Métodos Numéricos II
Fórmula de Lagrange Objetivo Reconocer la naturaleza de la fórmula de Lagrange en la construcción de polinomios mediante el ajuste de puntos tabulados a una función.
Interpolación Es el cálculo de valores para una función tabulada en puntos que no se encuentran en la tabla mediante una representación analítica sencilla. La enorme ventaja de aproximar información discreta o funciones “complejas”, con funciones analíticas sencillas, radica en su mayor facilidad de evaluación y manipulación, situación necesaria en el campo de la ingeniería. Muchos matemáticos famosos tienen su nombre asociado con procedimientos para interpolación: Gauss, Newton, Bessel, Stirling. La necesidad de interpolar comenzó con los primeros estudios de astronomía cuando los movimientos de cuerpos celestes fueron determinados por observaciones periódicas. Los métodos de interpolación son la base para muchos otros procedimientos tales como, diferenciación e integración numérica y métodos de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Además, la interpolación de polinomios sirve como una excelente introducción de algunas técnicas para suavizar curvas.
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Interpolación o ajuste de curvas Para aproximar f(x) por medio de un polinomio a partir de puntos tabulados, se pueden aplicar dos criterios: el de interpolación polinomial o el de ajuste de curvas. La técnica de interpolación consiste en encontrar una función polinomial que ajuste de forma exacta, es decir, que pase por los puntos dados en la tabla. Los métodos de ajuste de curvas consisten en hallar un polinomio que pase entre los puntos y que satisfaga la condición de minimizar el error entre los puntos tabulados y el polinomio. Cuando la información de la que se dispone es hasta cierto punto exacta y confiable, se usa un ajuste exacto. Pero si se considera que pueden existir errores, no tiene sentido buscar que pase por los puntos, sino que pase entre ellos. Una vez que se obtiene el polinomio de aproximación se puede emplear para obtener puntos adicionales a los existentes en la tabla, lo que se conoce como interpolación.
Fórmula de Lagrange Si se tiene un conjunto de n + 1 valores de datos (xi , yi) para i = 0, 1, ... , n para representar a y como una función de valuación única de x, es posible encontrar un polinomio único de grado n que pasa por los puntos. Por ejemplo, es posible encontrar una recta única que pasa por dos puntos, y es posible encontrar un polinomio cuadrático único que pasa por tres puntos. Los polinomios de Lagrange se pueden determinar especificando algunos puntos en el plano por los cuales debe pasar. Consideremos el problema de determinar un polinomio de grado 1 que pase por los puntos distintos (x0, y0) y (x1, y1). Este problema es el mismo que el de aproximar una función f, para la cual f(x0) = y0 y f(x1) = y1, por medio de un polinomio de primer grado, interpolando entre, o coincidiendo con, los valores de f en los puntos dados.
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Considérese el polinomio
P ( x) =
( x − x0 ) ( x − x1 ) y0 + y1 ( x 0 − x1 ) ( x1 − x 0 )
cuando x = x0
P( x 0 ) =
( x 0 − x1 ) ( x − x0 ) y0 + 0 y1 = y 0 = f ( x 0 ) ( x 0 − x1 ) ( x1 − x 0 )
cuando x = x1
P ( x) =
( x − x0 ) ( x1 − x1 ) y0 + 1 y1 = y1 = f ( x1 ) ( x 0 − x1 ) ( x1 − x 0 )
así que P tiene las propiedades requeridas. Para generalizar el concepto de interpolación lineal, consideremos la construcción de un polinomio a lo más de grado n que pase por los n + 1 puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ... , (xn, f(xn)) El polinomio lineal que pasa por (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)) se construye usando los cocientes
L0 ( x) =
( x − x1 ) ( x 0 − x1 )
y
L1 ( x) =
( x − x0 ) ( x1 − x 0 )
Cuando x = x0, L0(x0) = 1, mientras que L1(x0) = 0. Cuando x = x1, L0(x1) = 0, mientras que L1(x1) = 1 Para el caso general, se necesita construir, para cada k = 0, 1, ..., n, un cociente Ln,k(x) con la propiedad de que Ln,k(xi) = 0 cuando i ≠ k y que Ln,k(xk) = 1 cuando x = xk. Entonces los cocientes de Lagrange están dados por:
Ln , k ( x ) =
( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x k −1 )( x − x k +1 ) L ( x − x n ) ( x k − x0 )( x k − x1 ) L ( x k − x k −1 )( x k − x k +1 ) L ( x k − x n ) n
=∏ i =0 i≠k
( x − xi ) ( x k − xi )
El “Polinomio de interpolación de Lagrange” se define en el siguiente teorema.
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Definición Teorema: Si x0, x1, ... , xn son (n + 1) números diferentes y f es una función cuyos valores están dados en estos puntos, entonces existe un único polinomio P de grado a los más n con la propiedad de que f ( x k ) = P ( x k ) para cada k = 0, 1, ... ,n. Este polinomio está dado por n
P ( x) = f ( x 0 ) L n , 0 ( x ) + L + f ( x n ) L n , n ( x) = ∑ f ( x k ) L n , k ( x) k =0
Ejemplo: Las densidades de sodio para tres temperaturas están dadas por i
0 1 2
Temperatura ti (en °C)
Densidad di
94 205 371
929 902 860
Determinar la densidad para t = 251°C Para obtener el valor de los cocientes, se sustituye el valor t = 251, entonces, la densidad del sodio a una temperatura de t = 251°C es d = 890.556117 kg/m3. Realizando los cálculos con MAPLE: >PolynomialInterpolation([[94,929], [371,860],x);
−
205,902],
30 197949 809141929 x2 − x+ 850667 850667 850667
> PolynomialInterpolation([[94,929], [205,902], [371,860]],251);
757566700 850667 > evalf(%);
890.5561166
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Consideraciones Cabe aclarar que, aunque con el método de Lagrange se puede obtener una expresión en serie de potencias que aproxime a la función que describe la tabla de datos, esto no es una práctica común, primero porque generalmente se aplica mediante un programa de computadora y segundo porque aumenta la posibilidad de cometer errores humanos. Un polinomio de interpolación, aunque pase por los puntos que se utilizaron en su construcción, en general no proporciona valores exactamente correctos. La razón es que la relación subyacente a menudo no es un polinomio del mismo grado. Por tanto, a continuación se calcula un residuo o cota de error incurrido al aproximar una función mediante un polinomio. Esto se hace en el siguiente teorema: Fórmula del error Teorema: Supóngase que x0, x1, ..., xn son números distintos en el intervalo [a, b] y que f ∈ Cn+1 [a, b]. Entonces, para cada x en [a, b] existe un número ξ(x) en (a, b) con f ( x) = Pn ( x) +
f
(ε ( x)) ( x − x 0 )( x − x1 ) L ( x − x n ) (n + 1)!
( n +1)
donde Pn(x) es el polinomio de Lagrange. Esta fórmula de error es un resultado teórico muy importante, porque los polinomios de Lagrange se emplean frecuentemente para derivar la diferenciación numérica y los métodos de integración. Las cotas de error de estas técnicas se obtienen aplicando la fórmula del error de Lagrange. El uso específico de esta fórmula de error se limita a las funciones cuyas derivadas tienen cotas conocidas, es decir para aquellos casos en que la función es conocida. En la práctica el término del error es difícil de aplicar, ya que normalmente no se conoce el grado óptimo del polinomio.
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