguido, se proporciona un nombre y notación especial. & f a se lee “f es fundamental de a”. 4 DEFINICIÓN La derivada de una función f en un número a, se indica mediante f a, es fa  h  f a fa  lím hl0 h si este límite existe. CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 147 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 147 Si escribe x  a  h, en tal caso, tiene h  x  a y h se aproxima a 0 si y sólo si x se aproxima a a. En consecuencia, una manera equivalente de establecer la definición de la derivada, como se mencionó en la búsqueda de rectas tangentes, es fa  lím 5 xla V EJEMPLO 4 fx  f a xa Hallar la derivada de la funcion f x  x2  8x  9 en el número a. SOLUCIÓN De la definición 4 se tiene f a  lím hl0  lím hl0 fa  h  f a h a  h2  8a  h  9  a2  8a  9 h  lím a2  2ah  h2  8a  8h  9  a2  8a  9 h  lím 2ah  h2  8h  lím 2a  h  8 hl0 h hl0 hl0  2a  8  Defina la recta tangente a la curva y  f x en el punto Pa, f a como la recta tangente que pasa a través de P y tiene pendiente m, proporcionada por la ecuación 1 o 2, ya que, mediante la definición 4, es la misma que la derivada f a, ahora puede decir lo siguiente. La recta tangente a y  fx en a, fa es la recta tangente a través de a, fa cuya pendiente es igual a f a, la derivada de f en a. Si usa la forma punto pendiente de la ecuación de una recta, puede escribir una ecuación de la recta tangente a la curva y  fx en el punto a, fa: y y  fa  f ax  a y=≈-8x+9 Halle una ecuación de la recta tangente a la parábola y  x2  8x  9 en el punto 3, 6. V EJEMPLO 5 x 0 (3, _6) y=_2x FIGURA 7 SOLUCIÓN Del ejemplo 4 sabe que la derivada de f x  x2  8x  9 en el número a es f a  2a  8. En consecuencia la pendiente de la recta tangente en 3, 6 es f 3  23  8  2. En estos términos, una ecuación de la recta tangente, se muestra en la figura 7, es y  6  2x  3 o bien y  2x  RELACIONES DE CAMBIO Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y escriba y  f x. Si x cambia de x1 a x2, por lo tanto el cambio en x (también conocido como incremento de x) es x  x2  x1 CAPITULO-02-C 148 06/04/2009 |||| 18:42 Page 148 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Q { ¤, ‡} y y el cambio correspondiente en y es y  f x2  fx1 P {⁄, fl} Îy El cociente de diferencias y f x 2  f x 1  x x2  x1 Îx ⁄ 0 ¤ x razón promedio de cambio ⫽ mPQ razón instantánea de cambio ⫽ pendiente de la tangente en P FIGURA 8 se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo x1, x2 y se puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura 7. Por analogía con la velocidad, considere la relación de cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por lo tanto, al hacer que x tienda a 0. El límite de estas relaciones de cambio promedio se llama razón (instantánea) de cambio de y con respecto a x en x  x1, lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva y  fx en Px1, fx1: 6 razón de cambio instantánea  lím x l 0 y f x2   f x1  lím x l x x x2  x1 2 1 Reconocer este límite como la derivada f x1. Sabe que una interpretación de la derivada f a es como la pendiente de la tangente a la curva y  fx cuando x  a. Ahora tiene una segunda interpretación: La derivada f a es la razón de cambio instantánea de y  fx con respecto a x cuando x  a. y Q P x FIGURA 9 Los valores de y cambian con rapidez en P y con lentitud en Q El enlace con la primera interpretación es que si dibuja la curva y  f x, a continuación la razón de cambio instantánea es la pendiente de la tangente a esta curva en el punto donde x  a. Esto significa que cuando la derivada es grande (y en consecuencia, la curva es escarpada, como en el punto P de la figura 9), los valores de y cambian rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana y el valor de y cambia lentamente. En particular, si s  ft es la función posición de una partícula que se traslada a lo largo de una línea recta, entonces f a es la razón de cambio del desplazamiento s con respecto al tiempo t. En otras palabras, f a es la velocidad de la partícula en el tiempo t  a. La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, es decir,  f a . En el siguiente ejemplo se analiza el significado de la derivada de una función que es definida verbalmente. V EJEMPLO 6 Un fabricante produce un rollo de un tejido con un ancho fijo. El costo de producir x yardas de este tejido es de C  fx dólares. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f x? ¿Cuáles son sus unidades? (b) En términos prácticos, ¿qué significa decir qué f 1000  9? (c) ¿Qué le hace pensar que es más grande f 50 o f 500? ¿Qué hay con respecto a f 5 000? SOLUCIÓN (a) La derivada f x es la razón de cambio instantánea de C con respecto a x, es decir, f x significa la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de yardas producidas. (Los economistas llaman a esto rapidez de cambio del costo marginal. Esta idea se analiza con más detalle en las secciones 3.7 y 4.7.) CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 149 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 149 Porque fx  lím x l 0 C x las unidades para f x son las mismas que las unidades para el cociente de diferencia Cx. Ya que C se mide en dólares y x en yardas, por lo que las unidades para f x son dólares por cada yarda. (b) El enunciado de que f 1000  9 significa que, después de fabricar 1000 yardas de tejido, la cantidad a la cual se incrementa el costo de producción es de 9 dólaresyarda. (Cuando x  1000, C se incrementa 9 veces tan rápido como x.) Ya que x  1 es pequeño si se le compara con x  1000, podría usarse la aproximación & En este caso suponga que la función costo se conduce bien, en otras palabras, Cx no oscila rápidamente cerca de x  1000. f1000 C C   C x 1 y decir que el costo de fabricación de la yarda 1000 (o de la 1001) es de casi 9 dólares. (c) La proporción a la cual se incrementa el costo de producción (por cada yarda) probablemente es inferior cuando x  500 que cuando x  50 (el costo de fabricación de la yarda 500 es menor que el costo de la yarda 50) debido a la economía de proporción. (El fabricante hace más eficiente el uso de los costos de producción fijos.) De manera que f 50  f 500 Pero, como se expande la producción, el resultado de la operación a gran escala será deficiente y con eso los costos de horas extras de trabajo. En estos términos es posible que la proporción de incremento de costos por último aumentarán. De este modo, es posible que suceda f 5000  f 500  En el ejemplo siguiente estimará la proporción de cambio de la deuda nacional con respecto al tiempo. En este caso, la función no se define mediante una fórmula sino mediante una tabla de valores. t Dt 1980 1985 1990 1995 2000 930.2 1945.9 3233.3 4974.0 5674.2 V EJEMPLO 7 Sea Dt la deuda nacional de Estados Unidos en el tiempo t. La tabla en el margen proporciona valores aproximados de esta función siempre que se estime a fin de año, en miles de míllones de dólares, desde 1980 hasta 2000. Explique y juzgue el valor de D1990. SOLUCIÓN La derivada D1990 significa que la razón de cambio de D con respecto a t cuando t  1990, es decir, la proporción de incremento de la deuda nacional en 1990. De acuerdo a la ecuación 5, D1990  lím t l1990 Dt  D1990 t  1990 Así calcule y tabule los valores del cociente de diferencia (la razón de cambio promedio) como sigue. t Dt  D1990 t  1990 1980 1985 1995 2000 230.31 257.48 348.14 244.09 CAPITULO-02-C 150 |||| 06/04/2009 18:42 Page 150 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS & UNA NOTA SOBRE UNIDADES Las unidades de la razón de cambio promedio Dt son las unidades de D divididas entre las unidades de t, o sea, de dólares por cada año. La razón de cambio instantánea es el límite de la razón de cambio promedio, de este modo, se mide en las mismas unidades: miles de millones de dólares por cada año. A partir de esta tabla se ve que D1990 se localiza en alguna parte entre 257.48 y 348.14 miles de millones de dólares por cada año. [En este caso, está haciendo la suposición razonable de que la deuda no fluctuará de manera errática entre 1980 y 2000.] Se estima que la proporción de incremento de la deuda nacional de Estados Unidos en 1990 fue el promedio de estos números, específicamente D1990 303 miles de millones de dólares por cada año Otro método sería una gráfica de la función deuda y valorar la pendiente de la línea  tangente cuando t  1990. En los ejemplos 3, 6 y 7 aparecen tres casos específicos de razones de cambio: la velocidad de un objeto es la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo; el costo marginal es la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de artículos producidos; la razón de cambio de la deuda con respecto al tiempo es de interés en economía. En este caso, es una muestra pequeña de otras razones de cambio: En física, la razón de cambio de trabajo con respecto al tiempo se le denomina potencia. Los químicos quienes estudian una reacción química están interesados en la razón de cambio de la concentración de un reactivo con respecto al tiempo (denominada velocidad de reacción). Un biólogo se interesa en la relación de cambio de la población de una colonia de bacterias con respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de razones de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería e, incluso, en las ciencias sociales. En la sección 3.7 se darán más ejemplos. Todas estas razones de cambio se pueden interpretar como pendientes de tangentes. Esto le confiere un significado adicional a la solución del problema de la tangente. Siempre que resulva problemas en que intervienen rectas tangentes, no resulve sólo un problema de geometría. También resuelve implícitamente una gran variedad de problemas de la ciencia y la ingeniería en que intervienen razones de cambio. 2.7 EJERCICIOS 1. Una curva tiene la ecuación y  fx. 5–8 Encuentre una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado. (a) Escriba una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P3, f 3 y Qx, f x. (b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en P. 5. y  7. y  sx , x ; 2. Dibuje la curva y  e en los rectángulos de visualización 1, 1] por 0, 2 , 0.5, 0.5 por 0.5, 1.5 y 0.1, 0.1 por 0.9, 1.1 . ¿Qué advierte acerca de la curva conforme hace un acercamiento hacia el punto 0, 1? ; 4. (a) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva ; y  x  x3 en el punto 1, 0 (i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2 (b) Halle una ecuación de la tangente del inciso (a). (c) Dibuje la curva y la tangente en rectángulos de visualización cada vez más pequeñas centradas en 1, 0 hasta que parezcan coincidir la curva y la recta. 1, 1 6. y  2x 3  5x, 8. y  2x , x  12 1, 3 0, 0 9. (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva 3. (a) Halle la pendiente de la línea tangente a la parábola y  4x  x2 en el punto 1, 3 (i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2 (b) Encuentre una ecuación de la recta tangente del inciso (a). (c) Dibuje la parábola y la tangente. Como verificación de su trabajo, haga un acercamiento hacia el punto 1, 3 hasta que la parábola y la tangente sean indistinguibles. x1 , 3, 2 x2 ; y  3  4x 2  2x 3 en el punto donde x  a. (b) Determine las ecuaciones de las tangentes en los puntos 1, 5 y 2, 3. (c) Grafique la curva y ambas tangentes en una misma pantalla. 10. (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva y  1sx ; en el punto donde x  a. (b) Plantee las ecuaciones de las tangentes en los puntos 1 1, 1 y (4, 2 ). (c) Grafique la curva y las tres tangentes en una misma pantalla. 11. (a) Una partícula inicia moviéndose a la derecha a lo largo de una línea horizontal; se muestra la gráfica de su función de posición. ¿Cuándo se mueve la partícula a la derecha? ¿Cuándo a la izquierda? ¿Cuándo permanece inmóvil? CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 151 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO (b) Dibuje una gráfica de la función velocidad. |||| 151 y y=© s (metros) 4 2 _1 0 2 3 4 x y  tx en x  5 si t5  3 y t5  4. (b) Si la línea tangente a y  fx en 4, 3 pasa a través del punto 0, 2, halle f4 y f 4. (metros) 19. Dibuje la gráfica de una función f para la cual f0  0, 80 f 0  3, f 1  0 y f 2  1. A 20. Dibuje la gráfica de una función t para la que t0  t0  0, 40 B 4 8 t1  1, t1  3 y t2  1. 12 t (segundos) 21. Si fx  3x 2  5x, halle f 2 y utilice esto para hallar una ecuación de la línea tangente a la parábola y  3x 2  5x en el punto 2, 2. (a) Relate y compare cómo desarrollaron la competencia. (b) ¿En qué momento la distancia entre las competidoras es la más grande? (c) ¿En qué momento tienen la misma velocidad? 22. Si tx  1  x 3, halle t0 y utilice esto para hallar una ecuación de la línea tangente a la curva y  1  x 3 en el punto 0, 1. 13. Si una pelota se lanza al aire hacia arriba, con una velocidad de 40 fts, su altura (en ft) una vez que transcurren t segundos, está dada por y  40 t  16t2. Encuentre la velocidad después de t  2. 14. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con una velocidad de 10 ms, su altura (en metros) después de t segundos se conoce por H  10t  1.86t 2. (a) Halle la velocidad de la roca después de un segundo. (b) Halle la velocidad de la roca cuando t  a. (c) ¿Cuándo incidirá en la superficie la roca? (d) ¿Con qué velocidad la roca incidirá en la superficie? 15. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta está dado por la ecuación del movimiento s  1t 2, donde t se mide en segundos. Halle la velocidad de la partícula en los instantes t  a, t  1, t  2 y t  3. 2 23. (a) Si Fx  5x1  x , halle F 2 utilice esto para ; hallar una ecuación de la línea tangente a la curva y  5x1  x2 en el punto 2, 2. (b) Ilustre el inciso (a) graficando la curva y la línea tangente en la misma pantalla. 24. (a) Si Gx  4x 2  x 3, hallar Ga utilice esto para ; encontrar una ecuación de la línea tangente a la curva y  4x 2  x 3 en los puntos 2, 8 y 3, 9. (b) Ilustre el inciso (a) mediante la gráfica de la curva y la línea tangente en la misma pantalla. 25–30 Hallar f a. 25. fx  3  2x  4x 2 en línea recta está dado por s  t2  8t  18, donde t se mide en segundos (a) Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo (i) 3, 4 (ii) 3.5, 4 (iii) 4, 5 (iv) 4, 4.5 (b) Halle la velocidad instantánea cuando t  4. (c) Dibuje la gráfica de s como función de t y trace las rectas secantes cuyas pendientes son las velocidades promedio del inciso (a) y la recta tangente cuya pendiente es la velocidad instantánea del inciso (b). 2t  1 t3 28. f x  29. f x  1 sx  2 30. f x  s3x  1 algún número a. Presente en cada caso las f y a. 31. lím 1  h10  1 h 32. lím 33. lím 2  32 x5 34. lím 35. lím cos  h  1 h 36. lím hl0 t2 t4 hl0 4 16  h  2 s h x 17. Se proporciona la gráfica de la función t, reordene los números t0 x2  1 x2 31–36 Cada límite representa la derivada de alguna función f en xl5 siguientes en orden creciente y explique su razonamiento. 26. ft  t 4  5t 27. f t  16. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve t2 2 18. (a) Halle una ecuación de la línea tangente a la gráfica de dos competidoras, A y B, quienes compiten en los 100 m y terminan en empate. 0 1 6 t (segundos) 4 12. Se muestran las gráficas de las funciones de posición de 0 0 hl0 x l 4 t l1 tan x  1 x  4 t4  t  2 t1 CAPITULO-02-C 152 |||| 06/04/2009 18:42 Page 152 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 37–38 Una partícula se traslada a lo largo de una línea recta con ecuación de movimiento s  f t, donde s se mide en metros y t en segundos. Halle la velocidad y la rapidez cuando t  5. 38. ft  t1  t 37. f t  100  50t  4.9t 2 39. Se coloca una lata tibia de gaseosa en un refrigerador frío. Grafique la temperatura de la gaseosa como función del tiempo. ¿La razón de cambio inicial de la temperatura es mayor o menor que la relación de cambio después de una hora? 40. Se saca un pavo asado del horno cuando su temperatura ha alcanzado 185F y se coloca sobre la mesa de un cuarto donde la temperatura es de 75F. En la gráfica se muestra cómo disminuye la temperatura del pavo y, finalmente, tiende a la temperatura del cuarto. Por medio de la medición de la pendiente de la tangente, estime la razón de cambio de la temperatura después de una hora. T (°F) (b) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 considerando el promedio de dos relaciones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades? (c) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 midiendo la pendiente de una tangente. 43. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es Cx  5000  10x  0.05x 2. (a) Encuentre la razón de cambio promedio de C con respecto a x, cuando se cambia el nivel de producción: (i) de x  100 a x  105 (ii) de x  100 a x  101 (b) Halle la razón de cambio instantánea de C con respecto a x, cuando x  100. (Esto se conoce como costo marginal. En la sección 3.7 se explica su significado.) 44. Si un tanque cilíndrico contiene 100 000 galones de agua que se pueden drenar por el fondo del depósito en 1 h, la ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después de t minutos como  200 Vt  100 000 1  P 100 0 30 60 90 t (min) 120 150 41. La tabla muestra el porcentaje estimado P de la población de Europa que utiliza teléfono celular. (Se proporcionan estimaciones semestrales.) Año 1998 1999 2000 2001 2002 2003 P 28 39 55 68 77 83 (a) Halle la razón de crecimiento promedio de celulares (i) de 2000 a 2002 (ii) de 2000 a 2001 (iii) de 1999 a 2000 En cada caso, incluya las unidades. (b) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 tomando el promedio de dos relaciones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades? (c) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 midiendo la pendiente de la tangente. 42. En la tabla se proporciona el número N de establecimientos de una popular cadena de cafeterías. (Se dan los números de establecimientos al 30 de junio.) Año 1998 1999 2000 2001 2002 N 1 886 2 135 3 501 4 709 5 886 (a) Determine la tasa media de crecimiento (i) desde 2000 a 2002 (ii) desde 2000 a 2001 (iii) de 1999 a 2000 En cada caso incluya las unidades. t 60  2 0  t  60 Encuentre la rapidez con que fluye el agua hacia afuera del tanque (la razón de cambio instantánea de V con respecto a t) como función de t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los instantes t  0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60 min, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus hallazgos en una oración o dos. ¿En qué instante el gasto es máximo? ¿Cuándo es mínimo? 45. El costo de producir x onzas de oro a partir de una mina de oro reciente es C  fx dólares. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f x? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿Qué significa enunciar f 800  17? (c) ¿Los valores de f x se incrementarán o disminuirán en corto tiempo, cuál es su opinión? ¿Y a largo plazo? Explique. 46. El número de bacterias después de t horas en un experimento de laboratorio controlado es n  ft. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f 5? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Considere que existe una cantidad de espacio y nutrimentos para la bacteria. ¿Cuál es mayor f 5 o f 10? Si se limita el suministro de nutrimentos, ¿afectaría su conclusión? 47. Sea Tt la temperatura (en °F) en Dallas t horas después de la medianoche el 2 de junio de 2001. La tabla muestra los valores de esta función registrada cada dos horas. ¿Cuál es el significado de T10? Estime su valor. t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 73 73 70 69 72 81 88 91 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 153 REDACCIÓN DE PROYECTO MÉTODOS ANTICIPADOS PARA LA BÚSQUEDA DE TANGENTES 48. La cantidad (en libras) de un café que es vendido por una compañía en un precio de p dólares por cada libra es Q  f p. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f 8? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿f 8 es positiva o negativa? Explique. |||| 153 50. La gráfica muestra la influencia de la temperatura T en la rapidez máxima sostenible de nado del salmón Coho. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada ST? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Estime los valores de S 15 y S 25 e interprételos. 49. La cantidad de oxígeno que se puede disolver en agua depende de la temperatura del agua. (De esa manera la polución térmica induce el contenido de oxígeno en el agua.) La gráfica muestra cómo varía la solubilidad S de oxígeno como una función de la temperatura del agua T. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada ST? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Estime e interprete el valor de S16. S (mg / L) 16 S (cm/s) 20 0 20 T (°C) 51–52 Establezca si existe f 0. 12 8 51. f x  4 0 10 8 16 24 32 40 T (°C) 52. f x  Adaptada de Environmental Science: Science: Living Within the System of Nature, 2d ed.; por Charles E. Kupchella, © 1989. Reimpreso, por autorización de Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ. R E DAC C I Ó N D E P ROY E C TO   x sen 1 x si x  0 0 x 2 sen 0 si x  0 1 x si x  0 si x  0 MÉTODOS ANTICIPADOS PARA LA BÚSQUEDA DE TANGENTES La primera persona en formular explícitamente las ideas de los límites y derivadas fue Isaac Newton, en la década de 1660. Pero Newton reconoció: “Si he visto más lejos que otros hombres, es porque he estado parado sobre los hombros de gigantes.” Dos de esos gigantes fueron Pierre Fermat (1601-1665) y el maestro de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677). Newton estaba familiarizado con los métodos que estos hombres habían aplicado para hallar rectas tangentes y los métodos de ambos tuvieron que ver con la formulación final del cálculo a la que llegó Newton. Las referencias siguientes contienen explicaciones de estos métodos. Lea una o varias y escriba un informe en que compare los métodos de Fermat o de Barrow con los métodos modernos. En particular, aplique el método de la sección 2.7 para hallar una ecuación de la recta tangente a la curva y  x 3  2x en el punto 1, 3 y muestre cómo habrían resuelto Fermat o Barrow el mismo problema. Aunque usted usó derivadas y ellos no, señale las semejanzas entre los dos métodos. 1. Carl Boyer y Uta Merzbach, A History of Mathematics (Nueva York: Wiley, 1989), pp. 389, 432. 2. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus (Nueva York: Springer-Verlag, 1979), pp. 124, 132. 3. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, 6a. ed. (Nueva York: Saunders, 1990), pp. 391, 395. 4. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Nueva York: Oxford University Press, 1972), pp. 344, 346. CAPITULO-02-C 154 |||| 06/04/2009 18:42 Page 154 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN En la sección anterior consideró la derivada de una función f en un número fijo a: 1 f a  lím hl0 f a  h  f a h Ahora cambie su punto de vista y haga que el número a varíe. Si en la ecuación 1 reemplaza a con una variable x, obtiene 2 f x  lím hl0 f x  h  f x h Dado cualquier número x para el cual este límite exista, asigne a x el número f x. De modo que considere f como una nueva función, llamada derivada de f y definida por medio de la ecuación 2. Sabe que el valor de f en x, f x, se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x, fx. La función f se conoce como derivada de f, porque se ha “derivado” de f por medio de la operación de hallar el límite en la ecuación 2. El dominio de f  es el conjunto x  f x existe y puede ser menor que el dominio de f. V EJEMPLO 1 En la figura 1 se muestra la gráfica de una función f. Úsela para dibujar la derivada f . y y=ƒ 1 0 1 x FIGURA 1 SOLUCIÓN Puede estimar el valor de la derivada, en cualquier valor de x, trazando la tangente en el punto x, f x y estimando su pendiente. Por ejemplo, para x  5, trace la tangente en P de la figura 2(a) y estime su pendiente como alrededor de 32 , por tanto, f 5 1.5. Esto permite situar el punto P5, 1.5 en la gráfica de f  directamente debajo de P. Si repite este procedimiento en varios puntos, obtiene la gráfica que se muestra en la figura 2(b). Advierta que las tangentes en A, B y C son horizontales, de modo que la derivada es 0 allí y la gráfica de f  cruza el eje x en los puntos A, B y C, directamente debajo de A, B y C. Entre A y B, las tangentes tienen pendiente positiva, por lo que f x es positiva allí. Pero entre B y C, las tangentes tienen pendientes negativas, de modo que f x es negativa allí. CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 155 SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 155 y B m=0 m=0 y=ƒ 1 0 3 P A 1 mÅ2 5 x m=0 C TEC Visual 2.8 muestra una animación de la figura 2 para diferentes funciones. (a) y P ª (5, 1.5) y=fª(x) 1 Bª Aª 0 FI GURA 2 Cª 1 5 (b) x  V EJEMPLO 2 (a) Si f x  x 3  x, encuentre una fórmula para f x. (b) Ilústrela comparando las gráficas de f y f . SOLUCIÓN (a) Cuando se usa la ecuación 2 para calcular una derivada, hay que recordar que la variable es h y que x se considera temporalmente como una constante, durante el cálculo del límite. f x  lím hl0 f x  h  f x x  h3  x  h  x 3  x  lím hl0 h h  lím x 3  3x 2h  3xh 2  h 3  x  h  x 3  x h  lím 3x 2h  3xh 2  h 3  h  lím 3x 2  3xh  h 2  1  3x 2  1 hl0 h hl0 hl0 CAPITULO-02-C 156 06/04/2009 |||| 18:42 Page 156 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS (b) Use un aparato para trazar las gráficas de f y f  de la figura 3. Advierta que f x  0 cuando f tiene tangentes horizontales y que f x es positiva cuando las tangentes tienen pendientes positivas. De modo que estas gráficas sirven como comprobación de nuestra solución del inciso (a). 2 2 fª f _2 2 FI GURA 3 _2 _2 2 _2  EJEMPLO 3 Si f x  sx , encuentre la derivada de f. Establezca el dominio de f . SOLUCIÓN f x  lím hl0 hl0 y 1 1   sx  h  sx sx  h  sx  h sx  h  sx x  h  x 1  lím  lím h l 0 h(sx  h  sx ) h l 0 sx  h  sx 1 1   2sx sx  sx  lím Aquí racionalice el numerador. 0 f x  h  f x sx  h  sx  lím hl0 h h x Observe que f x existe si x  0, de modo que el dominio de f  es 0, . Éste es menor  que el dominio de f, el cual es 0, . (a) ƒ=œ„ x y 1 0 1 1 (b) f ª (x)= 2œ„ x FIGURA 4 x Compruebe que el resultado del ejemplo 3 es razonable observando las gráficas de f y f  en la figura 4. Cuando x está cerca de 0, sx está cerca de 0, por lo tanto, f x  1(2sx ) es muy grande y esto corresponde a las rectas tangentes empinadas cerca de 0, 0 de la figura 4(a) y a los valores grandes de f x justo a la derecha de 0 en la figura 5(b). Cuando x es grande, f x es muy pequeño y esto corresponde a las rectas tangentes más aplanadas en la extrema derecha de la gráfica de f y la asíntota horizontal de la gráfica de f . EJEMPLO 4 Encuentre f  si f x  1x . 2x SOLUCIÓN 1  x  h 1x  f x  h  f x 2  x  h 2x f x  lím  lím hl0 hl0 h h a c  b d ad  bc 1   e bd e  lím 1  x  h2  x  1  x2  x  h h2  x  h2  x  lím 2  x  2h  x 2  xh  2  x  h  x 2  xh h2  x  h2  x  lím 3h 3 3  lím  h l 0 2  x  h2  x h2  x  h2  x 2  x2 hl0 hl0 hl0  CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 157 SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 157 OTRAS NOTACIONES Si usa la notación tradicional y  fx para indicar que la variable independiente es x y la dependiente es y, en tal caso algunas otras notaciones comunes para la derivada son: f x  y  LEIBNIZ Gottfried Wilhelm Leibniz nació en Leipzig, en 1646, y estudió leyes, teología, filosofía y matemáticas en la universidad de allí. Obtuvo el grado de bachiller a los 17 años. Después de lograr su doctorado en leyes a la edad de 20, ingresó al servicio diplomático y pasó la mayor parte de su vida viajando por las capitales de Europa, en misiones diplomáticas. En particular, trabajó para conjurar una amenaza militar francesa contra Alemania e intentó reconciliar las Iglesias católica y protestante. Su estudio serio de las matemáticas no se inició sino hasta 1672, cuando se encontraba en una misión diplomática en París. Allí construyó una máquina para realizar cálculos y se encontró con científicos, como Huygens, quienes dirigieron su atención hacia los desarrollos más recientes en las matemáticas y las ciencias. Leibniz se empeñó en desarrollar una lógica simbólica y un sistema de notación que simplificara el razonamiento lógico. En la versión del cálculo que publicó en 1684 estableció la notación y las reglas para hallar derivadas que aún se usan en la actualidad. Por desgracia, en la década de 1690 surgió una terrible disputa entre los seguidores de Newton y los de Leibniz acerca de quién había inventado el cálculo. Leibniz incluso fue acusado de plagio por los miembros de la Real Academia de Inglaterra. La verdad es que cada uno lo inventó por separado. Newton llegó primero a su versión del cálculo pero, debido a su temor a la controversia, no la publicó de inmediato. Por tanto, el informe de Leibniz del cálculo en 1684 fue el primero en publicarse. dy df d   f x  Df x  Dx f x dx dx dx Los símbolos D y ddx se llaman operadores de derivación porque indican la operación de derivación, que es el proceso de calcular una derivada. El símbolo dydx introducido por Leibniz no debe considerarse como una razón (por ahora); es sencillamente un sinónimo de f x. No obstante, es una notación útil y sugerente, en especial cuando se usa en la notación de incrementos. Con base en la ecuación 2.7.6, puede volver a escribir la definición de derivada en la notación de Leibniz en la forma dy y  lím x l 0 x dx Si desea indicar el valor de una derivada dydx en la notación de Leibniz en un número específico a, use la notación dy dx  o bien xa dy dx  xa que es un sinónimo para f a. 3 DEFINICIÓN Una función f es derivable en a si f a existe. Es derivable en un intervalo abierto a, b [o a,  o  , a o  , ] si es derivable en todo número del intervalo. V EJEMPLO 5 ¿Dónde es derivable la función fx   x ? SOLUCIÓN Si x  0, entonces  x   x y puede elegir h suficientemente pequeño que x  h  0, de donde  x  h   x  h. Por lo tanto, para x  0 tiene f x  lím hl0  lím hl0 x  h  x h x  h  x h  lím  lím 1  1 hl0 h hl0 h y así f es derivable para cualquier x  0. De manera análoga, para x  0 tiene  x   x y se puede elegir h suficientemente pequeño para que x  h  0 y, así,  x  h   x  h. Por lo tanto, para x  0, f x  lím hl0  lím hl0 x  h  x h x  h  x h  lím  lím 1  1 hl0 h hl0 h con lo que f es derivable para cualquier x  0. CAPITULO-02-C 158 06/04/2009 |||| 18:42 Page 158 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Para x  0 debe investigar y f 0  h  f 0 h f 0  lím hl0  lím x 0 hl0 (si existe) h Compare los límites por la izquierda y por la derecha, por separado: (a) y=ƒ=| x | y lím  hl0 1 x 0 0  h  0 lím y h l 0 0  h  0  lím h 0  h  0  h  hl0 h  h h  lím h h l 0 lím h l 0 lím  hl0 h  lím 1  1 hl0 h  h  lím 1  1 hl0 h  _1 Como estos límites son diferentes, f 0 no existe. Así, f es derivable en toda x, excepto 0. (b) y=fª(x) FIGURA 5 Se da una fórmula para f  f x   1 1 si x  0 si x  0 y su gráfica aparece en la figura 5(b). La inexistencia de f 0 se refleja geométricamente en el hecho de que la curva y   x  no tiene una recta tangente en 0, 0. Véase la figu ra 5(a). Tanto la continuidad como la derivabilidad son propiedades deseables para una función y el teorema siguiente muestra cómo se relacionan ambas 4 TEOREMA Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. DEMOSTRACIÓN Para probar que f es continua en a, debe probar que lím x l a f x  f a. Lleve a cabo esto demostrando que la diferencia f x  f a tiende a 0. La información dada es que f es derivable en a; es decir, f a  lím xla f x  f a xa existe. (Véase la ecuación 2.7.5.) Para vincular lo dado con lo desconocido, divida y multiplique fx  fa por x  a (lo cual es viable cuando x  a): f x  f a  f x  f a x  a xa De este modo, si usa la ley de producto y la ecuación (2.7.5), puede escribir lím f x  f a  lím xla xla  lím xla f x  f a x  a xa f x  f a  lím x  a xla xa  f a  0  0 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 159 SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 159 Para utilizar lo que acaba de probar, parta de fx y súmele y réstele f a: lím f x  lím f a   f x  f a xla xla  lím f a  lím f x  f a xla xla  f a  0  f a En consecuencia, f es continua en a. |  NOTA El inverso del teorema 4 es falso; es decir, hay funciones que son continuas pero no son derivables. Por ejemplo, la función f x   x  es continua en 0 porque   lím f x  lím x  0  f 0 xl0 xl0 (Véase el ejemplo 7 de la sección 2.3.) Pero, en el ejemplo 5 demostró que f no es derivable en 0. ¿CÓMO DEJA DE SER DERIVABLE UNA FUNCIÓN? En el ejemplo 5 vio que la función y   x  no es derivable en 0 y en la figura 5(a) muestra que su gráfica cambia de dirección repentinamente cuando x  0. En general, si la gráfica de una función f tiene “esquinas” o “rizos”, la gráfica de f no tiene tangente en esos puntos y f no es derivable allí. Al intentar calcular f a, encuentra que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes. El teorema 4 señala otra forma en que una función no tiene derivada. En él se afirma que si f no es continua en a, después f no es derivable en a. Por ende, en cualquier discontinuidad (por ejemplo, una discontinuidad por salto), f deja de ser derivable. Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando x  a; es decir, f es continua en a y y recta tangente vertical   lím f x  0 a xla x Esto significa que las rectas tangentes se vuelven más y más empinadas cuando x l a. En la figura 6 se muestra una forma en que esto puede suceder; la figura 7(c) ilustra otra. Las tres posibilidades recién analizadas se ilustran en la figura 7. FIGURA 6 y 0 y a x 0 y a x 0 a x FIGURA 7 Tres maneras para que ƒ no sea derivable en a (a) Una esquina o rizo (b) Una dicontinuidad (c) Una tangente vertical Una calculadora graficadora o una computadora ofrecen otra manera de ver la derivabilidad. Si f es derivable en a, por lo tanto, con un acercamiento al punto a, fa, la gráfica se endereza y adquiere más y más la apariencia de un recta. (Véase la figura 8. Un ejemplo CAPITULO-02-C 160 |||| 06/04/2009 18:42 Page 160 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS específico es la figura 2 de la sección 2.7.) Pero no importa cuánto se acerque a puntos como los de las figuras 6 y 7(a), no puede eliminar el punto agudo o esquina. (Véase la figura 9.) y y 0 x a 0 a FIGURA 8 FIGURA 9 ƒ es derivable en a ƒ no es derivable en a x DERIVADAS SUPERIORES Si f es una función derivable, entonces su derivada f  también es una función, así, f  puede tener una derivada de sí misma, señalada por f   f . Esta nueva función f  se denomina segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f. Utilizando la notación de Leibniz, se escribe la segunda derivada de y  fx como d dx   dy dx  d 2y dx 2 EJEMPLO 6 Si f x  x3  x, hallar e interpretar f x. SOLUCIÓN En el ejemplo 2 encontró que la primera derivada es f x  3x2  1. De este 2 f· _1.5 fª modo, la segunda derivada es f 1.5 f x   f x  lím hl0 f x  h  f x 3x  h2  1  3x2  1  lím hl0 h h 3x  6xh  3h2  1  3x2  1  lím 6x  3h  6x hl0 h 2  lím hl0 _2 FIGURA 10 TEC En Module 2.8 puede ver cómo cambian los coeficientes de un polinomio f que afecta el aspecto de la gráfica de f, f  y f . Las gráficas de f, f  y f  se exhiben en la figura 10. Puede interpretar f x como la pendiente de la curva y  f x en el punto x, f x. En otras palabras, es la relación de cambio de la pendiente de la curva original y  f x. Observe de la figura 10 que f x es negativa cuando y  f x tiene pendiente negativa y positiva cuando y  f x tiene pendiente positiva. De esta manera, las gráficas sirven co mo una comprobación de sus cálculos. En general, se puede interpretar una segunda derivada como una relación de cambio de una relación de cambio. El ejemplo más familiar es la aceleración, que se define como sigue. Si s  st es la función posición de un objeto que se traslada en una línea recta, se sabe que su primera derivada representa la velocidad vt del objeto como una función del tiempo: ds vt  st  dt CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 161 SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 161 A la relación de cambio de la velocidad instantánea con respecto al tiempo se le llama aceleración at del objeto. En estos términos, la función aceleración es la derivada de la función velocidad y en consecuencia, es la segunda derivada de la función posición: at  vt  st o en la notación de Leibniz a dv d 2s  2 dt dt La tercera derivada f  es la derivada de la segunda derivada: f   f . De este modo, f x se puede interpretar como la pendiente de la curva y  f x o como la relación de cambio de f x. Si y  f x, entonces, las notaciones alternativas para la tercera derivada son y  f x  d dx   d 2y dx 2  d 3y dx 3 El proceso puede continuar. La cuarta derivada f  usualmente se señala mediante f 4. En general, la n-esima derivada de f se señala mediante f n y se obtiene de f derivando n veces. Si y  f x, escriba y n  f nx  d ny dx n EJEMPLO 7 Si f x  x3  x, hallar f x e interpretar f 4x. SOLUCIÓN En el ejemplo 6 encontró que f x  6x. La gráfica de la segunda derivada tiene ecuación y  6x y de este modo, es una línea recta con pendiente 6. Ya que la derivada f x es la pendiente de f x, se tiene f x  6 para todos los valores de x. Así, f  es una función constante y su gráfica es una línea horizontal. En consecuencia, para todos los valores de x, f 4x  0  Se puede interpretar la tercera derivada físicamente en el caso donde la función es la función posición s  st de un objeto que se traslada a lo largo de una línea recta. Porque s   s  a, la tercera derivada de la función posición es la derivada de la función aceleración y se le denomina jerk (impulso): j da d 3s  3 dt dt Por esto el jerk j es la razón de cambio de la aceleración. Nombre apropiado porque un jerk considerable significa un cambio repentino de aceleración, que ocasiona un movimiento repentino en un vehículo. Se ha visto que una aplicación de la segunda y tercera derivada sucede al analizar el movimiento de objetos empleando aceleración y jerk. Se investigará otra aplicación de la segunda derivada en la sección 4.3, donde se muestra cómo el conocer f  proporciona información acerca de la forma de la gráfica de f. En el capítulo 11 vera cómo la segunda derivada y derivadas superiores permiten representar funciones como sumas de series infinitas. CAPITULO-02-C 162 06/04/2009 |||| 2.8 18:42 Page 162 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS EJERCICIOS 1–2 Use la gráfica que se proporciona para estimar el valor de cada derivada. Luego dibuje f . 1. (a) f 3 4–11 Trace o copie la gráfica de la función dada f. (Suponga que los ejes tienen escalas iguales.) Luego aplique el método del ejemplo 1 para trazar la gráfica de f  debajo de ella. y 4. (b) f 2 y y=f(x) (c) f 1 1 (d) f 0 0 (e) f 1 1 x 0 (f) f 2 (g) f 3 5. 2. (a) f 0 6. y y=f(x) (c) f 2 0 (d) f 3 (e) f 4 1 (f) f 5 0 7. x (b) 0 0 (d) 0 9. y 0 x y (c) 8. y (d) con las gráficas de sus derivadas en las figuras I a IV. Dé las razones para sus selecciones. y x x y 0 11. 0 II 0 10. y x y x x y x 0 x y x 0 y 0 x 1 3. Correlacione la gráfica de cada función dada en las figuras (a)- I y y (b) f 1 (a) x x y 12. Se muestra la gráfica de la función de población Pt para célu0 x 0 x las de levadura en un cultivo de laboratorio. Use el método del P (células de levadura) III y IV 0 x y 0 500 x 0 5 10 15 t (horas) CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 163 SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN ejemplo 1 para dibujar la derivada Pt. ¿Qué indica la gráfica de P acerca de la población de levadura? 25. tx  s1  2x 13. La gráfica ilustra cómo ha variado la edad promedio en 27. Gt  que contraían matrimonio por primera vez los hombres japoneses en la segunda mitad del siglo XX. Trace la gráfica de la función derivada Mt. ¿Durante cuáles años fue negativa la derivada? 4t t1 26. f x  3x 1  3x 28. tx  1 st |||| 163 29. f x  x4 M 30. (a) Dibuje f x  s6  x a partir de la gráfica de y  sx apli- 27 ; 25 1960 1970 1980 1990 2000 t 31. (a) Si f x  x4  2 x, encuentre f x. ; 14–16 Trace una gráfica cuidadosa de f y, debajo de ella, la gráfica de f  de la misma manera que en los ejercicios 4–11. ¿Puede intentar una fórmula para f x a partir de su gráfica? 14. f x  sen x 15. f x  e x 16. f x  ln x cando las transformaciones de la sección 1.3. (b) Use la gráfica del inciso (a) para trazar la de f . (c) Aplique la definición de derivada para hallar f x. ¿Cuáles son los dominios de f y de f ? (d) Use un aparato graficador para trazar la gráfica de f  y compárela con su esquema del inciso (b). ; (b) Vea si su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y de f . 32. (a) Si f t  t 2  st , encuentre f t. (b) Vea si su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y de f . 33. La tasa de desempleo Ut varía con el tiempo. La tabla del Bureau of Labor Statistics (Oficina de Estadísticas de Empleo) proporciona el porcentaje de desempleados en la fuerza laboral de Estados Unidos de 1993 al 2002. 2 ; 17. Sea f x  x . (a) Estime los valores de f 0, f ( 12 ), f 1 y f 2 usando un aparato graficador para hacer un acercamiento sobre la gráfica de f. (b) Aplique la simetría para deducir los valores de f ( 12 ), f 1 y f 2. (c) Con los resultados de los incisos (a) y (b), proponga una fórmula para f x. (d) Aplique la definición de derivada para probar que su proposición del inciso (c) es correcta. 3 ; 18. Sea f x  x . (a) Estime los valores de f 0, f ( 12 ), f 1, f 2 y f 3 usando un aparato graficador para hacer un acercamiento sobre la gráfica de f. (b) Aplique la simetría para deducir los valores de f ( 12 ), f 1, f 2 y f 3. (c) Use los valores de los incisos (a) y (b) para trazar la gráfica f . (d) Proponga una fórmula parar f x. (e) Aplique la definición de derivada para probar que su proposición del inciso (d) es correcta. t Ut t Ut 1993 1994 1995 1996 1997 6.9 6.1 5.6 5.4 4.9 1998 1999 2000 2001 2002 4.5 4.2 4.0 4.7 5.8 (a) ¿Cuál es el significado de Ut? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Construya una tabla de valores para Ut. 34. Sea Pt el porcentaje de estadounidenses por debajo de 18 años de edad en el instante t. La tabla proporciona valores de esta función en los años en que se levantó un censo de 1950 a 2000. t Pt t Pt 1950 1960 1970 31.1 35.7 34.0 1980 1990 2000 28.0 25.7 25.7 19–29 Encuentre la derivada de la función dada aplicando la defini- ción de derivada. Dé los dominios de la función y de su derivada. 19. f x  2 x  1 1 3 20. f x  mx  b 21. f t  5t  9t 2 22. f x  1.5x2  x  3.7 23. f x  x3  3x  5 24. f x  x  sx (a) (b) (c) (d) ¿Cuál es el significado de P(t)? ¿Cuáles son sus unidades? Construya una tabla de valores para Pt. Dibuje P y P. ¿Cómo sería posible obtener valores más precisos para Pt? CAPITULO-02-C 164 06/04/2009 |||| 18:42 Page 164 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 35–38 Se proporciona la gráfica de f. Establezca, con argumentos, los 35. 36. y 43. La figura describe las gráficas de tres funciones. Una es la fun- ción posición de un automóvil, otra es la velocidad del mismo, y la de su aceleración. Identifique cada curva y explique su opción. números en que f no es derivable. y y a 0 0 _2 2 x 2 4 x b c t 0 37. 38. y _2 0 4 x y 0 _2 2 x 44. La figura muestra las gráficas de cuatro funciones posición de un automóvil, otra la velocidad de él, la aceleración y la que resta su jerk. Identifique cada curva y explique su preferencia. y ; 39. Dibuje la función f x  x  s x  . Haga acercamientos su- cesivos primero hacia el punto 1, 0 y luego en dirección al origen. ¿Qué diferencia existe en cuanto al comportamiento de f en las cercanías de estos dos puntos? ¿Qué conclusiones infiere acerca de la derivabilidad de f ? d a b c 0 t ; 40. Haga un acercamiento hacia los puntos 1, 0, 0, 1 y 1, 0 sobre la gráfica de la función tx  x2  123. ¿Qué advierte? Registre lo que observa en términos de la derivabilidad de t. 41. La figura exhibe las gráficas de f, f  y f . Indique cada curva y explique su elección. ; 45–46 Aplique la definición de una derivada para hallar f x y f x. Después, grafique f, f  y f  en una misma pantalla y verifique para ver si sus respuestas son justas. 45. f x  1  4x  x 2 y 46. f x  1x a 2 3 4 ; 47. Si f x  2x  x , hallar f x, f x, f x y f x. Grafique f, b f , f  y f  en una misma pantalla. ¿Las gráficas son consistentes con la interpretación geométrica de estas derivadas? x c 48. (a) Se muestra la gráfica de una función posición de un automó- vil, donde s se mide en pies y t en segundos. Utilice la gráfica de la velocidad y la aceleración del automóvil. ¿Cuál es la aceleración en t  10 segundos? 42. La figura muestra gráficas de f, f , f  y f . Identifique cada cur- s va y explique su alternativa. y a b c d 100 x 0 10 20 t (b) Aplique la curva de aceleración del inciso (a) para estimar el jerk en t  10 segundos. ¿Cuáles son las unidades del jerk? CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 165 CAPÍTULO 2 REPASO 165 (a) Halle f 4 y f 4 para la función 3 49. Sea f x  s x. (a) Si a  0, use la ecuación 2.7.5 para hallar f a. (b) Demuestre que f 0 no existe. 3 (c) Demuestre que y  s x tiene una recta tangente vertical en 0, 0. (Recuerde la forma de la función de f. Véase la figura 13 de la sección 1.2.) 50. (a) Si tx  x23, demuestre que t0 no existe. ; |||| (b) Si a  0, encuentre ta. (c) Demuestre que y  x 23 tiene una recta tangente vertical en 0, 0. (d) Ilustre el inciso (c) dibujando y  x 23. 51. Demuestre que la función fx   x  6  no es derivable en 6. Encuentre una fórmula para f  y trace su gráfica. 52. ¿Dónde es no derivable la función entero máximo f x  x ? Halle una fórmula para f  y trace su gráfica. f x  0 5x si x 0 si 0  x  4 1 5x si x  4 (b) Dibuje la gráfica de f. (c) ¿Dónde es f discontinua? (d) ¿Dónde f no es derivable? 55. Recuerde que a una función se le denomina como par si fx  fx para toda x en su dominio e impar si fx  fx para toda x. Pruebe cada uno de los siguientes (a) La derivada de una función par es una función impar. (b) La derivada de una función impar es una función par. 53. (a) Dibuje la gráfica de la función fx  x  x . (b) Para qué valores de x es f derivable. (c) Halle una fórmula para f . 54. Las derivadas izquierda y derecha de f en a están definidas por f a  h  f a h f a  h  f a f  a  lím hl0 h f  a  lím h l 0 y  si existen estos límites. En tal caso, f a existe si y sólo si estas derivadas laterales existen y son iguales. 2 56. Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del agua depende del tiempo que el agua ha estado corriendo. (a) Trace una gráfica posible de T como función del tiempo transcurrido desde que abrió la llave. (b) Describa cómo varía la relación de cambio de T con respecto a t, conforme ésta aumenta. (c) Dibuje la derivada de T. 57. Sea ᐍ la recta tangente a la parábola y  x 2 en el punto 1, 1. El ángulo de inclinación de ᐍ es el ángulo f que ᐍ describe con la dirección positiva del eje x. Calcule f correcto al grado más cercano. REPASO R E V I S I Ó N D E C O N C E P TO S 1. Explique qué significa cada una de las siguientes e ilustre me- diante un boceto. (a) lím f x  L (b) lím f x  L (c) lím f x  L (d) lím f x  x la x la x la x la (e) lím f x  L xl 2. Describa varias formas en que un límite puede no existir. Ilus- tre con bocetos. 3. Enuncie las leyes de los límites siguientes. (a) (c) (e) (g) (b) Qué significa decir que la recta y  L es una asíntota horizontal de la curva y  f x? Dibuje curvas para ilustrar las diversas posibilidades. Ley de la suma (b) Ley de la diferencia Ley del múltiplo constante (d) Ley del producto Ley del cociente (f) Ley de la potencia Ley de la raíz 4. ¿Qué dice el teorema de la compresión? 6. ¿Cuál de las curvas siguientes tiene asíntotas verticales? ¿Cuál tiene asíntotas horizontales? (a) y  x 4 (c) y  tan x (e) y  e x (g) y  1x (b) (d) (f) (h) y  sen x y  tan1x y  ln x y  sx 7. (a) ¿Qué significa que f sea continua en a? (b) ¿Qué significa que f sea continua en el intervalo  , ? ¿Qué puede decir acerca de la gráfica de tal función? 8. ¿Qué dice el teorema del valor intermedio? 5. (a) ¿Qué quiere darse a entender al decir que la recta x  a es una asíntota vertical de la curva y  f(x)? Dibuje curvas para ilustrar las diversas posibilidades. 9. Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente a la curva y  f x en el punto a, f a. CAPITULO-02-C 166 06/04/2009 |||| 18:43 Page 166 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 10. Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con posición f(t) en el instante t. Escriba una expresión para la velocidad instantánea de un objeto en el instante t  a. ¿Cómo puede interpretar esta velocidad en términos de la gráfica de f? 13. Defina la segunda derivada de f. Si f(x) es la función de posición de una partícula, ¿cómo puede interpretar la segunda derivada? 14. (a) ¿Qué significa que f sea derivable en a? (b) ¿Cuál es la relación entre la derivabilidad y la continuidad de una función? (c) Trace la gráfica de una función que es continua pero no derivable en a  2. 11. Si y  f(x) y x cambia de x 1 a x 2 , escriba expresiones para lo siguiente: (a) La razón promedio de cambio de y con respecto a x a lo largo del intervalo x 1, x 2 . (b) La razón instantánea de cambio de y con respecto a x en x  x 1. 15. Describa varias maneras en que una función puede no ser de- rivable. Ilustre con bocetos. 12. Defina la derivada f(a). Analice dos maneras de interpretar este número. P R E G U N TA S D E V E R DA D E R O - FA L S O Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera explique por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición.  8 2x  1. lím x l4 x4 x4 lím x 2  6x  7 x  6x  7 x l1  x 2  5x  6 lím x 2  5x  6 2 2. lím x l1  2x 8  lím  lím x l4 x  4 x l4 x  4 x l1 lím x  3 x3 x l1 3. lím 2  x l1 x  2x  4 lím x 2  2x  4 x l1 11. Si la recta x  1 es una asíntota vertical de y  f(x), entonces f no está definida en 1. 12. Si f 1  0 y f 3  0, entonces existe un número c entre 1 y 3 tal que f(c)  0. 13. Si f es continua en 5 y f(5)  2 y f(4)  3, entonces lím x l 2 f 4x 2  11  2. 14. Si f es continua en 1, 1 y f 1  4 y f 1  3, entonces   existe un número r tal que r  1 y f r  . 15. Sea f una función tal que lím x l 0 f x  6 . Entonces existe un    4. Si lím x l 5 f x  2 y lím x l 5 tx  0 , entonces límx l 5 f xtx no existe. 16. Si f x  1 para toda x y lím x l 0 f x entonces 5. Si lím x l5 f x  0 y lím x l 5 tx  0 , entonces lím x l 5 f xtx no existe. 17. Si f es continua en a, entonces f es derivable en a. lím x l 0 f x  1 . 18. Si f r existe, entonces lím x l r f x  f r. 6. Si lím x l 6 f xtx existe, entonces el límite tiene que ser f 6t6. 19. 7. Si p es un polinomio, entonces lím x l b px  pb. 8. Si lím x l 0 f x  lím x l 0 y lím x l 0 tx  , luego f x  tx  0 . 9. Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas. 10. Si f tiene un dominio 0,  y no tiene asíntota horizontal entonces lím x l f x  o lím x l f x   .  número  tal que si 0  x  , entonces f x  6  1. d2y  dx2   dy dx 2 20. La ecuación x10  10x2  5  0 tiene una raíz en el intervalo (0, 2) CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 167 CAPÍTULO 2 REPASO |||| 167 EJERCICIOS 1. Se da la gráfica de f. (a) Encuentre cada uno de los límites o explique por qué no existe. (i) lím f x (ii) x l2 lím f x (iv) lím f x (v) lím f x (vi) lím f x (vii) lím f x (viii) lím f x  1 1  2 x1 x  3x  2  ; 21–22 Use las gráficas para descubrir las asíntotas de la curva. Luego pruebe qué ha descubierto. x l2 xl 20. lím x l1 x l4 x l0 x l0 x l 3 (iii) lím f x x l 3 19. lím tan11/x 21. y  x l (b) Enuncie las ecuaciones de las asíntotas horizontales. (c) Enuncie las ecuaciones de las asíntotas verticales. (d) ¿En qué números f es discontinua? cos2 x x2 22. y  sx 2  x  1  sx 2  x 23. Si 2x  1 y f x x 2 para 0  x  3, encuentre lím x l1 f x. 24. Pruebe que lím x l 0 x 2 cos1x 2   0 . 25–28 Demuestre que cada afirmación es verdadera usando la definición precisa de límite. 1 0 x 1 25. lím 14  5x  4 3 26. lím s x0 27. lím x 2  3x  2 28. lím x l2 xl0 xl2 xl4 2  sx  4 2. Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes lím f x  2 , x l lím f x   , x l 3 29. Sea lím f x  0 , x l0 lím f x  2 , x l 3 x3x x l1 x2  9 5. lím 2 x l 3 x  2x  3 x2  9 4. lím 2 x l 3 x  2x  3 x2  9 6. lím 2 x l 1 x  2x  3 7. lím h  13  1 h 9. lím sr r  94 10. lím 11. lím u4  1 u  5u2  6u 12. lím sx  6  x x3  3x2 13. lím sx2  9 2x  6 14. lím sx2  9 2x  6 r l9 u l1 xl 3 15. lím lnsen x x lp 17. lím sx  4x  1  x 2 xl 8. lím t l2 vl4 x l3 xl 16. lím x l t2  4 t3  8  4v 4v xx 2 (i) lím f x (ii) lím f x (iii) lím f x (iv) lím f x (v) lím f x (vi) lím f x x l0 x l3 x l0 x l3 x l0 x l3 (b) ¿Dónde es discontinua f? (c) Trace la gráfica de f. 30. Sea tx   1  2x 2  x4 5  x  3x4 18. lím e x l si x  0 si 0 x  3 si x  3 (a) Evalúe cada límite, si existe. 3–20 Encuentre el límite h l0 sx f x  3  x x  32 xl 3 f es continua desde la derecha en 3. 3. lím e  lím  f x  , 2x  x 2 2x x4 si si si si 0 x 2 2x 3 3x4 x4 (a) Para cada uno de los números 2, 3 y 4, descubra si t es continua por la izquierda, por la derecha o continua en el número. (b) Bosqueje la gráfica de t. 31–32 Demuestre que cada función es continua en su dominio. Dé el dominio. 31. hx  xe sen x 32. tx  sx 2  9 x2  2 CAPITULO-02-C 168 |||| 06/04/2009 18:43 Page 168 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 33–34 Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que 42–44 Trace o copie la gráfica de la función dada. Luego dibuje existe una raíz de la ecuación en el intervalo dado. directamente debajo su derivada. 33. 2x 3  x 2  2  0, 2 34. ex  x , 2, 1 42. 43. y y 0, 1 0 x x 0 35. (a) Encuentre la pendiente de la recta tangente en la curva y  9  2x en el punto 2, 1. (b) Escriba una ecuación de esta tangente. 2 44. y 36. Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva y 2 1  3x x en los puntos de abcisas 0 y 1. 37. La expresión s  1  2t  4 t 2 , da el desplazamiento 1 (en metros) de un objeto que se mueve en una línea recta. En dicha expresión, t se mide en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio en los siguientes periodos (i) 1, 3 (ii) 1, 2 (iii) 1, 1.5 (iv) 1, 1.1 (b) Halle la velocidad instantánea cuando t  1. 45. (a) Si f x  s3  5x, use la definición de derivada para ha- ; 46. (a) Encuentre las asíntotas de la gráfica de 38. Según la ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado se mantiene fija, entonces el producto de la presión P y el volumen V es constante. Suponga que, para cierto gas, PV  800, donde P se mide en libras por pulgada cuadrada y V en pulgadas cúbicas. (a) Encuentre la razón promedio de cambio de P cuando V se incrementa de 200 pulg3 a 250 pulg3. (b) Exprese V como función de P y demuestre que la razón instantánea de cambio de V con respecto a P es inversamente proporcional al cuadrado de esta última. llar f(x). (b) Encuentre los dominios de f y f. (c) Trace f y f en una pantalla común. Compare las gráficas para ver si su respuesta al inciso (a) es razonable. ; f x  4  x3  x y úselas para dibujar la gráfica. (b) Use la gráfica del inciso (a) para graficar f. (c) Aplique la definición de derivada para hallar f(x). (d) Utilice un aparato graficador para trazar la gráfica de f y compárela con su dibujo del inciso (b). 47. Se muestra la gráfica de f. Enuncie, con razones, los números en que f no es diferenciable. y 39. (a) Use la definición de derivada para hallar f 2, donde ; f x  x 3  2x. (b) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y  x3  2x en el punto (2, 4). (c) Ilustre el inciso (b) dibujando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 40. Encuentre una función f y un número a tales que 2  h6  64  f a lím h l0 h _1 0 2 6 x ; 48. La figura muestra la gráfica de f, f y f. Identifique cada cuerva y explique su elección. y a b 41. El costo total de pagar un préstamo para estudiante, a una tasa de interés de r% por año es C  f(r). (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f(r)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿Qué significa la proposición f(10)  1200? (c) ¿f(r) siempre es positiva o cambia de signo? 4 x 0 c CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 169 CAPÍTULO 2 REPASO 49. Sea Ct el valor total de certificados bancarios en circulación en el instante t. La tabla de valores de esta función de 1980 a 2000, en miles de millones de dólares. Estime e interprete el valor de C(1990). t 1980 1985 1990 1995 2000 C(t) 129.9 187.3 271.9 409.3 568.6 50. La tasa de fertilidad total, en el tiempo t, denotada con F(t), es una estimación del número promedio de niños nacidos de cada mujer (suponiendo que las tasas de natalidad actuales permanezcan constantes). En la gráfica de la tasa de fertilidad total en Estados Unidos, se muestran las fluctuaciones desde 1940 hasta 1990. (a) Estime los valores de F(1950), F(1965) y F(1987). (b) ¿Cuáles son los significados de estas derivadas? (c) ¿Puede sugerir razones de los valores de estas derivadas? y 3.5 |||| 169 incremento de nacimientos reducción de nacimientos 3.0 2.5 y=F(t) recuperación de nacimientos 2.0 1.5 1940 1950 1960 1970 1980 1990 51. Suponga que  fx  tx para todo x, y que límxla tx  0. Encuentre el límxla fx. 52. Sea fx  x   x. (a) ¿Para qué valores de a existe límxla f x? (b) ¿En qué números es discontinua la función f ? t CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 170 PROBLEMAS ADICIONALES En el análisis de los principios para la resolución de problemas, se consideró la estrategia para resolver problemas llamada Introduzca algo adicional (véase la página 76). En el ejemplo siguiente, se muestra cómo este principio resulta útil a veces cuando evalúa límites. La idea es cambiar la variable —introducir una nueva variable relacionada con la original— de tal manera que el problema se haga más sencillo. Más adelante, en la sección 5.5, utilizará más esta idea general. EJEMPLO 1 Evalúe lím xl0 3 1  cx  1 s , donde c es una constante. x SOLUCIÓN Según se ve, este límite parece desafiante. En la sección 2.3 evaluó varios límites en los que tanto el numerador como el denominador tendieron a 0. Allí, la estrategia fue realizar cierto tipo de manipulación algebraica que condujo a una cancelación simplificadora, pero en este caso no está claro qué clase de álgebra se necesita. Por lo tanto, se introduce una nueva variable t mediante la ecuación 3 ts 1  cx También necesita expresar x en términos de t, de modo que resuelva esta ecuación: t 3  1  cx x t3  1 c Advierta que x l 0 equivale a t l 1. Esto permite convertir el límite dado en uno que comprende la variable t : lím xl0 3 1  cx  1 t1 s  lím 3 t l1 t  1c x  lím t l1 ct  1 t3  1 El cambio de variable permitió reemplazar un límite relativamente complicado con uno más sencillo de un tipo que ya ha visto. Si factoriza el denominador como un diferencia de cubos, obtiene lím t l1 ct  1 ct  1  lím t l1 t  1t 2  t  1 t3  1 c c  lím 2  t l1 t  t  1 3  Los problemas siguientes sirven para poner a prueba y desafiar sus habilidades para resolver problemas. Algunos requieren una cantidad considerable de tiempo para pensar, de modo que no se desaliente si no los puede resolver de inmediato. Si tiene alguna dificultad, quizás le sirva consultar el análisis de los principios para la resolución de problemas en la página 76. P RO B L E M A S 1. Evalúe lím x l1 3 x1 s . sx  1 2. Encuentre los números a y b tales que lím xl0 170 sax  b  2  1. x CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 171 PROBLEMAS ADICIONALES 3. Evalúe lím xl0  2x  1    2x  1  . x 4. En la figura se muestra un punto P, en la parábola y  x 2 y el punto Q donde la mediatriz de y OP interseca al eje y. Conforme P se aproxima al origen, a lo largo de la parábola, ¿qué sucede con Q? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela. y=≈ Q P 5. Si x denota la función entero, encuentre lím xl x . x 6. Dibuje la región en el plano definida por cada una de las ecuaciones siguientes. 0 x (a) x 2   y 2  1 (b) x 2   y 2  3 (c) x  y 2  1 (d) x   y  1 7. Encuentre todos los valores de a tales que f sea continua en : FIGURA PARA EL PROBLEMA 4 f x   x  1 si x a x2 si x  a 8. Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f c  c. (La función no mueve a c; éste permanece fijo.) (a) Dibuje la gráfica de una función continua con dominio 0, 1 cuyo rango también se encuentre en 0, 1 . Localice un punto fijo de f . (b) Intente graficar una función continua con dominio 0, 1 y rango en 0, 1 que no tenga un punto fijo. ¿Cuál es el obstáculo? (c) Use el teorema de valor intermedio para comprobar que cualquier función continua con dominio 0, 1 y rango en 0, 1 tiene que tener un punto fijo. 9. Si lím x l a f x  tx  2 y lím x l a f x  tx  1 , encuentre lím x l a f xtx. 10. (a) En la figura se muestra un triángulo isósceles ABC con B  C. La bisectriz del A  P B M FIGURA PARA EL PROBLEMA 10 ángulo B interseca el lado AC en el punto P. Suponga que la base BC permanece fija, pero que la altura AM del triángulo tiende a 0, de modo que A se aproxima al punto medio M de BC. ¿Qué sucede con P durante este proceso? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela. (b) Intente trazar la trayectoria recorrida por P durante este proceso. A continuación halle la ecuación de esta curva y úsela para dibujarla. C  11. (a) Si parte de la latitud 0° y avanza en dirección oeste, puede denotar con Tx la temperatura en el punto x en cualquier tiempo dado. Suponga que T es una función continua de x, y demuestre que, en cualquier tiempo fijo, existen por lo menos dos puntos opuestos sobre el ecuador que tienen exactamente la misma temperatura. (b) ¿El resultado del inciso (a) se cumple para puntos que estén sobre cualquier círculo sobre la superficie de la Tierra? (c) ¿El resultado del inciso (a) se cumple para la presión barométrica y para la altitud arriba del nivel del mar? 12. Si f es una función derivable y tx  x f x, use la definición derivada para demostrar que tx  x f x  f x. 13. Suponga que f es una función que satisface f x  y  f x  f  y  x 2 y  xy 2 para todos los números reales x y y. Suponga también que lím xl0 (a) Encuentre f 0. f x 1 x (b) Encuentre f 0. (c) Encuentre f x.  14. Suponga que f es una función con la propiedad de que f x f 0  0. Enseguida, muestre que f 0  0.  x 2 para toda x. Muestre que 171 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 172 3 REGLAS DE DERIVACIÓN y m=0 m=1 y=ƒ=sen x m=_1 0 π 2 π x y y=fª(x ) 0 π 2 π x Al medir las pendientes en puntos que se localizan en la curva seno obtiene claras evidencias de que la derivada de la función seno es la función coseno Hasta aquí, ha visto cómo interpretar las derivadas como pendientes y relaciones de cambio y ha estudiado cómo estimar las derivadas de funciones dadas por medio de tablas de valores. También ha aprendido la manera de graficar las derivadas de funciones que se definen gráficamente y ha usado la definición de derivada para calcular las derivadas de funciones definidas mediante fórmulas. Pero sería tedioso si siempre tuviéra que aplicar la definición, de modo que, en este capítulo se desarrollan reglas para hallar derivadas sin tener que usar directamente esa definición. Estas reglas de derivación permiten calcular con relativa facilidad las derivadas de polinomios, funciones racionales, funciones algebraicas, funciones exponenciales y logarítmicas y funciones trigonométricas inversas. A continuación usará estas reglas para resolver problemas en que intervienen relaciones de cambio, tangentes a curvas paramétricas y la aproximación de funciones. 172 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 173 3.1 En esta sección aprenderá la manera de derivar funciones constantes, funciones de potencias, polinomios y funciones exponenciales. Empiece por la más sencilla de todas las funciones, la función constante f(x)  c. La gráfica de esta función es la recta horizontal y  c, la cual tiene pendiente 0, de modo que debe tener f(x)  0. (Véase la figura 1.) Una demostración formal, a partir de la definición de derivada, también es fácil: y c DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES y=c pendiente=0 f x  lím hl0 x 0 f x  h  f x cc  lím  lím 0  0 h l 0 hl0 h h En la notación de Leibniz, se escribe está notación como sigue: FIGURA 1 La gráfica de ƒ=c es la recta y=c, por tanto fª(x)=0 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE d c  0 dx FUNCIONES POTENCIA y En seguida, se consideran las funciones f(x)  xn, donde n es un entero positivo. Si n  1, la gráfica de f(x)  x es la recta y  x, la cual tiene pendiente 1 (véase la figura 2). De modo que y=x pendiente=1 0 FIGURA 2 La gráfica de ƒ=x es la recta y=x, por tanto fª(x)=1 d x  1 dx 1 x (También puede comprobar la ecuación 1 a partir de la definición de derivada.) Ya ha investigado los casos n  2 y n  3. En efecto, en la sección 2.8 (ejercicios 17 y 18), encontró que 2 d x 2   2x dx d x 3   3x 2 dx Para n  4, la derivada de f(x)  x4, queda como sigue: f x  lím f x  h  f x x  h4  x 4  lím hl0 h h  lím x 4  4x 3h  6x 2h 2  4xh 3  h 4  x 4 h  lím 4x 3h  6x 2h 2  4xh 3  h 4 h hl0 hl0 hl0  lím 4x 3  6x 2h  4xh 2  h 3   4x 3 hl0 Así 3 d x 4   4x 3 dx 173 CAPITULO-03-A 174 |||| 06/04/2009 18:52 Page 174 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Si compara las ecuaciones (1), (2), (3), surge un patrón. Parece razonable presumir que, cuando n es un entero positivo, (d/dx)(xn)  nxn1. Esto resulta cierto. Se demuestra de dos modos; en la segunda demostración se aplica el teorema del binomio REGLA DE LA POTENCIA Si n es un entero positivo, en consecuencia d x n   nx n1 dx PRIMERA DEMOSTRACIÓN Puede verificar la fórmula x n  a n  x  ax n1  x n2a      xa n2  a n1  multiplicando sólo el lado derecho (o mediante la suma del segundo factor como una serie geométrica). Si f x  x n, puede aplicar la ecuación 2.7.5 para f a y la ecuación anterior para escribir f a  lím xla f x  f a xn  an  lím xla x  a xa  lím x n1  x n2a      xa n2  a n1  xla  a n1  a n2a      aa n2  a n1  na n1 SEGUNDA DEMOSTRACIÓN f x  lím hl0 El teorema del binomio se da en la página de referencia 1. & f x  h  f x x  hn  x n  lím hl0 h h Al hallar la derivada de x4, tuvo que desarrollar (x  h)4. En este caso, necesita desarrollar (x  h)n y, para hacerlo, aplique el teorema del binomio:   nn  1 n2 2 x h      nxh n1  h n  x n 2 f x  lím hl0 h nn  1 n2 2 nx n1h  x h      nxh n1  h n 2  lím hl0 h x n  nx n1h    lím nx n1  hl0  nn  1 n2 x h      nxh n2  h n1 2  nx n1 porque todos los términos, excepto el primero, tienen h como factor, y, por lo tanto, tienden a 0.  En el ejemplo 1, se ilustra la regla de la potencia usando varias notaciones. EJEMPLO 1 (a) Si f(x)  x6, después f(x)  6x5. (c) Si y  t 4, en seguida dy  4t 3. dt (b) Si y  x1000, por lo tanto y  1000x999. (d) d 3 r   3r 2 dr  CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 175 SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 175 ¿Qué se puede decir acerca de las funciones potencia con exponentes enteros negativos? En el ejercicio 61 se le pide al lector que compruebe, a partir de la definición de derivada, que d dx  1 x  1 x2 Por lo que puede escribir de nuevo esta ecuación como d x 1   1x 2 dx y, por consiguiente, la regla de la potencia se cumple cuando n  1. De hecho, en la sección siguiente ejercicio 58(c) se demuestra que se cumple para todos los enteros negativos. ¿Qué sucede si el exponente es una fracción? En el ejemplo 3 de la sección 2.8 encontró que d 1 sx  dx 2sx lo cual se puede escribir como d 12 x   12 x12 dx Esto hace ver que la regla de la potencia es verdadera incluso cuando n  12 . De hecho, en la sección 3.6, se demuestra que es verdadera para todos los números reales n. REGLA DE LA POTENCIA (VERSIÓN GENERAL) Si n es cualquier número real, entonces d x n   nx n1 dx & En la figura 3 se muestra la función y del ejemplo 2(b) y su derivada y. Advierta que y no es derivable en 0 (y no está definida allí). Observe que y es positiva cuando y crece, y negativa cuando y decrece. EJEMPLO 2 Derive: (a) f x  1 x2 3 (b) y  s x2 SOLUCIÓN En cada caso, reescriba la función como una potencia de x. 2 (a) Como f(x)  x2, aplique la regla de la potencia con n  2: y yª _3 3 _2 f x  (b) d 2 x 2   2x 21  2x 3   3 dx x dy d 3 2 d  ( x 23   23 x 231  23 x13 sx )  dx dx dx  FIGURA 3 y=#œ≈ „ La regla de la potencia permite hallar las líneas tangentes sin hacer uso de la definición de una derivada. Además permite encontrar rectas normales. La recta normal a una curva C en un punto P es la recta a través de P que es perpendicular a la recta tangente en P. (En el estudio de lo óptica, necesita considerar el ángulo entre un rayo de luz y la recta normal al lente.) CAPITULO-03-A 176 06/04/2009 |||| 18:52 Page 176 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Halle la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva y  xsx en el punto (1, 1). Ilustre dibujando la curva y estas rectas. V EJEMPLO 3 SOLUCIÓN La derivada de f x  xsx  xx 12  x 32 es f x  32 x 321  32 x 12  32 sx 3 De este modo, la pendiente de la recta tangente en (1, 1) es f 1  32 . Por consiguiente la ecuación de la recta tangente es tangente y  1  32 x  1 normal _1 y  32 x  12 o bien La línea normal es perpendicular a la línea tangente de tal manera que, su pendiente es el 3 reciproco negativo de 2 , es decir,  23. En estos términos una ecuación de la línea normal es 3 _1 y  1   23 x  1 y   23 x  23 o bien FI GURA 4 En la figura 4 se traza la gráfica de la curva y las rectas tangente y normal.  NUEVAS DERIVADAS A PARTIR DE ANTERIORES Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores por adición, sustracción o multiplicación por una constante, sus derivadas se pueden calcular en términos de la derivada de sus funciones anteriores. En particular, en la fórmula siguiente se afirma que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE Si c es una constante y f es una función derivable, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE & entonces d d cf x  c f x dx dx y y=2ƒ COMPROBACIÓN Sea t(x)  cf(x). Después y=ƒ 0 tx  lím x hl0 La multiplicación por c  2 estira la gráfica verticalmente en un factor de 2. Todas las elevaciones se han duplicado, pero los avances permanecen iguales. Las pendientes también se duplican. tx  h  tx cf x  h  cf x  lím hl0 h h   lím c hl0  c lím hl0 f x  h  f x h f x  h  f x h  (por la ley de los límites 3)  cf x  EJEMPLO 4 (a) d d 3x 4   3 x 4   34x 3   12x 3 dx dx (b) d d d x  1x  1 x  11  1 dx dx dx  La siguiente regla dice que la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas. CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 177 SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES Si se utiliza la notación prima, puede escribir la regla de la suma como  f  t  f   t & |||| 177 REGLA DE LA SUMA Si f y t son derivables, entonces d d d f x  tx  f x  tx dx dx dx PRUEBA F(x)  f(x)  t(x). Entonces Fx  lím hl0  lím hl0  lím hl0  lím hl0 Fx  h  Fx h f x  h  tx  h  f x  tx h  f x  h  f x tx  h  tx  h h  f x  h  f x tx  h  tx  lím hl0 h h (por la ley 1)  f x  tx  La regla de la suma se puede extender a la suma de cualquier número de funciones. Por ejemplo, si se aplica este teorema dos veces obtiene  f  t  h   f  t  h    f  t  h  f   t  h Al escribir f  t como f  (1)t y aplicando la regla de la suma y la del múltiplo constante, obtiene la fórmula siguiente. REGLA DE LA DIFERENCIA Si tanto f como t son derivables, entonces d d d f x  tx  f x  tx dx dx dx Estas tres reglas se pueden combinar con la regla de la potencia para derivar cualquier polinomio, como se demuestra en los ejemplos que siguen EJEMPLO 5 d x 8  12x 5  4x 4  10x 3  6x  5 dx  d d d d d d x 8   12 x 5   4 x 4   10 x 3   6 x  5 dx dx dx dx dx dx  8x 7  125x 4   44x 3   103x 2   61  0  8x 7  60x 4  16x 3  30x 2  6  CAPITULO-03-A 178 06/04/2009 |||| 18:52 Page 178 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Encuentre sobre la curva y  x4  6x2  4, los puntos donde la recta tangente es horizontal. y V EJEMPLO 6 (0, 4) SOLUCIÓN Se tienen tangentes horizontales donde la derivada es cero. Observe que, 0 x dy d d d  x 4   6 x 2   4 dx dx dx dx {_ œ„ 3, _5} 3, _5} {œ„ FIGURA 5 La curva y=x$-6x@+4 y sus tangentes horizontales  4x 3  12x  0  4xx 2  3 Así, dydx  0 si x  0 o x2  3  0, es decir, x  s3. Por eso, la curva dada tiene tangentes horizontales cuando x  0, s3 y s3. Los puntos correspondientes son (0, 4)  (s3, 5) y (s3, 5). (Véase la figura 5.) EJEMPLO 7 La ecuación de movimiento de una partícula es s  2t3  5t2  3t  4, donde s se mide en centimetros y t en segundos. Hallar la aceleración como una función del tiempo. ¿Cuál es la aceleración después de 2 segundos? SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son v(t)  ds  6t2  10t  3 dt a(t)  dv  12t  10 dt La aceleración después de 2 s es a(2)  14 cm/s2.  FUNCIONES EXPONENCIALES Intente calcular la derivada de la función exponencial f(x)  ax, aplicando la función de derivada f x  lím hl0  lím hl0 f x  h  f x a xh  a x  lím hl0 h h a xa h  a x a xa h  1  lím hl0 h h El factor ax no depende de h, de modo que puede llevarlo adelante del límite: f x  a x lím hl0 ah  1 h Advierta que el límite es el valor de la derivada de f en 0; esto es, lím hl0 ah  1  f 0 h En consecuencia, ha demostrado que, si la función exponencial f(x)  ax es derivable en 0, entonces es derivable en todas partes y 4 f x  f 0a x En esta ecuación se afirma que la razón de cambio de cualquier función exponencial es proporcional a la propia función. (La pendiente es proporcional a la altura.) CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 179 SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES h 0.1 0.01 0.001 0.0001 2h  1 h 3h  1 h 0.7177 0.6956 0.6934 0.6932 1.1612 1.1047 1.0992 1.0987 |||| 179 En la tabla que aparece a la izquierda, se da evidencia numérica de la existencia de f(0) en los casos a  2 y a  3. (Los valores se dan correctos hasta cuatro posiciones decimales.) Parece que los límites existen y Para a  2 f 0  lím 2h  1 h 0.69 Para a  3 f 0  lím 3h  1 h 1.10 hl0 hl0 De hecho, se establecen los límites existentes y, correctos hasta seis cifras decimales, los valores son d 2 x  dx  0.693147 x0 d 3 x  dx  1.098612 x0 Por esto, de la ecuación 4 5 d 2 x  dx 0.692 x d 3 x  dx 1.103 x De todas las ecuaciones posibles para la base a de la ecuación 4, se tiene la fórmula más sencilla de derivación cuando f(0)  1. En vista de las estimaciones de f(0) para a  2 y a  3, parece razonable que exista un número a entre 2 y 3 para el que f(0)  1. Es tradicional denotar este valor con la letra e. (De hecho, así se presentó e en la sección 1.5.) Por esto se tiene la siguiente definición En el ejercicio 1 verá que e se encuentra entre 2.7 y 2.8. Más adelante será capaz de demostrar que e con cinco dígitos (o posiciones) decimales es e 2.71828 & DEFINICIÓN DEL NÚMERO e e es el número tal que lím hl0 eh  1 1 h Geométricamente, esto significa que de todas las funciones exponenciales posibles y  ax, la función f(x)  e x es aquella cuya recta tangente en (0, 1) tiene una pendiente f(0) que es exactamente 1. (Véase las figuras 6 y 7.) y y y=3® { x, e ® } pendiente=e® y=2® y=e ® 1 1 pendiente=1 y=e ® 0 FIGURA 6 x 0 x FIGURA 7 Si pone a  e y, por lo tanto, f(0)  1 en la ecuación 4, se convierte en la importante fórmula de derivación que se proporciona a continuación. CAPITULO-03-A 180 06/04/2009 |||| 18:52 Page 180 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL TEC Visual 3.1 aplica el alcance de una pendiente para examinar esta formula d e x   e x dx De donde la función exponencial f(x)  ex tiene la propiedad de que es su propia derivada. El significado geométrico de esto es que la pendiente de una recta tangente a la curva y  ex es igual a la coordenada y del punto (véase la figura 7). V EJEMPLO 8 3 Si f(x)  e x  x, encuentre f y f . Compare las gráficas de f y f. SOLUCIÓN Si se aplica la regla de la diferencia, tiene f f x  fª _1.5 d x d x d e  x  e   x  e x  1 dx dx dx En la sección 2.8 se define la segunda derivada como la derivada de f, así 1.5 f x  _1 d x d x d e  1  e   1  e x dx dx dx FIGURA 8 La función f y su derivada f se grafican en la figura 8. Observe que f tiene una tangente horizontal cuando x  0; esto corresponde al hecho de que f 0  0. Asimismo, observe que para x  0, f x es positiva y f es creciente. Cuando x  0, f x es nega tiva y f es decreciente. y EJEMPLO 9 ¿En cuál punto de la curva y  ex la recta tangente es paralela a la recta 3 y  2x? (ln 2, 2) SOLUCIÓN Como y  ex, tenemos y  e x. Sea a la coordenada x del punto en cuestión. 2 y=2x Después, la pendiente de la recta tangente en ese punto es ea. Esta recta tangente será paralela a la recta y  2x si tiene la misma pendiente; es decir, 2. Si se igualan las pendientes, se tiene 1 y=´ 0 1 x ea  2 FIGURA 9 3.1 a  ln 2 Por lo tanto, el punto requerido es (a, e a)  (ln 2, 2). (Véase la figura 9.)  EJERCICIOS 1. (a) ¿Cómo se define el número e? (b) Use una calculadora para estimar los valores de los límites lím hl0 2.7 h  1 h y lím hl0 2.8 h  1 h correctos hasta dos dígitos decimales. ¿Qué puede concluir acerca del valor de e? 2. (a) Dibuje, a mano, la función f(x)  e , poniendo particular x atención a la forma en que la gráfica cruza el eje y. ¿Qué hecho le permite hacer esto? (b) ¿Qué tipos de funciones son f(x)  ex y t(x)  xe? Compare las fórmulas de derivación para f y t. (c) ¿Cuál de las dos funciones del inciso (b) crece con mayor rapidez cuando x es grande? 3–32 Derive la función. 3. f x  186.5 2 3 4. f x  s30 5. f t  2  t 6. Fx  7. f x  x3  4x  6 8. f t  3 4 1 2 x8 t 6  3t 4  t CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 181 SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES 9. f t  4 t 4  8 10. h(x)  (x  2)(2x  3) 1 11. y  x 25 13. Vr  15. As   12 s5 16. B(y)  cy6 17. Gx  sx  2e x 19. F x  ( 12 x) 5 x 2  4x  3 sx 25. y  4 visualización 1, 4 por 8, 8 . 1 st (b) Aplicando la gráfica del inciso (a) para estimar pendientes, haga a mano un boceto aproximado de la gráfica de t. (Véase el ejemplo 1 de la sección 2.8.) 22. y  sx x  1 24. y  (c) Calcule t(x) y aplique esta expresión, con un dispositivo graficador, para dibujar t. Compare con su boceto del inciso (b). x 2  2 sx x 45–46 Hallar la primera y segunda derivadas de la función 26. tu  s2u  s3u 2 27. H(x)  (x  x1)3 28. y  ae v  5  4st5 29. u  st 30. v  31. z  ; 44. (a) Utilice un dispositivo graficador o una computadora para dibujar la función t(x)  e x  3x2 en el rectángulo de 3 18. y  s x 20. f t  st  21. y  ax2  bx  c 23. y  (c) Calcule f(x) y use esta expresión, con un aparato graficador, para dibujar f. Compare con el boceto que trazó usted en el inciso (b). 14. Rt  5t35 r3 A  Be y y 10  b  v sx  1 3 sx 45. f(x)  x4  3x2  16x c 3 46. G(r)  sr  sr v2  2 ; 47–48 Hallar la primera y segunda derivadas de la función. Verifique para ver que sus respuestas sean razonables al comparar las gráficas de f, f y f 32. y  e x1  1 47. f(x)  2x  5x3/4 48. f(x)  ex  x3 49. La ecuación de movimiento de una partícula es s  t3  3t, donde 33–34 Hallar una ecuación de la línea tangente a la curva en el s está en metros y t en segundos. Hallar punto que se indica. 4 33. y  sx, 181 (b) Utilizando la gráfica del inciso (a) para estimar pendientes, haga a mano un boceto aproximado de la gráfica de f. (Véase el ejemplo 1 de la sección 2.9.) 12. y  5e x  3 4 3 |||| 34. y  x4  2x2  x, (1.1) (a) la velocidad y aceleración como funciones de t. (1.2) (b) la aceleración después de 2 s, y (c) la aceleración cuando la velocidad es 0 35–36 Determine una ecuación de la tangente y la normal a la 50. La ecuación de movimiento de una partícula es curva en el punto dado. 35. y  x 4  2e x , 0, 2 36. y  1  2x2, s  2t3  7t2  4t  1, donde s esta en metros y t en segundos. 1, 9 (a) Hallar la velocidad y aceleración como funciones de t. (b) Hallar la aceleración después de 1 s. ; 37–38 Formule una ecuación para la tangente a la curva en el punto dado. Grafique la curva y la tangente en la misma pantalla. 37. y  3x 2  x 3, 1, 2 38. y  x  sx , 1, 0 ; (c) grafíque las funciones, posición, velocidad y aceleración en la misma pantalla 51. Encuentre los puntos sobre la curva y  2x3  3x2  12x  1 donde la tangente es horizontal 52. ¿Para qué valores de x tiene una tangente horizontal la gráfica de f(x)  x3  3x2  x  3? ; 39–42 Encuentre f(x). Compare las gráficas de f y f y úselas enseguida para explicar por qué su respuesta es razonable. 39. f x  e x  5x 40. f x  3x 5  20x 3  50x 41. f x  3x 15  5x 3  3 42. f x  x  1 x ; 43. (a) Use una calculadora graficadora o una computadora para dibujar la función f(x)  x4  3x3  6x2  7x  30 en el rectángulo de visualización 3, 5 por 10, 50 . 53. Demuestre que la curva y  6x3  5x  3 no tiene recta tan- gente con pendiente 4. 54. Encuentre una ecuación de la recta normal a la curva y  x sx que es paralela a la línea y  1  3x 55. Hallar una ecuación de ambas rectas que son tangente a la curva y  1  x3 y paralela a la línea 12x  y  1 x ; 56. ¿En qué punto sobre la curva y  1  2e  3x es la recta tan- gente paralela a la recta 3x  y  5. Ilústrelo dibujando la curva y ambas rectas. 57. Establezca una ecuación de la recta normal a la parábola y  x2  5x  4 que es paralela a la recta normal x  34  5 CAPITULO-03-A 182 |||| 06/04/2009 18:52 Page 182 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 58. ¿Dónde corta por segunda vez la normal a la parábola y  x  x que pasa por el punto (1, 0) a la misma parábola? Elabore un esquema. 2 59. Dibuje un diagrama para demostrar que hay dos rectas tan- gentes a la parábola y  x2 que pasan por el punto (0, 4). Encuentre las coordenadas de los puntos donde estas rectas tangentes intersecan la parábola. 60. (a) Halle ecuaciones de ambas rectas que pasan por el punto (2, 3) que sean tangentes a la parábola y  x2  x. (b) Muestre que no hay ninguna recta que pase por el punto (2, 7) que es tangente a la parábola. Cuando dibuje el diagrama verá por qué. 61. Aplique la definición de derivada para demostrar que si f x  1x, entonces f x  1x 2. (Esto demuestra la regla de la potencia para el caso n  1.) 62. Encuentre la derivada n-ésima de cada función calculando las primeras derivadas y observe el patrón que se desarrolla (a) f(x)  xn  derivable? Encuentre una fórmula para f. (b) Grafique f y f.  71. Determine la parábola con ecuación y  ax 2  bx cuya tangente en (1, 1) tiene por ecuación y  3x  2. 72. Considere la curva y  x4  ax3  bx2  cx  d que tiene una recta tangente donde x  0 con ecuación y  2x  1 y una recta tangente cuando x  1 con ecuación y  2  3x. Halle los valores de a, b, c y d. 73. ¿Para qué valores de a y b es la recta 2x  y  b tangente a la parábola y  ax2 cuando x  2? 74. Hallar el valor de c tal que la línea y  la curva y  c sx . f x  P(2)  5, P(2)  3, y P(2)  2 porque involucra uno función desconocida y y sus derivadas y y y. Hallar las constantes A, B y C de tal manera que la función y  Ax2  Bx  C satisface esta ecuación. (Las ecuaciones diferenciales se estudiarán con detalle en el capítulo 9.) 65. Hallar una función cúbica y  ax3  bx2  cx  d cuya gráfica tiene una tangente horizontal en los puntos (2,6) y (2,0). 66. Hallar una parábola con ecuación y  ax2  bx  c que tiene pendiente 4 en x  1, pendiente 8 en x  1, y pasa a través de el punto (2, 15). 67. Sea  2x f x  x 2  2x  2 68. ¿En qué valores la función siguiente t es derivable? (a) Demuestre que el punto medio de este segmento de la recta que se corta de su recta tangente mediante los ejes de coordenadas es P. (b) Demuestre que el triángulo formado por la recta tangente y los ejes de coordenadas tiene siempre la misma área, sin importar dónde se ubique P sobre la hipérbola. x 1000  1 . x1 culares que se intersecan sobre el eje y, y son tangentes a la parábola y  x2. ¿Dónde se intersecan estas rectas? 1 79. Si c  2 , ¿cuántas líneas a través del punto (0, c) son rectas normales a la parábola y  x2? ¿que sucede si c 1 Proporcione una fórmula para t y trace las gráficas de t y t. P ROY E C TO D E A P L I C AC I Ó N si x 2 si x  2 78. Dibuje un diagrama en el que se muestren dos rectas perpendi- ¿Es derivable f en 1? Dibuje las gráficas f y f.  x2 mx  b x  6 es tangente a 76. Se dibuja una recta tangente a la hipérbola xy  c en un punto P. xl1 1  2x si x  1 si 1 x tx  x 2 x si x  1  3 2 Determine los valores de m y b que hacen que f sea siempre derivable. 77. Evalúe lím si x 1 si x  1  Proporcione una fórmula para h y grafique h y h. 63. Hallar un polinomio de segundo grado P de tal manera que 64. La ecuación y  y  2y  x2 se le llama ecuación diferencial   70. ¿Dónde es derivable la función hx  x  1  x  2 ? 75. Sea f(x)  1/x  69. (a) ¿Para qué valores de x la función f x  x 2  9 es 1 2 ? 80. Dibuje la parábola y  x2 y y  x2  2x  2. ¿Considera que existe una recta que es tangente a ambas curvas? De ser así, hallar su ecuación. Si no es así, ¿Por qué no? CONSTRUCCIÓN DE UNA MONTAÑA RUSA Suponga que se le solicita que diseñe el primer ascenso y descenso de una montaña rusa nueva. Después de estudiar fotografías de sus montañas rusas predilectas, decide hacer la pendiente del ascenso 0.8 y la del descenso 1.6. Opta por conectar estos dos tramos rectos y  L1x y y  L2x mediante parte de una parábola y  fx  ax2  bx  c, donde x y fx se miden en pies. Para que el trayecto sea uniforme no pueden existir cambios abruptos de dirección, por lo tanto desea que los CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 183 SECCIÓN 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE 183 segmentos directos L1 y L2 sean tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q. (Véase la figura.) Para simplificar las ecuaciones decide situar el origen en P. f L¡ |||| P 1. Q L™ ; (a) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en a, b y c que aseguren que el trayecto es suave en los puntos de transición. (b) Resuelva la ecuación del inciso (a) para a, b y c para hallar una fórmula para fx. (c) Dibuje L1, f y L2 para verificar que las transiciones son uniformes. (d) Encuentre la diferencia en elevación entre P y Q. 2. La solución del problema 1 quizá parezca suave, pero es posible que no se sienta suave debido a que la pieza definida como función consistente de L1x para x  0, fx para 0  x  100 y L2(x) para x  100 no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente decide mejorar el diseño aplicando una función cuadrática qx  ax2  bx  c únicamente en el intervalo 10  x  90 y conectándolo con las funciones lineales por medio de dos funciones cúbicas: tx  k x 3  lx 2  m x  n hx  px 3  qx 2  rx  s CAS 3.2 0 x  10 90  x 100 (a) Escriba un sistema de ecuaciones en 11 incógnitas que aseguren que las funciones y sus dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición. (b) Resuelva las ecuaciones del inciso (a) con un sistema de computo algebraico para encontrar las fórmulas para qx, tx y hx. (c) Dibuje L1, t, q, h y L 2 y compárelos con las gráficas del problema 1 inciso (c). LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE Las fórmulas de esta sección permiten derivar nuevas funciones formadas a partir de anteriores, por multiplicación o división. REGLA DEL PRODUCTO | Por analogía con las reglas de la suma y la diferencia, podría sentirse la tentación de Î√ √ u Î√ Îu Î√ u√ √ Îu u Îu FIGURA 1 La geometría de la regla del producto presumir —como Leibniz lo hizo hace tres siglos— que la derivada de un producto es el producto de las derivadas. Sin embargo, puede ver que esta suposición es errónea al considerar un ejemplo particular. Sea f x  x y tx  x 2. Por lo tanto la regla de la potencia da f x  1 y tx  2x. Pero  ftx  x 3, de modo que  ftx  3x 2. Por eso, ft  ft. La fórmula correcta fue descubierta por Leibniz (poco tiempo después de su falso inicio) y se llama regla del producto. Antes de enunciar la regla del producto, vea cómo podría descubrirla. En el caso donde tanto u  f(x) como v  g(x) son funciones positivas, puede interpretar el producto uv como un área de un rectángulo (véase la figura 1). Si x cambia una cantidad x, en seguida los cambios correspondientes en u y v son u  f x  x  f x v  tx  x  tx y el nuevo valor del producto, (u  u)(v  v), se puede interpretar como el área del rectángulo grande en la figura 1 (siempre que u y v sean positivos). El cambio en el área del rectángulo es 1 uv  u  uv  v  uv  u v  v u  u v  la suma de las tres áreas sombreadas CAPITULO-03-A 184 |||| 06/04/2009 18:52 Page 184 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Si divide entre x, obtiene uv v u v u v  u x x x x Recuerde que en la notación de Leibniz la definición de derivada se puede escribir como & Si ahora hace que x l 0, obtiene la derivada de uv.  dy y  lím  x l 0 x dx d uv v u v uv  lím  lím u v  u x l 0 x l 0 dx x x x x  v u  v lím  x l 0 x x v x  u lím x l 0 u 2   lím u x l 0 lím x l 0  dv du dv v 0 dx dx dx d dv du uv  u v dx dx dx (Advierta que u l 0 cuando x l 0, puesto que f es derivable y, por lo tanto, continua.) Aun cuando se partió de la hipótesis (para la interpretación geométrica) que todas las cantidades son positivas, observe que la ecuación 1 siempre es verdadera. (El álgebra es válida si u, v, u y v son positivas o negativas.) De modo que ha probado la ecuación 2, conocida como regla del producto, para todas las funciones diferenciables u y v. REGLA DEL PRODUCTO Si tanto f como g son derivables, en tal caso & En notación prima:  ft  ft  t f  d d d f xtx  f x tx  tx f x dx dx dx En palabras, la regla del producto expresa que la derivada de un producto de dos funciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función. EJEMPLO 1 En la figura 2 se muestran las gráficas de la función f del ejemplo 1 y su derivada f. Advierta que f(x) es positiva cuando f crece y negativa cuando f disminuye. & (a) Si f x  xe x, encuentre f x. (a) Hallar la n-ésima derivada, f(n)(x). SOLUCIÓN (a) Por la regla del producto se tiene d d x d xe x   x e   e x x dx dx dx  xe x  e x  1  x  1e x f x  3 fª (b) Aplicando la regla del producto una segunda vez se obtiene _3 1.5 f _1 FIGURA 2 d d x d [x  1e x ]  (x  1) e   e x x  1 dx dx dx  (x  1)ex  ex  1  (x  2)ex f x  CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 185 SECCIÓN 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE |||| 185 La aplicación adicional de la regla del producto proporciona f(x)  (x  3)ex f(4)(x)  (x  4)ex En realidad, cada derivada que sigue adiciona otro término ex, de esa manera f(n)(x)  (x  n)ex En el ejemplo 2, a y b son constantes. En matemáticas es habitual aplicar letras cerca del inicio del alfabeto para representar constantes y las letras cercanas del final del alfabeto representan variables &  EJEMPLO 2 Derive la función f t  st a  bt. SOLUCIÓN 1 Si se aplica la regla del producto, tiene f t  st d d a  bt  a  bt st dt dt  st  b  a  bt  12 t 12  bst  a  bt a  3bt  2st 2st SOLUCIÓN 2 Si en primer lugar usa las leyes de los exponentes para volver a escribir f(t), después puede proceder directamente, sin aplicar la regla del producto. f t  ast  bt st  at 12  bt 32 f t  12at12  32bt 12 la cual equivale a la respuesta de la solución 1.  En el ejemplo 2 se muestra que a veces es más fácil simplificar un producto de funciones que utilizar la regla del producto. Sin embargo, en el ejemplo 1 esta regla es el único método posible. EJEMPLO 3 Si f x  sx tx, donde t4  2 y t4  3, encuentre f 4. SOLUCIÓN Si se aplica la regla del producto, obtiene f x  d d d [ tx  tx [sx ] sx tx]  sx dx dx dx  sx tx  tx  12 x 12  sx tx  De este modo f 4  s4 t4  tx 2sx t4 2 23  6.5 2s4 22  REGLA DEL COCIENTE Encontrar una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables u  f(x) y v  t (x) de manera muy similar a como se encontró la regla del producto. Si x, u y v cambian en cantidades x, u y v, en tal caso el cambio correspondiente en el cociente uv es   u v  u  u u u  uv  uv  v v u  uv    v  v v vv  v vv  v CAPITULO-03-A 186 |||| 06/04/2009 18:52 Page 186 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN por eso d dx  u v uv  lím  lím x l 0 x l 0 x v u v u x x vv  v A medida que x l 0, v l 0 también porque t es derivable y por consiguiente continua. Así, al aplicar las leyes de los límites, obtiene d dx &  u v u v du dv  u lím v u x l 0 x x dx dx  v lím v  v v2 v lím x l 0  x l 0 REGLA DEL COCIENTE Si tanto f como t son diferenciables, entonces En notación prima  t f   ft f   t t2 d dx   f x tx tx  d d f x  f x tx dx dx tx 2 En palabras, en la regla del cociente se expresa que la derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. La regla del cociente y las otras fórmulas de derivación permiten calcular la derivada de cualquier función racional, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Puede usar un aparato graficador para comprobar que la respuesta al ejemplo 4 es plausible. En la figura 3 se muestran las gráficas de la función de ese ejemplo y su derivada. Advierta que cuando y crece con rapidez (cerca de 2), y es grande. Y cuando y crece con lentitud, y está cercana a 0. & V EJEMPLO 4 Sea y  x 3  6 y  1.5 4 x 3  62x  1  x 2  x  23x 2  x 3  62  2x 4  x 3  12x  6  3x 4  3x 3  6x 2  x 3  62  x 4  2x 3  6x 2  12x  6 x 3  62 y _1.5 FIGURA 3 d d x 2  x  2  x 2  x  2 x 3  6 dx dx x 3  62  yª _4 x2  x  2 . Entonces x3  6  Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y  e x1  x 2  en el punto 1, e2. V EJEMPLO 5 SOLUCIÓN De acuerdo con la regla del cociente dy  dx  1  x 2  d d e x   e x 1  x 2  dx dx 1  x 2 2 1  x 2 e x  e x 2x e x 1  x2  2 2 1  x  1  x 2 2 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 187 SECCIÓN 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE 187 1 De modo que la pendiente de la recta tangente en 1, 2 e es 2.5 y= ´ 1+≈ dy dx e y=_ 2 _2 |||| 3.5 0 FIGURA 4  x1 0 1 1 Esto significa que la recta tangente en 1, 2 e es horizontal y su ecuación es y  2 e . Véase 1  la figura 4. Advierta que la función es creciente y cruza su recta tangente en 1, 2 e. No use la regla del cociente cada vez que vea un cociente. A veces es más NOTA fácil volver a escribir un cociente para ponerlo en una forma que sea más sencilla para los fines de derivación. Por ejemplo, aun cuando es posible derivar la función Fx  3x 2  2sx x aplicando la regla del cociente es más fácil dividir primero y escribir la función como Fx  3x  2x 12 antes de derivar. Se resumen las fórmulas de derivación que ha aprendido hasta el momento como se describe a continuación: TABLA DE FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 3.2 d c  0 dx d x n   nx n1 dx d e x   e x dx cf   cf   f  t  f   t  f  t  f   t  ft  ft  tf   EJERCICIOS 1. Encuentre la derivada de y  x 2  1x 3  1 de dos maneras: aplicando la regla del producto y efectuando primero la multiplicación. ¿Sus respuestas son equivalentes? 2. Encuentre la derivada de la función x  3x sx sx de dos maneras: primero aplicando la regla del cociente y simplificando primero. Demuestre que sus respuestas son equivalentes. ¿Cuál método prefiere? Fx  3–26 Derive la función 3. f x  x3  2xe x 4. tx  sx e x x 5. y  tf   ft f   t t2 e x2 6. y  ex 1x 3x  1 2x  1 9. Vx  2x 3  3x 4  2x 7. tx  8. f t  2t 4  t2 10. Yu  u2  u3 u 5  2u 2  11. F y    1 3  4  y  5y 3  y2 y 12. Rt  t  e t (3  st ) x3 1  x2 t2  2 15. y  4 t  3t3  1 13. y  17. y  r2  2rer x1 x x2 t 16. y  t  12 1 18. y  s  kes 14. y  3 CAPITULO-03-A 188 |||| 19. y  06/04/2009 18:52 Page 188 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN v 3  2v sv v 20. z  w 32w  ce w  2t 2  st 22. tt  23. f x  A B  Ce x 24. f x  25. f x  x (b) Verifique para ver que sus respuestas en el inciso (a) son razonables al comparar los gráficas de f, f y f. 40. (a) Si f x  x/x2  1, hallar f(x) y f(x). 1  xe x x  ex ax  b 26. f x  cx  d c x ; t  st t1/3 21. f t  x 39. (a) Si f x  x  1ex , hallar f(x) y f(x). ; (b) Verifique para comprobar que sus respuestas en el inciso (a) son son justas al comparar los gráficas de f, f y f. 41. Si f x  x 2/1  x, hallar f(1). 42. Si tx  x/e x , hallar t(n)(x). 43. Suponga que f 5  1, f 5  6, t5  3 y t5  2. En- cuentre los valores siguientes (a)  ft5 (c)  tf 5 27–30 Hallar f(x) y f(x) 27. f x  x 4e x 29. f x  28. f x  x 5/2e x x2 1  2x 30. f x  44. Considere que f 2   3 , t2  4 , f 2  2 y x 3  ex t2  7 , encuentre h2. (a) hx  5f x  4tx (c) hx  31–32 Encontrar una ecuación de la recta tangente a la curva que se proporciona en el punto especifico. 31. y  2x , x1 (b)  ft5 fx tx (d) hx  tx 1  f x 45. Si f x  e x tx, donde t0  2 y t0  5, halle f 0. x 1, 1 32. y  e , x 1, e 46. Si h2  4 y h2  3, encuentre d dx 33–34 Halle ecuaciones de las rectas tangentes y de las rectas normales a la curva dada en el punto que se especifica. 33. y  2xe x, (b) hx  f xtx 0, 0 sx 34. y  , x1 4, 0.4   hx x x2 47. Si f y t son las funciones cuyas gráficas se ilustran, sean ux  f xtx y vx  f xtx. (b) Encuentre v5. (a) Encuentre u1. y 35. (a) La curva y  11  x 2  se llama bruja de Agnesi. ; 36. (a) La curva y  x1  x 2  se llama serpentina. Encuentre ; f Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 12 ). (b) Ilustre el inciso (a) trazando las gráficas de la curva y la recta tangente en la misma pantalla. una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (3, 0.3). (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. g 1 0 x 1 48. Sea Px  FxGx y Qx  FxGx, donde F y G son las funciones cuyas gráficas se muestran (a) Encuentre P2. (b) Encuentre Q7. y 37. (a) Si f x  e xx 3, encuentre f x. ; 38. (a) Si f x  xx 2  1, halle f x. ; F (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y f. (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y f. G 1 0 1 x CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 189 SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 49. Si t es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes. (a) y  xtx x tx (b) y  (c) y  tx x 50. Si f es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes. (a) y  x 2 f x f x (b) y  x2 x2 (c) y  f x 1  x f x (d) y  sx 51. ¿Cuántas rectas tangentes a la curva y  xx  1) pasan por el punto (1, 2)? ¿En qué puntos toca la curva estas rectas tangentes? 52. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y x1 x1 53. En este ejercicio estime la proporción a la que se está elevando el ingreso personal total en el área metropolitana de Richmond-Petersburg, Virginia. En 1999, la población de esta área era 961 400 y la población aumentaba en alrededor de 9 200 personas al año. El ingreso anual promedio era $30 593 per cápita, y este promedio aumentaba en cerca de $1 400 al año (ligeramente por arriba del promedio nacional de alrededor de $1 225 al año). Use la regla del producto y estas cifras para estimar la proporción en la que estaba aumentando el ingreso personal total en el área de Richmond-Petersburg en 1999. Explique el significado de cada término en la regla del producto. 54. Un fabricante produce rollos de una tela con un ancho fijo. La cantidad q de esta tela (medida en yardas) que se vende es función del precio de venta p (en dólares por yarda), de En el apéndice D se da un repaso de las funciones trigonométricas & 189 modo que q  f  p. Luego el ingreso total que se percibe con el precio de venta p es R p  pf  p. (a) ¿Qué significa afirmar que f 20  10 000 y f 20  350? (b) Suponiendo los valores del inciso (a), encuentre R(20) e interprete su respuesta. 55. (a) Utilice la regla del producto dos veces para probar que si f, t y h son derivables, en tal caso  fth  f th  fth  fth. (b) Tome f  t  h en el inciso (a) y demuestre que d f x 3  3 f x 2 f x dx (c) Aplique el resultado del inciso (b) para derivar y  e 3x. 56. (a) Si Fx  f xtx, donde f y t son derivables en todos los ordenes y demostrar que F  ft  2ft  ft. (b) Hallar formulas similares para F y F(4). (c) Intente una formula para F(n). 57. Hallar expresiones para las primeras cinco derivadas de que sean paralelas a la recta x  2y  2. 3.3 |||| f(x)  x2ex. ¿Observa algún patrón en estas expresiones? Intente una formula para f(n)(x) y compruebe aplicando inducción matemática. 58. (a) Si t es derivable la regla del recíproco dice que d dx   1 tx  tx tx 2 Aplique la regla del cociente para comprobar la regla del recíproco (b) Utilice la regla del recíproco para derivar la función del ejercicio 18. (c) Utilice la regla del recíproco para comprobar que la regla de la potencia es válida para números enteros negativos, es decir, d x n   nxn1 dx para todos los números enteros positivos n. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Antes de iniciar esta sección, quizá podría necesitar repasar las funciones trigonométricas. En particular, es importante recordar que cuando habla de la función f definida para todos los números reales x por f(x)  sen x se entiende que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Se cumple una convención similar para las demás funciones trigonométricas: cos, tan, csc, sec y cot. Recuerde, por lo que se vio en la sección 2.5, que todas las funciones trigonométricas son continuas en cada número en sus dominios. Si traza la gráfica de la función f(x)  sen x y utiliza la interpretación de f x como la pendiente de la tangente a la curva seno para trazar la gráfica de f  (véase el ejercicio 14 CAPITULO-03-A 190 |||| 06/04/2009 18:52 Page 190 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN de la sección 2.8), parece que la gráfica de esta última es la misma que la curva coseno (véase figura 1). y y=ƒ=sen x 0 π 2 2π π x TEC Visual 3.3 muestra una animación de la figura 1 y y=fª(x ) 0 π 2 x π FIGURA 1 Intente confirmar la conjetura de que si f(x)  sen x, por lo tanto f(x)  cos x. A partir de la definición de derivada f x  lím hl0 Se usa la fórmula de la adición para el seno. Véase el apéndice D. &  lím hl0  lím hl0 f x  h  f x senx  h  sen x  lím hl0 h h sen x cos h  cos x sen h  sen x h     lím sen x hl0 1 cos h  1 h  lím sen x  lím hl0    sen x cos h  sen x cos x sen h  h h hl0   cos x sen h h cos h  1 sen h  lím cos x  lím hl0 hl0 h h Dos de estos cuatro límites son fáciles de evaluar. Puesto que se considera a x como constante al calcular un límite cuando h l 0, tiene lím sen x  sen x hl0 y lím cos x  cos x hl0 El límite de sen hh no es tan obvio. Con base en la evidencia numérica y gráfica, en el ejemplo 3 de la sección 2.2, se infiere que 2 lím l0 sen  1  Ahora, use un argumento geométrico para probar la ecuación 2. Suponga primero que  se encuentra entre 0 y p2. En la figura 2(a) se muestra un sector de círculo con centro en O, ángulo central u y radio 1. BC se traza perpendicular a OA. Por la definición de radián, CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 191 SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D      BC    AB   arco AB 1 E ¨ C A En consecuencia sen    sen  1  de igual manera Suponga que las tangentes en A y B se intersecan en E. Puede ver, con base en la figura 2(b) que la circunferencia de un círculo es menor que la longitud de un polígono circunscrito, de modo que arco AB  AE  EB . Así,       arco AB   AE    EB  (a)       AD    OA  tan   AE  ED B E A O 191 arco AB  . Asimismo, BC  OB sen   sen . Con base en el diagrama, se ve que B O ||||  tan  (b) (En el apéndice F se demuestra directamente la desigualdad  tan  a partir de la definición de la longitud de un arco, sin recurrir a la intuición geométrica como se hizo aquí.) Por lo tanto, FIGURA 2  cos   de modo que sen  cos  sen  1  Sabe que lím  l 0 1  1 y lím  l 0 cos   1; de este modo, por el teorema de la compresión lím  l 0 sen  1  Pero la función sen  es una función par, de suerte que sus límites por la derecha y la izquierda deben ser iguales. De donde, tiene lím l0 sen  1  de forma que ha probado la ecuación 2. Puede deducir el valor del límite restante en (1), como sigue: Multiplique el numerador y el denominador por cos   1 para poner la función en una forma en que pueda usar los límites que conoce. & lím l0 cos   1  lím l0   lím l0  sen 2  lím l0  cos   1  lím l0  1    cos   1 cos   1   cos   1  lím l0 cos2  1  cos   1 sen  sen    cos   1 sen  sen   lím  l 0 cos   1    0 11 0 (por la ecuación 2)  CAPITULO-03-A 192 |||| 06/04/2009 18:52 Page 192 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN lím 3 l0 cos   1 0  Si ahora pone los límites (2) y (3) en (1), obtiene f x  lím sen x  lím hl0 hl0 cos h  1 sen h  lím cos x  lím h l 0 h l 0 h h  sen x  0  cos x  1  cos x Así ha probado la fórmula para la derivada de la función seno: d sen x  cos x dx 4 La figura 3 muestra las gráficas de la función del ejemplo 1 y su derivada. Advierta que y  0 siempre que y tenga una tangente horizontal. & V EJEMPLO 1 SOLUCIÓN Con la regla del producto y la fórmula 4, tiene dy d d  x2 sen x  sen x x 2  dx dx dx 5 yª _4 Derive y  x2 sen x. y  x 2 cos x  2x sen x 4  Si se aplican los mismos métodos que en la demostración de la fórmula 4, se puede probar (véase el ejercicio 20) que _5 FIGURA 3 d cos x  sen x dx 5 También se puede derivar la función tangente aplicando la definición de derivada, pero es más fácil usar la regla del cociente con las fórmulas 4 y 5: d d tan x  dx dx   cos x  sen x cos x d d sen x  sen x cos x dx dx cos2x  cos x  cos x  sen x sen x cos2x  cos2x  sen2x cos2x  1  sec2x cos2x CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 193 SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS |||| 193 d tan x  sec2x dx 6 También es fácil hallar las derivadas de las funciones trigonométricas restantes, csc, sec y cot, aplicando la regla del cociente (véase los ejercicios 17-19). En la tabla siguiente aparecen todas las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas. Recuerde que son válidas sólo cuando x se mide en radianes. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Cuando memorice esta tabla, resulta útil notar que los signos menos van con las derivadas de las “cofunciones”; es decir, coseno, cosecante y cotangente. & d sen x  cos x dx d cos x  sen x dx d tan x  sec2x dx EJEMPLO 2 Derive f x  tangente horizontal? d csc x  csc x cot x dx d sec x  sec x tan x dx d cot x  csc 2x dx sec x . ¿Para cuáles valores de x la gráfica de f tiene una 1  tan x SOLUCIÓN La regla del cociente da 1  tan x f x  3 _3 d d sec x  sec x 1  tan x dx dx 1  tan x2  1  tan x sec x tan x  sec x  sec2x 1  tan x2  sec x tan x  tan2x  sec2x 1  tan x2  sec x tan x  1 1  tan x2 5 _3 FIGURA 4 Las tangentes horizontales del ejemplo 2 Al simplificar la respuesta, se usó la identidad tan2x  1  sec2x. Como sec x nunca es 0, fx  0 cuando tan x  1, y esto sucede cuando x  n  4, donde n es un entero (véase la figura 4).  Las funciones trigonométricas se usan con frecuencia en el modelado de fenómenos del mundo real. En particular, las vibraciones, las ondas, los movimientos elásticos y otras cantidades que varían de manera periódica, se pueden describir por medio de las funciones trigonométricas. En el ejemplo siguiente, se analiza un caso de movimiento armónico simple. 0 4 s FIGURA 5 V EJEMPLO 3 Un objeto que se encuentra en el extremo de un resorte vertical se desplaza hacia abajo 4 cm más allá de su posición de reposo, para estirar el resorte, y se deja en libertad en el instante t  0. (Véase la figura 5 y observe que la dirección hacia abajo es positiva.) Su posición en el instante t es s  f t  4 cos t CAPITULO-03-A 194 06/04/2009 |||| 18:52 Page 194 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t y úselas para analizar el movimiento del objeto. SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son v ds d d  4 cos t  4 cos t  4 sen t dt dt dt a dv d d  4 sen t  4 sen t  4 cos t dt dt dt √ s a 2 0 π 2π t _2 El objeto oscila desde el punto más bajo s  4 cm hasta el punto más alto s  4 cm. El periodo de la oscilación es 2p, el periodo de cos t. La rapidez (magnitud de la velocidad) es v  4 sen t , la cual es máxima cuando sen t  1; es decir, cuando cos t  0. De modo que el objeto se mueve con la mayor rapidez cuando pasa por su posición de equilibrio s  0. Su rapidez es 0 cuando sen  t  0; esto es, en los puntos alto y bajo.  FIGURA 6      La aceleración a  4 cos t  0 cuando s  0. Alcanza la magnitud máxima en los  puntos alto y bajo. Observe la gráfica en la figura 6. EJEMPLO 4 Hallar la vigésima séptima derivada de cos x. SOLUCIÓN Las primeras derivadas de fx cos x son como sigue: & fx  sen x Busque la norma fx  cos x fx  sen x f(4)x  cos x f(5)x  sen x Así que las derivadas sucesivas suceden en un ciclo de extención 4 y, en particular, f(n)x  cos x cada vez que n es un múltiplo de 4. En consecuencia f(24)x  cos x y, derivando tres veces más, tiene f(27)x  sen x  La principal aplicación del límite en la ecuación 2 ha sido comprobar la formula de derivación de la función seno. Pero este límite también se aplica en la búsqueda de otros límites trigonométricos, como en los dos ejemplos siguientes. EJEMPLO 5 Determine lím xl0 sen 7x . 4x SOLUCIÓN Con objeto de aplicar la ecuación 2, primero vuelva a escribir la función para multiplicar y dividir entre 7: Observe que sen 7x  7 sen x . sen 7x 7  4x 4   sen 7x 7x CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 195 SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS |||| 195 Si considera   7x, entonces u l 0, cuando x l 0, de este modo, mediante la ecuación 2 lím xl0   sen 7x 7 sen 7x  lím x l 0 4x 4 7x  7 sen  7 7 lím  1 x l 0 4  4 4  Calcule lím x cot x . V EJEMPLO 6 xl0 SOLUCIÓN En este caso se divide tanto al numerador como el denominador entre x: lím x cot x  lím xl0 xl0  lím xl0 x cos x sen x lím cos x cos x xl0  sen x sen x lím x l 0 x x cos 0 1 1  3.3 1. f x  3x2  2 cos x 3. f x  sen x  1 2 cot x 5. tt  t 3 cos t 21–24 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada 7. h  csc   e cot  x 2  tan x 11. f    sec  1  sec  sen x x2  3, 2 23. y  x  cos x, 8. y  e cos u  cu 0, 1 22. y  e x cos x, 24. y  u 10. y  1  sen x x  cos x 12. y  1  sec x tan x 16. y  x2 sen x tan x d csc x  csc x cot x. dx d 18. Pruebe que sec x  sec x tan x. dx 19. Pruebe que 21. y  sec x, 4. y  2 csc x  5 cos x d cot x  csc 2x. dx 20. Aplique la definición de derivada y pruebe que si fx  cos x, por lo tanto fx  sen x. 0, 1 1 , 0, 1 sen x  cos x 25. (a) Halle una ecuación de la recta tangente a la curva ; 14. y  csc    cot  15. f x  ex x csc x 17. Pruebe que en el punto especificado. 2. f x  sx sen x 6. tt  4 sec t  tan t  13. y   EJERCICIOS 1–16 Encuentre las derivadas de: 9. y  (según la continuidad del coseno y la ecuación 2) y  2x sen x en el punto  2, . (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 26. (a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva ; y  sec x  2 cos x en el punto  3, 1. (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 27. (a) Si f x  sen x  x , encuentre f x. ; (b) Compruebe para ver que su respuesta al inciso (a) es razonable trazando las gráficas de f y f para x < p/2 .   28. (a) Si f x  e x cos x , calcule f x y fx. ; (b) Verifique que su respuesta del inciso (a) sea razonable graficando f , f  y f. 29. Si H(u)  u sen u hallar H(u) y H(u) 30. Si fx  sec x, hallar f 4. CAPITULO-03-A 196 |||| 06/04/2009 18:52 Page 196 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 31. (a) Aplique la regla del cociente para derivar la función. 37. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una pared vertical. Sea u el ángulo entre la parte superior de la escalera y la pared, y x la distancia del extremo inferior de aquélla hasta la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapidez cambia x con respecto a u cuando   3? tan x  1 f (x)  sec x (b) Simplifique la expresión de fx expresándola en términos de sen x y cos x y en seguida halle fx. (c) Demuestre que sus respuestas a los incisos (a) y (b) son equivalentes 38. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda sujeta al propio objeto. Si la cuerda forma un ángulo u con el plano, después la magnitud de la fuerza es 32. Considere f(p/3)  4 y f(p/3)  2, y sea t (x)  f (x) sen x y h(x)  F cos x f (x) Hallar (a) t(p/3) y (b) h(p/3). 33. ¿Para qué valores de x la gráfica de f x  x  2 sen x tiene una tangente horizontal? 34. Determine los puntos de la curva y  cos x2  sen x en ; W  sen   cos  donde m es una constante llamada coeficiente de fricción. (a) Encuentre la relación de cambio de F con respecto a u. (b) ¿Cuándo es igual a 0 esta relación de cambio? (c) Si W  50 lb y   0.6 dibuje la gráfica de F como función de u y úsela para localizar el valor de esta última para el cual dFd  0. ¿Resulta coherente el valor con su respuesta al inciso (b)? los cuales la tangente es horizontal. 39–48 Determine el límite 35. Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una superficie lisa y nivelada, en un movimiento armónico simple. (Véase la figura.) Su ecuación del movimiento es xt  8 sen t, donde t está en segundos y x en centímetros. (a) Encuentre la velocidad y aclaración en el instante t. (b) Encuentre la posición, la velocidad y la aclaración de la masa en el instante t  2 3. ¿En qué dirección se desplaza en ese instante? 39. lím sen 3x x 40. lím sen 4x sen 6x 41. lím tan 6t sen 2t 42. lím cos   1 sen  43. lím sencos  sec  44. lím sen2 3t t2 45. lím sen    tan  46. lím sen (x2) x 48. lím senx  1 x2  x  2 xl0 tl0 l0 posición de equilibrio l0 47. lím p l p/4 0 x xl0 l0 tl0 xl0 1  tan x sen x  cos x xl1 x ; 36. Una banda elástica cuelga de un gancho, con una masa sujeta en su extremo inferior. Cuando se tira de la masa hacia abajo y, luego, se deja en libertad, vibra verticalmente en un movimiento armónico simple. La ecuación del movimiento es s  2 cos t  3 sen t , t  0, donde s se mide en centímetros y t en segundos. (Tome la dirección positiva correspondiente hacia abajo.) (a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t. (b) Dibuje las funciones velocidad y aceleración. (c) ¿Cuándo pasa la masa por la posición de equilibrio por primera vez? (d) ¿Cuán lejos de su posición de equilibrio viaja la masa? (e) ¿Cuándo es máxima la magnitud de la velocidad? 49. Derive cada identidad trigonométrica para obtener una identi- dad nueva (o conocida) (a) tan x  sen x cos x (b) sec x  1 cos x (c) sen x  cos x  1  cot x csc x 50. Un semicírculo con diámetro PQ descansa sobre un triángulo isósceles PQR para formar una región en forma de cono, como CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 197 SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA el que se ilustra en la figura. Si A  es el área del semicírculo y B  es el área del triángulo, halle lím  l 0 197 51. En la figura se muestra un arco circular de longitud s y una cuerda de longitud d, los dos subtendidos por un ángulo central . Encuentre A  B  lím  l 0 d A(¨) P |||| s d s ¨ Q B(¨) 10 cm 10 cm ¨ R 3.4 LA REGLA DE LA CADENA Suponga que se le pide derivar la función Fx  sx 2  1 Vea la sección 1.3 para un repaso de funciones compuestas & Las fórmulas de derivación que aprendió en las secciones anteriores de este capítulo no lo capacitan para calcular Fx. Observe que F es una función compuesta. De hecho, si hace y  f u  su y u  tx  x 2  1, en este caso puede escribir y  Fx  f  tx, es decir, F  f  t. Sabe cómo derivar tanto f como t, de modo que sería útil contar con una regla que le diga cómo hallar la derivada de F  f  t en términos de las derivadas de f y t. Resulta que la derivada de la función compuesta f  t es el producto de las derivadas de f y t. Este hecho es uno de los más importantes de las reglas de derivación y se llama regla de la cadena. Parece plausible, si interpreta las derivadas como razones de cambio. Considere dudx como la relación de cambio de u con respecto a x, dydu como la relación de cambio de y en relación a u y dydu como la relación de cambio de y con respecto de x. Si u cambia al doble de rapidez de x y y cambia tres veces más rápido que u, en este caso resulta razonable que y cambie seis veces más rápido que x y por lo tanto esperamos que dy dy du  dx du dx REGLA DE LA CADENA Si t es derivable en x y f en t(x), entonces la función compuesta F  f  t definida mediante Fx  f tx, en derivable x y F está dada por el producto Fx  f tx  tx En la notación de Leibniz, si tanto y  f u como u  tx son funciones diferenciables, por lo tanto dy dy du  dx du dx CAPITULO-03-A 198 |||| 06/04/2009 18:52 Page 198 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN COMENTARIOS SOBRE LA DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA Sea u el cambio en u correspondiente a un cambio de x en x; es decir u  tx  x  tx Por lo tanto el cambio correspondiente en y es y  f u  u  f u Resulta tentador escribir dy y  lím x l 0 x dx 1  lím y u  u x  lím y u  lím u x l 0 x  lím y u  lím u x l 0 x x l 0 x l 0 u l 0  (Advierta que u l 0 cuando x l 0 porque t es continua.) dy du du dx El único defecto de este razonamiento es que, en (1), podría suceder que u  0 (incluso cuando x  0) y, por supuesto, no puede dividir entre 0. No obstante, este razonamiento por lo menos sugiere que la regla de la cadena es verdadera. Al final de esta sección se da  una prueba completa de la regla de la cadena. La regla de la cadena se puede escribir con apóstrofos 2  f  tx  f  tx  tx o bien, si y  f u y u  tx, en la notación de Leibniz: 3 dy dy du  dx du dx La ecuación 3 es fácil de recordar porque, si dydu y dudx fueran cocientes, después podría cancelar du. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y no debe concebir dudx como un cociente real. EJEMPLO 1 Encuentre Fx si Fx  sx 2  1. SOLUCIÓN 1 (Con la ecuación 2): Al principio de esta sección, se expresó F como Fx   f  tx  f tx donde f u  su y tx  x 2  1. Dado que f u  12 u12  tiene 1 2su y tx  2x Fx  f tx  tx  1 x  2x  2sx 2  1 sx 2  1 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 199 SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA |||| 199 SOLUCIÓN 2 (con la ecuación 3): Si hace u  x 2  1 y y  su, después Fx   dy du 1  2x du dx 2su 1 x 2x  2 2 2sx  1 sx  1  Al utilizar la fórmula 3, debe tener presente que dydx se refiere a la derivada de y cuando ésta se considera como función de x (llamada derivada de y con respecto a x), en tanto que dydu se refiere a la derivada de y cuando se considera como función de u (la derivada de y en función de u). Por lo tanto, en el ejemplo 1 y se puede considerar como función de x ( y  sx 2  1 ) y como función de u ( y  su ). Advierta que dy x  Fx  dx sx 2  1 dy 1  f u  du 2su en tanto que En la aplicación de la regla de la cadena, trabaja del exterior hacia el interior. NOTA La fórmula 2 expresa que deriva la función exterior f en la función interior tx y, a continuación, multiplica por la derivada de la función interior. d dx tx f función exterior V EJEMPLO 2  f  tx derivada de la función exterior evaluada en la función interior  tx derivada de la función interior evaluada en la función interior Derive (a) y  senx2 y (b) y  sen2x. SOLUCIÓN (a) Si y  senx2, por lo tanto la función exterior es la función seno y la interior es la función de elevar al cuadrado, de modo que la regla de la cadena da dy d  dx dx x 2  sen función exterior  x 2  cos derivada de la función exterior evaluada en la función interior evaluada en la función interior  2x derivada de la función interior  2x cosx 2  (b) Observe que sen2x  sen x2. En este caso, la función exterior es la de elevar al cuadrado y la interior es la función seno. Por lo tanto, dy d  sen x2 dx dx función exterior Véase la página de referencia 2 o el apéndice D. &   sen x derivada de la función exterior evaluada en la función interior 2  cos x derivada de la función interior La respuesta se puede dejar como 2 sen x cos x, o bien, escribirse como sen 2x (por una  identidad trigonométrica conocida como la fórmula del ángulo doble). En el ejemplo 2(a), combinó la regla de la cadena con la regla para derivar la función seno. En general, si y  sen u, donde u es una función diferenciable de x, en consecuencia, por la regla de la cadena, dy dy du du   cos u dx du dx dx CAPITULO-03-A 200 |||| 06/04/2009 18:52 Page 200 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN d du sen u  cos u dx dx De esta manera, De manera semejante, todas las fórmulas para derivar funciones trigonométricas se pueden combinar con la regla de la cadena. Para hacer explícito el caso especial de la regla de la cadena donde la función exterior f es una función potencia. Si y  tx n, entonces puede escribir y  fu  un, donde u  tx. Si aplica la regla de la cadena y, a continuación, la regla de la potencia, obtiene dy dy du du   nu n1  n tx dx du dx dx 4 tx n1 REGLA DE LA POTENCIA COMBINADA CON LA REGLA DE LA CADENA Si n es cualquier número real y u  tx es derivable, entonces d du u n   nu n1 dx dx De modo alternativo, d tx n  n tx dx n1  tx Advierta que la derivada del ejemplo 1 pudo calcularse al tomar n  12 en la regla 4. EJEMPLO 3 Derive y  x3  1100. SOLUCIÓN Si, en (4), se toma u  tx  x3  1 y n  100, tiene dy d d  x 3  1100  100x 3  199 x 3  1 dx dx dx  100x 3  199  3x 2  300x 2x 3  199 V EJEMPLO 4 Encuentre fx si f x   1 . 3 x2  x  1 s SOLUCIÓN En primer lugar, reescriba f: f x  x 2  x  113. f x  13 x 2  x  143 De este modo d x 2  x  1 dx  13 x 2  x  1432x  1  EJEMPLO 5 Encuentre la derivada de la función tt    t2 2t  1 9 SOLUCIÓN Si se combina la regla de la potencia, la de la cadena y la del cociente, obtiene       t2 2t  1 8 tt  9 d dt t2 2t  1 t2 2t  1 8 9 2t  1  1  2t  2 45t  28  2 2t  1 2t  110  CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 201 SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA En la figura 1 se muestran las gráficas de las funciones y y ydel ejemplo 6. Advierta que y es grande cuando y crece con rapidez, y y  0 cuando y tiene una tangente horizontal. De modo que la respuesta parece ser razonable. & 201 EJEMPLO 6 Derive y  2x  15x 3  x  14. SOLUCIÓN En este ejemplo debe aplicar la regla del producto antes de aplicar la regla de la cadena: dy d d  2x  15 x 3  x  14  x 3  x  14 2x  15 dx dx dx 10 yª _2 ||||  2x  15  4x 3  x  13 1 y d x 3  x  1 dx  x 3  x  14  52x  14 _10 d 2x  1 dx  42x  15x 3  x  133x 2  1  5x 3  x  142x  14  2 FIGURA 1 Al observar que cada término tiene el factor común 22x  14x 3  x  13, podría factorizarlo y escribir la respuesta como dy  22x  14x 3  x  1317x 3  6x 2  9x  3 dx  EJEMPLO 7 Derive y  esen x. SOLUCIÓN En este caso, la función interior es t(x)  sen x y la exterior es la función ex- ponencial f(x)  ex. Por lo tanto, por la regla de la cadena, & La regla de la cadena en su forma más general dy d d  e sen x   e sen x sen x  e sen x cos x dx dx dx du d u e   e u dx dx  Puede aplicar la regla de la cadena para derivar una función exponencial con cualquier base a  0. Recuerde, por lo visto en la sección 1.6, que a  eln a. De este modo, a x  e ln a  x  e ln ax y la regla de la cadena da d d d a x   e ln ax   e ln ax ln ax dx dx dx  e ln ax  ln a  a x ln a porque ln a es una constante. De este modo, tiene la fórmula No confunda la fórmula 5 (donde x es el exponente) con la regla de la potencia (donde x es la base): d x n   nx n1 dx & 5 d a x   a x ln a dx En particular, si a  2, obtiene 6 d 2 x   2 x ln 2 dx CAPITULO-03-A 202 |||| 06/04/2009 18:52 Page 202 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN En la sección 3.1, se dio la estimación d 2 x  dx 0.692 x Esto resulta coherente con la fórmula exacta (6), porque ln 2 0.693147. Queda clara la razón del nombre “regla de la cadena”, cuando se alarga una cadena, se agrega al otro eslabón. Suponga que y  f(u), u  t(x) y x  h(t), donde f, t y h son funciones derivables. Entonces, para calcular la derivada de y con respecto a t, aplique dos veces la regla de la cadena: dy dy dx dy du dx   dt dx dt du dx dt V EJEMPLO 8 Si f(x)  sen(cos(tan x)), por lo tanto f x  coscostan x d costan x dx  coscostan x sentan x d tan x dx  coscostan x sentan x sec2x Advierta que la regla de la cadena se ha aplicado dos veces.  EJEMPLO 9 Derive y  e sec 3. SOLUCIÓN La función exterior es la función exponencial, la función media es la función secante y la función interna es la función triplicadora. De modo que dy d  e sec 3 sec 3  d d  e sec 3 sec 3 tan 3 d 3  d  3e sec 3 sec 3 tan 3  CÓMO PROBAR LA REGLA DE LA CADENA Recuerde que si y  f(x) y x cambia de a a a  x, se define el incremento de y como y  f a  x  f a Según la definición de derivada lím x l 0 y  f a x Por consiguiente, si denota por medio de e la diferencia entre el cociente de diferencia y la derivada, obtiene lím   lím x l 0  x l 0  y  f a  f a  f a  0 x CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 203 SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA  pero y  f a x ? |||| 203 y  f a x   x Si define e como 0 cuando x  0, entonces e se convierte en función continua de x. De esta manera para una función f derivable, podemos escribir 7 y  f a x   x donde  l 0 a medida que x l 0 y  es una función continua de x. Esta propiedad de las funciones derivables es lo que permite probar la regla de la cadena. PRUEBA DE LA REGLA DE LA CADENA Suponga que u  tx es derivable en a y y  f(u) lo es en b  t(a). Si x es un incremento en x y u y y son los incrementos correspondientes en u y y, en seguida puede aplicar la ecuación 7 para escribir 8 u  ta x  1 x  ta  1 x donde 1 l 0 cuando x l 0. De manera análoga 9 y  f b u  2 u  f b  2 u donde 2 l 0 cuando u l 0. Si ahora sustituye la expresión para u de la ecuación 8 en la ecuación 9, obtiene y  f b  2 ta  1 x de modo que y  f b  2 ta  1 x Cuando x l 0, la ecuación 8 demuestra que u l 0. De modo que tanto el 1 l 0 y 2 l 0 a medida que x l 0. Debido a eso dy y  lím  lím f b  2 ta  1 x l 0 x x l 0 dx  f bta  f tata Esto prueba la regla de la cadena. 3.4  EJERCICIOS 1–6 Escriba la función compuesta en la forma f(t(x)). Identifique la función interior u  t(x) y la exterior y  f(u) . Luego, encuentre la derivada dydx. 1. y  sen 4x 2. y  s4  3x 3. y  1  x  4. y  tansen x 5. y  e sx 6. y  sene x  2 10 4 9. Fx  s 1  2x  x 3 11. tt  1 t 4  13 10. f x  1  x 4 23 3 12. f t  s 1  tan t 13. y  cosa 3  x 3  14. y  a 3  cos3x 15. y  xekx 16. y  3 cos(nu) 17. tx  1  4x53  x  x 2 8 7–46 Halle la derivada de la función. 7. Fx  x4  3x2  25 8. Fx  4x  x 2100 18. ht  t 4  13t 3  14 19. y  2x  548x 2  53 3 20. y  x 2  1 s x2  2 CAPITULO-03-A 204 06/04/2009 |||| 21. y  Page 204 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN   x2  1 x2  1 3 25. Fz   ; 58. La función f(x)  sen(x  sen 2x), 0 22. y  e5x cos 3x 23. y  e x cos x 27. y  18:52 24. y  10 1x z1 z1  y  14  y 2  2y5 26. G y  r sr 2  1 28. y  2 eu  eu e u  e u   y2 y1 29. y  sentan 2x 30. G(y)  31. y  2 sen 32. y  tan 23 x 33. y  sec2x  tan2x  1  e2x 35. y  cos 1  e2x 34. y  x sen  62. Si hx  s4  3f x , donde f(1)  7 y f 1  4 , 40. y  sensensen x 41. f t  sen2e sen t 42. y  43. tx  2ra rx  n p 44. y  2 3 45. y  cosssen tan p x 46. y  [x  x  sen2x3]4 x2 47–50 Hallar la primera y segunda derivadas de la función. 50. y  ee x un punto dado. 53. y  sensen x, hallar h1. x f x tx f x tx 1 2 3 3 1 7 2 8 2 4 5 7 6 7 9 (a) Si hx  f tx, encuentre h(1). (b) Si Hx  t f x, halle H(1). 64. Sean f y t las funciones del ejercicio 63. (a) Si Fx  f  f x, encuentre F(2). (b) Si Gx  ttx, encuentre G(3). 65. Si f y t son las funciones cuyas gráficas se ilustran, sea ux  f  tx, vx  t f x, y wx  t tx. Encuentre, 51–54 Encuentre una ecuación de la recta tangente de la curva en 51. y  1  2x10, t(5)  2, y t5  6 Hallar F5. 63. Se da una tabla de valores de f, t, f y t sx  sx  sx 49. y  ex sen bx 60. Determine las coordenadas x de todos los puntos de la curva t t2  4 39. f t  tane t  etan t 48. y  xe cx en los cuales la recta tangente es horizontal. 61. Si Fx  f  tx donde f(2)  8, f(2)  4, f 5  3 . 38. y  ek tan sx 47. hx  sx2  1 f x  2 sen x  sen2x y  sen 2x  2 sen x en los cuales la tangente es horizontal. 37. y  cot 2sen  2 59. Encuentre todos los puntos en la gráfica de la función 5 1 x  36. ft  x , surge en aplicaciones de la síntesis de modulación de frecuencia (FM). (a) Use una gráfica de f producida por un aparato graficador para trazar un boceto aproximado de la gráfica de f. (b) Calcule f(x) y utilice esta expresión, junto con un dispositivo graficador, para graficar f. Compare con su boceto del inciso (a). si existe, cada derivada. En caso contrario, explique por qué. (a) u1 (b) v1 (c) w1 y (0, 1) (p, 0) 52. y  sen x  sen2 x , (0, 0) 2 x 54. y  x e f 1, 1e g 1 55. (a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva ; y  21  ex  en el punto (0, 1). (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente sobre la misma pantalla.   56. (a) La curva y  x s2  x 2 se llama curva nariz de bala. ; Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 1). (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente sobre la misma pantalla. 57. (a) Si f x  xs2  x 2 , encuentre f(x). ; (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y f. 0 x 1 66. Si f es la derivada cuya gráfica se muestra, sea h(x)  f(f(x)) y t(x)  f(x2). Utilice la gráfica de f para estimar el valor de cada derivada. (a) h2 (b) t2 y y=ƒ 1 0 1 x CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 205 SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA 67. Suponga que f es derivable en . Sea F(x)  f(ex) y G(x)  e f(x). Encuentre expresiones para (a) F(x) y (b) G(x). 68. Suponga que f es derivable en  y a es un número real. Sea |||| 205 Aplique este modelo para comparar cómo aumentan las horas de luz diurna en Filadelfia el 21 de marzo y el 21 de mayo. ; 81. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de fricción o una fuerza de amortiguamiento (como un amortiguador en un automóvil) se modela a menudo mediante el producto de una función exponencial y una función seno o coseno. Suponga que la ecuación del movimiento de un punto sobre tal resorte es Fx  f x   y Gx  f x . Encuentre expresiones para (a) F(x) y (b) G(x). 69. Sea r(x)  f(t(h(x))), donde h(1)  2, t(2)  3, h(1)  4, t(2)  5 y f(3)  6. Encuentre r(1). st  2e1.5t sen 2 t 70. Si t es una función derivable dos veces y f(x)  xt(x ), 2 donde s se mide en centímetros y t en segundos. Halle la velocidad después que transcurren t segundos y dibuje las funciones de posición y de velocidad para 0 t 2. hallar f en términos de t, t, y t. 71. Si F(x)  f(3f(4f(x))), donde f(0)  0 y f(0)  2, hallar F(0). 82. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la ecuación 72. Si F(x)  f(xf(xf(x))), donde f(1)  2,f(2)  3,f(1)  4, pt  f(2)  5, y f(3)  6, hallar F(1). 73. Demuestre que la función y  Aex  Bxex satisface la ecuación diferencial y  2y  y  0. 74. ¿Para que valores de r la función y  erx satisface la ecuación y  5y  6y  0? 75. Hallar la quincuagésima derivada de y  cos 2x. 76. Encuentre la derivada 1000 de f(x)  xex. 77. La ecuación expresa el desplazamiento de una partícula de una cuerda vibrante. st  10  sen10 t 1 4 En ella s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentre la velocidad y la aceleración de la partícula después de t segundos. 78. Si la ecuación del movimiento de una partícula está dada por s  A cos t  , se dice que la partícula describe un movimiento armónico simple. (a) Encuentre la velocidad de la partícula en el instante t. (b) ¿Cuándo es 0 la velocidad? 79. Una estrella variable Cefeida tiene brillantez que aumenta y disminuye de manera alternada. La estrella de ese tipo más visible es la Delta Cefeida, para la cual el intervalo entre los momentos de máxima brillantez es de 5.4 días. La brillantez promedio de esta estrella es de 4.0 y su brillantez cambia en 0.35. En vista de estos datos, la brillantez de la Delta Cefeida en el tiempo t, donde éste se mide en días, se ha modelado mediante la función   Bt  4.0  0.35 sen 2 t 5.4 (a) Halle la relación de cambio de la brillantez después de t días. (b) Encuentre, correcta hasta dos cifras decimales, la relación de aumento después de un día. 80. En el ejemplo 4 de la sección 1.3, obtuvo un modelo para la duración de la luz diurna (en horas) en Filadelfia en el t-ésimo día del año  Lt  12  2.8 sen  2 t  80 365 ; 1 1  ae k t donde p(t) es la proporción de la población que lo conoce en el tiempo t, y a y k son constantes positivas. En la sección 9.4 verá que ésta es una ecuación razonable para p(t). (a) Encuentre lím t l pt. (b) Halle la rapidez de esparcimiento del rumor. (c) Dibuje p para el caso en que a  10, k  0.5, con t medido en horas. Use la gráfica para estimar cuánto tiempo transcurrirá para que el 80% de la población escuche el rumor. 83. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con desplazamiento s(t), velocidad v(t), y aceleración a(t). Demuestre que dv at  vt ds Explique la diferencia entre los significados de los derivados dv/dt y dv/ds. 84. Se bombea aire dentro de un globo esférico para el clima. En cual- quier tiempo t, el volumen del globos es V(t) y su radio es r(t). (a) ¿qué representa las derivadas dV/dr y dV/dt. (b) Expres dV/dt en terminos de dr/dt. ; 85. El flash (unidad de destello) de una cámara funciona mediante el almacenamiento de carga en un capacitor y su liberación repentina cuando se lanza el destello. Los datos siguientes describen la carga que queda en el capacitor (en microcoulombs, C) en el instante t (en segundos) t 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Q 100.00 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76 (a) Halle, usando una calculadora graficadora o una computadora, un modelo exponencial para la carga. (b) La derivada Q(t) representa la corriente eléctrica (en microamperes, A) que fluye del capacitor hacia el bulbo de la lámpara de destello. Con el resultado del inciso (a), estime la corriente cuando t  0.04 s. Compare la respuesta con el resultado del ejemplo 2 de la sección 2.1. CAPITULO-03-A 206 |||| 06/04/2009 18:52 Page 206 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN ; 86. En la tabla se da la población de estadounidenses, desde 1790 hasta 1860. Año Población Año Población 1790 3 929 000 1830 12 861 000 1800 5 308 000 1840 17 063 000 1810 7 240 000 1850 23 192 000 1820 9 639 000 1860 31 443 000 (a) Use una calculadora graficadora o una computadora para hacer coincidir una función exponencial con los datos. Dibuje los puntos correspondientes a los datos y el modelo exponencial. ¿Qué tan bien coinciden? (b) Estime las proporción de incremento de la población en 1800 y 1850 promediando las pendientes de las rectas secantes. (c) Use el modelo exponencial del inciso (a) para estimar las proporciones de crecimiento en 1800 y 1850. Compare estas estimaciones con las del inciso (b). (d) Utilice el modelo exponencial para predecir la población en 1870. Compare con la población real de 38 558 000. ¿Puede explicar la discrepancia? CAS 87. Los sistemas algebraicos para computadora (CAS) tienen comandos que derivan funciones, pero la forma de la respuesta quizá no convenga, como consecuencia, pueden ser necesarios otros comandos para simplificarla. (a) Use un CAS para hallar la derivada del ejemplo 5 y compárela con la respuesta en ese ejemplo. Enseguida, use el comando de simplificación y vuelva a comparar. (b) Utilice un CAS para derivar la función del ejemplo 6. ¿Qué sucede si usa el comando de simplificación? ¿Qué ocurre si emplea el comando de factorización? ¿Cuál forma de la respuesta sería la mejor para localizar las tangentes horizontales? CAS 88. (a) Use un CAS para derivar la función f x   x x1 x4  x  1 4 y simplificar el resultado. (b) ¿En dónde tiene la gráfica de f tangentes horizontales? (c) Trace las gráficas de f y f en la misma pantalla. ¿Son coherentes las gráficas con su respuesta al inciso (b)? 89. Mediante la regla de la cadena demuestre lo siguiente. (a) La derivada de una función par es una función impar. (b) La derivada de una función impar es una función par. P ROY E C TO D E A P L I C AC I Ó N 90. Aplique la regla de la cadena y la regla del producto para obtener otra demostración de la regla del cociente. [Sugerencia: escriba f xtx  f x tx 1.] 91. (a) Si n es un entero positivo, demuestre que d senn x cos nx  n senn1x cosn  1x dx (b) Plantee una fórmula para la derivada de y  cosnx cos nx que es similar a la del inciso (a). 92. Suponga que y  f x es una curva que siempre queda arriba del eje x y nunca tiene una tangente horizontal, donde f es derivable en todos los puntos. ¿Para qué valor de y la relación de cambio de y5 con respecto a x es 80 veces la tasa de cambio de y con respecto a x? 93. Use la regla de la cadena para demostrar que si u se mide en grados, después d sen   cos  d 180 (Esto da una razón para la convención de que siempre se use el radián cuando se manejen funciones trigonométricas en el cálculo: las fórmulas de derivación no serían tan sencillas si usara el grado.)   94. (a) Escriba x  sx 2 y aplique la regla de la cadena para demostrar que d x  dx    x x    (b) Si f x  sen x , encuentre f x y trace las gráficas de f y f. ¿En dónde f no es derivable? (c) Si tx  sen x , halle t(x) y dibuje t y t. ¿En dónde t no es derivable?   95. Si y  f(u) y u  t(x), f y t son funciones derivables dos veces, demuestre que d 2y d 2y 2  dx du2   du dx 2  dy d 2u du dx2 96. Si y  f(u) y u  t(x), donde f y t tienen tercera derivada, ha- llar una formula por d 3y/dx3 parecida a la que se proporciona en el ejercicio 95 ¿DÓNDE DEBE UN PILOTO INICIAR UN DESCENSO? En la figura se muestra una trayectoria de aproximación para el aterrizaje de un avión que satisface las condiciones siguientes: (i) La altura de crucero es h, cuando se inicia el descenso a una distancia ᐉ del punto de contacto con la pista en el origen. (ii) El piloto debe mantener una rapidez horizontal constante v a todo lo largo del descenso. CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 207 SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 207 (iii) El valor absoluto de la aceleración vertical no debe sobrepasar una constante k (la cual es mucho menor que la aceleración debida a la gravedad). y 1. Encuentre un polinomio cúbico Px  ax3  bx2  cx  d que satisfaga la condición (i), imy=P(x) 0 ᐉ poniendo condiciones adecuadas sobre Px y Px en el inicio del descenso y el contacto con la pista. h 2. Use las condiciones (ii) y (iii) para demostrar que 6h v 2 ᐉ2 x k 3. Suponga que una aerolínea comercial decide no permitir que la aceleración vertical de un avión sea mayor que k  860 mi/h2. Si la altitud de crucero de un avión es de 35 000 pies y la rapidez de 300 mi/h, ¿a qué distancia del aeropuerto debe el piloto iniciar el descenso? ; 4. Trace la gráfica de la trayectoria de aproximación, si se satisfacen las condiciones que se enuncian en el problema 3. 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA La mayor parte de las funciones vistas pueden describirse expresando una variable explícitamente en términos de otra variable; por ejemplo, y  sx 3  1 o bien y  x sen x o, en general, y  f x. Sin embargo, algunas funciones se definen implícitamente por medio de una relación entre x y y como x 2  y 2  25 1 o bien x 3  y 3  6xy 2 En algunos casos, es posible resolver una ecuación de ese tipo para y como una función explícita (o varias funciones) de x. Por ejemplo, si resuelve la ecuación 1 para y, obtiene y  s25  x 2, de modo que dos de las funciones determinadas por la ecuación implícita 1 son f x  s25  x 2 y tx  s25  x 2. Las gráficas de f y t son las semicircunferencias superior e inferior de la circunferencia x 2  y 2  25. (Véase la figura 1.) y 0 FIGURA 1 (a) ≈+¥=25 y x 0 25-≈ (b) ƒ=œ„„„„„„ y x 0 x 25-≈ (c) ©=_ œ„„„„„„ No es fácil resolver a mano la ecuación 2 para y explícitamente como función x. (Con un sistema algebraico para computadora no hay dificultad, pero las expresiones que se CAPITULO-03-A 208 |||| 06/04/2009 18:52 Page 208 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN obtienen son muy complicadas.) Pero (2) es la ecuación de una curva llamada folio de Descartes, que se ilustra en la figura 2 y, de manera implícita, define y como varias funciones de x. En la figura 3 se muestran las gráficas de esas tres funciones. Cuando se dice que f es una función definida implícitamente por la ecuación 2, se da a entender que la ecuación x 3  f x 3  6x f x es verdadera para todos los valores de x en el dominio de f . y y y y ˛+Á=6xy 0 x FIGURA 2 Folio de Descartes 0 0 x x 0 x FIGURA 3 Gráficas de tres funciones definidas por el folio de Descartes Por fortuna, no es necesario resolver una ecuación para y en términos de x con el fin de hallar la derivada de y. En lugar de ello, aplica el método de derivación implícita. Éste consiste en derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x y, a continuación, resolver la ecuación resultante para y. En los ejemplos y ejercicios de esta sección, siempre se supone que la ecuación dada determina y implícitamente como una función derivable de x, de modo que puede aplicarse el método de derivación implícita. V EJEMPLO 1 dy . dx (b) Encuentre la ecuación de la tangente a la circunferencia x2  y2  25, en el punto (3, 4). (a) Si x 2  y 2  25, encuentre SOLUCIÓN 1 (a) Derive ambos miembros de la ecuación x 2  y 2  25: d d x 2  y 2   25 dx dx d d x 2   y 2   0 dx dx Recuerde que y es una función de x, aplique la regla de la cadena y tendrá d dy dy d y 2   y 2   2y dx dy dx dx Por lo tanto 2x  2y dy 0 dx Ahora, se resuelve esta ecuación para dydx : dy x  dx y CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 209 SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 209 (b) En el punto (3, 4), se tiene x  3 y y  4, de modo que dy 3  dx 4 Por lo tanto, una ecuación de la tangente a la circunferencia en (3, 4) es y  4  34 x  3 o bien 3x  4y  25 SOLUCIÓN 2 (b) Al resolver la ecuación x2  y2  25, obtiene y  s25  x 2. El punto (3, 4) se encuentra en la semicircunferencia superior y  s25  x 2 y, por consiguiente, considere la función f x  s25  x 2. Si al aplicar la regla de la cadena a la función f, se tiene f x  12 25  x 2 12 d 25  x 2  dx  12 25  x 2 122x   En el ejemplo 1 se ilustra que incluso cuando es posible resolver una ecuación explicita para y en términos de x puede ser más fácil aplicar la derivación implicita & De modo que f 3   x s25  x 2 3 3  2 4 s25  3 y, como en la solución 1, la ecuación de la tangente es 3x  4y  25.  La expresión dydx  xy en la solución 1 da la derivada en términos tanNOTA 1 to de x como de y. Esto es correcto sin importar cuál función y queda determinada por la ecuación dada. Por ejemplo, para y  f x  s25  x 2 dy x x   dx y s25  x 2 en tanto que, para y  tx  s25  x 2 dy x x x    2 dx y s25  x s25  x 2 V EJEMPLO 2 (a) Encuentre y si x 3  y 3  6xy. (b) Halle la tangente al folio de Descartes x3  y3  6xy, en el punto (3, 3). (c) ¿En cuáles puntos de la curva se tiene que la recta tangente es horizontal o vertical? SOLUCIÓN (a) Si se derivan ambos miembros de x3  y3  6xy con respecto a x, considerando y como función de x, y usando la regla de la cadena en el término y3 y la regla del producto en el término 6xy, obtiene 3x 2  3y 2 y  6xy  6y o bien x 2  y 2 y  2xy  2y CAPITULO-03-B 210 06/04/2009 |||| 18:57 Page 210 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN y 2 y  2xy  2y  x 2 Ahora resuelva para y : y 2  2xy  2y  x 2 y (3, 3) 0 y  x 2y  x 2 y 2  2x (b) Cuando x  y  3, y  2  3  32  1 32  2  3 FIGURA 4 un vistazo a la figura 4 confirma que éste es un valor razonable para la pendiente en (3, 3). De este modo, una ecuación de la recta tangente al folio en (3, 3) es y  3  1x  3 4 o bien xy6 (c) La recta tangente es horizontal si y  0. Si utiliza la expresión para y del inciso (a), y  0 cuando 2y  x2  0. (siempre que y2  2x  0). Al sustituir y  12 x 2 en la ecuación de la curva, obtiene x 3  ( 12 x 2)3  6x ( 12 x 2) 0 4 FIGURA 5 lo cual se simplifica para quedar x 6  16x 3. De modo que x  0, en el primer cuadrante o bien, x3  16. Si x  16 13  2 43, entonces y  12 2 83   2 53. Por esto, la tangente es horizontal en (0, 0) y en 2 43, 2 53 , lo cual es aproximadamente (2.5198, 3.1748). Al estu diar la figura 5, es claro que la respuesta es razonable. Existe una fórmula para las tres raíces de una ecuación cúbica, que es semeNOTA 2 jante a la fórmula cuadrática pero mucho más complicada. Si usa esta fórmula (o un sistema de cómputo algebraico) para resolver la ecuación x3  y3  6xy, para y en términos de x, obtiene tres funciones determinadas por la ecuación: 3 3 y  f x  s 12 x 3  s14 x 6  8x 3  s 12 x 3  s14 x 6  8x 3 y El matemático noruego Niels Abel probó en 1824 que no se puede dar una fórmula general para las raíces de una ecuación de quinto grado. Tiempo después, el matemático francés Evariste Galois probó que es imposible hallar una fórmula general para las raíces de una ecuación de n-ésimo grado (en términos de operaciones algebraicas sobre los coeficientes), si n es cualquier entero mayor que 4. [ 1 y  2 f x & ( 3 3 s3 s 12 x 3  s14 x 6  8x 3  s 12 x 3  s14 x 6  8x 3 )] (Éstas son las tres funciones cuyas gráficas se muestran en la figura 3.) Usted puede ver que el método de la derivación implícita ahorra una cantidad enorme de trabajo, en casos como éste. Es más, la derivación implícita funciona con igual facilidad para funciones como y 5  3x 2 y 2  5x 4  12 las cuales son imposibles de resolver para y en términos de x. EJEMPLO 3 Encuentre y si sen(x  y)  y2 cos x. SOLUCIÓN Si deriva implícitamente con respecto a x y recuerda que y es una función de x, obtiene cosx  y  1  y  y2  sen x   cos x2yy CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 211 SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 211 (Note que en el lado izquierdo aplica la regla de la cadena y, en el derecho, la regla de la cadena y la del producto.) Si agrupa los términos que contienen y, obtiene 2 cosx  y  y 2 sen x  2y cos xy  cosx  y  y _2 2 y  Por lo que y 2 sen x  cosx  y 2y cos x  cosx  y En la figura 6 dibujada con el comando de construir gráficas en forma implícita de un sistema de cálculo algebraico, se muestra parte de la curva sen(x  y)  y2 cos x. Como comprobación del cálculo, advierta que y  1, cuando x  y  0 y al parecer  de la gráfica la pendiente es aproximadamente a 1 en el origen. _2 FIGURA 6 El siguiente ejemplo muestra cómo encontrar la segunda derivada de una función si es definida implícita. EJEMPLO 4 Hallar y sí x4  y4)  16. SOLUCIÓN Derivando la ecuación de manera implicita con respecto a x, obtiene 4x3  4y3y  0 Resolviendo para y y   3 La figura 7 muestra la gráfica de la curva x4  y4  16 del ejemplo y observe que su versión del círculo se extiende y se achata x2  y2  4. Por esta razón algunas veces se le llama círculo grueso, inicia muy escarpador a la izquierda pero rapidamente se hace muy plano. Se puede ver de la expresión. & y   x3  y3 y  x y Para hallar y derive esta expresión para y aplicando la regla del cociente recordando que y es una función de x: y    d x3  3 dx y 3  x$+y$=16 x3 y2  y3d/dxx3  x3d/dxy3 y32 y 3  3x2  x33y2y y6 Si ahora sustituye la ecuación 3 dentro de esta expresión, obtiene   2 3x2y3  3x2y2  y   0 2 x  x3 y3 y6 3x2y4  x6 3x2y4  x4   y7 y7 Pero el valor de x y y debe satisfacer la ecuación original x4  y4  16. De esa manera la respuesta se simplifica a FIGURA 7 y   3x 216 x2   48 7 7 y y  DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Las funciones trigonométricas inversas se repasan en la sección 1.6. En la sección 2.5 analizó su continuidad y en la sección 2.6 sus asíntotas. Aquí se usa la derivación implícita para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, porque se supone que CAPITULO-03-B 212 |||| 06/04/2009 18:57 Page 212 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN estas funciones son derivables. [En efecto, si f es una función derivable uno a uno, se puede demostrar que su función inversa f 1 también es derivable, excepto donde sus tangentes son verticales. Esto es posible porque la gráfica de una función derivable no tiene vértices ni bucles y, de este modo, si la refleja con respecto a y  x, la gráfica de su función inversa tampoco tiene vértices ni bucles.] Recuerde la definición de la función arco seno: y  sen1 x sen y  x significa y  2 y 2 Al derivar implícitamente sen y  x con respecto a x, obtiene cos y dy 1 dx Ahora cos y  0, debido a que  2 o bien dy 1  dx cos y 2, de modo que y cos y  s1  sen 2 y  s1  x 2 El mismo método puede utilizarse para hallar una fórmula para la derivada de cualquier función inversa. Véase el ejercicio 67. & dy 1 1   dx cos y s1  x 2 De manera que d 1 sen1x  dx s1  x 2 En la figura 8 se muestra la gráfica de f x  tan1x y su derivada f x  11  x 2 . Advierta que f es creciente y f x siempre es positiva. El hecho de que tan1x l 2 como x l se refleja en el hecho de que f x l 0 cuando xl . & La fórmula para la derivada de la función arco tangente se obtiene de manera semejante. Si y  tan1 x, entonces tan y  x. Si se deriva esta última ecuación implícitamente con respecto a x, tiene sec2 y dy 1 1 1    dx sec2 y 1  tan2 y 1  x2 1.5 y= y=tan–! x 1 1+≈ _6 dy 1 dx 6 d 1 tan1x  dx 1  x2 _1.5 FIGURA 8 V EJEMPLO 5 Derive (a) y  1 y (b) f x  x arctan sx. sen1x SOLUCIÓN (a) dy d d  sen1x1  sen1x2 sen1x dx dx dx  Recuerde que arctan x es una notación alterna para tan1x. & (b) 1 sen x s1  x 2 1 f x  x  2 1 2 1  (sx ) ( 12 x12)  arctan sx sx  arctan sx 21  x  CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 213 SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 213 Las funciones trigonométricas inversas que se generan con mayor frecuencia son las que acaba de analizar. Las derivadas de las cuatro restantes se presentan en la tabla siguiente. Las demostraciones de las fórmulas se dejan como ejercicios. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Las fórmulas de las derivadas de csc1x y sec1x dependen de las definiciones que se aplican para estas funciones. Véase ejercicio 58. & 3.5 d 1 sen1x  dx s1  x 2 d 1 csc1x   dx xsx 2  1 d 1 cos1x   dx s1  x 2 d 1 sec1x  dx xsx 2  1 d 1 tan1x  dx 1  x2 d 1 cot1x   dx 1  x2 EJERCICIOS 1–4 25–30 Utilice la derivación implícita para encontrar una ecuación (a) Encuentre y por derivación implícita. (b) Resuelva en forma explícita la ecuación para y y derive para obtener y en términos de x. (c) Compruebe que sean coherentes sus soluciones a los incisos (a) y (b) sustituyendo la expresión para y en su solución del inciso (a). de la recta tangente a la curva en el punto dado. 1. xy  2x  3x 2  4 3. 25. x 2  xy  y 2  3, 26. x 2  2xy  y 2  x  2, 1, 2 (hipérbola) 27. x 2  y 2  2x 2  2y 2  x2 28. x 23  y 23  4 2. 4x 2  9y 2  36 1 1  1 x y 1, 1 (elipse) 4. cos x  sy  5 (0, 12 ) (3 s3, 1) (cardioide) (astroide) y y 5–20 Encuentre dydx por derivación implícita. 5. x 2  y 2  1 6. 2sx  sy  3 7. x  xy  y  4 2 3 9. x x  y  y 3x  y 4 2 2 10. y 5  x 2 y 3  1  ye x 2 12. 1  x  senxy 2  13. 4 cos x sen y  1 14. y senx   x sen y  15. e 2 29. 2x 2  y 2 2  25x 2  y 2  (3, 1) (lemniscata) 2 17. sxy  1  x 2 y y 1  x2 20. sen x  cos y  sen x cos y 30. y 2 y 2  4  x 2x 2  5 (0, 2) (curva del diablo) y y 16. sx  y  1  x 2 y 2 xy 18. tanx  y  19. ey cos x  1  senxy 21. Si f x  x 2 f x x 8 3 11. x 2 y 2  x sen y  4 x2y 0 x 8. 2x  x y  xy  2 2 3 0 x x  10 y f 1  2, encuentre f 1. 22. Si tx  x sen tx  x 2 , determine t0. 31. (a) La curva con ecuación y2  5x4  x2 se llama kampila de 23–24 Considere a y como la variable independiente y a x como la variable dependiente, y aplique la derivación implícita para calcular dxdy. 23. x 4 y 2  x 3y  2xy3  0 24. y sec x  x tan y ; Eudoxo. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 2). (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente en una pantalla común. (Si su aparato graficador puede trazar las gráficas de curvas definidas implícitamente, después CAPITULO-03-B 214 |||| 06/04/2009 18:57 Page 214 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN utilice esa capacidad. Si no es así, puede dibujar esta curva trazando sus mitades superior e inferior por separado.) 32. (a) La curva con ecuación y2  x3  3x2 se llama cúbica de ; Tschirnhausen. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva, en el punto (1, 2). (b) ¿En cuáles puntos esta curva tiene una tangente horizontal? (c) Ilustre los incisos (a) y (b) dibujando la curva y las rectas tangentes en una pantalla común. 33–36 Hallar por derivación implicita CAS 33. 9x 2  y 2  9 34. sx  sy  1 35. x 3  y3  1 36. x4  y4  a4 37. Se pueden crear formas caprichosas con las capacidades de construir gráficas en forma implícita de los sistemas algebraicos para computadora (sistema de computo algebraico). (a) Trace la gráfica de la curva con ecuación y y 2  1 y  2  xx  1x  2 ¿En cuántos puntos esta curva tiene tangentes horizontales? Estime las coordenadas x de estos puntos. (b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (0, 1) y (0, 2). (c) Halle las coordenadas x exactas de los puntos mencionados en el inciso (a). (d) Cree curvas incluso más caprichosas modificando la ecuación del inciso (a). CAS 38. (a) La curva con ecuación 2y 3  y 2  y 5  x 4  2x 3  x 2 se ha ligado a un carretón que rebota. Utilice un sistema de computo algebraico para dibujarla y descubra por qué. (b) ¿En cuántos puntos esta curva tiene tangentes horizontales? Encuentre las coordenadas x de estos puntos. 44. La regla de la potencia se puede demostrar por medio de la derivación implícita para el caso donde n es un número racional, n  pq, y se presupone que y  f x  x n es una función derivable. Si y  x pq, entonces y q  x p. Mediante la derivación implícita demuestre que y  45–54 Halle la derivada de la función. Simplifique donde se pueda. 45. y  tan1sx 46. y  stan1 x 47. y  sen12x  1 48. tx  sx2  1 sec1x 49. Gx  s1  x2 arcos x 50. y  tan1 ( x  s1  x 2 ) 51. ht  cot1t  cot11t 52. Fu   arcsin ssen u 53. y  cos1e 2x  en el punto (x0, y0) es x0 x y0 y  2 1 a2 b 41. Formule una ecuación para la tangente a la hipérbola y2 x2 1 2  a b2 en el punto x 0 , y 0 .  1x 1x comparando las gráficas de f y f. 55. fx  s1  x2 arcsen x 56. f x  arctan x 2  x  57. Compruebe las fórmulas ddxcos1x y ddxsen1x por medio del mismo método. 58. (a) Una manera de definir sec1x es decir que y  sec1x &? sec y  x y 0 y  2, o bien, y  3 2. Demuestre que con esta definición, d 1 sec1x  dx x sx 2  1 (b) Otro modo de definir sec1x que se utiliza a veces es decir que y  sec1x &? sec y  x y 0 y , y  0. Demuestre que con esta definición d 1 sec1x  dx x sx 2  1   tangente sea horizontal. x2 y2 1 2  a b2 54. y  arctan ; 55–56 Encuentre f x. Compruebe si su respuesta es razonable 39. Halle los puntos de la lemniscata del ejercicio 29 donde la 40. Demuestre por derivación implícita que la tangente a la elipse p  pq1 x q 59–62 Dos curvas son ortogonales si sus rectas tangentes son perpendiculares en cada punto de intersección. Demuestre que las familias dadas de curvas son trayectorias ortogonales entre sí, es decir, cualquier curva en una familia es ortogonal a cualquier curva en la otra familia. Dibuje ambas familias de curvas usando los mismos ejes de coordenadas. 59. x 2  y 2  r 2, ax  by  0 60. x 2  y 2  ax, x 2  y 2  by 61. y  cx 2, x 2  2y 2  k 62. y  ax 3, x 2  3y 2  b 42 Demuestre que la suma de las intersecciones x y y de cualquier recta tangente a la curva sx  sy  sc es igual a c. 43. Mediante la derivación implícita demuestre que cualquier tangente en un punto P a una circunferencia con centro O es perpendicular al radio OP. 63. La ecuación x2  xy  y2  3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas. Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 215 SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. 64. (a) ¿Dónde la recta normal a la elipse x2  xy  y2  3, en el punto (1, 1) cruza la elipse por segunda vez? ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la elipse y la recta normal. 65. Encuentre todos los puntos de la curva x2y2  xy  2 donde la pendiente de la recta tangente es 1. 66. Halle las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse |||| 215 (b) Si f 4  5 y f 4  23, encuentre  f 15. 68. (a) Demuestre que f(x)  2x  cos x es uno a uno. (b) ¿Cuál es el valor de f1(1)? (c) Use la fórmula del ejercicio 67(a) para hallar (f1)(1). 69. En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades ha- cia la derecha del eje y y una sombra creada por la región elíptica x 2  4y 2 5. Si el punto (5, 0) está en el borde de la sombra, ¿qué tan arriba del eje x está colocada la lámpara? x2  4y2  36 que pasen por el punto (12, 3). y 67. (a) Suponga que f es una función derivable uno a uno y que su función inversa f1 también es derivable. Utilice la derivación implícita para demostrar que ? f 1 x  1 f  f 1x siempre que el denominador no sea 0. 3.6 0 _5 3 x ≈+4¥=5 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS En esta sección se usa la derivación implícita para hallar las derivadas de las funciones logarítmicas y  logax y, en particular, de la función logaritmo natural y  ln x. [Suponga que las funciones logarítmicas son derivables; ciertamente esto es plausible a partir de sus gráficas (véase la figura 12 de la sección 1.6).] 1 d 1 log a x  dx x ln a DEMOSTRACIÓN Sea y  log a x. Entonces ay  x & La fórmula 3.4.5 expresa que d a x   a x ln a dx Si se deriva esta ecuación de manera implícita con respecto a x, mediante la fórmula (3.45) obtiene a yln a y por consiguiente dy 1 dx dy 1 1  y  dx a ln a x ln a  Si en la fórmula (1) pone a  e, en tal caso el factor ln a en el lado derecho se convierte en ln e  1 y obtiene la fórmula para la derivada de la función logarítmica natural log e x  ln x : 2 d 1 ln x  dx x CAPITULO-03-B 216 |||| 06/04/2009 18:57 Page 216 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Si se comparan las fórmulas (1) y (2), aparece una de las razones principales por la que se usan los logaritmos naturales (logaritmos con base e) en el cálculo. La fórmula de derivación es más sencilla cuando a  e, porque ln e  1. V EJEMPLO 1 Derive y  lnx 3  1. SOLUCIÓN Para aplicar la regla de la cadena, se hace u  x3  1. Entonces y  ln u, de modo que dy dy du 1 du 1 3x 2    3 3x 2   3 dx du dx u dx x 1 x 1  En general, si combina la fórmula (2) con la regla de la cadena como en el ejemplo 1 obtiene d 1 du ln u  dx u dx 3 EJEMPLO 2 Encuentre o bien d tx ln tx  dx tx d lnsen x. dx SOLUCIÓN Al aplicar (3), tiene d 1 d 1 lnsen x  sen x  cos x  cot x dx sen x dx sen x  EJEMPLO 3 Derive f x  sln x. SOLUCIÓN En esta ocasión el logaritmo es la función interior, de modo que la regla de la cadena da f x  12 ln x12 d 1 1 1 ln x    dx 2sln x x 2xsln x  EJEMPLO 4 Derive f x  log 102  sen x. SOLUCIÓN Si se usa la fórmula 1 con a  10 d 1 d log 102  sen x  2  sen x dx 2  sen x ln 10 dx cos x  2  sen x ln 10 f x  En la figura 1 se muestra la gráfica de la función f del ejemplo 5, junto con la gráfica de su derivada. Proporciona una comprobación visual del cálculo. Advierta que f x es grande negativa cuando f está decreciendo con rapidez. & EJEMPLO 5 Encuentre y d x1 ln . dx sx  2 SOLUCIÓN 1 f 1 0 x fª FIGURA 1 d x1 1 d x1 ln  dx x  1 dx sx  2 sx  2 sx  2  1 sx  2 sx  2  1  x  1( 2 )x  212 x1 x2  x  2  12 x  1 x5  x  1x  2 2x  1x  2  CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 217 SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS |||| 217 SOLUCIÓN 2 Si en primer lugar simplifica la función dada aplicando las leyes de los loga- ritmos, entonces la derivación se vuelve más fácil: d x1 d ln  [lnx  1  12 lnx  2] dx dx sx  2 1 1  x1 2    1 x2 (Esta respuesta se puede dejar como está pero, si usara un denominador común, vería que da la misma respuesta que en la solución 1.) En la figura 2 se muestra la gráfica de la función f x  ln x del ejemplo 6 y la de su derivada f x  1x. Note que cuando x es pequeño, la gráfica de y  ln x está inclinada y, por lo consiguiente, f x es grande (positiva o negativa). &     3 V EJEMPLO 6   Encuentre f x si f x  ln x . SOLUCIÓN Puesto que f x   ln x si x  0 lnx si x  0 se concluye que fª f f x  _3  3 1 x 1 1 1  x x si x  0 si x  0 Por esto, f x  1x para todo x  0 .  _3 FIGURA 2 Vale la pena recordar el resultado del ejemplo 6: d 1 ln x  dx x   4 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Con frecuencia, el cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. El método que se aplica en el ejemplo siguiente se llama derivación logarítmica. EJEMPLO 7 Derive y  x 34 sx 2  1 . 3x  25 SOLUCIÓN Tome logaritmos de ambos miembros de la ecuación y aplique las leyes de los logaritmos para simplificar: ln y  34 ln x  12 lnx 2  1  5 ln3x  2 Al derivar implícitamente con respecto a x, resulta 1 dy 3 1 1 2x 3     2 5 y dx 4 x 2 x 1 3x  2 CAPITULO-03-B 218 |||| 06/04/2009 18:57 Page 218 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Al resolver para dydx obtiene  3 dy x 15 y  2  dx 4x x 1 3x  2  Como tiene una expresión explícita para y, puede sustituir y escribir Si no hubiera utilizado la derivación logarítmica en el ejemplo 7, habría tenido que aplicar tanto la regla del cociente como la regla del producto. El cálculo resultante habría sido horrendo. & dy x 34 sx 2  1  dx 3x  25  3 x 15  2  4x x 1 3x  2   PASOS EN LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 1. Tome logaritmos naturales de ambos lados de una ecuación y  f x y utilice las leyes de los logaritmos para simplificar. 2. Derive implícitamente con respecto a x. 3. Resuelva la ecuación resultante para y. Si f x  0 para algunos valores de x, entonces ln fx no está definido, pero puede escribir y  f x y aplicar la ecuación (4). Se ilustra este procedimiento probando la versión general de la regla de la potencia, según se prometió en la sección 3.1.     REGLA DE LA POTENCIA Si n es cualquier número real y f x  x n, entonces f x  nx n1 DEMOSTRACIÓN Sea y  x n y aplique la derivación logarítmica:     ln y  ln x & Si x  0 puede demostrar que f0  0, para n  1, de modo directo a partir de la definición de derivada.    n ln x x0 y n  y x Por lo tanto, y  n De donde, | n y xn n  nx n1 x x  Debe distinguir con cuidado la regla de la potencia xn  nxn1 , donde la base es variable y el exponente constante de la regla para derivar funciones exponenciales ax  ax ln a , donde la base es constante y el exponente es variable. En general, se tienen cuatro casos para exponentes y bases 1. d a b   0 dx 2. d f x dx 3. d a tx  a txln atx dx b (a y b son constantes)  b f x b1 4. Para hallar ddx f x ejemplo que sigue: f x tx , se puede aplicar la derivación logarítmica, como en el CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 219 SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS V EJEMPLO 8 |||| 219 Derive y  x sx SOLUCIÓN 1 Con la derivación logarítmica tiene ln y  ln x sx  sx ln x y 1 1  sx   ln x y x 2sx La figura 3 ilustra el ejemplo 8 mostrando las gráficas de f x  x sx y su derivada. &  y y  y f fª 1 ln x  2sx sx    x sx 2  ln x 2sx  SOLUCIÓN 2 Otro método es escribir x sx  e ln x sx : 1 0 d sx d sx ln x d ( x ) ( e )  e sx ln x (sx ln x) dx dx dx x 1  x sx FIGURA 3 EL NÚMERO e  2  ln x 2sx  (como en la solución 1)  COMO LÍMITE Se ha demostrado que si f x  ln x, después f x  1x. Por esto, f 1  1. Aplique ahora esto para expresar el número e como un límite. A partir de la definición de derivada como un límite, tiene f 1  lím hl0  lím xl0 f 1  h  f 1 f 1  x  f 1  lím xl0 h x ln1  x  ln 1 1  lím ln1  x xl0 x x  lím ln1  x1x xl0 y Ya que f 1  1, tiene 3 2 y=(1+x)!?® lím ln1  x1x  1 1 xl0 0 x Luego, por el teorema 2.5.8 y la continuidad de la función exponencial, tiene FIGURA 4 e  e1  e lím x l 0 ln1x1x  lím e ln1x1x  lím 1  x1x xl0 x 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000001 xl0 (1  x) 1/x 2.59374246 2.70481383 2.71692393 2.71814593 2.71826824 2.71828047 2.71828169 2.71828181 5 e  lím 1  x1x xl0 En la figura 4 se ilustra la fórmula (5) mediante la gráfica de la función y  1  x1x y una tabla de valores para valores pequeños de x. Con esto se ilustra una aproximación correcta hasta siete dígitos decimales e 2.7182818 CAPITULO-03-B 220 06/04/2009 |||| 18:57 Page 220 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN cuando x l 0 y, por consiguiente Si hace n  1x en la fórmula (5), en seguida n l una expresión alternativa para e es e  lím 6 3.6 nl   1 1 n n EJERCICIOS 1. Explique por qué en cálculo se usa con mucha más frecuencia la función logarítmica natural, y  ln x, que las otras funciones logarítmicas, y  log a x. 33–34 Determine una ecuación de la tangente a la curva en un punto dado. 33. y  lnxex , 1,1 2 34. y  lnx 3  7, 2, 0 2–22 Derive la función. 2. f x  lnx 2  10 ; 35. Si f x  sen x  ln x , encuentre f x. Compruebe si su res- 3. f x  senln x 4. f x  lnsen x puesta es razonable comparando las gráficas de f y f. 5. f x  log 21  3x 6. f x  log5xe x  ; 36. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva 5 7. f x  s ln x 5 8. f x  ln s x 2 9. f x  sen x ln5x 10. f t  y  ln xx, en los puntos 1, 0 y e, 1e. Ilustre lo anterior dibujando la curva y sus rectas tangentes. 1  ln t 1  ln t 37–48 Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de la función. 2t  1 3 11. Ft  ln 3t  1 4 12. hx  ln( x  sx 2  1 ) 13. tx  ln( x sx 2  1 ) 14. F y  y ln1  e y  ln u 1  ln2u 15. f u   16. y  17. y  ln 2  x  5x x 19. y  lne 2  x  xe  1 ln x 18. Hz  ln  a2  z2 a2  z2 20. y  ln1  e  x 39. y  38. y  sx e x x 2  110 sen2x tan4x x 2  12 40. y   4 x2  1 x2  1 41. y  x x 42. y  x cos x 43. y  x sen x 44. y  sx x 45. y  cos x x 46. y  sen x ln x 47. y  tan xl/x 48. y  ln xcos x 2 22. y  log2e x cos x 21. x  2xlog10sx 2 37. y  2x  15x 4  36 23–26 Encuentre y y y. ln x x2 23. y  x2 ln2x 24. y  25. y  lnx  s1  x2 26. y  lnsec x  tan x 49. Encuentre y si y  lnx 2  y 2 . 50. Halle y si x y  y x. 51. Encuentre una fórmula para f nx si f x  lnx  1. 27–30 Derive f y encuentre su dominio. 27. f x  x 1  lnx  1 29. f x  lnx 2  2x  28. f x  1 1  ln x 30. f x  ln ln ln x 52. Encuentre d9 x 8 ln x. dx 9 53. Use la definición de derivada para probar que lím 31. Si f x  xl0 ln x , determine f 1. x2 32. Si f x  ln1  e , determine f 0. 2x 52. Demuestre que lím nl ln1  x 1 x   1 x n n  e x para cualquier x  0. CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 221 SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 3.7 |||| 221 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES Sabemos que si y  f(x) la derivada dydx se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a x. En esta sección se analizan algunas de las aplicaciones de esta idea a la física, la química, la biología, la economía y otras ciencias. Con base en la sección 2.7, recuerde la idea básica que se encuentra detrás de las razones de cambio. Si x cambia de x1 a x2, entonces el cambio en x es x  x 2  x 1 y el cambio correspondiente en y es y  f x 2   f x 1  El cociente de diferencia y f x 2   f x 1   x x2  x1 es la razón promedio de cambio de y con respecto a x en el intervalo x 1, x 2 y se puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura 1. Su límite, cuando x l 0 es la derivada f x 1 , la cual, puede interpretarse como la razón de cambio instantánea de y con respecto a x, o sea, la pendiente de la recta tangente en Px 1, f x 1 . Si se usa la notación de Leibniz, escriba el proceso en la forma y Q { ¤, ‡} Îy P { ⁄, fl} Îx 0 ⁄ ¤ mPQ ⫽ relación promedio de cambio m=fª(⁄)=relación de cambio instantánea FIGURA 1 dy y  lím x l 0 dx x x Siempre que la función y  f(x) tenga una interpretación específica en una de las ciencias, su derivada tendrá una interpretación específica como razón de cambio. (Como se analizó en la sección 2.7, las unidades de dydx son las unidades correspondientes a y divididas entre las de x.) Vea ahora algunas de estas interpretaciones en las ciencias naturales y sociales. FÍSICA Si s  f(t) es la función de posición de una partícula que se mueve en una línea recta, ens ds tonces t representa el promedio de la velocidad en un periodo  t, y v  dt representa la velocidad instantánea (la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo). La razón de cambio instantáneo de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración: a(t)  v(t)  s(t). Esto se discutió en las secciones 2.7 y 2.8, pero ahora que conoce las fórmulas de derivación puede resolver con más facilidad, problemas que involucran el movimiento de objetos. V EJEMPLO 1 La ecuación siguiente da la posición de una partícula s  f t  t 3  6t 2  9t donde t se mide en segundos y s en metros. Encuentre la velocidad en el instante t. ¿Cuál es la velocidad después de 2 y 4 s? ¿Cuándo está en reposo la partícula? ¿Cuándo se mueve hacia adelante (es decir, en dirección positiva)? Dibuje un diagrama que represente el movimiento de la partícula. Encuentre la distancia total recorrida por la partícula durante los primeros cinco segundos. (a) (b) (c) (d) (e) (f) CAPITULO-03-B 222 |||| 06/04/2009 18:57 Page 222 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN (g) Hallar la aceleración en el tiempo t y después de 4 s. (h) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración para 0  t  5. (i) ¿Cuándo incrementa se rapidez la partícula? ¿cuándo la disminuye. SOLUCIÓN (a) La función velocidad es la derivada de la función de posición. s  f t  t 3  6t 2  9t ds vt   3t 2  12t  9 dt (b) La velocidad después de 2 s significa la velocidad instantánea cuando t  2; es decir, v2  ds dt  t2  322  122  9  3 ms La velocidad después de 4 s es v4  342  124  9  9 ms (c) La partícula está en reposo cuando vt  0, esto es, 3t 2  12t  9  3t 2  4t  3  3t  1t  3  0 y esto se cumple cuando t  1 o t  3. Por lo tanto, la partícula está en reposo después de 1 s y después de 3 s. (d) La partícula se mueve en dirección positiva cuando vt  0, es decir, 3t 2  12t  9  3t  1t  3  0 Esta desigualdad se cumple cuando ambos factores son positivos (t  3) o cuando los dos son negativos (t  1). Así, la partícula se mueve en dirección positiva en los periodos t  1 y t  3. Se mueve hacia atrás (en la dirección negativa) cuando 1  t  3. (e) En la figura 2, se esquematiza el movimiento de la partícula hacia atrás y hacia adelante a lo largo de una recta (el eje s), aplicando la información del inciso (d). (f) En virtud de los incisos (d) y (e), necesita calcular las distancias recorridas durante los periodos 0, 1 , 1, 3 y 3, 5 , por separado. La distancia recorrida en el primer segundo es t=3 s=0  f 1  f 0    4  0   4 m t=0 s=0 FIGURA 2 t=1 s=4 s De t  1 a t  3, la distancia recorrida es  f 3  f 1    0  4   4 m De t  3 a t  5, la distancia recorrida es  f 5  f 3    20  0   20 m La distancia total es 4  4  20  28 m. (g) La aceleración es la derivada de la función velocidad: a t  d 2s dv   6t  12 dt 2 dt a 4  6 4  12  12 m/s 2  CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 223 SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 223 (h) La figura 3 escribe las gráficas de s, v y a. (i) El incremento de la rapidez de la partícula cuando la velocidad es positiva y 25 √ a s 0 5 -12 creciente (v y a son positivas) y también cuando la velocidad es negativa y decreciente (v y a son negativas). En otras palabras, el aumento en la rapidez cuando la velocidad y la aceleración tiene el mismo signo. (La partícula es empujada en la misma dirección en que se está moviendo.) De la figura 3 se ve que ésta sucede cuando 1  t  2 y cuando t  3. La partícula disminuye su rapidez cuando v y a tienen signos opuestos, es decir, cuando 0  t  1 y cuando 2  t  3. La figura 4 resume el movimiento de la partícula FIGURA 3 a √ TEC En Module 3.7 puede ver una animación de la figura 4 con una expresión para s que selecione. s 5 0 _5 t 1 hacia adelante hacia adelante hacia atras disminuye aumenta disminuye aumenta su rapidez su rapidez su rapidez su rapidez FIGURA 4 EJEMPLO 2 Si una varilla o un trozo de alambre son homogéneos, entonces su densidad lineal es uniforme y se define como la masa por unidad de longitud    ml y se mide en kilogramos por cada metro. Pero suponga que la varilla no es homogénea sino que su masa medida desde su extremo izquierdo hasta un punto x es m  f(x), como se muestra en la figura 5. x x¡ FIGURA 5 x™ Esta parte de la varilla tiene una masa ƒ. La masa de la parte de la varilla que se encuentra entre x  x1 y x  x2 se expresa con m  f(x2)  f(x1), de modo que la densidad promedio de esa sección es densidad promedio  f x 2   f x 1  m  x x2  x1 Si ahora hace que x l 0 (es decir x 2 l x 1 ), calcule la densidad promedio sobre un intervalo cada vez más pequeño. La densidad lineal r en x1 es el límite de estas densidades promedio cuando x l 0; es decir, la densidad lineal es la razón de cambio de la masa con respecto a la longitud. En forma simbólica,   lím x l 0 dm m  x dx De este modo, la densidad lineal de la varilla es la derivada de la masa con respecto a la longitud. CAPITULO-03-B 224 |||| 06/04/2009 18:57 Page 224 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Por ejemplo, si m  f x  sx, en donde x se mide en metros y m en kilogramos, entonces la densidad promedio de la parte de la varilla dada por 1 x 1.2 es m f 1.2  f 1 s1.2  1   x 1.2  1 0.2 0.48 kgm en tanto que la densidad en x  1 es  ⫺ ⫺ FIGURA 6 ⫺ ⫺ ⫺ ⫺ ⫺ dm dx  x1  1 2sx  x1  0.50 kgm  V EJEMPLO 3 Hay corriente siempre que las cargas eléctricas se mueven. En la figura 6 se muestra parte de un alambre con electrones que cruzan una superficie plana sombreada. Si Q es la carga neta que pasa por esta superficie durante un periodo t, entonces la corriente promedio durante este intervalo se define como corriente promedio  Q Q2  Q1  t t2  t1 Si toma el límite de esta corriente promedio sobre lapsos más y más pequeños, obtiene lo que se llama corriente I en un instante dado t1 : I  lím t l 0 Q dQ  t dt Por esto, la corriente es la rapidez con que la carga fluye por una superficie. Se mide en unidades de carga por unidad de tiempo (a menudo coulombs por segundo, llamados amperes).  La velocidad, la densidad y la corriente no son las únicas razones de cambio de importancia para la física. Otras incluyen la potencia (la rapidez a la cual se consume trabajo), la relación de flujo de calor, el gradiente de temperatura (la razón de cambio de la temperatura con respecto a la posición) y la razón de decaimiento de una sustancia radiactiva en la física nuclear. QUÍMICA EJEMPLO 4 El resultado de una reacción química en la formación de una o más sustancias (llamadas productos) a partir de uno o más materiales (reactivos). Por ejemplo, la “ecuación” 2H2  O2 l 2H2 O indica que dos moléculas de hidrógeno y una de oxígeno forman dos moléculas de agua. Considere la reacción ABlC donde A y B son los reactivos y C es el producto. La concentración de un reactivo A es el número de moles (1 mol  6.022  1023 moléculas) por litro y se denota con A . La concentración varía durante una reacción, de modo que A , B y C son funciones CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 225 SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 225 del tiempo (t). La velocidad de reacción promedio del producto C en un intervalo de tiempo t1 t t2 es C C t2   C t1   t t2  t1 Pero los químicos tienen más interés en la velocidad instantánea de reacción, la cual se obtiene tomando el límite de la velocidad promedio de reacción conforme el intervalo t tiende a 0: velocidad de reacción  lím t l 0 C d C  t dt Como la